CURSO DE ADMISIÓN 2023 MATEMÁTICA (INGENIERÍA-ARQUITECTURA)
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA E INVESTIGACIONES TECNOLÓGICAS
EJERCITACIÓN DE REPASO
1) Resolver las siguientes operaciones con números complejos y representar a Z, su conjugado y su
opuesto en cada caso
(4 − 2i )2 + (5 − 2i).( 1 + i) − i 41 = Z b) 4 − i + i 37 = Z
a)
10
2 + 3i
29 61
5 1
− i
− i
Respuestas:
a)
b)
13 13
2
5
La representación de los complejos pedidos en el ítem a) figuran en el siguiente link
https://www.geogebra.org/classic/dr8kvt2v Para el ítem b) se procede de manera similar.
1
𝒂) 𝑍 = (4 − 2𝑖)2 + (5 − 2𝑖). ( + 𝑖) − 𝑖 41
10
1 1
𝑍 = 42 + 2.4. (−2𝑖) + (−2𝑖)2 + − 𝑖 + 5𝑖 − 2𝑖 2 − 𝑖
2 5
1
1
𝑍 = 16 − 16𝑖 + 4𝑖 2 + − 𝑖 + 5𝑖 − 2. (−1) − 𝑖
2 5
1 1
𝑍 = 16 − 16𝑖 + 4. (−1) + − 𝑖 + 5𝑖 + 2 − 𝑖
2 5
1 1
𝑍 = 16 − 16𝑖 − 4 + − 𝑖 + 5𝑖 + 2 − 𝑖
2 5
1 1
𝑍 = 16 − 16𝑖 − 4 + − 𝑖 + 5𝑖 + 2 − 𝑖
2 5
𝒁=
𝐛) 𝑍 =
𝟐𝟗 𝟔𝟏
−
𝒊
𝟐
𝟓
4−𝑖
+ 𝑖 37
2 + 3𝑖
𝑍=
4 − 𝑖 2 − 3𝑖
∙
+𝑖
2 + 3𝑖 2 − 3𝑖
𝑍=
8 − 2𝑖 − 12𝑖 + 3𝑖 2
+𝑖
22 − (3𝑖)2
𝑍=
8 − 14𝑖 + 3. (−1)
+𝑖
4 − 9. (−1)
𝑍=
8 − 14𝑖 − 3
+𝑖
4+9
𝑍=
5 − 14𝑖
+𝑖
13
5 14
𝑍=
−
𝑖+𝑖
13 13
𝒁=
𝟓
𝟏
−
𝒊
𝟏𝟑 𝟏𝟑
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2) Resolver las siguientes operaciones con polinomios e indicar de qué grado es el polinomio obtenido
como resultado final
a) (3𝑥 3 − 6 + 𝑥 6 − 𝑥): (𝑥 3 − 3) =
c) 𝑆(𝑥) = 4(𝑥 − 5). (𝑥 + 1) − (−2𝑥 + 3)2 =
b) 𝑇(𝑥) = (2𝑥 − 4)3 − 3𝑥. (𝑥 − 4) =
a)
𝑥 6 + 0𝑥 5 + 0𝑥 4 + 3𝑥 3 + 0𝑥 2 − 𝑥 − 6
−𝑥 6 + 0𝑥 5 + 0𝑥 4 + 3𝑥 3
6𝑥 3 + 0𝑥 2 − 𝑥 − 6
−6𝑥 3 + 0𝑥 2 + 0𝑥 + 18
−𝑥 + 12
𝑥 3 + 0𝑥 2 + 0𝑥 − 3
𝑥3 + 6
𝑪(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟔 𝑮𝒓𝒂𝒅𝒐 𝟑
𝑹(𝒙) = −𝒙 + 𝟏𝟐
b) 𝑇(𝑥) = (2𝑥 − 4)3 − 3𝑥. (𝑥 − 4)
𝑇(𝑥) = (2𝑥)3 + 3. (2𝑥)2 . (−4) + 3.2𝑥. (−4)2 + (−4)3 − 3𝑥 2 + 12𝑥
𝑇(𝑥) = 8𝑥 3 − 48𝑥 2 + 96𝑥 − 64 − 3𝑥 2 + 12𝑥
𝑻(𝒙) = 𝟖𝒙𝟑 − 𝟓𝟏𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝟖𝒙 − 𝟔𝟒 𝑮𝒓𝒂𝒅𝒐 𝟑
c) 𝑆(𝑥) = 4(𝑥 − 5)(𝑥 + 1) − (−2𝑥 + 3)2
𝑆(𝑥) = 4. (𝑥 2 + 𝑥 − 5𝑥 − 5) − [(−2𝑥)2 + 2. (−2𝑥). 3 + 32 ]
𝑆(𝑥) = 4. (𝑥 2 − 4𝑥 − 5) − [4𝑥 2 − 12𝑥 + 9]
𝑆(𝑥) = 4𝑥 2 − 16𝑥 − 20 − 4𝑥 2 + 12𝑥 − 9
𝑺(𝒙) = −𝟒𝒙 − 𝟐𝟗 𝑮𝒓𝒂𝒅𝒐 𝟏
−𝟔𝟒
3) Considerando los Polinomios del ejercicio 1, se pide:
Calcular el valor de h, si existe, para que S(x) sea igual a 𝑃(𝑥) , siendo
𝑃(𝑥) = (25ℎ2 − 13)𝑥 + (5ℎ − 26)
𝑆(𝑥) = −4𝑥 − 29
𝑃(𝑥) = (25ℎ2 − 13)𝑥 + (5ℎ − 26)
Para que 𝑆(𝑥) = 𝑃(𝑥) los coeficientes lineales y los términos independientes deben ser iguales:
−4 = 25ℎ2 − 13
∧ −29 = 5ℎ − 26
−4 + 13 = 25ℎ2
∧ −29 + 26 = 5ℎ
√
𝒉=
9
= ℎ2
25
∧
−3 = 5ℎ
9
= |ℎ|
25
∧
−
𝟑
=𝒉
𝟓
Para que se cumplan las dos condiciones, de la
dos posibles soluciones que nos proporciona la
primera ecuación cuando igualamos los
coeficientes lineales, nos quedamos con la
segunda, por lo tanto:
𝒉=−
𝟑
𝟓
𝟑
𝟑
∨ 𝒉=−
𝟓
𝟓
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4) Simplificar, indicando previamente para qué valores numéricos está definida cada fracción:
𝑥2 − 4
ℎ(𝑥) = 3
𝑥 − 3𝑥 + 2𝑥 2 − 6
𝒙
⏟𝟐 − ⏟
𝟒 = (𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟐)
√𝑥 2 =𝑥
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
ℎ(𝑥) =
(𝑥 + 2)(𝑥 2 − 3)
√4=2
𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟔 = 𝑥(𝑥 2 − 3) + 2(𝑥 2 − 3)
𝑥 3 − 3𝑥 + 2𝑥 2 − 6 = (𝒙 + 𝟐)(𝒙𝟐 − 𝟑)
𝒙−𝟐
𝒉(𝒙) = 𝟐
𝒙 −𝟑
(𝑥 + 2)(𝑥 2 − 3) ≠ 0 𝑥 + 2 ≠ 0 ⇒ 𝒙 ≠ −𝟐
∧
𝑥 2 − 3 ≠ 0 ⇒ 𝑥 2 ≠ 3 ⇒ |𝒙| ≠ √𝟑
𝑫𝒉(𝒙): 𝑹 − {−𝟐; √𝟑; −√𝟑 }
5𝑥 2 − 45
𝑗(𝑥) = 3
𝑥 + 2𝑥 2 − 11𝑥 − 12
𝑗(𝑥) =
𝟓𝒙𝟐 − 𝟒𝟓 = 5 (𝑥
9 ) = 𝟓(𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟑)
⏟2 − ⏟
√𝑥 2 =𝑥
5(𝑥 − 3)(𝑥 + 3)
(𝑥 + 4)(𝑥 + 1)(𝑥 − 3)
√9=3
𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟏𝒙 − 𝟏𝟐 = (𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟑)
1
𝟓(𝒙 + 𝟑)
𝒋(𝒙) =
(𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟏)
3
1
-1
𝟓𝒙 + 𝟏𝟓
𝒋(𝒙) = 𝟐
𝒙 + 𝟓𝒙 + 𝟒
1
2
3
5
-1
4
-11
15
4
-4
0
-12
12
0
(𝑥 + 4)(𝑥 + 1)(𝑥 − 3) ≠ 0 𝑥 + 4 ≠ 0 ⇒ 𝒙 ≠ −𝟒 ∧ 𝑥 + 1 ≠ 0 ⇒ 𝒙 ≠ −𝟏 ∧ 𝑥 − 3 ≠ 0 ⇒ 𝒙 ≠ 𝟑
𝑫𝒋(𝒙): 𝑹 − {−𝟒; −𝟏; 𝟑 }
5) Resolver las siguientes operaciones con fracciones algebraicas indicando cuáles son los valores para los
que está definida.
a)
−𝑥 − 1
𝑥+4
−𝑥 − 1
𝑥+4
𝟐(−𝑥 − 1)
(𝑥 + 4)(𝒙 − 𝟑)
−
=
−
=
−
=
𝑥 2 + 2𝑥 − 15 2𝑥 + 10 (𝑥 − 3)(𝑥 + 5) 2(𝑥 + 5) 𝟐(𝑥 − 3)(𝑥 + 5) 2(𝑥 + 5)(𝒙 − 𝟑)
=
−2𝑥 − 2 − (𝑥 2 − 3𝑥 + 4𝑥 − 12) −2𝑥 − 2 − 𝑥 2 − 𝑥 + 12
−𝑥 2 − 3𝑥 + 10
=
=
2(𝑥 − 3)(𝑥 + 5)
2(𝑥 − 3)(𝑥 + 5)
2(𝑥 − 3)(𝑥 + 5)
=
−1(𝑥 − 2)(𝑥 + 5) −𝟏(𝒙 − 𝟐)
=
=
2(𝑥 − 3)(𝑥 + 5)
𝟐(𝒙 − 𝟑)
−𝒙 + 𝟐
𝟐𝒙 − 𝟔
2(𝑥 − 3)(𝑥 + 5) ≠ 0 entonces 𝑥 − 3 ≠ 0 ⇒ 𝒙 ≠ 𝟑 ∧ 𝑥 + 5 ≠ 0 ⇒ 𝒙 ≠ −𝟓
𝑫: 𝑹 − {−𝟓; 𝟑 }
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𝑥 2 − 36
(𝑥 − 6)(𝑥 + 6)
8𝑥
8𝑥
𝐛) 2 2𝑥 + 12
=
∙
=
=
2
𝑥 − 12𝑥 + 36
(𝑥 − 6)
2(𝑥 + 6)
2(𝑥 − 6)
8𝑥
𝟒𝒙
𝒙−𝟔
2(𝑥 + 6) ≠ 0 𝑥 + 6 ≠ 0 ⇒ 𝒙 ≠ −𝟔 ∧ (𝑥 − 6)2 ≠ 0 ⇒ 𝒙 ≠ 𝟔 ∧ 8𝑥 ≠ 0 ⇒ 𝒙 ≠ 𝟎
𝑫: 𝑹 − {−𝟔; 𝟎; 𝟔}
𝐜)
(𝑥 − 13)(𝑥 + 13)
𝑥 2 − 169
18. 𝑥
18𝑥
18𝑥
∙ 2
=
∙
=
=
(𝑥 − 13)(𝑥 + 1) 2(𝑥 + 1)
2𝑥 + 26 𝑥 − 12𝑥 − 13
2(𝑥 + 13)
𝟗𝒙
𝒙+𝟏
2(𝑥 + 13) ≠ 0 𝑥 + 13 ≠ 0 ⇒ 𝒙 ≠ −𝟏𝟑
(𝑥 − 13)(𝑥 + 1) ≠ 0 ⇒
𝑥 − 13 ≠ 0 ⇒ 𝒙 ≠ 𝟏𝟑
∧
𝑥 + 1 ≠ 0 ⇒ 𝒙 ≠ −𝟏
𝑫: 𝑹 − {−𝟏𝟑; −𝟏; 𝟏𝟑 }
6) Resolver las siguientes inecuaciones, representar el conjunto solución en la recta y expresarlo como
intervalos o unión de intervalos.
9
a) − 2. x + 6  −4
b) − 3 x 2 − 5  −8
c) ( x − 2).( x + ).x  0
2
3
1

d) −3 x 2 − 15 x + 18  0
e) −2 x.( x + 5).  x −   0 f) 5 x − 2 −  4
3
4

𝐚) − 2. |𝑥 + 6| < −4
𝐛)
−3𝑥 2 ≥ −8 + 5
|𝑥 + 6| > −4: (−2)
|𝑥 + 6| > 2
𝑥 + 6 < −2
𝑥 < −2 − 6
𝑥 < −8
− 3𝑥 2 − 5 ≥ −8
∨
𝑥+6>2
𝑥 2 ≤ −3: (−3)
√𝑥 2 ≤ √1
∨ 𝑥 > 2−6
|𝑥| ≤ 1
∨ 𝑥 > −4
−1 ≤ 𝑥 ≤ 1
𝑺 = (−∞; −𝟖) ∪ (−𝟒; +∞)
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𝑺 = [−𝟏; 𝟏]
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9
𝐜)(𝑥 − 2). (𝑥 + ) . 𝑥 ≤ 0
2
𝟗
(−∞; − )
𝟐
−
𝟗
𝟐
𝟗
(− ; 𝟎)
𝟐
𝟎
(𝟎; 𝟐)
𝟐
(𝟐; +∞)
𝒙−𝟐
−
−
−
−
−
𝟎
+
𝟗
𝟐
−
𝟎
+
+
+
+
+
𝒙
−
−
−
𝟎
+
+
+
𝟗
(𝒙 − 𝟐). (𝒙 + ) . 𝒙
𝟐
−
𝟎
+
𝟎
−
𝟎
+
𝒙+
𝟗
𝑺 = (−∞; − ] ∪ [𝟎; 𝟐]
𝟐
𝐝) − 3𝑥 2 − 15𝑥 + 18 ≥ 0 ⇒ −3(𝑥 2 + 5𝑥 − 6) ≥ 0 ⇒ 𝑥 2 + 5𝑥 − 6 ≤ 0 ⇒ (𝑥 + 6)(𝑥 − 1) ≤ 0
(−∞; −𝟔)
−𝟔
(−𝟔; 𝟏)
1
(𝟏; +∞)
−
−
+
𝟎
−
𝟎
+
−
−
+
𝟎
𝟎
+
+
+
𝒙+𝟔
𝒙−𝟏
(𝒙 + 𝟔)(𝒙 − 𝟏)
𝑺 = [−𝟔; 𝟏]
3
𝐞) − 2𝑥. (𝑥 + 5). (𝑥 − ) > 0
4
3
⇒ 𝑥. (𝑥 + 5). (𝑥 − ) < 0: (−2)
4
3
⇒ 𝑥. (𝑥 + 5). (𝑥 − ) < 0
4
(−∞; −𝟓)
−𝟓
(−𝟓; 𝟎)
𝟎
𝟑
(𝟎; )
𝟒
𝟑
𝟒
𝟑
( ; +∞)
𝟒
𝒙
−
−
−
𝟎
+
+
+
𝒙+𝟓
−
𝟎
+
+
+
+
+
𝟑
𝟒
−
−
−
−
−
𝟎
+
−
𝟎
+
𝟎
−
𝟎
+
𝒙−
𝟑
𝒙(𝒙 + 𝟓). (𝒙 − )
𝟒
𝟑
𝑺 = (−∞; −𝟓) ∪ (𝟎; 𝟒)
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𝟐
𝐟)|5𝑥 − 2| −
1
≤4
3
⇒ |5𝑥 − 2| ≤ 4 +
1
3
⇒ |5𝑥 − 2| ≤
13
3
13
13
≤ 5𝑥 − 2 ≤
3
3
13
13
− + 2 ≤ 5𝑥 ≤
+2
3
3
7
19
− ≤ 5𝑥 ≤
3
3
7
19
− :5 ≤ 𝑥 ≤
:5
3
3
7
19
−
≤𝑥≤
15
15
𝟕 𝟏𝟗
𝑺 = [−
; ]
𝟏𝟓 𝟏𝟓
−
7) Hallar la ecuación de la recta perpendicular a 3 𝑥 + 2 𝑦 = 4 que pase por el punto (1; 2). Hallar
gráfica y analíticamente la intersección entre las dos rectas.
3𝑥 + 2𝑦 = 4
⇒
2𝑦 = 4 − 3𝑥
⇒
𝑦 = (4 − 3𝑥): 2 ⇒
𝟐
Como pide perpendicular entonces: 𝒎 = 𝟑
𝟑
𝒚=− 𝒙+𝟐
𝟐
⟹ 𝒎=−
𝟑
𝟐
(𝒙𝟏 ; 𝒚𝟐 ) = (𝟏; 𝟐)
𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏 )
𝑦−2=
2
(𝑥 − 1)
3
2
2
𝑦 = 𝑥− +2
3
3
⟹ 𝒚=
𝟐
𝟒
𝒙+
𝟑
𝟑
𝒚=𝒚 ⟹
2
4
3
𝑥+ =− 𝑥+2
3
3
2
2
3
4
𝑥+ 𝑥 =2−
3
2
3
13
2
2 13
𝟒
𝑥 = ⇒ 𝑥 = :
⇒ 𝒙=
6
3
3 6
𝟏𝟑
3 4
𝟐𝟎
𝑦=− ∙
+2 ⟹𝒚=
2 13
𝟏𝟑
𝟒 𝟐𝟎
𝑺 = {( ; )}
𝟏𝟑 𝟏𝟑
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8 a) Graficar la siguiente función
2 x + 3 x  −2
f ( x) = 
3x + 2 x  −2
𝒙 ≤ −𝟐
𝒙
−2
−3
𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟑
−1
−3
𝒙 > −𝟐
𝒙
𝒚 = 𝟑𝒙 + 𝟐
−2
−4
0
2
b) Indicar, justificando, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
i) El Dominio de la función es el conjunto de los números reales
ii) f(-2) = - 4
iii) f(x) = 13, entonces x = 5
 3 
 5
 4
iv) f  −  = f  − 
v) El punto  − ;0   f
 2 
 2
 3
Ejercicio resuelto en https://www.geogebra.org/m/pp7thams
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9) a) Determinar la ecuación de la función cuadrática cuyo vértice es 𝑉 = (−1; 12) y corta al eje “y” en
(0; 11). Calcular sus raíces y graficarla
a) 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔:
𝑽 = (−𝟏; 𝟏𝟐)
(𝟎; 𝟏𝟏)
Como tenemos el vértice, podemos utilizar la ecuación canónica, nos faltaría el coeficiente cuadrático
que se puede averiguar con el punto que nos dieron como dato.
𝑦 = 𝒂(𝑥 − 𝑥𝑣 )2 + 𝑦𝑣 ⇒ 𝑦 = 𝒂[𝑥 − (−1)]2 + 12
⇒ 𝑦 = 𝒂(𝑥 + 1)2 + 12
Averiguamos a, para ello si (𝟎; 𝟏𝟏) es la ordenada al origen, podemos reemplazar 𝒙 por 0 e 𝒚 por 11.
11 = 𝑎(0 + 1)2 + 12 ⇒ 11 = 𝑎. 1 + 12 ⇒
11 − 12 = 𝑎 ⇒
𝒂 = −𝟏
𝒚 = −𝟏(𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝟏𝟐 Canónica
𝑦 = −1(𝑥 2 + 2𝑥 + 1) + 12 ⇒ 𝑦 = −𝑥 2 − 2𝑥 − 1 + 12 ⇒ 𝒚 = −𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏𝟏
Polinómica
Raíces:
𝑥1,2
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 −(−2) ± √(−2)2 − 4(−1). 11 2 ± √4 + 44 2 ± √48 2 ± 4√3
=
=
=
=
=
2𝑎
2(−1)
−2
−2
−2
𝑥1 =
2 + 4√3
= −𝟏 − 𝟐√𝟑
−2
𝑥2 =
2 − 4√3
= −𝟏 + 𝟐√𝟑
−2
Otra forma:
𝑦 = −1(𝑥 + 1)2 + 12
0 = −1(𝑥 + 1)2 + 12
−12 = −1(𝑥 + 1)2
12 = (𝑥 + 1)2
√12 = √(𝑥 + 1)2
2√3 = |𝑥 + 1|
2√3 = 𝑥 + 1 ∨ −2√3 = 𝑥 + 1
De ahí se deduce que:
𝒙𝟏 = 𝟐√𝟑 − 𝟏
𝒙𝟐 = −𝟐√𝟑 − 𝟏
Raíces:−𝟏 − 𝟐√𝟑 y −𝟏 + 𝟐√𝟑
Ordenada al origen: (𝟎; 𝟏𝟏) Eje de simetría: 𝒙 = −𝟏
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b) Hallar todos los valores de “b” para que la gráfica de 𝑓(𝑥) = −4𝑥 2 + 𝑏𝑥 − 16 no corte al eje de las
“𝑥”.
Para que no corte al eje x el discriminante debe ser negativo: Δ < 0
Δ = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
⇒
𝑏 2 − 4𝑎𝑐 < 0
𝑏 2 − 4(−4)(−16) < 0
⟹
𝑏 2 − 256 < 0
𝑏 2 < 256
√𝑏 2 < √256
|𝑏| < 16
−𝟏𝟔 < 𝒃 < 𝟏𝟔 ⇒ 𝒙 ∈ (−𝟏𝟔; 𝟏𝟔)
⇒
c) Hallar todos los valores de “b” para que la gráfica de 𝑔(𝑥) = 6𝑥 2 + 𝑏. 𝑥 + 24 corte al eje de las “𝑥” en
un solo punto.
Para que corte al eje x en un solo punto el discriminante debe ser cero: Δ = 0
Δ = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
⇒ 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 =
0⟹
𝑏 2 − 4 . 6 . 24 = 0
𝑏 2 − 576 = 0
𝑏 2 = 576
√𝑏 2 = √576
𝒃 = 𝟐𝟒
|𝑏| = 24 ⇒
∨
𝒃 = −𝟐𝟒
d) En la función cuadrática de ecuación 𝒚 = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝟎𝒙 + 𝒒 se sabe que una raíz es el cuádruple de la
otra. Encontrar el valor de 𝒒 y el de las raíces.
𝒙𝟏 = 𝟒𝒙𝟐
por propiedad de las raíces
entonces 𝟒𝒙𝟐 + 𝒙𝟐 =
𝟐𝟎
𝟐
por propiedad de las raíces
⇒
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = −
𝟓𝒙𝟐 = 𝟏𝟎
𝒙𝟏 . 𝒙𝟐 =
𝒄
𝒂
⇒
⇒
𝒃
𝒂
𝒙𝟐 = 𝟐 ∧ 𝒙 𝟏 = 𝟖
2.8 =
𝒒
⇒ 16.2 = 𝒒 ⇒
2
𝒒 = 𝟑𝟐
−8𝑥 − 𝑦 = 4
10) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por algún método analítico {
2𝑥 − 3𝑦 = 7
−𝟖𝒙 − 𝟏𝒚 = 𝟒
{
𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟕
Método de determinantes
𝑥=
Δ𝑥 −5
𝟓
=
⇒𝒙=−
Δ
26
𝟐𝟔
−𝟖
𝚫=|
𝟐
−𝟏
| = −𝟖. (−𝟑) − (−𝟏). 𝟐 = 𝟐𝟒 + 𝟐 = 𝟐𝟔
−𝟑
𝑦=
𝟒
𝚫𝒙 = |
𝟕
−𝟏
| = 𝟒. (−𝟑) − (−𝟏). 𝟕 = −𝟏𝟐 + 𝟕 = −𝟓
−𝟑
Δ𝑦 −64
𝟑𝟐
=
⇒𝒚=−
Δ
26
𝟏𝟑
𝚫𝒚 = |
−𝟖
𝟐
𝟒
| = −𝟖. 𝟕 − 𝟒. 𝟐 = −𝟓𝟔 − 𝟖 = −𝟔𝟒
𝟕
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𝑆 = {(−
5
32
; − )}
26
13
Página 9
La solución gráfica y por el método de reducción por sumas y restas la pueden ver aquí:
https://www.geogebra.org/classic/shxht5nn
11) Dada la siguiente función logarítmica ℎ(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2 ( 𝑥 + 6), determinar su dominio e imagen.
Calcular analíticamente su raíz, indicar ordenada al origen, ecuación de su asíntota y graficar la curva
correspondiente
La respuesta en detalle está en el siguiente link https://www.geogebra.org/classic/pqumd6ny
Respecto de la función básica 𝑦 = log 2 𝑥, la función 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠 𝟐 (𝒙 + 𝟔) está desplazada 6 unidades hacia
la izquierda.
Dominio: 𝑥 + 6 > 0 ⇒ 𝑥 > −6
𝑫 = (−𝟔; +∞)
A.V.: 𝒙 = −𝟔
Imagen: 𝑹
Intersección eje 𝒚:
𝑦 = log 2 (0 + 6) ⇒ 𝑦 = log 2 (6) ⇒ 𝒚 ≅ 𝟐, 𝟓𝟖𝟒𝟗 ⇒ (𝟎; 𝐥𝐨𝐠 𝟐 (𝟔))
Intersección eje 𝒙:
log 2 (𝑥 + 6) = 0 ⇒ 𝑥 + 6 = 20 ⇒ 𝑥 = 1 − 6 ⇒ 𝒙 = −𝟓 ⇒ (−𝟓; 𝟎)
𝑪− = (−6; −5)
𝑪+ = (−5; +∞)
𝑰↗ = (−6; +∞)
𝑰↘ = ∅
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12) Dada la siguiente función exponencial ℎ(𝑥) = −6 + 5𝑥 .Determinar de manera exacta las coordenadas
de los puntos de intersección con ambos ejes. Graficar. Contestar V ó F justificando la respuesta:
La ecuación de la asíntota de ℎ(𝑥) es 𝑦 = 6
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13) Resolver las siguientes ecuaciones (recordar previamente determinar dominio de definición)
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1
d) 𝑙𝑜𝑔9 (𝑥 + 4) − = 0
2
1
𝑙𝑜𝑔9 (𝑥 + 4) =
2
𝑥+4>0
𝑥 > −4
𝑫 = (−𝟒; +∞)
1
𝑥 + 4 = 92
𝑥 = √9 − 4
𝑥 =3−4
𝒙 = −𝟏
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