MTH0101 - Calcul différentiel
Automne 2019
Domaine
1- Trouver le domaine de la fonction f ( x) =
x+2
.
ln(3 − x)
Limites et continuité
2- Trouver la limite des fonctions suivantes.
a) lim
x→ 3
d)
4 − (1 − x) 2
2 x 2 − 2 x − 12
lim cot (2 x −  )
x→ +
x +1
x →3 9 − x 2
4 x + x2 + 7
e) lim
x →−
x −3
b) lim
 x2 + 2 x − 3
si x  1

x
−
1

3- Soit f ( x ) = 
7
si x = 1

5
4 +
si x  1
 ln( x − 1)
c)
f)
1 
 1
lim x 2 
− 2

 x−2 x −4
x→ 
lim
x →−
2 x2 + x + 5
a) Calculer lim f ( x ) .
x →1
b) Est-ce que f est continue en x = 1 ?
Justifier votre réponse.
4- Étudier la continuité de la fonction f ( x) =
tan x
sur 0, 2  .
2 x − 17 x + 8
2
Règles de dérivée
5- Dériver les fonctions suivantes. (Simplifier et factoriser complètement.)
1
+ ln( x 2 + 1)
( x + 1)
a)
f ( x) =
d)
f ( x) = (4 x + 1)3 ( x 3 + 2) 4
2
b)
 1 
f ( x) = arctan  2 
x 
e)
f ( x) = sec 4 ( 6 x + 1)
1
c)
f ( x) =
cos x + sin x
1 − cos x
Questions variées sur un graphique
6- À partir de la courbe décrite par la fonction f, répondre aux questions suivantes.
a) Déterminer le Dom f .
b) Déterminer la ou les valeur(s) de x du dom
f où la fonction n’est pas dérivable.
e) Évaluer
lim+ f ( x)
i.
x→2
ii.
iii.
c) Déterminer la ou les valeur(s) de x du dom
f où la fonction n’est pas continue.
iv.
d) Déterminer la ou les valeur(s) de x du dom
f où la dérivée s’annule.
f)
lim f ( x)
x →
lim f ( x)
x → 6−
f (2)
Compléter avec une des
expressions suivantes :
< 0 ; > 0 ; = 0 ou ∄
f (3)
f '(0)
f '(3)
f ''(8)
g) Compléter le tableau de variation suivant sur l’intervalle ]-4,2[.
x
-4
2
f '( x )
f ''( x )
2
Définition de la dérivée
7- Écrire la définition de la dérivée. Démontrer, à l’aide de la définition, que
( x )¢ = 2 1 x .
Dérivation implicite
3
2
2
8- Soit cos( y ) = x + xy + y .
a) Trouver
dy
.
dx
b) Calculer la pente de la tangente au point
(1, 0) .
c) Trouver l’équation de la tangente à la
courbe au point (1, 0) .
d) Tracer la tangente à la courbe en ce point
sur le graphique.
Votre réponse a-t-elle du sens? Justifiez.
Questions variées sur la dérivée
9- Pour les fonctions suivantes, trouver la ou les valeur(s) de x où la pente de la droite tangente à la
courbe est horizontale.
 ex 
a) g ( x) = ln  2
 x − 1 


2
b)
f ( x) = x 3 ln 2 x
c)
g(x) = ex + e-2x
10- Trouver la ou les valeur(s) critique(s) des fonctions suivantes.
a)
4x +1
f ( x) =
x−2
b)
f ( x) = x − 1
3
2
3
c)
ex
pour x  − ,  
f ( x) =
cosx
Applications de la dérivée
11- Un nouveau virus se propage dans la population de sorte que t semaines après son apparition, on
compte N (t ) =
5
milliers de personnes l’ayant contracté.
2 + 8e−0.75t
a) Initialement, combien de personnes étaient porteuses du virus?
b) Combien de personnes auront contracté le virus 4 semaines après son apparition?
c) Dans combien de temps comptera-t-on au moins 1,3 millier de personnes ayant contracté le
virus?
d) Si aucune mesure n’est prise, combien de personnes contracteront ce virus?
e) Quel est le taux de propagation du virus au bout de 2 semaines?
f) À long terme, quel est le taux de propagation du virus?
N (12) − N (8)
dans le contexte.
12 − 8
N (t + t ) − N (t )
h) Sans évaluer, donner la signification de lim
dans le contexte.
t →0
t
g) Sans évaluer, donner la signification de
12- Une pierre est projetée verticalement sur la surface de la lune. Sa hauteur (en mètres) au dessus du
sol lunaire en tout temps t (en secondes) est donnée par l’équation
s(t ) = 6t −
3t 2
.
4
a) Quelle est l’accélération gravitationnelle sur la lune?
b) Déterminer la hauteur maximale atteinte par la pierre?
c) Combien de temps mettra cette pierre pour atteindre en montant les 3/4 de sa hauteur
maximale?
d) Quelle sera sa vitesse à ce moment?
 t 
 où t
 12 
13- Le nombre de prédateur d’une espèce animale est décrite par N(t ) = 8000 − 1000cos 
représente le nombre de mois écoulés depuis le début de l’observation.
a) Après combien de mois observera-t-on 8500 prédateurs?
b) À quel rythme cette population varie-t-elle 4 mois après le début de l’observation?
c) À quel moment durant les 12 premiers mois le taux de croissance de cette population est-il le
plus élevé?
d) Selon ce modèle, la population de prédateurs se stabilise-t-elle à long terme? Justifier.
4
Optimisation
14- On désire fabriquer une poubelle cylindrique sans couvercle sur le dessus ayant un volume
fixe de 3000 cm3. Le coût du matériel utilisé pour le fond est de 1,50 ¢/cm 2 et le coût du
matériel utilisé pour la face latérale est de 0,50 ¢/cm2. Déterminer les dimensions (hauteur
et rayon) de cette poubelle afin que sa fabrication se fasse au moindre coût et déterminer
ce coût de fabrication.
Pour les 3 prochains problèmes, on demande uniquement de poser l’équation permettant de
modéliser le problème. Ne pas chercher la solution optimale.
15- On doit construire une patinoire formée d’un rectangle auquel deux demi-cercles
complètent les extrémités. L’aire de la glace doit être de 2000 mètres carrés. Soit r, le rayon
des deux demi-cercles et P(r), la fonction donnant le périmètre de la patinoire. Trouver P(r)
qui servirait de base pour minimiser la longueur de bandes nécessaire à la construction de
cette patinoire.
16- Un détaillant en électronique vend des téléviseurs 400$ l’unité. À ce prix, il réussit à en
vendre en moyenne 8000 par mois. L’expérience lui montre que chaque diminution du prix
de 5$ lui fait en moyenne gagner 400 clients. Soit x le nombre de diminutions de prix de 5$.
Déterminer R(x), la fonction de revenu du détaillant qui lui servirait de base pour maximiser
ses revenus.
17- On veut alimenter en électricité un centre de
recherche en biologie marine (R) situé sur une île
à 3000 m de la rive à partir d’une centrale
électrique (E) construite sur le bord d’une
autoroute longeant le littoral rectiligne (voir la
figure).
Le coût d’installation du câble
d’alimentation entre la centrale et le centre de
recherche s’élève à 5 $ le mètre sur la terre et à 9
$ le mètre sous l’eau. Soit x la distance sur
l’autoroute entre l’île et le point (P), déterminer
C(x) la fonction qui servirait de base pour
minimiser les coûts.
5
île
R
3000 m
P
x
E
10 000 m
Tracé de courbe
18- Soit f ( x) = log 2 ( x 2 + 4) .
a) Trouver f '( x ) .
b) Sachant que f ''( x) =
−2( x 2 − 4)
, faire l’étude complète de cette courbe
( x 2 + 4) 2 ln 2
4 x2
16 x
−32( x − 1)
19- Soit f ( x) =
. Sachant que f '( x) =
et f ''( x) =
, faire l’étude
2
3
( x + 2)
( x + 2)
( x + 2) 4
complète de cette courbe.
20- Tracer le graphique de la fonction f dont le tableau de variation est le suivant. Sachant de plus que
la fonction f possède une asymptote oblique en y = − x + 2 et que f vérifie lim f ( x) = −  .
x→ 2
x
−
−1
2
+
4
f ( x )
−
0
−

+
0
−
f ( x )
+
0
−

−
−
−
f ( x)
7

−5
Asymptotes
21- Trouver les équations des asymptotes verticales et horizontales des fonctions suivantes. Justifier
votre réponse à l’aide de limites.
a)
f ( x) =
1
x
e −1
b)
3x 2 + 2 x + 1
f ( x) =
2 x2 + 4 x
6
c)
f ( x) = ln ( x 2 − 1)
Réponses
1-
 −2,3 \ 2
2- a) -2/5 b) ∄ c)  d)  e) 3 f) 
3- a) 4 b) ∄ puisque lim f ( x) = 4  7 = f (1)
x →1
4-
f est continue sur ]0, 2 [ \ 1 2,  2, 3 2
2 x3
−2 x
cos x − sin x − 1
5- a) f '( x) = 2
b) f '( x) = 4
c) f '( x) =
2
( x + 1)
( x + 1)
(1 − cos x) 2
2
3
3
3
2
d) f '( x) = 12(4 x + 1) ( x + 2) (5 x + x + 2) e) f '( x) =
12sec4 ( 6 x + 1) tan( 6 x + 1)
6x +1
\ 6 b) −2, 2,3, 4 c) 2 d) 0,5 e) i. -1 ii. -2 iii. − iv. -4
6- a)
f) f (3) = 0
f '(0) = 0
f '(3)
d2y
dx 2
0
x =8
g)
x
-4
f '( x )
f ''( x )
-
-2
∄
+
-
∄
-
0
0
*
2
-
*Note : à x = 0, f’’(0)=0 serait aussi accepté.
7-
lim
h →0
8- a)
f ( x + h) − f ( x )
x+h − x
1
= lim
= ... =
h
→
0
h
h
2 x
dy
2x + y
=− 2
dx
3 y sin( y 3 ) + x + 2 y
b)
dy
dx
= −2
c) y = −2 x + 2
x =1, y = 0
d)
Pour valider la réponse, on vérifie que l’ordonnée à l’origine est
d’environ 2 et on vérifie que la pente donne bien -2 à partir de
deux points sur la droite.
7
9- a) f '( x) =
2 x( x 2 − 2)
; − 2,
x2 −1


2 b) f '( x) = x 2 ln x(2 + 3ln x) ; 1,


2 e3x - 2
c) g'(x) = e - 2e = e - 2 x =
e
e2x
2x + 5
10- a) f '( x) = −
; − 1 4 b)
4 x + 1( x − 2)2
x
c) f '( x) =
-2 x
x
ì1
î3
1 

3 2
e 
ü
; í ln(2) ý
f '( x) =
þ
2x
3 3 ( x 2 − 1)2
; −1, 0,1
e x (cos x + sin x)
; −  4,3 4
cos 2 x
11- Virus
a)
N ( 0 ) = 0,5 milliers de personnes
b)
N ( 4 )  2085 personnes
c)
N ( t ) = 1,3  t  1,955 semaines
d) lim N (t ) = 2,5 milliers de personnes donc, à long terme, le nombre de personnes atteintes
t →
pourraient aller jusqu’à environ 2500 personnes.
e)
f)
dN
dt
ou N '(2)  467 personnes/semaine.
t =2
lim N '(t ) = 0 millier de personnes/semaine
t →
g) Le taux de variation moyen du nombre de personnes ayant contracté le virus en fonction du
temps entre la 8e et la 12e semaine.
h) Le taux de variation instantané du nombre de personnes ayant contracté le virus en fonction du
temps.
12- Lune
a)
d 2s
m
ou s ''(t ) = −3 / 2 2
2
dt
s
b) 12 m (le maximum est atteint à 4 s)
c) 2 s
d) 3 m/s
8
13- Prédateurs
a) 8 mois
b)
dN
dt
ou N '(4)  227 prédateurs par mois
t =4
c) À 6 mois. En effet, on cherche le maximum de la fonction N '(t ) =
250
 t 
sin   . Le maximum
3
 12 
du taux de croissance est atteint lorsque t = 6, soit quand la fonction sinus donne 1.
d) Non, car lim N (t )  . La population va osciller indéfiniment entre 7000 et 9000 prédateurs.
t →
14- Équation qui modélise le problème : C (r ) =
15- P(r ) =  r +
3 r 2 3000
; r = 10 cm ; h = 30 cm
+
2
r
2000
r
16- R ( x) = (400 − 5 x)(8000 + 400 x)
17- C ( x) = 9 x 2 + 30002 + 5(10000 − x)
18- a) f '( x) =
2x
( x + 4) ln 2
2
b) Aucune asymptote. Fonction paire. Points d’inflexion : (-2,3) et (2,3), minimum : (0,2).
9
19- Asymptotes : y = 4 et x = -2. Point d’inflexion à (1;4/9), minimum à (0;0).
20- Esquisse du graphique
21a) Asymptote horizontale d’équation y = 0 (lorsque x →  )
Asymptote horizontale d’équation y = -1 (lorsque x → − )
Asymptote verticale d’équation x = 0
b) Asymptote horizontale d’équation y = 3/2, asymptotes verticales d’équations x = 0 et x = -2
c) Asymptotes verticales d’équation x =1 et x = -1.
10