Sistem bilangan
N : bilangan
asli
Z : bilangan bulat
Q : bilangan rasional
N:
1,2,3,….
Z:
…,-2,-1,0,1,2,..
Q:
a
q = , a, b  Z , b  0
b
R = Q  Irasional
Contoh Bil Irasional
R : bilangan real
2 , 3, 
2
Garis bilangan
Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut
dengan garis bilangan(real)
2
-3
0 1

Selang
Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang
3
Selang
Jenis-jenis selang
Himpunan
{x x < a}
{x x  a}
{x a < x < b}
{x a  x  b}
{x x > b}
{x x  b}
{x x  }
selang
(- , a )
Grafik
(- , a]
a
(a, b)
a
[a, b]
(b, )
[b, )
(, )
a
b
a
b
b
b
4
Sifat–sifat bilangan real
• Sifat-sifat urutan :
❑Trikotomi
Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku
salah satu dari x < y atau x > y atau x = y
❑Ketransitifan
Jika x < y dan y < z maka x < z
❑Perkalian
Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz,
sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz
5
Pertidaksamaan
⚫Pertidaksamaan satu variabel adalah
suatu bentuk aljabar dengan satu variabel
yang dihubungkan dengan relasi urutan.
⚫Bentuk umum pertidaksamaan :
A(x ) D(x )
<
B( x ) E ( x )
⚫dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah suku
banyak (polinom) dan B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0
6
Pertidaksamaan
⚫ Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah
mencari semua himpunan bilangan real yang
membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan
bilangan real ini disebut juga Himpunan
Penyelesaian (HP)
⚫ Cara menentukan HP :
1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :
P( x)
<0,
Q( x)
dengan cara :
7
Pertidaksamaan
❑ Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan
❑ Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk
pembilangnya
2. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan
penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan
menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat
3. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada
garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -)
pertidaksamaan di setiap selang bagian yang
muncul
8
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
1
13  2 x - 3  5
13 + 3  2 x  5 + 3
16  2 x  8
8 x4
4 x8
Hp = [4,8]
4
8
9
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
2
- 2 < 6 - 4x  8
- 8 < -4 x  2
8 > 4 x  -2
- 2  4x < 8
1
- x<2
2
 1 
Hp = - ,2 
 2 
- 12
2
10
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
3
2 x 2 - 5x - 3 < 0
(2 x + 1)(x - 3) < 0
1
Titik Pemecah (TP) : x = 2
++
--
-
1
dan
x=3
++
3
2
 1 
Hp =  - ,3 
 2 
11
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
4 2 x - 4  6 - 7 x  3x + 6
2x - 4  6 - 7 x
2x + 7 x  6 + 4
9 x  10
10
x
9
10
x
9
dan
dan
6 - 7 x  3x + 6
- 7 x - 3x  -6 + 6
dan
- 10x  0
dan
10x  0
dan
x0
12
10 

Hp =  - ,   [0,  )
9

0
10
9
Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :
 10 
Hp = 0, 
 9
13
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
1
2
<
5.
x + 1 3x - 1
1
2
<0
x + 1 3x - 1
(3x - 1) - (2 x + 2) < 0
(x + 1)(3x - 1)
x -3
<0
(x + 1)(3x - 1)
1
,3
TP : -1, 3
--
++
-1
-1
--
++
3
3
 1 
Hp = (- ,-1)   - ,3 
 3 
14
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
6.
x +1
x

2- x 3+ x
x +1
x
0
2- x 3+ x
(x + 1)(3 + x ) - x(2 - x )  0
(2 - x )(3 + x )
2x2 + 2x + 3
0
(2 - x )(x + 3)
15
Untuk pembilang 2x 2 + 2x + 3 mempunyai nilai
Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu
positif, Jadi TP : 2,-3
Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah.
--
++
-3
Hp =
-2
(,-3)  (2,  )
16
Pertidaksamaan nilai mutlak
⚫Nilai mutlak x (|x|) didefinisikan sebagai
jarak x dari titik pusat pada garis bilangan,
sehingga jarak selalu bernilai positif.
⚫Definisi nilai mutlak :
 x ,x  0
x =
- x , x < 0
17
Pertidaksamaan nilai mutlak
⚫ Sifat-sifat nilai mutlak:
1
2
x = x2
4
x  y
5
x
x
=
y
y
x  a, a  0  - a  x  a
x  -a
3 x  a, a  0  x atau
a
 x2  y 2
6. Ketaksamaan segitiga
x+ y  x + y
x- y  x - y
18
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Contoh :
1. 2 x - 5 < 3
Kita bisa menggunakan sifat ke-2.
 -3 < 2 x - 5 < 3
 5 - 3 < 2x < 3 + 5
 2 < 2x < 8
1< x < 4
Hp = (1,4)
1
4
19
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
2.
2x - 5 < 3
Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4,
karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif.
 (2 x - 5) < 9
2
 4 x - 20x + 16 < 0
 4 x 2 - 20x + 25 < 9
2
 2x - 10x + 8 < 0
2
 (2 x - 2)(x - 4) < 0
++
-1
++
4
Hp = (1,4 )
TP : 1, 4
20
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian pake definisi
3. 2 x + 3  4 x + 5
Kita bisa menggunakan sifat 4
 (2 x + 3)  (4 x + 5)
2
2
 4x + 12x + 9  16x + 40x + 25
 -12x 2 - 28x -16  0
2
 3x + 7 x + 4  0
2
TP :
2
4 , -1
3
21
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Jika digambar pada garis bilangan :
++
--
-4
3
++
-1
4
Hp = - ,    (- ,-1]
 3 
22
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
4.
x
+7  2
2
x
 +7  2
2
x
  -5
2
 x  -10
atau
atau
atau
x
+ 7  -2
2
x
 -9
2
x  -18
Hp = [- 10,  )  (- ,-18]
-18
-10
23
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
5. 3 x - 2 - x + 1  -2
Kita definisikan dahulu :
 x + 1 x  -1
x +1 = 
- x - 1 x < -1
x - 2 x  2
x-2 = 
2 - x x < 2
Jadi kita mempunyai 3 interval :
I
(- ,-1)
II
III
[- 1,2)
-1
[2,  )
2
24
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
I. Untuk interval x < -1
atau
(- ,-1)
3 x - 2 - x + 1  -2
 3(2 - x ) - (- x - 1)  -2
 6 - 3x + x + 1  -2
 7 - 2 x  -2
 -2 x  -9
 2x  9
9
x
2
atau
9


,

2 

25
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
9
Jadi Hp1 =  - ,   (- ,-1)
2

-1
9
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah (- ,-1)
sehingga Hp1 = (- ,-1)
26
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
II. Untuk interval - 1  x < 2 atau
[- 1,2)
3 x - 2 - x + 1  -2
 3(2 - x ) - (x + 1)  -2
 6 - 3x - x - 1  -2
 5 - 4 x  -2
 -4 x  -7
 4x  7
7
 x
4
7

atau  - , 
4

27
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
7
Jadi Hp2 =  - ,   [- 1,2 )


-1
4
7
2
4
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
7
bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah 
 7
sehingga Hp2 = - 1, 
4

- 1, 4 
28
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
III. Untuk interval
x  2 atau [2,  )
3 x - 2 - x + 1  -2
 3(x - 2) - (x + 1)  -2
 3x - 6 - x - 1  -2
 2 x - 7  -2
 2x  5
5
x
2
atau
5 
 2 ,  
29
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Jadi Hp3 =  5 ,    [2,  )

2

2
5
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah  5 
sehingga
 2 ,  
5 
Hp3 =  ,  
2

30
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Hp = Hp1  Hp2  Hp3
7 5 

Hp = (- ,-1)  - 1,    ,  
4 2 

Untuk lebih mempermudah, masing-masing interval
digambarkan dalam sebuah garis bilangan
31
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
-1
7
4
5
2
5
-1
7
-1
7
4
4
2
5
2
7 5 

Jadi Hp = - ,    ,  
4 2 

32
Soal Latihan
Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
1 x + 2  1- x
4 - 2x
x - 2 x +1

2
2
x
x+3
3 2 - x + 3 - 2x  3
4 x +12 + 2 x + 2  2
5 2x + 3  4x + 5
6 x + 3x  2
33