Sistem bilangan N : bilangan asli Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional N: 1,2,3,…. Z: …,-2,-1,0,1,2,.. Q: a q = , a, b Z , b 0 b R = Q Irasional Contoh Bil Irasional R : bilangan real 2 , 3, 2 Garis bilangan Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut dengan garis bilangan(real) 2 -3 0 1 Selang Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang 3 Selang Jenis-jenis selang Himpunan {x x < a} {x x a} {x a < x < b} {x a x b} {x x > b} {x x b} {x x } selang (- , a ) Grafik (- , a] a (a, b) a [a, b] (b, ) [b, ) (, ) a b a b b b 4 Sifat–sifat bilangan real • Sifat-sifat urutan : ❑Trikotomi Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y ❑Ketransitifan Jika x < y dan y < z maka x < z ❑Perkalian Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz 5 Pertidaksamaan ⚫Pertidaksamaan satu variabel adalah suatu bentuk aljabar dengan satu variabel yang dihubungkan dengan relasi urutan. ⚫Bentuk umum pertidaksamaan : A(x ) D(x ) < B( x ) E ( x ) ⚫dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah suku banyak (polinom) dan B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0 6 Pertidaksamaan ⚫ Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan bilangan real ini disebut juga Himpunan Penyelesaian (HP) ⚫ Cara menentukan HP : 1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi : P( x) <0, Q( x) dengan cara : 7 Pertidaksamaan ❑ Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan ❑ Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk pembilangnya 2. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat 3. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul 8 Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 1 13 2 x - 3 5 13 + 3 2 x 5 + 3 16 2 x 8 8 x4 4 x8 Hp = [4,8] 4 8 9 Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 2 - 2 < 6 - 4x 8 - 8 < -4 x 2 8 > 4 x -2 - 2 4x < 8 1 - x<2 2 1 Hp = - ,2 2 - 12 2 10 Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 3 2 x 2 - 5x - 3 < 0 (2 x + 1)(x - 3) < 0 1 Titik Pemecah (TP) : x = 2 ++ -- - 1 dan x=3 ++ 3 2 1 Hp = - ,3 2 11 Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 4 2 x - 4 6 - 7 x 3x + 6 2x - 4 6 - 7 x 2x + 7 x 6 + 4 9 x 10 10 x 9 10 x 9 dan dan 6 - 7 x 3x + 6 - 7 x - 3x -6 + 6 dan - 10x 0 dan 10x 0 dan x0 12 10 Hp = - , [0, ) 9 0 10 9 Dari gambar tersebut dapat disimpulkan : 10 Hp = 0, 9 13 Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 1 2 < 5. x + 1 3x - 1 1 2 <0 x + 1 3x - 1 (3x - 1) - (2 x + 2) < 0 (x + 1)(3x - 1) x -3 <0 (x + 1)(3x - 1) 1 ,3 TP : -1, 3 -- ++ -1 -1 -- ++ 3 3 1 Hp = (- ,-1) - ,3 3 14 Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 6. x +1 x 2- x 3+ x x +1 x 0 2- x 3+ x (x + 1)(3 + x ) - x(2 - x ) 0 (2 - x )(3 + x ) 2x2 + 2x + 3 0 (2 - x )(x + 3) 15 Untuk pembilang 2x 2 + 2x + 3 mempunyai nilai Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu positif, Jadi TP : 2,-3 Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah. -- ++ -3 Hp = -2 (,-3) (2, ) 16 Pertidaksamaan nilai mutlak ⚫Nilai mutlak x (|x|) didefinisikan sebagai jarak x dari titik pusat pada garis bilangan, sehingga jarak selalu bernilai positif. ⚫Definisi nilai mutlak : x ,x 0 x = - x , x < 0 17 Pertidaksamaan nilai mutlak ⚫ Sifat-sifat nilai mutlak: 1 2 x = x2 4 x y 5 x x = y y x a, a 0 - a x a x -a 3 x a, a 0 x atau a x2 y 2 6. Ketaksamaan segitiga x+ y x + y x- y x - y 18 Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Contoh : 1. 2 x - 5 < 3 Kita bisa menggunakan sifat ke-2. -3 < 2 x - 5 < 3 5 - 3 < 2x < 3 + 5 2 < 2x < 8 1< x < 4 Hp = (1,4) 1 4 19 Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 2. 2x - 5 < 3 Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4, karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif. (2 x - 5) < 9 2 4 x - 20x + 16 < 0 4 x 2 - 20x + 25 < 9 2 2x - 10x + 8 < 0 2 (2 x - 2)(x - 4) < 0 ++ -1 ++ 4 Hp = (1,4 ) TP : 1, 4 20 Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian pake definisi 3. 2 x + 3 4 x + 5 Kita bisa menggunakan sifat 4 (2 x + 3) (4 x + 5) 2 2 4x + 12x + 9 16x + 40x + 25 -12x 2 - 28x -16 0 2 3x + 7 x + 4 0 2 TP : 2 4 , -1 3 21 Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Jika digambar pada garis bilangan : ++ -- -4 3 ++ -1 4 Hp = - , (- ,-1] 3 22 Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 4. x +7 2 2 x +7 2 2 x -5 2 x -10 atau atau atau x + 7 -2 2 x -9 2 x -18 Hp = [- 10, ) (- ,-18] -18 -10 23 Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 5. 3 x - 2 - x + 1 -2 Kita definisikan dahulu : x + 1 x -1 x +1 = - x - 1 x < -1 x - 2 x 2 x-2 = 2 - x x < 2 Jadi kita mempunyai 3 interval : I (- ,-1) II III [- 1,2) -1 [2, ) 2 24 Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian I. Untuk interval x < -1 atau (- ,-1) 3 x - 2 - x + 1 -2 3(2 - x ) - (- x - 1) -2 6 - 3x + x + 1 -2 7 - 2 x -2 -2 x -9 2x 9 9 x 2 atau 9 , 2 25 Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 9 Jadi Hp1 = - , (- ,-1) 2 -1 9 2 Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah (- ,-1) sehingga Hp1 = (- ,-1) 26 Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian II. Untuk interval - 1 x < 2 atau [- 1,2) 3 x - 2 - x + 1 -2 3(2 - x ) - (x + 1) -2 6 - 3x - x - 1 -2 5 - 4 x -2 -4 x -7 4x 7 7 x 4 7 atau - , 4 27 Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 7 Jadi Hp2 = - , [- 1,2 ) -1 4 7 2 4 Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan 7 bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah 7 sehingga Hp2 = - 1, 4 - 1, 4 28 Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian III. Untuk interval x 2 atau [2, ) 3 x - 2 - x + 1 -2 3(x - 2) - (x + 1) -2 3x - 6 - x - 1 -2 2 x - 7 -2 2x 5 5 x 2 atau 5 2 , 29 Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Jadi Hp3 = 5 , [2, ) 2 2 5 2 Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah 5 sehingga 2 , 5 Hp3 = , 2 30 Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Hp = Hp1 Hp2 Hp3 7 5 Hp = (- ,-1) - 1, , 4 2 Untuk lebih mempermudah, masing-masing interval digambarkan dalam sebuah garis bilangan 31 Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian -1 7 4 5 2 5 -1 7 -1 7 4 4 2 5 2 7 5 Jadi Hp = - , , 4 2 32 Soal Latihan Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 1 x + 2 1- x 4 - 2x x - 2 x +1 2 2 x x+3 3 2 - x + 3 - 2x 3 4 x +12 + 2 x + 2 2 5 2x + 3 4x + 5 6 x + 3x 2 33