SAMARQAND QISHLOQ XO’JALIK
INSTITUTI
“Oliy matematika va AT” kafedrasi
dotsenti P.Z.Davronovning
“Sonli qatorlar. Sonli qatorlarning
yaqinlashishi va yaqinlashuvchi
qatorlarning xossalari”
mavzusidagi ochiq maruza darsining
ishlanmasi
1.1. “Sonli qatorlar. Sonli qatorlarning yaqinlashishi va yaqinlashuvchi
qatorlarning xossalari” mavzusi bo’yicha ma’ruza mashg‘ulotining ta’lim
texnologiyasi modeli
Mavzu: Sonli qatorlar. Sonli qatorlarning yaqinlashishi va yaqinlashuvchi
qatorlarning
xossalari
Vaqt-2 soat
Talabalar soni: 25 nafar
O’quv mashg‘uloti shakli
ma’raza
Mashg‘ulot rejasi
1 .Sonli qatorlarhaqida tushuncha berish.
2.Qator yig’indisi va uning yaqinlashuvi.
3.Qator
yaqinlashishining
zaruriy belgisi(sharti).
4. Musbat hadli qatorlar
yaqinlashishining
yetarli belgilari(sharti).
Asosiy tushuncha va atamalar
Cheksiz yig’indi, sonli qator, umumiy
had, garmonik qator, qator yig’indisi,
qismiy yig’indi,
yaqinlashuvchi
qator, uzoqlashuvchi qator, zaruriy belgi,
yetarli belgi, taqqoslash belgisi,
Dalamber belgisi, Koshi belgisi,
integral belgi, ishoralari navbat bilan
almashinuvchi qatorlar, o’zgaruvchan
ishorali qatorlar, Leybnis belgisi,
absolyut va shartli yaqinlashish.
Mashg‘ulotining maqsadi
Qatorlar
haqidagi
bilimlarni
mustahkamlash
va
ularni
chuqurlashtirish..
Pedagogik vazifalar
O‘quv faoliyati natijalari
1.Mavzu
bo’yicha
bilimlarni
1. Sonli qatorlarga misollar keltirishni
tizimlashtirish, mustahkamlash.
bilish.
2.O’quv materiallari bilan ishlash
2.Qator yig’indisi va uning yaqinlashuvini
ko’nikmalarini hosil qilish.
anglashi.
3. Sonli qatorlarga misollar keltirish.
3.Qator
yaqinlashishining
4.Qator yig’indisi va uning yaqinlashuvi belgisi(sharti)ga
zaruriy
oid misollarni
eslatish.
yecha
bilish.
5.Qator
yaqinlashishining
zaruriy 4. Qator yaqinlashishining taqqoslash
belgisi(sharti)ga oid misollar keltirish.
belgisini bilishi.
6. Musbat hadli qatorlar yaqinlashishining 5.Musbat hadli qatorlar yaqinlashishi
yetarli belgilarini tushuntirish.
Dalamber belgisini bilish.
7. Ishoralari almashinuvchi
6.Koshi belgisi bilishi.
yaqinlashishini
tekshirish.
7.Qator
yaqinlashishining
qatorlar
integral
2
8. Absolyut va shartli yaqinlashishni belgisini qator yaqinlashishini
tushuntirish.
tekshirishga
qo'Hay bilish.
8.Ishoralari almashinuvchi qatorlar
yaqinlashishini tekshirish.
9. Absolyut va shartli yaqinlash qatorlar.
Ta’lim usuli va texnikasi
Amaliy mashg‘uloti, tezkor-so‘rov, aqliy
hujum, insert, suhbat, munozara.
Ta’lim shakli
Frontal, jamoaviy.
3
1.2. “Sonli qatorlar. Sonli qatorlarning yaqinlashishi va yaqinlashuvchi
qatorlarning xossalari” mavzusi bo’yicha ma’ruza mashg‘ulotining texnologik
xaritasi
Ta’lim beruvchi
Ish
Ta’lim
bosqichlari
oluvchilar
va vaqti
1-bosqich.
1.1. Mavzuning nomi, maqsadi va o‘quv
Tinglaydilar.
Mavzuga
faoliyati natijalari bilan tanishtiriladi.
yozib oladilar.
kirish
1.2. Talabalar o‘quv faoliyatini baholash
Aniqlashtiradilar,
(10
mezonlari bilan tanishtiriladi(1-ilova).
savollar
daqiqa)
1.3.
Talabalarning darsga tayyorgarlik beradilar.
darajasini aniqlash, bilimlarini faollashtirish
Talabalar
maqsadida tezkor-savollar o’tkaziladi(2-ilova,
berilgan
insert, B/Bx/Bo (Bilaman / Bilishni xoxlayman
savollarga javob
/ Bilib oldim)).
beradilar.
Mavzu mazmunining muhokamasi guruhlarda
davom etishi e’lon qilinadi.
2- Asosiy Mavzu bo’yicha tarqatma material tarqatiladi.
Tinglaydilar;
bosqich.(60- 2.1 Reja va tayanch iboralar orqali mavzuni
Guruhlarda
daqiqa)
o’rganishni taklif qiladi.
ishlaydilar,
2.2.Namoish va sharxash orqali mavzu
mi sol va
bo’yicha asosiy nazariy xolatlar bayon
masalalarni
qilinadi.
daft ar da
Talabalarni jalb qiluvchi savollar beriladi.
echadilar,
Mavzuning har bir qismi bo’yicha xulosalar
savollar
qilinadi, eng asosiylariga etibor qaratiladi.
beradilar.
Asosiylarini daftarga qayd qilishlari eslatiliadi.
Guruh liderlari
2.3.Talabalarni faollashtirish va bilimlarini
topshiriqlar
mustahkamlash maqsadida quydagi savollar
javoblarini
beriladi.
aytadilar.
1. Sonli qator deb nimaga aytiladi?
Liderlar
o’z
2. Qatorning umumiy hadi nima?
gurahlarida
3. Garmonik qator deb qanday qatorga
baholash
aytiladi?
o’tkazadilar.
4. Qatorning qismiy yig’indisi nima?
Tinglaydilar.
5. Qatorning yig’indisi qanday aniqlanadi?
3- bosqich
yakuniy(15
daqiqa)
3.1. Mavzu bo‘yicha talabalarda yuzaga
kelgan savollarga javob beradi, yakunlovchi
xulosa qiladi.
3.2.Mashg’ulotda maqsadga erishishdagi,
talabalar faoliyati tahlil qilinadi va
baholanadi.
3.3. Mustaqil ish uchun topshiriqlar beriladi(6ilova) va uning baholash mezonlari aytiladi.
4
Savol beradilar
tinglaydilar.
Tinglaydilar;
Topshiriqlarni
yozadilar.
1. Sonli qator tushunchasi

a1 + a2 + ... + an + ... =
 аn
(1)
n 1
ifodaga sonli qator deyiladi. Bu yerda a1, a2, ... , an, ... haqiqiy sonlar bo`lib,
qatorning hadlari, an – had qatorning n - hadi yoki umumiy hadi deb ataladi. Har bir
(1) sonli qator uchun
Sn = a1 + a2 + ... + an , n = 1, 2, 3, ...
qismiy yig`indilar Sn qurish mumkin.
Misol. Ushbu

1
1
1
1

 ...
 ...  
1 2 2  3
n (n  1)
n 1 n (n  1)
sonli qator uchun qismiy yig`indilar:
S1 
1
1
 1  ; S 2  1  1  1  1  1  1  1  1 ; ...,
1 2
2
1 2 2  3
2 2 3
3
Sn 
1
1
1
1 1 1
1
1
1

 ... 
 1     ...  
 1
;
1 2 2  3
n(n  1)
2 2 3
n n 1
n 1
bo`ladi.
Agar (1) qatorning qismiy yig`indilari ketma-ketligi chekli limit S ga ega
bo`lsa, bu songa qatorning yig`indisi deb ataladi:
S  lim S n
(2)
n 
Agar (2) chekli limitga ega bo`lsa, qator yaqinlashuvchi, S - uning yig`indisi
deyiladi.
Misol. Yuqorida keltirilgan misol uchun:
lim Sn  lim (1 
n 
n 
1
) 1
n 1
Demak, berilgan sonli qator chekli limitga ega ekan. Qator yaqinlashuvchi.
Agar lim Sn   bo`lsa yoki mavjud bo`lmasa, qator uzoqlashuvchi deb ataladi.
n
5
rn = S - Sn songa qatorning qoldig`i deyiladi. Yaqinlashuvchi sonli qator uchun
lim rn  0 bo`ladi va demak yetarlicha katta n lar uchun S  Sn o`rinli bo`ladi.
n
Misollar:

1) Ushbu geometrik progressiyaning hadlaridan tuzilgan  b1q n 1 (b1  0) sonli qator
n 1
q 1
bo`lsa
yaqinlashuvchi,
yig`indisi
S
b1
1 q
bo`ladi,
q 1
bo`lsa,
uzoqlashuvchidir;
1 1
1
2) 1    ...   ... sonli qator garmonik qator deyiladi va u uzoqlashuvchi
2 3
n
qatordir.
3) Umumlashgan garmonik qator deb,
1
 1
1 1
1


...


...

 p
2 p 3p
np
n 1 n
sonli qatorga aytiladi va bu sonli qator p  1 da uzoqlashuvchi, p > 1
da
yaqinlashuvchidir.
2. Yaqinlashuvchi sonli qatorlarning asosiy xossalari
Yaqinlashuvchi sonli qatorlarning quyidagi asosiy xossalarini keltiramiz:
10. Agar qator yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda istalgan chekli sonlardagi hadlarni
tashlab yuborish yoki unga chekli sondagi hadlarni qo`shish natijasida hosil bo`lgan
qator ham yaqinlashuvchi bo`ladi.
20. Yaqinlashuvchi sonli qatorning har bir hadi, bir xil  soniga ko`paytirilsa, u
holda yig`indi  soniga ko`paytiriladi; ya`ni


n 1
n 1
 (  a n )     a n    S

30. Agar
 a n va
n 1

 bn
qatorlar yaqinlashuvchi bo`lib, yig`indilari mos
n 1

ravishda A va B ga teng bo`lsa, u holda
 (a n  b n )
n 1
yaqinlashuvchi bo`lib, yig`indisi A  B ga teng.
6
sonli yig`indisi ham
40. (Yaqinlashuvchanlikning zaruriy alomati)

Agar
 an
sonli qator yaqinlashuvchi bo`lsa, uning umumiy hadi uchun
n 1
lim an  0 shart bajariladi. Lekin bu alomat yetarli alomat bo`la olmaydi.
n 
an  0 bo`lsa, u holda berilgan sonli qator uzoqla-shuvchi bo`ladi.
Agar lim
n
Misollar.

1) ushbu
2n
 5n  3
sonli qator uzoqlashuvchidir, chunki
n 1
2n
2
 0
n 
5n  3 5
Sn  lim
2) quyidagi

 (1) n1  1  1  1  1  ...  ...
n 1
sonli qator uzoqlashuvchi qator bo`ladi, chunki
lim a n  lim  1
n 1
n 
n 
mavjud emas.
3. Musbat hadli sonli qatorlar yaqinlashishining alomatlari
Musbat hadli sonli qatorlar uchun quyidagi yaqinlashish va
uzoqlashish
alomatlarini keltiramiz.
1) Taqqoslash alomati. Musbat hadli ikkita

a1 + a2 + ... + an + ... =
 an
(3)
n 1

 bn
b1 + b2 + ... + bn + ... =
n 1
sonli qator uchun, biror N nomerdan boshlab an  bn tengsizlik bajarilsa, u holda:
a) (4) qatorning yaqinlashishidan (3) qatorning ham yaqinlashishi;
(3) qatorning uzoqlashishidan (4) qatorning ham uzoqlashishi kelib chiqadi.
7
(4)
an
 k mavjud va 0
n  b n
b) (3) va (4) sonli qatorlarning umumiy hadlari uchun lim
< k < + bo`lsa, u holda (3) va (4) sonli qatorlar bir vaqtda yoki yaqinlashuvchi yoki
uzoqlashuvchi bo`ladi.

7
qatorni yaqinlashishga tekshiring.
n 1 5n
Misol. 

Yechish.
Berilgan
qatorni
uzoqlashuvchi
garmonik
qator
1
n
bilan
n 1
7
7
taqqoslaymiz. Buning uchun k  lim 5n 
va k
n  1
5
n
0; 
ekanligini topamiz.
Bundan berilgan qator uzoqlashuvchiligi kelib chiqadi.
2) Koshi alomati. Agar musbat hadli (3) qator uchun lim
n 
n
an  k
mavjud bo`lsa, bu qator k < 1 bo`lganda yaqinlashadi, k > 1 da esa
uzoqlashadi, k =
1 da qatorning yaqinlashish masalasi ochiq qoladi.

Misol. Ushbu

3n
n 1 n
n
sonli qatorni Koshi alomati yordamida yaqinlashishga
tekshiring.
Yechish. Koshi alomatiga ko`ra,
k  lim
n
n 
Зn
nn
3
0
n  n
 lim
Demak, k < 1 bo`lgani uchun berilgan qator yaqinlashuvchi bo`ladi.
3) Dalamber alomati. Agar musbat hadli (3) qator uchun
a n 1
d
n 
an
lim
mavjud bo`lsa, u holda bu qator: d < 1 da yaqinlashadi, d > 1 da uzoqlashadi va d = 1
da qatorning yaqinlashish masalasi ochiq qoladi.

3n
Misol. Ushbu 
n 1 n
sonli qatorni yaqinlashishga tekshiring.
8
Yechish. Dalamber alomatiga ko`ra,
3n 1
3
(n  1)!
d  lim

lim
 0 1
n
n 
n 
3
n 1
n!
bo`lgani uchun berilgan sonli qator yaqinlashuvchi bo`ladi.
4) Koshining integral alomati. Agar (3) sonli qatorning hadlari musbat va
o`smaydigan bo`lib, x  1 bo`lganda aniqlangan, uzluksiz, musbat va o`smaydigan
funksiya uchun a n  f (n ), n  1, 2, ... tengliklar o`rinli bo`lsa, u holda

 f ( x )dx
1
1- tur xosmas integral yaqinlashsa, berilgan qator ham yaqinlashadi, xosmas integral
uzoqlashsa, sonli qator ham uzoqlashadi.
Umumlashgan garmonik qator ushbu alomat yordamida tekshiriladi.

Misol. Ushbu
Yechish.
chunki f ( x ) 
1

n 11 
n2
sonli qatorni yaqinlashishga tekshiring.
1
1
1


...

 ... sonli qator
1  12 1  2 2
1  n2
1
yaqinlashuvchi bo`ladi,
funksiya x  1 bo`lganda musbat, uzluksiz va o`smaydi hamda
1 x2
uning uchun quyidagi 1- tur xosmas integral


11 x
   

lim
(
arctgb

)  
b 1 1  x 2
b
4 2 4 4
b
dx
2
 lim 
dx
bo`ladi.
4. Sonli qatorlarning absolut va shartli yaqinlashishi
O`zgaruvchi ishorali sonli qator
u1 + u2 + ... + un + ...
9
(5)
berilgan bo`lsin. (5) sonli qator hadlarining absolut qiymatlaridan yangi sonli qator
u1  u 2  ...  u n  ...
(6)
tuzamiz.
Agar (6) qator yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda (5) sonli qator absolut
yaqinlashuvchi qator deyiladi.
Agar (6) qator uzoqlashuvchi bo`lib, (5) qatorning o`zi yaqinlashuvchi bo`lsa, u
holda (5) sonli qator shartli yaqinlashuvchi qator deyiladi. Absolut yaqinlashuvchi sonli
qator hamma vaqt yaqinlashuvchi bo`ladi.
Ushbu
c1 - c2 + c3 - c4 + ... (-1)n-1cn + ...
(7)
sonli qatorga ishoralari almashinuvi qator deb ataladi. Bunday qatorlarni tekshirish
uchun Leybnis teoremasidan foydalaniladi.
Leybnis teoremasi. Agar ishoralari almashinuvchi (7) qatorning hadlari uchun:
1.
c1 > c2 > c3 > ...
2.
lim
cn  0
n 
o`rinli bo`lsa, berilgan sonli qator yaqinlashuvchi bo`ladi va uning yig`indisi
musbat bo`lib, birinchi haddan katta bo`lmaydi.
Ishorasi almashinuvchi qator qoldigi rn  c n 1 tengsizlik bilan baholanadi.
Misol. Ushbu
(1) n 1
1 1
(1) n 1
 n  1  2  3  ...  n  ...
n 1

sonli qatorning yaqinlashuvchanligini tekshiring.
Yechish.
Leybnis
teoremasi
shartlarining
yuqorida
almashinuvchi qator uchun bajarilishini ko`ramiz, ya`ni
1
1 1
1
  ...   .....
2 3
n
10
berilgan
ishorasi
1
0.
n 
n
lim c n  lim
va
n 
Demak, qator yaqinlashuvchi bo`lar ekan. Absolut va shartli yaqin-lashuvchi
qatorlarning xossalari:
1. Absolut yaqinlashuvchi qatorda o`rinlarini almashtirishdan tuzilgan yangi
qator ham yaqinlashuvchi bo`ladi va yig`indisi berilgan qator yig`indisi bilan bir xil
bo`ladi.
2. Shartli yaqinlashuvchi qatorda, b soni ixtiyoriy son bo`lishdan qat`i nazar,
hadlar o`rnini shunday almashtirish mumkinki, natijada olin-gan yangi sonli qator
yig`indisi b ga teng bo`ladi.
3. Shartli yaqinlashuvchi sonli qatorda hadlar o`rnini shunday almashtirish
mumkinki, natijada uzoqlashuvchi yangi qator olinadi.
1-misol. Umumiy xadi an 
1
bulgan kator yigindisini toping.
(2n  1)  (2n  1)
Yechilishi. n ga ketma – ket 1,2,3,… kiymatlar berib , ushbu

1
1
1
1
1


 ... 
 ...  
1 3 3  5 5  7
(2n  1)  (2n  1)
n 1 (2 n  1)  (2 n  1)
katorni hosil kilamiz. Katorning S n xususiy yigindisi
1
1
1
Sn 

 ... 
1 3 3  5
(2n  1)  (2n  1)
ga teng . S n xususiy yigindisini soddarok kurinishga keltirish uchun kator umumiy
xadi
1
ni anikmas koefisiyentlar usuli buyicha sodda kasrlarga ajratamiz:
(2n  1)  (2n  1)
1
A
B


(2n  1)  (2n  1) 2n  1 2n  1
1
1
Yeki, 1=(2A+2B)n +(A-B)  2A+2B =0 1=A-B  A= , B   .
2
2
an 
U xolda
1
1
1


(2n  1)  (2n  1) 2(2n  1) 2(2n  1)
Bu formulani xar bir xadga kullasak:
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
Sn  ( 
)(

)(

)  ...  (

)(

)
2 23
23 25
2 5 2 7
2(2n  3) 2(2n  1)
2(2n 1) 2(2 n  1)
11

1
1

2 2(2n  1)
Kator yigindisi S ni (2) formuladan topamiz:
1
1
1 1
1
1
S  lim Sn  lim( 
)    lim

n 
n  2
n

2(2n  1)
2 2
2n  1 2
Demak, berilgan kator yakinlashuvchi bulib , uning yigindisi
1
ga teng bo’ladi.
2
2 – misol. Koshi kriteriyasidan foydalanib,
1
1 1
1
  ...   ...
2 3
n
garmonik katorning uzoklashuvchi ekanini ko’rsating.
1
4
Yechilishi. Koshi kriteriyasiga asosan E  , N , n  N va p  n lar uchun
1
 E bulishi kerak. Lekin,
4
1
1
1
1 1
S2 n  Sn 

 ... 
 n
 E
n 1 n  2
2n
2n 2
S2 n  Sn 
Bundan esa garmonik katorning uzoklashuvchiligi kelib chikadi .
2 4 6
   ... kator uchun yakinlashishning zaruriy sharti bajariladimi?
3 5 7
2n
Yechilishi. an 
kurinishida bo’ladi . Uxolda
2n  1
2n
2
2
2
lim an  lim
 lim


1 0
n 
n  2n  1
n 
1
1 20
2
2  lim
n
n
3-misol.
Kator yakinlashishining zaruriy sharti bajarilmadi, demak berilgan kator
uzoklashuvchi.
4-misol. Quyidagi katorlarning yakinlashishi yeki uzoklashishini tekshiring:

a)
1
;

n 1
n 1 n  3

1
n 1 2 n  1
1
1
Yechilishi. a) an 
katorning umumiy xadi , вn  n 1 - umumiy xadga
n 1
n 3
3
b) 
ega yakinlashuvchi kator xadidan kichik , ya’ni an  вn va
q


1
n 1
n 1 3
 вn  
n 1
kator esa
1
 1 bulgan geometrik kator sifatida yakinlashuvchi bo’ladi. Demak,
3
takkoslash alomatiga asosan
a) – kator yakinlashuvchidir.
b) Umumiy xadi
an 

bulgan uzoklashuvchi
1
n
1
(2n  1)
bulgan berilgan katorni umumiy xadi
вn 
kator bilan solishtiramiz. Solishtirish alomatiga
n 1
asosan,
12
1
n
1
an
n
1
1
lim  lim 2n  1  lim
 lim
 0
n  в
n 
n  2n  1
n 
1
1 2
n
2
n
n
bulganligi uchun berilgan kator uzoklashuvchi bo’ladi .
5- misol. Dalamber alomatidan foydalanib, ushbu katorning yakinlashishini
tekshiring:
1 2 3
n
 2  3  ...  n  ...
2 2 3
2
Yechilishi. an 
n
,
2n
an 1 
n 1
2 n 1
ifodalarni (8) ga kuyamiz;
n 1
a
2n 1
(n  1)  2n
1 1 1
lim n 1  lim
 lim n 1
 lim(1  )  
n  a
n 
n 
n
2 n
n 2 2
n
n
n 
2
1
Demak, l   1 bulgani uchun , berilgan kator yakinlashuvchi bo’ladi.
2
32 n 1
3 33 35
6-misol. 1  2  5  ...  3n1  ...
2
2 2
2
Katorni Koshi alomati bilan tekshiring.
Yechilishi.
lim n an  lim n
n 
n 
32 n 1
32 n  3
32 n
9
9
9
n

lim

lim
 6   lim n 6  1   1 , demak, kator
3 n 1
3
n

1
3
n 
n  2
2
2 2
8 n
8
8
uzoklashuvchi.
13
14
15
16