АУДИТОРИСКИ ВЕЖБИ
ЕЛЕКТРИЧНИ КОЛА ОД
ПРВ РЕД
1. Познато е дека кондензаторот бил претходно оптоварен и
во моментот t=0 имал напон uC(0)=U0=5V. Во t=0
оптоварениот кондензатор е поврзан во колото прикажано
на сликата, каде R=30Ω. Да се определи напонот на
кондензаторот uC(t) и струите i1, i2 и i3 за време t>0 ако:
a) C = 1μF
б) C = 10μF (приказ само на крајни резултати)
2
Кога се анализираат кола од прв ред со кондензатор, одзив во
колото е напонот на кондензаторот uC(t). Останатите големини се
определуваат со помош на Кирхофовите закони.
Напонот на кондензаторот за време t>0 се определува според
релацијата:
uC (t )  uC ()  [uC (0 )  uC ()]et /
за што е потребно е да се определат следните три големини:
- почетниот напон на кондензаторот uC(0+)= uC(0) во t=0
- напонот на кондензаторот uC(∞) во стационарна состојба
за t∞
- временската константа τ.
3
Почетна вредност за напонот на кондензаторот во t=0:
uC (0 )  uC (0 )  U 0  5V
Претходна стационарна состојба
Крајна вредност за напонот на кондензаторот во t :
uC ()  0V
Крајна стационарна состојба
Кондензаторот во стационарна состојба
е претставен со отворено коло
4
Временска константа τ(s) :
R(2 R) 2
Re 
 R  20
R  2R 3
2
  ReC  RC  2 105 s  20μ s
3
5
Напон на кондензаторот за t>0:
uC (t )  uC ()  [uC (0 )  uC ()]et /
 0  [5  0]e
t /(2105 )
 5e
t /(2105 )
Слободен одзив
V
Струи во гранките со oтпорници за t>0:
uC (t ) 1 t /(2105 )
i1 (t ) 
 e
A
2R
12
uC (t ) 1 t /(2105 )
i2 (t ) 
 e
A
R
6
6
Струја во гранката со кондензаторот за t > 0:


duC
6 d
t /(2105 )
i3 (t )  C
 110
5e
dt
dt
1 
6
t /(2105 ) 
 t /(2105 )
 110  5e
 
 0.25e
A
5 
 2 10 
*точноста на решението може да се
провери со примена на I Кирхофов
закон:
i1  i2  i3  0
7
Графички приказ на резултатите за t>0:
8
2. Во колото прикажано на сликата познато е дека низ
индукторот L во моментот t=0 струјата изнесува
iL(0 )=I0=20A. Да се определат струјата низ индукторот iL(t)
и напонот u(t) на отпорникот R3 за t>0. Да се пресметаат
вредностите на u(t) и iL(t) за t1=τ, t2=2τ, t3=3τ, t4=5τ, t5=10τ и
графички да се исцртаат нивните промени. Колку
изнесуваат вредностите на u(t) и iL(t) кога t→∞, т.е. откако во
колото ќе се воспостави стационарна состојба?
L = 2H
R1 = 5Ω
R2 = 1Ω
R3 = 20Ω
9
Кога се анализираат кола од прв ред со индуктор, одзив во колото
е струјата низ индукторот iL(t). Останатите големини се
определуваат со помош на Кирхофовите закони.
Струјата низ индукторот за време t>0
релацијата:
се определува според
iL (t )  iL ()  [iL (0 )  iL ()]et /
за што е потребно е да се определат следните три големини:
- почетната струја низ индукторот iL(0+)=iL(0) во t=0,
- струјата низ индуктотот iL(∞) во стационарна состојба за t∞
- временската константа τ.
10
Почетнa вредност за струјата низ индукторот во t=0:
iL (0 )  iL (0 )  I 0  20 A
Претходна стационарна состојба
Крајна вредност на струјата низ индуторот во t :
iL ()  0A
Крајна стационарна состојба
Индукторот во стационарна состојба
е претставен со куса врска
11
Временска константа τ(s):
R1R3
5  20
Re 
 R2 
1  5
R1  R3
5  20
L 2

  0.4s
Re 5
12
Cтруја низ индукторот за t>0:
iL (t )  iL ()  [iL (0 )  iL ()]et /
 0  [20  0]et /0.4  20еt /0.4 A
Слободен одзив
Напон u(t) за t>0:
diL
u (t )  u L  u R  R2iL  L
2
dt
d
t /0.4
 1 20е
2
20еt /0.4
dt
1 
t /0.4
t /0.4 
t /0.4
 1 20е
 2  20е



80
e
V


 0.4 


13
Графички приказ на резултатите за t>0:
14
3. Во колото прикажано на сликата, во моментот t=0 се вклучува
струјниот генератор ig(t)=Ig. Да се определи струјата низ
отпорникот iR(t) и струјата низ кондензаторот iC(t) за t>0 при:
а) Ig = 0,5А
б) Ig = 2,5А (да се разгледа за дома)
Колку изнесуваат струите и напонот на кондензаторот во
стационарна состојба кога t→∞?
R = 20Ω,
C = 0.5μF,
uc(0-) = U0 = 0V
15
Кога се анализираат кола од прв ред со кондензатор, одзив во
колото е напонот на кондензаторот. Останатите големини се
определуваат со помош на Кирхофовите закони.
Напонот на кондензаторот за време t>0 се определува според
релацијата:
uC (t )  uC ()  [uC (0 )  uC ()]et /
за што е потребно е да се определат следните три големини:
- почетниот напон на кондензаторот uC(0+)= uC(0) во t=0
- напонот на кондензаторот uC(∞) во стационарна состојба
за t∞
- временската константа τ.
16
Почетна вредност за напонот на кондензаторот во t=0:
uC (0 )  uC (0 )  U 0  0V (кондензаторот не е оптоварен)
Претходна стационарна состојба
Крајна вредност за напонот на кондензаторот во t :
uC ()  RI g  10V
Крајна стационарна состојба
Кондензаторот во стационарна состојба
е претставен со отворено коло
17
Временска константа τ(s) :
Re  R  20
  ReC  RC  10μ s
18
Напон на кондензаторот за t > 0
uC (t )  uC ()  [uC (0)  uC ()]e t /
 10  [0  10]e

 10 1  e
t /(10106 )
t /(10106 )
Форсиран одзив
V
19
Струја во гранката со кондензаторот за t > 0


duC
6 d 
 t /(10106 ) 
iC (t )  C
 0.5 10 
10 1  e

dt
dt 
d t /(10106 ) 
6  d
 0.5 10   10  
e

dt
dt




 t /(10106 ) 
1

 0.5 10   e

6  
10

10



6
 0, 05e
 t /(10106 )
A
20
Струја во гранката со отпорникот за t>0

t /(10106 )
uc 10 1  e
iR (t ) 

R
20
  0,5 1  e

t /(10106 )
A
21
Напон и струи во гранките во стационарна состојба за t
uC ()  RiR ()  RI g  10V
iC ()  0A
iR ()  I g  0.5A
22
4. Kондензатор со капацитивност C во моментот t=0- e
оптоварен со количество електрицитет Q0. Во t=0
кондензаторот се поврзува сериски со идеален напонски
извор и отпорник. Да се определат напонот на кондензаторот
uc(t) и струјата во колото i(t) за време t>0.
C = 2μF
Q0 = 30μC
E = 5V
R = 20Ω
23
Напонот на кондензаторот за време t>0 се определува според
релацијата:
uc (t )  uc ()  [uc (0 )  uc ()]et /
Почетна вредност на напонот на кондензаторот во t=0:
Од почетното оптоварување на конднезаторот Q0 се определува
почетниот напон на кондензаторот:
Q0 30 106
uc (0 )  uc (0 ) 

 15V
6
C
2 10


Претходна стационарна состојба
Крајни вредности во t:
uC ()  E  5V
Крајна стационарна состојба
24
Временска константа τ(s) :
  ReC  RC  4 105 s  40 s
25
Напон на кондензаторот за t>0:
Компетен одзив
uc (t )  uc ()  [uc (0 )  uc ()]e t /
 5  15  5  е
 5  10е
t /(4105 )
t /(4105 )
Струja во колото за t>0:


duc
6 d
t /(4105 )
i (t )  C
 2 10 
5  10е
dt
dt
1 
6
t /(4105 ) 
t /(4105 )
 2 10 10е
 
 0.5  е
A
5 
 4 10 
26
5. Во колотo на сликата прекинувачот бил долго време
отворен. Прекинувачот се затвора во моментот t=0. Да се
определат струјата iL(t) и напонот uL(t) на индукторот за
t>0.
ig(t) = Ig = 6 A
R1 = 2Ω
R2 = 4Ω
L = 3H
27
Струјата низ индукторот за t>0 се определува според релацијата:
iL (t )  iL ()  [iL (0 )  iL ()]et /
Почетна вредност на iL во t=0+ :
Во претходната стационарна состојба за t<0, (отворен прекинувач)
почетната струја низ индукторот е нула.
iL (0 )  0 А
iL (0 )  iL (0 )  0 А
Претходна стационарна состојба
28
Крајна вредност на струјата низ индукторот iL во t :
R1
iL ()  I g
 2A
R1  R2
(правило на струен делител)
Крајна стационарна состојба
Временска константа τ(s) :
(се определува за состојбата на колото кога t>0)
L
L
 
 0.5s
Re R1  R2
29
Струја низ индукторот за t > 0:
iL (t )  iL ()  [iL (0 )  iL ()]e t /

Форсиран одзив

 2  [0  2]et /0.5  2 1  et /0.5 A
Напон на индукторот uL(t) за t > 0:


diL
d 
uL (t )  L
3
2 1  e t /0.5 

dt
dt 
1 
t /0.5 
 3  2e
 

0.5


 12et /0.5 V
30
6. Во колотo на сликата прекинувачот бил долго време во
положба 1. Во моментот t=0 прекинувачот се префра во
положба 2. Да се определат струјата низ индукторот iL(t) и
напонот uAB(t) за t>0.
R1 = 1Ω
R2 = 3Ω
L = 1/4 H
E1 = 12 V
E2 = 24 V
31
Струјата низ индукторот за t>0 се определува според релацијата:
iL (t )  iL ()  [iL (0 )  iL ()]et /
Почетна вредност за iL во t = 0 :
Се определува струјата низ индукторот во претходната стационарната
состојба за t=0, (Преклопка во положба 1).
E1
iL (0 )  iL (0 ) 
 3A
R1  R2


Претходна стационарна состојба
32
Крајна вредност за iL во t :
(Преклопка во положба 2)
E2
iL ()  
 6 A
R1  R2
Крајна стационарна состојба
Временска константа τ(s) :
(се определува за состојбата на колото кога t>0)
Re  R1  R2  4 
L
1
  s
Re 16
33
Струја низ индукторот за t > 0:
iL (t )  iL ()  [iL (0 )  iL ()]et /
Форсиран одзив
 6   3  6  e16t
 6  9e16t А
Напон меѓу А и B за t > 0:
diL
u AB (t )  L
 R2iL
dt
1
 16  9  e16t  3 6  9e16t
4
 18  9e16t V

 

34
7. Да се определи напонот на паралелната врска на кондензатори uC(t) и
струјата низ изворот i(t) за t>0 ако во моментот t=0 е познато дека:
а) кондензаторите не се оптоварени, Q10=Q20=0C,
б) паралелно поврзаните кондензатори биле претходно приклучени на
напонски извор така штo истите се оптоварени со вкупно количество на
електрицитет Q0=200μC.
Да се определат изразите за електричниот полнеж на двата кондензатори
q1(t) и q2(t) во функција од времето. Колку ќе изнесуваат оптоварувањата на
кондензаторите Q1 и Q2 во стационарен режим за t→∞ во двата случаи?
E = 100 V
R1 = 3kΩ
R2 = 6kΩ
C1 = 2μF
C2 = 8μF
35
а) Kондензаторите не се отповарени: Q10=Q20=0C
Електричното коло може да се поедностави со еквивалентирање
на паралалните врски на отпорници и кондензатори:
R1R2
Re 
 2k
R1  R2
Ce  C1  C2  10μ F
Напонот на паралелната врска на кондензаторите за t>0 се
определува според релацијата:
uc (t )  uc ()  [uc (0 )  uc ()]et /
36
Почетна вредност за uC во t = 0 :
Од почетниот услов за оптовареноста на кондензаторите
Q10=Q20=0C следи:
Претходна стационарна состојба
Q10 Q20
uc (0 ) 

 0V
C1 C2


uc (0 )  uc (0 )  0V
Крајнa вредност за uC во t   :
uC ()  E  100 V
Крајна стационарна состојба
Временска константа τ(s) :
(се определува за t>0)
  ReCe  0.02s
37
Напонот uc(t) за t>0 се определува според релацијата:
uc (t )  uc ()  [uc (0)  uc ()]et /  100   0  100  е50t


uc (t )  100 1  е50t V
Комплетен одзив = преоден+стационарен
Струјата i(t) која што тече во колото е истовремено и струја низ
приклучоците на еквивалентниот кондензатор. Изразот за
струјата за t>0 се определува според релацијата:
 
duc
6 d
i (t )  Ce
 10 10
100 1  е50t
dt
dt



i (t )  10 106 100  50  е50t  50 103 е50t A
i (t )  50е50t m A
(комплетен одзив = преоден+ стационарен (I=0))
38
За t > 0 оптоварувањето на кондензаторите се опредeлува според:


q (t )  C u (t )  800 1  е
μ C
q1 (t )  C1uc (t )  200 1  е50t μ C
50t
2
2 c
Оптоварувањето на кондензаторите во стационарен режим t→∞ е
еднaкво на:
Q1  C1uc ()  2 106 100  200μ C
Q2  C2uc ()  8 106 100  800μ C
39
б) Kондензаторите биле претходно оптоварени, вкупно Q0=200μC
Почетнa вредност за uC во t=0 :
Вкупното оптоварување на двата кондензатори (еквивалентирани со Ce) во
t=0 изнесува Q0=200μC, така што следи:
6
Претходна стационарна состојба
Q0 200 10
uC (0 )  uC (0 ) 

 20 V
6
Ce 10 10


Крајнa вредност за uC во t :
uC ()  E  100 V
Крајна стационарна состојба
Временска константа τ(s) :
(се определува за t>0)
  ReCe  0.02s
40
За временскиот облик на напонот се добива:
uc (t )  100   20  100  е50t  100  80е50t V
Оптоварувањето на кондензаторите се определува според:
q1 (t )  C1uc (t )  200  160е50t μC
q2 (t )  C2uc (t )  800  640е50t μC
Отповарувањето на кондензаторите во крајната стационарна
состојба под б) е исто со решението добиено под а) затоа што во
t→∞ (крајна стационарна состојба) останува само стационарниот
одзив кој е еднаков во двата случаи.
Q1  C1uc ()  200μ C
Q2  C2uc ()  800μ C
41
8. На сликата е претставено електрично коло кое е едноставен модел на
транзистор. Во моментот t=0 меѓу пристапите А и B се приклучува гранка со
отпорник Rp.
а) Да се определи отпорноста на отпорникот Rp приклучен на краевите меѓу
пристапите А и B за t→∞, така што на него ќе се развива максимална моќност.
Колку изнесува моќноста што се развива на Rp во тој случај?
б) Да се определи напонот на кондензаторот како функција од времето uc(t),
за t>0.
E = 8V
R1 = 3kΩ
R2 = 1kΩ
R3 = 10kΩ
R4 = 40kΩ
C = 1μF
42
43
а) Kолото се анализира во стационарна состојба (t→∞) при
затворен прекинувач, кога кондензаторот еквивалентно се
претставува со отворено коло. Се применува Тевененовата теорема.
Максималната моќност на Rp се развива кога е исполнет условот:
R p  RT
и изнесува
Pmax
ET2

4 RT
Прекинувач затворен
ЕТ

Стационарна состојба
45
Определување на ЕТ: Се бара напонот меѓу отворените точки А и B.
ET  U AB O.K .
Стационарна состојба
Коло I:
U 0  R2 I1
U 0  R2
E
 2V
R1  R2
Коло II:
120U0  R3 I 2  R4 I 2  0
I2 
120U 0
R3  R4
ET  R4 I 2  R4
120U 0
 192V
R3  R4
46
Определување на RТ: Се исклучуваат сите независни извори во колото.
Меѓу точките А и B се приклучува струен извор со струја Ix=1A.
Внатрешната отпорност на Тевененовиот генератор се определува
според релацијата:
Стационарна состојба
U AB
RT 
Ix
Коло I:
I3  0A
U0  R2 I3  0V
47
Коло II: Метод на НПЈ nj = 2, n’ = 1
 1
120U 0
1 1

 U10  I x 

R

0
R

R3
4
 3
; U 0  R2 I3  0
1 1 
3

U

1

10

 10
 10 40 
U AB  U10  8000V = 8 kV
Стационарна состојба
48
Коло II: II начин на решавање
U0  R2 I3  0  зависниот генератор е 120U0  0
U AB
R3 R4

I x  8 kV
R3  R4
Стационарна состојба
49
Внатрешната отпорност на Тевененовиот генератор и вредноста на
максималната моќност која што се развива на него во стационарна
состојба (t) се определуваат според:
RT 
U AB 8000

 8000  8k
Ix
1
Решението кое што се бараше е:
ЕТ
Rp  RT  8k
192 

ET2


 1,152W
4 RT 4  8000
2
Pmax
50
б) Напонот на кондензаторот во t > 0, е еднаков на:
uc (t )  uc ()  [uc (0 )  uc ()]et /
Комплетен одзив =
преоден+стационарен
Почетнa вредност за uc во t = 0: За t<0 прекинувачот е отворен.
Во однос на кондензаторот C, колото може да се еквивалентира со
Тевененовиот генератор (определен под а).
Од тука следи:


uc (0 )  uc (0 )  ЕТ  192V
Претходна стационарна состојба
(при отворен прекинувач)
А

ЕT
uc(0)
В
51
Крајнa стационарна вредност за uc во t   :
ЕТ
uc () 
R p  96V
R p  RT
ЕT
Крајна стационарна состојба при
затворен прекинувач
Временска константа τ(s) :
Еквивалентно коло во крајна стационарна
состојба при затворен прекинувач
Req 
R p RT
R p  RT
=
RT
2
RT
 =ReqC 
C = 4 ms
2
Req
Ее 
ЕТ R p
R p  RT
C
52
Добиените вредности се заменуваат во општиот израз за напонот на
кондензаторот за t>0 (затворен перкинувач) и се добива бараното
решение:
uc (t )  uc ()  [uc (0 )  uc ()]et /
 96  [192  96]e

 96 1  e
t /(4103 )
t /(4103 )
V
Комплетен одзив =
преоден+стационарен
Прекинувач затворен
53