2021학년도 이공계열 BASE 프로그램 교재 기 초 수 학 영남대학교 기초교육대학 목 차 3장 함수 1 4장 여러 가지 함수 4 5장 삼각함수 6 6장 해석적 삼각함수와 삼각법의 응용 12 7장 지수함수와 로그함수 17 10장 수학적 귀납법, 수열 21 11장 극한과 연속 24 12장 미분 27 <<3장 함수>> 1. 다음 함수의 정의역을 구하여라. (1) (2) (3) (풀이) (1) 정의역은 |x|≠0 인 모든 실수가 여기에 해당되므로 ≠ 인 모든 실수 이다. (2) ≥ 인 실수에 해당되는 데 주어진 이차방정식 판별식이 0보다 작으므로, 모든 실수 에 대하여 >0이므로 는 모든 실수 이다. (3) ≥ ≤ ≤ ∴ 2. 함수 가 우함수인지, 기함수인지를 판별하여라. (풀이) ∴ 우함수 3. 일 때, ∘ 를 구하고, 합성함수의 정의역과 치역을 구하 여라. (풀이) ∘ 정의역 : ≥ 인 모든 실수 치역: ≤ 4. 함수 에 대하여 합성함수 ∘ 와 ∘ 를 각각 구 하여라. (풀이) ∘ ∘ - 1 - 5. 일 때, (1) ∘ 를 구하여라. (2) (1)에서 구한 ∘ 의 정의역은 무엇인지 구하여라. (풀이) (1) ∘ ⅰ) ≥ and ≥ and ∴ (2) ⅱ) ≤ and ≤ and ∴ ≤ ∴ or ≤ 6. 함수 ≤ 의 역함수 를 구하여라. (풀이) 의 정의역 ≥ , 의 치역 ≥ . ⇒ ± ∴ ≥ 7. 의 역함수 을 구하고 그 정의역을 구하여라. (풀이) ≠ . 8. 다음의 정의역에서 제한된 함수의 역함수를 구하여라. ≤ (풀이) ± ∵ ≤ ∴ ≥ - 2 - 9. 이차함수 의 정의역이 모든 실수 범위에서 이 함수의 역함수가 존재 하면 역함수를 구하고 존재하지 않으면 정의역의 범위를 적절히 축소하여 역함수를 구하여 라. (풀 이 ) 일 대 일함 수 가 아니 므 로 정 의 역과 치 역 이 실수 전 체 이면 역 함수 가 존 재하 지 않 는다 . 이 므로 정의 역 을 로 치 역을 ≥ 으 로 축소 하 면 일 대 일 함 수 가 되 어 역함 수 가 존 재 한다 . 역 함수 는 10. 함수 와 그 역함수 의 그래프의 교점의 좌표가 일 때, 상수 의 합 의 값은? (풀이) 원래 함수와 역함수의 그래프는 에 대하여 대칭이므로 그래프를 그려보면 두 함수 의 그래프의 교점은 의 그래프와 직선 의 교점과 같다. 의 양변을 제곱하면, ∴ ∵ 따라서 교점의 좌표가 이므로 ∴ 11. 함수 에 대하여 역함수 와 를 각각 구하여라. (풀이) ⇒ ⇒ ∴ - 3 - <<4장 여러 가지 함수>> 1. 직선 과 수직이면서 을 지나는 직선의 방정식을 구하여라. (풀이) 수직인 직선은 2. 의 꼭지점의 좌표를 구하여라. (풀이) ∴ 3. 다음 함수의 모든 점근선을 구하여라. (1) (2) (풀이) (1) , 사선 점근선 : , 수직 점근선 : (2) 4. , 수평점근선 : , 수직점근선 : 의 점근선을 모두 구하여라. (풀이) 이므로, ∴ 수직점근선: 사선점근선: 5. 의 모든 점근선을 구하여라. (풀이) 수직점근선 , 수평점근선 - 4 - 6 유리함수 에 대하여 1) 점근선을 무두 구하고 (풀이) 1) 2) 2) 그래프의 개형을 그려라. 수직점근선 : 수평점근선 : → → → → 7. 함수 의 1)모든 점근선을 구하고 2)그래프를 그려라. (풀이) 1) 수직점근선 , 사선점근선 2) - 5 - <<5장 삼각함수>> 1. 중심각의 크기가 이고 넓이가 인 부채꼴의 반지름의 길이를 구하여라. (풀이) 부채꼴의 넓이를 라 하고 반지름을 , 중심각의 크기를 라 하자. 따라서 부채꼴의 넓이의 공식에 의해, 이므로 이고 인 조건에 의해 ⋅ 이고 이다. 한편 반지름은 이므로 구하는 반지름은 이다. 2. sin tan 일 때, cos 의 값을 구하여라. (풀이) cos sin , 는 상한각 이므로 cos . ∴ cos cos 3. (1) sin 이고, ≤ ≤ 일 때, cot 의 값을 구하여라. (2) tan 이고, cos 일 때, sec - 6 - 의 값을 구하여라. (풀이) (1) cos 이고 sin sin 는 사분면이므로 cos (2) sec cos 4. 직교좌표 상의 원점을 꼭지점으로 하고 기준선을 직교좌표 상의 양의 축과 일치한다고 가정한다. 이 때, 기준선에서 동경 상의 직교좌표 점 의 편각을 라 할 때, cos 와 tan 를 계산하여라. (풀이) 삼각비에 의해, cos , tan 이다. 5. 직교좌표 상의 원점을 꼭지점으로 하고 기준선을 직교좌표 상의 양의 축과 일치한다고 가정한다. 이 때, 기준선에서 동경 상의 직교좌표 점 의 편각을 라 할 때, sec 와 cot 를 계산하여라. (풀이). sec 이고 cot 이므로 cos , tan 이다. 따라서 삼 cos tan 각비에 의해, sec 이고 cot 이다. - 7 - 6. 점 에 대한 편각을 라고 할 때, 다음을 구하여라. sec tan tan 이므로 (풀이) cos ∴ sec tan 7. tan cos 일 때, sin 와 cos 를 구하여라. (풀이) tan cos 을 만족하는 직교좌표 상의 점 를 동경 상의 점으로 하는 편각 를 생각할 때, 직교좌표 제 3사분면을 지나는 동경과 기준선으로부터 양의 방향으로 표현된 양의 편각을 생각한다. 간단히 를 직교좌표와의 관계에 의해 간단히 표현하면 직각 삼각형이 삼각비에 의해, sin 이고 cos 이다. 8. sec , tan 일 때, sin cos tan 값을 구하여라. (풀이) 탄젠트와 코사인이 음수이므로 2사분면의 각이다. 그러므로 cos sin tan 9. 다음 두 식에서 를 소거하여 에 관한 식으로 나타내어라. tan cot sin cos (풀이) sincos → sincos tan cot sincos ∴ 10. tan cos sin 일 때 의 값을 구하여라. sin (풀이) tan sin 이므로 주어진 는 2사분면의 각이다. 그러므로 sin cos cos 이므로 sin - 8 - 11. 함수 sin (-4≤≤4)에 대해 다음을 구하여라. (1) 함수의 그래프는? (2) 주어진 함수 그래프를 cos 함수의 평행이동 형태로 바꾸면 어떻게 될 것인가? (풀이) (1) sin 으로 sin 의 그래프를 축 대칭이동한 후, 축의 양 의 방향으로 2만큼 평행이동한 그래프이다. 또한 최대값 :3, 최솟값 : -3, 주기는 4 인 그 래프이다. (2) 함수의 그래프는 주기가 4인 sin 그래프의 파동 모양을 이루므로, 그래프와 같다고 할 수 있다. 12. sin 의 그래프에서 라 할 때, 의 대소관계를 결정하여라. (풀이) 함수 sin 는 주기가 이므로 sin sin sin sin ∴ - 9 - cos 의 13. 함수 sin 의 그래프의 진폭과 주기를 구하고, 구간 에서 그래프를 그려 라. (풀이) 함수 sin 의 그래프는 진폭이 이고 주기가 이다. 따라서 주어진 함수의 그래프의 진폭=3, 주기= 이다. 구간 에서 그래프는 다음과 같다. 14. tan cos 의 값을 구하라. (풀이) cos 이라 하자. cos ⇔ cos ≤≤ 이다. 한편 cos 이므로 ≤ ≤ 이다. 따라서 삼각비에 의해, tan 이다. 그러므로 가정에 의해 tan cos 이다. - 10 - 15. cos sin 의 값을 구하여라. (풀이) sin 이라 하자. sin sin ⇔ ≤ ≤ 이다. 한편 sin 이므로 ≤ ≤ 이다. 따라서 삼각비에 의해, cos 이다. 그러므로 가정에 의해 cos sin 16. sec sin 을 구하여라. (풀이) sin . ⇒ sin ⇒ sec cos 17. tan sin ≤ ≤ 를 구하여라. (풀이) sin ≤ ≤ ⇒ sin ≤ ≤ ⇒ tan sin tan - 11 - <<6장 해석적 삼각함수와 삼각법의 응용>> 일 때, sin 를 구하여라. 1.sin , cos (풀이) cos sin 이므로 sin cos cos sin 2. tan cos 일 때, cos 를 구하여라. (풀이) sin cos sin 이므로 cos cos sin sin 3. cos sin cos 의 값을 구하여라. (풀이) sin ⇒ sin ⇒ ⇒ cos cos ⇒ cos ≤ ≤ ⇒ sin ∴ cos cos cos sin sin ∙ ∙ 4. sin cos sin 의 값을 구하여라 (풀이) cos sin 라고 두면, 삼각함수의 덧셈정리에 의해서 준식은 sin cos cossin - 12 - 5. (1) sin 일 때, sin cos tan 를 구하여라. (2) cos 일 때, sin cos tan 를 구하여라. (풀이) (1) sin cos tan (2) sin cos tan 6. ≤ ≤ 인 에 대하여 tan tan 일 때, 의 값을 구하여라. (풀이) tan tan 에서 tan tan tan tan 이므로 tan tan tan tan 이다. tan tan ∴ tan tan tan ≤ ≤ 인 이므로 이므로 ∴ 7. sin cos 일 때, cot 의 값을 구하여라. (풀이) 양변을 제곱하면 ; sin cos 이다. sin cos → sin 이므로 cot cosec sin 8. tan sin sin tan 값을 구하여라. (풀이) sin , sin , tan , tan , tan , sin . ∴ - 13 - 9. sin , 일 때, tan 의 값을 구하여라. (풀이) 이므로 tan . tan cos cos 10. tan 일때 sin 와 cos의 값을 구하여라. (풀이) ⇒ sin cos sin sin cos cos 11. cos ≺ ≺ 일 때, tan 를 구하여라. cos cos (풀이) cos sin 이므로 cos값은 음수 sin 값은 양수가 되므로, 계산을 해보면 이다. tan 12. cos ≤ ≤ 를 풀어라. (풀이) 삼각함수의 합성에 의해서 cos sin ( ) 이므로 sin ≤ 따라서 or 즉, ∴ or - 14 - 13. ≤ ≤ 에서 방정식 cos cos sin의 모든 근의 합을 구하여라. (풀이) cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin or cos sin sin sin or or 구하는 답은 14. ∆ 에서 cos 인 관계가 성립할 때, cos 의 값을 구하여라. (단, ) (풀이) cos 이므로, 코사인 2법칙으로부터, cos cos = cos = cos = 정리하면, cos 15. 밑변 이고 그 넓이가 72인 예각삼각형 가 있다. 이 때 cot cot 의 값을 구하여라. (풀이) 꼭짓점 에서 변 에 수선을 내려서 변 와의 교점을 라 하자. 라 두면, 면적이 72이므로 ⋅⋅ → cot cot - 15 - 16. 세변의 길이가 인 삼각형의 면적을 구하여라. (풀이) 17. 직교좌표가 인 점 의 극좌표를 구하여라 (풀이) 18. 극좌표 함수 cos 를 직교좌표 함수로 변환하고 그래프를 그려라. (풀이) cos → cos → → 따라서, 그래프는 중심이 이고 반지름이 2인 원이다. 19. tan sec 를 직교좌표 방정식으로 고쳐라. (풀이) cos sin 20. 극좌표 방정식 을 직교좌표 방정식으로 변환하여라. sin (풀이) sin ⇒ sin ⇒ ± ∴ . 21. 다음 극좌표 방정식을 직교좌표 방정식으로 변환하여라. cos sin (풀이) cos 22. 직교좌표방정식을 극좌표방정식으로, 극좌표방정식을 직교좌표 방정식으로 고쳐라. (1) (2) sin cos (풀이) (1) (2) 양변에다가 을 곱하고, → → 로 직교 좌표 방정식으로 변환하면, , - 16 - <<7장 지수함수와 로그함수>> 1. 일 때, 을 에 관한 식으로 나타내어라. (풀이) 2. 일 때, 을 구하여라. (풀이) 두 식을 곱 하면 3. 함수 의 그래프를 수평이동으로 만큼, 수직이동으로 만큼 이동시켰더니 함수 ∙ 의 그래프와 겹쳤다. 이 때, 의 값을 구하여라. (풀이) ∙ ∙ 이므로 의 그래프를 수평이동으로 만큼 수직이동으로 만큼 평행이동한 것이다. ∴ ∴ 4. 함수 라 할 때, 의 점근선을 구하여라. (풀이). 는 수평점근선 을 가진다. 왜냐하면 가 무한히 ∞ 로 가까이 갈 때, 는 무한히 함수 에 가까워진다. 5. 함수 ∙ 의 정의역이 ≤ ≤ 일 때, 의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라고 하자. 이때 M-m의 값은? 따라서 일 때 는 최대이고, 최댓값 M은 일 때 는 최소이고, 최솟값 m은 ∴ M-m = 10-4 = 6 - 17 - ∙ (풀이) ∙ ∙ ∙ ∙ 이므로 는 감소함수이다. 6. 다음 방정식을 풀어라. (풀이) 이다. 라 놓으면, 이다. 구하는 방정식은 이다. 근의 공식에 의해 이므로 ± ± ± 이다. 따라서 ± 이다. 7. ≤ ≤ 의 범위에서 다음 식을 만족하는 의 값을 구하여라. sin sin sin (풀이) 로 두면 sin sin → → sin or sin ∴ sin or sin → 8. 구간 에서 방정식 sin sin 을 풀어라. (풀이) sin sin ⇒ sin sin ⇒ sin ∈ 이므로 ∴ - 18 - 9. 일 때, log log log 을 구하여라. (풀이) log log log 10. log 2 = a , log 3 = b 일때, log 를 a, b로 나타내어라. (풀이) log log = log log log log log log log log log log 따라서 log 11. 함수 log 의 정의역을 구하여라. (풀이) 의 정의역 이고 ≠ 이고 ≠ 12. 다음 함수의 정의역을 구하여라. (풀이) ln ln 에서 ln ≥ 이 되어야 함 의 범위에서는 ln 이므로 ≥ 이다. ≥ ≥ ∴ ≥ or ≤ 13. log ( )의 정의역에 속하는 모든 정수 를 구하여라. (풀이) (1) ≠ >-1 (2) 진수조건 >0 (+2)(-5)<0 -2<<5 ∴정수 는 1,2,3,4 - 19 - 14. 다음 방정식을 풀어라. (1) ln (2) log log (풀이) (1) ln ∵ log (2) log ∴ or 진수조건 and 즉 or ∴ 15. 로그방정식 ln 의 해를 구하여라. (풀이) 로그함수의 정의에 의해, 을 만족하는 범위를 조건으로 한다. 한편, 로그의 성질에 의해, 양변에 자연로그를 취하면 ln ln 이다. ln 이라 두면 이다. 따라서 또는 ⇔ ⇔ ln 또는 ln 또는 전제조건에서 이므로 구하는 해는 16. 함수 또는 . ≥ 에 대하여 역함수 를 구하고 의 정의역을 구하라. ln (풀이) 정의역 ≥ ⇒ ≥ 이다. - 20 - <<10장 수학적 귀납법, 수열>> 1. 의 전개식에서 의 계수를 구하여라. (풀이) 일반항을 구하면 이므로 계수에 영향을 미치는 항들만 계산 이므로 계수는 이다. 2. 의 전개식에서 의 계수를 구하여라. (풀이) 일반항을 구하면 따라서 계수는 이므로 이다. 이다. 3. 의 전개식에서 의 계수를 구하여라. (풀이) 이항정리 · 을 사용하면, 에서, 의 계수는 · 이고, 의 계수는 · 이다. ⇒ 의 전개에서 항과 의 항과 곱하면 × , 의 전개에서 항과 의 항과 곱하면 × ∴ 이므로, 의 계수는 11이다. 4. ⌜전날 수족관에 들어있는 물의 을 버리고 5 의 물을 새로 보충한다.⌟ 이와 같은 방법으로 매일 물을 보충 할 때, 번째 날의 수족관 물의 양 과 번째 날의 수족관 물의 양 과의 반복공식(점화관계)를 나타내어라. (풀이) ∴ - 21 - 5. , 인 등차수열을 구하여라. (풀이) ∴ × ∴ ∴ × 6. 다음 등차수열의 처음 항의 합을 구하라. ⋯ (풀이) 첫째항이 이고 공차가 인 등차수열의 합 을 구하면 · · 7. 첫째항부터 제 5항까지의 합은 20, 제 6항부터 제 10 항까지의 합이 30인 등차수열이 있다. 첫째항의 , 공차를 라 할 때 의 값을 구하여라. (풀이) ⋯① ⇒ 이고 이므로 ①식과 ②식을 연립하면 ⇒ , ⋯② ∴ 8. 첫째항이 14이고 공차가 -3인 등차수열 이 있다. 이 등차수열의 합의 최대값을 구하여라. (풀이) · ⇒ ⋯ 따라서 제 6항부터 음수값이 나오므로, 첫째항부터 제 5항까지의 합이 최대값이다. · · . - 22 - 9. 첫째항부터 5항까지의 합은 2이고, 첫째항부터 10항까지의 합이 8인 등비수열에서 11항 부터 15항까지의 합을 구하여라. (풀이) 10. 수열 은 첫째항이 이고 공비가 인 등비수열일 때, 수열 · 의 처음 10항의 합을 구하여라. (풀이) 이므로 ⇒ ∴ · ∙ ∙ · ∙ 처음 10항의 합 11. 첫째항이 1이고 공비가 2인 등비수열에서, 처음으로 1000보다 크게 되는 항을 구하여라. (풀이) · log ⋯ log ⋯ 12. 다음의 합을 구하여라. (풀이) ∴ 항 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ - 23 - <<11장 극한과 연속>> 1. 다음 집합의 상한과 하한을 구하여라. (1) 은 자연수 (2) … (풀이) (1) 이 홀수 일 때 : … 이 짝수 일 때 : ,... 이므로 상한은 2 하한은 이다. (2) 감소수열이면서 극한 값이 -2이므로 상한은 -1 이고 하한은 -2이다. 2. 다음 극한값을 구하여라. (1) ∞ (2) … lim → ∞ … lim (풀이) (1) lim = lim → ∞ → ∞ → ∞ ∞ (2) = lim → ∞ lim ⋯ → ∞ - 24 - ∞ 3. 등비수열 에 대하여 , ∞ 일 때, 첫째항 와 공비 을 각각 구 하여라. 에서 (풀이) ∞ ∞ , ⇒ , ⇒ ∵ , ∴ 4. 기하급수 ⋯ 이 수렴하도록 하는 모든 정수 들의 합을 구하여라. (풀이) 첫째항이 이고 공비가 인 등비수열의 무한합이므로, 주어진 기하급수가 수렴하기 위해서는 또는 ⇒ 또는 ⇒ 또는 ⇒ 정수 는 이다. 5. sin ≥ ∴ 일 때, 극한값 lim 을 계산하고, → 존재하지 않으면 그 이유를 설명하여라. (풀이) 좌극한은 lim lim sin , → 우극한은 → lim lim . → → 좌극한과 우극한이 다르기 때문에 주어진 극한값은 존재하지 않는다. ∴ 6. 다음 극한을 계산하고, 존재하지 않으면 그 이유를 설명하여라. (풀이) cos 에 대해 lim ≥ → lim cos → lim → 좌극한값과 우극한값이 서로 다르기 때문에 x=0에 대해서 극한값이 존재하지 않는다. - 25 - 7. tan 이 적어도 하나의 실근을 가짐을 보여라. (풀이) tan 이고, 모든 실수에서 연속이므로 중간값 정리에 의해서 인 가 에 존재 8. 방정식 은 0 과 1 사이에 실근이 존재함을 보여라. (풀이) 라 두면, 는 실수 전체에서 연속이므로 폐구간 에서도 연속이다. , 이므로 중간값 정리에 의해 이 되는 상수 가 구간 안에 적어도 하나 존재한다. 즉, 은 0 과 1 사이에 적어도 하나의 실근을 가진다. - 26 - <<12장 미분>> sin 1. 함수 ≠ 에 대하여 ′ 를 구하여라. (Hint : 미분계수의 정의를 이용하여라.) ′ (풀이) lim → sin lim → lim sin → 2. 다음 함수의 지정된 점에서 미분계수와 접선의 방정식을 구하여라. , (2,1) (풀이) 함수를 미분하면 y′= -4x 이고 x에 2를 대입하면, 미분계수는 -8이 나온다. 접선의 방정식 → y-1 = -8(x-2) 3. 매개변수 방정식 에 대해 에서의 접선의 방정식을 구하여라. (풀이) 4. cos 일때 ′ 을 구하여라. (풀이) cos ′ sin ′ 5. ln 의 도 함수 를 구하 여 라. (풀 이 ) ′ - 27 - 6. sin 의 도함수를 구하라 (풀이) ′ sin cos 7. 다음 방정식에서 를 구하여라. tan (풀이) 음함수의 미분법에 의해서 sec ′ ′ ′ ′ sec sec ′ ′ sec ′ sec sec ′ sec 8. 구간 에서 sin sin 의 도함수 ′ 를 구하여라. (풀이) ln ln sin sin sin· ln sin 양변 에 대해 미분하면, ′ cos cos·ln sin sin· sin cos ln sin ∴ ′ · cos ln sin sin sin · cos ln sin 9. 극한 이 존재하는 자연수 를 구하여라. (단, lim 이다.) lim → (풀이) 로피탈의 정리에 의해서 → 인 경우 주어진 조건에 의해서 2로 수렴 lim → 하게 된다. 인 경우 0으로 수렴하므로 or 이다. - 28 -