‫نامســـاوات الجبــری‬
‫انتــــروال ها (فاصـله تحــول)‬
‫مفهوم ‪ a  b‬به این معنی است که( ‪ a‬کوچکتر ویامساوی به ‪ b‬است ) وعبارت‬
‫‪ a‬بزرگتریا مساوی به ‪ b‬است به سمبول ‪ a  b‬ارایه میگردد ‪.‬‬
‫‪ . 1‬انتروال باز ‪ :‬ست تمام اعدادحقیقی ‪ x‬واقع دربین ‪ a‬و ‪ b‬بنام انتروال بازاز ‪a‬‬
‫نامســـاوات (غیرمساوات)‬
‫نامساوات یک بیانیۀالجبری است که نشان میدهد یک افاده بکدام قیمت های‬
‫مجهول از افاده دیگر بزرگ یا کوچک است ‪.‬‬
‫مثالً ‪ 5 x  4 :‬به قیمت های ‪ x  5‬ازافاده ‪ 4 x  1‬بزرگ است ‪.‬‬
‫خواص نامساوات‬
‫تا ‪ b‬گفته میشودوآنرا به ‪  a , b ‬مینویسیم ‪،‬یعنی‬
‫‪ac bc‬‬
‫‪a b‬‬
‫‪‬‬
‫‪, c0‬‬
‫‪c c‬‬
‫‪a b‬‬
‫‪a  b  ac  bc ‬‬
‫‪‬‬
‫‪, c0‬‬
‫‪c c‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪ab‬‬
‫‪‬‬
‫‪, a, b  0 , a, b  0‬‬
‫‪a b‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪ab ‬‬
‫‪‬‬
‫‪,a  0 , b  0‬‬
‫‪a b‬‬
‫‪ab , bc  ac‬‬
‫‪ . 2‬انتروال بسته ‪ :‬ست تمام اعدادحقیقی ‪ x‬واقع دربین ‪ a‬و ‪ b‬بشمول ‪ a‬و ‪b‬‬
‫‪ ،‬بنام انتروال بسته از ‪ a‬تا ‪ b‬یادمیگرددوآنرا به ‪  a , b ‬مینویسیم ‪ ،‬یعنی‬
‫}‪[a, b]  {x / x  IR , a  x  b‬‬
‫بهمین قسم انتروالهای نیمه بازو نیمه بسته ذیال ً تعریف میشوند‪.‬‬
‫‪ . 3‬انتروال نیمه باز ‪:‬‬
‫}‪(a, b]  {x / x  IR , a  x  b‬‬
‫‪ . 4‬انتروال نیمه بسته ‪:‬‬
‫‪a ,b  0‬‬
‫}‪[a , b)  {x / x  IR , a  x  b‬‬
‫درحاالت فوق اعداد ‪ a‬و ‪ b‬انجامهای انتروال گفته میشوند‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪b‬‬
‫‪5.‬‬
‫‪6.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ a‬‬
‫‪9. a  b‬‬
‫‪a  b , nO‬‬
‫‪a, b ‬‬
‫‪4.‬‬
‫‪8. a  b‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪3.‬‬
‫‪7. a  b , c  d‬‬
‫‪‬‬
‫‪ac bd‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪10. a  b  a 2 n  b 2 n , b  0, b  a‬‬
‫‪, b  0, b  a‬‬
‫‪b a‬‬
‫اگردرانجامهای انتروال مفاهیم ‪ ‬ویا ‪ ‬واقع شوند‪ ،‬انجام مربوطه بازمیباشد ‪،‬‬
‫‪  , b    x / x  IR , x  b‬‬
‫‪  , b   x / x  IR , x  b‬‬
‫‪ a ,     x / x  IR , x  a‬‬
‫‪ a ,     x / x  IR , x  a‬‬
‫‪  ,     x / x  IR,    x     IR‬‬
‫‪2. a  b ‬‬
‫‪ac  bc ‬‬
‫}‪(a, b)  {x / x  IR , a  x  b‬‬
‫بعبارت دیگر‬
‫‪1. a  b ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪11. a  b  a 2 n  b 2 n‬‬
‫‪12. a  b  a 2 n  b 2 n‬‬
‫نامساوات درجه یک‬
‫شکل عمومی این نوع نامساوات ‪ ax  b  0 ، ax  b  0‬یا ‪ax  b  0‬‬
‫ویا ‪ ax  b  0‬میباشد ‪،‬که با معلوم و مجهول نمودن حدود ساحه حل دریافت‬
‫میگردد‪.‬‬
‫مثال ها ‪:‬‬
‫‪ S   7 ,  ‬یا ‪ x  7‬‬
‫‪1. 2 x  14  0‬‬
‫‪2 x  14‬‬
‫‪2. 3x  5  7 x  11‬‬
‫‪ S   4,  ‬یا ‪ x  4‬‬
‫‪4 x  16‬‬
‫‪3. x  x  2    x  2   6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x2  2 x  x2  4 x  4  6‬‬
‫‪ S   5,  ‬یا ‪2 x  10  x  5‬‬
‫گــردآورنده ‪ :‬انجـنیر ســید عبدالمطلب « سـجادی »‬
‫‪1‬‬
3.
4. 3  x  4   5  x  7   6  x  1
 x  15 x  1  0
x  15  0
 x  15
3 x  12  5 x  35  6 x  6
x 1  0
 x 1
2 x  53
15

 x  15 x  1


1


5.
15  x  1 ‫ یا‬S   15,1 ‫ساحه حل‬
4.  x  1 x  4  x  2   0
x  1 , x  4
4

 x  1 x  4 x  2
x  2 2x 1 1

 /12
3
4
2
4  x  2   3  2 x  1  6
4x  8  6x  3  6
, x2

2 x  17  x  

1


‫ساحه حل‬
2

6.
4x  7  2x  7
‫ساحه حل‬
2
 x  1
1

 2 x  1 5  x  x  1

‫ساحه حل‬
x  1 ‫یا‬
1
2

5
2



‫ مثبت می گردد ؟‬5 x  125 ‫ بینوم‬x ‫ بکدام قیمت های‬: 7‫مثال‬
5x  125  0
5x  125  x  25 ‫ یا‬S   25,  
2x 1  0  x  1
1
2 x  12  0
2 x  12
 x  5 ‫ ویا‬S   , 1   1 2 , 5
1.
2
 4   2 x  18  0
2 x  18  0  x  9 ‫ یا‬S   9,  
2.
 x  5  4  x   0
4  x  0  x  4 ‫ یا‬S   4 ,  
x
5.
 3x  6  11  x 2   0
2
 20  x 2  14   0
2
, S  IR
,
x40
 x  4
x 5  0
 x5
4

4  x  5 ‫ یا‬S   4,5 
2.

5


‫ساحه حل‬
 x  1 x  2   0
x 1 , x  2

 x  1 x  2 
S  {2}
x  1 ‫یا‬
2
‫نامساوات شکل حاصل ضرب‬
 x  4  x  5   0
 x  4  x  5 
2
3.
 x  6 ‫ یا‬S    ,  6 

.‫ در حل آنها در نظر گرفته نمی شوند‬، ‫باشند و آنها به همه قیمت ها مثبت گردند‬
x
‫ منفی می گردد ؟‬2 x  12 ‫ بینوم‬x ‫ بکدام قیمت ها‬: 8‫مثال‬
‫ساحه حل‬
‫ در صورتیکه یک یا چند قوس بینوم درجه دوم یا باینومیل درجه دوم‬: ‫یاد داشت‬
1.
 x  0 ‫ یا‬S    , 0
2x  0
 2 x  1 5  x  x  1  0
x 1  0
17
 17

‫ یا‬S    ,  
2
 2

4 x  7  2  x  1  5
x  4 ‫ یا‬1  x  2 ‫ و یا‬S   , 4   1, 2 
5.
53
 53 
‫ یا‬S   ,  
2
2

x

‫ساحه حل‬

2
1


‫ساحه حل‬
x  2 ‫ یا‬S    ,1   2,  
» ‫ انجـنیر ســید عبدالمطلب « سـجادی‬: ‫گــردآورنده‬
5.
4 x  12  4

S  IR
6.
10 x  7  4

S 
7.
3x  1  0
 S  IR
8.
3  4  2x  5
 4  2x  2

‫نامساوات درجه یک دارای قیمت مطلقه‬
. ‫ساحه حل این نوع نامساوی ها را می توان با استفاده از قواعد ذیل دریافت کرد‬
1.
ax  b  c , c  0

4  2 x  2  S  IR
2.
‫ سیستم نامساوات یک مجهوله درجه یک‬3.
.‫ ساحه مشترک نامساوی های سیستم می باشد‬، ‫ ساحه حل‬، ‫در این نوع نامساوی ها‬
ax  b  c ‫یا‬
ax  b  c , c  0
  c  ax  b  c
ax  b  c , c  0
4. ax  b  c , c  0
5.
ax  b  c
 S  IR
S 
ax  b  0
 S  IR
: ‫مثال ها‬
1.
2 x  8  0

x  4  0
2x  8  0  x  4
x40
 x  4
4
: ‫مثال ها‬
1.
2 x  18  2
2 x 18  2  2 x  20  x  10
‫ یا‬2 x  18  2  2 x  16  x  8
. ‫ ساحه حل است‬x  8 ‫ یا‬x  10 ً‫بنا‬
4
1
1 1
x 
2
3 4
1
1 1
x   /12
2
3 4
2.
. ‫ است‬x  4 ‫بناً ساحه حل‬
2.
x  8  2

x  2  7
x 8  2
 x  6
x27  x 9
6
6 x  4  3  6 x  1  x  
‫یا‬
1
1
1
x    /12
2
3
4
6 x  4  3  6 x  7  x   7
. ‫ ساحه حل است‬x   7
9
3.
14
15
. ‫ است‬x  14 ‫بناءً ساحه حل‬
3
6
‫ یا‬x   1 ‫بن ًا‬
6
 2 x  1  3
3  2 x  1  3   4  2 x  2
3 x  8  2 x  7

 x  4  3 x  14
3x  8  2 x  7  x  15
x  4  3x  14  2 x  28  x  14
6
4  2 x  1  7
S   ً‫ ساحه مشترک موجود نیست بنا‬ 2 x  1  3
3.
1
6
 2  x  1
. ‫ است‬2  x  1 ‫بناً ساحه حل‬
4.
2
1 1
x 
3
4 2
2
1
 1  x   1 /12
2 3
2
4
6  8 x  3  6
9  8 x  3
9  x 3
8
8
» ‫ انجـنیر ســید عبدالمطلب « سـجادی‬: ‫گــردآورنده‬
‫نامساوات کسری‬
‫در این نوع نامساوات ‪ ،‬ابتدا مجموعۀ کسرها را بدست آورده و بعداً مناقشه نموده تا‬
‫ساحه حل دریافت گردد‪.‬‬
‫مثال ها ‪:‬‬
‫‪ x  4‬‬
‫‪ x  7‬‬
‫‪‬‬
‫‪7 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ساحه حل‬
‫‪‬‬
‫‪x7 0‬‬
‫بناً ساحه حل ‪ 3  x  13 3‬است ‪.‬‬
‫ساحه حل‬
‫ساحه حل‬
‫‪2.‬‬
‫ساحه حل‬
‫ساحه حل‬
‫ساحه حل‬
‫یادداشت ‪ :‬در صورتیکه صورت یا مخرج کسر همه قیمت های مجهول مثبت‬
‫‪ x  12‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2 x  24‬‬
‫را دریافت کنیم ‪.‬‬
‫‪2 x  24  0‬‬
‫‪18  x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ x  18‬‬
‫‪18  x  0‬‬
‫‪2x  4  0‬‬
‫‪2x  4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3x  9‬‬
‫‪3x  9  0‬‬
‫‪3.‬‬
‫گردد ‪ ،‬پس کافیست که مخرج یا صورت را با جهت آن در نظر گرفته ساحه حل‬
‫مثال ها ‪:‬‬
‫‪x2  4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2 x  14‬‬
‫‪4.‬‬
‫‪ S   7 ,  ‬یا ‪x  7‬‬
‫‪5.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 1  x  4 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2 x  24‬‬
‫‪x4 0‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪2 x  24  0  x  12‬‬
‫‪‬‬
‫ساحه حل‬
‫‪2x  5 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪x3 2‬‬
‫‪6.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪12‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 x  24‬‬
‫ساحه حل‬
‫بناً ساحه حل ‪ 12  x  4‬است ‪.‬‬
‫گــردآورنده ‪ :‬انجـنیر ســید عبدالمطلب « سـجادی »‬
‫‪1.‬‬
‫‪2 x  14  0  2 x  14‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 3 ‬‬
‫‪2x  4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪3x  9‬‬
‫بناً ساحه حل ‪ 2  x  3‬است ‪.‬‬
‫‪7.‬‬
‫‪ x  2‬یا ‪6  x  2‬‬
‫بناً ساحه حل ‪ x  4‬یا ‪ x  1‬است ‪.‬‬
‫‪ x  2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x3 ‬‬
‫ساحه حل‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪x2 x2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x2 x2‬‬
‫‪2x  4  x  2‬‬
‫‪x6‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x 4‬‬
‫‪x2  4‬‬
‫‪ 6‬‬
‫‪2 2 ‬‬
‫‪x6‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x2  4‬‬
‫‪ S    ,  7    4 ,  ‬و یا ‪ x  4‬یا ‪x  7‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4 x‬‬
‫‪x 1  0  x  1‬‬
‫‪4 x  0  x  4‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 4 ‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4 x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪x7‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x7‬‬
‫‪x40‬‬
‫‪1.‬‬
‫‪13‬‬
‫‪2x  5 1‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪x3 2‬‬
‫‪4 x  10  x  3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2x  6‬‬
‫‪3 x  13‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2x  6‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3 x  13‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2x  6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2.‬‬
‫‪3x  27‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x2  5‬‬
‫‪3.‬‬
‫بناً ساحه حل ‪ x  2‬یا ‪ x  2‬است ‪.‬‬
‫‪3 x  27  0‬‬
‫‪ S    ,9 ‬یا ‪ x  9‬‬
‫‪ S  IR‬‬
‫نامساوات درجه دوم یک مجهوله‬
‫این‬
‫نوع‬
‫‪3x  27‬‬
‫‪3x 2  2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x2  7‬‬
‫نامساوات ‪b 0x  ، c ax2  bx  c  0‬‬
‫‪x2  10 x  9  0‬‬
‫‪4.‬‬
‫‪x  x  12  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a 2 x‬‬
‫ذیل ساحه حل آن ها تعین می شود ‪.‬‬
‫‪2 x2  5x  3  0‬‬
‫‪ax 2  bx  c  0 , a  0‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪ (I‬نباً ساحه حل ‪ x  1‬یا ‪ x  3‬است ‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6.‬‬
‫‪2 x  5x  3  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x 2  100  0‬‬
‫‪7.‬‬
‫‪x 2  100  0‬‬
‫‪ x  10‬‬
‫بناً ساحه حل ‪ 10  x  10‬است ‪.‬‬
‫اگر ‪ x1  x2‬باشد ‪ ،‬پس ساحه حل ‪ x  x2‬یا ‪ x  x1‬است ‪.‬‬
‫‪5.‬‬
‫‪x 2  x  12  0‬‬
‫‪ x1  3 , x2  4‬‬
‫یا بناً ساحه حل ‪ x  4‬یا ‪ x  3‬است ‪.‬‬
‫‪ x1  3 , x2  1‬‬
‫‪ax 2  bx  c  0 ,   0 , a  0‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪x 2  10 x  0‬‬
‫‪ x1  1 , x2  9‬‬
‫بناً ساحه حل ‪ x  9‬یا ‪ x  1‬است ‪.‬‬
‫‪ ax2  bx  c  0‬و یا ‪ ax2  bx  c  0‬شکل دارند که با استفاده از قواعد‬
‫‪,  0‬‬
‫‪4.‬‬
‫‪x2  25  0‬‬
‫)‪(II‬‬
‫‪ x  5‬‬
‫‪8.‬‬
‫‪x 2  25  0‬‬
‫بناً ساحه حل ‪ 5  x  5‬است ‪.‬‬
‫‪x 2  8x  0‬‬
‫اگر ‪ x1  x2‬باشد پس ساحه حل ‪ x1  x  x2‬میباشد ‪.‬‬
‫‪ x1  8 , x2  0‬‬
‫‪(III) ax 2  bx  c  0 , a  0 ,   0‬‬
‫بناً ساحه حل ‪ 8  x  0‬است ‪.‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪x  8x  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x2  5x  6  0‬‬
‫‪10.‬‬
‫‪3x2  x  10  0‬‬
‫‪11.‬‬
‫بناً ساحه حل تمام اعداد حیقی ‪ S ‬است ‪.‬‬
‫‪x 2  5x  6  0  x1  8 , x2  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ (IV) ax  bx  c  0 , a  0 ,   0‬بناً ساحه حل ‪ 6  x  1‬است ‪.‬‬
‫درین حالت ساحه حل موجود نیست یعنی ‪S   :‬‬
‫مثال ها ‪:‬‬
‫‪ x  5‬‬
‫بناً ساحه حل ‪ x  5‬یا ‪ x  5‬است ‪.‬‬
‫‪ x1  0 , x2  5‬‬
‫بناً ساحه حل ‪ x  5‬یا ‪ x  0‬است ‪.‬‬
‫‪x2  25  0‬‬
‫‪, x2  2‬‬
‫‪1.‬‬
‫‪3‬‬
‫بناً ساحه حل ‪  5  x  2‬است ‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x 2  5x  0‬‬
‫‪2.‬‬
‫‪x 2  25  0‬‬
‫‪x 2  5x  0‬‬
‫‪x2  4  0‬‬
‫‪ x2‬‬
‫‪ x1   5‬‬
‫‪x2  4  0‬‬
‫گــردآورنده ‪ :‬انجـنیر ســید عبدالمطلب « سـجادی »‬
‫‪9.‬‬
‫‪3x  x  10  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x2  x  12  0‬‬
‫‪12.‬‬
‫چون ‪   0‬است پس ساحه حل تمام اعداد حقیقی است ‪.‬‬
‫‪5x2  7  0‬‬
‫‪ 3.‬چون ‪   0‬است پس ساحه حل تمام اعداد حقیقی است ‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪13.‬‬
‫‪2 x2  x  7  0‬‬
‫چون ‪ ،   0‬پس ساحه حل موجود نیست یعنی ‪S   :‬‬
‫‪5x2  1  0‬‬
‫چون ‪ ،   0‬پس ساحه حل موجود نیست یعنی ‪S   :‬‬
‫‪ 14.‬سیستم نامساوات های درجه اول دو مجهوله‬
‫چند نامساوات همزمان ‪ ،‬عبارت از یک سیستم نامساوات ها است و منظور از حل‬
‫سیستم ازمستوی است که همه نامساوات های سیستم را )‪ (x, y‬نامساوات ها‬
‫‪ 15.‬دریافت تمام نقاط صدق کند ‪.‬جهت حل سیستم نامساوات های درجه اول‬
‫نامساوات دومجهوله درجه یک‬
‫این نوع نامساوی ها شکل ذیل رادارند ‪.‬‬
‫دومجهوله ‪ ،‬هریک ازنامساوات هاراجداگانه حل کرده‪،‬نقاط مشترک همه حل‬
‫هاعبارت ازحل سیستم میباشد ‪ .‬اگرحل یک سیستم ناحیه محدودی ازمستوی‬
‫باشد‪،‬درانصورت این حل یک چند ضلعی را میسازدواین حالت زمانی اتفاق می‬
‫افتدکه تعدادمعادالت سیستم بیشتردومعادله باشد‪.‬‬
‫‪ax  by  c  0 , ax  by  c  0‬‬
‫‪x  y  2‬‬
‫‪ ‬حل کنید ‪.‬‬
‫‪ ax  by  c  0 , ax  by  c  0‬مثال‪ .1‬سیستم نامساوات‬
‫‪x  y  5‬‬
‫هدف از حل این نوع نا مساوات هاتعین نقاط ) ‪ ( x , y‬ازمستوی است که‬
‫نامساوات را صدق کند‪.‬‬
‫جهت حل نامساوات‪،‬اول گراف معادله ‪ ax  by  c  0‬که یک خط مستقیم‬
‫است ترسیم میگردد‪،‬این مستقیم ‪ ،‬مستوی رابه دوناحیه تقسیم میکند‪ ،‬بعدا یک‬
‫نقطه یکی ازنواحی فوق الذکررا انتخاب کرده‪،‬در نامساوات وضع میکنیم‬
‫‪،‬اگرنامساوات راصدق کند‪،‬تمام نقاط ناحیه مربوط همان نقطه عبارت ازحل‬
‫نامساوات است‪،‬هرگاه نقطه منتخبه نامساوات راصدق نکند‪ ،‬تمام نقاط ان ناحیه‬
‫‪x  2 y  4‬‬
‫‪ ‬حل کنید ‪.‬‬
‫نامساوات راصدق نمیکند ‪،‬بنابرین ناحیه مقابل ‪،‬حل معادله میباشد‪ ،‬ناحیه ایکه مثال ‪ . 2‬سیستم نامساوات‬
‫‪x  y  3‬‬
‫نامساوات ر صدق نمیکند درشکل نشانی میگردد‪.‬‬
‫مثال‪ .1‬حل نامساوی ‪ 5 y  2 x  0‬حل کنید ‪.‬‬
‫حل‪ .‬ابتدا گراف آنراترسیم و بعدا ساحه حل راتعین میکنیم‪.‬‬
‫مثال ‪ .2‬حل نامساوی ‪ 8  y  3x‬حل کنید ‪.‬‬
‫گــردآورنده ‪ :‬انجـنیر ســید عبدالمطلب « سـجادی »‬
‫‪6‬‬
 ,1  3,   )2
 ,2  2,   )4
 ,1  2,   )1
 ,1  2,   )3
:‫ عبارت است از‬x 2  9  0 ‫ ساحه حل نامساوی‬.11
 3,3 )2
 4,3 )4
 9,9 )1
 3,4 )3
:‫ عبارت است از‬3x  1  x 2  x  2 ‫ ساحله حل نامساوی‬.12
 ,2  5,   )1
 ,1  3,   )2
 ,1  4,   )4
 ,1  5,   )3
:‫ عبارت است از‬x 2  1  x  4  0 ‫ ساحه حل نامساوی‬.13
 4,2  2,   )1
 4,1  1,   )2
 3,3  4,   )4
 4,2  3,   )3
x 1 x  3

 0 ‫ ساحه حل نامساوی‬.14
x 1 x  2
1

 ,3  1,3 )2
  .   1,2 )1
3

1
3


  ,   3,4 )4
  ,   3,4 )3
4
2


2
:‫ عبارت است از‬x  x  4  0 ‫ در نامساوی‬x ‫ قیمت‬.15
1 ‫تمـــــرین‬
‫نامســــاوات الجــــبری‬
:‫ عبارت است از‬x 2  12  4 x ‫ ساحه حل نامساوی‬.1
 6,3 )2
 4,3 )4
:‫ عبارت است از‬ 6 x2  51x  105  0 ‫ ساحه حل نامساوی‬.2
7
7


  ,   5,  )2
  ,   5,  )1
2
2


7
7


  ,   5,  )4
  ,   5,  )3
2
2


‫ عبارت است از؟‬2 x  6  0 ‫ در نامساوی‬x ‫ قیمت‬.3
x  3 )2
:‫عبارت است از‬
   x   )2
   x  4 )4
   x  0 )1
0  x   )3
:‫ عبارت است از‬ x 2  x  5  0 ‫ در نامساوی‬x ‫ قیمت‬.16
R )2
a, b  ‫و قیمت‬
0  x   )4
   x  0 )1
 )3
x 2  x  6 ‫ باشد نامساوی‬a  x  b ‫ در صورتیکه‬.17
:‫عبارت است از‬
 3,4 )1
 2,1 )2
 2,1 )3
 2,3 )4
8  x 2  2 x ‫ در نامساوی‬a, b  ‫ باشد قیمت‬a  x  b ‫ در صورتیکه‬.18
1,2 )2
4,3 )4
:‫عبارت است‬
1,4 )1
 4,2 )3
x 2  3x  10
 0 ‫ در نامساوی‬x ‫ قیمت‬.19
x2  2x  4
0  x  6 )2
2  x  4 )1
:‫عبارت است از‬
 2  x  5 )4
x
:‫عبارت است از‬

 1  x  5 )3
 1 2  x 
 0 ‫ در نامساوی‬x ‫ قیمت‬.21
2
x  4x  4
7
2
 6,2  )1
 4,2  )3
x  3 )4
x   6 )1
x  3 )3
:‫ عبارت است از‬3  6 x  0 ‫ ساحه حل نامساوی‬.4
1 
 1 
 ,   )2
 2 ,   )1
2 
1 
 1 
  ,   )4
 2 ,   )3
 2 
x 1
:‫عبارت است از‬
 0 ‫ در نامساوی‬x ‫ قیمت‬.5
2 x
1  x  2 )2
 2  x  1 )1
0  x  2 )4
 1  x  2 )3
x 1
 0 ‫ در نامساوی‬x ‫ قیمت‬.6
x2  4
 2  x   )2
 1  x   )1
:‫مساوی میشود به‬
 4  x   )4
 3  x   )3
 2  x  3 )2
 3  x  2 )1
:‫ عبارت است از‬ x  32  x   0 ‫ در نامساوی‬x ‫ قیمت‬.7
0  x  5 )4
 1  x  4 )3
:‫ عبارت است از‬x 2  6 x  5  0 ‫ ساحه حل نامساوی‬.8
 ,1  3,   )2
 ,1  5,   )4
   2  3,   )1
 ,2  6,   )3
 x 2  3x  4
 0 ‫ در نامساوی‬x ‫ قیمت‬.9
x2  5
 5  x  4 )2
 1  x  4 )1
:‫عبارت است از‬
 6  x  4 )4
 2  x  4 )3
:‫ عبارت است از‬x 2  3x  2  0 ‫ ساحه حل نامساوی‬.11
» ‫ انجـنیر ســید عبدالمطلب « سـجادی‬: ‫گــردآورنده‬
‫‪5  x   )1‬‬
‫‪4  x   )2‬‬
‫‪1  x   )4‬‬
‫‪2  x   )3‬‬
‫‪ .21‬ساحه حل نامساوی ‪ 3x 2  13x  10  0‬عبارت است از‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ,  )1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪ 3 ,5 )3‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪  ,5  )2‬‬
‫‪ 3 ‬‬
‫‪x 2  16‬‬
‫‪ .22‬قیمت ‪ x‬در نامساوی ‪ 0‬‬
‫‪ 3‬عبارت است از‪:‬‬
‫‪x  64‬‬
‫‪ ,4 )2‬‬
‫‪4,  )1‬‬
‫‪ 4,8 )4‬‬
‫‪ .23‬قیمت ‪ x‬در نامساوی‬
‫‪2,3 )1‬‬
‫‪ 2,3 )3‬‬
‫‪x2  5x  6  0‬‬
‫‪x2  2x  3  0‬‬
‫‪ 1,3 )2‬‬
‫عبارت است از‪:‬‬
‫‪ 3,3 )4‬‬
‫‪ .24‬قیمت ‪ m‬در نامساوی ‪ x 2  3mx  3m  3‬عبارت است از‪:‬‬
‫‪ 7,3 )1‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪  ,3  )2‬‬
‫‪ 3 ‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪  , 2  )3‬‬
‫‪ 3 ‬‬
‫‪1,4 )4‬‬
‫‪3 x‬‬
‫‪ .25‬قیمت ‪ x‬در نامساوی ‪ 1‬‬
‫‪2x  4‬‬
‫‪ ,1  2,  )1‬‬
‫‪1,2 )2‬‬
‫عبارت است از‪:‬‬
‫‪ ,2 )3‬‬
‫‪2,4  )4‬‬
‫‪ .26‬قیمت ‪ xmin‬در نامساوی ‪ x  5  x  3‬در حالیکه ‪ x  Z‬باشد‬
‫عبارت است از‪:‬‬
‫‪4 )1‬‬
‫‪5 )2‬‬
‫‪7 )4 6 )3‬‬
‫‪ 2,6 )4‬‬
‫‪ ,6 )2‬‬
‫‪4x  3‬‬
‫‪ .28‬قیمت ‪ x‬در نامساوی ‪ 3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪9‬‬
‫‪‬‬
‫‪9 ‬‬
‫‪  3,  )2‬‬
‫‪ ,5  )1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪5 ‬‬
‫‪ ,3   9 ,  )4   , 9  )3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .29‬قیمت ‪ xmax‬در نامساوی ‪ 2 x  1  2 x  3‬در حالیکه ‪ x  Z‬باشد‬
‫عبارت است از‪:‬‬
‫عبارت است از‪:‬‬
‫‪0 )1‬‬
‫‪1)2‬‬
‫‪2 )3‬‬
‫‪25 )4‬‬
‫‪x7‬‬
‫‪ .31‬قیمت ‪ x‬در نامساوی ‪ 7‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 21,7 )2‬‬
‫‪ ,0 )1‬‬
‫عبارت است از‪:‬‬
‫‪ 2,30 )4‬‬
‫‪ .32‬قیمت ‪ x‬در نامساوی ‪ x  2  x  4‬عبارت است از‪:‬‬
‫‪ ,3 )2‬‬
‫‪ ,0 )1‬‬
‫‪ ,3 )3‬‬
‫‪.33‬‬
‫‪ ,3 )4‬‬
‫قیمت ? ‪ x ‬‬
‫در نامساوی ‪ 3  2 x  1  7‬در حالیکه ‪ x  Z‬باشد‬
‫مساوی میشود به‪:‬‬
‫‪-2 )1‬‬
‫‪0 )3‬‬
‫‪-1 )2‬‬
‫‪1 )4‬‬
‫‪ .34‬قیمت ‪ x‬در نامساوی ‪ 2 x  2  x  2‬عبارت است از‪:‬‬
‫‪ 2,0  )1‬‬
‫‪0,4 )2‬‬
‫‪ 2,4 )3‬‬
‫‪4,6  )4‬‬
‫‪ .35‬ست قیمت های ‪ x‬که غیر مساوات ‪ x 2  3x  2  0‬را صدق کند‬
‫عبارت است از‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫الف) ‪ 2  x  1‬‬
‫ب) ‪ 2  x  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫ج) ‪ x  1‬و ‪x  2‬‬
‫د) ‪  x  1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .36‬حل غیر مساوات ‪ x 2  4  2 x‬مساوی میشود به‪:‬‬
‫ب) ست اعداد حقیقی‬
‫الف) ست اعداد موهومی‬
‫د) ست اعداد غیر حقیقی‬
‫ج) حل ندارد‬
‫‪ .37‬کدام یکی از قیمت های‪ x‬غیر مساوات ‪ x 2  x  2  0‬را صدق‬
‫‪ .27‬قیمت ‪ x‬در نامساوی ‪ 4  2 x  8‬مساوی میشود به‪:‬‬
‫‪3,5 )1‬‬
‫‪ 2,6  )3‬‬
‫‪ .31‬در صورتیکه‬
‫عبارت است از‪:‬‬
‫‪21 )3 16)2‬‬
‫‪-5 )1‬‬
‫‪ 10,21 )3‬‬
‫‪5,  )4‬‬
‫‪ 4,4 )3‬‬
‫‪ x  Z‬باشد قیمت ‪ x‬‬
‫در نامساوی ‪5  x  4  8‬‬
‫‪3 )4‬‬
‫گــردآورنده ‪ :‬انجـنیر ســید عبدالمطلب « سـجادی »‬
‫میکند؟‬
‫ب) ‪1  x  2‬‬
‫الف) ‪x  2‬‬
‫د) ‪x  7‬‬
‫ج) ‪x  1‬‬
‫‪ .38‬حل غیر مساوات ‪  x  1 x  9   0‬عبارت است از‪:‬‬
‫الف) ‪x  1‬‬
‫ب) ‪x  9‬‬
‫ج) ‪ 1  x  9‬د) ‪x  9‬‬
‫‪ .39‬حل غیر مساوات ‪ x 2  10 x  16  0‬عبارت است از‪:‬‬
‫الف) ‪x  16‬‬
‫ج) ‪10  x  16‬‬
‫ب) ‪x  10‬‬
‫د) ‪2  x  8‬‬
‫‪ .41‬حل غیر مساوات ‪ x 2  5x  6  0‬عبارت است از‪:‬‬
‫الف) ‪1  x  3‬‬
‫ج) ‪ 2  x  3‬‬
‫ب) ‪2  x  3‬‬
‫د) ‪ 1  x  3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ .41‬حل نامساوات ‪ x 2  4 x  4  0‬عبارت است از‪:‬‬
‫الف) ‪x  2‬‬
‫ب) ‪x  3‬‬
‫ج) ‪x  2‬‬
‫د) برای تمام قیمت های ‪ x‬صدق میکند‬
‫‪x 2  x  12‬‬
‫‪ .42‬انتروال حل غیر مساوات ‪ 0‬‬
‫‪5‬‬
‫الف) ‪   x  4‬‬
‫ب) ‪ 4  x  3‬‬
‫عبارت است از‪:‬‬
‫ج) ‪ 5  x  4‬‬
‫د) ‪4  x  ‬‬
‫‪ .43‬حل نامساوات ‪  x  1 x  4  4‬عبارت است از‪:‬‬
‫ب) ‪   x  3‬‬
‫الف ‪0  x  ‬‬
‫‪ .44‬حل غیر مساوات ‪ x 2  x  2‬عبارت است از‪:‬‬
‫ب) ‪ 3  x  2‬‬
‫الف) ‪1  x  3‬‬
‫ج) ‪x  1‬‬
‫‪.45‬‬
‫د) ‪ 2  x  1‬‬
‫انتروال حل نا مساوات ‪x  3x 2  3x  2  0‬‬
‫‪x 1‬‬
‫الف) ‪1  x  2‬‬
‫عبارت است از‪:‬‬
‫ب) ‪3  x  4‬‬
‫ج) ‪2  x  3‬‬
‫د) ‪ 3  x  2‬‬
‫‪ .46‬تمام قیمت های ‪ x‬که نامساوات ‪ 2 x 2  x  1  0‬را صدق میکند ‪،‬‬
‫عبارت است از‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫الف)‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ج) ‪1  x ‬‬
‫د) ‪x  ; x  1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .47‬حل غیر مساوات ‪  5 x  10‬عبارت است از‪:‬‬
‫ب) ‪x  1‬‬
‫‪x‬‬
‫الف) ‪x  2‬‬
‫ب) ‪x  2‬‬
‫ج) ‪ x  5‬د) ‪x  5‬‬
‫‪ .48‬حل غیر مساوات ‪ 2  x  7‬عبارت است از‪:‬‬
‫الف) ‪x  7‬‬
‫ب) ‪x  7‬‬
‫ج) ‪x  9‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ .49‬حل غیر مساوات ‪x  5  0‬‬
‫‪4‬‬
‫ج) ‪x  4‬‬
‫الف) ‪ x  5‬ب) ‪x  5‬‬
‫د) ‪x  9‬‬
‫عبارت است از‪:‬‬
‫د) ‪x  4‬‬
‫‪ .51‬حل غیر مساوات ‪ 4  x  6‬عبارت است از‪:‬‬
‫الف) ‪x  6‬‬
‫ب) ‪x  4‬‬
‫الف) ‪a  c‬‬
‫ب) ‪a  c‬‬
‫ج) ‪x  10‬‬
‫د) ‪x  10‬‬
‫‪ .51‬از غیر مساوات های ‪ a  b‬و ‪ b  c‬نتیجه میشود که‪:‬‬
‫ج) ‪a  c‬‬
‫‪x  1  0‬‬
‫‪ ‬عبارت است از‪:‬‬
‫‪ .54‬حل سیستم غیر مساوات های‬
‫‪x  1  0‬‬
‫الف) ‪  1  x  1‬ب) ‪ x  1‬ج) ‪ x  1‬د) ‪x  1‬‬
‫‪ .55‬یکی از حل های غیر مساوات ‪ x  y  0‬عبارت است از‪:‬‬
‫الف) ‪ 1,2‬ب) ‪2,1‬‬
‫‪  2,1‬د) ‪2,1‬‬
‫ج)‬
‫‪2 x  y  0‬‬
‫‪ ‬چند حل دارد؟‬
‫‪ .56‬سیستم غیر مساوات های‬
‫‪ x y 0‬‬
‫الف) یک حل ب) بی نهایت حل دارد ج) حل ندارد د) دو حل‬
‫د) ‪ 3  x  0‬‬
‫ج) ‪0  x  3‬‬
‫‪x  2‬‬
‫‪ ‬عبارت است از‪:‬‬
‫‪ .53‬حل سیستم غیر مساوات های‬
‫‪x  3‬‬
‫الف) ‪ x  6‬ب) ‪ x  3‬ج) ‪ 2  x  3‬د) ‪x  2‬‬
‫د) ‪a  c‬‬
‫‪y  5‬‬
‫‪ ‬عبارت است از‪:‬‬
‫‪ .52‬حل سیستم غیر مساوات های‬
‫‪y  9‬‬
‫د) ‪x  9‬‬
‫ج) ‪x  5‬‬
‫ب) ‪x  9‬‬
‫الف) ‪x  5‬‬
‫گــردآورنده ‪ :‬انجـنیر ســید عبدالمطلب « سـجادی »‬
‫‪x  y  2  0‬‬
‫‪ ‬عبارت است از ‪:‬‬
‫‪ .57‬یک حل سیستم غیر مساوات های‬
‫‪x  y  5  0‬‬
‫‪1 , 1 )4 4 , 4 )3 3 , 3 )2 0 , 0  )1‬‬
‫‪ .58‬حل غیر مساوات ‪ x 2  5x  6  0‬عبارت است از ‪:‬‬
‫‪x  6 )1‬‬
‫‪2  x  3 )3‬‬
‫‪x  5 )2‬‬
‫‪x  5 )4‬‬
‫‪ .59‬حل غیر مساوات ‪ x 2  6 x  8  0‬عبارت است از ‪:‬‬
‫‪ x  2 )1‬یا ‪x  4‬‬
‫‪2  x  4 )2‬‬
‫‪6  x  8 )3‬‬
‫‪ 8  x  6 )4‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪ .61‬حل غیر مساوات ‪ 0‬‬
‫‪x5‬‬
‫‪ 5  x  4 )1‬‬
‫‪4  x  5 )2‬‬
‫عبارت است از ‪:‬‬
‫‪x  4 )3‬‬
‫‪x  5 )4‬‬
‫‪ .61‬حل غیر مساوات ‪  x  1 x  9   0‬عبارت است از ‪:‬‬
‫‪x  1 )1‬‬
‫‪1  x  9 )3‬‬
‫‪x  9 )2‬‬
‫‪x  9 )4‬‬
‫‪ .62‬حل غیر مساوات ‪ 2 x  83 x  12   0‬عبارت است از ‪:‬‬
‫‪2  x  3 )1‬‬
‫‪8  x  12 )2‬‬
‫‪   x   )3‬‬
‫‪x  8 )4‬‬
‫‪ .63‬حل غیر مساوات ‪ x 2  10 x  16  0‬عبارت است از ‪:‬‬
‫‪x  10 )2 x  16 )1‬‬
‫‪10  x  16 )3‬‬
‫‪2  x  8 )4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .64‬کدام یکی از نواحی قیمت های ‪ x‬نا مساوات‬
‫‪‬‬
‫‪x x 1‬‬
‫کند ؟‬
‫‪x  1 )2  1  x  0 )1‬‬
‫‪x  0 )3‬‬
‫را صدق می‬
‫‪0  x  2 )4‬‬
‫‪ .65‬حل غیر مساوات ‪ x  1  0‬عبارت است از ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x 1‬‬
‫‪)1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x  1‬‬
‫‪ 1  x  1 )2‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ 1  x  0 )3‬‬
‫‪0  x  1 )4‬‬
‫‪ .66‬کدام یکی از ست قیمت های ‪ ‬غیر مساوات ‪ x 2  x  2  0‬را صدق‬
‫می کند ‪:‬‬
‫‪x  7 )4 x  1 )3  1  x  2 )2‬‬
‫‪x  2 )1‬‬
‫‪2 x  4  0‬‬
‫‪ ‬عبارت است از ‪:‬‬
‫‪ .67‬حل غیر مساوات‬
‫‪ 3x  1  0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x  2 )3   x  2 )2 x   )1‬‬
‫‪x  0 )4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x 1‬‬
‫را صدق می‬
‫‪ .68‬کدام یکی از ست قیمت های ‪ x‬غیر مساوات ‪ 0‬‬
‫‪x2‬‬
‫کند ‪:‬‬
‫‪ 2  x  1 )1‬‬
‫‪x  2 )3‬‬
‫‪x  1 )2‬‬
‫‪x  2 )4‬‬
‫‪ .69‬کدام یکی از ست قیمت های ‪ x‬نا مساوات ‪ 3 x  2  5 x  8‬را صدق‬
‫می کند ‪:‬‬
‫‪x  5 )4 x  1 )3  1  x  0 )2 0  x  5 )1‬‬
‫‪3  7x‬‬
‫‪ .71‬در غیر مساوات ‪ 6‬‬
‫‪4‬‬
‫از ‪:‬‬
‫‪ 3  x  1 )1‬‬
‫‪ 2  x  0 )1‬‬
‫‪0  x  2 )3‬‬
‫‪2  x  3 )2‬‬
‫‪ 1  x  0 )4‬‬
‫‪ x 1  0‬‬
‫‪ ‬عبارت است از ‪:‬‬
‫‪ .76‬حل غیر مساوت‬
‫‪2 x  10  0‬‬
‫‪1  x  5 )1‬‬
‫‪x  5 )2‬‬
‫‪0  x  1 )3‬‬
‫‪x  0 )4‬‬
‫‪x2  x  2‬‬
‫‪ .77‬کدام یکی از ست های ‪ x‬غیر مساوات ‪ 0‬‬
‫را صدق می‬
‫‪x‬‬
‫کند ‪:‬‬
‫‪x  1 )1‬‬
‫‪ 2  x  0 )2‬‬
‫‪x  2 )3‬‬
‫‪x  1 )4‬‬
‫‪x 3 x‬‬
‫‪ .78‬حل غیر مساوات ‪    1‬عبارت است از ‪:‬‬
‫‪2 2 3‬‬
‫‪x  3 )3 x  3 )2‬‬
‫‪x  0 )1‬‬
‫‪x  1 )4‬‬
‫‪ ،  1 ‬ست قیمت های ‪ x‬عبارت است‬
‫‪x  2 )4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ .71‬ست قیمت های ‪ x‬که نا مساوات ‪ 0‬‬
‫‪7  2x‬‬
‫است از ‪:‬‬
‫‪x  7 / 2 )3‬‬
‫صدق می کند ‪:‬‬
‫‪1  x   )2‬‬
‫‪   x  3 ) 3‬‬
‫‪0  x  7 / 2 )1‬‬
‫‪ .75‬کدام یکی از ست قیمت های ‪ x‬غیر مساوات ‪ x 2  5x  6  0‬را‬
‫را صدق کند عبارت‬
‫‪ 2  x  0 )2‬‬
‫‪x  0 )4‬‬
‫‪ .72‬ست قیمت های ‪ x‬که نا مساوات ‪ 2 x  1  1‬را صدق کند عبارت‬
‫است از ‪:‬‬
‫‪x  1 )1‬‬
‫‪0  x  1 )2‬‬
‫‪x  0 )3‬‬
‫‪x  1 )4‬‬
‫‪ .73‬حل غیر مساوات ‪ x 2  4  2 x‬عبارت است از ‪:‬‬
‫‪ )1‬ست اعداد موهومی‬
‫‪ )3‬حل ندارد‬
‫‪ )2‬ست اعداد حقیق‬
‫‪ )4‬ست اعداد غیر حقیقی‬
‫‪ .74‬ست قیمت های ‪ x‬که غیر مساوات ‪ x 2  3x  2  0‬را صدق کند‬
‫عبارت است از ‪:‬‬
‫‪ 2  x  1 ) 1‬‬
‫‪ x  1‬‬
‫‪)3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x  2‬‬
‫‪ 2  x   32 )2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ x  1 )4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫گــردآورنده ‪ :‬انجـنیر ســید عبدالمطلب « سـجادی »‬
‫‪10‬‬