1. BO‘LIM 1. Metrik fazolar
2. § 1.1. Metrik fazolar
3. Metrik fazolar : Metrik fazo ta’rifi, misollar. Ochiq va yopiq
to‘plamlar.
X – ixtiyoriy to‘plam bo‘lsin.
1.1.1-ta’rif. . Ixtiyoriy x, y  X lar uchun quyidagi :
1)   x, y   0, x, y  X (nomanfiylik);
2)   x, y   0 ; faqat va faqat x  y ;
3)   x, y     y, x  , x, y  X (simmetriklik aksiomasi);
4)   x, y     x, z     z, y  ; x, y, z  X (uchburchak aksiomasi)
shartlarni (aksiomalarni) qanoatlantiruvchi  : X  X  R
funksiyaga metrika deyiladi.
1.1.2-ta’rif. . X to‘plam va unda aniqlangan  metrika birgalikda
metrik fazo deyiladi.
Metrik fazo  X ,   juftlik kabi yoki bitta X orqali belgilanadi.
Metrik fazo elementlariga nuqtalar deyiladi.   x, y  soniga esa x va y
nuqtalar orasidagi masofa deyiladi.
X to‘plamda aniqlangan  –metrika X to‘plamning ixtiyoriy Y  X
qism to‘plamida ham metrika shartlarini qanoatlantiradi.
1.1.3-ta’rif. . Agar Y  X bo‘lsa, Y ,   metrik fazo
fazoning qism fazosi deyiladi.
 X ,   metrik
4. Metrik fazolarga -misollar:
1.
 X ,   – Diskret metrik fazo,
X – bo‘sh bo‘lmagan to‘plam
0, x  y,
1, x  y;
  x, y   
2. R 1 – Haqiqiy sonlar to‘plami xR va metrikasi:
  x, y   x  y ;
3. X  x : x   x1 ,, xn  , xk  R, k  1,2,, n , n  1 – tayinlangan
natural son va metrikasi:
R np , 1  p    X to’plam metrikasi
1
p
  x, y     xk  yk  ;
n
p
 k 1

Rn  X to'plam metrikasi
  x, y   max
xk  yk
1 k  n
R n2 fazo R n orqali belgilanadi;
4. l p ,1  p   ,  barcha yaqinlashuvchi x   x1 ,, xn , haqiqiy
qiymatli sonlar ketma-ketligi, n1 xn   , metrikasi:
p
  x, y     xn  yn 

 n1
p
1
p

5. l  barcha haqiqiy qiymatli chegaralangan ketma-ketliklar
to‘plami
x   x1 ,, xn , sup n xn   , metrikasi:
  x, y   sup xn  yn ;
n
6. c0 – barcha nolga yaqinlashuvchi ketma-ketliklar to‘plami
x   x1 ,, xn ,
  x, y   max
xn  yn ;
n
7. c – barcha yaqinlashuvchi ketma-ketliklar to‘plami
x   x1 ,, xn , metrikasi:   x, y   sup xn  yn ;
n
8. C  a, b -  a, b kesmada uzluksiz funksiyalar to‘plamida
  x, y   max
x t   y t  ;
t a ,b


9. C n  a, b, n N , -  a, b kesmada aniqlangan va n-tartibli
differensiallanuvchi funksiyalar sinfi, metrikasi:
n
  x, y   max
x k   t   y  k   t  ,
t a ,b
k 0


Bu yerda, x 0  t   x  t  , x  k   t  lar x  t  , t   a, b funksiyaning k- tartibli
hosilalari
10. L p  a, b  ,1  p   ,   a, b kesmada p inchi darajasi bilan
integrallanuvchi funksiyalar sinfi

a
b


1
p
  x, y    | x  t   y  t  | p dt  ;
11. Lp  a, b  ,1  p   ,   a, b kesmada p -darajasi bilan Lebeg
ma’nosida integrallanuvchi funksiyalar sinfi metrikasii
1

p
p
  x, y     | x  t   y  t  | dt  .
  a ,b 

Deyarli barcha t   a, b larda x  t   y  t  munosabat o‘rinli bo‘lganda x
va y funksiyalar teng deb aytiladi ;
12. L  a, b   a, b kesmada aniqlangan va chegralangan
funksiyalar to‘plami ( har bir x funksiya uchun shunday Cx
konstanta mavjudki,  a, b) kesmada x  t   Cx munosabat
o‘rinli, metrikasi

 a ,bE


  x, y   vraimax x  t   y  t   inf
sup x  t   y  t   ,
 a ,b 


Bunda   E  - E to‘plamning Lebeg o‘lchovi. Deyarli barcha
t   a, b larda x  t   y  t  munosabat o‘rinli bo‘lganda x va y funksiyalar
teng deb aytiladi.
1.1.1-ko‘rsatma. Quyidagi ifoda


vrai max x  t   inf  sup x  t  
  E ,b 0 t a ,b ] E


x funksiyaning  a, b kesmada muhim maksimumi deyiladi va
quyidagicha belgilanadi ess sup ta ,b x  t  .
1.1.4-ta’rif. X metrik fazoda markazi a  X nuqtadagi ochiq shar
deb B  a, r   {x  X :   x, a   r}, (r  0) to‘plamga aytiladi. (yopiq shar
deb B  a, r   x  X :   x, a   r to’plamga aytiladi.
__________________________________________________________
*
x  Lp  a, b  a ,b| x  t  | p dt   , bu yerda integral Lebeg ma’nosida
tushuniladi. Keyingi o‘rinlarda Lebeg integrallari quyidagicha
belgilanadi:  a ,b yoki  ba
1.1.5-ta’rif. X metrik fazodagi ochiq shar B  a,   a nuqtaning
atrofi deb ataladi.
1.1.6-ta’rif. X metrik fazodagi M  X to‘plam biror shar ichiga
joylashsa bu to‘plam chegaralangan deyiladi.
1.1.1-misol . R 2 , R12 , R2 fazolarda metrika quyidagicha aniqlanadi:
 R  x, y  
2
x1  y1  x2  y2 ,
2
2
R  x, y   x1  y1  x2  y2
2
1
R  x, y   max  x1  y1 , x2  y2 
2

bu yerda x   x1 , x2  , y   y1 , y2  . R 2 fazoda ikki nuqta orasidagi masofa bu
nuqtalarni tutashtiruvchi to‘g‘ri chiziq kesmasidan iborat ; R12  fazoda
esa bu kesmaning koordinata o‘qlariga proeksiyalari yig‘indisidan iborat
R 2  fazoda esa proeksiyalarning kattasi olinadi.
1.1.2-misol .
Chizma. 1
R 2 , R12 , R2 fazolarda x   2, 1 nuqtadan y  1,3 nuqtagacha bo‘lgan
masofalar (Chizma. 1):
R  x, y   2  1|2   1  3|2  9  16  5
2
R  x, y   2  1   1  3  7
2
1
R  x, y   max  2  1 ,  1  3   4
2

R np , l p 1  p    metrik fazolarda x   0,0,,0, nuqta x  0 kabi
belgilanadi va fazoning noli deb ataladi.
1.1.3-misol. Quyidagi ochiq sharni B  0,1  {x  X :   x,0   1}
R 2 , R12 , R2 fazolarda qaraylik:


R 2 da B  B  0,1  x  X :   x,0   x12  x22  1 ,
R12 da B1  B  0,1  x  X :   x,0  x1  x2  1, ,


R 2 da B  B  0,1  x  X :   x,0   max  x1 , x2   1 .
Bu to‘plamning geometrik tasviri chizma 2 da tasvirlangan.
Chizma. 2
1.1.4-misol .  X ,   diskret fazoda markazi a  X
bo‘lgan shar quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
nuqtada
a ,
B  a , r   { x  X :   x , a   r}  
 X,
a ,
B  a , r    x  X :   x, a   r   
 X,
r  1,
r  1,
r  1,
r  1.
1.1.5-misol . l fazoda M  x : x   x1 , x2 ,, xn , , xn  1, n N
to‘plamni qaraylik. B  0,1  M  B 0,1 munosabat o’rinli ekanligini
ko’rsatamiz. Haqiqatdan ham ,


B 0,1  x : x   x , x ,, x , ,sup x  1.
B  0,1  x : x   x1 , x2 ,, xn , ,sup xn  1 ,
n
1
2
n
n
n
Agar x  B  0,1 bo‘lsa, x  M .Bu orqali
1 
 1 2
x   0, , ,,1  ,  M va x  B  0,1.
n 
 2 3
Agar x  M bo‘lsa, x  B  0,1 . Bu orqali
x  1,0,0,  B 0,1 va x  M .
Barcha natural sonlar to‘plami N da aniqlangan funksiyaga X metrik
fazodagi nuqtalar ketma-ketligi deyiladi va quyidagicha belgilanadi:
x , x 

n
n
n 1
yoki xn  n  N  , xn , n  1,2,.
x  n   X ning n - qiymatiga ketma-ketlikning xn - hadi deyiladi.
M  X – X metrik fazoning qism to‘plami bo‘lsin. Ushbu yozuv
xn   M nuqtalari M to‘plamda ekanligni ifodalaydi. Sonli ketmaketliklar quyidagicha belgilanadi  x1 , x2 ,, xn , .
1.1.7-ta’rif.  xn   X ketma-ketlik x  X  xn  x  nuqtada
yaqinlashadi deyiladi , agar quyidagi shart o‘rinli bo‘lsa
  xn , x   0 n   .
x nuqta yaqinlashish nuqtasi va
ketma-ketlik deyiladi.
x 
n
ketma-ketlik esa yaqinlashuvchi
1.1.6-misol.


1
1 1 1

xn   2 , 2 , 2 ,, 2 ,0,0,0, , n  N ketma-ketlik
n
n n n

n


l1 va l2 fazolarda x  0 nuqtada yaqinlashadi, ya’ni n  
l  xn ,0   n 
1
l  xn ,0   n 
2
1 1
  0,
n2 n
1
1

 0.
4
n
n3
1.1.7-misol.


1 1 1 1

xn   , , , ,0,0,....  , n  N ketma-ketlik
n n n n

n


l2 fazoda x  0 nuqtada yaqinlashadi, ammo l1 fazoda nol nuqtada
yaqinlashuvchi emas.
Haqiqatdan ham,
l  xn ,0   n 
2
1
1

 0 ; n  .
2
n
n
1
n
l  xn ,0   n   1 Ѕ 0; n   .
1
1.1.8-misol. X – Diskret metrik fazo bo‘lsin.  xn   X ketma-ketlik
hadlari uchun shunday N N nomer topilib ixtiyoriy n  N larda xn  x
munosabat o‘rini bo‘lsa,  xn   X ketma-ketlik x  X nuqtada
yaqinlashadi deyiladi.aqat va faqat (u holda
nomerdan keyin stansionar saqlanadi).
 x  ketma-ketlik
n
biror N
1.1.1-Xulosa.  metrika o‘zining argumenti bo‘yicha uzluksiz
funksiyadir,
xn  x, yn  y    xn , yn     x, y .
n
Uchburchak aksiomasidan
  xn , yn     xn , x     x, y     yn , y  ,
Bundan
  xn , yn     x, y     xn , x     yn , y .
O‘z-o‘zidan kelib chiqadiki
  x, y     xn , x     xn , yn     yn , y  .
  x, y     xn , yn     xn , x     yn , y .
Shuning uchun tengsizlik
  x, y     xn , yn     xn , x     yn , y  ,
undan talab qilingan tasdiq kelib chiqadi.
1.1.8-ta’rif. Agar ixtiyoriy radiusli B  x,   ,   0 sharda M  X
to‘plamga tegishli bo‘lgan a  M nuqta topilsa, x  X nuqta M  X
to‘plamning urinish nuqtasi deyiladi.
Bu ta’rif quyidagi ta’rif bilan ekvivalent.
1.1.8* -ta’rif. Agar x ga yaqinlashuvchi  xn   M ketma-ketlik
topilaversa x  X nuqta M  X to‘plamning urinish nuqtasi deyiladi
1.1.9-ta’rif. x  X nuqta M  X to‘plamning limit nuqtasi
deyiladi, agar ixtiyoriy B  x,   ,   0 sharda kamida bitta a  M , a  x
nuqta mavjud bo‘lsa.
Bu ta’rif quyidagi ta’rif bilan ekvivalent.
1.1.9 * -ta’rif. Ixtiyoriy B  x,   ,   0 sharda M to‘plamning
cheksiz ko‘p elementlari joylashsa x  X nuqta M  X to‘plamning
limit nuqtasi deyiladi.
1.1.9**-ta’rif. Agar M  X to‘plamda x ga yaqinlashuvchi
xn   M ketma-ketlik mavjud bo‘lib, xn  x, n  N shart o‘rinli bo‘lsa
x  X tuqta M  X to‘plamning limit nuqtasi deyiladi.
M to‘plamning barcha limit nuqtalaridan tuzilgan to‘plam M  orqali
belglanadi.
1.1.10-ta’rif.   0 son uchun B  x,    M  x munosabat o‘rinli
bo‘lsa , x  M nuqta M  X to‘plamning yakkalangan nuqtasi deyiladi.
1.1.11-ta’rif. Biror   0 son uchun B  x,    M munosabat o‘rinli
bo‘lsa, x nuqta M  X to‘plamning ichki nuqtasi deyiladi.
1.1.12-ta’rif. Agar ixtiyoriy sharda B  x,   ,   0 , shunday a  M va
b  X ‚ M nuqtalar topilaversa x  X nuqta M  X to‘plamning chetki
nuqtasi deyiladi .
1.1.13-ta’rif. M to‘plamning barcha ichki nuqtalardan tuzilgan to‘plam
M to‘plamning ichi deyiladi va M 0 kabi belgilanadi.
1.1.14-ta’rif. M to‘plamning barcha chetki nuqtalaridan tuzilgan
to‘plam M to‘plamning chegarasi deyiladi va quyidagicha belgilanadi
M .
1.1.22-misol. fazolarda quyidagi 3 ta to‘plamni qaraylik (Chizma. 3):
A1  1, b  : b R,
A2   a, b  : a  1, b R,
A3   a, b  : a 2  b2  1.
Chizma. 3
x0   0,0  nuqtadan A1 , A2 to‘plamlargacha bo‘lgan masofalar ko‘rsatilgan
fazolarda quyidagicha qiymatlarni qabul qiladi:
 R  x0 , A1   inf

x0 , y   inf 1 | b |2  1,

R
yA
bR
2
2
1
 R  x0 , A1   inf
 R  x0 , y   inf
1  b   1,
yA
bR
2
1
1
2
1
1

 R  x0 , A1   inf
 R  x0 , y   inf
max 1, b  
y A
bR
2
2

 b , b  1,
 inf 
 1,
1, b  1,
 R  x0 , A2   inf
 R  x0 , y   inf
1|2  b |2  1,
yA
bR
2
2
2
 R  x0 , A2   inf
 R  x0 , y   inf
 1  b   1,
yA
bR
2
1
2
1
2
 b , b  1,
 R  x0 , A2   inf
 R  x0 , y   inf
max  1 , b   inf

y A
bR
bR
2
1,  b  1,
2


2
 1.
A3 to‘plamni qaraylik. Ko‘rinib turibdiki
R  x0 , A3   inf
R  x0 , y   inf
yA
2
2
3
a2 b2 1
a |2  b |2  1 munosabat o’rinli
Quyidagini ko‘rsatamiz
R  x0 , A3   inf
R  x0 , y   inf  a  b   1.
yA
2
1
2
1
3
a2 b2 1
Yopiq chegaralangan  a, b  : a 2  b2  1, a  0, b  0 to‘plamda u  a  b
funksiyaning eng kichik qiymatini qidiramiz.
Lagranj funksiyasini tuzib olamiz
F  a, b   a  b    a 2  b2  1
to‘plamdagi shartli stansionar nuqtalarini qidiramiz. Sistemani yechamiz
 1 1 
u funksiyaning  0,1 , 1,0  , 
,
 nuqtalardagi qiymatlarini
 2 2
qaraylik:
 1 1 
u  0,1  1, u 1,0   1, u 
,
 2
2
2


Bu holda u funksiyaning qaralayotgan to’plamda ko‘rsatilgan minimum
qiymati 1 ga teng. Quyidaginini ko‘rsatamiz
b , a  b ,
R  x0 , A3   inf
R  x0 , y   inf max  a , b   inf 
yA
a  b 1
a b 1
2

2
3

2
2
2
2
a , a  b ,
Haqiqatdan ham chizma.4 dan ko‘rish mumkinki , funksiya

1
.
2
b , a  b ,
u  a, b   
a , a  b ,
birlik aylanada eng kichik qiymatini qabul qiladi va u a  b 
bo‘lganda
1
2
1
ga teng.
2
4-chizma.
1.1.23-misol. R 2 fazoda x0   0,0  nuqtaga eng yaxshi yaqinlashuvchi
A1 , A2 , A3 to‘plamning elementini toping 1.1.22 -misolga ko‘ra
(5-chizma.):
5-chizma.
1) A1 to‘plam uchun yagona y0  1,0  nuqta;
2) A2 to‘plam uchun ikkita y0   1,0  nuqtalar;
3) A3 to‘plam uchun markazi x0   0,0  nuqtadagi aylana ustidagi
cheksiz ko‘p y0 nuqtalar.
R 12 fazoda x0   0,0  nuqtaga A1 , A2 , A3 to‘plamning eng yaxshi
yaqinlashish nuqtasi 1.1.22 -misoldan quyidagi nuqta bo‘ladi (6-chizma. ):
1) yagona y0  1,0  nuqta A1 to‘plam uchun;
2) ikkita y0   1,0  nuqta A2 to‘plam uchun;
3) to‘rtta y0   1,0  , y0   0, 1 nuqta A3 to‘plam uchun.
6-chizma.
R 2 fazoda A1 , A2 , A3 to‘plamning x0   0,0  nuqtaga eng yaxshi
yaqinlashuvchi elementi 1.1.22 -misol ga ko‘ra quyidagi nuqtalar bo‘ladi
(7-chizma. ):
1) cheksiz ko‘p nuqtalar y0  1, b  , b  1 , A1 to‘plam uchun;
2) cheksiz ko‘p nuqtalar y0   1, b  , b  1 , A2 to‘plam uchun;




3) to‘rtta nuqta y0  1/ 2, 1/ 2 , y0  1/ 2, 1/ 2 , A3
to‘plam uchun.
7-chizma.
1.1.24-misol. Agar a  t   2t bo‘lsa, C 0,1 fazoda a  C 0,1 nuqtadan
A  x  C 0,1 : x  t   c, c R to‘plamgacha bo‘lgan   a, A masofani
aniqlang.
1.1.18 -ta’rifga ko‘ra,
  a, A  inf
  a, x  ,
xA
bunda
  a, x   max
2t  c  F  c .
0t 1
Hisob-kitoblar orqali quyidagiga ega bo‘lamiz
2  c, c  1,
F c  
 c, c  1
Bundan ko‘rinadiki,
  a, A  inf
  a, x   min
F  c   1.
xA
cR
Demak,   a, A  1 va x  t   1 – A to‘plam elementlai orasida yagona
eng yaxshi element a nuqtaga yaqinlashuchchi.
1. Masalalar
1.1.1.  : X  X  R funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirishini
isbotlang:
  x, y   0  x  y
  x, y     x, z     y, z 
ixtiyoriy x, y, z  X ,  – X fazodagi metrika.
1.1.2. Ixtiyoriy X metrik fazoda to‘rtburchak tengsizligi bajarilishini
isbotlang:
  a, b     c, d     a, c    b, d  ,
bunda a, b, c, d  X .
1.1.3. Quyidagi funksiyalar haqiqiy sonlar to‘plamida metrika
aniqlaydimi?:
  x, y   x  y
1)   x, y   x 2  y 2 ;
2)   x, y   arctg x  y ;
  x, y   e x  e y
3)   x, y   arctgx  arctgy ;
4)   x, y   e x  y ?
1.1.4. Qanday shartda uzluksiz f  t  t R funksiya haqiqiy sonlar
to‘plamida metrika aniqlaydi?
  x, y   f  x   f  y 
1.1.5.
 X ,   – Metrik
fazo bo‘lsin. U holda quyidagi
1  x, y  
  x, y 
1    x, y 
1) 2  x, y   min 1,   x, y   ,
3  x, y   ln 1    x, y  
funksiyalar X to‘plamda metrika shartlarini qanoatlantirishini isbotlang.
1.1.6. Metrik fazoda katta radiusli shartni kichik radiusli shar ichiga
joylashtirish mumkinmi?
1.1.7. X metrik fazoda B  x,7  shar B  y,3 shar ichida joylashsin. u
holda B  x,7   B  y,3 ekanligini isbotlang.
1.1.8. {x  R : 0  x  1} to‘plam
1) ochiq;
2) yopiq;
3) ochiq va yopiq;
4) ochiq ham yopiq ham bo’lmaydigan
bo‘ladigan metrik fazolarga
misollar keltiring
1.1.9. Ixtiyoriy X metrik fazoda yagona nuqtali  x  X to‘plam yopiq
ekanligini isbotlang.  x to‘plam mavjud va ochiq bo‘ladigan X metik
fazoga misol keltiring.
1.1.10. x - R 1 fazodagi M to‘plamning yakkalangan nuqtasi bo‘lsin. u
holda x M bo‘ishini isbotlang. Bu tenglik noto‘g‘ri bo‘ladigan metrik
fazga -misol keltiring.
1.1.11. R 1 fazoda M to‘plamning yakkalangan nuqtalari sanoqlida ko‘p
bo‘lmasligini isbotlang.
1.1.12. Biror to‘plamning yakkalangan maxsus nuqtalari sanoqsiz
bo‘lgan metrik fazoga misol keltiring.
1.1.13. Quyidagilar o‘rinli bo‘ladigan metrik fazolarga -misol keltiring
1) shunday ochiq shar mavjud va u yopiq to‘plam bo‘lsin, lekin
shunday radiusli yopiq shar yopiq to‘plam bo‘lmasin;
2) shunday yopiq shar mavjud va u ochiq to‘plam bo‘lsin, lekin
shunday radiusli ochiq shar ochiq to‘plam bo‘lmasin.
1.1.14. M – haqiqiy sonlarning tayinlangan to‘plami bo‘lsin.
AM  x  C  a, b : x t   M t a, b .
Agar M to‘plam R 1 fazoda yopiq bo‘lsa, AM to‘plam C  a, b fazoda
yopiq va M to‘plam R 1 fazoda ochiq bo‘lsa, AM to‘plam C  a, b
fazoda ochiq to‘plam bo‘lishini isbotlang.
1.1.15. A va B - X metrik fazodagi ixtiyoriy to‘plamlar uchun quyidagi
tasdiqlar o‘rinlimi?:
1) A  B  A  B
2) A  B  A  B ?
1.1.16. Har qanday metrik fazoda ochiq sharning B  a,   yopilmasi
B  a,   yopiq sharni o‘zida saqlashini isbotlang. Bu munosabat qat’iy
saqlanadimi?
1.1.17. Kantor to‘plamining 1)yakkalangan; 2) ichki nuqtalari mavjudmi?
1.1.18. Agar M  X to‘plam o‘zining barcha M  M chekki
nuqtalarini o‘zida saqlasa, yopiq bo‘lishini isbotlang..
1.1.19. M  X bo‘lsa, u holda M – yopiq to‘plam ekanligini
isbotlang.
1.1.20. M  X bo‘lsa, u holda M  – yopiq to‘plam ekanligini
isbotlang.
1.1.21. M  X bo‘lsa, M 0 – ochiq to‘plam ekanligini isbotlang.
1.1.22. M  X bo‘lsin. U holda M 0 to‘plam M to‘plamdagi barcha
ochiq to‘plamlarning birlashmasi ekanligini isbotlang.
1.1.23. M  X bo‘lsin. U holda M to‘plam M to‘plamdagi barcha
yopiq to‘plamlarning kesishmasi ekanligini isbotlang.
1.1.24. M  X bo‘lsa, M  M   X ‚ M  bo‘lishini ko‘rsating.
1.1.25. M  X – ochiq to‘plam bo‘lsin. Ixtiyoriy N  X to‘plam uchun
quyidagi munosabat o‘rinli ekanligini isbotlang
M  N  M  N.
1.1.26. Quyidagi munosabat o‘rinli bo‘ladigan M , N  R 1 to‘plamlarga misol keltiring
 M  N    M  N   .
1.1.27. M  X – yopiq to‘plam bo‘lsa, M 0  M ekanligini ko‘rsating.
Shunday yopiq M 1 va M 2 to‘plamlarga -misol keltiringki, ular uchun
quyidagi M10  M1 va M 20  M 2 munosabatlar o‘rinli bo‘lsin.
0
1.1.28. M  X – ochiq to‘plam bo‘lsa, M  M ekanligini ko‘rsating.
Shunday ochiq M 1 va M 2 to‘plamlarga -misol keltiringki, ular uchun
0
quyidagi M 1  M 1 va M 2  M 2
0
munosabatlar o‘rinli bo‘lsin.
1.1.29. M  to‘plam M  R 1 to‘plamning limit nuqtalaridan tuzilgan
sanoqli bo‘lsa, M to‘plam ham sanoqli ekanligini ko‘rsating.
1.1.30. X metrik fazodagi M to‘plamning barcha nuqtalari
yakkalangan bo‘lsa, M to‘plam yopiq bo‘ladimi?
1.1.31. R 1 fazoda sanoqli bo‘lgan M xn , n  1,2, , va quyidagi
shartlarni qanoatlantiruvchi to‘plam quring:
1) M to‘plamning barcha nuqtalari ya to‘plamning barcha nuqtalari
yakkalangan nuqta;
2) n   intilganda   xn , xn1   0
3) M to‘plamning limit nuqtasi mavjud bo‘lmasin.
1.1.32. X  c0 , l1 , l2 , l fazoda M  x  X : x   x1 ,, xn , to‘plamning
chegaralanganligini va yopiqligini ta’rif yordamida tekshiring:
1) xn  1, n N
2) 10n1 xn  1; xn  1, n  10 ;
3) n1 xn  1
4) 2n1 xn  0; xn 
1
,n  2
2n
1
5) xn  , n  N
n
6) x2 n  0, x2 n1  1, n  N ;
7) xn  1, n N ;
1
8) x2 n  , x2 n1  1, n  N
n
1
9) 100
x  1; xn  , n  100
n 1 n
n
xn 
10)
11)
1
,nN
3n
1
xn  n, n  1,2,, N 0 ; xn  , n  N 0 , N 0  N  tayinlangan
n
son;
12)
xn 
1
, n N .
n
1.1.33. Quyidagi to‘plamlarni chegaralanganlik va yopiqlikka
ta’rif yordamida tekshiring:
a) C 0,1 fazoda :
1) M   y : y  x   kx, k 0,2 ;
2) M   y : y  x   kx2 , k 1,3 ;
3) M   y : y  x   xn , n  1,2, ;
4) M  { y : y  C 0,1, y  x   1 barcha x  0,1} ;
5) M   y : y  C1 0,1, y  0  0 ;
6) M   y : y  C 0,1, y  0  0 ;
7) M   y : y  C 0,1, y  0  0, y 1  1 ;
8) M   y : y  C1 0,1, y  0  y 1 ;
9) M   y : y  C 0,1, y  0   y 1 ;
10)
M   y : y  x   kx  1, k   0,2 ;
11)
M   y : y  x   x  k , k   2,3 ;
12)
M  y : y  x   sin  x  e  x ,  2,3 ,  1,4  ;
13)
M   y : y  x   cos  x   3e x , 1,3,   2 ;


b)  Q,   x, y   x  y  fazoda:
14)
M   x : x  Q,0  x  1 ;
M  x : x  Q,2  x2  3
15)
c) R 1 fazoda :
16)
M   x : x  Q,2  x  3 ;
17)
M  x : x  Q,3  x2  5 .
1.1.34. Butun son o‘qida uzluksiz bo‘lgan f funksiya berilgan bo‘lsin .
a – tayinlangan son bo‘lsa, quyidagini isbotlang:
1) M a  x  R : f  x   a to‘plam R 1 fazoda yopiq;
2) M a  {x  R : f  x   a} to‘plam R 1 fazoda ochiq.
1.1.35. M   f  C  a, b : f  x0   1, (bunda x0   a, b  – tayinlangan
son) to‘plam C  a, b fazoda yopiq ekanligini ko‘rsating.Bu to‘plam
chegaralanganmi?
1.1.36. R 1 fazoda quyidagi to‘plamlarni ochiq yoki yopiq ekanligini
aniqlang:
1 Z butun sonlar to‘plami;
2 Q ratsional sonlar to‘plami;
3 R ‚ Q irratsional sonlar to‘plami?
1.1.37. pn  t   a0  a1t  ant n
P  a, b    a, b kesmadagi haqiqiy koeffistli ak  k  0,1,, n  , n N
barcha ko‘phadlar to‘plami bo‘lsin. U holda P  a, b  to‘plam C  a, b
fazoda ochiq emasligini isbotlang va yopilmasini toping P  a, b  .
1.1.38. M - X , x0  X metric fazodagi ixtiyoriy to‘plam bo‘lsin. u holda
  x0 , M   0 munosabat faqat va faqat x0  M bo‘lgandagina o‘rinli
bo‘lishini isbotlang.
1.1.39. M - X , x  M metrik fazodagi yopiq to‘plam uchun quyidagi
munosabat o‘rinli ekanligini ko‘rsating :   x, M   0 .
1.1.40. M - X metrik fazodagi ixtiyoriy to‘plam bo‘lsin , u holda
quyidagini isbotlang x0  X ;   x0 , M    x0 , M .


1.1.41. X metrik fazoda x  1,0  nuqtadan M   y : y   0,  , R
to‘plamgacha bo‘lgan   x, M  masofani aniqlang . Bunda:
1) X  R 2
2) X  R12 ;
3) X  R2 .
x nuqtaga eng yaxshi yaqinlashuvchi M to‘plamning elementi
mavjudmi?
1.1.42. l2 fazoda x   0,0, nuqtadan M to‘plamgacha bo‘lgan
  x, M  masofani aniqlang




1




M   x : x   0,0,,0,1  ,0,...  , n  1,2,.
n




n




x nuqtaga eng yaxshi yaqinlashuvchi M to‘plamning elementi
mavjudmi?
1.1.43. C 0,1 fazoda a  C 0,1 nuqtadan A  x : x  t   c, c R
to‘plamgacha bo‘lgan   a, A masofani aniqlang:
1) a  t   t
2) a  t   t
3) a  t   3t
4) a  t   t  1
5) a  t   1  t
2
6) a  t   t .
a nuqtaga eng yaxshi yaqinlashuvchi A to‘plamning elementi
mavjudmi ?
1.1.44. A va B –to‘plamlar X metrik fazoda yopiq to‘plamlar bo‘lsa,
1) X  R 1
2) X  R 2
3) X  l2 .
Agar A  B   bo‘lsa,   A, B   0 bo‘lishi mumkinmi?
1.1.45. A  x : x   0,  , R B  { y : y   ,1/   ,   R va   0}
to‘plamlar R 2 fazoda yopiqmi?   A, B  masofani aniqlang.




1.1.46. A   x : x   0,0,...,1,0,0,...  , n  1,2,




n


va




1




B   x : x   0,0,...,1  ,0,0,...  , n  1,2,
n




n




to‘plamlar l2 fazoda yopiqmi ?   A, B  masofani aniqlang.
1.1.47. 1) l2 ,2  c0 ,3 l fazolarda
M  x : x   x1 , x2 ,, xn ,0,0, , xn  R, n  N to‘plamning M yopig‘ini
toping.
1.1.48. l p (1  p   ) fazoda M to‘plamni qaraylik, bunda to‘plam M
nuqtalari x   x1 , x2 ,, xn ,  l p , barcha xn koordinatalar musbat. M
to‘plam ochiqmi?
1.1.49. l p (1  p   ) fazoda M to‘plamni qaraylik, bunda to‘plam M
nuqtalari x   x1 , x2 ,, xn ,  l p , barcha xn koordinatalar nomanfiy. M
to‘plam yopiqmi?
1.1.50. Agar Ei – to‘plamlar yopiq bo‘lsa, to‘plamning E  i Ei yopiq
to‘plam ekanligini ta’rif yordamida isbotlang .Bu tasdiq ochiq
to‘plamlar uchun o‘rinlimi?
1.1.51. Agar Ei – to‘plamlar ochiq bo‘lsa, E  i Ei to‘plamning ochiq
to‘plam ekanligini ta’rif yordamida isbotlang . Bu tasdiq yopiq
to‘plamlar uchun o‘rinlimi?
1.1.52.  p ,   metrikalar mos ravishda R np ,1  p   , va R n
fazolarning metrikalari bo‘lsin. U holda quyidagi tenglik o‘rinli
ekanligini isbotlang
  x, y   lim
 p  x, y  .
p 
1.1.53. a   a1 ,, an ,  l p ,1  p   , b   b1 ,, bn ,  lq , bunda
1/ p  1/ q  1 . Gyolder tengsizligi bajarilishini isbotlang
1
1
  a p  p   b q q .
a
b

 i   i 

i i
i 1
 i 1
  i 1


1.1.54. x  Lp  a, b ,1  p   , y  Lq  a, b , bunda 1 / p  1 / q  1 .
Gyolderning integral tengsizligini isbotlang
b

b
 x  t  y  t  dt   | x  t  |
a
i
a
p
1
p
1
q
 

dt   | y  t  |q dt  .
 a

b