Guiões de Cálculo I - Agrupamento 2
Guião 5
Séries Numéricas
Paula Oliveira
2020/21
Universidade de Aveiro
Conteúdo
8 Revisão sobre sucessões de números reais
8.1 Conceito de sucessão . . . . . . . . . . . . .
8.2 Sucessões monótonas . . . . . . . . . . . . .
8.3 Sucessões limitadas . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Progressões aritméticas e geométricas . . .
8.4.1 Progressões aritméticas . . . . . . .
8.4.2 Progressões geométricas . . . . . . .
8.5 Convergência de uma sucessão . . . . . . .
8.5.1 Limites notáveis . . . . . . . . . . .
8.5.2 Propriedades aritméticas dos limites
8.5.3 Teoremas sobre limites . . . . . . . .
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1
1
2
3
4
4
5
6
8
8
8
9 Séries Numéricas
9.1 Definição e convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Série Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Séries redutı́veis ou de Mengoli . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Propriedades das séries numéricas . . . . . . . . . . . . .
9.4.1 Condição necessária de convergência . . . . . . .
9.4.2 Propriedades aritméticas das séries . . . . . . . .
9.5 Séries de termos não negativos: critérios de convergência
9.5.1 Critérios de convergência: critério do integral . .
9.5.2 Critério de Comparação . . . . . . . . . . . . . .
9.5.3 Critério de Comparação por Passagem ao Limite
9.6 Convergência simples e absoluta . . . . . . . . . . . . .
9.7 Séries alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7.1 Critério de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.8 Critérios D’Alembert e de Cauchy . . . . . . . . . . . .
9.8.1 Critério de D’Alembert ou do quociente . . . . .
9.8.2 Critério de Cauchy ou da raiz . . . . . . . . . . .
9.9 Aproximação da soma de uma série convergente . . . . .
9.9.1 Método do quociente . . . . . . . . . . . . . . . .
9.9.2 Majoração do resto para séries alternadas . . . .
9.10 Exercı́cios de Capı́tulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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14
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18
18
19
22
23
25
26
28
29
29
30
30
32
33
34
35
37
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Capı́tulo 8
Revisão sobre sucessões de números
reais
O estudo das séries numéricas pressupõe o conhecimento do tópico Sucessões de Números Reais. Para além dos
manuais utilizados no ensino secundário, podem também consultar na wiki Matemática Elementar o capı́tulo
sobre sucessões onde encontram, para além dos conceitos fundamentais, alguns exercı́cios resolvidos.
Referimos de seguida os conceitos fundamentais e propomos alguns exercı́cios.
8.1
Conceito de sucessão
Definição 8.1. Uma sucessão é uma função de domı́nio N1 . Se o conjunto de chegada é R, então designa-se
por sucessão real.
Portanto, uma sucessão real é uma função
u: N
n
→ R
7→ u(n) = un
que se denota usualmente por (un )n∈N .
ˆ un é o termo geral (define a expressão analı́tica da sucessão, por exemplo un = 2n − 1),
ˆ n é a ordem do termo un ,
ˆ {un : n ∈ N} é o conjunto dos seus termos (ou seja, é o contradomı́nio da sucessão).
Por exemplo, a sucessão de termo geral an = 2n é a função em que a imagem de cada número natural é o
dobro desse número: a imagem de 1 é 2, a imagem de 2 é 4, e assim sucessivamente. Obtém-se a sequência
2, 4, 6, 8, . . .
Exercı́cio resolvido 8.1.1. Dada a sucessão real (an )n∈N definida por an =
(a) Determine o termo de ordem 8.
(b) Averigúe se 5/2 é termo da sucessão.
(c) Mostre que, se n > 10, então an > 0.
Resolução:
(a) Basta substituir n por 8 no termo geral:
a8 =
Logo o 8 termo é
1
2·8−9
7
=
.
8+3
11
7
11 .
O domı́nio poderá ser N0 ou um outro subconjunto de N infinito e ordenado
1
2n − 9
,
n+3
CAPÍTULO 8. REVISÃO SOBRE SUCESSÕES DE NÚMEROS REAIS
2
(b) Pretende-se saber se existe n ∈ N tal que an = 5/2. Para tal, devemos resolver a equação
2n − 9
5
= , com n ∈ N.
n+3
2
Então
2n − 9
5
4n − 18 − 5n − 15
−n − 33
= ⇔
=0⇔
= 0 ⇔ n = −33 ∧ n 6= −3.
n+3
2
n+3
n+3
Como −33 ∈
/ N, a equação anterior é impossı́vel em N e concluı́mos que 5/2 não é termo da sucessão.
(c) Se n > 10, então 2n − 9 > 2 · 10 − 9 = 11 e n + 3 > 10 + 3 = 13. Logo, para n > 10, as expressões 2n − 9 e
n + 3 são positivas e atendendo a que o quociente de dois números positivos é ainda um número positivo,
provámos o pretendido.
Definição 8.2. Uma subsucessão de (un )n∈N é uma sucessão que se obtém de (un )n∈N suprimindo alguns
dos seus termos, mas mantendo a ordem, e denota-se por (unk )k∈N .
1
Por exemplo, se un = (−1)n , então u2n = 1 é uma subsucessão de (un )n∈N ; se vn = n + , uma sua subsucessão
n
1
1
é vn+5 = n + 5 + n+5
e uma outra é v3n = 3n + 3n
.
8.2
Sucessões monótonas
Definição 8.3. Seja (an )n∈N uma sucessão real. A sucessão é monótona
ˆ crescente se an+1 − an ≥ 0, para todo n ∈ N;
ˆ decrescente se an+1 − an ≤ 0, para todo n ∈ N;
ˆ estritamente crescente se an+1 − an > 0, para todo n ∈ N;
ˆ estritamente decrescente se an+1 − an < 0, para todo n ∈ N.
Por exemplo, a sucessão an =
1
é estritamente decrescente, uma vez que
n
an+1 − an =
1
1
−1
− =
< 0, para todo o n ∈ N.
n+1 n
n(n + 1)
Observemos que toda a sucessão estritamente crescente (respetivamente “estritamente decrescente”) é crescente
(respetivamente “decrescente”). Uma sucessão constante, por exemplo, un = 4 é simultaneamente crescente e
decrescente, sendo portanto monótona.
Exercı́cio resolvido 8.2.1. Estude a monotonia das sucessões de termo geral:
√
(a) an = 3 + n.
(b) cn = n2 − 11n + 10.
Resolução:
√
√
(a) Devemos estudar o sinal de an+1 − an . Como n + 1 > n, então n + 1 > n. Logo,
√
√
√
√
an+1 − an = [3 + n + 1] − [3 + n] = n + 1 − n > 0,
e portanto a sucessão é monótona crescente.
(b) Como cn+1 − cn = 2n − 10 e esta expressão toma valores positivos ou negativos (por exemplo, se n = 3,
2n − 10 < 0, e c4 < c3 ; mas se n = 6, então 2n − 10 > 0 e portanto c7 > c6 ), dependendo do valor de n,
concluı́mos que a sucessão dada não é monótona.
Exercı́cio 8.2.1 Estude a monotonia das sucessões de termo geral:
n+2
;
n+1
(b) dn = (−2)n ;
e1 = 4
(c)
.
en+1 = en + 2n + 1, n ∈ N
(a) bn =
CAPÍTULO 8. REVISÃO SOBRE SUCESSÕES DE NÚMEROS REAIS
8.3
3
Sucessões limitadas
Definição 8.4. Uma sucessão (an )n∈N é
ˆ limitada superiormente se existe M ∈ R tal que an ≤ M , para todo n ∈ N;
ˆ limitada inferiormente se existe m ∈ R tal que an ≥ m, para todo n ∈ N;
ˆ limitada se existem m, M ∈ R tais que que m ≤ an ≤ M , para todo n ∈ N.
M é um majorante e m um minorante do conjunto dos termos da sucessão.
Podemos ainda usar outra definição de sucessão limitada, muito útil no caso de sucessões que tenham termos
positivos e negativos.
Definição 8.5. Uma sucessão é limitada se existe M ∈ R+ tal que |an | ≤ M , para todo n ∈ N.
Exercı́cio resolvido 8.3.1. Prove que são limitadas as sucessões
(a) an =
2
;
n
(b) bn = (−1)n
2n
.
n+3
Resolução:
(a) Como n ≥ 1, então 0 < 1/n ≤ 1. Logo 0 < 2/n ≤ 2 e portanto 0 é um minorante do conjunto dos termos
da sucessão e 2 um majorante.
(b) Podemos escrever a sucessão dada como

2n


n + 3,
bn =

2n

−
,
n+3
se n é par
se n é ı́mpar
Além disso, efetuando a divisão de 2n por n + 3, obtemos
2n
6
2n
6
=2−
e −
= −2 +
.
n+3
n+3
n+3
n+3
Logo, para n par:
n≥2⇒n+3≥5⇒0<
6
6
6
6
≤ ⇒− ≤−
<0⇒
n+3
5
5
n+3
4
6
≤2−
< 2.
5
n+3
Para n ı́mpar, obtemos
n≥1⇒n+3≥4⇒0<
6
6
3
6
1
≤ = ⇒ −2 < −2 +
≤− .
n+3
4
2
n+3
2
Portanto −2 < bn < 2, ou seja, a sucessão (bn )n é limitada.
Exercı́cio resolvido 8.3.2. Considere a sucessão definida por an =
n+8
.
n+1
(a) Mostre que a sucessão é decrescente.
(b) Mostre que a sucessão é limitada.
Resolução:
(a) Uma vez que an+1 − an =
−7
< 0, provámos o pretendido.
(n + 2)(n + 1)
(b) Uma vez que a sucessão é monótona decrescente, o seu primeiro termo, a1 = 9/2, é um majorante do
conjunto dos termos da sucessão. Facilmente se vê que, para todo n ∈ N, an > 0. Logo 0 é um minorante
e concluı́mos assim que 0 < an ≤ 9/2.
CAPÍTULO 8. REVISÃO SOBRE SUCESSÕES DE NÚMEROS REAIS
Exercı́cio 8.3.1 Considere a sucessão definida por un =
4
2n − 3
.
3n + 4
1. Mostre que a sucessão é monótona crescente;
2. Prove que a sucessão é limitada.
Exercı́cio 8.3.2 Considere a sucessão definida por un = cos
nπ
.
5
1. A sucessão é monótona? Justifique.
2. A sucessão é limitada? Justifique.
8.4
Progressões aritméticas e geométricas
As progressões são sucessões especiais em que os seus termos estão relacionados por uma constante designada
razão. Devido à sua utilização nas séries numéricas, merecem aqui um estudo mais profundo.
8.4.1
Progressões aritméticas
Definição 8.6. Seja (an )n∈N uma sucessão. Dizemos que a sucessão é uma progressão aritmética de razão
r ∈ R se a diferença entre quaisquer dois termos consecutivos da sucessão é constante, i.e.,
an+1 − an = r, ∀n ∈ N.
Se a razão for zero, r = 0, trata-se de uma sucessão constante.
Por exemplo, a sucessão un = 2n − 3 é uma progressão aritmética de razão 2 pois un+1 − un = 2.
A sucessão de termo geral vn = 1/n não representa uma progressão aritmética porque vn+1 − vn =
1
n(n + 1)
não é constante (a diferença depende de n).
Da definição decorre que uma progressão aritmética é sempre monótona, sendo crescente ou decrescente consoante r é não negativo ou não positivo, respetivamente.
Teorema 8.1. O termo geral de uma progressão aritmética (an )n∈N de razão r ∈ R é dado por
an = a1 + (n − 1)r, ∀n ∈ N.
Logo, se conhecermos o primeiro termo da progressão e a razão, podemos determinar o seu termo geral.
8.4.1.1
Soma de n termos de uma progressão aritmética
Dada uma sucessão (an )n∈N , definimos S1 , S2 , S3 , . . . , Sn como sendo
S1 =
S2 =
S3 =
..
.
a1
a1 + a2
a1 + a2 + a3
Sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an
Sn representa a soma dos n primeiros termos da sucessão (an )n∈N .
Teorema 8.2. Se (an )n∈N é uma progressão aritmética, então
Sn =
n
X
ak = a1 + a2 + · · · + an =
k=1
a1 + an
n.
2
Podemos generalizar esta fórmula para o caso em que se pretende calcular a soma dos termos consecutivos da
sucessão:
ak + ak+1 + ak+2 + · · · + an ,
k ≤ n.
Neste caso viria
ak + ak+1 + ak+2 + · · · + an =
ak + an
(n − k + 1) .
|
{z
}
2
número de termos
Notação:
n
X
i=k
ai = ak + ak+1 + ak+2 + · · · + an .
CAPÍTULO 8. REVISÃO SOBRE SUCESSÕES DE NÚMEROS REAIS
5
Exercı́cio resolvido 8.4.1. Sabendo que (un )n∈N é uma progressão aritmética e que u5 = −7 e u12 = −28,
(a) determine a razão da progressão;
(b) escreva a expressão do termo geral da sucessão;
(c) determine a soma dos 20 primeiros termos da sucessão;
(d) calcule
50
X
ui .
i=3
Resolução:
(a) Uma vez que u5 = u1 + (5 − 1)r e u12 = u1 + (12 − 1)r, então substituindo pelos valores dados, vem
−7 = u1 + 4r
r = −3
⇔
−28 = u1 + 11r
u1 = 5
Logo a razão é r = −3 e o primeiro termo é u1 = 5.
(b) O termo geral é dado por un = u1 + (n − 1)r = 5 + (n − 1)(−3) = −3n + 8.
(c) A soma consecutiva dos 20 primeiros termos é igual a
S20 =
u1 + u20
· 20 = −470.
2
(d) Notemos que o número de termos da soma é igual a 50 − 3 + 1 e portanto
50
X
i=3
8.4.2
ui =
u3 + u50
(50 − 3 + 1) = −3432.
2
Progressões geométricas
Definição 8.7. Seja (an )n∈N uma sucessão. Dizemos que a sucessão é uma progressão geométrica de razão
r 6= 0 se o quociente entre quaisquer dois termos consecutivos é constante, i.e.,
an+1
= r, ∀n ∈ N.
an
Notemos que se r = 1 temos uma sucessão constante.
Teorema 8.3. O termo geral de uma progressão geométrica (an )n∈N de razão r ∈ R \ {0} é dado por
an = a1 rn−1 , ∀n ∈ N.
8.4.2.1
Soma de n termos de uma progressão geométrica
Teorema 8.4. Se (an )n∈N é uma progressão geométrica de razão r 6= 1, então
Sn = a1 + a2 + · · · + an =
n
X
ak = a1
k=1
1 − rn
.
1−r
De um modo geral,
ak + ak+1 + · · · + an =
n
X
ai = ak
i=k
Exercı́cio resolvido 8.4.2. Dada a sucessão definida por
un =
5 · 2n
,
3n+1
(a) Mostre que (un )n∈N representa uma progressão geométrica.
(b) Calcule S18 .
1 − rn−k+1
.
1−r
CAPÍTULO 8. REVISÃO SOBRE SUCESSÕES DE NÚMEROS REAIS
6
Resolução:
(a) Devemos começar por determinar o quociente
un+1
un
Como
un+1
:
un
5 · 2n+1
n+2
5 · 2n+1 · 3n+1
2
= .
= 3 n = n+2
5·2
3
· 5 · 2n
3
3n+1
2
un+1
é constante, a sucessão dada é uma progressão geométrica de razão r = .
un
3
(b) A soma é igual a
S18
18
10
1 − r18
10 1 − 23
=
= u1
=
·
1−r
9
3
1 − 32
18 !
2
1−
.
3
Exercı́cio 8.4.1 Sabendo que (an )n∈N é uma progressão geométrica com a1 = 3 e a6 = 96,
(a) Determine a razão da progressão geométrica.
(b) Escreva o termo geral da sucessão.
(c) Calcule
30
X
ai .
i=10
8.5
Convergência de uma sucessão
Consideremos a sucessão real an = 1 +
1
. O seu gráfico é o seguinte:
n
2
1
0
1
2
4
6
8
10
12
14
Figura 8.1: Gráfico da sucessão an = 1 + 1/n.
O que se verifica é que, à medida que n aumenta, o valor de an aproxima-se de 1. Escrevemos lim an = 1 ou
n→+∞
simplesmente lim an = 1.
Definição 8.8. Seja (an )n∈N uma sucessão real. Dizemos que a sucessão é convergente para o número real
L se
∀ > 0, ∃N ∈ N : n ≥ N ⇒ |an − L| < e escreve-se lim an = L.
Se tal número real L não existe, dizemos que a sucessão é divergente.
Teorema 8.5. O limite de uma sucessão, se existir, é único.
Por exemplo, tomemos as três sucessões, un = (−1)n , vn = 2n − 6 e tn = 1 +
(−1)n
.
n
CAPÍTULO 8. REVISÃO SOBRE SUCESSÕES DE NÚMEROS REAIS
7
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
−1
Figura 8.2: Gráfico da sucessão un = (−1)n
Os termos da sucessão (un )n vão oscilando entre −1 e 1 consoante n é ı́mpar ou par, respetivamente. Uma vez
que o limite de uma sucessão quando existe é único, concluı́mos que esta sucessão não tem limite. A sucessão é
divergente.
A sucessão (vn )n (ver gráfico 8.3) tem limite +∞, lim vn = +∞, portanto é uma sucessão divergente.
14
12
10
8
6
4
2
0
2
4
6
8
10
12
−2
−4
Figura 8.3: Gráfico da sucessão vn = 2n − 6
No caso da sucessão (tn )n os termos da sucessão oscilam em torno de 1. A sucessão é convergente para 1, isto
é,
(−1)n
lim 1 +
=1
n
1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Figura 8.4: Gráfico da sucessão tn = 1 +
18
(−1)n
n
Definição 8.9. Se lim an = +∞ dizemos que a sucessão (an )n é um infinitamente grande positivo. Formalmente dizemos,
lim an = +∞ ⇔ ∀M ∈ R, ∃N ∈ N : n ≥ N ⇒ an > M.
CAPÍTULO 8. REVISÃO SOBRE SUCESSÕES DE NÚMEROS REAIS
8
Se lim an = −∞ a sucessão diz-se um infinitamente grande negativo. Formalmente temos:
lim an = −∞ ⇔ ∀M ∈ R, ∃N ∈ N : n ≥ N ⇒ an < M ;
Se lim an = 0 a sucessão é um infinitésimo. Formalmente,
lim an = 0 ⇔ ∀ > 0, ∃N ∈ N : n ≥ N ⇒ |an | < .
8.5.1
Limites notáveis
Segue a lista de alguns limites “notáveis”, i.e., alguns dos limites frequentemente usados e cuja determinação
nem sempre é simples.
√
ˆ lim n a = 1, onde a > 0;
√
√
ˆ lim n n = 1. Uma generalização deste resultado é lim n np = 1, para todo o p ∈ N;

se −1 < a < 1

 =0

=1
se a = 1
n
ˆ lim a
=
+∞
se
a>1



não existe
se a ≤ −1
un
a
a n
= ea . Este resultado pode ser generalizado a lim 1 +
= ea sendo (un )n uma
ˆ lim 1 +
n
un
sucessão com limite +∞.
8.5.2
Propriedades aritméticas dos limites
Sejam (an )n e (bn )n duas sucessões convergentes, tais que lim an = a e lim bn = b, com a, b ∈ R. Então
1. lim(an ± bn ) = a ± b;
2. lim(an · bn ) = a · b;
a
an
= se b 6= 0;
3. lim
bn
b
Observação 8.1. Na aplicação destas regras deve ter-se em conta que só se aplicam a sucessões convergentes.
Por exemplo,
lim(an · bn ) = lim(an ) · lim(bn )
se ambos os limites existirem. Contudo, lim(−1)n não existe mas lim((−1)n · n1 ) existe e é 0.
Observação 8.2. No caso de um dos limites ser infinito, podemos considerar as regras seguintes.
Se a = ±∞ e b ∈ R, então:
ˆ lim(an ± bn ) = ±∞;
ˆ Se b 6= 0 então lim(an · bn ) = ±∞, dependendo do sinal de b.
an
ˆ Se b 6= 0 então lim
= ±∞, dependendo do sinal de b.
bn
8.5.3
Teoremas sobre limites
Teorema 8.6. Toda a sucessão limitada e monótona é convergente.
Este resultado não nos permite determinar o limite mas garante a sua existência. Frequentemente é usado em
sucessões definidas por recorrência.
Exemplo 8.5.1. Consideremos a sucessão definida por recorrência por
√
√
u1 = 2 un+1 = 2 + un .
Esta sucessão é limitada pois 0 < un < 2, qualquer que seja n ∈ N. Os termos são positivos pela própria
definição da sucessão: u1 > 0 e un+1 > 0 (já que se trata de uma raiz quadrada). Para provar que un < 2
vamos usar o método de indução:
√
ˆ u1 = 2 < 2;
CAPÍTULO 8. REVISÃO SOBRE SUCESSÕES DE NÚMEROS REAIS
9
√
ˆ Supondo que un < 2 vamos mostrar que un+1 < 2. Como un+1 = 2 + un e por hipótese un < 2, temos
√
√
un+1 = 2 + un < 2 + 2 = 2.
Vejamos agora que esta sucessão é monótona estudando o sinal de un+1 − un , ou seja, o sinal de
√
un+1 − un = 2 + un − un .
√
Efetivamente, 2 + un − un > 0:
√
2 + un − un > 0 ⇔ 2 + un > u2n ⇔ −1 < un < 2.
Como a sucessão é monótona e limitada, o teorema 8.6 permite concluir que a sucessão é convergente.
Teorema 8.7. Sejam (an )n e (bn )n duas sucessões convergentes para a e b respetivamente. Se a partir de certa
ordem, se verifica an ≤ bn , então a ≤ b.
Teorema 8.8. (Teorema das sucessões enquadradas) Dadas três sucessões (an )n∈N , (bn )n∈N e (cn )n∈N
tais que
1. an ≤ bn ≤ cn , a partir de certa ordem;
2. lim an = lim cn ,
então existe lim bn e lim an = lim bn = lim cn .
Teorema 8.9. O produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada é um infinitésimo.
Teorema 8.10. Toda a subsucessão de uma sucessão convergente é convergente para o mesmo limite.
Exercı́cio 8.5.1 Calcule o limite das seguintes sucessões:
(a) an =
3n − 5
.
n+1
(b) bn =
4n5 + 3n2 − n − 5
.
3n2 − 2n + 10
(c) cn = −n2 + n + 7.
2n − 3n+2
.
2n−1 + 3n+1
(e) en = sen(nπ).
nπ (f ) fn = sen
.
2
(d) dn =
(−1)n+3 n + 1
.
n3 + 1
p
p
(h) hn = n2 + 2n + 3 − n2 + 2n.
(g) gn =
(i) in =
(2n + 1)!n!
.
(2n − 1)!(n + 1)!
sen n
.
n
n
n+1
(m) mn =
.
n+4
(j) jn =
Exercı́cio 8.5.2 Seja (an )n∈N a sucessão definida por recorrência
(
a1 = 3
1
an+1 = an + 4, para n ≥ 1
2
Sabendo que a sucessão converge, determine o seu limite.
Exercı́cio 8.5.3 Sejam a ∈] − 1, 1[ e b ∈ R. Considere a sucessão (sn )n∈N de termo geral
sn = b(1 + a + a2 + . . . + an−1 ).
Mostre que
lim sn =
b
.
1−a
Exercı́cio 8.5.4
Calcule o limite da sucessão cujos primeiros termos são
r q
q
√
√
√
2, 2 2, 2 2 2, . . .
CAPÍTULO 8. REVISÃO SOBRE SUCESSÕES DE NÚMEROS REAIS
10
Exercı́cio 8.5.5 Escreva os 5 primeiros termos das seguintes sucessões:
3 · (−1)n
;
n!
nπ ;
2. an = cos
4
1. an =
3. a1 = 4 e an+1
4. an =
n
X
(−1)i ;
i=1
1
5. an = +
2
1
=
, n ∈ N;
1 + an
2
n
1
1
+ ··· +
.
2
2
Exercı́cio 8.5.6 Estude a monotonia de cada uma das seguintes sucessões e verifique se são limitadas:
n
n
1
3
3
1. an = n ;
;
4. an = 1 −
5
2
2
6. an =
;
2n − 3
n!
2. an =
;
3n + 4
nπ (−1)n
n2 + 1
;
5. an = 3 +
;
7. an =
.
3. an = cos
2
n
n
Exercı́cio 8.5.7 Averigúe se cada uma das seguintes sucessões é convergente ou divergente, e no caso de
convergência, indique o respetivo limite.
1. an = n(n − 1);
4. an =
2n
;
3n+1
6. an =
2
3 + 5n
;
n + n2
√
n
;
3. an =
n+1
2. an =
1+
3
n+2
2n+1
7. an = ln(n + 1) − ln(n);
n
5. an =
(−1) (n + 2)
;
n3 + 4
8. an =
cos2 (n)
.
2n
;
CAPÍTULO 8. REVISÃO SOBRE SUCESSÕES DE NÚMEROS REAIS
11
Soluções dos exercı́cios
Exercı́cio 8.2.1
(a) Devemos estudar o sinal de bn+1 − bn :
bn+1 − bn =
(n + 1) + 2
(n + 3)(n + 1) − (n + 2)(n + 2)
n+2
−1
−
=
=
.
(n + 1) + 1
n+1
(n + 2)(n + 1)
(n + 2)(n + 1)
Como n ∈ N, então n + 2 > 0 e n + 1 > 0 resulta que bn+1 − bn < 0, logo (bn )n∈N é monótona decrescente.
(b) Atendendo a que d1 = −2, d2 = 4 e d3 = −8, então d1 < d2 e d2 > d3 . Portanto a sucessão é não monótona.
(c) Uma vez que
en+1 = en + 2n + 1 ⇔ en+1 − en = 2n + 1
e 2n + 1 é sempre positivo, concluı́mos que a sucessão dada é monótona crescente.
Exercı́cio 8.3.2 Não é monótona mas é limitada.
Exercı́cio 8.4.1
(a) a6 = 96 ⇔ 3 · r5 = 96 ⇔ r5 = 32 ⇔ r = 2. Logo a razão é igual a 2.
(b) O termo geral é an = a1 · rn−1 = 3 · 2n−1 .
(c) Notemos que o número de termos da soma é igual a 30 − 10 + 1 = 21,
30
X
ai = a10
i=10
1 − 221
= 3 · 29 (221 − 1).
1−2
.
Exercı́cio 8.5.1
(a)
(b)
(c)
(d)
5
5
n 3−
3−
n
3−0
3n − 5
n
= lim
lim
= lim =
= 3.
1
n+1
1+0
1
1+
n 1+
n
n
1
5
3
2
1
5
n 4n + 3 − − 2
4n3 + 3 − − 2
n
n
4n5 + 3n2 − n − 5
n
n
= +∞.
lim
= lim
= lim
2
10
3n2 − 2n + 10
2
10
3− + 2
n2 3 − + 2
n
n
n
n
1
7
lim (−n2 + n + 7) = lim n2 −1 + + 2 = −∞.
n
n
|
{z
}
↓
−1
n
n
2
2
3n
− 32
− 32
n
n+2
3
3
2 −3
0−9
= lim n
n
lim n−1
= lim
=
= −3.
2
+ 3n+1
0+3
2
2
3n
· 2−1 + 3
· 2−1 + 3
3
3
(e) Como sen(nπ) = 0, para todo n ∈ N, então lim en = 0.
(f ) Observe-se que:
π
=1
2
= sen π = 0
3π
= sen
= −1
2
= sen 2π = 0
ˆ Se n é da forma 1 + 4k, vem, f1+4k = sen
ˆ Se n é da forma 2 + 4k, vem, f2+4k
ˆ Se n é da forma 3 + 4k, vem, f3+4k
ˆ Se n é da forma 4 + 4k, vem, f4+4k
com k = 0, 1, 2, . . ..
Então fn toma somente os valores 1, 0, −1. Logo não existe limite da sucessão dada porque podemos escolher
subsucessões de (fn )n com limites distintos.
−n + 1
n+1
−n + 1
n+1
(g) Para n par, gn = 3
e para n ı́mpar, gn = 3
. Como lim 3
= lim 3
= 0, resulta que lim gn = 0.
n +1
n +1
n +1
n +1
CAPÍTULO 8. REVISÃO SOBRE SUCESSÕES DE NÚMEROS REAIS
12
(h) Para determinar o limite multiplica-se a expressão pela sua “conjugada”:
√
√
√
√
p
p
( n2 + 2n + 3 − n2 + 2n)( n2 + 2n + 3 + n2 + 2n)
2
2
√
√
lim( n + 2n + 3 − n + 2n) = lim
n2 + 2n + 3 + n2 + 2n
Aplicando a diferença de quadrados, vem
(n2 + 2n + 3) − (n2 + 2n)
3
√
√
lim √
= lim √
= 0.
n2 + 2n + 3 + n2 + 2n
n2 + 2n + 3 + n2 + 2n
(i) lim
(2n + 1)(2n)(2n − 1)!n!
(2n + 1)(2n)
(2n + 1)!n!
= lim
= lim
= +∞
(2n − 1)!(n + 1)!
(2n − 1)!(n + 1)n!
n+1
(j) Como −1 ≤ sen n ≤ 1, então
−1
sen n
1
≤
≤ . Pelo teorema das sucessões enquadradas, como
n
n
n
lim
concluı́mos que lim
1
−1
= lim = 0
n
n
sen n
= 0.
n
−3
n+1
=1+
. Logo
n+4
n+4
"
n
n+4 −4 #
n+1
−3
−3
lim
= lim
· 1+
= e−3 · 1−4 = e−3 .
1+
n+4
n+4
n+4
(m) Procedendo à divisão de n + 1 por n + 4, obtemos
Exercı́cio 8.5.2 Designemos por L o valor do limite. Como a sucessão converge, lim an = lim an+1 e portanto
1
1
an + 4 ⇔ L = L + 4 ⇔ L = 8.
lim an+1 = lim
2
2
Logo a sucessão converge para 8.
Exercı́cio 8.5.3 Se a = 0, é óbvio.
Suponhamos agora que a 6= 0. Uma vez que 1 + a + a2 + . . . + an−1 é a soma consecutiva de termos de uma progressão
geométrica de razão a, então
1 − an
1 + a + a2 + . . . + an−1 =
.
1−a
1
. Logo
Como |a| < 1, esta sucessão converge para
1−a
lim sn =
b
.
1−a
Exercı́cio 8.5.4 Designemos por an o termo geral desta sucessão. Então
1
a1 = 2 2
1
1
1
1
2
= 22+4
a2 = 2 · 2 2
1
1
1
1
1
1
2
a3 = 2 · 2 2 + 4
= 22+4+8
..
.
De um modo geral
1+ 1
22
an = 2 2
Como
+ 13 +...+ 21n
2
.
1
1
1
1
+ 2 + 3 + ... + n
2
2
2
2
é a soma consecutivas dos termos de uma progressão geométrica de razão 1/2, temos que
!
1 n
1
1
1
1
1 1− 2
lim
+ 2 + 3 + . . . + n = lim
·
= 1,
2
2
2
2
2
1 − 21
1 + 1 + 1 +...+ 1
lim 2
2
3
2n
então lim an = 2
Exercı́cio 8.5.5
2
2
= 21 = 2.
CAPÍTULO 8. REVISÃO SOBRE SUCESSÕES DE NÚMEROS REAIS
1
;
1. a1 = −3, a2 = 23 , a3 = − 12 , a4 = 81 , a5 = − 40
√
2. a1 =
2
,
2
a2 = 0, a3 = −
√
2
,
2
a4 = −1, a5 = −
3. a1 = 4, a2 = 15 , a3 = 65 , a4 =
6
,
11
a5 =
√
2
;
2
11
;
17
4. a1 = −1, a2 = 0, a3 = −1, a4 = 0, a5 = −1;
5. a1 = 21 , a2 = 43 , a3 = 87 , a4 =
15
,
16
a5 =
31
.
32
Exercı́cio 8.5.6
1.
2.
3.
4.
Monótona decrescente e limitada;
Monótona crescente e limitada;
Não monótona e limitada;
Monótona e não limitada;
5. Não monótona e limitada;
6. Monótona decrescente e limitada;
7. Monótona crescente e não limitada.
Exercı́cio 8.5.7
1. Divergente para +∞;
5. Convergente, lim an = 0;
2. Convergente, lim an = 5;
6. Convergente, lim an = e6 ;
3. Convergente, lim an = 0;
7. Convergente, lim an = 0;
4. Convergente, lim an = 0;
8. Convergente, lim an = 0.
13
Capı́tulo 9
Séries Numéricas
9.1
Definição e convergência
Definição 9.1. Seja (an ) uma sucessão de números reais. Chama-se série numérica de termo geral an à
“soma de todos os termos da sucessão (an )n ”:
∞
X
X
a1 + a2 + a3 + · · · + an + · · · =
an =
an
n=1
n≥1
A sucessão das somas parciais (Sn )n associada a esta série é a sucessão definida por
S1 = a1
S2 = a1 + a2
..
.
Sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an
..
.
Escreve-se geralmente, Sn =
n
X
ak .
k=1
Sn representa a soma de todos os termos da sucessão (an )n até ao termo de ordem n.
Um exemplo de série é a série harmónica dada por
1+
onde an =
1
n
e Sn =
∞
X
1 1 1
1
1
+ + + ··· + + ··· =
.
2 3 4
n
n
n=1
n
X
1
.
k
k=1
Definição 9.2. Dizemos que uma série
∞
X
ak é convergente se
k=1
lim Sn existe e é finito, caso em que é
n→+∞
designado por soma da série e escrevemos
∞
X
k=1
ak = lim Sn
n→+∞
Se (Sn )n é uma sucessão divergente, dizemos que a série é divergente.
Exemplo 9.1.1. Consideremos a série
+∞
X
(−1)n . Vamos mostrar que esta série é divergente.
n=1
O seu termo geral é an = (−1)n e a sucessão das somas parciais é dada por
S1
S2
S3
S4
..
.
= a1 = (−1)1 = −1
= a1 + a2 = (−1)1 + (−1)2 = 0
= a1 + a2 + a3 = (−1)1 + (−1)2 + (−1)3 = −1
= a1 + a2 + a3 + a4 = (−1)1 + (−1)2 + (−1)3 + (−1)4 = 0
14
CAPÍTULO 9. SÉRIES NUMÉRICAS
15
Se repararmos, S2n−1 = −1 e S2n = 0, logo a sucessão (Sn )n não converge, já que
lim S2n−1 = −1
Então a série
+∞
X
e
lim S2n = 0
(−1)n é divergente.
n=1
Exemplo 9.1.2. A série
+∞
X
α, com α ∈ R apenas converge se α = 0, caso contrário é divergente.
n=1
Note-se que
Sn =
n
X
α = nα
k=1
e portanto, se
ˆ Se α = 0, Sn = 0 que é uma sucessão convergente com limite 0;
ˆ Se α 6= 0, vem Sn = nα.
– Se α < 0, lim Sn = −∞;
– Se α > 0, lim Sn = +∞.
+∞
X
em ambos os casos a sucessão (Sn )n é divergente, e portanto a série
α é divergente.
n=1
Exemplo 9.1.3. Consideremos a série de termo geral an =
+∞ X
1
n
n=1
−
1
1
−
,
n n+1
1
n+1
Vamos mostrar que se trata de uma série convergente.
Comecemos por construir a sucessão das somas parciais, (Sn )n :
S1 = a1 =
1
1
−
S2 = a1 + a2 =
1
2
1
1
=1−
−
1
2
S3 = a1 + a2 + a3 =
1
1
1
2
+
−
1
2
1
2
−
+
1
3
1
2
=1−
−
1
3
1
3
+
1
3
−
1
4
=1−
1
4
S4 = a1 + a2 + a3 + a4 = 11 − 12 + 21 − 31 + 31 − 14 + 41 − 15 = 1 − 51
...
1
1
Sn = a1 + a2 + . . . + an = 11 − 12 + 12 − 13 + . . . + n−1
− n1 + n1 − n+1
=1−
...
1
n+1
O limite da sucessão (Sn )n é dado por
1
lim 1 −
n+1
=1
logo a série é convergente e a sua soma é 1:
+∞ X
1
n=1
9.2
n
−
1
n+1
=1
Série Geométrica
Se a sucessão (an )n for uma progressão geométrica a série
+∞
X
an diz-se uma série geométrica. A razão r ∈ R
n=1
da progressão geométrica é aqui designada por razão da série geométrica.
Como o termo geral de uma progressão geométrica se pode escrever usando o seu 1º termo, a, e a razão, r,
an = arn−1 , podemos escrever a série geométrica na forma
a + ar + ar2 + · · · + arn−1 + · · · =
∞
X
n=1
arn−1 =
∞
X
n=0
arn
CAPÍTULO 9. SÉRIES NUMÉRICAS
16
Note-se que o termo geral da sucessão das somas parciais1 é dado por

na,
se r = 1
Sn =
1 − rn
a
, se r 6= 1
1−r
Conclui-se assim que, para a 6= 0:
∞
X
arn−1 converge se e só se |r| < 1
n=1
e nesse caso
∞
X
arn−1 = lim Sn =
n=1
a
1−r
Note-se que


0
n
lim r = +∞


não existe
se |r| < 1
se r > 1
se r ≤ −1
e se r = 1 o limite de (Sn )n é +∞ se a > 0 e −∞ se a < 0.
n
+∞ X
99
é convergente e que a sua soma é 100.
Exemplo 9.2.1. Provemos que a série geométrica
100
n=0
n
99
99
A sucessão do termo geral, an =
, é uma progressão geométrica de razão
e primeiro termo a0 = 1.
100
100
A sucessão das somas parciais (Sn )n é dada por
k
n+1 !
n 99 n+1
X
1 − 100
99
99
Sn =
=1
= 100 1 −
99
100
100
1 − 100
k=0
99
< 1 a sucessão (Sn )n converge e o seu limite é 100.
100
n
+∞ X
99
Podemos então dizer que a série
converge e que a sua soma é 100,
100
n=0
Como
n
+∞ X
99
= 100.
100
n=0
Exercı́cio 9.2.1 Verifique se as seguintes séries são convergentes e em caso afirmativo calcule a sua soma
1.
+∞
X
(−1)n
n=1
9.3
n
3
e
2.
+∞ n−1
X
2
3n
n=1
Séries redutı́veis ou de Mengoli
Uma série
∞
X
an diz-se redutı́vel (ou de Mengoli ou ainda telescópica) se o seu termo geral se puder escrever
n=1
numa das seguintes formas:
an = un − un+p
ou an = un+p − un
onde (un ) é uma sucessão e p ∈ N.
É fácil mostrar que no caso em que an = un − un+p
Sn =
p
X
k=1
1
uk −
n+p
X
uk = u1 + · · · + up − (un+1 + · · · + un+p )
k=n+1
Ver secção 8.4.2.1 sobre a soma dos termos de uma progressão geométrica.
CAPÍTULO 9. SÉRIES NUMÉRICAS
17
pelo que a série é convergente se lim (un+1 + · · · + un+p ) for finito.2 Vejamos alguns exemplos.
n→+∞
Exemplo 9.3.1. Considere a série
+∞
X
ln
n=1
ln
n
. Usando as propriedades dos logaritmos, podemos escrever
n+1
n
n+1
= ln (n) − ln (n + 1)
e portanto a série dada é redutı́vel com un = ln (n) e p = 1:
+∞
X
ln
n=1
n
n+1
=
+∞
X
(ln(n) − ln(n + 1))
n=1
Construindo a sucessão das somas parciais temos:
S1
S2
S3
S4
..
.
= a1 = ln 1 − ln 2 = 0 − ln 2 = − ln 2
= a1 + a2 = ln 1 − ln 2 + ln 2 − ln 3 = ln 1 − ln 3 = − ln 3
= a1 + a2 + a3 = ln 1 − ln 2 + ln 2 − ln 3 + ln 3 − ln 4 = ln 1 − ln 4 = − ln 4
= a1 + a2 + a3 + a4 = ln 1 − ln 2 + ln 2 − ln 3 + ln 3 − ln 4 + ln 4 − ln 5 = ln 1 − ln 5 = − ln 5
Sn = a1 + a2 + · · · + an = ln 1 − ln 2 + ln 2 − ln 3 + · · · + ln(n − 1) − ln n + ln n − ln(n + 1) = − ln(n + 1)
..
.
Assim, o termo geral da sucessão das somas parciais é
Sn = − ln(n + 1)
Para estudar a natureza da série (convergência ou divergência) determinamos o limite da sucessão (Sn )n :
lim Sn = lim (− ln(n + 1)) = −∞
Assim, a sucessão (Sn )n é divergente e, consequentemente, a série
+∞
X
ln
n=1
+∞ X
n+2
n
n+1
é divergente.
n+5
.
3n
3 (n + 3)
n=1
Comecemos por observar que se trata de uma série redutı́vel (ou de Mengoli) com
Exemplo 9.3.2. Consideremos a série
−
an = un − un+3 , com un =
n+2
3n
Assim, o termo geral da sucessão das somas parciais é dado por
Sn =
n X
k+2
k+5
−
3k
3 (k + 3)
k=1
=
=
n X
k+2
k=1
(k + 3) + 2
−
3k
3 (k + 3)
=
3 4 5
n+3
n+4
n+5
+ + −
−
−
3 6 9 3 (n + 1) 3 (n + 2) 3 (n + 3)
Observação 9.1. Para ajudar a chegar à expressão de Sn podemos pensar da seguinte forma
n X
k+2
3k
k=1
2
=
3 4 5
6
n+2
+ + +
+ ··· +
3 6 9 12
3n
De forma análoga, no caso em que an = un+p − un
sn =
n
X
k=1
pelo que a série é convergente se
n+p
X
ak =
k=n+1
uk −
p
X
uk = un+1 + · · · + un+p − (u1 + · · · + up )
k=1
lim (un+1 + · · · + un+p ) for finito.
n→+∞
CAPÍTULO 9. SÉRIES NUMÉRICAS
e
18
n X
k+5
6
7
n+2
n+3
n+4
n+5
−
=− −
− ··· −
−
−
−
3 (k + 3)
12 15
3n
3 (n + 1) 3 (n + 2) 3 (n + 3)
k=1
Então,
Sn =
n X
k+2
3k
k=1
−
(k + 3) + 2
3 (k + 3)
=
3 4 5
n+3
n+4
n+5
+ + −
−
−
3 6 9 3 (n + 1) 3 (n + 2) 3 (n + 3)
O limite da sucessão das somas parciais é
3 4 5
n+3
n+4
n+5
3 4 5 1 1 1
11
lim Sn = lim
+ + −
−
−
= + + − − − =
3 6 9 3 (n + 1) 3 (n + 2) 3 (n + 3)
3 6 9 3 3 3
9
11
,
9
e portanto a série é convergente e a sua soma é
+∞ X
n+2
n+5
−
3n
3 (n + 3)
n=1
=
11
9
Exercı́cio 9.3.1 Determine a soma (se existir) das seguintes séries:
1.
+∞ X
1
n=1
9.4
n
−
1
n+5
+∞
X
1
n(n + 1)
n=1
2.
3.
+∞
X
n=2
n2
2
−1
Propriedades das séries numéricas
Teorema 9.1. As séries
∞
X
∞
X
an e
n=1
an = ap+1 + ap+2 + · · · , ∀p ∈ N
n=p+1
têm a mesma natureza (ou são ambas convergentes ou são ambas divergentes).
Por outras palavras, a natureza de uma série não depende dos seus primeiros termos.
p
n
n
X
X
X
0
0
Como Sn =
ak e Sn =
ak (com n > p + 1), temos Sn = Sn +
ak , e, portanto, se existir um dos
k=1
k=p+1
k=1
limites o outro também existe:
lim Sn = lim Sn0 +
n
n
p
X
ak .
k=1
Observe-se contudo, que as somas são distintas, em caso de convergência:
S=
∞
X
n=1
9.4.1
an
e
S0 =
∞
X
an = S −
n=p+1
Condição necessária de convergência
Teorema 9.2. Se a série
∞
X
an é convergente, então lim an = 0.
n→∞
n=1
Demonstração. Basta observar que
ˆ Sn =
n
X
ak
e
Sn−1 =
k=1
n−1
X
ak
k=1
ˆ Sn − Sn−1 = an
ˆ lim Sn = lim Sn−1
para concluir que
lim an = lim(Sn − Sn−1 ) = 0
p
X
k=1
ak
CAPÍTULO 9. SÉRIES NUMÉRICAS
19
O resultado anterior é considerado como um primeiro critério de convergência de uma série. Na verdade, o
critério é útil na sua forma contrapositiva isto é:
∞
X
Se lim an 6= 0 ou não existir então
n→∞
an é divergente.
n=1
revelando-se, assim, como um “critério de divergência”. Note-se que se lim an = 0, nada se pode concluir
n→∞
sobre a natureza da série.
+∞
X
Exemplo 9.4.1. Consideremos a série
(−1)n onde an = (−1)n .
n=1
Como
lim an = lim(−1)n não existe
não pode ser zero, logo, podemos afirmar que a série é divergente.
Exemplo 9.4.2. Seja
Calculemos o limite de
+∞
X
ln
n=1
an :
n
n+1
a série de termo geral an = ln
lim ln
n
n+1
n
.
n+1
= ln 1 = 0
Pela condição necessária de convergência nada podemos concluir.
+∞
X
n
Contudo, vimos no exemplo 9.3.1 que a série
ln
diverge.
n+1
n=1
n
n
+∞ X
99
99
tem como termo geral an =
e
100
100
n=0
Exemplo 9.4.3. A série
lim
99
100
n
=0
Pela condição necessária de convergência nada podemos concluir, contudo, vimos no exemplo 9.2.1 que a série
converge.
Caso o limite do termo geral da série seja diferente de zero (ou não exista) podemos afirmar que a série diverge.
Caso esse limite seja zero, nada se pode concluir quanto à convergência. Daı́ a desiganção de condição necessária
(mas não suficiente!) de convergência.
Exercı́cio 9.4.1 Analise a natureza das séries seguintes à luz da condição necessária de convergência:
1.
+∞
X
1
n
n=1
9.4.2
2.
+∞
X
√
n
n
3.
n=1
+∞
X
1
1+
n=1
7
10
n
4.
rn , com r ∈ R
n=0
Propriedades aritméticas das séries
Teorema 9.3. Sejam
Então a série
∞
X
∞
X
an e
n=1
∞
X
bn duas séries numéricas convergentes com somas A e B respetivamente.
n=1
(an + bn ) é convergente e
n=1
∞
X
(an + bn ) =
n=1
∞
X
n=1
an +
∞
X
bn = A + B.
n=1
Caso as séries sejam divergentes as conclusões são diferentes.
∞
∞
∞
X
X
X
Se
an é convergente e
bn é divergente, então a série
(an + bn ) é divergente.
n=1
+∞
X
n=1
n=1
Contudo, se ambas as séries forem divergentes, nada se pode concluir.
CAPÍTULO 9. SÉRIES NUMÉRICAS
20
Exemplo 9.4.4. Considere as séries
+∞
X
an =
n=1
+∞
X
+∞ X
n+1
n
−
n+2 n+3
n=1
+∞
X
e
bn =
n=1
+∞ X
π n+1
−
5
n=1
+∞
X
π
bn é uma série geométrica de razão r = − .
5
n=1
n=1
Vamos verificar que são ambas convergentes.
+∞
X
A série
an tem como sucessão das somas parciais
an é uma série redutı́vel e
n=1
n X
k+1
1 n+1
k
−
= −
Sn =
k+2 k+3
3 n+3
k=1
e portanto
lim Sn = lim
Assim, a série
=
1
2
−1=− .
3
3
2
an é convergente e tem soma − , isto é,
3
n=1
an =
n=1
+∞
X
+∞
X
+∞
X
A série
1 n+1
−
3 n+3
+∞ X
n
n+1
2
−
=− .
n
+
2
n
+
3
3
n=1
bn é geométrica e a sua razão satisfaz a condição |r| = −
n=1
π
< 1, portanto é convergente. A sua
5
b1
, ou seja,
1−r
soma é dada por
π 2
+∞ −
X
n+1
π
π2
5 π =
bn =
=
−
5
25 + 5π
1− −
n=1
n=1
5
+∞
X
A série
+∞
X
2
π2
(an + bn ) é convergente e a sua soma é − +
:
3 25 + 5π
n=1
+∞
X
(an + bn ) =
n=1
+∞ X
n
n+1
π n+1
π2
2
−
+ −
=− +
.
n+2 n+3
5
3 25 + 5π
n=1
Exemplo 9.4.5. Consideremos as séries
+∞
X
n=1
A série
A série
an =
+∞ X
n
n+1
−
n+2 n+3
n=1
e
+∞
X
bn =
n=1
+∞ n
X
5
n=1
+∞
X
2
an , como vimos no exemplo 9.4.4 é convergente e tem soma − .
3
n=1
+∞
X
bn é uma série geométrica de razão
n=1
Então a série
+∞
X
5
> 1, logo divergente.
3
(an + bn ) é divergente.
n=1
Podemos usar a condição necessária de convergência para tirar esta conclusão:
n n
n+1
5
lim
−
+
= +∞
n+2 n+3
3
e portanto a condição necessária de convergência não é satisfeita.
3
CAPÍTULO 9. SÉRIES NUMÉRICAS
21
Exemplo 9.4.6. Consideremos agora as séries divergentes
+∞
X
an =
n=1
A série
+∞
X
(−1)n
+∞
X
e
n=1
+∞
X
bn =
n=1
+∞ X
(an + bn ) =
n=1
+∞ n
X
5
3
n=1
(−1)n +
n=1
n 5
3
é também uma série divergente. Podemos usar a condição necessária de convergência para tirar esta conclusão:
n 5
n
lim (−1) +
= +∞
3
e portanto a condição necessária de convergência não é satisfeita.
Exemplo 9.4.7. Consideremos agora as séries divergentes
+∞
X
an =
n=1
A série
+∞
X
+∞
X
(−1)n
+∞
X
e
n=1
bn =
n=1
+∞
X
(−1)
n+1
n=1
(an + bn ) tem como termo geral, zn = 0,
n=1
+∞
X
(an + bn ) =
n=1
+∞ X
(−1)n + (−1)
n+1
n=1
=
+∞
X
0=0
n=1
que é uma série convergente.
Resumindo:
ˆ Convergente + Convergente = Convergente;
ˆ Convergente + Divergente = Divergente;
ˆ Divergente + Divergente pode ser divergente ou convergente.
Teorema 9.4. Seja
Se
∞
X
∞
X
an uma série numérica e λ um número real.
n=1
an for convergente, com soma A, a série
n=1
∞
X
λan é convergente e tem soma λA,
n=1
∞
X
λan = λA
n=1
qualquer que seja λ ∈ R.
∞
∞
X
X
Se
an é divergente então, ∀λ ∈ R\{0}3 , a série
λan é divergente.
n=1
n=1
+∞
X
n
.
Exemplo 9.4.8.
1. Consideremos a série
50 ln
n+1
n=1
+∞
+∞
X
X
n
n
é divergente, portanto,
50 ln
é também
Como vimos no exemplo 9.3.1 a série
ln
n+1
n+1
n=1
n=1
divergente.
3
Se λ = 0, a série que se obtem é
+∞
X
n=1
0 = 0.
CAPÍTULO 9. SÉRIES NUMÉRICAS
2. A série
22
n
+∞ X
7
7
é uma série geométrica de razão r =
, portanto convergente e a sua soma é
11
11
n=1
n
+∞ 7
X
7
7
= 11 7 = .
11
4
1
−
11
n=1
A série
+∞
X
−3
n=1
7
11
n
é também convergente e a sua soma é
+∞
X
−3
n=1
7
11
n
= −3 ×
7
21
=− .
4
4
Exercı́cio 9.4.2 Verifique se as seguintes séries são convergentes e, em caso afirmativo, determine a sua soma:
1.
+∞
X
12
2
n −1
n=2
9.5
2.
n n +∞ X
10
7
+
11
3
n=1
3.
+∞ n
X
3 − 2n
4n
n=1
Séries de termos não negativos: critérios de convergência
Dizemos que a série
+∞
X
an é uma série de termos não negativos se, ∀n ∈ N, se tem an ≥ 0.
n=1
A série
A série
+∞
X
(−1)n não é de termos não negativos, já que os seus termos alternam entre positivos e negativos.
n=1
+∞ X
n=1
1
1
−
n n+1
é de termos não negativos já que
1
1
−
> 0, ∀n ∈ N.
n n+1
A série
+∞
X
cos(n) também não é de termos não negativos (por exemplo, cos 1 > 0 mas cos 2 < 0), contudo a
n=1
+∞
X
1
série
cos
é de termos não negativos, já que
n
n=1
0<
1
≤1
n
e no 1º quadrante o cosseno é positivo.
Teorema 9.5. Seja
+∞
X
an uma série de termos não negativos. Então a sucessão das somas parciais associada
n=1
à série é monótona crescente.
Demonstração. A sucessão (Sn )n é definida por
Sn = a1 + a2 + · · · + an .
Para estudarmos a monotonia, podemos analisar o sinal da diferença Sn+1 − Sn :
Sn+1 − Sn = an+1 ≥ 0
Portanto, a sucessão (Sn )n é monótona crescente.
Teorema 9.6. Seja
+∞
X
an uma série de termos não negativos. Então, a série é convergente se e só se a sua
n=1
sucessão das somas parciais é limitada superiormente.
CAPÍTULO 9. SÉRIES NUMÉRICAS
23
Demonstração. Comecemos por provar a implicação
Se a sucessão das somas parciais é limitada superiormente então a série converge.
Vimos no teorema anterior (Teorema 9.5) que a sucessão (Sn )n é monótona crescente. Se for limitada superiormente (sabemos que é limitada inferiormente por S1 ), usa-se o teorema 8.6 para concluir a convergência da
sucessão (Sn )n . Se esta sucessão converge a série é convergente.
Para provar a outra implicação,
Se a série converge então a sucessão das somas parciais é limitada superiormente.
Vamos assumir que a série seja convergente (isto é, existe lim Sn ). Como a sucessão das somas parciais é
monótona crescente, temos
S1 ≤ Sn ≤ lim Sn
e portanto a sucessão (Sn )n é limitada.
9.5.1
Critérios de convergência: critério do integral
Teorema 9.7. Seja
∞
X
an uma série de termos não negativos e f : [1, +∞[→ R uma função decrescente,
n=1
integrável em qualquer intervalo [1, b], b ≥ 1 e tal que f (n) = an , ∀n ∈ N. Então
∞
X
Z
an
+∞
f (x)dx
e
1
n=1
têm a mesma natureza.
Não faremos uma demonstração formal, mas as figuras ajudam a entender o critério.
A sombreado nas figuras 9.1 e 9.2 temos uma representação da área associada ao valor do integral
Z +∞
f (x) dx
1
e a tracejado as áreas dos retângulos com base 1 unidade e alturas f (i).
No caso 1 (Figura 9.1) as áreas dos retângulos tracejados podem ser dadas por
+∞
X
f (n) =
+∞
X
an
n=2
n=2
e no caso 2 (Figura 9.2) as áreas dos retângulos tracejados podem ser dadas por
+∞
X
n=1
f (n) =
+∞
X
an .
n=1
Das figuras podemos inferir que se o integral impróprio convergir (a área sombreada é finita), a série também
converge (a soma da série é um número real, não sendo necessariamente igual ao valor do integral) e se o integral
impróprio divergir (a área sombreada é infinita), a série é também divergente (a soma da série é +∞).
CAPÍTULO 9. SÉRIES NUMÉRICAS
24
f (1)
f (1)
y = f (x)
f (2)
f (2)
f (3)
f (3)
f (4)
f (5)
f (4)
f (5)
0
1
2
3
4
y = f (x)
0
5
1
2
3
4
5
Figura 9.2: Caso 2: somas superiores.
Figura 9.1: Caso 1: somas inferiores.
∞
X
1
usando o critério do integral.
n
n=1
1
Consideremos a função definida em [1, +∞[ por f (x) = que é uma função decrescente e integrável em qualquer
x
1
intervalo [1, b], b ≥ 1 e f (n) = .
n
Z +∞
1
O integral imprório
dx é divergente,
x
1
Z b
1
lim
dx = lim (ln b − ln 1) = +∞
b→+∞ 1 x
b→+∞
Exemplo 9.5.1. Vamos analisar a natureza da série
logo a série é também divergente.
Z
+∞
1
foi estudada no capı́tulo Integrais Impróprios,
α dx
x
1
onde se viu que se α > 1 o integral converge e se α ≤ 1 o integral diverge.
∞
X
1
Podemos utilizar este resultado para tirar conclusões sobre a natureza das séries
. Se α > 1 a série
α
n
n=1
converge e se 0 < α ≤ 1 a série diverge.
A natureza dos integrais impróprios de 1ª espécie
No caso de α ≤ 0, não podemos aplicar o critério do integral, já que a função não é decrescente, contudo, a
condição necessária de convergência não é satisfeita


1 se α = 0
1
lim α =

n

+∞ se α < 0
e portanto as séries são também divergentes.
Estas séries serão muito usadas no critério de comparação que estudaremos de seguida e designam-se por séries
∞
X
1
de Dirichlet. Em particular, a série
toma a designação de série harmónica.
n
n=1
Exercı́cio 9.5.1
Estude a natureza das seguintes séries:
1.
+∞
X
n
;
en2
n=1
2.
+∞
X
1
p
.
n=2 n ln(n)
CAPÍTULO 9. SÉRIES NUMÉRICAS
25
Exercı́cio 9.5.2 Indique a natureza das seguintes séries
1.
∞
X
1
2
n
n=1
9.5.2
2.
∞
X
1
3/2
n
n=1
3.
∞
X
n=1
1
√
10
n5
4.
∞
X
n−1/2
n=1
Critério de Comparação
Este critério recorre frequentemente às séries de Dirichlet como termo de comparação, já que a sua natureza é
conhecida.
Teorema 9.8. Sejam
∞
X
an e
n=1
∞
X
bn duas séries de termos não negativos tais que
n=1
0 ≤ an ≤ bn ,
∀n ≥ n0 , n0 ∈ N.
Então verificam-se as condições seguintes:
1. se
∞
X
bn converge, então
n=1
2. se
∞
X
∞
X
an também converge.
n=1
an diverge, então
n=1
∞
X
bn também diverge.
n=1
Observação 9.2. Convém notar que, se
∞
X
bn for divergente ou
∞
X
an for convergente, nada se pode concluir
n=1
n=1
sobre a natureza da outra série.
Para entendermos este resultado basta comparar os termos gerais da sucessão das somas parciais. Vamos supor
que a desigualdade 0 ≤ an ≤ bn se verifica qualquer que seja n ∈ N. Então
n
X
Sn =
ak ≤
k=1
Se a série
∞
X
n
X
bk = Tn
k=1
bn converge, existe o limite lim Tn = T ∈ R e portanto, a sucessão (Sn )n é monótona crescente
n=1
(porque an ≥ 0) e limitada (S1 ≤ Sn ≤ T ) e portanto convergente.
∞
X
Por outro lado, se
an divergir, lim Sn = +∞ (já que (Sn )n é monótona crescente) e pelo enquadramento
n=1
dos limites
lim Sn ≤ lim Tn
logo, a série
∞
X
bn é divergente.
n=1
Nota 9.5.1. É importante observar que este critério, bem como o do integral, apenas nos permitem concluir
da convergência ou divergência da série, mas não podemos dizer nada quanto ao valor da soma da série em caso
de convergência.
Exemplo 9.5.2. Vamos estudar a natureza da série
∞
X
n=1
n+
1
√
n3
, usando o critério de comparação.
Comecemos por observar que, ∀n ∈ N
√
n+
√
∞
X
n3 >
√
n3 ⇒
n+
1
√
n3
1
<√ .
n3
1
√
é uma série de Dirichlet com α > 1, logo convergente.
n3
n=1
∞
X
1
√
é também convergente.
O critério de comparação permite-nos concluir que a série
n
+
n3
n=1
Como
3
n3 = n 2 , a série
CAPÍTULO 9. SÉRIES NUMÉRICAS
26
∞
X
2 + sen(n)
é divergente.
n
n=1
Sabemos que −1 ≤ sen n ≤ 1, portanto, 1 ≤ 2 + sen n ≤ 3. Então
Exemplo 9.5.3. Vejamos que a série
2 + sen(n)
1
≤
n
n
Como a série de Dirichlet
+∞
∞
X
X
1
2 + sen(n)
é divergente, o critério de comparação permite-nos afirmar que a série
n
n
n=1
n=1
também diverge.
Exercı́cio 9.5.3 Use o critério da comparação para estudar a natureza das séries seguintes:
1.
2.
∞
X
10n2
n6 + 1
n=1
3.
∞
X
1
17n
− 13
n=1
9.5.3
4.
∞
X
2 + sen(n)
n2
n=1
∞
X
n=1
√
3
5.
∞
X
n
en
n=1
1
2n4 + 1
Critério de Comparação por Passagem ao Limite
Por vezes torna-se difı́cil a comparação entre os termos de duas sucessões, por exemplo, na série
∞
X
2n3 − 5n2 + 4
,
n5 + 3n3 + 1
n=1
∞
X
1
poderı́amos pensar em usar o Critério de comparação usando a série de Dirichlet
, mas garantir que
2
n
n=1
n3 − 5n2 + 4
1
≤ 2
5
3
n + 3n + 1
n
não é imediato.
Podemos formular um novo critério de comparação, que com um simples cálculo de um limite, nos permite tirar
conclusões.
Teorema 9.9. Sejam
∞
X
an e
∞
X
bn duas séries tais que an ≥ 0 e bn > 0, ∀n ∈ N4 . Suponha-se que existe o
n=1
n=1
limite
L = lim
n→∞
an
bn
Verificam-se as condições seguintes:
1. se L ∈ R+ , as séries têm a mesma natureza.
2. se L = 0 e a série
∞
X
bn converge, então a série
n=1
3. se L = +∞ e a série
∞
X
∞
X
an também converge.
n=1
bn diverge, então a série
n=1
Podemos assim concluir que a série
∞
X
an também diverge.
n=1
∞
X
bn funciona como referência, sendo necessário conhecer à partida a sua
n=1
natureza. A escolha desta série é normalmente sugerida pela forma da série
séries de Dirichlet
∞
X
1
revelam-se de grande utilidade (como referência).
α
n
n=1
∞
X
n=1
Este critério resulta do Critério de Comparação. Basta observar que:
4
O teorema pode ser formulado para n ≥ p, com p um número natural superior a 1.
an . Em muitas situações, as
CAPÍTULO 9. SÉRIES NUMÉRICAS
27
1. se L ∈ R+ , para n suficientemente grande, an ≈ Lbn (são da mesma ordem de grandeza);
2. se L = 0 para valores de n suficientemente grandes, an ≤ bn ;
3. se L = +∞ para valores de n suficiente grandes, an ≥ bn .
Exemplo 9.5.4. Usando este critério podemos afirmar que a série de termos não negativos
é convergente.
Vamos usar para bn =
∞
X
arctan(1/n)
n2
n=1
∞
X
1
1
.
A
série
é uma série de Dirichlet com α > 1, logo convergente.
2
n
n2
n=1
Analisemos o limite
lim
Como o limite é 0 e a série
∞
X
bn =
n=1
arctan(1/n)
n2
1
n2
= lim arctan(1/n) = arctan 0 = 0.
∞
∞
∞
X
X
X
arctan(1/n)
1
é
convergente,
podemos
afirmar
que
a
série
a
=
n
2
n
n2
n=1
n=1
n=1
também converge.
Exemplo 9.5.5. Neste caso, para estudar a natureza da série de termos não negativos
∞
X
n=1
∞
X
1
utilizar uma série geométrica como referência, a série
.
en
n=1
n2 + 1
, vamos
+ 1)2
en (n
Vimos na secção 9.2 que a série geométrica converge se e só se |r| < 1 (r é a razão). No nosso caso,
∞
X
1
a
n
e
n=1
1
razão é , portanto é uma série convergente.
e
Calculando o limite do quociente dos termos gerais das duas séries, vem
lim
n2 +1
en (n+1)2
1
en
= lim
n2 + 1
= 1.
(n + 1)2
Como o limite é um número real positivo, as séries têm a mesma natureza. Como
∞
X
∞
X
1
converge, a série
n
e
n=1
n2 + 1
também converge.
en (n + 1)2
n=1
Exemplo 9.5.6. Consideremos agora a série
∞
X
∞
X
n
1
√
e vamos usar como série referência
, que é
3
n
n
n=1 n +
n=1
divergente. Calculando o limite temos
lim
Como a série
n
√
n+ n3
1
n
= lim
n2
√ = +∞.
n + n3
∞
∞
X
X
n
1
√
é divergente, podemos afirmar que série
diverge.
n
n3
n=1
n=1 n +
Exercı́cio 9.5.4 Use o critério da comparação por passagem ao limite para estudar a natureza das séries
seguintes:
1.
∞
X
n=1
n+
1
√
n3
∞
X
10n2
2.
n6 + 1
n=1
3.
∞
X
n=1
√
1
37n3 + 2
4.
+∞ 1/n
X
e
n
n=1
CAPÍTULO 9. SÉRIES NUMÉRICAS
9.6
Seja
28
Convergência simples e absoluta
∞
X
an uma série de números reais e
n=1
1. Se
|an | a correspondente série dos módulos.
n=1
∞
X
|an | converge, então
n=1
2. Se
∞
X
∞
X
∞
X
an diz-se absolutamente convergente.
n=1
|an | diverge mas
n=1
∞
X
an converge, então
n=1
∞
X
an diz-se simplesmente convergente.
n=1
Teorema 9.10. Toda a série absolutamente convergente é convergente.
Para entender este resultado, podemos pensar na seguinte desigualdade
−|an | ≤ an ≤ |an | ⇒ 0 ≤ an + |an | ≤ 2|an |
Se a série
converge.
∞
X
n=1
(an + |an |) e
∞
X
∞
X
∞
X
(an +|an |)
n=1
an pode ser considerada como a diferença entre duas séries convergentes,
n=1
|an | que é uma série convergente (ver teorema 9.3).
n=1
n=1
2|an | converge e aplicando o critério de comparação,
n=1
Como an = (an +|an |)−|an |, a série
∞
X
∞
X
|an | converge, também a série
É importante referir que se
∞
X
|an | diverge, nada se pode concluir sobre a natureza de
∞
X
an . Esta pode ser
n=1
n=1
convergente ou divergente.
No estudo da convergência absoluta, como
∞
X
|an | é uma série de termos não negativos, podemos aplicar os
n=1
critérios vistos anteriormente para estudar a sua natureza, critério do integral e critérios de comparação.
Exemplo 9.6.1. A série
∞
X
(−1)n
é absolutamente convergente, já que a respetiva série dos módulos,
n2
n=1
∞
∞
X
X
(−1)n
1
=
2
2
n
n
n=1
n=1
é uma série de Dirichlet com α = 2, logo convergente.
Exemplo 9.6.2. A série
∞
X
(−1)n
não converge absolutamente, já que a correspondente série dos módulos
n
n=1
∞
∞
X
X
1
(−1)n
=
n
n
n=1
n=1
é a série harmónica, que é divergente.
Contudo, não podemos afirmar que a série
∞
X
(−1)n
diverge, apenas que não converge absolutamente.
n
n=1
Exercı́cio 9.6.1 Verifique se as séries seguintes são absolutamente convergentes:
1.
∞
X
cos(n)
en
n=1
2.
∞
X
(−1)n n
n2 + 1
n=1
CAPÍTULO 9. SÉRIES NUMÉRICAS
9.7
29
Séries alternadas
Uma série alternada é uma série onde os seus termos são alternadamente positivos e negativos, ou seja,
∞
X
(−1)n an
∞
X
ou
n=1
(−1)n+1 an
n=1
onde an > 0, ∀n ∈ N.
Exemplo 9.7.1. A série
+∞
X
(−1)n
n=1
1
é alternada an =
n
1
n
mas a série
+∞
X
cos(n)
não é alternada, apesar de
n!
n=1
ter termos negativos e positivos:
cos 1 ≈ 0.54, cos 2 ≈ −0.42, cos 3 ≈ −0.99, cos 4 ≈ −0.65, cos 6 ≈ 0.96, . . .
Exercı́cio 9.7.1 Verifique se as seguintes séries são alternadas:
+∞
+∞
X
X
cos(nπ)
2n
2.
1.
(−1)n+1 4
n
n!
n=1
n=1
9.7.1
Critério de Leibniz
Este critério apenas se aplica a séries alternadas e geralmente só se usa se a série alternada não for
absolutamente convergente.
Teorema 9.11. Seja
∞
X
(−1)n an com an > 0, ∀n ∈ N uma série alternada. Se
n=1
1. a sucessão (an )n é monótona decrescente;
2. lim an = 0;
n→∞
então a série é convergente.
+∞
X
1
não converge absolutamente. Vamos aplicar
n
n=1
o Critério de Leibniz a esta série para verificar se há convergência simples.
1
Neste caso, an = , que é positivo.
n
O limite da sucessão (an )n é zero,
1
lim an = lim = 0
n
A sucessão (an )n é monótona decrescente:
Exemplo 9.7.2. Vimos no exemplo 9.7.1 que a série
an+1 ≤ an ⇔
(−1)n
1
1
≤
n+1
n
então, pelo critério de Leibniz podemos afirmar que a série
+∞
X
(−1)n
n=1
1
converge. Como não converge absolutan
mente dizemos que converge simplesmente.
Exemplo 9.7.3. Consideremos a série
∞
X
(−1)n sen
n=1
1
. Comecemos por verificar que se trata de uma série
n
alternada.
1
Como 0 <
≤ 1, o ângulo está no 1º quadrante, portanto o seno é positivo, ou seja, an > 0. Então a série
n ∞
X
1
(−1)n sen
é alternada.
n
n=1
CAPÍTULO 9. SÉRIES NUMÉRICAS
30
Como foi referido acima, o critério de Leibniz só se aplica se não houver convergência absoluta, já que neste
caso a convergência da série está garantida (ver teorema 9.10). Vamos então analisar a série dos módulos,
∞
X
1
1
=
(−1) sen
sen
n
n
n=1
∞
X
n
n=1
Usaamos o critério de comparação por passagem ao limite, usando como referência a série divergente
lim
n→+∞
sen
1
n
1
n
= lim
x→0
+∞
X
1
:
n
n=1
sen x
=1
x
Como o limite é um número real positivo, podemos afirmar que as séries têm a mesma natureza e portanto a
∞
X
1
série
sen
é divergente.
n
n=1
Não havendo convergência absoluta etratando-se
de uma série alternada, podemos agora aplicar o critério de
1
Leibniz. Já foi referido que an = sen
. As condições do critério são verificadas:
n
ˆ lim an = lim sen n1 = 0;
ˆ a sucessão é monótona decrescente:
n+1>n⇔
1
1
<
n+1
n
e como a função seno é crescente no 1º quadrante:
1
1
sen
< sen
n+1
n
∞
X
1
então a série
(−1) sen
converge simplesmente.
n
n=1
n
Exercı́cio 9.7.2 Estude a natureza das seguintes séries usando o critério de Leibniz:
1.
∞
X
(−1)n
n=2
9.8
1
ln n
2.
∞
X
1
(−1)n √
n
n
n=1
3.
∞
X
(−1)n
√
2n + 1
n=1
Critérios D’Alembert e de Cauchy
Estes critérios utilizam-se para analisar a convergência absoluta de uma série. É importante referir que podemos
mesmo concluir divergência, em alguns casos em que a série dos módulos diverge.
9.8.1
Critério de D’Alembert ou do quociente
Teorema 9.12. Seja
∞
X
an uma série de números reais não nulos e
n=1
L = lim
n→∞
an+1
an
Se o limite existir, verificam-se as condições seguintes:
1. se 0 ≤ L < 1, então
∞
X
an é absolutamente convergente.
n=1
2. se L > 1 ou L = +∞, então
∞
X
n=1
3. se L = 1, nada se pode concluir.
an diverge.
CAPÍTULO 9. SÉRIES NUMÉRICAS
31
Demonstração. Para entender como funciona este critério, convém entender o significado de limite:
an+1
an+1
lim
=L⇔ n≥p⇒L−<
<L+
n→∞
an
an
onde > 0 e a ordem p depende da escolha de , e ainda usar a seguinte proposição:
0 < |an | =
|an | |an−1 |
|ap+1 |
···
|ap |.
|an−1 | |an−2 |
|ap |
Se L > 1 podemos escolher um > 0 tal que L − > 1 e consequentemente,
|an | =
|an | |an−1 |
|ap+1 |
···
|ap | > (L − )n−p .
|an−1 | |an−2 |
|ap |
Tomando o limite quando n tende para +∞ resulta que
lim |an | ≥ lim(L − )n−p = +∞
n→+∞
e portanto não é satisfeita a condição necessária de convergência, lim an = 0.
Por outro lado, se 0 ≤ L < 1 podemos escolher > 0 tal que 0 < L + < 1. Neste caso,
|an | =
+∞
X
Como a série
|ap+1 |
|an | |an−1 |
···
|ap | < (L + )n−p .
|an−1 | |an−2 |
|ap |
(L + )n−p é uma série geométrica convergente (já que a sua razão, |r| = |L + | < 1),
n=p+1
+∞
X
usamos o critério de comparação para concluir a convergência da série
|an |, ou seja, a série
n=1
+∞
X
an , converge
n=1
absolutamente.
No caso do limite ser 1 devemos utilizar outro critério para estudar a natureza da série.
Exemplo 9.8.1. Vamos estudar a natureza da série
∞
X
(−1)n
usando este critério.
n!2n
n=1
Calculemos o limite seguinte
an+1
lim
= lim
an
(−1)n+1
(n+1)!2n+1
(−1)n
n!2n
= lim
1
(n+1)!2n+1
1
n!2n
= lim
n!2n
1
= lim
=0
n+1
(n + 1)!2
2(n + 1)
∞
X
(−1)n
Como o limite é menor do que 1, podemos concluir que a série
converge absolutamente.
n!2n
n=1
Exemplo 9.8.2. Mostraremos que a série
an+1
lim
= lim
an
∞
X
(−1)3n nn
é divergente, usando o critério de D’Alembert.
n!2n
n=1
(−1)3(n+1) (n+1)n+1
(n+1)!2n+1
(−1)3n nn
n!2n
= lim
(n+1)n+1
(n+1)!2n+1
nn
n!2n
= lim
(n + 1)n+1 n!2n
(n + 1)!2n+1 nn
Simplificando a expressão do limite temos:
lim
Como
(n + 1)n+1
1
= lim
(n + 1)2nn
2
e
> 1 a série é divergente.
2
n+1
n
n
=
n
1
1
e
lim 1 +
= .
2
n
2
CAPÍTULO 9. SÉRIES NUMÉRICAS
9.8.2
32
Critério de Cauchy ou da raiz
Teorema 9.13. Seja
∞
X
an uma série de números reais e
n=1
p
n
L = lim
n→∞
|an |
Se o limite existir, verificam-se as condições seguintes:
1. se 0 ≤ L < 1, então
∞
X
an é absolutamente convergente.
n=1
2. se L > 1 ou L = +∞, então a série
∞
X
an é divergente.
n=1
3. se L = 1, nada se pode concluir.
Demonstração. Para entender como funciona este critério, convém entender o significado de limite:
p
p
lim n |an | = L ⇔ n ≥ p ⇒ L − < n |an | < L + n→∞
onde > 0 e a ordem p depende da escolha de .
Se L > 1 podemos escolher um > 0 tal que L − > 1 e consequentemente,
|an | > (L − )n , ∀n ≥ p.
Tomando o limite quando n tende para +∞ resulta que
lim |an | ≥ lim(L − )n = +∞.
n→+∞
e portanto não é satisfeita a condição necessária de convergência, lim an = 0.
Por outro lado, se 0 ≤ L < 1 podemos escolher > 0 tal que L + < 1. Neste caso,
|an | < (L + )n , ∀n ≥ p
Como a série
+∞
X
(L + )n é uma série geométrica convergente (já que a sua razão, |r| = |L + | < 1), usa-
n=p
mos o critério de comparação para concluir a convergência da série
+∞
X
|an |, ou seja, a série
n=1
+∞
X
an , converge
n=1
absolutamente.
No caso do limite ser 1 devemos utilizar outro critério para estudar a natureza da série.
n
∞ X
ln n
Exemplo 9.8.3. Consideremos a série
e vamos estudar a sua convergência usando o critério da
n
n=1
raiz.
s
n
p
ln n
ln n
lim n |an | = lim n
= lim
=0
n→∞
n→∞
n
n
portanto, como o limite é menor do que 1 a série é absolutamente convergente.
Exemplo 9.8.4. Vejamos agora que a série
n
∞ X
n+1
n=1
lim
n→∞
p
n
n
2
é divergente.
v
u
n
n
u n + 1 n2
n+1
1
n
|an | = lim t
= lim
= lim 1 +
= e.
n→∞
n
n
n
2
Como o limite é maior do que 1 (e > 1), a série
n
∞ X
n+1
n=1
n
é divergente.
CAPÍTULO 9. SÉRIES NUMÉRICAS
33
Exercı́cio 9.8.1 Estude a natureza das seguintes séries:
n
∞
∞
X
X
nn
n
3.
(−1)n+1 n2
1.
(−1)n
n+1
3
n=1
n=1
2.
9.9
∞
X
n!n2
(2n)!
n=1
4.
5.
∞
X
n=1
∞
X
2n n!
nn
n=1
6.
2n
n
+n
∞
X
3n n! + 1
nn
n=1
Aproximação da soma de uma série convergente
Dada uma série numérica
+∞
X
an , sabemos que caso seja convergente, a sua soma é o limite quando n → +∞
n=1
da sucessão (Sn )n das suas somas parciais:
+∞
X
S=
an = lim Sn .
n=1
Designamos por resto de ordem p da série
∞
X
an ao termo
n=1
∞
X
Rp =
an = ap+1 + ap+2 + . . .
n=p+1
e portanto,
∞
X
∞
X
an = a1 + a2 + · · · + ap +
n=1
an = Sp + Rp .
n=p+1
Podemos agora enunciar o seguinte teorema:
∞
X
Teorema 9.14. Se a série
an é convergente então lim Rp = 0.
p→+∞
n=1
Para percebermos este resultado, basta observar que se a série converge e tem soma S, temos S − Sp = Rp e
tomando limites quando p → +∞, obtemos o teorema.
Vimos nas secções anteriores, que nem sempre podemos calcular a soma de uma série convergente, contudo,
este resultado permite-nos obter uma aproximação para o valor dessa soma. O erro cometido ao aproximar o
valor da soma por um dos termos da sucessão das somas parciais é
erro = |Rn | = |S − Sn |.
Exemplo 9.9.1. Consideremos a série convergente
+∞
X
1
.
2
n
n=1
+∞
X
1
mas neste momento não temos como calcular o seu valor. Se
2
n
n=1
considerarmos o termo S3 da sucessão (Sn )n ,
Sabemos que existe a soma da série S =
S3 =
3
X
1
1 1
49
=1+ + =
k2
4 9
36
k=1
podemos dizer que este é um valor aproximado da soma da série
+∞
X
1
49
≈
2
n
36
n=1
e o erro cometido ao utilizar esta estimativa é
erro = R3 =
∞
X
an = a4 + a5 + . . .
n=4
Mas qual será este erro? 0.1, 0.01, 1 ou outro valor?
Veremos de seguida dois métodos para a majoração do resto, que nos permitem fazer uma estimativa do erro
cometido.
CAPÍTULO 9. SÉRIES NUMÉRICAS
9.9.1
34
Método do quociente
Teorema 9.15. Seja
∞
X
an uma série de termos positivos convergente. Se existirem M ∈ [0, 1[ e p ∈ N tais
n=1
que
an+1
≤ M,
an
∀n > p
então
Rp = ap+1 + ap+2 + . . . ≤
ap+1
.
1−M
Para entendermos a desigualdade acima, observemos que
ap+2 ≤ M ap+1 ; ap+3 ≤ M ap+2 ≤ M 2 ap+1 ; ap+4 ≤ M ap+3 ≤ M 3 ap+1 ; · · ·
Assim,
ap+1 + ap+2 + . . . = a − p + 1(1 + M + M 2 + M 3 + · · · ) = ap+1
+∞
X
M n.
n=0
A série
+∞
X
M n é uma série geométrica de razão M e como 0 ≤ M < 1 a série geométrica converge e
n=0
+∞
X
Mn =
n=0
1
,
1−M
logo,
Rp =
+∞
X
ap+k ≤
k=1
ap+1
.
1−M
Exemplo 9.9.2. Consideremos a série (convergente) S =
erro cometido quando se considera S ≈
Neste exemplo, an =
∞
X
1
. Vamos determinar um majorante para o
n!
n=1
5
X
1
.
n!
n=1
1
, assim,
n!
an+1
=
an
1
(n+1)!
1
n!
=
n!
1
=
.
(n + 1)!
n+1
Como n ≥ 1,
1
1
≤ , ∀n ∈ N.
n+1
2
Contudo, se considerarmos um qualquer p ∈ N,
1
1
≤
, ∀n > p.
n+1
p+1
Então,
Rp ≤
Considerando
S5 =
1
(p+1)!
1
1 − p+1
=
1
.
p · p!
5
X
1
1 1
1
1
206
103
=1+ + +
+
=
=
n!
2 6 24 120
120
60
n=1
temos p = 5 e, portanto, podemos dizer que
1
1
≤ , ∀n > 5,
n+1
6
consequentemente,
an+1
1
≤ .
an
6
CAPÍTULO 9. SÉRIES NUMÉRICAS
Tomando M =
35
1
, podemos afirmar que
6
R5 ≤
1
a6
6!
1 =
1− 6
1−
1
6
=
1
720
5
6
=
1
.
600
103
Concluı́mos então que ao tomar o valor aproximado
para soma da série, cometemos um erro que não excede
60
1
, ou seja,
600
∞
X
1
103
1
≈
com R5 ≤
.
n!
60
600
n=1
Exercı́cio 9.9.1 Estime o valor da soma da série convergente
∞
X
n
, considerando S6 , indicando um majorante
n
3
n=1
para o erro cometido.
9.9.2
Majoração do resto para séries alternadas
Teorema 9.16. Consideremos uma série alternada convergente,
+∞
X
(−1)n an , com soma S, onde (an )n é uma
n=1
sucessão decrescente e an > 0, qualquer que seja n ∈ N. Então, sendo Sn =
n
X
(−1)k ak ,
k=1
|Rn | = |S − Sn | < an+1 .
Damos aqui uma ideia da justificação deste resultado. Dado que a série
+∞
X
(−1)n an converge e tem soma S,
n=1
podemos dizer que
lim Sn = S. Consideremos as subsucessões de (Sn )n dos termos de ordem par e dos
n→+∞
termos de otdem ı́mpar:
S2n =
2n
X
(−1)k ak
e
S2n−1 =
k=1
2n−1
X
(−1)k ak
k=1
que são ambas convergentes, porque são subsucessões de uma sucessão convergente, e têm limite S:
lim S2n = lim S2n−1 = S.
A subsucessão (S2n )n é decrescente:
2(n+1)
S2(n+1) =
X
(−1)k ak = S2n + (−1)2n+1 a2n+1 + (−1)2n+2 a2n+2 = S2n + (a2n+2 − a2n+1 ).
k=1
Como a2n+2 − a2n+1 < 0, porque (an )n é decrescente,
S2(n+1) < S2n
e portanto,
lim Sn = S ≤ S2n ≤ S2
(9.1)
Por outro lado, a sucessão (S2n−1 )n é decrescente:
S2(n+1)−1 =
2n+1
X
(−1)k ak = S2n−1 + (−1)2n a2n + (−1)2n+1 a2n+1 = S2n−1 + (a2n − a2n+1 ).
k=1
Como a2n − a2n+1 > 0, porque (an )n é decrescente,
S2n+1 > S2n−1
e portanto,
S1 ≤ S2n−1 ≤ S = lim Sn
(9.2)
CAPÍTULO 9. SÉRIES NUMÉRICAS
36
Conjugando as desigualdades 9.1 e 9.2 temos S2n−1 ≤ S ≤ S2n
S
S2n
S2n−1
Figura 9.3: Posição de S relativamente aos termos das subsucessões (S2n ) e (S2n−1 ).
Reparemos que
S − S2n−1 ≤ S2n − S2n−1
e
S2n − S ≤ S2n − S2n−1 , ∀n ∈ N.
Então, qualquer que seja n ∈ N,
|S − Sn | ≤ |Sn+1 − Sn | = an+1 .
Como |Rn | = |S − Sn |, resulta a desigualdade pretendida
|Rn | ≤ an+1 , ∀n ∈ N.
Exemplo 9.9.3. Vimos, pelo critério de Leibniz, que a série alternada
+∞
X
(−1)n
converge. Vamos estimar o
n
n=1
valor da soma da série.
Consideremos, por exemplo os primeiros 9 termos
9
X
(−1)n
1 1 1 1 1 1 1 1
1879
S7 =
= −1 + − + − + − + − = −
≈ −0.75
n
2
3
4
5
6
7
8
9
2520
n=1
Como a sucessão (an )n =
1
é decrescente,
n n
|R9 | < a10 =
1
.
10
Exemplo 9.9.4. Por vezes precisamos de saber quantos termos da série devemos considerar para que o erro
+∞
X
(−1)n
cometido seja inferior a um dado valor. Por exemplo, quantos termos deveremos considerar na série
n2
n=1
para obter um valor aproximado da sua soma com um erro inferior
a 0.01.
1
Como temos uma série alternada convergente, com (an )n =
sucessão decrescente,
n2 n
|Rn | < an+1 =
1
(n + 1)2
Pretendemos que o erro seja inferior a 0.01, ou seja, |Rn | < 0.01. Basta exigir que
1
≤ 0.01 ⇔ (n + 1)2 ≥ 100 ⇔ n + 1 ≥ 10 ⇔ n ≥ 9.
(n + 1)2
Se considerarmos os primeiros 9 termos da série, obtemos o valor aproximado para a sua soma −0.83,
S≈
9
X
(−1)n
≈ −0.83,
n2
n=1
sendo o erro cometido ao substituir a soma da série pela soma dos seus primeiros 9 termos inferior a uma
centésima.
CAPÍTULO 9. SÉRIES NUMÉRICAS
9.10
37
Exercı́cios de Capı́tulo
Exercı́cio 9.10.1 Determine o termo geral da sucessão das somas parciais, Sn e a soma S (se possı́vel) de cada
uma das seguintes séries:
1.
2.
+∞
X
n
2 ;
3.
+∞
X
n=1
n=1
+∞
X
+∞
X
−2n+3
3
;
+∞
X
3
−2n+3
;
n=1
n=5
2
;
4.
2−1
n
n=2
2n;
n=1
5.
+∞ X
6.
1
1
−
;
n+2 n
+∞
X
2n + 1
.
2 (n + 1)2
n
n=1
#
"
+∞ 2n−1
X
1
Exercı́cio 9.10.2 Calcule, se possı́vel, a soma da série
+ bn , sabendo que a sucessão das somas
2
n=1
r
+∞
X
e
parciais associadas à série
bn é dada por Sn = n n , n ∈ N.
n
n=1
Exercı́cio 9.10.3 Seja
+∞
X
an uma série numérica, convergente e de soma igual a S. Calcule a soma da série
n=1
+∞ X
2
3an + n .
3
n=1
Exercı́cio 9.10.4 Determine, se existir, a soma da série
+∞
X
un , onde un =
n=1
Exercı́cio 9.10.5 Considere a série

 1 + 2(n − 1)

2 n
3
+∞
X
5n
(onde a é um parâmetro real, com a 6= −1).
(a + 1)n
n=1
1. Determine os valores de a para os quais a série dada é convergente.
2. Para um dos valores encontrados na alı́nea anterior, determine a soma da série.
Exercı́cio 9.10.6 Indique, justificando, se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
1. Seja
+∞
X
an uma série de números reais.
n=1
(a) Se lim an = 0, então a série converge.
n→∞
(b) Se a série converge, então lim an = 0.
n→∞
(c) Se lim an =
n→∞
2. A série
+∞
X
1
, então a série diverge.
2
an converge se e só se:
n=1
(a) lim
n→∞
(b) lim
n→∞
(c) lim
n→∞
n
X
k=1
n
X
k=1
n
X
k=1
ak = 0;
ak < 1;
ak = S ∈ R.
se n < 4
.
se n ≥ 4
CAPÍTULO 9. SÉRIES NUMÉRICAS
38
Exercı́cio 9.10.7 Estude a natureza das séries seguintes:
n
+∞
+∞ X
X
n
2n + 1 2
√
1.
9.
3n + 1
3n2 − 2
n=1
n=1
2.
+∞
X
(1 + 2n)
1
n
n=1
+∞
X
n2 π
3.
sen
2
n=1
4.
5.
6.
+∞
X
1
ln
n
n=2
√
n=1
n+1
2n5 + n3
+∞
X
+∞ n
X
b
n
n=1
+∞ X
+∞
π
X
sen 50
18.
2n
n=1
19.
[(−1)n + 5]
16.
+∞ n+1
X
2
(n + 1)!
(n
+
1)n+1
n=1
+∞
X
20.
1
n!
+
n−1
n=1
21.
+∞ n
X
n +1
2n − 1
n=1
22.
+∞
X
(n + 1)n cos(nα)
, com α ∈ R
n2n
n=1
23.
+∞
X
− arctan n
n2 + 1
n=1
(d > 0)
ln n
n
n
+∞ n
X
π n!
15.
nn
n=1
n
(0 < b < 1)
+∞
X
n!
dn
n=1
n=1
1
n=1
3
14.
n
√
7.
(n + 1) n
n=1
8.
n
+∞ X
2n
11.
n+1
n=1
13.
√
3
+∞
X
2
12.
+∞
X
ln n
n
n=1
+∞
X
n
+∞ X
n
10.
n+1
n=1
+∞ X
1
1
17.
+
8n
n(n + 1)
n=1
+∞
X
(n!)2
(2n)!
n=1
Exercı́cio 9.10.8 Estude a natureza das séries seguintes:
1.
1
3
5
7
+
+
+
+ ···
2 4 + 1 9 + 1 16 + 1
Exercı́cio 9.10.9 Sejam
+∞
X
n=1
an e
+∞
X
1
1
1
1
+
+
+
+ ···
2
3
2 2·2
3·2
4 · 24
2.
bn duas séries de termos não negativos, tais que lim
n→∞
n=1
p
n
bn =
1
e
3
+∞
X
1
an = bn + , ∀n ∈ N. Indique, justificando, a natureza da série
(an + bn ).
3
n=1
Exercı́cio 9.10.10 Verifique se as séries seguintes são convergentes e, em caso afirmativo, indique se são
absolutamente ou simplesmente convergentes:
1.
+∞
X
(−1)n−1
n=1
+∞
X
1
;
2n − 1
1
2.
(−1)
;
ln n
n=2
3.
+∞
X
n
(−1)
n=1
n
1
2n−1
4.
+∞
X
(−1)n
n=1
5.
+∞
X
n
1
;
n
e +1
(−1)
n=1
;
6.
+∞
X
n=1
n
(−1)
7.
n
n+1
2
n
n+1
n2
;
8.
+∞
X
(−1)n
;
(n + 1)(n + 2)
n=1
+∞
X
1
(−1)n+1 ln 1 +
.
n
n=1
;
Exercı́cio 9.10.11 Sabendo que as sucessões (an )n e (bn )n são tais que
n
8
X
3
an = 15, an =
, para n ≥ 9 e bn > an , para n > 20,
2
n=1
CAPÍTULO 9. SÉRIES NUMÉRICAS
+∞
X
estude a natureza das séries numéricas
an e
n=1
Exercı́cio 9.10.12 Considere as séries
+∞
X
39
+∞
X
bn .
n=1
(−1)n
n=1
+∞ √
n! X 3 n
e
.
nn n=1 n2 + 1
1. Estude a natureza de cada uma das séries.
2. Indique o limite do termo geral das séries.
X
+∞ √
+∞ +∞
3
X
X
n
n n!
3. Sendo
,
indique
a
natureza
da
a
série
(−1) n + bn =
bn . Justifique.
n
n2 + 1
n=1
n=1
n=1
Exercı́cio 9.10.13 Uma bola de borracha cai de uma altura de 10 metros. Sempre que bate no chão, a bola
sobe 2/3 da distância percorrida anteriormente. Qual é a distância total percorrida pela bola (até ficar em
repouso)?
Exercı́cio 9.10.14 Considere a série
+∞
X
1
.
n!
n=1
1. Mostre que a série é convergente.
2. Determine quantos termos da série devemos considerar por forma a obter uma aproximação da sua soma,
com um erro inferior a 2 × 10−4 .
Exercı́cio 9.10.15 Analise a natureza de cada uma das seguintes séries, e em caso de convergência, se se trata
de convergência simples ou absoluta:
1.
∞
X
(−1)n
2n
n=1
3.
2.
∞
X
(−10)n
n!
n=1
4.
∞
X
(−1)n
√
2n + 1
n=1
∞
X
(−1)n
n=1
n!
n10
5.
6.
√
∞
X
n− n
√ 2
(n + n)
n=1
∞ X
1
n=1
n
−
1
5n
Exercı́cio 9.10.16 (Exame de Recurso, julho de 2010 )
Seja (an ) uma sucessão de números reais tal que a1 6= 0 e an+1 =
justificando, a natureza da série
+∞
X
n
an , para todo n ∈ N. Indique,
2n + 1
an .
n=1
Exercı́cio 9.10.17 (1.o teste, março de 2011 )
+∞ n
+∞
X
X
3 + n2
1
π2
Calcule a soma da série
sabendo
que
=
.
3n n2
n2
6
n=1
n=1
Exercı́cio 9.10.18 (Exercı́cios de exames e testes) Estude a natureza (divergência, convergência simples ou
convergência absoluta) das seguintes séries numéricas:
1.
+∞
X
(−1)n √
n=1
2.
+∞
X
n=1
n3
1
(Recurso, julho de 2011 );
n+2
n+1
(1.o teste, março de 2011 );
+ 3n2 + 4
3.
+∞
X
(−2)n
(n + 1)!
n=1
(1.o teste, março de 2011 ).
CAPÍTULO 9. SÉRIES NUMÉRICAS
40
Exercı́cio 9.10.19 Justifique que as seguintes séries são convergentes e calcule as suas somas:
+∞
X
1
1.
;
2
n + 3n + 2
n=1
2.
+∞
X
5.
(arctan(n + 3) − arctan(n));
6.
4.
+∞ X
1
1
−
;
en
en+1
n=0
+∞ X
n=1
7.
−
1
;
23n−2
+∞ n
X
3 + 7n
;
3n · 7n
n=0
+∞
X
1
n=0
4n−1
·
2
3
· n+1 ;
n
5
6
+∞
X
ln n+2
n
8.
.
ln(n) ln(n + 2)
n=2
1
1
−
;
arctan(n) arctan(n + 1)
Exercı́cio 9.10.20 Justifique que a série
+∞ X
n=2
que
1
22n−1
n=1
n=1
3.
+∞ X
1
1
+ n
(n + 1)2
π
é convergente e calcule a sua soma, sabendo
+∞
X
π2
1
=
.
2
n
6
n=1
Exercı́cio 9.10.21 Escreva na forma de fração as seguintes dı́zimas periódicas:
1. 0, 555555 · · · ;
2. 0, 34 34 34 · · · = 0, 34;
3. 1, 345 345 · · · = 1, 345;
4. 0, 324 101 101 101 · · · = 0, 324101.
Exercı́cio 9.10.22 Determine a natureza das seguintes séries pelo critério de comparação ou pelo critério do
limite:
!
+∞ r
+∞
+∞
X
X
X
1
1 √
2n2 − 1
;
4.
−
7.
;
n
+
n
;
1.
5
2
3n + 2n + 1
n
n + 10 cos(n)
n=1
n=1
n=1
2.
+∞ X
sen
n=1
3.
1
n
√
√
n+1− n
√
5.
√ ;
n+1+ n
n=1
+∞
X
2
;
+∞
X
ln(n7 + 1)
;
n2
n=1
6.
8.
+∞
X
1 − (−1)n
√
.
n
n=1
+∞
X
cos(n)
;
2+4
n
n=1
Exercı́cio 9.10.23 Determine a natureza das seguintes séries. Em caso de convergência verifique se a convergência é simples ou absoluta:
1.
+∞
X
(−1)n
n=1
2.
+∞
X
(−1)
n=1
ln n
;
n
n+1
3.
(−1)n
n=1
2
;
n
e + e−n
Exercı́cio 9.10.24 Considere a série
+∞
X
4.
+∞
X
(−1)
n sen
n=1
+∞
X
(−1)n+1
.
n
n=1
1. Estude-a quanto à convergência;
1
;
ln(3n)
n
1
n
5.
+∞
X
n=1
;
(−1)n
3n
e2n+1
+∞
X
sen nπ
2
√
6.
.
n+1
n=1
;
CAPÍTULO 9. SÉRIES NUMÉRICAS
41
1
;
1000
3. Indique um majorante do erro absoluto que se comete quando se toma S5 para a soma da série.
2. Indique uma soma parcial Sn que aproxime a soma da série com um erro absoluto inferior a
Nota: Numa série alternada convergente, o módulo do resto da série é majorado pelo valor absoluto do primeiro
+∞
n
X
X
termo desprezado. Ou seja: |Rn | = |S − Sn | =
ak −
ak = |an+1 + an+2 + · · · | ≤ |an+1 |.
k=1
k=1
Exercı́cio 9.10.25 Determine a natureza das seguintes séries usando Critério da Razão (de D’Alembert).
1.
+∞
X
nn
;
π n n!
n=1
4.
+∞
X
+∞
X
2 · 4 · 6 · · · · · (2n + 2)
;
1 · 4 · 7 · · · · · (3n + 1)
n=1
+∞
X
2.
n 2n
;
4n3 + 1
n=0
5.
(n + 1)!
√
;
n
n · 3n + 2
n=1
3.
+∞
X
(n + 1)! − n!
;
n!(n + 1)!
n=1
6.
+∞ n
X
3 + n!
;
n!
+ nn
n=1
7.
8.
+∞
X
n!
;
(2n)! + 2n
n=1
+∞
X
n! + 3n
.
((n + 1)!)2
n=0
Exercı́cio 9.10.26 Determine a natureza das seguintes séries usando Critério da Raiz (de Cauchy).
1.
+∞ X
1−
n=3
2.
+∞
X
2
n
n2
;
3.
+∞ X
√
n
2−1
n
;
5.
n=1
2
e−n ;
4.
n=0
+∞ X
1
2
n=0
+∞ X
cos
n=1
π
1
+
6
n
n
;
6.
+ (−1)n
n
+∞ 2
X
n −2
3n2
n=1
n
4n + 1
n
;
.
Exercı́cio 9.10.27 Determine a natureza das seguintes séries. Em caso de convergência, indique se é simples
ou absoluta.
1.
2.
+∞
X
(−1)n
;
ln (nn )
n=2
+∞ X
n=1
8.
n 2
n2
√
+ 1+
;
n
n5 + 1
+∞
X
9.
1
ln 1 − 2 ;
n
n=2
10.
4.
+∞
X
sen(n) + 2n
;
n + 5n
n=1
11.
+∞
X
(−1)n
n=1
6.
en+1
;
nn
+∞
X
(−1)n +
n
n=1
+∞
X
1−
n
√
n
n ;
15.
n=1
3.
5.
+∞
X
1
n
;
1
7.
ln 1 + n ;
2
n=1
12.
13.
14.
+∞
X
n=1
+∞
X
(−1)n
;
1 − (−1)n n2
n=1
+∞
X
n
√
1
√ ;
n+1+ n
1
;
16.
(−1) 1 − cos
n
n=1
2n !
+∞
X
(−1)n + 4
3
+
; +∞
n + 4n
n+2
X
1
n=1
n n
;
17.
(−1) 2 sen
3n
n=1
+∞
n
X
1
;
1−
n
n=1
√
+∞
X
n! n
n
18.
(−1) n √
.
+∞
n · n+1
X
1
n=1
3;
n=2 n (ln(n))
+∞
X
√
1
Z
+∞
n+1
X
;
n + 1 sen
19.
1
n2
dx;
n=1
2
x
n=1 n
+∞
X
n=1
√
(−1)n
√
;
n+1+ 3n+1
20.
+∞
X
n
1
. (Sugestão: n! ≤ nn .)
ln
(n!)
n=2
CAPÍTULO 9. SÉRIES NUMÉRICAS
42
Exercı́cio 9.10.28 Determine a natureza das seguintes séries. Em caso de convergência, indique se é simples
ou absoluta.
1.
+∞
X
n cos(nπ)
√
;
n3 + 1
n=0
6.
√
+∞
X
n
;
2
n + cos(n)
n=1
+∞
X
n!
3n
;
; 7.
3 × 5 × 7 × · · · × (2n + 1)
2n + nn
n=1
n=1
3.
+∞
X
1 + cos2 (n)
√
;
n
n=1
8.
4.
+∞ n
X
3 (n + 1)!
;
(n + 1)n
n=0
9.
+∞
X
n=1
sen
(−1)n
;
n
10.
+∞
X
n (2n)!
2.
n=1
+∞
X
2.
5.
11.
12.
+∞
X
1 + n(−1)n
;
1 + 2n3
n=1
13.
+∞
X
2n
;
n! + 1
n=1
14.
4n (n!)
+∞
X
sen(n)
;
n3 ln(n)
n=2
+∞
X
n
1
;
(−1)n 1 −
2n
n=1
+∞
X
1
arcsin
2n
+5
n=1
1
.
n
+∞ X
1
n!
− n ;
(2n)! 2
n=0
Exercı́cio 9.10.29 Determine a natureza das seguintes séries. Em caso de convergência, indique se é simples
ou absoluta.
1.
+∞
X
1
1
sen
;
n
n
2
n=1
+∞
X
6.
√
3
n2
√
;
2.
n n + 2n2
n=1
7.
+∞
X
cos(πn)
√
3.
;
n2 − 1
n=2
8.
+∞
X
(−1)n arcsin
n=3
11.
+∞ X
n sen
n=1
n−1
;
n2 + 1
12.
1
1
− (n + 2) sen
.
n
n+2
+∞
X
2n + 3
;
(n + 1)!
n=1
+∞
+∞
X
X
4 × 7 × 10 × · · · × (3n + 1)
arctan(n + 1) − arctan(n)
;
13.
;
8
×
11
×
14
×
·
·
·
×
(3n
+
5)
n2
n=1
n=1
+∞
X
(−1)n
√
4.
;
n ln(n)
n=2
+∞
X
4 + sen(n)
√
5.
;
3
n+1
n=1
+∞ 2n
X
n sen n3
n ;
(3n2 + 5)
n=1
9.
+∞
X
3
+∞
arctan n
2n (2n)!
X
ln(n)
√
;
+ n
;
14.
2
3 (2n + 1)!
n+n
n sen n1
n=1
n=1
10.
+∞ sen
X
n=1
!
n+
√1
n
√
n
;
15.
+∞
X
2
(ln 2) ln
n=1
n+1
.
n
Exercı́cio 9.10.30
1. Estude a natureza da série
+∞
X
(n + 1)n
;
3n n!
n=1
2. Com base na alı́nea anterior, indique o limite da sucessão de termo geral un =
Exercı́cio 9.10.31 Estude a natureza da série
+∞
X
an , onde
n=1
an =
 n2

n

, se n = 3k, k ∈ N


n+1










1
n! ,
se n = 3k + 1, k ∈ N0 .
(−1)n
(n+1)n ,
se n = 3k + 2, k ∈ N0
(n + 1)n
.
3n n!
CAPÍTULO 9. SÉRIES NUMÉRICAS
43
Em caso de convergência, indique se é simples ou absoluta.
Exercı́cio 9.10.32 Estude por dois processos distintos, a natureza da série
+∞
X
an , onde
n=1
an =



n 2
2
,
se n par
.
(n+1)(n−1)
,
22
se n ı́mpar
Em caso de convergência, indique se é simples ou absoluta.
Exercı́cio 9.10.33 Seja (an )n∈N uma sucessão de termos positivos tal que a série
+∞
X
n an é convergente. Prove
n=1
que a série
+∞
X
a2n é convergente.
n=1
Exercı́cio 9.10.34 Mostre que se an > 0, ∀n ∈ N, e a série
an converge, então a série
n=1
converge.
Exercı́cio 9.10.35 Considere a série
+∞
X
+∞
X
n=1
(−1)n−1 an , em que
n=1
an =


1
n,
se n ı́mpar

1
n2 ,
se n par
.
1. Mostre que não se pode aplicar o Critério de Leibniz;
2. Mostre que a série é divergente.
+∞
X
ln(1 + an )
CAPÍTULO 9. SÉRIES NUMÉRICAS
Soluções dos exercı́cios
Exercı́cio 9.2.1
1. Divergente.
2. Convergente e
+∞ n−1
X
2
=1
3n
n=1
Exercı́cio 9.3.1
1. S =
137
;
60
2. S = 1;
3. S =
3
.
2
Exercı́cio 9.4.1
1. Nada se pode concluir;
√
2. Como lim n n = 1 a série diverge;
1
= 1 a série diverge;
3. Como lim
7 n
1 + 10
4. Se |r| ≥ 1 a série diverge. Se |r| < 1 nada se pode concluir pela condição necessária de convergência.
Exercı́cio 9.4.2
1. Convergente e a sua soma é 9.
2. Divergente
3. Convergente e a sua soma é 2.
Exercı́cio 9.5.1
1. Converge.
2. Diverge.
Exercı́cio 9.5.2
1. Convergente (α = 2 > 1)
2. Convergente (α = 3/2 > 1)
3. Divergente (α = 1/2 < 1)
4. Divergente (α = 1/2 < 1)
Exercı́cio 9.5.3
1. Convergente: comparar com
2. Divergente: comparar com
∞
X
10
4
n
n=1
∞
X
1
17n
n=1
3. Convergente: comparar com
4. Convergente: comparar com
∞
X
3
2
n
n=1
∞
X
n=1
5. Convergente: comparar com
1
√
3
2n4/3
∞ n
X
2
n=1
e
Exercı́cio 9.5.4
1. Convergente: comparar com
∞
X
n=1
1
n3/2
44
CAPÍTULO 9. SÉRIES NUMÉRICAS
2. Convergente: comparar com
3. Convergente: comparar com
∞
X
1
4
n
n=1
∞
X
n=1
4. Divergente: comparar com
45
1
n3/2
+∞
X
1
n
n=1
Exercı́cio 9.6.1
1. Abs. Convergente (|an | ≤
1
)
en
2. Nada se pode concluir, pois a série dos módulos é divergente.
Exercı́cio 9.7.1
1. Alternada
2. Alternada
Exercı́cio 9.7.2
1. Convergente
2. Nada se pode concluir pelo critério de Leibniz. Divergente pela CNC.
3. Convergente.
Exercı́cio 9.8.1
1. Nada se pode concluir usando os critérios da Raiz ou d’Alembert. A série diverge, usando a condição necessária
de convergência.
2. Abs. convergente.
3. Abs. convergente.
4. Ab. convergente.
5. Abs. convergente.
6. Divergente.
Exercı́cio 9.9.1 S6 =
6
X
n
7
543
; tomando M = 12 , R6 ≤
.
=
n
3
729
4374
n=1
Exercı́cio 9.10.1
1. Sn = 2n+1 − 2; a série não é convergente;
4. Sn =
3
2
2. Sn = n(n + 1); a série não é convergente;
5. Sn =
1
n+1
n 27
1
3. Sn =
1−
;
8
9
6. Sn = 1 −
Exercı́cio 9.10.2
S=
27
;
8
2
.
3
Exercı́cio 9.10.3 3S + 1.
Exercı́cio 9.10.4
259
27
Exercı́cio 9.10.5
1. a ∈] − ∞, −6[∪]4, +∞[.
2. —.
Exercı́cio 9.10.6
1.
(a) Falso;
(b) Verdadeiro;
(c) Verdadeiro.
−
1
n+1
+
−
1
,
n+2
S = 32 ;
1
n+2
− 23 ,
S = − 32 ;
1
,
(n+1)2
S = 1.
CAPÍTULO 9. SÉRIES NUMÉRICAS
2.
(a) Falso;
(b) Falso;
46
(c) Verdadeiro.
Exercı́cio 9.10.7
1. Divergente;
9. Convergente;
17. Convergente;
2. Divergente;
10. Convergente;
18. Convergente;
3. Divergente;
11. Divergente;
4. Divergente;
12. Convergente;
5. Divergente;
13. Divergente;
6. Convergente;
14. Convergente;
7. Convergente;
15. Divergente;
22. Convergente;
8. Convergente;
16. Convergente;
23. Convergente.
19. Convergente;
20. Convergente;
21. Divergente;
Exercı́cio 9.10.8
1. Divergente;
2. Convergente.
Exercı́cio 9.10.9 Divergente.
Exercı́cio 9.10.10
1. Simplesmente convergente;
4. Absolutamente convergente;
7. Absolutamente convergente;
2. Simplesmente convergente;
5. Divergente;
8. Simplesmente convergente.
3. Absolutamente convergente;
6. Absolutamente convergente;
Exercı́cio 9.10.11 São ambas divergentes.
Exercı́cio 9.10.12
1. São ambas absolutamente convergente;
2. 0 (pela condição necessária de convergência);
3. Convergente.
Exercı́cio 9.10.13 50 metros.
Exercı́cio 9.10.14
1. —
2. 7 termos.
Exercı́cio 9.10.15
1. Abs. convergente
4. Divergente
2. Abs. convergente
5. Divergente
3. Simplesmente convergente
6. Divergente
Exercı́cio 9.10.16 Absolutamente convergente.
Exercı́cio 9.10.17
π 2 +3
.
6
CAPÍTULO 9. SÉRIES NUMÉRICAS
47
Exercı́cio 9.10.18
1. Simplesmente convergente;
2. Absolutamente convergente;
3. Absolutamente convergente.
Exercı́cio 9.10.19
1. S =
1
;
2
5. S =
2
;
21
2. S =
5π
− arctan(2) − arctan(3);
4
6. S =
8
;
3
7. S =
480
;
119
8. S =
1
1
+
.
ln 2
ln 3
3. S = 1;
4. S =
2
;
π
Exercı́cio 9.10.20 S =
π2
5
1
− +
.
6
4
π(π − 1)
Exercı́cio 9.10.21
1.
5
;
9
2.
34
;
99
3.
1344
;
999
4.
323777
.
999000
Exercı́cio 9.10.22
1. Convergente;
4. Convergente;
7. Convergente;
2. Convergente;
5. Divergente;
8. Divergente.
3. Convergente;
6. Convergente;
Exercı́cio 9.10.23
1. Simplesmente convergente;
4. Absolutamente convergente;
2. Absolutamente convergente;
5. Absolutamente convergente;
3. Simplesmente convergente;
6. Simplesmente convergente;
Exercı́cio 9.10.24
1. Simplesmente convergente;
2. S1000 =
1000
X
n=1
3. |S − S5 | =
(−1)n+1
;
n
+∞
X
(−1)n+1
1
− (1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + 1/5) ≤ .
n
6
n=1
Exercı́cio 9.10.25
1. Absolutamente convergente;
4. Absolutamente convergente;
7. Absolutamente convergente;
2. Divergente;
5. Absolutamente convergente;
8. Absolutamente convergente.
3. Absolutamente convergente;
6. Absolutamente convergente;
CAPÍTULO 9. SÉRIES NUMÉRICAS
48
Exercı́cio 9.10.26
1. Absolutamente convergente;
4. Absolutamente convergente;
7. Absolutamente convergente;
2. Absolutamente convergente;
5. Absolutamente convergente;
8. Absolutamente convergente.
3. Absolutamente convergente;
6. Absolutamente convergente;
Exercı́cio 9.10.27
1. Simplesmente convergente;
8. Absolutamente convergente;
15. Absolutamente convergente;
2. Divergente;
9. Absolutamente convergente;
16. Absolutamente convergente;
3. Absolutamente convergente;
10. Absolutamente convergente;
17. Absolutamente convergente;
4. Absolutamente convergente;
11. Divergente;
5. Absolutamente convergente;
12. Absolutamente convergente;
6. Simplesmente convergente;
13. Absolutamente convergente;
19. Absolutamente convergente;
7. Absolutamente convergente;
14. Simplesmente convergente;
20. Divergente.
18. Absolutamente convergente;
Exercı́cio 9.10.28
1. Simplesmente convergente;
6. Absolutamente convergente;
2. Absolutamente convergente;
7. Absolutamente convergente;
3. Divergente;
8. Absolutamente convergente;
4. Divergente;
9. Absolutamente convergente;
5. Simplesmente convergente;
11. Divergente;
12. Absolutamente convergente;
13. Divergente;
10. Absolutamente convergente;
14. Absolutamente convergente.
1. Absolutamente convergente;
6. Absolutamente convergente;
11. Absolutamente convergente;
2. Absolutamente convergente;
7. Simplesmente convergente;
12. Absolutamente convergente;
3. Simplesmente convergente;
8. Absolutamente convergente;
13. Absolutamente convergente;
4. Simplesmente convergente;
9. Absolutamente convergente;
14. Divergente.
Exercı́cio 9.10.29
5. Divergente;
10. Absolutamente convergente;
Exercı́cio 9.10.30
1. Convergente;
2.
lim un = 0.
n→+∞
Exercı́cio 9.10.31 Absolutamente convergente.
Exercı́cio 9.10.32 Divergente.
15. Absolutamente convergente.