纳米电子学基础
纳米电子学简介
• Moore定律：大约每三年集成度增加4倍，
特征尺寸缩小为原尺寸的 1/ 2
• 当前晶体管尺寸：14nm （Intel处理器）
• 下一步：7 nm
• 量子效应开始支配载流子行为
• 纳米电子学的产生
纳米结构中的新现象
• 欧姆定律不成立
介观输运
– 弹道输运：载流子在输运过程中不受到散射
– 相位干涉
• 局域化
• AB效应等
• 普适电导涨落
– 量子隧穿
– 单电子现象与库仑阻塞
大纲
• 二维——量子阱
• 一维——量子线，量子点接触，纳米线
• 零维——量子点
Part 1
量子阱与超晶格
复习量子力学
• 波粒二象性
• 波函数的物理意义
• 量子受限体系
– 某一维度上的尺寸限制，导致了能级的量子化
– 几种典型势阱中的波函数和能级
•
•
•
•
•
一维无限深方势阱
一维有限深方势阱
一维谐振子势阱
二维、三维量子限制
氢原子
•自由粒子的波函数
一个自由粒子有动能E和动量p。对应的德布罗意波具有频率
和波长：
  E/h
  h/ p
波函数可以写成
  x , t    0e
  x, t    0 e
 i 2 t  x /  
 E Px 
i 2  t  x 
h 
h
  0e
i
 Px x  Et 

定态薛定谔方程---与时间无关的薛定谔方程
[
2
2m
2  U (r )] (r )  E (r ) ---- 能量本征值方程

E
  U (r ) ---能量算符--- E  i
t
2m
2
2
定态波函数:
几率密度:

 (r , t )
i

  Et
  ( r )e
 2

 ( r , t )   ( r )e
2
i
 Et

 2
  (r )
1．定态中E不随时间变化，粒子有确定的能量
2．定态中粒子的几率密度不随时间变化
一维无限深势阱
0
U (x)  

0 xa

x  0, x  a

U(x)=0
x
0
a
能量本征值
 2
 En 
n
2
2ma
2
2
n  1,2,3,
n称为量子数
结果说明粒子被束缚在势阱中，能量只能取一系列分立值，即
它的能量是量子化的。
基态能量：
E min
 2 2
 E1 
2
2ma
一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度
 (x )
 4 x
 4 x
E4
2
a
4 
2
n4
 3 x
 3 x
2a
3 
3
E3
n3
 2 x
 2 x
E2
 1 x
2  a
E1
o
2
 1x
2
n2
2
1  2a
a
n1
o
x
稳定的驻波 n-1个节点
a
一维有限深势阱
0
U ( x)  
U 0
0 xa
x  0, x  a
U0
U0
U(x)=0
x
0
a
一维谐振子
2
2
d
1
2 2
一维谐振子的哈密顿算符为 Hˆ  

m

x
2
2m dx 2
2
d2 1
2 2
体系的薛定谔方程为 (

m

x ) ( x)  E ( x)
2
2m dx 2
1
U(x)
能级为 En   ( n  ) n  0,1,2,3,
2
能量间隔：  E  h
E0= hv/2
零点能
n=2
n=1
n=0
x
量子隧穿
设具有一定能量E的粒子沿x轴正
向射向方势垒
Ⅰ区 U ( x ) = 0
x≤0
Ⅱ区 U ( x ) = U0
0≤ x ≤ a
Ⅲ区 U ( x ) = 0
x≥a
U0
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
E
0
a
定性结论:
入射粒子可能穿过势垒进入 III 区 — 隧道效应，也
有一定几率被反射回 I 区，这是粒子波动性的表现。
3
透射系数T 随势垒宽度a、粒子质量m 和能量差变
化，随着势垒的加宽、加高，透射系数减小。
Ⅰ
U0
Ⅲ
Ⅱ
E
0
a
U0  ( a )  C e
2
Ψ2
Ψ1

a
2 m (U 0  E )

Ψ3
隧道效应
E
Ⅰ区
0 Ⅱ区 a
Ⅲ区
x
波穿过势
垒后,将以
平面波的
形式继续
前进(  3)
量子阱：
半导体器件中广泛运用，将一层窄禁带半
导体材料夹在两层宽禁带半导体材料之间，
当其厚度足够薄即构成量子阱。
为讨论方便，假设三个区域内电子的有效质量相等。
有效质量方程：
2

d2
  2m* 2   U 0  E
dz

2
d2

  2m* dz 2   E

E  U0

I
 II
III 

I
II
III
量子阱中的电子能级和波函数
要点
• 量子阱中的电子，在一个维度上能量出现
量子化，另外两个维度上能量是连续的
• 量子阱中的电子构成二维电子气（2DEG）
• 若受限方向上只有基态能级，则只有一个
子带占据，电子可以完全看作二维电子
超晶格
超晶格中的能级（能带）
1. 发光二极管
2. 光子探测器（红外波段）
3. 可作为量子阱的势垒层，比如GaN/AlN超晶格，效果与AlxGa1-xN类似
Part 2
二维量子输运
二维电子气的浓度
• 量子阱中的电子浓度与势垒层的高度、杂
质浓度、两种材料的功函数之差有关。假
如存在顶栅，则顶栅电压能够改变量子阱
的电子浓度。
• 有时与温度有关
• GaAs量子阱，
常见浓度
n~1011cm-2
二维电子气迁移率
• 散射
–
–
–
–
–
库仑散射（影响小）
声子散射
杂质散射（假如掺杂）
界面粗糙度散射
合金无序散射
• 高温
– 晶格散射为主，迁移率随温度升高下降
• 低温
– 各种缺陷散射为主，迁移率随温度升高而升高
霍尔测量
• 定义电阻率张量：
 Ex    xx
 
 E y    yx
• 电场中的漂移速度：
• 电场和磁场中的电流密度：
 xy   J x 
 yy   J y 
• Drude模型：单位时间弛豫的动量与在电场
磁场中获得的动量相等
mvd
m
 e  E  vd  B 
只偏转，不做圆周运动
低场近似：
 m / e m
 B

1
 xx   yy 
ns e
 yx    xy 
B
ne
 B   vx   E x 
  

m / e m   v y   E y 
1

 d  yx 
ns   e

dB 



1
 

e ns  xx

二维态密度
二维态密度： 一个方向上分立，二维面上连续
E
k

2m*
2
2
x

 k y 2  En
在 En1 ~ En 之间的能级在k空间xy的平行平面上覆盖的面积：
S n 1   k
2
max

2m*
2
2
2m*
k
2
max

2m*
2
 E  E n 1 
新增能态密度：

dZ n1
d  2
2
2m* m*

N n 1  E  

S n 1  
 2  2
2
2
dE
dE   2 

  2 

m*
能态密度： N 2 D  E    N i  E    2 H  E  En 
n 
——二维电子气的态密度为常数！
朗道能级
• Z方向磁场
1
2m*
2


q 
 pˆ  A   V  z   ( x, y , z )  E ( x, y , z )
c 


• x-y平面上量子化
• 每个朗道能级的态密度
c  qB /  m*c 
D
m* S

2
c 
qS

B
1

E  E z   n   c
2

舒伯尼科夫-德哈斯振荡
• 朗道能级随1/B周期性
穿过费米面
1

 n   c  EF  Ei
2

• 磁电阻随之发生振荡
 fi 
 ni
1

(1/ B)
q
• 需低温测量
k BT
c  EF  Ei
舒伯尼科夫-德哈斯（SdH）振荡
 
Rxx
X
4
exp  
R0
sinh( X )
 c

 2 ( EF  Ei )

 
 cos 
c



三维朗道能级
明显的Shubnikovde Haas振荡是二
维电子气存在的特
征
量子霍尔效应
h 1
 2
2e 
2e 2
 
h
分数量子霍尔效应
边缘态（Edge state）
在朗道能级的边缘
态上，即使发生散
射，由于圆周运动
的存在，总体的运
动方向也不会发生
变化
朗道能级边缘态
在朗道能级的边缘态上，
电子只能单向运动，因
此是一维弹道输运体系
一维弹道输运体系
1. 两个维度上存在
量子限制
2. 电子输运过程中
没有散射
3. 电压取决于两个
电极化学势之差；
电流取决于单位
时间内通过的电
子数
态密度（density of states）
g ( E )  E1/2
g ( E )  constant
g ( E )  E 1/2
电子能态密度与维度的关系
g ( E )   ( E  En )
一维态密度
1/2

m 
g ( )  2  *
  (  En )
  2m (  En ) 
*
2
一维弹道输运
一维弹道输运
设费米能级以下有nc个一维
子带，第n个一维子带在能量
E附近的态密度为  n ( E )
总电流可写为：
nc  R
I    e n ( E )v y ( E )dE ,  R   L  eV
n 0 L
 n ( E )  ( E  En ) 1/2 , vn ( E )  ( E  En )1/2
2e 2V
I
h
积分号内为常数
每个一维子带
 2e 2 
G 
 nc 对电导的贡献
 h 
为常数！
宏观输运
扩散输运
VS
介观输运
弹道输运
V  IR
V  0,
R  L / S
1  2e 2 
G  
n
R  h 

1

 ne
欧姆定律成立
存在电导率/电阻率概念
电导率由散射过程决定
1. 改变V，电导会发生变化，
欧姆定律不成立。
2. 无散射过程
3. 电导由费米能级以下的导
电通道数目决定
朗道能级边缘态是一维输运系统
当费米面不与某个朗
道能级齐平时：
 s  3  4 ,  d   2  1
因此：
V12  0, V13  V
2e 2
 12  0,  13  n
h
  xx

  yx
 
1
 xy 
 xx  xy 
,  
,


 yy 
 yx  yy 
 xx 
 xx
 xx2   xy2
当费米面不与某个朗道能级齐平时
1 h
12  0, 13 
2
n 2e
短片
朗道十诫：
1)量子力学中的密度矩阵和统计物
理学(1927年)；
2)自由电子抗磁性的理论(1930年)；
3)二级相变的研究(1936-1937年)；
4)铁磁性的磁畴理论和反铁磁性的
理论解释(1935年)；
5)超导体的混合态理论(1934年)；
6)原子核的几率理论(1937年)；
7)氦Ⅱ超流性的量子理论(1940-1941
年)；
8)基本粒子的电荷约束理论(1954年)；
9)费米液体的量子理论(1956年)；
10)弱相互作用的CP不变性(1957年)。
典型的一维输运系统
1. 朗道能级边缘态
2. 基于半导体二维电子
的量子线
3. 纳米线
4. 量子点接触（金属或半导体）
一维量子输运
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
I
II
III
量子电导
改变栅极电压，费
米面以下的能级数
目变化，假定被填
充的能级数目为n，
则电导为
 2e 2 
G 
n
 h 
自旋简并
一维量子系统的能谱：
塞曼分裂：
零维量子体系
1. 半导体零维电子体系
2. 金属纳米颗粒
库仑阻塞效应
量子点的充电能
• 量子点相当于电子岛
– 电容：C=Q/U
• 不考虑电子能级，增加一
个电子而多做的功为
• 增加一个电子需要增加的
源漏电压
充电能
库仑阻塞
• 考虑电子在量子点中的能级，
填充第N个电子所需能量
——化学势
• 填充第N个电子时需要增加的
源漏电压：
库仑振荡——单电子晶体管
对应量子点上增加或减少一个电子。
量子点上电子处于稳定状态（阻塞状态）的条件：
能谱图
双量子点
在线性输运条件下，只有当两个量子点的能级都在源
漏之间，并且电子经过的第一个量子点能级高于另外
一个时，系统中才会有电流
量子点中的泡利不相容原理
• 当有一个未被占据的量子点能级被调控进入源漏之间的时候，自旋向上
和向下的电子都可以占据这个能级，所以通过量子点的电流是没有自旋
极化的
• 如果这个能级低于费米面上面已经有一个电子占据并且即将填充另外一
个电子，由于泡利原理的作用，只有自旋与前一电子相反才可以隧穿进
入量子点，因此通过量子点的电流具有与前一电子态相反的自旋。
自旋滤波
泡利自旋阻塞
双量子点自旋器件