‫דף נוסחאות במכניקה אנליטית (אוניברסיטת ת"א‪)2012 ,‬‬
‫עקרון ד'אלמברט‬
‫‪  ri  0‬‬
‫עקרון ד'אלמברט דינאמי‬
‫ניתן להשתמש בו כדי למצוא את משוואת התנועה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪F‬‬
‫‪i  ext‬‬
‫‪ mi ai   ri   Fi ext  Pi   ri  0‬‬
‫‪ F‬‬
‫‪i  ext‬‬
‫בשני המקרים נקפיד לבחור קואורדינאטות מאונכות לאילוצים‪ ,‬כלומר לדאוג‬
‫לכך ש‪  r -‬יהיו תמיד בכיוונים המותרים ע"י האילוצים‪.‬‬
‫‪i‬‬
‫שלבים בפתרון בעיות בעזרת עקרון ד'אלמברט (דינאמי)‬
‫‪ )1‬כתיבה וקטורית של הכוחות החיצוניים על כל גוף‪.‬‬
‫‪ )2‬כתיבת התנע על כל גוף‪ .‬למשל בשני מימדים‪:‬‬
‫‪ )3‬כתיבת‬
‫‪Pi   mi xi , mi yi ‬‬
‫‪ ri   xi ,  yi ‬‬
‫לכל גוף‪ .‬למשל בשני מימדים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ Pi   ri  0‬‬
‫‪ F‬‬
‫‪1‬‬
‫ומוציאים את‬
‫‪i ext‬‬
‫משותף‪ .‬כיון שהמשוואה צריכה להיות נכונה לכל‬
‫להתאפס ומשם מקבלים את משוואות התנועה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כגורם‬
‫הגדרת ההמילטוניאן‬
‫‪L‬‬
‫‪H   qk‬‬
‫‪L‬‬
‫‪qk‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ -‬כל השאר צריך‬
‫קואורדינאטות מוכללות‬
‫‪i ‬‬
‫אילוץ שאינו ניתן לכתיבה כך נקרא אילוץ לא הולונומי‪ .‬אילוץ הולונומי התלוי‬
‫מפורשות בזמן נראה אילוץ ראונומי‪ ,‬ואם אינו מכיל את הזמן במפורש הוא‬
‫נקרא סקלרונומי‪ .‬כל אילוץ הולונומי מאפשר לנו להוריד את מס' דרגות החופש‬
‫בדרגה אחת‪.‬‬
‫‪qk  qk  ri , t ‬‬
‫קואורדינאטות מוכללות‬
‫‪qk‬‬
‫‪q‬‬
‫‪vi  k‬‬
‫‪ri‬‬
‫‪t‬‬
‫מהירות מוכללת‬
‫‪ri‬‬
‫‪qk‬‬
‫כוח מוכלל‬
‫עקרון צמצום הנקודה‬
‫‪qk  ‬‬
‫‪i‬‬
‫‪Fk   fi‬‬
‫‪i‬‬
‫‪dri‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪ i‬‬
‫‪dqk qk‬‬
‫אנרגיה קינטית במערכות שונות‬
‫קואורדינאטות גליליות‬
‫‪2‬‬
‫‪T  12 m r 2  z 2   r  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫קואורדינאטות כדוריות‬
‫‪    r sin   ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪T  12 m  r 2  r‬‬
‫‪‬‬
‫תנע מוכלל של זווית מוגדרת מסביב לציר קבוע מסוים הוא התנע הזוויתי בכיוון‬
‫ציר זה‪.‬‬
‫משוואות התנועה הכלליות בקואורדינאטות מוכללות‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫משמר‬
‫לא‬
‫כוח‬
‫גם‬
‫‪,‬‬
‫מוכלל‬
‫כוח‬
‫לכל‬
‫נכונות‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪d T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪ Fk‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪dt  qk  qk‬‬
‫לגרנג'יאן‬
‫לגרנג'יאן ‪ -‬תיאור מערכת פיסיקלית‪:‬‬
‫רק במערכת הולונומית משמרת‬
‫‪L  T U‬‬
‫שימור המילטוניאן‬
‫‪L‬‬
‫‪qi  L  Const‬‬
‫‪qi‬‬
‫כאשר‬
‫‪dH L‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪t‬‬
‫‪T0  M 0‬‬
‫‪T  T0  T1  T2‬‬
‫‪ -‬לא תלויה במהירויות המוכללות‬
‫‪T1   M k qk‬‬
‫‪k‬‬
‫‪T2   M kl qk ql‬‬
‫‪l‬‬
‫‪ q‬ו‪t -‬‬
‫‪ -‬פונקציה הומוגנית מדרגה ‪ 2‬במהירויות המוכללות‬
‫דמיון מכני בפוטנציאל הומוגני‬
‫‪k‬‬
‫‪T  T2‬‬
‫* אפשר ויותר קל לקבל את משוואות התנועה מחוקי השימור במקום ממשוואות‬
‫‪ – E.L.‬מקבלים משוואות יותר קלות לפתרון (סדר ראשון במקום סדר שני)‪.‬‬
‫הכללה של משוואות אוילר‪-‬לגרנג'‬
‫‪ .1‬במקרה שהפוטנציאל תלוי גם במהירויות המוכללות ‪U  qk , qk , t ‬‬
‫ניתן‬
‫פונקציונל הפעולה‪:‬‬
‫‪tf‬‬
‫‪S  q  t     L  q  t  , q  t  , t  dt‬‬
‫‪ti‬‬
‫עקרון המילטון – עקרון הפעולה המינימאלית‬
‫המסלול ‪ q  t ‬אותו מבצעת מערכת פיסיקלית שמתחילה ב‪ti -‬‬
‫‪tf‬‬
‫ומסתיימת ב‪-‬‬
‫‪m1m2‬‬
‫‪k  1‬‬
‫‪r‬‬
‫‪U (r )  G‬‬
‫* הטרנספורמציה לעיל שקולה להכפלת הלגרנג'יאן בקבוע‪ ,‬כלומר משוואות‬
‫התנועה אינן משתנות אך הסקאלה שלהם משתנה (מסלול יותר גדול‪ ,‬זמן יותר‬
‫ארוך וכו')‪.‬‬
‫כאשר‬
‫‪S‬‬
‫היא הדיפרנציאל הפונקציונאלי‪:‬‬
‫‪tf‬‬
‫‪tf‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ L d L ‬‬
‫‪S‬‬
‫‪L‬‬
‫‪S  ‬‬
‫‪ qdt  ...    ‬‬
‫‪  qdt   q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q dt q ‬‬
‫‪q‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t ‬‬
‫‪t‬‬
‫אם נבחר שתי נקודות מסלול סופית והתחלתית קבועות ( ‪ ,)  q  0‬תנאי‬
‫השפה יתאפסו‪ .‬מכיוון שהאינטגרנד צריך להיות נכון לכל ‪ ,  q‬קיבלנו כי‬
‫מערכת פיסיקלית צריכה לקיים את משוואות ‪ . E.L.‬עיקרון זה בעצם שקול‬
‫וחלופי לחוקי ניוטון‪.‬‬
‫עבור מספר קואורדינאטות מוכללות‪:‬‬
‫‪ L d L ‬‬
‫‪S‬‬
‫‪ q dt  ...    ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  qk dt  0‬‬
‫‪ qk k‬‬
‫‪qk dt qk ‬‬
‫‪t k ‬‬
‫‪tf‬‬
‫‪tf‬‬
‫‪S  ‬‬
‫‪k‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ti‬‬
‫מכיוון שהקואורדינאטות בלתי תלויות‪ ,‬כל אינטגרנד מתאפס בפני עצמו – על‬
‫קואורדינאטה מקיימת את משוואות ‪. E.L.‬‬
‫הכללה לבעיות כלליות – חשבון וריאציות‬
‫נחפש פונקצית מסלול )‪ y ( x‬בין שתי נק' נתונות אשר הפעלת הפונקציונל עליה‬
‫‪I   F  y, y' , x)dx ‬‬
‫מחזירה ערך מינימאלי‪:‬‬
‫‪  y1 ,..., yn , x   0‬‬
‫אילוץ הולונומי‬
‫ללא נגזרות‬
‫‪ .1‬אם ניתן להפריד משתנים ולבטאם בעזרת אחרים ‪ -‬להציב בלגרנג'יאן וכך‬
‫להוריד את מספר המשתנים‪.‬‬
‫* מקרה מיוחד‪ :‬גלגול ללא החלקה – רק במימד אחד‪ ,‬זהו אילוץ הולונומי‪:‬‬
‫‪R1  R2  R1  R2  C‬‬
‫‪i  y1 ,..., yn , x   0‬‬
‫אילוצים)‬
‫‪m‬‬
‫‪L*  L   ii‬‬
‫‪i 1‬‬
‫נקבל‪ n  m :‬משתנים‪ n :‬משתני הבעיה ו‪ m -‬משתני האילוץ‪ .‬כדי לפתור‬
‫לרשותנו ‪ n  m‬משוואות‪ n :‬משוואות ‪ E.L.‬ו‪ m -‬משוואות האילוץ‪.‬‬
‫ניתן לקבל את כוחות האילוץ המוכללים‪:‬‬
‫‪m‬‬
‫‪i‬‬
‫‪yk‬‬
‫משוואות התנועה‬
‫‪Fk   i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪   y ..., y , x  dx  C‬‬
‫אילוץ בצורת פונקציונל‬
‫‪n‬‬
‫נגדיר לגרנג'יאן חדש‪:‬‬
‫(עבורו נכתוב את משוואות ‪) E.L.‬‬
‫‪d  L  L‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪dt  qk  qk‬‬
‫‪ik‬‬
‫המוכללות ובזמן‪ ,‬אך לא במהירויות האחרות‪ .‬בנוסף יכול להיות גם פרמטר‬
‫חופשי ‪ ‬עם אותו תנאי כמו על ‪( ‬ולא מופיע במשוואות ‪.) E.L.‬‬
‫‪ik‬‬
‫‪i‬‬
‫כלומר בסה"כ מתקבלות כמו מקודם ‪ n‬משוואות ‪ E.L.‬ו‪ m -‬משוואות האילוץ‪.‬‬
‫אין להציב את האילוצים בלגרנג'יאן! הלגרנג'יאן אינו משוואה אלא גודל המבטא‬
‫מערכת פיסיקלית – הצבת האילוצים הנ"ל בו תגרור משוואות תנועה שגויות‪.‬‬
‫‪A( x, y )dx  B( x, y )dy  0‬‬
‫בשביל לדעת האם האילוץ אינטגרבילי‪,‬‬
‫נרשום את האילוץ בצורה דיפרנציאלית‪:‬‬
‫אם מתקיים‪:‬‬
‫‪A B‬‬
‫‪‬‬
‫‪y x‬‬
‫אז המשוואה אינטגרבילית‪.‬‬
‫לפעמים ניתן להכפיל בגורם אינטגרציה שהופך את האילוץ לאינטגרבילי‪.‬‬
‫משפט‪ :‬עבור מערכת עם ‪ N‬קואורדינטות ו ‪ N-1‬אילוצים תמיד ישנו גורם‬
‫אינטגרציה‪.‬‬
‫תנודות קטנות‬
‫תנודות קטנות במימד אחד‬
‫במקרה זה‪ ,‬הלגרנג'יאן נתון על ידי‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪L  m  q  q2  U  q ‬‬
‫‪2‬‬
‫אם יש לפוטנציאל מינימום‪ ,‬אז מספיק קרוב למינימום יש בד"כ תנודות קטנות‪.‬‬
‫נמצא נק' מינימום ‪( q‬בה נגזרת הפוטנציאל מתאפסת)‪ .‬נפתח את ‪ U‬לסדר‬
‫‪1,‬‬
‫‪m‬‬
‫‪L*  L   ii‬‬
‫‪i 1‬‬
‫* כאשר האילוץ הוא מהצורה ‪1  y '2 dx  l‬‬
‫‪‬‬
‫‪k‬‬
‫‪m‬‬
‫שפתרונו הפיסיקלי הוא‪:‬‬
‫(אורך עקומה קבוע) אז‬
‫מהמשוואות האחרות צריך למצוא ביטוי ל‪ y ' -‬ואז לבצע אינטגרל‪.‬‬
‫‪x  t   Re  Aeit   2 ‬‬
‫עבור מספר דרגות חופש‪:‬‬
‫א) נכתוב את האנרגיה הקינטית ואת האנרגיה הפוטנציאלית של המערכת‬
‫ב) נמצא נקודות שיווי משקל שיקיימו‪:‬‬
‫‪U‬‬
‫‪ 2U‬‬
‫‪0‬‬
‫ג) נפתח את ‪U‬‬
‫‪tf‬‬
‫‪U '   kU T ' ‬‬
‫לכן‪ ,‬כדי שיהיה דמיון מכני חייב להתקיים‪:‬‬
‫מוכללות שלכל אחד מקדם כלשהו‬
‫‪ , ‬שיכול להיות תלוי בכל הקואורדינאטות‬
‫‪S  0‬‬
‫הוא זה שעבורו לפעולה יש ערך עמיד (‪:)stationary‬‬
‫נגדיר לגרנג'יאן חדש‪:‬‬
‫(עבורו נכתוב את משוואות ‪) E.L.‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m‬‬
‫משוואות ‪E.L.‬‬
‫‪d  L  L‬‬
‫‪  i  ik‬‬
‫המתקבלות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪dt  qk  qk i 1‬‬
‫לשים לב! יש ‪ i  1,...,m‬אילוצים‪ ,‬שבכל אחד יש ‪ k  1,...,n‬מהירויות‬
‫נעבור לקואורדינאטה ‪ x  q  q‬ונקבל לגרנג'יאן של אוסילטור הרמוני‪,‬‬
‫‪0‬‬
‫חשבון וריאציות‬
‫פוטנציאל הומוגני‬
‫‪1‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪0‬‬
‫) ‪U ( ri )   kU (ri‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪k‬‬
‫‪1‬‬
‫להשתמש במשוואות ‪ E.L.‬בתנאי שמתקיים‪:‬‬
‫‪U d  U ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪qk dt  qk ‬‬
‫‪0‬‬
‫לדוגמה – עבור חלקיק‬
‫‪e‬‬
‫‪1‬‬
‫שני סביב ‪( q‬הסדר הראשון מתאפס) ואת ‪ m‬לסדר אפס (כי הוא כבר כופל‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫טעון בשדה אלקטרומגנטי‪U  e  A  v F  e  E  v  B  :‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫משהו ריבועי)‪ .‬נתעלם מסדר אפס של ‪( U‬קבוע) ונקבל‪:‬‬
‫‪ .2‬עבור כוחות לא משמרים‪:‬‬
‫‪d  L  L‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪d 2U‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ Nk‬‬
‫‪L  mq 2  k  q  q0  m  m  q0 k ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ - N k‬סכום הכוחות הלא משמרים על ‪qk‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪‬‬
‫‪q‬‬
‫‪‬‬
‫‪q‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dq q‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ k‬‬
‫‪Fk  ‬‬
‫‪ .2‬כופלי לגרנג'‬
‫(עבור ‪m  n‬‬
‫משוואות אוילר‪-‬לגרנג' ( ‪) E.L.‬‬
‫(רק כאשר הפוטנציאל אינו תלוי‬
‫במהירויות המוכללות)‬
‫‪H  T V  E‬‬
‫ואז‪:‬‬
‫דמיון מכני‬
‫‪2‬‬
‫‪T‬‬
‫‪2‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ik‬‬
‫שהיא המקרה הטבעי והנפוץ ביותר‪.‬‬
‫אילוצים‬
‫‪qi   qi‬‬
‫‪ i  q1 ,..., qN , t   0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪  q ,..., q , t  q‬‬
‫אילוצים לא הולונומיים אינטגרביליים‬
‫אילוץ אינטגרבילי הוא אילוץ לא הולונומי שניתן לבצע לו אינטגרציה ולקבל אילוץ‬
‫הולונומי‪.‬‬
‫‪ -‬פונקציה הומוגנית מדרגה ‪ 1‬במהירויות המוכללות‬
‫‪t   t‬‬
‫דוגמא – בעיית קפלר‬
‫‪i‬‬
‫‪F d F‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫' ‪y dx y‬‬
‫‪ )3‬בחירת קואורדינאטות מוכללות שונות (אם יש טרנספורמציה הפיכה מוגדרת)‬
‫‪ )4‬הכפלה בקבוע ‪ -‬רק שאז היחידות משתנות‪.‬‬
‫השינוי באנרגיות‬
‫‪H ‬‬
‫הפונקציונל יכול להיות זמן (לדוגמה בעיית הברכיסטוכרון)‪ ,‬אנרגיה וכו'‪.‬‬
‫משוואת אוילר‪-‬לגרנג'‬
‫הדרישה למינימום צריכה לקיים‪:‬‬
‫אנרגיה פוטנציאלית‪.‬‬
‫חופש בבחירת הלגרנג'יאן‪:‬‬
‫הלגרנג'יאן אינווריאנטי לשינויים הבאים‪:‬‬
‫‪ )1‬הוספת קבוע ללגרנג'יאן‬
‫‪ )2‬הוספת נגזרת שלמה בזמן של כל פונקציה של‬
‫אין כוחות מוכללים ואז התנע הצמוד שלה נשמר‪:‬‬
‫שימור האנרגיה‬
‫במערכת סקלרונומית‬
‫ניתן להגדיר קואורדינאטות מוכללות במקום הקואורדינאטות הרגילות‪ .‬זאת על‬
‫מנת שנוכל לכתוב את הלגרנג'יאן‪ .‬נבחר קואורדינאטות כך ש‪:‬‬
‫‪ )1‬הן יתארו לחלוטין את הבעיה‬
‫‪ )2‬יהיו מס' קואורדינאטות כמספר דרגות החופש‬
‫דרגות חופש‬
‫מספר הקואורדינאטות הבלתי תלויות המתארות את הבעיה‪:‬‬
‫גוף חופשי ב ‪ 3( 6 – 3D‬תנועת מ"מ ‪ 3 +‬סיבוב)‬
‫גוף חופשי ב ‪ 2( 3 – 2D‬תנועת מ"מ ‪ 1 +‬סיבוב)‬
‫אילוצים‬
‫‪‬‬
‫אילוץ הולונומי הוא אילוץ הניתן לביטוי בצורה‪f r , t  0 :‬‬
‫כאשר ‪ T‬אנרגיה קינטית ו‪U -‬‬
‫שימור התנע הצמוד‬
‫כאשר קואורדינאטה ‪ q‬חסרה בלגרנג'יאן (ציקלית)‬
‫‪k‬‬
‫‪L‬‬
‫‪ const‬‬
‫‪qk‬‬
‫‪Pk ‬‬
‫פירוק האנרגיה הקינטית‬
‫‪ )4‬אם ישנן קואורדינאטות נוחות יותר‪ ,‬ניתן לעבור אליהן‪ .‬למשל בקואורדינאטות‬
‫פולאריות עבור רדיוס ‪ R‬קבוע‪:‬‬
‫‪x  R sin    x  R cos‬‬
‫‪ )5‬מכניסים הכול לנוסחא‬
‫‪L‬‬
‫‪qk‬‬
‫‪pk ‬‬
‫הגדרת התנע הצמוד‬
‫עקרון ד'אלמברט מתאים לניתוח בעיות פיסיקליות עם תנועה תחת אילוצים‬
‫(כמו טבעת בחישוק)‪ .‬העיקרון נובע משימור אנרגיה – כוחות אילוץ אינם‬
‫מבצעים עבודה‪.‬‬
‫עקרון ד'אלמברט סטטי‬
‫ניתן לגלות בעזרתו את הקואורדינאטות של שיווי משקל‪ .‬שיטה זאת אינה‬
‫מאפשרת לדעת האם מדובר בשיווי משקל יציב‪:‬‬
‫‪ ri‬‬
‫‪-1‬‬‫אילוצים לינאריים במהירויות המוכללות‬
‫‪q‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i qi 0‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪qi ‬‬
‫‪qi‬‬
‫‪i‬‬
‫עד סדר שני סביב ‪( q  0 ‬לא לשכוח נגזרות מעורבות)‪ ,‬ונפתח‬
‫‪i‬‬
‫את המקדמים ‪ m‬עד סדר אפס‪.‬‬
‫ד) נעבור לקואורדינאטות שמתאפסות בנקודות שיווי‪-‬משקל‪:‬‬
‫ה) נקבל לגרנג'יאן מהצורה‬
‫‪xi  qi  q1 0‬‬
‫‪L  12  mik xi xk  12  kik xi xk‬‬
‫‪i ,k‬‬
‫ו) המטריצות‪ki  k  :‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪knn ‬‬
‫‪‬‬
‫‪i ,k‬‬
‫‪‬‬
‫‪ m11‬‬
‫‪‬‬
‫‪mik  ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ ik‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪mi  k ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ k11‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ik‬‬
‫‪‬‬
‫‪k‬‬
‫‪mnn ‬‬
‫‪ ik‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2‬‬
‫כאשר החלוקה ב‪ 2-‬באיברים מחוץ לאלכסון היא כדי ליצור מטריצה סימטרית‪.‬‬
‫ניתן לכתוב את המטריצות גם כך‪:‬‬
‫ז) ננחש פתרון (כאשר ‪A‬‬
‫משוואות ‪E.L.‬‬
‫‪ 2V‬‬
‫‪xi x k‬‬
‫‪ 2T‬‬
‫‪xi x k‬‬
‫‪k ik ‬‬
‫‪mik ‬‬
‫‪x  t    x1 , x2 , x3   Aeit‬‬
‫וקטור קבוע)‪:‬‬
‫‪  2mik  kik  A  0‬‬
‫שמתקבלות הן‪:‬‬
‫כעת צריך רק לפתור מערכת משוואות הומוגנית‪ .‬ישנם פתרונות לא טריוויאליים‬
‫רק אם הדטרמיננטה מתאפסת‪.‬‬
‫ח) נמצא את הפתרונות הלא טריוויאליים (התדירויות העצמיות)‪:‬‬
‫‪det   mik  kik   0   ‬‬
‫‪2‬‬
‫ט) נציב חזרה כדי למצוא לכל תדירות עצמית את הוקטור העצמי (אופן תנודה)‪:‬‬
‫‪A ‬‬
‫‪‬‬
‫י) ולכן התוצאה הסופית‪:‬‬
‫‪ kik  A  0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪i t‬‬
‫‪  m‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ik‬‬
‫‪‬‬
‫‪x  t    Re C A e‬‬
‫‪‬‬
‫המקדמים ‪ C‬הם קבועים מרוכבים שניתן למצוא מתנאי ההתחלה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫אורתוגונאליות ונרמול אופני תנודה‬
‫‪T‬‬
‫לכל שני אופני תנודה שונים מתקיים‪:‬‬
‫‪A mik A  A kik A  0‬‬
‫כדי לנרמל אותן‪ ,‬נדרוש‪:‬‬
‫‪T‬‬
‫‪A mik A  A kik A  ‬‬
‫‪T‬‬
‫הנרמול בעצם קובע את המקדם ‪ . C‬עדיף להשתמש ב‪mik -‬‬
‫‪T‬‬
‫כיוון שהיא בדרך‬
‫כלל מלוכסנת‪.‬‬
‫ניחוש אופני תנודה‪ :‬מאוד משתלם לנחש אופני תנודה מסימטריות בבעיה (אם‬
‫אפשר) – חוסך הרבה מאוד עבודה‪ .‬ניתן למצוא את אופני התנודה האחרים‬
‫מתוך אורתוגונאליות אופני התנודה‪ ,‬ואת התדירויות העצמיות ממערכת‬
‫המשוואות‪:‬‬
‫‪ 2 m  k A  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ik‬‬
‫‪ik‬‬
‫‪‬‬
‫תנודות לא‪-‬ויברציוניות‬
‫אם קיבלנו ‪   0‬נקבל למעשה אופן תנודה שאינו ויברציוני‪ 1 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪A   1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪ ‬‬
‫שזו תנועה ליניארית של כל המסות‪ .‬לכן נשנה את הניחוש שלנו לפתרון –‬
‫‪-1-‬‬
‫‪‬‬
‫דף נוסחאות במכניקה אנליטית (אוניברסיטת ת"א‪)2012 ,‬‬
‫במקום ‪ Aeit‬הפתרון שלנו (לכל התנודות) יהיה‪ . A  t  eit :‬לכן עבור‬
‫‪   0‬נקבל בעצם תנועה במהירות קבועה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫ניוון‬
‫אם קיבלנו ‪ 2‬פתרונות זהים‬
‫שיתאים למערכת‬
‫‪ ‬‬
‫‪ , ‬ננחש אופן תנודה אחד שרירותית כך‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 mik  kik  A  0‬‬
‫ואת השני נקבע‬
‫מאורתוגונאליות של אופני תנודה‪.‬‬
‫פתרון בקואורדינאטות נורמאליות‬
‫אם נרצה לפתור תנועה הרמונית מאולצת או מרוסנת (כוחות שלא נכנסים‬
‫ללגרנג'יאן)‪ ,‬עלינו להשתמש בקואורדינאטות נורמאליות שכן ניתן עבורם ללכסן‬
‫את המטריצות (כל קואורדינאטה מייצגת תנועה הרמונית פשוטה של אופן‬
‫תנודה‪ ,‬והיא בלתי ‪-‬תלויה באחרות)‪ .‬ניתן לעשות זאת רק לאחר שפתרנו את‬
‫בעיית התנודות הפשוטות ומצאנו תדירויות עצמיות אופני תנודה מנורמלים‪.‬‬
‫כל קואורדינאטה נורמאלית מקיימת את התנועה ההרמונית של התדירות שלה‪:‬‬
‫‪i  t   A sin i t   B sin it ‬‬
‫ולכן הטרנספורמציה בין הקואורדינאטות הפשוטות לנורמאליות‪:‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪An  ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x1 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪x  Aik    A1‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר הוקטורים ‪ A ,..., A‬הם לאחר נרמול‪( .‬לשים לב שזוהי בעצם מטריצה)‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫נמצא את מטריצת הטרנספורמציה ההופכית (אלגברה לינארית)‪  Aik1 x :‬‬
‫הערה‪ :‬ניתן בקלות בעזרת הטרנספורמציה להציב תנאי התחלה למצוא את‬
‫המקדמים ‪. A,B‬‬
‫כעת נפנה לפתרון הבעיה השלמה – תנועה הרמונית מרוסנת ומאולצת‪:‬‬
‫אם נגזור את משוואות התנועה מהלגרנג'יאן נקבל ‪ n‬משוואות מצומדות‪:‬‬
‫‪ x1 ‬‬
‫‪ x1   F1 cos 1t  ‬‬
‫‪ x1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪mik    kik    ‬‬
‫‪  fik  ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪ x   F cos  t  ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪ n  n‬‬
‫‪ n‬‬
‫כאשר צד ימין של המשוואה מורכב מהכוחות המוכללים הלא‪-‬משמרים‬
‫(שכאמור לא נכנסים ללגרנג'יאן)‪ .‬הנחנו כאן במקרה הכללי ביותר שעל כל‬
‫קואורדינאטה פועל כוח מאלץ שונה עם תדירות שונה (לא לבלבל עם‬
‫התדירויות העצמיות)‪ ,‬וכן כי ישנה מטריצת כוחות מרסנים‪ .‬נעביר כעת את‬
‫‪ x1 ‬‬
‫‪ x1 ‬‬
‫המטריצה לצד השני‪ x1   F1 cos 1t   :‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪mik    fik    kik    ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪ x   F cos  t  ‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪ n  n‬‬
‫נציב במקום הקואורדינאטות הפשוטות את הטרנספורמציה לקואורדינאטות‬
‫הנורמאליות (כיוון שהיא קבועה‪ ,‬היא נשמרת לאחר גזירה בזמן)‪:‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪ 1   F1 cos 1t  ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪mik Aik    fik Aik    kik Aik    ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ n ‬‬
‫‪ n ‬‬
‫‪ n   Fn cos nt  ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫כעת‪ ,‬מכיוון שהמטריצה מורכבת מוקטורים עצמיים מנורמאלים של המטריצות‬
‫‪ , m ,k‬נוכל ללכסן את מערכת המשוואות ע"י מכפלה מצד שמאל במטריצת‬
‫‪ik‬‬
‫‪ik‬‬
‫הטרנספורמציה ההופכית‪:‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪ F1 cos 1t  ‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪mik    fik    kik    Aik1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ F cos  t  ‬‬
‫‪ n ‬‬
‫‪ n ‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪mik  Aik1mik Aik  fik  Aik1 fik Aik kik  Aik1kik Aik‬‬
‫וכל המטריצות מלוכסנות‪ .‬מכיוון שכך ‪ -‬אנו מקבלים בעצם ‪ n‬משוואות‬
‫דיפרנציאליות בלתי‪-‬תלויות שפתרון כל אחת מהן ידוע (מהקורס קלאסית ‪.)1‬‬
‫הערה‪ :‬מתקבלות משוואות בהן יש מספר כוחות מאלצים‪ .‬הפתרון הסופי הוא‬
‫סופרפוזיציה של הפתרונות של כל כוח מאלץ בנפרד‪.‬‬
‫תנודות סביב שיווי משקל דינמי ‪ -‬אילוץ ראונומי ‪-‬‬
‫בבעיות אלו נפריד את הלגרנג'יאן ל ‪ T2 ; Veff  V  T0‬‬
‫‪-2-‬‬
‫‪‬‬
‫הלגרנג'יאן הוא‪:‬‬
‫‪L  m1r1  m r  V  r1  r2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫בהיעדר כוח חיצוני התנע המוכלל‬
‫הכולל נשמר‪:‬‬
‫‪m1r1  m2 r2‬‬
‫‪mm‬‬
‫‪r  r1  r2   1 2‬‬
‫‪m1  m2‬‬
‫‪m1  m2‬‬
‫נגדיר‪:‬‬
‫הטרנספורמציה‬
‫ההפוכה‪:‬‬
‫קואורדינאטת מרכז‬
‫המסה חסרה ולכן‪:‬‬
‫‪Pcm  constRcm  V0t  R0‬‬
‫ונעבור למערכת מרכז המסה‪:‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪r V  r ‬‬
‫‪2‬‬
‫יש אינווריאנטיות לסיבובים‬
‫ולכן התנע הזוויתי נשמר‪:‬‬
‫בגדלים האפקטיביים בפיתוח התנודות הקטנות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫קואורדינאטה חסרה ולכן‪:‬‬
‫‪l‬‬
‫‪r 2‬‬
‫‪ V r   E‬‬
‫אין תלות מפורשת בזמן‪ ,‬לכן‪:‬‬
‫נציב ונקבל ביטוי עם דרגת‬
‫חופש אחת‪:‬‬
‫(ומשוואה מסדר ראשון)‬
‫נתעניין בצורת המסלול ‪ ‬‬
‫‪:r‬‬
‫‪ )1‬מרכז המסה של הפרודה לא זז‬
‫‪ )2‬פרודה לא מסתובבת‬
‫(לא מדויק‪ ,‬אך קירוב טוב)‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪ri  0‬‬
‫‪0‬‬
‫אז הבעיה תמיד פתירה !‬
‫מתוך שימור האנרגיה נחלץ את‬
‫הפתרון‪:‬‬
‫‪dr‬‬
‫צמצום דרגות חופש‬
‫במקרה של ‪ 2‬מסות עם אינטראקציה ביניהן‪ ,‬ובהיעדר פוטנציאל חיצוני‪ ,‬ניתן‬
‫להקטין את מספר דרגות החופש מ ‪ 3( 6‬כל אחת) לדרגת חופש ‪:1‬‬
‫‪ r   ‬‬
‫‪2 E 1 2V  r ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪l2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪l2‬‬
‫‪r2‬‬
‫מציאת זמן מחזור‬
‫‪ .1‬אם ידוע שטח המסלול (‪ )A‬אפשר לחשב‬
‫באמצעות החוק השני של קפלר‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪l‬‬
‫‪ r‬נוכל לבצע אינטגרציה על‬
‫‪d‬‬
‫שימור התנע הזוויתי‪:‬‬
‫‪r 2  ‬‬
‫‪l‬‬
‫‪2‬‬
‫החוק שלישי של קפלר‪:‬‬
‫בבעיות פוטנציאל מרכזי‪ ,‬אם נתון לנו ‪r  ‬‬
‫לחלץ את הפוטנציאל ע"י ביצוע ההצבה ‪u  1 r‬‬
‫נוכל‬
‫ושימוש במשוואת בינה‬
‫‪ .2‬נגזור פעמיים‬
‫‪ .3‬נציב הכל במשוואת בינה‬
‫‪dV‬‬
‫‪l2‬‬
‫‪‬‬
‫‪k‬‬
‫‪du‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .4‬נבצע אינטגרציה‬
‫‪k‬‬
‫‪r‬‬
‫נציב ונפתור‪:‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪2 E 1 2 k 1‬‬
‫‪ 2 2‬‬
‫‪l2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪l r‬‬
‫‪2‬‬
‫מכאן‪:‬‬
‫‪‬‬
‫המשיק ל‪-‬‬
‫‪rmin‬‬
‫‪rmin‬‬
‫‪b‬‬
‫‪Center Of Force‬‬
‫דחייה‬
‫‪    20‬‬
‫‪   20 mod 2   ‬‬
‫משיכה‬
‫(החלקיק עשוי לעשות מס' סיבובים)‬
‫‪ - ‬זווית הפיזור ‪ - b‬פרמטר האימפקט‬
‫הגדרות וגדלים חשובים‬
‫זווית מרחבית‪:‬‬
‫‪S‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪dS‬‬
‫‪d   2  2 sin  d‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪Veff ‬‬
‫לכדור שלם הזווית המרחבית היא‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2u‬‬
‫‪p‬‬
‫‪4 8E‬‬
‫‪‬‬
‫‪p 2 pk‬‬
‫‪ r   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  r    arccos  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪p‬‬
‫‪ 1   cos ‬‬
‫‪r‬‬
‫קובע את סוג המסלול‪.‬‬
‫סוגי מסלולים‪:‬‬
‫‪) k‬‬
‫(ביחידות של‬
‫‪2p‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪E  1‬‬
‫‪0   1‬‬
‫‪1  E  0‬‬
‫‪‬‬
‫באחד הפוקוסים‬
‫‪-2-‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪b db‬‬
‫‪‬‬
‫‪d  sin  d‬‬
‫חתך פעולה כולל‬
‫שווה לסה"כ השטח שממנו פוזרו‬
‫חלקיקים אל השטח הנמדד‬
‫‪d‬‬
‫] ‪d  [m2‬‬
‫‪d‬‬
‫* מהגיאומטריה של הבעיה‪ ,‬דרך ‪ 0‬ו‪ rmin -‬נמצא את ‪b  ‬‬
‫‪ ‬‬
‫ומשם את חתך‬
‫הפעולה הדיפרנציאלי‪.‬‬
‫עבור פוטנציאל מרכזי מתקיים‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪ b  2V  r ‬‬
‫‪1   ‬‬
‫‪ v2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ r‬נמצא לפי שימור האנרגיה ( ‪.) r  0‬‬
‫כאשר את‬
‫‪min‬‬
‫‪2‬‬
‫‪p‬‬
‫אליפסה כאשר‬
‫הראשית ‪ 0, 0‬נמצאת‬
‫‪‬‬
‫‪ - d‬לכן שווה לשטח שבו נכנסו החלקיקים שהתפזרו בין‬
‫שווה לשטח שבו נכנסו החלקיקים‬
‫‪db‬‬
‫‪ 2 bdb  2 b‬‬
‫‪d‬‬
‫במונחי ‪d‬‬
‫פיזור ‪Rutherford‬‬
‫זהו הפיזור עבור פוטנציאל הדחייה‪:‬‬
‫המסלול‬
‫מעגל ברדיוס‬
‫‪dN‬‬
‫‪d ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ ‬ל‪  d -‬‬
‫חתך פעולה דיפרנציאלי‬
‫‪pu  1‬‬
‫‪pu  1‬‬
‫‪cos     ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 pE‬‬
‫‪1‬‬
‫‪k‬‬
‫ניתן לראות כי ‪ p‬קובע את גודל המסלול‪ ,‬‬
‫‪  4‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ , ‬ונקבל משוואה כללית לחתכים קוניים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫הזוויות‬
‫‪0‬‬
‫היא הזווית בין הישר‬
‫‪ r   ‬‬
‫‪du‬‬
‫‪2E 2‬‬
‫‪ u  u2‬‬
‫‪pk p‬‬
‫‪E‬‬
‫תנע‬
‫‪l  mbv‬‬
‫חתך פיזור דיפרנציאלי‪:‬‬
‫ מס' החלקיקים שהתפזרו בין ‪ ‬ל‪   d -‬ליחידת זמן‬‫‪dN‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪l2‬‬
‫‪ - n‬מס' החלקיקים שנכנס ליחידת שטח ליחידת זמן‬
‫‪u  du   2  p ‬‬
‫‪k‬‬
‫נבחר ‪ 0‬‬
‫‪V  ku  ‬‬
‫גדלים שמורים‪:‬‬
‫אנרגיה‬
‫‪V r   G‬‬
‫‪M2 k‬‬
‫‪‬‬
‫‪2mr 2 r‬‬
‫‪‬‬
‫‪E  12 mv2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪T 2 a3‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪d 2u‬‬
‫‪‬‬
‫‪  cos ‬‬
‫‪‬‬
‫‪d 2‬‬
‫‪b‬‬
‫נוכיח את חוקי קפלר ע"י פתרון בעיית המשיכה הגרוויטציונית‪ ,‬כאשר נפתור את‬
‫הבעיה בקירוב טוב שאחת המסות אינסופית ביחס לשנייה‪ ,‬ואז היא נשארת‬
‫במקומה (בראשית הצירים) והמסה השנייה נעה סביבה‪.‬‬
‫הפוטנציאל הוא‪:‬‬
‫‪mm‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪k‬‬
‫‪r‬‬
‫‪1 1 ‬‬
‫‪u    cos ‬‬
‫‪r  ‬‬
‫‪ .1‬נעבור ל ‪u  ‬‬
‫בעיית קפלר‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪d 2u‬‬
‫‪ dV‬‬
‫‪u   2‬‬
‫‪d 2‬‬
‫‪l du‬‬
‫‪ 1   cos ‬‬
‫שלבים בפתרון משוואת בינה ‪ -‬דוגמא ‪-‬‬
‫‪0‬‬
‫‪r‬‬
‫‪a‬‬
‫‪k‬‬
‫‪T  4‬‬
‫משוואת בינה‬
‫‪T‬‬
‫– משיכה גרוויטציונית‬
‫חוקי קפלר‬
‫‪ .1‬מסלולי כוכבי הלכת הם אליפטיים כאשר השמש נמצאת באחד הפוקוסים‪.‬‬
‫‪ .2‬הקו שמחבר בין כוכב הלכת לשמש סורק שטחים שווים בזמנים שווים‬
‫‪ .3‬זמן המחזור ‪ T‬והמרחק הממוצע בין כוכב הלכת לשמש ‪ a‬מקיימים‪:‬‬
‫הפתרון של האינטגרל‪:‬‬
‫( ‪ ‬קבוע אינטגרציה)‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪GM sun‬‬
‫‪T‬‬
‫‪1‬‬
‫‪l‬‬
‫‪t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A‬‬
‫החוק השני של קפלר‪:‬‬
‫‪T   dt  ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ab‬‬
‫‪l‬‬
‫‪T‬‬
‫פיזור וחתכי פעולה‬
‫* טעות נפוצה – אסור להציב את התנע הזוויתי שמצאנו חזרה בלגרנג'יאן!‬
‫* הקבועים ‪ E ,L‬נקבעים לפי תנאי התחלה‪.‬‬
‫קצת אלגברה וסימונים‪:‬‬
‫כוחות מרכזיים‬
‫זמן מחזור‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫בעיות חד מימדיות‬
‫אם הלגרנג'יאן הוא מהצורה‬
‫מיקום מרכז האליפסה ביחס‬
‫לראשית (‪.)r=0‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ dr  l 2‬‬
‫‪l2‬‬
‫‪E ‬‬
‫‪‬‬
‫‪V r ‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪d‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫מכאן משוואת המסלול‪:‬‬
‫המרחק ממרכז המסה לנקודת שיווי‪-‬משקל‬
‫‪1‬‬
‫‪L  mq 2  V q ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪q‬‬
‫'‪dq‬‬
‫‪t q   ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪q0‬‬
‫‪E  V q'‬‬
‫‪m‬‬
‫‪E  12  r 2 ‬‬
‫‪dr dr‬‬
‫‪dr l‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪dt d‬‬
‫‪d  r 2‬‬
‫נציב במשוואת האנרגיה‪:‬‬
‫‪i i‬‬
‫‪ u‬ההעתקה מנקודה שיווי משקל‬
‫‪i‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪i‬‬
‫‪‬‬
‫‪H   r r ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪l‬‬
‫‪V r ‬‬
‫‪2 r 2‬‬
‫תנודות קטנות של מולקולות (פרודות)‬
‫‪i i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ונבצע בעזרתם פיתוח תנודות קטנות‪.‬‬
‫‪m u  0‬‬
‫‪m r   u‬‬
‫‪center‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪rmax ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪1 e‬‬
‫‪1 e‬‬
‫‪1  e2‬‬
‫‪p‬‬
‫‪b‬‬
‫‪xcenter  ae‬‬
‫‪1  e2‬‬
‫‪rmin ‬‬
‫‪‬‬
‫‪p   r 2  l  const ‬‬
‫החלפת משתנים ‪ +‬סימון‪:‬‬
‫מציאת מס' דרגות החופש הויברציוניות‬
‫המודל של פרודה הוא ‪ N‬אטומים עם קפיצים ביניהם‪ .‬כדי להיפטר מדרגות‬
‫חופש לא‪-‬ויברציוניות‪ ,‬אנו מניחים שמרכז הכובד של הפרודה לא נע‪ ,‬וכי אין‬
‫סיבוב של הפרודה סביב ציריה (התנועה במישור אחד בלבד)‪.‬‬
‫נבטא את ההנחות הנ"ל ליצירת אילוצים הולונומים שנציב בלגרנג'יאן‪:‬‬
‫‪L‬‬
‫‪1‬‬
‫‪L   r 2  r 2 2  V  r ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪eff‬‬
‫‪eff‬‬
‫גדלים שקשורים בחתך קוני אליפטי‬
‫‪ a‬הוא חצי רוחב האליפסה‪ b .‬הוא‬
‫‪ x‬הוא‬
‫חצי גובה האליפסה‪.‬‬
‫פרבולה‬
‫היפרבולה‬
‫‪l  const‬‬
‫נבחר ˆ‪ l  lz‬ונקבל שהתנועה כולה‬
‫מוגבלת למישור‪ ,‬ולא תלויה בכיוון ‪: r‬‬
‫‪ .2‬אם ידוע ‪ ‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪E 0‬‬
‫‪E 0‬‬
‫‪r1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪L  12  m1  m2  Rcm‬‬
‫‪ 12  r 2  V  r ‬‬
‫כעת הלגרנג'יאן הוא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪Rcm ‬‬
‫‪m2 r‬‬
‫‪m1r‬‬
‫‪ Rcm r2 ‬‬
‫‪ Rcm‬‬
‫‪m1  m2‬‬
‫‪m1  m2‬‬
‫הפוטנציאל האפקטיבי‪:‬‬
‫תנודות סביב שיווי משקל דינמי – קואורדינאטה חסרה –‬
‫הקואורדינאטות החסרות גוררות שימור של התנע הקנוני המתאים‪ .‬אם יש‬
‫שימור אנרגיה‪ ,‬נציב בתוך משוואת האנרגיה את חוקי השימור שמצאנו בכדי‬
‫להעלים את הקואורדינאטות החסרות‪ .‬נזהה מתוך האנרגיה את ‪, T , V‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dptotal‬‬
‫‪ 0 ptotal  const‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪ . T‬ונשתמש‬
‫‪eff‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0 ‬‬
‫‪rmin‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪V r  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪cot‬‬
‫‪mv2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪b   ‬‬
‫‪r‬‬
‫הקשר בין פרמטר האימפקט‬
‫לזווית הפיזור‬
‫‪ ‬‬
‫דף נוסחאות במכניקה אנליטית (אוניברסיטת ת"א‪)2012 ,‬‬
‫חתך הפעולה הדיפרנציאלי‬
‫יהיה‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪d  4m2v 4 sin 4 2‬‬
‫חתך הפעולה הכולל‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫מציאת חתך הפעולה הדיפרנציאלי בהינתן גוף סיבוב‬
‫בהינתן פני גוף המוגדרים ע"י סיבוב הפונ' ‪ f x‬סביב ציר ה‪ ,x‬נוכל לחשב‬
‫‪‬‬
‫את חתך הפעולה הדיפרנציאלי לפי המתכון הבא‪:‬‬
‫‪ .1‬נחלץ את ‪x0 b ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f x0   b  x0  f‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪f ' x0 b   tg  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫(קווזי‪-‬סימטריה) – מתקיים‬
‫‪d‬‬
‫‪L Q  s, t  , Q  s, t  , t   0‬‬
‫‪ds ‬‬
‫‪s 0‬‬
‫‪ .‬הגודל‬
‫שנשמר הוא‪:‬‬
‫‪dQ‬‬
‫‪I  q, q   P ‬‬
‫‪ const‬‬
‫‪ds s 0‬‬
‫הוא התנע המוכלל של הקואורדינאטה ‪. Q‬‬
‫‪s1 ,..., sD  0‬‬
‫‪, j  1,..., D‬‬
‫‪j‬‬
‫‪‬‬
‫‪dt‬‬
‫פונקציה כלשהי‪ .‬הגודל השמור הוא‪:‬‬
‫‪dQ‬‬
‫‪I  q, q   P ‬‬
‫‪ G  const‬‬
‫‪ds s 0‬‬
‫טרנספורם לג'נדר‬
‫נתונה לנו פונקציה ‪ A  x, y ‬כאשר ‪ x‬הוא משתנה פסיבי ו‪y -‬‬
‫אקטיבי‪ ,‬ממנו נרצה להיפטר בטרנספורמציה שנבצע‪ .‬נגדיר משתנה נוסף ‪z‬‬
‫ונגדיר את הטרנספורמציה‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪y x‬‬
‫כאשר ההגדרה של ‪ z‬היא ע"מ שלא תהיה לנו תלות ב ‪ y -‬בפונקציה החדשה‪.‬‬
‫‪B  x, z   yz  A  x, y z ‬‬
‫מתקבלים הקשרים הבאים‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪z x x z‬‬
‫‪x y‬‬
‫כאשר התנאי לקיום הטרנספורמציה מלכתחילה הוא‪:‬‬
‫הכללה ל‪ n -‬משתנים אקטיביים ו‪ m -‬משתנים פסיביים‪:‬‬
‫עבור הפונקציה ‪ A x ,..., x , y ,..., y‬נגדיר‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪m‬‬
‫ונבצע את הטרנספורם‪:‬‬
‫מבצעים על כל אחד מהתנאים אינטגרציה לקבלת הפונקציה היוצרת‪.‬‬
‫ע"מ לעבור בין הפונקציות היוצרות יש לבצע טרנספורם לג'נדר‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫‪t‬‬
‫ההמילטוניאן של המערכת לאחר‬
‫הטרנספורמציה הוא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫‪yk‬‬
‫‪n‬‬
‫‪B  x1 ,..., xm , z1 ,..., zn    yk zk  A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ 0 yk ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪yk‬‬
‫‪zk xi‬‬
‫‪xi‬‬
‫מכניקה המילטונית‬
‫הפורמליזם ההמילטוניאני‬
‫מבצעים טרנספורם לג'נדר ללגרנג'יאן ומקבלים את ההמילטוניאן (מהגדרה)‪.‬‬
‫המשתנים האקטיביים‪ :‬המהירויות המוכללות ‪q‬‬
‫משתני פעולה זווית‬
‫נחפש טרנספורציה שמביאה לכך שכל הקואור' החדשות תהיינה חסרות ב ‪. H‬‬
‫זוהי טרנספורמציה משתלמת כאשר התנועה מחזורית‪ ,‬מכיוון שהיא מאפשרת‬
‫לחשב את תדירות התנועה מבלי ממש לפתור את הבעיה‪.‬‬
‫‪Pi  const  I i‬‬
‫מכיוון שהקואור' חסרות מתקיים‪:‬‬
‫‪H  H I i   E  const‬‬
‫‪H‬‬
‫‪  i ‬‬
‫‪  i I k   const‬‬
‫‪I i‬‬
‫‪ i  i t   i‬‬
‫שלבים בפתרון משתני פעולה זווית‬
‫‪ .1‬נחלץ את ‪ p‬מתוך ההמילטוניאן‪ .‬כזכור ההמילטוניאן קבוע ושווה לאנרגיה‪.‬‬
‫‪ .2‬נחשב את התנעים החדשים (משתני הפעולה) באמצעות אינטגרציה על ‪p‬‬
‫‪ .2‬א‪ .‬אם התנועה סגורה במרחב הפאזה‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪I‬‬
‫‪pdq‬‬
‫נחשב את השטח אותו סוגר הגוף במרחב‬
‫‪2‬‬
‫הפאזה‪:‬‬
‫‪q T ‬‬
‫‪ .2‬ב‪ .‬אם התנועה אינה סגורה במרחב‬
‫‪1‬‬
‫הפאזה‪ ,‬נחשב את האינטגרל הבא‪:‬‬
‫‪I‬‬
‫‪pdq‬‬
‫‪‬‬
‫‪L‬‬
‫‪qk‬‬
‫‪ .3‬כותבים את ההמילטוניאן‪:‬‬
‫‪L‬‬
‫‪H   qk‬‬
‫‪L‬‬
‫‪qk‬‬
‫‪k‬‬
‫‪pk ‬‬
‫‪ .4‬מבטאים את ההמילטוניאן במונחי ‪pk , qk‬‬
‫‪ .5‬כותבים את משוואות המילטון‪H :‬‬
‫‪qk‬‬
‫‪pk  ‬‬
‫‪H‬‬
‫‪qk ‬‬
‫‪pk‬‬
‫‪‬‬
‫‪q 0 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪H‬‬
‫‪I‬‬
‫‪2‬‬
‫‪I‬‬
‫‪T‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪H‬‬
‫רכיבי טנזור ההתמד‬
‫יחושבו לפי‪:‬‬
‫‪i ‬‬
‫‪ji‬‬
‫משפט הציר המוסט‪:‬‬
‫‪ a‬וקטור מנק' הציר למ"מ‬
‫‪qi‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪t‬‬
‫בצירים ראשיים מתקיים‪:‬‬
‫סביבון א‪-‬סימטרי‬
‫‪I1  I 2  I3‬‬
‫סביבון סימטרי‬
‫‪I1  I 2  I3‬‬
‫סביבון כדורי (ספרי‪-‬סימטרי)‬
‫‪I1  I 2  I3‬‬
‫מומנטי התמד של גופים נבחרים‬
‫‪ )3‬ננחש פתרון מהצורה‪:‬‬
‫‪H‬‬
‫‪2‬‬
‫‪MR‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪M R2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪Mb 2‬‬
‫‪12‬‬
‫‪M‬‬
‫‪MaRvin‬‬
‫מורכבת‬
‫משוואות אוילר‬
‫סט המשוואות כתוב במערכת הגוף בצירים ראשיים‪.‬ולכן נשתמש בו כאשר אין‬
‫מומנטים חיצוניים על המערכת או כאשר הם ניתנים לביטוי פשוט במערכת‬
‫‪t ‬‬
‫‪)T‬‬
‫הגוף‪:‬‬
‫מה שנוח)‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫‪ i‬‬
‫‪ i‬‬
‫אם נגיע לפתרון מפורש של כל קואורדינאטה נוכל לקבוע את הקבועים‬
‫מתוך תנאי ההתחלה של הבעיה‪.‬‬
‫‪MR‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a 2  b2‬‬
‫‪12‬‬
‫‪H‬‬
‫‪ )5‬יש לנו פתרון מהצורה‪S  W1 (q1 , 1 )  W2 (q2 ,  2 )  ...  T  t , t  :‬‬
‫‪-3-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪MR2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )4‬נמצא פתרון לכל חלק של המשוואה (בדרך כלל נוח להתחיל עם‬
‫לכן משוואות התנועה‪:‬‬
‫‪ML‬‬
‫‪12‬‬
‫) ‪M (r 2  R 2‬‬
‫‪2‬‬
‫ממספר פונקציות שכל אחת תלויה לבדה בקואורדינאטה אחת ועוד אחת‬
‫התלויה לבדה בזמן‪.‬‬
‫תוך שאנו מסמנים את קבועי ההפרדה ב‪ i -‬‬
‫‪2‬‬
‫אל‬
‫‪i‬‬
‫(או‬
‫‪MR‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ i‬‬
‫‪ i2‬‬
‫‪ R 2 L2 ‬‬
‫‪M  ‬‬
‫‪ 4 12 ‬‬
‫‪M R2‬‬
‫‪2‬‬
‫הקואורדינאטות וכל התנעים קבועים ונקבעים מתאי התחלה‪ .‬נוכל לקבל את‬
‫משוואות התנועה מתוך הפעולה‪:‬‬
‫‪S  q1 ,..., qn , 1 ,...,  n , t ‬‬
‫‪S  Wi  qi   T  t ‬‬
‫‪I1  I 2  I 3‬‬
‫‪I1  I 2 I3  0‬‬
‫‪ . ‬בקואורדינאטות החדשות ההמילטוניאן מתאפס ולכן כל‬
‫כלומר ‪S‬‬
‫‪i‬‬
‫בגוף מישורי‪:‬‬
‫זוהי משוואת המילטון יעקובי‪ .‬היא משוואה דיפרנציאלית חלקית שפתרונה הוא‬
‫‪ )2‬רושמים את משוואת המילטון יעקובי‪:‬‬
‫‪S‬‬
‫‪0‬‬
‫‪t‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Trot   I ii2‬‬
‫‪i 2‬‬
‫‪l  I    I ii‬‬
‫‪I1  I 2  I3‬‬
‫‪S  f  q1 ,..., qn , 1 ,...,  n , t   c‬‬
‫‪ i‬‬
‫‪‬‬
‫תכונות מומנט ההתמד‪:‬‬
‫תמיד מתקיים‪:‬‬
‫לכן נפתור את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S  S‬‬
‫‪H  q1 ,..., qn ,‬‬
‫‪,...,‬‬
‫‪,t  ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪q‬‬
‫‪‬‬
‫‪q‬‬
‫‪‬‬
‫‪t‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ S‬היא הפונקציה היוצרת של טרנספורמציה קנונית מהמשתנים ‪qi , pi‬‬
‫‪I a  I cm  m  a ij  ai a j ‬‬
‫‪2‬‬
‫מסת הגוף‬
‫‪‬‬
‫שבקואורדינאטות החדשות ההמילטוניאן מתאפס‪ .‬אם יש כזו טרנספורמציה‪ ,‬אז‬
‫מתקיימים הקשרים הבאים‪:‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S‬‬
‫‪ pi‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ij‬‬
‫מעבר למערכת צירים ראשיים‬
‫נמצא את הערכים העצמיים ‪ ‬של טנזור ההתמד בעזרת השוואת‬
‫הדטרמיננטה לאפס‪ .‬הוקטורים העצמיים ‪ u‬יהיו הצירים הראשיים‪ ( .‬‬
‫מטריצת היחידה)‪ .‬בצירים ראשיים טנזור ההתמד הוא אלכסוני ואיברי האלכסון‬
‫הם הערכים העצמיים‪det   I  0 :‬‬
‫משוואת המילטון יעקובי‬
‫‪‬‬
‫‪H‬‬
‫‪pk‬‬
‫ˆ‪I n  nˆ  I  n‬‬
‫ניתן לחשב את טנזור ההתמד מכל נקודה בגוף‪ .‬לכל נקודה ניתן לסובב את‬
‫מערכת הצירים כדי לקבל מטריצה מלוכסנת‪ ,‬צירים אלה יקראו צירים ראשיים‪.‬‬
‫* כל ציר שיש סימטריה בסיבוב או שיקוף לפיו הוא ציר ראשי‪.‬‬
‫* מותר לחבר טנזורי התמד של גופים מחוברים (כל עוד מקפידים על הצירים)‪.‬‬
‫טנזור ההתמד תמיד סימטרי‬
‫‪I I‬‬
‫שלבים בפתרון בעיות בעזרת משוואת המילטון יעקובי‬
‫‪ )1‬רושמים את ההמילטוניאן של הבעיה‪ ,‬ומחליפים בהמילטוניאן את כל‬
‫המופעים של התנע בנגזרות חלקיות של ‪ . S‬למשל ‪ p‬יוחלף ב‪. S -‬‬
‫‪qk ‬‬
‫‪I13 ‬‬
‫‪ I1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪I 23 I main  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪I 33 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪I12‬‬
‫‪I 22‬‬
‫‪I 32‬‬
‫‪ I11‬‬
‫‪‬‬
‫‪I   I 21‬‬
‫‪I‬‬
‫‪ 31‬‬
‫‪Iij   dm  r 2 ij  xi x j r   x1 , x2 , x3 ‬‬
‫נרצה שהפעולה ‪ S  S q ,..., q , t‬תהיה טרנספורמציה קנונית‬
‫‪1‬‬
‫‪n ‬‬
‫המשתנים ‪,  i‬‬
‫‪I2‬‬
‫בגוף קווי‪:‬‬
‫בשביל לחלץ את גבולות האינטגרציה תוך‬
‫שימוש בהמילטוניאן‪.‬‬
‫‪ .3‬נביע את ההמילטוניאן באמצעות משתני הפעולה בלבד‪.‬‬
‫‪ .4‬נחלץ את התדירות או את זמן המחזור‪:‬‬
‫‪i‬‬
‫‪1‬‬
‫‪T   I112  I 222  I 332 ‬‬
‫‪2‬‬
‫היטל הטנזור בכיוון ̂‪n‬‬
‫( ̂‪ n‬וקטור יחידה)‬
‫‪k‬‬
‫המשתנים הפסיביים‪ :‬הקואורדינאטות המוכללות ‪ qk‬והזמן ‪t‬‬
‫המשתנים החדשים‪ :‬התנעים הצמודים (הקנונים) ‪L‬‬
‫‪pk ‬‬
‫‪qk‬‬
‫מקבלים ‪ 2n‬משוואות תנועה חדשות (משוואות המילטון)‪:‬‬
‫‪H‬‬
‫‪pk  ‬‬
‫‪qk‬‬
‫שלבים לקבלת משוואות המילטון‪:‬‬
‫‪ .1‬כותבים את הלגרנג'יאן ‪L‬‬
‫‪ .2‬כותבים את התנעים המוכללים‬
‫‪H (Qi , Pi , t )  H (qi , pi , t ) ‬‬
‫‪zk ‬‬
‫‪k 1‬‬
‫מתקבלים הקשרים הבאים‪:‬‬
‫‪F4  pi , Pi , t ‬‬
‫‪F4‬‬
‫‪F‬‬
‫‪Qi  4‬‬
‫‪pi‬‬
‫‪Pi‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪0‬‬
‫‪y 2‬‬
‫תנע זוויתי של גוף צפיד‬
‫‪2‬‬
‫‪T‬‬
‫‪l  R  P  I‬‬
‫‪qi  ‬‬
‫נעזר בעובדה ש ‪pq0  pqT ‬‬
‫משתנה‬
‫‪MR 2   T I ‬‬
‫‪2‬‬
‫טנזור ההתמד מחושב לפי ‪‬‬
‫מערכת ‪ 3‬צירים מאונכים‪ ,‬‬
‫הצמודה לגוף‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪I 3 ‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪s 0‬‬
‫בחירת מערכת הצירים הצמודה לגוף‬
‫כאשר לגוף יש נקודה קבועה במרחב‪,‬‬
‫נבחר את הראשית של המערכת הקבועה לגוף לנקודה זו‪ .‬אחרת‪ ,‬נבחר את‬
‫הראשית להיות מרכז המסה של הגוף‪.‬‬
‫טנזור מומנט ההתמד‬
‫אנרגיה קינטית של גוף צפיד‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪F3  pi , Qi , t ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ds‬‬
‫‪CM‬‬
‫‪F3‬‬
‫‪F‬‬
‫‪Pi   3‬‬
‫‪pi‬‬
‫‪Qi‬‬
‫‪I j  q1 ,..., qn , q1 ,..., qn    Pk‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪qi  ‬‬
‫‪ , s‬אז‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫כלומר ניתן להביא את מהירות כל נקודה בגוף‬
‫כצירוף של מהירות מרכז המסה עם המהירות‬
‫הסיבובית שלה סביב מרכז המסה‪.‬‬
‫כאשר טנזור מומנט ההתמד‬
‫מובע בצירים ראשיים‪:‬‬
‫ההמילטוניאן תלוי רק בקבועים הללו‪:‬‬
‫הכללה של משפט ‪:Noether‬‬
‫באופן כללי לא חייבים לדרוש אינווריאנטיות של הלגרנג'יאן תחת פעולת‬
‫הסימטריה המקומית‪ ,‬מספיק לדרוש‪dG :‬‬
‫‪ dL‬כאשר ‪G q, q, t‬‬
‫‪1‬‬
‫הפונקציה היוצרת‬
‫‪F2  qi , Pi , t ‬‬
‫התנועה החדשות‪ ,‬כאשר ‪ . Q 0, t  q t‬אם זו פעולת סימטריה מקומית‬
‫‪  ‬‬
‫נקבל ‪D‬‬
‫צריכה לקיים‬
‫‪F2‬‬
‫‪F‬‬
‫‪Qi  2‬‬
‫‪qi‬‬
‫‪Pi‬‬
‫משפט נטר ‪Noether‬‬
‫סימטריות בלגרנג'יאן גורמות לגדלים מסוימים להישמר‪ .‬בהנתן טרנספורמצית‬
‫סימטריה נסמן את הפרמטר הרציף המתאר את פעולת הטרנספורמציה ב‪, s -‬‬
‫כאשר ‪ s  0‬מבטא את העובדה שלא ביצענו טרנספורמציה (כלומר‬
‫טרנספורמציית היחידה)‪ .‬נסמן ב‪ Q s, t -‬הפתרון המתקבל ממשוואות‬
‫גדלים שמורים‪:‬‬
‫‪ .2‬מציאת פונקציות יוצרות‪ :‬טרנספורמציה היא קנונית אם ורק אם קיימת‬
‫לפחות אחת מארבע סוגי פונקציות יוצרות‪.‬‬
‫‪pi ‬‬
‫חוקי שימור וסימטריה‬
‫‪v V a‬‬
‫‪R‬‬
‫‪f ' x0 b‬‬
‫פעולה דיפרנציאלי‪.‬‬
‫‪dQK‬‬
‫‪ds j‬‬
‫‪ .1‬סוגרי פואסון‪:‬‬
‫דינמיקה של גוף צפיד‬
‫גוף צפיד הוא גוף שאין בו תנועה יחסית של חלקי הגוף אחד ביחס לשני‪ .‬לכל‬
‫נקודה בגוף צפיד מתקיים‪dr  dR  d  a :‬‬
‫‪Qk , Pl    kl Qk , Ql   0 Pk , Pl   0‬‬
‫‪F1  qi , Qi , t ‬‬
‫מתוך הקשר הנ"ל נחלץ את ‪ ‬‬
‫כאשר ‪P‬‬
‫הגדרה‬
‫משוואות התנועה הנגזרות מן ההמילטוניאן של הקואורדינאטות החדשות‬
‫(לאחר טרנספורמציית המגע) תתארנה את אותה הפיסיקה שמתארות‬
‫משוואות התנועה הנגזרות מן ההמילטוניאן של הקואורדינאטות הישנות‪ ,‬אם‬
‫ורק אם‪ ,‬הטרנספורמציה בין שתי מערכות הקואורדינאטות היא קנונית‪.‬‬
‫בדיקת קנוניות‪:‬‬
‫‪F1‬‬
‫‪F‬‬
‫‪Pi   1‬‬
‫‪qi‬‬
‫‪Qi‬‬
‫‪ . b ‬כעת אפשר להשתמש בנוסחא לחתך‬
‫עבור מספר קואורדינאטות מוכללות‪:‬‬
‫ניתן לעשות טרנספורמציה עם מספר פרמטרים רציפים‬
‫טרנספורמציות קנוניות‬
‫‪pi ‬‬
‫‪ .2‬נחשב את הנגזרת‪:‬‬
‫‪ .3‬נשתמש בקשר‪:‬‬
‫‪-3-‬‬
‫‪ i , i‬‬
‫‪N1  I11   I 3  I 2  23‬‬
‫‪N 2  I 22   I1  I 3  31‬‬
‫‪N3  I 33   I 2  I1  12‬‬
‫מומנט הכוח‬
‫מומנט הכוח במערכת הצמודה לגוף‬
‫‪dl‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪N   l ‬‬
‫‪N   l‬‬
)2012 ,‫דף נוסחאות במכניקה אנליטית (אוניברסיטת ת"א‬
-4-
sinh x 
1
2
e
‫פונקציות היפרבוליות‬
 e x 
x
coshx 
1
2
e
x
 e x 
sinh x e x  e  x

cosh x e x  e  x
2
2
cosh x  sinh x  1
sinh 2 x  2sinh x cosh x
tanh x 
sin  2  x   cos x ; cos  2  x   sin x

sin   x    sin x


cot(90   )  tan 
sin 2   cos 2   1
1  tan 2   1/ cos 2 
cos(2 )  cos 2   sin 2   2 cos 2   1
0 2   f 2
3
‫נוסחאות נוספות‬
f  xi    k f  xi  
cos( A  B )  cos( A) cos( B) sin( A) sin( B)
sin   sin   2sin( a / 2   / 2) cos( a / 2   / 2)
cos   cos   2 cos( a / 2   / 2) cos( a / 2   / 2)
cos   cos   2sin( a / 2   / 2) sin( a / 2   / 2)
sin  cos   1/ 2  sin( a   )  sin(   ) 
sin  sin   1/ 2  cos( a   )  cos(   ) 
i
arcsin   arccos    / 2
:‫משפט הקוסינוסים והסינוסים‬
a
b
c


 2r
sin sin  sin
2
2
2
c  a  b  2 ab cos 
T
 (1)

Aij 
 det(A )

‫ כאשר‬A ‫ הדטרמיננטה של‬- A ‫ הוא המינור של המטריצה‬A ‫כאשר‬
ij
ij
Aij1  
‫אינטגרלים שימושיים‬
1
1
 sin  ax  dx   a cos  ax   c cos  ax  dx  a sin  ax   c
1
1
 sinh  ax  dx  a cosh  ax   c cosh  ax  dx  a sinh  ax   c
1
1
1
1
 cos2  ax  dx  a tan  ax   c sin 2  ax  dx   a cot  ax   c
1
1
 tan  ax  dx   a ln cos  ax   c cot  ax  dx  a ln sin  ax   c
a b
1  d b 

 


ad  bc  c a 
c d




x
dx  sin    c
a
a2  x2
1
x
dx  ln x  x 2  a 2  c  sinh 1    c
a
x2  a2
1
2
2
1  x 
dx  ln x  x  a  c  cosh    c
a
x2  a2
1
1
 x 
x 2  a 2 dx   x x 2  a 2  a 2 sinh 1     c
2
 a 

1
 x 
x 2  a 2 dx   x x 2  a 2  a 2 cosh 1     c
2
 a 
 x 
1
a 2  x 2 dx   x a 2  x 2  a 2 tan 1 
  c
2
2
2 
 a  x  
1
1

1
1

 sin  ax  dx  2  x  a sin  ax  cos  ax    c
2
 cos  ax  dx  2  x  a sin  ax  cos  ax    c
2
1
1
 sinh  ax  dx  2a sinh  ax  cosh  ax   2 x  c
2
1
1
 cosh  ax  dx  2a sinh  ax  cosh  ax   2 x  c
2
e
e
bx
bx
sin  ax  dx 
cos  ax  dx 
b sin  ax   a cos  ax 
a 2  b2
a sin  ax   b cos  ax 
a 2  b2
: 2  2 ‫עבור מטריצה‬
:‫ובמרחב‬
b
b
b
a
b
a
a
xy ‫גדלים במישור‬
:‫אורך עקומה‬
L   dl   dx 2  dy 2   1  y '2 dx
a
b
e c
bx
 cos cos   cos  sin sin 

U   cos sin   cos  sin cos 

sin  sin

 sin cos   cos  cos sin 
 sin sin   cos  cos cos 
sin  cos
:‫רכיבי המהירות הזוויתית במערכת הגוף‬
‫אנרגיה קינטית‬


:‫עבור סביבון סימטרי‬
I1 2
I
2
   2 sin 2   2    cos  
2
2
2
:‫עבור סביבון ספרי סימטרי‬
I
Trot   2   2  2  2 cos 
2
Trot 


‫ רצוי מאוד להשתמש בחוקי השימור‬.‫נשאר לפתור את משוואות התנועה‬
. E.L. ‫ תנעים מוכללים) ולא במשוואות‬,‫בבעיה (אנרגיה‬
‫פרסציה‬
a
‫נפח גוף סיבוב של‬
:‫פונקציה‬
V    y dx
2
‫ סוגי תנועת פרסציה‬2 ‫ישנם‬
a
‫גזירה מתחת לסימן האינטגרל‬
u2  
d
d

u1 

x'
a
0
0
 q N 
k
k  N
‫סכום סדרה הנדסית‬
1  q 2 N 1
1 q

  xn
1
1  x 

   1 x n
1
n 0
n
n 0


xn
e 
n 0 n !
ln 1  x     1
x
n 1
n 1

sin x    1
n 1
n 1
tan x  x 
   pr
   pr   x3
  x
3
.‫ נמצאים באותו מישור‬M , xˆ
3
,
‫בסביבון סימטרי‬
:‫נראה כי‬
  0 
I1
 M1  
 

 

M

I

sin

1
   M sin  
 2 
 M   I  cos      M cos  
 3  3

 
.  ‫כפונקציה של‬
‫פיתוחי טיילור נפוצים‬
1  x 
x 2 n 1
 2n  1!

cos x    1
n 0
x3 2 x5

...
3 15
cot 
n
xn
n
x2n
 2n  !
:‫למשל בסביבון ספרי סימטרי המוחזק במ"מ בזווית‬


:‫כדי לקבל תנאי לפרצסיה רגולרית נעשה משוואת אנרגיה‬
E  12 I 2  U eff      t 
E  min U eff

: x ‫ וסביב ציר‬z ‫והתנאי הוא שהסיבוב הוא רק סביב ציר‬
3
  0
.U
1 x x3
  ...
x 3 45
xˆ  ˆ cos   ˆ sin 
yˆ  ˆ sin   ˆ cos 
zˆ  zˆ
‫פרסציה תחת שדה כובד‬
‫ כדי להביע את‬E.L. ‫נשתמש במשוואות‬
 ,
L  12 I  2   2  2  2 cos  mgRCM cos
eff
‫ של‬.‫נק' מינ‬
   / 2 ‫בפרצסיה רגולרית אופקית‬
:‫מתקבל כי‬
mgRCM

I
‫קואורדינאטות גליליות‬
x   cos 
y   sin 
zz
‫) נוטציה‬2(
‫פרסציה חופשית בסביבון סימטרי‬
‫בסביבון חופשי סימטרי ניתן לפרק את וקטור המהירות הזוויתית לוקטור‬
‫ הרכיבים‬.‫המקביל לתנע הזוויתי (הפרסציה) ולרכיב המקביל לציר הסימטריה‬
.‫לא מאונכים בהכרח‬
x ''
1  q N 1
q 

1 q
k 0
k
N
 0
 pr  M / I1
N
q
3
‫החלפת גבולות אינטגרציה‬
a
 dx ' dx ''   dx ''  dx '
0
)‫) נקיפה \ פרסציה חופשית (רגולרית‬1(
.‫ קבועה בזמן‬x ‫הזווית בין וקטור התנע הזוויתי לציר‬
  const
du
du
f
f  x,   dx  
dx  f  u2 ,   2  f  u1 ,   1

d
d
u1
u2
n
 n  d n k
dn
dk
 A  x   B  x      n k A  x   k B  x 
k
dx n 
dx
dx
k 0  
n
‫נוסחת הבינום‬
n
n
 a  b      a k bnk
k 0  k 
a
sin  sin  

 sin  cos  

cos 

 1    cos   sin  sin 

  
 2     sin   sin  cos 
  




cos

 3 

‫שטח פנים של גוף‬
:‫סיבוב של פונקציה‬
b
S   2 ydl   2 y 1  y '2 dx
ax
b
 c ln  ax  dx  x ln  ax   x  c
a ln b
1
1
1
1 ax
 x
 a2  x2 dx  a arctan  a   c a2  x2 dx  2a ln a  x  c

j -‫ והעמודה ה‬i -‫מוחקים את השורה ה‬
‫משפט לייבניץ‬
‫ כל האינטגרלים הם הכללות של אינטגרלים סטנדרטיים כאשר‬:‫הערה‬
. a,b  1 ‫ לצורה פשוטה יותר ניתן להציב‬.‫ פרמטרים קבועים‬a,b

‫מטריצת הסיבוב‬
:‫הקושרת בין המע' האינרציאלית לזו של הגוף היא‬
xi  kf
i
‫שיטת קרמר למציאת מטריצה הופכית‬
cos  cos   1/ 2  cos( a   )  cos(   ) 
1
f
 x
1
sin   sin   2sin( a / 2   / 2) cos( a / 2   / 2)
dx 
x3 ‫של הסיבוב סביב ציר‬
: k ‫משפט אוילר לפונקציות הומוגניות מסדר‬
.
cos(3 )  4 cos   3cos 
‫ הסטייה הזוויתית‬- 
1
Amax res 
2
A res    
tan(2 )  2 tan  /(1  tan  )
sin( A  B )  sin( A) cos( B)  cos( A) sin( B)
z ‫של הסיבוב סביב ציר‬
‫ לבין‬z ‫ הזווית בין ציר‬
x ‫ציר‬
‫רוחב הרזוננס‬
sin(3 )  3sin   4sin 3 
3
:‫נגדיר את הזוויות הבאות‬
‫ הסטייה הזוויתית‬- 
- ‫תדירות הרזוננס‬
‫אמפליטודה מקסימאלית‬
0
res
  2
2
ax
3
.)‫ אם יש‬,‫הראשיים של הגוף (נבחר אותו כציר סימטרית השיקוף‬
‫זווית הפאזה של הפאזור‬
1  cot 2   1/ sin 2 
sin(2 )  2sin  cos 
b
2

2 f
1
; cos   x   cos x
tan(90   )  cot 

‫זוויות אוילר‬
.‫הדרך השנייה לפתור בעיות דינמיקה היא באמצעות הפורמליזם הלגרנג'יאני‬
‫ להיות אחד הצירים‬x ‫ להיות בכיוון וקטור התנע הזוויתי ואת‬z ‫נגדיר את ציר‬
1
2
 f  res  02  2   2
‫זהויות טריגונומטריות‬
sin x ; cos   x    cos x

F0
1
2
m  2
2



  2 f
f
 0
  tan
cosh 2 x  2 cosh 2 x  1  2sinh 2 x  1
sin   x  
A
‫האמפליטודה של הפאזור‬
R m
 pr   CM g
I  x3
‫פתרון משוואות תנועה הרמוניות‬
‫תנועה מרוסנת‬
x  2 x  02 x  0   02   2
  x2  y 2
ˆ  xˆ cos   yˆ sin 
x  e t  A cos(t )  B sin(t )
02   2
‫ריסון חלש‬
  arctan  y / x 
ˆ   xˆ sin   yˆ cos 
x  c1e(   )t  c2e(   )t
 
2
‫ריסון חזק‬
zz
zˆ  zˆ
x  c1e t  c2te t
 
2
‫ריסון קריטי‬
‫קואורדינאטות כדוריות‬
x  r sin  cos 
xˆ  rˆ sin  cos   ˆ cos  cos   ˆ sin 
y  r sin  sin 
yˆ  rˆ sin  sin   ˆ cos  sin   ˆ cos 
zˆ  rˆ cos   ˆ sin 
z  r cos 
r x y z
2
  arctan
2

2
x y /z
2
  arctan  y / x 
2

rˆ  xˆ sin  cos   yˆ sin  sin   zˆ cos 
ˆ  xˆ cos  cos   yˆ cos  sin   zˆ sin 
ˆ   xˆ sin   yˆ cos 
ebx  c
-4-
x  2 x  02 x 
2
0
2
0
‫תנועה מאולצת‬
F0
cos( f t )
m
x p  A cos( f t   )  A sin( f t )  B cos( f t )
A
B
2 f
F0
m  2   2 2   2
0
f
f



0 2   f 2
F0
m  2  2
0
f

‫אמפליטודה בולעת‬
2
   2 
2
f
2
‫הקבוע האלסטי‬
)‫(אין לו הספק‬