‫בחינה לדוגמא מס ‪3‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫חלקיק שמסתו ‪ m‬נע במרחב בהשפעת הפוטנציאל ‪. V (r )   r k‬‬
‫‪ k‬ו‪  -‬ממשיים כלשהם – לאו דוקא חיוביים‪.‬‬
‫א‪ .‬רשמו את משוואות התנועה עבור תנע זוויתי קבוע ‪) L -‬שונה מאפס(‪.‬‬
‫ב‪ .‬החלקיק נע בתנועה מעגלית‪ .‬מצאו את רדיוס המסלול של החלקיק ‪ , r0 -‬כפונקציה של התנע‬
‫הזוויתי ‪.L‬‬
‫ג‪ .‬נותנים לחלקיק מכה קטנה‪ ,‬כך שרדיוס המסלול משתנה באופן מחזורי סביב ‪ . r0‬חשבו את‬
‫תדירות התנודות הקטנות )הרדיאליות( של החלקיק סביב ‪ . r0‬מצאו תנאי על ‪ k‬ועל ‪‬‬
‫המאפשר תנודות קטנות‪.‬‬
‫ד‪ .‬קבלו ביטוי ליחס בין תדירות הסיבוב של החלקיק לתדירות התנודות הקטנות שמצאתם בסעיף‬
‫הקודם‪ ,‬וחשבו את היחס הזה עבור‪:‬‬
‫‪ .1‬אנרגיה פוטנציאלית גרביטציונית‪.‬‬
‫‪ .2‬אנרגיה פוטנציאלית אלסטית )קפיץ(‪.‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫א‪.‬‬
‫הוכח שאם הלנגרז'יאן מוכפל בגודל קבוע‪ ,‬מתקבלות אותן משוואות תנועה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫נתון פוטנציאל שהוא פונקציה הומוגנית ממעלה ‪ k‬של הקואורדינטות‪:‬‬
‫‪k‬‬
‫‪V (ri )   aij ,n ri n rj k n‬‬
‫‪n 0‬‬
‫אם משנים את סקלת המרחק בפקטור ‪ , ri   ri : α‬מה צריך להיות הפקטור ‪ β‬בשינוי‬
‫סקלת הזמן‪ , t   t :‬כדי שמשוואות התנועה לא ישתנו?‬
‫ג‪.‬‬
‫השתמש בסעיף הקודם והוכח את החוק השלישי של קפלר‪:‬‬
‫ריבוע זמן המחזור של תנועת כוכב לכת סביב השמש פרופורציונאלי למרחק הממוצע של‬
‫כוכב הלכת מן השמש בחזקת ‪.3‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫שני חלקיקים ‪ m1‬ו‪ (m1  m2  m) m2 -‬קשורים על ידי חוט שאורכו ‪ . l0‬החלקיק ‪ m1‬מאולץ לנוע‬
‫על הדופן הפנימית של חרוט בעל זוית פתיחה ‪ . ‬החלקיק ‪ m2‬מאולץ לנוע אנכית‪ .‬המערכת נמצאת‬
‫בשדה גרביטציה ‪.g‬‬
‫א‪ .‬רשמו את הלגרנג'יאן‬
‫ב‪ .‬רשמו את הביטוי לשני קבועי התנועה וציינו את משמעותם‪.‬‬
‫ג‪ .‬על סמך סעיף ב קבלו ביטוי לאנרגיה התלוי בקואורדינטה אחת בלבד‪ .‬השתמשו בביטוי זה‬
‫כדי לתאר באופן איכותי את התנועה‪.‬‬
‫ד‪ .‬רשמו את ההמלטוניאן המתאים‪ ,‬וקבלו את משוואות התנועה המתאימות בעזרתו‪.‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫טבעת שרדיוסה ‪ a‬ומסתה ‪ m‬מאולצת‬
‫להסתובב במהירות זוויתית ‪ 0‬קבועה‪,‬‬
‫‪α‬‬
‫סביב ציר העובר במרכזה ויוצר זווית ‪α‬‬
‫עם ציר הסימטריה שלה‪ .‬לפתע ב‪t=0 -‬‬
‫משחררים את הטבעת‪ ,‬כך שהיא נעה‬
‫מעתה ללא כוחות חיצוניים‪.‬‬
‫א‪ .‬כתבו את משוואות אויילר במערכת צירי הטבעת‪ ,‬לתנועת הטבעת כאשר ‪.t>0‬‬
‫ב‪ .‬פתרו את משוואות אויילר וחשבו את התלות בזמן של רכיבי וקטור המהירות הזוויתית‪.‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪1 (t  0)  0‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪ .‬מהי תדירות הפרצסיה של ‪ ‬סביב ציר הסימטריה של הטבעת?‬
‫ד‪ .‬חשבו בעזרת הפתרון שקבלתם בסעיף ב את האנרגיה הקינטית של הטבעת בכל זמן‪ .‬האם היא‬
‫קבועה?‬