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Objetivos
2. Resolver problemas de la administración de
empresas utilizando el álgebra de matrices y los
principios de la programación lineal.
Solucionar sistemas de ecuaciones y desigualdades lineales mediante
diversos métodos gráficos.
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Recursos requerido
• Libros de texto:
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Rodríguez Franco, J., Pierdant Rodríguez, A. I., Rodríguez Jiménez, E. C.
(2018). Matemáticas aplicadas a los negocios. Grupo Editorial Patria.
Disponible en la base de datos eLibro de la Biblioteca Virtual. (Enlaces a un sitio
externo.)
•
Capítulo 5: Sistemas de ecuaciones lineales, pp. 193-201
•
Unidad 1: La ecuación lineal: la recta, pendiente, fórmulas y aplicaciones administrativas
(ingreso, costo, utilidad, P.E.)
Segura Vázquez, A. (2014). Matemáticas aplicadas a las ciencias económicoadministrativas: Simplicidad matemática. Editorial Patria.
Disponible en la base de datos eLibro de la Biblioteca Virtual. (Enlaces a un sitio
externo.)
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Sección 1.10: Solución de un sistema de ecuaciones por suma y resta o eliminación, pp. 15-16
Sección 1.11: Solución de un sistema de ecuaciones por método de igualación, pp. 17-18
Sección 1.12: Solución de un sistema de ecuaciones por método de sustitución, pp. 18-19
Sección 1.14: Solución de un sistema de ecuaciones por el método gráfico, pp. 22-23
Sección 1.16: Aplicaciones lineales, pp. 27-34
Sección 1.17: Punto de equilibrio en el mercado, pp. 35-3
Tan, S. T. (2018). Finite mathematics for the managerial, life, and social
sciences (12.a ed.). Cengage Learning.
Disponible en
https://nuc.idm.oclc.org/login?url=https://resolver.vitalsource.com/9781337532846 (
Enlaces a un sitio externo.)
•
Unidad 2. System of Linear Equations and Matrices
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Recursos opcionales
• Curo Cubas, A., & Martínez Miraval, M. (2016). Matemática básica para
administradores (3.a ed.). Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas.
Disponible en la base de datos eLibro de la Biblioteca Virtual. (Enlaces a un sitio
externo.)
•
•
Unidad 2: Matrices
Sección 1.10: Sistemas de ecuaciones de dos variables, pp. 103-112
• Mariappan, P. (2015). Business mathematics. Pearson.
Disponible en la base de datos Safari (O’Reilly) en la Biblioteca Virtual. (Enlaces a un
sitio externo.)
•
Capítulo 9: Sequence and Series – Its Application to Business
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Sección 9.1 General Idea and Different Types of Sequences
Sección 9.3 Kinds of Sequence
Sección 9.5 Arithmetic Progression
Sección 9.6 Geometric Progression
Capítulo 10: Compound Interest and Annuities
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Sección 10.1: Interest
Sección 10.2: Present Value and Amount of a Sum
Sección 10.3: Annuity and Its Types
Sección 10.4: Present Value of an Annuity (PVA)
• Sterling, M. J. (2019). Algebra II for dummies (2.a ed.). John Wiley & Sons.
Disponible en la base de datos Safari (O’Reilly) en la Biblioteca Virtual. (Enlaces a un
sitio externo.)
•
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Capítulo 12: Solving Systems of Linear Equations
Capítulo 13: Solving Systems of Nonlinear Equations and Inequalities
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Sistemas de ecuaciones
lineales: una introducción
Sistemas de Ecuaciones
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Sistemas de Ecuaciones
Ahora estudiemos la naturaleza de lasolución de un sistema de
ecuaciones lineales con más detalle.
La gráfica de cada ecuación en el Sistema (1) es una línea
recta en el plano, por lo que geométricamente, la solución del
sistema es el punto(s) de intersección de las dos rectasL1yL2,
representada por la primera y segunda ecuaciones del
sistema.
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Sistemas de Ecuaciones
 Dadas dos líneasL1yL2,uno y solo unode los siguientes
puede ocurrir:
 una.L1 yL2intersecan exactamente en un punto.
 b. L1 yL2son paralelas y coincidentes.
 C. L1 yL2son paralelos y distintos.
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Sistemas de Ecuaciones
 En el primer caso (a), el sistema tiene una única solución
correspondiente al único punto de intersección de las dos
rectas.
Solución única
Figura 1(a)
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Sistemas de Ecuaciones
 En el segundo caso (b), el sistema tiene infinitas soluciones
correspondientes a los puntos que se encuentran en la misma
línea.
Infinidad de soluciones
Figura 1(b)
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Sistemas de Ecuaciones
 Finalmente, en el tercer caso (c), el sistema no tiene solución
porque las dos rectas no se cortan.
Sin solución
Figura 1(c)
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Interpretación Gráfica de Soluciones
 Interpretaciones gráficas de soluciones
 Para un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables, el
número de soluciones es uno de los siguientes.
Número de
soluciones
1. Exactamente una
solución
Interpretación Gráfica
Pendientes de líneas
Las dos rectas se cortan en un
punto.
Las pendientes de las dos rectas no
son iguales.
2.
Infinidad de
soluciones
Las dos líneas coinciden (son
idénticas).
Las pendientes de las dos rectas son
iguales.
3.
Sin solución
Las dos rectas son paralelas.
Las pendientes de las dos rectas son
iguales.
Un sistema de ecuaciones lineales es coherente cuando tiene al menos una
solución.
un sistema es inconsistente cuando no tiene solución
.
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Ejemplo 5 –Reconocer gráficas de
sistemas lineales
 Relaciona cada sistema de ecuaciones lineales con su gráfica.
Describe el número de soluciones e indica si el sistema es
consistente o inconsistente.
 2 x  3 y  3

4 x  6 y  6
 2 x  3 y  3

 x  2y  5
 2 x  3 y  3

4 x  6 y  6
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Soluciones de Sistemas de Ecuaciones
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Método gráfico
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Resolver sistemas usando el método de gráficos (1 of 7)
Only the pair x = 3 and y = 2 satisfies
both equations.
 Las ecuaciones con dos
variables tienen infinitas
soluciones.
 Por ejemplo, las tablas que
se muestran dan algunas de
las soluciones de
𝑥 + 𝑦 = 5 and 𝑥 − 𝑦 = 1.
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Solve Systems Using the Graphing Method (2 of 7)
 El par de ecuaciones
 se llama sistema de ecuaciones, y la solución 𝑥 = 3, 𝑦 = 2 se
llama su solución simultánea, o simplemente su solución.
 El proceso de encontrar la solución de un sistema de
ecuaciones se llama resolver el sistema.
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Grafica de ecuaciones lineales
https://www.youtube.com/watch?v=AoZpzAoC1Qg
Recurso adicional: https://es.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:forms-of-linear-equations
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Solve Systems Using the Graphing Method (3 of 7)
Ilustracion 6-1
 La gráfica de una ecuación en
dos variables muestra las
infinitas soluciones de la
ecuación.
La otra línea de la figura es la gráfica de
infinitas soluciones of 2x + 3y = 8
 Por ejemplo, la gráfica de una
de las líneas de la figura
representa las infinitas
soluciones de la ecuación.
5𝑥 − 2𝑦 = 1.
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Solve Systems Using the Graphing Method (4 of 7)
 Debido a que solo P(1, 2) se encuentra en ambas rectas, solo sus
coordenadas satisfacen ambas ecuaciones. Así, la solución
simultánea del sistema de ecuaciones
 Es el par 𝑥 = 1 and 𝑦 = 2 or (1, 2).
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Solve Systems Using the Graphing Method (5 of 7)
Estrategia para usar el método de gráficos
1. En una cuadrícula de coordenadas, grafica cada ecuación.
2. Encuentre las coordenadas del punto o puntos donde se
cruzan todas las gráficas. Estas coordenadas dan las
soluciones del sistema.
3. Si las gráficas no tienen un punto en común, el sistema no tiene
solución.
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Example 1 – Using the Graphing Method to Solve a System of Equations
Utilice el método gráfico para resolver cada sistema:
a. Los gráficos de las ecuaciones son las líneas que se muestran en la
figura. La solución de este sistema está dada por las coordenadas del
punto (-1, 4), donde las líneas se cruzan.
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Ejemplo 1 – Solucion (1 of 3)
Al verificar ambos valores en ambas ecuaciones, podemos verificar que la
solución es x = −1 and y = 4.
 (a)
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Ejemplo 1 – Solucion (2 of 3)
b. Las gráficas de las ecuaciones son las líneas paralelas que se muestran en
la figura. Dado que las líneas paralelas no se cruzan, el sistema no tiene
solución.
 (b)
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Ejemplo 1 – Solucion (3 of 3)
c. Los gráficos de las ecuaciones son las líneas que se muestran en
la figura. Dado que las líneas son iguales, tienen infinitos puntos en
común y el sistema tiene infinitas soluciones..
Todos los pares ordenados
cuyas coordenadas
satisfacen una de las
ecuaciones satisfacen la
otra también
 (c)
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Solve Systems Using the Graphing Method (6 of 7)
 El ejemplo 1 ilustra tres posibilidades que pueden ocurrir cuando
resolvemos sistemas de ecuaciones. Si un sistema de ecuaciones
tiene al menos una solución, como en las partes ayc, el sistema
se llama consistente. Si no tiene soluciones, como en el inciso b,
se llama inconsistente.
 Si un sistema de dos ecuaciones en dos variables tiene
exactamente una solución como en el inciso a, o ninguna
solución como en el inciso b, las ecuaciones del sistema se
denominan independientes. Si un sistema de ecuaciones lineales
tiene infinitas soluciones, como en el inciso c, las ecuaciones del
sistema se denominan dependientes.
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Solve Systems Using the Graphing Method (7 of 7)
 Hay tres posibilidades que pueden ocurrir cuando se grafican
dos ecuaciones, cada una con dos variables.
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Resolver sistemas usando
el método de sustitución
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Resolver sistemas usando el método de sustitución
Estrategia para usar el método de sustitución
1. Resuelve una ecuación para una variable, digamos, y.
2. Sustituye la expresión obtenida por y para cada y en la
segunda ecuación.
3. Resuelve la ecuación resultante.
4. Sustituye la solución encontrada en el Paso 3 en la ecuación
encontrada en el Paso 1 y resuelve para y.
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Ejemplo 2: Uso del método de sustitución para resolver un sistema de ecuaciones
 Usa el método de sustitución para resolver
Solution: Podemos
resolver la primera
ecuación para y y
luego sustituir ese
resultado por y en la
segunda ecuación.
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Ejemplo 2 – Solución (1 of 2)
La sustitución da una ecuación lineal con una variable, que
podemos resolver para x:
−x + 2(1 − 3x) = 9
−x + 2 − 6x = 9
−7x = 7
x = −1
Combine like terms and subtract 2 from both sides.
Divide both sides by −7.
Para encontrar y, sustituimos −1 por x en la ecuación y = 1 - 3x y
simplificamos:
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Ejemplo 2 – Solución (2 of 2)
y = 1 − 3x
= 1 − 3(−1)
=1+3
=4
La solución es el par ordenado (−1, 4).
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Example 3
Solve the system of equations.
Comience resolviendo para y en la Ecuación 1.
x+y=4
Escriba la Ecuacion 1
y=4−x
Reste x de cada lado
Luego, sustituya esta expresión por y en la Ecuación 2 y resuelva la
ecuación resultante de una sola variable para x.
x−y=2
Escriba la Equation 2.
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Ejemplo 3
𝑥 − (4 − 𝑥) = 2
𝑥 − 4 + 𝑥 = 2
2𝑥 − 4 = 2
2𝑥 = 6
𝑥 = 3
Finalmente, resuelva para y sustituyendo x = 3 en la ecuación 𝑦 =
4 − 𝑥; 𝑦 = 4 − 𝑥 → 𝑦 = 4 − 3 = 1
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Corroboración (3, 1)
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Resolver sistemas usando
el método de eliminación
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Resolver sistemas usando el método de eliminación (1 de
3)
 El método de sustitución para resolver un sistema de ecuaciones
puede ser difícil de usar si ninguna de las variables tiene un
coeficiente de 1 o -1. Afortunadamente, podemos resolver
sistemas como este utilizando un método más sencillo llamado
método de eliminación.
 Al igual que con la sustitución, el método de eliminación
combina las ecuaciones de un sistema para eliminar términos
que involucran una de las variables. El método de eliminación
también se conoce como método de adición.
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Solve Systems Using the Elimination Method (2 of 3)
1. Escribe las ecuaciones del sistema en forma general para que los
términos con la misma variable estén alineados verticalmente.
2. Multiplique todos los términos de una o ambas ecuaciones por las
constantes elegidas para hacer que los coeficientes de x (o y) difieran
solo en el signo.
3. Suma las ecuaciones. Resuelve la ecuación resultante, si es posible.
4. Sustituya el valor obtenido en el Paso 3 en cualquiera de las
ecuaciones originales y resuelva para la variable restante.
5. Los resultados obtenidos en los Pasos 3 y 4 son la solución del sistema
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Ejemplo 3: uso del método de eliminación para resolver
un sistema de ecuaciones
Solución: Para eliminar y,
multiplicamos los términos de
la primera ecuación por 5 y
los términos de la segunda
ecuación por 2, para obtener
un sistema equivalente en el
que los coeficientes de y
difieren solo en signo. Luego
sumamos las ecuaciones
para eliminar y.
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Ejemplo 3 - Solución (1 de 2)
We now substitute 4 for x into either of the original equations and
solve for y. If we use the first equation,
3x + 2y = 8
3(4) + 2y = 8
Substitute 4 for x.
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Ejemplo 3 - Solución (1 de 3)
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Ejemplo 3 - Solución (2 de 3)
We now substitute 4 for x into either of the original equations and
solve for y. If we use the first equation,
3x + 2y = 8
3(4) + 2y = 8
Substitute 4 for x.
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Ejemplo 3 - Solución (3 de 3)
12 + 2𝑦 = 8
2𝑦 = −4
𝑦 = −2
Simplify.
Subtract 12 from both sides.
Divide both sides by 2.
La solución es (4, −2).
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4. Solución de sistemas
con infinitas soluciones
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Ejemplo 5: resolución de un sistema con infinitas soluciones
Utilice el método de eliminación para resolver
Para eliminar la variable y, podemos multiplicar ambos
lados de la primera ecuación por −2 y sumar el
resultado a la segunda ecuación para obtener
Aunque el resultado 0 = 0 es cierto, no da el valor de y
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Ejemplo 5 - Solución (1 de 2)
Dado que la segunda ecuación del sistema original es el doble de
la primera, las ecuaciones son equivalentes.
Si tuviéramos que resolver este sistema graficando, las dos líneas
coincidirían.
Las coordenadas (x, y) de los puntos en esa línea forman el
conjunto infinito de soluciones para el sistema dado.
El sistema es consistente, pero las ecuaciones son dependientes.
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Example 5 – Solution (2 of 2)
Para encontrar una solución general, podemos resolver cualquier
ecuación del sistema para y. Si resolvemos la primera ecuación para y,
obtenemos
Todos los pares ordenados que sean soluciones tendrán la forma
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5. Resolver sistemas
inconsistentes
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Ejemplo 6: resolución de un sistema inconsistente
Utilice el método de eliminación para resolver
Podemos multiplicar ambos lados de la
segunda ecuación por −1 y sumar los resultados
a la primera ecuación para obtener
Como 0 ≠ 1, el sistema no tiene solución.
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Ejemplo 6 - Solución
 Si graficamos cada ecuación en este sistema, las gráficas serán
líneas paralelas.
 Este sistema es inconsistente y las ecuaciones son
independientes.
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Graficando Sistemas de
Desigualdades Lineales en
Dos Variables
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Graficar Desigualdades Lineales
Antes de pasar a un procedimiento general para graficar tales
desigualdades, consideremos un ejemplo específico.
Supongamos que deseamos graficar
2X+ 3y< 6
Primero graficamos la ecuación
2X+ 3y= 6, que se obtiene
reemplazando lo dado
desigualdad “<” con una igualdad
“=” (Figura 1).
(1)
Una línea recta divide elxy-avión
en dos semiplanos.
Figura 1
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Graficar Desigualdades Lineales
Observe que esta línea divide elxy-plano en dos
semiplanos: un semiplano superior y un semiplano inferior.
Demostremos que el semiplano superior es la gráfica de la
desigualdad lineal
2X+ 3y> 6
mientras que el semiplano inferior es la gráfica de la (2)
desigualdad lineal
2X+ 3y< 6
(3)
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Graficar Desigualdades Lineales
Para ver esto, escribamos las Desigualdades (2) y (3) en las
formas equivalentes
y
(4)
La ecuación de la línea en sí es
(5)
(6)
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Graficar Desigualdades Lineales
 Ahora elige cualquier puntoPAG(X,y) que se encuentra por
encima de la líneaL. Dejarqser el punto sobre el que se
encuentraLy directamente debajoPAG(ver Figura 1).
Una línea recta divide elxy-plano en dos
semiplanos.
Figura 1
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Graficar Desigualdades Lineales
 Ya queqMiente enL, sus coordenadas deben satisfacer la
Ecuación (6). En otras palabras,qtiene representación.
Comparando ely-coordenadas dePAGyqy recordando
quePAGse encuentra arribaq, para que suy-la coordenada
debe ser mayor que la deq, tenemos
Pero esta desigualdad es simplemente Desigualdad (4) o, de
manera equivalente, Desigualdad (2).
De manera similar, podemos mostrar que cada punto que se
encuentra debajoLdebe satisfacer la Desigualdad (5) y por lo
tanto la Desigualdad (3).
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Graficar Desigualdades Lineales
 Este análisis muestra que el semiplano inferior proporciona
una solución a nuestro problema (Figura 2).
El conjunto de puntos que se encuentran debajo de la línea discontinua
satisface la desigualdad dada. Figura 2
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Graficar Desigualdades Lineales
 (Por convención, dibujamos la línea como una línea
discontinua para mostrar que los puntos enLno pertenecen al
conjunto solución.) Observe que los dos semiplanos en
cuestión son disjuntos; es decir, no tienen ningún punto en
común.
Alternativamente, existe un método más simple para
determinar el semiplano que proporciona la solución al
problema.
Para determinar el semiplano requerido,
elijamosningunapunto que se encuentra en uno de los
semiplanos.
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Graficar Desigualdades Lineales
 Para simplificar, elija el origen (0, 0), que se encuentra en el
semiplano inferior. SustituyendoX= 0 yy= 0 (las coordenadas
de este punto) en la Desigualdad dada (1), encontramos
2(0) + 3(0) < 6
o 0 < 6, lo cual es ciertamente cierto.
 Esto nos dice que el semiplano requerido es el que contiene
el punto de prueba, es decir, el semiplano inferior.
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Graficar Desigualdades Lineales
 A continuación, veamos qué sucede si elegimos el punto (2,
3), que se encuentra en el semiplano superior. SustituyendoX=
2y
y= 3 en la desigualdad dada, encontramos

2(2) + 3(3) < 6
 o 13 < 6, lo cual es falso. Esto nos dice que la parte superior
semiplano esnoel semiplano requerido, como se esperaba.
Tenga en cuenta, también, que no tiene sentidoPAG(X,y)
tumbado sobre la recta constituye una solución a nuestro
problema, dada laestrictodesigualdad <.
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Graficar Desigualdades Lineales
 El siguiente procedimiento se usa para graficar una
desigualdad lineal en dos variables.
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Ejemplo 1
 Determinar el conjunto solución para la desigualdad 2X+
3y6.
 Solución:
 Reemplazando la desigualdad
con una igualdad =, nosotros
obtener la ecuación
2X+ 3y= 6, cuya gráfica
es la línea recta que se muestra
en la figura 3.
El conjunto de puntos que se encuentran
sobre la línea y en el
semiplano superior figura
satisface
la desigualdad
3
dada.
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Ejemplo 1 -Solución
continuac
 En lugar de una línea discontinua como antes, usamos una
línea sólida para mostrar que todos los puntos en la línea
también son soluciones a la desigualdad.
 Seleccionando el origen como nuestro punto de prueba,
encontramos 2(0) + 3(0)6 o 06, lo cual es falso.
 Entonces concluimos que el conjunto solución está formado
por
semiplano que no contiene el origen, incluyendo
(en este caso) la línea dada por 2X+ 3y= 6.
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Graficando Sistemas de
Desigualdades Lineales
 Por elconjunto solución de un sistema de desigualdades
lineales en las dos variablesXyy, nos referimos al conjunto de
todos los puntos
(X,y) satisfaciendo cada desigualdad del sistema.

La solución gráfica de tal sistema se puede obtener
graficando el conjunto de soluciones para cada desigualdad
de forma independiente y luego determinando la región en
común con cada conjunto de soluciones.
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Ejemplo 4 –Resolver un sistema de
desigualdades
Dibujar la gráfica del conjunto solución del sistema de
desigualdades. Etiqueta los vértices de la región.
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Ejemplo 4 –Solución(2 de 3)
Notaen la figura 7.20(b)que los vértices de la región están representados por
puntos abiertos. Esto significa que los vérticesno sonsoluciones del sistema de
desigualdades.
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Ejemplo 4
Determine el conjunto solución para el sistema.
4X+ 3y12
X–y0
Solución:
Procediendo como en los ejemplos anteriores, no deberías
tener dificultad para localizar los semiplanos determinados por
cada una de las desigualdades lineales que componen el
sistema.
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Ejemplo 4 –Solución
continuac
 Estos semiplanos se muestran en la Figura 6.
El conjunto de puntos en el área sombreada satisface el
sistema
4X+ 3y12
X–y0
Figura 6
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Ejemplo 4 –Solución
continuac
La intersección de los dos semiplanos es la región sombreada.
Un punto en esta región es un elemento del conjunto solución
para el sistema dado.
El puntoPAG, la intersección de las dos rectas determinadas
por las ecuaciones, se encuentra resolviendo las ecuaciones
simultáneas
4X+ 3y=12
X–y=0
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Ejemplo 5
Dibuje el conjunto solución para el sistema
X0
y0
X+y– 60
2X+y– 80
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Ejemplo 5 –Solución
continuac
 La primera desigualdad en el sistema define el derecho
semiplano: todos los puntos a la derecha dely-eje más todos
los puntos que se encuentran en ely-eje mismo.
 La segunda desigualdad en el
sistema define la parte superior
semiplano, incluido el
X-eje. los semiplanos
definida por la tercera y
cuartas desigualdades son
indicado por flechas en
Figura 7.
El conjunto de puntos en la región sombreada,
incluido elX- yy-ejes, satisface las desigualdades
dadas.
Figura 7
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Aplicaciones (1 de 1)
 Como se muestra en la Figura 7.22,el excedente del
consumidores el área de la región formada por la curva de
demanda, la línea horizontal que pasa por el punto de equilibrio
y lapag-eje. Del mismo modo, elexcedente del productores el
área de la región formada por la curva de oferta, la línea
horizontal que pasa por el punto de equilibrio y elpag-eje.
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Ejemplo 8 –Excedente del consumidor y
excedente del productor
Las ecuaciones de demanda y oferta para un nuevo tipo de
consola de videojuegos son
dondepages el precio por unidad (en dólares) yXes el número de unidades. Encuentre el
excedente del consumidor y el excedente del productor para estas dos ecuaciones.
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Ejemplo 8 –Solución(1 de 3)
 Comience por encontrar el punto de equilibrio (cuando la oferta
y la demanda son iguales) resolviendo la ecuación
 90 + 0.00002X= 180 − 0,00001X.
 La solucion esX= 3.000.000 unidades, lo que corresponde a un
precio de equilibrio depag= $150.
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Ejemplo 8 –Solución(2 de 3)
 El excedente del consumidor
Entonces, el excedente del consumidor y el excedente del productor son las
áreas de los conjuntos de soluciones de los siguientes sistemas de
desigualdades.
 p  180  0.00001x

 p  150
x  0

 Excedente del productor
 p  90  0.00002 x

 p  150
x  0

 Los excedentes del consumidor y del productor son las áreas
de los triángulos sombreados que se muestran en la figura 7.23.
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Aplicaciones (1 de 1)
Cuando se han vendido suficientes unidades para que el ingreso
totalRes igual al costo totalC, se dice que las ventas han
alcanzado elpunto de equilibrio.
Gráficamente, el punto de equilibrio corresponde al punto de
intersección de las curvas de costos e ingresos.
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Ejemplo 6 –Punto de equilibrio de analisis
Una empresa de calzado invierte $300 000 en equipo para
producir una nueva línea de calzado deportivo. Producir cada
par de zapatos cuesta $15 y se vende a $70. ¿Cuántos pares de
zapatos debe vender la empresa para alcanzar el punto de
equilibrio?
Solución:
El costo total de producirXunidades es
C= 15X+ 300.000.
Ecuación 1
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Ejemplo 6 –Solución(1 de 3)
 Los ingresos obtenidos por la ventaXunidades es
 R= 70X.
 ecuación 2
El punto de equilibrio se produce cuandoR=C,C= 70X, y el
sistema de ecuaciones a resolver es
C  15 x  300, 000

.
C  70 x
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Ejemplo 6 –Solución(2 de 3)
Resolver por sustitución.
 70X = 15X+ 300,000
 55X= 300.000
 X≈ 5455
 Sustituto 70XporCen la Ecuación 1.
 restar 15Xde cada lado.
 Divide cada lado por 55.
La empresa debe vender alrededor de 5455 pares de zapatos para alcanzar el punto de equilibrio.
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Ejemplo 6 –Solución(3 de 3)
Tenga en cuenta en la siguiente figura que los ingresos inferiores al
punto de equilibrio corresponden a una pérdida total, mientras que los
ingresos superiores al punto de equilibrio corresponden a una ganancia.
Verifique el punto de equilibrio utilizando elintersecarsecaracterística o
lazoomyrastroCaracterísticas de una utilidad gráfica.

Figura 7.5
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Recursos educatina
• Educatina. (s.f.). ¿Cómo resolver una inecuación con dos incógnitas? [Ejercicios].
Disponible en la base de datos Educatina en la Biblioteca Virtual. (Enlaces a un
sitio externo.)
• Educatina. (s.f.). ¿Cómo resolver un problema de sistema de
ecuaciones? [Ejercicios].
Disponible en la base de datos Educatina en la Biblioteca Virtual. (Enlaces a un
sitio externo.)
• Educatina. (s.f.). Inecuación con dos incógnitas [Video].
Disponible en la base de datos Educatina en la Biblioteca Virtual. (Enlaces a un
sitio externo.)
• Educatina. (s.f.). Método de resolución por gráfico [Ejercicios].
Disponible en la base de datos Educatina en la Biblioteca Virtual. (Enlaces a un
sitio externo.)
• Educatina. (s.f.). Método gráfico en un sistema de ecuaciones [Video].
Disponible en la base de datos Educatina en la Biblioteca Virtual. (Enlaces a un
sitio externo.)
• Educatina. (s.f.). Problema avanzado de ecuaciones [Ejercicios].
Disponible en la base de datos Educatina en la Biblioteca Virtual. (Enlaces a un
sitio externo.)
• Educatina. (s.f). ¿Qué es un sistema de ecuaciones? [Ejercicios].
Disponible en la base de datos Educatina en la Biblioteca Virtual. (Enlaces a un
sitio externo.)
• Educatina. (s.f.). Sistemas de ecuaciones equivalentes [Video].
Disponible en la base de datos Educatina en la Biblioteca Virtual.
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Recursos recomendados
Sistemas de ecuacione slineales
https://es.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:s
ystems-of-equations
Sistemas de inecuaciones lineales
https://es.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:in
equalities-systems-graphs
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Procedimientos
IMPORTANTE
Presente TODOS los procedimientos utilizados para llegar a la
conclusión del problema, para ser elegibles para puntuación total
o parcial, Estos cálculos se someten en la ultima pregunta en el
enlace correspondiente. Solo se aceptan archivos, *.doc
El proceso es PARTE de la respuesta
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Certificación de cumplimiento
Como parte de las normas de funcionamiento de la clase, todo trabajo
enviado para ser correhido por este servidor debe ser entregado en
formato *.doc (en word), no se aceptara otro formato (ni,pdf, HEIC, o
foto) o tareas en blanco
Al finalizar cada trabajo debera incluir el siguiente mensaje
Certifico que este trabajo cumple la politica de integridad academica, segun
establece el Reglamento de Estudiantes, y que ha sido realizado luego de
acceder a las sesiones en vivo o grabadas, y los recursos requeridos por el
curso.
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Que sucede si se le olvida
El profesor proveerá una nueva actividad
distinta con la certificación incluida, y
tendrá tres días para entregar
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Normas del curso
 Entrega las tareas en las fechas establecidas.
 Si entregas alguna tarea de forma tardía, esta tendrá una
penalidad de entre un 5% y un 10% de la nota de la tarea.
 Todas las tareas deben entregarse a través de la plataforma
Canvas. No se recibirán tareas por correo electrónico o
mensajería de Canvas.
 Sigue las rúbricas e instrucciones de cada trabajo, de esta
manera logrará incluir todos los detalles solicitados y será más
productivo en las tareas asignadas.
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Normas del curso
 No entregues tareas en blanco o con contenido similar a
trabajos realizados por otros autores (cumple con las políticas de
integridad académica, tu trabajo debe ser original siempre).
 No entregues tareas sin antes participar de las conferencias en
vivo o consultar las grabaciones de las conferencias, siempre se
ofrecen detalles adicionales que te ayudarán a cumplir
correctamente con las tareas.
 No entregues tareas en pdf., en fotos, con imágenes integradas
a la tarea, o escaneadas. Solo se envían en word.
 Sigue las instrucciones en todo momento, de esta manera
evitarás sanciones y penalidades.
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Política de Integridad Académica
La Política de Integridad Académica aplica a todas las actividades
académicas de todos los estudiantes matriculados, en ambas
modalidades presencial y a distancia. Bajo ciertas circunstancias esta
política podría aplicar a estudiantes que se han dado de baja o
graduados de la institución, cuando sea alegado que éstos cometieron
actos de deshonestidad académica durante el tiempo que estuvieron
matriculados o como una manera para obtener admisión o matrícula.
Reglamento Estudiantil 2011-2013 – (ARTÍCULO VII - PROCEDIMIENTOS
PARA QUERELLAS RELACIONADAS CON EL ÁREA ACADÉMICA)
Sanciones por incumplimiento de la Política de Integridad Académica
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Que es el plagio
https://www.youtube.com/watch?v=k9kJRLeQz50
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Guttenberg plagiarism scandal
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Victoria ciudadana retira anuncio
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Reaparecido
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Plagiarism in the Summer Games 2020
https://www.bbc.com/news/world-asia-34115750
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Calificaciones
 Retrocomunicación continua
 Actividades serán calificadas dentro de los 5 días a partir de la
fecha de entrega
 Se utilizarán las rúbricas de las actividades de evaluación para
otorgar puntuación
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Recomendaciones
 Someta las cálculos matemáticos en el enlace correspondiente.
Recuerde que estos cursos son auditables por un evaluador
externo.
 Haga los ejercicios con calma no se desespere
 Verifique el material suplementario que se encuentra en la
sección de anuncios
 Vea varias veces la presentación junto a los ejercicios de
práctica
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Recomendaciones
 Lea varias veces las secciones del libro de texto
 No deje los ejercicios para el último minuto
 Haga un calendario de tareas
 Lean varias veces las instrucciones y las fechas de vencimiento
de las tareas
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Recomendaciones
Utilice los recursos en línea de la universidad
Educatina
http://www.educatina.com/matematicas
Biblioteca virtual
http://libguides.crev.edukgroup.com/c.php?g=155418&p=101969
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Biblioteca virtual
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Videos en línea: Khan Academy
www.khanacademy.org/math
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Recomendaciones
 Un calendario con todas las tareas y sus fechas de vencimiento
se encuentra disponible en la sección "Calendario del curso".
Imprima de este calendario ya que puede ayudarle a manejar
su tiempo mejor en este curso
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Circunstancias imprevistas
 Si usted tiene circunstancias imprevistas, póngase en contacto
conmigo por teléfono o correo electrónico y hable conmigo al
respecto. Puedo aceptar una asignación tardía si tiene
circunstancias inusuales que le obliguen a someterla tarde.
 Si usted va a estar ausente de la sala de curso durante más de 4
días consecutivos, por favor hágamelo saber a través de correo
electrónico.
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Conferencia virtual sincrónica
Domingo
8:00 – 9:00 pm (Hora de Puerto Rico)
Accede en este enlace
https://nuc.blindsidenetworks.net/nuc/index.jsp?
getroom=4581e0ecce7c85725857b283c03357e8
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Conferencia virtual sincrónica
To join this meeting by phone, dial:
1-863-208-0022 (toll free: 1-855-215-5935)
Then enter 757 763 711 as the conference pin number.
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Q&A
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Contacto
Teléfono (solo por texto) 787 604 8512
Correo interno en CANVAS
Email: INSTITUCIONAL: ltorres6@nuc.edu
Horas de conferencia: domingo 8:00 - 9:00 pm
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