제 2장 차원, 단위, 단위환산
학습목표
1. 차원과 단위의 차이를 이해하고 설명함.
2. 수치가 있는 단위의 사칙연산을 익힘.
3. SI 단위계 및 미국공학 단위계의 기본단위와 유도단위를 열거함.
4. 함수나 수식의 단위를 다른 단위로 환산함.
5. 무게와 질량의 차이를 설명함.
6. 중력환산계수를 정의하고 사용함.
7. 차원일관성의 개념을 응용하여 수식이나 함수의 타당성을 검증함.
8. 계산에서 적절한 유효숫자로 된 값을 사용함.
계산 오류는 단위를 잘 못 취급하여 생기기도 함.
계산에서 수치는 물론 단위의 사용에도 세심한 주의를 기울여야 함.
단위 일관성을 조사하면 계산 오류를 줄일 수 있음.
2.1 단위 시스템
조종사가 1500m를 1500ft를 오인하고 비행하여 항공기가 추락한 사고가 있음.
각국이 전통적으로 사용하는 단위는 서로 다름. -> 단위의 환산이나 국제표준단위계에 대한
이해는 매우 중요함.
2.1-1 차원과 단위의 차이
차원(dimension): 길이, 시간, 질량, 온도와 같은 측정(값)의 개념
단위(unit): ft나 m(길이), h나 s(시간)과 같은 차원의 구체적 표현 수단
※ 수치에 단위를 붙여 사용할 때의 이점
1. 계산 오류 가능성을 없앨 수 있다.
2. 중간 계산 과정과 시간을 줄일 수 있다.
3. 논리적으로 문제를 풀 수 있다.
4. 수치의 물리적 의미를 해석하기 쉽다.
SI 단위계: 국제 표준단위계(표2.1)
AE 단위계 (American Engineering System of Units): 미국공학 단위계 (표2.2)
※ 단위에는 기본 단위와 유도 단위가 있음
기본 단위(fundamental, basic units): 독립적으로 측정할 수 있고 필수 물리량을 나타낼 수
있는 단위(길이, 질량, 시간, 온도, 몰수/SI 단위계: m, kg, s, K, mol/AE단위계: ft, lbm, s,
min, h, day,
○
R,
○
F, lb mol)
molar amount -> 물질량(?) -> 몰수(더 바람직해 보임)
유도 단위(derived units): 기본단위로부터 유도할 수 잇는 것. -> 기본단위의 조합으로 이루
어진 것(에너지, 힘, 일률, 밀도, 속도, 가속도, 압력, 열용량)
에너지: J = (kg)(m2)(s-2), 힘: N = (kg)(m)(s-2) = (J)(m-1)
단위를 표기할 때에 대문자와 소문자를 분명하게 구분해야 함(표 2.3). 예)mm와 Mm
단수와 복수에 해당하는 단위의 기호는 동일하며, 뒤에 마침표를 찍지 않음 (inch는 관습상
in.로 표기). 예) 1 m, 10 m
SI 단위계에서는 접두어를 사용하여 배수와 약수를 나타냄.
109 = G, 106 = M, 103 = k, 10-1 = d, 10-2 = c, 10-3 = m, 10-6 = μ, 10-9 = n, 10-12 =
p(pico),
다른 단위를 곱한 복합 단위의 경우에는 각 단위 기호를 중점이나 괄호를 사용하여 분리함.
예) newton meter는 N·m 또는 (N)(m) -> 일부 책에서 중점대신에 –을 사용하는 경우도 있
음.
다른 단위를 나눈 복합 단위의 경우에는 각 단위 기호를 사선(/)을 사용하여 분리하거나 음의
지수를 사용하여 표시함. (예) m/s2 또는 m·s-2
Watt-hour처럼 혼동되지 않거나 지수로 기호를 구분하는 경우에는 생략할 수 있음. 예)Wh,
N·m2kg-2
힘=질량×가속도 -> 1 N=(1 kg)(1 m/s2) = 1 kg·m·s-2
속도의 증분
가속도= -> (m/s)/(s)=m/s2=m·s-2
시간의 증분
에너지=힘×거리 -> 1 J=(1 N)(1 m)= 1 N·m= 1 kg·m2·s-2
일
일률(동력)= -> 1 W=(1 J)/(1 s)= 1 J·s-1= 1 kg·m2·s-3
시간
질량
밀도= -> kg/m3=kg·m-3
부피
에너지
열용량= -> J/(kg·K)=J/(kg)(K)=J·kg-1·K-1
질량 온도
FAQ(Frequently Asked Question, 자주 묻는 질문)
1. SI 단위계와 미터계는 같은가? 기본 단위의 수와 정의가 같지 않음.
cgs 단위계: cm, g, s
2. AE 단위계와 USCS 단위계의 차이는?
AE 단위계에선 질량(lbm)이 기본단위이고 힘(lbf)이 유도단위임.
USCS 단위계(U. S. Conventional System, 미국관습단위계)에선 힘(lbf)이 기본단위이고
질량(lbm)이 유도단위임.
3. ms는 millisecond인가? meter second인가?
ms=millisecond≠m·s=(m)(s)=meter second
Mm≠mm=millimeter
cm2=(cm)2
질문
Q1. 무거운 가방을 들어올리는 데 필요한 힘은? c번(250 N)임.
a번(25 N)은 가벼운 가방에 해당함.
250 kN > 25 kN > 250 N > 25N (∵ 1 N = 1 kg·m·s-2)
Q2. Watt를 나타낸 것으로 옳은 것은? a. J/s
Q3. SI 단위계에서 kg/s는 기본단위인가 유도단위인가? 유도단위 임.
문제
P1. 다음과 같은 단위를 보고 SI 단위인지의 여부를 결정하고 잘못된 부분을 수정하여라.
(a) nm -> 옳음.
(b)
○
K -> K
(c) sec -> s
(d) N / mm -> 옳음.
(e) kJ/(S)(m3) -> 옳음. =
=kJ·s·m-3
2.2 단위환산
2.2-1 더하기, 빼기, 상등관계
상등관계(equality): 단위가 같을 때만 직접 더하거나 뺄 수 있음.-> 직접 빼거나 더할 수 있는
관계가 상등관계임.
5 kg+ 3 J : 서로 다른 단위를 갖는 물리량이므로 직접은 물론 결코 더할 수 없음.
10 g + 5 kg : 두 가지 다 질량이므로 직접은 더할 수 없으나 단위 환산하면 더할 수 있음.
= 10 g + 5000 g = 5010 g
2.2-2 곱하기와 나누기
같은 단위는 물론 서로 다른 단위도 곱하거나 나눌 수 있음.
=1.5m
2 ft×4 lb=8 (ft)(lb)
2.2-3 단위환산과 환산계수
환산계수(conversion factor): 동일한 단위계나 상이한 단위계에서 두 단위의 동등한 값. 환산
계수의 비의 값은 1이므로 얼마든지 곱하고 나눌 수 있음.
수치와 단위를 환산계수의 비로 곱하면 원하는 수치와 단위를 얻을 수 있음.
책의 앞 페이지에 환산계수의 표가 있음.
1 mile=1.61 km
환산계수의 비는 수직선으로 구분함. -> 수직선 대신에 괄호를 사용해도 됨.
계산을 진행하면서 분모 분자에 있는 같은 단위를 소거하면 임의의 단계에서의 실질 단위와 어
떤 환산이 더 필요한지 알 수 있음.
min
min
→ =750 mile/h
min
min
1 in.= 1 in = 2.54 cm
1 ft = 12 in = 12 in.
1 Btu = 252 cal
1 cal = 4.2 J
1 atm = 101.3 kPa=1.013 bar = 14.7 psi
책 앞 페이지에 환산계수의 표가 있음.
예제 2.1 단위 환산
400 in.3/day를 cm3/min 단위로 환산하라.
(책의 값이 틀림. 4.56)
min
min
예제 2.2. 나노 기술
나노기술(nanotechnology)은 nm 정도의 작은 입자의 합성과 응용하는 기술을 의미한다.
예) 입자 지름이 1.8 nm인 ZnS은 반도체 물질이다. 1.8 nm를
(a) dm(decimeter)와 (b) inch 단위로 환산하라.
(a) ×
(b) ×
※ 파운드 질량(pound mass, lbm)와 파운드 힘(pound force, lbf)의 관계
SI 단위계 : F=ma -> AE 단위계 : (2.1)
2
SI 단위계에선 1 kg의 질량이 1 m/s 로 가속될 때의 힘을 1 newton으로 정의함. 기호 N으로
표기.
AE 단위계: 1 lbf =(1 lbm)(g ft/s2)=(1 lbm)(32.174 ft/s2) ≒ 32.2 lbm·ft/s2
중력가속도: g=9.8 m/s2=32.174 ft/s2≒32.2 ft/s2
(2.1) 식으로부터,
AE 단위계인 경우, ⓵
lb는 lbm와 같음. lbm과 lbf는 같은 단위가 아님. -> lbm·ft/s2 과 lbf간의 단위 환산에는 gc를
사용해야 함.
질량과 무게의 차이.
질량(mass): 물체의 고유한 물성인 물질의 양.
무게(weight): 질량에 중력가속도를 곱한 힘. 무게는 그 물체에 작용하는 중력가속도에 따라 달
라짐.
단위환산 요령
예제 2.4 lbm 와 lbf의 환산
지상 100 ft 상공에 있는 100 lb 짜리 드럼의 위치에너지는 몇 (ft)(lbf)인가?
위치에너지(Potential energy) = (질량)×(중력가속도)×(높이)
SI 단위계: PE=mgh -> AE 단위계:PE= ⓶
⓵과 ⓶식으로부터
PE=
지상에서 드럼까지의 높이가 지표면에서 드럼의 무게 중심까지의 수직거리임에 주목하자.
예제 2.3. 생체물질에 관한 단위환산
글루코아밀라제는 녹말(전분)을 글루코스(포도당)로 전환시키는 효소임. 4%녹말 용액에 1 μg
mol의 글루코아밀라제를 사용했을 때의 글로코스의 생성속도인 0.6 μg mol/(mL)(min)임. 이
값은 몇 lb mol/(ft3)(day)인가?
min
min
질문
Q1. gc란 무엇인가? 미국공학단위계의 환산상수임.
Q2. 환산계수에서 분자와 분모의 비는 1인가? 예. 즉, 환산계수의 분모와 분자는 동등함.
Q3. AE 단위계에서 lbm와 lbf는 어떻게 다른가? 차원이 다름. lbm는 질량 단위이고 lbf는 힘의
단위임.
문제
P1. SI 단위계에서 gc의 수치와 단위는? 수치는 1이고, 단위는 무차원임(없음).
P2. 전파의 속도는 광속도(186000 mile/s = 30만 km/s)와 같음. 지구에서 발신한 전파가 지
×
구로부터 3.6×109 mile 떨어진 명왕성에 도달하는 시간은?
2.3 차원의 일관성
하나의 수식 내에 덧셈과 뺄셈으로 연결된 각 항의 차원과 단위는 서로 같음.
예) van der Waals :
압력 p의 단위가 atm이고, 부피 V의 단위가 cm3이며, 온도 T의 단위가 K라면
-> a의 단위는 (atm)(cm6), b의 단위는 cm3, R의 단위는 (atm)(cm3)/K임.
예제 2.6 차원 일관성
마이크로칩 식각(etching)에서 식각 깊이 d(μm)와 식각 시간 t(s)와의 관계식은 다음과 같다.
상수 16.2와 0.021의 단위는 무엇인가? d의 단위를 in으로 t의 단위를 min으로 관계식을 변환
하라.
두 개의 상수 16.2의 단위는 μm 이고, 0.021의 단위는 s-1 임.
m in min
exp
×
min
min
×
무차원군(dimensionless group): 실질 단위가 없는 변수들의 묶음.
관의 지름 유체 속도 유체 밀도
Reynolds number=
유체 점도
질문
Q1. 수식의 차원 일관성의 의미는? 수식 내에 들어있는 덧셈과 뺄셈으로 연결된 각 항의 단위
는 같아야 함. 등호 양쪽에 있는 전체 항의 단위도 같아야 함.
Q2. 무차원군은 실질 차원이 없는 이유는? 모든 단위가 소거되기 때문임.
Q3. 수식에서 다른 모든 항을 한 항으로 나누면 모든 항이 무차원이 되나? 그렇다.
Q4. 다음 변수를 무차원화할 수 있나?
a. 원관의 길이 -> 그렇다. 원관의 길이는 원관의 반경으로 나누면 무차원화 됨.
b. 탱크 안의 물을 비우는 시간 -> 그렇다. 탱크 안에 물을 비우는 시간은 탱크 안에 물을 채
우는 시간으로 나누면 무차원화 됨.
문제.
P1. 오리피스 미터(orifice meter)로 원관에서 흐르는 유속을 측정한다. 유량과 압력 손실 사이
의 관계는 다음과 같다. c의 SI 단위는 무엇인가?
∆
μ=유체 유속, △P=압력 손실, ρ=유체 밀도, c=상수
·
∴[c] = 1 즉, c의 단위는 무차원임.
P2. 액체 금속의 열전도도의 실험식: k = Aexp(B/T)
k의 단위는 J/(s)(m)(K)임. A와 B의 단위는?
[J/(s)(m)(K)]=[A]exp{[B]/[T]}=[A]exp[{(K)/(K)}
B의 단위는 T의 단위와 같은 K임. A의 단위는 k의 단위와 같은 J/(s)(m)(K)임.
2.4 유효숫자
측정치에 들어있는 3가지 정보: 측정한 변수의 크기, 단위, 불확실도의 추산치
수치의 확실성을 나타내는 방법:
1. 절대 오차(absolute error)
소수점이 있는 수치는 마지막 유효숫자에 불확실성이 동반됨.
100.30이 100.25와 100.35의 중간값이라면 -> 100.30±0.05, 즉. 유효숫자는 5개.
100.3이 100.2와 100.4의 중간값이라면 -> 100.3±0.1 유효숫자는 4개.
100.300 -> 유효숫자는 6개. 보다 정확하게 측정한 값임.(소수점 아래의 0은 유효숫자에 포함)
200,300 -> 0이 아닌 마지막 숫자(3) 이후의 0은 유효숫자가 아님.
곱셈이나 나눗셈에서는 계산에 사용된 모든 수치의 유효숫자 중에서 가장 적은 수의 유효숫자
만 답에 포함됨.
(1.47)(3.0926)=4.55 <- 4.546122 (계산기 창에 나타나는 수치가 절대적이지 않음.)
덧셈이나 뺄셈의 답은 일반적으로 가장 큰 수치의 오차 간격으로 결정되는 유효숫자만 포함됨.
(소수점 이하에서 적은 쪽 자릿수)
110.3+0.038=110.3 <- 110.338
절대오차를 이용한 계산은 참 오차를 왜곡시킬 수 있음.
98÷93.01=1.05 <- 1.1(×) <- 1.0537
수치 98의 오차는 (1/98)×100=1%
(0.1/1.1)×100=9%: 답의 유효숫자를 두 개로 한정하면 답의 오차가 크게 왜곡됨.
(0.01/1.05)×100=1%: 답의 유효숫자를 세 개로 하여야 답의 오차가 수치와 동일함.
2. 상대오차(relative error): 답의 유효숫자를 결정하는 데에 더 나을 수도 있음.
1.01/1.09=0.93 <- 0.927 <- 0.9266
수치 1.01의 오차는 (0.01/1.01)×100=1%
(0.001/0.927)×100=0.1%: 답의 정확도가 자료(계산에 사용된 측정치)보다 높음.
(0.01/0.93)×100=1%: 답의 정확도가 자료와 동일함.
답의 정확도가 측정치나 자료의 정확도보다 커지지 않도록 해야 함.
3. 통계적 계산법: 초기 값의 신뢰 한계의 개념(confidence limit)과 모든 계산 단계에서의 오
차의 전파를 고려하는 방법(참조: 최신분석화학, 김강진 등, 자유아카데미).
※ 이 강의에선 절대오차를 이용하여 답을 표시함.
계산 중간 단계에서는 하나 또는 두 자리의 숫자를 더 사용함.
운동에너지(Kinematic energy)= 질량 × 속도
속도 v로 움직이는 질량이 m 인 물체가 갖는 운동에너지:
이 식에서 상수 1/2나 지수 2는 정확한 수치(완전수)임. 이것을 이유로 답의 유효숫자를 한 자
리로 제한하면 안 됨. -> 정확한 수치의 유효숫자의 수는 무한개임.
답과 매개변수는 합리적인 숫자를 갖도록 사사오입함 (적절히).
π=3.1416,
=1.4142, Avogadro 수 N=6.02×1023
예제 2.7 유효숫자의 유지
22400 kg에서 20100 kg을 빼면 답은 2300 kg으로 유효숫자는 넷이 되는가?
22400 kg-20100 kg = 2300 kg
계산에 사용된 수치의 유효숫자는 각각 셋임. -> 소수점이 없는 수치인 경우 0이 아닌 숫자, 0
이 아닌 숫자 사이에 있는 0만 유효숫자임.
과학적표기법으로 수치를 표시하여 계산하면, 답의 유효숫자는 둘임.
×
×
×
예제 2.8 DNA의 정밀분석
절단된 3 μm의 DNA에는 몇 개의 염기쌍이 들어있나?
1 kb에는 1000 bp(염기쌍)이 들어있고, 3 kb=1 μm 이다.
-> 계산 결과인 9000의 많은 자리수가 유효숫자가 되려면 계산에 사용된 각 수치의 유효숫자
의 수도 커져야 함.
질문
Q1. 덧셈이나 곱셈과 같은 연산을 반복하는 과정에서 정확도를 잃지 않으려면 어떻게 해야 하
나? 계산의 중간 과정에서는 사사오입하지 않는다.
Q2. 12,600을 12,600.으로 바꾸는 것처럼 소수점이 없는 수치에 소수점을 추가하면 수치의 정
확도가 개선되나? (문제 잘못됨) 아니다. 단순한 소수점 추가는 의미가 없다. 원래 소수점이 있
는 것과는 전혀 다르다. 어느 자리까지 정밀하게 측정하였는가에 따라 소수점이 삽입되는 것이
다.
문제
P1. 다음 각 수치의 유효숫자의 수는 몇 개인가?
(a) 1.0 2개 (b) 23 2개 (c) 0.353 3개 (d) 1,000 1개 (e) 1,000. 4개 (f) 1,000.0 5개
P2. 다음 덧셈의 맞는 답과 유효숫자의 수는?
(a) (3개) <- 5760.3 (b) (3개) <- 2.220
×
P3. 밀도가 1000. kg/m3인 물이 87.0 kg/min.의 유량으로 흐르고 있다. 유량의 단위를
gal/hr로 바꾸고 적절한 수의 유효숫자로 나타내라.
질량 유속
부피유속
밀도
87.0의 유효숫자는 3개. 밀도의 유효숫자는 4개라 생각하고 계산할 경우,
min
×
min
×
P5. 다음 답을 구하라. 78.3-3.14-0.338=?
<-74.772
2.5 결과 검증
검증(validation): 문제의 해답이 정답이거나 정답과 마찬가지인지를 검토하고 문제 풀이 절차
를 평가해 보는 것.
1. 가능하면 다른 순서로 계산을 반복.
2. 답에서 시작하여 역순으로 계산.
3. 과정과 절차를 검토. 두 가지 오차가 서로 상쇄되지 않았는지 확임.
4. 수치를 실험 자료나 데이터베이스(data base)의 자료와 비교.
5. 계산 절차의 영향을 조사.
6. 문제의 배경에 대한 지식의 관점에서 답의 타당성을 평가.
2.6 몰과 분자량
몰(몰수, mole): SI 단위계에서 어떤 입자(분자, 이온 또는 다른 특정한 입자)든 Avogadro 수
(6.022×1023)만큼의 양.
1 g mol = 1 mol
1 kg mol = 1 kmol = 1000 mol
분자량(MW) = 질량/몰수
몰수(mole) = 질량(g)/분자량(g/mol)
원자량(atomic weight): 탄소 동위 원소
12
C의 질량을 12 amu(atomic mass unit)로 정의하
고 이에 대해 상대적으로 나타낸 원소의 질량.
화합물(compound): 하나 이상의 원자가 결합하여 이루어진 물질. 화합물의 분자량은 구성 원
자의 원자량의 합과 같음.
물(H2O)의 분자량 = (2)(1.00) + 16.0 = 18.0 amu
화합물의 조성을 알면 성분들이 화학적으로 결합되어 있지 않더라도 화합물의 평균분자량
(average molecular weight)을 구할 수 있음.
예제 2.9. 분자량, 질량, 몰수의 관계
NaOH 2.00 lb는 몇 lb mol이고 몇 g mol인가?
(a)
(b) (∵ 1 lb = 454 g)
예제 2.10 분자량, 질량, 몰수의 관계
NaOH 7.50 g mol은 몇 lb 인가?
질문
Q1. 다음 문장은 맞나 틀리나?
(a) 1 lb mol은 2.73×1026 분자이다. 맞다.
× 분자
× 분자
(b) 1 kmol은 6.022×1026 분자이다. 맞다.
× 분자
× 분자
(c) 분자량이란 화합물이나 원소 1 mol의 질량이다. 맞다.
Q2. 아세트산(CH3COOH, 초산)의 분자량을 구하라.
2×12.011+4×1.008+2×16.00=60.05 (g/mol)
문제
P1. 다음을 구하라.
a. NaCl 120 mol의 질량(g)은?
NaCl의 분자량 = 22.990+35.453 = 58.443 (g/mol)이므로
×
b. NaCl 120 g의 몰수(mol)는?
c. NaCl 120 lb mol의 질량(lb)은? 7.01×103 lb NaCl
d. NaCl 120 lb의 몰수(lb mol)는? 2.05 lb mol NaCl
P2. 39.8 kg NaCl/100 kg H2O를 kg mol NaCl/kg mol H2O로 환산하라.
2.8 밀도
밀도(density): 단위 부피 당의 질량. kg/m3, lb/ft3
질량
밀도= →
부피
그림 2.1 액체 H2O와 NH3의 온도와 밀도.
비용(specific volume): 단위 질량당의 부피. 밀도의 역. m3/kg, ft3/kg
부피
비용 →
질량
밀도
몰수
몰밀도
부피
부피
몰부피
몰수
몰밀도
고체의 질량
겉보기 밀도
충전층의 부피
용액(solution): 상이 무엇이던 간에 두 가지 이상의 성분으로 이루어진 균일 혼합물을 의미함.
성분의 수
질문
Q1. 다음 문장이 맞나 틀리나?
(a) 밀도의 역은 비용이다. 맞다.
(b) 물질의 밀도는 질량을 부피로 나눈 값이다. 맞다.
(c) 물의 밀도는 수은의 밀도보다 작다. 맞다.
Q2. 지면에서 수은 1 cm3의 질량이 13.6 g이다. 밀도를 구하라.
질량
밀도
부피
(물의 밀도는 1 g/cm3)
문제
P1. 밀도가 2 kg/m3인 물질의 비용은 몇 m3/kg인가?
비용
밀도
비중(specific gravity): 기준물질의 밀도에 대한 대상물질의 밀도의 비.
의 밀도
의 비중
기준물질의 밀도
⓵
액체와 고체의 기준물질로는 4℃ 물을 사용함. → 4℃ 물의 밀도는 1.000 g/cm3. SI 단위계에
서는 비중과 밀도의 수치는 같음.
정확히 나타내려면 대상물질과 기준물질의 밀도를 측정한 온도와 압력을 명시해야 함. → 압력
의 영향을 무시할 수 있는 고체나 액체는 온도만 명시하면 됨.
sp.gr. =
← 대상물질의 온도는 20℃, 기준물질의 온도는 4℃임.
비중을 나타낸 온도를 명시하지 않은 경우에는 대상물질의 온도는 실온이고 기준물질은 4℃의
물로 가정.
예제 2.17 비중이 주어진 경우의 밀도 계산
sp.gr. = 1.41인 페니실린의 경우
⓵식으로부터, 대상물질의 밀도=(대상물질의 비중)×(기준물질인 물의 밀도)
결국, 용액의 밀도는 비중에 단위(g/cm3)만 붙이면 됨.
페니실린의 밀도
×
AE 단위계에서는 밀도의 단위가 lb/ft3이고, 물의 밀도가 약 62.43 lb/ft3이므로 비중과 밀도의
수치가 일정하지 않음.
예제 2.5 비중으로부터 질량과 몰수의 계산
분자량이 192인 약품 생산공정에서 반응기 배출유량이 10.5 L/min이다. 수용액 중의 약품 농
도는 41.2%이고 수용액의 비중은 1.024이다. 배출흐름 중의 약품 농도(kg/L)와 약품의 배출유
량(kmol/min)을 구하라.
수용액의 밀도 = (수용액의 비중)×(물의 밀도)
=
성분의 질량
성분의 질량백분율= ×
혼합물의 질량
(1)
수용액 중의 약품 농도는 41.2%이므로 (1)식ㅇ로부터
약품의 배출유량=(수용액의 배출유량)×(약품의 농도)
min
min
질문
Q3. 편람에서 액체 HCN의 자료를 찾아보면 sp.gr. 10℃/4℃=1.2678이다. 무슨 뜻인가? 4℃
물을 기준을 했을 때에 10℃ HCN의 비중은 1.2678라는 의미임.
Q4. 다음 설명이 맞나 틀리나?
a. 수은의 밀도와 비중은 같다. 단위가 틀리다.
b. 비중은 두 밀도의 비이다. 맞다.
c. 기준물질의 밀도를 알면 여기에 비중을 곱하여 대상물질의 밀도를 구할 수 있다. 맞다.
d. 비중은 무차원양이다. 맞다, 그러나 단순한 무차원의 양은 아니다.
문제
P3. 편람에서 에탄올의 경우 sp.gr.60℉ = 0.79389이다. 60℉의 에탄올 밀도를 구하라.
0.79389 g/cm3
P4. 강철의 비중이 7.9이다. 4000lb 짜리 강철괴의 부피(ft3)를 구하라.
질량
비중이 7.9이므로 밀도는 7.9 g/cm3이고, 밀도=
부피
(1)
(1) 식으로부터,
강철괴의 질량
강철괴의 부피=
강철괴의 밀도
=
2.12 유속
유량(flow rate): 시간당 흐름의 양
부피유량(volumetric flow rate): 시간당 수송되는 부피, F= (2)
질량유량(mass flow rate): 시간당 수송되는 질량,
몰유량(molar flow rate): 시간당 수송되는 몰수,
(3)
(4)
P1. 비중이 0.91인 탄화수소 연료가 탱크에 40 gal/min로 도입된다. 탱크의 질량이 40000 lb
일 때, 탱크를 채우는데 필요한 시간을 구하라.
(2)식으로부터,
탱크를 채우는데 필요한 시간=(탱크의 부피)/(부피 유량)
min
min
P2. 순수 염소가 3.1 min당 2.4 kg으로 공정에 도입된다 이 염소의 몰유량(kmol/hr)을 구하
라.
염소(Cl2)의 분자량=2×35.453=70.906 (g/mol)
min
의 몰유량
min
2.6-2 몰분율과 질량분율
몰분율(mole fraction): 특정 성분의 몰수를 전체 몰수로 나눈 값.
질량분율(mass fraction): 특정 성분의 질량을 전체 질량으로 나눈 값.
의 몰수
A의 몰분율
전체 몰수
의 질량
A의 질량분율
전체 질량
(5)
(6)
예제 2.13. 질량분율과 몰분율의 상호 변환
물 5.00 kg과 NaOH 5.00 kg으로 된 공업용 세척제가 있다. 각 성분의 질량분율과 몰분율을
구하라.
물의 분자량=18.0 kg/kmol, NaOH의 분자량=40.0 kg/kmol
(6)식으로부터,
물의 질량
물의 질량분율
물의 질량 의 질량
의 질량
의 질량분율
물의 질량 의 질량
(5)식으로부터,
물의 몰수
물의 몰분율=
물의 몰수 의 몰수
의 몰수
NaOH의 몰분율=
물의 몰수 의 몰수
또는 (NaOH의 몰분율+물의 몰분율=1)이므로
NaOH의 몰분율=1-물의 몰분율=1-0.69=0.31
다성분 용액 및 혼합물의 분석: 관습적으로 특별한 언급이 없는 한 기체는 몰분율(몰 %)로, 액
체와 고체는 질량분율(또는 질량 %)로 분석치를 나타냄.
예제 2.11. 공기의 평균분자량
공기는 보통 O2 21%와 N2 79%로 구성되었다고 간주함. 공기의 평균분자량은?
O2의 분자량=32 kg/kmol, N2의 분자량=28 kg/kmol
공기 1 kmol을 기준으로 하면,
공기의 평균분자량=0.21×(32 kg/kmol)+ 0.79×(28 kg/kmol) = 29 kg/kmol
혼합물의 평균분자량=A의 몰분율×A의 분자량+B의 몰분율×B의 분자량+…=
몰분율 × 분자량
P3(책에 없음). n-부탄(C4H10) 50%, n-펜탄(C5H12) 30%, n-헥산(C6H14) 20%로 구성된 액체 혼
합물인 경우에 각 성분의 질량분율, 몰분율, 몰% 그리고 혼합물의 평균분자량을 구하라.
액체이므로 주어진 조성은 질량 %이다.
n-부탄(C4H10)의 분자량=4×12+10×1=58 kg/kg mol
n-펜탄(C5H12)의 분자량=5×12+12×1=72 kg/kg mol
n-헥산(C6H14)의 분자량=6×12+14×1=86 kg/kg mol
액화 혼합물 100 kg을 기준으로 하면
n-부탄(C4H10)의 몰수=(50 kg)/(58 kg/kg mol)=0.862 kg mol
n-펜탄(C5H12)의 몰수=(30 kg)/(72 kg/kg mol)=0.417 kg mol
n-헥산(C6H14)의 몰수=(20 kg)/(86 kg/kg mol)=0.233 kg mol
액화 혼합물의 몰수=1.512 kg mol
a. n-부탄(C4H10)의 질량 분율=0.50,
n-펜탄(C5H12)의 질량 분율=0.30,
n-헥산(C6H14)의 질량 분율=0.20
b. n-부탄(C4H10)의 몰 분율=0.862/1.512=0.570,
n-펜탄(C5H12)의 몰 분율=0.417/1.512=0.276,
n-헥산(C6H14)의 몰 분율=0.233/1.512=0.154
c. n-부탄(C4H10)의 몰 %=57.0%,
n-펜탄(C5H12)의 몰 %=27.6%,
n-헥산(C6H14)의 몰 %=15.4%
d. 혼합물의 평균분자량=0.570×(58 kg/kg mol)
+ 0.276×(72 kg/kg mol)
+ 0.154×(86 kg/kg mol)
= 66 kg/kg mol
2.9 농도
농도(concentration): 일반적으로 단위 부피에 들어있는 성분의 양.
a. 질량/부피(g 용질/L 용액, kg 용질/m3 등)
b. 몰수/부피(mol 용질/L 용액, mol 용질/cm3 등)
c. ppm(part per million, 백만분율), ppb(part per billion, 10억분율), 아주 묽은 용액의 용
질 농도를 표시, 고체와 액체인 경우는 질량분율, 기체인 경우에는 몰분율임.
성분의 질량 또는 몰수
ppm= ×
혼합물의 질량 또는 몰수
성분의 질량 또는 몰수
ppb= ×
혼합물의 질량 또는 몰수
(7)
(8)
d. ppmv(부피기준의 백만분율), ppbv(부피기준의 10억분율)
e. 몰농도(mole concentration, mol/L), 몰랄농도(molarity, mol 용질/kg 용매), 노르말 농도
(normality, eqiv./L), 공기에 들어있는 기체 오염물질의 농도를 (질량/부피단위)로도 나타냄.
예제 2.20 ppm
공기중 HCN의 치사량은 상온에서 300 mg/kg이다. 10.0 ppm을 mg/kg의 단위로 나타내고,
10.0 ppm은 치사량의 몇 분의 1인가?
HCN의 분자량=1+12+14=27 g/mol
(7)식으로부터,
× ×
공기
공기
공기
× 공기
9.31/300=0.031, 따라서 치사량의 3.1%에 해당함.
질문
Q1. ppm은 몰분율로 나타낸 농도인가? 기체인 경우 그렇다.
Q2. 혼합물 중 한 성분의 농도는 혼합물의 양에 따라 달라지나? 균일 혼합물인 경우 아니다.
Q3. 1 ppb은 몇 ppm인가? 1ppb=0.001 ppm
Q4. 10 ppm보다 5배 큰 것이 50ppm인가? 그렇다.
문제
P1. 수용액 중의 물질의 농도가 1.2%이다. 몇 mg/L에 해당하나?
수용액이므로 용질의 질량%=1.2%이다.
수용액 100g을 기준으로 하면
용질 물 용질
용질
×
물
용질
물
2.7 계산 기준의 선택
계산기준(basis): 특정 문제를 풀기 위한 계산의 기준. 계산기준을 잘 선택하면 문제를 쉽게 풀
수 있음.
계산기준이 애매할 때 다음 세 가지 질문을 하여 올바른 계산기준을 선택함.
1. 무엇을 알고 있나? 유량이나 생성량을 안다면 1hr의 시간을 계산기준으로 선택하면 계산
중에 시간을 고려할 필요가 없어 편리함.
2. 구할 답은 무엇인가?
3. 가장 편리한 계산기준은 무엇인가? 특정 물질의 몰분율이나 질량분율을 안다면 그 물질
100 kmol이나 100 kg을 계산기준으로 선택하면 핀리함.
어느 단위의 양이던 1이나 100의 수치를 계산기준으로 선택하면 편리함.
계산할 때에 계산기준부터 선택하여 적도록 함.
예제 2.14 계산기준의 선택
저급 알칸의 탈수반응에 사용되는 산화세슘(CeO) 촉매에서 Ce과 O의 질량분율과 몰분율을 구
하라.
계산기준: 산화세슘 1 kmol
분자식을 보면 산화세슘은 Ce과 O 원자가 각각 1 kmol이 들어있음.
Ce 원자량=140.12 kg/kmol, O의 원자량=16.0 kg/kmol
Ce의 몰분율=(1 kmol)/(1 kmol+ 1 kmol)=0.5
O의 몰분율=(1 kmol)/(1 kmol+ 1 kmol)=0.5
Ce의 질량분율=
O의 질량분율=
예제 2.15 계산기준의 선택
석탄으로부터 가솔린을 생산하는 공정에서 얻은 50.0 kg의 가스의 조성은 H2 10.0%, CH4
40.0%, CO 30.0%, CO2 20.0%이다. 이 가스의 평균분자량은?
가스이므로 조성은 몰%이다.
H2의 분자량=2×1.0=2.0 kg/kmol
CH4의 분자량=1×12.0+4×1.0=16.0 kg/kmol
CO의 분자량=1×12.0+1×16.0=28.0 kg/kmol
CO2의 분자량=1×12.0+2×16.0=44.0 kg/kmol
계산기준: 가스 100 kmol
평균분자량=
[계산기준 선택의 묘미-알리바바이 재산 상속 문제]
알리바바는 네 아들에게 낙타 39마리를 주면서, 장남이 1/2, 둘째는 1/4, 셋째는 1/8, 막내는
1/10을 가지라고 했다. 네 아들은 어떻게 나눌지 몰라 쩔쩔매고 있는데, 지나가던 행인이 그
얘기를 듣더니 자신의 낙타 1마리를 보태어(40마리) 비율대로 계산하여 장남에게 20마리, 둘째
에게 10마리, 셋째에게 5마리, 막내에게 4마리를 나누어 주고 남은 자신의 낙타를 타고 유유히
사라졌다. 그 모습을 보고 형제들은 자신들이 손해를 본 것이 아닌가 생각되어 재확인했으나,
형제들 모두가 아버지가 제사한 몫보다 더 가졌음을 깨닫고는 만족해했다.
형제들의 낙타분율의 합=
손쉽게 나눌 수 있었던 것은 계산기준을 39마리(낙타분율의 합:0.975)에서 40마리(낙타분율의
합:1.000)로 바꾼 것뿐이다.
예제 2.16 계산 기준의 변경
가스 성분이 다음과 같을 때에 SO2 제외 가스의 몰분율은 얼마인가?
O2 20%, N2 78%, SO2 2%
계산기준: 가스 1.00 mol
성분
몰분율
몰수(mol)
O2
N2
SO2
0.20
0.78
0.02
1.00
0.20
0.78
0.02
1.00
SO2
제외
가스의
몰수
SO2 제외 가스의 몰분율,
(mol)⓵
0.20
0.78
⓷=⓵/⓶
0.20 ← 0.204
0.80 ← 0.796
0.98⓶
1.000 ← 1.000
2.10 온도
기본 개념
온도: 1. 계안에 있는 분자들이 가진 에너지(주로 운동에너지)의 척도.
2. 다른 계에 대한 계의 열적 평형 상태의 성질.
온도 눈금: 네 가지가 있음. 섭씨 온도(Celsius, ℃), 화씨 온도(Fahrenheit, ℉), 캘빈 온도
(Kelvin, K), 랭킨 온도(Rankine, °R)
섭씨 온도와 화씨 온도의 기준점은 물의 어는점(0℃, 32℉)임.
0℃를 표준온도(standard condition of temperature)라 함.
캘빈 온도와 랭킨 온도의 기준점은 절대 0도(0K, 0°R, -273℃, -460℉)임.
절대 온도0도는 가능할 것으로 생각하는 최저온도임.
섭씨 온도와 캘빈 온도의 눈금의 크기는 서로 같음(즉, △℃=△K).
화씨 온도와 랭킨 온도의 눈금의 크기는 서로 같음(즉, △℉=△°R).
섭씨 온도의 눈금 크기는 화씨 온도의 눈금 크기의 1.8배임(즉, △℃=1.8△℉).
1) x℃ ↔ y℉: T℉ =1.8×T℃ + 32
⓵
2) x℃ ↔ yK: TK = T℃+273
⓶
3) x℉ ↔ y°R: T°R = T℉+460
⓷
4) xK ↔ y°R: T°R = 1.8×Tk
⓸
℃
↕
↕
℉°
예제 2.21 온도 환산
100℃는 몇 K, ℉, °R 인가?
(a) ⓶식으로부터, 100+273=373 (K)
(b) ⓵식으로부터, 1.8×100+32=212 (℉)
(c) ⓷식으로부터, 212+460=672 (°R)
예제 4.2 온도 환산
황산의 열용량[J/(mol)(℃)]은 다음과 같다.
열용량=139.1+1.56×10-1T
⓹
이식에서 T의 단위는 ℃이다. 열용량과 T의 단위를 Btu/(lb mol)(°R)와 °R로 나타내어라.
⓵식으로부터, T℉ =1.8×T℃ + 32
⓺
⓷식으로부터, T°R = T℉+460
⓻
⓻식을 ⓺식에 대입, T°R – 460 = 1.8×T℃ + 32
T℃ = (T°R – 460 – 32)/1.8
⓼
⓼식을 ⓹식에 대입
°
열용량= ×
℃
× × °
℃ °
질문
Q1. 섭씨 눈금과 화씨 눈금의 기준점은? 물의 어는점(0℃, 32℉)이다.
문제
P2. 황의 열용량은 다음과 같다.
⓽
cal/(mol)(℉)로 고쳐 쓰시오.
⓵식으로부터, T℉ =1.8×T℃ + 32
⓾
②식으로부터, TK = T℃+273
⑪
⑩식을 ⑪에 대입, TK = (T℉ - 32)/1.8+273 = T℉/1.8+255
⑫
⑫식을 ⑨에 대입,
℉
℉
= 2.0+0.197T℉+90.4=92.4+0.197T℉
2.11 압력과 정수두
압력 단위
진공으론 물을 10.33 m이상 끌어올릴 수 없으나 공기 압력으로 밀어 올릴 수는 있음(17세기
피렌체의 우물).
압력(pressure): 단위 넓이에 수직으로 작용하는 힘.
수직으로 작용하는 힘
압력 →
면적
여기서, 유체 기둥의 바닥에 작용하는 압력, =유체 기둥의 꼭대기에 작용하는 압력
1 Pa = 1 N/m2
1 bar = 105 Pa = 105 N/m2
1 atm = 760 mmHg = 760 Torr
psi = lbf/in.2 (pound force per square inch)
kgf/cm2도 자주 사용됨.
×
정지 유체 기둥이 바닥에 미치는 힘은?
(1)
단면적이 1 cm2, 밀도가 13.55 g/cm3, 높이 50 cm인 수은 기둥인 경우 (1)으로부터
→ 액체 아래로 내려갈수록 압력은 높아짐.
액체 기둥의 높이를 두(head)라 함.
압력 측정
열린 마노미터(open-end manometer): 열린 팔에 대기압이 작용하므로 대기압을 기준으로 한
압력인 상대압력(계기압력, relative pressure, gage pressure)이 측정됨 (그림 2.6).
닫힌 마노미터: 닫친 팔이 진공((1)식에서 이므로 완전 진공을 기준으로 한 압력인 절대
압력(absolute pressure)이 측정됨. 진공은 위치, 기온, 기후를 비롯한 인자에 상관없이 변하
지 않으므로, 절대압력은 변하지 않는 값임.
Figure 2.6.
(a) Open-end
manometer showing a pressure above atmospheric
pressure in the tank; (b) manometer measuring absolute pressure in the tank
대기 중에 열렸거나 진공인 튜브 끝에 미치는 압력은 다른 끝에 미치는 압력과 정확하게 균형
을 이룸.
마노미터에 들어있는 액체로는 보통 물이나 수은을 사용함.
진공(vacuum): 물질이 존재하지 않는 공간.
진공도는 용기 내의 압력(즉, 절대압력)이 대기압보다 얼마나 낮으냐를 나타냄.
진공도=대기압-절대압력
(2)
계기압력과 진공의 기준점은 모두 대기압으로 일정하지 않음.
절대압력=계기압력+대기압
(3)
계기압력은 용기 내의 압력(즉, 절대압력)이 대기압보다 얼마나 높은지를 나타냄.
대기압은 장소나 시간에 따라 변하지만 표준대기압은 변하지 않음.
표준대기압(standard atmosphere):
1 atm = 760 mm Hg = 29.92 in. Hg = 10.33 m H2O = 14.7 psia = 1.013×105 Pa
×
psi로 표시된 압력은 상황에 근거해서 절대압력인지 계기압력인지 구분함.
psia는 절대압력을 의미하고, psig는 상대압력(계기압력)을 의미함.
표준대기압과 연관되어 있는 환산계수를 이용하여 단위환산 가능.
예제 2.23 압력 환산
CO2 탱크의 압력은 51.0 psi이고, 기압은 28.0 in. Hg일 때 탱크의 절대압력은 몇 psia 인가?
(3)식으로부터,
탱크의 절대압력 = 51.0 psia + 28.0 in. Hg
= 51.0 psia +
= 64.8 psia
Figure E2.23
예제 2.24 진공도
생쥐는 20 kPa의 압력에도 살 수 있다. 마노미터의 읽음은 64.5 cm Hg이고, 기압은 100 kPa
일 때 탱크 안의 생쥐는 살아 있겠나?
유체의 아래로 내려갈수록
만큼 압력이 올라가고,
유체의 위로 올라갈수록
만큼 압력이 내려간다.
⓵
②
③
①,②식을 ③식에 대입
마노미터 상부에 있는 기체의 밀도를 무시하면, 즉 ≪ 이므로
≒ =
탱크 압력이 20 kPa보다 낮으므로 생쥐는 살지 못함.
압력차 측정
⓵
②
③
④
①,②,③식을 ④식에 대입
⑤
인 경우, 이
므로 이 식들들 ⑤식에 대입
차압 마노미터식(differential manometer equation)
(4)
흐르는 유체가 오리피스(orifice)와 같은 방해물을 만나면 압력이 감소함.
유량을 측정하기 위해 오리피스 전 후에 설치한 압력 탭(tap)에 마노미터를 연결하여 압력차를
측정함 (그림 2.8).
Figure 2.8. Concentric orifice used to restrict flow and measure the fluid flow rate
with the aid of a manometer
예제 2.25 압력차 계산
그림 E.25처럼 원관 안에 흐르는 물의 유량을 측정하기 위해 차압마노미터를 설치하여 오리피
스 판 양쪽의 압력차를 측정한다. 마노미터의 읽음으로부터 압력강하 p1-p2을 Pa 단위로 구하
라.
그림 E.25
×
질문
Q1. 둘 다 원통형이고 단면적이 같은 주전자 중 (그림 SAT2.11Q1)에 커피가 많이 들어가는
것은?
그림 SAT2.11Q1
둘 다 원통형이고 단면적이 같다면 주둥이의 높이가 같으므로 최대로 채웠을 때 같은 양의 커
피가 들어간다.
Q2. 다음 설명은 맞나 틀리나? 모두 맞다.
a. 대기압은 날마다 달라진다.
b. 표준대기압은 일정한 기준압력으로 1.000 atm이다.
c. 절대압력은 진공을 기준으로 측정한 압력이다.
d. 계기압력은 대기압을 기준으로 측정한 플러스 압력이다.
e. 진공과 부압은 대기압을 기준으로 측정한 플러스 압력이다.
f. 표준대기압은 환산계수로 이용하여 압력의 단위를 환산할 수 있다.
g. 마노미터는 마노미터 유체의 높이에 의해 압력차를 측정하는 기구이다.
Q3. 진공도와 절대압력은 어떤 관계에 있나? 진공도=대기압-절대압력
문제
P1. 800. mm Hg를 psia, kPa, atm, ft H2O의 단위의 값으로 환산하라.
a.
b.
c.
d.
P2. 다음 그림과 같은 기압계로 측정할 수 있는 압력은 표준대기압, 기압, 계기압력, 절대압력,
진공도 중에 어느 것인가?
a. 기준점이 대기압이므로 측정된 압력은 계기압력임.
b. 기준점이 진공이므로 절대압력이나 대기압에 액면이 노출되어 있으므로 측정된 압력은 대기
압임.
c. 기준점이 진공이므로 절대압력이며, 용기는 밀폐되어 있으므로 측정된 압력은 용기내의 절
대압력으로 a와 b에서 측정한 두 값을 더한 50 in Hg일 것임.
그림 SAT2.11P2
P4. U자관 수은 마노미터의 읽음이 26 mm Hg일 때 다음 두 경우의 압력차는 몇 kPa인가?
(a) 원관 안에 물이 흐르는 경우
(4)식으로부터,
×
(b) 원관에 공기가 흐르는 경우
≫ 이므로 (4)식으로부터
≒
숙제 제출양식
On each submission place your class number, the date, the assignment number,
your name, and the page numbering at the top of each and every page, even if
you staple the pages together, thus
에너지제
조 및
1분반
화학공학
200100000
한지훈
9월 1일, 2015년
숙제 # 1
1/3
↑
↑
숙제
↑
페이지
번호
번호
공정
↑
교과목명
분반
학과
학번
이름
날짜
숙제 1 :
#1. 어떤 액체의 밀도를 다음 식으로 나타낸다.
ρ = 밀도(g/cm3)
T = 온도(℃)
P = 압력(atm)
이 수식의 차원은 균일하다. A, B, C의 단위는?
#2. 조성이 다음과 같은 기체 100kg이 있다. 이 기체의 평균분자량을 구하라.
Basis: 100 kg mol gas
Comp.
CH4
H2
N2
Total
Mol % = mol
30
10
60
100
#3. 아세트산의 열용량 Cp[J/(g mol)(K)]은 다음과 같다.
×
여기서 온도 단위는 K이다. Cp의 단위는 그대로 두고 온도 단위를 K대신 °R로 바꾼 식을 구하
라.