1a lista de exercı́cios – MTM 1020–
1. Em cada parte, encontre a fórmula para o termo geral da sequência, começando
com n = 1.
4
9 16
1
,√
, √ , ...
b) √ , √
3
4
π
π
π 5π
1 1 1
a) 1, , , , ...
3 9 27
c)
6 8 10 12
d) 1, 1, , , , , ...
8 16 32 64
1
, − 34 , 56 , − 78 , ...
2
2. Em cada parte, encontre duas fórmulas para o termo geral da sequência,
uma começando com n = 1 e a outra com n = 0.
a) 1, −r, r2 , −r3 , ...
b) r, −r2 , r3 , −r4 , ...
3. Escreva os cinco primeiros termos da sequência, determine se ela converge,
e se isso acontecer, encontre o limite.
∞
n
a)
b) {2}∞
n=1
n + 2 n=1
∞
∞
ln n
(−1)n+1
c)
d)
n n=1
n2
n=1
∞
2 −n ∞
(n + 1)(n + 2)
e)
f
)
ne
n=1
2n2
n=1
1 1
1 1
1 1
1
,
,
,
, ...
g) 1 −
−
−
−
2
3 2
3 4
5 4
4. Seja

 2x,
se 0 ≤ x < 0, 5
f (x) =
 2x − 1 se 0, 5 ≤ x < 1
A sequência f (0, 2), f (f (0, 2)), f (f (f (0, 2))), ... converge? Justifique sua resposta.
5. Analise se a sequência {an } dada é crescente ou decrescente.
∞
n
a)
b) {n − 2n }∞
n=1
2n + 1 n=1
n ∞
−n ∞
n
c) ne
d)
n=1
n! n=1
2
6.a) Suponha que {an } seja uma sequência monótona tal que 1 ≤ an ≤ 2 para
cada n. A sequência deve necessariamente convergir? Caso afirmativo,
o que pode ser dito sobre o limite?
b) Suponha que {an } seja uma sequência monótona tal que an ≤ 2 para cada
n. A sequência deve necessariamente convergir? Caso afirmativo, o que
pode ser dito sobre o limite?
7. Seja an =
|x|n
n!
7.a) Mostre que a sequência {an } é estritamente decrescente a partir de um
certo termo.
b) Mostre que a sequência {an } converge.
c) Use os resultados das partes a) e b) para mostrar que an → 0 quando
n → +∞.
3
Gabarito
1
1. a) { 3n−1
}∞
n=1 ,
2
c) { (−1)
n√
}∞ ,
b) { n−1
π n=1
n−1 n−1 ∞
2. a) {(−1)n rn }∞
r }n=1 ,
n=0 e {(−1)
3. a) 1,
b) 2,
c) 0,
√
f ) 0,
g) 01,
2
2n
}∞
n=1 ,
d) { 2n
}∞ .
2n n=1
n+1 n ∞
b) {(−1)n rn+1 }∞
r }n=1 .
n=0 e {(−1)
e) 12 ,
d) 0,
h) (1+4 5) ,
n+1 (2n−1)
i) 0,
j) 1.
4. diverge.
6. a) crescente,
b) decrescente,
c) crescente,
d) crescente,