Fundiranje objekata visokogradnje
plitko fundiranje
trakasti temelji i temelji samci
Plitko fundiranje - trakasti temelji i temelji samci
Plitki temelji (direktni, površinski, neposredni) su temelji koji se grade u otvorenom, relativno
plitkom iskopu i koji opterećenje na podlogu prenose uglavnom preko naležuće površine temelja
(kontaktne spojnice). Plitki temelji se primenjuju ukoliko se na relativno maloj dubini ispod površine
terena nalazi tlo dovoljne otpornosti i male deformabilnosti. Plitki temelji se najčešće izvode od
nearmiranog i armiranog betona.
Granična nosivost plitkih temelja prema Evrokodu 7 podrazumeva kontrolu graničnih stanja STR i
GEO, pri čemu se projektna dejstva i uticaji od njih, kao i proračunske nosivosti tla određuju prema
projektnom pristupu 3 - PP3.
projektni pristup 3 (STR/GEO PP3) - A1/A2* + M2 + R3
* - A1 - dejstva na konstrukciju;
A2 - geotehnička dejstva (kosine)
parcijalni koeficijenti se primenjuju na dejstva/uticaje i na parametre čvrstoće tla
Parcijalni koef. sigurnosti za dejstva A1
koef. sigurnosti za stalna dejstva koja povećavaju napone u tlu ispod temelja
koef. sigurnosti za stalna dejstva koja smanjuju napone u tlu ispod temelja
koef. sigurnosti za povremena dejstva koja povećavaju napone u tlu ispod temelja
koef. sigurnosti za povremena dejstva koja smanjuju napone u tlu ispod temelja
γg.p.A1 ≔ 1.35
γg.n.A1 ≔ 1.0
γp.p.A1 ≔ 1.5
γp.n.A1 ≔ 0
Parcijalni koef. sigurnosti za parametre svojstava tla M2
koef. sigurnosti za zapreminsku težinu tla γt
koef. sigurnosti za tangens ugla unutrašnjeg trenja u tlu φ
koef. sigurnosti za koheziju u tlu c
γγ.M2 ≔ 1.0
γφ.M2 ≔ 1.25
γc.M2 ≔ 1.25
Parcijalni koef. sigurnosti za otpor u tlu R3
koef. sigurnosti za nosivost temeljnog tla σtem
koef. sigurnosti za klizanje po temeljnoj spojnici
γR3.σ ≔ 1.0
γR3.kl ≔ 1.0
Granični uticaji koji na posmatrani plitki temelj deluju dobijaju se kombinovanjem uticaja od stalnog i
od povremenog opterećenja uz primenu parcijalnih koeficijenata sigurnosti za uticaje/dejstva A1.
Dozvoljena nosivost temeljnog tla u skladu sa kojom se određuju dimenzije naležuće površine plitkog
temelja dobija se uz primenu parcijalnih koeficijenata sigurnosti za parametre svojstva tla M2 i parcijalnih
koeficijenata sigurnosti za otpor u tlu R3.
Proračunska nosivost temelja kao i vrednost čvrstoće materijala od kog se temelj gradi određuje se
u skladu sa Evrokodom 2 za betonske konstrukcije.
Mr Jasmina Todorović, d.g.i.
1 of 27
Fundiranje objekata visokogradnje
plitko fundiranje
trakasti temelji i temelji samci
Trakasti temelji
Trakasti temelji su plitki temelji koji se primenjuju za fundiranje zidova. Trakasti temelji su linijski
oslonci za koje je dužina temelja L veća dve širine temelja B - L > 2·B. Da bi se temelj mogao tretirati
kao trakasti neophodno je da je opterećen ujednačenim linijskim raspodeljenim opterećenjem i da su
uslovi oslanjanja duž temelja isti. Kada su ti uslovi zadovoljeni trakasti temelj se nalazi u ravnom stanju
deformacija, odnosno deformacije postoje samo u jednoj ravni – vertikalnoj ravni poprečnog preseka. U
tom slučaju uticaji u svim presecima su isti, pa se za trakaste temelje proračunava samo jedna lamela
jedinične dužine (l1=1m), a dobijene dimenzije važe za bilo koju lamelu trakastog temelja, odnosno za
ceo temelj.
Dimenzionisanje trakastih temelja podrazumeva:
a) određivanje dimenzija naležuće površine (tj. širine temelja), na osnovu nosivosti tla, a u zavisnosti od
veličine opterećenja koje se preko temelja prenosi na tlo
b) određivanje visine temelja, na osnovu čvrstoće materijala od kog se temelj gradi.
Određivanje dimenzija naležuće površine temelja
Dimenzije naležuće površine se određuju iz uslova da pritisak na tlo (od opterećenja sa konstrukcije
iznad temelja, težine temelja i tla iznad temelja), na usvojenoj dubini fundiranja, bude jednak nosivosti
tla. Pošto su trakasti temelji u ravnom stanju deformacija dimenzionisanje naležuće površine
podrazumeva određivanje širine samo jedne lamele jedinične dužine, a usvojena širina važi za ceo temelj.
Širina temelja B zaokružuje se na punih 5 cm ili 10 cm.
Uslov ravnoteže:
Uslov ravnoteže:
V + G ΣM
σmax ＝ ―― + ――
≤ σdoz
F
W
V+G
σ ＝ ―― ≤ σdoz
F
V, H, M
G
V+G
ΣM = M + H·d
F = B·l1
W = B²·l1/6
B
l1=1m
hz
d
Df = hz + d
γt
γab=25kN/m³
σdoz
-
granične presečne sile na kontaktu zida i temelja (na dubini hz)
težina temelja i tla iznad temelja (granična vrednost)
vertikalna sila na dubini fundiranja Df
moment savijanja na dubini fundiranja Df
površina naležuće površi
otporni moment naležuće površi
širina temelja
dužina jedinične lamele temelja
kota donje ivice zida
visina temelja
dubina fundiranja temelja
zapreminska težina tla
zapreminska težina armiranog betona (od kog se gradi temelj)
dozvoljena nosivost tla
Napomena: vrednosti graničnih presečnih sila i težina, kao i dozvoljena nosivost tla određuju se
primenom odgovarajućih parcijalnih koeficijenata sigurnosti, i biće detaljnije objašnjene u nastavku.
Mr Jasmina Todorović, d.g.i.
2 of 27
Fundiranje objekata visokogradnje
plitko fundiranje
trakasti temelji i temelji samci
Za centrično opterećen trakasti temelj (desna slika na predhodnoj strani):
Iz uslova ravnoteže:
V+G
σ ＝ ―― ≤ σdoz
F
→
V + G ＝ F ⋅ σdoz
G ＝ γg.p.A1 ⋅ F ⋅ ⎛⎝γab ⋅ d + γ't ⋅ hz⎞⎠ ＝ γg.p.A1 ⋅ β ⋅ F ⋅ Df ⋅ γabgranična težina temelja i tla iznad temelja
γg.p.A1
koef. sigurnosi za stalna dejstva koja povećavaju napone u tlu
hz ⎛
γ't ⎞
β ＝ 1 - ― ⋅ ⎜1 - ――
⎟
Df ⎝
γab ⎠
koef. razlike težine tla i temelja
V + G ＝ F ⋅ σdoz
→
V + γg.p.A1 ⋅ β ⋅ F ⋅ Df ⋅ γab ＝ F ⋅ σdoz →
σdoz.neto ＝ σdoz - γg.p.A1 ⋅ β ⋅ Df ⋅ γab
V
V
F ＝ ――――――――
＝ ―――
σdoz - γg.p.A1 ⋅ β ⋅ Df ⋅ γab σdoz.neto
neto dozvoljena nosivost tla (umanjena za težinu temelja
i tla iznad temelja)
Za ekscentrično opterećen trakasti temelj (leva slika na predhodnoj strani):
Iz uslova ravnoteže:
V + G ΣM
σmax ＝ ―― + ――
≤ σdoz
F
W
analognim postupkom se dobija kvadratna jednačina za određivanje potrebne širine temelja:
B 2 ⋅ σdoz.neto - B ⋅ V - 6 ⋅ ΣM ＝ 0
Centrično opterećeni temelji su povoljniji jer je kod njih raspodela napona u tlu ispod temelja
ravnomernija, pa su i sleganja u tlu ispod temelja manja (a da ne spominjemo jednostavnije uslove
ravnoteže i lakše određivanje dimenzija naležuće površine). Zbog toga se, kad god je to moguće, temelji
centrišu.
Centrisanje temelja podrazumeva pomeranje položaja težišta naležuće površine temelja u odnosu na
težište konstruktivnog elementa iznad temelja (zida kod trakastih temelja), u cilju eliminacije momenata
savijanja u nivou temeljne spojnice. Prema EC7 temelj se centriše za granično opterećenje.
U opštem slučaju je:
ΣMT ＝ 0
M + H ⋅ d＝V ⋅ ξ
→
M+H⋅d
ξ ＝ ―――
V
Vrednost ξ za koju je potrebno pomeriti težište temelja u odnosu
na težište zida, dobijena na osnovu uslova ravnoteže u težištu
temeljne spojnice T, omogućava da se na nivou temeljne spojnice
(tj na dubini Df) na tlo prenosi samo vertikalno opterećenje.
Određivanje vrednosti graničnih presečnih sila
Vertikalne sile uvek povećavaju napone u tlu, pa je njihova granična vrednost:
V ＝ γg.p.A1 ⋅ Vg + γp.p.A1 ⋅ Vp
γg.p.A1 = 1.35
γp.p.A1 = 1.5
Vrednost graničnog momenta savijanja (analogno i horizontalne sile) zavisi od smerova delovanja
momenata (odnosno sila) usled stalnog i povremenog opterećenja:
a) kada momenti od stalnog i od povremenog opterećenja deluju u istom smeru, tada oni zajedno
povećavaju napone u tlu ispod temelja, pa je:
M ＝ γg.p.A1 ⋅ Mg + γp.p.A1 ⋅ Mp
Mr Jasmina Todorović, d.g.i.
γg.p.A1 = 1.35
γp.p.A1 = 1.5
3 of 27
Fundiranje objekata visokogradnje
plitko fundiranje
trakasti temelji i temelji samci
b) kada momenti od stalnog i od povremenog opterećenja deluju u suprotnim smerovima, tada jedan
smanjuje napone u tlu izazvane drugim, pa se razmatraju sledeće 2 mogućnosti:
M1 ＝ γg.p.A1 ⋅ Mg + γq.n.A1 ⋅ Mp
γg.p.A1 = 1.35
deluje u smeru Mg
γp.n.A1 = 0
momenti Mg i Mp su
suprotnog znaka
M2 deluje u smeru Mp ako je 1.5|Mp|>|Mg|, a u smeru Mg ako je 1.5|Mp|<|Mg|
M2 ＝ γg.n.A1 ⋅ Mg + γp.p.A1 ⋅ Mp
γg.n.A1 = 1
M ＝ max ⎛⎝||M1|| , ||M2||⎞⎠
γp.p.A1 = 1.5
(M2 je merodavan samo ako je Mp»Mg)
c) kada je moment savijanja od povremenog opterećenja alternativnog znaka (tj. promenljiv, može
delovati u oba smera), tada se svaki smer njegovog delovanja posebno analizira, odnosno, analiziraju
se obe predhodno date varijante (i pod a) i pod b)).
Dozvoljena nosivost tla
qf
σdoz ＝ ――
γR3.σ
Dozvoljena nosivost tla se određuje na osnovu granične nosivosti tla
Granična nosivost tla qf :
γR3.σ = 1
qf ＝ c' ⋅ Nc ⋅ bc ⋅ sc ⋅ ic + q' ⋅ Nq ⋅ bq ⋅ sq ⋅ iq + 0.5 ⋅ γ't ⋅ B ⋅ Nγ ⋅ bγ ⋅ sγ ⋅ iγ
zapreminska težina tla
kohezija u tlu
ugao unutrašnjeg trenja u tlu
γt
γ't ＝ ――
γγ.M2
tan ((φ))
tan (φ') ＝ ―――
γφ.M2
γt
c
φ
dubina fundiranja
širina temelja
dužina temelja
Df
B
L→ ∞
γγ.M2 = 1
opterećenje na nivou spojnice
γφ.M2 = 1.25
c
c' ＝ ――
γc.M2
q' ＝ γ't ⋅ Df
γc.M2 = 1.25
faktori nosivosti N
2
⎛
⎛
φ' ⎞⎞
Nq ＝ ⎜tan ⎜45 ° + ―⎟⎟ ⋅ exp ((π ⋅ tan ((φ'))))
2 ⎠⎠
⎝
⎝
Nc ＝ ⎛⎝Nq - 1⎞⎠ ⋅ cot ((φ'))
faktori oblika temeljne spojnice - za trakasti temelj L→ ∞ s
faktori nagiba temeljne spojnice -za horiz. temeljnu spojnicu b
faktori nagiba opterećenja - za centrisan temelj i
Nγ ＝ 2 ⋅ ⎛⎝Nq - 1⎞⎠ ⋅ tan ((φ'))
sq ≔ 1
bq ≔ 1
iq ≔ 1
sc ≔ 1
bc ≔ 1
iγ ≔ 1
sγ ≔ 1
bγ ≔ 1
ic ≔ 1
Određivanje visine temelja i njegovo armiranje
Visina temelja određuje se iz uslova nosivosti materijala od kog je temelj napravljen.
Visina temelja d zaokružuje se na punih 5 cm ili 10 cm.
Opterećenje se sa zida na temeljno tlo prenosi preko temelja, a u naležućoj površini se uravnotežuje
reaktivnim pritiskom - neto graničnim kontaktnim naponom samo usled spoljašnjeg graničnog
opterećenja (bez težine temelja i tla iznad temelja)
V ΣM
σn ＝ ―+ ――
F
W
ako je temelj centrisan, tada je:
V
σn ＝ ―
F
Merodavan granični momenat savijanja za dimenzionisanje AB trakastog temelja zavisi od krutosti
zida iznad temelja, i prema Leonhardu je karakterističan presek za dimenzionisanje definisan na sledećoj
slici:
Mr Jasmina Todorović, d.g.i.
4 of 27
Fundiranje objekata visokogradnje
plitko fundiranje
trakasti temelji i temelji samci
za zid iznad temelja AB
za zid iznad temelja NAB ili opeka
α-α - na ivici spoja zida
i temelja
β-β - u sredini temeljne
spojnice
2
σn ⋅ ((B - b))
Mα ＝ ――――
8
σn ⋅ B ⋅ ((B - b))
Mβ ＝ ―――――
8
Merodavna granična transferzalna sila za dimenzionisanje AB trakastog temelja je u preseku γ-γ koji
je na odstojanju h/2 od ivice zida (h - statička visina temelja).
B-b-h
Tγ ＝ σn ⋅ ―――
2
Kada su granične presečne sile za dimenzionisanje određene, statička visina temelja h se određuje u
skladu sa EC 2 kao i za bilo koji drugi AB element (slobodno dimenzionisanje preseka prema momentima
savijanja i transferzalnim silama).
Karakteristična čvrstoća betona pri pritisku fck
Računska čvrstoća betona pri pritisku fcd
Granica razvlačenja armature fyk
Računska čvrstoća armature pri zatezanju fyd
Statička visina temelja prema momentima savijanja hM
Za izabranu vrstu loma, odnosno vrednosti graničnih dilatacija u betonu εc2 i u armaturi εs1, iz tabela za
dimenzionisanje se očitava vrednost bezdimenzionog koeficijenta za dimenzionisanje μsd. Za određivanje
statičke visine trakastih temelja optimalna rešenja se dobijaju za usvojen simultani lom:
za εc2 / εs1 = 3.5 / 20 ‰
Mr Jasmina Todorović, d.g.i.
μSd ≔ 0.096
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
Mα
hM ＝ ――――
0.096 ⋅ l1 ⋅ fcd
5 of 27
Fundiranje objekata visokogradnje
plitko fundiranje
trakasti temelji i temelji samci
Statička visina temelja prema transferzalnim silama hT
Postupak je iterativan: pretpostavi se statička visina preseka hT, odredi se vrednost koeficijenta k, i sa
njim nova vrednost statičke visine temelja. Postupak se ponavlja dok se k ne odredi sa tačnim hT.
‾‾‾‾‾‾‾‾
200 mm
―――≤ 2.0
hT
Statička visina temelja
Tγ
hT ＝ ―――――――――
‾‾‾‾‾
fck
0.035 ⋅ MPa ⋅ k 1.5 ⋅ l1 ⋅ ――
MPa
⎛
⎞
h ＝ max ⎝hM , hT⎠
Ukupna visina temelja
d ＝ h + a1
k＝1 +
a1 ≥ 5 cm
Potrebna količina armature
Glavna armatura - u pravcu širine temelja B
Mα
Aa.1 ＝ ――――
0.9 ⋅ h ⋅ fyd
ea.1 ≤ 20 cm
Podeona armatura - upravno na pravac glavne armature
Aa.pod ＝ 0.2 ⋅ As.1
ea.pod ≤ 20 cm
Preporučuje se usvajanje pravih profila armature na rastojanjima manjim od 20cm.
1. primer
Projektovati AB temelj ispod AB zida debljine 0.4m, kota terena je ±0.0m, a donja ivica stuba na koti
-1.0m. Zid se fundira na tlu čija je zapreminska težina 20kN/m³, ugao unutrašnjeg trenja 29.5°, kohezija
11kN/m², a NPV je ispod kote fundiranja. Zid je na donjoj ivici opterećen: stalnim opterećenjem vertikalna sila 400kN/m, moment savijanja 80kNm/m (u smeru kazaljke sata); povremenim opterećenjem
- vertikalna sila 200kN/m, moment savijanja ±40kNm/m (alternativnog znaka). Temelj projektovati u
skladu sa odredbama Evrokoda (EC7 i EC2).
Zid
b ≔ 40 cm
hz ≔ 100 cm
Tlo
kN
γt ≔ 20 ――
m3
φ ≔ 29.5°
Stalno opterećenje
Vg ≔ 400 kN
Mg ≔ 80 kN ⋅ m
Povremeno opterećenje
Vp ≔ 200 kN
Mp ＝ ±40kN ⋅ m
Temelj
kN
γab ≔ 25 ――
m3
kN
c ≔ 11 ――
m2
Napomena: u zadatku je kao pozitivan smer momenta
usvojen smer kazaljke sata (i smer sile i pomeranje u desno)
1. Nosivost temeljnog tla
pretpostavlja se dubina fundiranja
Df ≔ 1.55 m
visina temelja
d ≔ Df - hz = 0.55 m
pretpostavlja se širina temelja
B ≔ 1.55 m
dužina temelja
L≔∞
γγ.M2 = 1
γc.M2 = 1.25
γφ.M2 = 1.25
γt
kN
γ't ≔ ――= 20 ――
γγ.M2
m3
c
kN
c' ≔ ――= 8.8 ――
γc.M2
m2
⎛ tan ((φ) ⎞
φ' ≔ atan ⎜―――
⎟ = 24.352 °
⎝ γφ.M2 ⎠
opterećenje na nivou spojnice
kN
q' ≔ γ't ⋅ Df = 31 ――
m2
Mr Jasmina Todorović, d.g.i.
6 of 27
Fundiranje objekata visokogradnje
plitko fundiranje
trakasti temelji i temelji samci
2
⎛
⎛
φ' ⎞⎞
Nq ≔ ⎜tan ⎜45 ° + ―⎟⎟ ⋅ exp ((π ⋅ tan ((φ')))) = 9.962
2 ⎠⎠
⎝
⎝
sq ≔ 1
bq ≔ 1
iq ≔ 1
Nc ≔ ⎛⎝Nq - 1⎞⎠ ⋅ cot ((φ')) = 19.801
sc ≔ 1
bc ≔ 1
ic ≔ 1
Nγ ≔ 2 ⋅ ⎛⎝Nq - 1⎞⎠ ⋅ tan ((φ')) = 8.113
sγ ≔ 1
bγ ≔ 1
iγ ≔ 1
kN
qf ≔ c' ⋅ Nc ⋅ bc ⋅ sc ⋅ ic + q' ⋅ Nq ⋅ bq ⋅ sq ⋅ iq + 0.5 ⋅ γt ⋅ B ⋅ Nγ ⋅ bγ ⋅ sγ ⋅ iγ = 594.5 ――
m2
qf
kN
σdoz ≔ ――= 594.5 ――
γR3.σ = 1
γR3.σ
m2
hz ⎛
γ't ⎞
koef. razlike težine temelja i tla
β ≔ 1 - ― ⋅ ⎜1 - ――
⎟ = 0.871
Df ⎝
γab ⎠
kN
σdoz.neto ≔ σdoz - γg.p.A1 ⋅ β ⋅ Df ⋅ γab = 548.938 ――
m2
neto granična nosivost tla
2. Centrisanje temelja
V ≔ γg.p.A1 ⋅ Vg + γp.p.A1 ⋅ Vp = 840 kN
γg.p.A1 = 1.35
γp.p.A1 = 1.5
Mg = 80 kN ⋅ m
u smeru kazaljke sata
Mp ＝ ±40kN ⋅ m
alternativno delovanje momenta savijanja od povremenog opterećenja
Potrebno je proanalizirati oba smera delovanja momenta savijanja usled povremenog opterećenja
kada Mp deluje u smeru kazaljke sata
Mp ≔ 40 kN ⋅ m
γg.p.A1 = 1.35
γp.p.A1 = 1.5
u smeru kazaljke sata
MA ≔ γg.p.A1 ⋅ Mg + γp.p.A1 ⋅ Mp = 168 kN ⋅ m
kada Mp deluje u smeru suprotno od kazaljke sata Mp ≔ -40 kN ⋅ m
MB.1 ≔ γg.p.A1 ⋅ Mg + γp.n.A1 ⋅ Mp = 108 kN ⋅ m
u smeru kazaljke sata
γg.p.A1 = 1.35
γp.n.A1 = 0
MB.2 ≔ γg.n.A1 ⋅ Mg + γp.p.A1 ⋅ Mp = 20 kN ⋅ m
u smeru kazaljke sata
γg.n.A1 = 1
γp.p.A1 = 1.5
Dakle, u ovom zadatku je merodavan / kritičan slučaj u kome momenat
savijanja usled povremenog opterećenja deluje u istom smeru u kom
deluje i momenat savijanja od stalnog opterećenja.
M ≔ max ⎛⎝MA , MB.1 , MB.2⎞⎠ = 168 kN ⋅ m
centrisanje temelja
M
ξ ≔ ―= 20 cm
V
u smeru kazaljke sata
u desno
3. Dimenzije naležuće površine
potrebna naležuća površina
V
F ≔ ―――
= 1.53 m 2
σdoz.neto
kod trakastog temelja se dimenzionisanje vrši za 1m po dužini temelja, pa je:
F ＝ B ⋅ l1
F
B ≔ ―= 1.53 m
l1
usvojeno
l1 ≔ 1 m
B ≔ 1.55 m
dimenzije temelja se uvek zaokružuju na punih 5cm ili 10cm
Mr Jasmina Todorović, d.g.i.
7 of 27
Fundiranje objekata visokogradnje
plitko fundiranje
trakasti temelji i temelji samci
širine prepusta temelja
B-b
amax ≔ ――+ ξ = 0.775 m
2
B-b
amin ≔ ――- ξ = 0.375 m
2
4. Visina temelja i potrebna armatura
neto kontaktni napon u temeljnoj spojnici
V
kN
σn ≔ ―= 541.935 ――
B
m
2
merodavni moment savijanja
σn ⋅ amax
Mα ≔ ――――
= 162.75 kN ⋅ m
2
merodavna transferzalna sila
Tγ ≔ σn ⋅ ⎛⎝amax - ((d - 7 cm)⎞⎠ = 159.871 kN
pretpostavlja se:
C 25/30, B 500 B
kN
fck ≔ 2.5 ――
cm 2
fck
kN
fcd ≔ 0.85 ⋅ ――
= 1.417 ――
1.5
cm 2
50 kN
kN
fyd ≔ ――――
= 43.478 ――
2
1.15 cm
cm 2
potrebna statička visina preseka prema momentu savijanja
hM ≔
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
Mα
―――― = 34.593 cm
0.096 ⋅ l1 ⋅ fcd
potrebna statička visina preseka prema transferzalnoj sili
pretpostavljeno je
d = 55 cm
h ≔ d - 7 cm = 48 cm
Tγ
hT ≔ ――――――――― = 43.28 cm
‾‾‾‾‾
fck
0.035 ⋅ k 1.5 ⋅ MPa ⋅ l1 ⋅ ――
MPa
ukupna visina preseka
d ≔ h + 7 cm = 50.28 cm
h ≔ d - 7 cm = 48 cm
k≔1+
‾‾‾‾‾‾‾‾
200 ⋅ mm
――― = 1.645
h
h ≔ max ⎛⎝hM , hT⎞⎠ = 43.28 cm
usvojeno
d ≔ 55 cm
Df ≔ d + hz = 1.55 m
Potrebna količina armature
glavna armatura
Mα
Aa.1 ≔ ――――
= 8.665 cm 2
0.9 ⋅ h ⋅ fyd
usvojeno 8Ø12 (9.05cm²)
podeona armatura
100
――
7
Ø12/12.5cm
Aa.pod ≔ 0.2 ⋅ Aa.1 = 1.733 cm 2
usvojeno 7Ø6 (1.98cm²)
Mr Jasmina Todorović, d.g.i.
Ø6/15cm
8 of 27
Fundiranje objekata visokogradnje
plitko fundiranje
trakasti temelji i temelji samci
5. Kontrola napona u tlu
Analiza opterećenja
Granično opterećenje sa zida
V = 840 kN
Težina temelja
Gtem ≔ B ⋅ l1 ⋅ d ⋅ γab = 21.313 kN
Težina tla
Gtla ≔ (B - b) ⋅ l1 ⋅ hz ⋅ γ't = 23 kN
ΣV ≔ V + γg.p.A1 ⋅ ⎛⎝Gtem + Gtla⎞⎠ = 899.822 kN
ΣV
kN
σu ≔ ――= 580.53 ――
B ⋅ l1
m2
σu < σdoz
Temelj je centrisan, pa je:
ΣM ≔ 0 kN ⋅ m
kN
σdoz = 594.5 ――
m2
2. primer
Projektovati AB temelj ispod AB zida debljine 0.3m, kota terena je ±0.0m, a donja ivica stuba na koti
-0.8m. Zid se fundira na tlu čija je zapreminska težina 18.5kN/m³, ugao unutrašnjeg trenja 28°, kohezija
10kN/m², a NPV je ispod kote fundiranja. Zid je na donjoj ivici opterećen: stalnim opterećenjem vertikalna sila 310kN/m, moment savijanja 120kNm/m (u smeru kazaljke sata), horizontalna sila 40kN/m
(u levo); povremenim opterećenjem - vertikalna sila 150kN/m, moment savijanja 80kNm/m (u smeru
suprotno od kazaljke sata), horizontalna sila 30kN/m (u desno). Temelj projektovati u skladu sa
odredbama Evrokoda (EC7 i EC2).
Zid
b ≔ 30 cm
hz ≔ 80 cm
Tlo
kN
γt ≔ 18.5 ――
m3
φ ≔ 28°
kN
c ≔ 10 ――
m2
Stalno opterećenje
Vg ≔ 310 kN
Mg ≔ 120 kN ⋅ m
Hg ≔ -40 kN
Povremeno opterećenje
Vp ≔ 150 kN
Mp ≔ -80 kN ⋅ m
Hp ≔ 30 kN
Temelj
kN
γab ≔ 25 ――
m3
Napomena: u zadatku je kao pozitivan smer momenta
usvojen smer kazaljke sata (i smer sile i pomeranje u desno)
1. Nosivost temeljnog tla
pretpostavlja se dubina fundiranja
Df ≔ 1.30 m
visina temelja
d ≔ Df - hz = 0.5 m
pretpostavlja se širina temelja
B ≔ 1.55 m
dužina temelja
L≔∞
γγ.M2 = 1
γc.M2 = 1.25
γφ.M2 = 1.25
γt
kN
γ't ≔ ――= 18.5 ――
γγ.M2
m3
c
kN
c' ≔ ――= 8 ――
γc.M2
m2
kN
opterećenje na nivou spojnice
q' ≔ γ't ⋅ Df = 24.05 ――
m2
2
⎛
⎛
φ' ⎞⎞
Nq ≔ ⎜tan ⎜45 ° + ―⎟⎟ ⋅ exp ((π ⋅ tan ((φ')))) = 8.7
sq ≔ 1
2 ⎠⎠
⎝
⎝
⎛ tan ((φ)) ⎞
φ' ≔ atan ⎜―――
⎟ = 23.043 °
⎝ γφ.M2 ⎠
bq ≔ 1
iq ≔ 1
Nc ≔ ⎛⎝Nq - 1⎞⎠ ⋅ cot ((φ')) = 18.102
sc ≔ 1
bc ≔ 1
ic ≔ 1
Nγ ≔ 2 ⋅ ⎛⎝Nq - 1⎞⎠ ⋅ tan ((φ')) = 6.55
sγ ≔ 1
bγ ≔ 1
iγ ≔ 1
Mr Jasmina Todorović, d.g.i.
9 of 27
Fundiranje objekata visokogradnje
plitko fundiranje
trakasti temelji i temelji samci
kN
qf ≔ c' ⋅ Nc ⋅ bc ⋅ sc ⋅ ic + q' ⋅ Nq ⋅ bq ⋅ sq ⋅ iq + 0.5 ⋅ γt ⋅ B ⋅ Nγ ⋅ bγ ⋅ sγ ⋅ iγ = 447.96 ――
m2
qf
kN
σdoz ≔ ――= 447.96 ――
γR3.σ = 1
γR3.σ
m2
hz ⎛
γ't ⎞
koef. razlike težine temelja i tla
β ≔ 1 - ― ⋅ ⎜1 - ――
⎟ = 0.84
Df ⎝
γab ⎠
kN
σdoz.neto ≔ σdoz - γg.p.A1 ⋅ β ⋅ Df ⋅ γab = 411.105 ――
m2
neto granična nosivost tla
2. Centrisanje temelja
V ≔ γg.p.A1 ⋅ Vg + γp.p.A1 ⋅ Vp = 643.5 kN
γg.p.A1 = 1.35
γp.p.A1 = 1.5
ΣMg ≔ Mg + Hg ⋅ d = 100 kN ⋅ m
u smeru kazaljke sata
ΣMp ≔ Mp + Hp ⋅ d = -65 kN ⋅ m
u smeru suprotno od kazaljke sata
Ukupni momenti savijanja od stalnog ΣMg, tj. povremenog ΣMp opterećenja, predstavljaju zbir spoljašnjeg
momenta savijanja (Mg, tj. Mp) i doprinosa horizontalne sile (Hg·d, tj. Hp·d), i u ovom primeru te
komponente deluju u suprotnim smerovima, pa se međusobno oduzimaju.
Ukupni momenti savijanja od stalnog ΣMg i povremenog ΣMp opterećenja deluju u suprotnim smerovima,
pa je ukupni granični momenat jedan od sledeća 2:
M1 ≔ γg.p.A1 ⋅ ΣMg + γp.n.A1 ⋅ ΣMp = 135 kN ⋅ m
γg.p.A1 = 1.35
γp.n.A1 = 0
M2 ≔ γg.n.A1 ⋅ ΣMg + γp.p.A1 ⋅ ΣMp = 2.5 kN ⋅ m
γg.n.A1 = 1
γp.p.A1 = 1.5
M ≔ max ⎛⎝M1 , M2⎞⎠ = 135 kN ⋅ m
centrisanje temelja
u smeru kazaljke sata
M
ξ ≔ ―= 20.979 cm
V
u desno
usvojeno
ξ ≔ 21 cm
3. Dimenzije naležuće površine
potrebna naležuća površina
V
F ≔ ―――
= 1.565 m 2
σdoz.neto
kod trakastog temelja se dimenzionisanje vrši za 1m po dužini temelja, pa je:
F ＝ B ⋅ l1
F
B ≔ ―= 1.565 m
l1
usvojeno
l1 ≔ 1 m
B ≔ 1.55 m
širine prepusta temelja
B-b
amax ≔ ――+ ξ = 0.835 m
2
B-b
amin ≔ ――- ξ = 0.415 m
2
Mr Jasmina Todorović, d.g.i.
10 of 27
Fundiranje objekata visokogradnje
plitko fundiranje
trakasti temelji i temelji samci
4. Visina temelja i potrebna armatura
V
kN
σn ≔ ―= 415.161 ――
B
m
2
neto kontaktni napon u temeljnoj spojnici
merodavni moment savijanja
σn ⋅ amax
Mα ≔ ――――
= 144.73 kN ⋅ m
2
merodavna transferzalna sila
Tγ ≔ σn ⋅ ⎛⎝amax - ((d - 7 cm))⎞⎠ = 168.14 kN
pretpostavlja se:
C 25/30, B 500 B
kN
fck ≔ 2.5 ――
cm 2
fck
kN
fcd ≔ 0.85 ⋅ ――
= 1.417 ――
1.5
cm 2
50 kN
kN
fyd ≔ ――――
= 43.478 ――
2
1.15 cm
cm 2
potrebna statička visina preseka prema momentu savijanja
hM ≔
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
Mα
―――― = 32.622 cm
0.096 ⋅ l1 ⋅ fcd
potrebna statička visina preseka prema transferzalnoj sili
pretpostavljeno je
d = 50 cm
h ≔ d - 6 cm = 44 cm
Tγ
hT ≔ ――――――――― = 44.353 cm
‾‾‾‾‾
fck
0.035 ⋅ k 1.5 ⋅ MPa ⋅ l1 ⋅ ――
MPa
ukupna visina preseka
‾‾‾‾‾‾‾‾
200 ⋅ mm
――― = 1.674
h
h ≔ max ⎛⎝hM , hT⎞⎠ = 44.353 cm
d ≔ h + 6 cm = 50.353 cm
h ≔ d - 6 cm = 44 cm
k≔1+
usvojeno
d ≔ 50 cm
Df ≔ d + hz = 1.3 m
Potrebna količina armature
glavna armatura
Mα
Aa.1 ≔ ――――
= 8.406 cm 2
0.9 ⋅ h ⋅ fyd
usvojeno 8Ø12 (9.05cm²)
podeona armatura
Ø12/12.5cm
Aa.pod ≔ 0.2 ⋅ Aa.1 = 1.681 cm 2
usvojeno 7Ø6 (1.98cm²)
Ø6/15cm
5. Kontrola napona u tlu
Analiza opterećenja
Granično opterećenje sa zida
V = 643.5 kN
Težina temelja
Gtem ≔ B ⋅ l1 ⋅ d ⋅ γab = 19.375 kN
Težina tla
Gtla ≔ (B - b) ⋅ l1 ⋅ hz ⋅ γ't = 18.5 kN
ΣV ≔ V + γg.p.A1 ⋅ ⎛⎝Gtem + Gtla⎞⎠ = 694.631 kN
ΣV
kN
σu ≔ ――= 448.149 ――
B ⋅ l1
m2
Mr Jasmina Todorović, d.g.i.
σu ＝ σdoz
Temelj je centrisan, pa je:
kN
σdoz = 447.96 ――
m2
ΣM ≔ 0 kN ⋅ m
σdoz - σu
―――= -0.042%
σdoz
11 of 27
Fundiranje objekata visokogradnje
plitko fundiranje
trakasti temelji i temelji samci
Temelji samci
Temelji samci su plitki temelji koji se primenjuju za fundiranje pojedinačnih stubova. To su tačkasti
oslonci, za koje je odnos strana naležuće površine L ≤ B·3. Temelji samci se primenjuju kada je tlo ispod
temelja otporno i malo deformabilno i/ili ako su opterećenja koja preko temelja treba preneti na tlo mala.
Fundiranje na temeljima samcima je ekonomski opravdano ukoliko je rastojanje između temelja ne manje
od dimenzija temelja.
Dimenzionisanje temelja samaca podrazumeva:
a) određivanje dimenzija naležuće površine (tj. širine B i dužine L temelja), na osnovu nosivosti tla, a u
zavisnosti od veličine opterećenja koje se preko temelja prenosi na tlo
b) određivanje visine temelja (d), na osnovu čvrstoće materijala od kog se temelj gradi.
Određivanje dimenzija naležuće površine temelja
Dimenzije naležuće površine se određuju iz uslova da pritisak na tlo (od opterećenja sa konstrukcije
iznad temelja, težine temelja i tla iznad temelja), na usvojenoj dubini fundiranja, bude jednak nosivosti
tla.
Širina temelja B i dužina temelja L zaokružuju se na punih 5 cm ili 10 cm.
Oblik temelja u osnovi treba da prati oblik konstrukcije iznad
temelja. Odnos strana temelja ne mora uvek (ali može) biti
jednak odnosu strana stuba, a nekada je najracionalniji oblik
osnove temelja samca kada su prepusti temelja u odnosu na
stub u oba pravca približno jednaki (B = b + 2a, L = c + 2a; b,
c – dimenzije preseka stuba, a – širina prepusta). Najčešće je
odnos strana temelja samca k = L / B = 1/1 do 3/1.
Kada je temelj samac opterećen ekscentričnim opterećenjem u prostoru, odnosno kada na njega deluju
momenti savijanja u obe ravni prostiranja temelja:
Ekstremne vrednosti napona u tlu u uglovima temelja,
usled spoljašnjeg opterećenja su:
Uslov ravnoteže na nivou temeljne spojnice (tj. na dubini
fundiranja Df) koji se u ovom slučaju postavlja je
V + G ΣML ΣMB
σmax ＝ ―― + ――+ ――≤ σdoz
F
WL
WB
Ako je opterećenje ekscentrično samo u pravcu jedne ose
temelja, uslovi ravnoteže su:
V + G ΣML
σmax ＝ ―― + ――≤ σdoz
F
WL
ili
V + G ΣMB
σmax ＝ ―― + ――≤ σdoz
F
WB
Kada je opterećenje centično u oba pravca, uslov ravnoteže
je:
V+G
σ ＝ ―― ≤ σdoz
F
Mr Jasmina Todorović, d.g.i.
12 of 27
Fundiranje objekata visokogradnje
V
HL, ML
HB, MB
G
V+G
ΣML = ML + HL·d
ΣMB = MB + HB·d
F = B·L
WL = B·L²/6
WB = B²·L/6
B
L
b
c
hz
d
Df = hz + d
γt
γab=25kN/m³
σdoz
-
plitko fundiranje
trakasti temelji i temelji samci
granične vertikalna sila na kontaktu stuba i temelja (na dubini hz)
granične presečne sile u pravcu dužine temelja L (na dubini hz)
granične presečne sile u pravcu širine temelja B (na dubini hz)
težina temelja i tla iznad temelja (granična vrednost)
vertikalna sila na dubini fundiranja Df
moment savijanja u pravcu dužine temelja L, na dubini fundiranja Df
moment savijanja u pravcu širine temelja B, na dubini fundiranja Df
površina naležuće površi
otporni moment naležuće površi u pravcu dužine temelja L
otporni moment naležuće površi u pravcu širine temelja B
širina temelja
dužina temelja
širina stuba (dimenzija stuba u pravcu širine temelja B)
visina stuba (dimenzija stuba u pravcu dužine temelja L)
kota donje ivice stuba
visina temelja
dubina fundiranja temelja
zapreminska težina tla
zapreminska težina armiranog betona (od kog se gradi temelj)
dozvoljena nosivost tla
Napomena: vrednosti graničnih presečnih sila i težina, kao i dozvoljena nosivost tla određuju se
primenom odgovarajućih parcijalnih koeficijenata sigurnosti, i biće detaljnije objašnjene u nastavku.
Za centrično opterećen temelj:
Iz uslova ravnoteže:
V+G
σ ＝ ―― ≤ σdoz
F
→
V + G ＝ F ⋅ σdoz
G ＝ γg.p.A1 ⋅ F ⋅ ⎛⎝γab ⋅ d + γ't ⋅ hz⎞⎠ ＝ γg.p.A1 ⋅ β ⋅ F ⋅ Df ⋅ γabgranična težina temelja i tla iznad temelja
γg.p.A1
koef. sigurnosi za stalna dejstva koja povećavaju napone u tlu
hz ⎛
γ't ⎞
β ＝ 1 - ― ⋅ ⎜1 - ――
⎟
Df ⎝
γab ⎠
koef. razlike težine tla i temelja
V + G ＝ F ⋅ σdoz
→
V + γg.p.A1 ⋅ β ⋅ F ⋅ Df ⋅ γab ＝ F ⋅ σdoz →
σdoz.neto ＝ σdoz - γg.p.A1 ⋅ β ⋅ Df ⋅ γab
V
V
F ＝ ――――――――
＝ ―――
σdoz - γg.p.A1 ⋅ β ⋅ Df ⋅ γab σdoz.neto
neto dozvoljena nosivost tla (umanjena za težinu temelja
i tla iznad temelja)
Da bi se iz potrebne površine temelja dobile njegove dimenzije B i L potrebno je postaviti i dodatni uslov u
pogledu oblika temelja. Najčešće se primenjuje jedan od sledeća dva uslova (zavisno od uslova u
konkretnom zadatku, odnosno u konkretnoj konstrukciji čiji temelj projektujemo):
a) odnos dimenzija naležuće površine prati odnos dimenzija strana stuba
L c
＝k
―＝ ―
B b
b) uslov jednakosti prepusta - prepusti temelja sa svake strane stuba (a)
su jednaki
L＝c + 2 ⋅ a
B＝b + 2 ⋅ a
Za ekscentrično opterećen temelj analognim postupkom se iz uslova ravnoteže dobija jednačina
trećeg stepena po nepoznatoj jednoj od dimenzija temelja (npr. B, uz uslov da je L=k·B)
B 3 ⋅ k 2 ⋅ σdoz.neto - B ⋅ k ⋅ V + 6 ⋅ ⎛⎝k ⋅ ΣMB + ΣML⎞⎠ ＝ 0
Mr Jasmina Todorović, d.g.i.
13 of 27
Fundiranje objekata visokogradnje
plitko fundiranje
trakasti temelji i temelji samci
Centrično opterećeni temelji su povoljniji jer je kod njih raspodela napona u tlu ispod temelja
ravnomernija, pa su i sleganja u tlu ispod temelja manja (plus, jednostavniji uslovi ravnoteže i lakše
određivanje dimenzija naležuće površine). Zbog toga se, kad god je to moguće, temelji centrišu.
Centrisanje temelja podrazumeva pomeranje položaja težišta naležuće površine temelja u odnosu na
težište konstruktivnog elementa iznad temelja (stuba kod temelja samca), u cilju eliminacije momenata
savijanja u nivou temeljne spojnice. Prema EC7 temelj se centriše za granično opterećenje.
Temelji samci se centrišu u obe ravni, odnosno u pravcu obe ose temelja (ako postoje momenti savijanja
u pravcu tih osa), kao za 2 odvojena slučaja opterećenja.
Kod temelja samca je:
ΣMT.L ＝ 0
ML + HL ⋅ d ＝ V ⋅ ξL →
ΣMT.B ＝ 0
MB + HB ⋅ d ＝ V ⋅ ξB →
ML + HL ⋅ d
ξL ＝ ――――
V
MB + HB ⋅ d
ξB ＝ ――――
V
Vrednost ξL/B za koju je potrebno pomeriti težište temelja u odnosu
na težište stuba, dobijena na osnovu uslova ravnoteže u težištu
temeljne spojnice T, omogućava da se na nivou temeljne spojnice
(tj na dubini Df) na tlo prenosi samo vertikalno opterećenje.
Određivanje vrednosti graničnih presečnih sila
Vertikalne sile uvek povećavaju napone u tlu, pa je njihova granična vrednost:
V ＝ γg.p.A1 ⋅ Vg + γp.p.A1 ⋅ Vp
γg.p.A1 = 1.35
γp.p.A1 = 1.5
Vrednost graničnog momenta savijanja u pravcu L ili B (analogno i horizontalne sile) zavisi od
smerova delovanja momenata (odnosno sila) usled stalnog i povremenog opterećenja:
a) kada momenti od stalnog i od povremenog opterećenja deluju u istom smeru, tada oni zajedno
povećavaju napone u tlu ispod temelja, pa je:
ML ＝ γg.p.A1 ⋅ ML.g + γp.p.A1 ⋅ ML.p
γg.p.A1 = 1.35
γp.p.A1 = 1.5
MB ＝ γg.p.A1 ⋅ MB.g + γp.p.A1 ⋅ MB.p
b) kada momenti od stalnog i od povremenog opterećenja deluju u suprotnim smerovima, tada jedan
smanjuje napone u tlu izazvane drugim, pa se razmatraju sledeće 2 mogućnosti:
ML.1 ＝ γg.p.A1 ⋅ ML.g + γq.n.A1 ⋅ ML.p
γg.p.A1 = 1.35
γp.n.A1 = 0
deluje u smeru Mg
MB.1 ＝ γg.p.A1 ⋅ MB.g + γq.n.A1 ⋅ MB.p
ML.2 ＝ γg.n.A1 ⋅ ML.g + γp.p.A1 ⋅ ML.p
momenti Mg i Mp su
suprotnog znaka
M2 deluje u smeru Mp ako je 1.5|Mp|>|Mg|, a u smeru Mg
ako je 1.5|Mp|<|Mg|
γg.n.A1 = 1
MB.2 ＝ γg.n.A1 ⋅ MB.g + γp.p.A1 ⋅ MB.p
γp.p.A1 = 1.5
ML ＝ max ⎛⎝||ML.1|| , ||ML.2||⎞⎠
(M2 je merodavan samo ako je Mp»Mg)
MB ＝ max ⎛⎝||MB.1|| , ||MB.2||⎞⎠
c) kada je moment savijanja od povremenog opterećenja alternativnog znaka (tj. promenljiv, može
delovati u oba smera), tada se svaki smer njegovog delovanja posebno analizira, odnosno, analiziraju
se obe predhodno date varijante (i pod a) i pod b)).
Mr Jasmina Todorović, d.g.i.
14 of 27
Fundiranje objekata visokogradnje
plitko fundiranje
trakasti temelji i temelji samci
se obe predhodno date varijante (i pod a) i pod b)).
Dozvoljena nosivost tla
qf
σdoz ＝ ――
γR3.σ
Dozvoljena nosivost tla se određuje na osnovu granične nosivosti tla
Granična nosivost tla qf :
γR3.σ = 1
qf ＝ c' ⋅ Nc ⋅ bc ⋅ sc ⋅ ic + q' ⋅ Nq ⋅ bq ⋅ sq ⋅ iq + 0.5 ⋅ γ't ⋅ B ⋅ Nγ ⋅ bγ ⋅ sγ ⋅ iγ
zapreminska težina tla
kohezija u tlu
ugao unutrašnjeg trenja u tlu
γt
γ't ＝ ――
γγ.M2
tan ((φ)
tan ((φ')) ＝ ―――
γφ.M2
dubina fundiranja
širina temelja
dužina temelja
γt
c
φ
Df
B
L
γγ.M2 = 1
opterećenje na nivou spojnice
γφ.M2 = 1.25
c
c' ＝ ――
γc.M2
q' ＝ γ't ⋅ Df
γc.M2 = 1.25
faktori nosivosti N
2
⎛
⎛
φ' ⎞⎞
Nq ＝ ⎜tan ⎜45 ° + ―⎟⎟ ⋅ exp ((π ⋅ tan ((φ'))))
2 ⎠⎠
⎝
⎝
faktori oblika temeljne spojnice
B
sq ＝ 1 + ―⋅ sin ((φ'))
L
Nc ＝ ⎛⎝Nq - 1⎞⎠ ⋅ cot ((φ'))
Nγ ＝ 2 ⋅ ⎛⎝Nq - 1⎞⎠ ⋅ tan ((φ'))
s
sq ⋅ Nq - 1
sc ＝ ―――
Nq - 1
B
sγ ＝ 1 - 0.3 ⋅ ―
L
faktori nagiba temeljne spojnice -za horiz. temeljnu spojnicu b
faktori nagiba opterećenja - za centrisan temelj i
bq ≔ 1
iq ≔ 1
bc ≔ 1
iγ ≔ 1
bγ ≔ 1
ic ≔ 1
Određivanje visine temelja i njegovo armiranje
Visina temelja određuje se iz uslova nosivosti materijala od kog je temelj napravljen.
Visina temelja d zaokružuje se na punih 5 cm ili 10 cm.
Merodavan preseci i u njima odgovarajuće granične presečne sile za dimenzionisanje AB
temelja samca zavisi od krutosti temelja i deformabilnosti tla. Stvarna raspodela napona u tlu ispod
temelja samca je složena, pa se u praktičnim proračunima koriste približna rešenja bazirana na neto
graničnom reaktivnom pritisku u kontaktnoj spojnici samo usled spoljašnjeg graničnog opterećenja (bez
težine temelja i tla iznad temelja). Rešenje prema Loseru daje sledeće preseke i granične presečne sile:
Merodavni granični momenti savijanja se javljaju u
presecima I-I i II-II
V ⋅ ((L - c)
ML ＝ MI ＝ ――――
8
V ⋅ ((B - b))
MB ＝ MII ＝ ――――
8
Merodavne granične transferzalne sile se javljaju u
presecima III-III i IV-IV
V ⋅ (L - c)
TL ＝ TIII ＝ ――――
2⋅L
V ⋅ ((B - b))
TB ＝ TIV ＝ ――――
2⋅B
Mr Jasmina Todorović, d.g.i.
15 of 27
Fundiranje objekata visokogradnje
plitko fundiranje
trakasti temelji i temelji samci
Kada su granične presečne sile za dimenzionisanje određene, statička visina temelja h se određuje u
skladu sa EC 2 kao i za bilo koji drugi AB element (slobodno dimenzionisanje preseka prema momentima
savijanja i transferzalnim silama; proboj stuba kroz temelj nećemo razmatrati), posebno u oba pravca
temelja, pri čemu se, zbog neravnomerne raspodele naprezanja u tlu ispod temelja, u izrazima za
dimenzionisanje pojavljuju i sledeći koeficijenti raspodele presečnih sila (prema Grotkampu):
za temelj stalne visine
α ≔ 1.94
β ≔ 0.97
γ ≔ 0.97
za temelj promenljive visine
α ≔ 2.25
β ≔ 1.11
γ ≔ 1.34
Karakteristična čvrstoća betona pri pritisku fck i računska čvrstoća betona pri pritisku fcd
Granica razvlačenja armature fyk i računska čvrstoća armature pri zatezanju fyd
Statička visina temelja prema momentima savijanja hM
Za izabranu vrstu loma, odnosno vrednosti graničnih dilatacija u betonu εc2 i u armaturi εs1, iz tabela za
dimenzionisanje se očitava vrednost bezdimenzionog koeficijenta za dimenzionisanje μsd. Za određivanje
statičke visine temelja optimalna rešenja se dobijaju za usvojen simultani lom:
za εc2 / εs1 = 3.5 / 20 ‰
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
α ⋅ ML
hML ＝ ―――――
0.096 ⋅ B ⋅ fcd
μSd ≔ 0.096
α
koef. raspodele momenta
savijanja (Grotkamp)
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
α ⋅ MB
hMB ＝ ――――
0.096 ⋅ L ⋅ fcd
Statička visina temelja prema transferzalnim silama hT
Postupak određivanja visine je iterativan: pretpostavi se statička visina preseka hT, odredi se vrednost
koeficijenta k, i sa njim nova vrednost statičke visine temelja. Postupak se ponavlja dok se k ne odredi
sa tačnim hT.
γ
koef. raspodele transferzalnih
‾‾‾‾‾‾‾‾
200 mm
sila (Grotkamp)
―――≤ 2.0
hT
γ ⋅ TL
γ ⋅ TB
hTL ＝ ―――――――――
hTB ＝ ―――――――――
‾‾‾‾‾
‾‾‾‾‾
fck
fck
0.035 ⋅ k 1.5 ⋅ MPa ⋅ B ⋅ ――
0.035 ⋅ k 1.5 ⋅ MPa ⋅ L ⋅ ――
MPa
MPa
Ovaj postupak daje neracionalno velike visine preseka prema smičućim silama zbog male smičuće
nosivost betona bez poprečne armature prema EC2, kao i velika transferzalna sila u presecima III-III i
IV-IV prema Loserovom rešenju. Stoga dimenzije temelja određene preko ovog uslova moraju uzeti s
rezervom.
k＝1 +
Mr Jasmina Todorović, d.g.i.
16 of 27
Fundiranje objekata visokogradnje
plitko fundiranje
trakasti temelji i temelji samci
Statička visina temelja
h ＝ max ⎛⎝hML , hMB , hTL , hTB⎞⎠
Ukupna visina temelja
d ＝ h + a1
a1 ≥ 5 cm
Potrebna količina armature
Temelji samci se armiraju nosećom armaturom u donjoj (zategnutoj) zoni temelja, u oba pravca:
β ⋅ ML
potAaL ＝ ――――
0.9 ⋅ h ⋅ fyd
β ⋅ MB
potAaB ＝ ――――
0.9 ⋅ h ⋅ fyd
β
koef. raspodele momenta
savijanja (Grotkamp)
Preporučuje se usvajanje pravih profila armature na rastojanjima manjim od 20cm.
ea.1 ≤ 20 cm
Raspodela armature
Neravnomerna raspodela napona u tlu ispod temelja uslovljava i raspored armature u temelju. Zbog
koncentracije napona, veća količina armature se postavlja u sredini kontaktne površine (tj u zoni ispod
stuba). Praktična orijentaciona preporuka je da se 50% potrebne armature rasporedi u srednjoj četvrtini
dimenzije temelja, a u ivične zone sa svake strane temelja po 25%.
Raspodela armature prema preporuci Losera data je na sledećoj slici:
Noseća (proračunska) armatura se, kao što je već rečeno, postavlja u donjoj
(zategnutoj) zoni temelja. Kod temelja većih visina je poželjno postaviti
konstruktivnu armatru i u gornjoj zoni temelja (da bi se prihvatili lokalni
naponi zatezanja ispod stubova).
Mr Jasmina Todorović, d.g.i.
17 of 27
Fundiranje objekata visokogradnje
plitko fundiranje
trakasti temelji i temelji samci
1. primer
Projektovati AB temelj samac ispod AB stuba dimenzija 0.4/0.8m, kota terena je ±0.0m, a donja ivica
stuba na koti -1.0m. Stub se fundira na tlu čija je zapreminska težina 20kN/m³, ugao unutrašnjeg trenja
29.5°, kohezija 11kN/m², a NPV je ispod kote fundiranja. Stub je na donjoj ivici opterećen: stalnim
opterećenjem - vertikalna sila 400kN, moment savijanja u pravcu duže stane stuba 80kNm (u smeru
kazaljke sata), moment savijanja u pravcu kraće stane stuba 50kNm (u smeru kazaljke sata); povremenim
opterećenjem - vertikalna sila 200kN, moment savijanja u pravcu duže stane stuba ±40kNm
(alternativnog znaka), moment savijanja u pravcu kraće stane stuba ±25kNm (alternativnog znaka).
Temelj projektovati u skladu sa odredbama Evrokoda (EC7 i EC2).
Stub
bs ≔ 40 cm
cs ≔ 80 cm
hz ≔ 100 cm
Tlo
kN
γt ≔ 20 ――
m3
φ ≔ 29.5°
kN
c ≔ 11 ――
m2
Stalno opterećenje
Vg ≔ 400 kN
MgL ≔ 80 kN ⋅ m
MgB ≔ 50 kN ⋅ m
Povremeno opterećenje
Vp ≔ 200 kN
MpL ＝ ±40kN ⋅ m
MpB ＝ ±25kN ⋅ m
Temelj
kN
γab ≔ 25 ――
m3
Napomena: u zadatku je kao pozitivan smer momenta
usvojen smer kazaljke sata (i smer sile i pomeranje u desno)
1. Nosivost temeljnog tla
pretpostavlja se dubina fundiranja
pretpostavlja se širina temelja
γγ.M2 = 1
Df ≔ 1.55 m
B≔1 m
γc.M2 = 1.25
visina temelja
d ≔ Df - hz = 0.55 m
dužina temelja
L ≔ 1.4 m
γφ.M2 = 1.25
γt
kN
γ't ≔ ――= 20 ――
γγ.M2
m3
⎛ tan (φ) ⎞
c
kN
c' ≔ ――= 8.8 ――
φ' ≔ atan ⎜―――
⎟ = 24.352 °
2
γc.M2
m
⎝ γφ.M2 ⎠
kN
opterećenje na nivou spojnice
q' ≔ γ't ⋅ Df = 31 ――
m2
2
⎛
⎛
φ' ⎞⎞
B
Nq ≔ ⎜tan ⎜45 ° + ―⎟⎟ ⋅ exp ((π ⋅ tan ((φ')))) = 9.962
sq ≔ 1 + ―⋅ sin ((φ')) = 1.295
bq ≔ 1
iq ≔ 1
2 ⎠⎠
L
⎝
⎝
sq ⋅ Nq - 1
Nc ≔ ⎛⎝Nq - 1⎞⎠ ⋅ cot ((φ')) = 19.801
sc ≔ ――― = 1.327
bc ≔ 1
ic ≔ 1
Nq - 1
B
Nγ ≔ 2 ⋅ ⎛⎝Nq - 1⎞⎠ ⋅ tan (φ') = 8.113
sγ ≔ 1 - 0.3 ⋅ ―= 0.786
bγ ≔ 1
iγ ≔ 1
L
kN
qf ≔ c' ⋅ Nc ⋅ bc ⋅ sc ⋅ ic + q' ⋅ Nq ⋅ bq ⋅ sq ⋅ iq + 0.5 ⋅ γt ⋅ B ⋅ Nγ ⋅ bγ ⋅ sγ ⋅ iγ = 694.84 ――
m2
qf
kN
σdoz ≔ ――= 694.84 ――
γR3.σ = 1
γR3.σ
m2
hz ⎛
γ't ⎞
koef. razlike težine temelja i tla
β ≔ 1 - ― ⋅ ⎜1 - ――
⎟ = 0.871
Df ⎝
γab ⎠
kN
neto granična nosivost tla
σdoz.neto ≔ σdoz - γg.p.A1 ⋅ β ⋅ Df ⋅ γab = 649.277 ――
m2
2. Centrisanje temelja
V ≔ γg.p.A1 ⋅ Vg + γp.p.A1 ⋅ Vp = 840 kN
γg.p.A1 = 1.35
γp.p.A1 = 1.5
MgL = 80 kN ⋅ m
MgB = 50 kN ⋅ m
u smeru kazaljke sata
MpL ＝ ±40kN ⋅ m
MpB ＝ ±20kN ⋅ m
alternativno delovanje momenta savijanja
od povremenog opterećenja
Mr Jasmina Todorović, d.g.i.
18 of 27
c
Fundiranje objekata visokogradnje
plitko fundiranje
od povremenog opterećenjatrakasti temelji i temelji samci
Za svaki pravac temelja (L, B) je potrebno proanalizirati oba smera delovanja momenta savijanja
usled povremenog opterećenja
Pravac dužine temelja L
kada MpL deluje u smeru kazaljke sata
ML.a ≔ γg.p.A1 ⋅ MgL + γp.p.A1 ⋅ MpL = 168 kN ⋅ m
kada MpL deluje u smeru suprotno od kazaljke sata
MpL ≔ 40 kN ⋅ m
γg.p.A1 = 1.35
γp.p.A1 = 1.5
u smeru kazaljke sata
MpL ≔ -40 kN ⋅ m
ML.b.1 ≔ γg.p.A1 ⋅ MgL + γp.n.A1 ⋅ MpL = 108 kN ⋅ m
u smeru kazaljke sata
γg.p.A1 = 1.35
γp.n.A1 = 0
ML.b.2 ≔ γg.n.A1 ⋅ MgL + γp.p.A1 ⋅ MpL = 20 kN ⋅ m
u smeru kazaljke sata
γg.n.A1 = 1
γp.p.A1 = 1.5
γg.p.A1 = 1.35
γp.p.A1 = 1.5
Dakle, u ovom zadatku je merodavan / kritičan slučaj u kome momenat
savijanja usled povremenog opterećenja deluje u istom smeru u kom
deluje i momenat savijanja od stalnog opterećenja.
ML ≔ max ⎛⎝ML.a , ML.b.1 , ML.b.2⎞⎠ = 168 kN ⋅ m
centrisanje temelja
ML
ξL ≔ ――
= 20 cm
V
u smeru kazaljke sata
u desno
Pravac širine temelja B
kada MpB deluje u smeru kazaljke sata
MB.a ≔ γg.p.A1 ⋅ MgB + γp.p.A1 ⋅ MpB = 105 kN ⋅ m
kada MpB deluje u smeru suprotno od kazaljke sata
MpB ≔ 25 kN ⋅ m
u smeru kazaljke sata
MpB ≔ -25 kN ⋅ m
MB.b.1 ≔ γg.p.A1 ⋅ MgB + γp.n.A1 ⋅ MpB = 67.5 kN ⋅ m
u smeru kazaljke sata
γg.p.A1 = 1.35
γp.n.A1 = 0
MB.b.2 ≔ γg.n.A1 ⋅ MgB + γp.p.A1 ⋅ MpB = 12.5 kN ⋅ m
u smeru kazaljke sata
γg.n.A1 = 1
γp.p.A1 = 1.5
Dakle, u ovom zadatku je merodavan / kritičan slučaj u kome momenat
savijanja usled povremenog opterećenja deluje u istom smeru u kom
deluje i momenat savijanja od stalnog opterećenja.
MB ≔ max ⎛⎝MB.a , MB.b.1 , MB.b.2⎞⎠ = 105 kN ⋅ m
centrisanje temelja
MB
ξB ≔ ――
= 12.5 cm
V
u smeru kazaljke sata
u desno
3. Dimenzije naležuće površine
potrebna naležuća površina
V
Fpot ≔ ―――
= 1.294 m 2
σdoz.neto
Potreban je dodatni uslov za određivanje dimenzija naležuće površine. Mogu se primeniti sledeća 2
rešenja:
a) odnos dimenzija naležuće površine prati odnos dimenzija strana stuba
b) uslov jednakosti prepusta
Mr Jasmina Todorović, d.g.i.
19 of 27
Fundiranje objekata visokogradnje
plitko fundiranje
trakasti temelji i temelji samci
L cs
―＝ ―＝ k
B bs
‾‾‾‾
Fpot
B ≔ ――
= 0.804 m
2
a) odnos dimenzija naležuće površine prati odnos dimenzija strana stuba
cs
k ≔ ―= 2
bs
usvojeno
F＝B ⋅ L＝2 ⋅ B2
L＝k ⋅ B＝2 ⋅ B
B ≔ 0.8 m
F ≔ B ⋅ L = 1.28 m 2
L ≔ 2 ⋅ B = 1.6 m
b) uslov jednakosti prepusta
prepusti temelja sa svake strane stuba (a) su jednaki
2
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
L ＝ cs + 2 ⋅ a
B ＝ bs + 2 ⋅ a
F ＝ B ⋅ L ＝ ⎛⎝cs + 2 a⎞⎠ ⋅ ⎛⎝bs + 2 a⎞⎠
-2 ⋅ ⎛⎝cs + bs⎞⎠ + 4 ⋅ ⎛⎝cs + bs⎞⎠ - 16 ⋅ ⎛⎝cs ⋅ bs - Fpot⎞⎠
a ≔ ―――――――――――――――
= 0.277 m usvojeno
8
B ≔ bs + 2 ⋅ a = 1 m
a ≔ 0.3 m
F ≔ B ⋅ L = 1.4 m 2
L ≔ cs + 2 ⋅ a = 1.4 m
dimenzije temelja se uvek zaokružuju na punih 5cm ili 10cm
U ovom primeru, s obzirom na relativno malo opterećenje sa stuba i relativno dobru nosivost tla,
dimenzije temelja u osnovi nisu značajno različite koje god rešenje od ovih da se usvoji.
Na dalje se radi sa dimenzijama temelja dobijenim iz uslova jednakosti prepusta
B ≔ bs + 2 ⋅ a = 1 m
L ≔ cs + 2 ⋅ a = 1.4 m
F ≔ B ⋅ L = 1.4 m 2
širine prepusta temelja
L - cs
amax.L ≔ ――+ ξL = 0.5 m
2
L - cs
amin.L ≔ ――- ξL = 0.1 m
2
B - bs
amax.B ≔ ―― + ξB = 0.425 m
2
B - bs
amin.B ≔ ―― - ξB = 0.175 m
2
4. Visina temelja i potrebna armatura
Merodavni granični momenti savijanja
V ⋅ ⎛⎝L - cs⎞⎠
ML ≔ ――――
= 63 kN ⋅ m
8
V ⋅ ⎛⎝B - bs⎞⎠
MB ≔ ――――
= 63 kN ⋅ m
8
Merodavne granične transferzalne sile
V ⋅ ⎛⎝L - cs⎞⎠
TL ≔ ――――
= 180 kN
2⋅L
Mr Jasmina Todorović, d.g.i.
V ⋅ ⎛⎝B - bs⎞⎠
TB ≔ ――――
= 252 kN
2⋅B
20 of 27
Fundiranje objekata visokogradnje
plitko fundiranje
trakasti temelji i temelji samci
Kvalitet materijala: pretpostavlja se: C 25/30, B 500 B
kN
fck ≔ 2.5 ――
cm 2
fck
kN
fcd ≔ 0.85 ⋅ ――
= 1.417 ――
1.5
cm 2
Grotkampovi koef. raspodele presečnih sila
za temelj stalne visine
50 kN
kN
fyd ≔ ――――
= 43.478 ――
2
1.15 cm
cm 2
α ≔ 1.94
β ≔ 0.97
γ ≔ 0.97
potrebna statička visina preseka prema momentima savijanja
hML ≔
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
α ⋅ ML
= 29.978 cm
―――――
0.096 ⋅ B ⋅ fcd
hMB ≔
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
α ⋅ MB
―――― = 25.336 cm
0.096 ⋅ L ⋅ fcd
potrebna statička visina preseka prema transferzalnim silama
iterativni postupak određivanja vrednosti faktora k, i preko njega hT (dok razlika u vrednosti iz 2
susedne iteracije ne bude manja od 1cm)
k＝1 +
za
‾‾‾‾‾‾‾‾
200 mm
―――≤ 2.0
hT
k≔1
min vrednost k → max vrednost hT
γ ⋅ TL
γ ⋅ TB
hTL.1 ≔ ――――――――――
= 99.771 cm hTB.1 ≔ ―――――――――= 99.771 cm
‾‾‾‾‾
‾‾‾‾‾
fck
fck
0.035 ⋅ k 1.5 ⋅ MPa ⋅ B ⋅ ――
0.035 ⋅ k 1.5 ⋅ MPa ⋅ L ⋅ ――
MPa
MPa
za
k≔2
max vrednost k → min vrednost hT
γ ⋅ TL
γ ⋅ TB
hTL.2 ≔ ――――――――――
= 35.275 cm hTB.2 ≔ ―――――――――= 35.275 cm
‾‾‾‾‾
‾‾‾‾‾
fck
fck
0.035 ⋅ k 1.5 ⋅ MPa ⋅ B ⋅ ――
0.035 ⋅ k 1.5 ⋅ MPa ⋅ L ⋅ ――
MPa
MPa
hTL.1 + hTL.2
hT ≔ ――――= 67.523 cm
2
γ ⋅ TL
hTL ≔ ――――――――――
= 51.992 cm
‾‾‾‾‾
f
ck
0.035 ⋅ k 1.5 ⋅ MPa ⋅ B ⋅ ――
MPa
za
hTL + hTB
hT ≔ ――― = 51.992 cm
2
γ ⋅ TL
hTL ≔ ――――――――――
= 48.378 cm
‾‾‾‾‾
fck
1.5
0.035 ⋅ k ⋅ MPa ⋅ B ⋅ ――
MPa
za
hTL + hTB
hT ≔ ――― = 48.378 cm
2
γ ⋅ TL
hTL ≔ ――――――――――
= 47.376 cm
‾‾‾‾‾
fck
1.5
0.035 ⋅ k ⋅ MPa ⋅ B ⋅ ――
MPa
za
hTL + hTB
hT ≔ ――― = 47.376 cm
2
γ ⋅ TL
hTL ≔ ――――――――――
= 47.085 cm
‾‾‾‾‾
f
ck
0.035 ⋅ k 1.5 ⋅ MPa ⋅ B ⋅ ――
MPa
za
Mr Jasmina Todorović, d.g.i.
‾‾‾‾‾‾‾‾
200 mm
―――= 1.544
hT
γ ⋅ TB
hTB ≔ ―――――――――= 51.992 cm
‾‾‾‾‾
fck
0.035 ⋅ k 1.5 ⋅ MPa ⋅ L ⋅ ――
MPa
k≔1+
‾‾‾‾‾‾‾‾
200 mm
―――= 1.62
hT
γ ⋅ TB
hTB ≔ ―――――――――= 48.378 cm
‾‾‾‾‾
fck
0.035 ⋅ k 1.5 ⋅ MPa ⋅ L ⋅ ――
MPa
k≔1+
‾‾‾‾‾‾‾‾
200 mm
―――= 1.643
hT
γ ⋅ TB
hTB ≔ ―――――――――= 47.376 cm
‾‾‾‾‾
fck
0.035 ⋅ k 1.5 ⋅ MPa ⋅ L ⋅ ――
MPa
k≔1+
‾‾‾‾‾‾‾‾
200 mm
―――= 1.65
hT
γ ⋅ TB
hTB ≔ ―――――――――= 47.085 cm
‾‾‾‾‾
fck
0.035 ⋅ k 1.5 ⋅ MPa ⋅ L ⋅ ――
MPa
k≔1+
21 of 27
Fundiranje objekata visokogradnje
plitko fundiranje
trakasti temelji i temelji samci
Statička visina temelja
h ≔ max ⎛⎝hML , hMB , hTL , hTB⎞⎠ = 47.085 cm
Ukupna visina temelja
d ≔ h + 7 cm = 54.085 cm
usvojeno
h ≔ d - 7 cm = 48 cm
Df ≔ d + hz = 1.55 m
d ≔ 55 cm
Potrebna količina armature
Temelji samci se armiraju nosećom armaturom u donjoj (zategnutoj) zoni temelja, u oba pravca:
β ⋅ ML
potAaL ≔ ――――
= 3.254 cm 2
0.9 ⋅ h ⋅ fyd
β ⋅ MB
potAaB ≔ ――――
= 3.254 cm 2
0.9 ⋅ h ⋅ fyd
Kod temelja kod kojih su strane naležuće površine određene iz uslova jednakosti prepusta potrebna je
ista količina armature u oba pravca.
U ovom zadatku je potrebna količina armature mala, pa se temelj može armirati mrežastom armaturom.
Q mreže su obostrano nosive mreže, sa istom količinom noseće armature u oba ortogonalna pravca:
usvojena armature
cm 2
AaL ≔ 3.35 ――
m1
MA 500/560 mreža Q 335
u mreži Q 335 glavna armatura je Ø8/15cm
AaB ≔ AaL
AaL > potAaL
Ukoliko se temelj armira šipkama armature koje nisu fabrički zavarene, tada je raspodela armature sledeća:
širina i dužina temelja se dele na po 8 jednakih lamela širine:
površina 1 šipke armature Ø6
aa1 ≔ 0.28 cm 2
B
Bi ≔ ―= 12.5 cm
8
potAaL
= 11.62
―――
aa1
L
Li ≔ ―= 17.5 cm
8
potrebno je 12Ø6 za
armiranje temelja
I lamela - ivična
potAa.I ≔ 6% ⋅ potAaL = 0.195 cm 2
1Ø6
Aa.I ≔ 1 ⋅ aa1 = 0.28 cm 2
II lamela
potAa.II ≔ 8% ⋅ potAaL = 0.26 cm 2
1Ø6
Aa.II ≔ 1 ⋅ aa1 = 0.28 cm 2
III lamela
potAa.III ≔ 13% ⋅ potAaL = 0.423 cm 2
2Ø6
Aa.III ≔ 2 ⋅ aa1 = 0.56 cm 2
IV lamela - središnja
potAa.IV ≔ 23% ⋅ potAaL = 0.748 cm 2
3Ø6
Aa.IV ≔ 3 ⋅ aa1 = 0.84 cm 2
stvAaL ≔ 2 ⋅ ⎛⎝Aa.I + Aa.II + Aa.III + Aa.IV⎞⎠ = 3.92 cm 2
Mr Jasmina Todorović, d.g.i.
stvAaL > potAaL
22 of 27
Fundiranje objekata visokogradnje
plitko fundiranje
trakasti temelji i temelji samci
5. Kontrola napona u tlu
Analiza opterećenja
Granično opterećenje sa stuba V = 840 kN
Težina temelja
Gtem ≔ B ⋅ L ⋅ d ⋅ γab = 19.25 kN
Težina tla
Gtla ≔ ⎛⎝B - bs⎞⎠ ⋅ ⎛⎝L - cs⎞⎠ ⋅ hz ⋅ γ't = 7.2 kN
ΣV ≔ V + γg.p.A1 ⋅ ⎛⎝Gtem + Gtla⎞⎠ = 875.708 kN
ΣV
kN
σu ≔ ――
= 625.505 ――
B⋅L
m2
σu < σdoz
Temelj je centrisan, pa je:
kN
σdoz = 694.84 ――
m2
ΣML ≔ 0 kN ⋅ m
ΣMB ≔ 0 kN ⋅ m
2. primer
Projektovati AB temelj samac ispod AB stuba dimenzija 0.3/0.6m, kota terena je ±0.0m, a donja ivica
stuba na koti -0.8m. Zid se fundira na tlu čija je zapreminska težina 18.5kN/m³, ugao unutrašnjeg trenja
28°, kohezija 10kN/m², a NPV je ispod kote fundiranja. Zid je na donjoj ivici opterećen: stalnim
opterećenjem - vertikalna sila 310kN, moment savijanja u pravcu duže strane stuba 120kNm (u smeru
kazaljke sata), moment savijanja u pravcu kraće strane stuba 80kNm (u smeru suprotno od kazaljke
sata); povremenim opterećenjem - vertikalna sila 150kN/m, horizontalna sila u pravcu duže strane stuba
40kN (u desno), horizontalna sila u pravcu kraće strane stuba 25kN (u levo). Temelj projektovati u skladu
sa odredbama Evrokoda (EC7 i EC2).
Zid
bs ≔ 30 cm
cs ≔ 60 cm
hz ≔ 80 cm
Tlo
kN
γt ≔ 18.5 ――
m3
φ ≔ 28°
kN
c ≔ 10 ――
m2
Stalno opterećenje
Vg ≔ 310 kN
MgL ≔ 120 kN ⋅ m
MgB ≔ -80 kN ⋅ m
Povremeno opterećenje
Vp ≔ 150 kN
HpL ≔ 40 kN
HpB ≔ -25 kN
Temelj
kN
γab ≔ 25 ――
m3
1. Nosivost temeljnog tla
pretpostavlja se dubina fundiranja
pretpostavlja se širina temelja
γγ.M2 = 1
Df ≔ 1.60 m
B ≔ 0.85 m
γc.M2 = 1.25
Napomena: u zadatku je kao pozitivan smer momenta
usvojen smer kazaljke sata (i smer sile i pomeranje u
desno)
visina temelja
d ≔ Df - hz = 0.8 m
dužina temelja
L ≔ 1.7 m
γφ.M2 = 1.25
γt
kN
γ't ≔ ――= 18.5 ――
γγ.M2
m3
⎛ tan ((φ)) ⎞
c
kN
c' ≔ ――= 8 ――
φ' ≔ atan ⎜―――
⎟ = 23.043 °
2
γc.M2
m
⎝ γφ.M2 ⎠
kN
opterećenje na nivou spojnice
q' ≔ γ't ⋅ Df = 29.6 ――
m2
2
⎛
⎛
φ' ⎞⎞
B
Nq ≔ ⎜tan ⎜45 ° + ―⎟⎟ ⋅ exp ((π ⋅ tan ((φ')))) = 8.7
sq ≔ 1 + ―⋅ sin ((φ')) = 1.196
bq ≔ 1
iq ≔ 1
2 ⎠⎠
L
⎝
⎝
sq ⋅ Nq - 1
Nc ≔ ⎛⎝Nq - 1⎞⎠ ⋅ cot ((φ')) = 18.102
sc ≔ ――― = 1.221
bc ≔ 1
ic ≔ 1
Nq - 1
B
Nγ ≔ 2 ⋅ ⎛⎝Nq - 1⎞⎠ ⋅ tan ((φ')) = 6.55
sγ ≔ 1 - 0.3 ⋅ ―= 0.85
bγ ≔ 1
iγ ≔ 1
L
Mr Jasmina Todorović, d.g.i.
23 of 27
Fundiranje objekata visokogradnje
plitko fundiranje
trakasti temelji i temelji samci
kN
qf ≔ c' ⋅ Nc ⋅ bc ⋅ sc ⋅ ic + q' ⋅ Nq ⋅ bq ⋅ sq ⋅ iq + 0.5 ⋅ γt ⋅ B ⋅ Nγ ⋅ bγ ⋅ sγ ⋅ iγ = 528.526 ――
m2
qf
kN
σdoz ≔ ――= 528.526 ――
γR3.σ = 1
γR3.σ
m2
hz ⎛
γ't ⎞
koef. razlike težine temelja i tla
β ≔ 1 - ― ⋅ ⎜1 - ――
⎟ = 0.87
Df ⎝
γab ⎠
kN
neto granična nosivost tla
σdoz.neto ≔ σdoz - γg.p.A1 ⋅ β ⋅ Df ⋅ γab = 481.546 ――
m2
2. Centrisanje temelja
V ≔ γg.p.A1 ⋅ Vg + γp.p.A1 ⋅ Vp = 643.5 kN
γg.p.A1 = 1.35
γp.p.A1 = 1.5
MgL = 120 kN ⋅ m
MpL ≔ HpL ⋅ d = 32 kN ⋅ m
u smeru kazaljke sata
MgB = -80 kN ⋅ m
MpB ≔ HpB ⋅ d = -20 kN ⋅ m
u smeru suprotno od kazaljke sata
Za svaki pravac temelja (L, B) je potrebno proanalizirati oba smera delovanja momenta savijanja
usled povremenog opterećenja
Pravac dužine temelja L
MgL = 120 kN ⋅ m
u smeru kazaljke sata
MpL ≔ HpL ⋅ d = 32 kN ⋅ m
Oba momenta u pravcu L deluju u istom smeru, povećavaju napone u tlu, pa je
ML ≔ γg.p.A1 ⋅ MgL + γp.p.A1 ⋅ MpL = 210 kN ⋅ m
centrisanje temelja
ML
ξL ≔ ――
= 32.634 cm
V
γg.p.A1 = 1.35
u desno
γp.p.A1 = 1.5
usvojeno
ξL ≔ 33 cm
Pravac širine temelja B
MgB = -80 kN ⋅ m
u smeru suprotno od kazaljke sata
MpB ≔ HpB ⋅ d = -20 kN ⋅ m
Oba momenta u pravcu B deluju u istom smeru, povećavaju napone u tlu, pa je
MB ≔ γg.p.A1 ⋅ MgB + γp.p.A1 ⋅ MpB = -138 kN ⋅ m
centrisanje temelja
MB
ξB ≔ ――
= -21.445 cm
V
γg.p.A1 = 1.35
u levo
γp.p.A1 = 1.5
usvojeno
ξB ≔ 22 cm
3. Dimenzije naležuće površine
potrebna naležuća površina
Mr Jasmina Todorović, d.g.i.
V
Fpot ≔ ―――
= 1.336 m 2
σdoz.neto
24 of 27
Fundiranje objekata visokogradnje
plitko fundiranje
trakasti temelji i temelji samci
Potreban je dodatni uslov za određivanje dimenzija naležuće površine. Mogu se primeniti sledeća 2
rešenja:
a) uslov jednakosti prepusta
b) odnos dimenzija naležuće površine prati odnos dimenzija strana stuba
a) uslov jednakosti prepusta
prepusti temelja sa svake strane stuba (a) su jednaki
L ＝ cs + 2 ⋅ a
B ＝ bs + 2 ⋅ a
F ＝ B ⋅ L ＝ ⎛⎝cs + 2 a⎞⎠ ⋅ ⎛⎝bs + 2 a⎞⎠
2
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
-2 ⋅ ⎛⎝cs + bs⎞⎠ + 4 ⋅ ⎛⎝cs + bs⎞⎠ - 16 ⋅ ⎛⎝cs ⋅ bs - Fpot⎞⎠
a ≔ ―――――――――――――――
= 0.358 m
usvojeno
a ≔ 0.4 m
8
B ≔ bs + 2 ⋅ a = 1.1 m
L ≔ cs + 2 ⋅ a = 1.4 m
F ≔ B ⋅ L = 1.54 m 2
L cs
―＝ ―＝ k
B bs
‾‾‾‾
Fpot
B ≔ ――
= 0.817 m
2
b) odnos dimenzija naležuće površine prati odnos dimenzija strana stuba
cs
k ≔ ―= 2
bs
usvojeno
F＝B ⋅ L＝2 ⋅ B2
L＝k ⋅ B＝2 ⋅ B
B ≔ 0.85 m
L ≔ 2 ⋅ B = 1.7 m
F ≔ B ⋅ L = 1.445 m 2
dimenzije temelja se uvek zaokružuju na punih 5cm ili 10cm
U ovom primeru, s obzirom na relativno malo opterećenje sa stuba i relativno dobru nosivost tla,
dimenzije temelja u osnovi nisu značajno različite koje god rešenje od ovih da se usvoji.
Na dalje se radi sa dimenzijama temelja dobijenim iz uslova da odnos dimenzija naležuće površine prati
odnos dimenzija strana stuba
B = 0.85 m
L = 1.7 m
F ≔ B ⋅ L = 1.445 m 2
širine prepusta temelja
L - cs
amax.L ≔ ――+ ξL = 0.88 m
2
L - cs
amin.L ≔ ――- ξL = 0.22 m
2
B - bs
amax.B ≔ ―― + ξB = 0.495 m
2
B - bs
amin.B ≔ ―― - ξB = 0.055 m
2
4. Visina temelja i potrebna armatura
Merodavni granični momenti savijanja
V ⋅ ⎛⎝L - cs⎞⎠
ML ≔ ――――
= 88.481 kN ⋅ m
8
V ⋅ ⎛⎝B - bs⎞⎠
MB ≔ ――――
= 44.241 kN ⋅ m
8
Merodavne granične transferzalne sile
V ⋅ ⎛⎝L - cs⎞⎠
TL ≔ ――――
= 208.191 kN
2⋅L
V ⋅ ⎛⎝B - bs⎞⎠
TB ≔ ――――
= 208.191 kN
2⋅B
Kvalitet materijala: pretpostavlja se: C 25/30, B 500 B
kN
fck ≔ 2.5 ――
cm 2
fck
kN
fcd ≔ 0.85 ⋅ ――
= 1.417 ――
1.5
cm 2
Mr Jasmina Todorović, d.g.i.
50 kN
kN
fyd ≔ ――――
= 43.478 ――
2
1.15 cm
cm 2
25 of 27
Fundiranje objekata visokogradnje
plitko fundiranje
trakasti temelji i temelji samci
Grotkampovi koef. raspodele presečnih sila
za temelj stalne visine
α ≔ 1.94
β ≔ 0.97
γ ≔ 0.97
potrebna statička visina preseka prema momentima savijanja
hML ≔
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
α ⋅ ML
= 38.534 cm
―――――
0.096 ⋅ B ⋅ fcd
hMB ≔
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
α ⋅ MB
―――― = 19.267 cm
0.096 ⋅ L ⋅ fcd
potrebna statička visina preseka prema transferzalnim silama
iterativni postupak određivanja vrednosti faktora k, i preko njega hT - u ovom primeru se polazi od na
početku zadatka pretpostavljene visine temelja
za pretpostavljeno
d = 80 cm
hT ≔ d - 7 cm = 73 cm
k≔1+
‾‾‾‾‾‾‾‾
200 mm
―――= 1.523
hT
γ ⋅ TL
γ ⋅ TB
hTL ≔ ――――――――――
= 72.201 cm hTB ≔ ―――――――――= 36.101 cm
‾‾‾‾‾
‾‾‾‾‾
fck
fck
0.035 ⋅ k 1.5 ⋅ MPa ⋅ B ⋅ ――
0.035 ⋅ k 1.5 ⋅ MPa ⋅ L ⋅ ――
MPa
MPa
Ovo pokazuje da je visina temelja dobro pretpostavljena na početku zadatka :-)
Statička visina temelja
h ≔ max ⎛⎝hML , hMB , hTL , hTB⎞⎠ = 72.201 cm
Ukupna visina temelja
d ≔ h + 7 cm = 79.201 cm
usvojeno
h ≔ d - 7 cm = 73 cm
Df ≔ d + hz = 1.6 m
d ≔ 80 cm
Potrebna količina armature
Temelji samci se armiraju nosećom armaturom u donjoj (zategnutoj) zoni temelja, u oba pravca:
β ⋅ ML
potAaL ≔ ――――
= 3.005 cm 2
0.9 ⋅ h ⋅ fyd
β ⋅ MB
potAaB ≔ ――――
= 1.502 cm 2
0.9 ⋅ h ⋅ fyd
Kod temelja kod kojih su strane naležuće površine određene iz uslova da prate odnos strana stuba,
potrebna je duplo veća količina armature u pravcu duže dimenzije temelja.
Ukoliko se temelj armira šipkama armature koje nisu fabrički zavarene, tada je raspodela armature sledeća:
širina i dužina temelja se dele na po 8 jednakih lamela širine:
površina 1 šipke armature Ø6
aa1 ≔ 0.28 cm 2
B
Bi ≔ ―= 10.625 cm
8
potAaL
= 10.731
―――
aa1
L
Li ≔ ―= 21.25 cm
8
I lamela - ivična
potAa.I ≔ 6% ⋅ potAaL = 0.18 cm 2
1Ø6
potrebno je 11Ø6 za
armiranje temelja u
pravcu L
Aa.I ≔ 1 ⋅ aa1 = 0.28 cm 2
II lamela
potAa.II ≔ 8% ⋅ potAaL = 0.24 cm 2
1Ø6
Aa.II ≔ 1 ⋅ aa1 = 0.28 cm 2
III lamela
potAa.III ≔ 13% ⋅ potAaL = 0.391 cm 2
2Ø6
Aa.III ≔ 2 ⋅ aa1 = 0.56 cm 2
IV lamela - središnja
potAa.IV ≔ 23% ⋅ potAaL = 0.691 cm 2
3Ø6
Aa.IV ≔ 3 ⋅ aa1 = 0.84 cm 2
stvAaL ≔ 2 ⋅ ⎛⎝Aa.I + Aa.II + Aa.III + Aa.IV⎞⎠ = 3.92 cm 2
stvAaL > potAaL
U pravcu širine temelja B se usvaja duplo manja količina armature nego u pravcu L, a u ovom
primeru, s obzirom na mali broj profila koji je potreban, to će biti ovako:
Mr Jasmina Todorović, d.g.i.
26 of 27
Fundiranje objekata visokogradnje
plitko fundiranje
trakasti temelji i temelji samci
5. Kontrola napona u tlu
Analiza opterećenja
Granično opterećenje sa zida
V = 643.5 kN
Težina temelja
Gtem ≔ B ⋅ L ⋅ d ⋅ γab = 28.9 kN
Težina tla
Gtla ≔ ⎛⎝B - bs⎞⎠ ⋅ ⎛⎝L - cs⎞⎠ ⋅ hz ⋅ γ't = 8.954 kN
ΣV ≔ V + γg.p.A1 ⋅ ⎛⎝Gtem + Gtla⎞⎠ = 694.603 kN
ΣV
kN
σu ≔ ――
= 480.694 ――
B⋅L
m2
Mr Jasmina Todorović, d.g.i.
σu < σdoz
Temelj je centrisan, pa je:
kN
σdoz = 528.526 ――
m2
ΣML ≔ 0 kN ⋅ m
ΣMB ≔ 0 kN ⋅ m
27 of 27