V A I D O T A S MOCKUS
MATEMATIKOS
ATMINTINĖ
MOKSLEIVIAMS
ISBN 9 9 8 6 - 9 1 5 0 - 7 - A
9 ,
TURINYS
U D K 51 (075.3)
Mo-09
2-asis leidimas
Leidinio autorius:
Vaidotas M o c k u s
Scann<MI (¾/
Cloud Dandng
ISBN 9 9 8 6 - 9 1 5 0 - 7 - 4
©
©
©
©
Vaidotas Mockus, 2001
Vaidotas Mockus, 2004
V.Mockaus įmonė, 2001
V.Mockaus įmonė, 2004
Pratarmė
7
1. Skaičiai
9
2. Aibės
15
3. Modulis
17
4. Skaičių apvalinimas. Paklaidos
17
5. Sutrumpintos daugybos formulės
18
6. Procentai
19
7. Vidurkiai
19
8. Laipsniai ir šaknys
20
9. Logaritmai
21
10. Lygtys
22
10.1. Bendros sąvokos
22
10.2. Tiesinės lygtys
22
10.3. Kvadratinės lygtys
23
10.4. Kvadratinio trinario skaidymas dauginamaisiais. Pilno
kvadrato išskyrimas kvadratiniame trinaryje
25
10.5. Bikvadratinės lygtys
25
10.6. Lygtys su modulio ženklu
26
10.7. Iracionaliosios lygtys
27
10.8. Rodiklinės lygtys
28
10.9. Logaritminės lygtys
28
11. Lygčių sistemos
30
12. Nelygybės
31
12.1. Tiesinės nelygybės
31
12.2. Kvadratinės nelygybės
32
12.3. Racionaliosios nelygybės
33
12.4. Dvigubos nelygybės
34
12.5. Nelygybės su moduliu
34
12.6. Rodiklinės nelygybės
35
12.7. Logaritminės nelygybės
36
13. Skaičių sekos. Progresijos
38
13.1. Skaičių sekos sąvoka
38
13.1. Aritmetinė progresija
39
13.2. Geometrinė progresija
14. Funkcijos ir jų grafikai
40
16. Ribos. Funkcijos tolydumas
68
17. Funkcijos išvestinė
17.1. Argumento pokytis ir funkcijos pokytis
17.2. Funkcijos išvestinės apibrėžimas
70
70
71
41
17.3. Elementariųjų funkcijų išvestinės
71
14.1. Bendros sąvokos
41
17.4. Išvestinių skaičiavimo taisyklės
72
14.2. Tiesioginis proporcingumas
45
17.5. Išvestinės mechaninė prasmė
72
14.3. Tiesinė funkcija
45
17.6. Funkcijos grafiko liestinės ir normalės taške lygtys ..
73
14.4. Kvadratinė funkcija
46
17.7. Funkcijos kritiniai taškai. Funkcijos ekstremumo
14.5. Atvirkštinis proporcingumas
49
14.6. Laipsninė funkcija
49
17.8. Funkcijos monotoniškumo intervalai
14.7. Rodiklinė funkcija
53
17.9. Funkcijos didžiausia ir mažiausia reikšmė uždarame
14.8. Logaritminė funkcija
53
14.9. Funkcijų j' = e* Iry = Injrgrafikai
53
14.10. Funkcijų grafikų transformacijos
54
14.11. Funkcijų su moduliu grafikų braižymas
56
18.1. Pirmykštė funkcija
81
57
18.2. Neapibrėžtinis integralas
83
15.1. Kampų matavimo vienetų tarpusavio priklausomybė
57
18.3. Apibrėžtims integralas
84
15.2. Trigonometrinių funkcijų apibrėžimas
58
18.4. Plokščiųjų figūrų ploto skaičiavimas
85
15.3. Trigonometrinių funkcijų savybės
58
18.5. Sukinio tūris
87
15.4. Trigonometrinių funkcijų ženklai ketvirčiuose ......
59
15. Trigonometrija
15.5. Pagrindinių trigonometrinių funkcijų reikšmių
lentelė
taškai
intervale
17.10. Funkcijų tyrimas
18. Pirmykštė funkcija. Integralas
74
76
77
78
81
19. Kombinatorikos pradmenys
88
20. Tikimybių teorijos pradmenys
92
59
20.1. {vykiai
92
15.6. Redukcijos formulės
60
20.2. Įvykių tikimybės
93
15.7. Pagrindinės trigonometrinės formulės
61
20.3. Atsitiktiniai dydžiai
95
15.8. Trigonometrinės lygtys
64
15.9. Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos
65
15.10. Trigonometrinių funkcijų grafikai
66
15.11. Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų grafikai ....
67
21. Matematinės statistikos pradmenys
22. Planimetrija
22.1. Kampai ir apskritimas
22.2. Trikampiai
96
101
101
107
22.3. Keturkampiai
22.4. Iškilasis daugiakampis
22.5. Taisyklingieji daugiakampiai
22.6. Plokščiųjų figūrų plotai
23. Stereometrija
23.1. Tiesės ir plokštumos erdvėje
23.2. Briaunainiai
23.3. Sukiniai
24. Vektoriai. Koordinačių metodas
24.1. Bendros sąvokos ir veiksmai su vektoriais
24.2. Vektoriaus reiškimas koordinatiniais vektoriais ...
24.3. Vektorių, išreikštų koordinatėmis, sudėtis, atimtis
ir daugyba iš skaičiaus
24.4. Vektoriaus ilgio reiškimas jo koordinatėmis
24.5. Vektorių skaliarinė sandauga
24.6. Dviejų vektorių statmenumo sąlyga
24.7. Kampo tarp vektorių skaičiavimas
24.8. Dviejų nenulinių vektorių kolinearumo požymis ..
24.9. Atkarpos vidurio taško koordinatės. Atstumas tarp
dviejų taškų. Vektoriaus ilgio radimas, kai žinomos
jo pradžios ir galo koordinatės
24.10. Tiesės lygtis
24.11. Apskritimo lygtis
24.12. Sferos lygtis
/ priedas. Graikų kalbos abėcėlė
2 priedas. Metrinė matų sistema
3 priedas. Natūraliųjų skaičių nuo 10 iki 99 kvadratų lentelė .
4 priedas. Skaičių 2 ir 3 laipsniai
5 priedas. Kai kurių skaičių faktorialai
6 priedas. Gretinių skaičius
7priedas. Derinių skaičius
118
123
123
125
132
132
136
142
147
147
150
151
151
152
153
153
154
PRATARMĖ
Si knygelė
tai antrasis papildytas V.Mockaus „Mate-
matikos atmintinės moksleiviams"
leidimas. Joje pateiktos
pagrindinės mokyklinės matematikos formulės, sąvokų apibrėžimai,
teiginiai,
lentelės.
Daugelis
formulių,
taisyklių
ir
sprendimo būdų iliustruojami pavyzdžiais.
Pakartotinis
knygelės
leidimas
buvo papildytas
šiomis
naujomis temomis ir sąvokomis: aibės, skaičių sekos sąvoka,
funkcijų su moduliu grafikų braižymas, trigonometrinių funkcijų
savybės, Bcrnulio formulė, argumento pokytis ir funkcijos
pokytis, funkcijos didžiausia ir mažiausia reikšmė uždarame
intervale, funkcijų tyrimas, imties mediana, kvartiliai. Taip pat
skaitytojas šioje atmintinėje ras ir daugiau uždavinių sprendimo
pavyzdžių, naujas lenteles „Gretinių skaičius A* ir „Derinių
skaičius C* ". Visa knygelėje esanti medžiaga atitinka mokyklinę matematikos programą.
155
156
157
158
159
159
161
161
161
162
162
Leidinys skirtas pagrindinių
ir vidurinių
mokyklų bei
gimnazijų moksleiviams.
Autorius
1.
SKAIČIAI
• Skaičius 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., vartojamus daiktams skaičiuoti ar
j ų numeriui nurodyti, vadiname natūraliaisiais skaičiais. Visų
natūraliųjų skaičių aibė žymima raide N = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , . . . } .
Bet kurį dviženklį natūralųjį skaičių galima
pavidalu: 1 OJC + y ; čia x, y - skaičiaus skaitmenys.
Pavyzdžiui,
užrašyti
83 = 8 1 0 + 3 .
Bet kurį triženklį natūralųjį skaičių galima užrašyti pavidalu:
1 OOx +10j> + z ; čia χ, y, z - skaičiaus skaitmenys.
Pavyzdiiui,
527 = 5 100 + 2 10 + 7 .
Panašiai galima užrašyti keturženklius, penkiaženklius ir kt.
skaičius.
•k
k
rk
Jei natūralusis skaičius dalijasi iš 2, tai jis vadinamas
lyginiu. Lyginio natūraliojo skaičiaus bendras pavidalas yra
n = Ik, kur k = 1,2,3,4,...
Taigi lyginiai skaičiai yra šie: 2, 4, 6, 8, 10, 12,...
Jei natūralusis skaičius nesidalija iš 2, tai jis vadinamas
nelyginiu. Nelyginio natūraliojo skaičiaus bendras pavidalas yra
n = 2k-\,
kur Λ = 1,2,3,4,...
Taigi nelyginiai skaičiai yra šie: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,...
Sumos dalumo teorema. Jeigu kiekvienas dėmuo dalijasi iš
to paties skaičiaus, tai ir suma dalijasi iš to paties skaičiaus.
Sandaugos dalumo teorema. Jeigu bent vienas sandaugos
dauginamasis dalijasi iš kurio nors skaičiaus, tai ir sandauga
dalijasi iš to skaičiaus.
Natūraliųjų skaičių dalumo požymiai:
Dalumo iš 2 p o ž y m i s
Dalybos su liekana teorema. Kokie bebūtų natūralieji
skaičiai m ir n (m > n) visada galima rasti tokius vienintelius
natūraliuosius skaičius p ir r (r<n), kad būtų teisinga lygybė
m = n-p + r,
Natūralusis skaičius dalijasi iš 2, kai
j o paskutinis skaitmuo yra O arba lyginis skaičius (2, 4, 6, 8).
Dalumo iš 3 požymis
Naturalusis skaičius dalijasi iš 3, kai
j o skaitmenų suma dalijasi iš 3.
Dalumo iš 4požymis
\ Naturalusis skaičius, turintis n e m a žiau kaip tris skaitmenis, dalijasi iš 4, kai du jo paskutiniai
skaitmenys yra nuliai arba kai iš 4 dalijasi dviženklis skaičius,
sudarytas iš paskutinių dviejų skaičiaus skaitmenų.
Dalumo iš 5 požymis
Naturalusis skaičius dalijasi iš 5, kai
j o paskutinis skaitmuo yra O arba 5.
Į Dalumo iš 6 požymis Į Natūralusis skaičius dalijasi iš 6,
jeigu jis dalijasi iš 2 ir iš 3.
Dalumo iš 8 požymis
Natūralusis skaičius dalijasi iš 8,
jeigu trys j o paskutiniai skaitmenys yra nuliai arba sudaro
skaičių, kuris dalijasi iš 8.
Dalumo iš 9 požymis
Naturalusis skaičius dalijasi iš 9, kai
j o skaitmenų suma dalijasi iš 9.
Dalumo iš 25 požymis Į Natūralusis skaičius dalijasi iš 25,
jeigu du j o paskutiniai skaitmenys yra nuliai arba sudaro
skaičių, kuris dalijasi iš 25.
Dalumo iš 10, 100 ir 1000 požymis
Naturalusis skaičius
dalijasi iš 10, kai j o paskutinis skaitmuo yra nulis, iš 100 - kai
j o du paskutiniai skaitmenys yra nuliai, iš 1000 - kai j o trys
paskutiniai skaitmenys yra nuliai.
čia m - dalinys, n - daliklis, p - nepilnas dalmuo, r - liekana.
Kiekvieną teigiamą realųjį skaičių a galima užrašyti
standartine išraiška:
a = a]
10",
čia 1 й α, < 10, n - sveikasis skaičius, vadinamas skaičiaus a
eile.
Pavyzdžiui,
975 = 9,75 · 10 2 ; 0,0032 = 3,2 · 10" 3 ; 7,32 = 7,32 • 10°.
Ie
*
*
Pirminiu vadinamas natūralusis skaičius, kuris turi tik du
daliklius (vienetą ir patį save).
Pavyzdžiui,
pirminiai.
skaičiai 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... yra
Sudėtiniu vadinamas natūralusis skaičius, kuris turi daugiau
kaip du daliklius.
Pavyzdžiui, skaičiai 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15,... yra sudėtiniai.
Skaičiaus 1 nepriskiriame
sudėtinių skaičių.
nei
prie pirminių,
nei
prie
Pagrindinė aritmetikos teorema. Kiekvieną sudėtinį
natūralųjį skaičių galima vieninteliu būdu išskaidyti pirminiais
dauginamaisiais (į dauginamųjų užrašymo tvarką neatsižvelgiama).
Pavyzdys. Išskaidykite pirminiais dauginamaisiais skaičius
300 ir 315.
300 2
315
3
150 2
105 3
75 3
35 5
25 5
7 7
5 5
1
1
2
2
2
3 0 0 = 2 - 2 - 3 · 5 · 5 = 2 -3-5
315 = 3 - 3 - 5 - 7 = 3 - 5 - 7
Kiekvienas sudėtinis skaičius turi bent vieną pirminį daliklį.
Natūraliųjų skaičių a ir b didžiausiuoju bendruoju dalikliu
DBD vadinamas didžiausias natūralusis skaičius, iš kurio dalijasi
skaičiai a ir b. Skaičių a ir b didžiausias bendrasis daliklis
žymimas DBD (a, b).
Pavyzdžiui, skaičių 28 ir 42 didžiausiasis bendrasis daliklis
yra skaičius 14, t.y. DBD{28,42) = 14 .
Jei skaičiai a ir b yra tokie, kad DBD(a,b)
vadiname tarpusavyje pirminiais.
= 1, tai juos
Kelių natūraliųjų skaičių didžiausiojo bendrojo daliklio
radimo taisyklė:
1)
2)
3)
skaičius išskaidome pirminiais dauginamaisiais,
iš visų skaidinių išrenkame tiktai tuos dauginamuosius,
kurie įeina į visų skaičių skaidinius; dauginamuosius
imame su mažiausiais laipsnio rodikliais,
randame išrinktųjų dauginamųjų sandaugą, kuri ir yra
duotųjų skaičių DBD.
Pavyzdys. Raskime skaičių 126 ir 540 didžiausiąjį bendrąjį
daliklį (DB D).
Skaičius išskaidome pirminių skaičių sandauga.
540
126
270
63
135
21
45
7
15
1
5
1
126 = 2 - 3 - 7
540 = 2 2 -3 3 -5
Iš gautųjų sandaugų išrenkame bendruosius dauginamuosius;
juos imame su mažiausiu (iš turimų) laipsnio rodikliu.
Taigi DBD(126, 540) = 2-3 2 = 18 .
Natūraliųjų skaičių a ir b mažiausiuoju bendruoju
kartotiniu MBK vadinamas mažiausias natūralusis skaičius,
kuris dalijasi ir iš skaičiaus a, ir iš b, t.y. mažiausias iš visų
bendrųjų kartotinių. Skaičių a ir b mažiausias bendrasis
kartotinis žymimas MBK (a, b).
Pavyzdžiui, skaičių 8 ir 12 mažiausias bendrasis kartotinis
yra skaičius 24, t.y. MBK(β, 12) = 24 .
Kelių
natūraliųjų
skaičių
kartotinio radimo taisyklė:
1)
2)
3)
mažiausiojo
bendrojo
skaičius išskaidome pirminiais dauginamaisiais,
iš visų skaidinių išrenkame tiktai tuos dauginamuosius,
kurie įeina į bent vieną duotųjų skaičių skaidinį;
dauginamuosius imame su didžiausiu (iš turimų
skaidiniuose) laipsnio rodikliu,
randame išrinktųjų dauginamųjų sandaugą, kuri ir yra
duotųjų skaičių BMK.
Pavyzdys. Rasime skaičių 126 ir 540 mažiausiąjį bendrąjį
kartotinį ( M B K ) . Šių skaičių D S D j a u ieškojome. Skaičius 126 ir
540 buvome išskaidę pirminiais dauginamaisiais:
126 = 2-3 2 ·7
540 = 2 2 -З 3 -5
2
3
Tada MBK {126,540) = 2 • З · 5 · 7 = 3780.
Dviejų natūraliųjų skaičių a ir b mažiausiasis bendrasis
kartotinis yra lygus tų skaičių sandaugai, padalytai iš j ų
didžiausiojo bendrojo daliklio, t.y.
MBK (a, b)--
baigtine dešimtaine
trupmena.
arba
DBD (a, b)
Iracionalieji skaičiai gali būti išreiškiami
dešimtainėmis neperiodinėmis trupmenomis.
periodine
begalinėmis
Pavyzdžiui, skaičiai J i , S , e, π ir kt. yra iracionalieji:
Ši lygybė rodo, kaip surasti kelių skaičių MBK, jei žinome tų
skaičių DBD.
Pavyzdžiui, jei žinome, kad £>5£>(300,315)=15, tai
=
dešimtaine
• Realieji skaičiai - tai racionalieji ir iracionalieji skaičiai
kartu paėmus. Realiųjų skaičių aibė žymima raide R.
a b
300 315
М Щ 3V 0 0 , 3 1 5 ) =
' DBD(300,315)
begaline
15
2.
AIBĖS
Aibė, sudaryta iš visų elementų, kurie įeina bent į vieną iš
aibių A, B, vadinama šių aibių sąjunga ir žymima
AuB.
= 6300 .
• Sveikieji skaičiai - tai natūralieji skaičiai 1, 2, 3, 4, ...,
natūraliesiems skaičiams priešingieji skaičiai - 1 , - 2 , - 3 , - 4 , ...
ir skaičius 0. Sveikųjų skaičių aibė žymima
raide
Z = { . . . , - 4 , - 3 , - 2 , - 1 , 0,1,2,3,4,...}.
Natūralieji skaičiai dar vadinami teigiamais
skaičiais.
sveikaisiais
Pavyzdžiui,
yraaibė AuB
Racionalieji skaičiai - tai skaičiai turintys pavidalą — , kur
n
m - sveikasis skaičius, onnatūralusis skaičius. Vadinasi, bet
skaičių aibių A = {l; 3} ir B = { з ; 4 ; 5} sąjunga
=
{1;3;4;5}.
•
kuri nesuprastinama paprastoji trupmena
— {m e Z, n e N)
n
išreiškia kurį nors racionalųjį skaičių.
Aibė, sudaryta tik iš tų elementų, kurie įeina ir į aibę A, ir į
aibę B, vadinama šių aibių sankirta ir žymima AnB;
jeigu
nėra elementų, įeinančių į abi aibes, tai tų aibių sankirta yra
tuščioji
aibė.
Diagramoje
aibių A
ir B
sankirtą
AnB
vaizduojanti figūra nuspalvinta.
• Iracionaliaisiais skaičiais vadiname visus skaičius, kurie
nėra racionalieji, t.y. visus skaičius, kurių negalima išreikšti
nesuprastinama paprastąja trupmena
— {me Z, ne N),
t.y.
Pavyzdžiui,
sankirta
yra
skaičių aibių Λ = { ΐ ; 2 ; 3 ; 4 } ir B = { 3 ; 4 ; 5 ; б }
aibė
AnB
= { 3;4};
aibių
Л = {5;6;7}
5 = { l ; 2 ; 3 ; 4 ; 8 ; 9 } sankirta yra tuščia aibė, t.y. AnB=
0.
ir
3.
a I=
Pavyzdžiui,
Aibė, sudaryta iš tų aibės A elementų, kurie nepriklauso
aibei B, vadinama aibių A ir B skirtumu ir žymima A \ B.
Diagramoje aibių A ir B skirtumą A \ B vaizduojanti figūra
yra užbrūkšniuota.
MODULIS
a, kai a > O,
- a, kai a< 0.
modulio apibrėžimas.
| 5 | = 5 ; j - 5 Į= - ( - 5 > = 5, | 0 | = 0 .
Modulio savybės:
1) M > 0 ;
4) | α · ζ > | = Μ Ή ;
2)
5)
3) | a | 2 = a 2 ;
a\ = | - α I
a
b
b*0.
\b\
• Geometriškai \a \ reiškia koordinačių tiesės taško A, kurio
koordinatė yra skaičius a, atstumą nuo koordinačių pradžios
taško O.
4.
Pavyzdžiai.
1) Jei Λ = {1; 2 ; З}, o B = { 3 ; 4 ; 5}, tai Λ \ β = { ΐ ; 2 } ;
2) Jei A = { a, b, c, d}, o B = {a,b,e,
tai A\B =
/},
{c,d}.
3) Jeigu Z - s v e i k ų j ų skaičių aibė, o N - n a t ū r a l i ų j ų skaičių
aibė, tai Z \ N = { O, - 1 , - 2 , - 3 , . . . } .
Jei visi aibės B elementai įeina ir
į aibę A, tai sakoma, kad aibė B
yra aibės A poaibis, ir žymima
BdA.
Pavyzdžiui,
B = { 2 ; 4}
skaičių
yra
A = {1; 2 ; 3 ; 4}
Bcz A.
aibė
skaičių
aibės
poaibis,
t.y.
SKAIČIŲ APVALINIMAS. PAKLAIDOS
Apvalindami skaičių iki kurio nors skyriaus, visus po to
skyriaus einančius skaitmenis keičiame nuliais, o jeigu tie
skaitmenys yra po kablelio, tai juos atmetame.
Jeigu pirmas po to skyriaus esantis skaitmuo yra 5, 6, 7, 8, 9,
tai paskutinį likusį skaitmenį padidiname vienetu, t.y. apvaliname su pertekliumi.
Jeigu pirmas po to skyriaus esantis skaitmuo yra 0, 1,2, 3, 4,
tai paskutinis skaitmuo nekeičiamas, t.y. apvaliname su trūkumu.
Pavyzdys. Skaičių 3578,2489 suapvalinkime:
a) tūkstančių tikslumu: 3578,2489« 4000 ;
b) šimtų tikslumu: 3578,2489 « 3 6 0 0 ;
c) dešimčių tikslumu: 3578,2489 « 3580 ;
d) vienetų tikslumu: 3578,2489 « 3 5 7 8 ;
e) dešimtųjų tikslumu: 3578,2489 « 3 5 7 8 , 2 ;
f) šimtųjų tikslumu: 3578,2489« 3578,25;
g) tūkstantųjų tikslumu: 3578.2489 « 3578,249.
6.
Jei skaičiaus χ apytikslė reikšmė lygi skaičiui a, tai apytikslės
reikšmės absoliučioji paklaida yra | x-a
lygį i i — f i
M
PROCENTAI
|, o santykinė paklaida
Santykinė paklaida dažniausiai reiškiama procentais:
1% = — = 0,01 - procento apibrėžimas.
100
Jei p % nuo skaičiaus a yra skaičius b, tai b = y^
i^.100%.
· p.
H
Pavyzdys. Skaičių y = 0,666... suapvalinkime iki dešimtųjų
ir raskime gautos apytikslės reikšmės absoliučiąją ir santykinę
paklaidas.
Sprendimas.
- = 0,666... « 0 , 7 .
Absoliučioji paklaida
2
2_J_
-0,7
3
_1_
10
30
0,7
Σ
21
21
10
(a + bY = a2 + 2ab + b2.
2.
(a-b)2
= a2 - 2ab + b2.
3.
a2-b2
= {a +
2
•Ja·b
2
4.
(a+b)> = a + 3a b+ Iab
5.
6.
(a-bY
= a3-3a2b +
„3
i.3
a + o = (a + b)(a2-ab
7.
a
-b = (a-b)(a2
7.
a+b
b){a-b).
3
+/>'.
iab2-b\
+ b2).
+ab + b2).
1±
100,
K=—
M
100%;
čia M - mišinio bendra masė, kurioje yra m masės vienetų
tam tikros medžiagos.
5. S U T R U M P I N T O S D A U G Y B O S F O R M U L Ė S
1.
Sn=S0-
čia Sn - galutinis dydis, iki kurio per n kartų padidėjo (sumažėjo) pradinis dydis S0 , kaskart didėdamas (mažėdamas) p %.
Mišinio koncentracija:
= -22. = — , arba — 1 0 0 « 4 , 8 % .
Santykinė paklaida
Sudėtinių procentų formulė:
30'
1
-0,7
Dviejų skaičių α ir i procentinis santykis a = — T 00 % .
b
VIDURKIAI
- skaičių a ir b aritmetinis vidurkis.
- skaičių a ir b geometrinis vidurkis.
Dviejų skaičių aritmetinis vidurkis nėra mažesnis už jų
geometrinį vidurkį, t.y.
8.
1.
a" =
9.
LAIPSNIAI IR Š A K N Y S
ąaa-...-ą;
n dauginamųjų
čia a - realusis skaičius,
n - natūralusis skaičius.
1. Jei Ja=X,
Skaičiaus χ logaritmas pagrindu a yra laipsnio rodiklis,
kuriuo reikia pakelti skaičių a, norint gauti x, t.y.
tai x" = a.
Jei a ž О, л: £ 0, tai
Ja=XIog a χ = y, a" = χ, čia a > 0, a * 1 ir χ > 0.
aritmetinė n - tojo laipsnio
šaknis iš skaičiaus a.
2.
3.
Logaritmas pagrindu 10 žymimas Ig ir vadinamas
dešimtainiu, o logaritmas, kurio pagrindas yra skaičius e
( e « 2,7) , vadinamas natūraliuoju ir žymimas In.
a1 = a , a ° = l .
a~" = — , kai a * 0 .
a"
LOGARITMAI
2.
Iyla I =a, kai n> 1.
3.
\a
=| a I,
Pagrindinė logaritmų tapatybė:
kai n - lyginis skaičius.
4.
a " = U a m , kai a > 0.
O loga *
Atskiru
5.
1
a "
kai a > 0, a * 1 ir χ > 0.
IO l g j t =X, e h j c = χ.
atveju:
1
a, kai a > 0,
3a M
-
-a,
a'
kai
Pavyzdžiui,
4 1 ° 8 ' 5 = 5 , IO1g2 = 2.
a<0.
Sukiekvienu α > 0 , a * \ ir χ > 0, y > 0 teisingos lygybės:
kai a > 0.
6.
am - a" = am+n.
am = a" ;y/a = a".
m
7.
m
— =
a"
5.
J^b=J^-Jb.
6.
{ab)"=a b".
-I
UJ
log e „ xn = Iog fl x;
2.
Iog fl a = \, IglO = I, Ine = I;
8.
Iog 0 X-Iog^a = I
3.
\°%a{xy)=Iog f l X + Iog 0 y;
4.
Iog fl - = Iog fl χ - I o g a y;
y
= — , kai b* 0.
b"
5.
l o g f l x " =Zilog fl x ;
Jb
8.
9.
Iog 1 α
;
9.
IogeX=I0g^
Iogi, α
(b>0, i>*l)
-
logaritmo
pagrindo keitimo formulė.
6.
11.
arba Iog f l X=
kai b * 0 .
U
n
7.
10.
7.
m
(a )"=a ".
9.
I o g 0 I = O, Igl = O, Inl = O;
a ".
m
8.
1.
" J ^ = J ^
m
.
log
"
χ = - I o g a χ;
n
10. Iogfl X = Iog i X-Iog f l b.
Galimi atvejai:
10. L Y G T Y S
1) kai a *0,
10.1. BENDROS SĄVOKOS
•
•
Norėdami surasti kintamųjų reikšmes, su kuriomis du
reiškiniai A(x) ir B(x) įgyja tas pačias reikšmes, juos
sulyginame, t.y. sudarome lygtį su vienu nežinomuoju χ:
A(x) = B(x).
Dažnai vienas iš reiškinių A(x),
3) kai a = 0 , 6 * 0 , tai lygtis 0-x = b sprendinių neturi.
Aibė tų lygties
B(x) būna tiesiog skaičius.
A(x) = B(x)
kuriomis lygties reiškiniai A(x),
nežinomojo reikšmių,
B(x)
su
D = b2 - 4 a c
įgyja lygias skaitines reikšmes, vadiname lygties
sprendiniu.
•
ax2 +&t + c = 0, a Φ 0 - kvadratinės lygties bendras
pavidalas.
Kiekvieną nežinomojo χ reikšmę, su kuria reiškiniai A (x) ir
B(x)
•
10 J . KVADRATINĖS LYGTYS
yra apibrėžti, vadi-
nama lygties apibrėžimo sritimi.
•
tai tiesinė lygtis ax = b turi vieną sprendinį
b
χ = —;
a
2) kai a = 0 , b = 0, tai lygtis 0 · χ = 0 turi be galo daug
sprendinių, t.y. lygties sprendinys yra bet kuris realusis
skaičius;
•
Išspręsti lygtį - reiškia rasti visus jos sprendinius (arba
nustatyti, kad j ų nėra).
Lygtys vadinamos ekvivalenčiomis, jeigu jos turi tuos
pačius sprendinius (arba abi jų neturi). Kitaip sakant, dvi
lygtys, kurių sprendinių aibės sutampa, yra ekvivalenčios.
10.2. TIESINĖS LYGTYS
Tiesine lygtimi su vienu kintamuoju χ vadiname lygtį
αχ = b (a ir b realieji skaičiai), skaičius a vadinamas kintamojo
koeficientu, b - laisvuoju nariu.
kvadratinės lygties diskriminantas.
Sprendžiant kvadratinę lygtį ax2 +bx + c = 0
atvejai:
galimi trys
1) Kai D > 0 , tai kvadratinė lygtis turi du skirtingus
sprendinius X1 Wx 2 , kuriuos skaičiuojame pagal formulę:
_-b±yfp
•^12 —
2a
_ -b±^Jb2 - Лас
—
>
2a
2) Kai D = 0 , tai kvadratinė lygtis turi du lygius sprendinius,
kuriuos randame remiantis formule
_ ~b
X] 2
' ~ 2a'
3) Kai D < 0 , tai kvadratinė lygtis realiųjų sprendinių neturi.
Kvadratinės lygties
= -Jm
10.4. K V A D R A T I N I O T R I N A R I O S K A I D Y M A S
DAUGINAMAISIAIS. PILNO K V A D R A T O
IŠSKYRIMAS K V A D R A T I N I A M E T R I N A R Y J E
sprendiniai:
ir
X2=
Jm.
•
Pavyzdžiui,
lygties
x2 = 2
sprendiniai yra
jc,
Kvadratinio trinario skaidymo dauginamaisiais formulė:
ir
αχ2 + bx +c = a(x - X1 )(x
-x2);
X2=Jl.
čiaX 1 , X2 - kvadratinės lygties ax2 +bx + c = O sprendiniai.
•
Vijeto teorema.
Jei
Jei redukuotoji kvadratinė lygtis
x2+px
+ q = O turi du
sprendinius X1 ir X2 , tai j ų suma lygi lygties koeficientui prie Χ
kvadratinės
D = b2-4ac
lygties
neigiamas,
ax~+bx
tai
+c = O
kvadratinio
diskriminantas
trinario
išskaidyti
dauginamaisiais negalima.
su priešingu ženklu, o sprendinių sandauga lygi laisvajam nariui,
t.y.
X1 + X
2
= - P ,
X1-X2
Pavyzdys.
= Q .
Atvirkštinė Vijeto teorema. Jei skaičių m ve n suma lygi -p,
o jų sandauga lygi q, tai šie skaičiai yra lygties x 2 + px + q = O
Kvadratinė lygtis ox 2 + bx + c = Q,a*Q
čia a = 2, o kvadratinės lygties 2 x 2 - 3 x + l = 0 sprendiniai yra
turi:
1) dvi skirtingas teigiamas realiąsias šaknis, jei
•
Pilno kvadrato išskyrimo formulė:
D > O,
tenkinamos šios sąlygos:
nes
1
·
i
*i = 2 ir X 2 = 1 -
sprendiniai.
•
2x2-3x+l = 2^x-^j(x-l)=(2x-l)(x-l),
f
b) 2
ax2 +bx + c = a\ χ + — +
I
2a)
X1 + X2 > O,
4ac - b2
——.
4a
X1 X2 > 0;
2) dvi skirtingas neigiamas realiąsias šaknis, jei
10.5. B I K V A D R A T I N Ė S L Y G T Y S
D > O,
tenkinamos šios sąlygos: · X1 + x 2 < O,
X1 X2 > 0;
Bikvadratinė
nežinomojo
lygtis
pakeitimo
αχ 4 + bx2 +c = 0,a*0
metodu:
keitinio
sprendžiama
x2 = y
2
3) dvi skirtingų ženklų realiąsias šaknis, jei
\d > O,
tenkinamos šios sąlygos:
X1 · χ 2 < 0 .
bikvadratinė lygtis suvedama į kvadratinę lygtį ay
Suradę šios lygties sprendinius yt
2
spręsdami lygtis x =
2
ir x = y2.
ir y2,
pagalba
+ by+ c = 0.
rasime χ reikšmes
10.6. LYGTYS SU MODULIO ŽENKLU
•
Lygties | / ( x ) | = a , kai a ž O
sprendinių aibė yra dviejų
lygčių f ( x ) = a ir f ( x ) = -a
•
Lygtį \f(x)\ = g(x)
sprendinių aibių sąjunga.
galima spręsti dviem būdais:
1 būdas (remiantis modulio apibrėžimu).
Lygties |/(jc)| = g(jc) sprendinių aibė yra dviejų sistemų
( f ( x ) ž O,
<
.
, .
1)
.
τ
[ / W = gW
j f (χ) < O,
2)
[-/W =gW
sprendinių
aibių sąjunga.
2 būdas. Lygtis | / ( x ) | = g ( x ) ekvivalenti sistemai
JgW^O,
W(X)) 2
•
Iracionaliąją lygtimi vadiname lygtį, kurioje kintamasis yra
|)o šaknies ženklu.
Pagrindiniai iracionaliųjų lygčių sprendimo metodai:
1. Iracionaliųjų lygčių
keliant tuo pačiu laipsniu.
sprendimas
abi
lygties
/ W =gW ·
Γ
2. Iracionaliųjų lygčių sprendimas keičiant jas lygčiai
ekvivalenčia sistema.
[/W>0,
=OrW)2.
1) Lygtis y j f i x ) = yjg(x)
|/(x)| = |g(x)| sprendinių aibė yra lygčių
/ W = - g W sprendinių aibių sąjunga.
2 badas. Lygtis \f(x)\
r
2
= |g(x)| ekvivalenti lygčiai
2
O W) =Grw) .
ekvivalenti sistemai ^ g ( x ) > 0 ,
{ f ( x ) = g(x).
,
igW * O,
2) Lygtis yjf(x)=g(x)
ekvivalenti sistemai <
[ / W = g W3. Iracionaliųjų lygčių sprendimas pakeičiant nežinomąjį.
4. Iracionaliųjų lygčių sprendimas pakeičiant jas lygtimis
su modulio ženklu.
Lygties / ( | Χ I ) = g ( x ) sprendinių aibė yra dviejų sistemų
j χ > O,
0
4
l /"w = = g W
aibių sąjunga.
puses
Keliant abi iracionaliosios lygties puses kvadratu (arba bet
kuriuo lyginiu laipsniu), gaunama lygtis ne visada ekvivalenti
pradinei lygčiai, t.y. gautoji lygtis gali turėti tokių sprendinių,
kurie nėra pradinės iracionaliosios lygties sprendiniai (tokie
sprendiniai vadinami pašaliniais), todėl gautuosius sprendinius
būtina patikrinti įstatant juos į pradinę lygtį.
Lygtį \f(x)\ = | g W | galima spręsti dviem būdais:
1 bodas. Lygties
•
10.7. IRACIONALIOSIOS LYGTYS
.
fx < O,
ir
2)
/ ( - * ) = g(x)
sprendinių
*
*
-k
2) Logaritminė lygtis I o g / ( t ) a = Iog irfxt a ekvivalenti arba
10.8. RODIKLINĖS LYGTYS
Rodiklinė lygtis af(x)=ag(x),
čia a > 0 , a*\
yra ekvivasistemai
lenti lygčiai / ( χ ) = g(x).
f ( x ) = g(x),
/ ( x ) > O,
arba sistemai
f (X)*
g(x)> O,
L
g(x)*
i.
Pagrindiniai rodiklinių lygčių sprendimo bodai:
1) pagrindų suvienodinimo metodas, kai rodiklinė lygtis
pertvarkoma į lygtį
= ag(x},
3) Logaritminė lygtis l o g j { x ) g(x) = b ekvivalenti sistemai
'(/(χ))4 =g(x),
o po to į lygtį / ( x ) = g(x);
· / ( * ) > O,
2) nežinomojo pakeitimo metodas, kai rodiklinė lygtis
pa2x + qax + r = 0
2
kvadratinę lygtį py
keitinio
ax = y
pagalba
suvedama
f (Χ)* L
į
+ qy + r = 0.
4) Logaritminė lygtis log f(x) g(x) = log f(x
. h(x) ekvivalenti
f( X ) '
Pagrindiniai logaritminių lygčių sprendimo bodai.
1. Logaritminių
apibrėžimu.
lygčių sprendimas
remiantis
logaritmo
Lygtis Iog a f { x ) = b, α > O, a* 1, ekvivalenti lygčiai
f(x)= a.
2. Logaritminių lygčių sprendimas keičiant jas ekvivalenčia
lygčių sistema.
,
.f
. / / ( * ) = £(*),
arba sistemai <
[ / ( X ) > O,
arba sistemai
g(x)> O,
arba sistemai
, ekvivalenti
,
.f
. \ f ( x ) = g(x),
arba sistemai
> 0.
f ( x ) > O,
Д х ) > O,
f (X)* 1,
f (Χ)*
I
3. Naujo kintamojo įvedimo metodas
(a > O, a Φ 1, χ > 0) keitinio Iog a χ = y pagalba suvedama į
kvadratinę lygtį
Py1 + qy + r = 0.
4. Lygties abiejų pusių Iogaritmavimas vienu ir tuo pačiu
pagrindu.
Jei paprastesnis reiškinys / ( x ) , tai sprendžiame pirmąją
sistemą, o jei paprastesnis yra reiškinys / ( x ) , tai sprendžiame
antrąją sistemą.
h(x) > O,
Logaritminė lygtis p log 2 χ + q Iog a χ + r = O
b
1) Lygtis Iog a / ( x ) = Iog a g ( x ) , α > O, a
g ( x ) = h(x),
g(x) = h(x),
10.9. LOGARITMINĖS LYGTYS
*
*
*
12. N E L Y G Y B Ė S
11. L Y G Č I Ų S I S T E M O S
Sakykime, duota dviejų lygčių su dviem
kintamaisiais
/ / ( J f j J O = O,
sistema {
[g(x,y) = 0.
•
Kai norime nustatyti, su kuriomis kintamojo reikšmėmis
vienas reiškinys įgyja mažesnes (arba didesnes) reikšmes negu
kitas reiškinys, sprendžiame nelygybę.
Sąryšiai A(x)>B(x),
Kiekvieną kintamųjų reikšmių porą, su kuria kiekviena
sistemos lygtis virsta teisinga skaitine lygybe, vadiname
lygčių sistemos sprendiniu.
A(x)<B(x)yra
A(x)<B(x),
A(x)>B(x),
nelygybės su vienu nežinomuoju x; čia
A(x)
ir B(x) - reiškiniai su vienu kintamuoju*; dažnai vienas iš šių
reiškinių būna tiesiog skaičius.
•
Išspręsti lygčių sistemą tai reiškia rasti visus jos sprendinius
arba įrodyti, kad sistema sprendinių neturi.
• Nelygybės su vienu nežinomuoju apibrėžimo sritimi
vadinama aibė tų nežinomojo reikšmių, su kuriomis visi
nelygybės reiškiniai turi prasmę.
•
Dvi lygčių sistemos, turinčios tuos pačius sprendinius arba
abi sistemos neturinčios sprendinių, vadinamos ekvivalenčiomis.
Kiekvieną nežinomojo reikšmę, su kuria nelygybė tampa
leisinga skaitine nelygybe, vadiname nelygybės sprendiniu.
Išspręsti nelygybę - reiškia surasti visus jos sprendinius
arba įrodyti, kad nelygybė jų neturi.
Tiesinių lygčių su dviem kintamaisiais sistema
axx+bxy
= ct,
Dvi nelygybės, kurios turi tuos pačius sprendinius arba abi
sprendinių neturi, vadinamos ekvivalenčiomis.
a2x + b2y = C2:
1) turi vienintelį sprendinį, o lygčių grafikai (tiesės) susikerta
, - 0 I
b,
viename taške, kai — Φ — :
a2
b2
Tiesine nelygybe su vienu kintamuoju χ vadiname nelygybę
ax>b ,a vadinamas kintamojo koeficientu, b - laisvuoju nariu.
2) neturi sprendinių, o tiesės lygiagrečios, kai
a2
= — Φ —;
b2
c2
3) turi be galo daug sprendinių, o abi tiesės sutampa, kai
Q1
b2
C2
12.1. TIESINĖS NELYGYBĖS
Sprendžiant tiesinę nelygybę ax> b, galimi sekantys atvejai:
1) jei a > 0 , tai χ > — ir sprendinių aibė yra
a
intervalas ( —; oo);
Pateikiame
2) jei a < О , tai χ < — ir sprendinių aibė yra
a
kvadratinių
nelygybių
sprendimo
intervalų
metodu lentelę ( x , , X 2 - kvadratinės lygties a x 2 + f o x + c = 0
sprendiniai):
intervalas I - oo : —
a,
3) jei α = O , tai gauname nelygybę O · д;> b.
Kvadratinė nelygybė
kai b < O, tai nelygybės sprendinys yra kiekvienas
realusis skaičius χ e (-00;oo).
Sprendiniai
2
ax + bx + c > 0, a > 0
Kai b> O, ši nelygybė sprendinių neturi,
Pastovaus lenklo
intervalai
u(x - x,)(x- x2)> 0
+
V " !
X1
C2 X
ax2 +bx + c >0, a > 0
χ e (- 00; X1 ) u (x2; со)
χ e (-00; x,]w[x 2 ; со)
a(x-jc,)(x-x2)>0
αχ2 + bx + c < 0, a > 0
12.2. K V A D R A T I N Ė S N E L Y G Y B Ė S
1.
Kvadratinė nelygybė ax2 + fox + c > O:
1) teisinga su visomis realiosiomis kintamojo χ
reikšmėmis, kai
XS(X1JX2)
a(χ - X1 )(x - X2) < 0
ax2 + bx + c < 0, a > 0
a(x-x,)(x-x2)<0
+ V V N
Xi
д
xe[x,;x2]
D< O,
α > 0;
2) sprendinių neturi, kai
12.3. R A C I O N A L I O S I O S N E L Y G Y B E S
Л<0,
a< 0.
1. Nelygybės
> O ( / ( x ) · g ( x ) > θ) sprendinių aibė yra
g W
2.
Kvadratinė nelygybė αχ 2 +fox+ c < O:
1) teisinga su visomis realiosiomis kintamojo χ
reikšmėmis, kai
\D < O,
J/(x) >0,
dviejų sistemų <
l&M >O
sprendinių aibių sąjunga.
.
ir
i / ( x ) < O,
U(X) < O
β < 0;
2) sprendinių neturi, kai
D< O,
α > 0.
Jei D £ O, tai kvadratinės nelygybės sprendžiamos intervalų
metodu arba grafiko pagalba.
2. Nelygybės
< 0 ( / ( x ) · g ( x ) < θ) sprendinių aibė yra
g(x)
J f ( x ) > O, .
dvieių sistemų <
ir
4
\g(x) < O
sprendinių aibių sąjunga.
J / ( x ) < O,
U(x) > O
f(x)
3. Nelygybės
ž O sprendinių aibė yra dviejų sistemų
Nelygybė | / ( x ) | > | g ( x ) |
g(x)
/WiO,
.
ir
g(x)> O
f(
4. Nelygybės
2
i/M^o,
·(
[gW<0
X
)
.
.
sprendimų aibių sąjunga.
(/W) >(gW) ·
Nelygybės | / ( x ) | > a , k u r a ž O sprendinių aibė yra dviejų
i O sprendinių aibė yra dviejų sistemų
nelygybių f(x)>a
g(x)
f(x)Z
O,
g(x)<0
.
ir
ekvivalenti nelygybei
2
ir f(x)<-a
sprendinių aibių sąjunga.
Kai a < O , tai nelygybės |/(x)[ > a
Jf(X)ZO,
.
.
<
sprendinių aibių sąjunga.
[g(x) > O
12.4. DVIGUBOS N E L Y G Y B Ė S
Dviguba nelygybė a<f(x)<b
kuris realusis
. \ m < b ,
sistemai <
reiškinio
f(x)
apibrėžimo sričiai.
Nelygybė
ekvivalenti nelygybių
sprendinys yra bet
skaičius x, priklausantis
nelygybei
sistema
[ / ( • * ) > a-
|/(x)|<a,
kur
-a< f(x)<a,
f(x)<a,
ekvivalenti
dvigubai
kurią galima pakeisti nelygybių
Kai
f(x)>-a.
a> O
aš O, tai nelygybė
i ,
\f(x)\<a
sprendinių neturi.
12.5. N E L Y G Y B Ė S SU M O D U L I U
1. Nelygybė
|/(x)|<a,
nelygybei -a < f(x)<a\
dinių neturi.
kur
α>O
ekvivalenti
12.6. RODIKLINĖS N E L Y G Y B Ė S
dvigubai
jei α < O, tai ši nelygybė spren-
Kai a> 1, tai rodiklinė nelygybė at<x)
> aglx)
ekvivalenti
nelygybei f ( x ) > g(x).
2. Nelygybės | / ( x ) | > a , kur a > O sprendinių aibė yra dviejų
nelygybių f(x)>a
ir f(x)<~a
sprendinių aibių sąjunga;
jei a < O, tai šios nelygybės sprendinys yra bet kuris realusis
skaičius x, priklausantis reiškinio f ( x ) apibrėžimo sričiai.
3. Nelygybės \f(x)\ > g(x)
f (χ) ž O,
f(x)>g(x)
.
sprendinių aibė yra dviejų sistemų
f / ( x ) < O,
. ...
.
ir -į
sprendinių aibių sąjunga.
f ( x ) > g(x)
Kai
O < a < 1,
tai
rodiklinė
nelygybė
a i<x> > agix)
ekvivalenti nelygybei / ( x ) < g(x).
Kai
a > 1,
b >O
tai
rodiklinė
nelygybė
a fix)
>b
af(x)
>b
ekvivalenti nelygybei / ( x ) > Iog a b.
Jei
O < a < 1,
b > O , tai rodiklinė nelygybė
ekvivalenti nelygybei f ( x ) < Iog a b.
5. Jei
a>O,
af(x)>b
o b<>O, tai rodiklinės nelygybės
S. Nelygybės I o g g w f(x)>
sprendinys yra bet kuris realusis skaičius x, priklausantis
reiškinio f ( x ) apibrėžimo sričiai.
suvedame
į
kvadratinės
nelygybės
O < g(x) < 1,
g(x) > I
yra dviejų sistemų
Дх)
> O,
f ( x ) > O,
c
f(x)>(g(x))
6. Nelygybės Aa2x +Bax + C > O sprendimą keitinio y = ax
pagalba
c sprendinių aibė
/(x)<{g(x)Y
sprendinių aibių sąjunga.
Ay2 + By+ C > O sprendimą.
(>. Nelygybės log ,X)f(x)>0
yra dviejų sistemų
1. Kai a > i , tai nelygybė Iog a f ( x ) > Iog a g ( x )
ekvivalenti nelygybių sistemai
O < g(x) < 1,
g(x)>l
12.7. LOGARITMINĖS NELYGYBĖS
f f(x)>g(x),
sprendinių aibė
/ ( χ ) > o,
ir
/W>1
O,
/ ( X ) >
/ « < 1
sprendinių aibių sąjunga.
g ( x ) > o.
7. Nelygybės I o g g w / ( x ) > log ? ( x ) h(x) sprendinių aibė
2. Kai O < a < 1, tai nelygybė Iog a / ( x ) > Iog a g(x)
{
3. Kai a > 1 , tai nelygybė Iog a
/(x) < g(x
f ( x ) > 0.
f(x)>b
ekvivalenti nelygybių sistemai
yra dviejų sistemų
g(x)> 1,
O < g(x) < 1,
/ ( χ ) > O,
/ ( X )
h(x) > O,
h(x) > O,
f ( x ) > h(x)
/(x)<h(x)
sprendinių aibių sąjunga.
f(x)>ab,
/ ( * ) > 0.
4. Kai 0 < α < 1 nelygybė l o g a f ( x ) > b
ekvivalenti nelygybių sistemai
•k
Ax)
< a",
/W>0.
ic
"k
> O,
•
13. S K A I Č I Ų S E K O S . P R O G R E S I J O S
13.1. SKAIČIŲ SEKOS SĄVOKA
Skaičių seka vadinama natūraliojo argumento funkcija
a„ = f (n).
Šios funkcijos reikšmės
a 3 = / ( 3 ) ; ...; an = f{n)\...
o, = /(1);
Seka gali boti išreikšta:
1) Formule, nurodančia, kaip apskaičiuoti sekos л-ąjį narį.
,r tai o, =
ne N,
1
Didėjančias ir mažėjančias sekas vadiname monotoninėmis.
O2 = / ( 2 ) ;
antruoju, trečiuoju,..., n-uoju,... sekos nariu. Seka, kurios nariai
Pavyzdžiui,
•
13.2. ARITMETINĖ PROGRESIJA
vadinamos atitinkamai pirmuoju,
yra α,,ο 2 ,α 3 ,...,o„,... žymima (o„).
•
Skaičių seką (a„), kurios kiekvienas narys yra mažesnis už
priešjįeinantį,t.y. a„+1 < an (n e N), vadiname mažėjančia.
jei seka (o„)
išreikšta formule a„ ••
1
n+2
1 1=—; a =——1 1= —; a , =
1 =1—· irt.t.
. .
22
1+2 3
2+2
4 ^
3+2
5
2) Rekurentiniu būdu, kai nurodomas pirmasis sekos
narys (arba keli pirmieji nariai) ir nurodoma formulė, pagal kurią
n-asis sekos narys apskaičiuojamas iš prieš j į esančių narių.
Pavyzdžiui, jei žinoma, kad o„+1 =(n + 2)an
Aritmetinė progresija yra skaičių seka, kurios kiekvienas
narys, pradedant antruoju, lygus prieš jį esančio nario ir pastovaus skaičiaus sumai. Kitaip sakant, seka (a„) yra aritmetinė
progresija, jei su kiekvienu natūraliuoju n (n >2) teisinga lygybė
an =an_į + d; skaičius d - aritmetinės progresijos skirtumas.
I. n - tojo nario formulė: an = al +
(n-\)d
2. Charakteristinė savybė. Kiekvienas aritmetinės progresijos
narys, išskyrus pirmąjį (ir paskutinįjį, kai aritmetinė progresija yra baigtinė), lygus gretimų narių aritmetiniam
vidurkiui, t.y.
(n > 2).
ir a, = 1, tai
O2 = (1 + 2)-0, = 3 ; O3 = ( 2 + 2)-o 2 = 4-3 = 12 irt.t.
3.
am + an = ak + a , kai m + n = k + p.
3) Žodiniu būdu, kai seka apibrėžiama žodine taisykle.
Pavyzdžiui, sekos 2,71; 2,718; 2,7182; ... kiekvienas narys
yra skaičiaus e = 2,71828... artinys.
•
Skaičių seką, kaip skaitinę funkciją, galima geometriškai
pavaizduoti taškais koordinačių plokštumoje.
•
Skaičių seką (a n ), kurios kiekvienas narys yra didesnis už
prieš jį einantį, t.y. a„ +1 > a„ (n e N), vadiname didėjančia.
4. Pirmųjų n narių sumos formulės:
1)
5,, = 0 , + ¾ + ¾ + ... + ¾;
Oj+fiį
2)
n;
3)
j.
_ 2o,
+(n-\)d
Γ
n.
13.3. GEOMETRINĖ PROGRESIJA
14. F U N K C I J O S IR J Ų G R A F I K A I
14.1. BENDROS SĄVOKOS
Geometrinė progresija yra nelygių nuliui skaičių seka,
kurios kiekvienas narys, pradedant antruoju, lygus prieš j į
esančiam nariui, padaugintam iš pastovaus skaičiaus. Kitaip
sakant, seka (b„) yra geometrinė progresija, jei su kiekvienu
natūraliuoju n [n > 2) teisinga lygybė b„ = bn_rq,
bn*0,
q * O,
skaičius q - geometrinės progresijos vardiklis.
1. n - tojo nario formulė:
bn=bvr\
2. Charakteristinė savybė. Kiekvienas geometrinės progresijos narys, išskyrus pirmąjį (ir paskutinįjį, kai geometrinė
progresija baigtinė), yra lygus prieš jį esančio nario ir po j o
einančio nario geometriniam vidurkiui, t.y.
b„=yjb„., A + i
bmb„ = bkb
(" - 2),
arba
b2„=b„_rb„+l,(n>2).
, kai m + n = k + p.
b
\-qb„
1 -ą
_
2)
S„ =
• Funkcijos reikšmė kintamojo χ reikšmę.
kintamojo y
reikšmė,
atitinkanti
• Funkcijos apibrėžimo sritį sudaro visos reikšmės, kurias
gali įgyti nepriklausomasis kintamasis (argumentas) x.
Funkcijos / ( * ) apibrėžimo sritis žymima Df, arba
D(J).
• Funkcijos reikšmių sritimi vadinama aibė visų funkcijos
f ( x ) reikšmių ir žymima E f , arba E ( f ) .
• Funkcijos grafiku vadinama aibė visų koordinačių
plokštumos taškų, kurių abscises yra argumento χ reikšmės, o
ordinatės - funkcijos f ( x ) atitinkamos reikšmės.
4. Pirmųjų n narių sumos formulės:
1)
• Funkcija yra kintamojo y priklausomybė nuo kintamojo x,
kai kiekvieną χ reikšmę pagal tam tikrą taisyklę atitinka
vienintelėj reikšmė.
Kintamasis χ vadinamas nepriklausomuoju kintamuoju,
arba argumentu, o kintamasis y - priklausomuoju kintamuoju
arba argumentu. Kai kintamasis y yra kintamojo χ funkcija,
rašome y = f ( x ) .
•
bx(\~qn)
Funkciją galima apibrėžti:
1) Analiziškai, kai duotas reiškinys f ( x ) su kintamuoju x,
1 -q
pagal kurį skaičiuojamos funkcijos y = f ( x ) reikšmės.
S. Nykstamosios geometrinės progresijos, kurios
sumos formulė:
| g | < 1,
Pavyzdžiui,
y = 5x 2 +1; y = sin(x +1).
2) Reikšmių lentele (pavyzdliui,
logaritmų ir kitos lentelės);
S= A .
\-q
trigonometrinių funkcijų,
3) Grafiškai, jei žinomas funkcijos grafikas;
4) Pateikiant funkcijos aprašymą.
•
Funkcija
у =f( χ )
vadinama
didėjančia intervale (a,b),
•
jei bet
Funkcija y = f ( x ) vadinama nelygine, jei kartu su kiek-
viena argumento χ reikšme iš funkcijos apbrėžimo srities
D(y)
kuriems Jc1 ir x2 iš intervalo (a, b)
reikšmė ( - x ) irgi priklauso tos funkcijos apibrėžimo sričiai, be
iš nelygybės x, < X1 seka nelygybė
lo, yra teisinga lygybė
•
Funkcija
= -/(*)·
A~x)
/(X1) < / ( x 2 ) .
y =/(x)
У) 1
vadinama
mažėjančia intervale (a,b),
jei bet
kuriems x, ir x 2 iš intervalo
/ \y=Ax)>
-a
V
(a,b)
iš nelygybės x, < x 2 seka nelygybė
/(χ, )>/(x2).
•
•
Didėjančias ir mažėjančias intervale funkcijas vadiname
monotoninėmis funkcijomis tame intervale, o patį intervalą monotoniškumo intervalu.
0
α
"x
Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas koordinačių
pradžios taško O atžvilgiu.
Funkcija y = f ( x ) vadinama periodine, jei egzistuoja toks
skaičius T * O , kad kartu su kiekviena argumento χ reikšme ii
funkcijos apbrėžimo
srities reikšmės
χ-T
ir
χ+ T
irgi
priklauso tos funkcijos apibrėžimo sričiai, be to, yra teisingi
lygybė
•
f ( x ± T ) =f(x).
Funkcija y = / ( x ) vadinama lygine, jei kartu su kiekviena
argumento χ reikšme iš funkcijos apibrėžimo srities
D (y)
reikšmė ( - x ) irgi priklauso tos funkcijos apibrėžimo sričiai, be
to, yra teisinga lygybė
A - X ) =
f (χ).
y =
T* O vadinamas funkcijos y = f ( x )
periodu
yra funkcijos y = f ( x ) periodas, tai vis:
skaičiai, kurių pavidalas yra kT, kur k e Z, k* O , taip pat yre
iios funkcijos periodai, t.y. periodinė funkcija turi be galo daug
Lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas ordinačių ašies
(Oy ašies) atžvilgiu.
M
Skaičius
Ieigu skaičius T
Ax)
periodų:
..., - 3 7 \ - 2 T , - T , T , 27", 3T,...
Mažiausias teigiamas periodas (t.y. periodas T ) dar vadinamas pagrindiniu. Jis paprastai ir nurodomas, kai kalbama apie
funkcijos periodiškumą.
•
Jei
y = f(ax
funkcijos
y =f(x)
periodas
T
+ b) periodas yra skaičius —.
a
yra
T,
tai
funkcijos
PavyzdUui,
funkcijos у = sin(3x + 2) mažiausias teigiamas
periodas yra skaičius ~ , o funkcijos y = tg2x - skaičius ~ .
•
Jei funkcija y = / ( x ) apibrėžta ir didėja (mažėja) intervale
[e, i ] , o jos reikšmių sritis yra intervalas
atvirkštinę funkciją y = g(x),
Tiesioginio proporcingumo y = kx (k * θ) grafikas yra
tiesė, einanti per koordinačių pradžią (skaičius k vadinamas
proporcingumo koeficientu).
tai ji turi
kuri yra apibrėžta, didėja (mažėja)
intervale \c,d ] , o jos reikšmių sritis yra intervale [a,
Funkcijos y = / ( x )
14.2. TIESIOGINIS PROPORCINGUMAS
ir y = g ( x )
b\.
vadinamos tarpusavyje
atvirkštinėmis. Jų grafikai yra simetriški tiesės y = χ atžvilgiu.
Atvirkštinės
funkcijos
radimo
taisyklė.
Kai
funkcija
y = / ( x ) yra apgręžiama, tai, išreiškę χ iš formulės y = / ( x ) ,
gauname lygybę χ = g(y),
kurioje, sukeitę χ ir y vietomis,
gauname atvirkštinę funkciją y = g(x).
14.3. TIESINĖ FUNKCIJA
Pavyzdys. Raskime funkciją, atvirkštinę funkcijai y = 2x +1.
Sprendimas. Duotoji funkcija apibrėžta visoje skaičių tiesėje
(-00; 00) ir yra didėjanti. Todėl ši funkcija turi atvirkštinę
funkciją. Norėdami j ą surasti, naudosimės atvirkštinės funkcijos
radimo taisykle.
v-1
1) Iš lygybės y = Ix +1 išreikškime x. Turime χ =
.
2) Lygybėje
v-1
x=—
kintamuosius χ ir y
sukeiskime
vietomis. Gausime: v = ——- = — χ—i-. Funkcija y = — x~—
2
2
2
2
2
yra atvirkštinė funkcija duotajai funkcijai y = 2x +1.
,
,
Atsakymas.
У
=
1 1
ir
Tiesinės funkcijos y = kx + b (k ir b - realieji skaičiai)
grafikas yra tiesė. Skaičius k vadinamas krypties koeficientu;
k = tg a.
Koordinačių
14.4. KVADRATINĖ FUNKCIJA
Kvadratinės funkcijos y = ox +bx+c, kur a, b, c — bet
kurie realieji skaičiai, o a * O, grafikas yra parabolė. Parabolės
viršūnės л(х 0 ;y 0 ) koordinatės:
tašką ( - 2 ; - 9 ) .
plokštumoje
pažymime
parabolės
viršūnės
Surasime, kuriuose taškuose parabolė kerta
abscisių ašį. Šių taškų abscises yra lygties
x1 + Ax-S = O
sprendiniai Xi = - 5 ir X1 = X. Taigi parabolė kerta abscisių ašį
taškuose ( - 5 ; 0) ir (1;0).
b
x0 = - — ,
2a
2 ,
y0 = ax0+bx0+c
Aac-b2
=
Randame, kuriuose taškuose parabolė kerta ordinačių ašį:
.
Ag
kai
Kvadratinės funkcijos y = ax" + bx+ c grafiko ir abscisių
ašies
susikirtimo
2
ax +bx+c = 0
taškų
šaknų
skaičius
lygus kvadratinės
skaičiui, kurį nustato
lygties
diskriminanto
1
D = b - Aac ženklas.
x = 0,
tai
j = 02 + 4 0 - 5 = - 5 .
Taigi parabolė kerta
ordinačių ašį taške ( 0 ; - 5 ) .
Parabolės simetrijos ašis yra tiesė χ = - 2 . Parabolės šakos
nukreiptos aukštyn, nes funkcijos išraiškoje
y = x2 + Ax-S
koeficientas prie x 2 yra lygus 1, t.y. teigiamas skaičius.
Kai a > O, tai funkcijos y = ax2 +bx+c grafiko - parabolės
šakos nukreiptos aukštyn, kai a < O, - žemyn.
Kvadratinės funkcijos y = ax2 + bx+c
apibrėžimo sritis yra
visų realiųjų skaičių aibė R : D(y) = (-oo;oo).
Parabolės simetrijos ašis yra tiesė χ = — — .
2a
Pavyzdys. Nubraižykime funkcijos y = x2 + Ax - 5 grafiką.
Sprendimas.
Duotosios funkcijos grafikas yra parabolė,
kurios viršūnės abscisę apskaičiuojame pagal formulę
χη = -—.
2a
Gauname: X0n = — ~ = -2.
2-1
{ funkcijos išraišką y = x2 + Ax-5
randame parabolės viršūnės ordinatę:
j' 0 = ( - 2 ) 2 + 4 - ( - 2 ) - 5 = - 9 .
vietoje д-įrašome ( - 2 ) ir
Pateikiame įvairius parabolės y = ax2 + bx+c išsidėstymo
koordinačių plokštumoje atvejus, priklausomai nuo koeficiento a
ir diskriminanto D ženklų:
14.5. ATVIRKŠTINIS PROPORCINGUMAS
lę
y = — (k - atvirkštinio
χ
proporcingumo koeficientas, k ^ O ) grafikas yra hiperbolė.
Atvirkštinio
3.
a > 0, D = O
U,
4.
У)
\
0
*0
proporcingumo
a < 0,D = 0
y>
0
14.6. LAIPSNINĖ FUNKCIJA
^x
/
•
y = χ", n - lyginis natūralusis skaičius, t.y. n = 2, 4, 6 , . . .
Atskiru atveju, kai n = 2 ,
šios funkcijos grafikas parabolė
•
у = χ", n- nelyginis natūralusis skaičius, t.y. n = 1, 3, 5 , .
it - lyginis skaičius
УА
•
Atskiru atveju, kai n = 3 ,
šios funkcijos grafikas parabolė
My
'y=x
Laipsninės funkcijos su sveikuoju neigiamuoju rodikliu
j» = j c " = —
Laipsninės funkcijos su teigiamuoju trupmeniniu rodikliu
y = xn
Pavyzdys:
Atskiru atveju, kai
(n - natūralusis skaičius) grafikas.
= x2,
n - lyginis s kaičius
Л
I — > 0 , и > 1J grafikas.
n - nelygini s skaičius
У)
У/
1
i
1
-1i
^
i
>
arba y =-Jx :
m = 1, o
n= 2
gauname funkciją
•
Laipsninės
funkcijos
rodikliu y = x"
su
neigiamuoju
I — < 0 , л > 1 j grafikas.
Pavyzdys:
n - lyginis skaičius
4
n - nelyginis skaičius
*
*
*
trupmeniniu
14.7. RODIKLINĖ FUNKCIJA
14.10. FUNKCIJŲ GRAFIKŲ TRANSFORMACIJOS
•
Norint gauti funkcijos y = f ( x + c)
grafiką iš funkcijos
y = f ( x ) grafiko, reikia visus pastarojo taškus pastumti per c
vienetų į kairę, jei c > 0 arba per | c \ vienetų į dešinę, jei c < 0 .
y = f( ΛΓ+2)
y = /(x-2)
• Norint gauti funkcijos y = f(x)+B
vienetų į viršų, jei
B> 0
Paveiksle pavaizduoti
funkcijų
Paveiksle pavaizduoti
funkcijų
У=
4
5
Norint gauti
funkcijos
2 ir
2
JC
•
•
+
У = Ax)~
grafikai.
У=
Ax-2)
grafikai.
3
Ax),
y = f(JC)
У — f ( x + 2) ir
2
arba per Į B | vienetų į apačią,
jei B < 0 .
y=Αχ),
1
grafiką iš funkcijos
y = f ( x ) grafiko, reikia visus pastarojo taškus pastumti per B
y = f(ax)
grafiką iš funkcijos
Norint gauti
У = f(x)
funkcijos
y = Af(x)
grafiką iš funkcijos
grafiko, reikia: pastarąjį ištempti išilgai ordinačių (Oy)
y = f ( x ) grafiko, reikia: pastarąjį suspausti išilgai abscisių
ašies A kartų, kai A > 1, ir suspausti (taip pat išilgai ordinačių
(Ox)
a kartų, kai a > 1, ir ištempti (taip pat išilgai abscisių
(Oy) ašies) — kartų, kai 0 < A < 1 .
(Ox)
ašies) — kartų, kai 0 < a < 1.
a
Paveiksle pavaizduoti
funkcijų
У=f(X),
y = f(2x)
Paveiksle pavaizduoti
funkcijų
y = Ax),
y = 2.f(X) ir
ir
y=\f(x)
grafikai.
grafikai.
14.1. FUNKCIJŲ SU M O D U L I U G R A F I K Ų B R A I Ž Y M A S
•
•
pirmiausia jau žinomu būdu nubraižome funkcijos y = f (
Funkcijos
y =|/(x)|
grafikas
gaunamas
iš
funkcijos
y = f ( x ) grafiko sekančiu būdu: grafiko dalį, esančią virš χ
ašies, paliekame nepakeistą, o grafiko dalį, esančią po χ ašimi,
Funkcijos j> = | / ( | x | ) |
grafiką braižome sekančiu būdu:
|x|)
grafiką, o po to ieškomosios funkcijos y = | / (| χ | )| grafiką.
Pavyzdys:
atvaizduojame į simetrinę jai dalį χ ašies atžvilgiu.
Pavyzdys:
15.
•
Funkcijos
j=(|jc|)
grafikas
gaunamas
y = f ( x ) grafiko sekančiu būdu: kai x > 0
iš
funkcijos
funkcijos y = f ( x )
TRIGONOMETRIJA
15.1. K A M P Ų M A T A V I M O VIENETŲ TARPUSAVIO
PRIKLAUSOMYBĖ
grafikas išlieka tas pats, t.y. grafiko dalis, esantis į dešinę nuo y
I
ašies lieka nepakitusi , o kai χ < O, tai gautoji grafiko dalis,
r a r f
= I ^ «57°,
π
esanti į dešinę nuo y ašies, atvaizduojama į simetrišką jai dalį y
I0 =
ašies atžvilgiu.
180
rad » 0,01745 rad,
Pavyzdys:
a°
Pavyzdys:
180
a
12° = —
12 = — rad.
180
15
, 180°
.
.
a rad =
a laipsnių.
π
_
Pavyzdys:
7π
—rad
4
=
180° 7 π
π
4
„,„
= 315°.
rad,
Mažiausias teigiamas
periodas) yra 2 π .
15.2. T R I G O N O M E T R I N I Ų F U N K C I J Ų A P I B R Ė Ž I M A S
sma=
Ąa(xa-,ya)
(1)
ya,
cos α =
(2)
lygybės
funkcijų
dažnai
periodas
naudojamos
(pagrindinis
trigonometrinių
funkcijų reikšmių skaičiavimui, kai argumentai didesni už 360°.
xa,
sin α
ir
šių
_
tg« = cos α
ya
15.4. T R I G O N O M E T R I N I Ų FUNKCIJŲ ŽENKLAI
KETVIRČIUOSE
sinx
cosx
tgx
ctgx
Ctgo- =
sina
ya
15.3. T R I G O N O M E T R I N I Ų FUNKCIJŲ S A V Y B Ė S
sin(-jc) = - s i n χ - sinusas nelyginė funkcija ;
cos(-x) = c o s x - kosinusas lyginė funkcija ;
15.5. PAGRINDINIŲ T R I G O N O M E T R I N I Ų FUNKCIJŲ
REIKŠMIŲ LENTELĖ
t g ( - x ) = - t g x - tangentas nelyginė funkcija ;
ctg ( - x ) = - c t g x - kotangentas nelyginė funkcija .
Trigonometrinės funkcijos 7 = s i n x ,
y = cosx,
y = tgx,
y = c t g x , yra periodinės funkcijos.
(2)
(1) lygybės rodo, kad visi skaičiai, kurių bendras pavidalas
2 n k , k e Z, k Φ O yra funkcijų jy = sinx ir y = c o s x periodai
(pvz.,... - 6 π ,
-4π,
-2π,
2π,
4π,
6 π , ...). Mažiausias
teigiamas šių funkcijų periodas (pagrindinis periodas) yra
lit.
a°
0°
arad
O
sin ar
O
tg a
keZ,
k* O yra funkcijų y = t g x ir .y = Ctgx perio-
dai (pvz.,... - 4 π ,
-3π,
-2π,
-π,
π,
2π,
3π,
4 π , ...).
ctga
K
π
4
π
7
1
2
A
A
A
1
л/J
VJ
1
A
2
3
A
180°
270"
360°
π
2
π
3π
2
2π
1
0
-1
0
0
-1
0
1
2
1
2
O
—
2
2
A
(2) lygybės rodo, kad visi skaičiai, kurių bendras pavidalas π k,
45°
1
cos a
Argumentai
60°
90°
30°
з
—
0
0
—
—
0
0
—
15.7. PAGRINDINĖS TRIGONOMETRINĖS FORMULĖS
15.6. R E D U K C I J O S F O R M U L Ė S
PAGRINDINĖS TAPATYBĖS
•
Redukcijos taisyklė:
1)
kampų
t g a Ctga = I;
sin2 a + cos 2 a = 1;
π±α
ir
2π+α
funkcijos pavadinimas
nekei-
sin
tgačiamas, o kampų l ± a
ir
2
2
keičiamas (sinusas - į kosinusą, kosinusas - į sinusą,
tangentas - į kotangentą, kotangentas - į tangentą);
2)
ctgar=
funkcija dešiniojoje lygybės pusėje rašoma su tokiu pat
ženklu, kurį turi pradinė funkcija atitinkame ketvirtyje.
•
or
1
2
1 + tg a =
į—;
a
,
1
1+ctgV = - 3 - ,
sin a
;
cos a
funkcijos pavadinimas
cos a
.
;
sina
cos
ARGUMENTŲ SUDĖTIES FORMULĖS
s i n ( a + / ? ) = s i n a c o s /tf+cosarsin/?;
Redukcijos formulių lentelė:
s i n f o - - / ? ) = sin cc cos β — cos α sin β\
Argumentas t
Funkcij
CS
π
a
2
π
—+a
2
π- a
π+α
cos ( α + β)= cos α cos β-sin
3π
2
a
3π
—
+a
2
c o s ( a -β)=
2 π-a
*
sini
cos α
cos a
sine?
-sin α
-cos α -cos a
-sin a
cosi
sin a
-sin α
-cos or
-cos α
-sin α
cos a
+
« s i n β\
cos a cos β + sin α sin β\
1-tga-tg/?
tg(a-/*)«J8pM
1 + t g a · tg/
KARTOTINIO ARGUMENTO FORMULĖS
sin a
s i n ( 2 a ) = 2 sin α cos α ;
2
tg t
Ctg t
ctg a
tga
-ctga
-tg a
-tga
-ctga
tga
ctga
ctga
tga
-ctga
-tga
-tga
-ctga
c o s ( 2 a ) = cos a - s i n 2 a = 1 - 2 s i n 2 α = 2cos 2 a - 1 ;
t g ( 2 c t g ( 2 a ) = b ^ =
1 - tg a
2tga
^ Z ^ .
2
TRIGONOMETRINIŲ FUNKCIJŲ SUMOS BEI SKIRTUMO
KEITIMO SANDAUGA FORMULĖS
. 2
l-cos(2a)
sin a =
i—-;
2
.
. ал-β
a - β
sin ar+ sin rZ?= 2sin
— cos
—
2
2
.
.
a + ,0 .
α-β
s i n a - s i n / ? = 2 cos
— sm
—
2
2
cos a- + cos ρ = 2cos
.
.
cos o r - c o s B = - 2 s m
2
—cos
αλ-β
.
— sin
2
2
1 - cos(2a) = 2 sin 2 a ;
—;
α-β
2
sin a cos β = • i ( s i n ( a - /?) + sin(a + / ? ) ) ;
));
, [•i
Γ~
tga
1
i ar = ±V 1 - c o s a = — = = = = = — .
;
± y l + tg 2 ar
l^/l + ctg2»
ISa = I V l - S i n a = — .
=—.
;
±J\ + tg2a
± y l + ctg 2 ar
tga =
TRIGONOMETRINIU FUNKCIJŲ IŠREIŠKIMAS
PUSĖS ARGUMENTO TANGENTU
sma =
i+ tg2-
±Vl -cos2a
sin a
2
a
cos
1
ct
«
S f l "'
+ cos(a + ^ ) ) .
ctga:
<
1 + cos(2a) = 2 cos 2 a .
VIENŲ TRIGONOMETRINIU FUNKCIJŲ
IŠREIŠKIMAS KITOMIS
± Vl-sin
cos a cos/? = i ( c o s ( a -
2
l + cos(2a)
1
cos α =
—-;
2
;
TRIGONOMETRINIU FUNKCIJŲ SANDAUGOS
KEITIMO SUMA FORMULĖS
sin a sin/? = i (cos(a - /?) - cos(a +
LAIPSNIO ŽEMINIMO FORMULĖS
.-tg2f
cosa =
,I + tg 22 —a'
_ a
2 a
1-tg 2 T
2tg2
I
tga =
ctga =
,
2«'
8
T
±Vl-sin2a
cosa
sinflr
± Vl-cos a
_
2
1
t fl
S "
Pastaba. Ženklas prieš šaknį priklauso nuo to, kokiame
ketvirtyje yra atitinkamos trigonometrinės funkcijos kampas a .
15.8. TRIGONOMETRINĖS LYGTYS
3. Lygties tgx = a sprendinių radimo bendroji formulė yra
1. Lygtis sin* = a.
x = arctga + Jifc,
Kai | α | > 1 lygtis sprendinių neturi.
keZ.
4. Lygties ctg* = a sprendinių radimo bendroji formulė yra
Kai I a | < 1 lygties sprendinių radimo bendroji formulė yra
x = arcctga + 7i&, k e Z .
x = ( - l ) * arcsin α + π fc, k e Z .
15.9. ATVIRKŠTINĖS TRIGONOMETRINĖS
FUNKCIJOS
Atskiri atvejai:
sinx = 0,
1.
χ = ilk, k ε Ζ ;
sin χ = 1,
χ = —+2nk,
2
sinx = - l ,
χ=- - +2
2
>> = arcsinx<=>x = sinj>,
k e Ζ;
PavyzdHui,
nk,keZ.
~2'2"
>
£
arcsin
2
arccosx <=> χ = cos^,
. VŠ
π
=-arcsin— = — .
2
3
^ε[θ;π],
xe[-l;l],
arccos(-x) = π - arccosx.
2. Lygtis cosx = a.
Kai I a \ > 1 lygtis sprendinių neturi.
Pavyzdžiui,
S)
x = ±arccosa + 27t&,
keZ.
3.
л/з
π
2
6
-— = n - a r c c o s — = π
arccos
2
Kai I a \ < 1 lygties sprendinių radimo bendroji formulė yra
x e
у = arctgx<=>χ = tgy,
5π
= —.
6
^-
arctg ( - χ ) = - arctg χ.
Atskiri atvejai:
cosx = 1,
π π
arcsin(-x) = - a r c s i n x .
2.
cosx = 0,
y e
x = — + nk,
keZ;
2
χ = 2nk,
keZ\
Pavyzdžiui,
4.
arctg ( - л/з )= - arctg л/з = - ~ .
у = arcctgx <=> χ = etgy, _με(θ;π),
xeR.
arcctg(-x) = π - arcctgx.
cosx = - 1 ,
χ = π+2nk,
keZ.
Pavyzdžiui,
arcctg
A
3
л/3
π
2π
= jt-arcctg— = π — = — .
3
3
3
15.10.TRIGONOMETRINIŲ FUNKCIJŲ GRAFIKAI
15.11.ATVIRKŠTINIŲ TRIGONOMETRINIŲ FUNKCIJŲ
GRAFIKAI
16. R I B O S . F U N K C I J O S T O L Y D U M A S
•
Funkcijų ribų teoremos:
• Skaičius a vadinamas sekos (jc„) riba, jeigu kiekvienam,
kiek norima mažam, teigiamam skaičiui ε galima rasti tokį
natūralųjį skaičių N, priklausantį nuo ε , kad visiems numeriams
n > N būtų teisinga nelygybė:
1.
\x„ - a < ε
3.
Žymi/na:
•
lim(/(jc) + g ( x ) ) = Iim / ( * ) + Iim g(x).
x-> a
2.
χ-> a
I i m ( / ( * ) • g(x))=
Iim(c· f(xj)=c·
x-> a
Iim xn = a.
n .χ
4.
X-* a
Iim f(x)•
Iim g(x).
Hm f(x),
c-skaičius.
x-> a
lim
f(r\
/W
Iim 1Ю- = —
, kai Iim
χ-+" g(jc)
lim g(x)
g(x)*0.
x->a
Sekų ribų teoremos:
Jeigu (jc„) ir (y„) konverguojančios sekos, tai
•
Funkcija / ( j c ) , kurios riba taške jc0 lygi funkcijos reikšmei
tame taške, vadinama tolydžia taške x 0 , būtent
1.
Iim (x„ +y„)=
n-> QO
Iim x„ + Iim y„.
/»-»00
«->00
2.
Iim (x„ • У„)= Iim xn • Iim yn.
n-* 00
il-)® n-*<X>
3.
Iim (c · Jcn ) = c • Iim jc„ , kur c - skaičius.
n—>00
n-*aO
lim / ( * ) = / ( * o )
4.
5.
Iim jc„
Iim
=
, kai Iim yn*
η_>
°° У n nHm
*-**>
* 00y„
0.
Jei 11? I < 1, tai Iim q" = 0 .
П » OO
• Skaičių b vadiname funkcijos f(x) riba taške a, kai,
pasirinkus bet kokį ε > O, visi x * a , kurie pakankamai mažai
skiriasi nuo a, tenkina nelygybę
| A * M <ε
Žymima·.
•
Funkcija,
tolydi
kiekviename
intervalo
(a; b)
taške,
vadinama tolydžia tame intervale. Intervalas ( а ; б ) , kuriame
funkcija
/(jc)
yra
tolydi,
vadinamas
funkcijos
tolydumo
intervalu.
•
Kelios svarbios ribos:
.· sinjc ,
lim
= 1;
X-* O JC
lim(l + jc)* = e ;
χ -»o
.. ( .
1V
lim 1+—
=e;
e = 2,7182818...
Neapibrėžtumai:
Iim f ( x ) = b.
( f ) , (o··). ( » — ) . & · ) . M .
И ·
17. F U N K C I J O S I Š V E S T I N Ė
17.2. FUNKCIJOS IŠVESTINĖS APIBRĖŽIMAS
17.1. ARGUMENTO POKYTIS IR FUNKCIJOS POKYTIS
Jei
y = / ( x ) - funkcija, χ
ir
x 0 - dvi
nepriklausomo
kintamojo reikšmės iš funkcijos apibrėžimo srities Df,
tai
Funkcijos / ( x ) išvestine duotajame taške x 0 vadinama
funkcijos pokyčio šiame taške ir argumento pokyčio santykio
riba, kai argumento pokytis artėja prie nulio, t.y.
Δχ = χ - x 0 (skaitoma „delta iks") yra argumento pokytis.
/ ' ( Vx ) = Iim ^ =
' Δχ-> 0 Δχ
Kadangi χ = x„ + Δχ , tai
^У = Δ/(*ο ) = / W - f (xo ) = Αχο + Δχ)- f (X0 )
(skaitoma „delta igrek" arba „delta ef taške X0 ") yra funkcijos
pokytis taške дс0 . Funkcijos / ( x ) pokytis taške X0 trumpai
žymimas Δ /
arba Ay .
Hm Ж
^x)-/(x0)
Δχ
kur Δ χ = χ - χ 0 - funkcijos argumento pokytis taške x 0 ;
ts.y = f(x0 + Ax)- f(x0)
Jei
- funkcijos pokytis taške X 0 .
funkcija turi išvestinę taške
diferencijuojama
tame
taške.
x 0 , tai ji
Funkcijos
/(x)
vadinama
išvestinės
radimas vadinamas funkcijos diferencijavimu.
17 J . ELEMENTARIŲJŲ FUNKCIJŲ IŠVESTINĖS
Pavyzdžiui, jei duota funkcija / ( x ) = x 2 ir χ = 2,5, X0 = 2,
tai argumento pokytis yra
c' = 0 (c - konstanta);
(x")'=«x'
W=*';
И = * М
(lnx)'=į;
Ooga x)'=-
(sinx) = c o s x ;
(cosx) = -
Ы
(ctg*) =
Δχ = x - x į = 2 , 5 - 2 = 0,5,
o funkcijos y = / ( x )
pokytis
Δ / = / ( x 0 + Δ χ ) - / ( x 0 ) = /(2,5) - / ( 2 ) = 2,52 - 2 2 =
= 6 , 2 5 - 4 = 2,25.
=
2 ;
COS X
17.4. IŠVESTINIŲ SKAIČIAVIMO TAISYKLĖS
1. (c - f (x)) = c • f'{x),
Pagreitis yra greičio išvestinė laiko atžvilgiu:
kai c - konstanta;
α v(i)=
Iim — = v'(/)·
/
Δί->o Δ /
2. (/X*)+ « < * ) ) ' = / ' ( * ) + *'(*);
3.
Pavyzdys. Tiesiaeigis materialaus taško judėjimas aprašomas
(/W-gW)'=/'W-g'W;
4. i/(x) g(x)i =f\x)
g(x)+f(x)
lygtimi s (t) = 312 - Ъ - 5, kur t - laikas, išreikštas sekundėmis,
g'W;
o j - kelias, išreikštas metrais. Raskime taško judėjimo greitį ir
pagreitį laiko momentu t = S s.
5.
•
U W j
«W
kai
Sprendimas.
v(t) = s'(t) = (3/ 2 - 2t - 5)' = 6f - 2 ;
čia / ( x ) ir g(x) - diferencijuojamos funkcijos.
v(5) = s'(5) = 6- 5 - 2 = 2 8 — ;
s
Sudėtinės funkcijos išvestinės skaičiavimo taisyklė
a (t) = v'(t) = (61 - 2)' = 6; a(5) = v'(5) =
Jei h(x) = g ( f ( x j ) - sudėtinė funkcija, tai
h\x) = g \ f ( x ) \ f ( x ) .
Pavyzdžiai:
s
17.6. FUNKCIJOS GRAFIKO LIESTINĖS IR
NORMALĖS TAŠKE LYGTYS
Funkcijos y = f ( x ) grafiko liestinės taške ( x 0 ; / ( x 0 ) ) lygtis yra
1) (sin(3x)) = cos(3x) · (3x) =3cos(3x);
t
y=
f{xo)+f'(xo)-(x-xo)·
2) ( ( x 2 + 3 x + l ) 3 ) = з ( х 2 + 3 x + l) 2 -(x 2 + 3 x + l)'=
= 3(2x + 3 ) ( x 2 + 3 x + l) 2 .
17.5. IŠVESTINĖS MECHANINĖ PRASMĖ
Greitis yra kelio išvestinė laiko atžvilgiu:
v(/)=
Iim — = s'(l).
W
W
Af-> О Д/
Pavyzdys. Parašysime funkcijos / ( x ) = x 2 - 2x grafiko
liestinės taške, kurio abscisė x 0 = 3, lygtį.
Sprendimas.
/(*)=
2x-2,
/ ( x į ) = / ( 3 ) = 3 2 - 2 - 3 = 3;
Turime
f(X0)=A3)=2-3-2
2
Funkcijos f ( x ) = χ -2x
=f(x0)
= 4.
grafiko liestinės taške (3;3) lygtis
yra y = 3 + 4 ( x - 3 ) = 3 + 4 x - 1 2 = 4 x - 9 ,
y = 4x-9.
Jei funkcija y = /(JC) taške X0 turi išvestinę / ' ( x 0 ) , tai
funkcijos grafikas tame taške turi liestinę, sudarančią su Ox
ašimi kampą, kurio tangentas lygus f'(x0), t.y.
Ax0)=
Funkcijos y = /(JC)
lygtis yra
y = Ax)
a) minimumo taškas, jei taško X0 aplinkoje funkcijos išvestinė
keičia ženklą iš minuso į pliusą:
tga.
Išvestinės ženklai:
grafiko normalės taške
У = Ax0)-
(x0; /(x 0 ))
Ук
yęj-(x~*(>)•
= I(X0)
-
17.7. FUNKCIJOS KRITINIAI TAŠKAI. FUNKCIJOS
EKSTREMUMO TAŠKAI
Funkcijos kritiniai taškai yra tokie taškai, kuriose funkcijos
išvestinė lygi nuliui arba iš viso neegzistuoja. Funkcijos / ( χ )
kritinis taškas x 0 yra šios funkcijos ekstremumo taškas, jei
funkcijos išvestinės
f'(x)
Funkcijos reikšmė
maksimumo taške
vadinama funkcijos
maksimumu.
ženklai iš kairės ir dešinės nuo
taško x 0 nesutampa t.y. pereidama per tašką x 0 funkcijos
Funkcijos reikšmė
minimumo taške
vadinama funkcijos
minimumu.
Funkcijos maksimumai ir minimumai vadinami funkcijos
ekstremumais.
Pavyzdys. Raskime funkcijos / ( x ) = x 3 - 3 x 2 ekstremumo
taškus ir eksremumus.
Sprendimas. Randame funkcijos / ( x ) išvestinę:
išvestinė / ' ( x ) keičia ženklą (iš pliuso į minusą arba iš minuso į
/ ' (x) = ( x 3 - 3x 2 j = (r3)' - (зх2 j = 3x2 - 3 · 2x = 3x (x - 2).
pliusą). Ekstremumo taškas x 0 yra:
Taigi išvestinė egzistuoja visuose taškuose, be to, / ' ( x ) = O,
a) maksimumo taškas, jei taško x 0 aplinkoje funkcijos išvestinė keičia ženklą iš pliuso į minusą:
max
Išvestinės ženklai:
"!IT^n^—~
XQ
X
kai x = 0 ir χ = 2. Vadinasi, funkcijos / ( x ) kritiniai taškai yra
x = 0 ir χ = 2. Pažymėkime funkcijos / ( x ) išvestinės ženklus
intervaluose (-oo;0), (0; 2) ir (2;oo):
f \ x ) ženklai:
fix):
Matome, kad pereinant tašką χ = O išvestinės f'(x)
ženklas
keičiasi iš pliuso į minusą, o praeinant tašką χ = 2 - iš minuso į
1
pliusą. Vadinasi, taškas x = 0 yra funkcijos f ( x ) = х - 3x
2
maksimumo taškas, o taškas χ = 2 - minimumo taškas.
Taške x = 0 funkcija įgyja maksimumą / ( O ) = O, o taške
x = 2 - minimumą / ( 2 ) = - 4 :
/ - , = / ( 0 ) = 0,
Zmm=/(2) = -4.
x<0
,
s *
O
ir χ > 2 ,
~
,
2
tai
+
S*
/(x)>0,
>
*
vadinasi, intervalai
( - o o ; 0 ) ir (2;oo) yra funkcijos reikšmių didėjimo intervalai.
Kai 0 < x < 2 , tai f'(x)<0,
vadinasi, (0;2) yra funkcijos
reikšmių mažėjimo intervalas.
17.9. FUNKCIJOS DIDŽIAUSIA IR MAŽIAUSIA
REIKŠMĖ UŽDARAME INTERVALE
Norint rasti funkcijos y = / ( x ) didžiausiąją ir mažiausiąją
17.8. FUNKCIJOS MONOTONIŠKUMO INTERVALAI
Sakykime, kad funkcija f ( x ) kuriame nors intervale turi
išvestinę. Tada, jeigu visame intervale:
1) / Ό 0 > 0 , tai funkcijos / ( x )
Kai
+
reikšmės didėja šiame
reikšmę uždarame intervale [a;b],
kuriame ta funkcija turi
baigtinį skaičių kritinių taškų, reikia apskaičiuoti funkcijos
reikšmes tuose kritiniuose taškuose bei intervalo galuose ir iš
visų gautųjų reikšmių išrinkti didžiausiąją ir mažiausiąją
reikšmę.
Funkcijos y = / ( x ) didžiausioji reikšmė atkarpoje [a; b]
intervale;
2) / ( x ) < 0 , tai funkcijos f ( x ) reikšmės mažėja šiame
žymima шах / ( * ) , o mažiausioji - m i n / ( x ) •
[ч.Ь\
(a; 61
intervale;
3) f i x ) = 0 , tai f ( x ) = const., t.y. funkcija y = / ( x ) yra
Pavyzdys.
Rasimefunkcijos / ( x ) = - 2 x 3 - 3x2 + 4 mažiau-
sią ir didžiausią reikšmes uždarame intervale [ - 2 ; 1].
pastovioji funkcija.
Pavyzdys. Raskimefunkcijos f ( x ) = χ - 3 x 2 reikšmių didėjimo ir mažėjimo intervalus.
Sprendimas. Randame funkcijos f ( x ) išvestinę:
j
Sprendimas.
Randame funkcijos kritinius taškus. Turime:
/ ' ( x ) = - 6 x 2 - 6x = - 6 x ( x +1);
/ ' ( x ) = O, - 6 x ( x + 1) = 0, kai x = 0 ir x = - l .
Funkcijos kritiniai taškai yra x = 0 ir x = - l . Apskaičiuo-
f ( x ) = (r 3 - 3x2 = 3x 2 - 6x = 3x(x - 2).
jame funkcijos reikšmes kritiniuose taškuose bei
Nustatome išvestinės / ( x )
[ - 2 ; 1 ] galuose:
(0;2) ir (2;oo).
ženklą intervaluose ( - o o ; 0 ) ,
/ ( 0 ) = 4,
intervalo
3) Nustatysime, kuriuose taškuose funkcijos / ( x ) grafikas
kerta abscisių ašį:
/ ( - 1 ) = - 2 · (-1) 3 - 3 • (-1) 2 + 4 = 3,
/ ( - 2 ) = - 2 · (-2) 3 - 3 · (-2) 2 + 4 = 8,
/ ( x ) = X3 - 3 x = x(x 2 - 3 ) = xiįc-yF})iįc+yl3)= 0,
/(1) = - 2 · 1 3 - 3 · 1 2 + 4 = - 1 .
Matome, kad funkcijos / ( х ) = - 2 х 3 - З х 2 + 4
kai x = 0, х = л/з ir х = ~Уз.
didžiausioji
Vadinasi, funkcijos / ( x ) grafikas kerta abscisių ašį trijuose
reikšmė lygi 8 ir j ą funkcija įgyja taške χ = - 2 , o mažiausioji
reikšmė lygi - 1 ir j ą funkcija įgyja taške x = \, t.y.
max f (x) = 8 , m i n / 0 0 = - 1 .
[~2;1]
[-2; 1]
taškuose (0;0), (ч/3;о) ir (-л/3;о).
Nustatysime, kuriame taške funkcijos / ( x ) grafikas kerta
ordinačių ašį:
/ ( 0 ) = 0 3 - 3 0 = 0.
17.10. FUNKCIJŲ TYRIMAS
Tirti funkcijos savybes patogu tokia tvarka:
1) Nustatome funkcijos apibrėžimo sritį.
2) Išsiaiškiname, ar funkcija yra lyginė, ar nelyginė, ar nei
lyginė, nei nelyginė.
3) Išsiaiškiname, ar funkcija yra periodinė.
4) Randame taškus, kuriuose funkcijos grafikas kerta
koordinačių ašis (tokių taškų gali ir nebūti).
5) Nustatome funkcijos reikšmių didėjimo ir mažėjimo
intervalus, ekstremumo taškus ir ekstremumus.
6) Tiriame funkcijos elgesį, nepriklausomajam kintamajam
neaprėžtai didėjant arba mažėjant.
Vadinasi, funkcijos / ( x ) grafikas kerta ordinačių ašį taške
(0;0).
4) Skaičiuojame funkcijos / ( x ) išvestinę:
j
/ ' ( x ) = ( r 3 - 3xj = (r 3 - (Зх)' = 3x2 - 3 = 3 (c2 - 1 ) = 3 (χ - l)(x +1).
Matome, kad / ' ( x ) = 0, kai x = - l
Nustatome funkcijos išvestinės / ' ( x ) ženklus intervaluose
( - o o ; - l ) , (— 1; 1) ir (1;®):
f' ženklai
Sprendimas.
+
J
1
—
Kai
x<-l
ir x > l ,
+
1
-1
Pavyzdys. Ištirkime funkciją f(x) = x 3 - 3 x ir nubraižykime
jos grafiką.
ir x = l.
1
tai / ' ( x ) > 0,
χ
vadinasi, intervalai
( - 0 0 ; - 1 ) ir (1; 00) yra funkcijos reikšmių didėjimo intervalai;
1) Funkcija yra apibrėžta visoje realiųjų skaičių
aibėje, t.y. Df = (-00; QO).
2) Kadangi f(-x) = ( - x f - 3 (-х) = -хг+ 3x = -f(x),
tai
funkcija yra nelyginė ir jos grafikas yra simetriškas koordinačių
pradžios taško atžvilgiu.
kai
- 1 < χ < 1,
tai
/'(x)<0,
todėl
(-1;1)
yra funkcijos
reikšmių mažėjimo intervalas.
Taškas x = - l
yra funkcijos / ( x ) maksimumo taškas, o
taškas x = l yra funkcijos / ( x ) minimumo taškas.
Taške x = - 1 funkcija / ( χ ) įgyja m a k s i m u m ą / ( - 1 ) = 2, o
18. P I R M Y K Š T Ė F U N K C I J A I R I N T E G R A L A S
taške x = l - minimumą /(1) = - 2 .
18.1. PIRMYKŠTĖ FUNKCIJA
Patogu šio tyrimo rezultatus surašyti į lentelę:
X
f
f
(-<*>;-1) -1
0
Αχ) > o,
7
2,
X
1
0
(-i;i)
Ax)
<0,
(l;oo)
Ax)
-2,
min
max
>0,
Funkcija F(x) vadinama funkcijos / ( x ) pirmykšte funkcija nurodytame intervale, jei visos χ reikšmės iš to intervalo
tenkina lygybę F\x) = / ( x ) .
Jei funkcija F(x)
yra funkcijos / ( x ) pirmykštė funkcija,
tai ir bet kuri funkcija F(x) + C (C - konstanta) taip pat yra
funkcijos / ( x ) pirmykštė funkcija.
Dabarjau galime nubraižyti funkcijos grafiką:
Pirmykščių funkcijų radimo taisyklės:
У)
1. Jeigu F(x)
/ ( x ) = x 3 - : !x
yra
2
yra funkcijos / ( x ) pirmykštė funkcija, o G(x)
funkcijos
g{x)
pirmykštė
funkcija, tai
F(x) + G(x) yra funkcijų sumos f{x)±g(x)
-sl
2. Jeigu k yra skaičius, F(x)
Į
i
-i
.
funkcija, tai
X
o
funkcija
yra
k f(x)
yra funkcijos / ( x ) pirmykštė funkcija,
o a, b (a* 0 ) du skaičiai, tai funkcijos g(x) = f(ax + b)
-2
pirmykštė funkcija yra funkcija —F(ax+b)
a
.
Pavyzdžiui,
remiantis 3. taisykle, viena iš
/ ( x ) = sin(3x-4)
pirmykščių
funkcijų
yra
*
pirmykštė
funkcijos
pirmykštė.
3. Jeigu funkcija F{x)
I
yra funkcijos / ( x )
k • F(x)
funkcija
pirmykštė.
*
funkcijos
funkcija
*
F,(x)=--jcos(3x-4),
o visų pirmykščių funkcijų bendras
pavidalas yra F(x) = - -i- cos (3x - 4) + C.
18.2. NEAPIBRĖŽTINIS INTEGRALAS
Kai kurių pirmykščių funkcijų radimo lentelė
Nr.
Funkcija /(лг)
Pirmykštė funkcija
F (χ)+ C
1.
k - pastovus dydis
kx + C
= F ( x ) + C - neapibrėžtinio integralo apibrėžimas,
čia F(x) - funkcijos / ( x ) pirmykštė funkcija ir F'(x) = f(x).
•
2.
0
С
3.
I
х+С
4.
n
x (ne R,
ПФ-
l)
x" + 1
- — +С
л+1
1
5.
2 л/х+С
4~x
1
6.
In I χ I + С
•
Neapibrėžtinio integralo savybės:
I
1)
(J/(*)&) =/(x);
2)
\kf(x)dx
3)
J ( f ( x ) ± g { x ) ) d x = \f(x)dx±
4)
j f ( k x + b)dx = -F(kx
=
k\f(x)dxįg(x)dx-
+ b)+C.
Paprasčiausių funkcijų neapibrėžtiniai integralai:
X
7.
AX
(a >
0, A *
l)
— + С
Ina
8.
e*
е* + С
9.
sin χ
-COSX+ С
10.
COSX
1) \dx = x + C\
2)
3)
1
7)
[-$=- = 2 y f x + C ;
Vx
8)
f — = ln|x|+C;
9)
j
jexdx = ex + C;
r
sinxrfx = - c o s x + C;
J
fcosxi/x = sinx + C ;
J
sin χ + С
4)
11.
r
y" +1
\x"dx =
+ C;
J
n+\
6)
J
tgx+C
X
f - A _ = tgx + C;
j
COS
J
sin χ
X
COS 2 X
12.
1
sin 2 χ
5)
-ctgх + С
(><& = — + C;
J
Ina
10)
= - c t g x + C.
4
18.3. APIBRĖŽTIMS INTEGRALAS
Apibrėžtinio integralo skaičiavimo formulė (Niutono ir
Leibnico formulė):
~b
=
• 34
Sx2 4
ч
^Sxdx-
^Adx =
4
= - J x 2 dx + 5 jx<&-4 J<fo = - i - | + - ^ | - 4 x | =
I-T
+
= - 2 1 + 37,5-12 = 4,5.
Atsakymas.
4
Pavyzdys. Apskaičiuokime integralą Jx 2 dx.
3
3
f 2 ,
JC I 4
\xdx=—
=
į
3 ι 3
4,5.
ΐ
2 Pavyzdys. Apskaičiuokime integralą
2
4
4
F(x)\=F{b)-F{a);
a
čia a - apatinis integravimo rėžis,
b - viršutinis integravimo rėžis,
fix) - pointegralinė funkcija.
•
4
J ( - x 2 + 5 x - 4 ) d x = j-x2dx+
"b
\f{x)dx
a
C
»·
Sprendimas.
Sprendimas.
Sprendimas.
3
2
64
=3
3
8 56 , „ 2
= — = 18—.
3
3
3
*
jsin(2x)i/x.
π
<·
*
3
j
3
ι /
2д
Jsin(2x)dx= - - c o s ( 2 x ) j = - - | c o s — — cos y j =
Apibrėžtinio integralo skaičiavimo taisyklės:
b
1)
2)
b
b
j{f(x)±g(x))dx=
a
jf(x)dx±
a
b
3)
ь
J ' k f ( x ) d x = k j f ( x ) d x , kur k - pastovus dydis;
a
a
c
2 1 2
2
Atsakymas. —
!•(-D=!
2
2
b
18.4. PLOKŠČIŲJŲ FIGŪRŲ PLOTO SKAIČIAVIMAS
Jgix)dx;
a
У/Ь
b
j / ( x ) « f c = J f ( x ) d x + jfix)dx,
a
a
c
kai
cĄa\b}.
1 Pavyzdys. Remdamiesi 1) ir 2) taisyklėmis apskaičiuokime
4
integralą j"(-x 2 + 5x - 4 ) j x .
i
Kreivinė
y = f(x\
trapecija
yra
figūra, apribota neneigiamos ir
x = b
tolydžios
atkarpoje
[a; b]
funkcijos y = f ( x ) grafiku, Ox
ašimi ir tiesėmis χ = a, χ = b .
•
Figūrų ploto skaičiavimo atskiri atvejai:
Pavyzdys. Apskaičiuokime plotą figūros, apribotos kreivėmis
V)
1
i
2
y =—, jf = l, χ = 2, y = 0.
χ
Sprendimas.
Kreivinė trapecija pavaizduota paveiksle (užbrūkšniuotoji
dalis). Jos plotas
2
2
2
S= f—die = Inx I = I n 2 - I n l = I n - =
Jx
j
1
= In2.
Atsakymas.
In2.
18.5. SUKINIO TŪRIS
Sukinio, gauto kreivinę
trapeciją sukant apie Ox ašį,
tūris apskaičiuojamas pagal
formulę:
t>
•-к \ f \ x ) d x .
19. K O M B I N A T O R I K O S P R A D M E N Y S
• Kombinatorinė sudėties taisyklė. Jei kuriam nors
elementui a pasirinkti yra л būdų, o elementus b pasirinkti yra m
būdų, tai pasirinkti arba a, arba b yra n + m būdų.
• Kombinatorinė daugybos taisyklė. Jei kuriam nors
elementui a pasirinkti yra л būdų, o elementui b pasirinkti yra m
būdų, tai galimybių pasirinkti (sudaryti) a ir b elementų porą
skaičius lygus m • n .
•
Gretinių su pasikartojimais iš n elementų po k skaičius
Ak=nk.
• Kėliniai iš n elementų yra gretiniai iš n elementų po n
elementų. Kėlinių skaičius žymimas Pn ir apskaičiuojamas
remiantis formule:
Pn = л ( л - 1 ) ( л - 2 ) - . . . - 3 - 2 - 1 = л!.
Kėlinių su pasikartojimais skaičiaus formulė:
Natūraliojo skaičiaus л faktorialas:
л!= л ( л - l ) ( / i - 2 ) - . . . - 3 - 2 - 1 = л ( л - 1 ) ! .
Pavyzdžiui:
Рп{к\,к2,кг,...,к„)=
5!= 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.
Laikoma, kad
0!=1
čia
л - j u n g i n i o elementų skaičius,
/t, - elemento Oi1 pasikartojimų skaičius,
k2 - elemento a2 pasikartojimų skaičius,
1!=1.
• Junginiai yra įvairios elementų grupės besiskiriančios viena
nuo kitos arba pačiais elementais, arba jų išsidėstymo tvarka.
• Gretiniai iš л elementų po k yra tokie junginiai, kurie vienas
nuo kito skiriasi arba pačiais elementais, arba jų išdėstymo tvarka.
Gretinių
Ak (1 <k<n)
iš
я
elementų
po
k
skaičius
yra
žymimas
ir apskaičiuojamas remiantis formulėmis:
4=л(Л-1)(Л-2)-...-(Л-(*-1))
arba
Ak=-
n\
Cn-k)\
kn - elemento a„ pasikartojimų skaičius.
Visada
Aib =
_5!
Ą = 5(5 -1)(5 - 2) = 5 · 4 • 3 = 60,
5! _ 5 - 4 - 3 - 2 - 1
(5-3)! ~ 2 !
Laikoma, kad
2-1
An = 1
= 60.
A0n=I
t, +к2+къ+...
+ к„ = n.
• Deriniais iš л elementų po k elementų vadinami junginiai,
kurie vienas nuo kito skiriasi tik pačiais elementais (į elementų
išdėstymo tvarką neatsižvelgiame).
Derinių iš n elementų po k skaičius yra žymimas
(1 <k<n)
Pavyzdžiui:
Uk2\U:.,kn\'
Ck
ir apskaičiuojamas remiantis formulėmis:
arba
t
^ n ~~
л ( л - 1 ) ( л - 2) - . . , ( л - ( t - l ) )
k\
Laikoma, kad
C00=!
arba
C0=L
Ck =
"
k\(n-k)\
_
„ . . „3 5 ( 5 - 1 ) ( 5 - 2 )
5·4·3 ι η
,
Pavyzdbui, C55 = —
=
= 10, arba
3!
3-2-1
^3
•
Niutono binomo formulė
. /--IOΛ/i—l į + c V " 2 į 2 + . . . +
(a+ i)" = fO
CnO„n +C
n
n
5'
C55 =
= - ± - = 10.
31(5-3)! 3!-2!
•
5'
^ Л
~
^ n - 1
Pavyzdžiui:
3.
Pavyzdžiui:
_- У-.В-*
Ln .
Pavyzdiiui:
(a + bΫ = C 5 V +C 5 O 4 Z> + C52O3 • Z>2 + C53O2 · i 3 + C54O• ft4 +
C,970
9
= C™" ' = C
"+"CZI-
3
00 .
+ C 5 V =O 5 + 5 o 4 - į +IOo 3 V + IOo2 b* +5a b4 +bs.
, kai Λ < n. Paskalio taisyklė
Niutono binomo formulės dešinioji dalis vadinama binomo
laipsnio dėstiniu. Dėstinyje yra n +1 narys.
3
3-1
C 5 = C S - I + CS - I -- = C 4 3 +C 4 2 .
+
+ c · + C 2 + . ..
Pavyzdžiui:
ьпА+сппьп·,
čia C n - binominiai koeficientai.
Derinių skaičius Ckn savybės:
t1.
2.
+ Cknank
Binomo dėstinio (k +1)- ojo nario formulė
L
τT
+ C ;
k*\=Cna
= 2".
C40 + C į +C 4 2 +C 4 3 +C 4 4 = 2 4 .
•
Derinių su pasikartojimais iš n elementų po k skaičius
^k _ (я+ * - ! ) ! _
"
Pavyzdžiui:
И(и-1)! "
*
я+
—2
,
- , 7 '
7'
C 6 = C 62 2+ 2. =1 C7 2 =
= - 1 - = 21.
2!(6-1)! 2!·5!
/1 = 1
Ryšys tarp gretinių ir derinių skaičiaus
/i = 5
/1 = 6
л=7
Pavyzdžiui:
Ai1 = 3!-C 3 = 210.
C30
/i = 3
/j = 4
1
Q0
/г = 2
*-''
•
Paskalio trikampis
и=O
•
/^k „n-kik
b
C10
1
с,
2
2
2
с]
C32
C33
1 1
12 1
13 3 1
У-тО
y-ll
^--3 /^4
L
4
4 4 4
s-<0
2 /^>3
L
5 Lj L5 L5 L5 L5
riO
•чб
C 2 uy-,3 cy^-4
6 6 6
C70
C) C
2
3
1 C7
C74
C75
C76
C77
1 4 6 41
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
20. T I K I M Y B I Ų T E O R I J O S P R A D M E N Y S
20.1. ĮVYKIAI
•
Pavyzdys. Dėžėje yra 3 rutuliai: raudonas, geltonas ir
mėlynas. Iš jos vienu metu ištraukiami du rutuliai. Su šiuo
bandymu susiję elementarieji įvykiai yra šie:
Įvykis yra bandymo arba stebėjimo rezultatas.
E1 - „ištrauktas raudonas ir geltonas rutuliai",
E2 - „ištrauktas geltonas ir mėlynas rutuliai",
• Būtinas įvykis yra toks įvykis, kuris, atlikus bandymą,
visada įvyksta.
Ei - „ištrauktas raudonas ir mėlynas rutuliai".
Įvykiai E1,
E2,
E3 yra poromis nesutaikomi, t.y. negali
• Negalimas įvykis - įvykis, kuris, atlikus bandymą, niekada
neįvyksta.
įvykti vienu metu ir vienas iš j ų yra būtinasis įvykis.
• Atsitiktinis įvykis yra toks įvykis, kuris, atliekant bandymą,
gali įvykti arba neįvykti.
• Įvykiui A palankūs elementarieji įvykiai yra tokie įvykiai,
kuriems įvykstant įvyksta ir mus dominantis įvykis A.
• Nesutaikomi įvykiai yra tokie įvykiai, kurie, atliekant bandymą, negali įvykti visi vienu metu, t.y. gali įvykti tik vienas iš jų.
• Du įvykiai yra sutaikomi, jei abiem įvykiams yra bent
vienas palankus elementarus įvykis.
• Poromis
nesutaikomi
įvykiai
yra
tokie
Au A2,..., An, kai bet kurie du iš jų yra nesutaikomi.
įvykiai
• Įvykis A nepriklausomas nuo B tada, kai jo tikimybė
nesikeičia nuo to, ar įvykis B įvyko ar neįvyko.
• Įvykių A ir B suma yra toks įvykis, kuris įvyksta tada ir tik
tada, kai įvyksta bent vienas iš įvykių A ir B. Žymima taip: A+ B.
• Įvykiai A ir B yra priklausomi, kai įvykio A tikimybė
priklauso nuo to, ar įvykis B įvyko ar neįvyko.
• Įvykių A ir B sandauga yra toks įvykis, kuris įvyksta tada ir
tik tada, kai įvyksta abu įvykiai A ir B. Žymima taip: AB.
20.2. ĮVYKIŲ TIKIMYBĖS
•
• Lygūs įvykiai A ir B yra tokie įvykiai, jei įvykus vienam iš
jų, įvyksta ir kitas. Žymima: A = B .
• Įvykiui A priešingas įvykis yra toks įvykis A , kuris įvyksta
tada ir tik tada, kai neįvyksta A.
• Elementarieji įvykiai yra tokie įvykiai, iš kurių susideda kai
kurie kiti įvykiai, t.y. tokie įvykiai, kurių negalima išskaidyti į
smulkesnius.
• Elementariųjų įvykių aibė yra bandymo visų elementariųjų
įvykių visuma. Su bandymu susiję elementarieji įvykiai yra
poromis nesutaikomi ir vienas iš jų yra būtinas įvykis.
Įvykio A tikimybė skaičiuojama remiantis formule
P(A) = ^ ;
n
čia n - visų elementariųjų įvykių skaičius,
m - įvykiui A palankių elementariųjų
įvykių skaičius.
0<m<n;
0<P(A)<\.
Būtinojo įvykio tikimybė P(A) = 1, nes m = n.
Negalimo įvykio tikimybė P(A) = O, nes m = 0.
•
Įvykiui A priešingo įvykio A tikimybė:
=1
-P(A);
P(A)=\-P
14
•
20 J . ATSITIKTINIAI DYDŽIAI
Nesutaikomų įvykių A ir B sumos tikimybė:
•
P(A + B) = P(A) + P(B).
Sakykime, X - atsitiktinis dydis, Jt1, x2, ..., x„ - atsitikti-
nio dydžio X įgyjamos skirtingos reikšmės,
Jei Ah A2,..., Λ „ - poromis nesutaikomi įvykiai, tai j ų sumos
...,
A2+...+ An)= P(A1)+P(A2)+...+
Atsitiktinio dydžio X skirstinys gali būti užrašomas lentele,
ĄA„) •
m
•
Sutaikomų įvykių A ir B sumos tikimybė:
P(A +B) = P(A)
•
P(X = m)
+P(B)-P(AB).
Nepriklausomų įvykių A ir B sandaugos tikimybė:
P(A
B) = P(A)
P(B).
=^ ^ - ,
P(B)*
0.
x
I
X2
*3
P\
Pi
Рг
kurioje Px+ p2 + p2+...+
Dviejų priklausomų įvykių A ir B sandaugos tikimybė:
P(AB) = P(A)-P(B\A)
=
•
~
čia p - įvykio A tikimybė, o q = 1 - p yra įvykiui A priešingo
įvykio A tikimybė.
+
χ,,ρ,
Atsitiktinio dydžio X dispersija - skaičius
DX = E(X - EX)2 = (x, - EX)2 • P1 +
(xn-EX)2-Pn.
+
Dispersiją patogiau skaičiuoti pagal formulę
DX = EX2 -(EX)2
2
Pn(k) = Ckn pkg
Pn
EX - matematinės vilties žymėjimas.
P(B)-P(A\B).
• Tikimybę, kad binominiame bandyme įvykis A įvyks k kartų iš
n (k = 0,\,2,...,n),
skaičiuojame remdamiesi Bernulio formule:
n
pn =1.
= X 1 P , + X2P2+...
+ (X2-EX)2-p2+...
•
x
• Jei atsitiktinio dydžio X skirstinys užrašytas lentele, tai
atsitiktinio dydžio X matematinė viltis (vidurkis) apskaičiuojama šitaip:
EX
• Jei kurio nors įvykio A tikimybė priklauso nuo to, ar įvykis B
įvyko ar neįvyko, tai įvykio A tikimybė su sąlyga B (sąlyginė
tikimybė) skaičiuojama šitaip:
P(A\B)
px = P(X = X1),
pn = P(X = xn) - atsitiktinio dydžio X
įgyjamų reikšmių x,, x2, ..., xn tikimybės.
tikimybė skaičiuojama remiantis formule
ĄA,+
P2 = P(X = x2),
= (x
-P1 +X2
=
-P2 +... + xn
2
pn)-(EX)2.
Dispersija parodo, kaip atsitiktinio dydžio X reikšmės yra
išsibarsčiusios apie j o matematinę viltį, t.y. dispersija yra
atsitiktinio dydžio X reikšmių išsibarstymo apie jo vidurkį matas.
Vidutinis kvadratinis nuokrypis yra dydis:
21. M A T E M A T I N Ė S S T A T I S T I K O S P R A D M E N Y S
•
Imties JC,, JC2,
Pirmasis kvartilis (JSrt) yra imties apatinės pusės mediana,
trečiasis kvartilis (Ki) - viršutinės pusės mediana.
ДСЯ plotis
r=
Pavyzdiiui,
xd+xm\
mediana M =
čia xd - imties didžiausia reikšmė,
•
• Imties centras (žymimas raide c) yra
mažiausios imties reikšmių aritmetinis vidurkis
didžiausios
ir
d m
2
Pavyzdiiui·.
lentelė yra
Imties tūris yra imties elementų skaičius.
• Imties mediana (žymima raide M) - skaičius, padalijantis
imtį į dvi dalis: apatinę ir viršutinę. Norėdami j ą rasti, pirmiausia
išrikiuojame
imties
elementus
didėjimo
tvarka
(imtį
sutvarkome), paskui randame skaičių (ar du tokius skaičius),
esantį sutvarkyto sąrašo viduryje:
a) kai imties tūris n - nelyginis skaičius, vidurinio skaičiaus
(žymimas
mk)
yra
skaičius,
•
imties 6, 8, 5, 6, 10, 5, 6, 10, 8, 6, 10 dažnių
x
k
5
6
8
10
mk
2
4
2
3
Imties elemento santykinis dažnis (žymimas raide pk ) yra
imties elemento dažnio
mk
ir imties elementų skaičiaus n
santykis:
, todėl tas skaičius ir yra mediana;
b) kai imties tūris n - lyginis skaičius, imami du viduriniai
skaičiai, kurių numeriai yra
ir — + 1 . Mediana yra tų dviejų
skaičių aritmetinis vidurkis.
Pavyzdiiui,
Imties elemento dažnis
parodantis, kiek kartų elementas xk pasikartoja imtyje.
• Dažnių lentelė. Stebėjimo duomenys dažniausiai surašomi į
lentelę, kurios pirmoje eilutėje užrašome skirtingas variacinės
eilutės reikšmes xk, o a n t r o j e - j ų dažnius mk.
x +x
numeris yra
= 5,5 pirmasis kvartilis Ki = 3 , trečiasis
kvartilis X 3 = 8 .
xm - imties mažiausia reikšmė.
•
sutvarkytos imties 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
sutvarkytos imties 3, 4, 5, 7, 8 mediana M = 5 ,
o imties 2, 4, 6, 8, 10, 12 mediana M =
6+8
• Dažnių lentelę galima pavaizduoti grafiškai tokiu būdu:
abscisių ašyje atidedame imties reikšmes xux2,...,xk
, o ordiačių ašyje - j ų atitinkamus dažnius тх,т2,...,тк
kinius dažnius
Ρ',ΡΙ,.,.,ΡΙ)·,
taškus ( x k , mk)
arba (xk;p'k).
(arba santy-
tiesių atkarpomis sujungiame
Kreivė, jungianti atidėtus taškus
ir yra dažnių lentelės grafinis vaizdas. Ši kreivė vadinama
=7.
poligonu.
•
Imties
χ , , x 2 , . . . , x„
vidurkiu (žymimas
x)
vadinamas
•
Dažnai dispersiją patogu skaičiuoti taikant formulę
aritmetinis vidurkis
_ Xi +X7
X =—
+ ... +
j
Xn
n
•
X2
m,
o p*, p2,...,
•
Xn
+ X
m]+x2m2+...+
xkmk
Imties X|,X 2 ,...,X„ ( « > 1 ) dispersija (žymima s2)
Imties
x,,x2,...,xn
vidutiniu
(xt-xf+...
P
K
- χ ;
kvadratiniu
nuokrypiu
+
{xn-xf
PK{A}:
+ (X 2 -X) 2 + ... + ( X „ - J ) 2
'
n-1 1
'pAAsc-'
čia χ - imties vidurkis.
•
K
n-i
santykį — ir žymime
n
2
2*—2
+ - + X
apskai-
čiuojama pagal formulę
2_(Xį-X)
2
•
Tarkime, kad atliekame n bandymų. Kiekvieno bandymo
metu įvykis A įvyko arba neįvyko. Jei n bandymų serijoje įvykis
A įvyko k kartų, tai įvykio A statistiniu dažniu vadiname
n
•
P
p'k - imties elementų santykiniai dažniai.
tai tokios sugrupuotos imties vidurkis, kai k yra grupių
skaičius, apskaičiuojamas pagal formulę
_=Xi
2
vadinama šaknis iš imties dispersijos. Jis žymimas raide 5:
mk
//I2
2 * 2 *
= x , A
čia χ - imties vidurkis,
Jei imtis užrašyta dažniu lentele
X1
2
—.
čia k - skaičius tų bandymų, kuriuose A įvyko.
Jei imtis užrašyta dažnių lentele
•
Stebėjimo duomenų grupavimas. Paprastai kurios nors
X\
X2
x
objektų grupės tyrimo pagal tam tikrą požymį procese stebėjimo
m,
rn
mk
duomenų gauname
I
n
tai tokios sugrupuotos imties dispersija apskaičiuojama
pagal formulę
labai
daug. Jie dažniausiai
būna
labai
išsibarstę, „negražūs". Su tokiais duomenimis sunku atlikti bet
kokius skaičiavimus, taip pat sunku nustatyti
kokius
nors
dėsningumus. Skaičiavimams palengvinti stebėjimo duomenys
2_
(xl-x)2ml
+ (x2-x)2m2
+ ... +
(x„-x)2mk
paprastai
grupuojami.
Grupuojant
duomenis,
kuriame telpa visi stebėjimo duomenys x , , x 2 , . . . , x „
Imtiesdispersija s2 apibudina stebėjimo duomenų išsibarstymo apie imties vidurkį dydį.
skaidomas
[I2Ui),
į
:.,[tkUk
vienodo
+i
).
ilgio
dalinius
intervalus
intervalas,
paprastai
[i,;i2),
22. P L A N I M E T R I J A
Dalinio intervalo dažnis yra imties reikšmių, patekusių į šį
intervalą, skaičius. Jis žymimas л,; čia i - dalinio intervalo
numeris.
22.1. KAMPAI IR APSKRITIMAS
Kampai a ir β gretutiniai.
Intervalo santykinis dažnis (žymimas f , ) yra intervalo
ал- β = 1 8 0 ° .
dažnio fiį ir imties tūrio N santykis:
Kampai φ ir /
Jei stebėjimo duomenis esame suskirstę į dalinius intervalus,
t.y. esame juos sugrupavę, be to, apskaičiavę kiekvieno dalinio
intervalo [/,;<, +) ), / = 1 , 2 , . . . , k, dažnį л, ir santykinį dažnį f-,,
tai visus šiuos skaičiavimo rezultatus patogu surašyti į lentelę
kryžminiai.
φ= γ
Kampai, gaunami dvi lygiagrečias tieses a ir b kertant
trečiąja tiese c.
Vienašaliai kampai:
i
Jt' lk+\)
h
"i
f,
"l
"2
nk
/2
Л
Ši sugrupuota duomenų lentelė dar vadinama sugrupuotos
imties dažnių lentele.
Turėdami sugrupuotos imties dažnių lentelę galime lengvai
nubraižyti grafinį imties vaizdą - histogramą.
Histogramą braižome tokiu būdu: Ox ašyje atidedame
dalinius intervalus, o Oy ašyje j ų santykinius dažnius f , ; po to
virš kiekvieno intervalo braižomas stulpelis, kurio aukštis lygus
cI
a
b
Z 3 + Z 5 = 180°,
Z 4 ir Z6.
Z 4 + Z 6 = 180°.
Vidaus priešiniai kampai:
2j\
4/3
6/5
8/7
Z 3 ir Z 5 ,
Z 3 ir Z 6 , Z 4 ir Z5.
•
a\\b
•
Atitinkamieji kampai:
ZlirZ5,
Z2irZ6,
Z l = Z5, Z 2 = Z 6 ,
Z3irZ7,
Z4irZ8.
Z 3 = Z7, Z 4 = Z8.
Išorės priešiniai kampai:
Z l ir Z8, Z 2 ir Z 7 .
santykiniams dažniui ft = — ; gautoji laiptuota figūra, sudaryta
N
iš stačiakampių, ir yra histograma.
Histograma rodo, kokiomis proporcijomis duomenys pasiskirstę pasirinktuose intervaluose.
Z 3 = Z6, Z 4 = Z5.
Z l = Z8, Z 2 = Z7.
Z 1 + Z 7 = 180°, Z 2 + Z 8 = 180°,
Z 3 + Z 8 = 180°, Z 4 + Z 7 = 180°.
Kampo kraštinių kirtimas lygiagrečiomis tiesėmis.
ZAOB
Jei AA1 Il BB1 Il CC 1 tai
OA
OB
OC
OA1
OB
OC, '
OB
OB1
BB\
OA
OA1
AAi '
OC
OC1 _ C C 1
OA ~ OA1 ~ AA1 '
OC
OC,
CC 1
OB
OBi
BB1 '
AB
BC
AC
A1B1
S1C1
A1C1-
- centrinis kampas.
Lanko AKB laipsniniu matu
vadinamas j į atitinkančio centrinio kampo A OB laipsninis matas:
u AKB = ZAOB.
ZAOB
- centrinis kampas,
ZACB
- įbrėžtinis kampas.
Ibrėžtinis kampas matuojamas
puse lanko, į kurį jis remiasi:
ZACB
=
-kjAB.
2
Talio teorema. Jei vienoje
kampo kraštinėje nuosekliai atidėsime kelias lygias atkarpas ir per
j ų galus išvesime lygiagrečias
tieses, kertančias
kitą kampo
kraštinę, tai j o s toje kampo
kraštinėje iškirs viena kitai lygias
atkarpas, t.y. jei
OA1 =A1B1 =B1C1
ir
AA1 Il SS 1 Il CC1, tai
Jeigu apskritimo centras O ir
įbrėžtinio kampo A CB viršūnė C
yra vienoje stygos AB pusėje, tai
ZACB =
-ZAOB.
Jeigu apskritimo centras O ir
įbrėžtinio kampo ADB viršūnė D
yra skirtingose stygos AB pusėse,
tai
OA = AB = ВС.
Z ADB = \%0° - — Z AOB.
t? " S4M J
4
A
y
—
Jei KA ir KB - dvi apskritimo
kirstinės, išeinančios iš vieno
taško K ir kertančios apskritimą
taškuose C ir D, tai
Įbrėžtiniai kampai, kurie remiasi į tą patį lanką, yra lygūs.
D
C/
įbrėžtiniai kampai ACB, ADB
ir AEB remiasi į tą patį lanką AB
ir todėl yra lygūs, t.y.
KAKC
O.
s11
ZACB
= Z ADB
=
Z AKB
c>
Įbrėžtiniai kampai KML, KNL
ir KPL remiasi į lanką KL, lygų
pusei apskritimo, ir todėl yra
statūs, t.y.
ZKML
= ZKNL
= ZKPL
= —(u
\ s
MA-MB
o,
/
D
= ^(U
AB-U
MC-MD.
Kampas, kurį sudaro dvi susikertančios apskritimo stygos
AC).
= U^J
AD +
UCB).
Lankas AD yra tarp kampo
kraštinių, o lankas CB tarp kraštinių tęsinių.
M
MC.
Kampas, kurį sudaro liestinė
ir kirstinė, išeinančios iš vieno
taško M:
ZAMB
=
= 90°.
Jei MA ir MB - apskritimo
liestinė ir kirstinė, išeinančios iš
vieno taško M, tai
= MB-
AB-UCD).
AB ir CD - dvi susikertančios
apskritimo stygos.
Susikertančių apskritimo stygų savybė:
Z AMD
MA2
KB-KD.
Kampas, kurį sudaro dvi kirstinės
-"TD
ZAEB.
Įbrėžtiniai kampai, kurie
remiasi į lanką, lygų pusei
apskritimo (pusapskritimį), yra
statūs.
=
A^
-
QL3·
Jei apskritimo liestinė MN ir
styga AB, einančios per tą patį
bendrą apskritimo tašką A, sudaro
kampą NAB, tai
ZNAB
= - U
2
čia ZAOB
kampas, besiremiantis į stygą AB.
AB = - Z A O B ,
2
- apskritimo centrinis
Jei ZACB
22.2. TRIKAMPIAI
- apibrėžtinis, CA
ir CB yra dvi apskritimo liestinės,
išeinančios iš taško C, tai
1)
CA =
2) CO yra kampo A CB pusiaukampinė.
3) OAL CA, OB -L CB - apskritimo spindulys, išvestas į lietimosi tašką, statmenas liestinei.
Z A CB = - i ( u AEB
•k
"k
a, b, c- trikampio kraštinės,
a, β, γ - trikampio vidaus kampai,
CB.
- VJADB)
α , β , γ - trikampio vidaus
kampų priekampiai.
•
Trikampio vidaus kampų, priekampių ir kraštinių sąryšiai:
1. Trikampio vidaus kampų suma lygi 180°, t.y.
a + β + y = \ 80°.
.
2. Trikampio priekampis yra didesnis už bet kurį jam negretulinį trikampio vidaus kampą, t.y.
-k
α > β, a > γ\
1. Apskritimo ilgis
C =
INR
arba
C
3. Trikampio priekampis lygus dviejų jam negretutinių trikampio vidaus kampų sumai, t.y.
čia R - apskritimo spindulys,
d - apskritimo skersmuo: d = 2R .
C_
2R
γ > α, γ > β.
β>α,β>γ\
= Tid-,
Apskritimo ilgio ir skersmens santykis yra tas
pats, kad ir kokie būtų apskritimai.
π - iracionalusis skaičius, π = 3,1416...
γ = a + β.
β = a + /\
a' = β + y,
4. Trikampio priekampių suma lygi 360°, t.y.
a ' + β + / = 360°.
Apskritimo lanko, atitinkančio
a° centrinį kampą AOB, ilgis:
I _
5. Trikampio nelygybė:
a<b + c,
b<a + c,
180
'
6. Trikampio perimetras:
P = a + b + c.
Stygos AB ilgis:
AB =
c<a + b.
NRA
2Λ8ΐΗΑ.
Trikampio pusperimetris:
a +b+c
Trikampio pusiaukraštinės AK,
BL ir CM susikerta viename taške
O, kuris dalija kiekvienąjų santykiu
2 :1 (pradedant nuo viršūnės):
• Trikampio vidurine linija vadinama atkarpa, jungianti j o dviejų
kraštinių vidurio taškus. Trikampio
vidurinė linija (m) lygiagreti vienai
jo kraštinei ir lygi pusei tos kraštinės:
AO-OK
= 2:1,
BO:OL = 2:1,
m\\ a ir m = —a.
•
Kosinusų teorema:
CO-.OM = 2:1.
AO = — AK,
3
OK = — AK,
a 2 = b2 + c 2 -2bccosA,
b2 = a2 + c 2 -
BO = -BL,
OL = -BL,
3
CO = —CM,
OM- ---CM.
2
2
c = a +
b2
IaccosB,
-
3
3
2abcosC.
3
3
•
Sinusų teorema:
sin A
sin B
sin С
= 2 R;
a, b, c - trikampio ABC
kraštinės,
čia R - apie trikampį apibrėžto apskritimo spindulys.
A
• Trikampio pusiaukampinės kertasi viename taške, kuris yra į trikampį įbrėžto apskritimo centras.
Sakykime, AD = I a - kampo A
pusiaukampinė.
ma, mb, mc - trikampio
ABC pusiaukraštinės.
Pusiaukampinės savybė:
Pusiaukampinės Ia skaičiavimo formulė
m
b
n
c
Ia = -Jbc - mn.
b = ^2[m2a+mį)-m2b,
c - l ^ t e + m ž K
mb
2
,
=^ΐ(α2+c2)-b2,
mc=\Ua2+b2)-c2.
•
Į trikampį įbrėžtas apskritimas
1. I kiekvieną trikampį galima
įbrėžti apskritimą.
STATUSIS TRIKAMPIS
•
Trikampis, kurio vienas kampas status, vadinamas stačiuoju.
/C = 90°, a, b- statiniai, c - įžambinė.
a . - b
sinar = —, s i n / ; = —,
c
c
b
a
cosor = —, cos β = —,
C
C
2. Į trikampį įbrėžto apskritimo
centras O yra to trikampio pusiaukampinių AO, BO ir CO susikirtimo taškas.
a
tga = - ,
b
3. Jei į trikampį ABC įbrėžtas spindulio r apskritimas, tai
b
0
tgβ = - ,
a
ctga = - , CtgyJ = ^.
a
b
čia S - trikampio plotas, p - trikampio pusperimetris:
•
Apie trikampį apibrėžtas apskritimas
1. Apie kiekvieną trikampį galima apibrėžti apskritimą.
a = C s i n a = C COS β= btga = bcXgfi,
b = c s i n / ? = c c o s a = Otgfi = a c t g a ,
a
b
b
a
sin a
cos a
sin/?
cos β
Stačiųjų trikampių savybės
2. Apie trikampį apibrėžto apskritimo centras O yra to trikampio
kraštinių vidurio statmenų susikirtimo taškas.
I. Stačiojo trikampio dviejų smailiųjų kampų suma lygi 90°, t.y.
ZA +ZB = 90°.
2. Stačiojo trikampio statinis, esantis prieš 30° kampą, lygus
pusei įžambinės, t.y.
3. Apie trikampį ABC apibrėžto apskritimo spindulys
R=
abc
čia S - trikampio plotas; a, b, c- trikampio kraštinės.
jei ZA = 30°, tai a = - .
V Jei stačiojo trikampio statinis lygus pusei įžambinės, tai prieš
1.1 statinį esantis kampas lygus 30°.
a, b - statiniai,
с - įžambinė,
h c - aukštinė, nuleista iš
stačiojo kampo viršūnės C į
įžambinę,
ac — statinio a projekcija
įžambinėje c,
bc - statinio b projekcija
įžambinėje c.
( statųjį trikampį įbrėžtas ir apie statųjį trikampį apibrėžtas apskritimas
a, b - statiniai,
c - įžambinė,
O - įbrėžto apskritimo centras,
r - įbrėžto apskritimo spindulys.
r=
a + b-c
2
.
1. Pitagoro teorema. Stačiojo trikampio įžambinės kvadratas
lygus statinių kvadratų sumai:
C2=U2+b2.
1. Apie statųjį trikampį apibrėžto apskritimo centras O yra
įžambinės vidurio taškas.
Iš Pitagoro teoremos gauname:
C = Va 2 +b2,
b = 4c2 -a2,
2. Apie statųjį trikampį apibrėžto apskritimo spindulys R
lygus pusei įžambinės:
a = Vc2-b2.
2. Stačiojo trikampio statinis yra įžambinės ir j o projekcijos
įžambinėje geometrinis vidurkis:
a =-Jc-Oc, t.y. a2 =c-ac,
b = JcTc,
2
t.y. b = c-bc.
3. Stačiojo trikampio aukštinė, nubrėžta iš stačiojo kampo viršūnės, yra statinių projekcijų įžambinėje geometrinis vidurkis:
K= V«c bc
t-y-
h
c =ac - b ^
R = - = m/,
c
2
čia mc - pusiaukraštinė, nubrėžta iš stačiojo kampo viršūnės
<' į įžambinę c.
*
*
*
TRIKAMPIŲ LYGUMO POŽYMIAI
LYGIAŠONIS TRIKAMPIS
•
Trikampis, kurio dvi kraštinės lygios, vadinamas lygiašoniu.
a h b- šoninės kraštinės,
c - pagrindas.
a =b
Trikampiai ABC ir AiBtCi
(šoninės kraštinės lygios).
1.
AB = AiBi,
AC = AiCi,
IygOs (Д ABC = AAiBiCi),
ZA = ZAi
(trikampių
jei:
lygumo
požymis pagal dvi kraštines ir kampo tarp jų),
1. Lygiašonio trikampio kampai prie pagrindo lygūs, t.y.
2.
ZA = ZB.
2. Lygiašonio trikampio aukštinė, pusiaukampinė ir pusiaukraštinė, nubrėžtos į pagrindą c sutampa, t.y.
K =
m
C =
l
C -
kurio
visos
kraštinės
ZA = ZAi,
ZB = ZBi
(trikampių
lygumo
lygios,
3.
AB = AiBi,
BC=BiCi,
AC=A1C1
(trikampių
lygumo
požymis pagal tris kraštines).
TRIKAMPIŲ PANAŠUMAS IR
TRIKAMPIŲ PANAŠUMO POŽYMIAI
LYGIAKRAŠTIS TRIKAMPIS
• Trikampis,
lygiakraščiu.
AB = AiBi,
požymis pagal kraštinę ir du prie jos esančius kampus),
vadinamas
1. Lygiakraščio trikampio visi kampai lygūs 60°.
2. Lygiakraščio trikampio aukštinė,
pusiaukampinė,
ir pusiaukraštinė,
nubrėžtos iš bet kurios trikampio
viršūnės į prieš j ą esančią kraštinę,
sutampa.
Du trikampiai panašūs, kai j ų atitinkami kampai lygūs ir
atitinkamos kraštinės proporcingos, t.y. du trikampiai ABC ir
AiBiCi panašūs (žymima: AABC ~ AAiBiCi),
jei
ZA = ZAltZB
= ZBitZC
•
= ZCl
Stačiųjų trikampių panašumo požymiai
Du statieji trikampiai yra panašūs:
AB
AiBl
BC
BlCi
AC
AiCi
I-
1) jei j i e turi po vieną lygų smailųjį kampą,
2) jei vieno stačiojo trikampio statiniai proporcingi kito
stačiojo trikampio statiniams,
čia k - panašumo koeficientas.
•
Panašių trikampių savybės:
1) Dviejų panašių trikampių ABC ir AiBiC1
lygus panašumo koeficiento kvadratui, t.y.
Sabc
s
A1BlCl
_
Г AB
I
Л
2
AlBij
i
BC
{B1C1
plotų santykis
KETURI Y P A T I N G I T R I K A M P I O T A Š K A I
r f ^]
J C,)
c
2) Dviejų panašių trikampių ABC ir AiBiCi
1 taškas. Trikampio aukštinės kertasi viename taške.
perimetrų santykis
lygus panašumo koeficientui:
•
^ABC
AB
BC
pA B C
t i 1
A1B1
BiC1
3) jei vieno stačiojo trikampio įžambinė ir statinis yra
proporcingi kito stačiojo trikampio įžambinei ir statiniui.
2 taškas. Trikampio pusiaukampinės kertasi viename taške. Sis
taškas yra į trikampio įbrėžto apskritimo centras.
3 taškas. Trikampio pusiaukraštinės kertasi viename taške.
-
A C
AiCx
4 taškas. Trikampio kraštinių vidurio statmenys kertasi viename
taške. Šis taškas yra apie trikampį apibrėžto apskritimo
centras.
-k-
Trikampių panašumo požymiai
Pirmasis trikampių panašumo požymis.
Jei vieno trikampio du kampai atitinkamai lygūs
trikampio dviem kampams, tai tie trikampiai panašūs.
kito
Antrasis trikampių panašumo požymis.
Jei vieno trikampio dvi kraštinės proporcingos kito trikampio
dviem kraštinėms ir kampai tarp tų kraštinių lygūs, tai tie
trikampiai panašūs.
Trečiasis trikampių panašumo požymis.
Jei vieno trikampio visos trys kraštinės proporcingos kito
trikampio kraštinėms, tai tie trikampiai panašūs.
•k
-k
-k
2.
Rombas
22.3. KETURKAMPIAI
Daugiakampio vidaus kampų suma lygi
n - daugiakampio kraštinių skaičius.
180°(n-2),čia
v
а/
Ar
Keturkampio kampų suma lygi 360° ( 1 8 0 ° ( 4 - 2 ) = 360°).
d
1.
Lygiagretainis
V
Rombu
vadinamas
lygiagretainis, kurio visos kraštinės
lygios.
/
Lygiagretainiu
vadinamas
keturkampis,
kurio
priešingosios kraštinės yra
lygiagrečios.
Rombo savybės
1) Rombo įstrižainės rf, ir d2
rf, I d 2 .
2) Rombo įstrižainės yra jo kampų pusiaukampinės.
3) Rombo įstrižainių susikirtimo taškas kiekvieną jų dalija
pusiau.
Lygiagretainio savybės
1) Lygiagretainio priešingosios kraštinės yra lygios, priešingieji
kampai lygūs.
4) Rombo priešingieji kampai lygūs.
5) Ryšys tarp rombo įstrižainių ir kraštinių:
2) Lygiagretainyje prie vienos kraštinės esančių kampų suma
d2 ^d22=
lygi 180°, t.y.
ZA + ZB= 180°, ZB + ZC = 180°,
ZC+ZD=
180°, ZA+ZD=
3.
2
l(a
kvadratų
Aa2.
Stačiakampis
180°.
3) Lygiagretainio įstrižainės AC ir BD susikerta ir susikirtimo
taškas jas dalija pusiau.
4) Lygiagretainio kraštinių
kvadratų sumai:
susikerta stačiuoju kampu:
suma
lygi
Stačiakampiu vadinamas
lygiagretainis, kurio visi kampai statūs.
įstrižainių
Stačiakampio savybės
2
+b )=d~
2
+d 2\
čia a ir b - dvi gretimos lygiagretainio kraštinės d\ ir d2 lygiagretainio įstrižainės.
1) Stačiakampio priešingosios kraštinės yra lygiagrečios ir
lygios, o kampai statūs.
2) Stačiakampio įstrižainės lygios.
4.
Lygiašonė trapecija
Kvadratas
a
Lygiašonė trapecija - trapecija, kurios šoninės kraštinės
lygios.
Kvadratu vadinamas stačiakampis, kurio visos kraštinės
lygios.
Kvadrato savybės
Lygiašonės trapecijos savybės
1) Kvadrato įstrižainės yra lygios ir kertasi stačiu kampu.
1) Lygiašonės trapecijos šoninės kraštinės yra lygios: AB = CD.
2) Kvadrato įstrižainė lygi d = a j l , a - kvadrato kraštinė.
2) Lygiašonės
Z A = ZDY
5.
Trapecija
Trapecija vadinamas keturkampis, kurio dvi priešingosios
kraštinės lygiagrečios, o kitos
dvi kraštinės nelygiagrečios.
Trapecijos vidurinė linija m lygiagreti pagrindams ir lygi jų
sumos pusei:
N
m\\a,
Il U
m\\b,
m=
а
+
Ь
.
=
Iab
a + b'
=
kampai
ED =
FD.
prie
pagrindo
lygūs:
ZC.
3) Lygiašonės trapecijos, į kurią galima įbrėžti apskritimą,
aukštinė h lygi pagrindų a ir b geometriniam vidurkiui:
-Jai).
Stačioji trapecija
Stačioji trapecija - trapecija,
kurios vienas kampas status
(ABI
EF - atkarpa, lygiagreti trapecijos pagrindams ir einanti per
įstrižainių susikirtimo tašką.
EF
trapecijos
ZB
AD).
6.
22.4. IŠKILASIS DAUGIAKAMPIS
Įbrėžtiniai keturkampiai
Kiekvieno įbrėžtinio keturkampio priešingųjų kampų suma
lygi 180°, t.y.
1. Iškiliojo n-kampio vidaus kampų suma lygi
2.
180°(n-2).
Iškiliojo n-kampio įstrižainių skaičius lygus
3.
Jeigu keturkampio priešingųjų kampų suma lygi 180°, tai
apie jį galima apibrėžti apskritimą.
Apie trapeciją galima apibrėžti apskritimą tik tada, kai ji yra
lygiašonė.
Ptolomėjo teorema:
ac + bd = ef\
n(n-3)
2
ZA + ZC = ZB + ZD = \ 80°.
Iškiliojo n-kampio priekampių suma lygi 360°.
22.5. TAISYKLINGIEJI DAUGIAKAMPIAI
Taisyklingojo daugiakampio visi kampai lygūs ir visos
kraštinės lygios.
Taisyklingojo n-kampio visų kampų suma lygi
čia a, b, c, d-keturkampio
kraštinės,
e, f - keturkampio įstrižainės.
(«-2)180°,
7. Apibrėžtiniai keturkampiai
kiekvienas kampas
C
\\Y(
"Ly
я
Kiekvieno apibrėžtinio keturkampio
priešingųjų
kraštinių
sumos lygios, t.y.
^
i
a = ——--180°
b
it - taisyklingojo n-kampio
kampų (kraštinių) skaičius.
a„ - taisyklingojo n-kampio
kraštinės ilgis,
R - apibrėžtinio apskritimo
spindulys,
r - įbrėžtinio apskritimo spindulys.
AB + CD = BC + AD.
Jeigu iškiliojo keturkampio priešingųjų kraštinių ilgių sumos
lygios, tai į jį galima įbrėžti apskritimą.
į keturkampį įbrėžto apskritimo spindulys:
čia S - apibrėžtinio keturkampio plotas,
p - apibrėžtinio keturkampio pusperimetris.
a„ = 2/fsin
180°
r = R cos
180°
22.6. PLOKŠČIŲJŲ FIGŪRŲ PLOTAI
Lygiakraštis trikampis (и = 3)
Visų kampų suma lygi 180°.
Kiekvienas vidaus kampas a = 60°.
a =
1. Trikampio plotas
Rj3,
R-aA
a = 2λ/3 r,
R = 2r,
R
aj3
r
"
čia h a - aukštinė, nuleista iš
viršūnės A į kraštinę a,
hb - aukštinė, nuleista iš
viršūnės B į kraštinę b,
h c - aukštinė, nuleista iš
viršūnės C į kraštinę c.
3
6
2
'
Visų kampų suma lygi 360°.
= 90°.
a = Ryl2,
2
S = — absinC = — bcsin A = —acsin B.
2
2
2
a = 2 r,
R = Jlr,
a
2"
Herono formulė:
S =
Ryj2
2
čia p =
a +b +c
Jp(p-a)(p-b)(p-c);
trikampio puspenmetns.
Taisyklingasis šešiakampis (n = 6)
Visų kampų suma lygi 720°.
Kiekvienas vidaus kampas a = 120°.
S = pr\
čia p - trikampio pusperimetris,
r - į trikampį įbrėžto apskritimo spindulys.
S=
^ ;
4R
čia R - apie trikampį apibrėžto apskritimo spindulys,
a, b, c - trikampio kraštinės.
4.
Stačiojo trikampio plotas
Lygiagretainio plotas
S = aha=bhb;
S = -ab- čia a, b - statiniai.
2
S = ^chc-
V
Aa
/
η
čia ha, hb - lygiagretainio aukštinės.
чУ
5 = αί> sin or.
a
čia c - įžambinė,
h c - aukštinė, nuleista iš stačiojo
kampo viršūnės C į įžambinę c.
S = —dtd2
čia
Lygiakraščio trikampio plotas
dx,d22
S=
sin^;
lygiagretainio įstrižainės,
φ - kampas tarp įstrižainių.
aS
čia a - trikampio kraštinė.
S = ah;
2.
Kvadrato plotas
V
a
a
/ а \
а/
/ У
W ;
čia a - kvadrato kraštinė.
a
a
čia a - rombo kraštinė,
h - rombo aukštinė.
{
Г
rfi
S = a2sinor;
\
čia a - kampas tarp gretimų rombo
-d2;
о \
d2
/а
/
kraštinių.
čia d - kvadrato įstrižainė.
2 '
3. Stačiakampio plotas
S = ab-
2
čia d x , d 2 - rombo įstrižainės.
čia a, b - stačiakampio kraštinės.
S = pr\
5 = —d2s\na>:
2
čia d - stačiakampio įstrižainė,
φ - kampas tarp įstrižainių.
čia p - pusperimetris: p = 2a,
r - į rombą įbrėžto apskritimo
spindulys.
6.
Keturkampio plotas
φ
b
\
j/d•
čia dbd2-
//"I
keturkampio įstrižainės,
S = — d,d2 sin φ\
V
c
S = —d ,d 2 sin ¢7;
čia dx,d2
-įstrižainės,
φ - kampas tarp įstrižainių.
a
φ - kampas tarp įstrižainių.
a+b
Įbrėžtinio keturkampio plotas
S
=
a-b
yl(p-a)(p-b)(p-b-d)(p-b-c),
čia p - pusperimetris:
y](P~ a)(P ~ b)(p - c)(p - d) ',
čia p - keturkampio pusperimetris.
S = h2.
S = pr;
čia p - keturkampio pusperimetris.
7. Trapecijos plotas
•k
8.
čia a, b - trapecijos pagrindai,
h - aukštinė.
S1 = mh;
a +
^ - trapecijos vidurinė linija.
*
*
Taisyklingojo daugiakampio plotas
Pr-
čia m =
a+b+c+d
Lygiašonės trapecijos, kurios
įstrižainės statmenos vienai kitai,
plotas
Apibrėžtinio keturkampio plotas
5
I Gk
p =
1 „2 . 360°
c
S = - R «sin
;
čia n - kraštinių skaičius,
an - taisyklingojo n-kampio kraštinės ilgis,
R - apie taisyklingąjį daugiakampį apibrėžto apskritimo
spindulys,
r - į taisyklingąjį daugiakampį įbrėžto apskritimo spindulys,
p - pusperimetris.
Lygiakraščio trikampio plotas
4
S = ^Zz2;
Skritulio išpjovos plotas
SispjAm=^a
4
(h = R+r;
R:r = 2:l)
Kvadrato plotas
360 '
čia I - išpjovos lanko ilgis;
a° - lanko laipsninis matas;
R - apskritimo spindulys.
Skritulio nuopjovos plotas (nelygios
pusskrituliui)
2
S = a ; S = 2R~;
nR2a
S = Ar1
360
kai a < 180°.
Taisyklingojo šešiakampio plotas
r _ зУ?а2
2
_ З-УЗ/?2
'
2
360
'
2
S = 2л/3г .
skritulio išpjovos plotas
kai a > 180°.
Abiematvejais S ^ o i =— Л 2 sin a·, todėl universali nuopjovos ploto skaičiavimo formulė yra
Skritulio plotas
S = nR2;
Čia π a 3,14 - pastovus skaičius;
R - skritulio spindulys.
R ( πα
2 V 180
•
Tiesės ir plokštumos lygiagretumo požymis.
Stereometrijos aksiomos ir išvados iš aksiomų
Jei plokštumoje nesanti tiesė
lygiagreti kuriai nors toje plokštumoje esančiai tiesei, tai ta tiesė
lygiagreti plokštumai, t.y.
1. Per bet kuriuos tris taškus, esančius ne vienoje plokštumoje,
eina vienintelė plokštuma.
2. Jei du tiesės taškai yra plokštumoje, tai visi tiesės taškai yra
toje plokštumoje.
Jei b e a, a t a ir a || b, tai a || a.
•
4. Per tiesę ir joje nesantį tašką eina plokštuma, tačiau tik
viena.
Plokštumos erdvėje gali būti:
1. Susikertančios (jų susikirtimo linija yra tiesė a)
5. Per dvi susikertančias tieses eina plokštuma, tačiau tik viena.
α<~\β = а
/4
a \\ β
23.1. TIESĖS IR PLOKŠTUMOS ERDVĖJE
•
•
M
Susikertančiosiomis tiesėmis vadinamos tiesės, kurios turi
tik vieną bendrą tašką.
Lygiagrečiosiomis tiesėmis erdvėje vadinamos dvi tiesės,
kurios yra vienoje plokštumoje ir neturi bendrų taškų.
•
Prasilenkiančiosiomis tiesėmis erdvėje
tiesės kurios nėra vienoje plokštumoje.
vadinamos
•
Galimos šios tiesės ir plokštumos padėtys erdvėje:
dvi
1) tiesė ir plokštuma susikerta (tiesė ir plokštuma turi vieną
bendrą tašką),
2) tiesė priklauso plokštumai,
3) tiesė lygiagreti plokštumai (tiesė ir plokštuma neturi
bendrų taškų).
2. Lygiagrečios (neturi bendrų taškų).
/
\
3. Jei dvi skirtingos plokštumos turi bendrą tašką, tai jos
susikerta tiese, kurioje yra visi bendri tų plokštumų taškai.
\
STEREOMETRIJA
Xfcs
23.
V
•
Dviejų plokštumų lygiagretumo požymis.
Jei vienos plokštumos dvi susikertančios tiesės lygiagrečios
kitos plokštumos dviem susikertančioms tiesėms, tai tos
plokštumos lygiagrečios.
•
Teorema. Jei dvi lygiagrečias plokštumas kerta trečia
plokštuma, tai jų susikirtimo tiesės lygiagrečios.
•
Tiesė vadinama statmena plokštumai, jei ji yra statmena
kiekvienai tiesei, esančiai toje plokštumoje.
•
Tiesės ir plokštumos statmenumo požymis.
•
Dvisieniu kampu vadinama figūra, kurią sudaro tiesė a bei
dvi pusplokštumės, turinčios bendrą kraštą a.
Jei tiesė statmena dviem
susikertančioms tiesėms, esančioms plokštumoje, tai ji statmena tai plokštumai, t.y.
Jei aLb
Norėdami išmatuoti dvisienio kampo didumą, iš bet kurio
briaunos a taško A abiejose
kampo sienose išveskime briaunai statmenus spindulius AB ir
AC (ABIDE
ir AC
IDE).
ir a X c , tai a 1 a.
•
Trijų statmenų teorema.
Tiesė, išvesta plokštumoje, statmena pasvirosios projekcijai
toje plokštumoje, yra statmena ir pasvirajai.
AB- statmuo plokštumai a ,
AC- pasviroji,
BC- pasvirosios A C projekcija plokštumoje a ,
a - tiesė, išvesta plokštumoje
a , statmena pasvirosios projekcijai BC.
Tų spindulių sudarytas kampas ВАС vadinamas dvisienio
kampo tiesiniu kampu.
Dvisienio kampo Iaipsniniu matu vadinamas j o tiesinio
kampo laipsninis matas, t.y. dvisienis kampas matuojamas
tiesiniu kampu
Jei a l BC, t a i o l ^ C .
•
Jei vienas iš keturių
dvi-
Atvirkštinė teorema. Tiesė, išvesta plokštumoje, statmena
pasvirajai, yra statmena ir j o s projekcijai.
sienių kampų, gautų susikirtus
•
yra status, tai tokios plokštumos
dviem plokštumoms
Kampu tarp tiesės ir plokštumos, kertančios tą tiesę ir jai
nestatmenos, vadinamas kampas tarp tiesės ir j o s projekcijos
plokštumoje.
α - kampas tarp tiesės AK
ir plokštumos β ,
AM - tiesės AK projekcija
plokštumoje β .
a
ir
β
vadinamos statmenomis (viena
kitai statmenomis).
•
Dviejų plokštumų statmenumo požymis.
Jei viena iš dviejų plokštumų eina per tiesę, statmeną kitai
plokštumai, tai tos plokštumos viena kitai statmenos.
GRETASIENIS. STAČIAKAMPIS GRETASIENIS
23.2. BRIAUNAINIAI
STAČIOJI PRIZMĖ
•
•
Prizmė, kurios šoninės briaunos statmenos
vadinama stačiąja.
•
Prizmė,
kurios
gretasieniu.
•
Gretasienis, kurio šoninės sienos statmenos pagrindams,
vadinamas stačiuoju.
•
Statusis
gretasienis,
kurio
pagrindai
vadinamas
stačiakampiu
gretasieniu.
gretasienio visos sienos - stačiakampiai.
R,
h= AAi = BBi = CCi
- stačiosios prizmės aukštinė
lygi jos šoninei briaunai.
h
I V
I ^ _4
s
,
'
/
i ж
f
įy—'-r
vadinama
7υ
/
R,
A1
ISpagr,
/
A
/
\
a
C
\
i
1. Gretasienio priešingos sienos
yra lygiagrečios ir lygios.
3. Gretasienio įstrižainių susikirtimo taškas yra j o simetrijos
centras.
a, b, c - stačiakampio gretasienio matmenys.
1. Visos stačiakampio gretasienio
įstrižainės yra lygios.
c
»·—-V-
čia Spagr - prizmės pagrindo plotas.
C1
Di
I \
I 4
ι
^d
I
\
2. Stačiosios prizmės paviršiaus plotas
stačiakampiai,
Stačiakampio
2. Gretasienio įstrižainės susikerta viename taške, kuris kiekvienąjų dalija pusiau.
C
-Ph,
čia P - prizmės pagrindo perimetras,
h - aukštinė.
C1
i
A
1. Stačiosios prizmės šoninio paviršiaus plotas
S = Sion +
lygiagretainiai,
pagrindams,
Stačioji prizmė, kurios pagrindai yra taisyklingieji daugiakampiai, vadinama taisyklingąja prizme.
Ston
pagrindai
2. Stačiakampio gretasienio kiekvienos įstrižainės kvadratas lygus
jo matmenų kvadratų sumai:
d2 =a2 +b2 + c2.
3. Stačiosios prizmės tūris
y = Spagr- h.
3.
Stačiakampio gretasienio šoninio paviršiaus plotas
Ss„„=2(ac + bc).
4.
S = SSo„+2S
=2(ab + bc + ac).
Jei piramidės pagrindas yra trikampis, tai piramidė vadinama
trikampe, jei keturkampis - keturkampe, jei penkiakampis penkiakampe ir t.t.
Spagr=Vb
pagrindo plotas.
• Taisyklingosios piramidės šoninės sienos aukštinė, nuleista
i š j o s viršūnės, vadinama apotema.
Stačiakampio gretasienio viso paviršiaus plotas
5. Kiekvieno gretasienio turis lygus j o pagrindo ploto ir aukštinės sandaugai
V = S^
6.
Taisyklingoji trikampė piramidė, kurios visos briaunos yra
lygios, vadinama tetraedru.
1. Taisyklingosios piramidės šoninio paviršiaus plotas
-h.
Stačiakampio gretasienio tūris
V =
ab-c.
čia hno„
KUBAS
R\
Cl
/u
AI
L) ι
I
I
B)
2.
C
/
/
A
Kubas yra stačiakampis gretasienis, kurio visos briaunos
lygios.
Visos kubo sienos kvadratai.
a
a
CL)
S = 6a1, V = a\
PIRAMIDĖ
Piramide vadinamas briaunainis, kurio viena siena
(pagrindas) yra daugiakampis, o šoninės sienos - trikampiai,
turintys bendrą viršūnę.
• Piramidė, kurios pagrindas - taisyklingasis daugiakampis, o
atkarpa, jungianti piramidės viršūnę su pagrindo centru, yra
piramidės aukštinė, vadinama taisyklingąja piramide.
apotema,
P - pagrindo perimetras,
Spagr - pagrindo plotas,
ψ
kampas, kurį sudaro
šoninė siena su pagrindo
plokštuma (dvisienio kampo
prie pagrindo didumas).
Taisyklingosios piramidės paviršiaus plotas
S = S.,
3.
Taisyklingosios piramidės turis
čia h - piramidės aukštinė.
NUPJAUTINĖ PIRAMIDĖ
•
Jei piramidę perkirsime plokštuma, lygiagrečia pagrindo
plokštumai, tai gausime du briaunainius. Vienas jų yra piramidė,
o kitas - nupjautinė piramidė
•
Taisyklingosios nupjautinės
piramidės pagrindai yra taisyklingieji
daugiakampiai.
Šoninės sienos - lygiašonės
trapecijos. Šoninės sienos
(lygiašonės trapecijos) aukštinė
vadinama
apotema
(žymima hio„ ).
Hson=EEi.
Nupjautinės piramidės šoninės sienos yra trapecijos.
•
Tegu
SABC
trikampė
piramidė
yra perkirsta pagrindui
lygiagrečia plokštuma.
Tada
piramidžių SA1B1C1 ir
SABC
pagrindai AxBiCi ir ABC
yra
panašieji trikampiai
[AiBiCi ~ ABC).
Jeigu
1.
SOi - piramidės SAiBiCi aukštinė,
Taisyklingosios nupjautinės piramidės šoninio paviršiaus
plotas
S bon = ^
+ ^2
Son '
SO - piramidės SABC aikštinė,
čia hSo„ - apotema, Pi ir P2 - pagrindų perimetrai.
5, - piramidės SAiBiCi pagrindo plotas,
S - piramidės SABC pagrindo plotas,
_ S1
Vi - p i r a m i d ė s SAiBiCi tūris,
V-
S2
>iramidės SABC tūris, tai
S,
,
^- = Ic2;
S
V
V
—
=
*
čia
;
AB1
S1C1
k =
-=
BC
AB
SBi
•
, SA
čia k = —-1 =
SA
SB
AiCi
SOi
AC
~~ŠO
SCi
SC
=
čia S, - apatinio pagrindo plotas,
S2 - viršutinio pagrindo plotas,
φ - kampas, kurį sudaro šoninė kraštinė su pagrindo
plokštuma (dvisienio kampo prie pagrindo didumas).
SOi
SO
Šios abi formulės galioja ir keturkampei, ir šešiakampei
piramidei. Bendru atveju šios formulės galioja ir piramidei,
kurios pagrindas yra bet koks iškilasis daugiakampis.
Taisyklingoji nupjautinė piramidė
• Nupjautinė piramidė, kuri gaunama taisyklingąją piramidę
perkirtus
pagrindui
lygiagrečia
plokštuma,
vadinama
taisyklingąja nupjautinė piramide.
2.
Nupjautinės piramidės paviršiaus plotas
S = Sfon + Si+
3.
S2.
Nupjautinės piramidės toris
vĄh
fa+s2+fiX),
čia h - nupjautinės piramidės aukštinė.
KŪGIS
23.3. SUKINIAI
•
RITINYS
•
Kūnas, gautas stačiakampį sukant apie ašį, kurioje yra j o
kraštinė, vadinamas ritiniu.
•
Kūnas, gautas statųjį trikampį sukant apie ašį, kurioje yra
statinis, vadinamas kūgiu.
Atkarpa, jungianti kūgio viršūnę su pagrindo (apskritimo)
tašku, vadinama kūgio sudaromąja (žymima raide I ) .
1. Ritinio šoninio paviršiaus
plotas
1. Kūgio šoninio
plotas
Stol = 2 n r h ,
2.
Ritinio pagrindo plotas
Spagr = T l r .
3.
Ritinio paviršiaus plotas
4.
2
RitiniotOris
V
nr
SsoiI=
čia r - ritinio pagrindo spindulys,
h - ritinio aukštinė.
paviršiaus
^
čia r - kūgio pagrindo spindulys,
i - kūgio sudaromoji.
2.
Kūgio paviršiaus plotas
3.
Kūgio tūris
S = nr(r + ().
S = 2nr{r + h).
V = — nr
h, čia h
kūgio aukštinė.
=nr h.
Kūgio šoninio paviršiaus išklotinė yra skritulio išpjova,
Θ
Θ
Ritinio paviršiaus išklotinė
A
л <
V
C = 2π r
kurios spindulys SA lygus kūgio sudaromajai i , o išpjovos
lanko ilgis -
kūgio pagrindo apskritimo
ilgiui.
Kūgio
šoninio paviršiaus plotu laikomasjo išklotinės plotas.
SSun
>
čia C = 2πr
-Ch,
S
- apskritimo ilgis.
"
' У
Λ
/
π(2α
Sb», —
360 '
čia a - lanko laipsninis matas,
( - sudaromoji.
Nupjautinis kūgis
1. Nupjautinio kūgio šoninio
paviršiaus plotas
Sia„=n(R
+ r)e,
•
Plokštuma, kuri su sfera turi vieną bendrą tašką, vadinama
liečiamąja plokštuma a , o jų bendras taškas - plokštumos ir
sferos lietimosi tašku B. Sferos spindulys, išvestas į sferos ir
plokštumos lietimosi tašką, statmenas liečiamajai plokštumai
(OB =
RtOBla).
RUTULYS
čia R apatinio pagrindo
spindulys,
r - viršutinio pagrindo
spindulys,
I - sudaromoji (paveiksle
e=AB).
2.
Rutulio tūris
čia R - rutulio spindulys.
Nupjautinio kūgio paviršiaus plotas
S = n(R + r)t + nR2 + nr2.
•
3.
Nupjautinio kūgio tūris
V = -nh(R2
+ r2 + Rr)
Rutulio nuopjova
Rutulio nuopjova vadinama rutulio dalis, kurią nuo jo
atkerta bet kuri jį kertanti plokštuma.
čia OB = R- rutulio spindulys,
AB = r - rutulio nuopjovos
pagrindo spindulys,
AC = h - rutulio nuopjovos
aukštinė.
SFERA
Sfera vadinamas paviršius, sudarytas iš visų erdvės taškų,
vienodai nutolusių nuo vieno taško.
•
pa,
su
(OA
Sferos spindulys - atkarjungianti sferos centrą O
bet kuriuo sferos tašku
= R).
Sferos paviršiaus plotas
5 =
AnR2,
čia R - sferos spindulys.
1.
Rutulio nuopjovos paviršiaus plotas
2.
Rutulio nuopjovos tūris
V = nh2[R-|j;
S =
2
V = — nh(h
v
6
InRh.
+ir2).
'
1.
Rutulio sluoksnis
•
S ι Spj. = Sfiuopj.
Rutulio sluoksniu vadinama rutulio dalis, esanti tarp dviejų
lygiagrečių kertamųjų plokštumų.
čia R=AO = COrutulio
spindulys,
r, = AM - rutulio sluoksnio
apatinio pagrindo spindulys,
r2 = CN - rutulio sluoksnio
viršutinio pagrindo spindulys,
h = MN - rutulio sluoksnio
aukštinė.
1. Rutulio sluoksnio paviršiaus plotas
Sd
+
S k.Son.'
čia SnuopJ - rutulio nuopjovos paviršiaus plotas,
Sk forl - kūgio šoninio paviršiaus plotas.
S
nuopj. = 2 π / ? / ι ;
Skson =TiRr,
čia R = OC = OB - r u t u l i o spindulys,
r = BD = CD - rutulio nuopjovos pagrindo spindulys,
h = AD - rutulio nuopjovos aukštinė.
1. Rutulio išpjovos tūris
V=-nR2h.
3
=2nRh.
24. V E K T O R I A I . K O O R D I N A Č I Ų M E T O D A S
2. Rutulio sluoksnio tūris
V =-nh'
6
Rutulio išpjovos paviršiaus plotas
24.1. BENDROS SĄVOKOS IR VEIKSMAI SU
VEKTORIAIS
+ - U i rv 11 2 + r2 2 2 k
>
Rutulio išpjova
B
• Rutulio išpjova vadinamas
kūnas, gautas skritulio išpjovą,
kurios kampas mažesnis už 90°,
apsukus apie tiesę, einančią per
vieną skritulio išpjovą ribojančių spindulių. Rutulio išpjovą
sudaro rutulio nuopjova ir
kūgis.
Vektoriumi vadiname atkarpą, kurioje nurodyta kryptis. Jeigu atkarpoje
AB nurodyta kryptis iš A į B, tai A
vadiname vektoriaus pradžios tašku,
B - vektoriaus galo tašku, o patį vektorių žymime AB.
Vektoriaus AB ilgiu vadiname atkarpos AB ilgį.
•
Nuliniu vektoriumi vadiname bet kurį plokštumos tašką.
Nulinio vektoriaus pradžios ir galo taškai sutampa, kryptis
neapibrėžta, o ilgis lygus nuliui.
Kai nurodome nulinio vektoriaus pradžios (kartu ir galo)
tašką, nulinį vektorių žymime AA ; kai nenurodome - tiesiog 0.
•
Kolineriaisiais vadinami vektoriai, esantys vienoje tiesėje
arba lygiagrečiose tiesėse.
•
Komplanariaisiais vadinami vektoriai, kurie yra lygiagretūs
vienai plokštumai arba yra vienoje plokštumoje.
•
Priešingaisiais vadinami vektoriai, kurių ilgiai lygūs, bet
kryptys priešingos.
•
Lygiais vadinami vienakrypčiai vektoriai, kurių ilgiai lygūs.
Visus nulinius vektorius taip pat laikome lygiais.
•
5. Vektorių sudėties lygiagretainio taisyklė
+ DE + EF = AF
7. Vektorių sudėties gretasienio taisyklė
Vienetiniu vadinamas vektorius, kurio ilgis lygus vienetui.
1. Vienakrypčių
kolineariųjų vektorių sudėtis
2. Priešpriešinių
kolineariųjų vektorių sudėtis
a
6. Vektorių sudėties daugiakampio taisyklė
8. Vektorių
skaičiaus
OA = a, ~OB = b, OC = c -
daugyba
i .
Trys nekomplanarieji vekto-
c
d
b
c
a
j
b
:
:
\
\
b
J
e=č+d
c =a+b
3. Vektorių
syklė
sudėties
ХЧ
tai-
4. Vektorių atimtis
Λ
A
a +b
m /
Vektorių sudėties dėsniai
1.
a + b=b + a
- perstatymo dėsnis.
2.
(a + b)+č = a + [b+č)
3.
a + 0 = a.
\m-/i
n
- j u n g i m o dėsnis.
iš
24.3. VEKTORIŲ, IŠREIKŠTŲ KOORDINATĖMIS,
SUDĖTIS ATIMTIS IR DAUGYBA IŠ SKAIČIAUS
24.2. VEKTORIAUS REIŠKIMAS KOORDINATINIAIS
VEKTORIAIS
• Kiekvienas
plokštumos
vektorius a vieninteliu būdu
išreiškiamas vienetiniais vektoriais i, j :
• Kiekvienas erdvės vektorius a vieninteliu būdu
išreiškiamas vienetiniais vektoriais i , j , k \
a = xT + yj;
a = xi + yj + zk;
čia χ, y - vektoriaus
a
F(1; 0) ir 7(0; 1) - vienetiniai vektoriai (| i |=| j |= 1).
Γ(1;0;0),
stačiakampėje
koordinačių sistemoje;
vektoriaus a+ b koordinatės yra (JC, + X2; yx + y2), o vektoriaus
a - b koordinatės yra (*, - x 2 ; y t - y 2 ) ·
7(0; 1;0)
•
a(x\y).
Jei α(χ,;
г,) ir b(x2; y2\ z2) - du erdvės vektoriai, tai
vektoriaus a + b
+ x2 i У\+ У2i z\ + zi)>
koordinatės yra
vektoriaus a - b koordinatės yra ( x , - x 2 ; y\-y2',
ir
fc(0; 0; 1) - vienetiniai vek-
- plokštumos vektorius, tai vektoriaus ka koor-
dinatės yra (hc; ky); čia k - skaičius.
Jei a(x;y;z)
Vektoriaus koordinates nurodome taip:
Jei a ( x | ; ^ 1 ) ir b(x2\ _y2) - du plokštumos vektoriai, tai
Jei a(x;y)
išraiškos koeficientai x, y,
z vadinami vektoriaus a
koordinatėmis
turimoje
koordinačių sistemoje;
koordinatės
•
0
z,-z2).
- erdvės vektorius, tai vektoriaus ka koor-
dinatės yra (kx\ky\kz)\
čia k- skaičius.
toriai (I Г |=| y I=I Л I= 1).
24.4. VEKTORIAUS ILGIO REIŠKIMAS JO
KOORDINATĖMIS
•
Plokštumos vektoriaus
a(x,y)
ilgį galima apskaičiuoti
remiantis formule:
\а\ = т]х2 +y2;
čia χ, y - vektoriaus a koordinatės.
•
Erdvės
vektoriaus
a(x;y;z)
remiantis formule:
a = Vlx2+y2+z2.
ilgį
galima
apskaičiuoti
24.5. VEKTORIŲ SKALIARINĖ DAUGYBA
• Dviejų nenulinių plokštumos vektorių a ir į skaliarine
sandauga vadinamas skaičius, lygus tų vektorių ilgių ir kampo
tarp jų kosinuso sandaugai, t.y.:
24.6. DVIEJŲ VEKTORIŲ STATMENUMO SĄLYGA
• Jei vektoriai vienas kitam statmeni, tai j ų skaliarinė sandauga
lygi nuliui, t.y.
jei
a-b
a Iby
a-b
tai
= X 1 -X2
+y, -y2
čia a b- vektorių a(x,; yt) ir b(x2;y2)
•
=0;
=|β|· b cos\a, b j;
skaliarinė sandauga.
Vektoriaus skaliarinis kvadratas lygus jo ilgio kvadratui, t.y.
Analogiška statmenumo sąlyga galioja ir erdvės vektoriams
a2 = a • a =\ a \2
•
Jei ii(x,; y,) ir b(x2\y2)
5 ( χ , ; Λ ; ζ , ) ir b (x2y y2, z2)
Jei aA-b,
- du plokštumos vektoriai, tai jų
tai a b = Xi-x2 + yt-y2
+ z, -Z2= 0;
skaliarinė sandauga išreiškiama formule
ab=
x,x2+
24.7. KAMPO TARP VEKTORIŲ SKAIČIAVIMAS
y,y2.
•
•
Jei O(X1JJi1JZi) ir b(x2,y2;z2)
- du erdvės vektoriai, tai jų
Jei a(x,; yt)
ir b(x2;y2)
yra plokštumoje, tai kampo a
tarp jų kosinusui apskaičiuoti taikoma formulė:
skaliarinė sandauga išreiškiama formule
a • b = XiX2 + yty2
•
+Z1Z2.
Vektorių skaliarinės daugybos savybės:
1. a-b = b a - perstatymo dėsnis;
2.
+
cos a = -
X1X2+^y
V^i У\
2+
•
2
-Jxl+y2!
Kampo а tarp erdvės vektorių a(x,; y{; z,) I r i ( X 2 J y 2 J z 2 )
kosinusas apskaičiuojamas pagal formulę:
= a c + b - c - skirstymo dėsnis;
cosor = -
3. (ka) b = k((i b) - j u n g i m o dėsnis.
a-b
ab
a I- b
X1X2+ y,y2 +Z1Z2
^
χ2+y2+z2-V
24.9. ATKARPOS VIDURIO TAŠKO KOORDINATĖS.
ATSTUMAS TARP DVIEJŲ TAŠKŲ. VEKTORIAUS
ILGIO RADIMAS, KAI ŽINOMOS JO PRADŽIOS
IR GALO KOORDINATĖS
24.8. DVIEJŲ NENULINIŲ VEKTORIŲ
KOLINEARUMO POŽYMIS
• ICad du vektoriai a ir b būtų kolinearūs, būtina ir pakanka,
kad egzistuotų toks skaičius k * O, su kuriuo būtų teisinga
lygybė
•
Atstumas
B(x2;y2)
tarp
dviejų
plokštumos
taškų
Л (.*•,;>>,)
ir
išreiškiamas formule
Ь=ка.
AB •• V f e ~*l) 2 +(У2 " Л ) 2 ·
•
Jei du plokštumos vektoriai a (x,; y]) ir b (x2; y2) yra ko-
linearūs, tai jų atitinkamos koordinatės yra proporcingos, t.y.
Remiantis
šia
formule
apskaičiuojamas
o galo B koordinatės yra (x2; y2),
X2
plokštumos
t.y.
y2
AB
Atvirkščiai, jei dviejų plokštumos vektorių atitinkamos koordinatės proporcingos, tai tie vektoriai kolinearūs.
•
ir
vektoriaus AB ilgis, kai jo pradžios A koordinatės yra (x,; j , ) ,
Jei du erdvės vektoriai Л(х,;
г,) ir b (x2; y2, z2) yra koli-
•
-- y](x2~X\Y
+{У2 ~У\У •
Jei plokštumos taško A koordinatės yra ( х , ; ^ , ) , o taško B
koordinatės - (x 2 ;.y 2 ), tai atkarpos AB vidurio taško C koordinates (x; y) randame remdamiesi formulėmis:
nearūs, tai jų atitinkamos koordinatės yra proporcingos, t.y.
У=
*2
У2
z
2
»
Atvirkščiai, jei dviejų erdvės vektorių atitinkamos koordinatės proporcingos, tai tie vektoriai kolinearūs.
Atstumas
В(х2,y2,z2)
tarp
dviejų
erdvės
*
*
taškų
Л (r,; y,; z,)
ir
išreiškiamas formule
AB = yJ(x2 - Χ , ) 2 +(y2-л)2
*
У1+У2
+(z 2 - z , ) 2 .
Remiantis šia formule apskaičiuojamas ir erdvės vektoriaus
AB ilgis, kai jo pradžios A koordinatės yra (x,;
koordinatės yra (x 2 ; y2\z2),
t.y.
; z , ) , o galo B
Tiesės, einančios per du taškus AZ1(X1J^1) ir
AB = v(*2-•X\ ) + (У2 - У\) + ( 2 - I ) ·
2
2
Z
z
lygtis
2
У-У i
У2 ~ УI
•
Jei erdvės taško A koordinatės yra (x,;
koordinatės -
Z 1 ), o taško B
(x 2 ; y2; z 2 ) , tai а1каф08 AB vidurio taško C
z, + z,
X
2~X\
Tiesių y = k\X+lx ir y = k2x + /2 lygiagretumo sąlyga:
*> - k2.
koordinates (x; >>; z) randame remdamiesi formulėmis:
Zi+Z?
M2(x2\y2),
Tiesių у = к,х + 1, ir y = k2x + l2 statmenumo sąlyga:
Ar, -Ar2 = — 1.
24.10. TIESES LYGTIS
Bendroji tiesės lygtis yra
24.11. APSKRITIMO LYGTIS
ax + by + c = 0
tiesės
taip:
Jei b * 0 , tai bendrąją
lygtį galima užrašyti
y = kx + l;
čia k =
a
b
, I =
c
.
b
Skaičius k vadinamas tiesės krypties koeficientu; k = t g a ,
čia a - kampas, kurį sudaro tiesė su χ ašimi.
Tiesės, einančios per tašką Л/(х,; y , ) , kai yra žinomas
krypties koeficientas k = Iga , lygtis
У~У\=к{х~х,).
čia χ, y - bet kurio apskritimo taško koordinatės,
x0, y o - apskritimo centro O1 koordinatės,
R - apskritimo spindulys.
r
2. Jei apskritimo centras sutampa su koordinačių pradžia
O, tai apskritimo lygtis yra
У/
R
S
NУ
χ2 + y2 = R2;
čia χ, y - bet kurio apskritimo
taško koordinatės,
R - apskritimo spindulys.
1 PRIEDAS. GRAIKŲ KALBOS ABĖCĖLĖ
24.12. SFEROS LYGTIS
Sferos lygtį
dviem atvejais.
užrašysime
1. Stačiakampėje koordinačių
sistemoje Oxyz sferos, kurios spindulys R ir centras
z
CTx 0 ; .Vo; o) lygtis
( X - X
0
)
2
2
+ (y-y0)
+ ( Z - Z
)
0
2
=
/?
2
.
čia χ, y, z - bet kurio sferos taško koordinatės,
x0; y0; z0 - sferos centro C koordinatės,
R - sferos spindulys.
2. Jei sferos centras sutampa
su koordinačių pradžia O, tai
apskritimo lygtis yra
Pp
TO
кара
Σσ
sigma
Λλ
lambda
Tr
tau
Μμ
mi
Υυ
ipsilon
epsilon
Nv
ni
Φφ
fl
Ζζ
dzeta
Ξξ
ksi
Χχ
chi
Ηη
eta
Oo
omikron
ψψ
psi
Θθ
teta
Ππ
Ωω
omega
Aa
alfa
Ββ
beta
Kk
Γγ
gama
Δδ
delta
Εε
Ilgio matavimo vienetai
1 kilometras (km) = 1000 metrų (m),
1 metras (m) = 10 decimetrų (dm) = 100 centimetrų (cm),
1 decimetres (dm) = 10 centimetrų (cm),
1 centimetras (cm) = 10 milimetrų (mm).
Ploto matavimo vienetai
1 kvadratinis
kilometras
*
kvadratinių
metrų ( m ) ,
(dm1)
*
(km2) = 1000000
2
1 kvadratinis metras
*
P·
2 PRIEDAS. METRINĖ MATŲ SISTEMA
χ2 + y 2 +z2 = R 2 ;
čia χ, y, z - b e t kurio sferos
taško koordinatės,
R - sferos spindulys.
Ii jota
(m2) = 100 kvadratinių decimetrų
= 10000 kvadratinių centimetrų
(cm2),
1 hektaras (ha) = 100 arų (a) = 10000 kvadratinių metrų
1 aras (a) = 100 kvadratinių metrų
(m2).
(m2),
3 PRIEDAS. NATŪRALIŲJŲ SKAIČIŲ NUO 10 IKI 99
KVADRATŲ LENTELĖ
Torio matavimo vienetai
1 kubinis
metras
(m 3 ) = 1000
kubinių
decimetrų
5ft
3
(dm ) = 1000000 kubinių centimetrų (cm 3 ) ,
tB
1 kubinis decimetras (dm 3 ) = 1000 kubinių centimetrų (cm 3 ) ,
1 litras (() = 1 kubiniam decimetrui
Vienetai
>55
U
α
(dm3),
1 hektolitras (hi) = 100 litrų (t) .
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
100
121
144
169
196
225
256
289
324
361
2
400
441
484
529
576
625
676
729
784
841
3
900
961
1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521
Masės matavimo vienetai
1 tona (t) = 1000 kilogramų (kg),
4
1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401
1 centneris (cnt) = 100 kilogramų (kg),
5
2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481
1 kilogramas (kg) = 1000 gramų (g),
6
3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761
1 gramas (g) = 1000 miligramų (mg).
7
4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241
8
6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921
9
8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801
Laiko matavimo vienetai
1 sekundė (s) = —min = —-—h ,
60
3600
1 minutė (min) = — h ,
60
1 valanda (h) = — paros,
24
1 para = 24 h,
1 metai = 365 (366) paros (dienos),
1 amžius = 100 metų
4 PRIEDAS. SKAIČIŲ 2 IR 3 LAIPSNIAI
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2"
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
3"
3
9
27
81
243
729
2187
6561
19683
59049
5 PRIEDAS. KAI KURIŲ SKAIČIŲ FAKTORIALAI
2! =
3! =
4! =
5!=
2
6
24
120
6! = 720
71 = 5040
81=40320
9! = 362880
101 =
111 =
121 =
13! =
3628800
39916800
479001600
6227020800
UŽRAŠAMS
6 PRIEDAS. GRETINIŲ SKAIČIUS A *
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
3
4
2
6
12
20
30
42
56
72
90
6
24
60
120
210
336
804
720
24
120
360
840
1680
3024
5040
6
5
7
9
8
120
720
720
2520
5040
5040
6720 20160 40320 40320
15120 60480 181440 362880 362880
30240 151200 604800 1 8 1 4 4 0 0 3 6 2 8 8 0 0
10
3 6 2 8 8 0 0
7 P R I E D A S . D E R I N I Ų S K A I Č I U S Ck„
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
k
0 1 2
3
1 1
1 2
1
1 3
3
1
1 4
6
4
I 5 10 10
1 6 15 20
1 7 21 35
1 8 28 56
1 9 36 84
1 10 45 120
1 11 55 165
1 12 66 220
1 13 78 286
1 14 91 364
1 15 105 455
4
5
6
7
8
1
5
15
35
70
126
210
330
495
715
1001
1365
1
6
21
56
126
252
462
792
1287
2002
3003
1
7
28
84
210
462
924
1716
3003
5005
1
8
36
120
330
792
1716
3432
6435
1
9
45
165
495
1287
3003
6435
9
10
11
12
1
10
1
11
1
55
12
1
220 66
715 286 78
13
2002 1001 364 91
5005 3003 1365 455