كتاب الإحصاء

‫قسم االقتصاد الزراعي‬ ‫وإدارة األعمال الزراعية‬ ‫مقرر إحصاء عام‬ ‫إعداد‬ ‫أ‪.‬د خالد صالح الدين طه‬ ‫أ‪.‬د حسن نبيه أبو سعد‬ ‫‪2022‬‬ ‫رؤية الكلية‬ ‫تتمثل رؤية الكلية في‪ :‬أن تكون كلية الزراعة جامعة المنوفية من الكليات المتميزة‬ ‫والمعتمدة محلياً وإقليمياً في مجال التعليم الزراعي والبحث العلمي ونقل‬ ‫التكنولوجيا بما يخدم أهداف التنمية الزراعية والريفية المستدامة‪.‬‬ ‫رسالة الكلية‬ ‫تهدف كلية الزراعة جامعة المنوفية في إطار تحقيق رؤيتها إلي‪ :‬إعداد خريجين‬ ‫قادرين على المنافسة محلياً وإقليمياً في مختلف مجاالت الزراعة‪ ،‬باإلضافة إلي‬ ‫خدمة المجتمع و حل مشاكلة االقتصادية و اإلجتماعية و البيئية و ذلك من‬ ‫خالل‪ :‬تقديم برامج دراسية متميزة لطالب مرحلة البكالوريوس والدراسات العليا و‬ ‫دعم و تشجيع البحث العلمي الزراعي و توفير البرامج اإلرشادية واالستشارية‬ ‫الزراعية‪ ،‬و تنطلق رسالة الكلية من قاعدة أساسها‪ :‬اإلرتقاء بجودة الموارد‬ ‫البشرية و المادية المتاحة بالكلية و التوظيف األمثل لها‪ ،‬و تحقيق التكامل بين‬ ‫مختلف قطاعات الكلية‪.‬‬ ‫توصيف مقرر‬ ‫إحصاء عام ق ‪102‬‬ ‫أوالً‪ :‬املعلومات األساسية ‪Basic Information‬‬ ‫اسم املقرر‬ ‫إحصاء عام‬ ‫الساعات املعتمدة (الوحدات)‪/‬أسبوع‬ ‫نوع املقرر‬ ‫الرمز والكود‬ ‫نظرى ‪2‬‬ ‫ق ‪102‬‬ ‫عملى‬ ‫الفرقة‬ ‫‪2‬‬ ‫أساسي ‪ -‬اجبارى‬ ‫الربانمج‪/‬الربامج‪ ،‬الذى يدرس املقرر من خالله‬ ‫عام‬ ‫القسم‪/‬األقسام‪ ،‬املسئول عن الربانمج‬ ‫قسم االقتصاد الزراعي‬ ‫القسم‪/‬األقسام‪ ،‬املسئول عن تدريس املقرر‬ ‫االقتصاد الزراعي‬ ‫اتريخ اعتماد جملس القسم حملتوى املقرر‬ ‫‪2013/10‬‬ ‫اثنياً‪ :‬املعلومات املهنية ‪Professional Information‬‬ ‫‪ .1‬األهداف العامة للمقرر ‪Overall Aims of Course‬‬ ‫‪1-1‬‬ ‫فهم الفروق بني االحصاء الوصفى واالحصاء الكمى ‪.‬‬ ‫‪2-1‬‬ ‫فهم وتطبيق مقاييس االحصاء الوصفى ‪.‬‬ ‫‪3-1‬‬ ‫التعرف على أمهية التوزيعات االحتمالية املنفصلة واملتصلة ‪.‬‬ ‫‪4-1‬‬ ‫فهم وتطبيق التقدير االحصائى‬ ‫‪5-1‬‬ ‫فهم وتطبيق اختبارات الفروض االحصائية ‪.‬‬ ‫‪ .2‬خمرجات التعليم املستهدفة )‪Intended Learning Outcomes (ILO's‬‬ ‫أ‪ -‬املعرفة والفهم ‪Knowledge and Understanding‬‬ ‫أ‪1-‬‬ ‫يعرف أساليب مجع وعرض البياانت االحصائية‬ ‫أ‪2-‬‬ ‫يفهم أمهية اإلحصاءات الوصفية والكمية‬ ‫أ‪3-‬‬ ‫يعدد التوزيعات االحتمالية املنفصلة واملتصلة وخصائصها ‪.‬‬ ‫أ‪4-‬‬ ‫يشرح طرق التقدير اإلحصائي واالختبارات اإلحصائية‬ ‫ب‪ -‬املهارات الذهنية ‪Intellectual Skills‬‬ ‫بنهاية دراسة هذا املقرر يكون الطالب قادرا على أن ‪:‬‬ ‫ب‪1-‬‬ ‫خيتار أسلوب عرض البياانت املناسب‬ ‫ب‪2-‬‬ ‫حيدد املقاييس املالئمة لطبيعة البياانت‬ ‫ب‪3-‬‬ ‫يستخدم التوزيعات االحتمالية من خالل خصائص البياانت‬ ‫األوىل‬ ‫جمموع‬ ‫‪3‬‬ ‫ت‪ -‬املهارات املهنية والعملية ‪Professional and Practical Skills‬‬ ‫ت‪1-‬‬ ‫جيري طرق العرض املختلفة للبياانت‬ ‫ت‪2-‬‬ ‫يستخدم البياانت االحصائيه‪.‬يف حساب مقاييس اإلحصاء الوصفية‬ ‫ت‪3-‬‬ ‫يستخدم البياانت االحصائيه‪.‬يف تقدير معامل اجملتمع من العينة‬ ‫ت‪4-‬‬ ‫جيري اختبارات الفروض االحصائيه‬ ‫ث‪ -‬املهارات العامة ومهارات االتصال ‪General and Transferable Skills‬‬ ‫ث‪1-‬‬ ‫يستخدم طرق عرض البياانت اإلحصائية بكفاءة‬ ‫ث‪2-‬‬ ‫يعد التقارير اإلحصائية‬ ‫ث‪3-‬‬ ‫يعمل من خالل فرق العمل املختلفة‬ ‫ث‪4-‬‬ ‫يتعامل مع األفراد واجلماعات ويتصل ابجلهات واهليئات املختلفة ‪.‬‬ ‫‪ .3‬حمتوايت املقرر ‪Contents‬‬ ‫أوال‪ :‬الدروس النظرية‬ ‫األسبوع‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫املوضوع‬ ‫عدد ساعات النظري‬ ‫مجع وعرض وتبويب البياانت اإلحصائية‬ ‫‪2‬‬ ‫مقاييس النزعة املركزية‬ ‫‪2‬‬ ‫مقاييس التشتت‬ ‫‪2‬‬ ‫العزوم ومقاييس االلتواء والتفرطح‬ ‫‪2‬‬ ‫مقدمة يف نظرية االحتماالت اإلحصائية‬ ‫‪2‬‬ ‫التوزيعات االحتمالية ملتغري عشوائي واحد منفصل‬ ‫‪2‬‬ ‫امتحان منتصف الفصل الدراسي‬ ‫‪2‬‬ ‫التوزيعات االحتمالية ملتغري عشوائي واحد متصل‬ ‫‪2‬‬ ‫العزوم والقيمة املتوقعة ملتغريين عشوائيني‬ ‫‪2‬‬ ‫نظرية التقدير اإلحصائي‪ -1 :‬التقدير بطريقة العزوم‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -2‬التقدير مبعظمة االحتمال‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪13‬‬ ‫نظرية التقدير اإلحصائي‪ -3 :‬التقدير بطريقة املربعات الصغرى‬ ‫‪2‬‬ ‫حتليل االرتباط واالحندار اخلطي البسيط‬ ‫اختبارات املعنوية اإلحصائية‪ -1 :‬اختبار متوسط العينة ضد متوسط اجملتمع‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -2‬اختبار الفرق بني متوسطني‬ ‫‪14‬‬ ‫اإلمجال‬ ‫اختبارات املعنوية اإلحصائية‪ -3 :‬اختبار معامل الدالة االحندارية‬ ‫‪2‬‬ ‫‪28‬‬ ‫اثنياً‪ :‬الدروس العملية‬ ‫األسبوع‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫املوضوع‬ ‫عدد ساعات العملي‬ ‫مجع وعرض وتبويب البياانت اإلحصائية‬ ‫‪2‬‬ ‫مقاييس النزعة املركزية‪ -1 :‬الوسط احلساب‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -2‬الوسط اهلندسي‬ ‫‪ -3‬الوسط التوافقي‬ ‫‪3‬‬ ‫مقاييس النزعة املركزية‪ -4 :‬الوسيط‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -5‬املنوال‬ ‫‪ -6‬العالقة بني املتوسطات‬ ‫‪4‬‬ ‫مقاييس التشتت‪ -1 :‬املدى‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -2‬االحنراف املتوسط‬ ‫‪ -3‬التباين واالحنراف املعياري‬ ‫‪5‬‬ ‫مقاييس التشتت‪ -4 :‬االحنراف الربيعي‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -5‬التشتت النسب‬ ‫العزوم ومقاييس االلتواء والتفرطح‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫مقدمة يف نظرية االحتماالت اإلحصائية‬ ‫‪2‬‬ ‫التوزيعات االحتمالية ملتغري عشوائي واحد منفصل‪ -1 :‬توزيع ذو احلدين‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -2‬التوزيع الفوق هندسي‬ ‫‪ -3‬توزيع البواسون‬ ‫‪8‬‬ ‫التوزيعات االحتمالية ملتغري عشوائي واحد متصل‪ -1 :‬التوزيع املتجانس‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫العزوم والقيمة املتوقعة ملتغريين عشوائيني‬ ‫‪2‬‬ ‫حتليل االرتباط واالحندار اخلطي البسيط‪ -1 :‬تقدير معامل الدالة االحندارية‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -2‬التوزيع الطبيعي والتوزيع الطبيعي القياسي‬ ‫‪ -2‬تقدير معامل االرتباط ومعامل التحديد‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪14‬‬ ‫اإلمجال‬ ‫اختبارات املعنوية اإلحصائية‪( :‬اختبار ‪) t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اختبارات املعنوية اإلحصائية‪( :‬اختبار ‪) z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اختبارات املعنوية اإلحصائية‪ -3 :‬اختبار معامل الدالة االحندارية‬ ‫‪2‬‬ ‫مراجعة ‪ +‬امتحاانت الشفوي‬ ‫‪2‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪ .4‬أساليب وطرق التعليم والتعلم ‪Teaching and Learning Methods‬‬ ‫‪1-4‬‬ ‫احملاضرات‬ ‫‪2-4‬‬ ‫الدروس العمليه‬ ‫‪3-4‬‬ ‫األنشطه والتمارين والواجبات املنزليه‬ ‫‪ .5‬أساليب وطرق تقييم الطالب ‪Student Assessment Methods‬‬ ‫مسلسل‬ ‫املهارات املستهدف تقيمها‬ ‫األسلوب (الطريقة)‬ ‫‪1-5‬‬ ‫املشاركة‬ ‫املعرفة والفهم واالتصال‬ ‫‪2-5‬‬ ‫امتحان منتصف الفصل الدراسى‬ ‫املعرفة واملهارات العملية‬ ‫‪3-5‬‬ ‫االمتحان الشفوي‬ ‫مهارات املعرفة واالتصال‬ ‫‪4-5‬‬ ‫االمتحان العملي‬ ‫املهارات املهنية والعملية‬ ‫‪5-5‬‬ ‫امتحان النظري‬ ‫املعرفة والفهم واملهارات الذهنية‬ ‫‪ .6‬اجلدول الزمىن للتقييم ودرجات التقييم ‪Time Schedule and Weighting of Assessment‬‬ ‫األسلوب (الطريقة)‬ ‫مسلسل‬ ‫الدرجة‬ ‫أسبوع إجراء التقييم‬ ‫‪1-6‬‬ ‫املشاركة‬ ‫كل األسابيع‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2-6‬‬ ‫امتحان منتصف الفصل الدراسى‬ ‫األسبوع السابع‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3-6‬‬ ‫االمتحان الشفوي‬ ‫األسبوع الرابع عشر‬ ‫‪10‬‬ ‫‪4-6‬‬ ‫االمتحان العملي‬ ‫األسبوع اخلامس عشر‬ ‫‪20‬‬ ‫‪5-6‬‬ ‫امتحان النظري‬ ‫األسبوع السادس عشر‬ ‫‪60‬‬ ‫إمجاىل الدرجة‬ ‫‪100‬‬ ‫‪ .7‬قائمة املراجع ‪List of References‬‬ ‫‪1-7‬‬ ‫مذكرات‪ :‬د‪ .‬ابراهيم صديق‪ ،‬د‪ .‬رجب زين‪ :‬اإلحصاء العام ( كلية الزراعه جامعة املنوفيه ‪)2012‬‬ ‫‪2-7‬‬ ‫كتب عربية‪ :‬د‪.‬عادل يوسف‪ ،‬د‪ .‬حممود عبد املنعم‪ :‬مقدمه يف علم اإلحصاء ( كلية الزراعه جامعة املنوفيه ‪) 2007‬‬ ‫‪ -‬سلسلة ملخصات شوم نظرايت ومسائل يف اإلحصاء‪ ،‬موراي ر‪ .‬شبيجل‪ ،‬دار ماكجروهيل للنشر‪.1978 ،‬‬ ‫ شبري عبد هللا احلرازي ‪ ،‬أساسيات اإلحصاء‪ ،‬الطبعة الثانية‪ ،‬مركز عبادي للدراسات والنشر‪ ،‬صنعاء‪ ،‬اليمن ‪2003‬‬‫‪3-7‬‬ ‫كتب أجنبية‪ :‬سلسلة شوم يف اإلحصاء ‪1- Hoel; Introduction to Mathematical Statistics‬‬ ‫‪4-7‬‬ ‫دورايت ونشرات‬ ‫‪5-7‬‬ ‫مواقع على شبكة اإلنرتنت‪All web sites related to statistics and applied statistics :‬‬ ‫‪ .8‬التسهيالت الالزمة للتعليم والتعلم ‪Facilities Required for Teaching and Learning‬‬ ‫‪1-8‬‬ ‫السبوره‬ ‫‪2-8‬‬ ‫‪Data Show‬‬ ‫‪3-8‬‬ ‫معمل حاسب آل‬ ‫اثلثاً‪ :‬مصفوفة خمرجات التعليم املستهدفة للمقرر ‪Course Matrix of ILO's‬‬ ‫أوال‪ :‬الدروس النظرية‬ ‫املهارات‬ ‫املعرفة والفهم‬ ‫(أ)‬ ‫موضوعات املقرر‬ ‫الذهنية‬ ‫(ب)‬ ‫املهارات املهنية املهارات العامة‬ ‫والعملية (ت)‬ ‫ومهارات‬ ‫االتصال (ث)‬ ‫‪54321543215432154321‬‬ ‫‪ 1‬مجع وعرض وتبويب البياانت اإلحصائية‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ 2‬مقاييس النزعة املركزية‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ 4‬العزوم ومقاييس االلتواء والتفرطح‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ 3‬مقاييس التشتت‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ 5‬مقدمة يف نظرية االحتماالت اإلحصائية‬ ‫‪x‬‬ ‫‪xxx‬‬ ‫‪xxx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ 8‬التوزيعات االحتمالية ملتغري عشوائي واحد متصل‬ ‫‪ 9‬العزوم والقيمة املتوقعة ملتغريين عشوائيني‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ -2‬التقدير مبعظمة االحتمال‬ ‫‪ 12‬حتليل االرتباط واالحندار اخلطي البسيط‬ ‫‪ 13‬اختبارات املعنوية اإلحصائية‪ :‬اختبار متوسط العينة ضد متوسط اجملتمع‪،‬‬ ‫واختبار الفرق بني متوسطني‬ ‫‪ 14‬اختبارات املعنوية اإلحصائية‪ :‬اختبار معامل الدالة االحندارية‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ 10‬نظرية التقدير اإلحصائي‪ -1 :‬التقدير بطريقة العزوم‬ ‫‪ 11‬نظرية التقدير اإلحصائي‪ -3 :‬التقدير بطريقة املربعات الصغرى‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ 6‬التوزيعات االحتمالية ملتغري عشوائي واحد منفصل‬ ‫‪ 7‬امتحان منتصف الفصل الدراسي‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪xx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪xx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪xx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫اثنيا‪ :‬الدروس العملية‪:‬‬ ‫املعرفة والفهم‬ ‫املهارات‬ ‫املهارات‬ ‫املهارات‬ ‫(أ)‬ ‫الذهنية‬ ‫املهنية‬ ‫العامة‬ ‫موضوعات املقرر‬ ‫والعملية‬ ‫(ب)‬ ‫(ت)‬ ‫ومهارات‬ ‫االتصال (ث)‬ ‫‪54321543215432154321‬‬ ‫‪ 1‬مجع وعرض وتبويب البياانت اإلحصائية‬ ‫‪ 2‬مقاييس النزعة املركزية‪( :‬الوسط احلساب واهلندسي والتوافقي)‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x x x x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x x x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x x x‬‬ ‫‪ 4‬مقاييس التشتت‪( :‬املدى واالحنراف املتوسط والتباين واالحنراف‬ ‫املعياري)‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x x x‬‬ ‫‪ 5‬مقاييس التشتت‪( :‬االحنراف الربيعي والتشتت النسب والعزوم ومقاييس‬ ‫االلتواء والتفرطح‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x x x‬‬ ‫‪ 6‬مقدمة يف نظرية االحتماالت اإلحصائية‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫‪x x x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫‪x x x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫‪x x x x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫‪x x x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x x x x‬‬ ‫‪ 3‬مقاييس النزعة املركزية‪( :‬الوسيط واملنوال والعالقة بني املتوسطات‬ ‫‪ 7‬التوزيعات االحتمالية ملتغري عشوائي واحد منفصل‬ ‫‪ 8‬التوزيعات االحتمالية ملتغري عشوائي واحد متصل‬ ‫‪ 9‬العزوم والقيمة املتوقعة ملتغريين عشوائيني‬ ‫‪ 10‬حتليل االرتباط واالحندار اخلطي البسيط‬ ‫‪ 11‬اختبارات املعنوية اإلحصائية‪( :‬اختبار ‪) t‬‬ ‫متوسط )العينة ضد متوسط اجملتمع‬ ‫اختبار‬ ‫‪ 12‬اختبارات املعنوية ‪-1‬‬ ‫(اختبار ‪z‬‬ ‫اإلحصائية‪:‬‬ ‫متوسطني‬ ‫الفرق‬ ‫متوسط اجملتمع‬ ‫الدالةضد‬ ‫معاملبنيالعينة‬ ‫متوسط‬ ‫اختبار‬ ‫‪ 13‬اختبارات املعنوية ‪-12‬‬ ‫االحندارية‬ ‫اختبار‬ ‫اإلحصائية‪:‬‬ ‫اختبار الفرق بني متوسطني‬ ‫‪ 14‬مراجعة ‪ +‬امتحاانت ‪-2‬‬ ‫الشفوي‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x x x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x x x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x x x‬‬ ‫‪x x x x‬‬ ‫‪x x x x‬‬ ‫‪x x x x‬‬ ‫‪x x x‬‬ ‫المحتويات‬ ‫مقدمة ‪1 ..........................................................................................................................‬‬ ‫الفصل األول‪ :‬جمع وعرض وتبويب البيانات ‪1 ..........................................................................‬‬ ‫الفصل الثاني‪ :‬مقاييس النزعة المركزية ‪27 ...............................................................................‬‬ ‫الفصل الثالث‪ :‬مقاييس التشتت ‪55 ..........................................................................................‬‬ ‫الفصل الرابع‪ :‬مقاييس االلتواء والتفرطح ‪71 .............................................................................‬‬ ‫الفصل الخامس‪ :‬مقدمة في نظرية االحتماالت اإلحصائية ‪82 .........................................................‬‬ ‫الفصل السادس‪ :‬التوزيعات االحتمالية لمتغير عشوائي واحد منفصل ‪106 ..........................................‬‬ ‫الجزء األول‪ :‬المتغيرات العشوائية المنفصلة ‪107 ...................................................................‬‬ ‫الجزء الثاني‪ :‬التوزيعات االحتمالية لمتغير عشوائي واحد متصل ‪119 ..........................................‬‬ ‫الفصل السابع‪ :‬التوزيع االحتمالي والتوقع لمتغيرين عشوائيين ‪139 ..................................................‬‬ ‫الفصل الثامن‪ :‬التقدير اإلحصائي ‪149 .....................................................................................‬‬ ‫الفصل األول‪ :‬طرق التقدير ‪152 ...........................................................................................‬‬ ‫أوالً‪ :‬طريقة العزوم ‪152 .................................................................... Moments Method‬‬ ‫‪ -1‬المجتمع أحادي المتغير‪152 ............................................... Univariate Populations‬‬ ‫‪ .2‬المجتمع زوجي المتغيرات ‪153 ............................................... Bivariate Population‬‬ ‫المجتمع الطبيعي زوجي المتغيرات ‪154 ...........................Bivariate Normal Population‬‬ ‫ثانياً‪ :‬طريقة المربعات الدنيا ‪155 .................................................. Least Squares Method‬‬ ‫تطبيقات على استخدام طريقة المربعات الدنيا فى التقدير ‪155 ....................................................‬‬ ‫‪ -1‬تقدير متوسط المجتمع ‪155 ......................................................................................‬‬ ‫‪ -2‬االنحدار الخطي ‪156 .............................................................. Linear Regression‬‬ ‫الفصل التاسع‪ :‬نظرية العينات ‪186 ........................................................................................‬‬ ‫الفصل العاشر‪ :‬اختبارات صحة الفروض اإلحصائية ‪202 ............................................................‬‬ ‫مستوى المعنوية ‪205 ......................................................................... significant level‬‬ ‫المراجع ‪224 ...................................................................................................................‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫مقدمة‬ ‫نشأ علم اإلحصاء تلبية الحتياجات اجملتمع ومتطلباته‪ ،‬مث تطور بتطور تلك االحتياجات املتعددة‪ ،‬ففي‬ ‫اآلونة األخرية احتل هذا العلم مكانة كبرية بني فروع العلوم املختلفة‪ ،‬حيث إنه وبدون حتيز ال يوجد أي فرع‬ ‫من فروع املعرفة يستطيع أن حيقق تقدما إال من خالل علم اإلحصاء‪ .‬فهو الوسيلة واألداة لتحقيق الغاايت‬ ‫املنشودة لفروع العلم املختلفة‪.‬‬ ‫ويف ظل التطورات املعرفية الكبرية واهلائلة وحجم املعلومات والبياانت اليت تتعاظم أنواعها وأشكاهلا‬ ‫وأمهياهتا تربز أمهية علم اإلحصاء‪ ،‬حيث إن هذه البياانت أو األرقام حبد ذاهتا (القيمة املفردة سواء أكانت‬ ‫معدل أم نسبة مئوية أو غريها) هلا معىن حمدود‪ ،‬تزداد قيمته وضوحا عند مقارنته مع غريه من األرقام‪ ،‬فالرقم‬ ‫ال يفسر نفسه‪ ،‬بل يتم ذلك من خالل ارقام أخرى ذات داللة ومعىن‪ ،‬وعلم االحصاء هو وسيلة لعرض‬ ‫احلقائق الرقمية بصورة سهلة الفهم واالدراك‪.‬‬ ‫ويقصد بكلمة إحصاء جمموعة احلقائق والبياانت الرقمية اليت ميكن مجعها عن اجملتمعات والظواهر املختلفة‬ ‫حول متغريات معينة يف فرتة زمنية معينة‪ ،‬مث تصنف وتبوب للحصول على معلومات مفيدة حول موضوع‬ ‫معني‪ .‬ومن الصعوبة وضع تعرف شامل وخمتصر لعلم اإلحصاء‪ ،‬على أنه ميكن تعريفه على انه أحد علوم‬ ‫الرايضة التطبيقية والذي خيتص جبمع وحتليل البياانت وتفسري النتائج بغرض الوصول اىل حقائق مبنية على‬ ‫قياسات رقمية بطرق علمية‪.‬‬ ‫وهذه جمموعة من احملاضرات تقدم يف جمموعها شرحا للتعريف مببادئ علم اإلحصاء وذلك ابلرتكيز‬ ‫على اإلحصاء الوصفي من حيث التعريف* أبنواع البياانت وطرق مجعها وتبويبها وعرضها وحتليل هذه‬ ‫البياانت للحصول على بعض املقاييس اإلحصائية اليت تفيد يف التنبؤ واختاذ القرارات‪.‬‬ ‫هذا وقد راعينا أثناء كتابة هذه املوضوعات بساطة الشرح ومشوله مع االستعانة ببعض األمثلة‬ ‫التوضيحية اليت تساعد القارئ على فهم املادة العلمية مع البعد عن التعمق يف األساليب الرايضية إال ابلقدر‬ ‫الالزم لتوضيح تلك املادة العلمية‪.‬‬ ‫املؤلفان‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫الفصل األول‪ :‬جمع وعرض وتبويب البيانات‬ ‫أهداف الفصل‪:‬‬ ‫بنهاية هذ الفصل سوف سيصبح الطالب قادرا على أن‪:‬‬ ‫ يتعرف على أنواع البيانات ويفهم الفرق بين البيانات الوصفية والكمية‪.‬‬‫ يتعلم طرق جمع وتحصيل البيانات‪.‬‬‫ يستطيع عرض البيانات بالطرق المختلفة المتاحة لذلك‪.‬‬‫‪ -‬يستطيع تلخيص وتبويب البيانات‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫الفصل األول‪ :‬جمع وعرض وتبويب البيانات‬ ‫من التعريفف السفابق لعلفم اإلحصفاء‪ ،‬يالحف أنفه العلفم الفذي يهفتم جبمفع البيفاانت ‪،Data‬‬ ‫ونوع البياانت‪ ،‬وطريقة قياسها من أهم األشياء اليت حتفدد التحليفل اإلحصفائي املسفتخدم‪ ،‬وللبيفاانت‬ ‫أنففواع ختتلففف يف طريقففة قياسففها‪ ،‬ومففن األمثلففة علففى ذلففك‪ :‬بيففاانت النففوع (ذكففور ‪ – Male‬إانث‬ ‫‪ ،) Femal e‬وبيففاانت تقففدير الطالففب ( ‪ ،(D -D +-C-C+-B-B+-A -A +‬وبيففاانت عففن درجففة‬ ‫احلففرارة الالزمففة حلف ف الففدجان فففرتة زمنيففة معينففة‪ ،‬وبيففاان ت عففن حجففم اإلنفففاق العففائلي ابأللففف جنيففه‬ ‫خالل الشهر‪ .‬ومن هذه األمثلة جند أن بياانت النوع غري رقمية‪ ،‬بينما بياانت تقدير الطالب بيفاانت‬ ‫رقميففة موض ففوعة يف ش ففكل مس ففتوايت أو فئففات‪ ،‬أم ففا بي ففاانت ك ففل مففن درج ففة احل ففرارة‪ ،‬وحج ففم اإلنف ففاق‬ ‫العائلي فهي بياانت رقمية‪ ،‬ومن مث ميكن تقسيم البياانت إىل جمموعتني مها‪:‬‬ ‫‪ -1‬البياانت الوصفية ‪Qualitative Data‬‬ ‫‪ -2‬البياانت الكمية ‪Quantitative Data‬‬ ‫أوال‪ :‬البياانت الوصفية‬ ‫ه ففي بي ففاانت غ ففري رقمي ففة‪ ،‬أو بي ففاانت رقمي ففة مرتب ففة يف ش ففكل مس ففتوايت أو يف ش ففكل فئ ففات‬ ‫رقمية‪ ،‬ومن مث تقاس البياانت الوصفية مبعيارين مها‪:‬‬ ‫أ ‪ -‬بيفاانت وصففية مقاسفة مبعيفار ا في ‪ :Nominal Scale‬وهفي بيفاانت غفري رقميفة تتكفون مفن‬ ‫جمموعات متنافية‪ ،‬كل جمموعة هلا خصائص متيزها عن اجملموعة األخرى‪ ،‬كم ا أن هفذه اجملموعفات‬ ‫ال ميكن املفاضلة بينها‪ ،‬ومن األمثلة على ذلك‪:‬‬ ‫ النوع‪ :‬متغري وصفي تقاس بيا انته مبعيار ا ي "ذكر – أنثى" ‪.‬‬‫ احلالة االجتماعية‪ :‬متغري وصفي تقاس بياانته مبعيار ا ي " متزون ف أعزب ف أرمل ‪...‬ف‬‫ أصناف التمور‪ :‬متغري وصفي يقاس بياانته مبعيار ا ي " برحي ف خالص ف سكري ‪."...‬‬‫ اجلنسية‪ :‬متغري وصفي يقاس بياانته مبعيار ا ي " مصري ف غري مصري "‬‫وهففذا النففوع مففن البيففاانت ميكففن تكويففد جمموعاتففه أبرقففام‪ ،‬فمففثال اجلنسففية ميكففن إعطففاء اجلنسففية‬ ‫" مصري " الكود ( ‪ ،)1‬واجلنسية "غري مصري " الكود ( ‪)2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫ب‪-‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫بي ففاانت وص فففية مقاس ففة مبعي ففار ت ففرتيب ‪ :Ordinal Scales‬وتتك ففون م ففن مس ففتوايت‪ ،‬أو‬ ‫فئات ميكن ترتيبها تصاعداي أو تنازليا‪ ،‬ومن األمثلة على ذلك‪:‬‬ ‫ تقدير الطالفب‪ :‬متغفري وصففي تقفاس بياانتفه مبعيفار تفرتيب " ‪"D-D +-C-C+-B-B+-‬‬‫‪A-A+‬‬ ‫ املس ففتوى التعليم ففي‪ :‬متغ ففري وص فففي تق ففاس بياانت ففه مبعي ففار ت ففرتيب "أم ففي – يق ففرأ ويكت ففب ف‬‫ابتدائية ف متوسطة ف اثنوية ف جامعية ف أعلى من جامعية "‬ ‫ تركيففز خففالت الصففوديوم املسففتخدم يف حف ف حلففوم الففدجان مففن البكففرتاي‪ :‬متغففري وصفففي‬‫ترتيب يقاس بياانته مبعيار ترتيب " ‪ 0%‬ف ‪ 5%‬ف ‪ 10%‬ف ‪"15%‬‬ ‫ فئات الدخل العفائلي يف الشفهر ابجلنيفه " ‪10000- ، 5000-10000 ، <5000‬‬‫‪." >20000 ،15000-20000 ، 15000‬‬ ‫اثنيا‪ :‬البياانت الكمية‬ ‫ه ففي بي ففاانت يع ففرب عنه ففا أبرق ففام عددي ففة متث ففل القيم ففة الفعلي ففة للظ ففاهرة‪ ،‬وتنقس ففم إىل‬ ‫قسمني مها‪:‬‬ ‫أ ‪ -‬بياانت فرتة ‪ :Interval Data‬وهي بياانت رقمية‪ ،‬تقاس مبقدار بعفدها عفن الصففر‪،‬‬ ‫أي أن للصفر داللة على وجود الظاهرة‪ ،‬ومن أمثلة ذلك‪:‬‬ ‫ درجة احلرارة‪ :‬متغري كمي تقاس بياانته مبعيار بعدي‪ ،‬حيث أن درجة احلرارة " ‪ "0o‬ليس‬‫معناه انعدام الظاهرة‪ ،‬ولكنه يدل على وجود الظاهرة‪.‬‬ ‫ درج ففة الطال ففب يف االختب ففار‪ :‬متغ ففري كم ففي يق ففاس بياانت ففه مبعي ففار بع ففدي‪ ،‬حي ففث حص ففول‬‫الطالب على الدرجة " ‪ "0‬ال يعن انعدم مستوى الطالب‪.‬‬ ‫ب‪-‬‬ ‫بيفاانت نسففبية ‪ : Ratio Data‬هفي متغففريات كميففة‪ ،‬تفدل القيمففة " ‪ "0‬علففى عففدم‬ ‫وجود الظاهرة ومن األمثلة على ذلك‪:‬‬ ‫ إنتاجية الفدان ابلطن‪/‬هكتار‪.‬‬‫‪3‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫ املساحة املنزرعة ابألعالف ابلدومن‪.‬‬‫ كمية األلبان اليت تنتجها البقرة يف اليوم‪.‬‬‫ عدد مرات استخدام املزرعة لنوع معني من األ دة‪.‬‬‫ عدد الوحدات املعيبة من إنتان املزرعة‪.‬‬‫ويالح أن بياانت الفرتة ال ميكن إخضاعها للعمليات احلسفابية مثفل عمليفات الضفرب‬ ‫والقسمة‪ ،‬بينما ميكن فعل ذلك مع البياانت النسبية‪.‬‬ ‫طرق مجع البياانت‬ ‫تعترب طريقة مجفع البيفاانت مفن أهفم املراحفل الفيت يعتمفد عليهفا البحفث اإلحصفائي‪،‬‬ ‫كمففا أن مجففع البيففاانت أبسففلوب علمففي صففحيح‪ ،‬يرتتففب عليففه الوصففول إىل نتففائج دقيقففة يف‬ ‫التحليل‪ ،‬ولدراسة طرق مجع البياانت‪ ،‬جيب اإلملام ابلنقاط التالية‪:‬‬ ‫‪ -1‬مصادر البياانت‪.‬‬ ‫‪ - 2‬أسلوب مجع البياانت‪.‬‬ ‫‪ -3‬أنواع العينات‬ ‫‪ - 4‬وسائل مجع البياانت‪.‬‬ ‫مصادر مجع البياانت‬ ‫هناك مصدرين للحصول منها على البياانت مها‪:‬‬ ‫‪ - 2‬املصادر الثانوية‪.‬‬ ‫‪ - 1‬املصادر األولية‪.‬‬ ‫أوال‪ :‬املصادر األوليفة‪ :‬وهفي املصفادر الفيت حنصفل منهفا علفى البيفاانت بشفكل مباشفر‪ ،‬حيفث‬ ‫يقوم الباحث نفسه جبمع البيفاانت مفن املففردة حمفل البحفث مباشفرة‪ ،‬فعنفدما يهفتم الباحفث‬ ‫جبمففع بيففاانت عففن األسففرة‪ ،‬يقففوم لجففراء مقابلففة مففع رب األسففرة‪ ،‬ويففتم احلصففول منففه مباشففرة‬ ‫عل ففى بي ففاانت خاص ففة أبس ففرته‪ ،‬مث ففل بي ففاانت املنطق ففة الت ففاب ع هل ففا‪ ،‬واحل ففي ال ففذي يس ففكن في ففه‪،‬‬ ‫واجل نسف ففية‪ ،‬واملهنف ففة‪ ،‬والف ففدخل الشف ففهري‪ ،‬وعف ففدد أفف ففراد األسف ففرة‪ ،‬وا ملسف ففتوى التعليمف ففي‪... ،‬‬ ‫‪4‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫وهكذا‪ .‬ويتميفز هفذا النفوع مفن املصفادر ابلدقفة والثقفة يف البيفاانت‪ ،‬ألن الباحفث هفو الفذي‬ ‫يقوم بنفسه جبمع البياانت من املفردة حمل البحث مباشفرة‪ ،‬ولكفن أهفم مفا يعفاب عليهفا أ فا‬ ‫حتتان إىل وقت وجمهود كبري‪ ،‬ومن انحية أخرى أ ا مكلفة من الناحية املادية‪.‬‬ ‫اثنيففا‪ :‬املصففادر الثانويففة‪ :‬وهففي املصففادر الففيت حنصففل منهففا علففى البيففاانت بشففكل غففري مباشففر‪،‬‬ ‫مبعف ففىن آخف ففر يف ففتم احلصف ففول عليهف ففا بواسف ففطة أشف ففخاص آخف ففرين‪ ،‬أو أجهف ففزة‪ ،‬وهيئف ففات ر يف ففة‬ ‫متخصصة‪ ،‬مثل نشفرات وزارة الزراعفة‪ ،‬ونشفرات اجلهفاز املركفزي للتعبئفة العامفة واإلحصفاء‪،‬‬ ‫ونشرات منظمة األغذية والزراعفة " الفاو"‪....‬وهكفذا‪ .‬ومفن مفزااي هفذا النفوع مفن املصفادر‪،‬‬ ‫توفري الوقفت واجلهفد واملفال‪ ،‬إال أن درجفة ثقفة الباحفث فيهفا ليسفت بفنفس الدرجفة يف حالفة‬ ‫املصادر األولية‪.‬‬ ‫أسلوب مجع البياانت‬ ‫يتح ففدد األس ففلوب املس ففتخدم يف مج ففع البي ففاانت‪ ،‬حس ففب اهل ففدف م ففن البح ففث‪،‬‬ ‫وحجم اجملتمع حمل البحث‪ ،‬وهناك أسلوبني جلمع البياانت مها‪:‬‬ ‫‪ - 2‬أسلوب املعاينة‪.‬‬ ‫‪ -1‬أسلوب احلصر الشامل‪.‬‬ ‫أوال ‪ :‬أس ففلوب احلص ففر الش ففامل‪ :‬يس ففتخدم ه ففذا األس ففلوب إذا ك ففان الغ ففرض م ففن البح ففث ه ففو‬ ‫حصر مجيع مففردات اجملتمفع‪ ،‬ويف هفذه احلالفة يفتم مجفع بيفاانت عفن كفل مففردة مفن مففردات‬ ‫اجملتمففع ب فال اسففتثناء‪ ،‬كحصففر مجيففع املففزارع الففيت تنففتج األلبففان ‪ ،‬أو حصففر البنففوك الزراعيففة يف‬ ‫مجهوري ففة مص ففر العربي ففة ‪ ،‬ويتمي ففز أس ففلوب احلص ففر الش ففامل ابلش ففمول وع ففدم التحي ففز‪ ،‬ودق ففة‬ ‫النتائج‪ ،‬ولكن يعاب عليه أنه حيتان إىل الوقت واجملهود‪ ،‬والتكلفة العالية‪.‬‬ ‫اثنيا ‪ :‬أسلوب املعاينة‪ :‬يعتمد هذا األ سلوب على معاينة جزء من اجملتمفع حمفل الدراسفة‪ ،‬يفتم‬ ‫اختيفاره بطريقففة علميففة سففليمة‪ ،‬ودراسففته مث تعمففيم نتففائج العينففة علففى اجملتمففع‪ ،‬ومففن مث يتميففز‬ ‫هذا األسلوب ابآليت‪:‬‬ ‫‪ -1‬تقليل الوقت واجلهد‪.‬‬ ‫‪ -2‬تقليل التكلفة‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪ -3‬احلص ففول علف ففى بيف ففاانت أكثف ففر تفصف ففيال‪ ،‬وخاصف ففة إذا مجعف ففت البيف ففاانت مف ففن خف ففالل اسف ففتمارة‬ ‫استبيان‪.‬‬ ‫‪ -4‬كما أن أسلوب املعاينة يفضل يف بعض احلاالت اليت يصعب فيها إجراء حصر شامل‪ ،‬مثفل‬ ‫معاينة دم املريض‪ ،‬أو إجراء تعداد لعدد األ اك يف البحر‪ ،‬أو معاينفة اللمبفات الكهرابئيفة‪.‬‬ ‫ولكن يعاب على أس ل وب املعاينة‪ :‬أن النتائج اليت تعتمفد علفى هفذا األسفلوب أقفل دقفة مفن‬ ‫نت ففائج أس ففلوب احلص ففر الش ففامل‪ ،‬وخاص ففة إذا كان ففت العين ففة املخت ففارة ال متث ففل اجملتم ففع متث ففيال‬ ‫جيدا‪.‬‬ ‫أنواع العينات‬ ‫لكي نستعرض أنواع العينات‪ ،‬يتم أوال حتديد الففرق بفني جمتمفع الدراسفة‪ ،‬والعينفة املسفحوبة‬ ‫من هذا اجملتمع‪.‬‬ ‫أ ‪ -‬اجملتمففع‪ :‬هففو جمموعففة مففن املفففردات الففيت تشففرتك يف صفففات‪ ،‬وخصففائص حمففددة‪ ،‬وجمتمففع‬ ‫الدراسة هفو الفذي يشفمل مجيفع مففردات الدراسفة‪ ،‬علفى سفبيل املثفال سفكان مصفر‪ ،‬أو‬ ‫طلبة كلية الزراعة‪ ،‬مثل جمتمع مزارع إنتان الدواجن‪ ،‬أو مزارع انتان األلبان‪.‬‬ ‫ب ‪ -‬العين ففة‪ :‬ه ففو ج ففزء م ففن اجملتم ففع ي ففتم اختي ففاره بط ففرق خمتلف ففة لتمث ففل ه ففذا اجملتم ففع‪ ،‬وتعط ففي‬ ‫العينات نتائج عالية يف الدقة يف معظم األحوال‪ ،‬وتتناسب هذه الدقة طرداي مفع درجفة‬ ‫متثي ففل العين ففة للمجتم ففع املس ففحوبة من ففه‪ ،‬حي ففث أن ففه إذا ك ففان حج ففم العين ففة مناس ففبا فف ف ن‬ ‫النت ففائج ال ففيت ميك ففن احلص ففول عليه ففا ل ففن ختتل ففف بش ففكل كب ففري ع ففن النتيج ففة ال ففيت ميك ففن‬ ‫احلصول عليها بطريقة احلصر الشامل‪.‬‬ ‫ويتوقف جناح اس تخدام أسلوب املعاينة على عدة عوامل هي‪:‬‬ ‫‪ -1‬كيفيف ففة حتديف ففد حجف ففم العينف ففة‪.‬‬ ‫‪ - 2‬طريقف ففة اختيف ففار مفف ففردات العينف ففة‬ ‫‪ - 3‬نف ففوع العينف ففة‬ ‫املختارة‪.‬‬ ‫وميكن تقسيم العينات وفقا ألسلوب اختيارها إىل نوعني مها‪:‬‬ ‫ب ‪ -‬العينات غري االحتمالية‬ ‫أ ‪ -‬العينات االحتمالية‬ ‫‪6‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أوال‪ :‬العينات االحتمالية‬ ‫هي العينات اليت يتم اختيار مفرداهتا وفقا لقواعد االحتماالت‪ ،‬مبعىن آخر هي اليت يتم‬ ‫اختيار مفرداهتا من جمتمع الدراسة بطريقة عشوائية‪ ،‬هبدف جتنب التحيز الناتج عن اختيار‬ ‫املفردات‪ ،‬ومن أهم أنواع العينات االحتمالية‪ ،‬ما يلي‪:‬‬ ‫أ ‪ -‬العينة العشوائية البسيطة ‪.Simple Random Sample‬‬ ‫ب ‪ -‬العينة العشوائية الطبقية ‪.Stratified Random Sample‬‬ ‫ت ‪ -‬العينة العشوائية املنتظمة ‪.Systematic Random Sample‬‬ ‫ث ‪ -‬العينة العنقودية أو املتعددة املراحل ‪.Cluster Sample‬‬ ‫اثنيا‪ :‬العينات غري االحتمالية‬ ‫هي اليت يتم اختيار مفرداهتا بطريقة غري عشوائية‪ ،‬حيث يقوم الباحث ابختيار مفردات‬ ‫العينة ابلصورة اليت حتقق اهلدف من املعاينة‪ ،‬مثل اختيار عينة من املزارع اليت تنتج التمور من النوع‬ ‫السكري‪ ،‬وأهم أنواع العينات غري االحتمالية‪:‬‬ ‫أ ‪ -‬العينة العمدية ‪Judgmental Sample‬‬ ‫ب ‪ -‬العينة احلصصية ‪Quota Sample‬‬ ‫‪7‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫تلخيص وتبويب البيانات‬ ‫يف الغالب يكون حجم البياانت األولية اليت يتم مجعها كبري جدا ويف صورة غري منتظمة وابلتال ال ميكن‬ ‫االستفادة منها يف استخالص املعلومات واحلقائق قبل تنظيمها وتلخيصها يف صورة ما‪ ،‬ويستلزم ذلك‬ ‫ابلتبعية تقسيم البياانت إىل جمموعات متجانسة وفقا لعدة أسس خمتلفة منها ‪-:‬‬ ‫‪ -‬التبويب الزمن‬ ‫حيث يتم فصل البياانت اخلاصة بوحدة زمنية معينة ولتكن شهر أو سنة مثال‬ ‫على حدة‪.‬‬ ‫‪ -‬التبويب اجلغرايف‬ ‫يتم على أساسه فصل البياانت اخلاصة بكل منطقة جغرافية على حدة‪،‬‬ ‫ولتكن حمافظة أو مركزا أو إقليم أو خالفه‪.‬‬ ‫‪ -‬التبويب الوصفي‬ ‫وفيه تقسم البياانت اىل جمموعات تشرتك مفرداهتا يف صفة خاصة تعترب‬ ‫ذات أمهية للبحث كتقسيم األفراد وفقا لفئات الدخل أو فئات تصف‬ ‫احلالة االجتماعية‪.‬‬ ‫‪ -‬التبويب الكمي‬ ‫وفيه تقسم البياانت اىل فئات تضم كل فئة منها قيمة معينة أو مدى حمدد‬ ‫من قيم الظاهرة موضع الدراسة‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫عرض البياانت‬ ‫تتوقففف طريقففة عففرض البيففاانت علففى نففوع هففذه البيففاانت وعلففى احلقففائق املطلففوب إبرازهففا‪ .‬وهنففاك طريقتففان‬ ‫أساسيتان لعرض وتبويب البياانت اإلحصائية ومها‪:‬‬ ‫أوالً ‪ :‬العرض اجلدوىل للبياانت اإلحصائية ‪:‬‬ ‫بعففد عمليففة تبويففب وتعيففني الصفففات الففا متيففز املفففردات‪ ،‬ترصففد النتففائج ا جففداول مناسففبة توضففح الشففكل‬ ‫النهففائى للمجموعففات املميففزة وتسففمى هففذه العمليففة الففا يففتم جتميففع البيففاانت ا جمموعففات يففزة ومتجانسففة‬ ‫بعملية التصنيف وتصنف البياانت اإلحصائية بوجه عام وفقاً إلحدى القواعد التالية‪:‬‬ ‫‪ -1‬تصنيف جغراا‬ ‫‪ -2‬تصنيف اترخيى أو زمىن ‪.‬‬ ‫‪ -3‬تصنيف نوعى أو وصفى ‪.‬‬ ‫‪ -4‬تصنيف كمى ‪.‬‬ ‫وميكن التمييز بني جمموعة أشكال من اجلداول اإلحصائية نذكرها فيما يلي‪:‬‬ ‫تبويب البياانت اخلام ا جدول تكرارى بسيط‪:‬‬ ‫واملقصففود ابجلففدول البسففيط هففو ذلففك اجلففدول الففذي يففتم وضففع قففيم الففدرجات فيففه مرتبففة ترتيب فاً تصففاعدايً ا‬ ‫عموده األول أما العمود الثاىن فيسمى بعمود التكرار ويرصد فيه عدد مرات تكرار كل درجة أو حدث‪.‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫البيففاانت التاليففة هففى درجففات حصففل عليهففا عشففرون طالب فاً ا مففادة اإلحصففاء ابلفرقففة األول يف امتحففان ايففة‬ ‫العام‪ .‬واملطلوب تبويب هذه البياانت ا جدول توزيع تكرارى بسيط‪.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪9‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫احلفل‪ :‬يفتم ترتيفب البيففاانت ووضفع هفذه البيففاانت ا العمفود األول مفن اجلففدول وتسفمى (‪ )X‬مث وضفع مفرات‬ ‫التكرار ابستخدام العالمات ا العمود الثاىن أما العمود الثالث فيمثل التكرار ويرمز له ابلرمز (‪.)F‬‬ ‫‪X‬‬ ‫العالمات‬ ‫‪F‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪////‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪/ ////‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪///‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪//‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪////‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪20‬‬ ‫مج‬ ‫مث ف ففال‪ :‬البي ف ففاانت التالي ف ففة ه ف ففى تق ف ففديرات ‪ 20‬طالبف ف فاً ا م ف ففادة اإلحص ف ففاء ابلفرق ف ففة األوىل ا الع ف ففام اجل ف ففامعى‬ ‫‪2017/2018‬واملطلوب هو وضع هذه البياانت ا جدول بسيط؟‬ ‫جيد‬ ‫مقبول‬ ‫جيد‬ ‫جيد‬ ‫مقبول‬ ‫جيد‬ ‫جيد جداً‬ ‫مقبول‬ ‫جيد‬ ‫جيد جداً‬ ‫تاز‬ ‫جيد‬ ‫تاز‬ ‫جيد جداً‬ ‫مقبول‬ ‫جيد‬ ‫تاز‬ ‫جيد‬ ‫جيد‬ ‫مقبول‬ ‫التقدير‬ ‫التكرار‬ ‫مقبول‬ ‫‪5‬‬ ‫جيد‬ ‫‪9‬‬ ‫جيد جداً‬ ‫‪3‬‬ ‫تاز‬ ‫‪3‬‬ ‫اجملموع‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫تبويب البياانت يف جدول تكراري ذو فئات‪:‬‬ ‫قبل التعرض إىل إعداد هذا اجلدول سنقوم أوالً ابلتعرف على معىن الفئات وطرق كتابتها‪.‬‬ ‫املقصود ابلفئات‪:‬‬ ‫الفئة هفى جمموعفة مفن البيفاانت متشفاهبة إىل حفد كبفري جفداً ا الصففات‪ ،‬وا حالفة زايدة عفدد البيفاانت اخلفام‬ ‫الا يتم احلصول عليها من االستبيان ال ميكفن اسفتخدام اجلفداول البسفيطة يف التعبفري عفن هفذه احلفاالت وإال‬ ‫سنحتان إىل مئات الصفحات ‪ ،‬وإمنا يتم تقسيم البياانت إىل جمموعات متقاربة ومتشفاهبة ا الصففات تسفمى‬ ‫فئات‪ .‬ويوجد عدة طرق لكتابة الفئات هى ‪:‬‬ ‫الطريقة األوىل ‪:‬‬ ‫نذكر كال من احلد األدىن واحلد األعلى للفئة كما ابجلدول التاىل ‪:‬‬ ‫ف‬ ‫ك‬ ‫‪20-10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪30-20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪40-30‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪50-40‬‬ ‫‪25‬‬ ‫وتنطق الفئة األوىل مثالً ( من ‪ 20‬إىل ‪ ) 30‬وليس ( ‪ 20‬شرطة ‪ ) 30‬وهذه الطريقة معيبة ألن اية الفئفة‬ ‫األوىل هى نفسها بداية الفئة الثانية وهكذا وا هذه احلالة ال نعرف إىل أى فئة ينتمى هذا الرقم ‪.‬‬ ‫الطريقة الثانية ‪:‬‬ ‫نذكر كال من احلد األدىن واحلد األعلى للفئة ولكن نقوم برتك فاصل مقدراه الواحد الصحيح بني ايفة الفئفة‬ ‫األوىل وبداية الفئة الثانية وهكذا كما ابجلدول التاىل ‪.‬‬ ‫‪11‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫ف‬ ‫ك‬ ‫‪19-10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪29-20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪39-30‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪49-40‬‬ ‫‪25‬‬ ‫ويعاب على هذه الطريقة أ ا ال تصلح ا حالة البياانت الا حتتوي على كسور‪.‬‬ ‫الطريقة الثالثة‪:‬‬ ‫نففذكر احلففد األدىن فقففط للفئففة ونضففع بعففده شففرطة وتنطففق الفئففة األوىل مففثال ( ‪ 10‬إىل أقففل مففن ‪ ) 20‬وهففذه‬ ‫الطريقة تصلح لكافة الظواهر‪.‬‬ ‫ف‬ ‫ك‬ ‫‪-10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪-20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪-30‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪-40‬‬ ‫‪25‬‬ ‫الطريقة الرابعة‪:‬‬ ‫نففذكر احلففد األعلففى فقففط للفئففة ونضففع قبلففه شففرطة وتنطففق الفئففة األوىل مففثالً (أكثففر مففن صفففر اىل ‪ )20‬وهففذه‬ ‫الطريقة تصلح لكافة الظواهر أيضاً ولكنها أقل شيوعاً‪.‬‬ ‫‪12‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫ف‬ ‫ك‬ ‫‪20-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪30-‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪40-‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪50-‬‬ ‫‪25‬‬ ‫خطوات بناء جدول التوزيع التكراري ذو الفئات‪:‬‬ ‫‪ -1‬حساب املدى = أكرب قيمة – أصغر قيمة‬ ‫‪ -2‬حساب عدد الفئات =‬ ‫)‪S = 1 + 3.3 Log (n‬‬ ‫‪ -3‬حساب طول الفئة = املدى ‪ /‬عدد الفئات‬ ‫‪ -4‬اختيفار بدايفة الفئفة األوىل أى احلفد األدىن هلفا مسفاوى ألقففل قيمفة موجفودة ابلبيفاانت أو أقفل بقليفل منهففا‬ ‫فمثالً تكون من األرقام الصفرية لتسهيل احلساابت بعد ذلك‪.‬‬ ‫‪ -5‬بناء اجلدول ووضع العالمات الا متثل التكرار‪.‬‬ ‫مثفال‪ :‬قفام ابحففث جبمفع بيفاانت متثففل درجفات اختبفار مففادة النبفات خلمسفني طالبفاً مفن طفالب املسففتوى األول‬ ‫بكلية الزراعة ا اجلدول التاىل‪:‬‬ ‫‪51‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪47‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪39‬‬ ‫‪65‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪61‬‬ ‫‪58‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪53‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪59‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪65‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪20‬‬ ‫واملطلوب هو إعداد جدول توزيع تكراري ذو فئات للجدول السابق؟‬ ‫‪13‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪82‬‬ ‫‪65‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪54‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪57‬‬ ‫‪53‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪39‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪78‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪88‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫احلل ‪:‬‬ ‫• املدى = أكرب قيمة – أصغر قيمة = ‪68 = 20 – 88‬‬ ‫• عدد الفئات = ‪ × 3.3‬لو (ن) = ‪ × 3.3‬لو (‪)50‬‬ ‫= ‪5.6 = 1.699 × 3.3‬‬ ‫• نقرب عدد الفئات ألقرب رقم صحيح فتكون‬ ‫عدد الفئات = ‪7‬‬ ‫• طول الفئة = املدى ‪ /‬عدد الفئات = ‪9.7 = 7 / 68‬‬ ‫• نقرب طول الفئة ألقرب رقم صحيح فتصبح‬ ‫طول الفئة = ‪10‬‬ ‫• خنتار بداية الفئة األوىل وهو أصغر رقم = ‪20‬‬ ‫• نبدأ ا بناء اجلدول كالتال‪:‬‬ ‫الفئات‬ ‫العالمات‬ ‫التكرار‬ ‫‪-20‬‬ ‫‪////‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-30‬‬ ‫‪/ ////‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-40‬‬ ‫‪// //// ////‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪-50‬‬ ‫‪//// //// ////‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪-60‬‬ ‫‪//// ////‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪-70‬‬ ‫‪///‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪90-80‬‬ ‫‪//‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪50‬‬ ‫اجملموع‬ ‫‪14‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫تبويب البياانت ا اجلدول التكراري املتجمع الصاعد‪:‬‬ ‫ويقصففد ابلتك فرار املتجمففع الصففاعد هففو جتميففع تك فرار كففل فئففة علففى مجيففع التك فرارات السففابقة هلففا حبيففث يكففون جممففوع‬ ‫التكرار التصاعدي للفئة األخرية مساوى جملموع التكرارات ‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬من نفس بياانت املثال السابق كون جدول التكرار املتجمع الصاعد‪.‬‬ ‫احل ففل‪ :‬ب ففنفس اخلط ففوات الس ففابقة نك ففون ج ففدول التوزي ففع التكف فرارى ذو الفئ ففات ومن ففه نك ففون ج ففدول التوزي ففع التكففرارى‬ ‫املتجمع الصاعد كالتاىل ‪:‬‬ ‫حدود الفئات‬ ‫التكرار املتجمع الصاعد (ك‪.‬م‪.‬ص)‬ ‫أقل من ‪20‬‬ ‫صفر‬ ‫أقل من ‪30‬‬ ‫‪4‬‬ ‫أقل من ‪40‬‬ ‫‪10‬‬ ‫أقل من ‪50‬‬ ‫‪22‬‬ ‫أقل من ‪60‬‬ ‫‪36‬‬ ‫أقل من ‪70‬‬ ‫‪45‬‬ ‫أقل من ‪80‬‬ ‫‪48‬‬ ‫أقل من ‪90‬‬ ‫‪50‬‬ ‫تبويب البياانت ا اجلدول التكرارى املتجمع اهلابط‪:‬‬ ‫ويقصد ابلتكرار املتجمع اهلابط هو جتميع تكرار كل فئة على مجيع التكرارات التالية هلفا حبيفث يكفون جممفوع‬ ‫التكرار التنازىل للفئة األوىل مساوى جملموع التكرارات‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬من نفس بياانت املثال السابق كون جدول التكرار املتجمع اهلابط‬ ‫احل ففل‪ :‬ب ففنفس اخلطف فوات الس ففابقة نك ففون ج ففدول التوزي ففع التكف فرارى ذو الفئ ففات ومن ففه نك ففون ج ففدول التوزي ففع‬ ‫التكرارى املتجمع اهلابط كالتاىل‪:‬‬ ‫‪15‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫حدود الفئات‬ ‫التكرار املتجمع اهلابط (ك‪.‬م‪.‬هف)‬ ‫‪ 20‬فأكثر‬ ‫‪50‬‬ ‫‪ 30‬فأكثر‬ ‫‪46‬‬ ‫‪ 40‬فأكثر‬ ‫‪40‬‬ ‫‪ 50‬فأكثر‬ ‫‪28‬‬ ‫‪ 60‬فأكثر‬ ‫‪14‬‬ ‫‪ 70‬فأكثر‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 80‬فأكثر‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 90‬فأكثر‬ ‫صفر‬ ‫اثنياً ‪ :‬العرض البياين للبياانت اإلحصائية‬ ‫يعتففرب العففرض البيففاىن للبيففاانت اإلحصففائية مبثابففة تلخففيص للبيففاانت اإلحصففائية ا شففكل يسففهل منففه اسففتيعاب‬ ‫خصائص موضوع حبث الدراسفة‪ ،‬وختتلفف طفرق عفرض البيفاانت املبوبفة عفن البيفاانت الغفري مبوبفة‪ ،‬وسفنتعرض‬ ‫لكل منها ابلتفصيل فيما يلى ‪-:‬‬ ‫أوالً ‪ :‬العرض البياىن للبياانت الغري مبوبة ‪:‬‬ ‫واملقصود ابلبياانت الغري مبوبة تلك البياانت املفردة أى ال يوجد هبا فئات وهناك عدة طرق لعرض البيفاانت‬ ‫الغري مبوبة‪.‬‬ ‫(‪ )1‬طريقة األعمدة البيانية البسيطة ‪:‬‬ ‫وا هذه الطريقة ميثل حمور السينات قيم املتغري أما حمور الصادات ميثل القيمة املقابلة لقيمة املتغري ويتم رسم‬ ‫عمود حول املتغري وارتفاعه ميثل قيمة املتغري ‪.‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫اجلففدول الت ففاىل يوض ففح أع ففداد الطففالب ب ففبعض أقس ففام كلي ففة اآلداب جامعففة املنص ففورة واملطل ففوب ع ففرض ه ففذه‬ ‫البياانت ابستخدام طريقة األعمدة البيانية البسيطة ؟‬ ‫‪16‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫القسم‬ ‫التاريخ‬ ‫االجتماع‬ ‫اإلعالم‬ ‫اجلغرافيا‬ ‫الفلسفة‬ ‫عدد الطالب‬ ‫‪650‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪350‬‬ ‫‪550‬‬ ‫عدد الطالب‬ ‫عدد الطالب‬ ‫‪700‬‬ ‫‪600‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪0‬‬ ‫االع الم‬ ‫الجغرافيا‬ ‫الفلسفة‬ ‫االجتماع‬ ‫التاريخ‬ ‫(‪ )2‬طريقة املنحىن البياىن البسيط ‪:‬‬ ‫وا هذه الطريقفة ميثفل حمفور السفينات املتغفري أمفا حمفور الصفادات ميثفل قيمفة املتغفري ويفتم توقيفع نقفاط بفني كفل‬ ‫قيمة من قيم املتغري على حمور السينات والقيمة املقابلة على حمور الصادات مث يتم توصيل تلك النقفاط طفط‬ ‫منحىن ابليد ‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬اجلدول التاىل يوضح أعداد الطالب ببعض أقسام كلية اآلداب جامعة املنصورة واملطلوب عفرض هفذه‬ ‫البياانت ابستخدام طريقة املنحىن البياين البسيط؟‬ ‫القسم‬ ‫التاريخ‬ ‫االجتماع‬ ‫اإلعالم‬ ‫اجلغرافيا‬ ‫الفلسفة‬ ‫عدد الطالب‬ ‫‪650‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪350‬‬ ‫‪550‬‬ ‫عدد الطالب‬ ‫عدد الطالب‬ ‫‪700‬‬ ‫‪600‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪0‬‬ ‫الفلسفة‬ ‫الجغرافيا‬ ‫‪17‬‬ ‫االعالم‬ ‫االجتماع‬ ‫التاريخ‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫(‪ )3‬طريقة اخلط البياىن املنكسر ‪:‬‬ ‫وا هذه الطريقفة ميثفل حمفور السفينات املتغفري أمفا حمفور الصفادات ميثفل قيمفة املتغفري ويفتم توقيفع نقفاط بفني كفل‬ ‫قيمة من قيم املتغري على حمور السينات والقيمة املقابلة على حمور الصادات مث يتم توصيل تلك النقفاط طفط‬ ‫منكسر ابستخدام املسطرة ‪.‬‬ ‫مثال ‪:‬‬ ‫اجلففدول الت ففاىل يوض ففح أع ففداد الطففالب ب ففبعض أقس ففام كلي ففة اآلداب جامعففة املنص ففورة واملطل ففوب ع ففرض ه ففذه‬ ‫البياانت ابستخدام طريقة اخلط البياين املنكسر؟‬ ‫القسم‬ ‫التاريخ‬ ‫االجتماع‬ ‫اإلعالم‬ ‫اجلغرافيا‬ ‫الفلسفة‬ ‫عدد الطالب‬ ‫‪650‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪350‬‬ ‫‪550‬‬ ‫عدد الطالب‬ ‫عدد الطالب‬ ‫‪700‬‬ ‫‪600‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪0‬‬ ‫الفلسفة‬ ‫االعالم‬ ‫الجغرافيا‬ ‫االجتماع‬ ‫التاريخ‬ ‫(‪ )4‬طريقة األعمدة البيانية املتالصقة ‪:‬‬ ‫تسمى هذه الطريقة أيضا بطريقة األعمدة البيانية املتجاورة وهى تشفبه طريقفة العمفدة البيانيفة البسفيطة ولكفن‬ ‫يتم رسم عدد من األعمدة متالصقة ميثل كل منهم احد قيم املتغري ‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬اجلدول التاىل يوضح أعداد الطالب ببعض أقسام كلية اآلداب جامعة املنصورة واملطلوب عفرض هفذه‬ ‫البياانت ابستخدام طريقة األعمدة البيانية املتالصقة ؟‬ ‫القسم‬ ‫التاريخ‬ ‫االجتماع‬ ‫اإلعالم‬ ‫اجلغرافيا‬ ‫الفلسفة‬ ‫طالب‬ ‫‪300‬‬ ‫‪250‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪250‬‬ ‫‪300‬‬ ‫طالبة‬ ‫‪200‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪600‬‬ ‫‪18‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪700‬‬ ‫‪600‬‬ ‫‪500‬‬ ‫طالب‬ ‫طالبة‬ ‫‪400‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪0‬‬ ‫الفلسفة‬ ‫الجغرافيا‬ ‫االعالم‬ ‫االجتماع‬ ‫التاريخ‬ ‫(‪ )5‬طريقة األعمدة البيانية اجملزأة ‪:‬‬ ‫هذه الطريقة تشبه طريقة األعمدة البيانية البسيطة ولكن يتم رسم عمود ميثل القيمة األوىل للمتغري مث يليه أو‬ ‫يرتفعه عمود بباقى قيمة املتغري وتكون ابدية العمود الثاىن هى اية العمود األول ‪.‬‬ ‫مثال ‪ :‬اجلدول التاىل يوضح أعداد الطالب ببعض أقسام كلية اآلداب جامعة املنصورة واملطلوب عرض هذه‬ ‫البياانت ابستخدام طريقة األعمدة البيانية اجملزأة ؟‬ ‫القسم‬ ‫التاريخ‬ ‫االجتماع‬ ‫اإلعالم‬ ‫اجلغرافيا‬ ‫الفلسفة‬ ‫طالب‬ ‫‪300‬‬ ‫‪250‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪250‬‬ ‫‪300‬‬ ‫طالبة‬ ‫‪200‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪600‬‬ ‫احلل ‪:‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪900‬‬ ‫‪800‬‬ ‫‪700‬‬ ‫‪600‬‬ ‫طالبة‬ ‫طالب‬ ‫‪500‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪0‬‬ ‫الفلسفة‬ ‫الجغرافيا‬ ‫االعالم‬ ‫‪19‬‬ ‫االجتماع‬ ‫التاريخ‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫اثنيا‪ :‬الرسوم الدائرية‪:‬‬ ‫وتستخدم هذه الطريقة عندما يكفون عفدد أوجفه الظفاهرة املدروسفة حممفود‪ ،‬وفيهفا ميثفل اجملمفوع الكلفي بفدائرة‬ ‫ومكوانت اجملموع الكلي بزوااي تتناسب مع النسفبة املئويفة هلفذه املكفوانت‪ .‬ومبفا أن الفدائرة متثفل بزاويفة قفدرها‬ ‫‪ 360‬درجة‪ ،‬ف ن كل ‪ %1‬من اجملموع ميثل بزاوية قدرها ‪ 3.6‬درجة‪.‬‬ ‫وحنسب زاوية قطاع اجلزء من العالقة‪:‬‬ ‫التكرار الفعلى للجزء‬ ‫زاوية قطاع اجلزء = ف ف ف ف ف ف ف ف ف ف ف ف ف ف ف ف ف ف ف ف ف ف ف ف ف ف ف ف ف ف ف ف ف ف ف ف ف ف × ‪360‬‬ ‫جمموع التكرارات‬ ‫مثال‪ :‬اجلدول التاىل يوضح أعداد الطالب ببعض أقسام كلية اآلداب جامعة املنصورة واملطلوب عفرض هفذه‬ ‫البياانت ابستخدام طريقة الدائرة البيانية ؟‬ ‫القسم‬ ‫التاريخ‬ ‫االجتماع‬ ‫اإلعالم‬ ‫اجلغرافيا‬ ‫الفلسفة‬ ‫عدد الطالب‬ ‫‪650‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪350‬‬ ‫‪550‬‬ ‫احلل‪ :‬حنسب جمموع التكرارات = ‪550+350+400+500+650‬‬ ‫جمموع التكرارات = ‪2450‬‬ ‫زاوية قطاع التاريخ =‬ ‫زاوية قطاع االجتماع =‬ ‫‪650‬‬ ‫‪2450‬‬ ‫* ‪95.5 = 360‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪2450‬‬ ‫* ‪73.5 = 360‬‬ ‫زاوية قطاع اإلعالم =‬ ‫‪400‬‬ ‫‪2450‬‬ ‫زاوية قطاع اجلغرافيا =‬ ‫‪350‬‬ ‫‪2450‬‬ ‫* ‪51.4 = 360‬‬ ‫زاوية قطاع الفلسفة =‬ ‫‪550‬‬ ‫‪2450‬‬ ‫* ‪80.8 = 360‬‬ ‫* ‪58.7 = 360‬‬ ‫‪20‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫التاريخ‬ ‫االجتماع‬ ‫االعالم‬ ‫الجغرافيا‬ ‫الفلسفة‬ ‫اثنياً ‪ :‬العرض البياىن للبياانت املبوبة ‪:‬‬ ‫واملقصود ابلبياانت املبوبة تلك البياانت املقسمة إىل فئات وهناك عدة طرق لعرض البياانت املبوبة ‪.‬‬ ‫(‪ )1‬املدرن التكرارى ‪:‬‬ ‫أحد طرق عرض البياانت املبوبة حيث يتم ختصيص عمود لكل فئفة وتكرارهفا ‪ ،‬حبيفث يكفون طفول الفئفة هفى‬ ‫قاعدة العمود والتكرار هفو ارتففاع العمفود ‪ ،‬ويفضفل تفرك ففرا كفاف قبفل الفئفة األوىل وففرا آخفر بعفد الفئفة‬ ‫األخرية ‪ ،‬أما ابلنسبة ملنتصف العمود فيكون هو مركز الفئة ‪.‬‬ ‫مثال ‪ :‬اعرض هلذا اجلدول بيانياً ابستخدام املدرن التكرارى ؟‬ ‫فئات العمر‬ ‫‪-20‬‬ ‫‪-25‬‬ ‫‪-30‬‬ ‫‪-35‬‬ ‫‪-40‬‬ ‫‪-45‬‬ ‫عدد العمال‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫احلل‪:‬‬ ‫ف‬ ‫ك‬ ‫مركز الفئة‬ ‫‪-20‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪22.5‬‬ ‫‪-25‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪27.5‬‬ ‫‪-30‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪32.5‬‬ ‫‪-35‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪37.5‬‬ ‫‪-40‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪42.5‬‬ ‫‪-45‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪47.5‬‬ ‫‪21‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫عدد العمال‬ ‫‪45-‬‬ ‫‪40‬‬‫‪47.5‬‬ ‫‪47.5‬‬ ‫‪42.5‬‬ ‫‪35‬‬‫‪42.5‬‬ ‫‪32.5 37.5‬‬ ‫‪27.5‬‬ ‫‪25-37.5 30-‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪22.5‬‬ ‫‪20‬‬‫‪32.5‬‬ ‫(‪ )2‬املضلع التكرارى‪:‬‬ ‫ختصص لكل فئة وتكرارها نقطة‪ ،‬حبيث يكون اإلحداثي السيىن هلا هو مركز الفئة بينما االحداثى الصادى هلا‬ ‫هو التكرار‪ ،‬نفرتض فئة سابقة للفئة األوىل وفئة الحقة للفئة األخفرية وتكفرار كفل منهمفا صففر‪ ،‬مث نوصفل كفل‬ ‫نقطتني متتاليتني طط مستقيم ابملسطرة‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬اعرض هلذا اجلدول بيانياً ابستخدام املضلع التكرارى؟‬ ‫فئات العمر‬ ‫‪-20‬‬ ‫‪-25‬‬ ‫‪-30‬‬ ‫‪-35‬‬ ‫‪-40‬‬ ‫‪-45‬‬ ‫عدد العمال‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫احلل‪:‬‬ ‫عدد العمال‬ ‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪50-‬‬ ‫‪45-‬‬ ‫‪40-‬‬ ‫‪35-‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪30-‬‬ ‫‪25-‬‬ ‫‪20-‬‬ ‫‪0‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫(‪ )3‬املنحىن التكرارى ‪:‬‬ ‫بعد رصد النقاط كما ا الطريقة السفابقة يفتم توصفيل كفل نقطتفني متتفاليتني مبنحفىن ابليفد وابلتفال حنصفل علفى‬ ‫املنحىن التكراري‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬اعرض هلذا اجلدول بيانياً ابستخدام املنحىن التكرارى ؟‬ ‫فئات العمر‬ ‫‪-20‬‬ ‫‪-25‬‬ ‫‪-30‬‬ ‫‪-35‬‬ ‫‪-40‬‬ ‫‪-45‬‬ ‫عدد العمال‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫احلل‪:‬‬ ‫عدد العمال‬ ‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪42.5 47.5‬‬ ‫‪32.5 5 37.5‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪27.5‬‬ ‫‪22.5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫متارين‬ ‫‪ -1‬حصل عدد من الطالب ا مادة اإلحصاء على الدرجات التالية ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫املطلوب ‪ :‬تكوين جدول تكرارى بسيط هلذه الدرجات‪.‬‬ ‫‪ -2‬متثل البياانت التالية تقديرات عشرون طالبا ا مادة االقتصاد واملطلوب وضعها ا جدول تكرارى‬ ‫بسيط لتلك التقديرات ‪.‬‬ ‫جيد‬ ‫مقبول‬ ‫جيد جدا‬ ‫مقبول‬ ‫تاز‬ ‫مقبول‬ ‫جيد‬ ‫ضعيف‬ ‫ضعيف‬ ‫مقبول‬ ‫جيد‬ ‫تاز‬ ‫جيد جدا‬ ‫جيد‬ ‫جيد‬ ‫مقبول‬ ‫جيد جدا‬ ‫مقبول‬ ‫تاز‬ ‫جيد‬ ‫‪ -3‬هذه درجات ‪ 50‬طالبا ا اختبار ذكاء ‪ ،‬واملطلوب وضع هذه الدرجات ا جدول تكرارى للفئات‪.‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪39‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪51‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪51‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪38‬‬ ‫‪47‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪24‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪ -4‬الدرجات التالية متثل درجات ‪ 50‬طالبا ا أحد االختبارات‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫واملطلوب ‪ :‬وضع هذه الدرجات ا جدول تكرارى للفئات ‪.‬‬ ‫‪ -5‬حصل ‪ 80‬طالبا ا اختبار ذكاء على الدرجات التالية‪:‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪38‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪39‬‬ ‫‪47‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪51‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪43‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪51‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪38‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪47‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪53‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪48‬‬ ‫واملطلوب ‪:‬‬ ‫‪25‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫• وضع هذه الدرجات ا جدول تكرارى للفئات حبيث يكون عدد الفئات ‪.‬‬ ‫• تكوين جدول التكرار املتجمع الصاعد ‪.‬‬ ‫• تكوين جدول التكرار املتجمع اهلابط ‪.‬‬ ‫‪ -6‬اجلدول التاىل ميثل أعداد الكتب مبكتبة الكلية ا جمموعة من التخصصات‪:‬‬ ‫التخصص‬ ‫علم االجتماع‬ ‫عدد الكتب‬ ‫‪550‬‬ ‫علم النفس التاريخ‬ ‫‪400‬‬ ‫‪350‬‬ ‫اللغة العربية‬ ‫اجلغرافيا‬ ‫‪600‬‬ ‫‪300‬‬ ‫واملطلوب عرض هذه اجلدول بيانياً ابستخدام الطرق التالية‬ ‫• األعمدة البيانية البسيطة‪.‬‬ ‫• اخلط البياين‬ ‫• اخلط املنكسر‪.‬‬ ‫• الدائرة البيانية‪.‬‬ ‫‪ -7‬اجلدول التاىل ميثل أعداد الذكور واإلانث ببعض إدارات أحد اهليئات احلكومية‪.‬‬ ‫اإلدارة‬ ‫الشئون اإلدارية‬ ‫الصيانة‬ ‫اإلحصاء‬ ‫املعاشات‬ ‫عدد الذكور‬ ‫‪10‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪10‬‬ ‫عدد اإلانث‬ ‫‪20‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪50‬‬ ‫واملطلفوب عفرض هفذه اجلففدول بيانيفاً ابسفتخدام الطففرق التاليفة‪ :‬األعمفدة البيانيففة املتالصفقة‪ ،‬األعمفدة البيانيففة‬ ‫اجملزأة‪.‬‬ ‫‪26‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫الفصل الثاني‪ :‬مقاييس النزعة المركزية‬ ‫أهداف الفصل‪:‬‬ ‫بنهاية هذ الفصل سوف سيصبح الطالب قادرا على أن‪:‬‬ ‫‬‫‬‫‬‫‪-‬‬ ‫يفهم ما هي مقاييس النزعة المركزية أو المتوسطات‪.‬‬ ‫يفهم أهمية مقاييس النزعة المركزية واستخداماتها‪.‬‬ ‫يتعرف على الفروق بين المقاييس المختلفة للنزعة المركزية‪.‬‬ ‫يحدد المقياس المناسب وفقا لطبيعة بيانات محل الدراسة‪.‬‬ ‫‪27‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫الفصل الثاين‪ :‬مقاييس النزعة املركزية‬ ‫اخلط ففوة التالي ففة لعملي ففة مج ففع وع ففرض البي ففاانت اإلحص ففائية وترتيبه ففا يف ص ففورة ج ففداول إحص ففائية أو‬ ‫جداول توزيع تكرارية هي وصف البياانت ببعض املقفاييس اإلحصفائية والفيت تعفرف ابسفم املقفاييس الوصففية‪.‬‬ ‫وتستهدف املقاييس الوصفية تلخيص البياانت من خالل احتساب مقاييس منوذجية تشري اىل مركفز البيفاانت‬ ‫تسمى مبقاييس النزعة املركزية‪ ،‬كذلك مقاييس التشتت وااللتواء والتفرطح‪.‬‬ ‫إن هن ففاك كث ففري م ففن الظ ففواهر ال ففيت يه ففتم العلم ففاء والب ففاحثني بدراس ففتها وم ففن امله ففم عن ففد دراس ففة ه ففذه‬ ‫الظواهر احلصول على قيم ومؤشرات تفسر هذه الظواهر بشكل أكرب‪ ،‬ومفن أهفم املؤشفرات املتوسفطات مثفل‬ ‫متوسففط دخففل الفففرد‪ ،‬متوسففط عففدد السففكان يف كففل حمافظففة‪ ،‬متوسففط الففدخل الزراع في‪ ،‬ومتوسففط اإلنتاجيففة‬ ‫للمحاص ففيل ‪ ...‬اىل غ ففري ذل ففك م ففن األمثل ففة‪ .‬تع ففرف تل ففك املتوس ففطات مبف فا يس ففمى مق ففاييس النزع ففة املركزي ففة‬ ‫(‪ )Measures of Central Tendency‬وهففي املقفاييس الففيت تتمركففز حوهلففا البيفاانت‪ .‬ومففن أهفم هففذه‬ ‫املقاييس وأكثرها شفيوعاً‪ :‬املتوسفط احلسفاب‪ ،‬الوسفيط‪ ،‬املنفوال‪ ،‬املتوسفط التفوافقي‪ ،‬واملتوسفط اهلندسفي‪ ،‬وكفل‬ ‫منها له يزات وعيوب‪ .‬وجتدر اإلشارة اىل أنه يتوقف استخدام كل متوسط من مقاييس النزعفة املركزيفة علفى‬ ‫طبيعة البياانت وأغفراض الباحفث‪ ،‬وعمومفا هنفاك بعفض الصففات والشفروط جيفب أن تتفوفر يف املتوسفط اجليفد‬ ‫ومن أمهها‪ :‬أن يتم حساب املتوسط على أسس وقواعد حمددة‪ ،‬أن يكون ثال جلميع القيم أو املفردات‪ ،‬أي‬ ‫جيب أن أيخذ يف عني االعتبار مجيع القيم أو املفردات‪ ،‬سهولة طريقة حسابه وأن يكون مفن السفهل معاملتفه‬ ‫جرباي‪.‬‬ ‫املتوسط احلساب‬ ‫يعتففرب املتوسففط احلسففاب ‪ The Arithmetic Mean‬أبسففط املتوسففطات وأكثرهففا شففيوعاً‬ ‫واسفتخداماً بففني املتوسففطات‪ ،‬وهفو عبففارة عففن القيمففة الناجتفة مففن خففارن قسففمة جممفوع القففيم لبيففاانت إحصففائية‬ ‫على عددها‪ ،‬وميكن تعريف املتوسط احلساب أبنه القيمة اليت لو أعطيت بدال عن كل مفرده أو مشاهدة من‬ ‫مف ففردات العين ففة لك ففان جمم ففوع الق ففيم أو املف ففردات اجلدي ففدة ه فو جمم ففوع الق ففيم أو املف ففردات األص ففلية‪ ،‬ويرم ففز‬ ‫للمتوسط احلساب ابلرمز ) ‪ .( X‬وحيسب املتوسط احلساب جملموعة من القيم كما يلي‪:‬‬ ‫‪28‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫ أوال حساب املتوسط احلساب يف حالة البياانت الغري مبوبة‪:‬‬‫‪i‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‪X‬‬ ‫مثال‪ :‬أوجد املتوسط احلساب جملموعة األرقام التالية (‪)3, 5, 7, 10, 15‬‬ ‫اإلجابة‪:‬‬ ‫‪3 + 5 + 7 + 10 + 15‬‬ ‫‪=8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪i‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n‬‬ ‫= ‪X‬‬ ‫ومن املهم أن نذكر أنه يف بعض األحيان تكون بعض العينات مفرداهتا يف صورة أعفداد كبفرية وكثفرية‪ ،‬وابلتفال‬ ‫فف ن عمليففة اجلمففع هلففا تكففون صففعبة وعرضففه ل خطففاء‪ ،‬وميكففن أن خنتصففر احلسففاابت كمففا يوضففح ذلففك املثففال‬ ‫التال‪:‬‬ ‫مثال‪ :‬أوجد املتوسط احلساب للقيم التالية (‪.)10400, 10410, 10620, 10570‬‬ ‫اإلجابة‪:‬‬ ‫ميكننا أن نقوم بطرح رقم مشرتك من كل القيم (‪ 10000‬مثال) فتصبح القيم بعد طفرح هفذه القيمفة كفاآليت‪:‬‬ ‫(‪ )400, 410, 620, 570‬مث نقدر املتوسط احلساب هلذه القيم‪ ،‬وذلك كما يلي‪:‬‬ ‫‪400 + 410 + 620 + 570‬‬ ‫‪= 10000 + 500 = 10500‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪= 10000 +‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‪X‬‬ ‫و ففا ال شففك فيففه أن عمليففة االختصففار هففذه هلففا فوائففد كبففرية أمههففا تبسففيط البيففاانت وعففدم الوقففوع يف أخطففاء‬ ‫احلساب‪ ،‬ويتوقف أخذ الرقم املشرتك على خربة الباحث ونفوع البيفاانت‪ .‬وميكفن أيضفا إجفراء عمليفة القسفمة‬ ‫والضرب‪ ،‬وذلك على النحو التال‪:‬‬ ‫مثال‪ :‬أوجد املتوسط احلساب للقيم ‪100 , 500 , 600 , 800‬‬ ‫اإلجابة‪ :‬بقسمة البياانت على الرقم ‪ ،100‬وتصبح القيم )‪ (1, 5, 6, 8‬ويكون املتوسط يف هذه احلالة‪:‬‬ ‫‪1+ 5 + 6 + 8‬‬ ‫‪= 100  5 = 500‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪= 100 ‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪29‬‬ ‫= ‪X‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫ويتضح ا سبق أن هذه الطريقة متت على مرحلتني القسمة لتبسيط البياانت مث الضرب للحصول على قيمة‬ ‫املتوسط للبياانت األصلية‪.‬‬ ‫وميكن أيضا حساب املتوسط احلساب بواسطة متوسط فرضي‪ ،‬يرمز له ابلرمز )‪ ،(A‬وهو عبارة عفن رقفم يفتم‬ ‫أخففذه مففن البيففاانت املطلففوب حسففاب متوسففطها احلسففاب‪ ،‬مث تقففدير احنرافففات كففل مفففرده مففن البيففاانت عففن‬ ‫املتوسط الفرضي ومجعها‪ ،‬مث قسمتها على عدد املفردات )‪ ،(n‬مث جنمعها مع املتوسط الفرضي كما يلى‪:‬‬ ‫)‪− A‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪ (X‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X = A+‬‬ ‫مثال‪ :‬أوجد املتوسط احلساب ل رقام ‪3, 5, 7, 10, 15‬‬ ‫اإلجابة‪ :‬نفرض أن )‪ (A‬املتوسط الفرضي هي القيمة ‪ 10‬أو أي رقم آخر‪.‬‬ ‫)‪(3 − 10) + (5 − 10) + (7 − 10) + (10 − 10) + (15 − 10‬‬ ‫‪= X = 10 + (−2) = 8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪X = 10 +‬‬ ‫املتوسط احلساب املرجح‪:‬‬ ‫أحيففاان قففد تكففون البيففاانت اإلحصففائية يف صففورة جمموعففات‪ ،‬وقيمهففا تتفففاوت فيمففا بينهففا مففن حيففث‬ ‫أمهيتهففا النسففبية‪ ،‬وا هففذه احلالففة جيففب الرتجففيح أبوزان أي اسففتخدام مففا يسففمى ابملتوسففط احلسففاب املففرجح‪،‬‬ ‫وذلك حا تتناسب الصيغة الرايضية اليت يتم هبا حساب املتوسط احلساب مفع تلفك األمهيفة النسفبية جملموعفة‬ ‫البياانت‪ .‬وتصبح الصيغة الرايضية للمتوسط احلساب املرجح كما يلي‪:‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪W X‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪i‬‬ ‫= ‪X‬‬ ‫‪i‬‬ ‫حيث‪:‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫هي عبارة عن جمموع مفردات كل اجملموعات (جمموع األوزان النسبية)‪.‬‬ ‫‪W X‬‬ ‫‪i‬‬ ‫هي عبارة عن جمموع مضروب كل رقم من البياانت يف وز ا النسب‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬إذا علمت أن أجور العمال ابلشهر (ابأللف جنيه) يف إحدى مصانع القطاع اخلاص مقسمه إىل ثالث‬ ‫جمموعففات هفي )‪ (10, 20, 30‬وكففان عففدد العمففال يف كففل جمموعففة هففو )‪ (12, 18, 8‬علففى الرتتيففب‬ ‫واملطلوب حساب أو تقدير متوسط دخل العمال يف هذا املصنع‪.‬‬ ‫اإلجابة‪:‬‬ ‫‪30‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫)‪(12  10) + (18  20) + (8  30‬‬ ‫‪= 16.5‬‬ ‫)‪(12 + 18 + 8‬‬ ‫= ‪X‬‬ ‫يف حني أنه اذا مت حساب املتوسط ابلطريقة العادية سوف تكون النتيجة كما يلي‪:‬‬ ‫‪10 + 15 + 30‬‬ ‫‪= 18.3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‪X‬‬ ‫إال أننا يف هذه احلالة مل نراعي حجم كل فئة أو جمموعة مقارنة مبثيلتها‪ ،‬فالفئة ذات األجور اليت تسفاوي ‪10‬‬ ‫آالف جنيه شهراي عدد العاملني هبا ‪ 12‬فرد فقط‪ ،‬بينمفا مفثال الفئفة األخفرى الفيت أجورهفا تسفاوي ‪ 20‬آلفف‬ ‫جنيه شهراي يبلغ عفدد العفاملني الفواقعني هبفا ‪ 18‬ففرد أي أن األمهيفة النسفبية ل خفرية أكفرب مفن األوىل مقارنفة‬ ‫ببعضهما وهكذا‪.‬‬ ‫اثنيا‪ :‬حساب املتوسط احلساب يف حالة البياانت املبوبة‪:‬‬ ‫كمفا سفبق اإلشفارة اىل ذلفك فف ن البيفاانت التكراريفة هففي تلفك البيفاانت الفيت تعفرض يف صفورة جفداول تشففمل‬ ‫فئات وكل فئة تتكرر هبا عدد معني من املفردات‪ ،‬وإلجياد املتوسط احلساب مفن هفذه البيفاانت يفتم عفن طريفق‬ ‫جمموع حاصل ضرب مركز الفئات يف التكرارات‪ ،‬مث القسمة على إمجال عدد التكرارات‪ ،‬كما هو موضح يف‬ ‫اخلطوات اآلتية‪:‬‬ ‫‪ .1‬إجياد مراكز الفئات عن طريق مجع احلد األدىن واألعلى للفئة والقسمة على (‪ ،)2‬ويرمز ملركز الفئة‬ ‫ابلرمز ) ‪. ( X‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪ .2‬ضرب مراكز‬ ‫)‬ ‫‪i‬‬ ‫الفئات ) ‪( X i‬‬ ‫يف التكرار املقابفل للفئفة‬ ‫) ‪( Fi‬‬ ‫مث حسفاب اجملمفوع أي حسفاب جممفوع‬ ‫‪. (F X‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪ .3‬قسمة ) ‪  ( Fi X i‬على جمموع التكرارات ‪.  Fi‬‬ ‫وابلتال تكون الصيغة الرايضية للمتوسط احلساب‪ ،‬يف حالة البياانت املبوبة هي‪:‬‬ ‫)‬ ‫‪i‬‬ ‫‪ (F X‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪31‬‬ ‫= ‪X‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫مثال‪ :‬أوجد املتوسط احلساب ابستخدام الطريقة املباشرة للجدول التكراري اآليت‪:‬‬ ‫الفئات‬ ‫التكرارات‬ ‫‪4-2‬‬ ‫‪6-4‬‬ ‫‪8-6‬‬ ‫‪10-8‬‬ ‫‪12-10‬‬ ‫‪14-12‬‬ ‫اجملموع‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪20‬‬ ‫اإلجابة‪:‬‬ ‫) ‪( Fi X i‬‬ ‫) ‪(X i‬‬ ‫) ‪( Fi‬‬ ‫‪Sets‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4-2‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6-4‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8-6‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10-8‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12-10‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪14-12‬‬ ‫‪160‬‬ ‫‪--‬‬ ‫‪20‬‬ ‫اجملموع‬ ‫‪160‬‬ ‫‪=8‬‬ ‫‪20‬‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪i‬‬ ‫‪ (F X‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪i‬‬ ‫=‪X‬‬ ‫‪i‬‬ ‫خصائص املتوسط احلساب‪:‬‬ ‫‪ .1‬جمموع احنرافات القيم عن متوسطها احلساب تساوي صفر‪ .‬وميكن إثبات ذلك جرباي كما يلي‪:‬‬ ‫‪ X − X  = 0‬‬ ‫‪ X − X  =  X − nX‬‬ ‫)‪X‬‬ ‫(‪=  X − n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪=  X − X = 0‬‬ ‫‪32‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪ .2‬جممففوع مربعففات احنرافففات القففيم عففن املتوسففط احلسففاب أقففل مففن جممففوع االحنرافففات عففن أيففة قيمففة‬ ‫أخرى‪.‬‬ ‫‪ .3‬أتثري العمليات اجلربية على املتوسط احلساب‪:‬‬ ‫املثال التال يوضح أتثر قيمة املتوسط احلساب ابلعمليات احلسابية اجلربية (اجلمع‪ ،‬الطرح‪،‬‬ ‫الضرب‪ ،‬القسمة) بفرض أن الرقم الثابت هو (‪.)C=4‬‬ ‫‪X/C‬‬ ‫‪X*C‬‬ ‫‪X-C‬‬ ‫‪X+C‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2-‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪7.5‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪Average‬‬ ‫أتثري القسمة‬ ‫أتثري الضرب‬ ‫أتثري الطرح‬ ‫أتثري اجلمع‬ ‫ اذا أض فففنا قيم ففة اثبت ففة (‪ )C=4‬جلمي ففع الق ففيم ففف ن املتوس ففط اجلدي ففد يس ففاوي قيم ففة املتوس ففط للبي ففاانت‬‫األصلية (‪ )Aver. = 6‬مضافا إليه القيمة الثابتة (‪.)New Aver. = 10‬‬ ‫ اذا طرحنا قيمة اثبتة (‪ )C=4‬من مجيع القيم ف ن املتوسط اجلديفد يسفاوي املتوسفط للبيفاانت األصفلية‬‫(‪ )Aver. = 6‬مطروحا منه القيمة الثابتة (‪.)New Aver. = 2‬‬ ‫ اذا ضربنا قيمة اثبتفة (‪ )C=4‬يف مجيفع القفيم فف ن املتوسفط اجلديفد يسفاوي املتوسفط للبيفاانت األصفلية‬‫(‪ )Aver. = 6‬مضرواب يف القيمة الثابتة (‪.)New Aver. = 24‬‬ ‫ اذا قسمنا كل القيم على قيمة اثبتة (‪ )C=4‬ف ن املتوسفط اجلديفد يسفاوي املتوسفط للبيفاانت األصفلية‬‫(‪ )Aver. = 6‬مقسوما على القيمة الثابتة (‪.)New Aver. = 1.5‬‬ ‫‪33‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪ .4‬يتأثر املتوسط احلساب ابلقيم الشاذة واملتطرفة‪ ،‬واملثال التال يوضح ذلك‪:‬‬ ‫‪X = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) / 5 = 3‬‬ ‫)‪(1, 2, 3, 4, 5‬‬ ‫‪X = (1 + 2 + 3 + 4 + 50) / 5 = 12‬‬ ‫)‪(1, 2, 3, 4, 50‬‬ ‫‪X = (1 + 2 + 3 + 4 + 100) / 5 = 22‬‬ ‫)‪(1, 2, 3, 4, 100‬‬ ‫‪ .5‬ال ميكن حسابه للبياانت الوصفة‪.‬‬ ‫‪ .6‬ال ميكن حسابه من جداول التوزيع التكراري مفتوحة الطرفني أو مفتوحة الطرف الواحد‪.‬‬ ‫‪ .7‬حاصل ضفرب املتوسفط احلسفاب جملموعفة مفن القفيم يف عفددها يسفاوي جممفوع هفذه القفيم‪ .‬ويسفتفاد‬ ‫من هذه اخلاصية عمليا يف اإلحصاء الزراعي ف ذا علمنا أن متوسط إنتاجية الفدان من القمح = ‪3‬‬ ‫أطنان ف نه ميكن معرفة كمية القمح املنتجة على مستوى اجلمهورية وذلك بضرب املساحة املنزرعة‬ ‫يف اجلمهورية يف قيمة املتوسط (‪ 3‬طن)‪.‬‬ ‫‪ .8‬اذا كان لدينا عينتان‪ ،‬حجم األوىل ( ‪ ،) n‬والثانيففة ( ‪ ) n‬وكففان املتوسففط احلسففاب لكففل عينففة‬ ‫‪1‬‬ ‫منهمففا‬ ‫( ‪, X2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ) X‬ف نففه ميكففن حسففاب املتوسففط احلسففاب للعينتففني معففا ابالسففتفادة مففن‬ ‫متوسط كل منهما كما يلي‪:‬‬ ‫‪n1 . X 1 + n 2 . X 2‬‬ ‫‪n1 + n 2‬‬ ‫ويسمى املتوسط يف هذه احلالة املتوسط املرجح‪ ،‬ألنه قد مت ترجيح كل متوسط‬ ‫( ‪, X2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪X‬‬ ‫‪ ) X‬حبجم العينة‬ ‫احملسوب منها‪.‬‬ ‫‪ .9‬جمموع مربعات احنرافات القيم عن وسطها احلساب أقل دائما من جمموع مربعات احنرافات القيم‬ ‫عن أي قيمة أخرى طالف املتوسط احلساب‪.‬‬ ‫الح أن‪:‬‬ ‫‪ -1‬حلساب املتوسفط احلسفاب للعينتفني معفا ال جنمفع املتوسفطني مث نقسفم علفى اثنفني إال يف حالفة واحفدة‬ ‫فقط‪ ،‬وهي اذا كان حجم العينتني متساوي‪.‬‬ ‫‪ -2‬يف احلالففة العامففة وهففي اخففتالف حجففم العينتففني فيففتم ضففرب كففل متوسففط يف حجففم العينففة احملسففوب‬ ‫منها‪ ،‬وجنمع الناجتني مث نقسم على حجم العينيتني معا ( ‪.) n1 + n2‬‬ ‫‪34‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪ -3‬ميكففن تعمففيم هففذا القففانون ألي عففدد مففن العينففات‪ .‬فعلففى سففبيل املثففال اذا كففان لففدينا ثففالث عينففات‬ ‫أحجامها‬ ‫( ‪n2 , n 3‬‬ ‫‪ ،) n ,‬ومتوسطاهتا على الرتتيب هي ( ‪ ) X 1 , X 2 , X 3‬ف ن املتوسط املفرجح‬ ‫‪1‬‬ ‫للعينات الثالث معا هو‪:‬‬ ‫‪n1 . X 1 + n 2 . X 2 + n3 . X 3‬‬ ‫‪n1 + n 2 + n3‬‬ ‫=‪X‬‬ ‫مثال‪ :‬اذا كان لدينا جمموعتان من الطالب يف الكلية تدرسان نفس املقرر وكان عدد الطالب يف اجملموعتني‬ ‫هو‬ ‫‪n 2 = 20‬‬ ‫‪X 2 = 80‬‬ ‫‪n1 = 10‬‬ ‫‪X 1 = 75‬‬ ‫وكان املتوسط احلساب لدرجات الطالب يف اجملموعتني هو‬ ‫فما هو املتوسط احلساب لدرجات الطالب يف اجملموعتني معا؟‬ ‫اإلجابة‪:‬‬ ‫)‪(10  75) + (20  80‬‬ ‫‪= 78.3‬‬ ‫)‪(10 + 20‬‬ ‫=‪X‬‬ ‫مثال‪ :‬اذا كان لدينا نفس البياانت اخلاصة ابملثال السابق ولكن كان حجم العينيتني متسا ٍو ويساوي ‪20‬‬ ‫طالب فاملتوسط احلساب هلما يساوي‪:‬‬ ‫‪75 + 80‬‬ ‫‪= 77.5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪X‬‬ ‫ولو استخدمنا العالقة العامة حلصلنا على النتيجة نفسها كما هو موضح فيما يلي‪:‬‬ ‫)‪n1 . X 1 + n 2 . X 2 (20  75) + (20  80‬‬ ‫=‬ ‫‪= 77.5‬‬ ‫‪n1 + n 2‬‬ ‫)‪(20 + 20‬‬ ‫‪35‬‬ ‫=‪X‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫الوسيط‬ ‫يعففرف الوسففيط ‪ (Med.) The Median‬أبنففه القيمففة الففيت تتوسففط جمموعففة البيففاانت بعففد‬ ‫ترتيبها تصاعداي أو تنازليا‪ ،‬أي القيمة اليت تقسم جمموعة مفن القفيم إىل قسفمني متسفاويني‪ ،‬حبيفث يكفون عفدد‬ ‫القففيم الففيت أقففل منففه يسففاوى عففدد القففيم الففيت أكففرب منففه‪ ،‬ويففتم تقففدير الوسففيط بعففد ترتيففب القففيم تصففاعداي أو‬ ‫تنازليا‪ ،‬وابلتال ف ن قيمة الوسيط عبارة عن القيمة اليت تتوسط القيم من حيث املوقع‪.‬‬ ‫ أوال‪ :‬حساب الوسيط يف حالة البياانت غري املبوبة‪:‬‬‫ختتلففف طريقففة حسففاب الوسففيط بنففاء علففى عففدد مفففردات العينففة فف ذا كففان عففدد القففيم فففردى يكففون‬ ‫الوسيط عبفارة عفن القيمفة الوسفطى‪ ،‬أمفا إذا كفان عفدد املففردات زوجفي فف ن الوسفيط يكفون متوسفط القيمتفني‬ ‫الوسيطتني‪ ،‬ويرمز للوسيط ابلرمز (‪ )Med.‬وتكون الصيغة الرايضية للوسيط بعد ترتيب القيم إذا كان‪:‬‬ ‫• عدد القيم فردي‪ ،‬ف ن الوسيط يكون القيمة الذي ترتيبها‪:‬‬ ‫‪n +1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪Med .‬‬ ‫• عدد القيم زوجي‪ ،‬ف ن الوسيط عبارة عن متوسط القيمتني اللذان ترتيبهما‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪V1 Order‬‬ ‫‪(n + 2) n‬‬ ‫‪= +1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪V2 Order‬‬ ‫مثال‪ :‬أحسب الوسيط للقيم )‪(4, 13, 9, 5, 12, 7, 11‬‬ ‫اإلجابة‪:‬‬ ‫ ترتيب القيم تصاعداي أو تنازليا‪ .‬تصاعداي )‪.(13, 12, 11, 9, 7, 5, 4‬‬‫ ترقيم القيم )‪.(7, 6, 5, 4, 3, 2, 1‬‬‫ عدد القيم فردى إذا رتبة الوسيط هي‪:‬‬‫‪n +1 7 +1‬‬ ‫=‬ ‫‪=4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪36‬‬ ‫= ‪Med .‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫ إذا الوسيط هو عبارة عن القيمة اليت رتبتها (‪ )4‬وهي القيمة (‪.)9‬‬‫مثال‪ :‬احسب الوسيط للقيم )‪.(30, 20, 26, 18, 24, 28‬‬ ‫اإلجابة‪:‬‬ ‫ ترتيب القيم )‪.(30, 28, 26, 24, 20, 18‬‬‫ ترقيم القيم )‪.(6, 5, 4 ,3, 2, 1‬‬‫ عدد القيم زوجي إذا قيمة الوسيط حتسب من خالل القيمتان اللذان رتبتامها كما يلي‪:‬‬‫‪n 6‬‬ ‫‪= =3‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫= ‪V1 Order‬‬ ‫)‪(n + 2) (6 + 2‬‬ ‫=‬ ‫‪=4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪V2 Order‬‬ ‫ قيمة الوسيط هي عبارة عن متوسط القيمتفني الفيت ترتيبهمفا (‪ )4, 3‬ومهفا القيمتفني (‪ )26, 24‬أي‬‫أن قيمة الوسيط هي‪:‬‬ ‫‪V1 + V2 24 + 26‬‬ ‫=‬ ‫‪= 25‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪Med .‬‬ ‫ اثنيا‪ :‬حساب الوسيط يف حالة البياانت املبوبة‪:‬‬‫ميكففن اجيففاد قيمففة الوسففيط ‪ The Median‬يف البيففاانت املبوبففة أو اجلففداول التكراريففة مففن خففالل‬ ‫عمل مفا يسفمى التكفرارات املتجمعفة الصفاعدة أو اهلابطفة‪ ،‬أو مفن خفالل الرسفم البيفاين للمنحنيفات التكراريفة‬ ‫لكال من التكرار املتجمع الصاعد واهلابط‪ ،‬وسوف يتم تناول كل طريقة فيما يلي ابلتفصيل‪.‬‬ ‫‪ .1‬حساب الوسيط من التكرار املتجمع الصاعد‪:‬‬ ‫إلجياد الوسيط من التكرار املتجمع الصاعد يتم اتباع اخلطوات التالية‪:‬‬ ‫• عمل جدول التكرار املتجمع الصاعد‪.‬‬ ‫• حتديد رتبة الوسيط من خالل العالقة‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪Med . Order‬‬ ‫‪37‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫• حندد الفئة اليت تقع فيها قيمة الوسفيط‪ ،‬وذلفك مفن خفالل البحفث عفن الفئتفني اللتفان تفرتاوح قيمفة رتبفة‬ ‫الوسيط التكرار املتجمفع الصفاعد اخلفاص هبمفا‪ ،‬مث اختيفار الفئفة ذات التكفرار املتجمفع الصفاعد األكفرب‬ ‫بينهما لتكون هي فئة الوسيط‪.‬‬ ‫• حندد قيمة الوسيط وذلك من خالل العالقة الرايضية التالية‪:‬‬ ‫‪( Med . Order) - PICF‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪Fm‬‬ ‫حيث‬ ‫‪L1‬‬ ‫‪Med . Value = L1 +‬‬ ‫هو احلد األدىن لفئة الوسيط‪.‬‬ ‫‪ Fm‬هو التكرار األصلي لفئة الوسيط‪.‬‬ ‫‪ PCF‬هو التكرار املتجمع الصاعد السابق لفئة الوسيط‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫هو طول فئة الوسيط‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬احسب قيمة الوسيط للبياانت التالية‪.‬‬ ‫‪SUM‬‬ ‫‪90-100‬‬ ‫‪80-90‬‬ ‫‪70-80‬‬ ‫‪60-70‬‬ ‫‪50-60‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫( ‪Sets‬أجور العمال اليومية)‬ ‫(‪F‬عدد العمال)‬ ‫‪I.C.F‬‬ ‫‪Upper limit‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪Sets‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪< 60‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪50-60‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪< 70‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪60-70‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪< 80‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪70-80‬‬ ‫‪47‬‬ ‫‪< 90‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪80-90‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪< 100‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪90-100‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪SUM‬‬ ‫• حتديد رتبة الوسيط من خالل العالقة‪:‬‬ ‫‪38‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪50‬‬ ‫‪= 25‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪f‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪Med . Order‬‬ ‫• الفئة اليت تقع فيها قيمة الوسيط هي الفئة (‪.)70 – 80‬‬ ‫• حندد قيمة الوسيط وذلك من خالل العالقة الرايضية التالية‪:‬‬ ‫‪( Med . Order) - PICF‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪Fm‬‬ ‫)‪(25 - 10‬‬ ‫‪Med . Value = 70 +‬‬ ‫‪ 10 = 75‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪Med . Value = L1 +‬‬ ‫‪ .2‬حساب الوسيط من التكرار املتجمع اهلابط‪:‬‬ ‫إلجياد الوسيط من التكرار املتجمع اهلابط يتم اتباع اخلطوات التالية‪:‬‬ ‫• عمل جدول التكرار املتجمع اهلابط‬ ‫• حتديد رتبة الوسيط وذلك على أساس نصف جمموع التكرارات‪.‬‬ ‫• حندد الفئة اليت تقع فيها قيمة الوسفيط‪ ،‬وذلفك مفن خفالل البحفث عفن الفئتفني اللتفان تفرتاوح قيمفة رتبفة‬ ‫الوسيط التكرار املتجمع اهلابط اخلاص هبما‪ ،‬مث اختيار الفئة ذات التكرار املتجمع اهلابط األكرب بينهما‬ ‫لتكون هي فئة الوسيط‪.‬‬ ‫• حندد قيمة الوسيط وذلك من خالل العالقة الرايضية التالية‪:‬‬ ‫‪( Med . Order) - DCF‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪NDCF − DCF‬‬ ‫حيث ‪ DCF‬هو التكرار املتجمع اهلابط لفئة الوسيط‪.‬‬ ‫‪NDCF‬‬ ‫هو التكرار املتجمع اهلابط التال لفئة الوسيط‪.‬‬ ‫‪39‬‬ ‫‪Med . Value = L1 +‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫مثال‪ :‬احسب قيمة الوسيط للبياانت الواردة ابملثال السابق‪.‬‬ ‫‪I.C.F‬‬ ‫‪Lower limit‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪Sets‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪> 50‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪50-60‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪> 60‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪60-70‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪> 70‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪70-80‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪> 80‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪80-90‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪> 90‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪90-100‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪SUM‬‬ ‫• حتديد رتبة الوسيط‪:‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪= 25‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪f‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪Med . Order‬‬ ‫• حندد الفئة اليت تقع فيها قيمة الوسيط وتكون هذه الفئة هي (‪ )70 – 80‬وفقا ملا سبق‪.‬‬ ‫• حندد قيمة الوسيط وذلك من خالل العالقة الرايضية التالية‪:‬‬ ‫‪( Med . Order) - DCF‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪NDCF − DCF‬‬ ‫)‪(25 - 40‬‬ ‫‪Med . Value = 70 +‬‬ ‫‪ 10 = 75‬‬ ‫‪10 - 40‬‬ ‫‪Med . Value = L1 +‬‬ ‫مثال‪ :‬احسب قيمة الوسيط للبياانت التالية بطريقيت التكرار املتجمع الصاعد واهلابط‪.‬‬ ‫‪45-50‬‬ ‫‪40-45‬‬ ‫‪35-40‬‬ ‫‪30-35‬‬ ‫‪25-30‬‬ ‫‪20-25‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪43‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪Class‬‬ ‫‪F‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫اإلجابة‪:‬‬ ‫‪D.C.F‬‬ ‫‪Lower Limit‬‬ ‫‪I.C.F‬‬ ‫‪Upper Limit‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪Class‬‬ ‫‪130‬‬ ‫‪> 20‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪< 25‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪20-25‬‬ ‫‪128‬‬ ‫‪> 25‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪< 30‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪25-30‬‬ ‫‪114‬‬ ‫‪> 30‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪< 35‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪30-35‬‬ ‫‪85‬‬ ‫‪> 35‬‬ ‫‪88‬‬ ‫‪< 40‬‬ ‫‪43‬‬ ‫‪35-40‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪> 40‬‬ ‫‪121‬‬ ‫‪< 45‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪40-45‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪> 45‬‬ ‫‪130‬‬ ‫‪< 50‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪45-50‬‬ ‫‪130‬‬ ‫‪( Med . Order) - PICF‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪Fm‬‬ ‫)‪(65 - 45‬‬ ‫‪Med . Value = 35 +‬‬ ‫‪ 5 = 37.3‬‬ ‫‪43‬‬ ‫‪Med . Value = L1 +‬‬ ‫‪( Med . Order) - DCF‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪NDCF − DCF‬‬ ‫)‪(65 - 85‬‬ ‫‪Med . Value = 35 +‬‬ ‫‪ 5 = 37.3‬‬ ‫‪42 - 85‬‬ ‫‪Med . Value = L1 +‬‬ ‫‪ .3‬حساب الوسيط ابستخدام الرسم البياين‪:‬‬ ‫حيسففب الوسففيط بطريقففة الرسففم البيففاين مففن خففالل رسففم منحففىن التك فرار املتجمففع الصففاعد ومنحففىن‬ ‫التك فرار املتجمففع اهلففابط وتتحففدد قيمففة الوسففيط مففن خففالل النقطففة الففيت يتقففاطع فيهففا كففال املنحنيففني كمففا هففو‬ ‫موضح ابلشكل البياين التال وفقا للمثال السابق‪.‬‬ ‫‪41‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫خصائص الوسيط‪:‬‬ ‫‪ -1‬ال يتأثر الوسيط ابلقيم الشاذة أو املتطرفة‪ .‬ألنه يقع يف منتصف القيم‪ ،‬والقيم الشاذة إما أن تكون‬ ‫يف أول القيم أو آخرها (بعد ترتيب القيم تصاعداي أو تنازليا)‪.‬‬ ‫‪ -2‬ميكن إجياد قيمة الوسيط يف بعض حاالت البياانت الرتتيبية ‪.Ordinal Data‬‬ ‫‪ -3‬ميكن حسابه يف حالة اجلداول التكرارية املفتوحة‪.‬‬ ‫املنوال‬ ‫املنفوال )‪ The Mode (Mod.‬جملموعفة القفيم هفو عبفارة عفن القيمفة األكثفر تكفرارا أو شفيوعا يف‬ ‫جمموعة البياانت أي اليت تتكرر أكثر من غريها‪.‬‬ ‫ويسففتخدم املنففوال بشففكل ويعففد املنففوال مففن أكثففر املتوسففطات الففيت تسففتخدم يف األنشففطة التجاريففة‪،‬‬ ‫فمثال مصانع األحذية واملالبس اجلاهزة تعتمد على املقاسات الشائعة أو املكررة بني الناس لتحديد املقاييس‬ ‫املختلفففة ل حذيففة أو املالبففس املنتجففة‪ .‬ويتميففز املنففوال أبنففه أبسففط مقففاييس النزعففة املركزيففة‪ ،‬ولكنففه أقلهففا دقففة‬ ‫واسففتقرارا بففني جمموعففة املقففاييس‪ .‬وفيمففا يلففي جمموعففة مففن األمثلففة والففيت مففن خالهلففا سففوف تتعففرف أيضففا علففى‬ ‫خصائص املنوال املختلفة‪.‬‬ ‫أوال‪ :‬حساب املنوال يف حالة البياانت غري املبوبة‪:‬‬ ‫مثال‪ :‬احسب املنوال للقيم (‪.)11, 10, 6, 9, 7, 8, 6‬‬ ‫اإلجابة‪ :‬املنوال عبارة عن القيمة املتكررة وهي هنا القيمة )‪.(6‬‬ ‫‪42‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫مثال‪ :‬أوجد املنوال للبياانت التالية (‪)2, 4, 6, 2, 3, 2, 5, 8‬‬ ‫اإلجابة‪ :‬قيمة املنوال هي (‪ )2‬أل ا القيمة األكثر تكرارا أو شيوعا بني البياانت‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬أوجد القيمة املنوالية جملموعة البياانت التالية‪.)2, 4, 7, 3, 5, 6, 9, 11, 10( :‬‬ ‫اإلجابة‪ :‬ال يوجد قيمة منوالية هلذه البياانت‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬أوجد القيمة املنوالية جملموعة البياانت التالية‪.)2, 4, 2, 5, 6, 4, 3, 2, 7, 4( :‬‬ ‫اإلجابة‪ :‬جملموعة البياانت أكثر من قيمة منوالية وهي القيم (‪.)2, 4‬‬ ‫كففل األمثل ففة السففابقة تش ففمل بيففاانت كمي ففة‪ ،‬ولكففن ه ففل ميكففن حس ففاب املنففوال لبي ففاانت وص فففية أو‬ ‫ترتيبية؟؟‬ ‫مثال‪ :‬البياانت التالية متثل تقفديرات جمموعفة مفن الطفالب يف أحفد املقفررات الدراسفية‪ ،‬واملطلفوب إجيفاد قيمفة‬ ‫املنففوال هلففذه التقففديرات‪fair, good, fair, very good, good, excellent, ( .‬‬ ‫‪.)good‬‬ ‫اإلجابة‪ :‬منوال التقديرات هلؤالء الطالب هو تقدير ‪ good‬ألنه التقدير األكثر تكرارا‪( .‬الح أن البياانت‬ ‫الواردة ابملثال بياانت ترتيبية)‪.‬‬ ‫اثنيا‪ :‬حساب املنوال يف حالة البياانت املبوبة‪:‬‬ ‫ميكن التوصل بسهولة اىل قيمة املنوال يف حالة البياانت املبوبة‪ ،‬حيث اننا نالح أن القيمة األكثر‬ ‫تك فرارا أو شففيوعا يف التوزيعففات التكراريففة ذات الفئففات متسففاوية الطففول هففي القيمففة الففيت تقابففل قمففة املنحففىن‬ ‫التكراري‪ .‬وبشكل عام ميكن إجياد قيمة املنوال من البياانت التكرارية من خالل طريقة بريسون أو من خالل‬ ‫رسم املدرن التكراري‪.‬‬ ‫‪ .1‬طريقة بريسون لتحديد املنوال‪:‬‬ ‫ميكن حساب املنوال من خالل القانون التال‪:‬‬ ‫‪ D1 ‬‬ ‫‪Mod . = L1 + ‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ D1 + D2 ‬‬ ‫‪43‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫حيث‪:‬‬ ‫‪L1‬‬ ‫‪D1‬‬ ‫‪D2‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫هو عبارة عن ا حلد األدىن للفئة املنوالية (الفئة اليت حتوى أكرب تكرار)‪.‬‬ ‫الفرق املطلق بني تكرار الفئة املنوالية والفئة السابقة هلا‪.‬‬ ‫الفرق املطلق بني تكرار الفئة املنوالية والفئة التالية هلا‪.‬‬ ‫‪ C‬طول الفئة املنوالية (الفرق بني حدي الفئة األعلى واألدىن)‪.‬‬ ‫‪ .2‬الطريقة البيانية لتحديد املنوال‪:‬‬ ‫ميكن حتديد قيمة املنوال بيانيا كما يلي‪:‬‬ ‫‪ -1‬رسم املدرن التكراري جملموعة البياانت‪.‬‬ ‫‪ -2‬توصيل الركن األمين العلوي للمستطيل الفذي ميثفل تكفرار الفئفة املنواليفة ابلفركن األميفن العلفوي‬ ‫للمستطيل السابق له‪.‬‬ ‫‪ -3‬توصيل الركن األيسر العلوي للمستطيل الذي ميثل تكرار الفئة املنوالية ابلركن األيسر العلوي‬ ‫للمستطيل التال له فيتقاطع املستقيمان يف نقطة‪.‬‬ ‫‪ -4‬يففتم إسففقاط عمففود مففن نقطففة التقففاطع ليقابففل احملففور األفقففي يف نقطففة متثففل قيمففة املنففوال كمففا يف‬ ‫الشكل السابق‪.‬‬ ‫‪44‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫مثال ‪ :‬إذا أعطيت البياانت التالية‪ ،‬فاحسب املنوال هلذه البياانت‪.‬‬ ‫الفئات‬ ‫التكرارات‬ ‫‪4-2‬‬ ‫‪6-4‬‬ ‫‪8-6‬‬ ‫‪10-8‬‬ ‫‪12-10‬‬ ‫‪14-12‬‬ ‫اجملموع‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪10‬‬ ‫)‪(12‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪40‬‬ ‫اإلجابة‪ :‬الفئة املنوالية هي الفئة )‪ (10-8‬أل ا حتتوي على أكرب تكرار‪.‬‬ ‫‪ D1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪(12 − 10‬‬ ‫‪Mod . = L1 + ‬‬ ‫‪C =8+ ‬‬ ‫‪  2 = 8.4‬‬ ‫‪ (12 − 10) + (12 − 4) ‬‬ ‫‪ D1 + D2 ‬‬ ‫مثال‪ :‬أوجد املنوال للتوزيع التكراري اآليت‪:‬‬ ‫الفئات‬ ‫التكرارات‬ ‫‪4-2‬‬ ‫‪6-4‬‬ ‫‪8-6‬‬ ‫‪12-8‬‬ ‫‪18-12‬‬ ‫‪24-18‬‬ ‫اجملموع‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪60‬‬ ‫اإلجابة‪ :‬طول الفئات هنا غري متساوي ‪ ،‬لذا ف ن األمر يتطلب يف هذه احلالة يتم إجياد التكرار املعفدل الفذي‬ ‫يتم حسابه عن طريق قسمة التكرار األصلي على طول الفئفة املقابفل هلفا ويفتم االعتمفاد عليفه بفدال مفن عمفود‬ ‫التكرارات األصلية‪ ،‬وابلتال يصبح اجلداول التكراري كما يلي‪:‬‬ ‫‪F/‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪Class‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2-4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4-6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪6-8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪8-12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪12-18‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪18-24‬‬ ‫يتم عمل التكرار املعدل (‪ )F/‬والذي حيسب من خالل قسمة التكرار األصلي ‪ /‬طول الفئة‪ ،‬مث يتم حتديد‬ ‫فئة املنوال على أساس التكرار املعدل‪ ،‬ويف املثال السابق تصبح فئة املنوال هي الفئة (‪ ،)8-6‬ويتم حساب‬ ‫املنوال بنفس القانون السابق ذكره كما يلي‪:‬‬ ‫‪ D1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪(5 − 3‬‬ ‫‪Mod . = L1 + ‬‬ ‫‪C = 6 + ‬‬ ‫‪2=7‬‬ ‫‪ (5 − 3) + (5 − 3) ‬‬ ‫‪ D1 + D2 ‬‬ ‫‪45‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫خصائص املنوال‪:‬‬ ‫‪ -1‬ميكن إجياد املنوال لكل أنواع البياانت (كمية أو ترتيبية أو ا ية)‪.‬‬ ‫‪ -2‬هناك بعض التوزيعات اليت هلا أكثر من قيمة منوالية‪.‬‬ ‫‪ -3‬عدم أتثره ابلبياانت الشاذة أو املتطرفة بني مفردات جمموعة البياانت‪.‬‬ ‫‪ -4‬ميكن حسابه من اجلداول التكرارية املفتوحة‪.‬‬ ‫عيوب املنوال‪:‬‬ ‫‪ -1‬أقل مقاييس التوسط دقة‪.‬‬ ‫‪ -2‬ال ميكن االستفادة منه حسابيا كاملتوسط احلساب‪.‬‬ ‫‪ -3‬تتعدد قيمته يف بعض احلاالت‪.‬‬ ‫‪ -4‬ال ميكن االعتماد عليه إذا كان عدد املفردات كبري‪.‬‬ ‫حساب املتوسط احلساب من اجلداول التكرارية املفتوحة‬ ‫ال ميكن حساب املتوسط احلساب من اجلداول التكرارية املفتوحة وذلك ألن املتوسط احلساب‬ ‫يعتمد يف حسابه على مركز الفئات وابلتال ال ميكن حسابه يف اجلداول التكرارية املفتوحة سواء كان للفئة‬ ‫األوىل أو األخرية‪ ،‬ولذلك ف نه ميكن االستعاضة عن طريقة احلساب التقليدية ابلعالقة اآلتية‪:‬‬ ‫)‪X − mod e = 3( X − median‬‬ ‫‪46‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫املتوسط اهلندسي‬ ‫املتوسففط اهلندسفي ‪ The Geometric Mean‬جملموعففة مففن القففيم عففددها (‪ )n‬هففو عبففارة عففن‬ ‫اجلذر النوين حلاصل ضرب هذه القيم يف بعضها‪ ،‬وجتفدر اإلشفارة اىل أن املتوسفط اهلندسفي يسفتخدم يف حالفة‬ ‫البياانت املقاسة يف شكل نسب مئوية‪ ،‬مثل األرقام القياسية‪ .‬ويعترب املتوسط اهلندسي أنسفب املتوسفطات يف‬ ‫حالفة معفدالت التغفري‪ ،‬ومناسفيب األسففعار‪ ،‬وال ميكفن حسفاب املتوسفط اهلندسففي جملموعفة مفن القفيم إذا كانففت‬ ‫إحداها تساوى صفراً أو ذات قيمة سفالبة‪ ،‬ألنفه يف هفذه احلالفة إذا كانفت أحفد القفيم تسفاوى صففر أو سفالبة‬ ‫ف ن املتوسط اهلندسي سوف يكون صفرا‪ ،‬أو سالباً إذا كانت إحدى القيم سفالبة‪ .‬جتفدر اإلشفارة أن املتوسفط‬ ‫اهلندسي دائما يكون أقل من املتوسط احلساب‪ ،‬ويرمز له ابلرمز )‪.(G‬‬ ‫أوال‪ :‬حساب املتوسط اهلندسي يف حالة البياانت غري املبوبة‪:‬‬ ‫الصيغة الرايضية حلساب املتوسط اهلندسي‪ ،‬تكون كما يلي‪:‬‬ ‫‪G = n X 1 . X 2 . X 3 .......... X n‬‬ ‫كما ميكن إجياد املتوسط اهلندسي ابالستعانة ابللوغاريتمات‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪( LogX 1 + LogX 2 + LogX 3 + .................LogX n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ LogX i‬‬ ‫‪n‬‬ ‫= ‪LogG‬‬ ‫= ‪LogG‬‬ ‫ولجياد العدد املقابل للوغاريتم حنصل على الوسط اهلندسي‪.‬‬ ‫مث ففال‪ :‬إذا ك ففان مع ففدل التض ففخم يف اقتص ففاد م ففا يف الس ففنة األوىل ‪ ،%2‬والس ففنة الثاني ففة ‪ %5‬والس ففنة الثالث ففة‬ ‫‪ ،%12.5‬احسب متوسط معدل التضخم خالل السنوات الثالثة‪.‬‬ ‫اإلجابة‪:‬‬ ‫‪125 = 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪2  5  12.5‬‬ ‫مثال‪ :‬اوجد املتوسط اهلندسي بطريقتني للقيم (‪.)160 , 130 , 123 , 138 , 14‬‬ ‫اإلجابة‪:‬‬ ‫‪47‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‪G‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫ الطريقة املباشرة‪:‬‬‫‪G = 5 14  138  123  130  160 = 86.85‬‬ ‫ طريقة اللوغاريتمات‪:‬‬‫‪1‬‬ ‫) ‪( LogX 1 + LogX 2 + LogX 3 + .................LogX n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪LogG = (1.146 + 2.140 + 2.09 + 2.114 + 2.204) = 1.939‬‬ ‫‪5‬‬ ‫= ‪LogG‬‬ ‫ابلكش ففف يف ج ففدول لوغاريتم ففات األع ففداد أو احلس ففاابت اآللي ففة م ففن خ ففالل عك ففس رق ففم اللوغ ففاريتم الن ففاتج‬ ‫(‪ )Shift Log‬يتضح أن القيمة اللوغاريتمية ‪ 1.939‬تقابلها قيمة صحيحة هي ‪ 86.85‬واليت متثل قيمة‬ ‫املتوسط اهلندسي‪.‬‬ ‫اثنيا‪ :‬حساب املتوسط اهلندسي يف حالة البياانت املبوبة‪:‬‬ ‫عنفد تقفدير املتوسففط اهلندسفي ‪ The Geometric Mean‬للبيفاانت املبوبففة فف ن األمفر يتطلففب‬ ‫إجياد لوغاريتمات مراكز الفئة‪ ،‬مث ضرهبا يف التكرارات املقابلفة لكفل فئفة‪ ،‬مث القسفمة علفى جممفوع التكفرارات‪.‬‬ ‫والصيغة الرايضية للمتوسط اهلندسي يف حالة البياانت املبوبة هي كااليت‪:‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪ F .LogX‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪i‬‬ ‫= ‪LogG‬‬ ‫‪i‬‬ ‫يتم إجيفاد عمفود لوغفاريتم مراكفز الفئفات وهفو ( ‪ ) LogX‬مث ضفرب لوغفاريتم مراكفز الفئفة يف التكفرار املقابفل‬ ‫‪i‬‬ ‫لنحصل على عمود ( ‪ ،) F .LogX‬وحتويلها إىل أرقام صحيحة‪.‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫مثال‪ :‬احسب املتوسط اهلندسي للبياانت التالية‪:‬‬ ‫الفئات‬ ‫التكرارات‬ ‫‪4-2‬‬ ‫‪6-4‬‬ ‫‪8-6‬‬ ‫‪10-8‬‬ ‫‪12-10‬‬ ‫‪14-12‬‬ ‫اجملموع‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪20‬‬ ‫اإلجابة‪:‬‬ ‫‪48‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫) ‪( Fi .LogX i‬‬ ‫) ‪( LogX i‬‬ ‫) ‪(X i‬‬ ‫) ‪( Fi‬‬ ‫‪Sets‬‬ ‫‪0.954‬‬ ‫‪0.4771‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4-2‬‬ ‫‪2.0967‬‬ ‫‪0.6989‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6-4‬‬ ‫‪4.225‬‬ ‫‪0.845‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8-6‬‬ ‫‪8.587‬‬ ‫‪0.954‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10-8‬‬ ‫‪11.455‬‬ ‫‪1.0414‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12-10‬‬ ‫‪14.480‬‬ ‫‪1.1139‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪14-12‬‬ ‫‪--‬‬ ‫‪20‬‬ ‫اجملموع‬ ‫‪41.799‬‬ ‫‪41.799‬‬ ‫‪= 2.089‬‬ ‫‪20‬‬ ‫=‬ ‫‪i‬‬ ‫‪ F .LogX‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪i‬‬ ‫= ‪LogG‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪ G = 7.94‬‬ ‫وحبساب العدد املقابل للوغاريتم (‪ )2.089‬يتبني أن الوسط اهلندسي هو ‪.7.94‬‬ ‫الوسط التوافقي‬ ‫الوسففط التففوافقي ‪ The Harmonic Mean‬جملموعففة مففن القففيم عبففارة عففن مقلففوب املتوس فط‬ ‫احلسففاب ملقلففوابت هففذه القففيم‪ ،‬يسففتخدم الوسففط التففوافقي يف تقففدير متوسففط معففدالت السففرعات ومعففدالت‬ ‫التغري املوجبة‪ ،‬ويرمز له ابلرمز )‪.(H‬‬ ‫أوال‪ :‬حساب الوسط التوافقي يف حالة البياانت غري املبوبة‪:‬‬ ‫الصيغة الرايضية حلساب الوسط التوافقي تكون كما يلي‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫=‪H‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫مثال‪ :‬أحسب الوسط التوافقي ل رقام ( ‪.)8 , 4 , 2 , 8‬‬ ‫‪=4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1 1 1 1‬‬ ‫) ‪( + + +‬‬ ‫‪8 2 4 8‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪(x‬‬ ‫‪i‬‬ ‫=‪H‬‬ ‫يف حني إذا مت التقدير بطريقة الوسط احلساب يكون الوسط كما يلي‪:‬‬ ‫‪8+2+4+8‬‬ ‫‪= 5.5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪i‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‪X‬‬ ‫مثال‪ :‬إذا علمت أن املسافة بني مدينتني مهفا (‪ )A, B‬هفي ‪ 2000‬كفم ‪ ،‬قطعتهفا طفائرة مصفر للطفريان مفرورا‬ ‫أبربع مناطق جوية‪ ،‬كانت مسفافة املنطقفة األوىل ‪ 500‬كفم بسفرعة ‪ 500‬كم‪/‬سفاعة‪ ،‬والثانيفة ‪ 500‬كفم بسفرعة‬ ‫‪ 1000‬كم‪/‬سف ففاعة والثالثف ففة ‪ 500‬كم‪/‬سف ففاعة بسف ففرعة ‪ 2000‬كم‪/‬سف ففاعة‪ ،‬والرابعف ففة ‪ 500‬كف ففم بسف ففرعة ‪1500‬‬ ‫كم‪/‬ساعة‪ ،‬املطلوب تقدير متوسط سرعة الطائرة يف الساعة الواحدة‪.‬‬ ‫اإلجابة‪:‬‬ ‫‪= 960km / hour‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‬ ‫‪500 1000 2000 1500‬‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪(x‬‬ ‫‪i‬‬ ‫=‪H‬‬ ‫اثنيا‪ :‬حساب الوسط التوافقي يف حالة البياانت املبوبة‪:‬‬ ‫عنففد حس ففاب الوسففط الت ففوافقي يف حالففة البي ففاانت اإلحصففائية املبوب ففة‪ ،‬ف ف ن األم ففر يتطلففب حس ففاب‬ ‫مقلوب مراكفز الفئفات مث ضفرهبا يف التكفرار املقابفل لكفل فئفة‪ ،‬والصفيغة الرايضفية للمتوسفط التفوافقي يف حالفة‬ ‫البياانت املبوبة هي كاآليت‪:‬‬ ‫‪i‬‬ ‫)‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫مثال‪ :‬احسب الوسط التوافقي للبياانت التالية‪:‬‬ ‫الفئات‬ ‫‪4-2‬‬ ‫‪6-4‬‬ ‫‪8-6‬‬ ‫‪10-8‬‬ ‫‪12-10‬‬ ‫‪14-12‬‬ ‫اجملموع‬ ‫التكرارات‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪20‬‬ ‫اإلجابة‪:‬‬ ‫‪50‬‬ ‫=‪H‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪Fi‬‬ ‫)‬ ‫‪Xi‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪Xi‬‬ ‫) ‪(X i‬‬ ‫) ‪( Fi‬‬ ‫‪Sets‬‬ ‫‪2/3‬‬ ‫‪1/3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4-2‬‬ ‫‪3/5‬‬ ‫‪1/5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6-4‬‬ ‫‪5/7‬‬ ‫‪1/7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8-6‬‬ ‫‪5/9‬‬ ‫‪1/9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10-8‬‬ ‫‪3/11‬‬ ‫‪1/11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12-10‬‬ ‫‪2/13‬‬ ‫‪1/13‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪14-12‬‬ ‫‪--‬‬ ‫‪20‬‬ ‫اجملموع‬ ‫(‬ ‫‪2.96‬‬ ‫(‬ ‫‪20‬‬ ‫‪= 6.77‬‬ ‫‪2.96‬‬ ‫=‬ ‫‪i‬‬ ‫)‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪51‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫=‪H‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫متارين‬ ‫[‪ ] 1‬إذا علمففت أن إحففدى شففركات االسففتثمار األجنبيففة العاملففة يف الففيمن تففدفع يف السففاعة أجففر قففدره ‪$4‬‬ ‫لعماهلا غري املهرة وعفددهم ‪ ، 25‬وتفدفع ‪ $6‬للعمفال شفبه املهفرة وعفددهم ‪ ، 15‬وتفدفع ‪ $8‬للعمفال املهفرة‬ ‫وعددهم ‪ ، 10‬املطلوب تقدير متوسط األجور للعمال كمجموعات وأفراد ؟‬ ‫[‪ ]2‬إذا كففان معففدل التغففري يف أسففعار الصففرف القتصففاد مففا خففالل الفففرتة ‪ 2000-1998‬هففو‬ ‫‪%15,‬‬ ‫‪ ، %25, %20‬املطلوب تقدير متوسط التغري لتلك الفرتة ؟‬ ‫[‪ ]3‬قام أحد الباحثني يف إحدى املستشفيات بوزن عشرين طفل عند سن ‪ 4‬سنوات فئات األوزان ابلكيلو‬ ‫جرام كما يلى ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫املطلوب تقدير املتوسط احلساب واملنوال والوسيط لتلك األوزان ‪ ،‬مع حتديد نسبة األوزان اليت تقع بني ‪15‬‬ ‫‪ . 10‬كجم ؟‬ ‫[‪ ]4‬قامت قاطرة ديزل بقطع املسافات التالية ابلسرعات املذكورة كما يلى ‪:‬‬ ‫السرعة كم‪/‬ساعة‬ ‫‪40‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪65‬‬ ‫‪70‬‬ ‫املسافة‪ /‬كم‬ ‫‪17‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪54‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪12‬‬ ‫املطلوب تقدير متوسط سرعة القاطرة إلمجال املسافة ؟‬ ‫[‪ ]5‬إذا علمت أن القراءات الشهرية للزايدة يف أطوال ‪ 10‬نبااتت من القمح ابملليمرتات هى كما يلى ‪:‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪66‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪58‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪60‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫املطلوب تقدير الوسيط واملنوال املتوسط احلساب بطريقتني ؟‬ ‫[‪ ]6‬ثالث مدن هى )‪ (C, B, A‬قام أحد السائقني بقطع املسافة بينها وكان معدل السرعة للمسافة مفن‬ ‫‪ A‬إىل ‪ 80 B‬كم‪ /‬ساعة ومن ‪ B‬إىل ‪ 90 C‬كم‪ /‬ساعة ومن ‪ C‬إىل ‪ 70 B‬كم‪ /‬سفاعة ‪ ،‬مفا هفو متوسفط‬ ‫السرعة للمسافة كلها ؟‬ ‫[‪ ]7‬وضح ابلتفصيل كيف ميكن تقدير املتوسط احلساب يف اجلداول التكرارية املفتوحة ؟‬ ‫[‪ ] 8‬أثب ففت أن جمم ففوع احنراف ففات الق ففيم ع ففن وس ففطها احلس ففاب يس ففاوى ص فففر ‪ ،‬وإن حاص ففل ض ففرب املتوس ففط‬ ‫احلساب يف جمموع التكرارات يساوى حاصل ضرب التكرارات يف مراكز الفئات ؟‬ ‫[‪ ] 9‬فيما يلى عدد السكان يف إحدى الدول النامية (ابملليون نسمة) خالل الفرتة ‪2000-1995‬‬ ‫السنوات‬ ‫‪1995‬‬ ‫‪1996‬‬ ‫‪1997‬‬ ‫‪1998‬‬ ‫‪1999‬‬ ‫‪2000‬‬ ‫عدد السكان‬ ‫‪10.9‬‬ ‫‪11.5‬‬ ‫‪12.3‬‬ ‫‪13.1‬‬ ‫‪14.0‬‬ ‫‪14.9‬‬ ‫املطلوب إجياد معدالت النمو السكاىن فيما بني كل سنة‪ ،‬مث تقدير متوسط املعدالت للنمو السكاىن يف تلك‬ ‫الدولة؟‬ ‫[‪ ]10‬أوجد الوسيط ابستخدام ثالث طرق للتوزيع التكرارى اآليت؟‬ ‫الفئات‬ ‫التكرارات‬ ‫‪10-5‬‬ ‫‪15-10‬‬ ‫‪20-15‬‬ ‫‪25-20‬‬ ‫‪30-25‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫[‪ ]11‬اجلدول التفال يبفني مراكفز الفئفات ل طفوال ابلسفنتيمرتات لعينفة مفن ‪ 100‬نبفات والتكفرارات املنفاظرة‬ ‫هلا‪:‬‬ ‫)‪(Xi‬‬ ‫‪152.5‬‬ ‫‪157.5‬‬ ‫‪162.5‬‬ ‫‪167.5‬‬ ‫‪172.5‬‬ ‫‪177.5‬‬ ‫)‪(F‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪53‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫ف ذا علمت أن احلد األدىن ل طوال هو ‪ 150‬سنتيمرت‪ .‬املطلوب إجياد فئات األطوال ورسم املدرن واملضلع‬ ‫التكفراري‪ ،‬مث تقففدير املتوسففط احلسففاب واملنففوال والوسففيط حسففابيا وبياني فاً‪ ،‬مففع شففرح العالقففة بففني املتوسففطات‬ ‫الثالثة اليت حسبتها؟‬ ‫‪54‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫الفصل الثالث‪ :‬مقاييس التشتت‬ ‫أهداف الفصل‪:‬‬ ‫بنهاية هذ الفصل سوف سيصبح الطالب قادرا على أن‪:‬‬ ‫‬‫‬‫‬‫‪-‬‬ ‫يفهم ما هي مقاييس التشتت‪.‬‬ ‫يفهم أهمية مقاييس التشتت واستخداماتها‪.‬‬ ‫يتعرف على الفروق بين المقاييس المختلفة للتشتت‪.‬‬ ‫يحدد المقياس المناسب وفقا لطبيعة بيانات محل الدراسة‪.‬‬ ‫‪55‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫الفصل الثالث‪ :‬مقاييس التشتت‬ ‫ابلرغم أن مقاييس النزعة املركزية (املتوسطات) تعطي فكرة عن التوزيفع التكفراري موضفوع الدراسفة‬ ‫والبحففث‪ ،‬إال أن هففذه الفكففرة ال تكففون كاملففة ألن املتوس ففط وحففده ال يكفففي إلعطففاء نتيجففة دقيقففة جملموع ففة‬ ‫واحدة من البياانت حمل الدراسة من حيث طبيعتها وكيفية توزيع مفرداهتا‪ ،‬فما ابلك إذا كفان هنفاك أكثفر مفن‬ ‫جمموعة ألنه كثرياً قد تتساوى القيمة الوسطية جملموعتني من البياانت‪ ،‬بينما ختتلف اجملموعتني عن بعضها كفل‬ ‫االختالف يف مواصففات أخفرى‪ ،‬فقفد تكفون قفيم إحفدى اجملمفوعتني متقاربفة مفن بعضفها الفبعض‪ ،‬أي ترتكفز أو‬ ‫وبناء على ذلك ف نه عند مقارنة توزيعني أو أكثر على أساس املتوسفط احلسفاب يكفون‬ ‫تتبعثر حول متوسطها‪ً .‬‬ ‫ذلك غري دقيق‪ ،‬األمر الذي أدى إىل البحث عن مقاييس ختفدم مثفل هفذه املواضفيع‪ ،‬وهفي مقفاييس التشفتت‬ ‫‪ Measures of Dispersion‬اليت متكنا من معرفة درجة االختالف أو التشتت أو البعثرة للبياانت حول‬ ‫املتوسط احلساب‪ ،‬بشكل يعطي فكرة أوضح عن التوزيعات املختلفة واملقارنة فيما بينها‪.‬‬ ‫ففا سففبق ميكففن القففول أن التشففتت ‪ Dispersion‬هففو عبففارة عففن الدرجففة الففيت تتجففه هبففا البيففاانت‬ ‫الرقميفة لالنتشففار حففول قيمففة وسفطى‪ ،‬أو أن التشففتت يعففن االخففتالف يف قفيم مفففردات جمموعففة مففن البيففاانت‬ ‫اإلحصففائية‪ ،‬كلمففا كففان االخففتالف بففني مفففردات أو جمموعففة البيففاانت صففغرياً كلمففا كانففت اجملموعففة متجانسففة‪،‬‬ ‫وكلما كان االختالف كبرياً كلما كانت تلك اجملموعة من البياانت غري متجانسة أي أن حجم االختالف فيما‬ ‫بفني مفرداهتففا أكففرب‪ ،‬هنففاك عديففد مففن مقففاييس التشفتت ميكففن اسففتخدامها‪ ،‬ولكففن أمههففا وأكثرهففا انتشففاراً هففي‪:‬‬ ‫املدى‪ ،‬االحنراف الربيعي‪ ،‬االحنراف املتوسط واالحنراف املعياري أو القياسي والتباين‪.‬‬ ‫املدى‬ ‫أوال‪ :‬حساب املدى يف حالة البياانت غري املبوبة‪:‬‬ ‫يعفرف املفدى ‪ )R( The Range‬جملموعفة مفن األرقفام أبنفه الففرق بفني أكفرب قيمفة وأصفغر قيمفة يف‬ ‫جمموعة البياانت‪ ،‬ويعترب املدى أبسط مقاييس التشتت‪ ،‬وهو يقيس مدى تشتت جمموعة من األرقام‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬إذا كان لدينا جمموعتني من البياانت هي كما يلي‪:‬‬ ‫اجملموعة األوىل‪)35( ،25 ،24 ،10 ،16 ،)12( :‬‬ ‫‪56‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫اجملموعة الثانية‪)147( ،145 ،140 ،130 ،119 ،)117( :‬‬ ‫املطلوب إجياد املدى للمجموعتني مع التعليق‪.‬‬ ‫حا نوجد املدى البد من ترتيب القيم تصاعدايً أو تنازلياً‪ ،‬ومن البياانت اخلاصة ابجملموعتني جند أ ما‬ ‫مرتبتني تصاعدايً‪:‬‬ ‫‪R = X n − X1‬‬ ‫ مدى جملموعة األوىل = ‪23 = 12 – 35‬‬‫ مدى اجملموعة الثانية = ‪30 = 117 – 147‬‬‫و ا سبق جند أان اجملموعة األوىل تتشتت يف مدى قدره من ‪ 12‬إىل ‪ 35‬أي ‪ ،23‬يف حني تتشتت اجملموعة‬ ‫الثانية يف مدى قدره ‪ 117‬إىل ‪ 147‬أي ‪ ،30‬وعلى هذا ميكن القول أن اجملموعة الثانية أكثر تشتتاً من‬ ‫اجملموعة األوىل‪ ،‬وهذا يعن أن مفردات اجملموعة الثانية أكثر تبعثراً واختالفا من مفردات اجملموعة األوىل‪.‬‬ ‫رغم سهولة تقدير املدى‪ ،‬إال أنه يعاب عليه قلة الدقة كمقياس للتشتت‪ ،‬ألن تقديره يتوقف على قيمتني‬ ‫طرفيتني فقط‪ ،‬ميكن أن تكون إحداها أو كالمها متطرفتني أو شاذتني‪ ،‬وابلتال يكون هذا املقياس مضلالً وال‬ ‫يعرب متاماً عن درجة التشتت حيث يتأثر ابلقيم الشاذة واملتطرفة‪ ،‬كما يعاب على املدى عدم إمكانية حسابه‬ ‫يف التوزيعات التكرارية املفتوحة‪.‬‬ ‫اثنيا‪ :‬حساب املدى يف حالة البياانت املبوبة‪:‬‬ ‫مففن األمهيففة مبكففان القففول أبنففه ال ميكففن حسففاب املففدى يف حالففة اجلففداول التكراريففة املفتوحففة‪ ،‬ألن‬ ‫املففدى يتوقففف عنففد حسففابه علففى احلففد األدىن للفئففة األوىل واحلففد األعلففى للفئففة األخففرية‪ ،‬يففتم تقففدير املففدى يف‬ ‫حالة اجلداول التكرارية املغلقفة مفن خفالل حسفاب الففرق بفني احلفد األعلفى للفئفة األخفرية واحلفد األدىن للفئفة‬ ‫األوىل‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬اذا أعطيت البياانت التالية فاحسب املدى‪.‬‬ ‫الفئات‬ ‫التكرارات‬ ‫‪4-2‬‬ ‫‪6-4‬‬ ‫‪8-6‬‬ ‫‪10-8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪14-12 12-10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اجملموع‬ ‫‪20‬‬ ‫اإلجابة‪ :‬املدى هو عبارة عن الفرق بني احلد األعلى للفئة األخرية واحلد األدىن للفئة األوىل أي أن‪:‬‬ ‫‪57‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪R = 14 − 2 = 12‬‬ ‫يزات املدى‪:‬‬ ‫يعترب املدى أبسط مقاييس التشتت‪ ،‬يعطي فكرة سريعة عن مدى تشتت أو تبعثر القيم داخل‬ ‫العينة‪ ،‬سهل الفهم والتقدير‪ ،‬وضوح فكرته األساسية‪ ،‬ال يتأثر ببقية القيم داخل العينة كونه يعتمد على أكرب‬ ‫قيمة وأصغر قيمة‪ ،‬يستخدم املدى بصفة عامة يف حالة ضبط املواصفات ومدى التغري يف درجات احلرارة‬ ‫املسجلة يومياً‪ ،‬ويف مدى تغري األسعار‪.‬‬ ‫عيوب املدى‪:‬‬ ‫يستخدم فقط قيمتني ويتم إمهال القيم األخرى‪ ،‬وابلتال يعترب أقل مقاييس التشتت كفاءة‪ ،‬يتأثر‬ ‫جداً ابلقيم الشاذة أو املتطرفة إن وجدت ابلعينة‪ ،‬ال ميكن حسابه يف حالة اجلداول التكرارية املفتوحة‪ ،‬يعترب‬ ‫مقياساً غري دقيق إذا استخدم ملقارنة عينتني إذا تساوت أو اختلف عدد مفرداهتا‪ ،‬تتغري قيمته بشكل كبري‬ ‫من عينة إىل أخرى مأخوذة من نفس اجملتمع‪.‬‬ ‫االحنراف الربيعي‬ ‫يطلق على االحنراف الربيعي ‪ The Quartile Deviation‬نصف املدى بني الربعني‪ ،‬وهو‬ ‫عبارة عن نصف املدى بني الربيع األعلى )‪ (Q3‬والربيع األدىن )‪ (Q1‬ويستخدم لتاليف املشكالت النامجة‬ ‫عن اعتماد املدى على البياانت أو القيم املتطرفة (أكرب وأصغر قيمة)‪ ،‬حيث تنطوي فكرته على استبعاد ربع‬ ‫البياانت األول واألخري بعد ترتيبها وبذلك يكون مت استبعاد البياانت أو القيم املتطرفة أو الشاذة‪.‬‬ ‫أوال‪ :‬حساب االحنراف الربيعي يف حالة البياانت غري املبوبة‪:‬‬ ‫وتتبع اخلطوات اآلتية حلساب االحنراف الربيعي من البياانت غري املبوبة‪:‬‬ ‫ ترتب القيم تصاعداي أو تنازليا‪.‬‬‫ تقسم البياانت اىل ‪ 4‬أقسام تم منها بنهاية الربع األول ويسمى (الربيع األدىن) ويرمز له ابلرمز‬‫‪ ،Q1‬وبداية الربع الرابع ويسمى (الربيع األعلى) ويرمز له ابلرمز ‪ ،Q3‬مث يتم استبعاد الربع األول‬ ‫والرابع‪.‬‬ ‫‪58‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫ رتبة الربيع األدىن ) ‪ ، ( n‬رتبة الربيع األعلى ) ‪. ( 3n‬‬‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ إجياد قيمة الربيع األدىن ‪ ،Q1‬الربيع األعلى ‪.Q3‬‬‫ حساب االحنراف الربيعي من خالل القانون التال‪:‬‬‫‪Q3 − Q1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪Q‬‬ ‫مثال‪ :‬أوجد االحنراف الربيعي للقيم (‪.)67 ،55 ،48 ،46 ،43 ،41 ،40 ،35‬‬ ‫اإلجابة‪ :‬يتضح أن القيم مرتبة ترتيباً تصاعدايً بعد ذلك يتم ترقيم القيم وذلك كما يلي‪:‬‬ ‫القيم‬ ‫‪35‬‬ ‫(‪)40‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪43‬‬ ‫‪46‬‬ ‫(‪)48‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪67‬‬ ‫الرتبة‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫(‪)6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ حتديد موقع وقيمة الربيع األدىن‪:‬‬‫‪n 8‬‬ ‫‪= =2‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫= ‪Q1 Order‬‬ ‫واليت يقابلها القيمة ‪ 40‬من البياانت‪.‬‬ ‫ حتديد موقع وقيمة الربيع األعلى‪:‬‬‫‪3n 3  8‬‬ ‫=‬ ‫‪=6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ‪Q1 Order‬‬ ‫واليت يقابلها القيمة ‪ 48‬من البياانت‪.‬‬ ‫ حتديد قيمة االحنراف الربيعي‪:‬‬‫‪Q3 − Q1 48 − 40‬‬ ‫=‬ ‫‪=4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اثنيا‪ :‬حساب االحنراف الربيعي يف حالة البياانت املبوبة‪:‬‬ ‫يتم إجياد االحنراف الربيعي من البياانت املبوبة وفق اخلطوات التالية‪:‬‬ ‫ تكوين جدول تكراري صاعد‪.‬‬‫‪59‬‬ ‫=‪Q‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪ -‬إجياد ترتيب الربيع األدىن واألعلى من خالل العالقة‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3  f‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ‪Q1 Order‬‬ ‫= ‪Q3 Order‬‬ ‫• حنففدد الفئففة الففيت تقففع فيهففا قيمففة الربيففع األدىن (أو األعلففى) وذلففك مففن خففالل البحففث عففن الفئتففني‬ ‫اللتففان تفرتاوح قيمففة رتبففة الربيففع األدىن (أو األعلففى) بففني التكفرار املتجمففع الصففاعد اخلففاص هبمففا‪ ،‬مث‬ ‫اختي ففار الفئف ففة ذات التكف فرار املتجمف ففع الص ففاعد االكف ففرب بينهم ففا لتكف ففون ه ففي فئف ففة الربيف ففع األدىن (أو‬ ‫األعلى)‪.‬‬ ‫• حندد قيمة الربيع األدىن واألعلى من خالل العالقة‪:‬‬ ‫‪Q1 Value = L1 + Q1Order − PICF  C‬‬ ‫‪Fm‬‬ ‫‪Q3 Value = L3 + Q3Order − PICF  C‬‬ ‫‪Fm‬‬ ‫حيث‬ ‫‪L‬‬ ‫هو التكرار املتجمع الصاعد السابق لفئة الربيع‪.‬‬ ‫‪PCF‬‬ ‫‪Fm‬‬ ‫‪C‬‬ ‫•‬ ‫هو احلد األدىن لفئة الربيع‬ ‫هو التكرار األصلي لفئة الربيع‪.‬‬ ‫هو طول فئة الربيع‪.‬‬ ‫‪Q3 − Q1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫حساب قيمة االحنراف الربيعي من العالقة‪:‬‬ ‫=‪Q‬‬ ‫مثال (‪ :) 5-3‬إذا كان اجلدول التال يوضح الفئات املختلفة ل جور اليومية ابجلنيه للعمال يف مزرعة النتان‬ ‫الدواجن‪ ،‬وعدد العمال يف كل فئة‪ ،‬فما هو االحنراف الربيعي ل جور اليومية للعاملني هبذه املزرعة؟‬ ‫فئات األجور‬ ‫عدد العمال ( ‪) f‬‬ ‫‪20-10‬‬ ‫‪30-20‬‬ ‫‪40-30‬‬ ‫‪50-40‬‬ ‫‪60-50‬‬ ‫‪70-60‬‬ ‫‪70-80‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪60‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪ICF‬‬ ‫‪upper limits‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪< 20‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10-20‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪< 30‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪20-30‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪< 40‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪30-40‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪< 50‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪40-50‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪< 60‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪50-60‬‬ ‫* ‪50‬‬ ‫‪< 80‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪70-80‬‬ ‫* ‪50‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪47‬‬ ‫‪< 70‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪= 12.5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3  50 150‬‬ ‫=‬ ‫‪= 37.5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪limits‬‬ ‫=‬ ‫‪60-70‬‬ ‫=‬ ‫‪f‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3  f‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ‪Q1 order‬‬ ‫= ‪Q3 order‬‬ ‫‪Q1Order − PCF‬‬ ‫‪12.5 − 9‬‬ ‫‪ C = 30 +‬‬ ‫‪ 10 = 33.5‬‬ ‫‪Fm‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪Q1 Value = Q1 +‬‬ ‫‪Q3Order − PCF‬‬ ‫‪37.5 − 34‬‬ ‫‪ C = 50 +‬‬ ‫‪ 10 = 54.3‬‬ ‫‪Fm‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪Q3 Value = Q3 +‬‬ ‫‪Q3 − Q1 54.3 − 33.5‬‬ ‫=‬ ‫‪= 10.4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫=‪Q‬‬ ‫يزات االحنراف الربيعي‪:‬‬ ‫يسففتخدم االحنفراف الربيعففي لففتاليف عيففوب املففدى‪ ،‬ال يتففأثر ببقيففة القففيم ألنففه يعتمففد علففى قيمففة البيففع‬ ‫األدىن واألعلى‪ ،‬ميكن حسابه يف حالة اجلداول التكرارية املفتوحة‪ ،‬ال يتأثر ابلقيم املتطرفة أو الشاذة‪.‬‬ ‫ عيوب االحنراف الربيعي‪:‬‬‫غري شائع االستخدام ابملقارنة ابالحنراف املعياري وعند حساب قيمته يتطلب ترتيب القيم تصاعدايً‬ ‫أو تنازلياً‪ ،‬يعتمد عند حسابه على قيمتني فقط مها الربيع األدىن واألعلى‪.‬‬ ‫‪61‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫االحنراف املتوسط‬ ‫يطلق على االحنراف املتوسط ‪ The Mean Deviation‬أيضا متوسط االحنراف املطلق‪ ،‬وهو‬ ‫عبارة عن متوسط جمموع االحنرافات عن املتوسط احلساب‪ ،‬بغض النظر عن اإلشارات‪.‬‬ ‫أوال‪ :‬حساب االحنراف املتوسط يف حالة البياانت غري املبوبة‪:‬‬ ‫يتم تقدير االحنراف املتوسط ابستخدام الصيغة الرايضية اآلتية‪:‬‬ ‫‪X−X‬‬ ‫‪n‬‬ ‫= ‪M .D‬‬ ‫مثال‪ :‬احسب قيمة االحنراف املتوسط للبياانت التالية (‪.)4, 5, 2, 10, 7, 2‬‬ ‫اإلجابة‪ :‬حندد قيمة املتوسط احلساب للقيم‪ ،‬مث حنصل على احنرافات القيم عن وسطها احلساب‪ ،‬وذلك بطرح‬ ‫قيمة املتوسط احلساب من كل قيمة كما هو موضح ابجلدول التال‪:‬‬ ‫‪X−X‬‬ ‫) ‪(X − X‬‬ ‫‪Value‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4-5=1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5-5=0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪2-5=(-3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10-5=5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7-2=2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪2-5=(-3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪= 2.33‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪X−X‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪M .D‬‬ ‫اثنيا‪ :‬حساب االحنراف املتوسط يف حالة البياانت املبوبة‪:‬‬ ‫يتم تقدير قيمة االحنراف املتوسط من العالقة التالية‪:‬‬ ‫‪f X−X‬‬ ‫‪f‬‬ ‫مثال‪ :‬احسب قيمة االحنراف املتوسط للبياانت التالية‪:‬‬ ‫‪62‬‬ ‫= ‪M .D‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫فئات األجور‬ ‫عدد العمال ( ‪) f‬‬ ‫‪5-2‬‬ ‫‪8-5‬‬ ‫‪11-8‬‬ ‫‪14-11‬‬ ‫‪17-14‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫اإلجابة‪:‬‬ ‫‪x − x.f‬‬ ‫‪x−x‬‬ ‫)‪(x − x‬‬ ‫‪fx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪Class‬‬ ‫‪7.2‬‬ ‫‪7.2‬‬ ‫‪-7.2‬‬ ‫‪3.5‬‬ ‫‪3.5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2-5‬‬ ‫‪33.6‬‬ ‫‪4.2‬‬ ‫‪-4.2‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪6.5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5-8‬‬ ‫‪15.6‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪-1.2‬‬ ‫‪123.5‬‬ ‫‪9.5‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪8-11‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪1.8‬‬ ‫‪1.8‬‬ ‫‪125‬‬ ‫‪12.5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪11-14‬‬ ‫‪38.4‬‬ ‫‪4.8‬‬ ‫‪4.8‬‬ ‫‪124‬‬ ‫‪15.5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪14-17‬‬ ‫‪112.8‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪428‬‬ ‫‪428‬‬ ‫‪10.7‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪112.8‬‬ ‫‪= 2.82‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪ fX‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪f X−X‬‬ ‫‪f‬‬ ‫=‪X‬‬ ‫= ‪M .D‬‬ ‫يزات االحنراف املتوسط‪:‬‬ ‫يتم تقدير االحنراف املتوسط بواسطة املتوسط احلسفاب‪ ،‬أكثفر دقفة مفن املفدى واالحنفراف الربيعفي‪ ،‬كونفه أيخفذ‬ ‫االعتبار كل القيم داخل العينة‪ ،‬ال يتأثر ابلقيم الشاذة أو املتطرفة ألنه يعتمد يف حسابه على كل القيم‪.‬‬ ‫ عيوب االحنراف املتوسط‪:‬‬‫ال ميكن حساب االحنراف املتوسط يف اجلداول التكرارية املفتوحة‪ ،‬ألنه ميد عند تقديره على مراكز الفئات‪،‬‬ ‫عدم األخذ يف حسابه لإلشارات اجلربية‪ ،‬حيث يتم إمهال اإلشارات‪ ،‬األمر الذي أدى إىل التقليل من أمهيته‪،‬‬ ‫يعتمد يف حسابه على املتوسط احلساب‪ ،‬قليل االستخدام كمقياس للتشتت‪.‬‬ ‫‪63‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫االحنراف املعياري‬ ‫يطلق على االحنراف املعياري ‪ The Standard Deviation‬االحنراف القياسي ويرمز له ابلرمز‬ ‫) ‪ (‬ومربعه عبارة عن التباين‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ، (‬ويعترب االحنراف املعياري من أدق مقاييس التشتت وأكثرهفا شفيوعاً‬ ‫واستخداماً خاصة عند تقدير العزوم‪ ،‬وااللتواء‪ ،‬والتفرطح واليت توضح شكل التوزيع التكراري‪ ،‬ابإلضافة اىل‬ ‫أن االحنفراف املعيففاري يعتففرب مقيففاس هففام يف نظففرايت التقففدير واالسففتدالل اإلحصففائي‪ ،‬وذلففك ملففا ميتففاز بففه مففن‬ ‫خصائص رايضية تعطيه أمهية املتوسط احلساب يف مقاييس النزعة املركزية ألنفه أيخفذ يف االعتبفار عنفد حسفابه‬ ‫مجيع املفردات ومقدار احنراف القيم عن متوسطها احلساب‪.‬‬ ‫أو يعففرف االحن فراف الربيعففي علففى أنففه اجلففذر الرتبيعففي ملتوسففط جممففوع مربعففات احنرافففات القففيم عففن‬ ‫متوسطها احلساب‪.‬‬ ‫جتففدر اإلشففارة أن االحن فراف املعيففاري يففتم مففن خاللففه تففاليف عيففوب مقففاييس التشففتت األخففرى وهففي‬ ‫املدى واالحنراف املتوسط واالحنراف الربيعي‪ ،‬كما يستفاد منه يف احلصول على مؤشرات أخرى مثل التشتت‬ ‫النسب واخلطأ املعيفاري والقيمفة املعياريفة وتصفحيح التبفاين ولفذلك أمهيفة خاصفة عنفد حبفث املشفاكل املختلففة‬ ‫للظففاهرة موضففع االعتبففار‪ .‬وجتففدر اإلشففارة اىل أن قيمففة االحن فراف املعيففاري تففدل علففى مففدى تبعثففر أو تشففتت‬ ‫املفردات حول متوسطها احلساب‪.‬‬ ‫أوال‪ :‬حساب االحنراف املعياري والتباين يف حالة البياانت غري املبوبة‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -‬االحنراف املعياري‪:‬‬ ‫) ‪ (X − X‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -‬التباين‪:‬‬ ‫= ‪‬‬ ‫) ‪ (X − X‬‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫حيث‪:‬‬ ‫هو عبارة عن املتوسط احلساب‪.‬‬ ‫ ) ‪(X‬‬‫هو عبارة عن حجم العينة أو عدد مفرداهتا‪.‬‬ ‫ )‪(n‬‬‫مثال‪ :‬مصنع يعمل به ‪ 15‬عامال‪ ،‬وسنوات اخلربة هلؤالء العمال كالتال ( ‪7, 13, 9, 14, 6, 9, 6, 8,‬‬ ‫‪ ،)10, 13, 14, 8, 11, 12‬فما قيمة التباين لسنوات اخلربة للعمال هبذا املصنع‪.‬‬ ‫‪64‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫اإلجابة‪ :‬حلساب التباين تتبع اخلطوات التالية‪:‬‬ ‫‪140‬‬ ‫‪= 10‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪ -‬حيسب املتوسط احلساب‪.‬‬ ‫=‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n‬‬ ‫= ‪X‬‬ ‫ حيسب جمموع مربعات احنرافات القيم عن املتوسط احلساب‪.‬‬‫‪(X − X )2‬‬ ‫) ‪(X − X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪106‬‬ ‫‪106‬‬ ‫‪= 7.6‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫) ‪ (X − X‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪140‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ = 7.6 = 2.7‬‬ ‫اثنيا‪ :‬حساب االحنراف املعياري والتباين يف حالة البياانت املبوبة‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ االحنراف املعياري‪:‬‬‫‪65‬‬ ‫) ‪ f (X − X‬‬ ‫‪f‬‬ ‫=‪‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -‬التباين‪:‬‬ ‫) ‪ f (X − X‬‬ ‫‪f‬‬ ‫= ‪2‬‬ ‫مثال‪ :‬اذا كان اجلدول التال يوضح الفئات املختلفة ل جور اليومية ابجلنيه للعمال يف مزرعة النتان‬ ‫الدواجن‪ ،‬وعدد العمال يف كل فئة‪ ،‬فما هو االحنراف املعياري ل جر اليومي للعاملني هبذه املزرعة؟‬ ‫فئات األجور‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-8‬‬ ‫‪-10‬‬ ‫‪14-12‬‬ ‫عدد العمال‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اإلجابة‪:‬‬ ‫‪f (X − X )2‬‬ ‫‪( X − X )2‬‬ ‫‪X−X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪Limits‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2-4‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4-6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6-8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8-10‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10-12‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12-14‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪164‬‬ ‫‪164‬‬ ‫‪= 8.2‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫) ‪ f (X − X‬‬ ‫‪f‬‬ ‫= ‪2‬‬ ‫‪ = 8.2 = 2.86‬‬ ‫‪-‬‬ ‫يزات االحنراف املعياري‪:‬‬ ‫يعترب االحنراف املعياري أدق مقاييس التشتت وأكثرها استخداماً وشيوعاً‪ ،‬أسفاس لتقفديرات أخفرى‬ ‫مثل معامل االختالف واخلطأ القياسي وتصحيح التباين‪ ،‬يستخدم ملقارنة درجة تشتت أكثر مفن توزيفع‪ ،‬ميتفاز‬ ‫‪66‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫عففن التبففاين أبنففه يعففرب عنففه ابسففتخدام نفففس وحففدات القيففاس‪ ،‬يف حففني يكففون متييففز التبففاين لوحففدات القيففاس‬ ‫مربعة‪.‬‬ ‫ عيوب االحنراف املعياري‪:‬‬‫يعتمففد االحن فراف املعي ففاري يف حس ففابه عل ففى املتوس ففط احلس ففاب وابلت ففال ال ميك ففن إجي ففاده يف اجل ففداول التكراري ففة‬ ‫املفتوح ففة‪ ،‬ال ميك ففن اس ففتخدامه يف مقارن ففة تش ففتت أكث ففر م ففن توزي ففع إذا اختلف ففت وح ففدات القي ففاس‪ ،‬حي ففث أن‬ ‫وحففدات القيففاس ختتلففف يف الففوزن عففن الطففول‪ ،‬ال ميكففن اسففتخدامه يف مقارنففة التشففتت يف عينففني ختتلفففان عففن‬ ‫بعضهما البعض اختالفاً كبرياً من حيث املتوسط احلساب‪.‬‬ ‫مقاييس التشتت النسب‬ ‫من اجلدير ابلذكر أنه على الرغم من أمهية مقاييس التشفتت والفيت مفن أمههفا االحنفراف املعيفاري إال‬ ‫أ فا ال متكننففا مفن مقارنففة جممففوعتني مفن البيففاانت ختتلفف يف وحففدات القيففاس‪ .‬ولكفن ميكففن التغلفب علففى هففذه‬ ‫املشكلة من خالل ما يسمى مبقاييس التشتت النسب واليت ميكن من خالهلا مقارنة تشتت جمموعتني أو أكثر‬ ‫خمتلفني يف وحدات القياس كاألعمار واألوزان واألطوال والنوع‪ ...‬إخل‪ .‬وهناك أكثر من صفيغة حلسفاب قيمفة‬ ‫مقاييس التشتت النسب كما يلي‪:‬‬ ‫ معامل التشتت النسب (معامل االختالف) يف حالة اجلداول التكرارية املغلقة‪:‬‬‫‪ 100‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪C.V‬‬ ‫يتم تقدير معامل التشتت النسب عن طريق املتوسط احلساب واالحنراف املعياري‪ ،‬ويفضل استخدام‬ ‫هففذا املعامففل يف حالففة التوزيعففات أو اجلففداول التكراريففة املغلقففة والففيت ميكففن منهففا حسففاب املتوسففط احلسففاب‬ ‫وابلتففال االحن فراف املعيففاري‪ .‬ولكففن يف حالففة التوزيعففات التكراريففة املفتوحففة ف نففه ال ميكففن االعتمففاد علففى هففذه‬ ‫الصفيغة يف حسفاب التشفتت النسففب إذ أنفه ال ميكفن حسفاب املتوسففط احلسفاب أو االحنفراف املعيفاري يف هففذه‬ ‫احلالة ولذلك ميكن استخدام الصيغة التالية حلساب معامل التشتت النسب‪:‬‬ ‫ معامل التشتت النسب (معامل االختالف) يف حالة اجلداول التكرارية املفتوحة‪:‬‬‫‪67‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪Med .‬‬ ‫= ‪C.V‬‬ ‫يتم احلصول على قيمة معامل التشتت يف هذه احلالة عن طريق االحنراف الربيعي والوسيط‪ ،‬وبذلك‬ ‫ميكن حساب قيمة االختالف النسب يف حالة التوزيعات أو اجلداول التكرارية املفتوحة إذ ميكن منها حساب‬ ‫االحنراف الربيعي والوسيط‪.‬‬ ‫بعد أن يتم حساب معامل التشتت النسب أو معامل االختالف لكل جمموعة أو توزيع علفى حفدة‪،‬‬ ‫يتم مقارنة قيمة املعامل مع اجملموعة الثانية‪ ،‬ويعترب التوزيع ذو القيمة األكرب ملعامل التشتت النسب هو احملدد‬ ‫للمجموعة األكثر تشتتا‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬إذا كان لدينا عينفة مفن أطفوال الطفالب يف إحفدى كليفات جامعفة املنوفيفة متوسفط األطفوال فيهفا ‪150‬‬ ‫سم‪ ،‬واالحنراف املعياري هلا هو ‪ ،3‬بينما كانت هناك عينة من كلية أخفرى متوسفط األطفوال فيهفا ‪ 160‬سفم‪،‬‬ ‫واالحنراف املعياري هلا هو ‪ 2.4‬املطلوب مقارنة تشتت العينتني؟‬ ‫اإلجابة‪ :‬حا ميكن مقارنة التشتت بني العينتني ف ن األمر يتطلب استخدام معامل التشتت النسب‪.‬‬ ‫ معامل التشتت النسب للعينة األوىل‪:‬‬‫‪3‬‬ ‫‪100 = 2%‬‬ ‫‪150‬‬ ‫= ‪100‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪C.V‬‬ ‫‪ -‬معامل التشتت النسب للعينة الثانية‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2.4‬‬ ‫‪100 = 1.5%‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪160‬‬ ‫يف هذه احلالة ميكن القول أن العينة األوىل أكثر تشتتاً من العينة الثانية كون معامل التشتت النسب‬ ‫= ‪100‬‬ ‫للعينة األوىل أكرب من معامل التشتت النسب للعينة الثانية‪.‬‬ ‫‪68‬‬ ‫= ‪C.V‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫متارين‬ ‫‪ -1‬قام أحد الباحثني بقيفاس أطفوال عشفرة طفالب ابلسفنتيمرت فكانفت األطفوال كمفا يلفي‪،150 ،146 :‬‬ ‫‪ ،181 ،170 ،155 ،146 ،140 ،175 ،163 ،159‬املطلف ف ففوب إجيف ف ففاد املف ف ففدى‪ ،‬واالحن ف ف فراف‬ ‫الربيعي‪ ،‬وحساب االحنراف املتوسط‪ ،‬واالحنراف املعياري والتباين‪.‬‬ ‫‪ -2‬البيففاانت اآلتيففة توض ففح أوزان ‪ 6‬أرانففب ابلكيلففوجرام ف ف ذا كانففت أوزا ففا ك ففاآليت‪،2.3 ،2.6 ،2.8 :‬‬ ‫‪ ،4.15 ،2.85 ،2.9‬املطلوب إجياد االحنراف أبربع طرق‪.‬‬ ‫‪" -3‬ال تصلح مقاييس التشتت ملقارنة التشتت جملموعتني إحصائيتني خمتلفتفني" اشفرح هفذه العبفارة بشفيء‬ ‫من التفصيل‪ ،‬مع إيضاح كيفية مقارنة تشتت جمموعتني من البياانت اإلحصائية املختلفة؟‬ ‫‪ -4‬قارن بني درجة تشتت التوزيعني اآلتيني ابستخدام معامل التشتت النسب؟‬ ‫التوزيع األول‬ ‫التوزيع الثاين‬ ‫الفئات‬ ‫‪4-2‬‬ ‫‪6-4‬‬ ‫‪8-6‬‬ ‫‪10-8‬‬ ‫‪12-10‬‬ ‫التكرارات‬ ‫‪40‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪40‬‬ ‫الفئات‬ ‫‪40-20‬‬ ‫‪60-40‬‬ ‫‪80-60‬‬ ‫‪100-80‬‬ ‫‪120-100‬‬ ‫التكرارات‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ -5‬إذا علمت أن )‪ (C.V‬يف إحدى التجارب كفان ‪ ،%8‬وكفان املتوسفط احلسفاب ‪ ،4‬مفا هفو االحنفراف‬ ‫املعياري هلذه التجربة وكذا التباين؟‬ ‫‪ -6‬احسب درجة التشتت للتوزيع التكراري اآليت‪:‬‬ ‫الفئات‬ ‫أقل من ‪20‬‬ ‫‪30-20‬‬ ‫‪40-30‬‬ ‫‪50-40‬‬ ‫أكثر من ‪50‬‬ ‫التكرارات‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪69‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪ -7‬اجلدول التال يبني التوزيع التكراري جملموعتني من األسفر إحفدامها يف املدينفة واألخفرى يف الريفف وفقفاً‬ ‫للدخل السنوي ابأللف جنيه‪ ،‬واملطلوب مقارنة درجة التباين يف توزيع الدخل لكل منها؟‬ ‫فئات الدخل‬ ‫‪-10‬‬ ‫‪-15‬‬ ‫‪-20‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪35-30‬‬ ‫اجملموع‬ ‫عدد األسر يف الريف‬ ‫‪30‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪180‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪400‬‬ ‫عدد األسر يف املدينة‬ ‫‪60‬‬ ‫‪110‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪550‬‬ ‫‪ -8‬يوضح اجلدول التكراري اآليت ساعات العمل األسبوعية يف عدد من املصانع؟‬ ‫ساعات العمل‬ ‫‪24-20‬‬ ‫‪28-24‬‬ ‫‪32-28‬‬ ‫‪36-33‬‬ ‫عدد املصانع‬ ‫‪30‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪20‬‬ ‫املطلوب إجياد الوسيط لساعات العمل ابلرسم‪ ،‬وكذا حساب املدى‪ ،‬تقدير معامل التشتت النسب؟‬ ‫‪ -9‬قارن بني درجة التشتت للتوزيعات التكرارية الثالثة اآلتية؟‬ ‫الفئات‬ ‫أقل من ‪20‬‬ ‫‪30-20‬‬ ‫‪40-30‬‬ ‫‪50-40‬‬ ‫أكثر من ‪50‬‬ ‫التكرارات‬ ‫‪10‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪10‬‬ ‫الفئات‬ ‫‪10-5‬‬ ‫‪15-10‬‬ ‫‪20-15‬‬ ‫‪25-20‬‬ ‫‪30-25‬‬ ‫التكرارات‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫الفئات‬ ‫‪10-5‬‬ ‫‪15-10‬‬ ‫‪20-15‬‬ ‫‪25-20‬‬ ‫‪30-25‬‬ ‫التكرارات‬ ‫‪10‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪70‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫الفصل الرابع‪ :‬مقاييس االلتواء والتفرطح‬ ‫أهداف الفصل‪:‬‬ ‫بنهاية هذ الفصل سوف سيصبح الطالب قادرا على أن‪:‬‬ ‫‬‫‬‫‬‫‪-‬‬ ‫يفهم ما هي مقاييس االلتواء والتفرطح‪.‬‬ ‫يفهم أهمية مقاييس االلتواء والتفرطح واستخداماتها‪.‬‬ ‫يتعرف على الفروق بين مقاييس االلتواء والتفرطح‪.‬‬ ‫يحدد المقياس المناسب وفقا لطبيعة بيانات محل الدراسة‪.‬‬ ‫‪71‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫الفصل الرابع‪ :‬مقاييس االلتواء والتفرطح‬ ‫سبق اإلشارة اىل جمموعة املقاييس الوصفية اخلاصة ابلنزعة املركزية ومقاييس التشفتت‪ ،‬إال أنفه تلفك‬ ‫املقفاييس ال تكفففي لوصففف البيففاانت وصفففا دقيقففا‪ ،‬ولكففي يكتمففل وصففف البيففاانت جيففب معرفففة شففكل التوزيففع‬ ‫وذلك من خالل مقاييس االلتواء والتفرطح‪ ،‬ويبني االلتواء مدى احنفراف التوزيفع عفن التوزيفع املتماثفل‪ ،‬بينمفا‬ ‫تبني مقاييس التفرطح مدى تدبب أو تفرطح قمة التوزيع أو املنحىن الذي ميثل التوزيع‪.‬‬ ‫العزوم‬ ‫يق صد هبا تكتل البياانت حول نقطة اثبتة قد تكون الصفر أو املتوسط احلسفاب أو أي اثبفت آخفر‪.‬‬ ‫وعادة ما يتم تقدير نوعني من العزوم‪:‬‬ ‫‪Dispersion Moments‬‬ ‫‪Central Moments‬‬ ‫)العزوم التشتتية(‬ ‫)العزوم المركزية(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪M 2 = nX‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪M3 = nX‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪( X − X‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪M 2 = n  ( X − X‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪M 3 = n  ( X − X‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪M‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪X −X‬‬ ‫(‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪= X‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪M‬‬ ‫ العزوم املركزية‪ .‬وهي مقياس تشتت جمموعة من البياانت حول نقطة األصل (الصفر)‪.‬‬‫ العزوم التشتتية‪ .‬وهي مقياس تشتت جمموعة من البياانت حول املتوسط احلساب‪.‬‬‫وحتسب العزوم يف حالة البياانت غري املبوبة كما يلي‪:‬‬ ‫‪72‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫حيث ‪ r‬هي العزم املطلوب‪ ،‬هل هو العزم املركزي أو التشتيت األول أم الثاين أم الثالث ‪ ....‬أم العزم برتبة ‪r‬‬ ‫وهكذا‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬أوجد قيمة العزوم األربعة األوىل املركزية والتشتتية للقيم التالية حول الصفر وحول متوسطها احلساب‬ ‫(‪.)4, 6, 10, 20‬‬ ‫العزم املركزي األول‬ ‫العزم املركزي الثاين‬ ‫العزم املركزي الثالث‬ ‫العزم املركزي الرابع‬ ‫‪40‬‬ ‫‪= 10‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪X4‬‬ ‫‪X3‬‬ ‫‪X2‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪256‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1296‬‬ ‫‪216‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10000‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪160000‬‬ ‫‪8000‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪171552‬‬ ‫‪9280‬‬ ‫‪552‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪552‬‬ ‫‪= 138‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪9280‬‬ ‫‪= 2320‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ‪M1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪171552‬‬ ‫‪= 42888‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪M2‬‬ ‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪M3‬‬ ‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫‪M4‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(X − X )4‬‬ ‫‪(X − X )3‬‬ ‫‪(X − X )2‬‬ ‫) ‪(X − X‬‬ ‫‪1296‬‬ ‫‪-216‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪256‬‬ ‫‪-64‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10000‬‬ ‫‪10000‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪11552‬‬ ‫‪720‬‬ ‫‪152‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪73‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪ (X − X ) = 0 = 0‬‬ ‫العزم التشتيت األول‬ ‫‪n‬‬ ‫‪4‬‬ ‫العزم التشتيت الثاين‬ ‫‪152‬‬ ‫‪= 38‬‬ ‫‪4‬‬ ‫العزم التشتيت الثالث‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪720‬‬ ‫‪= 180‬‬ ‫‪4‬‬ ‫العزم التشتيت الرابع‬ ‫='‪M‬‬ ‫) ‪(X − X‬‬ ‫=' ‪M‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫) ‪ (X − X‬‬ ‫‪11552‬‬ ‫‪= 2888‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫='‪M‬‬ ‫) ‪ (X − X‬‬ ‫='‪M‬‬ ‫‪n‬‬ ‫وحتسب العزوم يف حالة البياانت املبوبة كما يلي‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫العزم املركزي‬ ‫‪r‬‬ ‫العزم التشتيت‬ ‫‪ fX‬‬ ‫‪ f‬‬ ‫= ‪Mr‬‬ ‫) ‪ f (X − X‬‬ ‫= '‪M‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪r‬‬ ‫مثال‪ :‬أوجد العزوم األربعة املركزية والتشتتية للبياانت التالية‪:‬‬ ‫‪Fx4‬‬ ‫‪Fx3‬‬ ‫‪Fx2‬‬ ‫‪fx‬‬ ‫‪X4‬‬ ‫‪X3‬‬ ‫‪X2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪Sets‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0-2‬‬ ‫‪324‬‬ ‫‪108‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2-4‬‬ ‫‪1875‬‬ ‫‪375‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪625‬‬ ‫‪125‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4-6‬‬ ‫‪4802‬‬ ‫‪686‬‬ ‫‪98‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪2401‬‬ ‫‪342‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6-8‬‬ ‫‪7002‬‬ ‫‪1170‬‬ ‫‪210‬‬ ‫‪42‬‬ ‫العزم املركزي األول‬ ‫‪42‬‬ ‫‪= 4.2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫=‬ ‫‪ fX‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪10‬‬ ‫= ‪M1‬‬ ‫‪74‬‬ ‫‪‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫العزم املركزي الثاين‬ ‫العزم املركزي الثالث‬ ‫العزم املركزي الرابع‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫‪210‬‬ ‫‪= 21‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪1170‬‬ ‫‪= 117‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ fX‬‬ ‫‪ f‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪7002‬‬ ‫‪= 700.2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫= ‪M2‬‬ ‫‪ fX‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫= ‪M3‬‬ ‫‪ fX‬‬ ‫=‬ ‫‪f‬‬ ‫‪M4‬‬ ‫اذا كانت لديك البياانت التالية فاحسب العزوم التشتتية األربعة األوىل هلذه البياانت‪.‬‬ ‫‪(X − X )4‬‬ ‫‪(X − X )3‬‬ ‫‪(X − X )2‬‬ ‫) ‪(X − X‬‬ ‫‪Fx‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪Sets‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪-8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪0-2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪2-4‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4-6‬‬ ‫‪256‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6-8‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪24‬‬ ‫) ‪f (X − X‬‬ ‫‪Sets‬‬ ‫‪0-2‬‬ ‫‪f (X − X )4‬‬ ‫‪f ( X − X )3‬‬ ‫‪f (X − X )2‬‬ ‫‪96‬‬ ‫‪-48‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪-12‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2-4‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4-6‬‬ ‫‪256‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6-8‬‬ ‫‪416‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪56‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪75‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫العزم التشتيت األول‬ ‫العزم التشتيت الثاين‬ ‫العزم التشتيت الثالث‬ ‫العزم التشتيت الرابع‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫‪ f (X − X ) = 0 = 0‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪ f‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪56‬‬ ‫‪= 2.8‬‬ ‫‪20‬‬ ‫=‬ ‫‪48‬‬ ‫‪= 2.4‬‬ ‫‪20‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪= 20.8‬‬ ‫‪20‬‬ ‫) ‪ f (X − X‬‬ ‫‪ f‬‬ ‫= ‪m2‬‬ ‫) ‪ f (X − X‬‬ ‫=‬ ‫‪ f‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫= ‪m1‬‬ ‫) ‪ f (X − X‬‬ ‫‪ f‬‬ ‫‪m3‬‬ ‫= ‪m4‬‬ ‫مقاييس االلتواء‪:‬‬ ‫االلتواء هو عبارة عن البعد من مستوى التماثل للتوزيع‪ ،‬عنفدما يكفون هنفاك التفواء يف التوزيفع ف نفه‬ ‫يكففون غففري متماثففل ‪ ،Asymmetric‬أي أن التوزيففع يكففون ملتففوايً حنففو اليمففني أو اليسففار‪ ،‬عنففدما يكففون‬ ‫التوزيع متماثالً يكون املتوسط احلساب يساوي الوسيط واملنوال‪ ،‬أي أن ‪.X=Med=Mod‬‬ ‫جتدر اإلشارة أن االلتواء عبارة عن اجتاه التوزيع حنو القيم الكبرية أو الصفغرية‪ ،‬كمفا يوضفح االلتفواء‬ ‫مدى الفرق بني الوسيط واملنوال‪ ،‬حيث إنه كلما زاد الفرق بينهما كلما زاد االلتواء‪ ،‬عندما يتجه التوزيع حنو‬ ‫القيم الصغرية هذا يعن أن االلتواء موجب‪ ،‬وعندما يتجه حنو القيم الكبرية يوصف االلتواء أبنه سالب‪ ،‬وهذا‬ ‫ما توضحه األشكال اآلتية‪:‬‬ ‫‪76‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫• أنواع االلتواء‪:‬‬ ‫ التواء موجب‪:‬‬‫يف هذه احلالة يكون التوزيع التكراري ملتوايً انحية اليمني على احملفور األفقفي )‪ ،(X‬أي أن التوزيفع‬ ‫يتجه حنو القيم الصغرية‪ ،‬وعند تقدير معامل االلتواء تكون قيمته موجبة‪.‬‬ ‫ التواء سالب‪:‬‬‫وفيه يكون التوزيع التكراري ملتوايً انحية اليسار على احملور األفقي )‪ ،(x‬أي أن التوزيفع يتجفه حنفو‬ ‫القيم الكبرية‪ ،‬وعند تقدير معامل االلتواء تكون قيمته سالبة‪.‬‬ ‫ومن الوجهة النظرية معامل االلتفواء تقفع قيمتفه بفني )‪ ،(3+‬إال أنفه اندراً مفا يصفادف توزيفع يزيفد أو‬ ‫يقل معامل التوائها عن )‪ . (1+‬كلما اقرتبت قيمة معامل االلتواء من الصففر‪ ،‬كلمفا اقفرتب التوزيفع مفن درجفة‬ ‫التماثل أي يقرتب أن يكون التوزيع طبيعي‪ ،‬يف حالة التوزيع املتماثل‪ ،‬ف ن العزم الثالث عن املتوسط احلساب‬ ‫يساوي صفر‪ ،‬وذلك نتيجة لعدم وجفود التفواء يف التوزيفع‪ ،‬يف حالفة التوزيفع غفري املتماثفل يكفون العفزم الثالفث‬ ‫ذات قيمة موجبة أو سالبة‪ ،‬ألن هناك التواء يف التوزيع‪.‬‬ ‫• مقاييس االلتواء‪:‬‬ ‫ابستخدام معامل كارل بريسون لاللتواء‪:‬‬ ‫* معامل بريسون األول لاللتواء‪:‬‬ ‫) ‪( X − Mod‬‬ ‫‪S .D‬‬ ‫) ‪3( X − Med‬‬ ‫= ‪SK‬‬ ‫‪S .D‬‬ ‫‪M '3‬‬ ‫= ‪SK‬‬ ‫) ‪( M '2‬‬ ‫= ‪SK‬‬ ‫‪77‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫مقاييس التفرطح‪:‬‬ ‫يقصد ابلتفرطح منط التوزيع التكراري من حيث درجة تركز القيم للبياانت حول املركز‪ ،‬ومن حيث‬ ‫ذيلي التوزيع‪ ،‬يعرب عن التفرطح بصفة عامفة بدرجفة تففرطح أو تفدبب قمفم املنحنيفات‪ .‬كمفا جتفدر اإلشفارة أن‬ ‫التفففرطح يوضففح مففدى تكثيففف أو تركففز القففيم مففن حيففث تركزهففا القمففي حففول املنففوال‪ ،‬أو عففدم حففدوث ذلففك‬ ‫بصفة عامة‪ .‬من األمهية مبكان القول أن هناك ثالث أشكال للتفرطح‪ ،‬وهي كما يلي‪:‬‬ ‫• درجة التفرطح‪:‬‬ ‫يعتففرب تف ففرطح التوزيففع الطبيع ففي أسففاس ملقارن ففة تف ففرطح ابقففي التوزيع ففات األخففرى‪ ،‬حي ففث أن معام ففل‬ ‫تفرطح هذا التوزيع يساوي (‪ )3‬ويكفون متماثفل حينئفذ‪ ،‬وعنفدما يكفون معامفل التففرطح أقفل مفن القيمفة )‪(3‬‬ ‫ف ف ن املنح ففىن يك ففون متفففرطح‪ ،‬ويف املقاب ففل عن ففدما تك ففون القيمففة أك ففرب م ففن )‪ (3‬ف ف ن املنح ففىن يك ففون م ففدبب‪.‬‬ ‫وحتسب قيمة معامل التفرطح من خالل القانون التال‪:‬‬ ‫‪M '4‬‬ ‫‪( M '2 ) 2‬‬ ‫= ‪Kr‬‬ ‫مثال‪ :‬احسب معامل االلتواء والتفرطح ابستخدام العزوم للتوزيع التكراري اآليت‪:‬‬ ‫الفئات‬ ‫‪8-4‬‬ ‫‪12-8‬‬ ‫‪16-12‬‬ ‫‪20-16‬‬ ‫‪24-20‬‬ ‫اجملموع‬ ‫التكرارات‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪22‬‬ ‫اإلجابة‪ :‬حا ميكن حساب معامل االلتواء والتفرطح ابستخدام العزوم‪ ،‬ف ن األمر يتطلب تقدير العزم‬ ‫الثالث والرابع وذلك كما يلي‪:‬‬ ‫‪78‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪f(xi-x)2‬‬ ‫‪f(xi-x)2‬‬ ‫‪f(xi-x)3‬‬ ‫‪f(xi-x)4‬‬ ‫‪(xi-x)2 (xi-x) Fixi‬‬ ‫الفئات‬ ‫‪F‬‬ ‫‪Xi‬‬ ‫‪6-‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪30-‬‬ ‫‪180‬‬ ‫‪1080-‬‬ ‫‪6480‬‬ ‫‪8-4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪16-‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪64-‬‬ ‫‪128‬‬ ‫‪12-8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪2-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪16-12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪180‬‬ ‫‪1080‬‬ ‫‪6480‬‬ ‫‪20-16‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪10000‬‬ ‫‪24-20‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪960‬‬ ‫‪23136‬‬ ‫اجملموع‬ ‫‪22‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪264‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪180‬‬ ‫‪0.0‬‬ ‫‪504‬‬ ‫‪79‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫متارين‬ ‫‪ -1‬اجلففدول اآليت يبففني التوزيففع التك فراري للففدخل األسففري (ابأللففف ري ففال) لعينففة مففن مائففة أسففرة مت أخففذها‬ ‫بطريقففة عشففوائية مففن منطقتففني مهففا )‪ (B, A‬ابلتسففاوي وذلففك هبففدف معرفففة متوسففط الففدخل ل سففرة‪.‬‬ ‫املطلوب إجياد معامل كارل بريسون لاللتواء والتفرطح للعينتني )‪،(B, A‬‬ ‫فئات الدخل‬ ‫‪10-5‬‬ ‫‪15-10‬‬ ‫‪20-15‬‬ ‫‪25-20‬‬ ‫‪ 35‬فأكثر‬ ‫اجملموع‬ ‫عدد األسر )‪(A‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪50‬‬ ‫عدد األسر )‪(B‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪ -2‬أوجد معامل االلتواء والتفرطح للجدول التكراري اآليت‪:‬‬ ‫الفئات‬ ‫‪-20‬‬ ‫‪-24‬‬ ‫‪-28‬‬ ‫‪-32‬‬ ‫‪-36‬‬ ‫اجملموع‬ ‫التكرارات‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪ -3‬وضح لجياز أمهية استخدام معامل بريسون األول والثاين‪ ،‬مع توضيح مثال درجات االلتواء املمكفن أن‬ ‫حتدث ألي توزيع تكراري؟‬ ‫‪ -4‬بففني أمهيففة اسففتخدام العففزوم واالحنفراف الربيعففي يف تقففدير معامففل االلتففواء والتفففرطح‪ .‬وهففل ميكففن تقففدير‬ ‫معامل التفرطح للجداول التكرارية املفتوحة‪.‬‬ ‫‪ -5‬أوجد معامل االلتواء والتفرطح للجدول التكراري اآليت‪:‬‬ ‫الفئات‬ ‫‪10-5‬‬ ‫‪15-10‬‬ ‫‪20-15‬‬ ‫‪25-20‬‬ ‫‪30-25‬‬ ‫اجملموع‬ ‫التكرارات‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪80‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪ -6‬انقش لجياز أنواع التوزيعات التكرارية من درن االلتواء؟‬ ‫الفئات‬ ‫‪4-2‬‬ ‫‪6-4‬‬ ‫‪8-6‬‬ ‫‪10-8‬‬ ‫التكرارات‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪ 14-12 12-10‬اجملموع‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪40‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫الفصل الخامس‪ :‬مقدمة في نظرية االحتماالت اإلحصائية‬ ‫أهداف الفصل‪:‬‬ ‫في نهاية هذا الفصل يكون الطالب قادرا على أن‪:‬‬ ‫ فهم ما هي االحتماالت‪.‬‬‫ التعرف على المفاهيم المتعلقة بنظرية االحتمال (فراغ العينة‪ ،‬التجارب العشوائية‪،‬‬‫األحداث‪ ،‬قواعد جمع وضرب االحتماالت‪......‬الخ)‪.‬‬ ‫‪ -‬يجري عمليات حساب االحتماالت لألحداث المختلفة‪.‬‬ ‫‪82‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫الفصل الخامس‪ :‬مقدمة في نظرية االحتماالت اإلحصائية‬ ‫‪ :4 – 1‬مقدمة‬ ‫تلعب االحتماالت دو ار خاصا في الحياة اليومية وفى كثير من العلوم ألنها تستخدم في قياس‬ ‫عدددم التدكددد‪ ،‬فكثي د ار مددا نقابددل بعمليددة اتخدداذ ق د اررات بندداء علددى معلومددات ناقصددة ونعتمددد علددى‬ ‫االحتماالت لتساعدنا على االختيار‪ .‬فمثال قد نلغي رحلة خارجية رتبنا لها من مدة وذلك ألن‬ ‫احتمال أن يكون الجو رديئا احتمال كبير‪ ،‬وكذلك كثي ار ما يهمل الطالب في نهاية العام جزءاً‬ ‫من المقرر ألن احتمال أن يدتي في االمتحان احتمال صغير‪.‬‬ ‫وكثي ار ما نتحدث عن احتمال ارتفاع درجة الح اررة في اليوم التالي واحتمال فوز فريق كرة قدم‬ ‫معين على فريق آخر‪ .‬وأحيانا نجد أننا نعبر عدن هدذا االحتمداالت بتقددير عدددن‪ .‬كددن نقدول‬ ‫أن احتمدال سدقوأ أمطدار ًدداً ‪ %20‬واحتمدال وصدول طدا رة الخطدوأ البريطانيدة القادمدة مددن‬ ‫لندن ‪ %95‬وهكذا‪.‬‬ ‫وهذا التقديرات العدديدة لالحتمداالت ال تسدتند إلدى أسداس رياضدي لكدن قدد تعتمدد علدى خبدرات‬ ‫ومعلوم ددات س ددابقة ع ددن الطق ددف وع ددن تتب ددع لفت درات طويل ددة وص ددول ط ددا رة الخط ددوأ البريطاني ددة‬ ‫القادمة من لندن‪.‬‬ ‫وقددد يتبددادر إلددى الددذهن ا ن أن نبدددأ بتعريددف االحتمددال‪ ،‬مددا هددو‪ ،‬ومددا هددي الموضددوعات التددي‬ ‫تتعلددق بنيريددة االحتمدداالت‪ .‬ولكددن فددي الواقددع لدديف مددن السددهل أن نبدددأ بوضددع تعريددف محدددد‬ ‫للفدد( حاحتمددالك ولكددن إذا رًبنددا فددي ذلددك فيمكننددا تحديددد مجددال نيريددة االحتمدداالت بددالتعريف‬ ‫التالي‪:‬‬ ‫(نظرية االحتماالت هي فرع من فروع الرياضة التطبيقية يهتتم بدراستة تتثيرر الصتدفة علت‬ ‫الظ تواهر واألاتتياء ‪ .‬لهددذا البددد لنددا مددن إي دداف كلمددة حصدددفة ‪ Chance‬ك د هددذا الكلمددة التددي‬ ‫تعودنا على سماعها في حياتنا اليومية ويمكن توضيح مفهومها على النحو التالي‪:‬‬ ‫‪83‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫من المعلوم لددينا أنندا إذا ألقيندا قطعدة مدن المعددن فدي الهدواء ف نهدا سدوف تسدق علدى األر‬ ‫وهذا شئ حمؤكدك ألنها حقيقة معروفة د ولكن إذا ألقينا قطعة من العملة على طاولدة مسدطح‬ ‫ف ن القطعة سوف تسق على سطح الطاولة وسيكون أحد وجهيها إلى أعلدى حمدع اسدتبعاد أن‬ ‫تسددتقر قطعددة العملددة علددى حرفهدداك – ولكننددا ال نعلددم أن الددوجهين سددييهر إلددى أعلددى ألن هددذا‬ ‫يعتمد على ما نسمي حبالصدفةك‪.‬‬ ‫كددذلك نعددرف أن المدداء يتحددول إلددى بخددار إذا سددخن علددى النددار إلددى درجددة ح د اررة ‪ 100‬درجددة‬ ‫مئويددة فددي ظددروف ال ددغ الجددون العددادن د وهددذا شددئ مؤكددد د ولكددن عنددد إلقدداء زه درة الطاولددة‬ ‫على لوحة مسطح ف ن ما نعرف هو أن أحد أوجهها الستة سييهر إلى أعلدى ولكدن أن وجد‬ ‫من األوج الستة سييهر هذا ما ال نعرف ألن ذلك يعتمد على ما نسمي حبالصدفةك وهكذا‪.‬‬ ‫ممدا سددبق يمكننددا اسددتنباأ الفددر بددين لفدد( حمؤكدددك ولفدد( حصدددفةك د فالشددئ المؤكددد يعتمددد علددى‬ ‫عدة ظروف معينة معروفة لدينا تماما إذا تحققت هذا اليروف حددث هدذا الشدئ‪ ،‬فكلمدا سدبق‬ ‫أن قلنا إن في ظروف ال غ الجون العادن إذا تم تسخين الماء إلى ‪ 100‬درجة مئوية ف ن‬ ‫يتحول إلى بخار د وفى هذا الحالة اليروف معروفة لندا تمامدا لهدذا نقدول إن تحدول المداء إلدى‬ ‫بخ ددار إذا تحقق ددت ه ددذا الي ددروف يعتب ددر ش دديئا مؤك دددا‪ .‬ولك ددن ف ددي حال ددة قطع ددة العمل ددة أو زهددرة‬ ‫الطاولة ف ن الوج العلون الذن ييهر بعدد اإللقداء يعتمدد علدى ظدروف كثيدرة بع دها معدروف‬ ‫لند ددا و ع د د نجهلد د تمامد ددا د فيهد ددور وجد د معد ددين يعتمد ددد علد ددى طريقد ددة اإللقد دداء وقوتد د ونقطد ددة‬ ‫االصطدام األولى بالطاولة وًير ذلك من الحقا ق التي نجهلها تماماً والتي تتسبب في ظهور‬ ‫ذلك الوج دون ا خر‪ .‬من هذا األمثلة يمكن أن نفر بين لفيي حمؤكدك و حصددفةك فداألول‬ ‫يدل على شئ معلوم لدينا كل اليروف التي تؤدى إلى حدوث أما الثاني ف نما يدل علدى شدئ‬ ‫ًير معلوم لدينا تماما كل ما يؤدى إلى حدوث من ظروف‪.‬‬ ‫‪84‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪ : 4 – 2‬فكرة سريعة عن نشأة نظرية االحتماالت ‪:‬‬ ‫لق ددد ظه ددرت نيري ددة االحتم دداالت ف ددي الق ددرن الس ددابع عش ددر ونال ددت اهتم ددام الكثي ددر م ددن علم دداء‬ ‫الرياض ددة أمث ددال حبس ددكال ‪Pacal‬ك ح‪1662 -1623‬ك‪ ،‬حفرم ددات ‪Fermat‬ك ح‪1665 -1601‬ك‬ ‫حيددث دخددل هددذان العالمددان الكبي دران فددي عمليددة مندداظرة عييمددة أثددرت هددذا الفددرع مددن العلددوم‬ ‫ودخلددت ب د فددي مجددال الد ارسددة العلميددة المنيمددة وذلددك عندددما تقدددم أحددد نددبالء فرنسددا ويدددعى‬ ‫حتشديفليي ‪ Chevalier de Mere‬ك وكدان يعمدل فدي مجدال الم دار ة والمقدامرة وطلدب مدن‬ ‫بسددكال أن يحسددب ل د احتمددال بعددل الحدداالت التددي تواجه د فددي أعمال د فقددام بسددكال بحسدداب‬ ‫االحتمدداالت المطلو ددة ثددم تعدددى ذلددك إلددى عدددة حدداالت أخددرى ثددم أهددتم بهددذا الحدداالت وًيرهددا‬ ‫كنوع من الدراسة وقام بوضع أسف وقواعد تخدم هذا الدراسة‪.‬‬ ‫وقد ددد أكمد ددل حبرند ددوللى ‪Bernoulli‬ك ح‪1705 -1645‬ك المسد دديرة و عد دددا حالبد ددالس ‪Laplace‬ك‬ ‫ح‪1827 -1749‬ك د ونددتج عددن أعمددال حبرنددوللىك وضددع تعريددف لالحتمددال وإن كانددت صددياًة‬ ‫هذا التعريف قد أتت على يد حالبالسك‪.‬‬ ‫‪ : 4 – 3‬مفهوم االحتمال‬ ‫إن لف( صدفة الذن عرفناا في البند السابق وثيق الصدلة بلفد( احتمدال ‪ Probability‬وكلمدة‬ ‫حاحتمالك هى كلمة شا عة في لغتنا اليومية ودا ما نستعملها عندما نتكلم عدن شدئ يدتحكم فدي‬ ‫حدوث د عوامددل الصدددفة‪ .‬فمددثال نقددول حيحتمددل أن تمطددر السددماء اليددومك نقددول هددذا العبددارة إذا‬ ‫كانددت السددماء ملبدددة بددالغيوم وكددان الجددو مددا ال إلددى البددرودة ألن هددذا حبعددل اليددروفك التددي‬ ‫تؤدى إلى سقوأ المطر وليست بالطبع هى كل اليروف وإال لكدان مدن المؤكدد سدقوأ المطدر‬ ‫ولكددن يوجددد بهددا باإلضددافة إلددى هددذا اليددروف عدددة ظددروف أخددرى ال نعرفهددا تمامددا إذا تددوفرت‬ ‫كلها سق المطر أما إذا لم تتوافر كلها فلن تسق أمطار‪.‬‬ ‫‪85‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫كذلك يمكن النظر إل االحتماالت عل أنها أحد فروع الرياضيات الذى يهتتم بدراستة نتتائ‬ ‫التجارب أو المحاوالت العشوائية‪ .‬وتسم التجربة أو المحاولتة عشتوائية إ ا كانتت نتائجهتا‬ ‫غرر مؤكدة أى ال نستطيع التنبؤ بها‪.‬‬ ‫فمثال‪ ،‬إذا ألقيت قطعة معدنية من النقود ف ننا ال نستطيع أن نتنبد إذا كان السطح العلدوى لهدا‬ ‫سييهر صورة أو كتابة‪ .‬إذاً فهذا محاولة أو تجر ة عشوا ية‪ .‬كذلك عند سدحب ورقدة عشدوا ياً‬ ‫مدن مجموعدة أو ار اللعددب المحكمدة الخلد حالكوتشددينةك ف نندا نعلدم إذا كانددت الورقدة المسددحو ة‬ ‫س ددتيهر ص ددورة أو ع دددداً‪ ،‬إذاً فه ددي محاول ددة عش دوا ية‪ .‬ك ددذلك إذا كان ددت هن ددا حال ددة والدة ف ددال‬ ‫نستطيع التنبؤ عما إذا كان المولود ذك اًر أو أنثى‪ .‬إذاً فهذا تجر ة عشوا ية‬ ‫وثددم يمكددن القددول ان د إذا كددان لدددينا تجر ددة مددا تقددع بطددر عددددها )‪ (n‬طريقددة وكددان مددن بينهددا‬ ‫حددث معدين )‪ (A‬مدثال‪ ،‬يقدع عدددها )‪ (X‬طريقدة ‪ .]n ≥ X‬فد ن احتمدال وقدوع الحددث )‪(A‬‬ ‫ويرمز ل بالرمز )‪ P(X‬هو‪:‬‬ ‫عدد مرات ظهور الحدث‪:‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪N‬‬ ‫= ) ‪P( X‬‬ ‫عدد الحاالت الكلية ح‪N‬ك‬ ‫وسنعر‬ ‫بعل القواعد واألسف والتعريفات التي تعتبر نتاجا لما قام ب هؤالء الدرواد األوا دل‬ ‫من دراسات علمية منتيمة في مجال االحتماالت‪.‬‬ ‫‪86‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪ : 4 – 5‬بعض املفاهيم اخلاصة باالحتمال‬ ‫‪ -1‬التجارب العشوائية ‪Random Experiments‬‬ ‫نحد ددن متعد ددودون علد ددى أهميد ددة التجد ددارب فد ددي مجد دداالت العلد ددوم والهندسد ددة‪ ،‬فالتجريد ددب مفيد ددد فد ددي‬ ‫االسددتخدام الفت د ار‬ ‫أن إج دراء التجددارب تحددت شددروأ متقار ددة سددوف يعطددى نتددا ج متسدداوية‪.‬‬ ‫وف ددى ه ددذا الي ددروف س ددوف نك ددون ق ددادرين عل ددى تحدي ددد ق دديم المتغي درات الت ددي ت ددؤثر عل ددى نت ددا ج‬ ‫التجر ددة‪ .‬وعل ددى أن ح ددال‪ ،‬ف ددي بع ددل التج ددارب ال ن ددتمكن م ددن تحدي ددد ق دديم بع ددل المتغيد د ارت‬ ‫و التددالي سددوف تتغيددر النتددا ج مددن إج دراء تجر ددة إلددى أخددرى مددع أن معيددم الشددروأ تيددل كمددا‬ ‫هي‪ .‬وتوصف هذا التجارب بالتجارب العشوا ية‪.‬‬ ‫وعل العموم فإن نتائ التجارب تنقسم إل يالث أنواع من وجهة نظر االحتماالت هي كما‬ ‫يلي‪:‬‬ ‫(أ نتائ أو حوادث مؤكدة‪:‬‬ ‫وهي نتا ج البد من وقوعها أو حدوثها‪.‬‬ ‫مث ددال ح‪1‬ك‪ :‬إذا ألقي ددت تفاح ددة ف ددي الهد دواء ف نن ددا نعل ددم أنه ددا الب ددد وأن تس ددق عل ددى األر ‪ .‬هن ددا‬ ‫التجر ة هي إلقاء التفاحة في الهواء‪ ،‬والنتيجة هي سقوأ التفاحة على األر ‪.‬‬ ‫مثال ح‪2‬ك‪ :‬إذا كان لدينا صندو ب ‪ 8‬كدرات بي داء اللدون‪ ،‬سدحبت مند كدرة واحددة فالبدد أن‬ ‫تكون الكرة المسحو ة بي اء‪.‬‬ ‫هنا التجر ة هي سحب كرة مدن الصدندو ‪ ،‬والنتيجدة أن الكدرة بي داء‪ .‬إذاً فهدذا نتيجدة مؤكددة‪.‬‬ ‫وإذا كانت الحادثة مؤكدة الوقوع ف ن يقال إن احتمال وقوعها يساوى واحد‪.‬‬ ‫أن أن احتمددال سددحب كدرة حمدراء مددن صددندو ال يحتددوى إال علدى كدرات بي دداء حفددي المثددال‬ ‫‪2‬ك= صفر‪.‬‬ ‫وكذلك احتمال أن يعيش شخص ما إلى األبد = صفر‪.‬‬ ‫‪87‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫(ب نتائ أو حوادث مستحرلة‪:‬‬ ‫وهي تلك النتا ج أو الحوادث المستحيل وقوعها‪.‬‬ ‫مثال ح‪1‬ك‪ :‬هل يمكن سحب كرة حمراء من صندو ال يحتون إال على كرات بي اء‪.‬‬ ‫التجر ة هنا هي سحب كرة من الصندو ‪ ،‬والنتيجة المطلو ة أن تكون حمراء‪ ،‬إذاً فهذا حادثة‬ ‫مستحيلة‪.‬‬ ‫مثال ح‪2‬ك‪ :‬أن يعيش شخص ما إلى األبد‪ .‬هذا حداثة مستحيلة‪ .‬وإذا كاندت الحادثدة مسدتحيلة‬ ‫الوقوع ف ن يقال أن احتمال وقوعها يساوى صفر‪.‬‬ ‫(ج حوادث أو نتائ غرر مؤكدة (محتملة أو ممكنه ‪:‬‬ ‫ولف( احتمال يعبر عدن مددى توقعندا لحددوث شدئ معدين وهدذا التوقدع أو التنبدؤ أو التخمدين قدد‬ ‫يكددون كبي د اًر وقددد يكددون صددغي اًر وتبع داً لددذلك قددد يكددون االحتمددال كبي د اًر وقددد يكددون صددغي اًر‪ ،‬وهددذا‬ ‫يبعث لدينا الرغبة في إجراء المقارنة بين احتمالي حدوث حدادثين لمعرفدة أيهمدا أكبدر احتمداال‬ ‫وذلك كما يت ح مما يلي‪:‬‬ ‫لو كان لدينا صندوقان بهما كرات متشابهة في الحجم والوزن وكدل شدئ مدا عددا اللدون‪ ،‬وكدان‬ ‫الصندو األول ب ‪ 90‬كرة بي اء و‪ 10‬كرات سوداء والصندو الثاني ب ‪ 10‬كرات بي داء‬ ‫و‪ 90‬ك درة سددوداء ونريددد اإلجابددة عددن الس دؤال التددالي‪ :‬عنددد سددحب ك درة واحدددة عش دوا ياً مددن كددل‬ ‫صددندو أيهمددا أكثددر احتمدداال‪ ،‬الحصددول علددى ك درة بي دداء م دن الصددندو األول أم الحصددول‬ ‫على كرة بي اء من الصندو الثاني؟‬ ‫بددالتفكير العقلددي البسددي يمكننددا الحكددم بدددن احتمددال الحصددول علددى كدرة بي دداء مددن الصددندو‬ ‫األول أكبددر مددن احتمددال الحصددول علددى ك درة بي دداء مددن الصددندو الثدداني وذلددك لكبددر نسددبة‬ ‫الكرات البي اء في الصندو األول عنها في الثاني‪.‬‬ ‫‪88‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫هددذا يوضددح أن كددل مددا نعرفد حتددى ا ن هددو مجددرد مقارنددة االحتمدداالت‪ ،‬ولكددن لددم نحدددد قيمددة‬ ‫االحتمددال بطريقددة عدديددة‪ ،‬هددذا ممددا دفددع العلمدداء األوا ددل فددي هددذا المجددال إلددى وضددع تعريددف‬ ‫نتمكن ب من قياس االحتمال بتحديد قيمت العددية‪.‬‬ ‫‪ -2‬املتغري العشوائي ‪Random Variable‬‬ ‫يرافق نتا ج التجر ة العشوا ية مقدار يسمى المتغير العشوا ي‪ ،‬وهذا المقدار يدخذ قيما مختلفدة‬ ‫حسب نتيجة التجر ة العشوا ية‪.‬‬ ‫مثددال ح‪1‬ك‪ :‬إلقدداء زهرتددي نددرد م درة واحدددة‪ .‬هنددا التجر ددة العش دوا ية هددي إلقدداء الزه درتين‪ ،‬ونتيجددة‬ ‫التجر ة هي النقاأ التي تيهر علدى السدطح العلدون للزهدرتين‪ .‬المقددار الدذن ي ارفدق نتدا ج هدذا‬ ‫التجر ة يمكن أن يكون مجموع النق التي تيهدر علدى السدطح العلدون للزهدرتين‪ .‬هدذا المقددار‬ ‫يدخددذ القدديم ‪ 12، ...... ،4 ،3 ،2‬وعلددى ذلددك ف د ن مجمددوع الددنق التددي تيهددر علددى السددطح‬ ‫العلون للزهرتين متغير عشوا ياً‪ .‬متغير ألن يدخذ قيما مختلفة حسب نتيجة التجر ة وعشدوا ي‬ ‫ألن يرافق نتا ج تجر ة عشوا ية‪.‬‬ ‫مث ددال ح‪2‬ك‪ :‬اختي ددار طال ددب م ددن ب ددين ط ددالب الجامع ددة‪ .‬التجر ددة العش دوا ية ه ددي اختي ددار طال ددب‬ ‫ونتيجة التجر دة أحدد طدالب الجامعدة‪ .‬المقددار الدذن ي ارفدق نتدا ج هدذا التجر دة يمكدن أن يكدون‬ ‫طول الطالب د دخل أسرة الطالب د عدد أفراد أسرة الطالب ‪ .......‬الخ‪ .‬ف ن اقتصرت دراستنا‬ ‫على طول الطالب ف ن هذا المقدار يدخذ قيما مختلفة حسب طول الطالدب الدذن اختيدر ور مدا‬ ‫تدخذ أن قيمدة ولدتكن ‪165‬سدم أو ‪166‬سدم أو أن قيمدة اخدرى‪ .‬وعلدى ذلدك فد ن طدول الطالدب‬ ‫متغير عشوا يا ألن يدخذ قيما مختلفة حسب نتيجة التجر ة العشوا ية‪.‬‬ ‫‪89‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫(أ المتغرر العشوائي المنفصل )‪: Discrete Random Variable‬‬ ‫يقال إن المتغير العشوا ي منفصل إذا أخذ قيما منفصلة عن بع ها البعل أن يوجد بينهمدا‬ ‫ثغدرات‪ ،‬وتدخدذ قديم بينيد ‪ .‬ويرمدز للمتغيدر العشدوا ي بشدكل عدام بحدرف مدن الحدروف األبجديددة‬ ‫الكبيرة ‪ X, Y, Z, …..‬ويرمز للقيم التي يدخذها المتغير بالحروف األبجدية الصغيرة ‪x, y,‬‬ ‫‪ z, …..‬ومن أمثلة هذا المتغيرات‪:‬‬ ‫‪ -1‬عدد األوالد الذكور في األسرة المكونة من أر ع أوالد }‪X:{x=1,2,3,4‬‬ ‫‪ -2‬عدد العمالء الذين يتم إنهاء خدماتهم البنكية كل ‪ 10‬دقا ق }‪Y:{y=0,1,2,3,….‬‬ ‫‪ -3‬عدد مرات استخدام نوع معين من األسمدة خالل الدورة الزراعية‬ ‫(ب المتغرر العشوائي المتصل )‪(Continuous Random Variable‬‬ ‫‪ -1‬المتغير العشدوا ي المسدتمر هدو الدذى يدخدذ قيمداً متصدلة‪ ،‬و يدخدذ عددد النهدا ي مدن القديم‬ ‫الممكنة ل داخل مجال ‪ ،‬ف ذا كان ‪ X‬متغير عشوا ي مسدتمر‪ ،‬و يقدع فدي المددى )‪ ،(a,b‬أن‬ ‫أن‪ {X=x: a x  b}  :‬فد ن للمتغيدر ‪ X‬عددد ال نهدا ي مدن القديم تقدع بدين الحدددين‬ ‫األدنى و األعلى )‪ (a,b‬و من األمثلة على المتغيرات الكمية المستمرة ما يلى‪:‬‬ ‫‪ -1‬كمية االلبان التي تنتجها البقرة في اليوم باللتر‪x  {X=x:10 40}  :‬‬ ‫‪ -2‬المساحة المنزرعة باألعالف في مصر باأللف فدان ‪x  {X=x:1000 40000} ‬‬ ‫‪ -3‬وزن الجسم بالكيلوجرام لألعمار من ‪ 30-20‬عام‪x  {X=x:55 80}  ،‬‬ ‫فراغ العينة ‪:Sample Space‬‬ ‫تتكد ددون المجموعد ددة ‪ S‬مد ددن كد ددل النتد ددا ج الممكند ددة للتجر د ددة العشد دوا ية ويطلد ددق عليهد ددا اسد ددم فد د ار‬ ‫‪ ،Sample Space‬ويطلق على كل نتيجة نقطة من العينة ‪.Sample Point‬‬ ‫‪90‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫مثال‪ :‬عند رمى زهرة طاولة‪ ،‬فالنتيجة التي سوف تحدث تكون أحد األرقام التالية ح‪،3 ،2 ،1‬‬ ‫‪6 ،5 ،4‬ك‪.‬‬ ‫‪ -4‬األحداث ‪Events‬‬ ‫الحدددث هددو مجموعددة جز يددة ‪ Subset A‬مددن مجموعددة فد ار العينددة ‪ ،S‬أن أند مجموعددة مددن‬ ‫النتا ج الممكنة‪ .‬ف ذا كان ناتج التجر ة يمثل عنصد اًر فدي الحددث ‪ A‬ف نندا نقدول أن الحددث ‪A‬‬ ‫يتحق ددق‪ .‬والح دددث ال ددذن يتك ددون م ددن نقط ددة واح دددة م ددن فد د ار العين ددة ‪ S‬يس ددمى بالح دددث البس ددي‬ ‫‪ Simple‬أو الحددث األولدى ‪ Elementary Event‬واألحدداث الخاصدة حينمدا يكدون هدو ‪S‬‬ ‫نفسدها ف ند يمثدل الحدددث المؤكدد ‪ Sure or Certain Event‬حيددث أند مددن ال ددرورن أن‬ ‫يح دددث عنص ددر م ددن ‪ ،S‬بينم ددا المجموع ددة الفارً ددة ‪ Empty set Ø‬والت ددي تس ددمى بالح دددث‬ ‫المستحيل ‪ Impossible Event‬ألن أن عنصر ‪ Ø‬ال يمكن حدوث ‪.‬‬ ‫‪ -5‬احلاالت املتماثلة )‪:(Equally Likely Cases‬‬ ‫هددي تلددك الحدداالت التددي يكددون لهدا فددرم متكافئددة مددن حيددث الحدددوث د أن لهددا نفددف الفرصددة‪.‬‬ ‫فمددثال لددو كددان لدددينا صددندو ب د ‪ 100‬ك درة متشددابهة فددي كددل ش ديء عدددا اللددون منهددا ‪ 50‬ك درة‬ ‫بي اء‪ 50 ،‬كدرة سدوداء د ورًبندا فدي سدحب كدرة مدن هدذا الصدندو عشدوا يا سدنجد أن فرصدة‬ ‫ظهددور الل ددون األب دديل تع ددادل تمام ددا فرص ددة ظهددور الل ددون األس ددود وذل ددك بس ددبب تس دداوى اع ددداد‬ ‫الكرات من كل من اللونين ويعتبر اللونان في هذا الحالدة حدالتين متمداثلتين‪ .‬كدذلك عندد إلقداء‬ ‫قطعدة عملدة معدنيددة متزندة ومصدنوعة مددن معددن متجددانف وكاندت عمليدة اإللقدداء ًيدر متحيدزة‬ ‫ف د ن فرصددة ظهددور الصددورة تعددادل تمامددا فرصددة ظهددور الكتابددة و هددذا يمكددن القددول إن هدداتين‬ ‫الحالتين حالصورة والكتابةك متماثلتين‪.‬‬ ‫‪91‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪ -6‬احلاالت املمكنة )‪:(Possible Cases‬‬ ‫هي مجموعة النتا ج حأو الحاالتك التي يمكن أن تنتج عند إجراء التجر ة‪ .‬فلو كانت التجر دة‬ ‫هي إلقاء زهرة الطاولة مدرة واحددة فد ن األوجد السدتة للزهدرة تعتبدر هدي الحداالت الممكندة لهدذا‬ ‫التجر ددة‪ .‬كددذلك إذا كانددت التجر ددة هددي سددحب كدرة واحدددة مددن كدديف يحتددون علددى عشدرة كدرات‬ ‫متماثلة ف ن الحاالت الممكنة تعتبر عشرة حاالت متماثلة‪ .‬وهكذا ‪.‬‬ ‫‪ -7‬احلوادث الشاملة )‪: (Exhaustive Events‬‬ ‫يقال أن الحوادث ‪ An.......... ، A2 ، A1‬تشكل مجموعة من الحوادث الشاملة فدي تجر دة‬ ‫معينة إذا كان البد أن يتحقق واحد منها على األقل عند إجراء التجر ة وال توجد نتيجدة أخدرى‬ ‫للتجر ة تختلف عن هذا الحوادث ‪.‬‬ ‫مث ددال ذل ددك عن ددد إلق دداء زه درة الطاول ددة ف د ن األوجد د الس ددتة للزه درة ح‪6 ،5 ،4 ،3 ،2 ،1‬ك تعتب ددر‬ ‫أحداثا شاملةد كذلك عند إلقاء قطعة العملة يعتبر الوجهات حصورة‪ ،‬كتابةك حدثين شاملين‪.‬‬ ‫‪ -8‬احلوادث املتنافية )‪:(Mutually Exclusive Events‬‬ ‫يق ددال الح دوادث ‪ An.......... ، A2 ، A1‬ح دوادث متنافي ددة إذا اس ددتحال ج دددوى أن أثن ددين حأو‬ ‫أكثرك منها في آن واحد‪.‬‬ ‫فمثال في تجر ة إلقاء زهرة الطاولة تعتبر األوج الستة حوادث متنافية لعدم إمكان حدوث أن‬ ‫أثنين منها في آن واحد وكدذلك فدي تجر دة إلقداء قطعدة العملدة يعتبدر الوجهدان حصدورة‪ ،‬كتابدةك‬ ‫حدثين متنافيين‪.‬‬ ‫‪92‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪ -9‬التوزيع االحتمايل )‪(Probability Distribution‬‬ ‫التوزي ددع االحتم ددالي لمتغي ددر عشد دوا ي م ددا ح‪ x‬م ددثالك عب ددارة ع ددن دال ددة تعط ددى احتم دداالت ق دديم ‪x‬‬ ‫المختلفددة‪ ،‬وهددذا الدالددة عبددارة عددن جدددول أو صدديغة رياضددية تبددين قدديم ‪ x‬المختلفددة واحتماالتهددا‬ ‫وتحقق عدة شروأ معينة‪.‬‬ ‫مث ددال‪ :‬الج دددول ا ت ددي يبد ددين ق دديم متغي ددر عشد دوا ي ‪ x‬والتوزيد ددع االحتم ددالي ح‪fx‬ك له ددذا المتغيد ددر‬ ‫العشوا ي‪:‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.3‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪fx‬‬ ‫‪ -10‬االحتمال الشرطي ‪Conditional Probability‬‬ ‫إذا كان لدينا الحددثان ‪ B , A‬حيدث أن ‪ P(A)>0‬وكدان )‪ P(B/A‬يرمدز الحتمدال حددوث ‪B‬‬ ‫بشرأ حدوث ‪. A‬‬ ‫‪ : 4 – 6‬بعض النظريات اهلامة على االحتمال‬ ‫نظرية ‪ : 1‬إذا كانت ‪ A1<A2‬ف ن ‪:‬‬ ‫)‪P(A1)< P(A2) and P(A2 – A1) = P(A1) – P(A2‬‬ ‫نظرية ‪ : 2‬لكل حدث ‪ A‬يكون ‪:‬‬ ‫‪0 < P(A) < 1‬‬ ‫أي أن االحتمال يكون برن الصفر والواحد الصحيح‬ ‫‪93‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫نظرية ‪ : 3‬للمجموعة الفارًة ‪Empty Set Ø‬‬ ‫‪P (Ø) = 0‬‬ ‫أي أن الحدث المستحرل يكون احتمال حدويه مساويا للصفر‪.‬‬ ‫نظرية ‪ :4‬إذا كانت ‪ A‬تمثل مكمل الحدث ‪ A‬ف ن‪:‬‬ ‫)‪P (Á) = 1 – P (A‬‬ ‫نظرية ‪ :5‬إذا كانت ‪A......A1=A  A2 ‬‬ ‫وكانت األحداث ‪ A1 , A2 ….., A3‬أحداثاً متنافية ف ن‬ ‫)‪P (A) = P (A1) + P(A2) + …….. + P(A4‬‬ ‫نظرية ‪ :6‬إذا كانت االحداث ‪ B‬و‪ A‬تمثل أن حدثين‪ ،‬ف ن‪:‬‬ ‫)‪P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B‬‬ ‫و صفة عامة إذا كان لدينا األحداث ‪ A3 , A2, A1‬ف ن ‪:‬‬ ‫– )‪= P(A1) + P(A2) + P(A3) – P(A1  A2) – P(A2  A3‬‬ ‫)‪P(A3  A4) + P(A1  A2  A3‬‬ ‫)‪ A 3‬‬ ‫‪P(A1  A2‬‬ ‫ويمكن التعميم على ‪ n‬من األحداث‬ ‫‪ :4 – 7‬قوانني وأمثلة جلمع وضرب االحتماالت‬ ‫‪: 1 – 4 – 7‬أوال‪ :‬مجع االحتماالت )‪(Probability Addition Law‬‬ ‫مثال ‪ :1‬إذا ألقيت زهرة نرد مرة واحدة‪ ،‬فما احتمال ظهور عدد فردى أو عدد أكبر من ‪5‬‬ ‫‪94‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫الحل‪ :‬احتمال إلقاء النرد ح‪6 ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1‬ك ‪ 6‬محاوالت‬ ‫عدد فردى ح‪5 ، 3 ، 1‬ك ‪ 3‬احتماالت‬ ‫أو عدد أكبر من ‪ 5‬احتمال واحد فق وهو ان ييهر الرقم ح‪6‬ك‬ ‫‪3 1 4‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫‪6 6 6‬‬ ‫= )‪P( A  B) = P( A) + P( B‬‬ ‫مثال ‪ :2‬إذا سدحبت ورقدة مدن مجموعدة أو ار اللعدب‪ ،‬فمدا احتمدال أن تكدون الورقدة المسدحو ة‬ ‫عليها صورة البنت أو صورة الولد؟‬ ‫الحل‪ :‬ورقة اللعب حالكوتشين ك ‪ 52‬ورقة‬ ‫‪ A‬صورة البنت ح‪4‬ك احتماالت‬ ‫أو‬ ‫‪ B‬صورة الولد ح‪4‬ك احتماالت‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪52 52 52‬‬ ‫= )‪P( A  B) = P( A) + P( B‬‬ ‫مثتتال ‪ :3‬إذا ألقيددت زهدرة نددرد مدرة واحدددة فد ن احتمددال ظهددور عدددد فددردى أو عدددد يقبددل القسددمة‬ ‫على ح‪3‬ك؟‬ ‫الحل‪ :‬احتمال إلقاء النرد ح‪6 ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1‬ك ‪ 6‬محاوالت‬ ‫‪ A‬عدد فردى ح‪5 ، 3 ، 1‬ك ‪ 3‬احتماالت‬ ‫أو‬ ‫‪ B‬عدد يقبل القسمة على ثالثة ح‪6 ، 3‬ك احتمالين‬ ‫‪95‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫الح( أن الحدث ‪ 3‬مشتر بين ‪ A‬و ‪B‬‬ ‫‪3 2 1 4‬‬ ‫= ‪+ −‬‬ ‫‪6 6 6 6‬‬ ‫= )‪P( A  B) = P( A) + P( B) − P( A  B‬‬ ‫مثال ‪ :4‬إذا ألقيت زهرة نرد‪ ،‬ما احتمال ‪:‬‬ ‫‪1‬ك ظهور عدد زوجى‬ ‫‪2‬ك ظهور عدد أكبر من ح‪2‬ك‬ ‫‪3‬ك ظهور عدد زوجى أو عدد أكبر من ح‪2‬ك‬ ‫الحل‪ :‬احتمال إلقاء النرد ح‪6 ،5 ،4 ،3 ،2 ،1‬ك ‪ 6‬محاوالت‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬ك ظهور عند زوجى‪ :‬ح‪6 ، 4 ،2‬ك ‪ 3‬احتماالت =‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬ك ظهور عدد أكبر من ح‪2‬ك‪ :‬ح‪6 ، 5 ، 4 ، 3‬ك ‪ 4‬احتماالت =‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬ك ظهور عدد زوجى أو عدد أكبر من ح‪2‬ك‪:‬‬ ‫‪ A‬عدد زوجى ح‪6 ، 4 ، 2‬ك ‪ 3‬احتماالت‬ ‫أو‬ ‫‪ B‬عدد أكبر من اثنان ح‪6 ، 5 ، 4 ، 3‬ك ‪ 4‬احتماالت‬ ‫الح( أن الحدثين ‪ 4‬و ‪ 6‬مشتر بين ‪ A‬و ‪B‬‬ ‫‪3 4 2 5‬‬ ‫= ‪+ −‬‬ ‫‪6 6 6 6‬‬ ‫= )‪P( A  B) = P( A) + P( B) − P( A  B‬‬ ‫مثال ‪ :5‬إذا ألقيت عملة معدنية مرة واحدة‪ ،‬فما هو احتمال ظهور الصورة أو كتابة؟‬ ‫ظهور الصورة = ½ ‪ ،‬ظهور الكتابة = ½‬ ‫الحل‪ :‬ظهور صورة أو كتابة‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪96‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪ : 2 – 4 – 7‬ثانيا‪ :‬ضرب االحتماالت )‪(Probability Multiplying Law‬‬ ‫قاعدة ال رب لالحتماالت المستقلة والغير مستقلة‬ ‫أوال‪ :‬قاعدة الضرب لألحداث المستقلة‪:‬‬ ‫يقددال أن الحدددثان ‪ A‬و ‪ B‬حدددثان مسددتقالن إذا كددان وقددوع الحدددث األول ال يددؤثر علددى وقددوع‬ ‫الحدث الثاني‪.‬‬ ‫)‪P( A  B) = P( A)  P( B‬‬ ‫يانيا‪ :‬قاعدة الضرب لالحتماالت الغرر مستقلة‪:‬‬ ‫يقال أن الحدثان ‪ A‬و ‪ B‬حددثان ًيدر مسدتقالن‪ ،‬إذا كدان وقدوع الحددث األول يدؤثر فدي وقدوع‬ ‫الحدث الثاني‪ .‬يعنى وقوع ‪ A‬بشرأ وقوع ‪B‬‬ ‫) ‪P( E1  E 2‬‬ ‫) ‪P( E1‬‬ ‫= ) ‪P( E 2 / E1‬‬ ‫مثال ‪ :1‬إذا القى زهر نرد مرة واحدة‪ .‬ما احتمال ظهور العدد ‪ ،3‬علماً بدن العدد الياهر‬ ‫فردى‬ ‫الحل‪ :‬لتكن ‪ E1‬الحادثة التي يكون فيها العدد الياهر عدد فردى ح‪1،3،5‬ك‪ .‬أي احتمال ‪E1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫يساوى‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫لتكن ‪ E 2‬الحادثة التي ييهر فيها العدد ح‪ . 3‬أن احتمال ‪ E2‬يساوى‬ ‫‪6‬‬ ‫و عليه ف ن احتمال وقوع الحادثة ‪ E 2‬علماً بدن الحادثة ‪ E1‬قد وقعت=‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪P( E1  E 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ) ‪P ( E 2 / E1‬‬ ‫=‪= 6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) ‪P ( E1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪97‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫مثال ‪ :2‬افتر‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أن صندوقاً يحتون على ‪ 3‬كرات بي اء و ‪ 2‬سوداء‪ .‬الحدث ‪ E1‬هو "الكرة‬ ‫المسحو ة في المرة األولى سوداء" و الحدث ‪" E2‬الكرة المسحو ة في المرة الثانية سوداء"‬ ‫علماً بدن الكرة التي تم سحبها ال تعاد الى الصندو حبدون إرجاعك‬ ‫الحل‪ :‬هنا ‪ E1‬و ‪ E2‬احداث تابعة‬ ‫‪2‬‬ ‫احتمددال أن تكددون الكدرة المسددحو ة فددي المدرة األولددى سددوداء = ) ‪ P( E1‬بينمددا أن تكددون الكدرة‬ ‫‪5‬‬ ‫المسددحو ة فددي الم درة الثانيددة سددوداء حعلم داً بدددن الك درة التددي تددم سددحبها فددي الم درة األولددى كانددت‬ ‫‪1‬‬ ‫سوداءك = ) ‪ . P( E2 / E1‬بهذا ف ن احتمال أن تكون الكرتين لونهما أسود هو‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2 1 1‬‬ ‫= ‪‬‬ ‫‪5 4 10‬‬ ‫= ) ‪P( E1 E 2 ) = P( E1 )  P( E 2 / E1‬‬ ‫‪ : 4 – 8‬أمثلة متنوعة على االحتماالت‬ ‫مثال ‪ :1‬ما احتمال ظهور الصورة والكتابة في رميتين لعملة معدنية؟‬ ‫الحل‪ :‬الرمية األولى صورة ‪ A‬ال تتدثر ومستقل عن الرمية الثانية كتابة ‪B‬‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫)‪ = P( A  B) = P( A)  P( B‬‬ ‫‪2 2 4‬‬ ‫=‬ ‫مثال ‪ : 2‬ما احتمال ظهور واحد حوك واحد حوك واحد في ثالث رميات للنرد ؟‬ ‫الحل‪ :‬ضرب الثالثة في الثانية في األولى‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪ ‬‬ ‫‪6 6 6 216‬‬ ‫=‬ ‫مثال عل جمع وضرب االحتماالت معا‬ ‫مثال ‪ :3‬صندو ب ‪ 10‬كرات منها ‪ 4‬بي اء و‪ 6‬حمراء‪ ،‬إذا سحبت كرتان ما احتمال‪:‬‬ ‫‪1‬ك أن تكون األولى بي اء والثانية حمراء‪ ،‬بدون ارجاع او احالل‬ ‫‪98‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪4 6 24‬‬ ‫= ‪‬‬ ‫‪10 9 90‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬ك أن تكون األولى بي اء والثانية حمراء‪ ،‬مع ارجاع او احالل‬ ‫‪4 6‬‬ ‫‪24‬‬ ‫= ‪‬‬ ‫‪10 10 100‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬ك أن تكون الكرتان من نفف اللون ‪ ،‬بدون ارجاع او احالل‬ ‫األولى بي اء والثانية بي اء أو األولى حمراء والثانية حمراء‬ ‫‪ 4 3   6 5  42‬‬ ‫= ‪=  +  ‬‬ ‫‪ 10 9   10 9  90‬‬ ‫‪4‬ك أن تكون الكرتان من نفف اللون ‪ ،‬مع ارجاع او احالل‬ ‫األولى حمراء والثانية حمراء أو األولى بي اء والثانية بي اء‬ ‫‪ 4 4   6 6  52‬‬ ‫= ‪=  +  ‬‬ ‫‪ 10 10   10 10  100‬‬ ‫مثال ‪ :4‬عند إلقاء زهرة نرد ًير متحيزة مرتين‪ ،‬فدوجد ما يلي‪:‬‬ ‫‪ -1‬احتمال ظهور وجهين متشابهين‪.‬‬ ‫‪ -2‬احتمال ظهور وجهين مجموع نقاطهما ‪.10‬‬ ‫‪ -3‬احتمال ظهور وجهين متشابهين أو مجموع نقاطهما ‪.10‬‬ ‫‪ -4‬احتمال ظهور وجهين مجموع نقاطهما ‪ 7‬أو ‪.10‬‬ ‫الحل‪ :‬نتا ج ف ار العينة هي‪:‬‬ ‫‪99‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪S‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(1,6‬‬ ‫)‪(1,5‬‬ ‫)‪(1,4‬‬ ‫)‪(1,3‬‬ ‫)‪(1,2‬‬ ‫)‪(1,1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(2,6‬‬ ‫)‪(2,5‬‬ ‫)‪(2,4‬‬ ‫)‪(2,3‬‬ ‫)‪(2,2‬‬ ‫)‪(2,1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(3,6‬‬ ‫)‪(3,5‬‬ ‫)‪(3,4‬‬ ‫)‪(3,3‬‬ ‫)‪(3,2‬‬ ‫)‪(3,1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪(4,6‬‬ ‫)‪(4,5‬‬ ‫)‪(4,4‬‬ ‫)‪(4,3‬‬ ‫)‪(4,2‬‬ ‫)‪(4,1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪(5,6‬‬ ‫)‪(5,5‬‬ ‫)‪(5,4‬‬ ‫)‪(5,3‬‬ ‫)‪(5,2‬‬ ‫)‪(5,1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪(6,6‬‬ ‫)‪(6,5‬‬ ‫)‪(6,4‬‬ ‫)‪(6,3‬‬ ‫)‪(6,2‬‬ ‫)‪(6,1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪n (s) = 36‬‬ ‫بفر‬ ‫أن الحادث ‪ A‬هو حادث ظهور وجهين متشابهين‪ ،‬ف ن‪:‬‬ ‫‪A: {(1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6)}, n (A) = 6‬‬ ‫ويكون احتمال ظهور وجهين متشابهين هو‪:‬‬ ‫)‪n( A‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪n( S ) 36 6‬‬ ‫بفر‬ ‫= )‪P ( A‬‬ ‫أن الحادث ‪ B‬هو حادث ظهور وجهين مجموع نقاطهما ‪ ،10‬ف ن‪:‬‬ ‫‪B: {(4,6) (5,5) (6,4)}, n (B) = 3‬‬ ‫ويكون احتمال ظهور وجهين متشابهين هو‪:‬‬ ‫‪n( B ) 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪n( S ) 36 12‬‬ ‫بفر‬ ‫= )‪P( B‬‬ ‫أن الحادث ‪ m‬احتمال ظهور وجهين متشابهين أو )‪ (or‬مجموع نقاطهما ‪:10‬‬ ‫)‪A: {(1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6‬‬ ‫أو‬ ‫})‪B: {(4,6) (5,5) (6,4‬‬ ‫‪100‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫الحد( أن الحددث )‪ (5,5‬مشدتر ومدن ثدم فد ن التقداطع )‪ (A ∩ B‬يعبدر عدن ظهدور وجهدين‬ ‫متشابهين ومجموعهما ‪ 10‬يمكن حساب كما يلي‪:‬‬ ‫‪m( A  B ) 1‬‬ ‫=‬ ‫) ‪n( S‬‬ ‫‪36‬‬ ‫= )‪P( A  B‬‬ ‫)‪P( A  B) = P( A) + P( B) − P( A  B‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= )‪P( A  B‬‬ ‫= )‪P( B‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪36 36 36 36 9‬‬ ‫بفر‬ ‫= )‪P( A‬‬ ‫=‬ ‫أن الحدادث ‪ C‬هدو حدادث ظهدور وجهدين مجمدوع نقاطهمدا ‪ ،7‬والحدادث ‪ B‬هدو حدادث‬ ‫ظهور وجهين مجموع نقاطهما ‪ ،10‬نجد أن‪:‬‬ ‫})‪B:{(4,6) (5,5) (6,4)} , C:{(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9 1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪36 36 36 4‬‬ ‫= ) ‪P( B  C ) = P( B) + P(C‬‬ ‫مثال ‪:5‬‬ ‫وفيمد ددا يلد ددي توزيد ددع تك د درارن لعيند ددة عش د دوا ية حجمهد ددا ‪ 100‬مد ددن خريجد ددي الكليد ددة فد ددي الع د دامين‬ ‫الماضيين‪ ،‬حسب التخصص‪ ،‬ونوع المهنة‪:‬‬ ‫المهنة‬ ‫‪Sum‬‬ ‫عمل حر‬ ‫قطاع خام‬ ‫عمل حكومي‬ ‫‪30‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪15‬‬ ‫اقتصاد زراعي‬ ‫‪35‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪8‬‬ ‫علوم أًذية‬ ‫‪35‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪12‬‬ ‫علوم تر ة‬ ‫‪100‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪Sum‬‬ ‫التخصص‬ ‫ف ذا اختير أحد الخريجين بطريقة عشوا ية‪ ،‬احسب االحتماالت التالية‪:‬‬ ‫‪101‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪ -1‬ما احتمال أن يكون من خريجي قسم االقتصاد ويعمل بالقطاع الخام‪.‬‬ ‫‪ -2‬ما احتمال أن يكون ممن يعملون بالحكومة أو من خريجي قسم علوم األًذية‪.‬‬ ‫‪ -3‬ما احتمال أن يكون من خريجي قسم علوم األًذية أو من قسم علوم التر ة‪.‬‬ ‫‪ -4‬إذا علم أن الفرد من خريجي قسم علوم األًذية‪ ،‬ما احتمال أن يكون ممن يعملون عمالً‬ ‫ح اًر‪.‬‬ ‫الحل‪ :‬أوالً‪ :‬نرمز لنوع المهنة بالرمز ‪ ،A‬ولنوع التخصص بالرمز ‪ ،B‬كما هو مبدين بالجددول‬ ‫التالي‪:‬‬ ‫عمل حكومي المهنة‬ ‫عمل حر‬ ‫قطاع خام‬ ‫‪A3‬‬ ‫‪A2‬‬ ‫‪A1‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪ B1‬اقتصاد زراعي‬ ‫‪35‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ B2‬علوم أًذية‬ ‫‪35‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪ B3‬علوم تر ة‬ ‫‪100‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪Sum‬‬ ‫‪Sum‬‬ ‫التخصص‬ ‫ثانياً‪ :‬التكدرار فدي كدل خليدة يعبدر عدن عددد الخدريجين الدذين ينتمدون لقسدم معدين ويعملدون فدي‬ ‫مهنة معينة‪ ،‬أن يعبر عن عد تك اررات حوادث التقاطع الممكنة ‪.A ∩ B‬‬ ‫‪ -1‬حساب احتمال أن يكون من خريجي قسم االقتصاد و يعمل بالقطاع الخام‪.‬‬ ‫) ‪f ( B1  A2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪= 0.05‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪100‬‬ ‫= ) ‪P( B1  A2‬‬ ‫‪ -2‬حساب احتمال أن يكون ممن يعملون بالحكومة أو من خريجي قسم علوم األًذية‪.‬‬ ‫) ‪P( A1  B2 ) = P( A1 ) + P( B2 ) − P( A1  B2‬‬ ‫‪102‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪35‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪62‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪= 0.62‬‬ ‫‪100 100 100 100‬‬ ‫=‬ ‫‪ -3‬حساب احتمال أن يكون من خريجي قسم علوم األًذية أو من قسم علوم التر ة‪.‬‬ ‫هذان حادثدان متنافيدان‪ ،‬ألن تخدرل الفدرد مدن أحدد األقسدام ينفدي تخرجد مدن األقسدام األخدرى‪،‬‬ ‫و معنددى آخددر اسددتحالة أن الفددرد تخددرل مددن قسددمين فددي آن واحددد‪ ،‬لددذا يكددون احتمددال اتحادهمددا‬ ‫هو‪:‬‬ ‫) ‪P( B2  B3 ) = P( B2 ) + P( B3‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪= 0.70‬‬ ‫‪100 100 100‬‬ ‫=‬ ‫‪ -4‬إذا علم أن الفرد من خريجي قسم علوم األًذية‪ ،‬ما احتمال أن يكون ممن يعملون عمالً‬ ‫ح اًر‪ ،‬هذا احتمال شرطي‪ ،‬المطلوب هنا "حساب احتمال أن الفرد ممن يعملون عمالً حد اًر ‪A3‬‬ ‫بشرأ أن من خريجي قسم علوم أًذية ‪ ،B2‬أن أن االحتمال المطلوب هو‪:‬‬ ‫‪ 10 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P ( A3  B2 )  100  10‬‬ ‫= ) ‪P ( A3 / B2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫) ‪P ( B2‬‬ ‫‪ 35  35‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 100 ‬‬ ‫مثتتال ‪ :6‬إذا كددان احتمددال نجدداف الطالددب فددي مددادة االحصدداء هددو ‪ 0.8‬وكددان احتمددال نجدداف‬ ‫الطالب في مادة المحاسبة هو ‪ 0.7‬أخذت احدى الحادثتين فدحسب احتمال‪:‬‬ ‫‪1‬ك نجاف الطالب في المادتين؟‬ ‫‪2‬ك فشل الطالب في المادتين؟‬ ‫‪3‬ك نحال الطالب في إحدى المادتين على األقل؟‬ ‫‪4‬ك فشل الطالب في إحدى المادتين على األقل؟‬ ‫‪103‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫مالحظة‪ :‬في حالة أعطى في المثال نسبتين‪ :‬أى نسبة تمثل حادثة‪ ،‬ونسبة تمثل حادثة‬ ‫أخرى‪ ،‬فعليك أن تعرف أن هذا األحداث مستقلة‪.‬‬ ‫د لو طلب االثنين‪ ،‬كالهما‪ ،‬حوك‪ :‬أى أن األول × الثانى‬ ‫د لو طلب ايهما أو أحدهما على األقل‪ :‬الناتج يكون ح‪ – 1‬األول × الثانىك‬ ‫نجاف أحدهما على األقل= ‪ -1‬فشل األول × فشل الثانى‬ ‫فشل أحدهما على األقل= ‪ -1‬نجاف األول × نجاف الثانى‬ ‫نحال‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪0.7‬‬ ‫المادة‬ ‫احصاء‬ ‫محاسبة‬ ‫‪1‬ك نحال الطالب في المادتين‪:‬‬ ‫‪= 0.8  0.7 = 0.56‬‬ ‫‪2‬ك فشل الطالب في المادتين‪:‬‬ ‫‪= 0.2  0.3 = 0.06‬‬ ‫‪3‬ك نجاف الطالب في احدى المادتين على األقل‪:‬‬ ‫‪ -1‬حفشل األول × فشل الثانىك‬ ‫‪= 1 − (0.3  0.2) = 0.94‬‬ ‫‪4‬ك فشل الطالب في إحدى المادتين على األقل‪:‬‬ ‫‪ -1‬حنجاف األول × نجاف الثانىك‬ ‫‪= 1 − (0.7  0.8) = 0.44‬‬ ‫‪104‬‬ ‫فشل‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.3‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫تمارين‬ ‫تمرين‪ :1‬سحبت ورقة من او ار اللعب ما هو احتمال أن تحمل الرقم ‪ 6‬أو صورة؟‬ ‫تمرين‪ :2‬ألقيت زهرة نرد مرة واحدة ما هو احتمال‬ ‫• ظهور العدد ‪ 2‬أو عدد فردن‬ ‫• ظهور عدد زوجي أو عدد أكبر من ‪. 2‬‬ ‫• ظهور عدد يقبل القسمة علي ‪ 2‬أو ‪. 3‬‬ ‫تمدرين‪ :3‬إذا كددان احتمددال ارتفدداع مؤشددر سددو األسددهم بالدولددة ‪ A‬هددو ح‪0.8‬ك واحتمددال ارتفدداع‬ ‫مؤش ددر س ددو األس ددهم بالدول ددة ‪ B‬ه ددو ح‪0.7‬ك‪ ،‬م ددا ه ددو احتم ددال أن يرتف ددع مؤش ددر س ددوقي أس ددهم‬ ‫الدولتين معاً؟‬ ‫تم درين‪ :4‬دوالب يحت ددون علد دى ‪ 3‬ملف ددات حم دراء و‪ 5‬ملف ددات س ددوداء س ددحب من ددة ملف ددين عشد دوا ياً عل ددي‬ ‫التوالي بدون إرجاع‪ ،‬فما هو احتمال‪:‬‬ ‫• أن يكون الملفين أسودين‬ ‫• أن يكون الملف األول أسود والثاني أحمر‬ ‫• أن يكون أحد الملفين أسود والثاني أحمر‪.‬‬ ‫‪105‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫الفصل السادس‪ :‬التوزيعات االحتمالية لمتغرر عشوائي واحد منفصل‬ ‫أهداف الفصل‪:‬‬ ‫بنهاية هذا الفصل سوف يصبح الطالب قادرا على أن‪:‬‬ ‫ يتفهم ما هي التوزيعات االحتمالية‪.‬‬‫ يتعرف على أنواع المتغيرات العشوائية التي يمكن تطبيق التوزيعات االحتمالية عليها‪.‬‬‫‪ -‬يتفهم ما هي التوزيعات االحتمالية الخاصة بالمتغيرات العشوائية المنفصلة والمتصلة‪.‬‬ ‫‪106‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫الفصل السادس‪ :‬التوزيعات االحتمالية لمتغير عشوائي واحد منفصل‬ ‫الجزء األول‪ :‬المتغررات العشوائية المنفصلة‬ ‫‪ :1-5‬توزيع و الحدين‪The Binomial Distribution :‬‬ ‫نفتر‬ ‫أننا لدينا تجر ة عشوا ية مثل رمي قطعة عملة أو زهدرة طاولددة علددى التدوالي أو‬ ‫سحب كرة من صندو بالتوالي‪ .‬كل عملية رمي أو سحب تسمى محاولة ‪ .Trial‬وكل‬ ‫محاولة من المحاوالت المتتالية يرتب بها احتمال حدوث حدث ما مثل حدث الحصددول‬ ‫علددى صددورة مددن رمددي قطعددة العملددة‪ ،‬أر ددع نق د عنددد رمددي الزه درة أو اختيددار ك درة بلددون‬ ‫معين عند السحب من الصندو ‪ .‬وفي كل حالة من الحاالت السابقة ييل االحتمال –‬ ‫احتمددال حدددوث الحدددث – ثابت داً ال يتغيددر مددن محاولددة إلددى أخددرى حكمددا فددي رمددي قطعددة‬ ‫العمل ددة أو رم ددي الزه درةك‪ .‬وه ددذا المح دداوالت تك ددون مس ددتقلة ‪ Independent‬وتس ددمى ف ددي‬ ‫الغالددب محدداوالت برنددوللي ‪ Bernoulli Trials‬وذلددك بعددد أن درسددها جدديمف برنددوللي‬ ‫‪ James Bernoulli‬في نهاية القرن السابع عشر‪.‬‬ ‫افتددر‬ ‫أن ‪ P‬يمثددل احتمددال حدددوث حدددث مددا فددي محدداوالت برنددوللي حيسددمى باحتمددال‬ ‫النجدداف ‪Probability of Success‬ك‪ .‬و التددالي يكددون ح‪q = 1 – p‬كيمثددل احتمددال عدددم‬ ‫حد دددوث الحد دددث فد ددي محاولد ددة واحد دددة حيسد ددمى باحتمد ددال الفشد ددل‬ ‫‪of‬‬ ‫‪Probability‬‬ ‫‪Failure‬ك‪ .‬واحتمددال حدددوث الحدددث بال ددب ‪ x‬مدرة فددي ‪ n‬محاولددة حأن ‪ x‬مدرة نجدداف‪،‬‬ ‫‪ n – x‬مرة فشلك يتحقق بالمعادلة‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫= ‪f ( x) = P( X = x) =   p x q n − x‬‬ ‫‪p x q n− x‬‬ ‫!)‪x!(n − x‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪107‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫حيث أن التغير العشوا ي ‪ X‬يشير إلى عدد مرات النجاف في ‪ n‬محاولددة كمددا أن = ‪x‬‬ ‫‪.0, 1, …, n‬‬ ‫وتسد ددمى دالد ددة االحتمد ددال المنفصد ددلة )‪(x‬‬ ‫‪ً f‬الب د داً توزيد ددع ذا الحد دددين‬ ‫‪Binomial‬‬ ‫‪ .Distribution‬حيددث ‪ x = 1, 2, …, n‬والتددي تتبددع الحدددود المتتاليددة فددي مفكددو ذن‬ ‫الحدين‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪(q + p) n = q n +  q n −1 p +  q n − 2 p 2 + ....... p n =    p x q n − x‬‬ ‫‪n =0  x ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫والحالتتتة الخافتتتة فتتتي توزيتتتع ي الحتتتدين عنتتتدما ‪ n = 1‬تستتتم توزيتتتع برنتتتوللي‬ ‫‪.Bernoulli Distribution‬‬ ‫‪ :1-1-5Properties of Binomial Distributions‬خصائص توزيع و‬ ‫الحدين‪:‬‬ ‫و صورة عامة كل تجر ة تحقق الشروأ التالية تسمى تجر ة ذو الحدين‬ ‫‪ -1‬تتدلف التجر ة من عدد معين من المحاوالت وليكن ‪n‬‬ ‫‪ -2‬نتيجة كل محاولة أحد ناتجين‪ ،‬نسمى إحداها نجاحا وا خر فشال‪.‬‬ ‫‪ -3‬نتيجة كل محاولة مستقل عن أن محاولة أخرى‪.‬‬ ‫‪ -4‬احتمال النجاف في كل محاولة ثابت و ليكن ‪p‬‬ ‫و كما في أن توزيع آخر نريد أن نعرف اإلحصاءات الوصفية للتوزيع ذو الحدين‪.‬‬ ‫‪ = np‬‬ ‫‪ 2 = np(1 − p) = npq‬‬ ‫‪ = npq‬‬ ‫الوس‬ ‫التباين‬ ‫االنحراف المعيارن‬ ‫‪108‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫مثتتال ‪ :1‬احتمددال الحصددول عل ددى ‪ 2‬صددورة بال ددب فددي ‪ 6‬محدداوالت مددن رمددي قطع ددة‬ ‫عملة متكامل التوازن هو‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6− 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6!  1   1 ‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪2!4!  2   2 ‬‬ ‫=‬ ‫‪ 6  1   1 ‬‬ ‫‪P( X = 2) =     ‬‬ ‫‪ 2  2   2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6  5  4  3  2  1  1  1  15‬‬ ‫‪= 0.23‬‬ ‫= ‪  ‬‬ ‫‪(2  1)  (4  3  2  1)  4  16  64‬‬ ‫=‬ ‫مثال ‪ :2‬ارمي قطعة عملة ‪ 100‬مرة‪ .‬واحسب عدد مرات ظهور الصورة‪ .‬أوجد الوسد‬ ‫الحسابي والتباين واالنحراف والتباين واالنحراف المعيارن لهذا التجر ة‪.‬‬ ‫الحل‪ :‬في ‪ 100‬رميددة لقطعددة عملددة متكاملددة التدوازن‪ ،‬فد ن التوقددع أو الوسد لعدددد مدرات‬ ‫ظهور الصورة هو ‪.  = np = 100  0.5 = 50‬‬ ‫والتباين‪.  2 = npq = 100  0.5  0.5 = 25 :‬‬ ‫وهذا يعني أن االنحراف المعيارن ‪ σ‬هو ‪ = npq = 100  0.5  0.5 = 25 = 5‬‬ ‫مثال ‪ :3‬إذا كانت نسددبة النجدداف فددي أحددد المقددررات هدي ‪ ، 0.8‬فد ذا تقدددم الختبددار ذلددك‬ ‫المقرر ‪ 15‬طالب‪ .‬ما هو احتمال أن ينجح‪:‬‬ ‫‪ -1‬جميد ددع الطد ددالب مد ددع حسد دداب الوسد د والتبد دداين و االنحد دراف المعيد ددارن‪ -2 .‬ثمانيد ددة‬ ‫طالب‪ -3 .‬ستة طالب‪ -4 .‬وال طالب‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪n = 15, p =15, q = 0.2‬‬ ‫ومن ثم فيمكن كتابة الدالة االحتمالية كالتالي‪:‬‬ ‫‪15 ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x = 1,2,3,…..15 P( X = x) =  (0.8) x (0.2)15− x‬‬ ‫‪ -1‬احتمال أن ينجح جميع الطالب مع حساب الوس والتباين و االنحراف المعيارن‬ ‫‪109‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪15 ‬‬ ‫‪P( X = 15) =  (0.8)15 (0.2)15−15‬‬ ‫‪15 ‬‬ ‫‪P( X = 15) = 1  0.035  1 = 0.035‬‬ ‫الوس ‪:‬‬ ‫‪ = np = 15  0.8 = 12‬‬ ‫التباين‪ 2 = npq = 15  0.8  0.2 = 2.4 :‬‬ ‫االنحراف المعيارن‪ = npq = 15  0.8  0.2 = 2.4 = 1.549  1.55 :‬‬ ‫‪ -2‬احتمال أن ينجح ‪ 8‬طالب‬ ‫‪15 ‬‬ ‫‪P( X = 8) =  (0.8) 8 (0.2)15−8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪P( X = 8) = 6435  0.1678  0.0000128 = 0.0138  0.014‬‬ ‫ح‪2‬ك احتمال أن ينجح ‪ 6‬طالب‬ ‫‪15 ‬‬ ‫‪P( X = 6) =  (0.8) 6 (0.2)15−6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪P( X = 6) = 5005  0.262  0.000000512 = 0.000672‬‬ ‫ح‪2‬ك احتمال أن ال ينجح أى طالب‬ ‫‪15 ‬‬ ‫‪P( X = 0) =  (0.8) 0 (0.2)15−0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪P( X = 0) = 1  1  3.2768E - 11 = 3.2768E - 11  0‬‬ ‫مثال ‪ :4‬إذا كانت نسبة االصابة بمر‬ ‫االنفلوان از في احدى المدن في فصل الشتاء‬ ‫هي ‪ ،0.6‬و تم اختيار ‪ 20‬شخص من هذا المدينة ‪ ,‬فما احتمال أن يكون‪:‬‬ ‫‪ -1‬سبعة اشخام مصابون باالنفلوان از‬ ‫‪110‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪ -2‬جميعهم أصحاء‬ ‫‪ -3‬جميعهم مرضى‬ ‫‪ -4‬نصفهم مرضى‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪n=20 p=0.6 q=0.4‬‬ ‫‪ 20 ‬‬ ‫‪P( X = x) =  (0.6) x (0.4) 20− x‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪x=0,12,3,……20‬‬ ‫‪ – 1‬احتمال ان يكون سبعة اشخام مصابون باالنفلوان از‬ ‫‪ 20 ‬‬ ‫‪P( X = 7) =  (0.6) 7 (0.4) 20−7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪P( X = 7) = 77520  0.028  0.00000671 = 0.01456  0.0146‬‬ ‫‪ -2‬احتمال ان يكون جميعهم أصحاء‬ ‫‪ 20 ‬‬ ‫‪P( X = 0) =  (0.6) 0 (0.4) 20−0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪P( X = 0) = 1  1  0 = 0‬‬ ‫‪—3‬احتمال ان يكون جميعهم مرضى‬ ‫‪ 20 ‬‬ ‫‪P( X = 20) =  (0.6) 20 (0.4) 20− 20‬‬ ‫‪ 20 ‬‬ ‫‪P( X = 20) = 1  0.00004  1 = 0.00004‬‬ ‫ح‪2‬ك احتمال أن يكون نصفهم مرضى‬ ‫‪ 20 ‬‬ ‫‪P( X = 10) =  (0.6)10 (0.4) 20−10‬‬ ‫‪ 10 ‬‬ ‫‪P( X = 10) = 184756  0.0060  0.0001 = 0.11085  0.111‬‬ ‫‪111‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫مثال ‪ :5‬صندو يحتوى على ‪ 7‬مصابيح‪ ،‬ف ذا كان احتمال أن يكون المصباف جيداً‬ ‫هو ‪ ، 0.8‬تم اختيار ‪ 3‬مصابيح عشوا ياً‪ ،‬ما احتمال‪:‬‬ ‫ح‪2‬ك أن تكون جميع المصابيح جيدة ‪ -2 .‬أن يكون هنا مصباف تالف‪ -3 .‬ان‬ ‫تكون جميع المصابيح تالفة‪ -4 .‬ان يكون هنا مصباف جيد على االقل‪.‬‬ ‫‪ -5‬ان يكون هنا مصباف جيد على االكثر‪.‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪n=3 p=0.8 q=0.2‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪P( X = x) =  (0.8) x (0.2) 3− x‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪x=0,12,3,‬‬ ‫ح‪2‬ك أن تكون جميع المصابيح جيدة‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪P( X = 3) =  (0.8) 3 (0.2) 3−3‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪P( X = 3) = 1  0.512  1 = 0.512‬‬ ‫‪ -2‬أن يكون هنا مصباف تالف‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪1 − P( X = 2) = 1 −  (0.8) 2 (0.2) 3− 2‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪= 1 − (3  0.64  0.2) = 1 − 0.384 = 0.616‬‬ ‫‪ -3‬ان تكون جميع المصابيح تالفة‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪P( X = 0) =  (0.8) 0 (0.2) 3−0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪P( X = 0) = (1  1  0.008) = 0.008‬‬ ‫‪ -4‬ان يكون هنا مصباف جيد على االقل‬ ‫‪112‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫)‪P( X  1) = P( X = 1) + P( X = 2) + P( X = 3‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪P( X  1) =  (0.8)1 (0.2) 3−1 +  (0.8) 2 (0.2) 3− 2 +  (0.8) 3 (0.2) 3−3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪P( X  1) = 0.0996 + 0.384 + 0.512 = 0.992‬‬ ‫‪ -5‬ان يكون هنا مصباف جيد على االكثر‪.‬‬ ‫)‪P( X  1) = P( X = 1) + P( X = 0‬‬ ‫‪P( X  1) = 0.096 + 0.008 = 0.104‬‬ ‫‪ :2-5‬توزيع بواسون‪Poisson Distribution :‬‬ ‫توزي ددع بواس ددون م ددن الن ددوع المنفص ددل وه ددو معن ددي ب ددالمتغير المنفص ددل ال ددذن يمث ددل ع دددد‬ ‫النجاح ددات ف ددي وح دددة ال ددزمن أو الفتد درة المكاني ددة‪ .‬ويمك ددن أن تك ددون وح دددة ال ددزمن ثاني ددة‪،‬‬ ‫دقيقة‪ ،‬ساعة أو يوم الى ما ًير ذلددك‪ .‬أمددا وحدددة الفتدرة المكانيددة فدديمكن أن تكددون وحدددة‬ ‫طول‪ ،‬مساحة‪ ،‬حجم أو ًير ذلك‪.‬‬ ‫ويعددرف هددذا التوزيددع بتوزيددع الحدوادث النددادرة‪ ،‬حيددث إند يصددلح للحدوادث نددادرة الحدددوث‬ ‫مثل عدد حوادث سقوأ الطا رات وعدد وصول رسا ل بالخطد لبريد مدينة ما‪.‬‬ ‫ويمثتتل هتتذا التوزيتتع حالتتة خافتتة متتن توزيتتع و الحتتدين و لتتك عنتتدما يكتتون احتمتتال‬ ‫النجاح فغر اًر جداً مقابل عدد تك اررات كبرر جداً‬ ‫‪113‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪ :1-2-5‬أمثلة عل توزيع بواسون‬ ‫‪ -1‬ف دي س ددنترال ه دداتف إح دددى الجامع ددات إذا ك ددان احتم ددال وص ددول مكالم ددة هاتفي ددة ف دي‬ ‫الدقيقددة ثابت ددا ف د ن ع دددد المكالم ددات الهاتفي ددة ف دي الدقيق ددة يعتب ددر متغي د ار عش دوا يا خاض ددعا‬ ‫لتوزيع بواسون‬ ‫‪ -2‬عدددد األخطدداء المطبعيددة ف دي الصددفحة الواحدددة فدي كتدداب مددا يعتبددر متغيد ار عش دوا يا‬ ‫خاضعا لتوزيع بواسون‬ ‫‪ -3‬عدد السمك الذن يصطاد فى منطقة محددة فى اليوم الواحد‬ ‫‪ -4‬عدد حوادث السيارات على طريق معين في األسبوع‬ ‫‪ -5‬عدد الرسا ل المفقودة فى مكتب بريد فى اليوم‬ ‫لك تكون تجربة عشوائية هي تجربة بواسون البد ان تحقق ما يل ‪:‬‬ ‫‪ -1‬معدددل عدددد النجاحددات التددى تحدددث فددى الفت درة المحددددة ثابددت ومعلددوم وسددنعبر عددن‬ ‫ذلددك بددالرمز ‪ ‬والحدد( هنددا أن عدددد النجاحددات يعنددي عدددد م درات حدددوث اليدداهرة التددي‬ ‫نحن بصدد دراستها خالل الفترة المحددة‪.‬‬ ‫‪ -2‬احتمال حدوث نجاف واحد فى فترة صغيرة جداً يتناسب مع طول تلك الفترة‬ ‫‪ -3‬إذا اعتبرنا عدد فترات منفصلة عن بع ددها الددبعل فد ن حدددوث النجاحددات فددى أى‬ ‫فترة مستقل عن حدوث النجاحات فى أى فترة أخرى‪.‬‬ ‫‪114‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪ :2-2-5‬خصائص توزيع بواسون‬ ‫افتددر‬ ‫‪ =‬‬ ‫الوس‬ ‫‪2 =‬‬ ‫التباين‬ ‫‪= ‬‬ ‫االنحراف المعيارن‬ ‫أن ‪ X‬تمثددل متغيد اًر عشدوا ياً منفصدالً يدخددذ القدديم ‪ 0, 1, 2, …,‬بحيددث أن دالددة‬ ‫االحتمال للمتغير ‪ X‬هي‪:‬‬ ‫‪x e − ‬‬ ‫!‪x‬‬ ‫= )‪x=0,1,2… f ( x) = P ( X = x‬‬ ‫حي د ددث أن ‪ λ‬تمث د ددل ثابت د داً موجب د داً‪ .‬يس د ددمى ه د ددذا التوزي د ددع بتوزي د ددع بواس د ددون‬ ‫‪Poisson‬‬ ‫‪ Distribution‬حنسددبة إلددى مكتشددف ‪ S.D. Poisson‬فددي بدايددة القددرن التاسددع عشددرك‪.‬‬ ‫والمتغير الددذن يكددون لد هددذا التوزيددع يسددمى بمتغيددر لد توزيددع بواسددون‪ .‬حيددث أن ‪ e‬هددي‬ ‫أسد د د د دداس اللوًد د د د دداريتم الطبيعد د د د ددي‪ ،‬و توجد د د د ددد فد د د د ددى معيد د د د ددم ا الت الحاسد د د د ددبة وقيمتهد د د د ددا‬ ‫هي‪:‬‬ ‫‪ e = 2.718‬تقريبا‪ ،‬و يمكن حساب قيمتها باستخدام ا لة الحاسبة‬ ‫ب تباع الخطوات التالية من اليسار الى اليمين‪ .‬مثالً إذا اردنا إيجاد ‪e -1.5‬‬ ‫مثتتال ‪ :1‬إذا كددان احتمددال أن يعدداني شددخص معددين كددرد فعددل سدديئ إلعطا د حقنددة مددن‬ ‫دواء معد ددين هد ددو ‪ .0.001‬احسد ددب احتمد ددال أن د د مد ددن بد ددين ‪ 2000‬شد ددخص )‪ (a‬يوج د ددد‬ ‫بال ددب ‪ 3‬يع ددانون م ددن حقن ددة ه ددذا ال دددواء‪ (b) .‬أكث ددر م ددن ‪ 2‬يع ددانون م ددن الحق ددن به ددذا‬ ‫الدواء‪.‬‬ ‫‪115‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫افتددر‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أن ‪ X‬تمثددل عدددد الددذين يعددانون مددن األثددر لهددذا الدددواء‪ .‬وحيددث أن األثددر السدديئ‬ ‫نادر الوقوع‪ .‬ف ننا نعتبر أن موزع توزيعاً بواسونياً‪:‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪e − x‬‬ ‫!‪x‬‬ ‫= )‪P( X = x‬‬ ‫‪ = np = 2000  0.001 = 2‬‬ ‫‪e −2 2 3 (2.71828) −2  6‬‬ ‫=‬ ‫‪= (2.71828) − 2 = 0.180‬‬ ‫!‪3‬‬ ‫‪3  2 1‬‬ ‫= )‪P( X = 3‬‬ ‫كما يمكن الحصول على قيمة ‪ e‬با لة الحاسبة كما يلي‪:‬‬ ‫])‪P( X  2) = 1 − [ P( x = 0) + P( X = 1) + P( X = 2‬‬ ‫‪ 2 0 e −2 21 e −2 2 2 e −2 ‬‬ ‫‪1  e −2 2  e −2 4  e −2 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1− ‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪ 1 + 1 + 2 1 ‬‬ ‫!‪1‬‬ ‫‪2! ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫!‪ 0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 − e−2 + 2e−2 + 2e−2 = 1 − 5e −2 = 0.323‬‬ ‫مثتتتال ‪ :2‬إذا ك ددان متوس د وص ددول الس ددفن ال ددى أح ددد الم دوانئ س ددفينتين ف ددي الي ددوم‪ .‬أوج ددد‬ ‫احتمال ان يصل الى هذا الميناء في يوم معين ثالث سفن‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪e −2 2 x‬‬ ‫!‪x‬‬ ‫= )‪P( X = x‬‬ ‫‪e −2 2 3‬‬ ‫‪= 0.18044704  0.180‬‬ ‫!‪3‬‬ ‫‪116‬‬ ‫= )‪P( X = 3‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫مثال ‪ :3‬إذا كان متوس عدد طالبي استخدام ماكينة السحب ا لي في أحد البنو هو‬ ‫‪ 5‬افراد كل نصف ساعة‪ .‬احسب االحتماالت التالية‬ ‫حأك أعداد الواصلين كل نصف ساعة بدن يكون‪ -1 :‬عشرة اشخام‪ -2 .‬يقل عن‬ ‫ثالثة اشخام‪ -3 .‬أكثر من شخص واحد‪ -4 .‬يتراوف العدد بين ار عة وثمانية‬ ‫اشخام‬ ‫حبك احسب نفف االحتماالت السابقة إذا كان معدل الوصول كل ساعة‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫حأك معدل الوصول كل نصف ساعة‬ ‫‪x = 0,1,2,.....  = 5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪e −5 5 x‬‬ ‫!‪x‬‬ ‫= )‪P( X = x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ -1‬عشرة اشخام‪.‬‬ ‫‪e −5 510‬‬ ‫= )‪P( X = 10‬‬ ‫‪= 0.018132789  0.018‬‬ ‫!‪10‬‬ ‫‪ -2‬يقل عن ثالثة اشخام‬ ‫)‪P( X  3) = P( X = 0) + P( X = 1) + P( X = 2‬‬ ‫‪e −5 5 0 e −5 51 e −5 5 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫!‪0‬‬ ‫!‪1‬‬ ‫!‪2‬‬ ‫= )‪P( X  3‬‬ ‫‪P( X  3) = 0.006737947 + 0.033689735 + 0.084224337 = 0.124652‬‬ ‫‪ -3‬أكثر من شخص واحد‬ ‫) )‪P( X  1) = 1 − (P( X = 0) + P( X = 1‬‬ ‫) )‪P( X  1) = 1 − (0.006737947 + 0.033689735‬‬ ‫‪P( X  1) = 1 − 0.040428 = 0.959572318  0.96‬‬ ‫‪117‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬حسن نبيه أبو سعد‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪ -4‬يتراوف العدد بين ار عة وثمانية اشخام‬ ‫)‪P(4  X  8) = P( X = 4) + P( X = 5) + P( X = 6) + P( X = 7) + P( X = 8‬‬ ‫‪e −5 5 4 e −5 5 5 e −5 5 6 e −5 5 7 e −5 58‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫!‪4‬‬ ‫!‪5‬‬ ‫!‪6‬‬ ‫!‪7‬‬ ‫!‪8‬‬ ‫= )‪P(4  X  8‬‬ ‫‪P(4  X  8) = 0.1754 + 0.1754 + 0.1462 + 0.1044 + 0.06527 = 0.666  0.67‬‬ ‫حبك االحتماالت السابقة إذا كان معدل الوصول كل ساعة‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= 2.5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x = 0,1,2,.....  = 5 ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫و يتم تقدير األجو ة على ًرار ما تم فيح أك‬ ‫‪118‬‬ ‫‪e −2.5 2.5 x‬‬ ‫!‪x‬‬ ‫= )‪P ( X = x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫الجزء الثاني‪ :‬التوزيعات االحتمالية لمتغرر عشوائي واحد متصل‬ ‫التوزيع الطبيعي ‪Normal Distribution‬‬ ‫التوزيع الطبيعدي ‪ Normal Distribution‬هدو أشدهر التوزيعدات االحتماليدة وذلدك لسدببين‪،‬‬ ‫أولهمددا هددو أن الكثيددر مددن اليدواهر تتبددع منحنددى التوزيددع الطبيعددي‪ ،‬أمددا السددبب ا خددر هددو أن‬ ‫هنددا نيريددة تقددول أن متوسد قدديم العينددات التددى يمكددن سددحبها مددن مجتمددع معددين تتددوزع وفقداً‬ ‫للتوزيع الطبيعي ولو لم يكن توزيع المتغير نفس يتبع التوزيع الطبيعي وهو ما يعدرف بنيريدة‬ ‫الحد المركزى ‪ Central Limit Theory‬ولذلك ف ن التوزيع الطبيعي يعد موضوعاً محورياً‬ ‫في علم اإلحصاء‪.‬‬ ‫ويعرف التوزيع الطبيعى أي اً بتوزيع جاوس حكدارل جداوسك حيدث جدرى نشدرا سدنة ‪1733‬م‪.‬‬ ‫دتمر لكون د يتكددون م ددن عدددد النه ددا ي مددن الق دديم‬ ‫ويعتبددر المتغيددر الطبيع ددى متغي د اًر عش دوا ياً مسد اً‬ ‫الحقيقية والتي يمكن ترتيبها على مقياس متصل‪ ،‬وهو من أهدم التوزيعدات فدي علدم اإلحصداء‬ ‫بل يعتبر أساسداً لكثيدر مدن النيريدات اإلحصدا ية الرياضدية ويلعدب دو اًر أساسدياً فدي اختبدارات‬ ‫الفد ددرو اإلحصد ددا ية وفت د درات الثقد ددة وًيد ددر ذلد ددك وأن الكثيد ددر مد ددن الصد ددفات كد ددالطول والد ددوزن‬ ‫ومسددتوى الددذكاء والددزوال ومددا إلددى ذلددك إذا قيسددت ولعدددد كبيددر مددن المشدداهدات ف د ن توزيعه ددا‬ ‫يقترب من التوزيع الطبيعي وإن لم يكن يدخذ صورة التوزيع الطبيعي‪ ،‬ويعرف بدسدماء مختلفدة‬ ‫منها التوزيع الجرسي لكون شكل يشب الجرس‪.‬‬ ‫خصائص التوزيع الطبيعي‬ ‫‪ .1‬منحنى التوزيع الطبيعى متصل يشب شكل الجرس ويمتد ذراع من ∞‪ -‬إلى ∞‪+‬‬ ‫واليلتقى بالمحور األفقى‪ ،‬ومعادلت الرياضية في الفتد درة ]–∞‪ [∞،‬هي‪:‬‬ ‫‪119‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫و جراء تكامل ‪ Y‬على الفترة ]–∞‪ [∞،‬نحصل على المساحة تحت المنحنى وفدو المحدور‬ ‫األفقي‪ ،‬والتمثيل البياني ل كما مبين بالشكل أعدالا وكدل نقطدة مدن نقداأ المنحندى تمثدل قيمدة‬ ‫لدالة تعرف بدالة كثافة االحتمال ح ‪Probability density function‬ك عند هذا النقطة‪.‬‬ ‫واالحتمال هنا أن في التوزيع المستمر هو قيمدة المسداحة تحدت منحندى دالدة الكثافدة المنداظرة‬ ‫لفتدرة ولدديف لنقطددة فالمسدداحة المحصددورة بددين المنحنددى والمحددور األفقددي و ددين النقطتددين ‪a, b‬‬ ‫تسدداون احتمددال المتغيددر العشدوا ي المسددتمر ‪ X‬أن قيمدة االحتمددال فددي الفتدرة ‪ .]a , b‬هددذا‬ ‫والمسدداحة الكليددة الواقعددة بددين منحددى التوزيددع المعتدددل والخ د األفقددي تسدداون الواحددد الصددحيح‬ ‫وهي ما تعرف بالمساحة تحت المنحنى = ‪.1‬‬ ‫‪ .2‬المنحنى متماثل حول محورا الوسطى حالعمود النازل من أعلى نقطة للمنحنى على الخد‬ ‫األفقيك‪ ،‬والتماثل يعني بدن صورة الشكل على أحد جانبي محور التماثل هي نفف الجزء‬ ‫الواقع على الجانب األخر‪ ،‬وموقع العمود على الخ األفقي يمثل قيمة الوسد الحسدابي‪.‬‬ ‫أن أن المنحنددى متماثددل حددول وسددط الحسددابي أو حددول المسددتقيم ‪ ، μ = x‬وأن ‪ μ‬هددي‬ ‫القيمة المتوقعة ويصل المنحنى لقيمت العيمى عندما ‪μ = X‬‬ ‫‪ .3‬للمنحند ددى المعتد دددل معلمتد ددين همد ددا الوسد د الحسد ددابي واالنحد دراف المعيد ددارن يحد ددددان شد ددكل‬ ‫المنحنددى‪ ،‬فدداختالف الوسد أو االنحدراف المعيددارن لتددوزيعين معتدددلين يعنددي اخددتالف فددي‬ ‫الشكل أو اختالف في المركز كما هو مبين بالشكل ا تي‪:‬‬ ‫‪120‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫‪ .4‬للمنحنى قمة واحدة أن ل منوال واحد‬ ‫‪ .5‬المتوسد ددطات الثالثد ددة متس د دداوية حالوس د د والوسد ددي والمن د دوالك بالنسد ددبة للمتغيد ددر العش د دوا ي‬ ‫الطبيعى‪.‬‬ ‫‪ .6‬المساحة الواقعة تحت المنحنى والمحصورة بالمستقيمين‪:‬‬ ‫أ‪ (σ – μ) = x -‬و ‪ (σ + μ) = x‬تس دداون ‪ %68.26‬تقريبد داً مد ددن المس دداحة الكليد ددة تحد ددت‬ ‫المنحنى أن ‪ %68.26‬من قيم المتغير العشوا ي الطبيعى تقع في المددى ‪μ ، σ + μ‬‬ ‫– ‪]σ‬‬ ‫ب‪ (σ2 – μ) = x -‬و ‪ (σ2 + μ) = x‬تساون ‪ %95.45‬تقريباً من المسداحة الكليدة تحدت‬ ‫المنحنى‪ ،‬أن ‪ %95.45‬من قيم المتغير العشوا ي الطبيعى تقع في المددى ‪، σ2 + μ‬‬ ‫‪]σ2 – μ‬‬ ‫ت‪ (σ3 – μ) = x -‬و ‪ (σ3 + μ) = x‬تساون ‪ %99.73‬تقريباً من المسداحة الكليدة تحدت‬ ‫المنحنى أن ‪ %99.73‬من قيم المتغير العشدوا ي الطبيعدى تقدع فدي المدددى ‪، σ2 + μ‬‬ ‫‪]σ2 – μ‬‬ ‫أن أن وقوع أن مفردة على بعد ‪ 3 ،2 ،1‬انحرافات معيارية ح‪s, 2s, 3s‬ك من الوس‬ ‫الحسابي هي القيم السابقة كما مبين بالشكل ا تي‪:‬‬ ‫‪121‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫فعلدى سددبيل المثددال لددو فدر‬ ‫أن زمددن التصددنيع لمنددت وج مدا يتبددع التوزيددع الطبيعددي بمتوسد ‪30‬‬ ‫دقيق ددة وانحد دراف معي ددارن ‪ 2‬دقيقد ددة ف ند د يمكنن ددا أن نقد ددول أن ‪ %99.7‬م ددن اإلنت ددال يسد ددتغر‬ ‫من ‪ 24‬إلى ‪ 36‬دقيقة ح‪2 × 3 ± 30‬ك‬ ‫وإذا فر‬ ‫أن طول القطعة المنتجة يتبدع التوزيدع الطبيعدي بمتوسد ‪ 10‬مدم وانحدراف معيدارن‬ ‫‪ 0.01‬مم ف ن يمكننا مقارنة ذلك بالمواصفات المطلو دة‪ .‬فمدثال يمكنندا أن نقدول أن ‪%99.7‬‬ ‫مد ددن اإلنت د ددال يك د ددون طول د د بد ددين ‪ 9.97‬إل د ددى ‪ 10.03‬م د ددم ح‪0.01 ×3 ± 10‬ك‪ .‬ف د د ذا كان د ددت‬ ‫المواصفات تسمح بدن يكون هذا البعد بين ‪ 9.96‬و‪ 10.04‬مم ف ننا نستنتج أننا فدي الجاندب‬ ‫ا من فيما يزيد عن ‪ %99.7‬من الحاالت‪.‬‬ ‫أما لو كانت المواصفات تشترأ أن يكون هذا البعد بدين ‪ 9.99‬و ‪ 10.01‬مدم فد ن المخداطرة‬ ‫ستكون كبيرة‪ .‬فنحن نعلم أند فدي ‪ %68‬فقد مدن الحداالت يكدون هدذا الطدول مسداويا ح‪± 10‬‬ ‫‪0.01 *1‬ك‪ .‬و التالي ف ننا في هذا الحالة نتوقع أن نحقق المواصدفات فدي ‪ %68‬مدن الكميدة‬ ‫المنتجة‪ ،‬أن أن ‪ %32‬من اإلنتدال مدن المحتمدل أن يتجداوز المواصدفات المطلو دة‪ ،‬ومدن هندا‬ ‫نفكر في عدم القيام بهذا العملية أو اسدتخدام طريقدة إنتدال أخدرى‪ .‬وال يتوقدف األمدر عندد هدذا‬ ‫الحدد بدل يمكننددا تحديدد احتمدال تجدداوز أن قيمدة وذلددك مدن خدالل الجددداول اإلحصدا ية للتوزيددع‬ ‫الطبيعى القياسى والتى سيتم تناولها فيما بعد‪.‬‬ ‫‪122‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫التوزيع الطبيع القياس‬ ‫‪Standard Normal Distribution‬‬ ‫سبق اإلشارة إلى أن معادلة التوزيع الطبيعى السابق اإلشارة إليها تمكننا من حساب االحتمال‬ ‫لكل قيمة من قيم المتغير العشوا ى ‪ X‬وذلك بمعلومية ‪ μ‬و‪ ،σ‬واالحتمال فى هذا الحالددة‬ ‫ه ددو االرتف دداع تح ددت المنحن ددى عن ددد ه ددذا القيم ددة وذل ددك عل ددى النح ددو المب ددين بالش ددكل‬ ‫التالى‪:‬‬ ‫ولم ددا ك ددان المتغي ددر العشد دوا ى ‪ X‬يدخ ددذ قيمد داً النها ي ددة ف ددى أى فتد درة مح دددودة‪ ،‬فعند د ودذ فارتف دداع‬ ‫المنحنى الطبيعى عند نقطة معينة يصبح ًير ذى معنى وإنما تكون المساحة تحت المنحنى‬ ‫بددين حدددى المتغيددر هددى المطلو ددة حيددث تشددير إلددى ) ‪ f (a  x  b‬كمددا هددو مبددين بالشددكل‬ ‫التالى‪:‬‬ ‫‪123‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫وللحص ددول عل ددى المس دداحة تح ددت المنحن ددى والمحص ددورة ب ددين ‪ a,b‬يل ددزم إج دراء تكام ددل مح دددود‬ ‫لمعادلددة المنحنددى الطبيعددى السددابق اإلشددارة إليهددا‪ .‬وني د اًر لصددعو ة إج دراء مثددل هددذا التكددامالت‬ ‫واالنتش ددار الواس ددع الس ددتخدامات التوزي ددع الطبيع ددى ف ددتم تك ددوين ج ددداول خاص ددة بقيم ددة المس دداحة‬ ‫تحت المنحنى الطبيعى والمحصورة بين منتصدف التوزيدع وقيمدة قياسدية للمتغيدر العشدوا ى ‪Z‬‬ ‫‪ ،‬حيددث تشددير ‪ Z‬إلددى متغيددر عش دوا ى متصددل مددوزع وفق داً للتوزيددع الطبيعددى بمتوس د يسدداوى‬ ‫الصدفر )‪ (µ = 0‬وتبداين يسداوى الواحدد الصدحيح )‪ (σ = 1‬وهدو مدا يعدرف بدالتوزيع الطبيعدى‬ ‫القياسددى ‪ .Standard Normal Distribution‬وُيمكددن تحويددل قدديم المتغيددر ‪ X‬الموزعددة‬ ‫وفقاً للتوزيع الطبيعى إلى قيم ‪ Z‬موزعة توزيعاً طبيعياً قياسياً وفقاً للمعادلة التالية ‪:‬‬ ‫‪X -‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫=‪Z‬‬ ‫وإذا أردنا تحديد المساحة تحت المنحنى الطبيعى يجدب تحويدل قديم المتغيدر العشدوا ى ‪ X‬إلدى‬ ‫وحدات ‪ Z‬واستخدام الجداول اإلحصا ية الخاصة بذلك الستخرال المساحات المطلو ة‪.‬‬ ‫‪124‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫جدول التوزيع الطبيعي القياسي‬ ‫‪1.96‬‬ ‫‪0.09‬‬ ‫‪.0359‬‬ ‫‪.0753‬‬ ‫‪.1141‬‬ ‫‪.1517‬‬ ‫‪.1879‬‬ ‫‪.2224‬‬ ‫‪.2549‬‬ ‫‪.2852‬‬ ‫‪.3133‬‬ ‫‪.3389‬‬ ‫‪.3621‬‬ ‫‪.3830‬‬ ‫‪.4015‬‬ ‫‪.4177‬‬ ‫‪.4319‬‬ ‫‪.4441‬‬ ‫‪.4545‬‬ ‫‪.4633‬‬ ‫‪.4706‬‬ ‫‪.4767‬‬ ‫‪.4817‬‬ ‫‪.4857‬‬ ‫‪.4890‬‬ ‫‪.4916‬‬ ‫‪.4936‬‬ ‫‪.4952‬‬ ‫‪4964‬‬ ‫‪.4974‬‬ ‫‪.4981‬‬ ‫‪.4986‬‬ ‫‪4990‬‬ ‫‪0.08‬‬ ‫‪.0319‬‬ ‫‪.0714‬‬ ‫‪.1103‬‬ ‫‪.1480‬‬ ‫‪.1844‬‬ ‫‪.2190‬‬ ‫‪.2517‬‬ ‫‪.2823‬‬ ‫‪.3106‬‬ ‫‪.3365‬‬ ‫‪.3599‬‬ ‫‪.3810‬‬ ‫‪3997‬‬ ‫‪.4162‬‬ ‫‪.4306‬‬ ‫‪.4429‬‬ ‫‪.4535‬‬ ‫‪.4625‬‬ ‫‪.4699‬‬ ‫‪.4761‬‬ ‫‪.4812‬‬ ‫‪.4854‬‬ ‫‪.4887‬‬ ‫‪.4913‬‬ ‫‪.4934‬‬ ‫‪.4951‬‬ ‫‪.4963‬‬ ‫‪.4973‬‬ ‫‪.4980‬‬ ‫‪.4986‬‬ ‫‪.4990‬‬ ‫‪0.07‬‬ ‫‪.0279‬‬ ‫‪.0675‬‬ ‫‪.1064‬‬ ‫‪.1443‬‬ ‫‪.1808‬‬ ‫‪.2157‬‬ ‫‪.2486‬‬ ‫‪.2794‬‬ ‫‪.3078‬‬ ‫‪.3340‬‬ ‫‪.3577‬‬ ‫‪.3790‬‬ ‫‪.3980‬‬ ‫‪.4147‬‬ ‫‪.4292‬‬ ‫‪.4418‬‬ ‫‪.4525‬‬ ‫‪.4616‬‬ ‫‪.4693‬‬ ‫‪.4756‬‬ ‫‪.4808‬‬ ‫‪.4850‬‬ ‫‪.4884‬‬ ‫‪.4911‬‬ ‫‪.4932‬‬ ‫‪.4949‬‬ ‫‪.4962‬‬ ‫‪.4972‬‬ ‫‪.4979‬‬ ‫‪.4985‬‬ ‫‪.4989‬‬ ‫‪0.06‬‬ ‫‪.0239‬‬ ‫‪.0636‬‬ ‫‪.1026‬‬ ‫‪.1406‬‬ ‫‪.1772‬‬ ‫‪.2123‬‬ ‫‪.2454‬‬ ‫‪.2764‬‬ ‫‪.3051‬‬ ‫‪.3315‬‬ ‫‪.3554‬‬ ‫‪.3770‬‬ ‫‪.3962‬‬ ‫‪.4131‬‬ ‫‪.4279‬‬ ‫‪.4406‬‬ ‫‪.4515‬‬ ‫‪.4608‬‬ ‫‪.4686‬‬ ‫‪.4750‬‬ ‫‪.4803‬‬ ‫‪.4846‬‬ ‫‪.4881‬‬ ‫‪.4909‬‬ ‫‪.4931‬‬ ‫‪.4948‬‬ ‫‪.4961‬‬ ‫‪.4971‬‬ ‫‪.4979‬‬ ‫‪.4985‬‬ ‫‪.4989‬‬ ‫‪0.05‬‬ ‫‪.0199‬‬ ‫‪.0596‬‬ ‫‪.0987‬‬ ‫‪.1368‬‬ ‫‪.1736‬‬ ‫‪.2088‬‬ ‫‪.2422‬‬ ‫‪.2734‬‬ ‫‪.3023‬‬ ‫‪.3289‬‬ ‫‪.3531‬‬ ‫‪.3749‬‬ ‫‪.3944‬‬ ‫‪.4115‬‬ ‫‪.4265‬‬ ‫‪.4394‬‬ ‫‪.4505‬‬ ‫‪.4599‬‬ ‫‪.4678‬‬ ‫‪.4744‬‬ ‫‪.4798‬‬ ‫‪.4842‬‬ ‫‪.4878‬‬ ‫‪.4906‬‬ ‫‪.4929‬‬ ‫‪.4946‬‬ ‫‪.4960‬‬ ‫‪.4970‬‬ ‫‪.4978‬‬ ‫‪.4984‬‬ ‫‪.4980‬‬ ‫‪0.04‬‬ ‫‪.0160‬‬ ‫‪.0557‬‬ ‫‪.0948‬‬ ‫‪.1331‬‬ ‫‪.1700‬‬ ‫‪.2054‬‬ ‫‪.2389‬‬ ‫‪.2704‬‬ ‫‪.2995‬‬ ‫‪.3264‬‬ ‫‪.3508‬‬ ‫‪.3729‬‬ ‫‪.3925‬‬ ‫‪.4099‬‬ ‫‪.4251‬‬ ‫‪.4382‬‬ ‫‪.4495‬‬ ‫‪.4591‬‬ ‫‪.4671‬‬ ‫‪.4738‬‬ ‫‪.4793‬‬ ‫‪.4838‬‬ ‫‪.4875‬‬ ‫‪.4904‬‬ ‫‪.4927‬‬ ‫‪.4945‬‬ ‫‪.4959‬‬ ‫‪.4969‬‬ ‫‪.4977‬‬ ‫‪.4984‬‬ ‫‪.4988‬‬ ‫‪0.03‬‬ ‫‪.0120‬‬ ‫‪.0517‬‬ ‫‪.0910‬‬ ‫‪.1293‬‬ ‫‪.1664‬‬ ‫‪.2019‬‬ ‫‪.2357‬‬ ‫‪.2673‬‬ ‫‪.2967‬‬ ‫‪.3238‬‬ ‫‪.3485‬‬ ‫‪.3708‬‬ ‫‪.3907‬‬ ‫‪.4082‬‬ ‫‪.4236‬‬ ‫‪.4370‬‬ ‫‪.4484‬‬ ‫‪.4582‬‬ ‫‪.4664‬‬ ‫‪.4732‬‬ ‫‪.4788‬‬ ‫‪.4834‬‬ ‫‪.4871‬‬ ‫‪.4901‬‬ ‫‪.4925‬‬ ‫‪.4943‬‬ ‫‪.4957‬‬ ‫‪.4968‬‬ ‫‪.4977‬‬ ‫‪.4083‬‬ ‫‪.4988‬‬ ‫‪0.02‬‬ ‫‪.0080‬‬ ‫‪.0478‬‬ ‫‪.0871‬‬ ‫‪.1255‬‬ ‫‪.1628‬‬ ‫‪.1985‬‬ ‫‪.2324‬‬ ‫‪.2642‬‬ ‫‪.2939‬‬ ‫‪.3212‬‬ ‫‪.3461‬‬ ‫‪.3686‬‬ ‫‪.3888‬‬ ‫‪.4066‬‬ ‫‪.4222‬‬ ‫‪.4357‬‬ ‫‪.4474‬‬ ‫‪.4573‬‬ ‫‪.4656‬‬ ‫‪.4726‬‬ ‫‪.4783‬‬ ‫‪.4830‬‬ ‫‪.4868‬‬ ‫‪.4898‬‬ ‫‪.4922‬‬ ‫‪.4941‬‬ ‫‪.4956‬‬ ‫‪.4967‬‬ ‫‪.4976‬‬ ‫‪.4982‬‬ ‫‪.4987‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.01‬‬ ‫‪.0040‬‬ ‫‪.0438‬‬ ‫‪.0832‬‬ ‫‪.1217‬‬ ‫‪.1591‬‬ ‫‪.1950‬‬ ‫‪.2291‬‬ ‫‪.2611‬‬ ‫‪.2910‬‬ ‫‪.3186‬‬ ‫‪.3438‬‬ ‫‪.3665‬‬ ‫‪.3869‬‬ ‫‪.4049‬‬ ‫‪.4207‬‬ ‫‪.4345‬‬ ‫‪.4463‬‬ ‫‪.4564‬‬ ‫‪.4649‬‬ ‫‪.4719‬‬ ‫‪.4778‬‬ ‫‪.4826‬‬ ‫‪.4864‬‬ ‫‪.4896‬‬ ‫‪.4920‬‬ ‫‪.4940‬‬ ‫‪.4955‬‬ ‫‪.4966‬‬ ‫‪.4975‬‬ ‫‪.4982‬‬ ‫‪.5987‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪0.00‬‬ ‫‪.0000‬‬ ‫‪.0398‬‬ ‫‪.0793‬‬ ‫‪.1179‬‬ ‫‪.1554‬‬ ‫‪.1915‬‬ ‫‪.2257‬‬ ‫‪.2580‬‬ ‫‪.2881‬‬ ‫‪.3159‬‬ ‫‪.3413‬‬ ‫‪.3643‬‬ ‫‪.3849‬‬ ‫‪.4032‬‬ ‫‪.4192‬‬ ‫‪.4332‬‬ ‫‪.4452‬‬ ‫‪.4554‬‬ ‫‪.4641‬‬ ‫‪.4713‬‬ ‫‪.4772‬‬ ‫‪.4821‬‬ ‫‪.4861‬‬ ‫‪.4893‬‬ ‫‪.4918‬‬ ‫‪.4938‬‬ ‫‪.4953‬‬ ‫‪.4965‬‬ ‫‪.4974‬‬ ‫‪.4081‬‬ ‫‪.4987‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪0.0‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.3‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.7‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪0.9‬‬ ‫‪1.0‬‬ ‫‪1.1‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪1.3‬‬ ‫‪1.4‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪1.6‬‬ ‫‪1.7‬‬ ‫‪1.8‬‬ ‫‪1.9‬‬ ‫‪2.0‬‬ ‫‪2.1‬‬ ‫‪2.2‬‬ ‫‪2.3‬‬ ‫‪2.4‬‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪2.6‬‬ ‫‪2.7‬‬ ‫‪2.8‬‬ ‫‪2.9‬‬ ‫‪3.0‬‬ ‫األعداد داخل الجدول تعطي المساحة الواقعة تحت المنحن الطبيعي المعياري من ‪ Z=0‬إل قيمة موجبة‬ ‫لت ‪Z‬‬ ‫‪125‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫وتبد د ددين القد د دديم بالجد د دددول المسد د دداحة تحد د ددت المنحند د ددى لقد د دديم ‪ Z‬مد د ددن نقطد د ددة منتصد د ددف التوزيد د ددع‬ ‫ح‪ = Z‬صددفرك حتددى القيمددة ‪ . 3.09 = Z‬فمددثالً إذا أردنددا معرفددة المسدداحة لقيمددة ‪1.24 = Z‬‬ ‫نبحددث فددى الجدددول لمعرفددة المسدداحة وهددى ‪ 0.3925‬أى المسدداحة المحصددورة بددين ‪ = Z‬صددفر‬ ‫و‪ 1.24 = Z‬كمددا هددو مبددين بالشددكل حأك‪ ،‬وإذا أردنددا معرفددة المسدداحة التددى تحصددرها القيمددة ‪-‬‬ ‫‪ 1.5‬ف نن د ددا نبح د ددث ع د ددن المس د دداحة المقابل د ددة للقيم د ددة ‪ 1.50‬حالتوزي د ددع الطبيع د ددى متماث د ددلك وه د ددى‬ ‫‪ 0.4332‬كما هو مبين بالشكل حبك‪.‬‬ ‫وإذا أردنا تحديد المساحة تحت المنحندى الطبيعدى إلدى يمدين قيمدة موجبدة للمتغيدر ف نندا نطدرف‬ ‫المسداحة المقابلددة للقيمددة ‪ Z‬مددن ‪ .0.5‬فعلدى سددبيل المثددال إذا أردنددا معرفدة المسدداحة إلددى يمددين‬ ‫القيمة ‪ ، 0.35 = Z‬نطرف المساحة ‪ 0.1368‬حمستخرجة من الجدولك من ‪ 0.5‬أى‪:‬‬ ‫‪ 0.3632 = 0.1368 –0.5‬كما هو مبين بالشكل حلك‪ ،‬وإذا أردنا معرفة المساحة إلى يسار‬ ‫قيمة ‪ 2.15 = Z‬فنجدها ‪ 0.9842 = 0.5 + 0.4842‬كما هو مبين بالشكل حدك‪.‬‬ ‫‪126‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫وإذا أردن ددا تحدي ددد المس دداحة إل ددى يم ددين قيم ددة س ددالبة للمتغي ددر ف نن ددا ُن دديف ‪ 0.5‬إل ددى المس دداحة‬ ‫المقابلة للمتغير ‪ Z‬حفى قيمت المطلقةك‪ ،‬فمثالً لتحديد المسداحة إلدى يمدين القيمدة ‪z = -1.45‬‬ ‫ف نن ددا ُن دديف المس دداحة المقابل ددة للقيم ددة ‪ 1.45 = Z‬وه ددى ‪ 0.4625‬إل ددى ‪ 0.5‬تن ددتج المس دداحة‬ ‫المطلو ة وهى ‪ 0.9625 = 0.500 + 0.4625‬كما هو مبين بالشكل حهدك‪.‬‬ ‫وفد د د د د د ددى بعد د د د د د ددل األحيد د د د د د ددان قد د د د د د ددد يسد د د د د د ددتلزم التحليد د د د د د ددل اإلحصد د د د د د ددا ى معرفد د د د د د ددة المسد د د د د د دداحة‬ ‫أو االحتم د د د د د د ددال ب د د د د د د ددين قيمت د د د د د د ددين للمتغي د د د د د د ددر ‪ ، Z‬ف د د د د د د د ذا كان د د د د د د ددت القيمت د د د د د د ددين م د د د د د د ددوجبتين‬ ‫فد د د د د د د د د ن المس د د د د د د د دداحة المحص د د د د د د د ددورة بينهم د د د د د د د ددا تس د د د د د د د ددتخرل ب د د د د د د د ددالفر ب د د د د د د د ددين المس د د د د د د د دداحتين‬ ‫المقددابلتين لك د ودل منهم ددا‪ ،‬و المث ددل إذا كان ددت القيمتددين س ددالبتين‪ .‬فم ددثالً المس دداحة تح ددت المنحن ددى‬ ‫الطبيعى المحصورة بين ‪ 1.64 = Z ، 0.73 = Z‬هى ‪:‬‬ ‫‪ 0.1822 = 0.2673 – 0.4495‬كما هو مبين بالشكل حوك‪.‬‬ ‫‪127‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أما إذا كانت إحدى قيم ‪ Z‬موجبة واألخرى سالبة ف ن المسداحة المحصدورة بدين هداتين القيمتدين‬ ‫تُس ددتخرل ب ض ددافة المس دداحة المقابل ددة لك د ودل منهم ددا ف ددى الج دددول‪ ،‬فم ددثالً المس دداحة تح ددت المنحن ددى‬ ‫الطبيعدى بدين ‪ Z = -0.5‬و ‪ Z = 0.75‬تُسداوى ‪ ،0.4649 = 0.2734 + 0.1915‬كمدا هدو‬ ‫مبين بالشكل حوك أي اً‪.‬‬ ‫وف ددى بع ددل األحي ددان ق ددد يك ددون المطل ددوب ه ددو تحدي ددد قيم ددة ‪ Z‬المقابل ددة لمس دداحة معين ددة تح ددت‬ ‫المنحنى الطبيعى‪ ،‬فمثالً إذا أردنا تحديد قيمة ‪ Z‬التدى تحصدر مسداحة قددرها ‪ 0.1‬إلدى يمينهدا‬ ‫ففددى هددذا الحالددة نبحددث عددن قيمددة ‪ Z‬المقابلددة للمسدداحة ‪ 0.4‬فددى الجدددول ويتبددين أنهددا ‪.1.28‬‬ ‫حعلى الدارس تحديد ذلكك‪.‬‬ ‫مثتتال‪ :1‬إذا كددان عدددد الطلبددة الددذين يرًبددون فددى االلتحددا ب حدددى الكليددات العسددكرية ‪5000‬‬ ‫طالب‪ ،‬وكانت أطوالهم موزعة توزيعاً معتدالً بمتوس قدرا ‪ 165‬سم وانحراف معيارى‪ 10‬سم‪.‬‬ ‫فد ذا علمددت أن تلددك الكليددة تقبددل الطددالب الددذين تتدراوف أطدوالهم مددا بددين ‪ 145‬سددم و ‪ 185‬سددم‬ ‫فما هو عدد الطالب المحتمل قبولهم ‪.‬‬ ‫الحل‪ :‬إذا اعتبرنا أن طول الطالدب هدو متغيدر عشدوا ى )‪ (X‬موزعداً توزيعداً معتددالً أو طبيعيداً‬ ‫ف ن المطلوب هو ‪:‬‬ ‫)‪f (145 < X < 185‬‬ ‫‪ 145 −  x −  185 −  ‬‬ ‫‪=f ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪185 − 165 ‬‬ ‫‪ 145 − 165‬‬ ‫‪=f ‬‬ ‫‪Z ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪= f (-2 < Z < 2‬‬ ‫و الكشف فى جدول المساحة تحت المنحنى الطبيعى القياسى نجد أن المساحة المقابلة لد ح‪Z‬‬ ‫= ‪2‬ك هى ‪0.4772‬وعلي ‪.‬‬ ‫‪f (-2 < Z < 2) = 0.4772 + 0.4772 = 0.9544‬‬ ‫‪128‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫وذلك على النحو المبين بالشكل التالى‪:‬‬ ‫وعلى ذلك يكون عدد الطالب الذين ستقبلهم الكلية هو‪:‬‬ ‫‪5000  0.9544 = 472‬‬ ‫مثال‪ :2‬إذا كدان التوزيدع التكدرارى ل دغ الددم توزيعداً معتددالً وكدان متوسد ال دغ الطبيعدى‬ ‫‪ 110‬واالنح دراف المعي ددارى ه ددو ‪ 10‬فم ددا ه ددى نس ددبة األش ددخام المحتم ددل أن يك ددون ض ددغطهم‬ ‫‪ 140‬فدكثر‪.‬‬ ‫الحتتل‪ :‬إذا اعتبرنددا ضددغ الدددم متغيددر عش دوا ى )‪ (X‬يتددوزع توزيع داً معتدددالً ف د ن المطلددوب هددو‬ ‫حساب ‪:‬‬ ‫)‪f (X > 140‬‬ ‫وحيث أن ‪ 110 = µ‬مم ‪ 10 = σ ،‬مم‬ ‫)‪= f (Z > 3‬‬ ‫‪X −  140 − 110 ‬‬ ‫‪140 − 110 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪f (X > 140) = f ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ = f Z ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪129‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫‪‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫ومد ددن الشد ددكل السد ددابق يت د ددح أن المطلد ددوب هد ددو المسد دداحة الميللد ددة تحد ددت المنحند ددى‬ ‫الطبيع د ددى‪ ،‬وحي د ددث أن ج د دددول المس د دداحة تح د ددت المنحن د ددى الطبيع د ددى القياس د ددى تُب د ددين المس د دداحة‬ ‫المحصورة بين الصفر وقيمة )‪ (Z‬ف ن ‪:‬‬ ‫‪F (Z > 3) = 0.5 – 0.4987 = 0.0013‬‬ ‫أى أن احتمال الحصول على شخص يزيد ضغ دم عن ‪ 140‬مم ُيقدر بحوالى ‪.0.0013‬‬ ‫مثال‪ :3‬فى المثال السابق إذا علمدت أن احتمدال الحصدول علدى شدخص ضدغ دمد أقدل مدن‬ ‫قيمة معينة )‪ (X‬هو ‪ 0.8942‬فما هى قيمة ‪ X‬؟‬ ‫الحل‪ :‬بتحويل قيمة ‪ X‬إلى قيمة معيارية ‪:‬‬ ‫‪X − 110‬‬ ‫‪X −‬‬ ‫=‬ ‫‪σ‬‬ ‫‪10‬‬ ‫=‪Z‬‬ ‫‪X − 110 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f Z ‬‬ ‫‪ = 0.8942‬‬ ‫‪10 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫وحيددث أن جددداول المسدداحة تحددت المنحنددى الطبيعددى القياسددى ال تيهددر سددوى المسدداحة تحددت‬ ‫نصف المنحنى فيتم طرف ‪ 0.5‬من تلك المساحة‪ ،‬أى‪0.3942 = 0.5 – 0.8942 :‬‬ ‫و الكشددف عددن تلددك المسدداحة نجددد أنهددا تُقابددل قيمددة معياريددة قدددرها ‪ ،1.25‬وذلددك علددى النحددو‬ ‫المبين بالشكل التالى‪:‬‬ ‫‪X − 110‬‬ ‫‪10‬‬ ‫=‪ 1.25‬‬ ‫‪X – 110 = 12.5‬‬ ‫‪X=122.5‬‬ ‫‪130‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫مثال‪ :4‬ما هى قيمتى ‪ Z‬اللتان تحصران ‪ %90‬من قيم ‪ Z‬حول المتوس ‪.‬‬ ‫الحتتتل‪ :‬حي ددث أن التوزي ددع متماث ددل ح ددول المح ددور الوس ددطى للتوزي ددع‪ ،‬وج دددول التوزي ددع الطبيع ددى‬ ‫القياس ددى يب ددين المس دداحة تح ددت منتص ددف التوزي ددع‪ ،‬وعليد د فد د ن المس دداحة المحص ددورة ب ددين ‪،Z‬‬ ‫صددفر= المسدداحة المحصددورة بددين ‪ ، –Z‬صددفر = ‪0.45‬و الكشددف العكسددى عددن تلددك المسدداحة‬ ‫يتبددين أن قيمددة ‪ Z‬تبلددع ‪ .1.645‬أى أن ‪ Z = ± 1.645‬وذلددك علددى النحددو المبددين بالشددكل‬ ‫التالى‪:‬‬ ‫‪131‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫التوزيع الطبيع لمتوسط العرنات‬ ‫عند سحب عدة عينات من عشيرة معينة ف ننا نتوقدع أن متوسدطات هدذا العيندات تختلدف عدن‬ ‫بع ها البعل ولو أن كل هدذا المتوسدطات تقددير لقيمدة واحددة وهدى متوسد العشديرة‪ ،‬ولكدن‬ ‫االختالفددات بددين متوسددطات العينددات أقددل مددن االختالفددات بددين أفدراد العشدديرة‪ ،‬وكلمددا زاد حجددم‬ ‫ويمكدن تعريدف تبداين متوسد العيندات وكدذلك‬ ‫العينات كلما قلت االختالفات بدين متوسدطاتها‪ُ .‬‬ ‫االنحراف المعيارى لمتوس العينات على النحو التالى ‪:‬‬ ‫‪σ2‬‬ ‫تباين متوس العينات =‬ ‫‪n‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫االنحراف القياسى لمتوس العينات =‬ ‫‪n‬‬ ‫و ددذلك تك ددون متوس ددطات العين ددات الم دددخوذة م ددن توزي ددع طبيع ددى تت ددوزع أي د داً توزي ددع طبيع ددى‬ ‫‪σ2‬‬ ‫بمتوسد د د د د د د د د د د د د د د د د د د د د د د د د د = ‪ µ‬حمتوسد د د د د د د د د د د د د د د د د د د د د د د د د د العين د د د د د د د د د د د د د د د د د د د د د د د د ددةك وتبد د د د د د د د د د د د د د د د د د د د د د د د د دداين =‬ ‫‪n‬‬ ‫حأى بتباين ُيساوى تباين العشيرة مقسوماً على حجم العينةك أى أن‪:‬‬ ‫‪σ2‬‬ ‫ح ‪µ ،‬ك‪X ~ N‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ويمكن تطبيق جدول المساحات السابق لحساب االحتماالت المختلفة لتوزيدع المتوسدطات بعدد‬ ‫ُ‬ ‫تحويلها إلى توزيع طبيعى قياسى‪ ،‬حيث أن قيم ‪:‬‬ ‫)‬ ‫‪−‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫‪(X‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X −‬‬ ‫=‬ ‫‪σ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫= ‪Z‬‬ ‫تمرين‪ :‬إذا كانت ‪ X‬تتدوزع طبيعيداً بمتوسد = ‪ 100‬وتبداين = ‪ 25‬وأخدذ مدن العشديرة عيندات‬ ‫مكونة من ‪ 20‬فرداً‪ .‬احسب قيم ‪ X‬التى تحصر ‪ %99 ، %95‬من المتوسطات ؟‬ ‫‪132‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫تمارين‬ ‫‪ -1‬ف ددى إح دددى تج ددارب د ارس ددة أث ددر التس ددميد ا زوت ددى عل ددى نبات ددات ال ددذرة وج ددد أن المتوسد د‬ ‫الحسددابى لطددول العددود = ‪ 190‬سددم‪ ،‬والتبدداين فددى أطدوال النباتددات = ‪ 16‬سددم‪ ،‬والمطلددوب‬ ‫حسدداب االحتمدداالت ا تيددة والعدددد المتوقددع للنبات ددات فددى كددل حالددة إذا كددان العدددد الكل ددى‬ ‫للنباتات ‪ 1000‬نبات‪.‬‬ ‫‪ -1‬احتمال الحصول على نبات يزيد طول عن ‪ 182‬سم ‪.‬‬ ‫‪ -2‬احتمال الحصول على نبات يزيد طول عن ‪ 194‬سم ‪.‬‬ ‫‪ -3‬احتمال الحصول على نبات يقل طول عن ‪ 186‬سم ‪.‬‬ ‫‪ -4‬احتمال الحصول على نبات يقل طول عن ‪ 198‬سم ‪.‬‬ ‫‪ -5‬احتمال الحصول على نبات يتراوف طول بين ‪ 180 ،196‬سم‬ ‫‪ -6‬احتمال الحصول على نبات يتراوف طول بين ‪ 200 ،194‬سم‬ ‫‪ -7‬احتمال الحصول على نبات يتراوف طول بين ‪ 140 ،160‬سم‬ ‫‪ -8‬أوجد أطول وأقصر نبات فى المجموعة‬ ‫‪ -2‬فى دراسة أثر تددثير الدرى علدى طدول سدنابل القمدح قيسدت أطدوال ‪ 1000‬سدنبلة فوجدد أن‬ ‫الطول يبلغ فى المتوس ‪ 8‬سم‪ ،‬وأن معامل االختالف = ‪ ، %25‬احسب‪:‬‬ ‫‪ -1‬احتمال الحصول على سنبلة يزيد طولها عن ‪ 12‬سم‬ ‫‪ -2‬احتمال الحصول على سنبلة يقل طولها عن ‪ 12‬سم‬ ‫‪ -3‬احتمال الحصول على سنبلة يتراوف طولها بين ‪ 10 ، 9‬سم‬ ‫‪ -4‬احتمال الحصول على سنبلة يقل أو يزيد طولها عن ‪ 8.5‬سم ‪.‬‬ ‫‪ -5‬احتمال الحصول على سنبلة يتراوف طولها بين ‪ 6 ، 4‬سم ‪.‬‬ ‫‪ -6‬أوجد أطول وأقصر سنبلة فى التوزيع ‪.‬‬ ‫‪133‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫‪ -3‬ف ددى إحد دددى التجد دارب لد ارسد ددة أوزان مجموع ددة مد ددن الكتاكي ددت وجد ددد أن قيم ددة ‪ Z‬عند ددد وزن‬ ‫‪160‬جرام = ‪ ، 2‬وأن قيمة ‪ Z‬عند وزن ‪ 140‬جرام = ‪ ، 2-‬احسب‪:‬‬ ‫‪ -1‬احتمال الحصول على كتكوت يزيد وزن عن ‪ 157.5‬جرام‬ ‫‪ -2‬احتمال الحصول على كتكوت يقل وزن عن ‪ 157.5‬جرام‬ ‫‪ -3‬احتمال الحصول على كتكوت يتراوف وزن بين ‪ 161.5 ، 146.5‬جرام‬ ‫‪ -4‬احتمال الحصول على كتكوت يتراوف وزن بين ‪ 167.5 ، 151.5‬جرام‬ ‫‪ -5‬احتمال الحصول على كتكوت يتراوف وزن بين ‪ 141 ، 138‬جرام‬ ‫‪ -6‬أوجد أكبر وأقل وزن للكتكوت فى التجر ة‬ ‫‪ -4‬فدى عيندة حجمهدا ‪ 10‬مصدابيح كهر يدة مدن إنتدال أحدد المصدانع وجدد أن بهدا ‪ 3‬مصددابيح‬ ‫تالفددة‪ ،‬ف د ذا كانددت صددالحية المصددابيح ُيمكددن تقريبهددا بمنحنددى طبيعددى‪ ،‬وكددان لدددى أحددد‬ ‫تجار التجز ة ‪ 1000‬مصباف من إنتال نفف المصنع فاحسب‪:‬‬ ‫‪ -1‬احتمال الحصول على أكثر من ‪ 280‬مصباف سليم‬ ‫‪ -2‬احتمال الحصول على أقل من ‪ 280‬مصباف سليم‬ ‫‪ -3‬احتمال الحصول على عدد من ‪ 710 – 690‬مصباف سليم‬ ‫‪ -1‬إذا قررت الكلية منح مكافئة مالية قدرها ‪ 10‬جنيهات لكل طالب يحصل على درجة‬ ‫جيد جداً فى مادة اإلحصاء‪ ،‬وعند ظهور النتيجة تبين أن متوس الدرجات يبلغ ‪50‬‬ ‫درجة بانحراف معيارى يبلغ ‪ 10‬درجدات‪ .‬فد ذا كدان عددد الطدالب اللدذين تقددموا لهدذا‬ ‫االمتح ددان يبل ددغ ‪ 400‬طال ددب‪ ،‬فاحس ددب إجم ددالى المب ددالغ الت ددى س ددتدفعها الكلي ددة له دؤالء‬ ‫الطلبة‬ ‫‪134‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪ -6‬فى حفالت إحدى األسر بكلية الزراعة – جامعة المنوفية‪ ،‬اتفق متسابقان علدى أن يرمدى‬ ‫أحدددهما زهدرة الطاولددة فد ذا ظهددر الدرقم ‪ 1‬أو ‪ 3‬يكسددب ‪ 10‬نقدداأ‪ ،‬وإذا ظهددر خددالف ذلددك‬ ‫يخسر ‪ 5‬نقاأ ‪ ،‬ف ذا كان عدد أدوار اللعبة ‪ 30‬دور وكان من المحتم أن يحصل الرامى‬ ‫على ‪ 75‬نقطة لكى يفوز‪،‬‬ ‫فاحسب ‪ -1 :‬احتمال فوز الرامى‬ ‫‪ -2‬احتمال خسارة الرامى‬ ‫‪ -3‬احتمال أن تنتهى اللعبة بالتعادل‬ ‫‪ -7‬أوجد احتمال الحصول على صورتين فى ‪ 6‬رميات لقطعة عملة‬ ‫‪ -8‬عند رمى عملة متوازنة ثالث مرات أوجد احتمال ظهور ا تى ‪:‬‬ ‫حأك ‪ 3‬صور‬ ‫حبك صورتان حلك ‪ 2‬كتابة‬ ‫حدك ‪ 3‬كتابة‬ ‫‪ -9‬فى خمف رميات لزهرة طاولة أوجد احتمال أن ييهر الرقم ‪: 3‬‬ ‫حأك صفر من المرات ‪.‬‬ ‫حدك ثالث مرات ‪.‬‬ ‫حبك مرة واحدة ‪.‬‬ ‫حهدك أر ع مرات ‪.‬‬ ‫حلك مرتان‬ ‫حوك خمف مرات‬ ‫‪ -10‬عا لة لها ‪ 4‬أطفال‪ ،‬أوجد احتمال أن يكون بها حأك ولد على األقل ‪ ،‬حبك بنت واحدة‬ ‫‪ -11‬إذا كان ‪ %20‬من إنتال أحد مصانع المعلبات هدو إنتدال تدالف أوجدد احتمدال أن يكدون‬ ‫بين ‪ 4‬علب اختيرت عشوا ياً‪:‬‬ ‫‪135‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫حأك ‪ 1‬حبك صفر حلك علبتان على األكثر حدك ستكون جميعها تالفة‬ ‫‪ -12‬إذا كددان احتمددال أن يتخددرل طالددب التحددق بكليددة الز ارعددة بشددبين الكددوم هددو ‪ ، 0.4‬حدددد‬ ‫احتمال أن يكون من بين ‪ 5‬طالب‪:‬‬ ‫حبك يتخرل واحد فق‬ ‫حأك ال يتخرل أحد‬ ‫‪ -13‬ما هو احتمال الحصول على مجموع ‪ 9‬فى ‪ 6‬رميات لزهرتى طاولة‬ ‫حأك مرتان‬ ‫حبك مرة واحدة‬ ‫‪ -14‬فددى عين ددة مكون ددة م ددن ‪ 400‬علب ددة‪ ،‬إذا ك ددان احتمددال وج ددود علب ددة معيب ددة ف ددى إنت ددال أح ددد‬ ‫مصانع األًذية هو ‪ 0.1‬أوجد‪:‬‬ ‫حأك الوس الحسابى‬ ‫حبك اإلنحراف المعيارى لتوزيع العلب المعيبة‬ ‫‪ُ -15‬قذفت زهرة طاولة ‪ 120‬مرة أوجد احتمال أن ييهر الوج ‪:4‬‬ ‫حأك ‪ 18‬مرة على األقل‬ ‫حبك ‪ 14‬مرة على األكثر‬ ‫‪ -16‬إذا كان ‪ %10‬من األدوات المنتجدة فدى عمليدة صدناعية معيندة هدى أدوات تالفدة‪ ،‬أوجدد‬ ‫احتمال أن يكون فى ‪ 10‬من هذا األدوات وحدتان تالفتان باستخدام‪:‬‬ ‫حأك توزيع ذى الحدين‬ ‫حبك توزيع بواسون‬ ‫‪136‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪ -17‬إذا ك ددان احتمد ددال أن ُيعد ددانى حيد دوان مد ددن رد فعد ددل سد دديئ عند ددد حقند د بمصد ددل معد ددين هد ددو‬ ‫‪ ،0.001‬أوجد احتمال أن من بين قطيع مكون من ‪ 2000‬حيوان‪:‬‬ ‫حأك ‪ 3‬بال ب‬ ‫حبك أكثر من ‪ 2‬سيعانون من رد فعل سيئ‬ ‫‪ -18‬أوجد احتمال تخمين اإلجابة الصحيحة على ‪ 6‬من األسئلة على األقل فى إمتحان ح √‬ ‫أو × ك مكون من ‪ 10‬أسئلة‬ ‫‪ -19‬ف ددى توزي ددع طبيع ددى وج ددد أن ‪− x ) 2 =6000‬‬ ‫‪ (x‬‬ ‫‪= 1000,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫نقطتين يحصران بينهما ‪ %95‬من القيم‬ ‫فدوج ددد‪-1 :‬‬ ‫‪ -2‬قيمتين يحصران بينهما ‪ %99‬من القيم‬ ‫‪ -3‬أقل وأعلى قيمة للمتغير ‪ X‬إذا كانت عدد المفردات = ‪10‬‬ ‫‪ -20‬صددندو ب د ‪ 1000‬ك درة منهددا ‪ 500‬بي دداء و ‪ 500‬حم دراء ‪ ،‬إذا ُس دحبت ‪ 25‬ك درة‪ ،‬فمددا‬ ‫هو احتمال‪:‬‬ ‫‪ -1‬أن تحتوى على ‪ 10‬كرات بي اء ؟‬ ‫‪ -2‬أن تحتوى على أقل من ‪ 8‬كرات بي اء ؟‬ ‫‪ -3‬أن تحتوى على ‪ 15 – 10‬كرة بي اء ؟‬ ‫‪137‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫‪ -21‬إذا كان المتوس الحسابى لددرجات مجموعدة مدن الطدالب فدى إحددى المدواد ُيقددر بنحدو‬ ‫‪ 85‬درجة بانحراف معيارن ‪ 10‬درجات وكان ‪ % 2.28‬من الطالب حصلوا على تقدير‬ ‫ممتاز أوجد أقل درجة ُيمكن للطالب الحصول عليها حتى يحصل على تقدير ممتاز‬ ‫‪ -22‬إذا كانت أطوال مجموعة من النباتات تتبع التوزيع الطبيعى بمتوس حسدابى ‪ 150‬سدم‬ ‫وانحد دراف معي ددارى ق دددرا ‪ σ‬فد د ذا ك ددان ‪ %0.62‬م ددن النبات ددات تتخط ددى أطواله ددا ‪ 160‬س ددم‬ ‫احسب قيمة تباين التوزيع‬ ‫‪138‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫الفصل السابع‪ :‬التوزيع االحتمالي والتوقع لمتغررين عشوائررن‬ ‫أهداف الفصل‪:‬‬ ‫بنهاية هذا الفصل يصبح الطالب قادرا على أن‪:‬‬ ‫ يتفهم التوزيعات االحتمالية لمتغيرين عشوائيين معا‪.‬‬‫ يتفهم ماهية االحتمال المزدوج‪.‬‬‫ يحسب احتمال وقوع حدث متعلق بمتغيرين عشوائيين في نفس الوقت‪.‬‬‫‪ -‬يحسب االرتباط بين المتغيرين العشوائيين محل الدراسة‪.‬‬ ‫‪139‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫الفصل السابع‪ :‬التوزيع االحتمالي والتوقع لمتغررين عشوائررن‬ ‫فد ددي كثيد ددر مد ددن األحيد ددان يتند دداول التحليد ددل اإلحصد ددا ي متغي د درين عش د دوا يين أو أكثد ددر وتعكد ددف‬ ‫محاوالت التجر ة قيم احتمال هذا المتغيرات وكذلك احتمال حدوث هذا القيم معداً فيمدا يعدرف‬ ‫أن هنا متغيرين عشوا يين ‪ x , y‬وقديم كدل مدن‬ ‫باالحتمال المزدول‪ .‬ولبيان ذلك دعنا نفتر‬ ‫المتغيرين هى‪:‬‬ ‫} ‪x = {x 1 , x 2 , x 3 ,...x n‬‬ ‫} ‪y = {y 1 , y 2 , y 3 ,...y m‬‬ ‫ومن ثم يمكن تكوين جدول للتوزيع االحتمالى لهذين المتغيرين على النحو كالتالي‪:‬‬ ‫) ‪f (x i , y j‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫‪…….‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫) ‪f (x n , y 1‬‬ ‫‪…….‬‬ ‫) ‪f (x 3 , y 1‬‬ ‫) ‪f (x 2 , y 1‬‬ ‫) ‪f (x 1 , y 1‬‬ ‫‪y1‬‬ ‫) ‪f (x 3 , y 2‬‬ ‫) ‪f (x 2 , y 2‬‬ ‫) ‪f (x 1 , y 2‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫) ‪f (x 3 , y 3‬‬ ‫) ‪f (x 2 , y 3‬‬ ‫) ‪f (x 1 , y 3‬‬ ‫‪y3‬‬ ‫‪…….‬‬ ‫‪…….‬‬ ‫‪…….‬‬ ‫‪…….‬‬ ‫‪…….‬‬ ‫‪…….‬‬ ‫‪…….‬‬ ‫‪…….‬‬ ‫‪…….‬‬ ‫‪…….‬‬ ‫‪…….‬‬ ‫‪…….‬‬ ‫) ‪f (x 3 , y m‬‬ ‫) ‪f (x 2 , y m‬‬ ‫) ‪f (x 1 , y m‬‬ ‫) ‪f (x n , y 2‬‬ ‫) ‪f (x n , y 3‬‬ ‫‪…….‬‬ ‫‪…….‬‬ ‫‪…….‬‬ ‫‪…….‬‬ ‫) ‪f (x n , y m‬‬ ‫‪…….‬‬ ‫‪…….‬‬ ‫‪…….‬‬ ‫‪…….‬‬ ‫‪…….‬‬ ‫‪…….‬‬ ‫‪…….‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ym‬‬ ‫ويعرف االحتمال المزدول للقيمة ‪ x i‬من المتغير العشوا ي ‪ x‬والقيمة ‪ y j‬من المتغير ‪ y‬بدن‬ ‫‪x = xi & y = y j‬‬ ‫‪number of‬‬ ‫‪Total number in sample space‬‬ ‫= ) ‪f ( xi , y j‬‬ ‫واالحتمال المزدول ل نفف خصا ص االحتمال في حالة متغير عشوا ي واحد بمعني أن‬ ‫االحتمال دا ما موجب ومجموع االحتماالت المزدوجة للمتغيرين= ‪ 1‬أن أن‪:‬‬ ‫‪f (x i , y j )  0‬‬ ‫‪140‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪f (x i , y j ) = 1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪y =1‬‬ ‫‪x =1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪i = 1, 2,3,..............n‬‬ ‫‪j = 1, 2,3,.............m‬‬ ‫التوزيع االحتمالي الحدي والتوزيع االحتمالي الشرطي‬ ‫يعد ددرف التوزيد ددع االحتمد ددالي الحد دددن لقيمد ددة المتغيد ددر العشد دوا ي علد ددى أند د مجمد ددوع االحتمد دداالت‬ ‫المزدوجة التي تيهر فيها هذا القيمة أن أن‪:‬‬ ‫‪m‬‬ ‫) ‪f ( xi , y‬‬ ‫‪m‬‬ ‫) ‪f ( x, yi‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x =1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y =1‬‬ ‫= ) ‪f ( xi‬‬ ‫= ) ‪and f ( yi‬‬ ‫حيث أن ) ‪ f (x i ), f ( y j‬عبارة عن القيمة الخاصة باالحتمال الحدن لكل من المتغير‬ ‫‪ x , y‬أما االحتمال الشرطي لقيم المتغير العشوا ي ‪ y‬عند قيمة معينة من قيم المتغير‬ ‫العشوا ي ‪ x‬فهو النسبة بين االحتمال المزدول للمتغير ‪ y‬مع المتغير العشوا ى ‪ x‬عند القيمة‬ ‫‪ xi‬واالحتمال الحدن لقيمة المتغير العشوا ي ‪ xi‬كالتالي‪:‬‬ ‫) ‪f ( y / xi ) = f ( xi , y) / f ( xi‬‬ ‫و نفف األسلوب يعرف االحتمال الشرطي لقيم المتغير العشوا ي ‪ x‬عند قيمة معينة من قيم‬ ‫المتغير العشوا ي ‪ y‬على أنها‪:‬‬ ‫) ‪f ( x / yi ) = f ( x, y j ) / f ( y j‬‬ ‫ومن هاتين المعادلتين يتبين أن‪:‬‬ ‫) ‪f (x , y j ) = f (x / y j ) / f ( y j‬‬ ‫) ‪f (x i , y ) = f ( y / x i ) / f (x i‬‬ ‫وإذا كان المتغيرين العشوا يين مستقلين إحصا يا ف ن‪:‬‬ ‫‪141‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫)‪f ( x y ) = f ( x‬‬ ‫) ‪f ( y x) = f ( y‬‬ ‫ويعني ذلك أن في حالة االستقالل اإلحصا ي ف ن االحتمال المزدول للمتغيرين العشوا يين‬ ‫‪ x , y‬يساون حاصل ضرب احتماالتها الحدية‪ ،‬أى أن‪:‬‬ ‫) ‪f ( x, y ) = f ( x). f ( y‬‬ ‫العزوم‬ ‫‪Moments‬‬ ‫يعرف العزم المركزن األول للمتغير العشوا ي ‪ x‬في حالة االحتمال المزدول بدن ‪:‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪y =1‬‬ ‫‪x =1‬‬ ‫) ‪  x f (x , y‬‬ ‫‪n‬‬ ‫) ‪ x f (x‬‬ ‫= ) ‪E (x‬‬ ‫=‬ ‫‪x =1‬‬ ‫أما العزم المركزن األول من الدرجة ‪ k‬فيمكن صياًت على النحو التالي‪:‬‬ ‫‪k‬‬ ‫) ‪f (x , y‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪y =1‬‬ ‫‪x =1‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫= ) ‪E k (x‬‬ ‫و نفف الطريقة يمكن إيجاد العزم المركزن من الدرجة ‪ k‬للمتغير العشوا ي ‪ y‬على النحو‪:‬‬ ‫‪k‬‬ ‫) ‪f (x , y‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪y =1‬‬ ‫‪x =1‬‬ ‫‪ y‬‬ ‫= ) ‪Ek (y‬‬ ‫أما العزم المركزن لحاصل ضرب المتغيرين ‪ x ,y‬فهو‪:‬‬ ‫) ‪f ( x, y‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪y =1‬‬ ‫‪x =1‬‬ ‫‪ x y‬‬ ‫= ) ‪E ( x, y‬‬ ‫ومما تجدر اإلشارة إلي أن توقع حاصل ضرب المتغيدرين العشدوا يين يختلدف تمامداً فدي حالدة‬ ‫االسدتقالل اإلحصددا ي عند فددى حالددة عدددم وجدود االسددتقالل اإلحصددا ي‪ ،‬ألند فددي حالددة وجددود‬ ‫االس ددتقالل اإلحص ددا ي يك ددون االحتم ددال الم ددزدول للمتغي درين ) ‪ ( xi , y j‬مس دداوياً لحاص ددل ض ددرب‬ ‫االحتمددالين الحدددين لهمددا‪ ،‬ويعددرف الكوفددارينف ‪ Covariance‬بدن د القيمددة المتوقعددة لحاصددل‬ ‫‪142‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫ضددرب انح ارفددات قدديم كددل مددن المتغي درين ) ‪ ( xi , y j‬عددن عزمهمددا المركددزن األول وذلددك علددى‬ ‫النحو التالى‪:‬‬ ‫]) ‪C ov(x , y ) = E [x − E (x )][ y − E ( y‬‬ ‫) ‪= E (x , y ) − E (x )E ( y‬‬ ‫وإلثبات هذا العالقة ف ن يمكن فك األقواس و استخدام تعريف القيمة المتوقعة يكون‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫) ‪ x f ( x, y‬‬ ‫‪x =1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ x f ( x) or‬‬ ‫= )‪E ( x‬‬ ‫‪x =1‬‬ ‫]) ‪Cov( x, y ) = E[ x − E1 ( x))( y − E1 ( y‬‬ ‫]) ‪E[ xy − E1 ( x) y − xE1 ( y ) + E1 ( x) E1 ( y‬‬ ‫) ‪[ xy − E 1 (x ) y − xE 1 ( y ) + E 1 (x )E 1 ( y )]f ( x , y‬‬ ‫) ‪yf ( x , y‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪Y =1‬‬ ‫‪x =1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫) ‪xyf (x , y ) − E 1 (x‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪xf (x , y‬‬ ‫‪Y =1‬‬ ‫) ‪f (x , y‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪Y =1‬‬ ‫‪x =1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Y =1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Y =1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪=‬‬ ‫‪x =1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪=‬‬ ‫‪x =1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪− E1 ( y ) ‬‬ ‫‪x =1‬‬ ‫) ‪+ E 1 (x )E 1 ( y‬‬ ‫و تقييم كل من األجزاء األر عة يكون الناتج على النحو التالى‪:‬‬ ‫) ‪= E (xy ) − 2E 1 (x )E 1 ( y ) + E 1 (x )E 1 ( y‬‬ ‫) ‪= E (xy ) − E 1 (x )E 1 ( y‬‬ ‫وفي حالة االستقالل اإلحصا ي ف ن‪f (x i , y j ) = f (x i )f ( y j ) :‬‬ ‫ومن ثم ف ن‪:‬‬ ‫‪143‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫‪n‬‬ ‫) ‪xyf ( x) f ( y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Y =1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫) ‪yf ( y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Y =1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪E ( xy ) = ‬‬ ‫‪x =1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪=  xf ( x‬‬ ‫‪x =1‬‬ ‫) ‪= E ( x).E ( y‬‬ ‫وعلى ذلك يكون الكوفارينف في حالة االستقالل اإلحصا ي‬ ‫) ‪Cov( x, y ) = E ( xy ) − E1 ( x) E1 ( y‬‬ ‫‪= E1 ( x) E1 ( y ) − E1 ( x) E1 ( y ) = 0‬‬ ‫أن أن في حالة االستقالل اإلحصا ي ف ن الكوفارينف = صفر‬ ‫مالحظة‪:‬‬ ‫إذا كانت ‪ ، L = a + bx , M = c + dy‬ف ن‪:‬‬ ‫) ‪C ov(L , M ) = bd cov(x , y‬‬ ‫‪144‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫االرتباط‬ ‫‪Correlation‬‬ ‫يقديف معامدل االرتبداأ مددى قدوة العالقدة بدين متغيدرين‪ ،‬كمدا يبدين اتجداا تلدك العالقدة‪ .‬ويعددرف‬ ‫معامد ددل االرتبد دداأ بد ددين المتغي د درين ) ‪ ( xi , y j‬بالمعادلد ددة‬ ‫= ) ‪ r ( x, y‬حيد ددث ‪  x2‬هد ددي‬ ‫) ‪cov( x, y‬‬ ‫‪ x2 . y2‬‬ ‫تب دداين ‪  y2 ، x‬ه ددى تب دداين المتغي ددر ‪ .y‬ويطل ددق عل ددى معام ددل االرتب دداأ ه ددذا معامتتتل ارتبتتتتاط‬ ‫بررسون ‪ . Pearson‬و التعويل عدن قديم الكوفدارينف وتبداين ك ودل مدن ) ‪ ، ( xi , y j‬كمدا يمكدن‬ ‫حساب معامل االرتباأ من العالقة التالية‪:‬‬ ‫‪y − nx y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫) ‪− nx 2 ) ( y 2 − ny 2‬‬ ‫وإذا كانت‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (x‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪ (x − x )( y − y‬‬ ‫) ‪ (x − x )  ( y − y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪r‬‬ ‫‪Z1 =  + bx , Z 2 =  + dy‬‬ ‫ف ن‪:‬‬ ‫)‪r (Z1 , Z 2 ) = r ( x, y‬‬ ‫ويمكن إثبات ذلك على النحو التالى‪:‬‬ ‫‪Z 1 =  + bx , Z 2 =  + dy‬‬ ‫‪C ov( Z 1 , Z 2 ) = bdC ov(x , y ),  2 ( + bx ) = b 2 x2 ,  2 ( + dy ) = d 2 2 y‬‬ ‫) ‪C ov( + bx ,  + dy‬‬ ‫‪b 2 x2 .d 2 2 y‬‬ ‫) ‪= r (x , y‬‬ ‫= ) ‪ r (Z 1, Z 2‬‬ ‫) ‪bdC ov(x , y‬‬ ‫‪bd  x2  2 y‬‬ ‫=‬ ‫وتقع قيمة معامل االرتباأ بين موجب و سالب واحد صحيح أن أن‪:‬‬ ‫‪1−  r  1‬‬ ‫‪145‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫ف ذا ما كان هنا‬ ‫استقالل إحصا ي بين المتغيرين ف ن معامل االرتباأ يكون مساوياً‬ ‫للصفر‪ ،‬والشكل التالي يبين الحاالت المختلفة لالرتباأ بين المتغيرين ) ‪( xi , y j‬‬ ‫قاعدة هامة‬ ‫إذا كانت ‪ Z = X ± y‬ف ن العزم المركزى األول يكون‪:‬‬ ‫) ‪( x  y )f ( x , y‬‬ ‫) ‪yf (x , y‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪y =1‬‬ ‫‪x =1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪Y =1‬‬ ‫‪x =1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫= ) ‪E 1 (z ) = E 1 (x  y‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪xf (x , y ) +‬‬ ‫‪y =1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫) ‪yf ( y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y =1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪=‬‬ ‫‪x =1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪=  xf (x ) +‬‬ ‫‪x =1‬‬ ‫) ‪= E 1 (x ) + E 1 ( y‬‬ ‫وكذلك يكون العزم التشتتى الثانى حالتباينك يكون‪:‬‬ ‫) ‪E 2 ( Z ) =  z2 =  x2 +  y2  2C ov(x , y‬‬ ‫حعلى الدارس إثبات ذلكك‬ ‫‪146‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫خواص معامل االرتباط‬ ‫يمكن حصر أهم خوام معامل االرتباأ في نقطتين ر يسيتين هما‪:‬‬ ‫‪ -1‬قيمة معامل االرتباأ ال تتدثر بجمع أو طرف أن قيمة إلي أو من البيانات األصلية‬ ‫التي تم حساب منها‪ ،‬ف ذا كان لدينا المتغيرين ) ‪ ( xi , y j‬وتم إضافة أو طرف ثابت ‪b‬‬ ‫من قيم المتغير ‪ x‬فيكون المتغير الجديد هو ‪ ، A‬وتم أي اً إضافة أو طرف ثابت‬ ‫أخر ‪ c‬من كل قيمة من قيم المتغير ‪ y‬ف ن المتغير الجديد سيكون ‪ ، B‬ف ن‪:‬‬ ‫) ‪r ( A , B ) = r (x , y‬‬ ‫ويمكن إثبات ذلك رياضياً على النحو التالى‪:‬‬ ‫‪A = x b, B = y c‬‬ ‫‪ E (A ) = E (x )  b , E (B ) = E ( y )  c‬‬ ‫‪, A 2 =  x 2 ,  B 2 =  y 2‬‬ ‫) ‪,Cov (A , B ) = Cov (x , y‬‬ ‫) ‪Cov (A , B‬‬ ‫= ) ‪r (A , B‬‬ ‫) ‪Cov (x , y‬‬ ‫= ) ‪ r (A , B‬‬ ‫‪ A 2 . B 2‬‬ ‫) ‪= r (x , y‬‬ ‫‪ x 2 . y 2‬‬ ‫‪ -2‬ال تتدثر قيمة معامل االرتباأ ب رب أو قسمة البيانات األصلية فى أى ثابت‪ ،‬حيث‬ ‫أن إذا تم ضرب قيم المتغير ‪ x‬في مقدار ثابت وليكن ‪ a‬فيكون المتغير الجديد ‪،A‬‬ ‫و المثل في حالة ضرب قيم المتغير ‪ y‬في مقدار ثابت وليكن ‪ b‬ف ن المتغير الجديد‬ ‫يكون ‪ B‬ف ن‪ r (A , B ) = r (x , y ) :‬أي اً‪ .‬ويمكن إثبات ذلك على النحو التالي‪:‬‬ ‫‪147‬‬ ‫ خالد فالح الدين طه‬.‫د‬.‫ أ‬، ‫ رجب مغاوري زين‬.‫د‬.‫أ‬ A = ax , B = by  E (A ) = a E (x ), E (B ) = b E ( y ),  A = a x ,  B = b y , Cov (A , B ) = ab C ov(x , y ) r (A , B ) = = Cov (A , B )  A B ab C ov(x , y ) a x .b y = C ov(x , y )  x . y  r (A , B ) = r (x , y ) 148 ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫الفصل الثامن‪ :‬التقدير اإلحصائي‬ ‫أهداف الفصل‪:‬‬ ‫بنهاية هذا الفصل يكون الطالب قادرا على أن‪:‬‬ ‫ يفهم ما هو التقدير اإلحصائي‪.‬‬‫ يتعرف على طرق التقدير اإلحصائي ويطبقها‪.‬‬‫ يفهم شروط طرق التقدير اإلحصائي‪.‬‬‫ يتعرف على خصائص التقديرات المقدرة بطرق التقدير المختلفة‪.‬‬‫‪ -‬يتعرف على طرق اختبارات معنوية القيم المقدرة للمتغيرات المختلفة محل الدراسة‪.‬‬ ‫‪149‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫الفصل الثامن‪ :‬التقدير اإلحصائي‬ ‫‪Statistical Estimation‬‬ ‫ناد اًر ما يواج الباحث عيندات مدن مجتمعدات ‪ Populations‬معدروف عنهدا علدى وجد الدقدة‬ ‫خصددا ص تلددك المجتمعددات‪ ،‬و عبددارة أخددرن ففددي أًلددب األحيددان عددادة مددا يكددون لدددن الباحددث‬ ‫مجموعة من المفردات التدي تنتمدي إلدي مجمدوع معدين والتدي علدى أساسدها يرًدب الباحدث فدي‬ ‫التعرف على خصا ص المجتمدع التدي تنتمدي إليد تلدك المفدردات‪ .‬ويطلدق علدى د ارسدة الطدر‬ ‫اإلحصددا ية التددى تسددتخدم لد ارسددة خصددا ص المجتمعددات مددن خددالل العينددات تعبيددر االسددتقراء‬ ‫اإلحصا ي ‪Statistical Inference‬‬ ‫وينقس ددم مج ددال االس ددتقراء اإلحص ددا ي إل ددى موض ددوعين ر يس دديين هم ددا التق دددير ‪Estimation‬‬ ‫واختبار صحة الفرو‬ ‫بوضددع فددرو‬ ‫الفد ددرو‬ ‫‪ .Testing Hypothesis‬ففي مشكلة اختبار الفرو‬ ‫يقوم الباحث‬ ‫معين د عددن المجتمد د د دع حأو المجتمعدداتك التددي سددحبت منهددا العينددة إال أن هددذا‬ ‫ال تحد دددد المجتمد ددع‪ ،‬ذلد ددك لعد دددم تحديد ددد القيمد ددة العدديد ددة لمعد ددالم ‪ Parameters‬ذلد ددك‬ ‫المجتم ددع‪ ،‬وم ددن هن ددا ت دددتى عملي ددة التق دددير لتحدي ددد الق دديم الرقمي ددة لتل ددك المع ددالم باختي ددار العين ددة‬ ‫دتناد إل ددى‬ ‫وتحدي ددد األس ددلوب المال ددم لتق دددير تل ددك الق دديم لواح ددد أو أكث ددر م ددن مع ددالم المجتم ددع اس د ً‬ ‫مفردات العينة التي سحبت من المجتمع موضوع االعتبار‪.‬‬ ‫وسوف يتم فى هذا الموضوع مناقشة طر التقدير ثم ننتقدل إلدى مناقشدة خصدا ص التقدديرات‬ ‫المختلفة مع تقييم النتا ج المترتبة على مختلف طر التقدير‪ .‬ومن األهمية بمكان التفرقة منذ‬ ‫البداية بدين طدر التقددير والقديم العدديدة الخاصدة للمعدالم التدي يمكدن الحصدول عليهدا بتطبيدق‬ ‫تلك الطر ‪ ،‬و عبارة أخرن ف ن من المهم التركيز على تقييم طدر التقددير بددالً مدن تقيديم قديم‬ ‫عدديددة معيند ‪ .‬هددذا ويمكددن تفهددم طبيعددة مشددكلة التقدددير عددن طريددق االسددتعانة بالمثددال التددالى‪:‬‬ ‫دعنا نفتر‬ ‫أن هنا أحد الباحثين في اإلنتال الحيواني يرًب في تقدير متوس الزيدادة فدي‬ ‫وزن قطيع من األًنام من ساللة معينة ولفترة زمنية محددة ولتكن ‪ 20‬يوم‪ ،‬جدرن فيهدا تغذيدة‬ ‫تلك األًنام على عليقة معينة وتم رعايتها بنفف األسلوب وفى ذات اليروف البيئيدة‪ ،‬وكاندت‬ ‫‪150‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫النتا ج التي تحصل عليها الباحث الممثلة للزيادة فدي الدوزن فدي عيندة األًندام هدي ‪،30 ،27‬‬ ‫‪ 30 ،30 ،31 ،31 ،31 ،32 ،32 ،33 ،28 ،28 ،28 ،29 ،29‬و د د د د د د ددافت ار‬ ‫أن هد د د د د د ددذا‬ ‫القراءات تمثل مفردات عينة عشوا ية من مجتمع ًير معروف معالم ‪ ،‬تتوزع فيد الزيدادة فدي‬ ‫الدوزن توزيعداً طبيعيداً بمتوسد قددرا ح‪µ‬ك‪ ،‬وأن المطلدوب تقددير متوسد الزيدادة فدي الدوزن لددذا‬ ‫المجتمع ح ‪ µ‬ك‪.‬‬ ‫وتتركدز مشددكلة التقددير هنددا فدي إيجدداد أنسددب عالقدة داليددة تدر بددين مفدردات العينددة والمجتمددع‬ ‫لتحديد أف ل تقدير للمعلم ح ‪ µ‬ك‪ .‬كذلك ف ن هنا ندوعين مدن التقدديرات للمعدالم‪ ،‬أمدا األولدي‬ ‫فيسددمي بتقدددير النقطددة ‪ Point Estimate‬أمددا الثدداني فيعددرف بالتقددديرات الفتريددة حالمرحليددةك‬ ‫‪ Interval Estimates‬والتقدددير النقطددي هددو األكثددر شدديوعاً‪ ،‬والتقدددير النقطددي هددو عدددد يددتم‬ ‫الحصد ددول علي د د مد ددن العمليد ددات الحسد ددابية التد ددي تجد ددرن علد ددى قد دديم جد ددرن مالحيتهد ددا للمتغيد ددر‬ ‫العشدوا ي‪ .‬ويعتبددر تقدددير النقطددة قيمددة تقريبيددة للمعلددم المدراد تقددديرا‪ ،‬فعلددي سددبيل المثددال إذا مددا‬ ‫الحينا أن نسبة العلب التالفة فدي أحدد آالت التعليدب إذا فحصدت ‪ 50‬علبدة متواليدة هدو ‪%5‬‬ ‫فديمكن فددي هددذا السدبيل القددول أن ‪ 0.05‬هددو تقددير مبددد ي للثابددت الخدام بتوزيددع ذن الحدددين‬ ‫فددي هددذا الحالددة حاحتمددال النجدداف السددابق اإلشددارة إليد ك‪ .‬أمددا التقدددير المرحلددى فهددو فتدرة تتحدددد‬ ‫بقيمتددين أحدددهما ت ددع حددداً أدنددي للمعلددم الم دراد تقددديرا بينمددا ت ددع األخددرى حددداً أقصددي لددذلك‬ ‫المعلم‪ .‬ويتوقف حساب هذين الحدين علي القيم التى يتم مالحيتها للمتغير العشدوا ي‪ ،‬والتدى‬ ‫من المتوقع أن يقدع المعلدم بدين الحدد األدندي والحدد األقصدي للتقددير الفتدرى الدذى تدم الوصدول‬ ‫إلي ‪.‬‬ ‫‪151‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫الفصل األول‪ :‬طرق التقدير‬ ‫‪Methods of Estimation‬‬ ‫سبق اإلشارة إلى أن مشكلة التقدير تكمن فى اختيار الطريقة المال مة التى ينتج عنها‬ ‫تقديرات تعبر عن معالم المجتمع المسحوب من العينة‪ ،‬ومن الطر شا عة االستخدام فى‬ ‫التقدير طريقة العزوم وطريقة المر عات الصغرى‪ ،‬باإلضافة إلى طريقة معيمة االحتمال‪.‬‬ ‫أوالً‪ :‬طريقة العزوم ‪Moments Method‬‬ ‫عند استخدام طريقة العدزوم للتقددير يجدرن تقددير عدزوم ومعدالم المجمدوع بداللدة عدزوم ومعدالم‬ ‫العينددة‪ ،‬و عبدداروة أخددرى يددتم اسددتخدام نفددف الصددور الرياضددية لتلددك العددزوم والمعددالم كمددا جددرن‬ ‫تعريفهددا فددي المجتمددع فددى حسدداب معددالم العينددة والتددى هددى تقدددير لمعددالم المجتمددع‪ ،‬وعلددى ذلددك‬ ‫تعرف عزوم العينة ‪ Sample Moments‬كعزوم المجتمدع باسدتخدام مفدردات العيندة‪ ،‬وفيمدا‬ ‫يلى تطبيق طريقة العزوم لتقدير معالم المجتمع أحادى المتغير وزوجى المتغيرات‪.‬‬ ‫‪ -1‬المجتمع أحادي المتغير‪Univariate Populations‬‬ ‫إذا مددا كانددت ‪ x1 , x 2 ,......x n‬عينددة عشدوا ية مددن مجتمددع معددين فد ن متوسد المجمددوع ح ‪ µ‬ك‬ ‫والذن سبق تعريف علي أن ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ x i , i = 1.2......n‬‬ ‫‪N‬‬ ‫حيدث ‪= N‬حجدم المجتمدع‪ ،‬ويمكدن تقددير متوسد المجتمدع باسدتخدام نفدف الدالدة بعدد تطبيقهدا‬ ‫=‪‬‬ ‫علي مفردات العينة‪ ،‬وعلي ذلك ف ن متوس العينة ‪x‬‬ ‫والذن يعرف كما يلي‪:‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪ x i , i = 1.2......n‬‬ ‫‪n i =1‬‬ ‫= ‪x‬‬ ‫حيث ‪ = n‬عدد مفردات العينة‪ ،‬يعد تقدي اًر لمتوس المجتمع ح ‪ µ‬ك‪ .‬ووفقاً لطريقة العدزوم فد ن‬ ‫العزم المركزن الثاني يكون‪:‬‬ ‫‪152‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪1 n 2‬‬ ‫‪ x i , i = 1.2......n‬‬ ‫‪n i =1‬‬ ‫= ) ‪E 2 (x‬‬ ‫و صفة عام ف ن أن عزم للمجتمع من الرتبة ‪ K‬يمكن تقديرا وفقاً لطريقة العزوم كما يلي‪:‬‬ ‫‪1 n k‬‬ ‫‪E k ( x) =  xi‬‬ ‫‪n i =1‬‬ ‫أمددا العددزوم التشددتتية حالتوقعددات حددول المتوس د الحسددابيك فدديمكن تقددديرها وفقداً لطريقددة العددزوم‬ ‫باستخدام نفف الصور التي سبق وأن ُعرضدت بهدا فدي حالدة المجتمدع‪ ،‬وعليد فدالعزم التشدتتى‬ ‫الثانى ح ‪  2‬ك يمكن حساب من الصيغة الرياضية التالية‪:‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪ =  (x 1 − x )2‬‬ ‫‪n i =1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫و صفة عامة يمكن تقدير العزم التشتتى من الرتبة ‪ K‬باستخدام الصورة‪:‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪E k ( x) =  ( xi − x ) k‬‬ ‫‪n i =1‬‬ ‫ويلددزم التنوي د فددي هددذا المجددال بدددن التقدددير المتحصددل علي د للمعلددم ح ‪  2‬ك باسددتخدام طريقددة‬ ‫العزوم تقدير متحيز وًير مرًوب استخدام في التطبيقات اإلحصا ية‪ ،‬وسيتبين لنا فيما بعد‬ ‫أن تقدي اًر أف ل للتباين ح ‪  2‬ك يمكن الحصول علي باستخدام الصورة‪:‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪( x1 − x ) 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n − 1 i =1‬‬ ‫= ‪2‬‬ ‫وعل ددى العم ددوم فكلم ددا ك ددان حج ددم العين ددة ‪ n‬كبيد د اًر كلم ددا ك ددان الف ددر ض ددئيالً باس ددتخدام أن م ددن‬ ‫الصورتين سالفتي الذكر‪.‬‬ ‫‪ .2‬المجتمع زوجي المتغيرات ‪Bivariate Population‬‬ ‫مددن ناحيددة أخددرن إذا كددان }) ‪ {(x 1 , y 1 ),(x 2 , y 2 ).......(x n y n‬تمثددل عينددة مددن مجمددوع‬ ‫زوجددى المتغي درات‪ ،‬ف ن د وفق داً لطريق ددة الع ددزوم يمكددن تق دددير كوف ددارينف المجتم ددع بتطبي دق نف ددف‬ ‫التعريف على مفردات العينة‪ ،‬أى أن‪:‬‬ ‫‪153‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪1 n‬‬ ‫) ‪ (x i − x )( y i − y‬‬ ‫‪n i =1‬‬ ‫= ) ‪C ov(xy‬‬ ‫و عبارة أخرن ف ن طريقة العزوم تعتمد في تقديرها على حقيقة أن العينة صدورة طبدق األصدل‬ ‫للمجتمع الذن سحبت من ‪ .‬أما معامل االرتباأ فقد سبق تعريف في حالة المجموع على أن ‪:‬‬ ‫) ‪cov( xy‬‬ ‫‪ x y‬‬ ‫= ) ‪r ( x1 y‬‬ ‫وطبقاً لطريقة العزوم ف ن معامل االرتباأ يمكن تقديرا كما يلي‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫) ‪ ( x − x )( y − y‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫‪ x2 . y2‬‬ ‫= ) ‪r ( x, y‬‬ ‫المجتمع الطبيعي زوجي المتغيرات ‪Bivariate Normal Population‬‬ ‫سدبق اإلشددارة إلددى اسددتخدام طريقددة العددزوم فدى حسدداب تقددديرات المتوسد والتبدداين والكوفددارينف‬ ‫واالرتبدداأ فددي المجتمددع زوجددي المتغي درات‪ ،‬و اإلضددافة إلددي ذلددك ف د ن طريقددة العددزوم يمكددن أن‬ ‫تستخدم فى الحصول علي تقديرات لمعالم الدوال االنحدارية ‪ ،Regression Function‬ف ذا‬ ‫كانت العالقة بين المتغيرين‬ ‫‪x,y‬‬ ‫يمكن التعبير عنها على النحو ‪y = a + bx‬‬ ‫فبتطبيق طريقة العزوم يمكن الحصول على تقديرات معالم الدالة )‪ (a, b‬على النحو التالى‪:‬‬ ‫‪y = a + bx‬‬ ‫‪ y = a + b x ,‬‬ ‫‪ E ( y ) = a + bE (x ) or‬‬ ‫‪ y 2 = b 2 x 2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ =  y − b x‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫‪154‬‬ ‫= ‪b‬‬ ‫‪a = y −‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫يانياً‪ :‬طريقة المربعات الدنيا ‪Least Squares Method‬‬ ‫اقترحت طريقة المر عات الددنيا كدسدلوب لتوفيدق المنحنيدات ‪ Fitting Curves‬لمجموعدة مدن‬ ‫البيان ددات المتعلق ددة بمتغيد درين أو أكث ددر‪ ،‬ويمك ددن الق ددول أن طريق ددة المر ع ددات ال دددنيا إن ه ددي إال‬ ‫طريقة لتقدير معالم الدول االنحدارية‪ .‬ولقدد تبدين فيمدا سدبق أند يمكدن اسدتخدام طريقدة العدزوم‬ ‫لتقدددير معددالم الدددوال االنحداريددة لمجتمددع طبيعددي زوجددي المتغي درات‪ ،‬وعلددي أن حددال يجددب أال‬ ‫يغيب عن أذهاننا أن في حالة قياس التغيرات التي تط أر علي زول من المتغيرات ف ن بياندات‬ ‫المتغير المستقل ‪ Independent Variable‬البد وأن تكون محددة تجريبياً أو محددة بعملية‬ ‫تعيين ًير عشوا ية ‪. Non – random Sampling‬‬ ‫ولنفدر‬ ‫أن البياندات المتدوافرة هدي }) ‪ ، {(x 1 , y 1 ),(x 2 , y 2 ).......(x n y n‬و دافت ار‬ ‫أن‬ ‫قراءات المتغير التابع ‪ (y) Dependent Variable‬مسدتقلة إحصدا ياً وأن متوسد )‪ (y‬هدو‬ ‫)…‪ ،E(y)=f(x, a, b,‬حيدث ‪ f‬تمثدل دالدة ذات صدورة رياضدية معروفدة وأن …‪ ...a,b,‬إلدخ‬ ‫معالم قيمتها العدديدة ًيدر معروفد ‪ ،‬وتعدرف الدالدة )‪ (f‬بدنهدا الدالدة االنحداريدة‪ .‬وتسدتند طريقدة‬ ‫‪‬‬ ‫المر عددات الدددنيا فددي تحديددد تقددديرات ح…‪a ,b,‬ك علددي اختيددار التقددديرات )‪ (a, b ....‬التددي تدددنى‬ ‫‪ Minimize‬مجموع مر عات الخطد التالي‬ ‫‪n‬‬ ‫])‪ =  [ y1 − f ( x1 , a, b...‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫ويمكن اعتبدار مجمدوع المر عدات السدابق بياند كمقيداس لحسدن المطابقدة ‪Goodness of fit‬‬ ‫للدالة االنحدارية‪ ،‬فكلما كان مجموع المر عات صغير كلما كانت المطابقة أف ل‪.‬‬ ‫تطبيقات عل استخدام طريقة المربعات الدنيا ف التقدير‬ ‫‪ -1‬تقدير متوسط المجتمع‬ ‫يمكن استخدام طريقة المر عات الدنيا إليجاد تقدير متوس المجتمع ح ‪ µ‬ك‪ ،‬ف ذا كان‪:‬‬ ‫‪E ( xi ) =  , i = 1,2,.....n‬‬ ‫‪155‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫وتفتر‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫طريقة المر عات الدنيا أن كل مفردة من مفردات العيندة تفتدر عدن متوسد المجتمدع‬ ‫ح ‪ µ‬ك بمق دددار خط ددد ‪ ، e‬حي ددث ) ‪ e = (X i − ‬ويبل ددغ توق ددع ه ددذا الخط ددد الص ددفر أن أن‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ، E (e i ) = 0‬ويكون مر ع الخطد ‪ e i‬مساوياً المقدار ‪ ، ( xi −  ) 2‬كما أن مجمدوع مر عدات‬ ‫الخطد‬ ‫‪‬‬ ‫هو‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ =  e =  (X −  )2‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫ويمكن بتدنية ‪ Minimize‬هذا الدالة الحصول علي تقدير المر عات الدنيا للمعلدم ) ‪ (‬وذلدك‬ ‫على النحو التالى‪:‬‬ ‫‪−  )2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ (X‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪= 2 (X i −  )(−1) =0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ X i = n ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪X i = X‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‪‬‬ ‫‪or‬‬ ‫ومددن ذلددك يتبددين أن طريقددة المر عددات الدددنيا تعطددي نفددف التقدددير لمتوس د المجتمددع الددذن تددم‬ ‫الحصول علي باستخدام طريقة العزوم‪.‬‬ ‫‪ -2‬االنحدار الخطي ‪Linear Regression‬‬ ‫لنفتر‬ ‫أن هنا متغيرين عشوا يين‬ ‫‪x,y‬‬ ‫ويراد تحديد العالقة بينهما‪ ،‬ويتوقف استقصاء‬ ‫العالقة بين المتغيرين علي مجموعة من المفردات ح‪n‬ك زوجية القياس أن عينة من المتغيرين‬ ‫علد ددى النحد ددو }) ‪ . {(x 1 , y 1 ),(x 2 , y 2 ).......(x n y n‬وتبد دددأ الد ارسد ددة بمحاولد ددة استكشد دداف‬ ‫الصورة الرياضية التقريبية التى تر بين المتغيرين وذلك بتوقيع مجموعة البيانات في صدورة‬ ‫رسم بياني‪ ،‬وعن طريق الرسم البياني يمكن الحكدم بصدفة مبد يدة عمدا إذا كاندت هندا عالقدة‬ ‫متميزة بين المتغير التابع )‪ Dependent Variable (y‬والمتغير المستقل ‪Independent‬‬ ‫‪156‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫)‪ ،Variable (x‬ويمك ددن االس ددتدالل م ددن الرس ددم البي دداني ع ددن طبيع ددة العالق ددة الدالي ددة بد دين‬ ‫المتغيرين‬ ‫‪x,y‬‬ ‫‪157‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫فف د ددى الش د ددكلين ح‪1‬ك و ح‪2‬ك يب د دددو جليد د داً أن العالق د ددة ب د ددين المتغيد د درين‬ ‫‪x,y‬‬ ‫عالق د ددة خطي د ددة‬ ‫مستقيمة‪ ،‬األولى ذات اتجاا سالب واألخدرى ذات اتجداا موجدب‪ ،‬والجدزء المقطدوع مدن المحدور‬ ‫ال أرس ددى موج ددب ف ددى كليهم ددا‪ .‬وف ددى الش ددكل ح‪3‬ك‪ ،‬يت ددح أي د داً وج ددود عالق ددة خطي ددة مس ددتقيمة‬ ‫موجبة االتجاا بين المتغيرين‪ ،‬إال أن الجزء من المحور الرأسى سدالب القيمدة‪ .‬أمدا فدى الشدكل‬ ‫ح‪4‬ك فالعالقدة بددين المتغيدرين نابعددة مدن نقطددة األصددل‪ ،‬بمعندى أن الجددزء المقطدوع مددن المحددور‬ ‫الرأسى قيمت مساوية للصفر‪.‬‬ ‫كم ددا ق ددد تك ددون العالق ددات دالي ددة ًي ددر مس ددتقيمة ب ددين المتغي درين‬ ‫‪x,y‬‬ ‫كم ددا ه ددو الح ددال ف ددى‬ ‫األشكال من الشكل ح‪5‬ك حتى الشدكل ح‪8‬ك‪ .‬فالشدكل ح‪5‬ك و ح‪6‬ك يبدين حالدة الددوال اللوًارتميدة‬ ‫والت ددي يمك ددن تحويله ددا بس ددهولة إل ددى عالق ددات خطي ددة مس ددتقيمة‪ .‬فعل ددي س ددبيل المث ددال ق ددد تك ددون‬ ‫العالقة علي الصورة‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ Y =  X‬وهذا يمكن تحويلهدا بسدهولة إلدي صدورة خطيدة مسدتقيمة‬ ‫إذا ما أخذت لوًاريتمات كل من الطرفين وذلك علي النحو‪:‬‬ ‫‪158‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪b‬‬ ‫‪Y = X‬‬ ‫‪ logY = log  + b log X‬‬ ‫‪= logY ,  * = log  , X * = log X‬‬ ‫كم ددا يمك ددن أن تك ددون العالق ددة عل ددى النح ددو‬ ‫‪= X‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫*‬ ‫‪=  * + bX * , Y‬‬ ‫*‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪ ، e‬وه ددي م ددا يطل ددق عليه ددا ال دددوال‬ ‫األسية‪ ،‬حيث ح‪e‬ك هي األساس اللوًداريتمي الطبيعدي=‪ 2.71828‬فديمكن تحويلهدا إلدى صدورة‬ ‫خطية مستقيمة بدخذ لوًاريتمات كل من الطرفين بالنسبة لألسداس الطبيعدي )‪ (e‬علدى النحدو‬ ‫التالى‪:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪eY =  X‬‬ ‫‪Y = ln  + b ln X‬‬ ‫‪Y =  * + bX * ,  * = ln  , X * = ln X‬‬ ‫‪Y = + X‬‬ ‫كذلك يمكدن أن تكدون العالقدة بدين‬ ‫‪x,y‬‬ ‫علدى شدكل دالدة قطدع مكدافئ‪ ،‬كمدا هدو الحدال فدى‬ ‫الشكلين ح‪7‬ك و ح‪8‬ك‪ ،‬وهذا يمكن تحويلها إلي شكل خطي علي النحو التالي‪:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫ًير أند فدي أًلدب األحيدان كثيد اًر مدا تكدون العالقدة بدين‬ ‫‪Y = +‬‬ ‫= * ‪Y =  + bX * , X‬‬ ‫‪x,y‬‬ ‫ًيدر واضدحة تمدام الوضدوف‬ ‫علددي النحددو السددابق اإلشددارة إليد فددى العالقددات السددابقة‪ ،‬ويعددزن ذلددك إلددي عوامددل الخطددد وعدددم‬ ‫االنتيدام التدي كثيد اًر مددا يعجدز الباحدث عددن الدتحكم فيهدا‪ ،‬وعليد فعندد توقيدع أزوال المشدداهدات‬ ‫}) ‪ً {(x 1 , y 1 ),(x 2 , y 2 ).......(x n y n‬الب د داً مد ددا يدخد ددذ الشد ددكل االنتشد ددارن‬ ‫‪ Diagram‬الصورة المبينة بالشكل رقم ح‪9‬ك‬ ‫‪159‬‬ ‫‪Scatter‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫و عبددارة أخددرن فد ن البيانددات المتحصددل عليهددا مددن د ارسددة العينددات والتجددارب ًالبداً مددا ال تقددع‬ ‫على خطوأ مستقيمة أو دوال م بوطة تماماً‪ ،‬وعلدى ذلدك فألًد ار‬ ‫القيداس واالختبدار فد ن‬ ‫و عبدارة أخدرن‬ ‫الصدور الداليدة المحدددة ‪ً Deterministic Function‬البداً ال تفدي بدالغر‬ ‫يلزم إدخال عامل يدل على الخطد أو عدم االنتيام والذن يعزن إلي عدم وقوع البيانات علي‬ ‫دوال م دبوطة تمامداً‪ ،‬وهدو الدذن يعدزن إليد انتشدار البياندات واتخاذهدا الشدكل المبدين بالشددكل‬ ‫االنتشارن رقم ح‪9‬ك‪ .‬وعلى ذلدك يدتم تحويدل النمدوذل الرياضدى إلدى نمدوذل إحصدا ى‪ ،‬ومدن ثدم‬ ‫يمكن كتابة الدالة الخطية المستقيمة على النحو‪:‬‬ ‫‪Y =  + bX + e‬‬ ‫حيددث ترمددز )‪ (e‬إلددى متغيددر عش دوا ي يعكددف عوامددل الخطددد وعدددم االنتيددام والددذن ر مددا يتخددذ‬ ‫قيماً موجبدة أو سدالب كمدا أند يتخدذ قيمدة مسداوية للصدفر وذلدك إذا مدا وقعدت قيمدة ح‪y‬ك علدى‬ ‫الخ المستقيم الذن يحدد العالق بين‬ ‫‪x,y‬‬ ‫كما هو واضح من الشكل التالى‪:‬‬ ‫‪160‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫وعلددي ذلددك ف د ن ح‪e‬ك متغيددر عش دوا ي ذو توزيددع احتمددالي معددين وتوقددع يسدداون الصددفر وتبدداين‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  e‬وذلك على النحو‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ef (e )de =0‬‬ ‫= ) ‪E 1 (e‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪E 2 (e ) =  e2 = E [(e − E 1 (e )]2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪ [(e − E (e )] de =‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫و عبارة أخرن ف ن ح‪e‬ك متغير عشدوا ي ذو توزيدع احتمدالي ًالبداً مدا قدد يكدون طبيعيداً ويسدتلزم‬ ‫تطبيددق طريق ددة المر ع ددات ال دددنيا لتق دددير الثواب ددت ‪  , ‬تبن ددي بع ددل الف ددرو‬ ‫الت ددي الب ددد م ددن‬ ‫توافرهد ددا لتطبيد ددق تلد ددك الطريقد ددة وذلد ددك فيمد ددا يتعلد ددق بد ددالتوزيع االحتمد ددالي لعنصد ددر الخطد ددد ح‪e‬ك‬ ‫و متوسد وتبداين وكوفددارينف هدذا المتغيددر‪ .‬أمدا فيمدا يتعلددق بمتوسد ح‪e‬ك فيفتددر‬ ‫الصفر أما بالنسبة لتباين عنصدر الخطدد فيفتدر‬ ‫أند يسدداون‬ ‫تسداوي لكدل مدن ‪ e1,e2,……….en‬وهدذا‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫م د ددا يطل د ددق علي د د تج د ددانف التب د دداين ‪ Homosecadicity‬أى‪،  e1 =  e 2 = ....... en =  :‬‬ ‫وثمة افت ار‬ ‫آخر البد مدن إي داح وهدو اسدتقالل األخطداء ح‪en,e2,e1‬كعدن بع دها الدبعل‬ ‫و عب ددارة أخ ددرن فد د ن ق دديم ح‪e‬ك مس ددتقلة ع ددن بع ددها ال ددبعل‪ ،‬كم ددا ويج ددب أن تك ددون األخط دداء‬ ‫مستقلة عن المتغير المستقل ح‪x‬ك‪ ،‬ويمكن صياًة تلك الفرو‬ ‫‪161‬‬ ‫على النحو التالى‪:‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪𝑒𝑖 ~𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝐷𝑖𝑠𝑡.‬‬ ‫‪𝐸(𝑒𝑖 ) = 0‬‬ ‫‪𝐸(𝑒𝑖2 ) = 𝜎 2‬‬ ‫𝑗 ≠ 𝑖 ‪𝐸(𝑒𝑖 𝑒𝑗 ) = 0,‬‬ ‫‪𝐸(𝑒𝑖 𝑥𝑖 ) = 0‬‬ ‫فد د ذا م ددا تد دوافرت ه ددذا الف ددرو‬ ‫فد د ن التق ددديرات الت ددي ي ددتم الحص ددول عليه ددا باس ددتخدام طريق ددة‬ ‫المر عات الدنيا تعرف بدف ل التقدديرات الخطيدة ًيدر المتحيدزة ‪Best Linear Unbiased‬‬ ‫)‪Estimators (BLUE‬‬ ‫المعادالت الطبيعية ‪Normal Equations‬‬ ‫كمددا سددبق القددول فد ن طريقدة المر عددات الدددنيا تسددتند إلددى تدنيددة مجمددوع مر عددات الخطددد ‪،  e i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫حيث )‪ (e‬تشدير إلدى الفدر بدين القيمدة المقددرة وقيمدة المشداهدة فدى المجتمدع‪ .‬ويمكدن اشدتقا‬ ‫مجموع مر عات الخطد على النحو التالى‪:‬‬ ‫‪Y i =  + bX + e i‬‬ ‫‪Y i =  + bX‬‬ ‫) ‪e i =Y i − ( + bX‬‬ ‫‪e i2 = (Y i −  − bX ) 2‬‬ ‫‪  e i2 =  (Y i −  − bX ) 2 = ‬‬ ‫ولتدنيد ددة مجمد ددوع مر عد ددات األخطد دداء ‪ ‬فيلد ددزم ذلد ددك إيجد دداد التفاضد ددل األول بالنسد ددبة لكد د ول مد ددن‬ ‫المعلمين ‪  , ‬ومساواة ذلك بالصفر كما يلى‪:‬‬ ‫‪162‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪ =  (Y i −  − bX )2‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪= 2 (Y i −  − bX )(−1) = 0.........(1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪= 2 (Y i −  − bX )(−X ) = 0........(2‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫و جراء بعل العمليات الجبرية على المعادلتين ح‪1‬ك وح‪2‬ك سالفتي الذكر يتبين أن‬ ‫)‪Y = n + b  X ..............(3‬‬ ‫)‪ X Y =   X − b  X ...(4‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫ويطلدق علددى المعددادلتين ح‪3‬ك و ح‪4‬ك المعددادالت الطبيعيددة‪ ،‬والتدي يمكددن عددن طريقهددا الحصددول‬ ‫عل ددى تق ددديرات المر ع ددات ال دددنيا للمعلمت ددين ‪  , ‬وذل ددك بقس ددمة طرف ددى المعادل ددة ح‪3‬ك عل ددى ‪n‬‬ ‫للحصول على تقدير المعلم األول ‪ ‬على النحو التالى‪:‬‬ ‫‪= n + b  X i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪Y =  + bX‬‬ ‫‪ =Y − bX‬‬ ‫و ددالتعويل بقيمددة ‪ ‬فددي المعادلددة ح‪4‬ك يمكددن الوصددول إلددى تقدددير للمعلددم األخددر ‪ b‬وذلددك‬ ‫على النحو التالى‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪=   X i −b  X‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪X Y‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪ =Y − bX‬‬ ‫‪= nX‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪  X iY i = (Y − bX ) X i + b  X i2‬‬ ‫‪+ b  X i2 ,‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪− bX‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪=Y‬‬ ‫‪  X iY i = nX Y − b nX 2 + b  X i2‬‬ ‫) ‪  X iY i − nX Y = b ( X i2 − nX 2‬‬ ‫وعلى ذلك يكون تقدير ‪ b‬كما يلي‪:‬‬ ‫‪163‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫‪− nX Y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪− nX‬‬ ‫‪X Y‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫= ‪b‬‬ ‫هذا ويمكن بسهولة إثبات أن‪:‬‬ ‫) ‪−Y‬‬ ‫‪ X Y − nX Y =  (X − X )(Y‬‬ ‫‪=  (Y −Y )X =  (X − X )Y‬‬ ‫) ‪ X − nX =  (X − X‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫وإذا فرض ددنا أن ) ‪ x i = (X i − X‬و ) ‪ y i = (Y i −Y‬ف دديمكن كتاب ددة تق دددير المعل ددم ‪ b‬عل ددى‬ ‫النحو التالى‪:‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪x y‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪b‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫وهددو مددا يعددرف بطريقددة االنح ارفددات‪ ،‬وتسددتخدم طريقددة االنح ارفددات فددى التقدددير لتبسددي األرقددام‬ ‫و صددفة خاصددة فددى حالددة مددا تكددون تلددك األرقددام كبي درة كالمسدداحات بالفدددان أو الصددادرات مددن‬ ‫األرز أو البطاطف مثالً بالطن‪ ،‬وًير ذلك من القيم الكبيرة للمتغيرات‪.‬‬ ‫هذا ويلزم التنوي في هذا المجال إلي أن كدل مدن التقدديرات المتحصدل عليهدا للمعلمدين ‪ , b‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫أن ‪  , b‬والقيم التقديرية للمتغير التابع ح‪y‬ك أن ‪ y‬كلها متغيرات عشوا ية‪ ،‬ويعزن ذلك في‬ ‫المقددام األول إلددي أن المتغيددر ح‪yi‬ك دالددة للمتغي درات العشدوا ية ح‪e1,e2,….en‬ك وعلددي ذلددك ف د ن‬ ‫‪‬‬ ‫ح‪yi‬ك يعتبر متغي اًر عشوا ياً‪ ،‬و المثل ف ن كل من ‪  , b‬دالة لقيم ح‪yi‬ك والتدي تبدين أند متغيدر‬ ‫‪ ‬‬ ‫عشدوا ي وعليد فد ن ‪  , b‬مددن البددديهي أنهددا واألمددر كددذلك متغيدرات عشدوا ية أي داً‪ ،‬كمددا أن‬ ‫و‬ ‫لكل من هذا المتغيرات العشوا ية توقع وتباين يمكن حساب ‪.‬‬ ‫‪164‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫ومددن الجدددير بالددذكر أن أحددد الخصددا ص األساسددية لمعادلددة االنحدددار أن د البددد وأن يمددر خ د‬ ‫االنحدددار بكد ودل م ددن ‪ ، X ,Y‬ويمكددن إثبددات ذل ددك رياضددياً بسددهولة‪ ،‬فدح ددد المعددادالت الطبيعي ددة‬ ‫هي‪:‬‬ ‫‪= −b X i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫و قسمة طرفي المعادلة على ح‪n‬ك يتبين لنا أن‪:‬‬ ‫‪Y =  + bX‬‬ ‫أن أن معادلة االنحدار البد وأن تمر بالنقطة التي يكون إحداثيها ‪X ,Y‬‬ ‫‪165‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫الفصل الثان ‪ :‬خصائص التقدير‬ ‫‪Properties of Estimation‬‬ ‫‪‬‬ ‫تتعلق المناقشة في هذا الباب بخوام التقديرات اإلحصا ية ألن تقدير وليكن ‪ ‬للمعلم ‪، ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ولما كان التقدير ‪ ‬هو في الواقع دالة لعدد معين من المالحيات وعلي فهو متغير عشوا ي‬ ‫يتغير بتغير المالحيات‪ .‬و عبارة أخرن ف ن عينة ثانية تعطي قيمة تقديري أخرن لنفف‬ ‫المعلم المراد تقديرا‪ ،‬وعلى ذلك ف ن مدن سالمة القيم المقدرة ال تتوقف فق‬ ‫على طريقة‬ ‫التقدير بل وأي اً على مدن سالمة العينة وتمثيلها للمجتمع الذن سحبت من ‪ .‬وللتقديرات‬ ‫اإلحصا ية خصا ص مرًو ة منها عدم التحيز ‪ ،Unbiasedness‬والكفاية ‪،Sufficiency‬‬ ‫والتناسق ‪ ،Consistency‬والكفاءة ‪.Efficiency‬‬ ‫أوالً‪ :‬التحرز ‪Bias‬‬ ‫‪‬‬ ‫يعددد التقدددير ‪ ‬تقدددي اًر متحي د اًز إذا كانددت قيمت د المتوقعددة تخددالف قيمت د علددي مسددتون المجتمددع‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫حالمعلمك‪ ،‬ف ذا ما رمزنا لتحيز التقدير ‪ ‬بالرمز) ‪ B( ‬فيكون‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B( ) = E ( ) − ‬‬ ‫ز ‪ Unbiased Estimator‬للمعلدم ح ‪‬‬ ‫ويكون ‪ B ( ) = 0‬إذا مدا كدان ‪ ‬تقددي اًر ًيدر متحيد اً‬ ‫ك‪.‬‬ ‫ويمكددن تفهددم طبيعددة تحيددز التقدددير وذلددك بسددحب كددل العينددات الممكنددة ذات حجددم ثابددت مددن‬ ‫‪‬‬ ‫مجتمع محدود وتقدير ‪ ‬لكل عين ‪ ،‬ثم إيجاد المتوس لكل التقديرات التي تدم التحصدل عليهدا‬ ‫من كافة العينات الممكنة‪ .‬ف ذا كان التقدير ًير متحيز ففي هدذا الحالدة فد ن القيمدة المتوقعدة‬ ‫للتقددير حمتوسد التقدديرات المتحصددل عليهدا مددن كددل العيندات الممكنددةك البدد وأن ينطبددق علددي‬ ‫قيمددة المعلددم ح ‪ ‬ك‪ ،‬أمددا إذا كددان التقدددير متحي د اًز ف د ن توقع د البددد وأن يفتددر عددن المعلددم الم دراد‬ ‫تقديرا‪.‬‬ ‫ورًددم أن عدددم التحيددز صددفة مرًو ددة فددي التقددديرات إال أنهددا ليسددت الصددفة الوحيدددة التددي يجددب‬ ‫وأن تصف بها التقديرات الجيدة‪ ،‬إذ كما سبق ف ن التقدير إن هو إال متغير عشوا ي ل توزيع‬ ‫‪166‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫احتمددالي‪ ،‬لددذلك فيكددون مددن المرًددوب أي داً أن يكددون تبدداين هددذا التوزيددع صددغي اًر وذلددك حتددى‬ ‫يكون احتمال الحصول على تقدير يقارب القيمة الحقيقة للمعلم كبيد اًر‪ .‬ويبددو ذلدك واضدحاً إذا‬ ‫‪ ‬‬ ‫ما قارنا التقديرين ‪ 1 ,  2‬فكليهما تقدير ًير متحيز إال أن تباين التوزيدع االحتمدالي للتقددير‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ح ‪ 1‬ك أقددل مددن نيي درا الخددام بالتقدددير ح ‪  2‬ك وعلي د ف د ن التقدددير ح ‪ 1‬ك أف ددل مددن التقدددير ‪ 2‬‬ ‫وال ددذى ب دددورا أف ددل م ددن التق دددير ) ‪ (3‬وذل ددك لكب ددر حج ددم التب دداين ف ددى التق دددير الث ددانى والثال ددث‬ ‫مقارن ًة بالتقدير األول وذلك على النحو المبين بالشكل التالى‪:‬‬ ‫وفددى مثددل هددذا الحدداالت يكددون مددن المفيددد اسددتخدام اصددطالف متوسد مر ددع الخطددد ‪Mean‬‬ ‫‪ Squared Error‬وال ددذن يمك ددن اتخ دداذا كدس دداس لمقارن ددة التق ددديرات المتحص ددل عليه ددا م ددن‬ ‫مختلف طر التقدير‪ ،‬ويعرف متوس مر ع الخطد ‪ MSE‬كما يلي‪:‬‬ ‫‪MSE ( ) = E ( −  ) 2‬‬ ‫‪=  2 ( ) + [B ( )]2‬‬ ‫‪‬‬ ‫أى أن متوسد مر ددع الخطددد للتقدددير ح ‪ ‬ك يسدداوى تبدداين التقدددير م ددافاً إليد مر ددع تحيددز ذلددك‬ ‫التقدير‪ ،‬ويمكن إثبات ذلك على النحو التالى‪:‬‬ ‫‪167‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪MSE ( ) = E ( −  ) 2‬‬ ‫‪= E ( + E ( ) − E ( ) −  ) 2‬‬ ‫‪= E [( − E ( ) + E ( ) − ( )]2‬‬ ‫) ‪= E ( − E ( )) 2 + ( E ( ) −  ) 2 − 2E ( − E ( )( E ( ) − ‬‬ ‫‪= E ( − E ( )) 2 + ( E ( ) −  ) 2 , W here : E ( − E ( )(E ( ) −  ) = 0‬‬ ‫‪ MSE =  2 ( ) + [B ( )]2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ف ذا ما كان التقدير ًير متحيز ف ن ‪ B( ) = 0‬ويكون ) ‪MSE ( ) =  2 (‬‬ ‫وحيث أن مقدار التحيز فى التقديرات ًير المتحيزة يساون صفر‪ ،‬لذا فبالنسبة للتقديرات ًير‬ ‫المتحيزة ف ن متوس مر ع الخطد يتساون مع تباين تلك التقديرات‪ ،‬وعلي فالمفاضلة بين مثدل‬ ‫هذا التقديرات تقتصر فق على التباين حيث يف ل ما هو أصغرها تبايناً‪.‬‬ ‫تطبيقات للتحرز عل بعض التقديرات‬ ‫‪-1‬متوسط العرنة ‪Sample Mean‬‬ ‫س د د ددبق اإلش د د ددارة إل د د ددى أن متوسد د د د العين د د ددة يمك د د ددن الحص د د ددول عليد د د د م د د ددن تطبي د د ددق العالق د د ددة‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪ ، x =  x i‬وق ددد س ددبق اإلش ددارة أي داً إل ددى أن متوس د العين ددة المش ددار إلي د ي ددتم اتخ دداذا‬ ‫‪n i =1‬‬ ‫كتقدير لمتوس المجتمع‪ .‬والسؤال هنا‪ ،‬هل متوس العينة المحسوب بهدذا الطريقدة يعدد تقددي اًر‬ ‫ًير متحي اًز لمتوس المجتمع؟‬ ‫ولإلجابة على هذا السؤال دعنا نثبت ذلك كما يلي‪:‬‬ ‫سبق وأن بينا أن التقدير ألى معلم يكدون ًيدر متحيدز إذا كاندت القيمدة المتوقعدة لهدذا التقددير‬ ‫تتسد دداوى وقيمد ددة هد ددذا المعلد ددم فد ددى المجتمد ددع‪ ،‬أن ‪ ، E (x ) = ‬حيد ددث تشد ددير ‪ ‬إلد ددى متوس د د‬ ‫المجتمع‪ ،‬ويمكن إثبات ذلك على النحو التالى‪:‬‬ ‫‪168‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪1‬‬ ‫‪xi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪E (x ) = E (  x i ) =  E (x i‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫= ) ‪ E (x‬‬ ‫‪=‬‬ ‫‪n‬‬ ‫= ‪x‬‬ ‫‪ -2‬تقدير التباين ‪variance Estimator‬‬ ‫سد ددبق اإلشد ددارة إلد ددى أن د د يمكد ددن الحصد ددول علد ددى تقد دددير التبد دداين للمجتمد ددع مد ددن خد ددالل تطبيد ددق‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪  =  (x 1 − x‬على مفردات العينة‪ .‬والسؤال الذن يطرف نفس هندا أي داً‪ ،‬هدل هدذا‬ ‫‪n i =1‬‬ ‫التقدير يمتلك أي اً صفة عدم التحيز؟ ولإلجابة على هذا السؤال دعنا نتحقدق مدن أن القيمدة‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫المتوقعة لهذا التقدير تتساوى وقيمة هذا المعلدم فدى المجتمدع‪ ،‬أى ‪ ، E ( ) = ‬حيدث ‪ 2‬‬ ‫تشير تباين المجتمع و ‪  2‬تشير إلى تقددير التبداين المحسدوب مدن العيندة‪ ،‬ويمكدن إثبدات ذلدك‬ ‫على النحو التالى‪:‬‬ ‫لقد تبين فيما سبق أن تقدير التباين يمكن صياًت على النحو التالي‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪ 2 =  (x i − x )2 = ( x i2 − nx 2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وإلثبات ما إذا كان ‪  2‬تقدير ًير متحيز من عدم ف ن يتم حساب ) ‪ E (‬ف ذا كانت‬ ‫مساوية ‪  2‬كان التقدير ‪  2‬تقدي اًر ًير متحي اًز‪ ،‬والعكف تماماً صحيح‪ ،‬وذلك كما يلي‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪E ( 2 ) = E ( x i2 ) − nE (x 2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ x1 , x 2 ,......x n‬مستقلة عن بع ها إحصا ياً وأن‬ ‫و افت ار‬ ‫‪ 2 (x 1 ) =  2 (x 2 ) = ...... 2 (x n ) =  2‬‬ ‫) ‪E ( x i2 ) = E (x 12 + x 22 + .....x n2‬‬ ‫) ‪ E ( x i2 ) = n ( 2 +  2 ), Where : E (x 2 ) = ( 2 +  2‬‬ ‫‪169‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫ومن وجهة أخرن ف ن )‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ E (x 2 ) = (  2 +‬حسوف يتم اإلشارة إلى ذلك فيما بعدك‪ ،‬ومن ثم‬ ‫تكون القيمة المتوقعة لتقدير التباين كما يلي‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪E ( x i2 ) − nE (x 2 ),‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪E ( x i ) = n ( 2 +  2 ),‬‬ ‫= ) ‪E ( 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪E (x ) = (  2 +‬‬ ‫)‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ E ( 2 ) = n 2 + n  2 − n  2 −  2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪ 2 (n − 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‬ ‫وعلى ذلك ف ن ‪  2‬تقدي اًر متحي از لتباين المجتمع ويمكن حساب مقدار التحيزكما يلي‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B ( 2 ) = E ( 2 ) −  2‬‬ ‫‪− 2‬‬ ‫)‪ 2 (n − 1‬‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫]‪[ n − 1 − n‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ويراعي أن تحيز ‪  2‬يتدثر بحجم ح‪n‬ك فكلما زاد حجم العينة كلما تناقص ) ‪ . B ( 2‬هذا‬ ‫ويمكن الحصول على تقدير ًير متحيز لتباين المجتمع يلي‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(x i − x ) 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪(n − 1‬‬ ‫= ‪2‬‬ ‫وال دددارس يس ددتطيع ان يتحق ددق م ددن ذل ددك ب ددرب النتيج ددة الت ددى ت ددم التوص ددل إليه ددا ف ددى الص دديغة‬ ‫‪n‬‬ ‫السابقة في‬ ‫)‪(n − 1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪170‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪ -3‬تقدير التباين لمتوسط العرنة ‪Variance of Sample Mean‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫سددبق اإلشددارة إلددى أن ‪ x =  x i‬وعلددى ذلددك يمكددن اشددتقا تبدداين متوس د العينددة كمددا‬ ‫‪n i =1‬‬ ‫يلى‪:‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪x = xi‬‬ ‫‪n i =1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪V ar (x ) = 2 V ar  x i‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪= 2 V ar (x 1 + x 2 + ... + x n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)) ‪= 2 ( 1 +  2 ... +  n + 2Cov (x i , x j‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ij‬‬ ‫ف ذا كانت المعاينة تتم باإلحالل‪ ،‬بمعنى استقالل مشاهدات العينة عدن بع دها الدبعل‪ ،‬فد ن‬ ‫) ‪ Cov (x i , x j‬يس د د د د دداوى الص د د د د ددفر‪ ،‬وإذا م د د د د ددا كان د د د د ددت ك د د د د ددل التباين د د د د ددات متس د د د د دداوية بمعن د د د د ددى‬ ‫‪ 12 =  22 = ... =  n2 =  2‬ومن ثم‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪( 2 +  2 ... +  2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n 2  2‬‬ ‫= ‪V ar (x ) = 2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫= ) ‪V ar (x‬‬ ‫أى أن تباين متوس العينة يساوى تبداين المجتمدع مقسدوماً علدى حجدم العيندة‪ ،‬وتجددر اإلشدارة‬ ‫أن د د د د د ف د د د د ددى حال د د د د ددة س د د د د ددحب العين د د د د ددات ب د د د د دددون إح د د د د ددالل يك د د د د ددون تب د د د د دداين متوس د د د د د العين د د د د ددة‬ ‫) ‪ (N − n‬‬ ‫) ‪(N − n‬‬ ‫تعرف بمعامل تصحيح المجتمعات المحددودة‪.‬‬ ‫= ) ‪ ، Var (x‬حيث‬ ‫)‪n (N − 1‬‬ ‫)‪(N − 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وتجدر اإلشارة إلدى أن هدذا المعامدل تتجد قيمتد نحدو الواحدد الصدحيح بزيدادة حجدم المجتمدع‪،‬‬ ‫‪171‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫وعل ددى ذل ددك يتس دداوى تب دداين متوسد د العين ددة ف ددى حال ددة المجتمع ددات الكبيد درة سد دواء ت ددم الس ددحب‬ ‫باإلحالل أو بدون اإلحالل‪.‬‬ ‫‪ -4‬تقديرات معالم دوال االنحدار الخطية‬ ‫‪Estimations of Linear Regression Parameters‬‬ ‫سبق اإلشارة إلى نموذل االنحدار الخطى البسي على الصورة ‪Y i =  +  X i + ei‬‬ ‫وتبين أن تقديرات المر عات الصغرى للمعالم ‪  , ‬هي‪:‬‬ ‫‪X iY i − nX Y‬‬ ‫‪− X )2‬‬ ‫ويمكن إثبات أن كالً من التقديرين ‪ً  , ‬ير متحيزين‬ ‫‪i‬‬ ‫‪ =Y −  X ,  = ‬‬ ‫‪ (X‬‬ ‫فبالنسبة للمعلم ‪ ‬ف ن‪:‬‬ ‫) ‪(X i − X )(Y i −Y‬‬ ‫‪− X )2‬‬ ‫وهذا يمكن وضعها على الصورة‪:‬‬ ‫‪, Y i =  +  X i + i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪ (X‬‬ ‫‪(X i − X )Y i‬‬ ‫‪− X )2‬‬ ‫) ‪, X i = (X i − X‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪=‬‬ ‫‪=‬‬ ‫‪ (X‬‬ ‫‪x Y‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪xi‬‬ ‫‪xi2‬‬ ‫= ‪=  A iY i , A i‬‬ ‫) ‪=  A i ( +  X i + i‬‬ ‫‪=   A i +   A i X i +  A i i‬‬ ‫و دخذ توقع الطرفين‬ ‫‪172‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫) ‪E (  ) = E (  A i +   A i X i +  A i i‬‬ ‫) ‪E (  ) =   A i +   A i X i +  A i E ( i‬‬ ‫‪= 1, E (i ) = 0‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪A X‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪= 0,‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ E ( ) = ‬‬ ‫وعلى ذلك ف ن التقدير ‪ ‬يعد تقدي اًر ًير متحي اًز للمعلم ‪‬‬ ‫أما بالنسبة للتقدير ‪ ‬فيمكن أي اً إثبات أن تقدير ًير متحيز للمعلم ‪ ‬على النحو‬ ‫التالى‪:‬‬ ‫‪ =Y −  X‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Y i − X‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ =  ( +  X i + i ) − X‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ =  +   X i +  i − X‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‪‬‬ ‫و دخذ توقع الطرفين‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪X i +  i − X‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪ E ( ) =  +  X +  E (i ) −X E ( ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ E ( ) =  , E (i ) = 0, E (  ) = ‬‬ ‫‪ E ( ) = E ( + ‬‬ ‫وعلى ذلك ف ن التقدير ‪ ‬يعد تقدي اًر ًير متحي اًز أي اً للمعلم ‪‬‬ ‫‪ -5‬تقدير تباينات معالم الدالة االنحدارية‬ ‫‪‬‬ ‫أ‪ -‬تباين معامل انحدار الدالة ) ‪( ‬‬ ‫سبق اإلشارة إلى أن معامل انحدار الدالة يمكن التعبير عن على النحو‪:‬‬ ‫‪173‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪ =  A iY i‬‬ ‫) ‪=  A i ( +  X i + i‬‬ ‫‪=   A i +   A i X i +  A i i‬‬ ‫‪=  +  A i i‬‬ ‫وحيث أن تباين أى متغير يمكن التعبير عن على النحو‪:‬‬ ‫‪Var (X ) = E (X i − E (X ))2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ومن ثم يمكن كتابة تباين ) ‪ ( ‬كالتالى‪:‬‬ ‫‪V ar (  ) = E (  − E (  )) 2‬‬ ‫‪= E ( −  )2‬‬ ‫‪V ar (  ) = E ( A i i ) 2‬‬ ‫‪= E (A1 1 + A 2 2 +... + A n n ) 2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)) ‪= (A 21E (21 ) + A 2 2 E (2 2 ) + ... + A 2 n E (2 n ) + 2 A i A j E (i  j‬‬ ‫‪ij‬‬ ‫ف ذا ما كانت قيم ‪ i‬مستقلة إحصا ياً عن بع ها البعل‪ ،‬أى أن ‪، Cov (i  j ) = 0‬‬ ‫وكذلك تساون تباين األخطاء بمعنى أن ‪E (12 ) = E (22 ) = ... = E (n2 ) = E (2 ) =  2‬‬ ‫وعلي ف ن‪:‬‬ ‫‪V ar (  ) = A 21 2 + A 2 2 2 + ... + A 2 n  2‬‬ ‫‪=  2  A 2i‬‬ ‫) ‪(X i − X‬‬ ‫‪ (X i − X ) 2‬‬ ‫= ‪ Ai‬‬ ‫‪(X i − X ) 2‬‬ ‫‪V ar (  ) =  ‬‬ ‫‪( ( X i − X ) 2 ) 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪174‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪− X )2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪ (X‬‬ ‫= ) ‪V ar ( ‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫ب‪ -‬تباين يابت الدالة ) ‪(‬‬ ‫سد ددبق اإلشد ددارة إلد ددى أن تقد دددير ثابد ددت الدالد ددة االنحداريد ددة يمكد ددن الحصد ددول عليد د مد ددن المعادلد ددة‬ ‫‪ ،  =Y −  X‬ويمكن الحصول على تباين هذا الثابت كما يلى‪:‬‬ ‫‪ =Y −  X‬‬ ‫) ‪V ar ( ) =V ar (Y ) + X 2V ar( ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪− X )2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪ (X‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+X‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ 2  (X i − X ) 2 +  2 nX‬‬ ‫= ) ‪V ar (‬‬ ‫) ‪ 2 ( X i2 − nX 2 + nX 2‬‬ ‫= ) ‪V ar (‬‬ ‫‪n  (X i − X ) 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫= ) ‪V ar (‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ar(  ) +‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n  (X i − X ) 2‬‬ ‫‪=V‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ (X i − X )2‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫( = ) ‪V ar (‬‬ ‫‪‬‬ ‫هذا ويمكن أي اً إثبات أن في حالة االنحدار الخطي المار بنقطة األصل أن التقدير ) ‪( ‬‬ ‫تقدير ًير متحيز‪ ،‬كما يمكن كذلك اشتقا تباين بنفف األسلوب سالف الذكر‪.‬‬ ‫‪ -6‬تقدير التباين في االنحدار‪:‬‬ ‫يمكن الحصول على تقدير ًير متحيز لتبداين الخطدد فدى حالدة االنحددار الخطدى علدى النحدو‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n −k‬‬ ‫= ‪ ،  e 2‬حيددث ‪ k‬تشددير إلددى عدددد معددالم الدالددة‪ .‬ويمكددن الحصددول علددى تقدددير‬ ‫ًيد د د د ددر متحيد د د د ددز للتبد د د د دداين ‪  e 2‬فد د د د ددي حالد د د د ددة االنحد د د د دددار ‪ Y i =  + BX i + ei‬مد د د د ددن العالقد د د د ددة‬ ‫‪1‬‬ ‫‪e i2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n −2‬‬ ‫= ‪e 2‬‬ ‫ويمكن إثبات ذلك كما يلى‪:‬‬ ‫‪175‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫) ‪e i = (Y i −Y i‬‬ ‫‪  e 2i =  (Y i −Y i ) 2‬‬ ‫‪=  (Y i −  −  X i ) 2‬‬ ‫‪ =Y −  X‬‬ ‫‪  e 2i =  (Y i −Y +  X −  X i ) 2‬‬ ‫و فك األقواس فى الطرف األيمن‬ ‫‪=  [(Y i −Y ) −  (X i − X )]2‬‬ ‫‪=  [(Y i −Y ) −  (X i − X )]2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫) ‪=  (Y i −Y ) 2 +  2  (X i − X ) 2 − 2  (Y i −Y )(X i − X‬‬ ‫‪II‬‬ ‫‪III‬‬ ‫و تقييم األجزاء الثالثة السابقة ينتج‪:‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪I =  (Y i −Y )2 = Total Sum Squares‬‬ ‫‪II =  2  (X i − X ) 2‬‬ ‫) ‪III = 2   (Y i −Y )( X i − X‬‬ ‫‪= 2  (   (X i − X ) 2 ) = 2 2  ( X i − X ) 2‬‬ ‫و جمع الثالثة أجزاء المكونة للطرف األيمن يكون الناتج‪:‬‬ ‫‪  e 2i =  [(Y i −Y ) −  (X i − X )]2‬‬ ‫‪=  (Y i −Y ) 2 +  2  (X i − X ) 2 − 2  2  (X i − X ) 2‬‬ ‫‪  e 2i =  (Y i −Y ) 2 −  2  (X i − X ) 2‬‬ ‫‪−  2  (X i − X ) 2‬‬ ‫‪III‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  e 2i = Y i 2 − nY‬‬ ‫‪II‬‬ ‫‪I‬‬ ‫و دخذ توقع الطرفين وحساب كل مكون من مكونات الطرف األيمن ينتج ما يلى‪:‬‬ ‫‪ -1‬الجزء األول‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪176‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫) ‪E (I ) = E  (Y i 2 ) = E (Y 12 +Y 22 + ....Y n2‬‬ ‫]) ‪E (I ) = [( y21 + E (Y 1 ) 2 ) + ( y22 + E (Y 2 ) 2 )...( y2n + E (Y n ) 2‬‬ ‫‪E (I ) = [( y21 + ( +  X 1 ) 2‬‬ ‫] ‪+( y22 + ( +  X 2 ) 2 ... + ( y2n + ( +  X n ) 2‬‬ ‫‪E (I ) = [( y21 +  2 +  2 X 12 + 2 X 1 ) + ( y22 +  2 +  2 X 22 + 2 X 1 )...‬‬ ‫]) ‪+( y2n +  2 +  2 X n2 + 2 X n‬‬ ‫و افت ار‬ ‫استقالل جميع المشاهدات عن بع ها البعل وتجانف التباين تكون القيمة‬ ‫المتوقعة للجزء األول كما يلى‪:‬‬ ‫‪E (I ) = [( y21 +  2 +  2 X 12 + 2 X 1 ) + ( y2 2 +  2 +  2 X 22 + 2 X 1 )...‬‬ ‫]) ‪+( y2n +  2 +  2 X n2 + 2 X n‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪ -2‬الجزء الثانى‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ E (I ) = n 2 + n 2 +  2  X i2 + 2  X‬‬ ‫‪nY‬‬ ‫] ‪+ (E (Y )) 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫[ ‪E (II ) = nE (Y 2 ) = n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪=  + n ( +  X‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ E (II ) =  2 + n 2 + n  2 X 2 + 2n X‬‬ ‫‪ -3‬الجزء الثالث‪ 2  (X i − X ) 2 :‬‬ ‫‪III =  2  (X i − X ) 2‬‬ ‫) ‪ E (III ) =  (X i − X ) 2 E (  2‬‬ ‫‪=  (X i − X ) 2 ( 2 + (E (  )) 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫( ) ‪=  (X i − X‬‬ ‫‪+  2 ),Where : E (  ) = ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪ (X i − X‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ E (III ) =  2 +  2  (X i − X ) 2‬‬ ‫و جمع الثالثة أجزاء السابقة تكون القيمة المتوقعة لمجموع مر عات األخطاء كما يلى‪:‬‬ ‫‪177‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪i‬‬ ‫‪ E ( e i2 ) = n 2 + n 2 +  2  X i2 + 2  X‬‬ ‫‪−  2 − n 2 − n  2 X 2 − 2n X‬‬ ‫‪−  2 −  2  (X i − X )2‬‬ ‫__________________________________________‬ ‫‪ E ( e i2 ) = n 2 − 2 2 +  2  X i2 − n  2 X 2 −  2  (X i − X ) 2‬‬ ‫‪ E ( e i2 ) = n 2 − 2 2 +  2 ( X i2 − nX 2 ) −  2  (X i − X ) 2‬‬ ‫)‪ E ( e i2 ) =  2 (n − 2‬‬ ‫وعلى ذلك يمكن الحصول على تقدير ًير متحيز للتباين فى حالة االنحدار الخطى البسي‬ ‫بقسمة مجموع مر عات األخطاء )‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (e‬‬ ‫‪i‬‬ ‫على )‪. ( n − 2‬‬ ‫هذا ويمكن بسهولة حساب مجموع مر عات األخطاء إذا ما عرف معامل االرتباأ بين‬ ‫المتغيرين‬ ‫) ‪r( x , y‬‬ ‫وذلك على النحو التالي‪:‬‬ ‫سبق اإلشارة إلى أن مجموع مر عات األخطاء هى عبارة عن الفر بين مجموع مر عات‬ ‫االنحرافات الكلية ومجموع مر عات االنحرافات المشروحة وذلك على النحو‪:‬‬ ‫‪=  (Y i −Y ) 2 −  2  (X i − X ) 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪e‬‬ ‫ويمكن صياًة تلك العالقة على النحو التالى‪:‬‬ ‫) ‪=  y i2 −  2  x i2 ,W here : y = (Y i −Y ), x = (X i − X‬‬ ‫و قسمة طرفى المعادلة السابقة على‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪e = 1 −   x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪e = 1 − R‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪  e =  y (1 − R‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫‪178‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أى أن مجموع مر عات األخطاء يمكن الحصدول عليهدا ب درب النسدبة ) ‪ (1 − R 2‬فدى مجمدوع‬ ‫مر عات االنحرافات الكلية ‪ .  y i2‬ويجب اإلشارة هندا إلدى أن ‪ R 2‬هدى مر دع معامدل االرتبداأ‬ ‫البسي‬ ‫بين المتغيرين ) ‪r( x , y‬‬ ‫ويمكن إثبات ذلك كما يلى‪:‬‬ ‫‪ 2  x i2‬‬ ‫= ‪R‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x y‬‬ ‫‪=‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪( x y )  x‬‬ ‫= ‪R‬‬ ‫‪( x )  y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫) ‪= r(2x , y‬‬ ‫الكفاية ‪Sufficiency‬‬ ‫لشرف مفهوم الكفاية دعنا نفتر‬ ‫وأن هنا‬ ‫‪‬‬ ‫‪( x i y i ) 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪x  y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫أن هنا توزيع احتمالى ) ‪ f ( x,‬ل معلم وحيد هو ح ‪ ‬ك‪،‬‬ ‫عينة عشوا ية مكونة من ‪ n‬من المفردات هي ‪ x1 , x 2 ,......x n‬للحصول على‬ ‫التقدير ح ‪ ‬ك‪ ،‬أى أن‪:‬‬ ‫) ‪ = f (x 1 , x 2 ,..., x n‬‬ ‫‪‬‬ ‫والتقدير ح ‪ ‬ك فى هذا الحالة وكما سبق القول يعد متغي اًر عشوا ياً تم الحصول علي من دمج‬ ‫مشاهدات العينة السابق اإلشارة إليها‪ .‬ومن المفيد هنا التحقق من عدم فقد و‬ ‫أى من معلومات‬ ‫‪ ،‬فعند وذ‬ ‫العينة فى عملية الدمج هذا‪ ،‬فعلى سبيل المثال إذا ما تم اعتبار أن ‪= x 1‬‬ ‫المعلومات األخرى المستمدة من باقى مفردات العينة ‪ x 2 , x 2 ,..., x n‬لم تستخدم‬ ‫‪‬‬ ‫على‬ ‫اإلطال فى الحصول على التقدير ح ‪ ‬ك‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫وفددى العديددد مددن الحدداالت قددد يعطددى التقدددير ح ‪ ‬ك كددل المعلومددات التددى تشددتمل عليهددا مفددردات‬ ‫العيند ددة عد ددن المعلد ددم ح ‪ ‬ك‪ ،‬أى أن ) ‪= f (x 1 , x 2 ,..., x n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ،‬وفد ددى مثد ددل هد ددذا الحد دداالت‬ ‫يف ل التعامل بالتقدير ح ‪ ‬ك بددالً مدن التعامدل مدع ‪ n‬مدن المشداهدات حالحالدة التدى تتخدذ فيد‬ ‫‪179‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪‬‬ ‫المشاهدة على أنها تقددير للمعلدمك‪ ،‬إذ أن التعامدل مدع التقددير ح ‪ ‬ك يكدون أيسدر وأكثدر سدهولة‬ ‫مد ددن التعامد ددل مد ددع ‪ n‬مد ددن المشد دداهدات‪ .‬ويطلد ددق علد ددى التقد دددير ) ‪ (‬الد ددذن يحتد ددون علد ددى كد ددل‬ ‫المعلومد ددات الخاصد ددة بد ددالمعلم ح ‪ ‬ك والمت د ددمنة فد ددى مفد ددردات العيند ددة اصد ددطالف تقد دددير كد دداف‬ ‫‪ ،Sufficient Estimator‬و عباروة أخرى يقال للتقدير ) ‪ (‬أن تقدي اًر كافياً إذا لدم يكدن هندا‬ ‫أى تقدير آخر يمكن حساب من نفدف العيندة يعطدى معلومدات إضدافية عدن المعلدم ح ‪ ‬ك أكثدر‬ ‫من تلك التى يعطيها التقدير ) ‪. (‬‬ ‫ويمكن تعريف التقدير الكافى رياضياً على النحو التالى‪:‬‬ ‫بف ددر‬ ‫عين ددة عش دوا ية‬ ‫) ‪f ( x ,‬‬ ‫} ‪x i = {x 1 , x 2 ,..., x n‬‬ ‫م ددن مجتم ددع لد د التوزي ددع االحتم ددالى‬ ‫وأن التقدددير ) ‪ (‬دالددة لتلددك العينددة‪ ،‬عند د ودذ يكددون التقدددير ) ‪ (‬تقدددي اًر كافيداً إذا‬ ‫كان وفق إذا كان‪:‬‬ ‫) ‪ = f (x 1 , x 2 ,..., x n ) = f ( , ) g (x 1 , x 2 ,..., x n‬‬ ‫أى يوج ددد دالت ددين ‪f , g‬‬ ‫بيانات العينة فق ‪.‬‬ ‫مد درتبطتين إح ددداهما تعتم ددد عل ددى المعل ددم ح ‪ ‬ك واألخ ددرى تعتم ددد عل ددى‬ ‫أمثلة للتقدير الكاف ‪Sufficient Estimator‬‬ ‫لنفر‬ ‫‪ -1‬متوسط العرنة المسحوبة من مجتمع طبيع يعد تقدي اًر كافياً‬ ‫أن ‪ x 1 , x 2 ,..., x n‬عينة عشوا ية من مجتمع يتوزع في المتغير العشوا ى ‪x‬‬ ‫توزيعاً طبيعياً بمتوس‬ ‫‪‬‬ ‫المرتب للمتغير العشوا ى‬ ‫كان التقدير‬ ‫وتباين‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ . ‬ف ذا أمكن تكوين دالتين من التوزيع االحتمالى‬ ‫‪x‬‬ ‫على النحو التالى‪:‬‬ ‫) ‪f (x 1 , x 2 , x 3 ,..., x n ,  , 2 ) = f (x 1 , x 2 , x 3 ,..., x n ) g (  , ‬‬ ‫‪ ‬ويمكن إثبات ذلك كما يلى‪:‬‬ ‫‪ ‬تقدي اًر كافياً للمعلم‬ ‫‪180‬‬ ‫ خالد فالح الدين طه‬.‫د‬.‫ أ‬، ‫ رجب مغاوري زين‬.‫د‬.‫أ‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ f (x 1 , x 2 , x 3 ,..., x n ,  , 2 ) = f (x 1 ,  , 2 )f (x 2 ,  ,  2 )...f ( x n ,  ,  2 ) 1 − 2 ( x −  )2 1 f (x ) = e 2  2 1 n − 2 2  ( x i − )2   f (x i ) = ( )e  2 i =1 1 n :‫ لألس فى الطرف األيمن يكون‬  ‫و ضافة‬ n  f (x i ) = ( i =1 n   f (x i ) = ( i =1 n   f (x i ) = ( i =1 n   f (x i ) = ( i =1  1  2 1  2 1  2 1 n )e n )e n )e n − 1 2 2  ( x i −  )2 − 1 2 2  ( x i −  +  −  )2 − 1 2 2  ( x i −  )2 + (  −  )2 − 1 2 2  ( x i − ) )e  2 = f (x i ) g (  ,  ) ‫ تحتوى على المعلم‬g (  ,  ) ‫و‬ )( 1  2  n )e − 1 2 2  (  −  )2 ) ‫ دالة ال تحتوى على المعلم‬f (x i ) ‫حيث‬ .  ‫والتقدير الخام بالمعلم‬ 181 ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪ -2‬تقدير معلم توزيع ‪ (P) Bernoulli‬يعد تقدي اًر كافياً‬ ‫إذا كانددت‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x 1 , x 2 ,..., x n‬‬ ‫عينددة عش دوا ية مددن مجتمددع يتددوزع في د المتغيددر العش دوا ى‬ ‫وفقاً لتوزيع بواسون ‪ Bernoulli‬ف ن )‪ (p‬تكون تقددي اًر كافيداً إذا أمكدن تكدوين دالتدين‬ ‫من التوزيع االحتمالى المرتب للمتغير العشوا ى ‪ x‬على النحو التالى‪:‬‬ ‫) ‪f (x 1 , x 2 , x 3 ,..., x n ,  ) = f (x 1 , x 2 , x 3 ,..., x n ) g (x i , p‬‬ ‫ويمكن إثبات ذلك على النحو التالى‪:‬‬ ‫‪f (x ) = p x (1 − p ) n −x‬‬ ‫‪n‬‬ ‫) ‪  f (x i ) =( p x 1 (1 − p ) n −x 1 )( p x 2 (1 − p ) n −x 2 )...( p x n (1 − p ) n −x n‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫) ‪(n −x i‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪  f (x i ) =p  i (1 − p )‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫) ‪= f (x i ) g ( p , x i‬‬ ‫حيث ) ‪ ، f ( xi ) = 1 (Cons tan t‬و ) ‪ g ( p , x i‬تحتوى على المعلم )‪(p‬‬ ‫‪ -3‬تقدير معلم توزيع ‪ (  ) Poisson‬يعد تقدي اًر كافياً‬ ‫إذا كانددت ‪ x 1 , x 2 ,..., x n‬عينددة عشدوا ية مددن مجتمددع يتددوزع فيد المتغيددر العشدوا ى ‪x‬‬ ‫وفقد داً لتوزي ددع بواس ددون ‪ Poisson‬فد د ن ) ‪ ( ‬تك ددون تق دددي اًر كافيد داً إذا أمك ددن تك ددوين دالت ددين م ددن‬ ‫التوزيع االحتمالى المرتب للمتغير العشوا ى ‪ x‬على النحو التالى‪:‬‬ ‫) ‪f (x 1 , x 2 , x 3 ,..., x n ,  ) = f (x 1 , x 2 , x 3 ,..., x n ) g (x i , ‬‬ ‫ويمكن إثبات ذلك على النحو التالى‪:‬‬ ‫‪182‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫) ‪e −  ( x‬‬ ‫= ) ‪f (x‬‬ ‫!‪x‬‬ ‫‪n‬‬ ‫) ‪e −  ( x 1 ) e −  ( x 2 ) e −  ( x n‬‬ ‫( = ) ‪  f (x i‬‬ ‫()‬ ‫(‪)...‬‬ ‫)‬ ‫‪x‬‬ ‫!‬ ‫‪x‬‬ ‫!‬ ‫‪x‬‬ ‫!‬ ‫‪i =1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫! ‪x 1 !x 2 !...x n‬‬ ‫‪xi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪  f (x i ) = e − n   ‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫) ‪= g ( , x i )f ( x i‬‬ ‫حيث ) ‪ g ( , x i‬دالة تحتوى على المعلم ‪ ‬والدالة ) ‪ f (x i‬ال تحتوى على المعلم ‪. ‬‬ ‫أفضل التقديرات الخطية غرر المتحرزة‬ ‫‪Best Linear Unbiased Estimators‬‬ ‫‪‬‬ ‫يقال للتقدير ‪ ‬أن أف ل التقديرات الخطية ًير المتحيزة إذا توافرت الشروأ التالية‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  .1‬دالة خطية للمفردات‬ ‫‪n‬‬ ‫‪x , x , x ,... x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫أن أن‪:‬‬ ‫‪ˆ = f1 x1 + f 2 x2 + ........ f n xn‬‬ ‫‪ˆ =  f i x i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .2‬أن ‪ ‬تقدير ًير متحيز للمعلم ‪ ‬أن أن ‪E ( ) = ‬‬ ‫‪‬‬ ‫أن من بين كافة التقديرات المستوفية للشرطين السابقين ف ن ‪ ‬تكون التقدير ذن التباين‬ ‫~‬ ‫األدنى‪ ،‬أن أن إذا كان هنا تقديرات أخرن للمعلم ‪ ‬مثل ‪  ,‬تستوفي الشرطين األول‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫~‬ ‫والثانى وكان ) ‪  2 ( ) 2 ( ) 2 (‬فعند وذ يقال للتقدير ‪ ‬أن أف ل التقديرات الخطية‬ ‫ًير المتحيزة ‪(BLUE) Best Linear Unbiased Estimators‬‬ ‫‪183‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫ولقد تبين فيما سبق أن خصا ص الكفاية والكفاءة والتناسق هي خصا ص يعتد بها في حالة‬ ‫العينات كبيرة الحجم أما خاصية التباين األدني وعدم التحيز فهي خصا ص يعتد بها ألن‬ ‫حجم من أحجام العينات‪.‬‬ ‫والمثال التالي يوضح كيفية اشتقا أف ل التقديرات الخطية ًير المتحيزة لمتوس المجتمع‬ ‫‪ ‬وذلك باستخدام عينة عشوا ية‬ ‫خطية لهذا المشاهدات‪ ،‬أى أن‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪x , x , x ,... x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ،‬وحيث أن التقدير المراد إيجادا دالة‬ ‫‪ˆ = f1 x1 + f 2 x2 + ........ f n xn‬‬ ‫‪ˆ =  f i x i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ز حالشرأ الثانىك أن أن ‪E ( ) = ‬‬ ‫وحيث أن ‪ ‬تقدي اًر ًير متحي اً‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪E ( ) =  f i E ( xi ) =   f i‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫‪‬‬ ‫وعلي ف ن الشرأ الذن يجب توافرا لكي يصبح ) ‪ (‬تقدي اًر ًير متحي اًز هو أن‬ ‫‪n‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪‬‬ ‫و حساب تباين التقدير ‪ ‬يتبين أن‬ ‫‪n‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪ 2 ( ) =  f i 2 2 ( xi‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫وذلك بافت ار‬ ‫استقالل كل مفردات العينة عن بع ها البعل وإذا كانت‪:‬‬ ‫) ‪ 2 ( x1 ) =  2 ( x2 ) = ........... 2 ( xn‬‬ ‫‪‬‬ ‫ف ن تباين ‪ ‬يمكن كتابت علي النحو التالي‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 ( ) =  2  f i 2‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫‪‬‬ ‫وحيث أن من المراد أن يكون ‪ ‬تقدي اًر خطياً ًير متحيز ذو أدني تباين من بين كافة‬ ‫‪‬‬ ‫التقديرات الخطية ًير المتحيزة‪ ،‬ف ن يلزم تدني تباين ) ‪  2 (‬تحت الشرأ الخام بعدم‬ ‫‪‬‬ ‫تحيز ‪ ‬و عبارة أخرن يلزم تدني الدالة‪:‬‬ ‫‪184‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪H =  2  f i 2 −  ( f i − 1‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫أما الشرأ األول لتدنية الدالة ح‪H‬ك فهو‬ ‫‪H‬‬ ‫‪= 2 2 f i −  = 0‬‬ ‫‪f i‬‬ ‫‪i = 1,2,3,.....n‬‬ ‫‪f i =  / 2 2‬‬ ‫وحيث أن‬ ‫‪  fi = 1‬‬ ‫‪ n / 2 2 = 1‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫= ‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ f i =  / 2 2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2 2 n‬‬ ‫وعلي ف ن أف ل تقدير خطي ًير متحيز لمتوس المجتمع ‪ ‬يمكن الحصول علي من‬ ‫العالقة التالية‪:‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪ xi = x‬‬ ‫‪n i =1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪nx‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫و عبارة أخرن ف ن متوس العينة ‪ x‬هو أف ل تقدير خطي ًير متحيز لمتوس المجتمع‬ ‫‪.‬‬ ‫‪185‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫الفصل التاسع‪ :‬نظرية العرنات‬ ‫أهداف الفصل‪:‬‬ ‫بنهاية هذا الفصل يكون الطالب قادرا على أن‪:‬‬ ‫ يفهم معنى المعاينة وطرق إجرائها‪.‬‬‫‪ -‬يفهم أنواع العينات وطرق سحبها‪.‬‬ ‫‪186‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫الفصل التاسع‪ :‬نظرية العرنات‬ ‫‪Sampling Theory‬‬ ‫تمهرد‬ ‫تع ددد البيان ددات اإلحص ددا ية ه ددي األس دداس للتخط ددي االقتص ددادن واالجتم دداعي ولك ددل البد درامج‬ ‫اإلنما ية ولمتخذن القرار‪ .‬و دخول عصر العولمة ومع الوضع الراهن للددول الناميدة أصدبحت‬ ‫هنا ضرورة ُملحة ومتزايدة لإلحصاءات بوج عام وللبياندات االقتصدادية واالجتماعيدة بوجد‬ ‫خ ددام‪ .‬واس ددتجابة له ددذا الحاج ددة يس ددعي كثي ددر م ددن دول الع ددالم الن ددامي إل ددى النه ددو بالعم ددل‬ ‫اإلحصا ي إلى المستوى الالزم للوفاء باحتياجات المسئولين عن التخطي للتنميدة االقتصدادية‬ ‫واالجتماعية‪ ،‬كمدا تبدذل ُجهدود كبدرى فدي تددريب الكدوادر القدادرة علدى القيدام بد جراء التعددادات‬ ‫والمسد ددوحات وًيرهد ددا مد ددن نشد دداطات جمد ددع البياند ددات وإج د دراء التحليد ددل اإلحصد ددا ى بشد ددكل‬ ‫ف اعدال‪".‬فاإلحصداء حسدواء تعدداداً أو مسدحاً بالعيندةك مدن حيدث اللغدة هدو اإللمدام بكدل المفدردات‬ ‫التدي يشدملها المجتمدع الدذن نريدد د ارسدت ومعرفدة أوصداف كدل مفدردة فدي هدذا المجتمدع معرفدة‬ ‫دقيقة ومحددة باألعداد‪ .‬أما علمياً فاإلحصاء عبارة عن تصوير رقمدي للواقدع فدي المجتمعدات‬ ‫المطلددوب د ارس ددتها حالمجتمع ددات البش درية أو ًي ددر البش دريةك‪ ،‬مث ددال ذل ددك تع ددداد الس ددكان ومس ددح‬ ‫ميزانية األسرة فهو تصوير رقمي ألحوال السكان ومستوى معيشتهم‪.‬‬ ‫هذا ونندوا بدايدة بدند يمكدن تقسديم الد ارسدات والبحدوث مدن حيدث المجدال‪ ،‬أن مدن حيدث درجدة‬ ‫الشددمول لمفددردات المجتمددع األصددلي إلددى بحددوث شدداملة و حددوث بطريقددة العينددات‪ .‬فالبحددث‬ ‫الشامل هو الذن ندرس في حالدة جميدع أفدراد المجتمدع موضدوع البحدث بهدذا الطريقدة إذا كدان‬ ‫الغددر‬ ‫مند هددو الحصددر‪ ،‬وذلددك مثددل تعددداد السددكان‪ ،‬والتعددداد الز ارعددي‪...‬الخ‪ .‬وهددذا يتطلددب‬ ‫تكلفددة كبيدرة مددن الوقددت والمددال والجهددد‪ .‬أمددا البحددث بطريقددة العينددة فهددو الددذن نبحددث فيد حالددة‬ ‫جددزء معددين حأو نسددبة معينددةك مددن أف دراد المجتمددع األصددلي‪ ،‬ثددم نقددوم بعددد ذلددك بتعمدديم نتددا ج‬ ‫الد ارسددة علددى المجتمددع كلد بتكلفددة أقددل كثيد اًر مددن البحددث الشددامل‪ .‬ومددن أمثلددة أهددم البحددوث‬ ‫بالعينددة التددي تجددرن علددى أر الواقددع‪ ،‬تلددك البحددوث التددي تسددتخدم مسددوف ميزانيددة األس درة‬ ‫‪187‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫وُحددوث القددوى العاملددة والتددي عددادة مددا تجريهددا الحكومددات أو المؤسسددات الدوليددة أو اإلقليميددة‪،‬‬ ‫كما تشمل مسوحات التجارة والصناعة والمساكن وأبحاث استطالع الرأن‪.‬‬ ‫والبحث بالعينة ل من الفوا د الكثيرة‪ ،‬فمن فوا د البحث عن طريق العيندة هدو اختصدار الوقدت‬ ‫والجهد الالزمدين إلتمدام البحدث و التدالي اقتصداد التكداليف‪ ،‬كمدا ُيمكدن الحصدول بسدهولة علدى‬ ‫الددردود الكاملددة الدقيقددة إذا مددا اسددتخدمنا ُج دزء مددن المجتمددع الكلددي‪ ،‬كمددا أن د يسددهل تتبددع ًيددر‬ ‫المس ددتجيبين ف ددي حال ددة البح ددث بالعين ددة‪ ،‬بينم ددا يك ددون ذل ددك ص ددعباً ف ددي حال ددة الحص ددر الش ددامل‪.‬‬ ‫ويمكن الحصول على بياندات أكثدر مدن أفدراد العيندة‪ ،‬وحجمهدا وتلخيصدها وتحليلهدا علدى وجد‬ ‫ُ‬ ‫الس ددرعة‪ ،‬كم ددا تُس دداعدنا بح ددوث العين ددات لمعرف ددة الدق ددة الت ددي نتج ددت ع ددن إج دراء حص ددر ش ددامل‬ ‫والطريقة المثلى هي أن نختار عينة وندرسها د ارسدة دقيقدة و مقارندة نتا جهدا مدع نتدا ج التعدداد‬ ‫ُيمكننا معرفة مدى دقة نتا ج الحصر الشامل‪ .‬و اإلضافة إلى ما سبق فهندا حداالت اليمكدن‬ ‫د ارس ددتها إال م ددن خ ددالل المعاين ددة‪ ،‬كم ددا ه ددو الح ددال ف ددى حال ددة د ارس ددات اختب ددارات ج ددودة المن ددتج‬ ‫ومطابقت للمواصفات القياسية والتى يتلف فيها المنتج باختبارا مثدل تحليدل المكوندات الغذا يدة‬ ‫لمنتج معين‪ ،‬أو اختبار مدى مطابقة عمر التشغيل لنوع معدين مدن المصدابيح الكهر يدة لعمدر‬ ‫التشغيل المعلن على المنتج‪ ،... ،‬وهكذا‪.‬‬ ‫ممددا سددبق يت ددح مدددى أهميددة اسددتخدام العينددات والدددور الددذن تلعبد فددي الد ارسددات الكثيدرة فددي‬ ‫ُمختلددف الميددادين‪ ،‬وفددي الحقيقددة أن اسددتخدام الحصددر الشددامل أصددبح ال ُيغنددي عددن اسددتخدام‬ ‫العينة في نفف الوقت ف ن تحليل النتا ج التي نحصل عليها من تعداد شامل تحتال إلى وقت‬ ‫طويددل وقددد ت دديع الحكمددة مددن التعددداد أو تقددل االسددتفادة من د إذا مددا انتيرنددا حتددى ي دتم تحليددل‬ ‫النتدا ج‪ .‬وفدي هدذا الحالدة يتحدتم عليندا أن ندخدذ عيندة ونقدوم بتحليدل نتا جهدا لتعطدى فكدرة عدن‬ ‫النتا ج النها ي‪.‬‬ ‫‪188‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫طرق المعاينة ‪Sampling Methods‬‬ ‫البد وأن القارئ قد صادف بعل المعدادالت ًيدر العشدوا ية والتدى تصدف العمليدات الحتميدة‪،‬‬ ‫أمددا العمليددات المتعلقددة بسددحب العينددات فهددى ذات طبيعددة إحصددا ية أى أنهددا عشدوا ية أو ًيددر‬ ‫حتميددة وهددى تُماثددل فددى اإلحصدداء العمليددات الحتميددة المدلوفددة وتنقسددم المعددادالت الحتميددة إلددى‬ ‫قسد ددمين ر يسد دديين أولهمد ددا يتعلد ددق بالعمليد ددات الحتميد ددة الثابتد ددة كمد ددا فد ددى المعادلد ددة ‪x = at 2‬‬ ‫ا‬ ‫حيددث ‪ x‬تمثددل المسددافة التددى يسددقطها الجسددم فددى الثانيددة ‪ t ،‬تُمثددل الددزمن بددالثوانى‪ a ،‬ثابددت‬ ‫و‬ ‫ناحية أخرى ف ن نمو السكان وفقاً لمعدل ثابت ُيعد مثداالً آخدر‬ ‫يتوقف على وزن الجسم‪ .‬ومن‬ ‫عل د د ددى المع د د ددادالت الحتمي د د ددة ذات العملي د د ددات الثابت د د ددة وف د د ددى ه د د ددذا الحال د د ددة ُيمك د د ددن الق د د ددول أن‬ ‫‪ x t = x e‬حيدث ‪ x t‬تُمثدل تعدداد السدكان فدى الفتدرة ‪ x ، t‬هدو تعدداد السدكان فدى فتدرة‬ ‫ويماثل المعدادالت الحتميدة‬ ‫األساس‪ r ،‬معدل النمو الثابت‪ e ،‬أساس اللوًاريتم الطبيعى‪ ،‬هذا ُ‬ ‫‪rx‬‬ ‫ذات العمليات الثابتة سحب العينات من مجتمعات ثابتة ‪Fixed Population‬‬ ‫و‬ ‫ويماثددل‬ ‫ومددن ناحيددة أخددرى فد ن معدددالت التغيددر فددى المعددادالت الحتميددة قددد تكددون ًيددر ثابتددة‪ُ ،‬‬ ‫ذلددك فددى اإلحصدداء سددحب العينددات مددن مجتمعددات متغيدرة ًيددر ثابتددة‪ ،‬وعددالوةً علددى ذلددك ف د ن‬ ‫ويماثدل ذلدك‬ ‫المعادالت الحتمية قد تتعلق بعدد من المتغيدرات ذات معددالت تغيدر ًيدر ثابتدة‪ُ ،‬‬ ‫فى اإلحصاء سحب العينات من مجتمعات متغيدرة ذات عددة متغيدرات عشدوا ية‪ .‬وعندد سدحب‬ ‫العينات من مجتمعات متغيرة ف ن هذا التغيرات قد تتحدد بدالتغيرات التدى تطد أر علدى متغيدرات‬ ‫أخ ددرى تس ددمى ب ددالمتغيرات الخارجي ددة ‪ ، Exogenous Variables‬أو المتغيد درات المس ددتقلة‬ ‫‪Variables‬‬ ‫‪ ، Independent‬بينمد ددا تعد ددرف متغيد درات المجتمد ددع التد ددى تتد دددثر بد ددالمتغيرات‬ ‫الخارجي د د ددة ب د د ددالمتغيرات الداخلي د د ددة ‪Variables‬‬ ‫‪Dependent Variables‬‬ ‫‪ Endogenous‬أو المتغي د د درات التابع د د ددة‬ ‫فيقدال أن إجمدالى االسدتهال فدى السدنة ‪ t‬يتحددد فدى المجتمدع مدن العالقدة‬ ‫وعلى سبيل المثال ُ‬ ‫‪ C t = a + bY t‬حيث ‪ Y t‬الدخل الممكن التصرف في فى السنة ‪ t‬أما ‪ b ، a‬فتشدي ار إلدى‬ ‫‪189‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫معد ددالم العالقد ددة االنحداريد ددة‪ ،‬ويطلد ددق علد ددى المعامد ددل ‪ b‬الميد ددل الحد دددى لالسد ددتهال ‪ ،‬وفد ددى هد ددذا‬ ‫المعادلة ف ن الدخل هو المتغير المستقل واالستهال هو المتغير التابع‪.‬‬ ‫أوالً‪ :‬العرنات العشوائية مع اإلحالل من مجتمعات يابتة‬ ‫‪Random Sampling with Replacement from a Fixed Population‬‬ ‫لنف ددر‬ ‫أن هن ددا مجتمعد داً م ددا م ددن المنش ددات العامل ددة ف ددى ص ددناعة م ددن الص ددناعات – ول ددتكن‬ ‫صناعة ضرب األرز مثالً – وأن الطريقة التالية قد اتبعت فدى الحصدول علدى عيندة مدن ذلدك‬ ‫المجتمع حيث‪:‬‬ ‫‪ .1‬اختيرت منشدة من المنشات عشوا ياً وسجلت قيمة أصولها ولتكن ‪x 1‬‬ ‫‪ .2‬أعيدت المنشدة التى تم سحبها إلى المجتمع وأعيد سحب منشدة أخرى بطريقدة عشدوا ية‬ ‫أي ا – ر ما كاندت بالصددفة هدى تلدك التدى سدحبت فدى المدرة السدابقة – وسدجلت قيمدة‬ ‫أصولها ولتكن ‪ x 2‬وهكذا إلى أن يكتمل حجم العينة المطلوب سحب وليكن ‪. n‬‬ ‫و تك درار ه ددذا العملي ددة ع دددد م ددن الم درات نحص ددل عل ددى عين ددة عش دوا ية م ددع اإلح ددالل‬ ‫‪With‬‬ ‫‪ .Replacement‬وتتميز هذا العينة بدن اختيار كل مفردة ال ُيؤثر وال يتدثر باختيار مفردات‬ ‫ويطلق على اختيار كل مفردة من مفردات العينة "محاولة" ‪ Trail‬وإذا ما‬ ‫العينة األخرى‪ ،‬هذا ُ‬ ‫وقعت قيم المفردات ‪ x i‬مع رقم المحاوالت ‪ i‬ف ن الشكل االنتشارى ُيشب ذلك المبين بالشكل‬ ‫التالى‪ ،‬حيث يبدو واضحاً أن ليست هنا أية عالقة بين ‪ x i‬و ‪i‬‬ ‫‪190‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫فيعددزى إلددى أن قدديم ‪ x i‬ليسددت متماثلددة تمامداً فددى جميددع منشددات صددناعة‬ ‫أمددا تفدداوت قدديم ‪ُ x i‬‬ ‫ضرب األرز‪ ،‬و عباروة أخرى ف ن قيم ‪ x i‬يتوقع أن تتقلب حول قيمة ثابتة هدى متوسد قيمدة‬ ‫المجتمد ددع ‪ ، ‬و عبد دداروة أخد ددرى إذا كد ددان متوس د د المتغيد ددر العش د دوا ى ‪ x i‬فد ددى المجتمد ددع هد ددو‬ ‫‪ 50000‬جني ‪ ،‬ف ن من المتوقع أن تتقلب قيم العينة حول ‪ 50000‬كما فى الشكل التالى‪:‬‬ ‫مما سبق يتبين أن ألن مجتمع ثابت ذو متغير عشوا ى ‪ x i‬ف ن عينة ذات حجم ‪ n‬من هذا‬ ‫المجتمع إن هى إال مجموعة من المفردات عددها ‪ . n‬و تثبيت حجم العينة ف ن كدل العيندات‬ ‫الممكن سحبها من المجتمع تُعرف بف ار العينة ‪ ،Sample Space‬أما عددد العيندات الممكدن‬ ‫س ددحبها فتُع ددرف بند دداتج المجتم ددع ‪Product‬‬ ‫باالستعانة بالمثال التالى‪:‬‬ ‫لنفر‬ ‫ويمك ددن توضد دديح ه ددذا المفد ددا يم‬ ‫‪ُ Population‬‬ ‫أن المجتمع موضع االعتبار يتكون من ثالث مفردات فق‬ ‫هى ‪ a, b, c‬وأن‬ ‫)‪ (a=0‬و )‪ (c = 1) ، (b = 1‬وأن حجم العينة هو مفردتين – أى أن )‪ ، (n = 2‬وعلي‬ ‫‪191‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫ف ن احتماالت المتغير العشوا ى ‪ x i‬هى‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= )‪, f (x = 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= )‪، f (x = 0‬‬ ‫والجدول التالى يبين ناتج المجتمع لسحب عينات المثال السابق اإلشارة إلي ‪.‬‬ ‫و صفة‬ ‫عامة ف ن ناتج المجتمع يمكن حساب بمعرفة حجم و‬ ‫كل من المجتمع والعينة‪ ،‬ف ذا كان‬ ‫المجتمع مكوناً من ثالث مفردات وحجم العينة مكوناً من مفردتين ف ن ناتج المجتمع يتكون‬ ‫من ‪ 9‬عينات أما إذا كان حجم المجتمع أر ع مفردات وحجم العينة ثالث مفردات ف ن ناتج‬ ‫المجتمع يتكون فى هذا الحالة من ‪ 64‬عينة‪ .‬و و‬ ‫صفة عامة ف ذا ما رمزنا لحجم المجتمع‬ ‫‪n‬‬ ‫بالرمز ‪ N‬ولحجم العينة بالرمز ‪ n‬ف ن عدد عينات ناتج المجتمع يكون ‪. N‬‬ ‫و معان النير فى العينات المتحصل عليها فدى المثدال السدابق يتبدين أن نداتج المجتمدع يدخدذ‬ ‫فى االعتبار ترتيب ظهدور المفدردات باإلضدافة إلدى قيمدة مفدردات المجتمدع أى باإلضدافة إلدى‬ ‫ما إذا كانت المفردة التى ظهرت فى العينة هى )‪ (a‬أو )‪ (b‬أو )‪ ،(c‬أما إذا ً‬ ‫نا النيدر‬ ‫ع ددن ق دديم المف ددردات وأخ ددذنا ف ددى االعتب ددار ترتي ددب ظه ددور المف ددردات‪ ،‬ف د ن العين ددات الت ددى ُيمك ددن‬ ‫سحبها هى‪ :‬حصفر‪ ،‬صفرك‪ ،‬حصفر‪1 ،‬ك‪ ،‬ح‪ ،1‬صفرك‪ ،‬ح‪1 ،1‬ك أى أن عدد العينات يتناقص‬ ‫إلى أر عة فق وهو ما ُيطلق علي ف ار العينة‪.‬‬ ‫وحيث أن } ‪ {x 1 , x 2 , x 3 ..., x n‬هى متغيدرات مرتبطدة للعيندة‪ ،‬ومدن ثدم لهدا توزيدع احتمدالى‬ ‫‪ Joint Probability‬والددذن ُيمكددن اشددتقاق مددن التوزيددع االحتمددالى للمتغيددر ‪. x i‬‬ ‫م درتب‬ ‫وحي ددث أن } ‪ {x 1 , x 2 , x 3 ..., x n‬ه ددى عين ددة عشد دوا ية م ددن مجتم ددع ُيد دوزع فيد د المتغي ددر ‪x i‬‬ ‫بتوزيع احتمالى ) ‪ f (x‬ف ن التوزيع االحتمالى المرتب لمفردات العينة هو‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫) ‪).f (x 2 ).f (x 3 ).....f (x n‬‬ ‫‪192‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ f (x ) =f (x‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫وحيددث أن } ‪ {x 1 , x 2 , x 3 ..., x n‬عينددة عشدوا ية تددم سددحبها بدداإلحالل أى لددن ُيدؤثر اختيددار‬ ‫أى مفد د د ددردة علد د د ددى اختيد د د ددار مفد د د ددردة ًيرهد د د ددا مد د د ددن المفد د د ددردات فد د د ددى العيند د د ددة‪ ،‬فد د د د ن المفد د د ددردات‬ ‫} ‪ {x 1 , x 2 , x 3 ..., x n‬تكون مستقلة إحصا ياً عن بع ها البعل‪ .‬ف ذا كان هنا عينتان‬ ‫تختلفددان فق د فددى ترتيددب ظهددور مفددردات العينددة ف د ن احتمددال اختيددار أحددد هددذا العينددات يكددون‬ ‫مساوياً الحتمال اختيار أى عينة أخرى‪ .‬فالنسبة للمجتمع المكون من ثالث مفردات ‪a, b, c‬‬ ‫وأن )‪ (a=0‬و )‪ (c = 1) ، (b = 1‬وأن حجدم العيندة هدو مفدردتين‪ ،‬فقدد تبدين أن فد ار العيندة‬ ‫يتك ددون م ددن العين ددات حص ددفر ‪ ،‬ص ددفرك ‪ ،‬حص ددفر ‪1 ،‬ك ‪ ،‬ح‪ ، 1‬ص ددفرك ‪ ،‬ح‪1 ، 1‬ك‪ ،‬وحي ددث أن‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= )‪, f (x = 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= )‪ ، f (x = 0‬وطالم ددا أن س ددحب العين ددة ه ددو بطري ددق اإلح ددالل‬ ‫فد د ن مف ددردات العين ددة تك ددون مس ددتقلة ع ددن بع ددها ال ددبعل إحص ددا ياً وعليد د فد د ن احتم ددال ه ددذا‬ ‫العينات يكون على النحو التالى‪:‬‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫‪2 1 2‬‬ ‫‪1 2 2‬‬ ‫‪2 2 4‬‬ ‫= ‪f (0,0) =  = , f (1,0) =  = , f (0,1) =  = , f (1,1) = ‬‬ ‫‪3 3 9‬‬ ‫‪3 3 9‬‬ ‫‪3 3 9‬‬ ‫‪3 3 9‬‬ ‫يانياً‪ :‬سحب العرنات العشوائية بدون إحالل‬ ‫‪Drawing Random Sampling without Replacement‬‬ ‫تب ددين لن ددا فيم ددا س ددبق أن س ددحب العين ددات العش دوا ية ي دتلخص ف ددى اختي ددار مف ددردات متتالي ددة م ددن‬ ‫مجتمع معين‪ ،‬ويتم فى كل مرة اختيار مفردة واحدة من مفردات العينة والتى تُعاد بددورها إلدى‬ ‫المجتمع قبل إجراء االختيار التالى‪ ،‬وسبق تعريف هذا الطريقة بسحب العينات العشوا ية مدع‬ ‫اإلحددالل ‪ . With Replacement‬ومددن ناحيد ودة أخددرى فهنددا أسددلوب آخددر لسددحب العينددات‬ ‫حيددث ُيجددرى االختيددار التددالى مددن بددين المفددردات المتبقيددة بددالمجتمع التددى لددم ُيجددرى اختيارهددا‬ ‫ضد د د د د د د د د د د د د ددمن مفد د د د د د د د د د د د د ددردات العيند د د د د د د د د د د د د ددة‪ ،‬و عبد د د د د د د د د د د د د دداروة أخد د د د د د د د د د د د د ددرى فد د د د د د د د د د د د د د ن المفد د د د د د د د د د د د د ددردة‬ ‫التد د د د د د ددى تيهد د د د د د ددر بالعيند د د د د د ددة ال ُيجد د د د د د ددرى إعادتهد د د د د د ددا للمجتمد د د د د د ددع قبد د د د د د ددل إج د د د د د د دراء االختيد د د د د د ددار‬ ‫ويع د د د د د د د د ددرف هد د د د د د د د ددذا األس د د د د د د د د ددلوب بسد د د د د د د د ددحب العين د د د د د د د د ددات بد د د د د د د د دددون اإلح د د د د د د د د ددالل‬ ‫التد د د د د د د د ددالى‪ُ ،‬‬ ‫‪193‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪ . Sampling Without Replacement‬وفدى هدذا األسدلوب فد ن حجدم المجتمدع ال ييدل‬ ‫ثابت داً فددى حالددة سددحب العينددات بدددون إحددالل‪ ،‬حيددث يتندداقص مددع كددل م درة ُيجددرى فيهددا اختيددار‬ ‫مفردة إضافية فى العينة‪.‬‬ ‫ف د ذا مددا رمزنددا لحجددم المجتمددع بددالرمز ‪ N‬وكددان سددحب العينددة يددتم بدددون إحددالل فعنددد اختيددار‬ ‫المفددردة األولددى مددن العينددة يكددون حجددم المجتمددع ‪ N‬وعنددد اختيددار المفددردة الثانيددة يكددون حجددم‬ ‫المجتمدع )‪ ،(N – 1‬وعندد اختيدار المفدردة الثالثدة فدى العيندة يكدون حجدم المجتمدع )‪،(N – 2‬‬ ‫ومدن ثدم فد ن حجدم المجتمدع عندد اختيدار المفدردة األخيدرة يكدون )‪ .(N - n + 1‬ومدن ناحي ودة‬ ‫أخ ددرى فد د ن احتم ددال اختي ددار أى مف ددردة م ددن مف ددردات المجتم ددع ض ددمن مف ددردات العين ددة يختل ددف‬ ‫باختالف مرات السحب‪.‬‬ ‫ف ذا كان سحب العينة العشوا ية يتم مع اإلحالل ف ن احتمال اختيار أية مفردة ضمن مفردات‬ ‫‪n‬‬ ‫العينة وهو ‪ ،‬حيدث ‪ n‬ترمدز لحجدم العيندة و ‪ N‬ترمدز لحجدم المجتمدع‪ ،‬أمدا إذا كدان سدحب‬ ‫‪N‬‬ ‫العينة يتم بدون إحالل ف ن احتمال ظهور أية مفردة ضمن مفردات العينة فى االختيار األول‬ ‫‪n‬‬ ‫يكون‬ ‫‪N‬‬ ‫كما أن احتمال ظهور أية مفردة من المفدردات المتبقيدة فدى العيندة فدى االختيدار‬ ‫‪n -1‬‬ ‫الثانى فيكون‬ ‫‪N -1‬‬ ‫وفى االختيار الثالث يكدون احتمدال ظهدور أيدة مفدردة مدن المفدردات‬ ‫‪n-2‬‬ ‫المتبقية فى العينة هو‬ ‫‪N -2‬‬ ‫وهكذا‪ .‬هذا وسيستخدم تعبيدر سدحب العيندة العشدوا ية فدى‬ ‫هذا المجال على أن المقصود ب هو سحب العينات العشدوا ية مدع اإلحدالل إال إذا ُذكدر ًيدر‬ ‫ذلك صراح ًة‪.‬‬ ‫‪194‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫نظرية الحد المركزى ‪The Central Limit Theorem‬‬ ‫تشددير نيريددة الحددد المركددزى إلددى أند فددى حالددة زيددادة حجددم العينددة إلددى مددا النهايددة فد ن متوسد‬ ‫العين ددة يت ددوزع وفقد داً للتوزي ددع الطبيع ددى بمتوسد د يس دداوى متوسد د المجتم ددع المس ددحوب مند د تل ددك‬ ‫العينات‪ ،‬وتباين يساوى تباين المجتمع مقسوماً على حجم العينة‪.‬‬ ‫ف ذا كان هنا مجتمع ثابت بمتوس قدرا ‪ µ‬وتباين قدرا ‪ ، σ2‬فلكل عينة ذات حجم معين ‪n‬‬ ‫‪ ،‬ف ذا رمزنا لمتوس العينة العشوا ية بالرمز ‪ X‬ف ن ألى ثابتين ‪ a , b‬يكون‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ b‬‬ ‫‪X −‬‬ ‫‪F  ‬‬ ‫) ‪ b  =   (X )d (X‬‬ ‫‪σ/ n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪Lim‬‬ ‫‪n →‬‬ ‫حيث يشير الرمز )‪ (‬للتوزيع اإلحتمالى الطبيعى القياسى‪.‬‬ ‫ومما تجدر اإلشارة إلي أن خاصية توزيع متوس العيندة بمتوسد يسداوى متوسد المجتمدع ‪µ‬‬ ‫وتبدداين يسدداوى )‪ (σ2 / n‬ال تتوقددف علددى شددكل التوزيددع اإلحتمددالى للمتغيددر العشدوا ى ‪ X‬فددى‬ ‫المجتمع‪ .‬و عباروة أخرى قد يتدوزع ‪ X‬فدى المجتمدع وفقداً لتوزيدع بواسدون أو توزيدع ذوالحددين أو‬ ‫التوزيددع المتماثددل أو ًيددر ذلددك مددن التوزيعددات اإلحتماليددة األخددرى سدواء فددى ذلددك المسددتمرة أو‬ ‫فيمكن صياًة نيرية الحد المركزى كما يلى‪:‬‬ ‫ًير المستمرة‪ ،‬وعلى ذلك ُ‬ ‫‪n‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪(X -  ) 2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2 σ2‬‬ ‫= ) ‪F (X‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪σ 2‬‬ ‫‪Lim‬‬ ‫‪n →‬‬ ‫حي ددث ‪ µ‬تش ددير إل ددى متوسد د المجتم ددع و ‪ σ2‬تش ددير إل ددى تب دداين المتغي ددر العشد دوا ى ‪ X‬ف ددى‬ ‫المجتمع‪.‬‬ ‫مثتتتتال‪ :‬نف ددر‬ ‫أن قطع ددة عمل ددة معدني ددة ق ددد ج ددرى ق ددذفها ع دددداً م ددن المد درات بل ددغ ‪ 100‬مد درة‪،‬‬ ‫والمطلوب حساب االحتمال المتجمع للحصول على صورة أبو الهول عدداً من المدرات يتدراوف‬ ‫بين ‪ 60 ،40‬مرة من مجموع المرات التى جرى قذف العملة فيها‪.‬‬ ‫‪195‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫الحتتل‪ :‬مددن الواضددح أن هنددا نتيجتددين ال ثالددث لهمددا لقددذف قطعددة العملددة‪ ،‬وهمددا إمددا الحصددول‬ ‫على الوج الذن يحمل الصورة أو الحصول على الوج الذن يحمدل الكتابدة‪ ،‬وعلدى ذلدك فد ن‬ ‫المتغير العشوا ى ‪ X‬فى هذا الحالة يتدوزع وفقداً لتوزيدع ذى الحددين حيدث ‪ 1 = X‬إذا ظهدرت‬ ‫الصورة‪ = X ،‬صفر إذا ظهرت الكتابة‪.‬‬ ‫ومن المفدرو‬ ‫نيريداً أند مدن بدين مجمدوع المدرات التدى ُقدذفت فيهدا العملدة والبالغدة ‪ 100‬مدرة‬ ‫أن نحصددل علددى ‪ 50‬م درة ييهددر فيهددا الوج د الددذن يحمددل الصددورة و ‪ 50‬مدرة أخددرى ال ييهددر‬ ‫فيهددا‪ .‬فد ذا رمزنددا الحتمددال ظهددور الصددورة بددالرمز ‪ P‬ويكددون احتمددال ظهددور الوجد األخددر ‪(1-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪ ،P‬ويكددون‬ ‫‪2‬‬ ‫= ) ‪ ، P = , (1 − P‬فد ذا رمزنددا لعدددد المدرات الفعليددة التددى ظهددر فيهددا الوجد‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫الذى يحمل الصورة كنسبة مئوية من مجموع المرات التدى ُقدذفت فيهدا العملدة بدالرمز ‪ p‬فد ن‬ ‫‪ p‬تُساوى فى هذا الحالة متوس العينة‪ ،‬حيدث أن التجر دة الخاصدة بقدذف العملدة عددداً مدن‬ ‫المد ارت يسدداوى ‪ 100‬مدرة إن هددو فددى حقيقددة األمددر إال عينددة حجمهددا ‪ 100‬مفددردة مددن مجتمددع‬ ‫ًير محدود يتمثل فى قذف العملة عدد ال نها ى من المرات وعلى ذلك ف ن‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪X i = np = p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫= ‪X‬‬ ‫ووفقاً لنيرية الحد المركزى ف ن ‪- p‬متوس العينة– يتوزع توزيعاً طبيعياً بمتوس ُيساوى‬ ‫متوس المجموع ‪ µ‬وتباين قدرا )‪ (σ2 / n‬وذلك إذا ما ازداد حجم العينة إلى ما ال نهاية أى‬ ‫أن‪:‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫) ‪N (P = ,‬‬ ‫‪2 n‬‬ ‫‪196‬‬ ‫)‪(p‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪n →‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫وذلك رًماً عن أن المتغير العشوا ى ‪ X‬يتوزع فى المجتمع وفقاً لتوزيدع ذوالحددين‪ ،‬وحيدث أن‬ ‫تباين الحدين )‪ (σ2‬للمتغير العشوا ى ‪ - X‬المتغير فى صورة نسبة‪ُ -‬يمكن حساب كما يلى‪:‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪ 2 = P (1 − P ) = ( )( ) = 0.25‬‬ ‫‪0.25‬‬ ‫وحيث أن تباين المتوس = ‪ ،σ2 / n‬فيكون ‪= 0.0025‬‬ ‫‪100‬‬ ‫= )‪ 2(p‬‬ ‫وإليجد دداد االحتمد ددال المتجمد ددع أن ح‪0.4 > p > 0.6‬ك‪ ،‬أى احتمد ددال أن الوج د د الد ددذى يحمد ددل‬ ‫الص ددورة ييه ددر ع دددداً م ددن المد درات يتد دراوف ب ددين ‪ 40‬و ‪ 60‬مد درة‪ ،‬فد ديمكن تطبي ددق نيري ددة الح ددد‬ ‫المركزى على النحو التالى‪:‬‬ ‫‪0.6 − 0.5 ‬‬ ‫‪ 0.4 - 0.5‬‬ ‫‪F(0.4  p  0.6) = F ‬‬ ‫‪Z ‬‬ ‫)‪ = F (−2  Z  2‬‬ ‫‪0.05 ‬‬ ‫‪ 0.05‬‬ ‫أى أن احتمددال الحص دول علددى الوج د الددذن يحمددل الصددورة لقطعددة العملددة عدددداً مددن‬ ‫المددرات يتد دراوف ب ددين ‪ 40‬و ‪ 60‬يبل ددغ ‪ %95.44‬حن دداتج الكش ددف ف ددى ج ددداول التوزي ددع الطبيع ددى‬ ‫القياسىك‪.‬‬ ‫أمثلة محلولة وتمارين‬ ‫‪ -1‬إذا كان ‪ X‬متوس عينة عشوا ية ذات حجم ح‪n‬ك جرى سحبها من مجتمع متوسط‬ ‫= صفر وتباين =‪ ،1‬فاحسب )‪ F (-1 < X < 1‬عندما ‪n=1,4,16‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a-‬‬ ‫‪b- ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ F ( a  X  b) = F‬‬ ‫‪Z ‬‬ ‫‪ σ‬‬ ‫‪σ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫ف ذا كانت ‪ n = 1‬ف ن ‪:‬‬ ‫‪197‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-1-0‬‬ ‫‪1−0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ F (−1  X  1) = F‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪= F (_ − 1  Z  1) = 0.3483  2 = 0.6836‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫وعندما ‪n=4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ -1-0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ = F (−2  Z  2) = 0.4772  2 = 0.9544‬‬ ‫‪ F (−1  X ) = F ‬‬ ‫‪Z ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫وإذا كانت‬ ‫‪ n = 16‬ف ن ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ -1-0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ = F (−4  Z  4) = 0.4990  2 = 0.9980‬‬ ‫‪ F (−1  X  1) = F ‬‬ ‫‪Z ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4 ‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪ -2‬من واقع البيانات المتوفرة لدى إحدى الشركات تبين أن قوة إحتمال ق بان نوع من‬ ‫األسال التى تنتجها تبلغ ‪ 400‬رطل ب نحراف معيارى قدرا ‪ 15‬رطل‪ .‬ف ذا إخترنا‬ ‫‪ 16‬ق يباً من تلك الق بان فدوجد قيمتين إحداهما صغرى واألخرى كبرى يتوقع أن‬ ‫يقع متوس الق بان بينهما وذلك باحتمال ‪ .%95‬ما هى عدد الق بان التى يجب‬ ‫إختيارها بحيث يكون إحتمال إختالف متوس العينة عن متوس المجتمع فى حدود‬ ‫رطلين أكبر من ‪.%95‬‬ ‫الحل‪ :‬وفقاً لنيرية الحد المركزى ف ن‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪X −‬‬ ‫‪X −‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪ = 1−‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫وحيدث ‪ (1-α)= 0.95‬و الكشدف فدى جددول التوزيدع الطبيعدى القياسدى تكدون قيمدة ‪Z = ±2‬‬ ‫تقريباً وعلى ذلك يمكن التعويل كما يلى‪:‬‬ ‫‪198‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ X − 400‬‬ ‫‪X − 400 ‬‬ ‫‪ F‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪ = 0.95‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪4 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪( X − 400)  4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪ 4 X = 1600  30‬‬ ‫‪ X = 392.5 or 407.5‬‬ ‫أى أن‪ (392.5  X  407.5) :‬باحتمال ‪%95‬‬ ‫ولتقدير حجم العينة الالزم بحيث ال يزيد الفر بين متوس‬ ‫العينة ومتوس‬ ‫المجتمع عن‬ ‫رطلين يكون الحل كالتالى‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪X −‬‬ ‫‪X −‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪Z ‬‬ ‫‪= 0.95‬‬ ‫‪ σ‬‬ ‫‪σ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ 2 n = 30‬‬ ‫‪ n = 15,  n = 225‬‬ ‫‪ -3‬إذا ما أريد تقدير متوس مجتمع طبيعى تباين ‪ ،100‬أحسدب حجدم العيندة الدذن يلدزم‬ ‫إختي ددارا بحي ددث أن اإلحتم ددال يك ددون ‪ 80%‬اليختل ددف التق دددير ع ددن متوسد د المجتم ددع‬ ‫بمقدار ‪ 0.4‬وحدة‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫‪199‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪X −‬‬ ‫‪X −‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪Z ‬‬ ‫‪= 0.80‬‬ ‫‪ σ‬‬ ‫‪σ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪ 0.4 n‬‬ ‫‪= 1.28‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ 0.4 n = 12.8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ n = 3.2  n = 10‬‬ ‫‪ُ -4‬يريددد أحددد البدداحثين تقدددير متوسد مجتمددع مسددتخدماً عينددة ذات حجددم كبيددر بحيددث أن‬ ‫اإلحتمددال يكددون ‪ %95‬أن متوس د العينددة لددن يختلددف عددن المتوس د الفعلددى للمجتمددع‬ ‫بدكثر من ‪ %25‬من اإلنحراف المعيارى‪ ،‬فما هو حجم العينة؟‬ ‫الحل‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪X −‬‬ ‫‪X −‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪Z ‬‬ ‫‪= 0.95‬‬ ‫‪ σ‬‬ ‫‪σ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪ 0.25‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ 0.25 n = 2‬‬ ‫‪ n = 8,  n = 64‬‬ ‫‪200‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫تمارين‬ ‫‪ -1‬إذا كددان ‪ X‬متوس د عينددة عش دوا ية حجمهددا ‪ n‬مددن مجتمددع متوسددط = ‪ 21‬وتباين د ‪σ2‬‬ ‫إستخدم نيرية الحد المركزن لتقدير)‪ F (19 < X < 23‬فى الحالتين التاليتين‪:‬‬ ‫‪b) n=(25, 49, 225), σ =10‬‬ ‫)‪a) n=100, σ =(20, 10, 5‬‬ ‫‪ -2‬إذا مددا كددان ‪ X‬متغيددر عشدوا ى مددوزع وفقداً للتوزيددع الطبيعددى بحيددث أن ‪ ، 20=µ‬و ‪= σ‬‬ ‫‪ 25‬ف حسب اإلحتمال إن ‪:‬‬ ‫أ‪21 > X -‬‬ ‫ب‪ ، 21 > X -‬إذا م د د ددا ك د د ددان ‪ X‬مبند د د ددى عل د د ددى عيند د د ددة‬ ‫عشوا ية حجمها ‪ 25‬مفردة ‪.‬‬ ‫‪201‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫الفصل العاار‪ :‬اختبارات فحة الفروض اإلحصائية‬ ‫أهداف الفصل‪:‬‬ ‫بنهاية هذا الفصل يصبح الطالب قادرا على أن‪:‬‬ ‫ فهم ماهية اختبارات صحة الفروض اإلحصائية‪.‬‬‫‪ -‬فهم الفروض اإلحصائية‪ ،‬ومستويات المعنوية‪ ،‬وحدود الثقة ‪ ....‬الخ‪.‬‬ ‫‪202‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫الفصل العاار‪ :‬اختبارات فحة الفروض اإلحصائية‬ ‫‪Testing Hypotheses‬‬ ‫تمهرد‬ ‫يعتمد البحث العلمي أساساً على المشاهدة ثم وضع نيرية فرضية ويطلق عليها فر‬ ‫العدم‪ ،‬وأساس هذا النيرية هو افت ار‬ ‫عدم وجود اختالفات بين المعامالت داخل التجر ة‬ ‫وإن وجدت اختالفات تكون عشوا ية أن ناتجة عن طريقة أخذ العينة‪ .‬و عد ذلك يقوم الباحث‬ ‫بتصميم التجر ة الختبار صحة النيرية الفرضية وذلك من خالل تنفيذ التجر ة وجمع‬ ‫البيانات وتحليلها لتقدير مدى دقة هذا التقديرات وهو ما يطلق علي اسم اختبارات المعنوية‪.‬‬ ‫و عبارة أخرى إن اختبارات المعنوية تجرى بهدف التحقق من معنوية الفرو الناتجة بمعنى‬ ‫هل هي فرو عشوا ية راجعة للصدفة أن نتيجة لطريقة اختيار العينة أم ال؟‬ ‫ويالح( أن الفرو بين متوسطات العينات المسحو ة من مجتمع واحد ومتوس هذا المجتمع‬ ‫تكون عشوا ية ألن العينة المسحو ة من المجتمع عشوا ية‪ .‬كما أن قيمة هذا الفرو تعتمد‬ ‫على مدى االختالفات الموجودة بين مفردات المجتمع فتقل هذا الفرو‬ ‫بزيادة تجانف‬ ‫مفردات المجتمع والعكف بالعكف‪.‬‬ ‫تعاريف وافطالحات‬ ‫الفرض اإلحصائ ‪Statistical Hypothesis‬‬ ‫يمكن تعريف الفر‬ ‫العشوا ى‪ ،‬كدن يفتر‬ ‫اإلحصا ى بدن فر‬ ‫خام بشكل التوزيع االحتمالى للمتغير‬ ‫أن المتغير العشوا ى ‪ x‬يتبع التوزيع ذو الحدين مثالً أو يتبع التوزيع‬ ‫فو الهندسى أو يتبع التوزيع الطبيعى أو ًير ذلك من التوزيعات االحتمالية‪ .‬كما يمكن أن‬ ‫يعبر الفر‬ ‫اإلحصا ى عن القيم الرقمية لمعالم التوزيع االحتمالى‪ ،‬كدن يقال أن متوس‬ ‫التوزيع يساوى ‪ ، (  = 5) 5‬أو يقال أن تباين التوزيع االحتمالى يساوى )‪. 25 ( 2 = 25‬‬ ‫‪203‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫اإلحصا ى قد يكون فرضاً بسيطاً أو مركباً‪ ،‬ففى حالة افت ار‬ ‫والفر‬ ‫‪= 25‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ف ن الفر‬ ‫فى هذا الحالة يقال ل فر‬ ‫قلنا أن ‪   5‬ففى هذا الحالة يقال أن الفر‬ ‫الرمز‬ ‫‪o‬‬ ‫‪H‬‬ ‫لإلشارة إلى الفر‬ ‫أن ‪  = 5‬أو‬ ‫بسي ‪ .‬أما إذا افترضنا أن ‪   5‬أو‬ ‫اإلحصا ى فرضاً مركباً‪ ،‬وعادةً يتم استخدام‬ ‫الصفرى‪.‬‬ ‫الفرض البديل ‪Alternative Hypothesis‬‬ ‫يعرف الفر البديل بدن فر مخالف للفر الصفرى سواء كان الفر متعلقاً بشكل‬ ‫التوزيع االحتمالى أو القيم الرقيمية لمعالم هذا التوزيع‪ .‬ف ذا ما كان الفر الصفرى يفتر‬ ‫البديل يفتر‬ ‫أن المتغير العشوا ى ‪ x‬يتوزع وفقاً لتوزيع ذو الحدين مثالً‪ ،‬ف ن الفر‬ ‫أخر وليكن توزيع البواسون مثالً‪ .‬كذلك إذا كلن الفر الصفرى يفتر‬ ‫الفر‬ ‫البديل يكون مثالً ‪ .  = 7‬والفر‬ ‫بالرمز‬ ‫‪H‬‬ ‫وقيل فى حالة الفر‬ ‫‪1‬‬ ‫توزيعاً‬ ‫أن ‪ ،  = 5‬ف ن‬ ‫البديل قد يكون فرضاً بسيطاً أو مركباً كما سبق‬ ‫الصفرى‪ ،‬وتجدر اإلشارة إلى أن الفر‬ ‫البديل عادةً ما يرمز ل‬ ‫االختبار ‪Test‬‬ ‫يعرف اختبار الفر‬ ‫فاختبار الفر‬ ‫‪o‬‬ ‫‪H‬‬ ‫ما يتم اختبار الفرو‬ ‫هذا المرحلة‪ ،‬سنفتر‬ ‫اإلحصا ىبان أسلوب يتقرر بموجب قبول أو رفل الفر‬ ‫يجرى باختبار مفردة من المتغير العشوا ى ‪ ،x‬وفى الواقع العملى عادة‬ ‫باإلستناد إلى عدد كبير من المفردات‪ً ،‬ير أن لتجنب التعقيد فى‬ ‫أن القرار يعتمد على مفردة واحدة فق ‪ ،‬ووفقاً لقيمة المتغير العشوا ى‬ ‫‪ x‬يتخذ القرار إما بقبول‬ ‫‪o‬‬ ‫‪H‬‬ ‫أو برف‬ ‫الصفرى يعنى فى ذات الوقت رفل الفر‬ ‫قبول الفر‬ ‫اإلحصا ى‪.‬‬ ‫‪ ،‬وتجدر اإلشارة إلى أن القرار بقبول الفر‬ ‫البديل‬ ‫‪1‬‬ ‫‪H‬‬ ‫وأن رفل الفر‬ ‫الصفرى يعنى‬ ‫البديل‪ .‬وتكمن مشكلة االختبارات اإلحصا ية فى تحديد قيم المتغير العشوا ى ‪x‬‬ ‫التى يمكن اختبارها لقبول الفر‬ ‫الصفرى كذا القيم الخاصة برف‬ ‫المنطقة الحرجة ‪Critical Region‬‬ ‫‪204‬‬ ‫‪.‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫يمكن القول بدن المنطقة الحرجة الختبار الفر‬ ‫التوزيع االحتمالى التابع لرفل الفر‬ ‫الفر‬ ‫اإلحصا ى بدنها الجزء من الف ار العينى أو‬ ‫موضع االعتبار ‪ ، H o‬وعلي ف ن مشكلة اختبار‬ ‫الصفرى هى فى واقع األمر مشكلة اختيار منطقة حرجة لالختبار‪.‬‬ ‫مستوى المعنوية ‪significant level‬‬ ‫ال يتم رفل أو قبول النيرية الفرضية بمجرد أن الفرو بين المتوسطات أكبر من أو أقل‬ ‫من الفرو العشوا ية حإذا كانت الفرو أقل من الخطد المعيارن دل على أن هذا الفرو‬ ‫عشوا ية أو ًير معنوية‪ ،‬في حين إذا كانت أكبر من الخطد المعيارن تكون فرو معنوية‬ ‫وترفل النيرية الفرضيةك بل يعتمد على مقدار احتمال حدوث هذا الفرو ‪ .‬ف ذا كان‬ ‫احتمال حدوث الفرو بين المتوسطات نتيجة لألخطاء العشوا ية ناد اًر فيقال أن هذا الفرو‬ ‫معنوية وترفل النيرية الفرضية‪ .‬أما إذا كان احتمال حدوث هذا الفرو‬ ‫كبير نتيجة‬ ‫للعشوا ية فيقال أنها فرو ًير معنوية وتقبل النيرية الفرضية‪ .‬هذا ويطلق على درجة‬ ‫االحتمال التي على أساسها يتم قبول أو رفل النيرية الفرضية اسم مستوى المعنوية‬ ‫‪ Significant level‬وعادة يتفق هذا المستوى عند إجراء التجر ة على طبيعة البحث ومدى‬ ‫المخاطرة التي يستطيع الباحث تقبلها‪ .‬فكلما قل االحتمال المستخدم في رفل النيرية أو‬ ‫قبولها كلما زاد مستوى المعنوية‪.‬‬ ‫أخطاء االختبار ‪Errors of Test‬‬ ‫يتعر‬ ‫الباحث فى تطبيق الختبارات صحة الفرو‬ ‫ذلك ألن عملية اختبار صحة الفرو‬ ‫اإلحصا ية إلى نوعين من األخطاء‬ ‫إن هى فى حقيقتها إال محاولة لتعميم نتا ج متحصل‬ ‫عليها من دراسة عينات على المجتمع الذن سحبت من هذا العينات‪ .‬و عبارة أخرى ف ن‬ ‫دراسة العينة قد تؤدى إلى اتخاذ ق اررات ال تتفق حقيقتها مع خصا ص المجتمع الذى سحبت‬ ‫من العينة‪ ،‬ف ذا ما كان ‪ H o‬صحيحاً على مستوى المجتمع ًير أن القيمة المالحية‬ ‫للمتغير العشوا ى على مستوى العينة أدت إلى رفل الفر الصفرى ‪ H o‬ني اًر لوقوعها فى‬ ‫‪205‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫المنطقة الحرجة لالختبار ف ن الباحث فى هذا الحالة يكون قد وقع فى الخطد من النوع األول‬ ‫‪ First Type Error‬والذى يرمز ل بالرمز ‪ . ‬ومن ناحية أخرى فقد يكون الفر‬ ‫البديل‬ ‫‪ H 1‬فى واقع األمر صحيحاً إال ان القيمة المالحية للمتغير العشوا ى لم تقع فى المنطقة‬ ‫الحرجة مما أدى إلى قبول الفر الصفرى ‪ H o‬ورفل الفر البديل ‪ H 1‬وعند وذ يكون‬ ‫الباحث يكون قد وقع فى الخطد من النوع الثانى ‪ Second Type Error‬والذى يرمزل‬ ‫بالرمز ‪ ، ‬والجدول التالى يبين التوليفات المختلفة من القررات الصحيحة والخاطئة وأنواع‬ ‫األخطاء المرتبطة بها‪.‬‬ ‫على مستوى المجتمع‬ ‫الق اررات‬ ‫‪o‬‬ ‫‪H‬‬ ‫صحيح‬ ‫القيمة المحسو ة من العينة الخطد من النوع األول‬ ‫أدت إلى رفل‬ ‫‪o‬‬ ‫‪H‬‬ ‫القيمة المحسو ة من العينة‬ ‫أدت إلى قبول‬ ‫‪o‬‬ ‫قرار صحيح‬ ‫‪1‬‬ ‫‪H‬‬ ‫صحيح‬ ‫قرار صحيح‬ ‫الخطد من النوع الثانى‬ ‫‪H‬‬ ‫أنواع االختبارات‬ ‫يوجد ثالث أنواع من االختبارات اإلحصا ية اعتماداً على موقع المنطقة الحرجة بالنسبة‬ ‫لنقطة القطع الفاصلة بين منطقة قبول الفر الصفرى ومنطقة قبول الفر البديل‬ ‫وهي‪:‬‬ ‫‪ -1‬اختبار الذيل العلوي ‪Upper tail test‬‬ ‫‪ -2‬اختبار الذيل السفل‬ ‫‪Lower tail test‬‬ ‫‪ -3‬اختبار الذيل الذيلرن ‪Two tail test‬‬ ‫‪206‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫فبالنسبة الختبار الذيل العلون تكون قيم المعالم التى يحددها الفر‬ ‫أكبر من نييرتها التى يحددها الفر‬ ‫وفقاً للفر‬ ‫البديل ‪H1‬‬ ‫الصفرى ‪ Ho‬وعلي ف ن توزيع المتغير العشوا ى‬ ‫البديل يكون الى اليمين من ذلك الذن يحددا الفر‬ ‫الصفرى‪ .‬ويستلزم األمر‬ ‫فى هذا الحال التحوأ ضد القيم الكبرى وذلك بتركيز المنطقة الحرجة بالطرف العلون‬ ‫لتوزيع المتغير العشوا ى وفقاً لما يقررا الفر‬ ‫الصفرى ‪ ،Ho‬ويترتب على ذلك أن تقع‬ ‫نقطة القطع ‪ k‬الى اليمين من منتصف التوزيع االحتمالى للمتغير العشوا ى فى ظل‬ ‫الفر‬ ‫الصفرى‪ .‬ويمكن صياًة هذا النوع من االختبارات إحصا ياً باستخدام االستقراء‬ ‫للمتوس على النحو التالى‪:‬‬ ‫‪: =5‬‬ ‫‪: =7‬‬ ‫البديل ‪H‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪H‬‬ ‫وحيث أن القيمة الرقمية للمتوس وفقاً للفر‬ ‫حالة الفر الصفرن ‪ H‬فيكون شكل التوزيع االحتمالى فى ظل الفرضين الصفرى‬ ‫‪1‬‬ ‫أكبر من نييرتها فى‬ ‫والبديل على النحو التالى ‪:‬‬ ‫ويعد اختبار الذيل السلفى وضعاً عكسياً لذلك الخام باختبار الذيل العلون‪،‬‬ ‫ووفقاً لهذا االختبار تتحدد معالم توزيع المتغير العشوا ى بحيث يقع توزيع االحتمالى‬ ‫للمتغير العشوا ى وفقاً للفر‬ ‫البديل الى اليسار من ذلك الخام بتوزيع الفر‬ ‫اإلحصا ى‪ ،‬ويستلزم هذا األمر التحوأ ضد القيم الصغرى للمعالم مما يقت ى تركيز‬ ‫‪207‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫النقطة الحرجة بالطرف السفلى للتوزيع‪ ،‬ويمثل الشكل التالى هذا الوضع بالنسبة الختبار‬ ‫متوس العينة حيث يمكن صياًة المشكلة إحصا ياً فيما يلى‪:‬‬ ‫‪: =9‬‬ ‫‪: =7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪H‬‬ ‫أما فى اختبار الذيلين فال يتحدد ما إذا كانت قيم المعالم التى يحددها البديل أكبر‬ ‫أو أصغر من نييرتها التى يحددها الفر‬ ‫المتغير العشوا ى الى اليمين من توزيع الفر‬ ‫الصفرى‪ ،‬وعلي ف ن احتمال وقوع توزيع‬ ‫يتساوى مع احتمال وقوع الى اليسار من‬ ‫ذلك التوزيع‪ ،‬ويقت ى األمر فى هذا الحال التحوأ ضد كل من القيم الكبرى والصغرى‬ ‫للمتغير العشوا ى وذلك بتوزيع المنطقة الحرجة على كل من ذيلى التوزيع االحتمالى‬ ‫للمتغير العشوا ى إذا ما كان الفر‬ ‫صحيحاً‪ ،‬و التالى تتحدد نقطى القطع بحيث ان‬ ‫مجموع مساحتى المنطقة الحرجة فى الذيلين معاً يتساوى مع حجم الخطد من النوع األول‬ ‫الذى يرغب الباحث‪ .‬هذا وتتوزيع المنطقة الحرجة بالتساوى على كالً من الذيلين‪ ،‬أى أن‬ ‫نصف حجم الخطد من النوع األول يكون بالذيل العلون لتوزيع المتغير العشوا ى إذا ما‬ ‫كان الفر‬ ‫صحيحاً والنصف ا خر بالذيل السفلى‪ .‬و اتخاذ اختبار صحة متوس العينة‬ ‫كمثال يمكن صياًة هذا االختبار فيما يلى‪:‬‬ ‫‪: =9‬‬ ‫‪: 9‬‬ ‫‪208‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪H‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫و الرجوع الى الشكل المشار إلي يتبين ح‪f ( x- / Ho‬‬ ‫العينة إذا ما كان الفر صحيحاً‪ ،‬كما ُمثل توزيع متوس‬ ‫البديل صحيحاً بتوزيعين أحدهما الى اليسار من توزيع الفر‬ ‫يكون ح ‪1 ‬ك أقل مد دن ح‬ ‫إمكانية أن يكونح‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪‬‬ ‫يمثل توزيع متوس‬ ‫العينة إذا ما كان الفر‬ ‫الصفرى ممثالً إمكانية أن‬ ‫ك وثانيهما الى اليمين من توزيع الفر‬ ‫ك أكبر ح‬ ‫‪o‬‬ ‫الصفرى ممثالً‬ ‫‪ ‬ك‪ ،‬كما تم توزيع المنطقة الحرجة على كل من‬ ‫الذيلين مما أدى الى تحديد نقطتين للقطع هما ‪, −K  / 2‬‬ ‫‪/2‬‬ ‫‪K‬‬ ‫اختبارات المعنوية اإلحصائية‬ ‫‪Testing Hypothesis‬‬ ‫عند إجراء اختبارات المعنوية اإلحصا ية قد يكون تباين المجتمع أو المجتمعات المسحو ة‬ ‫‪X −‬‬ ‫من العينات معلوماً أو ًير معلوم‪ ،‬ف ذا ما كان التباين معلوماً فتكون الكمية‬ ‫‪/ n‬‬ ‫تتوزع وفقاً للتوزيع الطبيعى القياسى وعند وذ تستخدم جداول التوزيع الطبيعى القياسى لتحديد‬ ‫الصفرى ومنطقة قبول الفر‬ ‫بناء عليها تتحدد منطقة قبول الفر‬ ‫المنطقة الحرجة والتى ً‬ ‫البديل‪ ،‬أما إذا كان تباين المجتمع المسحوب من العينة ًير معلوم فيحسب تقدير للتباين‬ ‫‪X −‬‬ ‫يتوزع وفقاً لتوزيع )‪ (t‬وعند وذ تستخدم جداول )‪(t‬‬ ‫من العينة وعند وذ يكون المقدار‬ ‫‪s/ n‬‬ ‫لتحديد المنطقة الحرجة والتى يتقرر بموجبها قبول أو رفل الفر الصفرى‪.‬‬ ‫‪209‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أوالً‪ :‬اختبارات المعنوية اإلحصائية ف حالة معلومية تباين المجتمع‬ ‫‪ .1‬مقارنة متوسط العرنة ̅‬ ‫× مع متوسط المجتمع (‬ ‫إذا تم سحب عينة من مجتمع ما وكان متوسطها ال يساون متوس المجتمع فقد يكون الفر‬ ‫بين متوس العينة ومتوس المجتمع كبير وحقيقي بمعنى أن العينة ال تتبع هذا المجتمع بل‬ ‫تنتمي إلى مجتمع آخر‪ .‬أما إذا كان الفر ضئيل فيقال أنها فرو عشوا ية بمعنى أن العينة‬ ‫مسحو ة من هذا المجتمع‪ .‬وللحكم على أن هذا الفرو معنوية أو ًير معنوية أو بعبارة‬ ‫أخرى للتحقق من أن العينة تنتمي إلى المجتمع موضع الدراسة من عدم يتم تطبيق‬ ‫االختبار التالي‪:‬‬ ‫× 𝝁 ‪̅−‬‬ ‫𝝁 ‪̅−‬‬ ‫×‬ ‫=‬ ‫̅×𝝈‬ ‫𝒏√‪𝝈⁄‬‬ ‫=𝒁‬ ‫حيث ‪ n‬حجم العينة‪.‬‬ ‫و صفة عامة إذا كانت ̅‬ ‫× للعينة تبعد عن متوس المجتمع ‪ µ‬بمقدار يقل عن ̅×𝜎 ‪ 2‬ف ن‬ ‫هذا المتوس يكون ضمن المتوسطات التي نحصل عليها من ‪ %95‬من الحاالت وأن ‪%5‬‬ ‫الباقية تكون شاذة ح عشوا ية ك‪.‬‬ ‫تمرين‪ :‬أخذت عينة عشوا ية مكونة من ‪ 50‬علبة صلصة متوس وزن العلبة ‪ 140‬جم‬ ‫ف ذا كان المصنع مصمم على إنتال علبة ذات وزن ‪ 150‬جم بانحراف معيارن للمجتمع‬ ‫‪ 20‬جم‪ .‬والمطلوب هل متوس‬ ‫الفر معنون أم ًير معنون؟‬ ‫المجتمع المسحوب من العينة ‪ 150‬جم ؟ وهل هذا‬ ‫‪ .2‬مقارنة الفروق برن المتوسطات‬ ‫× ‪̅2 ،‬‬ ‫إذا سحبت عينتان من مجتمع أحجامها ‪ n2 ،n1‬وكان متوسطهما ‪̅ 1‬‬ ‫× ف ن يمكن‬ ‫اختبار الفرو بينهما باستخدام التوزيع الطبيعي القياسي أي اً حيث يطبق القانون التالي‪:‬‬ ‫‪210‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫×‪̅ 𝟏 −‬‬ ‫𝟐̅‬ ‫×‬ ‫=𝒛‬ ‫)𝟐̅×‪𝝈(×̅𝟏−‬‬ ‫حيث‪:‬‬ ‫𝟐𝒏‪𝝈(×̅𝟏−×̅𝟐) = √𝝈𝟐𝟏 ⁄𝒏𝟏 + 𝝈𝟐𝟐 ⁄‬‬ ‫وفي الحاالت السابقة تقارن قيمة ‪ Z‬المحسو ة بنييرتها الجدولية عند مستوى المعنوية‬ ‫المطلوب‪ .‬ف ذا كانت ‪ Z‬المحسو ة أكبر من ‪ Z‬الجدولية كانت هنا فروقاً معنوية وترفل‬ ‫النيرية الفرضية‪ ،‬أما إذا كانت ‪ Z‬المحسو ة أقل من نييرتها الجدولية تكون الفرو ًير‬ ‫معنوية وراجعة للصدفة‪.‬‬ ‫يانياً‪ :‬اختبارات المعنوية اإلحصائية ف حالة عدم معلومية تباين المجتمع‬ ‫أوضحت دراسة العالقة بين المنحنى الطبيعي ونيرية االحتماالت اإلحصا ية‬ ‫واستخدامها في اختبارات المعنوية اإلحصا ية وذلك بمعلومية االنحراف القياسي حيث‬ ‫أن هذا االختبارات تبنى على أساس أن انحراف القيمة عن المتوس‬ ‫الحسابي مقدرة‬ ‫بوحدات من الخطد المعيارن مقاس بواسطة وحدات من االنحراف الطبيعي القياسي ح ‪Z‬‬ ‫ك‪ .‬ويالح( أن اختبارات ‪ Z‬محدودة االستعمال وذلك ألن في ًالب األحوال يكون تباين‬ ‫المجتمع ح ‪𝜎 2‬ك ومتوسط الحسابي ح𝜇 ك ًير معروف‪ ،‬كما ال يمكن إجراء تجر ة ذات‬ ‫عدد كبير من المفردات حعلى المجتمعك لمحدودية إمكانيات الباحث‪ .‬وني اًر لعدم إمكانية‬ ‫تطبيق جداول االحتماالت المبنية على أساس االنحراف القياسي في اختبارات المعنوية‬ ‫عند دراسة توزيع العينات الصغيرة قام العالمان ‪ Student & Fisher‬ب يجاد توزيع‬ ‫يعتمد على درجات الحرية ح ‪ n-1‬ك مستعيناً بتباين العينة ح ‪ 𝑆 2‬ك بدالً من تبلين‬ ‫المجتمع ح ًير معروف ك‪ .‬وأطلق على هذا التوزيع توزيع ‪. t‬‬ ‫‪211‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫ويالح( أن هذا التوزيع ال يمثل بمنحنى واحد بل بالعديد من المنحنيات كل منها ل‬ ‫درجات حرية وتباين خام ب ‪ .‬كما يالح( أن بزيادة درجات الحرية تتالشى االختالفات‬ ‫بين التباينات للعينة وتباين المجتمع‪ ،‬وكذلك تقترب قيمة ‪ Z‬من قيمة ‪t‬‬ ‫‪ .1‬مقارنة متوسط العرنة بمتوسط مجتمع غرر معروف تباينه‪:‬‬ ‫بدراسة توزيع العينات الصغيرة وجد أن ال يمكن تطبيق جدول االحتماالت المبنية على‬ ‫أساس المنحنى الطبيعي في اختبارات المعنوية وذلك ألن كلما صغر حجم العينة كلما‬ ‫زاد الفر بين متوس العينة ومتوس المجتمع مما ينتج عن فرم الوقوع في استنتال‬ ‫خاطئ‪ .‬لذلك استخدم جدول ‪ t‬ألن عدد من درجات الحرية بدالً من جدول ‪. Z‬‬ ‫وتحسب قيمة ‪ t‬عند مقارنة متوس عينة بمتوس المجتمع كما يلي‪:‬‬ ‫𝜇 ‪̅−‬‬ ‫×‬ ‫̅×𝑠‬ ‫=𝑡‬ ‫طريقة الحساب‬ ‫بفر‬ ‫أن حجم العينة المسحو ة من المجتمع هو ‪ n‬فيحسب لها كل من المتوس ̅‬ ‫×‬ ‫واالنحراف المعيارن ح ‪ S‬ك والخطد المعيارن ̅×𝑆 كما يلي‪:‬‬ ‫×∑‬ ‫𝑛‬ ‫=̅‬ ‫× ‪1-‬‬ ‫= ‪̅ ) 2 ⁄𝑛 − 1‬‬ ‫× ‪2- 𝑆 = √∑(× −‬‬ ‫‪⁄𝑛 − 1‬‬ ‫‪(∑×)2‬‬ ‫𝑛‬ ‫‪̅ 2 )⁄𝑛 − 1 = √∑×2 −‬‬ ‫× 𝑛 ‪√(∑×2 −‬‬ ‫𝑆‬ ‫𝑛√‬ ‫‪ -4‬يطبق القانون‬ ‫𝜇‪̅ −‬‬ ‫×‬ ‫×𝑠‬ ‫̅‬ ‫= ̅×𝑆 ‪3-‬‬ ‫= 𝑡 لحساب قيمة ‪ t‬المحسو ة‪.‬‬ ‫يتم بعد ذلك استخرال قيمة ح ‪ t‬ك الجدولية من جداول ‪ t‬بدرجات حرية ‪ n-1‬وعند مستوى‬ ‫المعنوية المطلوب ح‪ %1‬أو ‪%5‬ك وتقارن قيمة ‪ t‬المحسو ة بنييرتها الجدولية ف ذا كانت ‪t‬‬ ‫‪212‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫المحسو ة ≥ ‪ t‬الجدولية عند مستوى المعنوية المطلوب اعتبر الفر معنون أو حقيقي وال‬ ‫يرجع للصدفة ويرفل الفر‬ ‫الفرضية القا لة‬ ‫القا ل بدن المتوسطين متساويين‪ ،‬بمعنى رفل النيرية‬ ‫𝜇 =̅‬ ‫×‬ ‫𝑟𝑜‬ ‫‪̅− 𝜇 = 0‬‬ ‫× ‪𝐻0 :‬‬ ‫وقبول النيرية البديلة القا لة‬ ‫𝜇 ≠̅‬ ‫×‬ ‫𝑟𝑜‬ ‫‪̅− 𝜇 ≠ 0‬‬ ‫× ‪𝐻1 :‬‬ ‫وذلك إذا ما كانت قيمة ‪ t‬المحسو ة أقل من نييرتها الجدولية‪ .‬بمعنى أن الفر بين‬ ‫المتوسطين ًير معنون وراجع للصدفة وتقبل النيرية الفرضية القا لة بدن = 𝜇 ‪̅ −‬‬ ‫×‬ ‫𝜇 =̅‬ ‫× 𝑟𝑜 ‪ 0‬حيث أن الفر بينهما يدخل في حدود الفرو‬ ‫العشوا ية‪ .‬ومما يجب‬ ‫مالحيت أن قيمة ‪ t‬عند مستوى معنوية ‪ %5‬أقل من نييرتها عند مستوى ‪ %1‬لنفف‬ ‫درجات الحرية‪.‬‬ ‫‪ .2‬تقدير حدود الثقة لمتوسط المجتمع‬ ‫إذا كان متوس المجتمع ًير معروف وهو الوضع الغالب بالنسبة للباحث فال يمكن تحديد‬ ‫إذا ما كان متوس العينة أكبر أو أقل من أو يساون متوس المجتمع إال إذا أخذت العديد‬ ‫من العينات من نفف المجتمع وهذا ال يمكن تنفيذا في الحياة العملية لمحدودية إمكانيات‬ ‫الباحث‪ .‬لذلك استخدمت حدود الثقة لحساب متوس‬ ‫المجتمع وهو يوضح المجال الذن‬ ‫يحصر بداخل المتوس الحسابي للمجتمع بدرجات احتمال ‪ %1‬أو ‪ .%5‬ويؤكد ‪Fisher‬‬ ‫طريقة تحديد المدى الذن ينحصر بداخل متوس‬ ‫المجتمع على أساس أن متوسطات‬ ‫العينات المسحو ة من مجتمع واحد تتوزع توزيعاً معتدالً حول متوس المجتمع بخطد معيارن‬ ‫قدرا ̅×𝜎 ‪ .‬وطبقاً لذلك يمكن أخذ م اعفات ̅×𝜎 بدرجات احتمال معينة لتحديد نسبة‬ ‫متوسطات العينات وهي ‪ %99 ،%95‬وأطلق عليها حدود الثقة‪.‬‬ ‫والحد األعلى لهذا المجال ‪-: L1‬‬ ‫‪213‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫] ̅×𝑆 ∗ )‪̅ + [(𝑡0.01 ، 𝑛 − 1‬‬ ‫× = ‪𝐿1‬‬ ‫‪0.05‬‬ ‫والحد األدنى لهذا المجال ‪-: L2‬‬ ‫] ̅×𝑆 ∗ )‪̅ − [(𝑡0.01 ، 𝑛 − 1‬‬ ‫× = ‪𝐿2‬‬ ‫‪0.05‬‬ ‫وأن متوس المجتمع ‪ µ‬يقع بين هذين الحدين ‪L2 ≤ µ ≤ L1‬‬ ‫مثال‪ :‬أخذت عينة حجمها ‪ 25‬طالب من مجتمع ما متوسط الحسابي ‪ 18‬سنة‪ ،‬وتبين أن‬ ‫متوس عمر الطالب في العينة ‪ 20‬سنة بانحراف معيارن قدرا ‪ 3‬سنوات‪ .‬اختبر الفر‬ ‫القا ل بدن متوس العينة ال يختلف اختالفاً إحصا ياً مؤكداً عن متوس المجتمع ثم احسب‬ ‫حدود الثقة لمتوس هذا المجتمع‪.‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪= 0.12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪25‬‬ ‫=‬ ‫𝑆‬ ‫𝑛√‬ ‫= ̅×𝑆‬ ‫𝜇 ‪̅−‬‬ ‫×‬ ‫̅×𝑠‬ ‫‪18 − 20‬‬ ‫=𝑡∴‬ ‫‪= −16.67‬‬ ‫‪0.12‬‬ ‫=𝑡∵‬ ‫‪ t‬عند درجات حرية ح‪25-1‬ك ومستوى معنوية ‪ %1 ، %5‬هي ‪ 2.8 ، 2.06‬حيالح( أن‬ ‫االختبار اختبار ذيلين حيث‬ ‫‪̅− 𝜇 = 0‬‬ ‫× ‪𝐻0 :‬‬ ‫‪̅− 𝜇 ≠ 0‬‬ ‫× ‪𝐻1 :‬‬ ‫وحيث أن ‪ t‬المحسو ة أكبر من ‪ t‬الجدولية‬ ‫يرفل الفر‬ ‫المجتمع‪.‬‬ ‫الصفرن ويقبل الفر‬ ‫البديل‪ .‬أن أن متوس العينة ال يساون متوس‬ ‫ولحساب حدود الثقة عند مستوى ‪%5‬‬ ‫‪214‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫]‪̅ + [(𝑡0.05 ، 𝑛 − 1) ∗ 𝑆×̅ ] = 20 + [(𝑡0.05 ، 24) ∗ 0.12‬‬ ‫× = ‪𝐿1‬‬ ‫‪= 20 + 0.247 = 20.247‬‬ ‫]‪̅ − [(𝑡0.05 ، 𝑛 − 1) ∗ 𝑆×̅ ] = 20 − [(𝑡0.05 ، 24) ∗ 0.12‬‬ ‫× = ‪𝐿2‬‬ ‫‪= 20 − 0.247 = 19.753‬‬ ‫‪19.753 ≤ µ ≤ 20.247‬‬ ‫ولحساب حدود الثقة عند مستوى ‪%1‬‬ ‫]‪̅ + [(𝑡0.01 ، 𝑛 − 1) ∗ 𝑆×̅ ] = 20 + [(𝑡0.01 ، 24) ∗ 0.12‬‬ ‫× = ‪𝐿1‬‬ ‫‪= 20 + 0.336 = 20.336‬‬ ‫]‪̅ − [(𝑡0.01 ، 𝑛 − 1) ∗ 𝑆×̅ ] = 20 − [(𝑡0.01 ، 24) ∗ 0.12‬‬ ‫× = ‪𝐿2‬‬ ‫‪= 20 − 0.336 = 19.664‬‬ ‫‪19.664 ≤ µ ≤ 20.336‬‬ ‫‪ .3‬اختبار ‪ t‬لمقارنة األزوال‪t-test in pairs :‬‬ ‫تعتبر هذا الطريقة أف ل الطر لمقارنة معاملتين مختلفتين بشرأ أن تكون المفردات من‬ ‫نفف التجر ة ومرتبطة مع بع ها‪ .‬وتستخدم في الحالة التي يكون الفر بين أزوال المفردات‬ ‫أكبر منها بين فردن نفف الزول‪ .‬ولذلك ف ن المقارنة تساعد على التخلص من تدثير تلك‬ ‫الفرو‬ ‫وتؤدن إلى زيادة الدقة في النتا ج المتحصل عليها حيث أنها تؤدن إلى تقليل‬ ‫افت ار‬ ‫أن األزوال عبارة عن أفراد أخذت من مجتمع طبيعي وضعت عشوا يا في أزوال‪،‬‬ ‫االختالفات بين األفراد في التجر ة الواحدة‪ .‬والنيرية الفرضية في مثل هذا االختبارات هي‬ ‫وأن الفرو بين األزوال ينتير أن تكون موزعة توزيعاً معتدالً حول متوسطها الحسابي‬ ‫والذن يساون صفر‪ .‬أن أن‬ ‫×‪̅ 1 −‬‬ ‫‪̅ 2= 0‬‬ ‫×‬ ‫‪215‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫مثال‪ :2‬في إحدى تجارب لتسميد القطن كان المطلوب مقارنة استخدام نترات النشادر‬ ‫ونترات الجير على إنتال المحصول‪ .‬فدخذت قطعتين متماثلتين زرعت قطناً في ‪ 5‬محطات‬ ‫موزعة على أنحاء الجمهورية عوملت إحداها بنترات النشادر واألخرى بنترات الجير وقورن‬ ‫المحصول الناتج في هاتين القطعتين بالخمف محطات المختارة‪ .‬وتبين وجود فرو بين‬ ‫المحصول الناتج‪ ،‬ور ما يعزى ذلك إلى تدثير السماد المختلف أو نتيجة الختالف التر ة‬ ‫والجو في المحطات المختارة‪ .‬ولذلك ف ن مقارنة ألزوال بهذا القطع المنزرعة في نفف‬ ‫المحطة والتي لها نفف اليروف البيئية والتر ة تقلل من األخطاء العشوا ية وزيادة الدقة‬ ‫الناتجة‪ .‬وعملت تجر ة لمقارنة النتا ج الموزعة على ‪ 5‬محطات وكان الناتج من المحصول‬ ‫كالتالي‪:‬‬ ‫اإلسكندرية‬ ‫دمنهور‬ ‫مشتهر‬ ‫الجيزة‬ ‫المنيا‬ ‫المحطة‬ ‫القطعة ‪1‬‬ ‫‪9.5‬‬ ‫‪10.1‬‬ ‫‪9.5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10.9‬‬ ‫القطعة ‪2‬‬ ‫‪7.9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8.8‬‬ ‫‪6.9‬‬ ‫‪5.9‬‬ ‫القطعة‬ ‫والمطلوب‪ :‬هل الفر بين تدثير السمادين في المحطات المختلفة معنون أم راجع للصدفة؟‬ ‫الحل‪ :‬ح أ ك بطريقة االنحرافات‬ ‫‪(x1-x2)2‬‬ ‫𝟐) ̅‬ ‫𝑫 ‪(𝑫 −‬‬ ‫)̅‬ ‫𝑫 ‪(𝑫 −‬‬ ‫)‪(x1-x2‬‬ ‫‪D2‬‬ ‫‪d2‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪X2‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫السماد‬ ‫المحطة‬ ‫‪2.56‬‬ ‫‪0.81‬‬ ‫‪-0.9‬‬ ‫‪1.6‬‬ ‫‪7.9‬‬ ‫‪9.5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4.41‬‬ ‫‪0.16‬‬ ‫‪-0.4‬‬ ‫‪2.1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪10.1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0.49‬‬ ‫‪3.24‬‬ ‫‪-1.8‬‬ ‫‪0.7‬‬ ‫‪8.8‬‬ ‫‪9.5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9.61‬‬ ‫‪0.36‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪3.1‬‬ ‫‪6.9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪6.25‬‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5.9‬‬ ‫‪10.9‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪42.07‬‬ ‫‪10.82‬‬ ‫‪0.0‬‬ ‫‪12.5‬‬ ‫‪37.5‬‬ ‫‪50‬‬ ‫∑‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪7.5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪Average‬‬ ‫‪216‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪̅ 1 = ∑×1 ⁄𝑛 = 50⁄5 = 10‬‬ ‫×‬ ‫‪̅ 2 = ∑×2 ⁄𝑛 = 37.5⁄5 = 7.5‬‬ ‫×‬ ‫‪̅ = ∑ 𝐷⁄𝑛 = ∑(×1 −×2 )⁄𝑛 = 12.5⁄5 = 2.5‬‬ ‫𝐷‬ ‫‪̅ = ∑ 𝐷⁄𝑛 = ∑ ×1 − ∑ ×2 ⁄𝑛 = 50 − 37.5⁄5 = 2.5‬‬ ‫𝐷‬ ‫ولحساب الخطد القياسي ̅𝑑‪Standard error s‬‬ ‫‪̅ )2‬‬ ‫𝐷 ‪∑(𝐷 −‬‬ ‫‪∑ 𝑑2‬‬ ‫‪10.82‬‬ ‫√‬ ‫=‬ ‫√=‬ ‫‪= 1.6447‬‬ ‫‪𝑛−1‬‬ ‫‪𝑛−1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪= 0.735‬‬ ‫‪1.6447‬‬ ‫‪√5‬‬ ‫=‬ ‫𝑆‬ ‫𝑛√‬ ‫√ =𝑆‬ ‫= ̅𝑑𝑆‬ ‫وتحسب ‪ t‬كما يلي‬ ‫×‪̅ 1 −‬‬ ‫‪̅ 2 10 − 7.5‬‬ ‫×‬ ‫=‬ ‫‪= 3.4‬‬ ‫̅𝑑𝑆‬ ‫‪0.735‬‬ ‫=𝑡‬ ‫و عد ذلك تحسب ‪ t‬الجدولية عند درجات حرية ح ‪ 5-1‬ك ومستوى المعنوية المطلوب سواء‬ ‫كان ‪ %5‬أو ‪ .%1‬ف ذا كانت ‪ t‬المحسو ة أكبر من الجدولية ف ن ذلك يعني ثبوت معنوية‬ ‫الفرو بين السمادين وإذا كانت ‪ t‬المحسو ة أقل من الجدولية فيعني ذلك عدم ثبوت معنوية‬ ‫الفرو بين السمادين وتقبل النيرية الفرضية‪.‬‬ ‫ويالح( أن مثل هذا االختبار يعتبر اختبار ذيلين أن يكشف عند نصف مستوى المعنوية‬ ‫المطلوب أو تستخدم جداول ح‪T‬ك ثنا ي الجهة‪.‬‬ ‫‪𝑡0.05⁄ , 4 = 2.78‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝑡0.01⁄ , 4 = 4.6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪217‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫يت ح مما سبق أن الفرو بين السمادين معنوية عند مستوى ‪ %5‬حيث ‪ t‬المحسو ة أكبر‬ ‫من نييرتها الجدولية‪ ،‬بينما لم تثبت معنوية تلك الفرو عند مستوى معنوية ‪.%1‬‬ ‫ح بك الحل عن طريق تر يع القيم‬ ‫𝑛‪∑ 𝐷2 − (∑ 𝐷)2 ⁄‬‬ ‫‪42.07 − (12.5)2 ⁄5‬‬ ‫√=‬ ‫‪= 1.6447‬‬ ‫‪𝑛−1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1.6447‬‬ ‫=‬ ‫𝑆‬ ‫= ̅𝑑𝑆‬ ‫‪= 0.735‬‬ ‫𝑛√‬ ‫‪√5‬‬ ‫‪𝐷 − 0 2.5 − 0‬‬ ‫=𝑡‬ ‫=‬ ‫‪= 3.4‬‬ ‫̅𝑑𝑆‬ ‫‪0.735‬‬ ‫ويالح( أنها نفف النتا ج السابق التوصل إليها‪.‬‬ ‫هذا ويستخدم معامل االختالف لقياس مدى دقة النتا ج‬ ‫𝑆‬ ‫‪∗ 100‬‬ ‫𝑔̅‬ ‫×‬ ‫= 𝑉 ‪𝐶.‬‬ ‫حيث‪ = S :‬االنحراف المعيارن للتجر ة‪ ،‬المتوس العام للتجر ة‬ ‫×‪̅ 1 +‬‬ ‫‪̅ 2 10 + 7.5‬‬ ‫×‬ ‫=‬ ‫‪= 8.75‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1.6447‬‬ ‫= 𝑉 ‪𝐶.‬‬ ‫‪∗ 100 = 18.8%‬‬ ‫‪8.75‬‬ ‫= 𝑔̅‬ ‫×‬ ‫أن أن معامل االختالف بين الصنفين يقرب من ‪%19‬‬ ‫‪218‬‬ ‫√=𝑆‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪ .4‬اختبار ‪ t‬لمقارنة المجموعات‪t-test in groups :‬‬ ‫تستخدم هذا الطريقة في حالة وجود مجتمعين وسحبت من كل منهما العينات الممكنة‪ ،‬وتم‬ ‫حساب المتوس‬ ‫بين المتوسطات وكذا متوس‬ ‫الحسابي لكل عينة والفرو‬ ‫تلك الفرو‬ ‫فيالح( ا تي‪:‬‬ ‫أ‪ .‬متوس الفرو بين متوسطات العينات المدخوذة من مجتمعين مختلفين يساون الفر‬ ‫بين متوسطي المجتمعين األصليين‪.‬‬ ‫)‪𝜇1 − 𝜇2 = 𝜇(×̅1 ) − 𝜇(×̅2‬‬ ‫ب‪ .‬تباين الفرو بين متوسطي العينات المدخوذة من مجتمعين مختلفين يساون مجموع‬ ‫تباين متوسطي العينتين‬ ‫‪= 𝜎×̅21 + 𝜎×̅22‬‬ ‫حيث‪ : 1µ :‬متوس المجتمع األول‬ ‫‪𝜎22‬‬ ‫‪𝑛2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪𝜎12‬‬ ‫‪𝑛1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫×(𝜎‬ ‫×‪̅ 1 −‬‬ ‫= )‪̅ 2‬‬ ‫‪i.e‬‬ ‫‪ : µ2 ،‬متوس المجتمع الثاني‬ ‫‪ : σ12‬تباين المجتمع األول‬ ‫‪ : σ22 ،‬تباين المجتمع الثاني‬ ‫‪ : n1‬حجم العينة األولى‬ ‫‪ : n2 ،‬حجم العينة الثانية‬ ‫ت‪ .‬الخطد المعيارن للفرو بين المتوسطين = الخطد المعيارن األول ‪ +‬الخطد المعيارن‬ ‫الثاني‬ ‫‪𝜎12 𝜎22‬‬ ‫‪=√ +‬‬ ‫‪= 𝜎×̅1 + 𝜎×̅2‬‬ ‫‪𝑛1 𝑛2‬‬ ‫)‪𝜎(×̅1−×̅2‬‬ ‫مما سبق نالح( أن الحاالت التي ال يمكن وضع األفراد في أزوال ف ن يتم تقسيم األفراد في‬ ‫التجر ة العشوا ية إلى مجموعتين وتقارن المجموعتين معاً أو يقارن الفر بين متوسطي‬ ‫المجموعتين أو المعاملتين وليف أزوال األفراد‪ .‬ولذلك يستخدم الخطد المعيارن للفر بين‬ ‫‪219‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫المتوسطين وهو مقياس يقيف تشتت الفرو بين متوسطات العينات المدخوذة من مجتمع‬ ‫واحد موزع توزيع طبيعي حول متوسطها المساون للصفر‪.‬‬ ‫والنيرية الفرضية في هذا الحالة تفتر‬ ‫أن الفر بين متوسطي العينتين يرجع للصدفة ومن‬ ‫ثم يستخدم اختبار ح ‪ t‬ك لمعرفة إذا ما كان العينتين تتبعان مجتمع واحد من عدم ‪.‬‬ ‫النيرية الفرضية‬ ‫×= ‪̅ 1‬‬ ‫‪̅2‬‬ ‫× ‪𝐻0 :‬‬ ‫النيرية البديلة‬ ‫× ≠‪̅1‬‬ ‫‪̅2‬‬ ‫× ‪𝐻1 :‬‬ ‫اختبار مقارنة المجموعات في حالة تساوي حجم المجموعترن ‪n1 = n2‬‬ ‫يمكن توضيح خطوات إجراء المقارنة من خالل المثال التالي‪:‬‬ ‫مثال‪ :3‬في تجر ة لمقارنة صنفي بصل زرعت ‪ 8‬قطع متساوية من األر‬ ‫عشوا ياً من األر‬ ‫اختيرت ‪ 4‬قطع‬ ‫زرعت بالصنف ح أ ك واألر عة األخرى زرعت بالصنف ح ب ك‪ ،‬وكانت‬ ‫كمية المحصول الناتج كما يوضحها الجدول التالي‪:‬‬ ‫القطعة رقم‬ ‫ح‪1‬ك‬ ‫ح‪3‬ك‬ ‫ح‪2‬ك‬ ‫ح‪4‬ك‬ ‫الصنف‬ ‫الصنف ح أ ك‬ ‫‪75‬‬ ‫‪77‬‬ ‫‪79‬‬ ‫‪76‬‬ ‫الصنف ح ب ك‬ ‫‪101‬‬ ‫‪105‬‬ ‫‪106‬‬ ‫‪112‬‬ ‫والمطلوب هل يوجد فر حقيقي معنون في المحصول بين الصنفين؟‬ ‫وخطوات إجراء هذا االختبار كما يلي‪:‬‬ ‫‪ .1‬وضع النيرية الفرضية‬ ‫×= ‪̅ 1‬‬ ‫‪̅2‬‬ ‫× ‪𝐻0 :‬‬ ‫× ≠‪̅1‬‬ ‫‪ .2‬وضع النيرية البديلة ‪̅ 2‬‬ ‫× ‪𝐻1 :‬‬ ‫‪ .3‬حساب متوس كل عينة حكل مجموعةك‬ ‫‪220‬‬ ‫×∑‬ ‫𝑛‬ ‫=̅‬ ‫×‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫‪ .4‬حساب مجموع مر عات االنحرافات لكل عينة حمجموعةك عن الوس الحسابي‬ ‫𝟐‬ ‫𝒏‪̅ )𝟐 = ∑×𝟐 − (∑×) ⁄‬‬ ‫× ‪𝑺𝑺 = ∑(× −‬‬ ‫‪ .5‬حساب مجموع مر عات االنحرافات للمجموعتين معاً ‪SSP‬‬ ‫𝟐𝒔𝒔 ‪𝒔𝒔𝒑 = 𝒔𝒔𝟏 +‬‬ ‫= 𝑃‪𝑆2‬‬ ‫‪ .6‬يحسب التباين العام للمجموعتين‬ ‫)‪𝑆𝑆1 + 𝑆𝑆2 ⁄(𝑛1 + 𝑛2 − 2‬‬ ‫‪ .7‬يحسب الخطد المعيارن للفر بين المتوسطين ̅𝑑𝑆‪ ،‬وحيث أننا افترضنا أن العينتين‬ ‫مسحو تين من مجتمع واحد ومتساويين في عدد المفردات ف ن يمكن االستعاضة‬ ‫عن تباين المجتمع بتباين العينتين𝑃 ‪𝑆 2‬‬ ‫𝑃‪𝑆2𝑃 𝑆2‬‬ ‫𝑃 ‪2𝑆 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫√=‬ ‫‪𝑛1‬‬ ‫‪𝑛2‬‬ ‫𝑛‬ ‫√ = ̅𝑑𝑆‬ ‫‪ .8‬تحسب قيمة ‪ t‬من العالقة‬ ‫×‪̅ 1 −‬‬ ‫‪̅2‬‬ ‫×‬ ‫̅𝑑𝑆‬ ‫‪ .9‬تقارن قيمة ‪ t‬الجدولية بنييرتها المحسو ة وتكون الفرو‬ ‫=𝑡‬ ‫المحسو ة أكبر من ‪ t‬الجدولية‪ .‬والعكف بالعكف‪.‬‬ ‫‪221‬‬ ‫معنوية إذا كانت ‪t‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫جدول ‪ :Z‬التوزيع الطبيعي القياسي‬ ‫‪0.09‬‬ ‫‪.0359‬‬ ‫‪.0753‬‬ ‫‪.1141‬‬ ‫‪.1517‬‬ ‫‪.1879‬‬ ‫‪.2224‬‬ ‫‪.2549‬‬ ‫‪.2852‬‬ ‫‪.3133‬‬ ‫‪.3389‬‬ ‫‪.3621‬‬ ‫‪.3830‬‬ ‫‪.4015‬‬ ‫‪.4177‬‬ ‫‪.4319‬‬ ‫‪.4441‬‬ ‫‪.4545‬‬ ‫‪.4633‬‬ ‫‪.4706‬‬ ‫‪.4767‬‬ ‫‪.4817‬‬ ‫‪.4857‬‬ ‫‪.4890‬‬ ‫‪.4916‬‬ ‫‪.4936‬‬ ‫‪.4952‬‬ ‫‪4964‬‬ ‫‪.4974‬‬ ‫‪.4981‬‬ ‫‪.4986‬‬ ‫‪4990‬‬ ‫‪0.08‬‬ ‫‪.0319‬‬ ‫‪.0714‬‬ ‫‪.1103‬‬ ‫‪.1480‬‬ ‫‪.1844‬‬ ‫‪.2190‬‬ ‫‪.2517‬‬ ‫‪.2823‬‬ ‫‪.3106‬‬ ‫‪.3365‬‬ ‫‪.3599‬‬ ‫‪.3810‬‬ ‫‪3997‬‬ ‫‪.4162‬‬ ‫‪.4306‬‬ ‫‪.4429‬‬ ‫‪.4535‬‬ ‫‪.4625‬‬ ‫‪.4699‬‬ ‫‪.4761‬‬ ‫‪.4812‬‬ ‫‪.4854‬‬ ‫‪.4887‬‬ ‫‪.4913‬‬ ‫‪.4934‬‬ ‫‪.4951‬‬ ‫‪.4963‬‬ ‫‪.4973‬‬ ‫‪.4980‬‬ ‫‪.4986‬‬ ‫‪.4990‬‬ ‫‪0.07‬‬ ‫‪.0279‬‬ ‫‪.0675‬‬ ‫‪.1064‬‬ ‫‪.1443‬‬ ‫‪.1808‬‬ ‫‪.2157‬‬ ‫‪.2486‬‬ ‫‪.2794‬‬ ‫‪.3078‬‬ ‫‪.3340‬‬ ‫‪.3577‬‬ ‫‪.3790‬‬ ‫‪.3980‬‬ ‫‪.4147‬‬ ‫‪.4292‬‬ ‫‪.4418‬‬ ‫‪.4525‬‬ ‫‪.4616‬‬ ‫‪.4693‬‬ ‫‪.4756‬‬ ‫‪.4808‬‬ ‫‪.4850‬‬ ‫‪.4884‬‬ ‫‪.4911‬‬ ‫‪.4932‬‬ ‫‪.4949‬‬ ‫‪.4962‬‬ ‫‪.4972‬‬ ‫‪.4979‬‬ ‫‪.4985‬‬ ‫‪.4989‬‬ ‫‪0.06‬‬ ‫‪.0239‬‬ ‫‪.0636‬‬ ‫‪.1026‬‬ ‫‪.1406‬‬ ‫‪.1772‬‬ ‫‪.2123‬‬ ‫‪.2454‬‬ ‫‪.2764‬‬ ‫‪.3051‬‬ ‫‪.3315‬‬ ‫‪.3554‬‬ ‫‪.3770‬‬ ‫‪.3962‬‬ ‫‪.4131‬‬ ‫‪.4279‬‬ ‫‪.4406‬‬ ‫‪.4515‬‬ ‫‪.4608‬‬ ‫‪.4686‬‬ ‫‪.4750‬‬ ‫‪.4803‬‬ ‫‪.4846‬‬ ‫‪.4881‬‬ ‫‪.4909‬‬ ‫‪.4931‬‬ ‫‪.4948‬‬ ‫‪.4961‬‬ ‫‪.4971‬‬ ‫‪.4979‬‬ ‫‪.4985‬‬ ‫‪.4989‬‬ ‫‪0.05‬‬ ‫‪.0199‬‬ ‫‪.0596‬‬ ‫‪.0987‬‬ ‫‪.1368‬‬ ‫‪.1736‬‬ ‫‪.2088‬‬ ‫‪.2422‬‬ ‫‪.2734‬‬ ‫‪.3023‬‬ ‫‪.3289‬‬ ‫‪.3531‬‬ ‫‪.3749‬‬ ‫‪.3944‬‬ ‫‪.4115‬‬ ‫‪.4265‬‬ ‫‪.4394‬‬ ‫‪.4505‬‬ ‫‪.4599‬‬ ‫‪.4678‬‬ ‫‪.4744‬‬ ‫‪.4798‬‬ ‫‪.4842‬‬ ‫‪.4878‬‬ ‫‪.4906‬‬ ‫‪.4929‬‬ ‫‪.4946‬‬ ‫‪.4960‬‬ ‫‪.4970‬‬ ‫‪.4978‬‬ ‫‪.4984‬‬ ‫‪.4980‬‬ ‫‪0.04‬‬ ‫‪.0160‬‬ ‫‪.0557‬‬ ‫‪.0948‬‬ ‫‪.1331‬‬ ‫‪.1700‬‬ ‫‪.2054‬‬ ‫‪.2389‬‬ ‫‪.2704‬‬ ‫‪.2995‬‬ ‫‪.3264‬‬ ‫‪.3508‬‬ ‫‪.3729‬‬ ‫‪.3925‬‬ ‫‪.4099‬‬ ‫‪.4251‬‬ ‫‪.4382‬‬ ‫‪.4495‬‬ ‫‪.4591‬‬ ‫‪.4671‬‬ ‫‪.4738‬‬ ‫‪.4793‬‬ ‫‪.4838‬‬ ‫‪.4875‬‬ ‫‪.4904‬‬ ‫‪.4927‬‬ ‫‪.4945‬‬ ‫‪.4959‬‬ ‫‪.4969‬‬ ‫‪.4977‬‬ ‫‪.4984‬‬ ‫‪.4988‬‬ ‫‪222‬‬ ‫‪0.03‬‬ ‫‪.0120‬‬ ‫‪.0517‬‬ ‫‪.0910‬‬ ‫‪.1293‬‬ ‫‪.1664‬‬ ‫‪.2019‬‬ ‫‪.2357‬‬ ‫‪.2673‬‬ ‫‪.2967‬‬ ‫‪.3238‬‬ ‫‪.3485‬‬ ‫‪.3708‬‬ ‫‪.3907‬‬ ‫‪.4082‬‬ ‫‪.4236‬‬ ‫‪.4370‬‬ ‫‪.4484‬‬ ‫‪.4582‬‬ ‫‪.4664‬‬ ‫‪.4732‬‬ ‫‪.4788‬‬ ‫‪.4834‬‬ ‫‪.4871‬‬ ‫‪.4901‬‬ ‫‪.4925‬‬ ‫‪.4943‬‬ ‫‪.4957‬‬ ‫‪.4968‬‬ ‫‪.4977‬‬ ‫‪.4083‬‬ ‫‪.4988‬‬ ‫‪0.02‬‬ ‫‪.0080‬‬ ‫‪.0478‬‬ ‫‪.0871‬‬ ‫‪.1255‬‬ ‫‪.1628‬‬ ‫‪.1985‬‬ ‫‪.2324‬‬ ‫‪.2642‬‬ ‫‪.2939‬‬ ‫‪.3212‬‬ ‫‪.3461‬‬ ‫‪.3686‬‬ ‫‪.3888‬‬ ‫‪.4066‬‬ ‫‪.4222‬‬ ‫‪.4357‬‬ ‫‪.4474‬‬ ‫‪.4573‬‬ ‫‪.4656‬‬ ‫‪.4726‬‬ ‫‪.4783‬‬ ‫‪.4830‬‬ ‫‪.4868‬‬ ‫‪.4898‬‬ ‫‪.4922‬‬ ‫‪.4941‬‬ ‫‪.4956‬‬ ‫‪.4967‬‬ ‫‪.4976‬‬ ‫‪.4982‬‬ ‫‪.4987‬‬ ‫‪0.01‬‬ ‫‪.0040‬‬ ‫‪.0438‬‬ ‫‪.0832‬‬ ‫‪.1217‬‬ ‫‪.1591‬‬ ‫‪.1950‬‬ ‫‪.2291‬‬ ‫‪.2611‬‬ ‫‪.2910‬‬ ‫‪.3186‬‬ ‫‪.3438‬‬ ‫‪.3665‬‬ ‫‪.3869‬‬ ‫‪.4049‬‬ ‫‪.4207‬‬ ‫‪.4345‬‬ ‫‪.4463‬‬ ‫‪.4564‬‬ ‫‪.4649‬‬ ‫‪.4719‬‬ ‫‪.4778‬‬ ‫‪.4826‬‬ ‫‪.4864‬‬ ‫‪.4896‬‬ ‫‪.4920‬‬ ‫‪.4940‬‬ ‫‪.4955‬‬ ‫‪.4966‬‬ ‫‪.4975‬‬ ‫‪.4982‬‬ ‫‪.5987‬‬ ‫‪0.00‬‬ ‫‪.0000‬‬ ‫‪.0398‬‬ ‫‪.0793‬‬ ‫‪.1179‬‬ ‫‪.1554‬‬ ‫‪.1915‬‬ ‫‪.2257‬‬ ‫‪.2580‬‬ ‫‪.2881‬‬ ‫‪.3159‬‬ ‫‪.3413‬‬ ‫‪.3643‬‬ ‫‪.3849‬‬ ‫‪.4032‬‬ ‫‪.4192‬‬ ‫‪.4332‬‬ ‫‪.4452‬‬ ‫‪.4554‬‬ ‫‪.4641‬‬ ‫‪.4713‬‬ ‫‪.4772‬‬ ‫‪.4821‬‬ ‫‪.4861‬‬ ‫‪.4893‬‬ ‫‪.4918‬‬ ‫‪.4938‬‬ ‫‪.4953‬‬ ‫‪.4965‬‬ ‫‪.4974‬‬ ‫‪.4081‬‬ ‫‪.4987‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪0.0‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.3‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.7‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪0.9‬‬ ‫‪1.0‬‬ ‫‪1.1‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪1.3‬‬ ‫‪1.4‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪1.6‬‬ ‫‪1.7‬‬ ‫‪1.8‬‬ ‫‪1.9‬‬ ‫‪2.0‬‬ ‫‪2.1‬‬ ‫‪2.2‬‬ ‫‪2.3‬‬ ‫‪2.4‬‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪2.6‬‬ ‫‪2.7‬‬ ‫‪2.8‬‬ ‫‪2.9‬‬ ‫‪3.0‬‬ ‫أ‪.‬د‪ .‬رجب مغاوري زين ‪ ،‬أ‪.‬د‪ .‬خالد فالح الدين طه‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫جدول ت)‪(t‬‬ ‫‪0.005‬‬ ‫‪63.657‬‬ ‫‪9.925‬‬ ‫‪5.841‬‬ ‫‪4.604‬‬ ‫‪4.032‬‬ ‫‪0.01‬‬ ‫‪31.821‬‬ ‫‪6.965‬‬ ‫‪4.541‬‬ ‫‪4.747‬‬ ‫‪3..365‬‬ ‫‪0.025‬‬ ‫‪12.706‬‬ ‫‪4.303‬‬ ‫‪3.182‬‬ ‫‪2.776‬‬ ‫‪2.571‬‬ ‫‪0.05‬‬ ‫‪6.314‬‬ ‫‪2.920‬‬ ‫‪2.353‬‬ ‫‪2.132‬‬ ‫‪2.015‬‬ ‫‪0.10‬‬ ‫‪3.078‬‬ ‫‪1.886‬‬ ‫‪1.638‬‬ ‫‪1.533‬‬ ‫‪2.476‬‬ ‫'‪Df‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3.707‬‬ ‫‪3.499‬‬ ‫‪3.355‬‬ ‫‪3.250‬‬ ‫‪3.169‬‬ ‫‪3.143‬‬ ‫‪2.998‬‬ ‫‪2.896‬‬ ‫‪2.821‬‬ ‫‪2.764‬‬ ‫‪2.447‬‬ ‫‪2.365‬‬ ‫‪2.306‬‬ ‫‪2.262‬‬ ‫‪2.228‬‬ ‫‪1.943‬‬ ‫‪1.895‬‬ ‫‪1.860‬‬ ‫‪1.833‬‬ ‫‪1.812‬‬ ‫‪1.440‬‬ ‫‪1.415‬‬ ‫‪1.397‬‬ ‫‪1.383‬‬ ‫‪1.372‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪3.106‬‬ ‫‪3.055‬‬ ‫‪3.012‬‬ ‫‪2.977‬‬ ‫‪2.947‬‬ ‫‪2.718‬‬ ‫‪2.681‬‬ ‫‪2.650‬‬ ‫‪2.624‬‬ ‫‪2.602‬‬ ‫‪2.201‬‬ ‫‪2.179‬‬ ‫‪2.160‬‬ ‫‪2.145‬‬ ‫‪2.131‬‬ ‫‪1.796‬‬ ‫‪1.782‬‬ ‫‪1.771‬‬ ‫‪1.761‬‬ ‫‪1.753‬‬ ‫‪1.363‬‬ ‫‪1.356‬‬ ‫‪1.350‬‬ ‫‪1.345‬‬ ‫‪1.341‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪2.921‬‬ ‫‪2.898‬‬ ‫‪2.878‬‬ ‫‪2.861‬‬ ‫‪2.845‬‬ ‫‪2.583‬‬ ‫‪2.567‬‬ ‫‪2.552‬‬ ‫‪2.539‬‬ ‫‪2.528‬‬ ‫‪2.120‬‬ ‫‪2.110‬‬ ‫‪2.101‬‬ ‫‪2.093‬‬ ‫‪2.086‬‬ ‫‪1.746‬‬ ‫‪1.740‬‬ ‫‪1.734‬‬ ‫‪1.729‬‬ ‫‪1.725‬‬ ‫‪1.337‬‬ ‫‪1.333‬‬ ‫‪1.330‬‬ ‫‪1.328‬‬ ‫‪1325‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪2.831‬‬ ‫‪2.819‬‬ ‫‪2.807‬‬ ‫‪2.797‬‬ ‫‪2.787‬‬ ‫‪2.518‬‬ ‫‪2.508‬‬ ‫‪2.500‬‬ ‫‪2.492‬‬ ‫‪2.485‬‬ ‫‪2.080‬‬ ‫‪2.074‬‬ ‫‪2.069‬‬ ‫‪2.064‬‬ ‫‪2.060‬‬ ‫‪1.721‬‬ ‫‪1.717‬‬ ‫‪1.714‬‬ ‫‪1.711‬‬ ‫‪1.708‬‬ ‫‪1.323‬‬ ‫‪1.321‬‬ ‫‪1.319‬‬ ‫‪1.318‬‬ ‫‪1.316‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪2.779‬‬ ‫‪2.771‬‬ ‫‪2.763‬‬ ‫‪2.756‬‬ ‫‪2.576‬‬ ‫‪2.479‬‬ ‫‪2.473‬‬ ‫‪2.467‬‬ ‫‪2.462‬‬ ‫‪2.326‬‬ ‫‪2.056‬‬ ‫‪2.052‬‬ ‫‪2.048‬‬ ‫‪2.045‬‬ ‫‪1.960‬‬ ‫‪1.706‬‬ ‫‪1.703‬‬ ‫‪1.701‬‬ ‫‪1.699‬‬ ‫‪1.645‬‬ ‫‪1.315‬‬ ‫‪1.314‬‬ ‫‪1.313‬‬ ‫‪1.311‬‬ ‫‪1.282‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪Inf.‬‬ ‫‪223‬‬ ‫أسس علم اإلحصاء‬ ‫المراجع‬ ‫ سلسلة ملخصات شوم نظريات ومسائل في اإلحصاء‪ ،‬موراي ر‪ .‬شبيجل‪ ،‬دار‬‫ماكجروهيل للنشر‪.1978 ،‬‬ ‫ شبير عبد هللا الحرازي‪ ،‬أساسيات اإلحصاء‪ ،‬الطبعة الثانية‪ ،‬مركز عبادي‬‫للدراسات والنشر‪ ،‬صنعاء‪ ،‬اليمن ‪.2003‬‬ ‫ مقدمة في علم االحصصاء الوصفي والتحليلي‪ ،‬دكتور سامي مسعود‪ ،‬دكتور‬‫أحمد شكري الريماوي‪ ،‬دار حنين‪ ،‬مكتبة الفالح للنشر والتوزيع‪.‬‬ ‫ مقدمة في الطرق اإلحصائية‪ ،‬جالل مصطفى الصياد‪ ،‬محمد الدسوقي حبيب‪،‬‬‫دار حافظ للنشر والتوزيع‪ ،‬جدة المملكة العربية السعودية‪.2001 ،‬‬ ‫ االحتماالت واالحصاء‪ ،‬محمد غالب مدني‪ ،‬كلية الهندسة جامعة الملك عبد‬‫العزيز‪ ،‬مركز النشر العلمي بالجامعة‪ ،‬جدة‪ ،‬المملكة العربية السعودية‪.‬‬ ‫‪224‬‬

كتاب الإحصاء

Products

Support

كتاب الإحصاء

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib