Cinemática del Cuerpo Rígido Temario • Modelo del Cuerpo Rígido • Análisis del Movimiento de un punto dentro de un cuerpo rígido • Ecuaciones Generales del Movimiento Plano • Análisis de Casos Particulares TEMA 1 Modelo del Cuerpo Rígido Modelo del Cuerpo Rígido Se considera que las distancias entre las partículas que lo componen se mantiene constante durante el movimiento del cuerpo. También se denomina cuerpo indeformable. Es una idealización, pero muy útil y aplicable en muchas situaciones. Modelo del Cuerpo Rígido En otras palabras: las posiciones relativas de los puntos de un cuerpo rígido se mantienen fijas aunque éste se mueva. ¿Qué estudia la cinemática del cuerpo Rígido? • Las relaciones entre los vectores posición, velocidad y aceleración y sus variaciones en el tiempo para los distintos puntos de un cuerpo rígido. • Aplicaciones : Análisis de mecanismos tales como engranajes, bielas y conexiones articuladas. Casos particulares del movimiento de un cuerpo rígido • TRASLACION: Cualquier recta definida en el cuerpo conserva su dirección al transcurrir el tiempo. (Puede ser traslación rectilínea o curvilínea) Casos particulares del movimiento de un cuerpo rígido • Rotación alrededor de un eje fijo w Los puntos del cuerpo rígido se mueven en planos paralelos sobre circunferencias con centro en el eje de rotación Como cada partícula se mueve en un plano dado se dice que el movimiento de rotación alrededor de un eje fijo es un MOVIMIENTO PLANO Casos particulares del movimiento de un cuerpo rígido • MOVIMIENTO PLANO GENERAL Disco que se traslada rodando Casos particulares del movimiento de un cuerpo rígido • MOVIMIENTO PLANO GENERAL Barra deslizante TEMA 2 Análisis del Movimiento de un punto dentro del Cuerpo Rígido Análisis del Movimiento de un punto dentro de un Cuerpo Rígido La posición de un punto P del sólido es rP = rc+ R Donde C se refiere a otro punto del cuerpo. (punto de referencia) El vector R que va del punto de referencia al punto P es un vector cuyo módulo es constante Derivando respecto del tiempo obtenemos Análisis del Movimiento de un punto dentro de un Cuerpo Rígido El primer término es la velocidad del punto P El segundo la velocidad del punto de referencia C El tercero es la velocidad del punto P respecto del punto de referencia. Análisis del Movimiento de un punto dentro de un Cuerpo Rígido Dado que el vector R tiene módulo constante, el único movimiento posible de P respecto de C es una rotación con velocidad angular w alrededor de un eje instantáneo que pase por C, tal como vemos en la figura. Conclusión • Así pues, el movimiento de un punto P de un cuerpo rígido lo podemos considerar como la suma (superposición) 1. De un movimiento de traslación de un punto de referencia. 2. Una rotación alrededor de un eje instantáneo que pasa por el punto de referencia. En ocasiones se toma el punto de referencia en el centro de masa del cuerpo. Ejemplo 1 Movimiento de un disco que rueda sin deslizar En el movimiento de traslación, todos los puntos del sólido se mueven en trayectorias paralelas. La velocidad de un punto del sólido es la misma que la velocidad del centro de masas. En el movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas, la velocidad de un punto del sólido es proporcional al radio de la circunferencia que describe, y su dirección es tangente a dicha circunferencia. Ejemplo 1 • En el movimiento de rodar sin deslizar, existe una relación entre el movimiento de rotación y traslación. • El punto de la rueda que está en contacto en un instante dado con el suelo tiene velocidad nula. • Por tanto, se debe de cumplir que vc=w R • La velocidad de traslación vc es igual a la velocidad de rotación w por el radio de la rueda R. TEMA 3 Ecuaciones Generales del Movimiento Plano Ecuaciones generales del movimiento plano Idea central: Se demuestra que todo movimiento plano puede obtenerse como la combinación de un movimiento de traslación (definida por el movimiento de una partícula cualquiera A de referencia, punto base, un movimiento de rotación alrededor de A Ecuaciones generales del movimiento plano • Supongamos un SR fijo (XYZ) con origen en O Sean A y B dos puntos del cuerpo rígido. Respecto al sistema fijo los vectores de posición son rA y rB Sea ρAB el vector que une al punto A con el B Ecuaciones generales del movimiento plano Nótese que: • el módulo de qué? ρAB es constante en el tiempo , por • Se escogió ese sentido para ρAB porque A se va a escoger como punto de referencia,( punto base) y por tanto va a ser el origen de un SR móvil que además de trasladarse está rotando. Ecuaciones generales del movimiento plano • Vamos a considerar el movimiento plano de un cuerpo rígido como un movimiento relativo donde A es el origen de un SR móvil X’ Y’ Z’ y B otra partícula cualquiera del cuerpo. Para hallar la Velocidad: rB rA AB drB drA d AB dt dt dt drA d AB vB dt dt v v w AB B A Entonces: Para hallar la Aceleración: dvB dv A d ( w AB ) dt dt dt dw d AB aB a A AB ( w ) dt dt aB a A AB w ( w AB ) TEMA 4 Análisis de Casos Particulares Análisis de casos particulares • Traslación (pura) Se obtiene v A vB a A aB Conclusiones: En el movimiento de traslación pura TODAS las partículas del cuerpo en un instante dado tienen la misma velocidad y la misma aceleración. Qué modelo podríamos aplicar a un cuerpo rígido en traslación pura? Análisis de casos particulares Las trayectorias de todas las partículas serán curvas congruentes. VA VB A B El segmento de recta AB se mantiene paralelo a si mismo durante todo el movimiento Análisis de casos particulares • Movimiento de rotación (pura) alrededor de un eje fijo. Como el eje pasa por el punto de referencia A, Qué sucede con VA y con aA ? vB w AB a A ( AB ) w ( w AB ) Todos los puntos del cuerpo describen circunferencias concéntricas en A. Los puntos más alejados tendrán mayor valor de velocidad y de aceleración Ejemplo 2 • En el mecanismo mostrado, la manivela AB tiene una velocidad angular constante en el sentido de las manecillas del reloj de 2000 rpm. Para la posición indicada de la manivela, determine: a) La velocidad angular de la biela BD b) La velocidad del pistón P Beer, Dinámica - 941 Ejemplo 2 Movimiento de la manivela AB. La manivela AB gira alrededor del punto A. Al expresar wAB en rad/s y escribir vB=rwAB se obtiene rev 1min 2rad 209.4rad/s min 60 s 1 rev vB AB AB 3in 209.4rad/s 628.3in/s AB 2000 vB 628.3in/s Movimiento de la biela BD. Este movimiento se considera como un movimiento plano general. Utilizando la ley de los senos, se calcula el ángulo β entre la biela y la horizontal: sen40 sen 8in 3in 13.95 La velocidad vD del punto D, donde la biela esta unida al pistón, debe ser horizontal, en tanto que la velocidad del punto B es igual a la velocidad vB que se obtuvo antes. Descomponiendo el movimiento de BD en una traslación con B y una rotación alrededor de B, se obtiene Beer, Dinámica - 941 Ejemplo 2 Al expresar la relación entre las velocidades vD, vB y vD/B, se escribe vD vB vD / B A continuación se dibuja el diagrama vectorial correspondiente a esta ecuación. Si se recuerda que β=13.95°, se determinan los ángulos del triangulo y se escribe: v vD 628.3in/s D/B sen53.95 sen50 sen76.05 vD / B 495.9in/s vD 523.4in/s 43.6ft/s Puesto que vD/B=lwBD, se obtiene: 495.9in / s 8in BD BD 62.0rad/s Beer, Dinámica - 941 Ejercicio 1 • El movimiento de la varilla AB es guiado por los pasadores en A y B, los cuales se deslizan en las ranuras mostradas. En el instante que se indica, θ=40° y el pasador en B se mueve hacia arriba y a la izquierda con una velocidad constante de 6in/s. Determine • A) la velocidad angular de la varilla • B) la velocidad del pasador en el extremo A Beer, Dinámica - 943 Ejercicio 2 • Se han unido unas pequeñas ruedas a los extremos de la varilla AB y ruedan libremente a lo largo de las superficies que se muestran. Si la ruda A se mueve hacia la izquierda con una velocidad constante de 1.5 m/s, determine • A) la velocidad angular de la varilla • B) la velocidad del extremo B de la varilla Beer, Dinámica - 943 Ejercicio 3 • La placa mostrada en la figura se mueve en el plano xy. Si (vA)x=12 in/s, (vB)x=-4 in/s y (vC)y=-24 in/s, determine: • A) la velocidad angular de la placa • B) la velocidad del punto B Beer, Dinámica - 944 Ejercicio 4 • El collarín A se mueve hacia arriba con una velocidad constante de 1.2 m/s. En el instante mostrado cuando θ=25°, determine: • A) la velocidad angular de la varilla AB • B) la velocidad del collarín B Beer, Dinámica - 944 Conclusiones 1. Todo movimiento plano de un cuerpo rígido se puede considerar como la superposición de dos movimientos Una traslación pura a lo largo de la dirección instantánea de la velocidad del punto base o punto de referencia. Una rotación pura alrededor de un eje fijo que pasa por el punto base con velocidad angular W y aceleración angular Bibliografía • Mecánica Vectorial para Ingenieros: Dinámica – Beer, Johnston, Cornwell. • Mecánica para Ingeniería: Dinámica – Bedford, Fowler. • Ingeniería Mecánica: Dinámica - Hibbeler Material producido por la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas Autor: César Ramírez Guanilo COPYRIGHT ©UPC 2016 - Todos los derechos reservados.