Cinemática del Cuerpo Rígido
Temario
• Modelo del Cuerpo Rígido
• Análisis del Movimiento de un punto dentro de
un cuerpo rígido
• Ecuaciones Generales del Movimiento Plano
• Análisis de Casos Particulares
TEMA 1
Modelo del Cuerpo Rígido
Modelo del Cuerpo Rígido
Se considera que las
distancias entre las partículas
que lo componen se
mantiene constante durante
el movimiento del cuerpo.
También se denomina cuerpo
indeformable.
Es una idealización, pero muy
útil y aplicable en muchas
situaciones.
Modelo del Cuerpo Rígido
En otras palabras:
las posiciones relativas de los puntos de un cuerpo
rígido se mantienen fijas aunque éste se mueva.
¿Qué estudia la cinemática del cuerpo Rígido?
• Las relaciones entre los vectores posición, velocidad y
aceleración y sus variaciones en el tiempo para los
distintos puntos de un cuerpo rígido.
• Aplicaciones : Análisis de mecanismos tales como
engranajes, bielas y conexiones articuladas.
Casos particulares del movimiento de un cuerpo rígido
• TRASLACION: Cualquier recta definida en el cuerpo
conserva su dirección al transcurrir el tiempo. (Puede
ser traslación rectilínea o curvilínea)
Casos particulares del movimiento de un cuerpo rígido
• Rotación alrededor de un eje fijo
w
Los puntos del cuerpo rígido se
mueven en planos paralelos sobre
circunferencias con centro en el eje de
rotación
Como cada partícula se mueve en un
plano dado se dice que el movimiento
de rotación alrededor de un eje fijo es
un MOVIMIENTO PLANO
Casos particulares del movimiento de un cuerpo rígido
• MOVIMIENTO PLANO GENERAL
Disco que se traslada rodando
Casos particulares del movimiento de un cuerpo rígido
• MOVIMIENTO PLANO GENERAL
Barra deslizante
TEMA 2
Análisis del Movimiento de un
punto dentro del Cuerpo Rígido
Análisis del Movimiento de un punto dentro de un
Cuerpo Rígido
La posición de un punto P del
sólido es rP = rc+ R
Donde C se refiere a otro punto del
cuerpo. (punto de referencia)
El vector R que va del punto de
referencia al punto P es un vector
cuyo módulo es constante
Derivando respecto del tiempo obtenemos
Análisis del Movimiento de un punto dentro de un
Cuerpo Rígido
El primer término es la velocidad del punto P
El segundo la velocidad del punto de referencia C
El tercero es la velocidad del punto P respecto del punto de
referencia.
Análisis del Movimiento de un punto dentro de un
Cuerpo Rígido
Dado que el vector R tiene
módulo constante, el único
movimiento posible de P
respecto de C es una rotación
con velocidad angular w
alrededor de un eje instantáneo
que pase por C, tal como vemos
en la figura.
Conclusión
• Así pues, el movimiento de un punto P de un cuerpo
rígido lo podemos considerar como la suma
(superposición)
1. De un movimiento de traslación de un punto de
referencia.
2. Una rotación alrededor de un eje instantáneo que pasa
por el punto de referencia.
En ocasiones se toma el punto de referencia en el centro
de masa del cuerpo.
Ejemplo 1
Movimiento de un disco que rueda sin deslizar
En el movimiento de traslación, todos
los puntos del sólido se mueven en
trayectorias paralelas.
La velocidad de un punto del sólido es
la misma que la velocidad del centro de
masas.
En el movimiento de rotación
alrededor de un eje que pasa por el
centro de masas, la velocidad de un
punto del sólido es proporcional al
radio de la circunferencia que
describe, y su dirección es tangente a
dicha circunferencia.
Ejemplo 1
• En el movimiento de rodar sin deslizar, existe una
relación entre el movimiento de rotación y traslación.
• El punto de la rueda que está en contacto en un
instante dado con el suelo tiene velocidad nula.
• Por tanto, se debe de cumplir que
vc=w R
• La velocidad de traslación vc es igual a la velocidad de
rotación w por el radio de la rueda R.
TEMA 3
Ecuaciones Generales del
Movimiento Plano
Ecuaciones generales del movimiento plano
Idea central: Se demuestra que todo movimiento plano
puede obtenerse como la combinación de
un movimiento de traslación (definida por el
movimiento de una partícula cualquiera A de
referencia, punto base,
un movimiento de rotación alrededor de A
Ecuaciones generales del movimiento plano
• Supongamos un SR fijo (XYZ) con origen en O
Sean A y B dos
puntos del cuerpo
rígido.
Respecto al sistema
fijo los vectores de
posición son rA y
rB
Sea ρAB el vector
que une al punto A
con el B
Ecuaciones generales del movimiento plano
Nótese que:
• el módulo de
qué?
ρAB es constante en el tiempo , por
• Se escogió ese sentido para ρAB porque A se va a
escoger como punto de referencia,( punto base) y por
tanto va a ser el origen de un SR móvil que además
de trasladarse está rotando.
Ecuaciones generales del movimiento plano
• Vamos a considerar el movimiento plano de un cuerpo
rígido como un movimiento relativo donde A es el
origen de un SR móvil X’ Y’ Z’ y B otra partícula
cualquiera del cuerpo.
Para hallar la Velocidad:
  
rB  rA   AB



drB drA d AB


dt
dt
dt


drA d AB

vB 

dt
dt
 
v  v  w
  AB
B
A
Entonces:
Para hallar la Aceleración:


 
dvB dv A d ( w   AB )


dt
dt
dt



  dw    d AB
aB  a A  
  AB   ( w 
)
dt
 dt

 


  
aB  a A     AB   w  ( w   AB )
TEMA 4
Análisis de Casos Particulares
Análisis de casos particulares
• Traslación (pura)
Se obtiene


v A  vB


a A  aB
Conclusiones:
En el movimiento de traslación pura TODAS las partículas del
cuerpo en un instante dado tienen la misma velocidad y la misma
aceleración.
Qué modelo podríamos aplicar a un cuerpo rígido en traslación
pura?
Análisis de casos particulares
Las trayectorias de todas las partículas serán curvas
congruentes.
VA
VB
A
B
El segmento de recta AB se mantiene paralelo a si
mismo durante todo el movimiento
Análisis de casos particulares
• Movimiento de rotación (pura) alrededor de un eje
fijo.
Como el eje pasa por el punto de referencia A,
Qué sucede con VA y con
aA ?

 
vB  w   AB


  
a A  (   AB )  w  ( w   AB )
Todos los puntos del cuerpo describen circunferencias concéntricas
en A.
Los puntos más alejados tendrán mayor valor de velocidad y de
aceleración
Ejemplo 2
• En el mecanismo mostrado, la manivela AB tiene una
velocidad angular constante en el sentido de las manecillas
del reloj de 2000 rpm. Para la posición indicada de la
manivela, determine:
a) La velocidad angular de la biela BD
b) La velocidad del pistón P
Beer, Dinámica - 941
Ejemplo 2
Movimiento de la manivela AB. La manivela AB gira alrededor del punto A. Al
expresar wAB en rad/s y escribir vB=rwAB se obtiene
rev  1min  2rad 



  209.4rad/s
min
60
s
1
rev




vB   AB  AB  3in 209.4rad/s   628.3in/s
 AB   2000
vB  628.3in/s
Movimiento de la biela BD. Este movimiento se considera como un
movimiento plano general. Utilizando la ley de los senos, se calcula el ángulo
β entre la biela y la horizontal:
sen40 sen

8in
3in
  13.95
La velocidad vD del punto D, donde la biela esta unida al pistón, debe ser
horizontal, en tanto que la velocidad del punto B es igual a la velocidad vB que
se obtuvo antes. Descomponiendo el movimiento de BD en una traslación
con B y una rotación alrededor de B, se obtiene
Beer, Dinámica - 941
Ejemplo 2
Al expresar la relación entre las velocidades vD, vB y vD/B, se escribe
vD  vB  vD / B
A continuación se dibuja el diagrama vectorial correspondiente a esta
ecuación. Si se recuerda que β=13.95°, se determinan los ángulos del
triangulo y se escribe:
v
vD
628.3in/s
 D/B 
sen53.95 sen50 sen76.05
vD / B  495.9in/s
vD  523.4in/s  43.6ft/s
Puesto que vD/B=lwBD, se obtiene:
495.9in / s  8in  BD
 BD  62.0rad/s
Beer, Dinámica - 941
Ejercicio 1
• El movimiento de la varilla AB es
guiado por los pasadores en A y B,
los cuales se deslizan en las
ranuras mostradas. En el instante
que se indica, θ=40° y el pasador
en B se mueve hacia arriba y a la
izquierda con una velocidad
constante de 6in/s. Determine
• A) la velocidad angular de la varilla
• B) la velocidad del pasador en el
extremo A
Beer, Dinámica - 943
Ejercicio 2
• Se han unido unas pequeñas ruedas a los extremos de la
varilla AB y ruedan libremente a lo largo de las superficies
que se muestran. Si la ruda A se mueve hacia la izquierda
con una velocidad constante de 1.5 m/s, determine
• A) la velocidad angular de la varilla
• B) la velocidad del extremo B de la varilla
Beer, Dinámica - 943
Ejercicio 3
• La placa mostrada en la figura se mueve en el plano xy. Si
(vA)x=12 in/s, (vB)x=-4 in/s y (vC)y=-24 in/s, determine:
• A) la velocidad angular de la placa
• B) la velocidad del punto B
Beer, Dinámica - 944
Ejercicio 4
• El collarín A se mueve hacia
arriba con una velocidad
constante de 1.2 m/s. En el
instante mostrado cuando θ=25°,
determine:
• A) la velocidad angular de la
varilla AB
• B) la velocidad del collarín B
Beer, Dinámica - 944
Conclusiones
1. Todo movimiento plano de un cuerpo rígido se puede
considerar como la superposición de dos movimientos
 Una traslación pura a lo largo de la dirección
instantánea de la velocidad del punto base o punto de
referencia.
 Una rotación pura alrededor de un eje fijo que pasa
por el punto base con velocidad angular W y
aceleración angular

Bibliografía
• Mecánica Vectorial para Ingenieros: Dinámica –
Beer, Johnston, Cornwell.
• Mecánica para Ingeniería: Dinámica – Bedford,
Fowler.
• Ingeniería Mecánica: Dinámica - Hibbeler
Material producido por la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas
Autor: César Ramírez Guanilo
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