2023_BET-ENG-MATHS 1
ENGINEERING FUNCTIONS WE
8TH MARCH, 2023
QUESTION 1
Write out the form of the partial fraction decomposition of the function. Do not determine the
numerical values of the coefficients.
4 x
1  2 x  3  x 
a)
4 x
1  2 x  3  x 
deg  N   1
 deg  N   deg  D 

deg  D   2
case  1
A
B
4 x


1  2 x  3  x  1  2 x 3  x
b)
1 x
x3  x 4
1 x
x3  x 4
deg  N   1
 deg  N   deg  D 

deg  D   4
1 x
1 x
 3
3
4
x x
x 1  x 
case  1& case  2
1 x
A B C
D
  2 3
x 1  x  x x
x 1 x
3
c)
x3  2 x 2  3x  2
x
2
 2x  2
2
x3  2 x 2  3x  2
x
2
 2x  2
2
deg  N   3
 deg  N   deg  D 

deg  D   4
x2  2x  2  0
  4  8  4  0
Case  4
x3  2 x 2  3x  2
x
2
d)
 2x  2
2

Ax  B
Cx  D

x  2 x  2  x 2  2 x  2 2
2
x3  2 x 2  2 x  5
x4  4 x2  3
x3  2 x 2  2 x  5
x4  4x2  3
deg  N   3
 deg  N   deg  D 

deg  D   4
Factorise  denom : x 4  4 x 2  3  0
x 2  p........... p  0  req.linear  factor 
p2  4 p  3  0
  16  12  4
p1,2 
2
4  2 
 3 x

2
2
1  x
x 4  4 x 2  3   x 2  3 x 2  1
x3  2 x 2  2 x  5 x3  2 x 2  2 x  5
 2
x4  4x2  3
 x  1 x2  3
Case  3 :
x3  2 x 2  2 x  5 Ax  B Cx  D


 x 2  1 x 2  3 x 2  1 x 2  3
e)
x3  x 2  1
x  x  1  x 2  x  1 x 2  1
x3  x 2  1
x  x  1  x 2  x  1 x 2  1

1 4 3 0
deg  N   3
 deg  N   deg  D 

deg  D   6
case  1  3
x3  x 2  1
A
B
Cx  D Ex  F
 
 2
 2
2
2
x  x  1  x  x  1 x  1 x x  1 x  x  1 x  1
QUESTION 2
Resolve the following into partial fractions:
a)
3x  2
 x  3 2 x  1
3x  2
 x  3 2 x  1
deg  N   1  deg  D   2
Case  1
3x  2
A
B


 x  3 2 x  1 x  3 2 x  1
Let  find  A & B
3x  2

A  2 x  1  B  x  3
 x  3 2 x  1
 x  3 2 x  1
3
x  2  A  2 x  1  B  x  3

f  x
g x
Poles : Pol  3, 1 2
f  3  g  3
11  7 A  A  11 7
f  1 2   g  1 2 
1
7
  B  B  1 7
2
2
3x  2
11
1


 x  3 2 x  1 7  x  3 7  2 x  1
b)
x6
x  x6
2
x6
x  x6
Pr oper  ration  f : deg  N   deg  D 
2
x 2  x  6   x  3 x  2 
Case  1
x6
A
B


x  x6 x3 x2
A  x  2   B  x  3
x6

x2  x  6
 x  3 x  2 
2
x  6  A  x  2   B  x  3



f  x
g x
Poles : Pol  2, 3
f  2  g  2
4  5 B  B   4 5
f  3  g  3
9  5 A  A  9 5
x6
9
4


x  x  6 5  x  3 5  x  2 
2
c)
x 4  2 x3  x 2  2 x  1
x2  2 x  1
x 4  2 x3  x 2  2 x  1
x2  2x  1
Im proper : deg  N   4  deg  D   2
Long  division
x2
x 2  2 x  1 x 4  2 x3  x 2  2 x  1
 x 4  2 x3  x 2
2x 1
x 4  2 x3  x 2  2 x  1
2x 1
 x2  2
2
x  2x 1
x  2x 1
4
3
2
x  2x  x  2x 1
2x 1
 x2 
2
2
x  2x 1
 x  1
Partial  fract :
2x 1
 x  1
2
Case  2.
2x 1
 x  1
2
2x 1
 x  1


A
B

x  1  x  12
A  x  1  B
 x  1
2
x  1  A  x  1  B

2
2
f  x
g x
Pole : Pol  1
f 1  g 1
1 B
f  0  g  0
1   A  1  A  2
2x 1
 x  1
2

2
1

x  1  x  12
x 4  2 x3  x 2  2 x  1
2
1
 x2 

2
x  2x 1
x  1  x  12
d)
x5  x  1
x3  1
x5  x  1
x3  1
Im proper  rational  function : deg  N   5  deg  D   3
Long  division :
x2
x3  1 x5  x  1
 x5  x 2
 x 2  x  1    x 2  x  1
x5  x  1
x2  x  1
2
x


x3  1
x3  1
Partial  fraction  decomposition :
x2  x  1
x3  1
a 2  b 2   a  b  a  b 
a 3  b3   a  b   a 2  ab  b 2 
a 3  b3   a  b   a 2  ab  b 2 
1
x2  x  1
x2  x  1


3
2
x 1
 x  1  x  x  1 x  1
1
x5  x  1
 x2 
3
x 1
x 1
x3  x 2  1
x 2  x  1 x5  x  1
 x5  x 4  x3
x 4  x3  x  1
 x 4  x3  x 2
 x2  x 1
 x2  x  1
0