逢甲大學一百零五學年度第一學期工三微積分期中考試題解答
(土木乙、光電甲乙、機電甲乙丙、資訊甲乙丙、電子乙、自控甲乙、電機甲乙、資電甲乙、通訊甲乙)
成績
(原卷作答且原卷收回；作答時間：90 分鐘)
考生
特別
注意
事項
1.考生如有夾帶、抄襲或傳遞等情事，本科試卷以零分計算。
2.若於應考物品中發現小抄、備忘錄等經檢查與考試相關者視同作弊。
3.考生如有替考情事，將取消該考生繼續修讀本班課程的權利。
4. 禁止使用計算機與計算紙。
班級：
姓名：
學號：
座號：
授課教師：
一、填充題 (Filling blanks)：(請將正確答案依序寫在下列答案欄空格內，不用列計算過程，每格 4 分，共 40 分) 共兩頁第一頁
1.
lim
2.
lim
3.
4.
5.
6.
x 0
x

x
. （1~5 題: 填極限值, 或  , 或  , 否則填“不存在”）
(1)
3h  1  1

h
11x  2
lim

x  2 x 3  1
(2)
h 0
.
(3)
.
(4)
.
lim  sec x 
x   2 
x100  1
(5)
.
lim

x 1 x  1
 cx  3, if x  1
If f ( x)  
is continuous at x  1 , then c 
2 x  5, if x  1
x3
is(are)
x2
7.
The vertical asymptote(s) (垂直漸近線) of y 
8.
The horizontal asymptote(s) (水平漸近線) of y 
9.
Let y  2cot 1

(6)
x3  2
x 1
3

x , then the differential dy 
(9)
.
(7)
is(are)
.
(8)
.
10. The slope (斜率) of the function f ( x)  x at the point (4, 2) is m 
(1)
(2)
不存在
(6)
4
(10)
(3)
x  2
.
(4)
(5)

0
32
(7)
.
(8)
100
(9)
y  1, y  1
x
3 2
2

csc 1

x dx
(10)
14
二、計算題 (Computations) :
(1-4 題每題 7 分，5-8 題每題 8 分，共 60 分，要詳列各題之計算過程，沒有計算過程者，一律不予計分)
sin 2 x
tan 3x
2. Use the Sandwich Theorem (三明治定理) to find the limit
1. Find (a) lim
(3 分), (b) lim
(4 分).
x  0 sin 8 x
x 0
5x
5
Sol:
lim x3 cos .
x 0
x
sin 2 x
sin 2 x 2
 lim
(a) lim
……………………………..(1 分)
x 0
x 0
Sol:
5x
2x 5
2
sin 2 x 2
5
 lim

……………………………………(3 分)
0  cos  1, x  0
5 x 0 2 x
5
x
tan 3x
sin 3x 1
 lim
(b) lim
x 0 sin 8 x
x 0 cos 3 x sin 8 x
5
 0  x3 cos  x3 , x  0
1 sin 3 x 8 x 3
x
 lim
………………………….(2 分)
x  0 cos 3 x
3 x sin 8 x 8
5
3
1 
sin 3 x 
8x 
  x3  x3 cos  x 3 , x  0 ……………………………..(2 分)
  lim
 lim
 lim

x
8  x 0 cos 3 x  x 0 3 x  x 0 sin 8 x 
3
and lim  x3  lim x3  0 ………………………………...(4 分)
 …………………………………………………..(4 分)
x 0
x 0
8
5
 lim x3 cos  0 ………..…………………………...……..(7 分)
x 0
x


3. Find the oblique asymptote (斜漸近線) for the graph of
2 x2  3
.
f ( x) 
7x  4
Sol:
8 
115
2
2 x2  3   x     7 x  4 
49 
49
7

4. Find
2 x2  3 2
8
115
 x 
………………………..(2 分)
7x  4 7
49 49  7 x  4 
115
 0 ………………………………..(4 分)
x  49  7 x  4 
2
8
……………….(7 分)
 The oblique asymptote is y  x 
7
49
where lim
d 99
(sin x ) .
dx 99
Sol:
Let f ( x)  sin x . Then
f ( x)  cos x
f ( x)   sin x
f ( x)   cos x
f (4) ( x)  sin x
f (5) ( x)  cos x ……………………………………….(4 分)
Thus, for any integer n  1,
f (4 n ) ( x)  sin x
f (4 n1) ( x)  cos x
f (4n2) ( x)   sin x
f (4 n3) ( x)   cos x
Therefore,
d 99
(sin x)  f (4243) ( x)   cos x ……………………(7 分)
99
dx
5. Find h(2) if h( x)  f 2 ( x)  g 2 ( x) , f (2)  8 , g (2)  2 ,
f (2)  1 3 and g (2)  3 .
Sol:
d
h( x) 
f 2 ( x)  g 2 ( x)
dx
1
1
d

  f 2 ( x)  g 2 ( x)  …………………(3 分)
2
2
2 f ( x)  g ( x) dx
1
2
1
  2 f ( x) f ( x)  2 g ( x) g ( x)  ………...(6 分)
f ( x)  g 2 ( x)
1
1
 h(2) 
  2 f (2) f (2)  2 g (2) g (2) 
2 f 2 (2)  g 2 (2)

2
1
1
1


  2  8   2  2  (3) 
2
2
2 8 2 
3

1 1  16
5
 1 1 20


………….(8 分)
  12  
2 68  3
3 17
 2 68 3

7. Find y  if 2 x3  3 y 2  8 .
Sol:
d
d
2 x3  3 y 2   8

dx
dx
2
 6 x  6 yy  0 ……………………………………………(2 分)
x2
, y  0 …………………………………………...(4 分)
y
2 xy  x 2 y 2 x x 2
 y 

  y, y  0 ……………………(6 分)
y2
y y2
 y 
 y 
2 xy  x 2  x 2 y 
y2

2 xy 2  x 4 2 x x 4

 , y  0 …….(8 分)
y3
y y3
6. Find equations of the tangent line(切線) and normal line(法線)
to the curve x sin 2 y  y cos 2 x at the point  4,  2 .
Sol:
d
d
 x sin 2 y    y cos 2 x 
dx
dx
 sin 2 y  x cos 2 y  2 y  y  cos 2x  y   sin 2x  2
 y  cos 2 x  2 x cos 2 y   sin 2 y  2 y sin 2 x
sin 2 y  2 y sin 2 x
………………………………….(4 分)
 y 
cos 2 x  2 x cos 2 y
sin    sin  2 

 y ( x , y ) ( 4, 2) 

2
cos  2    cos   2  2
 The tangent line is y   2  2  x   4 ……………...(6 分)
and the normal line is y   2  
1
 x   4  …………….(8 分)
2
8. Find the linearization of f ( x)  1  x at x  3 and use it to
approximate the number
Sol:
4.2 .
1 1
………………………..(2 分)
2 1 x
1
 f (3)  2 and f (3) 
………………………………(4 分)
4
 The linearization at x  3 is
1
5 x
L( x)  f (3)  f (3)( x  3)  2  ( x  3)   …………(6 分)
4
4 4
5 x
 The linear approximation is 1  x  
4 4
5 3.2 8.2
 4.2  1  3.2  

 2.05 ………………...(8 分)
4 4
4
f ( x)  1  x  f ( x) 
共兩頁第二頁