Fungsi trigonometri inversi
Bab 6. Fungsi Transenden
6.8 Fungsi trigonometri inversi dan turunannya
Tim Dosen Kalkulus 1
Arman Haqqi Anna
Hengki Tasman
Ida Fithriani
Siti Aminah
Wed Giyarti
Departemen Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Indonesia
1/23
Kalkulus 1 (SCMA601002)
6.8 Fungsi trigonometri inversi
Fungsi trigonometri inversi
Cosinus inversi dan sinus inversi
Tangen inversi dan secan inversi
Turunan fungsi trigonometri inversi
Fungsi trigonometri dengan daerah asal alaminya tidak
mempunyai fungsi inversi.
Jika daerah asalnya dibatasi sedemikian sehingga fungsi
trigonometri monoton ketat, maka fungsi trigonometri punya
fungsi inversi.
2/23
Kalkulus 1 (SCMA601002)
6.8 Fungsi trigonometri inversi
Fungsi trigonometri inversi
3/23
Kalkulus 1 (SCMA601002)
Cosinus inversi dan sinus inversi
Tangen inversi dan secan inversi
Turunan fungsi trigonometri inversi
6.8 Fungsi trigonometri inversi
Fungsi trigonometri inversi
Cosinus inversi dan sinus inversi
Tangen inversi dan secan inversi
Turunan fungsi trigonometri inversi
Definisi 1
Untuk mendapatkan fungsi inversi dari fungsi sinus dan cosinus,
dilakukan pembatasan daerah asal fungsi.
x = sin−1 y ⇔ y = sin x,
x = cos−1 y ⇔ y = cos x,
π
π
≤x≤
2
2
0 ≤ x ≤ π.
−
(1)
(2)
Contoh 2
1
cos−1 1 = 0 karena cos 0 = 1.
2
cos−1
3
4
5
4/23
1
2
=
π
3
karena cos π3 = 21 .
Perhatikan cos(2π) = 1, tapi cos−1 1 6= 2π, seharusnya
cos−1 1 = 0.
cos(cos−1 0, 6) = 0, 6.
π
sin−1 sin 3π
2 = −2.
Kalkulus 1 (SCMA601002)
6.8 Fungsi trigonometri inversi
Fungsi trigonometri inversi
Cosinus inversi dan sinus inversi
Tangen inversi dan secan inversi
Turunan fungsi trigonometri inversi
y = sin x ekuivalen dengan x = sin−1 y = arcsin y.
Pada lingkaran tersebut, y = sin x dan x0 =
p
1 − y2.
Pada lingkaran satuan, x = arcsin y bermakna panjang busur (arc)
yang nilai sinusnya y adalah x atau besar sudut yang nilai sinusnya
y adalah x.
5/23
Kalkulus 1 (SCMA601002)
6.8 Fungsi trigonometri inversi
Fungsi trigonometri inversi
Cosinus inversi dan sinus inversi
Tangen inversi dan secan inversi
Turunan fungsi trigonometri inversi
Fungsi sinus dan cosinus dan inversinya pada daerah asal yang
dibatasi.
1 y = sin x
Daerah asal: [− π2 , π2 ], daerah hasil: [−1, 1]
2
y = sin−1 x = arcsin x
Daerah asal: [−1, 1], daerah hasil: [− π2 , π2 ]
3
y = cos x
Daerah asal: [0, π], daerah hasil: [−1, 1]
4
y = cos−1 x = arccos x
Daerah asal: [−1, 1], daerah hasil: [0, π]
Catatan
arcsin x = sin−1 x 6=
arccos x = cos−1 x 6=
6/23
1
sin x
1
cos x
= csc x.
= sec x.
Kalkulus 1 (SCMA601002)
6.8 Fungsi trigonometri inversi
Fungsi trigonometri inversi
Cosinus inversi dan sinus inversi
Tangen inversi dan secan inversi
Turunan fungsi trigonometri inversi
Gambar grafik fungsi g(x) = sin−1 (x)
Dengan GeoGebra: g(x) = arcsin(x)
Dengan Mathematica: Plot[ArcSin[x], {x,-1,1}]
Catatan
Huruf besar dan huruf kecil dibedakan di Mathematica.
7/23
Kalkulus 1 (SCMA601002)
6.8 Fungsi trigonometri inversi
Fungsi trigonometri inversi
Cosinus inversi dan sinus inversi
Tangen inversi dan secan inversi
Turunan fungsi trigonometri inversi
Latihan Mandiri .
1
Hitunglah lim sin−1 x.
x→1−
2
3
8/23
Hitunglah
Apakah
lim sin−1 x.
x→−1+
lim sin−1 x
x→1
ada? Jelaskanlah!
Kalkulus 1 (SCMA601002)
6.8 Fungsi trigonometri inversi
Fungsi trigonometri inversi
9/23
Kalkulus 1 (SCMA601002)
Cosinus inversi dan sinus inversi
Tangen inversi dan secan inversi
Turunan fungsi trigonometri inversi
6.8 Fungsi trigonometri inversi
Fungsi trigonometri inversi
Cosinus inversi dan sinus inversi
Tangen inversi dan secan inversi
Turunan fungsi trigonometri inversi
Definisi 3
Untuk mendapatkan fungsi inversi dari fungsi tangen dan secan,
dilakukan pembatasan daerah asal fungsi.
x = tan−1 y ⇔ y = tan x,
x = sec−1 y ⇔ y = sec x,
π
π
<x<
2
2
π
0 ≤ x ≤ π, x 6= .
2
−
(3)
(4)
Contoh 4
1
2
10/23
tan−1 1 = π4 karena tan π4 = 1.
√
√
tan−1 − 3 = − π3 karena tan − π3 = − 3.
3
sec−1 (−1) = π karena sec π = −1.
4
sec−1 (2) =
π
3
karena sec π3 = 2.
Kalkulus 1 (SCMA601002)
6.8 Fungsi trigonometri inversi
Fungsi trigonometri inversi
Cosinus inversi dan sinus inversi
Tangen inversi dan secan inversi
Turunan fungsi trigonometri inversi
Catatan
arctan x = tan−1 x 6=
arcsec x = sec−1 x 6=
11/23
1
tan x
1
sec x
= cot x.
= cos x.
Kalkulus 1 (SCMA601002)
6.8 Fungsi trigonometri inversi
Fungsi trigonometri inversi
Cosinus inversi dan sinus inversi
Tangen inversi dan secan inversi
Turunan fungsi trigonometri inversi
Proposisi 5
sec
−1
−1
α = cos
1
.
α
Bukti.
Misalkan cos x = y, sehingga x = cos−1 (y).
Perhatikan sec x = cos1 x = y1 , sehingga x = sec−1 y1 .
Akibatnya, sec−1 y1 = cos−1 (y).
Misalkan α = y1 , maka didapat
sec
12/23
−1
−1
α = cos
Kalkulus 1 (SCMA601002)
1
.
α
6.8 Fungsi trigonometri inversi
Fungsi trigonometri inversi
Teorema 6
1
sin(cos−1 x) =
2
cos(sin−1 x) =
3
√
√
Cosinus inversi dan sinus inversi
Tangen inversi dan secan inversi
Turunan fungsi trigonometri inversi
1 − x2 .
1 − x2 .
√
sec(tan−1 x) = 1 + x2 .
4
tan(sec
−1
√ 2
√x − 1
x) =
− x2 − 1
jika x ≥ 1
jika x ≤ −1
Gunakanlah gambar berikut untuk mengingat identitas
trigonometri di atas.
13/23
Kalkulus 1 (SCMA601002)
6.8 Fungsi trigonometri inversi
Fungsi trigonometri inversi
Cosinus inversi dan sinus inversi
Tangen inversi dan secan inversi
Turunan fungsi trigonometri inversi
Bukti.
Bukti butir 1 sebagai berikut.
Kita punya identitas sin2 θ + cos2 θ = 1. Untuk 0 ≤ theta ≤ pi,
didapat
p
sin θ = 1 − (cos θ)2 .
Misalkan θ = cos−1 x, sehingga
p
p
sin(cos−1 x) = 1 − [cos(cos−1 x)]2 = 1 − x2 .
14/23
Kalkulus 1 (SCMA601002)
6.8 Fungsi trigonometri inversi
Fungsi trigonometri inversi
Cosinus inversi dan sinus inversi
Tangen inversi dan secan inversi
Turunan fungsi trigonometri inversi
Contoh 7
Hitunglah sin 2 cos−1
1
3
.
Ingat: sin 2 α = 2 sin α cos α.
Perhatikan
−1 1
−1 1
−1 1
sin 2 cos
= 2 sin cos
cos cos
3
3
3
r
8 1
.
= 2
9 3
√
4 2
=
.
9
15/23
Kalkulus 1 (SCMA601002)
6.8 Fungsi trigonometri inversi
Fungsi trigonometri inversi
Cosinus inversi dan sinus inversi
Tangen inversi dan secan inversi
Turunan fungsi trigonometri inversi
Teorema 8 (Turunan fungsi trigonometri inversi)
1
2
3
4
16/23
1
, −1 < x < 1
1 − x2
1
Dx cos−1 x = − √
, −1 < x < 1
1 − x2
1
Dx tan−1 x =
1 + x2
1
√
, |x| > 1
Dx sec−1 x =
|x| x2 − 1
Dx sin−1 x = √
Kalkulus 1 (SCMA601002)
6.8 Fungsi trigonometri inversi
Fungsi trigonometri inversi
Cosinus inversi dan sinus inversi
Tangen inversi dan secan inversi
Turunan fungsi trigonometri inversi
Contoh 9
Tentukanlah Dx (sec−1 x)3 .
Dengan menggunakan Aturan Rantai dan Teorema Turunan Fungsi
Trigonometri Inversi, didapat
Dx (sec−1 x)3 = 3 (sec−1 x)2 Dx (sec−1 x)
1
√
= 3 (sec−1 x)2
|x| x2 − 1
3 (sec−1 x)2
√
=
.
|x| x2 − 1
17/23
Kalkulus 1 (SCMA601002)
6.8 Fungsi trigonometri inversi
Fungsi trigonometri inversi
Cosinus inversi dan sinus inversi
Tangen inversi dan secan inversi
Turunan fungsi trigonometri inversi
Dari Teorema Turunan Fungsi Trigonometri Inversi, didapat anti
turunan berikut.
Z
Z
18/23
1
√
dx = sin−1 x + c
1 − x2
Z
1
dx = tan−1 x + c
1 + x2
1
√
dx = sec−1 |x| + c
x x2 − 1
Kalkulus 1 (SCMA601002)
(5)
(6)
(7)
6.8 Fungsi trigonometri inversi
Fungsi trigonometri inversi
Cosinus inversi dan sinus inversi
Tangen inversi dan secan inversi
Turunan fungsi trigonometri inversi
Anti turunan tersebu dapat diperluas menjadi sebagai berikut.
Z
x
1
dx = sin−1
+c
a
a2 − x2
Z
1
1
−1 x
tan
+c
dx
=
a2 + x2
a
a
Z
1
1
−1 |x|
√
dx =
sec
+c
a
a
x x2 − a2
19/23
√
Kalkulus 1 (SCMA601002)
(8)
(9)
(10)
6.8 Fungsi trigonometri inversi
Cosinus inversi dan sinus inversi
Tangen inversi dan secan inversi
Turunan fungsi trigonometri inversi
Fungsi trigonometri inversi
Contoh 10R
Hitunglah
Perhatikan
Z
√ 2
4−9 x2
dx.
2
√
dx =
4 − 9 x2
=
=
20/23
Z
2
p
dx
2
2 − (3 x)2
Z
1
2
p
d(3x)
2
3
2 − (3 x)2
2
−1 3 x
sin
+ C.
3
2
Kalkulus 1 (SCMA601002)
6.8 Fungsi trigonometri inversi
Fungsi trigonometri inversi
Cosinus inversi dan sinus inversi
Tangen inversi dan secan inversi
Turunan fungsi trigonometri inversi
Latihan Mandiri .
Tentukanlah
1
2
3
4
5
21/23
Dx tan−1 (x3 )
Dx (tan−1 x)3
R
1
dx
1 + 4 x2
R
ex
dx
1 + e2x
R
1
dx
2
2 x + 8 x + 25
Kalkulus 1 (SCMA601002)
6.8 Fungsi trigonometri inversi
Fungsi trigonometri inversi
Cosinus inversi dan sinus inversi
Tangen inversi dan secan inversi
Turunan fungsi trigonometri inversi
Pustaka
Varberg, D., Purcell, E., Rigdon, S., Calculus, 9th ed.,
Pearson, 2006.
Catatan
Beberapa gambar dalam materi ini diambil dari pustaka di atas.
22/23
Kalkulus 1 (SCMA601002)
6.8 Fungsi trigonometri inversi
Fungsi trigonometri inversi
Cosinus inversi dan sinus inversi
Tangen inversi dan secan inversi
Turunan fungsi trigonometri inversi
VIDEO BANTUAN DANA MATA KULIAH MOOCs DPASDP UI 2020
Copyright
© Universitas Indonesia 2020
Produksi Prodi S1 Matematika, Departemen Matematika, FMIPA UI
23/23
Kalkulus 1 (SCMA601002)
6.8 Fungsi trigonometri inversi