西南财经大学本科期末考试试卷A
课程名称：高等代数I
考试学期：2018－ 2019学年 第 一 学期
专业：
学号：
年级：
姓名：
任课教师姓名（学生必填）：
考试时间：2018 年 月 日（星期
题
号
成
绩
一
二
三
四
五
六
出题教师必填：1、考试类型：闭卷[ √ ]
2、本套试题共
四
）
午
七
：
八
--
：
总分 阅卷
人
开卷[ ]
道大题，共
5 页，完卷时间120 分钟。
3、考试用品中除纸、笔、尺子外，可另带的用具有：
计算器[ ]
字典[ ]
等
（请在下划线上填上具体数字或内容，所选[
]内打钩）
考生注意事项：1、出示学生证或身份证于桌面左上角，以备监考教师查验。
2、拿到试卷后清点并检查试卷页数，如有重页、页数不足、空
白页及印刷模糊等举手向监考教师示意调换试卷。
3、做题前请先将专业、年级、学号、姓名、任课教师填写完整。
4、考生不得携带任何通讯工具进入考场。
5、严格遵守考场纪律。
1/5
一、填空题
（将正确答案填在题中横线上。每小题 2 分，共 10 分）
1. 四阶行列式的第 3 行元素为 1 ，0，2，4，第 4 行元素对应的代数余子式为 5，
10， a ，4，则 a 
 1 0 0


2. 设 A   10 2 0  ， A* 是 A 的伴随矩阵，则 ( A* ) 1 =
 20 30 5 


1 1  2  2
1   2
3. 已知 1 ,  2 , 1 ,  2 ,  为 3 维行向量，且 1   2  1   2  2 ，则 1   2 




2
1 2 3
A A


4. 设 A, B 为 3 阶方阵，已知 | A | 2, B   3 2 4  , 则

0
B
0 0 1


5. 设 A 为 2 阶方阵，1 ,  2 是线性无关的 2 维列向量，且 A1  0, A 2  1  3 2 ，
则 | A  E |
二、单项选择题
(每小题仅有一个正确答案, 将正确答案番号填入下表内。每小题 2 分，
共 20 分)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1. 设 A  (1 ,  2 , 3 ) ， 其 中 1 ,  2,  3为 3 维 列 向 量 ， 如 果 |A | 1， 则
1 , 31 22 3 ,  33 (
-18
(A)
(B) -6
)
(C) 6
(D) 18
1
1
2. 设 n 维列向量   ( , 0,..., 0, )T ，矩阵 A  E   T , B  E  2 T ，则 AB 
2
2
(
(A) O
)
(B)  E
(C) E
2/5
(D) E   T
3. 设 n 阶方阵 A, B, C 满足 ABC  E ，则必有(
(A) ACB  E
(B) CBA  E
).
(C) BAC  E
(D) BCA  E
4. 已知 1 ,  2 ,  3 线性无关， 1  1  2 2 , 2   2  3 , 3  k1  3 线性相关，则
k (
)
(B) 2
(A) 2
(C)
1
2
(D)
5. 已知矩阵 A 经过初等行变换变成矩阵 B ，则 (

1
2
).
(A) A 的列向量组和 B 的列向量组等价;
(B) B 的任意列向量可以由 A 的列向量组线性表示;
(C) B 的任意行向量可以由 A 的行向量组线性表示;
(D) AT x  0 与 BT x  0 同解.
6. 设 A 为 m  n, (m  n) 矩阵，齐次线性方程组 Ax  0 的基础解系含有 t 个向量，
则齐次线性方程组 AT y  0 的基础解系中所含有的向量的个数为(
(A) n  m  t
(B) n  m  t
)
(D) m  n  t
(C) m  n  t
7. 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*  O ，若 1 , 2 ,3 , 4 是非齐次线性方程组 Ax  b 的
互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax  0 的基础解系
(
(A) 个数不确定
(B) 含有一个非零向量
(C) 含有两个线性无关的解向量
(D) 含有三个线性无关的解向量
)
8. 设 A, B 均为 n 阶实对称矩阵，且对任给的 n 维向量 x  0 ，都有 xT Ax  xT Bx ，
则 (
)
(A) A, B 均为正定矩阵
(B) A  B 是正定矩阵
(C) A 为正定矩阵
(D) A 的特征值都大于 B 的特征值
1



9. 设矩阵 B   1  ,已知 A 相似与 B ，则 r ( A  2 E )  r ( A  E )  (
1



(A) 2
(B)
3
(C)
4
)
(D) 5
10. 设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 为 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量  是 A 的属于 
3/5
的特征向量，则矩阵 ( P 1 AP)T 属于特征值  的特征向量为 (
(A) P 1
(C) P
(B) PT 
(D) ( P1 )T 
三、计算题 (每小题 9 分，共 63 分)
1. 计算 n 阶行列式：
x
an
1
x
1
Dn 
an 1
x
an  2
0
0
1
x
0
0
0
1 x  a1
a2
2. 已知 A 的伴随矩阵为
1

0
*
A 
0

0
0 0 0

1 0 0
0 1 0

0 2 8
且 AXA1  XA1  3E, 求 X .
1
 2
0
3
 
 
 
 
4
7
1
10



3. 已知 1 
, 2 
,3 
,    .
0
1
 1
b
 
 
 
 
 2
 3
a
4
(1) 当 a , b 取何值时，  不能被 1 ,  2 , 3 线性表示；
(2) 当 a , b 取何值时，  能被 1 ,  2 , 3 线性表示，并写出该表达式；
4. 设有如下非齐次线性方程组
4/5
)
2 x2
 2 x3  1
(2   ) x1 

.
2 x1  (5   ) x2
 4 x3  2

  2x
 4 x2  (5   ) x3    1
1

问  取何值时，方程组有唯一解、无解或无穷多解？并在无穷多解时，给出解
的形式.


5.已知矩阵 A  



1

1 1 1 1
，求 A 的特征值及特征向量.
1 1 1 1

1 1 1 1 
1
1
1
6. 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1  1, 2  3  2 . 对应于 1 的特征向量为
1  (0,1,1)T , 求矩阵 2A1  E 的特征值和特征向量.
7. 已知二次型 f ( x1 , x2 , x3 )  ax12  ax22  ax32  2 x1 x2  2 x1 x3  2 x2 x3 的矩阵为 A .
(1) 求 A 的所有特征值；
1



(2) 若矩阵 A 相似与矩阵  1
 , 确定正交变换将二次型化为标准形.

2 

四. 证明题
(7 分)
T
设 A 为 m n 实矩阵，且 Ax  b 有唯一解. 证明 A A 可逆，且 Ax  b 的解为
x  (AT A)1 AT b.
5/5