Sistemas de retroalimentación
Una introducción para científicos e ingenieros
str̈m
Karl Johan Åo
Richard M. Murray
Versión v2.11b (28 de septiembre de 2012)
Esta es la edición electrónica de Feedback Systems y está
disponible en http://www.cds.caltech.edu/∼murray/amwiki. Las
ediciones de tapa dura pueden adquirirse en Princeton Univeristy
Press, http://press.princeton.edu/titles/8701.html.
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Todos los derechos reservados
Datos de catalogación de la Biblioteca del
Congreso Å
srötm, Karl J. (Karl Johan), 1934Sistemas de retroalimentación : una introducción para científicos e
ingenieros / Karl Johan Å
strömy Richard M. Murray
p. cm.
Incluye referencias bibliográficas e índice.
ISBN-13: 978-0-691-13576-2 (alk. paper)
ISBN-10: 0-691-13576-2 (alk. paper)
1. Sistemas de control por retroalimentación. I. Murray, Richard M.,
1963-. II. Título. TJ216.A78 2008
629,8′ 3-dc22
2007061033
British Library Cataloging-in-Publication Data is
available Este libro ha sido compuesto en LATEX
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la copia lista para la cámara a partir de la cual se imprimió este libro.
Impreso en papel sin ácido.
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Impreso en los Estados Unidos de
América 10 9 8 7 6 5 4
iii
Esta versión de Sistemas de retroalimentación es la edición electrónica del texto.
Historial de revisiones:
• Versión 2.11b (28 de septiembre de 2012): edición electrónica, con
correcciones y fuentes modificadas (puede cambiar la paginación)
• Versión 2.10e (30 de agosto de 2011): edición electrónica, con correcciones
• Versión 2.10d (19 jul 2011): edición electrónica, con correcciones
• Versión 2.10c (4 mar 2010): tercera impresión, con correcciones
• Versión 2.10b (22 de febrero de 2009): segunda impresión, con correcciones
• Versión 2.10a (2 de diciembre de 2008): edición electrónica, con correcciones
• Versión 2.9d (30 de enero de 2008): primera impresión
La lista completa de los cambios introducidos en cada revisión está disponible en
el sitio web complementario:
http://www.cds.caltech.edu/∼murray/FBSwiki
Contenido
Prefacio
ix
Capítulo 1. Introducción
1.1
¿Qué es la retroalimentación?
1.2
¿Qué es el control?
1.3
Ejemplos de retroalimentación
1.4
Propiedades de la retroalimentación
1.5
Formas sencillas de retroalimentación
1.6
Más información
Ejercicios
1
1
3
5
17
23
25
26
Capítulo 2. Modelización del sistema
2.1
Conceptos de modelado
2.2
Modelos de espacio de estado
2.3
Metodología de modelado
2.4
Ejemplos de modelado
2.5
Más información
Ejercicios
27
Capítulo 3. Ejemplos
3.1
Control de crucero
3.2
Dinámica de la bicicleta
3.3
Circuitos de amplificación operativa
3.4
Sistemas informáticos y redes
3.5
Microscopía de fuerza atómica
3.6
Administración de medicamentos
3.7
Dinámica de la población
Ejercicios
65
Capítulo 4. Comportamiento dinámico
4.1
Resolución de ecuaciones diferenciales
4.2
Análisis cualitativo
4.3
Estabilidad
4.4
Análisis de estabilidad de Lyapunov
95
27
34
44
51
61
61
65
69
71
75
81
85
89
91
95
98
102
110
vi
CONTENIDO
4.5
4.6
Comportamiento paramétrico y no local
Más información
Ejercicios
120
126
126
Capítulo
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5. Sistemas lineales
Definiciones básicas
La Matriz Exponencial
Respuesta de entrada/salida
Linealización
Más información
Ejercicios
131
Capítulo
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6. Retroalimentación del Estado
Alcanzabilidad
Estabilización por retroalimentación del Estado
Diseño de la retroalimentación del Estado
Acción integral
Más información
Ejercicios
167
Capítulo
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7. Retroalimentación de salida
Observabilidad
Estimación del estado
Control mediante el estado estimado
Filtrado Kalman
Una estructura de controladores generales
Más información
Ejercicios
201
Capítulo
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8. Funciones de transferencia
Modelado en el dominio de la frecuencia
Derivación de la función de transferencia
Diagramas de bloques y funciones de transferencia
La trama de Bode
Transformadas de Laplace
Más información
Ejercicios
229
Capítulo
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9. Análisis en el dominio de la frecuencia
La función de transferencia del bucle
El criterio de Nyquist
Márgenes de estabilidad
Relaciones de Bode y sistemas de fase mínima
Nociones generalizadas de ganancia y fase
267
131
136
145
158
163
164
167
175
183
195
197
198
201
206
211
215
219
226
226
229
231
242
250
259
262
262
267
270
278
282
285
vii
CONTENID
O
9.6
Otras lecturas
Ejercicios
Capítulo 10. Control PID
10.1
Funciones básicas de control
10.2
Controladores sencillos para sistemas complejos
10.3
Ajuste del PID
10.4
Integrador Windup
10.5
Aplicación
10.6
Más información
Ejercicios
290
290
293
293
298
302
306
308
312
313
Capítulo 11. Diseño en el dominio de la frecuencia
315
11.1
Funciones de sensibilidad
315
11.2
Diseño de la alimentación
319
11.3
Especificaciones de rendimiento
322
11.4
Diseño de la retroalimentación mediante la conformación del bucle326
11.5
Limitaciones fundamentales
331
11.6
Ejemplo de diseño
340
11.7
Más información
343
Ejercicios
344
Capítulo 12. Rendimiento robusto
12.1
Modelización de la incertidumbre
12.2
Estabilidad en presencia de la incertidumbre
12.3
Rendimiento en presencia de la incertidumbre
12.4
Colocación de postes robustos
12.5
Diseño para un rendimiento robusto
12.6
Más información
Ejercicios
347
Bibliografía
377
Índice
387
347
352
358
361
369
374
374
Prefacio
Este libro ofrece una introducción a los principios y herramientas básicos para el
diseño y análisis de los sistemas de retroalimentación. Está destinado a un
público diverso de científicos e ingenieros interesados en comprender y utilizar
la retroalimentación en los sistemas físicos, biológicos, informativos y sociales.
Hemos intentado mantener los prerrequisitos matemáticos al mínimo, pero sin
sacrificar el rigor en el proceso. También hemos intentado utilizar ejemplos de
diversas disciplinas, ilustrando la generalidad de muchas de las herramientas y
mostrando al mismo tiempo cómo pueden aplicarse en ámbitos de aplicación
específicos.
Uno de los principales objetivos de este libro es presentar una visión concisa
y perspicaz de los conocimientos actuales sobre sistemas de retroalimentación y
control. El campo del control comenzó enseñando todo lo que se sabía en ese
momento y, a medida que se adquirían nuevos conocimientos, se desarrollaron
cursos adicionales para cubrir nuevas técnicas. Una consecuencia de esta
evolución es que los cursos introductorios han seguido siendo los mismos
durante muchos años, y a menudo es necesario realizar muchos cursos
individuales para obtener una buena perspectiva del campo. Al elaborar este
libro, hemos tenido la tentación de condensar los conocimientos actuales haciendo
hincapié en los conceptos fundamentales. Creemos que es importante entender
por qué es útil la retroalimentación, conocer el lenguaje y las matemáticas
básicas del control y comprender los paradigmas clave que se han desarrollado
en el último medio siglo. También es importante ser capaz de resolver problemas
sencillos de retroalimentación mediante técnicas de back-of-the-envelope,
reconocer las limitaciones fundamentales y los problemas de control difíciles y
tener una idea de los métodos de diseño disponibles.
Este libro se desarrolló originalmente para su uso en un curso experimental
en Cal- tech en el que participaban estudiantes de un amplio conjunto de
orígenes. El curso se ofrecía a estudiantes de primer y segundo año de las
disciplinas tradicionales de ingeniería, así como a estudiantes de primer y segundo
año de postgrado en ingeniería y ciencias. Este último grupo incluía a estudiantes
graduados en biología, informática y física. A lo largo de varios años, el texto ha
sido probado en las aulas de Caltech y de la Universidad de Lund, y los
comentarios de muchos estudiantes y colegas se han incorporado para ayudar a
mejorar la legibilidad y la accesibilidad del material.
Debido a la audiencia a la que va dirigido, este libro está organizado de una
manera ligeramente inusual en comparación con muchos otros libros sobre
retroalimentación y control. En particular, introducimos una serie de conceptos
en el texto que normalmente se reservan para los cursos de segundo año sobre
control y, por lo tanto, a menudo no están disponibles para los estudiantes que no
son especialistas en sistemas de control. Esto se ha hecho a expensas de ciertos
conceptos tradicionales, que consideramos que el estudiante astuto podría
aprender de forma independiente y que a menudo son
x
PREFACI
O
explorado a través de los ejercicios. Algunos ejemplos de temas que hemos
incluido son la dinámica no lineal, el análisis de estabilidad de Lyapunov, la
exponencial matricial, la alcanzabilidad y la observabilidad, y los límites
fundamentales del rendimiento y la robustez. Los temas en los que hemos hecho
menos hincapié son las técnicas de localización de la raíz, la compensación de
avance y retroceso y las reglas detalladas para generar gráficos de Bode y
Nyquist a mano.
Varias características del libro están diseñadas para facilitar su doble función
como texto básico de ingeniería y como introducción para los investigadores de
las ciencias naturales, de la información y sociales. El grueso del material está
pensado para ser utilizado con independencia del público al que vaya dirigido y
� abarca los principios y herramientas fundamentales del análisis y el diseño de los
sistemas de retroalimentación. Las secciones avanzadas, marcadas con el
símbolo de "curva peligrosa" que se muestra aquí, contienen material que
requiere una base ligeramente más técnica, del tipo que se esperaría de los
estudiantes de último curso de ingeniería. Algunas secciones están marcadas con
dos símbolos de curva peligrosa y están destinadas a lectores con una formación
más especializada, identificada al principio de la sección. Para limitar la longitud
del texto, en los ejercicios se ofrecen varios resultados y extensiones estándar,
con las correspondientes indicaciones para su solución.
Para ampliar el material impreso que contiene, se ha creado un sitio web
complementario que puede consultarse en la página web del editor:
http://www.cds.caltech.edu/∼murray/amwiki
El sitio web contiene una base de datos con las preguntas más frecuentes,
ejemplos y ejercicios complementarios y material de clase para los cursos
basados en este texto. El material está organizado por capítulos e incluye un
resumen de los puntos principales del texto, así como enlaces a recursos
externos. El sitio web también contiene el código fuente de muchos ejemplos del
libro, así como utilidades para aplicar las técnicas descritas en el texto. La mayor
parte del código se escribió originalmente utilizando archivos M de MATLAB,
pero también se probó con MathScript de LabView para garantizar la
compatibilidad con ambos paquetes. Muchos archivos también pueden ejecutarse
utilizando otros lenguajes de scripting como Octave, SciLab, SysQuake y
Xmath.
La primera mitad del libro se centra casi exclusivamente en los sistemas de
control del espacio de estados. Comenzamos en el capítulo 2 con una descripción
del modelado de sistemas físicos, biológicos y de información mediante
ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones en diferencia. El capítulo 3
presenta una serie de ejemplos con cierto detalle, principalmente como referencia
para los problemas que se utilizarán a lo largo del texto. A continuación, el
capítulo 4 examina el comportamiento dinámico de los modelos, incluyendo
definiciones de estabilidad y comportamientos no lineales más complicados. En
este capítulo proporcionamos secciones avanzadas sobre el análisis de
estabilidad de Lyapunov porque consideramos que es útil en una amplia gama de
aplicaciones y que, con frecuencia, es un tema que no se introduce hasta más
adelante en los estudios.
Los tres capítulos restantes de la primera mitad del libro se centran en los
sistemas lineales, comenzando con una descripción del comportamiento de
entrada/salida en el capítulo 5. En el capítulo 6, introducimos formalmente los
sistemas de retroalimentación demostrando cómo se pueden diseñar las leyes de
control del espacio de estado. A continuación, en el capítulo 7, se presenta
material sobre la retroalimentación de salida y los estimadores. Los capítulos 6 y
7 introducen los conceptos clave del alcance.
x
PREFACIO
PREFACI
xi
O
bilidad y observabilidad, que aportan una gran visión a la hora de elegir
actuadores y sensores, ya sea para sistemas de ingeniería o naturales.
La segunda mitad del libro presenta material que suele considerarse del
campo del "control clásico". Esto incluye la función de transferencia, introducida
en el capítulo 8, que es una herramienta fundamental para entender los sistemas
de retroalimentación. Usando las funciones de transferencia, uno puede empezar a
analizar la estabilidad de los sistemas de retroalimentación usando el análisis en el
dominio de la frecuencia, incluyendo la capacidad de razonar sobre el
comportamiento en lazo cerrado de un sistema a partir de sus características en
lazo abierto. Este es el tema del capítulo 9, que gira en torno al criterio de
estabilidad de Nyquist.
En los capítulos 10 y 11, volvemos a examinar el problema del diseño,
centrándonos primero en los controladores proporcionales-integrales-derivados
(PID) y luego en el proceso más general de conformación del bucle. El control
PID es, con mucho, la técnica de diseño más común en los sistemas de control y
una herramienta útil para cualquier estudiante. El capítulo sobre el diseño en el
dominio de la frecuencia introduce muchas de las ideas de la teoría de control
moderna, incluida la función de sensibilidad. En el capítulo 12, se combinan los
resultados de la segunda mitad del libro para analizar algunas de las
compensaciones fundamentales entre robustez y rendimiento. Este es también un
capítulo clave que ilustra la potencia de las técnicas desarrolladas y sirve de
introducción para estudios más avanzados.
El libro está diseñado para su uso en un curso de 10 a 15 semanas sobre
sistemas de retroalimentación que proporciona muchos de los conceptos clave
necesarios en una variedad de disciplinas. Para un curso de 10 semanas, los
capítulos 1-2, 4-6 y 8-11 pueden cubrirse cada uno en una semana, con la
omisión de algunos temas de los últimos capítulos. Un curso más pausado,
repartido en 14-15 semanas, podría abarcar todo el libro, con 2 semanas sobre
modulación (capítulos 2 y 3) -especialmente para estudiantes sin mucha
experiencia en ecuaciones diferenciales ordinarias- y 2 semanas sobre
rendimiento robusto (capítulo 12). Los prerrequisitos matemáticos del libro son
modestos y están en consonancia con nuestro objetivo de ofrecer una
introducción que sirva a un público amplio. Suponemos que está familiarizado
con las herramientas básicas del álgebra lineal, incluidas las matrices, los
vectores y los valores propios. Estas herramientas se cubren normalmente en un
curso de segundo año sobre el tema, y los libros de texto de Apostol [Apo69],
Arnold [Arn87] y Strang [Str88] pueden servir como buenas referencias.
Igualmente, asumimos conocimientos básicos de ecuaciones diferenciales,
incluyendo los conceptos de soluciones homogéneas y particulares para
ecuaciones diferenciales ordinarias lineales en una variable. Apostol [Apo69] y
Boyce y DiPrima [BD04] cubren bien este material. Por último, también
hacemos uso de números y funciones complejas y, en algunas de las secciones
avanzadas, de conceptos más detallados en variables complejas que se cubren
típicamente en un curso de ingeniería o física de nivel inferior sobre métodos
matemáticos. Apostol [Apo67] o Stew- art [Ste02] pueden utilizarse para el
material básico, siendo Ahlfors [Ahl66], Marsden y Hoffman [MH98] o Saff y
Snider [SS02] buenas referencias para el material más avanzado. Hemos optado
por no incluir apéndices que resuman estos
varios temas, ya que hay varios libros buenos disponibles.
Una elección adicional que nos pareció importante fue la decisión de no
basarse en el conocimiento de las transformadas de Laplace en el libro. Aunque
su uso es, con mucho, el enfoque más común en la enseñanza de los sistemas de
retroalimentación en ingeniería, muchos estudiantes
xii
PREFACI
O
Los estudiantes de ciencias naturales y de la información pueden carecer de la
formación matemática necesaria. Dado que las transformadas de Laplace no son
necesarias de forma esencial, las hemos incluido sólo en una sección avanzada
destinada a unir las cosas para los estudiantes con esa formación. Por supuesto,
hacemos un gran uso de las funciones de transición, que introducimos a través de
la noción de respuesta a entradas exponenciales, un enfoque que consideramos
más accesible para una amplia gama de científicos e ingenieros. Para las clases
en las que los estudiantes ya han estudiado las transformadas de Laplace, debería
ser bastante natural basarse en estos antecedentes en las secciones apropiadas del
texto.
Agradecimientos
Los autores desean dar las gracias a las numerosas personas que han colaborado
en la preparación de este libro. La idea de escribir este libro surgió en parte de un
informe sobre futuras direcciones en control [Mur03] en el que Stephen Boyd,
Roger Brockett, John Doyle y Gunter Stein fueron los principales colaboradores.
Kristi Morgansen y Hideo Mabuchi ayudaron a impartir las primeras versiones
del curso en Caltech en el que se basa gran parte del texto, y Steve Waydo fue el
principal asistente técnico del curso impartido en Caltech en 2003-2004 y aportó
numerosos comentarios y correcciones. Charlotta Johns- son y Anton Cervin
dieron clases de las primeras versiones del manuscrito en Lund en 2003-2007 y
aportaron comentarios muy útiles. Otros colegas y estudiantes que aportaron
comentarios y consejos son Leif Andersson, John Carson, K. Mani Chandy,
Michel Charpentier, Domitilla Del Vecchio, Kate Galloway, Per Hagander,
Toivo Henningsson Perby, Joseph Hellerstein, George Hines, Tore Ha¨gglund,
Cole Lep- ine, Anders Rantzer, Anders Robertsson, Dawn Tilbury y Francisco
Zabala. Los revisores de Princeton University Press y Tom Robbins de NI Press
también han aportado valiosos comentarios que han mejorado notablemente la
organización, el diseño y el enfoque del libro. Nuestra editora, Vickie Kearn, fue
una gran fuente de ánimo y ayuda durante todo el proceso de publicación. Por
último, nos gustaría dar las gracias a Caltech, la Universidad de Lund y la
Universidad de California en Santa Bárbara por haber proporcionado muchos
recursos, colegas y estudiantes estimulantes y entornos de trabajo agradables que
ayudaron en gran medida a la redacción de este libro.
Karl Johan Å
srötmRcihardM. Murray
Lund, SueciaPasadena
Santa Bárbara, California
, California
Capítulo 1
Introducción
La retroalimentación es una característica central de la vida. El proceso de
retroalimentación gobierna la forma en que crecemos, respondemos al estrés y a los
desafíos, y regulamos factores como la temperatura corporal, la presión arterial y el nivel
de colesterol. Los mecanismos funcionan a todos los niveles, desde la interacción de las
proteínas en las células hasta la interacción de los organismos en ecologías complejas.
M. B. Hoagland y B. Dodson, The Way Life Works, 1995 [HD95].
En este capítulo ofrecemos una introducción al concepto básico de
retroalimentación y a la disciplina de ingeniería relacionada con el control. Nos
centramos en ejemplos históricos y actuales, con la intención de proporcionar el
contexto para las herramientas actuales de retroalimentación y control. Gran
parte del material de este capítulo está adaptado de [Mur03], y los autores
agradecen las contribuciones de Roger Brockett y Gunter Stein a partes de este
capítulo.
1.1 ¿Qué es Feedback?
Un sistema dinámico es un sistema cuyo comportamiento cambia a lo largo del
tiempo, a menudo como respuesta a una estimulación o forzamiento externo. El
término retroalimentación se refiere a una situación en la que dos (o más)
sistemas dinámicos están conectados entre sí, de manera que cada sistema influye
en el otro y su dinámica está fuertemente acoplada. El simple razonamiento
causal sobre un sistema de retroalimentación es difícil porque el primer sistema
influye en el segundo y el segundo influye en el primero, lo que lleva a un
argumento circular. Esto hace que el razonamiento basado en la causa y el efecto
sea complicado, y es necesario analizar el sistema en su conjunto. Una
consecuencia de ello es que el comportamiento de los sistemas de
retroalimentación suele ser contraintuitivo, por lo que es necesario recurrir a
métodos formales para entenderlos.
La figura 1.1 ilustra en forma de diagrama de bloques la idea de retroalimentación. A
menudo utilizamos
Sistema 1
u
Sistema 2
(a) Bucle cerrado
y
r
Sistema 1
u
Sistema 2
y
(b) Bucle abierto
Figura 1.1: Sistemas de bucle abierto y cerrado. (a) La salida del sistema 1 se utiliza como
entrada del sistema 2, y la salida del sistema 2 se convierte en la entrada del sistema 1,
creando un sistema de bucle cerrado. (b) Se elimina la interconexión entre el sistema 2 y el
sistema 1, y se dice que el sistema es de bucle abierto.
2
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Figura 1.2: El regulador centrífugo y la máquina de vapor. El regulador centrífugo de la
izquierda consiste en un conjunto de volantes que se separan a medida que aumenta la
velocidad del motor. La máquina de vapor de la derecha utiliza un regulador centrífugo
(encima y a la izquierda del volante) para regular su velocidad. (Crédito: Machine a
Vapeur Horizontale de Philip Taylor [1828].
los términos bucle abierto y bucle cerrado al referirse a estos sistemas. Se dice
que un sistema es de bucle cerrado si los sistemas están interconectados en un
ciclo, como se muestra en la figura 1.1a. Si rompemos la interconexión, nos
referimos a la configuración como un sistema de bucle abierto, como se muestra
en la figura 1.1b.
Como ilustra la cita del principio de este capítulo, una fuente importante de
ejemplos de sistemas de retroalimentación es la biología. Los sistemas biológicos
utilizan la retroalimentación de un número extraordinario de maneras, en escalas
que van desde las moléculas a las células, pasando por los organismos y los
ecosistemas. Un ejemplo es la regulación de la glucosa en el torrente sanguíneo
mediante la producción de insulina y glucagón por parte del páncreas. El
organismo intenta mantener una concentración constante de glucosa, que es
utilizada por las células del cuerpo para producir energía. Cuando los niveles de
glucosa aumentan (después de comer, por ejemplo), la hormona insulina se libera
y hace que el cuerpo almacene el exceso de glucosa en el hígado. Cuando los
niveles de glucosa son bajos, el páncreas segrega la hormona glucagón, que tiene
el efecto contrario. Si nos remitimos a la figura 1.1, podemos ver el hígado como
el sistema 1 y el páncreas como el sistema 2. La salida del hígado es la
concentración de glucosa en la sangre, y la salida del páncreas es la cantidad de
insulina o glucagón producida. La interacción entre las secreciones de insulina y
glucagón a lo largo del día ayuda a mantener constante la concentración de
glucosa en sangre, en torno a 90 mg por 100 mL de sangre.
Un primer ejemplo de ingeniería de un sistema de retroalimentación es un
regulador centrífugo, en el que el eje de una máquina de vapor está conectado a
un mecanismo de bolas volantes que a su vez está conectado al acelerador de la
máquina de vapor, como se ilustra en la figura 1.2. El sistema está diseñado de
manera que, al aumentar la velocidad de la máquina (tal vez debido a una
disminución de la carga en el motor), las bolas volantes se separan y un enlace
hace que se cierre el acelerador de la máquina de vapor. Esto, a su vez, ralentiza
el motor, lo que hace que los bólidos vuelvan a juntarse. Podemos modelar este
sistema como un sistema de bucle cerrado tomando el sistema 1 como la
máquina de vapor y el sistema 2 como
1.2. ¿QUÉ ES EL CONTROL?
3
el regulador. Cuando se diseña correctamente, el regulador centrífugo mantiene
una velocidad constante del motor, prácticamente independiente de las
condiciones de carga. El regulador centrífugo fue uno de los artífices del éxito de
la máquina de vapor de Watt, que impulsó la revolución industrial.
La retroalimentación tiene muchas propiedades interesantes que pueden
aprovecharse en el diseño de sistemas. Como en el caso de la regulación de la
glucosa o el regulador de la bola volante, la retroalimentación puede hacer que
un sistema sea resistente a las influencias externas. También puede utilizarse
para crear un comportamiento lineal a partir de componentes no lineales, un
enfoque común en la electrónica. En general, la retroalimentación permite que un
sistema sea insensible tanto a las perturbaciones externas como a las variaciones
de sus elementos individuales.
La retroalimentación también tiene desventajas potenciales. Puede crear
inestabilidades dinámicas en un sistema, provocando oscilaciones o incluso un
comportamiento desbocado. Otro inconveniente, sobre todo en los sistemas de
ingeniería, es que la retroalimentación puede introducir en el sistema ruidos no
deseados de los sensores, lo que exige un filtrado cuidadoso de las señales. Por
estas razones, una parte sustancial del estudio de los sistemas de
retroalimentación se dedica a desarrollar una comprensión de la dinámica y un
dominio de las técnicas de los sistemas dinámicos. Los sistemas de
retroalimentación son omnipresentes tanto en los sistemas naturales como en los
de ingeniería. Los sistemas de control mantienen el entorno, la iluminación y la
energía en nuestros edificios y fábricas; regulan el funcionamiento de nuestros
coches, la electrónica de consumo y los procesos de fabricación; permiten
nuestros sistemas de transporte y comunicaciones; y son elementos críticos en
nuestros sistemas militares y espaciales. En su mayor parte están ocultos a la
vista, enterrados en el código de los microprocesadores integrados, ejecutando
sus funciones con precisión y fiabilidad. La retroalimentación también ha
permitido aumentar drásticamente la precisión de instrumentos como los de
fuerza atómica.
microscopios (AFM) y telescopios.
En la naturaleza, la homeostasis de los sistemas biológicos mantiene las
condiciones térmicas, químicas y biológicas mediante la retroalimentación. En el
otro extremo de la escala de tamaño, la dinámica del clima global depende de las
interacciones de retroalimentación entre la atmósfera, los océanos, la tierra y el
sol. Los ecosistemas están llenos de ejemplos de retroalimentación debido a las
complejas interacciones entre la vida animal y vegetal. Incluso la dinámica de las
economías se basa en la retroalimentación entre individuos y empresas a través
de los mercados y el intercambio de bienes y servicios.
1.2 ¿Qué es Control?
El término control tiene muchos significados y a menudo varía según las
comunidades. En este libro, definimos el control como el uso de algoritmos y
retroalimentación en los sistemas de ingeniería. Así, el control incluye ejemplos
como los bucles de retroalimentación en los amplificadores electrónicos, los
controladores de puntos de consigna en el procesamiento de productos químicos
y materiales, los sistemas "fly-by-wire" en los aviones e incluso los protocolos de
los routers que controlan el flujo de tráfico en la Red. Entre las aplicaciones
emergentes se encuentran los sistemas de software de alta confianza, los vehículos
y robots autónomos, los sistemas de gestión de recursos en tiempo real y los
sistemas de ingeniería biológica. En su esencia, el control es una ciencia de la
información
e incluye el uso de la información en CAPÍTULO
representaciones
tanto
1. INTRODUCCIÓN
4
analógicas como digitales.
4
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
ruido
perturbaciones
externas
Actuadore
s
ruido
Sistema
Salida
Sensores
Proceso
Reloj
D/A
Ordenador
A/D
Filtro
Controlad
or
entrada del operador
Figura 1.3: Componentes de un sistema controlado por ordenador. El recuadro superior
discontinuo representa la dinámica del proceso, que incluye los sensores y los actuadores,
además del sistema dinámico que se controla. El ruido y las perturbaciones externas
pueden perturbar la dinámica del proceso. El controlador se muestra en el recuadro
inferior. Consta de un filtro y de convertidores analógico-digital (A/D) y digital-analógico
(D/A), así como de un ordenador que implementa el algoritmo de control. Un reloj del
sistema controla el funcionamiento del controlador, sincronizando los procesos A/D, D/A y
de computación. La entrada del operador también llega al ordenador como entrada externa.
Un controlador moderno detecta el funcionamiento de un sistema, lo compara
con el comportamiento deseado, calcula las acciones correctivas basándose en un
modelo de la respuesta del sistema a las entradas externas y acciona el sistema
para efectuar el cambio deseado. Este bucle básico de retroalimentación de
detección, cálculo y actuación es el concepto central del control. Las cuestiones
clave en el diseño de la lógica de control son garantizar que la dinámica del
sistema de bucle cerrado sea estable (las perturbaciones limitadas dan errores
limitados) y que tenga un comportamiento adicional deseado (buena atención a
las perturbaciones, rápida respuesta a los cambios en el punto de funcionamiento,
etc.). Estas propiedades se establecen utilizando una serie de técnicas de
modelado y análisis que captan la dinámica esencial del sistema y permiten
explorar posibles comportamientos en presencia de incertidumbre, ruido y fallos
de los componentes.
En la figura 1.3 se muestra un ejemplo típico de sistema de control. Los
elementos básicos de detección, cálculo y actuación se ven claramente. En los
sistemas de control modernos, la computación se implementa normalmente en un
ordenador digital, lo que requiere el uso de convertidores analógico-digital (A/D)
y digital-analógico (D/A). La incertidumbre entra en el sistema a través del ruido
en los subsistemas de detección y actuación, las perturbaciones externas que
afectan al funcionamiento del sistema subyacente y la dinámica incierta en el
sistema (errores en los parámetros, efectos no modelados, etc.). El algoritmo que
compone la acción de control en función de los valores de los sensores suele
denominarse ley de control. El sistema puede ser influenciado externamente por
un operador que introduce señales de control en el sistema.
1.3. EJEMPLOS DE
RETROALIMENTACIÓN
5
La ingeniería de control se basa y comparte herramientas de la física
(dinámica y modelización), la informática (información y software) y la
investigación operativa (optimización, teoría de la probabilidad y teoría de los
juegos), pero también se diferencia de estas materias tanto en sus ideas como en
su enfoque.
Quizás el área más fuerte de solapamiento entre el control y otras disciplinas
es el modelado de sistemas físicos, que es común en todas las áreas de la
ingeniería y la ciencia. Una de las diferencias fundamentales entre el modelado
orientado al control y el modelado en otras disciplinas es la forma en que se
representan las interacciones entre los subsistemas. El control se basa en un tipo
de modelado de entrada/salida que permite obtener muchos conocimientos
nuevos sobre el comportamiento de los sistemas, como la atenuación de las
perturbaciones y la interconexión estable. La reducción de modelos, en la que
una descripción más sencilla (de menor fidelidad) de la dinámica se deriva de un
modelo de alta fidelidad, también se describe de forma natural en un marco de
entrada/salida. Y lo que es más importante, el modelado en un contexto de
control permite el diseño de interconexiones robustas entre subsistemas, una
característica que es crucial en el funcionamiento de todos los grandes sistemas
de ingeniería.
El control también está estrechamente relacionado con la informática, ya que
prácticamente todos los algoritmos de control modernos para sistemas de
ingeniería se implementan en software. Sin embargo, los algoritmos y el
software de control pueden ser muy diferentes del software informático
tradicional debido al papel central de la dinámica del sistema y a la naturaleza de
tiempo real de la implementación.
1.3 Feedback Ejemplos
La retroalimentación tiene muchas propiedades interesantes y útiles. Permite
diseñar sistemas precisos a partir de componentes imprecisos y hacer que las
magnitudes relevantes de un sistema cambien de forma prescrita. Un sistema
inestable puede estabilizarse gracias a la realimentación, y los efectos de las
perturbaciones externas pueden reducirse. La retroalimentación también ofrece
nuevos grados de libertad a un diseñador al explotar la detección, la actuación y
la computación. En esta sección se examinan algunas de las aplicaciones y
tendencias importantes de la retroalimentación en el mundo que nos rodea.
Primeros ejemplos tecnológicos
La proliferación del control en los sistemas de ingeniería se produjo
principalmente en la segunda mitad del siglo XX. Hay algunas excepciones
importantes, como el regulador cen- trífugo descrito anteriormente y el
termostato (figura 1.4a), diseñado a principios de siglo para regular la
temperatura de los edificios.
El termostato, en particular, es un ejemplo sencillo de control por
retroalimentación que todo el mundo conoce. El dispositivo mide la temperatura
de un edificio, compara esa temperatura con un valor de consigna deseado y
utiliza el error de retroalimentación entre ambos para hacer funcionar la
instalación de calefacción, por ejemplo, para encender la calefacción cuando la
temperatura es demasiado baja y para apagarla cuando la temperatura es
demasiado alta. Esta explicación capta la esencia de la retroalimentación, pero es
demasiado simple incluso para un dispositivo básico como el termostato. Porque
6
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
existen retardos y retrasos en la instalación de calefacción y sen
7
1.3. EJEMPLOS DE
RETROALIMENTACIÓN
El
movimient
o abre el
acelerador
Picaporte
Electroimán
Motor
reversible
(a) Termostato Honeywell, 1953
Carga
Muelle
Pedal del
acelerad
or
Ajuste de la
velocidad
Pom
Contacto o
s del
Botón de
Gobernad
enganc
or
he
Gobernad
or de
Flyball
Muelle de
ajuste
Velocí
metro
(b) Control de crucero Chrysler, 1958
Figura 1.4: Primeros dispositivos de control. (a) Termostato Honeywell T87 introducido
originalmente en 1953. El termostato controla el encendido de la calefacción comparando
la temperatura actual de una habitación con un valor deseado que se ajusta mediante un
dial. (b) Sistema de control de crucero de Chrysler introducido en el Chrysler Imperial de
1958 [Row58]. Se utiliza un regulador centrífugo para detectar la velocidad del vehículo y
accionar el acelerador. La velocidad de referencia se especifica mediante un muelle de
ajuste. (Figura de la izquierda por cortesía de Honeywell International, Inc.)
sor, un buen termostato se anticipa un poco, apagando la calefacción antes de
que el error cambie de signo. Así se evitan las oscilaciones de temperatura
excesivas y los ciclos de la instalación de calefacción. Esta interacción entre la
dinámica del proceso y el funcionamiento del regulador es un elemento clave en
el diseño de los sistemas de control modernos.
Hay muchos otros ejemplos de sistemas de control que se han desarrollado a
lo largo de los años con niveles de sofisticación progresivamente crecientes. Uno
de los primeros sistemas con amplia exposición pública fue la opción de control
de crucero introducida en los automóviles en 1958 (véase la figura 1.4b). El
control de crucero ilustra el comportamiento dinámico de los sistemas de
retroalimentación de bucle cerrado en acción: el error de desaceleración a medida
que el sistema sube una pendiente, la reducción gradual de ese error debido a la
acción integral del controlador, el pequeño rebasamiento en la cima de la subida,
etc. Los sistemas de control posteriores en los automóviles, como los controles
de emisiones y los sistemas de medición de combustible, han logrado
importantes reducciones de contaminantes y aumentos en el ahorro de
combustible.
Generación y transmisión de energía
El acceso a la energía eléctrica ha sido uno de los principales motores del
progreso tecnológico en la sociedad moderna. Gran parte del desarrollo inicial
del control estuvo impulsado por la generación y distribución de energía
eléctrica. El control es fundamental para los sistemas de energía, y hay muchos
bucles de control en las centrales eléctricas individuales. El control también es
importante para el funcionamiento de toda la red eléctrica, ya que es difícil
almacenar la energía y, por tanto, es necesario ajustar la producción al consumo.
La gestión de la energía es un problema de regulación sencillo para un sistema
con un generador y un consumidor de energía, pero es más difícil en un sistema
altamente distribuido con muchos generadores y largas distancias entre el
8
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
consumo y la generación. La demanda de energía puede cambiar rápidamente de
forma imprevisible y
1.3. EJEMPLOS DE
RETROALIMENTACIÓN
9
Figura 1.5: Una pequeña parte de la red eléctrica europea. En 2008, los proveedores de
energía europeos explotarán una única red interconectada que cubrirá una región que va
del Ártico al Mediterráneo y del Atlántico a los Urales. En 2004 la potencia instalada era
de más de 700 GW (7 × 1011 W). (Fuente: UCTE [www.ucte.org])
La combinación de generadores y consumidores en grandes redes permite repartir
las cargas entre muchos proveedores y promediar el consumo entre muchos
clientes. Por eso se han construido grandes sistemas eléctricos transcontinentales
y transnacionales, como el que se muestra en la figura 1.5.
La mayor parte de la electricidad se distribuye mediante corriente alterna
(CA) porque la tensión de transmisión puede modificarse con pequeñas pérdidas
de potencia mediante transformadores. Los generadores de corriente alterna sólo
pueden suministrar energía si están sincronizados con las variaciones de tensión
de la red. Esto significa que los rotores de todos los generadores de una red
deben estar sincronizados. Conseguirlo con controladores locales
descentralizados y una pequeña interacción es un problema difícil. Se han
observado oscilaciones esporádicas de baja frecuencia entre regiones distantes
cuando se han interconectado redes eléctricas regionales [KW05].
La seguridad y la fiabilidad son las principales preocupaciones de los
sistemas eléctricos. Puede haber perturbaciones debidas a la caída de árboles
sobre las líneas eléctricas, a los rayos o a los fallos de los equipos. Existen
sofisticados sistemas de control que intentan mantener el sistema en
funcionamiento incluso cuando hay grandes perturbaciones. Las acciones de
control pueden consistir en reducir la tensión, dividir la red en subredes o
desconectar líneas y usuarios de energía. Estos sistemas de seguridad son un
elemento esencial de los sistemas de distribución de energía, pero a pesar de
todas las precauciones, de vez en cuando se producen fallos en los grandes
sistemas de energía. El sistema eléctrico es, por tanto, un buen ejemplo de sistema
distribuido complicado en el que el control se ejecuta en muchos niveles y de
muchas maneras diferentes.
10
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
(a) F/A-18 "Hornet"
(b) X-45 UCAV
Figura 1.6: Sistemas aeroespaciales militares. (a) El avión F/A-18 es uno de los primeros
cazas militares de producción que utiliza la tecnología "fly-by-wire". (b) El vehículo aéreo
no tripulado X-45 (UCAV) es capaz de realizar un vuelo autónomo, utilizando sensores de
medición inercial y el sistema de posicionamiento global (GPS) para controlar su posición en
relación con una trayectoria deseada. (Fotografías por cortesía del Centro de Investigación
de Vuelo Dryden de la NASA).
Aeroespacial y transporte
En el sector aeroespacial, el control ha sido una capacidad tecnológica clave
desde principios del siglo XX. De hecho, los hermanos Wright son famosos, no
por demostrar simplemente el vuelo con motor, sino el vuelo con motor
controlado. Su primer Wright Flyer incorporaba superficies de control móviles
(aletas verticales y alerones) y alas alabeables que permitían al piloto regular el
vuelo del avión. De hecho, el propio avión no era estable, por lo que era
obligatorio realizar continuas correcciones por parte del piloto. A este primer
ejemplo de vuelo controlado le siguió una fascinante historia de éxito de
continuas mejoras en la tecnología de control de vuelo, que culminó en los
sistemas de control de vuelo automáticos de alto rendimiento y gran fiabilidad
que vemos hoy en día en los aviones comerciales y militares (Figura 1.6).
La tecnología de control ha tenido un éxito similar en muchas otras áreas de
aplicación. Los visores de bombas y los servosistemas de control de tiro de la
Segunda Guerra Mundial han evolucionado hasta convertirse en los cañones
guiados por radar y las armas de precisión de hoy en día. Las primeras misiones
espaciales, propensas a los fallos, han evolucionado hasta convertirse en
operaciones rutinarias de lanzamiento, aterrizajes tripulados en la Luna,
estaciones espaciales permanentemente tripuladas, vehículos robóticos que
recorren Marte, vehículos en órbita en los planetas exteriores y una gran cantidad
de satélites comerciales y militares que sirven para diversas necesidades de
vigilancia, comunicación, navegación y observación de la Tierra. Los coches han
avanzado desde la tecnología mecánica/neumática de ajuste manual hasta el
funcionamiento controlado por ordenador de todas las funciones principales,
como la inyección de combustible, el control de emisiones, el control de crucero,
el frenado y el confort del habitáculo.
La investigación actual en sistemas aeroespaciales y de transporte está
estudiando la aplicación de la retroalimentación a niveles superiores de toma de
decisiones, incluida la regulación lógica de los modos de funcionamiento, las
configuraciones de los vehículos, las configuraciones de la carga útil y el estado
de salud. Históricamente, estas tareas han sido realizadas por operadores
humanos, pero a
1.3. EJEMPLOS DE
RETROALIMENTACIÓN
11
Figura 1.7: Procesamiento de materiales. Los materiales modernos se procesan en
condiciones cuidadosamente controladas, utilizando reactores como el reactor de
deposición química de vapores metálicos y orgánicos (MOCVD) que se muestra a la
izquierda, que fue para la fabricación de películas finas superconductoras. Mediante la
litografía, el grabado químico, la deposición de vapor y otras técnicas, se pueden construir
dispositivos complejos, como el procesador celular de IBM que se muestra a la derecha.
(Imagen de MOCVD por cortesía de Bob Kee. Fotografía del procesador celular de IBM por
cortesía de Tom Way, IBM Corporation; no se permite su uso no autorizado).
Hoy en día esa frontera se está moviendo y los sistemas de control están
asumiendo cada vez más estas funciones. Otra tendencia dramática que se
vislumbra en el horizonte es el uso de grandes colecciones de entidades
distribuidas con computación local, conexiones de comunicación globales, poca
regularidad impuesta por las leyes de la física y ninguna posibilidad de imponer
acciones de control centralizadas. Ejemplos de esta tendencia son el problema de
la gestión del espacio aéreo nacional, la gestión automatizada de las carreteras y
del tráfico y el mando y control de los futuros campos de batalla.
Materiales y procesamiento
La industria química es responsable de los notables avances en el desarrollo de
nuevos materiales que son clave para nuestra sociedad moderna. Además de la
continua necesidad de mejorar la calidad de los productos, hay otros factores en
la industria de control de procesos que impulsan el uso del control. Las leyes
medioambientales siguen imponiendo limitaciones más estrictas a la producción
de contaminantes, lo que obliga a utilizar sofisticados dispositivos de control de
la contaminación. Las consideraciones de seguridad medioambiental han llevado
a reducir la capacidad de almacenamiento para disminuir el riesgo de fugas
químicas importantes, lo que exige un control más estricto de los procesos
previos y, en algunos casos, de las cadenas de suministro. Y los grandes aumentos
de los costes energéticos han animado a los ingenieros a diseñar plantas muy
integradas, acoplando muchos procesos que antes funcionaban de forma
independiente. Todas estas tendencias aumentan la complejidad de estos
procesos y los requisitos de rendimiento de los sistemas de control, lo que hace
que el diseño de los sistemas de control sea cada vez más difícil. En la figura 1.7
se muestran algunos ejemplos de tecnología de procesamiento de materiales.
Como en muchas otras áreas de aplicación, la nueva tecnología de sensores
está creando nuevas oportunidades de control. Los sensores en línea -incluyendo
la retrodispersión láser, el vídeo mi-
12
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
croscopía y espectroscopía ultravioleta, infrarroja y Raman- son cada vez más
robustos y menos costosos y están apareciendo en más procesos de fabricación.
Muchos de estos sensores ya se utilizan en los actuales sistemas de control de
procesos, pero se necesitan técnicas de control y procesamiento de señales más
sofisticadas para utilizar más eficazmente la información en tiempo real que
proporcionan estos sensores. Los ingenieros de control también contribuyen al
diseño de sensores aún mejores, que siguen siendo necesarios, por ejemplo, en la
industria microelectrónica. Al igual que en otros lugares, el reto consiste en
utilizar de forma eficaz las grandes cantidades de datos que proporcionan estos
nuevos sensores. Además, es necesario un enfoque orientado al control para
modelar la física esencial de los procesos subyacentes, a fin de comprender los
límites fundamentales de la observabilidad del estado interno a través de los
datos de los sensores.
Instrumentación
La medición de variables físicas es de interés primordial en la ciencia y la
ingeniería. Consideremos, por ejemplo, un acelerómetro, cuyos primeros
instrumentos consistían en una masa suspendida en un muelle con un sensor de
desviación. La precisión de un instrumento de este tipo depende
fundamentalmente de la calibración exacta del muelle y del sensor. También
existe un compromiso de diseño, ya que un muelle débil proporciona una alta
sensibilidad pero un bajo ancho de banda.
Una forma diferente de medir la aceleración es utilizar la retroalimentación
de fuerza. El muelle se sustituye por una bobina de voz que se controla para que
la masa permanezca en una posición constante. La aceleración es proporcional a
la corriente que pasa por la bobina. En un instrumento de este tipo, la precisión
depende enteramente de la calibración de la bobina de voz y no depende del
sensor, que se utiliza únicamente como señal de retroalimentación. También se
evita el compromiso de sensibilidad/ancho de banda. Esta forma de utilizar la
retroalimentación se ha aplicado a muchos campos de la ingeniería y ha dado
lugar a instrumentos con un rendimiento notablemente mejorado. La
retroalimentación de fuerza también se utiliza en dispositivos hápticos para el
control manual.
Otra aplicación importante de la retroalimentación es en la instrumentación
de sistemas biológicos. La retroalimentación se utiliza ampliamente para medir
las corrientes de iones en las células mediante un dispositivo llamado pinza de
tensión, que se ilustra en la Figura 1.8. Hodgkin y Huxley utilizaron la pinza de
tensión para investigar la propagación de los potenciales de acción en el axón
gigante del calamar. En 1963 compartieron el Premio Nobel de Medicina con
Eccles por "sus descubrimientos sobre los mecanismos iónicos implicados en la
excitación y la inhibición en las porciones periféricas y centrales de la membrana
de las células nerviosas". Un perfeccionamiento de la pinza de voltaje,
denominada pinza de parche, permitió medir con exactitud el momento en que se
abre o cierra un solo canal iónico. Esto fue desarrollado por Neher y Sakmann,
que recibieron el Premio Nobel de Medicina en 1991 "por sus descubrimientos
sobre la función de los canales iónicos individuales en las células".
Hay muchas otras aplicaciones interesantes y útiles de la retroalimentación en
los instrumentos científicos. El desarrollo del espectrómetro de masas es un
ejemplo temprano. En un artículo de 1935, Nier observó que la desviación de los
iones depende tanto del campo magnético como del eléctrico [Nie35]. En lugar
de mantener ambos campos constantes, Nier dejó que el campo magnético
fluctuara y el campo eléctrico se controló para mantener la
13
1.3. EJEMPLOS DE
RETROALIMENTACIÓN
Electrodo
vr
Pipeta de
vidrio
Controlad
or
I
ve
vi
+
v
Membrana
celular con
canal iónico
Figura 1.8: El método de pinza de tensión para medir las corrientes iónicas en las células
mediante retroalimentación. Se utiliza una pipeta para colocar un electrodo en una célula
(izquierda y centro) y mantener el potencial de la célula a un nivel fijo. La tensión interna
de la célula es vi, y la tensión del fluido externo es ve. El sistema de retroalimentación
(derecha) controla la corriente I en la célula para que el voltaje
- vi ve es igual a su valor de referencia vr . La corriente I
a través de la membrana de la célula v =
es entonces igual a la corriente de iones.
relación entre los campos constante. La retroalimentación se realizaba mediante
amplificadores de tubo de vacío. Este esquema fue crucial para el desarrollo de la
espectroscopia de masas.
El ingeniero holandés van der Meer inventó una forma inteligente de utilizar
la retroalimentación para mantener un haz de alta densidad de buena calidad en
un acelerador de partículas [MPTvdM80]. La idea es detectar el desplazamiento
de las partículas en un punto del acelerador y aplicar una señal de corrección en
otro punto. Este esquema, denominado enfriamiento estocástico, fue galardonado
con el Premio Nobel de Física en 1984. El método fue esencial para el éxito de
los experimentos en el CERN, donde se demostró por primera vez la existencia
de las partículas W y Z asociadas a la fuerza débil.
El Premio Nobel de Física de 1986 -concedido a Binnig y Rohrer por su
diseño del microscopio de barrido en túnel- es otro ejemplo de uso innovador de
la retroalimentación. La idea clave es mover una punta estrecha en una viga en
voladizo a través de una superficie y registrar las fuerzas sobre la punta [BR86].
La desviación de la punta se mide mediante tunelización. La corriente de
tunelización es utilizada por un sistema de retroalimentación para controlar la
posición de la base del cantiléver de manera que la corriente de tunelización sea
constante, un ejemplo de retroalimentación de fuerza. La precisión es tan alta que
se pueden registrar átomos individuales. Se obtiene un mapa de los átomos
moviendo la base del cantiléver horizontalmente. El rendimiento del sistema de
control se refleja directamente en la calidad de la imagen y la velocidad de
exploración. Este ejemplo se describe con más detalle en el capítulo 3.
Robótica y máquinas inteligentes
El objetivo de la ingeniería cibernética, ya articulado en la década de 1940 e
incluso antes, ha sido implementar sistemas capaces de mostrar respuestas
altamente flexibles o "inteligentes" a las circunstancias cambiantes. En 1948, el
matemático del MIT Norbert Wiener dio una descripción muy leída de la
cibernética [Wie48]. Un tratamiento más matemático de los elementos de la
cibernética de la ingeniería fue presentado por
H. S. Tsien en 1954, impulsado por problemas relacionados con el control de
misiles [Tsi54]. En conjunto, estos trabajos y otros de la época constituyen gran
parte de la base intelectual del trabajo moderno en robótica y control.
Dos logros que demuestran los éxitos del campo son el Marte
14
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Figura 1.9: Sistemas robóticos. (a) Spirit, uno de los dos Mars Exploratory Rovers que
aterrizaron en Marte en enero de 2004. (b) El robot de entretenimiento Sony AIBO, uno de
los primeros robots de entretenimiento comercializados en masa. Ambos robots utilizan la
retroalimentación entre sensores, actuadores y computación para funcionar en entornos
desconocidos. (Fotografías por cortesía de Jet Propulsion Laboratory y Sony Electronics,
Inc.)
Los exploradores y los robots de entretenimiento, como el AIBO de Sony,
mostrados en la figura 1.9. Los dos Mars Exploratory Rovers, lanzados por el
Laboratorio de Propulsión a Chorro (JPL), maniobraron en la superficie de Marte
durante más de cuatro años a partir de enero de 2004 y enviaron imágenes y
mediciones de su entorno. El robot AIBO de Sony debutó en junio de 1999 y fue
el primer robot de "entretenimiento" comercializado en masa por una gran
empresa internacional. Destacó por el uso de tecnologías de inteligencia artificial
(IA) que le permitían actuar en respuesta a estímulos externos y a su propio
juicio. Este nivel superior de retroalimentación es un elemento clave en la
robótica, donde prevalecen cuestiones como la evitación de obstáculos, la
búsqueda de objetivos, el aprendizaje y la autonomía.
A pesar de los enormes avances de la robótica en el último medio siglo, en
muchos aspectos este campo aún está en pañales. Los robots actuales siguen
mostrando comportamientos sencillos en comparación con los humanos, y su
capacidad de locomoción, interpretación de datos sensoriales complejos,
razonamiento de alto nivel y cooperación en equipo es limitada. De hecho, gran
parte de la visión de Wiener sobre la robótica y las máquinas inteligentes sigue
sin realizarse. Aunque se necesitan avances en muchos campos para lograr esta
visión -incluidos los avances en la detección, la actuación y el almacenamiento
de energía-, la oportunidad de combinar los avances de la comunidad de la IA en
la planificación, la adaptación y el aprendizaje con las técnicas de la comunidad
de control para el modelado, el análisis y el diseño de sistemas de
retroalimentación presenta un camino renovado para el progreso.
Redes y sistemas informáticos
El control de las redes es un amplio campo de investigación que abarca muchos
temas, como el control de la gestión, el enrutamiento, el almacenamiento de
datos en caché y la gestión de la energía. Estos problemas de control presentan
varias características que los hacen muy difíciles. El rasgo dominante es la escala
extremadamente grande del sistema; Internet es probablemente la mayor
retroalimentación
15
1.3. EJEMPLOS DE
RETROALIMENTACIÓN
Clientes
1
Internet
Solicitar
Solicitar
Respu
esta
Respu
esta
Solicita
r
respue
Nivel 2Nivel 3
(a) Servicios de Internet multinivel
sta
(b) Servidor individual
Figura 1.10: Un sistema multinivel de servicios en Internet. En el sistema completo
mostrado esquemáticamente en (a), los usuarios solicitan información a un conjunto de
ordenadores (nivel 1), que a su vez recogen información de otros ordenadores (niveles 2 y
3). El servidor individual mostrado en (b) tiene un conjunto de parámetros de referencia
establecidos por un operador (humano) del sistema, con retroalimentación utilizada para
mantener el funcionamiento del sistema en presencia de incertidumbre. (Basado en
Hellerstein et al. [HDPT04]).
sistema de control que el ser humano ha construido jamás. Otra es la naturaleza
descentralizada del problema de control: las decisiones deben tomarse
rápidamente y basarse sólo en la información local. La estabilidad se complica
por la presencia de desfases temporales variables, ya que la información sobre el
estado de la red puede observarse o transmitirse a los controladores sólo después
de un tiempo, y el efecto de una acción de control local puede sentirse en toda la
red sólo después de un retraso considerable. La incertidumbre y la variación en la
red, a través de la topología de la red, las características del canal de transmisión,
la demanda de tráfico y los recursos disponibles, pueden cambiar constantemente
y de forma impredecible. Otras cuestiones que complican la situación son las
diversas características del tráfico -en términos de estadísticas de llegada tanto a
escala de paquetes como de flujos- y los diferentes requisitos de calidad de
servicio que debe soportar la red.
Relacionado con el control de las redes está el control de los servidores que se
asientan en estas redes. Los ordenadores son componentes clave de los sistemas
de routers, servidores web y servidores de bases de datos utilizados para la
comunicación, el comercio electrónico, la publicidad y el almacenamiento de
información. Mientras que los costes de hardware de la informática han
disminuido drásticamente, el coste de funcionamiento de estos sistemas ha
aumentado debido a la dificultad de gestionar y mantener estos complejos
sistemas interconectados. La situación es similar a las primeras fases del control
de procesos, cuando se introdujo la retroalimentación para controlar los procesos
industriales. Al igual que en el control de procesos, existen interesantes
posibilidades de aumentar el rendimiento y reducir los costes aplicando la
retroalimentación. En el libro de Hellerstein et al. [HDPT04] se describen varios
usos prometedores de la retroalimentación en el funcionamiento de los sistemas
informáticos.
En la f i g u r a 1.10a se muestra un ejemplo típico de sistema multicapa para
el comercio electrónico. El sistema tiene varios niveles de servidores. El servidor
de borde acepta las solicitudes entrantes y las dirige al nivel del servidor HTTP,
donde se analizan y se distribuyen a los servidores de aplicaciones. El
procesamiento de las diferentes solicitudes puede variar mucho, y los servidores
de aplicaciones también pueden acceder a servidores externos gestionados por
otras organizaciones.
El control de un servidor individual en una capa se ilustra en la figura 1.10b.
Una cantidad que representa la calidad del servicio o el coste de la operación, como
el tiempo de respuesta,
16
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
El rendimiento, la tasa de servicio o el uso de la memoria se miden en el
ordenador. Las variables de control pueden representar los mensajes entrantes
aceptados, las prioridades en el sistema operativo o la asignación de memoria. El
bucle de retroalimentación intenta mantener las variables de calidad de servicio
dentro de un rango de valores objetivo.
Economía
La economía es un gran sistema dinámico con muchos actores: gobiernos,
organizaciones, empresas y particulares. Los gobiernos controlan la economía
mediante leyes e impuestos, los bancos centrales fijando los tipos de interés y las
empresas fijando los precios y realizando inversiones. Los individuos controlan
la economía a través de las compras, los ahorros y las inversiones. Se han hecho
muchos esfuerzos para modelar el sistema tanto a nivel macro como a nivel
micro, pero esta modelización es difícil porque el sistema está fuertemente
influenciado por los comportamientos de los diferentes actores del sistema.
Keynes [Key36] desarrolló un modelo sencillo para entender las relaciones
entre el producto nacional bruto, la inversión, el consumo y el gasto público. Una de
las observaciones de Keynes fue que, en determinadas condiciones, por ejemplo,
durante la depresión de los años 30, un aumento de la inversión del gasto público
podía dar lugar a un mayor aumento del producto nacional bruto. Esta idea fue
utilizada por varios gobiernos para tratar de aliviar la depresión. Las ideas de
Keynes se pueden plasmar en un modelo sencillo que se analiza en el ejercicio 2.4.
Se puede obtener una perspectiva sobre la modelización y el control de los
sistemas económicos a partir del trabajo de algunos economistas que han
recibido el Premio Sveriges Riks- bank de Economía en Memoria de Alfred
Nobel, popularmente llamado Premio Nobel de Economía. Paul A. Samuelson
recibió el premio en 1970 por "el trabajo científico a través del cual ha
desarrollado la teoría económica estática y dinámica y ha contribuido
activamente a elevar el nivel de análisis en la ciencia económica". Lawrence
Klein recibió el premio en 1980 por el desarrollo de grandes modelos dinámicos
con muchos parámetros que se ajustaron a datos históricos [KG55], por ejemplo,
un modelo de la economía estadounidense en el periodo 1929-1952. Otros
investigadores han modelado otros países y otros períodos. En 1997, Myron
Scholes compartió el premio con Robert Merton por un nuevo método para
determinar el valor de los derivados. Un ingrediente clave fue un modelo
dinámico de la variación de los precios de las acciones que es ampliamente
utilizado por los bancos y las empresas de inversión. En 2004, Finn E. Kydland y
Edward C. Prestcott compartieron el premio de economía "por sus
contribuciones a la macroeconomía dinámica: la coherencia temporal de la
política económica y las fuerzas motrices de los ciclos económicos", un tema
claramente relacionado con la dinámica y el control.
Una de las razones por las que es difícil modelar sistemas económicos es que
no existen leyes de conservación. Un ejemplo típico es que el valor de una
empresa, expresado por sus acciones, puede cambiar rápida y erráticamente. Sin
embargo, hay algunas áreas con leyes de conservación que permiten una
modelización precisa. Un ejemplo es el flujo de productos de un fabricante a un
minorista, tal y como se ilustra en la figura 1.11. Los productos son cantidades
físicas que obedecen a la ley de conservación. Los productos son cantidades
físicas que obedecen a una ley de conservación, y el sistema puede modelarse
teniendo en cuenta el número de productos en los diferentes inventarios.
1.3. EJEMPLOS DE
RETROALIMENTACIÓN
Fábrica
17
Almacén
Distribuidores
Minoristas
Publicidad
Consumidores
Figura 1.11: Dinámica de la cadena de suministro (según Forrester [For61]). Los
productos fluyen desde el productor hasta el cliente a través de distribuidores y minoristas,
como indican las líneas continuas. Suele haber muchas fábricas y almacenes y aún más
distribuidores y minoristas. Los bucles de retroalimentación son múltiples, ya que cada
agente trata de mantener el nivel de inventario adecuado.
El control de las cadenas de suministro para que los productos estén disponibles
para los clientes y para minimizar los productos almacenados tiene considerables
ventajas económicas. Los problemas reales son más complicados que los
indicados en la figura porque puede haber muchos productos diferentes, puede
haber distintas fábricas distribuidas geográficamente y las fábricas pueden
necesitar materia prima o subconjuntos.
El control de las cadenas de suministro fue propuesto por Forrester en 1961
[For61] y su importancia es cada vez mayor. Se pueden obtener considerables
beneficios económicos utilizando modelos para minimizar los inventarios. Su
uso se aceleró drásticamente cuando se aplicó la tecnología de la información
para predecir las ventas, hacer un seguimiento de los productos y permitir la
fabricación justo a tiempo. La gestión de la cadena de suministro ha contribuido
de forma significativa al creciente éxito de los distribuidores mundiales.
La publicidad en Internet es una aplicación emergente de control. Con la
publicidad en red es fácil medir rápidamente el efecto de diferentes estrategias de
marketing. Así se puede modelar la respuesta de los clientes y desarrollar
estrategias de retroalimentación.
Retroalimentación en la naturaleza
Muchos problemas de las ciencias naturales implican la comprensión del
comportamiento agregado en sistemas complejos a gran escala. Este
comportamiento surge de la interacción de una multitud de sistemas más simples
con intrincados patrones de flujo de información. Se pueden encontrar ejemplos
representativos en campos que van desde la embriología hasta la sismología. Los
investigadores que se especializan en el estudio de sistemas complejos
específicos suelen hacer hincapié en el análisis del papel de la retroalimentación
(o interconexión) para facilitar y estabilizar el comportamiento agregado.
Si bien los expertos en la materia han desarrollado sofisticadas teorías para el
análisis de diversos sistemas complejos, el desarrollo de una metodología
rigurosa que pueda descubrir y explotar las características comunes y la
estructura matemática esencial apenas está empezando a surgir. Los avances de
la ciencia y la tecnología están creando una nueva comprensión de la dinámica
subyacente y la importancia de la retroalimentación
18
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Figura 1.12: Diagrama de cableado del circuito de señalización del crecimiento de la
célula de mamífero [HW00]. En el diagrama se indican las principales vías que se cree que
desempeñan un papel en el cáncer. Las líneas representan las interacciones entre genes y
proteínas en la célula. Las líneas que terminan en punta de flecha indican la activación del
gen o la vía en cuestión; las líneas que terminan en forma de T indican la represión.
(Utilizado con permiso de Elsevier Ltd. y de los autores).
en una gran variedad de sistemas naturales y tecnológicos. Aquí destacamos
brevemente tres áreas de aplicación.
Sistemas biológicos. Un tema importante que interesa actualmente a la
comunidad biológica es la ciencia de la ingeniería inversa (y, eventualmente,
avanzada) de las redes de control biológico, como la que se muestra en la figura
1.12. Hay una gran variedad de fenómenos biológicos que proporcionan una rica
fuente de ejemplos de control, incluyendo la regulación de genes y la
transducción de señales; los mecanismos de retroalimentación hormonal,
inmunológica y cardiovascular; el control muscular y la locomoción; la detección
activa, la visión y la propiocepción; la atención y la conciencia; y la dinámica de
poblaciones y las epidemias. Cada uno de estos temas (y muchos más) ofrece la
oportunidad de averiguar qué funciona, cómo funciona y qué podemos hacer para
afectarlo.
Una característica interesante de los sistemas biológicos es el uso frecuente
de la retroalimentación positiva para dar forma a la dinámica del sistema. La
retroalimentación positiva puede utilizarse para crear un comportamiento similar
a un interruptor mediante la autorregulación de un gen, y para crear oscilaciones
como las presentes en el ciclo celular, los generadores de patrones centrales o el
ritmo circadiano.
Ecosistemas. A diferencia de las células y los organismos individuales, las
propiedades emergentes de las agregaciones y los ecosistemas reflejan
intrínsecamente mecanismos de selección que actúan en múltiples niveles, y
principalmente en escalas muy inferiores a la del sistema en su conjunto. Dado
que los ecosistemas son sistemas dinámicos complejos y multiescalares,
proporcionan un
1.4. PROPIEDADES DE
RETROALIMENTACIÓN
17
Una amplia gama de nuevos retos para el modelado y el análisis de los sistemas
de retroalimentación. La experiencia reciente en la aplicación de herramientas de
control y sistemas dinámicos a las redes biológicas sugiere que gran parte de la
complejidad de estas redes se debe a la presencia de múltiples capas de bucles de
retroalimentación que proporcionan una funcionalidad robusta a la célula
individual. Sin embargo, en otros casos, los acontecimientos a nivel celular
benefician a la colonia a expensas del individuo. El análisis a nivel de sistemas
puede aplicarse a los ecosistemas con el objetivo de comprender la solidez de
dichos sistemas y la medida en que las decisiones y los acontecimientos que
afectan a las especies individuales contribuyen a la solidez y/o la fragilidad del
ecosistema en su conjunto.
Ciencia del medio ambiente. Actualmente es indiscutible que las actividades
humanas han alterado el medio ambiente a escala mundial. Los problemas de
enorme complejidad desafían a los investigadores en este campo, y el primero de
ellos es comprender los sistemas de retroalimentación que operan a escala global.
Uno de los retos para desarrollar esa comprensión es la naturaleza multiescalar
del problema, ya que la comprensión detallada de la dinámica de los fenómenos
a microescala, como los organismos microbiológicos, es un componente
necesario para entender los fenómenos globales, como el ciclo del carbono.
1.4 Comentarios Propiedades
La retroalimentación es una idea poderosa que, como hemos visto, se utiliza
ampliamente en los sistemas naturales y tecnológicos. El principio de la
retroalimentación es sencillo: basar las acciones de corrección en la diferencia
entre el rendimiento deseado y el real. En la ingeniería, la retroalimentación ha
sido redescubierta y patentada muchas veces en muchos textos diferentes. El uso
de la retroalimentación a menudo ha dado lugar a grandes mejoras en la
capacidad del sistema, y estas mejoras a veces han sido revolucionarias, como se
ha comentado anteriormente. La razón de ello es que la retroalimentación tiene
algunas propiedades realmente notables. En esta sección discutiremos algunas de
las propiedades de la retroalimentación que pueden ser entendidas
intuitivamente. Esta intuición se formalizará en capítulos posteriores.
Robustez ante la incertidumbre
Uno de los principales usos de la retroalimentación es proporcionar solidez a la
incertidumbre. Al medir la diferencia entre el valor detectado de una señal
regulada y su valor deseado, podemos proporcionar una acción correctiva. Si el
sistema sufre algún cambio que afecte a la señal regulada, entonces detectamos
este cambio e intentamos forzar al sistema a volver al punto de funcionamiento
deseado. Este es precisamente el efecto que aprovechó Watt al utilizar el
regulador centrífugo en las máquinas de vapor.
Como ejemplo de este principio, considere el sencillo sistema de
retroalimentación que se muestra en la figura 1.13. En este sistema, la velocidad
de un vehículo se controla ajustando la cantidad de gas que fluye hacia el motor.
Se utiliza una retroalimentación simple proporcional-integral (PI) para que la
cantidad de gas dependa tanto del error entre la velocidad actual y la deseada
como de la integral de ese error. El gráfico de la derecha muestra los resultados
de esta retroalimentación para un cambio de paso en la velocidad deseada y una
variedad de
18
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Accion
ar el
acelerad
or
Veloc
idad
de los
sentid
os
Calcula
Ve
30
loc
ida
d
[m 25
/s] 0
m
5
10
Tiempo [s]
Figura 1.13: Sistema de retroalimentación para controlar la velocidad de un vehículo. En
el diagrama de bloques de la izquierda, la velocidad del vehículo se mide y se compara con
la velocidad deseada dentro del bloque "Computación". En función de la diferencia entre la
velocidad real y la deseada, se utiliza el acelerador (o el freno) para modificar la fuerza
aplicada al vehículo por el motor, la transmisión y las ruedas. La figura de la derecha
muestra la respuesta del sistema de control a un cambio de velocidad ordenado de 25 m/s a
30 m/s. Las tres curvas diferentes corresponden a distintas masas del vehículo, entre 1.000
y 3.000 kg, lo que demuestra la solidez del sistema de bucle cerrado ante un cambio muy
grande de las características del vehículo.
diferentes masas para el coche, que podrían resultar de tener un número diferente
de pasajeros o de arrastrar un remolque. Obsérvese que, independientemente de la
masa (¡que varía en un factor de 3!), la velocidad en estado estacionario del
vehículo siempre se aproxima a la velocidad deseada y la alcanza en
aproximadamente 5 s. Por tanto, el rendimiento del sistema es robusto con
respecto a esta incertidumbre.
Otro ejemplo temprano de la utilización de la retroalimentación para
proporcionar robustez es el amplificador de retroalimentación negativa. Cuando
se desarrollaron las comunicaciones telefónicas, se utilizaron amplificadores para
compensar la atenuación de la señal en las líneas largas. El tubo de vacío era un
componente que podía utilizarse para construir amplificadores. La distorsión
causada por las características no lineales del amplificador de tubo junto con la
deriva del amplificador fueron obstáculos que impidieron el desarrollo de
amplificadores de línea durante mucho tiempo. Un gran avance fue la invención
del amplificador de retroalimentación en 1927 por Harold S. Black, un ingeniero
eléctrico de los Laboratorios de Telefonía Bell. Black utilizó la
retroalimentación negativa, que reduce la ganancia pero hace que el
amplificador sea insensible a las variaciones de las características del tubo. Este
invento permitió construir amplificadores estables con características lineales a
pesar de las no linealidades del amplificador de tubo de vacío.
Diseño de la dinámica
Otro uso de la retroalimentación es cambiar la dinámica de un sistema. Mediante
la retroalimentación, podemos alterar el comportamiento de un sistema para
satisfacer las necesidades de una aplicación: los sistemas que son inestables
pueden estabilizarse, los sistemas que son lentos pueden responder y los sistemas
que tienen puntos de funcionamiento a la deriva pueden mantenerse constantes.
La teoría del control ofrece una rica colección de técnicas para analizar la
estabilidad y la respuesta dinámica de los sistemas complejos y para poner
límites al comportamiento de dichos sistemas analizando las ganancias de los
operadores lineales y no lineales que describen sus componentes.
Un ejemplo del uso del control en el diseño de la dinámica procede del
ámbito del control del vuelo. La siguiente cita, extraída de una conferencia
presentada por Wilbur Wright a la Sociedad Occidental de Ingenieros en 1901
[McF53], ilustra el papel
1.4. PROPIEDADES DE
RETROALIMENTACIÓN
19
de control en el desarrollo del avión:
Los hombres ya saben cómo construir alas o aviones que, al ser
impulsados por el aire a una velocidad suficiente, no sólo sostendrán
el peso de las propias alas, sino también el del motor y el del
ingeniero. Los hombres también saben cómo construir motores y
tornillos de suficiente ligereza y potencia para impulsar estos
aviones a una velocidad sostenible... La incapacidad de equilibrar y
dirigir sigue siendo un problema para los estudiantes de vuelo...
Cuando se haya resuelto esta característica, la era del vuelo habrá
llegado, ya que todas las demás dificultades son de menor
importancia.
Los hermanos Wright se dieron cuenta así de que el control era una cuestión
clave para poder volar. Resolvieron el compromiso entre estabilidad y
maniobrabilidad construyendo un avión, el Wright Flyer, que era inestable pero
maniobrable. El Flyer tenía un timón en la parte delantera del avión, lo que lo
hacía muy maniobrable. Una desventaja era la necesidad de que el piloto ajustara
constantemente el timón para hacer volar el avión: si el piloto soltaba el stick, el
avión se estrellaba. Otros primeros aviadores intentaron construir aviones
estables. Estos habrían sido más fáciles de pilotar, pero debido a su escasa
maniobrabilidad no podían elevarse en el aire. Gracias a su perspicacia y a sus
hábiles experimentos, los hermanos Wright realizaron el primer vuelo con éxito
en Kitty Hawk en 1903.
Dado que resultaba bastante molesto pilotar un avión inestable, existía una
fuerte motivación para encontrar un mecanismo que estabilizara la aeronave.
Este dispositivo, inventado por Sperry, se basaba en el concepto de
retroalimentación. Sperry utilizó un péndulo giroestabilizado para proporcionar
una indicación de la vertical. A continuación, dispuso un mecanismo de
retroalimentación que tiraba del stick para hacer que el avión subiera si apuntaba
hacia abajo, y viceversa. El piloto automático de Sperry fue el primer uso de la
retroalimentación en la ingeniería aeronáutica, y Sperry ganó un premio en un
concurso por el avión más seguro en París en 1914. La figura 1.14 muestra el
hidroavión Curtiss y el piloto automático Sperry. El piloto automático es un buen
ejemplo de cómo puede utilizarse la retroalimentación para estabilizar un sistema
inestable y, por tanto, "diseñar la dinámica" del avión.
Otra de las ventajas de diseñar la dinámica de un dispositivo es que permite
aumentar la modularidad del diseño global del sistema. Al utilizar la
retroalimentación para crear un sistema cuya respuesta se ajuste a un perfil
deseado, podemos ocultar la com- plejidad y la variabilidad que pueda haber
dentro de un subsistema. Esto nos permite crear sistemas más complejos al no
tener que ajustar simultáneamente las respuestas de un gran número de
componentes que interactúan. Esta fue una de las ventajas del uso de Black de la
retroalimentación negativa en los amplificadores de tubo de vacío: el dispositivo
resultante tenía una respuesta lineal de entrada/salida bien definida que no
dependía de las características individuales de los tubos de vacío utilizados.
Mayores niveles de automatización
Una tendencia importante en el uso de la retroalimentación es su aplicación a
niveles más altos de conciencia situacional y toma de decisiones. Esto incluye no
sólo la lógica tradicional
20
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Figura 1.14: Sistema de piloto automático de un avión. El piloto automático Sperry
(izquierda) contenía un conjunto de cuatro giroscopios acoplados a un conjunto de válvulas
de aire que controlaban las superficies del ala. El Curtiss de 1912 utilizaba un piloto
automático para estabilizar el alabeo, el cabeceo y la guiñada del avión y era capaz de
mantener el vuelo nivelado mientras un mecánico caminaba por el ala (derecha) [Hug93].
La ramificación basada en las condiciones del sistema, pero también la
optimización, la adaptación, el aprendizaje e incluso niveles superiores de
razonamiento abstracto. Estos problemas son del dominio de la comunidad de la
inteligencia artificial, con un papel cada vez mayor de la dinámica, la robustez y
la interconexión en muchas aplicaciones.
Una de las áreas interesantes de investigación en los niveles superiores de
decisión es el control autónomo de los coches. Los primeros experimentos con la
conducción autónoma corrieron a cargo de Ernst Dickmanns, que en la década de
1980 equipó los coches con cámaras y otros sensores [Dic07]. En 1994 su grupo
demostró la conducción autónoma con supervisión humana en una autopista
cerca de París y en 1995 uno de sus coches condujo de forma autónoma (con
supervisión humana) de Múnich a Copenhague a velocidades de hasta 175
km/hora. El coche era capaz de adelantar a otros vehículos y cambiar de carril
automáticamente.
Esta área de aplicación se ha explorado recientemente a través del DARPA
Grand Challenge, una serie de concursos patrocinados por el gobierno de Estados
Unidos para construir vehículos que puedan conducirse de forma autónoma en
entornos desérticos y urbanos. Caltech compitió en los Grand Challenges de
2005 y 2007 con una furgoneta todoterreno Ford E-350 modificada apodada
"Alice". Estaba totalmente automatizada, con dirección, acelerador, frenos,
transmisión y encendido controlados electrónicamente. Sus sistemas de detección
incluían múltiples cámaras de vídeo que escaneaban a 10-30 Hz, varias unidades
de medición láser que escaneaban a 10 Hz y un paquete de navegación inercial
capaz de proporcionar estimaciones de posición y orientación con una resolución
temporal de 5 ms. Las fuentes informáticas incluían 12 servidores de alta
velocidad conectados entre sí a través de un conmutador de Internet de 1 Gb/s. El
vehículo se muestra en la figura 1.15, junto con un diagrama de bloques de su
arquitectura de control.
La infraestructura de software y hardware que se desarrolló permitió al
vehículo recorrer largas distancias a velocidades considerables. En las pruebas,
Alice recorrió más de 500 km en el desierto de Mojave (California), con la
capacidad de seguir
21
1.4. PROPIEDADES DE
RETROALIMENTACIÓN
Control de supervisión
Planif
icador
de rutas
Seguid
or del
camino
Actuació
n del
vehículo
Búsqu
eda de
carreter
as
Map
a de
cost
es
Estima
dor de
estado
Vehículo
Sensor
es de
terreno
Mapa de
elevaci
ón
Figura 1.15: DARPA Grand Challenge. "Alice", la propuesta del equipo Caltech en las
competiciones de 2005 y 2007 y su arquitectura de control en red [CFG+06]. El sistema de
retroalimentación fusiona los datos de los sensores del terreno (cámaras y telémetros láser)
para determinar un mapa de elevación digital. Este mapa se utiliza para calcular la
velocidad potencial del vehículo sobre el terreno y, a continuación, un planificador de
trayectorias basado en la optimización ordena la trayectoria que debe seguir el vehículo.
Un módulo de control de supervisión realiza tareas de alto nivel, como la gestión de los
fallos de los sensores y los actuadores.
caminos de tierra y senderos (si los hay) y evitar los obstáculos del camino. Se
obtuvieron velocidades de más de 50 km/h en el modo totalmente autónomo.
Durante las pruebas en el desierto se afinaron mucho los algoritmos, en parte por
la falta de herramientas de diseño de sistemas de este nivel de complejidad. Otros
competidores de la carrera (incluido Stanford, que ganó la competición de 2005)
utilizaron algoritmos de control adaptativo y aprendizaje, aumentando las
capacidades de sus sistemas en entornos desconocidos. En conjunto, los
competidores del Grand Challenge demostraron algunas de las capacidades de la
próxima generación de sistemas de control y destacaron muchas direcciones de
investigación en el control a niveles superiores de toma de decisiones.
Inconvenientes de la retroalimentación
Aunque la retroalimentación tiene muchas ventajas, también presenta algunos
inconvenientes. El principal es la posibilidad de inestabilidad si el sistema no
está bien diseñado. Todos conocemos los efectos de la retroalimentación positiva
cuando la amplificación de un micrófono se eleva demasiado en una sala. Este es
un ejemplo de inestabilidad por retroalimentación, algo que obviamente
queremos evitar. Esto es complicado porque debemos diseñar el sistema no sólo
para que sea estable en condiciones nominales, sino también para que
permanezca estable bajo todas las posibles perturbaciones de la dinámica.
Además del potencial de inestabilidad, la retroalimentación acopla
intrínsecamente diferentes partes de un sistema. Un problema común es que la
retroalimentación suele inyectar ruido de medición en el sistema. Las mediciones
deben filtrarse cuidadosamente para que la dinámica de actuación y del proceso
no responda a ellas, al tiempo que se garantiza que la señal de medición del
sensor se acopla correctamente a la dinámica del bucle cerrado (para que se
alcancen los niveles adecuados de rendimiento).
Otro posible inconveniente del control es la complejidad de integrar un
sistema de control en un producto. Mientras que el coste de la detección, el
cálculo y el accionamiento ha
22
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Si bien es cierto que el uso de microprocesadores ha disminuido drásticamente
en las últimas décadas, no es menos cierto que los sistemas de control suelen ser
complicados, por lo que hay que sopesar cuidadosamente los costes y los
beneficios. El uso de microprocesadores en aplicaciones de automoción comenzó
a principios de los años 70, impulsado por las normas de emisiones cada vez más
estrictas, que sólo podían cumplirse mediante controles electrónicos. Los
primeros sistemas eran caros y fallaban con más frecuencia de la deseada, lo que
provocaba la insatisfacción de los clientes. Sólo gracias a las agresivas mejoras
tecnológicas, el rendimiento, la fiabilidad y el coste de estos sistemas
permitieron que se utilizaran de forma transparente. Incluso hoy en día, la
complejidad de estos sistemas es tal que resulta difícil para un propietario
individual de un coche solucionar los problemas.
Feedforward
La retroalimentación es reactiva: debe haber un error antes de que se tomen
medidas correctoras. Sin embargo, en algunas circunstancias es posible medir
una perturbación antes de que entre en el sistema, y esta información puede
utilizarse para tomar medidas correctoras antes de que la perturbación haya
influido en el sistema. El efecto de la perturbación se reduce así midiéndola y
generando una señal de control que la contrarreste. Esta forma de controlar un
sistema se denomina feedforward. El feedforward es especialmente útil para dar
forma a la respuesta a las señales de mando porque éstas siempre están
disponibles. Dado que el feedforward intenta ajustar dos señales, requiere buenos
modelos de proceso; de lo contrario, las correcciones pueden tener un tamaño
incorrecto o estar mal programadas.
Las ideas de feedback y feedforward son muy generales y aparecen en muchos
campos diferentes. En economía, el feedback y el feedforward son análogos a
una economía de mercado frente a una economía planificada. En los negocios,
una estrategia de feedforward corresponde a la gestión de una empresa basada en
una amplia planificación estratégica, mientras que una estrategia de feedback
corresponde a un enfoque reactivo. En biología, se ha sugerido que el
feedforward es un elemento esencial para el control del movimiento en los seres
humanos que se pone a punto durante el entrenamiento. La experiencia indica que
a menudo es ventajoso combinar el feed-back y el feedforward, y el equilibrio
correcto requiere una visión y comprensión de sus propiedades respectivas.
Comentarios positivos
En la mayor parte de este texto, consideraremos el papel de la retroalimentación
negativa, en la que se intenta regular el sistema reaccionando a las
perturbaciones de forma que disminuya el efecto de las mismas. En algunos
sistemas, especialmente en los biológicos, la retroalimentación positiva puede
desempeñar un papel importante. En un sistema con retroalimentación positiva,
el aumento de alguna variable o señal conduce a una situación en la que esa
cantidad aumenta aún más a través de su dinámica. Esto tiene un efecto
desestabilizador y suele ir acompañado de una saturación que limita el
crecimiento de la cantidad. Aunque a menudo se considera indeseable, este
comportamiento se utiliza en los sistemas biológicos (y de ingeniería) para
obtener una respuesta muy rápida a una condición o señal.
23
1.5. FORMAS SENCILLAS DE RETROALIMENTACIÓN
u
u
e
u
e
(a) Control de
encendido y
apagado
e
(c) Histéresis
(b) Zona
muerta
Figura 1.16: Características de entrada/salida de los controladores on-off. Cada gráfico
muestra la entrada en el eje horizontal y la salida correspondiente en el eje vertical. El
control on-off ideal se muestra en (a), con modificaciones para una zona muerta (b) o
histéresis (c). Obsérvese que para el control on-off con histéresis, la salida depende del
valor de las entradas pasadas.
Un ejemplo del uso de la retroalimentación positiva es crear un
comportamiento de conmutación, en el que un sistema mantiene un estado
determinado hasta que alguna entrada cruza un umbral. La histéresis suele estar
presente para que las entradas ruidosas cerca del umbral no hagan que el sistema
se tambalee. Este tipo de comportamiento se denomina biestabilidad y suele
asociarse a los dispositivos de memoria.
1.5 Formas sencillas de Feedback
La idea de la retroalimentación para realizar acciones correctivas basadas en la
diferencia entre los valores deseados y los reales de una cantidad puede
implementarse de muchas maneras diferentes. Los beneficios de la
retroalimentación pueden obtenerse mediante leyes de retroalimentación muy
simples como el control on-off, el control proporcional y el control proporcionalintegral-derivativo. En esta sección ofrecemos un breve avance de algunos de los
temas que se estudiarán más formalmente en el resto del texto.
Control de encendido y apagado
Un mecanismo simple de retroalimentación puede
f
describirse como sigue:
u=
umax
si e > 0
umin
si e < 0,
(1.1)
donde el error de control e =- r y es la diferencia entre la señal de referencia (o
señal de mando) r y la salida del sistema y, y u es la orden de actuación. La figura
1.16a muestra la relación entre el error y el control. Esta ley de control implica
que siempre se utilicen las máximas medidas correctoras.
La retroalimentación de la ecuación (1.1) se denomina control on-off. Una de
sus principales ventajas es que es sencillo y no hay que elegir parámetros. El
control on-off a menudo consigue mantener la variable del proceso cerca de la
referencia, como el uso de un simple termostato para mantener la temperatura de
una habitación. Suele dar lugar a un sistema en el que las variables controladas
oscilan, lo que suele ser aceptable si la oscilación es lo suficientemente pequeña.
Obsérvese que en la ecuación (1.1) la variable de control no está definida cuando el
error
24
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
es cero. Es habitual realizar modificaciones introduciendo una zona muerta o una
histéresis (véase la figura 1.16b y 1.16c).
Control PID
La razón por la que el control on-off suele dar lugar a oscilaciones es que el
sistema reacciona de forma exagerada, ya que un pequeño cambio en el error
hace que la variable actuada cambie en todo el rango. Este efecto se evita en el
control proporcional, donde la característica del controlador es proporcional al
error de control para pequeños errores. Esto se puede conseguir con la ley de
umax
si e ≥
control
emax
u=
emax
kp e
umin
si emin < e <
(1.2)
si e ≤ emin ,
donde kp es la ganancia del controlador, emin = umin /kp y emax = umax /kp . El
intervalo (emin , emax ) se llama banda proporcional porque el comportamiento
del controlador es lineal cuando el error está en este intervalo:
u = kp (r - y) = kp e
si emin ≤ e ≤ emax .
(1.3)
Aunque supone una gran mejora respecto al control on-off, el control
proporcional tiene el inconveniente de que la variable del proceso se desvía a
menudo de su valor de referencia. En particular, si se requiere algún nivel de
señal de control para que el sistema
mantenga un valor deseado, entonces
/
debemos tener e = 0 para generar la entrada requerida.
Esto puede evitarse haciendo que la acción de control sea proporcional a la integral
del error:
Z t
(1.4)
( )u t i k ( )e  .
0
=
Esta forma de control se llama control integral, y ki es la ganancia integral. Se
puede demostrar con argumentos sencillos que un controlador con acción
integral tiene un error de estado estacionario cero (Ejercicio 1.5). El problema es
que no siempre hay un estado estacionario porque el sistema puede oscilar.
Un refinamiento adicional consiste en dotar al controlador de una capacidad
de anticipación mediante una predicción del error. Una predicción sencilla viene
dada por la extrapolación lineal
de(t)
e(t + Td ) ≈ e(t) + Td
,
dt
que predice el error Td unidades de tiempo por delante. Combinando el control
proporcional, integral y derivativo, obtenemos un controlador que se puede expresar
matemáticamente como
Z
t
de(t)
.
(1.5)
e( ) + kd
( ) u tkp e( t) ki
dt
0
=
+
La acción de control es, por tanto, una suma de tres términos: el pasado
representado por la integral del error, el presente representado por el término
proporcional y el futuro representado por una extrapolación lineal del error (el
término derivado).
25
1.6. MÁS LECTURAS
Error
Presente
Pasado
Futuro
Tiem
po
Figura 1.17: Acción de un controlador PID. En el tiempo t, el término proporcional
depende del valor instantáneo del error. La parte integral de la retroalimentación se basa en
la integral del error hasta el tiempo t (parte sombreada). El término de la derivada
proporciona una estimación del crecimiento o decaimiento del error a lo largo del tiempo
observando la tasa de cambio del error. Td representa la cantidad aproximada de tiempo en
la que el error se proyecta hacia adelante (véase el texto).
t
t + Td
Esta forma de retroalimentación se denomina controlador proporcional-integral-derivativo
(PID)
y su acción se ilustra en la figura 1.17.
Un controlador PID es muy útil y es capaz de resolver una amplia gama de
problemas de control. Más del 95% de los problemas de control industrial se
resuelven con control PID, aunque muchos de estos controladores son en
realidad controladores proporcionales-integrales (PI) porque a menudo no se
incluye la acción derivativa [DM02]. También existen controladores más
avanzados, que se diferencian de los controladores PID por utilizar métodos más
sofisticados de predicción.
1.6 Más información en
El material de esta sección se basa en gran medida en el informe del Panel sobre
Direcciones Futuras en Control, Dinámica y Sistemas [Mur03]. Otros artículos e
informes han puesto de relieve los éxitos del control [NS99] y las nuevas
perspectivas del control [Bro00, Kum01, Wis07]. El desarrollo temprano del
control es descrito por Mayr [May70] y en los libros de Bennett [Ben79, Ben93],
que cubren el periodo 1800-1955. Mindell [Min02] ha escrito un fascinante
examen de la historia temprana del control en los Estados Unidos. Un libro
popular que describe muchos conceptos de control en una amplia gama de
disciplinas es Out of Control de Kelly [Kel94]. Hay muchos libros de texto
disponibles que describen los sistemas de control en el contexto de disciplinas
específicas. Para los ingenieros, los libros de texto de Franklin, Powell y EmamiNaeini [FPEN05], Dorf y Bishop [DB04], Kuo y Golnaraghi [KG02] y Seborg,
Edgar y Mellichamp [SEM04] son muy utilizados. Entre los tratamientos más
orientados a las matemáticas de la teoría de control se encuentran Sontag [Son98]
y Lewis [Lew03]. El libro de Hellerstein et al. [HDPT04] ofrece una descripción
del uso del control por retroalimentación en los sistemas informáticos. Varios
libros analizan el papel de la dinámica y la retroalimentación en los sistemas
biológicos, entre ellos Mil- horn [Mil66] (ahora agotado), J. D. Murray [Mur04]
y Ellner y Gucken- heimer [EG05]. El libro de Fradkov [Fra07] y el artículo
tutorial de Bechhoe-
26
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
fer [Bec05] cubren muchos temas específicos de interés para la comunidad física.
Ejercicios
1.1 (Movimiento de los ojos) Realiza el siguiente experimento y explica tus
resultados: Manteniendo la cabeza quieta, mueve una de tus manos a la izquierda
y a la derecha delante de tu cara, siguiéndola con los ojos. Registra la rapidez
con la que puedes mover la mano antes de empezar a perderla de vista. Ahora
mantén la mano quieta y mueve la cabeza de izquierda a derecha, registrando de
nuevo la rapidez con la que puedes moverla antes de perder la pista de tu mano.
1.2 Identifica cinco sistemas de retroalimentación que encuentres en tu entorno
cotidiano. Para cada sistema, identifique el mecanismo de detección, el
mecanismo de actuación y la ley de control. Describa la incertidumbre con
respecto a la cual el sistema de retroalimentación proporciona robustez y/o la
dinámica que se modifica mediante el uso de la retroalimentación.
1.3 (Sistemas de equilibrio) Mantén el equilibrio sobre un pie con los ojos
cerrados durante 15 s. Utilizando la figura 1.3 como guía, describe el sistema de
control responsable de evitar que te caigas. Ten en cuenta que el "controlador"
será diferente al del dia- grama (a no ser que seas un androide leyendo esto en un
futuro lejano).
1.4 (Control de crucero) Descargue el código MATLAB utilizado para producir
simulaciones para el sistema de control de crucero en la Figura 1.13 desde el
sitio web complementario. Utilizando el método de prueba y error, cambia los
parámetros de la ley de control para que el exceso de velocidad no sea superior a
1 m/s para un vehículo con masa m = 1000 kg.
1.5 (Acción integral) Decimos que un sistema con una entrada constante alcanza
el estado estacionario si la salida del sistema se aproxima a un valor constante a
medida que aumenta el tiempo. Demuestre que un controlador con acción
integral, como los dados en las ecuaciones (1.4) y (1.5), da error cero si el
sistema de lazo cerrado alcanza el estado estacionario.
1.6 Busca en la web y elige un artículo de la prensa popular sobre un sistema de
retroalimentación y control. Describe el sistema de retroalimentación utilizando
la terminología que aparece en el artículo. En particular, identifique el sistema de
control y describa (a) el proceso o sistema subyacente que se controla, junto con
(b) el sensor, (c) el actuador y (d) el elemento computacional. Si parte de la
información no está disponible en el artículo, indíquelo y haga una estimación de
lo que podría haberse utilizado.
Capítulo 2
Modelado del sistema
... Le pregunté a Fermi si no estaba impresionado por la concordancia entre nuestros
números calculados y sus números medidos. Me contestó: "¿Cuántos parámetros
arbitrarios habéis utilizado para vuestros cálculos?". Pensé por un momento en nuestros
procedimientos de corte y dije: "Cuatro". Dijo: "Recuerdo que mi amigo Johnny von
Neumann solía decir que con cuatro parámetros puedo hacer caber un elefante, y con
cinco puedo hacer que mueva la trompa".
Freeman Dyson al describir las predicciones de su modelo de dispersión mesón-protón a
Enrico Fermi en 1953 [Dys04].
Un modelo es una representación precisa de la dinámica de un sistema que se
utiliza para responder a preguntas mediante el análisis y la simulación. El
modelo que elegimos depende de las preguntas que queremos responder, por lo
que puede haber múltiples modelos para un mismo sistema dinámico, con
diferentes niveles de fidelidad dependiendo de los fenómenos de interés. En este
capítulo se ofrece una introducción al concepto de modelización y se presentan
algunos materiales básicos sobre dos métodos específicos utilizados
habitualmente en los sistemas de retroalimentación y control: las ecuaciones
diferenciales y las ecuaciones en diferencia.
2.1 Modelado Conceptos
Un modelo es una representación matemática de un sistema físico, biológico o de
información. Los modelos nos permiten razonar sobre un sistema y hacer
predicciones sobre su comportamiento. En este texto, nos interesarán
principalmente los modelos de sistemas dinámicos que describen el
comportamiento de entrada/salida de los sistemas, y a menudo trabajaremos en
forma de "espacio de estados".
A grandes rasgos, un sistema dinámico es aquel en el que los efectos de las
acciones no se producen inmediatamente. Por ejemplo, la velocidad de un coche
no cambia inmediatamente cuando se pisa el acelerador ni la temperatura de una
habitación aumenta instantáneamente cuando se enciende la calefacción. Del
mismo modo, un dolor de cabeza no desaparece justo después de tomar una
aspirina, sino que requiere tiempo para que haga efecto. En los sistemas
empresariales, el aumento de la financiación de un proyecto de desarrollo no
incrementa los ingresos a corto plazo, aunque sí puede hacerlo a largo plazo (si
ha sido una buena inversión). Todos ellos son ejemplos de sistemas dinámicos,
en los que el comportamiento del sistema evoluciona con el tiempo.
En el resto de esta sección ofrecemos una visión general de algunos de los
conceptos clave de la modelización. Los detalles matemáticos que se introducen
aquí se analizan con más detalle en el resto del capítulo.
28
CAPÍTULO 2. MODELADO DEL
SISTEMA
q
c (q)
m
k
Figura 2.1: Sistema muelle-masa con amortiguación no lineal. La posición de la masa se
anota mediante q, correspondiendo q = 0 a la posición de reposo del muelle. Las fuerzas
sobre la masa son generadas por un muelle lineal con constante de muelle k y un
amortiguador con fuerza dependiente de la velocidad q˙.
La herencia de los mecánicos
El estudio de la dinámica tiene su origen en los intentos de describir el
movimiento planetario. La base fueron las observaciones detalladas de los
planetas realizadas por Tycho Brahe y los resultados de Kepler, que descubrió
empíricamente que las órbitas de los planetas podían describirse bien mediante
elipses. Newton se embarcó en un ambicioso programa para intentar explicar por
qué los planetas se mueven en elipses, y descubrió que el movimiento podía
explicarse mediante su ley de la gravitación y la fórmula que establece que la
fuerza es igual a la masa por la aceleración. En el proceso también inventó el
cálculo y las ecuaciones diferenciales.
Uno de los triunfos de la mecánica de Newton fue la observación de que el
movimiento de los planetas podía predecirse a partir de las posiciones y
velocidades actuales de todos ellos. No era necesario conocer el movimiento
pasado. El estado de un sistema dinámico es un conjunto de variables que
caracterizan completamente el movimiento de un sistema con el fin de predecir
el movimiento futuro. Para un sistema de planetas, el estado es simplemente las
posiciones y las velocidades de los planetas. Llamamos espacio de estados al
conjunto de todos los estados posibles.
Una clase común de modelos matemáticos para sistemas dinámicos son las
ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). En mecánica, una de las ecuaciones
diferenciales más sencillas es la de un sistema muelle-masa con amortiguación:
mq¨ + c(q˙) + kq = 0.
(2.1)
Este sistema se ilustra en la figura 2.1. La variable q R∈ representa la posición de
la masa m con respecto a su posición de reposo. Utilizamos la notación q˙ para
denotar la derivada de q con respecto al tiempo (es decir, la velocidad de la
masa) y q¨ para representar la segunda derivada (aceleración). Se supone que el
muelle satisface
La ley de Hooke, que dice que la fuerza es proporcional al desplazamiento. El
elemento de fricción (amortiguador) se toma como una función no lineal c(q˙),
que puede modelar efectos como la adherencia y la resistencia viscosa. La
posición q y la velocidad q˙ representan el estado instantáneo del sistema.
Decimos que este sistema es un sistema de segundo orden ya que la dinámica
depende de las dos primeras derivadas de q.
La evolución de la posición y la velocidad puede describirse mediante un
gráfico de tiempo o un retrato de fase, ambos mostrados en la figura 2.2. El
gráfico de tiempo, en
29
2.1. CONCEPTOS DE
MODELADO
Po 2
sic
ió 1
nq
[m
], 0
vel
oci
da -1
d
q˙ -2
[m 0
/s]
1
Posición
Velocid
ad
5
10
Tiempo t [s]
15
Ve 0.5
loc
ida
0
d
q˙
[m -0.5
/s]
-1
-1
-0.5
0
0.5
Posición q [m]
1
Figura 2.2: Ilustración de un modelo de estado. Un modelo de estado proporciona la tasa
de cambio del estado en función del mismo. El gráfico de la izquierda muestra la evolución
del estado en función del tiempo. El gráfico de la derecha muestra la evolución de los
estados entre sí, con la velocidad del estado denotada por las flechas.
a la izquierda, muestra los valores de los estados individuales en función del
tiempo. El retrato de fase, a la derecha, muestra el campo vectorial del sistema,
que da la velocidad del estado (representada como una flecha) en cada punto del
espacio de estados. Además, hemos superpuesto las trazas de algunos de los
estados de diferentes condiciones. El retrato de fase ofrece una representación
muy intuitiva de la ecuación como un campo vectorial o un flujo. Aunque los
sistemas de segundo orden (dos estados) pueden representarse de esta manera,
lamentablemente es difícil visualizar las ecuaciones de orden superior utilizando
este enfoque.
La ecuación diferencial (2.1) se denomina sistema autónomo porque no hay
influencias externas. Este modelo es natural para su uso en mecánica celeste
porque es difícil influir en el movimiento de los planetas. En muchos ejemplos,
es útil modelar los efectos de las perturbaciones externas o las fuerzas
controladas en el sistema. Una forma de captar esto es sustituir la ecuación (2.1)
por
mq¨ + c(q˙) + kq = u,
(2.2)
donde u representa el efecto de las entradas externas. El modelo (2.2) se
denomina ecuación diferencial forzada o controlada. Implica que la tasa de
cambio del estado puede verse influida por la entrada u(t). La adición de la
entrada enriquece el modelo y permite plantear nuevas preguntas. Por ejemplo,
podemos examinar qué influencia tienen las perturbaciones externas en las
trayectorias de un sistema. O, en el caso de que
la variable de entrada es algo que se puede modular de forma controlada,
podemos analizar si es posible "dirigir" el sistema desde un punto del espacio de
estado a otro mediante la elección adecuada de la entrada.
El patrimonio de la ingeniería eléctrica
Una visión diferente de la dinámica surgió de la ingeniería eléctrica, donde la designación de los amplificadores electrónicos llevó a centrarse en el
comportamiento de entrada/salida. Un sistema se consideraba un dispositivo que
transforma las entradas en salidas, como se ilustra en la figura 2.3.
Conceptualmente, un modelo de entrada/salida puede verse como una tabla
gigante de entradas y
30
CAPÍTULO 2. MODELADO DEL
SISTEMA
+v
7
Q9
Q8
Q14
(+)
3
Entradas
(-)
Q1
Q2
Q3 Q4
30pF
R9
Salida
6
R10
Q16
Q20
Entrada
Sistema
Salida
Q17
Q6
Q5
Q22
R1
4
Q18
R8
2
Q7
-v
R7
Q15
R2
R12 R11
vos adj
Figura 2.3: Ilustración de la vista de entrada/salida de un sistema dinámico. La figura de la
izquierda muestra un diagrama de circuito detallado de un amplificador electrónico; la de
la derecha es su representación como diagrama de bloques.
salidas. Dada una señal de entrada u(t) en un intervalo de tiempo, el modelo debe
producir la salida resultante y(t).
El marco de entrada/salida se utiliza en muchas disciplinas de la ingeniería, ya que
nos permite descomponer un sistema en componentes individuales conectados a
través de sus entradas y salidas. Así, podemos tomar un sistema complicado
como una radio o un televisor y descomponerlo en piezas manejables como el
receptor, el demodulador, el amplificador y los altavoces. Cada una de estas
piezas tiene un conjunto de entradas y salidas y, mediante un diseño adecuado,
estos componentes pueden interconectarse para formar el sistema completo.
La visión de entrada/salida es particularmente útil para la clase especial de
sistemas lineales invariantes en el tiempo. Este término se definirá con más detalle
más adelante en este capítulo, pero a grandes rasgos un sistema es lineal si la
superposición (adición) de dos entradas produce una salida que es la suma de las
salidas que corresponderían a las entradas individuales aplicadas por separado.
Un sistema es invariable en el tiempo si la respuesta de salida para una entrada
determinada no depende del momento en que se aplica dicha entrada.
Muchos sistemas de ingeniería eléctrica pueden modelarse mediante sistemas
lineales invariantes en el tiempo, por lo que se ha desarrollado un gran número
de herramientas para analizarlos. Una de estas herramientas es la respuesta al
escalón, que describe la relación entre una entrada que cambia de cero a un valor
constante de forma abrupta (una entrada al escalón) y la salida correspondiente.
Como veremos más adelante, la respuesta al escalón es muy útil para caracterizar
el rendimiento de un sistema dinámico y suele utilizarse para especificar la
dinámica deseada. En la figura 2.4a se muestra un ejemplo de respuesta
escalonada.
Otra forma de describir un sistema lineal invariante en el tiempo es
representarlo por su respuesta a señales de entrada sinusoidales. Esto se
denomina respuesta en frecuencia, y ha surgido una teoría rica y potente con
muchos conceptos y resultados sólidos y útiles. Los resultados se basan en la
teoría de las variables complejas y las transformadas de Laplace. La idea básica
de la respuesta en frecuencia es que podemos caracterizar completamente el
comportamiento de un sistema por su respuesta en estado estacionario a entradas
sinusoidales. A grandes rasgos,
31
2.1. CONCEPTOS DE
MODELADO
4
3
En
tra
da, 2
sal
ida
1
0
100
Ga 10-2
nar
10-4
Entrad
a
Salida
0
10
Tiempo
20
(a) Respuesta al
paso
30
0
Fa
-90
se
[d -180
eg
] -270
10-1
100
101
Frecuencia
102
(b) Respuesta en frecuencia
Figura 2.4: Respuesta de entrada/salida de un sistema lineal. La respuesta escalonada (a)
muestra la salida del sistema debido a una entrada que cambia de 0 a 1 en el tiempo t = 5
s. La respuesta en frecuencia (b) muestra la ganancia de amplitud y el cambio de fase
debido a una entrada sinusoidal a diferentes frecuencias.
En términos generales, esto se hace descomponiendo cualquier señal arbitraria en
una combinación lineal de sinusoides (por ejemplo, utilizando la transformada de
Fourier) y luego utilizando la linealidad para calcular la salida combinando la
respuesta a las frecuencias individuales. En la figura 2.4b se muestra un ejemplo
de respuesta en frecuencia.
El punto de vista de la entrada/salida se presta naturalmente a la
determinación experimental de la dinámica del sistema, donde un sistema se
caracteriza registrando su respuesta a entradas particulares, por ejemplo, un
escalón o un conjunto de sinusoides en un rango de frecuencias.
La vista de control
Cuando la teoría del control surgió como disciplina en la década de 1940, el
enfoque de la dinámica estaba fuertemente influenciado por la visión de la
ingeniería eléctrica (entrada/salida). Una segunda ola de desarrollos en control,
que comenzó a finales de los años 50, se inspiró en la mecánica, donde se utilizó
la perspectiva del espacio de estados. El surgimiento de los vuelos espaciales es
un ejemplo típico, donde el control preciso de la órbita de una nave espacial es
fundamental. Estos dos puntos de vista se fusionaron gradualmente en lo que es
hoy la representación del espacio de estado de los sistemas de entrada/salida.
El desarrollo de los modelos de espacio de estados implicó la modificación de
los modelos de la mecánica para incluir actuadores y sensores externos y utilizar
formas más generales de ecuaciones. En control, el modelo dado por la ecuación
(2.2) se sustituyó por
dx
(2.3)
= f (x, u),
y = h(x, u),
dt
donde x es un vector de variables de estado, u es un vector de señales de control
e y es un vector de medidas. El término dx/dt representa la derivada de x con
respecto al tiempo, que ahora se considera un vector, y f y h son mapeos
(posiblemente no lineales) de sus argumentos a vectores de la dimensión
apropiada. Para los sistemas mecánicos, el estado consiste en la posición y la
velocidad del sistema, de modo que x = (q, q˙) en
el caso de un sistema muelle-masa amortiguado. Nótese que en la formulación de control
32
CAPÍTULO 2. MODELADO DEL
SISTEMA
La dinámica del modelo como ecuaciones diferenciales de primer orden, pero
veremos que esto puede capturar la dinámica de las ecuaciones diferenciales de
orden superior mediante la definición apropiada del estado y los mapas f y h.
La adición de entradas y salidas ha aumentado la riqueza de los problemas
clásicos y ha dado lugar a muchos conceptos nuevos. Por ejemplo, es natural
preguntarse si se pueden alcanzar los posibles estados x con la elección adecuada
de u (alcanzabilidad) y si la medición y contiene suficiente información para
reconstruir el estado (observabilidad). Estos temas se tratarán con más detalle en
los capítulos 6 y 7.
Un último avance en la construcción del punto de vista del control fue la
aparición de las perturbaciones y la incertidumbre del modelo como elementos
críticos de la teoría. La forma simple de modelar las perturbaciones como señales
deterministas, como pasos y sinusoides, tiene el inconveniente de que dichas
señales no pueden predecirse con precisión. Un enfoque más realista es modelar
las perturbaciones como señales aleatorias. Este punto de vista ofrece una
conexión natural entre la predicción y el control. El punto de vista dual de las
representaciones de entrada/salida y de las representaciones del espacio de estado
es particularmente útil cuando se modela la incertidumbre, ya que los modelos de
estado son convenientes para describir un modelo nominal, pero las
incertidumbres son más fáciles de describir utilizando modelos de entrada/salida
(a menudo a través de una descripción de la respuesta en frecuencia). La
incertidumbre será un tema constante a lo largo del texto y se estudiará con
especial detalle en el capítulo 12.
Una observación interesante en el diseño de sistemas de control es que los
sistemas de retroalimentación a menudo pueden ser analizados y diseñados sobre
la base de modelos comparativamente simples. La razón de ello es la robustez
inherente a los sistemas de retroalimentación. Sin embargo, otros usos de los
modelos pueden requerir una mayor complejidad y precisión. Un ejemplo son las
estrategias de control de avance, en las que se utiliza un modelo para precalcular
las entradas que hacen que el sistema responda de una manera determinada. Otra
área es la validación del sistema, en la que se desea verificar que la respuesta
detallada del sistema funciona como se ha diseñado. Debido a estos diferentes
usos de los modelos, es habitual utilizar una jerarquía de modelos de diferente
complejidad y fidelidad.
�
Modelado multidominio
La modelización es un elemento esencial de muchas disciplinas, pero las
tradiciones y los métodos de cada una de ellas pueden diferir entre sí, como
ilustra el debate anterior sobre la ingeniería mecánica y eléctrica. Una de las
dificultades de la ingeniería de sistemas es que a menudo es necesario tratar con
sistemas heterogéneos de muchos dominios diferentes, incluyendo sistemas
químicos, eléctricos, mecánicos y de formación.
Para modelar estos sistemas multidominio, empezamos por dividir un sistema
en subsistemas más pequeños. Cada subsistema se representa mediante
ecuaciones de equilibrio de masa, energía y momento, o mediante descripciones
adecuadas del procesamiento de la información en el subsistema. El
comportamiento en las interfaces se captura describiendo cómo se comportan las
variables del subsistema cuando los subsistemas están interconectados. Estas
interfaces actúan restringiendo las variables dentro de los subsistemas
individuales para que sean iguales (como los flujos de masa, energía o
momento). El modelo completo se obtiene entonces combinando las
2.1. CONCEPTOS DE
MODELADO
descripciones de
33
los subsistemas y las interfaces.
34
CAPÍTULO 2. MODELADO DEL
SISTEMA
Con esta metodología es posible construir bibliotecas de subsistemas que
corresponden a componentes físicos, químicos e informativos. El procedimiento
imita el enfoque de la ingeniería, en el que los sistemas se construyen a partir de
subsistemas que, a su vez, se construyen a partir de componentes más pequeños.
A medida que se adquiere experiencia, los componentes y sus interfaces pueden
estandarizarse y reunirse en bibliotecas de modelos. En la práctica, se necesitan
varias iteraciones para obtener una buena biblioteca que pueda reutilizarse para
muchas aplicaciones.
Los modelos de estado o las ecuaciones diferenciales ordinarias no son
adecuados para el modelado basado en componentes de esta forma porque los
estados pueden desaparecer cuando los componentes se conectan. Esto implica
que la descripción interna de un componente puede cambiar cuando se conecta a
otros componentes. Como ejemplo, consideremos dos condensadores en un
circuito eléctrico. Cada condensador tiene un estado correspondiente a la tensión
a través de los condensadores, pero uno de los estados desaparecerá si los
condensadores se conectan en paralelo. Una situación similar ocurre con dos
inercias en rotación, cada una de las cuales se modela individualmente utilizando
el ángulo de rotación y la velocidad angular. Dos estados desaparecerán cuando
las inercias estén unidas por un eje rígido.
Esta dificultad puede evitarse sustituyendo las ecuaciones diferenciales por
ecuaciones algebraicas diferenciales, que tienen la forma
F(z, z˙) =
0, donde z ∈ Rn . Un caso especial sencillo es
x˙ = f (x, y),
g(x, y) = 0,
(2.4)
donde z = (x, y) y F = (x˙
- f (x, y), g(x, y)). La propiedad clave es que la
derivada z˙ no está dada explícitamente y puede haber relaciones algebraicas
puras entre los componentes del vector z.
El modelo (2.4) recoge los ejemplos de los condensadores en paralelo y las
inercias rotativas vinculadas. Por ejemplo, cuando se conectan dos
condensadores, simplemente añadimos la ecuación algebraica que expresa que
las tensiones a través de los condensadores son las mismas.
Modelica es un lenguaje desarrollado para el modelado basado en
componentes. Las ecuaciones algebraicas diferenciales se utilizan como
descripción básica, y la programación orientada a objetos se utiliza para
estructurar los modelos. Modelica se utiliza para modelar la dinámica de
sistemas técnicos en ámbitos como los subsistemas mecánicos, eléctricos,
térmicos, hidráulicos, de termofluidos y de control. Modelica pretende servir de
formato estándar para que los modelos que surgen en diferentes dominios puedan
ser intercambiados entre herramientas y usuarios. Existe un amplio conjunto de
bibliotecas de componentes de Modelica, gratuitas y comerciales, que son
utilizadas por un número creciente de personas en la industria, la investigación y
el mundo académico. Para más información sobre Modelica, véase
http://www.modelica.org o Tiller [Til01].
2.1. CONCEPTOS DE
MODELADO
35
2.2 Espacio de estados Modelos
En esta sección presentamos las dos formas principales de modelos que
utilizamos en este texto: las ecuaciones diferenciales y las ecuaciones en
diferencias. Ambas hacen uso de las nociones de estado, entradas, salidas y
dinámica para describir el comportamiento de un sistema.
Ecuaciones diferenciales ordinarias
El estado de un sistema es un conjunto de variables que resumen el pasado de un
sistema con el fin de predecir el futuro. En el caso de un sistema físico, el estado
se compone de las variables necesarias para dar cuenta del almacenamiento de
masa, momento y energía. Una cuestión clave en la modelización es decidir con
qué precisión debe representarse este almacenamiento. Las variables
∈ de estado se
n
reúnen en un vector x R llamado vector de estado. Las variables de control
∈ están
representadas por otro vector u Rp∈, y la señal medida por el vector y Rq . Un
sistema puede representarse entonces por la ecuación diferencial
dx
(2.5)
= f (x, u),
y = h(x, u),
dt
donde f : Rn × Rp → Rn y h : Rn × Rp → Rq son mapeos suaves. Llamamos
a un modelo de esta forma un modelo de espacio de estados.
La dimensión del vector de estado se denomina orden del sistema. El sistema
(2.5) se llama invariante en el tiempo porque las funciones f y h no dependen
explícitamente del tiempo t; hay sistemas más generales que varían en el tiempo
en los que las funciones sí dependen del tiempo. El modelo consta de dos
funciones: la función f da la tasa de cambio del vector de estado en función del
estado x y del control u, y la función h da los valores medidos en función del
estado x y del control u.
Un sistema se denomina sistema lineal en el espacio de estados si las
funciones f y h son lineales en x y u. Un sistema lineal en el espacio de estados
puede representarse por
dx
(2.6)
= Ax + Bu,
y = Cx + Du,
dt
donde A, B, C y D son matrices constantes. Se dice que tal sistema es lineal e
invariante en el tiempo, o LTI para abreviar. La matriz A se llama matriz
dinámica, la matriz B se llama matriz de control, la matriz C se llama matriz de
sensores y la matriz D se llama término directo. A menudo los sistemas no
tienen un término directo, lo que indica que la señal de control no influye
directamente en la salida.
Una forma diferente de ecuaciones diferenciales lineales, que generaliza la
dinámica de segundo orden de la mecánica, es una ecuación de la forma
dn y
dn-1y
+ a1
+ - - - + an y = u,
(2.7)
dtn
dtn-1
donde t es la variable independiente (tiempo), y(t) es la variable dependiente
(salida) y u(t) es la entrada. La notación dk y/dtk se utiliza para denotar la kª
derivada de y con respecto a t, a veces también escrita como y(k) . Se dice que la
ecuación diferencial controlada (2.7) es un sistema de orden n. Este sistema
puede convertirse en
35
2.2. MODELOS DE ESPACIO
DE ESTADO
forma de espacio de estados
definiendo
dn-1y/dtn-1
x1
x=
dn-2y/dtn-2
x2
.
=
.
xn-1
xn
,
..
dy/dt
y
y las ecuaciones del espacio de
estado se convierten en
x1
x2
d
dt
. =
-1
n
u
-a1 x1 ---- - anxn
x1
0
+ ., .
0 0
.
x
xn-2
xn-1
xn
y = xn.
Con las definiciones adecuadas de A, B, C y D, esta ecuación está en forma de
espacio de estados lineal.
Un sistema aún más general se obtiene dejando que la salida sea una
combinación lineal de los estados del sistema, es decir,
y = b1 x1 + b2 x2 + - - + bn xn + du.
Este sistema puede modelarse en el espacio de estados como
x1 -a1
1
d x2
0
x3
dt =
..
.
n
x 0
y=
b1
-a2
0
1
. . . -an−1
...
0
0
..
.
0
b2
1
. . . bn
-an
1
0
0 +x
.
0
0
0
0 u,
..
(2.8)
x + du.
Esta forma particular de un sistema de espacio de estados lineal se denomina
forma canónica alcanzable y se estudiará con más detalle en capítulos
posteriores.
Ejemplo 2.1 Sistemas de equilibrio
Un ejemplo de un tipo de sistema que puede modelarse mediante ecuaciones
diferenciales ordinarias es la clase de sistemas de equilibrio. Un sistema de
equilibrio es un sistema mecánico en el que el centro de masa está equilibrado
sobre un punto de pivote. En la figura 2.5 se muestran algunos ejemplos
comunes de sistemas de equilibrio. El transportador personal Segway® (figura
2.5a) utiliza una plataforma motorizada para estabilizar a una persona que está de
pie sobre ella. Cuando el conductor se inclina hacia delante, el dispositivo de
transporte se propulsa por el suelo pero mantiene su posición vertical. Otro
ejemplo es un cohete (figura 2.5b), en el que se utiliza una tobera cardánica en la
parte inferior del cohete para estabilizar el cuerpo del cohete por encima de él.
Otros ejemplos de sistemas de equilibrio son los seres humanos u otros animales
que se mantienen en posición vertical, o una persona que mantiene el equilibrio
con un bastón.
36
CAPÍTULO 2. MODELADO DEL
SISTEMA
m
l
F
(a) Segway
(b) Cohete Saturno
M
p
(c) Sistema carro-pendular
Figura 2.5: Sistemas de equilibrio. (a) Transportador personal Segway, (b) cohete Saturno
y (c) péndulo invertido sobre un carro. Cada uno de estos ejemplos utiliza fuerzas en la
parte inferior del sistema para mantenerlo en posición vertical.
su mano.
Los sistemas de equilibrio son una generalización del sistema muelle-masa que vimos
anteriormente.
Podemos escribir la dinámica para un sistema mecánico en la forma general
M(q)q¨ + C(q, q˙) + K(q) = B(q)u,
donde M(q) es la matriz de inercia del sistema, C(q, q˙) representa las fuerzas
de Coriolis y la amortiguación, K(q) da las fuerzas debidas a la energía potencial
y B(q) describe cómo las fuerzas externas aplicadas se acoplan a la dinámica. La
forma específica de las ecuaciones puede derivarse utilizando la mecánica
newtoniana. Obsérvese que
cada uno de los términos depende de la configuración del sistema q y que estos
términos suelen ser no lineales en las variables de configuración.
La figura 2.5c muestra un diagrama simplificado para un sistema de
equilibrio que consiste en un péndulo invertido sobre un carro. Para modelar este
sistema, elegimos variables de estado que representen la posición y la velocidad
de la base del sistema, p y p˙, y la velocidad an- gular y angular de la estructura
sobre la base, y ˙. Dejamos que F represente la fuerza aplicada en la base del
sistema, que se supone que está en la dirección horizontal (alineada con p), y
elegimos la posición y el ángulo del sistema como salidas. Con este conjunto de
definiciones, la dinámica del sistema puede calcularse utilizando la mecánica
- forma
newtoniana y tener la
F
(M + m)
ml 
p¨
cp˙ + ml  ˙2 = 0
,
(2.9)
˙
n
i
s
+
2
-ml  (J + ml ) 
- mgl
donde M es la masa de la base, m y J son la masa y el momento de inercia del
sistema a equilibrar, l es la distancia de la base al centro de masa del cuerpo
equilibrado, c y son coeficientes de fricción viscosa y g es la aceleración debida
a la gravedad.
Podemos reescribir la dinámica del sistema en forma de espacio de estados
definiendo el estado como x = (p, , p˙, ˙), la entrada como u = F y la salida
como y = (p, ). Si definimos
37
2.2. MODELOS DE ESPACIO
DE ESTADO
la masa total y la inercia total como
Mt = M + m,
Jt = J + ml2 ,
las ecuaciones de movimiento se convierten entonces en
p˙
˙
2
˙2
˙
-mls
+
mg(ml
/J
)s
c
d

t
  cp˙ -(/Jt )mlc + u
=
,
2
p˙ ˙
Mt - m(ml2/Jt )c
-ml2 s c ˙2 + Mt gls - clc p˙ −(Mt /m)˙ + lc u
p
dt
y=
p
Jt (Mt /m) - m(lc
)2
,
donde hemos utilizado la abreviatura c =  y s = sin.
En muchos casos, el ángulo será muy cercano a 0, por lo que podemos
utilizar las aproximaciones

≈
≈ y  . Además, si ˙ es pequeño,
podemos ignore cuadrática y términos superiores en ˙. Sustituyendo estas aproximaciones en
nuestras ecuaciones, vemos que nos queda una ecuación lineal del espacio de
estados
0
p 0
0
1
0 p
d
dt
p˙
=
˙
0
0
0
m2 l2 g/
0 Mt mgl/
0
100
y=
x,
0100
donde = Mt Jt - m2 l2 .
t
0
cJ 
-clm/
1 +
lm/
-/ ˙
−t
p˙
0 u,
J

t
lm/
Ejemplo 2.2 Péndulo invertido
Una variación del ejemplo anterior es aquella en la que no es necesario controlar
la ubicación de la base p. Esto ocurre, por ejemplo, si sólo nos interesa
estabilizar la orientación vertical de un cohete sin preocuparnos por la ubicación
de la base del mismo. La dinámica de este sistema simplificado viene dada por
d
dt ˙
=
mgl
 Jt
˙
˙ l Jt  u
+
Jt
,
y=,
(2.10)
donde es el coeficiente de fricción rotacional, Jt = J + ml2 y u es la fuerza
aplicada en la base. Este sistema se denomina péndulo invertido.
Ecuaciones de diferencia
En algunas circunstancias, es más natural describir la evolución de un sistema en
instantes discretos de tiempo que de forma continua en el tiempo. Si nos
referimos a cada
38
CAPÍTULO 2. MODELADO DEL
SISTEMA
de estos tiempos por un número entero k = 0, 1, 2, . . . Al igual que en el caso
de las ecuaciones diferenciales, definimos el estado como aquellos conjuntos de
variables que resumen el pasado del sistema para el
con el fin de predecir su futuro. Los sistemas descritos de esta manera se
denominan sistemas de tiempo discreto.
La evolución de un sistema de tiempo discreto puede escribirse de la forma
x[k + 1] = f (x[k], u[k]),
y[k] = h(x[k], u[k]),
(2.11)
donde x[k] ∈Rn es el estado del sistema en el momento k (un número entero),
u[k]
∈
∈ e y[k] Rq es la salida. Como antes, f y h son mapeos suaves de la
Rp es la entrada
dimensión apropiada. Llamamos a la ecuación (2.11) una ecuación de diferencia,
ya que nos dice cómo difiere x[k + 1] de x[k]. El estado x[k] puede ser una
cantidad de valor escalar o vectorial; en el caso de este último escribimos xj [k]
para el valor del estado j en el momento k.
Al igual que en el caso de las ecuaciones diferenciales, es frecuente que las
ecuaciones sean lineales en el estado y la entrada, en cuyo caso podemos
describir el sistema mediante
x[k + 1] = Ax[k] + Bu[k],
y[k] = Cx[k] + Du[k].
Al igual que antes, nos referimos a las matrices A, B, C y D como la matriz
dinámica, la matriz de control, la matriz de sensores y el término directo. La
solución de una ecuación de diferencia lineal con condición inicial x[0] y entrada
u[0], . . . , u[T ] viene dada por
k-1 k- j-1
k
x[k] = A x[0] + A
Bu[
j=0
k
k-1
y[k] = CA x[0] + CA
k > 0.
j],
k- j-1
(2.12)
Bu[ j] + Du[k],
j=0
Las ecuaciones en diferencia también son útiles como aproximación a las
ecuaciones diferenciales, como mostraremos más adelante.
Ejemplo 2.3 Depredador-presa
Como ejemplo de sistema de tiempo discreto, consideremos un modelo sencillo
para un sistema depredador-presa. El problema de depredador-presa se refiere a
un sistema ecológico en el que tenemos dos especies, una de las cuales se
alimenta de la otra. Este tipo de sistema se ha estudiado durante décadas y se
sabe que presenta una dinámica interesante. La figura 2.6 muestra un registro
histórico tomado durante 90 años de una población de linces frente a una
población de liebres [Mac37]. Como puede verse en el gráfico, los registros
anuales de las poblaciones de cada especie son de naturaleza oscilante.
Se puede construir un modelo sencillo para esta situación utilizando un
modelo de tiempo discreto, llevando la cuenta de la tasa de nacimientos y
muertes de cada especie. Dejando que H represente la población de liebres y L la
de linces, podemos describir el estado en términos de las poblaciones en periodos
de tiempo discretos. Sea-
39
2.2. MODELOS DE ESPACIO
DE ESTADO
160
140
120
100
80
60
40
20
Hare
Lynx
1845 1855 1865 1875 1885 1895 1905 1915 1925 1935
Figura 2.6: Depredador contra presa. La fotografía de la izquierda muestra un lince
canadiense y una liebre de raqueta, la principal presa del lince. El gráfico de la derecha
muestra las poblaciones de liebres y linces entre 1845 y 1935 en una sección de las
Rocosas canadienses [Mac37]. Los datos se recogieron anualmente durante un periodo de
90 años. (Fotografía con derechos de autor de Tom y Pat Leeson).
Si k es el índice de tiempo discreto (por ejemplo, el número del día o del mes), podemos
escribir
H[k + 1] = H[k] + br (u)H[k] - aL[k]H[k],
L[k + 1] = L[k] + cL[k]H[k] - df L[k],
(2.13)
donde br (u) es la tasa de natalidad de las liebres por unidad de periodo y en
función del suministro de alimento u, df es la tasa de mortalidad de los linces y a
y c son los coeficientes de interacción. El término de interacción aL[k]H[k]
modela la tasa de depredación, que se supone proporcional a la tasa de encuentro
entre depredadores y presas y, por tanto, viene dada por el producto de los
tamaños poblacionales. El término de interacción cL[k]H[k] en la dinámica del
lince tiene una forma similar y representa la tasa de crecimiento de la población
de linces.
de la población. Este modelo hace muchas suposiciones simplificadoras -como el
hecho de que las liebres disminuyen en número sólo por la depredación de los
linces- pero a menudo es suficiente para responder a las preguntas básicas sobre
el sistema.
Para ilustrar el uso de este sistema, podemos calcular el número de linces y
liebres en cada punto temporal a partir de una población inicial. Esto se hace
comenzando con x[0] = (H0 , L0 ) y luego utilizando la ecuación (2.13) para
calcular las poblaciones en el siguiente periodo. Al iterar este procedimiento,
podemos generar la población sobre
tiempo. El resultado de este proceso para una elección específica de parámetros y
condiciones iniciales se muestra en la figura 2.7. Aunque los detalles de la
simulación difieren de los datos experimentales (como era de esperar dada la
simplicidad de nuestras suposiciones), vemos tendencias cualitativamente
similares y, por tanto, podemos utilizar el modelo para ayudar a explorar la
dinámica del sistema.
Ejemplo 2.4 Servidor de correo electrónico
El servidor IBM Lotus es un sistema de software colaborativo que administra el
correo electrónico, los documentos y las notas de los usuarios. Los equipos
cliente interactúan con los usuarios finales para proporcionarles acceso a los
datos y las aplicaciones. El servidor también se encarga de otras tareas
administrativas. En los primeros desarrollos del sistema se observó que el
rendimiento era escaso cuando la unidad central de procesamiento (CPU) se
sobrecargaba debido a demasiadas peticiones de servicio, por lo que se
introdujeron mecanismos para controlar la carga.
La interacción entre el cliente y el servidor se realiza en forma de proce- dimiento remoto.
40
CAPÍTULO 2. MODELADO DEL
SISTEMA
250
Liebr
es
200
Linces
Po
150
bla
ció 100
n
50
0
1850
1860
1870
1880
Año
1890
1900
1910
1920
Figura 2.7: Simulación en tiempo discreto del modelo depredador-presa (2.13). Utilizando
los parámetros a = c = 0,014, br (u) = 0,6 y d = 0,7 en la ecuación (2.13) con
actualizaciones diarias, el periodo y la magnitud de los ciclos poblacionales del lince y la
liebre coinciden aproximadamente con los datos de la Figura 2.6.
llamadas de duración (RPCs). El servidor mantiene un registro de estadísticas de
las peticiones completadas. También se mide el número total de peticiones que
se están sirviendo, denominadas RIS (RPCs en el servidor). La carga del
servidor se controla mediante un parámetro llamado MaxUsers, que establece
el número total de conexiones de clientes al servidor. Este parámetro es
controlado por el administrador del sistema. El servidor puede considerarse
como un sistema dinámico en el que MaxUsers es la entrada y RIS la salida.
La relación entre la entrada y la salida se investigó primero explorando el
rendimiento en estado estacionario y se descubrió que era lineal.
En [HDPT04] se utiliza un modelo dinámico en forma de ecuación en
diferencias de primer orden para capturar el comportamiento dinámico de este
sistema. Utilizando técnicas de identificación del sistema, construyen un modelo
de la forma
y[k + 1] = ay[k] + bu[k],
donde u = MaxUsers -MaxUsers y y = RIS RIS.
- Los parámetros a =
0,43 y b = 0,47 son parámetros que describen la dinámica del sistema en torno
al punto de funcionamiento, y MaxUsers = 165 y RIS = 135 representan el
punto de funcionamiento nominal del sistema. El número de solicitudes se
promedió a lo largo de un
período de muestreo de 60 s.
Simulación y análisis
Los modelos de espacio de estados pueden utilizarse para responder a muchas
preguntas. Una de las más comunes, como hemos visto en los ejemplos
anteriores, consiste en predecir la evolución del estado del sistema a partir de una
condición inicial dada. Aunque en el caso de modelos sencillos esto puede
hacerse de forma cerrada, lo más frecuente es que se realice mediante simulación
por ordenador. También se pueden utilizar modelos de espacio de estados para
analizar el comportamiento global del sistema sin recurrir directamente a la
simulación.
Consideremos de nuevo el sistema muelle-masa amortiguado del apartado
2.1, pero esta vez con una fuerza externa aplicada, como se muestra en la figura
2.8. Queremos predecir el
41
2.2. MODELOS DE ESPACIO
DE ESTADO
q
c
m
u(t) = A sin t
k
Figura 2.8: Sistema muelle-masa accionado con amortiguación. Aquí utilizamos un
elemento de amortiguación lineal con coeficiente de fricción viscosa c. La masa es
impulsada con una fuerza sinusoidal de amplitud A.
movimiento del sistema para una función de forzamiento periódica, con una
condición inicial dada, y determinar la amplitud, la frecuencia y la tasa de
decaimiento del movimiento resultante.
Elegimos modelar el sistema con una ecuación diferencial ordinaria lineal.
Utilizando la ley de Hooke para modelar el muelle y suponiendo que el
amortiguador ejerce una fuerza proporcional a la velocidad del sistema, tenemos
mq¨ + cq˙ + kq = u,
(2.14)
donde m es la masa, q es el desplazamiento de la masa, c es el coeficiente de
fricción viscosa, k es la constante del muelle y u es la fuerza aplicada. En forma
de espacio de estados, utilizando x = (q, q˙) como estado y eligiendo y = q
como salida, tenemos
x2
dx
y = x1
k
u ,
dt = -mx c
.
2 - mx 1
+m
Vemos que se trata de una ecuación diferencial lineal de segundo orden con una
entrada u y una salida y.
Ahora queremos calcular la respuesta del sistema a una entrada de la forma u =
A sint. Aunque es posible resolver la respuesta analíticamente, en su lugar
utilizar un enfoque computacional que no depende de la forma específica de este
sistema. Consideremos el sistema general de espacio de estados
dx
= f (x, u).
dt
Dado el estado x en el momento t, podemos aproximar el valor del estado en un
corto tiempo h > 0 posterior suponiendo que la tasa de cambio de f (x, u) es
constante en el intervalo t a t + h. Esto da
x(t + h) = x(t) + h f (x(t), u(t)).
(2.15)
Al iterar esta ecuación, podemos resolver x en función del tiempo. Esta
aproximación se conoce como integración de Euler y es, de hecho, una ecuación
en diferencia si dejamos que h represente el incremento de tiempo y escribimos
x[k] = x(kh). Aunque las herramientas de simulación modernas, como MATLAB
y Mathematica, utilizan métodos más precisos que la integración de Euler,
siguen teniendo algunos de los mismos compromisos básicos.
42
CAPÍTULO 2. MODELADO DEL
SISTEMA
2
1
Po
sic
ió 0
n
q
[m -1
]
-2
0
h=1
h = 0.5
h = 0.1
analítica
5
10
15
20
25
30
Tiempo t [seg]
35
40
45
50
Figura 2.9: Simulación del sistema muelle-masa forzado con diferentes constantes de
tiempo de simulación. La línea continua representa la solución analítica. Las líneas
discontinuas representan la solución aproximada mediante el método de integración de
Euler, utilizando tamaños de paso decrecientes.
Volviendo a nuestro ejemplo concreto, la figura 2.9 muestra los resultados del
cálculo de x(t) mediante la ecuación (2.15), junto con el cálculo analítico. Vemos
que a medida que h se reduce, la solución calculada converge a la solución
exacta. La forma de la solución también es digna de mención: después de un
transitorio inicial, el sistema se asienta en un movimiento periódico. La parte de
la respuesta después del transitorio se llama
respuesta en estado estacionario a la entrada.
Además de generar simulaciones, los modelos también pueden utilizarse para
responder a otro tipo de preguntas. Dos de ellas, que son fundamentales para los
métodos descritos en este texto, se refieren a la estabilidad de un punto de
equilibrio y a la respuesta en frecuencia de entrada/salida. Ilustramos estos dos
cálculos a través de los siguientes ejemplos y volvemos a los cálculos generales
en capítulos posteriores.
Volviendo al sistema muelle-masa amortiguado, las ecuaciones de
movimiento sin forzamiento de entrada vienen dadas por
dx =
dt
c x2 k ,
- mx2 - mx 1
(2.16)
donde x1 es la posición de la masa (respecto a la posición de reposo) y x2 es su
velocidad. Queremos demostrar que si el estado inicial del sistema se aleja de la
posición de reposo, el sistema volverá eventualmente a la posición de reposo
(más adelante definiremos esta situación como que la posición de reposo es
asintóticamente estable). Aunque podríamos demostrarlo de forma heurística
simulando muchísimas condiciones iniciales, lo que pretendemos es demostrar
que esto es cierto para cualquier condición inicial.
Para ello, construimos una función V : Rn→R que asigna el estado del sistema
a un número real positivo. En el caso de los sistemas mecánicos, una opción
conveniente es la energía del sistema,
1
1
V (x) = kx2 + mx2 .
(2.17)
1
2
2
2
43
2.2. MODELOS DE ESPACIO
DE ESTADO
Si observamos la derivada temporal de la función de energía, vemos que
dV
c
k
2
= kx1 x˙1 + mx2 x˙2 = kx1 x2 + mx2 (- x2 - x1 ) = -cx
2 ,
dt
m
m
que siempre es negativo o cero. Por lo tanto, V (x(t)) nunca es creciente y,
utilizando un poco de análisis que veremos formalmente más adelante, los
estados individuales deben permanecer acotados.
Si queremos demostrar que los estados acaban volviendo al origen, debemos
utilizar un análisis algo más detallado. Intuitivamente, podemos razonar de la
siguiente manera: supongamos que durante algún periodo de tiempo, V (x(t))
deja de disminuir. Entonces debe ser cierto que
V˙ (x(t)) = 0, lo que a su vez implica que x2 (t) = 0 para ese mismo periodo. En ese caso
x˙2 (t) = 0, y podemos sustituir en la segunda línea de la ecuación (2.16) para obtener
c
k
k
0 = x˙2 = - x2 - x1 = - x1 .
m
m
m
Por lo tanto debemos tener que x1 también es igual a cero, y por lo tanto el único
momento en que V (x(t)) puede dejar de disminuir es si el estado está en el origen
(y por lo tanto este sistema está en su reposo
posición). Como sabemos que V (x(t)) nunca es creciente (porque V˙
≤ 0), nos
por tanto concluimos que el origen es estable (para cualquier
condición inicial).
Este tipo de análisis, denominado análisis de estabilidad de Lyapunov, se
estudia en detalle en el capítulo 4. Muestra parte de la potencia del uso de modelos
para el análisis de las propiedades del sistema.
Otro tipo de análisis que podemos realizar con modelos es calcular la salida
de un sistema a una entrada sinusoidal. Volvemos a considerar el sistema muellemasa, pero esta vez manteniendo la entrada y dejando el sistema en su forma
original:
mq¨ + cq˙ + kq = u.
(2.18)
Queremos entender cómo responde el sistema a una entrada sinusoidal de la forma
u(t) = A sint.
Veremos cómo hacer esto analíticamente en el capítulo 6, pero por ahora
hacemos uso de simulaciones para calcular la respuesta.
Comenzamos con la observación de que si q(t) es la solución de la ecuación
(2.18) con la entrada u(t), entonces la aplicación de una entrada 2u(t) dará una
solución 2q(t) (esto se verifica fácilmente por sustitución). Por lo tanto, basta con
considerar una entrada con magnitud unitaria, A = 1. Una segunda observación,
que demostraremos en el capítulo 5, es que la respuesta a largo plazo del sistema
a una entrada sinusoidal es a su vez una sinusoide a la misma
frecuencia, por lo que la salida tiene la forma
q(t) = g() sin(t + ()),
donde g() se llama ganancia del sistema y () se llama fase (o desfase).
Para calcular la respuesta en frecuencia numéricamente, podemos simular el
sistema en un conjunto de frecuencias1 , . . . ,N y trazar la ganancia y la fase en
cada una de estas frecuencias. En la figura 2.10 se muestra un ejemplo de este
tipo de cálculo.
44
CAPÍTULO 2. MODELADO DEL
SISTEMA
4
101
2
Ga 0
10
na
nci
a
(es 10-1
cal
a
lo 10-2
10ga
1
rít
mi
ca)
Sa
lid 0
ay
-2
-4
0
10
20
30
Tiempo [s]
40
50
100
Frecuencia [rad/seg] (escala
logarítmica)
101
Figura 2.10: Una respuesta en frecuencia (sólo ganancia) calculada midiendo la respuesta
de sinusoides individuales. La figura de la izquierda muestra la respuesta del sistema en
función del tiempo a una serie de entradas de diferente magnitud unitaria (a diferentes
frecuencias). La figura de la derecha muestra estos mismos datos de forma diferente, con la
magnitud de la respuesta trazada en función de la frecuencia de entrada. Los círculos
rellenos corresponden a las frecuencias particulares mostradas en las respuestas
temporales.
2.3 Modelado Metodología
Para tratar sistemas grandes y complejos, es útil disponer de distintas
representaciones del sistema que capten las características esenciales y oculten
los detalles irrelevantes. En todas las ramas de la ciencia y la ingeniería es
práctica habitual utilizar alguna descripción gráfica de los sistemas, denominada
diagrama esquemático. Pueden ir desde imágenes estilizadas hasta símbolos
estándar drásticamente simplificados. Estas imágenes permiten obtener una
visión global del sistema e identificar los componentes individuales. En la figura
2.11 se muestran ejemplos de estos diagramas. Los diagramas esquemáticos son
útiles porque ofrecen una imagen global de un sistema, mostrando los diferentes
subprocesos y su interconexión e indicando las variables que pueden manipularse
y las señales que pueden medirse.
Diagramas de bloques
En la ingeniería de control se ha desarrollado una representación gráfica especial
denominada diagrama de bloques. El propósito de un diagrama de bloques es
enfatizar el flujo de información y ocultar los detalles del sistema. En un
diagrama de bloques, los diferentes elementos del proceso se muestran como
cajas, y cada caja tiene entradas denotadas por líneas con flechas que apuntan
hacia la caja y salidas denotadas por líneas con flechas que salen de la caja. Las
entradas denotan las variables que influyen en el proceso, y las salidas las señales
que nos interesan o que influyen en otros subsistemas. Los diagramas de bloques
también pueden organizarse en jerarquías, donde los bloques individuales pueden
contener a su vez diagramas de bloques más detallados.
La figura 2.12 muestra parte de la notación que utilizamos para los diagramas
de bloques. Las señales se representan como líneas, con flechas para indicar las
entradas y salidas. El primer diagrama es la representación de una suma de dos
señales. Una respuesta de entrada/salida se representa como un rectángulo con el
nombre del sistema (o el nombre matemático).
45
2.3. METODOLOGÍA DE
MODELIZACIÓN
Símbolo del
generador
Símbolo del
transformado
2r
Autobús
Autob
ús
codificación símbolo
1
Línea de
conexión con el
sistema vecino
3
-150
0°
4
NRINRI-P
glnAp2 0°
glnG
Símbolo de
línea
5
6
glnKp
lacl
Símbolo de
carga
Lacl
(a) Electrónica de potencia
(b) Biología celular
(listo para
enviar)
LC
p1 1
L
(salida)
D
EN
V
(buffer
en
uso)
t
t5
(producir
)
AC
AC
(ack.
recibido)
LC
EN
p6
B
p3
(entrad
a)
p2
p5
p4
(espera
ndo el
ack.)
(recibido)
p7
t4
(recibir
ack.)
Proceso A
(c) Control de procesos
t3
(listo
para
recibir)
t6
(consumir)
(envi
ar
ack.)
p8
(buffer
en
uso)
(ack.
Proceso
B
enviado)
(d) Conexión en red
Figura 2.11: Diagramas esquemáticos de diferentes disciplinas. Cada diagrama se utiliza
para ilustrar la dinámica de un sistema de retroalimentación: (a) esquema eléctrico para un
sistema de energía [Kun93],
(b) un diagrama de circuito biológico para un circuito de reloj sintético [ASMN03], (c) un
diagrama de proceso para una columna de destilación [SEM04] y (d) una descripción de
red de Petri de un protocolo de comunicación.
u2
u1
u1 +
u2
(a) Unión de la suma
u
u
k
ku
u
(b) Bloque de
ganancia
f (u)
u
-
(c) Saturación
- t (t)
0
(d) Mapa no lineal
sat(u)
udt
u
Sistema
y
(f) Sistema de entrada/salida
(e) Integrador
Figura 2.12: Elementos del diagrama de bloques estándar. Las flechas indican las entradas
y salidas de cada elemento, con la operación matemática correspondiente al bloqueo
etiquetado en la salida. El bloque del sistema (f) representa la respuesta completa de
entrada/salida de un sistema dinámico.
46
CAPÍTULO 2. MODELADO DEL
SISTEMA
Viento
(d) Arrastre
Aerodi
námica
Ref
(a)
Sensorial
Motor
Sistema
-1
(b) Ala
Aerodi
námica
(c)
Dinámica
corporal
(e) Visión
Sistema
Figura 2.13: Representación en diagrama de bloques del sistema de control de vuelo de un
insecto que vuela contra el viento. La parte mecánica del modelo consiste en la dinámica
del cuerpo rígido de la mosca, la resistencia debida al vuelo en el aire y las fuerzas
generadas por las alas. El movimiento del cuerpo hace que cambie el entorno visual de la
mosca, y esta información se utiliza para controlar el movimiento de las alas (a través del
sistema motor sensorial), cerrando el bucle.
scripción) en el bloque. Dos casos especiales son una ganancia proporcional, que
escala la entrada por un factor multiplicativo, y un integrador, que emite la
integral de la señal de entrada.
La figura 2.13 ilustra el uso de un diagrama de bloques, en este caso para
modelar la respuesta de vuelo de una mosca. La dinámica de vuelo de un insecto
es increíblemente intrincada e implica una cuidadosa coordinación de los músculos
de la mosca para mantener un vuelo estable en respuesta a los estímulos externos.
Una característica conocida de las moscas es su capacidad para volar contra el
viento utilizando el flujo óptico de sus ojos compuestos como mecanismo de
retroalimentación. A grandes rasgos, la mosca controla su orientación para que el
punto de contracción del campo visual esté centrado en su campo visual.
Para entender este complejo comportamiento, podemos descomponer la
dinámica global del sistema en una serie de subsistemas (o bloques)
interconectados. Si nos remitimos a la figura 2.13, podemos modelar el sistema
de navegación de los insectos mediante una interconexión de cinco bloques. El
sistema motor sensorial (a) toma la información del sistema visual (e) y genera
órdenes musculares que intentan dirigir la mosca de forma que el punto de
contracción esté centrado. Estas órdenes musculares se convierten en fuerzas
mediante el batir de las alas (b) y las consiguientes fuerzas aerodinámicas que se
producen. Las fuerzas de las alas se combinan con la resistencia de la mosca (d)
para producir una fuerza neta sobre el cuerpo de la mosca. La velocidad del
viento entra a través de la aerodinámica de arrastre. Finalmente, la dinámica del
cuerpo (c) describe cómo la mosca se traslada y gira en función de las fuerzas
netas que se le aplican. La posición, la velocidad y la orientación del insecto se
devuelven a los bloques de aerodinámica de arrastre y sistema de visión como
entradas.
Cada uno de los bloques del diagrama puede ser en sí mismo un subsistema
complicado. Por ejemplo, el sistema visual de una mosca de la fruta consta de
dos complicados ojos compuestos (con unos 700 elementos por ojo), y el sistema
sensorial motor tiene unos
47
2.3. METODOLOGÍA DE
MODELIZACIÓN
200.000 neuronas que se utilizan para procesar la información. Un diagrama de
bloques más detallado del sistema de control de vuelo de los insectos mostraría
las interconexiones entre estos elementos, pero aquí hemos utilizado un bloque
para representar cómo el movimiento de la mosca afecta a la salida del sistema
visual, y un segundo bloque para representar cómo el campo visual es procesado
por el cerebro de la mosca para generar órdenes musculares. La elección del
nivel de detalle de los bloques y de los elementos que se separan en diferentes
bloques depende a menudo de la experiencia y de las preguntas que se quieren
responder con el modelo. Una de las características más potentes de los
diagramas de bloques es su capacidad para ocultar información sobre los detalles
de un sistema que puede no ser necesaria para comprender la dinámica esencial
del sistema.
Modelización a partir de experimentos
Dado que los sistemas de control están provistos de sensores y actuadores,
también es posible obtener modelos de la dinámica del sistema a partir de
experimentos sobre el proceso. Los mod- eles se limitan a modelos de
entrada/salida, ya que sólo estas señales son accesibles a los experimentos, pero
el modelado a partir de experimentos también puede combinarse con el
modelado a partir de la física mediante el uso de la retroalimentación y la
interconexión.
Una forma sencilla de determinar la dinámica de un sistema es observar la
respuesta a un cambio escalonado de la señal de control. Un experimento de este
tipo comienza ajustando la señal de control a un valor constante; luego, cuando
se establece el estado estacionario, la señal de control se cambia rápidamente a
un nuevo nivel y se observa la salida. El experimento proporciona la respuesta
escalonada del sistema, y la forma de la respuesta ofrece información útil sobre
la dinámica. En primer lugar, indica el tiempo de respuesta y permite saber si el
sistema es oscilante o si la respuesta es monótona.
Ejemplo 2.5 Sistema muelle-masa
Consideremos el sistema muelle-masa del apartado 2.1, cuya dinámica viene dada por
mq¨ + cq˙ + kq = u.
(2.19)
Queremos determinar las constantes m, c y k midiendo la respuesta del sistema a
una entrada escalonada de magnitud F0 .
Mostraremos en el capítulo 6 que cuando c2 < 4km, la respuesta al escalón para
este sistema desde la configuración de reposo viene dada por
!
r
F0
1
k
ct
¡q(t) =
1exp - sin(d t + ) ,
k
m
2m
d
√4km
√4km
!
- c2
- c2
,
= ¡tan-1
.
d =
2m
c
A partir de la forma de la solución, vemos que la forma de la respuesta está
determinada por los parámetros del sistema. Por lo tanto, midiendo ciertas
características de la respuesta escalonada podemos determinar los valores de los
parámetros.
La figura 2.14 muestra la respuesta del sistema a un escalón de magnitud F0
= 20 N, junto con algunas mediciones. Comenzamos observando que la posición
en estado estacionario
48
CAPÍTULO 2. MODELADO DEL
SISTEMA
0.8
q(t )
1
q(t )
0.6
Po
sic
ió 0.4
n
q
[m 0.2
]
0
0
q()
2
T
5
10
15
20
25
30
Tiempo t [s]
35
40
45
50
Figura 2.14: Respuesta escalonada de un sistema de muelle-masa. La magnitud de la
entrada escalonada es F0 = 20 N. El periodo de oscilación T se determina observando el
tiempo entre dos máximos locales posteriores en la respuesta. El período, combinado con
el valor de estado estacionario q() y la disminución relativa entre los máximos locales,
puede utilizarse para estimar los parámetros en un modelo del sistema.
de la masa (después de que las oscilaciones se apaguen) es una función de la constante
del muelle k:
F0
q() =
,
(2.20)
k
donde F0 es la magnitud de la fuerza aplicada (F0 = 1 para una entrada de paso
unitario). El parámetro 1/k se denomina ganancia del sistema. El período de la
oscilación puede medirse entre dos picos y debe satisfacer
√4km

- c2
=
.
(2.21)
T
2m
Por último, la velocidad de decaimiento de las oscilaciones viene dada por el
factor exponencial de la solución. Midiendo la cantidad de decaimiento entre dos
picos, tenemos
F0
F0
c
-log q(t2 ) = (t2 - t1 ).
(2.22)
k
k
2m
Utilizando este conjunto de tres ecuaciones, podemos resolver los parámetros y
determinar que para la respuesta escalonada de la figura 2.14 tenemos m ≈ 250
kg, c ≈ 60 N s/m y k ≈ 40 N/m.
log q(t1 ) -
La modelización a partir de experimentos también puede realizarse utilizando
muchas otras señales. Las señales sinuosas se utilizan habitualmente (sobre todo
en los sistemas con dinámica rápida) y pueden obtenerse mediciones precisas
aprovechando las técnicas de correlación. Se puede obtener una indicación de las
no linealidades repitiendo los experimentos con señales de entrada de diferentes
amplitudes.
Normalización y escalado
Una vez obtenido un modelo, suele ser útil escalar las variables introduciendo
variables sin dimensión. Este procedimiento a menudo puede simplificar las
ecuaciones de un sistema reduciendo el número de parámetros y revelar
propiedades interesantes de
49
2.3. METODOLOGÍA DE
MODELIZACIÓN
el modelo. El escalado también puede mejorar el acondicionamiento numérico
del modelo para permitir simulaciones más rápidas y precisas.
El procedimiento de escalado es sencillo: elegir unidades para cada variable
independiente e introducir nuevas variables dividiendo las variables por la
unidad de nor- malización elegida. Ilustramos el procedimiento con dos
ejemplos.
Ejemplo 2.6 Sistema muelle-masa
Consideremos de nuevo el sistema muelle-masa introducido anteriormente.
Despreciando la amortiguación, el sistema se describe por
mq¨ + kq = u.
El modelo tiene dos parámetros m y k. Para normalizar el modelo
j introducimos
variables sin dimensión x = q/l y =0 t, donde0 =
k/m y l es el
escala de longitud elegida. Escalamos la fuerza por  e introducimos v = u/(). El
0
La ecuación a escala se convierte entonces en
d2 x
d2 q/l
1
=
=
(-kq + u) = -x + v,

d(0t)2  0
0
que es el sistema muelle-masa no amortiguado normalizado. Nótese que el
modelo normalizado no tiene parámetros, mientras que el modelo original tenía
dos parámetros m y k. Introduciendo las variables de estado escaladas y sin
dimensiones z1 = x = q/l y
z2 = dx/d = q˙/(0 ), el modelo puede escribirse como
d z1 0
1z1+ .0
=
v
dt z2 -1 0z2
Esta sencilla ecuación lineal describe la dinámica de cualquier sistema muellemasa, independientemente de los parámetros particulares, y por tanto nos permite
conocer la dinámica fun- damental de este sistema oscilatorio. Para recuperar la
frecuencia física de oscilación o su magnitud, debemos invertir el escalamiento
que hemos aplicado.
Ejemplo 2.7 Sistema de equilibrio
Consideremos el sistema de equilibrio descrito en el apartado 2.1. Despreciando
la amortiguación poniendo c = 0 y = 0 en la ecuación (2.9), el modelo puede
escribirse como
 2
d2
d2 p
(M + m)
- ml 
+ ml 
= F,
dt
dt2
dt2 2
2
d p
2 d
-ml 
+ (J + ml )
- mgl  = 0.
dt2
dt2
j
Sea0 =
mgl/(J + ml2), elija la escala de longitud como l, deje que la escala de tiempo
sea 1/0 ,
elegir la escala de fuerza como (M + m) e introducir las variables de escala =0 t,
0
x = p/l y u = F/((M + m))
0 . Las ecuaciones se convierten entonces en
2
d 2
2
d2
d2 x
= u, −  d+x d-sin
=
− 
+ 
 



0,2 ). Obsérvese que el modelo original tiene
donde = m/(M + m) y = ml2 /(J + ml
cinco parámetros m, M, J, l y g, pero el modelo normalizado sólo tiene dos
parámetros
50
CAPÍTULO 2. MODELADO DEL
SISTEMA
102
Sa
lid 100
ay
10-2
10−2
100
102
Entrad
au
101
A
m 100
pli
tu
10d
1
(a) Incertidumbre
estática
M
u
101
102
Frecuencia
(b) Limón de la
incertidumbre
y
103
(c) Incertidumbre del modelo
Figura 2.15: Caracterización de la incertidumbre del modelo. La incertidumbre de un
sistema estático se ilustra en (a), donde la línea sólida indica la relación nominal de
entrada/salida y las líneas discontinuas indican el rango de incertidumbre posible. El limón
de la incertidumbre [GPD59] en
(b) es una forma de capturar la incertidumbre en los sistemas dinámicos enfatizando que
un modelo es válido sólo en algunos rangos de amplitud y frecuencia. En (c) un modelo es
representado por un modelo nominal M y otro modelo que representa la incertidumbre
análoga a la representación de la incertidumbre de los parámetros.
2
y . SiM
≫ my ml
≫ J, obtenemos
≈ 0y
≈ 1 y el modelo puede
ser aproximado por
d2 x
d2
= u,
-sin = u cos.


El modelo puede interpretarse como una masa combinada con un péndulo
invertido accionado por la misma entrada.
Incertidumbre del modelo
La reducción de la incertidumbre es una de las principales razones para utilizar la
retroalimentación, por lo que es importante caracterizarla. Cuando se realizan
mediciones, existe una buena tradición de asignar tanto un valor nominal como
una medida de incertidumbre. Es útil aplicar el mismo principio a la modelización,
pero desgraciadamente suele ser difícil expresar cuantitativamente la
incertidumbre de un modelo.
Para un sistema estático cuya relación entrada/salida puede caracterizarse por
una función, la incertidumbre puede expresarse mediante una banda de
incertidumbre, como se ilustra en la f i g u r a 2.15a. En niveles de señal bajos
hay incertidumbres debidas a la resolución del sensor, la fricción y la
cuantificación. Algunos modelos para sistemas de colas o celdas se basan en
promedios que presentan variaciones significativas para poblaciones pequeñas.
En niveles de señal grandes hay saturaciones o incluso fallos del sistema. Los
rangos de señal en los que un modelo es razonablemente preciso varían
drásticamente entre las aplicaciones, pero es raro encontrar modelos que sean
precisos para rangos de señal superiores a 104 .
La caracterización de la incertidumbre de un modelo dinámico es mucho más
difícil. Podemos intentar capturar las incertidumbres asignando incertidumbres a
los parámetros del modelo, pero a menudo esto no es suficiente. Puede haber
errores debidos a fenómenos que se han despreciado, por ejemplo, pequeños
retrasos temporales. En el control, la prueba definitiva es el rendimiento de un
sistema de control basado en el modelo, y los retrasos temporales pueden ser
importantes. También hay un aspecto relacionado con la frecuencia. Hay
fenómenos lentos, como el envejecimiento, que
2.4. EJEMPLOS DE
MODELIZACIÓN
51
pueden provocar cambios o derivas en los sistemas. También hay efectos de alta
frecuencia: una resistencia dejará de ser una resistencia pura a frecuencias muy
altas, y una viga tiene rigidez y mostrará una dinámica adicional cuando esté
sujeta a una excitación de alta frecuencia. El limón de la incertidumbre [GPD59]
mostrado en la Figura 2.15b es una forma de conceptualizar la incertidumbre de
un sistema. Ilustra que un modelo es válido sólo en ciertos rangos de amplitud y
frecuencia.
En el capítulo 12 introduciremos algunas herramientas formales para
representar la incertidumbre utilizando figuras como la de la figura 2.15c. Estas
herramientas utilizan el concepto de función de transición, que describe la
respuesta en frecuencia de un sistema de entrada/salida. Por el momento, nos
limitamos a señalar que siempre hay que tener cuidado de reconocer los límites
de un modelo y no hacer uso de modelos fuera de su rango de aplicabilidad. Por
ejemplo, se puede describir el limón de la incertidumbre y luego comprobar que
las señales permanecen en esta región. En los primeros tiempos de la informática
analógica, se simulaba un sistema mediante amplificadores operacionales, y era
habitual dar alarmas cuando se superaban ciertos niveles de señal. Se pueden
incluir características similares en la simulación digital.
2.4 Modelado Ejemplos
En esta sección introducimos ejemplos adicionales que ilustran algunos de los
diferentes tipos de sistemas para los que se pueden desarrollar modelos de
ecuaciones diferenciales y ecuaciones en diferencia. Estos ejemplos se han
escogido específicamente de una serie de campos diferentes para destacar la
amplia variedad de sistemas a los que se pueden aplicar los conceptos de
retroalimentación y control. En el siguiente capítulo se ofrece un conjunto más
detallado de aplicaciones que sirven de ejemplos a lo largo del texto.
Sistemas de control de movimiento
Los sistemas de control de movimiento implican el uso de la computación y la
retroalimentación para controlar el movimiento de un sistema mecánico. Los
sistemas de control de movimiento van desde los sistemas de
nanoposicionamiento (microscopios de fuerza atómica, óptica adaptativa),
pasando por los sistemas de control de los cabezales de lectura/escritura de una
unidad de disco de un reproductor de CD, hasta los sistemas de fabricación
(máquinas de transferencia y robots industriales), pasando por los sistemas de
control de automóviles (frenos antibloqueo, control de la suspensión, control de
la tracción), y los sistemas de control de vuelos aéreos y espaciales (aviones,
satélites, cohetes y rovers planetarios).
Ejemplo 2.8 Dirección del vehículo: el modelo de la bicicleta
Un problema habitual en el control del movimiento es controlar la trayectoria de
un vehículo mediante un actuador que provoca un cambio de orientación. El
volante de un automóvil y la rueda delantera de una bicicleta son dos ejemplos,
pero dinámicas similares se dan en la dirección de barcos o en el control de la
dinámica de cabeceo de un avión. En muchos casos, podemos entender el
comportamiento básico de estos sistemas mediante el uso de un modelo sencillo
que capta la cinemática básica del sistema.
Consideremos un vehículo con dos ruedas como el que se muestra en la
52
figura 2.16. A efectos de dirección nos interesa un
velocidad del
CAPÍTULO 2. MODELADO DEL
SISTEMA
modelo
que describa cómo la
53
2.4. EJEMPLOS DE
MODELIZACIÓN
y
O

a
b
x
Figura 2.16: Dinámica de dirección del vehículo. La figura de la izquierda muestra una
vista aérea de un vehículo con cuatro ruedas. La base de las ruedas es b y el centro de masa
está a una distancia a por delante de las ruedas traseras. Al aproximar el movimiento de los
pares de ruedas delanteras y traseras por una sola rueda delantera y una sola rueda trasera,
obtenemos una abstracción llamada modelo de bicicleta, que se muestra a la derecha. El
ángulo de dirección es y la velocidad en el centro de masa tiene el 
en relación con el eje longitudinal del vehículo. La posición del vehículo viene dada por
(x, y) y la orientación (rumbo) por .
del vehículo depende del ángulo de giro . En concreto, consideremos la
velocidad v en el centro de masa, a una distancia a de la rueda trasera, y dejemos
que b sea la distancia entre las ruedas, como se muestra en la figura 2.16. Sean x
e y las coordenadas del centro de masa, el ángulo de dirección y el ángulo entre
el vector velocidad v y la línea central del vehículo. Como b = ra  y a = ra
tan, se deduce que  = (a/b) 
y obtenemos la siguiente relación entre y el ángulo de giro :
a tan
() = arctan
.
(2.23)
b
Supongamos que las ruedas ruedan sin deslizamiento y que la velocidad de la
rueda trasera es v0 . La velocidad del vehículo en su centro de masa es v = v0 /
cos, y encontramos que el movimiento de este punto viene dado por
dx
= v cos( + ) = v0
dt
cos( + )
,
co
sin( + )
.
porqu
(2.24)
dy
= v sin( + ) = v0
dt
Para ver cómo influye el ángulo de dirección, observamos en la Fig. 2.16 que el
vehículo gira con la velocidad angular v0 /ra alrededor del punto
O. Por lo tanto,

v0
v0
= = tan.
(2.25)
dt ra
b
Las ecuaciones (2.23)-(2.25) pueden usarse para modelar un automóvil bajo
la suposición de que no hay deslizamiento entre las ruedas y la carretera y que
las dos ruedas delanteras pueden ser aproximadas por una sola rueda en el centro
del coche. La suposición de que no hay deslizamiento puede relajarse añadiendo
una variable de estado adicional, lo que da lugar a un modelo más realista. Este
modelo también describe la dinámica de dirección de los barcos
54
CAPÍTULO 2. MODELADO DEL
SISTEMA
r
y
F
2
x
(a) Harrier "jump jet"
F1
(b) Modelo simplificado
Figura 2.17: Avión de empuje vectorial. El avión militar Harrier AV-8B (a) redirige el
empuje de su motor hacia abajo para poder "flotar" sobre el suelo. Una parte del aire del
motor se desvía hacia las puntas de las alas para utilizarlo en las maniobras. Como se
muestra en (b), el empuje neto sobre la aeronave puede descomponerse en una fuerza
horizontal F1 y una fuerza vertical F2 que actúa a una distancia r del centro de masa.
como la dinámica de cabeceo de aviones y misiles. También es posible elegir las
coordenadas para que el punto de referencia esté en las ruedas traseras (lo que
corresponde a la configuración
= 0), un modelo que suele denominarse coche de Dubins [Dub57].
La figura 2.16 representa la situación cuando el vehículo avanza y tiene
dirección en las ruedas delanteras. El caso en el que el vehículo da marcha atrás
se obtiene cambiando el signo de la velocidad, lo que equivale a un vehículo con
dirección en las ruedas traseras.
Ejemplo 2.9 Avión de empuje vectorial
Consideremos el movimiento de las aeronaves con empuje vectorial, como el
Harrier "jump jet" que se muestra en la Figura 2.17a. El Harrier es capaz de
despegar verticalmente redirigiendo su empuje hacia abajo y mediante el uso de
pequeños propulsores de maniobra situados en sus alas. En la Figura 2.17b se
muestra un modelo simplificado del Harrier, en el que nos centramos en el
movimiento del vehículo en un plano vertical a través de las alas del avión.
Resolvemos las fuerzas generadas por el propulsor principal hacia abajo y los
propulsores de maniobra como un par de fuerzas F1 y F2 que actúan a una
distancia r por debajo de la aeronave (determinada por la geometría de los
propulsores).
Sean (x, y, ) la posición y la orientación del centro de masa de la aeronave.
Sea m la masa del vehículo, J el momento de inercia, g la constante gravitacional
y c el coeficiente de amortiguación. Entonces las ecuaciones de movimiento para
el
del vehículo vienen dadas por
mx¨ = F1  - F2  - cx˙,
my¨ = F1  + F2  - mg -
(2.26)
cy˙,  = rF1 .
Es conveniente redefinir las entradas para que el origen sea un punto de equilibrio
55
2.4. EJEMPLOS DE
MODELIZACIÓN
x
mensajes
entrantes
cola de
mensajes
mensajes
salientes
Figura 2.18: Diagrama esquemático de un sistema de colas. Los mensajes llegan a un
ritmo y se almacenan en una cola. Los mensajes se procesan y se retiran de la cola a un ritmo
. El tamaño medio de la cola viene dado por x ∈ R.
del sistema con entrada cero. Dejando que u1 = F1 y u2 = F2- mg, las ecuaciones
convertirse en
mx¨ = -mg  - cx˙+ u1  - u2 sin,
(2.27)
my¨ = mg( - 1) - cy˙+ u1  + u2 cos,
 = ru1 .
Estas ecuaciones describen el movimiento del vehículo como un conjunto de tres
ecuaciones diferenciales de segundo orden acopladas.
Sistemas de información
Los sistemas de información abarcan desde los sistemas de comunicación como
Internet hasta los sistemas de software que manipulan datos o gestionan los
recursos de la empresa. La retroalimentación está presente en todos estos
sistemas, y el diseño de estrategias de enrutamiento, control de flujo y gestión de
búferes es un problema típico. Muchos resultados de la teoría de colas surgieron
del diseño de sistemas de telecomunicaciones y, posteriormente, del desarrollo de
la In- ternet y de los sistemas de comunicación informática [BG87, Kle75,
Sch87]. La gestión de las colas para evitar la congestión es un problema central
y, por tanto, empezaremos discutiendo el modelado de los sistemas de colas.
Ejemplo 2.10 Sistemas de colas
En la Figura 2.18 se muestra un esquema de una cola simple. Las solicitudes
llegan, se ponen en cola y se procesan. Puede haber grandes variaciones en las
tasas de llegada y de servicio, y la longitud de la cola se acumula cuando la tasa
de llegada es mayor que la tasa de servicio. Cuando la cola es demasiado grande,
se deniega el servicio mediante una política de control de admisión.
El sistema puede modelarse de muchas maneras diferentes. Una de ellas es
modelar cada solicitud entrante, lo que conduce a un modelo basado en eventos en
el que el estado es un número entero que representa la longitud de la cola. La cola
cambia cuando llega una solicitud o se atiende una solicitud. Las estadísticas de
llegada y servicio suelen modelarse como procesos aleatorios. En muchos casos
es posible determinar las estadísticas de cantidades como la longitud de la cola y
el tiempo de servicio, pero los cálculos pueden ser bastante complicados.
Se puede obtener una simplificación significativa utilizando un modelo de
flujo. En lugar de hacer un seguimiento de cada solicitud, consideramos el
servicio y las solicitudes como flujos, de forma similar a lo que se hace cuando
se sustituyen las moléculas por un continuo al analizar
56
CAPÍTULO 2. MODELADO DEL
SISTEMA
fluidos. Suponiendo que la longitud media de la cola x es una variable continua y
que las llegadas y los servicios son flujos con tasas y , el sistema puede
modelarse mediante la ecuación diferencial de primer orden
dx
= − = −max f (x),
x ≥ 0,
(2.28)
dt
dondemax es la tasa de servicio máxima y f (x) es un número entre 0 y 1 que
describe la tasa de servicio efectiva en función de la longitud de la cola.
Es natural suponer que la tasa de servicio efectiva depende de la longitud de
la cola porque las colas más grandes requieren más recursos. En estado
estacionario tenemos f (x) = max , y suponemos que la longitud de la cola llega a
cero cuando max
va a cero y que va a infinito cuando max va a 1. Esto implica
que f (0) = 0 y que f () = 1. Además, si suponemos que la tasa de servicio
efectiva se deteriora monotónicamente con la longitud de la cola, entonces la
función f (x) es monótona y cóncava. Una función sencilla que satisface los
requisitos básicos es f (x) = x/(1 + x), que da el modelo
dx
x
= −max
.
(2.29)
dt
x+1
Este modelo fue propuesto por Agnew [Agn76]. Se puede demostrar que si los
procesos de llegada y servicio son procesos de Poisson, la longitud media de la
cola viene dada por la ecuación (2.29) y que ésta es una buena aproximación
incluso para longitudes de cola cortas; véase Tipper [TS90].
Para explorar las propiedades del modelo (2.29), investigaremos primero el
valor equi- librado de la longitud de la cola cuando la tasa de llegada es
constante. Fijando la derivada dx/dt en cero en la ecuación (2.29) y resolviendo
para x, encontramos que la longitud de la cola x se aproxima al valor de estado
estacionario
xe =
max −
.
(2.30)
La figura 2.19a muestra la longitud de la cola en estado estacionario en función
de max , el exceso de tasa de servicio efectivo. Obsérvese que la longitud de la
cola aumenta rápidamente a medida que se acerca amax . Para que la longitud de
la cola sea inferior a 20, es necesario que max < 0,95. El tiempo medio para
atender una solicitud es Ts = (x + 1)max , y aumenta drásticamente a medida que
se acerca amax .
La figura 2.19b ilustra el comportamiento del servidor en una situación típica
de sobrecarga. La tasa de servicio máxima esmax = 1, y la tasa de llegada
comienza en = 0,5. La tasa de llegada se incrementa a = 4 en el tiempo 20, y
vuelve a = 0,5 en el tiempo 25. La figura muestra que la cola se acumula
rápidamente y se despeja muy lentamente. Dado que la
El tiempo de respuesta es proporcional a la longitud de la cola, lo que significa
que la calidad del servicio es pobre durante un largo periodo después de una
sobrecarga. Este comportamiento se denomina efecto hora punta y se ha
observado en servidores web y en muchos otros sistemas de colas, como el
tráfico de automóviles.
La línea discontinua de la figura 2.19b muestra el comportamiento del
modelo de flujo, que describe la longitud media de las colas. El modelo simple
capta el comportamiento cualitativo
57
2.4. EJEMPLOS DE
MODELIZACIÓN
100
Lon
gitu
d
de 50
la
cola
x
0
e
0
20
Lon
gitu
d
de
la
col
a
xe
0.5
1
Exceso de tasa de servicio 
10
0
0
40
20
60
80
Tiempo
[s]
max
(a) Tamaño de la cola en estado estacionario
(b) Condición de sobrecarga
Figura 2.19: Dinámica de las colas. (a) La longitud de la cola en estado estacionario en función de .
(b) El comportamiento de la longitud de la cola cuando hay una sobrecarga temporal en el sistema. La
página web
La línea sólida muestra una realización de una simulación basada en eventos, y la línea
discontinua muestra el comportamiento del modelo de flujo (2.29).
tivamente, pero hay variaciones de una muestra a otra cuando la longitud de la
cola es corta.
Muchos sistemas complejos utilizan acciones de control discretas. Dichos
sistemas pueden modificarse caracterizando las situaciones que corresponden a
cada acción de control, como se ilustra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.11 Control de la paginación de la memoria virtual
Un primer ejemplo del uso de la retroalimentación en los sistemas informáticos
se aplicó en el sistema operativo OS/VS para el IBM 370 [BG68, Cro75]. El
sistema utilizaba memoria virtual, que permite a los programas dirigirse a más
memoria de la que está físicamente disponible como memoria rápida. Se accede
directamente a los datos de la memoria rápida actual (memoria de acceso
aleatorio, RAM), pero los datos que residen en la memoria más lenta (disco) se
cargan automáticamente en la memoria rápida. El sistema está implementado de
tal manera que al programador le parece una única gran sección de memoria. El
sistema funcionó muy bien en muchas situaciones, pero se encontraron tiempos
de ejecución muy largos en situaciones de sobrecarga, como muestran los
círculos abiertos de la figura 2.20a. La dificultad se resolvió con un sencillo
sistema de retroalimentación discreta. La carga del proceso centralTi 1500
em
po 1000
de
eje 500
cu
0
ció
0
n
[s]
Carga de la CPU
bucle
abierto
bucle
cerrado
1
2
3
Número de procesos
(a) Rendimiento del sistema
Normal
Subcarga
4
Sobrecarga
Cambios de memoria
(b) Estado del sistema
Figura 2.20: Ilustración de la retroalimentación en el sistema de memoria virtual del
IBM/370. (a) El efecto de la retroalimentación en los tiempos de ejecución en una
simulación, siguiendo [BG68]. Los resultados sin retroalimentación se muestran con o, y
los resultados con retroalimentación con x. Nótese la drástica disminución del tiempo de
ejecución para el sistema con retroalimentación. (b) Cómo se obtienen los tres estados a
partir de las mediciones del proceso.
58
CAPÍTULO 2. MODELADO DEL
SISTEMA
5
2
1
4
(a) Red de
sensores
3
40
Est
ado 30
s
del
age 20
nte
x 10
i
0
10
20
Iteración
30
40
(b) Convergencia del consenso
Figura 2.21: Protocolos de consenso para redes de sensores. (a) Una red de sensores
sencilla con cinco nodos. En esta red, el nodo 1 se comunica con el nodo 2 y el nodo 2 se
comunica con los nodos 1, 3, 4, 5, etc. (b) Una simulación que demuestra la convergencia
del protocolo de consenso (2.31) al valor medio de las condiciones iniciales.
La unidad de procesamiento de datos (CPU) se midió junto con el número de
intercambios de páginas entre la memoria rápida y la memoria lenta. La región
operativa se clasificó en uno de los tres estados: normal, subcarga o sobrecarga.
El estado normal se caracteriza por una alta actividad de la CPU, el estado de
subcarga se caracteriza por una baja actividad de la CPU y pocas sustituciones de
páginas, el estado de sobrecarga tiene una carga de la CPU de moderada a baja
pero muchas sustituciones de páginas; véase la Figura 2.20b. Los límites entre
las regiones y el tiempo para medir la carga se determinaron a partir de
simulaciones con cargas típicas. La estrategia de control fue no hacer nada en la
condición de carga normal, excluir un proceso de la memoria en la condición de
sobrecarga y permitir un nuevo proceso o un proceso previamente excluido en la
condición de subcarga. Las cruces de la figura 2.20a muestran la eficacia del
sistema de retroalimentación simple en las cargas simuladas. Se utilizan
principios similares en muchas otras situaciones, por ejemplo, en la memoria
caché rápida en el chip.
Ejemplo 2.12 Protocolos de consenso en redes de sensores
Las redes de sensores se utilizan en una gran variedad de aplicaciones en las que
queremos recoger y agregar información en una región del espacio utilizando
múltiples sensores que están conectados entre sí a través de una red de
comunicaciones. Algunos ejemplos son el control de las condiciones ambientales
en una zona geográfica (o en el interior de un edificio), el control del
movimiento de animales o vehículos y el control de la carga de recursos en un
grupo de ordenadores. En muchas redes de sensores, los recursos informáticos
están distribuidos junto con los sensores, y puede ser importante que el conjunto
de agentes distribuidos llegue a un consenso sobre una determinada propiedad,
como la temperatura media de una región o la carga informática media entre un
conjunto de ordenadores.
Modelamos la conectividad de la red de sensores mediante un gráfico, en el
que los nodos corresponden a los sensores y las aristas a la existencia de un
enlace de comunicación directo entre dos nodos. Utilizamos la notación Ni para
representar el conjunto de vecinos de un nodo i. Por ejemplo, en la red mostrada
en la figura
2.21a
{
} N2 = 1, 3, 4, }5 y N3 = 2, 4 .
Para resolver el problema de consenso, dejemos que xi sea el estado del i-ésimo sensor,
correspondaa la estimación de ese sensor del valor medio que estamos tratando de calcular.
Inicializamos el estado con el valor de la cantidad medida por el sensor
individual.
59
2.4. EJEMPLOS DE
MODELIZACIÓN
El protocolo de consenso (algoritmo) puede realizarse ahora como una ley de
actualización local
xi [k + 1] = xi [k] + (xj [k] - xi [k]).
(2.31)
j∈Ni
Este protocolo intenta calcular la media actualizando el estado local de cada
agente en función del valor de sus vecinos. La dinámica combinada de todos los
agentes puede escribirse de la forma
x[k + 1] = x[k] −(D - A)x[k],
(2.32)
donde A es la matriz de adyacencia y D es una matriz diagonal con entradas que
corresponden al número de vecinos de cada nodo. La constante describe la
velocidad a la que se actualiza la estimación de la media en función de la
información de los nodos vecinos. La -matriz L := D A se denomina laplaciana
del grafo.
Los puntos de equilibrio de la ecuación (2.32) son el conjunto de estados tales que xe
[k +
1] = xe [k]. Se puede demostrar que xe = (, ,..., ) es un estado de equilibrio
para el sistema, que corresponde a que cada sensor tiene una estimación idéntica
para el promedio. Además, podemos demostrar que es efectivamente el valor
medio de la
estados. Como puede haber ciclos en el grafo, es posible que el estado del sistema
entre en un bucle infinito y nunca converja al estado de consenso deseado. Un
análisis formal requiere herramientas que se introducirán más adelante en el
texto, pero se puede demostrar que para cualquier grafo conectado siempre
podemos encontrar un tal que los estados de los agentes individuales convergen a
la media. En la figura 2.21b se muestra una simulación que demuestra esta
propiedad.
Sistemas biológicos
Los sistemas biológicos son quizá la fuente más rica de ejemplos de
retroalimentación y control. El problema básico de la homeostasis, en el que una
cantidad como la temperatura o el nivel de azúcar en sangre se regula a un valor
fijo, no es más que uno de los muchos tipos de interacciones complejas de
retroalimentación que pueden darse en máquinas moleculares, células, órganos y
ecosistemas.
Ejemplo 2.13 Regulación transcripcional
La transcripción es el proceso por el que se genera ARN mensajero (ARNm) a
partir de un segmento de ADN. La región promotora de un gen permite que la
transcripción sea controlada por la presencia de otras proteínas, que se unen a la
región promotora y reprimen o activan la ARN polimerasa, la enzima que
produce una transcripción de ARNm a partir del ADN. A continuación, el
ARNm se traduce en una proteína según su secuencia de nucleótidos. Este
proceso se ilustra en la figura 2.22.
Un modelo sencillo del proceso de regulación transcripcional es mediante el
uso de una función Hill [dJ02, Mur04]. Consideremos la regulación de una
proteína A con una concentración dada por pa y una concentración de ARNm
correspondiente ma . Sea B una segunda proteína con concentración pb que
reprime la producción de la proteína A a través de la regulación transcripcional.
La dinámica resultante de pa y ma puede ser
60
CAPÍTULO 2. MODELADO DEL
SISTEMA
ARN
polimerasa
ADN
Polipéptido Ribosoma
Transcripción
ARNm
Traducción
Figura 2.22: Circuito biológico. La célula de la izquierda es una célula pulmonar bovina,
teñida para que sean visibles el núcleo, la actina y la cromatina. La figura de la derecha
ofrece una visión general del proceso por el que se fabrican las proteínas en la célula. El
ARN se transcribe a partir del ADN mediante una enzima ARN polimerasa. A
continuación, el ARN es traducido a una proteína por un orgánulo llamado ribosoma.
escrito
como
ab
dma
=
+a0 -a ma ,
dt 1 + kab pnab
b
dpa
dt
=a ma − a pa ,
(2.33)
dondeab +a0 es la tasa de transcripción no regulada,a representa la tasa de
degradación del ARNm,ab , kab y nab son parámetros que describen cómo B reprensas A,a representa la tasa de producción de la proteína a partir de su ARNm
correspondiente ya representa la tasa de degradación de la proteína A. El parámetroa0 describe la "fugacidad" del promotor, y nab se denomina coeficiente de
Hill y se relaciona con la cooperatividad del promotor.
Se puede utilizar un modelo similar cuando una proteína activa la producción
de otra proteína en lugar de reprimirla. En este caso, las ecuaciones tienen la
forma
abkab pnab
dma
dpa
b
=a ma − a pa ,
(2.34)
=
+
a0 -a ma ,
dt
dt
1 + kab b
pnab son las mismas que las descritas anteriormente. Nótese que
donde las variables
en el caso del activador, si pb es cero, la tasa de producción esa0 (frente aab +a0
para el represor). A medida que pb aumenta, el primer término de la expresión
para ṁa se acerca a 1 y la tasa de transcripción se convierte enab +a0 (frente aa0
para el represor). De este modo, vemos que el activador y el represor actúan de
forma opuesta entre sí.
Como ejemplo de cómo se pueden utilizar estos modelos, consideramos el
modelo de un "represor", originalmente debido a Elowitz y Leibler [EL00]. El
represor es un circuito sintético en el que tres proteínas reprimen a otra en un
ciclo. Esto se muestra esquemáticamente en la Figura 2.23a, donde las tres
proteínas son TetR, cI y LacI. La idea básica del represor es que si TetR está
presente,
entonces
reprime
la
producción
de
.
Si
    se produce LacI (a la tasa de transcripción no
regulada), que a su vez reprime a TetR. Una vez que TetR es reprimido, entonces
cI deja de ser reprimido, y así sucesivamente. Si la dinámica del circuito se
diseña de forma adecuada, las concentraciones de proteínas resultantes oscilarán.
Podemos modelar este sistema utilizando tres copias de la ecuación (2.33), con A y
61
2.4. EJEMPLOS DE
MODELIZACIÓN
PLlacO1
ampR
5000
tetR-lite
cI
lacI
tetR
4000
TetR
SC101
origen
PR
cI
LacI
lacI-lite
cI-lite
PLtetO1
(a) Plásmido represor
Pr
ote 3000
ína
s 2000
po
r 1000
cél
ula
0
0
100
200
Tiempo t [min]
300
(b) Simulación de represión
Figura 2.23: La red de regulación genética del represor. (a) Un diagrama esquemático del
represor, que muestra la disposición de los genes en el plásmido que contiene el circuito,
así como el diagrama del circuito (centro). (b) Una simulación de un modelo simple para el
represor, mostrando la oscilación de las concentraciones individuales de proteínas. (Figura
por cortesía de M. Elowitz).
B sustituido por la combinación adecuada de TetR, cI y LacI. El estado del
sistema viene entonces dado por x = (mTetR , pTetR , mcI , pcI , mLacI , pLacI ). La
figura 2.23b muestra las trazas de las tres concentraciones de proteínas para los
parámetros n = 2, = 0,5, k =
4
× 0,12 y = 1,2 10−3 con
×
6,25 ×
10−4 ,0 = 5 10−×
, = 5,8 10−3 , =
condiciones iniciales x(0) = (1, 0, 0, 200, 0, 0) (siguiendo a [EL00]).
Ejemplo 2.14 Propagación de ondas en redes neuronales
La dinámica del potencial de membrana en una célula es un mecanismo
fundamental para entender la señalización en las células, especialmente en las
neuronas y las células musculares. Las ecuaciones de Hodgkin-Huxley ofrecen
un modelo sencillo para estudiar las ondas de propagación en redes de neuronas.
El modelo para una sola neurona tiene la forma
CdV
dt = -INa - IK - Ileak + Iinput,
donde V es el potencial de membrana, C es la capacitancia, INa e IK son la
corriente causada por el transporte de sodio y potasio a través de la membrana
celular, Ileak es una corriente de fuga e Iinput es la estimulación externa de la
célula. Cada corriente obedece a la ley de Ohm, es decir
I = g(V - E),
donde g es la conductancia y E es la tensión de equilibrio. La tensión de
equilibrio viene dada por la ley de Nernst,
RT
ce
E=
log ,
nF
ci
donde R es la constante de Boltzmann, T es la temperatura absoluta, F es la
constante de Faraday, n es la carga (o valencia) del ion y ci y ce son las
concentraciones de iones dentro de la célula y en el fluido externo. A 20◦ C
tenemos RT /F = 20 mV.
El modelo Hodgkin-Huxley se desarrolló originalmente como un medio para predecir
el comportamiento cuantitativo del axón gigante del calamar [HH52]. Hodgkin y Huxley
2.5.62
LECTURAS COMPLEMENTARIAS
CAPÍTULO 2. MODELADO DEL
61
SISTEMA
compartió el Premio Nobel de Fisiología de 1963 (junto con J. C. Eccles) por el
análisis de los acontecimientos eléctricos y químicos en las descargas de las
células nerviosas. La pinza de tensión descrita en el apartado 1.3 fue un elemento
clave en los experimentos de Hodgkin y Huxley.
2.5 Más información en
La modelización es omnipresente en la ingeniería y la ciencia y tiene una larga
historia en las matemáticas aplicadas. Por ejemplo, la serie de Fourier fue
introducida por Fourier cuando modeló la conducción del calor en los sólidos
[Fou07]. Los modelos dinámicos se han desarrollado en muchos campos
diferentes, incluyendo la mecánica [Arn78, Gol53], la conducción de calor
[CJ59], los fluidos [BRS60], los vehículos [Abk69, Bla91, Ell94], la robótica
[MLS94, SV89], los circuitos [Gui63], los sistemas de energía [Kun93], la
acústica [Ber54] y los sistemas micromecánicos [Sen01]. La teoría de control
requiere el modelado de muchos dominios diferentes, y la mayoría de los textos
de teoría de control contienen varios capítulos sobre el modelado mediante
ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones en diferencias (véase, por
ejemplo, [FPEN05]). Un libro clásico sobre el modelado de sistemas físicos,
especialmente mecánicos, eléctricos y de termofluidos, es Cannon [Can03]. El
libro de Aris [Ari94] es muy original y tiene una discusión detallada sobre el uso
de variables sin dimensión. Dos de los libros favoritos de los autores sobre
modelado de sistemas biológicos son J. D. Murray [Mur04] y Wilson [Wil99].
Ejercicios
2.1 (Forma de cadena de integradores) Considere la ecuación diferencial
ordinaria lineal (2.7). Demuestre que eligiendo una representación del espacio de
estados con x1 = y, la dinámica puede escribirse como
0
0
1
0
0
..
..
,
B=
,
C= 1. . . 00.
.
. 0
0
. .
A=
-0 -a11
1
-an 0
-a- n−1
Esta forma canónica se denomina forma de cadena de integradores.
2.2 (Péndulo invertido) Utilice las ecuaciones de movimiento de un sistema de
equilibrio para derivar un modelo dinámico para el péndulo invertido descrito en
el ejemplo 2.2 y verifique que para un valor pequeño la dinámica se aproxima
por la ecuación (2.10).
2.3 (Dinámica en tiempo discreto) Considere el siguiente sistema en tiempo discreto
x[k + 1] = Ax[k] + Bu[k],
y[k] = Cx[k],
donde
x1
x = , x2
a11
A= 0
a12 ,
.
a 22 B = 0, C = 110
62
CAPÍTULO 2. MODELADO DEL
SISTEMA
En este problema, exploraremos algunas de las propiedades de este sistema de
tiempo discreto en función de los parámetros, las condiciones iniciales y las
entradas.
(a) Para el caso en que a12 = 0 y u = 0, dar una expresión de forma cerrada para
la salida del sistema.
(b) Un sistema discreto está en equilibrio cuando x[k + 1] = x[k] para todo k.
Sea u = r una entrada constante y calcule el punto de equilibrio resultante para el
|
sistema.| Demuestre
que si aii < 1 para todo i, todas las condiciones iniciales dan
soluciones que convergen al punto de equilibrio.
(c) Escriba un programa de ordenador para trazar la salida del sistema en
respuesta a una entrada≥de paso unitario, u[k] = 1, k 0. Trace la respuesta de su
sistema con x[0] = 0 y A dada por un11 = 0.5, un12 = 1 y un22 = 0.25.
2.4 (Economía keynesiana) El modelo simple de Keynes para una economía viene dado
por
Y [k] = C[k] + I[k] + G[k],
donde Y , C, I y G son el producto nacional bruto (PNB), el consumo, la
inversión y el gasto público para el año k. El consumo y la inversión se modelan
mediante ecuaciones en diferencia de la forma
C[k + 1] = aY [k],
I[k + 1] = b(C[k + 1] -C[k]),
donde a y b son parámetros. La primera ecuación implica que el consumo
aumenta con el PNB, pero que el efecto se retrasa. La segunda ecuación implica
que la inversión es proporcional a la tasa de variación del consumo.
Demuestre que el valor de equilibrio del PNB viene dado por
1
Ye =
(Ie + Ge ),
1-a
donde el parámetro 1/(1 a )- es el multiplicador de Keynes (la ganancia de I o G a
Y ). Con a = 0,75 un aumento del gasto público dará lugar a un aumento del
PNB cuatro veces mayor. Demuestre también que el modelo puede escribirse de la
siguiente manera discreta
]
modelo de estado de tiempo:
C[k + 1] =
a
a C[k
aG
+ b
[k],
]
ab
]
a
I[k + 1
ab - b
I[k
Y [k] = C[k] + I[k] +
G[k].
� 2.5 (Identificación del sistema por mínimos cuadrados) Considere una ecuación
diferencial no lineal que puede escribirse en la forma
M
dx
=i fi (x),
dt
i=1
donde fi (x) son funciones no lineales conocidas yi son parámetros desconocidos, pero
constantes. Supongamos que tenemos mediciones (o estimaciones) del estado completo
x en
63
EJERCICIOS
instantes de tiempo t1 , t2 ,
, tN , con N > M. Demuestre que los parámetrosi pueden
ser deterse obtiene encontrando la solución por mínimos cuadrados de una ecuación lineal de la
forma
 = b,
dond ∈ RM es el vector de todos los parámetros y HR
∈ N×M y bR
debidamente definidos.
∈ N están
2.6 (Dinámica del oscilador normalizado) Considere un sistema amortiguado de
muelle-masa con dinámica
mq¨ + cq˙ + kq = F.
j
Sea0 =
k/m la frecuencia natural y = c/(2√km) la relación de amortiguamiento.
(a) Demuestre que reescalando las ecuaciones, podemos escribir la dinámica en la forma
q¨ + 0 q˙ +2 q =2 u,
(2.35)
0
0
donde u = F/k. Esta forma de la dinámica es la de un oscilador lineal con
frecuencia natural0 y relación de amortiguación .
(b) Demuestre que el sistema se puede normalizar aún más y escribirlo en la forma
dz1
dz2
= z2 ,
= -z1 - 2 z2 + v.
(2.36)


La dinámica esencial del sistema se rige por un único parámetro de amortiguación
. A veces se utiliza el valor Q definido como Q =  en lugar de .
2.7 (Generador eléctrico) Un generador eléctrico conectado a una red eléctrica
potente puede modelarse mediante un balance de momentos para el rotor del
generador:
d2
EV
pecado,
J
= Pm - Pe = Pm X
dt2
donde J es el momento de inercia efectivo del generador, el ángulo de giro, Pm la
potencia mecánica que acciona el generador, Pe es la potencia eléctrica activa, E
la tensión del generador, V la tensión de red y X la reactancia de la línea.
Suponiendo que la dinámica de la línea es mucho más rápida que la del rotor,
Pe = VI = (EV /X ) sin, donde I es la componente de la corriente en fase con la
tensión E y es el ángulo de fase entre las tensiones E y V . Demuestre que la
dinámica
del generador eléctrico tiene una forma normalizada que es similar a la dinámica
de un péndulo con forzamiento en el pivote.
2.8 (Control de admisión para una cola) Considere el sistema de colas descrito
en el ejemplo 2.10. Los largos retrasos creados por las sobrecargas temporales
pueden reducirse rechazando las solicitudes cuando la cola se hace grande. Esto
permite que las solicitudes aceptadas sean atendidas rápidamente y que las
solicitudes que no pueden ser atendidas reciban rápidamente un rechazo para que
puedan probar en otro servidor. Consideremos un sistema de control de admisión
descrito por
dx
x
= u -max
,
u = sat(0,1) (k(r - x)),
(2.37)
dt
x+1
64
CAPÍTULO 2. MODELADO DEL
SISTEMA
donde el controlador es un simple control proporcional con saturación (sat(a,b)
está definido por la ecuación (3.9)) y r es la longitud de cola deseada (de
referencia). Utilice una simulación para demostrar que este controlador reduce el
efecto de la hora punta y explique
cómo afecta la elección de r a la dinámica del sistema.
2.9 (Interruptor biológico) Un interruptor genético puede formarse conectando
dos represores en un ciclo, como se muestra a continuación.
u1
A
u1
A
u2
B
B
u2
Utilizando los modelos del Ejemplo 2.13 -suponiendo que los parámetros son los
mismos para ambos genes y que las concentraciones de ARNm alcanzan
rápidamente el estado estacionario- demuestre que la dinámica puede escribirse
en coordenadas normalizadas como
dz 1
dz 2
=
- z1 - v1 ,
=
- z2 - v2 ,
(2.38)
 1 + zn2
 1 + zn1
donde z1 y z2 son versiones escaladas de las concentraciones de proteína y la
escala de tiempo también ha sido cambiada.
Demuestre que 200 utilizando los
≈
parámetros del Ejemplo 2.13, y utilice simulaciones para demostrar el
comportamiento tipo interruptor del sistema.
2.10 (Accionamiento del motor) Considere un sistema que consiste en un motor
que acciona dos masas que están conectadas por un muelle de torsión, como se
muestra en el siguiente diagrama.
1
I
2
Motor
1
2
J1
J2
Este sistema puede representar un motor con un eje flexible que acciona una carga.
Suponiendo que el motor entrega un par proporcional a la corriente, la dinámica
del sistema puede describirse mediante las ecuaciones
d 21


+ c 1 + ( 1 - 2) = kI I ,
dt2
dt
dt
(2.39)
d 22

2
+
J
c
+ ( 2 - 1) = Td.
2
dt2
dt
dt
Se obtienen ecuaciones similares para un robot con brazos flexibles y para los
brazos de las unidades de DVD y discos ópticos.
Derive un modelo de espacio de estado para el sistema introduciendo
j las variables
de estado (normalizadas) x1 =1 , x2 =2 , x3 =1 0 , y x4 =2 0 , donde0 =k
(J1 + J2
)/(J1 J2 ) es la frecuencia natural no amortiguada del sistema cuando la señal de control
es cero.
1J
Capítulo 3
Ejemplos
... No aplique ningún modelo hasta que comprenda los supuestos simplificadores en los que
se basa y pueda comprobar su validez. Frase clave: utilizar sólo como se indica. No te
limites a un solo modelo: Más de un modelo puede ser útil para comprender diferentes
aspectos de un mismo fenómeno. Frase clave: legalizar la poligamia".
Saul Golomb, "Mathematical Models-Uses and Limitations", 1970 [Gol70].
En este capítulo presentamos una colección de ejemplos que abarcan muchos
campos diferentes de la ciencia y la ingeniería. Estos ejemplos se utilizarán a lo
largo del texto y en los ejercicios para ilustrar diferentes conceptos. Los lectores
noveles tal vez deseen centrarse sólo en algunos ejemplos con los que tengan
más experiencia o conocimientos previos para comprender los conceptos de
estado, entrada, salida y dinámica en un entorno familiar.
3.1 Crucero Control
El sistema de control de crucero de un coche es un sistema de retroalimentación
habitual en la vida cotidiana. El sistema intenta mantener una velocidad
constante en presencia de perturbaciones causadas principalmente por cambios
en la pendiente de una carretera. El controlador compensa estas incógnitas
midiendo la velocidad del coche y ajustando el acelerador adecuadamente.
Para modelar el sistema, partimos del diagrama de bloques de la figura 3.1.
Sea v la velocidad del coche y vr la velocidad deseada (de referencia). El
controlador, que suele ser del tipo proporcional-integral (PI) descrito brevemente
en el capítulo 1, recibe las señales v y vr y genera una señal de control u que se
envía a un actuador que controla la posición del acelerador. El acelerador, a su
vez, controla el par T entregado por el motor, que se transmite a través de los
engranajes y las ruedas, generando una fuerza F que mueve el coche. Existen
fuerzas perturbadoras Fd debidas a las variaciones de la pendiente de la carretera,
la resistencia a la rodadura y las fuerzas aerodinámicas. El controlador de crucero
también tiene una interfaz hombre-máquina que permite al conductor fijar y
modificar la velocidad deseada. También hay funciones que desconectan el
control de crucero cuando se toca el freno.
El sistema tiene muchos componentes individuales -actuador, motor,
transmisión, ruedas y carrocería- y un modelo detallado puede ser muy
complicado. A pesar de ello, el modelo necesario para diseñar el controlador de
crucero puede ser bastante sencillo.
Para desarrollar un modelo matemático empezamos con un balance de fuerzas
para la carrocería del coche. Sea v la velocidad del coche, m la masa total
(incluidos los pasajeros), F la fuerza generada por el contacto de las ruedas con
la carretera y Fd la fuerza de perturbación
66
CAPÍTULO 3. EJEMPLOS
F
d
Acelerado
r y motor
Actuador
T
u
Engrana
jes y
ruedas
Controlado
r
vr
F
Cuerpo
v
on/off
Interfaz
set/decel
reanudar/acel
del
erar cancelar
conducto
Figura 3.1: Diagrama de bloques de un sistema de control
r de crucero para un automóvil.
El motor controlado por el acelerador genera un par T que se transmite al suelo a través de
la caja de cambios y las ruedas. Combinada con las fuerzas externas del entorno, como la
resistencia aerodinámica y las fuerzas gravitatorias en las colinas, la fuerza neta hace que
el coche se mueva. La velocidad del coche v es medida por un sistema de control que
ajusta el acelerador mediante un mecanismo de actuación. Una interfaz para el conductor
permite encender y apagar el sistema y establecer la velocidad de referencia vr.
debido a la gravedad, la fricción y la resistencia aerodinámica. La ecuación de
movimiento del coche es simplemente
mdv = - FF .
(3.1)
dt
d
La fuerza F es generada por el motor, cuyo par es proporcional a la tasa de
inyección de combustible, que a su vez es proporcional a una señal de control
≤ ≤0 u
1 que controla la posición del acelerador. El par también depende de la velocidad
del motor . Una representación sencilla del par a pleno rendimiento viene dada
por la curva de par
!
- 1 ¡2
T () = Tm 1 −
,
(3.2)
m
donde el par máximo Tm se obtiene a la velocidad del motorm . Los parámetros
típicos son Tm = 190 Nm,m = 420 rad/s (unas 4000 RPM) y = 0,4. Sea n la
relación de transmisión y r el radio de la rueda. La velocidad del motor está
relacionada con la velocidad a través de la
expresión
nv
=
=:n v,
r
y la fuerza motriz puede escribirse como
nu
F=
T () =n uT (n v).
r
Los valores típicos den para las marchas 1 a 5 son1 = 40,2 = 25,3 = 16,4 = 12 y5
= 10. La inversa den tiene una interpretación física como el radio efectivo de la
rueda. La figura 3.2 muestra el par motor en función del régimen del motor y del
vehículo
velocidad. La figura muestra que el efecto del engranaje es "aplanar" la curva de
par, de modo que se puede obtener un par casi completo en toda la gama de
velocidades.
La fuerza perturbadora Fd tiene tres componentes principales: Fg , las fuerzas debidas
a
67
3.1. CONTROL DE CRUCERO
200
200
180
180
Pa
r T 160
[N
m] 140
Pa
r T 160
[N
m] 140
120
120
100
0
100
200
400
600
Velocidad angular rad/s]
n=5
n=1
0
n=2
n=3
20
40
Velocidad v [m/s]
n=4
60
Figura 3.2: Curvas de par de un motor típico de coche. El gráfico de la izquierda muestra
el par generado por el motor en función de la velocidad angular del motor, mientras que la
curva de la derecha muestra el par en función de la velocidad del coche para diferentes
marchas.
gravedad; Fr , las fuerzas debidas a la fricción de rodadura; y Fa , la resistencia
aerodinámica. Si la pendiente de la carretera es , la gravedad da la fuerza Fg =
mg sin, como se ilustra en la figura 3.3a, donde g = 9,8 m/s2 es la constante
gravitatoria. Un modelo sencillo de rozamiento por rodadura es
Fr = mgCr sgn(v),
donde Cr es el coeficiente de rodadura y sgn(v) es el signo de v ( 1) o cero±si v =
0. Un valor típico del coeficiente de rodadura es Cr = 0,01. Por último, la
resistencia aerodinámica es proporcional al cuadrado de la velocidad:
Fa =
1
2
Cd Av2 ,
donde es la densidad del aire, Cd es el coeficiente de resistencia aerodinámica
dependiente de la forma y A es el área frontal del coche. Los parámetros típicos
son = 1,3 kg/m3 , Cd = 0,32 y A = 2,4 m2 .
Resumiendo, encontramos que el coche puede ser modelado por
mdv =n uT (n v) - mgCr sgn(v) dt
1
Cd Av2 - mg sin,
2
(3.3)
donde la función T viene dada por la ecuación (3.2). El modelo (3.3) es un
sistema dinámico de primer orden. El estado es la velocidad del coche v, que
también es la salida. La entrada es la señal u que controla la posición del
acelerador, y la perturbación es la fuerza Fd , que depende de la pendiente de la
carretera. El sistema es no lineal debido a la curva de par, el término de gravedad
y el carácter no lineal de la fricción de rodadura y la resistencia aerodinámica.
También puede haber variaciones en los parámetros; por ejemplo, la masa del
coche depende del número de pasajeros y de la carga que lleve el coche.
Añadimos a este modelo un controlador de retroalimentación que intenta
regular la velocidad del coche en presencia de perturbaciones. Utilizaremos un
controlador proporcional-integral
68
CAPÍTULO 3. EJEMPLOS
F
F
g
mg
Ve
loc 20
ida
dv
[m 19
0
/s]
10
20
Tiempo t [s]
30
1
Ac
ele
ra
do 0
ru 0
10
20
Tiempo t [s]
30
(b) Respuesta en bucle cerrado
(a) Efecto de las fuerzas
gravitatorias
Figura 3.3: Coche con control de crucero que se encuentra con una carretera en pendiente.
Un diagrama esquemático se muestra en (a), y (b) muestra la respuesta en la velocidad y el
acelerador cuando se encuentra una pendiente de 4◦. La pendiente se modela como un
cambio neto de 4◦ en el ángulo de la pendiente , con un cambio lineal en el ángulo entre t
= 5 y t = 6. El controlador PI tiene una ganancia proporcional es kp = 0,5, y el
La ganancia integral es ki = 0,1.
que tiene la forma
- t
u( t) k pe (t ) ki e ( ) .
0
=
+
Este controlador puede realizarse como un sistema dinámico de entrada/salida
definiendo un estado de controlador z e implementando la ecuación diferencial
dz
= vr - v,
u = kp (vr - v) + ki z,
(3.4)
dt
donde vr es la velocidad deseada (de referencia). Como se discutió brevemente
en la Sección 1.5, el integrador (representado por el estado z) asegura que en el
estado estacionario el error será conducido a cero, incluso cuando hay
perturbaciones o errores de modelado. (El diseño de los controladores PI es el
tema del capítulo 10.) La figura 3.3b muestra la respuesta del sistema de lazo
cerrado, compuesto por las ecuaciones (3.3) y (3.4), cuando se encuentra con una
colina. La figura muestra que incluso si la colina es tan empinada que el
acelerador cambia de 0,17 a casi el máximo, el mayor error de velocidad es
inferior a 1 m/s, y la velocidad deseada se recupera después de 20 s.
Al derivar el modelo (3.3) se hicieron muchas aproximaciones. Puede parecer
sorprendente que un sistema aparentemente tan complicado pueda ser descrito
por el modelo simple (3.3). Es importante asegurarse de que restringimos nuestro
uso del modelo al limón de incertidumbre conceptualizado en la Figura 2.15b. El
modelo no es válido para cambios muy rápidos del acelerador porque hemos
ignorado los detalles de la dinámica del motor, ni tampoco para cambios muy
lentos porque las propiedades del motor cambiarán a lo largo de los años. No
obstante, el modelo es muy útil para el diseño de un sistema de control de
crucero. Como veremos en capítulos posteriores, la razón de esto es la robustez
inherente a los sistemas de retroalimentación: incluso si el modelo no es
perfectamente exacto, podemos utilizarlo para diseñar un controlador y hacer uso
de la retroalimentación
69
3.2. DINÁMICA DE LA BICICLETA
fuera de
set
en
Fue
ra
de
Standby
fue
ra
de
cancel
ar
Crucer
o
freno
curriculum vitae
Mant
enga
fue
ra
Figura 3.4: Máquina de estados finitos para eldesistema de control de crucero. La figura de
la izquierda muestra algunos botones típicos utilizados para controlar el sistema. El
controlador puede estar en uno de los cuatro modos, correspondientes a los nodos del
diagrama de la derecha. La transición entre los modos se controla pulsando uno de los
cinco botones de la interfaz de control de crucero: on, off, set, resume o cancel.
en el controlador para gestionar la incertidumbre del sistema.
El sistema de control de crucero también tiene una interfaz hombre-máquina
que permite al conductor comunicarse con el sistema. Hay muchas formas de
implementar este sistema; una versión se ilustra en la figura 3.4. El sistema tiene
cuatro botones: encendido-apagado, fijar/desacelerar, reanudar/acelerar y
cancelar. El funcionamiento del sistema se rige por una máquina de estados
finitos que controla los modos del controlador PI y del generador de referencia.
La implementación de los controladores y de los generadores de referencia se
tratará con más detalle en el capítulo 10.
El uso del control en los sistemas de automoción va mucho más allá del
simple sistema de control de crucero aquí descrito. Las aplicaciones incluyen el
control de emisiones, el control de tracción, el control de potencia
(especialmente en vehículos híbridos) y el control de crucero adaptativo. Muchas
aplicaciones de automoción se discuten en detalle en el libro de Kiencke y
Nielsen [KN00] y en los documentos de estudio de Powers et al. [BP96, PN00].
3.2 Bicicleta Dinámica
La bicicleta es un interesante sistema dinámico con la característica de que una
de sus propiedades clave se debe a un mecanismo de retroalimentación creado
por el diseño de la horquilla delantera. Un modelo detallado de una bicicleta es
complejo porque el sistema tiene muchos grados de libertad y la geometría es
complicada. Sin embargo, se puede obtener una gran cantidad de información a
partir de modelos sencillos.
Para derivar las ecuaciones de movimiento suponemos que la bicicleta rueda
en el plano hori- zontal xy. Introducimos un sistema de coordenadas que se fija a
la bicicleta con el
-El eje que pasa por los puntos de contacto de las ruedas con el suelo, el eje
horizontal y el eje vertical, como se muestra en la figura 3.5. Sea v0 la velocidad
de la bicicleta en la rueda trasera, b la base de la rueda, el ángulo de inclinación y
el ángulo de dirección. El sistema de coordenadas gira alrededor del punto O con
la velocidad angular = v0 /b, y un observador fijado a la bicicleta experimenta
fuerzas debidas al movimiento del sistema de coordenadas.
El movimiento de inclinación de la bicicleta es similar al de un péndulo invertido, como
se muestra
70
CAPÍTULO 3. EJEMPLOS
O
λ
h
h
C1
C1
C2
C2
a
b
(a) vista superior
P1
(b) vista
trasera
P2 P3
(c) vista lateral
Figura 3.5: Vistas esquemáticas de una bicicleta. El ángulo de dirección es , y el ángulo
de balanceo es . El centro de masa tiene una altura h y una distancia a desde la vertical por
el punto de contacto P1 de la rueda trasera. La base de la rueda es b, y la trayectoria es c.
en la vista trasera de la figura 3.5b. Para modelar la inclinación, consideremos el
cuerpo rígido que se obtiene cuando las ruedas, el ciclista y el conjunto de la
horquilla delantera se fijan al cuadro de la bicicleta. Sea m la masa total del
sistema, J el momento de inercia de este cuerpo con respecto al eje - y D el
producto de inercia con respecto a los ejes. Además, dejemos que las
coordenadas y del centro de masa con respecto al punto de contacto
≈ de la rueda
trasera, P1 , sean a y h, respectivamente. Tenemos J mh2 y D =
mah. Los pares que actúan sobre el sistema se deben a la gravedad y a la acción
centrípeta.
Suponiendo que el ángulo de giro es pequeño, la ecuación de movimiento se convierte en
mv2 h
d2
Dv0 
0
J 2(3.5)
b dt = mgh  + b .
dt
El término mgh  es el par generado por la gravedad. Los términos que
contienen y su derivada son los pares generados por la dirección, con el término
(Dv0 /b)   a las fuerzas inerciales y el término (mv2 h/b) debido a
0
las fuerzas centrípetas.
El ángulo de dirección está influenciado por el par de torsión que el piloto aplica al
manillar
barra. Debido a la inclinación del eje de dirección y a la forma de la horquilla
delantera, el punto de contacto de la rueda delantera con la carretera P2 está
detrás del eje de rotación del conjunto de la rueda delantera, como se muestra en
la figura 3.5c. La distancia c entre el punto de contacto de la rueda delantera P2 y
la proyección del eje de rotación del conjunto de la horquilla delantera P3 se
denomina estela. Las propiedades de dirección de una bicicleta dependen en gran
medida de la trayectoria. Una estela grande aumenta la estabilidad pero hace que
la dirección sea menos ágil.
Una consecuencia del diseño de la horquilla delantera es que el ángulo de
dirección está influenciado tanto por el par de dirección T como por la
inclinación del cuadro. Esto significa que una bicicleta con horquilla delantera es
un sistema de retroalimentación, como se ilustra en el diagrama de bloques de la
figura 3.6. El ángulo de dirección influye en el ángulo de inclinación  y el
ángulo de inclinación influye en el ángulo de dirección, dando lugar a la
causalidad circular característica del razonamiento sobre la retroalimentación.
Para una horquilla delantera con una trayectoria positiva
71
3.3. CIRCUITOS DE AMPLIFICADORES
OPERACIONALES
T
Horq
uilla
dela
ntera
Marco
Figura 3.6: Diagrama de bloques de una bicicleta con horquilla delantera. El par de
dirección aplicado al manillar es T , el ángulo de balanceo es y el ángulo de dirección es .
Obsérvese que la horquilla delantera crea una retroalimentación del ángulo de balanceo al
ángulo de dirección que, en determinadas condiciones, puede estabilizar el sistema.
la bicicleta se dirigirá hacia la inclinación, creando una fuerza centrífuga que
intenta disminuir la inclinación. En determinadas condiciones, la
retroalimentación puede llegar a estabilizar la bicicleta. Se obtiene un modelo
empírico rudimentario suponiendo que el bloque B puede modelarse como el
sistema estático
= k1 T - k2 .
(3.6)
Este modelo ignora la dinámica de la horquilla delantera, la interacción
neumático-carretera y el hecho de que los parámetros dependen de la velocidad.
Un modelo más preciso, denominado modelo Whipple, se obtiene utilizando la
dinámica de cuerpo rígido de la horquilla delantera y el cuadro. Suponiendo
ángulos pequeños, este modelo se convierte en

0
˙
M + ¨Cv0 + (K0˙ + K2 v2 ) = , 0
T
(3.7)
donde los elementos de las ×
2 2 matrices M, C, K0 y K2 dependen de la geometría
y de la distribución de masas de la bicicleta. Obsérvese que tiene una forma algo
similar a la del sistema muelle-masa introducido en el capítulo 2 y al sistema de
equilibrio del ejemplo 2.1. Incluso este modelo más complejo es inexacto porque
se desprecia la interacción entre el neumático y la carretera; tenerlo en cuenta
requiere dos variables de estado adicionales. De nuevo, el limón de la
incertidumbre de la Figura 2.15b proporciona un marco para entender la validez
del modelo bajo estos supuestos.
En los libros de D. Wilson [Wil04] y Herlihy [Her04] se hacen interesantes
presentaciones sobre el desarrollo de la bicicleta. El modelo (3.7) fue presentado
en un artículo de Whipple en 1899 [Whi99]. Más detalles sobre el modelado de
la bicicleta se dan en el documento [ ÅKL05], que tiene muchas referencias.
3.3 Amplificador operacional Circuitos
Un amplificador operacional (op amp) es una implementación moderna del
amplificador de retroalimentación de Black. Es un componente universal que se
utiliza ampliamente para la instrumentación, el control y la comunicación.
También es un elemento clave en la computación analógica. En la Figura 3.7 se
muestran los diagramas esquemáticos del amplificador operacional. El
amplificador tiene
una entrada inversora (v− ), una entrada no inversora (v+ ) y una salida (vout ).
También hay conexiones para las tensiones de alimentación, e− y e+ , y un
ajuste del cero
72
CAPÍTULO 3. EJEMPLOS
offset null
entrada
inversora
entrada
no
inversora
e-
NC
e+
salida
vv
+
vout
i
+
i-
offset null
(a) Configuraci
ón de los
pines del
chip
e
+
vv
+
+
vou
t
e-
(b) Esquema
completo
(c) Vista simple
Figura 3.7: Un amplificador operacional y dos diagramas esquemáticos. (a) Las
conexiones de los pines del amplificador en un chip de circuito integrado. (b) Un esquema
con todas las conexiones. (c) Sólo las conexiones de señal.
(desplazamiento nulo). Se obtiene un modelo sencillo suponiendo que las corrientes de
entrada i−
and i+ are zero and that the output is given by the static relation
vout = sat(v min,vmax) k(v+ - v− ) ,
(3.8)
donde sat denota la función de saturación
si xa <
≤x≤
sat(a,b) (x) = a x si
b
a
b
si x > b.
(3.9)
Suponemos que la ganancia k es grande, en el rango de 106 -108 , y las tensiones vmin
y vmax satisfacen
e- ≤ vmin < vmax ≤ e+
y, por tanto, están en el rango de las tensiones de alimentación. Se obtienen
modelos más precisos sustituyendo la función de saturación por una función
suave, como se muestra en la figura 3.8. Para señales de entrada pequeñas, la
característica del amplificador (3.8) es lineal:
vout = k(v+ - v− ) =: -kv.
vma
x
(3.10)
vou
t
v+ - vvmi
n
Figura 3.8: Características de entrada/salida de un amplificador operacional. La entrada
diferencial viene dada por v+ v-. La tensión de salida es una función lineal de la entrada en
un pequeño rango alrededor de 0, con saturación en vmin y vmax. En el régimen lineal, el
amplificador operacional tiene una alta ganancia.
73
3.3. CIRCUITOS DE AMPLIFICADORES
OPERACIONALES
R1
R2
v
v1
i0
+
(a) Circuito amplificador
v1
v2
R2
R1
e
v
R1
R1 +
R2
-k
v2
(b) Diagrama de bloques
Figura 3.9: Amplificador estable utilizando un amplificador operacional. El circuito (a)
utiliza retroalimentación negativa alrededor de un amplificador operacional y tiene su
correspondiente diagrama de bloques (b). Las resistencias R1 y R2 determinan la ganancia
del amplificador.
Como la ganancia de bucle abierto k es muy grande, el rango de señales de entrada
en el que el sistema es lineal es muy pequeño.
Un amplificador simple se obtiene disponiendo la realimentación alrededor
del amplificador operacional básico como se muestra en la Figura 3.9a. Para
modelar el amplificador realimentado en el rango lineal, asumimos que la
corriente i0 = i− + i+ es cero y que la ganancia
- de
el amplificador es tan grande que la tensión v = v− v+ también es cero. Se deduce de
La ley de Ohm que las corrientes a través de las resistencias R1 y R2 están dadas por
v1
v2
=- ,
R1
R2
y por lo tanto la ganancia en lazo cerrado del amplificador
es
v2
R2
= -kcl ,
donde kcl =
.
(3.11)
v1
R1
Se obtiene un modelo más preciso si se sigue despreciando la corriente i0 pero
suponiendo que la tensión v es pequeña pero no despreciable. El equilibrio de la
corriente es entonces
v1 - v v - v2
=
.
(3.12)
R1
R2
Asumiendo que el amplificador opera en el rango lineal y utilizando la ecuación
(3.10), la ganancia del sistema de lazo cerrado se convierte en
v2
R2
kR1
(3.13)
kcl = - =
v1
R1 R1 + R2 + kR1
Si la ganancia de lazo abierto k del amplificador operacional es grande, la
ganancia de lazo cerrado kcl es la misma que en el modelo simple dado por la
ecuación (3.11). Obsérvese que la ganancia de bucle cerrado depende sólo de los
componentes pasivos y que las variaciones de k sólo tienen un efecto marginal en
la ganancia de bucle cerrado. Por ejemplo, si k = 106 y
R2 /R1 = 100, una variación de k en un 100% da sólo una variación del 0,01% en el cerrado
ganancia del bucle. La drástica reducción de la sensibilidad es una buena ilustración de cómo
la retroalimentación
puede utilizarse para hacer sistemas precisos a partir de componentes inciertos.
En este caso particular, la retroalimentación se utiliza para intercambiar alta
ganancia y baja robustez por baja ganancia y alta robustez. La ecuación (3.13)
fue la fórmula que inspiró a Black cuando inventó el amplificador de
retroalimentación [Bla34] (véase la cita al principio del capítulo 12).
74
CAPÍTULO 3. EJEMPLOS
R1
R2
v
v1
i0
C
+
v2
Figura 3.10: Diagrama del circuito de un controlador PI obtenido por retroalimentación
alrededor de un amplificador operacional. El condensador C se utiliza para almacenar carga y
representa la integral de la entrada.
Es instructivo desarrollar un diagrama de bloques para el amplificador de
realimentación de la Fig. 3.9a. Para ello representaremos el amplificador puro
con la entrada v y la salida v2 como un bloque. Para completar el diagrama de
bloques, debemos describir cómo v depende de v1 y v2 . Resolviendo la ecuación
(3.12) para v se obtiene
R1
R1 R2
R2
v=
v1 +
v2 =
v1 + v2 ,
R1
R1 +
R1 +
R1 +
R
R
R
2
2
2 en la Figura 3.9b. El diagrama
y obtenemos el diagrama
de bloques
mostrado
muestra claramente que el sistema tiene retroalimentación y que la ganancia de v2
a v es R1 /(R1 + R2 ), lo que también puede leerse en el diagrama del circuito de
la Figura 3.9a. Si el bucle es estable y la ganancia del amplificador es grande, se
deduce
- que el error e es pequeño, y encontramos que v2 = (R2 /R1 )v1 . Observe
que la resistencia R1 aparece en dos bloques en el bloque
diagrama. Esta situación es típica en los circuitos eléctricos, y es una de las razones por
las que
Los diagramas de bloques no siempre son adecuados para algunos tipos de modelado
físico.
El modelo simple del amplificador dado por la ecuación (3.10) proporciona una
visión cualitativa, pero descuida el hecho de que el amplificador es un sistema
dinámico. Un modelo más realista
es
dvout
= -avout - bv.
(3.14)
dt
El parámetro b que tiene dimensiones de frecuencia y se llama el producto de
ganancia-ancho de banda del amplificador. El uso de un modelo más complicado
depende de las preguntas a las que hay que responder y del tamaño requerido del
limón de incertidumbre. El modelo (3.14) sigue sin ser válido para frecuencias
muy altas o muy bajas, ya que la deriva provoca desviaciones a bajas frecuencias
y hay dinámicas adicionales que aparecen a frecuencias cercanas a b. El modelo
tampoco es válido para señales grandes -el límite superior viene dado por la
tensión de la fuente de alimentación, normalmente en el rango de 5-10 V- ni para
señales muy bajas debido al ruido eléctrico. Estos efectos pueden añadirse, si es
necesario, pero aumentan la complejidad del análisis.
El amplificador operacional es muy versátil, y se pueden construir muchos
sistemas diferentes combinándolo con resistencias y condensadores. De hecho,
cualquier sistema lineal puede implementarse combinando amplificadores
operacionales con resistencias y condensadores. El ejercicio 3.5 muestra cómo se
implementa un oscilador de segundo orden, y la figura 3.10 muestra el diagrama
del circuito para un controlador analógico proporcional-integral. Para desarrollar
un modelo simple para el circuito asumimos que la corriente i0 es cero y que la
ganancia de lazo abierto k es tan grande que el voltaje de entrada v es
despreciable. La corriente i
75
3.4. SISTEMAS INFORMÁTICOS Y REDES
a través del condensador es i = Cdvc /dt, donde vc es la tensión a través del
condensador. Como la misma corriente pasa por la resistencia R1 , obtenemos
dvc
v1
i=
=C ,
R1
dt
lo que implica que
- t
1
vc(t ) =
i (t dt = 1
) .
R1 v0 1(
)
C
La tensión de salida viene dada, por tanto,
C por
R2
-
v 1t( ) - 1 t v
v2tR
( )i = - v 2 - c = 0
R1C
R1
que es la relación entrada/salida de un controlador PI.
1(  )
,
El desarrollo de los amplificadores operacionales fue promovido por
Philbrick [Lun05, Phi48], y su uso se describe en muchos libros de texto (por
ejemplo, [CD75]). También se puede obtener buena información de los
proveedores [Jun02, Man02].
3.4 Sistemas informáticos y redes
La aplicación de la retroalimentación a los sistemas informáticos sigue los
mismos principios que el control de los sistemas físicos, pero los tipos de
mediciones y entradas de control que pueden utilizarse son algo diferentes. Las
mediciones (sensores) suelen estar relacionadas con la utilización de recursos en
el sistema informático o la red y pueden incluir cantidades como la carga del
procesador, el uso de la memoria o el ancho de banda de la red. Las variables de
control (actuadores) suelen implicar el establecimiento de límites en los recursos
disponibles para un proceso. Esto puede hacerse controlando la cantidad de
memoria, espacio en disco o tiempo que puede consumir un proceso, activando o
desactivando el procesamiento, retrasando la disponibilidad de un recurso o
rechazando las peticiones entrantes a un proceso del servidor. La modelización
de los procesos de los sistemas informáticos en red también es un reto, y a
menudo se utilizan modelos empíricos basados en mediciones cuando no se
dispone de un modelo de primeros principios.
Control del servidor web
Los servidores web responden a las peticiones de Internet y proporcionan
información en forma de páginas web. Los servidores web modernos inician
múltiples procesos para responder a las peticiones, y cada proceso se asigna a
una única fuente hasta que no se reciben más peticiones de esa fuente durante un
periodo de tiempo predefinido. Los procesos que están inactivos pasan a formar
parte de un pool que puede utilizarse para responder a nuevas peticiones. Para
dar una respuesta rápida a las peticiones web, es importante que los procesos del
servidor web no sobrecarguen la capacidad de cálculo del servidor ni agoten su
memoria. Dado que otros procesos pueden estar ejecutándose en el servidor, la
cantidad de potencia de procesamiento y memoria disponible es incierta, y la
retroalimentación puede utilizarse para proporcionar un buen rendimiento en
presencia de esta incertidumbre.
76
CAPÍTULO 3. EJEMPLOS
Carga del
procesador
solicitude
s
entrante
ssaliente
datos
MaxCliente
s
Oci
oso
cola
de
acepta
ción
Espe
ra
Ocup
ado
-1
Control
ar
KeepAlive
Uso de la
memoria
Re
f
-1
Servidores de
clientes
Figura 3.11: Control de retroalimentación de un servidor web. Las solicitudes de conexión
llegan a una cola de entrada, donde se envían a un proceso del servidor. Una máquina de
estado finito mantiene un registro del estado de los procesos individuales del servidor y
responde a las solicitudes. Un algoritmo de control puede modificar el funcionamiento del
servidor mediante el control de los parámetros que afectan a su comportamiento, como el
número máximo de solicitudes que pueden ser atendidas en un solo momento
(MaxClients) o la cantidad de tiempo que una conexión puede permanecer inactiva
antes de ser abandonada (KeepAlive).
La figura 3.11 ilustra el uso de la retroalimentación para modular el
funcionamiento de un servidor web Apache. El servidor web opera colocando las
solicitudes de conexión entrantes en una cola y luego iniciando un subproceso
para manejar las solicitudes de cada conexión aceptada. Este subproceso
responde a las peticiones de una determinada conexión a medida que van
llegando, alternando entre un estado de Ocupación y un estado de Espera.
(Mantener el subproceso activo entre peticiones se conoce como persistencia de
la conexión y proporciona una reducción sustancial de la latencia a las peticiones
de múltiples piezas de información de un mismo sitio). Si no se reciben
peticiones durante un periodo de tiempo suficientemente largo, controlado por el
parámetro KeepAlive, la conexión se abandona y el subproceso entra en
estado Idle, donde se le puede asignar otra conexión. Se atenderá un máximo
de MaxClients de peticiones simultáneas, quedando el resto en la cola de
peticiones entrantes.
Los parámetros que controlan el servidor representan un equilibrio entre el
rendimiento (la rapidez con la que las solicitudes reciben una respuesta) y el uso
de recursos (la cantidad de potencia de procesamiento y memoria que utiliza el
servidor). Aumentar el parámetro MaxClients permite que las solicitudes de
conexión se retiren de la cola más rápidamente, pero aumenta la cantidad de
potencia de procesamiento y el uso de memoria que se requiere. Aumentar el
tiempo de espera de KeepAlive significa que las conexiones individuales
pueden permanecer inactivas durante un período de tiempo más largo, lo que
disminuye la carga de procesamiento en la máquina, pero aumenta el tamaño de
la cola (y por lo tanto la cantidad de tiempo necesario para que un usuario inicie
una conexión). El éxito de un servidor ocupado requiere una elección adecuada
de estos parámetros, a menudo basada en la prueba y el error.
Para modelar la dinámica de este sistema con más detalle, creamos un modelo
en tiempo discreto con estados dados por la carga media del procesador xcpu y el
porcentaje de uso de la memoria xmem . Las entradas al sistema se toman como el
número máximo de clientes umc y el tiempo de mantenimiento de la conexión uka
. Si asumimos un modelo lineal en torno al
3.4. SISTEMAS INFORMÁTICOS Y REDES
77
punto de equilibrio, la dinámica puede escribirse como
xcpu [k + 1]
A
A12 xcpu [k]
B
B12uka [k]
= 11
+1
, (3.15)
]
]
]
xmem [k + 1
B21
B22 umc [k
A21
A22xmem[k
donde los coeficientes de las matrices A y B pueden determinarse en base a
mediciones empíricas o a un modelado detallado del procesamiento y uso de
memoria del servidor web. Utilizando la identificación del sistema, Diao et al.
[DGH+02, HDPT04] identificaron la dinámica linealizada como
4
0.54
-0.11
-85
4.
A=
,
B
=
× 10-4,
63
8
-0.0260.
-2.5 2 .
donde el sistema fue linealizado alrededor del punto de equilibrio
xcpu = 0,58, uka = 11 s, xmem = 0,55, umc = 600.
Este modelo muestra las características básicas descritas anteriormente.
Observando en primer lugar la matriz B, vemos que el aumento del tiempo de
espera KeepAlive (primera columna de la matriz B) disminuye tanto el uso
del procesador como el de la memoria, ya que hay más persistencia en las
conexiones y, por tanto, el servidor pasa más tiempo esperando a que se cierre
una conexión en lugar de tomar una nueva conexión activa. La conexión
MaxClients aumenta los requisitos de procesamiento y de memoria. Nótese
que el mayor efecto sobre la carga del procesador es el tiempo de espera
KeepAlive. La matriz A nos indica cómo evoluciona el uso del procesador y
de la memoria en una región del espacio de estados cercana al punto de
equilibrio. Los términos diagonales describen cómo los recursos individuales
vuelven al equilibrio después de un aumento o disminución transitoria. Los
términos no diagonales muestran que existe un acoplamiento entre los dos
recursos, de modo que un cambio en uno de ellos puede provocar un cambio
posterior en el otro.
Aunque este modelo es muy sencillo, veremos en ejemplos posteriores que
puede utilizarse para modificar los parámetros que controlan el servidor en
tiempo real y proporcionar robustez respecto a las incertidumbres de la carga de
la máquina. Se han utilizado mecanismos similares para otros tipos de
servidores. Es importante volver a plantear los supuestos del modelo y su papel a
la hora de determinar cuándo es válido el modelo. En particular, dado que hemos
optado por utilizar cantidades medias a lo largo de un tiempo de muestreo
determinado, el modelo no proporcionará una representación precisa de los
fenómenos de alta frecuencia.
Control de la congestión
Internet se creó para obtener un sistema de comunicación amplio, altamente
descentralizado, eficiente y ex- pandible. El sistema consta de un gran número de
pasarelas interconectadas. Un mensaje se divide en varios paquetes que se
transmiten por distintos caminos de la red, y los paquetes se vuelven a unir para
recuperar el mensaje en el receptor. Cuando se recibe un paquete, se envía un
mensaje de acuse de recibo ("ack") al remitente. El funcionamiento del sistema
se rige por una estructura de control descentralizada, sencilla pero potente, que
ha ido evolucionando con el tiempo.
78
CAPÍTULO 3. EJEMPLOS
1
Fuentes
0.8
Fu
ent
es
Router
Enla
ce
Router
Enla
Receptor
ce
ack
Enla
ce
(a) Diagrama de
bloques
be
0.6
0.4
0.2
0
10−2
100
102
104
22N
2
1/(
) (escala logarítmica)
(b) Punto de funcionamiento
Figura 3.12: Control de la congestión en Internet. (a) Los ordenadores de origen envían
información a los routers, que reenvían la información a otros routers que finalmente se
conectan al ordenador receptor. Cuando se recibe un paquete, se envía un paquete de acuse
de recibo a través de los routers (no se muestra). Los routers almacenan la información
recibida de las fuentes y envían los datos a través del enlace de salida. (b) El tamaño de
búfer de equilibrio para un conjunto de N ordenadores idénticos que envían paquetes a
través de un único enrutador con una probabilidad de caída .
El sistema cuenta con dos mecanismos de control denominados protocolos: el
Protocolo de Control de Transmisión (TCP) para la comunicación de extremo a
extremo de la red y el Protocolo de Internet (IP) para el encaminamiento de
paquetes y para la comunicación de host a gateway o de gateway a gateway. Los
protocolos actuales evolucionaron después de que se produjeran algunos
colapsos de congestión espectaculares a mediados de los años 80, cuando el
rendimiento podía caer inesperadamente por un factor de 1000 [Jac95]. El
mecanismo de control en TCP se basa en conservar el número de paquetes en el
bucle desde el emisor al receptor y de vuelta al emisor. La tasa de envío se
incrementa exponencialmente cuando no hay congestión, y se reduce a un nivel
bajo cuando hay congestión.
Para derivar un modelo global de control de la congestión, modelamos tres
elementos separados del sistema: la velocidad a la que los paquetes son enviados
por las fuentes individuales (ordenadores), la dinámica de las colas en los enlaces
(routers) y el mecanismo de control de admisión para las colas. La figura 3.12a
es un diagrama de bloques del sistema. El mecanismo actual de control de
fuentes en Internet es un protocolo conocido como TCP/Reno [LPD02]. Este
protocolo funciona enviando paquetes a un receptor y esperando a recibir un
acuse de recibo del receptor de que el paquete ha llegado. Si no se envía ningún
acuse de recibo en un determinado periodo de tiempo, el paquete se vuelve a
enviar. Para evitar esperar el acuse de recibo antes de enviar el siguiente paquete,
Reno transmite múltiples paquetes hasta una ventana fija alrededor del último
paquete que ha sido reconocido. Si la longitud de la ventana se elige
correctamente, los paquetes al principio de la ventana serán reconocidos antes de
que la fuente transmita los paquetes al final de la ventana, lo que permite al
ordenador transmitir continuamente paquetes a
una tasa elevada.
Para determinar el tamaño de la ventana a utilizar, TCP/Reno utiliza un
mecanismo de retroalimentación en el que (a grandes rasgos) el tamaño de la
ventana se incrementa en 1 cada vez que se reconoce un paquete y el tamaño de
la ventana se reduce a la mitad cuando se pierden paquetes. Este mecanismo
permite un ajuste dinámico del tamaño de la ventana en el que cada
79
3.4. SISTEMAS INFORMÁTICOS Y REDES
El ordenador actúa de forma codiciosa mientras se entregan paquetes, pero
retrocede rápidamente cuando se produce una congestión.
Se puede desarrollar un modelo para el comportamiento de la fuente
describiendo la dinámica del tamaño de la ventana. Supongamos que tenemos N
ordenadores y dejemos que wi sea el tamaño de ventana actual (medido en
número de paquetes) para el i-ésimo ordenador. Dejemos que qi represente la
probabilidad de extremo a extremo de que un paquete se pierda en algún punto
entre el origen y el receptor. Podemos modelar la dinámica del tamaño de la
ventana mediante la ecuación diferencial
dwi
wi
wi
ri(t −)
= (1 - qi )
+ qi (- ri (t −i )),
ri =
,
(3.16)
dt
wi
2
i
dondei es el tiempo de transmisión de extremo a extremo para que un paquete
llegue a su destino y el acuse de recibo se envíe de vuelta y ri es la tasa resultante
a la que se borran los paquetes de la lista de paquetes que se han recibido. El
primer término de la dinámica representa el aumento del tamaño de la ventana
cuando se recibe un paquete, y el segundo término representa la disminución del
tamaño de la ventana cuando se pierde
- un paquete. Observe que ri se evalúa en el
momento ti , que representa el tiempo necesario para recibir acuses de recibo
adicionales.
La dinámica de los enlaces está controlada por la dinámica de la cola del
router y el mecanismo de control de admisión de la cola. Supongamos que
tenemos L enlaces en la red y utilizamos l para indexar los enlaces individuales.
Modelamos la cola en términos del número actual de paquetes en el buffer del
router bl y suponemos que el router puede contener un máximo de bl,max paquetes
y transmite paquetes a una velocidad cl , igual
a la capacidad del enlace. La dinámica del buffer puede escribirse entonces como
dbl
ri (t − f li),
(3.17)
= sl - cl ,
sl =
dt
{i: l∈Li}
donde Li es el conjunto de enlaces que utiliza la fuente i,f es
el tiempo que tarda
li
un paquete de la fuente i en llegar al enlace l y sl es la velocidad total a la que
llegan los paquetes al enlace l.
El mecanismo de control de admisión determina si un paquete dado es
aceptado por un router. Dado que nuestro modelo se basa en las cantidades
medias en la red y no en los paquetes individuales, un modelo sencillo es
suponer que la probabilidad de que un paquete sea descartado depende de lo
lleno que esté el búfer: pl = ml (bl , bmax ).
Para simplificar, supondremos por ahora que pl =l bl (véase el ejercicio 3.6 para una mayor
modelo detallado). La probabilidad de que un paquete se pierda en un enlace determinado
puede ser
utilizado para determinar la probabilidad de extremo a extremo de que un paquete se pierda
en la transmisión:
qi = 1 - (1 - pl )
l∈Li
 pl (t −b ),
li
(3.18)
l∈Li
donde bli es el retardo hacia atrás desde el enlace l hasta la fuente i y la
aproximación es válida siempre que las probabilidades de caída individuales sean
pequeñas. Utilizamos el retardo hacia atrás porque representa el tiempo necesario
para que la fuente reciba el paquete de acuse de recibo.
80
CAPÍTULO 3. EJEMPLOS
En conjunto, las ecuaciones (3.16), (3.17) y (3.18) representan un modelo de
dinámica de control de la congestión. Podemos obtener una visión sustancial si
consideramos un caso especial en el que tenemos N fuentes idénticas y 1 enlace.
Además, suponemos por el momento que los retrasos hacia delante y hacia atrás
pueden ignorarse, en cuyo caso la dinámica puede reducirse a la forma
2
b
dwi = 1 - c(2 + w i) ,
db wNi
,
(3.19)
c,
=
=
dt
2
dt
c
i=1
∈ i = 1, . . . , N, son los tamaños de las ventanas de las fuentes de∈datos, b R
donde wi R,
es el tamaño actual del búfer del router, controla la velocidad a la que los paquetes son
y c es la capacidad del enlace que conecta el router con los ordenadores. La
variable representa el tiempo necesario para que un paquete sea procesado por el
router, en función del tamaño del buffer y de la capacidad del enlace.
Sustituyendo
en las ecuaciones, escribimos la dinámica del espacio de estados como
(
N cwi
db
w2i
dwi
c
1
+
,
=
- c.
(3.20)
= −
b
dt
b
2
dt
i=1
Se pueden encontrar modelos más sofisticados en [HMTG00, LPD02].
El punto de funcionamiento nominal del sistema se puede encontrar estableciendo w˙i = b˙ =
0:
c
0 = −
b
(
1+
w2i
,
2
0=
N
i=1
cwi
- c.
b
Aprovechando el hecho de que todas las dinámicas de las fuentes son idénticas,
se deduce que todas las wi deben ser iguales, y se puede demostrar que existe un
único equilibrio que satisface las ecuaciones
w ,ie =
be
N
=
ce
,
N
1
22N2
(be )3 + (be ) - 1 = 0.
(3.21)
La solución de la segunda ecuación es un poco complicada, pero puede
determinarse fácilmente de forma numérica. En la f i g u r a 3.12b se muestra
un gráfico de su solución en función de 1/(22N2 ). También observamos que en el
equilibrio tenemos la siguiente igualdad adicional
idades:
Nwe
be
we
=
,
qe = Np e = e ,
re = .
(3.22)
e =
c
c
e
La figura 3.13 muestra una simulación de 60 fuentes que se comunican a
través de un único enlace, con 20 fuentes que abandonan a t = 500 ms y el resto
de fuentes que aumentan su velocidad (tamaño de las ventanas) para compensar.
Obsérvese que el tamaño del búfer y de las ventanas se ajusta automáticamente a
la capacidad del enlace.
El libro de texto de Tannenbaum [Tan96] ofrece un tratamiento completo de
las redes de ordenadores. Uno de los diseñadores de Internet, Van Jacobson,
ofrece una buena presentación de las ideas en las que se basan los principios de
control de Internet en [Jac95].
F. Kelly [Kel85] presenta un primer esfuerzo de análisis del sistema. El libro
81
3.5. MICROSCOPÍA DE FUERZA
ATÓMICA
Fu
ent
es
Router
Enlace
Receptor
.
ack
20
Est
ado
s w 15
[pkt
s/m
s], 10
b
[pkt
s]
5
b
i
w -w
1 60
Enla
ce
0
0
200
w -w
1 40
400
600
800
Tiempo t [ms]
1000
Figura 3.13: Control de la congestión en Internet para N fuentes idénticas a través de un
único enlace. Como se muestra a la izquierda, varias fuentes intentan comunicarse a través
de un router a través de un único enlace. Un paquete "ack" enviado por el receptor
reconoce que el mensaje se ha recibido; de lo contrario, el paquete de mensajes se reenvía
y la velocidad de envío se reduce en la fuente. La simulación de la derecha es para 60
fuentes que comienzan con tasas aleatorias, con 20 fuentes que abandonan
a t = 500 ms. El tamaño del buffer se muestra en la parte superior, y las tasas individuales
de 6 de las fuentes se muestran en la parte inferior.
de Hellerstein et al. [HDPT04] da muchos ejemplos del uso de la
retroalimentación en los sistemas informáticos.
3.5 Microscopía de fuerza atómica
El Premio Nobel de Física de 1986 fue compartido por Gerd Binnig y Heinrich
Rohrer por su diseño del microscopio de barrido en túnel. La idea de este
instrumento es acercar una punta atómicamente afilada a una superficie
conductora para que se produzca un efecto túnel. Se obtiene una imagen
atravesando la punta por la muestra y midiendo la corriente de túnel en función
de la posición de la punta. Esta invención ha estimulado el desarrollo de una
familia de instrumentos que permiten la visualización de la estructura de la
superficie a escala nanométrica, incluido el microscopio de fuerza atómica
(AFM), en el que una muestra es sondeada por una punta en voladizo. Un AFM
puede funcionar en dos modos. En el modo de golpeo, el cantiléver vibra y la
amplitud de la vibración se controla mediante retroalimentación. En el modo de
contacto, el cantiléver está en contacto con la muestra y su flexión se controla
por retroalimentación. En ambos casos, el control se realiza mediante un
elemento piezoeléctrico que controla la posición vertical de la base del voladizo
(o de la muestra). El sistema de control influye directamente en la calidad de la
imagen y la velocidad de exploración.
En la figura 3.14a se muestra un esquema de un microscopio de fuerza
atómica. Un microcantiléver con una punta que tiene un radio del orden de 10
nm se coloca cerca de la muestra. La punta puede moverse vertical y
horizontalmente mediante un escáner piezoeléctrico. Se sujeta a la superficie de
la muestra mediante fuerzas atractivas de Van der Waals y fuerzas repulsivas de
Pauli. La inclinación del cantiléver depende de la topografía de la superficie y de
la posición de la base del cantiléver, que se controla mediante el elemento
piezoeléctrico.
82
CAPÍTULO 3. EJEMPLOS
Fotod
iodo
Láser
Voladizo
Muestr
Accio a
Generad
nami
or de
x,y
ento
barrido
z
piezo
Controlad
eléctr
Amplificador
or ico
Amplifica
dor
Referencia de desviación
(a) Diagrama esquemático
(b) Imagen
de AFM del ADN
Figura 3.14: Microscopio de fuerza atómica. (a) Diagrama esquemático de un microscopio
de fuerza atómica, que consiste en un accionamiento piezoeléctrico que escanea la muestra
bajo la punta del AFM. Un láser se refleja en el voladizo y se utiliza para medir la
detección de la punta a través de un controlador de retroalimentación. (b) Una imagen de
AFM de hebras de ADN. (Imagen por cortesía de Veeco Instruments).
La inclinación se mide detectando la desviación del rayo láser mediante un
fotodiodo. La señal del fotodiodo se amplifica y se envía a un controlador que
acciona el amplificador para la posición vertical del voladizo. Al controlar el
elemento piezoeléctrico para que la desviación del voladizo sea constante, la
señal que impulsa la desviación vertical del elemento piezoeléctrico es una
medida de las fuerzas atómicas entre la punta del voladizo y los átomos de la
muestra. Se obtiene una imagen de la superficie mediante el barrido del voladizo
a lo largo de la muestra. La resolución permite ver la estructura de la muestra a
escala atómica, como se ilustra en la Figura 3.14b, que muestra una imagen de
AFM del ADN.
El movimiento horizontal de un AFM se modela típicamente como un sistema
de muelle-masa con baja amortiguación. El movimiento vertical es más
complicado. Para modelar el sistema, comenzamos con el diagrama de bloques
mostrado en la Figura 3.15. Las señales fácilmente accesibles son la tensión de
entrada u al amplificador de potencia que acciona el elemento piezoeléctrico, la
tensión v aplicada al elemento piezoeléctrico y la tensión de salida y del
amplificador de señal para el fotodiodo. El controlador es un controlador PI
implementado por un ordenador, que está conectado al sistema mediante
convertidores analógico-digital (A/D) y digital-analógico (D/A). La desviación
del voladizo también se muestra en la figura. El valor de referencia deseado para
la desviación es una entrada para el ordenador.
Hay varias configuraciones diferentes que tienen distintas dinámicas. Aquí
discutiremos un sistema de alto rendimiento de [ SÅD+07] donde la base del
cantiléver se posiciona verticalmente usando una pila piezoeléctrica.
Comenzamos el modelado con un simple experimento sobre el sistema. La figura
3.16a muestra una respuesta escalonada de un escáner desde la tensión de
entrada u al amplificador de potencia hasta la tensión de salida y del amplificador
de señal para el fotodiodo. Este experimento captura la dinámica de la cadena de
bloques desde u hasta y en el diagrama de bloques de la Figura 3.15. La figura
3.16a muestra que
el sistema responde rápidamente, pero existe un modo oscilatorio poco
amortiguado con un periodo de unas 35 µs. Una de las principales tareas de la
modelización es comprender el origen del comportamiento oscilatorio. Para ello,
exploraremos el sistema en más
83
3.5. MICROSCOPÍA DE FUERZA
ATÓMICA
Muestra de topografía
Eleme
nto
piezoel
éctrico
z
Voladizo
Láser y
fotodiodo
Referencia de desviación
u D
Amplifi
A y
Amplifi
Ordenador
cador de
A
D
cador de
potencia
señal
Figura 3.15: Diagrama de bloques del sistema de posicionamiento vertical del cantiléver
para un microscopio de fuerza atómica en modo de contacto. El sistema de control intenta
mantener la deflexión del cantilever igual a su valor de referencia. La desviación del
cantiléver se mide, se amplifica y se convierte en una señal digital, y luego se compara con
su valor de referencia. El ordenador genera una señal correctora, que se convierte en
analógica, se amplifica y se envía al elemento piezoeléctrico.
v
detalle.
La frecuencia natural del voladizo sujetado suele ser de varios cientos de
kilohercios, que es mucho más alta que la oscilación observada de unos 30 kHz.
Como primera aproximación, lo modelaremos como un sistema estático. Dado
que las deflexiones son pequeñas, podemos suponer que la flexión del voladizo
es proporcional a la diferencia de altura entre la punta del voladizo en la sonda y
el escáner piezoeléctrico. Se puede obtener un modelo más preciso modelando el
cantiléver como un sistema muelle-masa del tipo discutido en el capítulo 2.
La figura 3.16a también muestra que la respuesta del amplificador de
potencia es rápida. El fotodiodo y el amplificador de señal también tienen
respuestas rápidas y, por lo tanto, pueden modificarse como sistemas estáticos.
El bloque restante es un sistema piezoeléctrico con suspensión. En la figura
3.16b se muestra una representación mecánica esquemática del movimiento
vertical del escáner. Modelaremos el sistema como dos masas separadas por un
elemento piezoeléctrico ideal. La masa m1 es la mitad del sistema piezoeléctrico,
y la masa m2 es la otra mitad del sistema piezoeléctrico más la masa del soporte.
Se obtiene un modelo sencillo suponiendo que el cristal piezoeléctrico genera
una fuerza F entre las masas y que existe un amortiguamiento c en el muelle.
Sean las posiciones del centro de las masas z1 y z2 . Un balance de momentos da
el siguiente modelo para el sistema:
d2 z1
d2 z2
dz2
m
= F,
m2
= -c2 - k2 z2 - F.
1
dt2
dt2
dt
Sea la elongación del elemento piezoeléctrico l =
- z1 z2 la variable de control y la
altura z1 de la base del voladizo la salida. Eliminando la variable F en las
ecuaciones anteriores y sustituyendo z1 - l por z2 se obtiene el modelo
d2 z1
dz1
d2 l
dl
(m1 + m2 )
+ c2 + k2 z1 = m2
+ c2 + k2 l.
(3.23)
dt2
dt
dt2
dt
Resumiendo, encontramos que un modelo simple del sistema se obtiene por mod-
84
CAPÍTULO 3. EJEMPLOS
m1
u
Vp
Cristal piezoeléctrico
y
m2
z1
(a) Respuesta al paso
z2
(b) Modelo mecánico
Figura 3.16: Modelado de un microscopio de fuerza atómica. (a) Una respuesta
escalonada medida. La curva superior muestra la tensión u aplicada al amplificador de
accionamiento (50 mV/div), la curva del medio es la salida Vp del amplificador de
potencia (500 mV/div) y la curva inferior es la salida y del amplificador de señal (500
mV/div). La escala de tiempo es de 25 s/div. Los datos han sido suministrados por Georg
Schitter. (b) Un modelo mecánico simple para el posicionador vertical y el cristal
piezoeléctrico.
elando el piezo por (3.23) y todos los demás bloques por modelos estáticos.
Introduciendo las ecuaciones lineales l = k3 u e y = k4 z1 , tenemos ahora un
modelo completo que relaciona la salida y con la señal de control u. Se puede
obtener un modelo más preciso introduciendo la dinámica del voladizo y del
amplificador de potencia. Como en los ejemplos anteriores, el concepto de limón
de incertidumbre de la figura 2.15b proporciona
un marco para describir la incertidumbre: el modelo será preciso hasta las
frecuencias de los modos más rápidos modelados y en un rango de movimiento
en el que se pueden utilizar modelos de rigidez linealizados.
Los resultados experimentales de la figura 3.16a pueden explicarse
cualitativamente de la siguiente manera. Cuando se aplica un voltaje al piezo,
éste se expande en l0 , la masa m1 se mueve hacia arriba y la masa m2 se mueve
hacia abajo instantáneamente. El sistema se asienta tras una oscilación poco
amortiguada.
Es muy deseable diseñar un sistema de control para el movimiento vertical de
manera que responda rápidamente con poca oscilación. El diseñador del
instrumento tiene varias opciones: aceptar la oscilación y tener un tiempo de
respuesta lento, diseñar un sistema de control que pueda amortiguar las
oscilaciones o rediseñar la mecánica para dar resonancias de mayor frecuencia.
Las dos últimas alternativas proporcionan una respuesta más rápida y una imagen
más rápida.
Dado que el comportamiento dinámico del sistema cambia con las
propiedades de la muestra, es necesario ajustar el bucle de retroalimentación. En
los sistemas sencillos, esto se hace manualmente ajustando los parámetros de un
controlador PI. Existen interesantes posibilidades para facilitar el uso de los
sistemas de AFM mediante la introducción de la sintonización y la adaptación
automáticas.
El libro de Sarid [Sar91] ofrece una amplia cobertura de los microscopios de
fuerza atómica. La interacción de los átomos cerca de las superficies es
fundamental para la física del estado sólido, véase Kittel [Kit95]. El modelo
discutido en esta sección se basa en Schitter [Sch01].
85
3.6. ADMINISTRACIÓN DE
MEDICAMENTOS
Circulación
sanguínea
Límites de los
tejidos
k1
Dosis N0
k4
k2 k3
Química
k5 inactivación
"fijación"
etc.
Subcutis
, etc.
Figura 3.17: Abstracción utilizada para compartimentar el cuerpo con el fin de describir la
distribución de fármacos (basada en Teorell [Teo37]). El cuerpo se abstrae mediante un
número de compartimentos con una mezcla perfecta, y los complejos procesos de
transporte se aproximan asumiendo que el flujo es proporcional a las diferencias de
concentración en los compartimentos. Las constantes ki parametrizan las tasas de flujo
entre los diferentes compartimentos.
3.6 Medicamento Administración
La frase "Tómese dos pastillas tres veces al día" es una recomendación con la
que todos estamos familiarizados. Detrás de esta recomendación está la solución
de un problema de control de bucle abierto. La cuestión clave es asegurarse de
que la concentración de un medicamento en una parte del cuerpo es lo
suficientemente alta como para ser eficaz, pero no tan alta como para causar
efectos secundarios indeseables. La acción de control está cuantificada, tomar
dos pastillas, y muestreada, cada 8 horas. Las prescripciones se basan en
modelos sencillos plasmados en tablas empíricas, y la dosis se basa en la edad y
el peso del paciente.
La administración de fármacos es un problema de control. Para resolverlo,
debemos entender cómo se propaga un fármaco en el cuerpo después de su
administración. Este tema, llamado farmacocinética, es ahora una disciplina
propia, y los modelos utilizados se llaman modelos de compartimentos. Se
remontan a la década de 1920, cuando Widmark modeló la propagación del
alcohol en el cuerpo [WT24]. En la actualidad, los modelos compartimentados
son importantes para el cribado de todos los fármacos utilizados por los seres
humanos. El diagrama esquemático de la Figura 3.17 ilustra la idea de un modelo
de compartimentos. El cuerpo se ve como un número de compartimentos como
el plasma sanguíneo, el riñón, el hígado y los tejidos que están separados por
membranas. Se supone que existe una mezcla perfecta, de modo que la
concentración del fármaco es constante en cada compartimento. Los complejos
procesos de transporte se aproximan suponiendo que los flujos entre los
compartimentos son proporcionales a las diferencias de concentración en los
mismos.
Para describir el efecto de un fármaco es necesario conocer tanto su
concentración como su influencia en el organismo. La relación entre la
concentración c y su efecto e suele ser no lineal. Un modelo sencillo es
e =c c0
+ c emax .
(3.24)
El efecto es lineal para concentraciones bajas, y se satura a concentraciones altas.
86
CAPÍTULO 3. EJEMPLOS
La relación también puede ser dinámica, y se denomina entonces
farmacodinámica.
87
3.6. ADMINISTRACIÓN DE
MEDICAMENTOS
Modelos de compartimentos
El modelo dinámico más sencillo para la administración de fármacos se obtiene
suponiendo que el fármaco se distribuye uniformemente en un único
compartimento tras su administración y que el fármaco se elimina a una
velocidad proporcional a la concentración. Los compartimentos se comportan
como tanques agitados con una mezcla perfecta. Sea c la concentración, V el
volumen y q la velocidad de salida. Convirtiendo la descripción del sistema en
ecuaciones diferenciales se obtiene el modelo
V
dc
dt
= - qc,
c ≥ 0.
(3.25)
Esta ecuación tiene la solución c(t) = c0 e−qt/V = c0 e−kt , que muestra que la concentración decae exponencialmente con la constante de tiempo T = V /q
después de una inyección. La entrada se introduce implícitamente como
condición inicial en el modelo (3.25). Más
En general, la forma en que la entrada entra en el modelo depende de cómo se
administra el fármaco. Por ejemplo, la entrada puede representarse como un flujo
de masa en el compartimento donde se inyecta el fármaco. Una píldora disuelta
también puede interpretarse como una entrada en términos de flujo de masa.
El modelo (3.25) se denomina modelo de un compartimento o de un solo
depósito. El parámetro q/V se denomina constante de velocidad de eliminación.
Este modelo simple se utiliza a menudo para modelar la concentración en el
plasma sanguíneo. Midiendo la concentración en algunos momentos, se puede
obtener la concentración inicial por extrapolación. Si se conoce la cantidad total
de la sustancia inyectada, el volumen V se puede determinar como V = m/c0 ;
este volumen se denomina volumen aparente de distribución. Este volumen es
mayor que el volumen real si la concentración en el plasma es menor que en
otras partes del cuerpo. El modelo (3.25) es muy simple, y hay
son grandes variaciones individuales de los parámetros. Los parámetros V y q
suelen normalizarse dividiéndolos por el peso de la persona. Los parámetros
típicos para la aspirina son V = 0,2 L/kg y q = 0,01 (L/h)/kg. Estas cifras pueden
compararse con un volumen sanguíneo de 0,07 L/kg, un volumen plasmático de
0,05 L/kg, un volumen de líquido intracelular de 0,4 L/kg y un flujo de salida de
0,0015 L/ min/kg.
El modelo simple de un compartimento capta el comportamiento bruto de la
distribución del fármaco, pero se basa en muchas simplificaciones. Se pueden
obtener modelos mejorados si se considera que el cuerpo está compuesto por
varios compartimentos. En la Figura 3.18 se muestran ejemplos de estos
sistemas, en los que los compartimentos se representan como círculos y los flujos
como flechas.
La modelización se ilustrará con el modelo de dos compartimentos de la
figura 3.18a. Suponemos que hay una mezcla perfecta en cada compartimento y
que el transporte entre los compartimentos está impulsado por las diferencias de
concentración. Además, suponemos que un fármaco con una concentración c0 se
inyecta en el compartimento 1 con un flujo volumétrico de u y que la
concentración en el compartimento 2 es la salida. Sea c1 y c2 las concentraciones
del fármaco en los compartimentos y sea V1 y V2 las
88
CAPÍTULO 3. EJEMPLOS
u
V
3
k1
V1
k0
k3
k03
b0
V2
k2
u1
b1
V1
1
k1
k06
V
6
k2
1
k1
2
k5
4
3
V4
k6
4
k02
V2
k05
V5
k4
5
b4
u4
k4
6
(a) Modelo de dos compartimentos
(b) Modelo de la hormona tiroidea
Figura 3.18: Diagramas esquemáticos de modelos de compartimentos. (a) Un modelo
simple de dos compartimentos. Cada compartimento está etiquetado por su volumen, y las
flechas indican el flujo de sustancias químicas hacia, desde y entre los compartimentos. (b)
Un sistema con seis compartimentos utilizado para estudiar el metabolismo de la hormona
tiroidea [God83]. La notación ki j denota el transporte del compartimento j al
compartimento i.
volúmenes de los compartimentos. Los balances de masa de los
compartimentos son
dc1
= q(c2 - c1 ) - q0 c1 + c0 u,
dt
dc2
V2
= q(c1 - c2 ),
c2 ≥ 0,
dt
y = c2 .
V1
c1 ≥ 0,
(3.26)
Introduciendo las variables k0 = q0 /V1 , k1 = q/V1 , k2 = q/V2 y b0 = c0 /V1 y
utilizando la notación matricial, el modelo puede escribirse como
dc
dt
=
-k0- k1
k2
k1
b0
c + u,
0
-k 2
1
y = 0 c.
(3.27)
Comparando este modelo con su representación gráfica en la figura 3.18a,
encontramos que la representación matemática (3.27) se puede escribir por
inspección.
También hay que destacar que los modelos simples de compartimentos, como
el de la ecuación (3.27), tienen un rango de validez limitado. Los límites de baja
frecuencia existen porque el cuerpo humano cambia con el tiempo, y como el
modelo de compartimentos utiliza concentraciones promedio, no representarán
con precisión los cambios rápidos. También hay efectos no lineales que influyen
en el transporte entre los compartimentos.
Los modelos de compartimentos se utilizan ampliamente en medicina,
ingeniería y ciencias ambientales. Una propiedad interesante de estos sistemas es
que variables como la concentración y la masa son siempre positivas. Una
3.6. ADMINISTRACIÓN DE
MEDICAMENTOS
89
dificultad esencial en la modelización de compartimentos es decidir cómo dividir
un sistema complejo en compartimentos. Los modelos de compartimentos
también pueden ser no lineales, como se ilustra en la siguiente sección.
90
CAPÍTULO 3. EJEMPLOS
Glucosa
Estómag
o
Páncreas
Hígado
Intestino
grueso
Intestino
delgado
Insulin
a
Páncreas
Tejido
Estómag
o
Glucosa
en
sangre
Híga
do
Tejido
400
Gl
uc
os 200
a
[m
g/d
0
l]
0
(b) Diagrama
esquemático
100
150
Ins
uli 100
na
U/ 50
ml]
0
0
(a) Órganos corporales
relevantes
50
50
100
Tiempo t [min]
150
(c) Inyección intravenosa
Figura 3.19: Dinámica insulina-glucosa. (a) Esquema de las partes del cuerpo que
intervienen en el control de la glucosa. (b) Diagrama esquemático del sistema. (c)
Respuestas de la insulina y la glucosa cuando se inyecta glucosa por vía intravenosa. De
[PB86].
Dinámica de la insulina-glucosa
Es esencial que la concentración de glucosa en sangre se mantenga dentro de un
rango estrecho (0,7-1,1 g/L). La concentración de glucosa está influida por
muchos factores, como la ingesta de alimentos, la digestión y el ejercicio. En las
figuras 3.19a y b se muestra un esquema de las partes relevantes del cuerpo.
Existe un sofisticado mecanismo que regula la concentración de glucosa. La
concentración de glucosa se mantiene gracias al páncreas, que segrega las
hormonas insulina y glucagón. El glucagón se libera en el torrente sanguíneo
cuando el nivel de glucosa es bajo. Actúa sobre las células del hígado que liberan
glucosa. La insulina se segrega cuando el nivel de glucosa es alto, y el nivel de
glucosa se reduce haciendo que el hígado y otras células tomen más glucosa. En
enfermedades como la diabetes juvenil, el páncreas es incapaz de producir
insulina y el paciente debe inyectarse insulina en el cuerpo para mantener un
nivel adecuado de glucosa.
Los mecanismos que regulan la glucosa y la insulina son complicados; se han
observado dinámicas con escalas de tiempo que van de segundos a horas. Se han
desarrollado modelos de diferente complejidad. Los modelos suelen probarse con
datos procedentes de experimentos en los que se inyecta glucosa por vía
intravenosa y se miden las concentraciones de insulina y glucosa a intervalos de
tiempo regulares.
Bergman y sus colaboradores desarrollaron un modelo relativamente sencillo
denominado modelo mínimo [Ber89]. Este modelo utiliza dos compartimentos,
uno que representa la concentración de glucosa en el torrente sanguíneo y el otro
que representa la concentración de insulina en el líquido intersticial. La insulina
en el torrente sanguíneo se considera una entrada. La reacción de la glucosa a la
insulina puede modelarse mediante las ecuaciones
dx1
= -(p1 + x2 )x1 + p1
dt
ge ,
dx2
dt
= -p2 x2 + p3 (u - ie ),
(3.28)
3.7. DINÁMICA DE LA POBLACIÓN
89
donde ge e ie representan los valores de equilibrio de la glucosa y la insulina, x1
es la concentración de glucosa y x2 es proporcional a la concentración de insulina
intersticial. Nótese la presencia del término x2 x1 en la primera ecuación. Observe
también que el modelo no capta el bucle de retroalimentación completo porque
no describe cómo reacciona el páncreas a la glucosa. La figura 3.19c muestra un
ajuste del
modelo a una prueba en una persona normal en la que se inyectó glucosa por vía
intravenosa en el momento t = 0. La concentración de glucosa aumenta
rápidamente y el páncreas responde con una rápida inyección de insulina en
forma de espiga. A continuación, los niveles de glucosa e insulina se aproximan
gradualmente a los valores de equilibrio.
Se han desarrollado modelos del tipo de la ecuación (3.28) y modelos más
complicados que tienen muchos compartimentos y que se ajustan a los datos
experimentales. Una de las dificultades de la modelización es que existen
variaciones significativas en los parámetros del modelo a lo largo del tiempo y
para diferentes pacientes. Por ejemplo, se ha informado de que el parámetro p1 de
la ecuación (3.28) varía con un orden de magnitud para los individuos sanos. Los
modelos se han utilizado para el diagnóstico y para desarrollar esquemas para el
tratamiento de personas con enfermedades. Los intentos de desarrollar un
páncreas artificial totalmente automático se han visto obstaculizados por la falta
de sensores fiables.
Los trabajos de Widmark y Tandberg [WT24] y Teorell [Teo37] son clásicos
de la farmacocinética, que ahora es una disciplina establecida con muchos libros
de texto [Dos68, Jac72, GP82]. Debido a su importancia médica, la
farmacocinética es ahora un componente esencial del desarrollo de fármacos. El
libro de Riggs [Rig63] es una buena fuente para el modelado de sistemas
fisiológicos, y en [KS01] se ofrece un tratamiento más matemático. Los modelos
de compartimentos se discuten en [God83]. El problema de la determinación de
los coeficientes de tasa a partir de datos experimentales se discute en [ BÅ70] y
[God83]. Hay muchas publicaciones sobre el modelo insulina-glucosa. El
modelo mínimo se discute en [CT84, Ber89] y las referencias más recientes son
[MLK06, FCF+06].
3.7 Población Dinámica
El crecimiento de la población es un proceso dinámico complejo que implica la
interacción de una o varias especies con su entorno y el ecosistema en general.
La dinámica de los grupos de población es interesante e importante en muchos
ámbitos de la política social y medioambiental. Hay ejemplos en los que se han
introducido nuevas especies en nuevos hábitats, a veces con resultados
desastrosos. También ha habido intentos de controlar el crecimiento de la
población, tanto mediante incentivos como mediante la legislación. En esta
sección describimos algunos de los modelos que pueden utilizarse para entender
cómo evolucionan las poblaciones con el tiempo y en función de su entorno.
Modelo de crecimiento logístico
Sea x la población de una especie en el momento t. Un modelo sencillo consiste
en suponer que las tasas de natalidad y mortalidad son proporcionales a la
población total. Esto da como resultado
90
CAPÍTULO 3. EJEMPLOS
el modelo lineal
dx
= bx - dx = (b - d)x = rx,
x ≥ 0,
(3.29)
dt
donde la tasa de natalidad b y la tasa de mortalidad d son parámetros. El modelo
da un aumento ex- ponencial si b > d o una disminución exponencial si b < d.
Un modelo más realista es suponer que la tasa de natalidad disminuye cuando la
población es grande. La siguiente modificación del modelo (3.29) tiene esta
propiedad:
dx
x
= rx(1 - ),
x ≥ 0,
(3.30)
dt
k
donde k es la capacidad de carga del entorno. El modelo (3.30) se denomina
modelo de crecimiento logístico.
Modelos de depredador-presa
Un modelo más sofisticado de la dinámica de poblaciones incluye los efectos de
las poblaciones mixtas, en las que una especie puede alimentarse de otra. Esta
situación, denominada problema depredador-presa, se introdujo en el ejemplo
2.3, en el que desarrollamos un modelo en tiempo discreto que recogía algunas
de las características de los registros históricos de las poblaciones de linces y
liebres.
En este apartado, sustituimos el modelo de ecuaciones de diferencia utilizado
allí por un modelo de ecuaciones diferenciales más sofisticado. Dejemos que
H(t) represente el número de liebres (presa) y que L(t) represente el número
de linces (depredador). La dinámica
del sistema se modela como
(
dH
H aHL
= rH 1 - ,
H ≥ 0,
dt
k
c+
(3.31)
dL
aHL
H
= bc
- dL,
L ≥ 0.
dt
+H
En la primera ecuación, r representa la tasa de crecimiento de las liebres, k
representa la población máxima de las liebres (en ausencia de linces), a
representa el término de in- teracción que describe cómo disminuyen las liebres
en función de la población de linces y c controla la tasa de consumo de presas
para una población baja de liebres. En la segunda ecuación, b representa el
coeficiente de crecimiento de los linces y d representa la tasa de mortalidad de
los linces. Nótese que la dinámica de la liebre incluye un término que se asemeja
al modelo de crecimiento logístico (3.30).
Son especialmente interesantes los valores en los que los valores de la
población permanecen constantes, llamados puntos de equilibrio. Los puntos de
equilibrio de este sistema se pueden determinar poniendo a cero el lado derecho
de las ecuaciones anteriores. Dejando que He y Le representen el estado de
equilibrio, a partir de la segunda ecuación tenemos
cd
Le = 0 o H∗ =
.
(3.32)
e
ab - d
Sustituyendo esto en la primera ecuación, tenemos que para Le = 0 o bien He = 0 o bien
91
EJERCICIO
S
100
100
Liebr
e
Linc
e
80
Po 60
bla
ció
40
n
80
Li
nc
es
40
20
20
0
0
60
10
20
30
40
50
Tiempo t [años]
60
70
0
0
50
Liebres
100
Figura 3.20: Simulación del sistema depredador-presa. La figura de la izquierda muestra
una simulación de las dos poblaciones en función del tiempo. La figura de la derecha
muestra las poblaciones enfrentadas, partiendo de diferentes valores de la población. La
oscilación que se observa en ambas figuras es un ejemplo de ciclo límite. Los valores de
los parámetros utilizados para
las simulaciones son a = 3,2, b = 0,6, c = 50, d = 0,56, k = 125 y r = 1,6.
He = k. Para Le /= 0, obtenemos
L∗e =
rHe (c + He )
He
bcr(abk - cd - dk)
1=
.
aHe
k
(ab - d)2k
(3.33)
Así, tenemos tres posibles puntos de equilibrio xe = (Le , He ):
xe=0,
0
xe = k, 0
∗,e
xe = H
Le∗
donde He∗ y Le∗ se dan en las ecuaciones (3.32) y (3.33). Nótese que las
poblaciones de equilibrio pueden ser negativas para algunos valores de los
parámetros, lo que corresponde a un punto de equilibrio no alcanzable.
La figura 3.20 muestra una simulación de la dinámica a partir de un conjunto
de valores de población cercanos a los valores de equilibrio no nulos. Vemos que
para esta elección de parámetros, la simulación predice un recuento de población
oscilante para cada especie, que recuerda a los datos mostrados en la Figura 2.6.
El volumen I del conjunto de dos volúmenes de J. D. Murray [Mur04] ofrece
una amplia cobertura de la dinámica de poblaciones.
Ejercicios
3.1 (Control de crucero) Considera el ejemplo de control de crucero descrito en
el apartado 3.1. Construya una simulación que recree la respuesta a una colina
mostrada en la figura 3.3b y muestre los efectos de aumentar y disminuir la masa
del coche en un 25%. Rediseñe el controlador (usando ensayo y error está bien)
para que vuelva a estar dentro del 1% de la velocidad deseada dentro de los 3 s
de encontrar el comienzo de la colina.
92
CAPÍTULO 3. EJEMPLOS
3.2 (Dinámica de la bicicleta) Demuestre que la dinámica de un cuadro de
bicicleta dada por la ecuación (3.5) puede aproximarse en forma de espacio de
estados como
d x1=
0
1x1 + Dv0 /(bJ)
mv2u,h/(bJ)
0
0x
dt x2
mgh/J
2
y = 1 0 x,
donde la entrada u es el ángulo de dirección y la salida y es el ángulo de
inclinación . ¿Qué representan los estados x1 y x2 ?
3.3 (Dirección de la bicicleta) Combine el modelo de la bicicleta dado por la
ecuación (3.5) y el modelo de la cinemática de la dirección del ejemplo 2.8 para
obtener un modelo que describa la trayectoria del centro de masa de la bicicleta.
3.4 (Circuito de amplificador operacional) Considere el circuito de amplificador
operacional que se muestra a continuación.
v2
R1
Rb
Ra
-
v1
R2
vo
+
C
C
2
1
v3
Demuestre que la dinámica puede escribirse en
1 forma de espacio de estados como
1
1
0
dx
-RC RC
RC
11
a1
1 1
x
=
1
u,
y = 0 1 x,
Rb 1
dt
+
- R2
0
Ra R2
C2
C2
donde u = v1 e y = v3 . (Sugerencia: Utilice v2 y v3 como sus variables de estado).
3.5 (Oscilador de amplificador operacional) El circuito de amplificador
operacional que se muestra a continuación es una implementación de un
oscilador.
C
2
R2
R3
+
C
1
R4
v2
R1
+
v3
+
v1
Demuestre que la dinámica puede escribirse en forma de espacio de estados como
R4
0
R1 R3 C1
dx
x,
=
dt
1
0
- R2 C2
donde las variables de estado representan las tensiones en los condensadores x1 = v1 y
x2 = v2 .
93
EJERCICIO
S
3.6 (Control de la congestión mediante RED [LPW+02]) Se pueden introducir
varias mejoras en el modelo de control de la congestión de Internet presentado en
la sección 3.4. Para garantizar que el tamaño del búfer del enrutador siga siendo
positivo, podemos modificar la dinámica del búfer para satisfacer
fs
dbl
bl > 0
l - cl
=
dt
sat(0,) (sl - cl ) bl = 0.
Además, podemos modelar la probabilidad de caída de un paquete en función de
lo cerca que estemos de los límites del buffer, un mecanismo conocido como
detección temprana aleatoria (RED):
0
al (t) ≤ blower
pl = ml (al )
=
l ri(t) − l
lri
-(1 -
1 (t)
super
2bl ior )
l
soplador
<
al (t)
l
< bupper
l
bl
≤ al (t) < 2bsuper
ior
l
al (t) ≥ 2bl upper
upper
dal
,
= −l cl (al - bl ),
dt
dondel , bupper , blower y pupper son parámetros del protocolo RED.
l
l
l
Utilizando el modelo anterior, escriba una simulación para el sistema y
encuentre un conjunto de valores de los parámetros para los que existe un punto
de equilibrio estable y un conjunto para el que el sistema presenta soluciones
oscilatorias. Se deben explorar los siguientes conjuntos de parámetros:
N = 20, 30,..., 60,
c = 8, 9, . . . , 15 pkts/ms,
= 55, 60,..., 100 ms.
blower
l
= 40 pkts,
l
= 0,1,
upper
= 540 pkts,
l
= 10−4 ,
bl
3.7 (Microscopio de fuerza atómica con tubo piezoeléctrico) A continuación se
muestra un diagrama esquemático de un AFM donde el escáner vertical es un
tubo piezoeléctrico con precarga.
F
m1
F
m2
k
k2
c1
1
c2
Demuestre que la dinámica puede escribirse como
d2 z1
dz1
d2 l
dl
(m1 + m2 )
+ (c1 + c2 ) + (k1 + k2 )z1 = m2
+ c2 + k2 l.
dt2
dt
dt2
dt
¿Hay valores de los parámetros que hacen que la dinámica sea especialmente sencilla?
94
CAPÍTULO 3. EJEMPLOS
3.8 (Administración de fármacos) El metabolismo del alcohol en el organismo
puede modelarse mediante el modelo compartimental no lineal
dcb
dcl
cl
Vb
= q(cl - cb ) + qiv ,
Vl
= q(cb - cl ) - qmax
+ qgi ,
dt
dtc0 + cl
donde Vb = 48 L y Vl = 0,6 L son los volúmenes aparentes de distribución del
agua corporal y del agua hepática, cb y cl son las concentraciones de alcohol en
los compartimentos, qiv y qgi son las tasas de inyección para la ingesta
intravenosa y gastrointestinal, q = 1,5 L/min es el flujo sanguíneo hepático total,
qmax = 2,75 mmol/min y
c0 = 0,1 mmol/L. Simule el sistema y calcule la concentración en la sangre
para dosis orales e intravenosas de 12 g y 40 g de alcohol.
3.9 (Dinámica de la población) Considere el modelo de crecimiento logístico
dado por la ecuación (3.30). Demuestre que la tasa de crecimiento máxima se
produce cuando el tamaño de la población es la mitad del valor en estado
estacionario.
3.10 (Gestión pesquera) La dinámica de una pesquería comercial puede
describirse mediante el siguiente modelo sencillo:
dx
= f (x) - h(x, u),
y = bh(x, u) - cu
dt
donde x es la biomasa total, f (x) = rx(1
- x/k) es la tasa de crecimiento y h(x, u)
= axu es la tasa de captura. El resultado y es la tasa de ingresos, y los parámetros
a, b y c son constantes que representan el precio del pescado y el coste de la
pesca. Demuestre que
existe un equilibrio en el que la biomasa en estado estacionario es xe = c/(ab).
Compárelo con la situación en la que la biomasa se regula a un valor constante y
encuentre el máximo rendimiento sostenible en ese caso.
Capítulo 4
Comportamiento dinámico
No significa nada si no tiene ese swing.
Duke Ellington (1899-1974)
En este capítulo presentamos una amplia discusión del comportamiento de los
sistemas dinámicos centrada en los sistemas modelados por ecuaciones
diferenciales no lineales. Esto nos permite considerar los puntos de equilibrio, la
estabilidad, los ciclos límite y otros conceptos clave para entender el
comportamiento dinámico. También introducimos algunos métodos para analizar
el comportamiento global de las soluciones.
4.1 Resolución de ecuaciones diferenciales
En los dos últimos capítulos hemos visto que uno de los métodos para modelar
sistemas dinámicos es el uso de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Un
sistema de entrada/salida en el espacio de estados tiene la forma
dx
(4.1)
= f (x, u),
y = h(x, u),
dt
donde x = (x1 , ... , ∈
xn ) Rn es el estado,
∈ u Rp es la entrada e∈y Rq es la salida.
n
p
n
→
Los mapas suaves f : R× R →
R y h : Rn Rp ×Rq representan
la dinámica y las
medidas del sistema. En general, pueden ser funciones no lineales de
sus argumentos. En ocasiones nos centraremos en sistemas de una sola entrada y
una sola salida (SISO), para los que p = q = 1.
Comenzamos investigando los sistemas en los que la entrada se ha fijado en una función
del estado, u = (x). Este es uno de los tipos más simples de retroalimentación, en
el que el sistema regula su propio comportamiento. Las ecuaciones diferenciales
en este caso se convierten en
dx
= f (x, (x)) =: F(x).
(4.2)
dt
Para entender el comportamiento dinámico de este sistema, necesitamos
analizar las características de las soluciones de la ecuación (4.2). Aunque en
algunas situaciones sencillas podemos escribir las soluciones en forma analítica,
a menudo debemos recurrir a enfoques computacionales. Comenzamos
describiendo la clase de soluciones de este problema.
Decimos que x(t) es una solución de la ecuación diferencial (4.2) en el
intervalo de tiempo t0 ∈ R a tf ∈ R si
dx(t)
dt
= F(x(t))
para todo t0 < t < tf .
96
CAPÍTULO 4. COMPORTAMIENTO
DINÁMICO
Una ecuación diferencial dada puede tener muchas soluciones. La mayoría de las
veces estaremos interesados en el problema de valor inicial, donde x(t) está
prescrita
en un momento dado t0 R y deseamos encontrar una solución válida
∈
para todo tiempo futuro t > t0 .
Decimos que x(t) es una solución de la ecuación diferencial (4.2) con valor inicial
x0 ∈ Rn en t0 ∈ R si
dx(t)
x(t0 ) = x0 y
= F(x(t)) para todo t0 < t < tf .
dt
Para la mayoría de las ecuaciones diferenciales que encontraremos, existe una
solución única que está definida para t0 < t < tf . La solución puede estar
definida para todo el tiempo t > t0 , en cuyo caso tomamos tf = . Dado que nos
interesan principalmente las soluciones del problema de valor inicial de las
EDOs, normalmente nos referiremos a ella simplemente como la solución
de una EDO.
Normalmente supondremos que t0 es igual a 0. En el caso de que F sea
independiente del tiempo (como en la ecuación (4.2)), podemos hacerlo sin
pérdida de generalidad eligiendo una nueva variable independiente (tiempo), = t
- t0 (Ejercicio 4.1).
Ejemplo 4.1 Oscilador amortiguado
Consideremos un oscilador lineal amortiguado con una dinámica de la forma
q¨ + 0 q˙ +2 q =
0 0,
donde q es el desplazamiento del oscilador desde su posición de reposo. Esta
dinámica es equivalente a la de un sistema muelle-masa, como se muestra en el
ejercicio 2.6. Suponemos que  1, lo que corresponde a un sistema ligeramente
amortiguado (la razón de esta elección particular quedará clara más adelante).
Podemos reescribir esto en forma de espacio de estados estableciendo x1 = q y x2
= q˙/0 , dando
dx2
dx1
= −0 x1 - 0 x2 .
=0 x2 ,
dt
dt
En forma vectorial, el lado derecho puede escribirse
.
como
F(x) =
0x2
0
-x1 - 0 x2
La solución del problema de valor inicial puede escribirse de diferentes
maneras y se estudiará con más detalle en el capítulo 5. Aquí simplemente
afirmamos que la solución puede escribirse como
(
1
 0t
−
x1 (t) = e
x10 d t + (0 x10 + x20 ) d t ,
d
(
1
x2 (t) = e− 0t x20 d t - (2 x10
0 +0 x20 ) d t ,
d
j
donde x0 = (x10 , x20 ) es la condición inicial yd =0
1 2. Esta solución
se puede verificar sustituyéndola en la ecuación diferencial. Vemos que la soLa solución depende explícitamente de la condición inicial, y puede demostrarse
que esta solución es única. En la figura 4.1 se muestra un gráfico de la respuesta
a la condición inicial.
97
4.1. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
1
x
x
1
Est
ado
sx,
x
2
0.5
0
1
-0.52
-1
0
2
4
6
8
10
12
Tiempo t [s]
14
16
18
20
Figura 4.1: Respuesta del oscilador amortiguado a la condición inicial x0 = (1, 0). La
solución es única para las condiciones iniciales dadas y consiste en una solución oscilatoria
para cada estado, con una magnitud que decae exponencialmente.
Observamos que esta forma de la solución se mantiene sólo para 0 <  1, lo que
corresponde a un oscilador "subamortiguado".
Sin imponer algunas condiciones matemáticas a la función F, la diferen- � c i a
a ecuación (4.2) puede no tener una solución para todo t, y no hay garantía de
que la solución sea única. Ilustramos estas posibilidades con dos ejemplos.
Ejemplo 4.2 Tiempo de escape finito
Sea x ∈ R y consideremos la ecuación diferencial
dx
= x2
(4.3)
dt
con la condición inicial x(0) = 1. Por diferenciación podemos comprobar que la function
1
x(t) =
1-t
satisface la ecuación diferencial y que también satisface la condición inicial. En
la figura 4.2a se muestra una gráfica de la solución; observe que la solución va al
infinito a medida que t se hace 1. Decimos que este sistema tiene un tiempo de
escape finito. Por tanto, la solución sólo existe en el intervalo de tiempo 0 ≤ t <
1.
Ejemplo 4.3 Solución no única
Sea x ∈ R y consideremos la ecuación diferencial
dx
= 2√x
dt
con la condición inicial x(0) = 0. Podemos demostrar que la
función
()=
0
si 0 ≤ t ≤ a
xf
t
2
(t - a)
si t > a
(4.4)
satisface la ecuación diferencial para todos los valores del parámetro a ≥ 0. Para ver esto,
98
CAPÍTULO 4. COMPORTAMIENTO
DINÁMICO
100
100
Es
tad 50
ox
Es
tad 50
ox
0
0
0.5
1
Tiempo t
(a) Tiempo de escape finito
1.5
0
a
0
2
4
6
8
10
Tiempo t
(b) Soluciones no únicas
Figura 4.2: Existencia y unicidad de soluciones. La ecuación (4.3) tiene una solución sólo
para el tiempo t < 1, momento en el que la solución pasa a , como se muestra en (a). La
ecuación (4.4) es un ejemplo de un sistema con muchas soluciones, como se muestra en
(b). Para cada valor de a, obtenemos una solución diferente partiendo de la misma
condición inicial.
diferenciamos x(t) para obtener
f
dx
0
si 0 ≤ t ≤ a
dt = 2(t - a) si t > a,
y, por tanto, x˙ = 2√x para todo t 0 con x(0) = 0. En la figura 4.2b se presenta
≥
una gráfica de algunas de las posibles soluciones. Observe que en este caso hay
muchas soluciones
a la ecuación diferencial.
Estos sencillos ejemplos muestran que puede haber dificultades incluso con
ecuaciones diferenciales sencillas. La existencia y la unicidad pueden
garantizarse exigiendo que la función F tenga la propiedad de que para algún c
fijo ∈ R,
\F(x) - F(y)\N < c\x - y\ para todo x, y,
que se denomina continuidad de Lipschitz. Una condición suficiente para que una
función sea Lipschitz es que el jacobiano F/ x esté uniformemente acotado para
todo x. La dificultad en el ejemplo 4.2 es que la derivada F/ x se hace grande para
x grandes, y la dificultad en el ejemplo 4.3 es que la derivada F/ x es infinita en el
origen.
4.2 Análisis cualitativo
El comportamiento cualitativo de los sistemas no lineales es importante para
entender algunos de los conceptos clave de la estabilidad en la dinámica no
lineal. Nos centraremos en una clase importante de sistemas conocidos como
sistemas dinámicos planares.
Estos sistemas tienen dos variables de estado x R2 ,
∈
lo que permite trazar sus soluciones en el plano (x1 , x2 ). Los conceptos básicos
que describimos son válidos en general y pueden utilizarse para
comprender el comportamiento dinámico en dimensiones superiores.
Retratos de fase
Una forma conveniente de entender el comportamiento de los sistemas dinámicos con
estado
x ∈ R2 es trazar el retrato de fase del sistema, introducido brevemente en el capítulo 2.
99
4.2. ANÁLISIS CUALITATIVO
x2
1
1
0.5
0.5
x2
0
-0.5
-0.5
-1
-1
0
-0.5
0
x1
0.5
(a) Campo vectorial
1
-1
-1
-0.5
0
x1
0.5
1
(b) Retrato de fase
Figura 4.3: Retratos de fase. (a) Este gráfico muestra el campo vectorial de un sistema
dinámico planar. Cada flecha muestra la velocidad en ese punto del espacio de estados. (b)
Este gráfico incluye las soluciones (a veces llamadas líneas de corriente) de diferentes
condiciones iniciales, con el campo vectorial superpuesto.
Comenzamos introduciendo el concepto de campo vectorial. Para un sistema de
ecuaciones diferenciales ordinarias
dx
= F(x),
dt
el lado derecho de la ecuación diferencial define en cada x Rn una∈velocidad F(x)
∈ velocidad nos dice cómo cambia x y se puede representar como un
Rn . Esta
vector∈F(x) Rn .
En los sistemas dinámicos planares, cada estado corresponde a un punto del
plano y F(x) es un vector que representa la velocidad de ese estado. Podemos
trazar estos vectores en una cuadrícula de puntos en el plano y obtener una
imagen visual de la dinámica del
como se muestra en la figura 4.3a. Los puntos en los que las velocidades son
nulas son de especial interés, ya que definen puntos estacionarios del flujo: si
empezamos en un estado así, nos quedamos en ese estado.
Un retrato de fase se construye trazando el flujo del campo vectorial
correspondiente al sistema dinámico plano. Es decir, para un conjunto de
condiciones iniciales, trazamos la solución de la ecuación diferencial en el plano
R2 . Esto corresponde a seguir las flechas en cada punto del plano de fase y
dibujar la trayectoria resultante. Al trazar las soluciones para varias condiciones
iniciales diferentes, obtenemos un retrato de fase, como se muestra en la Figura
4.3b. Los retratos de fase también se denominan a veces diagramas del plano de
fase.
Los retratos de fase permiten conocer la dinámica del sistema al mostrar las
so- luciones trazadas en el espacio de estados (bidimensional) del sistema. Por
ejemplo, podemos ver si todas las trayectorias tienden a un único punto a medida
que aumenta el tiempo o si hay comportamientos más complicados. En el
ejemplo de la figura 4.3, correspondiente a un oscilador amortiguado, las
soluciones se aproximan al origen para todas las condiciones iniciales. Esto es
consistente con nuestra simulación de la Figura 4.1, pero nos permite inferir el
comportamiento para todas las condiciones iniciales en lugar de una sola
condición inicial. Sin embargo, el retrato de fase no nos indica fácilmente la tasa
de cambio de los estados (aunque
100
CAPÍTULO 4. COMPORTAMIENTO
DINÁMICO
2
m
1
x2
l
-1
u
(a)
0
(b)
-2
−
−
0
x1

(c)
Figura 4.4: Puntos de equilibrio de un péndulo invertido. Un péndulo invertido es un
modelo para una clase de sistemas de equilibrio en los que deseamos mantener un sistema
en posición vertical, como un cohete (a). Utilizando un modelo simplificado de un péndulo
invertido (b), podemos desarrollar un retrato de fase que muestra la dinámica del sistema
(c). El sistema tiene múltiples puntos de equilibrio, marcados
por los puntos sólidos a lo largo de la línea x2 = 0.
esto puede deducirse de las longitudes de las flechas en el gráfico del campo vectorial).
Puntos de equilibrio y ciclos límite
Un punto de equilibrio de un sistema dinámico representa una condición
estacionaria para la dinámica. Decimos que un estado xe es un punto de equilibrio
para un sistema dinámico
dx
= F(x)
dt
si F(xe ) = 0. Si un sistema dinámico tiene una condición inicial x(0) = xe ,
entonces permanecerá en el punto de equilibrio:≥x(t) = xe para todo t0, donde
hemos tomado t0 = 0.
Los puntos de equilibrio son una de las características más importantes de un sistema
dinámico.
tem ya que definen los estados correspondientes a condiciones de funcionamiento
constantes. Un sistema dinámico puede tener cero, uno o varios puntos de equilibrio.
Ejemplo 4.4 Péndulo invertido
Consideremos el péndulo invertido de la figura 4.4, que forma parte del sistema de
equilibrio que consideramos en el capítulo 2. El péndulo invertido es una versión
simplificada del problema de estabilización de un cohete: aplicando fuerzas en la
base del cohete, buscamos mantener el cohete estabilizado en la posición
vertical. Las variables de estado son
el ángulo = x1 y la velocidad angular  = x2 , la variable de control es la
aceleración u del pivote y la salida es el ángulo .
Para simplificar suponemos que mgl/Jt = 1 y l/Jt = 1, de modo que la
dinámica (ecuación (2.10)) se convierte en
dx
x2
=
.
(4.5)
dt
sin x1 - cx2 + u cos
Se trata de un sistema no lineal xe1 invariable en el tiempo de segundo orden. Este
mismo conjunto de ecuaciones también puede obtenerse mediante una
normalización adecuada de la dinámica del sistema, como se ilustra en el
ejemplo 2.7.
101
4.2. ANÁLISIS CUALITATIVO
1.5
2
x
1
x
2
1
x
2
1
0.5
x,x
0
12
0
-0.5
-1
-1
-1.5
-1
0
x
1
(a)
1
-2
0
10
Tiem
po t
20
30
(b)
Figura 4.5: Retrato de fase y simulación en el dominio del tiempo para un sistema con un
ciclo límite. El retrato de fase (a) muestra los estados de la solución trazados para
diferentes condiciones iniciales. El ciclo límite corresponde a una trayectoria de bucle
cerrado. La simulación (b) muestra una única solución trazada en función del tiempo, con el
ciclo límite correspondiente a una oscilación estable de amplitud fija.
Consideramos la dinámica de bucle abierto fijando u = 0. Los puntos de
equilibrio del sistema vienen dados por±n
xe = , 0
donde n = 0, 1, 2, Los puntos de equilibrio para n par corresponden a la pendulum apuntando hacia arriba y los de n impares corresponden al péndulo colgando. A
El retrato de fase para este sistema (sin entradas correctivas) se muestra en la
Figura 4.4c. El retrato de fase
- muestra
≤ ≤ x1 2, por lo que se muestran cinco de los
puntos de equilibrio.
Los sistemas no lineales pueden mostrar un comportamiento rico. Además de
los equilibrios, también pueden presentar soluciones periódicas estacionarias.
Esto tiene un gran valor práctico en la generación de voltajes que varían
sinusoidalmente en los sistemas de energía o en la generación de señales
periódicas para la locomoción animal. En el ejercicio 4.12 se presenta un
ejemplo sencillo, que muestra el diagrama de un circuito para un oscilador
electrónico. Un modelo normalizado del oscilador está dado por la ecuación
dx1
dx2
(4.6)
= x2 + x1 (1 - 1x2 - x2 ),2
= -x1 + x2 (1 - 1x2 - x22 ).
dt
dt
Las soluciones en el plano de fase y en el dominio del tiempo se presentan en la
figura 4.5. La figura muestra que las soluciones en el plano de fase convergen a
una trayectoria circular. En el dominio del tiempo esto corresponde a una
solución oscilante. Matemáticamente, el círculo
se llama ciclo límite. Más formalmente, llamamos a una solución aislada x(t) un
ciclo límite de periodo T > 0 si x(t + T ) =
∈ x(t) para todo t R .
Existen métodos para determinar los ciclos límite de los sistemas de segundo orden,
pero
para los sistemas generales de orden superior tenemos que recurrir al análisis
computacional. Los algoritmos computacionales encuentran ciclos límite
buscando trayectorias periódicas en el estado
102
CAPÍTULO 4. COMPORTAMIENTO
DINÁMICO
4
Es
tad 2
ox
0
0
1
2
3
Tiempo t
4
5
6
Figura 4.6: Ilustración del concepto de solución estable de Lyapunov. La solución
representada por la línea continua es estable si podemos garantizar que todas las soluciones
permanecen dentro de un tubo de diámetro eligiendo condiciones iniciales suficientemente
cercanas a la solución.
espacio que satisfagan la dinámica del sistema. En muchas situaciones, se
pueden encontrar cíclicas límite estables simulando el sistema con diferentes
condiciones iniciales.
4.3 Estabilidad
La estabilidad de una solución determina si las soluciones cercanas a la solución
permanecen cerca, se acercan o se alejan. A continuación damos una definición
formal de estabilidad y describimos las pruebas para determinar si una solución
es estable.
Definiciones
Sea x(t; a) una solución de la ecuación diferencial con condición inicial a. Una
solución es estable si otras soluciones que comienzan cerca de a se mantienen
cerca de x(t; a). Formalmente, decimos que la solución x(t; a) es estable si
para todo  0, existe a > 0 tal que
\b - a\b 
=⇒ \x(t; b) - x(t; a)
\Npara todo t > 0.
Obsérvese que esta definición no implica que x(t; b) se acerque a x(t; a) a medida
que aumenta el tiempo, sino que se mantiene cerca. Además, el valor de puede
depender de
, de modo que si queremos estar muy cerca de la solución, es posible que
tengamos que≪empezar muy, muy cerca ( ) . Este tipo de estabilidad, que se
ilustra en la figura 4.6, se llama también estabilidad en el sentido de Lyapunov.
Si una solución es estable en este sentido y las trayectorias no convergen,
decimos que la solución es neutralmente estable.
Un caso especial importante es cuando la solución x(t; a) = xe es una
solución de equilibrio. En lugar de decir que la solución es estable, decimos
simplemente que el equi
El punto de equilibrio es estable. En la figura 4.7 se muestra un ejemplo de un
punto de equilibrio neutral estable. A partir del retrato de fase, vemos que si
empezamos cerca del punto de equilibrio, entonces nos quedamos cerca del
punto de equilibrio. De hecho, para este ejemplo, dado cualquier
que define el rango de condiciones iniciales posibles, podemos simplemente elegir =
para satisfacer la definición de estabilidad ya que las trayectorias son círculos perfectos.
Una solución x(t; a) es asintóticamente estable si es estable en el sentido de
→ x(t; b) x→(t; a) como t para b suficientemente cercano a a.
Lyapunov y también
Esto corresponde al caso en que todas las trayectorias cercanas convergen a la
solución estable para grandes
tiempo. La figura 4.8 muestra un ejemplo de un punto de equilibrio asintóticamente
4.2. ANÁLISIS CUALITATIVO
estable.
103
103
4.3.
ESTABILIDAD
1
x˙1 = x2
x˙2 = x1
0.5
x
2
2
0
x,x
12
-0.5
-1
-1
x
x
1
2
0
-2
-0.5
0
x
0.5
1
0
2
4
1
Tiemp
ot
6
8
10
Figura 4.7: Retrato de fase y simulación en el dominio del tiempo para un sistema con un
único punto de equilibrio estable. El punto de equilibrio xe en el origen es estable, ya que
todas las trayectorias que comienzan cerca de xe permanecen cerca de xe.
Obsérvese en los retratos de fase que no sólo todas las trayectorias permanecen
cerca del punto de equi- librio en el origen, sino que también todas se acercan al
origen a medida que t se hace grande (las direcciones de las flechas en el retrato
de fase muestran la dirección en que se mueven las trayectorias).
Una solución x(t; a) es inestable si no es estable. Más concretamente,
decimos que una solución x(t; a) es inestable si dado algún  0, no existe a >
\ - si\ b a  , entonces
\
- b) x(t;
\ a)  para todo t. En la figura 4.9 se
0 tal que
x(t;
muestra un ejemplo de punto de equilibrio inestable.
Las definiciones anteriores se dan sin una descripción cuidadosa de su
dominio de aplicabilidad. Más formalmente, definimos que una solución es
localmente estable (o localmente estable asintótica) si es estable para todas las
condiciones iniciales x ∈ Br (a), donde
Br (a) = {x : \x - a\ < r}
es una bola de radio r alrededor de a y r > 0. Un sistema es globalmente estable
si lo es para todo r > 0. Los sistemas cuyos puntos de equilibrio son sólo
localmente estables pueden
1
x˙1 = x2
x˙2 = -x1 - x2
0.5
1
x
2
x
0
x,x
12
-0.5
-1
-1
-0.5
0
x1
0.5
1
x
1
2
0
-1
0
2
4
Tiemp
ot
6
8
10
Figura 4.8: Retrato de fase y simulación en el dominio del tiempo para un sistema con un
único punto de equilibrio asintóticamente estable. El punto de equilibrio xe en el origen es
asintóticamente estable ya que las trayectorias convergen a este punto a medida que t → .
104
CAPÍTULO 4. COMPORTAMIENTO
DINÁMICO
1
x˙1 = 2x1 - x2
x˙2 = -x1 + 2x2
0.5
100
x
2
x
0
x,x
12
-0.5
-1
-1
-0.5
0
x
0.5
1
x
0
-100
0
1
1
Tiemp
ot
2
1
2
3
Figura 4.9: Retrato de fase y simulación en el dominio del tiempo para un sistema con un
único punto de equilibrio inestable. El punto de equilibrio xe en el origen es inestable, ya
que no todas las trayectorias que comienzan cerca de xe permanecen cerca de xe. La
trayectoria de muestra de la derecha muestra que las trayectorias se alejan muy
rápidamente de cero.
tienen un comportamiento interesante lejos de los puntos de equilibrio, como
exploramos en la siguiente sección.
Para los sistemas dinámicos planares, se han asignado nombres a los puntos
de equilibrio en función de su tipo de estabilidad. Un punto de equilibrio
asintóticamente estable se denomina sumidero o, a veces, atractor. Un punto de
equilibrio inestable puede ser una fuente, si todas las trayectorias se alejan del
punto de equilibrio, o una silla de montar, si algunas trayectorias se dirigen al
punto de equilibrio y otras se alejan (esta es la situación representada en la figura
4.9). Por último, un punto de equilibrio que es estable pero no asintóticamente
estable (es decir, neutral, como el de la figura 4.7) se llama centro.
Ejemplo 4.5 Control de la congestión
El modelo de control de la congestión en una red formada por N ordenadores
idénticos conectados a un único router, introducido en la sección 3.4, viene dado
por
= − ( 1
,
= N wc - c,
dw
db
w2
dt bc
dt
b
+
2
donde w es el tamaño de la ventana y b es el tamaño del buffer del router. En la
Figura 4.10 se muestran los retratos de fase para dos conjuntos diferentes de
valores de parámetros. En cada caso vemos que el sistema converge a un punto de
equilibrio en el que el buffer está por debajo de su capacidad total de 500
paquetes. El tamaño de equilibrio del buffer representa un equilibrio entre las
tasas de transmisión de las fuentes y la capacidad del enlace. A partir de los
retratos de fase vemos que los puntos de equilibrio son asintóticamente estables,
ya que todas las condiciones iniciales dan lugar a trayectorias que convergen a
estos puntos.
Estabilidad de los sistemas lineales
Un sistema dinámico lineal tiene la forma
dx
= Ax, x(0) = x0 ,
dt
(4.7)
105
4.3.
ESTABILIDAD
500
Ta 400
ma
ño 300
del
bu 200
ffe
r, 100
b
[p
0
kts
0
]
500
2
Ta 400
ma
ño 300
del
bu 200
ffe
r, 100
b
[p
0
kts
0
]
4
6
8
10
Tamaño de la ventana, w [pkts]
(a) = 2 × 10-4, c = 10 pkts/ms
2
4
6
8
10
Tamaño de la ventana, w [pkts]
(b) = 4 × 10-4, c = 20 pkts/ms
Figura 4.10: Retratos de fase para un protocolo de control de la congestión que se ejecuta
con N = 60 ordenadores fuente idénticos. Los valores de equilibrio corresponden a una
ventana fija en la fuente, que da lugar a un tamaño de búfer en estado estacionario y a la
correspondiente velocidad de transmisión. Un enlace más rápido (b) utiliza
un tamaño de búfer más pequeño, ya que puede manejar paquetes a un ritmo mayor.
donde A R
∈n×n es una matriz cuadrada, correspondiente a la matriz dinámica de un
sistema de control lineal (2.6). Para un sistema lineal, la estabilidad del equilibrio
en el origen puede determinarse a partir de los valores propios de la matriz A:
(A) = {s ∈ C : det(sI - A) = 0}.
El polinomio det(sI A) -es el polinomio característico y los valores propios son
∈ j (A).
sus raíces. Utilizamos la notaciónj para el jº valor propio de A, de modo que
En general puede ser de valor complejo, aunque si A es de valor real, entonces
para cualquier valor propio, su conjugado complejo ∗ también será un valor
propio. El origen es
siempre es un equilibrio para un sistema lineal. Dado que la estabilidad de un
sistema lineal depende sólo de la matriz A, encontramos que la estabilidad es una
propiedad del sistema. Por lo tanto, para un sistema lineal podemos hablar de la
estabilidad del sistema y no de la estabilidad de una solución particular o de un
punto de equilibrio.
La clase de sistemas lineales más fácil de analizar son aquellos cuyas
matrices del sistema están en forma diagonal. En este caso, la dinámica tiene la
forma
dx
dt
0
1
2
=
x.
.. .
0
(4.8)
n
Es fácil ver que las trayectorias de estado de este sistema son independientes
entre sí, por lo que podemos escribir la solución en términos de n sistemas
individuales x˙j =j xj .
Cada una de estas soluciones escalares es de la forma
xj (t) = e jt xj (0).
Vemos que el punto de equilibrio xe = 0 es estable sij
estable sij < 0.
≤ 0 y asintóticamente
106
CAPÍTULO 4. COMPORTAMIENTO
DINÁMICO
Otro caso sencillo es cuando la dinámica está en la forma diagonal de bloque
0
1
1
0
0.
0.
- 1
1
dx
..
=
.
. x.
0
0
.
dt
0
0
m
m
0
0
m
m
En este caso, se puede demostrar que los valores propios±sonj =j j . Una vez más
podemos separar las trayectorias de los estados en soluciones independientes
para cada par de estados, y las soluciones son de la forma
x2 j
1(t)
= ejt x2 j
x 2j (t) = e
 jt
1(0) cos jt
+ x2 j(0) sin jt -,
-x 2j−1 (0) j t + x 2j (0) j t ,
-
donde j = 1, 2, . . . , m. Vemos que este sistema es asintóticamente estable si y
sólo sij = j < 0. También es posible combinar valores propios reales y
complejos en forma de diagonal (de bloque), dando lugar a una mezcla de
soluciones de los dos tipos.
Muy pocos sistemas se encuentran en una de las formas diagonales
anteriores, pero algunos sistemas pueden transformarse en estas formas mediante
transformaciones de coordenadas. Una de estas clases de sistemas es aquella en
la que la matriz dinámica tiene valores propios
distintos (no repetitivos). En este
∈
caso hay una matriz T Rn×n tal que la matriz TAT−1 está en forma diagonal (de
bloque), con los elementos diagonales de bloque correspondientes a los valores
propios de la matriz original A (ver Ejercicio 4.14). Si elegimos nuevas coordinates z = Tx, entonces
dz
= T x˙ = TAx = TAT−1 z
dt
y el sistema lineal tiene una matriz dinámica (en bloque). Además, los valores
propios del sistema transformado son los mismos que los del sistema original, ya
que si v es un vector propio de A, se puede demostrar que w = Tv es un vector
propio de TAT−1 .
Podemos razonar sobre la estabilidad del sistema original observando que x(t) =
T−1 z(t), por lo que si el sistema transformado es estable (o asintóticamente
estable), entonces el sistema original tiene el mismo tipo de estabilidad.
Este análisis muestra que para los sistemas lineales con valores propios
distintos, la estabilidad del sistema puede determinarse completamente
examinando la parte real de los valores propios de la matriz dinámica. Para
sistemas más generales, hacemos uso del siguiente teorema, demostrado en el
siguiente capítulo:
Teorema 4.1 (Estabilidad de un sistema lineal). El sistema
dx
= Ax
dt
es asintóticamente estable si y sólo si todos los valores propios de A tienen una
parte real estrictamente negativa y es inestable si cualquier valor propio de A
tiene una parte real estrictamente positiva.
107
4.3.
ESTABILIDAD
Ejemplo 4.6 Modelo de compartimentos
Consideremos el módulo de dos compartimentos para la administración de
fármacos introducido en la sección 3.6. Utilizando las concentraciones como
variables de estado y denotando el vector de estado por x, la dinámica del
sistema viene dada por
dx
-k0- k1
k1
b0
=
x + u,
y = 01x,
0
k2
-k 2
dt
donde la entrada
u es la tasa de inyección de un fármaco en el compartimento 1 y
la concentración del fármaco en el compartimento 2 es la salida medida y.
Deseamos diseñar una ley de control retroalimentada que mantenga una salida
constante dada por y = yd .
Elegimos una ley de control de retroalimentación de salida de la forma
u = -k(y - yd ) + ud ,
donde ud es la tasa de inyección requerida para mantener la concentración
deseada y k es una ganancia de retroalimentación que debe elegirse de manera
que el sistema de lazo cerrado sea estable. Sustituyendo la ley de control en el
sistema, obtenemos
dx
-k0- k1
k1 - b0k
b0
=
x + (ud + kyd ) =: Ax + Bu,e
0
k2
-k 2
dt
1
y = 0 x =: Cx.
La concentración de equilibrio xe ∈ R2 viene dada por xe = -A−1 Bue y
b0k2
y-e= CA−1 Bue=
(ud + kyd).
k0 k2 + b0 k2 k
Eligiendo ud de forma que ye = yd se obtiene la tasa de inyección constante
necesaria para mantener la producción deseada. Ahora podemos desplazar las
coordenadas para situar el punto de equilibrio en el origen, lo que da como
resultado (tras un poco de álgebra)
dz
-k- k
k1 - b0
= 0 1
kz,
k2
-k2
donde z = x- xe . Ahora dtpodemos aplicar
los resultados
del Teorema 4.1 para
determinar la estabilidad del sistema. Los valores propios del sistema vienen
dados por las raíces del polinomio característico
(s) = s2 + (k0 + k1 + k2 )s + (k0 k2 + b0 k2 k).
Aunque la forma específica de las raíces es confusa, se puede demostrar que las
raíces tienen parte real negativa siempre que el término lineal y el término
constante sean ambos positivos (Ejercicio 4.16). Por lo tanto, el sistema es
estable para cualquier k > 0.
Análisis de estabilidad mediante aproximación lineal
Una característica importante de las ecuaciones diferenciales es que a menudo es
posible determinar la estabilidad local de un punto de equilibrio aproximando el
sistema por un sistema lineal. El siguiente ejemplo ilustra la idea básica.
108
CAPÍTULO 4. COMPORTAMIENTO
DINÁMICO
Ejemplo 4.7 Péndulo invertido
Consideremos de nuevo un péndulo invertido cuya dinámica de bucle abierto viene dada
por
dx
x2
=
,
sin x1 −2
dt
donde hemos definido el estado como x = (, ˙). Consideramos primero el punto
de equilibrio en x = (0, 0), que corresponde a la posición recta. Si suponemos
que el ángulo = x1 sigue siendo pequeño, entonces podemos sustituir sen x1 por
x1 y cos x1 por 1, lo que da el sistema aproximado
0
1
dx =
x2 =
x.
(4.9)
1
dt x1 − 2
Intuitivamente, este sistema debería comportarse de forma similar al modelo más
complicado siempre que x1 sea pequeño. En particular, puede verificarse que el
punto de equilibrio (0, 0) es inestable trazando el retrato de fase o calculando los
valores propios de la matriz de la dinámica en la ecuación (4.9)
También podemos aproximar el sistema alrededor del punto de equilibrio
estable en x = (, 0). En este caso tenemos que expandir sin x1 y cos x1 alrededor de
x1 = , según las expansiones
sin( + ) = -sin ≈ -,
cos( + ) = -cos() ≈ -1.
Si definimos z1 = x-1 y z2 = x2 , la dinámica aproximada resultante viene dada
por
dz
z2
0
1
=
=
z.
(4.10)
-z1 − z 2
-1
dt
Nótese que z = (0, 0) es el punto de equilibrio de este sistema y que tiene la
misma forma básica que la dinámica mostrada en la Figura 4.8. La figura 4.11
muestra los portes de fase del sistema original y del sistema aproximado en torno a
los correspondientes
puntos de equilibrio. Obsérvese que son muy similares, aunque no exactamente
iguales. Se puede demostrar que si una aproximación lineal tiene puntos de
equilibrio asintóticamente estables o inestables, entonces la estabilidad local del
sistema original debe ser la misma (Teorema 4.3).
De forma más general, supongamos que tenemos un sistema no lineal
dx
= F(x)
dt
que tiene un punto de equilibrio en xe . Calculando la expansión en serie de
Taylor del campo vectorial, podemos escribir
dx
F
= F(xe ) + 1 (x - xe ) + términos de orden superior en (x - xe ).
dt
x 1xe
Como F(xe ) = 0, podemos aproximar el sistema eligiendo una nueva variable de
estado
109
4.3.
ESTABILIDAD
x
2
2
2
1
1
z2
0
-1
-2
0
-1
0
/2

x1
-2
-

−
0
z1

(b) Aproximación lineal
(a) Modelo no lineal
Figura 4.11: Comparación entre los retratos de fase de los sistemas no lineales completos
(a) y su aproximación lineal alrededor del origen (b). Obsérvese que cerca del punto de
equilibrio en el centro de los gráficos, los retratos de fase (y por tanto la dinámica) son casi
idénticos.
z = x - xe y escribir
dz
dt
= Az,
donde
A=
F 1 .
x 1xe
(4.11)
Llamamos al sistema (4.11) la aproximación lineal del sistema no lineal original o
la linealización en xe .
El hecho de que un modelo lineal pueda usarse para estudiar el
comportamiento de un sistema no lineal cerca de un punto de equilibrio es muy
poderoso. De hecho, podemos llevar esto aún más lejos y utilizar una
aproximación lineal local de un sistema no lineal para diseñar una ley de
retroalimentación que mantenga el sistema cerca de su punto de equilibrio
(diseño de la dinámica). Así, la retroalimentación puede utilizarse para
asegurarse de que las soluciones se mantienen cerca del punto de equilibrio, lo
que a su vez garantiza que la aproximación lineal utilizada para estabilizarlo es
válida.
Las aproximaciones lineales también pueden utilizarse para comprender la
estabilidad de las soluciones noqui- libres, como se ilustra en el siguiente
ejemplo.
Ejemplo 4.8 Ciclo límite estable
Consideremos el sistema dado por la ecuación (4.6),
dx1
dx2
= x2 + x1 (1 - x12 - x2),2
= -x1 + x2 (1 - x12 - x2 ),2
dt
dt
cuyo retrato de fase se muestra en la figura 4.5. La ecuación diferencial tiene una
solución peri-ódica
x1 (t) = x1 (0) cos t + x2 (0) sin t,
(4.12)
con x2 (0) + x2 (0) = 1.
1
2
Para explorar la estabilidad de esta solución, introducimos las coordenadas polares r y
que se relacionan con las variables de estado x1 y x2
mediante
x1 = r cos,
x2 = r sin.
110
CAPÍTULO 4. COMPORTAMIENTO
DINÁMICO
La diferenciación da las siguientes ecuaciones lineales para r˙ y ˙:
x˙1 = r˙cos - r˙ sin,
x˙2 = r˙sin + r˙ cos.
Resolviendo este sistema lineal para r˙ y ˙ se obtiene, tras algunos cálculos,
dr

= r(1 - r2 ),
= -1.
dt
dt
Obsérvese que las ecuaciones están desacopladas, por lo que podemos analizar la
estabilidad de cada estado por separado.
La ecuación para r tiene tres equilibrios: r = 0, r = 1 y r = 1- (no realizable
ya que r debe ser positivo). Podemos analizar la estabilidad de estos equilibrios
linealizando la dinámica radial con F(r) = -r(1 r2 ). La dinámica lineal
correspondiente viene dada por
Dr. F r = (1 - 3r2 )r, r = 0, 1,
1
e
=
e
1re
dt
r
donde hemos abusado de la notación y hemos utilizado r para representar la
desviación del punto de equilibrio. Del signo -de (1e 3r2 ) se deduce que el
equilibrio r = 0 es inestable y el equilibrio r = 1 es asintóticamente estable. Por
lo tanto, para cualquier condición inicial r > 0 la solución va a r = 1 a medida
que el tiempo llega al infinito, pero si el sistema comienza con r = 0,
permanecerá en el equilibrio para todos los tiempos. Esto implica que todas las
soluciones 2del sistema
original que no comienzan en x1 = x2 = 0 se acercarán a
el círculo x + x2 = 1 al aumentar el tiempo.
1
2
Para demostrar la estabilidad de la solución completa (4.12), debemos
investigar el comportamiento de las soluciones vecinas con diferentes
condiciones iniciales. Ya hemos
se ha demostrado que el radio r se acercará al de la solución (4.12) siempre que
r(0) > 0. La ecuación del ángulo puede integrarse analíticamente para dar (t)- = t
+
(0), lo que demuestra que las soluciones que parten de ángulos diferentes no conni divergen. Por lo tanto, el círculo unitario es atrayente, pero la solución (4.12) es sólo
estable, no asintóticamente estable. El comportamiento del sistema se ilustra con
la simulación de la figura 4.12. Obsérvese que las soluciones se aproximan
rápidamente al círculo, pero que hay un desplazamiento de fase constante entre
las soluciones.
�
4.4 Análisis de estabilidad de Lyapunov
Volvemos ahora al estudio del sistema no lineal completo
dx
= F(x), x ∈ Rn .
(4.13)
dt
Una vez definido cuándo una solución de un sistema dinámico no lineal es
estable, podemos preguntarnos cómo demostrar que una solución dada es estable,
asintóticamente estable o inestable. En el caso de los sistemas físicos, a menudo
se puede argumentar sobre la estabilidad basándose en la disipación de energía.
La generalización de esa técnica a sistemas dinámicos arbitrarios se basa en el
uso de funciones de Lyapunov en lugar de energía.
111
4.4. ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE
LYAPUNOV
2
2
x1 1
0
-1
0
1.5
1
x2
0.5
5
10
15
20
15
20
2
0
x2 1
0
-1
-0.5
-1
-1
0
x1
1
2
0
5
10
Tiempo t
Figura 4.12: Curvas de solución para un ciclo límite estable. La representación de fase de
la izquierda muestra que la trayectoria del sistema converge rápidamente al ciclo límite
estable. Los puntos de partida de las trayectorias están marcados con círculos en el retrato
de fase. Los gráficos del dominio del tiempo de la derecha muestran que los estados no
convergen a la solución, sino que mantienen un error de fase constante.
En esta sección describiremos las técnicas para determinar la estabilidad de
las so- luciones de un sistema no lineal (4.13). Por lo general, estaremos
interesados en la estabilidad de los puntos de equilibrio, y será conveniente
suponer que xe = 0 es el punto de equi- librio de interés. (Si no es así, reescribir
las ecuaciones en un nuevo conjunto de coordenadas z = x - xe .)
Funciones de Lyapunov
Una función de Lyapunov V :→
Rn R es una función similar a la energía que puede
utilizarse para determinar la estabilidad de un sistema. A grandes rasgos, si
podemos encontrar una función no negativa que siempre disminuye a lo largo de
las trayectorias del sistema, podemos concluir que el mínimo de la función es un
punto de equilibrio estable (localmente).
Para describir esto más formalmente, empezamos con algunas definiciones.
Decimos que una función continua V es definida positiva si V (x)
/ > 0 para todo x
= 0 y V (0) = 0. Del mismo modo, una función es definida/negativa si V (x) < 0
para todo x = 0 y V (0) = 0. Decimos que una función
≥ V es semidefinida positiva
si V (x) 0 para todo x, pero V (x) puede ser cero en otros puntos que no sean sólo
x = 0.
Para ilustrar la diferencia entre una función definida positiva y una
función semidefinida, supongamos que x ∈ R2 y que
V1 (x) = x2 ,
V2 (x) = x2 + x2 .
1
1
2
Tanto V1 como V2 son siempre no negativos. Sin embargo, es posible que V1 sea
cero incluso
/ si x = 0. En concreto, si fijamos x = (0,∈c), donde c R es cualquier
número no nulo, entonces V1 (x) = 0. Por otro lado, V2 (x) = 0 si y sólo si x =
(0, 0). Por tanto, V1 es semidefinido positivo y V2 es definido positivo.
Ahora podemos caracterizar la estabilidad de un punto de equilibrio xe = 0
para el sistema (4.13).
Teorema 4.2 (Teorema de estabilidad de Lyapunov). Sea V una función no negativa sobre
112
CAPÍTULO 4. COMPORTAMIENTO
V DINÁMICO
x
dx
dt
V (x) = c1 <
c2
V (x) = c2
Figura 4.13: Ilustración geométrica del teorema de estabilidad de Lyapunov. Los
contornos cerrados representan los conjuntos de niveles de la función de Lyapunov V (x)
= c. Si dx/dt apunta hacia dentro de estos conjuntos en todos los puntos del contorno,
entonces las trayectorias del sistema siempre harán que V (x) disminuya a lo largo de la
trayectoria.
Rn y que V˙
representan la derivada temporal de V a lo largo de las trayectorias del
sistema
dinámica (4.13):
V dx V
V˙ =
= F(x).
x dt
x
Sea Br = Br (0) una bola de radio r alrededor del origen. Si existe r > 0 tal que
V es definida positiva y V˙ es semidefinida negativa para todo x∈Br , entonces x
= 0 es localmente estable en el sentido de Lyapunov. Si V es definida positiva y
V˙ es definida negativa en Br , entonces x = 0 es localmente estable
asintóticamente.
Si V satisface una de las condiciones anteriores, decimos que V es una
función de Lyapunov (local) para el sistema. Estos resultados tienen una bonita
interpretación geométrica. Las curvas de nivel para una función definida positiva
son las curvas definidas por V (x) = c,
c > 0, y para cada c se obtiene un contorno cerrado, como se muestra en la figura 4.13.
El
La condición de que V˙ (x) sea negativa significa simplemente que el campo
vectorial apunta hacia contornos de nivel inferior. Esto significa que las
trayectorias se mueven hacia valores cada vez más pequeños de V y si V˙ es
negativa definida entonces x debe acercarse a 0.
Ejemplo 4.9 Sistema no lineal escalar
Consideremos el sistema escalar no lineal
dx
2
=
- x.
dt 1 + x
Este sistema tiene puntos de equilibrio en x = 1 y x = -2. Consideramos el punto
de equilibrio en x = 1 y reescribimos la dinámica utilizando z = x - 1:
dz
2
=
- z - 1,
dt 2 + z
que tiene un punto de equilibrio en z = 0. Consideremos ahora el candidato Lyapunov
función
1
V (z) = z2 ,
2
113
4.4. ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE
LYAPUNOV
que es globalmente definida positiva. La derivada de V a lo largo de las trayectorias
del sistema viene dada por
2z
V˙ (z) = zz˙ =
- z 2- z.
2+z
Si restringimos nuestro análisis a un intervalo Br , donde r < 2, entonces 2 + z
> 0 y podemos multiplicar por 2 + z para obtener
2z -(z2 + z)(2 + z) = -z3 - 3z2 = -z2 (z + 3) < 0,
z ∈ Br , r < 2.
Se deduce que V˙ (z) < 0 para todoz
∈
/
Br , z = 0, y por tanto el punto de equilibrio xe
= 1 es localmente estable asintóticamente.
Una situación un poco más complicada se da si V˙ es semidefinido negativo. En
este caso es posible que V˙ (x) = 0 cuando x = 0, y por lo tanto x podría dejar de
disminuir su valor. El siguiente ejemplo ilustra este caso.
Ejemplo 4.10 Péndulo colgante
Un modelo normalizado para un péndulo colgante es
dx1
dx2
= x2 ,
= -sin x1 ,
dt
dt
donde x1 es el ángulo entre el péndulo y la vertical, correspondiendo x1 positivo a
la rotación en sentido contrario a las agujas del reloj. La ecuación tiene un
equilibrio x1 = x2 = 0, que corresponde a que el péndulo cuelga en línea recta.
Para explorar la estabilidad de este equilibrio elegimos la energía total como
función de Lyapunov:
1 2 1 2
1
x ≈ x + x2 .
2 2 2 1 2 2
La aproximación en serie de Taylor muestra que la función es positiva definida
para x pequeña. La derivada temporal de V (x) es
V (x) = 1 -cos x1 +
V˙ = x˙1 sin x1 + x˙2 x2 = x2 sin x1 - x2 sin x1 = 0.
Como esta función es semidefinida negativa, se deduce del teorema de Lyapunov
que el equilibrio es estable, pero no necesariamente estable asintóticamente.
Cuando se per- turba, el péndulo se mueve realmente en una trayectoria que
corresponde a una energía constante.
Las funciones de Lyapunov no siempre son fáciles de encontrar y no son
únicas. En muchos casos se pueden utilizar las funciones de energía como punto
de partida, como se hizo en el ejemplo 4.10. Resulta que las funciones de
Lyapunov siempre pueden encontrarse para cualquier sistema estable (bajo
ciertas condiciones), y por lo tanto se sabe que si un sistema es estable, existe
una función de Lyapunov (y viceversa). Resultados recientes que utilizan
métodos de suma de cuadrados han proporcionado enfoques sistemáticos para
encontrar sistemas de Lyapunov [PPP02]. Las técnicas de suma de cuadrados
pueden aplicarse a una amplia variedad de sistemas, incluidos los sistemas cuya
dinámica se describe mediante ecuaciones polinómicas, así como los sistemas
híbridos, que pueden tener diferentes modelos para diferentes regiones del
espacio de estados.
114
CAPÍTULO 4. COMPORTAMIENTO
DINÁMICO
Para un sistema dinámico lineal de la forma
dx
= Ax,
dt
es posible construir funciones de Lyapunov de forma sistemática. Para ello,
consideramos funciones cuadráticas de la forma
V (x) = xT Px,
donde PR
∈n×n es una matriz simétrica (P = PT ). La condición de que V sea
positiva definida es equivalente a la condición de que P sea una matriz positiva
definida:
xT Px > 0, para todo x /= 0,
que escribimos como P > 0. Se puede demostrar que si P es simétrica, entonces
P es definida positiva si y sólo si todos sus valores propios son reales y positivos.
Dada una función de Lyapunov candidata V (x) = xT Px, ahora podemos calcular su
derivada a lo largo de los flujos del sistema:
V˙ =
V dx
= xT (AT P + PA)x =: -xT Qx.
x dt
El requisito de que V˙
sea negativa definida (para la estabilidad asintótica) se convierte
en una
condición de que la matriz Q sea positiva definida. Así, para encontrar una
función de Lyapunov para un sistema lineal basta con elegir una Q > 0 y
resolver la ecuación de Lyapunov:
AT P + PA = -Q.
(4.14)
Se trata de una ecuación lineal en las entradas de P, por lo que puede resolverse
mediante álgebra lineal. Se puede demostrar que la ecuación siempre tiene
solución si todos los valores propios de la matriz A están en el semiplano
izquierdo. Además, la solución P es definida positiva si Q es definida positiva.
Por tanto, siempre es posible encontrar una función de Lyapunov cuadrática para
un sistema lineal estable. Aplazaremos la demostración de esto hasta el capítulo
5, donde se desarrollarán más herramientas para el análisis de sistemas lineales.
Sabiendo que tenemos un método directo para encontrar las funciones de
Lyapunov para los sistemas lineales, ahora podemos investigar la estabilidad de
los sistemas no lineales. Consideremos el sistema
dx
= F(x) =: Ax + F̃( x),
(4.15)
dt
donde F(0) = 0 y F̃( x) contiene términos de segundo orden y superiores en los
elementos de x. La función Ax es una aproximación de F(x) cerca del origen, y
podemos determinar la función de Lyapunov para la aproximación lineal e
investisi también es una función de Lyapunov para el sistema no lineal completo. El
siguiente ejemplo ilustra el enfoque.
Ejemplo 4.11 Cambio genético
Consideremos la dinámica de un conjunto de represores conectados entre sí en
un ciclo, como se muestra en la Figura 4.14a. La dinámica normalizada para este
sistema se dio en
115
4.4. ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE
LYAPUNOV
5
u1
z1 , f (z1 )
z2 , f (z2 )
4
A
B
z2 , 3
f
2
(z1
) 1
u2
0
0
1
(a) Esquema del
circuito
2
3
z1 , f (z2 )
4
5
(b) Puntos de equilibrio
Figura 4.14: Estabilidad de un interruptor genético. El diagrama del circuito en (a)
representa dos proteínas que reprimen la producción de la otra. Las entradas u1 y u2
interfieren en esta represión, lo que permite modificar la dinámica del circuito. Los puntos
de equilibrio de este circuito pueden determinarse mediante la intersección de las dos
curvas mostradas en (b).
Ejercicio 2.9:
dz
1
=

dz 2
=

- z1 ,
- z2 ,
(4.16)
1 +2
1 +1
zn
zn
donde z1 y z2 son versiones escaladas de las concentraciones de proteínas, n y son
parámetros que describen la interconexión entre los genes y hemos puesto a cero
las entradas externas u1 y u2 .
Los puntos de equilibrio del sistema se encuentran igualando las derivadas
temporales a cero. Definimos
d f −n−1
fu
f′ u
()=
,
()=
=
,
1 + un
du (1 + un)2
y los puntos de equilibrio se definen como las soluciones de las ecuaciones
z1 = f (z2 ), z2 = f (z1 ).
Si trazamos las curvas (z1 , f (z1 )) y ( f (z2 ), z2 ) en un gráfico, estas ecuaciones
tendrán una solución cuando las curvas se crucen, como se muestra en la Figura
4.14b. Debido a la forma de las curvas, se puede demostrar que siempre habrá tres
soluciones:
una en z1e = z2e , otra con z1e < z2e y otra con z1e > z2e . Si
≫ es 1, entonces
podemos demostrar que las soluciones están dadas aproximadamente por
z1e ≈ ,
z2e ≈
1
n-1
;
z1e = z2e ;
z1e ≈
1
n-1
,
z2e ≈ .
(4.17)
Para comprobar la estabilidad del sistema, escribimos f (u) en términos de su
expansión en serie de Taylor sobre ue :
f (u) = f (ue ) + f′ (ue )-(u - ue ) +
2
1
f′′ (ue )-(u - ue )2 + términos de
orden superior, donde f′ representa la primera derivada de la función, y f′′ la
segunda. Utilizando
116
CAPÍTULO 4. COMPORTAMIENTO
DINÁMICO
estas aproximaciones, la dinámica puede escribirse entonces como
dw
dt
=
-1
f′ (z1e )
f′(z2e
) w + F̃(w),
-1
donde w = zz
- e es el estado desplazado y F̃( w) representa los términos cuadráticos
y de orden superior.
Ahora utilizamos la ecuación (4.14) para buscar una función de Lyapunov. Eligiendo Q =
I
y dejando que P ∈ R2×2 tenga elementos p ij , buscamos una solución de la ecuación
-1
f1′ p11
p12
p
p12-1
f2′
-1
0
+ 11
=
,
-1
-1
p12
p22 f1′
f2′ -1p12
0
p22
donde f1′ = f′ (z1e ) y f2′ = f′ (z2e ). Nótese que hemos fijado p21 = p12 para
forzar que P sea simétrica. Multiplicando las matrices, obtenemos
-2p 11 + 2 f1′ p12
p11 f2′ - 2p 12 + p22 f1′ -1
0
=
,
-1
0
p11 f2′ - 2p12 +
-2p22 + 2 f2′
que es un conjunto de ecuaciones lineales
para las incógnitas p ij . Podemos resolver
p22 f1′ lineales para obtener
p12
estas ecuaciones
2
p11
f1′ - f2′ f1′ +
2
,
=4( f1′ f2′ - 1)
2
f2′ - f1′ f2′ + 2
f1′ + f2′
p12 = -
,
4( 1f′ 2f′ - 1)
p22 = -
4( 1f′ f2′ - 1)
.
Para comprobar que V (w) = wT Pw es una función de Lyapunov, debemos
verificar que V (w) es una función definida positiva o, equivalentemente,
×
que P
> 0. Como P es una matriz simétrica 2 2, tiene dos valores propios reales1 y2 que
satisfacen
1 +2
= trace(P),1 - 2 = det(P).
Para que P sea definida positiva debemos tener que1 y2 son positivas, y por lo
tanto requerimos que
trace(P) =
2
f1′ -2 f2′ f1′ + f2′
+ 4 4-4 f′ f ′
2
> 0,
det(P) =
2
f1′ -2 f2′ f1′ + f2′
+4 16 - 16 f′ f
′
1 2
2
> 0.
1 2
Vemos que traza(P) = 4 det(P) y el numerador de las expresiones es simplemente
- ( f1
2
f2 ) + 4 > 0, por lo que basta con comprobar
- el signo de 1 f1′ f2′ . En
particular, para que P sea definida positivamente, requerimos que
f′ (z1e ) f′ (z2e ) < 1.
Ahora podemos hacer uso de las expresiones para f′ definidas anteriormente y
evaluar en las ubicaciones aproximadas de los puntos de equilibrio derivados en
la ecuación (4.17). Para los puntos de equilibrio donde z1e /= z2e , podemos
demostrar que
2
1
−−(n-1)
f′ (z1e ) f′ (z2e ) ≈ f′ () f′ ( 1 ) −−
≈ n2 -n2+n.
n2=
n
(1 + ) 1 + -n(n-1)
Usando n = 2 y
≈ 200 del Ejercicio 2.9, vemos que f′ (z1e ) f′ (z2e ) ≪ 1 y
por tanto P es una definida positiva. Esto implica que V es una función definida
positiva y
117
4.4. ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE
LYAPUNOV
5
Co 5
z1 (A)
z2 (B)
nc
4
4
ent
Pr
rac
ote
io 3
ína 3
ne
B
s 2
[a 2
de
es
pr 1
cal 1
ote
a]
ína 0
0
0
1
2
3
4
5
0
5
10
15
20
25
s
Proteína A [a escala]
Tiempo t [escalado]
[a
es
Figura 4.15: Dinámica de un interruptor genético.
El retrato de fase de la izquierda
cal
muestra que el interruptor tiene tres puntos de a]equilibrio, que corresponden a la proteína A
con una concentración mayor, igual o menor que la proteína B. El punto de equilibrio con
concentraciones iguales de proteínas es inestable, pero los otros puntos de equilibrio son
estables. La simulación de la derecha muestra la respuesta temporal del sistema partiendo
de dos condiciones iniciales diferentes.
La parte inicial de la curva corresponde a las concentraciones iniciales z(0) = (1, 5) y
converge al equilibrio donde z1e < z2e. En el tiempo t = 10, las concentraciones son
perturbadas por -+2 en z1 y 2 en z2 , moviendo el estado a la región del espacio de estado
cuyas soluciones convergen al punto de equilibrio donde z2e < z1e.
por lo tanto una función potencial de Lyapunov para el sistema.
Para determinar si el sistema (4.16) es estable, calculamos
ahora el punto V˙ rium. Por construcciÛn,
en el equilibrio-
V˙ = wT (PA + AT P)w + F̃T(w)Pw + wT PF̃(w)
= -wT w + F̃T(w)Pw + wT PF̃(w).
Dado que todos los términos de F˜ son cuadráticos o de orden superior en w, se
deduce que F̃T(w)Pw y wT PF̃(w) consisten en términos que son al menos de tercer
orden en w. Por lo tanto, si w está suficientemente cerca de cero, entonces los
términos cúbicos y de orden superior serán más pequeños que los cuadráticos.
Por lo tanto, suficientemente cerca de w = 0, V˙ es definida negativa, lo que nos
permite concluir que estos puntos de equilibrio son ambos estables.
La figura 4.15 muestra el retrato de fase y las trazas de tiempo para un
sistema con = 4, ilustrando la naturaleza biestable del sistema. Cuando la
condición inicial comienza con una concentración de proteína B mayor que la de
A, la solución converge a la
punto de equilibrio en (aproximadamente) (1/n-1, ). Si A es mayor que B,
entonces se va a (, 1/n-1). El punto de equilibrio con z1e = z2e es inestable.
De forma más general, podemos investigar qué dice la aproximación lineal
sobre la estabilidad de una solución de una ecuación no lineal. El siguiente
teorema da una respuesta parcial para el caso de la estabilidad de un punto de
equilibrio.
Teorema 4.3. Consideremos el sistema dinámico (4.15) con F(0) = 0 y F˜ tal
que lim F̃
las partes reales de todos los valores propios de
\( x) /\x\0\como
→ x 0 \. Si
\→
A son estrictamente menores que cero, entonces xe = 0 es un punto de equilibrio
localmente asintóticamente estable de la ecuación (4.15).
118
CAPÍTULO 4. COMPORTAMIENTO
DINÁMICO
Este teorema implica que la estabilidad asintótica de la aproximación lineal
implica la estabilidad asintótica local del sistema no lineal original. El teorema
es muy importante para el control porque implica que la estabilización de una
aproximación lineal de un sistema no lineal resulta en un equilibrio estable para
el sistema no lineal. La demostración de este teorema sigue la técnica utilizada en
el Ejemplo 4.11. Se puede encontrar una demostración formal en [Kha01].
��
Principio de Invariancia de Krasovski-Lasalle
Para los sistemas no lineales generales, especialmente los de forma simbólica,
puede ser difícil encontrar una función V definida positiva cuya derivada sea
estrictamente definida negativa. El teorema de Krasovski-Lasalle permite
concluir la estabilidad asintótica de un punto de equilibrio en condiciones menos
restrictivas, es decir, en el caso de que V˙ sea semidefinida negativa, lo que suele
ser más fácil de construir. Sin embargo, sólo se aplica a sistemas invariables en el
tiempo o periódicos. Esta sección hace uso de algunos conceptos adicionales de
los sistemas dinámicos; véase Hahn [Hah67] o Khalil [Kha01] para una
descripción más detallada.
Nos ocuparemos del caso invariante en el tiempo y comenzaremos
introduciendo algunas definiciones más. Denotamos las trayectorias de solución
del sistema invariante en el tiempo
dx
= F(x)
(4.18)
dt
como x(t; a), que es la solución de la ecuación (4.18) en el tiempo t partiendo de
a en t0 = 0. El conjunto límite de una trayectoria x(t; a) es el
∈ conjunto de todos
los puntos z Rn tales que existe una secuencia estrictamente creciente
→ de tiempos
→
n
tn tal que⊂x(tn ; a) z como n . Se dice que un conjunto
M
R
es
un
conjunto
∈
∈
invariante
≥ si para todo b M, tenemos x(t; b) M para todo t 0. Se puede demostrar
que el conjunto límite de toda trayectoria es cerrado y
invariante. Ahora podemos enunciar el principio de Krasovski-Lasalle.
Teorema 4.4 (Principio de Krasovski-Lasalle). Sea V : Rn → R una variable localmente
positiva
función definida tal que en el conjunto compacto r = {x ∈ Rn : V (x) ≤ r} tenemos
V˙ (x) ≤ 0. Definir
S = {x ∈r : V˙ (x) = 0}.
A medida
→ que t , la trayectoria tiende al mayor conjunto invariante dentro de S;
es decir, su conjunto límite está contenido dentro del mayor conjunto invariante
en S. En particular, si S no contiene ningún conjunto invariante distinto de x =
0, entonces 0 es asintóticamente estable.
Las pruebas se dan en [Kra63] y [LaS60].
Las funciones de Lyapunov pueden utilizarse a menudo para diseñar
controladores estabilizadores, como se ilustra en el siguiente ejemplo, que
también ilustra cómo puede aplicarse el principio de Krasovski-Lasalle.
Ejemplo 4.12 Péndulo invertido
Siguiendo el análisis del ejemplo 2.7, un péndulo invertido puede describirse
mediante el siguiente modelo normalizado:
dx1
dx2
(4.19)
= x2 ,
= sen x1 + u cos x1 ,
dt
dt
119
4.4. ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE
LYAPUNOV
4
m
˙
2
x2
l
0
-2
u
(a) Sistema físico
−
-2
−
0

x1
(b) Retrato de
fase
(c) Vista del colector
Figura 4.16: Péndulo invertido estabilizado. Una ley de control aplica una fuerza u en la
parte inferior del péndulo para estabilizar la posición invertida (a). El retrato de fase (b)
muestra que el punto de equilibrio correspondiente a la posición vertical está estabilizado.
La región sombreada indica el conjunto de condiciones iniciales que convergen al origen.
La elipse corresponde a un
conjunto de niveles de una función de Lyapunov V (x) para la que V (x) > 0 y V˙ (x) < 0 para todos los
puntos dentro de
la elipse. Esto puede utilizarse como una estimación de la región de atracción del equilibrio
punto. La dinámica real del sistema evoluciona en un colector (c).
donde x1 es la desviación angular de la posición vertical y u es la aceleración (a
escala) del pivote, como se muestra en la figura 4.16a. El sistema tiene un
equilibrio en x1 = x2 = 0, que corresponde al péndulo en posición vertical. Este
equilibrio es inestable.
Para encontrar un controlador estabilizador consideramos el siguiente
candidato para una función Lya- punov:
1 2 1 x2 .
x +
V (x) = (cos x1 - 1) + a(1 -cos2 x1 ) 1 x2 ≈ a 2 1 2 2
+
2 2
La expansión en serie de Taylor muestra que la función es positiva definida cerca
del origen si a > 0,5. La derivada temporal de V (x) es
V˙ = -x˙1 sen x1 + 2ax˙1 sen x1 cos x1 + x˙2 x2 = x2 (u + 2a sen x1 ) cos x1 .
Elección de la ley de retroalimentación
da
u = -2a sen x1 - x2 cos
x1
V˙ = -x22cos2 x1 .
Del teorema de Lyapunov se deduce que el equilibrio es localmente estable. Sin
embargo, como la función es sólo semidefinida negativa, no podemos concluir la
estabilidad asintótica utilizando el Teorema 4.2. Sin embargo, nótese que V˙ = 0
implica que x2 = 0 o x1 =
 n.±
Si restringimos nuestro análisis a una pequeña vecindad del origen≪
r , r ,
entonces podemos definir
S = {(x1 , x2 ) ∈r : x2 = 0}
120
CAPÍTULO 4. COMPORTAMIENTO
DINÁMICO
y podemos calcular el mayor conjunto invariante dentro de S. Para que una
trayectoria permanezca en este conjunto debemos tener x2 = 0 para todo t y, por
tanto, x˙2 (t) = 0 también. Utilizando la dinámica del sistema (4.19), vemos que
x2 (t) = 0 y x˙2 (t) = 0 implica que x1 (t) = 0 también. Por tanto, el mayor
conjunto invariante dentro de S es (x1 , x2 ) = 0, y podemos utilizar el principio
de Krasovski-Lasalle para concluir que el origen es localmente asintótico
estable. En la Figura 4.16b se muestra un retrato de fase del sistema de bucle cerrado.
En el análisis y el retrato de fase, hemos tratado el ángulo del péndulo
= x1 como un número real. De hecho, es un ángulo con =  equivalente a = 0.
Por lo tanto, la dinámica del sistema evoluciona realmente en un colector
(superficie lisa) como se muestra en la figura 4.16c. El análisis de los sistemas
dinámicos no lineales en colectores es más complicado, pero utiliza muchas de
las mismas ideas básicas presentadas aquí.
�
4.5 Comportamiento paramétrico y no local
La mayoría de las herramientas que hemos explorado se centran en el
comportamiento local de un sistema fijo cerca de un punto de equilibrio. En esta
sección introducimos brevemente algunos conceptos relativos al comportamiento
global de los sistemas no lineales y la dependencia del comportamiento de un
sistema de los parámetros del modelo del sistema.
Regiones de atracción
Para conocer el comportamiento de un sistema no lineal podemos empezar por
encontrar los puntos de equilibrio. Luego podemos proceder a analizar el
comportamiento local alrededor de los equilibrios. El comportamiento de un
sistema cerca de un punto de equilibrio se denomina comportamiento local del
sistema.
Las soluciones del sistema pueden ser muy diferentes lejos de un punto de
equilibrio. Esto se ve, por ejemplo, en el péndulo estabilizado del ejemplo 4.12.
El punto de equilibrio invertido es estable, con pequeñas oscilaciones que
eventualmente llegan al origen. Pero lejos de este punto de equilibrio hay
trayectorias que convergen a otros puntos de equilibrio o incluso casos en los que
el péndulo gira alrededor de la cima múltiples veces, dando oscilaciones muy
largas que son topo- lógicamente diferentes de las cercanas al origen.
Para comprender mejor la dinámica del sistema, podemos examinar el
conjunto de todas las condiciones iniciales que convergen a un determinado
punto de equilibrio asintóticamente estable. Este conjunto se denomina región de
atracción para el punto de equilibrio. Un ejemplo se muestra en la región
sombreada del retrato de fase de la Figura 4.16b. En general, el cálculo de las
regiones de atracción es difícil. Sin embargo, incluso si no podemos determinar
la región de atracción, a menudo podemos obtener parches alrededor de los
equilibrios estables que se atraen. Esto proporciona información parcial sobre el
comportamiento del sistema. Un método para aproximar la región de atracción es
mediante el uso de funciones de Lyapunov. Supongamos que V es una función de
Lyapunov local para un sistema
alrededor de un punto de equilibrio x . Sea0r un conjunto en el que V (x) tiene un
valor menor que r,
n
r = {x ∈ R : V (x) ≤ r},
4.5. COMPORTAMIENTO PARAMÉTRICO Y NO
LOCAL
121
y supongamos que V˙ (x)
≤ 0 para todo∈r , con igualdad sólo en el punto de
equilibrio x0 . Entoncesr está dentro de la región de atracción del punto de
equilibrio. Como
esta aproximación depende de la función de Lyapunov y la elección de la
función de Lyapunov no es única, a veces puede ser una estimación muy
conservadora.
A veces se da el caso de que podemos encontrar una función de Lyapunov V
tal que V es definida positiva y V˙ es negativa (semi) definida
∈ para todo x Rn . En
muchos casos se puede demostrar entonces que la región de atracción para el
punto de equilibrio es todo el espacio de estados, y se dice que el punto de
equilibrio es globalmente estable.
Ejemplo 4.13 Péndulo invertido estabilizado
Consideremos de nuevo el péndulo invertido estabilizado del ejemplo 4.12. La
función de Lya- punov para el sistema era
1 2
x ,
2 2
y V˙ era semidefinido negativo para todo x y distinto de cero cuando x1 /= . Por lo tanto,
cualquier x tal |que
| x1 <  y V (x) > 0 estará dentro del conjunto invariante
definido por las curvas de nivel de V (x). Uno de estos conjuntos de nivel se
muestra en la Figura 4.16b.
V (x) = (cos x1 - 1) + a(1 -cos2 x1 ) +
Bifurcaciones
Otra propiedad importante de los sistemas no lineales es cómo cambia su
comportamiento a medida que cambian los parámetros que rigen la dinámica.
Podemos estudiar esto en el contexto de los modelos explorando cómo la
ubicación de los puntos de equilibrio, su estabilidad, sus regiones de atracción y
otros fenómenos dinámicos, como los ciclos límite, varían en función de los
valores de los parámetros del modelo.
Consideremos una ecuación diferencial de la forma
dx
= F(x, ),
x ∈ Rn  ∈ Rk ,
(4.20)
dt
donde x es el estado y es un conjunto de parámetros que describen la familia de
ecuaciones. Las soluciones de equilibrio satisfacen
F(x, ) = 0,
y al variar, las soluciones correspondientes xe () también pueden variar. Decimos
que el sistema (4.20) tiene una bifurcación en = ∗ si el comportamiento del
sistema cambia cualitativamente en ∗. Esto puede ocurrir tanto por un cambio en
el tipo de estabilidad como por un
cambio en el número de soluciones a un valor dado de .
Ejemplo 4.14 Depredador-presa
Consideremos el sistema depredador-presa descrito en el apartado 3.7. La dinámica
del sistema viene dada por
(
dH
H aHL
dL
aHL - dL,
(4.21)
= rH 1 - ,
=b
dt
k
dt
c+
c+
H
H
122
CAPÍTULO 4. COMPORTAMIENTO
DINÁMICO
200
150
Inestable
150
c
100
H
Establ
e
100
50
50
Inestable
0
1.5
2
2.5
a
3
3.5
(a) Diagrama de estabilidad
4
0
2
4
a
6
8
(b) Diagrama de bifurcación
Figura 4.17: Análisis de bifurcación del sistema depredador-presa. (a) Diagrama de
estabilidad paramétrica que muestra las regiones del espacio de parámetros para las que el
sistema es estable. (b) Diagrama de bifurcación que muestra la ubicación y la estabilidad
del punto de equilibrio en función de a. La línea sólida representa un punto de equilibrio
estable, y la línea discontinua representa un punto de equilibrio inestable. Las líneas
discontinuas indican los límites superior e inferior del límite
ciclo en ese valor de parámetro (calculado mediante simulación). Los valores nominales de
los parámetros del modelo son a = 3,2, b = 0,6, c = 50, d = 0,56, k = 125 y r = 1,6.
donde H y L son los números de liebres (presas) y linces (depredadores) y a, b, c,
d, k y r son parámetros que modelan un sistema depredador-presa determinado
(descrito con más detalle en el apartado 3.7). El sistema tiene un punto de
equilibrio en He > 0 y
Le > 0 que se puede encontrar numéricamente.
Explorar cómo los parámetros del modelo afectan al comportamiento del sistema,
elegimos centrarnos en dos parámetros específicos de interés: a, el coeficiente de
interacción entre las poblaciones y c, un parámetro que afecta a la tasa de
consumo de las presas. La figura 4.17a es un diagrama de estabilidad
paramétrica calculado numéricamente que muestra las regiones del espacio de
parámetros elegido para las que el punto de equilibrio es estable (dejando los
demás parámetros en sus valores nominales). Vemos en esta figura que para
ciertas combinaciones de a y c obtenemos un punto de equilibrio estable,
mientras que en otros valores este punto de equilibrio es inestable.
La figura 4.17b es un diagrama de bifurcación calculado numéricamente para
el sistema. En este diagrama, elegimos un parámetro para variar (a) y luego
trazamos el valor de equilibrio de uno de los estados (H) en el eje vertical. El
resto de los parámetros se ajustan a sus valores nominales. Una línea sólida
indica que el punto de equilibrio es estable; una línea discontinua indica que el
punto de equilibrio es inestable. Obsérvese que la estabilidad en el diagrama de
bifurcación coincide con la del diagrama de estabilidad paramétrica para
c = 50 (el valor nominal) y a que varía de 1,35 a 4. Para el sistema depredadorpresa, cuando el punto de equilibrio es inestable, la solución converge a un punto
estable
ciclo límite. La amplitud de este ciclo límite se muestra con la línea discontinua
de la Figura 4.17b.
Una forma particular de bifurcación que es muy común cuando se controlan
sistemas lineales es que el equilibrio permanece fijo pero la estabilidad del
equilibrio
123
4.5. COMPORTAMIENTO PARAMÉTRICO Y NO
LOCAL
15
10
Inestable
5
R
Inestabl
e
0
-5
V = 6.1
5
So

0
V

-5
-10
-15
10
Establ
e
-10
0
10
Velocidad v [m/s]
(a) Diagrama de estabilidad
-10
V = 6.1
-10
0
R
10
(b) Diagrama de lugar de la raíz
Figura 4.18: Gráficos de estabilidad para una bicicleta que se mueve a velocidad
constante. El gráfico (a) muestra la parte real de los valores propios del sistema en función
de la velocidad de la bicicleta v. El sistema es estable cuando todos los valores propios
tienen parte real negativa (región sombreada). El gráfico de (b) muestra el lugar de los
valores propios en el plano complejo a medida que se varía la velocidad v y ofrece una
visión diferente de la estabilidad del sistema. Este tipo de gráfico se denomina diagrama
de localización de raíces.
cambia al variar los parámetros. En este caso es revelador trazar los valores
propios del sistema en función de los parámetros. Estos gráficos se denominan
diagramas de localización de la raíz porque dan el lugar de los valores propios
cuando cambian los parámetros. Las bifurcaciones se producen cuando los
valores de los parámetros son tales que hay valores propios con parte real cero.
Los entornos informáticos como LabVIEW, MAT- LAB y Mathematica tienen
herramientas para trazar los lugares de las raíces.
Ejemplo 4.15 Diagrama de lugar de la raíz para un modelo de bicicleta
Consideremos el modelo lineal de bicicleta dado por la ecuación (3.7) en la
sección 3.2. Introduciendo las variables de estado x1 = , x2 = , x3 = ˙ y x4 = ˙ y
fijando el par de dirección T = 0, las ecuaciones pueden escribirse como
dx
0
I
=
x =: Ax,
0
1
2
1
− Cv
dt
-M− (K0 + K22 v2 y) v-Mes
0
donde I es una
la velocidad
de la bicicleta. La
× matriz de identidad
0
figura 4.18a muestra las partes reales de los valores propios en función de la
velocidad. La figura 4.18b muestra la dependencia de los valores propios de A en
función de la velocidad v0 . Las figuras muestran que la bicicleta es inestable para
velocidades bajas porque dos valores propios están en el semiplano derecho. Al
aumentar la velocidad, estos valores propios se desplazan al semiplano izquierdo,
lo que indica que la bicicleta se autoestabiliza. A medida que la velocidad
aumenta, hay un valor propio cerca del origen que se desplaza al semiplano
derecho, lo que hace que la bicicleta vuelva a ser inestable. Sin embargo, este
valor propio es pequeño, por lo que puede ser fácilmente estabilizado por un
ciclista. La figura 4.18a muestra que la bicicleta se autoestabiliza para
velocidades entre 6 y 10 m/s.
Los diagramas de estabilidad paramétrica y los diagramas de bifurcación
pueden proporcionar información valiosa sobre la dinámica de un sistema no
lineal. Suele ser necesario elegir cuidadosamente los parámetros que se trazan,
incluida la combinación de los parámetros naturales
124
CAPÍTULO 4. COMPORTAMIENTO
DINÁMICO
S
Micrófono exterior
n
Teléf
ono
de
cabez
a
Controlad
or
Micrófon
o interno
Micrófono
externo
(a)
a, b
Filtro
-
e
Micróf
ono
interior
w
Parámetros
(b)
Figura 4.19: Auriculares con cancelación de ruido. El ruido es detectado por el
microteléfono exterior (a) y enviado a un filtro de forma que anule el ruido que penetra en
el auricular (b). Los parámetros del filtro a y b son ajustados por el controlador. S
representa la señal de entrada a los auriculares.
del sistema para eliminar los parámetros adicionales cuando sea posible.
Programas informáticos como AUTO, LOCBIF y XPPAUT proporcionan
algoritmos numéricos para producir diagramas de estabilidad y bifurcación.
Diseño de dinámicas no lineales mediante retroalimentación
En la mayor parte del texto nos basaremos en aproximaciones lineales para
diseñar leyes de retroalimentación que estabilicen un punto de equilibrio y
proporcionen un nivel de rendimiento deseado. Sin embargo, para algunas clases
de problemas el controlador de retroalimentación debe ser no lineal para cumplir
su función. Haciendo uso de las funciones de Lyapunov a menudo podemos
diseñar una ley de control no lineal que proporcione un comportamiento estable,
como vimos en el Ejemplo 4.12.
Una forma de diseñar sistemáticamente un controlador no lineal es comenzar
con una función de Lyapunov can- didata V (x) y un sistema de control x˙ = f (x,
u). Decimos que V (x) es una función de Lyapunov de control si para cada x
existe una u tal que V˙ (x) =
V
x f (x, u) < 0. En este caso, puede ser posible encontrar una función (x) tal que
u = (x) estabiliza el sistema. El siguiente ejemplo ilustra el enfoque.
Ejemplo 4.16 Anulación del ruido
La cancelación del ruido se utiliza en la electrónica de consumo y en los sistemas
industriales para reducir los efectos del ruido y las vibraciones. La idea es reducir
localmente el efecto del ruido generando señales opuestas. Un par de auriculares
con cancelación de ruido como los que se muestran en la figura 4.19a es un
ejemplo típico. En la Figura 4.19b se muestra un diagrama esquemático del
sistema. El sistema tiene dos micrófonos, uno fuera de los auriculares que capta
el ruido exterior n y otro dentro de los auriculares que capta la señal e, que es una
combinación de la señal deseada y el ruido exterior que penetra en el auricular.
La señal del micrófono exterior se filtra y se envía a los auriculares de forma que
anula el
125
4.5. COMPORTAMIENTO PARAMÉTRICO Y NO
LOCAL
ruido externo que penetra en los auriculares. Los parámetros del filtro se ajustan
mediante un mecanismo de retroalimentación para que la señal de ruido en el
microteléfono interno sea lo más pequeña posible. La retroalimentación es
intrínsecamente no lineal porque actúa cambiando los parámetros del filtro.
Para analizar el sistema suponemos, por simplicidad, que la propagación del
ruido externo en los auriculares se modela mediante un sistema dinámico de
primer orden descrito por
dz
= a0 z + b0 n,
(4.22)
dt
donde z es el nivel sonoro y los parámetros a0 < 0 y b0 no se conocen.
Supongamos que el filtro es un sistema dinámico del mismo tipo:
dw
dt
= aw + bn.
Deseamos encontrar un controlador que actualice a y b de manera que
converjan a los parámetros (desconocidos) a0 y b0 . Introducimos x1 = e = w
- z, x2 = a - a0 y x3 = b - b0 ; entonces
dx1
dt
= a0 (w - z) + (a - a0 )w + (b - b0 )n = a0 x1 + x2 w + x3 n. (4.23)
Lograremos la cancelación del ruido si podemos encontrar una ley de
retroalimentación para cambiar los parámetros a y b de manera que el error e
vaya a cero. Para ello elegimos
1
V (x1 , x2 , x3 ) =
2
2
1x
2
+2 x2 +
3 x
como función de Lyapunov candidata para (4.23). La derivada de V es
V˙ = x1 x˙1 + x2 x˙2 + x3 x˙3 = a0 x12 + x2 (x˙2 + wx1 ) + x3 (x˙3 + nx1 ).
Elección
de
x˙2 = −1 = −,
x˙3 = −1 = −,
(4.24)
encontramos que V˙ =1 a0 x2 < 0, y se deduce que la función cuadrática disminuirá
siempre que e = x1 = -w/ z = 0. La retroalimentación no lineal (4.24) intenta así
cambiar los parámetros para que el error entre la señal y el ruido sea pequeño.
Obsérvese que la ley de retroalimentación (4.24) no utiliza el modelo (4.22) explícitamente.
En la figura 4.20 se muestra una simulación del sistema. En la simulación
hemos representado la señal como una sinusoide pura y el ruido como un ruido
de banda ancha. La figura muestra la espectacular mejora con la cancelación del
ruido. La señal sinusoidal no es visible sin la cancelación del ruido. Los
parámetros del filtro cambian rápidamente desde sus valores iniciales a = b = 0.
Se utilizan filtros de orden superior con más coeficientes
en la práctica.
126
CAPÍTULO 4. COMPORTAMIENTO
DINÁMICO
No 5
ha
y 0
an
ula -5
ció
n
0
0
a
50
100
150
-1
200
0
50
100
150
200
100
150
Tiempo t [s]
200
1
An 5
ula
ció 0
n
-5
0
-0.5
b
50
100
150
Tiempo t [s]
200
0.5
0
0
50
Figura 4.20: Simulación de cancelación de ruido. La figura superior izquierda muestra la
señal de los auriculares sin cancelación de ruido, y la figura inferior izquierda muestra la
señal con cancelación de ruido. Las figuras de la derecha muestran los parámetros a y b del
filtro.
4.6 Más información
El campo de los sistemas dinámicos tiene una rica literatura que caracteriza las
posibles características de los sistemas dinámicos y describe cómo los cambios
paramétricos en la dinámica pueden conducir a cambios topológicos en el
comportamiento. Strogatz [Str94] y Abraham y Shaw [AS82] ofrecen
introducciones amenas a los sistemas dinámicos. Los tratamientos más técnicos
incluyen Andronov, Vitt y Khaikin [AVK87], Guckenheimer y Holmes [GH83]
y Wiggins [Wig90]. Para los estudiantes con un gran interés en la mecánica, los
textos de Arnold [Arn87] y Marsden y Ratiu [MR94] proporcionan un enfoque
elegante utilizando herramientas de la geometría diferencial. Por último, Wilson
[Wil99] y Ellner y Guckenheimer [EG05] ofrecen buenos tratamientos de los
métodos de sistemas dinámicos en biología. Existe una amplia literatura sobre la
teoría de la estabilidad de Lyapunov, incluyendo los textos clásicos de Malkin
[Mal59], Hahn [Hah67] y Krasovski [Kra63]. Recomendamos encarecidamente
el tratamiento exhaustivo de Khalil [Kha01].
Ejercicios
4.1 (Sistemas invariantes en el tiempo) Demuestre que si tenemos una solución
de la ecuación diferencial (4.1) dada por x(t) con condición inicial x(t0 ) =- x0 ,
entonces x˜() = x(t t0 ) es una solución de la ecuación diferencial
dx˜ nado.
= F(x˜)

con la condición inicial x˜(0) = x0 , donde = t - t0 .
4.2 (Flujo en un tanque) Un tanque cilíndrico tiene sección transversal A m2 ,
área efectiva de salida a m2 y flujo de entrada qin m3 /s. Un balance energético
muestra que la velocidad de salida
EJERCICIO
S
127
es v = √2gh m/s, donde g m/s2 es la aceleración de la gravedad y h es la
distancia entre la salida y el nivel del agua en el tanque (en metros). Demuestre
que el sistema puede ser modelado por
aj2gh
dh
a j2gh
1
=+ qin ,
qout =
.
dt
A
A
Utilice los parámetros A = 0,2, a = 0,01. Simule el sistema cuando el flujo de
entrada es cero y el nivel inicial es h = 0,2. ¿Esperas alguna dificultad en la
simulación?
4.3 (Control de crucero) Considere el sistema de control de crucero descrito en la
sección 3.1. Genere una representación de fase para el sistema de lazo cerrado en
terreno plano ( = 0), en tercera velocidad, utilizando un controlador PI (con kp =
0.5 y ki = 0.1), m = 1000 kg y velocidad deseada 20 m/s. Tu modelo de sistema
debe incluir los efectos de la saturación de la entrada
entre 0 y 1.
4.4 (Funciones de Lyapunov) Consideremos el sistema de segundo orden
dx1
dx2
= -ax1 ,
= -bx1 - cx2 ,
dt
dt
donde a, b, c > 0. Investiga si las funciones
1
1
1
1
b
V1 (x) = x2 + x2 , V2 (x) = x2 + (x2 +
x1 )2
1
2
1
2
2
2
c-a
2
son funciones de Lyapunov para el sistema y dar las condiciones que deben cumplirse.
4.5 (Sistema muelle-masa amortiguado) Consideremos un sistema muelle-masa �
amortiguado con dinámica
mq¨ + cq˙ + kq = 0.
Un candidato natural para una función de Lyapunov es la energía total del sistema,
dada por
1
1
V = mq˙2 + kq2 .
2
2
Utilice el teorema de Krasovski-Lasalle para demostrar que el sistema es
asintóticamente estable.
4.6 (Generador eléctrico) El siguiente modelo simple para un generador eléctrico
conectado a una red eléctrica fuerte fue dado en el Ejercicio 2.7:
d2
EV
= Pm - Pe = Pm J
dt2
pecado.
El parámetro
Pmax EV X
(4.25)
a=
=
Pm
X Pm
es la relación entre la potencia máxima entregable Pmax = EV /X y la potencia
media Pm .
(a) Considere a como un parámetro de bifurcación y discuta cómo los
equilibrios dependen de a.
128
CAPÍTULO 4. COMPORTAMIENTO
DINÁMICO
(b) Para a > 1, demuestre que hay un centro en0 = arcsin(1/a) y una silla en
= −0 .
(c) Demuestre que si Pm /J = 1 existe una solución a través de la silla de montar que
satisface
12
− + - a 
(4.26)
0 -ja 2 - 1 = 0.
2 dt
Utilice la simulación para demostrar que la región de estabilidad es el interior del
área encerrada por esta solución. Investiga qué ocurre si el sistema está en
equilibrio con un valor de a ligeramente superior a 1 y a disminuye
repentinamente, lo que corresponde a un aumento repentino de la reactancia de la
línea.
4.7 (Ecuación de Lyapunov) Demuestre que la ecuación de Lyapunov (4.14)
siempre tiene solución si todos los valores propios de A están en el semiplano
izquierdo. (Sugerencia: Utilice el hecho de que la ecuación de Lyapunov es
lineal en P y comience con el caso en que A tiene valores propios distintos).
4.8 (Control de la congestión) Considere el problema de control de la congestión
descrito en la sección 3.4. Confirme que el punto de equilibrio del sistema viene
dado por la ecuación (3.21) y calcule la estabilidad de este punto de equilibrio
mediante una aproximación lineal.
4.9 (Balanceo hacia arriba de un péndulo) Considere el péndulo invertido,
discutido en el Ejemplo 4.4, que es descrito por
 =  + u cos,
donde es el ángulo entre el péndulo y la vertical y la señal de control
u es la aceleración del pivote. Utilizando la función de energía
1 ˙2
V (, ˙) =  - 1 + ,
2
demuestre que la retroalimentación de-estado u = k(V0
V )˙  hace que
el péndulo se "balancee" hasta la posición vertical.
4.10 (Diagrama de lugar de la raíz) Considere el sistema lineal
0
dx 0
1
=
x + -1u,4
y = 1x,
dt 0 -3
con la retroalimentación- u =ky
en función del parámetro k.
. Traza la ubicación de los valores propios
� 4.11 (Función de Lyapunov en tiempo discreto) Considere un sistema no lineal
en tiempo discreto con dinámica x[k + 1] = f (x[k]) y punto de equilibrio xe =
0. Suponga que existe una función suave y positiva definida V : Rn → R tal que V
( f (x))-V (x) < 0 para x /= 0 y V(0) = 0. Demuestre que xe = 0 es (localmente)
estable asintóticamente.
4.12 (Oscilador de amplificador operacional) En el ejercicio 3.5 se mostró un
circuito de amplificador operacional para un oscilador. La solución oscilatoria
para ese circuito lineal era estable
129
EJERCICIO
S
pero no es asintóticamente estable. En la figura siguiente se muestra un esquema
de un circuito modificado que tiene elementos no lineales.
ae
ae
C
2
R2
2
-
R2
v2 R3
+
v1
v1
2
R
v2
v2
2
R
+
-
v 3 R1
+
R
C
1
R1
1
R4
v1
+
2
v0 R
R
R
-
ae
+
La modificación se obtiene realizando una retroalimentación en torno a cada am- operativa.
plificador
que tiene condensadores que utilizan multiplicadores. La señal ae = v2 + v2
- v2 es la
1
2
0
error de amplitud. Demuestre que el sistema está
modelado por
dv1 = R4
v2 + 1 v1 (v2 - v2 - v2 ),
0
1
2
dt
R1 R3 C1
R11C
1
dv2 = - 1 v1 + 1 v2 (v2 - v2 - v2 ).
0
1
2
dt
R2 C2
R22C
2
Demuestre que, bajo condiciones adecuadas sobre los valores de los parámetros,
el circuito da una os- cilación con un ciclo límite estable con amplitud v0 .
(Sugerencia: utilice los resultados del ejemplo 4.8.)
4.13 (Circuito genético autoactivado) Considere la dinámica de un circuito
genético que implementa la autoactivación: la proteína producida por el gen es
un activador para la proteína, estimulando así su propia producción a través de la
retroalimentación positiva. Utilizando los modelos presentados en el Ejemplo
2.13, la dinámica del sistema puede escribirse como
dp
dm
p2
m
p
m
(4.27)
=
,
=
+ 0,
dt
dt 1 + kp2
para p, m≥ 0. Encuentre los puntos de equilibrio para el sistema y analice la
estabilidad de cada uno utilizando el análisis de Lyapunov.
n n
4.14 (Sistemas diagonales) Sea A
∈ R × sea una matriz cuadrada con valores propios reales
1 , . . . ,n y los correspondientes vectores propios v1 , . . . , vn .
(a) Demuestre que si los valores propios son distintos (i /=j para i /= j), entonces vi /= vj
para
i /= j.
(b) Demuestre que los vectores propios forman una base para Rn de modo que
cualquier vector x puede escribirse como x =i vi parai ∈ R.
130
CAPÍTULO 4. COMPORTAMIENTO
DINÁMICO
(c) Sea T =v 1
v2 . . .
vn y demuestre que T−1 AT es una matriz
diagonal de la forma (4.8).
(d) Demuestre que si algunos de losi son números complejos, entonces A puede
escribirse como
1
..
A=
0
0
donde
.
i
= ∈R
o
i
=
.
−
k
en un conjunto adecuado de coordenadas.
Esta forma de la dinámica de un sistema lineal suele denominarse forma modal.
4.15 (Péndulo Furuta) El péndulo Furuta, un péndulo invertido sobre un brazo
giratorio, se muestra a la izquierda en la figura siguiente.
1
m
z
l
x
y
r
Án
0.5
gul
o
0
del
pé -0.5
nd
ulo -1
0

5
10
15
Velocidad angular
20
Consideremos la situación en la que el brazo del péndulo gira con velocidad
constante. El sistema tiene múltiples puntos de equilibrio que dependen de la
velocidad angular , como se muestra en el diagrama de bifurcación de la derecha.
Las ecuaciones de movimiento del sistema vienen dadas por
Jp  - J p02   - mp gl  = 0,
donde Jp es el momento de inercia del péndulo con respecto a su pivote, mp es la
masa del péndulo, l es la distancia entre el pivote y el centro de masa del péndulo
y0 es la velocidad de rotación del brazo.
(a) Determine los equilibrios del sistema y la(s) condición(es) de estabilidad de
cada punto de equilibrio (en términos de0 ).
(b) Considere la velocidad angular como un parámetro de bifurcación y
verifique el diagrama de bifurcación dado anteriormente. Este es un ejemplo de
bifurcación en horquilla.
4.16 (Criterio de Routh-Hurwitz) Considere una ecuación diferencial lineal con
el polinomio característico
(s) = s2 + a1 s + a2 , (s) = s3 + a1 s2 + a2 s + a3 .
Demuestre que el sistema es asintóticamente estable si y sólo si todos los
coeficientes ai son positivos y si a1 a2 > a3 . Éste es un caso especial de un
conjunto de criterios más general conocido como el criterio de Routh-Hurwitz.
Capítulo 5
Sistemas lineales
Pocos elementos físicos presentan características verdaderamente lineales. Por ejemplo, la
relación entre la fuerza en un muelle y el desplazamiento del muelle es siempre no lineal en
cierto grado. La relación entre la corriente que pasa por una resistencia y la caída de
tensión a través de ella también se desvía de una relación rectilínea. Sin embargo, si en
cada caso la relación es razonablemente lineal, se encontrará que el comportamiento del
sistema será muy cercano al que se obtiene suponiendo un elemento físico ideal y lineal, y
la simplificación analítica es tan enorme que hacemos suposiciones lineales siempre que
podemos hacerlo en conciencia.
Robert H. Cannon, Dynamics of Physical Systems, 1967 [Can03].
En los capítulos 2-4 hemos considerado la construcción y el análisis de
modelos de ecuaciones diferenciales para sistemas dinámicos. En este capítulo
especializamos nuestros resultados al caso de sistemas lineales de entrada/salida
invariables en el tiempo. Dos conceptos centrales son el exponencial matricial y
la ecuación de convolución, mediante los cuales podemos caracterizar
completamente el comportamiento de un sistema lineal. También describimos
algunas propiedades de la respuesta de entrada/salida y mostramos cómo
aproximar un sistema no lineal por uno lineal.
5.1 Definiciones básicas
Hemos visto varios casos de ecuaciones diferenciales lineales en los ejemplos de
los capítulos anteriores, incluyendo el sistema muelle-masa (oscilador
amortiguado) y el amplificador operacional en presencia de pequeñas señales de
entrada (no saturadas). En general, muchos sistemas dinámicos pueden
modelarse con precisión mediante ecuaciones diferenciales lineales. Los
circuitos eléctricos son un ejemplo de una amplia clase de sistemas para los que
se pueden utilizar eficazmente modelos lineales. Los modelos lineales también
son ampliamente aplicables en ingeniería mecánica, por ejemplo, como modelos
de pequeñas desviaciones de los equilibrios en mecánica de sólidos y fluidos.
Los sistemas de procesamiento de señales, incluidos los filtros digitales del tipo
utilizado en los reproductores de CD y MP3, son otra fuente de buenos ejemplos,
aunque a menudo se modelan mejor en tiempo discreto (como se describe con
más detalle en los ejercicios).
En muchos casos, creamos sistemas con una respuesta lineal de entrada/salida
mediante el uso de la retroalimentación. De hecho, fue el deseo de un
comportamiento lineal lo que llevó a Harold
S. Black a la invención del amplificador de retroalimentación negativa. Casi
todos los sistemas modernos de procesamiento de señales, ya sean analógicos o
digitales, utilizan la retroalimentación para producir características de
entrada/salida lineales o casi lineales. Para estos sistemas, a menudo es útil
representar las características de entrada/salida como lineales, ignorando los
detalles internos necesarios para obtener esa respuesta lineal.
132
CAPÍTULO 5. SISTEMAS
LINEALES
Para otros sistemas, las no linealidades no pueden ser ignoradas,
especialmente si uno se preocupa por el comportamiento global del sistema. El
problema depredador-presa es un ejemplo de ello: para captar el comportamiento
oscilatorio de las poblaciones interdependientes debemos incluir los términos de
acoplamiento no lineal. Otros ejemplos son el comportamiento cambiante y la
generación de movimientos periódicos para la locomoción. Sin embargo, si nos
preocupamos por lo que ocurre cerca de un punto de equilibrio, a menudo basta
con aproximar la dinámica no lineal mediante su linealización local, como ya
exploramos brevemente en la sección 4.3. La linealización es esencialmente una
aproximación de la dinámica no lineal alrededor del punto de funcionamiento
deseado.
Linealidad
A continuación, procedemos a definir la linealidad de los sistemas de
entrada/salida de manera más formal. Consideremos un sistema de espacio de
estados de la forma
dx
dt
= f (x, u),
y = h(x, u),
(5.1)
donde x R
∈ n , u Rp∈e y Rq . Al∈igual que en los capítulos anteriores, normalmente
nos limitaremos al caso de una sola entrada y una sola salida tomando p = q =
1. También suponemos que todas las funciones son suaves y que para una clase
razonable de entradas (por ejemplo, funciones continuas a trozos del tiempo) las
soluciones de la ecuación (5.1) existen para todo el tiempo.
Será conveniente suponer que el origen x = 0, u = 0 es un punto de
equilibrio para este sistema (x˙ = 0) y que h(0, 0) = 0. De hecho, podemos
hacerlo sin pérdida de generalidad. Para ver esto,/supongamos que (xe , ue ) =
(0, 0) es un punto de equilibrio del sistema con salida ye = h(xe , ue ). Entonces
podemos definir un nuevo conjunto de estados, entradas y salidas,
x˜ = x - xe ,
u˜ = u - ue ,
y˜ = y - ye ,
y reescribir las ecuaciones de movimiento en términos de estas variables:
d
x˜ = f (x˜+ xe , u˜ + ue ) =: f˜(x˜,
u˜), dt
y˜ = h(x˜+ xe , u˜ + ue ) - ye =: h̃(x,̃ u˜).
En el nuevo conjunto de variables, el origen es un punto de equilibrio con salida
0, y por tanto podemos realizar nuestro análisis en este conjunto de variables.
Una vez que hemos obtenido nuestras respuestas en este nuevo conjunto de
variables, simplemente las "traducimos" de nuevo a las coordenadas originales
utilizando x = x˜+ xe , u = u˜ + ue e y = y˜+ ye .
Volviendo a las ecuaciones originales (5.1), suponiendo ahora sin pérdida de genSi el origen es el punto de equilibrio de interés, escribimos la salida y(t)
correspondiente a la condición inicial x(0) = x0 y la entrada u(t) como y(t; x0 ,
u). Utilizando esta notación, se dice que un sistema es un sistema lineal de
entrada/salida si
133
5.1. DEFINICIONES
BÁSICAS
Ho
m 2
og
én 0
eo
-2
0
2
Pa
rti 0
cul
are -2
0
s
2
Co
m 0
ple
ta -2
0
Entrad
au
Estado x1 ,
x2
2
Salida y
2
0
20
20
40
40
20
40
Tiemp [sec]
ot
60
60
60
-2
0
0
20
40
60
-2
0
20
40
60
0
20
40
60
0
20
40
Tiemp [sec]
ot
60
2
2
0
0
-2
0
20
40
60
-2
2
2
0
0
-2
0
20
40
Tiemp [sec]
ot
60
-2
Figura 5.1: Superposición de soluciones homogéneas y particulares. La primera fila
muestra la entrada, el estado y la salida correspondientes a la respuesta de la condición
inicial. La segunda fila muestra las mismas variables correspondientes a una condición
inicial nula pero una entrada distinta de cero. La tercera fila es la solución completa, que es
la suma de las dos soluciones particulares.
se cumplen las condiciones:
(i) y(t; x1 + x2 , 0) = y(t; x1 , 0) + y(t; x2 , 0),
(ii) y(t; x0 , u) = y(t; x0 , 0) + y(t; 0, u),
(5.2)
(iii) y(t; 0, u1 + u2 ) = y(t; 0, u1 ) + y(t; 0, u2 ).
Así, definimos que un sistema es lineal si las salidas son conjuntamente lineales
en la respuesta de la condición inicial (u = 0) y la respuesta forzada (x(0) = 0).
La propiedad (iii) es una declaración del principio de superposición: la respuesta
de un sistema lineal a la suma de dos entradas u1 y u2 es la suma de las salidas y1
e y2 correspondientes a las entradas individuales.
La forma general de un sistema de espacio de estados lineal es
dx
(5.3)
= Ax + Bu,
y = Cx + Du,
dt
donde A R
D Rq×p . En el caso
∈n×n , B Rn×p∈, C Rq×n y ∈
∈ especial de un sistema de una
sola entrada y una sola salida, B es un vector columna, C es un vector fila y D es
escalar. La ecuación (5.3) es un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de
primer orden con la entrada u, el estado x y la salida y. Es fácil demostrar que,
dadas las soluciones x1 (t) y x2 (t) para este conjunto de ecuaciones, éstas
satisfacen las condiciones de linealidad.
Definimos xh (t) como la solución con entrada cero (la solución homogénea)
y la solución xp (t) como la solución con condición inicial cero (una solución
particular). La figura 5.1 ilustra cómo estas dos soluciones particulares pueden
ser super
impuestas para formar la solución completa.
134
CAPÍTULO 5. SISTEMAS
LINEALES
También es posible demostrar que si un sistema dinámico de dimensión finita
es lineal de entrada/salida en el sentido que hemos descrito, siempre puede
representarse mediante una ecuación del espacio de estados de la forma (5.3) a
través de una elección adecuada de las variables de estado. En la sección 5.2
daremos una solución explícita de la ecuación (5.3), pero ilustramos la forma
básica mediante un ejemplo sencillo.
Ejemplo 5.1 Sistema escalar
Consideremos la ecuación diferencial de primer orden
dx
= ax + u,
y = x,
dt
con x(0) = x0 . Sea u1 = A 1 t y u2 = B 2 t. La solución homogénea es xh
(t) = eat x0 , y dos soluciones particulares con x(0) = 0 son
en
+1 1 t + a 1 t a2
,
+2 1
aeat
a 2 t +2 2 t
xp2 (t) =
.
B
a2 + 22
Supongamos que ahora elegimos x(0) = x0 y u = u1 + u2 . Entonces la solución
resultantees la suma ponderada de las soluciones individuales:
Ba
A1
x(t) = eat (x0 + +
xp1 (t) = -A
-1e
a2 + 12
a2 + 22
(5.4)
-a 2 t +2 2 t
1 1 t + a 1 t
-A
+B
.
a2 + 21
a2 + 22
Para ver esto, sustituya la ecuación (5.4) en la ecuación diferencial. Así, se
satisfacen las propiedades de un sistema lineal.
Invarianza temporal
La invariancia temporal es un concepto importante que se utiliza para describir
un sistema cuyas propiedades no cambian con el tiempo. Más concretamente,
para un sistema invariante en el tiempo, si la entrada u(t) da la salida y(t),
entonces si desplazamos el momento en que la entrada
se aplica una cantidad constante a, u(t + a) da la salida y(t + a). Sistemas
que son lineales e invariables en el tiempo, a menudo llamados sistemas LTI, tienen la
interesante
propiedad de que su respuesta a una entrada arbitraria está completamente
caracterizada por su respuesta a entradas escalonadas o su respuesta a "impulsos"
cortos.
Para explorar las consecuencias de la invariancia temporal, primero
calculamos la respuesta a una entrada constante a trozos. Supongamos que el
sistema está inicialmente en reposo y consideremos la entrada constante a trozos
que se muestra en la Figura 5.2a. La entrada tiene saltos en
tiempos tk , y sus valores después de los saltos son u(tk ). La entrada puede verse
como una combinación de pasos: el primer paso en el tiempo t0 tiene una
amplitud u(t0 ), el segundo paso
- en el tiempo t1 tiene una amplitud u(t1 ) u(t0 ),
etc.
Suponiendo que el sistema se encuentra inicialmente en un punto de equilibrio (por lo que
el
respuesta de la condición es cero), la respuesta a la entrada se puede obtener por superim-
135
5.1. DEFINICIONES
BÁSICAS
1
1
0.8
En 0.6
tra
da 0.4
(u)
0.2
0
0
u(t0
)
2
0.5
Sa
lid
a
(y)
u(t1 )-u(t0
)
u(t1 )
0
-0.5
4
Tiempo (s)
6
8
0
(a) Entrada constante a trozos
Pasos
completo
s
5
10
Tiempo (s)
15
(b) Respuesta de salida
Figura 5.2: Respuesta a entradas constantes a trozos. Una señal constante a trozos puede
representarse como una suma de señales escalonadas (a), y la salida resultante es la suma
de las salidas individuales (b).
planteando las respuestas a una combinación de entradas de escalón. Sea H(t) la
respuesta a un escalón unitario aplicado en el tiempo 0. La respuesta al primer
escalón es entonces H(t - t0 )u(t0 ),
la respuesta al segundo paso es H(t
t1 u(t ) - u(t
1
0
y encontramos que el
)
)
la respuesta completa viene dada por
y(t) = H(t
t0 )u(t0 ) + H(t t1 ) u(t )1 - u(t0 )- + = H(t - t0 ) - H(t - t1- )- -u(t0 ) + H(t - t1 ) - H(t - t2 ) u(t1 ) + - tn<
= t H(t - tn ) - H(t - tn+1 ) u(tn )
tn<
n=0 t H(t - tn ) - H(t - tn+1 )
=
n=0
u(tn ) tn+1 - tn .
tn+1 - tn
En la figura 5.2b se muestra un ejemplo de este cálculo.
La respuesta a una señal de entrada continua se obtiene tomando el límite como
tn+1 - tn → 0, lo que da
(y )t
=
-t
0
H′(t - u) ( )
,
(5.5)
donde H′ es la derivada de la respuesta al escalón, también llamada respuesta al
impulso. La respuesta de un sistema lineal invariable en el tiempo a cualquier
entrada puede ser calculada a partir de la respuesta al escalón. Observe que la
salida depende sólo de la entrada, ya que asumimos que el sistema estaba
inicialmente en reposo, x(0) = 0. Derivaremos la ecuación (5.5) de una manera
ligeramente diferente en la Sección 5.3.
136
CAPÍTULO 5. SISTEMAS
LINEALES
5.2 La Matriz Exponencial
La ecuación (5.5) muestra que la salida de un sistema lineal puede escribirse
como una integral sobre las entradas u(t). En esta sección y en la siguiente
derivamos una versión más general de esta fórmula, que incluye condiciones
iniciales no nulas. Comenzamos explorando la respuesta de la condición inicial
utilizando la matriz exponencial.
Condición inicial Respuesta
Aunque hemos demostrado que la solución de un conjunto lineal de ecuaciones
diferenciales define un sistema lineal de entrada/salida, no hemos calculado
completamente la solución del sistema. Comenzamos considerando la respuesta
homogénea correspondiente al sistema
dx
= Ax.
(5.6)
dt
Para la ecuación diferencial
escalar
dx
= ax,
x ∈ R, a ∈ R,
dt
la solución viene dada por la exponencial
x(t) = eat x(0).
Queremos generalizar esto al caso vectorial, donde A se convierte en una matriz.
Definimos la exponencial matricial como la serie infinita
12
1 3
X
k
1
(5.7)
¡e = I + X + X +
X+ ---=  X ,
2
3! ¡
!
k=0
donde X ∈ Rn×n es una matriz cuadrada e I es la×matriz de identidad nn.
Utilizamos la notación
X0 = I,
X2 = XX ,
X n = X n− 1 X ,
que define lo que entendemos por "potencia" de una matriz. La ecuación (5.7) es
fácil de recordar ya que no es más que la serie de Taylor para la exponencial
escalar, aplicada a la matriz X . Se puede demostrar que la serie en la ecuación
(5.7) converge para cualquier matriz X ∈ Rn×n de la misma manera que la
exponencial normal se define para cualquier escalar a ∈ R.
Sustituyendo X en la ecuación (5.7) por At, donde t ∈ R, encontramos que
1 22
1 33
En
kk
1
e ¡= I + At + A t +
At+ ---=  At,
2
3! ¡
!
k=0
y diferenciando esta expresión con respecto a t se obtiene
d En
1 32
2
kk
En
e = A + A t + A + - - - = ¡A 1 A t = Ae .
dt
!
2
k=0
t
(5.8)
137
5.2. LA MATRIZ EXPONENCIAL
Multiplicando por x(0) desde la derecha, encontramos que x(t) = eAt x(0) es la
solución de la ecuación diferencial (5.6) con condición inicial x(0). Resumimos
este importante resultado como una proposición.
Proposición 5.1. La solución del sistema homogéneo de ecuaciones
diferenciales (5.6) viene dada por
x(t) = eAt x(0).
Obsérvese que la forma de la solución es exactamente la misma que para las
ecuaciones escalares, pero debemos poner el vector x(0) a la derecha de la
matriz eAt .
La forma de la solución nos permite ver inmediatamente que la solución es lineal
in the initial condition. In particular, if xh1(t) is the solution to equation (5.6) with
initial condition x(0) = x01 and xh2(t) with initial condition x(0) = x02, then the
solution with initial condition x(0) = x01 +  x02 is given by
x(t) = eAt x01 + x02 = eAt x01 + eAt x02 ) = xh1 (t) + xh2 (t).
Del mismo modo, vemos que la salida correspondiente viene dada por
y(t) = Cx(t) = yh1 (t) + yh2 (t),
donde yh1 (t) e yh2 (t) son las salidas correspondientes a xh1 (t) y xh2 (t).
Ilustramos el cálculo de la matriz exponencial con dos ejemplos.
Ejemplo 5.2 Integrador doble
Un sistema lineal muy sencillo que resulta útil para entender los conceptos
básicos es el sistema de segundo orden dado por
q¨ = u,
y = q.
Este sistema se llama integrador doble porque la entrada u se integra dos veces para
determinar la salida y.
En forma de espacio de estados, escribimos x = (q, q˙) y
dx 01
= x+
u.
00
1
dt 0
La matriz dinámica de un integrador doble es
1
0
A=
,0
y encontramos por cálculo directo que A2 = 0 y por lo tanto
1
t
eAt =
.
01
Así, la solución homogénea (u = 0) para el integrador doble viene dada por
1
t x1 (0) x1 (0) + 0
(tx
2
x(t) =
=
),
)
0 1x2 (0
x2 (0)
y(t) = x1 (0) + tx2 (0).
138
CAPÍTULO 5. SISTEMAS
LINEALES
Ejemplo 5.3 Oscilador no amortiguado
Un modelo sencillo para un oscilador, como el sistema muelle-masa con
amortiguación cero, es
q¨ +2 q0 = u.
Poniendo el sistema en forma de espacio de estados, la matriz dinámica de este
sistema puede escribirse como
0
 0
0
0
A=
y
eAt =
t.
-sin t0
0 t
0
Esta expresión para eAt puede verificarse por
0
diferenciación:
d
−  0
0 0
eAt = 0
t
dt
0 − 0
0 − 0
0
0 t
0  0
=
= AeAt .
-0
-sin
t

t
0
0
0
0 t
La solución viene dada
x(t) entonces
= eAtx(0) =
por
0 t x1 (0)
.
−  t
Si el sistema tiene amortiguación,
t x (0)0
q¨ + 0 q˙ +2 q0 = u,
0
2
la solución es más complicada, pero se puede demostrar que la matriz exponencial es
eidt - e-idt
eidt − e-idt
eidt
+
e-idt
+
2
2j 2 - 1
2j 2 - 1
e-0 t
,
e-idt - eidt
e-idt - eidt
eidt
+
e-idt
+
2
2j 2 - 1
2j 2 - 1
j
j
- ser reales o complejos, pero las
donded =0 2 1 . Nótese qued y 2 1 pueden
combinaciones de términos siempre darán
- un valor real a las entradas de la
matriz exponencial.
Una clase importante de sistemas lineales son los que pueden convertirse en
forma diagonal. Supongamos que nos dan un sistema
dx
= Ax
dt
tal que todos los valores propios de A son distintos. Se puede demostrar
(Ejercicio 4.14) que podemos encontrar una matriz invertible T tal que TAT−1 sea
diagonal. Si elegimos un conjunto de coordenadas z = Tx, entonces en las
nuevas coordenadas la dinámica se convierte en
dz
dx
= T = TAx = TAT−1 z.
dt
dt
Por construcción de T , este sistema será diagonal.
139
5.2. LA MATRIZ EXPONENCIAL
Consideremos ahora una matriz diagonal A y la correspondiente potencia k de
At, que también es diagonal:
ktk
0
1
k=
2
A
=
..
,
.
0
(
At)
0
1
ktk
2
,
.
kt
0
n
..
n
De la expansión de la serie se deduce que la exponencial de la matriz viene dada por

0

eAt =
..
0
.
.
e nt
Se puede hacer una expansión similar en el caso de que los valores propios sean
complejos, utilizando una matriz diagonal de bloques, de forma similar a lo que
se hizo en la sección 4.3.
Formulario de Jordania
�
Algunas matrices con valores propios iguales no pueden transformarse a la forma
diagonal. Sin embargo, pueden transformarse a una forma estrechamente
relacionada, llamada forma de Jordan, en la que la matriz dinámica tiene los
valores propios a lo largo de la diagonal. Cuando hay valores propios iguales,
pueden aparecer 1's en la superdiagonal que indican que hay acoplamiento entre
los estados.
Más concretamente, definimos que una matriz está en forma de Jordan si se puede
escribir
como
1 0 . .. 0
J1 0 . . . 0
0
i
0 i
1
0
0 J2
0
0
0
.
.
.
.
.
.
.
. . ..
.. .
J= .
. , donde Ji = .
. . (5.9)
0 0
1
.
i
0 0 . Jk−1
0
0
0 ... 0 i
0 0 ... 0
Jk
Cada matriz Ji se denomina bloque de Jordan, yi para ese bloque corresponde a
un valor propio de J. Un bloque de Jordan de primer orden puede representarse
como un sistema que consiste en un integrador con retroalimentación. Un bloque
de Jordan de orden superior puede representarse como conexiones en serie de
tales sistemas, como se ilustra en la figura 5.3.
Teorema 5.2 (descomposición de Jordan). Cualquier
∈ matriz A Rn×n puede
transformarse en forma de Jordan con los valores propios de A determinandoi
en la forma de Jordan.
Prueba. Véase cualquier texto estándar sobre álgebra lineal, como el de Strang
[Str88]. El caso especial en el que los valores propios son distintos se examina en
el ejercicio 4.14.
Convertir una matriz en forma de Jordan puede ser complicado, aunque
MATLAB puede realizar esta conversión para matrices numéricas utilizando la
función jordan. La estructura de la forma de Jordan resultante es
especialmente interesante, ya que no hay
140
R
x1
R
CAPÍTULO 5. SISTEMAS
LINEALES
x2
1
x3
x
R
R
R
x2
x1
R
Figura 5.3: Representaciones de sistemas lineales donde las matrices dinámicas son
bloques de Jordan. Un bloque de Jordan de primer orden puede representarse como un
integrador con retroalimentación, como se muestra a la izquierda. Los bloques de Jordan
de segundo y tercer orden pueden representarse como conexiones en serie de integradores
con retroalimentación, como se muestra a la derecha.
requisito de que losi individuales sean únicos, y por lo tanto para un valor propio
dado podemos tener uno o más bloques de Jordan de diferentes tamaños.
Una vez que una matriz está en forma de Jordan, la exponencial de la matriz
puede calcularse en términos de los bloques de Jordan:
eJ 1 0
0 eJ 2
J
e=
.
0
.
...
...
0
.
.
.
0
0
eJ k .
.
(5.10)
Esto se deduce de la forma diagonal de los bloques de J. Los exponenciales de
los bloques de Jordan pueden escribirse a su vez como
1
0
eJit =
t
1
.
0...
¡2
!
t2
n-1
t
. . .¡(n-1)!
. ..
..
.
1
..
.
t
0
tn-2
¡(n-2)!
.
t
e it .
(5.11)
1
Cuando hay múltiples valores propios, los subespacios invariantes asociados
a cada valor propio corresponden a los bloques de Jordan de la matriz A. Nótese
que puede ser compleja, en cuyo caso la transformación T que convierte una
matriz en forma Jor- dan también será compleja. Cuando tiene una componente
imaginaria no nula, las soluciones tendrán componentes oscilantes ya que
e(+i)t = et (coste + i sint).
Ahora podemos utilizar estos resultados para demostrar el Teorema 4.1, que
establece que el punto de equilibrio xe = 0 de un sistema lineal es asintóticamente
estable si y sólo si i < 0.
Prueba del teorema 4.1. Sea∈T Cn×n una matriz invertible que transforma A en
la forma de Jordan, J = TAT−1 . Usando las coordenadas z = Tx, podemos
escribir la solución z(t) como
z(t) = eJt z(0).
141
5.2. LA MATRIZ EXPONENCIAL
Dado que cualquier solución x(t) puede escribirse en términos de una solución
z(t) con z(0) = Tx(0), se deduce que es suficiente demostrar el teorema en las
coordenadas transformadas.
La solución z(t) puede escribirse en términos de los elementos de la matriz
expo- nencial. A partir de la ecuación (5.11) todos estos elementos decaen a cero
para z(0) arbitrario si y sólo si i < 0. Además, si cualquieri tiene parte real
positiva, entonces existe una condición inicial z(0) tal que la solución
correspondiente aumenta sin límite. Dado que podemos escalar esta condición
inicial para que sea arbitrariamente pequeña, resulta que
que el punto de equilibrio es inestable si cualquier valor propio tiene parte real positiva.
La existencia de una forma canónica nos permite demostrar muchas
propiedades de los sistemas lineales cambiando a un conjunto de coordenadas en
el que la matriz A está en forma de Jordan. Lo ilustramos en la siguiente
proposición, que sigue la misma línea que la prueba del teorema 4.1.
Proposición 5.3. Supongamos que el sistema
dx
= Ax
dt
no tiene valores propios con parte real estrictamente positiva y uno o más
valores propios con parte real cero. Entonces el sistema es estable si y sólo si los
bloques de Jordan que responden a cada valor propio con parte real cero son
bloques escalares (1 × 1).
Prueba. Véase el ejercicio 5.6b.
El siguiente ejemplo ilustra el uso de la forma Jordan.
Ejemplo 5.4 Modelo lineal de un avión de empuje vectorial
Consideremos la dinámica de un avión de empuje vectorial como el descrito en
el ejemplo 2.9. Supongamos que elegimos u1 = u2 = 0 para que la dinámica del
sistema
convertirse en
=
z4
dz
z5
z6
,
(5.12)
c
-g sin z3 - m z4
dt
g(cos z3 - 1)0- c z5m
donde z = (x, y, , x˙, y˙, ˙). Los puntos de equilibrio del sistema se obtienen fijando
las velocidades x˙, y˙ y ˙ en cero y eligiendo las restantes variables para satisfacer
-g sin z3,e = 0
g(cos z3,e - 1) = 0
=⇒
z3,e =e
= 0.
Esto corresponde a la orientación vertical de la aeronave. Obsérvese que no se
especifican xe ni ye . Esto se debe a que podemos trasladar el sistema a una nueva
posición (vertical) y seguir obteniendo un punto de equilibrio.
142
CAPÍTULO 5. SISTEMAS
LINEALES
(a) Modo 1
(b) Modo 2
Figura 5.4: Modos de vibración de un sistema formado por dos masas conectadas por
muelles. En (a) las masas se mueven a la izquierda y a la derecha de forma sincronizada en
(b) se mueven hacia o contra la otra.
Para calcular la estabilidad del punto de equilibrio, calculamos la
linealización mediante la ecuación (4.11):
0
0
1
0
0 0 0
0
0 0
0
1
=
0
1.
F
0
0
0
0
0
0
A1=
1ze
0 -g -c/m
0
z
- c/m 0
00
0
0
00
0
0
0
0
Los valores propios del sistema pueden calcularse como
(A) = {0, 0, 0, 0, -c/m, -c/m}.
Vemos que el sistema linealizado no es asintóticamente estable ya que no todos los
valores propios tienen parte real estrictamente negativa.
Para determinar si el sistema es estable en el sentido de Lyapunov, debemos
hacer uso de la forma de Jordan. Se puede demostrar que la forma de Jordan de A
viene dada por
0
0
000
0
0 010
0
0
J=
.
0 001
0
0
0 000
0
0
0 000
0
-c/m
Como el segundo bloque de
Jordan
tiene
el
valor
propio 0 y no es un valor
0 000
0
-c/m
propio simple, la linealización es inestable.
Valores propios y modos
Los valores y vectores propios de un sistema proporcionan una descripción de
los tipos de comportamiento que puede presentar el sistema. En el caso de los
sistemas oscilantes, el término modo se utiliza a menudo para describir los
patrones de vibración que pueden producirse. La figura 5.4 ilustra los modos de
un sistema formado por dos masas conectadas por muelles. Un patrón es cuando
ambas masas oscilan al unísono a la izquierda y a la derecha, y otro es cuando las
masas se acercan y se alejan la una de la otra.
La respuesta en condiciones iniciales de un sistema lineal puede escribirse en
términos de una matriz exponencial que involucra a la matriz dinámica A. Las
propiedades de la matriz A
143
5.2. LA MATRIZ EXPONENCIAL
1
1
0.5
x2
0
x1
x2
Modo lento
x1 ,
0.5
x2
0
0
Ráp
ido
10
20
30
40
50
20
30
Tiempo t
40
50
1
-0.5
Lent
-1 o
-0.5
-1
Modo rápido
x1 , 0.5
x2
0
0
x1
0.5
1
0
10
Figura 5.5: La noción de modos para un sistema de segundo orden con valores propios
reales. La figura de la izquierda muestra el retrato de fase y los modos correspondientes a
las soluciones que comienzan en los vectores propios (líneas en negrita). A la derecha se
muestran las funciones temporales correspondientes.
por lo tanto, determinan el comportamiento resultante del sistema. Dada
∈ una
matriz A Rn×n , recordemos que v es un vector propio de A con valor propio si
Av = .
En general y v pueden ser de valor complejo, aunque si A es de valor real,
entonces para cualquier valor propio su conjugado complejo ∗ también será un
valor propio (con v∗ como el correspondiente vector propio).
Supongamos en primer lugar que y v son un par de valores propios/vectores
propios de A. Si observamos la solución de la ecuación diferencial para x(0) = v,
se deduce de la definición de la matriz exponencial que
eAt v = I + At
+
2 2
1 A t + - - - v = v + tv
2+
2t2
t
2 v + - - - = e v.
La solución se encuentra, pues, en el subespacio abarcado por el vector propio. El valor
propio
describe cómo varía la solución en el tiempo, y esta solución suele llamarse
modo del sistema. (En la literatura, el término "modo" también se utiliza a
menudo para referirse al valor propio en lugar de a la solución).
Si observamos los elementos individuales de los vectores x y v, resulta que
xi (t)
xj (t)
=
et vi
 tv
j
=
vi
vj
,
y, por tanto, las relaciones de los componentes del estado x son constantes para
un modo (real). Por tanto, el vector propio da la "forma" de la solución y también
se denomina forma del modo del sistema. La figura 5.5 ilustra los modos de un
sistema de segundo orden compuesto por un modo rápido y un modo lento.
Observe que las variables de estado tienen el mismo signo para el modo lento y
signos diferentes para el modo rápido.
La situación es más complicada cuando los valores propios de A son
complejos. Como A tiene elementos reales, los valores propios y los vectores
propios son complejos con-
144
CAPÍTULO 5. SISTEMAS
LINEALES
jugates = ±  y v = u ± iw, lo que implica que
v + v∗
v - v∗
,
w=
.
2
2i
Making use of the matrix exponential, we have
u=
eAt v = et (u + iw) = et (u coste - w sint) + i(u sint + w coste) ,
de lo que se deduce que
1
t
eAt u = eAt v + eAt v∗ = uet costwe
sint,
2
1
eAt w = eAt
veAt- v∗ = uet sint + wet cost.
2i
Una solución con condiciones iniciales en el subespacio abarcado por la parte
real u y la parte imaginaria w del vector propio permanecerá por tanto en ese
subespacio. La solución será una espiral logarítmica caracterizada por y .
Volvemos a llamar a la solución correspondiente a un modo del sistema, y v a la
forma del modo.
Si una matriz A tiene n valores propios distintos1 , . . . ,n , entonces la
respuesta de la condición inicial puede escribirse como una combinación lineal
de los modos. Para ver esto, supongamos para simplificar que tenemos todos los
valores propios reales con los correspondientes valores propios unitarios.
tores v1 , . . . , vn . A partir del álgebra lineal, estos vectores propios son
linealmente independientes, y podemos escribir la condición inicial x(0) como
x(0) =1 v1 +2 v2 + - - +n vn .
Utilizando la linealidad, la respuesta de la condición inicial puede escribirse como
x(t) =1 e 1tv1 +2 e 2tv2 + - - +n e ntvn .
Así, la respuesta es una combinación lineal de los modos del sistema, con la
amplitud de los modos individuales creciendo o decayendo como e it . El caso de
los valores propios complejos distintos es similar (el caso de los valores propios no
distintos es más sutil y requiere el uso de la forma de Jordan discutida en la
sección anterior).
Ejemplo 5.5 Sistema acoplado muelle-masa
Consideremos el sistema muelle-masa mostrado en la figura 5.4, pero con la
adición de amortiguadores en cada masa. Las ecuaciones de movimiento del
sistema son
mq¨1 = -2kq1 - cq˙1 + kq2 ,
mq¨2 = kq1 - 2kq2 - cq˙2 .
En forma de espacio de estados, definimos el estado como x = (q1 , q2 , q˙1 , q˙2 ), y
podemos reescribir las ecuaciones como
dx
dt
k
=-
0
0
2
m
k
m
0
0
k
m
2
k
-m
1
0
-c
0
1
0
m
0
-m c
x.
145
5.3. RESPUESTA DE
ENTRADA/SALIDA
Ahora definimos una transformación z = Tx que pone este sistema en una forma más
simple. 1
1
Sea z1 = 2 (q1 + q2 ), z2 = z˙1 , z3 = 2 (q1 - q2 ) y z4 = z˙3 , de modo que
1 1
1 0 0
z = Tx =
2 1-1 0
0 0
0
1
0
1
x.
0
1 -1
En las nuevas coordenadas, la dinámica se convierte en
0
1
0
0
k
c
0
0
= -m -m
z,
dz
dt
0
0
0
1
c
3k -m
0
0
m
y vemos que el sistema está en forma de bloque diagonal (o modal).
En ≈
las coordenadas z, los estados z1 y z2 parametrizan un modo con valores
j
propios- ≈
c/(2m i k )m±(para /c pequeño), y los estados z y z otro
modo
3
4 con c/(2m) i
j
- la forma de
± la transformación T vemos que estos modos corresponden
3k/m. Por
exactamente a los modos de la figura 5.4, en los que q1 y
q2 se acercan o se oponen. Las partes real e imaginaria de los valores propios dan
las tasas de decaimiento y las frecuencias de cada modo.
5.3 Respuesta de entrada/salida
En la sección anterior vimos cómo calcular la respuesta de la condición inicial
utilizando la matriz exponencial. En esta sección derivamos la ecuación de
convolución, que incluye también las entradas y salidas.
La ecuación de convolución
Volvemos al caso general de entrada/salida en la ecuación (5.3), que se repite aquí:
dx
(5.13)
= Ax + Bu,
y = Cx + Du.
dt
Utilizando la matriz exponencial, la solución de la ecuación (5.13) puede
escribirse como sigue.
Teorema 5.4. La solución de la ecuación diferencial lineal (5.13) viene dada por
x(t) = eAt x(0)
+
- t
0
e B( )d.
A(t-)
(5.14)
Prueba. Para demostrarlo, diferenciamos ambos lados y utilizamos la propiedad
(5.8) de la exponencial matricial. Esto da
dx
t
AeA(t-) Bu() + Bu(t) = Ax + Bu,
E x(0)
n
dt
= Ae +
0
146
CAPÍTULO 5. SISTEMAS
LINEALES
1.5
u
1
1
y
0.5
0
0
2
4
6
Tiempo t
8
Respuestas al
impulso
Respuesta al
impulso
0.5
0
0
10
(a) Funciones de pulso e impulso
10
20
t
30
40
(b) Respuestas a impulsos y pulsos
Figura 5.6: Respuesta al pulso y respuesta al impulso. (a) Los rectángulos muestran pulsos
de anchura 5, 2,5 y 0,8, cada uno con un área total igual a 1. La flecha denota un impulso
(t) definido por la ecuación (5.17). Las respuestas al impulso correspondientes para un
sistema lineal con valores propios
= 0,08,
en (b) como líneas discontinuas. La línea continua es la
{- 0,62
- se muestran
}
verdadera respuesta al impulso, que se aproxima bien con un pulso de duración 0,8.
que demuestra el resultado. Obsérvese que el cálculo es esencialmente el mismo
que para demostrar el resultado de una ecuación de primer orden.
De las ecuaciones (5.13) y (5.14) se deduce que la relación entrada/salida de
un sistema lineal viene dada por
y(t) = CeAt x(0)
+
- t
( ) + Du(t).
A(t-)
Ce
0
(5.15)
B
Es fácil ver en esta ecuación que la salida es conjuntamente lineal tanto en las
condiciones iniciales como en la entrada, lo que se deduce de la linealidad de la
multiplicación de matrices/vectores y de la integración.
La ecuación (5.15) se denomina ecuación de convolución y representa la
forma general de la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales
acopladas. Vemos inmediatamente que la dinámica del sistema, caracterizada por
la matriz A, juega un papel crítico tanto en la estabilidad como en el rendimiento
del sistema. De hecho, la matriz exponencial describe tanto lo que ocurre cuando
perturbamos la condición inicial como la forma en que el sistema responde a las
entradas.
� Otra interpretación de la ecuación de convolución puede darse utilizando el
concepto de respuesta al impulso de un sistema. Consideremos la aplicación de
una señal de entrada u(t) dada por la siguiente ecuación:
u(t) = p (t) =
0
0
0
t<
1/
0≤t
t≥.
(5.16)
Esta señal es un impulso de duración y amplitud 1/, como se ilustra en la figura
5.6a. Definimos un impulso (t) como el límite de esta señal como → 0:
(t) = lim p (t).
→0
(5.17)
147
5.3. RESPUESTA DE
ENTRADA/SALIDA
Esta señal, a veces llamada función delta, no es físicamente realizable, pero
proporciona una abstracción conveniente para entender la respuesta de un
sistema. Tenga en cuenta- tque la- tintegral de un impulso- es
t 1:

lim p t 
lim
t
p
=
()
= 0
(
 ( )
→0 0
0 → 
0
−
)
= lim 0 1/  = 1
t>
→0
0.
En particular, la integral de un impulso sobre un periodo de tiempo arbitrariamente
corto es idéntica a 1.
Definimos la respuesta al impulso de un sistema h(t) como la salida
correspondiente a tener un impulso como entrada:
h(t) =
- t
0
CeA(t-)
() 
= CeAt
(5.18)
B,
donde la segunda igualdad se deduce del hecho de que (t) es cero en todas partes
excepto en el origen y su integral es idéntica a 1. Ahora podemos escribir la
ecuación de convolución en términos de la respuesta de la condición inicial, la
convolución del impulso
y la señal de entrada, y el término directo:
-t
ht
y(t ) Ce x( )
u
(5.19)
+ Du(t ).
0 ( - ) ( )
0=
+
Una interpretación de esta ecuación, explorada en el Ejercicio 5.2, es que la
respuesta del sistema lineal es la superposición de la respuesta a un conjunto
infinito de impulsos desplazados cuyas magnitudes están dadas por la entrada
u(t). Este es esencialmente el argumento utilizado en el análisis de la Figura 5.2 y
la derivación de la ecuación (5.5). Obsérvese que el
El segundo término de la ecuación (5.19) es idéntico al de la ecuación (5.5), y se
puede demostrar que la respuesta al impulso es formalmente equivalente a la
derivada de la respuesta al escalón.
El uso de pulsos como aproximaciones de la función de impulso también
proporciona un mecanismo para identificar la dinámica de un sistema a partir de
los datos. La figura 5.6b muestra las respuestas de los pulsos de un sistema para
diferentes anchos de pulso. Obsérvese que las respuestas de los pulsos se
aproximan a la respuesta al impulso a medida que la anchura del -pulso llega a
cero. Como regla general, si el valor propio más rápido de un sistema estable
≪
tiene parte realmax , entonces un pulso de longitud proporcionará una buena
estimación de la respuesta al impulso max
1. Obsérvese que para la figura 5.6, una anchura de pulso de = 1 s damax = 0,62
y la respuesta al pulso ya se acerca a la respuesta al impulso.
At
Invarianza de coordenadas
Los componentes del vector de entrada u y del vector de salida y vienen dados
por las entradas y salidas elegidas de un modelo, pero las variables de estado
dependen del marco de coordenadas elegido para representar el estado. Esta
elección de coordenadas afecta a los valores de las matrices A, B y C que se
utilizan en el modelo. (El término directo D no se ve afectado, ya que asigna las
entradas a las salidas).
148
CAPÍTULO 5. SISTEMAS
LINEALES
q1
q2
c
c
m
m
u(t) = sin t
k
k
k
Figura 5.7: Sistema de masa con muelles acoplados. Cada masa está conectada a dos
muelles con rigidez k y a un amortiguador viscoso con coeficiente de amortiguación c. La
masa de la derecha se acciona a través de un muelle conectado a un accesorio que varía
sinusoidalmente.
consecuencias del cambio de sistemas de coordenadas.
Introducir nuevas coordenadas z mediante la transformación z = Tx, donde T
es una matriz in- vertible. De la ecuación (5.3) se deduce que
dz
= T (Ax + Bu) = TAT−1 z + TBu =: Ãz+ B˜u,
dt
y = Cx + Du = CT−1 z + Du =: C˜z + Du.
El sistema transformado tiene la misma forma que la ecuación (5.3), pero las matrices A,
B
y C son diferentes:
A˜ = TAT−1 ,
C˜ = CT−1 .
B˜= TB,
(5.20)
A menudo hay elecciones especiales de sistemas de coordenadas que nos
permiten ver una propiedad particular del sistema, por lo que las
transformaciones de coordenadas pueden utilizarse para obtener una nueva
visión de la dinámica.
También podemos comparar la solución del sistema en coordenadas
transformadas con la de las coordenadas del estado original. Hacemos uso de una
importante propiedad del mapa exponencial,
-1
eTST = TeST -1,
lo que puede verificarse por sustitución en la definición de la matriz exponencial.
Utilizando esta propiedad, es fácil demostrar que
x(t) = T−1 z(t)
=
T−1 eA˜t Tx(0)
+
t
1
0
˜
A(t-)
˜T
e( ) d.
B
A partir de esta forma de la ecuación, vemos que si es posible transformar A en
una forma A˜ para la cual la exponencial matricial es fácil de calcular, podemos
utilizar ese cálculo para resolver la ecuación de convolución general para el
estado no transformado x mediante simples multiplicaciones matriciales. Esta
técnica se ilustra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 5.6 Sistema acoplado muelle-masa
Considere el sistema acoplado muelle-masa que se muestra en la figura 5.7. La
entrada a este sistema es el movimiento sinusoidal del extremo del muelle de la
derecha, y la salida
149
5.3. RESPUESTA DE
ENTRADA/SALIDA
es la posición de cada masa, q1 y q2 . Las ecuaciones del movimiento vienen dadas por
mq¨1 = -2kq1 - cq˙1 + kq2 ,
mq¨2 = kq1 - 2kq2 - cq˙2 + ku.
En forma de espacio de estados, definimos el estado como x = (q1 , q2 , q˙1 , q˙2 ),
y podemos reescribir las ecuaciones como
0
0
1
0
dx 02
x + 00 u.
k0
- c0
1
=k - 0
0
dt
m
m
m
2
k
c
mk
0 -m
k
m
-m
Se trata de un conjunto acoplado de cuatro ecuaciones diferenciales y es bastante
complicado de resolver en forma analítica.
La matriz de la dinámica es la misma que en el ejemplo 5.5, y podemos
utilizar la transformación coor- dinada definida allí para poner el sistema en
forma modal:
0
1
0
0
0
k
c
k
0
0
+
m
m
dz
2m
z
u.
0
0
0
1
0
dt =
0
0
k
-m c
3k 2
m
m resultantes son diagonales de bloque y,
Obsérvese que las ecuaciones matriciales
por tanto, están desacopladas. Podemos resolver las soluciones calculando las
soluciones de dos conjuntos de sistemas de segundo orden representados por los
estados (z1 , z2 ) y (z3 , z4 ). De hecho, la forma funcional de cada conjunto de
ecuaciones es idéntica a la de un único sistema muelle-masa. (La solución
explícita se deriva en la sección 6.3.)
Una vez que hayamos resuelto los dos conjuntos de ecuaciones de segundo
orden independientes, podemos recuperar la dinámica en las coordenadas
originales invirtiendo el trans- estado.
y escribiendo x = T−1 z. También podemos determinar la estabilidad del sistema
observando la estabilidad de los sistemas independientes de segundo orden.
Respuesta en estado estacionario
Dado un sistema lineal de entrada/salida
dx
(5.21)
= Ax + Bu,
y = Cx + Du,
dt
la forma general de la solución de la ecuación (5.21) viene dada por la ecuación
de convolución:
y(t) = CeAt x(0)
+
t
0
A(t-)
Ce
( ) + Du(t).
B
De la forma de esta ecuación se desprende que la solución consiste en una
respuesta de la condición inicial y una respuesta de entrada.
150
CAPÍTULO 5. SISTEMAS
LINEALES
0.1
1
En
tra 0
da
u
-1
0
Sa
lid
ay
20
40
60
Tiempo t [seg]
0
-0.1
80
Transitori
o
20
0
(a) Entrada
Estado
estable
40
60
Tiempo t [seg]
80
(b) Salida
Figura 5.8: Respuesta transitoria frente a la de estado estable. La entrada a un sistema
lineal se muestra en (a), y la salida correspondiente con x(0) = 0 se muestra en (b). La
señal de salida experimenta inicialmente un transitorio antes de estabilizarse en su
comportamiento de estado estacionario.
La respuesta de entrada, que corresponde a los dos últimos términos de la
ecuación anterior, consta de dos componentes: la respuesta transitoria y la
respuesta en estado estacionario. La respuesta transitoria se produce en el primer
periodo de tiempo tras la aplicación de la entrada y refleja el desajuste entre la
condición inicial y la solución en estado estacionario. La respuesta en estado
estacionario es la parte de la respuesta de salida que refleja el comportamiento a
largo plazo del sistema bajo las entradas dadas. Para las entradas periódicas, la
respuesta en estado estacionario suele ser periódica, y para las entradas
constantes, la respuesta suele ser constante. En la figura 5.8 se muestra un
ejemplo de respuesta transitoria y de estado estable para una entrada periódica.
Una forma particularmente común de entrada es la entrada escalonada, que
representa un cambio abrupto en la entrada de un valor a otro. Un escalón
unitario (a veces llamado función de escalón Heav- iside) se define como
f
0 t=0
u = S(t) =
1 t > 0.
La respuesta escalonada del sistema (5.21) se define como la salida y(t)
partiendo de una condición inicial cero (o del punto de equilibrio apropiado) y
dada una entrada escalonada. Observamos que la entrada escalonada es
discontinua y, por lo tanto, no se puede aplicar en la práctica.
mentable. Sin embargo, es una abstracción conveniente que se utiliza
ampliamente en el estudio de los sistemas de entrada/salida.
Podemos calcular la respuesta escalonada de un sistema lineal utilizando la
ecuación de convolución. Fijando x(0) = 0 y utilizando la definición de la
entrada escalonada anterior, tenemos
y(t) =
- t
A(t-)
Ce
0
B
-
=C
t
0
( ) + Du(t)
C
=
eA Bd + D = C A-1 e B
- t
0
eA(t-)Bd
=
+
=0
+D
D
= CA−1 eAt B -CA−1 B + D.
Si A tiene valores propios con parte real negativa (lo que implica que el origen es un
151
5.3. RESPUESTA DE
ENTRADA/SALIDA
2
1.5
Sa
lid
a
Sobregiro Mp
1
0.5
Tiempo de subida
Tr
0
0
5
10
Tiempo de
estabilización
Ts
15
Tiempo [seg]
Valor de estado estable yss
20
25
30
Figura 5.9: Muestra de la respuesta al escalón. El tiempo de subida, el rebasamiento, el
tiempo de estabilización y el valor de estado estacionario proporcionan las principales
propiedades de rendimiento de la señal.
punto de equilibrio en ausencia de cualquier entrada), entonces podemos reescribir la
solución como
y(t) = CA−1 eAt B + D -CA−1 B,
t > 0.
(5.22)
"- .. ,. ., "- .. .
,
tran s ient
stead y, -estado.
El primer término es la respuesta transitoria y decae a cero como
→ t . El segundo
término es la respuesta en estado estacionario y representa el valor de la salida
para un tiempo grande.
En la figura 5.9 se muestra un ejemplo de respuesta escalonada. Se utilizan
varios términos para referirse a una respuesta escalonada. El valor de estado
estable yss de una respuesta escalonada es el nivel final de la salida, suponiendo
que converge. El tiempo de subida Tr es el tiempo necesario para que la señal
pase del 10% de su valor final al 90% de su valor final. También es posible
definir otros límites, pero en este libro utilizaremos estos porcentajes a menos
que se indique lo contrario. El rebasamiento Mp es el porcentaje del valor final en
el que la señal sube inicialmente por encima del valor final. Normalmente se
asume que los valores futuros de la señal no sobrepasan el valor final en más de
este transitorio inicial, de lo contrario el término puede ser ambiguo. Por último,
el tiempo de estabilización Ts es la cantidad de tiempo necesaria para que la señal
se mantenga dentro del 2% de su valor final para todos los tiempos futuros. El
tiempo de estabilización también se define a veces como el alcance del 1% o el
5% del valor final (véase el ejercicio 5.7). En general, estas medidas de
rendimiento pueden depender de la amplitud del paso de entrada, pero para los
sistemas lineales las tres últimas cantidades definidas anteriormente son
independientes del tamaño del paso.
Ejemplo 5.7 Modelo de compartimentos
Consideremos el modelo de compartimentos ilustrado en la figura 5.10 y descrito
con más detalle en el apartado 3.6. Supongamos que se administra un fármaco
por infusión constante en el compartimento V1 y que el fármaco tiene su efecto
en el compartimento V2 . Para evaluar la rapidez con la que la concentración en
el compartimento alcanza el estado estacionario, calculamos la respuesta al
escalón, que se muestra en la Figura 5.10b. La respuesta escalonada es bastante
lenta, con un tiempo de estabilización de 39 minutos. Es posible obtener la
concentración en estado estacionario mucho más rápido teniendo una tasa de
inyección más rápida inicialmente, como se muestra en la Figura 5.10c. La
respuesta del sistema en este caso puede calcularse combinando dos escalones
152
CAPÍTULO 5. SISTEMAS
LINEALES
Co
2
nce
ntr
1
aci
ón 0
C2 0
u
b0
k1
V1
k0
V2
k2
20
40
Tiempo t [min]
Do 0.4
sis
de 0.2
ent
ra 0
0
da
20
Do 0.4
sis
de 0.2
ent
ra 0
0
da
(a) Esquema
40
Co
2
nce
ntr
1
aci
ón 0
C2 0
(b) Entrada de
pasos
20
40
20
40
Tiempo t [min]
(c) Entrada de pulsos
Figura 5.10: Respuesta de un modelo de compartimentos a una infusión constante de
fármacos. En (a) se muestra un diagrama simple del sistema. La respuesta escalonada (b)
muestra la velocidad de aumento de la concentración en el compartimento 2. En (c) se
utiliza un pulso de concentración inicial para acelerar la respuesta.
respuestas (Ejercicio 5.3).
Otra señal de entrada común a un sistema lineal es una sinusoide (o una
combinación de sinusoides). La respuesta en frecuencia de un sistema de
entrada/salida mide la forma en que el sistema responde a una excitación
sinusoidal en una de sus entradas. Como ya hemos visto para los sistemas
escalares, la solución particular asociada a una excitación sinusoidal es a su vez
una sinusoide a la misma frecuencia. Por tanto, podemos comparar la magnitud y
la fase de la sinusoide de salida con la de entrada. Más generalmente, si un
sistema tiene una respuesta de salida sinusoidal a la misma frecuencia que el
forzamiento de entrada, podemos hablar de la respuesta en frecuencia del
sistema.
Para ver esto con más detalle, debemos evaluar la ecuación de convolución
(5.15) para u = coste. Esto resulta ser un cálculo muy complicado, pero
podemos aprovechar el hecho de que el sistema es lineal para simplificar la
derivación. En particular, observamos
que
1
coste = eit + e−it .
2
Como el sistema es lineal, basta con calcular la respuesta del sistema a la entrada
compleja u(t) = est y podemos reconstruir la entrada en una sinusoide
promediando las respuestas correspondientes a s =  y s =
- i.
Aplicando la ecuación de convolución a la entrada u = est tenemos
y(t) = Ce x(0)
At
+
= CeAt x(0) +
Ce
- t
0
CeA(t-) 
+ Dest
t
En
0
e(sI-A) Bd + Dest .
Si suponemos que ninguno de los valores propios de A es igual a s = ±i, entonces la
153
5.3. RESPUESTA DE
ENTRADA/SALIDA
la matriz sI - A es invertible, y podemos escribir
1t
y(t) = CeAt x(0) + CeAt (sI - A)−1 e(sI−A) B 1 +
0
Dest
At
At
(sI-A)t
e
- I B + Dest
= Ce x(0) + Ce (sI A)−1
= CeAt x(0) + C(sI - A)−1 est B -CeAt (sI - A)−1 B + Dest ,
y obtenemos
y(t) = CeAt x(0) -(sI - A)−1 B + C(sI - A)−1 B + D est .
".. ,.
.. ,.
.,
., "tran s
(5.23)
stead y -estado
ient
Obsérvese que, una vez más, la solución consta de un componente transitorio y
un componente de estado estacionario. El componente transitorio decae a cero si
el sistema es asintóticamente estable y el componente de estado estacionario es
proporcional a la entrada (compleja) u = est .
Podemos simplificar un poco más la forma de la solución reescribiendo la fórmula
estacionaria
respuesta del estado como
yss(t) = Mei est = Me(st+i),
donde
Mei = C(sI - A)−1 B + D
(5.24)
y M y representan la magnitud y la fase del número complejo C(sI A)−1 B + D. Cuando s = i, decimos que M es la ganancia y es la fase del sistema a una
frecuencia de forzamiento dada . Utilizando la linealidad y combinando las
soluciones para s = -+i y s =i , podemos demostrar que si tenemos una entrada
u = Au sin(t +) y una salida y = Ay sin(t + ), entonces
gain() =
Ay
Au
= M,
fase() =
-
=.
La solución en estado estacionario para una sinusoide u = coste viene dada ahora por
yss (t) = M cos(t + ).
Si la fase es positiva, decimos que la salida adelanta a la entrada, en caso
contrario decimos que la retrasa.
En la Figura 5.11a se ilustra un ejemplo de respuesta sinusoidal. La línea
discontinua muestra la sinusoide de entrada, que tiene amplitud 1. La sinusoide
de salida se muestra como una línea sólida y tiene una amplitud diferente más
una fase desplazada. La ganancia es la relación de las amplitudes de las
sinusoides, que puede determinarse midiendo la altura de los picos. La fase se
determina comparando la relación del tiempo entre los cruces por cero de la
entrada y la salida con el periodo global de la
sinusoide
T
:
= -- .
T
154
CAPÍTULO 5. SISTEMAS
LINEALES
101
2
1
En
tra 0
da,
sal
ida -1
Ay
Entra
da
Salida
Ga 10-1
nar
Au
10-3
0
T
T
-2
0
5
10
Tiempo
[seg]
15
20
(a) Respuesta de entrada/salida
Fa
se -90
[d -180
eg
] -270
0.5
Frecuencia [rad/s]
5
(b) Respuesta en frecuencia
Figura 5.11: Respuesta de un sistema lineal a una sinusoide. (a) Una entrada sinusoidal de
magnitud Au (discontinua) da una salida sinusoidal de magnitud Ay (sólida), retrasada por T
segundos. (b) Respuesta en frecuencia, mostrando la ganancia y la fase. La ganancia viene
dada por la relación entre la amplitud de salida y la amplitud de entrada, M- = Ay/Au. El
retraso de fase viene dado por =  /T ; es negativo para el caso mostrado porque la
salida se retrasa respecto a la entrada.
Una forma conveniente de ver la respuesta en frecuencia es trazar cómo la
ganancia y la fase en la ecuación (5.24) dependen de (a través de s = i). La
figura 5.11b muestra un ejemplo de este tipo de representación.
Ejemplo 5.8 Filtro pasabanda activo
Considere el circuito de amplificadores operacionales mostrado en la Figura
5.12a. Podemos derivar la dinámica del sistema escribiendo las ecuaciones
nodales, que establecen que la suma de las corrientes en cualquier nodo debe
ser cero. Asumiendo que v− = v+ = 0, como lo hicimos en la Sección 3.3,
tenemos
v1 - v2
dv2
dv2
dv3
v3
0=
-C1 ,
0 = C1 + + C2 .
R1
dt
dt R2
dt
Si elegimos v2 y v3 como nuestros estados y utilizamos estas ecuaciones, obtenemos
dv2
v1 - v 2
=
,
dt
R1 C1
dv3
-v3 v1 - v2
=
.
dt
R2
R1 C2
C2
Reescribiendo esto en forma de espacio de estado lineal, obtenemos
11 1
1 R1 C1
01
=
1
dt
u,
y= 01
x,
x -1
-RC
dx
+
R C12
R2 C 2
R C 12
(5.25)
donde x = (v2 , v3 ), u = v1 e y = v3 .
La respuesta en frecuencia del sistema puede calcularse mediante la ecuación (5.24):
R1C1s
R2
Mej = C(sIA)-−1 B + D = ,
s = i.
R1 (1 + R1 C1 s)(1 + R2 C2 s)
La magnitud y la fase se representan en la Figura 5.12b para R1 = 100 , R2 = 5
 y C1 = C2 = 100 µF. Vemos que el circuito pasa por señales con frecuencias
155
5.3. RESPUESTA DE
ENTRADA/SALIDA
100
C2
Ga
nar
v2
R1
v1
C
1
R2
+
(a) Esquema del
circuito
v3
10-1
0
Fa -90
se
[d -180
eg -270
] -360
10−1
100
101
102
Frecuencia [rad/s]
103
(b) Respuesta en frecuencia
Figura 5.12: Filtro pasabanda activo. El diagrama del circuito (a) muestra un amplificador
óptico con dos filtros RC dispuestos para proporcionar un filtro pasa-banda. El gráfico en
(b) muestra la ganancia y la fase del filtro en función de la frecuencia. Observe que la fase
comienza en -90◦ debido a la ganancia negativa del amplificador operacional.
a unos 10 rad/s, pero atenúa las frecuencias inferiores a 5 rad/s y superiores a 50
rad/s. A 0,1 rad/s la señal de entrada se atenúa en×20 (0,05). Este tipo de circuito
se denomina filtro pasabanda, ya que atraviesa las señales en la banda de
frecuencias entre 5 y 50 rad/s.
Como en el caso de la respuesta escalonada, se definen una serie de
propiedades estándar para las respuestas en frecuencia. La ganancia de un
sistema a = 0 se denomina ganancia de frecuencia cero y corresponde a la
relación entre una entrada constante y la salida estable:
M0 = -CA−1 B + D.
La ganancia de frecuencia cero está bien definida sólo si A es invertible (y, en
particular, si no tiene valores propios en 0). También es importante señalar que la
ganancia de frecuencia cero es una cantidad relevante sólo cuando un sistema es
estable alrededor del punto de equilibrio correspondiente. Así, si aplicamos una
entrada constante u = r, entonces
la correspondiente
1
−
punto de equilibrio xe =
Un Br debe ser estable para poder hablar del cero
ganancia de frecuencia. (En ingeniería eléctrica, la ganancia de frecuencia cero suele
llamarse
la ganancia de CC. DC significa corriente continua y refleja la separación común
de las señales en ingeniería eléctrica en un término de corriente continua
(frecuencia cero) y un término de corriente alterna (AC)).
El ancho de bandab de un sistema es el √ rango de frecuencias en el que la ganancia tiene
disminuido en un factor no superior a 1/ 2 con respecto a su valor de referencia. Para los
sistemas
con ganancia de freq√uencia cero no nula, el ancho de banda es la frecuencia en la que
la ganancia ha disminuido en 1/ 2 desde la ganancia de frecuencia cero. Para los sistemas
que
atenúan las bajas frecuencias pero pasan las altas, la ganancia de referencia se
toma como la ganancia de alta frecuencia. Para un sistema como el filtro pasa
banda de
Ejemplo 5.8, el √anchodebandase define como el rango de frecuencias donde la ganancia es
mayor que 1/ 2 de la ganancia en el centro de la banda. (Para el ejemplo 5.8 esto sería
dan un ancho de banda de aproximadamente 50 rad/s).
156
CAPÍTULO 5. SISTEMAS
LINEALES
Fotod
iodo
Láser
Voladizo
Muestr
Generad
Accioa
or de
nami
x,y
z
barrido
ento
piezo
Controlad
Amplifica
Amplifica
eléctr
or ico
dor
dor
Referencia de desviación
(a) Diagrama de
bloques del AFM
101
Ga
nar 10-1
Mr 1
=r 1
Mr 2
=r 2
0
Fa
se
[d -90
eg
] -180
104
105
106
Frecuencia [rad/s]
107
(b) Respuesta en frecuencia
Figura 5.13: Respuesta en frecuencia del AFM. (a) Un diagrama de bloques para la
dinámica vertical de un microscopio de fuerza atómica en modo de contacto. El gráfico de
(b) muestra la ganancia y la fase de la pila piezoeléctrica. La respuesta contiene dos picos
de frecuencia en las resonancias del sistema, a lo largo de
con una antirresonancia a = 268 krad/s. La combinación de un pico resonante seguido de
una antirresonancia es habitual en los sistemas con múltiples modos ligeramente
amortiguados.
Otra propiedad importante de la respuesta en frecuencia es el pico de
resonancia Mr , el mayor valor de la respuesta en frecuencia, y la frecuencia de
picomr , la frecuencia en la que se produce el máximo. Estas dos propiedades
describen la frecuencia de la entrada sinusoidal que produce la mayor salida
posible y la ganancia en la frecuencia.
Ejemplo 5.9 Microscopio de fuerza atómica en modo de contacto
Consideremos el modelo para la dinámica vertical del microscopio de fuerza
atómica en modo de contacto, discutido en la sección 3.5. La dinámica básica
está dada por la ecuación (3.23). La pila piezoeléctrica puede ser modelada por
un sistema de segundo orden con frecuencia natural no amortiguada3 y relación
de amortiguamiento3 . La dinámica se describe entonces mediante el sistema
lineal
0
1
0
0
0
dx
-k2 /(m1 + m2 ) -c2 /(m1 + m2 ) 1/m2
x+
0 u,
0 =
0
dt
0
0
0
3
3
0
0
−− 33
3
1 0x,
m1 k2
m1 c2
y =m2
m1 +
m1 +
m1 +
m2
m2
m2
donde la señal de entrada es la señal de accionamiento del amplificador y la
salida es la elongación del piezo. La respuesta en frecuencia del sistema se muestra
en la figura 5.13b.
La ganancia en frecuencia cero del sistema es M0 = 1. Hay dos polos resonantes
con picos Mr1 = 2,12 enmr1 = 238 kra d /s y Mr2 = 4,29 enmr2 = 746 kr a d√/ s.
El
ancho de banda del sistema, definido como la frecuencia más baja en la que la ganancia es2
menor
que la ganancia de frecuencia cero, esb = 292 krad/s. También hay una caída en
la ganancia Md = 0,556 paramd = 268 krad/s. Esta depresión, llamada
antirresonancia, está asociada a una depresión de la fase y limita el rendimiento
cuando el sistema se controla
mediante simples controladores, como veremos en el capítulo 10.
157
5.3. RESPUESTA DE
ENTRADA/SALIDA
Muestreo
A menudo es conveniente utilizar tanto las ecuaciones diferenciales como las de
diferencias en la modelización y el control. Para los sistemas lineales es sencillo
transformar de una a otra. Consideremos el sistema lineal general descrito por la
ecuación (5.13) y supongamos que la señal de control es constante a lo largo de
un intervalo de muestreo de longitud constante h. De la ecuación (5.14) del
teorema 5.4 se deduce que
x(t + h)
eAh x(t)
=
+
- t+h
e B( )  = x(t) + u(t),
A(t+h-)
t
(5.26)
donde hemos supuesto que la señal de control discontinua es continua por la
derecha. El comportamiento del sistema en los tiempos de muestreo t = kh se
describe mediante la ecuación en diferencias
x[k + 1] = x[k] + u[k], y [ k] = Cx[k] + Du[k].
(5.27)
Nótese que la ecuación de diferencia (5.27) es una representación exacta del
comportamiento del sistema en los instantes de muestreo. También se pueden
obtener expresiones similares si la señal de control es lineal en el intervalo de
muestreo.
La transformación de (5.26) a (5.27) se llama muestreo. Las relaciones entre
las matrices del sistema en las representaciones continua y muestreada son las
siguientes:
-h
h
= eA
,
=
eAs ds B;
A
1

,
= 
h
0
-h
B
=
eAs ds −
0
(5.28)
.
Notice that if A is invertible, we have
= A−1 eAh - I B.
Todos los sistemas de tiempo continuo pueden ser muestreados para obtener
una versión de tiempo discreto, pero hay sistemas de tiempo discreto que no
tienen un equivalente de tiempo continuo. Las condiciones precisas dependen de
las propiedades de la matriz exponencial exp(Ah) en la ecuación (5.26).
Ejemplo 5.10 Servidor Lotus de IBM
En el ejemplo 2.4 describimos cómo se obtenía la dinámica de un servidor IBM
Lotus como sistema de tiempo discreto
y[k + 1] = ay[k] + bu[k],
donde a = 0,43, b = 0,47 y el periodo de muestreo es h = 60 s. Se necesita un
modelo de ecuaciones diferenciales si queremos diseñar sistemas de control
basados en la teoría del tiempo continuo. Dicho modelo se obtiene aplicando la
ecuación (5.28);
por lo que
-h
-1b
regis
B
eAt dt
trar
0.0141,
0.0116,
un
0
=
=
A=
=h
y encontramos que la ecuación de diferencia puede interpretarse como una versión
muestreada de
158
CAPÍTULO 5. SISTEMAS
LINEALES
la ecuación diferencial ordinaria
dx
dt
= -0,0141x + 0,0116u.
5.4 Linealización
Como se describe al principio del capítulo, una fuente común de modelos de
sistemas lineales es la aproximación de un sistema no lineal por uno lineal. Estas
aproximaciones tienen como objetivo estudiar el comportamiento local de un
sistema, donde se espera que los efectos no lineales sean pequeños. En esta
sección se discute cómo aproximar un sistema de forma lineal mediante su
linealización y qué se puede decir de la aproximación en términos de estabilidad.
Comenzamos con una ilustración del concepto básico utilizando el ejemplo del
control de crucero del capítulo 3.
Ejemplo 5.11 Control de crucero
La dinámica para el sistema de control de crucero se derivó en la sección 3.1 y
tiene la forma
mdv =n uT (n v) - mgCr sgn(v) dt
1
Cv Av2 - mg sin,
2
(5.29)
donde el primer término del lado derecho de la ecuación es la fuerza generada
por el motor y los tres términos restantes son la fricción de rodadura, la
resistencia aerodinámica y la fuerza gravitatoria perturbadora. Existe un
equilibrio (ve , ue ) cuando la fuerza aplicada por el motor equilibra las fuerzas
perturbadoras.
Para explorar el comportamiento del sistema cerca del equilibrio vamos a
linealizar el sistema. Una expansión en serie de Taylor de la ecuación (5.29)
alrededor del equilibrio da
d(v - ve)
= a(v - ve ) - bg ( − e ) + b(u - ue ) + términos de orden superior,
dt
(5.30)
donde
a=
ue 2T′ (n ve )
n
m
- Cv Ave
,
bg = g e ,
n
b=
T (n ve )
m
.
(5.31)
Obsérvese que el término correspondiente a la fricción de rodadura desaparece si
v = 0. Para un coche en cuarta velocidad con ve = 25 m/s,e = 0 y los valores
numéricos del coche del apartado 3.1, el valor de equilibrio del acelerador es ue
= 0,1687 y los parámetros son a = 0,0101, b = 1,32 y c = 9,8. Este modelo
lineal describe cómo evolucionan en el tiempo las pequeñas perturbaciones de la
velocidad respecto a la velocidad nominal.
La figura 5.14 muestra una simulación de un controlador de crucero con
modelos lineales y no lineales; las diferencias entre los modelos lineales y no
lineales son pequeñas, por lo que el modelo linealizado proporciona una
aproximación razonable.
159
5.4. LINEARIZACIÓN
20.5
Ve
loc 20
ida
d v 19.5
[m
/s] 19
0
F
F
g
No lineal
Lineal
10
20
30
10
20
Tiempo t [s]
30
1
mg
Ac
ele 0.5
ra
do
ru 0
0
Figura 5.14: Respuesta simulada de un vehículo con control de crucero PI al subir una
colina con una pendiente de 4◦. La línea continua es la simulación basada en un modelo no
lineal, y la línea discontinua muestra la simulación correspondiente utilizando un modelo
lineal. Las ganancias del controlador son kp = 0,5
y ki = 0,1.
Linealización jacobiana en torno a un punto de equilibrio
Para proceder de manera más formal, consideremos un sistema no lineal de una sola entrada
y una sola salida
dx
= f (x, u),
x ∈ Rn , u ∈ R,
dt
y = h(x, u),
(5.32)
y ∈ R,
con un punto de equilibrio en x = xe , u = ue . Sin pérdida de generalidad
podemos suponer que xe = 0 y ue = 0, aunque inicialmente consideraremos el
caso general para hacer explícito el desplazamiento de coordenadas.
Para estudiar el comportamiento local del sistema en torno al punto de
equilibrio (xe , ue -), suponemos
- que x xe y u ue son ambos pequeños, de modo
que las perturbaciones no lineales en torno a este punto de equilibrio pueden ser
ignoradas en comparación con las de (menor orden) lintérminos del oído. Este es más o menos el mismo tipo de argumento que se
utiliza cuando hacemos aproximaciones de ángulos pequeños, sustituyendo
 por y  por 1 para cerca de cero.
Como hicimos en el capítulo 4, definimos un nuevo conjunto de variables de
estado z, así como entradas v y salidas w:
z = x - xe ,
v = u - ue ,
w = y - h(xe , ue ).
Estas variables son todas cercanas a cero cuando estamos cerca del punto de
equilibrio, por lo que en estas variables los términos no lineales pueden ser
considerados como los términos de orden superior en una expansión en serie de
Taylor de los campos vectoriales relevantes (asumiendo por ahora que estos
existen).
160
CAPÍTULO 5. SISTEMAS
LINEALES
Formalmente, la linealización jacobiana del sistema no lineal (5.32) es
dz
(5.33)
= Az + Bv,
w = Cz + Dv,
dt
donde
f
f
h
h
. (5.34)
A = x
, B = u
, C = x
, D = u
(xe,ue)
(xe,ue)
(xe,ue)
(xe,ue)
El sistema (5.33) se aproxima al sistema original (5.32) cuando estamos cerca del
punto de equilibrio sobre el que se linealizó el sistema. Usando el Teorema 4.3,
si la linealización es asintóticamente estable, entonces el punto de equilibrio xe es
localmente estable asintóticamente para el sistema no lineal completo.
Es importante señalar que podemos definir la linealización de un sistema sólo
cerca de un punto de equilibrio. Para ver esto, consideremos un sistema
polinómico
dx
= a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3
+ u, dt
donde a0 /= 0. Un conjunto de puntos de equilibrio para este sistema viene
dado por (xe , ue ) =(xe , -a0 - a1 xe - a2 x2 - a3 x3 ), y podemos linealizar
e
e
alrededor de cualquiera de ellos. Supongamos que
que tratamos de linealizar alrededor del origen del sistema x = 0, u = 0. Si eliminamos
la
términos de orden superior en x, entonces obtenemos
dx
= a0 + a1 x + u,
dt
que no es la linealización jacobiana si a/0 = 0. El término constante debe
mantenerse, y no está presente en (5.33). Además, aunque mantuviéramos el
término constante en el modelo aproximado, el sistema se alejaría rápidamente
de este punto (ya que
es "conducido" por el término constante a0 ), y por lo tanto la aproximación
podría fallar pronto.
Los programas informáticos de modelización y simulación suelen disponer de
medios para realizar la linealización de forma simbólica o numérica. El comando
trim de MATLAB encuentra el equilibrio, y linmod extrae modelos lineales
del espacio de estados de un sistema SIMULINK en torno a un punto de
funcionamiento.
Ejemplo 5.12 Dirección del vehículo
Considere el sistema de dirección del vehículo introducido en el Ejemplo 2.8.
Las ecuaciones de movimiento no lineal del sistema vienen dadas por las
ecuaciones (2.23)-(2.25) y pueden escribirse como
d x vcos(() + )
bronceado
y = v sin(() + )
,
() = arctan un
,
v
0
dt
b

b
donde x, y y son la posición y orientación del centro de masa del
vehículo, v0 es la velocidad de la rueda trasera, b es la distancia entre las ruedas
delantera y trasera y es el ángulo de la rueda delantera. La función () es el
ángulo entre el vector velocidad y el eje longitudinal del vehículo.
161
5.4. LINEARIZACIÓN
Nos interesa el movimiento del vehículo sobre una trayectoria rectilínea ( =0
) con velocidad fija v0 /= 0. Para encontrar el punto de equilibrio relevante, primero
fijamos ˙ = 0 y vemos que debemos tener = 0, lo que corresponde a que el
volante está recto. Esto también da como resultado = 0. Observando las dos
primeras ecuaciones de la dinámica, vemos que el movimiento en la dirección xy
no está, por definición,
en equilibrio, ya que x˙2 + y˙2 = v2 = 0. Por lo tanto, no
/
podemos linealizar formalmente el modelo completo.
Supongamos, en cambio, que nos preocupa la desviación lateral del vehículo
respecto a una línea recta. Para simplificar, dejamos quee = 0, lo que
corresponde a la conducción a lo largo del eje x. Entonces podemos centrarnos
en las ecuaciones de movimiento en las direcciones y. Abusando un poco de la
notación, introducimos el estado x = (y, ) y u = . El sistema está entonces en
forma estándar con
vsin((u) + x2
a tan u
)
(u) = arctan
,
h(x, u) = x .
f (x, u) =
,
1
v0
b
tan u
b
El punto de equilibrio de interés está dado por x = (0, 0) y u = 0. Para calcular
el modelo linealizado alrededor de este punto de equilibrio, hacemos uso de la
forma (5.34). Un cálculo sencillo da como resultado
f
0v0
av/b
f
=
, 0
B= 1
= 0 ,
1
A=
1
1
0
u x=0
x x=0
v0 /b
u=0
u=0
h
h
= 10,
D= 1
C = 11
= 0,
x x=0
u x=0

u=0
u=0
y el sistema linealizado
dx
(5.35)
= Ax + Bu,
y = Cx + Du
dt
proporciona así una aproximación a la dinámica no lineal original.
El modelo linealizado puede simplificarse aún más si se introducen variantes
normalizadas, como se explica en la sección 2.3. Para este sistema, elegimos la
base de la rueda b como la unidad de longitud y la unidad como el tiempo
requerido para recorrer una base de la rueda. El estado normalizado es entonces z
= (x1 /b, x2 ), y la nueva variable de tiempo es = v0 t/b. El modelo (5.35) se
u
convierte
dz entonces
= z2 + en 01
= z + u,
y=0
1z,
u
0
1

0
donde = a/b. El modelo lineal normalizado para la (5.36)
dirección del vehículo con
ruedas no deslizantes es, pues, un sistema lineal con un solo parámetro.
Linealización de la retroalimentación
Otro tipo de linealización es el uso de la retroalimentación para convertir la
dinámica de un sistema no lineal en la de uno lineal. Ilustramos la idea básica
con un ejemplo.
162
CAPÍTULO 5. SISTEMAS
LINEALES
Dinámica linealizada
r
e
Controla
dor lineal
v
(x,v)
u
Proceso
no lineal
y
-1
Figura 5.15: Linealización de la retroalimentación. Una retroalimentación no lineal de la
forma u = (x, v) se utiliza para modificar la dinámica de un proceso no lineal de manera
que la respuesta de la entrada v a la salida y sea lineal. A continuación, se puede utilizar un
controlador lineal para regular la dinámica del sistema.
Ejemplo 5.13 Control de crucero
Consideremos de nuevo el sistema de control de crucero del ejemplo 5.11, cuya
dinámica viene dada por la ecuación (5.29):
1
mdv =n uT (n v) - mgCr sgn(v) - Cd Av2 - mg sin.
dt
2
Si elegimos u como ley de retroalimentación
de
la
forma
(
1
1
u=
u′ + mgCr sgn(v) + Cv Av2 ,
(5.37)
T (n v)
entonces la dinámica resultante se convierte en
n
2
mdv = u′ + d,
(5.38)
dt
donde d =mg
 es la fuerza de perturbación debida a la pendiente de la
carretera. Si ahora definimos una ley de retroalimentación para u′ (como una
proporcional-integral-derivada [PID]
), podemos utilizar la ecuación (5.37) para calcular la entrada final que debe ser
comandada.
La ecuación (5.38) es una ecuación diferencial lineal. Esencialmente hemos
"invertido" la no linealidad mediante el uso de la ley de retroalimentación (5.37).
Esto requiere que tengamos una medición precisa de la velocidad del vehículo v,
así como un modelo preciso de las características de par del motor, las relaciones
de transmisión, las características de resistencia y fricción y la masa del coche.
Mientras que tal modelo no está generalmente disponible (recordando que los
valores de los parámetros pueden cambiar), si diseñamos una buena ley de
retroalimentación para u′ , entonces podemos lograr robustez a estas
incertidumbres.
De forma más general, decimos que un sistema de la forma
dx
= f (x, u),
y = h(x),
dt
es linealizable por retroalimentación si podemos encontrar una ley de control u
= (x, v) tal que el sistema de lazo cerrado resultante es lineal de entrada/salida
con la entrada v y la salida y, como se muestra en la Figura 5.15. La
caracterización completa de estos sistemas está fuera del alcance de
este texto, pero observamos que además de los cambios en la entrada, la teoría
general también permite cambios (no lineales) en los estados que se utilizan para
describir el sistema,
163
5.5. LECTURAS COMPLEMENTARIAS
manteniendo fijas sólo las variables de entrada y salida. Se pueden encontrar más
detalles de este proceso en los libros de texto de Isidori [Isi95] y Khalil [Kha01].
Un caso que aparece con relativa frecuencia, y que por tanto merece una �
mención especial, es el conjunto de sistemas mecánicos de la forma
M(q)q¨ + C(q, q˙) = B(q)u.
Here q ∈Rn is the configuration of the mechanical system, M(q)∈ Rn×n is the
configuration-dependent inertia matrix, C(q, q˙)∈ Rn represents the Coriolis forces
and additional nonlinear forces (such as stiffness and friction) and B(q)∈ Rn×p is
the input matrix. If p = n, then we have the same number of inputs and configuration variables, and if we further have that B(q) is an invertible matrix for all
configurations q, then we can choose
u = B−1 (q) M(q)v + C(q, q˙) .
(5.39)
La dinámica resultante se convierte en
M(q)q¨ = M(q)v
q¨ = v,
=
⇒
que es un sistema lineal. Ahora podemos utilizar las herramientas de la teoría de
sistemas lineales para analizar y diseñar leyes de control para el sistema
linealizado, recordando aplicar la ecuación (5.39) para obtener la entrada real
que se aplicará al sistema.
Este tipo de control es común en la robótica, donde recibe el nombre de par
com- puesto, y en el control de vuelo de aeronaves, donde se denomina inversión
dinámica. Algunas herramientas de modelado, como Modelica, pueden generar
automáticamente el código del modelo inverso. Hay que tener en cuenta que la
linealización de la retroalimentación a menudo puede anular los términos
beneficiosos de la dinámica natural, por lo que debe utilizarse con cuidado. Las
extensiones que no requieren la cancelación completa de las no linealidades se
discuten en Khalil [Kha01] y Krstic' et al. [KKK95].
5.5 Más información
La mayor parte del material de este capítulo es clásico y se puede encontrar en la
mayoría de los libros sobre dinámica y teoría de control, incluidos los primeros
trabajos sobre control como los de James, Nichols y Phillips [JNP47] y libros de
texto más recientes como los de Dorf y Bishop [DB04], Franklin, Powell y EmamiNaeini [FPEN05] y Ogata [Oga01]. En el libro de Brockett [Bro70] se ofrece una
excelente presentación de los sistemas lineales basada en la exponencial matricial,
en Rugh [Rug95] se ofrece un tratamiento más completo y en Sontag [Son98] se
ofrece un elegante tratamiento matemático. El material sobre la linealización de la
retroalimentación se puede encontrar en libros sobre la teoría de control no lineal
como Isidori [Isi95] y Khalil [Kha01]. La idea de caracterizar la dinámica
considerando las respuestas a entradas escalonadas se debe a Heaviside, él también
introdujo un cálculo de operadores para analizar sistemas lineales. Por lo tanto, el
escalón unitario también se denomina función escalón de Heaviside. El análisis de
los sistemas lineales se simplificó significativamente, pero el trabajo de Heaviside
fue muy criticado debido a la falta de rigor matemático,
164
CAPÍTULO 5. SISTEMAS
LINEALES
como se describe en la biografía de Nahin [Nah88]. Las dificultades fueron
aclaradas posteriormente por el matemático Laurent Schwartz, que desarrolló la
teoría de la distribución a finales de los años 40. En ingeniería, los sistemas
lineales se han analizado tradicionalmente utilizando las transformadas de
Laplace, como se describe en Gardner y Barnes [GB42]. El uso de la
exponencial ma- trix comenzó con los desarrollos de la teoría de control en la
década de 1960, fuertemente estimulada por un libro de texto de Zadeh y Desoer
[ZD63]. El uso de las técnicas matriciales se expandió rápidamente cuando los
poderosos métodos del álgebra lineal numérica fueron empaquetados en
programas como LabVIEW, MATLAB y Mathematica.
Ejercicios
5.1 (Response to the derivative of a signal) Show that if y(t) is the output of a linear
system corresponding to input u(t), then the output corresponding to an input u˙(t)
( )t = lim
is given by y˙ (t ). (Hint: Use the definition of the derivative: y˙
y( t+
0
→

) - y(t) /. )
� 5.2 (Respuesta al impulso y convolución) Demuestre que una señal u(t) puede
descomponerse en términos de la función de impulso (t) como
-t
( )u t
(t - ) u( )
0
=
y utilizar esta descomposición más el principio de superposición para demostrar
que la respuesta de un sistema lineal a una entrada u(t) (suponiendo una
condición
inicial nula) puede
se escriba como
-t
( )y t
(h-t ) u( )
0
=
donde h(t) es la respuesta al impulso del sistema.
,
5.3 (Respuesta al impulso para un modelo de compartimentos) Considere el
modelo de compartimentos dado en el ejemplo 5.7. Calcule la respuesta al
escalón para el sistema y compárela con la Figura 5.10b. Utilice el principio de
superposición para calcular la respuesta a la entrada de pulso de 5 s que se
muestra en la Figura 5.10c. Utilice los valores de los parámetros k0 = 0.1,
k1 = 0,1, k2 = 0,5 y b0 = 1,5.
5.4j
(Matriz exponencial para sistema de segundo orden) Supongamos que < 1 y
dejemos qued =
2
0 1 − . Demuestre que
−
e− 0t  d
e− 0t dt
d
exp 0
-0 t =
t .
−
-e− 0t  d
e− 0t d
5.5 (Función de Lyapunov para un sistema lineal) Considere un sistema lineal x˙
= Ax con j < 0 para todos los valores propiosj de la matriz A. Demuestre que
la matriz
P
=
T
eA QeA 
0
define una función de Lyapunov de la forma V (x) = xT Px.
165
EJERCICIOS
5.6 (Forma de Jordan no diagonal) Considere un sistema lineal con una forma de
Jordan que no es diagonal.
(a) Demuestre la proposición 5.3 demostrando que si el sistema contiene un valor propio
real
= 0 con un bloque de Jordan no trivial, entonces existe una condición inicial con
una solución que crece en el tiempo.
(b) Extienda este argumento al caso de valores propios complejos con  = 0
utilizando la forma de Jordan en bloque
0
J=
0
0
0
0
1
0
0
0 −
0
1
0
�
.i
5.7 (Tiempo de subida para un sistema de primer orden) Consideremos un sistema de
primer orden de la forma
dx
=x+
- u, y = x. dt
Decimos que el parámetro es la constante de tiempo para el sistema ya que el
sistema de entrada cero se aproxima al origen como e−t/ . Para un sistema de
primer orden de esta forma, demuestre que el tiempo de subida para una
respuesta escalonada del sistema es aproximadamente 2, y que los tiempos de
asentamiento del 1%, 2% y 5% corresponden aproximadamente a 4,6,  y 3.
5.8 (Sistemas de tiempo discreto) Consideremos un sistema lineal de tiempo discreto de la
forma
x[k + 1] = Ax[k] + Bu[k],
y[k] = Cx[k] + Du[k].
(a) Demuestre que la forma general de la salida de un sistema lineal de tiempo
discreto viene dada por la ecuación de convolución de tiempo discreto:
k
k-1
y[k] = CA x[0] + CA
k- j-1
Bu[ j] + Du[k].
j=0
(b) Demuestre que un sistema lineal de tiempo discreto es asintóticamente
estable si y sólo si todos los valores propios de A tienen una magnitud
estrictamente menor que 1.
(c) Sea u[k] = sin(k) una entrada oscilante con frecuencia  (para evitar el
"aliasing"). Demuestre que el componente de estado estacionario de la respuesta
tiene una ganancia M y una fase , donde
Mei = C(ei I - A)−1 B + D.
(d) Demuestre que si tenemos un sistema no lineal de tiempo discreto
x[k + 1] = f (x[k], u[k]),
y[k] = h(x[k], u[k]),
x[k] ∈ Rn , u ∈ R,
y ∈ R,
entonces podemos linealizar el sistema alrededor de un punto de equilibrio (xe ,
ue ) definiendo las matrices A, B, C y D como en la ecuación (5.34).
166
CAPÍTULO 5. SISTEMAS
LINEALES
5.9 (Economía keynesiana) Considere el siguiente modelo macroeconómico
keynesiano simple en la forma de un sistema lineal de tiempo discreto discutido
en el Ejercicio 5.8:
C[t + 1] =
a
a C[t ] a G
+ b [t],
]
ab ]
a
I[t + 1 ab - b
I[t
Y [t] = C[t] + I[t] + G[t].
Determina los valores propios de la matriz dinámica. ¿Cuándo las magnitudes de
los valores propios son menores que 1? Suponga que el sistema está en equilibrio
con valores constantes del gasto de capital C, la inversión I y el gasto público G.
Explore lo que ocurre cuando el gasto público aumenta un 10%. Utilice los
valores a = 0,25 y b = 0,5.
5.10 Consideremos un sistema escalar
dx
= 1x-3 + u.
dt
Calcule los puntos de equilibrio para el sistema no forzado (u = 0) y utilice una
expansión en serie de Taylor alrededor del punto de equilibrio para calcular la
linealización. Verifique que esto concuerda con la linealización en la ecuación
(5.33).
5.11 (Regulación transcripcional) Considere la dinámica de un circuito genético
que implementa la autorrepresión: la proteína producida por un gen es un
represor para ese gen, restringiendo así su propia producción. Utilizando los
modelos presentados en el examen 2.13, la dinámica del sistema puede escribirse
como
dm
dp
+0 − - u,
= m − p,
(5.40)
dt = 1 + kp2
dt
donde u es un término de perturbación que afecta a la transcripción del ARN
≥ y
m, p0
.
Encuentre los puntos de equilibrio para el sistema y utilice la dinámica
linealizada alrededor de cada uno
punto de equilibrio para determinar la estabilidad local del punto de equilibrio y
la respuesta escalonada del sistema a una perturbación.
Capítulo 6
Comentarios del Estado
Intuitivamente, el estado puede considerarse como una especie de almacenamiento de
información o memoria o acúmulo de causas pasadas. Por supuesto, debemos exigir que el
conjunto de estados internos sea lo suficientemente rico como para llevar toda la
información sobre la historia pasada de para predecir el efecto del pasado sobre el futuro.
Sin embargo, no insistimos en que el estado sea la mínima información de este tipo,
aunque a menudo sea una suposición conveniente.
R. E. Kalman, P. L. Falb y M. A. Arbib, Topics in Mathematical System Theory, 1969 [KFA69].
En este capítulo se describe cómo la retroalimentación del estado de un
sistema puede utilizarse para modelar el comportamiento local de un sistema. Se
introduce el concepto de alcanzabilidad y se utiliza para investigar cómo diseñar
la dinámica de un sistema mediante la asignación de sus valores propios. En
particular, se demostrará que, bajo ciertas condiciones, es posible asignar los
valores propios del sistema de forma arbitraria mediante una retroalimentación
adecuada del estado del sistema.
6.1 Alcanzabilidad
Una de las propiedades fundamentales de un sistema de control es qué conjunto
de puntos del espacio de estados puede alcanzarse mediante la elección de una
entrada de control. Resulta que la propiedad de la alcanzabilidad también es
fundamental para entender hasta qué punto puede utilizarse la retroalimentación
para diseñar la dinámica de un sistema.
Definición de alcanzabilidad
Comenzamos por prescindir de las medidas de salida del sistema y nos
centramos en la evolución del estado, dada por
dx
= Ax + Bu,
(6.1)
dt
donde x ∈Rn , u ∈
R, A es una matriz
n n y B un vector columna. Una cuestión
×
fundamental es si es posible encontrar señales de control de forma que se pueda
alcanzar cualquier punto del espacio de estados mediante alguna elección de
entrada. Para estudiar
≤ esto, definimos el conjunto alcanzable R(x0 , T ) como el
≤ de
≤ todos los puntos xf tales que existe una entrada
conjunto
u(t), 0 t T que dirige el sistema desde x(0) = x0 hasta x(T ) = xf , como se ilustra en
Figura 6.1a.
Definición 6.1 (Alcanzabilidad). Un sistema lineal es alcanzable si ∈para
cualquier x0 , xf Rn existe un→T > 0 y u : [0, T ] R tal que la solución
correspondiente satisface x(0) = x0 y x(T ) = xf .
168
CAPÍTULO 6.
RETROALIMENTACIÓN DEL
ESTADO
E
x(T )
x0
R(x0 , ≤ T )
(a) Conjunto alcanzable
(b) Alcance a través del control
Figura 6.1: El conjunto alcanzable para un sistema de control.
≤ El conjunto R(x0 , T )
mostrado en (a) es el conjunto de puntos alcanzables desde x0 en un tiempo inferior a T . El
retrato de fase en (b) muestra la dinámica para un integrador doble, con la dinámica natural
dibujada como flechas horizontales y el control
entradas dibujadas como flechas verticales. El conjunto de puntos de equilibrio alcanzables
es el eje x. Ajustando las entradas de control en función del estado, es posible dirigir el
sistema hacia el origen, como se muestra en la trayectoria de muestra.
La definición de alcanzabilidad se refiere a si es posible alcanzar todos los
puntos del espacio de estados de forma transitoria. En muchas aplicaciones, el
conjunto de puntos que más nos interesa alcanzar es el conjunto de puntos de
equilibrio del sistema (ya que podemos permanecer en esos puntos una vez que
llegamos a ellos). El conjunto de todos los equilibrios posibles para controles
constantes viene dado por
E = {xe : Axe + Bue = 0 para alguna ue ∈ R}.
Esto significa que los posibles equilibrios se encuentran en un subespacio de una
dimensión (o posiblemente mayor). Si la matriz A es invertible, este subespacio lo
abarca A−1 B.
El siguiente ejemplo ofrece una idea de las posibilidades.
Ejemplo 6.1 Integrador doble
Consideremos un sistema lineal formado por un integrador doble cuya dinámica
viene dada por
dx1
dx2
= x2 ,
= u.
dt
dt
La figura 6.1b muestra un retrato de fase del sistema. La dinámica de bucle
abierto (u = 0) se muestra como flechas horizontales que apuntan a la derecha
para x2 > 0 y a la izquierda para x2 < 0. La entrada de control está representada
por una flecha de doble punta en la dirección vertical, que corresponde a nuestra
capacidad de fijar el valor de x˙2 . El conjunto de puntos de equilibrio E
corresponde al eje x1 , con ue = 0.
Supongamos primero que queremos llegar al origen desde una condición inicial (a,
0).
Podemos mover directamente el estado hacia arriba y hacia abajo en el plano de
fase, pero debemos confiar en la dinámica natural para controlar el movimiento
hacia la izquierda y la derecha. Si a > 0, podemos mover el origen estableciendo
primero u < 0, lo que hará que x2 se vuelva negativo. Una vez que x2 < 0, el
valor de x1 comenzará a disminuir y nos moveremos hacia la izquierda. Después
de un tiempo, podemos poner u2 en positivo, moviendo x2 de nuevo hacia cero y
frenando el movimiento en la dirección x1 . Si llevamos x2 > 0, podemos mover
el estado del sistema en la dirección opuesta.
169
6.1.
REACHABILIDAD
La figura 6.1b muestra una trayectoria de ejemplo que lleva al sistema al
origen. Nótese que si dirigimos el sistema a un punto de equilibrio, es posible
permanecer allí indefinidamente (ya que x˙1 = 0 cuando x2 = 0), pero si vamos a
cualquier otro punto del estado
espacio, podemos pasar por el punto sólo de forma transitoria.
Para encontrar las condiciones generales en las que un sistema lineal es
alcanzable, primero daremos un argumento heurístico basado en cálculos formales
con funciones de impulso. Observamos que si podemos alcanzar todos los puntos
del espacio de estados mediante alguna elección de entrada, entonces también
podemos alcanzar todos los puntos de equilibrio.
Pruebas de accesibilidad
Cuando el estado inicial es cero, la respuesta del sistema a una entrada u(t) viene
dada por
x(t) =
- t
0
e B( ) d.
A(t-)
(6.2)
Si elegimos que la entrada sea una función de impulso (t) como la definida en el apartado
5.3, el
el estado se convierte en
- t
dxS
= eAt B.
x = eA(t-) ()  =
dt
0
(Podemos encontrar la respuesta a la derivada de una función de impulso
tomando la derivada de la respuesta al impulso (Ejercicio 5.1):
dx = AeAt B.
dt
Continuando este proceso y utilizando la linealidad del sistema, la entrada
x ˙=
u(t) =1 (t) +2 ˙(t) +3  (t) + - - +
n
(n−1)
(t)
da el estado
x(t) =1 eAt B +2 AeAt B +3 A2 eAt B + - - +n An−1 eAt B.
Tomando el límite a medida que t va a cero a través de valores positivos, obtenemos
lim x(t) =1 B +2 AB + A32 B +
n 1
- - + An − B.
t→0+
A la derecha hay una combinación lineal de las columnas de la matriz
Wr =
B AB - - -
An−1 B
.
(6.3)
Para alcanzar un punto arbitrario en el espacio de estados, requerimos que haya n
columnas lineales independientes de la matriz Wr . La matriz Wr se denomina
matriz de alcanzabilidad.
Una entrada formada por una suma de funciones impulsivas y sus derivadas
es una señal muy violenta. Para ver que se puede alcanzar un punto arbitrario con
señales más suaves
170
CAPÍTULO 6.
RETROALIMENTACIÓN DEL
ESTADO
podemos hacer uso de la ecuación de convolución. Suponiendo que la condición
inicial es cero, el estado de un sistema lineal viene dado por
-t
-t
eA(t−) 
eA Bu
(x)t
( ) =
( -t ) .
0
0
=
De la teoría de las funciones matriciales, concretamente del teorema de CayleyHamilton (véase el ejercicio 6.10), se deduce que
eA = 0 () + 1 () + - - + A n−1n−1 (),
dondei () son funciones escalares, y encontramos que
x(t )
=
B
- t
0
u0(t ) ( - )
+ - - - + An-1B −
t
0
+ AB
n-1(
- t
0
u1t( ) ( - )
u
) (t - ) 
.
De nuevo observamos que el lado derecho es una combinación lineal de las
columnas de la matriz de alcanzabilidad Wr dada por la ecuación (6.3). Este
enfoque básico nos lleva al siguiente teorema.
Teorema 6.1 (Condición de rango de alcanzabilidad). Un sistema lineal es
alcanzable si y sólo si la matriz de alcanzabilidad Wr es invertible.
La demostración formal de este teorema está fuera del alcance de este texto,
pero sigue la línea del esquema anterior y puede encontrarse en la mayoría de los
libros sobre teoría de control lineal, como Callier y Desoer [CD91] o Lewis
[Lew03]. Ilustramos el concepto de alcanzabilidad con el siguiente ejemplo.
Ejemplo 6.2 Sistema de equilibrio
Considere el sistema de equilibrio introducido en el ejemplo 2.1 y mostrado en la
figura 6.2. Recordemos que este sistema es un modelo para una clase de
ejemplos en los que el centro de masa está equilibrado sobre un punto de giro.
Un ejemplo es el transportador personal Segway que se muestra en la figura 6.2a,
sobre el cual una pregunta natural que se puede hacer es si podemos movernos de
un punto estacionario a otro mediante la aplicación adecuada de fuerzas a través
de las ruedas.
Las ecuaciones de movimiento no lineal del sistema se dan en la ecuación
(2.9) y se repiten aquí:
(M + m)p¨- ml   = - cp˙- ml  ˙2 + F,
(6.4)
(J + ml2 ) - ml  p¨ = -˙ + mgl sin.
Para simplificar, tomamos c = = 0. Linealizando alrededor del punto de
equilibrio xe = (p, 0, 0, 0), la matriz de dinámica y la matriz de control son
0
0
1
0
0A = ,
0001
B=
,0
2 2
J
0 m l g/0 0
t
lm/
0
0 Mt mgl/
0
171
6.1.
REACHABILIDAD
m
l
F
M
p
(b) Sistema carro-pendular
(a) Segway
Figura 6.2: Sistema de equilibrio. El transportador personal Segway que se muestra en (a)
es un ejemplo de sistema de equilibrio que utiliza el par de torsión aplicado a las ruedas
para mantener al conductor en posición vertical. En (b) se muestra un diagrama
simplificado de un sistema de equilibrio. El sistema consiste en una masa m sobre una
varilla de longitud l conectada por un pivote a un carro con masa M.
donde = Mt Jt - m2 l2 , Mt = M + m y Jt = J + ml2 . La matriz de alcanzabilidad es
0
Wr =
t
0
J
lm/
Jt 
lm/
0
0
gl3 m3 /2
0
0
gl2 m2 (m + M)/2
3
gl m /2
0
2
2
gl m (m + M)/2
0
3
.
(6.5)
El determinante de esta matriz es
det(Wr ) =
g2l4m4
/= 0,
()4
y podemos concluir que el sistema es alcanzable. Esto implica que podemos
mover el sistema desde cualquier estado inicial a cualquier estado final y, en
particular, que siempre podemos encontrar una entrada para llevar el sistema
desde un estado inicial a un punto de equilibrio.
Es útil tener una comprensión intuitiva de los mecanismos que hacen que un
sistema sea inalcanzable. En la figura 6.3 se presenta un ejemplo de un sistema
de este tipo. El sistema consiste en dos sistemas idénticos con la misma entrada.
Está claro que no podemos hacer que el primer sistema y el segundo hagan algo
diferente por separado, ya que tienen la misma entrada. Por lo tanto, no podemos
alcanzar estados arbitrarios, por lo que el sistema no es alcanzable (Ejercicio 6.3).
También pueden darse mecanismos más sutiles de no alcanzabilidad. Por
ejemplo, si existe una combinación lineal de estados que siempre permanece
constante, entonces el sistema no es alcanzable. Para ver esto, supongamos que
existe un vector de filas H tal que
0=
d
Hx = H(Ax + Bu),
todo u. dt
para
172
CAPÍTULO 6.
RETROALIMENTACIÓN DEL
ESTADO
m
m
1
2
l
S
l
S
F
M
p
Figura 6.3: Un sistema inalcanzable. El sistema carro-pendulo mostrado a la izquierda
tiene una única entrada que afecta a dos péndulas de igual longitud y masa. Como las
fuerzas que afectan a las dos péndulas son las mismas y su dinámica es idéntica, no es
posible controlar arbitrariamente el estado del sistema. La figura de la derecha es una
representación en forma de diagrama de bloques de esta situación.
Entonces H está en el espacio nulo izquierdo de A y B y se deduce que
HWr = HB AB - - -
An−1 B
= 0.
Por lo tanto, la matriz de alcanzabilidad no es de rango completo. En este caso, si
tenemos una condición inicial x0 y deseamos alcanzar un estado
/ xf para el que
Hx0 = Hx f , entonces como Hx(t) es constante, ninguna entrada u puede moverse
de x0 a xf .
Forma canónica alcanzable
Como ya hemos visto en capítulos anteriores, a menudo es conveniente cambiar
de coordenadas y escribir la dinámica del sistema en las coordenadas
transformadas z = Tx. Una aplicación del cambio de coordenadas es convertir un
sistema en una forma canónica en la que sea fácil realizar ciertos tipos de
análisis.
Un sistema lineal de espacio de estados está en forma canónica alcanzable si
su dinámica viene dada por
-a1
-a2 -a3
. . . -an
1
1
0
0
... 0
dz
0
0
1
0
... 0 +
=
0 u,
..
..
dt
z
.
. 0.
.
0.
(6.6)
.
0
1
y = b1 b2 b3 . . . bn z + du.
En la figura 6.4 se muestra un diagrama de bloques para un sistema en forma
canónica alcanzable. Vemos que los coeficientes que aparecen en las matrices A
y B aparecen directamente en el diagrama de bloques. Además, la salida del
sistema es una simple combinación lineal de las salidas de los bloques de
integración.
El polinomio característico de un sistema en forma canónica alcanzable está dado
173
6.1.
REACHABILIDAD
...
d
b1
I
u
.
-1
z1
a1
y
b2
I
z2
bn-1
..
I
zn-1
bn
I
an-1
a2
zn
an
...
Figura 6.4: Diagrama de bloques de un sistema en forma canónica alcanzable. Los estados
individuales del sistema están representados por una cadena de integradores cuya entrada
depende de los valores ponderados de los estados. La salida viene dada por una
combinación adecuada de la entrada del sistema y otros estados.
por
(s) = sn + a1 sn−1 + - - + an−1 s + an .
(6.7)
La matriz de accesibilidad también tiene una estructura relativamente sencilla:
1-a1
a2 - a2 - - - ∗
1-a1
0 1
- -- ∗
n− 1
.
.......................
,
.
Wr = B AB . . .
A B=.
0
0
0
1 ∗
0
0
0
--- 1
donde ∗indica un término posiblemente distinto de cero. Esta matriz es de rango
completo, ya que ninguna columna puede escribirse como una combinación
lineal de las demás debido a la estructura triangular de la matriz.
Consideramos ahora el problema de cambiar las coordenadas de manera que
la dinámica de un sistema pueda escribirse en forma canónica alcanzable.
Dejemos que A, B representen la dinámica de un sistema dado y que Ã, B˜ sean las
dinámicas en forma canónica alcanzable.
Supongamos que deseamos transformar el sistema original en forma canónica
alcanzable utilizando una transformación de coordenadas z = Tx. Como se
mostró en el último capítulo, la matriz de dinámica y la matriz de control para el
sistema transformado son
A˜ = TAT−1 ,
B˜= TB.
La matriz de alcanzabilidad para el sistema transformado se convierte entonces en
W̃=
r B̃
ÃB̃
--
A˜n-1B˜.
174
CAPÍTULO 6.
RETROALIMENTACIÓN DEL
ESTADO
Transformando cada elemento individualmente, tenemos
A˜B˜= TAT−1 TB = TAB,
A˜2B˜= (TAT−1 )2 TB = TAT−1 TAT−1 TB = TA2 B,
.
ÃnB̃= TAn B,
y por lo tanto la matriz de alcanzabilidad para el sistema transformado es
W̃=
r
TB AB - - -
An−1 B
= TWr .
(6.8)
Como Wr es invertible, podemos resolver la transformación T que lleva el
sistema a la forma canónica alcanzable:
T = W̃rW-1r.
El siguiente ejemplo ilustra este enfoque.
Ejemplo 6.3 Transformación a forma alcanzable
Consideremos un sistema bidimensional simple de la forma
dx =
0
- x + u. 1
dt
Queremos encontrar la transformación que convierta el sistema en una forma
canónica alcanzable:
-a1
-a2
A˜no=
,
B˜ = 1.
Los coeficientes a1 y a2 se pueden
a partir0del polinomio característico
1 determinar
0
para el sistema original:
(s) = det(sI - A) = s2 -  + (2 +2 )
=⇒
La matriz de alcanzabilidad de cada sistema es
0
1-a1
W̃=
r
.
Wr = ,
0
1
1
1
La transformación T se convierte
-(a1 + )

-1
en
T = W̃rW =
0 =
r
1/
1/
y por tanto las
coordenadas
a1 = -2,
a2 =2 +2 .
1
0 ,
x  + x2
= Tx = 1
z2
x1 
poner el sistema en forma canónica alcanzable.
z1
Resumimos los resultados de esta sección en el siguiente teorema.
6.2. ESTABILIZACIÓN POR
RETROALIMENTACIÓN DE ESTADO
Controlador
r
175
d
Proceso
u
kr
x˙ = Ax +
Bu y = Cx +
Du
-K
y
x
Figura 6.5: Un sistema de control retroalimentado con retroalimentación de estado. El
controlador utiliza el estado del sistema x y la entrada de referencia r para comandar el
proceso a través de su entrada u. Modelamos las perturbaciones a través de la entrada
aditiva d.
Teorema 6.2 (Forma canónica alcanzable). Sean A y B las matrices de dinámica
y control de un sistema alcanzable. Entonces existe una transformación z = Tx
tal que en las coordenadas transformadas las matrices de dinámica y control
están en forma canónica alcanzable (6.6) y el polinomio característico de A viene
dado por
det(sI - A) = sn + a1 sn−1 + - - + an−1 s + an .
Una implicación importante de este teorema es que, para cualquier sistema
alcanzable, podemos suponer sin pérdida de generalidad que las coordenadas se
eligen de forma que el sistema está en forma canónica alcanzable. Esto es
particularmente útil para las pruebas, como veremos más adelante en este
capítulo. Sin embargo, para los sistemas de alto orden, pequeños cambios en los
coeficientes ai pueden dar grandes cambios en los valores propios. Por lo tanto,
la forma canónica alcanzable no siempre está bien condicionada y debe utilizarse
con cierto cuidado.
6.2 Estabilización por retroalimentación del Estado
El estado de un sistema dinámico es un conjunto de variables que permite
predecir la evolución futura de un sistema. A continuación exploraremos la idea
de diseñar la dinámica de un sistema mediante la retroalimentación del estado.
Supondremos que el sistema a controlar está descrito por un modelo de estado
lineal y tiene una sola entrada (por simplicidad). La ley de control por
retroalimentación se desarrollará paso a paso utilizando una sola idea: el
posicionamiento de los valores propios del bucle cerrado en los lugares deseados.
Estructura del controlador del espacio de estado
La figura 6.5 es un diagrama de un sistema de control típico que utiliza
retroalimentación de estado. El sistema completo consiste en la dinámica del
proceso, que consideramos lineal, los elementos del controlador K y kr , la
entrada de referencia (o señal de comando) r y las perturbaciones del proceso d.
El objetivo del controlador de retroalimentación es regular la salida del sistema y
de manera que siga la entrada de referencia en presencia de perturbaciones y
también de incertidumbre en la dinámica del proceso.
Un elemento importante del diseño del control es la especificación del
rendimiento. La especificación de rendimiento más sencilla es la de la
estabilidad: en ausencia de
176
CAPÍTULO 6.
RETROALIMENTACIÓN DEL
ESTADO
Si se trata de un sistema con perturbaciones, se desea que el punto de equilibrio
del sistema sea asintóticamente estable. Las especificaciones de rendimiento más
sofisticadas suelen incluir las propiedades deseadas de la respuesta de paso o de
frecuencia del sistema, como especificar el tiempo de subida, el rebasamiento y
el tiempo de estabilización deseados de la respuesta de paso. Por último, a
menudo nos preocupan las propiedades de atenuación de las perturbaciones del
sistema: ¿hasta qué punto podemos experimentar entradas de perturbación d y
seguir manteniendo la salida y cerca del valor deseado?
Consideremos un sistema descrito por la ecuación diferencial lineal
dx
(6.9)
= Ax + Bu,
y = Cx + Du,
dt
donde por ahora hemos ignorado la señal perturbadora d. Nuestro objetivo es
llevar la salida y a un determinado valor de referencia r y mantenerlo ahí.
Obsérvese que puede no ser posible mantener todos los equilibrios; véase el
ejercicio 6.8.
Comenzamos asumiendo que todos los componentes del vector de estado se
miden. Dado que el estado en el momento t contiene toda la información
necesaria para predecir el comportamiento futuro del sistema, la ley de control
invariable en el tiempo más general es una función del estado y de la entrada de
referencia:
u = (x, r).
Si se restringe la retroalimentación para que sea lineal, se puede escribir como
u = -Kx + kr r,
(6.10)
donde r es el valor de referencia, que por ahora se supone constante.
Esta ley de control corresponde a la estructura mostrada en la figura 6.5. El
signo negativo es una convención para indicar que la retroalimentación negativa
es la situación normal. El sistema de lazo cerrado que se obtiene al aplicar la
retroalimentación (6.10) al sistema (6.9) viene dado por
dx
= (A - BK)x + Bkr r.
(6.11)
dt
Intentamos determinar la ganancia de retroalimentación K para que el sistema de
lazo cerrado tenga el polinomio característico
p(s) = sn + p1 sn−1 + - - + pn−1 s + pn .
(6.12)
Este problema de control se llama problema de asignación de valores propios o
problema de colocación de polos (definiremos los polos más formalmente en el
capítulo 8).
Nótese que kr no afecta a la estabilidad del sistema (que viene determinada
por los valores propios
- de A BK) pero sí a la solución de estado estacionario. En
particular, el punto de equilibrio y la salida en estado estacionario para el sistema
de bucle cerrado vienen dados por
xe = -(A - BK)−1 Bkr r,
ye = Cxe + Due ,
por lo que kr debe elegirse de forma que ye = r (el valor de salida deseado).
Como kr es un escalar, podemos resolver fácilmente para demostrar que si D = 0
(el caso más común),
kr = -1/ C(A - BK)−1 B .
(6.13)
177
6.2. ESTABILIZACIÓN POR
RETROALIMENTACIÓN DE ESTADO
Nótese que kr es exactamente la inversa de la ganancia en frecuencia cero del
sistema de lazo cerrado. La/solución para D = 0 se deja como ejercicio.
Utilizando las ganancias K y kr , somos capaces de diseñar la dinámica de la
sistema de bucle para satisfacer nuestro objetivo. Para ilustrar cómo construir
una ley de control de retroalimentación de estado de este tipo, comenzamos con
algunos ejemplos que proporcionan algunas intuiciones y conocimientos básicos.
Ejemplo 6.4 Dirección del vehículo
En el ejemplo 5.12 derivamos un modelo lineal normalizado para la dirección del
vehículo. La dinámica que describe la desviación lateral viene dada por
0
A = 1,
C=
0
B = 1,
0
,
10
D = 0.
La matriz de alcanzabilidad del sistema es, por tanto, la siguiente
AB
=
01
Wr = B
1.
-/1 = 0.
El sistema es alcanzable ya que detWr =
Ahora queremos diseñar un controlador que estabilice la dinámica y siga un
un valor de referencia r dado de la posición lateral del vehículo. Para ello
introducimos la retroalimentación
u = -Kx + kr r = -k1 x1 - k2 x2 + kr r,
y el sistema de bucle cerrado se convierte en
dx
−
= (A - BK)x + Bkr r =
dt
- k1
y = Cx + Du = 1 0
1 −
kr
x + r, kr
k2
-
(6.14)
x.
El sistema de bucle cerrado tiene el polinomio característico
1
s + k1
k2 det(sI - A + BK) = det
= s2 + (k1 + k2 )s + k1 .
k
s + k1
Supongamos que queremos utilizar la retroalimentación
para diseñar la dinámica
2
del sistema para tener el polinomio característico
p(s) = s2 +  cc s +2 .c
Comparando este polinomio con el polinomio característico del sistema de lazo
cerrado, vemos que las ganancias de retroalimentación deben ser elegidas como
k1 =c 2 ,
La ecuación (6.13) da kr = k1 =
2
c,
k2 = c c-2 .
c
y la ley de control puede escribirse como
u = k1 (r - x1 ) - k2 x2 c=2 (r - x1 ) -(c c-2 )xc2 .
178
Po
sic 1
ió
n 0.5
lat
era 0
0
l
y/b
Án 4
gul
o
de 2
dir
ecc 0
ión
ra 0
d]
c
2
4
6
8
10
c
2
4
6
8
Tiempo normalizado v0 t
10
(a) Respuesta escalonada para variar
c
Po
sic 1
ió
n 0.5
lat
era 0
0
l
y/b
1
Án
gul
o
0.5
de
dir
0
ecc
ión
-0.5
ra
0
d]
CAPÍTULO 6.
RETROALIMENTACIÓN DEL
ESTADO
c
2
4
6
8
10
c
2
4
6
8
Tiempo normalizado v0 t
10
(b) Respuesta escalonada para variar c
Figura 6.6: Control de retroalimentación de estado de un sistema de dirección. Las
respuestas escalonadas obtenidas con controladores diseñados con c = 0,7 y c = 0,5, 1 y 2
[rad/s] se muestran en (a). Obsérvese que la velocidad de respuesta aumenta con el
incremento de c, pero que c grandes también dan grandes acciones de control inicial. Las
respuestas escalonadas obtenidas con un controlador diseñado con c = 1 y c = 0,5, 0,7 y 1
se muestran en (b).
En la figura 6.6 se muestran las respuestas escalonadas del sistema de bucle
cerrado para distintos valores de los parámetros de desalineación. El efecto dec se
muestra en la Figura 6.6a, que muestra que la velocidad de respuesta aumenta
con el incremento dec . Las respuestas parac = 0,5 y 1 tienen un sobreimpulso
razonable. El tiempo de estabilización es de unos 15 car
longitudes parac = 0,5 (más allá del final de la parcela) y disminuye hasta
aproximadamente 6 coches
parac = 1. La señal de control es grande inicialmente y va a cero a medida que
aumenta el tiempo porque la dinámica de bucle cerrado tiene un integrador. El
2r, por
valor inicial de la señal de control es
lo que el tiempo de
c u(0) = kr =
respuesta alcanzable está limitado por la señal disponible del actuador.
Obsérvese, en particular, el espectacular aumento
en la señal de control cuandoc cambia de 1 a 2. El efecto dec se muestra en la Fig.
6.6b. La velocidad de respuesta y el rebasamiento aumentan con la disminución
del amortiguamiento. Usando estos gráficos, concluimos que los valores
razonables de los parámetros de diseño son tenerc en el rango de 0.5 a 1 yc ≈ 0.7.
El ejemplo del sistema de dirección del vehículo ilustra cómo la
retroalimentación de estado puede utilizarse para establecer los valores propios
de un sistema de bucle cerrado en valores arbitrarios.
Retroalimentación de estado para sistemas en forma canónica alcanzable
La forma canónica alcanzable tiene la propiedad de que los parámetros del
sistema son los coeficientes del polinomio característico. Por lo tanto, es natural
considerar los sistemas en esta forma al resolver el problema de asignación de
valores propios.
179
6.2. ESTABILIZACIÓN POR
RETROALIMENTACIÓN DE ESTADO
Consideremos un sistema en forma canónica
alcanzable, es decir
-a1
dz
dt
= Ãz+ B˜u =
-a2
0
1
1
0
-a3
0
0
..
.
y = Cz
˜ = b1
0
b2 - - - bn
1
. . . -an
... 0
0. u
z
... 0 +
.
..
.
0 0
.
1
0
.
(6.15)
z.
Se deduce de(6.7) que el sistema de bucle abierto tiene el polinomio
característico det(sI - A) = sn + a1 sn−1 + - - + an−1 s + an .
Antes de hacer un análisis formal, podemos obtener alguna información investigando el
diagrama de bloques del sistema que se muestra en la figura 6.4. El polinomio
característico está dado por los parámetros ak en la figura. Obsérvese que el
parámetro ak puede cambiarse mediante la retroalimentación del estado zk a la
entrada u. Por tanto, es sencillo cambiar los coeficientes del polinomio
característico mediante la retroalimentación del estado.
Volviendo a las ecuaciones, introduciendo la ley de control
u = -K˜z + kr r = -k˜1z1 - k˜2z2 ---- - k˜nzn + kr r, (6.16)
el sistema de bucle cerrado se convierte en
-a1 - k˜1
-a2 - k˜2 -a3 - k˜3
1
0
dz
dt =
y=
0
1
0
0
..
0.
b1
b2
- - - bn
.
. . . -an - k̃n
...
...
..
.
1
0
0
+z
.
0
kr
0
0
0 ..
r,
(6.17)
z.
La retroalimentación cambia los elementos de la primera fila de la matriz A, que
corresponde a los parámetros del polinomio característico. El sistema de bucle
cerrado tiene así el polinomio característico
sn + (a1 + k˜1)sn−1 + (a2 + k˜2)sn−2 + - - + (an−1 + k˜n-1)s + an + k˜n.
Exigiendo que este polinomio sea igual al polinomio de bucle cerrado deseado
p(s) = sn + p1 sn−1 + - - + pn−1 s + pn ,
encontramos que las ganancias del controlador deben ser elegidas como
k˜1 = p1 - a1
k˜2 = p2 - a2 ,
,
.
..
k˜n = pn - an .
Esta retroalimentación simplemente reemplaza los parámetros ai en el sistema
(6.15) por pi . La ganancia de retroalimentación para un sistema en forma
canónica alcanzable es, por lo tanto
K˜= p1-ap1
- - - pn - an .
(6.18)
2 - a2
180
CAPÍTULO 6.
RETROALIMENTACIÓN DEL
ESTADO
Para tener una ganancia de frecuencia cero igual a la unidad, se debe elegir el
parámetro k r
como
k = an + k˜n= pn .
(6.19)
r
bn
bn
Obsérvese que es esencial conocer los valores precisos de los parámetros an y bn
para obtener la ganancia de frecuencia cero correcta. La ganancia de frecuencia
cero se obtiene, pues, mediante una calibración precisa. Esto es muy diferente a
la obtención del valor correcto de estado estacionario por acción integral, que
veremos en secciones posteriores.
Asignación de valores propios
Hemos visto a través de los ejemplos cómo la retroalimentación puede ser
utilizada para diseñar la dinámica de un sistema a través de la asignación de sus
valores propios. Para resolver el problema en el caso general, simplemente
cambiamos las coordenadas para que el sistema esté en forma canónica
alcanzable. Consideremos el sistema
dx
dt
= Ax + Bu,
y = Cx + Du.
(6.20)
Podemos cambiar las coordenadas mediante una transformación lineal z = Tx
de modo que el sistema transformado esté en forma canónica alcanzable (6.15).
Para un sistema de este tipo el
La retroalimentación está dada por la ecuación (6.16), donde los coeficientes
están dados por la ecuación (6.18). Transformando de nuevo a las coordenadas
originales se obtiene la retroalimentación
u = -K˜z + kr r = -K˜T x + kr r.
Los resultados obtenidos pueden resumirse como sigue.
Teorema 6.3 (Asignación de valores propios por retroalimentación de estado).
Consideremos el sistema dado por la ecuación (6.20), con una entrada y una
salida. Sea (s) = sn + a1 sn−1 +
- - -+ a −n1 s + an sea el polinomio característico de A. Si el sistema es alcanzable,
entonces existe una retroalimentación
u = -Kx + kr r
que da un sistema de bucle cerrado con el polinomio característico
p(s) = sn + p1 sn−1 + - - + pn−1 s + pn
y la ganancia de frecuencia cero entre r e y. La ganancia de retroalimentación viene
dada por
K = KT̃= p1 - a p1
- - - pn - an W˜rWr-1,
(6.21)
2 - a2
donde ai son los coeficientes del polinomio característico de la matriz A y las
matrices Wr y W̃rvienen dadas por
181
6.2. ESTABILIZACIÓN POR
RETROALIMENTACIÓN DE ESTADO
1 a1
0 1
Wr = B AB - - -
An−1 B,
W̃r=
.
0
0
0
0
a2 - - - an-1
a1 - - - an−2
.. ..
.
.
.
--- 1
a1
0 --- 1
-1
.
La ganancia de referencia
viene dada por
kr = −1/ C(A − BK)−1B .
Para problemas sencillos, el problema de asignación de valores propios puede
resolverse introduciendo los elementos ki de K como variables desconocidas. A
continuación, calculamos el polinomio característico
(s) = det(sI - A + BK)
y equiparar los coeficientes de potencias iguales de s a los coeficientes del
polinomio característico deseado
p(s) = sn + p1 sn−1 + - - + pn−1 s + pn .
Esto da un sistema de ecuaciones lineales para determinar ki . Las ecuaciones
siempre pueden resolverse si el sistema es alcanzable, exactamente como
hicimos en el ejemplo 6.4.
La ecuación (6.21), denominada fórmula de Ackermann [Ack72, Ack85],
puede utilizarse para cálculos numéricos. Se implementa en la función de
MATLAB acker. La función de MATLAB place es preferible para sistemas
de alto orden porque está mejor condicionada numéricamente.
Ejemplo 6.5 Depredador-presa
Consideremos el problema de regular la población de un ecosistema modulando
el suministro de alimentos. Utilizamos el modelo depredador-presa introducido
en la sección 3.7. La dinámica del sistema
viene dada por
(
dH
H aHL
= (r + u)H 1 - ,
H ≥ 0,
dt
k
c+H
dL
aHL
= bc
- dL, L ≥ 0.
dt
+H
Elegimos los siguientes parámetros nominales para el sistema, que corresponden
a los valores utilizados en simulaciones anteriores:
a = 3,2, b = 0,6, c = 50,
d = 0,56, k = 125 r = 1,6.
Tomamos el parámetro r, correspondiente a la tasa de crecimiento de las liebres,
como entrada al sistema, que podríamos modular controlando una fuente de
alimento para las liebres. Esto se refleja en nuestro modelo mediante el término
(r + u) en la primera ecuación. Elegimos el número de linces como la salida de
nuestro sistema.
Para controlar este sistema, primero linealizamos el sistema alrededor del
punto de equilibrio del sistema (He , Le ), que puede determinarse
numéricamente como xe ≈
182
CAPÍTULO 6.
RETROALIMENTACIÓN DEL
ESTADO
(20.6, 29.5). Esto da lugar a un sistema dinámico lineal
d z1 0,13 -0,93 z1 17,2
z
=
+
v,
w = 0 1 1,
z2
z2
0
dt
0.57
0
z2
donde z1 = H-He , z2 = L-Le y v = u. Es fácil comprobar que el sistema es
alcanzable en torno al equilibrio (z, v) = (0, 0), y por tanto podemos asignar los
valores propios del sistema utilizando la retroalimentación de estado.
La determinación de los valores propios del sistema de bucle cerrado requiere
equilibrar la capacidad de modular la entrada con la dinámica natural del
sistema. Esto puede hacerse mediante el proceso de prueba y error o utilizando
algunas de las técnicas más sistemáticas que se discuten en el resto del texto. Por
ahora, simplemente elegimos los valores propios
{- deseados
} de lazo cerrado para
ser en = 0 ,1, 0,2 . A continuación, podemos resolver para
las ganancias de retroalimentación utilizando las técnicas descritas anteriormente, lo que
resulta en
K = 0.025 - 0 .052 .
Finalmente, resolvemos la ganancia de referencia kr , utilizando la ecuación (6.13) para
obtener kr =
0.002.
Juntando estos pasos, nuestra ley de control se convierte en
v = -Kz + kr Ld ,
donde Ld es el número deseado de linces. Para aplicar la ley de control, debemos
reescribirla utilizando las coordenadas originales del sistema, obteniendo
u = ue - K(x - xe ) + kr (Ld - ye )
= - 0.025 -0.052
H - 20.6
5
L - 29.
+ 0,002 (Ld - 29,5).
Esta regla nos indica cuánto debemos modular u en función del número actual de
linces y liebres en el ecosistema. La figura 6.7a muestra una simulación del
sistema de bucle cerrado resultante utilizando los parámetros definidos
anteriormente y comenzando con una población inicial de 15 liebres y 20 linces.
Obsérvese que el sistema estabiliza rápidamente la población de linces en el
valor de referencia (Ld = 30). Una fase porLa figura 6.7b muestra cómo otras condiciones iniciales
convergen a la población de equilibrio estabilizada. Obsérvese que la dinámica
es muy diferente de la dinámica natural (mostrada en la Figura 3.20).
Los resultados de esta sección muestran que podemos utilizar la
retroalimentación de estado para diseñar la dinámica de un sistema, bajo la fuerte
suposición de que podemos medir todos los estados. Abordaremos la
disponibilidad de los estados en el próximo capítulo, cuando consideremos la
retroalimentación de salida y la estimación de estados. Además, el teorema 6.3,
que afirma que los valores propios pueden asignarse a lugares arbitrarios,
también está muy ideado y supone que la dinámica del proceso se conoce con
gran precisión. La robustez de la retroalimentación de estado combinada con los
estimadores de estado se considera en el capítulo 12, después de haber
desarrollado las herramientas necesarias.
183
6.3. DISEÑO DE
RETROALIMENTACIÓN DE
ESTADO
100
80
Liebre
Lince
60
Po
bla
ció
n
80
Li
nc
es
40
20
0
60
40
20
0
20
40
60
80
0
0
100
50
Liebres
Tiempo (años)
100
(b) Retrato de fase
(a) Respuesta a la condición inicial
Figura 6.7: Resultados de la simulación del sistema depredador-presa controlado. La
población de linces y liebres en función del tiempo se muestra en (a), y un retrato de fase
para el sistema controlado se muestra en (b). La retroalimentación se utiliza para que la
población sea estable a He = 20,6 y
Le = 30.
6.3 Diseño de la retroalimentación del Estado
La ubicación de los valores propios determina el comportamiento de la dinámica
de bucle cerrado y, por lo tanto, la ubicación de los valores propios es la
principal decisión de diseño que hay que tomar. Como en todos los demás
problemas de diseño de retroalimentación, existen compensaciones entre la
magnitud de las entradas de control, la robustez del sistema frente a las
perturbaciones y el rendimiento de lazo cerrado del sistema. En esta sección
examinamos algunas de estas compensaciones empezando por el caso especial de
los sistemas de segundo orden.
Sistemas de segundo orden
Una clase de sistemas que aparece con frecuencia en el análisis y diseño de
sistemas de retroalimentación son las ecuaciones diferenciales lineales de
segundo orden. Debido a su naturaleza ubicua, es útil aplicar los conceptos de
este capítulo a esa clase específica de sistemas y construir más intuición sobre la
relación entre la estabilidad y el rendimiento.
El sistema canónico de segundo orden es una ecuación diferencial de la forma
(6.22)
q¨ + 0 q˙ +2 q = 2 u,
y = q.
0
0
En forma de espacio de estados, este sistema puede representarse
como
0
dx 0
0
=
0
u,
y = 1x.
x + 
−− 0
dt
0
Los valores propios de este sistema vienen dados por
= −0 ±J ( - 1),
2
0
(6.23)
2
y vemos que el origen es un punto de equilibrio estable si0 > 0 y > 0. Nótese
que los valores propios son complejos si < 1 y reales en caso contrario.
Ecuaciones (6.22)
184
CAPÍTULO 6.
RETROALIMENTACIÓN DEL
ESTADO
y (6.23) pueden utilizarse para describir muchos sistemas de segundo orden,
incluyendo osciladores amortiguados, filtros activos y estructuras flexibles, como
se muestra en los ejemplos siguientes.
La forma de la solución depende del valor de , que se denomina relación de
amortiguación del sistema. Si  1, decimos que el sistema está
sobreamortiguado, y la respuesta natural (u = 0) del sistema viene dada por
x10 + x20 −t x10 + x20 −t
y(t) =
e e ,
j
j
- consiste en la suma de dos
donde =0 ( + 2 1) y =0 ( 2 1). Vemos que la respuesta
señales que decaen exponencialmente. Si = 1, entonces el sistema está
críticamente amortiguado y la solución se convierte en
y(t) = e−0t x10 + (x20 +  0x10)t .
Obsérvese que esto sigue siendo asintóticamente estable mientras0 > 0, aunque
el segundo término de la solución aumenta con el tiempo (pero más lentamente
que el exponencial decadente que lo multiplica).
Finalmente, si 0 <  1, entonces la solución es oscilatoria y se dice que la
ecuación (6.22) está infraamortiguada. El parámetro0 se conoce como la
frecuencia natural del sistema, debido a que para pequeños , los valores propios
del sistema son
j1
= −0 ± 0 − 2. La respuesta natural del sistema viene dada por
(
1
0
 0t
−
y(t) = e
x10 d t + x10 + x20 d t ,
d
d
j
donded =0 1 2 se llama- la frecuencia amortiguada. Para 1, d0 de-≪
fine la frecuencia
≈
de oscilación de la solución y da la tasa de amortiguación relativa a0 .
Debido a la forma simple de un sistema de segundo orden, es posible resolver
las respuestas de paso y de frecuencia en forma analítica. La solución de la
respuesta al escalón depende de la magnitud de :
y(t) = k 1 - e− 0t d t y(t) = k(1 - e− 0t (1 +0 t) ,
y(t) = k 1 -

2
√
2
-1

1−
2
e− 0t  d t\,
= 1;
(6.24)
+ 1 e-0t( -√ 2-1)
- 1 e-0t( +√ 2-1) ,
1 √
+2
2-1
< 1;
> 1,
donde hemos tomado x(0) = 0. Nótese que para el caso ligeramente amortiguado
( < 1) tenemos una solución oscilante a la frecuenciad .
En la figura 6.8 se muestran las respuestas escalonadas de sistemas con k = 1
y diferentes valores de . La forma de la respuesta está determinada por , y la
velocidad de la respuesta está determinada por0 (incluida en la escala del eje del
tiempo): la respuesta es
185
6.3. DISEÑO DE
RETROALIMENTACIÓN DE
ESTADO
So
y
= 0.4
=0
= 0.7
=1
2
1.5
Re
y
= 1.2
1
0.5
0
0
5
10
Tiempo normalizado0 t
(a) Valores
propios
15
(b) Respuestas al paso
Figura 6.8: Respuesta al escalón para un sistema de segundo orden. Respuestas
escalonadas normalizadas h para el sistema (6.23) para = 0, 0.4, 0.7, 1 y 1.2. A medida
que aumenta la relación de amortiguación, el tiempo de subida del sistema se alarga, pero
hay menos sobreimpulso. El eje horizontal está en unidades de escala
0 t; los valores más altos de0 dan lugar a una respuesta más rápida (tiempo de subida y de asentamiento).
más rápido si0 es mayor.
Además de la forma explícita de la solución, también podemos calcular las
propiedades de la respuesta al escalón que se definieron en la sección 5.3. Por
ejemplo, para calcular el máximo rebasamiento para un sistema subamortiguado,
reescribimos la salida como
1
y(t) = k 1 - j
e− 0t sin(d t + )\N,
(6.25)
1−
2
donde = arccos . El máximo rebasamiento se producirá en el primer momento en
que la derivada de y sea cero, lo que puede demostrarse que es
2
Mp = e- /√1- .
Pueden hacerse cálculos similares para las demás características de una respuesta
escalonada. La tabla 6.1 resume los cálculos.
La respuesta en frecuencia de un sistema de segundo orden también puede calcularse
exTabla 6.1: Propiedades de la respuesta escalonada para un sistema de segundo orden con 0 < < 1.
Propiedad
Valor
= 0.5
= 1/√2
=1
Valor de estado
estacionario
k
k
k
k
Tiempo de subida
Tr ≈ 1/0
1.8/0
2.2/0
2.7/0
Sobregiro
Mp = e- /√1-
16%
4%
0%
Tiempo de asentamiento (2%)
-e/ 
2
Ts ≈
4/ 0
8.0/0
5.9/0
5.8/0
186
CAPÍTULO 6.
RETROALIMENTACIÓN DEL
ESTADO
= 0.08
= 0.2
= 0.5
102
Ga
0
nar 10
Im ≈ 0
=1
10-2
0
Re
Fa
se
[d -90
eg
] -180
10−1
(a) Valores
propios
100
Frecuencia normalizada 0
101
(b) Respuestas en frecuencia
Figura 6.9: Respuesta en frecuencia de un sistema de segundo orden (6.23). (a) Valores
propios en función de . (b) Respuesta en frecuencia en función de . La curva superior
muestra la relación de ganancia M, y la curva inferior muestra el desplazamiento de fase .
Para un valor pequeño hay un gran pico en la magnitud de la respuesta en frecuencia y un
rápido cambio de fase centrado en =0 . A medida que se aumenta, la magnitud del pico cae
y la fase cambia más suavemente entre 0◦ y -180◦.
plícitamente y viene
dada por
Yo



=
0
0
.
2 = -2
2
(i)2 + 0 (i) + 0
+
2i
0
0
En la figura 6.9 se ofrece una ilustración gráfica de la respuesta en frecuencia.
Obsérvese el pico de resonancia que aumenta con la disminución de . El pico se
suele caracterizar por su valor Q, definido como Q =  . Las propiedades de la
respuesta en frecuencia para un sistema de segundo orden se resumen en la Tabla
6.2.
Ejemplo 6.6 Administración de medicamentos
Para ilustrar el uso de estas fórmulas, consideremos el modelo de dos
compartimentos para la administración de fármacos, descrito en la sección 3.6.
La dinámica del sistema es
dc
-k0- k1
k1
b0
=
c + u,
y = 01c,
0
k2
-k 2
dt
donde c1 y c2 son las concentraciones del fármaco en cada compartimento, ki , i
=
Tabla 6.2: Propiedades de la respuesta en frecuencia para un sistema de segundo orden con 0 <  1.
= 1/√2
Propiedad
Valor
= 0.1
= 0.5
Ganancia de
frecuencia cero
Ancho de banda
M0
k
k
k
b
1.54 0
1.27 0
0
Ganancia de pico de
resonancia
Frecuencia de
resonancia
Sr.
1.54 k
1.27 k
k
Sr.
0
0.7070
0
6.3. DISEÑO DE
RETROALIMENTACIÓN DE
ESTADO
1.5
Co
nce
1
ntr
aci
ón, 0.5
C2
0
0
5
10
Do 0.6
sis
de 0.4
ent 0.2
ra
da 0
0
5
10
187
15
20
25
30
Tiempo t [min]
35
Retroalimenta
ción del
estado Pulsos
40
45
50
15
20
25
30
Tiempo t [min]
35
40
45
50
Figura 6.10: Administración de fármacos en bucle abierto frente a bucle cerrado.
Comparación entre la administración del fármaco mediante una secuencia de dosis frente a
la monitorización continua de las concentraciones y el ajuste continuo de la dosis. En
ambos casos, la concentración se mantiene (aproximadamente) en el nivel deseado, pero el
sistema de bucle cerrado tiene una variabilidad sustancialmente menor en la concentración
del fármaco.
0, . . . , 2 y b0 son parámetros del sistema, u es el flujo del fármaco hacia el
compartimento 1 e y es la concentración del fármaco en el compartimento 2.
Suponemos que podemos medir las concentraciones del fármaco en cada
compartimento, y
quisiera diseñar una ley de retroalimentación para mantener la salida en un valor
de referencia r dado.
Elegimos = 0,9 para minimizar el rebasamiento y elegimos que el tiempo de
subida sea Tr = 10 min. Usando las fórmulas de la Tabla 6.1, esto da un valor
para0 = 0.22. Ahora podemos calcular la ganancia para colocar los valores
propios en este lugar. Estableciendo u = -Kx + kr r, los valores propios de lazo
cerrado para el sistema satisfacen
(s) = -0,198 ± 0,0959i.
Eligiendo k1 = -0.2027 y k2 = 0.2005 se obtiene el comportamiento deseado en
lazo cerrado. La ecuación (6.13) da la ganancia de referencia kr = 0.0645. La
respuesta del controlador se muestra en la Figura 6.10 y se compara con una
estrategia de lazo abierto que implica
administrando dosis periódicas del fármaco.
Sistemas de orden superior
Hasta ahora sólo hemos considerado sistemas de segundo orden. Para los
sistemas de orden superior, la asignación de valores propios es
considerablemente más difícil, especialmente cuando se trata de tener en cuenta
las numerosas compensaciones que están presentes en un diseño de
retroalimentación.
Otra de las razones por las que los sistemas de segundo orden desempeñan un
papel tan importante en los sistemas de retroalimentación es que, incluso en los
sistemas más complicados, la respuesta suele estar caracterizada por los valores
propios dominantes. Para definirlos con mayor precisión,
188
CAPÍTULO 6.
RETROALIMENTACIÓN DEL
ESTADO
Consideremos un sistema con valores propiosj , j = 1, . . . , n. Definimos la relación de
amortiguación
para que un valor propio complejo sea
=
-Re
.
|
Decimos que un par complejo conjugado de valores propios , ∗ es un par
dominante si tiene la menor relación de amortiguamiento en comparación con
todos los demás valores propios del sistema.
Suponiendo que un sistema es estable, el par dominante de valores propios
tiende a ser el elemento más importante de la respuesta. Para ver esto,
supongamos que tenemos un sistema en forma de Jordan con un bloque de
Jordan simple correspondiente al par dominante de valores propios:
dz
2 =
dt
∗
z + Bu,
J
..
.
y = Cz.
k
J
(La respuesta del sistema será una combinación lineal de las respuestas de cada
uno de los subsistemas de Jordan. Como vemos en la figura 6.8, para < 1 el
subsistema con la respuesta más lenta es precisamente el que tiene la menor
relación de amortiguamiento. Por lo tanto, cuando sumamos las respuestas de
cada uno de los subsistemas individuales,
es el par de valores propios dominantes el que será el factor principal después de
que los transitorios iniciales debidos a los otros términos de la solución se
extingan. Aunque este sencillo análisis no siempre se cumple (por ejemplo, si
algunos términos no dominantes tienen coeficientes mayores debido a la forma
particular del sistema), suele ocurrir que los valores propios dominantes
determinan la respuesta (escalonada) del sistema.
El único requisito formal para la asignación de valores propios es que el
sistema sea alcanzable. En la práctica, existen muchas otras restricciones, ya que
la selección de los valores propios tiene un fuerte efecto sobre la magnitud y la
velocidad de cambio de la señal de control. Los valores propios grandes
requerirán, en general, señales de control grandes, así como cambios rápidos de
las señales. Por lo tanto, la capacidad de los actuadores impondrá restricciones a
la posible ubicación de los valores propios de lazo cerrado. Estas cuestiones se
discutirán en profundidad en los capítulos 11 y 12.
Ilustramos algunas de las ideas principales utilizando el sistema de balanza como
ejemplo.
Ejemplo 6.7 Sistema de equilibrio
Considere el problema de estabilizar un sistema de equilibrio, cuya dinámica fue
dada en el Ejemplo 6.2. La dinámica viene dada por
0
0
0
1
0
0
0
0
1
,
B=, 0
A=
2 2
J
0 m l g/
- cJt 
- Jt lm/
t
lm/
/
0 Mt mgl/
-clm/
−t
189
6.3. DISEÑO DE
RETROALIMENTACIÓN DE
ESTADO
donde Mt = M + m, Jt = J + ml2 , = M
- t Jt m2 l2 y hemos dejado c y no cero.
Utilizamos los siguientes parámetros para el sistema (que corresponden
aproximadamente a un ser humano equilibrado en un carro estabilizador):
M = 10 kg,
J = 100 kg m /s ,
2
2
m = 80 kg,
c = 0,1 N s/m,
l = 1 m,
= 0,01 N m s,
g = 9,8 m/s2 .
Los valores propios de la dinámica de lazo abierto vienen
≈ dados -por ,
± 4,7,
1,9 2,7i. Ya hemos verificado en el Ejemplo 6.2 que el sistema es alcanzable, y
por lo tanto podemos utilizar la retroalimentación de estado para estabilizar el
sistema y proporcionar un nivel deseado de
rendimiento.
Para decidir dónde colocar los valores propios del bucle cerrado, observamos
que la dinámica del bucle cerrado constará aproximadamente de dos
componentes: un conjunto de dinámicas rápidas que estabilizan el péndulo en la
posición invertida y un conjunto de dinámicas más lentas que controlan la
posición
del carro. Para la dinámica rápida, nos fijamos en el periodo natural del
j
péndulo (en la posición colgada), que viene dado por0 =
mgl/(J + ml2) ≈ 2,1 rad/s. Para proporcionar una respuesta rápida elegimos una relación
de amortiguación
de = 0,5 y tratar de situar el primer par de valores
propios
en1,2 ≈ -0 ± 0 ≈
j
- 1± 2i, donde hemos utilizado la aproximación de que1 − 2 1.Para
la
dinámica lenta, elegimos que la relación de amortiguación sea de 0,7 para
≈
proporcionar
un pequeño rebasamiento y elegimos que la frecuencia natural sea
de 0,5 para dar un tiempo de- subida
± de aproximadamente 5 s. Esto da valores
propios3,4 = 0,35 0,35i.
El controlador consta de una retroalimentación sobre el estado y una ganancia de
alimentación para
la entrada de referencia. La ganancia de retroalimentación viene dada por
K=
-15.6 1730 -50.1 443
,
que puede ser calculado usando el Teorema 6.3 o usando el com- mandamiento
de lugar de MATLAB. La ganancia
es kr = -1/(C(A BK)−1 B) =
- feedforward
15.5. La respuesta al paso para el controlador resultante (aplicado al sistema
linealizado) está dada en
Figura 6.11a. Aunque la respuesta escalonada da las características deseadas, la
entrada requerida (abajo a la izquierda) es excesivamente grande, casi tres veces
la fuerza de la gravedad en su punto máximo.
Para proporcionar una respuesta más realista, podemos rediseñar el
controlador para que tenga una dinámica más lenta. Vemos que el pico de la
fuerza de entrada se produce en la escala de tiempo rápida, y por lo tanto
elegimos ralentizarla en un factor de 3, dejando la relación de amortiguación sin
cambios. También ralentizamos el segundo conjunto de valores propios, con la
intuición de que deberíamos mover la posición del carro más despacio de lo que
establecemos la dinámica del péndulo. Dejando la relación de amortiguación
para la dinámica lenta
sin cambios en 0,7 y cambiando la frecuencia a 1 (correspondiente a un tiempo
de subida de aproximadamente 10 s), los valores propios deseados pasan a ser
= {-0,33 ± 0,66i, -0,18 ± 0,18i}.
El rendimiento del controlador resultante se muestra en la Figura 6.11b.
Como vemos en este ejemplo, puede ser difícil determinar dónde colocar
190
2
Po
sic
ió 1
n
p
[m 0
0
]
30
Fu
erz 20
a
10
de
ent 0
ra
da -10 0
F
[N
]
5
5
10
15
10
Tiempo t [s]
15
(a) 1,2 = -1 ± 2i
2
Po
sic
ió 1
n
p
[m 0
0
]
CAPÍTULO 6.
RETROALIMENTACIÓN DEL
ESTADO
10
20
30
30
Fu
erz 20
a
10
de
ent 0
ra
da -10 0
10
20
30
F
Tiempo t [s]
[N
(b) 1 ,2 = -0,33 ± 0,66i
]
40
40
Figura 6.11: Control de retroalimentación de estado de un sistema de equilibrio. La
respuesta al escalón de un controlador diseñado para ofrecer un rendimiento rápido se
muestra en (a). Aunque las características de la respuesta (arriba a la izquierda) parecen
muy buenas, la magnitud de entrada (abajo a la izquierda) es muy grande. En (b) se
muestra un controlador menos agresivo. Aquí el tiempo de respuesta es más lento, pero la
magnitud de entrada es mucho más razonable. Ambas respuestas escalonadas se aplican a
la dinámica linealizada.
los valores propios utilizando la retroalimentación de estado. Esta es una de las
principales limitaciones de este enfoque, especialmente para sistemas de mayor
dimensión. Las técnicas de control óptimo, como el problema del regulador
cuadrático lineal que se discute a continuación, son un enfoque que está
disponible. También se puede centrar en la respuesta en frecuencia para realizar
el diseño, que es el tema de los capítulos 8-12.
�
Reguladores lineales cuadráticos
Como alternativa a la selección de las ubicaciones de los valores propios del
bucle cerrado para lograr un determinado objetivo, las ganancias de un
controlador de retroalimentación de estado pueden elegirse intentando optimizar
una función de coste. Esto puede ser particularmente útil para ayudar a equilibrar
el rendimiento del sistema con la magnitud de las entradas necesarias para lograr
ese nivel de rendimiento.
El problema del regulador cuadrático lineal (LQR) de horizonte infinito es
uno de los problemas de control óptimo más comunes. Dado un sistema lineal de
múltiples entradas
dx
= Ax + Bu,
x ∈ Rn , u∈ Rp ,
dt
intentamos minimizar la función de coste cuadrática
-
J˜=
0
x TQ x
x+
uT Qu u dt,
(6.26)
donde Qx 0≥y Qu > 0 son matrices simétricas, positivas (semi) definidas de las
dimensiones adecuadas. Esta función de coste representa un compromiso entre la
distancia del estado al origen y el coste de la entrada de control. Al elegir
191
6.3. DISEÑO DE
RETROALIMENTACIÓN DE
ESTADO
las matrices Qx y Qu , podemos equilibrar la tasa de convergencia de las
soluciones con el coste del control.
La solución del problema LQR viene dada por una ley de control lineal de la forma
u = -Qu-1BT Px,
donde P ∈ Rn×n es una matriz simétrica definida positiva que satisface la ecuación
PA + AT P - PBQu-1BT P + Qx = 0.
(6.27)
La ecuación (6.27) se denomina ecuación algebraica de Riccati y puede
resolverse numéricamente (por ejemplo, utilizando el comando lqr de
MATLAB).
Una de las cuestiones clave en el diseño de LQR es cómo elegir los pesos Qx
y Qu . Para garantizar que existe una solución, debemos
≥ tener Qx 0 y Qu > 0.
Además, existen ciertas condiciones de "observabilidad" sobre Qx que limitan su
elección. Aquí asumimos Qx > 0 para garantizar que las soluciones de la
ecuación algebraica de Riccati siempre existen.
Para elegir los valores específicos de las ponderaciones de la función de
costes Qx y Qu , debemos utilizar nuestro conocimiento del sistema que estamos
tratando de controlar. Una elección especialmente sencilla es utilizar pesos
diagonales
q1
0
1
0
.
.
..
Qx =
,
Q
=
u
.
.
.
n
0
n
0
q
Para esta elección de Qx y Qu , los elementos diagonales individuales describen
cuánto debe contribuir cada estado y entrada (al cuadrado) al coste global. Por lo
tanto, podemos tomar los estados que deben permanecer pequeños y asignarles
valores de peso más altos. Del mismo modo, podemos penalizar una entrada
frente a los estados y otras entradas mediante la elección del peso de la entrada
correspondiente.
Ejemplo 6.8 Avión de empuje vectorial
Consideremos la dinámica original del sistema (2.26), escrita en forma de espacio de
estados como
0
0
z4
0 1
1
z5
dz =
z6
+ m  F1 - m  F2
dt
- z4c
m
F+
 F
1 sin
1
g - mc z 5
1
m
m
2
0
rJ
F1
(véase también el ejemplo 5.4). Los parámetros del sistema son m = 4 kg, J =
0,0475 kg m2 , r = 0,25 m, g = 9,8 m/s2 , c = 0,05 N s/m, lo que corresponde a
un modelo a escala del sistema. El punto de equilibrio del sistema viene dado por
F1 = 0, F2 = mg y ze = (xe , ye , 0, 0, 0, 0). Para derivar el modelo linealizado
cerca de un punto de equilibrio, nosotros
192
calcular la linealización según la ecuación (5.34):
A=
00
00
00
0
0
0
1
0
0
0 0 -g -c/m
00
0
00
0
10 0 0
C=
0,
010000
0
1
0
0
0
1
0
0
-c/m 0
0
0
0
,
CAPÍTULO 6.
RETROALIMENTACIÓN DEL
ESTADO
B=
0
0
0
0
0
0
0
1/m
0
0
1/m
0
r/J
0
D = .0
0
,
0
Dejando = z - ze y v = F - Fe , el sistema linealizado viene dado por

=  + Bv,
y=.
dt
Se puede comprobar que el sistema es accesible.
Para calcular un regulador lineal cuadrático para el sistema, escribimos la
función de coste como
J T −
vT Q v dt
=
( de nuevo
+ lasv coordenadas
) ,
donde = z ze-y v = F Fe representan
locales alrededor
0
del punto de equilibrio deseado (ze , Fe ). Comenzamos con matrices diagonales
para los costes de estado y de insumos:
0
10
0 0 0
0 0 0 0
01
=
Qv
0.
1 0 0 0,
00
Q=
00 0 0 0 01 01 0 0
0
000001
Esto da una ley de control de la forma v -=  , que puede utilizarse para derivar
la ley de control en términos de las variables originales:
F = v + Fe = -K(z - ze ) + Fe .
Como se calculó en el Ejemplo 5.4, los puntos de equilibrio tienen Fe = (0, mg)
y ze = (xe , ye , 0, 0, 0, 0). La respuesta del controlador a un cambio de paso en
la posición deseada se muestra en la figura 6.12a para = 1. La respuesta puede
ajustarse mediante el ajuste de los pesos en el coste LQR. La figura 6.12b
muestra la respuesta en la dirección x
para diferentes elecciones del peso .
Los reguladores cuadráticos lineales también pueden diseñarse para sistemas de
tiempo discreto, como se ilustra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 6.9 Control del servidor web
Consideremos el ejemplo del servidor web dado en la sección 3.4, donde se dio un
modelo de tiempo discreto para el sistema. Deseamos diseñar una ley de control
que establezca el servidor
193
6.3. DISEÑO DE
RETROALIMENTACIÓN DE
ESTADO
Po
sic 1
ió
n 0.5
x,
y
0
[m
0
]
x
y
2
4
6
Tiempo t [s]
8
10
Po 1
sic
ió
n x 0.5
[m
0
]
0
2
4
6
Tiempo t [s]
8
10
(b) Efecto del   control
(a) Respuesta al paso en x e y
Figura 6.12: Respuesta escalonada de una aeronave de empuje vectorial. El gráfico de (a)
muestra las posiciones x e y de la aeronave cuando se le ordena moverse 1 m en cada
dirección. En (b) se muestra el movimiento x para pesos de control = 1, 102 , 104 . Un
mayor peso del término de entrada en la función de costes provoca una respuesta más
lenta.
para que la carga media del procesador del servidor se mantenga en un nivel
deseado. Dado que otros procesos pueden estar ejecutándose en el servidor, el
servidor web debe ajustar sus parámetros en respuesta a los cambios en la carga.
En la Figura 6.13 se muestra un diagrama de bloques del sistema de control.
Nos centramos en el caso especial en el que deseamos controlar sólo la carga del
procesador utilizando los parámetros KeepAlive y MaxClients. También
incluimos una "perturbación" en la carga medida que representa el uso de los
ciclos de procesamiento por parte de otros procesos que se ejecutan en el
servidor. El sistema tiene la misma estructura básica que el sistema de control
genérico de la figura 6.5, con la variación de que la perturbación entra después
de la dinámica del proceso.
La dinámica del sistema viene dada por un conjunto de ecuaciones en
diferencia de la forma
x[k + 1] = Ax[k] + Bu[k],
ycpu [k] = Ccpu x[k] + dcpu [k],
donde x = (xcpu , xmem ) es el estado, u = (uka , umc ) es la entrada, dcpu es la
carga de procesamiento de otros procesos en el ordenador y ycpu es la carga total
del procesador.
Precompensación
rcpu
kr
Comentarios
Controlador
e
u
C
d
Servidor
P
y
-1
Figura 6.13: Control de retroalimentación de un servidor web. El controlador establece los
valores de los parámetros del servidor web en función de la diferencia entre los parámetros
nominales (determinados por krr) y la carga actual ycpu. La perturbación d representa la
carga debida a otros procesos que se ejecutan en el servidor. Obsérvese que la medición se
realiza después de la perturbación, de modo que se mide la carga total del servidor.
194
CAPÍTULO 6.
RETROALIMENTACIÓN DEL
ESTADO
Elegimos que nuestro controlador sea un controlador de retroalimentación de estado de la
forma
ycpu
u = -K
+ kr rcpu ,
xme
donde rcpu es la carga deseada del procesador. Obsérvese que hemos utilizado la
m lugar del estado para asegurarnos de que
carga medida del procesador ycpu en
ajustamos el funcionamiento del sistema en función de la carga real. (Esta
modificación es necesaria debido a la forma no estándar en que la perturbación
entra en la dinámica del proceso).
La matriz de ganancia de retroalimentación K puede ser elegida por
cualquiera de los métodos descritos en este capítulo. Aquí utilizamos un
regulador lineal cuadrático,
con la función de coste
dada por
5
2
Q= 0
,
1/50
0
.
1
Qu =
x
0
1/1000 2
0
La función de coste para el estado Qx se elige de forma que pongamos más
énfasis en la carga del procesador frente al uso de la memoria. La función de
coste para las entradas Qu se elige para normalizar las dos entradas, con un
tiempo de espera KeepAlive de 50 s que tiene el mismo peso que un valor
MaxClients de 1000. Estos valores se elevan al cuadrado ya que el coste
asociado a las entradas viene dado por uT Qu u. Utilizando la dinámica de la
sección 3.4 y el comando dlqr de MATLAB, las ganancias resultantes son
K=
.
22.3 10.1
382.7 77.7
Como en el caso de un sistema de control de tiempo continuo, la ganancia de
referencia kr se elige para obtener el punto de equilibrio deseado para el sistema.
Fijando x[k + 1] = x[k] = xe , el punto de equilibrio en estado estacionario y la
salida para una entrada de referencia dada r vienen dados por
xe = (A - BK)xe + Bkr r, ye = Cxe .
Se trata de una ecuación diferencial matricial en la que kr es un vector columna
que establece los valores de las dos entradas en función de la referencia deseada.
Si tomamos la salida deseada de la forma ye = (r, 0), entonces debemos resolver
1
1
0 = C(A - BK - I)− Bkr .
Resolviendo esta ecuación para kr , obtenemos
-1
49,3
k = C(A - BK - I)−1 B 1=
.
0
5
r
539.
La dinámica del sistema de bucle cerrado se ilustra en la figura 6.14.
Aplicamos un cambio en la carga de dcpu = 0,3 en el tiempo t = 10 s, obligando
al controlador a ajustar el funcionamiento del servidor para intentar mantener la
carga deseada en 0,57. Nótese que se ajustan los parámetros KeepAlive y
MaxClients. Aunque el
carga disminuye, se mantiene aproximadamente 0,2 por encima del estado
estacionario deseado. (Pueden obtenerse mejores resultados utilizando las
técnicas de la siguiente sección).
195
6.4. ACCIÓN INTEGRAL
1
xcp 0.8
u,
xm 0.6
em 0.4
0
50
xmem
xcpu
20
40
Tiempo k [ms]
60
1500
Ke 40
ep 30
Al
iv 20
e 10
0
0
ka (l)
20
40
Tiempo k [ms]
(a) Estado del sistema
1200 Ma
xC
900
li
600 en
te
mc (r) 300 s
0
60
(b) Entradas del sistema
Figura 6.14: Servidor web con control LQR. El gráfico de (a) muestra el estado del
sistema sin un cambio en la carga externa aplicada a k = 10 ms. Los parámetros
correspondientes del servidor web (entradas del sistema) se muestran en (b). El controlador
es capaz de reducir el efecto de la perturbación en aproximadamente un 40%.
6.4 Acción integral
Los controladores basados en la retroalimentación de estado consiguen la
respuesta correcta en estado estacionario a las señales de mando mediante una
cuidadosa calibración de la ganancia kr . Sin embargo, uno de los principales
usos de la retroalimentación es permitir un buen rendimiento en presencia de
incertidumbre, y por lo tanto, exigir que tengamos un modelo exacto del proceso
no es deseable. Una alternativa a la calibración es hacer uso de la
retroalimentación integral, en la que el controlador utiliza un integrador para
proporcionar un error de estado estacionario cero. El concepto básico de la
retroalimentación integral se expuso en la sección 1.5 y en la sección 3.1; aquí
ofrecemos una descripción y un análisis más completos.
El enfoque básico en la retroalimentación integral es crear un estado dentro
del controlador que calcule la integral de la señal de error, que luego se utiliza
como término de retroalimentación. Para ello, aumentamos la descripción del
sistema con un nuevodestado
z:Bu Ax+ Bu
x= Ax +
=
.
(6.28)
dt
z
y-
r
Cx -
r
El estado z se ve como la integral de la diferencia entre la salida real y y la salida
deseada r. Nótese que si encontramos un compensador que estabilice el sistema,
entonces tendremos necesariamente z˙ = 0 en estado estacionario y por tanto y =
r en estado estacionario.
Dado el sistema aumentado, diseñamos un controlador del espacio de estados en la forma
habitual
con una ley de control de la forma
u = -Kx - ki z + kr r,
(6.29)
donde K es el término de retroalimentación de estado habitual, ki es el término
integral y kr se utiliza para establecer la entrada nominal para el estado
estacionario deseado. El punto de equilibrio resultante para el sistema viene dado
por
xe = -(A - BK)−1 B(kr r - ki ze ).
Obsérvese que el valor de ze no se especifica, sino que se establece
automáticamente en el valor
que hace que z˙ = y r = 0, lo que implica que en el
equilibrio la producción será igual al valor de referencia. Esto se mantiene
independientemente de los valores específicos de A,
196
CAPÍTULO 6.
RETROALIMENTACIÓN DEL
ESTADO
B y K siempre que el sistema sea estable (lo que puede hacerse mediante la
elección adecuada de K y ki ).
El compensador final viene dado por
dz
= y - r,
dt
donde ahora hemos incluido la dinámica del integrador como parte de la
especificación del controlador. Este tipo de compensador se conoce como
compensador dinámico, ya que tiene su propia dinámica interna. El siguiente
ejemplo ilustra el enfoque básico.
u = -Kx - ki z + kr r,
Ejemplo 6.10 Control de crucero
Consideremos el ejemplo de control de crucero introducido en la Sección 3.1 y
considerado más adelante en el Ejemplo 5.11. La dinámica linealizada del
proceso alrededor de un punto de equilibrio ve , ue viene dada por
dx
= ax - bg + bw,
y = v = x + ve ,
dt
donde x-=v ve , w- =u ue , m es la masa del coche y es el ángulo de la
carretera. La constante a depende de la característica del acelerador y se da en el
ejemplo 5.11.
Si aumentamos el sistema con un integrador, la dinámica del proceso se convierte en
dx
dz
= ax - bg + bw,
= y - vr = ve + x - vr ,
dt
dt
o, en forma de espacio de estados,
b
dx a0 x
-bg
0
0+
0
0z
=z 1 + w +
ve - v r .
dt
Nótese que cuando el sistema está en equilibrio, tenemos que z˙ = 0, lo que
implica que la velocidad del vehículo v = ve + x debe ser igual a la velocidad de
referencia deseada vr . Nuestro controlador será de la forma
dz
= y - vr ,
w = -kp x - ki z + kr vr ,
dt
y las ganancias kp , ki y kr se elegirán para estabilizar el sistema y proporcionar la
entrada correcta para la velocidad de referencia.
Supongamos que deseamos diseñar el sistema de bucle cerrado para que tenga el
polinomio característico
(s) = s2 + a1 s + a2 .
Fijando la perturbación = 0, el polinomio característico del sistema de lazo
cerrado viene dado por
det sI -(A - BK) = s2 + (bkp - a)s + bki ,
y, por lo tanto,
fijamos
a+a
kp =
1
b
a
,
ki = ,
b
2
a
kr = -1/ C(A -
BK)−1
B=
b
.
197
6.5. LECTURAS COMPLEMENTARIAS
Ve 20
loc
ida
d v 19
[m
/s] 18
0
1
10
20
30
Tiempo t [s]
40
Ac
ele 0.5
ra
do
ru 0
0
Control PI
proporcional
10
20
30
Tiempo t [s]
40
Figura 6.15: Velocidad y acelerador de un coche con control de crucero basado en el
control proporcional (punteado) y PI (sólido). El controlador PI es capaz de ajustar el
acelerador para compensar el efecto de la colina y mantener la velocidad en el valor de
referencia de vr = 20 m/s.
El controlador resultante estabiliza el sistema y, por lo tanto, lleva-z˙ = y vr a
cero, dando lugar a un seguimiento perfecto. Obsérvese que aunque tengamos un
pequeño error en los valores de los parámetros que definen el sistema, siempre
que los valores propios de lazo cerrado sean
sigue siendo estable, entonces el error de seguimiento se acercará a cero. Por lo
tanto, la calibración exacta requerida en nuestro enfoque anterior (utilizando kr )
no es necesaria aquí. De hecho, podemos incluso elegir kr = 0 y dejar que el
controlador de retroalimentación haga todo el trabajo.
La retroalimentación integral también puede utilizarse para compensar las
perturbaciones constantes.
La Figura 6.15 muestra los resultados de una simulación en la que el coche se
encuentra con una colina con ángulo = 4◦ a t = 8 s. La estabilidad del sistema no
se ve afectada por esta perturbación externa, y así vemos de nuevo que la
velocidad del coche converge a la velocidad de referencia. Esta capacidad de
manejar perturbaciones constantes es una propiedad general de los controladores
con retroalimentación integral (ver Ejercicio 6.4).
6.5 Más información
La importancia de los modelos de estado y de la retroalimentación de estado se
discutió en el artículo seminal de Kalman [Kal60], donde la ganancia de la
retroalimentación de estado se obtuvo resolviendo un problema de optimización
que minimizaba una función de pérdida cuadrática. Las nociones de
alcanzabilidad y observabilidad (capítulo 7) también se deben a Kalman
[Kal61b] (véase también [Gil63, KHN63]). Kalman define la controlabilidad y la
alcanzabilidad como la capacidad de alcanzar el origen y un estado arbitrario,
respectivamente [KFA69]. Observamos que en la mayoría de los libros de texto se
utiliza el término "controlabilidad" en lugar de "alcanzabilidad", pero preferimos
este último término porque es más descriptivo de la propiedad fundamental de
poder alcanzar estados arbitrarios. La mayoría de los libros de texto sobre control
contienen material sobre sistemas de espacio de estados, incluyendo, por
ejemplo, Franklin, Powell y Emami-Naeini [FPEN05] y Ogata [Oga01]. El libro
de texto de Friedland [Fri04] cubre el material del capítulo anterior, el actual y el
siguiente con bastante detalle, incluyendo el tema del control óptimo.
198
CAPÍTULO 6.
RETROALIMENTACIÓN DEL
ESTADO
Ejercicios
6.1 (Integrador doble) Considere el integrador doble. Encuentre una estrategia de
control constante a trozos que conduzca el sistema desde el origen hasta el estado
x = (1, 1).
6.2 (Alcanzabilidad a partir de un estado inicial distinto de cero) Amplíe el
argumento del apartado 6.1 para demostrar que si un sistema es alcanzable a
partir de un estado inicial de cero, es alcanzable a partir de un estado inicial
distinto de cero.
6.3 (Sistemas inalcanzables) Considere el sistema mostrado en la figura 6.3.
Escriba la dinámica de los dos sistemas como
dx
dz
= Ax +
= Az + Bu.
dt
dt
Bu,
Si x y z tienen la misma condición inicial, siempre tendrán el mismo estado
independientemente de la entrada que se aplique. Demuestre que esto viola la
definición de alcanzabilidad y demuestre además que la matriz de alcanzabilidad
Wr no es de rango completo.
6.4 (Retroalimentación integral para rechazar perturbaciones constantes) Considere un
sistema lineal
de la forma
dx
= Ax + Bu + Fd,
y = Cx
dt
donde u es un escalar y d es una perturbación que entra en el sistema a través de
un vector de perturbación
F Rn . Supongamos que la matriz A es invertible y la
∈
ganancia de frecuencia cero CA−1 B es distinta de cero. Demuestre que la
retroalimentación integral puede utilizarse para compensar una perturbación
constante dando un error de salida de estado estacionario cero incluso cuando d
/= 0.
6.5 (Bicicleta con dirección trasera) Un modelo simple para una bicicleta fue dado
por la ecuación (3.5) en la Sección 3.2. Un modelo para una bicicleta con dirección
trasera se obtiene invirtiendo el signo de la velocidad en el modelo. Determine las
condiciones en las que este sistema es alcanzable y explique cualquier situación
en la que el sistema no sea alcanzable.
6.6 (Polinomio característico para la forma canónica alcanzable) Demuestre que
el polinomio característico para un sistema en forma canónica alcanzable viene
dado por la ecuación (6.7) y que
dn zk
dzk
dndn-ku
1zk
+ a1
+ - - + an−1 + an zk =
,
dtn
dtn-1
dt
dtn-k
donde zk es el estado k.
6.7 (Matriz de alcanzabilidad para la forma canónica alcanzable) Considere un
sistema en forma canónica alcanzable. Demostrar que la inversa de la matriz de
alcanzabilidad viene dada por
1a1
a2 - - - a n
W̃-1r =
0
0
.
.
0
1
0
a1
1
0
-. . - a n−1
.
.
. ... a1
1
0 ---
199
EJERCICIOS
6.8 (Equilibrios no mantenidos) Considere el modelo normalizado de un péndulo
sobre un carro
d2 x
d2
= u,
= − + u,
dt2
dt2
donde x es la posición del carro y es el ángulo del péndulo. ¿Se puede mantener
/
el ángulo =0 para0 = 0?
6.9 (Asignación de valores propios para un sistema inalcanzable) Considere el sistema
0
dx
dt = 001x + 1u,
0
y = 10x,
con la ley de
control
u = -k1 x1 - k2 x2 + kr r.
Demuestre que los valores propios del sistema no pueden asignarse a valores arbitrarios.
6.10 (Teorema de Cayley-Hamilton) Sea
∈ A Rn×n una matriz con polinomio
n
característico (s) = det(sI-A) = s + a1 sn−1 + -+- -a n1 −s + an . Supongamos que
la matriz A puede ser diagonalizada y demostremos que satisface
(A) = An + a1 An−1 + - - + an−1 A + an I = 0,
Utilice el resultado para demostrar
≥ que Ak , k n, puede reescribirse en términos de
potencias de A de orden menor que n.
6.11 (Accionamiento del motor) Considere el modelo normalizado del
accionamiento del motor en el Ejercicio 2.10. Utilizando los siguientes
parámetros normalizados,
J1 = 10/9, J2 = 10, c = 0,1, k = 1, kI = 1,
Verificar que los valores propios del sistema de lazo abierto
- son 0,
± 0, 0,05 i .
Diseñar una retroalimentación de estado que dé un sistema de- lazo
- cerrado
- ±con
valores propios 2 , 1 y 1 i .
Esta elección implica que los valores propios oscilantes estarán bien
amortiguados y que los valores propios en el origen se sustituyen por valores
propios en el eje real negativo. Simular las respuestas del sistema de lazo cerrado
a los cambios de paso en la señal de comando para2 y un cambio de paso en un
par perturbador en el segundo rotor.
6.12 (Modelo de bicicleta de Whipple) Considere el modelo de bicicleta de
Whipple dado por la ecuación (3.7) en la Sección 3.2. Utilizando los parámetros
del sitio web complementario, el modelo es inestable a la velocidad v = 5 m/s y
± de lazo abierto son -1,84,
los valores propios
-14,29 y 1.
304,60i. Encuentre las ganancias de un controlador que estabilice la
bicicleta
y da valores propios de bucle cerrado en -2, -10 y- ±
1 i. Simule la respuesta de
el sistema a un cambio de paso en la referencia de dirección de 0,002 rad.
200
CAPÍTULO 6.
RETROALIMENTACIÓN DEL
ESTADO
6.13 (Microscopio de fuerza atómica) Considere el modelo de un AFM en modo
de contacto dado en el Ejemplo 5.9:
0
1
0
0
0
dx
-k2 /(m1 + m2 ) -c2 /(m1 + m2 ) 1/m2
x+
u,
0 =
0
dt
0
0
0
3
3 0
0
0
−−
3
33
1 0x.
m1 k2
m1 c2
y =m2
m1 +
m1 +
m1 +
m2
m2
m2
Utilice el script de MATLAB afm_data.m del sitio web complementario para
generar las matrices del sistema.
(a) Calcula la matriz de alcanzabilidad del sistema y determina numéricamente
su rango. Escalar el modelo utilizando milisegundos en lugar de segundos como
unidades de tiempo. Re- turna el cálculo de la matriz de alcanzabilidad y su
rango.
(b) Encuentre un controlador de retroalimentación de estado que dé un sistema
de lazo cerrado con polos complejos que tenga una relación de amortiguamiento
de 0.707. Utilice el modelo a escala para los cálculos.
(c) Calcule las ganancias de retroalimentación de estado utilizando el control
cuadrático lineal. Experimente utilizando diferentes pesos. Calcule las ganancias
para q1 = q2 = 0, q3 = q4 = 1 y1 =
0,1 y explica el resultado. Elige q1 = q2 = q3 = q4 = 1 y explora lo que ocurre
a las ganancias de retroalimentación y a los valores propios del lazo cerrado cuando se
cambia1 . Utilice el
sistema a escala para este cálculo.
6.14 Consideremos el sistema de segundo orden
d2 y
dy
du
+ 0,5 + y = a + u.
dt2
dt
dt
Que las condiciones iniciales sean cero.
(a) Demuestre que la pendiente inicial de la respuesta del escalón unitario es a.
Discuta lo que significa que a < 0.
(b) Demuestre que hay puntos en la respuesta del paso unitario que son
invariantes con a. Discuta cualitativamente el efecto del parámetro a en la
solución.
(c) Simula el sistema y explora el efecto de a en el tiempo de subida y el rebasamiento.
6.15 (Regla de Bryson) Bryson y Ho [BH75] han sugerido el siguiente método
para elegir las matrices Qx y Qu en la ecuación (6.26). Comience eligiendo Qx y
Qu como matrices diagonales cuyos elementos son los inversos de los cuadrados
de los máximos de las variables correspondientes. A continuación, modifique los
elementos para obtener un compromiso entre el tiempo de respuesta, la
amortiguación y el esfuerzo de control. Aplique este método al accionamiento
del motor del ejercicio 6.11. Suponga que los valores más grandes de las
variables1 y
2 son 1, los mayores valores de ˙1 y ˙2 son 2 y la mayor señal de control es 10.
Simular el sistema de lazo cerrado para2 (0) = 1 y todos los demás estados se
inicializan a
0. Explora los efectos de diferentes valores de los elementos diagonales para Qx y Qu .
Capítulo 7
Retroalimentación de salida
Se puede separar el problema de la realización física en dos etapas: el cálculo de la "mejor
aproximación" xˆ(t1 ) del estado a partir del conocimiento de y(t)≤para t1 y el cálculo de
u(t1 ) dado xˆ(t1 ).
R. E. Kalman, "Contributions to the Theory of Optimal Control", 1960 [Kal60].
En este capítulo mostramos cómo utilizar la retroalimentación de salida para
modificar la dinámica del sistema mediante el uso de observadores. Introducimos
el concepto de observador y mostramos que si un sistema es observable, es
posible recuperar el estado a partir de las medidas de las entradas y salidas del
sistema. A continuación, mostramos cómo diseñar un controlador con
retroalimentación del estado del observador. Un concepto importante es el
principio de separación citado anteriormente, que también se demuestra. La
estructura de los controladores derivados en este capítulo es bastante general y se
obtiene mediante muchos otros métodos de diseño.
7.1 Observabilidad
En la sección 6.2 del capítulo anterior se demostró que es posible encontrar una
ley de retroalimentación de estado que dé los valores propios deseados en bucle
cerrado siempre que el sistema sea alcanzable y que se midan todos los estados.
Para muchas situaciones, es muy poco realista asumir que todos los estados son
medidos. En esta sección investigamos cómo se puede estimar el estado
utilizando un modelo matemático y unas pocas mediciones. Se demostrará que el
cálculo de los estados puede ser realizado por un sistema dinámico llamado
observador.
Definición de observabilidad
Consideremos un sistema descrito por un conjunto de ecuaciones diferenciales
dx
= Ax + Bu,
y = Cx + Du,
(7.1)
dt
q
donde x ∈Rn es el estado, u ∈Rp la entrada e y R∈
la salida medida. Queremos
estimar el estado del sistema a partir de sus entradas y salidas, como se ilustra en
la figura 7.1. En algunas situaciones supondremos que sólo hay una señal
medida, es decir, que la señal y es un escalar y que C es un vector (fila). Esta señal
puede estar corrompida por el ruido n, aunque empezaremos considerando el
caso sin ruido. Escribimos xˆ para la estimación de estado dada por el
observador.
202
n
Proceso
u
x˙ = Ax +
Bu y = Cx +
Du
CAPÍTULO 7.
RETROALIMENTACIÓN DE LA
SALIDA
y
Observador
xˆ
Figura 7.1: Diagrama de bloques de un observador. El observador utiliza la medida del
proceso y (posiblemente corrompida por el ruido n) y la entrada u para estimar el estado
actual del proceso, denominado xˆ.
Definición 7.1 (Observabilidad). Un sistema lineal es observable si para
cualquier T > 0 es posible determinar el estado del sistema x(T ) mediante
medidas de y(t) y u(t) en el intervalo [0, T ].
La definición anterior también es válida para los sistemas no lineales, y los
resultados que aquí se discuten tienen extensiones para el caso no lineal.
El problema de la observabilidad tiene muchas aplicaciones importantes,
incluso fuera de los sistemas de retroalimentación. Si un sistema es observable,
entonces no hay dinámicas "ocultas" dentro de él; podemos entender todo lo que
está pasando a través de la observación (en el tiempo) de las entradas y salidas.
Como veremos, el problema de la observabilidad tiene un gran interés práctico
porque determinará si un conjunto de sensores es suficiente para controlar un
sistema. Los sensores combinados con un modelo matemático también pueden
considerarse como un "sensor virtual" que proporciona información sobre
variables que no se miden directamente. El proceso de reconciliar las señales de
muchos sensores con los modelos matemáticos también se denomina fusión de
sensores.
Pruebas de observabilidad
Al hablar de la alcanzabilidad en el último capítulo, descuidamos la salida y nos
centramos en el estado. De la misma manera, es conveniente aquí despreciar
inicialmente la entrada y centrarse en el sistema autónomo
dx
dt
= Ax,
y = Cx.
(7.2)
Queremos entender cuándo es posible determinar el estado a partir de las
observaciones de la salida.
La propia salida da la proyección del estado sobre vectores que son filas de la
matriz C. El problema de observabilidad puede resolverse inmediatamente si la
matriz C es invertible. Si la matriz no es invertible, podemos tomar derivadas de
la salida para obtener
dy
dx
= C = CAx.
dt
dt
A partir de la derivada de la salida obtenemos así la proyección del estado sobre los
vectores
7.1.
OBSERVABILIDAD
203
que son filas de la matriz CA. Procediendo de este modo, obtenemos
y˙
CA
y =
C
y¨
x.
..
CAn-1
CA. 2
(n-1)
y
(7.3)
Así, encontramos que el estado se puede determinar si la matriz de
CA
C
observabilidad
=
Wo
CA2
.
CAn-1
(7.4)
tiene n filas independientes. Resulta que no necesitamos considerar ninguna
derivada mayor
- que n 1 (esto es una aplicación del teorema de Cayley-Hamilton
[Ejercicio 6.10]).
El cálculo puede ampliarse fácilmente a sistemas con entradas. El estado
viene dado entonces por una combinación lineal de entradas y salidas y sus
derivadas superiores. El criterio de observabilidad no cambia. Dejamos este caso
como ejercicio para el lector.
En la práctica, la diferenciación de la salida puede dar grandes errores cuando
hay ruido de medición, por lo que el método esbozado anteriormente no es
especialmente práctico. Abordaremos esta cuestión con más detalle en la
siguiente sección, pero por ahora tenemos el siguiente resultado básico.
Teorema 7.1 (Condición de rango de observabilidad). Un sistema lineal de la
forma (7.1) es observable si y sólo si la matriz de observabilidad Wo es de rango
completo.
Prueba. La suficiencia de la condición de rango de observabilidad se desprende �
del análisis anterior. Para demostrar la necesidad, supongamos que el sistema es
observable pero∈Wo no /es de rango completo. Sea v Rn , v = 0, un vector en el
espacio nulo de Wo , de modo que Wo v = 0.
Si dejamos que x(0) = v sea la condición inicial del sistema y elegimos u = 0, entonces
la salida viene dada por y(t) = CeAt v. Como eAt puede escribirse como una serie de
potencias en A
y como An y las potencias superiores pueden reescribirse en términos de potencias
inferiores de A (por
el teorema de Cayley-Hamilton), se deduce que la salida será idénticamente cero
(el lector debe completar los pasos que faltan si esto no está claro). Sin embargo,
si tanto la entrada como la salida del sistema son 0, entonces una estimación
válida del estado es xˆ = 0 para
/
todo el tiempo, lo cual es claramente incorrecto ya que x(0) = v = 0. Por lo tanto, por
contradicción
debe tener que Wo es de rango completo si el sistema es observable.
Ejemplo 7.1 Modelo de compartimentos
Considere el modelo de dos compartimentos de la Figura 3.18a, pero suponga
que la concentración en el primer compartimento puede medirse. El sistema está
descrito por la
204
CAPÍTULO 7.
RETROALIMENTACIÓN DE LA
SALIDA
C2
R1
S
v1
S
R1
+
R2
R3
v2
R2
R3
C2
Figura 7.2: Un sistema no observable. Dos subsistemas idénticos tienen salidas que se
suman para formar la salida total del sistema. Los estados individuales del subsistema no
pueden determinarse porque las contribuciones de cada uno a la salida no son
distinguibles. El diagrama de circuito de la derecha es un ejemplo de este tipo de sistema.
sistema lineal
dc
-k0- k1
=
k2
dt
k1
b0
c + u,
0
-k 2
y = 10c.
El primer compartimento representa la concentración del fármaco en el plasma
sanguíneo, y el segundo compartimento la concentración del fármaco en el tejido
donde es activo. Para determinar si es posible encontrar la concentración en el
compartimento tisular a partir de una medición del plasma sanguíneo,
investigamos la observabilidad del sistema formando la matriz de observabilidad
C
10
Wo = =
.
A
C
-k0 - k1
k1
Las filas son linealmente independientes/ si k1 = 0, y bajo esta condición es
posible determinar la concentración del fármaco en el compartimento activo a
partir de las mediciones de la concentración del fármaco en la sangre.
Es útil conocer los mecanismos que hacen que un sistema sea inobservable.
En la figura 7.2 se muestra un sistema de este tipo. El sistema está compuesto
por dos sistemas idénticos cuyas salidas se suman. Parece intuitivamente claro
que no es posible deducir los estados a partir de la salida, ya que no podemos
deducir las contribuciones individuales de la salida a partir de la suma. Esto
también puede verse formalmente (Ejercicio 7.2).
Forma canónica observable
Como en el caso de la alcanzabilidad, ciertas formas canónicas serán útiles para
estudiar la observabilidad. Un sistema lineal de espacio de estados de una
entrada y una salida está en observabilidad.
205
7.1.
OBSERVABILIDAD
...
u
bn
1
bn-
I
I
zn
an
b2
b1
zn- 1
. ..
I
z2
I
a2
an-1
d
a1
z1
y
-1
...
Figura 7.3: Diagrama de bloques de un sistema en forma canónica observable. Los
estados del sistema están representados por integradores individuales cuyas entradas son
una combinación ponderada del siguiente integrador de la cadena, el primer estado
(integrador más a la derecha) y la entrada del sistema. La salida es una combinación del
primer estado y la entrada.
forma canónica si su dinámica viene dada por
dz
dt =
-2
-a1
a
-a.
n-1
-an
1 0 - -01
..
00
.
0 0 - -0
0
0
1
b1
b2
z
+
.
n-1
bb
u,
n
y = 1 0 0 - -0 z + Du.
La definición puede extenderse a sistemas con muchas entradas; la única
diferencia es que el vector que multiplica a u se sustituye por una matriz.
La figura 7.3 es un diagrama de bloques para un sistema en forma canónica
observable. Como en el caso de la forma canónica alcanzable, vemos que los
coeficientes de la descripción del sistema aparecen directamente en el diagrama
de bloques. El polinomio característico de un sistema en forma canónica
observable es
(s) = sn + a1 sn−1 + - - + an−1 s + an .
(7.5)
Es posible razonar sobre la observabilidad de un sistema en forma canónica
observable estudiando el diagrama de bloques. Si la entrada u y la salida y están
disponibles, el estado z1 puede ser claramente calculado. Diferenciando z1 ,
obtenemos la entrada al integrador que genera z1 , y ahora podemos
- obtener z2 =
z˙1 + a1 z1 b1 u. Procediendo de este modo, podemos calcular todos los estados.
Sin embargo, el cálculo requerirá
que las señales sean diferenciadas.
Para comprobar la observabilidad de manera más formal, calculamos la matriz de
observabilidad para
206
CAPÍTULO 7.
RETROALIMENTACIÓN DE LA
SALIDA
un sistema en forma canónica observable, que viene dado por
1
00 . . .
10 . . . 0 0
a1
-a1-2 - a2
-a1 1
0 ,
Wo =
.
. . ..
. .
.
.
∗
∗
... 1
donde * representa una entrada cuyo valor exacto no es importante. Las filas de
esta matriz son linealmente independientes (ya que es triangular inferior), y por
lo tanto Wo es de rango completo. Un cálculo sencillo pero tedioso muestra que
la inversa de la matriz de ob- servabilidad tiene una forma simple dada por
=
W -1
1
0
0
-- 0
-- - 0
a1
1
0
a2
a1
10 . . .
o
. .
.
.
--- 1
an-1
an-2
an-3
Como en el caso de la alcanzabilidad, resulta que si un sistema es observable
entonces siempre existe una transformación T que convierte el sistema en forma
canónica observable. Esto es útil para las pruebas, ya que nos permite asumir que
un sistema está en forma canónica observable sin ninguna pérdida de
generalidad. La forma canónica observable puede estar mal condicionada
numéricamente.
7.2 Estimación del estado
Una vez definido el concepto de observabilidad, volvemos a la cuestión de cómo
construir un observador para un sistema. Buscaremos observadores que puedan
ser representados como un sistema dinámico lineal que toma las entradas y
salidas del sistema que estamos observando y produce una estimación del estado
del sistema. Es decir, queremos construir un sistema dinámico de la forma
dxˆ
= Fxˆ+ Gu + Hy,
dt
donde u e y son la entrada y la salida del sistema original y xˆ ∈ Rn es una
estimación del estado con la propiedad de que xˆ(t) → x(t) a medida que t → .
El Observador
Consideramos el sistema de la ecuación (7.1) con D fijado en cero para
simplificar la expo- sición:
dx
= Ax + Bu,
y = Cx.
(7.6)
dt
207
7.2. ESTIMACIÓN DEL
ESTADO
Podemos intentar determinar el estado simplemente simulando las ecuaciones con
la entrada correcta. Una estimación del estado viene dada entonces por
dxˆ
= Axˆ+ Bu.
(7.7)
dt
Para encontrar las propiedades de esta estimación, introduzca el error de estimación x˜ = xx
ˆ.
De las ecuaciones (7.6) y (7.7) se deduce que
dx˜ nado.
= Ax˜.
dt
Si la matriz A tiene todos sus valores propios en el semiplano izquierdo, el error
x˜ irá a cero, y por tanto la ecuación (7.7) es un sistema dinámico cuya salida
converge al estado del sistema (7.6).
El observador dado por la ecuación (7.7) sólo utiliza la entrada del proceso u;
la señal medida no aparece en la ecuación. También debemos requerir que el
sistema sea estable, y esencialmente nuestro estimador converge porque el estado
tanto del observador como del estimador van a cero. Esto no es muy útil en un
contexto de diseño de control, ya que queremos que nuestra estimación converja
rápidamente a un estado no nulo para poder hacer uso de ella en nuestro
controlador. Por lo tanto, intentaremos modificar el observador para que la salida
sea utilizada y sus propiedades de convergencia puedan ser de- firmadas para ser
rápidas en relación con la dinámica del sistema. Esta versión también funcionará
para sistemas inestables.
Considere el observador
dxˆ
= Axˆ+ Bu + L(y -Cxˆ).
(7.8)
dt
Esto puede considerarse como una generalización de la ecuación (7.7). La
retroalimentación de la salida medida se proporciona
- añadiendo el término L(y
Cxˆ), que es proporcional a la diferencia entre la salida observada y la salida
predicha por el ob-servador. De las ecuaciones (7.6) y (7.8) se deduce que
dx˜ nado.
= (A - LC)x˜.
dt
Si la matriz L puede elegirse de forma que la matriz A LC tenga
- valores propios
con partes reales negativas, el error x˜ irá a cero. La tasa de convergencia viene
determinada por una selección adecuada de los valores propios.
Nótese la similitud entre los problemas de encontrar una retroalimentación de
estado y encontrar el observador. El diseño de la retroalimentación de estado
mediante la asignación de valores
- propios es equivalente a encontrar una matriz
K de modo que A BK tenga valores propios dados. El diseño de un observador
con
valores propios prescritos es equivalente a encontrar una matriz L para que A LC
tenga valores propios dados. Dado que los valores propios de una matriz y su
transposición son iguales, podemos establecer las siguientes equivalencias:
A ↔ AT ,
B ↔ CT ,
K ↔ LT ,
Wr ↔ WoT .
El problema de diseño del observador es el dual del problema de diseño de la
retroalimentación de estado. Utilizando los resultados del Teorema 6.3, obtenemos
el siguiente teorema sobre el diseño del observador.
208
CAPÍTULO 7.
RETROALIMENTACIÓN DE LA
SALIDA
Teorema 7.2 (Diseño de observadores por asignación de valores propios).
Consideremos el sistema dado por
dx
= Ax + Bu,
y = Cx,
(7.9)
dt
con una entrada y una salida. Sea (s) = sn + a1 sn−1 - +
- - + −a n1 s + an el
polinomio característico de A. Si el sistema es observable, entonces el sistema
dinámico
dxˆ
= Axˆ+ Bu + L(y -Cxˆ)
(7.10)
dt
es un observador para el sistema, con L elegido como
L=
W−1
o
p1-a
1
p2
a2
W.
o
.
pn-an
(7.11)
- por
y las matrices Wo y Wo dadas
W=
CA
o
C
,
.CAn-1
W
-o =
1
0
0
--- 0
0-1
a1
a2
1
a1
0
1
0
0
.
.
--- 0
0
..
.
1
. . . a1
n-2a
an-1
El error del observador resultante- x˜ = xxˆ
que tiene el polinomio característico
an-3
an-4
an-2
an-3
.
0
1
.
se rige por una ecuación diferencial
p(s) = sn + p1 sn−1 + - - + pn .
El sistema dinámico (7.10) se denomina observador de (los estados del)
sistema (7.9) porque generará una aproximación de los estados del sistema a
partir de sus entradas y salidas. Esta forma de observador es mucho más útil que
la dada por la diferenciación pura en la ecuación (7.3).
Ejemplo 7.2 Modelo de compartimentos
Consideremos el modelo de compartimentos del ejemplo 7.1, que se caracteriza
por las matrices
-k0- k1
k1
b0
A=
,
B =0 ,
C = 10
.
k2
-k2
La matriz de observabilidad fue calculada en el Ejemplo 7.1, donde concluimos
que el sistema era observable si k/1 = 0. La matriz de dinámica tiene el polinomio
característico
(s) = det
s+ k0 + k1
-k2
k2
-k1
= s2 + (k0 + k1 + k2 )s + k0 k2 .
s+
209
7.2. ESTIMACIÓN DEL
ESTADO
u
b0
k1
V1
k0
V2
k2
Co 0.6
nc
ent 0.5
rac 0.4
ión
c1 , 0.3
c2 0.2
[g/
L] 0.1
0
0
real
estimado
c2
c1
2
4
Tiempo t [min]
6
Figura 7.4: Observador de un sistema de dos compartimentos. A la izquierda se muestra
un modelo de dos compartimentos. El observador mide la concentración de entrada u y la
concentración de salida y = c1 para determinar las concentraciones de los compartimentos,
que se muestran a la derecha. Las concentraciones reales se muestran con líneas sólidas y
las estimaciones generadas por el observador con líneas discontinuas.
Sea el polinomio característico deseado del observador s2 + p1 s + p2 , y la
ecuación (7.11) da la ganancia del observador
−1
1
0-1 p1 - k0 - k1 - k 2
1
0
1
L=
-k0 - k1
k1
k0 + k1 + k2
p2 - k0 k 2
=
p1 - k0 - k1 - k2
.
(p2 - p1 k2 + k1 k2 +2 k2
)/k1
Nótese que la condición de observabilidad
k1 = 0 es esencial. El
/
comportamiento del observador se ilustra con la simulación de la Figura 7.4b.
Obsérvese cómo las concentraciones observadas se aproximan a las verdaderas.
El observador es un sistema dinámico cuyas entradas son la entrada del proceso u
y la salida del proceso y. La tasa de cambio de la estimación se compone de dos
términos. Uno
Axˆ + Bu, es la tasa de cambio calculada a partir del modelo con xˆ sustituido
- yˆ), es proporcional a la diferencia e =- yˆ entre la
por x. El otro término, L(y
salida medida y y su estimación yˆ = Cxˆ. La ganancia del observador L es una
matriz que indica cómo se pondera y distribuye el error e entre los estados. Así, el
observador
combina las mediciones con un modelo dinámico del sistema. En la figura 7.5 se
muestra un diagrama de bloques del observador.
Cálculo de la ganancia del observador
Para problemas simples de bajo orden es conveniente introducir los elementos de
la ganancia del observador L como parámetros desconocidos y resolver los
valores requeridos para dar el polinomio característico deseado, como se ilustra
en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 7.3 Dirección del vehículo
El modelo lineal normalizado para la dirección del vehículo derivado en los
Ejemplos 5.12 y 6.4 da la siguiente dinámica del modelo del espacio de estados
que relaciona la desviación lateral de la trayectoria y con
210
CAPÍTULO 7.
RETROALIMENTACIÓN DE LA
SALIDA
y
-1
L
yˆ
u
x˙ˆ
B
xˆ
I
C
xˆ
A
Figura 7.5: Diagrama de bloques del observador. El observador toma las señales y y u
como entradas y produce una estimación x. Obsérvese que el observador contiene una
copia del modelo del proceso que es dirigido por y - yˆ a través de la ganancia L del
observador.
ángulo de dirección u:
dx 01
0
dt = 0 x + u,
y = 10x.
1
(7.12)
Recordemos que el estado x1 representa la desviación lateral de la trayectoria y
que x2 representa la velocidad de giro. Ahora derivaremos un observador que
utiliza el modelo del sistema para determinar la velocidad de giro a partir de la
desviación de la trayectoria medida.
La matriz de observabilidad es
0
1
Wo =
,01
es decir, la matriz de identidad. El sistema es, pues, observable, y el problema de
asignación de valores propios puede resolverse. Tenemos
A - LC =
-l1
que tiene el polinomio característico
det(sI - A + LC) = det
s+ l1
l2
1,
-l
0
2
-1
= s2 + l1 s + l2.
s
Suponiendo que queremos tener un observador con el polinomio característico
s2 + p1 s + p2 = s2 +  oo s +2o,
las ganancias del observador deben elegirse como
l1 = p1 = o o,
l2 = p2 =2 o.
El observador es entonces
dxˆ
0 01
1 l1
l2
dt = Axˆ+ Bu + L(y -Cxˆ)0= xˆ+ u + (y- xˆ1 ).
211
7.3. CONTROL MEDIANTE EL ESTADO
ESTIMADO
30
6
25
x1 , 4
xˆ1 2
20
0
0
y 15
[m
] 10
4
0.4
x1 xˆ1 0.2
0
6
2
5
0
2
Act
uar
Est
0
10
x [m]
20
30
x2 , 1
xˆ2 0
-1
0
0
2
4
6
1
x2 xˆ2 0.5
2
4
6
Tiempo normalizado t
0
0
2
4
6
Tiempo normalizado t
Figura 7.6: Simulación de un observador para un vehículo que circula por una carretera
con curvas (izquierda). El observador tiene un error de velocidad inicial. Los gráficos del
centro muestran la desviación lateral x1 , la velocidad lateral x2 mediante líneas sólidas y
sus estimaciones xˆ1 y xˆ2 mediante líneas discontinuas. Los gráficos de la derecha
muestran los errores de estimación.
En la figura 7.6 se simula el observador de un vehículo que circula por una
carretera con curvas. La longitud del vehículo es la unidad de tiempo en el
modelo normalizado. La figura muestra que el error del observador se asienta en
unas 3 longitudes de vehículo.
Para los sistemas de alto orden tenemos que utilizar cálculos numéricos. La
dualidad entre el diseño de una retroalimentación de estado y el diseño de un
observador significa que los algoritmos informáticos para la retroalimentación de
estado también pueden utilizarse para el diseño del observador; simplemente
utilizamos la transposición de la matriz de dinámica y la matriz de salida. El
comando de MATLAB acker, que esencialmente es una implementación
directa de los cálculos dados en el Teorema 7.2, puede utilizarse para sistemas
con una salida. El comando de MATLAB place puede utilizarse para sistemas
con muchas salidas. También está mejor condicionado numéricamente.
7.3 Control mediante el estado estimado
En esta sección consideraremos un sistema de espacio de
estados de la forma
dx
= Ax + Bu,
y = Cx.
(7.13)
dt
Obsérvese que hemos supuesto que no hay ningún término directo en el sistema
(D = 0). Esto suele ser una suposición realista. La presencia de un término
directo en combinación con un controlador de acción proporcional crea un bucle
algebraico, que
se discutirá en la sección 8.3. El problema puede resolverse incluso si hay un
término directo, pero los cálculos son más complicados.
Deseamos diseñar un controlador de retroalimentación para el sistema donde
sólo se mide la salida. Como antes, supondremos que u e y son escalares.
También asumimos que el sistema es alcanzable y observable. En el capítulo 6
encontramos una retroalimentación de la forma
u = -Kx + kr r
212
CAPÍTULO 7.
RETROALIMENTACIÓN DE LA
SALIDA
para el caso de que todos los estados pudieran ser medidos, y en la sección 7.2
desarrollamos un observador que puede generar estimaciones del estado xˆ
basado en las entradas y salidas. En esta sección combinaremos las ideas de estas
secciones para encontrar una retroalimentación que dé los eigenvalores de bucle
cerrado deseados para los sistemas en los que sólo las salidas están disponibles
para la retroalimentación.
Si todos los estados no son medibles, parece razonable probar la retroalimentación
u = -Kxˆ+ kr r,
(7.14)
donde xˆ es la salida de un observador del estado, es decir,
dxˆ
= Axˆ+ Bu + L(y -Cxˆ).
(7.15)
dt
Como el sistema (7.13) y el observador (7.15) son ambos de dimensión de estado
n, el sistema de bucle cerrado tiene dimensión de estado 2n con el estado (x, xˆ).
La evolución de los estados se describe mediante las ecuaciones (7.13)-(7.15).
Para analizar el sistema de bucle cerrado, la variable de estado xˆ se sustituye por
x˜ = x - xˆ.
(7.16)
Al restar la ecuación (7.15) de la ecuación (7.13) se obtiene
dx˜ nado.
= Ax - Axˆ- L(Cx -Cxˆ) = Ax˜- LCx˜ = (A - LC)x˜.
dt
Volviendo a la dinámica del proceso, introduciendo u de la ecuación (7.14)
en la ecuación (7.13) y utilizando la ecuación (7.16) para eliminar xˆ se obtiene
dx
= Ax + Bu = Ax - BKxˆ+ Bkr r = Ax - BK(x - x˜) + Bkr r
dt
= (A - BK)x + BKx˜+ Bkr r.
Así, el sistema de bucle cerrado se rige por x
d x A- BK
BK
Bkr
=
+ r.
LCx˜
dt x˜ ndose
0
Aen el
tiempo.
0
(7.17)
Nótese que el estado x˜, que representa el error del observador, no se ve afectado
por la señal de refe- rencia. Esto es deseable ya que no queremos que la señal de
referencia genere errores en el observador.
Como la matriz de la dinámica es diagonal de bloques, encontramos que el
polinomio característico del sistema de bucle cerrado es
(s) = det(sI - A + BK) det(sI - A + LC).
Este polinomio es un producto de dos términos: el polinomio característico del
sistema de lazo cerrado obtenido con la retroalimentación de estado y el
polinomio característico del error del observador. La retroalimentación (7.14)
que fue motivada heurísticamente proporciona así una solución clara al problema
de asignación de valores propios. El resultado se resume como sigue.
213
7.3. CONTROL MEDIANTE EL ESTADO
ESTIMADO
r
u
kr
x˙
B
I
x
y
C
A
Proceso
-K
e
L
B
˙
xˆ
-yˆ
I
xˆ
-C
A
Controlad
or
Observad
or
Figura 7.7: Diagrama de bloques de un sistema de control basado en un observador. El
observador utiliza la salida medida y y la entrada u para construir una estimación del
estado. Esta estimación es utilizada por un controlador de retroalimentación de estado para
generar la entrada correctiva. El controlador está formado por el observador y la
retroalimentación de estado; el observador es idéntico al de la figura 7.5.
Teorema 7.3 (Asignación de valores propios por retroalimentación de salida).
Consideremos el sistema
dx
= Ax + Bu,
y = Cx.
dt
El controlador descrito por
dxˆ
= Axˆ+ Bu + L(y -Cxˆ) = (A - BK - LC)xˆ+ Bkr r + Ly,
dt
u = -Kxˆ+ kr r
da un sistema de bucle cerrado con el polinomio característico
(s) = det(sI - A + BK) det(sI - A + LC).
A este polinomio se le pueden asignar raíces arbitrarias si el sistema es
alcanzable y observable.
El controlador tiene un fuerte atractivo intuitivo: se puede pensar que está
compuesto por dos partes, una retroalimentación de estado y un observador. La
dinámica del controlador es generada por el observador. La ganancia de
retroalimentación K puede calcularse como si todas las variables de estado
pudieran medirse, y depende sólo de A y B. La ganancia del observador L
depende sólo de A y C. La propiedad de que la asignación de valores propios
para la retroalimentación de salida puede separarse en una asignación de valores
propios para una retroalimentación de estado y un observador se denomina
principio de separación.
En la figura 7.7 se muestra un diagrama de bloques del controlador. Obsérvese que el
con-
214
1
8
x2 , 0
xˆ2
-1
0
6
x1 ,
xˆ1
4
2
0
-2
0
CAPÍTULO 7.
RETROALIMENTACIÓN DE LA
SALIDA
5
10
15
1
Retroalimentaci
ón de estado
Retroalimentaci
ón de salida
5
10
15
Referenciat
Tiempo normalizado
u,
0
usfb
-1
0
5
10
Tiempo normalizado t
15
Figura 7.8: Simulación de un vehículo que circula por una carretera con curvas con un
controlador basado en retroalimentación de estado y un observador. El gráfico de la
izquierda muestra los límites del carril (punteado), la posición del vehículo (sólido) y su
estimación (punteado), el gráfico superior derecho muestra la velocidad (sólido) y su
estimación (punteado), y el gráfico inferior derecho muestra la señal de control utilizando
retroalimentación de estado (sólido) y la señal de control utilizando el estado estimado
(punteado).
El controlador contiene un modelo dinámico de la planta. Esto se llama el
principio del modelo interno: el controlador contiene un modelo del proceso que
se controla.
Ejemplo 7.4 Dirección del vehículo
Consideremos de nuevo el modelo lineal normalizado para la dirección del
vehículo del ejemplo 6.4. La dinámica que relaciona el ángulo de dirección u con
la desviación lateral de la trayectoria y está dada por el modelo de espacio de
estado (7.12). Combinando la retroalimentación de estado derivada en el
Ejemplo 6.4 con el observador determinado en el Ejemplo 7.3, encontramos que
el controlador
está dado por
dxˆ
01
l1
= Axˆ+ Bu + L(y -Cxˆ) = xˆ+ u + (y- xˆ1 ),
1
l2
0
0
dt
u = -Kxˆ+ kr r = k1 (r - xˆ1 ) - k2 xˆ2 .
La eliminación de la variable u da como resultado
dxˆ
= (A - BK - LC)xˆ+ Ly + Bkr r
dt
-l −
1 −2
l1
= 1 -k11 - l2
l2 k1r.
-k 2 xˆ+ y +
1
El controlador es un sistema dinámico de segundo orden, con dos entradas y y r y
una salida u. La figura 7.8 muestra una simulación del sistema cuando el
vehículo circula por una carretera con curvas. Como estamos utilizando un
modelo normalizado, la unidad de longitud es la longitud del vehículo y la
unidad de tiempo es el tiempo que se tarda en recorrer una longitud del vehículo.
El estimador se inicializa con todos los estados iguales a cero, pero el sistema
real tiene una velocidad inicial de 0,5. Las cifras muestran que las estimaciones
convergen rápidamente a sus valores reales. El vehículo sigue la trayectoria
deseada, que está en el centro de la carretera, pero hay errores porque la carretera
es irregular. El error de seguimiento puede mejorarse introduciendo el
feedforward (apartado 7.5).
215
7.4. FILTRADO KALMAN
��
7.4 Filtrado Kalman
Uno de los principales usos de los observadores en la práctica es estimar el
estado de un sistema en presencia de mediciones ruidosas. Todavía no hemos
tratado el ruido en nuestro análisis, y un tratamiento completo de los sistemas
dinámicos estocásticos está fuera del alcance de este texto. En esta sección,
presentamos una breve introducción al uso del análisis de sistemas estocásticos
para construir observadores. Trabajamos principalmente en tiempo discreto para
evitar algunas de las complicaciones asociadas a los procesos aleatorios en
tiempo continuo y para mantener los prerrequisitos matemáticos al mínimo. Esta
sección requiere conocimientos básicos de variables aleatorias y procesos
estocásticos; véase Kumar y Varaiya [KV86] o Åström[ Åst06] para el material
necesario.
Consideremos un sistema lineal de tiempo discreto con dinámica
x[k + 1] = Ax[k] + Bu[k] + Fv[k], y [ k] = Cx[k] + w[k],
(7.18)
donde v[k] y w[k] son procesos de ruido blanco gaussiano que satisfacen
f
{ E{v[k]} = 0,
E v[k]vT [ j] }=
0
k /= j
Rv
k = j,
f
{ E{w[k]} = 0,
E w[k]wT [ j] }=
0
k /= j
Rw
k = j,
(7.19)
E{v[k]wT [ j]} = 0.
E {v[k] }representa el valor esperado de v[k] y E v[k]vT [ j] la }correlación ma- trix.
Las matrices Rv y Rw son las matrices de covarianza para la perturbación del
proceso v y el ruido de medición w. Suponemos que la condición inicial también
es
modelada como una variable aleatoria gaussiana con
E{x[0]} = x0 ,
E{x[0]xT [0]} = P0 .
(7.20)
Queremos encontrar una estimación xˆ[k] que minimice el error cuadrático
T
{
}
{ : 0 t . ≤Consideramos
≤}
medio
E- (x[k] xˆ[k])(x[k]
xˆ[k])
dadas las medidas y()
un
observador de la misma forma básica que la derivada anteriormente:
xˆ[k + 1] = Axˆ[k] + Bu[k] + L[k](y[k] -Cxˆ[k]).
(7.21)
El siguiente teorema resume el resultado principal.
Teorema 7.4 (Kalman, 1961). Consideremos un proceso aleatorio x[k] con una
dinámica dada por la ecuación (7.18) y procesos de ruido y condiciones
iniciales descritas por las ecuaciones (7.19) y (7.20). La ganancia del
observador L que minimiza el cuadrado medio
error viene dado por
L[k] = AP[k]CT (Rw + CP[k]CT )−1 ,
donde
T
P[k + 1] = (A - LC)P[k](A - LC)T + FR
v F + LR
w
T
L
(7.22)
P0 = E{x[0]xT [0]}.
Antes de demostrar este resultado, reflexionamos sobre su forma y función.
En primer lugar, hay que tener en cuenta que el filtro de Kalman tiene la forma
de un filtro recursivo: dado el error cuadrático medio
216
CAPÍTULO 7.
RETROALIMENTACIÓN DE LA
SALIDA
P[k] = E
{ (x[k]- xˆ[k])(x[k]- xˆ[k])}T en el momento k, podemos calcular cómo
cambian la estimación y el error. Por lo tanto, no necesitamos llevar la cuenta de
los valores antiguos de la salida. Además, el filtro de Kalman da la estimación
xˆ[k] y la covarianza del error P[k], por lo que podemos ver la fiabilidad de la
estimación. También se puede demostrar que el filtro de Kalman extrae la
máxima información posible sobre los datos de salida. Si
forman el residuo entre la producción medida y la producción estimada,
e[k] = y[k] -Cxˆ[k],
podemos demostrar que para el filtro de Kalman la matriz de correlación es
f1
j=k
T
Re ( j, k) = E{e[ j]e [k]} = W [kjk , jk =
0 j /= k.
En otras palabras, el error es un proceso de ruido blanco, por lo que no queda
contenido de información dinámica en el error.
El filtro de Kalman es extremadamente versátil y puede utilizarse incluso si el
proceso, el ruido o las perturbaciones no son estacionarios. Cuando el sistema es
estacionario y si P[k] converge, la ganancia del observador es constante:
L = APCT (Rw + CPCT ),
where P satisfies
P = APAT + FR v F T - APCT Rw + CPC T−1 CPAT .
Vemos que la ganancia óptima depende tanto del ruido del proceso como del
ruido de la medida, pero de una manera no trivial. Al igual que el uso de LQR
para elegir las ganancias de retroalimentación de estado, el filtro de Kalman
permite una derivación sistemática de las ganancias del observador dada una
descripción de los procesos de ruido. La solución para el caso de ganancia
constante se resuelve con el comando dlqe de MATLAB.
Prueba del teorema. Deseamos minimizar el cuadrado medio del error E {
(x[k] xˆ[k])(x[k]- xˆ[k])}T . Definiremos esta cantidad como P[k] y luego mostraremos
que satisface la recursión dada en la ecuación (7.22). Por definición,
P[k + 1] = E{(x[k + 1] - xˆ[k + 1])(x[k + 1] - xˆ[k + 1])T }
= (A - LC)P[k](A - LC)T + FR v F T + LRw LT
= AP[k]AT + FRv FT - AP[k]CT LT - LCP[k]AT
+ L(Rw + CP[k]CT )LT .
Dejando que R = (Rw + CP[k]CT ), tenemos
P[k + 1] = AP[k]AT + FRvFT − AP[k]CT LT − LCP[k]AT + LR LT
= AP[k]AT + FRv FT + L-AP[k]CT R− 1 R L-AP[k]CT R-1
- AP[k]CT R− 1CPT [k]AT .
T
217
7.4. FILTRADO KALMAN
Para minimizar esta expresión, elegimos L = AP[k]CT R− 1, y se demuestra el
teorema.
El filtro de Kalman también puede aplicarse a procesos estocásticos de
tiempo continuo. La derivación matemática de este resultado requiere
herramientas más sofisticadas, pero la forma final del estimador es relativamente
sencilla.
Consideremos un sistema estocástico continuo
dx
= Ax + Bu + Fv,
dt
y = Cx + w,
E{v(s)vT (t)} = Rv (t) (t - s),
E{w(s)wT (t)} = Rw (t) (t - s),
donde () es la función de impulso unitaria. Supongamos que la perturbación v y el ruido
w son de media cero y gaussianos (pero no necesariamente estacionarios):
1
1
1
1
e- 2 wT Rw-1w.
e- 2 vT Rv- , pdf(w) = √ n
pdf(v) =
  R w
v 1v
√n
  R
Deseamos encontrar la estimación xˆ(t) que minimice el error cuadrático medio E{(x(t) xˆ(t))(x(t) - xˆ(t))T } dado {y() : 0 ≤ ≤ t}.
Teorema 7.5 (Kalman-Bucy, 1961). El estimador óptimo tiene la forma de un linobservador del oído
dxˆ
= Axˆ+ Bu + L(y -Cxˆ),
dt
dP
donde L(t) = P(t)CTRw-1y P(t) = E{(x(t) - xˆ(t))(x(t) - xˆ(t))T } y satisface
=
T
AP + PAT - PCT R−1 (t)CP
P[0] = E{x[0]xT [0]}.
w + FRv (t)F ,
dt
Como en el caso discreto, cuando el sistema es estacionario y si P(t)
converge, la ganancia del observador es constante:
L = PCTRw-1
T
donde AP + PAT - PCTRw-1C+
P FRv F = 0.
La segunda ecuación es la ecuación algebraica de Riccati.
Ejemplo 7.5 Avión de empuje vectorial
Consideramos la dinámica lateral del sistema, formada por los subsistemas cuyos
estados vienen dados por z = (x, , x˙, ˙). Para diseñar un filtro Kalman para el
sistema, debemos incluir una descripción de las perturbaciones del proceso y del
ruido de los sensores. En este sentido,
por lo que se aumenta el sistema para que tenga la forma
dz
= Az + Bu + Fv,
y = Cz + w,
dt
donde F representa la estructura de las perturbaciones (incluyendo los efectos de
las no linealidades que hemos ignorado en la linealización), v representa la
fuente de perturbación (modelada como ruido blanco gaussiano de media cero) y
w representa ese ruido de medición (también de media cero, gaussiano y blanco).
Para este ejemplo, elegimos F como la matriz de identidad y elegimos las perturbaciones
vi , i = 1, . . . , n, sean perturbaciones independientes con covarianza dada por Rii =
0,1,
218
CAPÍTULO 7.
RETROALIMENTACIÓN DE LA
SALIDA
0.1
0.1
Est
0
ad
os -0.1
zi
[un
-0.2
ida
des
mi -0.3
xta
s] -0.4 0
x
xd
d
0.5
1
1.5
Tiempo t [s]
2
(a) Sólo medición de la posición
Est
0
ad
os -0.1
zi
[un
-0.2
ida
des
mi -0.3
xta
s] -0.4 0
x
xd
d
0.5
1
1.5
Tiempo t [s]
2
(b) Posición y orientación
Figura 7.9: Diseño del filtro Kalman para un avión de empuje vectorial. En el primer
diseño (a) sólo se mide la posición lateral de la aeronave. Si se añade una medición directa
del ángulo de balanceo se obtiene un observador mucho mejor (b). La condición inicial
para ambas simulaciones es (0,1, 0,0175, 0,01, 0).
R ij = 0, i /= j. El ruido del sensor es una única variable aleatoria que modelamos
como si tuviera una covarianza Rw = 10−4 . Utilizando los mismos parámetros
que antes, la ganancia de Kalman resultante viene dada por
37.0
-46.9
L=
.
185
-31.6
El rendimiento del estimador se muestra en la figura 7.9a. Vemos que, aunque el
estimador converge al estado del sistema, contiene un sobreimpulso significativo
en la estimación del estado, lo que puede llevar a un mal rendimiento en un
entorno de bucle cerrado.
Para mejorar el rendimiento del estimador, exploramos el impacto de añadir
una nueva medida de salida. Supongamos que en lugar de medir sólo la posición
de salida x, también medimos la orientación del avión. La salida se convierte en
10 0 0 w
y=
z + 1,
0
w2
010
y si suponemos que w1 y w2 son fuentes de ruido independientes, cada una con
una covarianza Rw i = 10−4 , entonces la matriz de ganancia del estimador óptimo
se convierte en
32.6
-0.150
L=
32.7
-0.0033
-0.150
32.6
.
-9.79
31.6
Estas ganancias proporcionan una buena inmunidad al ruido y un alto
rendimiento, como se ilustra en la figura 7.9b.
219
7.5. UNA ESTRUCTURA GENERAL DEL
CONTROLADOR
uff
r
Generació
n de
trayectoria
s
xd
d
e
Comen
tarios del
Estado
-1
xˆ
ufb
n
u
y
Proceso
Observad
or
Figura 7.10: Diagrama de bloques de un controlador basado en una estructura de dos
grados de libertad que combina la retroalimentación y la alimentación. El controlador
consta de un generador de trayectorias, una retroalimentación de estado y un observador. El
subsistema de generación de trayectorias calcula un comando feedforward uff junto con el
estado deseado xd . El controlador de retroalimentación de estado utiliza el estado
estimado y el estado deseado para calcular una entrada correctiva ufb.
7.5 Una estructura de controladores generales
Los estimadores de estado y la retroalimentación de estado son componentes
importantes de un controlador. En esta sección, añadiremos la realimentación
para llegar a una estructura de controlador general que aparece en muchos
lugares de la teoría de control y es el corazón de la mayoría de los sistemas de
control modernos. También esbozaremos brevemente cómo se pueden utilizar los
ordenadores para implementar un controlador basado en la retroalimentación de
salida.
Feedforward
En este capítulo y en el anterior hemos hecho hincapié en la retroalimentación
como mecanismo para minimizar el error de seguimiento; los valores de
referencia se introdujeron simplemente añadiéndolos a la retroalimentación de
estado a través de una ganancia kr . Una forma más sofisticada de hacer esto se
muestra en el diagrama de bloques de la Figura 7.10, donde el controlador consta
de tres partes: un observador que calcula las estimaciones de los estados
basándose en un modelo y en las entradas y salidas medidas del proceso, una
realimentación de estado y un generador de trayectorias que genera el
comportamiento deseado de todos los estados xd y una señal de realimentación uff
. En condiciones ideales de ausencia de perturbaciones y de errores de
modelización, la señal uff genera el comportamiento deseado xd cuando se aplica
al proceso. La señal xd puede ser generada por un sistema que da la respuesta
deseada del estado. Para generar la señal uff , también debemos tener un modelo
de la inversa de la dinámica del proceso.
Para tener una idea del comportamiento del sistema, suponemos que no hay
perturbaciones y que el sistema está en equilibrio con una señal de referencia
constante y con el estado del observador xˆ igual al estado del proceso x. Cuando
se cambia la señal de referencia, las señales uff y xd cambiarán. El observador
sigue perfectamente el estado porque el estado inicial era correcto. El estado
estimado xˆ es, por tanto, igual a
el estado deseado xd , y la señal de retroalimentación ufb-= K(xd xˆ) también será
cero. Toda la acción es, pues, creada por las señales del generador de trayectorias.
Si hay algunos
perturbaciones o algunos errores de modelado, la señal de retroalimentación
intentará corregir la situación.
Se dice que este controlador tiene dos grados de libertad porque las respuestas
220
CAPÍTULO 7.
RETROALIMENTACIÓN DE LA
SALIDA
a las señales de mando y a las perturbaciones están desacopladas. Las respuestas
a las perturbaciones se rigen por el observador y la retroalimentación de estado,
mientras que la respuesta a las señales de mando se rige por el generador de
trayectorias (feedforward).
Para una descripción analítica comenzamos con la dinámica no lineal
completa del proceso
dx
= f (x, u),
y = h(x, u).
(7.23)
dt
Supongamos que el generador de trayectorias es capaz de calcular una
trayectoria deseada (xd , uff ) que satisface la dinámica (7.23) y satisface r = h(xd
, uff ). Para diseñar el controlador, construimos el
- sistema de error.
- Sea z = x xd y
v = uff y calcule la dinámica para el error:
z˙ = x˙- x˙d = f (x, u) - f (xd , uff )
= f (z + xd , v + uff ) - f (xd , uff ) =: F(z, v, xd (t), uff (t)).
En general, este sistema es variable en el tiempo. Obsérvese
que z = e en la
figura 7.10 debido a la convención de utilizar la retroalimentación negativa en el
diagrama de bloques.
Para el seguimiento de la trayectoria, podemos asumir que e es pequeño (si
nuestro controlador está haciendo un buen trabajo), y así podemos linealizar
alrededor de z = 0:
dz
F 1
F 1
≈ A(t)z + B(t)v, A(t) =
, B(t) =
.
dt
z1
v1
(xd (t),uff(t))
(xd (t),uff(t))
A menudo se da el caso de que A(t) y B(t) dependen sólo de xd , en cuyo caso es
conveniente escribir A(t) = A(xd ) y B(t) = B(xd ).
Supongamos ahora que xd y uff son constantes o varían lentamente (con respecto a
al criterio de rendimiento). Esto nos permite considerar sólo el sistema lineal
(constante) dado por (A(xd ), B(xd )). Si diseñamos un controlador de
retroalimentación de estado K(xd ) para cada xd , entonces podemos regular el
sistema utilizando la retroalimentación
v = -K(xd )z.
Sustituyendo de nuevo las definiciones de z y v, nuestro controlador se convierte en
u = -K(xd )(x - xd ) + uff .
Esta forma de controlador se denomina controlador lineal de ganancia
programada con alimentación uff .
Por último, consideramos el observador. La dinámica no lineal completa
puede utilizarse para la parte de predicción del observador y el sistema
linealizado para el término de corrección:
dxˆ
= f (xˆ, u) + L(xˆ)(y - h(xˆ, u)),
dt
donde L(xˆ) es la ganancia del observador obtenida al linealizar el sistema
alrededor del estado estimado actualmente. Esta forma del observador se conoce
como filtro de Kalman ampliado y ha demostrado ser un medio muy eficaz para
estimar el estado de un sistema no
sistema lineal.
221
7.5. UNA ESTRUCTURA GENERAL DEL
CONTROLADOR
5
y
0
[m
] -5
0
xf , y f
1
2
3
4
2
3
Tiempo t [s]
4
0.5
[ra
d]
x0 , y0
0
-0.5
(a) Vista aérea
0
1
(b) Posición y dirección
Figura 7.11: Generación de la trayectoria para el cambio de carril. Queremos cambiar del
carril izquierdo al derecho en una distancia de 30 m en 4 s. La trayectoria planificada en el
plano xy se muestra en (a) y la posición lateral y y el ángulo de giro en el intervalo de
tiempo de la maniobra se muestran en (b).
.
Hay muchas maneras de generar la señal de feedforward, y también hay
muchas maneras diferentes de calcular la ganancia de retroalimentación K y la
ganancia del observador L. Tenga en cuenta que, una vez más, se aplica el
principio de modelo interno: el controlador contiene un modelo del sistema a
controlar a través del observador.
Ejemplo 7.6 Dirección del vehículo
Para ilustrar cómo podemos utilizar un diseño de dos grados de libertad para
mejorar el rendimiento del sistema, consideremos el problema de dirigir un
coche para cambiar de carril en una carretera, como se ilustra en la figura 7.11a.
Utilizamos la forma no normalizada de la dinámica, que se derivó en el examen
2.8. Utilizando el centro de las ruedas traseras como referencia ( = 0), la
dinámica puede escribirse como

v
dx
dy
=  v,
=  v,
= tan,
dt
dt
dt b
donde v es la velocidad de avance del vehículo y es el ángulo de dirección. Para
generar una trayectoria para el sistema, observamos que podemos resolver los
estados y entradas del sistema dados x, y resolviendo los siguientes conjuntos de
ecuaciones:
x˙ = v cos,
x¨ = v˙cos - v˙ sin,
y˙ = v sin,
˙ = (v/b) tan.
y¨ = v˙sin + v˙ cos,
(7.24)
Este conjunto de cinco ecuaciones tiene cinco incógnitas ( , ˙, v, v˙ y ) que
pueden resolverse mediante trigonometría y álgebra lineal. Se deduce que
podemos calcular una trayectoria factible para el sistema dada cualquier
trayectoria x(t), y(t). (Esta propiedad especial de un sistema se conoce como
planitud diferencial [FLMR92, FLMR95]).
Encontrar una trayectoria desde un estado inicial (x0 , y0 ,0 ) hasta un estado final (xf ,
yf ,f ) en
222
un tiempo T , buscamos una trayectoria x(t), y(t)
que satisfaga
x(0) = x0 ,
y(0) = y0 ,
x˙(0) 0 - y˙(0) 0 =
0,
y˙(0) 0 + x˙(0) 0 =
v0 ,
CAPÍTULO 7.
RETROALIMENTACIÓN DE LA
SALIDA
x(T ) = xf ,
(7.25)
y(T ) = yf ,
x˙(T ) f - y˙(T ) f = 0,
y˙(T ) f + x˙(T ) f = vf .
Una de estas trayectorias puede encontrarse eligiendo que x(t) e y(t) tengan la forma
xd (t) =0 +1 t +2 t2 +3 t3 , yd (t) =0 +1 t +2 t2 +3 t3 .
Sustituyendo estas ecuaciones en la ecuación (7.25), nos queda un conjunto de
ecuaciones lineales que pueden resolverse para ,ii , i = 0, 1, 2, 3. Esto da una
trayectoria factible para el sistema utilizando la ecuación (7.24) para resolver
parad , vd yd .
La figura 7.11b muestra una trayectoria de muestra generada por un conjunto
de ecuaciones de orden superior que también establecen el ángulo de dirección
inicial y final en cero. Obsérvese que la entrada de alimentación es bastante
diferente de 0, lo que permite al controlador ordenar un ángulo de dirección que
ejecuta el giro en ausencia de errores.
�
Descomposición de Kalman de un sistema lineal
En este capítulo y en el anterior hemos visto que dos propiedades fundamentales
de un sistema lineal de entrada/salida son la alcanzabilidad y la observabilidad.
Resulta que estas dos propiedades pueden utilizarse para clasificar la dinámica de
un sistema. El resultado clave es el teorema de descomposición de Kalman, que
dice que un sistema lineal puede dividirse en cuatro subsistemas: ro que es
alcanzable y observable,ro¯ que es alcanzable pero no observable,r¯o que no es
alcanzable pero es observable yr¯o¯ que no es ni alcanzable ni observable.
Primero consideraremos esto en el caso especial de los sistemas en los que la
matriz A tiene valores propios distintos. En este caso podemos encontrar un
conjunto de coordenadas tal que la matriz A es diagonal y, con algún
reordenamiento adicional de los estados, el sistema puede escribirse como
dx
dt
Aro
0
=
0 0
y = Cro
0
Aro¯
0
0
0
0
Ar¯o
0
0
0
A0r¯o¯
0
0 Cr¯o
+
Bro
Bro¯
x ,
0 0 u
(7.26)
x + Du.
Todos los estados xk tales /que Bk = 0 son alcanzables, y todos los estados
/ tales
que Ck = 0 son observables. Si fijamos el estado inicial en cero (o, de forma
equivalente, observamos la respuesta del estado estacionario si A es estable), los
estados dados por xr¯o y xr¯o¯ serán cero y xro¯
no afecta a la salida. Por lo tanto, la salida y puede determinarse a partir del sistema
dxro
= A xroro + Bro u,
y = C xroro + Du.
dt
223
7.5. UNA ESTRUCTURA GENERAL DEL
CONTROLADOR
u
ro
ro¯
+
r¯o
r¯o¯
(a) Valores propios distintos
y
u
ro
ro¯
+
y
r¯o
r¯o¯
(b) Caso general
Figura 7.12: Descomposición de Kalman de un sistema lineal. La descomposición en (a)
es para un sistema con valores propios distintos y la de (b) es el caso general. El sistema se
divide en cuatro subsistemas, que representan las distintas combinaciones de estados
alcanzables y observables. La relación entrada/salida sólo depende del subconjunto de
estados alcanzables y observables.
Así, desde el punto de vista de la entrada/salida, sólo importa la dinámica
alcanzable y observable. En la figura 7.12a se muestra un diagrama de bloques
del sistema que ilustra esta propiedad.
El caso general de la descomposición de Kalman es más complicado y
requiere algo de álgebra lineal adicional; véase el artículo original de Kalman,
Ho y Narendra [KHN63]. El resultado clave es que el espacio de estado todavía
puede descomponerse en cuatro partes, pero habrá un acoplamiento adicional de
modo que las ecuaciones tienen la forma
Bro
Aro
0 ∗
0
dx
∗ x + Bro¯ u,
∗ Aro¯ ∗
0 Ar¯o
dt = 0 0
0
∗ A0r¯o¯
0
(7.27)
0
0
y = Cro 0 Cr¯o
x,
donde se
matrices de bloques de dimensiones adecuadas. La
∗ indican las
respuesta de entrada/salida del sistema viene dada por
dxro
(7.28)
= A xroro + Bro u,
y = C xroro + Du,
dt
que son la dinámica del subsistema alcanzable y observablero . En la figura 7.12b
se muestra un diagrama de bloques del sistema.
El siguiente ejemplo ilustra la descomposición de Kalman.
Ejemplo 7.7 Sistema y controlador con retroalimentación de los estados del
observador
Considere el sistema
dx
= Ax + Bu,
y = Cx.
dt
El siguiente controlador, basado en la retroalimentación del estado del observador, fue
dado en
224
Teorema 7.3:
CAPÍTULO 7.
RETROALIMENTACIÓN DE LA
SALIDA
dxˆ
= Axˆ+ Bu + L(y -Cxˆ),
u = -Kxˆ+ kr r.
dt
Introduciendo los estados x y x˜ = x - xˆ, el sistema de lazo cerrado puede escribirse como
d x A- BK
BK
=
x + Bkr r,
0x,
y=C
LCx˜
0
x˜
x˜
ndose
dt
0
Aen el
tiempo.
que es una descomposición de Kalman como la que se muestra en la Figura
7.12b con sólo dos subsistemasro yr¯o . El subsistemaro , con el estado x, es
alcanzable y observable, y el subsistemar¯o , con el estado x˜, no es alcanzable
pero sí observable. Es natural que el estado x˜ no sea alcanzable desde la señal de
referencia r porque no tendría sentido diseñar un sistema en el que los cambios
en la señal de mando pudieran generar errores en el observador. La relación entre
la referencia r y la salida y viene dada por
dx
= (A - BK)x + Bkr r,
y = Cx,
dt
que es la misma relación que para un sistema con retroalimentación de estado completa.
Aplicación informática
Los controladores obtenidos hasta ahora se han descrito mediante ecuaciones
diferenciales ordinarias. Pueden implementarse directamente utilizando
componentes analógicos, ya sean circuitos electrónicos, válvulas hidráulicas u
otros dispositivos físicos. Dado que en las aplicaciones modernas de ingeniería la
mayoría de los controladores se implementan utilizando ordenadores,
discutiremos brevemente cómo se puede hacer esto.
Un sistema controlado por computadora típicamente opera periódicamente:
cada ciclo, las señales de los sensores son muestreadas y convertidas a forma
digital por el convertidor A/D, la señal de control es calculada y la salida
resultante es convertida a forma de análogo para los actuadores, como se muestra
en la Figura 7.13. Para ilustrar los principios principales de cómo implementar la
retroalimentación en este entorno, consideramos el controlador descrito por las
ecuaciones (7.14) y (7.15), es decir,
dxˆ
= Axˆ+ Bu + L(y -Cxˆ),
u = -Kxˆ+ kr r.
dt
La segunda ecuación sólo consta de sumas y multiplicaciones, por lo que puede
aplicarse directamente en un ordenador. La primera ecuación puede
implementarse aproximando la derivada por una diferencia
dxˆ xˆ(tk+1) - xˆ(tk)
≈
= Axˆ(tk ) + Bu(tk ) + L y(tk ) -Cxˆ(tk ) ,
dt
donde tk son los instantes
- tk es el período de muestreo.
h de muestreo y h = tk+1
Reescribiendo la ecuación para aislar xˆ(tk+1 ), obtenemos la ecuación de
diferencia
xˆ(tk+1 ) = xˆ(tk ) + h Axˆ(tk ) + Bu(tk ) + L y(tk ) -Cxˆ(tk ) . (7.29)
225
7.5. UNA ESTRUCTURA GENERAL DEL
CONTROLADOR
ruido
perturbaciones
externas
Actuadore
s
ruido
Sistema
Salida
Sensores
Proceso
Reloj
D/A
Ordenador
A/D
Filtro
Controlad
or
entrada del operador
Figura 7.13: Componentes de un sistema controlado por ordenador. El controlador consta
de convertidores analógico-digital (A/D) y digital-analógico (D/A), así como de un
ordenador que implementa el algoritmo de control. Un reloj del sistema controla el
funcionamiento del controlador, sincronizando los procesos A/D, D/A y de computación.
La entrada del operador también llega al ordenador como entrada externa.
El cálculo del estado estimado en el momento tk+1 sólo requiere una suma y una
multiplicación y puede ser realizado fácilmente por un ordenador. Una sección
del pseudocódigo del programa que realiza este cálculo es
Algoritmo de control - bucle principal
r = adin(ch1)
% leer referencia
y = adin(ch2)
% obtener la salida del proceso
u = K*(xd - xhat) + uff% calcula la variable de control
daout(ch1, u)
% establecer salida
analógica xhat= xhat + h*(A*x+B*u+L*(y-C*x)) % actualizar
estimación de estado
El programa se ejecuta periódicamente a una velocidad fija h. Observe que el
número de com- putaciones entre la lectura de la entrada analógica y la
configuración de la salida analógica se ha minimizado actualizando el estado
después de que se haya configurado la salida analógica. El programa tiene una
matriz de estados xque representa la estimación del estado. La elección del
periodo de muestreo requiere cierto cuidado.
Hay formas más sofisticadas de aproximar una ecuación diferencial por una
ecuación en diferencias. Si la señal de control es constante entre los instantes de
muestreo, es posible obtener ecuaciones exactas; véase [ ÅW97].
Hay varias cuestiones prácticas que también deben ser tratadas. Por ejemplo,
es necesario filtrar las señales medidas antes de muestrearlas para que la señal
filtrada tenga poco contenido de frecuencia por encima de fs /2, donde fs es la
frecuencia de muestreo. Esto evita un fenómeno conocido como aliasing. Si se
utilizan controladores con acción integral, también es necesario proporcionar
protección para que la integral no
se vuelven demasiado grandes cuando el actuador se satura. Este problema,
denominado "windup del integrador", se estudia con más detalle en el capítulo
10. También hay que tener cuidado para que el parámetro
226
los cambios no causan perturbaciones.
CAPÍTULO 7.
RETROALIMENTACIÓN DE LA
SALIDA
7.6 Más información
La noción de observabilidad se debe a Kalman [Kal61b] y, combinada con la
noción dual de alcanzabilidad, fue un paso importante hacia el establecimiento de
la teoría de control del espacio de estados a partir de la década de 1960. El
observador apareció por primera vez como el filtro de Kalman, en el artículo de
Kalman [Kal61a] sobre el caso de tiempo discreto y Kalman y Bucy [KB61]
sobre el caso de tiempo continuo. Kalman también conjeturó que el controlador
para la retroalimentación de salida podría obtenerse combinando una
retroalimentación de estado con un observador; véase la cita al principio de este
capítulo. Este resultado fue demostrado formalmente por Josep y Tou [JT61] y
Gunckel y Franklin [GF71]. El resultado combinado se conoce como la teoría de
control gaussiano cuadrático lineal; un tratamiento compacto se da en los libros
de Anderson y Moore [AM90] y Å
srötm[ Åst06]. Mucho más tarde se demostró que las
soluciones a los problemas de control robusto también tenían una estructura
similar pero con diferentes formas de calcular las ganancias del observador y de
la retroalimentación de estado [DGKF89]. La estructura general del controlador
discutida en la Sección 7.5, que combina retroalimentación y feedforward, fue
descrita por Horowitz en 1963 [Hor63]. La forma particular de la Figura 7.10
apareció en [ ÅW97], que también trata la implementación digital del controlador.
La hipótesis de que el control del movimiento en los seres humanos se basa en
una combinación de retroalimentación y feedforward fue propuesta por Ito en
1970 [Ito70].
Ejercicios
7.1 (Transformaciones de coordenadas) Considere un sistema bajo una
transformación de coordenadas
z = Tx, donde T Rn×n es una matriz invertible.
∈
Demuestre que la matriz de observabilidad -para el sistema transformado viene
dada por Wo = Wo T−1 y, por tanto, la observabilidad es independiente de la
elección de las coordenadas.
7.2 Demuestre que el sistema representado en la figura 7.2 no es observable.
7.3 (Forma canónica observable) Demuestre que si un sistema es observable,
entonces existe un cambio de coordenadas z = Tx que pone el sistema
transformado en forma canónica observable.
7.4 (Dinámica de la bicicleta) El modelo linealizado para una bicicleta viene dado por
la ecuación (3.5), que tiene la forma
mv2 h
d2
Dv0 
0
J 2b dt = mgh + b ,
dt
donde es la inclinación de la bicicleta y es el ángulo de giro. Indica las
condiciones en las que el sistema es observable y explica las situaciones
especiales en las que pierde observabilidad.
EJERCICIOS
227
7.5 (Acción integral) El modelo (7.1) supone que la entrada u = 0 corresponde a
x = 0. En la práctica, es muy difícil conocer el valor de la señal de control que
da un valor preciso del estado o de la salida, ya que esto requeriría una
sistema perfectamente calibrado. Una forma de evitar esta suposición es suponer
que el modelo viene dado por
dx
= Ax + B(u + u0 ),
y = Cx + Du,
dt
donde u0 es una constante desconocida que puede ser modelada como du0 /dt =
0. Considere u0 como una variable de estado adicional y derive un controlador
basado en la retroalimentación del estado observado. Demuestre que el
controlador tiene acción integral y que no
requieren un sistema perfectamente calibrado.
7.6 (Avión de empuje vectorial) La dinámica lateral del ejemplo de avión de �
empuje vectorial descrito en el Ejemplo 6.8 puede obtenerse considerando el
movimiento descrito por los estados z = (x, , x˙, ˙). Construya un estimador
para estas dinámicas.
ics mediante el establecimiento de los valores propios del observador en un patrón de
Butterworth con
9.24i, 9.24
3.83i.
Usando este estimador combinado con el
±
bw = -3.83 ±
controlador de espacio de estado calculado en el Ejemplo 6.8, grafique la
respuesta de paso del sistema de lazo cerrado.
7.7 (Singularidad de los observadores) Demuestre que el diseño de un
observador por asignación de valores propios es único para sistemas de una sola
salida. Construya ejemplos que muestren que el problema no es necesariamente
único para sistemas con muchas salidas.
7.8 (Observadores que utilizan la diferenciación) Considere el sistema lineal
(7.2), y suponga que la matriz de observabilidad Wo es invertible. Demuestre que
)T
xˆ = Wo−1y y˙ y¨ - - - y(n-1
es un observador. Demostrar que tiene la ventaja de dar el estado de forma
instantánea, pero que también tiene algunos inconvenientes prácticos graves.
7.9 (Observador del modelo de compartimentos de Teorell) El modelo de
compartimentos de Teorell, mostrado en la Figura 3.17, tiene la siguiente
representación del espacio de estados:
1
-k1
0
0
0
0
0
-k2 - k4 0
k3
0
dx = k1
dt
0
k4
0
0
0 x+ 0
0 u,
0
k 02
- k3 - k5
0
0
0
0
0
k5
0
�
donde los parámetros representativos son k1 = 0,02, k2 = 0,1, k3 = 0,05, k4 = k5 =
0.005. La concentración de un fármaco activo en el compartimento 5 se mide en
el torrente sanguíneo (compartimento 2). Determinar los compartimentos observables
a partir de la medición de la concentración en el torrente sanguíneo y diseñar un
estimador para estas concentraciones basado en la asignación de valores propios.
Elija los valores
propios
de bucle
cerrado 0,03, 0,05 y 0,1. Simule el sistema
cuando la entrada es una inyección de pulsos.
228
CAPÍTULO 7.
RETROALIMENTACIÓN DE LA
SALIDA
7.10 (Diseño del observador para el accionamiento del motor) Considere el
modelo normalizado del accionamiento del motor en el Ejercicio 2.10 donde el
sistema
- de lazo
± abierto tiene los v a l o r e s p r o p i o s 0, 0, 0.05 i. En el Ejercicio
6.11 se- diseñó
una- ±
retroalimentación de estado que dio un sistema de lazo
cerrado con valores propios en 2 , 1 y 1 i. Diseñe un observador para
el sistema que tiene los valores -propios
- 4 , 2-y±2 2i. Combine el observador con
la retroalimentación de estado del Ejercicio 6.11 para obtener una
retroalimentación de salida y simule el sistema completo.
7.11 (Diseño feedforward para el accionamiento del motor) Considere el modelo
normalizado del accionamiento del motor del ejercicio 2.10. Diseñe la dinámica
del bloque etiquetado como "generación de trayectorias" en la Figura 7.10 de
manera que la dinámica que relaciona la salida con la señal de referencia r tenga
la dinámica
d3 ym
d2 ym
dym
+ am1
+ am2
+ am3 ym = am3 r,
(7.30)
dt3
dt2
dt
52
3
con los parámetros am1 = 2,m , am2 = 2, y am3 = . Discuta cómo el mayor
m
m
El valor de la señal de avance para un paso unitario de la señal de mando depende de
m.
7.12 (Modelo de bicicleta Whipple) Considere el modelo de bicicleta Whipple
dado por la ecuación (3.7) en la Sección 3.2. En el ejercicio 6.12 se diseñó una
retroalimentación de estado para el sistema. Diseñe un observador y una
retroalimentación de salida para el sistema.
� 7.13 (Paseo aleatorio en tiempo discreto) Supongamos que queremos estimar la
posición de una partícula que está experimentando un paseo aleatorio en una
dimensión (es decir, a lo largo de una línea).
Modelamos la posición de la partícula como
x[k + 1] = x[k] + u[k],
donde x es la posición de la partícula y u es un proceso de ruido blanco con
{ E }u[i]
{
}
= 0 y E u[i] u[ j] = Ru (i j). Suponemos que podemos medir x sujeta a un ruido
blanco gaussiano ad- ditivo, de media cero, con covarianza 1.
(a) Calcula el valor esperado y la covarianza de la partícula en función de k.
(b) Construya un filtro de Kalman para estimar la posición de la partícula dadas
las mediciones ruidosas de su posición. Calcule el valor esperado en estado
estacionario y la covarianza del error de su estimación.
(c) Supongamos que
=/= 0 pero que, por lo demás, no cambia. ¿Cómo
{ E u[0]
}
cambiarían tus respuestas a las partes (a) y (b)?
7.14 (Descomposición de Kalman) Considere un sistema lineal caracterizado por
las ma- trices
2
-2
1 -1
2
A=
1 1
0
1 -4
2
-3
0
2
1 -1 -1 ,
1
B = 2 2,
C = 0 1 -1 0 ,
Construye
una descomposición de Kalman para el sistema. (Sugerencia:
0.
Intenta hacer una diagonalización).
D=
Capítulo 8
Funciones de transferencia
El sistema regulador típico suele describirse, en esencia, mediante ecuaciones
diferenciales de no más que quizás el segundo, tercer o cuarto orden En cambio, el orden
de
el conjunto de ecuaciones diferenciales que describen el típico amplificador de
retroalimentación negativa utilizado en telefonía es probablemente mucho mayor. Como
curiosidad ociosa, una vez conté para averiguar cuál habría sido el orden del conjunto de
ecuaciones de un amplificador que acababa de diseñar, si hubiera trabajado con las
ecuaciones diferenciales directamente. Resultó ser 55.
Hendrik Bode, 1960 [Bod60].
Este capítulo introduce el concepto de función de transferencia, que es una
descripción compacta de la relación entrada/salida de un sistema lineal. La
combinación de las funciones de transferencia con los diagramas de bloques
ofrece un método potente para tratar sistemas lineales complejos. También se
analiza la relación entre las funciones de transferencia y otras descripciones de la
dinámica del sistema.
8.1 Modelado en el dominio de la frecuencia
La figura 8.1 es un diagrama de bloques de un sistema de control típico, que
consiste en un proceso a controlar y un controlador que combina
retroalimentación y alimentación. En los dos capítulos anteriores hemos visto
cómo analizar y diseñar estos sistemas utilizando descripciones del espacio de
estados de los bloques. Como se mencionó en el capítulo 2, un enfoque
alternativo es centrarse en las características de entrada/salida del sistema. Dado
que son las entradas y salidas las que se utilizan para conectar los sistemas,
cabría esperar que este punto de vista permitiera comprender el comportamiento
global del sistema.
r
Conforma
ción de
referenci
a F
Controlad
or
Controla
dor de
e retroalim
C
entación
d
u
Dinámic
a del
proceso
P
n
y
-1
Figura 8.1: Un diagrama de bloques para un sistema de control de retroalimentación. La
señal de referencia r pasa por un bloque de conformación de referencia, que produce la
señal que se seguirá. El error entre esta señal y la salida se introduce en un controlador,
que produce la entrada al proceso. Las perturbaciones y el ruido se incluyen como señales
externas en la entrada y la salida de la dinámica del proceso.
230
CAPÍTULO 8. FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA
Las funciones de transferencia son la principal herramienta para aplicar este
punto de vista a los sistemas lineales.
La idea básica de la función de transferencia proviene de observar la
respuesta en frecuencia de un sistema. Supongamos que tenemos una señal de
entrada que es periódica. Entonces podemos descomponer esta señal en la suma
de un conjunto de senos y cosenos,
u(t) = ak sin() + bk cos(),
k=0
donde es la frecuencia fundamental de la entrada periódica. Cada uno de los
términos de esta entrada genera una salida sinusoidal correspondiente (en estado
estacionario), con magnitud y fase posiblemente desplazadas. La ganancia y la
fase en cada frecuencia están determinadas por la respuesta en frecuencia dada
en la ecuación (5.24):
G(s) = C(sI - A)−1 B + D,
(8.1)
donde establecemos s = i(k) para cada k = 1, . . . , e i = √ 1. Si conocemos la
respuesta en frecuencia del estado estacionario G(s), podemos calcular la
respuesta a cualquier señal (periódica) utilizando la superposición.
La función de transferencia generaliza esta noción para permitir una clase
más amplia de señales de entrada además de las periódicas. Como veremos en la
siguiente sección, la función de transferencia representa la respuesta del sistema
a una entrada exponencial, u = est . Resulta que la forma de la función de
transferencia es precisamente la misma que la de la ecuación (8.1). Esto no
debería sorprender, ya que derivamos la ecuación (8.1) escribiendo
sinusoides como sumas de exponenciales complejos. Formalmente, la función de
transferencia es la relación de las transformadas de Laplace de la salida y la
entrada, aunque no es necesario entender los detalles de las transformadas de
Laplace para poder utilizar las funciones de transferencia.
El modelado de un sistema a través de su respuesta a señales sinusoidales y
exponenciales se conoce como modelado en el dominio de la frecuencia. Esta
terminología proviene del hecho de que representamos la dinámica del sistema
en términos de la frecuencia generalizada s en lugar de la variable del dominio
del tiempo t. La función de transferencia proporciona una representación
completa de un sistema lineal en el dominio de la frecuencia.
El poder de las funciones de transferencia es que proporcionan una
representación particularmente conveniente en la manipulación y el análisis de
sistemas complejos de retroalimentación lineal. Como veremos, hay muchas
representaciones gráficas de las funciones de transferencia que capturan
propiedades interesantes de la dinámica subyacente. Las funciones de
transferencia también permiten expresar los cambios en un sistema debido al
error de modelado, lo que es esencial cuando se considera la sensibilidad a las
variaciones del proceso del tipo que se discute en el capítulo 12. Más
específicamente, utilizando las funciones de transferencia, es posible analizar lo
que sucede cuando los modelos dinámicos se aproximan por modelos estáticos o
cuando los modelos de alto orden se aproximan por modelos de bajo orden. Una
consecuencia es que podemos introducir conceptos que expresan el grado de
estabilidad de un sistema.
Mientras que muchos de los conceptos de modelado y análisis del espacio de
estado se aplican di- rectamente a los sistemas no lineales, el análisis en el
dominio de la frecuencia se aplica principalmente a los sistemas lineales. Las
nociones de ganancia y fase pueden generalizarse a los sistemas no lineales
231
8.2. DERIVACIÓN DE LA FUNCIÓN DE
TRANSFERENCIA
y, en particular, la propagación de señales sinusoidales a través de un sistema no
lineal puede ser capturada aproximadamente por un análogo de la respuesta en
frecuencia llamado función descriptiva. Estas extensiones de la respuesta en
frecuencia se discutirán en la sección 9.5.
8.2 Derivación de la función de transferencia
Como hemos visto en capítulos anteriores, la dinámica de entrada/salida de un
sistema lineal tiene dos componentes: la respuesta en condiciones iniciales y la
respuesta forzada. Además, podemos hablar de las propiedades transitorias del
sistema y de su respuesta en estado estacionario a una entrada. La función de
transferencia se centra en la respuesta forzada en estado estacionario a una
entrada dada y proporciona un mapeo entre las entradas y sus salidas
correlativas. En esta sección, derivaremos la función de transferencia en términos
de la respuesta exponencial de un sistema lineal.
Transmisión de señales exponenciales
Para calcular formalmente la función de transferencia de un sistema, haremos
uso de un tipo especial de señal, llamada señal exponencial, de la forma est ,
donde s =
+  es un número complejo. Las señales exponenciales desempeñan un papel importante en
las
sistemas. Aparecen en la solución de ecuaciones diferenciales y en el impulso
respuesta de los sistemas lineales, y muchas señales pueden representarse como
exponenciales o sumas de exponenciales. Por ejemplo, una señal constante es
simplemente et con = 0.
Las señales seno y coseno amortiguadas pueden representarse mediante
e(+i)t = et eit = et (coste + i sint),
donde < 0 determina la tasa de decaimiento. La figura 8.2 da ejemplos de
señales que pueden representarse mediante exponenciales complejas; muchas
otras señales pueden repre
enviados por combinaciones lineales de estas señales. Al igual que en el caso de
las señales sinusoidales, en la derivación que sigue permitiremos señales de valor
complejo, aunque en la práctica siempre sumamos combinaciones de señales que
dan lugar a funciones de valor real.
Para investigar cómo responde un sistema lineal a una entrada exponencial u(t) = est
consideramos el sistema de espacio de estados
dx
dt
= Ax + Bu,
y = Cx + Du.
(8.2)
Sea la señal de entrada u(t) = est y supongamos que s/ =j (A), j = 1, . . . , n, donde
j (A) es el jº valor propio de A. El estado viene dado entonces por
x(t) = e x(0)
At
+
- t
0
eA
(t-)

- t
= e x(0) eAt
At
+
0
e(sI-A) Bd
.
232
CAPÍTULO 8. FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA
3
1
1
Se
ñal
0.5
u(t
)
0
0
0.5
Tiempo t
1
Se
ñal
0.5
u(t
)
0
0
2
Tiempo t
s=0
0.5
Tiempo t
Se
ñal 0
u(t
) -1
10
Tiempo t
15
Se
ñal 0
u(t
)
-1
0
s=i
1
s=1
20
1
5
0
s = -1
1
0
4
Se 2
ñal
u(t 1
)
0
Se
ñal
u(t
)
5
10
Tiempo t
15
0
-20
0
s = -0,2 + i
5
10
Tiempo t
15
s = 0,2 +
i
Figura 8.2: Ejemplos de señales exponenciales. La fila superior corresponde a las señales
exponenciales con exponente real, y la inferior a las que tienen exponente complejo. La
línea discontinua en los dos últimos casos denota la envolvente límite de las señales
oscilatorias. En cada caso, si la parte real del exponente es negativa, la señal decae,
mientras que si la parte real es positiva, crece.
Como vimos en el apartado 5.3, si s /= (A), la integral puede evaluarse y obtenemos
x(t) = eAtx(0) + eAt(sI − A)−1 e(sI−A)t − I B
= eAt x(0) -(sI - A)−1 B + (sI - A)−1 Best .
El resultado de la ecuación (8.2) es, por tanto, el siguiente
y(t) = Cx(t) + Du(t)
= CeAt x(0) -(sI - A)−1 B + C(sI - A)−1 B + D est ,
(8.3)
una combinación lineal de las funciones exponenciales est y eAt . El primer
término de la ecuación (8.3) es la respuesta transitoria del sistema. Recordemos
que eAt puede escribirse en términos de los valores propios de A (utilizando la
forma de Jordan en el caso de valores propios repetidos), y por tanto la respuesta
transitoria es una combinación lineal de términos de la forma e jt , dondej son
valores propios de A. Si el sistema es estable, entonces eAt → 0
como
→t y este término desaparece.
El segundo término de la salida (8.3) es proporcional a la entrada u(t) = est . Esto
se denomina respuesta exponencial pura. Si el estado inicial se elige como
x(0) = (sI - A)−1 B,
entonces la salida consiste sólo en la respuesta exponencial pura y tanto el estado
233
8.2. DERIVACIÓN DE LA FUNCIÓN DE
TRANSFERENCIA
y la salida son proporcionales a la entrada:
x(t) = (sI − A)−1Best = (sI − A)−1Bu(t),
y(t) = C(sI - A)−1 B + D est = C(sI - A)−1 B + D u(t).
Esta es también la salida que vemos en estado estacionario, cuando los
transitorios representados por el primer término de la ecuación (8.3) se han
extinguido. El mapa de la entrada a la salida,
Gyu (s) = C(sI - A)−1 B + D,
(8.4)
es la función de transferencia de u a y para el sistema (8.2), y podemos escribir
y(t) = Gyu (s)u(t) para el caso de que u(t) = est . Compárese con la definición de
respuesta en frecuencia dada por la ecuación (5.24).
Un punto importante en la derivación de la función de transferencia es el
hecho de que hemos restringido
/ s de manera que s =j (A), los valores propios de
A. En esos valores de s, vemos que la respuesta del sistema es singular
(ya que sI
A no será invertible). Si s =j (A), la respuesta del sistema a la entrada
exponencial u = e jt es y = p(t)e jt , donde p(t) es un polinomio de grado menor
o igual a la multiplicidad del valor propioj (ver Ejercicio 8.2).
Ejemplo 8.1 Oscilador amortiguado
Consideremos la respuesta de un oscilador lineal amortiguado, cuya dinámica en
el espacio
dx de0estados se 0estudió en la sección 6.3:
=
0
u,
y = 10x.
(8.5)
x
+

−− 0
dt
0
Este sistema es estable si > 0, por lo que podemos observar la respuesta en
estado estacionario a una entrada u = est ,
−1 0
s
−0
1
0
Gyu (s) =( C(sI - A)− B = 1 0
0
s+
0
1
s+ 0
-00
= 10
(8.6)
s

2
2
0
s+s+
0
0

0
=
2.
s2 + 0 s + 0
Para calcular la respuesta en estado estacionario a una función escalonada,
fijamos s = 0 y vemos que
u=1
=⇒
y = Gyu (0)u = k.
Si queremos calcular la respuesta en estado estacionario a una
sinusoide, escribimos 1
u = sint = 2 ie-it - ieit ,
1
y=
2
iGyu (-i)e−it - iGyu (i)eit .
234
CAPÍTULO 8. FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA
Ahora podemos escribir G(i) en términos de su magnitud y fase,
 0
G(i) =
2=
Mei ,
s2 + 0 s + 0
donde la magnitud (o ganancia) M y la fase vienen dadas por
M=J

0
(0 −2
2) 2 +
(0 )
2
,
si

=
− 0
2 -2 .
0
También podemos hacer uso del hecho de-que G( i) viene dado por su conjugado
- G( i) = Me−i . Sustituyendo estas expresiones
complejo G∗ (i), y se deduce que
en nuestra ecuación de salida, obtenemos
1
y = i(Me−i )e−it
i(Mei )eit2
1 i e −i(t+)
=Miei(t+) -= M sin(t + ).
2
Las respuestas a otras señales pueden calcularse escribiendo la entrada como una
combinación adecuada de respuestas exponenciales y utilizando la linealidad.
Cambios de coordenadas
Las matrices A, B y C de la ecuación (8.2) dependen de la elección del sistema de
coordenadas para los estados. Dado que la función de transferencia relaciona las
entradas con las salidas, debería ser invariable a los cambios de coordenadas en
el espacio de estados. Para mostrar esto, considere el modelo (8.2) e introduzca
nuevas coordenadas z mediante la transformación z = Tx, donde T es una matriz
no singular. El sistema se describe entonces por
dz
= T (Ax + Bu) = TAT−1 z + TBu =: Ãz+ B˜u,
dt
y = Cx + Du = CT−1 z + Du =: C˜z + Du.
Este sistema tiene la misma forma que la ecuación (8.2), pero las matrices A, B y C son
diferentes:
A˜ = TAT−1 ,
B˜= TB,
C˜ = CT−1 .
(8.7)
Calculando la función de transferencia del modelo transformado, obtenemos
G̃ (s) = C˜(sI − Ã ) − 1 B̃ + D̃ = CT −1(sI − TAT −1)−1TB + D
= C T−1 (sI - TAT−1 )T−1 B + D = C(sI - A)−1 B + D = G(s),
que es idéntica a la función de transferencia (8.4) calculada a partir de la
descripción del sistema (8.2). La función de transferencia es, por tanto,
invariable a los cambios de las coordenadas en el espacio de estado.
� Otra propiedad de la función de transferencia es que corresponde a la parte de la
dinámica del espacio de estados que es alcanzable y observable. En particular, si
8.2. DERIVACIÓN DE LA FUNCIÓN DE
TRANSFERENCIA
235
hacemos uso de la descomposición de Kalman (Sección 7.5), entonces la función
de transferencia sólo depende de la dinámica en el subespacio alcanzable y
observablero (Ejercicio 8.7).
Funciones de transferencia para sistemas lineales
Consideremos un sistema lineal de entrada/salida descrito por la ecuación
diferencial controlada
dn y
dm u
dn-1y
dm-1u
+ a1
+ - - + an y = b0
+ b1
+ - - + bm u, (8.8)
dtn
dtn-1
dtm
dtm-1
donde u es la entrada e y es la salida. Este tipo de descripción surge en muchas
aplicaciones, como se describe brevemente en la sección 2.2; la dinámica de las
bicicletas y el modelado de AFM son dos ejemplos específicos. Nótese que aquí
hemos generalizado nuestra descripción anterior del sistema para permitir que
aparezcan tanto la entrada como sus derivadas.
Para determinar la función de transferencia del sistema (8.8), dejemos que la
entrada sea u(t) = est . Como el sistema es lineal, hay una salida del sistema que
también es una función exponencial y(t) = y0 est . Insertando las señales en la
ecuación (8.8), encontramos
(sn + a1 sn−1 + - - + an )y0 est = (b0 sm + b1 sm−1 - - - + bm )est ,
y la respuesta del sistema puede describirse completamente mediante dos polinomios
a(s) = sn + a1 sn−1 + - - + an , b(s) = b0 sm + b1 sm−1 + - - + bm . (8.9)
El polinomio a(s) es el polinomio característico de la ecuación diferencial
ordinaria. Si a(s) /= 0, resulta que
b(s) st
y(t) = y0 est =
e .
(8.10)
a(s)
La función de transferencia del sistema (8.8) es, pues, la función racional
b(s)
G(s) =
,
(8.11)
a(s)
donde los polinomios a(s) y b(s) vienen dados por la ecuación (8.9). Obsérvese
que la función de transferencia del sistema (8.8) puede obtenerse por inspección
ya que los coeficientes de a(s) y b(s) son precisamente los coeficientes de las
derivadas de u y
y. El orden de la función de transferencia se define como el orden del denominador
polinomio.
Las ecuaciones (8.8)-(8.11) pueden utilizarse para calcular las funciones de
transferencia de muchas ecuaciones diferenciales ordinarias simples. La tabla 8.1
presenta algunas de las formas más comunes. Las cinco primeras se derivan
directamente del análisis anterior. Para el controlador proporcional-integralderivativo (PID), hacemos uso del hecho de que la integral de una entrada
exponencial está dada por (1/s)est .
La última entrada de la tabla 8.1 corresponde a un retardo de tiempo puro, en el que la
salida es identica a la entrada en un momento anterior. Los retrasos temporales aparecen en
muchos sistemas: ejemplos típicos son los retrasos en la propagación de los
nervios, la comunicación y el transporte de masas. A
236
CAPÍTULO 8. FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA
Tabla 8.1: Funciones de transferencia para algunas ecuaciones diferenciales ordinarias comunes.
Tipo
ODE
Integrador
y˙ = u
Diferenciador
y = u˙
Sistema de primer
orden
Función de transferencia
1
s
s
1
y˙+ ay = u
s+a
1
y¨ = u
Integrador doble
y¨ +
s2
0 y˙+ 2y =
u
1
Oscilador
amortiguado
0
s2 +  0s +
2
Controlador PID
y = kpu + kd u˙ + ki
ki
ukp + kds +
Retraso temporal
y(t) = u(t −)
e-s
I
0
s
El sistema con retardo de tiempo tiene la relación entrada/salida
y(t) = u(t −).
(8.12)
Como antes, dejemos que la entrada sea u(t) = e . Suponiendo que hay una salida de la
forma
y(t) = y0 est e insertando en la ecuación (8.12), obtenemos
st
y(t) = y0 est = es(t−) = e−s est = e−s u(t).
La función de transferencia de un retardo de tiempo es, pues, G(s) = e−s , que no
es una función racional pero es analítica excepto en el infinito. (Una función
compleja es analítica en una región si no tiene singularidades en ella).
Ejemplo 8.2 Elementos del circuito eléctrico
El modelado de circuitos eléctricos es un uso común de las funciones de
transferencia. Consideremos, por ejemplo, una resistencia modelada por la ley de
Ohm V = IR, donde V es la tensión a través de la resistencia, I es la corriente a
través de la resistencia y R es el valor de la resistencia. Si consideramos que la
corriente es la entrada y la tensión la salida, la resistencia tiene la función de
transferencia Z(s) = R. Z(s) también se denomina impedancia del elemento del
circuito.
A continuación consideramos un inductor cuya característica de entrada/salida viene
dada por
LdI = V.
dt
st
Si la corriente es I(t) = e , encontramos que la tensión es V (t) = Lsest y la
función de transferencia de un inductor es, por tanto, Z(s) = Ls. Un condensador
se caracteriza por
CdV
dt = I,
237
8.2. DERIVACIÓN DE LA FUNCIÓN DE
TRANSFERENCIA
106
R1
R2
4
Ga 10
nar 102
-
v1
+
v2
100
100
104
102
106
Frecuencia rad/s]
108
Figura 8.3: Amplificador estable basado en la retroalimentación negativa alrededor de un
amplificador operacional. El diagrama de bloques de la izquierda muestra un amplificador
típico con ganancia de baja frecuencia R2 /R1 . Si modelamos la respuesta dinámica del
amplificador operacional como G(s) = ak/(s + a), entonces la ganancia cae en frecuencia
= aR1 k/R2 , como se muestra en las curvas de ganancia de la derecha. La respuesta en
frecuencia se calcula para k = 107, a = 10 rad/s, R2 =106 , y R1 = 1, 102, 104 y 106 .
y un análisis similar da una función de transferencia de corriente a tensión de
Z(s) = 1/(Cs). Utilizando las funciones de transferencia, los circuitos eléctricos
complejos pueden analizarse de forma algebraica utilizando la impedancia
compleja Z(s) de la misma forma que se utilizaría el valor de la resistencia en
una red de resistencias.
Ejemplo 8.3 Circuito de amplificador operacional
Para ilustrar mejor el uso de las señales exponenciales, consideremos el circuito
del amplificador operacional introducido en la Sección 3.3 y reproducido en la
Figura 8.3a. El modelo introducido en la Sección 3.3 es una simplificación
porque el comportamiento lineal del amplificador fue modelado como una
ganancia constante. En realidad hay
- una dinámica significativa en el
amplificador, y el modelo estático vout = kv (ecuación (3.10)) debe ser por tanto
sustituido por un modelo dinámico. En el rango lineal del amplificador, podemos modelar
que el amplificador operacional tenga una respuesta en frecuencia en estado estacionario
vout
ak
==: -G(s).
(8.13)
v
s+a
Esta respuesta corresponde a un sistema de primer orden con constante de tiempo
1/a. El parámetro k se denomina ganancia de bucle abierto, y el producto ak se
denomina producto ganancia-ancho de banda; los valores típicos de estos
parámetros son k = 107 y ak = 107 - 109 rad/s.
Dado que todos los elementos del circuito se modelan como lineales, si
conducimos la entrada v1 con una señal exponencial est , entonces en estado
estacionario todas las señales serán exponenciales de la misma forma. Esto nos
permite manipular las ecuaciones que describen el sistema de forma algebraica.
Así, podemos escribir
v1 - v
vy
v2 = -G(s)v,
(8.14)
=
v2
R1
R2
utilizando el hecho de que la corriente en el amplificador es muy pequeña, como
hicimos en la sección 3.3. Eliminando v entre estas ecuaciones se obtiene la
siguiente función de transferencia del sistema
v2
v1
=
-R2 G(s)
-R2 ak
=
.
R1 + R2 + R1 G(s) R1 ak + (R1 + R2 )(s + a)
238
CAPÍTULO 8. FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA
La ganancia de baja frecuencia se obtiene fijando s = 0, por lo que
-kR2
R2
G vv (0) =
≈- ,
21
(k + 1)R1 + R2
R1
que es el resultado dado por (3.11) en la sección 3.3. El ancho de banda del
circuito amplificador es
R1 (k + 1) + R2
R1 k
≈a
,
b= a
R1 + R2
R2
donde la aproximación se mantiene para≫
R2 /R1 1. La ganancia del sistema de
bucle cerrado disminuye a altas frecuencias como R2 k/((R1 + R2 )). La respuesta
en frecuencia de la función de transferencia se muestra en la figura 8.3b para k =
107 , a = 10 rad/s, R2 = 106 y R1 = 1, 102 , 104 y 106 .
Obsérvese que en la resolución de este ejemplo, hemos evitado escribir
explícitamente las señales como v = v0 est y en su lugar hemos trabajado
directamente con v, asumiendo que era una exponencial. Este atajo es útil para
resolver problemas de este tipo y para manipular diagramas de bloques. Una
comparación con la sección 3.3, en la que hicimos el mismo cálculo cuando G(s)
era una constante, muestra que el análisis de sistemas que utilizan funciones de
transferencia es
tan fácil como utilizar sistemas estáticos. Los cálculos son los mismos si las resistencias
R1
y R2 se sustituyen por impedancias, tal y como se ha comentado en el ejemplo 8.2.
� Aunque hasta ahora nos hemos centrado en las ecuaciones diferenciales
ordinarias, las funciones de transferencia también pueden utilizarse para otros
tipos de sistemas lineales. Lo ilustramos con un ejemplo de función de
transferencia para una ecuación diferencial parcial.
Ejemplo 8.4 Propagación del calor
Consideremos el problema de la propagación unidimensional del calor en una
varilla metálica semi-infinita. Supongamos que la entrada es la temperatura en un
extremo y que la salida es la temperatura en un punto a lo largo de la varilla. Sea
(x, t) la temperatura en la posición x y el tiempo t. Con una elección adecuada de
las escalas de longitud y las unidades, la propagación del calor se describe
mediante la ecuación diferencial parcial

=
,
(8.15)
t 2x
y se puede suponer que el punto de interés tiene x = 1. La condición de contorno
para la ecuación diferencial parcial es
(0, t) = u(t).
Para determinar la función de transferencia elegimos la entrada como u(t) = est .
Supongamos que existe una solución a la ecuación diferencial parcial de la forma
(x, t) = (x)est e insertarla en la ecuación (8.15) para obtener
s(x) =
d2
dx2
,
con la condición de contorno (0) = 1. Esta ecuación diferencial ordinaria (con inde-
239
8.2. DERIVACIÓN DE LA FUNCIÓN DE
TRANSFERENCIA
variable colgante x) tiene la solución
(x) = Aex
√s
√s
+ Be−x .
Si se cumplen las condiciones de contorno se obtiene A = 0 y B = 1, por lo que la solución
es
y(t) = (1, t) = (1)est = e−
√se
st
= e−
√su
(t).
√s
El sistema tiene entonces la función de transferencia G(s) = e− . Como en el
caso de un retardo de tiempo, la función de transferencia no es una función
racional sino una función analítica.
Ganancias, polos y ceros
La función de transferencia tiene muchas interpretaciones útiles y las
características de una función de transferencia suelen asociarse con propiedades
importantes del sistema. Tres de las características más importantes son la
ganancia y la ubicación de los polos y los ceros.
La ganancia de frecuencia cero de un sistema viene dada por la magnitud de
la función de transferencia en s = 0. Representa la relación del valor de estado
estacionario de la salida con respecto a una entrada escalonada (que puede
representarse como u = est con s = 0). Para un sistema de espacio de estado,
calculamos la ganancia de frecuencia cero en la ecuación (5.22):
G(0) = D -CA−1 B.
Para un sistema escrito como una ecuación diferencial lineal
dn y
dm u
dn-1y
dm-1u
+ a1
+ - - + an y = b0
+ b1
+ - - + bm u,
dtn
dtn-1
dtm
dtm-1
si suponemos que la entrada y la salida del sistema son constantes y0 y u0 ,
entonces encontramos que an y0 = bm u0 . Por lo tanto la ganancia de frecuencia
cero es
y0 bm
G(0) =
=
.
(8.16)
u0
an
A continuación, consideremos un sistema lineal con la función de transferencia racional
b(s)
G(s) =
.
a(s)
Las raíces del polinomio a(s) se llaman polos del sistema, y las raíces de b(s) se
llaman ceros del sistema. Si p es un polo, resulta que y(t) = ept es una solución
de la ecuación (8.8) con u = 0 (la solución homogénea). Un polo p corresponde
a un modo del sistema con la correspondiente solución modal ept . El
El movimiento no forzado del sistema tras una excitación arbitraria es una suma
ponderada de modos.
Los ceros tienen una interpretación diferente. Dado que la salida exponencial
pura que corresponde a la entrada u(t) = e/st con a(s) = 0 es G(s)est , se deduce
que la salida exponencial pura es cero si b(s) = 0. Los ceros de la función de
transferencia bloquean así la transmisión de las señales exponenciales
correspondientes.
240
CAPÍTULO 8. FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA
Para un sistema de espacio de estados con función de transferencia
G(s) =
1
−
C(sI A) B + D, los polos de la función de transferencia son los valores propios
de la matriz A en el modelo de espacio de estados. Una forma fácil de ver esto es
notar que el valor de G(s) es ilimitado cuando s es un valor propio de un sistema
ya que este es precisamente el conjunto- de puntos donde el- polinomio
característico (s) = det(sI A) = 0 (y por lo tanto sI A es no invertible). De ello se
desprende que los polos de un sistema de espacio de estados dependen
únicamente de la
matriz A, que representa la dinámica intrínseca del sistema. Decimos que una
función de transferencia es estable si todos sus polos tienen parte real negativa.
Para encontrar los ceros de un sistema de espacio de estados, observamos que
los ceros son números complejos s tales que la entrada u(t) = u e0st da una salida
cero. Insertando la respuesta exponencial pura x(t) = x e0st e y(t) = 0 en la
ecuación (8.2) se obtiene
sest x0 = Ax0 est + Bu0 est
que puede escribirse como
A- sI
C
0 = Cest x0 + Dest u0 ,
Bx0est =0.
Du0
Esta ecuación tiene una solución con x no cero0 , u0 sólo si la matriz de la
izquierda no tiene rango completo. Los ceros son, pues, los valores s tales que la
matriz
A- sI
(8.17)
B
C
D
pierde el rango.
Dado que los ceros dependen de A, B, C y D, dependen, por tanto, de cómo se
acoplen las entradas y salidas a los estados. Obsérvese, en particular, que si la
matriz B tiene rango completo de filas, entonces la matriz de la ecuación (8.17)
tiene n filas linealmente independientes para todos los valores de s. Del mismo
modo, hay n columnas linealmente independientes si la matriz C tiene rango
completo de columnas. Esto implica que los sistemas en los que la matriz B o C
es cuadrada y de rango completo no tienen ceros. En particular, significa que un
sistema no tiene ceros si está totalmente actuado (cada estado puede ser
controlado independientemente) o si se mide el estado completo.
Una forma conveniente de ver los polos y los ceros de una función de
transferencia es a través de un diagrama polo-cero, como se muestra en la figura
8.4. En este diagrama, cada polo está marcado con una cruz, y cada cero con un
círculo. Si hay varios polos o ceros en un lugar fijo, suelen indicarse con cruces o
círculos superpuestos (u otras anotaciones). Los polos en el semiplano izquierdo
corresponden a modos estables del sistema, y los polos en el semiplano derecho
corresponden a modos inestables. Por tanto, llamamos polo estable a un polo
situado en el semiplano izquierdo y polo inestable a un polo situado en el
semiplano derecho. Una terminología similar se utiliza para los ceros, aunque los
ceros no están directamente relacionados con la estabilidad o la inestabilidad del
sistema. Obsérvese que la ganancia también debe darse para tener una
descripción completa de la función de transferencia.
Ejemplo 8.5 Sistema de equilibrio
Consideremos la dinámica de un sistema de equilibrio, mostrada en la figura 8.5.
La función de transferencia de un sistema de equilibrio puede derivarse
directamente de la ecuación de segundo orden.
241
8.2. DERIVACIÓN DE LA FUNCIÓN DE
TRANSFERENCIA
So
y
2
Re
-6
-4
-2
2
-2
Figura 8.4: Diagrama de polos cero para una función de transferencia
en 5 y 1 y
- con ceros
- polos -en±3 y 2 2 j. Los círculos representan las ubicaciones de los ceros, y las cruces las
ubicaciones
de los polos. Una caracterización completa requiere que especifiquemos también la ganancia del sistema.
tiones, dadas en el ejemplo 2.1:
 2
cdp
d2 p
d2
 +
- ml
+ ml 
= F,
dt2
dt2 2
dt
dt
2
d p
d
˙
-ml 
+ Jt
- mgl  + = 0.
dt2
dt2
Mt
Si suponemos que y ˙ son pequeños, podemos aproximar este sistema no lineal
por un conjunto de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden,
M
t
d2 p
- ml
d2
+c
dp
= F,
dt
dt2 2
dt2
d2 p
d

-ml
+ Jt
+ - mgl = 0.
dt2
dt2 dt
Si dejamos que F sea una señal exponencial, la respuesta resultante satisface
Mt s2 p - mls2 + cs p = F, Jt
s2 - mls2 p + s - mgl = 0,
donde todas las señales son exponenciales. Las funciones de transferencia
resultantes para la posición del carro y la orientación del péndulo se dan
resolviendo para p y en términos de F para obtener
F=
HpF =
mls
(Mt Jt -
m2l2)s3
+ (Mt + cJt )s2 + ( - Mt mgl)s - mglc
Jt s2 + s - mgl
,
(Mt Jt - m2l2)s4 + (Mt + cJt )s3 + ( - Mt mgl)s2 - mglcs
,
donde cada uno de los coeficientes es positivo. Los diagramas de polos cero para
estas dos funciones de transferencia se muestran en la Figura 8.5 utilizando los
parámetros del Ejemplo 6.7.
242
CAPÍTULO 8. FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA
So
y
m
Re
1
-4
-2
2
4
-1
l
(b) Diagrama del polo cero para  F
F
So
y
M
Re
1
p
(a) Sistema carro-pendular
-4
-2
2
4
-1
(c) Diagrama del polo cero para HpF
Figura 8.5: Polos y ceros de un sistema de equilibrio. El sistema de equilibrio (a) puede
modelarse alrededor de su punto de equilibrio vertical mediante un sistema lineal de cuarto
orden. Los polos y ceros de las funciones de transferencia  F y HpF se muestran en (b) y
(c), respectivamente.
Si suponemos que el amortiguamiento es pequeño y fijamos c = 0 y = 0, obtenemos
ml
HF =
,
m2l2
(Mt Jt )s2 - Mt mgl
J t-s2 mgl
H pF =
.
s2 (Mt Jt - m2l2)s2 - Mt mgl
Esto da polos no nulos y ceros en
)
)
mglMt
mgl
p=±
≈ ±2.68,
z=±
≈ ±2,09.
m2l2
Jt
M t Jt Vemos que están bastante cerca de los lugares del polo y del cero en la figura 8.5.
8.3 Diagramas de bloques y funciones de transferencia
La combinación de diagramas de bloques y funciones de transferencia es una
forma poderosa de representar sistemas de control. Las funciones de
transferencia que relacionan diferentes señales en el sistema pueden derivarse
mediante manipulaciones puramente algebraicas de las funciones de
transferencia de los bloques utilizando el álgebra de los diagramas de bloques.
Para mostrar cómo se puede hacer esto, comenzaremos con combinaciones
simples de sistemas.
Considere un sistema que es una combinación en cascada de sistemas con las
funciones de transferencia G1 (s) y G2 (s), como se muestra en la Figura 8.6a.
Sea la entrada del sistema u = est . La salida exponencial pura del primer bloque
es la señal exponencial G1 u, que también es la entrada del segundo sistema. La
salida exponencial pura de
el segundo sistema es
y = G2 (G1 u) = (G2 G1 )u.
243
8.3. DIAGRAMAS DE BLOQUES Y FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA
G1
u
G1
G2
u
y
y
u
e
G1
y
G2
-G2
(a) Gyu = G2G1
(b) Gyu = G1 +
G2
(c) Gyu =
G1
1+
G1G2
Figura 8.6: Interconexiones de sistemas lineales. Se muestran las conexiones en serie (a),
en paralelo (b) y de retroalimentación (c). Las funciones de transferencia de los sistemas
compuestos pueden derivarse mediante manipulaciones algebraicas asumiendo funciones
exponenciales para todas las señales.
La función de transferencia de la conexión en serie es, pues, G = G2 G1 , es
decir, el producto de las funciones de transferencia. El orden de las funciones de
transferencia individuales se debe a que colocamos la señal de entrada en el lado
derecho de esta expresión,
por lo tanto, primero multiplicamos por G1 y luego por G2 . Desafortunadamente,
esto tiene el orden opuesto a los diagramas que usamos, donde típicamente
tenemos el flujo de la señal de izquierda a derecha, por lo que hay que tener
cuidado. El orden es importante si G1 o G2 es una función de transferencia
vectorial, como veremos en algunos ejemplos.
Consideremos a continuación una conexión paralela de sistemas con las
funciones de transferencia G1 y G2 , como se muestra en la figura 8.6b. Si la
entrada del sistema es u = est , la salida exponencial pura del primer sistema es
y1 = G1 u y la salida del segundo sistema es y2 = G2 u. La salida exponencial
pura de la conexión paralela es entonces
y = G1 u + G2 u = (G1 + G2 )u,
y la función de transferencia para una conexión en paralelo es G = G1 + G2 .
Por último, considere una conexión de retroalimentación de sistemas con las
funciones de transferencia G1 y G2 , como se muestra en la Figura 8.6c. Sea u =
est la entrada al sistema, y la salida exponencial pura, y e la parte exponencial
pura de la señal intermedia dada por la suma de u y la salida del segundo bloque.
Escribiendo las relaciones para los diferentes bloques y la unidad de suma,
encontramos
y = G1 e,
e = u - G2 y.
La eliminación de e da como resultado
G1
u.
1 + G1
2
La función de transferencia de la conexión de retroalimentación es,Gpor
tanto, la siguiente
G1
G=
.
1 + G1 G2
Estas tres interconexiones básicas pueden servir de base para calcular las
funciones de transferencia de sistemas más complicados.
y = G1 (u - G2 y)
=⇒
(1 + G1 G2 )y = G u1 =⇒
y=
244
d
r
e
F(s)
C(s)
u
CAPÍTULO 8. FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA
n
P(s)
y
-1
Figura 8.7: Diagrama de bloques de un sistema de retroalimentación. Las entradas del
sistema son la señal de referencia r, la perturbación del proceso d y el ruido de medición n.
El resto de las señales del sistema pueden elegirse como posibles salidas, y las funciones
de transferencia pueden utilizarse para relacionar las entradas del sistema con las otras
señales etiquetadas.
Funciones de transferencia del sistema de control
Considere el sistema de la figura 8.7, que se dio al principio del capítulo. El
sistema tiene tres bloques que representan un proceso P, un controlador de
retroalimentación C y un controlador de avance F. Juntos, C y F definen la ley de
control para el sistema. Hay tres señales externas: la referencia (o señal de
mando) r, la perturbación de la carga d y el ruido de medición n. Un problema
típico es averiguar cómo se relaciona el error e con las señales r, d y n.
Para derivar las funciones de transferencia relevantes asumimos que todas las
señales son señales expo- nenciales, dejamos de lado los argumentos de las
señales y las funciones de transferencia y trazamos las señales alrededor del
bucle. Comenzamos con la señal que nos interesa, en este caso el error de control
e, dado por
e = Fr - y.
La señal y es la suma de n y , donde es la salida del proceso:
y=n+,
= P(d + u),
u = Ce.
Combinando estas ecuaciones se obtiene
e = Fry = Fr
- (n + ) = Fr - n + P(d + u)-
= Fr - n + P(d + Ce) ,
y por lo
tanto
e = Fr - n - Pd - PCe.
Finalmente, resolviendo esta ecuación para e se obtiene
1
F
P
re=
nd = Ger r + Gen n + Ged d,
(8.18)
1+
1+
1 + PC
PC
PC
y el error es, por tanto, la suma de tres términos, que dependen de la referencia r, del
ruido de medición n y de la perturbación de la carga d. Las funciones
F
-P
-1 ,
Ger =
Ged =
,
Gen =
1
(8.19)
+ PC
1 + PC
1+
PC
son funciones de transferencia de la referencia r, el ruido n y la perturbación d al error e.
8.3. DIAGRAMAS DE BLOQUES Y FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA
r
F
e
PC
y
245
r
PC
1+PC
F
y
(b)
-1
(a)
r
PCF
1+PC
y
(c)
Figura 8.8: Ejemplo de álgebra de diagrama de bloques. Los resultados de la
multiplicación de las funciones de transferencia del proceso y del controlador (de la figura
8.7) se muestran en (a). Si se sustituye el bucle de realimentación por su función de
transferencia equivalente, se obtiene (b) y, por último, si se multiplican los dos bloques
restantes, se obtiene la representación de la referencia a la salida en (c).
También podemos derivar las funciones de transferencia manipulando los
diagramas de bloques di- rectamente, como se ilustra en la Figura 8.8.
Supongamos que deseamos calcular la función de transferencia entre la
referencia r y la salida y. Supongamos que deseamos calcular la función de
transferencia entre la referencia r y la salida y. Comenzamos combinando los
bloques del proceso y del controlador en la Figura 8.7 para obtener el diagrama
de la Figura 8.8a. Ahora podemos eliminar el bucle de retroalimentación
utilizando el álgebra para una interconexión de retroalimentación (Figura 8.8b) y
luego utilizar la regla de interconexión en serie para obtener
PCF
Gyr =
.
(8.20)
1 + PC
Manipulaciones similares pueden ser utilizadas para obtener las otras funciones
de transferencia (Ejercicio 8.8).
La derivación ilustra una forma eficaz de manipular las ecuaciones para obtener
las relaciones entre las entradas y las salidas en un sistema de retroalimentación.
La idea general es empezar con la señal de interés y trazar las señales alrededor del
bucle de realimentación hasta volver a la señal con la que empezamos. Con algo
de práctica, las ecuaciones (8.18) y (8.19) pueden escribirse directamente
mediante la inspección del diagrama de bloques. Observe, por ejemplo, que
todos los términos de la ecuación (8.19) tienen los mismos denominadores y que
los numeradores son los bloques por los que se pasa cuando se va directamente
de la entrada a la salida (ignorando la realimentación). Este tipo de regla se
puede utilizar para calcular las funciones de transferencia por inspección, aunque
para los sistemas con múltiples bucles de retroalimentación puede ser difícil
calcularlos sin escribir el álgebra explícitamente.
Ejemplo 8.6 Dirección del vehículo
Considere el modelo linealizado para la dirección del vehículo introducido en el
Ejemplo 5.12. En los Ejemplos 6.4 y 7.3 diseñamos un compensador de
retroalimentación de estado y un estimador de estado para el sistema. Un
diagrama de bloques para el sistema de control resultante se da en la Figura 8.9.
Note que hemos dividido el estimador en dos componentes, Gxˆu (s) y
Gxˆy (s), correspondiente a sus entradas u e y. El controlador puede describirse como el
suma de dos funciones de transferencia (bucle abierto)
u = Guy (s)y + Gur (s)r.
La primera función de transferencia, Guy (s), describe el término de retroalimentación y la
segunda,
246
CAPÍTULO 8. FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA
Gur (s), describe el término de alimentación. Llamamos a estas funciones de transferencia de
bucle abierto
247
8.3. DIAGRAMAS DE BLOQUES Y FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA
r
u
kr
K
y
P(s)
Gxˆu
Gxˆy
r(t)
-1
y(t)
xˆ
Estimado
r
Controlad
or
Figura 8.9: Diagrama de bloques de un sistema de control de la dirección. El sistema de
control está diseñado para mantener la posición lateral del vehículo a lo largo de una curva
de referencia (izquierda). La estructura del sistema de control se muestra a la derecha
como un diagrama de bloques de funciones de transferencia. El estimador consta de dos
componentes que calculan el estado estimado xˆ a partir de la combinación de la entrada u
y la salida y del proceso. El estado estimado se alimenta a través de un controlador de
retroalimentación de estado y se combina con una ganancia de referencia para obtener el
ángulo de dirección comandado u.
porque representan las relaciones entre las señales sin considerar la dinámica del
proceso (por ejemplo, eliminando P(s) de la descripción del sistema). Para
derivar estas funciones, calculamos las funciones de transferencia de cada bloque
y luego utilizamos el álgebra del diagrama de bloques.
Comenzamos con el estimador, que toma u e y como entradas y produce una
estimación xˆ. La dinámica de este proceso se derivó en el ejemplo 7.3 y viene
dada por
dxˆ
= (A - LC)xˆ+ Ly + Bu,
dt
-1Bu
-1Ly
xˆ = sI -(A - LC)
+ sI -(A - LC)
.
".. ,.
.,
".. .
.,
G x ˆu
G x, ˆy
Utilizando las expresiones para A, B, C y L del ejemplo 7.3, obtenemos
s+1
l1 s + l 2
s2
+
l
s
+
l
1
2
xˆy
Gxˆu
s2 + ll1ss + l2 ,
s + −l
(s)
l
,
G (s)
2
1
2
=
=
s2 + l1 s +
s2 + l1 s +
donde l1 y l2 son las ganancias
del
observador
y
es
la
posición
escalada del centro
l2
l2
de masa de las ruedas traseras. El controlador era un compensador de
retroalimentación de estado, que puede ser visto como una función de
transferencia -constante, de múltiples entradas y una sola salida de la forma u =
Kxˆ.
Ahora podemos proceder a calcular la función de transferencia para el control global
sistema. Utilizando el álgebra del diagrama de bloques, tenemos
Guy(s)
=
-KGxˆy (s)
s(k1 l1 + k2 l2 ) + k1 l2
1 + KGxˆu (s) = - s2 + s(k1 + k2 + l1 ) + k1 + l2 + k2 l1 − 2 l2
248
CAPÍTULO 8. FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA
y
G
ur(s) =
kr
1 + KGxˆu (s)
=
kr (s2 + l1 s + l2 )
s2 + s(k1 + k2 + l1 ) + k1 + l2 + k2 l1 − 2 l 2
,
donde k1 y k2 son las ganancias de retroalimentación de estado y kr es la ganancia de
referencia.
Por último, calculamos la dinámica completa del bucle cerrado. Comenzamos
derivando la función de transferencia para el proceso P(s). Podemos calcularla
directamente a partir de la descripción del espacio de estados de la dinámica, que
se dio en el ejemplo 5.12. Usando esa descripción, tenemos
-1 −1
s+1
s
1=
1
0
.
P(s) = Gyu (s) = C(sI - A)− B + D = 1
s
s2
0
La función de transferencia para el sistema de bucle cerrado completo entre la
entrada r y la salida y viene dada entonces por
P(s)Gur
kr (s + 1)
Gyr =
=
.
1 - P(s)Guy (s) s2 + (k1 + k2 )s + k1
Nótese que las ganancias del observador l1 y l2 no aparecen en esta ecuación.
Esto se debe a que estamos considerando el análisis de estado estacionario y, en
estado estacionario, el estado estimado sigue exactamente el estado del sistema
asumiendo modelos perfectos. Volveremos a este ejemplo en el capítulo 12 para
estudiar la robustez de este enfoque particular.
Anulaciones de polos/cero
Dado que las funciones de transferencia suelen ser polinomios en s, a veces
puede ocurrir que el numerador y el denominador tengan un factor común, que
puede ser cancelado. A veces estas cancelaciones son simplemente
simplificaciones algebraicas, pero en otras situaciones pueden enmascarar
posibles fragilidades en el modelo. En particular, si una cancelación de polo/cero
se produce porque los términos en bloques separados que sólo coinciden, la
cancelación puede no ocurrir si uno de los sistemas está ligeramente perturbado.
En algunas situaciones, esto puede dar lugar a graves diferencias entre el
comportamiento esperado y el real.
Para ilustrar cuándo podemos tener cancelaciones de polos/cero,
consideremos el diagrama de bloques de la Figura 8.7 con F = 1 (sin
compensación de avance) y C y nc(s)
P dados por
np(s)
C(s) =
,
P(s) =
.
dc (s)
dp (s)
La función de transferencia de r a e viene dada entonces por
1
dc (s)dp (s)
Ger (s) =
=
.
1 + PC
dc (s)dp (s) + nc (s)np (s)
Si hay factores comunes en los polinomios del numerador y del denominador, entonces
estos términos pueden ser factorizados y eliminados tanto del numerador como
del de- nominador. Por ejemplo, si el regulador tiene un cero en s = -a y el
proceso tiene
249
8.3. DIAGRAMAS DE BLOQUES Y FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA
un polo en s = -a, entonces tendremos
Ger (s)
=
(s + a)dc (s)d′ p(s)
(s + a)dc (s)d′p(s) + (s +
a)n′c(s)np (s)
=
dc (s)d′ p(s)
dc (s)d′p(s) + n′c(s)np
(s)
,
donde n′ c(s) y d′ p(s) representan los polinomios relevantes con el término s + a
fac- tado. En el caso de que a < 0 (para que el cero o polo esté en el semiplano
derecho), vemos que no hay impacto en la función de transferencia Ger .
Supongamos que calculamos la función de transferencia de d a e, que
representa el efecto de una perturbación en el error entre la referencia y la salida.
Esta función de transferencia viene dada por
Gd
-e (s) =
dc (s)np (s)
.
(s + a)dc (s)d′p(s) + (s + a)n′c(s)np
(s)
Observe que si a < 0, entonces el polo está en el semiplano derecho y la función
de transferencia Ged es inestable. Por lo tanto, aunque la función de transferencia
de r a e parece estar bien (suponiendo una perfecta cancelación de polos/cero), la
función de transferencia de d a e
puede exhibir un comportamiento sin límites. Este comportamiento no deseado
es típico de una cancelación inestable de polo/cero.
Resulta que la cancelación de un polo con un cero también puede entenderse
en términos de la representación del espacio de estados de los sistemas. La
alcanzabilidad u observabilidad se pierde cuando hay cancelaciones de polos y
ceros (Ejercicio 8.11). Una consecuencia es que la función de transferencia
representa la dinámica sólo en el subespacio alcanzable y observable de un
sistema (véase la sección 7.5).
Ejemplo 8.7 Control de crucero
La respuesta de entrada/salida del acelerador a la velocidad para el modelo
linealizado para un coche tiene la función- de transferencia G(s) = b/(s a ), a < 0.
Una manera simple (pero no necesariamente buena) de diseñar un controlador PI
es elegir los parámetros del controlador
PI de manera que el cero del controlador
en s = ki /kp cancele el polo del proceso en s = a. La función de transferencia
de la referencia a la velocidad es Gvr (s) = bkp /(s + bkp ), y el control
el diseño es simplemente una cuestión de elegir la ganancia kp . La dinámica del
sistema de bucle cerrado es de primer orden con la constante de tiempo 1/bkp .
La figura 8.10 muestra el error de velocidad cuando el coche se encuentra con un
aumento de la
pendiente de la carretera. Una comparación con el controlador utilizado en la
figura 3.3b (reproducido en curvas discontinuas) muestra que el controlador
basado en la cancelación de polos/cero tiene un rendimiento muy pobre. El error
de velocidad es mayor y tarda mucho tiempo en asentarse.
Obsérvese que la señal de control se mantiene prácticamente constante
después de t = 15 aunque el error sea grande después de ese tiempo. Para
entender lo que ocurre vamos a analizar el sistema.
- Los parámetros del sistema
son a = 0.0101 y b = 1.32, y los parámetros del controlador son kp = 0.5 y ki =
0.0051. La constante de tiempo del lazo cerrado es 1/(bkp ) = 2,5 s, y se espera
que el error se estabilice en unos 10 s (4 constantes de tiempo). Las funciones de
transferencia de la pendiente de la carretera a la velocidad y al control
250
CAPÍTULO 8. FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA
Ve 20
loc
ida
d v 19
[m
/s] 18
0.6
0
10
20
Tiempo t
[s]
30
Ac
0.4
ele
ra 0.2
do
0
r
0
40
ki = 0,0051
ki = 0,5
10
20
30
Tiempo t [s]
40
Figura 8.10: Coche con control de crucero PI que se encuentra con una carretera en
pendiente. El error de velocidad se muestra a la izquierda y el acelerador a la derecha. Los
resultados con un controlador PI con kp = 0,5 y ki =- 0,0051, donde el polo del proceso s
= 0,0101, se muestra con líneas sólidas, y
un controlador con kp = 0,5 y ki = 0,5 se muestra con líneas discontinuas. Compárese con la figura 3.3b.
las
señales
son
Gv (s) =
bgs
(s - a)(s + bkp )
,
Gu (s) =
bkp
.
s + bkp
Observe que el modo cancelado s = a =- 0,0101 aparece en Gv pero no en Gu
. La razón por la que la señal de control permanece constante es que el
controlador
tiene un cero en s = 0.0101, que cancela el modo de proceso que
decae lentamente. Nótese que el error divergiría si el polo cancelado fuera
inestable.
La lección que podemos aprender de este ejemplo es que es una mala idea
intentar cancelar polos inestables o de procesos lentos. En el apartado 12.4 se
ofrece un análisis más detallado de las cancelaciones de polos/cero.
Bucles algebraicos
Al analizar o simular un sistema descrito por un diagrama de bloques, es
necesario formar las ecuaciones diferenciales que describen el sistema completo.
En muchos casos, las ecuaciones pueden obtenerse combinando las ecuaciones
diferenciales que describen cada subsistema y sustituyendo las variables. Este
sencillo procedimiento no puede utilizarse cuando hay bucles cerrados de
subsistemas que tienen todos una conexión directa entre las entradas y las
salidas, lo que se conoce como bucle algebraico.
Para ver lo que puede ocurrir, consideremos un sistema con dos bloques, un
sistema no lineal de primer orden,
dx
= f (x, u),
y = h(x),
(8.21)
dt
y un controlador proporcional descrito por u =
- ky. No hay término directo ya
que la función h no depende de u. En ese caso podemos obtener la ecuación del
sistema de lazo cerrado simplemente sustituyendo u por -ky en (8.21) para dar
dx
= f (x, -ky),
y = h(x).
dt
Este procedimiento puede automatizarse fácilmente mediante una simple manipulación de
fórmulas.
251
8.3. DIAGRAMAS DE BLOQUES Y FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA
La situación es más complicada si hay un término directo. Si y = h(x, u), al
sustituir u por -ky se obtiene
dx
= f (x, -ky),
y = h(x, -ky).
dt
Para obtener una ecuación diferencial para x, hay que resolver la- ecuación
algebraica y = h(x, ky) para obtener y = (x), lo que en general es una tarea
complicada.
Cuando hay bucles algebraicos, es necesario resolver ecuaciones algebraicas
para obtener las ecuaciones diferenciales del sistema completo. Resolver los
bucles algebraicos es un problema no trivial porque requiere la solución
simbólica de ecuaciones algebraicas. La mayoría de los lenguajes de modelado
orientados a los diagramas de bloques no pueden manejar los bucles algebraicos,
y simplemente dan un diagnóstico de que tales bucles están presentes. En la era
de la computación analógica, los bucles algebraicos se eliminaron introduciendo
una dinámica rápida entre los bucles. Esto creó ecuaciones diferenciales con
modos rápidos y lentos que son difíciles de resolver numéricamente. Los
lenguajes de modelado avanzados como Modelica utilizan varios métodos
sofisticados para resolver los bucles algebraicos.
8.4 La trama de Bode
La respuesta en frecuencia de un sistema lineal puede calcularse a partir de su
función de transferencia estableciendo s = i, que corresponde a una exponencial
compleja
u(t) = eit = cos(t) + i sin(t).
La salida resultante tiene la forma
y(t) = G(i)eit = Mei(t+) = M cos(t + ) + iM sin(t + ),
donde M y son la ganancia y la fase de G:
M = |G(i)|,
= arctan
Im G(i)
.
Re G(i)
La fase de G también se denomina argumento de G, término que procede de la
teoría de las variables complejas.
De la linealidad se deduce que la respuesta a una única sinusoide (sin o cos)
está amplificada por M y desfasada por . Nótese que
-  , por≤lo que la arctangente
debe tomarse respetando los signos del numerador y del denominador. A menudo
será conveniente representar la fase en grados en lugar de en radianes.
Utilizaremos el
notación ∠G(i) para la fase en grados y arg G(i) para la fase en radianes.
Además, mientras que siempre tomamos arg G(i) para estar en- el rango ( , ],
tomaremos ∠G(i) para ser continua, de modo que puede tomar valores fuera del
rango de
- 180◦ a 180◦ .
La respuesta en frecuencia G(i) puede representarse mediante dos curvas: la
curva de ganancia y la curva de fase. La curva de
da G(i) en función de
| ganancia
|
la frecuencia
y la curva de fase da ∠G(i). Una forma especialmente útil de dibujar
251
8.4. LA PARCELA DE
LOS BODEOS
104
3
|G(i)10
|
102
101
90
∠
G(i
0
)
[de
g] -90
10−2
Actual
Aprox.
10−1
100
Frecuencia rad/s]
101
102
Figura 8.11: Diagrama de Bode de la función de transferencia C(s) = 20 + 10/s + 10s
correspondiente a un controlador PID ideal. El gráfico superior es la curva de ganancia y el
inferior la de fase. Las líneas discontinuas muestran las aproximaciones rectilíneas de la
curva de ganancia y las correspondientes
curva de fase.
estas curvas es utilizar una escala logarítmica para el gráfico de ganancia y una
escala logarítmica/lineal para el gráfico de fase. Este tipo de gráfico se denomina
gráfico de Bode y se muestra en la Figura 8.11.
Trazado e interpretación de los gráficos de Bode
Parte de la popularidad de los gráficos de Bode es que son fáciles de dibujar e
interpretar. Como la escala de frecuencias es logarítmica, cubren el
comportamiento de un sistema lineal en un amplio rango de frecuencias.
Consideremos una función de transferencia que es una función racional de la forma
G(s) =
Tenemo
s
b1 (s)b2 (s)
.
a1 (s)a2 (s)
log|G(s)| = log|b1 (s)| + log|b2 (s)| -log|a1 (s)| -log|a2 (s)|,
y, por tanto, podemos calcular la curva de ganancia simplemente sumando y
restando las ganancias correspondientes a los términos del numerador y del
denominador. Del mismo modo,
∠G(s) = ∠b1 (s) + ∠b2 (s) -∠a1 (s) -∠a2 (s),
y, por tanto, la curva de fase puede determinarse de forma análoga. Dado que un
polinomio puede escribirse como un producto de términos del tipo
k,
s,
s + a, s2 + 0 s +2 ,0
basta con poder trazar los diagramas de Bode de estos términos. El diagrama de
Bode de un sistema complejo se obtiene entonces sumando las ganancias y las
fases de los términos.
252
CAPÍTULO 8. FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA
102
s-1
|G(i)
100
|
102
s-2
|G(i)
100
|
1
10-2
180
∠
G(i
0
)
[de
g] -180
10−1
1
s-1
s-2
10−1
s
s2
10-2
180
∠
G(i
0
)
[de
g] -180
1
100
101
Frecuencia rad/s]
s
2
s
1
100
Frecuencia rad/s]
101
Figura 8.12: Gráficos de Bode de las funciones de transferencia G(s)
- - = sk para k = 2, 1,
0, 1, 2. En una escala logarítmica, la curva de ganancia es una línea recta con pendiente k.
Utilizando una escala logarítmica-lineal, las curvas de fase de× las funciones de
transferencia son constantes, con fase igual a 90◦ k
.
El término más simple en una función de transferencia es uno de la forma sk ,
donde k > 0 si el término aparece en el numerador y k < 0 si el término está en
el denominador. La ganancia y la fase del término vienen dadas por
log|G(i)| = k log,
∠G(i) = 90k.
La curva de ganancia es, pues, una línea recta con pendiente k, y la curva de fase
es una×constante a 90◦ k. El caso en que k = 1 corresponde a un diferenciador y
tiene pendiente 1 con fase 90◦ . -El caso cuando k = 1 c o r r e s p o n d-e
a u n integrador
y tiene pendiente 1 con fase 90◦ . En la figura 8.12 se
muestran los gráficos de Bode de las distintas potencias de k.
Consideremos a continuación la función de transferencia de un sistema de primer
orden, dada por
G(s) =
Tenemos
|G(s) |=
|a|
|s + a|
,
a
.
s+a
∠G(s) = ∠(a) - ∠(s + a),
y por lo
tanto
1
log|G(i)| = log a - log(2 + a2 )
2
,∠G(i) = -
180
arctan .
a
El diagrama de Bode se muestra en la Figura 8.13a, con la magnitud normalizada
por la ganancia de frecuencia cero. Tanto la curva de ganancia como la de fase
pueden aproximarse
253
8.4. LA PARCELA DE
LOS BODEOS
102
|G(i)
|
102
Aproxi
mación
exacta
100
|G(i)
|
Aproxi
mación
exacta
100
10-2
10-2
0
∠
G(i
-90
)
[de
-180
g]
a/100
0
∠
G(i
-90
)
[de
-180
g]
0 /100
a/10
a
10a
Frecuencia rad/s]
100a
(a) Sistema de primer orden
0
0
/10
0
Frecuencia rad/s]
0
(b) Sistema de segundo orden
Figura 8.13: Diagramas de Bode para sistemas de primer y segundo orden. (a) El sistema
de primer orden G(s) = a/(s + a) puede ser aproximado por curvas asintóticas (punteadas)
tanto en la ganancia como en la frecuencia, con el punto de ruptura en la curva de ganancia en
= a y la fase disminuyendo en 90◦.
sobre un factor de 100 en frecuencia. (b) El sistema de segundo orden G(s) = 2/(s2 +2 0s+2)
0
0
tiene un pico en la frecuencia a y luego una
- pendiente de 2 más allá del pico; la fase
disminuye
de 0◦ a 180◦. La altura del pico y la tasa de cambio de fase dependen de la
relación de amortiguación ( = 0,02, 0,1, 0,2, 0,5 y 1,0 mostrados).
por las siguientes líneas rectas
f
|
(
)| ≈
∠G(i) ≈
log G 
0si < a
log a -logif > a,
0si< a/10
-45 - 45( -log a)
-90si > 10a.
a/10 < < 10a
La curva de ganancia aproximada consiste en una línea horizontal hasta la
frecuencia = a, llamada punto de ruptura o frecuencia de esquina, después de la
- cual la curva es una línea de pendiente 1 (en una escala log-log). La curva de
fase es cero hasta la frecuencia a/10 y luego disminuye linealmente en 45◦
/década hasta la frecuencia 10a, momento en el que permanece constante en 90◦ .
Obsérvese que un sistema de primer orden se comporta como una constante para
las bajas frecuencias y como un integrador para las altas frecuencias; compárese
con el sistema de Bode
en la Figura 8.12.
Por último, consideremos la función de transferencia para un sistema de segundo orden,
G(s) =
2
0
s2 + 0 s +
2,
0
254
CAPÍTULO 8. FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA
para lo cual tenemos
log|G(i)| = 2 0 - 1
log4 +  22 (2 - 1) +4 ,
0
2 
180
∠G(i) = arctan
.
0
2 -2
0
La curva de ganancia tiene una asíntota con pendiente cero≪para0 . Para valores
grandes de la curva de ganancia tiene una asíntota con- pendiente 2 . La mayor
ganancia
|| ≈ Q =
≈ max G(i) 1/( ), llamada valor Q, se obtiene para0 . La fase es
cero para frecuencias bajas y se aproxima a 180◦ para frecuencias grandes. Las
curvas
puede aproximarse con las siguientes expresiones lineales a trozos
f
|
0si 0
(
)| ≈
log G 
2 0 - 2 
si 0 ,
f
0si 0
( ) ≈ ∠G 
-180 si 0 .
El gráfico de Bode se muestra en la Figura 8.13b. Nótese que la aproximación
asintótica es pobre cerca de =0 y que el diagrama de Bode depende fuertemente de
cerca de esta frecuencia. Teniendo en cuenta los gráficos de Bode de las funciones
básicas, podemos ahora esbozar la respuesta en frecuencia para un sistema más
general. El siguiente ejemplo ilustra la función básica
idea.
Ejemplo 8.8 Aproximación asintótica para una función de transferencia
Consideremos la función de transferencia dada por
G( s) =
k(s + b)
a≪ b≪ .0
,
(s + a)(s2 + 0 s + 2) 0
El diagrama de Bode para esta función de transferencia aparece en la Figura
8.14, con la función de transferencia completa mostrada como línea sólida y la
aproximación asintótica mostrada como línea discontinua.
Comenzamos con la curva de ganancia. A baja frecuencia, la magnitud viene dada
por
kb
G(0) =
.
0
Cuando llegamos a = a, comienza el efecto del polo y la ganancia disminuye
con pendiente
1 . En = b, entra en juego el cero y aumentamos la pendiente en
1, dejando la asíntota con pendiente neta 0. Esta pendiente se utiliza hasta que se
ve el efecto del polo de segundo orden en =0 , momento en el que la asíntota
cambia a pendiente
- 2. Vemos que la curva de ganancia es bastante precisa excepto en la región del pico
debido al polo de segundo orden (ya que para este caso es razonablemente pequeño).
La curva de fase es más complicada, ya que el efecto de la fase se extiende
mucho más. El efecto del polo comienza en = a/10, momento en el que pasamos
de la fase 0 a una pendiente de 45◦ /década.
El cero comienza a afectar a la fase
en = b/10, produciendo una sección plana en la fase. A = 10a la fase
255
8.4. LA PARCELA DE
LOS BODEOS
102
Aproxi
mación
exacta
|G(i) 0
10
|
=a
=b
=0
10-2
0
∠
G(i
=
-90
)
[de
-180
g]
10-2
a/1 0
=
b/10
= 10a
= 10b
10-1
100
Frecuencia rad/s]
101
102
Figura 8.14: Aproximación asintótica a un gráfico de Bode. La línea delgada es el gráfico
de Bode para la función de transferencia G(s) = k(s + b)/(s +
a)(s2 + ≪
+ 2), donde a
0s≪
0
b 0 . Cada segmento de las curvas de ganancia y fase representa una porción separada de la
aproximación,
donde empieza a tener efecto un polo o un cero. Cada segmento de la aproximación es una
línea recta entre estos puntos con una pendiente dada por las reglas para calcular los
efectos de los polos y los ceros.
contribuciones desde el extremo del polo, y nos quedamos con una pendiente de
+45◦ /década (desde el cero). En la ubicación del polo
≈ de segundo orden, s 0 ,
obtenemos
un salto de fase de 180◦ . Finalmente, en = 10b terminan las
- del cero, y nos quedamos con una fase de 180 grados.
contribuciones de fase
Vemos que la aproximación en línea recta para la fase no es tan precisa como lo
era para la curva de ganancia, pero capta las características básicas de los
cambios de fase en función de la frecuencia.
El diagrama de Bode ofrece una rápida visión general de un sistema. Dado
que cualquier señal puede descomponerse en una suma de sinusoides, es posible
visualizar el comportamiento de un sistema para diferentes rangos de frecuencia.
El sistema puede verse como un filtro que puede cambiar la amplitud (y la fase)
de las señales de entrada según la respuesta en frecuencia. Por ejemplo, si hay
rangos de frecuencia en los que la curva de ganancia tiene una pendiente
constante y la fase es cercana a cero, la acción del sistema para las señales con
estas frecuencias puede interpretarse como una ganancia pura. Del mismo modo,
para las frecuencias en las que la pendiente es +1 y la fase cercana a 90 ◦ , la
acción del sistema puede interpretarse como un diferenciador, como se muestra
en la figura 8.12.
En la figura 8.15 se muestran tres tipos comunes de respuestas en frecuencia.
El sistema de la figura 8.15a se denomina filtro de paso bajo porque la ganancia
es constante para las frecuencias bajas y disminuye para las altas. Observe que la
fase es cero para las
- frecuencias bajas y 180◦ para las frecuencias altas. Los
sistemas de las figuras 8.15b y c se denominan filtro pasa banda y filtro pasa
alto por razones similares.
Para ilustrar los diferentes comportamientos del sistema que pueden leerse en
los gráficos de Bode, consideremos el filtro pasabanda de la figura 8.15b. Para
frecuencias en torno a =0 , la señal pasa sin cambios en la ganancia. Sin
embargo, para frecuencias bien
256
CAPÍTULO 8. FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA
100
100
100
|G(i)
|G(i)
|G(i)
|
|
|
10-1
10-1
10-2
10-2
180
180
∠
0
G(i
) -180
0
0
0 /100
Frecuencia rad/s]
G(s) =
02
s2 + 0 s +
10-2
180
∠
0
G(i
) -180
0
0
0 /100
Frecuencia rad/s]
2
0 s
G(s) =
∠
0
G(i
) -180
0
0
0 /100
Frecuencia rad/s]
G(s) =
s2
2
2
s2 + 0 s +
0
(a) Filtro de paso bajo
10-1
0
(b) Filtro pasa banda
s2 + 0 s +
0
(c) Filtro de paso alto
Figura 8.15: Diagramas de Bode para los filtros de paso bajo, paso banda y paso alto. Los
gráficos superiores son las curvas de ganancia y los inferiores las de fase. Cada sistema
pasa frecuencias en un rango diferente y atenúa las frecuencias fuera de ese rango.
por debajo o muy por encima de0 , la señal se atenúa. La fase de la señal también
se ve afectada por el filtro, como muestra la curva de fase. Para frecuencias
inferiores a0 /100 hay un adelanto de fase de 90◦ , y para frecuencias superiores
a 0 hay un retraso de fase
de 90◦ . Estas acciones corresponden a la diferenciación e integración de la señal
en estos rangos de frecuencia.
Ejemplo 8.9 Regulación transcripcional
Consideremos un circuito genético formado por un solo gen. Queremos estudiar
la respuesta de la concentración de proteínas a las fluctuaciones de la dinámica
del ARNm. Consideramos dos casos: un promotor constitutivo (sin regulación) y
la autorrepresión (retroalimentación negativa), ilustrados en la Figura 8.16. La
dinámica del sistema viene dada por
dm
dp
= (p) − - v,
= m − p,
dt
dt
donde v es un término de perturbación que afecta a la transcripción del ARNm.
Para el caso de no retroalimentación tenemos (p) =0 , y el sistema tiene un
punto de equi- librio en me =0 /, pe =0 /(). La función de transferencia de v a p
viene dada por
−
Gol (s) =
.
pv
(s + )(s + )
Para el caso de la regulación negativa, tenemos
(p) =
1
1 + kpn
+0 ,
y los puntos de equilibrio satisfacen
me = pe ,
+0 = me = pe .
1 + kpn
e
257
8.4. LA PARCELA DE
LOS BODEOS
RNAP
100
A
(a) Bucle
abierto
|Gpv
(i)|
10-1
RNAP
A
bucle abierto de
retroalimentación
negativa
10-3
10-2
Frecuencia rad/s]
10-2
10-4
(c) Respuesta en frecuencia
(b) Comentarios
negativos
Figura 8.16: Atenuación del ruido en un circuito genético. El sistema de bucle abierto (a)
consiste en un promotor constitutivo, mientras que el circuito de bucle cerrado (b) está
autorregulado con retroalimentación negativa (represor). La respuesta en frecuencia de
cada circuito se muestra en (c).
La función de transferencia resultante
viene dada por
,
n−1
= 1 kp e .
G (s) =
pv
2
(s + )(s + ) +
(1 + kpn)
e
La figura 8.16c muestra la respuesta en frecuencia de los dos circuitos.
Vemos que el circuito de realimentación atenúa la respuesta del sistema a las
perturbaciones con contenido de baja frecuencia, pero amplifica ligeramente las
perturbaciones a alta frecuencia (en comparación con el sistema de bucle
abierto). Observe que estas curvas son muy similares a las curvas de respuesta en
frecuencia del amplificador de operación mostradas en la Figura 8.3b.
cl
Funciones de transferencia de los experimentos
La función de transferencia de un sistema proporciona un resumen de la
respuesta de entrada/salida y es muy útil para el análisis y el diseño. Sin
embargo, el modelado a partir de los primeros principios puede ser difícil y llevar
mucho tiempo. Afortunadamente, a menudo podemos construir un modelo de
entrada/salida para una aplicación determinada midiendo directamente la
respuesta en frecuencia y ajustando una función de transferencia a la misma. Para
ello, perturbamos la entrada del sistema con una señal sinusoidal a una
frecuencia fija. Cuando se alcanza el estado estacionario, la relación de amplitud
y el desfase dan la respuesta en frecuencia para la frecuencia de excitación. La
respuesta en frecuencia completa se obtiene barriendo sobre un rango de
frecuencias.
Mediante el uso de técnicas de correlación es posible determinar la respuesta
en frecuencia con gran precisión, y se puede obtener una función de transferencia
analítica a partir de la respuesta en frecuencia mediante el ajuste de curvas. El
éxito de este enfoque ha dado lugar a instrumentos y programas informáticos que
automatizan este proceso, denominados analizadores de espectro. Ilustramos el
concepto básico con dos ejemplos.
Ejemplo 8.10 Microscopio de fuerza atómica
Para ilustrar la utilidad del análisis del espectro, consideramos la dinámica del
258
CAPÍTULO 8. FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA
102
101
|G|
100
10-1
Modelo
medido
0
∠
-90
G
[de -180
g] -270
102
103
Frecuencia f [Hz]
104
Figura 8.17: Respuesta en frecuencia de un accionamiento piezoeléctrico precargado para
un mi- croscopio de fuerza atómica. El diagrama de Bode muestra la respuesta de la
función de transferencia medida (sólido) y la función de transferencia ajustada (punteada).
microscopio de fuerza atómica, presentado en la sección 3.5. La determinación
experimental de la respuesta en frecuencia es especialmente atractiva para este
sistema porque su dinámica es muy rápida y, por lo tanto, los experimentos
pueden realizarse rápidamente. En la figura 8.17 se muestra un ejemplo típico de
respuesta en frecuencia determinada experimentalmente (línea continua). En este
caso, la respuesta en frecuencia se obtuvo en menos de un segundo. La función
de transferencia
4
(s2 +  11 s + 2)(s2 +  44 s + 2)e−s
,
G(s) =
2
2
235
1
22
2
1 4 (s2 +  22 s + 2 )(s2 +  33 s + 3 )(s2 +  55 s + 5 )
conk =  fk y f1 = 2,42 kHz,1 = 0,03, f2 = 2,55 kHz,2 = 0,03, f3 =
6,45 kHz,3 = 0,042, f4 = 8,25 kHz,4 = 0,025, f5 = 9,3 kHz,5 = 0,032, = 10−4 s
y k = 5, se ajustó a los datos (línea discontinua). Las frecuencias asociadas a la
ze- ros se encuentran donde la curva de ganancia tiene mínimos, y las
frecuencias asociadas
con los polos se sitúan donde la curva de ganancia tiene máximos locales. Las
relaciones de amortiguación relativas se ajustan para dar un buen ajuste a los
máximos y mínimos. Cuando se obtiene un buen ajuste a la curva de ganancia, se
ajusta el retardo de tiempo para dar un buen ajuste a la curva de fase. El
accionamiento piezoeléctrico está precargado y en el ejercicio 3.7 se obtiene un
modelo simple de su dinámica. El polo a 2,42 kHz corresponde al modo
trampolín derivado en el ejercicio; las otras resonancias son modos superiores.
Ejemplo 8.11 Dinámica del reflejo luminoso pupilar
El ojo humano es un órgano fácilmente accesible para los experimentos. Tiene
un sistema de control que ajusta la apertura de la pupila para regular la intensidad
de la luz en la retina.
Este sistema de control fue explorado ampliamente por Stark en la década de
1960 [Sta68]. Para determinar la dinámica, se variaba la intensidad de la luz
sobre el ojo de forma sinusoidal y se medía la apertura de la pupila. Una
dificultad fundamental es que el bucle cerrado
259
8.5. TRANSFORMADAS DE
LAPLACE
(a) Bucle cerrado
(b) Bucle abierto
(c) Alta ganancia
Figura 8.18: Estimulación luminosa del ojo. En (a) el haz de luz es tan grande que
siempre cubre toda la pupila, dando una dinámica de bucle cerrado. En (b) la luz se enfoca
en un haz tan estrecho que no se ve influenciado por la apertura de la pupila, dando una
dinámica de bucle abierto. En (c) el haz de luz se enfoca en el borde de la apertura de la
pupila, lo que tiene el efecto de aumentar la ganancia del sistema ya que pequeños cambios
en la apertura de la pupila tienen un gran efecto en la cantidad de luz que entra en el ojo.
De Stark [Sta68].
es insensible a los parámetros internos del sistema, por lo que el análisis de un
sistema de bucle cerrado ofrece poca información sobre las propiedades internas
del sistema. Stark utilizó una ingeniosa técnica experimental que le permitió
investigar tanto la dinámica de bucle abierto como la de bucle cerrado. Excitó el
sistema variando la intensidad de un haz de luz enfocado en el ojo y midió el área
de la pupila, como se ilustra en la figura 8.18. Utilizando un haz de luz ancho que
cubre toda la pupila, la medición da la dinámica de bucle cerrado. La dinámica
de bucle abierto se obtuvo utilizando un haz de luz estrecho, que es lo
suficientemente pequeño como para no estar influenciado por la apertura de la
pupila. En la figura 8.19 se muestra el resultado de un experimento para
determinar la dinámica de bucle abierto. El ajuste de una función de transferencia
a la curva de ganancia proporciona un buen ajuste para
G(s) = 0,17/(1 + 0,08s)3 . Esta curva da un mal ajuste a la curva de fase como
se muestra en la curva punteada de la Figura 8.19. El ajuste a la curva de fase se
mejora añadiendo un retardo de tiempo, lo que deja la curva de ganancia sin
cambios mientras que sustancialmente
modificando la curva de fase. El ajuste final da el modelo
0.17
G(s) =
e-0,2s.
(1 + 0.08s)3
El diagrama de Bode de esto se muestra con curvas sólidas en la Figura 8.19. El
modelado del reflejo pupilar a partir de primeros principios se discute en detalle
en [KS01].
Obsérvese que, tanto para el accionamiento del AFM como para la dinámica
de la pupila, no es fácil elaborar modelos adecuados a partir de los primeros
principios. En la práctica, a menudo resulta fructífero utilizar una combinación
de modelos analíticos e identificación experimental de los parámetros. La
determinación experimental de la respuesta en frecuencia es menos atractiva para
los sistemas con una dinámica lenta porque el experimento requiere mucho
tiempo.
8.5 Transformadas de Laplace
Las funciones de transferencia se introducen convencionalmente utilizando las
transformadas de Laplace, y en esta sección derivamos la función de
transferencia utilizando este formalismo. Asumimos una familiaridad básica con
las transformadas de Laplace; los estudiantes que no estén familiarizados con
�
260
ellas pueden
CAPÍTULO 8. FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA
261
8.5. TRANSFORMADAS DE
LAPLACE
30
0.2
|G(i) 0.1
0.05
|
0.02
0.01
0
∠
G(i -180
)
[de -360
Flujo
de 20
luz
(m
lm 10
)
30
Modelo
medido
Área
de 20
la
Modelo sin retardo
pu
pil 10 0
2
5
10
20
5
10
15
20
g]
a
Frecuencia rad/s]
Tiempo
(s)
(m
m2
Figura
8.19: Curvas de muestra de una respuesta en frecuencia de bucle abierto del ojo
)
(izquierda) y un gráfico de Bode para la dinámica de bucle abierto (derecha). La curva
sólida muestra un ajuste de los datos utilizando una función de transferencia de tercer
orden con retardo de tiempo. La curva discontinua del diagrama de Bode es la fase del
sistema sin retardo, lo que demuestra que el retardo es necesario para capturar
correctamente la fase. (Figura redibujada a partir de los datos de Stark [Sta68]).
omitir con seguridad esta sección. Una buena referencia para el material
matemático de esta sección es el libro clásico de Widder [Wid41].
Tradicionalmente, las transformadas de Laplace se utilizaban para calcular las
respuestas de los sistemas lineales a diferentes estímulos. Hoy en día podemos
generar fácilmente las respuestas utilizando ordenadores. Sólo se necesitan
algunas propiedades elementales para las aplicaciones básicas de control. Sin
embargo, existe una hermosa teoría para las transformadas de Laplace que
permite utilizar muchas herramientas poderosas de la teoría de funciones de una
variable compleja para obtener una visión profunda del comportamiento de los
sistemas.
Consideremos una función f (t), f : R+ → R, que es integrable y no crece más
rápido que es 0t para algún s finito0 ∈ R y t grande. La transformada de Laplace
mapea f a una función F = L f : C → C de una variable compleja. Está definida
por
e-st f
F(s) = 0
(t) dt, Re > s0
(8.22)
s .
La transformada tiene algunas propiedades que la hacen muy adecuada para
tratar sistemas lineales.
Primero observamos que la transformación es lineal porque
e-st
0
L (a f + bg)
(a (t) bg(t)) dt
(8.23)
f +
=
-
e- g(t) dt = aL f + bL g.
e-Sta f (t) dt +
st
0
0
.
b
A continuación calculamos la transformada de Laplace de la derivada de una función.
Tenemos
11
s
e−st f t dt
d f - e-st f ′t dt
f0
sL f
e-st f t
L
=
() +
() =
() =- ()+
,
dt
0
0
0 integración por partes. Así,
donde la segunda igualdad se obtiene mediante
obtenemos
=a
L
df
= sL f - f (0) = sF(s) - f (0).
dt
(8.24)
262
CAPÍTULO 8. FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA
Esta fórmula es especialmente sencilla si las condiciones iniciales son cero, ya
que se deduce que la diferenciación de una función corresponde a la
multiplicación de la trans- forma por s.
Como la diferenciación corresponde a la multiplicación por s, podemos
esperar que la integración corresponda a la división por s. Esto es cierto, como se
puede ver calculando la transformada de Laplace de una integral. Utilizando la
integración por partes, obtenemos
L
- t
f
0
-
() 
- t
e-st
=
0
- t
e-st
=- s
por lo
que
0
()  dt
f
0
1 - e-s
1 -s
e
f ()  =
f ()  1 + 0
s
s
0
0
- t
f () d,
1
1
(8.25)
= L = F (s).
s
s
0
f
A continuación, consideremos un sistema lineal invariante en el tiempo con
estado inicial cero. Hemos visto en la sección 5.3 que la relación entre la entrada
u y la salida y viene dada por la integral de convolución
yt
-ht
u
(
)
(
)
( )Tomando
,
donde h(t) es la respuesta al impulso0 del sistema.
la transformada de
=
Laplace de esta expresión, tenemos
L
f () 
-
-
Y (s) = - e−st y t (dt = e-st h t ( - ) ( )  dt
0
0
0
- - t )
-
-s(t-)
=
e
e h(t −)u()  dt
-0
=
0
0

-
e- u() 
0
e- h(t) dt = H(s)U (s).
st
Así, la respuesta de entrada/salida viene dada por Y (s) = H(s)U (s), donde H, U
e Y son las transformadas de Laplace de h, u e y. La interpretación teórica del
sistema es que la transformada de Laplace de la salida de un sistema lineal es un
producto de dos términos, la transformada de Laplace de la entrada U (s) y la
transformada de Laplace de la
respuesta al impulso del sistema H(s). Una interpretación matemática es que el
La transformada de Laplace de una convolución es el producto de las
transformadas de las funciones que se conviven. El hecho de que la fórmula Y (s)
= H(s)U (s) sea mucho más sencilla que una convolución es una de las razones
por las que las transformadas de Laplace se han hecho populares en ingeniería.
También podemos utilizar la transformada de Laplace para derivar la función
de transferencia de un sistema de espacio de estados. Consideremos, por
ejemplo, un sistema lineal de espacio de estados descrito por
dx
= Ax + Bu,
y = Cx + Du.
dt
Tomando las transformadas de Laplace bajo el supuesto de que todos los valores iniciales
son cero
da
sX (s) = AX (s) + BU (s)
Y (s) = CX (s) + DU (s).
263
8.5. TRANSFORMADAS DE
LAPLACE
La eliminación de X (s) da como resultado
Y (s) = C(sI - A)−1 B + D U (s).
(8.26)
La función de transferencia es G(s) = C(sI - A)−1 B + D (comparar con la ecuación
(8.4)).
8.6 Más información
La idea de caracterizar un sistema lineal por su respuesta en estado estacionario a
las sinusoides fue introducida por Fourier en su investigación sobre la conducción
del calor en los sólidos [Fou07]. Mucho más tarde, fue utilizada por el ingeniero
eléctrico Steinmetz, que introdujo el método  para analizar los circuitos
eléctricos. Las funciones de transferencia fueron introducidas mediante la
transformada de Laplace por Gardner Barnes [GB42], que también las utilizó
para calcular la respuesta de los sistemas lineales. La transformada de Laplace
fue muy importante en la fase inicial del control porque hizo posible encontrar
transitorios a través de tablas (ver, por ejemplo, [JNP47]). En combinación con
los diagramas de bloques, las funciones de transferencia y las transformadas de
Laplace proporcionaron poderosas técnicas para tratar con sistemas complejos.
El cálculo de las respuestas basado en las transformadas de Laplace es menos
importante hoy en día, cuando las respuestas de los sistemas lineales pueden
generarse fácilmente utilizando ordenadores. Hay muchos libros excelentes sobre
el uso de las transformadas de Laplace y las funciones de transferencia para el
modelado y el análisis de sistemas lineales de entrada/salida. Los textos
tradicionales sobre control como [DB04], [FPEN05] y [Oga01] son ejemplos
representativos. La cancelación de polos/cero era uno de los misterios de la
primera teoría de control. Está claro que los factores comunes pueden ser
cancelados en una función racional, pero las cancelaciones tienen consecuencias
teóricas del sistema que no fueron claramente entendidas hasta que se introdujo
la descomposición de Kalman de un sistema lineal [KHN63]. En los siguientes
capítulos, utilizaremos ampliamente las funciones de transferencia para analizar
la estabilidad y describir la incertidumbre del modelo.
Ejercicios
8.1 Sea G(s) la función de transferencia de un sistema lineal. Demuestre que si
aplicamos una entrada u(t) = A sin(t), entonces la salida en estado estacionario
|está dada
| por y(t) = G(i) A sin(t + arg G(i)). (Sugerencia: Comience por mostrar
que la parte real de un número com- plejo es una operación lineal y luego utilice
este hecho).
8.2 Considere el sistema
dx
= ax + u.
dt
Calcule la respuesta exponencial del sistema y utilícela para derivar la función de
transferencia de u a x. Demuestre que cuando s = a, un polo de la función de
transferencia, la respuesta a la entrada exponencial u(t) = est es x(t) = eat x(0) +
teat .
263
EJERCICIO
S
8.3 (Péndulo invertido) En el ejemplo 2.2 se introdujo un modelo para un
péndulo invertido. Despreciando el amortiguamiento y linealizando el péndulo
alrededor de la posición vertical se obtiene un sistema lineal caracterizado por las
matrices
A=
0
mgl/Jt
1,
0
B=
0
,
1/J t
C=10 ,
D = 0.
Determina la función de transferencia del sistema.
8.4 (Soluciones correspondientes a los polos y a los ceros) Consideremos la ecuación diferencial
dn y
dn-1y
dn-1u
dn-2u
+ a1
+ - - + an y = b1
+ b2
+ - - + bn u.
dtn
dtn-1
dtn-1
dtn-2
(a) Sea una raíz del polinomio característico
sn + a1 sn−1 + - - + an = 0.
Demuestre que si u(t) = 0, la ecuación diferencial tiene la solución y(t) = et .
(b) Sea un cero del polinomio
b(s) = b1 sn−1 + b2 sn−2 + - - + bn .
Demuestre que si la entrada es u(t) = et , entonces hay una solución de la
ecuación diferencial que es idénticamente cero.
8.5 (Amplificador operacional) Considere el amplificador operacional
introducido en la Sección 3.3 y analizado en el Ejemplo 8.3. Se puede construir
un controlador PI utilizando un amplificador operacional sustituyendo la
resistencia R2 por una resistencia y un condensador en serie, como se muestra en
la Figura 3.10. La función de transferencia resultante del circuito viene dada por
(
,
1
kCs
s
+
1
\
G(s) = - R2 + Cs
(k + 1)R1 C + R2
C
donde k es la ganancia del amplificador óptico, R1 y R2 son las resistencias de la
red de compensación y C es la capacitancia.
(a) Dibuje el diagrama de Bode para el sistema bajo la suposición de≫
que k R2 >
R1 . Debe etiquetar las características clave de su diagrama, incluyendo la
ganancia y la fase a baja frecuencia, las pendientes de la curva de ganancia, las
frecuencias a las que cambia la ganancia
pendiente, etc.
(b) Supongamos ahora que incluimos algo de dinámica en el amplificador, como
se indica en el ejemplo 8.1. Esto implicaría sustituir la ganancia k por la función
de transferencia
k
H(s) =
.
1 + sT
Calcule la función de transferencia resultante para el sistema (es decir, sustituya
k por H(s)) y encuentre los polos y ceros suponiendo los siguientes valores de los
parámetros
R2
R1
= 100,
k = 106 ,
R2 C = 1,
T = 0.01.
264
CAPÍTULO 8. FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA
(c) Dibuje el diagrama de Bode para la función de transferencia de la parte (b)
utilizando aproximaciones de líneas rectas y compárelo con el diagrama exacto
de la función de transferencia (utilizando MATLAB). Asegúrate de etiquetar las
características importantes de tu gráfico.
8.6 (Función de transferencia para el sistema de espacio de estados) Considere el
sistema de espacio de estados lineal
dx
= Ax + Bu,
y = Cx.
dt
Demuestre que la función de transferencia es
G(s)
=
donde
b1 =CB,
b1sn-1 + b2sn-2+- - +bn
sn + a sn-1 + - - -+ a
1
n
,
b2 =CAB + a1 CB, . . . , bn =CAn−1 B + a1 CAn−2 B + - - - + an−1 CB
y (s) = sn + a1 sn−1 + - - + an es el polinomio característico de A.
� 8.7 (Descomposición de Kalman) Demuestre que la función de transferencia de
un sistema depende sólo de la dinámica en el subespacio alcanzable y observable
de la descomposición de Kalman. (Sugerencia: considere la representación dada
por la ecuación (7.27)).
8.8 Utilizando el álgebra del diagrama de bloques, demuestre que las funciones de
transferencia de d a y y
n a y en la Figura 8.7 vienen dadas por
P
1
Gyd =
Gyn =
.
1 + PC
1 + PC
8.9 (Diagrama de Bode para un cero simple) Demuestre que el diagrama de Bode para la
función de transferencia
G(s) = (s + a)/a puede aproximarse mediante
f
|
0si < a
(
)| ≈ log G 
 -log a
si > a,
∠G(i) ≈
0si< a/10
45 + 45(
log a)
90if > 10a.
a/10 < < 10a
8.10 (Avión de empuje vectorial) Considere la dinámica lateral de un avión de
empuje vectorial como el descrito en el Ejemplo 2.9. Demuestre que la dinámica
puede describirse mediante el siguiente diagrama de bloques:
u1
r
Js2
-mg
1
ms2 +
cs
x
265
EJERCICIO
S
Utilice este diagrama de bloques para calcular las funciones de transferencia de
u1 a y x y demuestre que satisfacen
r
Hxu1 = Js2 - mgr .
H u1 =
,
Js2(ms2 + cs)
Js2
8.11 (Polos comunes) Considere un sistema de bucle cerrado de la forma de la �
figura 8.7, con F = 1 y P y C con una cancelación de polos/cero. Demuestre que
si cada sistema se escribe en forma de espacio de estados, el sistema de bucle
cerrado resultante no es alcanzable ni observable.
8.12 (Control de la congestión) Consideremos el modelo de control de la
congestión descrito en la sección 3.4. Sea w el tamaño de la ventana individual
para un conjunto de N fuentes idénticas, q la probabilidad de que se pierda un
paquete de extremo a extremo, b el número de paquetes en el búfer del enrutador
y p la probabilidad de que un paquete sea
abandonados por el router. Escribimos w¯ = Nw para representar el número total
de paquetes que se reciben de todas las N fuentes. Demuestre que el modelo
linealizado puede describirse
mediante las funciones de transferencia
e- f s
N
Gbw¯ (s) =
Gw¯q (s) = ,
Gpb (s) = ,
s,
f
es + eqe(es + qewe)
donde (we , be ) es el punto de equilibrio del sistema,e es el tiempo de ida y
vuelta en estado estacionario yf es el tiempo de propagación hacia adelante.
8.13 (Péndulo invertido con control PD) Considere el sistema de péndulo
2
invertido normalizado, cuya función de transferencia está dada
- por P(s) = 1/(s
1) (Ejercicio 8.3). Una ley de control proporcional-deriva para este sistema tiene
la función de transferencia C(s) = kp + kd s (ver Tabla 8.1).- Supongamos que
elegimos C(s) = (s 1). Calcule la dinámica de lazo cerrado y demuestre que el
sistema tiene un buen seguimiento de la referencia
pero no tiene buenas propiedades de rechazo a las perturbaciones.
8.14 (Suspensión del vehículo [HB90]) La amortiguación activa y pasiva se
utiliza en los coches para proporcionar una conducción suave en una carretera
llena de baches. En la figura siguiente se muestra un diagrama esquemático de un
coche con un sistema de amortiguación.
xb
Cuer
po
F
+
xw
Actuado
r
-
F
Rueda
xr
(Coche de carreras Porter Clase I conducido por Todd Cuffaro)
Este modelo se denomina modelo de cuarto de coche, y el coche se aproxima
con dos masas, una que representa una cuarta parte de la carrocería del coche y la
otra una rueda. La página web
266
CAPÍTULO 8. FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA
El actuador ejerce una fuerza F entre la rueda y el cuerpo en función de la
distancia entre el cuerpo y el centro de la rueda (el espacio de traqueteo).
Sean xb , xw y xr las alturas del cuerpo, de la rueda y de la carretera medidas
desde sus equilibrios. Un modelo sencillo del sistema viene dado por las
ecuaciones de Newton para el cuerpo y la rueda,
m x¨bb = F,
mw x¨w = -F + kt (xr - xw ),
donde mb es la cuarta parte de la masa de la carrocería, mw es la masa efectiva de
la rueda incluyendo los frenos y parte del sistema de suspensión (la masa no
suspendida) y kt es la rigidez del neumático. Para un amortiguador convencional
compuesto por un muelle
y un amortiguador,
tenemos F = k(xw xb ) + c(x˙w x˙b
). En el caso de un amortiguador activo, la fuerza F puede ser más general y
también puede depender de las condiciones de conducción. La comodidad del
piloto puede ser
caracterizada por la función de transferencia Gax r de la altura de la carretera xr a
la aceleración del cuerpo a = x¨b . Demuestre que esta función de transferencia
j
tiene la propiedad Gax r (t ) = kt /mb , dondet = kt /mw (la frecuencia de salto
del neumático). La ecuación implica que hay limitaciones fundamentales en
cuanto al confort que se puede conseguir con cualquier amortiguador.
8.15 (Amortiguador de vibraciones) La amortiguación de las vibraciones es un
problema común de ingeniería. A continuación se muestra un diagrama
esquemático de un amortiguador:
F
m1
x1
k2
c1
k1
m2
x2
La vibración perturbadora es una fuerza sinusoidal que actúa sobre la masa m1 , y
el amortiguador está formado por la masa m2 y el muelle k2 . Demuestre que la
función de transferencia de la fuerza perturbadora a la altura x1 de la masa m1 es
m2 s2 + k2
G
.
x1F =
m1 m2 s4 + m2 c1 s3 + (m1 k2 + m2 (k1 + k2 ))s2 + k2 c1 s + k1 k2
¿Cómo deben elegirse la masa m2 y la rigidez k2 para eliminar una oscilación
sinusoidal con frecuencia0 . (En el texto clásico de Den Hartog [DH85, pp. 8793] se ofrecen más detalles sobre los absorbedores de vibraciones).
Capítulo Nueve
Análisis en el dominio de la frecuencia
El Sr. Black propuso un repetidor de retroalimentación negativa y demostró mediante
pruebas que poseía las ventajas que había previsto para él. En particular, su ganancia era
constante en un alto grado, y era lo suficientemente lineal como para que las señales
espurias causadas por la interacción de los distintos canales pudieran mantenerse dentro
de los límites permisibles. Para obtener los mejores resultados, el factor de
retroalimentación debía ser numéricamente mucho mayor que la unidad. La posibilidad de
estabilidad con un factor de retroalimentación mayor que la unidad era desconcertante.
Harry Nyquist, "The Regeneration Theory", 1956 [Nyq56].
En este capítulo estudiamos cómo se puede determinar la estabilidad y la
robustez de los sistemas de bucle cerrado investigando cómo se propagan las
señales sinusoidales de diferentes frecuencias alrededor del bucle de
realimentación. Esta técnica nos permite razonar sobre el comportamiento en
lazo cerrado de un sistema a través de las propiedades en el dominio de la
frecuencia de la función de transferencia en lazo abierto. El teorema de
estabilidad de Nyquist es un resultado clave que proporciona una forma de
analizar la estabilidad e introducir medidas de grados de estabilidad.
9.1 La función de transferencia del bucle
Determinar la estabilidad de los sistemas interconectados por retroalimentación
puede ser complicado porque cada sistema influye en el otro, lo que lleva a un
razonamiento potencialmente circular. De hecho, como ilustra la cita de Nyquist,
el comportamiento de los sistemas de retroalimentación puede ser a menudo
desconcertante. Sin embargo, el uso del marco matemático de las funciones de
transferencia proporciona una forma elegante de razonar sobre estos sistemas,
que llamamos análisis de bucle.
La idea básica del análisis de bucles es rastrear cómo se propaga una señal
sinusoidal en el bucle de retroalimentación y explorar la estabilidad resultante
investigando si la señal propa- gada crece o decae. Esto es fácil de hacer porque
la transmisión de señales sinusoidales a través de un sistema dinámico lineal se
caracteriza por la respuesta en frecuencia del sistema. El resultado clave es el
teorema de estabilidad de Nyquist, que proporciona una gran cantidad de
información sobre la estabilidad de un sistema. A diferencia de la demostración
de la estabilidad con funciones de Lyapunov, estudiada en el capítulo 4, el
criterio de Nyquist nos permite determinar algo más que si un sistema es estable
o inestable. Proporciona una medida del grado de estabilidad a través de la
definición de los márgenes de estabilidad. El teorema de Nyquist también indica
cómo debe modificarse un sistema inestable para hacerlo estable, lo que
estudiaremos en detalle en los capítulos 10-12.
Considere el sistema de la figura 9.1a. La forma tradicional de determinar si
el sistema de bucle cerrado es estable es investigar si el polinomio característico
de bucle cerrado tiene todas sus raíces en el semiplano izquierdo. Si el proceso y
el controlador tienen
268
r
e
C(s)
u
CAPÍTULO 9. ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
P(s)
y
B
A
L(s)
-1
(a)
-1
(b)
Figura 9.1: La función de transferencia del bucle. La estabilidad del sistema de
retroalimentación (a) se puede determinar trazando señales alrededor del bucle. Dejando
que L = PC represente la función de transferencia del bucle, rompemos el bucle en (b) y
preguntamos si una señal inyectada en el punto A tiene la misma magnitud y fase cuando
llega al punto B.
funciones de transferencia racionales P(s) = np (s)/dp (s) y C(s) = nc (s)/dc (s),
entonces el sistema de lazo cerrado tiene la función de transferencia
PC
np (s)nc (s)
Gyr (s) =
=
1 + PC dp (s)dc (s) + np (s)nc (s),
y el polinomio característico es
(s) = dp (s)dc (s) + np (s)nc (s).
Para comprobar la estabilidad, basta con calcular las raíces del polinomio
característico y comprobar que cada una de ellas tiene parte real negativa. Este
enfoque es sencillo, pero ofrece poca orientación para el diseño: no es fácil saber
cómo debe modificarse el controlador para hacer estable un sistema inestable.
La idea de Nyquist era investigar las condiciones en las que pueden
producirse oscilaciones en un bucle de realimentación. Para estudiar esto,
introducimos la función de transferencia del bucle L(s) = P(s)C(s), que es la
función de transferencia obtenida al romper el bucle de realimentación, como se
muestra en la figura 9.1b. La función de transferencia del bucle es simplemente
la función de transferencia
de la entrada en la posición A a la salida en la posición B multiplicado
por 1
(para tener en cuenta la convención habitual de retroalimentación negativa).
Primero determinaremos las condiciones para tener una oscilación periódica
en el bucle. Supongamos que se inyecta una sinusoide de frecuencia0 en el punto
A. En estado estacionario la señal en el punto B será también una sinusoide con
la frecuencia0 . Parece razonable que se pueda mantener una oscilación si la señal
en B tiene la misma amplitud y fase que la señal inyectada porque entonces
podemos desconectar la señal inyectada y conectar A con B. Trazando señales
alrededor del bucle, encontramos que las señales en A y B son idénticas si
L(0 ) = -1,
(9.1)
lo que proporciona una condición para mantener una oscilación. La idea clave
del criterio de estabilidad de Nyquist es entender cuándo puede ocurrir esto en un
entorno general. Como veremos, este argumento básico se vuelve más sutil
cuando la función de transferencia del bucle tiene polos en el semiplano derecho.
Ejemplo 9.1 Circuito de amplificador operacional
Considere el circuito de amplificador operacional de la Figura 9.2a, donde Z1 y Z2 son
las funciones de transferencia.
269
9.1. LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DEL BUCLE
Z1
Z2
I
v1
v
v1
+
v2
e
Z2
Z
1
(a) Circuito amplificador
Z1
Z1 +
Z2
v
-G(s)
v2
(b) Diagrama de bloques
Figura 9.2: Función de transferencia de bucle para un amplificador óptico. El circuito
del amplificador de operación (a) tiene una función de transferencia nominal v2/v1 =
Z2(s)/Z1(s), donde Z1 y Z2 son las impedancias de los elementos del circuito. El sistema
se puede representar mediante su diagrama de bloques (b), donde ahora incluimos la
dinámica del amplificador de operación G(s). La función de transferencia del bucle es L =
Z1 G/(Z1 + Z2 ).
de los elementos de retroalimentación de la tensión a la corriente. Hay
retroalimentación porque la tensión v2 está relacionada con -la tensión v a través
de la función de transferencia G que describe la dinámica del amplificador de
operación y la tensión v está relacionada con la tensión v2 a través de la función
de transferencia Z1 /(Z1 + Z2 ). La función de transferencia del bucle es, por
tanto, la siguiente
GZ1
L=
.
(9.2)
Z1 + Z2
Suponiendo que la corriente I es cero, la corriente que atraviesa los elementos Z1 y Z2 es
es la misma, lo que implica quev1
- v v - v2
.
=
Z1
Z2
Resolviendo para v se obtiene
Z 2 v1 + Z 1 v2
Z2 v1 - Z1 Gv Z2 L
v=
=
=
v1 - Lv.
Z1 G
Z1 + Z2
Z1 +
Z2
Dado que v2 = -Gv la relación entrada/salida del circuito se convierte en
Z2
L
Gv2v1 = .
Z1 1 + L
En la figura 9.2b se muestra un diagrama de bloques. De (9.1) se deduce que la condición
para la oscilación del circuito del amplificador operacional es
L( ) =
Z1 (i)G(i)
Z1 (i) + Z2 (i)
=-1
(9.3)
Uno de los poderosos conceptos incluidos en el enfoque de Nyquist para el
análisis de la estabilidad es que nos permite estudiar la estabilidad del sistema de
retroalimentación observando las propiedades de la función de transferencia del
bucle. La ventaja de hacer esto es que es fácil ver cómo el controlador debe ser
elegido para obtener una función de transferencia de bucle deseada. Por ejemplo,
si cambiamos la ganancia del controlador, la función de transferencia del lazo se
escalará en consecuencia. Una forma -sencilla de estabilizar un sistema inestable
es entonces reducir la ganancia para evitar el punto 1. Otra forma es introducir
un controlador con la propiedad de desviar la función de transferencia del bucle
270
CAPÍTULO 9. ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
So
y
So
y
r
Re
R
Re
-1
L(i)
(a) Contorno D de Nyquist
(b) Gráfico de Nyquist
Figura 9.3: El contorno de Nyquist y el gráfico de Nyquist. El contorno de Nyquist (a)
encierra el semiplano derecho, con un pequeño semicírculo alrededor de cualquier polo de
L(s) en el eje imaginario (ilustrado aquí en el origen) y un arco en el infinito,
representado
→
por R . El gráfico de Nyquist (b) es la imagen de la función de transferencia del bucle L(s)
cuando s se desplaza en el sentido de las agujas del reloj. La línea continua corresponde a
 0, y la línea discontinua a  0. La ganancia y la fase en la frecuencia son g = L(i) y =
|
|
∠L(i). La curva se genera para L(s) = 1,4e-s/(s + 1)2 .
del punto crítico, como veremos en la siguiente sección. Se desarrollarán
diferentes formas de hacerlo, denominadas conformación del bucle, que se
analizarán en el capítulo 11.
9.2 El criterio de Nyquist
En esta sección presentamos el criterio de Nyquist para determinar la estabilidad
de un sistema de retroalimentación mediante el análisis de la función de
transferencia del bucle. Comenzamos introduciendo una herramienta gráfica
conveniente, el gráfico de Nyquist, y mostramos cómo se puede utilizar para
determinar la estabilidad.
El diagrama de Nyquist
En el último capítulo vimos que la dinámica de un sistema lineal puede
representarse mediante su respuesta en frecuencia e ilustrarse gráficamente
mediante un gráfico de Bode. Para estudiar la estabilidad de un sistema, haremos
uso de una representación diferente de la respuesta en frecuencia llamada gráfico
de Nyquist. El gráfico de Nyquist∈ de la función de transferencia de bucle L(s) se
forma trazando s C alrededor del "contorno D" de Nyquist, que consiste en
del eje imaginario combinado con un arco en el infinito que conecta los puntos extremos
del eje imaginario. El contorno, denotado como ,
∈ se ilustra en la figura 9.3a. La
imagen de L(s) cuando s atraviesa da una curva cerrada en el plano complejo y
se denomina gráfico de Nyquist para L(s), como se muestra en la Figura
9.3b. Obsérvese que si la función de transferencia L(s) llega a cero a medida que
s se hace grande (el caso habitual), entonces la porción del contorno "en el
infinito" mapea al origen. Además, la porción del gráfico correspondiente a < 0
es la imagen especular de la porción con > 0.
Hay una sutileza en el gráfico de Nyquist cuando la función de transferencia del bucle tiene
polos en el eje imaginario porque la ganancia es infinita en los polos. Para resolver esto
9.2. EL CRITERIO DE NYQUIST
271
modificamos el contorno para incluir pequeñas desviaciones que eviten cualquier
polo en el eje imaginario, como se ilustra en la figura 9.3a (suponiendo un polo
de L(s) en el origen). La desviación consiste en un pequeño semicírculo a la
derecha de la ubicación del polo del eje imaginario.
La condición de oscilación dada en la ecuación (9.1) implica que el gráfico de
Nyquist de la función de transferencia del bucle pase por el punto
L = 1, que se
denomina punto crítico. Dejemos quec represente una frecuencia en la que ∠L(c
) = 180◦ , que corresponde a la curva de Nyquist que cruza el eje real negativo.
| sea estable si L(c ) < 1, lo que
Intuitivamente parece razonable que el| sistema
significa que el punto crítico 1 está en el lado izquierdo de la curva de Nyquist,
como se indica en la figura 9.3b.
Esto significa que la señal en el punto B tendrá una amplitud menor que la señal
in- jectada. Esto es esencialmente cierto, pero hay varias sutilezas que requieren
un análisis matemático adecuado para aclararlas. Por el momento, aplazamos los
detalles y establecemos la condición de Nyquist para el caso especial en el que
L(s) es una función de transferencia estable.
Teorema 9.1 (Criterio de Nyquist simplificado). Sea L(s) la función de
transferencia del bucle para un sistema de retroalimentación negativa (como se
muestra en la figura 9.1a) y suponga que L tiene
no hay polos en el semiplano derecho cerrado≥(Re s 0) excepto los polos simples
en el eje imaginario. Entonces el sistema de bucle cerrado es estable si y sólo si
el
contorno dado por = {L(i) : - <  } ⊂ C no tiene ningún círculo neto del punto
crítico s = -1.
El siguiente procedimiento conceptual puede utilizarse para determinar que
no hay circunvalaciones. Fijar un alfiler en el punto- crítico s = 1, ortogonal al
plano. Fijar una cuerda con un extremo en el punto crítico y el otro en la curva de
Nyquist. Deja que el extremo de la cuerda atado a la curva de Nyquist atraviese
toda la curva. No hay circunvalación si la cuerda no se enrolla en el perno cuando la
curva
está rodeado.
Ejemplo 9.2 Sistema de tercer orden
Consideremos una función de transferencia de tercer orden
1
L(s) =
.
(s + a)3
Para calcular el diagrama de Nyquist empezamos evaluando los puntos del eje imaginario
s = i, lo que da como resultado
3
1
(a - i)3
a3 - 3a2
- 3a 2
L
i
( )=
=
=
+
.
( + a)3 (a2 + 2)3 (a2 + 2)3 (a2 + 2)3
Esto se representa en el plano complejo en la Figura 9.4, con los puntos correspondientes a
a > 0 dibujada como línea sólida y < 0 como línea discontinua. Obsérvese que
estas curvas son imágenes especulares entre sí.
Para completar el gráfico de Nyquist, calculamos L(s) para s en el arco exterior
del contorno D de Nyquist. Este arco tiene la forma s = Rei para R → . Esto da
1
L(Rei ) =
→ 0 como R → .
(Rei + a)3
272
CAPÍTULO 9. ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
Im L(i)
2
Re L(i)
-1
1
3
5
-2
Figura 9.4: Diagrama de Nyquist para una función de transferencia de tercer orden. El
gráfico de Nyquist consiste en un trazado de la función de transferencia del bucle L(s) =
1/(s + a)3 . La línea continua representa la porción de la función de transferencia a lo largo
del eje imaginario positivo, y la línea discontinua la porción negativa.
eje imaginario. El arco exterior del contorno D se sitúa en el origen.
Por lo tanto, el arco exterior del contorno D se corresponde con el origen en el gráfico de
Nyquist.
Una alternativa al cálculo explícito del gráfico de Nyquist es determinar el
gráfico a partir de la respuesta en frecuencia (gráfico de Bode), que da la curva de
Nyquist para s = i,
> 0. Empezamos por trazar L(i) desde = 0 hasta = , que se puede leer
a partir de la magnitud y la fase de la función de transferencia. A continuación, trazamos
L(Rei ) con
[ ,
siempre es cero. Las partes restantes de la gráfica se
∈ -] y R , que casi→
pueden determinar tomando la imagen especular de la curva hasta ahora
(normalmente trazada con una línea discontinua). El gráfico puede etiquetarse
con flechas que corresponden a un recorrido en el sentido de las agujas del reloj
alrededor del contorno D (la misma dirección en la que se trazó la primera parte
de la curva).
Ejemplo 9.3 Sistema de tercer orden con un polo en el origen
Considere la función de transferencia
k
L(s) =
,
2
s(s + 1)
donde la ganancia tiene el valor nominal k = 1. El diagrama de Bode se muestra
en la figura 9.5a. El sistema tiene un polo único en s = 0 y un- polo doble en s =
1. La curva de ganancia del diagrama
de Bode tiene, por tanto, la pendiente 1
para las bajas frecuencias, -y en el doble polo s = 1 la≈pendiente cambia a 3. Para
s pequeños tenemos L k/s, lo que significa que la asíntota de baja frecuencia
cruza la línea
de ganancia unitaria en = -k. La curva de fase comienza en 90◦ para
las bajas frecuencias, es 180◦ en el punto de ruptura = 1 y es
- 270◦ a altas frecuencias.
Una vez obtenido el diagrama de Bode, podemos trazar el diagrama de
Nyquist, que se muestra en la Figura 9.5b.
- Comienza con una fase de 90 ◦ para las
frecuencias bajas, cruza el eje real negativo en el punto
- de ruptura = 1 donde
L(i) = 0,5 y va a cero a lo largo de
el eje imaginario para las frecuencias altas. El pequeño semicírculo del contorno en
el origen se sitúa en un gran círculo que encierra el semiplano derecho. La curva
de Nyquist no rodea el punto crítico, y se deduce del teorema simplificado de
Nyquist que el bucle cerrado es estable. Como L(i) = -k/2, encontramos el
9.2. EL CRITERIO DE NYQUIST
sistema
273
274
CAPÍTULO 9. ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
Im L(i)
0
|L(i)|10
10-2
Re L(i)
-90
∠L
-180
(i)
-270
10−1
-1
100
Frecuencia rad/s]
(a) Diagrama de Bode
101
(b) Diagrama de Nyquist
Figura 9.5: Trazado de los gráficos de Nyquist y Bode. La función de transferencia del
bucle es L(s) = 1/(s(s + 1)2 ). El semicírculo grande es el mapa del semicírculo pequeño
del contorno alrededor del polo en el origen. El bucle cerrado es estable porque la curva de
Nyquist no rodea el punto crítico. El punto donde la fase es -180◦ está marcado con un
círculo en el gráfico de Bode.
se vuelve inestable si se aumenta la ganancia a k = 2 o más.
El criterio de Nyquist no exige que | L(c |) < 1 para todos losc
correspondientes a un cruce del eje real negativo. Más bien dice que el número
de endebe ser cero, lo que permite la posibilidad de que la curva de Nyquist pueda
cruzar el eje real negativo y volver a cruzar a magnitudes superiores a 1. El
hecho de que fuera posible tener altas ganancias de realimentación sorprendió a
los primeros diseñadores de amplificadores de realimentación, como se
menciona en la cita del principio de este capítulo.
Una de las ventajas del criterio de Nyquist es que nos indica cómo influye en
el sistema la modificación de los parámetros del controlador. Por ejemplo, es
muy fácil visualizar lo que ocurre cuando se modifica la ganancia, ya que ésta
sólo escala la curva de Nyquist.
Ejemplo 9.4 Control de la congestión
Consideremos el sistema de control de la congestión de Internet descrito en la
sección 3.4. Supongamos que tenemos N fuentes idénticas y una perturbación d
que representa una fuente de datos externa, como se muestra en la Figura 9.6a.
Dejamos que w represente el tamaño de la ventana individual para una fuente, q
represente la probabilidad de extremo a extremo de un paquete perdido, b
represente el número de paquetes en el buffer del router y p represente la
probabilidad de que un paquete sea perdido por el router. Escribimos w¯ para el
número total de paquetes que se reciben de todas las N fuentes. También
incluimos un retardo de tiempo entre el router y los remitentes, que representa
los retrasos de tiempo entre el remitente y el receptor.
Para analizar la estabilidad del sistema, utilizamos las funciones de
transferencia calculadas en el Ejercicio 8.12:
1
1
G̃bw̄(s) =
,
Gpb (s) = ,
s
,
Gwq(s)
=
−
qe (e s + qe
es + e
we )
donde (we , be ) es el punto de equilibrio del sistema, N es el número de fuentes,
e es el tiempo de ida y vuelta en estado estacionario yf es el tiempo de propagación hacia
delante. En
275
9.2. EL CRITERIO DE NYQUIST
Control de
admisión
Router
d
w¯
e-b s
b
G˜bw¯(
s)
Retra
so en
la
cone
xiónN
w
Gpb(s)
Im L(i)
p
Re L(i)
Retr
e-f s
aso
del
enlac q
e
Gwq(s)
-0.5
TCP
Figura 9.6: Control de la congestión en Internet. Un conjunto de N fuentes que utilizan
TCP/Reno envían mensajes a través de un único router con control de admisión (izquierda).
Se incluyen los retrasos de los enlaces para las direcciones de avance y retroceso. El gráfico
de Nyquist para la función de transferencia del bucle se muestra a la derecha.
utilizar Gb̃w¯para representar la función de transferencia con el retardo de tiempo
hacia adelante eliminado ya que esto se contabiliza como un bloque separado en
la Figura 9.6a. Del mismo modo, Gwq = Gw¯q /N ya que hemos sacado el
multiplicador N como un bloque separado también.
La función de transferencia del bucle viene dada por
N
L(s) = e
-
1
s + e− f s qe (e s + qe we
)
e-es.
Utilizando el hecho de que qe e≈ 2N/w2 = 2N3 /(e c)2 y we = be /N =e c/N de la
ecuación
(3.22), podemos demostrar que
N
L(s) = 3 3e
e-es.
− f s 2N3(
e + 2N2)
e s + e
Observe que hemos elegido el signo de L(s) para utilizar la misma convención de
signos que en la figura 9.1b. El término exponencial que representa el retardo de
tiempo da una fase significativa por encima de = 1/e , y la ganancia en la
frecuencia de cruce determinará la estabilidad.
Para comprobar la estabilidad, exigimos que la ganancia sea suficientemente
pequeña en el cruce. Si suponemos que el polo debido a la dinámica de la cola es
lo suficientemente rápido como para que la dinámica del TCP sea dominante, la
ganancia en la frecuencia de crucec viene dada por
c 2e
c33e
|L( )|c = -N =
.
2
2N  c3 e22N c
Utilizando el criterio de Nyquist, el sistema de bucle cerrado será inestable si
esta cantidad es mayor que 1. En particular, para un retardo de tiempo fijo, el
sistema se volverá inestable a medida que aumente la capacidad del enlace c.
Esto indica que el protocolo TCP puede no ser escalable a redes de alta
capacidad, como señalan Low et al. [LPD02]. El ejercicio 9.7 proporciona
algunas ideas de cómo se podría superar esto.
276
CAPÍTULO 9. ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
Im L(i)
Im L(i)
Re L(i)
Re L(i)
-200
-1
2
Figura 9.7: Curva de Nyquist para la función de transferencia s(del bucle
L(s) = 3(s+6) . El
)2s+1
gráfico de la derecha es una ampliación de la caja alrededor del origen del gráfico de la
izquierda. La curva de Nyquist se cruza con el eje real negativo dos veces, pero no tiene
circunvalaciones netas de -1.
Estabilidad condicional
Normalmente, encontramos que los sistemas inestables pueden estabilizarse
simplemente reduciendo la ganancia del bucle. Sin embargo, hay situaciones en
las que un sistema puede estabilizarse aumentando la ganancia. Este problema lo
encontraron por primera vez los ingenieros eléctricos en el diseño de
amplificadores de retroalimentación, que acuñaron el término estabilidad
condicional. El problema fue en realidad una fuerte motivación para que Nyquist
desarrollara su teoría. Lo ilustraremos con un ejemplo.
Ejemplo 9.5 Sistema de tercer orden
Consideremos un sistema de retroalimentación con la función de transferencia del bucle
3(s + 6)2
L(s) =
.
(9.4)
s(s + 1)2
El gráfico de Nyquist de la función de transferencia del bucle se muestra en la
Figura 9.7. Obsérvese que la curva de Nyquist cruza el eje real negativo dos
veces. La primera
intersección se produce en L = 12
- para = 2, y la segunda en L
= 4,5 para = 3. El argumento intuitivo basado en el trazado de la señal
alrededor del bucle de la Figura 9.1b es muy erróneo.
que lleva en este caso. La inyección de una sinusoide con frecuencia 2 rad/s y
amplitud 1 en A da, en estado estacionario, una oscilación en B que está en fase
con la entrada y tiene amplitud 12. Intuitivamente, parece poco probable que el
cierre del bucle dé lugar a un sistema estable. Sin embargo, a partir del criterio
de estabilidad de Nyquist se deduce que el sistema es estable porque no se
producen rodeos netos del punto crítico. Nótese, sin embargo, que si
disminuimos la ganancia, entonces podemos obtener un encierro, lo que implica
que la ganancia debe ser suficientemente grande para la estabilidad.
Criterio general de Nyquist
El teorema 9.1 requiere que L(s) no tenga polos en el semiplano derecho cerrado.
En algunas situaciones no es así y se requiere un resultado más general. Nyquist
consideró originalmente este caso general, que resumimos como un teorema.
Teorema 9.2 (Teorema de estabilidad de Nyquist). Consideremos un sistema de
bucle cerrado con la función de transferencia de bucle L(s) que tiene P polos en
la región delimitada por el
277
9.2. EL CRITERIO DE NYQUIST
Im L(i)
m
Re L(i)
l
-1
u
(a) Péndulo invertido
(b) Gráfico de Nyquist
Figura 9.8: Control de DP de un péndulo invertido. (a) El sistema consiste en una masa
que se equilibra aplicando una fuerza en el punto de giro. Un controlador proporcionalderivativo con
La función de transferencia C(s) = k(s + 2) se utiliza para comandar u en base a . (b) Un
gráfico de Nyquist de la función de transferencia del bucle para la ganancia k = 1. Hay un
círculo en sentido contrario al de las agujas del reloj del punto crítico, lo que da N = -1
círculos en el sentido de las agujas del reloj.
Contorno de Nyquist. Sea N el número neto de circunvalaciones de 1-en el
sentido de las agujas del reloj por L(s) cuando s rodea el contorno de Nyquist en
el sentido de las agujas del reloj. El sistema de bucle cerrado tiene entonces Z =
N + P polos en el semiplano derecho.
El criterio de Nyquist completo establece que si L(s) tiene P polos en el
semiplano derecho, entonces la curva de Nyquist para L(s) debe tener P círculos
|
de -1 en sentido contrario
a las agujas del reloj (de |modo que
N = P). En
particular, esto requiere que L(c ) > 1 para algúnc correspondiente a un cruce del
eje real negativo. Hay que tener cuidado para obtener el
signo correcto de los círculos. El contorno de Nyquist tiene que ser atravesado en
el sentido de las agujas del reloj,- lo que significa que se mueve de a y N es
positivo si la curva de Nyquist serpentea en el sentido de las agujas del reloj. Si
la curva de Nyquist gira en sentido
contrario a las agujas del reloj, entonces N
/
será negativo (el caso deseado si P = 0).
Como en el caso del criterio de Nyquist simplificado, utilizamos pequeños
semicírculos de
radio r para evitar cualquier polo en el eje imaginario. Dejando
→ r 0, podemos
utilizar el Teorema 9.2 para razonar sobre la estabilidad. Nótese que la imagen de
los semicírculos pequeños genera una sección de la curva de Nyquist cuya
magnitud se aproxima al infinito, lo que requiere cuidado al calcular el número
de enrollamiento. Al trazar las curvas de Nyquist en el ordenador, hay que tener
cuidado de que esos polos se manejen correctamente, y a menudo hay que trazar
esas partes del gráfico de Nyquist a mano, teniendo cuidado de hacer el bucle
correcto alrededor de los polos.
Ejemplo 9.6 Péndulo invertido estabilizado
La dinámica linealizada de un péndulo invertido normalizado puede
representarse mediante la función
- de transferencia P(s) = 1/(s2 1), donde la
entrada es la aceleración del pivote y la salida es el ángulo del péndulo , como se
muestra en la Figura 9.8 (Ejercicio 8.3). Nos
intentan estabilizar el péndulo con un controlador proporcional-derivativo (PD)
que tiene la función de transferencia C(s) = k(s + 2). La función de
transferencia del bucle es
L(s) =
k(s + 2)
.
278
CAPÍTULO 9. ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
s2 - 1
279
9.2. EL CRITERIO DE NYQUIST
El gráfico de Nyquist de la función de transferencia del bucle se muestra en la
Figura 9.8b.
Tenemos L(0) = 2k y L() = 0. Si k > 0,5, la curva de Nyquist
rodea
- el punto crítico s = 1 en el sentido contrario a las agujas del reloj cuando
el contorno de Nyquist se rodea en el sentido de las agujas del reloj. El
- número
de círculos es, pues, N = 1. Como la función de transferencia del bucle tiene un
polo en el semiplano derecho (P = 1), encontramos que Z = N + P = 0 y el
sistema es, por tanto, estable para k > 0,5. Si k < 0,5, no hay encierro y el bucle
cerrado tendrá un polo en el semiplano derecho.
Derivación del teorema de estabilidad de Nyquist
�
Ahora demostraremos el teorema de estabilidad de Nyquist para una función de
transferencia de bucle general L(s). Esto requiere algunos resultados de la teoría
de variables complejas, para los que el lector puede consultar Ahlfors [Ahl66].
Dado que se necesita cierta precisión para enunciar correctamente el criterio de
Nyquist, utilizaremos un estilo más matemático de pre sentación. También
seguimos la convención matemática de contar los círculos
en el sentido contrario a las agujas del reloj para el resto de esta sección. El
resultado clave es el siguiente teorema sobre las funciones de variables
complejas.
Teorema 9.3 (Principio de variación del argumento). Sea D una región cerrada
en el plano complejo y sea la frontera de la región. Supongamos que la función f
: C C→es analítica en D y en , excepto en un número finito de polos y ceros.
Entonces el número de enrollamiento wn viene dado por
-
1
1 f ′(z)
wn =  arg f (z) =
dz = Z - P,


f (z)
donde es la variación neta del ángulo cuando z atraviesa el contorno en el
sentido contrario a las agujas del reloj, Z es el número de ceros en D y P es el
número de polos en D. Los polos y ceros de multiplicidad m se cuentan m veces.
Prueba. Supongamos que z = a es un cero de multiplicidad m. En la vecindad de z = a
tenemos
f (z) = (z - a)m g(z),
donde la función g es analítica y distinta de cero. La relación de la derivada de f
con respecto a sí misma viene dada entonces por
f′ (z)
m
g′ (z)
=
+
,
f (z) z - a g(z)
y el segundo término es analítico en z = a. La función f′ / f tiene pues un único
polo en z = a con el residuo m. La suma de los residuos en los ceros de la
función es
Z. Del mismo modo, encontramos que la suma de los residuos de los polos es -P, y por lo
tanto
Z-P=
1

-
f′ (z)
1
dz =

f (z)
-
d
1
log f (z) dz =  log f (z),
dz


donde denota de nuevo la variación a lo largo del contorno . Tenemos
log f (z) = log| f (z)| + i arg f (z),
280
CAPÍTULO 9. ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
y como la variación de | f (z)| alrededor de un contorno cerrado es cero se deduce que
 log
f (z) =  arg f (z),
y se demuestra el teorema.
Este teorema es útil para determinar el número de polos y ceros de una
función de variables complejas en una región dada. Eligiendo una región cerrada
apropiada D con frontera , podemos determinar la diferencia entre el número de
polos y ceros mediante el cálculo del número de enrollamiento.
El teorema 9.3 puede utilizarse para demostrar el teorema de estabilidad de
Nyquist eligiendo como contorno de Nyquist el que se muestra en la figura 9.3a,
que encierra el semiplano derecho. Para construir el contorno,
con
- comenzamos
≤≤
una parte del eje imaginario jR s jR y un semicírculo a la derecha con radio R. Si
la función f tiene polos en el eje imaginario, introducimos pequeños semicírculos
con radios r a la derecha de los polos como se muestra en →
la figura. El→contorno
de Nyquist se obtiene dejando que R y r s e a n 0 . Observe que tiene una
orientación opuesta a la mostrada en la figura 9.3a. (La convención en ingeniería
es atravesar el contorno de Nyquist en el sentido de las agujas del reloj, ya que
esto corresponde a moverse hacia arriba a lo largo del eje imaginario, lo que
facilita el esbozo del contorno de Nyquist a partir de un gráfico de Bode).
Para ver cómo utilizamos el principio de variación del argumento para
calcular la estabilización, consideremos un sistema de bucle cerrado con la
función de transferencia de bucle L(s). Los polos de lazo cerrado del sistema son
los ceros de la función f (s) = 1 + L(s). Para encontrar el número de ceros en el
semiplano derecho, investigamos el número de bobinado de la función f (s) = 1
+ L(s) a medida que s se mueve a lo largo del contorno de Nyquist en la
dirección contraria a las agujas del reloj. El número de enrollamiento puede
determinarse convenientemente a partir de
el gráfico de Nyquist. Una aplicación directa del Teorema 9.3 da el criterio de
Nyquist, teniendo cuidado de invertir la orientación. Dado que la imagen de 1 +
L(s) es una versión desplazada de L(s), solemos plantear el criterio de-Nyquist
como círculos netos del punto 1 por la imagen de L(s).
9.3 Márgenes de estabilidad
En la práctica, no basta con que un sistema sea estable. También deben existir unos
márgenes de estabilidad que describan el grado de estabilidad del sistema y su
robustez ante las perturbaciones. Hay muchas formas de expresarlo, pero una de
las más comunes es el uso de márgenes de ganancia y fase, inspirados en el
criterio de estabilidad de Nyquist. La idea clave es que es fácil trazar la función
de transferencia del bucle L(s). Un aumento de la conLa ganancia del controlador simplemente amplía el gráfico de Nyquist de forma radial.
Un aumento de la fase de
el controlador tuerce el gráfico de Nyquist. Por lo tanto, a partir del gráfico de
Nyquist podemos elegir fácilmente la cantidad de ganancia o fase que se puede
añadir sin que el sistema se vuelva inestable.
Formalmente, el margen de ganancia gm de un sistema se define como la
cantidad más pequeña que se puede aumentar la ganancia en bucle abierto antes
de que el sistema en bucle cerrado se vuelva inestable. Para un sistema cuya fase
disminuye monotónicamente en función de la frecuencia
279
9.3. MÁRGENES DE
ESTABILIDAD
101
Im L(i)
|L(i)| 0
10
-1/gm
-1
Re L(i)
∠L -120
(i) -150
-180
sm
m
log10 gm
10-1
-90
10−1
(a) Gráfico de Nyquist
m
100
Frecuencia rad/s]
101
(b) Gráfico de Bode
Figura 9.9: Márgenes de estabilidad. El margen de ganancia gm y el margen de fase m se
muestran en el gráfico de Nyquist (a) y en el gráfico de Bode (b). El margen de ganancia
corresponde al menor aumento de la ganancia que crea un cerco, y el margen de fase es el
menor cambio de fase que crea un cerco. El gráfico de Nyquist también muestra el margen
de estabilidad sm, que es la distancia más corta al punto crítico -1.
a partir de 0◦ , el margen de ganancia puede calcularse basándose en la frecuencia
más pequeña en la que la fase de la función de transferencia
del bucle L(s) es de
180◦ . Dejemos quepc represente esta frecuencia, llamada frecuencia de cruce de
fase. Entonces el margen de ganancia del sistema viene dado por
1
gm =
.
(9.5)
|L(pc )|
Del mismo modo, el margen de fase es la cantidad de retardo de fase necesaria
para alcanzar el límite de estabilidad. Seagc la frecuencia de cruce de la
ganancia, la frecuencia más pequeña en la que la función de transferencia del
bucle L(s) tiene magnitud unitaria. Entonces, para un sistema con ganancia
monotónica decreciente, el margen de fase viene dado por
m
= + arg L(gc ).
(9.6)
Estos márgenes tienen interpretaciones geométricas sencillas en el diagrama
de Nyquist de la función de transferencia del bucle, como se muestra en la Figura
9.9a, donde hemos trazado la parte de la curva correspondiente a  0. El margen
de ganancia viene dado por el in- verso de la -distancia al punto más cercano
entre 1 y 0 donde la función de transferencia del bucle cruza el eje real negativo.
El margen de fase viene dado por el pequeñoEs el ángulo en el círculo unitario entre
- 1 y la función de transferencia del bucle.
Cuando la ganancia o la fase son monótonas, esta interpretación geométrica
concuerda con las fórmulas anteriores.
Un inconveniente de los márgenes de ganancia y de fase es que es necesario
dar ambos para garantizar que la curva de Nyquist no está cerca del punto crítico.
Una forma alternativa de expresar los márgenes es mediante un único número, el
margen de estabilidad sm , que es la distancia más corta entre la curva de Nyquist
y el punto crítico. Este número está relacionado con la atenuación de las
perturbaciones, como se verá en la sección 11.3. Para muchos sistemas, los
márgenes de ganancia y de fase pueden determinarse a partir del
280
CAPÍTULO 9. ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
101
Im L(i)
|L(i)|
10-1
Re L(i)
-1
10-3
0
∠L -90
(i) -180
-270
10−1
100
Frecuencia rad/s]
101
Figura 9.10: Márgenes de estabilidad para una función de transferencia de tercer orden. El
gráfico de Nyquist de la izquierda permite determinar los márgenes de ganancia, fase y
estabilidad midiendo las distancias de las características relevantes. Los márgenes de
ganancia y fase también pueden leerse en el gráfico de Bode de la derecha.
Gráfico de Bode de la función de transferencia del bucle. Para encontrar el
margen de ganancia, primero encontramos la frecuencia
de cruce de fasepc donde
la fase es de 180◦ . El margen de ganancia es la inversa de la ganancia a esa
frecuencia. Para determinar el margen de fase, primero definimos la frecuencia
de cruce de la gananciagc , es decir, la frecuencia en la que la ganancia de la
función de transferencia del bucle es 1. El margen de fase es la fase de la función
de transferencia del bucle a esa frecuencia más 180◦ . La figura 9.9b ilustra cómo
se encuentran los márgenes en el diagrama de Bode de la función de
transferencia del bucle. Tenga en cuenta que la interpretación del gráfico de Bode
de los márgenes de ganancia y de fase puede ser incorrecta si hay múltiples
frecuencias en las que la ganancia es igual a 1 o la fase es igual a -180 .◦
Ejemplo 9.7 Sistema de tercer orden
Considere una función de transferencia de bucle L(s) = 3/(s + 1)3 . Los gráficos
de Nyquist y Bode se muestran en la Figura 9.10. Para calcular los márgenes de
ganancia, fase y estabilidad, podemos utilizar el gráfico de Nyquist que se
muestra en la Figura 9.10. De este modo se obtienen los siguientes valores:
gm = 2,67,m = 41,7◦ , sm = 0,464.
Los márgenes de ganancia y de fase también pueden determinarse a partir del diagrama
de Bode.
Los márgenes de ganancia y de fase son medidas clásicas de robustez que se
han utilizado durante mucho tiempo en el diseño de sistemas de control. El
margen de ganancia está bien definido si la curva de Nyquist interseca el eje real
negativo una vez. Análogamente, el margen de fase está bien definido si la curva
de Nyquist interseca el círculo unitario en un solo punto. En el capítulo 12 se
presentarán otras medidas de robustez más generales.
Incluso si los márgenes de ganancia y de fase son razonables, el sistema
puede no ser robusto, como se ilustra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 9.8 Buenos márgenes de ganancia y fase, pero pobres márgenes de
estabilidad
Consideremos un sistema con la función de transferencia de bucle
0,38(s2 + 0,1s + 0,55)
L(s) =
.
s(s + 1)(s2 + 0,06s + 0,5)
281
9.3. MÁRGENES DE
ESTABILIDAD
101
Im L(i)
1.5
|L(i)|
Sa
lid
ay
10-1
-90
Re L( )
∠L
(i)
-180
10−1
100
Frecuencia rad/s]
(a)
1
0.5
0
(b)
0
50
100
Tiempo t
[s]
150
(c)
Figura 9.11: Sistema con buenos márgenes de ganancia y fase, pero con un margen de estabilidad pobre.
Nyquist
(a) y gráficos de Bode (b) de la función de transferencia del bucle y de la respuesta al
escalón (c) para un sistema con buenos márgenes de ganancia y fase pero con un margen
de estabilidad pobre. El gráfico de Nyquist muestra en la parte de la curva correspondiente
a > 0.
Un cálculo numérico da el margen de ganancia como gm = 266, y el margen de
fase es de 70◦ . Estos valores indican que el sistema es robusto, pero la curva de
Nyquist sigue estando cerca del punto crítico, como se muestra en la figura 9.11.
El margen de estabilidad es
sm = 0,27, que es muy bajo. El sistema de bucle cerrado tiene dos modos
resonantes, uno con relación de amortiguación = 0,81 y el otro con = 0,014. La
respuesta al escalón del sistema es muy oscilante, como se muestra en la figura
9.11c.
El margen de estabilidad no se puede encontrar fácilmente a partir del gráfico
de Bode de la función de transferencia del bucle. Sin embargo, hay otros gráficos
de Bode que darán sm ; estos serán discutidos en el Capítulo 12. En general, es
mejor utilizar el gráfico de Nyquist para comprobar la estabilidad, ya que
proporciona una información más completa que el gráfico de Bode.
Cuando se diseñan sistemas de retroalimentación, suele ser útil definir la
robustez del sistema utilizando márgenes de ganancia, fase y estabilidad. Estas
cifras nos indican cuánto puede variar el sistema respecto a nuestro modelo
nominal y seguir siendo estable. Los valores reactivos de los márgenes son:
margen de fasem = 30◦ -60◦ , margen de ganancia gm =
2-5 y margen de estabilidad sm = 0,5-0,8.
También hay otras medidas de estabilidad, como el margen de retardo, que es el
El menor retardo necesario para que el sistema sea inestable. Para las funciones
de transferencia de bucle que decaen rápidamente, el margen de retardo está
estrechamente relacionado con el margen de fase, pero para los sistemas en los
que la curva de ganancia de la función de transferencia de bucle tiene varios
picos a altas frecuencias, el margen de retardo es una medida más relevante.
Ejemplo 9.9 Sistema de nanoposicionamiento para un microscopio de fuerza
atómica Considere el sistema de posicionamiento horizontal de la muestra en un
microscopio de fuerza atómica. El sistema tiene una dinámica oscilante, y un
modelo simple es un sistema de muelle-masa con bajo amortiguamiento. La
función de transferencia normalizada viene dada por
P(s) =
20
2,
(9.7)
282
s2 +
CAPÍTULO 9. ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
0 s + 0
283
9.3. MÁRGENES DE
ESTABILIDAD
Im L(i)
100
|L(i)|
Re L(i)
-1
10-2
-90
∠L
-180
(i)
-270
10−2
100
Frecuencia normalizada 0
102
Figura 9.12: Diagramas de Nyquist y Bode de la función de transferencia del lazo para el
sistema AFM (9.7) con un controlador integral. La frecuencia en el gráfico de Bode está
normalizada por a. Los parámetros son = 0,01 y ki = 0,008.
donde la relación de amortiguación suele ser un número muy pequeño, por ejemplo, =
0,1.
Comenzaremos con un controlador que sólo tiene acción integral. El bucle resultante
la función de
ki 2
0
transferencia es
L(s) =
,
s(s2 + 0 s + 2) 0
donde ki es la ganancia del controlador. En la figura 9.12 se muestran los gráficos
de Nyquist y Bode de la función de transferencia del bucle. Observe que la parte
de la curva de Nyquist que
- está cerca del punto crítico 1 es aproximadamente
circular.
A partir del diagrama de Bode de la Figura 9.12b, vemos que la frecuencia de
cruce de fase espc = a, que será independiente de la ganancia ki . Evaluando la
función de transferencia del bucle a esta frecuencia,
tenemos L(0 ) = ki /(0 ),
lo que significa que el margen
de estabilidad es sm = 1 ki /(0 ). Para tener un
margen de estabilidad deseado de sm la ganancia integral debe elegirse como
ki = 0 (1 - sm ).
La figura 9.12 muestra los gráficos de Nyquist y Bode para el sistema con margen de
ganancia gm =
2,5 y margen de estabilidad sm = 0,6. La curva de ganancia en el diagrama de
Bode es casi una línea recta para las frecuencias bajas y tiene un pico de
resonancia a =0 . La frecuencia de cruce de la ganancia es aproximadamente
igual a ki . -La fase disminuye
monótonamente
de 90◦ a 270◦ : es igual a 180◦ a =0
. La curva puede desplazarse verticalmente cambiando ki : el aumento de ki
desplaza la curva de ganancia hacia arriba y aumenta
la frecuencia de cruce de la ganancia. Como la fase es -180◦ en el pico de
resonancia, es necesario que el pico no toque la línea |L(i)| = 1.
9.4 Relaciones de Bode y sistemas de fase mínima
Un análisis de los gráficos de Bode revela que parece haber una relación entre la
curva de ganancia y la curva de fase. Consideremos, por ejemplo, los gráficos de
Bode para el diferenciador y el integrador (mostrados en la Figura 8.12). En el
caso del diferenciador, la
9.4.284
RELACIONES DE BODE Y SISTEMAS DE FASE CAPÍTULO
MÍNIMA 9. ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE
283LA
FRECUENCIA
la pendiente es +1 y la fase es una constante  radianes. Para el integrador la
pendiente
es 1 y la-fase . Para el sistema de primer orden G(s) = s + a, la
curva de amplitud tiene la pendiente 0 para frecuencias pequeñas y la pendiente
+1 para frecuencias altas,
y la fase es 0 para las frecuencias bajas y  para las altas.
Bode investigó las relaciones entre las curvas para sistemas sin polos
y ceros en el semiplano derecho. Descubrió que la fase venía dada únicamente
por la forma de la curva de ganancia, y viceversa:
−
d log|G(i)|
d log|G(i)| 1
d 
arg G( 0) =
, (9.8)
( )
≈2
1
d
d
2 0
=0


donde f es el núcleo de ponderación


2
+
f () = 1 1 1 10log
−0
2
.
La curva de fase es, pues, una media ponderada de la derivada de la curva de
ganancia. Si la curva de ganancia tiene una pendiente constante n, la curva de
fase tiene un valor constante .
Las relaciones de Bode (9.8) se mantienen para sistemas que no tienen polos ni ceros en
la
en el semiplano derecho. Estos sistemas se denominan sistemas de fase mínima
porque los sistemas con polos y ceros en el semiplano derecho tienen un mayor
desfase. La distinción es importante en la práctica porque los sistemas de fase
mínima son más fáciles de controlar que los sistemas con un retraso de fase
mayor. A continuación, daremos algunos ejemplos de funciones de transferencia
de fase no mínima.
La función de transferencia de un retardo de unidades es G(s) = e−s . Esta
función de transferencia
| tiene| ganancia unitaria G(i) = 1, y la fase
- es arg G(i) =
. El sistema correlativo de fase mínima con ganancia unitaria tiene la función de
transferencia G(s) = 1. Por lo tanto, el retardo de tiempo tiene un retardo de fase
adicional de . Obsérvese que el desfase
aumenta linealmente con la frecuencia. La figura 9.13a muestra el diagrama de
Bode de la función de transferencia. (Como utilizamos una escala logarítmica
para la frecuencia, la fase cae exponencialmente en el gráfico).
Consideremos un sistema con la función de transferencia
- G(s) = (a s )/(a +
s) con a > 0, que tiene un cero s = a en el semiplano derecho. La función de
|
|
transferencia
tiene ganancia unitaria G(i) -= 1, y la fase es arg G(i) = 2
arctan(/a). El correspondiente sistema de fase mínima con ganancia unitaria
tiene la función de transferencia G(s) = 1. La f i g u r a 9.13b muestra el
diagrama de Bode de la función -de transferencia. Un análisis similar de la
- a > 0, que tiene un polo en el
función de transferencia G(s) = (s + a)/(s a) con
semiplano derecho, muestra que su fase es arg G(i) = 2 arctan(a/). El gráfico de
Bode se muestra en la Figura 9.13c.
La presencia de polos y ceros en el semiplano derecho impone severas
limitaciones al rendimiento alcanzable. Este tipo de dinámica debe evitarse
rediseñando el sistema siempre que sea posible. Mientras que los polos son
propiedades intrínsecas del sistema y no dependen de los sensores y actuadores,
los ceros dependen de cómo se acoplen las entradas y salidas de un sistema a los
estados. Por lo tanto, los ceros pueden cambiarse moviendo los sensores y
actuadores o introduciendo nuevos sensores y actuadores. Los sistemas de fase
no mínima son, por desgracia, bastante comunes en la práctica.
284
CAPÍTULO 9. ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
101
101
101
|G(i)
100
|
|G(i) 0
10
|
|G(i) 0
10
|
10-1
0
∠
-180
G(i
) -360
10−1
100
101
Frecuencia normalizada T
(a) Tiempo de demora
10-1
0
10-1
0
∠
-180
G(i
) -360
10−1
100
101
Frecuencia normalizada /a
(b) RHP cero
∠
-180
G(i
) -360
10−1
100
101
Frecuencia normalizada /a
(c) Poste RHP
Figura 9.13: Diagramas de Bode de sistemas que no son de fase mínima. (a) Retardo de tiempo G(s) = e-sT
,
(b) sistema con un medio plano derecho (RHP) cero G(s)- = (a s)/(a + s) y (c) sistema
con un polo medio plano derecho. El sistema de fase mínima correspondiente tiene la
función de transferencia G(s) = 1 en todos los casos, las curvas de fase para ese sistema se
muestran como líneas discontinuas.
El siguiente ejemplo ofrece una interpretación teórica del sistema de la
experiencia común de que es más difícil conducir en marcha atrás e ilustra
algunas de las propiedades de las funciones de transferencia en términos de sus
polos y ceros.
Ejemplo 9.10 Dirección del vehículo
La función de transferencia no normalizada del ángulo de dirección a la
velocidad lateral para el modelo de vehículo simple
es
av0 s + v02
G(s) =
,
bs
donde v0 es la velocidad del vehículo y a, b > 0 (véase el ejemplo 5.12). La
función de transferencia tiene un cero en s = v0 /a. En conducción normal este
cero está en el semiplano izquierdo, pero está en el semiplano derecho cuando se
conduce en reversa, v0 < 0. La respuesta de paso unitario es
2
av0 v t
0
y(t) =
b + b.
Así, la velocidad lateral responde inmediatamente a una orden de dirección. En el
caso de la dirección inversa v0 es negativo y la respuesta inicial es en la dirección
equivocada, un comportamiento que es representativo de los sistemas de fase no
mínima (llamado respuesta inversa). La figura 9.14 muestra la respuesta escalonada
para la conducción hacia adelante y hacia atrás. En esta simulación hemos añadido
un polo extra con la constante de tiempo T a aproximadamente
para tener en cuenta la dinámica del sistema de dirección. Los parámetros son a
= b = 1, T = 0,1, v0 = 1 para la conducción
- hacia adelante y v0 = 1 para la
conducción hacia atrás. Obsérvese que para t > t0 = a/v0 , donde t0 es el tiempo
necesario para recorrer la distancia a, la respuesta escalonada para la conducción
hacia atrás es la de la conducción hacia delante con el retardo t0 . La posición del
cero v0 /a depende de la ubicación del sensor. En nuestro cálculo hemos
supuesto que el sensor está en el centro de masa. El cero en la transferencia
desaparece si el sensor está situado en la rueda trasera. La dificultad con
285
9.5. NOCIONES GENERALIZADAS DE GANANCIA Y
FASE
101
5
Ve
loc
ida
d
lat
era
ly
[m
/s]
Reverso hacia
adelante
4
|G(i)
100
|
3
10-1
0
2
1
0
-1
0
1
2
3
4
∠
-90
G(i
)
-180
10-1
Tiempo t [s]
(a) Respuesta al
paso
100
Frecuencia rad/s]
101
(b) Respuesta en frecuencia
Figura 9.14: Dirección del vehículo para conducir en reversa. (a) Respuestas escalonadas
desde el ángulo de dirección hasta la traslación lateral para un modelo de cinemática simple
cuando se conduce hacia adelante (punteado) y hacia atrás (sólido). Con la dirección de la
rueda trasera, el centro de masa se mueve primero en la dirección equivocada y la
respuesta global con la dirección de la rueda trasera se retrasa significativamente en
comparación con la de la dirección de la rueda delantera. (b) Respuesta en frecuencia para
la conducción hacia delante (discontinua) y hacia atrás (sólida). Obsérvese que las curvas
de ganancia son idénticas, pero la curva de fase para la conducción en reversa tiene una
fase no mínima.
Así, los ceros en el semiplano derecho pueden visualizarse mediante un
experimento mental en el que conducimos un coche hacia delante y hacia atrás y
observamos la posición lateral a través de un agujero en el suelo del coche.
9.5 Nociones generalizadas de ganancia y fase
Una idea clave en el análisis en el dominio de la frecuencia es trazar el
comportamiento de las señales sinusoidales a través de un sistema. Los
conceptos de ganancia y fase representados por la función de transferencia son
muy intuitivos porque describen las relaciones de amplitud y fase entre la entrada
y la salida. En esta sección veremos cómo extender los conceptos de ganancia y
fase a sistemas más generales, incluyendo algunos sistemas no lineales. También
mostraremos que existen análogos del criterio de estabilidad de Nyquist si las
señales son aproximadamente sinusoidales.
Ganancia del sistema
Comenzamos considerando el caso de un sistema lineal estático y = Au, donde A
es una matriz cuyos elementos son números complejos. La matriz no tiene que
ser cuadrada. Sean las entradas y salidas vectores cuyos elementos son números
complejos
y utilizar la norma euclidiana
J
\u\ = i |2.
(9.9)
La norma de la salida es
\y\2 = u∗ A∗ Au,
�
286
CAPÍTULO 9. ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
donde denota
la transposición compleja conjugada. La matriz A∗ A es simétrica y
∗
semidefinida positiva, y el lado derecho es una forma cuadrática. La raíz
cuadrada de los valores propios de la matriz A∗ A son todos reales, y tenemos
\y\2 ≤max (A∗ A)\u\2.
La ganancia del sistema puede definirse entonces como la relación máxima entre
la salida y la entrada sobre todas las entradas posibles:
= max \y\ = max (A∗A).
(9.10)
u \u\
La raíz cuadrada de los valores propios de la matriz A∗ A se denominan valores
singulares
de la matriz A, y el mayor valor singular se denota (A).
Para generalizar esto al caso de un sistema dinámico de entrada/salida, necesitamos
pensar en las entradas y salidas no como vectores de números reales sino como
vectores de señales. Para simplificar, consideremos primero el caso de las
señales escalares y dejemos que el espacio de señales L2 sean funciones
cuadradas-integrables con la norma
)−
\2 =
() d.
2
0 |u|
Esta definición puede generalizarse a las señales vectoriales sustituyendo el valor
absoluto por la norma vectorial (9.9). Ahora podemos definir formalmente la
ganancia de un sistema que toma entradas u ∈ L2 y produce salidas y ∈ L2 como
= sup \y \ ,
u∈L2 \ N - u ∈ L 2
(9.11)
donde sup es el sumo, definido como el menor número que es mayor que su
argumento. La razón de utilizar el supremum es que el máximo puede no estar
definido para∈u L2 . Esta definición de la ganancia del sistema es bastante general
y puede utilizarse incluso para algunas clases de sistemas no lineales, aunque hay
que tener cuidado con el tratamiento de las condiciones iniciales y las no
linealidades globales.
La norma (9.11) tiene algunas buenas propiedades en el caso de los sistemas
lineales. En particular, dado un sistema lineal estable de una sola entrada y una
sola salida con función de transferencia G(s), puede demostrarse que la norma
del sistema viene dada por
= sup|G(i)| =: \G\ .
(9.12)
En otras palabras, la ganancia del sistema corresponde al valor máximo de la
respuesta en frecuencia. Esto corresponde a nuestra intuición de que una entrada
produce la mayor salida cuando estamos en las frecuencias resonantes
\ \ del
sistema. G se denomina norma del infinito de la función de transferencia G(s).
Esta noción de ganancia puede generalizarse al caso de múltiples entradas y salidas como
Bueno. Para un sistema lineal multivariable con una matriz de función de transferencia
racional real
G(s) podemos definir la ganancia como
= \G\ = sup (G(i)).
(9.13)
287
9.5. NOCIONES GENERALIZADAS DE GANANCIA Y
FASE
H1
H2
Figura 9.15: Una conexión de retroalimentación de dos sistemas generales no lineales H1
y H2 . La esta- bilidad del sistema puede ser explorada usando el teorema de la pequeña
ganancia.
Así, podemos combinar la idea de la ganancia de una matriz con la idea de la
ganancia de un sistema lineal observando el máximo valor singular sobre todas
las frecuencias.
Pequeña ganancia y pasividad
Para los sistemas lineales se deduce del teorema de Nyquist que el bucle cerrado
es estable si la ganancia de la función de transferencia del bucle es menor que 1
para todas las frecuencias. Este resultado puede extenderse a una clase mayor de
sistemas utilizando el concepto de ganancia del sistema definido en la ecuación
(9.11).
Teorema 9.4 (Teorema de la pequeña ganancia). Consideremos el sistema de
bucle cerrado mostrado en la figura 9.15, donde H1 y H2 son sistemas estables y
los espacios de señal están correctamente definidos. Sean las ganancias de los
sistemas H1 y H 21 y2 . Entonces el sistema de lazo cerrado es estable de
entrada/salida si1 2< 1, y la ganancia del sistema de lazo cerrado es
1
=
1 − 12
.
Obsérvese que si los sistemas H1 y H2 son lineales, se deduce del teorema de
estabilidad de Nyquist que el bucle cerrado es estable porque si1 2< 1, la curva
de Nyquist está siempre dentro del círculo unitario. El teorema de la pequeña
ganancia es por tanto una extensión del teorema de estabilidad de Nyquist.
Aunque nos hemos centrado en los sistemas lineales, el teorema de la
pequeña ganancia también es válido para los sistemas de entrada/salida no
lineales. La definición de la ganancia en la ecuación (9.11) también es válida
para los sistemas no lineales, con cierto cuidado en el manejo de la condición
inicial.
La principal limitación del teorema de la pequeña ganancia es que no
considera el desfase de las señales alrededor del bucle, por lo que puede ser muy
conservador. Para definir la noción de fase requerimos que exista un producto
escalar. Para funciones cuadradas-integrables se puede definir como
-
(u, y) =
0
u(y) ( )
.
La fase entre dos señales puede definirse ahora como
(u, y) = \u\y\ncos().
Los sistemas en los que la fase entre las entradas y las salidas es de 90 ◦ o menos
para todas las entradas se denominan sistemas pasivos. Del teorema de
estabilidad de Nyquist se deduce que un sistema lineal de bucle cerrado es
estable si la fase de la función de transferencia del bucle es
288
CAPÍTULO 9. ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
So
y
B
A
L(s)
Re
-1/N(a)
-N(-)
G(i)
(a) Diagrama de bloques
(b) Diagrama de Nyquist
Figura 9.16: Análisis de la función descriptiva. En (a) se muestra una conexión de
retroalimentación entre una no linealidad estática y un sistema lineal. El sistema lineal se
caracteriza por su función de transferencia L(s), que depende de la frecuencia, y la no
linealidad por su función descriptiva
N(a), que depende de la amplitud a de su entrada. El gráfico de Nyquist de L(i) y el gráfico
del 1/N(a)
se muestran en (b). La intersección de las curvas representa un posible ciclo
límite.
entre y . -Este resultado puede extenderse también a los sistemas no lineales. Se
denomina teorema de la pasividad y está estrechamente relacionado con el
teorema de la pequeña ganancia. Véase Khalil [Kha01] para una descripción más
detallada.
En el capítulo 12 se presentan otras aplicaciones del teorema de la pequeña
ganancia y su aplicación a la estabilidad robusta.
�
Descripción de las funciones
Para sistemas no lineales especiales como el que se muestra en la Figura 9.16a,
que consiste en una conexión de retroalimentación entre un sistema lineal y una
no linealidad estática, es posible obtener una generalización del criterio de
estabilidad de Nyquist basada en la idea de funciones descriptivas. Siguiendo el
enfoque de la condición de estabilidad de Nyquist, investigaremos las
condiciones para mantener una oscilación en el sistema. Si el subsistema lineal
tiene carácter de paso bajo, su salida es aproximadamente sinusoidal aunque su
entrada sea muy irregular. La condición de oscilación se puede encontrar
entonces explorando la propagación de una sinusoide que corresponde al primer
armónico.
Para llevar a cabo este análisis, tenemos que analizar cómo una señal
sinusoidal se propaga a través de un sistema no lineal estático. En particular,
investigamos cómo se relaciona el primer armónico de la salida de la no
linealidad con su entrada (sinusoidal). Dejando que F represente la función no
lineal, expandimos F(eit ) en términos de su armónico.
icos:
F(aeit ) = Mn(a)ei(+(a)),
n=0
donde Mn (a) yn (a) representan la ganancia y la fase del enésimo armónico, que
dependen de la amplitud de entrada ya que la función F es no lineal. Definimos
la función descriptiva como la ganancia compleja del primer armónico:
N(a) = M1 (a)ei 1(a).
(9.14)
289
9.5. NOCIONES GENERALIZADAS DE GANANCIA Y
FASE
y
6
b
E
n
4
Fue
ra
So
y
1er har.
2
c
u
Re
0
-2
-4
0
(a)
5
10
15
(b)
20
(c)
Figura 9.17: Análisis de la función descriptiva de un relé con histéresis. La relación
entrada/salida de la histéresis se muestra en (a) y la entrada con amplitud a = 2, la salida y
su primer armónico se muestran en (b). Los gráficos de Nyquist de la función de
transferencia L(s) = (s + 1)-4 y el negativo de la función descriptiva inversa para el relé
con b = 3 y c = 1 se muestran en (c).
La función también puede calcularse suponiendo que la entrada es una sinusoide
y utilizando el primer término de la serie de Fourier de la salida resultante.
Argumentando como lo hicimos al derivar el criterio de estabilidad de
Nyquist, encontramos que una oscilación puede mantenerse si
L(i)N(a) = -1.
(9.15)
Esta ecuación significa que si inyectamos una sinusoide en A en la figura 9.16, la
misma señal aparecerá en B y se puede mantener una oscilación conectando los
puntos. La ecuación (9.15) da dos condiciones para encontrar la frecuencia de la
oscilación y su amplitud a: la fase debe ser 180◦ , y la magnitud debe ser la
unidad. Una forma conveniente de resolver la ecuación es trazar L(i) -y 1/N(a) en
el mismo diagrama, como se muestra en la figura 9.16b. El diagrama es similar
al de Nyquist
donde el punto crítico 1 se sustituye
por la curva 1/N(a) y -a va de 0 a .
Es posible definir funciones descriptivas para otros tipos de entradas que no
sean si- nusoides. El análisis de la función descriptiva es un método sencillo,
pero es aproximado porque asume que los armónicos superiores pueden ser
despreciados. Se pueden encontrar excelentes tratamientos de las técnicas de
funciones descriptivas en los textos de Atherton [Ath75] y Graham y McRuer
[GM61].
Ejemplo 9.11 Relé con histéresis
Considere un sistema lineal con una no linealidad que consiste en un relé con
histéresis. La salida tiene una amplitud b y el relé conmuta cuando la entrada
± es
c, como se muestra en la figura 9.17a. Suponiendo que la entrada es u = a sin(t),
≤
encontramos que
la salida es cero si a c , y si a > c, la salida es una onda cuadrada con amplitud b que cambia en tiempos t = arcsin(c/a) + n. El primer armónico es
entonces y(t) = (4b/) -sin(t ) , donde  = c/a. Para a > c la función descriptiva
y su inversa son
)
 - c2
c2
c
1
4b
c
1 − −i ,
+i ,
N(a) =
=
2
4b
4b

a
a
N(a)
290
CAPÍTULO 9. ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
donde la inversa se obtiene tras sencillos cálculos. La figura 9.17b muestra la
respuesta del relé a una entrada sinusoidal con el primer armónico de la salida
mostrado como línea discontinua. El análisis de la función descriptiva se ilustra
en la figura 9.17c, que muestra el gráfico de Nyquist de la función de
transferencia L(s) = 2/(s + 1)4 (línea discontinua
línea) y la función descriptiva inversa negativa de un relé con b = 1 y c = 0,5.
Las curvas se cruzan para a = 1 y = 0,77 rad/s, indicando la amplitud y
frecuencia para una posible oscilación si el proceso y el relé están conectados en
un bucle de retroalimentación.
9.6 Más información en
El artículo original de Nyquist, en el que se da su ahora famoso criterio de
estabilidad, se publicó en el Bell Systems Technical Journal en 1932 [Nyq32]. Se
pueden encontrar versiones más accesibles en el libro [BK64], que también
incluye otros interesantes artículos sobre control. El artículo de Nyquist también
se ha reimpreso en una colección del IEEE de artículos fundamentales sobre
control
[Bas01]. Nyquist utilizó +1 como punto crítico, pero Bode lo cambió por
1, que es ahora la notación estándar. Perspectivas interesantes sobre los primeros
desarrollos
Los cálculos de Nyquist se basan en su conocimiento de la propagación de
señales sinusoidales a través de sistemas. Nyquist hizo un cálculo directo basado
en su conocimiento de la propagación de señales sinusoidales a través de
sistemas; no utilizó resultados de la teoría de funciones complejas. La idea de
que se puede dar una prueba corta utilizando el principio de variación del
argumento se presenta en el delicioso libro de MacColl [Mac45]. Bode hizo un
amplio uso de la teoría de las funciones complejas en su libro [Bod45], que sentó
las bases del análisis de la respuesta en frecuencia, donde la noción de fase
mínima se trató en detalle. Una buena fuente para la teoría de las funciones
complejas es el clásico de Ahlfors [Ahl66]. El análisis de la respuesta en
frecuencia fue un elemento clave en la aparición de la teoría de control, tal como
se describe en los primeros textos de James et al. [JNP47], Brown y Campbell
[BC48] y Oldenburger [Old56], y se convirtió en una de las piedras angulares de
la primera teoría de control. Los métodos de respuesta en frecuencia
experimentaron un resurgimiento cuando surgió el control robusto en la década de
1980, como se discutirá en el capítulo 12.
Ejercicios
9.1 (Amplificador operacional) Considere un circuito de amplificador
operacional con Z1 = Z2 que da un sistema de bucle cerrado con ganancia
nominalmente unitaria. Sea la función de transferencia del amplificador
operacional
ka1a2
G(s) =
,
(s + a)(s + a1 )(s + a2 )
donde a1 , a2≫a. Demuestre que la condición para la oscilación es k < a1 + a2 y
calcule el margen de ganancia del sistema. Sugerencia: Suponga que a = 0.
9.2 (Microscopio de fuerza atómica) La dinámica del modo de golpeo de un
microscopio de fuerza atómica está dominada por la amortiguación de las
vibraciones del voladizo y el sistema que promedia las vibraciones.
Modelización del cantiléver como un muelle-masa
291
EJERCICIOS
con bajo amortiguamiento, encontramos que la amplitud de las vibraciones decae
como- exp( ), donde es la relación de amortiguamiento y es la frecuencia natural
no amortiguada del voladizo. La dinámica del voladizo puede ser modelada por
la transferencia
función
a
G(s) =
,
s+a
donde a =0 . El proceso de promediación -puede
ser modelado por la relación de entrada/salida
1 t
yt
u v dv
() ,
()
= t−
donde el tiempo de promediación es un múltiplo n del período de la oscilación
. La dinámica del escáner piezoeléctrico puede despreciarse en la primera
aproximación porque suele ser mucho más rápida que a. Un modelo sencillo para
el sistema completo es
por lo que viene dada por la función de transferencia
a(1 - e−s )
.
s(s + a)
Trace la curva de Nyquist del sistema y determine la ganancia de un controlador
proporcional que lleve al sistema al límite de la estabilidad.
P(s) =
9.3 (Conducción de calor) Un modelo sencillo para la conducción de calor en un
sólido viene dado por la función de transferenciaP
s ke-√s
()=
.
Dibuje el diagrama de Nyquist del sistema. Determine la frecuencia en la que la
fase del proceso- es de 180◦ y la ganancia a esa frecuencia. Demuestre que la
ganancia requerida para llevar el sistema al límite de estabilidad es k = e .
9.4 (Avión de empuje vectorial) Considere el controlador de espacio de estado �
diseñado para el avión de empuje vectorial en los Ejemplos 6.8 y 7.5. El
controlador consta de dos componentes: un estimador óptimo para calcular el
estado del sistema a partir de la salida y un compensador de retroalimentación de
estado que calcula la entrada dado el estado (estimado). Calcule la función de
transferencia del lazo del sistema y determine los márgenes de ganancia, fase y
estabilidad de la dinámica del lazo cerrado.
9.5 (Dirección del vehículo) Considere el modelo linealizado para la dirección
del vehículo con un controlador basado en retroalimentación de estado discutido
en el Ejemplo 7.4. Las funciones de transferencia para el proceso y el controlador
están dadas por
s+1
s(k1 l1 + k2 l2 ) + k1 l2
, C(s) =
,
s2
s2 + s(k1 + k2 + l1 ) + k1 + l2 + k2 l1 − 2 l2
como se calculó en el ejemplo 8.6. Sea el parámetro del proceso = 0.5 y
suponga que las ganancias de retroalimentación de estado son k1 = 1 y k2 =
0.914 y que las ganancias del observador son l1 = 2.828 y l2 = 4. Calcule los
márgenes de estabilidad numéricamente.
P(s) =
9.6 (Márgenes de estabilidad para sistemas de segundo orden) Un proceso cuya
dinámica es descrita por un integrador doble es controlado por un controlador PD
ideal con la
292
CAPÍTULO 9. ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
función de transferencia C(s) = kd s + kp , donde las ganancias son kd = 0 y kp0 = 2.
Calcula y traza los márgenes de ganancia, fase y estabilidad en función .
9.7 (Control de la congestión en condiciones de sobrecarga) Un modelo de flujo
muy simplificado de un bucle TCP en condiciones de sobrecarga viene dado por
la función de transferencia del bucle
L(s) = ke−s ,
s
donde la dinámica de las colas se modela mediante un integrador, el control de la
ventana TCP es un retardo de tiempo y el controlador es simplemente un
controlador proporcional. Una dificultad importante es que el retardo de tiempo
puede cambiar significativamente durante el funcionamiento del sistema.
Demostrar que si podemos medir el retardo de tiempo, es posible elegir una
ganancia que da un margen de estabilidad de sm ≥ 0,6 para todos los retrasos de
tiempo .
9.8 (Fórmula de Bode) Considere la fórmula de Bode (9.8) para la relación entre
ganancia y fase para una función de transferencia que tiene todas sus
singularidades en el semiplano izquierdo. Trace la función de ponderación y
haga una evaluación de las frecuencias en las que es válida la aproximación arg
G ≈ ()d log|G|/d .
9.9 (Aproximación de Pade a un retardo de tiempo) Considere las funciones de
transferencia
1 - 
G1 (s) = e−s ,
G2 (s) = e−s ≈
.
(9.16)
1 + 
Demuestre que las propiedades de fase mínima de las funciones de transferencia
son similares para frecuencias < 1/. Un retardo de tiempo largo es, por tanto,
equivalente a un pequeño cero de medio plano derecho. La aproximación (9.16)
se denomina aproximación de Pade' de primer orden.
9.10 (Respuesta inversa) Considere un sistema cuya respuesta de entrada/salida
está modelada
- por G(s) = 6( s + 1)/(s2 + 5s + 6), que tiene un cero en el
semiplano derecho. Calcule la respuesta escalonada del sistema y demuestre que
la salida va en la dirección equivocada inicialmente, lo que también se conoce
como respuesta inversa. Compare la respuesta con un sistema de fase mínima
sustituyendo el cero en s = 1 por un cero en
s = -1.
9.11 (Análisis de la función descriptiva) . Considere el sistema con el diagrama
de bloques que se muestra a la izquierda a continuación.
y
r
e
R(-)
u
P(s)
y
b
c
u
-1
El bloque R es un relé con histéresis cuya respuesta de entrada/salida se muestra
a la derecha y la función de transferencia del proceso es P(s) = e−s /s. Utilice el
análisis de la función descriptiva para determinar la frecuencia y la amplitud de
los posibles ciclos límite. Simule el sistema y compárelo con los resultados del
análisis de la función descriptiva.
Capítulo 10
Control PID
Según una encuesta realizada a más de once mil controladores de las industrias de
refinado, química y de pasta y papel, el 97% de los controladores de regulación utilizan
retroalimentación PID.
L. Desborough y R. Miller, 2002 [DM02].
Este capítulo trata las propiedades básicas del control proporcional-integralderivativo (PID) y los métodos para elegir los parámetros de los controladores.
También se analizan los efectos de la saturación del actuador y el retardo de
tiempo, dos características importantes de muchos sistemas de retroalimentación,
y se describen los métodos para compensar estos efectos. Por último,
discutiremos la implementación de los controladores PID como un ejemplo de
cómo implementar sistemas de control de retroalimentación utilizando la
computación analógica o digital.
10.1 Control básico Funciones
El control PID, que se introdujo en la sección 1.5 y se ha utilizado en varios
ejemplos, es con mucho la forma más común de utilizar la retroalimentación en
los sistemas de ingeniería. Aparece en dispositivos sencillos y en grandes
fábricas con miles de controladores. Los controladores PID aparecen de muchas
formas diferentes: como controladores autónomos, como parte de sistemas de
control jerárquicos y distribuidos, e incorporados en componentes integrados. La
mayoría de los controladores PID no utilizan la acción derivativa, por lo que en
sentido estricto deberían llamarse controladores PI; no obstante, utilizaremos
PID como término genérico para esta clase de controladores. También hay una
creciente evidencia de que el control PID aparece en los sistemas biológicos
[YHSD00].
En la figura 10.1 se muestran diagramas de bloques de sistemas de lazo
cerrado con controladores PID. La señal de control u para el sistema de la figura
10.1a se forma enteramente a partir del error e; no hay ningún término de
feedforward (que correspondería a kr r en el caso de retroalimentación de
estado). En la figura 10.1b se muestra una alternativa común en la que la acción
proporcional y derivada no actúa sobre la referencia; las combinaciones de los
esquemas se discutirán en la sección 10.5. La señal de comando r se denomina
señal de referencia en los problemas de regulación, o el punto de ajuste en la
literatura de control PID. La relación entrada/salida para un controlador PID
ideal con retroalimentación de error es
+ i - t ( ) + dde = p + 1 - t ( ) + dde .
dt
dt
Ti
k e
e
k
ke
(10.1)
= esp
T
e
0
0
La acción de control es, pues, la suma de tres términos: la retroalimentación
proporcional, el término in- tegral y la acción derivativa. Por esta razón, los
controladores PID se denominaron originalmente controladores de tres términos.
Los parámetros del controlador son la ganancia proporcional
294
CAPÍTULO 10. CONTROL PID
r
ki/s
r
e
kp
u
P(s)
ki/s
y
kp
kds
Controlad
or
u
P(s)
y
kds
-1
(a) PID con retroalimentación de error
-1
Controlad
or
(b) PID con dos grados de libertad
Figura 10.1: Diagramas de bloques de sistemas de bucle cerrado con controladores PID
ideales. Ambos controladores tienen una salida, la señal de control u. El controlador en (a),
que se basa en la retroalimentación de errores,-tiene una entrada, el error de control e = r
y . Para este controlador proporcional, integral
y la acción derivativa actúa sobre el error e -= r y . El controlador de dos grados de libertad en (b)
tiene dos entradas, la referencia r y la salida del proceso y. La acción integral actúa sobre el error, pero
La acción proporcional y la derivada actúan sobre la salida del proceso y.
kp , la ganancia integral ki y la ganancia derivativa kd . Las constantes de tiempo
Ti y Td , denominadas tiempo (constante) integral y tiempo (constante)
derivativa, se utilizan a veces en lugar de las ganancias integral y derivativa.
El controlador (10.1) representa un controlador idealizado. Es una abstracción
útil para entender el controlador PID, pero hay que hacer varias modificaciones
para obtener un controlador que sea útil en la práctica. Antes de discutir estas
cuestiones prácticas, desarrollaremos algunas intuiciones sobre el control PID.
Comenzamos considerando la retroalimentación proporcional pura. La figura
10.2a muestra las respuestas de la salida del proceso a un paso unitario en el
valor de referencia para un sistema con control proporcional puro en diferentes
ajustes de ganancia. En ausencia de un término de retroalimentación, la salida
nunca alcanza la referencia, y por lo tanto nos quedamos con un error de estado
estacionario no nulo. Si el proceso y el controlador tienen funciones de
transferencia
P(s) y C(s), la función de transferencia de la referencia a la salida es
PC
Gyr =
,
(10.2)
1 + PC
y por lo tanto el error de estado estacionario
para un paso unitario es
1
1 - yrG (0) =
.
1 + kp P(0)
Para el sistema de la figura 10.2a con ganancias kp = 1, 2 y 5, el error en estado
estacionario es de 0,5, 0,33 y 0,17. El error disminuye al aumentar la ganancia,
pero el sistema también
se vuelve más oscilante. Observe en la figura que el valor inicial de la señal de
control es igual a la ganancia del regulador.
Para evitar tener un error de estado estacionario, el término proporcional puede
cambiarse a
u(t) = kp e(t) + uff ,
(10.3)
donde uff es un término de alimentación que se ajusta para dar el estado estacionario
deseado
295
10.1. FUNCIONES BÁSICAS DE
CONTROL
1.5
0
0
4
En 2
tra
da 0
u
-2
0
1.5
kp
Sa
1
lid
a y 0.5
10
1.5
ki
Sa
1
lid
a y 0.5
20
0
Sa
1
lid
a y 0.5
0
10
20
4
kp
10
Tiempo t
20
(a) Control proporcional
-2
0
0
0
10
20
10
20
4
ki
En 2
tra
da 0
u
kd
En 2
tra
da 0
u
10
Tiempo t
20
(b) Control PI
-2
0
kd
Tiempo t
(c) Control PID
Figura 10.2: Respuestas a cambios en el valor de referencia para un sistema con un
controlador proporcional (a), un controlador PI (b) y un controlador PID (c). El proceso
tiene la función de transferencia P(s) = 1/(s + 1)3 , el controlador proporcional tiene
parámetros kp = 1, 2 y 5, el
El controlador PI tiene los parámetros kp = 1, ki = 0, 0,2, 0,5 y 1, y el controlador PID tiene los parámetros
etros kp = 2,5, ki = 1,5 y kd = 0, 1, 2 y 4.
valor. Si elegimos uff = r/P(0) = kr r, la salida será exactamente igual al valor
de referencia, como en el caso del espacio de estado, siempre que no haya
perturbaciones. Sin embargo, esto requiere un conocimiento exacto de la
dinámica del proceso,
que normalmente no está disponible. Por lo tanto, el parámetro uff , llamado reset
en la literatura del PID, debe ajustarse manualmente.
Como vimos en la sección 6.4, la acción integral garantiza que la salida del
proceso concuerda con la referencia en el estado estacionario y proporciona una
alternativa al término de avance. Como este resultado es tan importante,
proporcionaremos una prueba general. Considere el controlador dado por la
ecuación (10.1). Supongamos que existe un estado estacionario con u = u0 y e =
e0 . Entonces se deduce de la ecuación (10.1) que
u0 = kp e0 + ki e0 t,
lo cual es una contradicción a menos que e0 o ki sea cero. Por lo tanto, podemos
concluir que con una acción integral el error será cero si alcanza un estado
estacionario. Nótese que no hemos hecho ninguna suposición sobre la linealidad
del proceso o las perturbaciones. Sin embargo, hemos asumido que existe un
equilibrio. El uso de la acción integral para lograr un error cero en el estado
estacionario es mucho mejor que el uso de la alimentación, que requiere un
conocimiento preciso de los parámetros del proceso.
El efecto de la acción integral también puede entenderse a partir del análisis
en el dominio de la frecuencia. La función de transferencia del controlador PID
es
ki
C(s) = kp + + kd s.
(10.4)
s
El controlador tiene una ganancia infinita a frecuencia cero (C(0) = ), y
entonces se deduce de la ecuación (10.2) que Gyr (0) = 1, lo que implica que no
hay estado estacionario
296
e
CAPÍTULO 10. CONTROL PID
u
kp
1
1 + sTi
(a) Reinicio automático
e
u
kp
-1
1+
d
(b) Acción sT
derivada
Figura 10.3: Implementación de los controladores PI y PD. El diagrama de bloques de (a)
muestra cómo se implementa la acción integral utilizando la retroalimentación positiva
con un sistema de primer orden, a veces llamado reinicio automático. El diagrama de
bloques de (b) muestra cómo se puede implementar la acción derivativa tomando las
diferencias entre un sistema estático y un sistema de primer orden.
error para una entrada de paso.
La acción integral también puede verse como un método para generar
automáticamente el término de alimentación uff en el controlador proporcional
(10.3). Una forma de hacerlo es la que se muestra en la figura 10.3a, en la que la
salida del controlador se filtra en paso bajo y se realimenta con ganancia positiva.
Esta implementación, llamada reajuste automático, fue una de las primeras
invenciones del control integral. La función de transferencia del sistema de la
figura 10.3a se obtiene mediante el álgebra del diagrama de bloques; tenemos
1 + sTi
kp
Gue = kp
= kp +
,
sTi
sTi
que es la función de transferencia de un controlador PI.
Las propiedades de la acción integral se ilustran en la figura 10.2b para una
entrada escalonada. La ganancia proporcional es constante, kp = 1, y las
ganancias integrales son ki = 0, 0.2,
0,5 y 1. El caso ki = 0 corresponde a un control proporcional puro, con un
error de estado del 50%. El error de estado estacionario se elimina cuando la acción de
ganancia integral
se utiliza. La respuesta se arrastra lentamente hacia la referencia para valores
pequeños de ki y va más rápido para ganancias integrales mayores, pero el sistema
también se vuelve más oscilante. La ganancia integral ki es una medida útil para la
atenuación de las perturbaciones de la carga.
Considere un sistema de lazo cerrado bajo control PID y asuma que el sistema es
estable e inicialmente en reposo con todas las señales siendo cero. Aplique una
perturbación de paso unitario en la entrada del proceso. Después de un transitorio
la salida del proceso va a cero y la salida del controlador se establece en un valor
que compensa la perturbación. De (10.1) se
- deduce que
( )
ik e t( dt .
0
=
)
El error integrado es, pues, inversamente proporcional a la ganancia integral ki .
La ganancia integral es, pues, una medida de la eficacia de la atenuación de las
perturbaciones. Una ganancia grande ki atenúa las perturbaciones de forma
eficaz, pero una ganancia demasiado grande da un comportamiento oscilatorio,
poca robustez y posiblemente inestabilidad.
Ahora volvemos al controlador PID general y consideramos el efecto del
término de la derivada kd . Recordemos que la motivación original para la
retroalimentación de la derivada era proporcionar una acción predictiva o
anticipatoria. Obsérvese que la combinación de la
10.1. FUNCIONES BÁSICAS DE
CONTROL
297
proporcional y los términos derivados pueden escribirse como
de
de
u = kp e + kd = kp e + Td
= k epp ,
dt
dt
donde ep (t) puede interpretarse como una predicción del error en el tiempo t +
Td por extrapolación lineal. El tiempo de predicción Td = kd /kp es la constante
de tiempo de derivación del controlador.
La acción derivativa puede implementarse tomando la diferencia entre la
señal y su versión filtrada de paso bajo, como se muestra en la figura 10.3b. La
función de transferencia del sistema es
1
sTd
= kp
.
(10.5)
1+
1+
sTd
El sistema tiene así la función de transferencia
G(s)sT=d sTd /(1 + sTd ), que se
aproxima a una derivada para las bajas |frecuencias ( s < 1/Td ).
La figura 10.2c ilustra el efecto de la| acción derivativa: el sistema es oscilante
cuando no se utiliza ninguna acción derivativa, y se amortigua más a medida que
se aumenta la ganancia derivativa. El rendimiento se deteriora si la ganancia de
la derivada es demasiado alta. Cuando la entrada es un escalón, la salida del
controlador generada por el término de la derivada será un impulso. Esto es
claramente visible en la Figura 10.2c. El impulso puede evitarse utilizando la
configuración del controlador que se muestra en la figura 10.1b.
Aunque el control PID se desarrolló en el contexto de las aplicaciones de
ingeniería, también aparece en la naturaleza. La atenuación de la perturbación por
medio de la retroalimentación en los sistemas biológicos suele denominarse
adaptación. Un ejemplo típico es el reflejo pupilar discutido en el Ejemplo 8.11,
donde se dice que el ojo se adapta a la intensidad cambiante de la luz.
Análogamente, la retroalimentación con acción integral se llama adaptación
perfecta [YHSD00]. En los sistemas biológicos la acción proporcional, integral y
derivada se genera combinando subsistemas con comportamiento dinámico de
forma similar a lo que se hace en los sistemas de ingeniería. Por ejemplo, la
acción PI puede ser generada por la interacción de varias hormonas [ESGK02].
Gue (s) = k p 1 -
Ejemplo 10.1 Acción de la EP en la retina
La respuesta de los fotorreceptores de los conos en la retina es un ejemplo en el
que la acción proporcional y derivada se genera mediante una combinación de
conos y células horizontales. Los conos son los receptores primarios estimulados
por la luz, que a su vez estimulan las células horizontales, y las células
horizontales dan una retroalimentación inhibitoria (negativa) a los conos. En la
Figura 10.4a se muestra un diagrama esquemático del sistema. El sistema puede
modelarse mediante ecuaciones diferenciales ordinarias representando las
señales de las neuronas como variables continuas que representan la frecuencia
media del pulso. En [Wil99] se muestra que el sistema puede ser representado
por las ecuaciones diferenciales
dx 11
dx 12
=
(-x1 - kx2 + u),
= (x1 - x2 ),
dt
Tc
dt
Th
donde u es la intensidad de la luz y x1 y x2 son las frecuencias medias de los
pulsos de los conos y las células horizontales. En la figura 10.4b se muestra un
diagrama de bloques del sistema. La respuesta escalonada del sistema mostrada
en la Figura 10.4c muestra que el
298
CAPÍTULO 10. CONTROL PID
C
u 1
1+
1
sTc
H
-k
1+
sTh
(a)
(b)
x
0.6
Fr
ec
0.4
ue
nci
a 0.2
de
0
pu
0
lso
del
co
no
y
0.2
Tiempo t [s]
0.4
(c)
Figura 10.4: Diagrama esquemático de los fotorreceptores de cono (C) y las células
horizontales (H) en la retina. En el diagrama esquemático de (a), la retroalimentación
excitatoria se indica con flechas y la retroalimentación in- hibitoria con círculos. En (b) se
muestra un diagrama de bloques y en (c) la respuesta escalonada.
El sistema tiene una gran respuesta inicial seguida de una respuesta de estado
estacionario más baja y constante, típica de la acción proporcional y derivada.
Los parámetros utilizados en la simulación son k = 4, Tc = 0,025 y Th = 0,08.
10.2 Controladores sencillos para sistemas complejos
Muchos de los métodos de diseño discutidos en capítulos anteriores tienen la
propiedad de que la complejidad del controlador se refleja directamente en la
complejidad del modelo. Cuando diseñamos controladores por retroalimentación
de salida en el Capítulo 7, encontramos para sistemas de una sola entrada y una
sola salida que el orden del controlador era el mismo que el orden del modelo,
posiblemente un orden más alto si se requería una acción integral. La aplicación
de métodos de diseño similares para el control PID requerirá que tengamos
modelos de bajo orden de los procesos para poder analizar fácilmente los
resultados.
Los modelos de bajo orden pueden obtenerse a partir de los primeros
principios. Cualquier sistema estable puede modelarse mediante un sistema
estático si sus entradas son lo suficientemente lentas. Del mismo modo, un
modelo de primer orden es suficiente si el almacenamiento de masa, momento o
energía puede ser capturado por una sola variable; ejemplos típicos son la
velocidad de un coche en una carretera, la velocidad angular de un sistema
rotativo rígido, el nivel en un tanque y la concentración en un volumen con
buena mezcla. La dinámica del sistema es de segundo orden si el
almacenamiento de masa, energía y momento puede ser capturado por dos
variables de estado; ejemplos típicos son la posición de un coche en la carretera,
la estabilización de satélites rígidos, los niveles en dos tanques conectados y los
modelos de dos compartimentos. También existe una amplia gama de técnicas
para la reducción de modelos. En este capítulo nos centraremos en las técnicas de
diseño en las que simplificamos los modelos para capturar las propiedades
esenciales que se necesitan para el diseño del PID.
Comenzamos analizando el caso del control integral. Un sistema estable
puede ser controlado por un controlador integral siempre que los requisitos del
sistema de lazo cerrado sean modestos. Para diseñar el controlador suponemos
que la función de transferencia del proceso es una constante K = P(0). La
función de transferencia del lazo bajo la integral
control se convierte entonces en Kki /s, y el polinomio característico del bucle cerrado
10.1. FUNCIONES BÁSICAS DE
CONTROL
es sim-
299
ply s + Kki . Especificando el rendimiento por la constante de tiempo deseada Tcl del
cerrado
299
10.2. CONTROLADORES SENCILLOS PARA SISTEMAS
COMPLEJOS
102
Im L(i)
|L(i)|100
10-2
10-4
0
-90
∠L -180
(i) -270
-360
10-2
Re L( )
10-1
100
Frecuencia rad/s]
(a) Gráfico de Nyquist
101
102
(b) Gráfico de Bode
Figura 10.5: Control integral para el AFM en modo de roscado. Se diseña un controlador
integral basado en la pendiente de la función de transferencia del proceso en 0. El
controlador ofrece buenas propiedades de robustez basadas en un análisis muy sencillo.
sistema de bucle, encontramos que la ganancia integral viene dada por
ki = 1/(Tcl P(0)).
El análisis requiere que Tcl sea lo suficientemente grande como para que la
función de transferencia del proceso pueda ser aproximada por una constante.
Para los sistemas que no están bien representados por una ganancia constante,
podemos obtener una mejor aproximación utilizando la expansión en serie de
Taylor de la función de transferencia del bucle:
ki P(s) ki (P(0) + sP′ (0))
ki P(0)
≈
= kiP′(0) +
.
s
s
s
Eligiendo ki P′ (0) =0
- .5 se obtiene un sistema con buena robustez, como se
discutirá en la sección 12.5. La ganancia del controlador viene dada entonces por
1
ki-=
,
(10.6)
2P′(0)
L(s) =
y la constante de tiempo de bucle cerrado esperada es Tcl ≈ -P′ (0)/P(0).
Ejemplo 10.2 Control integral del AFM en modo de golpeo
En el ejercicio 9.2 se discutió un modelo simplificado de la dinámica del
movimiento vertical de un microscopio de fuerza atómica en modo de golpeo. La
función de transferencia para la dinámica del sistema es
a(1 - e−s )
,
s(s + a)
donde a =0 , = 0 y la ganancia se ha normalizado a 1. Tenemos P(0) = 1 y P′
(0) =  1/a, y se deduce
- de-(10.6) que la ganancia integral puede elegirse como
ki = a/(2 + a). Los gráficos de Nyquist y Bode para la función de transferencia
del bucle resultante se muestran en la Figura 10.5.
P(s) =
300
CAPÍTULO 10. CONTROL PID
Un sistema de primer orden tiene la función de transferencia
b
P(s) =
.
s+a
Con un controlador PI el sistema de lazo cerrado tiene el polinomio característico
s(s + a) + bkp s + bki = s2 + (a + bkp )s + bki .
Los polos de lazo cerrado pueden así asignarse a valores arbitrarios mediante la
elección adecuada de las ganancias del controlador. Si se exige que el sistema de
bucle cerrado tenga el polinomio característico
p(s) = s2 + a1 s + a2 ,
encontramos que los parámetros del controlador son
a1 - a
a2
kp =
,
ki =
.
(10.7)
b
b
Si se requiere una respuesta del sistema de bucle cerrado más lenta que la del
sistema de bucle abierto, una elección razonable es a1 = a + y a2 = a. Si se
requiere una respuesta más rápida que la del sistema de bucle abierto, es
razonable elegir a1 = 0 0 y a2 = 2, donde0 y son la frecuencia natural no
amortiguada y la relación de amortiguamiento del modo dominante. Estas
elecciones tienen un impacto significativo en
la robustez del sistema y se discutirá en la sección 12.4. El límite superior de 0
viene dado por la validez del modelo. Los valores grandes de0 requerirán
acciones de control rápidas, y los actuadores pueden saturarse si el valor es
demasiado grande. Un modelo de primer orden es poco probable que represente
la verdadera dinámica para altas frecuencias. Ilustramos el diseño con un
ejemplo.
Ejemplo 10.3 Control de crucero con retroalimentación PI
Consideremos el problema de mantener la velocidad de un coche mientras sube
una colina. En el Ejemplo 5.14 encontramos que había poca diferencia entre los
modelos lineales y no lineales al investigar el control PI, siempre que el acelerador
no alcanzara los límites de saturación. En el Ejemplo 5.11 se dio un modelo
lineal simple de un coche:
d(v - ve)
= -a(v - ve ) + b(u - ue ) - g,
(10.8)
dt
donde v es la velocidad del coche, u es la entrada del motor y es la pendiente de
la colina. Los parámetros fueron a = 0,0101, b = 1,3203, g = 9,8, ve = 20 y ue
= 0,1616. Este modelo se utilizará para encontrar los parámetros adecuados de
un controlador de velocidad del vehículo. La función de transferencia del
acelerador a la velocidad es un sistema de primer orden.
Dado que la dinámica de lazo abierto es tan lenta, es natural especificar un
sistema de lazo cerrado más rápido requiriendo que el sistema de lazo cerrado
sea de segundo orden con relación de amortiguamiento y frecuencia natural no
amortiguada0 . Las ganancias del controlador vienen dadas por (10.7).
La figura 10.6 muestra la velocidad y el acelerador para un coche que se
desplaza inicialmente por una carretera horizontal y se encuentra con una colina
con una pendiente de 4◦ en el tiempo t = 6 s. Para diseñar un controlador PI
elegimos = 1 para obtener una respuesta sin sobreimpulso, ya que
301
10.2. CONTROLADORES SENCILLOS PARA SISTEMAS
COMPLEJOS
0
vve
[m/s-1
]
-2
0
0
vve
[m/s-1
]
10
20
30
40
-2
0.8
0.8
0.6
u0.4
ue
0.2
0.6
u0.4
ue
0.2
0
0
10
20
30
Tiempo t [s]
(a) 0 = 0,5, = 0,5, 1, 2
40
0
0
0
0
10
20
30
40
20
30
Tiempo t [s]
40
0
10
(b) = 1,0 = 0,2, 0,5, 1
Figura 10.6: Control de crucero mediante retroalimentación PI. Las respuestas
escalonadas para el error y la entrada ilustran el efecto de los parámetros = 1 y0 en la
respuesta de un coche con control de crucero. Un cambio en la pendiente de la carretera de
0◦ a 4◦ se aplica entre t = 5 y 6 s. (a) Respuestas para
0 = 0,5 y = 0,5, 1 y 2. Si se elige = 1 no se produce ningún rebasamiento. (b) Respuestas
para = 1 y0 = 0,2, 0,5 y 1,0.
que se muestra en la figura 10.6a. La elección de0 es un compromiso entre la
velocidad de respuesta y las acciones de control: un valor grande da una
respuesta rápida, pero requiere una acción de control rápida. El compromiso se
ilustra en la Figura 10.6b. El mayor error de velocidad disminuye con el aumento
de0 , pero la señal de control también cambia más rápidamente. En el modelo
simple (10.8) se asumió que la fuerza responde instantáneamente a los comandos
del acelerador. Para los cambios rápidos puede haber dinámicas adicionales que
tienen que ser tenidas en cuenta. También hay limitaciones físicas a la tasa de
cambio de la fuerza, que también restringe el valor admisible de0 . Una elección
razonable 0
está en el rango de 0,5-1,0. Obsérvese en la figura 10.6 que incluso con0 = 0,2 el
mayor error de velocidad es de sólo 1 m/s.
Un controlador PI también puede ser utilizado para un proceso con dinámica
de segundo orden, pero habrá restricciones en las posibles ubicaciones de los
polos de lazo cerrado. Utilizando un controlador PID, es posible controlar un
sistema de segundo orden de manera que los polos de lazo cerrado tengan
ubicaciones arbitrarias; véase el Ejercicio 10.2.
En lugar de encontrar un modelo de bajo orden y diseñar controladores para
ellos, también podemos utilizar un modelo de alto orden e intentar colocar sólo
unos pocos polos dominantes. Un controlador integral tiene un solo parámetro, y
es posible colocar un solo polo.
Consideremos un proceso con la función de transferencia P(s). La función de
transferencia de lazo con un controlador integral es L(s) = ki P(s)/s. Las raíces
del polinomio característico del lazo cerrado son las raíces de- s + ki P(s) = 0. Si
se requiere que s = a sea una raíz, encontramos que la ganancia del controlador
debe elegirse como
a
.
(10.9)
ki =
P(-a)
302
CAPÍTULO 10. CONTROL PID
Im P(i)
y
=c
Re P(i)
t
-a
(a) Método de respuesta escalonada
(b) Método de respuesta en frecuencia
Figura 10.7: Experimentos de paso y respuesta en frecuencia de Ziegler-Nichols. La
respuesta al paso unitario en (a) se caracteriza por los parámetros a y . El método de
respuesta en frecuencia (b) caracteriza la dinámica del proceso por el punto en el que la
curva de Nyquist de la función de transferencia del proceso cruza por primera vez el eje
real negativo y la frecuencia c en la que esto ocurre.
El polo s =- a será dominante si a es pequeño. Un enfoque similar puede
aplicarse a los controladores PI y PID.
10.3 PID Sintonización
Los usuarios de los sistemas de control se enfrentan con frecuencia a la tarea de
ajustar los parámetros del controlador para obtener un comportamiento deseado.
Hay muchas formas diferentes de hacerlo. Un enfoque es pasar por los pasos
convencionales de modelado y diseño de control como se describe en la sección
anterior. Dado que el controlador PID tiene tan pocos parámetros, también se han
desarrollado una serie de métodos empíricos especiales para el ajuste directo de
los parámetros del controlador. Las primeras reglas de ajuste fueron
desarrolladas por Ziegler y Nichols [ZN42]. Su idea era realizar un experimento
simple, extraer algunas características de la dinámica del proceso del
experimento y determinar los parámetros del controlador a partir de las
características.
Afinación de Ziegler-Nichols
En la década de 1940, Ziegler y Nichols desarrollaron dos métodos para la
sintonización de controladores basados en una simple caracterización de la
dinámica del proceso en los dominios del tiempo y la frecuencia.
El método en el dominio del tiempo se basa en la medición de una parte de la
respuesta al escalón unitario de bucle abierto del proceso, como se muestra en la
figura 10.7a. La respuesta al escalón se mide aplicando una entrada de escalón
unitario al proceso y registrando la respuesta. La respuesta se caracteriza por los
parámetros a y , que son las intercepciones de la tangente más empinada de la
respuesta al escalón con los ejes de coordenadas. El parámetro
es una aproximación al retardo temporal del sistema y a/ es la mayor pendiente
de la respuesta escalonada. Obsérvese que no es necesario esperar a que el estado
estacionario sea
para encontrar los parámetros, basta con esperar a que la respuesta tenga un
punto de inflexión. Los parámetros del regulador se indican en la tabla 10.1. Los
parámetros
303
10.3.
SINTONIZACIÓN
DEL PID
Tabla 10.1: Reglas de sintonización de Ziegler-Nichols. (a) Los métodos de respuesta al
escalón dan los parámetros en términos del intercepto a y el retardo aparente . (b) El
método de respuesta en frecuencia da los parámetros del controlador en términos de la
ganancia crítica kc y el período crítico Tc.
Tipo
kp
P
1/a
PI
0.9/a

PID
1.2/a

Ti
Td
0.
(a) Método de respuesta escalonada
Ti
Tipo
kp
P
0,5kc
PI
0,4kc
0,8Tc
PID
0,6kc
0,5Tc
Td
0,125Tc
(b) Método de respuesta en frecuencia
se obtuvieron mediante la simulación exhaustiva de una serie de procesos
representativos. Se ajustó manualmente un controlador para cada proceso y se
intentó correlacionar los parámetros del controlador con a y .
En el método del dominio de la frecuencia, se conecta un controlador al
proceso, se ponen a cero las ganancias integral y derivativa y se aumenta la
ganancia proporcional hasta que el sistema empieza a oscilar. El valor crítico de
la ganancia proporcional kc se observa junto con el periodo de oscilación Tc . Del
criterio de estabilidad de Nyquist se deduce que la función de transferencia del
bucle L = kc P(s) interseca el valor crítico
punto en la frecuenciac = c . Por lo tanto, el experimento da el punto en la
Curva de Nyquist de la función de transferencia del proceso donde el desfase es de 180 ◦ ,
como
que se muestra en la figura 10.7b.
Los métodos de Ziegler-Nichols tuvieron un gran impacto cuando se
introdujeron en la década de 1940. Las reglas eran sencillas de utilizar y ofrecían
condiciones iniciales para el ajuste manual. Las ideas fueron adoptadas por los
fabricantes de controladores para su uso rutinario. Por desgracia, las reglas de
ajuste de Ziegler-Nichols tienen dos graves inconvenientes: se utiliza muy poca
información del proceso y los sistemas de bucle cerrado que se obtienen carecen
de robustez.
El método de respuesta al escalón puede mejorarse significativamente
caracterizando la respuesta al escalón unitario mediante los parámetros K, y T en
el modelo
K
P(s) =
e−s .
(10.10)
1 + sT
Los parámetros pueden obtenerse ajustando el modelo a una respuesta
escalonada medida. Obsérvese que el experimento lleva más tiempo que el de la
figura 10.7a porque para determinar K es necesario esperar a que se alcance el
estado estacionario. Observe también que el intercepto a en la regla de ZieglerNichols viene dado por a =  .
El método de respuesta en frecuencia puede mejorarse midiendo más puntos en
la curva de Nyquist, por ejemplo, la ganancia de frecuencia cero K o el punto en
el que el proceso tiene un desfase de 90◦ . Este último punto puede obtenerse
conectando un controlador integral y aumentando su ganancia hasta que el
sistema alcance el límite de estabilidad. El experimento también puede
automatizarse utilizando la retroalimentación de los relés, como se verá más
adelante en esta sección.
304
CAPÍTULO 10. CONTROL PID
Proceso ZeiglerNichols
Modificado ZN
So
y
Re
(a)
De 1.5
spl
1
az
am 0.5
ien 0
0
to
y
15
Co
10
ntr
ol 5
u 0
0
Ziegler-Nichols
modificado ZN
2
2
4
6
8
4
6
8
Tiempo normalizado en
10
10
(b)
Figura 10.8: Control PI de un AFM en modo tapping. Gráficos de Nyquist (a) y respuestas de paso
(b) para el control PI del movimiento vertical de un microscopio de fuerza atómica en
modo de golpeo. El parámetro de promedio es n = 20. Los resultados con la sintonización
Ziegler-Nichols se muestran con líneas discontinuas, y la sintonización Ziegler-Nichols
modificada se muestra con líneas sólidas. El gráfico de Nyquist de la función de
transferencia del proceso se muestra con líneas punteadas.
Hay muchas versiones de reglas de sintonía mejoradas. A modo de ilustración
damos las siguientes reglas para el control PI, basadas en [ ÅH05]:
0, + 0,35T
0,9T
0, + 0,02T
0.3T
kp =
, ki =
,




(10.11)
0,07
0,16kc
0,5kc
0,4kc ,
ki =
+
.
kp = 0,22kc K
0,62
Tc
KTc
Tc
Los valores de la regla de Ziegler-Nichols se indican entre paréntesis. Obsérvese
que las fórmulas mejoradas suelen dar ganancias de controlador más bajas que el
método de Ziegler-Nichols. La ganancia integral es mayor para los sistemas
donde la dinámica está dominada por el retardo, ≫ T .
Ejemplo 10.4 Microscopio de fuerza atómica en modo de golpeo
En el ejemplo 10.2 se discutió un modelo simplificado de la dinámica del
movimiento vertical de un microscopio de fuerza atómica en modo de golpeo. La
función de transferencia se normaliza eligiendo 1/a como unidad de tiempo. La
función de transferencia normalizada
es
1 - e-sTn
P( s) =
,
sTn (s + 1)
donde Tn = 2na/0 = 2n . El gráfico de Nyquist de la función de transferencia se
muestra en la Figura 10.8a para = 0,002 y n = 20. La intersección más a la
izquierda de la curva de Nyquist con el eje- real se produce en Re s = 0,0461 para
= 13,1. La ganancia crítica es, pues, kc = 21,7 y el período crítico es Tc = 0,48.
Utilizando la regla de ajuste de Ziegler-Nichols, encontramos los parámetros kp
= 8,87 y ki = 22,6 (Ti = 0,384) para un controlador PI. Con este controlador el
margen de estabilidad es sm = 0,31, que es bastante pequeño. La respuesta al
escalón del controlador se muestra en la figura 10.8. Observe en particular que haya un gran rebasamiento en la señal de control.
305
10.3.
SINTONIZACIÓN
DEL PID
r
e
u
G(s)
2
y
u
u,
y
-1
(a) Retroalimentac
ión de los relés
y
1
0
-1
0
10
20
Tiempo [s]
30
(b) Respuesta oscilante
Figura 10.9: Diagrama de bloques de un proceso con retroalimentación de relé (a) y
señales típicas (b). La salida del proceso y es una línea sólida, y la salida del relé u es una
línea discontinua. Observe que las señales u e y tienen fases opuestas.
La regla de Ziegler-Nichols modificada (10.11) da los parámetros del controlador kp =
3,47 y ki = 8,73 (Ti = 0,459) y el margen de estabilidad pasa a ser sm = 0,61.
La respuesta al escalón con este controlador se muestra en la figura 10.8. Una
comparación de la reLas respuestas obtenidas con la regla original de Ziegler-Nichols muestran que el
rebasamiento se ha reducido. Obsérvese que la señal de control alcanza su valor
de estado estacionario de forma casi instantánea. Se deduce del Ejemplo 10.2 que
un controlador integral puro tiene la ganancia normalizada ki = 1/(2 + Tn ) =
0.44. Comparando esto con las ganancias de un controlador PI, podemos concluir
que un controlador PI da un rendimiento mucho mejor
que un controlador integral puro.
Retroalimentación de los relés
El método de respuesta en frecuencia de Ziegler-Nichols incrementa la ganancia
de un controlador proporcional hasta la oscilación para determinar la ganancia
crítica kc y el período crítico correspondiente Tc o, de forma equivalente, el punto
en el que la curva de Nyquist incide en el eje real negativo. Una forma de
obtener esta información automáticamente es conectar el proceso en un bucle de
realimentación con un elemento no lineal que tenga una función de relé, como se
muestra en la figura 10.9a. Para muchos sistemas habrá entonces una oscilación, como se muestra en la figura 10.9b, donde la salida del relé u es una onda
cuadrada y la salida del proceso y es cercana a una sinusoide. Además, la entrada
y la salida están desfasadas, lo que significa que el sistema oscila con el período
crítico Tc , donde el proceso tiene un desfase de 180◦ . Obsérvese que se establece
rápidamente una oscilación con período constante.
El periodo crítico es simplemente el periodo de la oscilación. Para determinar
la ganancia crítica, expandimos la salida del relé de onda cuadrada en una serie
de Fourier. Obsérvese en la figura que la salida del proceso es prácticamente
sinusoidal porque el proceso atenúa eficazmente los armónicos superiores. Por
tanto, basta con considerar sólo la primera componente armónica de la entrada.
Siendo d la amplitud del relé, la primera
El armónico de la onda cuadrada de entrada tiene una amplitud de 4d/. Si a es la
amplitud de la salida del proceso, la ganancia del proceso a la frecuencia críticac
= c es |P(c )| =
306
CAPÍTULO 10. CONTROL PID
a/(4d) y la ganancia crítica es
Kc =
4d
.
(10.12)
a
Una vez obtenida la ganancia crítica Kc y el periodo crítico Tc , se pueden
determinar los parámetros del controlador mediante las reglas de Ziegler-Nichols.
Se puede obtener una mejor sintonía ajustando un modelo a los datos obtenidos en
el experimento con relés.
El experimento con el relé puede ser automatizado. Como la amplitud de la
oscilación es proporcional a la salida del relé, es fácil controlarla ajustando la
salida del relé. La sintonización automática basada en la retroalimentación del
relé se utiliza en muchos controladores PID comerciales. La sintonización se
realiza simplemente pulsando un botón que activa la retroalimentación del relé.
La amplitud del relé se ajusta automáticamente para mantener las oscilaciones lo
suficientemente pequeñas, y la retroalimentación del relé se cambia a un
controlador PID tan pronto como la sintonización haya terminado.
10.4 Integrador Windup
Muchos aspectos de un sistema de control pueden entenderse a partir de modelos
lineales. Sin embargo, hay algunos fenómenos no lineales que deben tenerse en
cuenta. Suelen ser limitaciones de los actuadores: un motor tiene una velocidad
limitada, una válvula no puede estar más que totalmente abierta o cerrada, etc.
En un sistema que funciona en una amplia gama de condiciones, puede ocurrir
que la variable de control alcance los límites del actuador. Cuando esto ocurre, el
bucle de retroalimentación se rompe y el sistema funciona en bucle abierto
porque el actuador permanece en su límite independientemente de la salida del
proceso mientras el actuador permanezca saturado. El término integral también
se acumulará ya que el error es típicamente distinto de cero. El término integral y
la salida del controlador pueden entonces llegar a ser muy grandes. La señal de
control permanecerá saturada incluso cuando el error cambie, y puede pasar
mucho tiempo antes de que el integrador y la salida del controlador entren en el
rango de saturación. La consecuencia es que se producen grandes transitorios.
Esta situación se denomina "windup del integrador" y se ilustra en el siguiente
ejemplo.
Ejemplo 10.5 Control de crucero
El efecto windup se ilustra en la Figura 10.10a, que muestra lo que ocurre
cuando un coche se encuentra con una colina tan empinada (6◦ ) que el acelerador
se satura cuando el controlador de crucero intenta mantener la velocidad. Al
encontrar la pendiente en el tiempo t = 5, la velocidad disminuye y el acelerador
aumenta para generar más par. Sin embargo, el par requerido es tan grande que el
acelerador se satura. El error disminuye lentamente
porque el par generado por el motor es un poco mayor que el par necesario para
compensar la gravedad. El error es grande y la integral sigue aumentando hasta
que el error llega a cero en el tiempo 30, pero la salida del controlador sigue
siendo mayor que el límite de saturación y el actuador sigue saturado. El término
integral comienza a disminuir, y en el tiempo 45 y la velocidad se asienta
rápidamente en el valor deseado. Nótese que se necesita un tiempo considerable
antes de que la salida del controlador entre en el rango en el que no se satura, lo
que resulta en un gran sobreimpulso.
307
10.4. INTEGRACIÓN DE LA BOBINA
Ve
loc
ida
d
[m
/s]
21
20
19
18
0
20
40
60
2
Ac
ele 1
ra
do
r 0
0
Ve
loc
ida
d
[m
/s]
21
20
19
18
0
20
40
60
2
Ordenada
Aplicada
20
40
Tiempo t [s]
(a) Windup
60
Ac
ele 1
ra
do
r 0
0
Ordenada
Aplicada
20
40
Tiempo t [s]
60
(b) Antirretorno
Figura 10.10: Simulación del control de crucero PI con windup (a) y anti-windup (b). La
figura muestra la velocidad v y el acelerador u para un coche que se encuentra con una
pendiente tan pronunciada que el acelerador se satura. La salida del controlador es una
línea discontinua. Los parámetros del controlador son
kp = 0,5 y ki = 0,1. El compensador antiwindup elimina el sobreimpulso evitando que el
error se acumule en el término integral del controlador.
Hay muchos métodos para evitar el windup. Un método se ilustra en la Figura
10.11: el sistema tiene una ruta de retroalimentación extra que se genera
midiendo la salida real del actuador, o la salida de un modelo matemático del
actuador saturado, y formando una señal de error es como la diferencia entre la
salida del controlador v y la salida del actuador u. La señal es se alimenta a la
entrada del integrador a través de la ganancia kt . La señal es es cero cuando no
hay saturación y el bucle de retroalimentación extra no tiene efecto en el sistema.
Cuando el actuador se satura, la señal es se retroalimenta al integrador de tal
manera que es va hacia cero. Esto implica que la salida del controlador se
mantiene cerca del límite de saturación. La salida del controlador cambiará
entonces tan pronto como el error cambie de signo y se evite el windup integral.
La velocidad a la que se restablece la salida del controlador se rige por la
ganancia de retroalimentación kt ; un valor grande de kt da un tiempo de
restablecimiento corto. El parámetro kt no puede ser demasiado grande porque el
ruido de las mediciones puede causar un reinicio indeseable. Una elección
razonable es elegir kt como una fracción de 1/Ti . Ilustramos cómo se puede
evitar el windup integral investigando el sistema de control de crucero.
Ejemplo 10.6 Control de crucero con antivuelco
La figura 10.10b muestra lo que ocurre cuando se aplica un controlador con antiwindup al sistema simulado en la figura 10.10a. Debido a la retroalimentación
del modelo del acelerador, la salida del integrador se restablece rápidamente a un
valor tal que la salida del controlador está en el límite de saturación. El
comportamiento es drásticamente diferente al de la Figura 10.10a y se evita el gran
sobreimpulso. La ganancia de seguimiento es kt = 2
en la simulación.
308
CAPÍTULO 10. CONTROL PID
-y
1 1+sTf
kds
Actuado
r
e=r-y
kp
ki
1
s
-
u
P(s)
y
+
es
kt
Figura 10.11: Controlador PID con derivada filtrada y anti-windup. La entrada al
integrador (1/s) consiste en el término de error más un "reset" basado en la saturación de la
entrada. Si el actuador no está saturado,
- entonces es = u , de lo contrario es disminuirá la
entrada del integrador para evitar el windup.
10.5 Aplicación
Son muchos los aspectos prácticos que hay que tener en cuenta a la hora de
implementar los controladores PID. Se han desarrollado a lo largo del tiempo
basándose en la experiencia práctica. En esta sección consideramos algunos de
los más comunes. Consideraciones similares se aplican también a otros tipos de
controladores.
Filtrar la derivada
Un inconveniente de la acción derivativa es que una derivada ideal tiene una alta
ganancia para las señales de alta frecuencia. Esto significa que el ruido de
medición de alta frecuencia generará grandes variaciones en la señal de control.
El efecto del ruido de medición puede reducirse sustituyendo el término kd s por
kd s/(1 + sTf ), que puede interpretarse como una derivada ideal de una señal
filtrada de paso bajo. Para s pequeños la función de transferencia es
aproximadamente kd s y para s grandes es igual a kd /Tf . La aproximación actúa
como una derivada para las señales de baja frecuencia y como una ganancia
constante para las señales de alta frecuencia. El tiempo de filtrado se elige como
Tf = (kd /kp )/N, con N en el rango 2-20.
El filtrado se obtiene automáticamente si la derivada se implementa tomando la
diferencia entre la señal y su versión filtrada, como se muestra en la figura 10.3b
(véase la ecuación (10.5)).
En lugar de filtrar sólo la derivada, también es posible utilizar un controlador
ideal y filtrar la señal medida. La función de transferencia de un controlador de
este tipo con un filtro es entonces
(
1
1
C(s) = kp 1 + + sT d
,
(10.13)
sTi
1 + sTf + (sTf )2/2
donde se utiliza un filtro de
segundo orden.
309
10.5. IMPLEMENTACIÓN
Ponderación de la consigna
La figura 10.1 muestra dos configuraciones de un controlador PID. El sistema de
la Fig. 10.1a tiene un controlador con retroalimentación de error donde la
acción proporcional, integral y derivativa actúa sobre el error. En la simulación
de los controladores PID de la Fig. 1 0 . 2 c hay un gran pico inicial en la señal
de control, que es causado por la derivada de la señal de referencia. El pico
puede evitarse utilizando el controlador de la figura 10.1b, donde la acción
proporcional y derivativa actúa sólo sobre la salida del proceso. Una forma
intermedia viene dada por
= ukp r
- y + ki
- t
0
 ( ) - y( )
dr
+ kd
y
- d ,
dt dt
(10.14)
donde las acciones proporcional y derivativa actúan sobre las fracciones y de la
ref- erencia. La acción integral tiene que actuar sobre el error para asegurarse de
que éste llega a cero en estado estacionario. Los sistemas de lazo cerrado
obtenidos para diferentes valores de y responden a las perturbaciones de la carga
y al ruido de la medición de la misma manera. La respuesta a las señales de
referencia es diferente porque depende de los valores de y
que se denominan pesos de referencia o pesos de consigna. Ilustramos el efecto
de la ponderación del punto de ajuste con un ejemplo.
Ejemplo 10.7 Control de crucero con ponderación de consigna
Considere el controlador PI para el sistema de control de crucero derivado en el
Ejemplo 10.3. La figura 10.12 muestra el efecto de la ponderación del punto de
ajuste en la respuesta del sistema a una señal de referencia. Con = 1
(retroalimentación de error) hay un exceso de velocidad y la señal de control
(acelerador) está inicialmente cerca del límite de saturación. No hay
El rebasamiento con = 0 y la señal de control es mucho menor, lo que supone
claramente un mayor confort de conducción. Las respuestas en frecuencia
ofrecen otra visión del mismo efecto. El parámetro suele estar en el rango 0-1, y
normalmente es cero para evitar grandes transitorios en la señal de control
cuando se cambia la referencia.
El controlador dado por la ecuación (10.14) es un caso especial de la
estructura general del controlador con dos grados de libertad, que se discutió en
la sección 7.5.
Implementación basada en amplificadores operacionales
Los controladores PID se han implementado en diferentes tecnologías. La figura
10.13 muestra cómo se pueden implementar los controladores PI y PID mediante
la retroalimentación en torno a los amplificadores operacionales.
Para demostrar que el circuito de la Figura 10.13b es un controlador PID
utilizaremos la relación aproximada entre la tensión de entrada e y la tensión de
salida u del amplificador operacional derivada en el Ejemplo 8.3,
u =Z2
e.
Z1
En esta ecuación Z1 es la impedancia entre la entrada negativa del amplificador y
la tensión de entrada e, y Z2 es la impedancia entre la entrada cero del
310
CAPÍTULO 10. CONTROL PID
100
Ve 21
loc
ida
d v 20.5
[m
/s] 20
|Gvr
(i)| 10-1
10-2
10−1
0
5
10
100
101
100
Frecuencia rad/s]
101
15
100
0.8
|Gur
(i)| 10-1
Ac
0.6
ele
ra 0.4
do 0.2
ru
10-2
10−1
0
0
5
Tiempo t [s]
10
15
(b) Respuestas en frecuencia
(a) Respuesta al paso
Figura 10.12: Respuestas en tiempo y frecuencia para el control de crucero PI con
ponderación de consigna. Las respuestas escalonadas se muestran en (a), y las curvas de
ganancia de las respuestas en frecuencia en (b). Las ganancias del controlador son kp =
0.74 y ki = 0.19. Las ponderaciones de consigna son = 0, 0,5 y 1, y
= 0.
y la tensión de salida u. Las impedancias vienen dadas por
R1
1
Z1 (s) =
Z2 (s) = R2 + ,
1 + R C11 s
C2 s
y encontramos la siguiente relación entre la tensión de entrada e y la tensión de
salida u:
Z2
R2 (1 + R1 C1 s)(1 + R2 C2 s)
u=- e=e.
Z1
R1
R2 C2 s
Esta es la relación entrada/salida para un controlador PID de la forma (10.1) con
parámetros
= R1C1 + R2C2
R1R2C1C2
kp
,
Ti = R1 C1 + R2 C ,2 Td =
.
R1 C2
R1 C1 + R2 C2
C1
R1
e
R2
R1
C2
+
(a) Controlador PI
e
u
R2
C2
+
u
(b) Controlador PID
Figura 10.13: Diagramas esquemáticos de los controladores PI y PID que utilizan op amps. El circuito
en
(a) utiliza un condensador en la ruta de retroalimentación para almacenar la integral del
error. El circuito en (b) añade un filtro en la entrada para proporcionar una acción
derivativa.
311
10.5. IMPLEMENTACIÓN
Los resultados correspondientes para un controlador PI se obtienen fijando C1 =
0 (volviendo a mover el condensador).
Aplicación informática
En esta sección describimos brevemente cómo se puede implementar un
controlador PID utilizando un ordenador. El ordenador suele funcionar
periódicamente, con las señales de los sensores muestreadas y convertidas a
forma digital por el convertidor A/D, y la señal de control calculada y luego
convertida a forma analógica para los actuadores. La secuencia de operación es
la siguiente:
1. Espera de la
interrupción del reloj
4. Enviar la salida al actuador
2. Leer la entrada del
sensor
6. Repita
5. Actualizar las variables del controlador
3. Calcular la señal de
control
Obsérvese que una salida se envía a los actuadores tan pronto como está
disponible. El tiempo de retardo se minimiza haciendo que los cálculos del paso
3 sean lo más cortos posible y realizando todas las actualizaciones después de que
se ordene la salida. Esta sencilla forma de reducir la latencia es, por desgracia,
poco utilizada en los sistemas comerciales.
Como ilustración consideramos el controlador PID de la figura 10.11, que
tiene una derivada filtrada, ponderación del punto de ajuste y protección contra
el windup integral. El controlador es un sistema dinámico de tiempo continuo.
Para implementarlo con un ordenador, el sistema de tiempo continuo tiene que
ser aproximado por un sistema de tiempo discreto.
En la figura 10.11 se muestra un diagrama de bloques de un controlador PID
con anti-saturación. La señal v es la suma de los términos proporcional, integral
y derivativo, y la salida del controlador es u = sat(v), donde sat es la función de
saturación que modela la
actuador. El término proporcional kp ( r y) se implementa simplemente sustituyendo el
variables continuas con sus versiones muestreadas. Por lo tanto,
P(tk ) = kp ( r(tk ) - y(tk )),
(10.15)
donde {tk}denota los instantes de muestreo, es decir, los momentos en que el
ordenador lee su entrada. Dejamos que h represente el tiempo de muestreo, de
modo que tk+1 = tk + h. El término integral se obtiene aproximando la integral
con una suma,
h
I(tk+1 ) = I(tk ) + ki he(tk ) + sat(v) - v ,
(10.16)
Tt
donde Tt = h/kt representa el término de anti-viento. El término de la derivada
filtrada D viene dado por la ecuación diferencial
dD
+ D = -kd y˙.
dt
Aproximando la derivada con una diferencia hacia atrás se obtiene
Tf
Tf
D(tk ) - D(tk−1 )
y(tk ) - y(tk−1 )
+ D(tk) = -kd
,
h
h
312
CAPÍTULO 10. CONTROL PID
que puede reescribirse como
Tf
D(tk ) =
D(tk
Tf + h
−1)
y(tk
-
kd
Tf + h
(y(tk ) -
−1)).
(10.17)
La ventaja de usar una diferencia hacia atrás es que el parámetro Tf /(Tf + h) es
no negativo y menor que 1 para todo h > 0, lo que garantiza que la ecuación de
diferencia es estable. Reorganizando las ecuaciones (10.15)-(10.17), el
controlador PID puede
puede describirse con el siguiente pseudocódigo:
% Precalcular los coeficientes del
regulador bi=ki*h
ad=Tf/(Tf+h)
bd=kd/(Tf+h)
br=h/Tt
% Algoritmo de control - bucle
principal while (running) {
r=adin(ch1)
% leer punto de consigna de ch1
y=adin(ch2)
% leer la variable de proceso de ch2
P=kp*(b*r-y)% calcula la parte proporcional D=ad*Dbd*(y-yold)
% actualiza la parte derivada
v=P+I+D%
calcula la salida temporal
u=sat(v,ulow,uhigh)
% simula la saturación del
actuador daout(ch1)
% fija la salida analógica ch1
I=I+bi*(r-y)+br*(u-v)
% actualiza la integral
yold=y% actualizar la salida del proceso antiguo
sleep(h)
% espera hasta el siguiente intervalo de
actualización
}
El cálculo previo de los coeficientes bi, ad, bd y br ahorra tiempo de
cálculo en el bucle principal. Estos cálculos sólo tienen que hacerse cuando se
modifican los parámetros del controlador. El bucle principal se ejecuta una vez
cada periodo de muestreo. El programa tiene tres estados: yold, I y D. Se
puede eliminar una variable de estado a costa de un código menos legible. La
latencia entre la lectura de la entrada analógica y el ajuste de la salida analógica
consiste en cuatro multiplicaciones, cuatro sumas y la evaluación de la función
sat. Todos los cálculos pueden realizarse utilizando cálculos de punto fijo si es
necesario. Obsérvese que el código calcula la derivada filtrada de la salida del
proceso y que dispone de ponderación del punto de consigna y protección contra
el viento.
10.6 Más información en
La historia del control PID es muy rica y se remonta al principio de la fundación
de la teoría de control. Bennett [Ben79, Ben93] y Mindel [Min02] ofrecen
tratamientos muy amenos. Las reglas de Ziegler-Nichols para el ajuste de los
controladores PID, presentadas por primera vez en 1942 [ZN42], se desarrollaron
sobre la base de extensos experimentos con simuladores neumáticos y el
analizador diferencial de Vannevar Bush en el MIT. Una interesante visión del
desarrollo de las reglas de Ziegler-Nichols se ofrece en una entrevista con Ziegler
[Bli90]. Una perspectiva industrial sobre el control PID se da
313
EJERCICIOS
en [Bia95], [Shi96] y [YH91] y en el trabajo [DM02] citado al principio de este
capítulo. En [ ÅH05] se ofrece una presentación completa del control PID. Las
herramientas de aprendizaje interactivo para el control PID pueden descargarse
de http:
//www.calerga.com/contrib.
Ejercicios
10.1 (Controladores PID ideales) Considere los sistemas representados por los
bloques de la figura 10.1. Suponga que el proceso tiene la función de
transferencia P(s) = b/(s + a) y demuestre que las funciones de transferencia de
r a y son
bkd s2 + bkp s + bki
(a) Gyr (s) =
,
(1 + bkd )s2 + (a + bkp )s + bki
bki
(b) Gyr (s) =
.
(1 + bkd )s2 + (a + bkp )s + bki
Escoge algunos parámetros y compara las respuestas escalonadas de los sistemas.
10.2 Consideremos un proceso de segundo orden con la función de transferencia
b
P(s) =
.
s2 + a1 s + a2
El sistema de lazo cerrado con un controlador PI es un sistema de tercer orden.
Demuestre que es posible posicionar los polos del lazo cerrado siempre que la
suma
- de los polos sea un1 . Dé ecuaciones para los parámetros que dan el
polinomio característico del lazo cerrado
(s +0 )(s2 +  00 s +2 ).0
10.3 Considere un sistema con la función de transferencia P(s) = (s + 1)−2 .
Encuentre un controlador in- tegral que dé un polo -de lazo cerrado en s = a y
determine el valor de a que maximiza la ganancia integral. Determine los otros
polos del sistema
y juzgar si el polo puede considerarse dominante. Compara con el valor de la
ganancia integral dada por la ecuación (10.6).
10.4 (Sintonización de Ziegler-Nichols) Considere un sistema con función de
transferencia P(s) = e−s /s. Determine los parámetros de los controladores P, PI
y PID utilizando los métodos de pasos y respuesta en frecuencia de ZieglerNichols. Compare los valores de los parámetros obtenidos por
las diferentes reglas y discutir los resultados.
10.5 (Dirección del vehículo) Diseñe un controlador proporcional-integral para
el sistema de dirección del vehículo que dé el polinomio característico de lazo
cerrado
s3 + 0 s2 + 0 s +3 .0
10.6 (Control de la congestión) En [HMTG00, LPD02] se describe un modelo de
flujo simplificado para la transmisión TCP. La dinámica linealizada se modela
mediante la transferencia
314
CAPÍTULO 10. CONTROL PID
función
Gqp (s)
=
b
e-se ,
(s + a1 )(s +
a2 )
que describe la dinámica que relaciona la longitud de cola esperada q con la
caída de paquetes esperada p. Los parámetros vienen dados por a1 e= 2N2 /(),
a2 = 1/e y b = c2 /(2N). El parámetro c es la capacidad del cuello de botella, N
es el número de fuentes que alimentan el enlace ye es el tiempo de retardo de ida
y vuelta. Utilice los valores de los parámetros N = 75 fuentes, C = 1250
paquetes/s ye = 0,15 y encuentre los parámetros de un controlador PI utilizando
una de las reglas de Ziegler-Nichols y la correspondiente imregla probada. Simular las respuestas de los sistemas de lazo cerrado obtenidos
con los controladores PI.
10.7 (Accionamiento del motor) Considere el modelo del accionamiento del
motor del ejercicio 2.10. Desarrolle un modelo aproximado de segundo orden del
sistema y utilícelo para diseñar un controlador de DP i d e a j l que dé un sistema
de
conun
valores
0 ±como se muestra en la ecuación (10.13)
0 lazo1 cerrado
− 2. Añade
filtro propios
de paso en
bajo
y explora
cómo de grande puede ser0 manteniendo un buen margen de estabilidad. Simule
el sistema de lazo cerrado con el controlador elegido y compare los resultados
con el controlador basado en la retroalimentación de estado del Ejercicio 6.11.
10.8 Considere el sistema del Ejercicio 10.7 investigue qué ocurre si el filtro de
segundo orden de la derivada se sustituye por un filtro de primer orden.
10.9 (Reglas de sintonía) Aplicar las reglas de sintonía de Ziegler-Nichols y las
modificadas para diseñar controladores PI para sistemas con las funciones de
transferencia
P
1
e-s
= ,
s
P2 =
e-s
s+1
P3 = e−s .
,
Calcula los márgenes de estabilidad y explora cualquier patrón.
10.10 (Considere un controlador PI de la forma C(s) = 1 + 1/s para un proceso
| lineal está dada por la
con entrada que satura cuando u > 1, y cuya dinámica
| del sistema a cambios
función de transferencia P(s) = 1/s. Simule la respuesta
de escalón en la señal de referencia de magnitud 1, 2 y 3. Repita
la simulación cuando se utiliza el esquema de protección contra el viento de la figura
10.11.
10.11 (Protección contra el windup mediante integración condicional) Se han
propuesto muchos métodos para evitar el windup del integrador. Un método
llamado integración condicional consiste en actualizar la integral sólo cuando el
error es suficientemente pequeño. Para ilustrar este método consideramos un
sistema con control PI descrito por
dx1
dx2 fe
si |e| < e0
= u,
u = satu (kp e + ki x2 ),
=
0
dt
dt
0 si |e| ≥ e0 ,
donde e = r- x. Trace el retrato de fase del sistema para los valores de los
parámetros kp = 1, ki = 1, u0 = 1 y e0 = 1 y discuta las propiedades del sistema.
El ejemplo ilustra las dificultades de introducir no linealidades ad hoc sin
cuidado.
de análisis.
Capítulo 11
Diseño en el dominio de la frecuencia
La mejora de la sensibilidad en una gama de frecuencias debe pagarse con el deterioro de
la sensibilidad en otra gama de frecuencias, y el precio es mayor si la planta es inestable
en lazo abierto. Esto se aplica a todos los controladores, independientemente de cómo se
hayan diseñado.
Gunter Stein en la conferencia inaugural del IEEE Bode, 1989 [Ste03].
En este capítulo continuamos explorando el uso de las técnicas del dominio
de la frecuencia con un enfoque en el diseño de sistemas de retroalimentación.
Comenzamos con una descripción más exhaustiva de las especificaciones de
rendimiento de los sistemas de control y, a continuación, introducimos el
concepto de "conformación del bucle" como mecanismo para diseñar
controladores en el dominio de la frecuencia. También introducimos algunas
limitaciones fundamentales para el rendimiento de los sistemas con retrasos
temporales y polos y ceros del semiplano derecho.
11.1 Sensibilidad Funciones
En el capítulo anterior, consideramos el uso de la retroalimentación
proporcional-integral-derivada (PID) como un mecanismo para diseñar un
controlador de retroalimentación para un proceso dado. En este capítulo
ampliaremos nuestro enfoque para incluir un repertorio más rico de herramientas
para dar forma a la respuesta en frecuencia del sistema de bucle cerrado.
Una de las ideas clave de este capítulo es que podemos diseñar el
comportamiento del sistema de bucle cerrado centrándonos en la función de
transferencia de bucle abierto. Este mismo enfoque se utilizó en el estudio de la
estabilidad utilizando el criterio de Nyquist: trazamos el gráfico de Nyquist para
la función de transferencia de bucle abierto para determinar la estabilidad del
sistema de bucle cerrado. Desde el punto de vista del diseño, el uso de
herramientas de análisis de bucle es muy potente: puesto que la función de
transferencia del bucle es L = PC, si podemos especificar el rendimiento
deseado en términos de propiedades de L, podemos ver directamente el impacto
de los cambios en el controlador C. Esto es mucho más fácil, por ejemplo, que
intentar rea- lizar directamente la respuesta de seguimiento del sistema de bucle
cerrado, cuya función de transferencia viene dada por Gyr = PC/(1 + PC).
Empezaremos por investigar algunas propiedades clave del bucle de retroalimentación.
A
El diagrama de bloques de un bucle de realimentación básico se muestra en la
figura 11.1. El bucle del sistema está formado por dos componentes: el proceso y
el controlador. El controlador en sí tiene dos bloques: el bloque de
retroalimentación C y el bloque de alimentación F. Hay dos perturbaciones que
actúan sobre el proceso, la perturbación de carga d y el ruido de medición n. La
perturbación de carga representa las perturbaciones que alejan al proceso de su
comportamiento deseado, mientras que el ruido de medición representa las
perturbaciones que corrompen la información sobre el proceso dada por los
316
sensores. En la figura, el
CAPÍTULO 10. CONTROL PID
316
CAPÍTULO 11. DISEÑO EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
d
r
e
F(s)
C(s)
-1
Controlad
or
n
u
y
P(s)
y
Proceso
Figura 11.1: Diagrama de bloques de un bucle de realimentación básico con dos grados de
libertad. El controlador tiene un bloque de retroalimentación C y un bloque de
alimentación F. Las señales externas son la señal de referencia r, la perturbación de la
carga d y el ruido de medición n. La salida del proceso es , y la señal de control es u.
Se supone que la perturbación de la carga actúa en la entrada del proceso. Se
trata de una simplificación, ya que las perturbaciones suelen entrar en el proceso
de muchas maneras diferentes, pero nos permite racionalizar la presentación sin
una pérdida significativa de generalidad.
La salida del proceso es la variable real que queremos controlar. El control se
basa en la señal medida y, en la que las mediciones están corrompidas por el
ruido de medición n. El proceso está influenciado por el controlador a través de
la variable de control u. El proceso es, por tanto, un sistema con tres entradas -la
variable de control u, la perturbación de la carga d y el ruido de medición n- y
una salida -la señal medida y-. El controlador es un sistema con dos entradas y
una salida. Las entradas son la señal medida y y la señal de referencia r, y la
salida es la señal de control u. Nótese que la señal de control u es una entrada al
proceso y la salida del controlador, y que la señal medida y es la salida del
proceso y una entrada al controlador.
El bucle de realimentación de la figura 11.1 está influenciado por tres señales
externas, la referencia r, la perturbación de la carga d y el ruido de medición n.
Cualquiera de las señales de realimentación puede ser de interés en el diseño del
controlador, dependiendo de la aplicación particular. Dado que el sistema es
lineal, las relaciones entre las entradas y las señales de interés pueden expresarse
en términos de funciones de transferencia. Las siguientes relaciones se obtienen a
partir del diagrama de bloques de la figura 11.1:
y
=
eu
PCF
1 + PC
PCF
1 + PC
CF
1 + PC
CF
1 + PC
F
1+
PC
P
1
1 + PC 1 + PC
P
PC
1 + PC 1 + PC
1
1 + PC
- PC
1+
PC
-P
1+
PC
-C
1 + PC
-C
1 + PC
-1
1+
PC
r
n
d
.
(11.1)
Además, podemos escribir la función de transferencia para el error entre la referencia
317
11.1. FUNCIONES DE SENSIBILIDAD
r y la salida (no es una señal explícita en el diagrama), que satisface
PCF
-P
PC
=r− =1r+
d+
n.
1+
1+
1+
PC
PC
PC extraer de estas
Hay varias conclusiones interesantes
que podemos
ecuaciones. En primer lugar, podemos observar que varias funciones de
transferencia son iguales y que la mayoría de las relaciones vienen dadas por el
siguiente conjunto de seis funciones de transferencia, que llamamos la Pandilla
de los Seis:
PC
P
PCF
TF =
,
PS =
,
T=
1 + PC
1 + PC
1+
(11.2)
,
PC
CF
C
1
CFS =
,
CS =
,
S=
.
1+
1 + PC
1 + PC
PC
Las funciones de transferencia de la primera columna dan la respuesta de la
salida del proceso y de la señal de control a la señal de referencia. La segunda
columna da la respuesta de la variable de control a la perturbación de la carga y
al ruido, y la última columna da la respuesta de la salida del proceso a esas dos
entradas. Obsérvese que sólo se necesitan cuatro funciones de transferencia para
describir cómo reacciona el sistema a las perturbaciones de carga y al ruido de
medición, y que se necesitan dos funciones de transferencia adicionales para
describir cómo responde el sistema a las señales de referencia.
El comportamiento lineal del sistema viene determinado por las seis
funciones de transferencia de la ecuación (11.2), y las especificaciones pueden
expresarse en términos de estas funciones de transferencia. El caso especial
cuando F = 1 se denomina sistema con retroalimentación (pura) del error. En
este caso todas las acciones de control se basan en la retroalimentación del error
solamente y el sistema se caracteriza completamente por cuatro funciones de
transferencia, a saber, las cuatro
funciones de transferencia de la derecha en la ecuación (11.2), que tienen nombres
específicos:
S
=
1
sensibilidad
P
PS =
carga
función
de
(11.3)
sensibilid
PC
PC
ad
función
de
función
C
PC
CS =
T=
sensibilidad
de
1 + PC complementari
1+
sensibilid
PC
a
ad al
ruido
Estas funciones de transferencia y sus sistemas equivalentes se denominan Gang
of Four. La función de sensibilidad de carga se llama a veces función de
sensibilidad de entrada y la función de sensibilidad de ruido se llama a veces
función de sensibilidad de salida. Estas funciones de transferencia tienen muchas
propiedades interesantes que se discutirán en detalle en el resto del capítulo. Una
buena comprensión de estas propiedades es esencial para entender el desempeño
de los sistemas de retroalimentación para propósitos de análisis y diseño.
Analizando el Gang of Six, encontramos que el controlador de
1+
función
1+
318
CAPÍTULO 11. DISEÑO EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
retroalimentación C influye en los efectos de las perturbaciones de la carga y el
ruido de la medición. Obsérvese que el ruido de medición entra en el proceso a
través de la retroalimentación. En la Sección 12.2 se mostrará que el controlador
influye en la sensibilidad del lazo cerrado a las variaciones del proceso.
318
CAPÍTULO 11. DISEÑO EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
w
P
u
z
y
C
Figura 11.2: Una representación más general de un sistema de retroalimentación. La
entrada del proceso u representa la señal de control, que puede ser manipulada, y la entrada
del proceso w representa otras señales que influyen en el proceso. La salida del proceso y
es el vector de variables medidas y z son otras señales de interés.
La parte feedforward F del controlador influye sólo en la respuesta a las señales
de mando.
En el capítulo 9 nos centramos en la función de transferencia del bucle, y
descubrimos que sus propiedades proporcionaban información útil sobre las
propiedades de un sistema. Para hacer una evaluación adecuada de un sistema de
retroalimentación es necesario considerar las propiedades de todas las funciones
de transferencia (11.2) en la Banda de Seis o la Banda de Cuatro, como se ilustra
en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 11.1 La función de transferencia del bucle sólo ofrece una visión limitada
Consideremos un proceso con la función de transferencia
P(s) = 1/(s a)
controlado por un controlador PI con retroalimentación de error que
- tiene la
función de transferencia C(s) = k(s a)/s. La función de transferencia del lazo es
L = k/s, y las funciones de sensibilidad son
k
P
s
PC
=
,
T=
,
PS =
=
1+
1 + PC s +
(s - a)(s + k)
PC
C k
k(s - a)
1
s
CS =
=
,
S=
=
.
1 + PC
s+
1+
s+k
k
PC
Obsérvese que el factor- s a se cancela al calcular la función de transferencia del
bucle y que este factor tampoco aparece en la función de sensibilidad ni en la
función de sensibilidad complementaria. Sin embargo, la cancelación del factor
es muy grave si a > 0 ya que la función de transferencia PS que relaciona las
perturbaciones de carga con la salida del proceso es entonces inestable. En
particular, una pequeña perturbación d puede conducir a una salida no limitada,
lo que claramente no es deseable.
El sistema de la figura 11.1 representa un caso especial porque se supone que
la perturbación de la carga entra en la entrada del proceso y que la salida medida
es la suma de la variable del proceso y el ruido de la medición. Las
perturbaciones pueden entrar de muchas maneras diferentes, y los sensores
pueden tener dinámica. Una forma más abstracta de capturar el caso general se
muestra en la figura 11.2, que tiene sólo dos bloques que representan el proceso
(P) y el controlador (C ). El proceso tiene dos entradas, la señal de control u y un
vector de perturbaciones w, y dos salidas, la señal medida y y un vector de
señales z que se utiliza para especificar el rendimiento. Si omitimos el
entrada de referencia r, el sistema de la Figura 11.1 puede capturarse eligiendo w
= (d, n) y z = (, , e, ). La función de transferencia del proceso P es una
matriz de 5 × 3, y la función de transferencia del controlador C es una
matriz de 1 × 1; compárese con el Ejercicio 11.3.
319
11.2. DISEÑO FEEDFORWARD
Fu(s)
ufd
ufr
r
d
Fd (s)
uff
Fm(s)
ym
e
C(s)
ufb
P1(s)
P2(s)
y
-1
Figura 11.3: Diagrama de bloques de un sistema con compensación de avance para
mejorar la respuesta a las señales de referencia y a las perturbaciones medidas (sistema de
2 DOF). Hay tres elementos feedforward: Fm(s) establece el valor de salida deseado, Fu(s)
genera el feedforward
comando ufr y Fd (s) intenta anular las perturbaciones.
Los procesos con múltiples entradas y salidas también pueden considerarse
considerando u e y como vectores. Las representaciones a estos niveles
superiores de abstracción son útiles para el desarrollo de la teoría porque
permiten centrarse en los fundamentos y resolver problemas generales con una
amplia gama de aplicaciones. Sin embargo, hay que tener cuidado para mantener
el acoplamiento con los problemas de control del mundo real que pretendemos
resolver.
11.2 Diseño de Feedforward
Hasta ahora, la mayoría de nuestras herramientas de análisis y diseño se han
centrado en el papel de la retroalimentación y su efecto en la dinámica del
sistema. El feedforward es una técnica sencilla y potente que complementa la
retroalimentación. Puede utilizarse tanto para mejorar la respuesta a las señales
de referencia como para reducir el efecto de las perturbaciones medibles. La
compensación feedforward admite la eliminación perfecta de las perturbaciones,
pero es mucho más sensible a las variaciones del proceso que la compensación
por retroalimentación. En la sección 7.5 se discutió un esquema general para el
feedforward utilizando la figura 7.10. Una forma simple de feedforward para
controladores PID se discutió en la Sección 10.5. El controlador de la Figura
11.1 también tiene un bloque de feedforward para mejorar la respuesta a las
señales de comando. Una versión alternativa de feedforward se muestra en la
Figura 11.3, que usaremos en esta sección para entender algunas de las
compensaciones entre feedforward y retroalimentación.
Los controladores con dos grados de libertad (feedforward y feedback) tienen
la ventaja de que la respuesta a las señales de referencia puede diseñarse
independientemente del diseño para la atenuación de las perturbaciones y la
robustez. En primer lugar, consideraremos la respuesta a las señales de
referencia, por lo que supondremos inicialmente que la perturbación de la carga d
es nula. Dejemos que Fm represente la respuesta ideal del sistema a las señales de
referencia. El compensador feedforward se caracteriza por las funciones de
transferencia Fu y Fm . Cuando se cambia la referencia, la función de
transferencia Fu genera la señal ufr , que se elige para dar la salida deseada
cuando se aplica como entrada al proceso. En condiciones ideales la salida y es
entonces igual a ym , la señal de error
320
CAPÍTULO 11. DISEÑO EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
es cero y no habrá ninguna acción de retroalimentación. Si hay perturbaciones o
errores de modelización, las señales ym e y serán diferentes. La retroalimentación
intenta entonces llevar el error a cero.
Para hacer un análisis formal, calculamos la función de transferencia de la
entrada de referencia a la salida del proceso:
P(CFm + Fu)
PFu - Fm
Gyr (s) =
= Fm +
,
(11.4)
1 + PC
1 + PC
donde P = P2 P1 . El primer término representa la función de transferencia
deseada. El segundo término puede hacerse pequeño de dos maneras. Se puede
utilizar la -compensación feedforward para hacer que PFu Fm sea pequeño, o se
puede utilizar la compensación de retroalimentación para hacer que 1 + PC sea
grande. La compensación perfecta de avance se obtiene eligiendo
Fm
Fu =
.
(11.5)
P
El diseño del feedforward mediante funciones de transferencia es, por tanto, una
tarea muy sencilla. Obsérvese que el compensador de avance Fu contiene un
modelo inverso de la dinámica del proceso.
La retroalimentación y el feedforward tienen propiedades diferentes. La
acción de feedforward se obtiene haciendo coincidir dos funciones de
transferencia, lo que requiere un conocimiento preciso de la dinámica del
proceso, mientras que la retroalimentación intenta hacer que el error sea pequeño
dividiéndolo por una cantidad grande. Para un controlador con acción integral, la
ganancia del bucle es grande para las frecuencias bajas, y por lo tanto es
suficiente para asegurarse de que la condición para el feedforward ideal se
mantiene en las frecuencias más altas. Esto es más fácil que tratar de satisfacer la
condición (11.5) para todas las frecuencias.
Ahora consideraremos la reducción de los efectos de la perturbación de la
carga d en la Figura 11.3 mediante el control de avance. Suponemos que la señal
de perturbación se mide y que la perturbación entra en la dinámica del proceso de
una manera conocida (captado por P1 y P2 ). El efecto de la perturbación puede
reducirse alimentando la señal medida a través de un sistema dinámico con la
función de transferencia Fd . Suponiendo que la referencia r es cero, podemos
utilizar el álgebra del diagrama de bloques para encontrar que la función de
transferencia de la perturbación a la salida del proceso es
P2(1 + Fd P1)
,
(11.6)
1 + PC
donde P = P1 P2 . El efecto de la perturbación puede reducirse haciendo 1 + Fd
P1 pequeño (feedforward) o haciendo 1 + PC grande (feedback). La
compensación perfecta se obtiene eligiendo
Fd = -P1-1,
(11.7)
Gyd =
que requiere la inversión de la función de transferencia P1 .
Como en el caso del seguimiento de la referencia, la atenuación de las
perturbaciones se puede lograr mediante la combinación de la retroalimentación
y el control de avance. Ya que las perturbaciones de baja frecuencia pueden ser
eliminadas por retroalimentación, requerimos el uso de la retroalimentación sólo
para las perturbaciones de alta frecuencia, y la función de transferencia Fd en la
ecuación (11.7) puede ser calculada usando una aproximación de P1 para altas
frecuencias.
321
11.2. DISEÑO FEEDFORWARD
5
y
0
[m
] -5
0
2
4
6
8
10
4
6
8
Tiempo normalizado t
10
1
[ra
d]
0
-1
(a) Vista aérea
0
2
(b) Posición y dirección
Figura 11.4: Control feedforward para la dirección del vehículo. El gráfico de la izquierda
muestra la trayectoria generada por el controlador para el cambio de carril. Los gráficos de
la derecha muestran la desviación lateral y (arriba) y el ángulo de dirección (abajo) para un
control de cambio de carril suave utilizando feedforward (basado en el modelo
linealizado).
Las ecuaciones (11.5) y (11.7) dan expresiones analíticas para el
compensador de avance. Para obtener una función de transferencia que pueda ser
implementada sin dificultades requerimos que el compensador feedforward sea
estable y que no requiera diferenciación. Por lo tanto, puede haber restricciones
en las posibles elecciones de la respuesta deseada Fm , y se necesitan
aproximaciones si el proceso tiene ceros en el semiplano derecho o retrasos de
tiempo.
Ejemplo 11.2 Dirección del vehículo
En el ejemplo 6.4 se presentó un modelo linealizado para la dirección del
vehículo. La función de transferencia normalizada del ángulo de dirección a la
desviación lateral y es P(s) = (s + 1)/s2 . Para un sistema de transferencia de
carril nos gustaría tener una respuesta agradable sin sobrepasar el límite, y por lo
tanto elegimos la respuesta deseada como Fm (s) = a2 /(s + a)2 , donde la
velocidad de respuesta o agresividad de la dirección está gobernada por el
parámetro a.
La ecuación (11.5) da
Fm
a2s2
F
=
=
,
u
P (s + 1)(s + a)2
que es una función de transferencia estable siempre que  0. La figura 11.4
muestra las respuestas del sistema para a = 0,5. La figura muestra que un cambio
de carril se realiza en unas 10 longitudes de vehículo con ángulos de dirección
suaves. El mayor ángulo de dirección
es ligeramente superior a 0,1 rad (6◦ ). Utilizando las variables a escala, la curva
que muestra las desviaciones laterales (y en función de t) también puede
interpretarse como la trayectoria del vehículo (y en función de x) con la longitud
del vehículo como unidad de longitud.
Una de las principales ventajas de los controladores con dos grados de
libertad que combinan la retroalimentación y el feedforward es que el problema
de diseño del control puede dividirse en dos partes. El controlador de
retroalimentación C puede diseñarse para proporcionar una buena robustez y una
atenuación eficaz de las perturbaciones, y la parte de avance puede diseñarse de
forma independiente para proporcionar la respuesta deseada a las señales de
comando.
322
CAPÍTULO 11. DISEÑO EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
11.3 Rendimiento Especificaciones
Un elemento clave del proceso de diseño de controles es la forma de especificar
el rendimiento deseado del sistema. También es importante que los usuarios
entiendan las especificaciones de rendimiento para saber qué pedir y cómo
probar un sistema. Las especificaciones se dan a menudo en términos de robustez
frente a las variaciones del proceso y las respuestas a las señales de referencia y
las perturbaciones. Pueden darse en términos de respuestas en tiempo y en
frecuencia. En la figura 5.9 del apartado 5.3 y en el apartado 6.3 se han dado
especificaciones para la respuesta a las señales de referencia. Las
especificaciones de robustez basadas en los conceptos del dominio de la
frecuencia se proporcionaron en la sección 9.3 y se estudiarán más a fondo en el
capítulo 12. Las especificaciones comentadas anteriormente se basaban en la
función de transferencia del bucle. Dado que en la sección 11.1 hemos
comprobado que una única función de transferencia no siempre caracteriza las
propiedades del bucle cerrado de forma completa, en esta sección daremos un
análisis más completo de las especificaciones, basado en el Gang of Six
completo.
La función de transferencia ofrece una buena caracterización del
comportamiento lineal de un sistema. Para proporcionar especificaciones es
deseable capturar las propiedades características de un sistema con unos pocos
parámetros. Las características comunes de las respuestas temporales son el
rebasamiento, el tiempo de subida y el tiempo de estabilización, como se muestra
en la figura 5.9. Las características más comunes de las respuestas en frecuencia
son el pico de resonancia, la frecuencia de pico, la frecuencia de cruce de la
ganancia y el ancho de banda. Un pico de resonancia es un máximo de la
ganancia, y la frecuencia de pico es la frecuencia correspondiente. La frecuencia
de cruce de la ganancia es
la frecuencia en la que la ganancia de bucle abierto es igual a u n o √ . El ancho de banda
se define como
la gama de frecuencias en la que la ganancia del bucle cerrado es 1/ 2 de la ganancia de
baja frecuencia
(low-pass), ganancia de frecuencia media (band-pass) o ganancia de frecuencia
alta (high-pass). Existen relaciones interesantes entre las especificaciones en los
dominios del tiempo y la frecuencia. A grandes rasgos, el comportamiento de las
respuestas temporales para tiempos cortos está relacionado con el
comportamiento de las respuestas frecuenciales a altas frecuencias, y viceversa.
Las relaciones precisas no son triviales.
Respuesta a las señales de referencia
Considere el bucle básico de retroalimentación de la figura 11.1. La respuesta a
las señales de referencia se describe mediante las funciones de transferencia Gyr
= PCF/(1 + PC) y Gur = CF/(1 + PC) (F = 1 para sistemas con
retroalimentación de error). Obsérvese que es útil considerar tanto la respuesta de
la salida como la de la señal de control. En particular, la
La respuesta de la señal de control nos permite juzgar la magnitud y la velocidad
de la señal de control necesaria para obtener la respuesta de salida.
Ejemplo 11.3 Sistema de tercer orden
Considere un proceso con la función de transferencia P(s) = (s + 1)−3 y un
controlador PI con retroalimentación de error que tiene las ganancias kp = 0.6 y
ki = 0.5. Las respuestas se ilustran en la figura 11.5. Las líneas continuas
muestran los resultados de un controlador proporcional-integral (PI)
11.2. DISEÑO FEEDFORWARD
323
controlador con retroalimentación de errores. Las líneas discontinuas muestran
los resultados de un controlador con feedforward diseñado para dar la función de
transferencia Gyr = (0.5s + 1)−3 . Observando las respuestas temporales,
encontramos que el controlador con feedforward da un
323
11.3. ESPECIFICACIONES DE
RENDIMIENTO
1.5
|Gyr 100
(i)|
Sa 1
lid
a y 0.5
0
0
5
10
Retroalimentació
n de errores Con
feedforward
15
20
25
10−1
100
101
100
Frecuencia rad/s]
101
101
10
En
tra 5
da
u
0
10-1
|Gur
(i)| 100
0
5
10
15
Tiempo t [s]
20
(a) Respuestas al paso
25
10-1
10−1
(b) Respuestas en frecuencia
Figura 11.5: Respuestas de la señal de referencia. Las respuestas en la salida del proceso y
y la señal de control u a un paso unitario en la señal de referencia r se muestran en (a), y
las curvas de ganancia de Gyr y Gur se muestran en (b). Los resultados con control PI con
retroalimentación de error se muestran con líneas sólidas, y las líneas discontinuas
muestran los resultados para un controlador con un compensador de avance.
respuesta sin rebasamiento. Sin embargo, se necesitan señales de control mucho
mayores para obtener la respuesta rápida. El valor más grande de la señal de
control es 8, en comparación con
1,2 para el controlador PI normal. El controlador con feedforward tiene un mayor
ancho de banda (marcado
con ) y no tiene pico de resonancia. La función de
◦
transferencia Gur también tiene una mayor ganancia a altas frecuencias.
Respuesta a las perturbaciones de la carga y al ruido de las mediciones
Un criterio sencillo para la atenuación de las perturbaciones consiste en
comparar la salida del sistema de bucle cerrado de la figura 11.1 con la salida del
correspondiente sistema de bucle abierto obtenida fijando C = 0. Si dejamos que
las perturbaciones de los sistemas de bucle abierto y cerrado sean idénticas, la
salida del sistema de bucle cerrado se obtiene entonces simplemente pasando la
salida del bucle abierto a través de un sistema con la función de transferencia
La función de sensibilidad indica cómo las variaciones en la salida son
influenciadas por la retroalimentación (Ejercicio 11.7). Las perturbaciones
|
| con
frecuencias tales como S(i) < 1 son atenuadas, pero las | perturbaciones
con
|
frecuencias tales como S(i) > 1 son am- plificadas por la retroalimentación. La
máxima sensibilidad Ms , que ocurre en la frecuencia
ms , es por tanto una medida de la mayor amplificación de las perturbaciones. La
magnitud máxima de 1/(1 + L) es también el mínimo
de
|
| 1 + L , que es
precisamente el margen de estabilidad sm definido en la sección 9.3, de modo que
Ms = 1/sm . Por tanto, la sensibilidad máxima es también una medida de
robustez.
Si se conoce la función de sensibilidad, las mejoras potenciales por
retroalimentación pueden evaluarse simplemente registrando una salida típica y
filtrándola a través de la función de sensibilidad. Un gráfico de la curva de
ganancia de la función de sensibilidad es una buena manera de hacer una
evaluación de la atenuación de las perturbaciones. Dado que la sensibilidad
324
CAPÍTULO 11. DISEÑO EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
101
So
y
|L(i)| 0
10
Re
-1
10-1
101
sm
ms
|S(i)| 0
10
sc
10-1
10−1
0
10
Frecuencia rad/s]
(a) Curvas de
ganancia
(b) Diagrama de Nyquist
Figura 11.6: Interpretación gráfica de la función de sensibilidad. Las curvas de ganancia
de la función de transferencia de bucle y la función de sensibilidad (a) pueden utilizarse
para calcular las propiedades de la función de sensibilidad mediante la relación S = 1/(1 +
L). La frecuencia de cruce de la sensibilidad
sc y la frecuencia ms donde la sensibilidad tiene su mayor valor se indican en el
gráfico de sensibilidad. El gráfico de Nyquist (b) muestra la misma información de forma
diferente. Todos los puntos dentro del círculo discontinuo tienen sensibilidades superiores
a 1.
depende sólo de la función de transferencia del bucle, sus propiedades también
pueden visualizarse gráficamente utilizando el gráfico de Nyquist de la función
de transferencia del bucle. Esto se ilustra en la Figura 11.6. El número complejo
1 + L(i) puede representarse
- como
el vector del punto 1 al punto L(i) de la curva de Nyquist. El sensies menor que 1 para todos los puntos fuera de un círculo con radio 1 y centro en
- 1. Las perturbaciones con frecuencias en este rango son atenuadas por la
retroalimentación.
La función de transferencia Gyd de la perturbación de carga d a la salida de
proceso y para el sistema de la figura 11.1 es
P
T
Gyd =
= PS = .
(11.8)
C
1 + PC
Dado que las perturbaciones de la carga suelen tener frecuencias bajas, es natural
centrarse en el comportamiento de la función de transferencia a bajas
/
frecuencias. Para un sistema con P(0) = 0 y un controlador con acción integral,
la ganancia del controlador va al infinito para frecuencias pequeñas y tenemos la
siguiente aproximación para s pequeños:
T
1
s
G = ≈ ≈ ,
(11.9)
yd
C C ki
donde ki es la ganancia integral. Dado que la función de sensibilidad S va a 1
para grandes s, tenemos la aproximación
Gyd P para altas frecuencias.
≈
El ruido de medición, que suele tener altas frecuencias, genera variaciones
rápidas en la variable de control que son perjudiciales porque causan desgaste en
muchos actuadores y pueden incluso saturar un actuador. Por lo tanto, es
importante mantener las variaciones de la señal de control debidas al ruido de la
medición en niveles razonables; un requisito típico es que las variaciones sean
sólo una fracción del intervalo de la señal de control. Las variaciones pueden ser
influenciadas por el filtrado y por el diseño adecuado de la señal de control.
325
11.3. ESPECIFICACIONES DE
RENDIMIENTO
20
0.4
Sa
lid
ay
0.2
0
-0.2
0
5
10
15
Tiempo t [s]
20
En
tra 10
da
u
0
0
0.5
1
1.5
Tiempo t [s]
2
102
100
|Gyd
(i)| 10-1
|Gun
(i)| 101
10-2
10−1
100
101
Frecuencia rad/s]
(a) Respuesta de la carga de salida
100
10−1
100
101
Frecuencia rad/s]
102
(b) Respuesta al ruido de entrada
Figura 11.7: Respuestas a las perturbaciones. Las respuestas en tiempo y frecuencia de la
salida del proceso y a la perturbación de la carga d se muestran en (a) y las respuestas de la
señal de control u al ruido de medición n se muestran en (b).
propiedades de frecuencia del controlador.
Los efectos del ruido de la medición se captan mediante la función de
transferencia del ruido de la medición a la señal de control,
C
T
-Gun =
= CS = .
(11.10)
1 + PC
P
La función de sensibilidad complementaria es cercana a 1 para las frecuencias bajas ( <
gc ), y Gun puede aproximarse por -1/P. La función de sensibilidad se aproxima a
1 para frecuencias altas ( >gc ), y Gun puede aproximarse por -C.
Ejemplo 11.4 Sistema de tercer orden
Consideremos un proceso con la función de transferencia P(s) = (s + 1)−3 y un
controlador proporcional-integral-derivativo (PID) con ganancias kp = 0,6, ki =
0,5 y kd = 2,0. Aumentamos el controlador utilizando un filtro de ruido de
segundo orden con Tf = 0,1, de modo que su
la función de
k s2 + s + k
k
transferencia es
d
p
i
C(s) =
.
2
s(s2T /2
+ sTf + 1)
f
Las respuestas del sistema se ilustran en la figura 11.7. La respuesta de la salida
a un escalón en la perturbación de la carga en la parte superior de la Figura 11.7a
tiene un pico de 0,28 en el tiempo t = 2,73 s. La respuesta en frecuencia en la
Figura 11.7a muestra que la ganancia tiene un
máximo de 0,58 a = 0,7 rad/s.
En la figura 11.7b se muestra la respuesta de la señal de control a un escalón
de ruido de medición. La caída de alta frecuencia de la función de transferencia
Gun (i) se debe al filtrado; sin él, la curva de ganancia de la figura 11.7b seguiría
aumentando después de 20 rad/s. La respuesta al escalón tiene un pico de 13 a t
= 0,08 s. La respuesta en frecuencia tiene su pico 20 a = 14 rad/s. Observe que
el pico se produce muy por encima del pico
326
CAPÍTULO 11. DISEÑO EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
Atenuación de las
perturbaciones de la
carga
log|L
(i)|
log|S
(i)|
Robustez
gc
Ruido de
medición de alta
frecuencia
registr
log|T
(i)|
registr
Figura 11.8: Curva de ganancia y funciones de sensibilidad para una función de
transferencia de bucle típica. El gráfico de la izquierda muestra la curva de ganancia y los
gráficos de la derecha muestran la función de sensibilidad y la función de sensibilidad
complementaria. La frecuencia de cruce de la ganancia gc y la pendiente ngc de la curva de
ganancia en el cruce son parámetros importantes que determinan la robustez de los
sistemas de bucle cerrado. A baja frecuencia, una magnitud grande para L proporciona un
buen rechazo de la perturbación de la carga y el seguimiento de la referencia, mientras que
a alta frecuencia se utiliza una ganancia de bucle pequeña para evitar la amplificación del
ruido de medición.
de la respuesta a las perturbaciones de la carga y muy por encima de la frecuencia de
cruce de la ganancia
gc = 0,78 rad/s. Una aproximación√derivada en el Ejercicio 11.9 da max|CS(i)| ≈
kd /Tf = 20, que se produce en = 2/Td = 14,1 rad/s.
11.4 Diseño de la retroalimentación mediante el bucle Shaping
Una ventaja del teorema de estabilidad de Nyquist es que se basa en la función
de transferencia del bucle, que está relacionada con la función de transferencia
del controlador a través de L = PC. Por lo tanto, es fácil ver cómo el controlador
influye en la función de transferencia del bucle. Para hacer estable un sistema
inestable simplemente tenemos que doblar la curva de Nyquist lejos del punto
crítico.
Esta sencilla idea es la base de varios métodos de diseño diferentes,
denominados colectivamente "conformación del bucle". Estos métodos se basan
en la elección de un compensador que proporcione una función de transferencia
de bucle con la forma deseada. Una posibilidad es determinar una función de
transferencia de bucle que dé un sistema de bucle cerrado con las propiedades
deseadas y calcular el controlador como C = L/P. Otra es empezar con el
proceso
función de transferencia, cambiar su ganancia y luego añadir polos y ceros hasta la
forma se obtiene. En esta sección exploraremos diferentes métodos de
conformación del bucle para el diseño de la ley de control.
Consideraciones sobre el diseño
Primero discutiremos una forma adecuada para la función de transferencia de
bucle que proporciona un buen rendimiento y buenos márgenes de estabilidad.
La figura 11.8 muestra una función de transferencia de bucle típica. Una buena
robustez requiere buenos márgenes de estabilidad (o buena ganancia y
327
11.4. DISEÑO DE LA RETROALIMENTACIÓN
MEDIANTE LA CONFORMACIÓN DEL BUCLE
márgenes de fase), lo que impone requisitos a la función de transferencia del
bucle en torno a las frecuencias de crucepc ygc . La ganancia de L a bajas
frecuencias debe ser grande para tener un buen seguimiento de las señales de
mando y una buena atenuación de las perturbaciones de baja frecuencia. Dado que
S = 1/(1
| + L), se deduce que para las frecuencias
donde |L > 101 las perturbaciones serán atenuadas por un factor de 100 y el seguimiento
es inferior al 1%. Por lo tanto, es deseable tener una gran frecuencia de cruce
y una pendiente pronunciada (negativa) de la curva de ganancia. La ganancia a
bajas frecuencias puede aumentarse con un controlador de acción integral, lo que
también se denomina compensación de retardo. Para evitar inyectar demasiado
ruido de medición en el sistema, la función de transferencia del bucle debe tener
una ganancia baja a altas frecuencias, lo que se denomina roll-off de alta
frecuencia. La elección de la frecuencia de cruce de la ganancia es un
compromiso entre la atenuación de las perturbaciones de la carga, la inyección
de ruido de medición y la robustez.
Las relaciones de Bode (véase el apartado 9.4) imponen restricciones a la
forma de la función de transferencia del bucle. La ecuación (9.8) implica que la
pendiente de la curva de ganancia en el cruce de ganancia no puede ser
demasiado pronunciada. Si la curva de ganancia tiene una pendiente constante,
tenemos la siguiente relación entre la pendiente ngc y el margen de fasem :
ngc = -2 +

.
(11.11)
Esta fórmula es una aproximación razonable cuando la curva de ganancia no se
desvía demasiado de una línea recta. De la ecuación (11.11) se deduce que los
márgenes de fase 30◦ , 45◦ y 60◦ corresponden a las-pendientes
5/3, 3/2
- y 4/3.
El modelado del bucle es un procedimiento de prueba y error. Por lo general, empezamos
con un gráfico de Bode
de la función de transferencia del proceso. A continuación, intentamos dar forma a
la función de transferencia del bucle cambiando la ganancia del controlador y
añadiendo polos y ceros a la función de transferencia del controlador. Se evalúan
diferentes especificaciones de rendimiento para cada controlador, ya que
intentamos equilibrar muchos requisitos diferentes ajustando los parámetros y la
complejidad del controlador. El modelado del bucle es sencillo de aplicar a
sistemas de una sola entrada y una sola salida. También puede aplicarse a
sistemas con una entrada y muchas salidas cerrando los bucles de uno en uno,
empezando por el más interno. La única limitación para los sistemas de fase
mínima es que pueden ser necesarios grandes avances de fase y elevadas
ganancias del controlador para obtener sistemas de bucle cerrado con una
respuesta rápida. Existen muchos procedimientos específicos: todos ellos
requieren experiencia, pero también ofrecen una buena visión de los requisitos
conflictivos. Existen limitaciones fundamentales a lo que se puede conseguir en
los sistemas que no son de fase mínima; se discutirán en la siguiente sección.
Compensación por adelantado y por atraso
Una forma sencilla de hacer la conformación del bucle es comenzar con la
función de transferencia del proceso y añadir compensadores simples con la
función de transferencia
+a
C(s) = ks
.
s+b
(11.12)
328
CAPÍTULO 11. DISEÑO EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
101
101
|C(i) 0
10
|
|C(i) 0
10
|
PD
princ
ipal
10-1
90
∠
45
C(i
)
0
a
b
Frecuencia rad/s]
(a) Compensación de plomo,
a<b
Lag
PI
10-1
0
∠
-45
C(i
)
-90
b
a
Frecuencia rad/s]
(b) Compensación del retraso, b < a
Figura 11.9: Respuesta en frecuencia de los compensadores de adelanto y retraso C(s) =
k(s + a)/(s + b). La compensación de avance (a) se produce cuando a < b y proporciona un
avance de fase entre = a y = b. La compensación de retraso (b) corresponde a a > b y
proporciona una ganancia de baja frecuencia. El control PI es un caso especial de
compensación de retraso y el control PD es un caso especial de compensación de avance.
Las respuestas en frecuencia de PI/PD se muestran con curvas discontinuas.
El controlador PI es un caso especial de un compensador de retardo con b = 0, y
el controlador PD ideal es un caso especial de un compensador de retardo con a
= 0. En la figura 11.9 se muestran los gráficos de Bode de los compensadores de
retardo y de retardo. La compensación de retardo, que
incrementa la ganancia a bajas frecuencias, se utiliza típicamente para mejorar la
pervivencia del seguimiento y la atenuación de las perturbaciones a bajas
frecuencias. También se pueden diseñar compensadores adaptados a
perturbaciones específicas, como se muestra en el Ejercicio 11.10. La
compensación de plomo se utiliza normalmente para mejorar el margen de fase.
Los siguientes ejemplos son ilustrativos.
Ejemplo 11.5 Microscopio de fuerza atómica en modo de golpeo
En el ejercicio 9.2 se ha dado un modelo simple de la dinámica del movimiento
vertical de un micróscopo de fuerza atómica en modo de golpeo. La función de
transferencia para la dinámica del sistema es s
a(1 - e− )
P(s) =
,
s(s + a)
donde a =0 , = 0 y la ganancia se ha normalizado a 1. En la figura 11.10a se
muestra un diagrama de Bode de esta función de transferencia para los
parámetros a = 1 y = 0,25 en curvas discontinuas. Para mejorar la atenuación
de las perturbaciones de la carga inAumentamos la ganancia de baja frecuencia introduciendo un controlador integral.
La función de transición del bucle se convierte entonces en L = ki P(s)/s, y
ajustamos la ganancia para que el margen de fase sea cero, dando ki = 8,3.
Obsérvese el aumento de la ganancia a bajas frecuencias. El diagrama de Bode se
muestra con la línea punteada en la Figura 11.10a, donde el valor crítico
El punto se indica con
◦ . Para mejorar el margen de fase introducimos la acción
proporcional y aumentamos la ganancia proporcional kp gradualmente hasta
obtener valores razonables de las sensibilidades. El valor kp = 3,5 da la máxima
sensibilidad
329
11.4. DISEÑO DE LA RETROALIMENTACIÓN
MEDIANTE LA CONFORMACIÓN DEL BUCLE
102
|L(i)
100
|, 100
|P(i)
| 10-2
|T
(i)|
P(s)
PI
Integral
10−2
|PS(i
100
)| 10-1
10-1
10-2
100
102
100
102
10-2
10-2
100
102
100
102
101
0
∠L
(i), -90
∠P
-180
(i)
|CS(i
|S(i)|100
)|
100
-270
10-2
10-2
100
102
Frecuencia rad/s]
(a) Formación de bucles
100
102
Frecuencia
rad/s]
10-1
10-2
Frecuencia
rad/s]
(b) Pandilla de cuatro
Figura 11.10: Diseño de lazo de un controlador para un microscopio de fuerza atómica en
modo de toma. (a) Diagramas de Bode del proceso (discontinuo), la función de
transferencia del bucle para un controlador integral con ganancia crítica (discontinuo) y un
controlador PI (sólido) ajustado para dar una robustez razonable. (b) Curvas de ganancia
para el Gang of Four del sistema.
Ms = 1,6 y la máxima sensibilidad complementaria Mt = 1,3. La función de
transferencia del bucle se muestra en líneas sólidas en la figura 11.10a.
Obsérvese el aumento significativo del margen de fase en comparación con el
controlador puramente integral (línea punteada).
Para evaluar el diseño también calculamos las curvas de ganancia de las
funciones de transferencia en el Gang of Four. Se muestran en la Figura 11.10b.
Los picos de las curvas de sensibilidad son razonables, y el gráfico de PS
muestra que el mayor valor de PS es 0,3, lo que implica que las perturbaciones
de la carga están bien atenuadas. El gráfico de CS muestra que la mayor
ganancia del controlador es 6. El controlador tiene una ganancia de 3,5 a altas
frecuencias, y por lo tanto podemos considerar la adición de roll-off de alta
frecuencia.
Un problema común en el diseño de los sistemas de retroalimentación es que
el margen de fase es demasiado pequeño, y entonces hay que añadir adelanto de
fase al sistema. Si fijamos a < b en la ecuación (11.12), añadimos adelanto de
fase en el rango de frecuencias ×
entre el par polo/cero (y extendiéndose
aproximadamente 10 en frecuencia en cada dirección). Por aproeligiendo la ubicación de este conductor de fase, podemos proporcionar un
margen de fase adicional en la frecuencia de cruce de la ganancia.
Dado que la fase de una función de transferencia está relacionada con la
pendiente de la magnitud, el aumento de la fase requiere el aumento de la
ganancia de la función de transferencia del bucle en el rango de frecuencia en el
que se aplica la compensación de plomo. En el Ejercicio 11.11 se muestra que la
ganancia aumenta exponencialmente con la cantidad de plomo de fase. También
podemos pensar que el compensador de plomo cambia la pendiente de la función
de transferencia y, por lo tanto, da forma a la función de transferencia del bucle
en la región de cruce (aunque también se puede aplicar en otros lugares).
Ejemplo 11.6 Control de alabeo para un avión de empuje vectorial
330
CAPÍTULO 11. DISEÑO EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
Símbolo
m
r
y
F
2
x
Descripción
Masa del vehículo4
Valor
,0 kg
J
Inercia del vehículo, eje 3 0,0475 kg m2
r
Brazo de fuerza25
c
,0 cm
Coeficiente de amortiguación
g
Constante gravitacional9
0,05 kg m/s
2
,8 m/s
F1
(a) Modelo simplificado
(b) Valores de los parámetros
Figura 11.11: Control del alabeo de un avión de empuje vectorial. (a) El ángulo de
balanceo se controla aplicando propulsores de maniobra, lo que da lugar a un momento
generado por F1 . (b) La tabla enumera los valores de los parámetros para una versión de
laboratorio del sistema.
Consideremos el control del alabeo de un avión de empuje vectorial como el
ilustrado en la Figura 11.11. Siguiendo el ejercicio 8.10, modelamos el sistema
con una función de transferencia de segundo orden de la forma
r
P(s) = ,
Js2
con los parámetros indicados en la figura 11.11b. Tomamos como especificación
de rendimiento que nos gustaría tener menos del 1% de error en estado
estacionario y menos del 10% de error de seguimiento hasta 10 rad/s.
La función de transferencia en bucle abierto se muestra en la figura 11.12a.
Para lograr nuestra especificación de rendimiento, nos gustaría tener una ganancia
de al menos 10 a una frecuencia de 10 rad/s, lo que requiere que la frecuencia de
cruce de la ganancia esté en una frecuencia más alta. Vemos por la forma del
bucle que para conseguir el rendimiento deseado no podemos simplemente
aumentar la ganancia ya que esto daría un margen de fase muy bajo. En su lugar,
debemos aumentar la fase a la frecuencia de cruce deseada.
Para ello, utilizamos un compensador de plomo (11.12) con a = 2 y b = 50.
A continuación, ajustamos la ganancia del sistema para proporcionar una gran
ganancia de bucle hasta el ancho de banda deseado, como se muestra en la figura
11.12b. Vemos que este sistema tiene una ganancia superior a
de 10 en todas las frecuencias hasta 10 rad/s y que tiene más de 60 ◦ de margen de
fase.
La acción de un compensador de plomo es esencialmente la misma que la de
la parte derivativa de un controlador PID. Como se describe en la Sección 10.5, a
menudo usamos un filtro para la acción derivativa de un controlador PID para
limitar la ganancia de alta frecuencia. Este mismo efecto está presente en un
compensador líder a través del polo en s = b.
La ecuación (11.12) es un compensador de primer orden y puede proporcionar hasta 90◦ de
de fase. Se puede obtener un mayor adelanto de fase utilizando un plomo de orden superior
com-
331
11.5. LIMITACIONES
FUNDAMENTALES
103
|L(i)|
100
102
|P(i)
0
| 10
10-2
0
10-3
0
∠P
-90
(i)
∠L
-90
(i)
-180
10−1
101
-180
10−1
101
100
Frecuencia rad/s]
(a) Dinámica del proceso
100
102
103
Frecuencia rad/s]
(b) Compensador de plomo
Figura 11.12: Diseño de control para un avión de empuje vectorial utilizando
compensación de plomo. El gráfico de Bode para el proceso de bucle abierto P se muestra
en (a) y la función de transferencia del bucle L = PC utilizando un compensador de plomo
en (b). Nótese la ventaja de fase en la región de cruce cerca de = 100 rad/s.
pensador (Ejercicio 11.11):
C(s) = k
(s + a)n
(s + b)n
,
a < b.
11.5 Fundamental Limitaciones
Aunque la conformación del bucle nos ofrece una gran flexibilidad a la hora de
diseñar la respuesta de bucle cerrado de un sistema, existen ciertos límites
fundamentales sobre lo que se puede conseguir. Aquí consideramos algunas de
las principales limitaciones de rendimiento que pueden producirse debido a una
dinámica difícil; las limitaciones adicionales relacionadas con la robustez se
consideran en el siguiente capítulo.
Polos y ceros del semiplano derecho y retardos
Hay sistemas lineales que son intrínsecamente difíciles de controlar. Las
limitaciones están relacionadas con los polos y ceros en el semiplano derecho y
los retrasos. Para explorar las limitaciones causadas por los polos y ceros en el
semiplano derecho, factorizamos la función de transferencia del proceso como
P(s) = Pmp (s)Pap (s),
(11.13)
donde Pmp es la parte de fase mínima y Pap es la parte de fase no mínima. La
factorización se normaliza de modo
| que Pap
| (i) = 1, y el signo se elige de modo
que Pap tenga fase negativa. La función de transferencia Pap se denomina sistema
de paso total porque tiene ganancia unitaria para todas las frecuencias. Exigiendo
que el margen de fase seam , obtenemos
arg L(gc ) = arg Pap (gc ) + arg Pmp (gc ) + argC(gc ) ≥ − +m ,
(11.14)
332
CAPÍTULO 11. DISEÑO EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
donde C es la función de transferencia del regulador. Sea ngc la pendiente de la
curva de ganancia en la frecuencia de cruce. Como |Pap (i)| = 1, se deduce que
ngc =
d log|L(i)|
d 11
=
=
d log|Pmp (i)C(i)|
d 
1=gc
.
Suponiendo que la pendiente ngc es negativa, tiene que ser mayor
- que 2 para que
el sistema sea estable. De las relaciones de Bode, ecuación (9.8), se deduce que
arg Pmp (i) + argC(i) ≈ ngc .
2
Combinando esto con la ecuación (11.14) se obtiene la siguiente desigualdad
para el desfase permitido de la parte de paso total en la frecuencia de cruce de la
ganancia:
-arg Pap (gc ) ≤ −m + ngc
=:l .
(11.15)
2
Esta condición, que denominamos desigualdad de frecuencia de cruce de
ganancia, muestra que la frecuencia de cruce de ganancia debe elegirse de forma
que el desfase de la componente de fase no mínima no sea demasiado grande.
Para sistemas con altos requisitos de robustez podemos elegir un margen de fase
de 60◦ -(m = /3) y una pendiente
ngc = 1, lo que da un desfase admisiblel = /6 = 0,52 rad (30◦ ). Para
sistemas en los que podemos aceptar una menor robustez podemos elegir un
margen de fase de 45◦ (m = /4) y la pendiente
ngc = 1/2, lo que da un desfase
admisible
◦
l =  = 1,57 rad (90 ).
La desigualdad de la frecuencia de cruce muestra que los componentes de fase no
mínimos
imponen severas restricciones a las posibles frecuencias de cruce. También
significa que hay sistemas que no pueden controlarse con márgenes de
estabilidad suficientes. Ilustramos las limitaciones en una serie de situaciones
habituales.
Ejemplo 11.7 Cero en el semiplano derecho
La parte de fase no mínima de la función de transferencia del proceso para un
sistema con un medio plano derecho cero es
z-s
Pap (s) =
,
z+s
donde z > 0. El desfase de la parte de fase no mínima es
-arg Pap (i) = 2 arctan .
z
Como el desfase de Pap aumenta con la frecuencia, la desigualdad (11.15) da el
siguiente límite en la frecuencia de cruce:
gc
< z tan(l /2).
(11.16)
Conl = /3 obtenemosgc < 0,6 z. Por lo tanto, los ceros lentos del semiplano
derecho (z pequeño) dan restricciones más estrictas a las posibles frecuencias de
cruce de ganancia que los ceros rápidos del semiplano derecho.
333
11.5. LIMITACIONES
FUNDAMENTALES
Los retardos temporales también imponen limitaciones similares a las dadas
por los ceros en el semiplano derecho. Podemos entender esto intuitivamente a
partir de la aproximación de Pade
1 - 0,5s 2/ - s
e-s ≈
=
.
1 + 0.5s
2/ + s
Por lo tanto, un gran retardo equivale a un medio plano derecho lento z = 2/.
Ejemplo 11.8 Polo en el semiplano derecho
La parte de fase no mínima de la función de transferencia para un sistema con un
polo en el semiplano derecho es
s+p
Pap (s) =
,
s-p
donde p > 0. El desfase de la parte de fase no mínima es
p
-arg Pap (i) = 2 arctan ,
y la desigualdad de la frecuencia de cruce se convierte en
p
gc >
.
tan(l /2)
(11.17)
Los polos del semiplano derecho requieren, por tanto, que el sistema de bucle
cerrado tenga un ancho de banda suficientemente alto. Conl = /3 obtenemosgc
> 1,7p. Por lo tanto, los polos semiplanos derechos rápidos (p grande) ofrecen
restricciones más estrictas sobre las posibles frecuencias de cruce de la ganancia
que los polos semiplanos derechos lentos. El control de los sistemas inestables
impone unos requisitos mínimos de ancho de banda para los actuadores y
sensores del proceso.
Ahora consideraremos sistemas con un medio plano derecho cero z y un polo
medio plano derecho p. Si p = z, habrá un subsistema inestable que no es
alcanzable ni observable, y el sistema no puede ser estabilizado (véase la sección
7.5). Por lo tanto, podemos esperar que el sistema sea difícil de controlar si el
polo del semiplano derecho y el cero están cerca. Una forma directa de utilizar la
frecuencia de cruce en
igualdad es trazar la fase del factor de fase no mínimo Pap de la función de
transferencia del proceso. Este gráfico, que puede incorporarse a un gráfico de
Bode ordinario, mostrará inmediatamente las frecuencias de cruce de ganancia
permitidas. En la figura 11.13 se ilustra la fase de Pap para sistemas con un par
polo/cero en el semiplano derecho y sistemas con un polo en el semiplano
derecho y un retardo de tiempo.
Si exigimos que el desfasel del factor de fase no mínimo sea inferior a 90◦ ,
debemos exigir que la relación z/p sea mayor que 6 o menor que 1/6 para los
sistemas con polos y ceros del semiplano derecho y que el producto  sea menor
que
0,3 para sistemas con retardo de tiempo y un polo de medio plano derecho.
Observe la simetría del problema para z > p y z < p: en ambos casos los ceros y
los polos deben estar suficientemente separados (Ejercicio 11.12). Observe
también que los posibles valores de la frecuencia de cruce de la gananciagc son
bastante restringidos.
Utilizando la teoría de funciones de variables complejas, se puede demostrar
que para sistemas con un polo p de medio plano derecho y un cero de medio
plano derecho z (o un retardo de tiempo
334
CAPÍTULO 11. DISEÑO EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
0
b=0.01
b=0.05
=0.02
=0.1
b=20
∠P
ap
0
b=100
∠P
-90
b=0.2
(i)
ap
b=5
-90
=0.5
(i)
=1
-180
10−2
-180
10−2
100
102
Frecuencia rad/s]
100
Frecuencia rad/s]
102
(b) Poste de RHP y tiempo de retardo
(a) Polo/par de cero RHP
Figura 11.13: Ejemplo de limitaciones debidas a la desigualdad de la frecuencia de cruce
de la ganancia. Las figuras muestran el desfase del factor de paso total Pap en función de la
frecuencia. Dado que el desfase de Pap en la frecuencia de cruce de ganancia no puede ser
demasiado grande, es necesario elegir el
ganancia de la frecuencia de cruce correctamente. Todos los sistemas tienen un polo medio
plano derecho en s = 1. El sistema de (a) tiene ceros en s = 2, 5, 20 y 100 (líneas
continuas) y en s = 0,5, 0,2, 0,05 y 0,01 (líneas discontinuas). El sistema de (b) tiene
retrasos de tiempo = 0,02 0,1, 0,5 y 1.
), cualquier controlador estabilizador da funciones de sensibilidad con la propiedad
sup|S(i)| ≥

p+z
,
|p - z|
sup|T (i)| ≥ ep .
(11.18)

Este resultado se demuestra en el ejercicio 11.13.
Como muestran los ejemplos anteriores, los polos y los ceros del semiplano
derecho limitan considerablemente el rendimiento de un sistema, por lo que es
conveniente evitarlos siempre que sea posible. Los polos de un sistema dependen
de la dinámica intrínseca del sistema y vienen dados por los valores propios de la
matriz dinámica A de un sistema lineal. Los sensores y actuadores no tienen
ningún efecto sobre los polos; la única manera de cambiar los polos es rediseñar
el sistema. Hay que tener en cuenta que esto no implica que haya que evitar los
sistemas inestables. De hecho, los sistemas inestables pueden tener ventajas; un
ejemplo son los aviones supersónicos de alto rendimiento.
Los ceros de un sistema dependen de cómo se acoplen los sensores y los
actuadores a los estados. Los ceros dependen de todas las matrices A, B, C y D
de un sistema lineal. Por lo tanto, los ceros pueden ser influenciados por el
movimiento de los sensores y actuadores o por la adición de sensores y
actuadores. Obsérvese que un sistema totalmente actuado B = I no tiene ningún
cero.
Ejemplo 11.9 Sistema de equilibrio
Como ejemplo de un sistema con polos y ceros en el semiplano derecho, consideremos
el
335
11.5. LIMITACIONES
FUNDAMENTALES
sistema de equilibrio con amortiguación cero, cuya dinámica viene dada por
ml
HF =
,
m2l2
-(Mt Jt )s2 + mglMt
2 mgl
Js+
tHpF =
.
s2 -(Mt Jt - m2l2)s2 + mglMt
Supongamos que queremos estabilizar el péndulo utilizando la posición del carro
como señal de
la fuerza de entrada F a
j medición. La función de transferencia de{
j
±
la posición del carro
m2l2
p tiene polos 0, 0, mglMt /(Mt Jt
) y ceros mgl/Jt . Utilizando los parámetros
}
{±
}
del ejemplo 6.7, el polo del semiplano derecho está en p = 2,68 y el cero está en
| S(i)| ≥8, lo que muestra que no es
z = 2,09. La ecuación (11.18) da entonces
posible controlar el sistema de manera robusta.
El medio plano derecho del sistema puede eliminarse cambiando la salida del
sistema. Por ejemplo, si elegimos que la salida corresponda a una posición a una
distancia r a lo largo del péndulo, tenemos -y = p r  y la función de
transferencia para la salida linealizada se convierte en
H
y,F =
H
pF -
rH
F=
(mlr - Jt )s2 + mgl
s2 -(Mt Jt - m2l2)s2 + mglMt
.
Si elegimos r suficientemente grande, entonces
- mlr Jt > 0 y eliminamos el cero
del semiplano derecho, obteniendo en su lugar dos ceros imaginarios puros. La
desigualdad de la frecuencia de cruce de la ganancia se basa entonces sólo en el polo
del semiplano derecho (Ejemplo 11.8).
Si nuestro desfase admisible para la parte de fase no mínima esl = 45◦ , entonces
nuestro cruce de ganancia debe satisfacer
p
gc >
= 6,48 rad/s.
tan(l /2)
Si los actuadores tienen un ancho de banda suficientemente alto, por ejemplo, un
factor de 10 por encima degc o aproximadamente 10 Hz, entonces podemos
proporcionar un seguimiento robusto hasta esta frecuencia.
Fórmula integral de Bode
Además de proporcionar un margen de fase adecuado para una estabilidad
robusta, un diseño de control típico tendrá que satisfacer las condiciones de
rendimiento de las funciones de sensibilidad (Gang of Four). En particular, la
función de sensibilidad S = 1/(1 + PC) representa la atenuación de la perturbación
y también relaciona el error de seguimiento e con la señal de referencia:
normalmente queremos que la sensibilidad sea pequeña en el rango de
frecuencias donde
quieren un pequeño error de seguimiento y una buena atenuación de las
perturbaciones. Un problema básico es investigar si S puede hacerse pequeño en
un gran rango de frecuencias. Empezaremos por investigar un ejemplo.
Ejemplo 11.10 Sistema que admite sensibilidades pequeñas
Consideremos un sistema de bucle cerrado formado por un proceso de primer orden y un
proceso proporcional
336
CAPÍTULO 11. DISEÑO EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
controlador. Sea la función de transferencia del lazo
k
L(s) = PC =
,
s+1
donde el parámetro k es la ganancia del controlador. La función de sensibilidad es
s+1
S(s) =
s+ 1+ k
y tenemos
I
1+2
.
|S(i)| =
1 + 2k + k2 + 2
Esto implica que|S(i) <| 1 para todas las frecuencias finitas y que la sensibilidad
puede hacerse arbitrariamente pequeña para cualquier frecuencia finita haciendo
k suficientemente grande.
El sistema del ejemplo 11.10 es, por desgracia, una excepción. La
característica clave del sistema es que la curva de Nyquist del proceso está
completamente contenida en el semiplano derecho. Tales sistemas se llaman
pasivos, y sus funciones de transferencia son reales positivas. Para los sistemas
de control típicos existen severas restricciones en la función de sensibilidad. El
siguiente teorema, debido a Bode, proporciona información sobre los límites del
rendimiento bajo retroalimentación.
Teorema 11.1 (fórmula integral de Bode). Supongamos que la función de
transferencia de bucle L(s) de un sistema de retroalimentación
→ va a cero más
rápido que 1/s como s , y dejemos que S(s) sea la función de sensibilidad. Si la
función de transferencia de bucle tiene polos pk en el semiplano derecho,
entonces la función de sensibilidad satisface1 la siguiente integral:
- log S  
- log

p
(11.19)
(
)|
=
|
= k.
|1 + L(i)|
0
0
La ecuación (11.19) implica que hay limitaciones fundamentales a lo que
puede lograrse mediante el control y que el diseño del control puede verse como
una redistribución de la atenuación de la perturbación en diferentes frecuencias.
En particular, esta ecuación muestra que si la función de sensibilidad se hace más
pequeña para algunas frecuencias, debe aumentar en otras
para que la
| frecuencias
|
integral de log S(i) permanezca constante.
Esto significa que si se mejora la atenuación de las perturbaciones en una gama de
frecuencias, se
será peor en otro, una propiedad que a veces se denomina efecto cama de agua.
También se deduce que los sistemas con polos de bucle abierto en el semiplano
derecho tienen una sensibilidad global mayor que los sistemas estables.
La ecuación (11.19) puede considerarse como una ley de conservación: si la
función de transferencia del bucle no tiene polos en el semiplano derecho, la
ecuación se simplifica a
- log S | ( )|
0
= 0.
Esta fórmula puede tener una buena interpretación geométrica, como se ilustra en
la f i g u r a 11.14, que muestra
el| log S(i) en función de . El área sobre el eje
|
horizontal debe ser igual al área bajo el eje cuando la frecuencia se traza en una
escala lineal. Por lo tanto, si deseamos que la sensibilidad sea menor hasta cierta
frecuencia
337
11.5. LIMITACIONES
FUNDAMENTALES
Diseño serio
10
s.g
1
log|S 0
(i)| -1
-2
-3
0
1
2
Frecuencia rad/s] (escala lineal)
(a) Fórmula integral de Bode
3
Lo
g
M
1.0
ag
nit
ud
e
0.1
0.0
0.5
1.0
Frecuencia
1.5
2.0
(b) Proceso de diseño del control
Figura 11.14: Interpretación del efecto lecho de agua. La función log |S(i) se| representa frente a
en escalas lineales en (a). Según la fórmula integral de Bode (11.19), el área de log |S(i) |
por encima de cero debe ser igual al área por debajo de cero. La interpretación de Gunter Stein del diseño como
La compensación de sensibilidades a diferentes frecuencias se muestra en (b) (de [Ste03]).
, debemos equilibrarlo con una mayor sensibilidad por encima desc . El designo del sistema de control puede ser visto como un intercambio de la
atenuación de la perturbación en algunas frecuencias para la amplificación de la
perturbación en otras frecuencias. Obsérvese que el sistema del ejemplo 11.10
→
viola la condición de que lim s sL(s) = 0 y por lo tanto la fórmula integral no se
aplica.
Existe un resultado análogo a la ecuación (11.19) para la función de
sensibilidad complementaria:
1
- log|T (i)|
(11.20)
=
zi

,
2
0
donde la suma es sobre todos los ceros del semiplano derecho. Obsérvese que los
ceros lentos del semiplano derecho son peores que los rápidos y que los polos
rápidos del semiplano derecho son peores que los lentos.
sc
Ejemplo 11.11 Avión X-29
Como ejemplo de la aplicación de la fórmula integral de Bode, presentamos un
análisis del sistema de control del avión X-29 (véase la figura 11.15a), que tiene
una configuración inusual de superficies aerodinámicas diseñadas para mejorar
su maniobrabilidad. Este análisis fue realizado originalmente por Gunter Stein en
su artículo "Respect the Unstable" [Ste03], que es también la fuente de la cita
que aparece al principio de este capítulo.
Para analizar este sistema, hacemos uso de un pequeño conjunto de
parámetros que describen las propiedades clave del sistema. El X-29 tiene una
dinámica longitudinal muy similar a la del péndulo invertido (Ejercicio 8.3) y, en
particular, tiene un
par de polos en aproximadamente p =
± 6 y un cero en z = 26. Los actuadores que
estabilizan el paso tienen un ancho de banda dea = 40 rad/s y el ancho de banda
deseado del bucle de control del paso es1 = 3 rad/s. Dado que la relación entre el
cero y el polo es de sólo 4,3, cabe esperar que sea difícil alcanzar las
especificaciones.
Para evaluar el rendimiento alcanzable, buscamos una ley de control tal que
338
CAPÍTULO 11. DISEÑO EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
Ms
|S(i)|
1
1
a
Frecuencia rad/s]
(a) Avión X-29
(b) Análisis de sensibilidad
Figura 11.15: Sistema de control de vuelo del X-29. La aeronave utiliza alas barridas hacia
delante y un conjunto de canards en el fuselaje para lograr una alta maniobrabilidad (a). La
sensibilidad deseada para el sistema de bucle cerrado se muestra en (b). Buscamos utilizar
nuestra autoridad de control para dar forma a la curva de sensibilidad de manera que
tengamos una baja sensibilidad (buen rendimiento) hasta la frecuencia1 creando una mayor
sensibilidad hasta el ancho de banda de nuestro actuador a.
la función de sensibilidad es pequeña hasta el ancho de banda deseado y no
mayor que Ms más allá de esa frecuencia. Debido a la fórmula integral de Bode,
sabemos que Ms debe ser mayor que 1 a altas frecuencias para equilibrar la
pequeña sensibilidad a baja frecuencia. Por lo tanto, nos preguntamos si
podemos encontrar un controlador que tiene la forma mostrada en la Figura
11.15b con el valor más pequeño de Ms . Tenga en cuenta que la sensibilidad por
encima de la frecuenciaa no se especifica ya que no tenemos la autoridad del
actuador en esa frecuencia. Sin embargo, asumiendo que la dinámica del proceso
cae en alta frecuencia, la sen- sibilidad en alta frecuencia se acercará a 1. Por lo
tanto, deseamos diseñar un sistema de lazo cerrado que tenga una baja
sensibilidad en frecuencias por debajo de1 y una sensibilidad que no sea
demasiado grande entre1 ya .
A partir de la fórmula integral de Bode, sabemos que cualquiera que sea el
controlador que elijamos, la ecuación (11.19) debe cumplirse. Supondremos que
la función de sensibilidad está dadafpor
Sra.
1
|S(i)| = 1
Ms
1≤
≤a ,
correspondiente a la figura 11.15b. Si además suponemos que
| L(s)
| ≤ para
frecuencias mayores que el ancho de banda del actuador, la integral de Bode se
convierte en
- log S  
| ( )|
0
-a
=
=
log S  
| ( )|
-0 1
Ms
 + (a − 1 ) log Ms = p.
regist
1
ro
0
La evaluación de la integral da −1 +a log Ms = p o
Ms =
e( p+1) .
Esta fórmula nos indica cuál será el valor alcanzable de Ms para las
especificaciones de control dadas. En particular, utilizando p = 6,1 = 3 ya = 40
rad/s, encontramos que Ms = 1,75, lo que significa que en el rango de
frecuencias entre1 ya , las perturbaciones en la entrada de la dinámica del proceso
(como el viento) se amplificarán
339
11.5. LIMITACIONES
FUNDAMENTALES
Im s
iR
x+
xRe s
iR
Figura 11.16: Contorno utilizado para demostrar el teorema de Bode. Para cada polo del
semiplano derecho creamos una trayectoria desde el eje imaginario que rodea el polo como
se muestra. Para evitar el desorden hemos mostrado sólo una de las trayectorias que rodean
un semiplano derecho.
por un factor de 1,75 en cuanto a su efecto sobre la aeronave.
Otra forma de ver estos resultados es calcular el margen de fase que corre
corresponde al nivel de sensibilidad dado. Dado que el pico de sensibilidad se
produce normalmente en o cerca de la frecuencia de cruce, podemos calcular el
margen de fase correspondiente a Ms = 1,75. Como se muestra en el Ejercicio
11.14, el máximo margen de fase alcanzable para este sistema es de
aproximadamente 35◦ , que está por debajo del límite de diseño habitual de 45◦ en
los sistemas aeroespaciales. El cero en s = 26 limita el máximo cruce de ganancia
que se puede lograr.
�
Derivación de la fórmula de Bode
Ahora derivamos la fórmula de la integral de Bode (Teorema 11.1). Esta es una
sección técnica que requiere algunos conocimientos de la teoría de variables
complejas, en particular la integración de contornos. Supongamos que la función
de transferencia de bucle tiene polos distintos en s = pk en el semiplano derecho
y que L(s) va a cero más rápido que 1/s para valores grandes de s.
Considere la integral del logaritmo de la función de sensibilidad S(s) = 1/(1
+ L(s)) sobre el contorno mostrado en la Figura 11.16. El contorno encierra el
semiplano derecho excepto en los puntos s = pk donde la función de
transferencia del bucle L(s) = P(s)C(s) tiene polos y la función de sensibilidad
S(s) tiene ceros. El sentido del contorno es contrario a las agujas del reloj.
La integral del logaritmo de la función de sensibilidad alrededor de este contorno viene
dada por
por
- log S s ds
( ( ))
=
-iR
iR
log S (s ds
( ))
+
- log S s ds
( ( ))
R
+
- log S s ds
( ( ))
k
= I1 + I2 + I3 = 0,
donde R es un gran semicírculo a la derecha yk es el contorno que comienza en el
eje imaginario en s = Im pk y un pequeño círculo que encierra el polo pk . La
integral
340
CAPÍTULO 11. DISEÑO EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
es cero porque la función
- R log S(s) es analítica dentro
- R del contorno. Tenemos
I
i
log S  
2i
S

- log
( ( ))
=
(| ( )|)
1 = 0
-R
porque la parte real de log S(i) es una función par y la parte imaginaria es una
función impar. Además, tenemos
-R
I2 =
log(S(s)) ds = --R log(1 + L(s)) ds ≈ --R L(s) ds.
Como L(s) llega a cero más rápido que 1/s para s grandes, la integral llega a cero
cuando el radio del círculo llega a infinito.
A continuación consideramos la integral I3 . Para ello dividimos el contorno
en tres partes X+ , y X− , como se indica en la figura 11.16. Podemos entonces
escribir la integral como
I3 =
-X
log S(s) ds + log S(s) ds +
-X
−
+
-
log S(s) ds.
El contorno es un pequeño círculo de radio r alrededor del polo pk . La magnitud
del integrando es del orden log r, y la longitud del camino es . La integral
por lo tanto va a cero a medida que el radio r va a cero.
≈ Como
- S(s) k/(s pk )
cerca del polo, el argumento de S(s) disminuye en  a medida que el
contorno rodea el polo. En los contornos X+ y X− tenemos por tanto
|SX +|= |SX - |,
Por lo
tanto,
y
obtenemos
arg SX - = arg SX + - 2.
log(SX + ) -log(SX - ) = ,
-X
log S(s) ds +
+
-X
-
log S(s) ds =  i Re pk .
Repitiendo el argumento para todos los polos pk en el semiplano derecho,
dejando que los círculos pequeños vayan a cero y el círculo grande vaya a
infinito da
I1 +I2 +3I = - 2i
- R
0
log| S(  )|
+i
 Re p
k
= 0.
k
Como los polos complejos aparecen como pares conjugados complejos,k Re pk
=k pk , lo que da la fórmula de Bode (11.19).
11.6 Diseño Ejemplo
En esta sección presentamos un ejemplo detallado que ilustra las principales
técnicas de diseño descritas en este capítulo.
Ejemplo 11.12 Control lateral de un avión de empuje vectorial
El problema de controlar el movimiento de un avión de despegue y aterrizaje
vertical (VTOL) se introdujo en el Ejemplo 2.9 y en el Ejemplo 11.6, donde
diseñamos un
341
11.6. EJEMPLO DE DISEÑO
Ho
r
d
Co
la
Ci
Pi
ui
-mg
Po
y
-1
-1
Figura 11.17: Diseño de control interno/externo para un avión de empuje vectorial. El
bucle interno Hi controla el ángulo de balanceo de la aeronave utilizando el empuje
vectorial. El controlador de bucle externo Co controla el ángulo de balanceo para regular la
posición lateral. La dinámica del proceso se descompone en la dinámica del bucle interior
(Pi) y del bucle exterior (Po), que se combinan para formar la dinámica completa de la
aeronave.
.
controlador para la dinámica de balanceo. Ahora queremos controlar la posición de
la aeronave, un problema que requiere la estabilización tanto de la actitud como
de la posición.
Para controlar la dinámica lateral de la aeronave de empuje vectorial,
utilizamos una metodología de diseño de bucle "interior/exterior", como se
ilustra en la figura 11.17. Este diagrama muestra la dinámica del proceso y el
controlador dividido en dos componentes: un bucle interno que consiste en la
dinámica del balanceo y el control y un bucle externo que consiste en la
dinámica de la posición lateral y el controlador. Esta descomposición sigue la
representación del diagrama de bloques de la dinámica dada en el Ejercicio 8.10.
El enfoque que adoptamos es diseñar un controlador Ci para el bucle interior
de manera que el sistema de bucle cerrado resultante Hi proporcione un control
rápido y preciso del ángulo de balanceo de la aeronave. A continuación,
diseñamos un controlador para la posición lateral que utiliza la aproximación de
que podemos controlar directamente el ángulo de balanceo como entrada a la
dinámica que controla la posición. Bajo la suposición de que la dinámica del
controlador de balanceo es rápida en relación con el ancho de banda deseado
para el control de la posición lateral, podemos combinar los controladores de
bucle interior y exterior para obtener un único controlador para todo el sistema.
Como especificación de rendimiento para todo el sistema, nos gustaría tener un
error de estado estacionario cero en la posición lateral, un ancho de banda de
aproximadamente 1 rad/s y un margen de fase de 45◦ .
Para el bucle interior, elegimos nuestra especificación de diseño para
proporcionar al bucle exterior un control preciso y rápido del balanceo. La
dinámica del bucle interior viene dada por
r
Pi = Hu 1 =
.
Js2 + cs
Elegimos que el ancho de banda deseado sea de 10 rad/s (10 veces el del bucle exterior)
y que el error de baja frecuencia no sea superior al 5%. Esta especificación se
satisface utilizando el compensador de plomo del ejemplo 11.6 diseñado
anteriormente, por lo que elegimos
+a
Ci (s) = ks
, a = 2, b = 50, k = 1.
s+b
342
CAPÍTULO 11. DISEÑO EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
103
Co
Dinám
ica de los
rodillos
-mg
|Hi
2
(i)| 10
101
180
Po
∠
-1
Hi
90
(i)
0
100
(a) Aproximación al bucle
exterior
101
102
Frecuencia rad/s]
103
(b) Dinámica de balanceo real
Figura 11.18: Diseño de control de bucle externo para un avión de empuje vectorial. (a) El
lazo exterior aproxima la dinámica de balanceo
- como una ganancia de estado mg. (b) El
gráfico de Bode para la dinámica de balanceo, que indica que esta aproximación es precisa
hasta aproximadamente 10 rad/s.
La dinámica de bucle cerrado del sistema satisface
Hi =
Ci
Ci P i
=
Ci (1 - mgPi )
.
1 + Ci
1 + Ci Pi
Pi
En la Figura 11.18 se muestra un gráfico de la magnitud de esta función de
transferencia,
,2 es una buena aproximación
≈ -y vemos- que Hi mg =39
hasta 10 rad/s.
Para diseñar el controlador del bucle exterior, suponemos que el control del bucle
interior del balanceo es
perfecto, por lo que podemos tomard como entrada a nuestra dinámica lateral.
Siguiendo el diagrama mostrado en el Ejercicio 8.10, la dinámica del bucle
exterior puede escribirse como
Hi(0)
P(s) = Hi (0)Po (s) =
,
ms2
donde sustituimos Hi (s) por Hi (0) para reflejar nuestra aproximación de que el
bucle interior acabará siguiendo nuestra entrada comandada. Por supuesto, esta
aproximación puede no ser válida, por lo que debemos verificar esto cuando
completemos nuestro diseño.
Nuestro objetivo de control es ahora diseñar un controlador que dé un error
de estado estacionario cero en y y tenga un ancho de banda de 1 rad/s. La
dinámica del proceso del lazo exterior viene dada por un integrador de segundo
orden, y de nuevo podemos utilizar un simple compensador de plomo para
satisfacer las especificaciones. También elegimos el diseño de forma que la
transferencia del bucle
para el bucle exterior tiene Lo |< |0,1 para > 10 rad/s, de modo que la dinámica
Hi puede despreciarse. Elegimos que el controlador sea de la forma
s + ao
C o(s) = - ok
,
s + bo
con el signo negativo para anular el signo negativo en la dinámica del proceso.
Para encontrar la ubicación de los polos, observamos que el adelanto de fase se
aplana aproximadamente en bo /10. Deseamos la ventaja de fase en el cruce, y
deseamos el cruce engc =
1 + Ci Pi
- mg
1 rad/s, por lo que esto da bo = 10. Para asegurarnos de que tenemos una ventaja de fase
adecuada, debemos
elegir uno tal que bo /10 < 10ao < bo , lo que implica que ao debe estar entre
344
11.7.
LECTURA ADICIONAL
CAPÍTULO 11. DISEÑO EN EL DOMINIO343
DE LA
FRECUENCIA
So
y
3
|L(i)|10
10-1
10-5
0
-90
∠L
-180
(i)
-270
-360
10−4
Soy
Re
10−2
100
Frecuencia rad/s]
Re
102
(a) Diagrama de Bode
(b) Diagrama de Nyquist
Figura 11.19: Controlador de bucle interior/exterior para un avión de empuje vectorial. Se
muestran el diagrama de Bode (a) y el diagrama de Nyquist (b) para la función de
transferencia para las funciones de transferencia combinadas del bucle interior y exterior.
El sistema tiene un margen de fase de 68◦ y un margen de ganancia de 6,2.
0,1 y 1. Elegimos uno = 0,3. Por último, tenemos que fijar la ganancia del
sistema de forma que en el cruce la ganancia del bucle tenga magnitud 1. Un
simple cálculo muestra que ko = 2 satisface este objetivo. Por lo tanto, el
controlador final del bucle exterior se convierte en
s + 0.3
C -o(s) = 2
.
s + 10
Finalmente, podemos combinar los controladores de lazo interior y exterior y
verificar que el sistema tiene el rendimiento de lazo cerrado deseado. Los
gráficos de Bode y Nyquist correspondientes a la Figura 11.17 con los
controladores de lazo interno y externo se muestran en la Figura 11.19, y vemos
que las especificaciones se satisfacen. Además, mostramos el Gang of Four en la
Figura 11.20, y vemos que las funciones de transferencia entre todas las entradas
y salidas son razonables. La sensibilidad a las perturbaciones de carga PS es
grande a baja frecuencia porque el controlador no tiene acción integral.
El enfoque de dividir la dinámica en un bucle interno y otro externo es común
en muchas aplicaciones de control y puede conducir a diseños más simples para
sistemas complejos. De hecho, para la dinámica de la aeronave estudiada en este
ejemplo, es muy difícil diseñar directamente un controlador desde la posición
lateral x hasta la entrada u1 . El uso de la medida adicional de simplifica
enormemente el diseño porque puede dividirse en piezas más sencillas.
11.7 Más información en
El diseño por conformación de bucles fue un elemento clave en el desarrollo
temprano del control, y se desarrollaron métodos de diseño sistemáticos; véase
James, Nichols y Phillips [JNP47], Chestnut y Mayer [CM51], Truxal [Tru55] y
Thaler [Tha89]. La formación de bucles también se trata en libros de texto estándar
como Franklin, Powell y Emami-Naeini [FPEN05], Dorf y Bishop [DB04], Kuo y
Golnaraghi [KG02] y
Ogata [Oga01]. Los sistemas con dos grados de libertad fueron desarrollados por Horowitz
[Hor63],
344
CAPÍTULO 11. DISEÑO EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
101
101
|PS(i
)| 10-2
|T 10-1
(i)| 10-3
10-5
10−2
100
102
Frecuencia rad/s]
10-5
10−2
100
Frecuencia rad/s]
102
100
Frecuencia rad/s]
102
101
100
|S(i)|
10-2
|CS(i10-1
)| 10-3
10-5
10−2
100
102
Frecuencia rad/s]
10-4
10−2
Figura 11.20: Grupo de cuatro para un sistema de avión de empuje vectorial.
que también discutió las limitaciones de los polos y ceros en el semiplano
derecho. Los resultados funcionales sobre las limitaciones se dan en Bode
[Bod45]; presentaciones más recientes se encuentran en Goodwin, Graebe y
Salgado [GGS01]. El tratamiento de la sección 11.5 se basa en [ Åst00]. Gran parte
de los primeros trabajos se basaron en la función de bucle trans- fer; la
importancia de las funciones de sensibilidad apareció en relación con el
desarrollo en la década de 1980 que dio lugar a los métodos de diseño H . Una
presentación compacta se da en los textos de Doyle, Francis y Tannenbaum
[DFT92] y Zhou, Doyle y Glover [ZDG96]. La conformación de lazos se integró
con la teoría de control robusto en McFarlane y Glover [MG90] y Vinnicombe
[Vin01]. Tratamientos completos del diseño de sistemas de control se dan en
Maciejowski [Mac89] y Goodwin, Graebe y Salgado [GGS01].
Ejercicios
11.1 Considere el sistema de la figura 11.1. Indique todos los pares de señales
que están relacionados por las funciones de transferencia 1/(1 + PC), P/(1 +
PC), C/(1 + PC) y PC/(1 + PC).
11.2 Considere el sistema del ejemplo 11.1. Elija los parámetros a = 1 y -calcule
las respuestas en tiempo y frecuencia para todas las funciones de transferencia en
la Banda de Cuatro para controladores con k = 0,2 y k = 5.
11.3 (Equivalencia de las figuras 11.1 y 11.2) Considere el sistema de la figura
11.1 y deje que las salidas de interés sean z = (, ) y las perturbaciones
principales sean w = (n, d). Demuestre que el sistema puede representarse
mediante la figura 11.2 y dé las funciones matriciales de transferencia P y C .
Verifique que los elementos de la transferencia en lazo cerrado
función Hzw son la Banda de los Cuatro.
345
EJERCICIOS
11.4 Consideremos el sistema muelle-masa dado por (2.14), que tiene la transferencia
función
1
P(s) =
.
ms2 + cs + k
Diseñe un compensador feedforward que dé una respuesta con amortiguación
crítica ( = 1).
11.5 (Sensibilidad de la retroalimentación y la alimentación) Considere el
sistema de la figura 11.1 y sea Gyr la función de transferencia que relaciona la
señal medida y con la referencia
r. Demuestre que las sensibilidades de Gyr con respecto a las funciones de
transferencia de avance y retroalimentación F y C están dadas por dGyr /dF =
CP/(1 + PC) y dGyr /dC = FP/(1 + PC)2 = Gyr L/C.
11.6 (Equivalencia de controladores con dos grados de libertad) Demuestre que
los sistemas de las figuras 11.1 y 11.3 dan las mismas respuestas a las señales de
mando si Fm C + Fu = CF.
11.7 (Atenuación de la perturbación) Considere el sistema de retroalimentación
mostrado en la figura 11.1. Supongamos que la señal de referencia es constante.
Sea yol la salida medida cuando no hay realimentación e ycl la salida con
realimentación. Demuestre que Ycl (s) =
S(s)Yol (s), donde S es la función de sensibilidad.
11.8 (Reducción de perturbaciones mediante retroalimentación) Considere un
problema en el que se ha medido una variable de salida para estimar el potencial
de atenuación de perturbaciones mediante retroalimentación. Supongamos que
un análisis muestra que es posible diseñar un sistema de bucle cerrado con la
función de sensibilidad
s
S(s) =
.
s2 + s + 1
Estimar la posible reducción de la perturbación cuando la perturbación medida es
y(t) = 5 sin(0,1 t) + 3 sin(0,17 t) + 0,5 cos(0,9 t) + 0,1 t.
11.9 Demuestre que el efecto del ruido de medición de alta frecuencia en la
señal de control para el sistema del ejemplo 11.4 puede aproximarse mediante
CS ≈ C =
kd s
(sTf
)2 /2 +
sTf + 1 ,
y que el mayor valor de |CS(i)| es kd /Tf que se da para = √2/Tf .
11.10 (Atenuación de las perturbaciones sinusoidales de baja frecuencia) La
acción integral elimina las perturbaciones constantes y reduce las perturbaciones
de baja frecuencia porque la ganancia del regulador es infinita a frecuencia cero.
Una idea similar puede utilizarse para reducir los efectos de las perturbaciones
sinusoidales de frecuencia conocida0 utilizando el controlador
kss
C(s) = kp +
.
s2 + 0 s + 2 0
Este controlador tiene la ganancia Cs (0 ) = kp + ks /( ) para la frecuencia0 ,
que puede ser grande eligiendo un valor pequeño de . Supongamos que el
proceso tiene la
346
CAPÍTULO 11. DISEÑO EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA
función de transferencia P(s) = 1/s. Determine el diagrama de Bode de la
función de transferencia del bucle y simule el sistema. Compare los resultados
con el control PI.
11.11 Consideremos un compensador de plomo con la función de transferencia
s√n k+ an
,
s+
a
que tiene una ganancia de frecuencia cero C(0) = 1 y una ganancia de frecuencia
alta C() = k. Demuestre que la ganancia requerida para dar una ventaja de fase
dada es
J
n
2
k = 1 + 2 tan (/n) + 2 tan(/n) 1 + tan2(/n) ,
Cn (s)
=
y que lim k = e2 .
n→
11.12 Consideremos un proceso con la función de transferencia de bucle
z-s
L(s) = k
,
s-p
con z y p positivos. Demuestre que el sistema es estable si p/z < k < 1 o 1 < k
< p/z, y que el mayor margen de estabilidad es
| -sm| = p z /(p + z) se obtiene para
k = 2p/(p + z). Determine las relaciones polo/cero que dan el margen de
estabilidad sm = 2/3.
� 11.13 Demuestre las desigualdades dadas por la ecuación (11.18). (Sugerencia:
Utilice el teorema del módulo máximo).
11.14 (Fórmulas del margen de fase) Demuestre que la relación entre el margen
de fase y los valores de las funciones de sensibilidad en el cruce de ganancia
viene dada por
1
|S(gc )| = |T (gc )| =
.
2 sin(m/2)
11.15 (Estabilización de un péndulo invertido con retroalimentación visual)
Considere la estabilización de un péndulo invertido basada en la
retroalimentación visual utilizando una cámara de video con una frecuencia de
cuadro de 50 Hz. Supongamos que la longitud efectiva
- del péndulo es l.
Supongamos que queremos que la función de transferencia del bucle tenga una
pendiente de ngc = 1/2 en la frecuencia de cruce. Utilice la desigualdad de la
frecuencia de cruce de la ganancia para determinar el mínimo
longitud del péndulo que se puede estabilizar si deseamos un margen de fase de 45◦ .
11.16 (Bicicleta con dirección trasera) Consideremos el modelo simple de una
bicicleta en la ecuación (3.5), que tiene un polo en el semiplano derecho. El
modelo también es válido para una bicicleta con dirección trasera, pero el signo
de la velocidad se invierte y el sistema también tiene un cero en el semiplano
derecho. Utilice los resultados del Ejercicio 11.12 para dar una condición sobre
los parámetros físicos que admita un controlador con el margen de estabilidad sm
.
� 11.17 Demuestre la fórmula (11.20) para la sensibilidad complementaria.
Capítulo 12
Rendimiento robusto
Sin embargo, construyendo un amplificador cuya ganancia se hace deliberadamente,
digamos 40 decibelios más alta de lo necesario (10000 veces el exceso en base a la
energía), y luego alimentando la salida de nuevo en la entrada de tal manera como para
tirar ese exceso de ganancia, se ha encontrado posible efectuar una mejora extraordinaria
en la constancia de la amplificación y la libertad de la no linealidad.
Harold S. Black, "Stabilized Feedback Amplifiers", 1934 [Bla34].
Este capítulo se centra en el análisis de la robustez de los sistemas de
retroalimentación, un amplio tema para el que sólo ofrecemos una introducción a
algunos de los conceptos clave. Consideramos la estabilidad y el rendimiento de
los sistemas cuya dinámica de proceso es incierta y derivamos los límites
fundamentales de la estabilidad y el rendimiento robustos. Para ello,
desarrollamos formas de describir la incertidumbre, tanto en forma de
variaciones de los parámetros como en forma de dinámicas desatendidas.
También mencionamos brevemente algunos métodos de diseño de controladores
para lograr un rendimiento robusto.
12.1 Modelización Incertidumbre
La cita de Harold Black ilustra que uno de los usos clave de la retroalimentación
es proporcionar solidez a la incertidumbre ("constancia de la amplificación"). Es
una de las propiedades más útiles de la retroalimentación y es lo que permite
diseñar sistemas de retroalimentación basados en modelos muy simplificados.
Una forma de incertidumbre en los sistemas dinámicos es la incertidumbre
paramétrica, en la que se desconocen los parámetros que describen el sistema.
Un ejemplo típico es la variación de la masa de un coche, que cambia con el
número de pasajeros y el peso del equipaje. Al linealizar un sistema no lineal, los
parámetros del modelo linealizado también dependen de las condiciones de
funcionamiento. Es sencillo investigar los efectos de la incertidumbre
paramétrica simplemente evaluando los criterios de rendimiento para un rango de
parámetros. Este cálculo revela las consecuencias de las variaciones de los
parámetros. Lo ilustramos con un ejemplo sencillo.
Ejemplo 12.1 Control de crucero
El problema de control de crucero fue descrito en la Sección 3.1, y un
controlador PI fue diseñado en el Ejemplo 10.3. Para investigar el efecto de las
variaciones de los parámetros, elegiremos un controlador diseñado para una
condición de funcionamiento nominal que correspondea masa m = 1600 kg, cuarta marcha ( = 12) y velocidad ve = 25 m/s; las
ganancias del regulador son kp = 0,72 y ki = 0,18. La figura 12.1a muestra la
velocidad v y el acelerador u al encontrar una colina con una pendiente de 3◦ con
masas en el rango 1600 < m < 2000 kg, relaciones de cambio 3-5 ( = 10, 12 y
16) y velocidad 10 ≤ v ≤ 40
348
CAPÍTULO 12. RENDIMIENTO ROBUSTO
1
Er
ror 0
e
-1
0
So
0.5
5
10
15
Tiempo t [s]
20
2
En
tra 1
da
u 0
R
-1
-0.5
-0.5
0
5
10
Tiempo t [s]
(a) Respuesta a las
perturbaciones
15
20
(b) Valores propios de bucle cerrado
Figura 12.1: Respuestas del sistema de control de crucero a un aumento de la pendiente de 3◦
(a) y los valores propios del sistema de bucle cerrado (b). Los parámetros del modelo se barren
en un amplio rango.
m/s. Las simulaciones se realizaron con modelos linealizados en torno a las
diferentes condiciones de funcionamiento. La figura muestra que hay variaciones
en la respuesta, pero que son bastante razonables. El mayor error de velocidad
está en el rango de 0,2-0,6 m/s, y el tiempo de asentamiento es de unos 15 s. La
señal de control es marginalmente mayor que 1 en algunos casos, lo que implica
que el acelerador está completamente abierto. Si queremos explorar estos casos
con más detalle, es necesario realizar una simulación no lineal completa
utilizando un controlador con protección contra el windup. La figura 12.1b
muestra los valores propios del sistema de bucle cerrado para las diferentes
condiciones de funcionamiento. La figura muestra que el sistema de bucle
cerrado está bien amortiguado en todos los casos.
Este ejemplo indica que, al menos en lo que respecta a las variaciones
paramétricas, el diseño basado en un modelo nominal simple dará un control
satisfactorio. El ejemplo también indica que un controlador con parámetros fijos
puede utilizarse en todos los casos. Obsérvese que no hemos considerado las
condiciones de funcionamiento en marchas cortas y a baja velocidad, pero los
controladores de crucero no se suelen utilizar en estos casos.
Dinámica no modelada
En general, es fácil investigar los efectos de las variaciones paramétricas. Sin
embargo, hay otras incertidumbres que también son importantes, como se discute
al final de la sección 2.3. El modelo simple del sistema de control de crucero
capta sólo la dinámica del movimiento de avance del vehículo y las
características de par del motor y la transmisión. No incluye, por ejemplo, un
modelo detallado de la dinámica del motor (cuyos procesos de combustión son
extremadamente complejos) ni los ligeros desajustes que pueden producirse en
los motores modernos controlados electrónicamente (como resultado del tiempo
de procesamiento de los ordenadores integrados). Estos mecanismos descuidados
se denominan dinámica no modelada.
La dinámica no modelada puede tenerse en cuenta desarrollando un modelo
más complejo. Estos modelos se utilizan habitualmente para el desarrollo de
controladores, pero se requiere un esfuerzo considerable para desarrollarlos. Una
alternativa es investigar si el sistema de bucle cerrado es sensible a formas
genéricas de dinámica no modelada. La idea básica
349
12.1. MODELIZACIÓN DE LA
INCERTIDUMBRE
P
P
P
fb
Figura 12.2: Dinámica no modelada en sistemas lineales. La incertidumbre puede
representarse mediante perturbaciones aditivas (izquierda), multiplicativas (centro) o de
retroalimentación (derecha). El sistema nominal es P, y , = /P y fb representan la dinámica
no modelada.
es describir la dinámica no modelada mediante la inclusión de una función de
transferencia en la descripción del sistema cuya respuesta de frecuencia está
limitada pero no se especifica. Por ejemplo, podríamos modelar la dinámica del
motor en el ejemplo del control de crucero como un sistema que proporciona
rápidamente el par solicitado a través del acelerador, lo que supone una pequeña
desviación del modelo simplificado, que asumía que la respuesta del par era
instantánea. Esta técnica también puede utilizarse en muchos casos para modelar
las variaciones de los parámetros, lo que permite un enfoque bastante general de
la gestión de la incertidumbre.
En particular, deseamos explorar si la dinámica lineal adicional puede causar
dificultades. Una forma sencilla es suponer que la función de transferencia del
proceso es P(s) + , donde P(s) es la función de transferencia nominal
simplificada y representa la dinámica no modelada en términos de incertidumbre
aditiva. En la figura 12.2 se muestran diferentes representaciones de la
incertidumbre.
¿Cuándo son similares dos sistemas? La métrica de Vinnicombe
�
Una cuestión fundamental en la descripción de la robustez es determinar cuándo
dos sistemas están próximos. A partir de esta caracterización, podemos intentar
describir la robustez en función de lo cerca que debe estar el sistema real del
modelo para seguir alcanzando los niveles de rendimiento deseados. Este
problema, aparentemente inocente, no es tan sencillo como parece. Un enfoque
ingenuo consiste en decir que dos sistemas están próximos si sus respuestas en
bucle abierto están próximas. Aunque esto parezca natural, hay complicaciones,
como ilustran los siguientes ejemplos.
Ejemplo 12.2 Similar en bucle abierto pero con grandes diferencias en bucle cerrado
Los sistemas con las funciones de transferencia
k
k
P1 (s) =
(12.1)
,
P2(s) =
s+1
(s + 1)(sT +
1)2
tienen respuestas de bucle abierto muy similares para valores pequeños de T ,
como se ilustra en el gráfico superior de la Figura 12.3a, que se traza para T =
0,025 y k = 100. Las diferencias entre las respuestas escalonadas son apenas
perceptibles en la figura. Las respuestas a los escalones con retroalimentación de
error de ganancia unitaria se muestran en el gráfico inferior de la Figura 12.3a.
Observe que un sistema de lazo cerrado es estable y el otro es inestable.
Ejemplo 12.3 Diferente en bucle abierto pero similar en bucle cerrado
350
CAPÍTULO 12. RENDIMIENTO ROBUSTO
Bucle
abierto
100
Bucle abierto
Sa
lid 50
ay
0
0
400
Sa
lid
a y 200
Sistema 1
Sistema 2
1
2
3
4
5
0
0
Sistema 1
Sistema 2
0.5
Bucle cerrado
1
1.5
2
Bucle
cerrado
3
1
Sa
lid
0.5
ay
Sa 2
lid 1
ay
0
-1
0
0.1
0.2
0.3
Tiempo t
(a) Ejemplo 12.2
0.4
0.5
0
0
0.02
0.04
0.06
Tiempo t
0.08
0.1
(b) Ejemplo 12.3
Figura 12.3: Determinación de cuándo dos sistemas están próximos. Los gráficos de (a)
muestran una situación en la que las respuestas de bucle abierto son casi idénticas, pero las
respuestas de bucle cerrado son muy diferentes. Los procesos vienen dados por la ecuación
(12.1) con k = 100 y T = 0,025. Los gráficos en (b) muestran la situación opuesta: los
sistemas son diferentes en lazo abierto pero similares en lazo cerrado. Los procesos vienen
dados por la ecuación (12.2) con k = 100.
Considere los
sistemas
k
k
P1 (s) =
.
(12.2)
,
P2 (s) =
ss+1
1
Las respuestas de lazo abierto son muy diferentes porque P1 es estable y P2 es
inestable, como se muestra en el gráfico superior de la Figura 12.3b. Cerrando un
bucle de retroalimentación con ganancia unitaria alrededor de los sistemas,
encontramos que las funciones de transferencia de bucle cerrado son
k
k
T1 (s) =
,
T2 (s) =
,
s+ k-1
s+k+1
que están muy cerca para k grandes, como se muestra en la Figura 12.3b.
Estos ejemplos muestran que si nuestro objetivo es cerrar un bucle de
retroalimentación, puede ser muy engañoso comparar las respuestas de bucle
abierto del sistema.
Inspirándonos en estos ejemplos, introducimos la métrica de Vinnicombe, que
es una medida de distancia apropiada para los sistemas de bucle cerrado.
Consideremos dos sistemas con las funciones de transferencia P1 y P2 , y
definamos
|P1(i) - P2(i)|
d(P , P ) = sup
,
(12.3)
j
1 2
(1 + |P(i)|2)(1
+ |P(i)|2)2
1
que es una métrica con la propiedad 0d≤ (P1 , P2 ) ≤ 1. El número d(P1 , P2 )
puede interpretarse como la diferencia entre las funciones de sensibilidad
complementarias
para los sistemas de lazo cerrado que se obtienen con retroalimentación unitaria
alrededor de P1 y P2 ; véase el Ejercicio 12.3. La métrica también tiene una
buena interpretación geométrica, como se muestra en
351
12.1. MODELIZACIÓN DE LA
INCERTIDUMBRE
1-i
So
y
-i
Re
1-i
Figura 12.4: Interpretación geométrica de d(P1 , P2 ). En cada frecuencia, los puntos de la
curva de Nyquist para P1 (sólido) y P2 (discontinuo) se proyectan sobre una esfera de radio
1 situada en el origen del plano complejo. Se muestra la proyección
del punto 1 i. La
distancia
entre los dos sistemas se define como la distancia máxima entre las proyecciones de P1 (i)
y P2 (i) sobre todas las frecuencias . La figura se representa para las funciones de
transferencia P1 (s) = 2/(s + 1) y P2 (s) = 2/(s - 1). (Diagrama por cortesía de G.
Vinnicombe).
Figura 12.4, donde los gráficos de Nyquist de P1 y P2 se proyectan sobre una
esfera de radio 1 en el origen del plano complejo (llamada esfera de Riemann).
Los puntos del plano complejo se proyectan sobre la esfera mediante una línea
que pasa por el punto y el polo norte (Figura 12.4). La distancia d(P1 , P2 ) es la
distancia cordal más larga
entre las proyecciones de P1 (i) y P2 (i). La distancia es pequeña cuando P1 y
P2 son pequeños o grandes, pero destaca el comportamiento alrededor del cruce de
ganancia
frecuencia.
La distancia d(P1 , P2 ) tiene un inconveniente a la hora de comparar el
comportamiento de los sistemas bajo retroalimentación. Si P2 se perturba
continuamente desde P1 hasta P2 , puede haber funciones de transferencia
intermedias P en las que d(P1 , P) sea 1 incluso si d(P1 , P2 ) es pequeña (véase
el ejercicio 12.4). Para explorar cuándo puede ocurrir esto, observamos que
1 - d2(P, P) =
(1 + P(i)P1 (-i))(1 + P(-i)P1 (i))
(1 + |P1 (i)|2)(1 + |P(i)|2)
.1
El lado derecho es cero y, por tanto, d(P1 , P) = 1 si 1 + P(i)P1 -( i) = 0 para
algún . Para explorar cuándo puede ocurrir esto, investigamos el comportamiento
de la función 1 + P(s)P
- 1 ( s) cuando P se perturba de P1 a P2 . Si las funciones f1
(s) = 1 + P-1 (s)P1 ( s) y f2 (s) = 1 + P2-(s)P1 ( s) no tienen el mismo número de
ceros en el semiplano derecho, existe un P intermedio tal que 1 + P(i)P-1 ( i) = 0
para algún . Para excluir este caso introducimos el conjunto C como todos los
pares (P1 , P2 ) tales que las funciones
- f1 = 1 + P1 (s)P1 ( s) y- f2 = 1 + P2 (s)P1
( s) tienen el mismo número de ceros en el semiplano derecho.
La métrica de Vinnicombe o métrica de la brecha se define como
fd
(P1 , P2 ), si (P1 , P2 )
(12.4)
(P , 1P )2 =
1,
de lo
∈C
contrario.
Vinnicombe [Vin01] mostró que (P1 , P2 ) es una métrica, dio fuertes
resultados de robustez basados en la métrica y desarrolló la teoría para sistemas
con muchos
352
CAPÍTULO 12. RENDIMIENTO ROBUSTO
entradas y muchas salidas. Ilustramos su uso calculando la métrica para los
sistemas de los ejemplos anteriores.
Ejemplo 12.4 Métrica de Vinnicombe para los ejemplos 12.2 y 12.3
Para los sistemas del ejemplo 12.2 tenemos
fs
1 PsP
s
1( ) = +1 ( )1 (- ) =
1 + k2 - s2
,
1 - s2
1 + k2 + 2sT + (T2 - 1)s2 - 2s3 T - s4 T 2
fs
1 PsP
s
2( ) = +2 ( )1 (- ) =
.
(1 - s2)(1 + 2sT + s2T 2)
La función f1 tiene un cero en el semiplano derecho. Un cálculo numérico para k
= 100 y T = 0,025 muestra que la función f2 tiene las raíces 46,3, -86,3,
±
20.060.0i.
Ambas
funciones tienen un cero en el semiplano derecho, lo que nos permite
calcular la norma (12.4). Para T = 0,025 esto da (P1 , P2 ) = 0,98, que es un
valor bastante grande. Para tener una solidez razonable, Vinnicombe recomendó
valores
menos de 1/3.
Para el sistema del ejemplo 12.3 tenemos
1
PsP
s
+1 ( )1 (- ) =
1 + k2 s2
1 - s2
1
,
PsP
s
+2 ( )1 (- ) =
1 - k2 - 2s + s2
(s + 1)2
Estas funciones tienen el mismo número de ceros en el semiplano derecho si k >
1. En este caso particular la métrica de Vinnicombe es d(P1 , P2 ) = 2k/(1 + k2 )
(Ejercicio 12.4) y con k = 100 obtenemos (P1 , P2 ) = 0,02. La figura 12.4
muestra las curvas de Nyquist y sus proyecciones para k = 2. Obsérvese que
d(P1 , P2 ) es muy pequeño para k pequeño aunque los sistemas de bucle cerrado
sean muy diferentes. Por lo tanto, es esencial considerar la condición (P1 , P2 ) ∈
C , como se discute en el Ejercicio 12.4.
12.2 Estabilidad en presencia de Incertidumbre
Después de haber discutido cómo describir la incertidumbre y la similitud entre
dos sistemas, ahora consideramos el problema de la estabilidad robusta: ¿Cuándo
podemos demostrar que la estabilidad de un sistema es robusta con respecto a las
variaciones del proceso? Se trata de una cuestión importante, ya que el potencial
de inestabilidad es uno de los principales inconvenientes de la retroalimentación.
Por eso queremos asegurarnos de que, aunque tengamos pequeñas imprecisiones
en nuestro modelo, podamos garantizar la estabilidad y el rendimiento.
Estabilidad robusta mediante el criterio de Nyquist
El criterio de Nyquist proporciona una forma poderosa y elegante de estudiar los
efectos de la incertidumbre para los sistemas lineales. Un criterio sencillo es que
la curva de Nyquist esté lo suficientemente
lejos del punto crítico 1. Recordemos
que la distancia más corta de la curva de Nyquist al punto crítico es sm = 1/Ms ,
donde Ms es el máximo de la función de sensibilidad y sm es el margen de
estabilidad introducido en la sección 9.3.
353
12.2. ESTABILIDAD EN PRESENCIA DE
INCERTIDUMBRE
So
y
Re
-1
sm
So
y
-1
Re
ms
1+L
sc
(a) Gráfico de Nyquist

(b) Incertidumbre aditiva
Figura 12.5: Estabilidad robusta mediante el criterio de Nyquist. (a) Este gráfico muestra que
la distancia más corta al punto crítico sm es una medida de robustez. (b) Este gráfico muestra
la curva de Nyquist de una función de transferencia de bucle nominal y su incertidumbre
causada por las variaciones aditivas del proceso
.
La sensibilidad máxima Ms o el margen de estabilidad sm es, pues, una buena
medida de robustez, como se ilustra en la figura 12.5a.
Ahora derivaremos condiciones explícitas para las incertidumbres permisibles
del proceso. Consideremos un sistema de retroalimentación estable con un
proceso P y un controlador C. Si el proceso se cambia de P a P + , la función de
transferencia del bucle cambia de PC
a PC + C, como se ilustra en la figura 12.5b. Si tenemos un límite en el tamaño 
(representado por el círculo discontinuo en la figura), entonces el sistema permanece
estable
siempre y cuando las variaciones del proceso nunca
- se superpongan al punto 1,
ya que esto deja el número de
- circunvalaciones de 1 sin cambios.
Para que el análisis sea válido, se requieren algunas suposiciones adicionales.
Lo más importante es que exigimos que las perturbaciones del proceso sean
estables, de modo que no introduzcamos ningún nuevo polo en el semiplano
derecho que requiera rodeos adicionales en el criterio de Nyquist.
A continuación, calcularemos un límite analítico de las perturbaciones de
proceso permitidas. La distancia del punto crítico -1 a la función de transferencia
del bucle L es
|1 + L|. Esto significa que la curva de Nyquist perturbada no alcanzará el punto
crítico -1 siempre que |C| < |1 + L|, lo que implica
11
o
 |=
<
(12.5)
1 .
|1 | <1 + PC
1
1
1 1
C
P
|T |
Esta condición debe ser válida para todos los puntos de la curva de Nyquist,
es decir, puntualmente para todas las frecuencias. La condición de estabilidad
robusta puede escribirse como
1
para todo  0.
(12.6)
| (i) = 1 (i)
1<
1
1
P(i)
|T (i)|
Obsérvese que la condición es conservadora porque se deduce de la figura 12.5
que la perturbación crítica está en la dirección hacia el punto crítico 1.-Se pueden
permitir perturbaciones mayores en las otras direcciones.
La condición de la ecuación (12.6) nos permite razonar sobre la incertidumbre sin
354
CAPÍTULO 12. RENDIMIENTO ROBUSTO
conocimiento exacto de las perturbaciones del proceso. Es decir, podemos
verificar la estabilidad para cualquier incertidumbre que satisfaga el límite dado.
Desde una perspectiva de análisis, esto nos da una medida de la robustez para un
diseño dado. A la inversa, si requerimos una robustez de un nivel determinado,
podemos intentar elegir nuestro controlador C de manera que el nivel deseado de
robustez esté disponible (pidiendo que T sea pequeño) en las bandas de
frecuencia apropiadas.
La ecuación (12.6) es una de las razones por las que los sistemas de
retroalimentación funcionan tan bien en la práctica. Los modelos matemáticos
utilizados para diseñar sistemas de control suelen ser simplificados y las
propiedades de un proceso pueden cambiar durante su funcionamiento. La
ecuación (12.6) implica que el sistema de bucle cerrado será, al menos, estable
para variaciones sustanciales en la dinámica del proceso.
De la ecuación (12.6) se deduce que las variaciones pueden ser grandes para
aquellas frecuencias en las que T es pequeño y que se permiten variaciones
menores para las frecuencias en las que T es grande. Una estimación
conservadora de las variaciones admisibles del proceso que no causarán
inestabilidad viene dada por
1 (i) 1 1
1 <
| (i) = 1
,
P(i)
Mt
donde Mt es el mayor valor de la sensibilidad complementaria
1
1
Mt = sup|T (i)| =
.
PC

(12.7)
11 + PC 
El valor de Mt está influenciado por el diseño del controlador. Por ejemplo, se
muestra en el Ejercicio 12.5 que si Mt = 2 entonces se permiten variaciones
puras de ganancia del 50% o variaciones puras de fase de 30◦ sin que el sistema
de lazo cerrado sea inestable.
Ejemplo 12.5 Control de crucero
Consideremos el sistema de control de crucero comentado en el apartado 3.1. El
modelo del coche en cuarta marcha a una velocidad de 25 m/s es
1.38
P(s) =
,
s + 0.0142
y el controlador es un controlador PI con ganancias kp = 0.72 y ki = 0.18. La
figura 12.6 muestra el tamaño permisible de la incertidumbre del proceso usando
el límite de la ecuación (12.6). A bajas frecuencias, T (0) = 1 y así las
perturbaciones pueden ser tan| grandes
el proceso original ( = /P < 1). La
| | como
|
sensibilidad complementaria tiene su máximo Mt = 1.14 enmt = 0.35, y por lo
tanto esto da la mínima incertidumbre
permitida
del proceso, con < 0.87 o <
||
|
|
3.47.
T 0 y, por tanto, el error relativo puede
→ Por último, a altas frecuencias,
llegar| a ser |muy grande. Por ejemplo, a = 5 tenemos T (i) = |0,195, lo que
| que el requisito de estabilidad es  5,1. El análisis indica claramente
significa
que el sistema tiene una buena robustez y que la alta
Las propiedades de frecuencia del sistema de transmisión no son importantes
para el diseño del controlador de crucero.
Otra ilustración de la robustez del sistema se da en el dia- derecho.
355
12.2. ESTABILIDAD EN PRESENCIA DE
INCERTIDUMBRE
101
P
T
Im L(i)
1
T
Re L(i)
Ga
nar
100
10−1
100
Frecuencia rad/s]
101
Figura 12.6: Robustez para un controlador de crucero. A la izquierda, el error relativo |
máximo 1/ T (sólido) y el error| absoluto
P/T (discontinuo) para la incertidumbre del
|
| |
proceso. La curva de Nyquist se
| muestra a la derecha como una línea sólida. Los círculos
discontinuos muestran las perturbaciones permisibles en la dinámica del proceso, || = |P|/|T
|, en las frecuencias = 0, 0,0142 y 0,05.
En la Figura 12.6 se muestra la curva de Nyquist de la función de transferencia
del proceso y los límites de incertidumbre
| | =| P / T para algunas frecuencias.
| grandes cantidades de incertidumbre
Obsérvese que el controlador puede tolerar
y seguir manteniendo la estabilidad del bucle cerrado.
La situación ilustrada en el ejemplo anterior es típica de muchos procesos:
sólo se requieren incertidumbres moderadamente pequeñas en torno a las
frecuencias de cruce de la ganancia, pero se pueden permitir grandes
incertidumbres en frecuencias más altas y más bajas. Una consecuencia de esto
es que un modelo simple que describa bien la dinámica del proceso en torno a la
frecuencia de cruce suele ser suficiente para el diseño. Los sistemas con muchos
picos de resonancia son una excepción a esta regla porque la función de
transferencia del proceso para tales sistemas puede tener grandes ganancias para
frecuencias más altas también, como se muestra por ejemplo en el Ejemplo 9.9.
La condición de robustez dada por la ecuación (12.6) puede recibir otra interpretación utilizando el teorema de la ganancia pequeña (Teorema 9.4). Para
aplicar el teorema partimos de diagramas de bloques de un sistema de bucle
cerrado con un proceso perturbado y realizamos una secuencia de
transformaciones del diagrama de bloques que aíslan el bloque que representa la
incertidumbre, como se muestra en la figura 12.7. El resultado es la
interconexión de dos bloques mostrada en la Figura 12.7c, que tiene la función
de transferencia de bucle
PC
=T.
1 + PC P
La ecuación (12.6) implica que la mayor ganancia del bucle es menor que 1 y por
lo tanto el sistema es estable a través del teorema de la pequeña ganancia.
El teorema de la pequeña ganancia puede utilizarse para comprobar la
estabilidad robusta para la incertidumbre en una variedad de otras situaciones. La
tabla 12.1 resume algunos de los casos comunes; las pruebas (todas a través del
teorema de la pequeña ganancia) se dejan como ejercicios.
El siguiente ejemplo ilustra que es posible diseñar sistemas robustos a las
variaciones de los parámetros.
L=
356
CAPÍTULO 12. RENDIMIENTO ROBUSTO
P
P
P
-C
-C
1-PC
+PC
Figura 12.7: Ilustración de la solidez ante las perturbaciones del proceso. Un sistema con
incertidumbre aditiva (izquierda) puede manipularse mediante el álgebra del diagrama de
bloques a uno con incertidumbre multiplicativa = /P (centro). Las manipulaciones
adicionales aíslan la incertidumbre de manera que permite aplicar el teorema de la pequeña
ganancia (derecha)
Ejemplo 12.6 Función de transferencia del bucle ideal de Bode
Un problema importante en el diseño de amplificadores electrónicos es obtener
un sistema de bucle cerrado que sea insensible a los cambios en la ganancia de
los componentes electrónicos. Bode encontró que la función de ≤
transferencia
de
≤
bucle L(s) = ks−n , con 1 n 5/3, era una función de transferencia de bucle ideal.
La curva de ganancia del gráfico de Bode es una línea recta
con pendiente
- n y la fase es constante arg L(i) = .
- El margen de fase es
entoncesm = 90(2 -n)◦ para todos los valores de la ganancia k y el margen de
estabilidad es- sm = sin(1 n/2). Esta función de transferencia exacta no puede
realizarse con componentes físicos, pero puede aproximarse en un rango de
frecuencias determinado con una relaciónnal (Ejercicio 12.7). Un circuito amplificador operacional que tiene la función de
transferencia aproximada G(s) = k/(s + a) es una realización de la función de
transferencia ideal de Bode con n = 1, como se describe en el Ejemplo 8.3. Los
diseñadores de amplificadores operacionales hacen grandes esfuerzos para que la
aproximación sea válida en una amplia frecuencia
gama.
�
Parametrización de Youla
Dado que la estabilidad es una propiedad tan esencial, es útil caracterizar todos
los controladores que estabilizan un proceso dado. Dicha representación, que se
denomina parametrización de Youla, es muy útil a la hora de resolver problemas
de diseño porque permite buscar entre todos los controladores estabilizadores sin
necesidad de comprobar la estabilidad explícitamente.
Primero derivaremos la parametrización de Youla para un proceso estable con
una función de transferencia racional P. Un sistema con la función de
sensibilidad complementaria T puede
Tabla 12.1: Condiciones de estabilidad robusta para diferentes tipos de incertidumbre
Proceso
Tipo de incertidumbre
P+
Aditivo
\CS\ < 1
P(1 + )
Multiplicativo
\T  < 1
Retroalimentación
\PSfb\ < 1
P/(1 + fb -P)
Estabilidad robusta
357
12.2. ESTABILIDAD EN PRESENCIA DE
INCERTIDUMBRE
v
P
Q
Q
-P
F0-1
G0
-A
B
P
v
-1
-1
(a) Proceso estable
(b) Proceso inestable
Figura 12.8: Parametrización de Youla. Diagramas de bloques de las parametrizaciones de
Youla para un sistema estable (a) y un sistema inestable (b). Obsérvese que la señal v es cero en
estado estacionario.
se puede obtener mediante un control de avance con la función de transferencia
estable Q si T = PQ. Obsérvese que T debe tener los mismos ceros del
semiplano derecho que P ya que Q es estable. Supongamos ahora que queremos
implementar la función de transferencia complementaria T usando
retroalimentación unitaria con el controlador C. Ya que T = PC/(1 + PC) =
PQ, es
se deduce que la función de transferencia del controlador es
Q
C=
.
(12.8)
1 - PQ
Un cálculo sencillo da como resultado
S = 1 - PQ,
PS = P(1 - PQ),
CS = Q,
T = PQ.
Estas funciones de transferencia son todas estables si P y Q son estables y el
controlador dado por la ecuación (12.8) es por lo tanto estabilizador. De hecho,
puede demostrarse que todos los controladores estabilizadores tienen la forma
dada por la ecuación (12.8) para alguna elección de Q. La parametrización se
ilustra con los diagramas de bloques de la figura 12.8a.
Se puede obtener una caracterización similar para los sistemas inestables.
Consideremos un proceso con una función de transferencia racional P(s) =
a(s)/b(s), donde a(s) y b(s) son polinomios. Introduciendo un polinomio estable
c(s), podemos escribir
P(s) =
b(s)
a(s)
=
B(s)
,
A(s)
donde A(s) = a(s)/c(s) y B(s) = b(s)/c(s) son funciones racionales
estables. Del mismo modo, introducimos el controlador C0 (s) = G0 (s)/F0 (s),
donde F0 (s) y G0 (s) son funciones racionales estables. Tenemos
AF0
BF0
S0 =
,
PS0 =
,
AF0 + BG0
AF0 + BG0
AG0
BG0
C0 S0 =
,
T0 =
.
AF0 + BG0
AF0 + BG0
El regulador C0 es estabilizador si y sólo si la función racional AF0 + BG0 no
tiene ningún cero en el semiplano derecho. Sea Q una función racional estable y
358
CAPÍTULO 12. RENDIMIENTO ROBUSTO
d
r
e
F(s)
C(s)
-1
Controlad
or
n
u
P(s)
y
y
Proceso
Figura 12.9: Diagrama de bloques de un bucle de realimentación básico. Las señales
externas son la señal de referencia r, la perturbación de la carga d y el ruido de medición n.
La salida del proceso es y, y la señal de control es u. El proceso P puede incluir dinámicas
no modeladas, como perturbaciones aditivas.
considerar el controlador
C=
G0 + QA
F0 - QB
.
(12.9)
La banda de cuatro para P y C
es
A(F0 - QB)
B(F0 - QB)
,
PS =
,
AF0 + BG0
AF0 + BG0
A(G0 + QA)
B(G0 + QA)
CS =
,
T=
.
AF0 + BG0
AF0 + BG0
Todas estas funciones de transferencia son estables si la función racional AF0 +
BG0 no tiene ningún cero en el semiplano derecho y el controlador C dado por
(12.9) está ahíLa Figura 12.8b muestra un diagrama de bloques del sistema de lazo cerrado con
el controlador C. Obsérvese que la función de transferencia Q aparece de forma
afín en las expresiones de la Banda de Cuatro, lo cual es muy útil si queremos
determinar la función de transferencia Q para obtener propiedades específicas.
S=
12.3 Rendimiento en presencia de Incertidumbre
Hasta ahora hemos investigado el riesgo de inestabilidad y la robustez ante la
falta de certeza del proceso. Ahora exploraremos cómo las respuestas a las
perturbaciones de la carga, el ruido de la medición y las señales de referencia se
ven influidas por las variaciones del proceso. Para ello, analizaremos el sistema
de la figura 12.9, que es idéntico al bucle de retroalimentación básico analizado
en el capítulo 11.
Atenuación de las perturbaciones
La función de sensibilidad S da una caracterización aproximada del efecto de la
retroalimentación sobre las perturbaciones, como se discutió en la sección 11.3.
Una caracterización más detallada está dada por la función de transferencia de las
perturbaciones de la carga a la salida del proceso:
P
Gyd =
= PS.
(12.10)
1 + PC
359
12.3. RENDIMIENTO EN PRESENCIA DE INCERTIDUMBRE
Las perturbaciones de la carga suelen tener frecuencias bajas, por lo que es
importante que la función de transferencia sea pequeña para las frecuencias
bajas. Para los procesos con una ganancia de baja frecuencia constante
y un
≈
controlador con acción integral tenemos Gyd s/ki . La ganancia integral ki es, pues,
una medida sencilla de la atenuación de las perturbaciones de la carga.
Para saber cómo influye en la función de transferencia Gyd pequeñas
variaciones en la función de transferencia del proceso, diferenciamos (12.10) con
respecto a P dando como resultado
dGyd
Gyd
1
SP
=
=
=
S
,
dP (1 + PC)2 P(1 + PC)
P
y se deduce que
dGyd
dP
=S .
P
Gyd
(12.11)
La respuesta a las perturbaciones de la carga es, por tanto, insensible a las
variaciones del proceso
|
| para las frecuencias en las que S(i) es pequeño, es decir,
para las frecuencias en las que las perturbaciones de la carga son importantes.
Uno de los inconvenientes de la retroalimentación es que el controlador
introduce ruido de medición en el sistema. Además del rechazo de las
perturbaciones de la carga, también es importante que las acciones de control
generadas por el ruido de la medición no sean demasiado grandes. De la Figura
12.9 se desprende que la función de transferencia Gun del ruido de la medición a
la salida del controlador viene dada por
G-u
n=
C
1 + PC
=-
T
P
.
(12.12)
Dado que el ruido de medición suele tener frecuencias altas, la función de
transferencia Gun no debe ser demasiado grande para frecuencias altas. La
función de transferencia del bucle PC suele ser pequeña
≈ para las altas
frecuencias, lo que implica que Gun C para grandes s. Por lo tanto, para evitar
inyectar demasiado ruido de medición es importante que C(s) sea pequeño para
grandes s. Esta propiedad se denomina roll-off de alta frecuencia. Un ejemplo
es el filtrado de la señal medida en un controlador PID para reducir la inyección
de ruido de medición; véase el apartado 10.5.
Para determinar cómo la función de transferencia Gun es influenciada por
pequeñas variaciones en la transferencia del proceso, diferenciamos la ecuación
(12.12):
dGun
d - C
C
Gun
= (
=
C = -T
.
dP
dP
P
(1 +
1+
2
PC
Reordenando los términos
PC)
se obtiene
dGun
dP
.
(12.13)
=P
Pistola
T
Dado que la función de sensibilidad complementaria también es pequeña para las
frecuencias altas, encontramos que la incertidumbre del proceso tiene poca
influencia en la función de transferencia Gun para las frecuencias en las que las
mediciones son importantes.
360
CAPÍTULO 12. RENDIMIENTO ROBUSTO
R1
v
v1
d
R2
G (s)
+
v1
Rl
v2
R2
R1
e
R1
R1 +R2
v
v2
-G(s)
Figura 12.10: Amplificador operacional con dinámica incierta. El circuito de la izquierda
se modifica utilizando la función de transferencia G(s) para capturar sus propiedades
dinámicas y tiene una carga en la salida. El diagrama de bloques de la derecha muestra las
relaciones de entrada/salida. La carga se representa como una perturbación d aplicada a la
salida de G(s).
Seguimiento de la señal de referencia
La función de transferencia de la referencia a la salida viene dada por
PCF
Gyr =
= TF,
(12.14)
1 + PC
que contiene la función de sensibilidad complementaria. Para ver cómo afectan
las variaciones de P al rendimiento del sistema, diferenciamos la ecuación (12.14)
con respecto a la función de transferencia del proceso:
dGyr
PCFC
CF
Gyr
CF
=
=
=S ,
dP 1 + PC (1 + PC)2 (1 + PC)2
P
y se deduce que
dGyr
dP
=S .
(12.15)
Gyr
P
El error relativo en la función de transferencia de bucle cerrado es, por tanto,
igual al producto de la función de sensibilidad y el error relativo del proceso. En
particular, se deduce de la ecuación (12.15) que el error relativo en la función de
transferencia de bucle cerrado es pequeño cuando la sensibilidad es pequeña.
Esta es una de las propiedades útiles de la retroalimentación. Al igual que en la
última sección, hay algunas suposiciones matemáticas que se requieren para que
el análisis presentado aquí se mantenga. Como ya se ha dicho, requerimos que
las perturbaciones sean pequeñas (como se indica escribiendo dP). En segundo
lugar, exigimos que las perturbaciones sean estables, de modo que no
introduzcamos ningún nuevo polo del semiplano derecho que requiera rodear el
criterio de Nyquist. Además, como antes, esta condición es conservadora:
permite cualquier perturbación que satisfaga
los límites dados, mientras que en la práctica las perturbaciones pueden ser más
restringidas.
Ejemplo 12.7 Circuito de amplificador operacional
Para ilustrar el uso de estas herramientas, considere el rendimiento de un
amplificador basado en un op amp, como se muestra en la Figura 12.10.
Deseamos analizar el rendimiento del amplificador en presencia de la
incertidumbre en la respuesta dinámica del amplificador óptico y los cambios en
la carga en la salida. Modelamos el sistema utilizando el diagrama de bloques de
la Figura 12.10b, que se basa en la derivación del Ejemplo 9.1.
Consideremos primero el efecto de la dinámica desconocida para el
amplificador operacional. Si modelamos la dinámica del amplificador
operacional como v2 = -G(s)v, entonces la función de transferencia
12.4. COLOCACIÓN DE POSTES
ROBUSTOS
361
para el circuito global viene dado por
R2
G(s)
Gv2v1 = .
R1 G(s) + R2 /R1 + 1
Vemos que si G(s) es grande en el rango de frecuencias deseado, entonces el bucle cerrado
sistema está muy cerca de la respuesta ideal = R2 /R1 . Suponiendo que G(s) =
b/(s + a), donde b es el producto de ganancia-ancho de banda del amplificador,
como se ha comentado en Example 8.3, la función de sensibilidad y la función de sensibilidad complementaria se convierten en
b
s+a
S=
,
T=
.
s+a+b
s+a+b
La función de sensibilidad en torno a los valores nominales nos indica cómo el seguimiento
reLa respuesta de la respuesta varía en función de las perturbaciones del proceso:
dGyr
dP
=S .
Gyr
P
Vemos que para frecuencias bajas, en las que S es pequeño, las variaciones en el
ancho de banda a o en el producto ganancia-ancho de banda b tendrán un efecto
relativamente pequeño en el rendimiento del amplificador (bajo el supuesto de
que b sea suficientemente grande).
Para modelar los efectos de una carga desconocida, consideramos la adición
de una perturbación en la salida del sistema, como se muestra en la Figura
12.10b. Esta perturbación representa los cambios en la tensión de salida debido a
los efectos de la carga. La función de transferencia Gyd = S da la respuesta de la
salida a la perturbación de la carga, y vemos que si S es pequeño, entonces
somos capaces de rechazar tales perturbaciones. La sensibilidad de Gyd
a las perturbaciones de la dinámica del proceso puede calcularse tomando la
derivada de Gyd con respecto a P:
dGyd
-C
dGyd
dP
=
= - TGyd
=⇒
= -T
.
2
dP
(1 + PC)
P
Gyd
P
Así, vemos que los cambios relativos en el rechazo de perturbaciones son
aproximadamente iguales a las perturbaciones del proceso a baja frecuencia
(cuando T es aproximadamente 1) y disminuyen a frecuencias más altas. Sin
embargo, es importante recordar que la propia Gyd es pequeña a baja frecuencia,
por lo que estas variaciones en el rendimiento relativo pueden no ser un problema
en muchas aplicaciones.
12.4 Poste robusto Colocación
En los capítulos 6 y 7 vimos cómo diseñar controladores fijando las ubicaciones
de los valores propios del sistema de lazo cerrado. Si analizamos el sistema
resultante en el dominio de la frecuencia, los valores propios del lazo cerrado
corresponden a los polos de la función de transferencia del lazo cerrado y, por lo
tanto, estos métodos suelen denominarse diseño por colocación de polos.
Los métodos de diseño del espacio de estados, al igual que muchos métodos
desarrollados para el diseño de sistemas de control, no tienen en cuenta
explícitamente la robustez. En estos casos, es esencial
362
CAPÍTULO 12. RENDIMIENTO ROBUSTO
103
Im L(i)
|L(i)|101
10-1
10-3
Re L(i)
-180
∠L
(i) -270
-360
10−1
100
101
102
Frecuencia rad/s]
103
Figura 12.11: Control de la dirección basado en un observador. Diagrama de Nyquist
(izquierda) y diagrama de Bode (derecha) de la función de transferencia del bucle para la
dirección del vehículo con un controlador basado en la retroalimentación de estado y un
observador. El controlador proporciona un funcionamiento estable, pero con una ganancia
y un margen de fase muy bajos.
tial investigar siempre la robustez porque hay diseños aparentemente razonables
que dan controladores con poca robustez. Ilustramos esto analizando los
controladores diseñados por retroalimentación de estado y observadores. Los
polos del bucle cerrado pueden asignarse a lugares arbitrarios si el sistema es
observable y alcanzable. Sin embargo, si queremos tener un sistema de lazo
cerrado robusto, los polos y ceros del proceso imponen severas restricciones en
la localización de los polos de lazo cerrado. En primer lugar, se ofrecen algunos
ejemplos; a partir del análisis de estos ejemplos, presentamos reglas de diseño
para la colocación robusta de los polos (valores propios).
Ceros de proceso lento y estable
Primero exploraremos los efectos de los ceros estables lentos, y comenzamos con
un ejemplo sencillo.
Ejemplo 12.8 Dirección del vehículo
Consideremos el modelo linealizado para la dirección del vehículo del ejemplo 8.6, que
tiene la
función de
0.5s + 1
transferencia
P(s)
.
s2
=
En el Ejemplo 6.4 se diseñó un controlador basado en retroalimentación de
estado, y en el Ejemplo 7.4 se combinó la retroalimentación de estado con un
observador. El sistema simulado en la Figura 7.8 tiene polos de lazo cerrado
especificados porc = 0.3,c = 0.707,o = 7 y
o = 9. Supongamos que queremos un sistema de bucle cerrado más rápido y elegimosc
= 10,
c = 0,707,o = 20 yo = 0,707. Utilizando la representación de estado del Ejemplo
7.3, un diseño de colocación de polos da ganancias de retroalimentación
de
estado k1 = 100 y k2 = 35.86 y ganancias de observador l1 = 28.28 y l2 = 400.
La función de transferencia del controlador es
-11516s + 40000
C(s) =
.
s2 + 42,4s + 6657,9
La figura 12.11 muestra los gráficos de Nyquist y Bode de la función de transferencia
del bucle. El
12.4. COLOCACIÓN DE POSTES
ROBUSTOS
363
El gráfico de Nyquist indica que la robustez es pobre, ya que la función de
transferencia del bucle está muy
- cerca del punto crítico 1. El margen de fase es
◦
de 7 y el margen de estabilidad es de sm = 0,077. La escasa robustez se pone de
manifiesto en el gráfico de Bode, donde la curva de ganancia ronda
el valor 1 y
la curva de fase se acerca a 180◦ para una amplia
gama de frecuencias. Se obtiene más información analizando las funciones de
sensibilidad, mostradas por líneas sólidas en la figura 12.12. Las sensibilidades
máximas son Ms = 13 y Mt = 12, lo que indica que el sistema es poco robusto.
A primera vista es sorprendente que un controlador en el que el sistema cerrado nominal
tiene polos y ceros bien amortiguados es tan sensible a las variaciones del
proceso. Tenemos un indicio de que algo es inusual porque el regulador tiene un
cero en s = 3,5 en el semiplano derecho. Para entender lo que ocurre,
investigaremos la razón de los picos de las funciones de sensibilidad.
Sean las funciones de transferencia del proceso y del controlador
np(s)
nc(s)
P(s) =
,
C(s) =
,
dp (s)
dc (s)
donde np (s), nc (s), dp (s) y dc (s) son los polinomios del numerador y del
denominador. La función de sensibilidad complementaria es
PC
np (s)nc (s)
T (s) =
1 + PC = dp (s)dc (s) + np (s)nc (s).
Los polos de T (s) son los polos del sistema de bucle cerrado y los ceros están dados
por los ceros del proceso y del controlador. Al dibujar la curva de ganancia de la
función de sensibilidad complementaria encontramos que T (s) = 1 para bajas
frecuencias
y que T (i) comienza a aumentar en su primer cero, que es el cero
|
|
- del
proceso en s = 2. Aumenta aún más en el cero del controlador en s = 3.5, y no
comienza a disminuir hasta que los polos de lazo cerrado aparecen enc = 10 yo
= 20. Por lo tanto, podemos concluir que habrá un pico en la función de
sensibilidad complementaria. La magnitud
del pico depende de la relación entre los ceros y los polos de la función de
transferencia. El pico de la función de sensibilidad complementaria puede
evitarse asignando un polo de bucle cerrado cerca del cero del proceso lento.
Podemos lograr esto eligiendoc = 10 yc = 2.6, lo que da polos-de bucle cerrado
en s =
2ys=
50.
La función de transferencia del controlador se convierte entonces en
s + 11.02
3628s + 40000
= 3628
.
C(s) =
s2 + 80,28s +
(s + 2)(s +
156,56
78,28)
Las funciones de sensibilidad se muestran con líneas discontinuas en la figura
12.12. El controlador da las sensibilidades máximas Ms = 1,34 y Mt = 1,41, que
dan una robustez mucho mayor. Nótese que el controlador
- tiene un polo en s = 2
que anula el cero del proceso lento. El diseño también se puede hacer
simplemente cancelando el lento estable
proceso cero y el diseño del controlador para el sistema simplificado.
Una de las lecciones del ejemplo es que es necesario elegir polos de bucle
cerrado que sean iguales o cercanos a los ceros del proceso estable lento. Otra
lección es que los ceros lentos inestables del proceso imponen limitaciones al
ancho de banda alcanzable, como ya
364
0
|T 10
(i)|
10-2
CAPÍTULO 12. RENDIMIENTO ROBUSTO
100
|S(i)|
Original
mejorado
100
Frecuencia rad/s]
10-2
100
102
Frecuencia rad/s]
102
Figura 12.12: Funciones de sensibilidad para el control de la dirección del vehículo
basado en el observador. La función de sensibilidad complementaria (izquierda) y la
función de sensibilidad (derecha) para el controlador original con c = 10, c = 0,707, o =
20, o = 0,707 (sólido) y el controlador mejorado
con c = 10, c = 2,6 (punteado).
que se indica en el apartado 11.5.
Postes de proceso rápido y estable
El siguiente ejemplo muestra el efecto de los polos estables rápidos.
Ejemplo 12.9 Polos del sistema rápido
Consideremos un controlador PI para un sistema de primer orden, donde el
proceso y el controlador tienen las funciones de transferencia P(s) = b/(s + a) y
C(s) = kp + ki /s. El bucle
la función de
b(kp s + ki )
transferencia es
L(s)
,
s(s + a)
=
y el polinomio característico del bucle cerrado es
s(s + a) + b(kp s + ki ) = s2 + (a + bkp )s + ki b
Si especificamos que los polos de lazo cerrado deseados
- deben serp
encontramos que los parámetros del controlador vienen dados por
p1 + p 2 - a
p1 p2
kp =
,
ki =
.
b
b
Las funciones de sensibilidad son entonces
S(s) =
s(s + a)
,
T (s) =
1
(p1 + p2 - a)s + p1 p2
yp
2
,
.
(s + p1 )(s + p2
(s + p1 )(s + p2 )
)
Supongamos que el polo del
es mucho más negativo que los
- procesoa
polos
del lazo cerrado
a. Observe que la
≪ p1 yp 2 , es decir, p1 < p2
ganancia proporcional es negativa y que el controlador tiene un cero en el
semiplano derecho si a > p1 + p2 , una indicación
que el sistema tiene malas propiedades.
A continuación, consideremos la función de sensibilidad, que es 1 para las
frecuencias altas. Pasando de frecuencias altas a bajas, encontramos que la
sensibilidad aumenta
en el polo de pro- ceso s = a . La sensibilidad no
disminuye hasta que los polos de lazo cerrado son
alcanzado, dando lugar a un gran pico de sensibilidad que es aproximadamente a/p2 . El
mag...
nitud de la función de sensibilidad se muestra en la Figura 12.13 para a = b = 1,
p1 = 0,05 y p2 = 0,2. Obsérvese el pico de alta sensibilidad. Para comparar,
también mostramos la
365
12.4. COLOCACIÓN DE POSTES
ROBUSTOS
101
|S(i)|
100
10-1
Exact
ament
e
Aproxi
madam
ente
100
|S(i)|
10-2
p1
p2
a
Frecuencia rad/s]
Exact
Aproxi
ament
madam
a
p1 p2
e
ente
Frecuencia rad/s]
Figura 12.13: Curvas de ganancia para los gráficos de Bode de la función de sensibilidad
S para diseños con p1 < p2 < a (izquierda) y a < p1 < p2 (derecha). Las líneas sólidas
son las sensibilidades reales y las líneas discontinuas son las asíntotas.
curva de ganancia para el caso en que los polos del bucle cerrado (p1 = 5, p2 =
20) son más rápidos que el polo del proceso (a = 1).
El problema de la escasa robustez puede evitarse eligiendo un polo de lazo
cerrado igual al polo del proceso, es decir, p2 = a. Las ganancias del controlador
se convierten entonces en
p1
ap1
kp =
,
ki =
,
b
l
lo que significa que el polo rápido del proceso se cancela con un cero del
controlador. La función de transferencia del lazo y las funciones de sensibilidad son
bkp
s
bkp
L(s) =
,
S(s) =
,
T (s) =
.
s
s + bkp
s + bkp
Las sensibilidades máximas son ahora inferiores a 1 para todas las frecuencias.
Obsérvese que esto es posible porque la función de transferencia del proceso
llega a cero a medida que s−1 .
Normas de diseño para la colocación de postes
Basándose en la visión obtenida de los ejemplos, ahora es posible obtener reglas
de diseño que dan diseños con buena robustez. Consideremos la expresión (12.7)
para la máxima sensibilidad complementaria, repetida aquí:
11
Mt = sup|T (i)| =
.
PC
11 + PC 

Seagc la frecuencia de cruce de ganancia deseada. Supongamos que el proceso
tiene ze- ros que son más lentos quegc . La función de sensibilidad
complementaria es 1 para frecuencias bajas, y aumenta para frecuencias cercanas
a los ceros del proceso a menos que haya un polo de lazo cerrado en la vecindad.
Para evitar valores grandes de la función de sensibilidad complementaria,
encontramos que el sistema de lazo cerrado debe tener polos cercanos o iguales a
los ceros estables lentos. Esto significa que los ceros estables lentos deben ser
cancelados por los polos del controlador. Dado que los ceros inestables no
pueden ser cancelados, la presencia de ceros inestables lentos significa que la
frecuencia de cruce de ganancia alcanzable debe ser menor que el cero de
proceso inestable más lento.
Ahora considere los polos del proceso que son más rápidos que el cruce de ganancia
deseado fre-
366
CAPÍTULO 12. RENDIMIENTO ROBUSTO
quencia. Consideremos la expresión para el máximo de la función de sensibilidad:
11
Ms = sup|S(i)| =
.
1

11 + PC 
La función de sensibilidad es 1 para las frecuencias altas. Al pasar de frecuencias
altas a bajas, la función de sensibilidad aumenta en los polos del proceso rápido.
Pueden producirse grandes picos a menos que haya polos de bucle cerrado cercanos a
los polos de proceso rápido. Para evitar grandes picos en la sensibilidad, el sistema
de bucle cerrado debe tener polos que coincidan con los polos del proceso
rápido. Esto significa que el controlador debe cancelar los polos del proceso
rápido mediante ceros del controlador. Dado que los modos inestables no pueden
cancelarse, la presencia de un polo inestable rápido implica que la frecuencia de
cruce de la ganancia debe ser suficientemente grande.
En resumen, obtenemos la siguiente regla sencilla para elegir los polos del
bucle cerrado: los ceros del proceso estable lento deben coincidir con los polos
del bucle cerrado lento, y los polos del proceso estable rápido deben coincidir
con los polos del bucle cerrado rápido. Los ceros lentos del proceso inestable y
los polos rápidos del proceso inestable imponen graves limitaciones.
Ejemplo 12.10 Sistema de nanoposicionamiento para un microscopio de fuerza
atómica
En el ejemplo 9.9 se estudió un nanoposicionador sencillo, en el que se demostró
que el sistema podía controlarse mediante un controlador integral. El
rendimiento del lazo cerrado era pobre porque la frecuencia de cruce de la
ganancia estaba limitada a
). Se puede demostrar que se obtiene poca mejora utilizando un
gc = 0 (1 sm controlador PI. Por lo tanto, para lograr un mejor rendimiento, aplicaremos el
controlador PID
control. Para un modesto aumento del rendimiento, utilizaremos la regla de
diseño derivada en el Ejemplo 12.9 de que los polos estables rápidos del proceso
deben ser cancelados por los ceros del controlador. La función de transferencia
del controlador debe ser elegida como
kd s2 + kp s + ki ki s2 +  as + a2
=
(12.16)
C(s) =
s
s
a2
donde a =0 , lo que da kp =  ki /a y kd = ki /a2 .
La figura 12.14 muestra las curvas de ganancia del Gang of Four para un
sistema diseñado con ki = 0,5. Una comparación con la Figura 9.12 muestra que
el ancho de banda se incrementa significativamente degc = 0.01 agc = ki = 0.5.
Dado que el polo del proceso se cancela, el sistema seguirá siendo muy sensible a
las perturbaciones de la carga con
frecuencias cercanas a la frecuencia de resonancia. La curva de ganancia del CS
tiene una depresión o muesca en la frecuencia de resonancia, lo que implica que
la ganancia del controlador es muy baja para las frecuencias cercanas a la
resonancia. La curva de ganancia también muestra que el sistema es muy
sensible al ruido de alta frecuencia. Es probable que el sistema sea inutilizable
porque la ganancia llega al infinito para las frecuencias altas.
La sensibilidad a los ruidos de alta frecuencia puede remediarse modificando el controlador a
ki
s2 +  as + a2
C(s) =
,
(12.17)
ser
s a2(1 + sTf + (sTf )2/2)
que tiene roll-off de alta frecuencia. La selección de la constante Tf para el filtro es un
compromiso entre la atenuación del ruido de medición de alta frecuencia y el ro-
367
12.4. COLOCACIÓN DE POSTES
ROBUSTOS
0
|T 10
(i)|
10-2
PID ideal
PID con filtrado
10−2
102
100
|PS(i
0
)| 10
102
10−2
100
102
0
|S(i)|10
|CS(i
0
)| 10
10-2
10−2
100
102
Frecuencia normalizada /a
102
10−2
100
Frecuencia normalizada /a
102
Figura 12.14: Control del sistema de nanoposicionamiento mediante la cancelación del
polo rápido del proceso. Las líneas continuas muestran los gráficos de ganancia del Grupo
de Cuatro para el control PID con filtrado de segundo orden (12.17), y las líneas
discontinuas muestran los resultados de un controlador PID ideal sin filtro (12.16).
bustness. Un valor grande de Tf reduce significativamente los efectos del ruido
del sensor, pero también reduce el margen de estabilidad. Dado que la frecuencia
de cruce de la ganancia sin filtrado es ki , una elección razonable es TF = 0,2/Tf ,
|
|
|
|
como muestran las curvas sólidas
en
Figura 12.14. Los gráficos de CS(i) y S(i) muestran que la sensibilidad a las altas
El ruido de las mediciones de frecuencia se reduce drásticamente a costa de una
aumento de la sensibilidad. Obsérvese que la escasa atenuación de las
perturbaciones con frecuencias cercanas a la resonancia no es visible en la
función de sensibilidad debido a la cancelación exacta de polos y ceros.
Los diseños realizados hasta ahora tienen el inconveniente de que las
perturbaciones de carga con frecuencias cercanas a la resonancia no se atenúan.
Ahora consideraremos un diseño que atenúe activamente los modos mal
amortiguados. Comenzamos con un controlador PID ideal cuyo diseño puede
realizarse analíticamente, y añadimos un roll-off de alta frecuencia. La función
de transferencia del lazo obtenida con este controlador es
a2 (kd s2 + kp s + ki )
.
(12.18)
L(s) =
s(s2 +  as + a2)
El sistema de bucle cerrado es de tercer orden, y su polinomio característico es
s3 + (kd a2 +  a)s2 + (kp + 1)a2 s + ki a2 .
(12.19)
Un polinomio general de tercer orden puede parametrizarse como
s3 + (0 +  )0 s2 + (1 + 0 )2 s + 03 .
(12.20)
0
0
Los parámetros0 y dan la configuración relativa de los polos, y el pa- rámetro0 da
sus magnitudes, y por tanto también el ancho de banda del sistema. La
identificación de los coeficientes de potencias iguales de s con la ecuación
(12.19)
368
CAPÍTULO 12. RENDIMIENTO ROBUSTO
100
|T
(i)|
100
=a
0 = 2a
0 = 4a
0
10-2
10−2
102
100
10-4
10−2
100
102
100
|S(i)|
2
|CS(i10
)|
10-2
100
10−2
|PS(i
10-2
)|
100
102
Frecuencia normalizada /a
10−2
100
102
Frecuencia normalizada /a
Figura 12.15: Control del nanoposicionador mediante amortiguación activa. Curvas de
ganancia del Gang of Four para el control PID del nanoposicionador diseñado para0 = a
(punteado), 2a (punteado) y 4a (sólido). El controlador tiene un roll-off de alta frecuencia y
ha sido diseñado para amortiguar activamente el modo oscilatorio. Las diferentes curvas
corresponden a diferentes elecciones de magnitudes de los polos, parametrizadas por0 en la
ecuación (12.19).
da una ecuación lineal para los parámetros del controlador, que tiene la solución
3
(1 + 0 )2
(0 +  )0

0
0
0
,
k
=
1,
k
=
. (12.21)
d
i
kp =
a2
a2
a2
-a
Para obtener un diseño con amortiguación activa, es necesario que el ancho de
banda del lazo cerrado sea al menos tan rápido como los modos oscilatorios.
Añadiendo el roll-off de alta frecuencia, el controlador se convierte en
kd s2 + kp s + k
C(s) =
.
(12.22)
s(1 + sTf + (sTf )2/2)
El valor Tf = Td /10 = 0,1 kd /k es un buen valor para la constante de tiempo de
filtrado.
La figura 12.15 muestra las curvas de ganancia del Gang of Four para diseños con
= 0,707,0 = 1 y0 = a, 2a y 4a. La figura muestra que los mayores valores de la
función de sensibilidad y de la función de sensibilidad complementaria son
pequeños. La curva de ganancia de PS muestra que las perturbaciones de la carga
están ahora bien atenuadas en toda la gama de frecuencias, y la atenuación
aumenta con el incremento de0 . La
La curva de ganancia del CS muestra que se necesitan grandes señales de control
para proporcionar una amortiguación activa. La alta ganancia de CS para
frecuencias altas también muestra que se necesitan sensores y actuadores de bajo
ruido con un amplio rango. Las mayores ganancias de CS son 19, 103 y 434
para0 = a, 2a y 4a, respectivamente. Hay claramente una compensación entre la
atenuación de la perturbación y la ganancia del controlador. Una comparación de
las figuras 12.14
y 12.15 ilustra las compensaciones entre la acción de control y la atenuación de
las perturbaciones para los diseños con cancelación del polo de proceso rápido y
amortiguación activa.
369
12.5. DISEÑO PARA UN RENDIMIENTO
ROBUSTO
12.5 Diseño para un rendimiento robusto
El diseño del control es un problema complejo en el que hay que tener en cuenta
muchos factores. Los requisitos típicos son que las perturbaciones de la carga se
atenúen, que el controlador inyecte sólo una cantidad moderada de ruido de
medición, que la salida siga bien las variaciones de la señal de mando y que el
sistema de bucle cerrado sea insensible a las variaciones del proceso. Para el
sistema de la Figura 12.9, estos requisitos pueden ser capturados por las
especificaciones de las funciones de sensibilidad S y T y las funciones de
transferencia Gyd , Gun , Gyr y Gur . Observe que es necesario considerar al menos
seis funciones de transferencia, como se discute en la Sección 11.1. Los
requisitos son contradictorios y es necesario hacer concesiones. La atenuación de
las perturbaciones de la carga mejorará si se aumenta el ancho de banda, pero
también lo hará la inyección de ruido.
Es muy deseable disponer de métodos de diseño que garanticen un
rendimiento robusto. Dichos métodos de diseño no aparecieron hasta finales de
la década de 1980. Muchos de estos métodos de diseño dan lugar a controladores
que tienen la misma estructura que el controlador basado en la retroalimentación
de estado y un observador. En esta sección proporcionamos una breve revisión
de algunas de las técnicas como un avance para aquellos interesados en un
estudio más especializado.
Teoría de la retroalimentación cuantitativa
La teoría de retroalimentación cuantitativa (QFT) es un método de diseño
gráfico para la conformación de lazos robustos que fue desarrollado por I. M.
Horowitz [Hor91]. La idea es primero determinar un controlador que da una
sensibilidad complementaria que es robusta a las variaciones del proceso y luego
dar forma a la respuesta a las señales de referencia por feedforward. La idea se
ilustra en la Figura 12.16a, que muestra las curvas de nivel del controlador
completo.
función de sensibilidad complementaria T en un gráfico de Nyquist. La función
de sensibilidad complementaria tiene una ganancia
- unitaria en la línea Re L(i) =
0,5. En las proximidades de esta línea, las variaciones significativas en la
dinámica del proceso sólo producen cambios moderados en la función de
transferencia complementaria. La parte sombreada de la figura corresponde a la
región 0,9 <| T (i) |< 1,1. Para utilizar el método de diseño, representamos la
incertidumbre para cada frecuencia mediante una región e intentamos dar forma
a la función de transferencia del bucle para que la variación de T sea lo más
pequeña posible. El diseño se suele realizar utilizando
el gráfico de Nichols que se muestra en la Figura 12.16b.
Control cuadrático lineal
Una forma de realizar el compromiso entre la atenuación de las perturbaciones
de la carga y la inyección de ruido de medición es diseñar un controlador que
minimice la función de pérdida
1
- T
J
y2( t)
u2(t dt ,
=
T
0
) se comenta en el apartado 6.3.
donde es un parámetro de ponderación, +
tal y como
Esta función de pérdida ofrece un compromiso entre la atenuación de las
perturbaciones de la carga y la inyección de las perturbaciones, ya que equilibra
las acciones de control con las desviaciones de la salida. Si todos los estados
�
370
CAPÍTULO 12. RENDIMIENTO ROBUSTO
3
4
2
2
log|L
(i)| 1
Im
L(i 0
) -2
0
-4
-5
0
Re L(i)
(a) Gráfico de la sala
5
-1
-4
-3
-2
-1
arg L(i) [rad]
0
(b) Carta de Nichols
Figura 12.16: Gráficos de Hall y Nichols. El gráfico de Hall es un gráfico de Nyquist con
curvas para ganancia y fase constantes de la función de sensibilidad complementaria T . El
gráfico de Nichols es el mapa conforme del gráfico de Hall bajo la transformación N = log
L (con la escala invertida).
La curva discontinua es la línea donde| T (i) |= 1, y la región sombreada correspondiente a
funciones de transferencia de bucle cuya sensibilidad complementaria no cambia más
± del 10% es
sombreado.
se miden las variables, el controlador es una retroalimentación- de estado u = Kx
y tiene la misma forma que el controlador obtenido por asignación de valores
propios (colocación de polos)
en la sección 6.2. Sin embargo, la ganancia del controlador se obtiene
resolviendo un problema de optimización. Se ha demostrado que este controlador
es muy robusto. Tiene un margen de fase de al menos 60◦ y un margen de
ganancia infinito. El controlador se llama control cuadrático lineal o control LQ
porque el modelo del proceso es lineal y el criterio es cuadrático.
Cuando no se miden todas las variables de estado, el estado puede
reconstruirse mediante un observador, como se explica en el apartado 7.3.
También es posible introducir las perturbaciones del proceso y el ruido de las
mediciones explícitamente en el modelo y reconstruir los estados utilizando un
filtro de Kalman, como se discute brevemente en la Sección 7.4. El filtro Kalman
tiene la misma estructura que el observador diseñado por asignación de valores
propios en la sección 7.3, pero las ganancias del observador L se obtienen ahora
resolviendo un problema de optimización. La ley de control que se obtiene
combinando el control cuadrático lineal con un filtro de Kalman se denomina
control gaussiano cuadrático lineal o control LQG. El filtro de Kalman es
óptimo cuando los modelos de las perturbaciones de carga y del ruido de
medición son gaussianos.
Es interesante que la solución del problema de optimización conduce a un
controlador que tiene la estructura de una retroalimentación de estado y un
observador. Las ganancias de retroalimentación de estado dependen del
parámetro , y las ganancias del filtro dependen de los parámetros del modelo que
caracterizan el ruido del proceso y el ruido de la medición (véase la sección 7.4).
Existen programas eficientes para calcular estas ganancias de retroalimentación y
del observador.
Las buenas propiedades de robustez de la retroalimentación de estado se
pierden, por desgracia, cuando se añade el observador. Es posible elegir
parámetros que den sistemas de bucle cerrado con poca robustez, similar al
ejemplo 12.8. Por lo tanto, podemos concluir que hay un
371
12.5. DISEÑO PARA UN RENDIMIENTO
ROBUSTO
w
P
u
z
d
P
y
C
u
-C
y
n
Figura 12.17: Formulación de control robusto . La figura de la izquierda muestra una
representación general de un problema de control utilizado en el control robusto. La
entrada u representa la señal de control, la entrada w representa las influencias externas en
el sistema, la salida z es el error generalizado y la salida y es la señal medida. La figura de
la derecha muestra el caso especial del bucle de realimentación básico de la figura 12.9, en
el que la señal de referencia es cero. En este caso tenemos w = (n, d) y z = (y, -u).
diferencia fundamental entre usar sensores para todos los estados y reconstruir
los estados usando un observador.
H Control
El diseño del control robusto suele denominarse control H por razones que se
explicarán en breve. Las ideas básicas son sencillas, pero los detalles son
complicados, por lo que nos limitaremos a dar una idea de los resultados. Una
idea clave se ilustra en la figura 12.17, en la que el sistema de bucle cerrado está
representado por dos bloques, el proceso P y el controlador C, tal y como se ha
comentado en el apartado 11.1. El proceso P tiene dos entradas, la señal de
control u, que puede ser manipulada por el controlador, y la perturbación
generalizada w, que representa todas las influencias externas, por ejemplo,
señales de comando y perturbaciones. El proceso tiene dos salidas, el error
generalizado z, que es un vecindario de señales de error que representa la
desviación de las señales de sus valores deseados, y la señal medida y, que puede
ser usada por el controlador para calcular u. Para un sistema lineal y un
controlador lineal el sistema de lazo cerrado puede ser representado por el
sistema lineal
z = H(P(s),C(s))w,
(12.23)
que indica cómo el error generalizado z depende de las perturbaciones
generalizadas w. El problema de diseño de control es encontrar un controlador C
tal que la ganancia de la función de transición H sea pequeña incluso cuando el
proceso tiene incertidumbres. Hay muchas maneras diferentes de especificar la
incertidumbre y la ganancia, dando lugar a diferentes
Los nombres de
\ \ \ diseños.
\
control H2 y H corresponden a las normas H2 y H .
Para ilustrar las ideas consideraremos un problema de regulación para un
sistema en el que se supone que la señal de referencia es cero y las señales
externas son la perturbación de carga d y el ruido de medición n, como se
muestra en la figura 12.17 -(derecha). La entrada generalizada es w = ( n, d). (El
signo negativo de n no es esencial, pero se elige para obtener ecuaciones algo
más agradables). El error generalizado se elige como z = (, ), donde es la salida
del proceso y es la parte de la perturbación de la carga que no es compensada por
el controlador. El sistema de bucle cerrado se modela así
�
372
CAPÍTULO 12. RENDIMIENTO ROBUSTO
po
r
n
y
1
1 + PC
P
1PC
+
n
d= H(P,C)d, (12.24)
C
PC
PC
1 + PC
1+
que es la misma que la ecuación (12.23). Un cálculo sencillo muestra que
j
(1 + |P(i)|2)(1 + |C(i)|2)
(12.25)
.
\H(P,C))\N- =
|1 + P(i)C(i)|
sup
Existen métodos numéricos para encontrar un controlador tal \que H(P,C)
\ <
, si es que existe tal controlador. El mejor controlador puede encontrarse
entonces iterando sobre
. Los cálculos pueden realizarse resolviendo ecuaciones algebraicas de Riccati,
por ejemplo, utilizando el comando hinfsyn de MATLAB. El controlador
tiene el mismo orden que el proceso y la misma estructura que el controlador
basado en retroalimentación de estado y un observador; véase la figura 7.7 y el
teorema 7.3.
Obsérvese que si minimizamos
H(P,C)
\
\
 , nos aseguramos de que las
funciones de transferencia Gyd = P/(1 + PC), que representa la transmisión de
- la carga a la salida, y Gun = C/(1 + PC), que representa
las perturbaciones de
cómo se transmite el ruido de la medición a la señal de control, son pequeñas.
Dado que la sensibilidad y las funciones de sensibilidad complementarias
también son elementos de H(P,C), también hemos garantizado que las
sensibilidades son menores que . Así, los métodos de diseño equilibran el
rendimiento y
robustez.
Hay fuertes resultados de robustez asociados con el controlador H . De las
ecuaciones (12.4) y (12.25) se deduce que
1
\H(P,C)\H =
.
(12.26)
(P, -1/C)
z=
-u=
La inversa de H(P,C)
es, por tanto, igual a la distancia de Vinnicombe entre P y
\
\
1/C y puede interpretarse como un margen de estabilidad generalizado.
Compárese con sm , que definimos como la distancia más corta entre la curva de
Nyquist
de la función de transferencia del bucle y el punto crítico -1. También se deduce
que si encontramos un controlador C con \H(P,C)\N < , entonces este
controlador estabilizará cualquier proceso P∗ tal que (P, P∗ ) < 1/.
Ponderación de las perturbaciones
La minimización de \la ganancia
\ H(P,C) significa que las ganancias de todas las
transiciones individuales de la señal de las perturbaciones a las salidas son
menores que para todas las frecuencias de la inseñales de carga. La suposición de que las perturbaciones son igualmente
importantes y que todas las frecuencias también lo son no es muy realista;
recordemos que las perturbaciones de la carga suelen tener frecuencias bajas y el
ruido de las mediciones suele estar dominado por las frecuencias altas. Es
sencillo modificar el problema para que las perturbaciones de diferentes
frecuencias tengan diferente importancia, introduciendo
373
12.5. DISEÑO PARA UN RENDIMIENTO
ROBUSTO
d¯
W
d
d¯
P
u
-C
y
n

u¯
W
W -1
d¯
P
u
-C
y
n

u¯
P¯
-C¯
y
n
Figura 12.18: Diagramas de bloques de un sistema con ponderación de perturbaciones. La
figura de la izquierda proporciona una ponderación de la frecuencia en las perturbaciones
de los procesos. Mediante la manipulación del diagrama de bloques, esto puede convertirse
en el problema estándar de la derecha.
un filtro de ponderación sobre la perturbación de la carga, como se muestra en la
figura 12.18. Por ejemplo, las perturbaciones de carga de baja frecuencia se
verán reforzadas si se elige W como filtro de paso bajo porque la perturbación de
carga real es W d¯.
Utilizando la manipulación del diagrama de bloques como se muestra en la
Figura 12.18, encontramos que el sistema con ponderación frecuencial es
equivalente al sistema sin ponderación frecuencial de la Figura 12.18 y las
señales están relacionadas a través de
1
P¯
(12.27)
y
1 + P¯C¯ 1 + ¯ ¯= HC
nP( P¯, C¯) w¯,
z¯=
u¯
P¯C¯ d¯
C¯
donde P¯ = PW y C¯ = W1−1+C. El problema
de encontrar un controlador C¯ que
1+
minimice la ganancia de P¯C¯
H(P¯,C¯) P¯C¯
es entonces equivalente al problema sin
ponderación de perturbaciones; habiendo obtenido C¯, el controlador para el
sistema original es entonces C = WC¯. Obsérvese que si introducimos la
ponderación frecuencial W = k/s, obtendremos automáticamente un controlador
con acción integral.
Límites del diseño robusto
El diseño robusto tiene un límite. A pesar de las buenas propiedades de la
retroalimentación, hay situaciones en las que las variaciones del proceso son tan
grandes que no es posible encontrar un controlador lineal que dé un sistema
robusto con buen rendimiento. Entonces es necesario utilizar otros tipos de
controladores. En algunos casos es posible medir una variable que esté bien
correlacionada con las variaciones del proceso. Entonces se pueden diseñar
controladores para diferentes valores de los parámetros y elegir el controlador
correspondiente en función de la señal medida. Este tipo de diseño de control se
denomina programación de la ganancia. El controlador de crucero es un ejemplo
típico en el que la señal medida podría ser la posición y la velocidad del
engranaje. La programación de la ganancia es la solución común para las
aeronaves de alto rendimiento, donde la programación se realiza en función del
número de Mach y la presión dinámica. Cuando se utiliza la programación de la
ganancia, es importante asegurarse de que las conmutaciones entre los
controladores no crean transitorios indeseables (a menudo se denomina
transferencia sin carga).
Si no es posible medir las variables relacionadas con los parámetros, se puede
recurrir a la sintonización automática y al control adaptativo. En la sintonización
automática, la dinámica del proceso se mide perturbando el sistema y, a
continuación, se diseña un controlador automáti- co.
374
CAPÍTULO 12. RENDIMIENTO ROBUSTO
icamente. La sintonización automática requiere que los parámetros permanezcan
constantes, y se ha aplicado ampliamente para el control PID. Es razonable
suponer que en el futuro muchos controladores dispondrán de funciones para la
sintonización automática. Si los parámetros cambian, es posible utilizar métodos
adaptativos en los que la dinámica del proceso se mide en línea.
12.6 Más información en
El tema del control robusto es muy amplio, con muchos artículos y libros de
texto dedicados al tema. La robustez era un tema central en el control clásico,
como se describe en el libro clásico de Bode [Bod45]. La robustez se desestimó
en la euforia del desarrollo de los métodos de diseño basados en la optimización.
La fuerte robustez de los controladores basados en la realimentación de estado,
demostrada por Anderson y Moore [AM90], contribuyó al optimismo. La escasa
robustez de la realimentación de salida fue señalada por Rosenbrock [RM71],
Horowitz [Hor75] y Doyle [Doy78] y dio lugar a un renovado interés por la
robustez. Un gran paso adelante fue el desarrollo de métodos de diseño en los
que la robustez se tuvo en cuenta explícitamente, como el trabajo seminal de
Zames [Zam81]. El control robusto se desarrolló originalmente utilizando
poderosos resultados de la teoría de variables complejas, que daban controladores de alto orden. Un gran avance fue realizado por Doyle, Glover, Khargonekar y Francis [DGKF89], quienes demostraron que la solución del problema
podía obtenerse utilizando ecuaciones de Riccati y que podía encontrarse un
controlador de bajo orden. Este artículo condujo a un extenso tratamiento del
control H , incluyendo libros de Francis [Fra87], McFarlane y Glover [MG90],
Doyle, Francis y Tannen- baum [DFT92], Green y Limebeer [GL95], Zhou,
Doyle y Glover [ZDG96], Skogestand y Postlethwaite [SP05] y Vinnicombe
[Vin01]. Una de las principales ventajas de la teoría es que combina gran parte
de la intuición de la teoría de los servomecanismos con sólidos algoritmos
numéricos basados en el álgebra lineal numérica y la optimización. Los
resultados se han extendido a sistemas no lineales tratando el problema de diseño
como un juego en el que las perturbaciones son generadas por un adversario,
como se describe en el libro de Basar y Bernhard [BB91]. La programación de la
ganancia y la adaptación se discuten en el libro de Å
strömy Wittenmark [ÅW08].
Ejercicios
12.1 Considere sistemas con las funciones de transferencia P1 = 1/(s + 1) y P2
= 1/(s + a). Demuestre que P1 puede cambiarse continuamente a P2 con
incertidumbre aditiva y multiplicativa acotada si a > 0 pero no si a < 0.
Demuestre también que no se requiere ninguna restricción en a para la
incertidumbre de retroalimentación.
12.2 Considere sistemas con las funciones de transferencia P1 = (s + 1)/(s +
1)2 y P2 = (s + a)/(s + 1)2 . Demuestre que P1 puede cambiarse continuamente
a P2 con incertidumbre de retroalimentación acotada si a > 0 pero no si a < 0.
Demuestre también que no se requiere ninguna restricción en a para las
incertidumbres aditivas y multiplicativas.
375
EJERCICIOS
12.3 (Diferencia en las funciones de sensibilidad) Sea T (P,C) la función de
sensibilidad complementaria para un sistema con proceso P y controlador C.
Demuestre que
(P1 - P2)C
T (P-1,C) T (P2,C) =
,
(1 + P1 C)(1 + P2 C)
y derivar una fórmula similar para la función de sensibilidad.
12.4 (La esfera de Riemann) Considere sistemas con las funciones de transferencia P1 =
�
k/(s + 1) y P2 = k/(s - 1). Demuestre que
dPP
k
( 1 , 2) =
2
k2
1 ,
PP

(1 , 2) =
1,
si k < 1
2k
1 + k2
de lo contrario.
+
Utilice la esfera de Riemann para demostrar geométricamente que (P1 , P2 ) = 1 si k < 1.
(Pista:
Basta con evaluar la función de transferencia para = 0).
12.5 (Márgenes de estabilidad) Considere un lazo de retroalimentación con un
proceso y un controlador con funciones de transferencia P y C. Suponga que la
sensibilidad máxima es Ms = 2. Demuestre que el margen de fase es de al menos
30◦ y que el sistema de bucle cerrado será estable si la ganancia se modifica en
un 50%.
12.6 (Función de transferencia del bucle ideal de Bode) Realice los gráficos de
Bode y Nyquist de la función de transferencia del bucle ideal de Bode.
Demuestre que el margen de fase esm =180◦ -90◦ n y que el margen de
estabilidad es sm = arcsin(1 - n/2).
12.7 Consideremos un proceso con la función de transferencia P(s) = k/(s(s +
1)), donde la ganancia puede variar entre 0,1 y 10. Se puede obtener un
controlador robusto a estas variaciones de ganancia encontrando un controlador
que dé la función de transferencia del lazo L(s) =
1/(s√s). Sugiera cómo se puede implementar la función de transferencia mediante la
aproximación de
por una función racional.
12.8 (Predictor de Smith) El predictor de Smith, un controlador para sistemas
con retrasos temporales, es una versión especial de la figura 12.8a con P(s) =
e−s P0 (s) y C(s) = C0 (s)/(1 +C0 (s)P(s)). El controlador C0 (s) está diseñado
para dar un buen rendimiento para el proceso P0 (s). Demuestre que las funciones
de sensibilidad son
1 + (1 - e−s )P0 (s)C0
P0 (s)C0 (s)
S
s
Ts
e-s
(s)
()=
,
()=
.
1 + P0 (s)C0 (s)
1 + P0 (s)C0 (s)
12.9 (Compensador de retardo ideal) Considere un proceso cuya dinámica es un
retardo de tiempo puro con función de transferencia P(s) = e−s . El compensador
de retardo ideal es un controlador con la función -de transferencia C(s) = 1/(1 e−s
). Demuestre que las funciones de sensibilidad
son T (s) = e−s y S(s) = 1 e−s y
que el sistema de lazo cerrado será inestable para cambios arbitrariamente
pequeños en el retardo.
12.10 (Dirección del vehículo) Considere la curva de Nyquist de la figura 12.11.
376
CAPÍTULO 12. RENDIMIENTO ROBUSTO
Explique por qué parte de la curva es aproximadamente un círculo. Deduzca una
fórmula para el centro y el radio y compárela con la curva de Nyquist real.
376
CAPÍTULO 12. RENDIMIENTO ROBUSTO
12.11 Consideremos un proceso con la función de transferencia
P(s) =
(s + 3)(s + 200)
.
(s + 1)(s2+ 10s + 40)(s + 40)
Discutir las opciones adecuadas de los polos de bucle cerrado para un diseño que
da polos dominantes con frecuencia natural no amortiguada 1 y 10.
12.12 (Sistema de nanoposicionamiento AFM) Considere el diseño del Ejemplo
12.10 y explore los efectos de cambiar los parámetros0 y0 .
12.13 (H control) Considere la matriz H(P,C) en la ecuación (12.24).
Demuestre que tiene los valores singulares
j
(1+ |P(i)|2)(1 + |C(i)|2)
0
HPC

sup
=
2 =
1 = ,
= \ ( , ))\N- .
|1 + P(i)C(i)|
Demuestre también que  = -1/d (P, 1/C), lo que implica que 1/¯ es una generalización de
la distancia más cercana del gráfico de Nyquist al punto crítico.
12.14 Demuestra que
v(P,
-1/C) = infj
|P(i) + 1/C(i)|
(1 + |P(i)|2)(1 + 1/|C(i)|2)
=
1
.
\H(P,C))\N-ES
12.15 Considere el sistema
1
dx
-1 0
a= Ax + Bu =
x +0 u, 1
1
dt
y = Cx = 01y.
Diseñe una realimentación de estado que -dé det(sI BK) = s2 +  ccc s + 2, y un
ob- servador con -det(sI LC) = s2 +  ooo s + 2 y combínelos utilizando el
principio de sepa- ración para obtener una realimentación de salida. Elija los
valores numéricos a = 1,5,
c = 5,c = 0,6 yo = 10,o = 0,6. Calcule los valores propios de la perturbada
cuando la ganancia del proceso se incrementa en un 2%. Calcule también la transferencia
del bucle
y las funciones de sensibilidad. ¿Hay alguna manera de saber de antemano que el
sistema será altamente sensible?
12.16 (Robustez mediante el criterio de Nyquist) Otra visión del rendimiento
robusto puede obtenerse apelando al criterio de Nyquist. Dejemos que Smax (i)
represente un límite superior deseado en nuestra función de sensibilidad.
Demuestre que el sistema proporciona este nivel de rendimiento sujeto a la
incertidumbre aditiva si se satisface la siguiente desigualdad:
1
1 L˜ 1 L 
para todo  0.
(12.28)
| + | = |+ +
|
|Smax (i)|
>
Describa cómo comprobar esta condición utilizando un gráfico de Nyquist.
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Índice
control de acceso, véase
control de admisión
paquete de reconocimiento
(ack), 77-79
activador, 16, 59, 129
filtro activo, 153, véase
también
Actuadores de
amplificación operativa, 4, 31,
51, 65, 81,
178, 224, 266, 283, 311,
324, 333-335, 337
efecto sobre los ceros,
284, 334 en los sistemas
informáticos, 75
saturación, 50, 225, 300,
306-307, 311, 324
Convertidores A/D,
véase
convertidores
analógicodigitales
adaptación, 297
control adaptativo, 21, 373,
374
incertidumbre aditiva, 349,
353,
356, 376
control de admisión, 54, 63,
78,
79, 274
publicidad, 15
sistemas aeroespaciales, 8-9,
18, 338, véase también
avión de empuje
vectorial; avión X-29
AFM, véase microscopio de
fuerza atómica
aviones, véase control de
vuelo alcohol, metabolismo
de, 94 bucles algebraicos,
211, 249-250
aliasing, 225
función de transferencia todo
paso, 331 corriente alterna
(CA), 7,
155
amplificador, véase
amplificador operacional
relación de amplitud, ver
ganancia informática
analógica, 51, 71, 250,
309
aplicación analógica, controladores, 74,
263,
309-311
convertidores analógico-digitales, 4,
82, 224, 225, 311
función analítica, 236 anticipación, en
controladores, 6,
24, 296, véase también
acción derivada antirresonante, 156
compensación contra el viento, 307, 311,
312, 314
Servidor web Apache, 76, véase también
control del servidor web
volumen aparente de distribución,
86, 94
Arbib, M. A., 167
argumento, de un número complejo, 250
tasa de llegada (sistemas de colas), 55
inteligencia artificial (IA), 12, 20
asíntotas, en el gráfico de Bode, 253, 254
estabilidad asintótica, 42,
102-106, 112, 114, 117,
118, 120, 140
sistemas de tiempo discreto, 165
dinámica atmosférica, véase
microscopios de fuerza atómica de
ciencias ambientales, 3,
51, 81-84
modo de contacto, 81, 155, 199
posicionamiento horizontal, 281,
366
identificación del sistema, 257
modo de pulsación, 81, 290, 299,
304, 328
con precarga, 93 atractor (punto de
equilibrio),
104
388
reinicio automático,
en el control
PID, 296
sintonización automática, 306,
373 sistemas de control de
automóviles, 6,
22, 51, 69, véase también
control de crucero;
dirección del vehículo
ecuación diferencial
autónoma, 29,
véase también
sistemas
invariantes en el
tiempo
vehículos autónomos, 8, 20-21
piloto automático, 6, 19, 20
sistemas de equilibrio,
35-37, 49,
170, 188, 240, 334, ver
también sistema
de péndulo de
carro; péndulo
invertido
filtro pasa banda, 153-155, 255,
256
ancho de banda, 155, 186, 322, 333
Laboratorios Bell, 18, 290
Bennett, S., 25, 290, 312
dinámica de la bicicleta, 69-71, 91,
123, 226
Modelo Whipple,
71 modelo de
bicicleta, para
vehículo
dirección
, 51-53
bicicletadinámica
Modelo de Whipple, 199
bifurcaciones, 121-124, 130,
ver también locus raíz
parcelas circuitos biológicos,
16, 45,
58-60, 129, 166, 256
interruptor genético, 64, 114
represor, 59-60
sistemas biológicos, 1-3,
10,
16, 22, 25, 58-61, 126,
293, 297, véase
también circuitos
biológicos;
administración de
fármacos;
sistemas
neuronales;
dinámica de
poblaciones
biestabilidad, 23, 117
BIBLIOGRAFÍA
388
Black, H. S., 18, 19, 71, 73,
131, 267, 290, 347
sistemas diagonales en bloque,
106, 129, 139, 145, 149,
212
álgebra de los diagramas de
bloques, 242, 245, 356
diagramas de bloques, 1, 4447, 238,
242-247, 249
sistema de control, 4, 229,
244,
315
Descomposición de
Kalman, forma canónica
observable 223,
205
observador, 202, 210
control basado en el
observador
sistema, 213
Controladores PID, 293,
296,
311
forma canónica
alcanzable, 172
controlador de dos grados
de libertad, 219, 316, 358
Parametrización de Youla,
357
Bode, H., 229, 290, 343, 374
Gráficos de Bode, 250-257,
282 aproximación asintótica,
253, 254, 264
filtros de paso bajo,
banda y alto, 256
sistemas de fase no
mínima, 284
de la función racional, 251
esbozo, 254
Función de transferencia del
bucle ideal de Bode, 355,
375
Fórmula integral de Bode, 335340
Relaciones de Bode, 282, 283,
327
Brahe, T., 28
punto de interrupción, 253, 272
Brockett, R. W., xii, 1,
163 Bryson, A. E., 200
Transferencia sin
obstáculos, 373
Bush, V., 312
calibración, frente a
retroalimentación, 10,
180, 195, 197
Cannon, R. H., 61, 131
condensador, función de
transferencia para, 236
ÍNDIC
E
coche, véase
sistemas de
control del
automóvil
capacidad de carga, en modelos de
población, 90
sistema de péndulo de carro, 36,
172, véase también sistemas de
equilibrio
razonamiento causal, 1, 70 Teorema
de Cayley-Hamilton,
170, 199, 203
centro (punto de equilibrio), 104
regulador centrífugo, 2, 3, 6,
17
cadena de integradores (forma normal),
61, 173
polinomio característico, 105,
199, 235, 240
para la función de transferencia
en bucle cerrado, 268
forma canónica observable, 205
controlador de retroalimentación de
salida, 212, 213
forma canónica alcanzable, 173, 175,
179, 198
sistemas químicos, 9, 293, véase
también control de procesos;
modelos de compartimentos
distancia cordal, 351
Piloto automático de Chrysler, 6
circuitos, véase circuitos biológicos;
circuitos eléctricos
control clásico, xi, 374 bucle cerrado,
1, 2, 4, 6, 162,
176, 183, 267, 268, 287,
315
frente al bucle abierto, 2, 269,
288, 315
señales de mando, 4, 22, 220, 293,
véase también señal de referencia;
consigna
modelos de compartimentos, 85-89,
106, 151, 186, 203, 208,
227
ejercicios, 164 compensador, ver
ley de control sensibilidad
complementaria
función, 317, 325, 336,
350, 354, 356, 360, 365,
369, 374
complejidad, de los sistemas de
control, 9, 21, 298
par calculado, 163 aplicación
informática,
ÍNDIC
E
controladores, 224-226,
311-312
informática, relación con el
control, 5
sistemas informáticos, control
de, 12-14, 25, 39, 56, 57,
75-80, 157, véase también
sistemas de colas
integración condicional, 314
estabilidad condicional, 275
control de la congestión, 12, 77-80,
104, 273, 292, 313, véase
también sistemas de
colas dinámica de
enrutadores, 93
consenso, 57
control
definición de, 3-5
primeros ejemplos, 2, 5, 6, 8,
10, 18, 22, 25, 296
limitaciones fundamentales,
283, 331-340, 343, 363,
366, 373-374
historia de, 25, 312
modelización para, 5, 31-32, 61,
347
éxitos de, 8, 25
sistema, 3, 175, 213, 219,
224, 229, 316, 318, 358
utilizando el estado
estimado, 211-214, 370
error de control, 23, 244, 294
ley de control, 4, 23, 24, 162,
176, 179, 244
función de control de
Lyapunov, 124
matriz de control, 34, 38
señal de control, 31, 157,
293 controlabilidad, 197,
véase también
diferencial
controlado de
accesibilidad
ecuación, 29, 34, 235
ecuación de convolución,
145-147, 149, 150, 170,
261
tiempo discreto, 165
transformaciones de
coordenadas,
106, 147-149, 173, 226,
234-235
a la forma de Jordania, 139
a la forma canónica
observable, 206
a la forma canónica alcanzable,
389
390
174, 175
Fuerzas de Coriolis, 36, 162
frecuencia de esquina, 253
matriz de correlación, 215,
216
función de coste, 190
sistema acoplado muellemasa, 142, 144, 148
matriz de covarianza, 215
ganancia crítica, 303, 305, 306
período crítico, 303, 305
punto crítico, 271, 273, 279,
289, 290, 303, 352, 353,
372
oscilador con
amortiguación crítica,
184
frecuencia de cruce, véase
frecuencia de cruce de
ganancia; frecuencia de
cruce de fase
desigualdad de frecuencia de
cruce, véase desigualdad
de frecuencia de cruce de
ganancia
control de crucero, 6, 17-18,
65-69
Piloto automático de
Chrysler, 6
diseño de control, 196, 300,
309
linealización por
retroalimentación, 161
integración, 306, 307
linealización, 158
cancelación de polos/cero,
248
robustez, 18, 347, 348,
354
hidroavión Curtiss, 19, 20
cibernética, 11, véase también
robótica
Convertidores D/A,
véase
convertidores
digital-analógico
frecuencia amortiguada, 184
amortiguación, 28, 36, 41, 96,
265,
266
relación de amortiguación,
184, 185, 188,
300
DARPA Grand Challenge, 20,
21
Ganancia de CC, 155, véase
también ganancia de
frecuencia cero
zona muerta, 23
toma de decisiones, niveles
ÍNDIC
E
superiores de, 8,
12, 19
retraso, ver retraso de
tiempo
compensación de
retrasos, 292, 375
margen de retraso, 281
función delta, véase función de impulso
acción derivada, 24, 25, 293,
296-298, 310, 330
filtrado, 297, 308, 311, 312
ponderación del punto de consigna, 309,
312
constante de tiempo, 294 frente al
compensador de plomo,
330
describir funciones, 288-290 diseño de la
dinámica, 18-19,
109, 124-125, 131, 167,
177, 182
diabetes, ver dinámica insulina-glucosa
sistemas diagonales, 105, 139
descomposición de Kalman para,
222
transformando a, 106, 129,
138
Dickmanns, E., 20
ecuaciones de diferencia, 34,
38-41, 61, 156, 224, 312
ecuaciones algebraicas diferenciales, 33,
véase también bucles algebraicos
ecuaciones diferenciales, 28,
34-37, 95-98
controlado, 29, 133, 235
puntos de equilibrio, 100-101 existencia
y unicidad de
soluciones, 96-98
de primer orden, 32, 298
solución aislada, 101
soluciones periódicas, 101-102,
109
análisis cualitativo, 98-102
de segundo orden, 99, 183, 298
soluciones, 95, 96, 133, 137,
145, 263
estabilidad, véase funciones de
transferencia de estabilidad para, 236
planicidad diferencial, 221 sistemas de
control digital, véase
aplicación informática, controladores
convertidores digital-analógico, 4,
82, 224, 225, 311
variables sin dimensión, 48,
61
término directo, 34, 38, 147, 211,
ÍNDIC
E
250
control discreto, 56
sistemas de tiempo discreto, 38, 61,
128, 156, 165, 311
Filtro de Kalman
para, 215 regulador
cuadrático lineal
para, 192
unidades de disco, 64
atenuación de las perturbaciones, 4,
176, 323-324, 358-359
diseño de
controladores para,
319, 320, 327, 336,
345,
369
límites fundamentales, 336
en sistemas
biológicos, 257,
297
ganancia integral
como medida de,
296, 324, 359
relación con la
función de
sensibilidad, 323,
335, 344,
358
ponderación de las
perturbaciones, 372
disturbios, 4, 29, 32,
244,
248, 315, 318, 319
generalizado, 371
al azar, 215
Dodson, B., 1
valores propios
dominantes (polos),
187, 300, 301
integrador doble, 137, 168,
236
Doyle, J. C., xii, 343, 374
administración de medicamentos, 8589,
94, 151, 186, véase también
dualidad de los
modelos de
compartimentos, 207,
211
Coche Dubins, 53
compensador dinámico, 196,
213
inversión dinámica, 163
sistemas dinámicos, 1, 27, 95,
98, 125
lineal, 104,
131
observador
como, 201
estado de,
175
estocástico, 215
391
incertidumbre en, 347-349
ver
tam
bié
n
ecu
acio
nes
dife
renc
iale
s
matriz dinámica, 34, 38, 105,
1
4
2
D
y
s
o
n
,
F
.
,
2
7
392
comercio electrónico, 13
servidor de correo electrónico,
control de, 39, 157
sistemas económicos, 14-15,
22,
62
ecosistemas, 16-17, 89, 181,
véase también sistema
depredador-presa
asignación de valores
propios, 176,
178, 180-182, 188, 212,
300, 313
por retroalimentación de
salida, 212 para el diseño
de observadores, 208
valores propios, 105, 114,
123,
142, 232
y la forma de Jordania, 139141, 164
distintos, 128, 129, 138,
144,
222
dominante, 187
efecto sobre el
comportamiento
dinámico, 183, 185-187,
233
para sistemas de tiempo
discreto, 165
invarianza bajo
transformación de
coordenadas, 106
relación con los modos,
142-145
relación con los polos, 239
relación con la estabilidad,
117,
140, 141
vectores propios, 106, 129,
142,
143
relación con la forma del
modo, 143
energía eléctrica, véase
sistemas de energía
(eléctrica)
circuitos eléctricos, 33, 45, 74,
131, 236, véase también
amplificador
operacional ingeniería
eléctrica, 6-7,
29-31, 155, 275
elefante, modelado de un, 27
Elowitz, M. B., 59 cerco, 271,
véase también
Criterio de Nyquist robots
de entretenimiento, 11, 12
ciencias ambientales, 3, 9, 17
puntos de equilibrio, 90, 100,
ÍNDIC
E
105, 132,
158, 168
bifurcacio
nes de, 121
tiempo discreto,
62
para el sistema de bucle cerrado, 176,
195
para los sistemas planares, 104 región
de atracción,
119-121, 128
estabilidad, 102
retroalimentación de errores, 5, 293,
294,
309, 317
estimadores, véase oservers387
Integración de Euler, 41, 42
señales exponenciales, 230-235,
239, 250
filtro de Kalman ampliado, 220
aviones F/A-18, 8 Falb, P.
L., 167
retroalimentación, 1-3
como facilitador de la tecnología, 3,
19
inconvenientes de, 3, 21, 308,
352, 359
en sistemas biológicos, 1-3, 16, 25,
297, véase también circuitos
biológicos
en sistemas de ingeniería, véase
controlar
en los sistemas financieros, 3
en la naturaleza, 3, 15-17, 89
positivo, ver positivo
retroalimentación
propiedades, 3, 5, 17-23, 315,
320, 347
robustez mediante, 17
versus feedforward, 22, 296,
320
conexión de retroalimentación, 243,
287, 288
controlador de retroalimentación, 244,
315 linealización de retroalimentación,
161-163
bucle de retroalimentación, 4, 267, 315,
358
incertidumbre de retroalimentación, 349,
356
feedforward, 22, 219-222,
244, 315, 319, 321
Fermi, E., 27 filtros
activo, 153
para la ponderación de las
perturbaciones, 373
para las señales de medición, 21, 225,
359
ÍNDIC
E
véase también filtros paso
banda; filtros paso alto;
filtros paso bajo
sistemas financieros, véase
sistemas económicos
tiempo de escape finito, 97
máquina de estado finito,
69, 76
sistemas de primer orden, 134, 165,
236, 252, 253
gestión de la pesca, 94
planicidad, véase
diferencial
flatness
control de vuelo, 8, 18, 19, 53,
163
gestión del espacio aéreo, 9
Aviones F/A-18, 8
Avión X-29, 336
Avión X-45, 8
véase también avión de
empuje vectorial
flujo, de un campo vectorial, 29,
99 flujo en un tanque, 126
modelo de flujo (sistemas de
colas), 54, 292, 313
gobernador de flyball, ver
retroalimentación de la
fuerza del regulador
centrífugo, 10, 11
respuesta forzada, 133, 231
Forrester, J. W., 15 Fourier,
J. B. J., 61, 262
dominio de la frecuencia, 229-231,
267, 285, 315
respuesta en frecuencia, 30, 43, 44,
151, 153-156, 230, 290,
303, 322
relación con el diagrama
de Bode, 250
relación con el gráfico de
Nyquist, 270, 272
sistemas de segundo orden, 185,
256
identificación del sistema
mediante, 257
sistemas totalmente
accionados, 240 límites
fundamentales, véase
control: limitaciones
fundamentales
Péndulo Furuta, 130
ganar, 24, 43, 73, 153, 154, 186,
230, 234, 239, 250, 278,
285-288, 347
393
394
H, 286, 287, 371
observador, véase
ganancia del observador
de un sistema, 285
referencia, 195
retroalimentación del
estado, 176, 177,
180, 195, 197
frecuencia cero, véase
ganancia de
frecuencia cero
ver también ganancia
integral
frecuencia de cruce de
ganancia, 279, 280, 322,
326, 332, 351,
365
desigualdad de la frecuencia
de cruce de la ganancia,
332, 334
curva de ganancia (diagrama
de Bode), 250-254, 282,
326
margen de ganancia,
278-281 del diagrama
de Bode, 279 valores
razonables, 281
programación de ganancias,
220, 373
producto de ganancia-ancho de
banda, 74,
237, 361
Banda de los Cuatro, 317,
344, 358
Banda de los Seis, 317, 322
regulación de genes, 16, 58,
59,
166, 256
interruptor genético, 64, 114,
115
comportamiento global, 103,
120-124
Glover, K., 343, 374
regulación de la glucosa, véase
dinámica insulina-glucosa
Golomb, S., 65
regulador, véase regulador
centrífugo
 control,
371-374, 376
Avión Harrier AV-8B, 53
propagación del calor,
238
Heaviside, O., 163 Función
escalonada de Heaviside,
150,
163
Hellerstein, J. L., 13, 25, 80
de alta frecuencia, 327,
359, 366
filtro de paso alto, 255, 256
ÍNDIC
E
Función de la
colina, 58
Hoagland, M. B., 1
Ecuaciones de HodgkinHuxley, 60
homeostasis, 3, 58
solución homogénea,
133,
136, 137, 239
Termostato Honeywell,
6
Horowitz, I. M., 226, 343, 369,
374
interfaz hombre-máquina, 65,
69
histéresis, 23, 289
identificación, ver identificación del sistema
impedancia, 236, 309 aplicación,
controladores,
véase aplicación analógica; aplicación
informática
función de impulso, 146, 164,
169
respuesta al impulso, 135, 146,
147, 261
inductor, función de transferencia para,
236
matriz de inercia, 36, 162
norma del infinito, 286, 372
sistemas de información, 12,
54-58, véase también control de la
congestión; control del servidor web
condición inicial, 96, 99, 102,
132, 137, 144, 215
respuesta de la condición inicial, 133, 136139, 142, 144, 147,
231
problema de valor inicial, 96 control de
bucle interno, 340, 342 función de
sensibilidad de entrada, véase
modelos de entrada/salida de la
función de sensibilidad de la carga, 5, 29,
31,
132, 145-157, 229, 286,
véase también respuesta en frecuencia;
respuesta en estado estacionario;
respuesta en escalón
y las funciones de transferencia, 261 y la
incertidumbre, 51, 349
de los experimentos, 257 relación con el
espacio de estado
modelos, 32, 95, 146
respuesta en estado estacionario, 149
función de transferencia para, 235
entradas, 29, 32
control de vuelo de los insectos, 46-47
instrumentación, 10-11, 71
la dinámica insulina-glucosa, 2,
88-89
ÍNDIC
E
acción integral, 24-26,
195-198, 293, 295-296,
298, 324
para la compensación
del sesgo, 226
ponderación del punto
de consigna, 309, 312
constante de tiempo, 294
ganancia integral, 24, 294, 296, 299
integración, 225,
306-307, 314
integración
condicional, 314
máquinas inteligentes,
véase
robótica
principio de modelo
interno, 214, 221
Internet, 12, 13, 75, 77, 80, 93,
véase también
control de la
congestión
Protocolo de Internet
(IP), 77 conjunto
invariante, 118, 121
modelo inverso, 162, 219, 320
respuesta inversa, 284, 292
péndulo invertido, 37, 69,
100, 108, 118, 121, 128,
130, 276, 337, véase también
sistemas de equilibrio
linealización jacobiana,
158-161
Forma jordana, 139-142, 164,
188
Kalman, R. E., 167, 197, 201,
223, 226
descomposición de
Kalman, 222-224,
235, 262, 264
Filtro Kalman, 215-218, 226,
370
ampliado, 220
Filtro de KalmanBucy, 217 Kelly, F.
P., 80
Kepler, J., 28
Keynes, J. M.,
14
Modelo económico
keynesiano, 62,
165
Principio de KrasovskiLasalle, 118
LabVIEW, 123, 163
retraso, véase retraso de fase
compensación de lag,
327, 328 Transformadas
de Laplace, xi,
395
259-262
396
Matriz laplaciana, 58
Principio de invariancia de
Lasalle,
véase el principio
Krasovski-Lasalle
plomo, véase plomo de fase
compensación de plomo, 327330,
341, 345
ciclo límite, 91, 101, 109, 111,
122, 288, 289
control cuadrático
lineal, 190-194,
216, 226,
369-371
sistemas lineales, 30, 34, 74,
104,
131-163, 222, 231, 235,
262, 286
sistemas lineales invariantes en
el tiempo, 30, 34, 134, 261
linealidad, 133, 250
linealización, 109, 117, 132,
157-163, 220, 347
Continuidad de Lipschitz, 98
perturbaciones de la carga,
315, 359,
ver también
perturbaciones función de
sensibilidad de la carga, 317
comportamiento local, 103,
109, 118,
120, 158
localmente estable
asintóticamente, 103
modelo de crecimiento
logístico, 89, 90,
94
análisis del bucle, 267, 315
la conformación del bucle,
270, 326-330,
343, 369
reglas de diseño, 327
limitaciones fundamentales,
331-340
véase también la función de
transferencia del bucle de
Bode
función de transferencia del
bucle,
267-270, 278, 279, 287,
315, 318, 326, 327, 329,
336, 343, véase también
la función de
transferencia del bucle de
Bode
Servidor Lotus Notes, véase
servidor de correo
electrónico
modelos de bajo orden, 298
filtro de paso bajo, 255, 256,
ÍNDIC
E
308 Control LQ,
véase lineal
control
cuadrático
Sistemas
LTI, véase
lineal
sistemas
invariantes en el
tiempo ecuación
de Lyapunov,
114, 128
Funciones de Lyapunov, 111-114,
120, 127, 164
diseño de controladores mediante,
118, 124
existencia de, 113 Análisis de
estabilidad de Lyapunov,
43, 110-120, 126
tiempo discreto, 128
colector, 120
márgenes, véase márgenes de
estabilidad Mars Exploratory Rovers,
11,
12
espectrómetro de masas, 10
ciencia de los materiales, 9
Matemática, 41, 123, 163
MATLAB, 26, 41, 123, 163,
200
acker, 181, 211
dlqe, 216
dlqr, 194
hinfsyn, 372
jordan, 139
linmod, 160
lqr, 191
lugar, 181, 189, 211
recortar, 160
matriz exponencial, 136-139,
143, 145, 163
transformaciones de coordenadas, 148
Formulario de Jordania, 140
sistemas de segundo orden, 138,
164
máxima sensibilidad
complementaria, 354, 365
sensibilidad máxima, 323,
352, 366
Señales medidas, 31, 32, 34,
95, 201, 213, 225, 316,
318, 371
ruido de medición, 4, 21, 201,
203, 215, 217, 244, 308,
315-317, 327, 359
respuesta a, 324-326, 359
sistemas mecánicos, 31, 36,
42, 51, 61, 162
mecánica, 28-29, 31, 126,
131
modelo mínimo
(insulina-glucosa), 88, 89,
ÍNDIC
E
ver también dinámica
insulina-glucosa
fase mínima, 283, 290, 331
forma modal, 130, 145, 149
Modelica, 33
modelización, 5, 27-33, 61, 65
perspectiva de control, 31
control discreto, 56
tiempo discreto, 38, 156-157
dominio de la frecuencia, 229-231
de los experimentos, 47-48
reducción del modelo, 5
normalización y escalado,
48
de incertidumbre, 50-51
modelos simplificados, uso
de,
32, 298, 348, 354, 355
software para, 33, 160,
163
espacio de estado, 34-43
incertidumbre, véase
incertidumbre
modos, 142-144, 239
relación con los polos, 240
sistemas de control de
movimiento,
51-54, 226
motores, eléctricos, 64, 199,
228 multientrada, multi-salida
sistemas, 286, 318, 327,
véase también modelos
de entrada/salida
incertidumbre multiplicativa, 349,
356
nanoposicionador (AFM), 281,
366
frecuencia natural, 184, 300
función definida negativa, 111
retroalimentación negativa, 18,
22, 73,
176, 267, 297
Ley de Nernst, 60
redes, 12, 45, 80, véase
también control de la
congestión
sistemas neurales, 10, 47, 60, 297
estabilidad neutra, 102-104
Newton, I., 28
Nichols, N. B., 163, 302, 343
Carta de Nichols, 369, 370
Premio Nobel, 10, 11, 14, 61, 81
ruido, véase perturbaciones;
atenuación del ruido
de medición, 257,
324-326
cancelación de ruido, 124
397
398
función de sensibilidad al
ruido, 317 sistemas no
lineales, 31, 95, 98,
101, 108, 110, 114,
120-125, 202, 220,
286-288
aproximación lineal, 109,
117, 159, 165, 347
identificación del sistema, 62
fase no mínima, 283, 284,
292, 331-333, véase
también
soluciones no únicas de
respuesta inversa (ODEs),
97
coordenadas normalizadas,
48-50, 63, 161
normas, 285-286
Nyquist, H., 267, 290
Criterio de Nyquist, 271, 273,
275, 278, 287, 288, 303
para una estabilidad
robusta, 352, 376
Contorno D de Nyquist, 270,
276
Diagrama de Nyquist, 270-271,
278,
279, 303, 324, 370
observabilidad, 32, 201-202,
222, 226
condición de rango, 203
pruebas para, 202-203
sistemas inobservables, 204,
222-223, 265
matriz de observabilidad, 203,
205 forma canónica
observable,
204, 205, 226
ganancia del observador, 207,
209-211,
213, 215-217
observadores, 201, 206-209,
217,
220
diagrama de bloques, 202,
210
véase también filtro de
Kalman ODEs, véase
diferencial
ecuaciones
Ley de Ohm, 60, 73, 236
control de encendido y
apagado, 23, 24
bucle abierto, 1, 2, 73, 168,
245,
267, 306, 315, 323, 349
ganancia de bucle abierto,
237, 278, 322
amplificadores operacionales,
71-75,
ÍNDIC
E
237, 309, 356
circuitos, 92, 153,
268, 360
modelo dinámico, 74,
237 características de
entrada/salida,
72
oscilador utilizando, 92, 128
modelo estático, 72, 237
control óptimo, 190, 215, 217,
370
orden, de un sistema, 34, 235 ecuaciones
diferenciales ordinarias,
ver ecuaciones diferenciales
dinámica de los osciladores, 92, 96,
97, 138, 184, 233, 236
forma normal, 63
véase también nanoposicionador
(AFM); sistema de muelle-masa
control de bucle externo, 340-342
retroalimentación de salida, 211, 212,
226, véase también control: uso del
estado estimado; conformación del
bucle; control PID
función de sensibilidad de salida, véase
salidas de la función de sensibilidad
al ruido, véase señales medidas oscilador
sobreamortiguado, 184
sobrepasar, 151, 176, 185, 322
Aproximación "Pade", 292, 332 control de
paginación (informática), 56 conexión en
paralelo, 243 diagrama de estabilidad
paramétrica,
122, 123
incertidumbre paramétrica, 50, 347
acelerador de partículas, 11
solución particular, 133, 151,
véase también sistemas pasivos de
respuesta forzada, 287, 336
teorema de la pasividad, 288
pinza de parche, 10
Control de DP, 296, 328
frecuencia máxima, 155, 322 dinámica del
péndulo, 113, véase
también péndulo invertido adaptación
perfecta, 297
rendimiento, 76
limitaciones de rendimiento, 331,
336, 365, 373
debido a los polos y ceros del semiplano
derecho, 283
véase también control: limitaciones
fundamentales
especificaciones de rendimiento, 151, 175,
315, 322-327,
358, véase también sobreimpulso;
sensibilidad máxima;
ÍNDIC
E
pico de resonancia;
tiempo de subida;
tiempo de
asentamiento
soluciones periódicas,
véase ecuaciones
diferenciales;
ciclos límite
persistencia, de una
conexión web, 76,
77
Red de Petri, 45
farmacocinética, 85, 89,
véase también fase de
administración del
fármaco, 43, 153, 154,
186, 230,
234, 250, 288,
véase también fase
mínima; fase no
mínima
mínimo frente a no
mínimo, 283
frecuencia de cruce de
fases, 279, 280
curva de fase (diagrama
de Bode), 250-252,
254
relación con la curva
de ganancia, 282,
327
desfase, 153, 154, 256, 283,
332, 333
fase de conducción, 153, 256, 330,
345
margen de fase, 279, 280, 327,
329, 332, 346, 375
del gráfico de
Bode, 279
valores
razonables, 281
retrato de fase, 28, 29, 98-100,
120
Philbrick, G. A.,
75
fotorreceptores,
297 física,
relación con
control, 5
Control PI, 17, 25, 65, 68, 296,
301, 327, 328
sistema de primer orden, 300, 364
Control PID, 24-25, 235,
293-313, 330
diagrama de bloques, 294, 296,
308
aplicación informática,
311
forma ideal, 293, 313
implementación, 296,
308-312
en sistemas
399
biológicos, 297
implementació
n de
amplificadores
operacionales,
309-311
afinación, 302-306
véase también acción
derivada;
400
acción integral
bifurcación de horquilla,
130
sistemas dinámicos planares,
99, 104, véase también
sistemas de segundo orden
colocación de postes, 176,
361,
365-366, véase también
asignación de valores
propios robusta, 361
diagrama polo-cero, 240
cancelaciones polo-cero,
247-249, 265, 365, 366
polos, 239, 240
dominante, 301, véase
también
valores propios
dominantes (polos)
rápido estable, 364, 366
imaginario puro, 270, 276
relación con los valores
propios,
239
medio plano derecho, 240, 276,
283, 331, 333-334, 336,
345, 366
dinámica de la población, 8991, 94, véase también
sistema depredador-presa
función definida positiva, 111,
112, 114, 118
matriz definida positiva, 114,
191
retroalimentación positiva, 16,
21-23,
129, 296
real positivo
(función de
transferencia),
336
potencia de una matriz, 136
sistemas de alimentación
(eléctricos), 6-7, 63, 101,
127
sistema depredador-presa, 38,
90-91, 121, 181
predicción, en controladores,
24, 25, 220, 296, 375,
véase también acción
derivada
tiempo de predicción, 297
principio del argumento, ver
variación del argumento,
principio del
control de procesos, 9, 10, 13,
45
control proporcional, 24, 293,
véase
también
Control
PID
proporcional, integral,
ÍNDIC
E
control
derivado, véase
control PID
protocolo, véase control de la
congestión; consenso
señal de pulso, 146, 147, 187,
véase también función de impulso
respuesta de la pupila, 258, 297
respuesta exponencial pura, 232
Valor Q, 63, 186, 254
teoría de la retroalimentación
cuantitativa (QFT), 369
modelo de cuarto de coche, 265
sistemas de colas, 54-56, 63
proceso aleatorio, 54, 215, 228
alcanzabilidad, 32, 167-175, 197,
222
condición de rango, 170
pruebas para, 169
sistemas inalcanzables, 171,
199, 222-223, 265
matriz de alcanzabilidad, 169, 173
forma canónica alcanzable, 35,
172-175, 178, 180, 198
conjunto alcanzable, 167
sistemas en tiempo real, 5
señal de referencia, 23, 175, 176,
229, 244, 293, 309, 317,
319, véase también señales de
mando; punto de consigna
efecto sobre el error del observador,
212, 219, 224
respuesta a, 322, 344
seguimiento, 175, 219, 220, 327,
360
ponderación de referencia, véase
región de atracción de la
ponderación del punto de
referencia, véase puntos de
equilibrio:
regiones de atracción regulador,
véase ley de control retroalimentación
de relés, 289, 305 Reno (protocolo),
véase Internet;
control de la congestión
represor, 59-60
represor, 16, 59, 64, 114, 166,
257
reinicio, en el control PID, 295, 296
frecuencia de resonancia, 186, 286
pico de resonancia, 155, 186, 322,
355
uso de recursos, en sistemas
informáticos, 13, 55, 57, 75, 76
ÍNDIC
E
respuesta, ver modelos de
entrada/salida
retina, 297, véase también
respuesta de la pupila
Ecuación de Riccati, 191, 217,
372, 374
esfera de Riemann, 351
polos del semiplano
derecho y
ceros, véase polos:
semiplano derecho;
ceros: semiplano
derecho
tiempo de subida, 151, 176, 185, 322
robótica, 8, 11-12, 163
robustez, 17-18, 322, 349,
374
rendimiento, 358-361,
369-374
estabilidad, 352-358
utilizando la ganancia y
la fase
margen, 281, 326
uso de la máxima
sensibilidad, 323, 326, 353,
375, 376
utilizando la colocación
de postes, 361-368
a través de la ganancia y el
margen de fase, 280
ver también incertidumbre
roll-off, véase roll-off de
alta frecuencia
diagrama de localización de
la raíz, 123 criterio de RouthHurwitz, 130
efecto de la hora punta, 55, 64
silla de montar (punto de
equilibrio), 104 muestreo, 156-157,
224, 225,
311
función de saturación, 45, 72,
311, véase también
actuadores: saturación
escalado, véase coordenadas
normalizadas
microscopio de barrido en
túnel, 11, 81
diagramas esquemáticos, 44, 45, 71
Schitter, G., 84
sistemas de segundo orden, 28, 164,
183-187, 200, 253, 301
Transportador personal Segway,
35, 170
autoactivación, 129
auto-represión, 166, 256
función semidefinida, 111
401
402
frecuencia de cruce de la
sensibilidad, 324
función de sensibilidad, 317,
324-326, 336, 352, 360,
366
y la atenuación de las
perturbaciones, 323, 336,
344
matriz de sensores, 34, 38
redes de sensores, 57
sensores, 3, 4, 9, 202, 224,
283,
311, 315, 318, 333, 334,
371
efecto sobre los ceros,
284, 334 en los sistemas
informáticos, 75 véase
también señales medidas
principio de separación, 201,
213
conexión en serie, 243
tasa de servicio (sistemas de
colas), 55
punto de consigna, 293
ponderación del punto de
consigna, 309, 312
tiempo de asentamiento, 151,
165, 176,
185, 322
similitud de dos sistemas,
349-352
simulación, 40-42, 51
SIMULINK, 160
sistemas de una entrada y una
salida (SISO), 95, 132,
133, 158, 204, 286
valores singulares, 286, 287,
376 sumidero (punto de
equilibrio), 104 teorema de la
pequeña ganancia, 287-288,
355
Predictor Smith, 375
herramientas de software
para el control, x solución
(ODE), ver
ecuaciones diferenciales:
soluciones
Sony AIBO, 11, 12
fuente (punto de equilibrio),
104 analizador de espectro,
257
Piloto automático Sperry, 19
sistema muelle-masa, 28, 40,
42, 43, 82, 127
acoplado, 144, 148
generalizado, 36, 71
identificación, 47
normalización, 49, 63
véase también estabilidad
de la dinámica del oscilador,
3, 5, 18, 19, 42, 98,
ÍNDIC
E
102-120
estabilidad asintótica, 102,
106
condicional, 275
en el sentido de Lyapunov, 102
local frente a global, 103, 110, 120, 121
Análisis de Lyapunov, ver Análisis de
estabilidad de Lyapunov
neutralmente estable, 102, 104 de un
sistema, 105
de los puntos de equilibrio, 42, 102, 104,
111, 117
del bucle de retroalimentación, véase
Criterio de Nyquist de los
ciclos límite, 109
de los sistemas lineales, 104-107, 113,
140
de las soluciones, 102, 110
de las funciones de transferencia, 240
robusta, véase estabilidad robusta
soluciones inestables, 103
utilizando los valores propios, 117, 140,
141
utilizando la aproximación lineal, 107,
117, 159
utilizando el criterio de Routh-Hurwitz,
130
utilizando la retroalimentación de estado,
175-194
ver también bifurcaciones; puntos de
equilibrio
diagrama de estabilidad, véase diagrama de
estabilidad paramétrica
margen de estabilidad (cantidad), 279, 281,
323, 345, 353,
372
valores razonables, 281 márgenes de
estabilidad (concepto), 278-282, 291,
326
poste estable, 240
cero estable, 240
Stark, L., 258
estado, de un sistema dinámico, 28, 31, 34
estimadores de estado, ver observadores
retroalimentación de estado, 167-197, 207,
212, 219-221, 224-226,
362, 370, véase también
asignación de valores propios;
ÍNDIC
E
espacio de estado
de control lineal
cuadrático, 28, 34-43,
175
vector de estado, 34
ganancia de estado
estable, véase
ganancia de
frecuencia cero
respuesta en estado
estacionario, 26, 42,
149-156, 165, 176, 185,
230, 231, 233, 257, 262
máquinas de vapor, 2,
17 dirección, véase
dirección de vehículos
Stein, G., xii, 1, 315,
337
paso de entrada, 30, 135, 150, 239,
302
respuesta al paso, 30, 31,
47, 48,
135, 147, 150, 151, 176,
184, 185, 302
enfriamiento
estocástico, 11
sistemas estocásticos, 215, 217
unión de suma, 45
superposición, 30, 133, 147,
164, 230
control de
supervisión,
véase toma de
decisiones:
niveles superiores
de
cadenas de suministro, 14, 15
supremum (sup), 286
comportamiento de cambio, 22, 64,
117, 373
identificación del sistema, 47, 62,
257
modo de golpeo, ver
microscopio de
fuerza atómica
TCP/IP, véase
Internet; control
de la congestión
Teorell, T., 85, 89
termostato, 5, 6
reguladores de tres
términos, 293, véase
también regulación PID
aviones de empuje vectorial, véase
constante de
tiempo del avión de
empuje vectorial, de
primer orden
sistema, 165
tiempo de espera, 5,
13, 235, 236,
403
281, 283, 302,
311,
332
334
compensación, 375
Aproximación "Pade", 292,
3
3
2
p
a
r
c
e
l
a
d
e
t
i
e
m
p
o
,
2
8
sistemas
invariantes en el
tiempo, 30, 34,
126, 134135
404
seguimiento, véase señal de
referencia: seguimiento
rastro (dinámica de la
bicicleta), 70 regulación
transcripcional, ver
funciones de
transferencia de regulación
de genes, 229-262
por inspección, 235
derivación usando
exponencial
señales, 231
derivación mediante
Laplace
transformaciones, 261
para sistemas de control,
244, 264
para los circuitos
eléctricos, 236 para el
retardo de tiempo, 235
respuesta en frecuencia,
230,
250
de los experimentos, 257
irracional, 236, 239
sistemas lineales de
entrada/salida, 231, 235,
264
respuesta transitoria, 42, 149,
150, 153, 168, 188, 231,
232
Protocolo de Control de
Transmisión (TCP), 77
sistemas de transporte, 8
Tsien, H. S., 11
normas de ajuste, 314, véase
Ziegler-Nichols
sintonizando dos grados de
libertad
control, 219, 294, 319,
321, 343, 344
incertidumbre, 4, 17-18, 32,
50-51, 195, 347-352
variación de componentes
o parámetros, 4, 50, 347
perturbaciones y ruido, 4,
32, 175, 244, 315
dinámica no modelada, 4,
50,
348, 353
ÍNDIC
E
véase también
incertidumbre aditiva;
incertidumbre de
retroalimentación;
incertidumbre
multiplicativa
banda de incertidumbre, 50
incertidumbre limón, 50, 51,
68,
74, 83
oscilador subamortiguado, 97,
184, 185
paso de la
unidad, 150
dinámica no modelada, véase
incertidumbre: dinámica
no modelada
polo inestable, véase polos:
semiplano derecho
polo inestable/anulación del
cero, 248
solución inestable, para un
sistema dinámico, 103,
104, 106, 141, 240
cero inestable, véase ceros:
semiplano derecho
variación del argumento,
principio de, 277, 290
campo vectorial, 29, 99
aviones de empuje vectorial,
53-54, 141, 191, 217, 264,
329,
340
dirección del vehículo, 51-53,
160,
177, 209, 214, 221, 245,
284, 291, 321, 362
dinámica del buque, 51
suspensión de vehículos, 265,
véase también sistema
acoplado muelle-masa
despegue y aterrizaje vertical,
ver amortiguador de
vibraciones de aeronaves de
empuje vectorial, 266
Vinnicombe, G., 343, 351, 374
La métrica Vinnicombe, 349352,
372
pinza de tensión, 10, 11, 61
efecto lecho de agua, 336,
337 Regulador Watt, véase
centrífugo
gobernador
Máquina de vapor de Watt, 3, 17
control del servidor web, 75-77,
192 sitio web, acompañante, x
Whipple, F. J. W., 71
Wiener, N., 11, 12
número de bobinado, 277
tamaño de ventana (TCP), 78, 80,
104
windup, véase windup del
integrador Wright, W., 18
Wright Flyer, 8, 19
Avión X-29, 336
Avión X-45, 8
Parametrización de Youla,
356-358
ganancia de frecuencia cero, 154, 177,
180, 186, 239
ceros, 239
Diagrama de Bode
para, 264 efecto de los
sensores y
actuadores en, 284, 334
para un sistema de espacio de
estados, 240 medio plano
derecho, 240, 283,
331-334, 336, 345, 365
propiedad de bloqueo de
señales, 239
lento estable, 362, 363, 365
Ziegler, J. G., 302, 312
Sintonía ZieglerNichols, 302-305, 312
respuesta en frecuencia, 303
método mejorado, 303
respuesta al paso, 302