I QISM
OLIY MATEMATIKA
х<>>
©‘ZBEKISTQN RESFUBLIKASI OLIY VA 0 ‘RTA MAXSUS
TA’LLM VAZIRLIGI
TOSHKENT ARXITEKTURA Q U R IU S H INSTITUTI
S H .R . X U R R A M O V
OLIY
MATEMATIKA
Uch jildlik
I jild
О xbekiston Respublikasi Oiiy va oSrta maxsus ta ’Um
vamiigi barcha iexnika yo ‘nalishlari uchun darslik
sifaiida tavsiya etgan
СкоЧроп rtomidagi nashriyot-matbaa ijodiy uyi
Tashkent ~ 201S
di&eog
UDK 5 J 7(075)
BBK 22.1a7
X 92
Mas’ul mnbarrirtar:
A. Quchqarov —fizika-matematika fanlari doktori;
Sh.A. Rahimova
Taqrizchibr:
B. Shemqulov —fizika-matematika fanlari doktori, QarDU profession;
A. Narmanov —fizika-matematika fanlari doktori, 0 ‘zMU professori;
Sh. Ismoihv —fizika-matematika fanlari nomzodi, TAQI dotsenti
X 92
ХагташйУ, SLR .
Oliy matematika. Barcha texnika yo'nalishJari uchun darsiik.
I jild. [Matn] darsIik/Sh. Xurramov. Oiiy va o'rta maxsus ta’lim
vazirligi. - Т.: C h o ip o a nomidagi JNMIU, 2018. - 492 b.
ISBN 978-9943-5379-7-2
Ushbu darsiik oliy texnika o‘quv yttrtl arming oliy xnatematika
fani dasturi asosida yozilgan va bakalavriar Davlat ta’lim standartlari
taiablariga mos keladi.
Darsiik uch jilddan iborat. Birinchi jild oiiy matematikaning
chiziqli algebra elementlari, vektorli algebra elementlari, analitik
geometriya. matematik analizga kirish, bir ©‘zgaruvchi ftmksiyasining
differensial hisobi, oliy algebra elementlari va bir o‘zgaravchi
funksiyasintng integral hisobi boiimlariga oid materUiarni o‘z ichiga
oiadi. Darslikning har bir mavzusi zamonaviy xoiijiy adabiyotlar va
o'qitish texnologiyalari tahiiii asosida yozilgan.
Kitob oiiy taiim muassasalarining talabalari ra o‘qituvchilari
uchun mo'ijallangan.
ШЖ 517(075)
BBK 22. Iya7
ISBN 978-9943-5379-7-2
© Sh. R. Хштавюг, 2» it8
© Choipoa nomidagi NMIU, 2018
S O ‘Z
B O S H I
M atem atika barcha tabiiy bilimlar asosidir.
David Gilberd
Hozirgi jadal rivojlanish davrida aql-zakovatli, ijodiy fikrlovchi va
mustaqil qaror qabul qiluvchi mutaxassislarni tayyorlashda matematik
ta ’lim asosiy о ‘tin egallaydi. Talabalarni matematik tayyorlash ularning
kasbiy faoliyatida zarur bo‘ladigan boshqa tabiiy-ilmiy, umumkasbiy va
ixtisoslik fanlarini o‘rganishIari uchun nazariy asoslami ta ’minlashi
kerak, Bu esa o‘z navbatida samarali o‘qitishning muhim omillaridan
biri b o ig a n zamon talabiariga javob beruvchi darsliklar va o ‘quv
qo‘!ianmalarni yaratishni taqozo etmoqda.
Ushbu darslik oliy texnika o‘quv yurtlarining oliy m atematika fani
dasturi asosida yozilgan va bakalavrlar Davlat ta ’lim standartiari
taiablariga mos keiadi,
Darslik uch jilddan iborat. Darslikning birinchi jildi vettita bobdan
iborat bo‘lib, u oliy matematikaning chiziqli algebra elementlari,
vektorli algebra elementlari, analitik geometriya, matematik analizga
kirish, bir o ‘zgaruvchi funksiyasining differensial hisobi, oliy algebra
elementlari va bir o ‘zgaruvchi fonksiyasining integral hisobi
bo‘limlariga bag‘ishiangan. Bu boMimlar zamonaviy xcrijiy adabiyotlar
va o ‘qitish texnologiyalari tahlili asosida yaratilgangan bo lib , har bir
mavzuni yozishda bir qancha xorijiy adabiyotlardan foydalanilgan,
mavzular to‘liq yoritilgan, tegishii bilimlar talabalar tomonidan mustaqil
o'zlashtirilishiga, ularda ko‘nikm a va malakalaming shakllantirilishiga
hamda ijodiy qobiliyatlarni rivojlantirishga yo‘naltirigan.
Darslikda talaba asosiy tushunchalarni, ta ’riflami, teoremalami va
tipik masalalarni yechish usullarini ko‘rsatuvchi misollarni topadi.
Bunda biror tasdiqning isboti keltirilmagan bo‘lsa, natijalaming itodasi
uning m a’nosini tushuntiradigan misollar bilan to‘ldirilgan.
Darslikning har bir mavzusi ko‘p sondagi misol va masalalar
yechimlarida tushuntirilgan, ulami o‘zlashtirishni mustahkamlashga
yo‘naltirilgan mashqlar bilan to‘ldirilgan. Ayrim misol va masalalarni
matematik paketlar yordamida yechish usullari keltirilgan.
3
M uallif darslik qolyozm asm i o‘qib, uning sifatini oshirish borasida
bildirgan fikr va mulohaza!ari uchun Qarshi Davlat universitetining
professori B.A.Shoimqulovga, 0 ‘zbekiston
Milliy universitetining
o ‘qituvchilari -- professor A.Narmanovga, dotsentlar N.Jabborov va
J.Tishaboyevlarga o ‘z minnatdorchiiigmi izhor qiladi.
Ayniqsa, darslikning ushbu jildini tuzishda va mazraunini
yaxshilashda fizika-matematika fanlari doktori
A. Quehqarovning
beminnat yordamini m uallif e ’tirof etishni o‘zining burchi deb biladi.
Darslik haqidagi tanqidiv fikr va mulohazalarim bildirgan barcha
kitobxonlarga m uallif oldindan o ‘z tashakkurini bildiradi.
4
CHIZIQLI ALGEBRA
ELEMENTLARI
- Matritsalar
♦ Defe-rmiiiant'ar
♦ Matritsa usti da
airaaslitiiishliir
.* Chiyjqii tenglamaiar.
sistemasi
Chiziqli algebraning daslabki masalasi
chiziqli
tenglamaiar
haqidagi
masala
hisoblanadi. Bunday tengiamaiarni yechish
jarayonida determinant tushunchasi paydo
bo‘ldi.
Chiziqli tenglamaiar sistemasi v a ulam ing
determinantlarini o'rganish natijasida matritsa
tushunchasi kiritildi. G.Frobennus tomonidan
matritsaning rangi tushunchasi kiritilishi
chiziqli tenglamaiar sistemasining birgalikda
va aniq bo‘lshi shartlarini olish imkonini
berdi.
Shu zaylda XIX asrning oxiriariga
kelib,
chiziqli
tenglamaiar
sistemasi
nazariyasini barpo qilish jarayoni tugatildi.
Al-Xom &niy-
1.1 .M A T R IT S A L A R
Muhammad ibn Musa
X u r a m iy
(7 8 3 - И Щ -
xonwnUk rnalemetik,
a stro tio m va g& igraf,
ЛкК<тгл№' [■Mgehm
jiimga w m »Щ , ikmy
ina.'htmoi vis
ni hiiycifi ■etixb'ning uni^
ц-яиЫшгй fskleb скщ-
<&V я ‘%ШptizitMo# Ы~
аоЫщк thimiit.l, n&l
Iw/gmw m quMar
bain*
сШ т йт bi>5lib ew*M f
berM va nmasiyvtgii tut-
inq etifs,
ISatfimv
M atritsa tushunchasi 1850-yilda James
Joseph
Sylvester
tomonidan
kiritiigan.
Ke lining
1858-yilda
chop
etilgan
«Matritsalar nazariyasi haqida memuar»
asarida matritsalar nazariyasi mufassal bayon
qilingan.
Daslabki vaqtlarda m atritsa geometrik
obyektlami
almashtirish
va
chiziqli
tengiamaiarni yechish bilan b o g iiq holda
rivojlantirildi. Hozirgi vaqtda matritsalar
matematikaning muhim tatbiqiy vositalaridan
biri hisoblanadi.
5
M atritsalar matematika, texnika va iqtisodiyotning turli sohalarida
keng qoilaniladi. M asalan, ulardan matematikada algebraik va
differensial tenglamalar sistemasini yechishda, kvant nazariyasi da fra k
kattaliklarni oldindan aytishda, aviatsiyada zamonaviy samolyotlami
yaratishda foydalaniladi.
1.1.1. Matritsa va uning turlari
M atritsalar sonlar, algebraik belgilar va matematik funksiyalaming
katta massivlarini yagona obyekt sifatida qarash va bunday massivlami
o ‘z ichiga olgan masalalami qisqa ko‘rinishda yozish va yechish
imkonini beradi.
M atritsa - bu elementlar (sonlar, algebraik belgilar, matematik
funksiyalar) massivining satr hamda ustunlarda berilgan va kichik
qavslarga olingan to ‘g‘ri burchakli jadval idir.
M atritsaning o ich a m i uning satrlari soni va ustunlari soni bilan
aniqlanadi. Matritsaning o‘lchamini ifodaiash uchun m x n belgi
ishlatiladi. Bu belgi matritsaning m ta satr va n ta ustundan tashkil
topganini bildiradi.
M atritsa lotin alifbosining bosh harflaridan biri biian belgilanadi.
Masalan,
3x2 о 'Ichamli matritsa
2x3 о ‘Ichamli matiitsa
'2 5n
A= 0 7
(-1
’ { 2
2 x 2 о ‘Ichamli matritsa
4 7)
5 б!
c=
( sinx - cosx'i
.
!
(cosx
smx )
К
A matritsaning / -satr va j -ustunda joylashgan dem enti av biian
belgilanadi.
A = (av), (i = l m , j = \,n)
yoki
Л = |К ||,
(i = \;m,j = ],n)
и
IS4
O'
II
A matritsa a. elementlardan tashkil topganini bildiradi:
^12
4
й2> «22 •
А»
*.2
a.2 - ву.
a21 °22 — «2»
GVi
«2»
i
A =|| a. ||=
a,2 •’- Qmr,
■
6
yozuv
1xn oich am li A = («,,
satr-velctor deyiladi.
a,2 ... au) matritsaga satr matritsa yoki
mx 1 o ich a m li A =
m atritsaga ustun matritsa yoki ustun-vektor
deyiladi.
пхя oicham li maritsaga ч - tartibli kvadrat matritsa deyiladi.
Kvadrat m atritsaning chap yuqori burchagidan o'tig quyi burchagiga
yo'nalgan au,aX2,...,am eiementlaridan tuzilgan diagonaliga uning bosh
diagonali, o*ng yuqori burchagidan chap quyi burchagiga yo‘nalgan
а1я,аЧп_п,...,ап1 elementlardan tuzilgan diagonaliga uning yordamchi
diagonali deyiladi.
Bosh diagonalidan yuqorida (pastda) joylashgan barcha elementlari
nolga teng b o ig a n
A=
f an
a„ au ... ah
0 a22 ... a2i
0
0
A' =
... a„
Vй»!
matritsaga yuqoridan uchburchak
deyiladi.
Bosh diagonalda joylashmagan
b o lg an
ran 0
0 aa
40
0
0
(<quyidan
/J
uchburchak)
matritsa
barcha elementlari nolga teng
...
...
0
0
... amy
matritsaga diagonal matritsa deyiladi.
Barcha elementlari birga teng b o ig an diagonal matritsaga birlik
matritsa deyiladi va I (yoki E ) harri bilan belgilanadi.
Barcha elementlari nolga teng b o ig a n ixtiyoriy oicham dagi
m atritsaga nol matritsa deyiladi va О harfi bilan belgilanadi.
A matritsada barcha satrlami mos ustunlar bilan almashtirish
natijasida hosil
qilingan
AT matritsaga
A matritsaning
transponirlangan matritsa si deyiladi: (atJ)T = (а Л.
A gar A = AT b o isa ,
A matritsaga simmetrik matritsa deyiladi.
1.1.2. M atritsalar ustida arifmetik amallar
M aritsalarning tengligi
Bir xil oicham li A = (ati) va B = (b..) matritsalarning barcha mos
elementlari teng, ya’ni «. =bv b o lsa , bu matritsalarga teng matritsalar
deyiladi va A = B deb yoziladi.
A =B
<=>
av =bt/
barcha i ~ 1,m, j = l,n uchun
M atritsani songa ко 'paytirish
l - t a ’rif.
A = (at )
elementlari cv =
matritsaning
songa
ко ‘p aytm asi
deb,
kabi aniqlanadigan С = XA matritsaga aytiladi.
С =AA
1-misol. A =
X
<=>
a.V = Aa,.
9
r2 -1
0\
b o isin . 3A ni toping.
3 4 -1
Yechish.
O' {^3-2 3 -(-l)
3-0 > f 6 - 3
=
4 -1 У I'З-З
3-4
3 -(—IXД 9 12
'2 -1
[з
О
ЗА = 3 •
-v
M atritsalarni qo ‘shish va ayirish
M atritsalami qo‘shish va ayirish amallari bir x il o'lchamii
matritsalar uchun kiritiladi. Bunda y ig in d i m atrisa qo‘shiluvchi
matritsalar bilan bir xil o ich a m g a ega b o iadi.
2 -ta ’rif. A = (ay.) va B = (bv) matritsalarning
yig'indisi deb,
elementlari a - a v +bv kabi aniqlanadigan С = A + B matritsaga aytiladi.
C= A + B
<=>
c .,-a u +b„.
-1 4'
3 0 1
2-misol. AYechish.
jfl -1 4
2
2
A +B =\
+
^3 0 l j [ l 0 - 2
1+2 -1 + 3
4+2
3 + 1 0 + 0 1+ (-2) VJ Pu
2
0
"I
-lj
- A = (-1) ■A m atritsa A matritsaga qarama-qarshi matritsa deb
ataladi.
S -te’rif. A - ( a .) va
B = (bt/) matritsalarning ayirmasi
deb
C = A - B = A + (-B ) matritsaga aytiladi.
Bunda
elementlari c. = a +(-b.) = a. - b y kabi topiladi.
C = A -B
<=>
С
matritsaning
c‘ = a„ - b ..
(2 - 3 2Л
f l 3 2',
3-misol. A - j .
.
I va B = \ _ ,
J b o isin . A - В ni toping.
42 - 1 4 )
lv2 1 -1
Yechish.
2 -3
A -B =
12 - 1
2^ f l 3 2} f 2 - 1 - 3 - 3
4
2 1 -1 U - 2 - 1 - 1
2 -2
4 -(-l),
^1-6
v0 - 2
0
5
M atritsalar ustida chiziqli amallar quyidagi xossalarga ega.
i,B ,C ,0 matritsalar m x n o lch am li va а , ц ~ skalyar sonlar b o isa , u
holda:
2°. (A + B) + C = A + (B+ C )■
A + B= B + A;
3°. A + 0 = A;
4”. A + (-A ) = 0;
5°. 1(A + B) = M + ЯВ;
6°. (Д + fi)A = 1.4 + fiiA;
T . u (M ) = U p A ) = (fyt)A ;
8°. l-A= A;
9°. (A + B)r = A7 +Й7";
10°. (1A)T = 1AT',
1Г. A + C = B b o isa , C = B - A b o ia d i;
12°. M = 0 b o isa , 1 = 0 yoki A - О b o ia d i;
9
13°. AA = AB va Х ф О b o lsa , А = В b o iad i.
Xossalardan ayrimlarini isbotlaymiz.
Birinchi to'rtta xossaning isboti bevosita 2-ta’rifdan kelib chiqadi.
5-xossani qaraymiz.
A va В bir xil oicham li matritsalar b o lsin .
U holda
A + B = (aiJ+bii)
yoki
A(A + B) = A(av + bv) = A(ay) + A(btj)
va ikkinchidan
) + A(btj ) = AA + AB.
boiad i.
Bu ikkita tenglikdan A(A + B) = AA + AB b o iish i kelib chiqadi.
M atritsalarni k o ‘p aytirish
Bir xil sondagi elementlarga ega b o lg an A satr m atritsa va
В ustun matritsa berilgan b o lsin deylik. Bunda A satm ing В ustunga
ko‘paytmasi quyidagicha aniqlanadi:
ЛВ = {аи
(\
b.
О-
= a,,bu +а.гЬп +...+аъ
y a ’ni ko‘paytma berilgan matritsalar mos elementlari ko‘paytmalarimng
yiglndisiga teng b o iadi.
Matritsalarni ko‘paytirishning bu qoidasi satrni ustunga ko 'paytfrish
qoidasi deb yurililadi.
Ikki matritsani ko'paytirish amali moslashtirilgan matritsalar
uchun kiritiladi.
A matritsaning ustunlari soni В matritsaning satrlari soniga
teng b o lsa , A v a В matritsalar moslashtirilgan deyiladi.
4 -ta ’rif. m x p oicham li A = (<x) matritsaning p x n oicham li
B - ( b it) matritsaga k o ‘p aytm asi AB deb, clk dem enti A matritsaning
10
/-satrini В matritsaning / -ustuniga satrni ustunga ko‘paytirish qoidasi
bilan, ya’ni
c* = « A +aab2k+... + a„bpt = i,aJ>„ i =
r=1
k = \...,n
(qo’shiluvchlari quyidagi sxemada keltirilgan) kabi aniqlanadigan m x n
o lch am li C = (ctt) matritsaga aytiladi.
4-misol. Berilgan matritsalami ko‘paytiring.
1 2^i (5 6 W 1 - 5 + 2 - 7 i-6 + 2 -8 ^ (19 22
3 4) [7
V'3-5 + 4-7 3-6 + 4-gJ 1^43 50
' 2 i\
2 . -3 4
0 2
3 2 4
-1 0 3
2 4+1- 3 ' ' 5
2 •2 +1 ■0
' 2 ■3 +1 •(—1)
4 if
—3 •3 + 4 -(—1) - 3 - 2 + 4 -0 - 3 4 + 4 •3 = —13 - 6 0
^ 0 ■3 + 2 ■(-1)
0 • 2 + 2 ■0
0- 4 + 2
0 6У
V- 2
3J
Agar A matritsaning satrlari Al,A2,...,Am bilan va В matritsaning
ustuJari
bilan belgilansa, u holda matritsalarni k o ‘paytirish
qoidasini quyidagi к о ‘rinishda yozish mumkin:
'V
C-- AB-- 4
' A, В,
■(/->, в 2 .- * .)=
AB2 .-
aa
AA
AA
•-
AA*
AnB,
АЛ
.- Д А ,
;
Matritsalarni ko‘paytirishda A2 yozuv ikkita bir xil matritsaning
ko‘paytmasini bildiradi:
A1 =A- A.
Shu kabi
A3= A -A -A , ..., A ' = A-A-...-Af
5-misol. f( x ) = 2x - x 2 + 5 va A =
l -n
b o lsin . f(A )\\\ toping.
0 2
-2 '
[2
1°
1
4 У ч0
-3 "
+ ('5
4 У 1°
о4
5,
II
Yechish. M atritsa kolinishdagi f(A ) funksiyaga o lish d a X sonli
qo‘shiluvchi M ko‘paytma biiaii almashtiriladi, bu yerda /-b irlik
matritsa.
\
1 -Г 1 ~ r с П
—
.
-ь5*
f(A ) = 2 A ~ A 2+5I-- .2 ■(!
[о 1)
/ \ 0 2 / \ 0 2,
1°
10
У
M atritsalarni k o ‘p aytirish am ali ushbu xossalarga b o ‘y sunadi
1". A m atritsa m x n oicham li va B,C matritsalar nx. p
oicham li b o lsa , A(B + C) = AB + AC bo iad i;
2°. A,B, С matritsalar
mos ravishda
m xn, nx p. p xq
oicham li b o lsa , A(BC) = (AB)C b o iad i;
3°. A ,B ,I,0 moslashtirilgan matritsalar va I , и skalyar sonlar
b o lsa , u holda:
1) (X 4)(/i5 ) = (Хц)(АВУ,
3)
AI = IA = A;
5)
(A B f = BrAT.
2 ) A (XB) = ( M ) B = A (A B);
4)
A 0 = 0 A = 0;
4°. A,1 , 0 - n - tartibli kvadrat matritsalar
boim agan butun sonlar b o lsa , u holda:
1) A ' A * = A ™ :
3)
A' =A;
va
p,q
manfiy
2 ) ( А ”У = ( А ) М;
4)
A0- I .
Xossalardan ayrimlarini ta ’riflar yordamida isbotlaymiz va
ayrimlarining to ‘g ‘riligiga misollarni yechish orqali ishonch hosil
qilamiz.
12
1-xossani qaraylik.
A = (aij) m atritsa m x n
o lch am li va В = (6,), С = (cis) matritsalar
их p o lch am li b o isin . U holda 2- va 3-ta’rifIarga ko‘ra istalgan
birinchidan
B + C = (bt + c,)
yoki
i j
da
A(B 4 C) = t a j b t/ + c„) = t ( ^ A + a*c« ) = t aA + t a»%
va ikkinchidan
I>A +
=ж:+
boiadi.
Oxirgi ikkita tenglikdan /!(£ + С) = AB + AC b o iish i kelib chiqadi.
3- xossaming 5-bandini qaraylik.
A = (a.') va B = (bis) b oisin. Bundan A7 = (a[ ) va B1 - Щ ) b o iad i, bu
yerda a'= a„, Vt =bt .
U holda 3-ta’rifga ko‘ra istalgan i,j da birinchidan
AB = £ a A j yoki (AB)7 = ± a jkbH
va ikkinchidan,
2 > A - = £ b ha.t =
k=\
*=1
Jt-^1
= b ta t
b o iadi. Bundan (AB)7 = BTAT b o iish i kelib chiqadi.
2-xossani to‘g ‘riligiga misol yechish orqali ishonch hosil qilamiz.
А = (1 2),
'-2
-f
B- f з
, C=
1° 4,
4 5
4 n
b oisin.
0 2J
U holda
4
0 2)
A(BC) = (l 2)
AB = (l !)■
"-11 12
l)
20 0 V
V
12 1'
j —(29 12 17),
0 8
'3 - Л
0 4y = (3 ?),
13
(АВ)С = {3 7)-^ 52 J
J j = (29 12 17).
Demak, А(ВС) = (АВ)С.
Umuman olganda matritsalarni ko‘paytirish nokommutativ, ya’ni
A B *B A . Masalan, Ix n o ich am li A matritsaning n x 1 oicham li В
matritsaga AB ko‘paytmasi sondan, ya’ni l x l o ich am li matritsadan
iborat b o lsa , BA ko‘paytmasi n - tartibli kvadrat matritsa b o iad i.
B ir xil tartibli A va В kvadrat matritsalar uchun AB=BA bo‘Isa,
A va В matritsalarga kommutativ matritsalar, A B -B A ayirmaga
kommutator deyiladi.
1.1.3. Mashqlar
l.A
kvadrat matritsa boisin.
A + ATsimmetrik matritsa boiishini
ko‘rsating.
II
ГГ
f0>
f3'
4 matritsani X = 0 , F = 1 va Z = 0 matritsalarning chiziqli
,0,
,5,
1,
A
kombinatsiyasi ko‘rinishida ifodalang.
НУ10'
boisa, a va b ni toping.
4.
Matritsa 30 ta elementga ega bo‘lsa, u qanday tartiblarda berilishi
mumkin?
5 -8 . A,В matritsalar va A,/i sonlar berilgan. A4 +
5. A =
2 3 -1
1 -1 -1
L ;.=-i, ,u = 2.
B=
1 0
2
2 -3
0
-1 2'
' 0 -3'
6. A = -2 1 , B = 3 -1 , A= 2, fx = -3.
-5 У
, 1
I2
"-3 1 Г
' 2 -1 o'
_
о
7. A = -1 3
, 5 = 0 -1 0
3
1
-4 -3 2.
У
2
I
matritsani toping:
8. А =
( 2 -1
2
-3 3 , В =1, Я= 1, Ц =- у.
0 -2 )
V-1
9. A va В moslashtirilgan matritsalar bo‘lsin. Quyidagilami ko‘rsating:
(a) agar A matritsa satr matritsa boisa, u holda AB satr matritsa boiadi;
(b) agar В matritsa ustun matritsa boisa, u holda AB ustim matritsa boiadi.
(\
24i f x
10. I
■
0'4 ^
1.3 3j {o y )
=
O'! , „
^9 oj
bo Isa. л va vni toping.
'
'
11. Agar A matritsa 3x3 olchamli va С esa 5x5 olchamli boisa,
ЛВС ko'paytma rna’noga ega boiishi uchun i? matritsa qanday olchamda bolislii
kerak?
12.
Л=^
matritsa berilgan.
AB ko'paytmani
nol
matritsaga
aylantiravcbi в matritsani toping.
13-16. A va В matritsalar berilgan. AB matritsani toping:
fl - i -2 Л|
0
13. A =f 2 I. s —
V
I3 2 0УГ
(2 0
rЛ
414. A = 0 -1 . в - i 2 2 .
V 3)
I3 2
1 4n
- 1 з'
15. A = 3 0 1 ,B = 0 -1.
V2 1 0,
2
f 1 -1 2
4
16. A =\ - 2 0 3 .B = 2
{
1
0
0
0 -I
V
/
B =\
I2
0 -2 '
-1
1 4
L C = # - 3 / b o l s a , (AB)C matritsani toping.
-2 5
4^
17. A =
-1
К
Г* - п
- 1 4^
с=
j boisa, A(BG) matritsani toping.
v. 5 3У
АВ\? *)
3
2
Г0 г
Г<
3]
19. А= | -2 1 б Ь = 3 2 matritsalar berilgan. AB, B TB, A2
2 2J
,-2 в,
U
matritsalami toping.
II
18.
-
15
20. А =^
21. ^ =
з i уа / ( х) = Зл:2 + 5*" 4 boclsin. / (Л) ni toping.
jj bolsa, Л20 ni toping.
22. Agar A1 = / va /4 matritsa 2x2 oichamli boisa, A.m toping.
1.2. DETERM IN ANTLAR
Determinant tushunchasidan dastlab chiziqli tenglamalar sistemasini
yechishda
foydalanilgan
b o iib ,
keyinchalik
determinant! ar
matematikaning bir qancha masalalarini yechishga, jum iadan xos
sonlami topishga, differensial tenglamalami yechishga, vektor hisobiga,
keng tatbiq etildi.
Biz a w a l ikkinchi va uchinchi tartibli determinantlar tushunchalari
bilan tanishamiz. Bu tushunchalar keyinchalik yuqori tartibli
determinantlami hisoblash uchun asos b o iad i.
1*2.1. Ikkinchi va uchunchi tartibli determinantlar
Ikkinchi tartibli determinant
kabi belgilanadi va aniqlanadi.
Bunda au,an,a2„au lar determinantning elementlari deb ataiadi.
a., determinantning /-satr
va j-u stu n d a joylashgan elementini
ifodalaydi.
alt,an elementlar joylashgan diagonalga determinantning bosh
diagonali, a2),au elementlar joylashgan diagonalga determinantning
yordamchi diagonali deyiladi.
Shunday qilib, ikkinchi tartibli determinant bosh diagonal
elementlari
ko'paytm asidan
yordamchi
diagonal
elementlari
ko‘paytmasinirig ayrilganiga teng:
"и
<7,,
16
/ -misol. Berilgan determinaxitlami hisoblang.
1.
2.
3 -2
= 3 •5 - 4 ■(-2) = 15 + 8 = 23;
4
5
tga
2sin a
stria
ctga
=
-ctga - s in a • 2sina = l~ 2 sin "a = cos2«.
Matritsaning muhim tavsiflaridan biri determinant hisoblanadi.
Determinant faqat kvadrat matritsalar uchun kiritiladi.
J au 42 ")
kvadrat matritsaning determ inant det A bilan
A
U 21 av )
belgilanadi va det A -
-auan —ana2l kabi aniqlanadi.
Bunda matritsani uning determinanti bilan adashtirmaslik kerak:
A - bu sonlar massivi; det A - bu bitta son (yoki ifoda).
Uchinchi tartibli determinant
det A ■ «2, <*22 Ob
a» a32 a3i
kabi belgilanadi va aniqlanadi,
Uchinchi tartibli determinant uchun satr, ustun, bosh diagonal,
yordamchi diagonal tushunchalari ikkinchi tartibli determinantdagi kabi
kiritiladi.
Uchinchi tartibli determinantlami hisoblashda o ‘ng tomonidagi
birhadlami topishning yodda saqlash uchun osori b o ig an qoidalaridan
foydalan iladi.
«Uchburchak qoidasi» ushbu sxema bilan tasvirlanadi:
an_.. au y aa
«I1N fin , 7an
аг\ У' ®
"Я
®33
«3! ^32 ^33
17
Bunda diagonallardagi yoki asoslari diagonailarga parallel b o lg an
uchburchaklar uchlaridagi elementlar uchta elementning ko‘paytmasini
hosil qiladi. Agar uchburchaklarning asoslari bosh diagonalga parallel
b o lsa , u holda elementlaming ko‘paytmasi ishorasini saqlaydi. Agar
uchburchaklarning asoslari yordamchi diagonalga parallel bo‘lsa,
u holda elementlaming ko‘paytmasi teskari ishora bilan olinadi.
«Sarryus qoidalari» quyidagi sxemalar bilan ifodalanadi:
1-qoidada avvai determinant tagiga uning birinchi ikkita satri
yoziladi, 2-qoidada esa determinantning o ‘ng tomoniga uning birinchi
ikkita ustuni yoziladi. Bunda diagonallardagi yoki diagonailarga parallel
b o lg a n to‘g ‘ri chiziqlardagi elementlar uchta ko'paytuvchini hosil
qiladi. Agar to‘g ‘ri chiziqlar bosh diagonalga parallel b o lsa , u holda
elementlaming ko‘paytmasi ishorasini saqlaydi. Agar to ‘g‘ri chiziqlar
yordamchi diagonalga parallel b o lsa , u holda elementlaming
ko‘paytmasi teskari ishora bilan olinadi.
2-misol. 1. det/i:
-1
3
2 -1
3 -2
determinaiitni uchburchak qoidasi
bilan hisoblang.
1 5
3
1 - 2 determinaiitni Sarrvusning 1-qoidasi bilan
2 . det B = 3
2 -4
1
hisoblang.
18
3 4 -1
3. dctC = 2 0 3 determinantni Sarryusning 2-qoidasi bilan
3 - 1 2
hisoblang.
Yechish.
2 -1
3
5+ l + 27 = 20,3 > ? fA? - l = 6 - 6 + 6 - 6,
7o * C \
1 3 -2
2 —1 3
I. 3"^ 2 'К - 1=
£><7 \
1 J -2
det ^ = 20 —6=14.
2.
3 ,4 -Л V Л
"\ V
v{ /
2 / ' >ex
v 3 ) K 0:
4: '' V
.3" - r i S ^ s g
+
4
3
5
"“
det/? = 0 + 36+ 2 - 0 + 9 -1 6 =31.
\ j
+
+
>3 ? "
detc
1 -3 6 -2 0
6 ■8-15 = -84.
.2.2. n - ta rtib li d e te rm in a n t tushunchasi
n -tartibli determinant
a,-.
dety4 =
an
tf,.
kabi belgilanadi va m alu m qoida asosida hisoblanadi.
n -tartibli determinant har bir satr va har bir ustundan faqat
bittadan olingan n ta elementning ko‘paytmasidan tuzilgan n\ ta
qo‘shiluvchilar yig‘indisidan iborat bo‘ladi, bunda ko‘paytmalar birbiridan elementlarining tarkibi bilan farq qiladi va har bir ko‘paytm a
19
oldiga inversiya tushunchasi asosida plus yoki minus ishora qo‘yiladi.
n -tartibli determinantni bu qoida asosida ifodalash ancha noqulay.
Shu sababli yuqori tartibli determinantlarni hisoblashda bir nechta
ekvivalent qoidalardan foydalaniladi. Bunday qoidalardan biri yuqori
tartibli determinantlarni quyi tartibli determinantlar asosida hisoblash
usuli hisoblanadi. Bu usulda determinant biror satr (yoki ustun)
bo‘yicha yoyiladi. Bunda
quyi (ikkinchi va uchunchi) tartibli
determinantlar yuqori da keltirilgan ta ’riflar asosida topiladi.
n -tartibli determinantlarni yoyishda minor va algebraik toldiruvchi
tushunchalaridan foydalaniladi.
n -tartibli determinant aiS elementining
minori deb, shu element
joylashgan satr va ustunni o‘chirishdan hosil b o ig an (n -1) -tartibli
determinantga aytiladi va M bilan belgilanadi.
Determinant
elementining Af algebraik to ‘Idiruvchisi deb.
4 = (-1 Г 'м ..
songa aytiladi.
Masalan.
1 3 2
2 0
1
3 2 -2
determinantning «2] = 2 elementining minori
va algebraik toldiruvchisi quyidagicha topiladi:
3 2
t ...0..... 1 =>M.,.
$ 2 - 2
3
2
2
-2
=-10, An =(-1)2+,Л/21=10.
1.2.3. Determinantnmg xossalari
Determinantning xossalarini uchinchi tartibli determinant uchun
keltiramiz. Bu xossalar ixtiyoriy n~tartibli determinant uchun ham
o ‘rinli boiad i.
1-xossa, Transponirlash (barcha satrlarni mos ustunlar bilan
almashtirish) natijasida determinantning qiymati o‘zgarmaydi, ya’ni
0 ,1
det^4 =
au
«13
«21
« 22
«23
«31
Gy,
a}3
=
« !,
a2,
a,2
«
а ,з
20
22
«23
«31
«32
«33
= det AT
Isboti. Xossani isbotlash uchun tenglikning chap va o ‘ng tomonidagi
determinantlaraing qiymatlarini uchburchak qoidasi orqali yozib olish
va oiingan itodalam ing tengligiga ishonch hosil qilish kifoya.
1-xossa satr va ustunlaming teng huquqligini belgilab beradi.
Boshqacha aytganda, satrlar uchun isbotlangan xossaiar ustunlar uchun
ham o'rinli b o ia d i va aksincha. Shu sababli keying! xossaiam i ham
satrlax va ham ustunlar uchun ifodalab, ularning isbotini faqat satrlar
yoki faqat ustunlar uchun ko‘rsatamiz.
2-xossa. Determinant ikkita satrining (ustunining) o ‘rinlari
almashtirilsa, uning
qiymati qarama-qarshi ishoraga o‘zgaradi.
Masalan,
an
ar
@22
@23
(a22 @23 = -
Л,
@n
«13
a31
@зг
«33
an
@2,
a3l
Bu xossa ham 1-xossa kabi isbotlanadi.
3-xosm . Agar determinant ikkita bir xil satrga (ustunga) ega b o isa ,
u nolga teng b o iadi.
Isboti. Ikkita bir xil satming o ‘rinlari almashtirilsa, determinant
(shuningdek, uning qiymati) o‘zgarmaydi. Ikkinchi tomondan 2xossaga ko‘ra determinant qiymatining ishorasi o‘zgaradi. Demak
<letA=-detA, yoki 2det/f = 0. Bundan det,4 = 0.
4-xossa. Determinantning biror satri (ustuni) elementlari A songa
ko‘paytirilsa, determinant shu songa ko‘payadi va aksincha determinant
biror satr (ustun) elementlarining umumiy ko'paytuvchisini determinant
belgisidan tashqariga chiqarish mumkin.
Masalan,
/мч Рши Ла13
au au а,з
аг,
@гз = л • o2,
@23
ayi
@31 @32 @33
«3. @зг
Isboti. Tenglikning chap tomondagi determinant hisoblanganida
oltita qo‘shi!uvchining hammasida A ko‘paytuvchi qatnashadi. Bu
ko‘paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarib, qavslar ichidagi
qo'shiluvchilardari determinant tuzilsa, tenglikning o ‘ng tomondagi
ifoda hosil b o iadi.
5-xossa. Agar determinant biror satrining (ustunining) barcha
elementlari nolga teng b o isa , u nolga teng b o iad i.
21
Xossaning iskoil 4-xossadan А = 0 da kelib chic
6-xossa. Agar determinantning ikki satri (ustani) proporsional
b o lsa , u nolga teng b o iadi.
Masalan,
au au
au
Aan Xal2 Aa,3 =0.
^■
31
Isboti. 4-xossaga k o l a determinant ikkinchi satrining A
ko‘paytuvchisini determinant belgisidan chiqarish mumkin, Natijada
ikkita bir xil satrli determinant qoladi va u 3-xossaga k o l a nolga teng
boMadi.
7-xossa. Agar determinant biror satrining (ustunining) har bir
elementi ikki qo‘shiluvchining yiglndisidan iborat b o lsa , bu
determinant ikki determinant yig‘indisiga teng b o iib , alardan
birinchisining
tegishli
satri
(ustuni)
elementlari
birinchi
qo‘shiluvchilardan, ikkinchisining tegishli satri (ustuni) elementlari
ikkinchi qo‘shiluvchilardan tashkil topadi.
Isboti. Determinant birinchi satrining har bir elementi ikkita
qo‘shiluvchi yiglndisidan iborat bolsin.
U holda
= (a!, + a" )a22a33+ (a’n + < 2)aaa3I +
+ (й13 +
~
)$2]o32 (#13 + о13)й22£?31 ( л 2 + ап )ct2]o3J (<зп + cfvl)a23ct32 —
^ 1 1 ^ 2 2 ^ 3 3 ■*" ^ 1 2 ^ 2 3 ^ 3 1
^ 1 3 ^ 2 1 ^ 3 2 ~ «13«22«31
f l 12«21«33 _ Й П « 2 3 « 3 2 + ( « I IЙ 22«ЭЗ
2«23й 31 +
uu№ <2 4 j
q
< a\z <3
+
a1
2
" «:2«21«зз «и«23«эг) — «2,
«23
«2. au «23
аз, «32 «33
«31 ax2 «33
8-xossa. Agar determinantning biror satri (ustuni) elementi ariga
boshqa satrining (ustunining) mos elementlarini biror songa ko‘pavtirib
qo‘shilsa, determinantning qiymati o‘zgarmaydi.
Isboti. detA determinantning ikkinchi satri elementlariga A ga
22
ko‘paytirilgan birinchi satm ing mos elementlari qo'shiigars b o isin :
12
a 2, + l a j,
w 13
а гг + ?мп
a Ti + l a l3
a ix
« n
=
^11
« ,2
a2]
o 3,
“'К
«23
«32
+
л
•
«33
« ,,
«12
«13
« и
a,2
«13
«3.
«32
«33
Q o‘shiluvchilardan birinchisi det^ g a va ikkinchisi esa 3-xossaga ko'ra
nolga teng. Demak, yig'indi det A ga teng.
9-xossa. Determinantning qiymati uning biror satri (ustuni)
elementlari bilan shu elementlarga mos algebraik toldim vchiUir
ko‘paytmaSarining yiglndisiga teng boiad i.
Masalan, det A = auAlt + я ,Д 2 + a,3Al3
voki
«11
«12
«13
$21
«22
«23
«22
a 32
«21
«23
«31
«33
-« 1 2
«32
«31
«23
= «11
«33
«21
«22
«31
«32
+ «13
«33
Isboti. Tenglikning o'ng tomonida almashtirishlar bajaramiz
а „ (« Л 3- й 3А з ) - а п(а21а3з - а 31а2!)+ а 13(йаа32- a 3,aa)) =
=
= ^11«22«13
« 1 2 « 2 )« 3 1
« 1 3 « 2 1 « 3 2 _ « 1 3 « 2 2 « 3 1 _ «12 «21 « 3 3 ~ « 11«23«32
«П
*12
*13
*21
*22
*23
*31
*32
*33
10-xossa. Determinant biror satri (ustuni) elementlari bilan
boshqa satri (ustuni) mos elementlari algebraik toldim vchilari
ko‘paytmalarinmg yigln d isi nolga teng b o iad i.
Masalan, a„An + aaAn + аъАв = 0.
Isboti. Deteraiinantni 9-xossani q o lla b , topamiz:
«11Д ’ «12Д 2 «13Д 3 —
23
Bunda an, an, au mos ravishda au, an, a„ biian bilan almashtirilsa,
3-xossaga ko‘ra, determinant nolga teng boMadi.
1-izoh. Determinantning
xossalari asosida quyidagi teorema
isbotlangan.
1-teorema. Bir
xil
tartibli A va В kvadrat
matritsalar
ko‘paytmasining determ inant bu matritsalar determinantlar in ing
ko‘paytmasiga teng, ya’ni
det(vl • В ) = det/1 ■d e t£ ,
1.2.4. n -ta rtib li d eterm m an tlariii hisoblash
n - tartibli determinantni xossalar yordamida soddalashtirib, keyin
tartibini pasaytirish yoki uchburchak k o iin ish g a keltirish usullaridan
biri bilan hisoblash mumkin.
Tartibini pasaytirish usuli
и -tartibli determinant, 9-xossaga asosan, biror satr yoki ustun
bo‘yicha yoyilsa, yoyilmada (n -I)-tartibli algebraik toldiruvchilar
hosil b o iad i, va’ni и -tartibli determinantni hisoblash tartibi bittaga
past b o lg an determinantlarni hisoblashga keltiriladi.
Umuman olganda, quyidagi teoremalar o ‘rinli b o iad i.
2-teorem a. i satrining nomeri qanday bolishidari qat’iy nazar,
я -tartibli determinant uchun bu determinantni /-satr bo‘yicha
yoyilmasi deb ataluvchi
d e t A = aaAa +al2A,2 + ...+ a J ln, i = \,n
\ 4
formula o‘rinli.
3-teorema. j ustunining nomeri qanday boiishidan qat’iy nazar, n tartibli detenninant uchun bu determinantni j -ustun b o ‘yicha
yoyilmasi deb ataluvchi
det A = «„.Л,j + a2iAy +... + a A nj, j = 1,n
formula o‘rinli.
Determinantni biror satr yoki ustun bo‘yicha yoyishga Laplas
yoyilm alari usuli deyiladi.
Laplas yoyilmalari usulida determinantning qaysi bir satrida
(ustunida) nollar ko‘p b o ls a , u holda yoyishni shu satr (ustun)
24
bo‘yicha bajarish qulay b o iadi.
Bundan tashqari, 8-xossani q o lla b , determinantning biror- satrida
(ustunida) bitta elementdan boshqa elementlarni nollarga keltirish
mumkin. Bunda determinantning qiymati shu satrdagi (ustundagi)
noldan farqli element bilan uning algebraik toldiruvchisining
ko‘paytmasidan iborat b o iad i. Shunday qilib, n -tartibli determinant
bitta (и - l)-tartib!i determinantga keltirib, hisoblanadi.
3-m isol
2 - 1 0 4
4
2
- 2
0
-
1
3
3
-
4
1 1 0 - 2
determinantni tartibini pasaytirish usuli bilan hisoblang.
Yechish. Bunda: 1) Ikkita elementi nolga teng b o lg an uchinchi
ustunni tanlaymiz va uning ikkinchi satrida joylashgan elementidan
boshqa barcha elementlarini nolga
aylantiramiz. Buning uchun
ikkinchi satr elementlarini 3 ga ko paytirib, uchunchi satrning mos
elementlariga qo‘shamiz va hosil b o lg an determinantni uchinchi
ustun elementlari bo‘yicha yoyamiz:
2
- 1
0
4
4
2
- 1
3
2
- 1
0
4
4
2
- 1
3
2
det^ =
=
=
- 2
0
3
- 4
1
1
0
-
2
1 0
6
0
1
1
0
Н
Н
-
1Г
- 1
4
1 0
6
5
1
1
5
-
-
2
2
2) Hosil qilingan uchinchi tartibli determinantda birinchi ustunning
uchinchi satri elementidan yuqorida joylashgan elementlarini nolga
aylantiramiz. Buning uchun avval uchinchi satrai (~2)ga ko‘paytirib,
birinchi satrga qo‘shamiz, keyin uchinchi satmi (-10) ga kocpaytirib,
ikkinchi satrga qo‘shamiz, hosil b o lg a n determinantni birinchi ustun
elementlari bo'yicha yoyamiz va hosil b o lg an ikkinchi taitibli
determinantni hisoblaymiz:
det A ■
0
- 3
8
0
- 4
2 5
- 3
=
-
1
1
-
8
=
2
25
4
2 5
- 7 5 +
3 2
=
-
4 3 .
U chburchak k o ‘rinishga keltirish usuli
B u usulda determinant xossalar yordam ida soddalasbtiriladi va
uchburchak ko'rinishga keltiriladi, ya’ni diagonalidan pastda (yuqorida)
joylashgan barcha elementlari nolga aylaritiriladi.
Bunda
det A = (-1)* det Г/
bo iad i, bu yerda & -satrlarda va ustunlarda bajarilgan barcha o ‘rin
almashtirishlar
soni; d e tU - berilgan determinantning
uchburchak
ko‘rininshi va uning qiymati quyidagi xossa asosida hisoblanadi.
Xossa. Uchburchak ko‘rinishidagi determinant bosh diagonaida
joylashgan elementlari ning ko‘paytmasiga teng.
4-misol.
2
det/4 =
1 0
0
3 0 10
1 0
2
0 10
1
2
determinantni uchburchak ko‘rinishga keltirib, hisoblang.
Yechish. Determinant ustida quyidagi soddalashtirishlarni
bajaramiz:
- birinchi ustunni o‘zidan o‘ngda joylashgan ustunlar bilan ketmaket k = 3 ta o ‘rin ahnashtirib, to ‘rtinchi ustunga o‘tkazamiz;
- birinchi ustunning birinchi satridan pastda joylashgan
, elementiarini nolga aylantiramiz;
- ikkinchi ustunning
ikkinchi satridan pastda joylashgan
elementlarini nolga aylantiramiz;
- uchinchi ustunning to‘rtinchi satrida joylashgan elementini nolga
aylantiramiz;
- (-i)‘ = (-i)3= - i ko‘paytuvchi bilan hosil b o ig a n uchburchak
ko‘rinishdagi determinantning bosh diagonaida joylashgan elementlarini
ko‘paytiramiz.
2
3
det/l =
1
0
1 0 0
0 1 0
= ( -l) 30 2 1
1 0 2
1
0
0
1
0
1
2
0
26
0
0
1
2
2
3
= (-!)•
1
0
1
0
0
0
0
]
2
0
0
2
0 3
1
1
2 -2
1
0
(-1).
0
0
0 0 2
1 0 3
0 1 -5
0 2 -2
= (-!)■
1 0 0 2
3
0 I 0
0 0 1 -5
8
0 0 0
1.2.5. M a sh q la r
1. A matritsa
их и oichamli
bolsin.
det(X4) da X ni determinant
belgisidan tashqariga chiqarish uchun formula keltirib chiqaring.
2. A kvadrat matritsa va A1A - J bo‘lsin. det^4 = +l bolishini ko‘rsating.
3. A =\ 1 ° I va B~\ a ^ 1 bolsin. &ei(A+B) =d&iA+faiB faqat a+d =0
1°
УР d)
'
bolganida bajarilishini ko‘rsating.
4.
A=(5 °] va i? = ! ' I bolsin. det(,4-£) = det,4-dete bo‘lishiga
I1 V
I3 V
ishonch hosil qiling.
(3 1
5. Л = '. 2 J bolsin. det/41000 ni toping.
6. A va в
m atritsalar 3x3 o ic h a m li, deM = - l v a
det7i = 2 b o ls in .
Toping:
1) det AB,
2) det5^4;
3) det A7A;
4) d e t# \
7. A v a В m atritsalar 4 x 4 o ic h a m li, det^. = 4 v a d et# ---3 b o lsin .
Toping:
1) det AB;
2) det.9s;
3) det2A
4) det I A
Ikkinchi tartibli determinantlami hisoblang:
8.
10.
У x-y
r
9.
-x
sin a cos a
sin2 /? cos2 p
11.
1 a +b
6+1 a+b
tga +1 ctga -1
sincf
cosa
Uchinchi tartibli determinantlami uchburchak va Sarryus qoidalari bilan
hisoblang:
12.
-2 0 -4
13. 3 1 1
-1 2 -3
1
5 -t
4 0 -3
2 -3
1
27
Uchinchi tartibli determinantlarni biror satr yoki ustun elementlari bo‘yicha
yoyib hisoblang:
X
1 b 1
X -1
15. 1 X -1
14. b b 0
X
1 X
b 0 -b
sin a
16. sin a
0
tga ctgp 0
17. tga 0 tgP
0 ctga tgP
0
sin fi
0
sin у
sin p sin у
Uchinchi tartibli determinantlarni xossalaridan foydalanib hisoblang:
C
ab
1 b
ca
1 a
be
1
18.
1
ay
a 2 + x2 a 2 + y ‘
b
a +b
b
b
b
a +b
X
a
22.
1
ax
X x+y
21. X x + z
a +b
20.
19.
b
С
b
b
a2+ 1 ( 1 ^ ) !
b 2 + 1 (1 + Й)2
2
с + 1 (1 + C) 2
23.
az
a 2+ z2
x -y
x-2 z
x
X
I + cosa
[-sin a
1
1
1
1
1 + sina
l~ c o sa
To‘rtmchi tartibli determinantlarni hisoblang:
1
3
24.
-2
0
26.
5
4
2
4
-i 2
-l 5
-3 0
-2 4
;
I
2
1
a 2 -1
* 4 -3
с 3 -2
d 5 -4
25.
1
2
3
4
1
0
0
4
27.
3 2
9 -8
5 -8
6 -5
3
0
0
7
2
8
2
5
2 2
5 10
5
4
1.3. MATRITSA UST IDA
ALMASHTIRISHLAR
Matritsa ustida aSmashtirishlar chiziqli algebrada muhim ro‘l
o ‘ynaydi. Jumladan, chiziqli algebraik tenglamaiar sistemasining
28
umumiy yechimini topishda, teskari matritsani aniqiashda, matritsaning
rangini hisoblashda matritsa ustidagi almashtirishiardan keng
foydalaniladi.
Matritsa satri (ustuni) ustida elementar almashtirishlar uch tipda
boMadi:
I. ikkita satming (ustunning) o rn in i almashtirish;
II. salmi (ustunni) noldan farqli songa ko‘paytirish;
III. satrga (ustunga) noldan farqli songa ko'paytirilgan boshqa
satmi (ustunni) qo‘shish.
Biri ikkinchisidan elementar almashtirishlar
natijasida hosil
qilingan A va В matritsalarga ekvivalent matritsalar deyiladi va A ~ B
ko‘rinishda yoziladi.
1.3.1. T eskari m atritsa
A sosiy ushunchalar
Matritsalarni qo'sbish, ayirish va ko‘paytirish sonlar ustida
bajariladigan mos amallarga monand (hamohang) amallar hisoblanadi.
Ushbu baridda matritsalar uchun sonlarni b o lish amaliga monand amal
bilan tanishamiz.
M a’lumki, agar £soni nolga teng bolm asa, u holda har qanday m
soni uchun kx = m tenglama yagona x = ~ = k 'm j'echimga ega b o iad i,
bu yerda k~l soni £ soniga teskari son deb ataiadi.
Sonlar uchun keltirilgan bu tasdiq matritsali tenglamalami sonli
tenglamalarga monand yechishda muhim r o l o £ynaydi. Xususan, sonli
tenglamalar uchun kk ' = 1 va k~lk = 1 shartlarining bajarilishi hal
qiluvchi hisoblansa, matritsali tenglamalar uchun AA~' =J va A~'A = I
shartlaming bajarilishi
muhim hisoblanadi, bu yerda A,I - bir xil
o ich am li kvadrat matritsalar.
Agar a va A:' kvadrat matritsalar uchun A A ' = A 'A = I tenglik
bajarilsa, A ' matritsa A matritsaga teskari matritsa. deyiladi.
Sonlarda, kr1 mavjud b o iish i uchun к * 0 b o iish i talab etiigani
kabi, mairitsalarda, A~l mavjud b o iish i uchun det^^O b o iish i talab
qiSinadi.
Agar detJ = 0 b o lsa , A matritsaga singular matritsa deyiladi.
Bunda singular so‘ziga sinonim sifatida «xos» yoki «maxsus»
termini aridan ham foydalaniladi. Agar det^^O b o lsa , A matritsa
29
nosingular (yoki xosmas yoki maxsusmas) matritsa deb ataladi.
Agar A matritsada aw a l elementlar mos algebraik toldiravchilar
bilan almashtirilsa va keyin transponirlansa, hosil b o ig a n matritsa
A matritsaga biriktirilgan matritsa deyiiadi va adjA bilan belgilanadi:
f 4i
Аг
Аул
A .
A„
• л л
• • АП2
к
■ An J
Teskari matritsa haqida teoremalar
1- teorema. Xos m atritsa teskari matritsaga ega boim aydi.
Isboti. A m atritsa uchun A
mavjud b o isin deb faraz qilayiik.
U h o ld a АА'Л=1 b o iad i. Bundan det(A4"’) = det/ yoki detA-M A~- =detI
kelib chiqadi. Bunda det /1 = 0 va det/ = l ekanini hisobga olsak,
0 = 1 ziddiyat hosil b o iad i. Bu ziddiyat qilingan faraz n o to V ri
ekanini ko'rsatadi, ya’ni teoremani isbotlaydi.
2- teorema. Har qanday xosmas A matritsa uchun teskari matritsa
mavjud va yagona b o iad i.
Isboti. A m atritsa xosmas, ya’ni det^ * 0 b o isin . Avval A '1 mavjud
boiishini ko‘rsatamiz. Buning
uchun
matritsaga
ko‘paytiramiz
va
9- va 10- xossalarini qollaym iz:
£?n Qlz
я,A + я Л + - ■+<*,A
det^
aiAl + u.nA,2+. ■+°A„
det A
«„A +aA«+- ,+a A
det^4
A
matritsani
ko‘paytmaga
au
a
Ai ^^nAz
■
A,
Ai
det A detA
Аг
Ai
det^4 det^
A,
det A
Аг
det A
A,
A,
vdet^4 det^
Am
det
n
det.4
a2IA2l +a22A22 +. ■+“A „
det A
anAl +С‘А г2+■-+ашА»
detA
30
—adj/4
dstA
determinantning
+auAm
“A +aA, 2+■ ■
detyf
«A.-I+c*zAa+- ,+aPjtAm
det A
аА * +а,Аг+- .-ha A
det/4
Demak, A m atritsaga teskari m atritsa mavjud va bu matritsa
formula bilan topiladi, Bunda AA l = l tenglik bajariladi.
A"1A = I lenglikning bajarilishi shu kabi ko‘rsati!adi.
Endi A 1 yagona ekanini k o ‘rsatamiz. Buning uchun A'1 dan boshqa
A matritsaga teskari С m atritsa mavjud bo‘lsin deb faraz qilamiz. U
holda ta ’rifga ko'ra, A C = I b o iad i. Bu tenglikning har ikkala
lamonini A"1 ga chapdan ko‘paytiramiz:
A"'AC = A"'I.
A 'A = I b o ig a n i uchun IC = A 'I boiadi.
Endi IC = C va A~:‘1 = A~' ekanini hisobga olsak, C = A~l kelib
chiqadi. Teorema to liq isbot qilindi.
3-teorem a. Teskari matritsa uchun ushbu xossalar o‘rinli bo iad i:
Г. A m atritsa
a
! teskari matritsaga ega b o lsa , det/T‘ = ------
b o iad i;
2°. A m atritsa A~' teskari matritsaga ega b o lsa , (A ') ’ =A bo iad i;
3°. n x n o ic h a m li A va В matritsalar A~' va B~\ teskari
matritsalarga ega b o ls a , (Л#)-1 = В 'A" bo iad i;
4°. A m atritsa Ar' teskari matritsaga ega b o lsa , (ATy '-(A ~ lf
boiadi.
Isboti. 1) A m atritsa uchun A~l mavjud b o lsin . IJ holda AA~' = I
yoki
3
det(A4~!)= d e t/ b o iad i. Bundan det A •det A"1=1 yoki det,4~l = -----det^
kelib chiqadi.
2)
^ m a trits a uchun ЛJ mavjud b o lsin . U holda AAr' = l = A~'A
tengliklarga k o ‘ra A~l matritsa uchun teskari matritsa mavjud va u A
dan iborat, ya’n i (A'1) '' = A boiadi.
3) n x n o lch a m li A va В matritsalar
matritsalarga ega b o isin .
U holda AB va B~'A~l matritsalar uchun
A~l va
В 1 teskari
{B~'A~' )(AB) = B-\A ^A )B = B-'IB = B lB = I,
(A B )(B 'A -) = A(BB 1)A ' =
= AA' = I
bo‘ladi. Demak, Л.В uchun teskari matritsa mavjud va (/Ш )1= 5 'A '
b o iad i.
4) ^ matritsa uchun A~' mavjud b o isin .
U holda AT va (A~l)r matritsalar uchun
АТ( А ') Т= (А 'А )Т= Г = 1 ,
(A~‘)TAT =(AA~‘)T = Ir =1
b o iad i. Demak, AT uchun teskari matritsa mavjud va (Ar ) 1=(A~l)T
bo iadi.
1-izoh. 3-xossani к ta ихи olch am li va teskari matritsalarga ega
b o ig an matritsalar uchun quyidagicha umumlashtirish mumkin:
(a ,a 2-...- a ^ a J ' = 4 ,4 : 1
a ? a ?.
Bu formula matematik induksiya metodi bilan isbotlanadi.
1-misol. A -
(3 4}
1
2
matritsaga teskari matritsani toping va natijam
,
tekshiring.
Yechish. Berilgan matritsaning determinantini hisoblaymiz:
detA=
3 4
= 6 - 4 = 2.
1 2
d e t ^ O v a A matritsa uchun teskari m atritsa mavjud.
Matritsa elementlarining algebraik toldiruvchilarini topamiz:
32
Shunday qilib,
A' =
2 -4 Л f 1 -2 '
— 1
3
1 3
2у
ч 2
1 ( 2 -4
det A 3 3
1\
1 -2
2-misol. A =
2
m atritsaga teskari matritsani toping ,
0 - 1
-2
1
1
Yechish. Bu m atritsa uchun:
1 -2
-2
- 1 = 0 - 4 + 2 - 0 + 4 + l = 3*0.
1
1
a
-2 1
= 3,
1 1
,= -
i
l
-2
1
i
to
0 -1 |
= 1,
1 I
0
-2
II
1!
О
Д ,= 1
2
0
-2
1
= 2,
A2з - -
A„ =
Л matritsaga biriktirilgan matritsani topamiz:
( лAч
adjA = A,
4 , 4 ^ 'I 3 2^
А, А = 0 3 3
Д>з 4 з , ч2 3 4,
Demak,
A '■
det A
'I 3 2^
0 3 3
2 3 4
33
A3l= -
fi
2^1
l
3
3
0 I 1
2 1 1
3
3J
-2
1
0 -1
i
i
2
-1
1!
1
2
II
y>
det ,4:
1
1
-2
2
0
= 3,
= 4.
Teskari matritsani topishning Gauss-Jordan usuli
A xosmas m atritsaning A"1 teskari matritsasini topishning quiay
usullaridan biri m atritsa satrlari ustida elementar almashtirishlarga
asoslangan Gauss-Jordan usuli hisoblanadi.
A _1 matritsani topishning Gauss-Jordan usuli ushbu tartibda amalga
oshiriladi.
Gauss-Jordan usiilining algoritmi
V. A va I matritsalarni yonma-yon yozib,
(A \I)
kengaytirilgan matritsa tuziladi;
2°. Elementar almashtirishlar yordamida (A.\I) matritsa (I\B )
ko'rinishga keltiriladi. Bunda В matritsa A m atritsa uchun
teskari m atritsa bo'ladi.
3-misol. A =
2
1
matritsaga teskari matritsani Gauss-Jordan usuii
1 3
bilan toping vanatijani tekshiring.
Yechish.
3 1 1 0
f.
1 -3
1 -2
1
0
2
1 -3
0
1
V
0
\
1 r, —> r. +(-l)r,
1
1 -3
0 5
v
1
-1
r
2
5
I
5
1 -2 )
Л - » r, + 3r2 ^ 1 0
1 3
0 1
5
5У
1
-2
3 r, -» r. 5
1
'->J Us | i-1
1 2
5J
Yuqorida keltirilgan r -+ r + Xrk belgilash i -satr bu satrga A songa
ko‘paytirilgan к - satmi qo‘shish natijasida hosil qilinganini, r -» r :к
belgi esa i - satr bu satmi A songa b o iis h natijasida hosil qilinganini
bildiradi.
34
' 2
5
1
, 5
Demak, A
Г
5 _ 1'2 -Г
3 ~ 5 I " 1 3,
5
/ 1 -1
2 N
-I
4-misol. A-
matritsaga teskari matritsani Gauss-Jordan
2
usuli bilan toping.
Yechish.
r
1 -1 2 1 0 0
(A\[) = -1 3 0 0 J 0
2 I 4 0 0 1>
r3
3 -»*> +(- 2)4
ft
1°
c
1
-1 2 1 0 o'
2 2 1 1 0 r2~>Г2- 2~ 0
0
3 0 -2 0 1
f
X
3
I 0 3
0 1 1
0 0 -3
V
2
1
2
7
2
1
1 2
1 1
3 0
1
0
2
]
0
2
3 1 r3- > r :( - 3 )
I
2 >
1
0 0 -2
О
О
2
-3
0 0 1
7
6
t
-1
„
0
1
-2
4
1
1
3
_!
3,
6
35
-1
0
1
1
1
3
1
2
3y
+<-3te
0 1
6
Demak,
3
7
0
2
1
1 0 3 2 2
1 1
0 1 1
2 2
0 0 1 7 1
2
2
2
I
2
N
1
О (Л
2
\
0
>;=>; + (-3)n
0 r2=r2+ (-l)r3
1
V
1.3.2. M atritsan i L U yoyish
Chiziqli algebrada matritsalammg turli yoyilmalari keng
qo‘llaniladi.
Matrisani yoyish deb, uni biror xossaga (masalan, ortogonailik,
sirametriklik, diagonallik xossasiga) ega b o ig a n ikki va ikkidan ortiq
martitsalar ko‘paytmasi shaklida ifodaiashga aytiladi.
Bun day
yoyishlardan biri matritsani L U yoyish hisoblanadi.
Matritsani LU yoyishda m x n o lch am li A matritsa A = LU shaklda
ifodalanadi bu yerda L - diagonal elementlari birlardan iborat b o ig a n
m x m olcham li quyi uchburchak (Lower-triangular) matritsa; U - m x n
olcham li yuqori uchburchak (m * n da trapetsiva) (Upper-triangular)
matritsa.
Masalan,
fl
*
0
0
0 N
1
0
0
1
0
A= * *
*
*
V
*
I
/
0
\
©
*
*
0 0 0
®
о о 0 0 01
Matritsaning LU yoyilmasi yana matritsaning L U faktorizasiyasi
deb ataladi. M atritsaning LU yoyilmasi dan chiziqli algebraik
tenglamaiar sistemasini yechishda va teskari matritsani topishda
foydalaniladi.
m xn olcham li A m atritsa A = LU shaklga keltirish (LU yoyish),
umuman olganda, A matritsaning satrlariga noldan farqli songa
ko‘paytirilgart boshqa satrni qo'shish orqali quyidagi tartibda amalga
oshiriladi.
A matritsani LU yoyish aigoritm i
1°. A matritsa satrlarida ketma-ket elementar almashtirishlar
bajariladi va U shaklga keltiriladi;
2°. Satrlarda bajarilgan elementar almashtirishlar ketmaketligi asosida L yozuv hosil qilinadi va bu yozuvda barcha
diagonal elementlar ustuni arni b o lis h orqali birlarga
aylantiriladi.
36
Yechish.
bajaramiz:
5
S
1
-3
4 -1
-5
3
~5 -4
0 7
2
-4
5-m isol A =
2
6
matritsani LU yoying.
M atritsa satrlarida ketma-ket elementar almashtirishlar
4
2
-4
A=
2
-6
r2
0
0
V0
-2 '
4
5
- 2'
1
2
-3
-3
-4
10
12
- 5,
-1
-1
5
-5
3
-8
1
f2
0
3
-5
-4
i
8
0
-9
0
n/
-3
0
12
4
4 -1
3 1
0 0
0 0
\
5 -2 '
2 -3
i
2
7
4
'2
0
0
\0
4 -1
3 1
0 0
0 0
5 -2 N
2 -3
= U.
2
1
0 5j
A m atritsa 4 ta satrdan taslikil topgani sababli L matritsa 4x4
«‘Ichamli b o iadi, Birinchi qadamda belgilangan yozuvlar L m atritsa
yozuvining ustunlarini tashkil qiladi. Bu yozuvda barcha diagonal
elementlami birlarea aylantiramiz:
f 1
'
-4
3
2 -9 2
- 6 12 4 51
■2 :3 :2 :5
I I M
\
f 1
1
-2
! -3 )
4 2 1,
3
\
0 0 0N
' 1
I 0 0
-2
Bundan I* =
1 -3 1 0
4 2 b
-3
Demak.
( 2
-4
2
6
4
-5
-5
0
/
3
-4
7
1
-3
0 0 0^
1 о 0
1
-2
1
-3
-3 1 0
4 2 1,
37
'2 4 - I 5 - 2 '
0 3 1 2 -3
1
0 0 0 2
0 0 0
5J
n - tartibli kvadrat matritsa berilgan boMsin. Bunda A matritsani
L U yoyish turli algoritmlar bilan amalga oshirilishi mumkin. Shunday
algoritmlardan biri bilan tanishamiz.
A matritsa xosmas bo‘lsin. U holda ta'rifga ko‘ra.
'1
0
l
/*
0
0
1
L
L
. .
. .
. .
O' r1tu щ2 uls
0
0 G O и33
•••
Зи
О О О
■ 1, V
a ,2
ct]3 ...
«21
«22
«23
«31
«32
«3 3
V."*!
Bundan
r
w
-
Bu yig‘indidagi oxirgi qo‘shiluvchilami ajratib, topamiz;
4 = — f a,
agar / < / b o lsa ;
(3.1)
] » agar i > J bo'lsa.
(3.2)
Shunday qilib, L va U matritsalarning nom a’lum elementlari a,, va
topilgan /л,мвlar orqali ketma-ket ifodalanadi.
2-izoh. (3.1) va (3.2) formulalar shunday tartiblanganki, bunda
avval barcha и. larni va keyin barcha I. lam i hisoblab boim aydi, va
aksincha. Bu formulalar orqali hisoblashlar quyidagi tartibda bajariladi:
% =
У= 1,2,-,и;
/ ,=
иг ^ аг Г 1пЩг
у = 2,3,..„и;
/ = fk z £ f f и.,
/=3,4,..., и;
va hokazo, ya’ni Г/ ning satrlari va I
hisoblanadi.
38
ning
ustunlari
almashiab
'8 2 94!
5-misol. A = 4 9 4 matritsani LU yoying.
6 7 9
Yechish. Berilgan matr itsa xosmas, chunki det A = 166 ф 0.
L U - A yoyilmani tuzamiz:
\
( 1 0 O') 4 i “u un
'8 2 9N
1 0 j- 0 «22 «23 = 4 9 4
lj \ 0 0 «33, ,6 7
u
L va U matritsalarning nom a’Ium eiementlarini (3.1) va (3.2)
formulalar bilan aniqlaymiz:
un = an = 8, un = al2 = 2, uv. = aa = 9,
L = — '«2, = |
Z*u
о
i
*
« 2 3 ~ "^23
4 ,« П
U22 = U22 ~
z
1л
^
= 9 - i ■2 = 8,
z
6
1
‘9
3
^ 5
- 3 -2N
4 , “ 16*
,_ il.
16 v 2)
a33 ^53 4lK13 ^32И23 ^
Demak,
\
8 2 9'
4 9 4
6 7 9
-
1 0
0
8 2
1
0
0 8
1
.
0 0
2
- —
W 16
32
Л
9
1
2
83
32,
1.3.3, Matritsaning rangi
m xn
olcham li. A matritsa berilgan b o isin . Bu matritsadan biror
к (к <m m (m ,n)) ta satr va k ta ustunni ajratamiz. Ajratilgan satr va
ustunlaming kesishishida joylashgan elementlardan k -tartibli kvadrat
matritsani tuzamiz. Bu matritsaning determinantiga a matritsaning
к -tartibli minori deyiiadi.
39
A matritsa noldan farqli minorlari tartibming eng kattasiga A
matritsaning rangi deyiiadi va r(A) (yoki rang/, ) kabi belgilanadi.
Tartibi r(A)ga teng bo‘lgan minorga A matritsaning bazis minori
deyiiadi. Matritsa bir nechta bazis minorga ega b o iish i mumkin.
M atritsa rangining ta ’rifidan quyidagi tasdiqiar kelib chiqadi.
1. Matritsaning rangi 0 bilan m,n soniarining kichigi orasidagi
butun son orqali ifodalanadi, ya’ni 0<r(A)<mm(m;n).
2. Faqat A - О m atritsa uchun r(A) = 0 b o iad i.
3. и -tartibli kvadrat matritsa xosmas bolganidagina r(A) = n
boiad i.
M atritsanng rangi ushbu xossalarga bo ‘y su n a d i
Г. Transponirlash natijasida matritsaning rangi o ‘zgarmaydi;
2°. Elementar almashtirishlar natijasida matritsaning
rangi o‘zgarmaydi.
Isboti. Bilamizki:
a) transponirlash natijasida determinantning qiymati o‘zgarmaydi;
b) ikkita satming (ustunning) o‘m i almashtirilsa, determinantning
ishorasi o‘zgaradi;
c) satrni (ustunni) noldan farqli songa ko'paytirilsa, determinant shu
songa k o ‘payadi;
d) satrga (ustunga) noldan farqli songa ko‘paytirilgan boshqa satrni
(ustunni) qo‘shilsa determinant o ‘zgarmaydi.
Demak, transponirlash va elementar almashtirishlar natijasida xos
' matritsa xosligicha va xosmas m atritsa xosmasligicha qoiadi, ya’ni
uning rangi o ‘zgarmaydi.
r(A) ni ta ’rif asosida topish usuli minorlar ajratish usuli deb ataladi.
Bu usulda matritsaning rangi quyidagicha topiladi: agar barcha birinchi
tartibli minorlar (matritsa elementlari) nolga teng b o isa , r(A) = 0
b o iad i; agar birinchi tartibli minorlardan hech bolm aganda bittasi
noldan farqli va barcha ikkinchi tartibli minorlar nolga teng b o isa ,
r(A) =l b o iad i; agar ikkinchi tartibli noldan farqli m inor mavjud b o isa ,
uchinchi tartibli minorlar tekshiriladi; bu jarayon yoki barcha к -tartibli
minorlar nolga teng bo iish i aniq boMguncha yoki A-tartibli minorlar
mavjud boim aguncha davom ettiriladi, bunda r(A) = k - l b o iadi.
40
'2 -1 3 - 2 \
6-misol. А= 4 - 2 5
1 m atritsaning rangini minorlar ajratish
\2 - 1 1 8 У
usuli bilan toping.
Yechish. Ravshanki. 1< г(Л) <min(3;5) = 3.
Ikkinchi tartibli minorlardan biri
-1 3
= -5 + 6 = 1 ^ 0.
-2 5
Uchinchi tartibli minor!ami hisoblaymiz:
2 -1
M<3>= 4 - 2
2 -1
2 -1 - 2
I =0
M f = 4 -2
2 - 1 8
3
5 = 0;
1
-1
Mf = -2
-1
2 3- 2
4 5
1 = 0;
2 1
8
3 -2
5
1 =0
1
8
Barcha uchinchi tartibli minorlar nolga teng. Demak, r(A) = 2.
r(^t)ni topishning minorlar ajratish usuii hamma vaqt ham quiay
boiaverm aydi, chunki ayrim hollarda bir qancha hisoblashlar bajarishga
to ‘g i i keiadi.
Elementar almashtirishlar orqali har qanday matritsani bosh
diagonalning birinchi bir nechta elementlari birlardan va qoigan
elementlari nollarclan iborat b o ig a n m atritsa ko‘rinishiga keltirish
mumkin. Masalan, ushbu matritsaga
П
0
0 0 O''
1 0
0
0 0 0 0
40 0 0 0
,
Bunday matritsaga kanonik matritsa
deyiladi. Kanonik
matritsaning rangi uning bosh diagonalida joylashgan birlar soniga teng
b o iad i.
г(Л) ni kanonik matritsaga keltirib topish usuli matritsani
kanonik ко ‘rinishga keltirish usuli deb ataiadi.
41
7-misol.
A\
2
3
1
-5
-1
matritsaning rangini uni
■10
kanonik koiinishga keltirish usuli bilan toping.
Yechish.
2
3
' 1 -1
A= 2 0
1 -1
3 - 5 -10
V-1
i
0
V0
-1
2
2
-3
2
-3
-I'
2 r2 -> r2 + (-2)r ~
5, r3-»r3+r,
-- f
i
-1
2
-7
4
~ 0
2
-3
-7
4, r3 -» r3+ (- l> 2
0
0
0
3
' 1
0 o4
"1
0
0
2
-1
2 0 r2 -> r2 + r,
2 - 3 0 r3-*r3+(-2)rr~ 0 - 3
3 - 7 0 r4->r4+ (-3)?; 0 - 7
4
^
^ + 'I
4
40
4-1
0
A
0
1
0 -1
0 -1
,0 -1
0N
(I
0
0
0 r3 r3 + r2~ 0
0 - > + r2 0
0^
0
0
0
0
0
1
0
0
OyГ>~>Г5+Г2 ,0 0
3 -r
—7 4
0
° , A -> A T
Y
l2 —>r2 ' 2
r3->r3:3
r4->r4:7
- » /• :(- 4)
0N
0
0
0
0,
Demak, r(A) = 2.
13.4. M ashqlar
1. Agar A matritsa xosmas va simmetrik boisa, A ' matritsa ham xosmas
va simmetrik boiishini ko'rsating.
2. Agar A. kvadrat matritsa va (I-A ) xosmas matritsa boisa,
A(J-A)~1=(I-A) 'A tenglik bajarilishini ko‘rsating.
3. A = Г* C matritsaning teskari matritsaga ega boiishi shartini toping.
42
2
4. А =
(-7
5\
I va С .
-3 -1 )
'
B=
4
^ 3
- 5)
I b o ‘lsin. С = А 1 ekanini k o ‘rsating.
2
5\
4 0 -5 )
'4 0
18 1 24 m atritsa A = 0 1 - 6 m atritsaning teskari matritsasi
-3 0 4
43 0 4J
boiishini ko‘rsating.
' 11
6, B = — -17
36
-10
I
-3
21
6
5^
r3 1 - 2
1 matritsaning teskari
-11 matritsa A = 4 2
-1
5
2
/
I3
matritsasi b o iis h in i ko'rsating.
7.
Berilgan m atritsalardan qaysi birlari uchun teskari m atritsa mavjud
b o ia d i?
I) A-
(3
9
0 5^
\2
6
7 2/
1 A
"l 2 -1 )
£> = 2 1 3
1» 3 10J
i -2 o'
2 6 ;
3)C = 2
3
5 11
\
Го - л
b o isin . A 2 = A"' va A3 =1 b o iish in i k o ‘rsating.
[1 -ly
9. Berilgan m atritsalardan qaysi birlari o‘zaro teskari m atritsalar b o ia d i?
1)
0
(1
0 j" 4 ,
3) f 3
1° 5
fl
lj’
J f 5 <n
5 \0 3J
f3
U
5)
2J
fi 2 0^
4) 0 2 3 va
J
3 I
~ 5]
3
у
' 7 2 -6
—3 -1
3
V2
10. A =
Г-3 6
m atritsa berilgan. A"' m atritsani toping.
2 -5 /
11. A--
5
|. m atritsa berilgan. A 1m atritsani toping.
-l 4
1 -2
11, Berilgan shartlarni qanoatlantiruvchi A m atritsani toping:
7
Г i o o’
5 1 О boisin. С 1В ХА 1 ni toping.
13. ABC =
О О 1У
f-3 2
14. Л =
4
matritsa berilgan. C =A-adjA ko‘paytmaning barcha
1
I75
.
nodiagonal elementlarini toping.
(1 2 3\
15. A = 0 2 4 matritsa berilgan. C =A-ad}A
ko‘paytmaning barcha
1 3 0у
Ч.
diagonal elementlarini toping.
A matritsa berilgan. A~' matritsani toping:
i
i
г
i
42 2
2 3'
6 4
3 10 8,
17. A = 2
16. A = 1 2 -1
4V
A matritsa berilgan. A 1 matritsani Jordan-Gauss usuli bilan toping:
f 1 0 1
2 1 0
18. A =
1 2
1
2
l-l
' 1 -1 0 Г
-1 0 1 0
19. .4 =
2 -1 1 2
1 ° 1 2 0,У
2'
1
1
I
20. A matritsa berilgan. Matritsaning LU yoyilmasini toping:
I) A =
f2
^
U V
3
1
n
2) Л= f 12
6
V
2 3 2s
4) Л = 4 13 9
-6 5 4
/
2 -3
4^
2
3)A = -9 0 - 4 э
14
9 9
0
2
-6 3 -13
4 6
-3 ;
17
2
5)A-
6)
У
-4
8
6
-5
=
-6
9
-7
14
8
10
-6
J
A matritsa berilgan. r(A) ni minorlar ajratish usuli bilan toping:
1 -2
' l -l 2 3
21. Л = -1 3 0 1
V
3
4 1 1
У
44
22. А = -1
4
2
Л
— у.
зч
-2
7>
A matritsa berilgan. г(.4)т elementar almashtirishiar usuli bilan toping:
I - 3 -1
II
A =\ 2 - I
-1
2 -1
1 -4
J -3
i
2 -I'
4 -6
-6 11/
is*
( I -3
3 4'
3 -2
3
1
0 -9 ,
1.4. C H I Z I Q L I 1’E N G LA M A L A R
SISTEMASI
Chiziqli tenglamaiar sistemasini yechish masalasi chiziqli
nlgebraning asosiy masalalaridan biri hisoblanadi. Matematika, texnika
va iqtisodiyotning ko'pchilik masalalari chiziqli tenglamaiar sistemasi
orqali ifodalanadi, masalan, geodeziyaviy o lch ash , elektr zanjirlarini
loyihalash, chiziqli programmalashtirish va
iqtisodni rejalashtirish
masalalari chiziqli tenglamaiar sistemasini yechishga keltiriladi.
1.4.1. Asosiy tushunchalar
Ushbu
апхл+апх2 + ...+ а,„хя =Ь„
а д + я ^ + . . . + и Л 4 1,
(4.1)
<*«,х1+<г^х2+...+ аапхп=Ья
sistemaga n noma 'lumli m ta chiqziqli tenglamaiar sistemasi deyiiadi.
Bu yerda au,aI2,...,ama haqiqiy sonlarga sistemaning koeffitsiyentlari,
xx,x2,...,x„ n o m a ’lumfar,
b„b2,...,bm haqiqiy sonlarga ozod hadlar
deyiiadi.
(4.1) sistema koeffitsiyentlaridan tuzilgan
*a„
a„
...
а, л
A=
(4.2)
a.
amn ... a
matritsaga (4.1) sistemaning matritsasi (asosiy matritsasi) deyiiadi.
Bu matritsaga ozod hadlardan tuzilgan ustunni qo‘shish orqali
45
m atritsaga (4.1) sistemaning kengaytirilgan matritsasi deyiladi.
(4.1) sistemani
AX = B
(4.4)
matritsa ко ‘rinishida yozish mumkin, bu yerda
V
x,2
B=
(ЬЛ
h2
,
a
Л,
Haqiqatdan ham,
AX =
^11^1 ^12^2 *• + « ,л
£/2iX +
+ ■+ 2
Q ,.? X ^
.
а
4
„Х »
А Л + « » 2 Х2+- ..+ amxnj
=
К
a
,
(4.1)
sistema
tenglamalarini
ayniyatga
ayiantiradigan
nom aium larning tartiblangan x ° , x qiymatlariga (4.1) sistemaning
yechim i deyiladi.
Kamida bitta yechim ga ega sistemaga birgalikda bo Igan sistema,
* 5 bitta ham yechimga ega bo‘lmagan sistemaga birgalikda bo'lmagan
sistema deyiladi.
Birgalikda b o ig an va yagona yechimga ega sistemaga aniq sistema,
cheksiz ko‘p yechimga ega sistemaga aniqmas sistema deyiladi. Aniqmas
sistemaning har bir yechimi sistemaning xususiy yechim i deb ataiadi.
Barcha xususiy yechimlar to ‘plami sistemaning umumiy yechim i deyiladi.
Sistemani tekshirish deganda sistemaning birgalikda yoki birgalikda
emasligini aniqlash va agar sistema birgalikda b o isa , u holda uning aniq
yoki aniqmasligini tekshirish tushuniladi. Birgalikda b o ig an sistemaning
umumiy yechimini topishga sistemani yechish deyiladi.
Yechimlari to ‘plami bir xil b o ig an , ya’ni birinchisining har bir
yechimi ikkinchisining yechimi boiadigan, va aksincha, ikkmchisining
har bir yechimi birinchisining yechimi boiadigan ikkita sistemaga
ekvivalent (teng kuchli) sistemalar deyiladi.
U shbu almashtirishlar sistemada elementar almashtirishlar deb
yuritiladi:
- sistema istalgan ikkita tenglamasining o iin tarin i almashtirish;
- sistemaning istalgan tenglamasini noldan farqli songa
ko‘paytirish (b oiish);
-- sistemaning istalgan
tenglamasiga
noldan farqli songa
ko‘paytirilgan boshqa tenglamasini qo‘shish,
Elementar almashtirishlar natijasida ekvivalent sistemalar hosil
bo iad i.
Ushbu
anx,+anx2+...+ al„x„=bl,
а д + а д + - + а гл = ^
(4.6)
а»Л +а„2Хг + - + аЛ = Ьп
n nom aium li n ta chiziqli tenglamalar sistemasining
(au an ...
-">1
—•">'>
•"*
matritsasi kvadrat matritsa b o iadi.
A matritsaning
au a,12
o2, a.,22
det A =
^ 4,
(4.7)
ab
a,.
(4.8)
determinantiga (4.6) sistemaning determinanti deyiladi.
Agar det/J^O b o isa , (4.6) sistemaga xosm as sistema deyiladi.
Agar det^ = 0 b o isa , (4.6) sistem agaxossistem a deyiladi.
1.4.2. Chiziqli ten g la m a lar sisteraasini
yechislm ing G auss «suli
n nom aium li m ta chiqziqli tenglamalar sistemasini yechishning
qulay usullaridan bin - n o m a ’lumlarni ketma-ket y o ‘qotishg&
(chiqarishga) asoslangan Gauss usulim k o iib chiqamiz.
47
n nom aium li т tachiqziqli tenglamaiar sistemasi berilgan boisin :
a2^ + a nx1+...+ a2xn=b1.J
A A +«
(4.1)
+ - + V . = J.
(4.1)
sistemani Gauss usuli bilan veehish ikki bosqichda amalga
oshiriladi.
Birinchi bosqichda sistema pog‘onasimon ko‘rinishga keltiriladi.
Pog‘onasimon sistema deyilganida
Ч Л + апхг + - + alkxt + ... + aux„ = bt,
aax2 + ...+auxk + ...+a2„x„ =bv
аахк +... + акгхл = Ья
ko‘rinishdagi sistema tushuniladi, bu yerda
k < n, аи
ф
0, i
= \k .
Ikkinchi bosqichda nom aium lar pog‘onasimon sistemadan ketmaket topiladi.
1-bosqich. Sistemada quyidagi almashtirishlami bajaramiz: birmchi
tenglamaning chap va o ‘ng tomonini a , ^ 0 ga (agar « „ = 0 b o isa . u
holda bu tenglama sistemaning x, nom aium oldidagi koeffitsiyenti
nolga teng bo‘lmagan tenglamasi bilan almashtiriladi) bolam iz. Keyin
hosil qilingan tenglamani (~an) ga ko‘paytirib. i -tenglamaga qo‘shamiz.
11 Bunda sistema tenglamalarining ikkinchisidan boshlab x qatnashgan
5 hadlar yo‘qatiladi va (4.1) sistema quyidagi k o iin ish g a keiadi:
x, + af2x2 + a^x, +... + a®x„ = b['),
< 4 4 + 4 4 + •••+ < 4 =
bu yerda a f , b,0) (/ = l,m ,j = i,и)-sistem aning birinchi almashtirishlardan
keyin hosil qilingan koeffitsiyentlari va ozod hadlari.
Sistemada x, no m aiu m oldidagi koeffitsiyenti birga teng b o ig a n
tenglam a bor b o isa , bu tenglamani birinchi o ‘rinda yozish orqali
hisoblashlar osonlashtirilishi mumkin.
48
Shu kabi д™ * 0 deb, sistemaning
uchinchi
tenglamasidan
boshlab x2 nom aium ni yo'qotam iz va bu jarayonni mumkin bo‘lguniga
qadar davom ettiramiz.
Bu bosqichda, agar:
— 0 = 0 k c ‘rinishdagi tengliklar paydo b o isa , u holda bu tengliklar
tashlab yuboriladi.
- 0 = b,w (b* ф 0) k o ‘rinishdagi tengliklar paydo b o isa , u holda
jarayon to ‘xta.tiladi, chunki berilgan sistema birgalikda boim aydi.
2-bosqich. Pog'onasim on sistemani yechamiz. Pog‘onasimon
sistemada к tenglamalar soni n nom a’lumlar soniga teng yoki
noinalum lar sonidan kichik b o iish i mumkin. Shu sababli bu sistema
yagona yoki cheksiz ko‘p ychimga ega b o iish i mumkin. Agar sistema
uchburchak ko'rinishga kelsa, ya’ni k = n b o isa , sistema yagona
ycchimga ega b o ia d i. Agar sistema trapetsiya ko iin ish g a kelsa, ya’ni
к < n b o isa , sistema cheksiz ko‘p yechimga ega boiadi.
I-misol. -j3Xj+ x2 -2 x , =-11, tenglamalar sistemasini Gauss usuli
j x. - 2x2 + 4x, = 8
bilan yeching.
Yechish.
1-bosqich. Sistemada quyidagi almashtirisblarni bajaramiz:
-b irin c h i va uchinchi tengiamalaming o‘rinlarini almashtiramiz;
- (-3) ga ko‘paytirilgan birinchi tenglamani ikkinchi tenglamaga va
(-2) ga ko‘paytirilgan birinchi tenglamani uchinchi tenglamaga hadmahad qo‘shamiz;
- ikkinchi va uchinchi tenglam a hadlarini mos ravishda 7
ga va (-9) ga boiam iz.
2-bosqich. x3 ning uchinchi tenglamadagi qiymatini birinchi va
ikkinchi tenglamalarga qo'yam iz, ikkinchi tenglamadan x2ni topamiz
va uning qiymatini birinchi tenglamaga qo‘yib, x. ni topamiz.
Sistemaning yechimlarmi x,, x2, x3 ketma-ketlikda yozamiz.
I 2x, —4x 2—x 3= —2,
x, - 2x2 + 4x. = 8,
<3x, -+ x2 —2.x, = -11, => - 3x, + x2 —2.v, =-11,
[ x —2x2 + 4x, = 8
2x, —4x2 - x3 = -2
49
x, - 2хг + 4-x, = 8,
x, —2x2 + 4x, = 8,
-5,=>
*3 = 2
-
II
ii
H
1r
Cn
1
vT
7x2 - 14x, = —35, => •
- 9x, = -1 8
x. = 2,
x, = - 2
x2 - 2 ■2 = -5 , =^> ■
x2 = -!,=>• x2 = -1
^ x, —2x2 + 4 ■2 = 8
X, - 2 ■(—1) = 0
x, = 2
1
2 - 4 -1
3
1 -2
1 -2
4
V
'\
rt
-11
V 00
(
Ю
_____
у
Gauss usulming l-bosqichini sistemaning o ‘zida emas, baiki uning
kengaytirilgan matritsasida bajarish quiaylikka ega.
Masalan, yuqoridagi sistemaning 1-bosqichi quyidagicha bajariladi:
-2
~ 3
r3->r,
2
V
4
8
1 -2
-4
\
-11 r2 -> r2 + (—3)r,
-1
- 2 r3 -» rs + (- 2 )r,
у
\
/
f1
0
v°
-2
4
8
7
-1 4
-3 5
0
- 9
1 -2
r2 —^ r2 :7
- 1 8 r. -> r , : (-9 )
У
4
8
' 0
1
-2
-5
0
0
1
2
V
У
Xosmas tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechishda bu
usulning boshqa bir turi Jordan-Gauss usuli qoilaniladi. Bu usulda
kengaytirilgan (A | B)m atritsa ustida elementar almashtirishlar bajariladi
. va A matritsa o‘m ida I m atritsa hosil qilinadi, ya’ni u (I | X )
k o iin ish g a keltiriladi. Bunda oxirgi kengaytirilgan matritsadagi
X m atritsa tenglamalar sistemasining yechimi b o iad i.
x, — x2— x, = 0,
2-misol.
5л:, — хг + 4x, = 3, sistemani Gordan-Gauss usuli bilan
x. + 2x, + 3x, = 5
yeching.
Yechish.
/
1 -1 -1
5 -1
4
1 2 3
4
\
0
/
] -1 -1
+ (-5)Г; ~ 0 4
3 г?
9
5 r, -> r3 +(-l)r,
0 3 4
у
V
50
\
0
3
5
/
r
(
1 -1
0
1
0
V
3
>
0
3
4
5 r3 -» г, + (-З)г,
-1
9
4
4
)
/
i
-i
0
i
0
V
0
-1
9
4
1
1 -1
0„
1,
„
0
I
0„
-I
-9
4
H
----4
0
3
4
11
TJ
\
r
0
r, -> r, + r3
1 -1 0
г,
3
- 1]
Г 9^
r, —>r, + ---- r ~
0
3
1 0
4
2 I 4 j3
0
0
1
1
-1
\
/
J
г + г,
\
2
'l 0 0
0 1 0
3
0 0 1 -1
V
У
Demak, х, =2, х2 = 3, х3= -1.
Shunday qilib, Gaussning nom a’lumlarni ketma-ket y o ‘qotish
usulida (4.1) sistema tenglamalarda almashtirishlar bajarish orqali
yuqori uchburchak (ayrim hollarda trapetsiya) shaklga keltiriladi va
hosil qilingan uchburchak sistema teskari о ‘rniga qo‘yish orqali
yechiladi. Bu usul matematik mxqtavi nazardan, sistemani uning
matritsasini LU voyish orqali yechish algoritmiga ekvivalent.
3-misol.
j хг + 2x, + 3x3 + xt = 3,
{2xt + хг -2 х ,+ x4= -5,
x, — x2— Зх, -г 2 x 4 = —8
voyish orqali veching.
51
tenglamaiar
sistemasini
LU
Yechish.
1
-
Г
2
-3
1
r2 - ^ r 2 + (~2)rjr.
2 ,
r3 —>к + (-l)rj
i
2
0 -3
fi
2 -3
i* - 3
■'j
'l
-> 2 1
2y
л
^
f1
2
3
i
12
11
- 1
1 ..........
з
cn
2
о
A=
T~
-8
h3
- 6
iЛ
1
-1
1/ r,3—>r3 + (-1 )r2
iN
-J1 _ - 1 = г/,
2 j 2,
>
Bundan
3 i,
f l 0 0"
L= 2 I 0
1 i l/
Avval LY = B tenglamani yechamiz:
J
7,
2
1
0
1
1
1
-5
J:
v- 8 ,
Bundan
я=
3,
2y, +У2=~5,
J', + -V2 + ^ = - 8
Endi UX = Y tenglamani yechamiz:
'l
2
0 -3
,0
0
3
-8
2
Г
-i
v
x2
2, ;■
r 3)
-11
V °J
x ,4 = k ,'
x. = —k,
x] + 2хг + 3x5 + x4 = 3,
11 +7 k
3x + 8x, + x. = I \, =>
2x, + 2x, = 0
13 + 8A
52
Sistema trapetsiyasimon ko‘rinishda. Demak, u cheksiz ko4p
yechimga ega. B unda к ning tayin qiymati da sistema xususiy yechimga
ega b o iad i.
M asalan,k - 1 da x, = -7, x1 = 6, x, = -1, x ,= l.
Agar sistema и ta notna’lumdan va n ta chiziqli tenglamadan iborat
hamda xosmas b o isa , u hoida bu sistemaning yechimi l,U yoyish
asosida quyidagi formulalar bilan topiladi:
У, = Ъ, - Ь ЛУ,, i = 1
■it"
n
Д
(4. 9)
\
x. = — Iy. - ^ щ ,х , i = n ,n-l,...,l.
4v V
y'=»-+J
(4.10)
/
+ Ъх2 -- я, = 05
4-misol.
3x,~ x2 + 2x3 =5,
2x, —4x, + x, =7
tenglamalar sistemasini LU yoyish
asosida yeching.
Yechish. A w a l L va f/ m atritsalaming elementlarini topamiz.
U larni (3.1) va (3.2) formulalar bilan aniqlaymiz:
Wj, = an = L,
/2i =
Mj,
м12 = al2 = 3,
-- , —ч
1
ы13= a„ = —1,
J1 —^3| —
‘3
—^ —9
u.A 1
U2i = a-n ~ /21ми = -1 - 3 • 3 = -10,
wB = a23 - /21и13 = 2 - 3 ■(-1) = 5,
a* - h u a
-4-2-3
и»
-1 0
и3! = a3J - l}luu - lnu23 = 1 - 2 • (-1) - 1 • 5 = -2.
Endi у va x larni (4.9) va (4.10) formulalar bilan topamiz:
y, =bt = 0, y. =b2—17Лух = 5 - 3 0 = 5, у. = b. - / 3,^, - / 32y 2 = 7 - 3 - 0 - 1 - 5 = 2;
1
2
,
*3 = --- Л = —Г = -1.
U>!
“2
1 .
*, = — (J, wu
Demak, x. = 2, x, = -1,
1
5 - 5 • (-1)
«22
-1 0
*2 = ----(У2 ~ M23*3; = ------ =- I
, 0 —3 •(—1) —(—1) ■(—1) „
- V , ) = -------------- г -----= 2'
1
x, = -1 .
53
,
1.4,3. n n o m a’lum li т ta chiziqli ten g la m a iar sistem asini
tek sh irish v a yechish
n
ta nom aium dan va
m ta chiziqli tenglamadan iborat
(4.1) sistemani qaraymiz. Bu sistemaning matritsasi A , kengaylinIgan
matritsasi С bo‘lsin. Bu matritsalar mos ravishda (4.2) va (4.3)
tengliklar bilan ifodalanadi. Quyida (4.1) sistema birgalikda boiishining
zarur va yetarli shartlarini aniqlovchi teorema bilan tanishamiz. Bu
teorema rus va o‘zbek tilida yozilgan adabiyotiarda Kroniker-Kapelli
teoremasi deb yuritiladi.
1-teorem a. (4.1) tenglamaiar sistemasi birgalikda b o iish i uchun
sistema asosiy va kengaytirilgan matritsalarining ranglari teng, y a ’ni
r(A) = r(C) b o iish i zarur va yetarli.
Isboti.
Zarurligi.
(4.1)
sistema birgalikda
b o isin .
Bu
nom aium lam m g qandaydir tartiblangan xf,x%,...,x° qiymatlari sistema
tenglamalarini ayniyatga aylantirishini anglatadi, С m atritsa ustida
quyidagi almashtirishlami bajaramiz: uning oxirgi ustuniga (-jc°) ga
k o ‘paytirilgan birinchi ustunni qo‘shamiz, keyin (~x°) ga k o ‘paytirilgan
ikkinchi ustunni qo‘shamiz va shu kabi davom ettirib, oxirida (-x ‘) ga
ko‘paytirilgan и - ustunni qo‘shamiz. Natijada, sistema yechimining
ta ’rifiga ko‘ra, С matritsa oxirgi ustun elementlari nollarga aylangan
quyidagi C\ matritsaga o‘tadi:
' ayi
an
«12 ■.. au
«22 ‘ a2„
0^
U
0
.. am
oj
am2
Elementar almashtirishlar matritsaning rangini o!zgartinnaydi, ya’ni
r(C) = r(C,) b o iad i. Ct matritsaning oxirgi ustuni nollardan iborat
b o ig an i uchun r(C,) = r(A). Bundan r(A) = r(C) kelib chiqadi.
Yetarliligi. r(A) = r(C) = r b o isin . (4.1) sistema birgalikda ekanini
ko'rsatamiz. A matritsaning noldan farqli r -tartibli minorini sistema
tenglamalari va nom aium larining o‘rinlarini almashtirish orqali chap
yuqori burchakda joylashtirish mumkin. Bu m inor С matritsa uchun ham
minor b o iadi. Shu sababli nom alum lam ing biror x°,x°,...,x° qiymatlari
dastlabki r ta tenglamani va shu bilan birga qolgan к -tenglamani ham
qanoatlantiradi, bu yerda k> r . U holda (4.1) sistemada oxirgi
54
т - г ta tenglamani lashlab yuborish va uni
a2lxs + a12x2 +
... +
a2nx n = Ьг,
(4.11)
,rlxl + аггх2 +...Ч-a„,x„ = br
sistema bilan almashtirish mumkin. Bunda ikki ho! b o iis h i mumkin:
r = n yoki r < n ( r > n boim aydi, chunki A matritsa jam i n ta ustunga
ega).
r = n bo ig an d a (4.11) sistemaning norna’iumlari soni tenglamalari
soniga teng b o iad i. Bundan tashqari, sistema determinanti nolga teng
emas. Shu sababli (4.11) sistema yagona yechimga ega b o iad i.
Bundan bu sistemaga ekvivalent (4.1) sistemaning birgalikda va aniq
sistema b o iish i kelib chiqadi.
r < n da (4.12) sistemani quyidagiko‘rinishdayozish mumkin:
a n jc ,
+ aI2x2 +... + alrx r =b, - a ]r+txrtl -
a,.x,
21 1 +a„x,
22 2 + . . .
[
+
2nx n = bi,—a 2, r-t-i. x : r+J, ■
ci,
(4.12)
arlx, + ar2x2 +,.. + a rx, ~ b r —arr^ x r+i —
Bu sistemaning koeffitsiyentlaridan tuzilgan determinant nolga
teng emas. U holda xnI,xrt2,...,xtt nom aium larga biror qiymatlar berib,
(4.12) sistemaning x.,x2,...,x r yechimmi topsa b o iad i.
xr^,x r+l,,..,x„ nom aium larga istalgan qiymatlar herish mumkin. Shu
sababli (4.12) sistema cheksiz k o ‘p yechimga ega b o ia d i va bu
sistemaga ekvivalent (4.11) sistema birgalikda va aniqmas sistema
b o iad i. Teorema to iiq isbotlandi.
Isbotlangan teoremadan quyidagi natijalar kelib chiqadi.
1-natija. Agar birgalikda b o ig an sistema matritsasining rangi
riosnaium lar soniga teng b o isa , sistema yagona yechimga ega b o iad i.
2-natija. Agar birgalikda b o ig a n sistema matritsasining rangi
nom aium lar sonidan kichik b o isa , sistema cheksiz k o ‘p yechimga ega
b o iad i.
(4.1)
sistema birgalikda boiishm ing zarur va yetarli shartiga va bu
sistemani yechish ning Gauss usuliga asosan n nom aium li m ta chiziqli
tenglamalar sistemasini tekshirish va yechish quyidagi tartibda amalga
Gshsnladi.
55
Tekshirish (Gauss usuli): sistemaning kengaytirilgan matritsasi
(mos ravishda asosiy matritsasi) elementar almashtirishlar yordamida
pog‘onasimon ko‘rinishga keltiriladi (pog‘onasimon matritsa - bu
pog‘onasimon sistemaning matritsasi).
Bunda:
- agar r(A) ф r(C) bo‘lsa, sistema birgalikda bo‘lmaydi;
- agar r(A) = r(C) = n , ya’ni sistemaning rangi uning nom a’lumlari
soniga teng bo‘Isa, sistema birgalikda va aniq bo‘ladi;
- agar r(A) = r(C) < n, ya’ni sistemaning rangi uning nom a’lumlari
sonidan kichik bo‘lsa, sistema birgalikda va aniqmas bo‘ladi.
Yechish: M atritsaning rangi va nom a’lumlari soni taqqoslanadi.
Bunda:
- agar r(A) = r(C) = n bo‘lsa,
y a ’ni
sistema
bazis
m inorining
tartibi nom a’lumlar soni bilan ustm a-ust tushsa,
n
n o ’malumli n ta chiziqli xosmas tenglamaiar sistemasi yechiladi;
- agar r(A) = r(C) = r<n b o ‘lsa, sistemada ( n - r ) ta
erkin
nom a’lumlar hosil qilinadi. Bunda xl,xz,...,xr bazis (asosiy)
n o m a ’lumlar, xr+l,xr+2,...,xn - erkin nom a’lumlar bo‘ladi.
Erkin nom a’lumlami sistema tenglamalarining o ‘ng tomoniga
o‘tkazamiz:
avxx + a!2x2 +... + a,rxr = 6, -- «lr+1xr+. —. ~ аых„,
a21xj + a22x2 +... + a2nxn = b, - а2гЛхг+1— ..—a2nxa,
(4.13)
arlxj + ar2x2 +... + anxr = br - a n
yoki matritsa ko‘rinishida
AJC —Д, -j- x .B. +...+ x В
(4.14)
(4.14) sistema berilgan (4.1) sistemaga ekvivalent va uning yechimi
yuqorida qaraigan usullardan istalgan biri bilan topiladi.
Erkin yechim lar хг+1= с,, хпг = сг,...,хп = c„_r qiymatlar qabul qilsin.
U holda (4.14) sistema
(4.15)
AXr=B0+clBl +... + c„_rB„.
ko‘rinishni oladi va xJ,x1,...,xr bazis nom a’lumlar c„ c1,...,c„_r qiymatlar
orqali m a’lum к о ‘rinishda ifodalanadi:
x, = xXc„c2,...,c^r), i = l,2,...,r.
Bir jjinsli bo‘lmagan AX = В sistemaning yechimini
X--
хД ср с 2,...,с„.г)
(4.16)
с,
«stun matritsa к о ‘rinishda yozish mumkin.
Erkin nom a’lumlar istalgan son qiymatini qabul qilishi mumkin.
Shu sababli (4.1) sistema cheksiz ko‘p yechimga ega bo'ladi.
(4.16)
ifoda (4.1) sistemaning umumiy yechimini aniqlaydi.
Bundan o‘zgarm aslaming tayin qiymatlariga sistemaning
xususiy yechimlari mos keiadi.
Г x, + 2x2 - 4xj = 0,
5-misol. j 5x, + 3a-2 7x, = 8, tenglamaiar sistemasini tekshiring va
-
[5x,
— 4 x 2 + 6 x , = —i
yeching.
Yechish. Tekshirish. Sistemaning kengaytirilgan matritsasi ustida
elementar almashtirishlar bajaramiz:
N
\
1
2
-4
0
С= 5
3
-7
8 r2 -> r2 + (—5)r, ~ 0
5
-4
6
\
2
-4
0
-7
13
8
0 -1 4
26
'l
- 1 r3
r, + (—5)r,
У
57
V
- 1 r3 -» r3 + (-2)r2
/
(
I
2
0 -7
0 0
V
-4
13
0
0
8
-17
\
У
г(А) = 2 * 3 = r(C). Demak, sistema birgalikda emas.
x, - 4x2 + 2x3
= —1,
6-misol.< 2x, - 3x2 - x3 - 5 x 4 = -7, tenglamalar sistemasini tekshiring
13x, - 7x2 + x, - 5x4 = - 8
va yeching.
Yechish. Tekshirish. Sistemaning kengaytirilgan matritsasi ustida
elementar almashtirishlar bajaramiz:
/
1 -4
2 0
C = 2 - 3 -1 - 5 - 7
-» r2 +(-2)r.
3 -7
1 - 5 - 8 r3 ->r3 +(-3)r.
У
/
1 -4
2 0
0
5 -5 -5
0 5 -5 -5
4
/
1 -4
2 0
1 -1 -1
0
0 0
0 0
V
\
(
-1
1 -4
2 0
-5
~ 0
5 -5 -5
- 5 r3 ~*ri +(-l>2 0
0
0 0
V
✓
N,
-1 c2 —>c2 + 4c,
1 0 0 0
-1 c3->c3 + (~2)Cj ~ 0 1 -1 -1
0 c5 —>c5 + c,
0 0 0 0
У
4
\
-1
- 5 n -> r 5 '
0
/
\
0 C3 ->c3+ c2
-1 ci -> C4
0 C5 4*c5 + C2
J
4
0
0
0
o"
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
V
У
Yuqorida keltirilgan c ,-»• с, +
belgilash /-ustun bu ustunga X
songa ko‘paytirilgan к -ustunni qo‘shish natijasida hosil qilinganini
bildiradi.
r(A) - 2 = 2 - r(C) < 4. Demak, sistema birgalikda va aniqmas.
Yechish. x, va x, noma'lum larni bazis deb olamiz va ekvivalent
58
./
r
( x A
H
2
О
f t 24
•
(5 3,1
s
x. —
I
H
U
J
I
-
_____
кistemani yozamiz:
7 J
1 -
X,
5 J
x, = c, va x4 = c2 deb berilgan sistemaning umumiy yechimini
topamiz:
(4)
5 + 2x, + 4 x 4 ' f - 5"
'2^
1
-1
1
— 1 + X, + x4
=
=
+ CI [ + сг 0
0
ci
C2
u
.
Л
bu yerda c„ c2 - ixtiyoriy o‘zgaimaslar.
1.4.4. Xosm as ten g la m a lar sistem asini yechish
n ta nom a’Iumli va n ta chiziqli tenglamadan iborat (4.6) xosmas
chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan b o ‘lsin.
Xosmas chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning ikkita usulini
qaraymiz.
M atritsalar usuli
B u usul (4.6) sistemaning ushbu
AX = B
(4.17)
matritsa k o ‘rinishini yechishga asoslanadi.
A matritsa xosmas b o ig a n i uchun A '1mavjud b o iad i.
(4.17) tenglikning har ikkala qismini chapdan A"' ga k o ‘paytiramiz:
A~'AX= A 'B , IX = A~'В.
Bundan
X = A~' В
(4.18)
kelib chiqadi.
(4.18)
tenglamaga chiziqli tenglamalar sistemasini matritsalar
usuli bilan yechish form ulasi deyiladi.
7-misol.
X, - X . 4- Xj = 5,
•! 2x, + x2 + x. = 6,
xx + x2 + 2x, = 4
tenglamalar
usuli bilan yeching.
59
sistemasini matritsalar
Yechish. Sistemaning determinantini hisoblaymiz:
1 -1
1
1 1
1
1 = 2 - 1 + 2 - 1 + 4 - 1 = 55^0.
2
det A = 2
Demak, sistema - xosmas.
Determinant elementiarining algebraik to'ldiruvchilarini aniqlaymiz:
1 1
= 1,
1 2
A
-1 1
= 3,
1 2
-1
1
2 1
= -3,
1 2
Xi =-
1 1
= 1,
1 2
^22
1
= -2,
1
2 1
|= 1,
1 1I
-^23
j 1 -1
^
| 1 1 = ~2
1
1 1
= 1,
2 1
Азг —-
Д,
A33 —
1 -1
= 3.
2
1
U holda
( 1
3
-2 Л
-3
1
1
1
-2
3
Sistemaning yechimini (4.18) formula bilan topamiz:
1
1
X = A~'B =- -3
1
3
1
-2
- 2 N ( 5^
1
3)
6
' 5 + 1 8 -8 "
_1
-15 + 6 + 4
~5
5-12 + 12 y
f 15^ ' 3N
1
- 5 = -1
5
I 5, , К
Demak, x ,= 3 , x2= - l , x, = 1,
Delerm itiantiar usuli y o k i K ram er form ulalari
Chiziqli tenglamaiar sistemasini yechishning bu usuli determinantlar
nazariyasiga asoslanadi.
2-teorem a. Agar (4.6) sistema xosmas bo‘Isa, u holda sistema
yagona yechimga ega bo‘ladi va bu yechim quyidagi formulalar bilan
topiladi:
Д
Д
Dx
bu yerda
Dx,Dz,...,D n determinantlar D = detA determinantdan mos
noma’Ium oldidagi koeffitsiyentlarni ozod hadlar bilan almashtirish orqali
hosil qilinadi.
Isboti. (4.6) sistemaning matritsa ko‘rmishidagi yechimini,
ya’ni (4.18) formuiani quyidagi к о ‘rinishda yozib olamiz:
'\ Си "\
rx J>
4 , A,
x2 _ 1 Au К
~D
\4л
... A„.
4л
•
Д„
\ b. J
yoki
^ 4 А +Д, А + —+ Д .А л
D
4zfy + 4 A + —+ Д.А
D
4 А + 4 A +•■•+Д А
D
Bundan
;I
X, :
ДА
+ ... "f‘An,bjt
4 A z + ...i~A n]bn
X l~
D
A. b. 't' A. b -t~... + A b
x = D — ---- ------------ SLJL
kelib chiqadi.
Ikkinchidan, AllbI + A2Ib. +... + AMbn ifoda
A =
i,
h
an
a,,
... au
... a.,.
b„ a,.
determinantning 1- ustun elementlari bo‘yichayoyilm asiga, ya’ni D, ga
teng.
Demak,
61
(4.19) tenglikning qolgan fomiulalari shu kabi isbotlanadi:
Dxn
x =D
A
D
D
—
X‘ ~~D ^ =
f°rmulalar£a K ram er form ulalari deyiladi.
2x, + Зхг + 2хг = 9,
3-misol.
x, +2хг - З х г = 14,
3x. + 4x, + x, = 16
tenglamalar
sistemasini
Kramer
formulalari bilan yeching.
D va D., / = 1,2,3 determinantlami hisoblaymiz:
Yechish.
2
3
2
D = 1 2 -3
3
4
2
9
= -6 * 0 ,
3
16
16
4
]
2
3
9
2
A = 1 14 - 3
2
A = 14 2 - 3
1
9
3
= -18;
A = 1 2 14
1
3
4
= -
=
12;
12.
16
Kramer formulalari bilan topamiz:
x. _ A _ - 1 2 _ 2
X'
D
-6
д _ A _ " 18_3
’
Х'г
D
-6
= A =i l .
Хз
D
- 6
- 2.
Shunday qilib, и nom a’Iumli и ta chiziqli xosmas tenglamalar
•s sistemasi yagona
j^echimga ega bo‘ladi va bu yechimni yoki
(4.18) matritsalar usuli bilan yoki (4.19) Kramer formulalari bilan
topish mumkin.
1.4.5. B ir jinsli chiziqli ten g lam alar sistem asi
Ozod hadlari nolga teng b o lg a n ushbu
+ anxz +... + ahlxn = 0,
ir x t +a22x1 +... + a2rixn = 0,
+ am2x2 +... + anmxn = 0
sistemaga bir jin sli tenglam alar sistem asi deyiladi.
62
(4.20)
(4.20)
sistema asosiy va kengaytirilgan matritsalarining ranglari
teng b o iad i. Shu sababli bu sistema hamm a vaqt birgalikda va nolga
leiig bo ig an (trivial) x1= x 2 = ...,= xii = 0 yechimga ega.
Bir jinsli tenglamaiar sistemasi qanday shartlar bajarilganida
nolga teng boim agan yechimga ega b o iad i? Bu savolga quyidagi
teoremalar javob beradi.
3-teorem a. (4.20) tenglamaiar sistemasi nolga teng boim agan
yechimga ega b o iish i uchun sistema matrisasining rangi sistema
(onglamalari sonidan kichik bo iish i, y a ’ni r < n b o iish i zarur va yetarli.
Isboti. Zarurligi. M alum ki, r < n . r = n b o isin deymiz. U holda
Kramer formuiasidagi D * 0 va barcha Ц =0 b o iad i. Shu sababli
tenglamaiar sistemasi yagona yechimga ega boiadi:
x. = — = 0, D =0, ОФ 0.
'
D
Demak, (4.20) sistemaning trival yechimlardan boshqa yechimlari
yo‘q. Agar ular bor b o isa , u holda r <n b o iad i.
Yetaliligi. r < n b o isin . U holda birgalikda b o ig an bir jinsli sistema
aniqmas b o ia d i. Demak, sistema cheksiz k o ‘p yechimlarga ega b o iad i,
bunda ulardan ayrimlari nolga teng bo‘lmaydi.
4-teorem a. n nom a’Iumli n ta chiziqli bir jinsli tenglamaiar
sistemasi nolga teng bo im ag an yechimga ega b o iish i uchun sistema
matrisasining determinanti nolga teng b o iish i, ya’ni det,4 = 0 b o iish i
zarur va yetarli.
Isboti. Zarurligi. Agar detJ^O ( yoki r = n) b o isa , sistema yagona
(rival yechimga ega b o iad i. Demak, sistema nolga teng bo‘imagan
yechimga ega b o isa , sistemaning determinanti det A = 0 b o iad i.
Yetaliligi. A gar det^ = 0 b o isa , r < n b o iad i. U holda 3-teoremaga
ko‘ra, sistema cheksiz ko‘p yechim larga ega b o iad i, bunda ulardan
ayrimlari nolga teng boim aydi.
5-teorem a. Agar X l va X . ustun matritsalar (4.20) sistemaning
yechimlari b o isa , u holda bu yechimlarning chiziqli kombinatsiyasi
cxX, + c2X z
ham (4.20) sistemaning yechimi b o iad i, bu yerda c,,c2 - istalgan haqiqiy
sonlar.
Isboti. Teoremaning shartiga к о ‘ra,
AX, = 0 va A X 2 = 0.
63
U holda istalgan с, va сг sonlari uchun
с,AX, = 0 dan A ( c ) = 0,
c2A X 2 = 0 ..dan A( c2X 2) = 0
bo‘ladi. Bu tengliklami qo‘shamiz:
A(clX l)+A(c2X 2) = 0
yoki
A(c,Xl +c2X 2) = 0.
Demak, X , va X2 yechimlarning cxX t +c2X 2 chiziqli kombinatsiyasi
(4.20) sistemaning yechimi b o iad i. Bunda X, va X 2 yechimlar
fundam ental sistem a tashkil qiladi deyiladi.
9-misol.
Д + X 2 - *3=0>
3x, - x 2 - x, = 0, bir jinsli
2x, + x2- 2x3 = 0
tenglamalar
yeching.
Yechish. Sistema determinantini hisoblaymiz:
1 -1
3 -1 -1 = ~ 2 - 2 - 3 - 2 - l + 6 = -3 * 0 .
2
1 -2
-1
с1еЫ =
Demak, sistema sistema trivial yechimga ega: x, = x z = х г = 0.
10-misol.
x, - x2 — x3 + x4 = 0,
2x, - 2 x 2 + x, + x4 = 0, bir jinsli tenglamalar sistemasini
l_5x, - 5x2 - 2x3 + 4 x 4 = 0
yeching.
Yechish.
Sistema
matritsasini
pog‘onasimon
ko iin ish g a
keltiramiz:
(l
A
-1
= 2 -2
^5 - 5
-1
fl
\\
1 1 r2 H»r2 + (-2)r, ~ 0
- 2 4 'з - > + ( - 5 ) r , V0
64
-1
-1
P
0
3
-1
0
3
-Xj
r ,- > r ,+ ( - l) r 2
о
О
Г Cl
f \ 0 0 o'
C2 + c,
f ‘ -1 - ]
c3 ►c3+ c, ~ 0 0 3 -1
~ 0 0 3 -1
0
c4 -* c 4 + (-l)c, v° 0 0
'N
о 0
0 1 0 °!
0 «J
о
V
i
о
fl
0 0 0^
0 0 o"
'\
- 0 -1 0 0 c2 -> c2
0 -1 3 0
с, —>c3 +3c2 0 0 0 0
40 0 0
->C„~
c2
r(A) = 2, n ==4, r < n.
Demak, sistema nolga teng boim agan yechimga ega. Bunda
yeehimlardan ikkitasi bazis o ‘zgaruvchilar, qolgan ikkita yechim erkin
o ‘zgaruvchiiar b o iad i.
x, =c„ x, = c2 deymiz va
- c 2+ x4=0,
3c2 —x4 = 0
j
sistemaga ega bolam iz.
Bu sistema x< = 3e2, x, =c, - 2 сг yechimga ega.
Beriigan sistemaning umurniy yechimini topamiz:
гсх- 2 с Л
с.
X--
Сг
V Зсз /
Bu yechimni xususiy yechimlaming chiziqli kombinatsiyasi ko‘rinishiga
keltiramiz:
/
г » ,'
c\
N______
X--
^ \
-2 О
0
+
о
ГП
1
Buada X, =
0
i
= C,
0
0
C2
.
f-2 "
f 1!
,
0
+ c2
1
v 3,
f—2^
va
X, =
0
xususiy yechimlar yechimlaming
I»/
fundamental sistemasini tashkil qiladi.
65
1.4.6. Chiziqli tenglamalar sistemasini
matematik paketlarda yechish
Kompyuterli matematika sistemalari (KMS) yoki matematik
paketlar matematikaning turli masalalarini yechishda keng qo‘ilaniladi.
Flozirgi vaqtda matematik paketlammg turli variantlari yaratilgan:
Maple, MathCAD, MatLAB, M athematica, Direve.
Chiziqli tenglamalar sistemasini bu paketlardan birinchisida, ya’ni
M aple matematik paketida yechishni qisqa bavon qilamiz. Batafsil
bayon maxsus kurslarda beriiadi.
Ax = b tenglamalar sistemasi M aple paketida ikki usuldan biri bilan
yechilishi mumkin.
I -usill: solve buyrug‘i bilan.
B u buyruq bilan (4.1) ko‘rinishda berilgan chiziqli tenglamalar
sistema yechiladi.
2x + 6y + 5z = 0,
I I -misol. <2x + 5y + 6z = -4 , tenglamalar sistemasini yeching.
5x + l y + 8z = -7
Yechish.
> eq:={2*x + 6*y + 5*z = 0 , 2*x + 5*y + 6*z =-4, 5*x + 7*y +8*z —7}:
> solve {eq, {x,y,z}};
{x=-l,y=2,z=-2}
x - l y + 9z = -6,
12-misol. < 2 x -3 y + 5z = -3, tenglamalar sistemasining umumiy va
3*+ y + z = 0
bitta xususiy yechimini toping.
Yechish.
> eq:={x -7*y + 9*z =-6, 2*x -3*y + 5*z —3, 3*x +y+z =0}:
> s:=so!ve {eq, {x,y,z}};
,._ f
3 8
11 11
9 13
11 11
1
J
S.— x = ----------- z ,y = — H----- z ,z = z ) .
\
Sistemaning xususiy yechimini topish uchun z o‘zgaruvchiga subs
buyrug‘i bilan tayin qiymat berish kerak:
> s u b s {z f =1,s }
{x --l,y = 2 ,z = l}
66
2-usul: linsolve(A,b) buyrug 4 bilan.
Bu buyruq bilan linalg paketidan Ax = b tenglamaning yecbimi
topiladi. Bunda buyruqning argumenti: A -matritsa; b - vektor.
2x+ 7 y + \3 z = 0,
13-misol.
3x + l4 y + I2 z = 18, tenglamaiar sistemasini Gauss usuli
5x + 25j + 16z = 39
bilan, Kramer formulalari bilan matritsalar usuli bilan yeching.
Yechish.
1) Sistemani Gauss usuli bilan yechamiz:
> with(Lm ea rAlge bra):
A := «2,3,5>|<7Д4,25>|<13,12,16»;
7 13
2
A:= 3 14 12
5 25 16
> b :=<0,38,39>;
'O'
= 18
39
> GaussianE!iminatioi»(A);
2
7
13
15
"3
3
—
7
0 -7
3
0 0
> GaussianEIimiBatioH(A,'metljod’='FractionFree');
2 7
13
0 7 -15
!Lо о
-3
>RedncedRowEchelonF orm(<Ajb>);
10
0 -4
0 10
3
0 0 1 -1
Demak,
x := —4 v:= 3
67
2) Sistemani Kramer formulalari bilan. y ech am iz;
> with(Student [Linea rAlgebra ]):
> d := «2,3,5>|<7,14,25>|<13,12,1.6»;
2 7 13 |
3 14 12 |
5
25 16 I!
1
> d:=Determiuant(d);
d := - 3
> dxl:=«0,18,39>!<7,14,25>|<13,12,16»;
dx 1 =
0
7 13
18 14 12
39 25 16
> dl:=Determinant(dxl);
dl := 12
> dx2 := «2,3,5> |< 0,18,39> |< 13,12Л 6»
2
0
dx2 = 3 18 12
5 39 16
13
> d2:=DetermiHaiit(dx2);
d2 := - 9
> dx3 := «2,3,5>j<7,14,25>!<0,.l8,39»;
dt3 =
2
3
7
18
j
5 25 39
j
14
0 j
> d3 :=Determinant(dx3);
d3 :=3
> x:=dl/d;y:=d2/d;z:=d3/d;
XT*- 4 y:= 3 z r = - l
3) Sistemani matritsalar usuli bilan yechamiz;
> with(Stndent[LmearAlgebra]):
> A := «2,3,5> |< 7,14,25>|< 13,12,16»;
(2 7 IS'j
Л= 3 14 12
5 25 161
68
■А л(-1);
213
3
33
3
15
3
76
3
12
3
5
3
98'
3
15
3
7
3
> В := « 0 ,1 8 ,3 9 » ;
°")
В:= 18
39
•Х:=.АЛ(-1),В;
-4^
3
-1
Х~
iinsolve(A,b) buyrug‘ining argamenti sifatida mos ravishda A va
В matritsalar olinsa, bu buyruq bilan AX = В matritsaviy
tenglama yechimini ham topish mumkin.
14-mhol.
fl 3 - 1 л
Чз
0 1 -2 X = 2
J
1
-4
4
Г 2
6Л
2 matritsaviy tenglamani
5
yeching.
Yechish.
> with(Stadent[LinearAIgebraj):
> A :=«l,0,l> |< 3,3,-I> |< "l,-2,0»;
f 1 3 -- Г
A:=
1 -
0
1 1
2
°;
> А_1:=Ал(-1);
1
^2
A
:=
7
7
7
4
i
7
i
i
j
> В := « 1 3 .2 ,-2>|<-
5
7
7
T
1
5>|<6,2,5»;
'13
B:=
2
-2
69
-4
6s
4 2
5 5
> Х:=Ал(-1)„1
3
Х:=
-2
1
A matritscming yadrosi deb shunday vektorlar to'plami x ga aytiladiki,
A matritsaning bu vektorlar to‘plamiga ko‘paytmasi nolga teng, ya’ni Ax = 0
bo‘iadi. Bunda A matritsaning yadrosini topish bir jinsli tenglamalar sistemasi
yechimlarini topishga ekvivalent boiadi.
A matritsaning yadrosini kernel (A) buyrug‘i bilan topish mumkin.
fx+ y
4.15-misol. <
= 0,
2 y - z = 0, tenglamalar sistemasini yeching.
\x + 3y —z = 0
Yechish.
> with(iinaig):
> A :=array (f |l,l,0],[0,2,-lj,|l,3,-l]])
'1 1
O''
0 2 -1
1 3 -1
kernel (A) :
1.4.7. M ash q lar
Tenglamalar sistemasini tekshiring:
4.2.
4.1.
4.3.
x, + x2 + 5x3 + 2x4 = 1,
2x, + x2+ 3x, + 2 x 4 = —3,
2xx+ 3x2 + 1lx. + 5x4 = 2,
X, - x2 - x3 - —1,
5.x, - x 2 + 2x, = 3.
Ых{
+ 3x, = 4.
xi + X2~ X3+ 2*4 = 3,
2x, - x2 + x3- x„ —1,
4.3.
Зх, + x2 + 2x3 - xt = 5,
x, -x , + 4x, - 5x, = 2.
Tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching:
4.5.
2x, + x2 + Зх3 = —13,
x, + 2 x 2 — хъ= -2,
3x, + x2—4x} = 7.
J3x, + 2 x 2 —3x, = -1,
4.6. -!2x, + x2 +2x, = 4,
x, —3x, + x, = 9.
70
х, + 2хг + х3 - 2xt = -4,
x 2.+x3+3xt = 1,
4.7.
2х,
2xj + x 7
4.8.
+ x, - xd = 0,
x 2 +Зх3 + 2x4 =
= -2.
^3x, + x2+4x3
+ x4 —
x, - x 2 + 2x 3 + 2 x 4 =
3x, - x2 + 2x3
2xj +3x2- x , - x A= S..
3x. + x2- x3+ x4 = 8,
4,9,
x. - x, + x, - x. = 0,
4.10.
3x, + 7x2-3 x 3 ~ x4 =16.
=
x ,- 2 x 2- 3 x 3 + 5x4
2.x, —3x2 + 2x, + 5x 4
5x, - 7 x , + 9x, + 10x,
■
x, - x j+ 5 x 3
Tenglamaiar sistemasini Jordan-Gauss usuli bilan yeching:
| xx+ 6x2+ 3x3 =21,
x, + 3x2 +- x3 = 4.12. •! 3x, - 2 x2 + 3x, =
4.11. <j4xt + 8x2 + x3 = 18,
[3x, +5x2 + 4x3 =33.
Tenglamaiar sistemasini LU yoyish asosida yeching:
3x, - 7 x 2 ~2x, = -7,
2x2 + x3 = 3,
4.13. - 3 x ,+ 5 x 2 + x3 = 5,
6x, - 4x2
= 2.
6x, - 9 x2 + x3
x. - x2 + 2x3 = 0,
4.15.
0,
4.14.
6.
f x, - 3x2 + 2x3 =
Xj —3x2 + x3 = —5,
4.16. •; x, - 2 x 2
3 x ,+ 7 x ,+ 5 x 3 = 7.
!
=
2x, - 3 x , =
Tenglamaiar sistemasini matritsalar usuli bilan yeching:
(2xj + x2— x3
Г x , + 2 x 2 - x 3 = 3,
4.17. j 2x, - x 2 +2x3 = --J,
[ x,+3x2- x 3 = 6.
f x, +2x2+ x3 = 8,
4.19. i x, +2x2+3x3 =10,
= 2,
2x, + 2x2 - 3x, ~--3,
X( + 2x; - 2x3 =-5.
f2x[+7x2- x, =10,
1.4.20. I x, +2x2+ x3 : о
(2.x,—3x2- 4 x 3 = -4 .
[3 x ,-5 x 2 +3x3
Tenglamaiar sistemasini Kramer formulalari bilan yeching:
4.21. {3jc. - 4^ = 17’
1.4.22.
[5 x , + 2 x , =11.
16x, +4x,_ = 10.
f2x, - 2 x , + x3
x, + 2x2 + 3 x3 = 5,
i
3 x j—2x 2 + 3 x 3 = —1,
1.4.24. j x, j-3 x2 + x. = -3,
2 x ( + 3x2 - 2 ,x 3 = 8.
[3x, + 2 x2 - 2 x3 = -5.
f x ,+ 2 x 2 + 3 x3 =
4.25. |
f 5xj + 7 x 2 = 1,
4x,
+5x2 +6x3 =
[7xj + 8x2
axt + ax2+ x3
6,
1.4.26.
9,
=—6.
x, + ax2 -+aXj
71
= 1,
Xj + а*х2 + x3 =a,
Bir jinsli tenglamalar sistemasini yeching:
t.27.
[2xj +3x2 + 2 x, = 0,
[Зх,— x2 +3x, =0.
1. 4 .28 .
x, + 2 x2 - 3
x, = 0,
5Xj + 5x2 - 4x3 = 0,
х, + Зх2- 6ж3 + 2х4 = О,
4.31.
2л, - х2 + 2х3
+ 3x2 + 3x3 = 0.
f2лс, + Зх2 + хъ = О,
1.4.30. |зх, - 2хг + Зх3 = О,
4х, + Зх, + 5х, = 0.
[Зхг+ x 2 + 2.x,=0,
4.29
[ З х ,- x2 + 4x., = О,
х, -- х2 - 2х3 + Зх, = О,
= О,
1.4.32.
jЗх, - 2 х2 + 2х3 - 2 х4 = О,
[2х, + х2 + 4х3 + 8х 4 = 0.
х, + 2х2
-
4ж4 = О,
х, - 4х, + х. +1 Ох4 = О,
2х, + х, - 2х, -
х, = 0.
Bir jinsli tenglamalar sistemasining fundamental yechimlari sistemasini
toping:
I .X.- - X.- + X,- -x<=°>
,+
1.4.34.
4.33. -j2x, + x2 + X; + x4 = 0,
[4x, - x 2 +3x? —x4 = 0 .
3 x 2 -- x 3 -
x 4 = 0,
2x; —x2 + x,
= 0,
x, + 10x, - 4 x , - 3x4 = 0.
Tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan, Kramer formulalari bi!an
matritsalar usuli bilan Maple matematik paketida yeching:
5x, + 8x 2 - x3 ---2,
4.35.
x, + 2 x2 + x3 = 0,
1.4.36.
x, + 2 x2 + 3x, ---4.
72
3x, - 5x2 + 3x3 = i 1,
2x,+7x, - x, = —3.
mm
VEKTORLI ALGEBRA
ELEMENTLARI
2.1. VEKTORLAR
Wx'orW
Veklorlan»mg
k a 'p a x t e a i a r i
Inly am Htmen
Gmnsiton (1805-1 SC5) ■irhwdiyotik matematik,
i
mexanik vajhik.
;
r-u
wg<wttitik« frissaiiltigi
bishfi$v(i<iH oU iiuvrv&i
shhi'iaii;
va
fm w a g .. b ir
y iifo ir
S f t § '«
#«(■}<).<
e ':«
9 > f j i ! f h f 'i 2 V
Vektor
nisbatan
yangi
matematik
tushuncha hisoblanadi. «Vektor» termininmg
o ‘zi 1845-yilda Uilyam Rouen Gamilton
tomonidan kiritilgan.
Vektor tushunchasiga son qiymati va
y o ‘nalishi bilan xarakterlanuvchi obyektlar
bilan ish k o ‘rilganida duch keiinadi. Bunday
obyektlarga kuch, tezlik, tezlanish kabi fizik
kattaliklar misol bo‘ladi.
Vektor matematikaning turli boMimlarida,
masalan, elementar, analitik va differensial
geometriya bo‘lim lari da qo‘llaniladi. Vektorli
algebra
fizika
va mexanikaning
turli
bo‘limlariga, kristallografiyaga, geodeziyaga.
tatbiq qiiinadi. Vektorlarsiz nafaqat klassik
matematikani, balki boshqa k o ‘plab fanlami
tasavvur qilib boim aydi.
Сhwti
■{f&tttihtwut?o hktsii.
vektftfii
elg*hnf#i*sf>
••• • va
fiSXgi! ■<;■;< ъв$4ж
wshmtjhakiiting hlrSri-i
fifJiiga r&xtMbffyZgm. ::
u<:ir,U;v:> ;.гтопЫ&>.
iiiHiityU}? gbdngra/ i«-:
vhltfsvhesi'
ШшялйЫ
i'•>« tiUiumkwki ■: saijsiq
2.1.1. Asosiy tushunchalar
Tayin uzunlikka va yo‘nalishga ega
bo‘lgan kesma vektor deb ataladi.
Vektor AB yoki a bilan belgilanadi.
Bunda A nuqtaga vektorning boshi deyilsa,
В nuqtaga uning oxiri deyiiadi.
73
Boshi va oxiri orasidagi masofaga vektom in g uzunligi yoki m oduli
deyiladi. Vektoming moduli |/f B |y o k i|a | k o linishda belgilanadi.
Boshi va oxiri ustma-ust tushadigan vektor nol vektor deb ataiadi
va 0 bilan belgilanadi. Bunda |6 |= 0 b o ‘ladi. Nol vektor yo‘nalishga ega
b o ‘lmaydi.
Uzunligi birga teng vektorga birlik vektor deyiladi va ko‘p
hollarda e orqali belgilanadi.
a vektor bilan bir xil yo'nalgan birlik vektorga a vektom in g orti
deyiladi va a° bilan belgilanadi.
1-ta’rif. Bir to‘g ‘ri chiziqda yoki parallel to ‘g ‘ri chiziqlarda
yotuvchi vektorlar kollinear vektorlar deb ataiadi.
a va b vektorlarning kollinearligi 5||fe deb yoziladi. Kollinear
vektorlar bir tomonga yo'nalgan (yo‘nalishdosh, ular a tl'A kabi
belgilanadi) yoki qarama-qarshi tomonlarga yo‘nalgan ( ular a t i b kabi
belgilanadi) b o iish i mumkin. Hoi vektor har qanday vektorga kollinear
hisoblanadi.
2 -ta ’rif. Bir tekislikda yoki parallel teksliklarda yotuvchi vektorlar
kom planar vektorlar deb ataiadi.
3 -ta ’rif. a va i vektorlar kollinear, yo‘nalishdosh va uzunliklari
teng b o lsa , ularga teng vektorlar deyiladi va a = b kabi yoziladi.
Vektorlar tengligining bu ta ’rifi erkli vektorlar deb ataluvchi
vektorlami xarakterlaydi. Bu ta’rifga asosan erkli vektorni fazoning
ixtiyoriy nuqtasiga parallel ko‘chirish mumkin boiadi.
Erkli
vektorlar
tushunchasidan
foydalanib,
vektorlarning
. kollinearligi va komplanarligi uchun boshqa ekvivalent ta ’riflami berish
mumkin: agar ikkita nol bo‘lmagan vektorlar bir nuqtaga ko'chirilganida
' bir to ‘g ‘ri chiziqda yotsa, bu vektorlarga kollinear vektorlar deyiladi;
agar uchta nol bo‘lmagan vektorlar bir nuqtaga ko‘chirilganida bir
tekislikda yotsa, bu vektorlarga komplanar vektorlar deyiladi.
Ayrim hollarda vektoming erkli ko‘chirilishi chegaralanishi
mumkin. Agar vektoming qo'yiiish nuqtasi qat’iy fiksirlangan b o lsa , bu
vektorga bog ‘langan vektor deyiladi. Agar vektom ing boshi joylashishi
mumkin b o lg an chiziq berilgan b o lsa , bu vektorga sirp a n w ch i vektor
deyiladi. Boglartgan va sirpanuvchi vektorlar nazariy mexanikada keng
qollaniladi. Masalan, M nuqtaning radius vektori bog" langan vektor
b o iad i; aylanma harakatda aylanish o‘qida joylashgan burchak tezlik
vektori sirpanuvchi vektor b o iad i.
74
2.1.2. V ek to rlar ustida chiziqli amaiSar
Vektori ami qo‘shish, ayirish va vektom i songa ko‘paytirish amallari
vektorlar u stida chiziqli am allar hisoblanadi.
Ikkita a va $ vektor berilgan bo‘lsin. Istalgan О nuqta olib, bu
nuqtaga ОA = a vektomi parallel ko‘chiramiz. A nuqtaga AB = b
vektomi qo‘yamiz. Bunda birinchi vektoming boshini ikk inchi
vektoming oxiri bilan tutashtiruvehi OB vektorga a va b vektorlarning
yig'in d isi deyiladi, y a ’ni OB = a + b (1-shakl). Vektorlami qo‘shishning
bu usuli uchburchak qoidasi deb ataiadi.
Ikkita vektom i parallelogram m qoidasi bilan ham qo‘shish
mumkin, Buning uchun О nuqtaga OA = a va 0 C = 6 vektorlami
tjo‘yamiz
va
ulardan
parallelogramm
yasaymiz.
Bunda
parallelogramrnning О uchidan o‘tkazilgan OB diagonal
a+b
vektomi beradi (1-shakl).
A
1-shakl.
С
Bir nechta vektomining yiglndisini topish uchun bu vektorlarga
teng vektorlardan k o ‘pburchak (siniq chiziq) hosil qilinadi.
Bunda
boshi birinchi
vektorining boshida, oxiri esa oxirgi vektorining oxirida bo‘Igan vektor
ko‘pburchak barcha vektorlarining yig‘indisiga teng bo‘ladi. Bir necha
vektomi bunday qo‘shish usuliga ko'pburchak qoidasi deyiladi. 2shaklda to ‘rtta a ,b ,c,d vektorlarning yig‘indisi J vektor tasvirlangan.
a va b vektorlarning ayirm asi deb, a vektor bilan b vektorga
qarama-qarshi bo‘Igan {-b) vektor yig‘indisiga aytiladi, y a ’ni
a —b = a + (—¥).
a - b avirmani topish uchun a va b vektom i umumiy О nuqtaga
qo‘yamiz. Bunda b vektor oxiridan a vektor oxiriga y o ‘nalgan vektor
c i- b vektomi beradi (3-shakl).
75
О
А = a va ОВ = Ъ vektorlarga qurilgan ОАСВ parallelogrammning
diagonal vektorlari bu vektorlarning yiglndisidan va ayirmasidao iborat
bo‘ladi (4-shakl).
A
a vektom ing A =£0 songa ко ‘p ciytmasi deb, a vektorga kollinear,
uzunligi IA | •| a | ga teng va yo‘nalishi A>0 b o lganda a vektor
yo‘nalishi bilan bir xil, A<0 b o lg an d a a vektor yo‘nalishiga qaramaqarshi b o lg an лЛ vektorga aytiladi,
Vektomi songa ko‘paytirishning bu ta ‘rifidan quyidagi xossalar
kelib chiqadi:
1-xossa. a (a^O) va b vektorlar kollinear b o iish i uchun b = Xa
bo'lishi zarur va yetarli, bu yerda Я-birorta son;
2-xossa. a = \a\-a° (a^ O ), ya’ni har bir nol bo lm ag an vektor
uzunligi bilan ortming ko‘paytmasiga teng b o iad i.
V e k to rla r ustida chiziqli a m allar ushbu xossalarga ega.
V. a + b =b + a\
2°. (a + b) + c = a + (b + ?);
3°. a + 6 = a;
4°. a + (-5) = 6;
5°. l(fja ) = (A ■p ) a ;
6°. (A + p)a —Aa +
Т . Н а "Ьb) —%a +
8°. 1-2 = 5.
;
Xossalarning isboti vektorlam i qo‘shish va ayirish qoidalari hamda
vektom ing songa ko‘paytirish ta ’rifidan bevosita kelib chiqadi.
76
Misol tariqasida xossalardan birinchisini isbotlaymiz. AB vektor a
dan va BC vektor b dan iborat
bo‘lsin (5-shakl). U holda vektorlam i
D
qo‘shishnmg uchburchak xossasiga
ko‘ra ABC uchburchakda
j
A C =a+b
bo‘ladi.
Parallelogramrnning xossasiga
ko'ra:
AD = B C ,
Vektorlami
uchburchakda
qo‘shishning
a
5-shakl.
lDC = AB .
uchburchak
xossasiga
k o ‘ra,
AC=AD +DC=h+a
bo‘ladi.
Bundan, a + b = b + a kelib chiqadi.
l-m isol.
ABCD
to ‘g ‘ri
lo‘rtburchakning
tomonlari
Лй = 3, A D =4.
M —DC
tomonning
o ‘rtasi, N -C B tomonning o ‘rtasi (6shakl). AM,AN,MN vektorlami mos
ravishda AB va AD tomonlar bo‘ylab
yo‘nalgan 1 va j birlik vektorlar orqali
i lodalang.
Yechish. a = \a \-a° b o lish in i hisobga
olib, topamiz:
A B = \A B \-i= 3 i,
AD = \A D \- j= 4 j.
6-shakiga k o ‘ra,
m } = M C = - D C = -A B = - l ,
2
2
2
BN = NC = - B C = - A D = 2 j .
Vektorlami qo‘shish qoidasi bilan topamiz:
2
2
ADC
2.1.3. Vektoming o‘qdagi proeksiyasi
Sanoq boshini aniqlovchi nuqtasi va birlik vektori berilgan to ‘g ‘ri
chiziqqa o ‘q deyiladi.
e birlik vektor va О nuqta / o ‘qni bir qiymatli aniqlaydi.
M nuqtadan I o ‘qqa tushirilgan AAt perpendikulyaming A,
asosiga A nuqtaning I о ‘q dagiproeksiyasi deyiladi (7-shakl).
AB
( A B * 0)
ixtiyoriy vektor
bo‘lsin. Д va fi, bilan mos ravishda
AB vektor boshi va oxirining I о ‘qdagi
proeksiyalarini belgilaymiz.
AlBl vektorga AB
vektom in g I
о ‘qdagi tashkil etuvchisi deyiladi.
4 -ta ’rif. AB vektom in g I о ‘qdagi
proeksiyasi deb ±j ДВ, | songa aytiladi
va Pr,AB bilan belgilanadi.
A,B, tashkil etuvchi va
о
7-shakI.
Bu son
I o ‘q bir tomonga yo‘nalgan bo‘lsa musbat
ishora bilan, aks holda manfiy ishora olinadi (7-shakl).
Demak,
Pr, AB = ± |
|.
5 -ta’rif. a vektor bilan uning /o ‘qdagi tashkil etuvchisi a, vektor
orasidagi q> burchakka a vektor bilan l o ‘q orasidagi burchak (ikki a va
vektor orasidagi burchak) deyiladi. Ravshanki, 0 <cp<n (8-shakl).
Vektoming o ‘qdagi proeksiyasining asosiy xossalari bilan
tanishamiz.
1-xossa. a vektom ing / o ‘qdagi
proeksiyasi a vektor modulining bu
vektor bilan o‘q orasidagi <p burchak
kosinusiga ko‘paytmasiga teng, ya’ni
Pr, a =j a \ cos <p ,
Isboti. Agar a vektor bilan / o ‘q
orasidagi
burchak
o ‘tkir
bo‘lsa, a, tashkil etuvchi va / o ‘q bir
tomonga yo‘nalgan bo‘ladi.
-shakl.
U h olda
Pr, a - + | ai H a \ cosp.
Agar a vektor bilan I o ‘q orasidagi burchak o ‘traas | —<<p<n
b o lsa , a. tashkil etuvchi va I o‘q qarama-qarshi tomonga yo‘nalgan
boiadi.
U holda
Pr( a = - 1a\ |= - j a \ cos( 7r - <p) =| a | co s (p.
Agar
b o lsa , u holda
—
ft
b
Pr, a = 0 =| 5j cos —=| a j cosip .
а /
Bu xossadan quyidagi riatijalar
/ ®
kciib chiqadi.
I
1
1-natija.
Vektom ing
o‘qdagi
1
1
proeksiyasi:
! b\
j *1
1) vektor
o ‘q
bilan
o ‘tkir
burchak
tashkil qilsa,
musbat
boiadi;
dx
c,
2) vektor
o ‘q
bilan o ‘tmas
9-shakl.
burchak tashkil qilsa, manfiy b o iad i;
3) vektor o‘q bilan to‘g‘ri burchak tashkil qilsa, nolga teng bo‘ladi.
2-natija. Teng vektorlarning bitta o ‘qdagi proeksiyalari teng
boiadi.
2-xossa. Bir nechta vektor yiglndisining berilgan o ‘qdagi
proeksiyasi vektorlarning shu o ‘qdagi proeksiyalari yiglndisiga teng,
masalan,
Pr (a + b + c) = Pr, a + Pr,b+Pr; c .
Isboti. d = a + b + c b o lsin .
U liolda (9-shakl)
Pr,d = + |r f ,|= + 1^1+ 1 ^ 1 -1 5 ,1,
ya’ni
Pr, (a + b + c) = Pr, a + Pr, b + Pr, с .
79
3-xossa. Vektor skalyar songa ko‘paytirilsa, uning o ‘qdagi
proeksiyasi ham shu songa ko‘payadi. ya’ni
Pr, (Aa) = A ■Pr, a .
Isboti. Vektorning o ‘qdagi proeksiyasining
1-xossasigako‘ra,
A>0 da Pr, (Aa) =| Aa j cosip = A|a|cos$> = A-Pr, a.
Я < 0da Pr, (Aa) =| Aa \ cos(n -
<p) = -A | a \ (-cosip)
= 1 j a \ cosf/з = A■Pr, a.
A = 0 da Pr;( 0 a ) = 0 = 0-Pr, a = A-Pr, a.
3-natija. Vektorlar chiziqli kombinatsiyasining o‘qdagi proeksiyasi
bu vektorlar o ‘qdagi proeksiyasilarining mos chiziqli kombinatsiyasiga
teng, masalan,
Prt(ka + nb) = к Pr, a + n Pr, b .
2-misol.
ABC
to‘g‘ri
burchakli
uchburchakning
katetlari BA = 5, BC = 5V3 . ABC
uchburchak balandliklari bo‘vlab
y o‘nalgan vektorlarning
AC
gipotenuza bo‘ylab yo‘nalgan /
o ‘qdagi proeksiyalarini toping.
Yechish.
ZBAC = (p, ZBCA = i// bo ‘lsin
У
s
deylik.
U holda
BA
5
1
COS(p----- = —7= = = = = = :—,
AC ^52+(5a,/3)2 2
COSi// :
ВС _
AC
5л/з
л/ 5 2 + ( 5 л/3 ) 2
_ s
2
ABC uchburchak balandliklari bo‘ylab yo'naigan vektorlar AB. CB ,
BD bo‘ladi (10-shakl). Bu vektorlarning / o ‘qdagi proeksiyalarini
topamiz:
Pr, AB =j AB\-cosq) = 5 •—= —,
Pr, CB = - 1CB | • cosy/ = —5л/3 •
Pr, BD =| B D \■cos-- = 0.
80
2,1.4. V ekto rlarn in g chiziqli bog‘liq!igi. Bazis
Uch o ‘!chovli R3 fazoda ana2,a3 vektorlar berilgan b o lsin . Ixtiyoriy
a l,(x2,a 3 sonlarni olamiz va a„a2,a3 vektorlardan
a = a la . + a 2a1+a.d-s
vektorni
tuzamiz.
Bunda
vektorga
a
(1-1)
vektorlarning
chiziqli kom binatsiyasi, а, ,а ,,а г sonlarga bu chiziqli kombinatsiyan ing
koeffitsiyentlar! deyiladi.
6 -ta’rif. Agar and2,a, vektorlar uchun kamida bittasi nolga teng
holm agan shunday a l,a 1,a i sonlar topilsa va bu sonlar uchun
а Д + a 2a2 + a 3a3 =0
(1-2)
tenglik bajarilsa, йр а2Д vektorlar sistemasiga chiziqli bog ‘liq vektorlar
deyiladi.
7~ta?rif. Agar (1.2) tenglik faqat a l = a 1= a ,= 0 bo‘lganda o ‘rinli
bo‘Isa, a,,d1,aJ vektorlar sistemasiga chiziqli erkli vektorlar deyiladi.
ii-teorema. а,,32,а, vektorlar chiziqli bog‘liq b o iish i uchun ulardan
hech bolm aganida bittasi qolganiarining chiziqli kombinatsiysidan
iborat b o iish i zarur va yetarli.
Isboti. Zcirurligi. Berilgan vektorlar chiziqli b o g liq bo‘!sin. U
holda
(1.2) tenglik bajariladi, bunda a k (£ = 1,2,3) sonlardan kamida
bittasi nolga teng bolm aydi. a , * 0 b o lsin deylik.
U holda
a. _ a , _
a, = ---- La ,---- -a2
aj
boiadi, ya’ni a, vektor qolgan vektoraming chiziqli kombinatsiyasidan
iborat.
Yetarliligi. Berilgan vektorlardan bittasi, masalan, a3 qolganiarining
chiziqli kombinatsiysidan iborat b o lsin :
a3 = «,5, + a 2a 2.
Bundan
« Д + a 232 + (-l)a3 = 0
kelib chiqadi, ya’ni (1.2) tenglik a , = - ld a bajariladi. Demak, berilgan
vektorlar chiziqli b o g liq .
81
7-ta’rifga ko‘ra bitta nol boim agan a vektordan iborat sistema
chiziqli erkli b o ia d i, chunki a •5 = 0 tenglik faqat va faqat a - 0 da
bajariladi.
Demak, bitta a vektordan iborat sistema faqat va faqat 5 = 0
bo iganida chiziqli b o g iiq b o iad i.
Tekislikdagi vektorlarning chiziqli b o g iiq yoki chiziqli erkli
b o iis h i haqidagi masalani qaraymiz.
2-teorem a. Ikkita a, va a2 vektor chiziqli b o g iiq b o iish i uchun
ular kollinear b o iish i zarur va yetarli.
Isboti. Zarurligi. 3, va a2 vektorlar kollinear b o isin . IJ holda
5, = /Ц b o iad i, bundan Aa, + (-1 )a2 = 0 yoki a.3, + a 2a2 = 0. Demak,
vektorlar chiziqli b o g iiq .
Yetarliligi. a, va a2 vektorlar chiziqli b o g iiq b o isin . U holda
ccla1+ a 1a2 = 0 tenglik a, va a 2 sonlardan kamida bittasi, masalan, a 2
noldan farqli b o lg an id a bajariladi. Bundan a2 = — La1 yoki
a2
a2 =Aa,
kelib chiqadi. Demak, vektorlar kollinear.
Bu teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi.
4-natija. Ikkita a, va a2 vektor chiziqli erkli b o iis h i uchun ular
kollinear bo‘lmas!igi zarur va yetarli.
3-teorem a. Agar ё, va e2 biror tekislikning ikkita
kollinear
bo‘lmagan vektorlari b o isa , u holda shu tekislikning istalgan
uchinchi a vektorini bu vektorlar bo‘yicha yagona usulda
3 = a 1e1+ a 2e2
(1.3)
к о ‘rinishda yoyish mumkin.
Isboti. Bitta
О
nuqtaga
vektorlami
qo‘yamiz:
OE, = e,,
OE2 = e2, OA = a . A nuqtadan e, va
g,
ё2 vektorlarga parallel ikkita to ‘g ‘ri
chiziq o'tkazamiz.
Bu to ‘g‘ri
chiziqlar bilan el va e2 vektorlar
11-shaltl.
yotgan
to ‘g ‘ri
chiziqlarning
kesishish nuqtalarini mos ravishda A, va A2 bilan belgilaymiz (11shakl).
Ikki vektor y ig in d isi ta ’rifiga k o ‘ra, OA = OA^ + A1A , bu yerda
82
А,А = 0А, ekani hisobga olinsa
3 =Щ +Щ .
(1.4)
ё, va ОА, vektorlar kollinear b o ig an i uchun OAt = a lel va shu kabi
(Щ = а ,ёг b o ia d i. Bu tenglikiarga k o la , (1.4) tenglikdan (1.3) tenglik
kelib chiqadi.
(1.3) yoyilm aning a, va a, koeffitsiyentlari bir qiymatli
aniqlanishini kocrsatamiz. Biming uchun
3 = ДД + Ргё2
(1.5)
yoyilma mavjud b o lsin deb faraz qilamiz.
( 1.5) tenglikni (1.3) tenglikdan hadma-had ayirib, topamiz:
( а ,- Д ) ё ,+ ( а 2--Д2)ё. =0.
Shartga k o la , ё, va егvektorlar kollinear emas. U hoida 1-narijaga
k o la , ular chiziqli erkli. Shu sababli oxirgi tenglik faqat а, - Д = 0 va
- Д = 0 bolganida. bajariladi. Bundan а, = Д , а, = Д . Demak,
(1.3) yoyilmaning a, va а г koeffitsiyentlari bir qiymatli aniqlanadi.
4-teorem a. Tekislikdagi har qanday uchta vektor chiziqli b o g liq
boiadi.
Isboti. a,,a2,a 3 vektorlardan ikkitasi, masalan, 3. va аг kollinear
vektorlar b o lsin . U holda a2 = a .a l yoki 32 = a x3, + 03,b o iad i. Demak,
й,,д2Д vektorlar chiziqli b o g liq .
a,,a2,a, vektorlardan istalgan ikkitasi kollinear bolm asin.
U holda 3-teoremaga k o la a, vektorni
a. = a l3] + a 2a2,
kolinishdayozish mumkin. Demak, al,a1,3} vektorlar chiziqli bo g liq .
2- va 4-teorernalardan quyidagi natijalar kelib chiqadi.
5-natija. Tekislikdagi chiziqli erkli vektorlar soni ko'pi bilan ikkiga
teng.
6-natija. Tekislikdagi vektorlar uchun kolsatilgandagi kabi
fazodagi vektorlar uchim quyidagi xulosalarni k o lsa tish mumkin:
1) Uchta vektor chiziqli b o g liq b o iish i uchun ular komplanar
boiish i zarur va yetarli;
2) Uchta vektor chiziqli erkli b o iish i uchun ular komplanar
bolm asligi zarur va yetarli;
83
3) Agar ё,,ё2,ё, vektorlar kom planar bo‘lmasa, u holda istalgan a
vektor bu vektorlar bo‘yicha yagona koYirdshda yoyilishi mumkin,
ya’ni
a = a,e, + a 2e2 + a 3e , ;
(1-6)
4) Uch o ‘lchovli fazodagi har qanday to ‘rtta vektor chiziqli hog‘liq
bo‘ladi;
5) Fazodagi chiziqli erkli vektorlar soni ko‘pi bilan uchga teng.
Tekislikdagi bazis deb, istalgan ikkita chiziqli erkli vektorga aytiladi.
5-natija va 3-teoremaga k o ‘ra, tekislikdagi istalgan a vektorni et,e2
bazis b o ‘yicha yagona ko‘rinishda yoyish mumkin, y a ’ni
0 -7 )
a = а ,ё .+ а 2ё2.
(1.7)
tenglikka a vektorning et,e2 bazis b o ‘yicha yoyilmasi, a, ,a 2
sonlarga a vektorning ё,,е2 bazisdagi affin koordinatalari deyiiadi va
a--{a,;or2} deb yoziladi.
j F azodagi bazis deb, istalgan uchta chiziqli erkli vektorga aytiladi
j
6-natijada keltirilgan xulosalarga k o ‘ra, uch o ‘lchovli fazodagi
istalgan
a vektom i e,,e2,e3 bazis bo‘yicha yagona ko‘rinishda yoyish
mumkin, ya’ni
f
a = a,e, + a 2e: + a tet .
(1-8)
S
'B u n d a
a ],a 2,a } sonlar a vektorning e,,e2,e,
bazisdagi affin
koordinatalari bo‘ladi, ya’ni a - {а .;а 2;а г} .
3-misol. Uchburchakli muntazam piram idada A B ,A C ,A D - A
uchning qirralari, D O -D uchdan tushirilgan balandlik (12-shakl). Agar
ex,e2,e. mos ravishda AB,AC,AD qirralar bo‘ylab yo‘nalgan vektorlar
bo‘lsin. DO vektorning ё1,ё2,еъ bazis bo‘yicha yoyilm asini toping.
Yechish. Vektorlarni songa k o ‘paytirish amaiining xossasiga ko‘ra:
AB = AS,,
AC = Л2ё2,
bu yerda Л.,Я2,Я, - haqiqiy sonlar.
AD= Я,ё,,
Piramidaning bir uchidan chiqqan
vektorlar komplanar emas. Shu sababli
bo‘yieha yoyish mumkin.
Piramida muntazam b o ig a n i uchun
uning balandligi asosining medianalari
kesishish
nuqtasiga
tushadi,
ya’ni
О -uchburchak medianalarining kesishish
nuqtasi b o iad i.
Vektorlarni q o ‘shish qoidasiga ko‘ra
qirralarida yotgan
e.,e.,e3
DO vektorni ё,,ё2,ё, bazis
DO = DA + AO.
Siunda
DA = —AD = -1 , ,
“ A 2—
2 AB + AC 1 _ ,
AO = —A M = ---------------- = —(A,e, +Я ,е,).
3
3
2
3
‘
12 -shakl.
Demak,
DO ——
+ —(A,6j + л2£2).
2.1.5. D e k a rt k o o rd in a ta la r sistem asida v e k to rla r
Fazodagi bazis sifatida o‘zaro perpendikular b o ig an i , j , k birlik
vektorlarni oiaylik. Bunday bazis
ortonormallashgan bazis deyiiadi.
Bunda
vektorlar bazis ortlari
deb ataladi.
Koordinatalar boshidan
mos
ravishda
i ,] ,k
bazis
ortlari
yo‘nalishida olkazilgan Ox,Oy,Oz
o‘qlarga koordinata o‘qlari deyiiadi.
Ox,Oy,Oz o‘qlardan tashkil topgan
Oxyz koordinatalar sistemaga to‘g£ri
burchakli (yoki dekart) koordinatalar
sistemasi deyiiadi.
Fazoda ixtiyoriy a vektorni olib,
85
uning boshini koordinatalar boshiga keltiramiz, y a’ni a = OM vektomi
hosil qilamiz (13-shakl).
a vektoming koordinata oqiaridagi proeksiyalarini topamiz.
Buning uchun OM vektom ing oxiridan koordinata tekisliklariga parallel
tekisliklar o‘tkazamiz va ularning koordinata o ‘qlari bilan kesishish
nuqtalarini mos ravishda M t, M 2, Ms orqali belgilaymiz. Bu tekisliklar
koordinata tekisliklari bilan birgalikda diagonallaridan biri OM vektor
b o ig a n to ‘g ‘ri burchakli parailelepipedni hosil qiladi.
Bunda
Prt a = | OM 11, ?rya= \O M i\, Przа = \ОМг\.
B ir nechta vektorlami qo‘shish qoidasiga ko‘ra.
a = OMi + M^N + N M .
Yoki M ,N = OMi, NM = OM i ni hisobga olsak,
а = (Ж , + (Ш2 + O M ,.
(1.9)
Shunindek,
OMi =| QMij ■Г, ~дМг=\~ОМг\-1, Ш г = \ Ш г \ - к .
(1.10)
a - OM vektom ing
ravishda
koordinata o'qlaridagi proeksiyalarini mos
ax,a y va az orqali belgilaymiz, ya’ni \ OMi\ = ax, \ОМг\ = ау,
\OM,\ = a .
U h o ld a (1 .9 )v a (1 .1 0 )tenglikiardantopam iz:
%
a = axi + a vj + a , k .
(1.11)
(1.11) tenglik a vektom ing i , j , k bazis bo‘yicha yoyihnasi deb
yuritiladi. ax,ay,az sonlarga a vektom ing dekart koordinatalari (yoki
oddiygina koordinatalari) deyiladi v a a = {ax;ay; a j kabi yoziladi.
a = {a x;ay; a j vektor berilgan b o isin .
To‘g‘ri burchakli parallelepipedning aiagonali haqidagi teoremani
qo‘llaymiz:
\O M \l = \Ш х \1+\О М г \Ч \О М ,\1,
Bundan
\a\* = al + a] + a]
86
yoki
M
- V
a y
(1 .1 2 )
a : >
y a ’ni vektorning uzunligi uning koordinatalari kvadratlarining
yigindisining kvadrat ildiziga teng.
a vektorning Ox,Oy,Oz o ‘qlar bilan tashkil qilgan burchaklari mos
ravishda a ,/3 ,y b o isin (13-shakl). cos a , cos/3, cos у lar a vektorning
yo ‘naltiruvchi kosinuslari deb ataladi.
Vektorning o‘qdagi proeksiyasi 1-xossasidan topamiz:
ax =| a j cosa, ay =\a\ cos /?, at =| a | cos ^ .
Bundan л ^ 0 bo igan id a
й«
cose;
cos« =
=—
[a !
cosy = - ^a z- ,
]5|
a
ay
COSp ———.
\a\
(1.13)
(1.13) tenglikdan (1.12) formuiani hisobga olib, topamiz:
cos2a + cos2p + cos2у = 1,
(1-14)
ya’ni
nol
boim agan
vektorning
yo‘naltiruvchi
kosinuslari
kvadratlarining yig in d isi birga teng.
Bundan 5° biriik vektorning koordinatalari cos a , cos/}, cosy
b o iish i kelib chiqadi, ya’ni 5“ ={cosa';cos/?;cos}'}.
4-misol. Uzunligi \a]=2 ga teng vektor Ox,Oy koordinaia o ‘q!ari
bilan a = 60°,/? = 120ii burchaklar tashkil qiladi. a vektorning
koordinatalarini toping.
Yechish. Vektorning o'qdagi proyeksiyasining 1-xossasisiga ko‘ra:
Vektorning uzunligini topamiz:
2 ~ ,/l i 1 + a 2.
Bundan
a] = 2
yoki аг = л/2, аг = -4 2 .
87
Demak,
a = { 1:-1;л/2} yoki a = {1;-1:-V2}.
a va fc vektorlar koordinatalari bilan berilgan bo‘lsin:
b = bx i + йy j/' + bzk .
a = axi + aу-Ji + az к ',
Vektoming o‘qdagi proeksiyasining xossalariga k o ‘ra:
a ± b = (ax ± b j i + (ay ± by ) j + (az ± b z)k ,
Aa = MiJ + Aa j + Aazk ,
a,
(1.15)
(1.16)
b.
a = b <=> -
(1.17)
a, =£,-
Shunday qilib,
1) vektorlar qo‘shilganida (ayrilganida) ularning mos koordinatalari
qo‘shiladi (ayriladi);
2) vektor songa ko‘paytirilganida uning barcha koordinatalari shu
songa ko‘payadi;
3) teng vektorlarning mos koordinatalari teng b o ia d i va aksincha.
5 -misol. a = -Ai - 2 j + 4k vektor berilgan. Bu vektorga qarama-qarshi
yo‘nalgan, kollinear va uzunligi \b \= 9 b o ig a n
vektoming
koordinatalarmi toping.
Yechish. b vektom ing koordinatalari bx,by,bt , ya’ni b = {bx:by;b j
5va b vektorlar kollinear b o isa a = l b b o iad i, bu yerda A -biror
SOD.
U holda ikki vektoming tengligi shartidan
bx - Aa ,, by = Aay, bz = лах
yoki
bx = -4A, by = —2A, bz = 4A.
Bu koordinatalami va b vektom ing
topamiz:
л /ш 2 + 4A2 +16A2 = 9, ± 6A = 9
88
uzunligini hisobga olib,
yoki A = ± —.
2
a va b vektorlar qarama-qarshi yo'nalgani uchun
Я < 0, y a’ni
Demak, b = { 6;3;-6).
Koordinatiar boshiga qo‘yilgan va oxiri M nuqta b o ‘lgan r= O M
vektorga M nuqtaning radius vektori deyiiadi. M(x-,y;z) nuqta radius
vektorin ing koordinatalari r = {x; y; z} bo ‘ladi.
Boshi
nuqtada va oxiri B(x2;y2;z2) nuqtada b o ig an
AB vektorni qaraymiz. A va
В
nuqtaiarning radius vektorlarini mos
ravishda rt = {(xi;yl;zl] va r, = {x2;y2; z j
boiadi.
14-shaklga k o ‘ra, AB = r1- r l .
Bundan (1.15) tenglikka asosan
AB = (x2 - x, )i + (y 2 - y t ) j + (z2 - z, )k
yoki
AB = {x 2 - x ,; y z - y l;z2- z , } .
(1.18)
Shunday
qilib,
vektorning
koordinatalari
uning
oxiri va
boshining mos koordinatalari
aysrmasiga teng.
(1.18) tenglikdan AB vektorning modulini topamiz:
I~AB\ = V(x2 - xi f + (У1 - У'.У + (z2- Zi)z ■
(11 9 )
AB vektorning uzuniigi A va В nuqtalar orasidagi masofani
aniqlaydi. Shu sababli (1.19) tenglikka ikki nuqta orasidagi masofani
topish form u lasi deyiiadi.
6-misol. Parallelogrammning uchta ketma-ket uchi berilgan:
Л(-1;3;1), B (- 2:--5;3), C(0;-1;1). BD diagonal uzunligini toping.
Yechish. Parallelogramm D uchning x;y;z koordinatalarini
parallelogramm uchun AD = BC ekanidan aniqlaymiz. AD va BC
vektorlarni (1.18) formula ko‘rinishida yozamiz:
A D = {x + V ,y - 3 ; z - \} ,
BC = {0- (-2);-1 - (-5);! - 3} = {2;4;-2}.
89
U holda
AD = BC tenglikdan
D( 1;7;—1) boMishi kelib chiqadi.
x + l = 2, y - 3 = 4, z -1 = —2, ya’ni
BD vektoming koordinatalarini
topamiz:
BD = {t - (—2);7 - (—5);—1 - 3} = {3;12;-4>.
U holda
\B D \= j3 2 +122 + (-4 )2 = л/9+ 144+ 16 =13.
Л(х,
va B(x2;y2;z2) nuqtalami tutashtim vchi kesma berilgan
bo‘lsin. AB kesmani berilgan A>Q nisbatda boiuvchi, ya’ni ^ - = A
CB
tenglikni ta ’minlaydigan C(x;y;z) nuqtani topish masalasini yechamiz.
M asalaning shartiga ko‘ra, ACvaCB vektorlar kollinear, ya’ni
AC = ЛСВ.
U holda
AC = { x - x , ; y - y ];z - z , j , CB = {x2 - x;y2 - y;z2 - z}
inobatga olinsa,
x - x , = X ( x 2- x ) ,
у - у , = Ц у 2- у ) ,
z —zt = A(z2 —z).
Bu tengliklardan x ,y ,z larni topamiz:
1+ A
1+ A
z .iilib .
1+ A
(1,20)
'
(1.20) formulaga kesmani berilgan A nisbatda bo ‘lish form ulasi
“deyiladi.
(1.20) tengliklardan A = 1 da kesma o‘rtasining koordinatalarmi
topish formulalari kelib chiqadi:
, =i± f L , у = А ± Л
2
2
1=
(].21)
2
l-izo h . Tekislikda yotuvchi ЛВ kesma uchun (1.20) va (1.21)
formulalar quyidagi ko‘rinishlami oiadi:
V
'
7-m isol A(2;5) va B(4;9) nuqtalam i tutashtiruvchi AB kesmani
A C : CB = 1:3 nisbatda boMuvchi С nuqtaning koordinatalarini toping.
1
Yechish. Masalaning shartiga k o ia , ^ = - . C(x;y) nuqtani
(1.22) formulalar bilan topamiz:
2.1,6. M asliqlar
1. Agar j a + S H 5 - 6 1 b o isa ,
qanoatlantiradi?
a
va
6
vektorlar qanday shartni
2. |aj=13, |i|= 1 9 va |5 + 6 |= 2 4 bo‘Isa, |a - F | ni hisoblang.
3.
Agar M —AB kesmaning o‘rtasi bo‘lsa, fazoning ixtiyoriy О nuqtasi
uchun OM = -(O A + OB) tenglikni isbotlang.
4. AD, BE, CF
kesmalar
ABC uchbxirchakning medianalari bo‘lsa,
A D + B E + C F -- 0 tenglikni isbotlang.
5. A N - A B C uchburchakning bissiktrisasi. A B - a , AC = b , \a\=2,
! b |=1 b o ‘Isa, A N vektorni toping.
6.
ABCD
teng
M , Л -m o s ravishda DC
yonli
trapetsiyada
ZDAB = 60°, ]AD |=| DC |=| CB |= 2,
va BC tomonlaming o ‘rtalari.
NM
vektorni mos
ravishda AB va AD tomonlar bo‘ylab yo'nalgan niva n birlik vektorlar orqali
ifodalang.
7. О nuqtaga OA = a va OB = b vektorlar qo‘yilgan. AOB burchak
bissektrisasida yotuvchi biror OM vektorni toping.
8 . ABCD parallelogrammda AB = a va AD = b , M - parallelogramm
diagonallarining kesishish nuqtasi. M A, MB vektorlarni a va b vektorlar orqali
ifodalang.
9. m ning qanday qiymatida с = 3 - m b va 5 = —\/35+6J vektorlar kollinear
bo‘ladi?
10. Biror bazisda a = {m \-1;2 }, b={3:n;6 } vektorlar berilgan. a va b vektorlar
kollinear bo‘Isa m va n ni toping.
91
11. ABCD to‘g ‘ri burchakli
trapetsiya asoslari \AB\= A va \C D \-2 va
/-ABC = 45°. A B , A D , D C , AC vektorlarning CB vektor bilan aniqlanuvchi o ‘qqa
proyeksiyalarini toping.
12 .
teng
ABC
tomonii
uchburchakning
tomonlari
2л/з
ga
teng,
A D,B F,C E - uchb urchakning
vektorlarning ABAC
proyeksiyalarini toping.
balandliklari.
A B , В С , CA , A D , B F ,
burchak bissiktrisasi bo'ylab y o ‘nalgan I o‘qqa
CE
13. ABCD parallelogrammda P va Q mos ravishda BC va CD tomonlarning
o'rtalari. Bazis vektorlar 5, = AD va ?2 = AB bo‘lsa, ~PQ vektorni bu bazis
bo'yicha yoying.
14. OACB to‘g ‘ri to ‘rtburchakda M va N mos ravishda BC va AC
tomonlarning o ‘rtasi. ОС vektoming OM = a va ON = b vektorlar bo‘yicha
bazisga yoying.
15. ABCD piramidada P va Q mos ravishda AD va BC qirralarnmg osrtasi.
Bazis vektorlar 5, = A B , S2 = A C va e3 = AD b o isa , PQ vektorni bu bazis bo‘yicha
yoying.
16. OABC tetraedrberilgan.
OA,OB,OC vektorlardan iboraiboMgan
bazisda OF vektomi toping, bu yerda F -a s o s medianalarining kesishish nuqtasi.
17. Tekislikda uchta 3 = {3;-2}, b = { - 2 ;l} va с ={7;-4} vektorlar
berilgan. Har bir vektoming qolgan ikki vektor bo‘yicha yoyilmasini toping.
18. a = {2;1;0},
b = {1; - 1;2},
с = {2 ;2 ;-l} vektorlar bazis tashkil qiiishini
ko‘rsating. rf = {3;7;-7} vektoming shu bazis bo‘yicha yoyilmasini toping.
-
•
i 2 -
19. a = {—1;5;—2} va b = {2;-l;3} vektor berilgan. 3 a -2 b va — a + - b
•vektorlarning koordinatao‘qlaridagi proeksiyalarini toping.
20. a = {l;-l;2},
va 3 5 - 2 b + 2c
fc = {-2;-3;l} va с = {0;-3;-2}vektorlar berilgan. - 2 5 + 3 i - c
vektorlarning
koordinata o'qlaridagi proeksiyalarini toping.
21. Tomonlari
o = {-l;0;7} va A={5;-4;-5} vektorlarga qurilgan
parallelogramm diagonalSarining uzunliklarini toping.
22 AB - {2;6;4} va AC = {4,2 - 2 ) b oisa, ABC uchburchakning CP
medianasi uzunligini toping.
23. Fazoda M nuqtaning radius vektori koordinata o ‘qlari bilan bir xil
burchak tashkil qiladi va uzunligi 3 ga teng. M nuqtaning koordinatalarini toping.
24. a vektor OX va QZo‘qlari bilan mos ravishda 60“va 120° li burchak
tashkil qiladi. Agar j a |= 4 b o isa , bu vektoming koordinatalarini toping.
92
25. Agar a = { v e k t o r n i n g boshi Л(3;-2;-4} b o isa , uning oxirining
koordinatalarini toping.
26. Agar a - {2;4;—1} vektorning oxiri S(-1;3;-4} b o isa , uning boshining
koordinatalarini toping.
27. A va В nuqtalar berilgan. AB vektorning ortini toping:
1) A(-4;~ 9;6), S(8;6;-10);
2) 4(6;-1;9), 5(2;-4;-3).
28. >4(2;-1;0), B{ 1:-1;2), C(0,5;3) nuqtalar berilgan. a = A B ~C B vektorning
ortini toping.
29. a = {2;3}, 6={l;-3}, c = {-1;3} vektorlar berilgan. a ning qanday
qiymatlarida й = а + ай va й = а + 3с vektorlar kollinear b oiadi.
38. а = 16? - I2 j +15A; vektor bilan bir xil y o ‘nalgan va uzuniigi 16 j= 15 bo‘Igan
vektorning koordinatalarini toping.
31. Uchlari
A {- l;-3), B {2-3), C(2;l)
b oigan uchburchakning perimetrini
toping.
32. Uchlari A (-3 -3), В (-1,3), C(l;-1) b oigan uchburchakning to‘g ‘ri
burchakli ekanini ko'rsating.
33. Uchlari A(2;I), 5(-l;l), C(-3;2) nuqtalarda b o ig a n uchburchakka tashqi
chizilgan aylananing markazini va radiusini toping.
34. M ,(—1;—2) va M 2(3;4) nuqtalar berilgan. M lM 1 to ‘g ‘ri chiziqda yotuvchi va
M2 nuqtaga nisbatan M . nuqtaga 3barobar yaqin b o ig a n M (x;y) nuqtani toping.
35. Uchlari Д1;4), B(-5;0), C(-2;-l) nuqtalarda b o ig a n uchburchak
medianalarining kesishish nuqtasini toping.
36. Parallelogrammning uchta ketma-ket A ( - 6 -4 ), B{- 4;8), C(-l;5) uchlari
berilgan. Parallelogrammning to'rtinchi uchini toping.
37.
Uchlari Д4;1;-3), B(l;4;-2), C(l;10;-8) nuqtalarda b o ’Igan ABC
uchburchakning /i9m edianasi uzunligini toping.
2.2.VEKTORLARNING KOTAYTM ALARI
2,2.1. Ikki v ektorning sk a ly a r ko‘paytm asi
Skalyar k o ‘p aytmaning ta ’rifi
l - t a ’rif. Ikki а va b vektorning skalyar к о 'paytmasi deb bu
vektorlar im m liklari bilan ular orasidagi burchak kosinusi ko‘paytmasiga
93
teng songa aytiladi va u ab (yoki a b yoki (a, b)) kabi belgilanadi, ya’ni
(2 . 1)
ab =\a\-\b\-coscp,
bu yerda (p - a va b vektorlar orasidagi burchak (bunda vektorlarnin g
boshi bir nuqtaga qo‘yiladi).
(2.1) formulani boshqa ko‘rinishda yozish mumkin.
M a’lumki,
Pr^ a =| я j cos <p va Pr b =| b jcoscp.
Bundan
ab=\a\-Vxdb
(2 .2 )
ab^b\ - Vvr a,
(2.3)
yoki
y a’ni ikki vektom ing skalyar ko‘paytmasi ulardan birining moduli bilan
ikkmchisining birinchi vektor yo‘nalishidagi o ‘qqa proeksiyasining
ko‘paytmasiga teng.
Skalyar ко ‘p aytmaning xossalari
1-xossa. К о ‘p aytu vch ilam in g о ‘rin alm ashtirish xossasi:
ab =ba.
-»
-»
Л_
_
_A
_
Isboti. ab =\a\-\b jcos(a,6) = |61-|5|cos(Z> ,a) = ba.
2-xossa. Skalyar ко ‘p aytuvchiga nisbatan guruhlash xossasi:
(Aa)b = l{ab).
Isboti. (2.2) foraralaga ko‘ra, (Ш)Ь =|6|-РгДАа). Vektoming o‘qdagi
proeksiyasining 3 -xossasiga asosan Pr, (АЛ) = A •Pr, j a \.
Bundan
(Aa)b =|b \ РгДЛa) = X - \ b \ Prs |3|=A-fl*|PrI |5D = A(56).
3-xossa. Qo ‘shishga nisbatan taqsim ot xossasi:
a(b + c ) = ab + a c .
Isboti. Vektoming o‘qdagi proeksiyasining 2-xossasiga ko‘ra,
P r (b + c ) = Pr b + Pr c.
94
Demak,
a(b + с) =| a | Pr3(A + c) =| a | -(Pr3b + Pr. c) =
=| a | -Pr. b+ j a | -Ptj с —ab + ac .
4-xossa. Agar a va b vektorlar perpendikular b o isa , u holda
ularning skalyar k o ‘paytmasi nolga teng b o ia d i. Shunindek, teskari
(asdiq o‘rinli: agar a b = 0 (j а\ ф 0,| b |* 0) b o isa , u holda a ± b b o iad i.
Xususan: i ■j - j ■k = k ■i = j i = k ■j = i -k = 0.
Isboti. a L b bo ig an d a coscp = 0 b o ia d i. Bundan ab = 0.
—
—
7C
ah = 0 (| 5 1*0,|b |?ь0)
b o isa , costp = 0 b o iad i. Bundan (p = —, У3’01
a _Lb .
5-xossa. Vektorning skalyar kvadrati uning uzuniigi kvadratiga
leng, ya’ni a 2 =| a \2.
Xususan: i 2 = j 2 = P = 1.
Isboti. a 1 = a ■a =| a \ ■\ a \ cos 0° -\a \-\a \= \a \2.
1-izoh. Agar a vektorni skalyar kvadratga oshirib, keyin kvadrat
ildiz chiqarilsa, a vektorning o ‘zi emas, balki uning moduli hosil
b o iad i, ya’ni
=1 a | (yjd2 Ф a).
1-misol. ]3 |= 4 , \b\=6,rp = ( a, b) = — b o isin , (35 - b) ■(2a + 4b)
ko‘paytmani toping.
Yechish. Avval 3-xossa yordamida qavsiarni ochamiz va keyin
.skalyar к о ‘paytmaning ta ’rifi va xossalaridan foydalanib, topamiz:
( 3 a - b) ■(2a+ 4b) = 3a - 2 a - b ■2a + 3a ■4b —b ■4b = 6а 1 +ЮаЬ —4Ъг =
= 6\ aV +101a\-\b \ c o s ~ ~ 4\ b |2=
= 6 -42 +10-4 - 6 - - - 4 - 6 2 = 96 + 120-144 = 72.
2
-*■
A— 2/r
2-misol.
\a\=4, \b\=3,(p = (a, b) = — b o isin . Bu vektorlarga
qurilgan parallelogramm diagonallarining uzunliklarini toping.
Yechish. a va b vektorlarga qurilgan parallelogramm diagonallarini
a + b va a - b vektorlar orqali ifodalash mumkin.
95
Skalyar ko‘paytmaning xossalaridan foydalanib, topamiz:
| a + b \=т](а + Ь)2 = л/<52 + 2 ab + b 2 = ^ \ a ]2 +2|5!|fe|cos^+|Aj2 =
= J l6 + 2 . 4 - 3 ^ - i j + 9 = V l3,
\ a - b \ = ^/(a —b ) 2 = л/д2 - 2 ab + b 2 =\I\d\1 ~2\a\\ h j cos <p+1 b |! =
= ,/16 + 2-4-3 -—+ 9 =л/37.
V
2
Koordinatalari bilan berilgan
vektorlarning skalyar ко ‘p aytmasi
Ikkita a = {ax;ay;az} va
b ={bx;by\b2} vektor berilgan b o isin .
U holda bu vektorlami I , ] , к birlik vektorlar orqali ifodalab,
skalyar ko‘paytmaning xossalarini va
l , ] , k vektorlarning skalyar
ko‘paytmalarini hisobga оiib, topamiz:
ab = ( a j + ayj + агк) •(b j + byj + b2k) = axb j i + axbyi j + axb j к +
+ ayb,ji + aybyj j + aybj 'k + azbjki + azb k j + a b j k =
= axbx + ayby + a lb2.
Demak,
ab = axbx + ayby + a zb_,
(2.4)
v' ya’ni koordinatalari bilan berilgan
ikki
vektoming
skalyar
, * ko‘paytmasi
ularning mos koordinatalari ko‘paytm alarming
yig‘indisiga teng.
3-misol. a={4;-2;3}, b = {1;—2;0}, c={2;l;-3} boisin.
(a + 3 b ) - ( a - b +c) ko‘paytmani toping.
Yechish. A w al m = a+ 3 b v a n = a - b + c vektorlarning
koordinatalarini topamiz:
« = {4 + 3-1; -2 + 3 •(-2); 3 + 3-0} = {7;-8;3},
« = {4-1 + 2; -2 + 2 + 1; 3 - 0 - 3 } = {5;l;0}.
Bundan (2.4) formulaga ko‘ra
/й-й = 7-5 + (-8)-1+3-0 = 27.
96
S ka lyar ко ‘p aytm an in g ayrim tatbiqlari
1. Ikki vektor orasidagi burchak
a = {at ;ay; a j va
b = {b.; by',bz} vektorlar orasidagi <p burchak
kosinusini (2.1) va ( 2.4) tengliklardan topamiz:
cos^) = —^
131-1Ы
(2.5)
yoki
COSg>
« А + йА + дА
лjal + a ‘ + a] ■^Jb[+ by + b]
.
,
( 2 .0 )
Shu kabi, fazodagi ikki yo‘nalish orasidagi burchak kosinusi bu
yo'nalishlam ing mos (bir nomdagi) yo‘naltiruvchi kosinuslari
ко ‘paytmalarining yig‘indisiga teng:
cos<p = cos<xl c o s a i + cos Д, cos P2 + cos^,cos/2.
2.
(2.7)
Ikki vektorning perpendikulyarlik sharti
a ± b bo‘lsin. U holda cosq>= 0 bo‘lgani uchun (2.6) tenglikdan
axbx + a yby + агЬ1 = 0
(2 .8 )
kelib chiqadi.
Fazodagi ikki y o ‘nalishlarningperpendikularlik shartim
(2.7) tenglikdan topamiz:
cos cct cos a 2 -t- cos Д cos p 2 + cos y xcos y 2 =0.
(2.9)
3. Vektorning berilgan yo ‘nalishdagi proeksiyasi
(2.3) tenglikdan topamiz:
Pr- a = ~
i Pr- b = —
|5 |,
\b\ I
yoki
(2.10)
f
a A + aA + « A
Pr, a = — r
------„
-
Ф>1+Ъ1+К
!v
97
аА ^ Л . ^ А )
+ ay + al J
( 2 .H )
Shu kabi a(x;y;z) ve k to m in g yo ‘naltiruvchi kosinuslari
cosa, cos/J, cosf bo ‘Igan I y o ‘nalishdagi (o ‘qdagi) proeksiyasi:
Pr, a = xcosa + y c o sp + z c o s/.
(2.12)
4. Kuchning bajargan ishi
MN vektor bilan <p burchak tashkil etuvchi
F kuch ta ’sirida
moddiy nuqta M nuqtadan N nuqtaga
to‘g ‘ri chiziq bo‘yiab
k o ‘chayotgan b o isin (15-shakl).
Fizika kursidan m aium ki, F kuchning MN = S
bajargan ishi
^ = jF |-|,S |-eo s 0
yoki A. = FS
ko‘chishdagi
(2.13)
formula bilan aniqlanadi.
Demak,
m oddiy
nuqtaning
to ‘g‘ri chiziqli harakatida o ‘zgarmas
kuchning bajargan ishi kuch vektori
va ko‘chish vektorining skalyar
k o‘paytmasiga teng.
Bu jum la
skalyar ко ‘p aytm aning
mexanik
m a ’nosini anglatadi.
4-misol. Moddiy nuqta A(l;-2;2)
nuqtadan
B(5;-5;~3)
nuqtaga
15-shaki.
F = {2;-1;~3} kuch ta ’sirida to ‘g ‘ri
• chiziq bo‘ylab ko‘chgan.
s
Quyidagilarni toping: 1) F kuchning bajargan ishini:
2) F
kuchning ko‘chish yo‘nalishidagi proeksiyasini;
3) F kuchning
ko‘chish yo‘nalishi bilan tashkil qilgan burchagini.
Yechish. Avval m oddiy nuqta ko‘chish vektorini, uning va F
kuchning uzunligini topamiz:
S = AB = {4;—3;—5}, |S | = Vl6 + 9 + 25 = 5v2, j F | = /4 + 1 + 9 = V l4.
U holda:
1) A = FS = 2 •4 + (-1) ■(-3) + (-3) ■(-5) = 26 (ish b.)\
2) Pr, F =
FS
26
S\
54 2
13V2
98
FS
26
13л/7
3) cos ф = ——
---- 1т- = —;=—т= = ------ ,
1^1-151 5a/2 - v 14
35
13л/7
35
(р = arccos—-----.
5-misol. in = а + 2b va й = 5 5 -4 6 o‘zaro perpendikular vektorlar
bo‘lsin. 5 va * birlik vektorlar orasidagi burchakni toping.
Yechish. i hLn bo‘Iganiuchun (Й + 26)• (5a-4 6 ) = 0 b o iad i.
Bundan
552 + 656 - 862 = 0
yoki
5 |5 |2+ 6 |5 |-j6 |c o s^ > -8 |6 |2= 0.
a va b birlik vektorlar boigani sababli: 5 + 6cos<p- 8 = 0.
U holda
1
..
cos9>= - yoki Ф—
n
2.22. Ikki vektom ing vektor ko‘paytmasi
Vektor kopaytmaning ta ’rifi
Agar uchta vektordan qaysi biri birinchi, qaysi biri ikkinchi va
qaysi biri uchinchi ekani ko‘rsatilgan b o isa , bu vektorlarga tartibiangan
uchlik deyiladi.
Tartibiangan uchlikda vektorlar joylashish tartibida yoziladi.
A gar komplanar boirnagan vektorlar tartibiangan uchligining
uchinchi vektori uchidan qaralganda birinchi vektordan ikkinchi
vektorga qisqa burilish soat strelkasi yo‘nalishiga teskari b o isa , bunday
99
uchlikka о ‘ng uchlik, agar soat strelkasi yo‘nalishida b o is a chap uchlik
deyiladi (16-shakl).
2 -ta ’rif. a vektom in g b vektorga vektor ko'paytm asi deb quyidagi
shartlar bilan aniqlanadigan с vektorga aytiladi (17-shakl):
1) с vektor a va b vektorlarga perpendikular, ya’ni с 1 a va с L b ;
2) с vektom ing uzunligi son jihatidan tomonlari
a
va b
vektorlardan iborat b o ig a n parallelogrammnmg yuziga teng, ya’ni
-►
A _►
|cj=ja|-jfrjsin<p, bu yerda cp = ( a , b );
3) a ,b,с vektorlar o‘ng uchlik tashkil qiladi.
a va b vektorlarning
kabi belgilanadi.
vektor ko‘paytmasi
axb
yoki [a,b]
с --a x b
a
17-shakl.
Vektor ко ‘p aytm an in g xossalari
4-
1-xossa. Ко ‘paytuvchilaming o ‘rinlari almashtirilsa vektor
* 'ko‘paytma ishorasini qarama-qarshisiga o‘zgartiradi, ya’ni
a x b = - b xa.
Isboti. Vektor ko/paytrnaning ta ’rifiga ko‘ra, d x Ъva J x a vektorlar
bir xil uzunlikka ega (parallelogramrnning >oizi o ‘zgarmaydi), kollinear,
ammo qarama-qarshi yo‘nalgan, chunki
a, b, axb
vektorlar ham,
b , a , b x a vektorlar ham o‘ng uchlik tashkil qiladi.
100
Isboti. Я>0 bo‘5sin. U holda (Xa)xb va A(axb) vektorlar a va b
vektorlarga perpendikular b o iad i, chunki b, й va a vektorlar bir
tekislikda yotadi. Shu sababli ( Aa ) x b v а л ( а xb) vektorlar kollinear.
Shuningdek, bu vektorlar yo‘nalishdosh (Aa va a vektorlar
vo!nalishdosh) hamda ular bir xil uzunlikka ega:
| (Aa)xb |=| Xa\-\b |sin((^2),fc)) = A |a|-|A j sin(a,b),
| A(a x b)
j= Я ] a x b j= Я | a \ ■j b j sin(a, b).
Demak,
(Xa)xb = A( axb) .
Xossa Я<0 da ham shu kabi isbotlanadi.
3-xossa. Qo ‘shiskga nisbatan taqsim ot xossasi:
ax(b+c)-axb+axc.
Bu xossaning isbotini keltirmaymiz.
4-xossa. Agar a va b vektorlar kollinear b o isa , u holda ulaming
vektor ko‘paytmasi nolga teng b o iad i. Shunindek, teskari tasdiq o iin li:
agar <5x6=0 (\a\*Q,\b 1*0) bo‘isa, u holda a va b vektorlar kollinear
boiadi.
Isboti. a va b vektorlar kollinear b o isa , ular orasidagi burchak
<p= 0° yoki ■ф = 180“ ga teng va sin^ = 0 b o iad i. U holda
| a x b |=| a | ■j b | sin<p = 0.Bundan
a x b = 0.
a x b = 0 b o isa , \ a x b |=ja|-j b j sinip = 0 b o iad i. U holda |a |-j6 |* 0
b o lg a n i uchun sin^ = 0. Bundan <p= 0° yoki
vektorlar kollinear.
p = .180% y a’ni
a va b
6-misol. !,], k vektorlarning vektor ko‘paytmalarini toping.
Yechish. Bunda vektor ko‘paytmaning ta ’rifidan quyidagi tengliklar
bevositakelib chiqadi:
i x j - k , j x k - i, k x i = j.
Haqiqatan ham, masalan, 1 x ] = й tenglik o'rinli, chunki:
1) к J_ i , к _Lj ;
2) ji|=|7j| J|sin90“ =1;
3) l , ] , k vektorlar o‘ng uchlik tashkil qiladi.
101
Shuningdek, 1- x o ssagako‘ra,
j x i = -k , k x j = -i, i x k = - j .
Vektor ko paytmaning 4-xossasidan topamiz:
ixi = j x j - кхк = d .
7-misol. |5 |= 3 , \ b\ =2, (p = ( a, b) = — b o isin . \ {а + 2Ъ)х(а-ЪЪ)\п\
6
hisoblang.
Yechish Vektor k o ‘paytmaning ta ’rifi va xossalaridan foydalanib,
topamiz:
(a + 2b) x (a - 3 b ) = a x a + 2b x a - 3 a x b —6b xb = - 5a x b .
Bundan
я
\(a + 2b)x ( 2 - 3 6 ) |= |- 5 a x 6 1= 5| a\ -\b |s in ^ = 5-3 - 2 - sin — = 15.
6
Koordinatalari bilan berilgan
vektorlarning vektor ко ‘p aytmasi
Ikkita a = {ax;ay;az} va
b ={bx;by;bz} vektor berilgan b o isin .
vektorlarning
foydalanib, topamiz;
vektor
7, j , k
ko‘paytmalari
formulalaridan
a x b = ( axi + ayj + a j i ) x (bxi + byj + bzk) = a h x(i x i ) + a b y(i x j ) + axbz(i x k ) +
+ aybx( j x i ) + a by( j x j ) + aybz(j x k ) + azbx(к x i ) + azby(к x j ) + azbz(k x k) =
= a b i - axb j - a b k + a b i + azb j - a b i = (a b - a b ) i - ( a b ? - a b x) j +
+ ( a b - a ybx)k =
a y
a,
К
К
ax az
i -
К
К
j +
av
К
к,
К
va m
ay az
axb =
b
J+ b
x
b.
bу
к.
(2.14)
Oxirgi tenglikni quyidagicha yozish mumkin:
i
j
к
a x b = ax ay az
К
by
К
102
(2.15)
8-misol. a = {3;—l;-2},b = {0;-2;4} bo‘lsin. (a + 2b)x(2a - 3ft)
ko‘paytmani toping.
Yechish. Avval m = a + 2b va n = 2 a - 1 b vektorlarning
koordinatalarini topamiz:
m = {1 •3 + 2 •0;1 •(-1) + 2 -(-2);! ■(-2) + 2 •4} = {3;-5;6},
n = {2 ■3 - 3 •0;2 •(-1) - 3 •(—2);2 ■(-2) - 3 ■4} = {6;-8;-l 6}.
Bundan (2.14) formulaga ko‘ra
■5
6
8 -16
mxn =
3 -5
3
6
6 -16
6
-8
£ =1287 + 84/ + 6k.
Vektor ко ‘p aytmaning ayrim tatbiqlari
1. Ikki vektorning kollinearlik sharti
Vektor ko‘paytmanmg 4-xossasiga ko‘ra, a va b vektorlar kollinear
b o isa
axb =0
yoki
a x b = (aybz - ajby)i —(axbs - azbx) j + (axby - a b x)k = 0
boiadi.
Bundan
a.,bz —
= О, ajbz -
= 0, axby - aybx = 0
yoki
a.,
bX
«v
a.
bу
bz
(2.16)
ya’ni kollinear vektorlarning koordinatalari proporsional b o ia d i va
aksincha proporsional koordinatalarga ega vektorlar kollinear b o iad i.
2.
Parallelogram m va uchburchakning yu zlari
V ektorko'paytm aningta’rifig a k o ‘ra \ a x b\ =\ a \ - \ b\ sin<p, ya’ni
Sfar=\ axb\ .
Bundan
(2.17)
103
3. N uqtaga nisbatan kuch momenti
nuqtasi mahkamlangan qattiq jism A nuqtasiga qo‘yilgan F
kuch ta ’sirida <9nuqta atrofida aylanma harakat qilayotgan b o isin ,
masalan, bolt kalit yordamida buralayotgan b o isin (18-shakl).
Fizika kursidan m aium ki, F kuchning О nuqtaga nisbatan
m omenti
deb О nuqtadan o‘tuvchi va quyidagi shartlarni
qanoatlantiruvchi M vektorga aytiladi:
О
1) M i r va M 1 F, bu yerda r = O A - A nuqtaning radius vektori;
2) j M j=| F ]•| F ]sin
bu yerda
A _
(p = ( r , F) ;
3) r , F, M vektorlar o‘ng uchlik
tashkil qiladi.
Shunday qilib,
M = rxF,
ya’ni qo‘zg‘a!mas nuqtaga nisbatan
kuch momenti kuch qo‘yiigan nuqta
radius vektorining kuch vektoriga
vektor k o ‘paytmasiga teng.
Bu jum la vektor ко 'paytmaning
mexanik та ’nosini anglatadi.
4, Aylanm a harakatning chiziqli tezligi
* Yuqorida keltirilgandagi kabi qo‘zg‘almas О nuqta atrofida
burchak tezlik bilan aylnma harakat qilayotgan qattiq jism
M nuqtasining chiziqli tezligi Eyler formulasi bilan topiladi:
v = f f lx ? ,
bu yerda f = OM - M nuqtaning radius vektori.
9-misol. m , n ning qanday qiymatlarida a = {- 2;3; n) va b =
2}
vektorlar kollinear b o iad i?
-2
3 n
Yechish. Ikki vektom ing kollinearlik shartiga ko‘ra, — = — = -- .
m
Bundan m = 4, n = -1.
10-misol. a = 2 j - 3k va b = Al + 3] vektorlarga qurilgan
parallelogramrnning yuzini hisoblang.
104
—6
2
ё
Yechish, Yuzani (2.17) formuia bilan hisoblaymiz:
5 =i a x b 1=
2
+
m
1
о
2 -3
3 0
4
0
2
+
0 2
4 3
= v'92 + I22 + (-8)2 =17 (yb.).
2.2.3, Uchta vektom ing aralash ko‘paytmasi
Aralash ko'paytmaning ta ’rifi va geometrik m a’nosi
3 -ta ’rif. Uchta a ,b v a с vektom in g aralash ko'paytm asi deb a x b
vektoming с vektorga skalyar k o ‘paytmasiga teng songa aytiladi va
abc kabi belgi Sanadi.
Uchta komplanar b o im agan a,b,c
vek-torlar
berilgan
b o isin .
Bu
vektorlarga parallelepiped quramiz va
a x b = d vektom i yasaymiz (19-shakl).
Vektor
ko‘paytmaning
ta’rifiga
ko‘ra,
d L a ," d 1-b “, I\ d\I =S par ’,
bu yerda Spar - parallelepiped asosining
yuzi,
T a’rifga k o ‘ra
d ■с =| d \ ■| с | cosw,
bu yerda <p-c va d vektorlar orasidagi burchak.
19-shaklda a,b,c vektorlar o‘ng uchlik
Ф<
19-shakl.
tashkil
qiladi
va
ya’ni cos (p >0. U holda | с \ cosp - h va d - c = Spar-h = V. Ikkinchi
tomondan d c = {ax.b) c - a b c . Demak, V = abc.
.
_
.
Agar a,b,c vektorlar chap uchlik tashkil qilsa,
7Г
(P> — va cos<p<0
bo‘ladi. U holda \ ~c\cQs<p = - h , V = - a b c .
Shunday qilib. komplanar b o im agan uchta vektor aralash
ko‘paytmasining moduli qirralari bu vektorlarning uzunliklaridan iborat
b o ig an parallelepiped hajmiga teng:
Bu jum la
anglatadi.
V =| abc | .
aralash ко 'paytmaning
105
(2.18)
geom etrik
m a ’nosini
A ralash ко ‘p aytm an in g xossalari
1-xossa. Amallarining o ‘rinlari almashtirilsa aralash ко'pajam a
o ‘zgarmaydi, y a ’ni
(ax b) •с = a ■(b xc).
Isboti. Skalyar ko‘paytmaning o‘rin almashtirish xossasiga k o ia ,
( a x b ) ' с = c -(axb).
(2.18) formulaga ko‘ra,
V = \ ( a x b ) - c |,
Bunda a ,b ,c va
V=\(bxc)-a\.
b, c, a uchliklarning har ikkalasi bir vaqtda yoki o ‘ng
uchlik yoki chap uchlik tashkil qiladi. Shu sababli ( a x b ) - c = ( bxc ) - a.
Bundan
( a x b ) - c = a- ( bxc) .
2-xossa. K o‘paytuvchilarning o ‘rinlari doiraviy almashtirilsa,
aralash k o‘paytma o‘zgarmaydi, ya'ni
abc =bca = cab .
Isboti. 1-xossa va
xossasidan topamiz:
skalyar ko‘paytmaning
o‘rin almashtirish
abc = a - ( b x c ) = ( b x c ) - a = bca,
be a = b ■(c x a) = (c x a) - b = cab.
v
s
3-xossa. Ikkita qo‘shni ko‘paytuvchining o iin lari almashtirilsa,
aralash ko‘paytm a ishorasi qarama-qarshisiga almashadi. Masalan,
abc = —b a c .
Isboti. abc = ( a x b ) - c = —(b x a) ■с = -hoc.
4-xossa. Agar nolga teng bo‘lmagan a ,b,c vektorlar
komplanar bo‘lsa, u holda ularning aralash ko‘paytmasi nolga teng
bo‘ladi.
Shunindek, teskari tasdiq o iin li: agar a b c = 0 (|5 |^ 0 ,|A |^ 0 ,|c|^ 0 )
bo‘lsa, u holda a,b,с vektorlar komplanar b o iad i.
Isboti.
abc = 0 (|5
0,|й |^ 0 ,|с |^0)
komplanar emas deb faraz qilamiz.
106
b o isin .
a,b,c vektorlar
U holda bu vektorlarga hajm i V * 0 b o ig a n parallelopiped qurish
mumkin. V = ± a b c dan
аЪсФ 0 kelib chiqadi. Bu abc = 0 shartga
zid. Demak, qilingan faraz noto‘g ‘ri va a,b,c vektorlar komplanar.
a,b,c vektorlar komplanar b o isin .
U holda d = a x b vektor
perpendikulyar b o iad i.
Bundan d i e . Shu sababli
vek-torlar yotgan
a,b,c
d - c = 0 yoki
tekislikka
abc = 0.
K oordin atalari bilan berilgan
vektorlarning aralash ко ‘p a ytm a si
Uchta a= {ax;ay;az}, b = {bx;bv; b j va
c = {cx;cy;cz} vektor berilgan
boisin.
U holda
axb =
ClУ
Cl2
bУ
bz
a
i-
az
1+
К
b,
a* ay
bX bу
f
«V
abc =
a z
a x
a z
i —
\
.7 +
К
К
К
b>
aУ
az
К
К
cx —
a x
a >-
bx
by
ax «
г
bx b2
!
11 7
\c +
k -(<y + c yj + c,k) =
J
ax
К
a y
ЪУ
yoki
aX
aУ
a2
abc ■ bx
bу
bz
С
С
С
(2.19)
11-m isol a = { - 2;2;l}, b = {3;-2;5}, с = {l;—1;3} vektorlar berilgan.
abc k o ‘paytmani hisoblang.
Yechish. abc ni (2.19) formula bilan topamiz:
-2
abc =
2
3 -2
1 -i
1
5 = 12+ 1 0-3 + 2 .-1 0 -1 8 = -7 .
3
107
Aralash ко ‘p aytmaning ayrim tatbiqlari
1. F azodagi vektorlarning о ‘z aro joylash ish i
a,b,c vektorlarning
V = ±a b c
holda
b o iish ig a
fazoda o‘zaro
asoslanadi.
Bunda
joylashishini
agar
aniqiash
56c >0 b o isa , u
vektorlar o'r.g uchlik tashkil qiladi, agar
56c <0 bo‘lsa, u
holda vektorlar chap uchlik tashkil qiladi.
2. Uchta vektorning kom planarlik sharti
Aralash к о ‘paytmaning 4-xossasiga ko‘ra nolga teng boim agan
a,b,c vektorlar komplanar b o isa , u holda a b c = 0 yoki
aX
aу
az
bX
bу
bz
(2 .20)
3. P arallelepiped va piram idaning hajm lari
Aralash к о ‘paytmaning geometrik m a’nosiga k o ‘ra,
a ,b ,c vektorlarga qurilgan parallelopiped hajmmi Vpa =| dbc | bilan va
1
piramida hajmini Vp,r = - \ a b c \ bilan topish mumkin.
6
Shunday qilib,
a x
Vp a r = mod К
cx
ay
az
hУ
hz
У
a x
,
V
z
ay
az
= —mod bx
bУ
bz
cx
СУ
сz
6
(2 .21 )
Uchlari
A( 2;3;1), B(4;l;-2), C(6; 3;7), Z>(—5:-4;8)
nuqtalarda boigan piramidaning J) uchidan tushirilgan h balandligi
uzunligini toping.
Yechish. A w ai piramida qirralarini ifodalovchi vektorlam i
topamiz:
AB = {2;-2;-3}, AC = {4;0;б}, AD = {- 7;-7;?}.
12-misol.
108
Piramida hajmini hisoblaymiz:
2 - 2 -3
0
6
V = —mod 4
6
- 7 - 7
7
184 + 84 + 84 + 56'=
154
ABC yoq yuzini hisoblaymiz:
1
1 1 -2
—J
0
2y
T
-3
6
2
2
+
2 -3
4
6
+
2 -2
4
0
=^VT-I2)2 +242 + 82 =14.
Piramida uchun
V - - hS.
3
Bundan
154
3V
3
154 lW , 4
h = — = ---- — = — = 11 (и.о.).
S
14
14
,
13-misol. Fazoda A,B,C,D nuqtalar koordinatalari bilan beriigan.
A(7;2;2), B(5;7;7), C(4;6;10), D(2;3;7). Quyidagilarni toping:
1)
vektor proeksiyaiari va yo'naiishm i;
2) AB AC, AB x AC ko‘paytmalarni;
3) ABC uchburchak yuzasini;
4) ABCD piramida hajmini.
Yechish. 1) ab vektor proeksiyasini (1.18) formula bilan topamiz:
AB = {ax;ay\ a j = {5 - 7;7 - 2;7 - 2} = {~2;5;5}.
Ikindan (1.12) formulaga ko‘ra,
\AB\=[a\= ^ 2 y T ¥ 7 ¥ = 3~J6.
AB vektor yo‘naiishini (1.13) formulalar bilan topamiz:
а
л/б
c o s a = ^ - = ----I5 I
9
,
ay
5V6
cos pд ~ —
=:----.
Ia\
18
109
5л/б
cos у = —f- =
51 18
Topilgan yechim lam i M aple paketida bajaramiz:
> with(geom3d):
> рошг(А,7,2,2),рошг;(В,5,?Л), poiBi(C,4,6,Ji), р«яМ(В,2,3,7);
v := (a)ex + ( b)ey + ( c)e7
>
Vect-orNorai(v3,coaj'Hga te-talse);
b2 + с2
> vi := <5-7,7-2,7-2>:
vl := —2erл + 5ev
+ 5e„Л
>
• V eeterN erm fv 1^ .e e n ju g a te —false);
3 ^
йже{<а,1>.е>,Жис!1йел n,cun j sig;
a
■Ja2 +b2+
b
•Ja2 +b2 +
c2
c2
С
<>
+
______________ 1
+ cz
1JE-Hclidea^coaj u.gate™false);
- i v e
1
18
2)
(2.2.8) formuladan AB ■={—2;5;5}, AC = {-3,4,8} larni hisobga
olib, topamiz:
AB ■AC = (-2) •(-3) + 5- 4 + 5- 8 = 66
> vAC := <4~7,6-2,l9-2>;
vAC := —3ex + 4ey + 8e2
> AB,AC:~i>0imdneS( <5-7,7-2,7-2>, <4-7,6-2Д0-2>};
VectorCalculus:-.{AB, AC) :=66
110
ABxAC vektor ko‘paytmani (2.15) formula bilan topamiz:
i
A B x AC =
> A :=
-2
-3
j
к
5 5
4 8
5 5 -2 5
ij
4 8 -3 8
-
- 2 5|T
\k : 20 i +
-3 4[
ш,>
i j
к
I m n
о p
q
I
> DetermI.aasit(A); i m q — i n p 4- I k p — I j q + o j n — о к т
i
j
к
axb - - 2
5 5
-3 4 8
> Pesrerminant(axb);
20 / 4- 7 к + j
3) A B C ucbburchak yuzasini (2.2.17) formula bilan hisoblaymiz:
s = —Ia b x ^a c I= —л/202 + 12 + 72 = 1 ^
21
I 2
2
*:=VectorNerm(NAcoajs*gaieHfalse)s moct'N := 15 л/5
> s:~
i/2;
4 ) A B C D piramida hajmini topamiz;
-2 5 5
32
- 3 4 8 = -1 • 64 = —
6
3
5 15
> witfe(geom3d):
> a be := « " 5 ,”2,-3>|<l,S,4>!<5,5,S»;
- 2 5 5|
abc>=- 3 4 8 1
-5 1 5l
111
j + Ik
> V A BC D :~{A B C (D eterm iuaa^abc})/6};
32
VABCD = —
л .
J
2.2,4. M ash q lar
1. Tomonlari birga teng bo‘Igan teng tomonli ABC uchburchak berilgan.
iB - B C + B C C A + C A A B ifodaning qiymatini toping.
2. Tomonlari BC = 5, CA = 6, AB = 7 ga teng bo‘ Igan ABC uchburchak
berilgan. A B -B C skalyar ko‘paytmani toping.
_*
л
'y j7
3. Agar | a {= 6, | b |= 4, q>= ( a , b) = — bo'lsin. Toping:
1) (2S + b )2;
2) ( 2 a - 3 b ) - ( a - 2 b ) .
4. a = {l;-2;2} va b = {2;4;-5} vektorlar berilgan. Toping:
1) (35-24)-(3 + 6 );
2) (5-Z>)2.
5. Berilgan vektorlar m ning qanday qiymatlarida perpendikular bo‘ladi?
1) 5 = {l;—2w;0}, S = {4;2;3m};
2) 5 = {#г;-5;2}, b ={т—2,т;т+3}.
6.
ё1г e, birlik vektorlar uchun ё,+ ё2 +ё, = 0 bo‘Isa, ёгёг + ё2ё, + e,e. ni
toping.
7. Tomonlari a = 2?+y va b = - ] + 2 k vektorlardan iborat bo‘ igan
parallelogrammning diagonallari orasidagi burchakni toping.
8 . Uchlari Д-1;-2;4), S(-4;-2;0), C(3;-2;l) bo‘lgan ABC uchburchak
berilgan. Z B ni toping.
9,
qiladi?
xOz va yO z burchaklaming bissektrisalari qanday burchak tashkil
10.
Koordinata o ‘q!ari bilan tashkil qilgan burchaklari berilgan fazodagi ikki
yo‘nalish orasidagi burchakni toping:
... , ( к ж я \
, ( n it
it\
, (n it
^1I t’TuJ va H m )
2.11.
toping:
.
(Sk 2я
яЛ
a = {3;-6;-l}, b = {l;4;-5}, c={3;-4;12} vektorlar berilgan. Quyidagilarni
l) P r ,3 ;
2) Pr,(2 a -3 b ).
112
12.
Д 1;2 ;—3) nuqtasi B(5;6;-l) nuqtaga to‘g‘ri chiziq bo‘ylab ko'chirishda
I'1 {2;-l;3} kuchning bajargan ishini toping.
13. a = {3;-l;5}
va
b = {l;2;-3} vektorlar berilgan. Agar x a = 9,
X'b = ~4va x vektor Oz oqigaperpendikularbo‘lsa, x vektomingkoordinatalarini
toping.
14. a = {2;-3;l},
6 = {l;-2;3} va
с = {l;2;-7} vektorlar berilgan. Agar
.Si .a, x l b , 5-5=10 bo‘isa, x vektomi toping.
—
л _£■
1S. Agar j 5 j= 4, jb |= 6, q>= ( a , b) = — bo‘isa, quyidagilarni toping:
6
1)3x6;
2) |(23 -3 6 )x (5 + 46)|.
16.
Tomonlari a va b vektorlar uzunliklaridan iborat bo'lgan
para! letogrammning yuzini toping:
1) a = m + 2n, 6 = 2й + n, bu yerda j m |= 1, | Я|= 1, <p= (jh ,n ) = —;
6
2) a = 3m —2n, 6 = 5й + 4Я, bu yerda jm|=2, | й| =3, ^ = (»з,Я) = у .
17. Agar 15 1=5, 1b |= 10, iib =25 bo‘Isa, j 5 x b jni toping.
18. Agar i a |= 3, Sй !=13, |3x6j=36 bo‘lsa, ab ni toping.
19.
3 = {-l;2;3} va b = { v e k t o r l a r berilgan. Vektor ko‘paytmalarini
toping:
1)3x6;
20. Tomonlari a va
uchburchakning yuzini toping:
1 )3 = {2;-2;!}, 6 = {8;4.1>;
2) (22 + 6 ) x (36--3).
b
vektorlar
uzunliklaridan.
iborat
bo'lgan
2) a = {3;5;-8}, b = {6;3;-2}.
21. Uchburchak uchiari A( 1;2;0), £(3;0;-3), C(5;2;6) berilgan. Uning В
uchidan AC tomonga tushirilgan balandlik uzunligini toping.
22. Л nuqtaga F kuch qo'yilgan. Bu kuchning В nuqtaga nisbatan
momentmi
toping: ) F = {2;-4;5}, Д0;2;1), fi(-l;2;3);
2) J? = {1;2;-1}, Л(-1;4;-2), Я(2;3;-1).
23. F = { 2;2;4} kuch Д4;2;-3) qo‘yilgan. S(0;2;4)nuqtaga nisbatan
kuch inoraentimng qiymatini va y o ‘naltiruvchi kosinuslarini toping.
24. Kollinear boim agan in v а Яvektorlar berilgan. a = a -m + 6 n va
h = Зги—In vektorlar a ning qanday qiymatida kollinear bo‘ladi?
25. « ={-l;3;cc) va 6 ={/?;-6;-3} vektorlar a va p ning qanday qiymatlarida
kollinear bo‘ladi?
113
26.
Ikkita 3 = {2;-3}, Ь = {-1;5} vektorlar berilgan. Quyidagi shartlami
qanoatlantiruvchi x vektoming koordinatalarini toping:
1) J l a va i ' i = 7;
2) 3c||3 va b x = \7 .
27. 5 = {4;-2;-3} va b = {0;1;3} vektorlarga perpendikular, uzunligi 26 ga teng
va Oy o ‘q bilan o ‘tmas burchak tashkil qiluvchi x vektoming
koordinatalarini toping.
28. Berilgan vektorlarning komplanar yoki komplanar emasiigini aniqlang.
1)3 = {3;-2;l}, b = {2;1;2}, с = {3;-l;-2};
2) a = {2;-l;2}, Ъ = {3;-4;7}, с = {1,2 ;- 3}.
29. a ning qanday qiymatlarida a ,b ,c vektorlar komplanar boiadi?
2.) 5 = {a;3;l}, 5 = {5;-l;2}, c = {-l;5;4}.
1) 5 = {l;i;a}, 6 = {0;1;0}, c = {3;0;l};
30. Piramida uchlarining koordinatalari berilgan. Piramidaning hajmini va D
uchidan tushirilgan balandligini toping:
I ) A(l;—2;2), B(-l;l;2), C(-l:-2;8), D(l;l;10);
2)Л(1;Щ £(2:0:2), C(2;2;2), £>(3;4;-3).
31. a, b, с vektorlar berilgan. Bu vektorlar qanday uchlik tashkil etishini
aniqlang va qirralari bu vektorlardan iborat bo'lgan parallelepiped hajmini toping:
1)5 = {1;-2;1} ,6 = {3;2;1} ,c =
;
2)5 = {1;3;3}, b = {-l;2;0},c = {l;2;-3}.
s
114
AMALITIK
GEOMETRIYA
cSiiziq
- Ikkinchi tartibli
chiziqlar
“ Tekislik
* Fazodagi to‘g‘ri
chiziq
• Ikkinchi tartibli
sirtlar
Analitik geometriya - matematikaning
boiim laridan biri b o iib , u geometriya bilan
algebrani
birlashtiradi,
ya’ni
ayrim
geometrik tushunchalarni algebraik tahlil
qilish va ayrim algebraik bogianishlam i
geometrik izohlash imkonini beradi. Bunda
asosiy e’tibor ikkita masalaga, xossalariga
ko‘ra geometrik shaklning tenglamasini
keltirib chiqarishga va tenglamasiga ko‘ra
geometrik shaklning ko‘rinishi va xossalarini
o‘rganishga, qaratiladi.
Fransuz
matematigi
Rene
D ekart
analitik
Rene Dekart
geom etriyaning
asoschisi
hisoblanadi. Dekart tomonidan 1637-yilda
kiritilgan koordinatalar
usuli nuqtaning
o‘mini biror koordinatalar sistemasiga
nisbatan aniqlashga asoslanadi.
СГ596-ШО) fran tsuzfaylasufi,
matematigi, mexmigi,
fizigi vafiziologi.
tim e Dehart zasnt>navh ansstttik
riya va algnbraik
Setrga asmsoigim.
Dekart
iommtkUm
aaalitlk geometrtymiitg
yamtiUshi egri cMziqlor
(mgbimierm
foiror
кзш М т Ы аг a'mSemask
da taklsl d isk im kottm
benli
va
fimksiysi
iusha.nchmi soman hai
(jiluvelti (jHiiam bo4di
3.1. TEKISLIK DAGI
TQ‘G‘RI CHIZIQ
3.1.1. Tekislikdagi chiziq
Umurniy boshlangich О nuqtaga ega
b o ig a n o‘zaro perpendikulyar Ox va Oy
koordinata
o ‘qlari
tekislikda
to ‘g ‘ri
burchakli Oxy koordinatalar sistemasini
hosil qiladi.
115
Oxy koordinatalar sistemasida ikkita x va у sonlari tekislikdagi
har qanday M nuqtaning o‘m ini to ‘liq aniqlaydi. Bunda nuqta M(x;y)
kabi belgilanadi: x ga M nuqtaning absissasi, у ga M nuqtaning
ordinatasi deyiladi.
Oxy tekislikdagi chiziq tenglamasi deb aynan shu chiziq
nuqtalarining x va у koordinatalari orasidagi bog‘lanishni aniqlovchi
ikki nom a’Iumli
F(x,y) = 0
k o‘rinishdagi tenglamaga aytiladi.
Shu kabi, koordinatalari ikki nom a’Iumli F(x, y) = 0 tenglamani
qanoatlantiruvchi Oxy tekislikning barcha M(x;y) nuqtalari to ‘plamiga
tekislikda shu tenglama bilan aniqlanuvchi chiziq deyiladi.
Ayrim hollarda tekislikdagi chiziq у = f ( x ) tenglama bilan beriiadi.
Bunda chiziq y - f (x) funksiyaning grafigi deb ataiadi.
Tekislikdagi chiziq ikkita
x = x(t), y = y(t), t e T
tenglamalar
bilan ham berilishi mumkin. Bunda barcha M(x(t);y(tj), t e T nuqtalar
to ‘plami tekislikdagi chiziqni ifodalaydi. x = x(t), у = y(t) funksiyalarga
bu chiziqning parametrik tenglamalari, i o‘zgaruvchiga parametr
deyiladi.
Tekislikdagi chiziqning
ikkita
x = x(0, y = y(t) parametrik
(skalyar) tenglamalarini
bitta r = r(t) vektor tenglama bilan
berish mumkin. Bunda t parametr (vaqt) o ‘zgarishi bilan r = r(t)
'■'vektoming oxiri biror chiziqni chizadi. Bu chiziqqa nuqtaning
traektoriyasi, r = r(t) tenglamaga harakat tenglamasi deyiladi. Bu jum la
chiziqning vektor va parametrik tenglamalarining mexanik m a ’nosini
bildiradi.
Shunday qilib,
tekislikdagi
har
qanday
chiziqqa
ikki
o‘zgaruvchinmg biror F{x,y) = 0 tenglamasi mos keladi va aksincha,
ikki o'zgamvchining har qanday F(x,y) = 0 tenglamasiga, umuman
olganda, tekislikdakdagi biror chiziq mos keladi. Bunda «umuman
olganda» iborasi aytilganlarda mustasnoga y o ‘l qo‘yilishi mumkinligini
bildiradi. Masalan, (x - 1)2+ ( y - 4 ) 2 = 0 tenglamaga chiziq emas, balki
M( 1;4)
nuqta
mos
keladi;
x2+ j 2+3 = 0 tenglamaga tekislik
nuqtalarining hech bir geometrik o‘m i mos kelmaydi.
116
3.1.2. Tekislikdagi to‘g‘ri chiziq tenglamalari
To‘g‘ri chiziqning tekislikdagi o i'n i turli parametrlar bilan bir
qiymatli aniqlanish! mumkin. M asalan , to ‘g£ri chiziqda yotuvchi nuqta
va to ‘g ‘ri chiziqqa perpendikular vektor bilan, to ‘g ‘ri chiziqning
koordinata o‘qlarida ajratgan kesmalari bilan va hokazo. Bunday
parametrlar to‘g ‘ri chiziqning tenglamalarini. keltirib chiqarish uchun
asos b o iad i. Quyi da berilgan parametrlariga ko‘ra to^gii chiziq
tenglamalarini keltirib chiqarish bilan tanishamiz.
I.
T o'g'ri chiziqda yotuvchi M 0(x0;ya) nuqta va to ‘g ‘ri chiziqqa
perpendikular bo ‘Igan h = {A\B} vektor berilgan.
I to‘g‘ri chiziqda yotuvchi ixtiyoriy M(x;y ) nuqtani olamiz va
M,,M = { х - х 6; у - у 0} vektorni yasaymiz ( 1-shakl).
Bunda n ± M0M b o iad i. Ikki vektom ing
shartiga asosan to‘g ‘ri chiziq
tenglamasini topamiz:
perpendikulyarlik
A ( x - x 0) + B ( y - y 0) = 0.
(1.1)
(1.1)
tenglamaga berilgan nuqtadan о 'tuvchi va berilgan vektorga
perpendikular to ‘g ‘ri chiziq tenglam asi deyiladi.
T o‘g ‘ri chiziqqa perpendikular b o lg an
to ‘g ‘r i chiziqning norm al vektori deyiladi.
Demak, ft -{A;B} vektor (1.1) tenglam a
to‘g‘ri chiziqning normal vektori
boiadi.
M .( 2;3)va
berilgan.
M2
1-misol.
nuqtalar
M 2( - 1;0)
nuqtadan
o‘tuvchi
va
M,MZ
vektorga
perpendikular
to ‘g ‘ri
chiziq
tenglamasini tuzing.
Yechish. A w al M.M2 vektorini
topamiz:
M XM\ = (-1 - 2;0 - 3} = {—3;—3}.
Bundan
A = - 3, B = - 3.
117
har qanday
bilan
vektorga
aniqlanuvchi
Izlanayotgan to ‘g‘ri chiziq tenglamasini (1.1) formula bilan
tuzamiz:
_ 3(x —(-1)) - 3(y - 0) = 0
yoki
x + у +1 = 0.
II.
To'g'ri chiziqda yotuvchi M 0(xa;y0) nuqta va to'g'ri chiziqqa
parallel bo'Igan s = {p;q} vektor berilgan.
I
to‘g‘ri chiziqda yotuvchi M a(x0;y0) va M(x;y) nuqtalardan
M 0M = { x - x 0; y - y 0} vektomi yasaymiz (1 -shakl).
Bunda s va M,,M vektorlar kollinear boiadi. Ikki vektorning
kollinearlik shartidan quyidagini topamiz:
* - * o _ y - Уо
p
(1.2)
я
tenglamaga berilgan nuqtadan
o'tuvchi va berilgan
vektorga parallel to ‘g ‘ri chiziq tenglamasi deyiiadi.
Shunindek, bu tenglama to ‘g ‘ri chiziqning kanonik tenglamasi deb
ataladi.
To‘g‘ri chiziqqa parallel boigan (yoki to‘g‘ri chiziqda yotuvchi)
nolga teng boimagan
har qanday vektorga
to‘g ‘ri chiziqning
yo 'naltiruvchi vektori deyiiadi.
Demak, s={p;q}
vektor (1.2) tenglama bilan aniqlanuvchi
to‘g ‘ri chiziqning yo‘naltiruvchi vektori boiadi.
l-izoh. (1.2) tenglamadan to‘g ‘ri chiziqning keltirilgam II shartni
, 5 qanoatlantiruvchi boshqa tenglamalarini hosil qilish mumkin.
1. (1.2) tenglamada
(1.2)
P
Я
belgilash kiritamiz.
Bundan
x = x„+tp, y = y„ +tq
(1.3)
tenglamaiar kelib chiqadi, bu yerda t - parametr.
(1.3)
tenglamalarga to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari
deyiiadi.
118
2.
M a’lumki, tekislikdagi chiziqning ikkita parametrik (skalyar)
tenglamalarini bitta vektor tenglama bilan berish mumkin, y a ’ni
(1.3) tenglamalami
F = r0 + ts
(1.4)
ko‘rinishda
yozish mumkin, bu
yerda
? = {x\y), r0 = {x0; y j - mos
ravishda
M(x\ y) ,М,(ха;ул)
nuqtalarning
radius
vektorlari;
s = {p ;^}-to ‘g‘ri chiziqning yo‘naltiruvchi vektori (1-shakl).
(1.4) tenglamaga to ‘g ‘ri chiziqning vektor tenglam asi deyiladi.
2-misol. M (- 2;4) nuqtadan о‘tuvchi va s = {l;-3> vektorga parallel
to‘g ‘ri chiziqning kanonik, parametrik va vektor tenglamalarini tuzing.
Yechish.To‘g ‘ri chiziqning kanonik, parametrik va vektor
tenglamalarini (1.2), (1.3) va (1.4) forrnulalar bilan topamiz:
x + 2 _ у - 4_
~T~~ -3 ’
у
x = -2 +1, у = 4 - 3 1,
t e T;
f = r0 +is, r0={-2:4}.
III.
To ‘g ‘ri chiziqda yotuvchi ikkita
M ^x^y,) va M 1(x1;y1) nuqta berilgan.
I
to 'g ‘ri chiziqda yotuvchi ixtiyoriy
M(x;y) nuqtani olib, M lM = { x - x , ; y - y l}
va
О
vektorlarni
M iM2 ={x1- x ];y2 - y . }
yasaymiz (2-shakl). Bunda
MM
2-shakl.
va
M tM, vektorlar kollinear b o iadi.
Ikki vektom ing kollinearlik shartidan topamiz:
x2 - x ,
b oiadi.
(1.5)
tenglamaga
tenglam asi deyiladi.
IV.
у 2 - у,
berilgan ikki nuqtadan о ‘tuvchi to ‘g ‘ri chiziq
To ‘g ‘ri chiziqning Ox va Oy о ‘q laridan ajratgan kesm alari a
va b berilgan.
I
to ‘g‘ri
chiziqda
yotuvchi
olamiz (3-shakl).
119
ixtiyoriy
M(x;y)
nuqtani
АСВМ va ЛОВА o‘xshash. U holda uchburchaklaming
o ‘xshashlik alomatiga k o ‘ra,
CB CM
OB ~ ~OA
O B - P C _OD
OB
~0A
ОС , OP _
OB r OA~
Bundan ОС = x, OB = a, OD = y, OA = b
o ‘m iga qo‘yish bajarib, topamiz:
a
( 1.6)
b
(1.6) tenglamaga to'gri chiziqning
kesm alarga nisbatan tenglam asi
deyiiadi.
3- misol. 4x + 3 v - 12 = 0 tenglama
bilan berilgan to ‘g ‘ri chiziqni chizmada
tasvirlang.
Yechish. Tekislikdagi
t o 'g i i
chiziqni chizish uchun uning ikkita
nuqtasini bilish yetarli bo‘ladi.
To‘g ‘ri chiziq tenglamasida, masalan x = 0 deb, у = 4 ni, ya’ni
A(Q;4) nuqtani va shu kabi
nuqtani topamiz. Bu nuqtalarni
tutashtirib, berilgan tenglamaga mos to ‘g ‘ri chiziqni chizamiz (4-shakl).
Bu
masalani boshqacha, y a’ni to‘g‘ri chiziq tenglamasini
’.kesmalarga nisbatan tenglamaga keltirib yechish mumkin. В uning uchun
ienglamaning ozod hadi (-12) ni o‘ng
tomonga o ‘tkazamiz va hosil b o ig a n
tenglikning har ikkala tomonini 12 ga
boiam iz:
4x 3у ,
4x + 3у —1 2 , ---- 1---- —1
12
12
yoki
3
-=
4
1.
Bu tenglama bilan aniqlanuvchi
to ‘g ‘ri
chiziq
Ox
o'qidan
koordinatalar boshiga nisbatan o‘ng
120
tomonga 3 ga teng kesma, Oy o ‘qidan esa koordinatalar boshiga
nisbatan yuqoriga 4 ga teng kesma ajratadi (4-shakl).
V,
To ‘g ‘ri chiziqning og ‘ish burchagi <p va Oy о ‘qidan ajratgan
kesmasi b berilgan.
Ox o ‘qning musbat yoiialishidan berilgan to ‘g ‘ri chiziqqa soat
strelkasiga teskari
yo‘nalishda hisoblangan
burchakka
to 'g 'ri
chiziqning o g ‘ish burchagi deyiiadi.
O g‘ish burchagi ning tangensi, y a ’ni к = tg<p son to ‘g ‘ri chiziqning
burchak koeffitsiyenti deb ataladi.
I
to ‘g‘ri chiziqda yotuvchi
ixtiyoriy M(x;y) nuqtani olamiz
va burchak tangensi
ta ’rifidan
foydalanamiz (5-shakl):
y-b
= tg(p
yoki
y = tg(px + b .
Bundan
у = kx + b .
(1.7)
Bu
to ‘g ‘ri
chiziqning burchak koeffitsiyentli
tenglamaga
tenglam asi deyiiadi.
2~izoh.
(1.7) tenglamadan to ‘g ‘ri chiziqning к burchak
koeffitsiyentga ega bo‘lgan yana bir tenglamasini keltirib chiqaramiz.
Bu to ‘g ‘ri chiziq M f x ^ y J nuqtadan o‘tsm. U holda bu nuqtaning
koordinatalari (1.7) tenglamani qanoatlantiradi: y\ = kx.+b.
Bundan b = - fa,.
U holda (1.7) tenglamadan topamiz:
у = he - kxj + y\
yoki
У~У\ = k ( x - x l).
(1.8)
nuqtadan
о ‘tuvchi
(1.8)
tenglamaga
berilgan
berilgan y o ‘nalish bo ‘y ich a
to ‘g ‘ri
chiziq
tenglam asi
deyiiadi.
121
Suningdek, bu tenglama
ataiadi.
to ‘g ‘ri chiziqlar dastasi tenglam asi deb
VI.
To ‘g ‘ri chiziq n = OP normalining y o ‘nalishi a va uzunligi p
berilgan.
I to ‘g ‘ri chiziqda yotuvchi ixtiyoriy M(x;y ) nuqtani olamiz.
6-shaklga asosan:
Pr7 OP = Prf ON + Pr7 ~NM + Pr7 M P ,
bu yerda Prf OP = p, Prf ON = xcosa, ¥rf NM = js in a , Pr7 MP = 0.
Bundan,
p = xcosa + y s in a
yoki
xcosa + y s in a - p = 0.
(1 -9 )
(1.9)
tenglamaga to ‘g ‘ri chiziqning norm al tenglam asi deyiladi.
Keltirib chiqarilgan (1.1)-(1.9) tenglamalar asosida ushbu xulosa
kelib chaqadi:
Demak, tekislikdagi har bir I to ‘g‘ri chiziq tenglamasini
Ax + By + C = 0
(1.10)
ko‘rinishda yozish mumkin, bu yerda C -o z o d h a d ; А1 + В г
(1.10) tenglamada A va В sonlar to‘g ‘ri chiziq norm al vektorinmg
koordinatalari bolishini (1.1) tenglama yordamida ko'rsatish mumkin:
A ( x - x a) + B ( y - y0) = 0,
Ax + By - (Ax0 + By0) = 0,
Ax + By + С = О, С = ~{Ах0 + By0).
Demak, H = {A;B}.
(1.10) tenglamaga to ‘g ‘ri chiziqning umumiy tenglam asi deyiladi.
122
(1.10) tenglamada:
1) A = 0 bo‘Isa, tenglama By + C = 0 ko‘rinishga keiadi. Bunda
to‘g ‘ri chiziqning normal vektori Ox o ‘qqa perpendikular b o iad i. Shu
sababli to ‘g ‘ri chiziq Ox o ‘qqa parallel, Oy o ‘qqa perpendikular
bo iad i. Shu kabi B = 0 da kelib chiqadigan Ax + C = 0 to ‘g ‘ri chiziq Oy
o‘qqa parallel, Ox o ‘qqa perpendikular b o iad i;
2) C = 0 b o isa , tenglama Ax + By = 0 ko‘rinishni oladi. Bu
tenglamani 0 ( 0;0) nuqtaning koordinatalari qanoatlantiradi. Demak,
to‘g‘ri chiziq koordinatalar boshidan o iad i;
3) ^ = 0 va C = 0 b o isa , tenglamadan у = 0 kelib chiqadi. Bu to ‘g ‘ri
chiziq Ox o ‘qda yotadi. Shu kabi B = 0 va С = 0 da hosil boiadigan
x = 0 to ‘g ‘ri chiziq Oy o‘qda yotadi.
4m iso l a ning qanday qiymatlarida (a 2 + 4 a)x + ( a - 5)y - 2a + 4 = 0
to ‘g‘ri chiziq: I) Од- o‘qqa parallel b o iad i; 2 ) Ox o‘qqa perpendikular
bo iad i; 3) koordinatalar boshidan o ‘tadi.
Yechish. M isolning shartiga ko‘ra:
A = a 2+4a,
B = a-5,
С = - 2 a + 4.
U holda:
1) a 2 + 4a = 0
yoki
a = -4 , a = 0
da A = 0 b o ‘ladi. Shu sababli
berilgan to‘g‘ri chiziq Ox o‘qqa parallel b o iad i.
2) a - 5 = 0 yoki a - 5 da 5 = 0 va berilgan to ‘g ‘ri chiziq Ox o‘qqa
perpendikular b o iad i.
3) —2a + 4 = 0 yoki a = 2 da C = 0 b o ia d i. Demak, « = 2 da to ‘g ‘ri
chiziq koordinatalar boshidan o ‘tadi.
To‘g ‘ri chiziqning ( l.l)-(l.lO ) tenglamalaridan har birini
boshqalaridan keltirib chiqarish mumkin.
Misol tariqasida (1.10) tenglamadan (1.9) tenglamani keltirib
chiqaramiz. Buning uchun (1.10) tenglikning chap va o iig tomonini
normallovchi
к о ‘p aytu vch i
deb
ataluvchi
M = ± —==
л/A + В
ko6paytiramiz.
Hosil b o ig a n - ^ j= r = r = ° tenglamada
,
А
cos a - ± —I■. л"?
В
— , sm a = ± —l= Л = , p = ± \iA 2+B2’
V Z 2 + 5 2?
J
С
n 7
belgilashlar kiritsak, (1.9) tenglam a kelib chiqadi.
123
a
2+B2
songa
Bunda M ko‘paytuvchining ishorasi С koeffitsiyentning
ishorasiga qarama-qarshi qilib tanlanadi.
5-misol. To‘g ‘ri chiziqning 5x-12>> + 8 = 0 tenglamasini normal
koiinishga keltiring.
Yechish.
Tenglamaning chap va o‘ng tomonini M = л/52+ (~12)2
13
(chunki С > 0) soniga ko‘paytiramiz.
Bundan
5x 12у 8
-----+ —------ - = 0
13
13
13
yoki
xcosa + ysina - p = 0,
,
5
.
.
12
8
13
13
bu yerda cosa = ---- , sm« = —, » = — .
13
3.1.3. Tekislikda ikki to‘g4ri chiziqning
o ‘zaro joylashishi
Ikki t o ‘g ‘ri chiziq orasidagi burchak
Tekislikdagi ikki /, va l2 to‘g‘ri chiziqlar orasidagi burchak
(p bo‘lsin.
ч'Bu burchak to‘g‘ri chiziq tenglamalarining berilishiga ko‘ra, turli
%formulalar bilan aniqlanish! mumkin.
I. To‘g‘ri chiziqlar umumiy tenglamalari
AjX + Bxy + Cj = 0 va A2x + B2y + C2= 0
bilan berilgan bo‘lsin.
Bunda to‘g‘ri chiziqlaming Я, ={Д;£]}3 n2 = {Л2;#2}normal
vektorlar! orasidagi burchak to‘g‘ri chiziqlar orasidagi burchakka
А
Л
teng, ya’ni <p= (lx,1гу=(п^,п2) b o iad i (7-shakl).
Tkki vektor orasidagi burchak kosinusi formulasidan topamiz:
II. To‘g ‘ri chiziqlar kanonik tenglamalari
y - y , _ x - x 0 -------y-y0
------- —---------Yd.----------—
P\
q,
Pi
Яг
bilan berilgan boisin.
Bunda
= lp,;g,}5 s1={p,;q2} boiadi.
A
A
U holda (p = (?,, 1гу= (?„52) (7-shakl) ekanini hisobga olib, topamiz:
COS 6/7 -
— —
I
*1
i ■I ^
-
21
f ------------s i
(1.12)
r
p* + q ^ p l + ql
III. To‘g ;ri chiziqlar burchak koeffitsiyentli
y = klx + bl va у = £2x + b2
tenglamalari bilan berilgan boisin.
7-shakIga ko‘ra, cp= (p1-<pl.
Bundan
tg<P = tg(<p2 - <р,), tg<p
1+ tg<p2tg<p1
yoki
(1.13)
tgcp:
kelib chiqadi.
Agar bunda to ‘g‘ri chiziqlardan qaysi biri birinchi va qaysi biri
ikkinchi ekani ko‘rsatilmasdan ular orasidagi o‘tkir burchakni topish
talab qilinsa, u holda (1.13) formulaning o‘ng tomoni modulga olinadi,
ya’ni
К -к ,
tgcp =
(1.14)
1 + k xk 2
Shunday qilib, to‘g‘ri
chiziqlar
tenglamalarinmg ko‘rinishiga
qarab,
ular orasidagi burchak (1.11) - (1.14)
formulalardan biri bilan topiladi.
6-misol. j= - 4 x + l va 5 x - 3 y - 1 = 0
to‘g‘ri chiziqlar orasidagi burchakni
toping.
Yechish. Birinchi tenglamaga ko£ra,
125
7-shakl.
кх= -4. Ikkinchi tenglamadan topamiz:
tg<P= —-------- - = -l.
1+ (-4) •—
3
Demak, m= — .
Y 4
Ikki to ‘g ‘ri chiziqning perpendikularlik sharti
Tekislikdagi ikki to‘g ‘ri chiziqning perpendikularlik shartlarini
ikki tc ‘g ‘ri chiziq orasidagi burchakni topish formulalaridan keltirib
chiqaramiz.
/, l l 2 bo‘lsin. U holda cos да = 0 va (1.11) tenglikdan topamiz:
(1.15)
Shu kabi (1.12) tenglikdan
Pi Pi + ЧЯг = 0
(1.16)
kelib chiqadi.
(1.13) tenglikdan
U holda /, 1 /2da ctg<p = 0 yoki
1+ k,k, = 0
(1.17)
boiadi.
Demak, to ‘g ‘ri
chiziqlar
tenglamalarining
ko'rinishiga
qarab, ularning
peфendikular b o iis h i (1.15)-(1.17) shartlardan biri bilan aniqlanadi.
Ikki to ‘g ‘ri chiziqning parallellik sharti
I.
normal
/, va l2 to‘g ‘ri chiziqlar parallel bo’lsin. U holda ularning
vektorlari n, ={A,;B,}va n2={A2;B2} kollinear boiadi. Ikki
126
vektoming kollinearlik shartidan ikki
shartini topamiz:
to ‘g ‘ri
chiziqning
parallellik
AA = jR£l
A2 B2
(1.18)
II. Agar /, va I, to ‘g ‘ri chiziqlar parallel bo‘lsa, u holda ularning
yo‘naltiruvchi vektorlar! st ={p1;qI}v a s2= {p2;q2} kollinear b o ‘ladi.
Bundan
A -JL .
Pi
(1.19)
4i
III. /, || l2 bo ig an id a ular orasidagi burchak uchun tgcp = 0 b o iad i.
U holda (1.14) tenglikdan topamiz:
kx = k 2 .
( 1 .2 0 )
Shunday
qilib, (1.18)-( 1.20)
shartlardan
biri
to ‘g ‘ri
chiziqlar tenglamalarining berilishiga k o ‘ra, ularning parallel b o lish in i
aniqlaydi.
7-misol. Ma(2;l) nuqtadan o‘tuvchi va 2x + 3y + 4 = 0 to‘g ‘ri
chiziqqa perpendikular to ‘g ‘ri chiziq tenglamasini tuzing.
Yechish. T o‘g‘ri chiziq tenglamasini Ax + By + C = 0 ko‘rinishda
izlaymiz.
To‘g‘ri chiziq MJ2;l) nuqtadan o ‘tgani sababli 2A +B +C= Q
va 2x + 3jy + 4 = 0 to ‘g‘ri chiziqqa perpendikular b o ig a n i uchun
2A + 3B = 0 b o iad i.
3
Bu tenglamalami birgalikda yechib topamiz: A = — С, В = -С .
4
2
Ava В koeffitsiyentlami izlanayotgan tenglamaga qo‘vamiz:
- - C x + -C y + C = 0.
4
2
Bundan
(~3x +2y + 4)C = 0 yoki
3x - 2y - 4 = 0.
Ikki to ‘g ‘ri chiziqning kesishishi
T o‘g‘ri chiziqlar umumiy tenglamalari
Ax + Bty + C,= 0 va A2x + B 2y + C2=Q
bilan berilgan b o lsin va Ma{x0-,y0) nuqtada kesishsin (7-shakl).
127
U holda М0(х0;уд) nuqtaning koordinatalari har ikkala tenglamani
qanoatlantiradi. Shu
sababli
ikki to‘g‘ri chiziqning kesishish
nuqtasi koordinatalari
р А +ВЛ +С, = 0,
[ДЛ , + B2yl).+ C1=0
sistemadan topiladi.
Bunda
M0(x„;y0) kesishish nuqtasi orqali
chiziqlar dastasi
A,x + B,y + С, + A(A* + B2y + C2) = 0
o'tuvchi
to‘g ‘ri
(1.22)
tenglama bilan aniqlanadi, bu yerda A-sonli ko‘paytuvchi.
2x - y - 2 = 0 a to ‘g‘ri chiziq bo‘ylab yo‘nalt.irilgan
yorugiik nuri x - 2y + 2 = 0 to‘g‘ri chiziqda sinadi va qaytadi, Qaytuvchi
8-misol.
nur yo‘nalgan to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzing.
Yechish. Y orugiik nurining qaytish nuqtasi 2 x - y ~ 2 = 0 va
x - 2 y + 2 = 0 to‘g i i chiziqlarning kesishish nuqtasi boiadi.
Bu nuqta M(x;y) boisin. Uni quyidagi sistemadan topamiz:
j 2x~ y - 2 = 0,
[ x - 2 y + 2--0.
Bundan M (2;2).
Y orugiik nuri sinadigan va yo‘naltirilgan to‘g‘ri chiziqlar
orasidagi burchak tangensini topamiz.
Berilgan
to‘g‘ri
chiziqlarning
burchak
koeffitsiyentlari
I
k, =--, к =2 boiadi.
1
2
2
Bundan
L-2
,
1+ —•2
4
2
Bu son yorugiik nuri qaytuvchi va sinuvchi to ‘g‘ri chiziqlar
orasidagi burchak tangensiga teng boiadi.
U holda
hi I yerda
к -
nurqaytuvchi to :g‘ri chiziqning burchak koeffitsiyenti.
Bundan
k =— .
2
11
2
Demak, izlanayotgan to‘g‘ri chiziq uchun: M ( 2;2), k = — .
11
Hu parametrlar bilan aniqlanuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzaniz:
2
v - 2 = ---- (x - 2)
11
yoki
2x + 31y —18 = 0.
Ikki ie ‘g ‘ri chiziqning ustma-ust tmhishi
/, va l2 to‘g‘ri chiziqlar umumiy tenglamalari
Atx
By + (.’ = 0,
+ B2y + C2 = 0
bilan berilgan bc‘lsin va ustma-ust tush sin.
Bunda:
A
В
- birinchidan /, ill bo‘ladi va
— ■■==A tengliklardan Д - AAL = 0,
4
вг
В, - ХВг = 0 kelib chiqadi;
- ikkinchidan lt to‘g ‘ri chiziqning har bir nuqtasi, jumladan,
nuqtasi, l2 to‘g ‘ri chiziqda ham yotadi, ya’ni
Atx„ + B j Q+ C, = 0, A1x0 +
+ C2= 0
bo‘ladi.
Bu tengliklaming ikkinchisini X ga ko‘paytiramiz va birinchidan
ayiramiz:
(A, - M ) x 0 + (II - AB2) + (C, - AC2) = 0.
Bundan C, = ajC2 kelib chiqadi.
Demak, to ‘g‘ri chiziqlaming ustma-ust tushush sharti
А = А = 5_.
A2 B2 C2
tenglikiar biian ifodalanadi.
129
(1.23)
3.1,4. Nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha boigan masofa
Nuqtadan to‘g‘ri chiziqqa tushirilgan perpendikulaming uzunligiga
nuqtadan to ‘g ‘ri chiziqqacha bo ‘Igan masofa deyiiadi.
M„(x0;y0) nuqta va Ax + By + C = 0 tenglama bilan I to ‘g'ri chiziq
berilgan bo‘lsin. M 0 nuqtadan. I to‘g‘ri
perpendikulaming asosini
bilan belgilaymiz (8-shakl).
U holda M lM 0 = {x0 - x };y0- y l} va
М,(х,;у,) nuqta
i to ‘g‘ri chiziqda
yotgani sababli Ax. + P,y\ + С = 0, ya’ni
С = -A x x - Byx boiadi.
n = {A;B} vektorning I to‘g‘ri
chiziqqa
perpendikular
boiishi
m aium . Shu sababli
M 0 nuqtadan
I to‘g‘ri chiziqqacha b oigan masofani
vektorning o‘qdagi proeksiyasining
xossalaridan foydalanib topamiz:
chiziqqa tushiurilgan
8-shakl.
M {M 0 ■n\
-yJB I.
d = |Pr, M,M„\ =
4лг + в г
| Ax0 + By0 - Ax{ - By, j
IA , +
+с j
4Ж+ в2
J a 2+ b 2
Shunday qilib, nuqtadan to ‘g ‘ri chiziqqacha bo ‘Igan masofa
j _ JAx0 + By0 + С |
(1.24)
л/А2 + В г
formula bilan topiladi.
9-misol. 3x + 4 y - 4 = 0 va 6x + 8y + 5 = 0 parallel to ‘g ‘ri chiziqlar
orasidagi masofani toping.
Yechish. 3x + 4 y - 4 = 0 to ‘g‘ri chiziqda ixtiyoriy, masalan M ( 0;i)
nuqtani olamiz. U holda berilgan parallel to‘g‘ri chiziqlar orasidagi
d masofa M(0;i) nuqtadan 6х + 8у + 5 = 0 to‘g ‘ri chiziqqacha bo'-Igan
masofaga teng boiadi. LTni (1.24) formula bilan hisoblaymiz:
16 • 0 + 8 • I + 51
13,
VfF+S2
10
d = '- ---- r
— - = — ( ub ) .
130
3.1.5. Mashqlar
1. To‘g‘ri chiziqlarning burchak koeffitsiyentini va koordinata o ‘qlarida
ajratgan kesmalarini toping:
l)3*+4y-12 = 0;
2)x = 3 y -2 ;
4) f +f =I ‘
=
2. To‘g‘ri chiziqning tenglamasini tuzing: 1) M,(2;-3) nuqtadan o‘tuvchi va
и {3;4} normal vektorga ega bo‘ igan; 2) vW2(—2;—3) nuqtadan o'tuvchi va
,v={-t;3} yo'naiiiruvchi vektorlarga ega bo‘igan; 3) M3(-2;3) nuqtadan o ‘tuvchi
Ox o‘qqa perpendikular boigan; 4) M4(3;2) nuqtadan о‘tuvchi Oy o‘qda b ~ 5 ga
teng kesma ajratuvchi.
3. Tenglamalardan
i fodaiaydi?
l)v + 2 = 0;
qaysi lari
2)x-2,5 = 0;
to‘g‘ri
chiziqning normal tenglamasini
3) —x ——y - 3 = 0;
' 5 5
4) — x + —j>+ 2 = 0.
13 13
4. To‘g‘ri chiziqlarning kesishish nuqtalarini va ular orasidagi burchakni
toping:
1) 5*--y-3 = 0 ,
2 x - 3 y + 4 = d;
2) У = ^ х ~ 2 ’
3 ) i i l = Z T i,
3
1
*-3j>+9 = 0;
4 ) £ = i = Z t3 ,
У 1
-ь3_у—5 = 0;
5 - 2
3
5. и va n ning qanday qiymatlarida m x + 9 y + n = 0 va 4 x + m y - 2 = Q to‘g‘ri
chiziqlar: 1) parallel bo‘ladi; 2) ustma-ust tus hadi; 3) perpendikular boiadi?
6 . m ning qanday qiymatlarida to ‘g‘ri chiziqlar: 1) parallel boiadi;
2) perpendikular boiadi?
1) x - m y + 5 = 0,
2x +3 y + 3 - 0 ;
2) 2 x - 3 y + 4 = 0,
nvc-6y + 7 - 0 .
7. x + y - 7 = 0 to‘g‘ri chiziqda koordinatalari 2jc-^+4 = 0 tenglik bilan
boglangan nuqtani toping.
8 ., Д4;2) nuqtadan o‘tuvchi va koordinata o ‘qlari bilan yuzi 2 kvadrat
birlikka teng uchburchak ajratuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzing.
9.
Л(-3;2),В(5;-2),С(0;4) bo‘lsa, ABC uchburchakda BD balandlik
tenglamasini tuzing.
1 0 . Л(-2;0):й(5;3),С(!;-1) bo lsa, ABC uchburchakda AD mediana
tenglamasini tuzing.
11. 2x-.y+3 = 0 va x + y - 2 = 0 to‘g‘ri chiziqlarning kesishish nuqtasidan
o‘tuvchi va 3 x - 4 y - 7 = 0 to‘g‘ri chiziqqa perpendikular to‘g‘ri chiziq tenglamasini
tuzing.
131
12. To‘g‘ri burchakii teng yonli uchburchak gipotenuzasi orqali o‘tgan to ‘g‘ri
chiziq tenglamasi 3*+ 2>-6 = 0 dan va uchlaridan biri A ( - l:-2) nuqtadan iborat.
Uchburchakning katetlari tenglamalarini tuzing.
13. Parallelogramrnning ikki uchi A( 1;1) va B(2;-2) nuqtalarda yotadi va
diagonallari (-1:0) nuqtada kesishadi. Parallelogramrnning tomonlari
tenglamalarini tuzing.
14. Agar A(5;3), £(1;1), C(3;5), D(6.;6) to ‘rtburchakning uchlari b o isa , uning
diagonallari kesishish nuqtasini va diagonallari orasidagi burchakni toping.
15. Uchburchakning uchlari berilgan: Л(8;3),£(2;.5),С(5;-1). Uchburchak
medianalarming kesishish nuqtasidan о‘tuvchi va x + y -2 = 0 to ‘g‘ri chiziqqa
perpendikular to ‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzing.
16. Burchak tomonlaridan b inning tenglamasi 4jc~3^+9 = 0dan va
bissektrisasining tenglamasi x - 7 y + 2 l = 0 dan iborat. Burchak ikkinchi tomonining
tenglamasini tuzing.
17. Uchburchakning ikki uchi ^(5;l),S(l;3)va medianalari kesishish nuqtasi
M(3;4) berilgan. Uchburchak tomonlarining tenglamalarini tuzing.
18. Uchburchakning ikki uchi Д2;-2),В(-6:2) va balandliklari kesishish
nuqtasi M (1;2) berilgan. Uchburchakning С uchidan tushirilgan balandlik
tenglamasini tuzing.
19. Uchburchak tomonlarining o ‘rtalari berilgan: M,(l;-3),M2(2;-2),M3(-3;4).
Uchburchak tomonlarining tenglamalarini tuzing.
20 . Parallelogramrnning ikki tomoni 2 x + y - 2 = 0, x - y + l l =Q to‘g‘ri
chiziqlarda yotadi va diagonallari M(-3,5;3,5) nuqtada kesishadi. Parallelogramm
. qolgan tomonlari yotgan to‘g‘ri chiziqlarning tenglamalarini tuzing.
%
21. л -2 у + 5 = 0 to ‘g ‘ri chiziq bo‘ylab yo‘naigan yorugiik nuri 3 x ~ 2 y + 1 =0
to‘g‘ri chiziqda sinadi va qaytadi. Qaytuvchi n u ry o ‘nalgan to‘g ‘ri chiziq
tenglamasini tuzing.
22.
Uchlari A(2;3\B(-\;4),C(5;5) nuqtalarda bo‘Igan uchburchak og‘irlik
markazidan o‘tuvchi va AC tomonga parallel to ‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzing.
23. Bir uchi Д3;4) nuqtada bo‘Igan va bir tomoni 2л+5у+3 = 0 to ‘g‘ri
tenglama bilan berilgan to ‘g ‘ri chiziqda yotgan kvadratning yuzini toping.
24. 4x-3y+8 = 0 va 8 jc-6j'-7 = 0to‘g‘ri chiziqlar orasidagi masofani toping.
25. Kvadratning ikki tomoni 5 x + \ 2 y - 6 \ =Q va 5 x + \ 2 y +\1 = 0 tenglamalar
bilan berilgan to ‘g‘ri chiziqlarda yotadi. Kvadrat diagonalining uzunligini
toping.
132
26. А(2;4) nuqtadan o'tuvchi va koordinatalar boshidan 2 birlik
rnasofada yotuvchi to ‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzing.
27. A(- -2;3) nuqtadan o ‘tuvchi va S(5;-1),C(3;7) nuqtalardan teng
nzoqlikda yotuvchi to ‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzing.
28. M(-8;12) nuqtaning ^(-5;l)va
S(2;-3)nuqtalardan o'tuvchi to‘g‘ri
chiziqdagi proeksiyasini toping.
3.2. IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLAR
Oxy koordinatalar sistemasida x, у о‘zgaruvchilaming ikkinchi
darajali tenglamasi bilan aniqlanuvchi chiziq tekislikdagi ikkinchi
tartibli chiziq deyiiadi.
Har qanday ikkinchi tartibli chiziqni
doiraviy konusning tekislik biian kesishish
chizig‘i sifatida hosil qilish mumkin. Shu sababli
ikkinchi tartibli chiziqlar konus kesimlar deb
ham ataladi. Berilgan I to'g'ri chiziqni uni
A nuqtaga kesuvchi boshqa bir fiksirlangan
L to‘g‘ri chiziq atrofida o‘zgarmas в burchak
ostida aylantirish natijasida hosi! qilingan sirt
doiraviy bonus deyiiadi (9-shakI).
Bunda I to‘g‘ri chiziqqa konusning
yasovchisi, L to ‘g‘ri chiziqqa konusning о ‘qi, A
9-shakl.
nuqtaga konusning uchi, konusning A nuqta
bilan ajratilgan qismiariga konusningpallalari deyiiadi.
Agar konus tekislik bilan kesilganida (10-shakl):
- tekislik konusning A uchidan o‘tmasa va konus o‘qiga
perpendikular bo'lsa, kesimda aylana hosil bo‘ladi;
- tekislik konus o‘qiga perpendikular boim ay, konusning faqat
bitta pallasini kessa va uning yasovchilaridan birortasiga parallel
boim asa, kesimda ellips hosil boiadi;
- tekislik konus yasovchilaridan biriga parallel ravishda uning
pallalaridan birini kessa, kesimda parabola hosil boiadi;
-- tekislik konusning ikkala pallasini kessa, kesimda giperbola hosi!
bo‘ladi;
- tekislik konusning A uchidan o‘tsa, kesimda nuqta, to'g'ri chiziq.
to ‘g ‘ri chiziqlar jufti hosil bo5ladi.
133
Ayiana
Ellips
Parabola
Giperbola
■
m
\
Nuqta
To‘g‘ri chiziq
I
To‘g‘ri chiziqlar
jufti
10-shakl.
Ikkinchi tartibli chiziqlar fan va texnikaning ko‘p sohalarida keng
qoilaniladi.
Bunga misollar keltiramiz.
1.M a’lumki, avtomobil g‘ildiraklari ayiana shaklida vasaladi.
2. Quyosh sistemasining planetalari quyosh joylashgan umurniy
11fokusga ega ellipslar bo‘yicha harakat qiladi.
3. Agar parabola fokusiga yorugiik manbayi joylashtirilsa, nurlar
uning o ‘qiga parallel ravishda qaytadi. Projektorning tuzilishi bu
xossaga asoslangan.
4. Mexanikada isbot qilinganidek, yer yuzidan gorizontga qarab
burchak ostida v0 = 11,2 km!с (ikkinchi kosmik tezlik) boshlangich tezlik
bilan chiqarilgan raketa parabola bo‘ylab yer yuzidan cheksiz
uzoqlashsa, v„ > 11,2 kmIс boshlangich tezlik bilan chiqarilgan raketa
giperbola bo‘ylab yer yuzidan cheksiz uzoqlashadi, v0 <11,2 кт/с
boshlangich tezlik bilan chiqarilgan raketa esa yerga qaytib tushadi
yoki yeming sun’iy yoidoshi b o iib qoladi.
134
3.2.1. Aylana
H-ta’rif. Tekislikda markaz deb ataluvchi berilgan nuqtadan teng
uzoqlikda
yotuvchi
nuqtalarning
geometrik o‘rniga aylana deyiladi.
у
Tekislikda M0(xa;y0) nuqtadan R
masofada
yotuvchi
nuqtalami
qaraymiz. Bu nuqtalardan biri M(x;y )
nuqta boTsin (11 -shakl).
Aylana ta ’rifiga ko‘ra, \MCM\=R.
Bu tenglikka ikki nuqta orasidagi
masofa formulasini qo‘llaymiz:
л] ( х - х 0У + ( y - y 0)2 =R.
11-shakl.
Bundan
(2.1)
( х - х 0У + ( у - у аУ =R2.
(2.3)
tenglamaga aylananing kanonik tenglamasi deyiladi. Bunda
M0(x0;y0) nuqta aylana markazi, R masofa aylana radiusi deb ataiadi.
x0 = 0, y0 = 0 da (2.1) tenglamadan topamiz:
(2.2)
x2+ y 2=R2.
(2.2)
tenglama markazi koordintaiar boshidan o‘tuvchi va radiusi
R ga teng aylanani aniqlaydi.
1-misol.
Koordinatalari
x = Rcost, y = Rsint
tenglamalar
bilan
aniqlanuvchi M(x\y) nuqta aylana nuqtasi boTishini ko‘rsating.
Yechish. M(x\y) nuqta koordinatalarining har ikkala tomonini
kvadratga ko‘taramiz va hadlab qo‘shamiz:
x~ + y 2 = R2cos21+ R2sm21- R2(sin11+ cos21) - R2
yoki
x2 + y 2 = R1.
Demak, koordinatalari x = Rcost, y = Rsmt, t e R tenglamalar biian
aniqlanuvchi M(x;y) nuqta markazi koordintaiar boshida yotuvchi
va radiusi R ga teng aylanada yotadi.
135
Aylanani aniqiovchi ushbu
(x= Rcost,
| j = /?sin/, ( е [0;2л ]
(2.3)
tenglamaiar sistemasiga aylananingparametrik tenglamalari deyiiadi.
3.2.2. EUips
2-ta’rif. Tekislikda fokuslar deb ataluvchi berilgan ikki nuqtagacha
bo'Igan masofalaming yig‘indisi o‘zgannas kattaiikka teng bo‘lgan
nuqtaiarning geometrik o‘miga ellips deyiiadi.
Fl va P2 ellipsning fokuslari, M ellipsning ixtiyoriy nuqtasi bo‘lsin.
EF, = 2c, FlM = rl, F2M = r2 belgilashlar kiritamiz.
Ellipsning ta’rifiga ko‘ra, FXM + F2M = 2a, ya’ni
rt + r2 = 2a,
(2.4)
bu yerda a - o‘zgarmas son bo‘lib, a>c.
Oxy koordinatalar sistemasini Ox o‘q fokuslardan, Oy o‘q F,F2
kesmaning o‘rtasidan o'tadigan qilib tanlaymiz (12-shakl).
U holda F2(—c;0) va /;(c;0)bo4adi.
M nuqtaning koordinatalari x va у boisin deylik, ya’ni M (x;y).
Ikki nuqta orasidagi masofa formulasiga ko‘ra
r, = л!(х - c f + y 2 , r2 = V (x + c)2 + y 2 .
rt va r2 ning bu ifodalarini (2.4) tenglikka qo‘yib, almasbtirishlar
bajaramiz:
4(х —c)2 + y 1 + f ( x + с)2 + у г = 2a,
(x - c)2 + y 1 = (2a - -fix + c )2 + у 1 У,
x 2 - 2xc + c2 -r y 2 = Aa2 - 4 a^[(x + с) 2 + y 2 + x 2 + 2xc + c1 + y 2,
a^l(x 4- c y + y 2 = a 1 + xc,
a2x 2 + 2 a2xc + a2с 2 + a 2у 2 = ai + 2.a2xc + x2c1,
(a2 - c2)x 2 + a2y 2 = a 2(a 2 —c2).
136
Ъг = а 2- с~ (chunki а > с ) belgilash kiritib, topamiz:
yoki
(2.5)
(2.5) tenglamaga ellipsning kanonik tenglamasi deyiladi.
x = acost, y = bm \t tenglamalar bilan aniqlanuvchi M(x;y) nuqta ellip
iniqtasi bolishini 1-misoldagi kabi ko'rsatish mumkin.
Ellipsni aniqlovchi ushbu
x = acost,
y = bsint, ? e [ Q;2n]
( 2 .6 )
tenglamalar sistemasiga ellipsning parametrik tenglamalari deyiladi.
Ellipsning shaklini uning kanonik tengiamasidan foydalanib
aniqlaymiz.
(2.5)
tenglikda x va у ning faqat juft darajalari qatnashgani
uchun ellips O x,O y o‘qlarga va <9(0;0) nuqtaga nisbatan simmetrik
boMadi. Shu sababli (2.5) tenglamani x > 0 , у > 0 da (I-chorakda)
tekshirish yetarli bo‘ladi.
I-chorakda
(2.5)
tenglamadan
y = - 4 a 2 - x 2 kelib chiqadi.
a
Bunda x koordinata 0 dan a gacha o‘sganida у koordinata b dan
0 gacha kamayadi. Ellipsning qolgan choraklardagi shaklini koordinata
o ‘qlariga nisbatan simmetrik qilib chizamiz (12-shakl).
Ellipsda 0(0:0) nuqtaga markaz, A}(a\0), A2(-a; 0), B,(0;b), B2(0;-b)
nuqtalarga uchlar, Д A2, B,B. kesmalaming 2a, 2b uzunliklariga mos
ravishda katta va kichik o‘qlar, a ,b sonlarga mos ravish da katta va
kichik yarim o ‘qlar, F]M, F2M kesmalaming ^ , r2 uzunliklariga fokal
radiuslar deyiladi.
Ellipsnmg shakli - nisbatga bogMiq bo‘ladi, ammo ellipsning
a
с
shaklini -- nisbat yordamida tekshirish qulaylikka ega.
a
s = — kattaiikka ellipsning ekstsentritsiteti deyiladi. Bunda 0 < s< l,
Demak, £ -> ld a — >0, ya’ni
b kichiklashib, ellips Oy o‘qiga
parallel ravishda Ox o‘qqa tomon siqilib boradi, aksincha f - > 0 da
ly
— >1, ya’ni ellips aylanaga yaqinlashib boradi.
x = ±— to‘g‘ri chiziqlar ellipsning direktrisalari deb ataladi.
s
12-shakl.
Ellipsning M nuqtasidan
masofalar uchun ushbu
direktrisalargacha bo‘lgan d, va d2
d,
d2
tengliklar bajariladi (12-shakl).
Bu tengliklardan ellipsning fokal radiuslari uchun
r , =
a
-
£x, r2 = a + ex
formulalar hosil qilinadi.
Fokuslari Oy o‘qida va markazi koordinatalar boshda yotuvchi
ellipsning kanonik tenglamalari shu kabi aniqlanadi.
Har
ikkala hoi
xossalarini keltiramiz.
uchun
eilipsning
tenglamalarini va asosiy
M arkazi <9(0;0) nuqtada bo‘lgan ellipsning
kanonik tenglamalari va asosiy xossalaii
x2
a
V2
b
1. -V + ~ - = l
a > 6> 0
У
b
—katta o ‘q Gx dayotadi
va 2 a gateng;
—kichik о ‘q Oy dayotadi
va 2b gateng;
-fokuslar: Fx(-c; 0), Fz(c;0)
- a\
F? > C /a X
у
0
"~"-b
сг —a 1 —b2.
x1 y2
2. -z- + ~ r = l
b 2 a2
a >b >0
f
/
/
{
—katta o 'q Oy dayotedi
va 2 a gateng;
—kichik o‘q Ox da votadi
va 2 b gateng;
—fokusiar: F((0;-c), F2(0;c)
?
-b 1
У.
я
c F2\
5
fb *
о
\
V с
c2 = a 1 - b 2
\
-a
FJ
,,..S
Agar a = b bo‘Isa, u holda (2.5) tenglamadan x2+ y 2 = a2 tenglama,
ya’ni markazi koordinata boshida yotuvchi va radiusi a ga teng
ayiana tenglamasi kelib chiqadi. Demak, ayiana ellipsning xususiy holi
hisoblanadi.
2-misol. Ax1 +9y 2 = 144 ellipsning o‘qlari uzunliklarini, fokuslarining
koordinatalarini va ekssentrisitetini toping.
Yechish. Ellipsning tenglamasini kanonik ko‘rinishga keltiramiz:
Bundan a2 = 36, b1=16.
Demak, a = 6, b = 4, 2a = 12, 2b = 8.
Shunday qilib, ellips o‘qlarinmg uzunliklari mos ravishda
8 gateng.
139
12 va
a va b ni bilgan holda с ni aniqlaymiz:
с = -ч/tar2 —b2 = л /36 —16 —2-Js.
Bundan fokuslaming koordinatalarini va ekssentrisitetni topamiz;
F2, (2л/5;0), F2(-2V5;0);
_ e _ 2л/5 _ л/5
e ~~ a ~
6
3
3.2.3. Giperbola
3-ta’rif. Tekislikda fokuslar deb ataluvchi berilgan ikki nuqtagacha
boTgan masofalar ayirmasining moduli o‘zgarmas kattaiikka teng
bo‘lgan nuqtalarning geometrik o‘miga giperbola Jeyiladi.
Oxy koordinatalar sistemasini Ox o‘q F\ va F2 fokuslardan, Oy o‘q
FxF2 kesmaning o‘rtasidan o‘tadigan qilib tanlaymiz (13-shakl).
M(x\y) giperbolaning ixtiyoriy nuqtasi boisin. FF, = 2с , F^M = r},
F2M = r2 belgilashlar kiritamiz. Ciperboianing ta ’rifiga k o 'ra ,
Iri ~ r21= 2o,
(2.7)
bu yerda a - o‘zgarmas son boiib, a < c .
(2.7) ifodada (2.4) ifodada bajarilgan aJmashtirishlar kabi
almashtirishlar bajarib, quyidagi tenglamani keltirib chiqaramiz:
fL_2L=i,
2 l2 9
f
Cl
%
(2.8)
D
bu yerda b1 = c2- a2
(2.8) tenglamaga giperbolaning kanonik tenglamasi deyiiadi.
Giperbolaning shaklini uning kanonik tenglamasidan foydalanib
aniqlaymiz.
(2.8) tenglikda x va у ning faqat juft darajalari qatnashgani uchun
giperbola ellips kabi Ox,Oy o£qlarga va 0(Q;0) nuqtaga nisbatan
simmetrik boiadi. Shu sababli (2.8) tenglamani x > 0 , у >0 da (Ichorakda) tekshiramiz.
I-chorakda (2.8) tenglamadan y = -^jx2 - a2 kelib chiqadi. Bunda
a
x > a va x koordinata a dan boshlab o‘sishi bilan
koordinata ham
140
o‘sib boradi, ya’ni M ( x ; y ) nuqta cheksizlikka intiladi, Bu intilish
qanday yuz berishini ko‘rsatish uchun koordinatalar boshidan o‘tuvchi
va burchak koeffitsiyenti k = ~ ga teng bolgan v - —x to ‘g‘ri chiziqni
a
a
qaraymiz. Bu chiziq ushbu xossaga ega: M nuqta giperbola bo‘y!ab
harakat qilib koordinata boshidan cheksiz uzoqlashgani sari bu to ‘g‘ri
chiziqqa juda yaqinlashib boradi, lekin uni kesib oim aydi, ya’ni
asimptotik yaqinlashadi.
Shunday qilib, giperbola I-chorakda
nuqtadan o‘tib, у = —x
a
to‘g‘ri chiziqqa asimptotik yaqinlashgani holda o‘ngga va yuqoriga
qarab o‘sib boradi.
Giperbolaning qolgan choraklardagi shaklini koordinata o‘qlariga
nisbatan simmetrik qilib chizamiz (13-shakl).
Shunday qilib, giperbola ikki qismdan iborat boiadi. Bu qismlarga
giperbolaning tarmoqlari deyiladi.
13-shakl.
y = ±—x
tenglama bilan aniqlanuvchi
a
giperbolaning asimptotalari deyiladi.
Giperbolada
Afa-fi), Аг ( - а ; 0), B,(0;b), B2(0;-6)
to ‘g‘ri
chiziqlarga
nuqtalarga uchlar,
kesmaning 2 a uzunligiga haqiqiy o ‘q,
B.B2 kesmaning 2b
uzunligiga mavhum o‘q, a , b sonlarga mos ravishda haqiqiy va
AtA 2
141
mavhum yarim o ‘qlar, F,M, F2M kesmalaming rlt
fokal radiuslar deyiiadi.
r2
uzunliklariga
С
s = —kattalikka giperbolaning ekssentrisiteti deyiiadi.
a
Bunda s > 1, chunki с > a.
£2=c2- a 2 dan —= { —') -1 ya’ni —= \ftP~~ 1.
a \{ a j
a
L
Demak, ekstsentrisitet birga qanchalik yaqin bo" Isa, - shunchaiik
a
kichik boiadi, ya'ni £ -> ld a - - > 0 va giperbola haqiqiy ocqi tomon
a
siqilib boradi, aksincha s kattalashgan sayin
- ham kattalashadi va
a
giperbolaning tarmoqlari kengayib boradi.
x = ± — to‘g‘ri chiziqlar giperbolaning direktrisalari deb ataladi.
e
Fokuslari Oy o‘qida va markazi koordinatalar boshda yotuvchi
giperbolaning kanonik tenglamasi shu kabi aniqlanadi.
M arkazi 0(0;0) nuqtada bo‘!gan giperbolaning
kanonik tenglam alari va asosiv xossaSari
_У_-= 1
b1
- haqiqiy o‘q Ox dayotadi
va 2a gateng;
-m av h u m o ‘q Oy dayotadi
va 2b gateng;
1.
a'
-fokuslar: F ,(-c ;0),
F2(c;0);
c2 = a 2 + 6 2;
-asimptotalari:
2.
a
b
y = ±—x
a
= 1
- haqiqiy o‘q Oy da yotadi
va 2a gateng;
- mavhum o ‘q Ox dayotadi
va 2b gateng;
-fokuslar:
(0;-c), F2(0;c);
c2 = a 1 +fe2;
- asimptotalari: у = -~~x •
142
Giperbolaning M nuqtasidan direktrisalargacha bo‘lgan dy va d2
masofalar uchun ushbu
Г, _ Г2 _
d,
d2
tengliklar bajariladi (13-shakl).
Bu tengliklardan giperbolaning foka! radiuslari uchun ushbu
x> 0 bo‘lganda r ^ = e x - a , r2 = ex + a;
х<0 bolganda rl = —a - e x , r2= a - e x
formulalar hosil qilinadi.
Yarim o‘qlari teng bo‘lgan giperbolaga teng tomonii giperbola
deyiladi.
Teng tomonii giperbola
(2.9)
x2 —y 2 = a2
tenglama bilan aniqlanadi.
3-misol. Ekssentrisiteti 4 l ga teng va M(V3;V2) nuqtadan o‘tuvchi
giperbolaning kanonik tenglamasini tuzing. Uning yarim o‘q!ari
uzunligini, fokuslari koordinatalarini toping va asimptotalarining,
direktrisalarining tenglamalarini tuzing.
Yechish. M a’lumki, e = - = -fi yoki c2 =2a2. Ikkinchi tomondan
a
c1 = a 2 +b2. Bundan
a2=b2. Demak,
izlanayotgan giperbola teng
___
/
tomonii. M(v3;V2) nuqta giperbolada yotgani uchun -——
a"
/
F ? } 2
— —= 1,
a
y a ’n i a2 =1.
Demak, izlanayotgan giperbolaning kanonik tenglamasi
x 2 - y 1= 1
ko‘rinishni oladi.
Bu tenglama bilan aniqlanuvchi giperbolaning yarim o‘qlari a = 6 = 1
uzunlikka, fokuslari F^y/2;0), F2(—J2;0) koordinatalarga ega bo‘ladi,
asimptotalari
y = ±x
tenglamalar
tenglamalar bilan topiladi.
143
bilan,
direktrisalari
x = ± ~=
3.2.4, P a rab o la
4-ta’rif. Tekislikda fokus deb ataluvchi berilgan nuqtadan va.
direktrisa deb ataluvchi berilgan to‘g‘ri chiziqdan teng uzoqlikda
yotuvchi nuqtaiarning geometrik o‘miga parabola deyiiadi,
Parabolaning fokusidan direktrisasigacha boigan masofani p ( p > 0)
bilan belgilaymiz.
p kattalikka parabolaningparam etri deyiiadi.
Oxy koordinatalar sistemasini Ox o‘q direktrisaga perpendikular va
fokusdan o‘tadigan, 0(0;0) nuqta fokus va direktrisaning o'rtasida
yotadigan qilib tanlaymiz. Tanlangan koordinatalar sistemasida
^2
nuqta fokus, x =
to‘g‘ri chiziq direktrisa b o iad i (17-shakl).
M(x;y )parabolaning ixtiyoriy nuqtasi boisin.
M nuqtaning dsrektrisadagi proyektsiyasini N bilan belgilaymiz.
Parabolaning talifig a k o la NM = MF.
Bundan
P = X 2 —рхл ------P hу г
X2 + px + ---4
4
yoki
y 1 = 2px.
(2.10)
(2.10)
tenglamaga
parabolaning
kanonik tenglamasi deyiiadi.
Parabolaning shaklini Lining kanonik
л
2
tengJamasidan foydalanib aniqlaymiz,
14-shakl.
(2.10) tenglikda у ning juft darajasi
qatnashgani uchun parabola Ox o‘qqa nisbatan simmetrik bo‘ladi.
Shu sababli (2.10) tenglamani x > 0 , у > 0 da tekshiramiz.
I chorakda (2.10) tenglamadan y = ^ 2 p x kelib chiqadi. Bunda j c > 0
va x koordinata 0 dan boshiab o‘sishi bilan у koordinata ham o‘sib
boradi. Shunday qilib, y > 0 bo‘lganda M (x;y) nuqta Q(0;Q) nuqtadan
chiqadi va x o‘sishi bilan o‘ngga va yuqoriga qarab bu nuqtadan
cheksiz uzoqlashadi. Parabolaning y< 0 dagi shaklini Ox o ‘qqa nisbatan
144
ammetrik qilib chizamiz (14-shakl). Bunda 0(G;0) nuqta parabolaning
uchi. Ox o‘q parabolaning о ‘qi deb ataiadi.
NM
Parabolaning ekstsentrisiteti a = — 1 =1 ga teng boiadi, direktrisasi
MF
\
^ tenglama bilan aniqlanadi.
4-misol. y 2 =6x parabola berilgan. Uning direkrtisasi tenglamasini
Ili ving va fokusini toping.
Yechish. Berilgan tengiamani parabolaning kanonik tenglamasi
(2,10) bilan taqqoslab, ko‘ramizki, 2p = 6 yoki p - 3.
U holda beriigan parabola uchun direktrisasi tenglamasi
x = p = - - vafokusi f { —\0 | = ( - : o l boiadi.
2.
2
12
Parabolaning boshqa kanonik tenglamalari shu kabi aniqlanadi.
Uchi <9(0:0) nuqtada bo'Sgan parabolaning
kanonik teaglam alari va asosiy xossaiari
1.
y 1= 2px
X
Ц
1
-fekus: F,{—;0 ):
/U J
i
—direktritsa: x = —
/
■ F
j
1
va Ox oqqa simmetrik;
\
L> 0
- simmetriya о‘ф-Ох
1. x 1 = 2 py
>
{'
-fokus: FA 0:
%
—direktritsa: y = ——
2
va Oy oqqa simmetrik;
iF
\
x
\
\
P- c 0
—simmetriya o‘qi —Oy
145
A
f
F
X».
_______
/ >0
J
/
-JC
3.2.5. Ikkinchi tartibli chiziqlarning
umurniy tenglamasi
Ikkita x va у o‘zgaruvchining ikkinchi darajali tenglamasi umurniy
ko‘rinishda
Ax2 + 2Bxy + Cy2+ 2Dx + 2Ey + F = 0, А2+В2 + С 2Ф0
(2.11)
kabi yoziladi, bu yerda A,B,C,D,E,F- koeffitsiyentiar.
Oldingi bandlarda ta ’riflari asosida ellips, giperbola va
parabolalaming kanonik tenglamalarini keltirib chiqardik va xossalarini
o‘rgandik. Bunda chiziqlarning markazlarini koordinatalar boshiga
joyiashtirdik va ularning o‘qlarini koordinata o ‘qlari bo'ylab
yo‘naltirdik.
Ushbu bandda (2.11) tenglama
koeffitsiyentlarining mos
qiymatlarida konus kesimlardan birini, yoki mavhum konus kesimlardan
birini, yoki bo‘sh to ‘plamni aniqlashini ko‘rsatamiz. Bunda komis
kesimning markazi koordinatalar boshida yotmasligi va o;qlari
koordinata o‘qlariga nisbatan og‘ishga ega b oiishi qiyinohilik
tug‘dirishi mumkin. Bu qiyinchilikni bartaraf qilish uchun koordinatalar
usulining ikki qurolidan-koordinatalar о‘qlarini parallel ko‘chirish va
burishdan foydalanamiz.
Koordinata о ‘qlarini parallel ко ‘chirisk
Tekislikda Oxy to ‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi berilgan
■rboisin.
,
Koordinata
o‘qlarini
parallel
ko‘chirish - bu Oxy sistemadan uning
o‘qlari yo‘nalishlarini va masshtablarini
o‘zgartirmasdan
faqat
koordinatalar
boshining joylashishini o‘zgartirish orqali
yangi O'x'y' sistemaga o ‘tishdir.
Yangi
O'x'y’
sistemaning
koordinatalar boshi O' eski
Oxy
sistemada
(x0; y j koordinatalarga ega
15~shakl.
bo‘isin, ya’ni O'(x0;y0).
Tekislik ixtiyoriy M nuqtasining Oxy sistemadagi koordinatalarini
146
bilan va O'x'y'
belgilaymiz (15-shakl).
U holda
(x;y)
OM = xi + yj,
sistemadagi koordinatalarini
0 0 '= x ai + yaj ,
(x';y')
bilan
0 'M = x'i + y'j.
15-shakldan topamiz: OM -- OO’ + O 'M .
Bundan
x l + y j = x j + y j + x ’l + y j
yoki
x = x 0 +x', y
=
y„+ y'.
(2 . 12)
(2.12)
formulalar
M nuqtaning
Oxy
sistemadagi
(x;y)
koordinatalarini O’x'y' sistemadagi (x';y') koordinatalar orqali topish
imkonini beradi va aksincha.
5-misol.
( x - 4 ) 2 + (y + l)2 =36
tenglamani Oxy koordinatalar
sistemasini parallel ko'chirish orqali
soddalashtiring.
Yechish. Berilgan tenglama Oxy
koordinatalar
sistemasida
markazi
(4;-l) nuqtada yotuvchi va radiusi
R = 6 ga teng aylanani ifodalaydi.
Oxy koordinatalar
sistemasi
O'(xll;y0) = O'(4;-l)
nuqtaga
parallel
ko£chirilsa, berilgan tenglama yangi
O'x'y' sistemada ham ayiana tenglamasini
beradi.
'
16-shald.
(2.12) formulalami qoilab, topamiz:
x' = x - x 0 = x - 4 ,
/ = y - y 0 = y + 1.
U holda berilgan tenglama O'x'y' sis-temada
Xn + y ’2 = 36
ko‘rinishni oladi, ya’ni markazi koordinatalar boshida boigan va radiusi
R = 6 ga teng aylanani ifodalaydi.
Ayiana grafigini Oxy va O'x'y' sistemalarda chizamiz (16-shakl).
147
Koordinata о ‘qlarini burisk
Tekislikda Oxy to ‘g ‘ri burcliakii koordinatalar sistemasi berilgan
bo‘lsin.
Koordinata o‘qlarini burish - bu Oxy sistemadan lining
koordinatalar bosbini va o‘qlari
masshtablarini
o‘zgartirmasdan
^
faqat koordinata о‘qlarini biror
,y
burchakka burish orqali yangi Ox'у
y \
j
м
sistemaga o‘tishdir.
Oxy sistemani О nuqta atrofida
\
L
'V I /
soat strelkasi yo‘nalishiga teskari
V i
a \
yo‘nalishda a burchakka burib,
Ox'y sistemaga o'tamiz. Tekislik
''q \
x
ixtiyoriy M nuqtasining
Oxy
17-shakl.
sistemadagi koordinatalarini (x;y)
bilan va O'x'y sistemadagi koordinatalarini (x';y') bilan belgilaymiz.
M nuqta radius vektorining uzunligi r ga, uning Ox' o‘q bilan tashkil
qilgan burchagi <p gateng b o lsin (17-shakl).
17-shakidan topamiz:
(2.13)
x' = rcostp, y' = rs,vx(p,
x —rcos(<p+a), y’ = rsin(^ + or).
(2.14)
tengliklar
ustida
almashtirishlar
(2.13) tengliklami hisobga olib, topamiz:
(2.14)
bajaramiz
va
x = r cos(fz>+ a) = r(cos<pcosa —sin <pskia) =
= (r c o s^ )c o sa - ( r s in ^ ) s in a = x'cos a - y ' s i n a ,
у = rsm{<p + a ) = r(sin ( p c o s a + c o s ( p s m a ) =
= r(cos(3)sm a + r(sini/>)cosa = x1sin a + у cos a.
Demak,
x = x'cosa —y ’$ma, y = x’sm a + y'cosa.
(2.15)
(2.15)
formulalarga koordinata o‘qlarini burish formulalari deyiladi.
Bu formulalar M nuqtaning Oxy sistemadagi (x;y) koordinatalarini
148
Ох'у' sistemadagi (У ;/) koordinatalar orqali topish imkonmi beradi
vii aksincha.
6-misoL x y = - 2
tenglamani koordinata о‘qlarini 45° ga burish
orqali kanonik shaklga keltiring.
Yechish. (2.15) tengliklardan a - 45° da topamiz:
v:2
x = x'cos45° - j/s in 45° = -~—(x' ~ y'),
y = x' sin. 45° + j/cos45° = ~ ~ (x ' + y'}.
v va у ni xy = —2 tenglamaga qo‘yamiz:
— (x' - / ) ■“у Ч * ' + У') = ~2 >
|(ж '2- / г) = - 2,
4
4
Bu tenglama giperbolaning kanonik
tenglamasi hisoblanadi, ya’ni x y - - - 2.
tenglama bilan aniqlanuvchi chiziq Ох'у'
sistemada
v '2
x'2
4
4
----------= 1 tenglama bilan
aniqlanuvchi
Demak,
giperbolani
ifodalaydi.
2
y = —1 funksiyaning grafigi
x
asimptotalari koordinata o‘qlari
bilan
ustma-ust tashadigan
teng tomonli
giperboladan iborat (18-shakl).
18-shakl.
Ikkinchi tartibli umurniy tenglamani soddalashtirish
Ikkinchi tartibli umurniy tenglamani qaraymiz:
Ax2 + 2 Bxy + Cy2 + 2 Dx + 2Ey + F = 0.
(2.11)
Bunda 5 ^ 0 boisin. Koordinata o‘qlarini a burchakka buramiz,
ya;ni (2.15) formulalar yordamida eski koordinatalami yangi
149
koordinatalar orqali ifodalaymiz:
A (x'cosa - j/s in a )2 + 2B(x'cosa - j'siri a)(x'sm a + y 'c o s a ) +
+ C(x’sin « + j'cosor)2 + 2D (x'cosa —У sin a) + 2E(x’sma + y'cosa ) + F = 0
yoki
Дх'2 + 2Дх>' + Ctу'2 + 2Дх' + 2 £ y + Fl = 0,
bu yerda
A1= Acos2a + 2Bcosasina + Csin2a;
Bl =(C-^!)sinacos« + 5(cos2a - s i n 2a;);
Cj =^fsin2a-25cos«sinar + Ccos2a;
Д =Dcosa: +Esina;
a
burchakni
£, = £sina - Dcosa;
shunday
tanlaymizki,
FX=F.
yuqoridagi
tenglamada
x'y oldidagi koeffitsiyent nolga aylansin, ya’ni
B1=(C —^)sinacosa + 5(cos2a - sin2a) = 0
tenglik bajarilsin.
Bundan
(2.16)
ctg2a = ~ ~ .
Shunday
qilib, koordinata
о‘qlarini
(2.16)
shartni
qanoatlantiruvchi a burchakka burish (2.11) tenglamani quyidagi
tenglamaga keltiradi:
А,х'г +C1y'2+2Dlx' + 2E,y' + Fl =Q,
Д2 + В2 Ф0.
(2.17)
1-teorema. (2.17) tenglama hamma vaqt yoki aylanani (A, = C,da),
yoki ellipsni (Al C1> Oda), yoki giperbolani (A1-C1< Oda), yoki
parabolani ( A, ■C, =0da) aniqlaydi. Bunda ellips (ayiana) uchun - nuqta
yoki mavhum. ellips (ayiana), giperbola uchun - kesishuvchi to‘g‘ri
chiziqlar juftligi, parabola uchun - parallel to‘g ‘ri chiziqlar juftligi kabi
buzilishlar bo‘lishi mumkin.
Isboti. Аг = С, bo ig an ho Ini batafsil tahli! qilamiz.
A, = C, da (2,17) tenglik ustida almashtirishlar bajaramiz:
Дх'2 + Ду'2 +- 2Дх' + 2Д у' + FX= О,
150
х'2 + у'г + 2 ~ х ' + 2— у' + — = 0,
А
А
А
tl
х г2 +
2 —
х '
+
^ Д
А
X+
+ У
Е , [Е
+ \
А
IД
+ 2 ~ у
L.
А
= 0,
(2.18)
А) Ч 7
A)
I A j, ' I А )
А
Bunda, (2.18) tenglama va mos ravishda (2.17) tenglama:
\ 2
/
/
N 2
1)1 — I + — I - — >0 bolganda markazi O,
\Aj
КA J
A
.A
A ’ A
nuqtada
joylashgan va radiusi R = II — | + f —L1 - — ga teng aylanani aniqlaydi;
ikA J
\A J
A
2) A
keladi.
Bu
= 0 bo
tenglikni yagona
(
D
£
0'\ — —А Д
nuqta
koordinatalari
qanoatlantiradi. Bunda «aylana nuqtaga buzilgan» deyiladi;
F.
-<G
bolganda hech bir chiziqni aniqlamaydi.
Bunda «ay lana mavhum aylanaga buzilgan» deyiladi.
Qolgan hollarda teorema shu kabi tahlil qilinadi.
Shunday qiiib, (2.17) tenglama (mos ravishda (2.11) tenglama)
ikkinchi tartibli chiziqlardan birini aniqlaydi.
7-misol. 4x2 - 2 5 / - 24x + 50j - 89 = 0 tenglama bilan berilgan
ikkinchi tartibli chiziq ko‘rinishini aniqlang.
Yechish. Berilgan tenglamada A = 4, С = -25.
Bundan A ■С = 4 •(-25) < 0.
Teoremaga k o la , berilgan tenglama giperbolani ifodalaydi.
Tenglamada almashtirishlar bajaramiz:
4(x2 - 6x + 9) - 25(y2 - 2y +1) - 36 + 25 - 89 = 0,
4(x - 3)2- 25(j - 1)2 = 100,
151
(* -3 )2 (y - l f
25
4
D em ak ,
b e rilg a n
г
te n g la m a sim m e triy a
jo y la sh g a n v a y a rim o ‘q la ri
a = 5, 6 = 2 g a
m ark az i 0(3;1) n u q ta d a
te n g
b o ‘lg an g ip erb o ian i
an iq lay d i.
3.2.6. M ashqlar
1. Aylananing tenglamasini tuzing: 1) markazi M,(-l;3) nuqtada joylashgan
va radiusi R = 6 ga teng b o ig an ; 2) markazi M2(-3;5) nuqtada joylashgan va A(4;4)
nuqtadan o‘tgan; 3) diametrlaridan birining uchlari .B(-l;3) va C(-3;5) nuqtalarda
boigan ; 4) D( 8;-4) nuqtadan o‘tgan va koordinata o‘qlariga uringan; 5) markazi
Af(2;—1) nuqtada joy lashganva urinmalaridan bin 3*+4y+3 = 0 to‘g‘ri chiziqda
boigan.
2. Aylanalaming markazi va radiusini toping:
1) x2 + y 2 + 8.т-14у+16 = 0;
2) x1 + y 2 + 4 x - 6 y - 3 = 0;
3) x2 + y 2- x + 2 y - l = 0;
4) x 1 + y 2 + 3 х - 1 у - ^ = й .
3. A.(l;-2) nuqta berilgan. Uning aylanalaming ichkarisida, tashqarisida
yoki ustida yotishini aniqlang.
2 ) x 2 + y 2 =9;
Y ) x 2+ y 2 =5;
3) x2 + y 2- $ x - 4 y - 5 = 0;
4) x2 + y 2 -10jc+8y = 0.
4. x2 + y 2 - 2 x + 4 y - 2 0 = 0 v z x 2 + y 2- l 0 y + 2 0 - 0 tenglamalar bilan
berilgan aylanalar markazlari orasidagi masofani toping.
5.
= i to ‘g‘ri chiziqdan koordinata o‘qiari kesgan kesrnans diametr
qilib aylana chizilgan. Bu aylana tenglamasini tuzing.
6. A(2;-l), 8(3;4) nuqtalardan o ‘tgan va markazi * - > - 4 = 0 to ‘g‘ri
chiziqda joylashgan aylana tenglamasini tuzing.
7. Uchlari Л(-2;2), B(0;-2),C(-1;-1) b o ig an ABC uchburchakka tashqi
chizilgan aylananing markazi va radiusini toping.
8 . A:ning qanday qiymatlarida y = k x to ‘g ‘ri chiziq x2 + y 2 - 8 . x - 2 y +16 = 0
aylanani kesadi, bu aylanaga urinadi?
9. ( x - 4 ) 2 + ( y - 2 ) 2 =4 aylanaga uringan va koordinatalar boshidan oigan
lo 'g i i chiziqlar tenglamalarini tuzing.
152
10. Ayiana tenglamalarini parametrik ko'rinishga keltiring:
I) x2+ y 2 = 16д;
3) x 1 + y 2 = 2 x + 2 y .
2 ) x 2+ y 2 = 4 y ;
11. Fokuslari Oy o‘qda 0 ( 0;0) nuqtaga nisbatan simmetrik joylashgan va
quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi ellipsning kanonik tenglamasini tuzing:
1) kichik o‘qi 12 ga va ekssentrisiteti ^ ga teng; 2) fokuslari orasidagi masofa
5
to ga va ekssentrisiteti - gateng;
3) M,(6;0)va M 2(0;9) nuqtalardan o ‘tgan;
50
3
4) direktrisaiari orasidagi masofa — ga va ekssentrisiteti s = - ga teng.
3
5
DC2
V2
.
.
.
.
12 . Y i + q = 1 e^ipsga tomonlari ellips o'qlariga parallel qilib kvadrat ichki
chizilgan. Kvadratning yuzini toping.
13. 5хг + 20y2 -100 = 0 ellipsning x + y - 2 0 = 0 to ‘g ‘ri chiziqqa parallel bo‘lgan
urinmasi tenglamasini tuzing.
14. 16x2+25y 1 -400 = 0 ellipsning bir fokusidan uning kichik o‘qiga parallel
o‘tgan vatari uzunligini toping.
x2 v 2
15. — + — = 1ellipsning M( x , y )nuqtasidan uning o‘ng fokusigacha bo ig an
50 18
masofa chap fokusigacha b o ig an masofadan to ‘rt marta katta. M(x;y) nuqtani
toping.
16. — + — = 1 ellipsning M(x;y) nuqtasidan uning chap fokusigacha boigan
9 8
masofa o ‘ng fokusigacha b o ig an masofadan ikki marta katta. M(x;y) nuqtani
toping.
17. Ellipsning bir fokusidan uning katta o‘qi oxirlarigacha b o ig an masofalar
2 va 8 ga teng. Ellipsning kanonik tenglamasini tuzing.
18. Ellipsning tenglamalarini parametrik ko‘rinishga keltiring:
i) 16л2 +25y 1 -400 = 0 ;
2) 144x2 + 2 5 / -3600 = 0,
19. x + 2 y - l = 0 to ‘g ‘ri chiziq bilan x 2 + 4y 2 = 25 ellipsning kesishish
nuqtalarini toping.
20. Fokuslari ordinatalar o‘qida joylashgan
va quyidagi shartlarni
qanoatlantiruvchi giperbolaning kanonik tenglamasini tuzing: 1) direktrisaiari
18
5
orasidagi masofa — ga va ekssentrisiteti - g a teng; 2 ) direktrisaiari orasidagi
masofa
ga teng va asimptotalari tenglamalari y = ± — x; 3) direktrisaiari
153
orasidagi masofa — ga va haqiqiy o ‘qi
8 ga teng; 4) direktrisalari orasidagi
masofa ^ g av a fokuslari orasidagi masofa 14gateng.
21. Giperbolaning nuqtalaridan biri va asimptotalarining tenglamalari
berilgan. Giperbolaning kanonik tenglamasini tuzing:
1) M (6;2) , y = ± ^ - x ;
2 ) M ( 4;2), y = ± ~ - x \
R
3) M(4;3) , y = ± —x;
4) M(6;3), y = ± — x.
22. Giperbolaning ekssentrisiteti 2 ga teng. Uning asimptotaiari orasidagi
burchakni toping.
23. Giperbolaning asimptotasi haqiqiy o‘q bilan ~ g a teng burchak tashkil
qiladi. Giperbolaning ekssentrisitetini toping.
24. 5x 2 +17>'2 -85 = 0 ellips berilgan. Ellips bilan bir xil fokuslarga ega bo‘lgan
teng tomonii giperbolaning kanonik tenglamasini tuzing.
25.
Giperbola 25л2+9y 2 =225 ellips bilan bir xil fokuslarga ega.
Giperbolaning ekssentrisiteti 2 ga teng bo‘lsa, uning kanonik tenglamasini
tuzing.
26. Assimptotalari <У(2;-3) nuqtada kesishuvchi va £(4,-1) nuqtadan о ‘tuvchi
giperbola tenglamasini tuzing.
4x —3
27. Giperbolaning у = ------- tenglamasini sodda ko‘rinishga keltiring.
3* + 5
28. Berilgan fokusi va direktrisasi tenglamasiga ko‘ra parabolaning
kanonik tenglamasini tuzing:
1) F(-3;4), x - 5 = 0;
2) F(5;3) , y + 2 = 0.
29. Berilgan tenglamasiga k o ia parabolaning uchini va simmetriya o'qinmg
tenglamasini aniqlang:
1) y 2- 2 y + 1 6 x + 6 5 = 0;
2) 2x2 + y - 8 x + 5 = 0.
30. Berilgan tenglamalar qanday chiziqiarni aniqlaydi?
31. х = ——, у = bcost giperbolaning parametrik tenglamalari bo‘lishini
sin t
sin(
koYsating.
32. x = 2 p t 2, y = 2pt, t<=R parabolanmg parametrik tenglamalari bo‘lishini
ko'rsating.
33. Ш 2+10xy+13.y2-7 2 = 0 tenglamani kanonikshaklgakeltiring.
34. x 1 - б 4 ъ х у - 5 у 2 - 8 = 0 tenglamani kanonik shaklga keltiring.
35. Egri chiziqning tenglamasini soddalashtiring, chiziqning turini aniqlang va
shaklini chizing:
I) 5x2 + 9 y 2 -3Qx+l%y + 9 = 0;
2) 2xl -12x + y + 13 = 0;
3) 5x2—4y2 +30.t+8j + 21 = 0;
4) 2 y 2- x - 1 2 y + 14 = 0;
5) x2 - 6x + y 2 - S = 0;
36.
x2
v2
36 12
6 ) x2 + y + y 2 -1 = 0 .
= i eliipsga М(-Ъ;Ъ) nuqtada o ‘tkazilgan urinma tenglamasini
tu z in g .
2
2
3 7 .- — — = 1 giperbolaga
2 16
2;-4) nuqtada о‘tkazilgan urinma tenglamasini
tuzing.
38. ~ — x 2 =1 giperbolaga
nuqtada o‘tkazilgan urinma tenglamasini
tuzing.
39.
x2 =16y parabolanmg 2 x + 4 j+ 7 = 0
bo‘lgan urimnasini toping.
to ‘g ‘ri
chiziqqa
perpendikular
3 3 . QUTB KOGRDINATALARDA
CHIZIQLAR
3.3.1. Qtitb koordinatalari
Tekislikda
sanoq boshiga, musbat yo‘nalishga va masshtab
birligiga ega boTgan Op nur qutb o'qi, uning O - sanoq boshi qutb
deb ataladi.
M tekislikning qutb bilan ustma-ust tushmaydigan ixtiyoriy nuqtasi
boisin. Bunda M nuqtaning holati ikkita son, О qutbdan M nuqtagacha
155
bo‘Igan r masofa va Op qutb o‘qi bilan OM yo‘nalgan kesma orasidagi
(p burchak bilan aniqlanadi
{Op nurdan boshlab burchak yo'nalishi
soat strelkasi yo‘alishiga teskari tanianadi).
r va <p sonlariga M nuqtaning
qutb koordinatalari
deyiladi
va
M(r;<p) deb yoziladi. Bunda r masofa
qutb radiusi,
<p burchak
qutb
burchagi deb ataiadi (19-shakl).
Tekislikning barcha nuqtalarini
aniqlash uchun r va <p kattaliklaxni
A
0 < r < +co,
-я<(р< л
chegaralarda
olish yetarli boiadi. Bunda tekislikning
har bir nuqtasiga yagona
r va <p
19-shakl.
sonlar jufti mos keladi, va aksincha, har
bir (r;tp) sonlar juftiga tekislikdagi
yagona nuqta mos keladi.
Nuqtaning qutb va to‘g‘ri burchakli koordinatalari orasidagi
bogiamshni topamiz. Bunda to‘g‘ri burchakli koordinatalar
sistemasinmg koordinatalari boshini qutb bilan va abssissalar o‘qini
qutb o‘qi bilan ustma-ust tushadigan
qilib tanlaymiz (20-shakI).
У
M nuqta x va у to‘g‘ri burchakli
koordinatalarga, r va q> qutb koordiМ(г,ф)
У
natalarga ega bolsin.
20-shakidan topamiz:
г/
x = rcasf, y^rsmtp.
(3.1)
j'
/
Z
Bu tengliklar nuqtaning to‘g‘ri
X
0
i
J
burchakli koordinatalarini uning qutb
20-shakl.
koordinatalari bilan bogiaydi.
(3.1)
tengliklardan nuqtaning qutb
koordinatalari bilan uning to‘g‘ri
burchakli koordinatalari o‘rtasida quyidagi bogianish hosil qilinadi:
:У
x
г = 4хг i y 2, t,
(3.2)
Bunda (p burchakning qiymati nuqtaning joylashgan choragiga
(x,y laming ishoralari asosida) qarab, -ж «р <ж oraliqda tanianadi.
156
1 -misol. M (—1;~л/3)nuqtaning qutb koordinatalarini toping.
Yechish. Berilgan nuqtaning qutb koordinatalarini (3.2) formulalar
bilan aniqlaymiz:
r = V(-lУ +(_V3)2 = 2,
tgq> = ~ ^ 3- = vкJ.
-1
Af nuqtan III chorakda yotadi.
U holda q>= —- n ^ - — boiadi. Demak, Ml 2:-----,.
”
3
I
3J
3.3.2. Qsitb koordinatalar sistemasida chiziqlar
Qutb koordinatalar sistemasida chiziq tenglamasi deb aynan shu
chiziq barcha nuqtalarining r va <p koordinatalari orasidagi bogianishni
aniqlovcbi ikki noma’lumli
F(r:jp) = 0
(3.3)
ko'rinishdagi tenglamaga aytiladi.
Mumkin boiganda (3.3) tenglama
r ga nisbatan yechiladi va r = rUp)
ko‘rioishga keltiriladi.
Chiziqning F(x:y) = 0 tenglamasidan qutb tenglamasiga o‘tish uchun
x va у lar
о‘rniga
ulaming
(3.1) formulalardagi qiymatlari qo‘yiladi
va
aksincha
chiziqning
qutb
tenglamasidan F(xy)= 0 tenglamasiga
o‘tish
(3.2) formulalar bilan amalga
oshiriladi.
To ‘g ‘ri chiziqning qutb tenglamasi
To'”g‘ri chiziq tenglamasini qutb koordinatalarida topamiz.
Bunda О qutbdan / to‘g ‘ri chiziqqacha bo‘lgan p masofa va Op
qutb o!qi bilan berilgan to ‘g‘ri chiziqqa perpendikular boigan
f
o‘q orasidagi a burchak berilgan b o isin (21-shakl).
/ chiziqning ixtiyoriy M(r\<p) nuqtasi uchun Pxf OM = p boiadi.
Ikkinchi tomondan
P r
OM = | OM j - c o s ( a —tp) = r cos(cc —(p),
157
U holda
г cos(« - (р)= р .
(3.4)
(3.4) tenglamaga to ‘g ‘ri chiziqrning qutb tenglamasi deyiladi.
( лЛ
2-misol. Мл 5;— va M2(5;0) nuqtalardan o'tuvchi to‘g‘ri chiziqning
V 2у
qutb tenglamasini tuzing.
Yechish. To‘g‘ri chiziqning Ml va M, nuqtaiar orasidagi kesmasi
katetlari 5 ga teng b olgan to‘g‘ri burchakli uchburchakning
gipotenuzasi boiadi. Bunda qutbdan to‘g ‘ri chiziqqacha bo‘Igan
masofa
to‘g‘ri
burchak
uchidan
gipotenuzaga tushirilgan
balandlikdan
iborat (22-shakl).
Uning uzunligini (pni) v a y o ‘nalshini
( a ni) topamiz:
OMr OM2 _ 5-5
P ~ J o m } + OM\ ~ 411 + 52
5л/2 ^
2 ’a
_л
4'
U hoida (3.4) formulaga k o la ,
Konus kesimlarining qutb tenglamalari
Konus kesimlarning (ellipsning, giperbolaning, parabolaning) qutb
tenglamalarini keltirib chiqaramiz. Bunda chiziqlarning fokuslaridan biri
qutbdayotsa, uning tenglamasi sodda kolinishni oladi.
Konus kesimlarning tenglamalarini keltirib chiqarishda ularning har
bir nuqtasidan fiksirlangan nuqtagacha (fokusgacha) boigan masofaning
fiksirlangan to‘g‘ri chiziqqacha (direktrisagacha) boigan masofaga
nisbati o‘zgarmas kattaiikka - ekstsentrisitetga teng boiishi xossasidan
foydalaniladi. Bunda konus kesim s< l boiganda ellipsdan, e = \
bolganda paraboladan va e> \ boiganda giperboladan iborat boiadi
(23-shakl).
/-konus kesimlardan birining tarm ogi, F -b u tarmoqning fokusi,
d -qutbdan chapda joylashgan vertikal direktrisasi, г -ekstsenlisitei
bolsin.
Fokusdan
direktrisagacha bolgan masofani p bilan
belgilaymiz (24-shakl).
158
<^ иt t
i !1
1I
---1 i F( 0;0)
f 5
i S
I i
/
MF
---=£
MF
QM
QM
S>1
MF _
QM~‘
23-shakl.
I chiziqda ixtiyoriy M(r,<p)nuqtani olamiz.
U holda
konus kesimlarning
xossasigako‘ra, E ^ L - e bo‘ladi.
QM
Bundan FM = sQM yoki
r = sAN = s(AF+ FN) = e(p + rcos<p).
Oxirgi tenglikni r ga nisbatan
yechamiz:
£ P
(3.5)
- scostp
(3.5)
tenglamaga konus kesim­
larning qutb tenglamasi deyiladi. Bu
tenglama £<1 da eiltpsni, s > 1 giperbolaning bir tarmog‘ini va £-= 1 da
parabolani aniqlaydi.
1-izoh. Konus kesimlarning qutb tenglamalari
direktritsaning
joylashishiga bog‘liq bo‘ladi:
A\\WV^\VVV.V«V»VV\\\VAVA4W
Direktrisaning holati —tenglama
E P
\ —ECOS(p '
|
s p
| vertikai va qutbdan o‘ngda - r1+ e cos (p
n
2
| vertikal va qutbdan chapda — r =
gorizontal va qutbdan yuqorida— r -
HirpVtri
y= 3
£-P-
1+ ES\SX(p ’
s p
| gorizontal va qutbdan pastda - r 1-ss.kicp
#/ -3
0
N.
з \ *0
3 4
r —---------l + sin?)
|
Boshqa chiziqlarning qutb tenglamalari
Qutb tenglama bilan modellashtiriladigan masalalardan birini
qaraymiz.
Uzunligi 2a (a > 0)ga teng boigan AB kesma uchlari bilan biror
to‘g‘ri burchakning tomonlari bo‘ylab sirpanib harakatlanayotgan
bo‘Ism. To‘g‘ri burchakning О uchidan bu kesmaga OMperpendikular
tushurilgan (25-shakl).
AB kesmaning harakati vaqtida ом
perpendikular л/asosining traektoriyasini topaylik.
A/asosning (nuqtaning) traektoriyasini qutb koordinatalar
sistemasida tuzish uchun to 'g ‘ri burchakning О uchini qutb, OA o‘qni
qutb o‘qi deb olamiz. M nuqtaning qutb koordinatalarini r, <p deb
belgilaymiz, ya’ni M(r;<p) deymiz.
AOM uchburchakdan topamiz:
OM = OAcos(p,
r = OAcos(p.
A OB uchburchakdan topamiz:
OA = ABsmtp,
OA - 2.ash (p.
Bundan M asos izlanayotgan traektoriyasining qutb koordinatalar
sistemasidagi tenglamasini hosil qilamiz:
r =asm2q>.
Bu tenglama bilan aniqlanuvchi chiziq to‘rt yaproqli gul deb ataladi.
* Uning grafigini a = 1 da Maple paketi yordamida chizamiz (26-shak3).
v
> w ith (plots):
> animatecBrve([sia( 2 ‘ t),t,t=;-l* i ..1 *i|, coords=olar,
fremes^^Ojaumpoints^lOO);
V
О
A
x
26-shakl.
25-shakl.
160
Matematikaning keyingi bo‘iimiarining misol va masalaiarini
yeehishda foydalaniladigan chiziqlarning grafiklari va ulaming qutb
yoki parametrik tenglamalari 1-ilovada keltirilgan.
3.3.3. Mashqlar
1. A(j3;V) va S (-v3;-l) nuqtaiarning qutb koordinatalarini toping.
f
Я*'>*l
f In
2. At 2;— j va В] 1;— nuqtaiarning to ‘g ‘ri burchakli koordinatalarini
I ’ 3j
{ ’ 3 )
toping.
7Г |
3. a\ 5;^j va sj^s;>;----j nuqtalar orasidagi masofani toping.
12 /j
4,
Uchlari О qutbdava Afc;^), B(r2;<p2) nuqtalarda joylashgan OAB
uchburchak-ning yuzini toping, bu yerda q>2 >( p v
kvadratning yuzini toping.
6 . Kvadratning
ikkita
qo‘shni uchlari berilgan:
Kvadratning yuzini toping.
7. Berilgan tengiamaiarni dekart koordinatalarida yozing:
1) r = 3sm<»;
2) r = 5cos<z>;
3) r 2 =sin 2c/>\
4) ?’ = 4cos2<i>;
1+ sin^
1- cos q>'
5 + 3aas(!»
8 . Berilgan tengiamaiarni qutb koordinatalarida yozing:
1) V = 5;
2) y = 2x-l;
3) x 1 =4 y ,
4) x 2 - y 2 = a 2;
5) x 7' + y 2 - l a x = 0;
6 ) xy = 4;
36
161
4
y j, B^2;^p'j
9. Berilgan tenglamasiga ko‘ra chiziqiaming turini aniqlang:
l)r =— — ;
2) r = ----- ------;
3) r = ——— ;
4) r -
- 1 + 2 cos tp
2 + sin p
1 + cos <p
2
2 - cos <p
1
3
10. Berilgan chiziqlarning grafsklarini s = l, e = ~ , s = - larda dnzing:
2
4
i*\)/• = ------------ ;
2) r = -
-n
^ Г= ------:—
4e
3)
;
/1Л r = ----------.
4£4)
l+£COS#>
4s
l + f s in < p
l-£cos<p
3.4. TEKISLIK
3.4.1. Fazoda sirt va chiziq
Umumiy boshiang‘ich О nuqtaga va bir xil masshtab birligiga ega
boigan o‘zaro perpendikulyar Ox, Oy va Oz o‘qlar fazoda to ‘g‘ri
burchakli Oxyz koordinatalar sistemasini hosil qiladi.
Oxyz koordinatalar sistemasida uchta x ,y va z sonlari fazodagi har
qanday M nuqtaning o‘mini to iiq aniqlaydi. Bunda nuqta M(x;y;z) kabi
' belgilanadi, x ga M nuqtaning abssissasi, у ga M nuqtaning ordinatasi,
« z ga M nuqtaning applikatasi deyiladi.
Oxyz fazodagi sirt tenglamasi deb aynan shu sirt nuqtalarining
x,y,z koordinatalari orasidagi bogianishni
aniqlovchi uch nomaiumli
F(x,y,z) = ti
tenglamaga aytiladi.
Shu kabi, koordinatalari uch nomaiumli F(x,y,z) = 0 tenglamani
qanoatlantiruvchi Oxyz fazoning barcha M(x;y;z ) nuqtalari to‘plamiga
fazoda shu tenglama bilan aniqlanuvchi sirt deyiladi.
Fazodagi sirt x=x(w,v), y = y(u,v), z = z(u,v), (u;v)eD parametrik
162
tenglamaiar bilan ham berilishi mumkin, bu yerda x(u,v),y(u,v),z(u,v) D sohada berilgan sirt barcha nuqtalarining va faqat shu nuqtaiarning
koordinatalarini beruvchi ikki o‘zgaruvchili funksiyalar.
Masalan,
x = i?sinMCOsv, у = /?sinMsinv, z = Rcosu, 0<u<7r, 0 < v < 2 k
parametrik tenglamaiar sferani ifodalaydi.
Fazodagi chiziqni ikki sirtning kesishish chizigi yoki ikki sirt
umurniy nuqtalarining gometrik o ‘mi deb qarash mumkin (27-shakl).
I chiziqni
aniqlovchi ikki sirt F(x,y,z) = 0 va G(x,y,z) = 0
tenglamaiar bilan berilgan b o isin (27shakl). U holda / chiziq ikkala
tenglamani ham qanoatlantiruvchi
M(x;y;z) nuqtalar to‘plamidan tashkil
topadi.
Koordinatalari
(F(x,y,z) = 0,
[G(x, y,z) = 0
Tenglamaiar
sistemasini
qanoatlantiruvchi
Oxyz fazoning
barcha M(x;y:z) nuqtalari to‘plamiga
fazodagi
shu tenglamaiar sistemasi
bilan aniqlanuvchi chiziq deyiiadi.
Shu kabi, Oxyz fazodagi chiziq tenglamasi deb aynan shu
chiziq barcha nuqtalarining x,y,z koordinatalarini aniqiovchi
lF(x,y,z) = 0,
[(G(x,y,z) = 0
tenglamaiar sistemasiga aytiladi.
Fazodagi chiziqni nuqtaning trayektoriyasi deb qarash mumkin.
Bunda
chiziq
f = r(t)
vektor
tenglama
bilan
yoki
x -- x(t), v = y(t), z = z(t), t e T parametrik tenglamaiar bilan beriladi.
Masalan,
x = Rcosat, y = Rs'mat, z = - ~ t
2n
parametrik tenglamaiar vint chizig ‘ini ifodalaydi.
163
Fazodagi analitik geometriyada sirtni (yoki to ‘g ‘ri chiziqni)
o‘rganishda ikkita masaia koiiladi: geometrik xossalariga ko‘ra, sirtning
(yoki to‘g‘ri chiziqning) tenglamasini keltirib chiqarish; tenglamasiga
asosan sirtning (yoki to‘g‘ri chiziqning) koiinishi va xossalarini
tekshirish.
3.4.2. Tekislik tenglamalari
Tekislikning fazodagi
o‘mi turli parametrlar bilan (masalan,
tekislikning koordinata o‘qlarida ajratgan kesmalari bilan) bir qiymatli
aniqlanishi mumkin. Shu sababli parametrlariga ko‘ra tekislikning
turli tenglamalari keltirib chiqariladi.
I.
Tekislikda yotuvchi M0(x0; j 0:z0) nuqta va to ‘g 'ri chiziqqa
perpendikular bo ‘Igan n = {A;B;C) vektor berilgan.
Tekislikka
perpendikular
boigan har qanday vektorga
tekislikning normal vektori deyiladi.
о
tekislikning
ixtiyoriy
M(x;y;z )
nuqtasini
olamiz.
M va M0 nuqtalaming radius
vektorlari mos ravishda f va
r0
boisin.
U holda M0M = f —ft boiadi.
M va M0 tekislik nuqtalari
s boigani uchun
M0M
vektor
tekislikda yotadi va tekislikning
normal vektoriga perpendikular
boiadi, ya’ni n ± M0M (28-shakl). Ikki vektoming perpendikularlik
shartiga asosan tekislik
tenglamasini topamiz;
Я-<?-?„) = 0.
(4,1)
Bu tenglamaga tekislikning vektor tenglamasi deyiladi.
(4.1)
tenglamaga normal vektor va radius vektorlarining
koordinatalarini qo‘yib, topamiz:
A (x -x 0) + B ( y - y 0) + C ( z - z a) = Q.
164
(4.2)
Bu tenglamaga tekislikning skalyar tenglamasi deyiiadi.
Shutiingdek, (4.2) tenglamaga berilgan nuqtadan o'tuvchi. va
berilgan vektorga perpendikular tekislik
tenglamasi deyiiadi.
nuqtadan o'tuvchi va
n = {-i;~3;2} boigan tekislik tenglamasini tuzing.
Yechish. Masalaning shartiga ko'ra,
1-misol.
M0(3;4;5)
normal
vektori
x0 =3,yc =4,z0 =5, A = - l, B = -3,C = 2.
U holda (4.2) tenglamadan topamiz:
(-1) •(x - 3) + (-3) •(v ~ 4) + 2 ■(z - 5) = 0
yoki
x + 3y —2z - 5 = 0.
II. Tekislikda yotuvchi uchta M,(x, ;y,;г,), M2(x2;y2;z2), М3(х ,;^;г3)
nuqta berilgan.
a tekislikda yotuvchi ixtiyoriy M(x;y;z) nuqtani olamizva
M,M = {x - x t;y - yx\ z - z j ,
m xm
2 ={^2 - \ \ У г - y , ; z 2 - z j ,
M,M, = {x3- x t;y3 - y , ; z 3 - z j
vektorlami yasaymiz.
Bunda MXM , MXM 2, MtM3 vektorlar komplanar boiadi
(29-shakl). Vektorlarning komplanarlik shartidan topamiz:
I x - x,
у - у,
z - zl J
\ x2 ~ x, Уг~У 1 z2 “ z. =0y , ~ y , z3~z i
z
(4-3)
(4.3)
tenglamaga berilgan uchta
nuqtadan о ‘tuvchi tekislik tenglamasi
deyiiadi.
(4.3) tenglamada
X
165
29-shakl.
belgilash kiritib, topamiz:
к- x
У - Ух
z —z
■1 - ^
p
y2- y ,
q
z2- z , =0.
r
(4.4)
(4.4)
tenglamaga berilgan ikkita nuqtadan о ‘tuvchi va berilgan
vektorga p a ra llel tekislik tenglam asi deyiladi.
Shu kabi
s2
{p2,q2,r2}
belgilashlarda (4.3) tenglamadan topamiz:
x - xi y-y-i
A
(4.5)
4x
z - 2:
r,
- 0-
(4-5)
tenglamaga
berilgan
nuqtadan о ‘tuvchi va berilgan ikki
vektorga p a ra llel tekislik tenglam asi
deyiladi.
z
M, с
1
t
I
t
1
\
c ,\
M l(x,; ;z,), M 2(x2;y2;z2)v a
M,
M 3(x3;y3;z3) nuqtalar a tekislikning mos
ravishda Ox, Oy va Oz o ‘qlarda yotuvchi
-nuqtalari, ya’ni M(a;0;0), M2(0;Z>;0) va
s:M,(0;0;<;) boisin (30-shakl).
U holda (4.3) formulaga ko'ra.
x- a у
У
M,
30-shakl.
z
-a
b
0
-a
0
с
boiadi.
Bundan
bcx —abc -г abz + асу = 0, bcx + асу + abz = abc
yoki
(4.6)
a
b
166
c
30-shakldan ko‘inadiki, a, b, с mos ravishda a tekislikning Ox, Oy
va Oz o‘qlarda ajratgan kesmalarini ifodalaydi.
Shu sababli (4.6) tenglamaga tekislikning kesmalarga
nisbatan tenglamasi deyiiadi.
2-misol. M„(2;-l;3) nuqtadan o‘tuvchi, a = {ЗД-1} va 6={-3;2;2}
vektorlarga parallel tekislik tenglamasini tuzing.
Yechish. Izlanayotgan tekislik tenglamasini (4.5) formula bilan
topamiz:
x - 2 у +1 z —3
3
0 - 1 = 0,
-3
2
2
(x - 2) ■2 —(y +1) •(6 —3) + (z —3) •6 = 0,
2 x - 3 y + 6z-25 = 0.
3-misol. Ox, Oy va Oz o ‘qlarda mos ravishda 2, (-4) va 6 gateng
kesmalar ajratuvchi tekislik tenglamasini tuzing.
Yechish. Masalaning shartiga ko‘ra: a = 2; b =
с = 6.
Tekislikning kesmalarga nisbatan tenglamasidan topamiz:
x
у
z ,
—i------- 1— —1,
2. (-4) 6
6x-3y + 2z-12 = 0.
Tekislik n = OP normalining
va
birlik
vektori
e={cos«;cos/5;cos^} berilgan.
a tekislikda yotuvchi ixtiyoriy
M(x;y;z ) nuqtani olamiz. Bu nuqtaning
I ll
uzunligi
p
radius vektori r =OM = {x-,y;z} bo‘Isin
(31 -shakl). Bunda ? radius vektorning
e vektor yoiialishidagi proeksiyasi
p ga teng boiadi, ya’ni
31-shakl.
Прг =p .
Bundan
re
=
p,
r e —/ 7
167
=
0
yoki
xcosa + ycos/3 + zcosy —p = 0.
(4.7)
(4.7) tenglamaga tekislikning normal tenglamasi deyiladi.
Keltirib ehiqarilgan (4.1)-(4.7) fonnulalar asosida ushbu xulosa
kelib chaqadi:
x,y,z o‘zgamvchilammg har qanday birinchi darajali tenglamasi
j
fazodagi biror tekislikni ifodalaydi va aksincha, fazodagi har qanday j
tekislik x,y,z o‘zgaruvchilaming biror birinchi darajali tenglamasi
bilan aniqlanadi.
Demak, har bir a tekislik tenglamasini
Ax + By + Cz + D = 0
(4.8)
ko‘rinishda yozish mumkin, bu yerda D —ozod had; A 2 + B2 +C2 ф 0.
(4.8) tenglamada n = {A;B;C} boiishini (4.2) tenglama yordamida
(to‘g‘ri chiziqdagi kabi) ko'rsatish mumkin.
(4.8) tenglamaga tekislikning umumiy tenglamasi deyiladi.
(4.8) tenglamada: 1) A -- 0 boisa, tenglama By+Cz + D = 0
ko‘rmishga keladi. Bunda tekislikning n = {0;5;C} normal vektori Ox
o‘qqa perpendikular boiadi. Shu sababli tekislik Ox o’qqa parallel
boiadi. Shu kabi 5 = 0 da Ax+Cz + D - 0 tenglama Oy o‘qqa parallel
'tekislikni, C = 0 da Ax + By + D = 0 tenglama
Oz o‘qqa parallel
'tekislikni
ifodalaydi; Ax + B y +D = 0 tenglama Oz o‘qqa parallel
tekislikni ifodalaydi;
2) .0 = 0 boisa, tenglama Ax + By+Cz = 0 ko‘rinishni oiadi. Uni
0(0;Q;Q) nuqta koordinatalari qanoatlantiradi va tekislik koordinatalar
boshidan o‘tadi;
3) A = 0, D = 0 boisa, tenglamadan By+Cz = 0 kelib chiqadi, Bu
tekislik Ox o4jdan oiadi. Shu kabi Ax+Cz = Otenglama Oy o‘qdan
o‘tuvchi tekislikni, Ax+By = 0 tenglama Oz o‘qdan о ‘tuvchi tekislikni
ifodalaydi;
4) A = 0, 5 = 0 boisa, tenglama Cz + D = 0 yoki z = ---- ko‘rjnislmi
С
oiadi. Bu tekislik Oxy tekislikka parallel boiadi. Shu kabi By+D= 0
168
tenglama Oxz tekislikka parallel tekislikni, Ax+D=Q tenglama Oyz
tekislikka parallel tekislikni ifodalaydi;
5) A = О, В = 0, D = 0 bo‘Isa, tenglama Cz = 0 yoki z = Q ko‘rinishga
keiadi. Bu tenglama Oxy tekislikni ifodalaydi. Shu kabi Oyz tekislik
,x= 0 tenglama bilan, Oxz tekislik y = 0
tenglama bilan aniqlanadi.
Tekislik tenglamalarini tuzing: 1) Ox o‘qdan va
M0(0;-2;3) nuqtadan o‘tuvchi; 2) Oy o‘qqa parallel bo‘lgan va
Мл(3,0;-4), M7(5;-2;3) nuqtalardan o‘tuvchi; 3) Oxz tekislikka parallel
bo‘Igan va .M0(l;-2;3) nuqtadan o‘tuvchi.
Yechish. 1) Ox o‘qdan o‘tuvcbi tekislik tenglamasi By + Cz = 0
bo‘ladi. Bu tenglamani M0(0;-2;3) nuqtaning koordinatalari
qanoatlantiradi, chunki bu nuqta tekislikda yotadi.
4-misol.
Demak, (-2)-5-ьЗС = 0 yoki B = ^ C .
Bundan
-C y + Cz = 0
2
yoki
3y + 2z —0.
2)Oy o‘qqa parallel tekislik tenglamasi Ax+Cz + D = 0 boMadi. Uni
Mx(3;0;-4), M2(5;-2;3) nuqtalaming koordinatalari qanoatlantiradi, ya’ni
Bundan
D va C = — D.
29
U holda
— Dx + — Dz + D = 0
29
29
yoki
lx - 2z - 29 = 0.
169
3)
Oxz tekislikka
bo‘ladi. Bundan M 0(l;-2;3)
chiqadi.
U holda
parallel tekislik tenglamasi
By + D = 0
nuqtada - 2 B + D = 0 yoki D = 2B kelib
By + 2 В = 0
yoki
y+ 2= 0.
Tekislikning (4.1)-(4.8)
tenglamalaridan har birini
boshqalaridan
keltirib
chiqarish mumkin. Masalan,
(4.8)
tenglamani
(4.7)
tenglamaga o ‘tkazish uchun
(4.8) tenglikning chap va o‘ng
tomonini normallovchi ко ‘p aytuvchi
m = ±~7= T = = = = t
-Ja 2 + B 1 + C 1
deb
ataluvchi
songa
ko‘paytiriladi. Bunda M ко‘paytuvchining ishorasi D koeffitsiyentning
ishorasiga qarama-qarshi qilib
tanianadi.
3.4.3. Fazoda ikki tekislikning o’zaro joylashishi
Ikki tekislik orasidagi burchak
f
Ikki tekislikning normal vektorlari orasidagi burchakka ikki
tekislik orasidagi burchak deyiladi.
Axx + B{y + C,z + Dl = 0 , A,x + B2y +C2z + D2 = 0
tenglamalar bilan berilgan cr,, a 2tekisliklar orasidagi burchak <p ga
teng bo‘lsin(32-shakl).
Л
/\
Bunda n1={Al;Bl;CI},n 2={A2;B2\C2} va <p= (crI,сг2)=(й„Яг) .
Ikki vektor orasidagi burchak kosinusi formulasidan topamiz:
«Д
A, A, + BJi, + C’C,
COS(P = ------— ---- = ■
■-■ - ........ ?■■■2
1 j------K I - K I J a ; + b 2 +c : J a[ I b
170
2 +c 2
Odatda,
ikki tekislik orasidagi burchak deyiiganida
71
— dan
oshmagan bitrchk tushuniladi.
Shu sababli
C0Sy = — 14 Л +
-М 2 +
^1+ C‘
(4.9)
+ b i+
c\
5-misol. x + y + z - 1= 0, x - 2 y + 3 z - l = 0 tekisliklar orasidagi
burchakni toping.
Yechish Masalaning shartiga ko‘ra: Я,={1;1;1}, й2 = {l;-2;3}.
U holda
11•1+ 1(—2) +1 •31
2
V v T F T l2 •v!l2+ (-2)2 + З2 л/42'
COS<2> = -
Bundan
= arccos —= ) » 72°.
\л/42
Ikki tekislikning perpendikularlik sharti
cr, ±cr2 boisin. U holda cos^> = 0 va (4.9) tenglikdan topamiz:
44
+
вхв2+ c .c , = о .
(4 .1 0 )
6-misol. M{ Щ , М 2(0;3;4) nuqtalardan o‘tuvchi va x + 2j>-z = 0
tekislikka perpendikular tekislik tenglamasini tuzing.
Yechish. Tekislik tenglamasini Ax + By+Cz + D = 0 ko‘rinishida
izlayraiz.
Misolning shartiga ko‘ra:
A + 2 B - C - - 0 (tekislik x + 2y - z = 0 tekislikka J_),
A + 26 + С = -D (tekislik
(1;2;1) nuqtadan o'tadi),
3B+4C = - D (tekislik M2(0;3;4) nuqtadan o'tadi.
Sistemaning yechimi:
7
1
1
6
3
2
A - ——D, B = - D , С = — D .
171
А, В, С koeffitsiyentlarni izlanayotgan tenglamagaqo‘yamiz:
- - D x + - D y - - D z + D = 0.
6
3
2
Bundan
7x —2y + 3z —6 = 0.
Ikki tekislikning parallellik sharti
er, va иг tekisliklar parallel boisin. U holda ii, ={Al;Bl;Ci} va
я2 = {A2;B2;C2} vektorlar kollinear boiadi. Ikki vektoming kollinearlik
shartidan ikki tekislikning parallellik shartini topamiz:
A R C
A = ±L = b . .
a2
b2
(4.11)
c2
Ikki tekislikning ustma-mt tmhishi
er, va <t 2 tekisliklar ustma-ust tushsin. U holda birinchidan uiar
parallel boiadi. Ikki tekislikning parallellik shartidan topamiz:
A =A =£l=a
a 2 S,
c2
yoki
At - 1 4 , = 0, В,-лВ2 = 0 , С 1-ЛС2=0.
У
Ikkinchidan <т, tekislikning har bir nuqtasi,
M0(x0;y0;z0) nuqta a 2 tekislikda yotadi, ya’ni
(4.12)
jumladan
A,x„ + BIyl>~rCz0 + Ц =0,
A2x0 + B2y0 + C2z0 +D2= 0.
Bu tengliklardan ikkinchisini Л g a k o ‘paytiramiz va birinchi
tenglikdan ayiramiz:
(At -A A 2К + (/? , ~A52)y9 +(C, - ACJz, + ( D , -Д Д ) = 0.
Bundan (4.12) tengliklami hisobga olsak D, - АЦ. =0 yoki — = Я
^2
boiadi.
172
Demak,
4 - = ^ l = ^2. = ^ l
a2 b 2 c 2 d 2
(4.13)
ifodalaydi.
tengliklar
tekislik!aming
ustma-ust
(4 13)
tushish shartini
3.4.4. N uqtadan tekislikkacha b o ig a n masofa
Nuqtadan
tekislikka
tushirilgan
perpendikulaming
uzunligiga
nuqtadan tekislikkacha bo ‘Igan masofa deyiiadi.
M0(x0;j>0;z0) nuqta va Ax + By+Cz + D = 0 tenglama bilan
a
tekislik
berilgan boisin. M„ nuqtadan a tekislikka tushirilgan
perpendikuiaming asosini Mfx^y,-^) bilan belgilaymiz (33-shakl).
U holda
M0 nuqtadan cr tekislikkacha boigan masofa
d = j r i f r M , b o i a d i , bu yerda MjM0 ={x0 -~xl;y0 - y . ; z 0~ z Ij.
Ikki vektor skalyar ko‘paytmasining xossasiga ko‘ra,
d=
M,MI} ■n\ . IК - xi)A + (Vo - y t)B + (z0 - z ])C\
\n\
xA2 + B 2 + C 2
_ 1Ax0 + By0 + CzB- Ax, - By, - Czx\
•Ja 2 + b 2+ c 2
M,
nuqta a tekislikda yotgani sababli
Axj "h
= 0,
ya’ni
D = —Jx, —By{ —Cz..
Bundan
^ ^ \A.x0 + By0 + Cz„ + .D|
V^2 + .s2 + c 2
/4 | 4ч
Shunday qilib, nuqtadan tekislikkacha bo ‘Igan masofa
(4.14) formula bilan topiladi,
7-misol. M0(5;4;-l) nuqtadan M f 3;0;3), jU2(0;4,0) va M,(0;4;-3)
nuqtalardan oiuvchi tekislikkacha boigan masofani toping.
Yechish. Avval berilgan uchta nuqtadan o‘tuvchi
tenglamasini tuzamiz:
173
tekislik
х- 3
у
0 -3
0 -3
4 0 -3 = 0.
4 -3-3
z- 3
Bundan
—12 ■(x —3) —9 •у + 0 ■(z - 3) = 0
yoki
4x+3y-12 = 0.
Ma(5;4;-l)
nuqtadan
tekislikkacha
4x + 3y -12 = 0
boigan
masofani (4.14) formula bilan
hisoblaymiz:
rfJ 4 . S + 3 - 4 - 12|
л/42+32+02
33-shakl.
3.4.5. Mashqlar
1.
M„(2;—1:3) nuqtadan o ‘tuvchi va shu nuqtaning radius vektoriga
perpendikular b o ig an tekislik tenglamasini tuzing.
2. Я = {2;-3;4} vektorga perpendikular bo‘lgan va O z manfiy yarim o'qda
,t-.
* 5 ga teng kesma ajratuvchi tekislik tenglamasini tuzing.
3.
M(2;3;-l) nuqtadan o‘tuvchi 2x-3_y+5z-4 = 0 tekislikka parallel tekislik
tenglamasini tuzing.
4, A/(2;5;-l) nuqtadan o‘tuvchi 2x+3_y-4z+5 = 0 tekislikka parallel tekislik
tenglamasini tuzing.
5. Tekislik tenglamalarini tuzing:
o‘tuvchi;
3)
2)
M0(2;-l;3)
nuqtadan
1) JW0(1;3;—
2) nuqtadan va Oxo'qdan
o‘tuvchi
va
Oy
o‘qqa
perpendikular;
M 0(3;-2;4)nuqtadan o‘tuvchi va Oxy tekislikka parallel; 4) M,(2;-3;l), M 2(3;4;0)
nuqtalardan o'tuvchi va Oy o‘qqa parallel; 5) koordinatalar boshidan va
M t(.3;-4;2), M 2(-l;3;4) nuqtalardan o ‘tuvchi.
174
6 . Tekislik tenglamalarini tuzing:
o'tuvchi;
1) M 0(2;-5;4) nuqtadan Oyo'qdan
2) M0(3;7;~l) nuqtadan o ‘tuvchi va Qx o'qqa perpendikular;
3)
M0(2:-3;4) nuqtadan o'tuvchi va Ож tekislikka parallel; 4) А/,(2;l;-2), M 2(-7;-2;l)
nuqtalardan o'tuvchi va Oy o ‘qqa parallel; 5) koordinatalar boshidan va
M\( 1;2;-1), M 2(~3;0;4) nuqtalardan o'tuvchi.
7. 2x + - 3z + 6 = 0 tekislikning koordinata о ‘qlari bilan kesishish
nuqtalarini toping.
8 . 2jc+3,v-5z+30 = 0 tekislik koordinata o'qlarida qanday kesmalar ajratadi?
9. M,(2;—1:3), M 2( - 1;3:2) nuqtalardan o'tuvchi va Ox, Oz o'qlarida teng
musbat kesmalar ajratuvchi tekislik tenglamasini tuzing.
10. M 0( 2:5;—2) nuqtadan o'tuvchi va Ox,Oz o‘qlarida Oy o'qqa nisbatan uch
barobar uzun kesma ajratuvchi tekislik tenglamasini tuzing.
11. Berilgan uchta nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini tuzing:
1) M x(2;1;—1), M,(3;1;0), M 3(- l;2 ;- l) ;
2 ) М,(\;-2; 3), M 2(4;l;3), U 3(l;2:-1).
12. M 0(3;3;3) nuqtadan koordinata tekisliklariga tushirilgan perpendikular
asoslari orqali o'tgan tekislik tenglamasini tuzing.
13. Mj(l;l;l), M 2(0;2;l) nuqtalardan o'tuvchi va a = {2;0;1} vektorga parallel
tekislik tenglamasini tuzing.
14. M^l-,2-,0), M 2(2;1;1) nuqtalardan o'tuvchi va a = {3;0;1} vektorga parallel
tekislik tenglamasini tuzing.
15. M 0(1;—2;3) nuqtadan o'tuvchi va а = {2;1;1},й = {3;1;-1} vektorlarga parallel
tekislik tenglamasini tuzing.
16, M 0(0;1;2) nuqtadan o'tuvchi va 5 = {2;0;1},*={1;1;0} vektorlarga parallel
tekislik tenglamasini tuzing.
17, 9 x - 2 y + 6 z - l \ = 0 tekislik tenglamasining kesmalarga nisbatan va normal
ko'rinishlarini yozing.
18, 5x + 7y-34z+5 = 0 tekislik tenglamasining kesmalarga nisbatan va normal
ko'rinishlarini yozing.
175
19. Tekisliklar orasidagi burchakni toping:
1) x —2y + 2z + 5 = 0 va x —y —3 = 0 ;
2) 3jc->> + 2z + 12 = 0 va 5x+9y—3z—l = 0 ;
3 ) 2 x - 3 y - 4 z + 4 = 0va 5x + 2y + z —3 = 0;
4) x+ 2y+ 3= 0 va _ y + 2 z-5 = 0.
20 . m va «ning qanday qiymatlarida tekisliklar parallel bo‘ladi:
l)3 x —5 y - n z —2 = 0 ,
mx + 2 y - 3 z + 11 = 0; 2 ) n x - 6 y - 6 z + 4 = 0, 2x + my+3z-& = 0 .
2 1 . m ning qanday qiymatlarida tekisliklar perpendikular bo‘ladi:
1) 4x—ly + 2 z ~ 3 —0 , - 3 x + 2y + mz + 5 = 0 ;
2) x —my+z = 0 ,2 x + 3y+mz —4 = 0 .
22. Tekislik tenglamalarini tuzing:
1) Мй(2;2;- 2) nuqtadan o‘tuvchi va berilgan tekislikka parallel:
a) x - 2 y - 3 z = 0 ;
b) 2 х + 3 .у + г -1 = 0 ;
2) M„ (—1;—1;2) nuqtadan о ‘tuvchi va berilgan ikki tekislikka perpendikular:
a) x + 2 y —2z+ 6= 0, x —2y+ z+ 4 = 0;
b) x+ 3 > > + z-l = 0, 2 x - y + z —2 = 0.
3)M (5;--4;3), A/,(-2;l;8) nuqtalardan o‘tuvchi va berilgan tekislikka
perpendikular:
a) Oxy-,
b) Oyz ;
c) Oxz.
23. M{-2;1;3)nuqtadan va x - 2 y - 2 z + 6 = 0, 2 x + 3 y - z + 3 = 0 tekisliklammg
kesishish chizig‘idan o‘tuvchi tekislik tenglamasini tuzing.
24.
M(2;l;-2) nuqtadan
о ‘tuvchi
va
x+3y+2z+l.=0,
3x + 2 y - z + & = 0
tekisliklar kesishish chizig‘iga perpendikular tekislik tenglamasini tuzing.
25. M,(2;0;0), M Z(0;1;0) nuqtalardan o‘tuvchi va Oxy tekislik bilan 45° li
burchak tashkil qiluvchi tekislik tenglamasini tuzing.
26. Tekisliklammg kesishish nuqtasini toping:
1) x + 2 y - z + 2 = 0, x —y —2z + 7 = 0, 3 x - y —2 z+ ll = 0;
2) x —2 y —4z = 0, x +2.y-4z + 4 = 0, 3x + y - z —4 = 0.
27. Af„(5;-1;4) nuqtadan M,(3;3;0), M 2(0;-3;4), M,(0;0;4) nuqtalar yotuvchi
tekislikkacha bo‘lgan masofani toping.
28. Qxoqning 2 x + y - 2 z + 6 = 0 , x + 2 y + 2 z - 9 = 0 tekisliklardan tenguzoqlikda
yotuvchi nuqtasini toping.
176
29.
2 x —y - 2 z —S = 0 tekislikka parallel
boigan va Ma(4;3;-2)nuqtadan d = 3
masofadan o'tuvchi tekis! ik: tenglamasini tuzing.
30. Ikki yog‘i 1 2 x + 3 y - 4 z - 4 = 0 va 12x+ 3y-4z+ 22= 0 tekisliklardayotuvchi
kubning hajmini toping.
31. M(4;3;l)nuqtaning 3x-4y+ 12z+ l4 = 0 tekislikdan chetlashishini toping.
32. M(3;0;t) nuqtaning 2x+ 9 y -6 z+ 3 3 = 0 tekislikdan chetlashishini toping.
33. l Q x + 2 y - 2 z - 5 = 0, 5 x + y - z - \ =0parallel tekisliklar orasidagi masofani
toping.
S.5., FAZODAGI TO ‘G ‘R I CHIZIQ
3.5.1. Fazodagi to ‘g‘ri chiziq tenglam alari
To‘g ‘ri chiziqning kanonik teng/amasi
Analitik geometriyaning bir qancha masalalarini yechishda fazodagi
to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasi deb ataluvchi maxsus tenglaina
keng qo‘11aniladi. Bu tenglamani
keltirib chiqaramiz.
Fazoda biror to‘g£ri chiziq
berilgan bo‘1sin. Bu to‘g‘ri chiziqqa
parallel bo‘lgan (yoki bu to‘g‘ri
chiziqda yotuvchi)
nolga teng
bo‘lmagan har qanday vektorga bu
to£g‘ri chiziqning
yo ‘naltiruvchi
vektori deyiiadi.
Berilgan M0(x0;y0;z0) nuqtadan
o'tuvchi va yo‘naltiravchi vektori
s={p;q;r} bo‘lgan / to‘g‘ri chiziq
tenglamasini tuzamiz. Buning uchun
I to ‘g‘ri chiziqning ixtiyoriy M(x;y;z ) nuqtasini olamiz va
MaM = { x - x 0- ,y - y tI; z - z il} vektorni yasaymiz (34-shakS).
Bunda s va M0M vektorlar kollinear bo‘ladi. Ikki vektoming
17?
kollinearlik shartidan topamiz:
*~*o
У~Уо
(5.1)
Bu tengliklami I to‘g‘ri chiziqda yotuvchi har bir M (x; yz )
nuqtaning koordinatalari qanoatlantiradi, va aksincha agar M(x;y;z)
nuqta ! to‘g‘ri chiziqda yotmasa, u holda uning koordinatalari (5,1)
tengliklami qanoatiantirmaydi, chunki bunda J va M0M vektorlar
kollinear boimaydi.
(5.1)tengliklarga to 'g ‘ri chiziqning kanoniJc tenglamasi deyiladi.
Bunda ixtiyoriy s yo‘naltiruvchi vektoming p, q, r koordinatalari
bu to ‘g'ri chiziqning yo‘naltiruvchi parametrlari va s vektoming
yo‘naltimvchi
kosinuslari bu to 'g ‘ri chiziqning yo'naltiruvcbi
kosinuslari deb ataiadi.
To‘g‘ri
chiziqning kanonik tenglamasidan uning boshqa
tenglamalarini keltirib chiqaramiz.
To‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasini
_y-ya
p
q
x - x 0^ z - z 0
p
r
tenglamalar sistemasideb qarash mumkin.
Bu tenglamalarning har ikkalasi birinchi darajali tenglamalar
hisoblanadi, ya’ni tekislik tenglamalari bo‘iadi. Bundan fazodagi to ‘g ‘ri
< 5 chiziq ikkita parallel bo Imagan tekislikning kesishisidan hosil bo ‘ladi
degan xulosaga kelish mumkin.
Masalan, - ^ =^ =
to ‘g‘ri chiziq 2 x + 5 v - 2 = 0
va 3 y - 2 z = 0
tekisliklammg kesisish chizigi boiadi.
Shunday qilib, agar cr, va cr2 tekisliklammg nl = {Al;B1;Cl} va
n2 ={A2;B2;C2} normal vektorlari kollinear boim asa, bu tekisliklammg
kesishishidan hosil boigan I to‘g‘ri chiziq quyidagi tenglamalar
sistemasi bilan ifodalanadi:
j Atx + B,y + CjZ + Dl = 0,
+ 32у + C2Z
~
178
Bu tenglamaiar sistemaga t o ‘g ‘ri chiziqning umurniy tenglamalari
deyiiadi.
(5.2) umurniy tenglamalari bilan berilgan to‘g‘ri chiziqning kanonik
tenglamasi quyidagi tartibda topiladi.
1. To‘g‘ri
chiziqning biror M 0(x0;y0;z0) nuqtasi topiladi.
Вuning uchun aw al noma’Ium
9 Уоi z^
koordinatalardan biriga
qiymat beriladi va bu qiymat
(5.2)
tenglamalardagi
mos
o‘zgaruvchi o‘rniga qo‘yiladi,
keyin
boshqa
koordinatalar
(5.2) sistemani yechish orqali
aniqlanadi.
2.
To‘g ‘ri
chiziqning s
yo‘naltimvchi vektori topiladi. /
to‘g‘ri chiziq
Я,
va
n2
vektorlarga
perpendekular
3 5 -shakl.
bo‘lgani
uchun s l-nv s ±.n2
boiadi (35-shakl). Bundan
c,
;
B2 c 2
A, Bl I
9
A2
B2
С2 Д
С,
5
Д
(5.3)
vektor aniqlanadi.
3.
Topilgan M0 nuqta va s vektor asosida kanonik tenglama
tuziladi.
1-misol.
x - 2 y + 3z + l = 0,
tenglamani kanonik ko‘rinishga keltirmg.
2x + у - 4 z —8 = 0
Yeckih. Misol shartiga ko‘ra:
4 = 1 , B, = -2 , C, = 3, A, = 2, B2 = 1, C2 = -4 .
To‘g‘ri chiziqning М0(х0;у0;г0) nuqtasini topish uchun z0 = 0 deb
olamiz.
U holda
I x 0 “ 2y0 = -1,
[2xtt+ ya= 8
sistemadan x0 =3, yu= 2 ekanini topamiz.
To‘g‘ri chiziqning yo‘naltiruvchi vektorini (5.3) formuladan
179
topamiz:
s =•
-2
3
1 —4
3 1
-4 2
1
2
-2
1
= {5;10;5}.
J
M0 nuqta va s vektoming koordinatalarmi (5.1) tenglamaga
qo‘yarniz:
x-3 _ y - 2 _ z
10~ ~ 5
yoki
x -3
~ T ~ ~
у -2 _z
2
~T'
(5.1) tengiamada
x ~ xo _ У - J
belgilash kiritamiz.
Bundan
x = x0 + pt,
y = y a+qt,
(5.4)
z - z n +rt
tenglamalar kelib chiqadi, bu yerda t e if-param etr.
(5.4)
tenglamalarga to ‘g ri chiziqning param etrik tenglamalari
deyiladi.
M a’lumki, fazodagi chiziqning uchta
parametrik (skalyar)
tenglamalarini bitta vektor tenglama bilan ifodaiash mumkin.
Demak, (5.4) tenglamalami
r =rn+ts
(5.5)
ko‘rinishda yozish mumkin, bu yerda r-~{x;y;z}, r0 ={x0;j>0;z0} - mcs
ravishda M(x;y;z), M0(xrj;yt;z0) nuqtalaming radius vektorlari;
s = {p;q;r} - to ‘g ‘ri chiziqning yo‘naltiruvchi vektori (34-shakl).
(5.5) tenglamaga to ‘g ‘ri chiziqning vektor tenglamasi deyiladi.
Berilgan М Дх,;^^,) va M2(x2;y2;z2) nuqtalardan о‘tuvchi I to ‘g‘ri
chiziq tenglamasini tuzamiz. Buning uchun 1 to‘g ‘ri chiziqning
180
yo‘naltiruvchi vektori sifatida
s = MlM1 = (x, - x, ;y 2 - y , ; z 2 -z,}
vektorni olamiz va (5.1) tengliklardan
* - *. = У - У , = z - z,
x 2 ~x,
У2 - У ,
(5 6)
Z2 ~ Z,
Icngliklami keltirib chiqaramiz.
Bu tengliklarga berilgan ikki nuqtadan о ‘tuvchi to ‘g 'ri
tenglamasi deyiiadi.
chiziq
3.5,2. Fazoda ikki to ‘g‘ri chiziqning о‘жаго joylashishi
Ikki to ‘g ‘ri chiziq orasidagi burchak
——Ь^ = У.—Ъ . - ——Ъ, va *—h . = y.—h . - - —b . tenglamalari bilan
Px
Я,
>\
Pi
Яг
r2
berilgan ikki /, va l2 to‘gi'i chiziqlar orasidagi burchak <p boisin.
Bunda to‘g'ri chiziqlarning yo‘naltiruvchi vektorlari J, ={ pl-,ql;rt) ,
s2={p2;q2;r2} ga va ular orasidagi burchak to‘g ‘ri chiziqlar orasidagi
burchaklardan biriga teng, ya’ni <p=(l1,l2')=(sl,s2) boiadi.
<p burchak kosinusini topamiz:
C0S^ = _ j A _ = n ... Ы ^ Ш ± !Ъ .------- .
I
II *2 i
(5.7)
Jpf + <?,2+ r*-Jp 2+ q; + ri
2-misol. x = 3 t - 2 , y —0, z = —t + 3 va x = 21—\, y = 0, z —t —3
to‘g‘ri chiziqlar orasidagi o‘tmas burchakni toping.
Yechish. To‘g i i chiziqlar tenglamalarini kanonik
keltiramiz:
x +2 _ у _ z - 3
x+ \ _ у _ z +3
’ ’1 T ~ Q ~ ~ T '
U holda (5.7) formuladan topamiz:
COSФ =
3 ■2 + 0 ■0 + (-1) •1
yl ¥ + o2 + ( - 1)2 •V2 2T o 2 + 12
Л
7 - ------- г-.-ттггг : -------------------- ================ = ± -------- .
181
2
shaklga
0 ‘tmas burchak uchun cos<p=
л/2
- boiadi. Bundan <p= 135°.
Ikki to‘g ‘ri chiziqning perpendikularlik sharti
/, ± l2 boisin, U holda cos^ = 0 va (5.7) tenglikdantopamiz:
PxPi +ЗД2+r/2 = 0.
Bu tenglik
ifodalaydi.
ikki to ‘g‘ri chiziqning
(5.8)
perpendikularlik
shartini
Ikki to ‘g ‘ri chiziqning parallellik sharti
lx va l2 to‘g‘ri chiziqlar parallel boisin. U holda $x= {p x',ql',rl) va
s2={p 2;q2;r2} vektorlar kollinear boiadi. ikki vektoming kollinearlik
shartidan ikki to‘g‘ri chiziqning parallellik shartini keltirib chiqaraamiz:
£ l = 1 l = Zl.
Рг
Яг
(5.9)
ri
Ikki to ‘g ‘ri chiziqning bir tekislikdayotishi
/, va l2 to‘g‘ri chiziqlar bitta с tekislikda yotsin.
/,
to‘g‘ri chiziqning nuqtasi va M 2(x2;y2;z2) - 1 2 to ‘g ‘ri chiziqning nuqtasi
boisin.
IJ holda 3;
s2 = {p2;q2;r1}, MtM2 = {x2 - x1;y2 —yl;zz - z,}
V vektorlar a tekislikda yotadi, y a’ni bu vektorlar komplanar boiadi.
s
Vektorlaming komplanarlik shartiga ko'ra topamiz:
У г~ У
Bu tenglik
ifodalaydi.
i
Z2 ~ * i
Pi
<h
ri
Pi
Чг
ri
= 0.
(5.10)
ikki to‘g‘ri chiziqning bir tekislikda yotishi shartini
Ikki to ‘g ‘ri chiziqning ayqash bo ‘lishi
/j va l2 to‘g‘ri chiziqlar ayqash bo isa,
={p1;qi;r1} ,s 1= {p2;q2;r2} ,
MlM2={x1~xi-,y2~ y l;z2- z 1} vektorlar bir tekislikda yotmaydi, ya’ni
182
komplanar boimaydi.
Shu sababli
*l~Xx У1 - У 1
Pi
9i
P2
Чг
Z2~Z.
Ф
0.
(5.11)
r2
boiadi. Bu shart ikki to‘g‘ri chiziqning ayqash boiishini belgilaydi.
Ikki to 'g ‘ri chiziqning ustma-ust tushishi
/, va l2 to 'g ii chiziqlar ustma-ust tushsin. U holda bu to‘g‘ri
chiziqlar birinchidan,
parallel
boiadi
va ikkinehidan,
м [м г ={x2--xt;yt - jy,z2- z j
vektor bu to‘g‘ri chiziqlardan bifida, masalan /, dayotadi.
Shu sababli
"A = 1 l = Zl 5
A 92 гг ’
x; ~ x' = У2~У, = z2 - zi
P,
(5.12)
ifodalaydi.
9;
П
tengliklar ikki to‘g ‘ri chiziqning ustma-ust tushish shartini
3.5,3. Fazoda to‘g‘ri chiziq bilan tekislikning
o‘zaro joylashishi
To‘g ‘ri chiziq bilan tekislik orasidagi burchak
To‘g‘ri chiziq bilan uning
tekislikdagi proeksiyasi orasidagi
burchakka to ‘g ‘ri chiziq bilan
tekislik orasidagi burchak deyiiadi.
/;£ Z ^ =
p
(5.12)
q
=
r
to 'g i i
chiziq bilan a:Ax + By + Cz + D = Q
tekislik orasidagi burchak q>
boisin. U holda to‘g‘ri chiziqning
yo ‘naltiruvchi vektori s = {p; q\r }
bilan tekislikning normal vektori
183
n = {A;B;C} orasidagi burchak
^ = 90°-q> b o iad i (36-shakl).
cos(^=sin^» tenglikni hisobga olib, topamiz:
| Ap + Bq + Cz |
sine? = - 7 =;— ,---- .....=
-siA" + В2 + C 2-Jp2 + q 2 + r 2
- y - =—
3-misol
= Z~~Y
(d .13)
to‘g‘ri chiziq bilan 2 x - y - z + 9 = 0
tekislik orasidagi o ik ir burchakni toping.
Yechish. Izlanayotgan burchakni (5.13) formula bilan topamiz:
j2 •1 + ( - 1) •1 + ( - 1) •(—2 ) I
sm m = - ,---- L = —>- ■7..■
_
1
= _.
V? + H ) 2+ ( - 1)2 ■л/Г2+12+ (-2)2 2
Bundan <p= 35°.
To‘g ‘ri chiziq bilan tekislikning perpendikularlik sharti
I
L a boisin. U holda to‘g‘ri chiziqning yo‘naltiruvchi vektori
s={p;q;r} va tekislikning normal vektori n = {A;B:C} kollinear boiadi.
Bundan
^ =* =C
p q r
(5.14)
to ‘g‘ri chiziq bilan tekislikning perpendikularlik sharti kelib chiqadi,
To‘g ‘ri chiziq bilan tekislikning paraleUik sharti
/||<т boisin.U holda, s L n boiadi.
■, “Bundan
Ap + Bq + Cr-Q.
(5-15)
Bu tenglik to‘g‘ri chiziq bilan tekislikning parallellik shartini
ifodalaydi.
4-rnisol. M0(--l;2;-3) nuqtadan oiuvchi va 2x ~3y + 6 z —l = 0
tekislikka perpendikular to ‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzing.
Yechish. To‘g ‘ri chiziq bilan tekislikning perpendikularlik shartiga
ko'ra,
2_-3_6
p
q r'
3
Bundan q = —~p, r = 3p.
184
Demak, M0( - 1;2;-3), s = \p ; - ~ p ;3 p
U hoida (5.1) tenglamagako‘ra:
x+1
y-2
z+3
yoki
x +1 у - 2 z + 3
Bu masalani boshqacha yechish mumkin. To‘g‘ri chiziq tekislikka
perpendikular bo‘lgani sababli tekislikning normal vektori
to ‘g‘ri
cliiziqnmg
yo‘naltiruvchi vektori boiadi, ya’ni ? = {2;-3;6}.
U holda M„(- 1;2;—3) nuqtadan o‘tuvchi to ‘g‘ri chiziqning kanonik
tenglamasi:
x+l _ y - 2 _z +3
~2~~ -3 ~~6~
= Z—\ = Z+1 to ‘g‘ri
3
/и /к +1
chiziq va Зх + у - 3z -1 = 0 tekislik parallel bo‘ladi?
Yechish. m ning
izlanayotgan qiymatini to‘g‘ri chiziq va
tekislikning parallellik shartidan topamiz: 3-3 + 1-m + (-3) -(m +1) = 0.
Bundan m = 3 .
5-misol.
w ning
qanday qiymatida
To 'g ‘ri chiziq bilan tekislikning kesishishi
Agar l\\a boim asa, u holda to‘g ‘ri chiziq va tekislik kesishadi.
Shu sababli
Ap + Bq + Cr^ 0
(5.16)
b o ia d i.
Bu shart to ‘g‘ri chiziq bilan tekislikning keshishishini belgilaydi.
Shunday qilib, (5.16) shart bajarilsa, to‘g‘ri chiziq bilan tekislik
qandaydir nuqtada kesishadi. Bu nuqta М \(х„у\,г^ boisin. U holda
Mfx^y^zJ nuqtaning koordinatalari to‘g‘ri chiziq va tekislikning
tenglamalarini qanoatlantiradi:
-^i ~~ _ Уi ~ Уо _ **i zo
17)
p
q
r ’
185
Ax. + Ву, +Czj +D = Q.
(5.18)
Bu tenglamalardan Mfx^y^z,) nuqtani topish quyidagi tartibda
amalga oshiriladi:
Г. (5.17) tenglama parametrik koiinishga keltiriladi:
x, =x0 +pt, y ,= y 0 + qt, z, = z0 + rt ;
(5.19)
2 °.x„y, va z, lar (5.18) tenglamaga qo'yiladi va u t ga nisbatan
yechiladi;
3°. г ning topilgan qiymati (5.19) tenglamalarga qo‘yiladi va
М,(хр y„zt) nuqta aniqlanadi.
6-misol. .
=
to‘g ‘ri chiziq bilan 2x +3 j - z - 3 =0
tekislikning kesishish nuqtasini toping.
Yechish.
Г-
=
= -2-*, j> ,= -l-2f, ^=1 + 3?;
2°. 2(—
2 - 0 +3(—1—2r) —(1 +3r) - 3 = 0 => f =—1;
3°. x, =—2 —(—1) = —1, y 1 = - l- 2 - ( - l) = l, Zj =1 + 3 ■(-1) = —
2.
Demak, M,(-l;l;-2).
To‘g ‘ri chiziqning tekislikda yotishi
I to‘g ‘ri chiziq о tekislikda yotsin.
U holda birinchidan, ? 1 й bo iadi va ikkinchidan, to‘g’ri
chiziqning M0(x0;y0;z0) nuqtasi tekislikda ham yotadi.
Shu sababli
ч.
Ap + Bq + C r - 0,
Ax0 + By0 +Cz0 + D =0.
.5 2 0 )
(5.20) shart to‘g‘ri chiziqning tekislikda yotishmi belgilaydi.
3.5.4. Nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha boigan masofa
•y_ v>
g _ 2"
q
r
nuqta v a ------- = - —— =-— - tenglama bilan / to‘g ‘ri
p
chiziq berilgan boisin. / to‘ g ‘ri chiziq M0(x0; j 0;z0) nuqtadan o‘tadi va
186
s={p;q;r} yo‘naltiruvchi vektorga ega boiadi.
nuqtadan
to‘g ‘ri chiziqqacha boigan masofa d boisin.
Izlanayotgn d masofa
M0Ml va s vektorlarga quriigan
parallelogramm balandligining uzunligiga teng bo iadi (37-shaki).
Bu parallelogrammning
7
yuzi |M 0A/, x JI ga teng.
Bundan
------------------ ►
I
(5.21)
d=
kelib chiqadi.
7-misol.
M,(l;—1;—
2 ) nuqtadan
x +3 у +2 _ z -
— to‘g ‘ri chiziqqacha
3
2
-2
boigan masofani toping.
Yechish, Misolning shartiga ko‘ra:
M ^ -V -2 ), Ma(~3;-2;8), ? ={3;2;-2}.
37-shaki.
Bundan
M0Mj ={1- (—
3);—1- (—
2);—
2 - 8} =
.
U holda
t j
к
M0M j x J = 4 1 -10
3 2 -2
=(-2 +20)/ —(—8 +30)7 +(8 —3)A =18?- 2 2 j+ 5 k ,
\МЖ x ? |=^TjF+^22)2 + 52' = 7 V 1 7 , ||= ^32 + 2 2 + (-2 )2 = V l7 .
(5.21) fonnula bilan topamiz:
,
7 / 17
3.5.5. M ashqlar
1.
Berilgan to‘g ‘ri chiziqning kanonik tenglamasini tuzing: 1) Ml(l;l;- 2)
nuqtadan о‘tuvchi va ? = {2;3;-l} vektorga parallel; 2) M 2(2;-3;-l) nuqtadan
о‘tuvchi va Oy o‘ qqa parallel;
3) M .(2;-l;-2) nuqtadan о‘tuvchi va
&x-ь2y—4z—5 = 0 tekislikka perpendikular.
187
2. M0(2;-3:5) nuqtadan o‘tuvchi berilgan to‘g‘ri chiziqiarga parallel to'g'ri
chiziq tenglamasini tuzing:
14 x + l y+1 z —2
1) ----- =—— =------ ;
4
1
3
-4
, _
, .
2 ) x= 3 + 2Z, y = —l+3?,z = l —f;
f x+ 3y + z +6 = 0,
3) <
[2 x - ^ - 4 z +3 = 0.
3. M(-3;6;2) nuqtadan o'tuvchi v a Oz o'qni to 'g'ri burchak ostida kesuvchi
to 'g'ri chiziq tenglamasini tuzing.
4. M (-l;2 ;-3 ) nuqtadan o'tuvchi va koordinata o'qlari b ilan a = y ,
2n
Y=— burchaklar tashkil qiluvchi to‘g ‘ri chiziq tenglamalarini tuzing.
5. Berilgan nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziqning umurniy tenglamasini
tuzing:
1) M, (—1;2;2), M2(3 ;l:-2 ) ;
2) Mx(1;—
2 ;l), M2( 3 ;l;- l) .
6. l/(2;2;-l) nuqtadan o'tuvchi va <3= {1;1;2}, b = {—1;3;1} vektorlarga
perpendikular to'g'ri chiziqning umurniy tenglamasini tuzing.
7. T o'g'ri chiziq tenglamasini parametrik ko'rinishga keltiring:
\5x + y - 3 z + 5 = 0,
^ ^x +y - z - l = 0,
1 ) & x-4y-z +6 = 0;
[x-y +2z+l =0.
8. T o'g 'ri chiziq tenglam asini kanonik ko'rinishga keltiring:
(4 x ~ y -z + 12 = 0,
’ [
J x + y -z + 3 = 0,
y - z - 2 = 0:
[2 * - у
-1 = 0 .
9.
Uchburchakning uchlari berilgan: A(-l;2;3),
o'tkazilgan mediana tenglamasini tuzing.
2Д), C(3;4;5). A uchdan
10.
ABCD parallelogrammnmg ikki uchi ,4(-l;2;0), 5(4;3;3) va diagonailari
kesishish nuqtasi 0 (-2 ;i;2 ) berilgan. Parallelogramm CDtomonining tenglamasini
tuzing.
11. T o'g'ri chiziqlar orasidagi o'tkir burchakni toping:
1) x~-2+3t,y =0,z = 3—t v a x=-l+2t,y=0,z —-3+t;
„
jc
y — 2 z+2
2) - = - — = —— va
’ 2
-1
3
[2 x + y -
{
z
- 1 = 0,
[2x-y+ 3z+ 5 = 0.
12. M (-2;3;—1) nuqtadan o'tuvchi v a berilgan to'g'ri chiziqiarga
perpendikular to'g'ri chiziq tenglamasini tuzing:
x
v
z-2
x+ l_y+ l_z-2'
x - 5 __ y+\
z -3
x +2
у
z+1
13. М(1;-1;2) nuqtadan o‘tuvchi va iL_? =Z i l =£ _ l to‘g ‘ri chiziqqa
1 3
2
parallel to‘g ‘ri cbiziq tenglamasini tuzing.
84. To‘g ‘ri chiziqlaming cfzaro joylashishini aniqlang:
! ) ——
■ = —— - =
- 4 - 3
„чХ + 4
2
y+3 _ z - l
x=2+8t,y=6t,z = - 3 —4t;
x _ y - l _z+2
~3~~~2~~~~Г’ - 2 _ _ 3
-Г '
35. T o‘g ‘ri chiziq bilan tekislik orasidagi burchakni toping:
1) — = ^ = —
2
1 - 2
, 2 x + 2 v -9 = 0 ;
'
: x + 2 y - z + 6 = 0.
r
[У - z - 2= 0,
16. To‘g ‘ri chiziq bilan tekislikning o‘zaro joylashishini aniqlang:
n {-v~.V+ 4 z - 6 = 0,
■
l)i
3 x—v+ 6z —12 = 0 ;
[ 2 x r y - z + 3 = 0,
'
x +l j - 2
z +2
2 ) ------= —----- =-------,
' 2
8
3
2 x + y -4 z -8 = 0.
17. To‘g ‘ri chiziq bilan tekislikning kesishish nuqtasini toping:
1) £ z l = Z z Z = £ z i, * - 3у - 2 г +5 = 0 ;
1 5
4
2 ) * = Z ± H = £± Z,
' 2
17
13
5* - z - 4 = 0.
18. м(4;5;-6) nuqtadan berilgan tekislikka tushirilgan perpendikular
tenglamasini tuzing:
1) x - 2 y - 3 = Q;
2 ) x - y + z - 5 = 0.
19. m va n ning qanday qiymatlarida
-4
4
=
-1
to‘g ‘ri chiziq:
I) mx+2y-4z+n =0 tekislikdayotadi; 2 ) m x + n y + 3 z -5 -0 tekislikka
perpendikular b o iad i;
3) 2 x+ 3 y+ 2w z-w = 0 tekislikka parallel boiadi.
20 . Af(l;- 1; - 1) nuqtadan о‘tuvchi va berilgan to‘g ‘ri chiziqqa perpendikular
tekislik tenglamasini tuzing:
. s x + l _ y + 2 _ z +2 .
x + 3 _ y —l _ z - 5
2 1 . M(Q;1;2) nuqtadan va <{* 3y~
r~ 0
to‘g ‘ri chiziqdan o‘tuvchi tekislik
[2x + у + z - 2 = 0
tenglamasini tuzing.
22.
- = ^ i- = — - to‘g ‘ri chiziq bilan x +y - 2 z - 4 = 0 tekislikning
kesishish nuqtasini toping.
189
23. M(2:3;4) nuqtaning
to ‘g ‘ri chiziqdagi proeksiyasini
toping.
[8x+ 2iy + 3z + 6 = 0,
24. <
,
,
, .
x+ l
y —4
2
3
z- 1
„ to g ri chiziqdan о tuvchi va -----=- — =----- to g n
j 2x + 4y + z + 1 = 0
4
- 2
chiziqqa parallel tek islik tenglam asini tuzing.
f 3 x + y -4 z + 5 = 0,
25. |
?
. . . . . .
^ ^ to g n chiziqdan v a
M(1;-1;2)
,
....
nuqtadan о tgan tekislik
tenglam asini tuzing.
26. M (2 ;-3 ;-l) nuqtadan berilgan to ‘ g ‘ri chiziqqacha bo‘ lgan masofani
toping:
x - 3 _ y + 2 _ z +l ,
' ””4
3 _ _ 5~ ’
л»-, x+1 _ >+2
z+1
2 ” -1 ~ 2
3.6. IKKINCHI TARTIBLI SIRTLAR
Oxyz koordinatalar sistemasida x , y , z o‘zgaruvchilaming ikkinchi
darajali tenglamasi bilan aniqlanuvchi sirt ikkinchi tartibli sirt deyiiadi.
Uchta x,y va z o‘zgaruvchining ikkinchi darajali tenglamasi
umurniy ko‘rinishda
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Ну + Kz + L = 0,
(6.1)
kabi
yoziladi, bu yerda
^-S,C ,A £,isG ,ff,A ",£-o‘zgarmaslar;
% А2+В2+С2Ф0.
Har qanday (6.1) ko‘rinishdagi tenglamani koordinata o‘qlarini
parallel ko‘chirish va burish orqali kanonik ko'rinishga keltirish
mumkin. Kanonik tenglamada har bir o‘zgamvchi faqat bir marta, bitta
(yo nolinchi, yo birinchi,
yo ikkinchi) darajada qatnashadi. ( 6 . 1 )
tenglama koordinatalar sistemasining o‘qlari sirtning simmetriya o‘qlari
bilan ustma-ust tushganida va koordinatalar boshi maxsus tanlanganida
(masalan, markaziy-simmetrik sirtlarda simmetriya markazi tanlanadi)
kanonik ko‘rinishni oladi.
Shu bilan birga ikkinchi tartibli sirt
F(x,y) = 0 (G(x,y) = 0, H(x,z) =0)
(6.2)
tenglama bilan berilishi mumkin. Bunday tenglama bilan aniqlanuvchi
sirtlar silindrik sirtlar deyiiadi.
190
S W arning shaklini tasaw ur qilish va chizish uchun « parallel
licsimlar usuli» deb ataluvchi usulni qoilaym iz. Bunda sirtning shakli
lining koordinata tekisliklari yoki
bu
tekisliklarga
parallel
tokisiiklar bilan keshishish chiziqiarini (kesimlarini) tekshirish
yordamida oiganiladi.
3.6.1. Sfera
Fazoda markaz deb ataluvchi nuqtadan teng uzoqlikda yotuvchi
nuqtalaming geometrik o‘miga sfera deyiladi.
M0(x0;y0\z) nuqtadan R masofada yotuvchi fazodagi nuqtalami
qaraymiz. Bu nuqtalardan biri M(x;y,z) nuqta bolsin.
Sferaning ta’rifiga k o ia , |M0M |= R .
Bundan
\l(x - х0У + (у - y„)2 + (z - z„)2 = R
yoki
(.х - х 0У + (;у -у 0У + ( z - z oy =R2.
(6.3)
(6.3)
tenglamaga sferaning kanonik tenglamasi deyiladi. Bunda
Ma(x0;ya;z0) nuqta sfera markazi, R masofa sfera radiusi deb ataiadi.
1 -misol. Markazi M0(-2;2;l) nuqtada yotgan va 2x + y - 2 z - 5 = 0
tekislikka uringan sfera tenglamasini tuzing.
Yechish.
Sfera
tekislikka
uringani
sababli
uning
Ma(-2;2il)markazidan 2 x + y - 2 z - 5 = 0 tekislikkacha bo‘lgan masofa
sferaning radiusigateng bo‘!adi.
Nuqtadan tekislikkacha bo igan masofa formulasidan topamiz:
12■(-2) + 1-2 + (-2)• 1- 5 j _ 9 _ Q
■J2* +12 + (- 2)2
3
U holda (6.3) formulaga ko‘ra,
(x + 2)2 +(y —2)2 + (z - 1)2 = 9,
3.6,2.
Ellipsoid
Oxyz koordinatalar sistemasida
(6.4)
kanonik tenglama bilan aniqlanuvchi sirtga ellipsoid deyiladi.
191
Ellipsoidning Оху tekislikka parallel tekisliklar bilan kesiralarini
qaraymiz. Bu tekisliklaming har biri z = h tenglamaga ega bo‘ladi.
Bunda h - birorta son.
Kesimda hosil bo‘lgan chiziq
f
a 2 b2
=1 - -
(6.5)
z =h
tenglamaiar sistemasi bilan aniqlanadi.
(6.5) sistema tenglamalarini tekshiramiz.
X V
•
»
•
j A|>c boiganda — + — <0 boiadi va (6.5) sirtning z=h tekislik
a b
bilan kesishish nuqtasi mavjud boim aydi.
x2
a~
v2
b
|h\-c, y a ’ni h = ±c boiganda — +^ - =0 bo‘ladi. Bunda sirtlar
(0 ;0 ;c) va (0 ;0 ;-c) nuqtalarga kesishadi va z=c va z = ~c tekisliklar
berilgan sirtga urinadi.
]h |<с boiganda (6.5) tengiamalami quyidagicha yozish mumkin:
a,
л\
z =i
bu yerda a, =a^l
b, = b j l - ^ - .
Demak, kesimda
yarim o‘qlari
hosi! boiadi (38-shak!). Bunda |A|
qancha kichik boisa, yarim o‘qlar
shuncha katta boiadi.
h = 0 da
ular
o‘zlarining
eng
katta
qiymatlarigaerishadi: a,=a, bl =b.
(6.4)
sirtning x = h va y = h
tekisliklar bilan kesimlari ham f
ellipslardan iborat bo4ladi.
\
Shunday
qilib,
qaralgan
kesimlar (6.4) tenglama bilan
aniqlanuvchi sirt 38-shakIda
keltirilgan
ellipsoiddan
iborat
boiishini ko‘rsatadi.
192
va
boigan eSlips
..... -
38-shaki.
а.,Ь,с katta!ildarga ellipsoidning yarim o'qlari deyiladi, Yarim
o‘qlar har xil bo‘Iganda ellipsoid uch o'qli ellipsoid boiadi. Yarim
o‘qlardan istalgan ikkitasi bir-biriga teng bolganda ellipsoid aylanish
cllipsoidi bo‘ladi.
Yarim
o‘qiarning uchalasi teng bolganda ellipsoid tenglamasi
x 2 +y 2 +z2 - R 2, R = a = b = c
( 6 .6 )
bolgan sferaga aylanadi.
2-misol,
X2
V2
ellipsnmg
:— + ^т = 1
u
h
Ox
va
Oy
oqlari atrofida
aylanishidan hosil bolgan sirtlaming tenglamalarini toping.
Yechish. Agar ikkinchi tartibli chiziq F(x,y) = 0 tenglama bilan
berilgan bolsa, u holda bu sirining Ox oqi atrofida, aylanishidan hosil
bolgan. sift F(x;±^[y2 + z2) = 0 tenglama bilan,
Oy oqi atrofida
aylanishidan hosil bolgan sirt esa F(±-Jx2 +z2;y) = 0 tenglama bilan
aniqlanadi.
_+/T = l ellipSning Ox oqi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan sirt
a"
b
tenglamasini topamiz:
x i +M
a2
^
= ly o k i
b1
J
a2
b2
Ellipsnmg Oy oqi atrofida aylanishidan hosil bolgan sirt
tenglamasini shu kabi topiladi:
V 2 4- - 1
T 2
a2
b2
Hosil bolgan tenglamalaming har ikkalasi aylanish ellipsoidini
aniqlaydi.
3.6.3.
G iperboioidlar
Oxyz koordinatalar sistemasida
(6J)
kanonik tenglama bilan aniqlanuvchi sirtga bir pallali giperboloid
deyiladi.
193
Bu sirtni Оху tekislikka parallel z = h tekisliklar bilan kesamiz.
Kesimda
\x2
y2
z2
+ ~?
I a1 + ¥ ~
z =h
yoki
= 1,
b Jl +
а, 1 + -
z = h,
tenglamaiar sistemasi bilan aniqlanuvchi chiziq hosil boiadi. Bu chiziq
I h1
j
yarim o‘qlari a,=a^j 1 +— va fc1 =&Jl +— boigan eilipsdan iborat.
Yarim o‘qlar h = 0 da eng kichik qiymatlariga erishadi: a, = a,b, = b . \h\
ning o'sishi bilan ular o‘sib boradi.
Sirtning Oxz va Oyz tekisliklar bilan kesimlami
= 1,
у =0
! x =0
sistemalari
giperbolalardan
tenglamaiar
bilan
aniqlanuvchi
iborat
boiadi.
Kesimlaming
tahlili
shuni
ko'rsatadiki, (6.7) tenglama bilan
5 aniqlanuvchi giperboloid musbat va
manfiy yo‘nalishlarida chegaralanmagan
holda
kengayuvchi
«trubka»
ko‘rinishdagi sirtdan iborat bo iadi (39shakl).
a = b boiganda (6.7) tenglama
bir
p allali
aylanish
giperboloidm
ifodalaydi.
Oxyz kordinatlar sistemasida
a'
b
с
(6 -Ю
kanonik tenglama bilan aniqlanuvchi sirtga ikki p allali giperboloid
deyiiadi.
194
Bu sirtning Оху tekislikka parallel tekisliklar bilan kesisish chizig'i
[z = h
tenglamaiar sistemasi bilan aniqlanadi, Bunda \h\<c bo‘lganda z = h
tekislik sirtni kesmaydi, \h\= c boiganda z=c va z = -c
tekisliklar
sirtga (0 ;0 ;c) va
(0 ;0 ;-c) nuqtalarga urinadi, \h\>c boiganda z = h tekislik sirtni kesadi.
j h |> с boiganda (6.9) tenglamalami quyidagicha yozish mumkin:
bu yerda
Bu chiziq
o‘qlari o‘suvchi ellipsni beradi.
c\
tenglamaiar sistemalari bilan
aniqlanuvchi giperbolalar boiadi.
40-shakl.
Bu kesimlar (40-shakl) ( 6 .8 )
sirtning ikki pallali giperboloid deb atalishiga sabab boiadi.
boiganda ( 6 .8 ) tenglama ikki pallali
aylanish giperboloidm aniqlaydi.
3-misol.
a =b
x2 - 4y 1 +4z2 + 2x+By - 7 = 0 tenglama bilan aniqlanuvchi
sirt turini toping,
Yechish. Tenglamaning chap tomonini to ia kvadratlarga ajratamiz:
x2 +2x + ] - 4(y2 + 2y + 1) + 4 z 2 —1 + 4 - 7 = 0 ,
{x + 1)2 - 4 (y - 1)2 + 4 z 2 = 4.
Bundan
Cx+.I)2
22
z2 C v - 1 ) 2
I2
195
l2
х' = х + 1, у' =у —1, z'=z
deb,
Oxyz sistema markazini 0 '( - 1;1;0)
nuqtaga parallel k o ‘chirish orqali O'x'y'z' sistemaga o ‘tamiz.
Bu sistemada tenglama
k o ‘rinishni oladi.
Bu tenglama O'y’ oq bo‘ylab y o ‘nalgan bir pailali giperboloidni
aniqlaydi.
3,6.4, K o n u sla r
Oxyz koordinatalar sistemasida
kanonik tenglama bilan aniqlanuvchi sirt ikkinchi tartibli konus
deyiladi.
(6 ,10 ) sirtning Oxy tekislikka parallel tekisliklar biian kesisish
Sirtning Oxz va
bilan kesimlari
Oyz tekisliklar
41-shakl.
sistemalar bilan aniqlanuvchi ikkita kesishuvchi to‘ g‘ri chiziqlarclan iborat
b o‘ ladi ( 4 1-shakl).
196
3.6.5. Paraboloidlar
Qxyz koordinatalar sistemasida
b
с
a>0,b>0,c>0
(6.11)
kanonik tenglama bilan aniqlanuvchi sirt elliptikparaboloid deyiiadi.
Bu sirtning Oxy tekislikka parallel tekisliklar bilan kesimi ushbu.
f
+—~ —r=1,
(ah)1 (bh)
z = h,h>0
tenglamaiar
sistemasi
bilan
aniqlanuvchi ellips boiadi. Uning \"
yarim o‘qlari \h\ ning o'sishi bilan
o'sadi.
Sirtning Oxz va Oyz tekisliklar
ri=^r'r"r
И
T '- /
T
.....
>
’
J ----- ■
/О
x2
v2
bilan kesimlarida z=— va z = ~o2
b
.J-"'
parabolalar hosil b o ia d i (42-shakl).
42-shakl.
Shu sababli (6 .11) tenglama bilan
aniqlanuvchi sirt elliptik paraboloid
deyiiadi.
a = b bo ig an d a (6 .1 1 ) tenglama aylanishparaloidini aniqlaydi.
M,(0;6;0) nuqtadan v a y = -b tekislikdan teng uzoqlikda
yotuvchi nuqtalaming geometrik о ‘m ini toping.
Yechish. M(x;y;z) izlanayotgan
nuqta b o isin .
M asala shartiga k o ‘ra
4-misol.
\M.M\=\y + b\
yoki
фс2 + (у - b)1 +
г 2 =|
у + Ъ! .
Bundan
х 2 + у 1 —2yb Jrb 1 + z2 = у 2 + 2 yb + b2,
х 2 + z 2 -- 4by
197
yoki
4b
4b
Sirtning Oxz tekislikka parallel tekislik bilan kesimi ushbu
x2 + у 2 - 4bh,
y = h, h> 0
tenglamalar sistemasi bilan aniqlanuvchi aylanalardan iborat. Sirtning
Oxy v a Oyz tekisliklar bilan kesimlarida y = — va y = — parabolalar
4b
" 4b
hosil b o ia d i.
Bu sirt aylanish paraboloidini aniqlaydi (43-shakl).
Oxyz koordinatalar sistemasida
X
—■—
V
—z, a > 0, b > 0
( 6 . 12)
kanonik tenglama bilan aniqlanuvchi
sirt giperbolik paraboloid
deyiladi.
Sirtning Oxy tekislikka parallel tekisliklar bilan kesimi
(ah)1
(bh)2
[ z=h,h> 0
= 1,
.tenglam alar
sistemasi
bilan
aniqlanuvchi giperboladan, Oxz
v a Oyz tekisliklar bilan kesimlari
a'
; У_
b1
iborat b o‘ladi.
Shunday
qilib,
(6 .12 )
44-shakl.
tenglama
bilan
aniqlanuvchi
sirtning ko'rinishi «egar» shaklida b o ‘ladi (44-shakl). Bu sirt giberbolik
paraloboid deb ataiadi.
3.6.6. Siliisdrik sirtlar
Tekislikda L chiziq va bu tekislikka perpendikular I to ‘g ‘ri chiziq
berilgan b o‘lsin.
198
L chiziqning har bir nuqtasi orqali I to ‘ g‘ri chiziqqa parallel qilib
o lk azilg an to ‘g ‘ri chiziqlar to ‘plamidan hosil b o lg a n sirtga silindrik
sirt deyiladi. Bunda L chiziq silindrik /,
i
sirtning yo'naltirm chisi,
I to ‘g ‘ri
chiziqqa
parallel
b o lg a n
to ‘g ‘ri
chiziqlar silindrik sirtning yasovchilari
deb ataiadi (45-shakl).
Li,Li,
Oxyz
koordinatalar
sistemasini
Oz o^q I yasovchiga parallel va
L
yo'naltiruvchi
Oxy
tekislikda
45-shakl.
yotadigan qilib tanlaymiz.
L y o ‘naltiruvchiniiig Oxy tekislikdagi
tenglamasi F(x,у) -- 0
b o lsin . U holda F(x,y) = 0 tenglama yosovchilari Oz o'qqa parallel
b oig an silindrik sirtai ifodalaydi.
Silindrik sirtning nomlanishi va tenglamasi
L y o ‘naltimvchmmg shakli asosida aniqlanadi.
Agar Oxy tekislikdagi y o ‘naltim vchi
ellipsdan iborat bolg an da
x2 v2
= I tenglama
a
b
elliptik silindrni ifodalaydi (46-shakl).
x2 + y 2 = U2 tenglama bilan aniqlanuvchi
doiraviy silindr elliptik silindrning xususiy
holi b o iad i.
Shu kabi
X
V
— --<^ = 1tenglama giperbolik
a
b
silindrni
(47-shakl),
y 1 =2px
tenglama
parabolik silindrni ifodalaydi (48-shakl).
47-shaki.
46-shakl.
48-shakl.
199
5-misol.
Yechish.
tenglama bilan aniqlanuvchi sirt shaklini chizing.
Berilgan tenglamada у qatnashmaydi va x2 = 2z
jc2 —2 Z
chiziq Oxz
tekislikda yotuvchi parabolani ifodalaydi.
fx2 =2 z
tenglama
Shu
sababli
i'
!j = 0
yosovchilari Oy o‘qqa parallel boigan
parobolik silindmi ifodalaydi.
Parabola y = 0 tekislikda Oz o‘qqa
nisbatan simmetrik boiadi, uchi 0 (0 ;0 ;0 )
nuqtada yotadi va
Af,(-2 ;0 ;2 ), M 2( 2 ;0;2)
nuqtalardan o'tadi, Chiziq shaklini Maple
paketida chizamiz (49-shakl):
> w itfe { p to ts ):
49-shakl
> iiB.Ifcltp!of3d(|sA2” 2z|, x~~4„4, y“ -S.,4,
2?=-4..4, gri3~ri3,13,13!);
3.6.7. IkMnchi tartib li slrtlaraiag
to‘ g‘ri chiziqli yasovchiiari
To‘g‘ri chiziqlaming harakatidan
hosil boiadigan sirtlarga to'g'ri
chiziqli sirtlar deyiiadi. Bu sirtlaming
yasovchiiari to ‘g ‘ri chiziqli yasovchilar
deb ataladi.
To‘g‘ri chiziqli sirtlarga konus
sirtlar va silindrik sirtlarlar misol b o ia
oladi. Bundan tashqari, bir pallali
giperboloid va giperboiik paraboloid
ham to‘g‘ri chiziqli sirtlar bo iishi
isbotlangan.
Bir pallali giperboloidning har bir
nuqtasi orqali
£ +£ =*f 1 +z \
a
с
a
с
bj
а с
V
bj
z Y j*_
£ =I1Гц..^
Iх z- ir1_zV
|*_£=
k\
bj
\а с I
50-shakl.
200
tenglamalar bilan berilgan to‘g‘ri chiziqlar oilasidan
faqat
bitta
chiziq o'tishi ko‘rsatilgan, bu yerda a ,b ,c - bir pallali giperboloidning
yarim o‘qlari, k.I -nolga teng bo‘lmagan sonlar.
Shunday qilib, (6.13) tenglamalar /tva / ning turli qiymatlarida bir
pallali giperboloidda yotuvchi va uni to‘liq qoplovchi cheksiz to‘g‘ri
chiziqlar sistemasini tashkil qiladi. Bu to‘g ‘ri chiziqlarga bir pallali
giperboloidning to ‘g 'ri chiziqli yasovchilari deyiladi.
Shu kabi
x z
—+ —= fc,
a b
va
£_5_I
{a b к
1
X
z
a
b V
z
b
a
(6.14)
tenglamalar bilan berilgan to‘g‘ri chiziqlar giperbolik paraboloidning
to‘g‘ri chiziqli yasovchilari bo‘ladi.
To‘g i i chiziqli yasovchilardan bir pallali giperboloid sirtlaming
yasovchilari
qurilish
va
texnikan mg
konstruksiyal arida
keng foydalaniladi.
Masalan,
bir
pallali
giperboloidning tosg‘ri chiziqli
yasovchilari
bo‘yicha
metall
balkalar
joylashtirilgan
U7
radiomachta,
suv va yad.ro
quriimalarining
minoralari,
teleminoralar (masalan, Guanjou
(Xitoy) teleminorasi, 50-shakl),
tirgaklar va uzatmalar (51-shakl)
kabi
konstruksiyalar
ishlab
51chiqiigan. Bunday konstruksiyalar
yengil va mustahkam boigani sababli keng tatbiq etiladi.
3,6.8. M ashqlar
1. Sferaning tenglamasini tuzing: 1) diametrlaridan birining uchlari
M2{2;-3;5) nuqtalarda yotgan; 2) markazi M 3( 3;-5;-2) nuqtada
yotgan va 2x- у - 3z+11 =0 tekislikka uringan.
( 4;l;-3) va
2. Sfera iriarkazming koordmatalarini va radiusini toping:
I) x2-l- y1 + z1 +x—y +z= 0;
2) x2 +y1 + z2 - 6x + %y+ 10z +25 = 0.
201
3. Har bir nuqtasidan Af,(-3;0;0) va M2(3;0;0) nuqtalargacha bo‘Igan
masofalar kvadratlarining yig'indisi 36 ga teng b o igan fazoviy
nuqtaiarning geometrik o‘mini toping.
nuqtadan va y =—| tekislikdan teng uzoqlikciayotgan fazoviy
4.
nuqtalarining geometrik o‘mini toping.
5. Har bir nuqtasidan М,(0;0;-4) va M2(0;0;4) nuqtalargacha boigan
masofalar yig ‘ indisi 10 ga teng boigan sirtning tenglamasini tuzing.
6. Har bir nuqtasidan M,(-5;0;0) va M2(5;0;0)nuqtalargacha boigan
masofalar ayirmasining moduli 6 ga teng b o igan sirtning tenglamasini tuzing.
7. Berilgan sirtning ko‘rsatilgan o‘qlar atrofida aylanishidan hosil bo‘ lgan sirt
tenglamasini tuzing:
V2
*2 V2
v2 z2
2 ) ----- — =1, Ox va Oy;
3) — +— =1, Oyva Oz.
1) z =-----, Ox va Oz;
’
2
16 25
64 16
8. Markazi koordinatalar boshida yotgan va yo‘ naltiravcfcilari x2-2z+ l =0 ,
y - z +1 = 0 tenglamaiar bilan berilgan konus tenglamasini tuzing.
x2 zJ
9. mning qanday qiymatlarida x +my-2 = 0 tekislik — ■+
— - y elliptik
2
3
parabaloidni 1) ellips bo‘yicha: 2) parabola bo‘yicha kesadi?
10. Berilgan sirtlaming kesishish chizigini aniqlang:
2
1
2
2
1 ) — + ^- =2z, 3 x -v +6z-14 =0;
’ 3 6
2) - — ^ - =2z, 3x-y+ 6z-14 =0;
4 3
3 ) .f elS l-C>'-1lSl = 2z, х - 2 -1 = 0;
' 4
3
4) — +—— — = -1, 5x +2z+5 =0.
3 9 25
11. Har bir nuqtasidan W(3;0;0) nuqtagacha va x =\ tekislikkacha b o igan
masofalar nisbati S ga teng bo igan fazoviy nuqtaiarning geometrik o'mini
toping.
12. Berilgan sirt vato ‘g ‘ri chiziqning kesishish nuqtasini toping:
x2 y2 z2 _ jc-3 _ y - 4 _ z+2
8 l T 36+ 9 ~ ’ 3 ~ - 6 ~ 4 ’
2~
v x2 j У2 zl _ ; 1 _ У _ z +2
i
16
9
4
’4 - 3
4
13. Berilgan tenglama bilan aniqlanuvchi sirt turini aniqlang:
1) 36x2+64y2 -144z2 +576 =0;
2) x2 +j/ + z2-2 (x +y +z)~ 22 = 0;
3) 3xz+ 2/-12z = 0;
4) 16x2+3y3+56z2 -64x-6.y+19=0;
5) 25x2- 9 y 2-225 = 0;
6) 9x2- 4y2 -3 6z= 0;
7) 4x2+3y2 - 5z2 + 60 =0;
8) x 2 +y 1 -2x - 3 = 0.
202
М АТЕМ АТЖ ANALIZGA
KIRISH
* Haqiqiy sonlar
* Sonli ketma-ketiikiar
* Bir o‘zgaruvchinirig
funksiyasi
* Funksiyaning limiti
* Funksiyaning:
uzluksiz! igi
Ogyusten Lui Koski
(1789-1857)-
Matematik analiz tarixdan «Cheksiz
kichiklar tahlili»ga mos bo‘limlar majmuasi
bo‘lib, u differensial va integral hisobni
birlashtiradi. Matematik analiz sistemali
bo‘lim sifatida XVU-XVIII asrlarda I.Nuyton,
G.Leybnis, L.Eyler, J,Lagranj va boshqa
olimlar asarlarida yuzaga keldi. Uning asosi
bo‘lgan limitlar nazariyasi XIX asrda O.Koshi
tomonidan ishlab chiqildi. Matematik analizning boshlang‘ich tushunchalari XIX-XX
asrlarda to‘plamlar nazariyasi, o‘lchamlar
nazariyasi, haqiqiy o‘zgaruvchi funksiyalari
nazariyaiarining rivojiga asoslanib chuqur
tahlil qilindi va umumlashtirildi.
Matematikaning «Matematik analizga
kirish» bo‘limida matematik analizning asosiy
tushunchalari bo‘lgan bir o‘zgaruvchining
funksiyasi, sonli ketma-ketliklar, limitlar,
cheksiz kichik funksiyalar va uzluksizlik
tushunchalari o‘rganiladi.
fransaz matematigi
m mexanigi.
И < Щ к0 к m aS iz m m -
4.1. HAQIQIY SONLAR
krini Imlub chiqqan,
m iiten td tik sm m g
m s te -
maiik maliz, algebra,
m a tem a ish
beshqa
fin k if
bo'tirnhmtmg
n v o ti* «
katta
q o ’xhgau.
4.1.1. To‘plain
va
h 'm a
O.L. K o s k i Ы п н с Ы
b/>4ih limit, nzlukmMk,
hesilai Mfftremtal, iniegrsl, qnKmting yaqinImhis&i tmhmickaiarigg. qat Чу m ’rtf bergait.
matematikaning boshlang‘ich
(ta‘riflanmaydigan) va muhim tushunchalaridan biri hisoblanadi. To‘plam deganda tayin
xossaga ega bo‘lgan ixtiyoriy tabiatli
obyetctlar majmuasi tushuniladi. Masalan,
guruhdagi talabalar to‘plami, butun sonlar
to‘plami, berilgan nuqtadan о‘tuvchi to‘g ‘ri
chiziqlar to‘plami.
To ‘p lam
203
To'plamni tashicil etuvchi obyeictlarga to‘plamning elementlari
deyiiadi. To‘plam, odatda, lotin alifbosining bosh harflari bilan, uning
elementlari esa shu alifboning kichik harflari bilan belgilanadi.
A to‘plamning a , 6 ,c,iie!ementlardan tashkil topganligi A = {a,b,c,d}
kabi yoziladi. Ba’zan to‘plam sonlar, belgilar, so'ziar yoki formulalar
yordamida beriladi.
a elementning A to‘plamga tegishii ekanligi a e A deb yoziladi.
b elementning A to‘plamga tegishii emasligi b e A (yoki b e A ) kabi
belgilanadi. Masalan, A = {2,4,6,8} to‘plam uchun 4 e A v a 5 e A.
A to‘plam chekii sondagi elementlardan tashkil topgan bo‘ !sa A
to‘plamga chekii to'plam, aks holda cheksiz t o ‘p lam deyiiadi. Masalan,
A = {x-.6<x<2Q,x<eN} cheidi to‘plam, В = {x :x > 15,x eA'} cheksiz
to‘plam bo‘ladi.
Bitta ham elementga ega bo‘lmagan to‘plam bo ‘sh to ‘p lant deb
ataladi va 0 kabi belgilanadi. Masalan, A ={x\x* +1 = 0 ,x e R} bo‘sh
to‘plam, chunki x 2 + l = 0 tenglama haqiqiy sonlar to‘plami R da
yechimga ega emas.
Agar A to‘plamning har bir element? В to‘plamning ham
elementi bo‘lsa A to‘plamga В to ‘p lam ning qismi (qismiy to ‘p lam i)
deyiiadi va. А с. В (yoki 5 id A ) kabi belgilanadi. Masalan, A = {2,3,4} va
В = {1,2,3,4,5} bo‘lsa A c В bo£ladi.
Agar Acz В va В с A bo‘lsa A va В to‘plamlarga teng to ‘p lam lar
deyiiadi va A = В Kabi yoziladi. Demak, A = B tenglik A va В
to'plamlarning bir xil elementlardan tashkil topganini bildiradi.
A v a В to‘plamlarning har ikkalasiga tegishii bo‘ lgan element bu
to‘plamlamng umurniy elementi deyiiadi.
1-ta’ rif. A va В to ‘p lam larning birlashm asi (yoki y ig ‘indisi) deb
ularning kamida bittasiga tegishii boigan elementlardan tashkil topgan
to‘plamga aytiladi va A u 5 (yoki A + B) kabi belgilanadi.
Demak, A u B = { x :x e A yok ixeB }.
2-ta’ rif. A va В t o ‘p lam larning kesishmasi (yoki ko'paytmasi)
deb ulaming barcha umumiy elementlaridan tashkil topgan to‘plamga
aytiladi va АглВ ( yoki A B ) kabi belgilanadi.
Demak, A n B = { x :x e A va x e B}.
3-ta’ rif.^ to‘plamdan В to ‘p lam ning ayirm asi deb A to‘plamnmg
В
to‘plamga kirmagan elementlaridan tashkil topgan to‘plamga
aytiladi va A\B kabi belgilanadi.
204
Dem ak, А\Б = { x : x e A va x e B}.
Masalan,
A = {1,3,5,7}
va
В = {2,5,7,9}
to‘plamlar uchun
= {1,2,3,5,7,9}, v4nB ={5,7}, Л\В ={1,3}, B\A = {2,9}boiadi.
В to‘plain A to‘plamning qisrniy to‘plami b o isa, A\B ayinna
II to‘plamning A to ‘p lamga to ‘Idirirvchisi deyiiadi.
1-3 ta’riflaming chizmadagi ifodasi 1-shaklda keltirilgan. Bunda
Ап В, A kj В , A\B bo‘vab ko‘rsatilgan.
1-shakl.
4.1.2. Sonli to‘p!am lar
Haqiqiy sonlar va ularning asosiy xossalari
Elementlari sonlardan iborat boigan to‘plam sonli to'plam
deyiiadi.
Son matematik analizning asosiy tushunchalaridan biri boiib, uzoq
tarixiy rivojlanish y o iig a ega. Narsalami, buyumlarni sanash zaruriyati
tufayli natural sonlar paydo boigan. Natural sonlar to‘plamiga ularga
qarama-qarshi sonlarni va nol sonini qo‘shish bilan butun sonlar
to‘plami hosil qilingan. Matematikaning taraqqiyoti ratsional sonlarning
va keyinchalik irratsional sonlarning kiritilishini taqozo etgan. Ratsional
sonlar to‘plami va irratsional sonlar to‘plami haqiqiy sonlar to‘plami deb
atalgan.
Shunday qilib. N с Z с Q c: R sonli to‘plamlar hosil qilingan, bu
yerda
iV= {1,2,3,...,»,...}-barcha
natural
sonlar
to‘piami;
Z ={0,±l,±2,...,±w,...}-barcha
butun
sonlar
to‘plami;
fp
}
Q = \—,p&Z,qeN\ -barcha ratsional sonlar to‘plami;
U
J
haqiqiy sonlar to‘ plami.
205
R - barcha
Har qanday ratsional son yoki chekli o‘nli kasr bilan yoki cheksiz
3
davriy o‘nli kasr bilan ifodalanadi.
Masalan, —= 1,5 =(1,500...),
i =0,333...-ratsional sonlar.
3
Ratsional bo‘ lmagan haqiqiy sonlarga irratsional sonlar deyiladi.
Irratsional son cheksiz davriy
bolm agan o‘nli kasr bilan
ifodalanadi. Masalan, 4 2 = 1,4142356 ..., ж =3,1415926 ...-irratsional
sonlar.
Shunday qilib, haqiqiy sonlar to‘plamini barcha cheksiz o‘nli kasrlar
to‘plami deyish va R = {x: x = а,а,ага 3...} kabi yozish mumkin, bu yerda
a e Z.ar, e {0,1,2,...9},i =1,2,....
Haqiqiy sonlar to‘plami R quyidagi asosiy xossalarga ega boiadi.
1°. R to‘plam tartiblangan to‘plamdir, y a’ni istalgan ikkita har xil a
va b sonlar uchun a<b (yoki b<a) tengsizlik bajariladi.
2°. R to‘plam zichdir, y a’ni istalgan ikkita har xil a va b sonlar
orasida a < x < b tengsizlikni qanoatlantiruvchi cheksiz ko‘p л: haqiqiy
sonlar mavjud boiadi;
3". R to‘plam uzluksizdir.
Son o‘qi. Sonlarning sodda to‘plamlari
Haqiqiy sonlarning uzluksizligi xossasi asosida barcha haqiqiy sonlar
to‘plami bilan to‘g ‘ri chiziq nuqtalari to‘plami orasida bir qiymatli
moslik o'rnatiladi.
Buning uchun biror to‘ g‘ri chiziqda (u gorizontal yo‘nalgan bolsin
(2-shakl)) musbat yo‘nalishni, О hisob boshini va masshtab birligini
tanlaymiz. Musbat x sonini
ifodaiash uchun bu to‘g‘r i ------------------ ------------------ ~x---- *"
chiziqda О hisob boshidan o‘ng
tomonda tanlangan masshtab
2 -shakl.
birligida berilgan x songa teng
masofada yotuvchi M nuqtani olamiz; manfiy x sonini ifodaiash uchun
esa bu to‘g ‘ri chiziqda О hisob boshidan chap tomonda |x\ songa (bu son
haqida keyingi bandda tushuncha beriladi) teng masofada yotuvchi M
nuqtani olamiz; x = 0 soniga О hisob boshi mos keladi.
Barcha nuqtalari uchun barcha haqiqiy sonlar to'plarai bilan
ko‘rsatilgan bir qiymatli moslik o‘matilgan to‘g ‘ri chiziqqa son о ‘qi (yoki
sonli to ‘g 'ri chiziq) deyiladi.
206
Shunday qilib, har bir haqiqiy songa son o‘qining yagona M nuqtasi
mos qo‘yiladi va aksincha, bu son o‘qining har bir Mnuqtasiga yagona
x haqiqiy son mos keiadi. Bunda haqiqiy son va son o‘qining nuqtasi
hi)(a x belgi bilan ifodalanadi. Shu sababli «x son» so‘zi o‘m iga ko‘p
hollarda «x nuqta» so‘zi ishlatiladi.
Son o‘qi haqiqiy sonlarning joylashishi to‘g ‘risida ko‘rgazmali
in a ium ot beradi. x,<x 2 tengsizlik x, nuqta x. nuqtaga nisbatan chapda
yotishini anglatadi, x, <x2 < x3 tengsizlik x2 nuqta Xj va x, nuqtalar
orasida yotishini bildiradi.
aeR, beR, a<b bo‘lsin. Haqiqiy sonlar to‘plamining quyidagi
qism to‘plamlariga oraliqlar ( intervallar ) deyiiadi:
[a; Z>]= {x: a < x < b} ~kesma (yopiq oraliq. sigment);
(a;b) = {x:a<x<b }~inteival (ochiq oraliq);
[a;b) = {x : a < x < b}, {a;b] = {x: a < x < b} - yarim ochiq intervallar;
={x:x< b}, (- 00;b) = {x:x<b}, [a;+oo) ={x:x>a},
(я;+оо) ={x: x > a}, (-oo;+oo) = {x: -00 <x <+00}- cheksiz intervallar.
Bunda a va b sonlar mos ravishda bu oraliqlaming chap
va o‘ng
chegaralarini aniqlaydi, -=o va +ю belgilar son o‘qi nuqtalarining О
nuqtadan
chapga va o‘ngga qarab cheksiz uzoqlashishini simvolik tasvirlaydi.
x0(x0 e /J)nuqtani o‘z ichiga olgan har qanday (a;b) intervalga
x„ nuqtaning atrofi deyiiadi. Xususan, (x„-£;x0+£) interval
x„
nuqtaning
e atrofi deb ataladi. Bunda x0 soniga bu atrofning
markazi, e (e > 0 ) soniga bu atrofning radiusi deyiiadi.
Agar x0 e(x 0 - e ;x 0 +e) bo isa, u holda x0- s < x < x 0+e yoki
Ix - x0 1<e tengsizlik bajariladi. Bu tengsizlikning bajarilishi x nuqta
x, nuqtaning
e atrofiga tushishini bildiradi.
Sonning absolut qiymati
4-ta’rif. x (xeR) sonining absolut qiymati (yoki moduli) deb x >0
bo igan ida x sonining o‘ziga, x manfiy bo igan ida (-x) soniga aytiladi.
x sonining absolut qiymati j x | belgi bilan belgilanadi.
Demak, ta’rifga ko‘ra,
Г x, agar x > 0,
Ix 1= <
- x , ag a rx < 0.
207
Sonning absolut qiym ati quyidagi xessalarga ega.
V. x e R da |jcj>0, j —
jc{=)jc|, -\x\<x<\x\;
2°. a > 0 da |jc|<a tengsizlik
- a < x < a tengsszlikka ekvivalent
bo‘ladi;
3°. x e R,y e R da
Ц,(У* 0 ).
Bu xossalaming isboti bevosita sonning absolut qiymati ta’rifidan
kelib chiqadi. Ulardan birini, masalan, jx+^|<jx! + |y\ bo‘lishini
isbotlaymiz.
Isboti. x + y> 0 bolsin.
U holda \x+y\=x+y, x<\x\,
boiadi.
Bundan
\x + y\=x + y<\x\+\y\.
x + y <0 bolsin.
U holda
Ix + y | = - 0 + y) = (-x) + {-y), —jc <|л: |, - y ^ y \
f
s
boiadi.
Bundan
|x +^|= (—Л-) -f- (-^) <1Л-1+I i
.
Sonli to ‘plamning aniq chegaralari
5-ta’rif. Agar shunday M soni topilsa va istalgan x e X uchun x < M
tengsizlik bajarilsa, X haqiqiy sonlar to‘plami
yuqoridan
chegaralangan deyiladi.
Masalan, X =(-=©,!] to‘plam yuqoridan chegaralangan.
6 -ta’ rif. Agar shunday m soni topilsa va istalgan x e X uchun x>m
tengsizlik bajarilsa, X haqiqiy sonlar to‘plami quyidan chegaralangan
deyiladi.
Masalan, barcha natural sonlar to‘plami quyidan chegaralangan .
208
7-ta’rif. Agar X to'plam ham quyidan ham yuqoridan
ilmgaralangan b oisa, y ’ani shunday m va M sonlari topilsa va istalgan
v<X uchun m< X <M tengsizlik bajarilsa, X haqiqiy sonlar to‘p!amiga
i hcgaralangan deyiiadi.
Bu ta'rifdan agar X to'plamning elementlari biror kesmada
jnylashsa, u holda bu to'plam chegaralangan bo iadi degan xulosa kelib
chiqadi.
Yuqoridan (quyidan) chegaralanmagan to'plamga yuqoridan
(quyidan) chegaralanmagan deyiiadi. Masalan, barcha natural sonlar
lo plami yuqoridan chegaralanmagan (ammo quyidan chegaralangan)
boisa, barcha manfiy sonlar to'plam s quyidan chegaralanmagan (ammo
yuqoridan chegaralangan). Barcha butun sonlar to'plami, barcha
rational sonlar to'plami, shuningdek, barcha haqiqiy sonlar to'plami
ham quyidan, ham yuqoridan chegaralanmagan.
Agar X to'plam yuqoridan M soni bilan chegaralangan boisa, bu
songa X to ‘p lamning yuqori chegarasi deyiiadi. Bunda M sonidan
katta boigan ixtiyoriy M' son ham X to'plamning yuqori chegarasi
boiadi.
8 -ta’rif. Agar istalgan x e X uchun x<M b o isa va yetarlicha
kichik ixtiyoriy g >0 musbat son uchun shunday x * e X soni topilsa va
M -£<x* <M tengsizlik bajarilsa, M soniga X to ‘p lamning aniq yuqori
chegarasi deyiiadi.
Boshqacha aytganda, X to'plamning aniq yuqori chegarasi X ning
barcha yuqori chegaralarining eng kichigi boiadi.
X to'plamning aniq yuqori chegarasi M =supX (yoki M = sup(x})
xe.X
bilan belgilanadi (lotin tilida supremum - eng yuqori so'zidan oiingan).
Yuqoridan chegaralanmagan X to'plam uchun ta’rif asosida
sup X =+=o deb olinadi.
Agar X to'plam quyidan m soni bilan chegaralangan boisa, bu
songa X to p‘ lamning qityi chegarasi deyiiadi. Bunda m sonidan kichik
boigan ixtiyoriy m' son ham X to'plamning quyi chegarasi boiadi.
9-ta’rsf. Agar istalgan x e X uchun x>m boisa va yetarlicha
kichik ixtiyoriy s > 0 musbat son uchun shunday x* e X soni topilsa va
m<x*<m + e tengsizlik bajarilsa, m soniga X to'plamning aniq quyi
chegarasi deyiiadi.
Shunday qilib, X to'plamning aniq quyi chegarasi X ning barcha
quyi chegaralarining eng kattasi boiadi.
X to'plamning aniq quyi chegarasi M =inf X (yoki M =mf{x})
209
bilan belgilanadi (lotin tilida infimum —eng quyi so‘zidan olingan).
Quyidan chegaralanmagan X to‘plam uchun ta’rif asosida
inf X =-oo
deb olinadi. Masalan,
uchun
in f X = 0, supX = 1.
X to‘plamning aniq chegaralari uchun quyidagiu tasdiq o‘rinli
bo‘ladi.
1-teorema. Har qanday yuqoridan (quyidan) chegaralangan bo‘sh
bo‘lmagan haqiqiy sonlar to‘plami aniq yuqori (aniq quyi) chegaraga
ega boMadi.
4.1.3. Matematik mantiq elem entlari
Mantiqiy belgilar
Ta’riflaming, teoremalaming ifodalanishida va bosqa matemtik
tasdiqlarda ko‘pincha ayrim so‘zlar va butun ifodalar takrorlanib keladi.
Bunday hollarda ulaming yozilishida mantiqiy belgilami qo‘llash qulay
bo‘ladi.
Matematik mantiqda mulohaza deb rost yoid yolg‘onligi bir qiymatli
aniqlanadigan darak gaplarga aytiladi. Masalan, «Y er quyosh atrofida
aylanadi», «6 oddiy son» gap lari mulohaza bo‘3sa, «kech kirmoqda»,
«matematika qiyin fan»
gaplari mulohaza bo‘lmaydi.
a muiohazaning inkori a - « a emas» yoki « a bo‘!ishi to‘g ‘ri
emas» deb o‘qiladi.
a va p mulohazalaming konyunksiyasi а л / ? - « a va /3» deb
oqiladi.
a va j5 mulohazalaming dizyunksiyasi a v j i - « а yoki p » deb
o'qiladi.
a va p mulohazalaming implikatsiyasi a^ >p ~ «agar a bo‘ Isa,
u holda p bo‘ladi» (yoki « а dan p kelib chiqadi») imilohazasini
bildiradi.
a va p mulohazalaming ekvivalensiyasi
a < $ j3 - « a va (3
ekvivalent» (yoki « а dan p kelib chiqadi va В dan a kelib chiqadi»)
mulohazasini bildiradi.
Mavjudlik kvantori
3 - «mavjudki», «topiladiki» so‘ zlarini
bildiradi.
210
Umumiylik kvantori
V - «har qanday», «ixtiyoriy»,
«barcha»
,so‘zlarini ifodalaydi.
«o‘rinli bo iadi», «bajariladi» so‘zlarini anglatadi.
i->-«moslik» ni bildiradi.
Mantiqiy belgilar yordamida vozilgan tasdiqlarni tushunish va
o‘qishni osonlashtirish uchun belgilarning har biriga tegishii boiganlari
alohida qavslarga olinadi.
Masalan,
(Vff>0)(3<5>Q)(Vx^x0, j x - x 0 \<5)'\f(x)-A\<e)
yozuv «ixtiyoriy e> 0 son uchun shunday <5>0 son topiladiki, xning
x„ ga teng boim agan va j x - xJ< <5 tengsizlikni qanoatlantiruvchi
barcha qiymatlarida |f(x)-A\<e tengsizlik bagariladi» deb o‘qiiadi.
Z arur va yetarli shartlar
P -birorta mulohaza boisin. p mulohaza kelib chiqadigan har
qanday a mulohazaga p mulohaza uchun yetarli shart deyiiadi.
P mulohazadan kelib chiqadigan har qanday a mulohazaga p
mulohaza uchun zarur shart deyiiadi.
Masalan, a\ «x soni nolga teng» va
p : « xy ko‘ paytma
nolga teng»
mulahazalari boisin. Bunda a mulohaza p mulohaza uchun yetarli
shart boiadi. Haqiqatan ham, xy ko‘pa.ytma nolga teng bo iishi uchun x
nolga teng boiishi yetarli. x nolga teng boiishi uchun xy ko‘paytma
nolga teng bo iishi zarur. Ammo, p mulohaza a mulohaza uchun
yetarli shart boim aydi, chunki xy ко 'paytma nolga teng boiishidan x
sonining, albatta, nolga teng boiishi kelib chiqmaydi.
«Agar a mulohaza rost bo isa, u holda p mulohaza rost bo iad i»
teoremani a =>p koiinishda yozish va quyidagi ifodalardan biri
bilan berish mumkin: « a mulohaza p mulohaza uchun yetarli shart
boiadi»; «/? mulohaza a mulohaza uchun zarur shart bo iadi».
Agar a va p mulohazalarning har biridan ikkinchisi kelib chiqsa,
ya’ni (a =>P) a (P =>a) bo isa, u holda a va p mulohazalarning har biri
ikkinchisi uchun zarur va yetarli shart bo iadi va a o p deb yoziladi.
Bu yozuv boshqacha quyidagicha o‘qilishi mumkin:
\) a o'rinli boiishi uchun p o‘rinli bo iishi zarur va yetarli;
2 ) a faqat va faqat p bajarilsa o‘rinli boiadi;
211
3) a faqat vafaqat [i rostbo‘lganidarostbo‘ladi.
Matematik induksiya metodi
Matematik induksiya metodi muhim matematik isbotiash
usullaridan biri hisobianadi. Bu usul n natural songa bog‘liq tasdiqlami
isbotiash uchun qo‘llaniladi.
Uni umumiy holda ifodalymiz: n natural songa bog‘iiq biror
tasdiqni (masalan, formulani) isbotiash quyidagi tartibda amalga
oshiriladi:
1 ) tasdiqning to‘g ‘riligi n = 1 da tekshiriladi (agar n~\ da tasdiq
ma’noga ega bo‘lmasa, tekshirish tasdiq ma’noga ega bo‘iadigan eng
kichik n dan boshlanadi);
2 ) tasdiq biror n (??>l)da to‘g‘ri deb faraz qilmadi va uning n+l da
to‘g ‘ri bo‘lishi isbotlanads. Keyin bu tasdiqning istalgan n natural son
bajarilishi haqida
xulosa chlqariladi.
Matematik induksiya metodi bilan Nnyton binomi formulasi deb
ataluvchi
(а + ЪУ =C°an+ C y-'b + ...+ C*a"~kbi +...+ C’b"
(1.1)
formulani isbotlaymiz, bu yerda n - natural son; 0 <k<n.
( 1 . 1 ) formulada qatnashayotgan
■,
c „ =___и|___
” Шп- k)\
s koeffitsiyentlarga binominal koeffitsiyentlar (yoki n ta elementdan
кtadan gurahlashlar soni) deyiladi, bu yerda n\ (en foktoriaT) belgi
orqali birinchi n ta natural son ko‘paytmasi belgilanadi. Binominal
koeffitsiyentlar va faktorial uchun quyidagi bog‘ianishlar o ‘rin!i b o ia d i:
С“ +С*=С“ ;
(n +l)]= nl(n + l) (bunda 0!=1 deb olinadi).
(1.1) formulani isbotlaymiz. Buning uchun: 1) formula to‘g i i
boMishini и =1 da tekshiramiz:
(a +by =C.V + C.lacb =—~a + - b = a + b\
0M!
2 ) ( 1 . 1 ) formula biror n da to‘g‘ri
212
1!0!
bo iadi deb faraz qilamiz va
(п + 1) da shu kabi formula o‘rinli boiishini ko‘rsatamiz, y a’ni
(a + b)'M= С > '* Ч с :/ " к . . , +С > ' Г + . . . | С > ’ + 0
"+' ( 1 -2 )
Ibrmulani isbotlaymiz.
Haqiqatan ham,
(a + b)™ = (С У +Clan~'b + ... + C*a"-kbi +..,+ C“b")(a + b) =
=С°аш + C'na"b +... + С**'а"-*ЬЫ +... +C’mab" + C°„anb +... +
+ С1аоГкЪкл +...+ C ?ab " + ГЬ ’,Л = СУ*' +(C'' +C > ”fe+ ...+
+ (c l + c k
; l)an-kbk+>+...+(c ; 4 +c > 6 " +с у » .
Binominal koeffitsiyentiar uchun
Cl = 1=C“+i, C° + С‘ =C , , C* + C“ =C ™,
c;-'1+ c ; = c ; +!, c ; = i = e;^
boiishi inobatga olinsa, oxirgi tenglikdan ( 1 .2 ) tenglik kelib chiqadi.
Demak, matematik induksiya metodining 1) va 2) bandiari
bajarilgani uchun
Nyuton binomi formulasi istalgan n natural soni uchun to ‘g ‘ri b o iad i.
(1 .1 ) form ula qisqacha
(ia +b)" = Y.Ckna* kb"
k=C
k o 'rin ish d a y o z ila d i.
Xususan, (1.1) formuladan « =2 va и = 3 da tanish qisqa ko‘paytirish
fomiulalari kelib chiqadi:
(a +by = C2V + C\ab + C\b2 = a2 + lab + b1;
(a + ЬУ = С У + С'УЬ + С\аЪг + C\b3 = a 3 + 3a2b + 3ab2 + b\
4.1.4. Mashqlar
1. A va В to‘p!amlar berilgan. At\B, AuB, A\B, B\A to‘pla.m!arni
toping.
1) ^ = {1,2,3,4}, B = {4,5,6};
2) A = {1,3,4,8}, В= {1,2,4,5,7,8,9};
3) A = {x e R - . x 2 + x - 2 0 =0}, Б = {x e R : x 2 - * +12 = 0}.
2 . A - m’dsbat jufi: sonlar to'plami va В -m usbat toq sonlar to'plami bo isa,
dr-.fi va AuB to‘plamlarnitoping.
213
3. Л -bareha 2 ga boiinadigan sonlar to ‘plami v a B-b arch a 5 ga
bo‘linadigan sonlar to'plami bo‘lsa, A n В to ‘ pi amni toping.
4. Ig5 irratsional son ekanini ko‘rsating.
5. V 2 -V 5 <л/з- 2 ekanini k o ‘rsating.
6. Berilgan to‘plam elementlarini toping.
7. Berilgan tenglamalami yeching.
2) \-x2 +2x-3\= 1;
3 ) л 1 7 + х3 =0;
4) v/(jc-2>2 = -x + 2.
8. Berilgan tengsizliklami yeching.
1 ) Iлг—
2 j>1;
2 ) \x2 - 1 x + \2\>x1 - 1 x + \2\
3) x 2+2y[(x + 3 ? -1 0 < 0;
9. Berilgan X to‘plam uchun supX va inf X larni toping.
l ) l = { « Z :- 5 < x < 0 ) ;
2 ) X = { x e R :ic<0}.
10. Tengliklami matematik induksiya metodi bilan isbotlang:
2 ) l + 3 + 5 + ..+ (2n—1) =n2
1)1
4.2. SONLI KETMA-KETLIKLAR
4.2.1. Sonli ketm a-ketliklar
1-ta’rif. 1,2,3,...,/?,... natural sonlar qatorining har bir n natural
soniga mos qo‘yilgan xt, x2,x3,...,xn... haqiqiy sonlar to‘plamiga sonli
ketma-ketlik (yoki ketma-ketlik) deyiladi va { x j bilan belgilanadi.
Bunda х^,хг,хъ,...,хп... sonlar {xn} ketma-ketlikning hadlari, xn bu
ketma-ketlikning umumiy badi, n uning nomeri deb ataiadi.
Agar ketma-ketlikning har bir hadini topish mumkin bo‘ Isa, ketmaketlik berilgan deyiladi. Ketma-ketlik analitik yoki rekurrent usullarda
berilishi mumkin.
214
Analitik usulda ketma-ketlikning umumiy hadi formula ko‘rinishida
beriiadi. Bunda n ga 1,2 ,3,4,... qiymatlar beriiadi va ketma-ketlikning
mos hadlari topiladi.
Masalan, xn =(-!)"■« formula {хя}={-1,2-3.... (-1)”
ketmaketlikni beradi.
Rekurrent usulda ketma-ketlikning birinchi (yoki bir nechta
birinchi) hadi beriiadi va keyingi hadni (yoki bir nechta kejdngi
had larni) birinchi (yoki bir nechta birinchi) had (hadlar) asosida topish
ibrmuiasi beriiadi. Masalan, x1 = at, x„A=xn +d rekurrent formula
arifmetik progressiyani, *, =b,, xn+i = xnq rekuirent formula geometrik
progressiyani beradi.
Agar \/n&N uchun xn= c ( c e R ) bo lsa, {xn} ketma-ketlikka
о ‘zgarmas ketma-ketlik deyiladi.
2-ta’rif. Agar shunday M soni (m soni) topilsa va VneN uchun
JC„ <M (xn >m) tengsizlik bajarilsa. {*„} ketma-ketlikka yuqoridan
chegaralangan ( quyidan chegaralangan) deyiladi.
3«taVif. Agar { x j ketma-ketlik ham quyidan ham yuqoridan
chegaralangan bo lsa, ya’ni shunday m, M sonlari topilsa va VneN
tichun
m<xn<M
tengsizlik
bajarilsa,
{xj
ketma-ketlikka
chegaralangan deyiladi.
A =max{j m |,|M |) bolsin.
U
holda
ketma-ketlikning
chegaraknganlik shartini j xn |<A ko‘rinishda yozish mumkin.
4-ta’ rif. Agar VA >0 son uchun ( x j ketma-ketlikning \xn\>A
(xn> A yoki xn<-A) tengsizlikni qanoatlantiruvehi hadi topilsa, { x j
ketma-ketlikka chegaralanmagan deyiladi.
Ta’riflardan ko'rinadiki, ketma-ketlikning barcha elementlari u:
yuqoridan chegaralangan bo‘lsa,
(-oo;M]
oraliqqa, quyidan
chegaralangan bo‘lsa [гя;-н») oraliqqa, ham quyidan ham yuqoridan
chegaralangan bo‘lsa [m;M] oraliqqa tegishli bo‘ladi. Chegaralanmagan
ketma-ketlik yuqoridan yoki quyidan chegaralangan boiishi mumkin.
Chegaralangan va chegaralanmagan ketma-ketliklarga misollar
keltiramiz.
1.{хя}= К-+1} ={2,5Д0,...,и2 +1,...}-quyidan chegaralangan (m = 2),
ammo yuqoridan chegaralanmagan.
2. {у,}= {-n 1}= {-1,-4,-9,
yuqoridan
chegaralangan
(M =-1), ammo quyidan chegaralanmagan.
215
3 .{ z j = {——- i = 1 0,—
I n J [ 2 3
и
4-{«„} = {(-!)" n} = {-1,2,--3,-4
5 -ta ’rif.
J
,
- chegaralangan (m= 0,M =1) .
.
.
chegaral anmagan,
AgarVwe /V uchun: xit<xii.l b o is a , {x j ketma-ketlikka
qai‘iy o'smchi deyiiadi; x„>xn+j b o isa , { x j ketma-ketlikka qat'iy
kamayuvchi
deyiiadi;
xn<xrM b o isa , { x j ketma-ketlikka
kamaymaydigan deyiiadi: xn>xnt b o is a , { x j
ketma-ketlikka
о ‘smaydigan deyiiadi.
Barcha bunday ketm a-ketliklar umurniy bitta monoton ketma-ketlik
nomi bilan birlashtiriladi. Bunda o‘ suvchi va kamayuvchi ketrnaketliklarga qat’iy monoton ketm a-ketliklar deyiiadi,
Monoton ketma-ketliklarga m isollar keltiramiz.
1.
{ x J = J - - — 1 =I
,
- o ‘suvchi v a chegaralangan
[и + l j
[2 3 4
n+1 J
ketma-ketlik.
2•
{y„} = {n, n) = {1,1,2,2,..., n , - kamaymaydigan
va
chegaralanmagan ketma-ketlik.
3.
{z„} = i - ^ i = Jl,—
In J [ 4 9
^-, . . . 1-
n
J
kamayuvchi v a
chegaralangan
ketma-ketlik.
4. {uj =
V‘
4
1 =j l , l , - , s m a y d i g a n
[и nj [ 2 2
n n J
ketma-ketlik.
Ikkita {x j
va chegaralangan
{yn} ketma-ketlikning yig'indisi,
ayirmasi,
ко 'paytmasi, bo ‘linmasi (bunda yn ф0) deb, har bir had! bu ketmava
ketliklar mos hadlarining yigindisidan, ayirmasidan, k o ‘paytmasidan va
boiinm asidan iborat b o ig a n ketm a-ketlikka aytiladi.
K o ‘rsatilgan amallar sim volik tarzda quyidagicha yoziladi:
{■*„} + { y j = {x„ + y j ,
{ x j ~{y„} = {xn- y j ,
{ x j- { y j = {x„-yj,
~ \ =\— i M 1* 0 -
iy j U.J
Xususan, {xn} ketma-ketlikning m songa к о ‘paytmasi m { x j deb,
{ x j ketma-ketlik mos hadining
shu
k o ‘paytmasidan iborat b o ig a n {m-xj ketm a-ketlikka aytiladi.
har
bir
hadi
216
songa
4.2.2. Cheksiz katta va cfieksiz kichik ketm a-ketliklar
6 -ta ’rif. Agar V4>0 son uchun shunday N nomer topilsa va
Vh >N uchun \xn\>A tengsizlik bajarilsa, {x„} ketma-ketlikka cheksiz
katta ketma-ketlik deyiladi.
Har qanday cheksiz katta ketma-ketlik chegaralanmagan bo‘ladi.
Ammo chegaralanmagan ketma-ketlik cheksiz katta bolm asligi
mumkin. Masalan, |«sin-~-| shunday ketma-ketliklardan biridir.
7-ta’rif. Agar Ve > 0 son uchun shunday N =N(s) nomer topilsa
va Vn>N uchun i x j c s tengsizlik bajarilsa, { x j ketma-ketlikka
cheksiz kichik ketma-ketlik deyiladi.
1 -misol { a j =j - j ketma-ketlik cheksiz kichik ekanini ko‘rsating.
Yechish.
'v's > 0
son olamiz. |«„ j=
<s
tengsizlikdan n > —
E
J
tengsizlik kelib chiqadi.
N ni - ning butun qismi, va’m N =
в
\_s
desak. u holda 'in > N uchun \an|<e boiadi. Demak, ta’rifiga k o la ,
11
nJ
-!> ketma-ketlik cheksiz kichik bo‘ladi.
Keltirilgan misolda
N
1
nomer £ g ab o g liq boiadi, y a ’ni
£ ning turli qiymatida har xil qiymatlami qabul qiladi. Masalan, e = 0,1
da N =10 , £ =0,01 da N =100. Shu sababli cheksiz kichik ketmaketlikning ta’rifida N = N(s) deb yozilgan.
l-temrema. Agar { x j ketma-ketlik cheksiz katta v a i ^ 0 , n e N
bolsa, u holda -j — I ketma-ketlik cheksiz kichik boiadi, va aksincha
{a j-
1
cheksiz kichik va а л Ф0, neN bo lsa, \—
>- cheksiz katta
a
boiadi.
217
Isboti. {xj cheksiz katta ketma-ketlik, x, ■*0 b o isin . Vs > 0 son
olam izva A =— deymiz. 6 --ta’rifga ko‘ra bu A soni uchun shunday
£
N nomer topiladi
va
Bundan \/n>N uchun
\fn>N
uchun |xa \>A tengsizlik bajariladi.
1 1
=---<—=s boiadi. Bu esa
!x „ ! a
ketma-
ketlikning cheksiz kichik boiishini bildiradi. Teoremaning ikkinchi
qismi ham shu kabi isbotlanadi.
Cheksiz kichik k etm a-k etlik lar quyidagi xessalarga ega.
1°. Ikkita (chekii sondagi) cheksiz kichik ketma-ketlikning
algebraik yig’ indisi cheksiz kichik ketma-ketlik boiadi.
2°.
Ikkita (chekii sondagi) cheksiz kichik ketma-ketlikning
ко‘paytmasi cheksiz kichik ketma-ketlik boiadi.
3°. Cheksiz kichik ketma-ketlikning chegaralangan ketmaketlikka ko‘paytmasi cheksiz kichik ketma-ketlik boiadi.
4°. Cheksiz kichik ketma-ketlikning chekii songa ko‘paytmasi
cheksiz kichik ketma-ketlik boiadi.
Xossalardan birining, masalan, 3-xossaning isbotins keltirish
bilan chegaralanamiz.
( x j chegaralangan ketma-ketlik, { a j cheksiz kichik ketma-ketlik
boisin.
- a j ketma-ketlik cheksiz kichik boiishini isbotlash kerak.
{ x j ketma-ketlik chegaralangan. Shu sababli biror A>0 son va
Mm uchun \xn|<A boiadi.
Vs > 0 son olamiz. {a } cheksiz kichik bo ieani sababli —>0 son
A
s
A.
uchun shunday N nomer topiladi va V«> N uchun | a j< — boiadi.
U holda X/n > N da |jc •a |=|x |•j a n]<A ■—=г boiadi.
A
Demak, {xn - a j - cheksiz kichik ketma-ketlik.
218
4.2.3. Ketma-ketlikning limiti
S-ta’rif. Agar \/s > 0 son uchun shunday N = N(s) nomer topilsa va
\/n>N uchun \x:t-a\<£ tengsizlik bajarilsa, a soniga { x j ketmaketlikning limiti deyiladi va bu Iim
x = a kabi voziladi.
n
—>00
3n —2
3n +1
2-misol. Limit ta’rifidan foydalanib, lim------- =1 bolishini
ko‘rsating.
Yechish.
Vs >0 olamiz. Misolning shartidan topamiz:
I*.-II
З л -2
-3
3n + l
3n +1
Зи + 1
|xn- a j<s tengsizlikni qanoatlantiruvchi n ning qiymatlarini topish
3-------------- 3 —£
uchun------ <£ tengsizlikniyechamiz: n> ------ .
3n +1
3£
3- г
ГЗN nomer sifatida — — sonining butun qismini, ya’ni N(s) = —
3£
\_ 3£
sonini olish mumkin. Bunda V«r>0 son olingarxda ham \/n>N uchun
| —1 j< e b o iad i.
Shu sababli ketma-ketlik limitining ta’rifiga asosan,
2n-\
2 n +1
lim------ =1 .
M a’lumki, \xn-a\<£ tengsizlik xn had a nuqtaning £ atrofiga
lushushmi bildiradi. Shu sababli ketma-ketlikning limiti ta’rifmi
quyidagicha talqin qilish mumkin: agar limx
=a bolsa, u holda a
к—
n
nuqtaning istalgan £ atrofi uchun shunday N nomer topiladi va n > N
nomerli barcha xn nuqtalar a nuqtaning e atrofiga, y a ’ni (a-£\a + £)
intervalda yotadi va bu
x
intervaldan
tashqarida
--------
berilgan ketma-ketlikning
a~s
a
a+e
chekli sondagi nuqtalari
3-shakl.
joylashadi (3-shakl). Bu
j umla ketma-ketlik limitining geometrik т а ’nosini anglatadi.
4,2.4. Yaqinlashuvchi ketm a-ketliklar
8 -ta’rif. Chekli limitga ega bolgan ketma-ketlikka yaqinlashuvchi
ketma-ketlik deyiladi.
219
Yaqinlashuvchi boim agan ketma-ketlikka uzoqlashuvchi ketmaketlik deyiiadi.
{*,} ketma-ketlik yaqinlashuvchi va a limitga ega boisin. U holda
{xn~й} ={а,} cheksiz kichik ketma-ketlik boiadi, chunki \/s> 0 son
uchun shunday N(s) nomer topiladi va \/n>N uchun j a„ |=|xa - a |<s
boiadi. Shu sababli yaqinlashuvchi va a limitga ega boigan ixtiyoriy
{ x j ketma-ketlikning umumiy hadini j = aTa , ko‘rinishda yozish
mumkin bo iadi va aksincha, { x j ketma-ketlikning istalgan hadini
дг„ = a +a„ ko‘rinishida ifodalash mumkin b o isa, u holda iim*
П-4-» П= a
boiadi, bu yerda {«„}- cheksiz kichik ketma-ketlik.
Shunday qilib, cheksiz kichik ketma-ketlikning limiti nolga teng
boiadi. Cheksiz katta ketma-ketlik limitga ega bo'lmaydi. Uning limiti
oo deb belgilanadi.
Y aq iB lash evchi keimn-ksiUMur q ayid agt x o ssa k rg a ega.
1°. Yaqinlashuvchi ketma-ketlik yagona limitga ega boiadi.
2°. Yaqinlashuvchi ketma-ketlik chegaralangan boiadi.
3°. Agar {*,} va{y„} ketma-ketliklar yaqinlashuvchi boisa, u
holda
{xn±yn)
ketma-ketlik
yaqinlashuvchi
va
iim
(x
±у
)
=
lim
xn
+lim
у
boiadi.
« —>00
'
«->00
'
Я—>00
4°. Agar {x,,} va{y„} ketma-ketliklar yaqinlashuvchi boisa, u
holda
{xn ■y j
ketma-ketlik
yaqinlashuvchi
va
lim j( ■y. = lim xn•lim y n boiadi.
n —>30
И-»ОЭ
и —>co
5°. Agar { x j va {yn} ketma-ketliklar yaqinlashuvchi va lim
Гx 1
x
boisa, u holda •{— f ketma-ketlik yaqinlashuvchi va iim —
У.)
У.
0
lim*.
j™>'„
boiadi.
6°. Agar { x j ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo isa, u holda
lim с-хя = с ■lim xn (c e R) boiadi.
T. Agar {xr } va {yn} ketma-ketliklar yaqinlashuvchi va УяеЛ'
uchun x. <yn boisa, u holda lim
И->00 xП< lim
»»->co у n boiadi.
8°.
Agar {x„}
lim xn = lim z„ = a va
« —>00
B—>00
va
{z„} ketma-ketliklar yaqinlashuvchi,
Vn e N uchun
xn<y n< zn bo isa, u holda
lim y „=a boiadi.
220
Xossalardan birining, masalan, 3-xossaning isbotini keltirish bilan
chegaralanamiz,
limx
= a, lim yn =b bolsin. U holda д:n=a + a„ va y„=b+Pn
n
n
—>co
>i->cc
boiadi, bu yerda {an}, {/?„} cheksiz kichik ketma-ketliklar.
Hundan
х„±У„ = (а±Ь) + (ап± P J
kelib chiqadi.
Cheksiz kichik ketma-ketlikning
1-xossasiga asosan
± /?,}
clicksiz kichik ketma-ketlik. Shu sababli {jca±y,} ketma-ketlik a±b
limitga ega bo‘ladi, ya’ni
lim (xn± у J = lim xn ± lim yn.
ketma-ketlikning yaqinlashuvchi ekanini
3-misol. {*„} =|^ "j 2
ko'rsating.
, . ,
. .
. . .
n + 2 „ n + 2n 3n
Yechish. Birmchidan, x„ =——<— -— =
n
Bunda Vw> 6 uchun x. < 2
n
n
3
n
boiadi. Ikkinchidan, VneN
uchun
x„ = -Ц —>
n
n
~ > 0 bo la d i. Agar y„ = 0, z„ =— belgilash kiritsak,
n
2“
limy
limz
=
0
va
Vn>6
uchun
у
<x
<z
boiadi.
U holda 8 -xossaga
H—
>oo’ n «—
>oc n
n
n
n
ko’ra,
lira xn =0, y a ’ni berilgan ketma-ketlik yaqinlashuvchi boiadi.
Har qanday ketma-ketlik ham limitga ega bolm aydi. Ketma-ketlik
limiti mavjud b o iishi haqidagi teorema bilan tanishamiz.
2-teorema {Veershirass teoremasi). Har qanday chegaralangan
monoton ketma-ketlik limitiga ega boiadi.
Isboti. Monoton kamaymaydigan ketma-ketlikni qaraymiz.
x, < x, <x, <-.<xn <xnM<... va shunday M soni topilsin va xn<M
boisin. Elementlari bu ketma-ketlikning hadlaridan tashkil topgan X
to‘plamni qaraymiz.
Shartga ko‘ra, bu to‘plam bo‘shmas va yuqoridan chegaralangan.
U hoida
4.2 banddagi 1-teoremaga asosan, X to‘plam aniq yuqori chegaraga ega
boiadi. Bu chegarani a bilan belgilaymiz va a soni berilgan ketmaketlikning limiti bolishini ko‘rsatamiz.
221
a soni хп ketma-ketlik elementlarining aniq yuqori chegarasi
boigan i uchun uning xossasiga ko‘ra, Ve>0 son uchun shunday N
nomer topiladi va ?a>iVda xm>a - s boiadi. Ikkinchidan, aniq yuqori
chegaraning ta’rifiga asosan, barcha n lar uchun x:i<a< a + E boiadi.
Shunday qilib, n > N uchun a - s <xn<a + s , y a’ni \xn~a\<s tengsizlik
kelib chiqdi. Bu tengsizlik a soni {xj- ketma-ketlikning limiti boiishini
bildiradi.
Monoton о‘smaydigan ketma-ketlik uchun teorema shu kabi
isbotlanadi.
Izoh.
Monoton ketma-ketlikning chegaralanganligi
uning
yaqinlashuvchi boiishining zarur va yetarli shartini beradi.
Haqiqatan ham, agar monoton ketma-ketlik chegaralangan bo isa,
u holda 2 -teoremaga ko‘ra, u yaqinlashadi; agar monoton ketma-ketlik
yaqinlashuvchi bo isa, yaqinlashuvchi ketma-ketlikning 2 -xossasiga
asosan, u chegaralangan boiadi.
2teoremadan ichma-ich qo‘yilgan kesmalar haqidagi lemma kelib
chiqadi.
[a,; 6 ,],[a 2; 6J , . . . [a„;6J,...kesm alar ketma-ketligi berilgan boiib,
bunda [a,; 6J z )[a 2;Z»j3 ...z )[an;Z)J =>..., y a’ni har bir kesma o‘zidan
oldingi kesmaning ichiga joylashgan va \\m(bn- a n) = Q boisin.
Bu
kesmalarga ichma-ich qo‘yilgan kesmalar deyiiadi.
Lemma (Kantor lemmasi). Ixtiyoriy ichma-ich qo“'yilgan kesmalar
ketma-ketligi uchun bu ketma-ketlikning har biriga tegishii boigar» с
nuqta mavjud va yagona boiadi.
Bu lemma haqiqiy sonlar to‘pSaminmg uzluksizligi yoki son
o‘qiningtoialigi haqidagi muhim xossani ifodalaydi.
Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning xossalari va limitlar haqidagi
teoremalar nafaqat nazariy, balki
amaliy jihatdan haiu muhim
ahamiyatga ega. Ulardan,
masalan, ketma-ketliklaming limitini hisoblashda keng foydalani ladi.
^Yl ■{“1
4-misol. lim------ limitni toping.
in-I
Yechish. Kasrning surati va maxrajidagi ketma-ketliklar limitga
ega emas, chunki ular chegaralanmagan. Shu sababli boiinmaning
limiti haqidagi
5-xossani to‘g ‘ridan-to‘g‘ri qoilab boim aydi. Bu
xossani qoilash uchun a w a l ketma-ketlikning surat va m ax iajk i n ga
boiam iz va keyin yaqinlashuvchi ketma-ketlikning
xossalarini
222
qollaym iz:
ЗП+ i .. 3 + 1*7 Iimf
«->ool 3 +—
^ уj lim
«->«3 +lim
и-»со-1™ 3 + 0 3
lim------- = lim ------T
f- = ---- т-------f = -------------- T- =------ = 8w- 1 ~ g _ I Hmf 8_ n
lim8_ limI 8 - 0 8
n —>cc
4.2.5. e soni
{xn}=|^l +- j | ketma-ketlik berilgan bo‘lsin. Bu ketma-ketlik
uchun Nyuton binomi formulasmi я =1, Z>=- da qoMlaymiz:
n
x _i |
1 | « ( » - !)
«
2!
1 !
| » ( » - ! ) ( « - 2 ).-(и -(и - 1)) 1
и2
к!
л"
yo ki
(i+ *) =2+M I4 j ' K"+s ( 1" E 1" « X 1~ V }
(2 .1)
(2 . 1 )
tenglikdan ko‘rinadiki, и ning o‘sishi bilan uning o‘ng
tomonida musbat qo‘shiluvchilar soni ortib boradi. Bundan tashqari,
«n in g o‘sishi bilan —kamayadi va j 1 - —1 м
J,... kattaliklar ortadi.
Shu sababli {x) = -J11 +—1 !>ketma-ketiik monoton o‘suvchi bo‘ 1adi.
n
(2 . 1 ) tenglikka ko‘ra,
j^l +i j > 2 .
(2 .2 )
( 2 . 1 ) tenglikda qavs ichidagi har bir ifoda birdan kichik va shu
bilani
bi
birga,
n > 2 da —<— bo‘ladi.
n\ 2
Bundan
x <I +1 -f---- i-...н— <1 + 1 ч---- ь...н---- —
—14----- —=3
2!
n\
2
223
2 ”- 1
x_ l
2
(2.3)
V
’
kelib chiqadi. Demak, (2.2) va (2.3) tengsizliklarga ko‘ra, 2 < x^ <3,
y a ’ni {хч}- chgaralangan.
Shunday qilib, {.r,} ketma-ketlik monoton o‘ suvchi va
chegaralangan.
U holda Veershtrass teoremagasiga ko‘ra u
yaqinlashadi, y a ’ni chekii limitga ega bo'ladi. Bu limitni e ham bilan
belgi laymiz.
Demak,
(2.4)
e soniga Neper soni deyiiadi. e soni irratsional son. e soni
matematikaning bir qancha masalalarida muhim rol o‘ynaydi. e soni,
masalan, natural logarifmning asosi bo‘ladi: x> 0 sonining natural
logarifmi \nx bilan belgilanadi. Bu paragrafda e soniga faqat ta’rif
berildi va u 2 <e < 3 tengsizlikni qanoatlantirishi ko‘rsatildi. Keyinchlik
e sonining qiymatini istalgan aniqlikda topish usullari ko‘rsatiladi.
4.2.6. M ashqlar
1.
toping:
Ketma-ketlikning dastlabki to‘rlta hadi berilgan. Uning urmimiy hadini
1)
2) 5,—
3) -1,1,-1.1,
4) 1,5,1,5.
7 2 5 8 11
. 25 125 625
’’ 2 ’ 6 ’ 24
2. Chegaralangan ketma-ketiiklami ko‘rsating:
2) x„ = cosnx + 2tgnx;
4) x =л/й2 +1 —n;
5) x„ =(-1)" n;
6) x„ = !п(и +1)~ in/J.
3. Ketma-ketliklardan qaysilari monoton va qaysilari qat’ iy monoton?
15
i
4- I,--,—
-j—- ketma-ketlik cheksiz kichik ekaaligini isbotlang.
17 3n 6*-
5.
14 29 50
4wJ +l
4
—5— ketma-ketlik - ga teng limitga ega ekanligini ketmaЗи2 + 2
3
I rlliknirig lim iti ta ’ rifidan foydalanib isbotlang,
6. Ketma-ketlikiarning limitini toping:
I) x„ ■
3)
5 -n 2
3 + 2я2 ’
2)
x„ ■ 3я + я 3
2л2 +3« + 7 ’
4) ,r„
(« + 2)2 ~ (2 -n )2
2n+7
5)
3*2
7) *, =
4 - / j3
Г2 h2 +3h- i V.
\ л2 - 2и+1 j ’
6 1 * _ (я +1) 3- ( и - 1)3.
Зла+2
1—
5«
5я +1
1+Зл2
Зя +2
8 ) х „ = - ^ ------
я +2 2/1+1
9 ) jc„ =Vn+2 - v n -
10)
=~Jn2 + n —\'n2 —n ;
11) x,, - : -Jn(n- 5) - я;
12 )
~\[rf~4n2 -и;
i 3) X„ =_2n-rJ
^ +я+5
15) = я!+(и+1)!
и)
(2n +1)!+(2« + 2)!
(2и+3)!-(2и + 2 )!’
(n +1) !-2и! ’
2 —5 + 4 —7 + ... + 2 и -(2 и + 3)
n +5
17) x n =
19) * =
21)
1
1
1
1-7
713
(6n -5)(6n + l ) ’
18) *„=:
20 )
22) x
*„
3” +l
3 5
9
23) jc„ =:---1----- j----4
16
64
л/и+1
1+ 2 “
24)
4" ’
f 2 + 3 +... + «
я 2-2 я + 1
1
1
=-—
r+-—
t+
2 -4
4 -6
2-3” + i
1+ 3 + 9 + ... + 3"*'
2 -3
+5
1
2 3n
25) x„ - —COS/!'--- ;----- ;
1 . я
Lb) xn - - sin n +—— ;
n
n -1
27) *„ =M
v »/”;
28)* .= (—
\\ + n)Г ;
n
29)
=
бп-i-l
2я + П
an
i(,K '!y7Tj
y i n — Iy
225
2и(2и + 2)
4.3. BIR О*ZGARUVCHINING FUNKSIYASI
4.3.1. Funksiya
Ikki to‘plam elmentlari orasidagi bog‘Ianishni o^matishga
asoslangan funksiya tushunchasi matematik analiz kursida o‘rganilsada,
nafaqat bu kursning, balki butun matematikaning asosiy
tushunchalaridan biri hisoblanadi.
Funksiya tushunchasi
l- t a ’rif. Agar X to‘plamning har bir x soniga biror / qoidaga
ko‘ra, Y to‘pIamning bitta у soni mos qo£yilgan bo‘lsa, x to'plamda
funksiya beriigan deyiladi va / : x -> у yoki у = f(x) kabi belgilanadi.
Bunda / funksiya X to‘plamni 7 to‘pIamga akslantiradi deb
aytiladi. X to‘p!am f funksiyaning aniqlanish sohasi deb ataiadi va
D(f) bilan belgilanadi, y e Y to‘plam f funksiyaning qiymatlar sohasi
deb ataiadi va £(/) bilan belgilanadi.
Bunda x funksiyaning argumenti yoki erkli о ‘zgaruvchi, у funksiya
yoki x ga bog'liq о ‘z garuvchi deb ataiadi.
y = f (x) funksiyaning x = x0(x, e X) nuqtadagi xususiy qiymati
f( x 0) = y0 yoki y[m =y0 kabi belgilanadi. Masalan, /(x) = 3x3- 2 bo‘S.sa,
/( 0) =-2, /( 1) =1 .
v = f{x) funksiyaning
grafigi
deb Oxy koordinatalar
tekisligining
abssissasi x argumentning qiymatiaridan va ordmatasi
у funksiyaning mos qiymatiaridan tashkil topgan barcha (x;/(x>),
x e D{f)
nuqtalari
to‘plamiga
7
aytiladi. Funksiyaning grafigi tutash
chiziqdan (egri chiziqdan yoki to‘g ‘ri
=л/]l-x2
chiziqdan) iborat bo iishi yoki ayrim
nuqtalardan tashkil topishi mumkin,
\\
masalan, y = n\, neN funksiyaning
,1
о
j* Ti x
grafigi 1,2 ,6,.... nuqtalardan iborat
IJ
\ X.
bo‘ladi
V r—
=-Vi-x
Har qanday chiziq ham biror
funksiyaning grafigi bolavermaydi,
4-shakl.
masalan,
x2 + y 2 =1
aylana
226
funksiyaning grafigi bo‘3maydi, chunki har bir x e (-l;l) uchun у ning
I»ilia emas balki ikkita qiymati mos keladi: y, = - J l - x 2 va y2 - —v/l- x1
(■1-shakl). Bunda funksiya ta’rifming bir qiymatlilik sharti buziladi.
Ammo aylananing quyi yarim tekislikdagi bo‘lagi у =—J\ - x2
lunk-siyaning, yuqori yarim tekislikdagi bo‘ lagi esa y = J 1 —jc2
funksiyaning grafigi bo‘ladi.
Funksiyaning berilish usullari
Funksiyaning berilishi, y a’ni x ning har bir qiymatiga у ning
yagona qiymatini topish turli usulda berilgan bo‘ lishi mumkin. Amalda
funksiya berilishining analitik, jadval va grafik usullari ko‘p qoMlaniladi.
Analitik usulAa x va у o‘zgaruvchilar orasidagi bog‘lanish bir yoki
bir nechta formula orqali beriiadi. Masalan,
y = x\ y = sin2x, у =
x - 5 , agar jc <3,
x1 +2, agar x> 3.
Funksiya у = f(x) ko‘rinishda yozilganda, ayrim hollarda
funksiyaning aniqlanish
sohasi D (f) ko‘rsatilmaydi. Bunda,
funksiyaning aniqlanish sohasi x ning f{x) funksiya ma’noga ega
bo‘ladigan barcha qiymatlari
to‘plamidan iborat deb qaraladi.
Jadval usulida x va у o‘zgaruvchilar orasidagi bog‘lanish jadval
orqali beriiadi. Masalan, logorifmik fuksiyalarning, trigonometrik
fuksiyalaming jadval! ari,
Amalda jadval orqali funksiyani kuzatish natijalari yoki uning
tajribada olingan qiymatlari beriiadi.
Grafik usuliAa fuksiya-ning grafigi beriiadi. Bunda funksiyaning
argumentning u yoki bu qiymatlariga mos qiymatlari bevosita shu
grafikdan topiladi.
x va у o‘zgaruvchilar orasidagi bog‘lanish yuqorida keltirilgan uch
usul bilan chegaraianib qolmasdan, boshqa shakllarda berilishi ham
mumkin. Masalan, EHMning hisoblash programmasi shaklida,
tavsiflardangina iborat holda.
Funksiyaning monotonligi
y = f(x ) funksiya X to'plamda aniqlangan va 1 =(a;b) c l bolsin.
227
2-ta’rif. Agar Ух.к,х2е 1 uchun xl <x2 bo'Iganda /(*,) <Л*2)
i f i xi)> f ( x2)) tengsizlik bajarilsa,
уi
V =f ( x) funksiyaga I intervalda
I
о ‘suvchi (kamayuvchi) deyiiadi,
3-taVif. Agar Vx1,x1 e l uchun
S ’
x, <x2 bo‘lganda
f ( x f < f ( x 2)
(/(*,)> f ( x 2)) tengsizlik bajarilsa,
У - f ( x) fiinksiyaga I intervalda
kamaymaydigan
(o ’smaydigan) ""_'2 о
deyiiadi.
5-shakl.
Masalan, grafigi 5-shaklda
berilgan
funksiya (- 2 ;!) intervalda kamayuvchi, (1;6) intervalda
kamaymaydigan, (3;6) intervalda o‘suvchi.
Barcha bunday funksiyalar I intervalda monoton funksiya nomi
bilan umumiashtiriladi. Bunda o‘suvchi va kamayuvchi funksiyalarga I
intervalda qat'iy monoton funksiyalar deyiiadi. Funksiya monoton
bo‘Igan intervallar monotonlik intervallari deb ataladi.
Funksiyaningju ft va toqligi
y =f(x) funksiya X to‘plamda aniqlangan bo'lsin.
Agar VxeX uchun - xeX va f(-x) =f(x) bo‘lsa, f(x) funksiyaga
juft funksiya deyiiadi. Masalan, y=-x2, у = cosx, у = л/l + x1 -ju ft
funksiyalar.
Juft funksiyaning grafigi ordinata o‘qiga nisbatan simmetrik
boMadi.
Agar V xeZ uchun - xeX va f(-x) =-f(x) bo‘lsa f(x) funksiyaga
toqfunksiya deyiiadi. Masalan, y =x\ у = sin x -toq funksiyalar.
Toq funksiyaning grafigi koordinata boshiga nisbatan simmetrik
bo‘ladi.
Juft ham, toq ham bo‘lmagan funksiya umurniy ko’rinishdagi
funksiya deb ataladi. Masalan, y - x - 2. y = 4 x - umumiy ko‘rinishdagi
funksiyalar.
f(x) va g(x) funksiyalar juft funksiyalar bo‘Isa,
f(x) + g(x), f( x ) - g ( x ) , f(x)-g(x) fix) ,(gix)* 0)
g(x)
228
funksiyalar ham juft bo‘ladi.
f (x) va g(x) funksiyalar toq funksiyalar bolsa,
f(x) + g(x) , f ( x ) - g ( x )
funksiyalar toq bo‘ladi,
/ (x ).g (x ),
0)
g(x)
funksiyalar esajuft bo‘ladi.
I-misol.
f (x) =ln(2x + Vl +4x2)
funksiyalaming
toq
ekanini
ko‘rsating.
Yechish. Toq fiinksiya uchun
/ ( - * ) = -/(■*) y o k i fi x ) + f( - x ) = 0
bo‘ladi.
Tekshirib koiam iz:
/ ( jc ) + / (- л ) = ln(2.x + л[Г+ 4x2) + \n(-2x + л!\ + 4x2} =
= ln(l + 4x2 - 4xz) = ln l = 0.
Bu munosabatdan x s D ( f ) boisa, - x e D ( f ) boiishligi kelib chiqadi.
Demak, funksiya toq.
Funksiyaning chegaralanganligi
y - f(x) fiinksiya X to‘p!amda aniqlangan bolsin.
4-ta’rif. Agar shunday o‘zgarmas M soni topilsa va У х е Х uchun
fix ) < M tengsizlik bajarilsa, fix ) fuksiya X to‘plamda yuqoridan
chegaralangan deyiladi.
5-ta?rif. Agar shunday o‘zgarmas m soni topilsa va V i e J uchun
f(x)>m tengsizlik bajarilsa /(*) fiinksiya X to‘p!amda quyidan
chegaralangan deyiladi.
6 -ta’rif. Agar fix ) funksiya ham quyidan,
ham yuqoridan
chegaralangan b o lsa, y ’ani shunday o‘zgarmas m va M sonlari topilsa
va Ух e X uchun m< f{ x )< M tengsizlik bajarilsa, f(x) funksiya X
to'plamda chegaralangan deyiladi.
Masalan, y = l - x 4 funksiya yuqoridan M = 1 soni bilan
chegaralangan, у = 2 + x2 fiinksiya
quyidan
m= 2 soni bilan
229
chegaralangan, у =sinx funksiya quyidan
yuqoridan M = 1 soni bilan chegaralangan.
m= - 1
soni bilan va
Funksiyaning davriyligi
y = /(x) funksiya X to‘plamda aniqlangan boisin.
7-ta’rif. Agar shunday o‘zgarmas Т(Тф 0 ) son topilsa va
Ух e X uchun x + T <eX, x - T e X, f ( x ± T) = f{x ) bo ‘ Isa, / (x) funksiyaga
davriy funksiya deyiiadi. Bunda T larning eng kichik musbat qiymati
T0 ga f( x ) funksiyaning davri deyiiadi.
Masalan, v =sinx funksiyaning davri 2я, tgx funksiyaning
davri л .
2-misol. f(x ) = 4sin3x + 3cos3x funksiyaning eng katta qiymatini va
davrini toping.
Yechish. a cosx + bsin =4 a 2 + b2 cos(x -<p)\<p = arg/g-~l formulaga
V
a)
ko‘ra,
г--------
4
f i x ) = V32 + 4 2 cos(3x - (p) = 5cos(3x - (p), <p= argtg—.
Bu funksiyaning eng katta qiymati /^—-—■
— ) =5.
2 tx
2.71
Asos(ax±<p) funksiyaning davri Ta =— boiadi. Bundan T0 =— .
a
V'
3
4.3.2. Teskari funksiya
Aniqianish sohasi X va qiymatlar sohasi Y boigan у - f i x )
funksiya berilgan boisin. Agar bunda har bir y e Y qiymat yagona
x e X qiymatga mos qo‘yilgan boisa, u holda aniqianish sohasi Y va
qiymatlar sohasi X boigan x = <p(y) funksiya aniqlangan boiadi. Bu
funksiya y = f(x ) ga teskari funksiya deb ataladi va i =<p(y) =f~'(y)
kabi belgilanadi.
У = f{x ) va x =cp(y) funksiyalar о 'zaro teskari fu n ksiyalar deyiiadi.
Bunda у —f (x) funksiyaga teskari x = <piy) funksiyani topish uchun
f i x ) = y tenglamani * ga nisbatan yechish (agar mumkin b o isa) yetarli.
Masalan, y = a x funksiyaga teskari funksiya x = \ogay funksiya boiadi.
у —x 2 funksiyaga x e [ 0;ljda x = -fy teskari funksiya mavjud, x e [-l;l] da
230
csa mavjud emas, chunki bunda у ning har bir qiymatiga x ning
ikkita qiymati, masalan, y = 1 ga x, = - 1, x2 =1 mos keladi.
Teskari funksiya ta’rifiga ko‘ra, у = f(x ) funksiya X va Y
lo ‘ plarolar o‘rtasida bir qiymatli moslik o‘rnatsagina У = f(x ) funksiya
teskari
funksiyaga
ega
boiadi. Bunda h ar qanday
fy =/О)
qat ’iy
monoton
funksiya
teskari
bo la d i
funksiyaga
ega
'y=X
deyish
mumkin
boMadi. Bunda agar funksiya
/
M. /
o'ssa (kamaysa), u holda
Уо
unga teskari funksiya ham
''x,
o'sadi (kamayadi).
у = f(x ) va unga teskari
Ю Xn/ Уо
x=<p(y) funksiyalar bitta egri
chiziq bilan ifodalanadi, y a ’ni
ly = rp{x)
u laming grafigi ustma-ust
6 -shakl.
tushadi.
Odatdagidek,
argument (erkli о‘zgaruvchi)
x bilan va fiinksiya (bo gliq o‘zgaruvchi) у bilan belgilansa, y = m
funksiyaga teskari funksiya y = <p(x) deb yoziladi. Bu y = f(x ) egri
chiziqning M.(x0;y 0) nuqtasi y = (p(x) egri chiziqning M2(yn;x0) nuqtasi
bolishini bildiradi. Bu nuqtalar y = x to‘g‘ri chiziqqa nisbatan
simmetrik bo iadi ( 6 -shakl). Shu sababli о ‘z aro teskari v - - f ( x ) va
у = (pipe) funksiyalam ing gra.fik.lari I va
burchaklarining bissektrisalariga nisbatan
simmetrik boiadi.
HI choraklar
koordinata
43.3. M urakkab funksiya
X to:plamda qiymatlar sohasi Z bolgan z = cp(x) funksiya
aniqlangan bolsin. Agar Z to‘plamda y = f( z ) funksiya aniqlangan
boisa, u holda X to‘plamda y = f((p(x)) murakkab funksiya (yoki
z = <p(x) va y = f(z) funksiyalaming superpozitsiyasi) aniqlangan
deyiladi.
.z = <p(x) o‘zgamvchi murakkab funksiyaning oraliq argumenti deb
ataiadi. Murakkab funksiyanmg oraiiq argumentlari bir nechta b o iishi
ham mumkin.
231
Masalan, у = cos5x murakkab funksiya. chunki u y - f ( z ) = co$z
va z = <p(x) =5x funksiyalaming superpozitsiyasidan iborat.
4.3.4. Elementar funksiyalar sinfi
Quyida keltirilgan funksiyalarga asosiy
deyiiadi.
elementar funksiyalar
1 . О‘zgarmas funksiya у - С (С e Л).
О‘zgarmas funksiya: D (f) =(-oo;+oo), £'(/) = {C} chegaralangan, juft,
davri ixtiyoriy T.
Q‘zgarmas funksiyaning grafigi abssissalar o‘qiga parallel to‘g ‘ri
chiziqdan iborat boiadi.
2. D arajali funksiya y = x “, a <=R,ос ф 0.
Hamma darajali funksiyaning grafiklari (1;1) nuqtadan o‘tadi.
1)
a = n, и-butun musbat son. Bunda funksiyaning grafigi
koordinatalar boshida abssissalar o‘qiga urunadi («> 2 da); n juft son
boiganda ordinatalar o‘qiga nisbatan simmetrik, n toq son boiganda
esa koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik boiadi (7-shakl). «= ld a
I va III choraklar koordinata burchaklari bissektrisalarining grafigini
ifodalaydi (7-shakl).
5
\ n -2
\
\
1 '
f/ n = 1
1
\
■<-.n= - 2
\i
I
i
\\
w
/
//!
\
iA
/
S A
/ /0
/ /
is
\
i
1
о
x
\
/
*I
1
X
-i
n =-i\
7-shakl.
8-shakl.
2)
a = - n , к - butun musbat
son boiganda ordinatalar o‘qiga
boiganda
esa
koordinatalar
bo iadi ( 8 -shakl). n =\ da teskari
ifodalaydi ( 8 -shakl).
son. Bunda funksiyaning grafigi n juft
nisbatan simmetrik, и toq son
boshiga
nisbatan
simmetrik
proporsiona! bogianish grafigini
232
3) a = r, r = —, m va « - o ‘zaro tub butun sonlar. Bunda n ju ft son
г,
У
4J
II
У
Ю|'-«
b olg an d a D(f) =[0;+oo), n toq son bolg an da £>(/) = (-<*•+«).
Funksiyaning grafigi n toq va m ju ft son b o lg an d a ordinataiar o ‘qiga
nisbatan simmetrik
(9-shakl), n va m toq sonlar b o lg n id a
koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik b o ia d i (10-shakl). r <1 da
grafik koordinatalar boshida ordinataiar o ‘qiga urinadi (9, 10-shakl),
r >1 da grafik koordinatalar boshida abssissalar o ‘qiga urinadi (11shakl).
1
у= 2ъ
1~Pf
о
1
X
1
X
О
X
11-shakl.
10-shakl.
9-shakl.
1
{
1
’ ■'XI
/
\Ч 11
V.
У
4 )a = q, q =~~< 0, my a w - o ‘zaro tub butun sonlar, n -a - . Bunda
n
n ju ft son b o lg an d a D(/) = (0;+oo)(l2-shakl), n toq son bolganda
D(/) = (-oo;0)u(0;+oo). Funksiyaning grafigi n toq va m ju ft son
bolg an d a
ordinataiar o ‘qiga nisbatan simmetrik, n va m toq
sonlar b o lg an d a esa koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik
b o ia d i (13-shakl).
У
у
1
3
1 V = X 3
3
\"
1
I
\
\ч. о
\
лг
I ---\ ч
о
1
х
—
V..
i х
1
\
12 -shald.
]з_ shakl.
233
3. К о ‘rsatkichlifunksiya y = a \ a e R , a > 0 , a * l .
Ko‘rsatkichli funksiyada D(/> =(-co;+oo), E(f) = (0 ;+qo). Bu funksiya
a> 1 boisa, R da monoton o‘suvchi, 0< a< ! boisa, R da monoton
kamayuvchi.
Ко‘rsatkichli funksiyaning grafiklari ( 0 ;1) nuqtadan o‘tadi.
Ko‘rsatkichli funksiyalar grafiklari 14-shaklda keltirilgan.
У
у =lo g a X
(a > I) ^
\
V
о/j\
X
t
4 \
* y= )ogax
(0 < a < 1)
15-shakl.
,
'
4. Logarifmik funksiya у =logox, a eR, a > 0. аФ\.
Logarifmik
funksiyada
D (f) = (0;-н»)
va
E (f) = (—co;+oo). a >1 boisa,
D(f) da monoton o‘suvchi,
0 <a < 1
bo ‘ Isa,
D (f) da
monoton kamayuvchi; y = ax
ga teskari funksiya.
Logarifmik funksiyalaming
16-shakl.
grafigi (1;0) nuqtadan o‘tadi.
Logarifmik funksiyalaming grafigi 15-shaklda keltirilgan.
5. Trigonometrikfunksiyalar:
•
y= sin X: £>(/) =(-oo;+=o),
davri 2 /T(16-shakl).
234
£(/) =[-l;l], chegaralangan, toq,
• у = cosx: £)(/) = (-со;+ оо), £(/) =[ - 1;1], chegaralangan, juft, davri
2л ( 1 6 -shakl);
.
* У - tgx '■
/)(/) =^(2 « - l ) ^ ; ( 2 « +l)-^-j, weZ,
E{f) = (—
co;+oo), toq, davri n (17-shakl);
®У = ctgx '■
*
i
'
!
■*
Д = сф ;
!* /^i
s
1|
*
; .* ^
i
il 1
^
,
!
21
2 ii f *к
*f
V
* !
Л
!
/
It'. \/ ^
:4 /
!'
1! b\=tgS
l!
ч :
/ i
;
!
1!
|«
U !
! V ■
: Д:
!i
6 . Teskari trigonometrik
fu n k siya la r.
;
1! '.' 1'•
11 ]■
Is /1
( 4i i
!/
:
/.)(/) = (nn; (n +1)я), n e Z ,
£(/) =(-co;+oo), toq,
davri ж (17-shakl),
у
5
!|
5
;s 5
*
17-shakl.
®,y =arcsinx: .£>(/) =[ - l;i],
я я
chegaralangan, toq, monoton o‘suvchi (18-shakl);
ад=
УЛ
V
у = arcsm x
71
~2
A
f\0
4
1
!/
!/
У
... у = arccosx
!
1
*
яг
О
0
i
19-shakl.
18-shakl.
» y = arccosx:
i?(/) =[-l;l], E(f) = [0;я], chegaralangan, monoton
kamayuvchi( 19-shakl);
7
я
ч
V
п \
~2 \
0/
у = arcctgx
71
~ .2 _
О
21-shakl.
20-shakl.
235
л;
• у = arctgx:
D(/) = (-oc;+co),
£(/) =
\
monoton
2 2)
o‘suvchi (2 0 -shakl);
D( f ) =(-oo;+oo),
• у = arcctgx:
£(/) =(0;тг),
monoton
kamayuvchi ( 2 1 -shakl).
Asosiy elementar funksiyaiardan chekii sondagi arifmetik amallar
(qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish, boiish) va superpozitsiyalash
yordamida hosil qilingan bitta formula bilan berilgan funksiyaga
elementar funksiya deyiiadi.
Masalan, y = Pm(x) = a0xm+ a,x’"~' +... + am_lX+ am, у = lg2(sin2x) + e2x,
у =arccos- +Ух2 - elementar funksiyalar.
x
Elementar bo'lmagan funksiyalarga quyidagi funksiyalar misol
bo£ladi:
1, agarx> 0 ,
n
3, agar x = 0,
—1, agarx< 0 ,
у =Slgnx -
x
x
x
3!-3
5F-5
7!-7
agarx> 0 ,
y = \x
x\ agar x <0,
x
,
V —1 -------- 1--------------- b...4-(—1) --------------------(2w + l) H > + i)
4.3.5. G iperboiik funksiyalar
v‘
Ko‘rsatkichli funksiyaiardan hosil qilinadigan quyidagi elementar
%5 funksiyalarga giperboiik funksiyalar deyiiadi:
giperboiik sinus: y = shx, shx-
e -e
(2 2 -shakl);
У'
j
/
/ у = shx
/
II
1
/
Jo
|
\
\
\
X
\
V
/
/
O
i
236
giperboiik kosinus: у = chx, chx =
e +e
(23-shakl);
giperboiik tangens'.y =thx, thx =—— — (24-shakl);
e* + e 1
giperboiik kotangens: у = cthx, cthx =------- - (25-shakl).
e1 —e~*
У
I
= thx
1
/
О
X
./O
.... - x
......."
-1
\
- 1
\
i
25-shakl.
24-shakl.
4.3,6. Oshkormas va param etrik
ко‘rinishda berilgan funksiyalar
Agar x
va у o'zgaruvchilar orasidagi bog‘ lanish y = f(x)
ko‘rinishda ifodalansa, bu funksiyaning oshkor ko‘rinishdagi berilishi
hisoblanadi. Shuningdek, ayrim hollarda funksiyaning oshkormas
ko‘rinishidan foydalanishga to*g‘ri keiadi.
Funksiya X to‘p3amda aniqlangan bo‘!sin. Agar har bir x e X songa
mos qo‘yilgan yagona у son F(x,y) = 0 tenglamani qanoatlantirsa,
y = f i x ) funksiyaga F(x,y) = 0 tenglama bilan oshkormas ко ‘rinishda
berilgan funksiya deyiiadi.
Agar * va j o‘zgaruvchilar orasidagi boglanish ikkita x =x(t) va
У = У(0, t e X funksiyalar berilgan bo‘ lsin. U holda Oxy koordinatalar
tekisligining
koordinatalari (*(?); v(0 ) bo‘lgan barcha nuqtalari
to‘plamiga parametrik ко‘rinishda berilgan chiziq (egri chiziq yoki
to‘g ‘ri chiziq) deyiiadi. Bunda t parametr deb ataladi.
Agar parametrik ko‘rinishda berilgan chiziq y = f(x) funksiyaning
grafigini ifodaiasa, bu funksiyaga parametrik к о ‘rinishda berilgan
funksiya deyiiadi.
237
4.3.7. Mashqlar
1. Funksiyaning aniqlanish sohasini toping:
1+ x 2
1) /О) x5 +8 ;
2 ) /(*) =
3) /(*)=VT-x2
4) /(*) =
5) /(x)= , ,
10 -
x + 5x + 6
5
'
(x—l)Jx + 2
*
6) fix) ■
\ jc2-Hjch-18
’
лА-Зх2
COS7U
8) / (х ) = л/2х + 1 —Vx + 1;
7 ) / ( * ) = V jc—7 + л /1 0 - х ;
3
10) / (х ) = л/х3- 8 + lfl- x ’
9 ) / ( х ) = л / х - 2 + л / 2 - х + л/х2 + 4 ,
11) / (x) = arcsinx-arccos(4-x);
12) / (x ) = arcsin(x—2) + 3 ln (x -2 );
13)
14) / (x) -
/ (x) = log, !n Igx;
In sin x;
л/х-3 + л/7 —x
15) /(x) =e'/*log2(2-3x);
V'O-6)2
17) / (х) = л/3-4х + arccos.x
19) /(*) =
3-4д:
18) / (x) = a r c c o s ^ ^ + 2 £;
20)
- 5 sm 2x.
Vx2- 3x+2
x -ln (x + 3 )
/ (X ):
л/8-х3"
2. Funksiyaning qiymatlar sohasini toping:
1) /(x) = x 2+ 4x + 2;
2) / (x ) = л/7-х+ 2;
3) /(x) = 2 sin x -5 ;
4) / (x ) = sinx+cosx;
5) /(x) =2 ' , - l;
6 ) / (x) = 2е"'г +1;
7) /(x) =V9 - ? ;
8) f( x ) = —arctgx',
n
10) /(x) =
u) m -
12) /(x) =
2x2 +4x + 5 ’
2 x -3 .
12x-3|’
2
л/2х2- 4 х + 3 ’
238
3.
f(x) =x33х funksiya berilgan. Quyidagilarni toping:
!)/ ( !) :
2 ) /(-?/4);
£
3 ) /(-x);
4. Funksiyaning monotonlik oraliqlarini toping:
1) /(x) =x1 - 5л: +6;
3) /(*) =
2) /(x) =x 3 +arcsin x;
1
4) f (x) = arctgx -x.
5. Funksiyaning juft, toq yoki umurniy ко‘rinishda ekanini aniqlang:
1) /(x) =:*J - 3 x - x 3;
2) /(x) = x4 +5x2 +1;
3) /(*)=--—
;
X
4) / 0 0 = c?g3x + cos 2x;
5) /( x ) = t a f | ^ \
6)
7 ) / (* ) = 2|x|-3;
8) /(*) =*|3f|;
V3-xJ
/(*) = !n(x + л/х2 +1);
(
9*
10) /(x) ! i
9) / (x) = 3*2(x + sinx);
—
9"
6. Funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini toping:
1) /(*) = (k -n )ca s2x+ n (0<&<и);
2) /(x) = 4sinx3;
3) / (x) = sin2x + cos2x;
4 ) / (x ) = 3sinx + 4cosx;
5) / (x) = sin4x + cos4x;
6)/(x)=|cos4x|.
7. Funksiyaning monoton, qat’iy monoton yoki chegaralangan ekanini
aniqlang:
л‘ 4 - 2
1) f(x) = shi^ x;
2)/(x) =
л+7’
f x, agar x < 0,
3)/(х) = л/Зх-4;
4)/(*) =j —3,
agw x>0.
8. Funksiyaning davrini toping:
1) /(*) =- 2 cos|;
2 ) f(x) =clg(2x-3);
3) f(x) = tgx-cos|;
4) f(x ) = sm—cos—cosxcos2x;
7
2
2
5) /(x) = sin4x-co s4 x;
6 ) / (x) = sm2x + cos3x;
7) /(x)=|sm2x|;
8) /(x)=jcos3x|;
239
10) /(*) = fg y -c ? g y + s in | .
9) /(x) =s in y + c o s -y ;
9. Funksiyaga teskari funksiyani toping:
I) y =3x+5;
2) y =~ ~ ;
1+ X
3) y = 4 + log3x;
4 ) _y = 2sin3x.
10 . f(g (x)) va g (f(x ) murakkab funksiyalarni toping:
1) /(*) =Зх+l, g (x )= x 3;
2) f( x ) =sin x, g(x)=|x|;
3 )/ w = — , g<x)=----
4) / (x) = 23\ g(x) = log2x.
x
4 -x
11. Funksiyaning grafigini chizing:
2) у =-2.sin 3x;
1) y = x 2 + 4x+ 3;
2x —1
'
4) ,y =- x 2 |x|;
2x + Г
5) у = xsinx;
6 ) y = x+ sinx.
7) >>= arccos | |;
8) >
>=3"
12. Ayniyatni isbotlang:
1
1) l - t h 2x
3) ch2x
2 ) cf/i2x -j= —i
5Й'
ch2x ’
chlx-
ch2x + \
5)s/i(lnx) =
4) sh2x =-
6 ) сй(1п x) -
2x
2
x2 +1
2x
13. Qaysi nuqta >+cosy-x =0 funksiya grafigiga tegishli ekanini aniqlang:
Л(1;0); B(0;0);
D(n-\,n).
^X —t —1
14. Qaysi nuqta <
1
’ parametrik tenglamalar bilan berilgan egri chiziqqa
i y = t +1
tegishli ekanini aniqiang: A(1;5); вГ— \ C(2;8); D(0;1).
4.2 4 j
15. Berilgan funksiyani у = y(x) ko'rinishga keltiring:
- 4 fx = 3sitU,
I COSt.
x = t+2.
i) у = г2 + 4/ + 5;
240
4.4. FUNKSIYANING LIMITI
4.4.1. Funksiyaning
limits
Funksiya limitining ta ’riflari
Biror X sonli to‘piam berilgan boisin.
1-ta’rif. Agar
nuqtaning ixtiyoriy e (s >0) atrofida X
to‘plamning cheksiz ko‘p elementlari yotsa, x0 nuqtaga X toplamning
limit nuqtasi. deyiiadi.
Masalan, X ={—:n eN [ to‘p!am uchun xa = 0 limit nuqta boiadi.
L«
j
f(x) funksiya X toplamda aniqlangan va x0 nuqta X toplamning
limit nuqtasi boisin.
2- ta ’rif. (funksiya limitining «ketma-ketlik tilidagi» yoki Geyne
t a ’rifi). Agar X toplamning
nuqtalaridan
tuzilgan x0 nuqtaga
yaqinlashuvchi har qanday { x j ketma-ketlik (х„*х0) olinganda ham,
bu ketma-ketlikka mos {/(*,)} ketma-ketlik hamma vaqt yagona A
limitga in tilsa, A soniga f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi yoki x-->x0
dagi limiti deyiiadi va bu lim f(x ) = A deb yoziladi.
3- ta ’rif. (funksiya limitining « s - 8 tilidagi» yoki Koshi t a ’rifi).
Agar Vg>0 son uchun shunday 5>0 son topiisa va x ning
0 < |x - xc |<S tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x e X , x * x 0
qiymatlarida \f(x)-A\<s tengsizlik bajarilsa,
A soniga f(x)
funksiyaning x0 nuqtadagi yoki x->x0 dagi limiti deyiiadi va bu
limf(x ) = A deb yoziladi.
Funksiya limiti uchun berilgan Geyne va Koshi ta’riflari o'zaro
ekvivalent ekanligi isbotlangan. Shu sababli funksiyaning nuqtadagi
limitini topishda bu ta’riflaming istalgan biridan foydalanish mumkin.
x0 ga intiluvchi {*„} ketma-ketlikni yetarlicha ko‘p usul bilan
tanlash mumkin bolganligi uchun Geyni ta’rifidan funksiyaning limitini
topishdan k o ia , funksiyaning nuqtada limitga ega bolm asligini
kolsatishda foydalanish qulaylikka ega boiadi. Buning uchun x0 ga
nuqtada limitga ega bolmagan birorta {/(*„)} ketma-ketlikni topish
yetarli yoki har xil limitlarga ega boigan {/(*')} va {/CO} ketmaketliklami kolsatish kifoya.
241
/(x) = sin— funksiya
x
bo‘lmasligini koisating.
1 -misol.
x = Q nuqtada
limitga
ega
Yechish. x = 0 nuqtaga intiluvchi ikkita {— 1 va I— '— [ ketma[ПЛ)
I —+ Inn !
12
J
ketliklami qaraymiz. Mos {/(x)} ketma-ketliklar har xil limitlarga
intiladi: {smrrn} ketma-ketlik nolga intiladi, isinj -~ + 2mi ))• ketma-ketlik
I v2
/j
esa birga intiladi.
Demak, f i x ) = sin—funksiya x = 0 nuqtada limitga ega boim aydi.
x
2- misol. lim(3x
- 2) = 1 ekanini ko‘rsatmg.
x—
>1
Yechish. Vs > 0 son olamiz. Shunday 8 > 0 sonni ko‘rsatishimiz
kerakki, j x - 1 1< 8 boiganida |/ (x) - 1 1<e bolsin.
Bunda / (x) =3x - 2 : |/(jc) —1N (3jc —2 ) —1 И 3jc —3 H 3(jc —1) |=31jc —1j
£
boigani uchun <5=- deb olsak, |x —11<<5 bolganda |/ ( x ) - l |<e boiadi.
Demak, lim(3x-2) =l.
l i
Xususan, e = lda 8 =- , s = - da 8 = - .
3
2
6
x -> l
i
Shunday qilib, 8 son
s songa b o gliq boiadi. Shu sababli
v kevingi ta’riflarda 5 =8(e) deb olamiz.
s
Izoh. Funksiyaning x0 nuqtadagi lirniti ta’rifida x0 nuqtaning o‘zi
qaralmaydi. Shunday qilib, funksiyaning x0 nuqtadagi qiymati
funksiyaning bu nuqtdagi limitiga ta’sir qilmaydi. Bundan tashqari,
funksiya x0 nuqtada aniqlanmagan boiishi ham mumkin. Shu sababli
x0 nuqtaning atrofida (x*x0 bolganda) teng bolgan ((x =x0 da har xil
qiymatga ega bolgan yoki ulardan bittasi yoki har ikkalasi
aniqlanmagan) ikkita funksiya x - > x 0 da bitta limitga ega boiishi
yokiulam ing har ikkalasi limitga ega boim asligi mumkin.
3-misol. /ООН* ’
I 1, x =0
bo lsa, Hm/(x) limitni toping.
Yechish. g(x) = x2, -oo<x<+oo funksiya x =0 dan tashqari, barcha
242
nuqtalarda
/(x)' funksiya bilan ustma-ust tushadi va lira
g-(x) =0
x-yQ
boiadi. Shu sababli lim
f(x) =0 .
x->0 "
Funksiyaning nuqtadagi limiti ta’rifini geometrik nuqtayi nazardan
shunday talqin qilish mumkin: agar A soni /(x) funksiyaning
x0 nuqtadagi limiti boisa, A nuqtaning istalgan s atrofi uchun
x0
nuqtaning shunday 8 atrofi
topiladi va
S
atrofdagi barcha
x (x ф x ,) nuqtalarda fix) funksiya­
ning mos qiymatlari A nuqtaning
E
atrofida yotadi.
Boshqacha
aytganda
/ (x)
funksiyaning
S atrofdagi grafigi
A~
y = A - e va y = A + s to‘g'ri chiziqlar
bilan chegaralangan,
kengligi
о
x<1-s
x^+lT
2s
ga teng boigan tasmada
, ,,
joylashadi (26-shakl).
4-ta’ rif. Agar \/s>0 son uchun shunday 8 =8(e) > 0 son topilsa
va
x ning x„ <x <x0 +8 (x0 - 8 <x <x0) tengsizlikni qanoatlantiruvchi
barcha qiymatlarida \f(x)-A\<s tengsizlik bajarilsa, A soniga f(x)
funksiyaning x„ nuqtadagi o ‘ng (chap) limiti
deyiiadi va
lim
f(x
)
=
A
yoki
/(х
+
0)
=
Л
(lim
f{x)
=
A
yoki
f(
x
0) = Л) kabi
*-*jci;+0
x-*x*-0
belgilanadi.
f(x) funksiyaning xGnuqtadagi o‘ng va chap limitlari bir tomonlama
limitlar deb ataladi. Agar f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi o‘ng va chap
iimitlari mavjud va bir-biriga teng, y a ’ni /(x„ + 0) = / (xc -G) = A bo isa,
x. nuqtada f(x) funksiyaning limiti mavjud va r-*r0
lim /(x) = A boiadi.
у = f(x ) funksiya (-oo;+oo) intervalda aniqlangan boisin.
5- ta ’ rif. Agar Ve > 0 son uchun shunday 8 = 8 (s)> 0 son topilsa
va x ning x >8 (x <-5) tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha
qiymatlarida \f(x)-A\<e tengsizlik bajarilsa, A soniga f(x)
funksiyaning
x->+oo ( * - > - o o )
dagi
limiti
deyiiadi
va
lim f (x) = A (lim fix ) = A) kabi belgilanadi.
Funksiyaning cheksizSikdagi limiti ta’rifini geometrik nuqtayi
243
nazardan bunday talqin qilish mumkin: agar
lim f(x) = A (lim f(x) = A)
X—jv-J-CO “
bo isa, Уя > 0 son uchun shunday S = S(s)>0 son
x e (<5;+co) (те(-оо;-<5)) larda
f( x )
funksiyaning
A nuqtaning e atrofida yotadi.
Л-+-СО '
topiladikl,
qiymatlari
Lim itlar haqidagi teoremalar
Funksiya limitining «ketma-ketlik tilidagi» ta’rifi yaqinlashuvchi
(limitga ega) ketma-ketliklaming xossalarini funksiyaning limiti uchun
oikazish imkonini beradi. Bu xossalami ifodaiovchi teoremalar bilan
tanishamiz va ulaming ayrimlarini isbotlaymiz.
Bu teoremalarda
qaralayotgan funksiyalar x -> x0 da limitga ega deb hisoblaymiz.
1-teorema. Funksiya A ^ ^ d a yagona limitga ega boiadi.
2-teorema. Ikkita funksiya algebraik yigindisining limiti bu
funksiyalar limitlarining algebraik y ig ‘indisiga teng, y a’ni
iim(f(x ) ± g(x)) = lim f i x ) ±lim g(x).
X -* X o
X—>Хц
X—>X0
Isboti. Ixtivoriy { x j kema-ketlik olamiz.
Bu ketma-ketlik uchun xn -> x,, xn * x0, xn e D (f) n D(g) bo‘lsin.
U holda
lim (f(x ) ± g(x)) =lim ( ( f ( x j ± g (x j) =
X -tX i)
n—>00
= lim /(.T )±lim g(x,) = lim fix ) ± lim g (x).
X->X0
B-»0C
X -*Xg
v Demak,
s
\\m(f (x) + g(jc)) = lim / (a -) ± lim g(x).
*
X - * XC
X -+ X 0
3-teorema. Ikkita funksiya ko‘paytmasining limiti bu funksiyalar
limitlarining ko‘paytmasiga teng, y a’ni
lim (/(jc) ■g(x)) = lim f( x ) ■lim g(x).
X -»X g
х- » х0
1 -natija. 0 ‘zgarmas funksiyaning limiti uning o‘ziga ten g, y a ’ni
lim С - C .
x—>xQ
2 -natija. 0 ‘zgarmas ko‘paytuvchini limit belgisidan fashqariga
chiqazish mumkin, y a’ni
lim(A: •/ (jc)) =к ■Iim f( x ) , к eR.
X->XQ
244
3-aatija. Funksiyaning musbat ko‘rsatkichli darajasining limiti bu
funksiya limitining shu tartibli darajasiga teng, y a’ni
= (lim/О))" , p> 0 .
4-teorema. Ikki funksiya bolinmasining limiti bu funksiyalar
limitlarining nisbatiga teng, y a ’ni
fix )
S
/W
lim ----- = ------- , lim g(x) Ф0 .
g(x) lim g(x)
r->Xo
5-teorema. Agar x0 nuqtaning biror atrofidagi barcha x uchun
f(x)<g(x) tengsizlik bajarilsa, u holda lim / (x) < lim g(x) bo‘ladi.
6 -teorema. Agar xB nuqtaning biror atrofidagi barcha x uchun
fix') < (p(x) < g(x) tengsizlik bajarilsa va lim / (x) = lim g(x) = A boisa,
*-♦*}
uholda lim <p(x) = A boiadi.
x-> ra
7-teorema. lim g(x) =0 , lim /(x) = C * 0 boisin.
r- » r 0
x-»x 0
U holda:
1) agar |x~xa j<<5(<5> 0 ) tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha
uchun / ^ > > 0 bo isa,
g(x)
lim—
g(x)
r-»JC0
2 ) agar |x-x 0 1<£ ( S > 0 )
x uchun Л ^ ) < 0
g(x)
= 4®
x
boiadi;
tengsizlikni
qanoatlantiruvchi barcha
boisa, lim ^ ^ = -oo boiadi.
x->xc g(x)
8 -teorema. Agar lim /
(
х
)
= Аф oo boisa, u holda x„ nuqtaning
X—>JCq
yetarlicha kichik atrofidan olingan x (x ^ x 0) qiymatlarda / (x) funksiya
chegaraiangan boiadi.
Isboti. Shartga k o la , lim f(x) = А ф °о. Funksiya limitining Koshi
ta’rifiga k o la , Ve > 0 son uchun shunday S >0 son topiladi va x ning
0 < j x - x0 ] <8 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida
\f(x)-A\<e, y a’ni A - e <f(x) <A + s tengsizlik bajariladi. Demak, x
ning 0 < |x - x 0 j <S tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida
245
fi x)
funksiyaning qiymatlari (A - s ; A + s) oraliqda bo‘ladi. Bu
funksiyaning (x0 - S ; x 0 + 8), x ^ x 0 oraliqda chegaralanganligini bildiradi.
9-teorema. Agar: 1) iim cp(x) - t0 va x0 nuqtaning shunday
(x0 - <S;x0 +<5), 5 > 0 atrofi mavjud va bu atrofdan olingan barcha x lar
uchun q>(x)*ta b o isa, 2) Iim f(t) = B b o isa, u holda x - » x 0 da
?->?o
murakkab f{(p(x)) funksiya limitga ega va Iim f(<p(x)) = В boiadi.
Yuqorida keltirilgan teoremalar x -» ±oo da ham o‘rinli boiadi.
4- misol. lim - —
5 limitni toping.
x2- 2 5
^ 6
Yechish.
Bu limit uchun ikki funksiya boiinmasining limiti
haqidagi teoremani qo‘Hab boim avdi, chunki x -> 5 da kasming maxraji
nolga teng boiadi. Bundan tashqari, suratning limiti ham nolga teng
Bunday hollarda
~
ko‘rinishdagi aniqmaslik berilgan
deyiladi
Bu aniqmas!ikni ochish uchun kasming surati
va maxrajini
ko‘paytuvchi!arga ajratamiz va kasmi x - 5 ^ 0 ( x -> 5, lekin x * 5) ga
boiib, topamiz:
.. (x -5 )(x -3 )
x -3
2 1
iim ----------------- - = lim -------= — = —.
*~>5 (x —5)(x +5) *-*5 x + 5 10 5
5 - misol. lim
f
5
+ ^x
limitni toping.
x + 4x - x
Yechish. Bu misolda x
oo
da — ko‘rinishdagi aniqmaslik hosil
00
bo‘!adi. Kasming surat va maxrajini x ning yuqori darajasiga, y a’ni
x’ ga b o iib , topamiz:
3 1
2x3 + 3x2 +1
x + x 3 2 + 0 +0 „
lim — ------- -------= lim ------ f — * _ = ------------ = 2.
x +4 x - x
1
1+ 0 -0
Ajoyib limitlar
sunX
Birinchi ajoyib limit: iim ----- = 1.
x-»0
X
7Г
Isboti. 0 <x<— boisin.
246
Radiusi R = l ga teng boigan ayiananing radian oichovi x ga teng
boigan raarkaziy burchagiga mos yoyini qaraymiz (27-shakl).
Shakldan quyidagilarga ega bolam iz:
АMOA yuzi < MOA sektor yuzi <ALOA yuzi;
AMOA yuzi: S, =—ОA ■MK =—•1•sin x = —sin x;
2
2
2
1
1
1
MOA sektor yuzi: S = —ОA ■MA =—•1•x =—x;
2 2
2
2
ALOA yuzi: 5, =—OA ■LA = ~ 1•/gx =—/gx.
Bundan sinx <x </gx kelib chiqadi. Tengsizlikni sinx >0 ga
bolam iz:
,.
smx ,
x
1
yoki cosx<----- <1
! <-----<---sinx cosx
Endi x <0 boisin.
sin(—x)
sin x
-x
x
cos(-x) =cosx ekanidan
x <0 da ham
smx ,
cosx <----- <1 .
lim cos x =1, lim 1 =1 bo‘ Igani uchun oxirgi
x->0
x->0
tenglikdan 6 -teoremaga ko‘ra,
urn
x—>0
6-misol. iim
Yechish.
sin x
: 1.
X
1 -cosx
limitni toping.
da -
Almashtirishlar bajararniz:
koiinishdagi aniqmaslik berilgan.
sin -
X
Ir
x -> 0 da - - > 0 v a 1 - ajoyib lim itga ko‘ra, lim—~
2
Demak,
f . (x ^ 2
s in
1-c o sx
1 ____ \
lim ----- -— = lim —
—
2
y
x
2
Ikkinchi ajoyib lim it:
2
2
lim I 1 + -
Isboti. .Ma’ lumki, liml 1 + - I = e, n s N .
x > 1bo‘lsin. n = [x] deb oiamiz. U holda x = n + a , bu yerda
0 < a <1.
n<x<n + l tengsizlikdan topamiz:
I 1
< —<n +1 X n
1
yo k i
и — -) <|l +-| <[1 + -|
U holda
\%
iim[l + —1
”V
nj
B+l
•
=limj 1+ —|-limfi+— 1 = l e = e;
n)
a^ “ V
n
,
lim f . +- ± T
’ V. n + l)
lim f 1 + ------ 1 = — —=-r--------- y
n + lJ
lim f 1 + —-—1
v
n+1 j
e
=—
' =e•
1
Shuning uchun (4.1) tengsizlikdan 6 -teoremaga ko‘ra;
l"
lim
I+у
Х -У Я \
4
X
kelib chiqadi.
248
=e
(4.1)
Endi x < “ 1 b o isin . x = - y deb olamiz.
U holda
i Y
lim
m f 1 + —1 = lim 1 1 - —j = Iim j 1 у
4
x)
n-»-
\y->
= lim 1 + y-*° l у —I
f
•ylim
1+ -+
cc
y -1
= e ' 1 = e.
Demak,
lim f 1 + —T = e.
” ■v x )
7- m isol. Iimf-— M*V2 x - l
limitni toping.
Y echish. x->oo da Г k o iin ish d ag i aniqm aslik berilgan.
Qavs ichidagi kasm ing
butun qismini ajratib, almashtirishlar
bajaramiz:
1 +- i
Y
1+
2x -
x —>oo
da
2 x - l- » o o
b o ig a n i sababli
1
-
2 x ~ 1J
2 -ajoyib limitni q o ilab ,
topamiz:
Iimf 1 + —-—
2x - 1
3-
= e.
1
lim---- f = —ekan idan Iimf ■^X 1
2
- H 2j c - i ;
=л/е3.
4,4.2. Cheksiz kichik funksiyalar
T a ’r i f la r v a a s o s iy t e o r e m a l a r
6 -ta ’rif. Agar X
lim
/(x) = 0 b o isa , /(x) funksiyaga x->x. d a cheksiz
-*XQ
kichik fu n k siy a deyiladi.
Funksiyaning limiti ta’rifiga ko‘ra,
249
iim f ( x ) = 0 tenglik quyidagicha
x~*x0
talqin qilinadi: Ve > 0 son uchun shunday 8 =S(s)> 0 son topiladi va
x ning 0 <|jc —jc0 |<<5 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarda
|f( x ) |<e tengsizlik bajariladi.
x -> x0 +0, x -> x0 - 0 , x +Qo, x -+ -да da cheksiz kichik funksiya shu
kabi ta’riflanadi.
Cheksiz kichik funksiyalar ko‘pincha cheksiz kichik kattaliklar yoki
cheksiz kichik deb ataladi va odatda, grek alifbosining a,J3 kabi harflari
bilan belgilanadi.
Cheksiz kichik funksiyalarga л-^-O da a = x \
da /3=x-3,
x -> k n ,k eZ da у = sin x funksiyalar misol bo‘ ladi.
7-ta’ rif. Agar limf ( x ) =oo b o isa, f i x ) funksiyaga x-> x0 d a chek siz
katta fu n k siy a deyiiadi.
Bunda f( x ) funksiya faqat musbat qiym atlar qabul qilsa,
lim f{x) = +oo deb, faqat m anfiy qiym atlar qabul qilsa, lim/ (x) =-oo deb
]
yoziladi. Masalan, x -> l da f ( x ) =----- cheksiz katta funksiya b o iad i.
x -1
Cheksiz kichik funksiyalar uchun o iin li b o iad igan teoremalar bilan
tanishamiz.
10-teorema. lim f ( x ) = A b o iish i uchun x-+ xa da a{x) = f(x )~ A
X-+XQ
funksiya cheksiz kichik b o iish i zarur va yetarli.
Isboti. Zarurligi. lim f ( x ) = A b o isin . f i x ) - A = a(x) funksiyani
X-i-XQ
olamiz.
U holda
lim a(x) = lim |f( x ) - A|= lim f ( x ) - lim A= A- A= 0.
Demak, a{x) -- f(x )~ A funksiya cheksiz kichik.
Yetarliligi. f{ x )-A = a(x), bu yerda a(x) cheksiz kichik funksiya
b o isin . Bundan/ (x) = A + a(x).
U holda
lim
X
->X0/ (x) =x\\m(A
->x0 + a(x)) = xlim
-kc„A+ xlim
->x0 a(x) = A+ 0 = A.
Quyidagi teoremalar x -+ x„da deb qaraladi.
11-teorema.
Chekii sondagi cheksiz kichik fm ksiyalarning
algebraik yig in d isi cheksiz kichik funksiya b o iad i.
12-teorema. Cheksiz kichik funksiyaning chegaralangan funksiyaga
ko‘paytmasi cheksiz kichik funksiya b oiadi.
250
4-nafija.
Chekli sondagi cheksiz kichik funksiyalam ing
ko‘paytmasi cheksiz kichik funksiya bo‘ladi.
5-natija. Cheksiz kichik funksiyaning chekli o‘zgarmas songa
ko‘paytmasi cheksiz kichik funksiya b o iad i.
13-teorema. Cheksiz kichik funksiyaning nolga teng bo‘lmagan
lim itga ega funksiyaga bo iin m asi cheksiz kichik funksiya b o iad i.
Yuqorida keltirilgan teoremalar x -> oo, x -» x0 - 0. x -» x0 + 0 da ham
0 ‘ rinli b o iad i.
14-teorema. Agar x -> x0 da a(x) funksiya cheksiz kichik b o isa,
u holda x -» xtJ da — funksiya cheksiz katta b o ia d i va aksincha agar
a(x)
x->x„ da f( x ) funksiya cheksiz katta b o isa , u holda x -> x„ da —!—■
f( x )
funksiya cheksiz kichik b o iad i.
1
8-m isol. a(x) = ( x - 2)’ sin2------ funksiya x - » 2 da cheksiz kichik
x -2
b o iish in i ko‘rsating.
Yechish. lim(x
x—
>1 - 2)3 = 0 ekanidan /3(x) = ( x - 2)3 funksiya cheksiz
kichik.
g(x) = sin 2 —-—, хф2 funksiya chegaralangan, chunki sin
x -2
x -2
<
1.
a(x) funksiya cheksiz kichik p(x) funksiyaning chegaralangan
g(x) funksiyaga
ko‘paytmasidan iborat. Demak, 12-teoremaga
ko‘ra, a(x) funksiya x -> 2 da cheksiz kichik.
C heksiz k ich ik f u n k s i y a l a r n i ta q q o sla sh
M aiu m k i, cheksiz kichik funksiyalam ing y ig in d is i, ayirm asi va
ko‘paytmasi cheksiz kichik funksiyalar b o iad i. Bu tasdiqni cheksiz
kichik funksiyalam ing b o iin m asi uchun ta'kidlab bo‘ lmaydi, chunki
bitta cheksiz kichik funksiyaning boshqa cheksiz kichik funksiyaga
nisbati har xil natijaga olib kelishi, y a ’ni chekli son b o iish i, cheksiz
katta b o iish i, cheksiz kichik b o iish i yoki lim itga ega b oim asligi
mumkin.
Cheksiz kichik funksiyalar bir-biri bilan nisbati yordamida
taqqoslanadi.
a(x) va ji{x) funksiyaar x ^ x „ da cheksiz kichik funksiyalar
251
boisin.
cc(x)
1. Agar lim------= A ^ 0 (A - chekli son) boisa., a(x) va P(x) bir x il
/3(x)
tartibli chek siz k ich ik fu n k siya la r deyiladi.
(x(x)
2. Agar lim-^-^ = 0 b o isa , a(x) funksiya p(x) funksiyaga nisbatan
y u q o r i tartibli chek siz kichik fu n k siy a deyiladi va bu a = o(P) kabi
belgilanadi.
cc(x)
3. Agar lim—j y =oo b o isa. a(x) funksiya P(x) funksiyaga nisbatan
0P\X)
q u y i tartibli chek siz k ich ik fu n k siya deyiladi.
4. Agar l i m ^ y mavjud boim asa, a(x) va p(x) funksiyalarga
t a q q o sla n m a y d ig a n chek siz kichik fu n k siy a la r deyiladi.
M isollar keltiramiz:
1 ) x - » 0 da sin3x va sinx funksiyalar bir x il tartibli cheksiz kichik
3sin3x
... sin3x
----------3lim ------------„
. т
funksiyalar, chunki lim
= nm —Iх— =—
=_ =3 ;
*->0 sinx
sinx
srnx
l
v*
----- lim-----------x
x
tt
2) x - » 0 da 2x3 funksiya 5x funksiyaga nisbatan yuqori tartibli
2x 3
2 x2
cheksiz kichik fiinksiya, chunki lim---= Iim:—
=0 ;
x—
>0
x—
>0 ^
3) x -» 0 da sinx funksiya x 2 funksiyaga nisbatan quyi tartibli
cheksiz kichik funksiyalar, chunki lim S'nx = lim —— •- = 1 •- = 00;
«0 A-J
л^О x x
0
4) xsin—va x funksiyalar x ->0 da taqqoslanmaydigan cheksiz
x
.
1
xsm —
^
kichik funksiyalar, chunki lim------- = lim sin - limit mavjud emas.
x —>0
x —>0
252
^
Ekvivalent cheksiz kichik funksiyalar
Bir x il tartibli cheksiz kichik funksiyalar orasida ekvivalent cheksiz
kichik funksiyalar muhim aharaivatga ega.
a(x) va j3{x) funksiyalar x - » x0 da cheksiz kichik funksiyalar
bo‘lsin.
(X(
8-ta’rif. Agar lim—— =1 bo‘Isa, u holda x - » x 0 da a(x) va /?(x)
'■-1» fi{x)
ek viva len t chek siz kichik fu n k siy a la r deyiiadi va a(x) ~ /J(x) kabi
belgilanadi.
M asalan, x ---* 0 da sinx va x funksiyalar ekvivalent cheksiz
kichik funksiyalar, chunki
=
x
Cheksiz kichik funksiyalar uchun o iin li b o iad igan teoremalar
bilan tanishamiz.
15-teorema. Agar ikkita cheksiz kichik funksiya nisbatida cheksiz
kichik funksiyaiam iiig har ikkalasini yoki ulardan bittasini ekvivalent
cheksiz kichik funksiya bilan alm ashtirilsa, u holda bu nisbatning limiti
o‘zgarmaydi.
Isboti. x - * x c da a ~ a ' vaf}~/3' b oisin.
U holda
..а
im —
*l ->
X,p
. . a a B'
a
B' . . a ' , . .. a ' .. a'
im —
im — - l im — = 1 •1 •lim — = u rn — ,
p a ' p ’= i X
->X!:a ' l X
p X->XBp'
Z-X, p
p
= l i m ----------------—
y a ’ni
a
a'
u m — = h m — -.
x -* x a
X~+Xq j ^ '
16-teorem a. Ikkita ekvivalent cheksiz kichik funksiyaning ayirraasi
ulam ing har biriga nisbatan yuqori tartibli cheksiz kichik funksiya
b o iad i.
17-teorema. Chekii sondagi har xil tartibli cheksiz kichik
funksiyalam ing y ig ln d is i eng quyi tartibli qo‘shiluvchiga ekvivalent
b o iad i.
Cheksiz kichik ftmksiyalaming y ig in d isig a ekvivalent boigan
cheksiz kichik funksiyaga bu y i g ‘in d in in g b o s h q ism i deyiiadi.
Cheksiz kichik Iunksiyalaming yig in d isin i uning bosh qismi biian
almasatirish y u q o r i tartibli ch ek siz kichik fu n k siy a la rn i tash la b
y u b o r i s h deb yuritiladi.
253
9-misol. lim fe + 7*..+ 4x limitni toping.
2 sinx
v i ■,
Yechish.
3x + Ix 2 + 4x5 .. 3x
3 3
l i lim----------------- ■= lira— = hm—=—. cnunki x-> 0
*_>0
2 sinx
2 x ‘■>0 2 2
sinx~x va 17-teorem agako‘ra, x - » 0 da 3x + 7x 2 + 4x54~3x.
^
ko iin ish d agi
aniqm asliklam i
ochishda
.
da
ekvivalent
cheksiz
kichik ftm ksiyalam i almashtirish prinsipidan va ekvivalent
cheksiz kichik funksiyalam ing xossalaridan foydalanish mumkin.
L im itla ra i Iiiseblashda q u yid agi ek viv alen tiild ar q o ila s ila d i
1 . x —>0 da sinx~x;
2. x —>() da tgx~x\
4. x —>0 da arctgx~x',
3. x —>0 da arcsinx~x;
X^
5. x —>0 da I - c o s x ''— :
6 . x - » 0 da e ‘ - l~ x ;
2
7. x —>0 da a * - l~ x ln a ;
9. x —>0 da loga(l + x)~x-logoe ;
8 . x —>0 da ln(l + x)~ x;
10. x —
» 0 da (1 + х)” —1 ~mx.
2 ^^ _ yx
10- misol. lim-:----------------- limitni toping.
*~>0 sin4x - arctg3x
Yechish.
V"
Цт_ 2 ^ 71 _ = 1.т (2^ - 1) - ( 7 : - 1)
i->0 sin4x-arc^gr3x ^ sin4x - arctg3x
\
x - * 0 d a 2U —I~3xln2, 7‘ —l~ xln7, sm4x~4x va
arctg3x ~3x ekvivalentliklardan foydalanamiz:
23x - 7“
3 x ln 2-xln 7 3 In2 - In 7 , 8
lim— —--------- ------= lim --------------------= ---------------- = In—.
sin 4x - arctg3x
4x - Зх
1
7
4.4.3. M ash q lar
1. Funksiya limitining ta’rifi yordamida isbotlang:
2. f ( x ) funksiyaning л = л 0 nuqtalardagi chap va o ‘ng limitlarini toping:
1) Д л)= [л],л 0 =3,
2 ) / ( jc) = 2 *, л0 = 0;
x, x<2,
x2 - 4 , x > 2, x0 = 2;
3)/W
4) / w = l4(1r —f u i11r—
^jctJ,JCo=1-
3. f{x) = signx funksiyaning x0 = 0 nuqtada limitga ega emasligini k o !rsating.
4 ./(л) = л -[л ] funksiyaning x0 = 2 nuqtada limitga ega emasligini ko‘rsating.
5. Limitlarni toping:
1) lim(2л 2 + Зл-1);
x -9
- 2* -з
3) lim—j
x -> 3 - 2
5 ) lim
7 ) lim
r >52л 2 -1 1 л + 5 ’
л/2 —л —1
*-■ Ь - х - 2
л/l + 2л - 3
6 ) lim .---- -----;
■Jx-2
V s-x-2
,-с-Ю
8 ) lim- ^ ^ -1
x
*-*>
10 ) lim
(2x +l
x -1
*->г\ х -2 x —5x +6;
11 ) lim
1 2 ) lim
x->2
15) lim
х
х2+л - 2
■iл 3- л 2- л + Г
. jc3 + 4л 2 + 6л + 3
9) lim------ ------------- ;
2x +Зл+1
13) lim
x - 7 л + 10
4) lim
4x*-З л + 2
14) lim
о 4
л2 -Зл
л 3+ 2л
x ~2л +3
3
1
л -1
1- л
Зл5- 4
л 3+ 3 л -л 5 ’
л 5- 2 л 2
16) lim —у
°2х' +х -4
Г7) lim л(л/4л2 - 1 - 2л );
18) lim (v * 2- 4 + л);
19) lim!
20 ) liml
2 1 ) lim
■^5л2+1 5 л + 2 )
lg2x
22 ) lim
23) limf——л |tgx;
24) lim
2 d) lim-----------
26)
i-*0 xsin.2x
255
*-*>
л -sin л
л + sin л
sm Зл
sin 2л ’
л3
arcsin(x +1)
33) lim
34 ) jjm arctg(x-2)
x +x
хг-2х
«г
’
3 x -2
35) Iimf——-
36) lim
*-**\3x+2
'3 x -2
37) JimI
-*4, x+3
38) lim
M"v2x +S
39) lim
е‘ - e 1
40) lim
*->2 x -2
f 2x+3\
( x +2 J
Inx - l
x -e
I
42) !im(cos2 x)1+t®J
4 1) lim(l + sinx)*;
x~>0
X
2x-3
43) !im(3-2jr)2C"v):
44) lim(3-jc) z~x .
45) lim *-»“ tgx-2 sinx
46) lim*-№a r c s m x + jx
47) lim (4x +l)(ln(3x +2)—ln(3x—1)) ;
X->-KC
4 8 ) lim x (ln (x + 1) - In x).
*-7 T W
6. Quyidagilarni isbotlang:
1) x->0 da a(x)=tg 2.x va f3(x) =3x+x 3 funksiyalar bir xil tartibli;
2 ) x -» 1 da a(x) =^ ^
x +l
va p(x) =4 x - l funksiyalar ekvivalent;
1
1
3) x->+°° da a(x) = ~— r- va /J(x) =— = — funksiyalar uchun a=o(p);
1+x
xV x + 2
4) x -> 0 da a (x ) = aresin2x+x 2 va /?(x) = l- c o s x funksiyalar uchun f) = o(a).
1, Limitlarni ekvivalent cheksiz kichik funksiyalardan foydalanib toping:
tg2x
1 ) lim
■'->0ln(l + 3x)
arctg3x
3)' lim
—
«- оЧ.СГ sin x —sin 4x
1 —COS X
IimJt">0x 2 + 2 xJ + Зх4
4) lim
32 l- l
*-*0 arcsin 2x
5) l i m ^ ;
x: i x -6
x 2 + 3x —4
6) lira
*->' ardg(x - 1) ’
7) lim-—
tg2x
8) lim
g s io 2 *
9) lim
*-*P
I 1) lim
t/T+ sin2 x -1
! - cosx
10) lim
sin Vx
arcsm x+ 2x2
Jl+ x tgx - 1
x arcsin 3x
12) Sim
*-><>arctg2 x - arcsin 3x ’
^ e 4* -e* 4* ’
13) iim
j
e,p- l
3a* - 5 r
14) lim--------------- arcsin 2 x - x
in(l + arcsin 2x) ’
* r \ ,• sin3x
15) lim ------- ;
« 3ig4x
ln(2 + cosx)
16) lira—-— -—- - - :
*->* s in x (e p -1 )
xln(cos3x)
17) lim ™ ------ "j ;
*->» x + Зл
1 8 ) lim
.. e* —cos2x
19) lim-------------- ;
*-*> xsinx
2 0 ) lim
21) lim
x ^ e1'1 -1 );
z-»oo
2 2) 1т1х-(2|/<г- 3 1/>:)
23) lim—
* ln( i 3.v )(l--cos2x)
24)
;:~>0 /gx-sinx
xcosx
(y]l -btgx -1 ) •sin 3x
lim
*-*® х(е"“ш* -1)
4.5,FUNKSIYANING UZLUKSIZLIGI
4.5.1. F u n ksiya u ziuksizligin in g ta ’ rifla ri
/{ x) funksiya x0 nuqtada v a uning biror atrofida aniqlangan b o isin .
l - t a ’ rif. Agar f(x) funksiya x0 nuqtada chekii limitga ega b o iib . bu
limit funksiyaning shu nuqtadagi qiymatiga teng. y a ’ni
iim f ( x ) = f ( x ti)
b o isa , f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz deyiiadi.
lim f ( x ) ~ f ( x a) temglik uchta shartning bajarilishini angiatadi:
0 f ( x) fanksiya x0 nuqtada v a uning atrofida aniqlangan;
257
( 5 .1 )
2 ) f( x ) fimksiya x - » x 0 da lim itga ega;
3) funksiyaning xg nuqtadagi limiti uning shu nuqtadagi qiym atiga teng.
x0 = x->x0
limx ekanidan (5.1) tenglikni
lim f ( x ) = / (lim x)
X-*>X0
X—>X(,
(5 2 )
k o iin ish d a yozish mumkin. Demak, uzluksiz funksiya uchun lim itga
o‘tish va funksiya belgilarining о ‘mini almashtirish mumkin.
Funksiya lim itining ta’rifi asosida funksiya uziuksizSigining ta’rifmi
« s - 5 tilida» quyidagicha ifodaiash mumkin.
2ta ’rif. Agar
> 0 son uchun shunday <5>0 son topilsaki, x ning
! x - x01< 5
tengsizlikni
qanoatlantiruvcbi
barcha
qiymatlarida
| / (x )-/ (x 0)i<£ tengsizlik bajarilsa, f i x ) fu n k s iy a x0 n u q ta d a uzluksiz
deyiladi.
(5.1) tenglikni
Km (/ (x )-/ (x o)) = 0
(5.3)
ko‘rinishda yozamiz.
x -- x0 ayirm aga x a r g u m e n t n in g x0 n u q ta d a g i o r ttirm a si deyiladi va
Лх biian belgilanadi, / (x )- /(x.,)
ayirm aga esa /(x) fu n k s iy a n in g
x0 n u q ta d a g i orttirm a si deyiladi va
Ay bilan belgilanadi.
Shunday qilib,
Ax = x -- x0,
. Ay = /(x 0 + Ax) - /(xc) .
Demak, f i x ) funksiyaning
x0 nuqtadagi orttirmasi x ning
fiksirlangan
x0
qiymatida
argument orttirmasining funksiyasi
b o ia d i (28-shakl).
28-shakl.
(5.3)
tenglik
yangi
belgilashlarda
lim Ay =0
(5.4)
й х-> 0
k o iin ish n i oladi.
(5.4) tenglikni uzluksizlikning argument orttiim asi v a funksiya
orttirmasi tushunchaiariga asoslan-gan ta ’rifi sifatida quyidagicha
ifodaiash mumkin.
258
3 -ta ’rif.
Agar x argumentning x0 nuqtadagi cheksiz kichik
orttirmasiga f ( x ) funksiyaning shu nuqtadagi cheksiz kichik orttirmasi
mos kelsa,
/ (x) fu n k siy a x0 n uq tada uzluksiz deyiladi.
Funksiyaning
nuqtadagi uzlukizligini tekshirishda keltirilgan
ta’riflam ing istalgan biridan foydalanish mumkin.
1-misol. у = cosx funksiyani uzluksizlikka tekshiring.
Yechish. у = co sx funksiya x e R da aniqlangan. Istalgan xnuqtani
olamiz va bu nuqtada Душ topamiz:
/ Ar^
Ду
Ay = cos(x +Ax) —cosx = - 2 sin x-i---- -- sin— .
Bundan lim Ay = Iimf - 2sinf x + — ] ■sin — j = 0 kelib chiqadi, chunk i
V
chegaralangan
2
j
2
f
/\у
9
sin| x+— | funksiyaning
V
2
cheksiz
/\x
sin—
kichik
j
2
funksiyaga ko‘paytmasi cheksiz kichik b o iad i.
Demak, 3-ta’rifg a k o ‘ra, y - cosx funksiya x nuqtada uzluksiz.
4 -ta’rif.
Agar
lim /(x) = /(x0)
r-»xo+0
i
lim f(x ) = f ( x 0)\J
b o isa,
f ( x ) fu n k siy a xa n u q ta d a о ‘n g d a n (c h a p d a n ) uzluksiz deyiladi.
1-ta’rif va 4-ta’rifiardan quyidagi xulosa kelib chiqadi: f( x )
funksiya x0 nuqtada uzluksiz b o iish i uchun u shu nuqtada ham
chapdan, ham o iigd an uzluksiz b o iish i zarur va yetarli.
4.5.2. U zluksiz fu n k siyalam in g xo ssalari
Nuqtada uzluksiz funksiyalaming xossalari
1 -teorem a (uzluksiz fu n k s iy a la r u stid a arifm etik am a lla r). f ( x ) va
g-(x) funksiyalar x„ nuqtada uzluksiz b o isa, u holda f( x ) ± g ( x ) ,
f( x ) g(x) v a
S(x)
■ (g(x0) * 0) funksiyalar ham x0 nuqtada uzluksiz
b o iad i.
Isboti. f ( x ) va g{x) funksiyalar x0 nuqtada uzluksiz b o ig an i
uchun ular bu nuqtada /(x0) v a g(x 0) lim itlarga ega. U holda
259
funksiyaning lim iti haqidagi teoremalarga ko‘ ra, / (x) ± g ( x ) , f ( x ) ■g(x)
f (jc)
•
•
va
——Gr(xo) * 0 ) funksivalarning x0 nuqtadagi Iimitlari mavjud Va
g(x)
*(x ^
u larm osravish da f ( x !!) ± g(x0), f i x , ) - g(x0) v a
(g(x a) * 0)) ga
g(xo)
teng b o iad i. U holda 1-ta’rifga ko‘ra, / (x) ± g ( x ) , f ( x ) ■g(x) va
— - (g(x}) * 0 ) funksiyalar x0 nuqtada uzluksiz,
g(x)
Bu teorema chekii sondagi funksivalarning algebraik y ig ‘ indisi va
ko‘paytm asi uchun ham o iin li bo‘ladi.
2 -teorem a. (murakkab fu n k s iy a n in g
uzluksizligi). z = <p(x)
funksiya x„ nuqtada uzluksiz, y = f ( z ) funksiya esa z0 =<p(x0) nuqtada
uzluksiz bo‘lsin. U holda y = f(<p(x)) murakkab funksiya x0 nuqtada
uzluksiz bo‘ladi.
Isboti. z = <p(x) funksiya *0 nuqtada uzluksizligi dan z = <p(x),
\\m(p(x) =(p(x0) , y a ’ni x -» x0 da z-> z, bo‘ladi.
x-*x0
Shu sababli z = ф ( х ) funksiyaning uzluksiligidan
lim/(?»(*))
= zlim
/ 0 0 = /(z0) = f(<p(x0))
r -^ * o
-+ z 0
kelib chiqadi. Bu f(<p( x)) murakkab funksiyaning x0 nuqtada
uzluksizligini bildiradi.
v.
2-teorema yordamida (5.2) tenglikni quyidagicha umumlashtirish
, mumkin.
Agar z = <p(x) funksiya x„ nuqtada A lim itga ega bo‘ lib, y = f (z)
funksiya z = A nuqtada uzluksiz b o isa , u holda y = f(<p(x)) murakkab
funksiya uchun
lim “f (<p(x)) = f (limip(x))
(5.5)
x->x0
b o iad i.
Bu tenglik uzluksiz fu n k siy a b e lg i s i o stid a lim itg a о 'tish q o id a sim
ifodalaydi va funksiyaning lim itini fopishda foydalaniladi.
2 - m is o l. limloe°^ + ^ (a > 0 ,a * l) lim itni toping.
x
Yechish. lim
x -*0
= lim
—•loga(1 + x) —Jim
iogo(1 + x)1.
x->0 J
x-*Q
260
!ogo(l + x)~
funksiya
y = lo g az va z = (\ + x y funksiyalam ing
I
murakkab funksiyasi. ]im(l +x)*=e va у = log^ z funksiya z = e nuqtada
uziuksiz. U holda (5.5) tenglikka ko‘ra,
+jc)*'| = iogne.
X u su san , a = l d a
lim ^
x~M
+X‘>- \.
x
Sonlar o‘qida aniqlangan f ( x ) =C funksiyani qaraymiz. Vjc0 e R da
lim f ( x ) —C =f ( x 0) bo‘ ladi. Demak, f ( x ) = С o‘zgarmas funksiya
istalgan
x0 nuqtada uzluksiz.
f ( x ) =x funksiva ham x. nuqtada uzluksiz, chunki limx = x,.
Bundan 1-teoremaga ko‘ra, f ( x ) =x funksiya ko‘paytmalaridan
iborat y = x" ( n e N ) darajali funksiya hamda o‘zgartnas va darajali
funksiyaiardan
arifmetik
am ailar
orqali
hosil
qilingan
P 'ty-a ^ x " +an^x"~' + ...+axx + a0 ko‘phad (butun-ratsional funksiya)
istalgan x0s R nuqtada uzluksiz b o iad i.
Shu kabi yuqorida keltirilgan teoremalar va lim itlar haqidagi
teoremalar yordamida asosiy elementar funksiyalar o‘zining aniqlanish
sohasida uzluksiz bo iish ini ko‘rsatish va ushbu teoremani isbotlash
mumkin.
3-teorem a. Elementar funksiyalar o‘zining aniqlanish sohasidagi
barcha nuqtalarda uzluksiz b o iad i.
4-teorem a. Agar f ( x ) funksiya x0 nuqtada uzluksiz va f ( x 0)>A
( f ( x 0)<A) b o isa, u holda shunday <5> 0 son topiladi va
Vxe(x0 -<5;x0+<S) uchun f(x )> A ( f(x )< A ) boiadi.
Isboti. f ( x 0)>A b o isin . Aniqlik uchun. f ( x a) = A+ h deymiz, bu
/?
yerda h> 0 .
e =son olamiz. f( x ) funksiyaning x0 nuqtada
uzluksiz!igidan shunday <5>0 son topiladi va x ning
tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha
qiym atlarida
h
\ f ( x ) - f ( x 0)!< -
tengsizlik
Vx s ( x a - S ;x a +S) uchun
261
bajariiadi.
|jc —лг0 1<<5
Bundan
/ 0 0 >/(jc0) - - = A + h - - = A+ - > A
0
2
2
2
bo‘ladi.
/ (x0) < A b o isin . - f ( x ) funksiyani qaraymiz. - f ( x 0)>-A b o igan i
sababli yuqoridagi isbotga asosan, x0 nuqtaning д > 0 atrofi topiladi va
bu atrofda - f (x) > -A yoki f(x )< A b o ia d i.
5-teorem a (uzluksiz fu n k siy a is h o r a s in in g tu r g'u n lig i). Agar f( x )
funksiya x0 nuqtada uzluksiz va f ( x 0) * 0 b o isa , u holda shunday <5>0
son topiladi va (x0 -<5;x0 +<S) intervalda f i x ) funksiya ishorasini
saqlaydi, y a ’ni f ( x 0) funksiya bilan bir ishorali b o iad i.
Teoremaning isboti 4-teoremadan A= 0 b o igan d a kelib chiqadi.
K e s m a d a uzluksiz f u n k s i y a l a m i n g x o s s a la r i
Agar f{x) funksiya (a;b) intervalning har bir nuqtasida uzluksiz
b o isa , u holda u (a;b) in te rv a ld a uzluksiz deyiiadi.
Agar f i x ) funksiya (a;b) intervalda uzluksiz b o iib , a nuqtada
o‘ngdan uzluksiz va b nuqtada chapdan uzluksiz b o isa , u holda
/ 0 0 funksiyaga [a; b\ k esm a d a uzluksiz deyiiadi.
Kesmada uzluksiz funksiyalar bir qancha muhim xossalarga ega.
Bu xossalami teoremalar orqali ifodalaymiz. Bunda teoremalaming
isbotini keltirmasdan, faqat geometrik talqinini k o isa tish bilan
kifoyalanamiz.
6 -teorem a ( B o ls a n o - K o s h in in g b ir in ch i teo r em a s i). f ( x ) funksiya
‘ \a\h\ kesmada uzluksiz va kesmaning
m > о
5oxirlarida turli ishorali qiym atlar qabul
qilinsin. U holda shunday c e ( a ; b ) nuqta
, v/"
V = /, (*)/
topiladiki, bu nuqtada /(c) = 0 b o ia d i.
Teoremaning
geometrik
talqini:
uzluksiz funksiyaning grafigi Ox o‘qning
bir
tomonidan
ikkinchi
tomoniga
I■a
/fc
o lgan id a Ox o‘qni kesadi (29-shakl).
7-teorem a
(B o ls a n o - K o s h in in g
ikkinchi teo r em a s i) . f ( x ) funksiya [a,b\
'У
№ <0
kesmada uzluksiz va f ( a ) = A, f ( b ) = B,
29-shakl.
С - A va В orasidagi ixtiyoriy son
b o isin . U holda shunday с e [a;h\ nuqta topiladiki, /(с) = С Ь<Уladi.
262
Teoremaning geometrik talqini: uzluksiz funksiya bir qiymatdan
ikkinchi qiyrnatga o‘tganida
barcha
oraliq qiym atlam i qabul
qiladi (30-shakl).
8 -teorem a ( V eyersh tra ssn in g b ir in ch i teo r em a s i). Agar m
funksiya [a\b] kesmada uzluksiz b o isa, u holda u bu kesmada
chegaralangan bo iad i.
31-shaklda keltirilgan y =f ( x ) funksiya [a; b\ kesmada uzluksiz.
Bunda Vx s \a'M uchun m < f (_x) < M .
1-izoh. Teorema [a;b] kesma (a;b) interval bilan alm ashtirilganida
o‘rinli b o im aslig i mumkin.
Masalan,
f ( x ) =x
funksiya
(0 ;1)
intervalda
uzluksiz,
lekin
]
chegaralanmagan, chunki лlim—=
-н».
г-з-йЗ y
У.
в
- -
с
*
A
О
.... У,/
y'\
'
ii
?i
!1
1Да)
\m
\m
a
с
b
! \
iM
x
30-shakl.
О
o x ,
\m
x2
/0 )
x
b
X
3 1-shakl.
9-teorem a ( V ey ersh tra ssn in g ikkinchi t eo r em a s i) . Agar /(x)
funksiya
{a,b\ kesmada uzluksiz b o isa , u holda u shu kesmada
o‘zining eng kichik va eng
katta qiym atlariga erishadi.
31-shaklda keltirilgan y =f( x ) funksiya [a;b\ kesmada uzluksiz.
Bunda u x, nuqtada o‘zining eng katta M qiym atini va x2 nuqtada
o‘zining eng kichik m qiymatini qabul qiladi.
2-izoh. Bu teorema (a;b) interval uchun o‘rinli bo‘lm asligi
mumkin. Masalan, f ( x ) = x funksiya (0 ;1) intervalda uzluksiz, lekin
263
o‘zining eng kichik va eng katta qiym atlariga erishmaydi.
10-teorem a ( tesk a ri fu n k siy a n in g uzluksizligi h a q id a gi). Agar
y = f i x ) funksiya [а\Щ kesmada uzluksiz va qat’ iy monoton b o lib ,
[c;d] uning qiym atlar
sohasi b o isa, u holda berilgan funksiyaga
teskari y = <p(x) funksiya [c\d] kesmada uzluksiz va qat’ iy monoton
b o iad i.
4.5.3. F u n ksiyan in g uzulish n u q tala ri
Agar f{x) funksiya uchun x0 nuqtada funksiya uzluksizligi
hech b olm agan da bitta sharti bajarilm asa, fu n k siy a
x0 n u q ta d a u z ilish ga e g a deyiiadi. Bunda xB nuqta f( x ) fu n k siy a n in g
uzilish n u q ta si deb ataladi.
32-shaklda gfrafiklar bilan berilgan funksiylarga qaraymiz.
Bu funksiyalarnmg har biri uchun x0 - uzilish nuqtasi.
Birinchi holda (32,a-shakl) ta ’rifning 1-sharti bajarilm aydi, chunki
funksiya x0 nuqtada aniqlanmagan.
Ikkinchi holda (32,b-shaki) ta ’rifning 2-sharti buzilgan, chunki
lim f i x ) lim it mavjud emas.
1 -ta’rifining
Uchinchi holda (32,c-shakl) ta ’rifning 3-sharti bajariSmaydi, chunki
lim f i x ) = А Фf (x0).
x-*x0
Funksiyaning barcha uzilish nuqtalari
uzilish nuqtalariga b olin ad i.
v*
4
,
У,
/
У,
/< А >)
i\
1\
//IV! ^
birinchi va ikkinchi tur
A
/
■■..
s
О
x
O
x0
32-shakl.
264
x
О
7T\
5 -ta’rif. Agar x„ uzilish nuqtasida f ( x ) funksiya chekli bir
tomonlama lim itlarga ega, y a ’ni lim f ( x ) = A va lim /{x) = A b o isa,
x —kc. , - 0
x -> x 0 +0
x0 nuqtaga f i x ) funksiyaning b ir in ch i tur uzilish n u q ta si deyiladi.
Bunda:
a) A, = A2 b o isa , xB b a r i a r a f q ilin a d ig a n uzilish n u q ta si deb ataiadi;
b) Ai ^-A2 b o isa , x0 sak rash nuqtasi, \A.-A2\ каШИк fu n k s iy a n in g
sak rashi deb ataiadi.
( 2 x -1 , -1 < x < 1 ,
M asalan: g{x) = •<. „
j4 -2 x ,
,
_
1< x < j
funksiya uchun
x = l- s a k r a s h
nuqtasi, bunda funksiyaning sakrashi 11 —2 ]=1 ga teng;
f ------s™* x ~f~0г
<p( x) x ’
’
(
2, x = 0
funksiya
uchun
x0 = 0 - bartaraf qilinadigan
uzilish nuqtasi, bunda <j?(x) = 2 о‘rniga cp(x) =1 deb olinsa uzilish
(sinx
-------x "Ф0
,,
x ’
’
1, x = 0
uzluksiz
funksiya hosil
b o iad i.
6 - ta ’rif.
Agar x0 uzilish nuqtasida f i x ) funksiyaning bir
tomonlama limitlaridan kam ida bittasi mavjud bo‘ lmasa yoki
cheksizlikka teng boi.sa,
x0 nuqtaga f( x ) funksiyaning ikkinchi
tur uzilishi n uq tasi deyiladi.
Masalan, /(x) = —funksiya uchun x0 -- 0 - ikkinchi tur uzilish
x
nuqtasi.
12x - 3!
3-misol. f ( x ) = --------- 1 funksiyaning uzilish nuqtalarini toping va
2x - 3
har bir uzilish nuqtasining turini aniqlang.
Yechish.
Funksiya sonlar o‘qining x = ^
nuqtalarida aniqlangan va uzluksiz.265
nuqtasidan boshqa
Bunda
3
/(*) =
'■X<21, x > - .
2
U holda
/ ! х - о | = Ч f\ l+ o)=
Demak, x = - sakrash nuqtasi va funksiyaning sakrashi и =j l- ( - l) j= 2 .
4.5.4. Telds u ziuksizlik
f( x ) funksiya (a;b) intervalda uzluksiz boMsin. U holda istalgan
x „ e(a;b) nuqtada Ve > 0 son uchun shunday 5 >0 son topiladi va
|jc —jc0 |<<5 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x0e(a-,b) uchun
\ f ( x ) - f ( x it)\<£ tengsizlik bajariladi. Bunda 8 ham e ga, ham *0 ga
bog‘liq b o iad i: 8 = 8{e\xa). Bitta £>0 son uchun har xil
xe(a\b)
nuqtalarda 8 son turlicha b o iish i mumkin va bunda barcha x e ( a ;b ) da
yagona 8 sonning mavjud b o iish i kelib chiqmaydi. Bundav 5 = 8 (e) > 0
son mavjud bolishining talabi f ( x ) funksiyaning (a;b) intervalda
uzluksiz b oiish i talabiga nisbatan kuchli talab hisoblaxvadi.
7 -ta’ rif. Agar Vs>0 son uchun shunday 8 = 8(e)> 0 son topilsa
' va (a;b) intervalning j x - x" |<3 tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy
x va x" sonlari uchun \f(x ') - f (x*) j<e tengsizlik bajarilsa,
/ (jc)
funksiya (a;b) in terva ld a tekis uzluksiz deyiiadi.
Masalan, f( x ) = x funksiya butun sonlar o ‘qida tekis uzluksiz.
Bunda 8 =e deb olish yetarli.
Agar f( x ) funksiya (a;b) intervalda tekis uzluksiz b o isa, u hoida
u har bir x<=(a;b) nuqtada uzluksiz b o iad i. Teskari tasdiq o iin li
bo‘lmaydi. Agar bunda (a;b) interval [a;b] kesma bilan almashtirilsa,
teskari tasdiq ham o‘rinli b o iad i.
11-teorem a (K a n to r teo r em a s i). Agar f ( x ) funksiya [a;b] kesmada
uzluksiz b o isa, u holda u [a;Z>] kesmada tekis uzluksiz b o iad i.
266
4.5.5. Mashqlar
1. Funksiyaning uzhiksizligi ta’rifidan foydalanib, berilgan funksiyalaming
Vx„ e R da uzluksiz ekanini isbotlang:
2) f(x ) = x} + lx -6 .
1) /(x) = 3x2 - 7 ;
2. Uzluksiz funksiyalaming xossalaridan foydalanib, berilgan
funksiyalaming (-oo;+oo) intervalda uzluksiz ekanini isbotlang:
1) /(*) = c o s3 x -e 2l_1;
2) /(x) = V x -3 + s in 2x +
^
x+ 2
3, Berilgan funksiyalarni uzluksizlikka tekshiring va grafigini chizing:
1) / « =“ :•
2 ) А х) =х2+^+Л,
)x\
X+l
.n
f Зх-1, x< 0,
з)’ лJ * ) = г3,3 x = '2;
^
4>
7 / W =1 —1 x>0;
I x -l
r 2
5 )/ (x ) = 2 ^ ;
6 ) / W = _ | i7_;
1, x < —3,
I
7) /(*) = л/9-л2, - 3 < x < 3,
8) /(x) =
x \ x< 2,
4, 2 < x < 5,
-x + 7, x> 5;
9) /(x) =
J 0 ) / (,) =
x -2 x -i
|S^ ' .
(x -l)s m x
4. a ning qanday qiymatlarida berilgan funksiyalar uzluksiz bo'ladi?
1) / (* ) =
( x +3x-10
x -2
’ *
’
г
. л
a - x , x> 2;
f
3_,
2 ) / (*) = ■<
*
acosx + 2, x<u.
5. / (л ) funksiyaning x0 nuqtadagi uzulish turini aniqlang:
!) / ( * ) =
x -3
3) / (* ) = a
*o = 3;
2 ) / (x) = - — ^ , x0 = -3;
x+3
r c t g *0 = -j;
4) / (x )= - -j — , x 0 =3.
6 . Murakkab funksiyani uzluksizlikka tekshiring:
(x + 2, x < 0 ,
1 ) / (* ) = — 7 . z = i „
„
z2+\’ ~ \ x -2 , x> 0;
2) / (z ) = 2 z 2 - 3, z = tgx.
267
7. f(x)~ ------- 1------- funksiyani [a: b\ kesmada uzluksizlikkatekshiring:
(л- + 3 ) ( * - 4 )
1) [в;ЛЗ = Н Я ;
2) [a;6] = [-2;3].
8. f{x) funksiyani [0;2],[-3;l],[4;5] kesmalarda uzluksizlikka tekshiring:
О /(*) =
\ - -:
л +2ДС-3
2 ) /(x) = In
jc+5
9. Tenglamaiar berilgan kesmada kamida bitta ildizga ega boMishini
ko'rsating:
1) x1 -5x 2 + 3x + 2 = 0,
10. Limitlarni toping:
2) sinx-jc + l= 0, [1;2],
Bill О4ZGARUVСШ
FUNKSIY.AS1MIMG
DIFFERENSIA L HISOU
■F u n ksiyan in g hosilasi
va differen siali
• Differensiallash qoidaiars va formuialari
• Differensial hisobning
asosiy tsorerrmiari
■Funksiyalarni hosilalar
yordamida tekshirish
Gutfrid Vilgelm
Leybn is
(1646-1716) nemis matematigi,
j'ayiasuji, fizigi,
xisquqshunosi
m tilshiinosi.
Lsyhmis
cheksiz ki-
a s m la i g m
va in tegra l
hmobfti jm tafgm t, kom~
b im to rik a n i fa n sifailikt
m'os lagan , inatamaixk
ftum iiq q s asos saigtm ,
0 vn 1 so n la ri bilan
a ® т»<щ a im m m im trnvirl.sigm ,
hfexattiktule m erg ip a ftin g s&qlmisk qonimi~
iti ttsnsleb bergun.
D iffer en sia l h iso b — bu matematik
analizning
hosila
va
differensial
tushunchalari hamda ulam ing funksiyalarni
tekshirishga tatbiqi m asalalari o‘rganiladigan
boMimidir.
Differensial
hisobning
rivojlanishi integral hisobning rivojlanishi
bilan uzviy bog‘liq. Ular birgalikda
tabiatshunoslik va texnika uchun muhim
aham iyatga
ega
bo‘ lgan
matematik
analizning asosini tashkil qiladi.
Differensial hisobning matematik fan
sifatida yuzaga chiqishini, odatda, I.Nyuton
va G .L eybnis (XVII asm ing ikkinchi
yarm ida) nomlari bilan bog‘lashadi. Ular
differensial hisobning asosiy qoidalarini
m ustaqii ravishda ishlab chiqishgan.
5.1.
FUNKSIYANING
HOSILASI VA DIFFERENSIALI
5.1.1. H osila tusbunchasiga olib
keSnvchi m a sa la la r
E g r i ch iz iq q a о ‘tkazUgan u r in m a
A vval
egri
chiziqqa
o'tkaziigan
urinmaning umumiy ta’rifmi beramiz.
Uzluksiz L egri chiziqda M va Mx
nuqtalami olamiz ( 1 -shakl).
M va M, nuqtalar orqali o‘tuvchi MM,
to‘ g ‘ri chiziqqa k e su v ch i deyiiadi.
269
M, nuqta L egri chiziq bo‘ylab siljib, M nuqtaga yaqinlashsin. U
holda MM, kesuvchi M nuqta atrofida buriladi v a qandaydir MT lim it
holatiga intiladi.
B e r ilg a n L e g r i ch iz iq q a b e r ilg a n M n u q ta d a о ‘tkazilgan u rin m a
deb, MM, kesuvchining M, nuqta L egri chiziq bo‘ylab siljib, M
nuqtaga yaqinlashgandagi MT limit holatiga (agar mavjud bo‘ lsa)
aytiladi.
Endi M(x;y) nuqtada vertikal bo‘lmagan urmmaga ega bo‘lgan
У = /(•*) uzluksiz funksiya grafigini qaraym iz va uning к = t g a burchak
koeffitsiyentini topamiz, bu yerda a -urinm aning Ox o ‘q bilan tashkil
^qilgan burchagi. Buning uchun M nuqta va grafikning x + Ax abssissali
W, nuqtasi orqali kesuvchi o ‘tkazamiz (2-shakl). Kesuvchinmg Ox o‘q
bilan tashkil qilgan burchagini cp bilan belgilaym iz.
2 -shakldan topamiz:
ts(p ^ M >N L
_ Ау = Я х + Л*) ~/(*)
MN Ax
Ax
A x -»0 da funksiyaning uzluksizligiga asosan, Ay ham
nolga
intiladi. Shu sababli Ax —>0 da M, nuqta egri chiziq bo‘ylab siljib, M
nuqtaga yaqinlashadi. Bunda MV/, kesuvchi M nuqta atrofida buriladi
va MT urinmaga yaqinlashib boradi, y a ’ni <p-+a. Bundan Ac—
lima
=a
>0
yoki lim tgq> =tga.
270
Shimrng uchun urinmaning burchak koeffitsiyenti
k = tga = lim tg<p= lim — = lim / ( * + Ax)-" > M .
Д*->0
Д^
4»->0
Ду
( 1 .1 )
T o ‘g ‘r i ch iz iq li h a ra k at tezligi
M mocldiy nuqta (biror jism ) qandaydir to‘g ‘ri chiziq bo‘ylab
harakat qilavotgan b o isin . Vaqtning har bir t qivmatiga boshlang‘ich
M:) holatdan M holatgacha bo‘ lgan muayyan s = M0M masofa mos
keladi. Bu masofa t vaqtga b o g iiq , y a ’ni s masofa vaqtning funksiyasi
bo‘ladi: s = s(t).
s(t) funksiyaga n u q ta n in g harak at q o n u n i deyiladi.
Nuqtaning t vaqtdagi harakat tezligini aniqlash m asaiasini
qaraymiz.
Agar biror t vaqtda nuqta
M holatda bo‘ lsa, u holda t + At
( A t - vaqtning orttirmasi) vaqtda nuqta M- holatga. o‘tadi, bu yerda
MnMx=s + ,\s (A s-raasofaning orttirmasi). Demak,
M nuqtaning At
vaqt o raligid agi ko‘chishi As = s(t + At) - s(t) ga teng bo‘ ladi (3-shakl).
Ду
— nisbat n u q ta n in g At v a q t
At
o r a l i g ‘id a g i о ‘r t a c h a tez ligin i
ifodalaydi:
v„,r =— .
Bunda
o‘rtacha tezlik At qiymatga
bog‘liq b o iad i: At qancha kichik
3-shakl.
b o isa, o‘rtacha tezlik nuqtaning
berilgan t vaqtdagi tezligini shuncha aniq ifodalaydi.
Harakat o‘rtacha tezligining At vaqt oralig 1i nolga intilgandagi
lim itiga n u q ta n in g b e r ilg a n v a q t d a g i harakat tezligi (yoki o n iy tezligi)
deyiladi. Bu t ondagi tezlikni v(t) bilan belgilaym iz.
U holda
v(0 = l i m f
A/->0 Af
yoki
4f->0
Ш
d - 2)
Shunday qilib, nuqtaning berilgan t vaqtdagi harakat tezligini
aniqlash uchun ( 1 .2 ) limitni hisoblash kerak b o iad i.
Tabiatning turli sohalariga tegishli ko‘plab m asalalar (1.1) va
( 1 .2 ) ko iin ish d agi lim itlam i topishga olib keladi.
271
Bunday masalalardan yana ayrimlarini keltiramiz:
1 ) agar 6 = 6 ( 0 o‘tkazgichning ko‘ndalang kesimi orqali vaqtning
t onida o‘tuvchi elektr toki b o isa, u holda elek tr tok in in g t o n d a g i
m o m en ti
I(t) =lim ^
' At-^0
= lim—^ + A/)
M
At
(1.3)
2) agar N = N(t) vaqtning t onida reaksiyaga kirishuvchi kim yoviy
modda miqdori b o isa , u bolda k im yoviy m o d d a n in g t o n d a g i
r e a k s iy a g a k irishish tezligi
ДМ
iV(f +Ar)-,Y(0
F(0 =A
lim--r->0 Д£ =lim—
S<-0 ------Д?----- —;
r„ .
n
(1.4;
3) agar m = m(x) bir jin sli boim agan sterjenning <9(0;G) va M(x;0)
nuqtalar orasidagi massasi b o isa, u holda s t e r j e n n i n g x n u q ta d a gi
z ich lig i
..
..
Am
...
m(x + Ax) - m(x)
Ax
y(t) —litn — = iim —-------- ------— .
4*->0 Ax
,4
(1.5)
Ko‘rilgan m asalalar fizik mazmunining turli ligiga qaramasdan,
( 1 ,1)-(1.5) lim itlar bir x il ko‘rinishga ega: ularda funksiya orttirmasining
argument orttirmasiga nisbatining argument
orttirmasi nolga
intilgandagi limitini topish talab qilinadi.
5.1.2. H osilaniag ta ’ rifi,
geom etrik v a m exanik m a’ nolari
H o s ila n in g t a ’rifla ri
у = / ( x) funksiya (a;b) intervalda
aniqlangan b o isin . Ixtiyoriy
x.0 e(a;b) nuqtani olamiz v a bu nuqtada x argumentga Ax orttirma
(x0 + Axe(a;b)) beramiz.
Bunda funksiya
^У = /(х0+Ах)-/(х0)
orttirma oladi.
l - t a ’rif. Agar 1™”
f ( x ) fu n k s iy a n in g
lim it mavjud va chekli b o isa, bu limitga
x0 n u q ta d a gi
(yoki y r(x0) y o k i/ j^ ) kabi belgilanadi.
272
h o s ila s i
deyiladi va u f'(x 0)
Shunday qilib,
(1 .6 )
ЛАГ-+0Дд-
holda funksiya x0 nuqtada musbat ishorali (rnanfiy ishorali) cheksiz
hosilaga ega deyiiadi. Shu sababli l- ta ’rif bilan aniqlanadigan
hosila chekii hosila deb yuritiladi.
1- m i s o l f ( x ) = x3 funksiyaning x = x0 nuqtadagi hosilasini toping.
Yechish. x, nuqtada x argumentga Ax orttirma beramiz va
funksiyaning mos orttirmasini topamiz:
Ay = f i x 0 +Ax) - / (jc0) = (,ra +Ax)3 - xl =
= (x0 + Дх -
x0)(x20 + 2xqAx +Ax2 + x* + x0Ax+ x2) = Ax(3x20 +3x0Ax + Ax1).
Orttirmalar nisbatini tuzamiz:
— = 3x1 + 3x0Ax + Ax2.
Ax
Bu nisbatning Ax->0 dagi lim itini topamiz:
y'(x0) = Lim- - - = lim(3x0J + 3.t,Ax +Ax1) =3x„2.
2 -ta ’r if ,j’ = f{x) fu n k s iy a n in g
x0 n u q ta d a g i o ' n g ( c h a p ) h o sila s i
deb Г(х0) = lim — j / '6 0 = Iim — ! lim itgaaytiladi.
лмо-Дx)
to^+Ax V
2m isol. /(x)= jx-3| funksiyaning x„ = 3 nuqtadagi o;ng va chap
hosilalarim to p in g.
Yechish. Berilgan funksiyaning x0 = 3 nuqtadagi orttirmasini
topamiz:
Bu misolda / '( 0 ) ф /_'{0). Shu sababli f{x) =|x - 3 {funksiya uchun
Ax-> 0 da
^ =L4?i nisbatning lim iti mavjud emas va /(x)= | r-3 j
Ax Ax
funksiya x0 = 3 nuqtada hosilaga ega bo‘lmaydi.
Funksiya hosilasining yuqorida keltirilgan ta’riflaridan ushbu
tasdiqlar kelib chiqadi: agar funksiya x0 nuqtada hosilaga ega b o isa,
funksiya shu nuqtada bir-biriga teng b o ig an o‘ ng va chap hosilalarga
ega b o iib , /*(*„) = f' ( x 0) = f'{x0) b o iad i; agar funksiya jc0 nuqtada
o‘ng va chap hosilalarga ega b o iib , f ‘(x0) = f '( x 3) b o isa , funksiya shu
nuqtada hosilaga ega va f l ( x g) = f'_(xa) = f'( x 0) b o iad i.
Funksiyaning hosilasmi topish am aliga fu n k siy a n i d iffe r e n s ia ila s h
deyiladi.
A gar y = f ( x ) funksiya biror oraliqda aniqlangan va bu oraliqning
har bir nuqtasida f\ x ) hosila mavjud b o isa, u holda
/■(*) =
M r/ W
Ax
formula f'(x ) hosilani x ning funksiyasi sifatida aniqlaydi. Bundan
keyin, agar y =f (x)
funksiyani differensiallashda differensiailash
nuqtasi ko‘rsatilmagan b o isa , hosilani x ning mumkin b o igan
barcha qiym atlarida topamiz va y'(x) deb yozamiz.
Hosilaning geometrik va mexanik ma’nolari
v
. . .
.
Egri chiziqqa o‘tkazilgan urinma haqidagi
burchak koeffitsiyenti uchun ushbu
.
.. Ay
к = tga = lim ——
^ Ax
masalada urimnaning
tenglik hosil qilingan edi.
Bu tenglikni k = f'{x) ko in ish d a yozam iz, y a ’ni /'(x) hosila
у - f (x) funksiya grafigiga M (x ,f(x )) nuqtada o ik azilgan urinmaning
burchak koeffitsiyentiga teng. Bu jum la
hosilaning g e o m e tr ik
т а ’n o s in i ifodalaydi.
To‘g ‘ri chiziqli harakat haqidagi masalada ushbu
/ч
As
п 0 =1дш
г-»и1тAtт
lim it hosil qilingan edi.
274
Bu limitni v(t)= s'(t) ko‘rinishda yozamiz, y a ’ni moddiy nuqta
harakat qonunidan t vaqt bo‘yicha olingan hosila nuqtaning t ondagi
to‘g ‘ri chiziqli harakati tezligiga teng. Bu jum la h o s ila n in g m exanik
т а ’n o sin i ifodalaydi.
Urn umlashtirgan holda, agar у = f i x ) funksiya biror fizik jarayonni
ifodalasa, u holda / hosila bu jarayon tezligini ifodalaydi deyish
mumkin. Bu jum la h o s ila n in g fizik т а ’n o sin i anglatadi.
Funksiya grafigiga о‘tkazilgan urinma
va normal tenglamalari
y = f( x ) funksiya grafigiga M(x0; y 0)(bu yerda y 0 = f ( x 0) ) nuqtada
o‘tkazilgan urinma tenglamasini hosilaning geometrik m a’nosidan
keitirib chiqaramiz.
Urinma M0(x0; y a) nuqtadan o‘tadi. Shu sababli uning tenglamasini
(1.7)
u rin m a t e n g la m a s i kelib chiqadi.
E gri ch iz iq q a о ‘tkazilgan n o r m a l deb, urinish nuqtasida urinmaga
perpendikular b o igan to‘g ‘ri chiziqqa aytiladi.
Egri chiziqqa M f x 0-,y0) nuqtada o‘tkazilgan normal shu nuqtada
o‘tkazilgan urunmaga perpendikulyar bo‘ lgani sababli
к
К
f'(Xo)
Bundan, agar / ’(x0)^Obo‘ isa
(1.8)
n o r m a l te n g la m a s i kelib chiqadi.
275
5.1.3. Funksiyaning differensiallanovcbiligi
3 -ta ’ rif. Agar y = f i x ) funksiyaning x0 nuqtadagi Ax orttirmaga
mos orttirmasini
Ay = AAx-r a(Ax)Ax
(1-9)
к о ‘rinishda ifodalash mumkin b o isa, f ( x ) fu n k siy a x0 n u q ta d a
d iffe r e n s ia lla n u v c h i deyiiadi, bu yerda A-Ax ga b o g liq bo‘lmagan
son, a(Ax) - Ax 0 da cheksiz kichik funksiya, y a ’ni &
lim
X-+0a(Ax) = 0.
Funksiyaning nuqtada differensialianuvchanligi bilan shu nuqtadagi
hosilasi orasidagi bo glanishni aniqlaymiz.
1 -teorem a. y = f i x )
funksiya xa nuqtada differensiallanuvchi
bo iishi uchun u shu nuqtada hosilaga ega b o iish i zarur va yetarli.
Isboti. Z arurligi. v = f ( x ) funksiya xc nuqtada differensiallanuvchi
b o isin .
U holda ta’rifga k o la ,
Ay = y4Ax +a(Ax)Ax
yoki
— = A+a( Ax).
Ax
Bundan
1« т ^ = Л = /'(.*„),
Ax
^a’ni
U
у = f i x ) funksiya x0 nuqtada hosilaga ega.
Yetarliligi. y = /(x) funksiya x0 nuqtada hosilaga ega boisin.
Av
holda / '0 0 = iim— . A=/'(x0) belgilash kiritam iz, bunda
*=->»Ax
a(Ax) = -~V-- A funksiya Ax
Ax
Bundan
0 da cheksiz kichik b o iad i.
Ay = AAx +a(Ax)Ax,
y a ’ni funksiyaning x0 nuqtada
differensiallanuvchi b o iis h i kelib
chiqadi.
2-teorem a. Agar y = f i x ) funksiya xcnuqtada differensiallanuvchi
b o isa ,
u holda u shu nuqtada uzluksiz b o iad i.
276
Isboti. у = f i x ) funksiya x0 nuqtada differensiallanuvcbi b o isin .
Ta’ r if g a k o ia , Ay = A,Ax+a(Ax)Ax.
Bundan Лх—
iim>0 Ay =ЛМт(^Дх
+a(Ax)Ax) = 0, y a ’ni funksiya x. nuqtada
;;~>(1
uzluksiz.
Teoremaning teskarisi hamma vaqt ham o‘rinli bo‘ lm aydi, y a ’ni
funksiyaning biror nuqtada uzluksiz boiishidan uning shu nuqtada
dififerensiallanuvchi b o iish i hamma vaqt ham kelib chiqmaydi.
Masalan, j;=|x-3| fiinksiya x =3 nuqtada uzluksiz b o is a ham, u shu
nuqtada hosilaga ega emas ( 2 -misol), y a ’ni differentsiallanuvchi emas.
Agar y - f ( x ) funksiya (a\b) intervalning ([a\b\ kesmaning) har bir
nuqtasida hosilaga ega b o isa, u shu in te rv a ld a (k esm a d a )
d iffe r e n s ia lla n u v c h i deyiladi.
5.1.4. F u n ksiyan ing d ifferensiali
D ifferen tia l lu sh u n ch a si
у —f ( x ) funksiya (a;b) intervalda aniqlangan b o iib , x(le ( a ; b )
nuqtada differensiallanuvchi b o isin . IJ holda Av = f ( x 0)Ax+a(Ax).Ax
b o iadi.
3-ta’ rif.
у = f{x)
funksiya
orttirmasimng Ax ga nisbatan chiziqli
b o igan bosh qismi
f'(x 0)Ax ga
у = f{x) f u n k s iy a n in g x6 n u q ta d a gi
d iffe r e n s ia li deyiladi va dy (yoki
d f (x)) bilan belgilanadi:
dy = f i x „)Ax.
(1.10)
Erkli o‘zgaruvchi x ning, y a ’ni
y =x funksiyaning differensialini
topamiz.
y ’ - x '-X b o ig a n i uchun ( 1 . 10 )
formuladan dty-dx = Ax kelib chiqadi, y a ’ni erkli o‘zgaruvchining
differensiali uning orttirmasiga teng: d x - Ax.
Shu sababli (1.10) tenglikni quyidagicha yozish mumkin:
dy = f ( x 0)dx.
( 1.11)
boshqacha aytganda, fu n k s iy a n in g d iffe r e n s ia li fu n k siy a h o sila s i bila n
277
erkli о ‘zgaruvchi differensialining ко ‘pay’tmasiga teng.
( 1 . 1 1 ) tenglikdan
/'(*,,) =— b o iad i, y a ’ni funksiyaning x0
dx
nuqtadagi hosilasi funksiyaning shu nuqtadagi differensialining
argument differensiali nisbatiga teng.
Differensialning geomettik ma’nosi
Differensialning geometrik m a’nosini aniqlaymiz. Bunig uchun
У = f i x ) funksiya grafigiga M0(xD;f ( x 0)) nuqtada МГ urinma oikazam iz
va bu urinmaning x0 + Ax nuqtadagi ordinatasini qaraym iz (4-shakl),
MNQ uchburchakdan NQ = tg%Ax=dy ekanligi kelib chiqadi.
Urinmaning geometrik m a’nosiga ko‘ra, tg(pq = f' ( x 0) .
Bundan NQ = f'( x 0)Ax = d y .
Demak, y = f( x ) funksiyaning x0 nuqtadagi differensiali funksiya
grafigiga M0(x0; f ( x 0)) nuqtada o‘tkazilgan urinmaning orttirmasiga
teng. Bu jum la d iffe r e n s ia ln in g g e o m e t r ik m a ’n o sin i ifodalaydi.
Differensialning taqribiy hisoblashlarga tatbiqi
Ko'pchilik m asalalarni yechishda У = /(*) funksiyaning x0
nuqtadagi orttirmasi funksiyaning shu nuqtadagi differensiali ga taqriban
almashtiriladi, y a ’ni Ay& dy deb olinadi. Buni f{x) » f ( x 0)+ f'( x a)Ax
ко ‘rinishda yozish mumkin..
В unday almashtirish yordam ida biror A miqdoming taqribiy
.qiymati quyidagi tartibda hisoblanadi:
Г. A ni x nuqtada biror f ( x ) funksiya qiym atiga tenglashtiriladi:
A =f ( x ) ;
2°. x0 nuqta x ga yaqin va /(*„) ni hisoblash qulay qilib
tanlanadi;
3°- /(*,„) hisoblanadi;
4°- f '( x o) hisoblanadi;
5°- xe, f ( x 0), f'(x 0) qiym atlar / (* )« /(*„) + f' ( x 0)\x formulaga
qo‘yiladi.
3-m isol. 2,008s ning taqribiy qiym atini toping .
Yechish.
l.° A= 2,008-, f( x ) =x' deymiz, u holda f{x) = A va x =2,008;
278
2°. ха - 2 deb olamiz;
3". / ( л ) = 2 3 = 8 ;
4 “- f ' ( x ) —Зж2 j / ' ( * ,) = 12;
5". f { x ) * / (* „ ) + f ' ( x 0)A x = 8 + 1 2 • 0 ,0 8 = 8,096.
5.1.5. Mashqlar
1. Hosila ta’rifidan foydalanib, funksiyalaming hosilasini toping:
!)/(■*) = л/Злг—1;
2)f(x)~
1 ;
3 ) / 0 ) = c/g2x;
4) /(*) = cA2x
2-5*
2 . / '(х 0)ш hosila ta’rifidan foydalanib hisoblang:
1 ) /С*) = e~3*t xc =0;
3) / 0 0 =
(
2x +
4J
2 ) f( x ) = ln(l- 4x), x0=0;
x„ = я;
4)/(x) =■!-—, x0 =l.
i+x
3. Berilgan funksiyalaming /_'(xa) va /+'(x0) hosilalarini toping:
1)/(x)=|3*-21, x0 =|;
f
3 )^ =1
2)/(х)=^л-2| + |л+2|, x0=2;
x agar x < 2 bo'Isa,
л f iy
..
I—;---4) / (jc) —Ve* - 1 , x0 =0.
,
[- x + Зле agar x > 2 bo Isa, x0 = 2;
4.
M oddiy
nuqta
Ox
o ‘qi
bo‘ylab
г3
x = - - 2 t 1 +3t
qonun
bilan
harakatlanmoqda. Qaysi nuqtaiarda moddiy nuqtaning harakat y o ‘nalishi
o ‘zgaradi?
5. Moddiy nuqta s =s(t) qonun bilan to‘g‘ri chiziqli harakat qilmoqda.
Qaysi vaqtda material nuqtaning tezlanishi a (m lc 2) ga teng bo‘ladi?
l)s(r) = 2 i3 - ~ t2 + 31+ 1(m), a = 19;
2)j(«) = (3
t1 - 4 i + 3(m), a = 9.
6. 0 ‘tkazgich orqali o'tuvchi tok miqdori /= 0 vaqtdan boshlab # = Зг2 - 1
qonun bilan aniqlanadi. Ikkinchi sekund oxiridagi tok kuchini aniqlang.
279
5.2.
DIFFERENSIALLASH
QOIDALARI VA. FORMULALAR!
5.2.1. Yigindi, ayirma, bo‘paytma va bo‘linmani
differensiallash
Funksiyaning hosilasi ta’rifidan foydalanib, ikki funksiya
yig'in d isi, ayirm asi, ko'paytm asi va boiinm asini differensiallash
qoidalarini keitirib chiqaramiz.
1-teorem a. Agar u = u(x) va v = v(x) funksiyalar x nuqtada
differensiallanuvchi b o isa , u holda bu funksivalarning y ig in d isi.
ayinnasi, ko‘paytmasi va boiin m asi (bo‘!inmasi v(x) ф 0 shart
bajarilganda)
ham x nuqtada differensiallanuvchi
va quyidagi
formulalar o‘rinIi b o iad i:
1. (m ± v)' = w '± v'
;
2.
(m•v)' = u v + v'u;
3,
j =—■—~ U, (v;*0).
Isboti. 1. Funksiyaning hosilasi va iim itlar haqidagi teoremalardan
foydalanib topamiz:
(u ± v)' = lim {u{x + ^ 1 V(-X+ ^
Ax
' *
~
±'
-
= ijjn f » (* + A x ) - « ( s ) ± v(x + Ax) - v (x )4j =
Ax
Ax
J
u(x + Ax)-u(x) ,
v(x + Ax) - v(x)
Aи ,
Av
= hm ------------ ------ — ± lim —---------------— = lim — ± lim —
ЛХ-.0
As;
*«-»0
Ax
Лм0 Ax ^ Ax
,, ,
± v.
2.
Formulani isbotlashda 5.1.3. banddagi 2-teoremadan
foydalanamiz: x nuqtada differensiallanuvchi
и = u(x) va v = v{x)
funksiyalar shu nuqtada uzluksiz b o iad i. Shu sababli Ax - » 0 da
Am-> 0 va A v -» 0 .
- lim U^
&-.0 .
V^
^
+ V^
Дд;
^ U + ^ u ' ^ v ~ M(x ) ' VW _
,. ( . . Au
, . Av . А г Л
. . ,. Am
. .
Av
= lim v(x )------ь u(x)---- + Av----- =v(x) ■lim-------b u(x) ■lim-----Ь
й*">\
Аж
Аж
АхJ
л*~>0Ах
4ам0Ах
Д у
+ Av—
lim>0 Ау ■Лк->0
Iim —
= и ■у +и ■V + 0 •и ' = u'v + у 'и.
Д у
м(.х + Ах) и(х)
3
(■~)
'vv )
=
lim v ( *
йх->0
и{х) + Аи и(х)
+ А х)
у(х) = Ц т у(х) + А у
у (х )
Ах
4м0
Ах
=
и(х) -у(х) + у(х) ■Аи - и(х) ■у(х) - и(х) ■А у .. v -A u -u -A v
т
ч
—lira
~~:
-w '
Ах ■(v(x) + А у ) •v(x)
Лм0 Дх •(у + у •А у )
—lim
Ли
Ау
Аи
Ду
у -------- и ------у -lim -----------и - п т —
,
,
_ |jm_А х ___Ах _ м-*°Ах
^А х _u v-vu
дмо vJ +v-Ay
v2 +viim A v
v2
Л х-+ 0
5.2.2. Teskari funksiyani differensiailash
y - / ( x ) funksiya teskari funksiyam avjudligi haqidagi teoremaning
shartlarini qanoatiantirsin va x = <p(y) teskari funksiyaga ega b o isin .
2-teorem a. Agar
y = f i x ) funksiya
x nuqtada f'(x ) ф 0
hosilaga ega b o isa , u holda x = <p(y) funksiya mos y = f i x ) nuqtada
differensiallanuvchi b o ia d i va
1
, . , 1
u>{v) =------y a m x - — .
9 У> л х )
y y,
Isboti. x - (p(y) funksiyaning argumenti у ga АуфО orttirma
beramiz. U holda y - f(x ) funksiyaning qat’iy monotonlidan x = q>(y)
Ду |
funksiya Ax^O orttirma oladi. Shu sababli — = — kabi
yozish
Ay Ду
^
Ax
mumkin.
x - a >(>■) teskari funksiya у nuqtada uzluksiz b o igan i uchun
Ay—>0 da Ax—» 0 b o iad i: A x -»0 d a oxirgi tenglikning o‘ng tomoni
1
Jf{x)
""
(f'(x)=t 0 ) ga, chap tomoni <p'(y) hosilaga teng b o iad i.
281
Demak,
<p'(y): f'(x )
Shunday qilib, tesk ari fu n k siy a n in g h o s ila s i b e r ilg a n fu n k siy a
h o s ila s in in g teskari q iy m a t ig a teng.
5.2.3. Murakkab funksiyani differensiallash
y = f ( u ) va u = (p(x) b o isin . U holda
y = f(<p(x)) funksiya erkli
argumenti x dan va oraliq argument! и dan iborat murakkab funksiya
bo‘ladi.
3-teorem a. Agar и = cp{x) funksiya x nuqtada <p'(x) hosilaga va
y =f{ u ) funksiya mos u =<p(x) nuqtada / '(«) hosilaga ega b o isa, u
holda f (ф(х)) murakkab funksiya jc nuqtada differensiallanuvchi
b o ia d i va
У'{х) = f'(u)<p'(x).
Isboti. y = f ( u ) funksiya и nuqtada differensiallanuvchi b o igan i
uchun Ay = f'(u)Au + a(Au)Au b o iad i.
Bundan
Ay
.A и
, . . Aи
-~ = f( M )— +a(Au)-r .
Ax
Ax
Ax
и = (p{x) funksiya x nuqtada hosilaga ega. Shu sababli u = <p(x)
funksiya
x nuqtada uzluksiz va Ac -> 0 da Am->• 0 .
U holda
lim— =/'(M)lim—
+ At->0
lima(AM)-lim—
.
Ajc-»0 Д у
Ax->0 Д у
Лс-уО y \ у
Bundan
У'(х) = f \ u ) ■<p'(x) + 0 • (p’(x)
yoki
У'(х) = /' ( « ) ■(p'{x).
Shunday qilib, murakkab fu n k siy a n in g h o s ila s i b e r ilg a n
fu n k s iy a n in g o r a liq a r g u m e n t b o ‘y i c h a h o s ila s i bilan o r a liq
a r g u m e n t n in g erkli a r g u m e n t b o ‘y i c h a h o s ila s in in g к о p‘ a y t m a s i g a
ten g .
B u qoida oraliq argumentlar bir nechta b oiganda ham o‘z kuchida
qoladi. M asalan, y = f (и), и =g (v), v = h(x) b o isa, y[ =y[ ■u[ •v' b o iad i.
282
y = f ( u ) va и = ф(х) di fferens iallanu vchi va y = f(<p{x)) murakkab
funksiyani hosil qiluvchi funksiyalar b o isin .
Murakkab funksiyaning hosilasi haqidagi teoremaga ko‘ra, y'x =y'uu'x
boiadi.
Bu tenglikning har ikkala tomonini dx ga ko‘paytiramiz:
y'xdx = y'„u'xdx.
Endi y[dx = dy va
u\dx = du
ekanini hisobga olsak,
dy = y[du.
dy = y'xdx va dy =y[du foim ulalarni solishtirish ko‘rsatadiki,
y = f( x ) funksiyaning differensiali argument erkli o‘zgaruvchi yoki biror
argumentnmg funksiyasi b oiishidan qat’iy nazar bir xil formula bilan
topiladi.
Differensialning bu xossasiga d iffe r e n s ia ln in g invariantlik x o s sa si
deyiiadi.
dy = y'xdx formula tashqi ko‘rinishidan dy = y[du formulaga o‘xshasada, aslini olganda ular orasida farq mavjud: birinchi formulada x erkli
o‘zgaruvchi va shu sababli dx = Ax, ikldnchi formulada esa и
funksiya x ning funksiyasi va shuning uchun du^Au.
5.2.4. Asosiy elem en tar fu n ksivalarn in g h o silalari
A sosiy elementar funksivalarning hosilalarini topishda ekvivalent
cheksiz kichik funksiyaiardan, teskari va murakkab funksiyalarni
differensiallash formulalaridan hamda y ig in d i, ayirm a, ko ‘paytma va
boiinm ani differensiallash qoidalaridan foydalanamiz.
1. О ‘z g a r m a s f u n k s i y a : y = C (C e R ) .
0 ‘zgarmas
funksiya
x eR
da o‘zinirig qiymatini saqlagani
uchun ixtiyoriy nuqtada uning orttirmasi nolga teng b o iad i.
Shu sababli
(C)' = lim — = lim — = 0.
2, D a ra ja li fu n k s iy a : y = x“, bunda a<=R, a * 0 .
Bu funksiya uchun x > 0 da
283
Bundan
A ^_XA
Ax
XJ
Ax
Endi Ax—>0 da 11 +— ) -1 ~ a —
xJ
x
ekaniigini hisobga olsak.
l+ ^ V - i
. .Ay
... I
x J
„
a&x
a
a
,,
hro-—= x hm-------- -——= x lim------ =x h m —=ax
Лх~>0Ax
Лс'>0
Ax
lx'~>0Ax •x
'te~>0x
b o iad i.
Demak,
(x“)' =oa“~!.
Г
Xususan, [ - ] =—V, (Vx) = -i= .
\xj
x‘
2 Vx
3. K o ‘r s a t k ic h lifu n k s iy a . y = ax, bunda « e R, a > 0 , a?*l.
Bu funksiyaning orttirmasi Ду =a x+6x- a 1 = a*(aA* --1) b o igan i uchun
~ - a x ■------- b o iad i.
Дх
Bundan A x-»0 da
Дх
a 4"-]~ A xln a
ekanini
vhisobga olsak.
» 15
Ay
..
ЛХ-+С Д х
..
M
.
—1
xt. A xln a
lim—=- = lima*--------- = a iim--------- = a \na
Д т
Л*->0
Д х
b o iad i.
Demak,
(a ')' =a‘ lna.
Xususan, (ex)' = e x.
4 . L o g a r ifm ik fu n k s iy a : y =log„x, bunda a e R , a > 0 , a * 1 .
у = logox funksiya x =ay funksiyaga teskari funksiya. Banda oldingi
banddagi fommlaga ko‘ra, x'(y) = a f Ina .
284
U holda
/ (* ) =
1
1
1
x'(y)
a'Ina
x ln a
Demak,
(log.jc)' = - p - .
xln a
I
Xususan, (1пл)' =- .
x
5. T r ig o n o m e tr ik f u n k s i y a l a r ,
I) j = sin x funksiyaning orttirmasi
Ду
/"
Ду = sin(x + Asc) —sin л = 2 sin— cosl x +
va
- . Ax
j
Ax
V___ 2_y
2 sm — cos x H-----
АУ =____ 2
Дг
Ax
Bu tenglikdan Д х-»0 da siQ-—
„A x
f
Ax
I
?
ni hisobga olib, topamiz:
2 — cos x + —
'У
Ду
^
lim — = lim — =------ ---------- —= lim cos]
3S( x + — I= CO
cos(x + 0 ) = cos x.
Ax—*Q Д - ^
Ax—>0
Д у
Ax—>0
V
2 J
Demak,
(smx)' = cosx.
2)
^ = cosx funksiyaning hosilasini murakkab funksiyaning hosilasi
formulasidan foydalanib topamiz:
/
(cosx)' = |sini — - x |1 = cos( — - x I• I — - x i = cos| — —x I• ( - 1) = -s in x.
\
.2
J)
\2
Demak,
(cosx)' = -sin x .
3) y = tgx funksiyaning hosilasini bo‘linmaning hosilasi
formulasidan foydalanib topamiz:
,
(tgx)' =
^sinx^) _ (s in x )'c o s x -(c o s x )'sin x _ cos 2 x-r-stn 2 x _
lvcosxJ
COS X
285
cos X
1
cos‘ x
Demak,
(tgx)'= —
COS X
.
4) у -ctgx funksiyaning hosilasini topishda murakkab funksiyaning
hosilasi formulasidan foydalanamiz:
t
0ctgx)' = I tg f^ - xT) = ------ J - ----- Г- • ( - 1) = — r \ - .
(n
COS
1
Demak,
(.ctgx)' = --- Д -
6. Teskari trigonometrikfunksiyalar.
l ) y = arcsin* funksiya x = s in j funksiyaga teskari.
Bunda x'(y) = cosy = д/l —sin3 у = у 1 - x2 .
U holda
/ ( * ) =
1
x'(y)
л/ГГ?
Demak,
(arcsine)' =
2 ) y =arccosx
funksiyaning
*
л/l—x2
71
hosilasini
arcsinx +arccosx =—
formuladan foydalanib topamiz:
f
(arccosx)' =[ —- arcsinx j = -(arcsinx)' =J
V2
Л
V \ -x 2
Demak,
(arccosjc)' =3 ) у =arctgx
funksiyaning
1
hosilasini
286
teskari
funksiyaning
Iiosilasi formulasidan foydalanib topamiz:
1
2
{orctgx) = — - = cos у = -
1
1
= -----1 + tg у l + x2
(Igy)
Demak,
(arctgx)' =
l + x2
4) arctgx va arcctgx funksiyalar arctgx + arcctgx
7Z
b ogianishga
ega.
Bundan
r
(arcctgx)' = f — - arcctgx ] = -(arctgx)' = ----- .
\2
;
l+ x
Demak,
(arcctgx)' =
Ц-.
l +x
1-m isol. Giperboiik fiinksiyalarning hosilalarini toping.
Yechish.
Differensiallash
qoidalari
va
y = ex
funksiyaning
hosilasidan foydalanib topamiz:
t
(shx)'=[ —— -—| _£_+£—= c fJX> y a ’ni (shx)' =chx;
(chx)' -
m
\
2
J
— e
— =shx, y a ’ni (chx)' = shx;
2
v I shx] (shx)'chx-shx-(chx)'
" Ы °
Ж
ctfx -stfx
, . ,,
ya ” ■<fc)
1
1
f
. . ., f chx '| sh2x - ch2x
1
(cthx) = —- =----- ------- = —— , ya ni
\shxj
sh x
sh x
1
sh x
(cthx)'= —— .
5.2.5. D ifferensiallash q o id alari va h o silalar ja d v a li
Keltirib chiqarilgan differensiallash qoidalarini va asosiy elementar
funksiyalam ing hosilalari forniulalarini jad vai ko‘rinishida yozamiz.
287
A m alda ko‘pincha murakkab funksiyalam ing hosilalarini topishga
to‘g ‘ri keladi. Shu sababli quyida keltiriladigan formulalarda « х »
argument
« и » oraiiq argumentga almashtiriladi.
1 . (m± v)' = и ± v', u=u(x), v =v(x) - differensiallanuvchi
funksiyalar;
2. ( u ■v)' = u'v +uv', xususan (Си)’ = Си', С - o‘zgarmas son;
и \ и v-u v
3.-1 =
4- У,
x.
xususan 1 —
V/
Cv'
2>
V
agar y =f ( x ) va x =q>(y);
1. (C)' =0;
2 . («“)' = сш“~' • и', xususan
/1 \
1
- =— --и ',
\и )
и
|
(л/й)' = —т
2ми
3. (а")' -■а“ In а ■и', xususan (е“)' = е “ ■и ;
1
\
4. (!ogaw)' =------- и', xususan (1пи)' =—-и;
и In а
и
5. (sinM)' = cosM -г/';
6. (cos и)' =—sin и- и';
7. (tgu)1- —
cos' и
8 . (ctgu)'- ——
sin и
9. (arcsinw)' = , * ■■■•и'\
VI -И 2
,--------------
,
-и';
10. (arccosw)' =— ----- и;
л/Г-7 и~
X KJ .
) 111
1Л f
---
I-------
1
1 1 . (arctgu)' =----- - •ы';
1 +м
1
1 2 . (arcctgu)' =--------г -м';
1 +и
13. (s/ш)' =chu ■и';
14. (chu)' = s h u -и'\
15. (thu)'= — ....г/;
36. (cthu)' -
ch lu
~-— и.
sh и
Keltirilgan
diferensialiash
qoidalari
va
asosiy
elementar
funksiyalam ing hosilalar jadvali bir o ‘zgam vchi funksiyasi differensial
Ivisobining asosini tashkii qiladi. Ulam i bilgan holda har qanday
elementar funksiyaning hosilasini topish mumkin. Bunda yana
elementar funksiya hosil bo‘ ladi.
4-misol. f(x) = 5" + arcsinx +x Inx funksiyaning hosilasini toping.
Yechish. Hosilani topishda differensiallashning 1,2 qoidalari va
3 ,4,9-formulalaridan foydalanildi.
t
f
f ,(x) = (51 + arcsinx+xlnx)'= (S') +(arcsmx)'+ (xlnx) = 5'3n5 +
1
'
1
1
+—i=------+ x'lnx + x(lnx) =5r ln5 +...f— +kix + x ■—=
VI - x 1
Vl - x 1
x
—=5 * In 5 +—r = = + In x +1.
X
лJ l - x 2
5.2.6. L o garifm ik differensiallash
A yrim hollarda funksiyaning hosilasini topish uchun a w a l berilgan
funksiyani logarifmlash, so‘ngra differensiallash maqsadga muvofiq
bo‘ladi. B ujarayonga lo g a r ifm ik d iffe r e n s ia lla s h deyiiadi.
3 - misol у =
^
——• funksiyaning hosilasini toping.
Yechish. Bu hosilani differensiallash qoidalari va formulalari orqali
topish mumkin. Ammo bu jaroyon katta bajmga ega. Shu sababli
logarifmik differensiallashni qoilayrniz. Buning uchun funksiyani
logarifmlaymiz:
in у = Ln(V .+1) + —ln(.x - 2) + x In 2 - 3 \n(x - 4).
Bu tenglikning har ikki qismini x bo‘yicha differensiallaymiz:
1
1 '\ j 4
1
, 2„ - 3„ •- 1
- ■у =——■Зх н---------- + In
у
x3+1
5 x -2
x -4
Endi bu tenglikdan / ni topamiz:
( 3x2
4
, „
3
У -У'\ 1 — Г+77— 77 + In2 х —4
чл-а +1 5(х - 2)
289
yoki
(У + 1) ■^/(x - 2 )4 ■2* Г 3x 2 |
( x - 4 )3
1^ + 1
4
[lr2
5(x - 2 )
3 ^
x —4 J"
'
Shunday funksiyalar borki, ulam ing hosilalari faqat logarifmik
differensiailash orqali topiladi. Bunday funksiyalam ing qatoriga
d a r a ja li- к о ‘rsatk ich li fu n k siy a deb ataluvchi y = u' funksiya kiradi, bu
yerda и = u(x), v = v{x) - x ning differensiallanuvchi funksiyalari,
Bu funksiyalaning hosilasini logarifm ik differensiailash
yordamida topamiz:
.
,
\n.y=v-mu,
1 ,
, .
1 ,
—у =v -InM + v — и ,
у'
и
, ( ,,
ША|
j = ji v ln a 4-----,
V
M/
Bundan
( м ”) ' = м'
1 п м - v' + V u'~‘u .
(2.1)
(2 . 1 )
formulani eslab qolish qoidasini ifodalaym iz: darajaliko‘rsatkichli funksiyaning hosilasi и = const shartidagi ko isatk ich li
funksiya hosilasi bilan
v = const
shartidagi darajali funksiya
hosilasining y ig in d isig a teng.
4- misol. y = x“s,x funksiyaning hosilasini toping.
Yechish. (2.1) formula bilan topamiz:
v
y ' = х‘”3г! •In x •(-sin 3x) •3 + cos3x •
-1
,y ° k i
у =x “s3*4 ■cos3x - Зх“’"“ ■lnx ■sin3x.
5.2.7. Param etrik va oshkormas ko‘rinishda berilgan
funksiyalarni differensiyallasfa
it o‘zgamvchining x=<p(t) va y=y/(t) funksiyalari biror T = (a; ft)
intervalda aniqlangan b o iib , bu intervalda
w'(t) hosiklar va
x = q>{f) funksiyaga teskari t = ф(х) funksiya mavjud b o lsin . Agar
x = (pit) funksiya qat’iy monoton b o isa, t = <b(x) teskari funksiya bir
qiym atli, uzluksiz va qat’iy monoton b o iad i. Shu sababli у = 1//(ф(х))
murakkab funksiya mavjud b o ia d i. Bunda y = f( x ) funksiya x =<p(t) va
290
у =
tenglam aiar bilan
berilgan deyiiadi.
y = f ( x ) funksiya
p a r a m etr ik к о ’rin ish d a
( t parametrli)
[ x = (p{t),
\y = V(t), ts T
parametrik tenglam aiar bilan berilgan b o isin . U holda t =tj>(x) teskari
\
funksiya mavjud va uning hosilasi ф'(х) =----- b o iad i. Shuningdek,
(p(i)
у = ц/(ф(х)) murakkab funksiya hosilasi у'х =у/’(ф{х))ф'(х) b o iad i.
Bundan
yoki
(2.2)
b o isa , y'x ni toping.
, _ (3cost)\ _ 3sin£ _ 3
Yechish. y[ =
Agar funksiya у ga nisbatan yechilm agan, y a ’ni x va у
o'zgaruvchilar orasidagi bo gianish F (x,y ) = 0 ko‘rinishda berilgan
b o isa, funksiya osh k o rm a s к о ‘rin ish d a berilgan deyiiadi.
Oshkor berilgan har qanday y = f ( x ) funksiyani oshkormas
ко ‘rinishda f ( x ) ~ y = 0 kabi yozish mumkin, ammo teskarisini hamma
vaqt bajarib b o im ayd i, F(x,.y) = 0 tenglamani у ga nisbatan yechish
hamma vaqt ham oson emas, ayrim hollarda esa umuman mumkin
emas.
Funksiya oshkormas ko‘rinishda berilgan b o isa, F(x,y) funksiya
x ning murakkab funksiyasi, y a ’ni bunda y = y(x) deb qaraladi
va F(x,у ) = 0 tenglikning
chap va o‘ng tomoni x bo‘yich a
differensialanadi, so‘ngra hosil b o ig an tenglamadan y ' topiladi.
291
6- misol. у - arg tgy - x 3 =0 bo‘Isa, / ni toping.
Yechish.
Tengiikning har ikkala tomonini
differensiallaymiz:
x
bo‘yicba
—
[ y ' - 3 x 2 =0 .
1 +y
Bundan
/ i - - 1— |=з*г, /--^1t =3x2
l +y )
1 +y
yoki
У - 3 * 1 1 +—r
5.2.8. Y uqori ta rtib li h o silalar v a d ifferen siallar
Y uq ori tartib li h o s il a l a r
f{x) funksiya biror (a;b) intervalda aniqlangan b o iib , shu
intervalda differensiyailanuvchi b o isin . U holda f'(x ) hosila x e ( a ;b )
ning funksiyasi b o iad i. Shu sababli bu funksiya uchun hosilaning
m avjudligi va uni hisoblash m asaialarini qarash mumkin.
f'(x ) ga b ir in c h i tartibli h o s ila deyiladi. /(*) funksiyaning f\ x )
hosilasidan olingan hosilaga ikkinchi tartibli h o s ila deyiladi. Ikkinchi
tartibli hosila mavjud b o isa , bu hosiladan olingan hosila u c h in c h i
'tartibli h o s ila deyiladi v a hokazo. Bunday hosilalar ikkinchi tartibiidan
hoshlab y u q o r i tartibli h o s ila deyiladi.
Yuqori tartibli hosilalar y ’, y K, y w , y ("\...
(yoki f" { x ) ,r '(x ) ,f'r (x),...,fw (x),... yoki
belgilanadi.
7 - misol. y = x3lnx b o isa , y t4)(3)ni toping.
Yechish. у - (x3)'lnx + x' (Inx)1=3x2In x + x 5—=x1(3in x +-1);
x
/ = (x2(3 In x +1))' = (x 2)'(3 Inx +1) + x 2(3 In x +1)'=
292
kabi
3
= 2x(3lnx4-l) +x 2 •—= x(6 Inx +5);
x
y m= (x (6 Inx + 5))' =x '(6 Inx 4- 5) +x (6 Inx 4- 5)' = 6 Inx 4- 5 4- x •—=6 Inx 4-11;
x
y w =(6 ln* + U)' = - .
X
Bundan
Funksiyaning yuqori tartibli hosilasini topish uchun uning barcha
oldingi tartibli hosilalarini topish kerak b o iad i. Biroq, ay rim
funksiyalam ing я -tartibli hosilalarini topish imkonini beruvchi
formulalar mavjud. M asalan, quyida keltirilgan formulalar bunday
formulalar qatoriga kiradi:
1 . (a *)00 = a* In" a (a > 0), (e‘ )w =e*;
2 . (sinx)w = sinfx +
3. (x*)M =a (a
4. (cosx)1,0 = cos x -
5.
l)...,(a - л 4- l)x“ ”, c c e R ;
(Inx) о _ (“ 1)Л(И“ 1)!.
я/г
6 . (и + v)00 =mw ± vw;
7. (Ck)(") = Cmw;
8 . ( « 1у)м = £ с > (Ч-уи >.
Forroulalardan ayrim larining isbotini keltiramiz.
3. (х“)Сл! = a ( a - \ ) . . . ( a - n + l)x“~",a&R ning isboti.
y - x “,
y ' = c u a~',
y w= a ( a - l ) ( a - 2 )jt“-\ ...,
y" =a (a - l) x “~2,
У ”’ =a(or- !)...(« ~n + l)x""\
Shunday qilib,
(х“) (л>= a (a —])...(pc—n + i)x“'',a e R .
4. (cosx)
>)
(
ftTC j
=cosl x + —- j ning isboti.
293
Demak,
(cosx)'"’ = cos^x + ~~ ,
5. (Inx)"0 = v ^ ^n—— n in g isboti.
x"
у —Itix,
y' = - = x~l,
yw =
y' = -l-x~2, / ' = (-1X -2)a--? = ( - 1 V - 1 - 2 - x - 3, . . .
. i . 2 .3 •... •(n - \)x- = 'I' 0
x"
Shunday qilib,
(tax )1oo
( - !) " ( « -1 )!
Ikkinchi tartibli hosilaning mexanik m a’nosi
M moddiy nuqta s = s(t) qonun bilan to‘g ‘ri chiziqli harakat qilsin.
U holda s’(t) moddiy nuqtaning t vaqtdagi tezligini ifodalaydi:
s[(t) = v(t).
Nuqtaning t vaqtdagi tezligi v(t) , t +At vaqtdagi tezligi v(0 + Av
boMsin, y a ’ni At vaqt oralig‘ida nuqtaning tezligi Av ga o‘zgarsin,
— nisbat to ‘g ‘ri chiziqli harakatda nuqtaning At vaqt oralig ‘idagi
At
o'rtacha tezlanishini ifodalaydi. Bu nisbatning At-^0 dagi lim iti M
nuqtaning berilgan
t vaqtdagi tezlanishi deyiladi va u a(t) bilan
belgilanadi: lim—
*->ОД£ = a(t), y a ’ni v'(t) = a(t).
Shu sababli
ait) =s"(t).
Demak, moddiy nuqta harakat qonunidar; t vaqt bo‘yicha olingan
ikkinchi tartibli hosila to‘g ‘ri chiziqli harakatda nuqtaning t vaqtdagi
tezlani shiga teng. Bu tasdiq
т а ’n o s in i Ifodalaydi.
ikkinchi tartibli h o s ila n in g m ex anik
Parametrik va oshkormas ко ‘rinishda berilgan
funksiyalaming yuqori tartibli hosUalari
y = f ( x ) funksiya
j x = <p(0 >
[ y = y/(t), t e T
parametrik tenglam aiar bilan berilgan b o isin .
IJ holda
v ;= ^ .
x'
Bundan murakkab
qoidalariga ko‘ra,
va
teskari
funksiyalarni
differensiallash
:= Щxt->
(2.3)
Shu kabi
I» _
(4 ) __ ( У ж ) ,
va boshqa hosilalar topiladi.
|3C "1
sin. ^
8 - m isol \
'
’ b o isa , ikkinchi tartibli hosilani toping,
j у = д (1 - cos/)
Yechish. (2.2) formula bilan topamiz:
,, =V
(a(l
- cos/))' i =-------------=----------=
asm t
sinf
t
_V---------:.'Z
ctg~.
(a(£-sin/))t a(l-c o sf) 1 -co sf
2
Bundan (2.3) formuiaga ko‘ra,
Л
« g-y
У,= = (a(?-sinr))'
' -------- Г
2 sin2a(l--cos?)
1
1 -cos/ a(l-cos/)
295
1
a(l-cosZ )2
y\ hosiiani (2.3) formula ustida almashtirishlar bajarib, quyidagicha
yozish mumkin
.
зЫ -х у
( 2 4 )
^
(x',y
^ ’
y = f ( x ) funksiya F (x ,y) - 0 tenglama bilan oshkormas k o ‘rinishda
berilgan bo‘lsin.
Bu tenglama л bo‘yicha differensiallansa va y ' ga nisbatan
yechilsa, birinchi tartibli hosila topiladi. T'opilgan birinchi tartibli hosila
x bo‘yicha differensiallansa, ikkinchi tartibli hosila kelib chiqadi. Bu
hosilada x, у , у lar qatnashadi. Ikkinchi tartibli hosilaga topilgan /
ni qo‘yib, y" ni x va у orqali ifodasi aniqlanadi.
9 - m i s o l Ъгхг + a2y 2 = а2Ьг b o isa , ikkinchi tartibli hosilani toping.
Yechish. Oshkormas ko ‘rinishdagi funksiyani differensiailash
qoidasidan foydalanib topamiz:
(b2x2 + агу 2)' = (а 2Ьг )',
Ъг ■2x + a 2 -2yy' = 0 .
Bundan
,
b2 x
y= - * y
U holda
/ = A
a v’
s
V x 'y ~ y 'x _ b x y '-y _ b 2
a2
y2
a2 y 1
b2 x2b2+a2y 2 _
a2
a2y 3
b2 x
a2 у
b2a 2b2 _ b 4
a*у 3
a 1у 1.
Yuqori tartibli differensiattar
Biror (a;b) intervalda differensiyallanuvchi y = f ( x ) funksiyaning
dy = y'(x)dx differensiyali b ir in c h i tartibli d if fe r e n s ia l deyiladi.
U holda
d(dy) = d(f'(x)dx) = (f'(x)dx) dx = f ( x ) d x ■dx
differensialga ikkinchi tartibli d iffe r e n s ia l deyiladi va
d 2y = f"(x)dx2
kabi yoziladi, bu yerda dx2 bilan (dx)2 belgilanadi.
296
(2.5)
Ikkinchi tartibli differensialdan oiingan differensial u c h in ch i
tariibii d iffe r e n s ia l deyiiadi va
hokazo. n -tartibli d iffe r e n s ia l
deb (и —1) -tartibli
differensialdan oiingan differensialga avtiladi va d " y =f ("\x)dx" kabi
yoziladi.
Bundan
j;w (jc) = —'
y a ’ni y = f ( x ) funksiyaning «-tartibli
dx"
hosilasi funksiya «-tartibli differensialning argument differensialining
w-darajasiga nisbatiga teng b o iish i kelib chiqadi.
10- m isol. y = x* +3 x - l b o isa , d 3y ni toping.
Yechish. у = 4x5 + 3, y" = \2x2, y" = 24x.
Bundan
d ' y = y m(x)dx>= 24xdx3.
Yuqorida keltirilgan formulalar x erkli o‘zgaruvchi b oiganda
o’rinli b o iad i. A gar у = f i x ) funksiyada
x b o s h q a b ir
erkli
о ‘z g a r u v c h in in g fu n k siy a s i b o ‘Isa, yuqori tartibli differesiallar
invariantlik xossasiga bo‘ysunm aydi.
Buni ikkinchi tartibli differensial uchun ko'rsatamiz.
Ko‘paytmaning differensiali formulasiga ko‘ra,
d 2y = d ( f( x ) d x ) = d(f'(x))dx + f'(x)d{dx) = f ( x ) d x ■dx + f' ( x ) d 2x,
y a ’ni
d zy = f ( x ) d x 2 + f ' ( x ) d 2x.
( 2 .6 )
(2.5) va (2.6) formulaiami solishtiramiz: murakkab funksiya uchun
ikkinchi tartibli differensial o‘zgaradi, y a ’ni bunda ikkinchi qo‘shiluvchi
f ' ( x ) d 1x hosil b o iad i.
Agar bunda x erkli o‘zgaruvchi b o isa , u holda
d 2x = d(dx) = d ( 1•dx) = dx ■d l = dx •0 = 0
va (2.5) ifoda (2.6) formulaga o ‘tadi.
11- m isol. y = x2 va x =sinf b o isa,
d 2y ni toping.
Yechish. y' = 2x, y ” =2, dx = costdt, d 2x =- s in td t 2
( 2 .6 ) formulaga formula bilan topamiz:
d 2y = 2dx2 - 2xsintdt2 = 2 (costdt)2 - 2 sinZ ■sm tdt1 =
= 2 cos2tdt2 —2 sin2tdt1 = 2 cos2 tdt2.
297
Boshqa yechim: y =x 2 va x = sint.
Bundan
у = sin 2 1, у ' = 2 sin t cos t = sin 2t, у "= 2 cos 2 f.
U holda
d 2y = y"dt 2 = 2 cos 2 tdt2.
5.2.9. M ash q lar
1.
Differensiallash qoidalari
funksiyalaming hosilasini toping:
va
formulalaridan
1) у = 3x4 — x 3 +ln2;
3
2)^ =—xs +3x‘*-2x ;
3)y=JL+3x4fc--JL
4)> '= л / х --+ ~ ;
5) y = -
6 )>=
\’X
6
3.t
\]x
xinx
8)> =
7 ) y = - j -------- 7 .
ln*-l
1 + COSJC
9) =i------1—cos* i
10) , =
y l l ) у = tg x -ctg x ;
12).v =
1 3
)
foydalanib,
x ch x -sh x
xshx - ch x ’
2* +3*
2* -3* ’
htx +e*
inx-e*
1 +igx
l-fgx’
x sin x -c o sx
xcosx + smx
14 )y =thx +cthx;
1 5)^ = log, e;
16)_y = 4sin2x -31gx+ 4co s2 x;
17 )у = л/4-Зх2;
1 8 )y = arcsin л/х;
19) у = cos4x -sin 4x;
20 )jy =^ln——
6 *+3
2 l)y= -Jl-x 2 + xarcsinx;
2 2 ) у = ln(e2* + 1)—2arctge”;
l> 1+ 3*
23) v = —In-------;
2 1-3*
24) у = log^ x*;
■sr\
ts3x + In cos2 3x
2 5) j = --------- ---------
2 6 ) y = e_3*(sin 3x + cos3x);
298
berilgan
2. Berilgan x =<p {у) funksiyalar uchun y' hosilani toping:
3 )x = 2 sin y;
2 )x =e~1';
l ) x = — —;
4) x = 3ctgy.
3. Quyidagi sonlarni differensial yordamida taqriban hisoblang:
1)> M
3) ctg 45°10’;
2) Ig 10,21;
4) 3,013"’.
4.
Quyidagi funksiyalaming berilgan nuqtadagi taqribiy qiymatini
differensial yordamida hisoblang:
5. Berilgan funksiyalaming birinchi tartibli differensialini toping:
Y)y=xQnx-\);
3) y =cos22x;
4)>> = asm 5x
6 ) у = In3cosx.
6 . Berilgan hosilalar uchun ymni toping:
l)y = (jc* - l ) 3;
2 ) j = e2r cosjr;
3) y = (l+x2)arclgx;
4)y =x1Qnx-l).
7. Berilgan funksiyalar uchun jv,(")(0)ni toping:
l)y = sir>5^cos2x;
2)y=xcosx;
3) ;y = jc2sm;c;
8. Oshkormas funksiyalaming hosilasini toping:
dx'
4) y =x2ex.
10.
Berilgan egri chiziqqa M0 (x0,y0) nuqtada o‘tkazilgan urinma va normal
tenglamalarins tuzing:
„3
f
1
2) y=smx, Ма{ж,0);
3) y =x3-tx1 - 1 egri chiziqqa y =x2 parabola bilan kesishish nuqtasida;
1+ r
4) 7 + k " - M‘ b ;4J ;
5)
3
1
(2, 2);
6)
= sin t.
[^ =cos2;,
5 3 . DIFFERENSIAL HISORNING
ASOSIY TEQREMALARI
5.3.1. F erm a teoremass
Differensiallanuvchi funksiyalam ing nazariy va am aliy aham iyatga
ega bo‘ !gan teoremalari bilan tanishamiz.
1-teorem a (F er m a teo r em a s i). f ( x ) funksiya (a;b) intervalda
aniqlangan bo‘lib, bu intervafning biror с nuqtasida o‘zinmg eng katta
(eng kichik) qiymati ga erishsin. Agar funksiya с nuqtada chek'i
hosilaga ega b o isa, u holda
/'(c) = 0
boiadi.
f
Isboti. A ytaylik, y = f ( x ) funksiya c e ( a ; b ) nuqtada o‘zinmg eng
4 katta qiym atiga ega b oisin. U holda V xe(a;b) uchun / (x) < f ( c ) , y a ’ni
f ( x ) ~ /(c ) <0 b o iad i.
y = f ( x ) funksiya с nuqtada
ул
hosilaga ega. Shu sababii bu nuqtada
funksiyaning o‘ng va chap hosila.lari /(c)
mavjud va
/ » = lim / (x )~/(c) < 0 (x > c),
x -c
f'_(c) = lim /(x;i" /(f:) > 0 (x <c ),
*->c-0 x —с
/;(с)=/_'(с)=/'(с)
boiadi.
300
Bu munosabatlardan /'(c) = 0 b o iish i kelib chiqadi.
Fuuksiya с nuqtada eng kichik qiym atga ega b o igan hoi uchun
teorema shu kabi isbotlanadi.
Ferma teoremasining geometrik talqini quyidagicha b o iad i:
у f (x) funksiya с nuqtada eng katta (eng kichik) qiym atga erishsa va
/'(c) hosila mavjud b o is a , f ( x ) funksiya grafigiga M ( c \ f( c )) nuqtada
o ik azilgan urinma Ox o‘qqa parallel b o iad i (5-shakl).
[a;b] kesm a uchun Ferma teoremasi hamma vaqt ham o‘rinli
boim aydi, M asalan, f ( x ) = x funksiya [0 ;1] kesmada o‘zioing eng
katta (x = 1 da) va eng kichik (x = Oda) qiym atiga erishadi. Bu
uuqlalardahosila /'(x) = 1 ^ 0 .
5.3.2. Roll teoremasi
2-teorem a (R o ll t eo r em a s i). f(x ) funksiya [a;b] kesmada
aniqlangan, uzluksiz va f ( a ) = f ( b ) b o isin . Agar funksiya (a-,b)
iiiiervalda differensiallanuvchi b o isa , u holda shunday c e ( a ; b ) nuqta
topiladiki,
f ' ( c ) =0
boiadi.
Isboti. Shartga ko‘ra, /(x) funksiya [а;ЪЛ kesmada aniqlangan va
uzluksiz. U holda Veershtrassning 2-teoremasiga ko‘ra, funksiya shu
kesmada o ‘zinmg eng katta qiym ati M ga va eng kichik qiymati m ga
ega bo‘ ladi. Bunda M = m b o isa , /(x) funksiya [«;/>] kesmada
o‘zgarmas va shu sababli \/x<=(a;b) uchun f'(x ) = 0 b o iad i.
/(c)
с
M
о
\
b
X
7-shakl.
6-shakl.
301
Agar М фш bo‘ Isa, / (x) funksiya M va m qiymatlardan
biriga biror с e (a;b) nuqtada ega bo‘ ladi. Bunda Ferma fsoremasiga
asosan, /'(c) =0 b o iad i.
Roll teoremasi ushbu geometrik taiqinga ega:
[a; 6 ] kesmada
uzluksiz, (a;b) intervalda differensiallanuvchi va kesmaning chetki
nuqtalarida teng qiym atlar qabul qiluvchi funksiya grafigida shunday
( c ; f (c)) nuqta topiladi va bu nuqtada funksiya grafigiga oikazilgan
urinma Ox o‘qiga parallel b o iad i ( 6 -shaki).
1-misol. Roll teoremasi o iin li b o iish in i tekshiring:
1)/(х) =л:2 -3jc~ 4 funksiya uchun [0;3] kesmada; 2) f ( x ) =\jx2 -1
funksiya uchun [—1; 1] kesmada.
Y echishA ) f ( x ) = x2- 3 x - 4 funksiya [0;3] kesmada uzluksiz,
differensiallanuvchi va uning chetki nuqtalarida bir x il qiym atga ega:
/ ( 0 ) =/(3) = -4 . Shu sababli, bu funksiya uchun Roll teoremasi o iin li
b o iad i. x ning f'{x) = 0 b o igan qiym atini topamiz: /'(*) = 4 x -3 = 0.
Bundan x=—.
4
2 ) f( x ) = \[x* - 1 funksiya [—1; 1] kesmada uzluksiz, / H ) = /( 1) = 0 ,
2 1
/'(*) = — =•
3 Klx
Bu hosila
x = 0 e ( - l;l)
nuqtada
mavjud
emas.
v Demak, bu funksiya uchun Roll teoremasi o iin li bo im aydi.
5.3.3. Lagranj teoremasi
3-teorema (L a gra n j teo r em a s i). f i x ) funksiya [a;b] kesmada
aniqlangan va uzluksiz b o isin . Agar funksiya {a;b) intervalda
chekii hosilaga ega b o isa, u holda shunday с e ia;b) nuqta topiladiki,
( 3 .1 )
boiadi.
Isboti. Teoremani isbotlash uchun yordamchi
Fix) =f i x ) - f ( a ) 302
f'lmksiyadan foydalanamiz. Shartga ko‘ra, f(x ) funksiya [a;£>] kesmada
nniqlangan, uzluksiz va (a;b) intervalda hosilaga ega b o ig a n i uchun
l'\x) funksiya ham [a-,b] kesmada aniqlangan, uzluksiz va (a;b)
intervalda hosilaga ega bo‘ladi.
Bunda
F'(x) = Z X x ) - ^ - - ^ , F(a) = F(b) = 0.
b-a
(3.2)
Demak, Fix) funksiya Roll teoremasining barcha shartlarini
qanoatlantiradi. IJ holda biror c e ( a ; b ) nuqta uchun F'(c) = 0,
Г (с )- М
b -a
Bundan
=о boiadi.
/•w = т
ь т
b -a
.
Teoremaning geometrik talqinini beramiz.
qiym at funksiya grafigining A (a;f(a)) va B{b;f(b))
b -a
nuqtalari orqali o iiv c h i kesuvchining burchak koeffitsiyentini aniqlaydi.
Teoremaga ko‘ra, shunday c e ( a - b ) topiladiki, C(c;/(c)) nuqtada funksiya
grafigiga o‘tkazilgan urinma AB kesuvchiga parallel b o ia d i (7-shakl).
(3.1)tenglikdan
m - f ( a ) =f'(c)(b -a )
(3.3)
kelib chiqadi. Bu formulaga L a gra n j f o r m u l a s i yoki ch ek li a y ir m a la r
fo r m u l a s i deyiladi.
Agar a=x, b-x + A x desak, bu formulani
f i x + Ax) - f i x ) = /'(с)Лх
(3.4)
ko‘rinishda yozish mumkin.
c e ( a ; b ) b o igan i uchun c = a + 9 ( b - a ) , 0 <<9 < 1, deyish mumkin.
U holda (3.4) tenglik
f ( x + Ax) —f{x) = f'{x +6Ax)Ax
ko‘rinishni oladi.
Langranj teoremasi yordam ida Ay^cfy taqribiy tenglikning
aniqligini baholash mumkin. Buning uchun f( x ) funksiya ikkinchi
303
tartibii uzluksiz f"(x) hosilaga ega bo isin deb, topamiz:
Ay —dy = (/(x + Ax) - / (x)) —f'(x)dx = f ' ( c ) Ax - f'(x)Ax =
= (/'(c) —f'(x))Ax = /"(c,)(c —jt)Ax, bu yerda c, e(c;x).
Demak, A y - d y = f"(c.)(c-x )A x . M = [x
max\f'(x)\
b o isin .
'jc+Ax?
1
|с —jc|<Ax va /"(ct)< iWtengsizliklam i hisobga olib, topamiz:
|Aу — <M j Дх |2 .
Lagranj teoremasidan quyidagi natijalar kelib chiqadi.
1-natija. Agar biror intervalda funksiyaning hosilasi nolga teng
b o isa, funksiya shu intervalda o‘zgarmas b o iad i.
2-n atija. Agar biror intervalda ikkita funksiya teng hosilaSarga ega
b o isa , funksiyalar bir-biridan o‘zgarmas qo‘ shiluvchiga farq qiladi.
7C
2- m isol. arcsinx + arccosx =
x e [ - l;l] ekanini isbotlang.
Yechish. f ( x ) = arcsm x + arccosx deb olsak, (—1; 1) oraliqda
U holda 1-natijaga ko‘ra, /(x) =C , y a ’ ni arcsinx + arccosx = С . С
ning qiymatini topish uchun x ga ( - 1; 1) intervaldagi qiymatlardan
birini, masalan, x = 0 ni qo‘yam iz:, arcsinO + arccosO =C yoki
71
—= С .
Bundan
■zj
arcsinx + arccosx = — .
2
5.3.4. Koshi teoremasi
4-teorema (K o s h i te o r e m a s i) . f( x ) v a g(x ) funksiyalar [a;A]
kesmada aniqlangan va uzluksiz b o isin . Agar funksiyalar (a;b)
intervalda differensiallanuvchi va \fxe(a:b) uchun g'(x) * 0
b o isa, u holda shunday с e (a;b) nuqta topiladi va
Isboti. Teoremaning g '(x ) * 0 shartiga k o ia , (3.5) tenglik m a’noga
ega b o iish i uchun g(b) * g(a ) bo‘lishi kerak. f( x ) va g(x)
funksiyalardan ushbu
F(x) = f{x) - f ( a ) - 4 ^ — T T '
g(b )-g(a )
- S(a))
funksiyani tuzamiz. Bu funksiya [a;b] kesmada aniqlangan, uzluksiz va
(a;b) intervalda hosilaga ega.
Bundan tashqari,
F\x) = f\ x ) -
g(b ) - g (a )
■g\x) , F(a) = F(b) = 0 .
Demak, F(x) funksiya Roll teoremasining barcha shartlarini
qanoatlantiradi va biror с € (a;b) nuqta uchun F'(c) = 0, y a ’ni
g(b )-g(a )
b o ia d i.
Bundan
■ m -m
g(b ) - g (a )
_ /'(c)
g'(c)'
5 3 .5 . L o p ital teorem asi
5-teorem a
0
ko'rinishdagi aniqmasliklarni ochishning Lopital qoidasi |.
x0 nuqtaning biror atrofida f ( x ) va g(x) funksiyalar uzluksiz, differen­
siallanuvchi va g '( x ) * 0 b o isin . Agar lim /(x) = 0, lim g(x) = 0 va
x-+x0
lim
x~+xo
f f(x)
- = k (chekii yoki cheksiz) lim it mavjud b o isa, u holda
g'(x)
(36)
g(x )
*-«„ g'(x)
b o iad i.
Isboti. /(x) va g(x) funksiyalar uchun x0 nuqtaning biror atrofida
yotuvchi [jc0;jc] kesmada Koshi teoremasini q oilaym iz.
305
Bunda
/ (* )-/ (* „ )
g (x )-g (x 0)
hisobga olinsa,
/'(<?)
, / К ) = Я(^о) = °
g'(c)
т =ш
g(x)
(3.7)
g'(c)
hosil b o ia d i, bu yerda с nuqta x- va
biror son.
x -> x0 da с ham x0 ga intiladi.
(3.7) tenglikda lim itga o iaraiz :
nuqtalar orasida yotuvchi
Ш п / « = Иш Щ .
g(*) c->x0 g ( c )
lim f — = A; ekanidan lim
=к .
g (x)
g (c)
Shu sababli
l i m / « = lim / M .
g(x) *->*, g (x)
I z o h la r : 1. 1-teorema /(*) va g(x) ftm ksiyallar x = x0 da
aniqlanmagan, ammo lim f ( x ) = Ova lim g(x) = 0 b o igan d a ham o‘rinli
x—>x0
.t—>.i:n
f b o iad i. Bunda /(x0) = lim f ( x ) =0 va
x-> x0
4
» ' yetarli.
g(x.) = !im g(x) = 0
deb olish
X->XQ
2.
2 . 1-teorema х н к » da ham o iin li b o iad i. Haqiqatan ham, x = z
deb, topamiz:
/П
lim
= lim
1Л
fP
= lim.
z -* 0
V“ <v-,- = lim —
, /'(*)
)
)H——~f=
lim
/ о 1r n
*UHv A
3.
f'(x ) va g'(x) funksiyalar 1-teoremaning shartlarini
qanoatlantirsa, teorema takror q o ilan ish i mumkin:
3- misol.
lim ——
x—
>i e x —e
Yechish.
/(x) = x 2 - 1 + lnx, g(x) =e x- e
atrofida aniqlangan.
limitni toping.
funksiyalar x = l nuqta
iim fi x ) = lirn g(x) = 0 , y a ’ni
x—
>1
r-»i
-
0
ko‘rinishdagi
aniqmaslik berilgan.
U holda 1-teoremaga ko‘ra, bm
2x + —
f{x) ... /'(a-) ..
* 3
= lim — = iim------ ■- = - .
g(x )
g (x)
ex
e
Demak,
x 2-1 + inx 3
iim --------------= —.
*-»i e ‘ —e
e
— ko‘rinishdagi aniqm asliklam i ochish haqidagi teoremani isbotsiz
ОС
keltiram iz.
— ko'rinishdagi aniqmasliMarni ockishning Lopitai qoidasi).
oo
J
x0 nuqtaning biror atrofida f( x ) va g(x) funksiyalar uzluksiz.
differensiallanuvchi va g '(x )* 0 b o isin . Agar lim /(x) = lim g(x) = oo
6 -teorem a
Х->Хэ
.t-vx0
f*( x)
bo iib . lim
■■ lim it mavjud b o isa, u holda
««k g ’(x)
lix-+тx0тg(x) = ш тg'(x)
boiadi.
4- m isol. lim —x —- limitni toping.
™ In (e '-e ')
1
ln(ex -e°)
\co)
x~*a
ex
*~*аех(х -а )
\0 J
e x- e °
e*
1
1
1
= lim —-------------=vlim -----------~-------------=------=
1i .
x-ya e (x —ci) + & x->« 1 + —ci) 1 + (p “ ct) 1 + 0
307
О
ос
od
О Va
k ° ‘ nnishdagi
aniqm asliklarga asosiy aniqm aslikiar
deyiiadi.
yoki
со-o o
ko iin ish d ag i
aniqm aslikiar
algebraik
almashtirishlar yordamida asosiy aniqm aslikiarga keltiriladi.
0 °, oo° yoki 1" ko ‘rinishdagi aniqm aslikiar
O-oo
ДхУ'* = esw'n fw
formula
yordamida
5- m i s o l
O-oo
aniqmas likka keltiriladi.
M ix 3Inx limitni toping.
Itl x f oo^
i
Yechish. limx’ tox = (0 •oo) = ит — = - j = lim -— = --J im * ’ = 0 .
*-*0
\ JX ) J
I
x-*0
^
x -* 0
1
з
.t-»0
X'
6- misol.
liml --cJgx^j limitni toping.
X-,0\JC
j
Yechish. limf—- ctgx) = (=c - oo) = limf
J
M°V
xsinx
)
co sx-cosx + xsinx ..
xsmx
—lim-------------------------=
lira------1--------x->0
g щ x + x CQS x
I-+ 8 s j n x _j_ x c o s x
sinx + xcosx
cosx+cosx-xsinx
=f £ |=
V.0 )
^ 0
„
0
2
= hm -----------------------------= —= 0.
7 - misol.
lim x“" lim itni toping.
x-»0
In v-
j
Yechish. lim x” * = ( 0 °) = lim e
rlirnsinjclnx lim—
*-*o_
= e x*
=e
=
-lim ;—
-lan <«*— >
0
= e =1 .
5.3.6. T eylo r teorem asi
7-teorem a (T ey lo r t e o r e m a s i) . /(x) funksiya x0 nuqtaning biror
atrofida aniqlangan b o iib . bu atrofda (и + 3) -taitib iig ach a hosilalarga
e g a v a / (B+1}(x) hosila x0 nuqtada uzluksiz bo‘lsin.
308
U holda
Д х ) = /|(X0) + ^ > ( x - x0) +
+£
(x - x0)2 +... +
^ (x „ x J + j p M ( x - x J «
и!
(3.8)
(я + i)!
b o iadi, bunda с =x0 + (9(x- x„), 0 < # < 1 .
(3.8) tenglikka T ey lo r f o r m u l a s i deyiiadi.
Isboti. A w a l
<p(x,x0) = /(*c) + ^ ( X - X 0) + ^ M ( x - x 0)2 + ... + Z ^ ( x - X,,)",
1!
2!
/?!
belgilashlar kiritamiz.
Banda biror с son
uchun
f (c)
i? +1(x) = - — — ( x - x 0),Mj
(и + 1)!
b o iish i
k o isatilsa, teorema isbot b o iad i.
Endi x0 nuqtaning atrofida x (x>x„ b o isin ) nuqtani tanlaymiz va
[x„;x] kesmada
F (f) = f( x ) - <pix,t) -
,
t e [ x„ :x\
(* -* „ )
yordamchi funksiyani tanlaymiz.
F(t) funksiya [x0;x] kesmada usluksiz va differensiallanuvchi va
F\t) =- f ( t ) + ^ f - ~ - ( x - t ) + ^ - 2 i x - t ) A
I!
Z\
i!
- l ^ - i x - t y +»
л!
#i!
a- J ^
и!
J!
- t f +... +
#
W
(* -* „ )
=
(x - 0 - + O L t jX £ z O ^ ^ .
(* -* „ Г ‘
(3.9)
г =x„ da
F(x0) = /(•*) - ?>(*, x0) - Л ,, (jc) =Й +1(x) - Rntl (x) = 0;
t = x da
i:
72.
309
XpJI
Demak, F(t) funksiya [x0;x] kesmada Roll teoremasining barcha
shartlarini qanoatlantiradi. U holda shunday с (ж, <c<x) nuqta iopiladi
va F'(c) = 0 bo‘ladi.
(3.9) tenglikka ko‘ra,
- r
i ( , - c). + W
n\
^
(* -* ,)" '
= o.
Bundan
RО , r(л)\ = --------(x - x 0)V+l .
"+1 ' (я + 1)Г
0/
(p(x,xj = f( x 0)+
(x - x„) + ~ p (x - x0)2 +... + f ^
( x - x oy
ko‘phadga н-tartibli Teylor ко ‘p hadi,
funksiyaga Teylor formulasining Lagranj ко ‘rinishdagi qoldiq hadi
deyiladi.
« = 0 da Teylor formulasidan f(x ) = / ( x ) + f ’{c){x- x„) yoki
/ (*) ~ f (xo) = f '( c)(x - x0) tenglik, ya’ni Lagranj formulasi kelib chiqadi.
Demak, Lagranj formulasi Teylor formulasining xususiy holi boiadi.
x0 = 0 da Teylor formulasining xususiy hollaridan yana biri
r! \
/
40)
/ '" '( 0 )
,
Г " \с х )
fix ) = / ( 0) + • v x +... +-— — x +■•■+ = - — - —-x
I!
n\
n+1
(и + 1)!
hosil boiadi.
Bu formulaga Makloren formulasi deyiladi.
Ayrim funksiyalaming Makloren formulasiga
keltiramiz:
-
, 0 < с <1
yoyilmasini
. „
, тп
m(m - 1) ,
2!
m (m -\)...(m - и + 1) 2
я!
4. (1 + x) =1 + — x + -± ------ - x 2 + ... + — ------ — ----------- - x 2 +
1!
+ И( т - 1)...(ш- « ) (1 + а ) ,- .,г , x e ( _m
(я + 1)!
Xususan, я = м da
(1 + x y = ! + » , +
1
+ ... + п { п - - \ ) . . . ( п - ( п - 2 ) ) у Г +
1!
2!
( л - 1)!
Formulalardan ba’zilarining isbotini keltiramiz.
1. f{x) = e’c boisin.
U holda
f{x) = / '( * ) = /"(X ) = ... = / ("*’>(x) = e*,
/ ( 0 ) = / '( 0 ) = /" ( 0 ) = ... = / <л+1>(0) = 1.
Makloren formulasi quyidagi ko‘rinishga keladi:
с t % X2
X
n
в
0X
„.J
/Л I
e‘ = l + - + ----- + — + -------------- x"+1.
1! 2!
n\ (и + 1)!
(3 .1 0 )
2. f ( x ) = sinx boisin.
U holda
(
,
/ (я)(x) = sin x + и • — ,
(
n\
0, n juft bo'Isa,
\
ZJ
( - < ) 2 > n toq bo'Isa.
/ л (0) = sin
v
Bundan
X
3
X
5
X
7
2>:-)
.
X
.
. .... .
2ИН-2
smx = x ------i----------- t-... + ( - l ) ---------- Ц-l) smcx3!
5!
7!
(2/7 —1)!
X
(2и + 2)!
4. /(х) = (1 + х)” boisin.
U hoida
/ w (x) = m(m —\)...(m —я + 1)(1 +x)"“”+l,
Г \ Щ = m( m - l)...(/w —n + 1).
Bundan
.„ „ m
m (m -]) ,
m(m - 1)...(/и - и +1) ,
(1+х)” =1+—x + —----- -x2 + ... + ——— — ---------- X +
1!
2!
и!
311
+ т ( т -\ ) ...{ т - п )
1;1).
(и + 1)!
Teylor formulas! funksiyalar qiymatlari va
aniqlikda hisoblash imkonini beradi. Masalan,
fix )
funksiyaning x = a nuqtadagi qiymatini
xatoiigi e
dan katta
boim agan aniqlikda
hisoblash uchun Teylor ko‘phadini shunday
к darajasigacha
oiinadiki, bunda к son
|Я„(а)|<£
tengsizlikni
qanoatilaniradigan
n laming eng kichigi qilib tanlanadi.
limitlarini
berilgan
1n
0
1
2
en
f3
4
5
sonini 0,001 aniqlikda hisoblang.
Y echish. f { x ) = e ' funksiyani qaraymiz.
Shartga ko‘ra, x = a = 1, e = 0,001.
(3.10)
formulaga binoan n ning
8 - m isol. e
(n + 1)!
<£
6
7
8
9
10
1.0000000000000
2.0000000000000
2.5000000000000
2.6666666666667
2,7083333333333
2.7166666666667
2.718055.5555556
2.7182.539682540
2.7182787698413
2.7182815255732
2.7182818011464
0,001 shartni qanoatlantiruvchi eng kichik qiymati
n = 6, bunda 0 < с < 1.
Demak,
,
1
1
1
I
-----------1------------ 1------------Ь . . . 4 —
1!
2!
:
6!
3!
= 2 + 0,5 + 0,16667 + 0,04167 + 0,00833 + 0,00139 = 2,718.
Shukabi e
«topish mumkin.
f
sonining istalgan aniqlikdagi qiymatlari jadvaiini
5.3.7. M ashqlar
1.
Funksiya uchun berilgan kesmada Roll teoremasi o ‘rinSi b ciish in i
tekshiring. Agar o ‘rinli bo‘lsa, teoremadagi с ning tegishii qiymatini toping:
1) f ( x ) = 4 x - x 3 +5, [0;2];
2
3) f ( x ) = 2 - V ? , [-!;!];
4) f( x ) = 3 - 1 x I, [-2,2].
) f(x )~ sm 2 x ,
;
nm g
2,
Funksiya uchun berilgan kesmada Lagranj foraralasidagi
tegishii qiymatini toping:
1) /( * ) = | x 3- x + l, [0;1]:
2
3 )/(.*) = Inx, [l;e];
) f ( x ) = e\. [0 ;i];
4) f( x ) = x2- 6 x + l , [0:1].
312
3.
Berilgan funksiya grafigining urinmasi AB vatarga. parallel boMgan
nuqtasini toping:
2) /( * ) = 4 x + l, A(0;V), B(3;2).
1) f ( x ) = x 2 + 3x, A(~2;-2), B( 1;4);
4„ Funksiyalar uchun berilgan kesmada Koshi formulasini yozing va bu
formuladagi с ning tegishli qiymatini toping:
2) f{ x ) = x i - 3, g(x) = *3 +2, [0;2],
1) f ( x ) = sin 2x, g(x) = cos 2л,
5.
isbotlang:
Funksiyaning o'zgarmas bo‘lishlik alomatidan foydalanib, quyidagiJami
{—n —2arctgx, x < —1,
0. 2x
zjarcsm ----- r ^ 2 arctgx, - l < x < \ ,
'
l + x2
1) arccos- — -r = 2arctgx, 0<jc<+® ;
l +x
j —я —2arclgx, x S 1.
6 . Loopital qoidasidan foydalanib,. lixnitlarni toping:
sin m
1) lim------- ;
,_x-arctgx.
2 ) lim
3)
.. .. In X
4) hm----- ;
»•
*-»> tax
•"-*0 In sin x
5 ) lim
7
n -2 a r c tz x
6) lim -----------—
3*
“H )
e* —x —1
0 bm— —---- ;
„
8)
sin 2x
*-*» Sin Л'
9 ) i\m x tg —;
r —>*>
x
10) l i m ( l - e**)ctgx;
%
x -* 0
11) iim(secj£--'^x);
12) lim f i----- — j:
13) lim ( я - 2 х ) а°х;
14) lim
15) lim{^2 - —1 5 6 ;
16) limfcosSx)*1;
17) lun(<gx)‘"s”” t;
IS ) lim {x + 3x)x
•
arctgx)
Ъ)
313
;
7. K o‘pbadni ( x - x 0) ning darajasi bo‘yicha yoying:
1) P(x) = x 3+ 5x2- З х + l, x0 =-2;
2) ,P(x) = x4 - 2 x 5+ 5 x - 6 , x0 =2.
8 . Funksiyaning berilgan nuqtada uchinchi tartibli Teylor forraulasini
vozing:
2) f{ x ) = - , x0 = -2.
x
1) f i x ) = -Ji+X, x„ = 3;
9. Funksiyalarni Makloren formulasi yordamida x ning darajalari bo'yicha
yoying:
1) f ( x ) = xe1;
2) f ( x ) = chx.
10. Berilganlarni 0,001 aniqlikda hisoblang:
1) sin36°;
2) cos32°;
3 ) \[ e ;
4) Ig 10,09.
11. Limitlarni Makloren formulasi yordamida toping:
1
C O S X -1 + —
1) lim- * ~ slnx
;
*2
2) lim--------_ ± _
*-»»
X*
,
X
e - 1- x -----
2
a\ ,■ l+ x o o sx -V l+ 2x
4)' limv-»f>
f sinxV
3) bm
----;
X-Л»
V- J
V
x )
x
5.4.
V
ln (l + je ) - .x
FUNKSIYA1LARNI HOSILALAR
YORDAMIDA TEKSHIRISH
Differensial hisobning tatbiqlaridan biri funksiyalarni tekshirish va
grafigini chizishga hosilaning qoilanilishi hisobSanadi. Quvida bu
tatbiqlami ifodalovchi teoremalami keltiramiz.
5.4.1. Funksiyaning monotonlik shartlari
1-teorema (funksiya monoton bo ‘lishining zaruriy sharti). Agar
(a;b) intervalda differensiallanuvchi f(x ) funksiya shu intervalda
o‘suvchi (kamayuvchi) bo‘lsa, u holda \/xe(a;b) da
f'(x)> 0 (/'(*) < 0)
boiadi.
314
Isboti. /О ) funksiya (a;b) intervalda o‘suvchi boisin. (a;b)
intervalning ixtiyoriy x va x + Ax nuqtalarini olaraiz.
U holda Ax > 0 boisa, /( x + Ax)>/(x) va Ax<0 boisa,
f ( x + Ax)< f i x ) boiadi.
flkkala holda ham
f j x + Ax) - f j x ) ; Q
Ax
Teoremaning shartiga ko‘ra
differensiallanuvchi.
Shu sababli
Г (х)=ы &
fix )
funksiya
± * ь ж
(a;b)
intervalda
г 0.
Ax
f i x ) funksiya (a.b) intervalda kama>aivchi boiganda teorema shu
kabi isbotlanadi.
y = m
Bu teorema ushbu geometrik talqinga ega: biror intervalda
differensiallanuvchi boigan o‘suvchi (kamayuvchi) funksiya grafigiga
o‘tkazilgan urinmalar O x o‘qning musbat yo‘nalishi bilan o‘tkir
(oim as) burchak tashkil qiladi yoki ayrim nuqtalarda Ox o‘qiga parallel
boiadi ( 8 -shakl) ((9-shakl)).
2-teorema {funksiya monoton bo'lishining yetarli sharti). Agar
(a;b) intervalda differensiallanuvchi f i x ) funksiya uchun Vxe (a;Z>) da
f i x ) > 0 (/'(x) < 0) boisa, f i x )
funksiya (a;b) intervalda o ‘sadi
(kamayadi).
315
Isboti. (a\b) intervalda f i x ) > 0 bo‘lsin. \/xx,x2e(a;b), x, <x2
nuqtalami olamiz.
f(x ) funksiya uchun [ x ,,x j kesmada Lagranj teoremasining
shratlari bajariladi. Shu sababli Lagranj formulasiga binoan, biror
c e ( x ,,x 2) da f ( x 2) - f i x . ) = f ’(c)(x2- x,) bo‘ladi.
Teoremaning shartiga ko‘ra, Vxe(a,b) da /'(* )> 0 , shti jumiadan,
c e ( x ,,x 2) da / '( c ) > 0 . x2 - x, > 0 va shun mg uchun f'(c)(x2- x l)> 0 .
Bundan f ( x 2) - f { x , ) > 0 yoki f{ x 2)> fix ,). Shunday qilib, f(x ) funksiya
V x e ( a ; 6 ) da o‘sadi.
f \ x ) < 0 boiganda teorema shu kabi isbotlanadi.
Eslatmalar. 1. Funksiya o'suvchi va kamayuvchi bo‘lgan
inteivallarga funksiyaning monotonlik intervallari deyiladi.
2 . {a;b) intervalda o‘suvchi (kamayuvchi) va [a-,b\ kesmada
uzluksiz bo‘gan fix ) funksiya [a;b] kesmada o‘suvchi (kamayuvchi)
bo‘ladi.
1misol. fix ) = x3 -1 2x + 5 funksiyaning mono ton iik intervallarini
toping.
Yechish. D(f) = R, / ' ( x ) = 3x 2 - 1 2 = 3(x 2 - 4 ) . U holda: f'(x) > 0 dan
yoki |x i> 2; f'(x)< 0 dan x 2 - 4 < 0 yoki |x |< 2 .
Demak, fix ) funksiya (-c c ;- 2) u ( 2 ;+ «) intervalda o‘sadi,
intervalda kamayadi.
x 2 —4 > 0
( - 2 ;2 )
5.4.2. Funksiyaning ekstrem um iari
l-ta ’rif. Agar x0 nuqtaning shunday S atrofi topilsa va bu
atrofning barcha x * x a nuqtalarida /(x )< /(x„) ( / (x) > /(x„)) tengsizlik
bajarilsa, x0 nuqtaga fix ) fimksiyaning q a t’iy lokal maksimum (qa/’iy
lokal minimum) nuqtasi deyiladi.
Funksiyaning maksimum va minimum nuqtalariga ekstremum
nuqtalar deyiladi. Funksiyaning ekstremum nuqtadagi qiymati
funksiyaning ekstremumi deb ataladi.
Ekstremum tushunchasi funksiya aniqlanish sohasining biror
atrofi bilan bogiiq. Shu sababli funksiya ekstremumga aniqlanish
sohasining faqat
ichki nuqtalarida erishadi. Shu bilan birga,
funksiya o‘zining aniqlanish sohasida bir nechta minimumga yoki
316
maksimumga erishishi va bunda maksimumlardan ayrimlari qandaydir
minimumdan kichik bo iishi mumkin ( 10 -shakl).
3-teorema (ekstremum mavjud bo ‘li s h i n i n g zaruriy sharti). Agar
v„ nuqtada differensiallanuvchi fix ) funksiya shu nuqtada ekstremumga
ega boisa, u holda f'{x 0) = 0 boiadi.
Isb o ti. x 0 nuqta f ( x ) funksiyaning ekstremum nuqtasi boisin. U
lioida shunday
(x0 - 6 , x a + S )
interval topiladi va bu intervalda
у =Дх)
f ( x ) funksiya o‘zining eng katta
yoki eng kichik qiymatiga ega
boiadi.
U holda Ferma teoremasiga
ko‘ra, /'(*„) = 0 boiadi.
Bu teorema quyidagicha
geometrik taiqinga ega. Agar x
X.
О
nuqta
f{x )
funksiyaning
10-shakl.
ekstremum
nuqtasi
b o isa
(masalan, 10 -shaklda xl nuqta),
lunksiya grafigiga shu nuqtada urinma oikazish mumkin va bu urinma
Ox o'qiga parallel boiadi.
Izohlar, 1. fix ) funksiya x0 nuqtada uzluksiz boiib,
differensiallanuvchi boim aganida ham, ekstremumga ega boiishi
mumkin. Masalan, uzluksiz y=\x\
funksiya x = 0 nuqtada hosilaga ega
cm as, ammo x = 0 minimum nuqta
y=\
(11 -shakl).
Shunday qilib, f i x ) funksiya
nuqtada ekstremumga ega bo isa, bu
nuqtada f i x ) hosila nolga teng yoki
mavjud boimaydi.
f i x ) hosilasi nolga teng boigan
11-shakl.
yoki mavjud boim agan nuqtaga
birinchi tur kritik nuqta deyiiadi.
2. Hamma birinchi tur kritik nuqta ham ekstremum nuqta
boiavermaydi. Masalan, f{x ) = x* funksiya uchun x = 0 da
f i x ) = 3x2= 0 . Demak, x = 0 birinchi tur kritik nuqta, ammo u
ekstremum nuqta emas ( 12 -shakl).
317
II
H
4 - te o r e m a (e k s t r e m u m m a v j u d b o ‘i i s h i n i n g y e t a r l i sh a r ti). Agar
f(x ) funksiya x0 birinchi tur kritik nuqtaning
biror S atrofida
differensiallanuvchi bo‘lib, x nuqta x0 nuqtadan chapdan c/ngga
o ‘tganiaa f'(x) hosila: ishorasini musbatdan manfiyga o‘zgartirsa x0
nuqta maksimum nuqta boiadi; manfiydan musbatga o‘zgartirsa
x 0 nuqta minimum nuqta boiadi.
У
Isboti. x0 - birinchi tur kritik nuqta,
.xe(X —<5;jc0) da /'(* )> 0 va x s(x o,x0+S) da
f'(x) <0 boisin. U holda 1-teoremaga ко‘ra,
funksiya (x0 -<5;x0) intervalda o‘sadi
va
X
(x0;.x0 +<5) intervalda kamayadi. Demak, f ( x )
fo
/
i
funksiyaning x0 nuqtadagi qiymati uning
j
У х е ( х 0 - 8 ; x a + S ) nuqtadagi qiymatidan katta
i•
>
i
boiadi, ya’ni f(x ) funksiya
x0 nuqtada
maksimumga erishadi.
12-shakl
xe{x0-S ;x 0) da f'( x ) < 0 va x e ( x 0,x0 +S)
da f'(x) > 0 boigan hoi uchun teorema shu kabi isbotlanadi.
Izoh. Agar x nuqta x 0 nuqtadan chapdan o‘ngga oiganida
ishorasini o‘zgartirmasa x0 nuqtada ekstremum mavjud boimaydi.
Funksiyani ekstremumga tekshirish - bu funksiyaning barcha
ekstremumlarini topish demakdir. Ekstremum mavjud boiishining
zaruriy va yetarli shartlaridan funksiyani ekstremumga tekshirishning
quyidagi qoidasi kelib chiqadi:
1°. y = f( x ) funksiyaning birinchi tur kritik nuqtalari topiladi;
2°. Bu nuqtalardan funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishii
boiganlari tanlanadi;
3°. tanlangan nuqtadan chapdan o‘ngga oiishda f ' { x ) hosilaning
ishorasi tekshiriladi;
4°. 4- teoremaga asosan funksiyaiarning ekstremum nuqtalari
(agar ular bor boisa) aniqlanadi va funksiyaning bu nuqtalardagi
qiymatlari hisoblanadi.
i
2 - m isol.
Y echish .
r ~— X
f (x) = Mx1 - -
*
funksiyaning ekstremumlarin i toping.
Ravshanki,
£ > ( / )
=
* ,
/ ' ( *
)
=
-
2
'3-lfx
318
1
3'
1
2
“
^
ЫХ
Hosila x t = 0 nuqtada mavjud emas va x2 = 8 nuqtada nolga teng. Bu
kritik nuqtalar berilgan funksiyaning
aniqlanish sohasini uchta
(—°o;0), (0;8), (8;+oo)
—
+
—
intervallarga
ajratadi. ________.... ................. .......... ..... ..„
Hosilaning har bir birinchi
^ 0
.x
tur
kritik
nuqtadan
chapdan o‘ngga oiishdagi
13-shakl.
ishoraiarini
chizmada
belgilaymiz (13-shakl).
Bunda
strelkalar funksiyaning tegishli
intervalda o‘suvchi yoki kamayuvchi ekanligini bildiradi.
Demak, x, = 0 - minimum nuqta, >”mta = / ( 0) = 0 va
x ,= 8 4
maksimum nuqta, у„ = / ( 8) = - .
Funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatini topish matematika,
fizika, kimyo, iqtisodiyot va boshqa fanlaming ko‘plab masalalarini
yechishda keng qoilaniladi. Masalan: minimal xarajat sarflab yukni
tashish haqidagi transport masalasi, maksimal daromad olish maqsadida
ishlab chiqarishni tashkil etish masalasi, eng katta va eng kichik
qiymatlami izlash usullarini takomillashtirisb va rivojlantirishga olib
keluvchi optimal yechimlami izlash haqidagi boshqa masalalar. Bunday
masalalarni yechish bilan matematikaning maxsus 'oo‘limi - chiziqli
programmalashtirish shug'ullanadi.
Biz soddaroq masalalardan birini ko‘rib chiqamiz.
3-misol. Tomoni 12 uzunlik birligiga teng kvadrat tunukaning
burchaklaridan bir xil oicham li kvadratlar kesib olingan va usti ochiq
quti yasalgan. Qutining sig‘imi eng katta bo‘lishi uchun tomoni necha
uzunlik birligiga teng kvadratlar kesilishi kerak?
Yechish. Kesib olinadigan kvadratlaming tomoni x boisin.
U holda qutining asosi 12 - 2 x va balandligi x ga teng
Qutining hajmini topamiz:
boiadi.
V(x ) = x ( l2 - 2 x ) 2 = 144x - 48x2 + 4 x 3, x e [0;6].
Bu funksiyaning maksimum ini aniqlaymiz.
V'ix) = 144- 96x + 12x2 = 12(2 -x)(6 - x)
hosila x = 2 da ishorasini musbatdan manfiyga almashtiradi, ya’ni
x =2 maksimum nuqta boiadi.
Demak, kesib olinadigan kvadratlar tomoni x = 2 (uzb), bunda
F(2) = 128 (kub.b).
319
5.4.3. K esm ada uzluksiz funksiyaning
eng katta va eng kichik qiym atlari
У = fix ) funksiya [a\b] kesmada uzluksiz boisin, U holda
Veershtrassning ikkinchi teoremasiga ko‘ra, funksiya bu kesmada
o‘zining eng katta va eng kichik qiymatlariga ega boiadi. Bu
qiymatlarga funksiya yoki ekstremum nuqtalarda yoki \a-.b] kesmaning
chetki nuqtalarida erishadi.
Bundan {a\b\ kesmada uzluksiz y = f ( x ) funksiyaning eng katta va
eng kichik qiymatlarini topishning quyidagi qoidasi kelib chiqadi:
1”, у = / О ) funksiyaning (a;b) intervaldagi birinchi tur kritik
nuqtalari topiladi;
2°. funksiyaning topilgan kritik nuqtalardagi va \a\b\ kesmaning
chetki nuqtalaridagi qiymatlari hisoblanadi;
У. hisoblangan qiymatlar orasidan eng kattasi va eng kichigi
tanlanadi.
Izohlar. 1. Agar y = f(x ) funksiya \a\b\ kesmada faqat bitta kritik
nuqtaga ega boiib, u maksimum (minimum) nuqta boisa, bu nuqtada
funksiya o‘zining eng katta (eng kichik) qiymatiga ega boiadi,
ya’ni max / ( x) = f i x 0) ( min f{x) = f( x 0)) b o iad i.
f
2. Agar y = f i x ) fonksiya [a;b] kesmada kritik nuqtaga ega
bo‘lmasa, bu funksiyaning kesmada monoton o'sishini yoki monoton
kamayishini bildiradi. Bunda y = f ( x ) funksiya [ я ;A] kesmadagi eng
katta va eng kichik qiymatlariga kesmaning chetki nuqtalarida erishadi.
4 - m isol.
y = x 3 - 3x funksiyaning [0,2] kesmada eng katta va
eng kichik qiymatlarini toping.
Yechish.
Г. f i x ) = 3x2- 3 = 0 dan x, =-1, x2= 1, x2e [0,2];
2 °- / 0 ) = - 2 , / (0) = 0, / ( 2) = 2 ;
3°- m,
= /(!) = - 2 .
xe[0;^2]f ( x) =f ( 2) = 2’ *min/(x)
s[0;2]
5.4.4. Fanksiya grafiginmg botiqligi,
qavariqligi va egilish nuqtalari
funksiya (a;b) intervalda differensiallanuvchi boisin.
U holda y = f ( x ) funksiya grafigining VM(r,/(*)), x e (a, b) nuqtada
у = f (x)
320
urinmasi mavjud boiadi.
2-ta’rif. Agar {a;b ) intervalda y = f ( x ) funksiyaning grafigi unga
intervalning ixtiyoriy nuqtasida o‘tkazilgan urmmadan yuqorida
(pastda) yotsa, funksiya grafigi (a; b) intervalda botiq (qavariq)
deyiladi(l 4-shaki).
Funksiya grafigining
botiq
qismini qavariq qismidan ajratuvchi
У><
M ( c ; f ( c ))
nuqta
fu n k siy a
у = тг '
g r a f i g i n i n g e g i lis h
nuq ta si
deb
botiq,/'
ataladi.
М
5-teoreaia.
Agar
y =f(x )
qavariq
funksiya (a;b) intervalda ikkinchi
А
/(с )
tartibli hosilaga ega va \ f x e ( a ; b )
da f " ( x ) < 0 ( / " ( x ) > 0) bo‘isa, u
о
holda y = f ( x ) funksiya grafigi (a;b)
-shakl.
intervalda qavariq (botiq) boiadi.
Isb o ti. V x e ( a ; b ) da f ( x ) < 0 boisin. Funksiya grafigida x 0 s ( a ; b )
abssissali ixtiyoriy M nuqta olamiz (15-shakl). Funksiyaning grafigi bu
urunmadan pastda yotishini koisatam iz. Bunmg uchun x e ( a ; b ) nuqtada
у = f ( x ) egri chiziqning у ordinatasi bilan urunmaning y m ordinatasini
solishliramiz.
A
Urunma tenglamasi
У„. = f i x 0) + /'(* , 0)(x - x 0).
j j
y=
boigani uchun
У - Уиг. = f i x ) - f i x 0) - / ' 0 „ )(x - x0).
Lagranj
teoremasiga
k o ia
f i x ) - /(*„) = f ( c ) ( x - x ,),
bu yerda
с nuqta
x 0 bilan
x ning orasida
yotadi.
Shu sababli
о
a x„
- Уиг. = f i c)ix - x a) - f ( x a)(x - x0)
yoki
У - y„. = i f i c) - f i x 0)) (x -x 0).
321
x
15-shakl.
f ' ( c ) - f '( x 0) ayirmaga Lagranj teoremasini takror qoilaymiz:
f ’{c)~ f'(xa) = f "( c ,) (x -x 0), bu yerda c, nuqta с bilan x0 ning orasida
yotadi. Demak, у - yur = /•(<?, )(c - x0)(x - *,).
Bu tengsizlikni tekshiramiz:
1) agar x > x a b oisa, u holda x - xa > 0 , с - x0 > 0 boiadi va
f \ c x)< 0;
2) agar x < x 0 b oisa, u holda
x - x 0 < 0 , c - x 0 <0
boiadi va
/'( c ,) < 0 .
Har ikkala holda ham у = /"(c ,)(c - x 0)(x - x0) < 0 , y a iii у < y.ir.
Demak, V xe (a;b) da urunmaning ordinatasi funksiya grafiginmg
ordinatasidan katta boiad i va (a\b) intervalda funksiya grafigi qavariq.
/" ( x) > 0 da funksiya grafigi botiq b oiish i shu kabi isbotlanadi.
Funksiya grafiginmg egilish nuqtasini topish quyidagi teoremalarga
asoslanadi.
6-teorema {egilish nuqta mavjud bo ‘lishining zaruriy sharti). Agar
y = f (x) funksiya (a;b) intervalda uzluksiz ikkinchi tartibli hosilaga ega
va M(x0;/(*„)) nuqta funksiya grafiginmg egilish nuqtasi b oisa, u
holda /"(*„) = 0 boiadi.
Isboti. Teskarisini faraz qilamiz: f ( x 0)^ 0, aniqlik uchun f ( x o)>0;
xQ nuqtaning biror atrofida f ( x ) > 0 b oisin . U holda 5-teoremaga
ko‘ra, funksiya grafigi bu atrofda botiq boiadi. Bu x0 nuqta egilish
nuqtaning abssissasi boiadi mulohazasiga zid. Demak, qilingan faraz
noto‘g‘riva f ( x ) = 0.
f"{x) = 0 boiadigan nuqtalarning hammasi ham funksiya grafigining
egilish nuqtasi boiavermaydi. Masalan, /( x ) = x4 funksiya grafigining
M(0;0) nuqtasi egilish nuqta emas, ammo x = Oda f ’(x) = 12x2 = 0.
Demak, /"(x0) = 0 shart egilish nuqta mavjud boiishining zaruriy
sharti boiadi.
7-teorema (egilish nuqta mavjud boiishining yetarli sharti)
У- f ( x) funksiya x0 nuqtaning biror S atrofida ikkinchi tartibli hosilaga
ega boisin. Agar S atrofhing x0 nuqtadan chap va o‘ng qismiarida
f'\x) hosila har xil ishoraga ega b oisa, u holda
nuqta
funksiya grafigining egilish nuqtasi bo‘ladi.
Isboti. x e (x0 -5 ;x 0)da / " ( x ) > 0 va x e (x0,x0 + S) da f"(x)< 0
b oisin .
U holda 5-teoremaga k o‘ra, xa nuqtadan chapda funksiya
322
gra figi b otiq v a o ‘n gd a qavariq b o ia d i .
M (x 0; / ( x 0)) nuqta
D em a k ,
fu n k siya g ra fig in in g e g ilis h n uq tasi b o ia d i.
x e (jc 0 - S ; x 0) d a f " ( x ) < 0 v a x e ( x 0, x 0 +S) d a f " ( x ) > 0
b o ig a n h o i
uchun teo rem a shu k a b i isb otlanad i.
hoh.
у = f i x ' ) fu n k siy a
x 0 n u q tan in g biror S a tro fid a
ik k in ch i
tartibli h o sila g a e g a b o i i b , u n in g f ( x 0) h o sila si m a v ju d b o im a g a n id a
ham e g ilish n uq taga e g a b o i i s h i m um kin. Shu sab abli e g ilis h nuqtalarni
ikkinchi tartibli h o sila n o lg a ten g b o ig a n y o k i u z ilish g a eg a b o ig a n
nuqtalardan iz la sh kerak b o ia d i.
f \ x ) h o sila si n o lg a te n g b o i g a n y o k i m avju d b o ‘lm a g a n n uq taga
ikkinchi tur kritik nuqta d ey iia d i.
5 - m iso l. y = ^ x , fu n k siy a g ra fig in i b otiq v a q avariq lik ka
tckshiring,
Yechish. D (f) = (-oc;~l) и (-1;!) и (1;°°).
t
1
i ( x ^
x2 +1
y \ \ ^ 7 ) =(Г 7 7 ’
ff
x •+•1 ^ 'Ix^x1+3)
y =l ( T 7 27 J =“( ь ^ 27 " ‘
Ik k in ch i tartibli h o s ila x 2 = 0 n u q tad a n o lg a ten g v a x, = - 1, x, = 1
nuqtalarda m avju d em as.
f ( x ) h o sila n in g ish o ra sin i oraliqlar u su li bilan tekshiram iz:
D em a k ,
fu n k siy a n in g
(-«= ;- 1)
qavariq,
intervallarda
0(O;O)
b otiq
nuq ta
g ra fig in in g
e g ilish
va
grafigi
(—1;0)
va
(!;oo)
intervallarda
( 0 ;1)
b o ia d i .
fu n k siy a
nuqtasi
b o ia d i.
5.4.5, Funksiya grafigining asimptotalari
Egri chi.ziqningasimptot.asi d eb sh u n d ay t o ‘g i i ch iz iq q a a y tila d ik i,
egri ch iz iq d a y o tu v c h i M n u q ta
egri c h iz iq b o ‘y!ab harakat q ilib
k oord inata b osh id an c h e k siz u zo q la sh g a n i sari M nuqtadan bu t o ‘g ‘ri
ch iz iq q a ch a b o ig a n m asofa. n o lg a in tilad i (1 6 -sh a k l).
U ch
m avjud.
turdagi, y a ’n i vertik al,
g o rizo n ta l v a
323
o g ‘m a
asim ptotalar
Agar lim /(x ) yoki lim /(x ) limitlardan hech bo‘lmaganda bittasi
x—>x0 +0
cheksiz (+00 yoki- 00)
boisa,
x = x 0 to‘g ‘ri
chiziq у = /(x )
funksiya grafigining asimptotasi boiadi. Sunday asimptota vertikal
asimptota deb ataladi.
Masalan, /(x ) = -
funksiya
grafigi uchun x = 0 to‘g‘ri
chiziq
vertikal asimptota, chunki lim /(x ) = +oo va lim f(x ) = X— +0
x— —
0
Shunday
qilib,
vertikal
asimptotalami izlash uchun
x ning
unga yaqin qiymatlarida f(x ) funksiya
modul bo‘yicha cheksiz o‘sadigan
x0 qiymatini topish kerak. Odatda, bu
x0 ikkinchi tur uzilish nuqtasi boiadi.
Agar shunday к va b sonlari
mavjud
boiib,
x ->00 (x -» - 00) da
f(x ) funksiya
f ( x ) = kx + b + a(x), lima{x) = 0
y>
у =kx +b/
О
16-shakl.
ko‘rinishda ifodalansa, y = kx + b to‘g‘ri
chiziq y = f(x) funksiya grafigining asimptotasi boiadi.
Sunday
asimptota o g ‘ma asimptota deb ataladi.
8 -teorema. y =f{x ) funksiya grafigi y = kx + b og'm a asimptotaga
v ega boiishi uchun
s
lim
fix )
= к,
lim(f(x )-k x ) =b
boiishi zarur va yetarli.
Isboti. Zarurligi. у = fix ) funksiya grafigi y = kx + b og:ma
asimptotaga ega boisin.
U holda og‘ma asimptotaning taiifig a ko‘ra, y = kx + b + a(x),
lima(x) = 0 boiadi.
Bundan
lim / 0 0 = Umf fc+ * + a W Y к , lim( / (x) - kx) = lim (b - a (x)) = b
kelib chiqadi.
324
f /у-}
Yetarliligi. r-»
lim
--------=к ', *lim(f(x)~
kx) =b boisin.
-i-oe
-»+«>
U h o ld a Jim{ / { x ) - k x ) - b dan f ( x ) ~ k x = b + cc(x). lim a ( x ) = 0 k elib
Х--У+ОЭ
'
chiqadi. Demak,
f (x)
x —>-KQ
= kx +b +a ( x ) boiadi. Bu esa y = kx +b to‘g‘ri
chiziq /(x ) funksiya grafiginmg asimptotasi ekanini bildiradi.
Agar l i m ^ - s l i m ( f ( x ) - k x ) limitlardan hech boimaganda bittasi
JC-»-e30
Y
r->+CO
mavjud boim asa yoki cheksiz boisa, / ( x) funksiya grafigi og‘ma
asimptotaga ega boim aydi.
Agar к - 0 boisa, b = \ \ m f ( x ) boiadi. Bunda y = b to‘g‘ri
chiziqqa /(x) funksiya g r a f i g i n i n g g o r i z o n t a l a s i m p t o t a s i deyiladi.
h oh. у = f ( x ) funksiya grafigining asimptotaiari х->-юс da va
jc-> - oo
da har
xil
boiishi
mumkin.
Shu
sababli
lim--—- ,
lim(/(jc ) - k x ) limitlarni aniqlashda x-^+oo va x -> -да hollarini alohida
qarash lozim.
x1-3
J- m isol. у = ----- - funksiya grafiginmg asimptotalarini toping.
x
Y echish. lim —— —= —oo,
lim —— —= +oo.
X
*->0+
x->0-
X
Demak, x = Q to‘g‘ri chiziq vertikal asimptota.
A= lim ^ ^ = lim ^ - ^ = 1 ,
*-M“ x
*->«> x"
b = lim [ / ( x ) - kx\ = lim I —— ——x 1 = lim —- = 0 ,
r-**o
x
j
x
i r f (x) r
x 2- 3
&
= hm----- = hm —
-— = 1,
I~>"“
b=
x
i-»-»
x
lim \ f (x) - Ax] = iimf-————x i = lim —- = 0
x
J *->-* x
B undan
= kx +b = x.
to ‘g‘ri chiziq og‘maasimptota.
у
Demak,
y -x
325
5,4,6. Funksiyani tekshirish va grafigini
chizishnmg umurniy sxemasi
Funksiyani tekshirish va grafigini chizish m aium tartibda (sxema
asosida) bajariladi. Shunday sxemalardan birini keltiramiz.
Г. Funksiyaning aniqianish sohasini topish.
2". Funksiya grafigining koordinata o‘qlari bilan kesishadigan
nuqtalarini (agar ular mavjud b o isa) aniqiash.
3°. Funksiyaning ishorasi o‘zgarmaydigan oraiiqiami (f(x)> 0 yoki
f(x ) < 0 boiadigan oraiiqiami) aniqiash.
4". Funksiyaning juft-toqligini tekshirish.
5°, Funksiya grafigining asimptotalarini topish.
6°.
Funksiyaning
monotonlik
oraliqlarini
aniqiash
va
ekstremum larini topish.
T . Funksiyaning qavariqlik va botiqlik oraliqlarini harnda egilish
nuqtalarini aniqiash.
8”. Г —7° bandlardagi tekshirishlar asosida funksiyaning grafigini
chizish.
Funksiya grafigini chizish uchun keltirilgan sxemanmg hamma
bandlari, albatta, bajarilishi shart emas. Soddaroq hollarda keltirilgan
bandlardan ayrimlarini, masalan l \ 2 \ 6 °ni bajarish yetarli boiadi. Agar
funksiya grafigi juda tushunarli boim asa l° -7 ° bandlardan keyin
funksiyaning davriyligini tekshirish, funksiyaning bir nechta qo‘sbimcha
nuqtalarini topish va funksiyaning boshqa xususiyatlarini aniqiash
, ,Ьо‘у 1сЬа qo‘shimcha tekshirishlar oikazish mumkin.
%
х г _|_ ]
7- misol. у = —— funksiyani tekshiring va grafigini chizing,
Yechish. Г. Funksiyaning aniqianish sohasi:
£>(/) = (-»;-!) и (—l;l) u (i;+°o).
2°. x = 0 da y =- 1 boiadi. Funksiya Oy o£qini (0;-l) nuqtada
kesadi. y * 0 boigani uchun funksiya Ox o‘qini kesmaydi.
3°. Funksiya (-°o;-i) va (l;+=o) intervallarda musbat ishorali va
(-l;i) intervalda manfiy ishorali.
4°. Funksiya uchun x e D ( f ) da f ( - x ) = j \ x ) boiadi,
Demak, u juft.
326
г.
X +1
X ~г1
5 . lira —----- = +со,
xi _ j
Jim —----- = -oo,
*-*-)+» _ i
x2+ l
hm —-----= -oo,
x ’ +l
hm —------= +oo.
-1
■1
Demak, x = - l va x = ] to ‘g‘ri chiziqlar vertikal asimptotalar boiadi.
x 2 +1
= 0(x
к = lim
*-*+» x (x —1)
-> +oo da hamx -» -oo da ham к = 0 ),
b = lim
X +1
x"2~ i
- 0 -x = 1.
Demak, y = l to‘g‘ri chiziq x -» + o o da hamx~-»-<x> da ham
gorizontal asimptota boiadi.
6°. Funksiyaning monotonlik oraliqlarini aniqlaymiz va
ekstremumlarini topamiz.
, _ 2 x(x2 - 1) - 2x(x2 + 1)
^ ~
:
4x
(x2 - l У
Birinchi tartibli hosila x = - l va
x = 1 da mavjud emas va x = 0 da
nolga teng. Bu nuqtalar berilgan
funksiyaning aniqianish sohasini
to itta
(-»;-l), (—1;0), (0;1), (l;+=o)
intervaSlarga ajratadi. Hosilaning bu
intervallardagi va, har bir birinchi tur ~ —
kritik nuqtadan chapdan o‘ngga _
oiishdagi
ishoralarini
chizmada
belgilaymiz:
+
+
.... --*1
Demak, funksiya (-°o;-l) va
17-shakl.
(—1;0) intervallarda o‘sadi, (0 ;1) va
(l;+oc) intervallarda kainayadi, x = 0 maksimum nuqta, ymf = / ( 0) =
327
X
Funksiyaning qavariqlik va botiqiik oraliqlarini hamda egilish
nuqtalarini aniqlaymiz.
T.
(x 2 - 1)2 - x ■2(x 2 - 1 ) • 2x
4
-------------------------- ( 7
^
7
4(1+ 3x2)
----------------------------
Ikkinchi tartibli hosila x, = -1 va x} - 1 nuqtalarda mavjud emas.
y"
hosilaning (- 00; - 1),
(1;+°°) intervaliardagi ishoralarini
tekshiramiz:
Demak, funksiyaning grafigi
^
^
(—1;1) intervalda qavariq, (- 00;-!) va — - —4 — --------------------- *(l;+oo)
in tervallard a
b o tiq
.
b o ‘ladi.
-
1
1
x
Funksiya grafiginmg egilish nuqtasi yo'q.
8°. 1° - V
bandlar a so sid a fu n k siy a g ra fig in i c h iz a m iz
X
8 - m iso l. у = - — —
•
.
fu n k siy a n i tek sh irm g
Yechish. Misolni Maple paketida bajaramiz.
> with(plots) :
> restart :
> readlib(extrema) :
>
>
Km f;
lim f;
X —> OO
OO
>
lim /;
328
_
(17-shakl).
va g ra fig in i ch zm g .
> JisVo(/-* );
> g ■= x — 2 ;
g:=x —2
> solve.({f = 0 },x):
{* = ()}, {x = 0 }, {x = 0 }
> s o lv e ({ f>
},x );
0
[0 < x}
> ,so/ve{{f <
},x);
0
{x <
< x, x <
0
}
L f
d:s:
3*2
2 .г
(x+l )2
(л + 1.)3
{x = -3}, {x = 0}, {x = 0}
> extrem a(f { }, {x},V); s;
l« -fl
;{x = -3 } , {x = o } }
{x < -3}, { -1 < x ,x <
(
> solve \ -7 - f <
ax
0 1
0
}, {0 < x]
, x 1;
[ - 3 < x ,x < - 1}
st
dr
x
12 X 2
( x + l )2
( x - f l )3
6
> simplify(
6 .x 3
(x +■ 1)4
-U0
};
6x
18-shakl.
(x+ 1)
329
f= 0
> solve]
{x = 0}
> solve]
{О < x }
> solveI, T 7 f < °
v l dr
{дс < -1}, {-■! < x ,x < 0}
pi°t{[f(x)>g{x)i [-1, £= -10 ..10] ],.*—-8..5,--10 ..6, color
—[red, blue, green], linestyle—[ 1,6, 6], thickness —2, disconl
= true, #/•«*=[so, so]);
5 .4 .7 . M a s h q la r
1.
Funksiyalaming monotoniik intervallarini va ekstremumiarini toping:
1) /( л ) = x3 - 9x2 + I5x;
2) f(xy**Y~Y~lx'
4) /( * ) =
3 )
/ W
=
-4 ^
;
4x
x 2 - t'
5) /(x ) =W l-Jc2;
6) / (x) = s V ? - x 2;
7) f ( x ) = xe~x;
8) /( x ) = cA2x;
10) /<*) = -± -;
9) /( x ) = ln(x 2 +l);
1 1
) /( x ) = x - 2 sinx,
lax
0
12) /(x ) = x + 2 cos2x, 0 <х<тг.
< х < 2 я-;
2.
Funksiyalaming
qiymatlarini toping:
berilgan
kesmadagi eng katta va eng kichik
1) /( x ) = x3- 3x, [0;2];
2) f ( x ) = x 3+ 3x2-9x-10, [-4;0];
3) /( x ) = x + cos2x,
4) /(x ) = xJlnx, [l;e].
0; - ;
L 3j
3. Jism 5 = 21н-3г2- г qonun bilan harakatlanmoqda. Jismnmg eng
katta tezligini toping.
4. Ko:ndalang kesimi to‘g ‘ri to‘rtburchakdan iborat to‘simiing bukilishga
qarshiligi ko'ndalang kesimning eni bilan bo‘yi kvadratining ko‘pavtmasiga
proporsional. D diametrli xodadan kesilgan to‘sinning bukilishga qarshiligi eng
katta bo‘lishi uchun to‘sinning o ‘!chamlari qanday bo‘lishi kerak?
330
5.
Uzimligi / gateng simdan to‘g ‘ri to‘rtburchak yasalgan. To‘g ‘ri
lo' rtburchakning yuzasi eng katta b o iish i uchun uning o ‘lchamlari qanday b o iish i
korak?
X
V
16
9
6 . — + —-=1 eilipsga to‘g ‘ri
to ‘rtburchak icliki chizilgan. To‘g ‘ri
in‘rtburchakning mumkin b oigan eng katta yuzasini toping.
7. R radiusli sharga yon sirti eng katta b oigan silindr ichki
i lii/.ilgan. Silmdrning balandiigi qanday b o‘1ishi kerak?
8 . SiliEdming hajmi V ga teng. Eng
boigan silindming baiandligini toping?
kichik to‘la sirtga ega
9.
Kemada y o q ilg i sarfi uning tezligining kubiga proporsional b o iib , u 20
km/soat teziikda soatiga 40 so ‘.m sarflaydi. Kemaning boshqa xarajatlari soatiga
270 so in n i tashkii qiladi. Kemaning 1 km. y o i uchun umurniy xarajati eng
kam b o iish i uchun uning tezligi qanday b o iish i kerak?
10. A zavoddan В shahar orqali o ‘tuvchi temir yo ig a ch a b o ig a n qisqa
masofa a km. Agar yuk tashish narxi avtomobil y o iid a temir yoid agiga
qaraganida ikki baravar kam b o isa , yukni A zavoddan В shaharga eng arzon
yelkazish uchun A zavoddan avtomohii y o i i temir y o ig a qanday burchak
o ‘tkazilishi kerak?
11. Funksiyalar grafigining botiqlik-qavariqlik intervallarini va egilish
nuqtalarini toping:
I) J \ x ) = Л-4 - 4 x } + 6x ;
2 ) f i x ) = ( x - 5 f + 4 x~ 13;
3) /(* ) = 2x - 3 \ [ 7 ;
4) /( * ) = \ + \ J ^ 3 ) 5;
5) /(х ) = 7,-- 1п(1+ .т);
6) /(л-) = in(l + x2);
8) /( x ) = x 3- -
7) f i x ) =
X
12. Funksiyalar grafigining asimptotalarini toping:
3) f( x ) = \fx* ~3x;
4) / (x) = - xarctgx;
5) /(* ) = —
x +2
7) / ( x >=3jc- —
X
331
13. Funksiyalami tekshiring va grafigini chizing:
1) f ( x ) = x - x l \
2) /( x ) = jc3 -3 x + 2 ;
3 )/(* )= ^ ;
4 ) / W = T^ r ;
5) /(*) = *+-;
6) /(* )= * --;
7)/(*)=jc~L;
*
8)/(*)=—A
3 2.1-
JC
X
5.5. H O S I L A N I N G G E O M E T R IK T A T B IQ L A R I
5.5.1. Yassi egri chiziq yoyining differensiali
[а;й] kesmada differensiallanuvchi y = f(x ) funksiya berilgan va
uning grafigi AB yoydan iborat boisin (19-shakl). [a;b] kesmani
x„x2,...,xn_, nuqtalar bilan n ta boiakka boiam iz. Bu nuqtalarga
AB yoyning М„М2,...,Мп_1 nuqtalari mos keladi va uiarni siniq chiziq
bilan tutashtiramiz. Bu siniq chiziqqa AB yoyga ichki, chizilgan
siniq chiziq deyiladi. Siniq chiziqning perimetrim sa bilan belgilaymiz.
ya’ni
а . = В М ^ \ ( М л=А, МЯ=В).
MHM bo‘g‘inlardan eng kattasining uzunligini A, bilan
’ ' belgilaymiz, bunda M mM, bo‘g in lar soni cheksiz ortganida, ya’ni
н —>oo da A. —
>0 .
A3 yoyga ichki chizilgan siniq chiziq perimetrining I, -> 0 dagi
chekli limiti М.„Мг,■■■№„-, nuqtalami tanlash usuliga bogiiq boim agan
holda mavjud boisa, bu limitga chiziq yoyining uzunligi deyiladi.
Yoy uzunligini s bilan belgilab, topamiz:
n
5 = lim 5п = limYj
M 1 1,M. | .
А-*-0
Yoy uzunligini uning biror nuqtasidan, masalan, A nuqtadan
hisoblaymiz.
M(x;y) nuqtada
AM yoy
uzunligi s ga, M \x + Ax;y + Ay)
nuqtada AM' yoy uzunligi .v+ As ga teng b o ‘lsin,
bu yerda
332
As -м м '
yov uzunligi (20 -shakl).
MNM' uchburchakdan MM' uzunlikni topamiz:
MM' = -JAx2 + Ay1.
Geometrik mulohazalardan
,•
MM'- = 1I,
lim
и'~ш ММ'
iAx
km ............ — = l
л*->0yjAx2+ Ay2
kelib chiqadi, ya’ni chiziqning cheksiz kichik yoyi va unga tortilgan
to‘g‘ri chiziq ekvivalent boiadi. Ushbu ekvivalentlikni hisobga
olib, MM' uzunlikni ifodalovchi formulada almashtirish bajaramiz:
MM' As
As
Ax
■ Ш
-
Oxirgi tenglikda limitga o'tib, s = s(x) funksiyaning hosilasi uchun
formula topamiz:
dx
\d x )
( 5 .i)
.
Bundan
ds = -Jdx1 + dy2.
(5.2)
(5.1)
formula yassi egri chiziq yoyi differensialini ifodalaydi va
ushbu geom.etrik m.a’nog& ega: yoy differensialini chiziq urinmasining
tegishii kesmasi bilan. ifodalash mumkin (20-shaklda MT kesma).
»b
A
/ i
\
!
1 ..."
1
i
!
1
a
x
|
i
!
|
x +Ax
b
20-shakl.
333
x
Agar egri chiziq x= x(t),y= y(t),teT parametrik tenglamaiar bilan
berilgan boisa, dx =x'(t)dt, dy =y\t)dt boiadi va (5.2) ifoda ushbu
koiinishni oladi:
ds = -yjx'(t)2 + y'(t)2dt.
(5.3)
Agar egri chiziq qutb koordinatalarida r = r(np) tenglama bilan
berilgan boisa, x = rcos<p>y = rsmq> ifodalarni q> parametrli tenglamaiar
deb, topamiz:
dx
dr
dq>
dq>
.
— = — co scp-rsm cp,
( dx )
dy
dr .
dtp
dq>
— = — s m p + rcosip,
( dy}
+ {dq>)
,
( dr \
J
~ Г + {dq> ’
j d(p.
(5.4)
5.5.2. Yassi egri chraqaing egriligi
Egrilik
Egri chiziq shaklini xarakterlovchi elementlardan biri uning
egilganlik darajasidir.
0 ‘z-o‘zini kesib oimaydigan va har bir
nuqtasida tayin urinmaga ega boigan yassi
egri chiziqni qaraymiz. Egri chiziqda ikkita
A va В nuqtalarni olaraiz. Bu nuqtalarda
egri chiziqqa oikazilgan urinmalar orasidagi
burchakni Aa bilan belgilaymiz (21-shakl).
Aa burchakka AB yoyning qo ‘shnilik
burchagi deyiiadi.
Bir xil uzunlikka ega ikkita yoydan
qo‘shnilik burchagi katta boigani ko‘proq
egilgan boiadi. Har xil uzunlikka ega
yoylarning egilganlik darajasini qo‘shnilik
burchagi orqali baholab boim aydi. Bunda AB yoy uzunligida
Aa burchakning o‘rtacha qancha ulushi to‘g‘ri kelishi muhirn
hisoblanadi.
334
AH
y o y n in g
liurchagining A B
aytiladi:
o 'r ta c h a
yoy
deb, tegishli qo‘shnilik
nisbatining absolut qiymatiga
e g r ilig i
uzunligiga
(5.5)
"
As
Bitta egri chiziqning turli qismlarida o‘rtacha egrillik har xil bo‘lishi
mumkin.
Egri chiziqning bevosita A nuqtadagi egilganlik darajasini baholash
uchun egri chiziqning berilgan nuqtadagi egriligi tushunchasini
kiritamiz.
Berilgan egri c h iz iq n in g A n u q t a d a g i e g r ilig i d eb A B y o y o‘rtacha
cg r ilig in in g B - > A d a g i ( s -> O dagi) lim itig a aytiladi:
К = lim
Aa
As
К = Iim
Aa
\
(5.6)
As
A a burchak urunish nuqtasi egri chiziq yoyi bo‘yiab A s masofaga
ko‘chishida
urinmaning
burilish
burchagini ifodalaydi. Shu sababli egri
chiziqning egriligiga quyidagicha ta’rif
bersa ham bo ladi: egri chiziqning /
/
\\ /
egriligi bu - urinish nuqtasi egri chiziq (
о \ ) A« ! / \
bo'ylab
harakatlanganida
urinma \
4
' / 'A
aylanishinmg burchak tezligidir.
\
\
/
Misol uchun to‘g‘ri chiziq va
4x
^ В
aylananing o'rtacha egriligi va egriligini
"' *..
/V
22 -shakl.
topaylik.
1. To‘g‘ri chiziqning istalgan
nuqtasiga o‘tkazilgan urinma to ‘g‘ri chiziqning o‘zi bilan. ustma-ust
lushadi. Shu sababli Aa = 0, uning ixtiyoriy nuqtasida o‘rtacha egrilik va
cgrilik nolga teng boiadi.
2. Aylana uchun Aa qo‘shnilik burchagi uning O A v a OB radiuslari
orasidagi burchakka, A B yoy uzunligi As = R A a ga teng bo‘ladi, bu
yerda R - aylana radiusi (22-shakl).
U holda
„
Aa
1
K ., = ------- = —,
RAa
R
I
К ——,
R
ya’ni aylananing egriligi o‘zgarmaydi va radiusining teskarisiga teng
bo‘ladi.
335
Uzluksiz ikkinchi tartibli hosilaga ega y =f ( x ) funksiya bilan
aniqlanuvchi yassi
egri chiziqning
M ( x ; y ) nuqtadagi egriligini hisoblaymiz.
Egri chiziqqa M(x;y) va М,(х + Ax;y + Ay)
nuqtalarda
urinma
oikazamiz,
urinmaiarning o g ish burchaklarini a va
/
a + Aa bilan belgilaymiz (23-shakl).
J ? !
MMl У°Уёа rnos keluvchi qo‘shnilik
'
A
У \ а j Va + Aa
burchagi A aga teng (qavariq yoy uchun
о
Aa <0, botiq yoy uchun Aa >0 ).
a = a(x)va s = s(j£> boigani uchun
23-shakl.
da
Aa
К = lira
&y->0 As
jd a
dx
ds
\ ds
(5.7)
dx
lga = y , va demak, a=arctgy' boiadi. Bu tenglikni differensiallab,
topamiz:
da _ y"
dx 1 + У
(5.8)
(5.8)
va (5.1) ifodalarni (5.7) tenglamaga qo‘yib, y = f(x ) egri
chiziqning M ( x : y ) nuqtadagi egriligini topish formulasini hosil qilamiz:
K=
i v"l
.
(5.9)
( 1 + У 2) 2
Agar egri chiziq x = x ( t ) , y = y ( t ) , t s T parametrik tenglamaiar bilan
berilgan boisa,
v' = Zl v- ..4 ' - 4 '
УX
f9 У
3
(х?+у?У
boiadi va (5.9) formula ushbu ko‘rinishni oladi:
W - x y , \
(*,* + y ? f
(5.10)
A gar egri ch iz iq
qutb k oord inatalarida r = r{q>) te n g la m a bilan
berilgan b o l s a , x - r c o s y , y=-rsmq> ifo d a la m i <p p aram etrli ten g la m a la r
deb, topam iz:
i v2 “Ь2r 2 —гг" I
(5.11)
K = ^ — —---- -P-.
(r’2 + r 2y
1 - m i s o l y = - x 3 egri c h iz iq n in g x = - n u q tasid agi e g r iiig in i to p in g .
topamiz: y ' = - 3 x \ y ’ - - 6 x .
Y echish. H o sila la m i
H o sila la rn in g
jc = ~ nuqtadagi q iym atlarini h iso b la y m iz:
,
У
3
,
У =-3.
4
U holda
к _
l - з |_______ _
~ (
f
3
V
V
rb jj
2 - m is o l.
x = t 1,y = -2 t1
egri
“
J
_
=
m
] 2 5 ' 1 2 5 -
64
ch iz iq n in g
/=1
param etrga
m os
x ’(t) = 2t, x ”(t) = 2, y'(t) = 6 t1, y v(t) = 12t h o sila la rn in g
q iy -
n u q tasid agi e g r ilig in i topin g.
Y ech ish .
f = l da top am iz: x' = 2, x" = 2, y ' = 6, y " = 12 .
Bundan
12-12 —2-61
3
K=
(2 2+ 62)3'2 20лЯ0
rnatiarini
Egrilik mdiusi, markazi va aylanasi, evolyuta, evolventa
Chiziqning berilgan M nuqtadagi egriligi К ga teskari R miqdorga
shu chiziqning qaralayotgan nuqtadagi
м
egrilik radiusi deyiladi:
Egri chiziqning А/nuqtadagi normaliga egri chiziqning botiqligi
yo‘nalishida M C = R kesmani qo‘yamiz (24-shakl).
С nuqtaga berilgan egri chiziqning M nuqtadagi egrilik markazi
deyiiadi.
Markazi С nuqtada bo‘lgan R radiusli aylana berilgan egri
chiziqning M nuqtadagi egrilik aylanasi deb ataladi (24-shakl).
Egrilik aylanasining bu ta’rifidan berilgan M nuqtada egri
chiziqning egriligi va egrilik aylanasining egriligi bir-biriga teng boiishi
kelib chiqadi.
Egrilik markazining koordinatalarini « va p bilan belgilab, ulami
hisoblash uchun formulalar chiqaramiz.
у = f(x )
egri chiziqqa M ( x ; y ) nuqtada o‘tkaziigan normal
tenglamasini tuzamiz:
Y - y = - l ( X - x),
(5.14)
V
bu yerda X ,Y -normalning o‘zgaruvchi koordinatalari.
С(а;,в) nuqta normalga tegishii bolgani
koordinatalari (5.14) tenglamani qanoatlantiradi:
uchun
P - y =- ~ { a - x ) .
uning
(5.15)
У
nuqta M ( x ; y ) nuqtadan egrilik radiusi R ga teng masofada
yotadi, shu sababli
C(a;P)
(5.16)
( a - x f + i p - y f = R 2.
(5.15) va (5.16) tenglamalami birgaiikda yechib, « va p lami
topamiz:
a =x ±~rL =
R,
(5.17)
n = y + - TJ = R .
Bu formulalarga (5.13) tenglikdan R ni qo‘yamiz:
авх±* * + п ,
I /
p= y*
I
p
i
i
/
!
±
y
(5.18)
7
Bu formulalarda qaysi ishoralar olinishini aniqlashtirish uchun
> 0 va у" <0 boigan hollar alohida qaraladi. Bunda / > 0 boisa,
mos nuqtada egri chiziq botiq va p > у boiadi. Shu sababli bunda quyi
у"
338
ishoralar olinadi, ya’ni egrilik markazining koordinatalari
a = x _ / (1+p ;
I J
(5-19)
/З = у + Щ 1
I
i.v
1
lormulalar bilan aniqlanadi. Bu formulalar>>" < 0 bo‘lganida ham o‘rinli
ho" ladi.
Agar egri chiziq x = x(t),у = y(t),l e T parametrik tenglamalar bilan
berilgan bo£Isa, (5.19) ifoda ushbu ko‘rinishni oladi:
/» - ,+ * £ * ? •
xy - x y
xy - x y
(5 .2 0 )
3-misol. r = 3(1+cos p) kardioidaning istalgan nuqtasida
ladiusini toping.
Yechish. Hosilalami topamiz: r '= -3sin <p, r"--3cos<p.
egrilik
U holda
^
1_
( r 2 + r ' 2f
| r 2 + 2 r ’1 —rr" \
К
3
(9(1 + 2 cos ^>+ c o s 2 #>) + 9 sin 2 (p)1
_
j9(1 + 2 cos (p + cos 2(p) + 1 8 sin 2<p+ 9(cos (p + cos 2cp) \
27(1 + 2 cos q>+ co s 2<p + sin 2(p) 2
9 11 + 2 cos ip + cos 2 <p + 2 sin 2 (p + co s<p + cos 2(p j
3
3(2(1 + co s ®))2
J
.
m
=
--------- — — = 2(2(1 + cos (p)2 = 4 co s— .
3(1 + cos <p)
2
E g ri
d ey ilad i.
ch iz iq n in g
barcha
eg r ilik
m arkazlari t o ‘p la m ig a
ev o ly u ta
B erilgan ch iz iq o 'z e v o ly u ta sig a nisbatan e v o l v e n t a (y o k i y o y i l m d )
deb yu ritilad i.
A gar egri ch iz iq y = f ( x )
ten g la m a b ilan b erilg a n b o ‘lsa, ( 5 .1 9 )
ten glam an i u n in g e v o ly u ta si u ch un param etrik
(x param etrli) ten g la m a
deb qarash m um kin.
E gri c h iz iq param etrik ten g la m a la r b ilan b erilgan h o id a ( 5 .2 0 )
ten glam a e v o ly u ta n in g param etrik ten glam alarin i ( bu te n g la m a ia m in g
o ‘ng to m o n ig a k iru vch i kattaliklar t param etrga b o g ‘liq b o ‘la d i)
i fodalaydi.
339
4-misol. у = x2 parabola evolyutasi tenglamasini toping.
Yechish, Hosilalami topamiz: y' = 2x, y" = 2.
Egrilik markazining koordinatalarini aniqlaymiz:
2x(] + 4x2)
, 3
a = x ----- —--------- = —4 x .
2
B -x
2 1+4хг
6хг+1
+ --------- = ---------- .
2
2
Bu tenglamalami y = x 2 parabola evolyutasining parametrik
tenglamalari deb qarash mumkin. Tenglamadan x parametmi chiqarib,
topamiz:
« ■ =27^\ 0 - 24JBu tengiama yarim kubik parabola tenglamasi boiadi,
5.53. Skalyar argum entning vektor funksiyasi
Fazodagi egri chiziqning parametrik tenglamalari
Egri chiziq tekislikdagi kabi fazoda ham parametrik tenglamaiar
bilan berilishi mumkin.
Z.
t argumentning bir xil aniqianish sohasiga
ega boigan uchta funksiyasini qaraymiz:
x = x(t),
(5.21)
y= y (t),
- 4- ,
i
'C'
i
z = z(i), teT .
-4~-.
Bunda t e T ning har bir qiymatiga tayin
M
x,y,z qiymatlar va fazoviy M(x;y;z ) nuqta
A
°JU.—
у
mos keiadi. t o‘zgarishi bilan M nuqta fazoda
N
biror у egri chiziqni chizadi. Bunda *
25-shakL
egri chiziq (5.21 ) parametrik
tenglamaiar bilan berilgan va t ga parametr deymiz.
Biz, fazodagi to‘g ‘ri chiziqning quyidagi parametrik tenglamalari
bilan awaldan tanishmiz:
x = x0+ pt,
У = Уо+Ч*>
z = z n+rt, t e R .
340
Yana bitta misol keltiramiz. Ushbu parametrik tenglamalar bilan
lu rilgan egri chiziqni qaraymiz:
fx = acost,
• y= a sin t,
i = Ы.
I’-ii egri chiziqqa vint chizig'i deyiladi (25-shakl).
t parametming istalgan qiymatida:
x2+y2= a 2(cos 21+ sin 2t} = a2,
Du tenglik vint chizig‘ining x2+y2 = a2 silindrda joylashishini bildiradi.
Itundan, M nuqta vint chizig‘i bo‘y!ab harakatlanganida lining Oxy
lekisligidagi proeksiyasi r&diusi a ga teng aylanada harakatlanishi kelib
cliiqadi, bunda t parametr N nuqtaning qutb burehags bo‘ladi. t
piimmetr 2% ga o‘sganida N nuqta aylanani to‘liq avlanib o‘tadi, vint
cbi/,igl M nuqtasi ning 2 applikatasi esa h = 2nb kattaiikka o‘zgaradi.
IIn kattaiikka vint chizigining qadami deyiladi.
Skalyar argumentning vektor funksiyasi
Fazodagi egri chiziq (5.21) parametrik tenglamalar! bilan berilgan
bolsin. Bunda x(f), y(t), 2(t) funksiyalaming aniqlanish sohasi T ga
Icgishli har bir t parametrga biror M (x,y,z) nuqta, har bir M nuqtaga
(•sa boshi koordinata boshida va oxiri M nuqtada bolgan r = OM
mdius vektor rnos keladi (26-shakl). Bu vektoming koordinata
o'qlaridagi proeksiyalari M nuqtaning koordinatalari boiadi va shu
s.'ibabli vektor (5.21) formulaiar bilan aniqlanadi.
Shunday qilib, t s T parametming har bir qiymatiga biror
r = x(t)i + y(t) j + z(i)k
(5.22)
vektor mas keladi. Bu vektorni t skalyar argumentning vektor funksiyasi
{yoki vektor funksiya) deb ataymiz va f{i) bilan belgilaymiz.
7(1) radius vektoming oxiri chizadigan L chiziqqa r(t) vektoming
godografi deyiladi.
r(i) vektor funksiyaning berilishi uchta skalyar funksiyalaming
bcrilishiga teng kuchli, uning koordina o‘qlaridagi proeksiyalari
v(/), y(f), z(t) boiadi.
Vektor funksiya uchun limit, uzluksizlik va hosila tushunchalarini
kiritamiz.
341
1-ta’rif.
Agar
Iimx(*) = jc0,
lim y(t) = yQ,
t- * tо
t-> t0
lim z(t) = z 0
t-* f0
boisa,
r0 = x0i + y j +zjk vektorga r=x(t)i +y(t)j+z(t)k vektor funksiyanmg
t t0 dagi limiti deyiiadi va limr(?) = r0 deb yoziladi.
t~>ln
r(t) vektor funksiya t = ta da va t0 nuqtani o‘z ichiga olgan biror
intervalda aniqlangan boisin.
2-ta’rif. Agar t0 nuqtada limr
(0 = r(r0) bo isa, r(f) vektor funksiya
1-*
.'0
t0
nuqtada u z lu k siz deyiiadi.
r(t) =x(t)i + y(l)j + z(t)k vektor funksiya M (x,y,z) nuqtaning radius
vektori, ya’ni r=OM b o isin (27-shakl). t parametrning o‘zgarishi
bilan M nuqta L godografni chizadi. Parametrning tanlangan tayin t
qiymatiga M nuqta va r ( t) vektor mos kelsin.
Perimetming boshqa t+At qiymatini olamiz. Unga Mi nuqta va
r(t + At) vektor mos keiadi. f(t + At) = OM, va r(t)~-GM vektorlarning
ayinnasi Ar = MM, vektorni qaraymiz:
Af = r (t + At) - r(t).
Uni f(t) vektoming t nuqtadagi orttirmasi deymiz.
Ar
.
1
— nisbat AF vektorga kollinear, chunki — skalyar ko‘pavtuvch i.
Аг
Ar
3-ta’rif. Ar vektor funksiya orttirmasming argumentning mos At
orttirmasiga nisbatining A? —>0 dagi limitiga r( t) vektor funksiyaning t
nuqtadagi t skalyar argument bo ‘y icha hosilasi deyiiadi va F'(0 yoki
kabi belgilanadi.
342
Shunday qilib,
/ ( 0 = ^ ) = !im^ .
dt
(5.23)
v
*-*> dt
Limit ta’rifiga ko‘ra, r'(0 ~ vektor.
F(0 funksiya faosilasini
uning
proeksiyalari bilan boglaymiz.
koordinatalar
o‘qlaridagi
r(t) = x(t)i +y(t)j +z(t)k
va
r ( t + Д?) = x ( i -f At) i + y{t + A?) j + z ( t + At) k
boigani uchun
A? = r ( t + A t) - r (t) = (x(t + AO - x(t))i + (y ( t + At) - v (0 ) j + (z (t + AO ~ z (0 )^
yoki
Ar = Ax i + Ayj + Azk .
Shunday qiiib,
Ar Ax - Ду ~ Az -•
— = — i +— j + — k.
At
At
At
At
Bundan
. .. Af
.. A x~ ... A y - .. Az T
r (0 = lim — = lm i— i 4-iim — i +hm — к =
а д г
л«о Д
I
<v->o
лмо д ?
- x \ t ) i + y ' ( t ) j + z '( t) k .
Demak,
F'(0 = x'(t)i + / ( 0 7 + z'(t)k .
(5.24)
(5.24)
ifodadan vektor funksiyani differensiailash qoidalari hamda
vektor funksiya hosilasining geometrik va mexanik m a’nolari
differensial hisobning asosiy differensiailash qoidalariga hamda
hosilaning geometrik va mexanik ma’nolariga o‘xshash bolishligi kelib
chiqadi.
2.
F'(t) vektor r(t) radius vektor godografiga t parametming o‘sish
yo‘naiishida olkazilgan urinma bo‘ylab yo‘nalgan boiadi (27-shaki)
(■vektor funksiya hosilasining geometrik та ’nosi).
343
3.
Vektor funksiyaning t vaqt bo‘yicha r'(t) hosilasi moddiy
nuqtaning t ondagi harakati tezligi v(t) ga teng (v e k t o r f u n k s i y a
h o s i l a s i n i n g m e x a n i k т а ’n o si).
1. Skalyar argumenfnmg
im m g
2Г\ — = u, c’- o zgarmas veKtor;
dt
- + r — , X = X (t)-t
argumentning skalyar fimksiyasi;
(5.24)
ifoda va keltirilgan o‘xshashliklar asosida fazodagi egri
chiziqning urinmasi, normal tekisligi, yoyining differensiali va egriligi
uchun quyidagi tenglamaiar keltirib chiqariladi.
1.
(5.21) parametrik tenglamaiar bilan berilgan fazodagi egri
chiziqqa parametrning t = t0 qiymatigamos M 0(x0; y c:z0) nuqtasida
o‘tkazilgan urinma (to‘g‘ri chiziq)
X ~ X0 _ У ~ Л _ z ~ zo
x% )
y% )
z\Q
(5.25)
tenglama bilan aniqlanadi.
2.
Fazodagi egri chiziq urinish nuqtasida urinmaga pei'pendikular
o'tkazilgan tekislikka e g r i c h i z i q q a о ‘t k a z ilg a n n o r m a l te k is lik deyiiadi.
Urinish nuqtasi М д(х0; у 0;г0) bo‘lgan normal tekislik
x'(t0)(x - x a) + y'(t0) ( y - y a) + z ' ( t j ( z - z0) = 0
(5.26)
tenglama bilan ifodalanadi.
3. Fazoviy egri chiziq yoyining differensiali
ds = д/х'(0 2 + У ( 0 2 + z ' ( t f ^
form u la b ilan topiladi.
344
(5.27)
4. Fazodagi egri chiziqning egriligi
к = Viy'z”- y"z' f + (x'2'’- x”z')2+ ( * '/ - ХУУ
(5 28)
(x n + y ' 2+ z n y
lormula bilan aniqlanadi.
5-misol.
egri chiziqqa t = - 1 parametrga mos
x = f , y = t 2, z = t
nuqtada o‘tkazilgan urinma va normal tekislik tenglamalarini toping:
Yechish. Urinish nuqtasining koordinatalarini topamiz:
x = - 1, y = 1, z = - l .
Hosilalami topamiz va ulaming urinish nuqtasidagi qiymatlarini
hisoblaymiz:
x'(t) = 3t2, y'(t) = 2t, z'(t) = 1;
x '( - l) = 3, y \ - 1) = - 2 , z ' ( - l) = l.
Urinish nuqtasining koordinatalari va hosilalarning bisoblangan
qiymatlari asosida izlanayotgan tenglamalami topamiz:
a) urinma tenglamasi
x+l
у -1
3
" - 2 “
z+1
1 ’
b) normal tekislik tenglamasi
3(x + 1) - 2 ( y - l ) + z + l = G,
3 x -2 _ y + z + 6 = 0 .
7misol. Asosining radiusi if = 4ga teng silindrda joylashgan,
qadami И= 6л ga teng vint chizig‘i tenglamasini tazing. Uning yoyi
differensialini va egriligini toping.
Yechish. t = 2 n da z = h = 3t.
Demak, vint chizig‘ining tenglamasi
x = 4 c o s t, >- = 4sin?, z = 3t.
Bundan
x'(t) = —4sinr, y '( t ) = 4co st, z'(t) = 3, x ”(t) = -4 co s? , y ’(t) = - 4 $ m t , z"(f) = 0.
Hosilalarning hisoblangan
qiymatlari
tenglamalami topamiz:
a) vint ehizig‘i yoyining differensiali
asosida
ds = -Jx'2 + j '2 + z ' 2dt = V l 6 sin 21 + 16 cos 2 t + 9dt =
345
izlanayotgan
= -y/l 6 (sin 2l + cos 2t) + 9 dt = 5dt.
b) vint chizig‘ining egriligi
y'z" - y"z = 4 cos t ■0 —( - 4 sin £) ■3 = 12 sin /;
x'z" - x ' z = ( - 4 s i n / ) - 0 - ( - 4 cos /) •3 = 12 cos t;
x'y" - x"y = ( - 4 sin t) •( - 4 sin t) —( - 4 cos t) ■4 cos t = 16;
x ' 2+ y ,2+ z ' :
jy. _ V l4 4 sin 2f + 144cos2f + 256 _ 20 _ 4
25f
“ 125 “ 25'
5.5.4. Mashqlar
1. Egri chiziqning egriligini toping:
1) у - cos 2 x , x = — nuqtada;
2) y = e * , Oy o ‘q bilan kesishish nuqtasida.
3) x = 9 cost, 7 = 3stn t ellipsning istalgan nuqtasida;
4) x = 4(«-sm*),
= 4(1—cos<) sikioidaning istalgan nuqtasida;
5) r = 2(1- cos^), (j) = K nuqtada;
6 ) г 1 = аг ът2(р, <p= — nuqtada.
2. Egri chiziqning egrilik radiusini toping:
1)
+
=
x= 0 nuqtada;
3) x = t2, y = t - ^ t \
i = l nuqtada;
2) y = \[ x , x = S nuqtada,
4) r = aq>, istalgan nuqtada.
3. Egri chiziq egrilik markazining koordmataJarini toping:
1) y = —, x = l nuqtada;
x
2) x = t -sin t , y = \ - cost, t = — nuqtada.
2
4. Egri chiziq evolyutasi tenglamasini toping:
1) v2 =2(x +\);
2) y 2- 2 x = 0;
3) x = 2i, y = t2- 2;
4)A = a(cos< + ?sin.'),J = '2(sinf-fcosf).
5. Vektor funksiyaning godografini toping:
1) r(t) = (21- 1)7 + (-3/ + 2)J + 4tic, t e R\
2) r(t) - 4chti - j + 3s n’ tk, t e R ,
3) r(0 = 2cosi tf+2sin3^ + fc> te[Q,2n\;
4) ?(<) = 6 cosi/'+5sin#+3£, 1е[0;2ж].
346
6 . Egri chiziqqa o'tkazilgan urinma va normal tekislik tenglamalarini
toping:
1) r{t) -■t2T+t*j+tbk,
2)
2
i = 1 nuqtada;
t27 + - t 3j + - t * k , t = 2 nuqtada;
3
4
3) f(t) = sin2ti + 2sm«costf + 3cos2ft,
t = ~ nuqtada;
4) r(t) = e‘(cost+smt)i +e'(sm t-cost)j +e'k, t = 0 nuqtada.
7. Egri chiziq yoyi differensialini toping:
1) r(t) = 3cos2ti + 5skitcostj + 4 sin 2 tk;
2) r(l) = 5 costl + 5siritj +12ik.
5,6. TENGLAMALARNI TAQRIBIY YECHISH
5 .6 .1 . A s o s iy tu s h u n c h a ! a r
B ir o ‘z g a r u v c h in in g har q an d ay ten g la m a sin i
f(x) =0
k o ‘rin ish d a y o z is h m u m k in , b u y erd a
( 6 . 1)
f(x )-x
o ‘z g a r u v c h in m g biror
fu n k siy a si.
( 6 . 1) ten g la m a n in g ild iz i
d eb
sh u n d ay x = x 0 q iy m a tg a a y tila d ik i,
bunda ten g la m a n in g chap to m o n i n o lg a aylan ad i, y a ’n i f ( x :) = 0 b o ‘ ladi.
У
У y = m
I
t
''‘""'Vs
\
\
\
/
\
ч-
У y = m
II
( 6 . 1) ten g la m a n i y e c h i s h d eb u n in g ild izla rin i to p ish g a aytilad i.
о
*
a
о
*0
b
f
V J
*
О
*0
*
с
28-shakl.
( 6 . 1)
ten g la m a n in g ild iz i g eo m e tr ik jih atd a n y o y = f ( x ) fu n k siy a
g ra fig in in g Ox o ‘q b ilan k e sis h ish n u q ta sin in g a b ssissa sin i (2 8 -a s h a k l),
347
yo bu grafikning shu o ‘q bilan urinish nuqtasini (28-b shaki)
yoki grafik va o ‘qning umurniy nuqtasini (28-c shakl) ifodalaydi.
Ildizning bu interpritatsiyalaridan bir o‘zgaruvchi tenglamasini
yechishning geometrik usuli kelib chiqadi: ( 6 .1) tenglamani yechish
uchun uning grafigini chizish va grafikning Ox (y = 0) o'q bilan
kesishish nuqtalarini topish kerak.
f(x ) = 0 tenglamani taqribiy yechish, odatda, ikki bosqichda amalga
oshiriladi.
Birinchi bosqichda tenglamaning ildiziari ajratiladi, ya’ni tenglama
yagona haqiqiy ildiziga ega bo‘lgan chekii oraliq aniqlanadi.
Ikkinchi bosqichda ildizlar aniqlashtiriladi, ya’ni ular berilgan
aniqlikda topiladi.
( 6 . 1)
tenglamaning ildizlarini ajratish uchun ushbu kriteriya
qo‘llaniladi: agar f ( x ) funksiya [a;b] kesmada uzluksiz, monoton va
kesmaning chetki nuqtalarida har xil ishorali qiymatlarga ega boisa,
u holda (6 . 1) tenglama shu kesmada yagona haqiqiy ildizga ega boiadi.
f ( x ) funksiyaning kesmada monoton bolishining yetarli sharti
uning birinchi tartibli hosilasining bu kesmada ishorasini saqlashi
hisoblanadi (agar f ( x ) > 0 bo‘lsa, funksiya kesmada o'sadi, agar f ( x ) < 0
boisa, kamayadi).
Agar y = f { x ) funksiyaning Ox o‘q bilan
kesishish nuqtalari joylashgan oraliqlarni aniq
koTsatuvchi grafigini chizish mumkin boisa,
\
у (6 . 1) tenglamaning ildizlarini grafik usuida
5 i'
s ajratsa boiadi.
\
/,(x) va f 2(x) funksiya grafiklarini chizish
3 '\
/
oson boigan hollarda (6 . 1) tenglamani
!"\ /
/,W = / 2(x)
(6 .2 )
X
ekvivalent
ko‘rinishda
ifodalash
orqali
ildizlarni ajratsa boiadi.
Bunda
(6.2)
tenglamaning ildizi y =f( x ) va у = / г(x)
grafiklarning kesishish nuqtasi bo‘ ladi.
1-misol. x3+6 x - 5 =0 tenglama ildizlarini ajrating.
Yechish. Misolning shartiga ko‘ra,
f(x ) = x 3 + 6x-5.
348
29-slmkl.
xe R
da f \ x ) = 3x2 + 6 > 0 , x e R bolgani uchun funksiya ixtiyoriy
oraliqda o'sadi. x ning raanfiy qiymatlarida / (x) <0 va x ning
yetarlicha katta qiymatlarida, masalan, x> \ da f( x ) > 0 .
Demak, funksiya [0;1] kesmada bitta haqiqiy ildizga ega.
Berilgan tenglamaning ildizini grafik usulda ham ajratish mumkin.
Tenglamani jr’ = - 6x + 5 , ya’ni (6.2) ko‘rinishga keltiramiz. >- = x 3 va
у ■■■-■- 6 x + 5 funksiya grafiklarini chizamiz (29-shakl). Cbizmadan
ko‘rinadiki, keltirilgan grafiklar abssissasi (0;1) intervalda yotuvchi
M nuqtada kesishishadi.
5.6.2. Ildizlarisi aniqlashtirishnimg
vatarlar va urimnaiar usullari
Vatarlar usuli
Biror (analitik yoki grafik) usul bilan (6.1) tenglamaning ildizi
ajratilgan, ya’ni tenglama yagona X ildizga ega b oigan [a\b] kesma
aniqlangan boisin. Bu kesma shunday tanlanadiki, bunda quyidagi uch
shart bajaradi:
1) /(a ) va f { b ) sonlari har xil ishorali: f ( a )■ f ( b ) < 0 ;
2 ) [a;b] kesmada f ' ( x ) hosila nolga teng ernas va ishorasini
saqlaydi;
3) [a\b] kesmada f ' \ x ) hosila nolga teng emas va ishorasini
saqlaydi.
(6 . 1)
tenglama yechimining birinchi yaqinlashishi sifatida y = f ( x )
funksiya grafigi yoyining chetki A ( a ; f ( a )) va B ( b ; f ( b ) ) nuqtalarini
tutashtiruvchi vatar bilan O x o‘q kesishish nuqtasining abssissasini
olarniz (30-shakl).
Ikki nuqtadan o‘tuvchi to ‘g‘ri chiziq formulasi asosida A B to‘g ‘ri
chiziq tenglamasini tuzamiz:
(6.3)
topamiz:
x-a
y - f(a )
b-a
f(b ) - f(a )
(6.3)
tenglamaga >»= 0 ni qo‘yib, ildizning birinchi yaqinlashishini
ф П -Щ а )
349
(6.1)
tenglamaning izlanayotgan X ildizining ikkinchi
yaqinlashishini topish uchun (6.4) ga monand formula f ( x ) funksiya
chetki nuqtalarida har xi! ishoralarga ega bo‘lgan [g;x,] va [*,;£]
kesmalardan biriga qo‘llaniladi. Bunda, agar f ( a ) f " ( x ) > 0 shart
bajarilsa ( 1-hol) [a;xJ kesmada
_ a f ( x l) - x j ( a )
/ ( *
1
, ) - / ( a
)
(
'
}
kabi topiladi (30,a,b-shakl), agar f ( a ) f " ( x ) <0 shart bajarilsa (2 -hol)
kesmada
(65)
/( * ,) - /( * )
'
kabi aniqlanadi (30,c,d-shakl).
X,
f( x ) <0
------
И
\ V \ \ /"(*) > 0
о
№\
О
A
f\
! \
I
f\x)> 0 / /
V
о
■хгу ' Х
A-
/(*)<o
\
\M ,
4
b
4
M,
30-shakl.
Bu
x3,x4,„.
jarayonni
davom
ettirib,
ildizning
yaqinlashishlari topiladi. Agar (и-I)-yaqinlashish
350
keyingi
mavjud
x2
boisa, n -yaqinlashish 1-hol uchun
« Д О - * „ - ,/( « )
х „ = — ^ - —----- x„ = b, n = 1,2,3,...
(6.6)
formula bilan, 2 -ho! uchun
^ _ b f ( x „ J - x n_lf ( b )
"
(6.7)
, x „ = a , n = 1,2,3,...
/( x _ ,)- /( * )
formula bilan topiladi.
Geometrik mulohazalarga ko‘ra, jc„ (и = 1,2,3,--) sonlarning ketmaketligi ildizga yaqinlashadi, ya’ni
( 6 .8 )
lim x =v5f.
(6.6)
va (6.7) formulalar bilan hisoblashlar oxirgi kesma uchun
lalab qilingan aniqlik olinganga qadar davom ettiriladi.
Vatarlar usulining absolut xatoligi
/( * „ ) I
\ X - x . |<
(6.9)
tcngsizlik bilan baholanadi, bu yerda ^ = min
| f ( x ) |, f \ x ) * 0.
a<x<b
Urinmalar usuli
(a;b) oraliqda (6.1) tenglama yagona X ildizga ega boisin. y = f ( x )
funksiya grafigiga A{a;f(a)) nuqtada urinma olkazamiz.
Bu urinmaning tenglamasini tuzamiz:
у - f (a ) =
- a).
Bu tenglamada
y =0
urinmaning Ox o ‘q bilan kesishish
nuqtasining abssissasini topamiz:
x, = a - ~m — , f \ d ) * Q .
/ («)
(6 .1 0 )
у
deb
\\
\ \M
( 6 . 11 )
(6.11)
formula ildizning birinchi a° *i
yaqinlashishini
beradi.
Ikkinchi
yaqinlashishni (6.11) ga monand
351
ЧХ
4
•
•••• .
31-shakl.
bi x
i
formulani (x,;b) oraliqqa qollab, topamiz:
(6Л2)
Ildizning keyingi yaqinlashishlari shu kabi topiladi.
Agar (n - l)-yaqinlashish mavjud bolsa, n -yaqinlashish
(6.13)
formula bilan topiladi.
Bu tenglamada nolinchi yaqinlashish x0 sifatida [a:,b] kesmaning
f ( x 0) f( x ) > 0
(6.14)
shartai qanoatlantiravchi nuqtasining abssissasi olinadi (31-shakl).
Demak, bu usulni A nuqtadan boshlash shart emas.
Urinmalar usulida ham (6 . 8 ) va (6.9) munosabatlar o‘rinli boiadi.
Vatarlar va urinmalar usullarining
birgalikda qo ‘Uanilishi
Vatarlar usuli bilan urinmalar usuli ildizga turli tomondan
yaqinlashishni beradi. Shu sababli, odatda, ularni birgalikda qollash
qulay boiadi. Bunda ildizni aniqlashtirish tez bajariladi va hisoblashni
nazorat qilish mumkin bo‘ladi.
Vatarlar va urinmalar usullarini birgalikda qollanilishi masalasini
*
qaraymiz. Bunda ham vatarlar usulidagi uchta shart bajarilsin deymiz.
Bu shartlar bajarilganida to‘rl;ta hoi bolishi mumkin (30-shakl):
a) f i x ) <0, f"(x) > 0 ;
b ) /'( * ) > 0, / ,(*)< 0 ;
c) /'(* )> 0, f ( x ) > 0 ;
d ) / ’w < 0, / ’w < 0 .
Aniqlik uchun f'(x ) > 0, f"(x) > 0 bolgan holni qaraymiz (32-shakl).
A(a;f(a)) va B(b;f(b)) nuqtalar orqali vatar olkazamiz.
Bu vatarning Ox o‘q bilan kesishish nuqtasini topamiz:
Endi f(x ) funksiya grafigiga B(b; f(b)) nuqtaga urinma olkazamiz.
352
Bu urinmaning Ox o‘q bilan kesishish nuqtasini topamiz:
Ь ,= Ь - Щ .
fit)
Shunday qilib, a < a, < X <6, < b.
Bu jarayonni davom ettirib, taqribiy qiymatlaming ikkita ketmaketligini topamiz:
a < a ,< a ,< ...< I
va b>bt >b2 >...> X,
bu verda
/(«„-.
a,= a
b =b
- О
-,n = 1,2,..., o„ = cr,
/ ( 6„ J « = 1, 2 ,..., &0 =A.
(6.15)
(6.16)
{ a j va {&„} ketma-ketliklar monoton va chegaralangan. Demak,
ular limitga ega.
lima, = a ,
limb
=jS boisin.
Л-4оэ n
Agar 1) va
3) shartlar bajarilsa, a = p = X
f ( x ) = 0 teng-iamaning yagona
yechimi boiadi.
Agar
tidizning
aniqligi
e
oldindan
u holda a va
berilgan
boisa,
lar | a, - bn j< s
yoki
e <| aa - Ъп !< 2e
shartiardan
biri
bajarilishiga qadar davom
ettiriladi, Bunda birinchi shart bajarilsa
ikkinchi shart bajarilsa
(yoki X & b j boiadi.
boiadi.
Igx = 0 tenglmaning haqiqiy ildizini vatarlar va
urinmalar usuilarini birgalikda qollab, s = 0,000001 aniqlikda hisoblang.
Yechish. Izlanayotgan ildizni ajratish uchun berilgan tenglamani
igx = 2 - x kolinishga keltiramiz va y = lgx, y = 2 - x funksiyalarning
1 -m isol.
2 -x-
353
grafiklarini chizamiz (33-shakl). Cbizmadaii izlanayotgan ildiz [1,6;1,8]
kesmaning ichki nuqtasi bo‘lishi
kefib chiqadi.
i) va - 3) shartlaming
bajarilishini tekshiramiz.
f ( x ) = 2 - x - Igx funksiya uchun:
V
V
/(1 ,6 ) = 2 - 1 ,6 - 0,2041 = 0,1959 > 0;
/(1 ,8 ) = 2 - 1 ,8 - 0,2553 = -0,0553 < 0;
о
/'(* ) = - l - I l g e ; f " ( x ) = \ \ g e X
X
33-shakl.
[1,6;1,8] kesmada f ' ( x ) < 0, f ’(x ) > 0 .
Demak, [1,6;1,8] kesmada
1) - 3) shartlar bajariladi. Shu sababli a = 1,6 va 6 = 1.8 deb olamiz va
aniqlashtirish formuialarini qo‘llaymiz:
a, = 1,6 —
(1,8 - 1,6) / (1,6)
/ ( 1,8) - / ( 1, 6 )
h = 1,6 -
= 1,6 + 0,1559 = 1,7559;
= 1,6 + 0,1540 = 1,7540;
/ ' ( 1. 6)
a2 =1,75558;
| a, -
Ъг =1,75557;
a 3 =1,7555816;
Ьг =1,7555807.
j=| 1,7555816 -1 ,7 5 5 5 8 0 7 1= 0,0000009 < e.
Demak, izlanayotgan yechim £ « a, =1,7555816.
5.6.3. Mashqlar
1.
Tenglamalarning haqiqiy ildizini vatarlar va urinm alar usullarini birgalikda
qo‘llab, £ = 0,0001 aniqlikda toping:
1) x~’ - 2 x + l = 0;
2 ) x 3 + x —1= 0;
3) jclgjt-1 = 0;
4) 2x + l - sinx = 0.
354
OLIY ALGEBRA
ELEMENTLARI
6.1. KOMPLEKS SONLAR
Kompleks sonlar
Ko'phadiar
K vadrat
ild iz
ch iq arish
amaSi barcha
h a q iq iy
sc a la r uchun a n iq la n m a g a n lig i
sab abli har qand ay kvadrat ten g la m a ham
h a q iq iy
son lar
t o ‘p la m id a
y e c h im g a
eg a
b o im a y d i. B u m asa la h am d a u ch in c h i va
t o ‘rtinchi darajali ten glam alarn i y e c h ish d a
yu zaga
k elg a n
k o 'p la b
m asalalar h aq iq iy
son lar
t o ‘p la m m i
k o m p lek s
sonlar
t o ‘p la m ig a ch a k en g a y tirish n i ta q o z o etdi.
K e y in c h a lik
k o m p lek s
son lar
m atem a tik a
va
a m a liy
m a tem a tik a n in g
k o 'p c h ilik m u h im m a sa la la rin i y e c h ish g a
Leonard Eyier
(1707-1783) sltveysar, nemis va ms
matematigi hamda
mexanigi.
tatbiq
q ilin d i
Eyter mmem&iik tsmtSz, diffirmmai getwef riya, srnter m i/m y asl
ЩпЫу
h o zir g i
hlsabimhlat,
Kompleks son tushunchasi
l - t a ’rif.
z k o m p l e k s s o n deb m a ’lum
kn. кетккп %игШ$Ы,
mmiqa nszariymi щ
tartibda b erilgan
fswmtsg hmhqa sohtila-
ju ffig a a y tila d i v a z = ( x , y )
nt>a tml 85ft d m aniq
i$Ma? m m tlifi
Eyier т щ т аШ ф ;
qamhtr acszariyiiiMi,
kvm pkks s m !w ftazim-
jmiita Byier formutasi»/, e smlni, mm’Hum
Ш Й uchsn i belgmi Ы
boshqa ko'phk m p& m
funteiysMmi kirUgm,
m atem atik an i
tu sh u n ch a sisiz ta s a w u r
6 . 1 . 1 .K o m p le k s so n
t u s h im c h a s i v a ta s v ir i
m m m mexiiKskasi, rm~
fgmatik fizika, Ш4Ш-
va
k o m p le k s
son la r
q ilib b o im a y d i.
x
va
у
x
va
son la rg a
у
h a q iq iy
son lar
d eb y o zila d i.
m o s ravishd a
k o m p lek s so n n in g h a q i q i y
q i s m l a r i d eyi lib , x = R e z ,
z
va m a v h u m
v = Im z
kabi
b elg ila n a d i.
z, = (*,,>’,)
va
z 2 = ( x 2, y 2)
k o m p lek s
son larid a x1= x 2 v a y, = y 2 b o ‘Iganida u la r
t e n g , y a ’n i z, = z 2 d ey iia d i.
355
(ОД) son. m a v h u m b i r l i k d eb ataladi va i b ila n b elg ila n a d i:
' = ( 0,1).
2 - t a ’ rif. z, = (x ,,y I) v a
( 1 . 1)
22 = ( х г, у 2) k o m p l e k s s o n l a r i n i n g y i g ‘in d is i
deb
( 1 .2 )
z, -hz2 = ( x l, y , ) + ( x 2, y 1) = (xl + x 2,y , + y 2)
songa aytiladi.
3 - t a ’rif.
ko 'p a y tm a si
z l = (x1, y l)
va
z 2 = (x2, y 2)
ko m p le ks
sonlarining
deb
=(.Х1 >У)-(Хг’У2 ) = (Х1Х2 -УлУг>ххУг + УЛ)
(1-3)
songa aytiladi.
Keltirilgan ta’riflardan haqiqiy sonlardagi kabi
(x,,0) + (x2,0) = (x1+ x2,0)
va
(xi ,0 ) ■( x , 0) = (x.x2, 0)
kelib chiqadi.
Shunday qilib, kompleks sonlar haqiqiy sonlami «to ‘Idiradi».
(1.1) va (1.3) formulalar asosida topamiz:
x = (x, 0),
iy = ( 0, 1)>- = ( 0 ,1) ■(y,0) = (0 ■у - 1 ■0,0 - 0 +1 ■у ) = ( 0, у).
B u ifodalardan z = ( x , y ) kompleks son yozilishining boshqa bir
sko‘rinishi kelib chiqadi:
2 = (.X ,y) = (x, 0) + ( 0, y ) = x + iy.
Kompleks sonlami ko‘paytirish ta’rifidan topamiz:
e =, a = (o,i) •(од)= (-1,0)= - l .
Demak, i = (0,1)—kvadratl minus birga teng bo‘lgan son.
Shunday qilib, z = x + ry ifodaga k o m p l e k s s o n deyiladi, bu yerda
x, y — haqiqiy sonlar, i - mavhum birlik.
Agar z =x + iy ifodada у = 0 bo‘lsa, z = x h a q i q i y s o n , agar
x = 0 bo‘Isa, z = iy s o f m a v h u m s o n hosil bo‘ladi.
Faqat x = y =0 boMganida z =x + iy kompleks son nolga teng
356
boiadi. Kompleks sonlar uchun «katta» va «kichik» tushunchalari
kiritilmaydi.
Mavhum qismlarining ishorasi bilan farq qiluvchi z —x + iy va
2 = x - iy sonSariga qo ‘shma kompleks sonlar deyiladi.
Haqiqiy va mavhum qismlarining ishorasi bilan farq qiluvchi
л,=л + г> va z1~ - x ~ iy sonlariga qarama-qarshi kompleks sonlar
deyiladi.
Kompleks sonlarning geometrik tasviri
Har bir z - x + iy kompleks sonni Oxy koordinatalar tekisligining
M(x;y) nuqtasi bilan ifodaiash mumkin (bu yerda ;s = R.ez, >’= lmz) va
nksincha, koordinatalar tekisligining har bir M(x;y) nuqtasini z = x->-iy
kompleks sonning geometrik tasviri deb qarash mumkin ( 1-shakl).
Oxy tekislikka kompleks tekislik deyiladi va (z) kabi belgilanadi.
Bunda, z = x haqiqiy sonlar haqiqiy o ‘q deb ataluvchi Ox o‘qning
nuqtalari bilan
aniqlanadi;
z = iy
mavhum sonlar mavhum o ‘q deb
^
ataluvchi Oy o‘qning nuqtalari bilan
aniqlanadi.
Shuningdek, z - x + iy komp leks
sonni M(x;y) nuqtaning radius vektori
r =OM. orqali ifodaiash mumkin (1sliak.1). Bunda;
r vektoming
uzunligiga kompleks sonning moduli
deyiladi va \z\
yoki
r bilan
belgilanadi; F vektoming Ox o‘qnmg
1-shakl
musbat yo‘nalishi bilan hosil qilgan
burchagiga kompleks sonning argumenti deyiladi va Argz bilan
belgilanadi.
z = Q kompleks sonning argumenti aniqlanmagan. гФ 0 kompleks
sonning argument! ko‘p qiymatli b o lib , 2як(к = 0, - 1, 1, - 2, 2,...)
qo‘shiluvc-higacha aniqlikda topiladi: Argz = atgz + 2nk ,k e z , bu yerda
argz -argumentning (~я;я] oraliqda yotuvchi bosh qiymati, ya’ni
л' < argz < n (ayrim hollarda argumentning bosh qiymati sifatida [0;2n)
oraliqqa tegishli qiymat olinadi).
357
6.1.2. Kompleks sonlarning yozilish shakliari
Ushbu
z=
x + iy
ifodaga kompleks sonning algebraik shakli deyiiadi.
Kompleks sonning r moduli va <p= Argz argumentini z = x + iy
kompleks sonni ifodalovchi f = OM vektoming qutb koordinatalari deb
qarash mumkin. Bunda x = rcoscp, y = rsmw boiadi (1-shakl).
U holda z = x + iy kompleks sonni z = r cosr/» + irsin <p yoki
z = r(cosf> + ?sin <p)
koiinishda yozish mumkin. Bu ifodaga kompleks sonning trigonometrik
shakli deyiiadi.
Bunda r =j z\ modul quyidagi formula bilan aniqlanadi:
r = jz |=
-Jx2+ y 1.
<p argument esa
x
.
у
у
cos^ = —, sin^ = —, tgcp= —
r
r
X
fonnulalardan topiladi.
<p= Argz = arg z + 2nk , k e z ekanidan
cos (j)= cos(arg z + 2як) = cos(arg z),
sin <p= sin(arg z)
kelib chiqadi. Shu sababli kompleks sonning algebraik shaklidan
trigonometrik shakliga oiishda kompleks son argumentining bosh
qiymatini aniqiash yetarli boiadi.
- n <argz< л bolgani ucun tg<p= — tenglikda» topamiz:
x
у
arctg—, I, IV choraklaming ichki nuqtalarida,
x
argz:
у
arctg—+ n, II chorakning ichki nuqtalarida,
у
arctg----n, III chorakning ichki nuqtalarida.
x
Agar nuqta haqiqiy yoki mavhum o‘qiarda yotsa, argz ni bevosita
topish mumkin.
358
Masalan, z, = 2 uchun argz, = 0 ;
7Г
z2=-3 uchun arg2 г = л \ z, =i
71
-t
uchun argz, = —; z4 =-4/ uchun aigz4 = —- (2-shakl).
Eyler formulasi deb ataluvchi
cosq> + ism(p = e"p
i ='
ifoda
yordamida
z = r(cos© + /sm©)
tenglikdan z = reir ifoda keltirib chiqariladi.
Ushbu
z ,= - 3
1
О1 ^ = *
x
ifodaga z = r(cos<p + is'mcp) kompleks sonning
ко ‘rsatkichli (yoki eksponensial) shakli
z t = -4 i
deyiladi, bu yerda r = \z\- kompleks sonning
moduli;
<p= Argz- kompleks sonning
2-shak!.
argumenti.
Eyler formuiasiga ko‘ra e‘v funksiya 2л davrli davriy funksiya
boiadi. Shu sababli z kompleks sonni ko‘rsatkichli shaklda yozish
uchun kompleks son argumentining bosh qiymatini, ya’ni <p- argz ni
aniqlash yetarli bo'ladi.
1-misol.
TV
7T
8
8
z = -sin—+ /cos—
kompleks
sonni
turli
(algebraik,
trigonometrik va ko‘rsatkichli) shakllarda yozing.
7C
7T
Yechish. z = -sin—+ rcos— kompleks son trigonometrik shaklda
8
berilgan
emas.
7Z
Shu
.
8
sababli
7t
»
shunday
q> burchakni
topamizki,
t< •
cosp = -sm — va sm^? = cos— bo Ism.
8
8
Bunday burchak 9»=—+—= — bo‘ladi.
7
2
8
8
5л
V2-V2
. 5л V2 + V2 . . . ,
1
,,
cos-—= —-—:---- va sm — = —-------- m hisobga olib, kompleks
2
8
2
sonining turli shakllarim yozamiz:
5n .
+i- ----- ;— = cos---- H'sm— = e 8 .
359
\
6.1.3. Kompleks sonlar ustida amallar
Kompleks sonlarni qo ‘shish
Agar z, = x l + iyt va z 2 = x 2 + iy2 bo‘Isa, yuqorida keltirilgan kompleks
sonlarni qo‘shish ta'rifiga ko‘ra,
z, + z 2 =(x, + x 2) + i ( y l + y i ) .
(1.4)
Kompleks sonlarni qo‘shish kommutativlik va assosiativlik xossalariga
ega:
Z,
+ z2= z2 +
Zp
(Z j
+ z2) + z, = z.
4-
(z, + z . ) .
(1.4) tenglikdan kompleks sonlar geometrik jihatdan vektorlar kabi
qo‘shilishi kelib chiqadi (3-shakl).
3-shakldan bevosita ko‘rinadiki, | z, + z 2 )<| z, j+ 1z 2 1. B u tengsizlikka
uchburchak tengsizligi deyiiadi.
Kompleks sonlarni ayirish
Kompleks sonlarni ayirish amaii qo'shishga teskari amal sifatida
aniqlanadi.
z, va z 2 kompleks sonlarning ayirmasi deb. z 2 ga qo‘shilganida
zl ni hosil qiluvchi z kompleks soniga aytiiadi va z = z, - z 2 tarzda
yoziladi.
Agar z ,= X j + iy, va z 2 = x 2 + iy2 bo‘lsa, ta’rifga ko;ra.
z = z, - z 2 = (x, - х г) + i(y, -
(1.5)
)
n 5) tenglikdan kompleks sonlar geometrik jihatdan vektorlar kabi
kelib chiqadi. (4-shakl).
4-shakldan ko‘rinadiki, | z, - z 2 1>z, | - j z 2 j.
.v
x
О
3-shakl.
4-shakl.
360
Kompleks sonlar uchun
12, - z 2 j= -J(x, - x 2f + (y, - y 2) 2
boiadi, ya’ni ikkita kompleks sonlar ayirmasining moduli tekislikda bu
sonlarni ifodalovchi nuqtalar orasidagi masofaga teng.
Shu sababli, masalan | z - - 2 j'!=1 tenglik kompleks tekisligida za = 2 i
nuqtadan birga teng masofada yotuvchi z nuqtalar to‘plamini, ya’ni
markazi z 0 = 2i nuqtada joylashgan va radiusi birga teng
avlanani aniqlaydi.
Kompleks sonlarni ка ‘p aytirish
Agar z l = x , + i y i va z2 = x 2 + iy2 bo‘Isa, yuqorida
kompleks sonlarni ko‘paytirish ta ’rifiga ko‘ra,
keltirilgan
z = z,z. = (x.x2 - y ty 2) + i(x,v2 + y ,x 2) .
( 1 .6 )
Kompleks sonlarni ко‘paytirish kommutativlik, assosiativlik va
qo'shishga nisbatan distributivlik xossaiariga ega:
z ,z 2 = z 2z ,;
(zjz 2)z, = z t(z2z,);
z l( z 2 + z 3) = z 1z 2 + z lz }.
2-misol
hisoblang.
Yechish.
z, = 1+ 3i, z2= - 3 + i boisa, z l + z z, 2 zl - z 2, z ,- z 2 larni
z, + z 2 —(1 + 3j) ■ (—j + i)
2
z, —z 2 =
—2 + 4/,
(2 + 6i) —( -3 + i) = 5 + 5i;
z, ■z 2 = (1 + 3/) • ( -3 + 0 - ( -3 - 3) + /(1 - 9) = - 6 - 8i.
Trigonometrik shaklda berilgan
z, = rt ( c o
s + i sin(p}) , z 2 = r2(cos<p2 + i sin(p2)
kompleks sonlarni ko‘paytiramiz:
z . z 2 = )\(cos(p, + ism(p,)rJKcos(p2 + isin(p2) =
= r,r2(cos <pt cos <p2 + i sin <pl cos <рг + i cos (p, sin <p2 - sin <jo, sin cp2) =
= г / г(со&<р, co s(p2 - sin<p, sin (p2) + i(sin <p, cos<p2 + icos(pl smq>2) =
= r /2( cos(p, + <рг) + isin(<p, + (p2)),
361
уа ш
z,z 2 = r,r7( cosO , + <р2) + isinO , + <р2)).
(1 .7 )
Demak, kompleks sonlar ko‘paytirilganda ulaming moduilari
ko‘paytiriladi va argumentlari qo‘shiladi.
Bu qoida istalgan sondagi ko‘paytuvchilar uchun ham o iin li
bo‘ladi. Xususan, n ta bir xil ko‘paytavehilar uchun
z" = (r(cos<p + /sin^))" = r"(cosw<^ + /s in « 0 )
( 1 -8 )
bo‘!adi.
(1.8) formulaga Muavrformulasi deyiladi.
3-misol. z = j3 + i bolsa, z 6nihisoblang.
Yechish. A w al kompleks sonni trigonometrik shaklga keltiramiz.
x = л/з, у = 1 boigani uchun r = v-n/F + 12 = 2, argz = arctg— =—.
V3 6
Bundan
<-*»!
^
^
i
z = 2\ cos— и sin— L
Muavr formulasiga k o la :
\7 l
л
z 6 = 2 6 co s— ■6 + i s m — ■6 I = 64(cos;r + i s m x ) = -64.
6
6
Kompleks sonlam i bo ‘lish
Kompleks sonlami bolish amali ko‘paytirishga teskari amal sifatida
aniqlanadi.
z,
va z 2 ф0 kompleks sonlarning bo ‘linmasi d eb , z2 ga
ko'paytirilganida z, ni hosil qiluvchi z kompleks soniga aytiladi va
z =— kabi yoziladi.
Z2
va z = x + /у bolsin.
U holda (x2 + iy2)(x + iy) = x, +iy, tenglikdan
z, = Xj + iy ., z 2 = x 2 + iy2 * 0
| xy, + y x 2 = y ,
tenglamalar sistemasi kelib chiqadi.
362
Sistem adan
x va
у ni topam iz:
.. x,x 2 + y , y 2
X2y , - x , y 2
2
-> ? У
Х2+У~1
2 2
x2 + Уг
Shunday qilib,
_ = zt = x,x2 + yty 2 | ,x 2y. - x , y 2'
Z2 x2 +y\.
x2+y22
^ ^
Amalda ikki kompleks sonning boiinm asi uning surat va maxrajini
maxrajning qo‘shmasiga
ko‘paytirish orqali topiladi (maxraj
iо avhumlikdan qutqariladi).
z
4 - misol. 2j = 1+ 2i, z2 = 3 + i boisa, — ni toping.
Yechish. ~ kasming surat va maxrajini z2 ga ko‘paytirib, topamiz:
zL _1+ 2i __ (1 + 2i)(3 —i) _ 3 + 6/ —/ + 2 _ 5 + 5/ I , I .
z2 “ 3 + / ~ (3 + 0 (3 -/) ~
9+1
~ 10 ~ 2 2*
Trigonometrik shaklda berilgan z. = r,(cos<p, +/sin^1) kompleks
son ini z2 = r2(cos(p2 + / sin <p.J kompleks soniga boiam iz:
Zj
r, (cos^j +isln$>1)
r,(cos<p, + /smip,)-(cos<p2 —/sin<32) _
z2
r2(cos <p2 + i sin (p2)
r2(cos <p. + i sin <p2) • (cos q>2 - i sin (p2)
~
V.
-<p2) + i sin(^, —(p2)).
Demak,
= —(cos(p, - q>2) + i sin(^>, -?>,))•
z2 r2
( 1 . 10 )
Shunday qilib, bir kompleks sonni ikkinchisiga boiganda ularning
moduilari boiinadi va argumentlari ayriladi.
Kompleks sonlardan ildiz chiqarish
Kompleks sondan и -darajali ildiz chiqarish amaii «-natural
darajaga oshirish arnaiiga teskari amal sifatida aniqlanadi.
г kompleks sonining n -darajali ildizi deb, w”=z tenglikni
qanoatlantiruvchi w kompleks soniga aytiladi.
363
z = r(cosp + /sin (p) va w = p(cos# + isin0 ) bo'lsin.
Ildizning ta’rifi va Muavr formulasidan foydalanib topamiz:
z
= w" = p"(cosn6 + /sin n0) = r(cos<p + isinq>).
Bundan
p" ~r, пв = (p + 2лк, £ = 0, - 1, 1, - 2, 2,...
yoki
<р + 2лк
nfв = -----------, p = V r
kelib chiqadi.
Uholda н>= л/г tenglik quyidagi ko‘rinishga keladi:
Г7------------ — ч „r f
Ф + 2кл . . а + 2клЛ . л ,
wj =\lr(cos(p+ismg)) = y r c o s -----------и sin --- -------- , k = 0, 1,
i,
n
n
)
, n ,n
n - 1. { i . i l )
Sinus va kosinus funksiyala-rning davriyligi sababli г kompleks
sonining n~ darajali ildizlari soni
n ga teng boMadi va ular к ning
n ta k - 0, 1,
n —1 qiymatlarida
aniq lan adi. Ildizlarning moduli
r haqiqiy sonining к -darajali
algebraik ildizidan iborat bo‘ladi,
2?r
argumentlari esa bir-biridan — ga
n
karrali songa farq qiladi. Bunda
barcha ildizlar kompleks tekisligida
markazi z = 0 nuqtada boigan va
radiusi
nj\~zj ga teng aylanaga
ichki
ehizilgan
« burchakli
muntazam ko'pburchakning uchlarini tasvirlaydi (5-sbakl).
5-misol.
ning barcha iJdizlarini toping.
Yechish. Ildiz ostidagi ifodani trigonometrik shaklda yozamiz:
- l = c o s 7r + /s in 7r.
Bundan
7
V -l=cos
л+2як . . л+ 2як , „
„
+ zsm--------- , k =0, 1, 2, 3.
364
к ga
О, 1, 3 va 4 qiymatlar berib, topamiz:
n
.. n
~J2 ,,
..
w„ = cos— I- is m — -- — (1 + 1),
0
4
4
2
3n
. . 3n
-J~2
w. = c o s ----- ь ш п — = — (—1 + z),
’
4
4
2
3n
. . Ъп 4 2 , 1 ..
w. = c o s ----- hzsin — = — (--1 + 1),
4
4
2
5ж . . 5n л/2
w , = c o s ----- r fsm — = — ( - l - i ) ,
4
2
4
2
In
. . In
V2
w. = co s----- (- rsm — = — (1 —0 -
4
4
2
Bu ildizlar (z) kompleks tekisligida birlik aylanaga ichki chizilgan
mimtazam to ‘rtburchakning (kvadratning) uchlarida yotadi (6 -shakl).
6.1.4, M ashqlar
2x
i
1. x , v ning qanday haqiqiy qiymatlarida zx = x - 3yi - y — - va
z2 = 2x+ i 2 - 3 x i - y i 3 kompleks sonlar qo'shma bo‘ladi?
2 . x , y ning qanday haqiqiy qiymatlarida z1 = у + 2? + 3 - 2хг va
12v
z 2 =Здт+8|'+— + 2г2 kompleks sonlar teng bo'ladi?
i
3. x , у ning qanday haqiqiy qiymatlarida z, = 3x - 2yi + 51"-1 va
8j
z 2 = 3 v - г5 + — +2? kompleks sonlar qarama-qarshi b oiadi?
i
4. x , y ning qanday haqiqiy qiymatlarida Z; = 5л+ ~ + 3 w + г3 va
z 2 = 3y(l + i) + — - 1
i
kompleks sonlar nolga teng b oiadi?
5. (z) tekislikda berilgan tenglamalami yeching:
1) z 2 + 6 z + 25 = 0;
2) 2 z 2 + ;z + l = 0;
3) ;z2 -2 z + 3 » = 0;
4) z ‘ - 6 /'z —5 - 0 .
365
6 . (z) tekislikda berilgan shartlar bilan qanday nuqtalar to'plami aniqlanadi?
1) Rez = a;
2) Imz = Z>;
3) r<!\z\< R\
4) (p <argz <ц/\
5)/-< |zk R, <p< argz < у/,
bu ycrda a,h,r,R:(pji/-h&qiqiy sonlar.
7. Berilgan kompleks sonlarni turli (algebraik, trigonometrik va
ko'rsatkichli) shakllarda yozing:
1) г = -2 + 2л/Зг;
2) z = j 3 - i ;
3) z = ->/3| cos— + ; sin— \
I
4
4) z = 2 л/?Гcos—+ ; sin —1;
4J
L
,— - —i
5) z = sl2e
4
4
4/
,----- il arclg- - : i t j
;
6 ) z = -J\3e'
3
8) z = -2 cos 45° -2i'sin45'\
7) z = 2cos60"-2;'sm60°;
8 . Berilgan kompleks sonlarning yig‘indisi, ayirmasi, ko‘paytmasi va
bo‘linmasmi toping:
1) z, = -5 + Зг va
Zj = 2 -4 /;
2) z, = - 3 - 4 i va
z2 =2+3i.
9. (z) tekislikda berilgan nuqtalar orasidagi masofani toping:
1) 1—3r va 4i;
2) 1-5; va -4;
3) l +Зг va 3 + 2i;
4) 8 - 3 i va 2+5/.
10. Hisoblang:
1) ^ ~ + ( l ~ 0 2( l + 0 ;
2) I ± i L ( - 2 / ) + l;
l+ 2(
- 2 +/
3) (2 + 3/)3- ( 2 - 3 / ) 3;
4) (-1 + 2 /)4 - ( 1 + 2г)4.
11. Kompleks sonlarning haqiqiy va mavhum qismlarini toping:
0
Зл/З-г7
-1 + ;5 8 +19**
nr
2) —— +-
2(л/3 + 2i3) ’
2+i
40
4) (j5 - 5)f 2i + 3
''
\
2- r
( l - i )(l + 2i )
12. Berilgan kompleks sonlarning ko‘paytmasi va bo‘linmasmi toping:
i\
/
n . . n\
J
5x
. 5яЛ
1) z, =4 cos— Hsm— va z, =2 cos---- Hsin— ;
' 1 V 4
4J
2 I
12
12/
ол
I
5x +jsin—
■ Sjr)J v a z2=cosj^—
f —J+;sm
• • |( - 2яЛ
L) z, =6|^cos—
T}
366
3) z , = 8(cosl35'>+ /sin 135") va z, = 2(cos45"+/sin45“);
4) z, =8(cos90° +isiD.90“) v a z 2 = cos30°+!SBi30°.
13. Darajalami hisoblang:
(s /2 (
7я
..
7ж У Г
l ) [ T r s 36+I'sin36jJ ;
2) IT^7
3) (2 ~ 2 /)s;
4 ) (V2(cos20° + ism2Q°))l:
14. Berilgan soolaming barcha ildizlarini toping:
I) V2-2V3i;
2) \f-i;
3) V-8+W3i;
4) VT+7.
6.2. KOTHADLAR
6 .2 .1 . K o‘piiadlar ustida am allar
Ushbu
Р,(дс) = а0лг" + a 1x”“1+...+ an lJCf
(2 . 1)
funksiyaga n- darajali ko'phad (yoki butiin ratsional funksiya) deyiladi.
Bunda a0 -Ф0,
sonlari ko‘phadning koeffitsiyentlari deb ataladi,
inanfiy bo‘Imagan butun n soni ko‘pbadning daraja ko‘rsatkichini
bildiradi.
Xususan, и = 0 da P0(x) = a0 (a0*0) nolinchi darajali ko‘phad hosil
boiadi.
Agar PJx) va Qn(x) ko‘phadlar x ning barcha qiymatlarida bir
xil qiymatlar qabul qilsa, u holda Pn(x) va QJx) ko‘phadlarda x ning
bir xil darajalari oldida turgan koeffitsiyentlar teng bo‘ladi va aksincha.
13u ko‘phadlarga teng ko‘phadlar deyiladi va PJx) = Q„(x) deb yoziladi.
Ko‘phadlar ustida qo‘shish. ayirish va ko‘paytirish amallarini
bajarish mumkm.
Ikki ko‘phadning yig‘mdisi, ayirmasi va ko‘paytmasi yana ko‘phad
bo‘ladi.
Ko‘phadlami qo‘shish, ayirish va ko‘paytirish amallari algebraik
il odalardagi kabi bajaxilgani uchun arifmetik amallaming asosiy
367
xossalariga ega bo‘ladi.
Ko‘phadlami bo‘lish qoldiqli va qoldiqsiz bo‘iishi mumkin.
P(x) va Q„(x) ko‘phadlarberilganbo‘lsin,bimda n>m>0.
U holda
P (x)
= Qm(x) •Rn_m(x) + rk(x) , 0 < к <m
(2.2)
tenglikni qanoatlantiruvchi
va ГЛХ) ko‘phadlar mavjud va
yagona bo‘iadi. Bunda P ( x ) bo‘linuvchi, QJx) bo‘luvchi, R,„„(x)
bo‘!mma, rjx) qoldiq deb ataladi.
(2,2)
tenglikda rk(x) = 0 bo‘lishi ham mumkin. U holda P„(x
ko'pbad
ko‘phadga qoldiqsiz bo‘linadi deyiladi.
Ko‘phadlami bo‘iishdan hosil boiadigan bo‘lmma va qoldiqni
topishning har xil usullari mavjud. Ko‘p hollarda
«burchakli
usulida bo‘lish» qoidasidan foydalaniladi.
6 .2 .2 . K ofipbadlaraiBg ildizi
чs
Pn(x) ko'phadning ildizi deb x o‘zgaravchinmg bu ko‘phadmng
qiymatini nolga aylantiradigan x0 (haqiqiy yoki kompleks) qiymatiga
aytiladi, ya'ni bunda P (x0) = 0 bo‘ladi.
P(x) ko‘phadni x - a ga bo‘lishdan hosil boMadigan qoidiqni
boiish jarayonini bajarmasdan topish imkonini beradigan teoremani
isbotlaymiz.
l~teorema. Pn(x) ko‘phadni x - a ikkihadga bo‘lishdan hosil
boiadigan qoldiq Pn(a) ga teng bo‘ladi.
Isboti. Pn(x) ko‘phadni x - a ikkihadga bo‘lish natijasi
Pn(x ) *=(x - a) ■R„_,(x) + r,
bo‘lsin, bu yerda r biror o‘zgarmas son (0 - darajali ko‘phad) boiadi.
Bu tenglikda x o’zgaruvchiga a qiymat berib, topamiz:
r = P J a ).
Teorema isbotlandi.
Bu teoremadan quyidagi teorema kelib chiqadi.
2-teorema (Bezu teoremasi). a son P„(x) ko‘phadning ildizi
bo‘lishi uchun P„(x) ko‘phad x - a ikkihadga qoldiqsiz bo‘linishi
zarur va yetarli.
368
6.2.3. K o‘phadni ко‘paytw ch iiarg a ajratish
Ko'phadni nolinchi darajali boim agan ikkita yoki bir nechta
ko'phadning
ko‘paytmasi
ko‘rinishida
ifodalashga
k o ‘p hadni
ко ‘paytuvchilarga ajratish deyiladi.
Algebraning asosiy teoremasi deb ataluvchi quyidagi teoremani
isbotsiz keitiramiz.
3-teorema. n -darajali (n> 0) har qanday ko‘phad
hech
boim aganda bitta haqiqiy yoki kompleks ildizga ega bo‘!adi.
Bu teoremaning natijasi sifatida quyidagi teoremani isbotlaymiz.
4-teorema. n—darajali har qanday ko‘phadni
Pn(x) = a0(x - at)(x - a2)...(x - a n)
(2.3)
koiinishda ко ‘paytuvchilarga ajratish mumkin, bu yerda
a„—
ko'phadningbosh koeffitsiyenti, a,, a }
a„—ko‘phadning ildizlari.
is hoti. (2.1) ko‘phadni qaraymiz. 3-teoremaga ko‘ra, u ildizga ega.
Bu ildizni a, bilan belgilaymiz. U holda Bezu teoremasiga ko‘ra,
Pn(x) = ( x - a 1)-P (x) boiadi, bu yerda Pn_t( x ) ~ ( « - 1)- darajali ko‘phad.
P_, (x) ko'phad boigani uchun u ham ildizga ega. Bu ildizni a 2 bilan
belgilaymiz. U holda Pn l(x) = ( x ~ a 2) - P n_2{x) boiadi, bu yerda Pn_2( x ) ~
(n - 2)- darajali ko‘phad. Demak, P 0 ) = (x -a,)(x - a 2) P _ 2(x).
Bu jarayonni davom ettirish natijasida
Pn(jc) = a„(x —a t)(x - a 2)...(x - an)
yoyilmani hosil qilamiz.
(2.3) tenglikdagi ( x - a t) ko‘paytuvchilarga chiziqli ko‘paytuvchilar
deyiladi.
1-misol. P,(x) = xs - 2хг ~ x + 2 ko‘phadni chiziqli ko‘paytuvchilarga
aj rating,
Yechish. Berilgan ko‘phad x = - l, x - l , x = 2 da nolga teng boiadi,
a0 = 1.
Demak,
л:3 - 2.x2 -- x + 2 = (x + l)(x - i)(x - 2).
(2.3) tenglikdan shunday xulosa kelib chiqadi: n - darajali har
qanday ко'p had n ta ildizga (haqiqiy yoki kompleks) ega. Ular orasida
tengiari boiishi mumkin. Ko‘phadning (2.3) yoyilmasida qandaydir bir
369
ildiz к marta uchrashi mumkin. U holda bu ildizga к karrali ildiz
deyitadi. к = 1 bo'lganida ildiz oddly ildiz deb ataladi.
Agar (2.1) ko‘phad k x karrali a x ildizga, k2 karrali a 2 ildizga va
umuman kt karrali x r ildizga eg ab o isa, (2.3) formula
Prix) = ao( x - u l)i'( x - a z)il...(x -a r)lr
(2.4)
ko‘rmishni oladi, bu yerda + k2 + ... + kr =n.
(2.3) tenglikda
a2
a n ildizlar orasida komplekslari boiishi
ham mumkin. Kompleks ildizlar uchun o‘rinli bo‘ladigan teoremani
isbotsiz keltiramiz.
5-teorema. Agar haqiqiy koeffitsiyentli Pn(x) ko‘phad a + ib
kompleks ildizga ega bo‘lsa, u holda u a -ib qo‘shma ildizga ham ega
bo‘ladi,
Bu teoremaga ko‘ra, ko‘phadnmg (2.3) yoyilmasida kompleks
ildizlar orz qo‘shma juftlari bilan qatnashadi. Bu
juftga mos
chiziqli ko‘paytuvchilami ko‘paytiramiz:
(л: - (a + ib))(x - ( a - ib)) = ((л - a) - ib)((x - a) + iti) ~ (л —a )1 + b2 =
= x 2 - 2ax + аг + b %= д:2 + p x + q ,
bu yerda p = - 2 a , q =a 2 + b 2.
Demak, qo‘shma ildizlarga mos chiziqli ko‘paytuvchilar
ko‘paytmasini haqiqiy koeffitsiyentli, diskriminanti manfly boigan
kvadrat uchhad bilan almashtirish mumkin.
Shu kabi
%
( x - ( a + ib))k ( x ~ ( a - ib))k = ({x - (a + ib))(x - (a - ib)))1 = ( x 7 + p x + q f
almashtirish bajarish mumkin.
Shunday qilib, yuqorida keltirilganlar asosida quyidagi tasdiqni
hosil qilamiz.
6-teorema. Har qanday haqiqiy koeffitsiyentli ko‘phad haqiqiy
koeffitsientli chiziqli va kvadrat uchhadlardan iborat ко ‘paytuvchilarga
ajratiladi, ya’ni P (*)ko‘phadni
Pn(x) = a0( x - a l) k' ( x - a 1) k’...(x—a r)l‘r x
ko‘rinishda
x ( x 2+ p . x + q,)*' ( x 1 + p 1x + q , y \ . . { x 1 + p , x + q l)‘‘
( 2 .5 )
ifodalash
bosh
mumkin.
370
Bunda
G0- k o ‘phadnmg
koeffitsiyenti, a V/ a 2
a t— ko‘phadning
mos ravishda kx, k1
kr
karrali ildizlari, x 2+ plx + qi (г = 1,/) kvadrat
uchhadlar
uchun
diskreminant D = p , -4q<Q, k. + k2 +... + kr + 2s, + 2st +... + 2s, = n ;
r, I, kx, кг
kr, s u s2,...,s- natural sonlar.
2-misol. P4(x) = x 4 + 3x3 - x - 3 ko‘phadni ko‘paytuvcbilargaajrating.
Yechish. F\ (x) = x 4 + 3x3 - x - 3 = x3(x + 3) - (x + 3) =
= (x + 3)(x' —1) = (x + 3)(x - l)(x2 + x +1).
6.2.4. R atsional kasrlarni sedda kasrlarga yoyish
Ikkita Q,„(x) va P (x)ko‘phadning nisbatiga
R(x) = бЛх) = b X +blx"‘-' +...+bm_,x+bm
P (x)
a0x° + a,x"'! +... + a„_jX+ an
ratsional funksiya (ratsional kasr) deyiladi.
m<n boiganda ratsional kasr to ‘g ‘ri kasr, m>n bo'lganda
noto'g'ri kasr deyiladi.
Noto‘g‘ri kasrda uning Qm(x) suratini Pn(x) maxrajiga odatdagidek
bo‘lisb yo‘!i bilan kasrdan butun qismi q(x) ajratiladi, ya’ni
nr \
R(x)
=
— = q(x)\ + ■r ( x )
P,Xx)
p,Xx)
tenglik hosil qilinadi, bu yerda q(x) - butun qism deb ataluvch i
ko‘phad, ~ ~ —to‘g‘ri kasr, chunki r(x) qoldiqning darajasi P (x) ning
darajasidan kichik.
__ 2 , % "
- }- 1
3- misol. R(x) = —,— —— - ratsional kasrdan butun qismini ajrating.
x +2x + 2
Yechish. Ko'phadlami bo‘lish qoidasi bo‘yicha kasrning suratini
maxrajiga bo‘lamiz:
X" ~b2x -b2
3x4 - 2xJ +!
3x
2 - 8x + l(
3x4 + 6x3 + 6x 2
—8x 3 -- 6 x 2 +1
- 8x 3 - 1 6 x 2 - 16x
10 x* + f 6 x +1
j Ox2 + 2 Ox И- 20
-4x19
371
Demak,
i? (x ) = 3x - 8x + 10 t
—4x - 1 9
x 2 + 2x + 2
Quyidagi to‘ g ‘ri kasrlarga sodda ( elementar) kasrlar deyiladi:
A
j
^
x -a
II. г - 4 — r, (k > 2, к e N );
(.x - a )
Mx + N
, 2
4
III. —---------- , ( p -A q < () );
x + px + q
IV,
Mx + N
(x + /?x + <jr)'
(5 > 2, л' e Л', р 2- 4 9 < 0 ),
bu yerda A, M , N, a, p, q - haqiqiy sonlar.
7-teorema. Maxraji (2.5) ko'rinishda ko‘ paytuvchiiarga ajratilgan
har qanday —
to‘ g ‘ ri kasmi sodda kasrlar yig'indisiga yagona tarzda
PJx)
yoyish mumkin.
Bunda:
1) (2.5) ifodaning ( x - a ) ko‘ rinishdagi ko‘paytuvchisiga I turdagi
V*
x -a
kasr mos keiadi;
2) (2.5) ifodaning ( x - a ) 4 ko‘rmshidagi ko‘paytuvchisiga I va H
turdagi кta kasrlar y ig ‘indisi — L—+ ---- 2—7-+ ... + ---- —— mos keiadi;
x -a
(x - a ) ‘
(x -a )
3) (2.5)
III turdagi
4)
III va
ifodaning
x + px + q
x2+ px + q
ko‘rmishdagi
ko‘paytuvchisiga
kasr mos keiadi;
(2.5.) ifodaning
(x 2+ px + q)‘ ko‘rinishdagi ко‘paytuvchisiga
IV turdagi 5 ta kasrlar y ig ‘ indisi
M,x + N,
M,x + N ,
x 2+ p x + q
(x2 + px + q ) 2
M x+N
,. + — --------- 1—
(x 2 + px + q )’
372
, ,
mos keiadi.
Shunday q ilib , teorem aga k o ‘ ra,
Q S X) =
Pn(x)
A
x -a
, __ A __ + _
(x -a )2
___ A __ + _ +
(x -a )"
M,x + N,
M ,x + N,
M x + N,
x 2 + px + q
( x 2 + px + q ) 2
(x 1 + px + q ) s
4 - ... + - - ^ ----------
,4
(2.6)
bu yerda At, A2,...,At , M,, N\, M 2, N2,...,M„ N , ~ koeffitsiyentiar.
( 2 .6 )
usullari mavjud.
tenglikdagi noma’ him koeffitsiyenilarini topishning turli
Masalan,
noma’ Ium
koeffitsiyentlami topishda
koeffitsiyentlarni tenglashtirish usulini qollash mumkin.
Bu usul quyidagi tartibda amaiga oshiriSadi:
], (2.6) j'oyilmaning o ‘ ng tomoni umurniy rnaxraj
Pn(x) ga
keltiriladi.
Natijada
PJx)
ayniyat hosil bo'ladi, bu yerda
Pn(x)
Sm(x) - koeffitsiyentlari
noma’ lum bo‘ lgan ko‘phad.
2. Hosil boigan ayniyatda maxrajlar teng bo'igani uehun, suratiar
ham aynan teng bo‘ iadi, ya’ni Qm(x) = Sm(.ж).
3.
Q J x ) = Sm(x )
tenglikda
ning bir xil darajalari oldidagi
x
koeffitsiyentiar tenglashtiriladi (ко‘ phad laming aynan tengligi haqidagi
teoremaga ko‘ra);
Natijada tenglamalar sistemasi hosil boladi va bu sistemadan
izlanayotgan Д, A2,...,At , M s, N „ M,, N It...,M„ N,
koeffitsiyentiar
topiladi.
x* —2x + l
4- misol. R(x) = -----------
х2(х 3 + 1)
to‘ g"ri kasrni oddiv kasrlar y ig £indisiga
yoying.
Yechish. R(x) ning maxrajmi ko‘paytuvchila.rga ajratamiz:
х2(хг +1) = x 2(x + l)(x2 - X + 1)
R(x) ni 1-teoremaga asosan, sodda kasrlar y ig ‘ indisiga yoyamiz:
, . . A, A,
A
Mx + N
R ( x ) ~ - l + - f + ------ + - -------X
X
X +1
x -x + \
Nom a’ Ium koeffitsiyentlarini koeffitsiyentlarni tenglashtirish usuli
bilan topamiz. Buning uchun tenglikning o ‘ng qismini umurniy
373
maxrajga keltiramiz,
hosil
bo‘ Igaa
tenglikning
har
ikkala
tomonidagi maxrajlami tashlab yuborarniz va quyidagi tenglikni hosi!
qilamiz:
x 4 - 2x + 1= A,x(x’+ 1) + A2( x 3 + 1 ) + Лх2{хг - x + 1) + M x‘ (x + 1 ) + Nx2(x 4-1).
x ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlami tengiashtiramiz:
x 4: A + A, + M = 1,
x3: - A + A2 + M + N = 0,
x2: ^ + iV = 0,
x 1 : A, = -2 ,
Bu tenglamalar sistemasini yechamiz:
4
5
4
A = ~, A, = -2, 4 = 1 , M = ~, N = ——
Demak,
4
5x - 4
3(x +1) + 3(x2 - x + l)
6.2,5. M a s h q la r
1. Berilgan P (x ) va Q (x) ko‘ phadlaming yig'indisini, ayirmasini va
ko‘ paytmasini toping:
yi 1) P (x ) = 2x3—x1 + 4,
„ » 2) P (x ) = x * + x 1-S ,
Q{x) = x ' + 3 x ' - x;
Q (x) = 3x4+ x3~ x 2.
2. P(x) ko'phadni Q(x) ko‘phadga bo'lishda hosil bo'iadigan bo‘ linma va
qoldiqni toping:
1) P (x )= x 3+2x2- x + l , Q (x) = x2 + x - l ;
2) P { x ) - x >+ 5x3-6 x + 5, Q
(x )
= x 3 +2x2—1;
3) P (x ) = 3x5 + 4x3+ 2 x - l Q (x) = * 3 + 3x + 7;
4) P(x)-=2x4 - I 3 x 3+ 32x2-2 4 x + l,
Q (x) = x2-5 x + 6 .
3. P (x ) ko'phadni x - a ikkihadga bo‘ iganda hosil boladigan qoldiqni toping:
1) P (x ) = x -3 x 4- x 3+1, x - 2 ;
2 ) P(x) = x " - 6 x ‘ + x 5- 8 , x + l ;
3 ) P (x ) = Зх6+ x 5-6 4 , x + 2 ;
4 ) P (x ) = xs- 6 x 3+ x , x - 3 .
374
4. P (x) = ax, +bx1+ х - 1 va g(x) = 3x3- x 2+ x~ c ko‘ phadlar bir-biriga aynan
teng. a, b, с larni toping.
5. ax* + х г -3 x + b = 2x*
-3x + l. a, i, с larni toping.
6. Berilgan ko‘ phadlami ko'paytuvchilarga ajrating:
1) x 4-16;
2 ) x 3-81x;
3) 5x4-4Gx3+П5х2-!40х-!-60;
4) x 5- 6x 4 + 9x3- x 2-t-6x - 9.
7. Berilgan tG‘ g ‘ ri kasrlami sodda kasrlar yig'indisiga yoying:
x 2+4x+l
I}
3.x3-5x 2 +8x-4
x3+xr S
’
3x - 2
x4+4x2
’
x 2+ 5 x + l
3) 7 7 ^ 2 x ;
4) 7 7 7 7 Г
8. Berilgan to‘ g ‘ ri kasrlami sodda kasrlar у ig‘ indisiga yoying va
koeffitsiyentlarni noma’ lum kosffitsiyentlami tenglashtirish usuli bilan toping:
*
x2+2x+3 _
x 4+ x3
2x2- l l x - 6
x 3+x 2- 6x ’
,,, Зх3-2 x 2 -2 x + 7
3 j
_
-•
Лч 2 x -l
J
V
375
4 , v *
MR О‘ZGAR’UVCHI'
FUNKSIY ASINING
INTEGRAL HISOBI
* A niqm as integral
• Ratsionai iunksiyalarni
integrallash
• irig o nom etrik
funksiyalarni integrallash
• irratsional ifodakmi
integrallash
» Aniq integral
I* Xosmas integraliar
• Aniq integrajning
talbiqlari
Isaak iSyutcn
(1642-1727) ingliz matematigi, fiiigi,
mexanigi va astronomi
ffyiiim ’‘Natarai falsafmiing matematik asmlari” asuridu bufut! ulam
ieiiMh.isk qmunini va
mexxmikuning uch qtwuitini haven qilgatt.
V
matematik umiliz
asmtamii, Wynton bmond
fimnuiaxmi, teitglsmalarm yeeMshning T^yutan
msilmi yaratgan, trn.tematik ЬщМахЫаЫа qa~
torlartlan foydalmhthni
ko‘f$atgdn.
Integral hisob — bu matematikaning
integral tushunchasi, uning xossalari va
bisoblash usullari o ‘rgamladigan bo‘ limidir.
Integral hisob differensial hisob bilan uzviy
bog‘ liq
va
ular birgaiikda matematik
analizning asosini tashkil qiiadi.
Differensial va integral hisobning asosiy
tu&hunchalari, jumladan, differensiallash va
integrallash amallari o ‘rtasidagi bog'ianish,
ularmning amaliy masalalarni yechishga
tatbiqi X V II asming ikk inchi yannida
INyuton va G.Leybnis tomonidan
ishlab
chiqilgan. Ularning izlanishlari matematik
analizning
gurkirab
rivojlanish
davrini
boshlab bergan.
Integral hisob yordamida ko'plab yangi
masalalar
bilan
bir
qatordam
ilgari
yechilmagan bir qancha nazariy va amaliy
masalalarni yechish imkoni yaratilgan.
Integral hisobning asosiy tushunchaiari
bir-biri bilan uzviy bog‘ liq aniqmas va aniq
integrallardir.
7.1. A N IQ M A S IN T E G R A L
7.1.1. Bosh!ang‘ich fimksiya va
aniqmas integral
Berilgan funksiyaning hosilasini topish
differensial hisobning asosiy masalalaridan
bin
hisoblanadi.
Matematik
analiz
masalalarining turliligi. uning geometriya,
376
mexanika, fizika va texnikadagi
J (x )
funksiya uchun hosilasi
keng miqyosdagi tatbiqi berilgan
shu funksiyaga teng bo‘ lgan
/•'(*) funksiyani topishga olib keladi.
Funksiyaning berilgan hosilasiga ko‘ ra, uning o ‘zmi topish
masalasi. integral, hisobning asosiy masalalaridan bin hisoblanadi.
y = /'(x) funksiya (a\b) intervalda aniqlangan bolsin.
l~ta 5rif.
Agar
( a:b)
intervalda
differensiallanuvchi
F(x) funksiyaning hosilasi berilgan / (* ) funksiyaga teng, ya’ni
F '(x )= f (x ] ( yoki dF(x) = / (x)dx) , x e (a ;b )
bo Isa, F (x ) funksiyaga ( a;b) intervalda f ( x ) funksiyaning boshlang‘ich
funksiyasi deyiladi.
Masalan:
funksiyaning
1)
funksiya
F (x ) = x?
sonlar
o'qida
f ( x ) = 3x2
boshlang‘ ich funksiyasi boiadi, chunki
da
xeR
(х 'У = Зхл',
2) F (x ) = \ 4 -x 2 funksiya
intervalda f ( x ) = — т ==г funksiyaning
VI - x2
bosldangleh ftmksivasi boiadi, chunki x e (—1;1) da (- J l -x 2) ' - — . x
VI - x 1
Lemma. Agar F (x ) va Ф(х) funksiyalar (a;b) intervalda f (x )
funksiyaning bosh!ang‘ ich funksiyalari bolsa, u holda F (x ) va Ф(х) birbiridan o ‘ zgarmas songa farq qiladi.
Isbotl F (x ) va Ф(х) funksiyalar (a;b) intervalda f ( x ) funksiyaning
boshlang‘ ich funksiyalari bolsin: F '(x ) = f (x ), Ф’(х ) = f (x ).
U holda istalgan x e (a;b) da
(Ф(х) - F (x ))' = Ф 'О ) - F ’(x ) = f (x ) - f { x ) = 0
boiadi.
Buridan Ф ( x ) - F (x ) = C
yoki
Ф(х) = F (x ) + С kelib chiqadi, bu
yetda C -ix tiyo riy o ‘zgarmas son.
Shunday qilib, f (x ) funksiya
boshlanglch funksiyaga
boshlanglch
2 ~ta’ rlf.
ega
(a;b)
bo‘ lsa,
intervalda
uning
biror
qolgan
F (x )
barcha
funksiyalari {Р (х ) + с| Ce.R} to‘ plamni tashkil qiladi.
f (x )
funksiyaning
(a;b)
intervaldagi
boshlanglch
funksiyalari to‘plamiga f ( x ) funksiyaning aniqmas inlegrali deyiladi va
[ f(x)dx kabi belgilanadi.
377
Shunday qilib , ta ’ r ifg a k o ‘ ra,
(1 .1 )
j f (x ) d x = F (x ) + C.
bu yerda
f ( x ) - integral
ostidagi funksiya, f(x)d x ~ integral ostidagi
ifoda; x - integrallash о ‘zgaruvchisi, j - integrattash belgisi deyiladi.
Aniqmas integralni topish, ya’ ni berilgan funksiyaning boshlanglch
funksiyalari to‘plamini aniqlash masalasi funksiyani integrallash deb
yuritiladi.
Deraak, funksiyani integrallash amali funksiyani differensiallashga
teskari amal boiadi.
Berilgan f ( x ) funksiya qachon boshlanglch funksiyaga ega b oiadi
degan savolga quyidagi teorema javob beradi (teoremani isbotsiz
keltiramiz).
1-teorema. Agar f ( x ) funksiya [a;£] kesmada uzluksiz b olsa u
holda u bu kesmada uzluksiz bolgan boshlanglch funksiyaga ega
boiadi.
K o ‘p hollarda F {x ) funksiya f ( x ) funksiyaning boshlanglch
funksiyasi boiadigan
(a;b) interval sifatida
(a;b)
interval koisatilmaydi. Bunday holda
f (x ) funksiyaning aniqlanish sohasi tushuniladi.
Shu sababli bundan keyin integral ostidagi funksi3'ralar uzluksiz va (1.1)
formula ma’noga ega deb hisoblaymiz.
Masalan, / (* ) = - funksiya (~a>;0) va ( 0;oo) intervalda uzluksiz.
Shu sababli uning aniqmas integral! deb
fdx
x
\ lnx + C,
= !n|xj +C (хФО)
1 ln(-x) + C, x < 0
funksiya tushuniladi.
Boshlanglch
funksiyaning
grafigi
integral egri chiziq deb
ataladi.
Aniqmas integral geometrik
jihatdan ixtiyoriy С o‘zgarmasga
b o g iiq bolgan barcha integral egri
chiziq lar
to‘ plamini
ifodaiaydi.
Agar
F(x ) funksiyaning grafigi
integral egri chiziq bolsa, boshqa
У)
,y = F (x ) + C,
■У = F (x )
О
y = F (x ) + C2
У = Р (х ) + Сг
l-shakl.
integral egri
chiziqlar
uni
o ‘ qi
Oy
bo‘ yicha parallel ko‘ chirish
yordamida hosil qilinadi ( 1-shakl).
7.1.2. Aniqmas integralning xossalari
Aniqmas integral quyidagi xossalarga ega.
Г. Aniqmas integralning hosilasi (differensiali) integral ostidagi
funksiyaga (ifodaga) teng:
( } f (x )d x )' = f ( x ) .
(rfj/ i(x)d x = f (x )d x ).
Jsboti. F ( x ) funksiya f { x ) funksiyaning boshlang‘ ich funksiyasi,
ya’ ni F '(x ) = f { x ) bo41sin.
U holda
(J f (x )d x ) ' = ( F ( x ) + C )' = F '( x ) + 0 = f ( x ) .
(d j f{x )c ix = d ( F (x ) + C ) = dF (x ) + dC = F ’(x)dx = f (x)dx).
Bu xossa integral amali to ‘g ‘ri bajarilganligini differensiallash
orqali tekshirish imkonini beradi.
Masalan, j (Зхг + 5)d x=x3+5x + C to‘ g ‘ ri, chunki (У + 5x + С )' = Зх1+5.
2°. Funksiya differentsialining aniqmas integrali shu funksiya bilan
o‘ zgaraias sonning y ig ‘ indisiga teng:
j d F (x ) = F (x ) + С .
Isboti. F '( x ) = f ( x ) bo‘ lsm.
U holda
[ d F (x ) = jF '(x )d x = j f (x)dx = F (x ) + C.
3°. Gzgarmas ko‘paytuychini aniqmas integral belgisidan tashqariga
chiqarish mumkin:
{ k f (x)dbc = k\ f(x )d x , к = const, к Ф 0 .
Isboti. F '( x ) = f ( x ) bo‘ lsin.
Bundan
Jkf{x)dx = j kF '(x)d x = f (k F (x ))'d x = k (F (x ) + C) = kF(x) + C, = k f f (x)dx
= kC deb oSindi).
379
4°. Chekli sondagi funksiyalar algebraik y ig ‘ mdisming aniqmas
integrali shu funksiyalar aniqmas integrallarining algebraik yig'indisiga
teng:
I (/(■*) ± g(x))dx = \f ( x )d x ± J'g (x )d x .
Isboti. F '(x ) = f i x ) , G '(x ) = g (x ) bo'isin.
U holda
} ( f i x ) ± g (x ))d x = j ( F 'i x ) ± G '(x))d x =
=
J( F ( x ) ±
G ix ))’dx ~ |d (F (x ) ± G (x )) =
= F i x ) ± G ix ) + C = ( F i x ) + Cl) ± (G (x ) + C2) =
~ \ f (x)d x ± f g(x)dx, С, ± С 2 = C.
5°. Agar
= F ( x ) + С bolsa, u holda x ning istalgan dilferen-
siallanuvchi funksiyasi u = u(x ) uchun |f(u )d u = F ( u ) + C bo'ladi.
Isboti. x erkli o ‘zgaruvchi, f ( x ) uzluksiz funksiya,
F ( x ) funksiya
f ( x ) funksiyaning boshlanglch funksiyasi bo'isin.
U holda
|/ (x)d x = F ( x ) + С bo' ladi.
u -< p (x ) bo‘ lsin, bu yerda q>(x) — uzluksiz hosilaga ega boMgan
funksiya.
Birinchi differensialning invariantlik xossasiga ko‘ra,
d F (u ) = F '(u )d u = f(u )d u
bo‘ ladi.
Bundan
\ f(u )d u = f d {F {u )) =F(w) + C.
Bu xossa integrallash formulasining invariantsgi xossasi deyiladi.
Demak, aniqmas integral integrallash o ‘zgaruvchisi erkli o‘zgaruvchi
yoki erkli 0 ‘ zgamvchining uzluksiz hosilaga ega bo‘ lgan ixti}/oriy
funksiyasi bolishidan qat’ iy nazar bir xil formula bilan topiladi.
7.1.3. Asosiy integrallar jadvali
Integrallash amali differensiallash amaliga teskari amal boMgani
uchun asosiy integrallar jadvalini differensial hisobning rnos
formulalarini (differensiallar jadvalini) qo‘ Hash va aniqmas integralning
xossalaridan foydalanish orqali hosil qilish mumkin.
380
Masalan, d(sinu') = cosudu ekanidan Jcos udu = JJ(sin m) = sin и + C.
Quyida keltiriladigan integrallar asosiy integrallar jadvali deyiladi.
Asm iy mtegrallsr jadvali
1. f и
au = -
a +1
+ С, (а Ф—1) j
3. f a“du = ---- + C, ( 0<a^ l) ;
Ina
5. |sin udu = - cos и + С;
7. j tgudu - - to |cos и j= С;
с du
_
j — — = tgu + C;
cos и
11 .
du
и
m lg - + C:
,
2
8ШМ
du
4. \e"du = e" + C;
6 . |cos mJm= sin и + C;
8 . \ctgudu = to j sin и |= C;
10. f—
= -cfgw + C;
sin' и
M яЛ
+ C;
12. J—
= ln
14. j
a
, du
1
и _
15. J—---- - = —arctg—+ C\
a +и
м
a
17 Jshudu = chu + C;
f du
,
^
19 — — = tnu + C;
Jchlu
2+ 4)
COSH
13. j ,------- = arcsin-- + C;
Ыа2- и 1
2. f— = h | «| = C ;
a
du
iи+ Vw^+Га2I+ C.
= 1п|
-Ju2± a 2
16. j
du
w2 - a2
= — In
2a
u-a
и -f-a
+ C;
18. \chudu - shu + C;
sh2u
- - cthu + C.
Asosiy integrallar jadvali da integrallash o ‘zgaravchisi и erkli
o'zgaruvchi yoki erkli o ‘ zgaruvchining funksiyasi (5- xossaga ko‘ra)
bo‘ lishi mumkin.
Jadvalda keitirilgan formulalaming to‘ g ‘ riligiga uning o ‘ng
tomonini differensiallash va bu differensialning formula chap
tomonidagi integral ostidagi ifodaga teng bo‘ lishini tekshirish orqali
ishonch hosil qilisb mumkin.
Bu integraliardan birining, masalan 13-formulaning to‘ g ‘ riIigini
ko‘rsatamiz:
7.1.4. Integrallash usullari
Bevosita integrallash usuli
Integral ostidagi funksiyada (yoki ifodada) ahnashtirishlar bajarish
va aniqmas integralning xossalarini qoMiash orqali berilgan integralni
bir yoki bir nechta jadval integraliga keltirib integrallash usuliga
bevosita integrallash usuli deyiladi.
Misollar.
1) J| 5 s in x — -2—— + x 3 W = 5j s i nxcf e- 2j — - + Jjr3<& =
\
jc
h
j
x +1
x4
= —5cosx - 2arctgx + — + С ;
r cos2x
, . cos2x - sin2x ,
2) I — » . , dx = l -----t dx = S\
cos xsm x
/
cos xsm x
1
Vsin x
1
cos x
f dx
. dx
2
„
= J— ---- J-----T- = - c t g x - t g x + C = —
+ C;
sin x
cos x
sm2x
3)
1+ x
= —J-—X - ■■■-afc= - J (l- x 2)afc + J- ^
1+ x
1+ x 2
= —f dx + f x 2dx + 1------- = —x н----- t- arctgx + C.
1+ x 2
3
Berilgan integralni jadval integrallariga keltirishda differensiaining
quyidagi almashtirishlari («differensial arnali ostiga kiritish» jarayoni)
qo‘ l!aniladi:
1
I
du = d(u + a), a —son; du = — d(au); udu = —d (ti2); cosudu = d(s'mu);
a
2
sm u d u = -d (co s u ); —du = d(\nu);
и
— \— du = d(tgu).
cos и
Umuman olganda, f'(u )d u = d ( f (a )).
Bu formuladan integrallarni topishda ko‘ p foydalaniladi.
Misollar.
1ч f
1)
] , d(3x)
l l
3x
1
3x _
- = - f ----— ^-г = = ---- arctg— + C = — arctg— + C;
l6 + 9x
3 16 + (3x)2
3 4
4
12
4
dx
382
rcosx + sinx ,
,rf(sinx-cosx)
sin x —cos x
sin x - cos x
...
. _
2 ) j — ------------ cfe = j — ---------------— = I n j s m i - c o s x j +C .
О ‘rniga qo ‘yish (o ‘zgaruvchini almashtirish) usuli
K o ‘ p hollarda mtegraldagi o'zgaruvchini almashtirish uni bevosita
integrailashga oSib keiadi. Integrallashning bu usuli о ‘rniga qo ‘yish
(o ‘zgaruvchini almashtirish) usuli deb yuritiladi. Bu usul quyidagi
teoremaga asoslanadi.
2-teorema. Biror T oraliqda aniqlangan va differensiallanuvchi
x = (p{t) funksiyaning qiymatlar sohasi X oraliqdan iborat b oiib , X da
/ ( x)
funksiya
aniqlangan
va uzluksiz,
ya’ni T oraliqda. f(<p(t))
murakkab funksiya aniqlangan va uzluksiz boMsin. U holda
( 1.2 )
j f(x)d x = j f((p(t))<p'(t)dt
boiadi.
Isboti. X
bo ism . U holda
oraliqda F {x ) funksiya f i x ) funksiyaning boshlang‘ ichi
F(<p(t))
murakkab funksiya
Г oraliqda aniqlangan,
differensiallanuvchi hamda
F'A<p{0) = К Ы 0)<Pf( 0 = f ( v ( 0 ) 9 ' ( 0
boiadi.
Bundan
\f((p(t))cp'U)dt = JF'(<p(t))dt =F(tp{t)) + C =
= F (x ) + C l ^ r \f(x)dx\x^ t)
hisobga olinsa,
{f(x )d x = J f ((p(t))(p'(t)dt.
( 1.2 )
formula aniqmas integralda о 'zgaruvchini almashtirish
formulas! deb yuritiladi.
Ayrim hollarda t = q>(x) o ‘ miga qo‘yish bajarishga to‘ g ‘ri keiadi.
U holda
lf(<p(x))<p'(x)dx = \f(t)dt
boiadi.
o‘ngdan chapga qoilanishi ham mumkin.
1-misol. \x-fx-3dx. integralni toping,
Yechish. v x - 3 = t almashtirish bajaramiz.
U holda x = t1+ 3, dx = 2tdt.
383
Demak, (1.2) formula
Shu sababli
\ x 4 x -3 d x = j ( t 2 + 3) i •2tdt = 2} ( I 4 + 3?2># =
= 2 | ^ ^ + 6 {г 2^ = 2 - - - + 6 - - + С = - л/ ( ^ - 3) 5 +2у1(х-ЗУ + C .
5
3
5
2 - misol. \ ^ + ]nxdx integralni toping.
xlnx
Yechish. 1+ lnx - t2 bo‘ lsin.
Bundan
\nx = t2 - 1,
dx
— = 2tdt.
x
U holda (1.2) formulaga ko‘ ra,
t-Jl + Inx ,
rt-2idt
„г t2dt
t + -In
2
■21H In
t - 11
+ C --
t + l[
(л/1 + lnx)2
Гг-П2
•f С - 2v 1+ In x + In
+C=
1+l nx- l
t2- l
= 2л/1 +inx + 2Ink/1+ Injc - li - injlnx\ + C.
3- misol. JVi + cos2л-sin 2xdxintegralni toping.
Yechish.
1+ cos2x = t2 deymiz.
Bundan
- 2 cosxsinxabc = 2tdt yoki sin2xdx = -2tdt.
U holda
Jл/1 -ь cos2x sin 2xdx = Jt(-2t)dt =
= —2 ■— + С = ——л/(Г+ cos2x )1+ C .
3
3V
Izoh. Ayrim hollarda integrallashning o ‘ zgaruvchini almashtirish
usuli takroran qo‘ llaniladi, ya’ni bunda bajarilgan o ‘ rniga qo'yishdan
so‘ng shunday integral hosil boiadiki. bu integralni boshqa o ‘ rniga
qo‘yish orqali soddalashtirish yoki jadval integraliga keltirish mumkin
bo‘ ladi.
384
Bo ‘laklab integrallash usuli
B o‘ iak!ab integrallash usuli ikki funktsiya ko‘ paytmasining
differensia li formulasiga asoslanadi.
3-teorema. u(x) va v(x) funksiyalar
qandaydir X oraliqda
aniqlangan
oraliqda
va
differentsiallanuvchi
boshlanglch
bo‘ lib,
funksiyaga ega,
mavjud bolsin. U holda X oraliqda
u'(x)v(x)
ya’ ni
funksiya
bu
integral
ju ’(x)v(x)dx
u(x)v'(x) funksiya boshlanglch
funksiyaga ega va
( 1-3 )
j u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - Jv(x)u'(x)dx
boMadi.
Isboti. (u (x)v(x ))'-=u '(x)v(x ) + v'(x)u(x) tenglikdan
u(:x)v'(x) = (u(x)v(x)y —v (x )u '(x ).
(u (x)v(x ))' va
u’{x)v{x)
funksiyalar X
intervalda boshlanglch
funksiyaga ega bo‘ lgani uchun v'(x)u(x) ham X intervalda boshiang‘ ich
funksiyaga ega bo'ladi. Oxirgi tenglikning chap va o‘ ng tomoniarini
integrallasak, (1.3) formula kelib chiqadi.
(1.3)
formulaga aniqmas integralni bo ‘laklab integrallash formuiasi
deyiladi.
M a’ iumki,
v'(x)dx = dv, u'(x)dx = du.
Demak, (1.3) formulani
(1.4)
\udv = uv-\j vdu
ko‘ rinishda yozish mumkin.
B o‘ laklab integrallash usulining mohiyati berilgan integralda
integral ostidagi f(x )d x ifodani udv ko‘paytma shaklida tasvirlash va
(1.4)
formulani
q o ‘ Hagan holda
berilgan
fudv
integralni
oson
integrallanadigan fvdu integral bilan almashtirib topishdan iborat.
B o‘laklab integrallash orqali topiladigan integrallaming, asosan,
uchta guruhini ajratish mumkin:
1) JP(x)arctgxdx, j P(x)arcctgxdx, JP(x) Inxdx, JP(x)arcsmxdr,
[ P(x)arccosxdx
(bu yerda
P (x )
-
385
k o ‘phad) ko'rinishdagi
1-gurnh
integrallar. Bunda dv = P (x )d x deb, qolgan ko'paytuvchilar esa и bilan
belgilanadi;
2) JP (x )e krdx,
j P(x)sin kxdx,
j' P(x) cos kxdx
ko‘rinishdagi
2-
guruh integrallar. Bunda и = P (x ) deb, qolgan ko‘ paytuvchilar dv deb
olinadi;
3) je fc sin kxcb:,
je k cos kxdx
ko‘ rinishdagi
bo‘ laklab integrallash ormulasini
3-guruh
integrallar
takroran qo‘ llash orqali topiladi.
4- misol. Jarctgxdx integralni toping.
и = arctgx, du Yechish. j arctgxdx =
dx
l + x1
- xarctgx - j -----jdx -
l +x
dv = dx, v = x
1 ■c l(1 4" X ) ,
1.
|.
2!
=xarctgx - —j —j---- dx = xarctgx - —lnjl + x j+ С.
^-1
5- misol. fxe’dx integralni toping.
Yechish.
и = x, du = dx
=xe - fexdx = xex - e * + C = e*(x-1) + C.
xectx =
dv = e*dx, v - e x
V‘
»
6- misol. I = [sinxelxdx integralni toping.
Yechish.
I = j sin xe2,flfx: =
u = elx, du = 2elxdx
dv = sin xdx, v = -cosx
u = e 2x, d u -2 e 2xdx
dv - cosxdx, v = sinx
\
elx cosx + 2 f eZt cosxdx =
= - e lxcosx + 2( 2’ sinx -- 2[eZxsin xdx) =
= e2x(2sin x —cosx) - 41.
Bundan
1 = —e 2r(2sinx-cosx) + C.
5
386
K o ‘ rsatilgan
uchta
guruh
bo‘ laklab
integrallanadigan
inlcgrallarni o ‘ z ichiga olmaydi. Masalan, j - X-^ -
integral
cos x
keltirilgan
integrallar
guruhlariga kirmaydi,
integrallash usuli bilan topish mumkin:
, xdx
1—
cos2x
.
barcha
vuqorida
lekin uni bo‘ lak!ab
U = X, du-dx
! d v-
*
, v-tg x
= xtgx - 1Igxdx = xtgx —In |cos x j +C.
7.1.5. M ashqlar
1.
Berilgan integrallarni aniqmas integralnmg xossaSari va integrallar jadvalini
qoMlab toping:
2) f —— --dx\
I ) 11 5tgx — t~— + x *1 ■dx\
x+ l
J
' J x+3
4) j f
2
3 .
J + X2
V l- X 2
'].* ,
J
- 4,-2-3I -3-2,! ,
-■>.)]-----—-----or;
fГ . x
xV ,
o) jjsrn —+ cos—j ta;;
7 ) j e{ i + ^ l - V ;
J ^ cos xу
8 )fl= * 2 ^ & ;
J sin x
9) Jctg2xdx,
10)J
ll)f—
dbc
* cos2x-cos 2x ’
— ■
12) f
— ---------
■ 25 + 4x2 ’
2. Berilgan integrallarni differensiai ostiga kiritish usuli bilan toping:
I) f
dx\
J cos'x
2 ) f cos2x sinxdx,
J
3 ) r V W 2x ^
J l + 4x
J
x+ 5
.^Je^'eosxaix,
6)|е~г х2Л;
7 )f- ^ ^ ;
8) р # Л ;
• sin x
■* -Jx
•«A-e2*
sin24jri/cfg24jt
387
3. Berilgan integrallami o ‘ rniga q o‘ yish usuli bilan toping.
ex -1
ex + l
x ax
2>J
dx:
Xй+2
3 ) j - J l 6 - x 2dx:
\!x* + 4
cos2xiir
5) j x 4 x 3+3 dx\
6) [ - 2 2
7){
8) f ^ d r ;
9)J
•*l-i-sinj.uxosx’
4x -5
j x2+5
(arcsm x )'4 \ -
!0» b
V'3.x2 - 2 x - I
л/5-4ж-
11) Jлг(2дг+7),<Jfifcc;
12) J
e lr'dx
13) f ~x~—~ ;
14)
■*« —9
dx
Jb4jt
4. Integrallami bo‘ laklab integrallash usuli bilan toping:
y.
1)^xarctgxdx,
2 ) j arcsinjofc
3) Jxlnxtfe;
4) j x 1e*dx;
5)|x3''dx;
6 ) ^ xsin2xdx;
7) fxlnfa:+!)<&;
J
*> J -_
jcsin xdx
, 4 9) f sin to jafe;
1 0 ) | e 4x sin ixdx.
И)
12) f
J cos2*
Inarctgxdx
1+ *"-
5. Integrallami toping:
l ) j x3VlT7dEe;
2 ) Jsin3xsin
3) Je* cos2(e“)abr,
4 )jf;
1 -t o r
5>j;
7)f
6 ) f _ J n .Xdx
-A;
хП— 2x)’
x(l-ln
dx
dx
(x + l ) ( 2 x - 3 ) ’
jc(4 -r!n 2x ) ’
388
9) f——r~ ;
■ cos x
1 0 )1 —^ = ;
J x ^ 2 x -9
лл\ r elxdx
'"««'dx
V3 + e
I3 )js in 2— dx;
2
14 ) j x i g ‘ x 2dx:
15) f jc2In2xdx;
16)
■>
J
sm
X
7.2, RATSIONAL FUNKSIY.ALARNI
INTEGRALLASH
7.2.1,Sodda !<asrSarni integrallash
6.2
banddan biiamizki, quyidagi
ratsional kasrlarga sodda kasrlar
deyiladi:
i.
x- a
II. ,
A
(x - a )
m.
(A > 2, *е Л 0 ;
4i?<o);
x" + px + q
My .j. ДГ
/К. — i--------- — ,(s > 2 , s e A 7, p 2-4 q < 0 ),
(x + px 4-g)
bu yerda .4, M , N, a, p, a -■ haqiqiy soniar.
I va i l turdagi sodda kasriar jadvai integrallari orqali topiladi:
( 2 . !)
=
' x -a
\ x -a )k
r
*
>
t
'
x -a
>
40 ~ « )
_ jfc+ i
•‘•+ C = ------ —-----rr + C. (2.2)
(i- £ )(jc - a )‘-1
III turdagi sodda kasrni qaraymiz.
f— — + N dx integralining suratida kasming maxrajidan olingan hosiia
3x2+ px + q
(x1+ px + q)' = 2x + p ni ajratamiz va natijani integrallaymiz:
389
М
Мр
M x+N
— (2x + p ) + N ———
^
j - f - - - - - - - dx = J-2------ ----------------2 dx = ™
x + px + q
x + px + q
2
J ff-Щ
x +px + q
f _ _ * _ = " y iJ N -M
2 / x + px + q
V
2х+р
2
dx +
pV
2 )
yoki
с Mx + N J Af r Л . M p \ T
Hx -+—
^ уK px —
+ <7dx= т2 1+ vл _ 2
Bu tenglikning o ‘ng tomonidagi integrallardan birinchisi
J, = In |x1+ px + q |.
Ikkinchi integral maxrajida to‘ liq kvadrat ajratamiz va integralni
quyidagicha hisoblaymiz:
Jx+ P )
.
t
dx
r
[ 2
J
2
2x + p
Ji = h , ~ i = b —
v—
i = - n = ? arcig ~
x 2+ px + q
( x + p J +<}_р?_ л/4 q ~ P 2
Л ^ Ч - Р 1’
bunda 4q - p 2> 0, chunki D < 0.
Natijada quyidagiga ega bolam iz:
'M x + N
,
M . , 2
, 2A' - iVIp
J — ------------ dx = —-In| x ' + px + q\ + r------- 1-arctg
2
x+px+q
yl4 q -p
1- misol. 1 = f
2x + p
Г
„
+ С.
n
(2 .3 )
-J 4 q -p
integralni toping,
x + 6x +13
—(2 x +
ГесАйЛ
J
6) + l l ~ —-6
,
------- 2 _ ^ Л f
x + 6x + 13
2
,
+
,
_ 4 j _ * ------- =
x + 6 x + 13
x + 6x +13
= “ !n|xJ + 6x + 13|—4J.
Bu yerda
, r
dx
( d(x + 3)
1
x+ 3
J = ------- ----- = ---- v . ■, = -arctg ----- .
(x + 3) + 4
(x + 3) + 2
390
2
2
Bundan
f—
—— dx = —In I x2 + 6x +131-2 arctg— — + C.
} x2+6x + \3
2
2
fV turdagi sodda kasming integral ini topamiz:
,
Mx + N
.
M f (2x+p)dx
I— ------------- dx = — f—>------—---- +
J(x + px + q )‘
2 (x* + px + q)‘
d
)h ---------- ^—
+ 1N - —
2 " f
Л4
V
Bu tenglikning o ‘ ng
integralga keltirib, piladi:
— —
v •
<2 -4 >
pу
p> Y
x + — + q- —
2>
4J
tomonidagi birinchi integral jadvaldagi
7 _|. ( 2jc + р )Л
(x 2 + px + qУ
=
J
+ px J-q )~ 'd (x 2+ px + q ) - /
(1 - л’)(х 2 + px + q )‘
ikkinch: integralga (uni / bilan belgilaymiz) j x + ■—Y - f almashtirish
bajaramiz va 0 < q
= a1 belgilash kiritamiz.
U holda
(
d\ x +
I = f ________I - - L L _____ = f —
'
■
’ S'
Y
iY
^ ---------- L f £ ± £ ! Ь ' 1 Л =
} (t2+ a 2y
a2
(t2+ a y
■J
1 Г
:
1 j-
dt
t*dt
(fJ+ а 2Г 1" a2~j a 2 + fl2) s
Bu tenglikning o ‘ng qismidagi birinchi integral Is ga o‘ xshash
bo‘ lib, unda maxrajning darajasi s dan bir birlikka kichik. Shu
sababli, belgilashga ko‘ ra, /_, bo‘ ladi. Ikkinchi integralni bo‘ laklab
391
integrallaymiz:
t2dt
1f
t
■2tdt
2(s - !)(Г + a2)-'• + 2 0 - 1)
'
Demak, Is integralni hisoblash uchun s darajani pasaytirish
formulasini hosil qilamiz:
a2
+ 2a (s - l)(f 2 + a ) s-'
2a2(s - 1)
(2.5)
*
+
~^ I
~ 2a2(s - 1 () t2+ a2) " ' + 2a2(~s^V) '", ‘
Shunday qilib, (2.5) formula bo‘yicha I t integralni topamiz, keyin
/. dagi barcha t ni x + ~ bilan ahnashtirib va I , I, integrallami
(2.4)
tenglikka qo‘yib, IV turdagi sodda kasr integralini topish uchun ifoda
hosil qilamiz.
(2.5)
formula bo‘yicha / integralni topish indeksi bittaga kichik
bolgan
/_, integralni topishga,
/_ 2 integralni
integralni topish esa o ‘ z navbatida
topishga keltiriladi va bu jarayoxi quyidagi jadval
integralni topishgacha davom ettiriladi:
Demak, (2.5) formula orqali l t dan
ga , so‘ngra / _2 o ‘ tiladi va
hokazo.
Shu sababli bunday formulalar keltirish yoki
( qaytuvchan) formulalar deyiladi.
I-dx integralni toping.
Yechish.
|
2x + 4 + ]
.
г
2x + 4
, (
dx
:---- --vox = — — ----- — dx + —-— —
392
reJmrrent
1
d (x + 2)
г
1
~ ~ V + 4x + %+ ' [(x + 2)2 + 4]3 ~
j•
dt
x 2 + 4x + 8 + ' t2 + a2’
bu yerda t = x+2, a -2 .
(2.5) integraldan foydaianib ayrira hisoblashlardan so‘ ng
t
1
t
x+2
1
x+2
I, = — г—----- — + — r arctg—= --- ----------- 4— arctg-----2 2a {t + a ) 2a
a 8(x2 +4x + 8) 16
2
ekanligini toparaiz.
Demak,
с
2x + 5
,
— ;------------ . dx =
(x + 4x + 8) z
I
x+2
x 2 + 4.x + 8
8(x 2 4- 4x + 8)
1
x+2
„
н----arctg—-— + С =
16
x- 6
1
x+2
— + — arctg--------t- C.
8(x 2 + 4x + 8)
16
7,2.2. Ratsional kasrlam i integrallash
6.2
banddan
va
yuqorida
aytilganlardan
R ( x ) - ~ - ^ j ratsional kasr funksiyani integrallash
kelib
chiqadiki,
quyidagi tartibda
amalga oshiriladi:
1) berilgan ratsional kasming to‘ g ‘ ri yoki noto‘ g ‘ri kasr ekanini
tekshirish; agar kasr noto‘g ‘ri bo‘ Isa, kasrdan butun qismini ajratish;
2 ) to‘ g ‘ri kasming maxrajini k o‘paytuvchilarga ajratish;
3) to 'g ‘ri kasmi sodda kasrlar y ig ‘ indisiga yoyish;
4) hosil b olgan ko‘phad va sodda kasrlar y ig ‘ indismi integrallash.
x4Ч- 6
3- misol I - f—-------------dx integralni toping.
x" —2x + 2 x
X4 Hh6
Yechish. R{x) = —г----- ------- noto‘g ‘ri kasr, chunki
x —2x + 2x
m = 4, n = 3 (m > ri).
Bu kasming suratni maxrajga bo‘ lish orqali kasrdan butun qismini
393
ajratamiz:
x* +6
Xх —Ix '
l*3 - 2 х г + 2x
+ 2хг
X
+2
2x' -2 x 2+6
2x - 4x2+ 4x
2x2-4 x + 6
Bundan
R(x) = x + 2 +
2x1—4jc + 6
x%- 2x2+ 2x
T o ‘ g ‘ ri kasming maxrajini ko‘ paytuvchilarga ajratamiz:
.x3 - 2x1 + 2 x = x (x 2 - 2 x + 2).
T o ‘ g ‘ ri kasmi sodda kasrlarga yoyilmasi ko‘rinishida yozamiz:
2x2 - 4 x + 6
A 1 ----------------------------Mx + N _
x
x —2x + 2
----------- ------------------------------------------------ —
x (x - 2x + 2)
Yoyilmaning noma’ lum koeffitsiyentlarini topamiz:
2 хг —4x + 6 = A (x —2x + 2) + Mx + Nx,
x2: A + M = 2,
x ' : -2A + N = -4,
хй: 2/1 = 6 .
Bundan A =3, M = - 1, Ar = 2.
Shimday qilib,
K o‘ phad va sodda kasrlar y ig ‘ indisini integrailaymiz:
—( 2x - 2 ) + l —2
2
1
_
l f
__________
x2-2 x + 2
394
2x —2
7.2.3. Mashqlar
1. Integrallami toping:
1)
f—
—
- —
(x - 2)(x + 5)
dx,
2 ) f -------- —
3) f _ ___ ________ •
4) f
■' (x + 1)0 + 2)(x + 3) ’
_■
6 )i~ ~ d x ;
* 4x - x
~r\ г2л *3 4- 2л;2+ 4-х + 3 j
f ) \ -----------?------ 5--------- ax,
J
хг + х 2
o\ Г
2 + 5.x3
7
8) ------ r---------------dx;
/ } x (x 2- 5 x + 4 )
x*z2---- 10)f-r -'*
х5- 2х *-х +2 ’
yJ л 2(хг +I)’
dx
1)
Sxc**
■>(x + 1)(jc2 + 6x +5) ’
S)f—
dx;
' x (x -l)(x + l)
9) f
------- ;
J (x + 1)(2jc +1)
dx
■^ ( l + x2) ’
13) f - - - —. - - - 2+ *— <&:;
J
x‘ +* + l
15)
14^ f
' Jx4-1
;
1 6 )f-A r ;
-1 ( x
x —1
+9)
17) f ,
. dx;
•* 0 ‘ + 2 x+2)‘
, n 4 r x* + 2x2+ x
18) f—
,
, dx:
' (x - 1 ) 0 + 4)
;--------------------------19>JJ T( r T 4- -. 4—r - t ^ l Y ‘ ------------- 4 Г 4 .И )
' (x 2 +4* + 5)(jr 4+4.T+13)’
2 0
3x + 5
) fdx
(
•' J(дг+1)
2 (х 2 +1)’
21) J " t A t !
J 0 + 1)
22> f , ZX~ 1 2dx;
^ ( x 2-2 x + 5 )2
W It
щ
t t
1* * *
З(х2-3 х + 3)"
^ Щ
+Rac.
' x +13x +36
7.3. TRICONOMETRIK FUNKSIYALARNI
INTEGRALLASH
Trigonometrik funksiyalarni integrallash usullaridan ayrimtari bilan
tanishamiz. Faqat trigonometrik funksiyalar ustida ratsional amallar
(qo‘ shish, ayirish, ko‘paytirish va b oiish ) bajarilgan ifoda berilgan
bo' lsin. Bunday ifodani barcha trigonometrik funksiyalarni sinjc va cosx
395
funksiyalar
orqali
ratsional
ravishda
ifodalash
va
i?(sinx,cosx)
ko‘rinishga keltirish mumkin.
7.3.1. |R(slnx,cosx)dx ko‘ rinishidagi integrallar
J R(sinx,cosx)£*c
ko‘ rinishidagi
integralni
=1
almashtirish
orqali hamma vaqt t o ‘ zgaruvchili ratsional funksiyaning integraliga
almashtirish, ya’ ni ratsionallashtirish mumkin. Shu sababli bu
almashtirish universal trigonometrik almashtirish deyiladi.
Haqiqatan ham, |i?(sinx, cosx)dx ifodadan
2(g':
1-t g ‘
21
smx =
1 + tg2-
cos x =
!+f2 ’
2
l + tg
7
l -t 2
,
2dt
— = ----- г > x = arctgt, dx = ---- x
1+ f
1 + t2
tarzdagi o ‘rniga qo‘yishlar yordamida t o ‘ zgan.ivchiIi
2 1 \ - f \ 2dt . _ ,. ,
,JW
w
Г Т Т 7 -т ) л
ratsional funksiya kelib chiqadi.
dx
1- misol. I = |
3sinx + 2cosx + 3
integralni toping.
Yechish. t6 g2 - - t deymiz. U holda
2dt
dt
dt
t2+6t + 5
(7+ !)(/ + 5)
T +7
3
l+t
=
2 izZ__ + з
1 + i-2
+—
и = Л 1пи + 1|+£1п|/ + 5|+С.
\ t + 1 t+5J
Noma’ lum koeffitsiyentlami aniqlaymiz: A =
Demak,
/=-i(ln|r + l|-]n|r+5|)+C = |ln
t+ i
t+5
= -to
2
*
+ C.
/•
^ 2 +5
396
Universal trigonometrik o ‘rniga qo‘yish
natijasida amaida
ko‘pincha ancha murakkab ratsional funksiyalar hosil bo‘ lishi mumkin.
Вunday hollarda yuqorida keltirilgan integralni topishda quyidagi sodda
almashtirishiardan foydalangan ma’ qul:
a) agar i?(sin x, cos x) ifoda sin x ga nisbatan toq, ya’ni
R (- sin x, cos x) = —R( sin x, cos x)
bo‘Isa, u holda cosx = * o ‘miga qo‘yish bu funksiyani ratsionallashtiradi;
b) agar R(sm x,cosx) ifoda cosx ga nisbatan toq, ya’ ni
/?(sin x,- cosx) = -i?(sin x, cosx)
bo'Isa, u holda
sinx = / o ‘miga qo‘yish orqali bu funksiya
ratsionallashtiriladi;
c) agarif(sinx,cosx) ifoda sinx va cosx larga nisbatan juft, ya’ ni
R (—sin X , - cos x) = i?(sin x , cos x)
boMsa, u holda
tgx = t o ‘miga qo‘yish bu funksiyani ratsionallashtiradi.
Bunda quyidagi almashtirishiardan foydalaniladi:
•2
tg2X
t2
+ tglx
I + ?z '
1 1
1 + tg2x 1+ t2’
2
COS X -
Sin X = ---2— — = --------,
,
dt
x = arctgt, ax, = l+ t2
i
г
2-misoi. I -
с
cos xdx
.
.
.
■
— ---------------- integralni topmg.
sin x - 4sin x + 5
Yechish. Integral ostidagi fimksiya
funksiya. Shu sababli sinx = t deb olamiz.
U holda
cosx
ga
nisbatan
toq
I = f —---------- = f ...J '~'t ? - = arctg(t - 2.) -i- C = arctg(sinx —2) + C.
t —At + 5
it —2) +1
3-misol. I = ri---- ■
■ integralni toping.
1 - 2 sin x
Yechish. Integral
ostidagi funksiya
sinx ga nisbatan juft
funksiya. Shu sababli tgx = t o‘miga q o‘yishdan foydalanamiz.
U holda
dt
t+ 1
tgx + l
1a J.. l + t 2 = f _ ^ L = Ijn
= —In
+ C.
J.
212 J 1 - f
2 t - 1 2 tgx —I
l+ t2
397
ko‘rinishidagi integrallar
7.3.2. j’sin', x co s” x£&
Jsin" x-cos'”xdx k o‘rinishidagi integrallar m v a
n butun soniarga
b o g ‘liq holda quyidagicha topiladi:
a)
n > 0 va toq b o ’ lganida cosx = r o ‘rniga q o ‘yish integralni
ratsionallashtiradi;
m> 0 v a toq b o ‘lganida sinx = ? o ‘rniga q o ‘yish orqali integral
a)
ratsionallashtiriladi;
c)
m va n sonlar ju ft v a nomanfiy b o ‘ lganida
l- c o s 2x
. ,
2
l + cos2x
sm x = ----------- , cos x = ------------
2
2
formulalaridan foydalanib, darajalar pasaytiriladi;
d ) m + n<Q
m v a n juft
hamda
b o ‘ lganida tgx = t yoki ctgx = t
o ‘m iga q o ‘yishdan foydalamladi. Bunda m < 0 v a « < 0
b o ‘lsa, suratda
I _|_ I
k = -— -— - - 1, almashtirishdan iborat usul
yyi
1 = (sin2x + cos2x f , bu yerda
q o ‘llab, ratsional funksiyalami integrallashga keltiriladi.;
e) m, w<0 va ulardan
qaysi birining
funksiyaga
darajasi
biri toq
toqligiga
b o ‘ lganida sin л v a cosx lardan
qarab,
surat v a
maxrajni
shu
q o ‘shimcha ko‘paytirishdan foydalaniladi.
4-misol. Jsin5xcos2x«fc integralni toping.
Yechish. Jsin" хеш2xdx ( « > 0 va toq, cosx = t) - j sin4xcos2x sin xdx =
= -J(l - 12) 2t2dt = - jt'dt + 2]t'd t - \ t 6dt =
1
,
2
з
1
3
7
+ — - —+ С =
5
7
^
= ---- COS X + — COS’ X ------COS X + C .
3
5
7
5-misol. |sin4xcos1xdx integralni toping.
Yechish. Jsin4xcos2x^& (n,m>0 van,m-juft) = J(sinxcosx)2sin2x<&=
/sin 22x^ f l - c o s 2x V
= J^— - —
---- ----- I
l r. . 2„
. 2„
g ](sm 2x -s m ‘ 2xcos2x)ax =
1, l- c o s 4 x ,
1 . .
.
= —J------------ ax------jsm 2xa(sin 2x) =
8
2
16
398
1(
вш4дЛ
sin' 2x
1f
sin 4x
48
16‘v
4
: --- X ------------ I-------------- Ь С —--- X
16V
6-misol.
4
j
/= f— -------—
sin32xN
+ C.
integralni toping.
* sin xcos x
1171 + Yl j
Yechish. Bunda n = - 4 , m = -2 , n + m = - 6 < 0 , k = -— - — - - 1 = 2.
Demak,
,
f (sin 2x + c o s 2x ) 2
f sin, x + 2 sm 2xcos2x + cos4x .
sm xcos x
sm xcos x
------T J-d x = j -----------— ------j----------- dx =
= f
+ 2 f —Щ—+ f C° S X dx = tgx- 2ctgx - 1ctg1xd( clgx) =
J cos x
J sin x 1 sin x
= t g x - 2ctgx - ^ c fg 3x + C.
7.3.3. \tg"xdx va \ctg"xdx
Jtg"xdx
ко‘rimshidagi integrallar
va \ctgxdx (bu yerda « > 0 butun son)
integrallar mos rasvishda
ko‘rinishidagi
tgx = t va ctgx = t о 'rniga qo'yish orqali
topiladi.
Bunday integrallami o ‘ rniga qo‘yishlardan foydalanrnasdan,
bevosita
1
,
2
1
tg x = — -- ---- 1, ctg x = — ----- 1
cos x
sm x
formulalar yordamida hisoblash ham mumkin.
7-misol. |tg5xdx integralni hisoblang.
Yechish.
1-usul. \tgixdx= tgx = t, dx.= ^ ■ = f 1
i +
1
f j
r tclt
t
t
J
J1+ t 2
4
2
f 2 l
l
\
+
\ fd te
J
1 с (14" t } t
i
1, .
21 ^
= -----------!— in \\ + t2 + C
2 J 1+ ?2
4 2 2
- \t di + f ----- - = -------- + - | — —
=
= -tg *x ——tg2x - —\n\cos2x\+C = —tgix —~ tg2x - !n |cosx I+C.
4
2
2 '
'
4
2
399
{ tg^xdx = Itg3x •tg2xdx = jtg*x •f — -- ---- 1 \dx=
2-usul
\COS X
= i V * •— % —
cos x
J
Jtg'xdx = Jtg}xd(tgx) - 1tgx-I — l— - \\ix =
l4cos x
J
= —t g x - Jtgxd(tgx) - } tgxdx = —f g 4x - —/g2x - in |cosx j +C .
4
4
2
7.3.4. Jsinтехcos recti*:, Jsmmxsin/m&r, Jcos техcos «xdx
ko‘ rinishidagi mtegrailar
Bu ko‘ rinishdagi integrallarni hisoblashda
sin m x cos nx ----- --(sin(/и + n )x + sin(/w - n )x ),
sin mxsin nx = (cos(m -
n )x
-- cos(те +
r i )x ),
cos mx cos их = i(c o s (» j + ri)x + соз(да - ri)x)
trigonometrik formulalardan foydalaniladi.
|cos3x-cos5xdx integralni toping.
8-misol.
Yechish.
j cos3x ■cos 5xdx -
J(cos8x + cos2x)dx =
= —[ —sin8x + —sin 2x j + С = — (sin 8x + 4 sin 2x) + C.
2 18
2
j
16
7.3.5. M ashqlar
1. Berilgan integrallarni toping:
1) f--- —--- ;
j 5 + 4sinx
3) f ------ ------------- ;
3 + 5smx + 3cosx
2) f------* ----- ;
J2sinx + sm2x
4 )f
Л
•* 4 + 2sinx+3cosx '
sin xdx
s3 cos3xdx
J sin4x
л/з^соТх’
400
7
г cos3 xdx
)Jt-—
i
9)
i+
г cos x + sm x ,
8) j ------ 5------ — dx;
Sill X
J COS X - S lt l
[sin 2 xcos 4 хг&;
1 0 )J
X
^
smxcos x
11) Г------ у—----- 2—’
12) fclg
13) f--S— Xe^~ ■
1-I-COS X
14) f cqs2xcos5x£& :
15) j sin2 xcos 3xdx;
16) Jcosxcos2xcos3xobc.
■' 2 + 3sm x -7 co s" x
■*
2xdx;
3
7.4. IRRATSIONAL IFODALARNI
INTEGRALLASH
Irratsional ifodaiami o ‘ z ichga olgan ayrim integrallami ko‘ rib
chiqamiz.
>J\
f
.m
.m
m2
i \\
7.4,1. \R
( ax + b\n- ( ах + Ь \ « 2
ко ‘ rinishidagi integrallar
( ' ax + b \«I (/ax+b\">.
Л \R x,\------- , ------- px (R — ratsional funksiya,
{ cx + d j I cx + d )
Г
v
т., и,, тг , пг ,...-
butun sonlar)
ko‘rinishdagi integrallar
cx + d
= f*
о ‘ rniga
qo‘yish yordamida ratsional funksiyaning integraliga
keltiriladi, bunda .v= Екик(п„пг,...).
/
a
is. \
Xususan,
х,(ах + ЬУ‘ ,(ах + Ь У \...ш integrallar ax + b = f о‘ rniga
qo‘yish yordamida, f R x ,x "',x 'h,...jtx integrallar esa x = f
o‘miga
qo‘yish yordamida t o ‘zgaruvchili ratsional funksiyaga keltiriladi.
1-misol. / = I х +^ ^ ^~dx integralni toping.
Vl+JC
Yechish. Bu yerda EKUK(2,3) = 6 bo‘ lgani uchun \ + x = f
belgilash kiritamiz.
401
tarzda
U holda
л/l + х = t3, л/ l+ x = t 1, dx = 6t5dt.
Demak,
I = |£ — p - ± L . 6f d t = 6{/2( f 2 - 2/6 + t2 +1 )dt
4$ f5
Л
9^3
- 2 — + - + - + C = — (3Г2 - Ш '5+ 9?2+15) + С =
9 5 3J
15
J
7.4,2. |R(x,-Jccc2+ bx + c)dx ko‘ rinishidagi integrallar
\R(x,Jax2+ bx + c)dx
о ‘rniga
qo ‘yish
usuli
ko‘rinishidagi
orqali
integrallar
ratsional
Eyleming
funksiyalardan
uchta
olingan
integrallarga keitiriladi:
a) a>0 bo‘ lganida Vox2 + bx + с -■ t ± Jax almashtirish orqali integral
ostidagi funksiya ratsionallashtiriladi (.Eyleming birinchi о 'rniga
qo ‘yishi);
b) c> 0 bo‘ lganida -Jax2+ bx + c = tx±yfc almashtirish yordamida
integral ostidagi funksiya ratsionallashtiriladi (.Eyleming ikkinchi
о 'rniga qo ‘yishi)',
c)ax2+ bx + c kvadrat uchhad a(x - xt)(x - x2) ko‘rinishda ko‘pay> Wvchilarga ajralganida integral ostidagi fonksiya -Jax2+ bx + с =-■t (x - x t)
almashtirish
bilan
ratsionallashtiriladi (.Eyleming uchinchi о ‘rniga
qo ‘yishi).
2,-misol. / = J-----, ^
integralni toping.
1 л/x2+ 2,x + 2
Yechish.
Bunda a > 0 . Shu sababli 4x2+2x + 2 = t - x ko‘rinishdagi
o‘rniga qo‘yish bajaramiz.
U holda
x2+ 2x + 2 = t2- 2tx + x2, 2x + 2tx = t2—2.
402
Ilundan
е -2
t1+2t + 2 ,
p j— r----- , , f J - 2
= ----------—, 1+ Vx ” + 2x + 2 —14- 1 -
,
2(1 + 0
2(1 + 0 ’
f ! + 4/ + 4
2(1 + 0
2(1 + 0
Topiiganlami berilgan integralga qo‘yamiz:
i _ f 2(i + 0 Qt* + 2f + 2)
(Y2 + 4? + 4)2(1 + t f
_ г f 2 + 2f + 2 .
•* (1 + 0(2 + t f
Integral ostidagi to‘ g‘ ri kasmi sodda kasrlarga yoyamiz:
t1+2t + 2
А
( 1+ 0 ( 2 + О2
1+ t
В
С
2+ t
(2 + 0 2
-+ -----+ -
Koeffitsiyentlarni tenglashtirish usulini qo‘ llaymiz: A = 1, B - 0, С = -2.
Bundan
/ = (—
Jl + f
- 2 f — ^ - 7 = ln|l + ?|+—
(2 + 0
2+^
+ C.
x o ‘ zgaravchiga qaytamiz:
4-C.
I —toll 4- x + yfx2 + 2x 4- 2\ 4------------ —
‘ X ~r 2. 4 v X 4" 2 x 4* 2
dx
3-misol. / = [ - = = = =
integralni toping.
Vx 1 —3x + 2
Yechish.
x2~3x+ 2 = (x - l)(x - 2) bo‘ lgani uchun
y(x - l)(x - 2) = (x - 1)/
shaklda o ‘ rniga qo‘yish bajaramiz.
U holda
(.x - - l ) ( x - 2) = ( x - l ) 2£2, f --
x-2
Vx —1
Bundan
t2- 2
f2 - i ’
t
>
2fdf
г-i— ------ ft2- 2
|
dx = —z-----r, ■ « -3 x + 2 = —------ 1 f = — г
(/2 - i )2
U 2- i
Topiiganlami berilgan integralga qo‘yamiz:
403
;
^
J = j:
•О2 - 1) 2Л
tdt
Ш
{е -\ у t
Г Ul
dt
' г -1
~
= —In t i l + C = -?.n
t+i
1—21г (
?2- l
+ C.
Dastlabki o‘ zgaruvchiga qaytamiz:
/ = - In
x —1
x -l
x -2
+ C = -ln|3-2x + 2Vx2 -З х + 21+С.
x —1
Eyler
o ‘ miga
qo‘ yishlari
ayrim
integrallarda
murakkab
hisoblashlarga olib kelishi mumkin. Bunday hollarda integrallashning
quyidagi usullaridan foydalanilsa bo‘ ladi.
)..\R{x,4ax2+ bx + c)dx
ko‘rinishidagi
integrallarni
hisoblashning
kvadrat uchhaddan to ‘la kvadrat ajratish usulida berilgan
integrallar
ax2+bx + c kvadrat uchhaddan to‘ la kvadrat ajratish y o ‘ li bilan ushbu
integrallardan biriga keltiriladi:
a) agar a >0 va b2-4 a c < 0 bo‘ lsa, u holda \R(t,Jm2+ n 2t2')dt,
u
j
2
2
b2—4ac
b
bu yerda w =a, m - ----------- , t - x + — ;
4a
2a
b ) agar a >0 va b2-4 a c > 0 bo‘ !sa, u holda \R(t,Jn2t2- m 2)dt,
i
j
2
i b 2- 4ac
b
bu yerda n = a, m = — :-----, t = x +
4a
2a
c) agar a< 0 va b2-4 a c > 0 bo‘ lsa,
и
л
2
u
b2-4 a c
b
4a
2a
holda
\R(t,4m2- n2tz)dt,
bu yerda и* - - a , m = ----------- , t = x + — .
Hosil qilingan integrallar mos ravishda t = — tgz, t =
n
m
nsinz
, t - — sinz
n
o ‘ raiga qo‘yish!ar orqali |/?(sinz,cosz)rfz ko‘rinishga keltiriladi.
4-misol. \45 + 4 x -x 2dx integralni toping.
Yechish. Kvadrat uchhaddan to‘ la kvadrat ajratamiz, yangi t
o ‘ zgaruvchi kiritamiz va trigonometrik o ‘miga qo‘yishdan foydalanib,
topamiz:
{ -is + 4x - x2dx = \^9 - (x - 2)2dx =
404
x - 2 = t,
dx = dt
= \sl9 -t2dt =
f = 3sinz, |
= Jv9-9sin 2z3coszdz = j9cos2zdz =
dt = cos zdz •
, 9f
sin2 z^ „ 9 ,
.
r— ~ ;
= —J(1 + cos2z)dz = —j z + ------ j + C = —(z + smzvl - sin z) + C /
. t t
' Г
_ 9
. t t гг--- г ^
■ t\ 9
----/9 - f +C =
z = arcsmн = — arcsm—+ —J1 — - + C = —arcsm—H
3
3| 2 \
3V
2.
9j
3
2
9
. x- 2 1
/-— -------j= —arcsm------ ь —(x —2W5 + 4 x - x +C.
2
3
2
2.j'R(x,Vflx2 + &с + с )Л
ko‘ rinishidagi
ayrim
integrallami
hisobiashning boshqa usullarini keltiramiz.
P ( x )dx
a )j-y ====
ko‘rinishidagi integrallar, bu yerda Pn( x) ~ n~ darajali
Jv ax* + bx + с
ko‘ phad:
1) я = 0 da J
k
‘ri ni shda bo‘ ladi; bu integral a >0
o
л / л г г +Z)X + C
bo‘ lganda jadvaldagi 14- integralga, a< 0 bo‘ Jganda jadvaldagi
13-
integralga keltiriladi;
2 ) n = 1 da J
_ ko‘ rinishda bo‘ ladi; bu integral suratda
лJax2 +bx + c
kvadrat uchhadning hosilasini ajratish natijasida ikkita, biri jadvaldagi
1- integralga va ikkinchisi 1) banddagi integralga keltiriladi;
3) n>2 bo‘ Iganda berilgan integraldankeltirish formulalari
yordamida
j
F (x)dx
ыах
_g
+bx + c + M \
+ bx + c
^
л/ax +D X + C
ko‘ rinishdagi ifoda hosil qilinadi, bu yerda £>„_,(*)-koeffitsiyentiar!
nomaMum bo‘ lgan n - ! -darajali ko‘ phad, M — qandaydir o ‘ zgarmas son.
Bunda ko‘ phadning noma’ Ium koeffitsiyentlari va M soni oxirgi
tenglikni differensiallash hamda x ning chap va o ‘ ng tomondagi bir xil
darajalari oldidagi koeffitsiyentlarni tenglashtirish orqali topiladi.
dx
b)-f---------- = = = = =
.
.
.
.
1
ko‘rinishdagi integral ax + p = -
(ax + р)м ox1+ bx + с
t
405
almashtirish yordamida 1) banddagi integraiga keltiriladi;
dx
I
c) f------------= = = = = (n e Z ,n > 1) ko‘rinishdagi integral ax + /? = (ocx + Р У у ax2+ bx + с
t
o ‘miga qo‘yish orqali 3) banddagi integraiga keltiriladi.
5- misol. J--------- ,
integralni toping.
(x - 2 ) 3v x 2 -4 x+5
Yechish. x - 2 = - deymiz.
t
U holda dx = - ~ ,
t2
дс2 -4 х + 5 = Д- + 1.
r
Bundan
dt
I _______ dx_________-
7
_
[ t2dt
' (.x - 2 )4 x 2-4 x + 5 ~ * 1 ( F T ~ 7 F + l '
t’ l t 2
Demak, b) banddagi integral hosil qilindi. Bunda n = 2 bo‘ lgani
uchun
j - £ £ = = (At + B y lF + l + M { ^ £ = .
s 4FT\
-№ +\
Tenglikning har ikkaia tomonini differensiallaymiz:
л r— J (A t+ B )t
M
:= Ayll + r + - ,-----: +■
f
i t 2+1
л/?2 +1
л/г н-1
yoki
/ 2 = Д 1 + Г2) + ( ^ + 5)? + М .
v»
f ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlarni tenglab, topamiz;
A = ~, b = 0, M = ——.
2
2
U holda
с
fv l + / 2 1 f dt
t jl + t2 1, |
r— ri
I ,
= -------------.-------- -= — ----------Ink + v l + r + c .
JVl + / 2
2
2 j ,/TT?
2
2 I
I
Dastlabki o ‘zgaruvchiga qaytamiz:
7,4,3. \xm(a + bx")pdx binominal differensialni integrallash
ko‘ rinishidagi
\x'"(a + bx',ydx
integrali
deyiiadi.
Bunda integral
integral
binominal
ostidagi
ifoda
differensial
x'"(a + bx"y ga
binominal differensial deyiiadi, bu yerda m, n, p — ratsional sonlar.
Binominal differensial
integrali uchta holdagina ratsional
funksiyalarni integrallashga keltiriladi:
a) p butun son boMganida integral x = f (bu yerda s = EKUK(m ,n))
o ‘ rniga qo‘yish orqali ratsionallashtiriladi;
b)
n
butun son bo‘ lganida integral a + bx“ = t ’ ( bu yerda s - p
sonning maxraji) o ‘ miga qo‘yish yordamida ratsionallashtiriladi;
c) m + 1 + p butun
son
bo‘ Iganida
integralda
a + b x "= l'x " (bu
n
yerda s - p sonning maxraji) almashtirish bajariladi.
Agar yuqorida keltirilgan shartlar bajarilmasa binominal differensial
elementar funksiyalar orqali ifodalanmaydi, ya’ ni integrallanmaydi.
Masalan, Jл/T+ x ldx integralning integral osti funksiyasi binominal
differensial:
m = 0, и = 3, p = ~ .
Bunda p = —, ^ - - = - r^ - + p = 2
2
n
3
n
6
sonlardan birortasi butun son emas. Shu sababli bu integral elementar
funksiyalar orqali ifodalanmaydi.
dx
6-rnisol. I = f— p = = integralni toping.
Л-Ч/1 +Х 4
Yechich. Shartga ko‘ra,
_
1
m+ l
-3 + 1 1
,
m = - 3, n = 4, p = — , ------ + p = ------------- = -1.
2
n
4
2
c) bandda aytilganidek, almashtirish bajaramiz:
1+ xi = t 1x\ x = it2—1) 4, dx = - - t ( t 2- 1) 4, /=
2
U holda
^+X
x
7.4.4. Elementar funksiyalarda ifodalanmaydigan integrallar
B iz integrallashning elementar funksiyalaming keng sinfini qamrab
olgan muhim usullarini ko‘ rib chiqdik. Bu usullar ko'pchilik holiarda
aniqmas integralni topish, ya’ni boshlang‘ ich funksiyalami aniqlash
imkonini beradi.
M a ’ lumki, har qanday uzluksiz funksiya boshlanglch funksiyaga
ega bo‘ ladi. Agar biror / (x ) elementar funksiyaning boshlang‘ich
funksiyasi ham elementar funksiya bo‘ lsa, u holda
\f{x)dx
integral
elementarfunksiyalarda ifodalanadi deyiladi.
Adabiyotlarda
keltirilishicha,
j 4x ■cosxdx
integral
elementar
funksiyalarda ifodalanmaydi, chunki hosilasi -Jx- cosx ga teng bolgan
elementar funksiya mavjud emas. Am aliy tatbiqda muhim ahamiyatga
ega bo‘ lgan elementar funksiyalarda ifodalanmaydigan integrallarga
misollar keltiramiz:
je ^ d x - Puasson integral! (ehtimollar nazariyasi);
dx
\------integralli logarifm (sonlar nazariyasi);
lnx
izosx2dx, Jsinx2<fe-Frenel integi'allari (fizika);
J'SU1- dx, f
x
‘
x
dx - integralli sinus va kosinus;
x
Elementar
|- d x -integralli ko‘rsatkichli funksiya.
x
funksiyalarda
ifodanlanmasa-da,
^ * 2 sin x
cosx
1 it
t* t
, — , cosx*, sin x , -----,
------, —
funksiyalaming boshlang ich
4
Lnx
x
x x
* funksiyalari yetarlicha o‘ rganilgan,
x argumentning turli
qiymatlarida ulaming qiymatlari uchun mufassaljadvallar tuzilgan.
e
7.4.5. M ashqlar
1. Berilgan integrallarni toping:
dx
\-x 2
■Jx1 + 2 x + 5
9)
\
~ j—
-
10 )J — ,
____ ;
11) f ----
Ф
---- ;
х ^ 4 -2 х -х г
х\/?+* + 1
12) j ----, Ф ----- ;
1+ л/л2+ 2х+2
;
1+ л/l—2jc—jc2
13) J л/5 +■4 jc—jc2<s£c;
14) |л / * 2 - 4 A ;
15) f ---------- A ..................16) f ---------------------------------------------;
1 (x - l)V jt 2- 2 *
J (JC- 1 )л/-JC2 + Злг — 2
IV) [
f
xdx
\ ll-2 x -x 2
"r
- J 6 x - x 2- 8
19) f ---- ^ = - ;
20) Г— ^ ---------- ;
l x {\ + iF xf
J^ V
w
з/l . 4
21) J*5У(1+x5)2A;
22)J
2 3 )f- 4 _ ;
24) |
Jx 4 l + x4
Й
*
x-Jx
7.5. ANIQ INTEGRAL
7.5.1. A n iq integral tushunchasiga
oiib keluvchi m a sa la la r
Aniq integral tabiat va texnikaning bir qancha masalaiarini
yechishda, xususan, har xil geometrik va fizik kattaliklarai hisoblashda
keng q o‘ llaniladi.
Egri chiziqli trapetsiyaningyuzasi haqidagi masalasi
Tekislikda Oxy to‘ g ‘ri burchakli dekart koordinatalar sistemasi
kiritilgan va [a\b] kesmada uzluksiz va manfiy bo‘ lmagan
funksiya aniqlangan bo‘lsin.
409
y = f (x )
Yuqoridan y = f ( x ) funksiya grafigi bilan, quyidan Ox o :qi bilan,
yon tomonlaridan x = a va x = b to‘ g ‘ri chiziqlar bilan chegaralangan
figuraga egri chiziqli trapetsiya deyiiadi (2-shaklda bu figura —aABb ).
aABb egri chiziqli trapetsiyaning S yuzasiga ta 'rif beramiz.
[a-,b\ kesmani n ta kichik kesmalarga boiam iz: boiinish
nuqtalarining abssissalarini a = x^<xl <...<x1_i <xl <...<xlf_1<xii = b bilan
belgilaymiz. {x,.} = {x 0,x,,...,x„} boiinish
kesmaning
bo‘ linishi deymiz.
nuqtalari
to'plamini [a;b~\
x bo‘ linish nuqtalari orqali Oy o ‘ qqa
parallel x = x,. to‘g ‘ri chiziq oikazamiz. Bu to‘ g ‘ri chiziqlar aABb
trapetsiyaning asoslari [xM;x,] boigan n ta boiakka boiadi. aABb
trapetsiyaning S yuzasi n ta tasma yuzalarining y ig ‘ indisiga teng
boiadi,
n yetarlicha katta va barcha [xM;x ] kesmalar kichik
bo‘ lganida har bir n ta tasmaning yuzasmi hisoblash oson boigan mos
to‘g ‘ ri toirburchakning yuzasi bilan almashtirish mumkin bo‘ ladi. Har
bir [xM;x ] kesmada biror £>i nuqtani tanlaymiz, / (x ) funksiyaning bu
nuqtadagi qiymati /(£.) ni hisoblaymiz va uni to‘ g ‘ri to‘ rtburchakning
balandligi deb qabul qilamiz. [xH;x.] kesma kichik bo‘ Iganida f i x )
uzluksiz funksiya bu kesmada kichik o ‘zgarishga ega boiadi. Shu
sababli bu kesmalarda funksiyani va taqriban /(£,.) ga teng deyish
mumkin. Bitta tasmaning yuzasi
-x _ ,j ga teng boiganidan
aABb egri chiziqli trapetsiyaning S ga yuzasi taqriban Snteng boiadi:
S ~ Sn = !)/ (# ,. )Ax,., Ax, = x. - x:_l
/=1
(5.1)
taqribiy
qiymat
d = max Ax, (J = 1,ri) kattalik qancha
kichik boisa,
shuncha
boiadi.
d
kattalikka
aniq
{x.}
boiinishning diametri deyiiadi.
Bunda n -»■ oo da d -> 0.
Shunday qilib, egri chiziqli
trapetsiyaning S yuzasi deb,
Sn
to‘ g ‘ri
to'rtburchaklar
yuzasining boiinish
nolga
intilgandagi
diametri
iimitiga
410
(5 .1 )
aytiladi, y a ’ ni
S = lim S =lim Y /(£ .)A x.
d->0 " d-tО
(5-2)
'
Demak,
egri
chiziqli
trapetsiyaning
yuzasini
masalasi (5.2) ko‘rinishdagi limitni hisoblashga keltiriladi.
hisoblash
Bosib о ‘tilgan y o 4 masalasi
Agar moddiy nuqtaning harakat qonuni s = m
(bunda t— vaqt,
a—bosib o lilgan y o l ) tenglama bilan berilgan bolsa, f ( t ) funksiyaning
/'(f) hosilasi moddiy nuqtaning berilgan vaqtdagi harakat tezligi v(t) ga
(eng, ya’ni v(*) = f '( t ) boiadi. Fizikada quyidagi masalani
yechishga
to‘ g ‘ri keladi. Moddiy nuqta to‘ g ‘ ri chiziq bo‘ylab v tezlik bilan harakat
qilayotgan va v tezlik t vaqtning uzluksiz funksiyasi bolsin deymiz.
Moddiy nuqta vaqtning
t = a dan t = b gacha bo‘ lgan biror
\a;b]
oraligida
bosib
o ‘tgan
yo ‘ l
yetarlicha kichik oraiiqlariga
oraligida v(t) tezlik
ni
s
a = t0<tx< . . . < < / . < . . . < <tn= b
topamiz.
nuqtalar
bo‘ Iamiz.
bilan
kesmani
[a;b]
vaqtning
n
ta
Vaqtning kichik
«deyarli» o ‘zgarmaydi. Uni bu vaqt oralig‘ida
o ‘ zgarmas va taqriban v(£f) ( j , e [*,_,;*,]) ga teng deyish mumkin. Bunda
harakat
kesmada tekis bo‘ ladi. U
holda
bosib
bu vaqt oraligida v(£)(*. - * M) ga, [a;b\ vaqt oraligida
o ‘tilgan
yo ‘ l
=Zv(^)A/i
i =\
(At, = t,■*- t,_x)
ga teng boiadi. Bu taqribiy qiymat
d = max At. (i = 3, n)
kattalik qancha kichik bolsa, shuneha aniq boiadi.
Shunday qilib, s bosib о ‘tilganyo 7 deb, sn yig‘ indining fi?H>-Gdagi
limitiga aytiladi, ya’ni
s = lim s = lim T v^ J A t
c/~»0
"
d- * ( i
-_j
(5.3)
Demak,
bosib о ‘tilgan y o ln i
hisoblash
masalasi
(5.3)
ko‘rinishdagi limitni hisoblashga keltiriladi.
Qaralgan har ikki masalada biror kolinishdagi yigindinm g limitini
lopishga olib
keluvchi
bir
xil
usul qollanildi.
Tabiat va
texnikaning bir qancha masalalari yuqoridagi kabi yiglndining
limitini topishga keltiriladi.
411
7.5.2. Integral yigindi va aniq integral
У - /00 funksiya [a\b\ kesmada aniqlangan bo‘ !sin.
[a-,b] kesmani ixtiyoriy ravishda
a = x0< x, <... < x_, < xt <... <
nuqtalar
<хл=Ъ
bilan n ta qism ga b o ‘lamiz, bunda { x } ga \a\b\ kesmaning
bo ‘linishi, d = max(x - x_,), (г = 1, n) kattalikka ho 7inisk diametri deymiz.
Har bir [x_,;x] kesmada ixtiyoriy
nuqtani tanlaymiz. Sunday
nuqtalami belgilangan nuqtalar deb ataymiz. Funksiyaning /(£,)
qiymatini mos Ax, = x - x M uzunlikka ko‘ paytirib, bu ko‘paytma!ardan
w„ = Z / (£ )A *,
(5-4)
/=1
y ig ‘indini tuzamiz. (5.4)
y ig ‘ indiga
fix )
[a;b]
funksiya uchun
kesmaning { x } b o ‘ linishidagi Riman integral yig'indisi deyiiadi.
w, yig ‘ indining d -> Odagi limiti tushunchasini kiritamiz.
1-ta’rif. Agar V £ > 0 son uchun shunday 5>Q son topilsa va
\ I -w H\<e tengsizlik \a\b\ kesmaning diametri d <8 bo‘ lgan istalgan
{x }
boiinishida
bo‘ lmagan
belgilangan nuqtalarning tanlanishiga bog‘ liq
E>j
holda bajarilsa,
I soniga wn Riman integral yig'indisining
limiti deyiiadi vau / = Ijm w debyoziladi.
2-ta’rif. Agar (5.4) Riman integral yig'indisi d - » 0 da chekii limitga
ega bo‘ lsa, u holda bu limitga [a\b] kesmada f ( x ) funksiyadan olingan
b
4 » aniq (bir karrali) integral (Riman integrali) deyiiadi va Jf(x)d x kabi
belgilanadi.
Shunday qilib, ta’rifga ko'ra,
(5.5)
lfix)d x = \im'Zf(£l)Axi,
bu yerda f ( x ) - integral ostidagi funksiya, x - integrallash o ‘ zgaruvchisi,
a, b - integralning quyi va yuqori chegarasi,
[a,b\ -integrallash sohasi
(kesmasi) deyiiadi.
b
[cr,b]
kesmada
\f(x)dx
aniq
integral m avjud
b o ‘lsa,
y = f (x )
a
funksiya
shu
kesmada
integrallanuvchi) deyiiadi.
integrallanuvchi
412
(Riman
bo‘yicha
Izoh. Oliy matematika kursida boshqa aniq integrallar qaralmagani
sababli bundan keyin «Riman integrali» va «Riman bo‘yicha
integrallanuvchi»
iboralarini
mos
ravishda
«integral»
va
« integrallanuvchi» deb ishlatamiz.
Keltirilgan ta’ riflarda a <b bo‘ lsin deb faraz qilindi. Aniq integral
tushunchasini a = b va a > b bo‘ lgan hollar uchun umumlasbtiramiz.
a > b bo‘ iganida 2 -ta’rifga ko‘ra,
(5.6)
\f(x)dx = -]f {x )d x .
a
b
2-ta’rifgak o ‘ ra. a = b boMganida ((5.5) gaqarang).
J/ (лг)с£с = 0.
(5.7)
(5.4)
integral y ig ‘ indi berilgan funksiyaning argumenti qanday harf
bilan belgilanishiga bog‘ liq bo‘ lmagani sababli, uning limiti va
shuningdek, aniq integral integrallash о ‘zgaruvchisining belgilanishiga
bog‘ liq bo‘ lmaydi:
|f(x)d x = jf (t )d t = j f(z)dz.
a
a
a
1
1-misol.
Jл:2dx integralni aniq integrating ta’rifidan foydalanib
0
hisoblang.
Yechish. [ 0;lj kesmada
[0;1]
kesmani
nuqtalar
Demak, d
0 da n —> oo.
nuqta sifatida qismiy kesmalaming oxirlarini olamiz:
£
'
П
Tegishii integral y ig ‘ indini tuzamiz:
" . = £ / ( * , ) Ax, =
1-1
bilan
bo‘ lgan n ta bo'lakka bo‘ lamiz. Bunda
n
1<;<n
funksiya uzluksiz.
0 = xc < x, <... < xM < xt <... < x,_, < x„ = I
uzunliklari Ax, = — =
d = max Ax.
у = x2
■ - = ^ ( l 2 + 2 4 ... + n2) =
м
й
П
П
n(n + 1)(2b +1) _ (n + 1)(2b +1)
6n3
6n2
413
Bundan
lim w , = lirn w, = lim
(.n + 1)( 2 и + !)__!
~3
6n
Demak, ta’rifga ko‘ ra,
Endi
nuqta sifatida qismiy kesmalarning boshlarini olamiz:
n
Bundan
w = v
f(.p \\r - у О ' " 1) 2 . 1 = { n - \ ) n ( 2 n - 1) = (n — 1 )(2 и - 1 )
yoki
x2dx =
lim w =lim
(и - 1)( 2и - 1)
бn1
1
~3
Demak, berilgan integralning qiymati [ 0;1] kesmani b oiish usuliga
va bu kesmada £ nuqtani tanlash usuliga b o g iiq emas va j x 2dx = ~.
Aniq integral
keltiramiz.
1-teorema.
mavjud
(Koshi
boiishi
teorsmasi).
haqidagi
Agar
teoremani
y = f (x )
isbotsiz
funksiya
[a;b]
4 » kesmada uzluksiz boisa, u holda jf(x )d x aniq integral mavjud boiadi.
Funksiyaning uzluksiz boiishi uning integrallanuvchi boiishining
yetarli sharti boiadi. Boshqacha aytganda, [a;b] kesmada uzilishga ega
boigan, ammo bu kesmada integrallanuvchi funksiyalar mavjud b oiish i
ham mumkin.
2 -teorema. [a;b] kesmada chekli sondagi birinchi tur uzilish
nuqtalariga ega b o‘ lgan funksiya bu kesmada integrallanuvchi boiadi.
7.5.3. A a iq integralning geom etrikva mexanik ma’ nolari
Egri
chiziqli
trapetsiyaning
yuzasi
masalasiga
qaytamiz.
(5.2) tenglikning o‘ng tomoni integral yigindidan iborat. U holda
414
(5.5) foraiuladan aniq integralning geometrik m a’nosi kelib chiqadi:
agar f { x ) funksiya
[a;6] kesmada integrallanuvchi va
manfiy
bolmasa, n holda \a,b] kesmada f {x ) fonksiyadan olingan aniq integral
va
y = f (x ), y = 0, x = a
x = b chiziqlar
bilan chegaralangan
egri
chiziqli trapetsiyaning yuzasiga teng.
3
2-
misol. js l 9 -x 2dx integralni uning geometrik ma’nosiga tayanib
hisoblang.
Yechish.
Bunda x ning - 3 dan 3 gacha o ‘ zgarishida tenglamasi
y = J 9 - x 2 bo‘ lgan chiziq x2+ y 2=9 aylananing Ox o ‘ qidan yuqorida
joylashgan bolagidan iborat bo‘ ladi, Shu sababli x = ~3, x = 3, ,y = 0 va
chiziqlar
y--M !9 - x 2
bilan
chegaralangan
egri
chiziqli
trapetsiya
x2+ y 1- 9 doiraning yarmidan tashkil topadi.
9 71
Uning yuzi S = — ga teng.
Demak,
I -\[9—x2dx = — .
i
2
Endi bosib o ‘ tilgan y o ‘ l masalasiga olam iz. (5.3) tenglikning o ‘ ng
tomoni integral yiglndidan iborat bo‘ lgani uchun (5.5) formuladan
ushbu xulosaga kelamiz: agar
v(t)
funksiya [a\b]
kesmada
integrallanuvchi va manfiy bo ‘ lmasa, u holda v(t) tezJikdan [a; b] vaqt
oralig‘ ida olingan aniq integral moddiy nuqtaning t = a dan t - b gacha
vaqt oraligida bosib o‘tgan y o lig a teng. Bu jumla aniq integralning
mexanik та ’nosini anglatadi.
7.5.4. A n iq integralning xossalari
Г. Agar integral ostidagi funksiya birga teng bolsa, u hoida
b
\dx = b —a
boiadi.
Isboti. Aniq integralning ta’rifiga ko‘ ra,
fcfe = limy’l-Axi = 1ш1У ( х —jc..) = lim( b - a ) = b -a .
a
~ /=]
<•/—
>0 /=l
t/-»0
415
T. G ‘ zgarmas ko‘ paytuvchini aniq integral beigisidan tashqariga
chiqarish mumkin, ya’ ni
b
b
Jkf'(x)dx = kj f ( x)dx , к = const.
a
a
Isboti. j kf(x)dx = ljm £ kf(Sli) A r = кIjm £ / (Eti) Ax = k\f ( x)dx.
3°. Chekli sondagi funksiyalar algebraik y ig ‘ indisinmg
aniq
integrali qo‘ shiluvchilar aniq integrallarining algebraik vig'indisiga
teng, ya’ ni
J(/(jc) ± (p(x))dx = j f(x)cbc + Jcp(x)dx .
Isboti.
j (/ (* ) ± <p(x))dx = ljm Z ( Ж ) ±
a
* i-l
))M =
= ljm % f (Q A x i ± lm j^ (p (^ )A x i = ]f(x )d x ± l< p (x )d x .
г =1
л
Ы1
a
a
4".Agar [«;/>] kesma bir necha qismga bo‘ lingan
boelsa, u holda
1a;b] kesma bo‘yicha olingan aniq integral har bir qism bo‘yicha olmgan
aniq integrallar y ig ‘ indisiga teng bo'ladi.
Masalan,
Jf(x)d x = |f(x)d x + Jf(x )d x , с s[a;b],
f
Isboti.
a<c<b
bo‘ !sin deylik. Integral y ig ‘ indi \a;h\ kesmani
4 51 bo‘ lish usuliga bog‘ iiq emas. Shu sababli с ni [a\b] kesmani bo‘ lish
nuqtasi qilib olamiz. Masalan, agar c = xin deb oisak, u holda wn ni ikki
y ig ‘ indiga ajratish mumkin:
= Z / (£ )A r = f]/(£.)A*,. + V/(|,.)Aa-,.
1=1
fSH»+l
1=1
Bunda (/-> 0 da limitga o ‘tamiz:
b
с
b
J/ (x)dx = j / (x)dx + Jf(x)dx
a, b, с nuqtalaming boshqacha joylashishida ham xossa shu kabi
isbotlanadi.
416
Masalan, a < b < c bo‘ lsa, \f(x)dx = \f{x)dx + \f(x)dx boiadi.
a
a
b
Bundan
{ f(x)d x = } f (x )d x - j f(x)d x
a
a
b
yoki integrallash chegaralarining aknashtirilishi xossaga ko‘ ra,
ga qarang)
((5.6)
Jf(x)dx = I f(x )d x + j f (x )d x .
a
a
с
5". Agar [a\b] kesmada funksiya o ‘ z ishorasini o‘ zgartirmasa,
u
hokia funksiya aniq integraSining ishorasi funksiya ishorasi bilan bir xi!
bo‘ ladi, ya’ ni:
b
[a\b} d a / (x ) > 0 bolganda,
\f(x)dx>Q boiadi;
b
0 ;6] da / (x ) < 0 bolganda, \ f(x )d x < 0 boiadi.
Isboti. f ( x ) > 0 funksiya uchun integral y ig ln d i wB>0
boiadi,
й
chunki / (| „)> 0 va Д х > 0. Bundan jf (x )d x > 0 . Shu kabi
A x>0,
h
f ( x ) < 0 ekanidan
<0
va
j/ (x )A :<0
kelib chiqadi.
6°. Agar |>;й] kesmada f(x )> < p (x ) bolsa, u holda
£
A
f / (x)dx > j <p(x)dxboiadi.
Isboti.
f (x )> (p (x ) dan f (x )-< p (x ) > 0 boiadi. U holda 5-xossaga
k o la { (/ (it) -- q>(xj)dx > 0 yoki 3~xossaga ko'ra, [f(x)dx-\<p(x)dx> 0 .
«
a
a
Bundan
[ f(x)d x > j cp(x)dx.
a
a
7°. Agar m va M sonlar f ( x ) ftmksiyaning [a;b'\ kesmadagi eng
kichik va eng katta qiymatlari bolsa, u holda
m(b - a) < j / (x)dx < M ( b - a)
b o ia d i.
417
Isboti.
Shartga ko‘ra, m < f ( x ) < M . U holda 6-xossaga ko‘ ra,
b
b
b
|mdx < J/(x) dx < JMdx.
a
n
a
Bunda
b
b
b
b
|mdx = m\ dx = m{b ■- a),
f Mdx = M.\ dx = M ( b —a ) .
a
a
a
a
U holda
m(b - a) < \f(x)dx < M {b - d ).
Bu xossa aniq integralni baholash haqidagi teorema deb yuritiladi.
f ( x ) funksiya [a; b] kesmada uzluksiz bo‘Isa, u holda
8”. Agar
shunday с e [a: b~\ nuqta topiladiki,
\f(x)dx = f { c ) { b - a )
(5.8)
a
bo‘ ladi.
Isboti. 7-xossaga ko‘ ra,
m {b -a )< \ f(x)dx < M (b - a ).
a
Bundan
\f{x)dx
m < -— —— < M .
b -a
\f(x)dx
--------- = /j deymiz. U holda
b -a
m < /u < M bo‘ lgani uchun Bolsano-
Koshining ikkinchi teoremasiga ko‘ra, biror с e [a;b]
/(с) = ц b o :ladi.
Shu sababli
\f(x)dx
*7b------=
/(c>
-a
yoki
]f (x )d x = f { c ) (b - a ).
418
nuqta uchun
8-xossa о ‘rta qiymat haqidagi teorema deb ataladi.
(5.8) formulaga о ‘rta qiymat formulasi, / (c) ga f ( x ) funksiyaning
|я;ft] kesmadagi о ‘rtacha qiymati deyiladi.
0 ‘ rta qiymat haqidagi teorema quyidagi geometrik talqinga ega:
b
agar /(x) > 0 boMsa, u holda \f(x)dx integralning qiymati balandligi
a
/(c) ga va asosi (ft - a) ga teng b olgan to‘ g ‘ ri to‘ rtburchakning yuzasiga
teng boiadi.
Aniq integralning xossalaridan quyidagi natijalar kelib chiqadi.
l-natija. [ a:b\ kesmada aniq iangan f ( x ) funksiya uchun
\\f(jx)<M<\\f(x)\dx
boiadi.
2-naiija. Agar [л;ft] kesmada \f (x)j < к bolsa, u holda
14
I
|J/ (x)fiftcj < k(b - a), ( к = const.)
boiadi.
3-misol. > = 2x + 2 funksiyaning [—1;2] kesmadagio‘rtachaqiymatini
toping.
Yechish. O it a qiymat haqidagi teoremadan topamiz:
1 ?
-}/(*>& .
b —a'a
у = 2x + 2
Aniq integralning geometrik ma’ nosiga
/
2
ko‘ ra,
f(2x + 2)dx
integralning
qiymati
-1
/
3-shaklda keltirilgan uchburchakning yuzasiga
teng, ya’ ni
/
S = ~ ( 2 + l)-6 = 9.
Bundan
l
L, =
/ !
■9 = 3.
2 —<—1)
- V o ] .......... 2
3-shakI.
419
7.5.4. Mashqlar
1. Integrallami aniq integralning geometrik ma’ nosiga tayanib hisoblang:
1)|cosjcdfr;
2)j(3 +x)dx;
о
4
3)jV l6 - x 2dx.;
4 ) J f(x)d x, / ( * ) =
—x, agar -
2
<x<0.
x,agar 0 < x < 2 .
2. Integrallami taqqoslang:
я
ic
j
l)/j =J cos xdx,
*
12
о
=Jsinxdx;
2 ) l t = j ^ 2 ^ x 2d x, I 1 = j x 2dx.
-1
-1
0
0
я:
0
-2
n
4)/L= l^cosjrdx,1г = l^sin^A.
3)/, = |vl-,\5c&s /2= f (1—* )dx;
Я-
-2
ж
2
~2
3. Integrallami baholang:
3
q3
2) ?2=Jf l + 3 x 2dx-
- 2cos;t
3) /3 =| Vi + x3dx;
4.
4)/ ,= (
dx
4 -2 x -x
Funksiyalarning berilgan kesmalardagi o ‘rtacha qiymatini toping:
l)>' = V 4-Tf , 1- 2,2];
2 )^ =|*|, [-!;!];
V’
, 3)>> = 3jc+2, [1;3];
4) y = jt V , [0;!].
7.6. ANIQ INTEGRALNI HISGBLASH
7.6.1. Y u q o r i chegarasi o ‘zgaruvch i an iq integral
y = f ( x ) funksiya [a;b] kesmada aniqlangan va uzluksiz boisin.
U holda u ixtiyoriy [a;x] ( a < x < b ) kesmada integrallanuvchi
ya’ni
boiadi,
istalgan x e [a;b] uchun
F {x ) = ]f (t )d t
a
integral mavjud bo‘ladi.
420
(6.1)
Agar ixtiyoriy /e [a;6] da / (t) > 0 boisa, u
holda
F (x ) = \f(t)d t
a
integral asosi [a;x] kesmadan iborat bo‘ lgan egri chiziqli trapetsiyaning
o‘ zgaruvchi yuzasi S(x) ni ifodalaydi
(4-shakl),
y,
[a-,b] kesmada ( 6 . 1) tenglik bilan
aniqlangan F (x )
funksiyaga
>=./(*)
yuqori
chegarasi о ‘zgaruvchi aniq integral
deyiladi.
F (x )
uzluksiz
bo‘ ladi.
[a; 6]
funksiya
S{x)
kesmada
va
differensiallanuvchi
Shuningdek, bunda F (x )
~о
x
b
funksiya uchun quyidagi fundamental
4-shakl.
teorema o ‘rinli bo‘ ladi.
1-teorema (Nyuton-Leybnis teoremasi). [a\b] kesmada uzluksiz
fix )
funksiyaning yuqori chegarasi o ‘ zgaravchi integral] F (x ) dan
yuqori chegara bo'yicha olingan hosila mavjud va u integral ostidagi
funksiyaning yuqori chegaradagi qiymatiga teng bo‘ ladi; ya’ ni
F '(x )
■fix), xs[a ;b].
(6 .2)
Isboti x s [a\b] va x + , i i e [a',b] bo‘ lsin.
U holda aniq integralning 4-xossasini qo‘ llab, topamiz:
F (x + Ax) = | f(t)d t = \ f {()d l + \f(t)dt.
a
a
x
Bundan ( 6 .1) tenglik va o‘ rta qiymat haqidagi teoremaga ко‘ га,
Е+ЛГ
AF = F (x + Ax) - F (x ) - j f (t)dt =/ (c)Ax, bu yerda с e [x, x + Ax].
F (x ) funksiyaning hosilasini aniqlaymiz:
F ’(x ) = lim —- = lim / (> )V v _. lim f(c ).
A r-> 0 Д у
Ax->0
Д у
Ax-^O
Ax -> 0 da x + Ax -> x va с - » x, chunki с e [x,x + Ax].
U holda f ( x ) funksiyaning uzluksizligidan
F ’( x) = Ax->0
lim /(с) = Ц х )
boiadi.
42]
Nyuton-Leybnis
teoremasi
matematik
analizning
asosiy
teoremalaridan biri hisoblanadi. Bu teorema differensial bilan aniq
integral tushunchalari orasidagi munosabatni ochib beradi.
Bu teoremadan \a:f>\ kesmada uzluksiz har qanday f ( x ) funksiya
shu kesmada boshlang‘ ich funksiyaga
ega b oia d i va
uning
boshiang‘ ich funksiyalaridan biri yuqori chegarasi o ‘ zgaruvchi F (x )
integral b oiadi degan xulosa kelib chiqadi.
f { x ) funksiyaning boshqa
bir boshlangich
funksiyasi
F (x )
funksiyadan o ‘ zgarmas С songa farq qilgani uchun aniqmas va
aniq integrallar orasidagi ushbu bogianish kelib chiqadi:
J/ (x)cbc = f / ( t)dt + C, x e [a ;6 ].
(6.3)
7.6.2. Nyuten-Leybjiis formulas!
Aniq integralni integral y ig ‘ indining limiti sifatida hisoblash,
hatto, oddiy funksiyalar
uchun
ham
ancha
qiyinchiliklar
tug‘diradi. Shu sababli aniq integralni hisoblashning (6.3) fomralaga
asoslangan, amaliy jihatdan qulay b oigan hamda keng qoilaniladigan
usuli bilan tanishamiz.
2-teorema
( integral
hisobning
asosiy
teoremasi),
Agar
F (x ) funksiya [a;b] kesmada uzluksiz boigan f ( x ) funksiyaning
boshlangich
funksiyasi b oisa .u holda
( 6 .4)
j f{x)dx = F (b ) - F (a ).
a
Isboti.
Fix)
funksiya
f (x )
funksiyaning
boshlangich
funksiyalaridan biri boisin. U holda 1-teoremaga asosan, ]f (t )d t
funksiya ham
f (x )
funksiyaning [a;5] kesmadagi
funksiyasi boiadi.
Boshlangich funksiyalar o ‘ zgarmas С
boshlangich
songa farq qilganidan
\f(t)dt = F (x ) + C .
Bu tenglikka x = a ni qo‘yamiz va chegaralari teng b oigan aniq
integralning xossasini qoilaym iz:
|f(t)d t = F (a ) + С = 0.
422
Bundan С = - F ( a ) .
U holda istalgan x e [a\b] uchun
j f(t)d t = F (x ) -- F (a )
a
boiadi.
Oxirgi tenglikda x = b deymiz va t о "zgaruvchini
aimashtiramiz. Natijada (6.4) formula kelib chiqadi.
(6.4) formulaga Nyuton-Leybnis formulasi deyiiadi.
x
bilan
F (b ) - F(a ) ayirmani shartli ravishda F (x ) |‘ deb yozish kelishilgan.
Bu kelishuv natijasida Nuyton-Leybnis fonnulasi
j f(x)d x = F (x fa
(6.5)
a
koinishda ifodalanadi.
1-misol. | ^ ax
integralni hisoblang.
dx
Yechish. f—= = = Inljc-+-VFh-jc"2I = !п|з+ л [ \ 0 \ - In1= 1п!з+ /l о!.
W T+7
1
I.
I
I
i
I
2-misol.
4
[x
dx
;— -------integralni hisoblang.
-ь10
Yechish.
1
—
dx
i д: — 2 jc + 10
r
dx
1
x - lf
1.
,
n
= ------- ----- - = - arctg----- 1 = - (arctg 1- arctgO) = — .
I (x -1 )
+ 3
3
3
I,
3V
12
7.6.3. A n iq integralda ©‘zgaruvchini almashtirish
3-teerema. y = f (x )
funksiya [a\b]
kesmada
uzluksiz boisin.
Agar: 1) x = <p(t) funksiya [a;/?] kesmada differensiallanuvchi va q>'{t)
funksiya
[a ;/3] kesmada uzluksiz;
2 ) x =(p{t) funksiyaning qiymatlar
sohasi [a\b] kesmadan iborat; 3) w(a) = a va (p(j3) = b boisa, u holda
\ f{x )d x = ]f((p (t))(p '{t)d t
a
a
boiadi.
423
( 6 .6 )
Isboti. Nyuton-Leybnis formulasiga ko‘ ra,
]f (x )d x = F { b )- F (d ),
a
bu yerda F {x ) funksiya f i x ) funksiyaning [a; 6] kesmadagi boshlang'ich
funksiyalaridan biri. Ф (t) = F((p(t)) murakkab funksiyani qaraymiz.
Murakkab funksiyani differensiallash qoidasiga asosan,
Ф'{^) = F l{(pit))f'{t)^f(<p{^))(p'{t).
Demak, Ф(г) funksiya \a\P] kesmada f((p{t))(p'{f) uzluksiz funksiya
uchun boshlang‘ ich funksiya bo‘ ladi. Nyuton-Leybnis fomralasi bilan
topamiz:
f f(< p (tW { t )d t = Ф (Д )- Ф (а) = F ( < p ( M - F (cp (a )) =
а
= F ( b ) - F ( a ) = ]f(x )d x .
( 6 .6 )
formula aniq integralda о ‘zgaruvchini almashtirish fomiulasi
deb yuritiladi. Aniq integralni hisoblashning bu usulida aniq integralda
о ‘rniga qo ‘yish usuli deyiladi.
Izoh. Aniq integralni ( 6 .6 ) formula bilan hisobiashda dastlabki eski
o ‘ zgaruvchiga qaytish shart emas, chunki integrallash chegarasi oVniga
qo‘yishga mos tarzda o ’zgaradi.
V3
v
3-misol.
____________
j v 4 - x 2cfeintegralni hisoblang.
0
S
^
Yechish.x = 2sin/, 0 < t < —
almashtirish
3
3-teoremaning
belgilash kiritamiz. Bu o ‘zgamvchini
barcha
shartlarini
qanoatlantiradi:
birinchidan, f ( x ) = j4 ^ -x 2 funksiya [ 0;V3] kesmada uzluksiz,
ikkinchidan, x = 2smt funksiya 0; - kesmada differensiallanuvchi va
3.
x' = 2 cost bu kesmada uzluksiz, uchinchidan t o ‘zgaruvchi 0 dan
~ gacha o‘ zgarganda x = 2 sin/ funksiya 0 dan л/з gacha o ‘ sadi va bunda
3
ф(0) = 0 va <m— j =
. Bunda dx = 2 cos tdt.
424
(6.6) formuladan topamiz:
S _____
-
-
п
о
i-
r~
з
з
1
i 3 271 л/З
\ ^ 4 -x ldx = 4 j cos2tdt = 2 j(l + cos2t)dt = 2 f + —sin2; I = — + — .
л
V
2
/L
3
2
4-misol. |x-j\ + x2dx integralni hisoblang.
f = Vl + x2 o ‘ rniga qo'yish bajaramiz.
Yechish.
U holda
x = yjt2- 1, dx = ,^
, x = 0 da t = 1, x = da t = 42 .
^Jt1- 1
[ 1;л/2 ]
kesmada л/f2 -1 funksiya monoton o'sadi, demak o ‘miga
qo‘yish to‘g ‘ri bajarilgan.
Bundan
tdt
f xV 1+ x 2dx = f \//2 -1 ■/• ,
J
„
i
T
2V 2 - 1
"J , , f’
= |Г2й?7-
.
з
Izoh. ( 6 .6 ) formulani qo‘ llashda teoremada sanab o ‘tilgan
shartlarning bajarilishini tekshirish lozim. Agar bu shartlar buzilsa,
keltirilgan formula bo‘yicha o ‘ zgaruvchini almashtirish xato natijaga
olib kelishi mumkin.
7.6,4. A n iq irategralni b oia k la b integrallash
4-teorema. Agar u(x)
va
v(x) funksiyalar Kr(x)va v'(x) hosiialari
bilan [a\b] kesmada uzluksiz boisa, u holda
| udv = « v I* — J vdu
a
(6 - 7 )
a
boiadi.
Isboti.
Teoremaning shartiga ko‘ ra,
u (x)
va
v(x)
funksiyalar
hosil aga ega.
U holda ko‘paytmani differensiallash qoidasiga binoan,
(u (x )v (x ))' = w(x)v'(x) + v (x )u \ x ).
Bundan
boshlangich
u (x )v (x )
funksiya
funksiya bo‘ lishi
u (x )v '(x ) + v (x )u '(x )
kelib
425
chiqadi.
funksiya
uchun
u (x )v '(x ) + v (x )u '(x )
funksiya [a;b\ kesmada uzluksiz
integrallanuvchi bo‘ ladi.
U holda aniq integralning
formulasiga ko‘ra
b
bo‘ !gani
uchun
3-xossasiga va
u be
kesmada
Nyuton-Leybnis
b
Ju{x)v'(x)dx + |v(x)u'(x)dx= u(x)v(xf;n.
Bundan, u’(x)dx = du(x) va v'(x)cbc=dv(x) bo‘ lgani uchun
ь
ь
b
jjtdv-uv\|e —jvdu.
a
(6.7)
ataladi.
a
formula aniq integralni bo ‘laklab integrallash formulasi deb
1
5- misol. Jxe~*dx integralni hisoblang.
0
Yechish.
I
и =x, dv = e *dx
f xe Idx = |
= -x e *|' + je ‘dx =
j
\ du = dx, v = - e x
=_ I _ I + i =i _2
=
e
e
e
e
7.6.5. Mashqlar
Berilgan integrallarni hisoblang:
x
2
4
I ) |(x2+ 2x +1)dx;
2) Jsin 4xdx\
3)jcosjrc&;
4)J— ;
К
IX
6
X
X
5 )jc o s 2 x<&;
7
8 ) | ( 2 х 3 + 1 ) х 2Л ;
1X+ X
0
x
1
2
9) J x V l + x 2dx;
10 ) Jcosxsin ’ xdx:
426
s
)} __dx__
12
J l + cosjf
4 -9 x 2
3
3
3
s'
13) | з ^ 7 ;
14)}sin3*rfx:
2
1СЧ г - J l- x 2
cos xdx
16)jt ---i 2
' 6 -5 s in x + sin x
17)|arcsinxA;
18 )Jln 2x& ;
0
]
19)Jjcsin--<&;
0
20 ) Je* sin 2x<fe;
0
^
!
Ji
2 l ) j x 2e3l‘dx;
2 2 )J x ln xdx;
0
1
rc“
Г
e2
T
2 3 ) | sin 4xdx\
2 4 ) J cos(ln x)dx.
7.7. XOSMAS INTEGRALLAR
Aniq integral qaralganida jf(x )d x integral mavjud boiishi uchun
ikkita shartning bajarilishi talab qilingan edi: 1) integrallash chegarasi
chekii [,a;b] kesmadan iborat bo‘ lishi; 2 ) integral ostidagi funksiya [a\b\
kesmada aniqlangan va chegaralangan boiishi.
Aniq integral uchun keltirilgan shartlardan biri bajarilmaganda u
xosmas integral deb ataladi: 1) faqat birinchi shart bajarilmasa, cheksiz
chegarali xosmas integral (yoki I tur xosmas integral) deyiiadi; 2) faqat
ikkinchi shart bajarilmasa, uzilishga ega b oigan funksiyaning xosmas
integrali (yoki II tur xosmas integral) deyiiadi.
7.7.1. Cheksiz chegarali xosmas integrallar
( I tur xosmas integrallar)
l-ta ’ rif./(jc)
funksiya [a;+*>)
oraliqda uzluksiz boisin. Agar
b
lim [ f(x)d x limit mavjud va chekii boisa, bu limitga yuqori chegarasi
427
cheksiz xosmas integral deyiladi va \f(x)dx kabi belgilanadi:
|/(x)afx= lim J/(x)abc.
a
(7.1)
a
+00
Bu Iraida \f(x)d x integralga yaqinlashuvchi integral deyiladi.
b
Agar Jim \f(x)dx
limit
mavjud boimasa yoki cheksiz boisa,
j f(x)cbc integralga uzoqlashuvchi integral deyiladi.
Quyi chegarasi cheksiz va har ikkala chegarasi cheksiz xosmas
integrallar shu kabi ta’riflanadi:
I f(x )d x = lim j f(x )d x ,
J./ (x)dx = lim f f(x)d x + lim J/ ( x)cbк,
-ос
a
(1.2)
(7.3)
с
bu yerda c - sonlar o ‘ qining biror fiksirlangan nuqtasi. Bunda
(7.3) tenglikning chap tomonidagi xosmas integral. o ‘ ng tomondagi
har ikkala xosmas integral yaqinlashgandagina yaqinlashadi.
~
T
<X
'dx
1- misol. J— (cc > 0) integralni yaqinlashishga tekshiring.
ix
Yechish. а
ф\
bo‘ lsin.
U holda
r1\
b fly
Y'"*2 S
1
f — = limj — = lim----- = ----- (!imAl“" - l ) .
1 x“
x“ *-**»!- a
1- a
+eofix
Bunda: 1) a <1 bo‘ lganda, |— = ----- (limAl'“ - 1) = +x,
i x“ 1- a
+«//v
1
I
2 ) a >1 bo‘ lganda, f— = ----- (lim
6
i xa 1-ct
—1) = ------\ -a '
//y
b
,
3) a = 1 bo‘ lganda, } — = lim f— = limlnx = lim \nb = +co.
•j
6->+oo'
x
b —*+CCl
42.8
II
b ->+CO
dx
Demak, f—- xosmas integral a > l da yaqinlashadi va 0 < « < ] da
i%
uzoqlashadi.
С
2 - misol. jxcosxdx integralni yaqinlashishga tekshiring.
о
Г
о
о ^
\
Yechish. f x cos xdx = lim f x cos xdx = lim x sin x - jsin xdx =
u-> —oo •
a—»-c o l
a
i
lim(-a si a a + cosxf = lim (-asin a - cos a + 1).
0
Bu limit rnavjud emas. Shu sababli jxcos xdx integral uzoqlashadi.
+<0
dx
••
3--misol. j —---------- integralni yaqinlashishga tekshiring.
+ 6x +10
Yechish. Oraliq nuqtani c = 0 deymiz.
U holda (7.3) tenglikga ko‘ ra,
у
dx
■»=a
,.2
I/:,., in
XZ“1-6x4-10
_ ?
dx
Y
dx
J 2 +I 6X+I 1
Л o
*4x + 6x +10
-ccX
10
Bundan
f —— —----- = lim f----- — ----= lim arctg(x + 3)1" =
3-*-” „(x + 3) +1
L x +6x + 10
71
= arctgh - lim arctg(a + 3) = arctgZ + —,
,
. „.ij
dx
dx
I
= lim --------;----= lim arctg(x + 3)1
5x +6x + 10 b-M l 0 + 3) -I-1
У
71
lim arctg(b ■+3) —arclg3 = ---arctg3.
J
/)->№
IJ holda
г
dx
*?
dx
:
=
f
_2
»x! + 6 x +10 -«x 2 + 6 x + 10 оx 2 + 6x + 10
dx
7[
=
arclg3 4- —
71
+ — -
I Jemak, xosmas integral yaqinlashadi.
429
arctg3= n .
7.7.2. Uzffllisfega ega bo‘ lgan fHisksiyalarBing xosmas integrallari
( П tar xosmas integrallar)
2 -ta’ rif. f ( x ) funksiya [a\b) oraliqdaaniqlanganvauzluksizbo‘lib.
b—e
x = b da cheksiz uzulishga ega boMsin. Agar
lim \f(x)d x limit mavjud
va chekli bo‘ Isa, bu limitga uzulishga ega bo ‘Igan funksiyaningxosmas
b
integrali deyiladi va J f (x)dx kabi belgilanadi:
(7.4)
)f {x )d x = \ ™ j№ d x .
Shu kabi: 1)
f ( x ) funksiya x ning a ga o ‘ ngdan yaqinlashishida
uzilishga ega bo'lsa,
J/ (x)dx = lim j f(x)dx;
a
'
(7-5)
a +s
bo‘ ladi;
2 ) agar f ( x ) ftmksiya с e [a\b~\ da uzilishga ega bo‘ lsa,
\f{x)dx = lim \f(x)dx + lim \f(x)dx
a
a
(7.6)
c+ s
boiadi.
II
tar xosmas integrallar uchun yaqinlashish (uzoqlashish)
tushunchalari I tur integrallardagi kabi kiritiladi.
f
*
(£ x
I
4-misol. j — j=
:X\'X
integralni vaqinlashishga tekshiring.
Yechish. x = 0 da integral ostidagi funksiya uzilishga ega.
U holda (7.6) tenglikka ko‘ra,
i cbc
7 dx
f dx
...
,
j—
_ Iijyi j ——— -f- lim j — -<= ——3 lirax
-\X\jX
s_>0 -ix \ fx
= 3 lim s
0
3 -
—3 limx
£_>0 +ex\lx
1- ] + 3 lim e 3 = 6 lim e 3 -1
S-+0
= +oo.
Demak, xosmas integral uzoqlashadi. Berilgan integralga NyutonLeybnis formulasi formal qo‘ llanilishi xato natijaga oiib keladi:
3
dx
I-
■iXSiX
л
430
= —h .
■i
7.7.3. Xosmas integrailarning yaqinlashish alomatlari
K o ‘pincha, xosmas integralni (7.1) - (7.6) formulalar orqali
lusoblash shart bolrnasdan, faqat uning yaqinlashuvchi yoyi
u/oqiashuvchi bo‘ lishini bilish yetarli bo‘ ladi. Bimday hollarda berilgan
integral yaqinlashishga yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchiligi oldindan
ma’ lum b o ‘lgan boshqa xosmas integral bilan taqqoslash orqali
tckshiriladi. Xosmas integrailarning taqqoslash alomatlarini ifodalovchi
(coremalami isbotsiz keltiramiz.
1-teorema ( I tur xosmas integralning yaqinlashish alomatf).
[a;+oo) oraliqda f i x ) va cp(x) funksiyalar uzluksiz va 0 < f(x )< c p (x )
boMsin. U holda:
1)
agar
l<p(x)dx
integral yaqinlashsa,
a
integral ham
\f{x)dx
a
yaqinlashadi;
+0O
2 ) agar
+CO
j / (x)dx
integral uzoqlashsa,
a
} <p(x)dx integral
ham
a
uzoqlashadi.
5-misol fe^dx
integralni yaqinlashishga tekshiring.
0
Puasson integrali deb ataluvchi bu integral boshlang‘ ich
funksiyaga ega emas. Uni ikkita integralning y ig ‘ indisi ko'rmishida
ifodalaymiz:
Yechish.
je~x~dx = fe~x*dx+ j
0
Tenglikning
chap
qiymatga ega bo‘ lgan
0
qismidagi
aniq
dx.
1
integral lardan
integral.
Ikkinchi
birinchisi
chekli
xosmas
Je'^dx
1
integralni yaqinlashishga tekshiramiz.
[1;+ »)
oraliqda
0 < e ^ <e~x
bo'ladi,
e~^
va
e~x funksiyalar
uzluksiz.
Bunda
\ e xdx = lim f e~xdx = lim(-e -1)| = —- lim \ - —.
■J
£>-»+co'!
b —»+CO
ll
Q
ft—>+CC g 3
g
Demak. bu integral yaqinlashadi va 1-teoremaning 1) bandiga
asosan, Puasson integrali ham yaqinlashadi.
431
1
dx
6-misol f — -----* S>X —
V
оe ~ cos x
integralni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Integral ostidagi funksiya x = 0 da uzulishga ega.
x e ( 0;i] da ——----- > ~
e '-c o s x xe
Bundan
Demak,
1dx
f—
оxe
integral uzoqlashadi va l-teoremaning 2) bandiga
asosan berilgan integral ham uzoqlashadi.
2-teorema (I I tur xosmas integralning yaqinlashish alomati).
\a,b) oraliqda f ( x ) va <p(x) funksiyalar uzluksiz boisin va
0 < f i x ) < <p{x) tengsizlikni
qanoatlantirsin,
x - b da / (x) va <р(л-)
funksiyalar cheksiz uzilishga ega bo‘ lsin. U holda:
1)
agar |(p(x)dx integral yaqinlashsa,
J/ (x)clx
integral ham
l<p(x)dx
integral ham
yaqinlashadi;
2)
agar |/ (x)dx integral uzoqlashsa,
uzoqlashadi.
Taqqoslash teoremalari integral ostidagi funksiya bir xil ishoraii
bo'lgansda o'rinli boiadi.
Ishorasi almashinadigan funksiyalaming
xosmas integral]ari uchun quyidagi alomat o ‘ rinli bo‘ ladi.
3~teorema.
3-ta’ rif.
Agar
Agar
\\f{x)\dx \\\f(x)\dx J
integral
yaqinlashsa,
yaqinlashsa,
absolut yaqinlashuvchi xosmas integral
deyiladi.
4-ta’ rif.
Agar
integral
\f ( x) dx\[ f ( x) ck\
yaqinlashsa
va
\
j"I f( x) \dx j J\f\(x)| dx | integral
uzoqlashsa,
J/ (x)ife [ J/ (x)c&
integralga shartliyaqinlashuvchi xosmas integral deyiladi.
7 misol.
Yechish.
integralni yaqinlashishga tekshiring.
Integral
ostidagi
funksiya
[!;+«>) oraliqda
ishorasini
almashtiradi.
„ 1
M a’ lumki, Щ -* < ---
1-misolga ko‘ ra, J—
JX
integral yaqinlashuvchi.
+ccj
|
U holda 1-teoremaga asosan, [I— r -kfe integral yaqinlashuvchi va
ii x |
0 0 SX
3 -teorema va 3 -ta’ rifga ko:ra, f — — dx integral absolut yaqinlashuvchi
1 x
boiadi,
(7.2). (7.3) ko'rmishdagi ((7.5),(7.6) ko‘rinishdagi) xosmas
integrallar uchun taqqoslash alomatlari hamda
absolut va shartli
yaqinlashish tushunchaiari yaqorida (7.1) ko‘rinishdagi ((7.4)
ko‘ rinishdagi) integrallar uchun keltirilgandagi
kabi kiritiladi.
7.7,4,. M ashqlar
1. Berilgan mtegrallam i hisoblang yoki uzoqlashiivchi ekanini aniqlang:
1
2 )J x e 2dx:
1-f X
о
3 ) J ic o s it f a ;
4 )(“
x
arctgxdx
6>J
2XVJ - 1
1
433
11 \ Г
н- 2 т
)1“77т“
;
-i Vx'
13) f-^= ;
- «ч. с
12)j
dx
л -4 х +3
14)
Г . dx
х\[х
j^x1 + 6х +10
2. Integraliami yaqinlashishga tekshiring:
+00 .
+00
3 )\Jce-*<kС
1
^
7) I
7
4) J s m x ^ .
x
6)Ш
—;
oVl-cosx
8) } ^ - ^ ;
Je-co sx
10) } - ^ ;
11)
12) J e ^ s in x d t.
7.8. ANIQ INTEGRALNING TATBIQLARI
7.8.1. Aniq integralning qo‘IIani!isb sxemalari
x o‘zgaruvchi aniqlangan [a,b\ kesmaga bog‘liq biror geometrik
yoki fizik A kattalikning qiymatini (tekis shakl yuzasini, jism hajmmi,
kuchning bajargan ishini va hokazo) hisoblash talab qilmgan b o isin .
Birnda A kattalik additiv deb faraz qilinadi, ya’ni [a,b\ kesmaning
ce[a;b] nuqta bilan [a;c] va [c;6] qismiarga boiin ish id a A kattalikning
|>;6] kesmaga mos qiymati uning [a;c] va [c;i] kesmalarga raos
qiymatlarining yig‘indisiga teng deb qaraladi.
A kattalikning qi>nmatini hisoblash m a’lum tartibda (sxema
bajariladi. B anda ikki sxemadan biri ga amal qilish mumkin:
(integral y ig ‘indilar usuli) va II sxema ( differensial usulf),
1 sxema aniq integralning ta ’rifiga asoslanadi. Bunda:
Г, [a-,b] kesma a - x 0 <x, <... < x,_, <x, <...<x,_. <xn=h
bilan n ta kichik kesmalarga bo‘linadi. Bunda A kattalik mos
AA„ (/ = ],«) «elsm entar qo‘shiluvchilar» ga bo‘linadi:
asosida)
I sxema
nuqtalar
n ta
A = AAt + M.l + ... + A^n;
2°. Har bir «eiementar qo‘shiluvchi» masalaning shartidan
nniqlanuvchi funksiyaning mos kesma istalgan nuqtasida hisoblangan
<| iymati bilan kesmaning uzunligi ko ‘paytmasi ko‘rinishiga keltiriladi:
AA, */(4,)& xt;
АЛ, ning taqribiy qiymatini topishda ayrim soddalashtirisbSar qilish
mumkin: kichik bo‘lakda yoyni uning chekkalarini tortib turuvchi vatar
biian almashtirish mumkin; kichik b o iak d a o‘zgaruvchi tezlikni
o ‘zgarmas deyish mumkin va hokazo.
Bunda A kattalikning taqribiy qiymati integral yig‘indidan iborat
bo‘!adi:
4 * £ f(O A x f.
i= 1
3". A kattalikning haqiqiy qiymati bu integral yig‘indining
я -*oo dagi (bunda A= maxAx.)
limitiga teng bo‘ladi:
а^хйЬ
A = l™ z /(£■)Л*( = I f{x)dx.
fl sxema I sxemaning o ‘zgargan ko‘rinishi hisoblanadi va
«differensial usul» yoki «yuqori tartibli cheksiz kichiklarni tashlab
yuborish usuli» deb ataladi.
Bunda:
V. [a;b] kesmada ixtiyoriy x qiymatni tanlaymiz va o‘zgaruvchi
\a;x] kesmani qaraymiz. Bu kesmada A kattalik x ning funksiyasi
bcrladi: A = A(x), ya’ni A kattalikning bo‘lagi nom a’lum A(x) funksiya
bo‘ladi;
2°. x ning
kichik
A x -d x
kattalikka o ‘zgarishida AA
orttirmaning bosh qismini topamiz: dA = f(x)dx, bu yerda f i x ) - x
435
o ‘zgaruvchining m asala shartidan kelib chiquvchi funksiyasi (bunda
mumkin b o ig an soddalashtirishlar qilinishi mumkin);
3°. AAxdA deb, dA n.i a dan b gacha integrallash orqali A ning
izlanayotgan qiyraati topiladi:
A = \f(x)dx.
7.8.2. Tekis shak! yuzasini hisoblasls
Yuzani dekart koordinatalarida hisoblash
(8.1)
У
&I \
integralga teng b o iad i.
Shu kabi, abssissalar o‘qidan pastda
yotgan, ya’ni quyidan y = f{x') (f(x )< 0)
funksiya grafigi bilan, yuqoridan Ox o ‘q
bilan, yon tomonlaridan x = a va x = b
to‘g ‘ri chiziqlar bilan chegaralangan egri
chiziqli trapetsiyaning yuzasi
/
\
/
;
/
/
j
/
f
.
/
\
A
.......
-3
S = - \f(x ) d x
4
S = \fix ) d x
II
O'
1
*
1
*
Aniq integralning geometrik m a’nosiga asosan, abssissalar o‘qidan
yuqorida yotgan, ya’ni yuqoridan y = f( x ) ( /( * ) > 0 ) funksiya grafigi
bilan, quyidan Ox o ‘q bilan, yon tomonlaridan x = a va x = b to‘g‘ri
chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi
(8.2)
a
\
ШКтж
о
2
x
5-shakl.
integtegralga teng bo‘ladi.
l-misol. Ox o ‘q va y - 6 - x - x 2 parabola bilan chegaralangan tekis
shakl yuzasini toping.
Yechish. Parabolaning Ox o ‘q bilan kesishish nuqtasini
topamiz (5-shakl):
у - Q= 6 - x - x 2 =(3 + x)(2 -x), x, = -3 , хг - 2 .
Tekis shakl yuzasini (8.1) formula bilan topamiz:
=112-2--!-
-1 8 -^ + 27 =20-
.
"4
Y
uzani hisoblashga oid murakkabroq masalalar yuzaning additivlik
4i»ssasiga asoslangan holda
)■
yechiladi. Bunda tekis shakl
ki" ishmaydigan
qismlarga
у = x ‘ - x 2 -2x1
iijnitiladi va aniq integralning
\2 x
l-xossasiga
k o ‘ra
tekis - у
о \
filmklning yuzasi
qismlar
yuzalarining
yig'indisiga
\
i
\
/
long boiadi.
\
j
2-misol.
у ~ х ъ- х г - 2 x
6-shakl.
Vii y = 0 chiziqlar bilan
rbogaralangan tekis shakl yuzasini hisoblang (6-shakl).
Yechish Berilgan tekis shaklni yuzalari S, va S2 bo'lgan
kesishmaydigan qismlarga ajratamiz. U holda yyzaning additivlik
xnssasiga asosan, berilgan tekis shakining yuzasi qismlar yuzalarining
yig' indisiga teng bo‘ladi.
Demak,
0
2
S = iSj + S2= J (x3—x 1 - 2x)dx - f (x3 - x 2 - 2x)dx ( Jt4 X
It T
■T-
Л 1 + 1 . 1) + Г4 Л _ 4]
U
3
J l
3
JJ
37
12
[a;b] kesmada ikkita y ,= f( x ) va y 2= f j x ) uzliksiz funksiyalar
berilgan va xe[a;b] da f 2(x)> f ( x ) bo‘lsin. Bu funksiyaiarning grafiklari
va x = a, x = b to ‘g'ri chiziqlar bilan chegaralangan tekis shaklni
qaraymiz.
Bu tekis shakining yuzasi yuqoridan y1= f2(x) va y .= f( x )
liinksiyalar grafiklari bilan, quyidan Ox o'q bilan, yon tomonlardan
x a va x = b to ‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli
Irapetsiyalar yuzalarining ayirmasiga teng bo‘ladi:
^ = J A (x)dx -
(x)dx = f ( f 2(x) - f (x))dx.
437
(8 .3 )
Ayrim holiarda yuzani hisoblashga oid masalalar yuzaning
ko‘chishga nisbatan invariantlik
xossasidan foydalangan
holda
soddalashtiriladi. Bunda tekis shakl yuzasi (8.3) fomiulada л; va
у
o‘zgaruvchilar (Ox va Oy o‘qlar) ning o‘mini almashtirish yo'li bilan
hisoblanadi, ya’ni (7~shakl).
s = i (fz (x) - A (x))dx = ](g2O ) - g, (y))dy.
7-shak).
(8.4)
8-shakl.
3-misol. x = y 2 va x = y + 2 chiziqlar bilan chegaralangan tekis
shaklning abssissalar o ‘qidan yuqorida yotgan qismining yuzasini
v- hisoblang (8-shakl).
Yechish. Berilgan chiziqlam ing kesishish nuqtalarini topamiz:
у 2 = у + 2, у 2- у - 2 = 0, v, = 0, у = 2.
Tekis shakl yuzasini (8.4) formula bilan topamiz:
s = ffr+ 2 - / ) r f , . ^ + 2 y - ^ - 2 + 4 - |- H
Agar egri chiziqli trapetsiya yuqoridan x = <p(t), y = y/(t), a < t< p
parametrik tenglamalar bilan berilgan fonksiya grafigi bilan
chegaralangan va a = (p{a), b = cp(b) bo‘lsa, (8.1) formulada x = <p(t),
dx = (p\t)dt
ko‘rinishdagi
almashtiriladi.
o ‘m iga
438
qo‘yish
orqali
o ‘zgaruvchi
U holda
р
(8 .5 )
bo1ladi, bu yerda, a = <p(cc) va b = (p(/3).
4-misol. Radiusi R ga teng doira yuzasini hisoblang.
Yechish. Koordinatalar boshini doiraning markaziga joylashtiramiz.
I til doiraning a 3danasi x = Rcost, y = Rsint parametrik tenglamaiar bilan
nniqlanadi va doira koordinata o‘qlariga nisbatan simmetrik bo'ladi.
Shu sababli uning birinchi chorakdagi yuzasini hisoblaymiz (bunda x
71
o'zgaravchi 0 dan R gacha o‘zgarganda t parametr — dan 0 gacha
o'zgaradi) va natijani to‘rtga ko'paytiram iz. U holda (8.5) formulaga
ko'ra:
0
2
S - 4 S l - 4[ Rsmt(-Rs'\nt)dt = 4R2\s\n2tdt =
Yuzani qutb koordinatalarida Msoblash
Qutb koordinatalar ( r - qutb radiusi, <p— qutb burchagi) sistemasida
berilgan r~r(<p) funksiya ф e [a; /3] kesmada uzluksiz bo‘lsin.
r = r(tp) funksiya grafigi hamda О qutbdan chiqqan <p= a va <p= /3
nuriar bilan chegaralangan tekis shaklga egri chiziqli sektor deyiladi.
A OB egri chiziqli sektor yuzasini hisoblaymiz. Bunda II sxemadan
foydalauamiz.
1". Qutbdan chiqqan (p va a burchaklarga mos nuriar bilan
chegaralangan egri chiziqli sektor yuzi
<p burchakning S = S(tp)
lunksiyasi b o isin , bu yerda a < <p< [3 ( cp= a b o ig an d a 5(a) = 0, <p-P
boiganda $(/3) = $ ).
2". Joriy (p qutb burchak
A(p = dq> orttirma olganida AS yuza
GAB «elementar egri chuziqli sektor» joiziga teng orttirma oladi.
Bunda dS differensial AS orttirmaning d(p^>0 dagi orttirmasining
bosh qismini ifodalaydi va radiusi r ga, markaziy burchagi d<p ga teng
bo‘ Igan OAC doiraviy sektor yuziga teng b o ia d i (9-shakl).
439
Sim sab ab li
dS = —r1dm.
2
3°. Oxirgi ifodani <p-a
yuzani topamiz:
S = —\ r 2((p)d<p.
2 aa
dan cp= /3 gacha integrallab izianayotgan
(8.6)
5-misol. r = 2cos3<p egri
chiziq bilan chegaralangan
figuraning yuzasini hisoblang.
Yechish. r = 2cos3<^ egri
chiziq bilan chegaralangan
figuraga uch yaproqli gul
deyiladi (1-ilovaga qarang).
Uning oltidan bir qismi
yuzasini hisoblaymiz:
Г
0
9-shakl.
Bundan S - л .
Agar egri chiziqli sektor r} = r.(ip) va r2= r2(<p) (<pe[a;{S] da
r1(q>)>rl(<p)') funksiyalar grafiklari bilan chegaralangan bo‘lsa,
v1
(8.7)
a
boMadi.
7.8.3. Y assi egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash
AB egri chiziq y = f(x)>. 0 funksiyaning grafigi bo‘lsin. Bunda
x e j a;b], y = f ( x ) funksiya va
y' - f i x ) hosila bu kesmada uluksiz
b o isin .
AB egri chiziq uzunligi I ni II sxemadan foydalangan holda
topamiz.
V. [a\b\ kesm ada ixtiyoriy x nuqtani tanlaymiz va o‘zgaravchi
[a;x] kesmani qaraymiziz. (х,/(хУ) nuqta M bo‘lsin.
440
AM yoy uzunligi 1Ш x ning funksiyasi boiadi: / = l(x) (1(a)- 0 va
m = i y ........................................
2°. x ning kichik Ax: = dx kattalikka
У=
ул
'
o'zgarishida dl differsnsialni topamiz:
N
dl = l'(x)dx. MN yoyni
uni
tortib
Ay
Mf
tumvchi vatar bilan almashtiramiz va
/
Ax
/
l'(x) ni topamiz (10-shakl):
M
AI
+ (Ду)2
I (x) = lim — ■= lim -------------------
Ax
!
Ax
0\
I
= HmJl + f — 1 = J I + 0 / ) 2.
0^ 1^Ax
Дх
л
a
x
x+.&x
b x
10-shakl.
Demak,
dl =
+ (y l)2d x .
3'. dl ni a dan b gacha integrallaymiz:
(8.8)
l = ] ^ + (y y d x .
(8.7)
tenglikka
yoy
differensialining
to ‘g‘ri
burchakli
koordinatalardagi formulasi deyiiadi.
Agar egri chiziq x = g(y), у e [c; d ] , tenglama bilan berilgan bo‘lsa,
yuqorida keltirilganlami takrorlab, AB yoy nzunligini hisoblashning
quyidagi formulasmi hosil qilamiz:
(8.9)
6-m isol
y - - x \ [ x — Vx2 egri chiziq yoyining
8
4
Ox o‘q bilan
kesishish nuqtalari orasidagi uzunligini hisoblang.
Yechish.
>- = 0 deb egri chiziqning
nuqtalarini aniqiaymiz:
Hosilani topamiz:
Ox oq bilan kesishish
x, =0, x, = 2V2 .
, 3 4
8 3
3 2 -4
4 3
1
у ------- X3 --------- X 3 = — fx 3- x ”3)
'
441
Yoy uzunligini hisoblaymiz:
Agar egri chiziq x = <p(t), у = ц/ff), a < t < p , parametrik tenglamalar
bilan berilgan bo‘lsa, (8.8) formulada x = <p(t), y = y/(x),dx = <p'(t)dt
o ‘m iga qo‘yish orqali o‘zgaruvchi almashtiriladi.
Bunda
(8.10)
kelib chiqadi, bu yerda a = cp(a) va b = <p(/3).
Egri chiziq qutb koordinatalar sistemasida r = r(cp), a <q>< p ,
tenglama bilan berilgan b o isin , bunda r(cp), r'(q>) funksiyalar [a\P]
kesmada uzluksiz va A, В nuqtalarga qutb koordinatalarida
a,J3
burchaklar mos keladi.
x = r cos <p, у = r sin (p ekanligidan
x\(p) = r'((p) COS (p- r{(p) sin (p,
y'(<p) = r \(p) sin q>- r (cp) cos cp.
(8.10)
fonnulaga
x'{<p) va
almashtirishlar bajarib. topamiz:
y'{x)
hosilalarni
qo‘yamiz va
(8.11)
l = \jr\q > ) + r'\<p)d<p .
7-misol. r = a(1+ cos (p), a > 0 kardioida uzunligini toping.
Yechish. Egri chiziqning simmetrikligini (1-ilovaga qarang)
hisobga olib, (8.11) fonnula bilan topamiz:
о
оV
2
20
442
7.8.4. Aylanish sirti yuzini hisobiash
ЛИ egri chiziq y - f ( x ) > 0 funksiyaning grafigi b o isin . Bunda
\ ( | a;b], y = f ( x ) fiinksiya
va
/ f\x )
hosila
bu
kesmada
uzluksiz boisin.
AВ egri chiziqning Ox o-q
nl rofida aylanishidan hosil b o ig an
jism sirti yuzini hisoblaymiz.
Huning
uchun
11
sxemani
qoilaym iz.
1". Istalgan xe[a;b] nuqta orqali
Ox o‘qqa perpendikular tekislik
o'tkazamiz.
Bu tekislik aylanish
sirtini radiusi у -- f( x )
b o ig a n
«ylana bo‘ylab kesadi (11-shakl). Bunda aylanish sirtidan Ox o ‘qidagi
<i va z nuqtalardan zOy tekisligiga parallel ravishda o ‘tkazilgan
Ickisliklar ajratgan sirt yuzl x ning funksiyasi b o iad i: S - S{x) (5(a) = 0
va S(b) = S).
2". x argumentga Ax = dx orttirma
beramiz va x + Aх&[а;Щ nuqta orqali
Ox o ‘qqa perpendikular tekislik
oikazam iz. Bunda S = S(x) funksiya
«bclbog1» ko‘rinishida
AS orttirma
о ladi.
Kesimlar
orasidagi
jism ni
yasovchisi dl b o ig a n va asoslarining
radiuslari у va y + dy b o ig a n kesik
к onus bilan almashtiramiz. Bu kesik
konusning
yon
sirti
dS = ж(у + у + dy)dl = Ijjydl + Tcdydl
ga
Icng. dydl ko‘paytmani dS ga nisbatan
12-shakl.
yuqori tartibli cheksiz kichik sifatida tashlab yuboramiz: dS = 2nydl.
ISunda dl = *Jl + ( y iy d x ekanini hisobga olamiz: dS = 2туф + (y'x)2dx.
3° dS ni a dan b gacha integrallab, topamiz:
S = 2 x \y fiH y tfd x
443
(8.12)
Shu kabi a- = g ( y ) , у e [c;d] funksiya graflgining Oy o ‘q atrofida
aylantirshdan hosil boMgan jism sirtining yuzi ushbu
S - 2 л]x^j\ + (x'y)7dy
(8.13)
formula bilan hisoblanadi.
5-misol.
y = 2-Jx, l< x < 2
egri
chiziqning
Ox
o ‘qi
atrofida
aylanishidan hosil boMgan sirt (12-shakl) yuzini toping.
Yechish. Misol shartidan topamiz: / = -}=.
-Jx
(8.12) formula bilan topamiz:
2
1/^1'
2 ___
2
&7Г
S = 2яг| 2s[x ■^jl + j^-y=J dx = Ал f -Jx +1dx = 4л ■~ (x + 1)2 = — (Зл/З-2л/2).
Agar
AB egri chiziq x-(p(t), y = if/(t), a <t< f i , parametrik
tenglamalar bilan berilgan b o isa , u holda AB egri chiziqning
Ox (Oy) o‘q atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jism sirti yuzi
quyidagicha hisoblanadi:
5 = 2л \ w(t)^(pn (t) + ц/'2(t)dt
“
\ s = 2nj (p(t)sjy/'2(t) +(р'г(t)d i\
V
“i
(8.14)
J
b uy erd a a = q>(a) va b-cp(/3) (c = y/(at) v a d = \j/(p])).
ABegri chiziq qutb koordinatalar sistemasida r = r(<p), a < <p < p
stenglama bilan berilgan bo‘lganida quyidagi formulalar o ‘rinli bo‘ladi:
p
_____
Ox: S = 2лjrsin(pvr7+r'2d<p,
p
_____
Oy: 5 = 2^|rcos§PVr2 +r'2d(p.
a
(8.15)
a
6misol. Radiusi R ga teng b o ig an shar sirti yuzini hisoblang.
Yechish. Shar parametrik tenglamasi x = R cos t, y = R sin t bo’lgan
yarim aylananing Ox o ‘q atrofida aylanishidan hosil b o iad i. Shaming
koordinata o ‘qlariga simmetrik bo‘lishini inobatga olib, hisoblaymiz:
x
S = 2 • 2л j R sin t-J(-R sin t)2 + (R cos t)2dt =
0
я
2
x_
= АлИ2Jfsin tdt = - 4nR2cosd2
= 4лК1.
10
0
444
7.8,5. H ajm larni hisoblash
Hajmni ко ‘ndalang kesim yuzasi bo ‘y icha hisoblash
Hajmi hisoblanishi lozim b o ig a n qandaydir jism (13-shakl) uchun
uning istalgan ko‘ndalang kesim
yuzasi
S m a iu m b o isin . Bu
yuza ko‘ndalang kesim joylashishiga
b o g iiq b o iad i: S = S(x), xe[a;A], bu
yerda S(x)—[a;b] kesmada uzluksiz
funksiya.
Izlanayotgan hajmni II sxema
asosida topamiz.
Г. Istalgan jce[a;2>] nuqta orqali
Ox o ‘qqa perpendikular tekislik
o'tkazamiz.
Jismning bu tekislik
bilan kesimi yuzasini
5(x) bilan va
jism ning bu tekislikdan chapda yotgan b o iagining hajmini V(x) bilan
belgilaymiz (13-shakl). Bunda
V kattalik x ning funksiyasi b o iad i:
V = V(x) (V(a) = 0 va У(Ь) = V).
2°. V(x) funksiyaning dV differensialini topamiz. Bu differensial
Ox o ‘q bilan x va x + Ax nuqtalarda kesishuvchi parallel tekisliklar
orasidagi «elementar qatlam»dan iborat b o iad i. Bu differensialni asosi
S(x) ga va balandligi dx ga teng silindr bilan taqriban almashtirish
mumkin.
Demak, dV = S(x)dx.
3°. dV ni a dan b gacha integrallab, izlanayotgan hajmni topamiz:
V = \s(x)dx.
(8.16)
X2
V1
z2
7-misol. —- + + — = 1 ellipsoidning hajmini bisoblang.
a
b
e
Yechish Ellipsoidning Ox o‘qqa perpendikulyar va koordinatalar
boshidan x (-a < x< a ) masofada o‘tuvchi tekislik bilan kesamiz.
Kesimda yarim o‘qlari b(x) = b j l - ^ r va c(x) = c j l - —- b o ig a n ellips
V a
V a
hosil b o ia d i.
445
Lining yuzasi
S (x ) = nb(x)c(x) = nbc
U holda
V = fnbi 1—^-z\h = 7lbc\ X.
a
x
3a
- —mbc.
3
-------- r
Aylanish jismlarining hajmini hisoblash
Yuqoridan y = f( x ) uzluksiz funksiya grafigi bilan, quyidan Ox o‘q
bilan, yon tomonlaridan x = a va x = b to ‘g ‘ri chiziqlar bilan
chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning Ox o ‘q atrofida aylantirishdan
hosil bo‘lgan jism hajmini hisoblaymiz. Bu jism ning ixtiyoriy
ko‘ndalang kesimi doiradan iborat. Shu sababli jism ning X =x tekislik
bilan kesimining yuzasi 8(х) = луг bo‘Iadi.
U holda (8.16) formulaga ko‘ra,
V - л \ у гс1х.
Shu kabi yuqoridan y = f( x )
uzluksiz
funksiya
grafigi
bilan,
quyidan
Ox
o ‘q
bilan,
yon
tomonlaridan x = a va x - b to ‘g‘ri
chiziqlar bilan chegaralangan egri
chiziqli trapetsiyani Oy o ‘qi atrofida
aylantirishdan hosil bo‘lgan jism ning
hajmi quyidagi
formula bilan hisoblanadi:
V = 2n\ yxcbc.
8-misol.
(8.18)
у = л!х, y = 0, x = 0, x = 4
chiziqlar bilan chegaralangan yassi
shakining
Ox
o!qi
atrofida
aylanishidan
hosil
bo‘lgan jism
hajmini toping (14-shakl).
446
(8.17)
'*
|Ж 4 - V»
f=
М..Ч) -
'/ V
я!
j
v S
■
& -1 -'U
14-shakl.
Yechish. Hajmni (8.17) formula bilan topamiz:
S = л j xdx = я--:
= 8 7 г.
Agar egri chiziqli trapetsiya x = cp(y) uzluksiz funksiya grafigi, Oy
o‘qi, у = c va у = d to ‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan bo‘Isa,
(8.19)
V=n] x2dy (Oy) j V = 2л ]xydy (Ox)
boiadi.
9-misol. Radiusi R ga va balandligi H ga teng b o ig a n konusning
hajmini hisoblang.
Yechish. Konusni katetlari R
va H b o ig a n to ‘g ‘ri burchakli
uchburchakning balandlik bo‘ylab
yo‘naigan
Ox
o ‘q
atrofida
aylanishidan hosil b o ig an jism
deyish
mumkin
(15-shakl).
Gipotenuza tenglamasi
y = bc
b o isin .
U holda
у = kx, к = tg(p =
R
R_
y -—x.
H
H'
Btmdan
f 2
"R2
xR1 Г
V = л v dx = k \ —- x dx =— ---0
lU 2
H
3
r/
3
7.8.6, Momentlar va o girlik markazini hisoblash
Tekis shakl va aylanish sirti yuzalarini, yassi egri chiziq yoyi
uzueligini, hajmlarini liisoblashga old yuqorida keltirilgan masalalarni
yechishda aynan bir xil usul qoilanildi. Bunda izlanilayotgan
Q
kattalikni hisoblash integral y ig in d i limitini topishga keltirildi. Barcha
masalalarda Q kattaiik biror j\a;b\ kesma va bu kesmadagi uzluksiz
funksiyalarga b o g iiq holda o ‘rgani!di.
447
Shu kabi Q kattaiik quyidagi xossalarga ega deb faraz qilamiz:
1°. Additivlik xossasi. [a;o] kesma istalgancha bo‘laklarga
boiinganida ham 6 = ^ 6 , b o iad i, bu yerda О -
Q n Log г'-boiakdagi
i= l
qiymati;
2°. Kichiklikdagi chiziqlilik xossasi. \a\b\ kesmadagi istalgan kichik
[x ,;x] kesmada Qt * M x b o iad i, bu yerda Лл, = x, - xM.
Quyida keltiriladigan momentlami, og'irlik markazi va kuchning
bajargan ishini hisoblash formulalari ham yuqoridagi singari hosil
qilinadi. Shu sababli bu formulalami keltirib chiqarmaymiz va uiardan
m asalalami yechishda foydalanamiz.
Oxy tekislikda massalari mos ravishda m1,m1,...,m n b o ig an
Al(x,;y1),A2(x2;y1),...,A„(xn; y j nuqtalar sistemasi berilgan b oisin.
Sistemaning Ox (Oy)o ‘qqa nisbatan statik momenti M x (My) deb
nuqtalar
inassalarini
ulam ing
ordinatalariga
k o ‘paytmalari y ig indisiga aytiladi. y a’ni
M x = J my,
i= 1
(absissalariga)
( M y = Y Щх<) ■
V
'
i= l
J
Sistemaning Ox (Oy) o ‘qqa nisbatan inersiya momenti J x (Jy) deb
nuqtalar massalarini ulam ing ordinatalari (absissalari) kvadratiga
ko‘paytmalari yigindisiga aytiladi, ya’ni
V
4
J. =
Sistemaning og'irlik markazi deb koordinatalari —
у m
nuqtalarga aytiladi, bu yerda
- j b o ig an
mj
т =У щ .
i=]
Yassi egri chiziqning m om entlari va eg ‘irlik m arkazi
Oxy tekislikda AB egri chiziq y = f ( x ) (a< x< b) tenglama bilan
berilgan b o iib , egri chiziqning har bir (x.f(x)) nuqtasidagi zichlik
7 = У(х) ga tsng va f( x ) funksiya f'(x ) hosilasi bilan birga uzluksiz
b o isin .
U holda AB egri chiziqning momentlari va o g irlik markazining
448
kourdinatalari quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:
M x =]yydl, M y - j yxdl;
a
(8.20)
a
J* ~ [yy2dl, J y =]pcldla
(8.21)
a
b
b
| pcdl
f yydl
-----. Ус = т ----->
f ydl
(8-22)
j ydl
bu yerda у = f i x ) , у = yix'), dl = ф_+у’ dx, a< x< b .
J 0-misol. Zichligi y = l ga teng bo‘lgan у = л1к2 - x 2, \x\<R yarim
aylananing momentlari va og‘irlik markazini toping.
Yechish. y ' =— -= JL = bo‘lgani uchun dl
4 r 2- x2
"
л /¥ -х 2
U holda (8.20) - (8.22) formulalardan topamiz:
M k = j -JR2 - x 2
Rdx
- R \d x = R xf = 2 R2,
■-1R1 - x2
-в
P.
xRdx
M = \—r===== = - R ^ R 1 - x1
y l j R 2- x 2
J t - ] (R2 - x 1)- J — - = R J"jR2- x 2dx = R j R1cos2ft* =
-s
v R2 - x 1
-it
_£
2f1-I- cos 2t ,
R 1(
sin 2t \
яК3
Tekis shaklning momentlari va ogHrlik markazi
Oxy tekislikda [a,b] kesmada uzluksiz b o ig a n у - f (x) funksiya
grafigi, Ox o‘q, x = a va x = b to ‘g ‘ri chiziqlar bilan chegaralangan egri
chiziqli trapetsiya (tekis shakl) berilgan va tekis shaklning har bir
nuqtasida у = y(x) zichlik uzluksiz b o isin . U holda tekis shaklning
momentlari va o g irlik markazining koordinatalari quyidagi formulalar
orqali topiladi:
M x = ~ | yy1dx, M y = J yxydx;
(8.23 )
J *=\ \ \УУ><*Х’ Jy =\yx2ydx;
(8.24)
b
J b
j yxydx
—| yy2dx
------ , У .= Ч ------- ,
J yydx
J yyctx
(8.25)
bu yerda у = y(x), у = y(x), ,a < x < b .
11-misol. > = sinx sinusoida yoyi va Ox o ‘qining 0<% <;r b o iag i
bilan chegaralangan, zichligi y = 1 ga teng tekis shaklning o g irlik
markazini toping.
fr
Yechish. Sinusoidaning simmetrikligidan
V
xe = — b o iad i. U holda
,,
1r 27
1f • 2 ,
1 r 1—cos2x ,
if
sin.2x
M = —\y dx = — sm xdx = —\----------- ax = — x ---------2о
2a
2о
2
4v
2
jt
71
4'
x
| ydx = | sin xdx =- cos x|* =2,
yc ■
Demak,
n
n
*.=T
y.=T
7.8.7. K uchning b a ja rg a n ishini hisoblash
Moddiy nuqta o‘zgaruvchan F kuch ta ’sirida Ox o‘qi b o ‘ylab
harakatlanayotgan b o isin va bunda kuchning
yo‘nalishi harakat
450
yo‘nalishi bilan bir xil bo‘lsin. U holda F kuchning m oddiy nuqtani
Ox o ‘qi b o ‘ylab x ~ a nuqtadan x = b(a< h) nuqtaga ko‘chirishda
bajargan ishi quyidagi formula bilan hisoblanadi:
A = \F (x)dx,.
(8.26)
bu yerda F{x) funksiya [a\b\ kesmada uzluksiz.
12-misol. m massali kosmik kemani yerdan h m asofaga uchirish
uchun qancha ish bajarish kerak?
Yechish. Butun
olam
tortishish qonuniga ko‘ra,
yerning
jism ni
tortish
тм
kuchi F = k —— ga teng bo‘ladi, bu yerda M — yerning
massasi, x - yer markazidan kosmik kemagacha bo‘lgan masofa, k gravitasiya doimiyligi. Yer sirtida, y a’ni x = R da F = mg ga teng, bu
yerda g - erkin tushish tezSanishi.
U holda
, mM
mg = k —
.
Bundan
kM = gR2,
R2
F = mg~^r.
x"
Izlanayotgan ishni (8.26) formula bilan topamiz:
K\h
R2
1 '<+h
A = | mg— dx = - mgR2—
R
f
1
1\
= - mgR2j ——----- —| = mgR
X
/•!
R +h
7,8,8. Jismning bosib o ‘tgan yo‘li
M oddiy nuqta (jism) to ‘g ‘ri chiziq bo‘ylab o‘zgaruvchan v = v(t)
tezlik bilan harakatlanayotgan bo‘lsin, Bu nuqtaning tl dan
t2 gacha
vaqt ora!ig‘ida bosib o‘tgan yo‘lini topamiz.
Hosilaning fizik m a’nosiga ko'ra, nuqtaning bir tomonga
harakatida «to‘g‘ri chiziqli harakat teziigi yo‘ldan vaqt bo‘yicha olingan
hosilaga teng», y a ’ni v(f) = — ■ Bundan dS = v(t)dt, Bu tenglikni г, dan
dt
c2 gacha integrallaym iz:
S = ]v(t)dt.
451
(8.27)
Izoh. Bu formulani
ham topish mumkin.
aniq integralni qo‘Uash sxemalari
bilan
7.8.9. Suyuqlikning v ertikal plastinkaga bosim i
Paskal qonuniga ko‘ra, suyuqlikning gorizontal plastinkaga bosimi
P =g y S h
formula bilan topi ladi,
bu yerda
g — erkin tushish tezlanishi,
y — suyuqlik zichligi, S — plastinkaning yuzasi, h ~ plastinkaning botish
chuqurligi.
Plastinkaning vertikal botishida
suyuqlikning plastinkaga bosimini bu
formula bilan topib bo‘hnaydi, chunki
plastinkaning bar xil nuqtalari turli
chuqurlikda yotadi.
Suyuqlikka x = a, x = b, y , = f (x),
y 2= f 2(x)
chiziqlar bilan chega­
ralangan
plastinka
vertikal
botirilayotgan
b o isin .
Bunda
koordinatalar sistemasi 16-shaklda
k o ‘rsatilganidek tanlangan b o isin .
Suyuqlikning plastinkaga P bosimini topish uchun II sxemadan
foydalanamiz,
v
Bunda:
1°. Izlanayotgan P kattalikning bir qismi xning funksiyasi b o isin :
p = p(x), ya’ni p = p(x) - plastinkaning x o‘zgaruvchi [a;x] kesmasiga
mos
qismiga suyuqlik bosimi, bu
О
yerda xe[a\b\ (p(a) = 0 va p(b) = P).
У
2°. x argumentga Дx = dx orttirma
D
a
С
f
beramiz. Bunda p(x) funksiya
Ap
• \
/
X
orttirma oladi (16-shaklda
dx
/
у Ml \ N
qalinlikdagi tasma). Funksiyaning dp
/
/
differensialni topamiz. dx kichik
/
\
\
n
ekanidan tasmani barcha nuqtalari bitta
chuqurlikda
yotuvchi
to‘g‘ri A
b к
в
to ‘rtburchak deb hisoblaymiz, ya’ni
plastinka gorizontal b o isin deymiz.
, t ,,,
I /-snaks.
452
U holda Paskal qonuniga ko‘ra,
dp = g y - ( y 1- y l) d x x .
'
Г
'
"
3°. dp ni x = a dan x = b gacha integrallaymiz:
b
P = g - Y '\( y 1 -y ^ x d x
yoki
P = g ’Г ' JC/iO) - f{x))xdx.
(8.28)
13-misol. Asoslari a va b ga. balandligi h ga teng bo‘lgan teng
yonli trapetsiya shaklidagi plastinka suyuqlikka с chuqurlikda botirilgan
(17-shak!). Suyuqlikning plastinkaga bosimini toping.
Yechish. Izlanayotgan bosim (8.28) formulaga ko‘ra,
c+h
P = gy j yxdx.
с
bo‘ladi.
у o‘zgaruvchini x o'zgaruvchi orqaii ifodaiash uchun CMN va
СКВ uchburchaklaming o‘xshashligidan foydalanamiz:
y - a _ x -c
b -a
h
Bundan у = ал----- - ( x - c ) .
U holda
ax
b -a j x
cx
(
b -a
P = gy j I a +
(x - c)Jxdx = gy
7 +T
I ’T
=
ch +- - ( a + 2b) j.
7.8Л0. M ash q lar
1 Berilgan chiziqlar bilan chegaralangan tekis shakl yuzalarmi liisoblang:
1) y = 9 - x 2, у = 0;
2 ) y = —x, у = 2 х - х г ;
3) у - ln(x -i-6), у = 3 In x, у = 0, x —0;
4) у = In x, у = 0, x = e2;
453
5)дг = У , х=\у+2\;
1
6)лу= 4, х = 5-у ;
) у - - х 2, у 2 =-х;
8)у = х2, у = х \ х = —I, * = 1;
9) x = 4cosf, y = 3sint, 0<t< 2n;
10) jc = 3(f.-sinf), у = 3(1 - cos t) (sikloida bitta arkasi)
11 ) r = 3.Jcos2^;
12) r = 3sm2cp.
13) r = 2+3cos^>;
14) r = 2<p, b ir o ’rami,
2. Berilgan egri chiziqlaming argumentning ko'rsatilgan oralig‘iga mos
yoylari uzunliklarini toping:
1) У = - £ ’ X = Q dan x = S
gacha;
2) у = chx, x = 0 dan x = 1 gacha;
3) y 2 = x3, л- = 0 dan x = 5 gacha;
4) у = arccos-Jx- 4 x - x 1 , x - 0 dan x = l gacha;
5) x = —у 2 - ~ к у, у = 1 dan y = 2 gacha;
6 ) х = 1-Ы(у 2 -1), y = 3 dan >>= 4 gacha;
7) x = t2, y - — t , koordinata o‘qlari bilan kesishish nuqtalari orasidagi;
t
8) x = t 2, y - t 3, t = 0 dan t = 1 gacha;
» 9) x = 2 (t-sm t), у = 2(1 - cast) (sikloida bitta arkasi);
10) x = 3(2 cos t - cos 21), у = 3(2 sin t - sin 21);
11) r - o(l —cos<p), r < — kardioidabo‘lagining;
12) r = Scos’—, 0 = 0 dan <p= — gacha.
3. Chiziqlaming berilgan o ‘q atrofida aylanishidan hosil boigan sirt yuzini
bisoblang:
1) У2 =4jc, x = 0 dan x = 3 gacha, Ox o ‘q;
2) x2 + y 2 = 9, Oy o‘q;
3)jc = 2(;-sin0, у = 2(1-cos*),bitta arkasi, Ox o ‘q;
454
1
4) x —'f l c o s t , у = sin i, Ox o 'q ;
4. R radiusli shar hajmini hisoblang.
2
5. Asosi
2
16
+-^—= 1 ellipsdan iborat bo'lgan va balandligi k = 3 gateng
9
elliptik konusning hajmini hisoblang.
6 . х 2 + уг + г 2 =16 shar hamda x i 2 va x = 3 tekislikiar biian chegaralangan
jism hajmini hisoblang,
v2
z2
4
9
7. J— +-----xz= i bir pallali giperboloid hamda x = - l va x = 2 tekisliklar
bilan chegaralangan jism hajmini hisoblang.
8 . Berilgan chiziqlar bilan chegaralangan tekis shakining berilgan o‘q
atrofida aylanishidan hosil boigan jism hajmini hisoblang:
1) x! = 4 - у, у = Q, Ox o ‘qi;
2) x 2 +y 2 =4 yarim avlana (х>0) va y 2 = 3x parabola, Ox o‘qi;
3) y = arcsinx, y= 0, x= l, Oy o ‘qi;
4) у г = х \ x = L y = 0, Oy o ‘qi;
5) x 1 = Ay, x = 0, у - 1, Oy o ‘qi;
6 ) — + — = 1,
7 25
9
Oy o ‘qi;
7) x = 2(t—sm t), у = 2(1-cosf), bitta arkasi, Ox o ‘qi;
8) x = i2, y = i3, x = 0, y - - 1, Oy o‘qi;
9) r = 3(1 + cos 9 ), qutb o ‘qi;
10 ) ? = 2ifcos§>, yarim aylana, qutb o ‘qi;
9. ?- = 2i?sin (p bir jinsli ayiananing og‘ir!ik markazini toping.
W . x = a cos31, y = asm3t bir jinsli astroidaning Ox o‘qdan yuqorida yotgan
yoyining og‘irlik markazini toping.
11. 4x+ Зу-12 = 0 bir jinsli to‘g‘ri cliiziqning koordinata o‘qlari orasida
joylashgan kesmasining koordinata о ‘qlariga nisbatan statik momentlarini toping.
12. x = 0, y = 0, x+>' = 2 chiziqlar bilan chegaralangan bir jinsli tekis shakining
koordinata o ‘qlariga nisbatan statik va inersiya momentlarini, og‘irlik markazini
toping.
455
13. у - 4 - х 2 va >■= 0 birjinsli chiziqlar bilan chegaralangan tekis shaklning
og‘irlik markazini toping.
14. Yarim o ‘qlari a = 5 va b = 4 b o ig an bir jinsli ellipsning koordinata
o ‘qlariga nisbatan inersiya momentini toping.
15. х г + у г = К2 aylananing birinchi chorakda joylashgan boiagining o‘girlik
markazini toping. Bunda aylananing har bir nuqtasidagi chiziqli zichligi shu nuqta
koordinatalarming ko‘paytmasiga proporsional.
16. * = 8 cos31, 8 = 4 sin31 astroida birinchi chorakda yotgan yoyining koordinata
o ‘qlariga nisbatan statik momentiarini va massasini toping. B unda astroidaning
har bir nuqtasidagi chiziqli zichligi x ga teng.
17. Prujinani 4 smga cho‘zish uchun 24 J ish bajariladi. 150 J ish bajariLsa,
prajina qanday uzunlikka cho‘ziladi?
18. Agar prujinani 1 sm ga siqish uchun IkG kuch sarf qilinsa, prujmaning
8 sm ga siqishda sarf boiadigan F kuch bajargan ishni toping.
19. Uzunligi 0,5 m va radiusi 4 mm boigan mis simni 2 mm cho‘zish uchun
Sx
qancha ish bajarish kerak? Bunda F = E —
20. Og‘iriigi p = 1,5
T
, E
= 12-1Q4 N /mm2.
boigan kosmik kemani yer sirtidan h= 2000 km
masofaga uchirish uchun bajarilishi kerak boiadigan ishni toping.
21. Jismning to‘g‘ri chiziqli harakat tezSigi v = 2t+3t2 (m/s) formula bilan
ifodalanadi. Jismning harakat boshlanishidan 5 s davomida bosib o ig a n y o iin i
toping.
22. Nuqtaning harakat tezligi v = 0,lr’ (m/s') gateng. Nuqtaning 10 s
davomidagi o‘rtacba tezligini toping.
4
23. Sportchining parashutdan tushish tezligi
v =^ ~
formula bilan
ifodalanadi, bu yerda g - erkin tushish tezlanishi, m - sportchining massasi,
k — proporsionallik koeffitsiyenti. Agar parashutdan tushish 3 min davometgan
boisa, sportchi qanday balandlikdan sakragan?
24. Nuqtaning harakat tezligi v = 0,le~<*®' (m/s) ga teng. Nuqtaning harakat
boshlanishidan harakat to ‘xtaguncha bosib o‘tgan y o iin i toping,
25. Suyuqlikka vertikal botirilgan asoslari a va b (b>a) ga, balandligi h ga
teng b o ig an teng yonli trapetsiya shaklidagi plastinkaga suyuqlikning bosimini
toping.
26. Asosi 18 m va balandligi 6 m b o ig an to ‘rtburchakii shlyuzga suv
bosimini toping.
456
27.
Diametri 6 m bo‘lgan va suv sathida joyiashgan yarira doira shaklidagi
vertikal devorga suv bosimini toping. Suv zichligi у = Ю00 kg I ml.,
7.9. ANIQ INTEGRALNI TAQRIBIY HISOBLASH
M a’lumki, agar f( x ) funksiyaning [a;b\ kesmada boshlang‘ich
funksiyasi Fix) mavjud bo‘Isa. f ( x ) funksiyaning aniq integrali
Nyuton-Leybnis formulasi bilan topiladi. Elementar funksiyalarda
olinmaydigan aniq integrallar amalda taqribiy hisobiash usullari bilan
topiladi. Bun day usullardan aniq integralning integral yig‘indining lim it i
haqidagi ta ’rifiga. va geometrik m a’nosiga asoslangan usullami k o ‘rib
chiqamiz.
7.9.1.To‘g ‘r i to ‘rtb u rc h a k la r form ulasi
b
[a;b] kesmada uzluksiz y = f{ x )funksiya uchun J/(x)c& integralni
hisobiash talab qilingan bo‘lsin. Aniqlik uchun barcha x e [a;b] da f(x )
funksiya musbat va monoton o‘suvchi deb faraz qilamiz.
[a;£] kesmani a = x0 < x, <... < xH < x.< ... < xn_, <xn=b nuqtalar bilan
uzunlikiari
Ax = - ——
n
Funksiyaning щ,
boMgan «ta teng
kesmalarga ajratamiz.
nuqtalardagi qiymatlarini y0, у х,...,у,.... y„
bilanbelgilab, y6 =f(x„), y, = f(x 1),...,yi = f(x !),...,y „ = f(x j
iami
hisoblaymiz va quyidagi integral yig‘mdilarni tuzamiz:
b -3
y 0Ax + y tAx +
+ y. Ax +... + y„_tAx = ^ у ,А х ,
i=0
y,A x + y 2Ax + ... + y sAx +... + y nAx = ]T y,&x.
U holda 18-shaklga k o‘ra,
jf(x)dK*>— ~(y0 +y, +... + y, +... + yn_, = —
а
П
Yl Ы0
] f( x ) d x » ^— ^ i y l + у 2 + ... + у, +
а
П
457
уп =
П
Ы
(9. 1)
(9 -2 )
(9.1) va (9.2) formulalar aniq integralni taqribiy hisoblasbning
to ‘g ‘ri to ‘rtburchaklar form ulalari deyiladi.
18-shakldan ko‘rinadiki, agar f ( x ) funksiya [я;6] kesmada musbat
va o ‘suvchi b o isa , (9.1) formula y k
berilgan integralning qiymatini kami
bilan,
(9.2) formuia esa ortig‘i bilan
ZJ
beradi.
Agar [a\b] kesmada f'( x ) chekli
Уо':У\ уi
У,-, У. У:р ■
, У»
hosila
mavjud
b o isa ,
to ‘g‘ri
to ‘rtburchaklar formulalarining absolut
О
xatoliklari
[8n |<
—— tengsizlik
18-shakl.
bilan baholanadi, bu yerda M. = max|/'(x)|.
a<x<,h■
'
7.9.2, Trapetsiyalar formulas!
[a;b\ kesmani b o iish lar sonini aw algidek qoldiramiz va Ax
intervalga mos keladigan у = /(x ) funksiyaning har bir yoyini bu
yoyning chetki nuqtalarini tutashtiruvchi
vatarlar bilan almashtiramiz. Bunda berilgan egri chiziqli trapetsiya n ta
to ‘g ‘ri chiziqli trapetsiya bilan almashtiriladi (19-shakl).
.Ум + У,
Bu to‘g ‘ri chiziqli trapetsiyalar har birining yuzasi
Ax
(i = X,ri) ga teng. Bu yuzalaming barchasini qo‘shib, trapetsiyalar
form ulasm i hosil qilamiz:
г- У.-1 + У. .
(=1
b - af y . + v
Ax = ------ \ Z~
<
a
Z,
JL+ y l + y 1 + - + y„.., •
(9.3)
Л
Bu formulaning xatoligi |<S, | < t e n g s i z l i k
12и
baholanadi, bu yerda M2 = m ax|/’(x)!.
biian
7.9.3. Simpson formulas! (parabolalar usuii)
[a\b] kesmani
a = x0 < x, < x 2 < ... < x 2,._2 < *2Ы< x2l. < ... < x2jji_2 < х 2и_, <xlm=b
nuqtalar bilan uzunliklari
k =-
2m
b o ig a n n = 2m ta teng kesmalarga
458
ajratamiz va har bir ketma-ket kelgan М2п1_2,
M 2m nuqtalar orqali
parabolalar o‘tkazamiz. Egri chiziqli aM0M lmb trapetsiyaning yuzasini
parabolalaming
M2I_2, M2Wva M 2j i (i = 1, ni) nuqtalarini tutashtiruvchi
yoylari. bilan chegaralangan
2m ta
parabolik
trapetsiyalar
yuzalarining yig‘indisi bilan almashtiramiz.
M ln l , M 2n_x, M 2m nuqtalar orqali o ‘tkazilgan parabola tenglamasini
y = Ax2 + Bx + C
ko‘rinishda
izlaymiz.
A,B,C
koeffitsiyentlami
parabolaning berilgan uchta nuqtadan o ‘tishi shartidan topamiz.
Hisoblashlar qulay b o iish i uchun koordinatalar
boshini o ‘qlam ing
yo‘nalishini
o ‘zgartirmasdan
0 2,_2;xb ]
kesmaning
o ‘rtasiga
joylashtiram iz (20-shakl).
N N >-' N‘
АЛ
N
и М' м Уо\ [У2'У2^2 Ун] У2гг-2
У^Ух У У, У»
О
х 0 х, х 2 xt_, X,
хп X
О
х0
х 2 Хц- 2 хг,
19-shakl
;У2»
х2п_2 х1п
X
20-shakl.
Parabolaning (~h;y2i_2), (0 ;j2M), (h;y2i) nuqtalardan o‘tishi shartidan
y 2l_2 = Ah2 - Bh + C, y 2i_x = C, y 2i = Ah2 + Bh + С kelib chiqadi.
Bundan
1
— 2 ^ 2 ^ У 2i-2 ~ ^ У 2i-\ "*■ У I t ) ’
В —
1
2h
^ .У 2 i
У 21-2 )> ^
~ У
li-l'
Endi 2i -parabolik trapetsiya yuzini aniq integral orqali hisoblaymiz:
S2. = J (Ax2 + Bx + C)dx= \ A — + B — + Cx
-h
1 3
2
= -(2 Ah2+6Q.
Formulaga A,B,C koeffitsiyentlarning qiymatlarini qo‘yib, topamiz:
r.
b-a,
6m
.
. . —
2i = ~ Т ~ ( У 2,-2 + 4 >'2M + J 2j), г = 1, и.
459
Parabolik tfapetsiyalaming yuzlarini qo‘shib,
izlanayotgan
integralning taqribiy qiymatini bemvchi formulani hosil qilamiz:
b
^
_
}f(x)dx ~ —— (y0 + y 2m+ My, + y 3+...+ у 2т_, )+ 2(y 2 + y t +... + y 2m_,)). (9.4)
hm
(9.4) formulaga Simpson form ulasi (yoki parabolalar form ulasi)
deyiladi.
Bu formulaning xatoligi !<S„ |< M^ b a) tengsizlik bilan baholanadi,
2880л
bu yerda M, = m
axj/,r(x)j.
a£x£
bI
’
1-misol.
f ^ - integralni
{ \ +X
taqribiy
hisobiash
usullari
bilan
(n = 10da) aniqlang.
Yechish. Quyidagi jadvalni tuzamiz:
X
0
У
1 0,9901
0,1
0,2
0,3
9,9615 0,9174
0,4
0,5
0,8621
0,8
0,6
0,7
0,7353 0,6711
0,8
0,6098
0,9
1
0,5526 0,5
1) (9.1) va (9.2) formulalar yordamida to ‘g ‘ri to ‘rtburchaklar usuli
bilan topamiz:
V*
1
Их
f------- ~ 0,1(1 + 0,9901 + 0,9615 + 0.9174+ 0,8621 + 0,8 + 0,7353 + 0,6711 +
ol + X
+ 0,6098 + 0,5525) = 0,1 ■8,0998 = 0,80998 (ortig'i bilan),
i dx
\ ------0,1(0,9901 + 0,9615 + 0,9174 + 0,8621 + 0,8 + 0,7353 + 0,6711 +
ol + x
+ 0,6098 + 0,5525 + 0,5) = 0,1 ■7,5998 = 0,75998 (kami bilan).
2) Trapetsiyalar formulasi bilan hisoblaymiz:
1 dx
(1 + 0 5
o l+ .r
V 2
| ----- Г « 0,1 ------- + 0,9901 + 0,9615 + 0,9174 + 0,8621 + 0,8 + 0,73 53 +
+ 0,6711 + 0,6098 + 0,5525 = 0.1 ■7,8498 = 0,78498.
460
3) Simpson formulasi bilan hisoblaymiz:
| __abe = ^]+ 0j5 + 4(0)9901 + 0,9174 + 0,8 + 0,6711 + 0,5525) +
о1 + X
+ 290,9615 + 0,8621 + 0,7353 + 0,6098)) =0,78539
Berilgan integralni aniq qiymatini topamiz:
f - dX- = arctgxf = —= 0,787571.
о1+ x
io
4
Taqribiy hisoblashlarning nisbiy va absolut xatoliklarini aniqlaymiz:
To‘g'"ri to‘rtburchaklar
(kami bilan)
3,3%
To‘g‘ri to ‘rtb u rd ia k la r
(ortig’i bilan)
0.026
3,1%
0.024
Trapetsiyalar
0,09%
0.0003
P arabelalar
0,04%
Berilgan integrating M aple paketida yechimini berarniz,
1) To‘g ‘ri to ‘rtburchaklar usuli bo‘yicha:
> restard
> with{Sn<den$ Calculus!}) :
— —~;r~-,x~ 0 .1, m eth o d -left i
> £ш пат $ит \
'
")
1579799420518583
1950414208136225
> eva!f(%):
0.8099814972
> .RienuutnSuml —;— ^ - z r - . x - O m e t h o d —right |;
v 0 h--*2)
4 j
5929114840447037
7801656832544900
> em!/{%);
0.7599814972
2) Trapetsiyalar usuli bo‘yicha:
vHk{Stud&ii[ CalculusI j) :
> Approximatelnt\ ■■■■... 0..1,method-smpezoid I:
I
u
+ Л *
j'
12248312522521419
15603313665089800
0.7849814972
3) Simpson formulasi bo‘yicha:
> YHth{Sfad<zni\Csk^iisS\) :
461
0,0003
>
{ — --------1 -■■■-.x -
Apprvximaiainl]
0 .. 1 , method “
Simpson
;;
V U + л г)
598858531S8383 i 1774901484536676836463
7624903642650463520301694141655283000
> evai/{%)]
0.7853981632
7.9.4. M ashqlar
1. jV *’<£c
aniq integralni 0,001 aniqlikda taqribiy hisoblang:
1) to‘g‘ri
0
toitburchaklar usullari bilan; 2) trapetsiyalar usuli bilan;
bilan.
462
3) Simpson formulasi
FOYDAL ANELGAN AD ABIY OTL AR
1. David C. Lay. Linear algebra and its applications. Copyrigth,
2012 .
2. W.Keith Nicholson. Linear Algebra. Third Echtion. Copyright,
1995.
3. T.S.Blyth, E.F.Robertson. Basic Linear Algebra. SpringerYerlag London Limited, 2007.
4. Erving Kreyszig, Herbert Kreyszig, Edward Normuton.
Advanced engineering Mathematics. N ew York, Copyrigth, 2011.
5. W.Keith Nicholson. Linear algebra with Applications.
December.2011. www.mccc.edu/course/203/documents/student Soliton
Monaal,
6.A.K.Lal, S. Pati. Lekture Notes on Linear Algebra. Februare 10,
2015. lihtps://www.Conrsehero.com> .. .>M ATH 211.
7. David J.Jeffey, Robert M.Corbess. Linear Algebra in Maple.
www.apmaths.uwo.ca/- deffrey/Offprintc/'C5106_C072.
8. Jr. Thomas. Calculus. Copyright, 2005
9. Izu Vaisman. Analytical Geometiy. Coryright, 1997.
10. L.P.Siceloff, G.Wentworth, D.E.Smith. Analytic Geometry.
Copyrigt.
11. Additional Topics in Analytic Geometry.
http://salkhateeb.kau.edu.sa/..,/20section-chapter5~6
12. Analytic geometry in calculus.
http://higheredbcs.wiley.com/..,/analytic_geometry_in_calculus
13. Plane and sold Analytic Geometry . Copyrigt, 2016,
www.forgottenbooks.com
14. Claudio Canuto, Anita Tabacco. Mathematical Analysis I.
Sprinder-Veriag Italia, M ilan 2008.
15. Claudio Canuto, Anita Tabacco. Mathematical Analysis II.
Sprinder-Veriag Italia, Milan 2010.
16. Chapter 11: Sequences and Series
https://www.whitman.edu/.../calculus/calculus_l l_Sequences...
17. Hyperbolic functions - M athcentre
www .mathcentre.ac.uk/resources/.. ./hyperbolicfunctions.
18. Understanding and computing limits by means o f infinitesimal
quantities kifri.fri.uniza.sk/ojs/index.php/JiCM S/articIe/viewFile/.../598
463
19. J.Stewart. Calculus, Broks/Cole, Cengage bearing, 2.032.
20. Complex Numbers - Stewart Calculus
www.stewartcaiculus.com/data/.../ess_at_12_cn_stu.pdf
21. Section 4-5. Partial Fractions
www.mhhe.com/... /bam ettcat?/. ,./bamett07cat/ch04/.. ./bar68...
22. Advanced Integration Techniques
faculty.swosu.edu/michael.dougherty/book/chapter07
23. Lecture 5: Numerical integration .https://web.stanford.edu/
.. ,/numer ical_methods.. ,/lecture5
24. The Newton-Raphson M ethod - UBC Mathematics
https://www.math.ubc.ca/~anstee/.../104newtonmethod.pdf
25. Gerd Baumann. Mathematics for Engineers I. Munchen, 2010.
26. Wolfgang Ertel. Advanced M athematics for ingeneers. 2012
27. V.V.Konev. Linear algebra, Vektor algebra, Analitical
geometry. TextBook. Tomsk, TPU Press, 2009.
28. А.Б.Соболев,А.Ф.Рыбалко. Математика. Екатеренбург,
Часть 1, 2004.
29. Д.Т.Писменный. Конспект лекций по высшей математике:
польный курс. —М: Айрис-пресс, 2009.
30. Т. Jo‘rayev, A.Sa’dullayev, G.Xudoybergartov, X. Mansurov,
A.Vorisov. Oliy matematika asoslari. 1-qism. - Т., « 0 ‘zbekiston»,
NM IU, 1998.
31. S o ato v Y o.U . O liy m atem atik a. I-tom , —Т.:
<<0‘q itu v ch i» , 1992.
32. X u rra m o v Sh.R . O liy m ate m a tik a . M iso llar. N a z o ra t
v‘to p sh iriq la ri. 1-qism . - Т.: « F a n v a te x n o lo g iy a la r» , 2015.
33. В .С .Ш и п ач е в . В ы сш ая м ат е м а ти к а . Б а зо в ы й курс. —
М .: Ю ри ст. 2002. —4 4 7 с.
464
JAVOBLAR
Matrits alar
2.
A - ЪХ + AY +5Z.
3,
' 3
5. f 3 7
3
4У/
(0
-1 2 '
-1 3
1 -2 '
5 . 7. 3 - 7
23,
,- 4
10.
' 7
15.
6
-3
I2
'2 - v
8.
-7 ,
5
-1
2 '
-3 -v
, -1
3
0
10
2
-1
16. -8
-3
2
5/
'-12 O''
-9
0
2
5
/13
-2 -v ,
6
6 5)’
23
-4
6
-4
17
12
4
19
2
O f * au
-l}{
0
4
1317.
f ~8
(-3 8
1
О
\
. 14. - 2
>
,16
20^
-3
oj
18. f 35 671
(154 166J
30/
1
J
22. / - / ,
(2 - 2
0
13. I
^22)
0
12.
3x5.
6~\
-1
-2
19.
11.
x = 3,y = 0.
5 x 6,6x5.
4. 1x30,30x1,2x15,15x2,3x10,10x3,
^4
1\ - 4
6.
=—A.
a = 2,b
20.
оЛ Г - i
1
4
0
-3 4
38 у
21
1 о
20
1
о
0
Determinantlar
1. A"deM. 5. 1. 6. 1)
4)8. 7. 1 ) -1 2 ; 2 ) -2 4 3 ; 3) 64;
4 ) 4 . 8. - x 2. 9 -b(a-t-b). 10. ssn(a - /3)sin(a +/}). 11. 2sina.
1 2 .- 4 7 . 1 3 .-1 8 .
iA .b 1(b -2 ). 15. Ax. 16. - 2 sin a sin /? sin /. 17. - t g a - t g P . 18. (a - b ) ( a ~ c ) ( b - c ) .
19. a ( x - y ) ( x - z ) (z - y). 20. a 2(a + 36). 21. —xyz. 22, 0. 23. cos2o:. 4. 63.
25.100. 26. 2 a - S b +c +5d. 21.-6.
-2 ;
2 ) -125;
3 )1 ;
Matritsalar ustida almashtirishlar
3. ad - be Ф 0.
7. B,D. 8. A a =
A -2\
4)
12. 1)
—
22
5J
"-9
14
-3 '
-4
8
-2
3
-4
A = -
,
К
A=i f
3 (0
1/
9.
1);2)3). 10.
10(1
-П
1/
о
о
li.
-1 1
-1 0
. 13.
5
1 0
14. 0. 15. -10.
(0 0 lj
465
3 -2
3)A,[2 n
1 -1
4/
16. 2
2
- 6
V.
-4
0
2
/
1
-1
2
-4
6
V
-10'
18. -
2
' 0
0
4
-4
6
-3
0
-4
6
I 4
2.
-5
8
2,
_41
5
—<L4.
Л
/
О
2 - 1
0 - 1 1
-5
14
17. - - 4
1
( 2 -1 -1
19.
' 8
2
0
- 2
\
-3
-2
'1 0
4
20 .
0 - 3/
3 - 2
' 1 0 o' '2 0 <z 2 s
'3 1 2'
3) -3 1 o 0 3 2 ; 4) mavjud emas; 5) -3 1 0 0 3 2 3
О
7 2 1 \ 0 0 2 7У
4
\
/
V3
и 1° 0
f
6)
1 0
°1
1 0 0 0 o' ' 2 -3
2 1 0 0 0 0 2
3 2 1 0 0 0 0
3 0 0 1 0 0 0
4
3 0 0 к 1°
4 '
1
0 . 21. 3 . 22. 2 . 23. 2. 24
0
3.
0 -9>
Chiziqli tenglamalar sistemasi
l.Birgalikda emas. 2. Birgalikda, aniqmas. 3. Birgalikda, aniq. 4. Birgalikda emas.
5. jCj = -1, x2 = -2 , x3 = —
3.
6. x. =2, x 2 = -2, ij =1.
7.
x,
=1,
x2 = -1, x3 = -1, x4 = 1.
8.
x,
9. X] = 2 , x2 = с +1, x, = 2c - 1. x4 = c.
=2,
10.
x2 = -1, x,
x,
= 5c2 -
12.
\:-x3 = с,, x4 = c2. 11. x, =3, x2 = 0, x3 = 6.
= -2 ,
13c,
-- 3,
ж4 =1.
x2 = 5c2 - 8c,
-1,
=1, X, = -1, X, = 0.
'1 3 . x, =3, x2 = 4 , x3 = - 6 . 4.14. x, = - 5 , x2 = - 4 , x3 = 0 .1 5 . x, = - 5 , x2 =1, x3 =3.
16. x, = -11, x2 = -6 , x3 = —3. 17. x, = -1, x2 = 3, x3 = 2.
19. x, =3, x2 = 2, x, = 1.
22. x, =3, x2 = -2.
20. x, =1, x2 = 1, x, = -1 .
23. x, =1, x2 = 2, x3 = 0.
25. x, = -2 , x, =1, x ,= 2 .
27. x, = -c , x2 = 0, x3 = c .
= - 2 c ,x
2 1 . x , =3, x 2 = -2.
24. x, = 1, x2 = -2, x3 = 2.
26. x, = 0. x2 = —, x3 = 0, a ( a - l)(a + 2) Ф 0.
a
2 8 . x, = —15c, x2 = lic , x3 =14c.
29. x, = 7c, x2 = - l l c , x3 = -5 c .
3 2 .x ,
18. x, =3, x2 = -3 , x3 =1.
30. x, = x 2 = x 3 = 0 .3 1 . x, = x 2 = x, = x4 =0.
2 = 7c,x, = 0,x4 = 3c. 33. 11,0- j
466
Г
(0,1,0,-1). 34. (1,0-2,3),(0,1,1,2).
Vektorlar
l . a L b . 2. 22. S .A N = ^ ^ ~ . 6. Ш = n ~ 2 m . 7. — + - t .
3
\ a\ |* |
8. ——(б + t) , —(5 —*). 9. m = 2л/3. 10. m = 1, и = —3.
11. Пр, AB = 2’/2 ,
n P lAD = -Ml2 , П р ,О С = 4 2 , П р,АС = 0 . 12. Пр,~АВ = 3 , Пр,ВС = 0 , Пр,'СА = - 3,
ffp.A D = З а Пр/BF = ——. Пр.СЁ = - —. 1.13.
^
16.
'
2'
F'
2
17. а = 2Ь + г . Ь= —
[3 3 3J
'
2
12
2J
. 14.J— 1 .1 5 . J—
[З 3j
[2 2
\ .
2j
, с = а - 2Ь. 1.18. d = 2 a -3 b + c.
1 9 .) { - 7 ; 1 7 ; - 1 2 } ; 2 ) ||; - |; |1 . 2 0 . I ) {- 8;-4;0}; 2 ) {7;-3;2}.21, j 3 + 6 j= 6, |5 - * |= J 4 .
2 2 . -Ло. 23»
27.
М(±v3;±V3 ;±л/з). 2 4 .5 = | 2;+2v'2; - 2} 25.
1 25 5
л
30 . * = { —
[5
35. (-2:1).
5
25}
2 ) ЛВ| ”= { - —
1 13
13
S (5;—3;—3}. 26.Л (-3;-1;-3}.
1. 28. 5"
13j
$ ] . 31. /> = 12. 33. o f - ; — 1 Л =
j
V2 2 ;
2 9 .а = -3.
1 I ' l l J
34. М(-3;-5).
2
36. £)(—3;-7) .37. /40 = 7*.
Vektorlarni ко ‘p aytirish
1.
2. -1 9 . 3 .1 )1 1 2 ; 2)252.
6 .- - .
2
7. —.
2
13. * = 2 7 - 3 / .
17. 25/3.
8. —.
4
9 .- .
4. 1 )-8 9 ; 2 )8 6 . 5. 1) я» = 1; 2 ) и = 2, т = 3.
10. 1) - ;
3
3
2) я. 11. 1)— ; 2 ) — .
13
14. х = l l + 5 j + к. 15.1)125°; 2) 132.
13
12. 10 (ish.b.).
16. 1) -(у.*.); 2) 66&(yJ>.).
58. ±15. 19.1){9;9;-3}; 2){63,63;-21} . 20. 1) 9л/2; 2) — .
21. A = -^=(u.b.). 22. А/ = {—8;—9;—4}; Л? = {1;-4;-7}. 23. 28, c o s « = - - , cos/? = - - .
л/13
7
F
7'
cos)' = | . 24. а = -9. 2 5 .а
28. l ) y o ‘q; 2) ha.
= 2 . 26. 1){3;2}; 2 ){-2;3>. 27. {-6;-24;8}.
29. 1) а = - ; 2 ) а = -3. 30. 1) K = 14(A.*.),A = Vl4(«.*.);2)
F = 2{h.b.),h = ъЛ {и.Ь ). 3 1 .1 ) o ‘ng uchlik, V = I2(hb) ; 2) chap асЬНк,^ = 27(/1.й).
Tekislikdagi to ‘g ‘ri chiziq
1. l)fc = - —,a = 4 .6 = 3; 2 )£ = —,a = - 2 ,* = —; 3 )£ = —,a = 5 ,* = ——;
7
4
3
3
467
2
2
4 )* = - - , e = | , i = | . 2 . l) 3 x + 4 y + 6 = 0 ; 2)3 x + ;y + 9 = 0 ; 3 )x + 2 = 0;
4 ) x + y - 5 = 0.
3. 2va3. .4. l ) M 0(l;2 ),p = 45°; 2 )M 0(2;-l),<p = 90°:
3)M oe0,<p = O; 4)M 0(2;2),^ = 45°.
5. l)m = - 6 ,и ^ 3 va m = 6 , п * - з ;
2)m = - 6 ,n = 3 va m = 6 , « = -3 ; 3) m = 0, л -ch ek li son. 6 . i) m = ~ d a j|,
m = j Ja_L; 2) m = b d a j|, m = ~9 da _L. 7. (1;6). 8 . x -- v - 2 = 0 va x - 4 j + 4 = 0.
9. 3x + 2 y - l l = 0. 10. x-5>- + 2 = 0. 11. 12x + 9 y -1 7 = 0. 12. 5x->> + 3 = 0 ,
x + 5j.' + l l = 0. 13.
3x + j - 4 = 0 , x + 5 y + S = 0 , 3x4 у +10 = 0 , x + 5 y - 6 = 0 .
14. M (4 ;4 ),p = -|.
15. 3x-3>— 8 = 0 . 16. 3x + 4 ^ -1 2 = 0 .
17. x + 2>>- 7 = 0, 7x + 2 y - 3 7 = 0, 5 x - 2 y + l = 0.
19.
x - j ' + 7 = 0, 7x + 4>--6 = 0, 6x + 5^ + 9 = 0.
18. ,y=2x.
20.
2 x + y + 9 = Q,
x - y - 3 = 0.
2 2 . 2x-3;y + 8 = 0 . 2 3 . 29(y.b\ 2 4 . ^ (« .6 ) . 2 5 . 6л/2(и.й).
21. 29*-2>>+33 = 0 .
26. x - 2 = 0, 3 x - 4 ^ + 10 = 0. 27. j> -3 = 0, 4x + y + 5 = 0.8. (-12:5).
Tekislikdagi ikkinchi tartibli chiziqlar
1 Д )(х + 1)2 + С и -3 )г = 3 6 ; 2 )(x + 3 )2 + ( y - 5 y = 5 0 ; 3 )(x + 2)2 +(y-~4)2 = 2 ;
( 4) 0 - 4 ) 2 +СУ + 4)2 =16, (x - 20)2 + (y + 20)2 = 400;
"2. 1) M , { - 4;7), R = 7 ;
i? = 4 .
5) ( x - 2 ) 2 + (y + \ f = 1.
2) M 0(-2;3), Л = 4; 3)
R = | ; 4)
3. 1) aylanada; 2) aylana ichkarisida; 3) aylanada; 4) aylana ichkarisida.
4. 5л/2(м.6).
5. (x-2)2+ j j - | j =Ц. 6.
( x - 5 ) 2 + ( v - l ) 2 = 13.
7.
M0(3;2),
R = 5. 8. 0 < * < — Д = 0 v a k, =— . 9. >■= 0 v a 4x - 3;; = 0.
15 1
15
1 ». 1)
j x = 8(l + co s0 ;
fx = 2cosf,
[>■= 8 sin t,t e [0:2я];
{ j = 2(1 + sint),t e [0;2гт];
1L1) ^ +2 l = l;
36 100
| x = 1+ ^2. cos гг,
[ у = 1+ ~J2sint,t s [0;2/r].
2) — + — = 1; 3) — + — = 1; 4) £ +£ = l.
24
49
36
468
81
16
25
12,12(kv.b). 13. x + > + 5 = 0 v a x + _ y -5 = 0. 14.
IS.
-~ (u .b).
■ 16. M{3;0). 17. 16.x2+ 2 5 / =400.
lS. l ) j X= 5C°Si’
2 ) | " = 5С° 3г’
[#V = 4 sin t,te [0;2;r];
9
16
x2
2)-—'
144
25 =
1; 3 ) 1 ?
x 2 - 1- -j - Л ■
2 )--
8
"24
8
4
3 )f r
„2
,,2
4
12
.zl = l27
19. Г4; —\ (3;2)..
^
2y
X2
4 )—
7 25 ~ 24
II
= 1;
!
£
[jv = 12sm£,/e[0;2;r].
’
x2
4) —
24
_zl = 1. 22. —
18
3 '
-3x + 10
29
23. 42. 24. хг- у 2 =6. 25. — _Z_ = i. 26. j^ = —
— . 2 7 ./, = - —
2 8 .)* = - ^ / + ^ ;
10
'
x -2
9У
2) >• = --^-x2 - x + 3 . 29. 1 )Л(-4;1) , у = 1;
2
1.0
2)A(2;3),
x = 2.
30. 1) x1- y 1 =1-giperbola; 2)y2 =~x-parabola; 3)giperbolaning pastgi yarim
tekislikdagi tarmog‘i; 4) giperbolaning chap yarim tekislikdagi tarmog‘i.
x'2 v'2
x'1
33. - 7 - + ^ - = 1. 3 4 .----- / 2 =1. 36. x - 3_y + 12 = 0. (Ko‘rsatma. arinraa
tenglamalari:
a
b
=1-ellips, ~ -~--= \-giperbcla,
a
b
yy0 = p ( x + x 0) ~ parabola). 3 7 . 4x + y - 4 ~ 0 . 37. 2 \ [ $ x - 3 y + 4 = 0 . 38. 2 x - y - l 6 =
Qutb koordinatalarda chiziqlar
1-Л( 2;| } 5 ( 2;т )
6. 64 M
2 " Л ( ^ 3 ) , ^ - | ; ^ ) . 3 . 7 4. 4 ^ = l V 2 s i n ( ^ - P l). 5. 4 j,A
7. l ) x 2 + [ , - | J = | ; 2 ) [ x - | J + / = f ;3 ) (x2 + / ) 2 = 2x>>;
3V
4) (x2 + y 2)3 = 4(x2 - / ) ;
5) x 2 = 4(1 -y% 6) /
8) — - ^ ”-- ^ 1 = 1 - . 8. 1) /•=—
16
9
r 2 = —-----;
cos2®
3
smr/>
= 3(3 + 2x);
rГ + sj
7) i ---- - 725
+ -y
16
64
; 2) r = --------1------- ;3) r = i ! ® £ ; 4)
2 cos - s i n <p
cos <p
5) r —2acosp; 6 ) r 1 = — —— ; 7) r -- ----------------- ;9) r =
sin2ij>
■
469
, 9
2
1------cos ffl
25
^
!0
,
1----- cos
9
0.
9. I) ellips; 2) giperbola; 3) parabola; 4) ellips.
Tekislik
I. 2x->« + 3 z -1 4 = 0. 2. 2 х - З у + 4 г + 2 0 = 0 . 3. 2 x - 3 y + 5z + 10 = 0.
4. x + 3y-4z —21 = 0.5. 1) 2 y + 3z = 0; 2 ) 7 +1 = 0; 3 ) z - 4 = 0;
4 ) x + z - 3 = 0; 5 )2 2 x + 1 4 y - 5 z = 0. 6 . 1) 2 x - z = 0; 2 ) x - 3 = 0; 3 ) y + 3 = 0;
4 ) x + 3z + 4 = 0 ; 5)8x->>+ 6z = 0. 7, Л(-3;О;О),В(О;-6;О),С(О;0;2). 1).
8 . a = -15,6 = -30.C = 6. 9. x + v + z - 4 = 0.
10. x+ 3>’ + z -1 5 = 0 .
II. l ) x + 3 y - z - 6 = 0; 2 ) x - > - z = 0 . 12. x + v + z —6 = 0 .
13. x + 7 - 2z = 0 . 14. x - 2>>- 3z + 3 = 0 . 15. 1) 2x -
+ z - 15 = 0 ;
2 )2 x + 4y + 9z -2 1 = 0 . 16. x - y - 2 z + 5 = 0 . 17. y - +
+ y y = V:
9
9
11
2
1Г
6
11
,
„ 1О
*
-6
^
7
S
7
1
7
11
"6
6
11
6
11
42
11
---X------ VH----- 5 - 1 = 0 . 1 8 . ------ i----- I--- = 1 ; ------ H -----VH----- z -------= 0 .
1 9. 1)45°; 2 )9 0 °; 3)90 °; 4 ) arccos(0,4).
20. )m = ~— ,n = ~ — ; 2)ш = 3 ,я = -4 .
5
2
21. l) m = 13;2)m = l. 22. l ) a ) * - 2 . y - 3 z - 4 = 0; b)2x + 3v + z - 8 = 0;
2 ) a)2x + 3;y + 4 z - 3 = 0; b )4 x + y - l z + 19 = 0; 3 ) a)5x + 7 v + 3 = Q: b ) y - z + 7 = 0;
с) 5x + 7 z—46 = 0. 23. 7x + 1 4 y -2 z + 6 = 0 .24. x - у + z + 1 = 0.
’*■25. x + 2 v + V i z - 2 = 0 v a x + 2 > ' - V 5 z - 2 = 0. 2 6 . 1)M (-2;1;2); 2)M (2;-1;1). 2 7 . 4(6).
4 i 8 . M (-15;0;0)va M(1;0;0). 29. 2x- >>- 2 z = 0 v a 2 x - . y - 2 z - 1 8 = Q. 30. 8(6.6.).
3 1 .- 2 .
3.2.-3. 33. S
6
Fazodagi to ‘g ‘ri chiziq
^ j ^ x -1 _ y - l _ z + 2 _ 2 } x ~ 2 _ У+ 3 _ 5 + 1 _
„
'
,
x - 2 _ y + 3 _ z - 2 _ „n x - 2 _ y + 3 _ z - 2 _
j - y - —
J
*
У
■ - 1 2
Z -2
0 '
4
X+
'
1
1
y -2
л/2
z+3
-1 ‘
x -2 _ y + 1_ z + 2
x -2 _ y + 3 _ 5 -2
6
- 7 "'
|x + 4 j - 7 = 0
' \ x + 5 - 1 = 0; '
| 3 x - 2 v - 7 = 0,
[2 y + 3z +1 = 0.
6. £ z 2 = Z z l = £±i_ 7. 1) д = 13/,у = 1+ 19г,5 = 2 + 2»; 2) х = ?,у = 1-3г,5 = -2л
-5
-3
4
470
e 5')* = -yZ-7 ==E :i5 ’ ' 1
2
2
1L
7
=
4
= У+] - z " 2
1
2
3
9 x + 1- J ;~ 2 - r ~ 3
' ‘ 2
-1
O '
1(} x + 3 _>>_ z - 4
’ - 5 1 - 3 '
2)e> = —. 12. 1) £ ± 2 =ZZ3=£±1; 2) £ ± 2 =Z z i = £±l
2
-5
?
6
3
16
17
13. fL d = Z ± i = :£ z i .i 4 . 1) parallel; 2) ayqash. 15. !)<? = - ; 2) « ? = -.
1 3
16. 1) parallel;
18. !) 1 4
7 3
2
2) to‘g‘ri chiziq tekisligida yotadi.
:" 5 ': ' 6: 2 ) £ z l = Z z l = f ± i .
-2
0
3
-1
4
6
17. 1) л/(3;2;1); 2) M(2;4;6).
19, 1) „, = 3 . „ = -23; 2 ) « = 12,
1
« = -12. 20, 1)2x~3_y+ 4j ~1 = 0 ; 2)4.*- y - 2z- 7 = 0 . 3)z + l = 0.
21.
3* + 5}> + 2z-9
= 0 . 22.
25. Sx + 2 y - 9z + 12 = 0.
(-2 ;0 ;-3 ).
23.
Л/(2.;3;4). 24. 5 * -2 j/ + 2z + 5 = 0 .
26,
;
2) --~ (« i» .).
Ikk'mchi tartibli sirtlar
1. !)(x~3 )2+ (j/ + l)2+ ( z —1)2 = 2 1 ; 2) (x -3 )2+ ( y + 5)2 + ( z + 2)2 = 5 6 .
2.
1) i
/
|
Д = — ; 2)М (3;-4;-5),Л = 5.
2 2 2;
4 .x 2 +2-2 = 1 0 v .s . ^ ± ^ - + - - = 1. 6.
9
25
16
■*' ' + / . 2v X2 / ' + Z2 _ J У1 x '+ z1
2
64
16~
— = t.
16
25
25
16
9
3.
3) x 2 + / + z 2 =9.
= - ! . 7.1) 4 /
-X 4
+ 4z2 = 0,
34/ . X2 +Z2 _ I
" " ^ 6 4 T 16
8. x 2 + y 2 - z ' = 0 . 9 . 1)т» ^ 0 v a m > —- ;2 )/? r = 0 . JO. 1) ellips;
'
4
2)gsperbola; 3) parabola; 4) rniqta. 11. y2+z 2~2x2 = —
6(ikki pallali giperboloid).
12. 1) M|(3;4;-2),Afj(6;-2;2); 2) M(4;~3;2). 13. 1) ikki pallali giperboloid; 2) sfera;
3) eilipiik paraboloid; 4) aylanish ellipsoidi; 5) giperbolik silindr; 6) giperbolik
paraboloid; 7) ikki pallaii giperboloid; 8) doiraviy silindr.
Haqiqiy soniar
!. \ ) А г л В = {4}, A vj B = {1,2,3,4,5,6'M /S = {L2,3}, B / A = {5,6);
2) A n B = {1,4,8}, A kj B= {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A t В = {3},
В!
A = {2,5,7,9};
3) Л п£={4}, Л иВ = {-5;3,4},Л/5 = {-5}, B/A={3}.
2. 1)Лг-,й = 0 ,
Лг. З.Л гчй-b archa lO gabo‘linadigan soniar.
6. 1)/! = {12,3,4}; 2) A =(1,2,3). 7. 1)
1^6 31
471
2) 0 ; 3){-l,0}; 4){-«,2}.
8 . I) (-oo;l]u[3;*>); 2) (3.4); 3 ) [~oo;-l]; 4 ){-l,0 }; 4){-oo,2). 9. 1) 0 ,- 5 ;
2) 0, mavjud emas.
Sonli ketma-ketliklar
1. l).x„ = —-— ; 2)x„ = — ; 3)x„ =созллг; 4)je = 3 + 2 ( - l ) \
Зи -1
и!
2. 1); 2); 4); 6).
3. 2), 5)-m onoton, l),3 ).4 ),6 )-q a t’iy monoton. 6. 1)
2 ) 0; 3) со, 4)S; 5) 4;
6)2;
7 )i;
17 )- 3 ;
8 ) 9 ) 0 ;
IS ) - ;
2
2 7 )—; 2 8 ) - b
2
e
10)1; 1 1 ) - | ;
12) - j ;
19) -■ 2 0 )—; 2 1) 0; 2 2 )
6
4
2
13) °c; 14) oo; 15)1; 1 6 )0 ;
2 3) - ;
3
24) — ; 2 5 ) - - ; 26)2;
36
2
2 9 ) e 3; 30) e2.
Bir о ‘zgaruvchining funksiyasi
1. 1)(—oo;—2) и (- 2;+oo); 2) (-oo;-3) u ( - 3;- 2) u ( - 2;-kc); 3) [- 2,2]; 4) (-2;1) u (!;+*>);
5 )4 ) (-oo;2)u(9;10]; 6)
10 )( 2 ;+oo);
16) [3;6)
4
1 1 )0 ; 12)(2;3];
(6;7]; 17)
)u(-HMi 7)[7M
,;
9,и
4
1 3 )( 10;+®); 14) (2итг;(2л+ 1)яг),иeZ ; 15)
4 ;| 1 ; 18) [ - 5;°)^(°;1];
jo;|J;
19) (-<*>;!) u (l;2 ) и (2;+=o);
£o) (-3;2). 2. 1) [-2;+oo); 2) [2;+oo); 3) [-7;-3]; 4) j- v2;V2 J; 5) [0;+*); 6) (1;3];
%
*7) [03]; 8 )
9)
10) {-l}u{l}; 11) (0;3); 12) (0;2], 3. 1)3;
I
1) —
3)
—p -;
4 )“ .
2) (-oo;+co) d a o ‘sadi;
4. 1)
dakam ayadi,
f ^ +coj
d a o ‘sadi;
3) (-°o ;0 )u (0 ;+ a > ) dakam ayadi; 4 ) (-<»;+oc) da
kamayadi. 5. l)to q ; 2)ju ft; 3)juft;
4 ) umum iy k o ‘rinishda; 5) toq; 6 ) toq;
7) j lift; 8 ) toq; 9) toq; 10)juft. 6 . 1) M = n,m = k:
3) M = Л , * = -V2; 4) Л/ =
= -V5;
2) M = 4, m = -4;
5) M = l,m = -i; 6 ) M = l , m = 0.
7. 1) chegaralangan; 2 ) qat’iy monoton; 3) qat’iy monoton;
472
4) monoton,
8. 1)6тг; 2 ) |; 3)4я-; 4)
9. 1 ) у - - —^;
3
5)?г; 6) 2ж; 7)
2 )> = - ^ - ;
3 )^ = 3х'”4; 4 ) у = ^arcsin
1—jc
10,1) f(g(x)) = 3x3 + 1,
8)
3
g(/(x))=(3x + l)3;
f(g (x ))= 5 -x , g(f(x)) = - ^ — ,
9)12яг; 10)6тг.
2
2) f(g(x)) = sin | I, g-{/(x))=|sinx|;3)
jc
4) f{g(x)) = x \ g{f(xj) = 3x.
3 x -l
13. A-C-D. 14. A-B. 15. I)v = x2 + 1; 2)— + ^ - = 1.
7
9
4
Funksiyaning limiti
2. / ( * 0 - 0) = 2, /(* „ + 0) = 3; 2 ) / ( * 0 - 0) = 0. / ( x 0 + 0) = +oo; 3) f ( x 0 - 0) = 2,
f ( xa + 0) = 0; 4 ) / ( * о - 0 ) = | . / ( д о + 0) = 1 . 5 . 1)8; 2)0; 3 ) | ; 4 ) | 5 ) | ; 6)2;
7 ) - ^ ; 8 ) | ; 9 )-l; 10) + oo; 11)—2; 12)-1; 1 3 ) - |; 14)-3; 15)0; 16) + co;
1 7 ) - — ; 18)2;
19)0; 2 0 ) ^ ;
21 )2 ; 2.2)0; 23)1; 2 4 ) - | ; 2 5 ) | ; 2 6 ) | ; 2 7 )6 ^ 2 ;
2 8 ) — ; 2 9 )0 . 30 )0 ; 3 1 ) —; 3 2 ) - ;
8
л
3 3 )-l; 3 4 ) - ;
x
3 5 K 5; 3 6 ) e ; 3 7 ) + oo; 38)0;
2
39)e2; 40)e“‘; 41) e; 42)<T2; 43)e; 44)e; 45)1; 37)3; 4 6 ) |; 47)4; 48) 1.
6. 1)J; 2 ) |; 3)—1; 4)ln3; 5)1; 6)5; 7 ) ^ ; 8)2; 9 ) |; 10)±; 11)1; 12)2;
3
2
2
1 3 ) —; 1 4 ) —In—; 1 5 ) - - ; 1 6 ) - - ; 1 7 ) - ;
2
2
5
2.2) In2; 2 3 ) - 1 ;
4
2
2
1 8 )-9 ;
з
1 9 )3 ;
6
2 0 )-;
n
21)0;
2 4 )| .
Funksiyaning uzluksizligi
4. 1)—3,3; 2 ) - l . 5, 1) ikkinchi tur uzilish nuqtasi; 2) birinchi tur (bartaraf
qilinadigan) uzilish nuqtasi; 3) birinchi tur uzilish (sakrash) nuqtasi; 4) ikkinchi
tur uzilish nuqtasi; 6 . 1) * = 0 birinchi tur (bartaraf qilinadigan) uzilish nuqtasi; 2 )
j
= j + to(» e z ) birinchi tur (bartaraf qilinadigan) uzilish nuqtasi. 7. 1) * = ~3da
ikkinchi tur uzilishga ega;
2) uzluksiz.
473
8. 1) [4,5] da uzluksiz, [0;2]da
x = l-ikkinchi tur uzilishga ega, [-3;l]da x = -3 ,x = l-ikkinchi tur uzilishga ega; 2)
hech bir kesmada aniqlanmagan. 1 0 .1 ))n a ;2 ) m.
F unksiyaning hosilasi va differensiali
1 .1 ) / '( * ) = — 1 = ;
2v3x —1
2 ) / ’(x) =
2. l ) - 3 ; 2 ) - 4 ; 3)4; 4 ) - | .
4. г,=1, г2 =3.
5
; 3 ) / '( х ) = - ~ - ; 4 ) / '( * ) = М Д *.
0 - 5 jc)
sin 2x
3. l ) - 3 , 3; 2 )0 , 2; 3)1, -2 x + 3 ; 4 ) - l , 1.
5.1)г = 2с; 2 )f = lc. 6 . / = 12д.
Differensiallash qoidalari va form ulalari
1. 1 ) / = 12xJ - x 2:
3 ) / = ---- +
2 ) y ' = x 5 + 12л3 - 2 ;
— т=
хЦх"
Хл/Х
3
,
1
3
1 «ч / хех( х - 1 ) + е~*(х + 2)
,, , 2 ^
2
4 ) / = — = + — — т ; 5 ) / = — i----- '—3— i------6 ) / = ---------------2-Jx х г х 4 ’
хг
(2* —З”)2 ’
s)
in2 л - f a x -1 ,
(In jc—I)2
2е’ ( х \п х -1 ) .
u ) / = _ ± _ ; 1 2 ) / = ------^ ± 2 ---sin 2x
) ___ 2*т_х_
x ln lO ’
, J 9 ) / = -2 sin 2x; 2 0 ) / = 2*
;
,=_ 2 _
?-sin 2 x
'yxshx-chxj
1 6 )/ = — i - ; 1 7 )/ = —j j L = ;
x in 2x ’
щ
(1 -c o sx )2
1 3 ) / = - f ----- ----- ) ; 1 4 ) / = ---- — ■
(xcosx + sinx)
15) / = - _ * ;
9
х (1 п х -е* )2
л/4 - 3jc2 ’
sh 2x
1 8 )/ = 2-Jx-x1 ’
2 1 ) / = arcsinx; 22) / = 2e ^
;
23) / = —— 7 ; 2 4 ) / = —; 2 5 ) / = (l-fg3*)2; 2 6 ) / = -6e-3*sin3x; 2 7 ) / = —
2 8 )/=
1—9
3
-
; 2 9 )/ = -
cosx
/ = ——; 3) / = , 1
x
*
т /б х -4 -х
; 3 0 ) / = ^ f g . 2 . 1 ) / = - - ^ - ; 2)
; 4 )/ =—
V 4 -x 2
4)27.351. 4. 1)2,03; 2)0,97;
0
+2)
. 3. 1)2.0125;
(1 + x)
2) 1,009;
3) 0,9942;
* +9
3)0,31; 4)1,01. 5, 1 )ф = 1 п х ^;
2)dy = ~ ~ d x X '
3 ) ф = -2sin4x& ;
2
A)dy = 3asin2 xcosx<&;
5 )dy = -s in x 3 “ sx Sn3abc;
6 ) dy = -3/gxln2 cosxdx. 6. 1 ) / ' = 24x(5x2 -3 ); 2)_y" = e2* ( 2 c o s x - lls m x):
474
3)У ” = ———j—j-; 4) у " = —. 7. l) s ia — ; 2 )« s n i” ; 3 ) - « ( ? ! - l) s m — ;
(1 jc ^
x
2*
2
2
8. l ) v ' = - ^ £ -
a2y
2W =^ ± ^ ;
4 )и (я -1 ).
3 )У = >,(1" ^ - 4 ) у ' = - 2х + У™ Ш
у 2—x
x ( y - l)
5 )/ =- ^ ; 6 ) / =- ^ ™
Z .
e '+ x
xco sy + sin x
10. l)3 x -3 ;y + 2 = 0, 3x + 3y + 4 = 0;
xsia(xy)
9, 1) — ; 2 ) ------ Ц - ; 3 )
4f
asin /
4/
4 ) - ^ T
2 ) x + у - ж = 0,
х - у - я г = 0; 3 ) 5 x - ; y - 4 = 0 ,x + 5>>-6 = 0; 4 )5 x + 4j - 25 = 0, 2 0 л -2 5 у + 64 = 0;
5) x - y = О, x + ;y - 4 = 0; 6) 4x + 2 y - 3 = 0, 2 x - 4 y + l = 0.
Differensial hisobining asosiy tcoremalari
1. l ) c = —~ ; 2 ) c = - ^ ; 3) y o ‘q; 4) y o ‘q.
2 .1 )c = ^ ; 2 ) c = ln (e -l); 3 )c = e - l ;
>"i- ЗЛ,(-Н ) » ( H ) 4-
4
4 )0 ;
5)0;
6) 2;
2 ,' 4
7 ) | ; 8 ) - I ; 9) 3; 10) -3; 11) 0;
6- »-*> 2); ; 3>1;
12) 0 ; 13) 1; 1 4 )e; 1 5)e*;
1 6 )e-9; 17) 1; 18) 3e. 7. 1) j°(x) = 1 9 -ll(,x + 2 ) - ( x + 2)2 + (х + 2)3;
2) P (x )= 4 + L 3 (x -2 ) + 1 2 (x -2 )2 + 6 ( x - 2 ) ’ + ( x - 2 ) 4;
8, 1) 2 + j ( x - 3 ) - ~ ( x - 3 ) 2 + —J—( x - 3 ) 3 ------ Ц = = ===, c = x0 + в ( х - х 0), 0< 0 < 1;
4
64
5 ’-2
128^(1 + с)
2
9.
) 4
I
- ^
4
- ^
о
- ^
#
Id
+^
c = xo + 0 ( x - x o), O < 0 < 1 .
с
Y^ Y^
Vй
V«+1
1) / ( * ) = * + — + — ■
+ ...+ -— ;— + - — ■(fi* + n + l)f?&, 0 < 0 < 1;
1!
2!
(л-1)!
«!
у2
4
In
2м+1 /,йс_ л -(2|с
2)
.< .< ! ■ 1«. 1)0,587; 2)0,868;
3) 1,395; 4) 1,004, 11. l ) l ; 2 ) i ; 3)1; 4 )-1.
F unksiyalam i tekshirish va grajiklarini chizish
I.
1) (~co;l) и (5;+oo) in terv ald a o ‘sadi, (1;5)intervalda kam ay ad i,
= /(1) = 7,
/ ^ = / ( 5 ) = -25; 2) (-oo;-i)u(2;+oo) intervalda o ‘sadi, (-1;2) in terv a ld a kam ayadi,
7
10
/«« = / ( —1) = Т» /ша = / ( 2 ) = - v ; 3) (0;2 ) u ( 2;+a>) intervalda o ‘sadi, (-oo;-2) u ( 2 ;0)
О
J
475
/ min = /(0 ) = 0; 4) (- 2;2) intervalda o‘sadi, (-оо;-2) и ( 2;+си)
f __ 1_
intervalda k a m a y a d i,/^ = /(2 ) = 1, / min = / (—2) = —1; 5) ]—
i11terva!cia
intervalda kamayadi,
I
o ‘sadi, f - 1;—
4
’ S )
{S')
i nterval da kamayadi,
/„ =
=
lV2j 2
/min = / f — 7=] = - - ; 6)(-® ;-l)u ( 0;l) intervalda o ‘sadi, (-l; 0)u(l;+oo)
V v2j
2
intervalda
kamayadi, / „ , = / ( - 1) = 2, / и 1 = / ( 1) = 2, / mn = / (0) - 0; ) (-»; 1) intervalda
o‘sadi,(l;+oo) intervalda kamayadi, / „ = / ( t ) = —; 8) (0;+oo) intervalda o‘sadi,
e
(-аз;0) intervalda kamayadi, f mm = /(0 ) = 1; 9) (G;+cc) intervalda o ‘sadi, (-°o:0)
intervalda kamayadi, / mir = / ( 0) = 0; 10) (e;+oo) intervalda o‘ sadi,
(0;l)u(l;e) intervalda kamayadi, / mjo = /(e ) = e; 11)
f 0; у j и
;2жj intervalda kamayadi,
intervalda o ‘sadi,
=/ ^ ~ j =■
— + л/3,
= —-л/3; 12) I 0;—l o ’f— :я -1 intervalda о ‘sadi, f —;— ) intervalda
3
i
*• ,
I 12; U2 ' J
V12 12 J
I я \ гг+6л/3+12
5я-6\/3 +12
kamayadi, /„ „ = / | — | = ------ —------, / шш=
2. 1)M =2, m = -2;
J = ----------------
2)M = 17, m = -10;3)M
4 ) M = e 3, m = 0. 3.v = 24 (tez.birl.). 4 .^ y -D (e n i),^ D (b o ‘yi).
V‘
* 6.S' = 24(yuzbirl.). 7 .Я = Ял/2.
=
I i
9. « = - .
3
10. 13,5 so‘m.
11. 1) (-°o;0)u(2;+oo) intervalda botiq, (0;2) intervalda qavariq, M,(0;0), M2(2;-4)
egilish nuqtalari; 2) (5;+cc) intervalda botiq, (-» ;5 ) intervalda qavariq, M(5;7)
egilish nuqtasi; 3) (-*>;0) и (0;+a>) intervalda botiq, egilish nuqtasi yo‘q;
4) (3;+oo) intervalda botiq, (-»;3) intervalda qavariq, M(3;l) egilish nuqtasi;
5) (-l;+oc) intervalda botiq, egilish nuqtasi yo‘q; 6) (—1;1) intervalda botiq,
(-oo;-l)w(l;+oo) intervalda qavariq, M ,(-l;ln 2), M,(l;!n 2) egilish nuqtalari;
7)f-oo:—
I
S)
|uf-4^;+ool intervalda botiq, Г— |= ;-Ы intervalda qavariq,
М л — 7= ; - |,
л/з’4 /
1л/з
j
{ 4ъ S )
I egilish nuqtalari; 8) ( - 1;0) и (l;+=o) intervalda botiq,
(-oo;-1) и (0;I) intervalda qavariq,
M ,(-l; 2), M2(l;-2) egilish nuqtalari.
12. 1) x = +1, у =0; 2) x = 0, у - 1 (x
-ко da),
476
y = -l (x -> -oo da), 3)y = л;
72Т
4 ) у ~ . — х + 1 (х -> +00 da),
*^
у = —х +1 (х —>-oo da). 5)
2
2
х = -2 , у = 0 (х
—» da),
6) дг= О, у = 0;
|
1
7) х = 0, у = 3х. 8) я = 1,' у = х + — (х->+оо (fa), у = - * - — (х -» -о о da).
Hosilalarning geometrik tatbiqlari
1. 1) 4; 2) 2; 3) (l + Ssin2?)'^; 4 ) —p ---- ;
.
<
16 sm —
2
3) 2; 4)
5) - ; 6 ) - . 2. 1) — ; 2)
8
a
3’ •
12
21 в 'У ■ 3‘ 0 №2); 2) ( f +t-1} 4 0 1,2 =^ 3;2) ^ =^
3 ) 5 ’ = ^ ; 4 ) * * + , ’ =«*. S . l ) ^ ± i = ^
’
_1)!;
= J ; 2 ) | i - ^ = l ^ = -l;
3) J + y W , z = l; 4) — + ^ = l , z = 3. 6 . 1) f z l = :Z=I = .L ri,
' 36 25
7 2
3
6
_8
2x + 3y + 6 z —11 = 0;
_A
2) ~ - ^ = —~ - = ^ - ^ ,3 x + 6y + 12z-70 = 0;
_2
3 ) H 2 =Z dl = l_ 2 ., ,*-3z + 4 = 0;
1
0 - 3
4 ) ^ =^
7 2
О
= ^ . 2x + z - 3 = 0.
1
7. 1)5<&; 2)l3cft.
Tenglamalarni taqribiy yechish
1. 1) -2.2583;
2) 0,6823;
3) 2,5062;
4)-0,8879.
Kompleks sonlar
1. x = 2, y = - 1. 2. x = 5, v = 10. 3. * = —1 y = 21. 4.x = —, v = —.
5
3
5. 1) z, = - 3 + 4г, z2 = - 3 - 4 / ; 2 ) zt = —i, z2 = —г; 3) z, = ;, z2 = -3i; 4 ) z, =5i, z2 =г.
6 . 1) x = a lo ‘g‘ri chiziq; 2) y - Ь to ‘g ‘ri chiziq; 3) markazi 0(0;0) nuqtada bo ig an va
?•, /г radiusl i aylanalar orasidagi halqa; 4) q> va 1// nuriar orasidagi sektor;
5) 3) markazi 0(O;O) nuqtada b o ig an va r, Wradiusli aylanalar orasidagi halqaningp
va
у/
nuriar
orasidagi
boiagi.
477
7 .1)-2+ 2v3/ = 4 co s-^+ isin — =4e 3‘;
У)
2 )л /з - / = 2 ГсовГ—— l + i's in f-— = 2г б ;3 )
I I 6)
{ 6 JJ
2
+
2
I
cos — + ism — 1 = л/Зе
4
4 )
4) 2 + 2; = 2 -У2 Гcos—+ / sin —I = 2л/2е^ ; 5) 1- / = V2 ] co sf- —1 + i sin f - — 11 = -He * ;
V 4
4)
I
V
4j
1, 4 j J
6 ) - 3 - 2 / = V l3 fco s^ a rc /g y -7 rj + /sm ^ » -c /g -j-7 rjj = Vl3e ^
3
7)l--^3i = 2^cosj^--jj + isin^--jjj = 2e 3 ;
8)-л/2-V 2/ = 2^cos^-^-l + /sinj-^—jj = 2e 4 .
8.
l)z , + z, =
-3
- j,
7+
z, —z2 = —
7i,
z,
-Z j= 2
+
26(,
z
=
z2
—
117
10 10
------------------ / ;
2 ) Zj + z2 = —1—i, z, —z2 = —5 —7/, z ,- z 2 = 6 —17/, —- = ------ 1---- i.
z2
13 13
3 )V 5 ;
4 )1 0 . 1 0 . 1 ) | - y i ;
2) - f - f * ;
9. 1) 5-\/2; 2) 5t/2;
3) 24l> 4)48/. 11. l) R e z = i I m z = ^ ;
]
4
3 .
37
29
2 ) R c z = 0, Im z = —; 3)R ez = —,Im z = —; 4 )R e z = - :— ,.hnz = ----- .
'
8 ’
5
5
'
5
5
12. l) z ,-Z j = - 4 + 4л/3/, — = л /з- / ;
z2
— = 4/;
Z1
2 ) z ,- z 2 = 3 л /з+3/, — = -6/;
z2
4 ) z, -z2 = - 4 + 4л/3г, ^ - = 4 + 4>/3i.
-32(1 + л/3г).
13. 1)16(1 + 0; 2) -1 ; 3) 2!3(l-/> ; 4)
Z2
14. 1) ± (л /3 -/);
3 ) z ,- z 2 = - I 6 ,
2) '>
3) ± ( л / 3 + г ) , ± ( 1 - л / 3 ( ) ;
/|\ юй'Г
* + 8for . . jr + 8far^
n n o /.
4)-7 2 c o s ---------- + i s m -----------L k = 0,1,2,3,4.
7
I,
20
20 J
Ко ‘phadlar
1. 1) P +Q = x 5 + 5x3 - x 2 - x + 4, P - Q = - x 5 - x 3 —x 2 + x + 4,
P Q = 2 x * - x 7 + 6x6 + x 5 - 2 x 4 +13x3- 4 x ;
2) P + Q = 4 x 4 + *3 - 5 ,
P - Q = - 2 x A- x 3 -(-2л:1 - 5 , P Q = 3xe + x 7 + 2xe + x 5 -1 6 x 4- 5 x 3 + 5x2.
2 .1 ) А = л; + 1, f = - x + 2; 2 )Д = х + 3, r = - 6 x 2 - 5 x + 8;
3) й = Зд:2- 5 , r = -2Lc2 +17jc + 34; 4) Л = 2x2 - 3 x + 5, r = 19*-29. 3. 1) 73;2) —4;
478
3)96; 4)84. 4. a = 3,6 = -1,с = 1. 5. 1) а = 2,6 = 1,с = 1. 6. 1) (х - 2)(х + 2)(х2 + 4);
2) х(х -9){х +9); 3 ) S ( x - l) ( x - 2 ) 2(x - 3 ); 4) ( > - 3 ) 2(х -1 )(х 2 + х + 1).
т
,v 3
х
7. 1) +
!
х2
2
;
х + 1'
„
2
' х
1
х2
х-4
- . 1 1
х 1 + 4 ' ' л 3(х-1)
3
2
„ , . 2
1 3
2
----- ------- _ 8, 1) ---- - + — ------;
х -х + 1 х + х + 1
х х
х
х+1
11 2
j)
X
7
3
2
.ч 1
1
- - ч ---------------- ; 4 ) — + ------ + X"
х-1
4
3(х + 2 )'
2 ) - — т + - т —; 3)
Х+ 1
X
X+ 1
1 2 + -----;
3
2„) .-------х
х +3
х -2
1
хг- х +1
Integr alias lining asosiy usullari
!. ! ) —5toros.r-2afictg*:+— + C ; 2 ) ——— + 21 n |x + 3|+C ; 3 ) ----- L = - e ’t - ln |.x |+ C ;
5
2
3 ■2'
4)3arctgx-2arcsiax+C; 5)2x4------------------ + C ;
3 ‘ (h 3 - in 2)
8 )- c tg x + cosx+ C;
'
7liy-2
6 )x -c o sx+C;
9 ) - c t g x - x + C; 10) - c t g x + C;
1
7 ) e x + tg x + C ;
9r
11) — arctg---- t-C;
10
5
12) - p - a r c s i n + C. 2. 1) —tg2x + C ; 2 ) - - c o s 3x + C; 3
arctg*2x + C ;)
42
45
4
3
16
4) ~ \ f b ™ ( x + 5) + C;
5)e™*+C; 6 ) - - (r v + C; 7 )------ ——+ C; 8 )-2 c o sv 'x + C;
3
4sm x
10
9) arcsin-^-H-C; 10)
2
4
\fctg4x + C.
3. 1) 21n(l + e * ) - x + C ; 2 ) —ln(x6 +1) + C ;
6
3)8hcsu1” + ~ W l 6 - x 2 + C; 4 ) ^ y ( x 4 + 4 )z + C ;
5) -^(x5 + з)\/х3 + 3 + C;
6) la| 2 + sm 2 x |+ C ; 7 )--------------- t + C; 8)2!n |x 2 + 5 \—j5arctg-y=+C;
2(arcsmx)
45
9)
• x+2 _
.m 1 , U ,
ЛГТ~7— Tl л m l f ( 2 x + 7)12 7(2x + 7)11'! „
arcsin------ f C : 1Щ -j= in \3 x -l + 4 9 x - 6 x - 3 \ + C: 11) — --------- -------- -------- — +C ;
3
J3 I
I
'
4^
12
11
J
<“
| | !i_ -|
12) 2 arcsin Vx +■C; 1 3 )— 1nj--2-; 14) In x - I n 2-1tax + 2 In 2 1+C.
4.1)
arclgx ~ ^ + C,
2)xarcsinx + - \/i- x 2 +C ; 3) ~ -ln j x | - ^ - + C:
•>X
4) e' (x2 - 2x + 2) +C; 5} j j ^ ( x b 3 - I ) + C ;
6 )—sin 2 x - - x c o s 2 x + C ; 7 ) —(x2 —1) In | x + 1 |- —x ( x - 2 ) + C; 8) — --------—tgx + C ;
4
2
2
4
2cos x 2
479
9) y(sinln |x |-cosln | x I) + C;
10) j e 4*(sin4x-cos4x) + C; 11) tgxQntgx-1) + C;
12) arctgxQaardgx-1) + C. 5 .
1)— (1 + x2)2\ll +x 2 ~ —(\ +x 2)\jl +x2 + C;
14
8
2) —sin2x —-j^sinSjr + C;
3 ) ^j-(2 + sin(2e*) + C;
6 ) — In 1 1 -ln 2 \x || +C;
5) In |sin x + cosx|+ C ;
8) - a r c t g ^ +C;
12) л/3 +e “ +C\
4) —Ae~3*(3x + 1) + C;
9) xfgx + lnicosx|+C;
7) -I n
2 x -3
+ C:
x+1
10) ~ a r c ig ~ — -- + C',
11) e""*+C\
13)—x - —sin 3x + C; 1 4 ) - I g x 2 - - x 2 + C;
2
6
2
2
15)— x, (9ia2x -6 in x + 2 ) +C; 16 ) - - - — -- + C.
27
srnx
Ratsional funksiyalarni integrallash
0 + 2)4
, , C,
|(x + l)(x + 3)3 |
I. l) ln |x 2 + 3 x - 101+C; 2 )In !* Ш + С; 3) ^ I n , ,
'Jlx +1
lx + 1
2
4) 4 ^|x + 5
x+1
+ C;
5)ln
x 3( x - l )
2
+ C;
X + 1
6 ) | + t o | x | - ^ l n | 2 x - l | ~ l n | 2 x + l|+ C ;
2.x -3 ,
1 ) --------- + ln
X
X ' +C;
JC+ ll
8)5x + ^ ln j x | —-In i x - l | +^p-ln | x - 4 | +C;
9)x+I tal f c 2 % ^ + C;
’
3
10)- —-arctgx +C;
x
(x + 2) 2
1
2 x —l
S
S
_
12)1 _„
J _______
(* + 1) i + —=arct 2 — = - + С ;
6 [x
-x + 1 j
1 Г2x6 + 6x2
I4»il
16)
3
+ in
x 2 -1
x 2 +1
\
1 г 3x
+ arctg— l+ C;
54{хл + 9
18) l n | x - l | + - f
2\x +
+ C;
11)—In,
2 ( x 2+\)
,~ ,x
2
4.
2x + l
1-3)— + x - x + —j=circtg— p-—+C;
з
л/з
л/з
- —arctgx + C;
+ C; 1 5 )-In
4 x+1
17)
2 x -l
- + arct.g(x +1) + C;
2(x‘ + 2x + 2)
- + arctgx\ + C;
)
1 9)—arctg(x + 2) - — arctg ~ ~ ~ + С ;
24
480
- „ - I , (x + 1)2
1
_
2 0 5 - I n ^ — — ---------- +C ;
4
x 2 +1
2(x +1)
lf x ( 3 x 2 +5) „
) _
2 1 ) - A ..... -I +3arctgx \+ C
8 [ (x +1)
5
x -9
1
x -1
2 2 )---- r------------ 4— arctg------ + C;
's ( x 2 -2 x ^ 5 )
16
6 2
4 x -7
8-\/з
2 x -3 „
2 3 ) —:------------- 1-------arctg— = — l-C;
x -3 x + 3
3
*
,w 4l f x 2 -t-9^
x
> “ 5— л \+arctg—+C.
l^x’ + 4 J
3
Trigonometrikfunksiyalarni integrallash
2
5^
+4
1. 1) - a r c t g -----2-----+ C;
2
4) ~ a r c lg —
л/3
V3
2 ) l ^ 2|+ 2 ! n
+C: 3 ) —in 5 fg - + 3 + C ;
5
cosx
3
1
+ C; 5)arccos—r=-+C; 6 )-------- — 5— + C; 7) 2arc/i?(sin x) - sin r+ C :
V3
srnx sm x
’ '
.
Wgx
8 ) -In
+ —sm 2 x + C ; 9 ) — I x ——sin 4 x + —sin3 2x l+C:
; 161.
4
3
J
J 4 l-lg x 4
10) In \tgx\+—tg2x+C;
11) — in
10
tgx- 1
-bCj 12) - i ( 2 1 n | sin 2x j +ctg22x)+ C;
tgx + 1
13) -j2arclg^-j=r^-x+C; 1 4 )— (3sin7x+7sm 3x)+C ;
*
J ■c
1 ■ ^
1 /n x sin2x sin4x sin 6x
1 5)—I -s m 3 x ----- sm 5x— srnx + L: i o ) —+ --------+ — ■— •+--------+C.
2{3
10
2
J
4
8
16
24
Irratsional funksiyalarni integrallash
1. 1) 2-Ух - 3\Цс + (&fx - 61n(l + >/x) + C;
3) 2^ H - £ _
+ x)2 _ Jo^j +
2)
(1+ V?)2 1+ V^
+ j 5) + c .
+
+ C;
j+ C;
^ Q j(x +I f .
5) V 2x- 1 - 3V2x-1 + 3 ln(V 2r-1 +1) + C;
{ ) 'l' C;
7 )In 12x- 3 + 2л/х2 - 3x + 2 | +C; 8 )In j х + 1+л/х22х + 5 | +C; 9)1 x " 1 + ^ x2 + * + 1
r+ l+ V x ^ + x + l
Ю) 2
+ C;
4 - x +2 ^ 4 ~ 2 x - x 2 j
11) In
l - x + V l- 2x
1+ Vl - 2x - x 2
481
2x-x
- 2<zrrtd( i W E
+ C;
+ Cj
12) 111| 1+Х+ л/*2 +JC+1 |-I---------- --------- = +-C;
x + 2 + 'Jx2 t 2x + 2
13) ^ a rc s m f- -^ ^ j + l(x ~ 2 )V 5 + 4 x - x J +C;
1 5 ) - 2^ ——j +C; l6)-arcsinj^—l y j + C ;
14) ~ 4 x * ~ -4 - 2 In j x + 4 x 2 - 4 | +C;
1 7 ) - л/з- 2 x - x 2 - a rc sin |^ “ j + C;
18) -2 л1вх~ х2 -8 +9arcsin(K-3) + C; 19) 2 3| In -
4Vxj
1 -1+vx■,j
I+
^ ( 2 - x ) +C;
20 ) - —--...v
4 xr"
+ C;
опз/а
, „34s \X' +1 1^1 ,
21 )V(l + x3)5 . | £ - ± l - . i U c ; 2 2 )-(^ ~ 3 )-V l+ V x + C J ;
1 8
5'
7
>-W*c^-TikJ-
23
Aniq integral
1.1)0; 2)8; 3)4,t; 4) 4. 2. 1)/, > ^ ; 2 ) Д > / 2 ; 3) /, < / 2; 4) / , < / 3. 3. 1 ) | < / 2 ^ t ;
2 ) 4 < / 3 <4л/7; 3) 2 < /3 < 6; 4) | < i 4 <3. 4. 1 ) | ; 2)1; 3)8; 4 )e - 2.
Aniq integralni hisobiash
I)9 ; 2) ~; 3 ) 1 ; 4)1; 5 ) 6 ) — ^ ; 7 )ln l; 8) | ; 9 ) - ~ l ; 1 0 )1; l l ) I n | ;
1 2 )^ ; 1 3 ) ^ ;
2 0 )lp
14) ± (8-5л/2); 15)lnJ; 1 6 ) l - J ; 1 7 ) |- 1 ; 1 8 ),- 2; 19)4;
+2j; 21)—~ —; 2 2 )-— ; 23)2; 2 4 ) ^ 1 .
Xosmas integrallar
1. 1)
2)-4; 3) uzoqlashadi; 4) uzoqlashadi; 5)^-; 6) - ^ + lln 2; 7)^-; 8)2;
9—; 10)—; l l ) ] 4 l ; 12) uzoqlashadi; 13)uzoqlashadi; 14) ж . 2. l ) a > l d a
2
3
7
yaqinlashadi va 0 < a s i da uzoqlashadi; 2) yaqinlashadi; 3) yaqinlashadi;
4) yaqinlashadi; 5) uzoqlashadi; 6) yaqinlashadi; 7) uzoqlashadi;
8) uzoqlashadi; 9) yaqinlashadi; 10) yaqinlashadi;
I I ) absolut yaqinlashadi; 12) absolut yaqinlashadi.
482
Aniq integrallarning tatbiqlari
1. 1)36; 2 ) |; 3)1 +61n—; 4)e2 +1; 5 ) |; 6 )^ -8 1 n 2 ; 7 )± ; 8 ) |; 9)12*; 10)27*;
11)9; 12)
13)
4 ) 2;
Щ -,
11)4«(2-л/з);
!(17яг + 48);
14)
1
12.МХ= МУ = - ,
3
Г -й Д к ! .
1з
3
9)16;
3)
10)48;
12)2?r + 3i/3. 3. 1)-^тг; 2)36*; 3)^^я-; 4),?(2 + jt). 4. !жК3.5.12л\
3 )— ; 4 ) —ж ; 5)32тг; 6)100гг; 7)40ж 2; 8) —яг;
4
7
7
9)72х; 10) 1яЯ 3.9.С(0;Д). 10. С
15. С
2)^e-lj;
6) l + l n j ; 7)4л/з; 8 ) ^ ( 1 з Т 1 з - 8 )
5 ) |+ ! l n 2 ,
6 . — и. 7. 36гг. 8Л ) - ^ 7г ; 2 ) — яг;
3
15
6
*
2. 1)>/з+iln(2+v5);
)
1
И . М х =10у, Му = ~ Y , С ^ |;2 j
= У„ = - , С f - ; —1. 13. С fo;—1 .14./ =80л;1„ =125,т.
'
16. С
3
V3 3J
( 5-— ТГ\
V 32
21. 150 т. 22. 25 mis. 23.
) 17.
V sj
5 ли ; 18. 0,32
180 + 1— е т -1
26. 324 Т. 21. 175.4 kN.
483
■'
Ют..
у
19. 7,68*.
20.
22-109 J.
24. 1000 т. 25. gy- ^ '~~а\
Ayrim chiziqlam ing grafikSari va tengiam alari
R radiusli aylana
Paskal chig‘anog‘i
Kardioida
Arximed spirali
ж
4"\
■ o p
r - a-Jcos2<p (a > 0)
(x2 + y 2J - a 2{x2 - у г)= 0
r - acos3<p (a > 0)
Bernulli iimniskatasi
Uch yaproqli gul
УI
У
/
<)
\°
3
- x yoki
\X = t 2
\y=t
Yarimkubik parabola
S'a
x = a cos t,
x 3 + y 3 = я 3 yoki •{
[V = asm t.
Astroida
484
\
f
2a\
2m
о
x = a ( t - sin /),
= a(\ - cos i), a > 0
Sikloida
x
MUNDARIJA
SO ‘Z BOSHI .................................................................................
1. CHIZIQLI ALGEBRA ELEMENTLARI
1.1. Matritsalar .....................................................................................
1.1.1. Matritsa va uni ng turlari
1.1.2. Matritsalar ustida arifinetik amallar..................
1.1.3. Mashqlar............. ..................................... ............................. .
1.2. Determinantlar................... ............................................................
1.2.1. Ikkinchi va uchunchi tartibli determinantlar
1.2.2. n - tartibli determinant tushunchasi
1.2.3. Determinantning xossalari........
1.2.4. n - tartibli determinantlami hisoblash
1.2.5. Mashqlar .................................................................
1.3. Matritsalar ustida almashtirishlar................................................. .
1.3.1. Teskari m atritsa........................................................................
1.3.2. Matritsani LU y o y ish
1.3.3. Matritsaning rangi ...................................................................
1.3.4. Mashqlar ......................................................... ..........................
1.4. Chiziqli tenglamaiar sisternasi......... .............................................
1.4.1. Asosiy tushunchalar ........................ ......................................
1.4.2. Chiziqli tenglamaiar sistemasini yechishning
Gauss u su li................................................................................
1.4.3. n noma’iumli m ta chiziqli tenglamaiar sistemasini
tekshirish va yechish...............................................................
1.4.4. Xosmas tenglamaiar sistemasini yechish .............................
1.4.5. Birjinsli tenglamaiar sisternasi......... .......... .
1.4.6. Chiziqli tenglamaiar sistemasini matematik
paketlardayechish.............................. .....................................
1.4.7. Mashqlar...................................................................................
5
6
8
14
16
16
19
20
24
27
28
29
36
39
42
45
45
47
54
59
62
66
70
2. VEKTORLI ALGEBRA ELEMENTLARI
......................................................
2,l.Vektorlar
2.1.1. Asosiy tushunchalar ........................... ...................................
2.1.2. Yektorlar ustuda chiziqli amallar.........................................
2.1.3. Vektoming o‘qdagi proeksiyasi...........................................
485
7.3
73
75
78
2.1.4. Vektorlaming chiziqli bog‘liqligi. B a z is...........................
2.1.5. Dekart koordinatalar sistemasida vektorlar.......................
2 .1.6. Mashqlar.................................. ............................ ...................
2.2.Vektorlami ko‘paytirish ........................ ............... .......................
2.2.1. Ikki vektorning skalyar ko‘paytmasi..................................
2.2.2. Ikki vektorning vektor ko‘paytmasi...................................
2.2.3. Uchta vektorning aralash ko‘paytmasi..............................
2.2.4. Mashqlar................................................................................
81
85
91
93
93
99
105
112
3. ANALITIK GEOMETRIYA
3.1. Tekislikdagi to‘g ‘ri chiziq ........................................................
115
3.1.1. Tekislikdagi ch iziq.................................................................
115
3.1.2. Tekislikdagi to‘g ‘ri chiziq tenglamalari.........................
117
3.1.3. Tekislikda ikki to ‘g ‘ri chiziqning o‘zaro
joylashishi.............................................. ................................
124
3.1.4. Nuqtadan to‘g ‘ri chiziqqacha bo‘lgan m asofa.................. 130
3.1.5. Mashqlar..................................................................................
131
3.2. Ikkinchi tartibli chiziqlar ............................................... ........
133
3.2.1. A ylana..................................................................................... .
135
3.2.2. E llips............................................................................... ......... 136
3.2.3. Giperbola ..... ........ .................................................................. 140
3.2.4. Parabola ................................................................................... 144
3.2.5. Ikkinchi tartibli chiziqlarning umumiy tenglamasi............. 146
3.2.6. Mashqlar.... ............................................................................... 152
3-3. Qutb koordinatalarida chiziqlar............... ..................................
155
■ 3.3.1. Qutb koordinatalari................................................................
155
' 3.3.2. Qutb koordinatalar sistemasida chiziqlar ..........................
157
3.3.3. Mashqlar..................................................................................
161
3.4. Tekislik ..................................................................................... ...... 162
3.4.1. Fazodasirtvachiziq ............. ...............................................
162
3.4.2. Tekislik tenglamalari............................ ...... ...... ....................
164
3.4.3. Fazoda ikki tekislikning o ‘zarojoylashishi......................
171
3.4.4. Nuqtadan tekislikkacha bo‘lgan m asofa............................
173
3.4.5. Mashqlar.................................................................................
175
3.5. Fazodagi to‘g‘ri ch iziq ..............................................................
177
3.5.1. Fazodagi to‘g‘ri chiziq tenglamalari...............................
177
3.5.2. Fazoda ikki to‘g‘ri chiziqning o ‘zaro
joylashishi...............................................................................
181
486
3.5.3. Fazoda to‘g ‘ri chiziq bilan tekislikning o ‘zaro
joylashishi............... ................................................................
3.5.4. Nuqtadan to‘g £ri chiziqqacha bo‘lgan m asofa....................
3.5.5. Mashqlar.....................................................................................
3.6. Ikkinchi tartibli sirtlar................................. ..............................
3.6.1. S fera...........................................................................................
3.6.2. Ellipsoid ................................................................................ .
3.6.3. Giperboloidlar ......................................... ...............................
3.6.4. Konuslar....................................................................................
3.6.5. Paraboloidlar.............................................................................
3,6 6. Silindrik sirtlar.................................................. ......................
3.6.7. Ikkinchi tartibli sirtlaming to‘g‘ri chiziqli
yasovchilari...............................................................................
3.6.8. Mashqlar ......................................................................................
183
186
187
190
191
191
193
196
197
198
200
201
4= М АТЕМ АТЖ ANALIZGA K1R1SH
4.1. Haqiqiy sonl a r ...................................................................... ...........
4.1.1. To‘plam .....................................................................................
4.1.2. Sonii to‘plam)ar........................................................... ...........
4.1.3. Matematik mantiq elementlari.............................................
4.1.4. Mashqlar ...................................................................................
4.2. Sonli ketma-ketliklar......................................................................
4.2.1. Sonli ketma-ketliklar................................................................
4.2.2. Cheksiz katta va cheksiz kichik ketma-ketliklar .................
4.2.3. Keima-ketlikmng lim iti.......................................... ................
4.2.4. Yaqinlashuvchi ketma-ketliklar...........................................
4.2.5. e s o n i........................................................................................
4.2.6. Mashqlar............................... .................................................
4.3. Bir o ‘zgaravchinmg funksiyasi ..............................................
4.3Л. Funksiya ....................................................................................
4.3.2. Teskari funksiya......................................................................
4.3.3. Murakkab funksiya.................................................................
4.3.4. Elementar funksiyalar s in fi..................................................
4.3.5. Giperbolik fimksiyalar............................. ............................
4.3.6. Gshkormas va parametrik ko‘rinishda berilgan
funksiyalar............................................................................
4.3.6. Mashqlar....................... ........................................................
4.4. Funksiyaning limiti .....................................................................
4.4.1. Funksiyaning limiti .............................................................
487
203
203
205
210
213
214
214
217
219
219
223
224
226
226
23 0
231
234
236
2.37
238
241
24!
4.4.2, Cheksiz kichik funksiyalar......................... ..........................
4.4.3. Mashqlar........................................................................... .......
4,5.Funksiyaning uzluksizligi ............................................................
4.5.1. Funksiya uzluksizligining ta’riflari.......................................
4.5.2. Uzluksiz ftmksiyalaming xossalari........................................
4.5.3. Funksiyaning uzilish nuqtalari...................... ................... .
4.5.4. Tekis uzluksizlik.......................................................................
4.5.5. Mashqlar.......................................................................... .
249
254
257
257
259
264
266
267
5. BIR 0 ‘ZGARUVCHI FUNKSIYAS1MING
DIFFERENSIAL HISOBI
5.1. Funksiyaning hosilasi va difFerensiali ...................................... 269
5.1.1. Hosila tushunchasiga olib keluvchi masalalar
269
5.1.2. Hosilaning ta’rifi, geometrik va raexanik
ma’nolari..................................................................................
270
5.1.3. Funksiyaning differensiallanuvchanligi............................... 276
5.1.4. Funksiyaning differensiali...................................................... 277
5.1.5. Mashqlar............................................................................. .
279
5.2. Differensiallash qoidalari vaformulalari .................................... 280
5.2.1. Yig'indi, ayirma, ko‘paytma va bolinmani
differensiallash................................................................ .
280
5.2.2. Teskari funksiyani differensiallash........................................281
5.2.3. Murakkabi funksiyani differensiallash................................. 282
5.2.4. Asosiy elementar funksiyalaming hosilalari
283
5.2.5. Differensiallash qoidalari va hosilalar jad vali..................... 287
5.2.6. Logorifmik differensiallash.................................................... 289
5.2.7. Parametrik va oshkormas ko‘rinishda berilgan
funksiyalarni differensiallash...................... .......................... 290
5.2.8. Yuqori tartibli hosilalar va differensiallar............................ 292
298
5.2.9. Mashqlar .
5.3. Differensial hisobning asosiy teoremalari...................................
300
5.3.1. Ferrna teoremasi.........................................
300
5.3.2. Roll teoremasi
301
5.3.3. Lagranj teorem asi
302
5.3.4. Koshi teoremasi................................................ ,
304
305
5.3.5. Lopital teorem asi.............................................. .
5.3.6. Teylor teoremasi................................................................ .
308
5.3.7. Mashqlar..................................
312
5.4. Funksiyalarni hosilalar yordamida tekshirish ..........................
314
5.4.1. Funksiyaning monotonlik shartlari.........................
HI
5.4.2. Funksiyaning ekstremumlari................................
<16
5.4.3. Kesmada uzluksiz funksiyaning eng katta va eng ku Ini,
qiymatlari.....................................................................
'20
5.4.4. Funksiya grafigining botiqligi, qavariqiigi va
egilish nuqtalari........................................................
'20
5.4.5. Funksiya grafigining asimptotalari.......................................... 323
5.4.6. Funksiyani tekshirish va grafigini chizishning
umumiy sxem asi....................................................................... 32,6
5.4.7. Mashqlar..............................................................................
330
5.5. Hosilalaming geometrik tatbiqlari .............................................. 332
5.5.1. Yassi egri chiziq yoyining differensiali .............................. 332
5.5.2. Yassi egri chiziqning egriligi.................................................. 334
5.5.3. Skalyar argumentning vektor funksiyasi .........
340
5.5.4. Mashqlar ......................................................................................... 346
5.6. Tenglamalami taqribiy yechish ................................................... 347
5.6.1. Asosiy tushunchalar ................................................................. 347
5.6.2. Ildizlarni ajratishning vatarlar va urinmalar usu Ilari
349
5.6.3. Mashqlar
354
6. O LiY ALGEBRA ELEMENTLARI
6.1. Kompleks soniar ............................................................................
6.1.1. Kompleks son tushunchasi va tasviri
6.1.2, Kompleks sonlarning yozilish shakl lari
6.1.3. Kompleks soniar ustida amallar
6.1.4, Mashqlar
6.2. Ko‘phadlar.......................................................................................
6.2.1. Ko‘phad!ar ustida amallar
6.2.2. Ko‘phadning ild izi
6.2.3. Ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajratish
6.2.4. Ratsional kasrlami sodaa kasrlarga v o y ish
6.2.5. Mashqlar..............................................................
355
355
358
360
365
367
367
368
369
371
374
7. BIR 0 ‘ZGARUVCHI FUNKSIY ASIM NG
INTEGRAL HISGBI
7.1. Aniqmas integral ..........................................................................
7.1.1. Boshlang‘ich funksiya va aniqmas integral
7.1.2. Aniqmas integralning xossalari
489
376
376
379
7.1.3. Asosiy integrallar jad vali........................................................
7.1.4. Iritegrallash usullari................................................................
7.1.5. Mashqlar...................................................................................
7.2. Ratsional funksiyalarini integrallash..........................................
7.2.1. Soddakasrfarni integraliash..... ................ ............................
7.2.2. Ratsional kasr funksiyalarini integrallash ........................
7.2.3. Mashqlar.................................................................................
7.3. Trigonometrik funksiyalami integrallash................................
7.3.1. | R(sinx,cosx)dx ko‘rinishidagi integrallar...........................
380
382
387
389
389
393
395
395
395
7.3.2. jsin"xcos'”;«& ko‘rinishidagi integrallar................................ 398
7.3.3. jtg’xdx va Jag'‘xdx ko‘rinishidagi integrallar..................
399
7.3.4. jsinmxcosnxdx, jsmmxsinnxdx, |cosmxcosnxdx ko‘rinishidagi
integrallar.............................................................................. 400
7.3.5. Mashqlar........................................................................ ........ 400
7.4. Irratsional ifodalami integrallash .......... ................................... 401
7.4.1. \ r
] V & ko'rinishidagi
\
у
integrallar.... ........................................................................ ....401
7.4.2. j K(x,-Jax2+bx+c)dx ko‘rinishidagi integrallar......................402
Vex + d j
\cx +d )
7.4.3. jx^ia+bx")^ binominal differensial integrali.... ............... 407
7.4.4. Elementar funksiyalarda ifodalanmaydigan
408
integrallar............................................................................
7.4.5. Mashqlar.......................... .................. .................................
408
7.5. Aniq integral.............................................. ................ ................. 409
7.5.1. Aniq integral tushunchasiga olib keluvchi
masalalar............................................................................
409
7.5.2. Integral yig‘indi va aniq integral....................................... 412
7.5.3. Aniq integrating geometrik va mexanik
ma’nolari..................................................................................414
7.5.4. Aniq integrating xossalari.....................
435
7.5.5. Mashqlar.................................................. ............................... 420
7.6. Aniq integralni hisoblash
...420
7.6.1. Yuqori chegarasi o‘zgaruvchi aniq integral
....420
7.6.2. Nyuion-Leybnits formulasi............................................ ........422
7.6.3. Aniq integralda o‘zgaruvchini almashtirish
... 423
7.6.4. Aniq integralni boiaklab integrallash.................................. 425
7.6.5. Mashqlar
426
490
7.7. Xosmas
intcgmllni
7.7.1. Cheksiz cIu-jmi,ili ...... i ......... *■11i-i<
7.7.2. Chegaralanmii, mii luiii •, »I ........
427
427
■■ in i
integrally! i
7.7.3. Xosmasinlc/'.iiillniiiiiHM "i1" !1 I" h ....... .. .
7.7.4. Mashqlar....
7.8. Aniq integrating ludN(|l<ni
7.8.1. Aniq integral nil i|* qn Hum h и м и .ii.nl
7.8.2. Yassi shakl yuziiMiii liiM'lilii .li
7.8.3. Yassi egri chi/i<| ym i u. niilii'ini in .• «Ыr.li
7.8.4. Aylanish sirli yu/nil lii'.i'lilii .It
7.8.5. Hajmlarni hisoblnsli
7.8.6. M omentlarvaog nlik iii.nl и ни In ,nlil i li
7.8.7. Kuchning bajarganisliim In .nl'I.i.Ii
......
.... ■•••
....... 430
...... 431
.....
433
......
434
....
4j 4
.......
436
....... 440
.......
443
.......
445
........ 447
.....
450
7.8.8. Jismning bosib о ij'iui vu II
......
7.8.9. Suyuqlikning voiliknl pl.r.imi i/m I><> Iiiii
......
7.8.10. Mashqlar.....
.......
7.9. Aniqintegralni laqiibiy hisobltl.li
.....
7.9.1. To‘g"ri to *rtburoh akl i и fbrmulul
.........
7.9.2. Trapetsiyalar fom uilasi...................
.......
7.9.3. Simpson lormulasi..............................
.....
7.9.4. Mashqlar..................................................................................
451
452
453
457
457
458
458
462
FOYDALAM LGAN ADAB1YOTLAR .....................................
463
JAVOBLAR ........................................................................................
465
ILOVA ..................................................................................................
484