MODELARE, SIMULARE SI ELEMENTE DE IDENTIFICARE
PROFESOR: OCTAVIAN PROSTEAN (B027B)
CURS1
Modelarea, identificarea si simularea sistemelor.
Terminologii de baza.
Notiunile de modelare, identificare si simulare presupun activitatea complexa
asociata cu constructia modelelor sistemelor reale si simularea (reproducerea)
functionarii lor pe un calculator. In aceasta abordare se considera 3 elemente principale:
- Sistemul real
- Modelul
- Calculatorul,
interesand defapt relatiile dintre ele. Modelarea respectiv identificarea descrie in
principal relatia dintre sistemul real si model, iar simularea se redera la relatia modelcalculator.
Sistemul real reprezinta acea parte a lumii reale care prezinta interese d.p.d.v al
observatorului. Ca o regula generala se poate afirma ca sistemul real este sau poate
deveni o sursa de date de comportare, reprezentata intr-o forma primara ca o
inregistrare, in care x reprezinta orice variabila de interes, T
reprezinta timpul masurat in unitati convenabile.
Datele comportamentale reprezinta inregistrarea traiectotiilor intrarilor sau starilor sau
iesirilor pt anumite intervale de timp semnificative. Ceea ce constituie sistem depinde de
punctul de vedere al observatorului. Sistemul poate fi de exemplu un AO compus din
elemente electronice sau o bucla de reglare care cuprinde si acel amplificator sau de
exemplu o unitate de prelucrare chimica care cuprinde o multitudine de astfel de bucle
de reglare.
Este de remarcat ca multe modele diferite descriu anumite parti ale aceleasi
realitati. Depinde d.p.d.v al observatorului si de intentiile lui care parte a realitatii e
descrisa.
De exemplu: un rezistor electronic ca o componenta fizica poate fi studiata si descrisa din
mai multe puncte de vedere:
 R[Ω] poate fi descris de o relatie liniara intre U[V] si I[A]: U=R*I;
 R, m[kg], d.p.d.v. al comportarii ca un corp mecanic, unde
Fgravitationala=m*g;
 R, J[kg*m2] poate fi considerat ca un corp mecanic in rotatie, M=moment
tensiune [N*m], α=acceleratie unghiulara [rad/s2], M=J*α ;
Se poate afirma, deci, ca o importanta decizie in selectarea modelului e selectia
frontierelor (limitelor) sistemului. Aceste limite stabilesc care parte a realitatii va fi luata
in considerare. Aceasta parte delimitata va fi numita sistem. Celelalte parti care nu
apartin realitatii fac parte din mediul inconjurator. Selectarea frontierelor sistemului
poate fi uneori critica. Daca sunt selectate frontiere prea largi va fi dificil sa se estimeze
parametrii modelului, poate deveni chiar imposibila o analiza corecta a unui astfel de
model, multe din rezultatele importante putand fi mascate in spatele unor detalii
nerelevante. Pentru frontiere prea inguste nu vor fi incorporate in model toate aspectele
relevante ale sistemului.
Dupa trasarea liniei de demaratie intre sistem si mediul ambiant se poate caracteriza
sistemul prin relatii intrare-iesire.
Sistemul real care se analizeaza se numeste sistem /proces tehnic /proces.
Primul pas facut in studiul unui sistem real e constructia modelului lui.
Modelul e o reprezentare a aspectelor esentiale ale unui sistem real care prezinta
cunostinte asupra acelui sistem sub o forma utilizabila [Peter Eykhoff]. Nu e necesar ca
modelul sa fie o descriere amanuntita a mecanismului real al sistemului, el poate doar sa
mimeze comportarea sistemului.
Exemplu: Se poate construi o proteza de brat comandata fara a intelege cum omul
trebuie sa isi foloseasca membrele, importanta fiind partea utilizabila a cunostintelor.
Daca modelul e prea complicat utilitatea lui devine discutabila. O caracteristica esentiala
a construirii modelului e o relativa simplitate. Modelul e reprezentare de complexitati
redusa a unei realitati.
Un model al unui sistem este un instrument care se foloseste pt a raspunde la
intrebari despre sistem fara a face un experiment pe sistem [Lennard Ljung]. Intr-o astfel
de abordare modelele sunt prezente in orice domeniu. De exemplu un model al
comportarii unei persoane permite sa se spuna ca e amabila, acest model ne permite sa
raspundem la o intrebare de tipul cum sa raspundem persoanei repective daca ii cerem o
favoare.
Modele mentale: Exista modele pt sisteme tehnice bazate pe intuitie si experienta. De
exemplu: imaginea unui specialist despre modul cum reactioneaza un proces industrial la
diferite actiuni e un model mental bazat pe antrenament si experienta. Invatatul
condusului unei masini consta partial in dezvoltarea unui model mental al proprietatilor
conducerii masinii
Modele verbale: Comportarea sistemului in anumite conditii e descrisa in cuvinte. E
nevoie de o cunoastere a realitatilor calitative dintre var. sist. Ex: In sociologie,
psihologie, economie. Ex: daca rata bancare creste, creste si rata somajului. Sist. Expert
sunt ex. De modele verbale formalizate. Este important sa deosebim modelele mentale
de cele verbale
Ex: Model mental in condusul unei bicicletei; nu e usor a-l traduce in model verbal;
Modele fizice: - modele care imita sistemul
- Modele iconice – machete construite la scara (macheta unei case)
- Modele analogice – utilizeaza un se de proprietati fizice de o anumita natura
pentru a reprezenta alte proprietati fizice de alta natura
Modele matematice: (abstracte sau simbolice). Atributele fizice ale sistemelor reale sunt
notate printr-un set de variabile, iar relatiile dintre variabile
(distanta,curent,debite,somaj, etc) sunt exprimate ca relatii matematice.
Modele hibride: - imbina caracteristicile modelelor analogice si matematice. Contin si
componente ale sistemului real intr-o conexiune cu un calculator numeric (care
implementeaza un MM)
Toate modelele au un anumit domeniu limitat al validitatii. Anumite modele sunt
valide numai pentru informatii calitative aproximative. Ex: cresterea pretului petrolului
duce la scaderea produsului brut.
Cele mai multe modele verbale sunt de acest tip. Alte modele pot fi valide pt
anumite valori. Ex: un anumit model al pendulului poate fi valid pt val mici ale pozitiei
unghiulare
Desi legile fizicii repr. modele matematice cu un domeniu larg de validitate, chiar si
aceasta este limitata. In domeniul tehnic, intr-o prima instanta validarea e masurata
cantitativ prin concordanta dintre datele sistemului si cele generate de sistem in aceleasi
conditii experimentale.
date sistem real = date generate pe baza de model
(modul de a testa validitatea unui model)
Se pot evidentia 3 niveluri de apreciere a validitatii unui model:
- Model valid replicativ (repetitiv) daca datele generate de model concorda cu
cele obtinute deja de la sistem.
- Model predictiv valid daca poate prezice datele sistemului
- Model structural valid – daca pe langa comportarea sistemului real poate
reflecta modul in care sistemul real functioneaza.
Modelul considerat ca reprezentare satisfacatoare a unui sistem real e in general
rezultatul unor iteratii parcurgand de fiecare data ciclul:
sistem -> model -> validare -> sistem
CURS 2
Sistemul real se considera modelat sau identificat daca e posibila determinarea
comportarii sale ulterioare in cazul aplicarii in intrare a unor excitatii cunoscute. In acest
context problema fundamentala a identificarii sau modelarii se traduce in fapt in
problema determinarii unui model matematic adecvat pentru sistem, problema
abordabila in 2 moduri posibile:
- Pe cale analitica sau prin deductie – determinarea MM pornind de la
cunoasterea legilor fizicii care guverneaza dinamica sistemelor respective.
Modelele astfel obtinute au un domeniu mare de validitate, mai mult parametrii
unor astfel de modele au semnificatii fizice directe. Se vorbeste in aceste cazuri
de modelarea analitica sau identificare analitica sau modelare
- Pe cale experimentala sau prin inductie – daca din cunoasterea partiala a
functionarii sistemului se poate dispune de o anumita cantitate de cunostinte
apriorice care sa faca posibila fixarea structurii modelului, ceea ce mai ramen de
facut este determinarea valorilor numerice ale parametrilor care intervin in
modelul ales plecand de la o secventa de masuratori ale intrarii si iesirii. Se
vorbeste in acest caz de identificare experimentala sau pe scurt identificare
Deci in cadrul identificarii se pot deosebi 2 etape: una calitativa care consta in
fixarea structurii modelului si una cantitativa care consta in determinarea valorilor
numerice ale coeficientilor structurii alese, etapa denumita exprimarea parametrilor. O
posibila schema pt identificarea unei relatii intre cunoasterea structurala apriori si
cunoasterea prin masuratori apriori, in etapa de constructie a modelului e data de
Eykhoff si e reprezentata in urmatoarea figura:
Intr-o astfel de abordare identificarea analitica ofera informatii apriorice procedurii
de identificare experimentala ( de identificare a parametrilor). Daca este posibila
determinarea modelului doar prin deductie, un asemenea model se numeste model de
tip cutie alba(white box). Daca nu exista nici o informatie apriori (nici de structura, nici
interna) si identificarea e pisibila doar pe cale experimentala se vorbeste de model cutie
neagra(black box) . Cantitatea de informatie apriorica depinde in general de cantitatea
de aplicatii
Cauzalitatea
- E introdusa artificial in problema de analiza sau sinteza in vederea rezolvarilor
dintr-o anumita abordare
- Nu e det. Fizic; se spune ca realitatea nu e deranjata de cauzalitate
Ex: Legea lui Ohm : U=R*I sau I= *U
Din punct de vedere matematic sau fizic relatiile sunt identice, ele difera doar prin
prisma abordarii cauza-efect, practic prin asigurarea marimilor de intrare respectiv iesire.
Aceasta asigurare e echivalenta cu introducerea cauzalitatii in model in functie de
interesele modelistului.
Reprezentarile grafice:
- Sunt introduse pentru a ajuta in descrierea modelelor ( a detalierii lor) deoarece
vizualizeaza interactiunea dintre variabile
- Sunt utilizate in general diverse reprezentari de la cele specifice (particulare)
dependente de componentele reale la cele generale de aplicabilitate larga
- Desenul – impresia artistului
- Circuitele - specifice unui anumit domeniu de aplicatii cu standardele respective
- Diagramele – reprezentari abstracte a dinamcii sistemelor care in general nu
depind de domeniul de aplicatii
 Secventiale sau seriale sau consecutive
o Organigrame
o Diagrame PERT
 Paralele sau simultane – in domeniul tehnic
 Cauzale – BOND
 Acauzale
In concluzie:
Modelul reprezinta o reflexie actuala a intelegerii modelistului asupra realitatii, a
componentelor sale si a intercorelatiilor existente.
Modelarea e o parte integranta a tuturor stiintelor si tehnologiilor ( filozofie>sociologie -> psihologie -> economie -> fizica -> domenii tehnice). Modelarea
reprezinta mai mult o arta decat o tehnica.
Consideratii privind simularea:
Simulatie -> capacitatea de a reproduce sau imita ceva
Simularea reprezinta o tehnica de realizare a experientelor utilizand o structura de
calcul, care implica utilizarea unor MM (sau logice) care descriu comportarea sistemelor
reale ( sau a unor componente ale lui) pe durata unui interval de timp t. (mic sau mare)
Simularea e utilizata atat la proiectarea de sisteme noi cat si la analiza celor
existente in scopul imbunatatirii performantelor. Ea presupune implementarea pe o
structura de calcul a infromatiilor continutului in MM. Aceasta presupune ca MM sa fie
cunoscut, iar pe de alta parte ca repr sist pe structura de calcul sa constituie un sistem
echivalent cu cel considerat. C reprezinta tot un sistem fizic – realizarea cu elem de
calculator al MM. C si S sunt sisteme echivalente, echivalenta lor fiind asigurata de un
MM unic pentru ambele. Se spune ca C il simuleaza pe S daca si numai daca C conserva
structura si relatiile din MM. In aceasta acceptiune orice observatie asupra lui e valabila si
pentru S. In cazul in care MM conduce la un algoritm complicat de realizare pe structura
de calcul poate fi utilizata o prelucrare a lui obtinundu-se o alta forma de model MS –
model de simulare, care conserva structura si relatiile din MM (desi si din S) si acesta sa
dicteze implementarea pe structura de calcul. In aceasta acceptiune simularea presupune
( S, M, MS, C), MS punand in evidenta orientarea spre o anumita structura de calcul
Se stie ca un sistem neted poate fi descris de un sistem de ec dif.
ẋ(t)=f(x(t),u(t)) , x0
y(t)=G(x(t))
- pt sist fizic realizabile
Simularea analogica se bazeaza pe inlocuirea elem. de structura a acestei reprezentari a
sistemului cu elementele fizice ale structurii analogice, care realizeaza functiile f si g,
integrarea ei repectiv crearea leg fizice care asigura structura sistemului
In simularea numerica se porneste de la aceeasi structura, fiecarui element punandui-se
in corespondenta o procedura prin care se implementeaza algoritmul de evaluare a fct
asociate elementelor respective. Legatura dintre elemente e simulata numeric prin
transmiterea valorilor necesare procedurilor de evaluare a functiilor. In simularea
numerica toate marimile iau valori discrete, simularea desfasurandu-se in pasi
corespunzatori momentelor de timp luate in considerare, trecerea de la un pas la altul
fiind asigurata de un progr de control al dinamicii simularii. La fiecare pas are loc
evaluarea tuturor functiilor care constituie simulatorul C.
Modelarea nu e componenta in procesul de simulare a comportarii sistemului
pentru anumite situatii, ce repr un instrument indispensabil in realizarea simularii.
SEMNALE DE TEST ( Intrare )
De importanta esentiala pentru realizarea simularii respective indentificarii
sistemelor e faptul ca sistemul trebuie sa fie excitat. Semnalul de test alaturi de modelul
ales si de abordarea utilizata conditioneaza efectiv rezultatul oricarui experiment de
simulare respectiv identificare. In cazul in care e admisa aplicarea unui semnal de test
libertatea de a alege un astfel de semnal constituie un aspect important, in astfel de
cazuri trebuie luata in considerare largimea de banda a semnalului, energia si
amplitudinea maxime admise precum si proprietatile cu privire la generarea lor si
respectiv prelucrarea informatiilor pt acel semnal de test.
Modele de indentificare utilizand semnale de test sunt metode active care cauta ca
prin aplicarea unor anumite tupuri de semnale sa obtina informatii care fara un effort de
calcul sporit sa conduca la modelul cautat. Se utilizeaza atat semnale de test deterministe
cat si aleatoare. Identificarea cu semnale de tip treapta sau sinusoidale sau binare de
spectru predeterminat se complica mult in cazul proceselor supuse perturbatilor,
tehnicile de corelatie sunt mult mai bine adaptate pentru eliminarea zgomotelor.
Semnalul de test recomandat in aceste cazuri e un proces aleator de tipul zgomotului alb
sau o aproximatie a acestuia, cum ar fi semnalele pseudoaleatoare binare. Exista o mare
libertate de alegere a semnalelor de test daca se dispune de informatie apriorica asupra
sistemului, alegerea semnalelor fiind rareori critica.
Semnale deterministe (aperiodice)
- Semnale de tip impuls si respectiv treapta
Se utilizeaza ca semnale de test pentru informarea in domeniul timpului. Prezinta
interes semnalele care se apropie ca proprietati de:
- Functia impuls Dirac (impul unitar)
-
Semnalul treapta unitara
Obtinerea practica a unor astfel de semnale nu e posibila, ele reprezinta forme ideale
avand importanta teoretica in definirea relatiilor pe care se bazeaza modelele avute in
vedere.
In practica se utilizeaza semnale fizic realizabile care sa aproximeze cat mai
bine semnalele de mai sus atat in ceea ce priveste expresia matematica cat si
proprietatile importante pe cele ideale. Astfel timpul de crestere de la 0 -> 1 a semnalului
treapta e mic in comparatie cu constantele de timp principale ale procesului incat el
poate fi neglijat. Ca rezultate immediate ale aplicarii acestor tipuri de semnale e
obtinerea unor modele neparametrice :
Utilizarea unor asemenea tipuri de semnale de test prezinta si unele neajunsuri
astfel utilizarea unui semnale de tip treapta unitara permite obtinerea imediata a
factorului de amplificare, a timpului mort, a cond de tip principale a procesului testat, dar
determinarea directe din raspunsul indicat a const de tip mici e dificila si imprecisa. In
plus un raspuns indicial nu contine informatii despre dinamica procesului in zona
frecventelor inalte
Justificare:
- Se aplica transformata Fourier semnalului de intrare:
Semnalul contine putere doar la pulsatii joase.
Alegerea semnalului de intrare e importanta fct de obiectivele avute in vedere:
- Daca intereseaza numai constanta de timp dominanta e bine un semnal de
intrare de tip treapta, dar exista situatii in care trebuie considerate si const de
tip parazite caz in care e nevoie sa se aleaga un alt tip de semnal de test
In general se numeste semnal bun un semnal de intrare care are un spectru bogat
de frecvente si contine putere pe acele frecvente pt care intereseaza sa se testeze
comportarea procesului.
Semnale sinusoidale:
- Utilizarea lor ca semnale de test permite obtinerea cu usurinta a informatiilor
din domeniul frecventelor
- Prezinta avantaje: se pot limita masuratorile la frecventele de interes, au
proprietatea de ortogonalitate, ipotezele de liniaritate sunt usor de verificat,
permit testarea spectrului procesului intr-o zona larga prin modificari
corespunzatoare frecventeti, multe din problemele de analiza a stabilitatii sunt
formulate pe vaza caracteristicii de frecventa s.a.m.d
Pentru a se obtine prin combinarea unor semnale sinusoidale monofrecventiale de
anumite amplitudini si pulsatii facilitandu-se obtinerea simultana a mai multor puncte ale
caracteristicii de frecventa.
OBS: Prelucrarea datelor experimentale in cazul utilizarii ca semnal de test a unui
alt semnal periodic cum ar fi teoremele de ompulsuri rectangulare sau triunghiulare se
face perfect similar cu situatia in care semnalul de test e unul sinusoidal.
Ex:
Justificare:
-aceasta deoarece orice semnal
periodic poate fi descompus in serii
Fourier, deci practic in componente
fundamentale si in serie de armonici
avand ca pulsatii multiplii ai pulsatiei de
baza. Procesele reale au caracteristici de
tip FTJ retinand numai un nr limitat de componente armonice (sinusoidale) ale
semnalului periodic; in exemplu considerat numai fundamentala
Utilizarea unui tip sau altul de semnal de test periodic depinde in esenta doar de
disponibilitatea in aparatura de generare. Datoria similitudinii in prelucrarea datelor
experimentale in general se opereaza cu semnale sinusoidale in dezv analitice, fiind mult
mai usor de operat matematic cu astfel de tipuri de semnale
Semnale nedeterministe
Zgomotul alb
Se considera un proces (semnal) stohastic u(t) a carui densitate spectrala e
constanta pentru orice valori a lui ω (pulsatia).
Su – densitatea spectrala (de putere) a semnalului u
Su(ω) = So = const. , ω Є (-∞ , + ∞ )
So – constanta pozitiva
Lumina alba contine toate frecventele, prin analogie notiunea de zgomot alb se
utilizeaza deoarece are densitatea de putere constanta pentru toate frecventele;
u(t) numit prin analogie cu optica zgomotala.
CURS 4
Se considera functia de autocorelatie a semnalului u – de forma impulsului Dirac
Functia de intercalatie:
Functia de autocorelatie:
Functia de densitate spectrala:
Functiile de corelatie cu functiile de densitate spectrala de putere sunt perechi
Fourier.
In acest context densitatea spectrala a semnalului u este:
Rezolvarea integrarii se bazeaza pe perioada de esantionare a impulsului dirac si anume
∫ dintre produsul unei functii cu un impuls dirac e egala cu valoarea functiei in momentul
aplicarii impulsului Dirac
Rezulta deci ca functia de autocorelatie a zgomotului alb e o functie Dirac δ cu aria egala
cu densitatea spectrala de putere
Daca in intrarea unui sistem n se aplica un semnal de tip zgomot alb rezulta ( din
forma lui Su=const) ca vor fi testate taote modurile procesului, proprietate extrem de
utila pentru un semnal de test. Conceptul de zgomot alb e unul fictiv, generarea unui
astfel de semnal cu o densitate spectrala constanta intr-o banda definita de frecventa ar
necesita un generator de putere infinita. Totusi conceptul e extrem de important in
analiza sistemelor liniare, de cele mai multe ori semnalul stohastic aplicat in intrare are o
largime de banda cu mult mai mare decat cea pe care sistemul e capabil sa o transfere.
In aceste ipoteze presupunerea ca semnalul de intrare e zgomot alb simplifica
mult calculul raspunsului sistemului fara a si introduce erori semnificative
Dat. Proprietatilor de FTJ pe care le prezinta procesele industriale e suficienta
utilizarea unor semnale aleatoare avand densitatea spectrala constanta intr-o banda de
frecventa limitata.
Se introduce astfel conceptul frecvent utilizat de zgomot alb de banda limitata,
care poate fi definiti analitic:
Functia de autocorelatie a unui asemenea semnal:
Realizarea fizica a unui astfel de semnal ar presupune deasemenea existenta
unui FTJ ideal care sa atenueze complet si brusc componentele cu pulsatii superioare lui
ωc. FTJ reale atenueaza considerabil frecventele inalte dar nu pot conduce la variatii
discountinue ale caracteristicii.
Semnalele aplicate in practica au functia de densitate spectrala :
Iar functia de autocorelatie:
Cu cat parametrul μ este mai mare functia de autocorelatie va fi o aproximare mai buna a
impulsului Dirac.
Semnale aleatoare binare
- Semnalele descrise pana in acest moment sunt semnale aleatoare statioanre
care evolueaza continuu in timp
- Semnale discontinue ( de tipul semnalului telegrafic ) putand lua numai 2 valori
discontinue in amplitutine (-a, +a), (0,+a) iar trecerea de la o valoare la alte are
un caracter aleator
In cazul in care schimbarea polaritatii semnalului poate avea loc doar pentru
multiplii ai unui interval elementar Δ, deci intervalele de comutare sunt discretizate si pot
obtine o functie de autocorelatie.
Un astfel de semnal e cunoscut sub denumirea de semnal aleator binar cu intervale
discrete. Printr-o alegere potrivita a implementarii (perioada de esantionare cat mai
redusa) aceasta functie de autocorelatie poate aproxima oricat de bine se doreste
impulsul Dirac. Acest tip de semnal are avantajul ca poate fi intarziat cu usurinta utilizand
registru de deplasare. Semnalele aleatoare binare, pastrand prop similare cu cele ale
zgomotului alb de banda limitata, au o serie de avantaje care decurg din posibilitatile
aplicarii tehnicii numerice in utilizarea practica a op necesare det fct de corelatie.
Prezinta dezavantajul unei durate de realizare lungi pentru a asigura formele aratate pt
functia de autocorelatie.
Forma functiei de autocorelatie aratata poate fi obtinuta pentru secvente ale
semnalului de lungime infinita. Pentru secvente finite val celor 2 functii se modifica (
trebuie determinate pentru fiecare caz in parte ). Se prefera utilizarea unor semnale
binare periodice, deci deterministe a caror functie de autocorelatie este aproape identica
cu cea a semnalelor binare stohastice. Din acest motiv aceste semnale se numesc
semnale binare pseudo-aleatoare sau pseudo-aleatoare binare (SPAB).
Semnale Pseudo-Aleatoare Binare (SPAB)
- Sunt semnale deterministe, deci nu aleatoare generate dupa o lege bine
cunoscuta care se apropie foarte mult ca proprietati statistice de zgomotul alb.
Se prezinta sub forma unor succesiuni de valori binare care se repeta dupa o
anumita perioada, cele mai frecvent intalnite fiind cele de perioada maxima,
fiind generate re relatii de recurenta liniara.
N=2p-1 , p=intreg , N- perioada;
Principalele proprietati ale unui astfel de semnal sunt urmatoarele:
a) Semnalul se prezinta ca o succesiune de impulsuri de durata Δ si de multiplii
de Δ putand lua valorile (+a,-a) sau (+a,0)
b) E un semnal periodic, nr maxim de intervale elementare dintr-o perioada
este N=2p-1 , durata maxima a unei perioade fiind NΔ
c) In fiecare perioada numarul de intervale in care semnalul are val (+a) excede
cu o unitate numarul de intervale elementare in care are valoarea (-a);
d) Permutarea ciclica in cadrul unei perioade produce un SPAB intarziat fata de
cel permutat
e) Suma modulo 2 (produsul) a 2 secvente intarziate una fata de alta produce
tot un SPAB de perioada maxima, dar retardata:
Exemplu:
CURS 5:
N=2p-1;
p=3 => N= 23 – 1 = 7
X1: 1 1 1 -1 -1 1 -1
Reprezentarea grafica a acestui SPAB constra intr-o frecventa de genul:
Pentru N suficient de mare se poate considera secventa centrata. Calculul
functiei de autocorelatie pe o perioada
∑
=
a2
, k=nN
, k≠ nN
Rezulta deci ca functia de autocorelatie a unui SPAB maximal se apropie de
cea a unui zgomot alb.
Pentru un SPAB maximal continuu functia de autocorelatie are forma:
SPAB-ul de perioada N= 2p – 1 pot fi generat cu usurinta cu un registru de deplasare cu p
etaje cu reactia constand din suma modulo 2 a semnalelor sulese de pe anumite etaje ale
registrului. ( GT = generator de tact) :
Obtinerea unui SPAB de lungime maxima cu un astfel de registru de deplasare e posibila
doar pt anumite combinatii logice pe legatura de reactie; in general rezultand secvente
de lungimi mai mici. Determinarea acelor combinatii care sa asigure perioada de lungime
maxima cu numarul minim de functii logice de tipul suma modulo 2 constituie o
problema de minimizare logica care poate fi solutionata prin metode analitice
- Exprimare matriceala si determinarea functiei caracteristice
- Metode grafice cum ar fi diagramele de stare
Starea registrului de deplasare poate fi determinata complet de vectorul de stare
x(t)=[x1(t),x2(t),…,xp(t)]T , t=0,1,2….
Functionarea registrului de deplasare cu reactie suma modulo 2 de tipul celui reprezentat
in figura poate fi descrisa prin ecuatii de stare clasice:
Starea initiala x(0) a registrului de deplasare poate fi oarecare dar diferita de 0:
x(0)≠[0,0,0….,0]T .
Starea la orice moment de timp t=n poate fi complet determinata daca se cunosc
valoarea coeficientilor ai , i=1..p; si respectiv daca se cunoaste starea initiala x(0)
=> x(n) = φux(0) – relatia care evidentiaza posibilitatea functionarii periodice a registrului
de deplasari daca perioada are N intervale intermediare :
X(N) = φux(0) = x(0)  φN = I
Secventele generate in modelul aratat avand perioada maxima N = 2p – 1 deoarece din
nr total de stari posibile 2p se exclude starea 0 se numesc SPAB maximale. Modul in care
trebuie construita reactia pentru a obtine SPAB-uri maximale utilizand registre de
deplasare cu numar variat de bistabile e dat de tabelul urmator:
OBS: Secventa generata prin relatia de stare mentionata poate lua numai 2 valori : 0 sau
1, de aceea se numeste SPA-Binara; se poate modifica cu usurinta pentru a obtine val +a
sau -a : in ecuatia de stare operatia modulo 2 este inlocuita cu modulo m si se va obtine
SPAB-uri cu m nivele, care insa nu mai pot fi generate prin hard; generarea prin soft fiint
relativ simpla => SPAB-uri – destinate identificarii sistemelor neliniare
Intarzierea frecventelor SPAB
SPAB-ul obtinut prin relatii de recurenta liniara prezinta avantajul esential de a
permite obtinerea simpla a secventelor intarziate necesare in calculul functiilor de
corelatie. Suma modulo 2 a doua astfel de semnale decalate in timp cu kΔ, unde
k=intreg, genereaza un semnal cu aceleasi proprietati dar decalat la randul sau fata de
acesta. Notand cu x semnalul de baza ( de ex cel de la intrarea in primul etaj al registrului
), cu D – op de intarziere cu o unitate Δ, operatia de obtinere a unei variante intarziate a
semnalului de baza poate fi scrisa:
Primele variante intarziate Dx, D2x,…,Dpx se obtin direct de la diversele etaje
ale registrului de deplasare care genereaza SPAB-ul respectiv. Pe baza lor, folosind relatia
scrisa se pot obtine celelalte val intarziate. Pentru a se evita efectuarea in seria a unui
numar prea mare de operatii suma modulo 2, care luand in considerare viteza de lucru
finita a elem logice pot introduce intarzieri care deplaseaza artificial semnalul SPAB se
cauta numarul minim de operatii necesare pentru a obtine secventa intarziata.
Utilizand op de intarziere, functionarea generatorului poate fi descrisa cu relatia : ( D5
xor D2)x=x, sau avand in vedere proprietatea operatorului suma modulo 2, diferenta
algebrica dintre e si – dispare, considerand D0=I=1 =>(D5 xor D2 xor I) = 0
Tinand cont si de caracteristica liniara al operatorului suma modulo 2 se pot deduce
relatiile de generare a diverselor variante intarziate:
MODELE
Consideratii generale:
Asa cum s-a mentionat deja metoda cea mai satisfacatoare pentru reprezentarea
comportarii unui sistem fizic este de-al reprezenta pintr-o descriere matematica. Existand
de sine statator, externa realitatii fizic masurabile aceasta reprezentare sau descriere
matematica poate fi abordata independent.
Modelul unui sistem particular are putere de generalizare si abstractizare, el
fiind acelasi pt o clasa de sisteme echivalente cu sistemul considerat initial indiferent de
natura fizica a fenomenelor care-l caracterizeaza.
Clasificare:
Se va realiza in continuare o trecere in revista a principalelor modele fara se urmareasca
o tratare exhaustica a problematicii:
- Modelele cu parametrii concentrati sunt descrise prin ecuatii diferentiale
(ordinare)
- Modelele cu parametrii distribuiti sunt descrise prin ecuatii cu derivate partiale
- Modelele liniare respecta principiul superpozitiei
u1 -> y1
u2 -> y2
αu1 + βu2 -> αy1 + βy2
- Modelele neliniare nu respecta principiul superpozitiei
- Modelele invariante au parametrii constanti
- Modelele variante nu au parametrii constanti
- Modelele continue au t Є R => ec. diferentiale
- Modelele discrete au t Є N => ec cu diferente
- Modelele deterministe au iesirea det doar de intrari cunoscute
- Modelele stohastice (aleatoare): in model sunt incluse si influentele unor marimi
aleatoare care nu sunt masurabile
- Modelele SISO au u si y marimi scalare
- Modelele MIMO (SIMO/MISO) au cel putin una din marimi vetoriala
- MM-II : u->y - caract dependentei directe intrari-iesire
- MM-ISI : u->x->y
- Modelele MM-II parametrice: parametrii pot fi evidentiati ( de ex: caract. Bode )
Procesele industriale sunt in marea lor majoritate neliniare, totusi in marea
majoritate a cazurilor intereseaza comportarea dinamica la variatii mici in jurul
unui punct stationar de functionare. Pentru astfel de excursii mici ale variabilelor in
jurul punctului de functionare, un model liniar poate aproxima suficient de bine
comportarea procesului real
 Modele deterministe parametrice cu caracteristica intrare-iesire (MMII) :
o Ecuatia diferentiala (cazul continuu)
o Ecuatia cu diferenta (cazul discret)
Cazul Continuu : ecuatia diferentiala
Forma ecuatiei diferentiale generale care descrie comportarea dinamica a unui sistem
(proces) monovariabil este :
Pentru sisteme fizic realizabile trebuie indeplinita conditia na>nb
In cazul liniar coeficientii ai si bj nu depinde de u sau y sau derivatele lor. Daca in
plus ele nu depinde nici de timp ecuatia este cu coeficienti constanti deci
sistemul invariant. Daca coeficientii sunt de tup ai(t), bj(t) ecuatia este
variliniara, iar sistemul este variant;
In prezent tendinta este de a optimiza cat mai rar modelele continue ( atat
operatia de masurare cat si cea de prelucrare a datelor e discreta). Modelele
discrete fiind mult mai flexibile decat cele continue, utilizarea lor pentru o
analiza, predictie, etc este mult mai simpla.
Cazul discret : ecuatia cu diferente
Pentru descrierea comportarii dinamice a sistemelor in care sunt disponibile
numai valori esantionare ale semnalelor din intrarea si iesirea sistemelor (sisteme
discrete) in locul ecuatiilor diferentiale se utilizeaza ecuatii cu diferente, care pentru cazul
SISO are urmatoarea forma generala:
Unde u(t) si y(t) se considera pentru t= 0, T, 2T ….. si T=perioada de esantionare.
De obicei se opereaza cu timp normalizat ( impartit la perioada de esantionare).
Polinomul A(q-1) = 1 +a1*q-1 + … + ana*q-na e pol. Armonic
B(q-1) = b0 +b1*q-1 + … + bnb*q-nb
q-1 = operator de intarziere cu 1 pas => q-1u(t) = u(t-1)
q-ku(t) = u(t-k)
Polinoamele A(q-1) , B(q-1) se consideraq prime intre ele.
y(t) +a1y(t-1) + anay(t-na) = b0u(t-k) + b1u(t-k-1) + … + bnbu(t-k-nb)
Determinarea modelului inseamna determinarea coeficientilor ai,bj si respectiv a
parametrului de structura na,nb,k;
Proprietati:

Conditia de realizabilitate a modelului – modelul sa fie cauzal : iesirea sa
depinda de valori anterioare ale intrarii
Daca k=0 => avem transmitere instantanee => y(t) este det. de u(t)

Daca k>0 – conditia de cauzalitate; care pentru continuu era na>nb;
Simplificare.Descriere. Se poate considera si cazul k=0 daca polinomul B(q-1)
se ia de forma: B(q-1) = b1*q-1 + … + bnb*q-nb , pentru acest caz k=0 nu mai
este o conditie restrictiva
Conditia de stabilitate a modelului: polinomul A(z) sa aibe toate zerourile in
afara cercului unitar; z=variabila complexa, arbitrara, inlocuind q-1
Polinomul ZnaA(z-1) = zna + a1zna-1 + … + ana se numeste polinom reciproc si
are zerourile in cercul unitar (C.U.)
Daca A(z)≠0 pentru oricare z Є C.U. => ZnaA(z-1) ≠ 0; pentru oricare z Є
exteriorul cercului unitar
Daca A(z) are pe z ca zerouri => polinomul reciproc ZnaA(z-1) va avea pe z-1
ca zerouri.
In cazul MIMO (multivariabil) polinoamele A(q-1) , B(q-1) sunt polinoame matriciale
in operatorul de intarziere.
A(q-1) = I + 1 +A1*q-1 + … + Ana*q-na
B(q-1) = B0 +B1*q-1 + … + Bnb*q-nb , unde Ai, Bi sunt matrici
Dim Ai = ny x ny
Dim Bi = ny x nu
Modele deterministe parametrice cu caracteristici intrare-iesire in domeniul operational
-cazul continuu : functia de transfer (f.d.t)
F.d.t. se obtine,deci, aplicand transformata Laplace ec. dif. in cazul ci nume pt:
- Cazult discret : f.d.t corespunzator acestui caz se obtine prin aplicarea
transformatei Z in c.i. nule => se ajunge pt k=0 la :
Modele deterministe parametrice cu caracteristici de stare:
MM-ISI
- Cazul continuu : forma generala a MM-ISI :
- Cazul discret:
Prezenta lui D => transmiterea instantanee
Conditia de realizabilitate fizica ( cauzalitate) : D=0
Proprietati:
- Model instrinsec cauzal ( pt D=0)
Consideratii privind identificarea modelului de stare
Rezultat: O transformata liniara nesingulara lasa invarianta f.d.t., adica existand
w(t) = Q*x(t), unde Q = matrice nesingulara ( det ≠ 0 => inversabila, inversa =
adjuncta/det), adica noul sistem are aceeasi f.d.t.
Faptul ca f.d.t. H(z) nu e afectata de o transformare liniara a variabilelor de stare
arata doar ca nu toti parametrii modelului de stare vor putea fi determinati din
masuratori intrare-iesire. Se spune ca modelul general MM-ISI nu e identificabil.
Se pune intrebarea daca nu exista transformari liniare care sa conduca la modele de stare
cu un numar de parametrii < decat reprezentarea generala data si care sa fie identificabil.
Exista numeroase astfel de transformari, modelele de stare cu cel mai mic numar de
parametrii se numesc forme canonice si sunt identificabile din date de intrare-iesire
Ex: forma companion matriceal:
Modele neparametrice:
- Cazul continuu : functia pondere
Pentru sisteme liniare invariante relatia de legatura in domeniul timp intre intrare si
iesire e data de integrala de convolutie:
h=functie pondere = raspunsul sistemului la impuls Dirac
Functia pondere: sol. a ec. diferentiale date, cand c.i.=0 si cand u=impuls Dirac
adica:
Proprietati:
Pentru procese realizabile fizic trebuie respectata conditia de cauzalitate h(t)=0 pt t<0
(lat=0 se aplica semnalul de intrare)
Daca procesul e stabil si durata regimului tranzitoriu e Tr conditia de stabilitate e h(t)=0
pentru t=Tr (anularea regimului tranzitoriu)
Secventa de ponderare – cazul discret al fct. Pondere
Suma de convolutie :
Pentru sisteme multivariabile h(t) e o matrice de dim (ny x nu )
Raspunsul indicial (caz continuu)
-intrarea e o treapta unitara :
-pentru procese stabile conditia este h(t)=0 pentru timpi ce depasesc durata regimului
tranzitoriu
Pentru caz discret:
Caracteristici de frecventa
-Cazul continuu :
Aplicand transformata Fourier integralei de convolutie ( sau ca reteta inlocuirea lui s cu
jω in f.d.t.) se obtine :
H(jω) =
, ω Є (-∞,∞ )
Pentru sisteme fizic realizabile: P(ω) -> 0 , pt ω -> ∞
Q(ω) -> 0
-Cazul discret:
Se obtine similar cazului continuu utilizand insa transformata Fourier Discreta (TFD)
Modele stohastice ( aleatoare)
Comportarea proceselor reale e diferentiata in general de existenta perturbatiilor. E
normal in aceste conditii sa se considere caracteristicile perturbatiilor la fel de
importante ca si dinamica proceselor.
Abordarile moderne presupun modelarea perturbatiilor ca proces stohastic si
exploatarea proprietatilor lor. Deci modelele perturbatiilor trebuie introduse in modelele
proceselor din practica.
In continuare se considera doar cazul discret pentru a se evita dificultatile care apar in
zgomotul alb continuu, dar si in principal, avand in vedere ca prelucrarile de semnal se
fac pe cale numerica.
Rezultatele sunt valabile formal si pentru cazul continuu
Caracteristica intrare-iesire
Schema generala a sistemului perturbat :
-iesirea y e influentata nu numai de u, ci si de p1 = perturbatie sau eroare de masura si
respectiv p2 = perturbatiile interne sistemului
In general procesele sunt neliniare si se opereaza cu modele linearizate. Faptul ca z(t) e
adaugat doar la iesire nu inseamna ca reprezinta doar erorile de masurare, ci dat faptul
ca sistemul s-a considerat linearizat se poate practic adauga in iesire (datorita aplicarii
principiului superpozitiei indicat de liniaritate) continand de fapt cumulul tuturor
perturbatiilor ce actioneaza in diferite puncte.
Cazul monovariabil (SISO)
Forma generala a structurii modelului dinamic stohastic discret linear este urmatoarea:
Unde z() e un proces stohastic discret cu densitatea spectrala rationala si care poate fi
parametrizat utilizand teorema de reprezentare spectrala z(t) = H(q-1)e(t), in care e(t)
reprezinta o secventa de variabile aleatoare independente de medie 0 si varianta G2 adica
e un zgomot alb discret avand media 0, Ee=0 si Ee2=G2.
H(q-1) e un filtru rational stabil
Care C(q-1) si D(q-1) reprezinta polinoame armonice in operatorul de intarziere
Modelul general SISO pentru cazul discret :
Care in schema bloc arata astfel :
Comentarii:
Forma modelului general e o reprezentare flexibila pentru un proces dinamic discret
astfel ecuatia presupune implicit ca timpul mort al sistemului e unitar; presupunerea nu e
una restrictiva ci e introdusa pentru simplificarea notatiilor.
Daca timpul mort ar fi k ar fi necesara o translatie din
u(t-k) -> u(t) ; q-ku(t) = u(t-k)
Faptul ca s-a presupus ca c0= d0=1 nu e una restrictiva; daca nu ar fi unitare printr-o
simpla cu d0 si prin definirea lui c0
se obtine cazul precedent.
In general in aplicatii modelul general e rareori utilizat ca atare; in general se
utilizeaza forme particulare ale lui in care unul sau mai multe din polinoame in operatia
de intarziere se considere unitare
 ARMAX : Auto Regresive Moving Average with Exagenous Signals
Model de tip autoregresie si medie alunecatoare cu semnale exogene
In acest caz nd=nf=0
D(q-1) = F(q-1) =1
Semnalul exogen masurabil poate fi si variabila de comanda u(t) caz in care modelul e
referit in literatura ca model de tip CARMA (control)
Presupunem ca nu exista nici o marime de intrare masurabila u
Nb=0 -> B(q-1) = 0
=> A(q-1)y(t) = C(q-1) e(t)
(autoregresie si medie alunecatoare)
In acest caz y(t) se numeste serie temporala sau serie de timp
Daca in plus uc=0 -> C(q-1) =1 => A(q-1)y(t) = e(t)
y(t) = a1 y( t - 1 ) – a2 y( t - 2 ) - …. - ane y( t - ne) + e(t)
y(t) poate fi exprimat deci ca o functie liniara de val lui regresive
Modelele de tip AR furnizeaza polii sistemului :
Daca modelul A(q-1)y(t) = C(q-1) e(t) ARMA si consideram na=0 => A(q-1) =1
 y(t) = C(q-1) e(t) , MA – medie alunecatoare furnizeaza zerourile sist
Daca polinomul A(q-1) e constrans sa contina un factor de tipul ( e - q-1) => model de tip
ARIMA – autoregresie integrat si de medie alunecatoare
Daca modelul (5) na=nc =0 se ajunge la un model de tipul y(t)=B(q-1)u(t) +e(t) FIR –
Finite Impulse Response; model de tip raspuns finit sau functie pindere trunchiata
Considerand secventa de pondere inclusa in suma de convolutie
. Daca se considera sistemul considerat stohastic
Daca in modelul (5) se considera nc = 0
A(q-1)y(t) = B(q-1) u(t) +e(t)
model ARX – autoregresie cu semnale de intrare
exogene
Daca in modelul (4) consideram na=nd=0
 y(t) = B(q-1) / F(q-1) u(t) +e(t) model de tip structura erorii de iesire
e(t) = y(t) - B(q-1) / F(q-1) u(t) = eroare de iesire
se calculeaza ca diferenta dintre iesirea masurata si iesirea modelului
Daca in modelul (4) na=0 > y(t) = B/F u(t) + C/D e(t) - modelul BOX- JENKINS – modelul
cel mai utilizat in modelarea seriilor de timp
Se utilizeaza frecvent modelele ARMA, AR, MA, si BOX-JENKINS
Forma generala a structurii modelului care inglobeaza si cazul multivariabil (MIMO)
M(Θ) – clasa de modele definite de valori posibile ale parametrilor Θ.
Θ – vectorul parametrilor modelului
M(Θ) : y(t) = G (q-1, Θ)u(t) + H(q-1, Θ)e(t)
y : ny dimensional
u : nu dimensional
Θ : nΘ dimensional
G,H – filtre de dimensiune corespunzatoare
Toate modelele precedente plus echivalentele lor MIMO pot fi determinate ca si cazuri
particulare ale formei generale prezentate
Pt ARX: G= B(q-1)/ A(q-1) ; H=1/ A(q-1)
 A(q-1)y(H) = B(q-1) u(t) + e(t)
Nd A(q-1) si B(q-1) sunt polinoame matriciale in operatia de intarziere de dimensiuni ny x
ny sau ny x nu
EXEMPLU :
Semnale (procese) stohastice (aleatoare)
Un proces (semnal) aleator (stohastic) reprezinta un proces care se desfasoara in timp si
e generat, cel putin in parte de legi probabilistice. D.p.d.v. matematic un proces stohastic
e o functie de 2 variabile x(k,t), unde k ia valori in spatiul esantioanelor sau realizarilor, iar
t ia valori pe axa reala a timpului. Pentru fiecare k se obtine o realizare particulara a
procesului stohastic care se poate nota x(k,t)= xk(t) si care e rezultatul unui experiment,
inregistrarea grafica a functiei esantion numindu-se realizare. Un numar finit dar suficient
de mare de esantioane constituie spatiul esantioanelor;
Xk = x(t) <= valoare particulara
De exemplu: inregistrarea tensiunii de zgomot dintr-un rezistor R mentinut intr-un
termostat la temperatura constanta, conectat la intrarea unui amplificator prevazut la
iesire cu un voltmetru :
Efectul masuratorii tensiunii de zgomot pentru acelasi interval de timp T; reprezentarea
acestor masuratori pe acelasi grafic in functie de timp se obtine o imagine reprezentativa
a ansamblului a acestor realizari de tipul celui prezentate in figura.
In ultima instanta procesele aleatoare sunt functii de timp ( explicite sau
implicite). Experimentele realizare asupra unui proces aleator sunt puse in evidenta prin
inregistrari de tipul celui exemplificat, o inregistrare de acest tip fiind o realizare a
procesului aleator respectiv.
Prin fixarea variabilei independente timp, t, la o valoare particulara t1 sau t2 se
obtine un ansamblu de valori xi(t1) , i=1..k care constituie o variabila aleatoare x(t1)
Principalele caracteristici utilizate in analiza proceselor stohastice
Caracteristici de ansamblu:
- La momentul t : reprezinta caracteristica unei variabile aleatoare care e compusa
din ansamblu realizarilor posibile ale procesului la momentul de timp dat.
Caracteristici de timp:
- Caracteristica unei variabile aleatoare care reprezinta o realizare particulara a
procesului analizat
Valoare medie : medie statistica pe ansamblul realizarilor
In practica nu dispune in general un numar suficient de mare de inregistrari ale unui
proces,pentru a se putea dispune de functia de densitate de probabilitate
Media temporala (pentru o singura realizare)
Media poate fi privita ca un centru de greutate al distributiilor valorilor posibile ale
procesului, cu alte cuvinte valoarea cea mai probabila. Valoarea medie reprezinta in fapt
componenta continua a semnalului.
- Valoare medie statistica a patratului (ansamblul realizarilor) sau valoare medie
statistica patratica:
Se presupune ca procesul stohastic e centrat Ex=0 , ẋ(t)=x(t)-mx(t) => Eẋ = 0
Operatia de centrare se justifica teoretic prin aceea ca in general intereseaza fluctuatiile
fata de valoarea medie si nu fata de originea arbitrara. Implicatia practica a centrarii e
importanta; permite o mai nuna utilizare a instrumentelor de masura
Valoarea medie patratica temporala :
Considerand ca x(t) reprezinta tensiunea pe o (sau curentul ce trabate o ) rezistenta de
1Ω , valoare medie patratica poate fi interpretata ca putere medie disipata pe rezistenta
P = U*I = U2 / R = I2*R
Puterea disipata = Energie / Interval de timp
Abatarea standard este : ϭx = √
In cazul discret :
Functiile de autocorelatie (carac. de ord II) :
Functiile de autocovarianta – presupune considerarea proceselor centrate :
Cu cat x(t) fluctueaza mai mult cu atat valoare integralei e mai mare, deci puterea
semnalului este mai mare.
Functiile de intercalatie – relative la 2 procese stohastice care evolueaza in paralel :
Functiile de intercovarianta:
Functia de autocovarianta normata:
Functia de intercovarianta normata:
In cadrul variabilelor aleatoare exista notiunea de coeficient de corelatie:
In cazul coeficientului de corelatie daca se fac o serie de experiente cu variabile aleatoare
care au ca rezultat dif. val. Posibile xi,yi ale celor 2 variabile aleatoare, putem avea
urmatoarele situatii :
FUNCTIA DE INTERCORELATIE NORMATA:
0 <= fxy (τ) <= 1, rezultat care e utilizat in practica prelucrarii semnalelor ca un criteriu
privind pe de o parte gradul de intercalatie (asemanator) a 2 procese, iar pe de alta parte
de a stabili daca nu s-a produs o eroare in prelucrare ( ϭxy >1 )
Cazul ϭxy=1 corespunde unor procese total corelate
Cazul ϭxy=0 corespunde unor procese independente, necorelate
PROCESE STOHASTICE STATIONARE
Se numesc procese stohastice stationare procesele ale caror proprietati statistice sunt
invariante la schimbarea arbitrara a originii timpului. Practic ipoteza de stationaritate se
formuleaza numai pentru densitati in probabilitate pana la ordinul 2 inclusiv, cand se
vorbeste de stationaritate in sens larg, spre deosebire de stationaritatea in sens strict,
care presupune independenta de momentele de timp a densitatilor de probabilitate de
orice ordin
Doua consecinte esentiale:
1) Valorile medii sunt constante in timp
2) Functiile de corelatie (covariante) depinde doar de decalajele temporale τ=t2-t1 si
nu de cele 2 momente de timp t1 si t2
In parctica ipoteza stationaritatii semnalului nu e intru totul valabila, dar deoarece
modificarea propr satistice ale semnalelor au loc de obicei mult mai incet decat
lungimea intervalelor de timp pe care se determina valoarea acestor functii, ipoteza e
acceptata in marea majoritate a situatilor din practica.
Proprietatea de ergodicitate
Procesele stationare (stohastice) pentru care valorile medii de ansamblu ( obtinute pe
ansamblul de realizari ale unui proces stohastic ) sunt egale cu mediile temporale ale
unei singure realizari ale aceluiasi proces stohastic se numesc procese ergodice.
Ipoteza de ergodicitate e deasemenea respectata in general in practica curenta.
Vom lucra in continuare cu procese stationare si ergodice. Este mult mai comod sa se
esantioneze un nr suficient de valori dintr-un semnal decat sa se obtina un nr suficient
de mare de realizari care sa permita medierea statistica.
Interpretarea fizica a ipotezei de ergodicitate: Toate valorile pe care multimea de
functii aleatoare x(k,t) le ia momentul t vor fi atinse de acelasi numar de ori de oricare
dintre realizarile particulare xk(t), cu conditia ca durata T a inregistrarilor sa fie
suficient de lunga.
Proprietatea de ergodicitate este utilizata la tratarea in timp real a proceselor
aleatoare, deoarece e posibil sa se inlocuiasca cu ansamblul statistice de esantionare
cu un singur esantion considerat reprezentatia ale carui medii temporale de diferite
ordine inlocuiesc mediile statistice ale ansamblului realizarilor
Proprietati ale functiilor de corelatii pentru procese stationare:
Se vor puncta doar proprietatile utilizate in mod curent in prelucrarea semnalelor
fizice reale.
1) Functia de autocorelatie
 Functie para : Rx ( τ ) = Rx (-τ ) ; (continuu)
Rx ( i ) = Rx ( -i ) ; (discret)
 Proprietatea reflecta faptul ca media nu depinde de semnul decalajelor
dintre semnale, ci doar de valoarea lui absoluta
 max Rx ( τ ) = Rx( 0 ) ; se ajunge la Ex2(t) - pt τ=0
 daca x(t) e un proces ergodic centrat ( fara componente periodice) :
deoarece pt val mari ale intervalului de timp
schimbul de energie se reduce apreciabil tinzand catre 0 sau catre o valoare
constanta in cazul semnalelor necentrate.
2) Functiile de intercalatie
 Rxy ( τ ) = Ryx ( -τ )
functiile de intercorelatie nu sunt pare pentru acelasi τ
Rxy ( τ ) ≠ Ryx ( τ )
 Rxy ( τ ) -> 0 cand τ -> ∞
Observatii:
- Spre deosebire de functia de autocorelatie, intercorelatia nu e in general nici
para nici impara, iar valoarea maxima nu se afla obligatoriu la τ=0.
- Aceeasi functie de autocorelatie (intercorelatie) poate apartine unui numar
infinit de procese aleatoare, prin urmare caracteristica statistica a proceselor
aleatoare nu e posibila doar prin utilizarea acestor tipuri de functii
- Functiile de corelatie sunt functii liniare
Interpretarea (semnul) functiilor de corelatie (covarianta)
Aceste caracteristici sau functii permit evidentierea si exprimarea cantitativa a unor
legaturi intre marimi variabile, legaturi care nu pot fi observate prin mijloace curente de
investigare.
Au fost utilizate cele mai variate domenii ( stiintele naturii ) punandu-se
problema daca cresterea sau scaderea unei marimi atrage dupa sine o variate a celeilalte.
Functiile de corelatie definesc gradul de asemnare a 2 secvente de date, functie
de deplasare in timp a uneia dintre ele sau gradul in care o secventa de date e corelata cu
ea insasi in functie de intarzierea in timp. Functiile de corelatie a 2 procese aleatoare care
au o evolutie in paralel si se influenteaza reciproc sunt legate de energia mutuala de
interactiune dintre cele 2 procese.
Functiile de intercorelatie exprima media pe durata de observare T sau 2T a
acestor puteri de interactiunie, media putand fi data pentru un τ>0 cand procesul x
transfera energie catre y, sau poate fi negativa cand primeste energie. Se poate inampla
ca energia mutuala medie pe intervalul T sau 2T pentru o valoare a lui τ sa fie nula =>
cele 2 procese x,y sunt independente; in realitate energia care trece de la un proces la
altul intr-un interval elementar de timp e compensata in medie in celalalt sens in alt
interval de durata 2T.
Sensul fizic al autocorelatiei terbuie cautat in influenta valorilor trecute ale
procesului asupra valorii de la un moment de timp dat, exprimand deci o legatura interna
si care in final se reduce tot la un aspect energetic.
D.p.d.v cantitativ gradul de intercorelare se exprima prin coeficientul de
corelatie sau functia de corelatie normata si care exprima de fapt cantitativ gradul de
interfluenta a 2 semnale
Densitatea spectrala de putere
Functiile de densitate spectrala de putere folosesc pentru caracterizarea proceselor
stohastice in domeniul frecventelor.
Avand in vedere ca semnalele aleatoare nu sunt absolut integrabile,
neindeplinandu-se astfel conditia de existenta a transformatei Fourier, pentru a putea
totusi extinde analiza armonica si in acest domeniu al proceselor stohastice se introduce
procesul stohastic trunchiat xT(t).
Se poate astfel considera xT(ω) ca transformata Fourier a semnalului trunchiat :
Considerand multimea tuturor realizarilor posibile si evaluand media se def. densitatea
spectrala de putere a procesului stohastic x(t) (prin generalizarea notiunilor analizei
armonice)
In mod analog pentru 2 procese stohastice x(t) si y(t) se defineste densitatea
interspectrala de putere (densitate spectrala mutuala )
Unde prin y*(ω) s-a notat expresia complex conjugata a marimii repective
TEOREMA WIENER-HINCIN
Densitatea spectrala de putere si respectiv densitatea interspectrala de putere
reprezinta transformatele Fourier ale functiilor de autocorelatie si respectiv ale functiilor
de intercorelatie ( reprezinta extinderea teoremelor corelatiei din cadrul analizei
armonice)
- Interpretarea fizica conduce la ideea ca varianta ϭx2 care indica puterea
semnalului aleator se obtine insumand la limita valorile lui Sx(ω) pentru diferite
valori ale pulsatiei ω, ceea ce conduce la ideea ca S (ω) arata cum se
repartizeaza puterea semnalului la diferite frecvente sau cat de puternic e
semnalul pentru circuite frecvente
Proprietati ale functiei de densitate spectrala
Tinand cont de proprietatea de paritate ale functiei de autocorelatie
 Sx(ω) = Sx(-ω)
Functia de coerenta
Considerandu-se un sistem liniar monovariabil caruia i se aplica la intrare un
semnal u stationar si de medie nula, iesirea y va avea aceleasi proprietati :
Functia de coerenta ascociata sistemului e o marime reala notata cu :
Functia de coerenta corespunde coeficientului de corelatie in cazul variabilelor
aleatoare. Pentru un sistem liniar neafectat de zgomot, ideal, functia de coerenta atinge
un maxim teoretic = 1 pentru toate frecventele. In cazul in care u si y sunt total
necorelate functia de coerenta e o. daca functia de coerenta Є (0,1) pot aparea
urmatoare situatii: existenta unor zgomote externe prezente in masuratori sau absenta
unei dependente complete intre intrarea si iesirea sistemului, deci sitemul cercetat e
unul neliniar sau iesirea e conditionata nu numai de u ci si de posibile alte intrari.
Functia de coerenta poate fi utilizata ca un criteriu pentru a distinge daca un sistem
este liniar sau nu.
Exemplu:
Elemente operationale liniare ale calculatoarelor analogice
Producerea relatiilor matematice liniare intr-un calculator analogic se realizeaza
cu o precizie ridicata datorita folosirii AO ( Amplificatoare Operationale), avand
impedante operationale de intrare si in reactie.
1. Amplificator sumator (inversor)
Cel mai frecvent utilizat – sumatorul inversor – se utilizeaza pentru insumarea algebrica a
unor tensiuni continue
Functionarea circuitului se bazeaza pe proprietatea punctului de insumare (a) de a avea
aproximativ aceleasi potential ca intrarea neinversoare ( = punctul de masa virtual)
Pt AO ideal, (a) se afla la potentialul mesei.
ir = i1 + i2 + … + in
Deci, daca se neglijeaza erorile de calcul, tensiunea lui la iesire are valoarea:
∑
Particularizand in aceasta relatie numarul de intrari si impedantele operationale , schema
poate realiza o serie de operatii matematice.
2. Circuitul diferential ( calcul diferenta )
Aplicand Teorema lui Kirchoff bornei inversoare:
 U0-Ui = -
=C
=> U0 = Ui ( 1 +
) –Ui1
Dar Ui- = Ui+ => = Ui2
Introducand in ecuatia precedenta:
U0 = Ui2(1 + )
– Ui1
Daca se indeplineste conditia:
=
=>
=
Se obtine un Ao sesibil la diferenta de potential dintre intrari
 U0 =
Deci tensiunea de iesire este proportionala cu diferenta de potential dintre cele 2 intrari
sau fdt teoretica a circuitului diferential :
A=
=a) Inmultire cu o constanta
b) Inversarea semnului unei marimi
Alegand Rr=R1
U0=-Ui
=> α=1
c) Sumarea ponderata
Este realizata de schema amplificatorului sumator
d) Integrarea
OBS: In cazul in care conditia initiala dif de 0 si realizeaza incarcarea initiala a
condensatoarelor de reactie la o tensiune corespunzatoare initializarii respective.
e) Integrarea – sumarea
f) Diferentierea
g)
OBS:
1) In schemele analogice de calcul se evita elementele operationale, de diferentiere,
deoarece ele maresc nivelul zgomotelor in raport cu semnalul de utilizat si
micsoreaza gradul de stabilitate al schemei. Privind structura ei, schema asigura o
amplificare de tensiune care creste cu frecventa datorita scaderii reactantei Xc.
2) In mod curent, elementele operationale folosite in circuitele de intrare si reactie au
valori fine. Rezistentele au valori de 0,1 / 1M Ω , iar capacitatile de 1 μF, etc. Din
aceasta cauza, coeficientii si constantele de timp pot fi variate doar in trepte.
Pentru inlaturarea acestei limitari, circuitele de intrare ale elementelor
operationale se pot alimenta prin intermediul unui potentiometru.
Elemente operationale neliniare
- Sunt circuite cu AO care foloses elemente neliniare in reactie (retele de diode si
rezistente)
Amplificatoare logaritmice
Prin introducerea in bucla de reactie a unei diode/tranzistor (elemente cu
caracteristice exponentiala)
Amplif logaritmice se folosesc pentru realizarea unor transformari de forma: n^, x*y, x/y
(operatia de inmultire se va transforma in operatie de adunare)
La diode cu jonctiune-caracteristica curent-tensiune este exponentiala
Amplificatoare analogice
- Realizeaza inmultirea a doua sm analogice
- Dupa AO – multiplicatorul poate fi considerat al doilea bloc functional ca
importanta pentru prelucrarea semnalelor analogice
- Cateva scheme care realizeaza operatii matematice de baza
Functia de autocorelatie normata:
Modelarea si simularea analogica a sistemelor
Material: Elemente operationale ale calculatoarelor analogice
Modelarea sistemelor reprezentate prin ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti
constanti.
Pentru a realiza modelarea unui MM al sistemului reprezentat pintr-o ecuatie
diferentiala cu ajutorul unei structuri analogice, deci practic pentru a realizxa modelul
analogic al sistemului, ecuatia diferentiala se aduce la forma in care termenul stang
contine derivata de ordinul cel mai mare, iar termenul drept toate celelalte derivate si
functia de intrare perturbatoare.
Considerandu-se ca o tensiune e proportionala cu derivata de ordinul cel mai
mare, prin integrari succesive se obtine derivatele de ordin inferior si deasemenea
functia cautata.
Se presupune un sitem de ordin 3, descris de model cu forma ecuatiei
diferentiale de tipul:
a3x(3) + a2x’’ + a1x’ + a0x(t) = b*f(t)
Trebuie tinut cont de faptul ca fiecare element operational introduce o inversare de
semn (se utilizeaza doar montaje cu AO inversoare)
In acest context modelul analogic care realizeaza rezolvarea ecuatiei diferentiale
mentionate e urmatoare:
Pentru ca rezultatele obtinute cu ajutorul structurii analogice sa poate fi utilizate practic
e necesar sa existe o proportionalitate intre valorile tensiunilor masurate in circuitul
analogic in diferite puncte si variabilele din cadrul relatiilor matematice. De asemenea
proportionalitatea trebuie respectata atat in privinta timpului, cat si a frecventelor. Coef
de proportionalitate numiti factori de scara se stabilesc astfel incat ecuatiile reproduse in
structura analogica sa devina identice cu ecuatiile care trebuie modelate. Acest lucru se
realizeaza prin exprimarea tensiunilor cu ajutorul factorilor de scara si a variabilelor
corespunzatoare. Tensiunile de lucru ale elementelor operationale sunt limitate datorita
saturarii AO si ele lucreaza liniar doar in aceasta plaja de tensiuni ( in general 10 V).
Pentru marirea preciziei de calcul e necesar ca valorile maxime ale variabilelor si
derivatelor lor sa corespunda variatilor maxime ale tensiunilor din calculator.
Stabilirea factorilor de scara.
- Se realizeaza pe baza analizei ecuatiei reproduse de fiecare tip de element
operational. Se ca efectua analiza ecuatiei pentru integratoare si sumatoare fara
a se lua in considerare echivalarea de semne introduse de aceste elemente.
Integratorul:
- Realizeaza operatia :
- Relatia (1) corespunde ecuatiei :
Definirea factorului de scara ca fiind N=variabila reala/variabila calculator
Pentru exemplul considerat se pot introduce urm factori de scara:
Exprimand marimile din ec(1) corespunzatoare structurii de calcul cu ajutorul factorilor
de scara se obtine:
Relatia (3) trebuie sa fie in aceste conditii identica cu relatia (2) = >
Rezulta deci ca, constanta de timp a integratorului Kij, care in montajul integratorului are
valoarea Kij=1/RiCj se determina in cadrul modelarii analogice cunoscand val max a
functiei xj, a derivatei ei si repectiv factorul de scara de timp, Nt;
Sumatorul
- Realizeaza operatia de insumare a tensiunilor de intrare
U=∑
-
Simbol :
-
Ec matem:
Definind factorii de scara corespunzatori si exprimand marimile din prima relatie cu
ajutorul acestori factori de scara se ajunge la urmatoarea relatie:
Identificand relatia obtinuta cu cea precedenta se poate scrie:
Elementul de inmultire
Factorul 1/10 se introduce pentru a limita valoarea maxima a tensiunii Uz de la iesirea
elementului de inmultire la 10V, in cazul in care atat Ux cat si Uy ating simultan aceasta
valoare.
Ecuatia matematica corespunzatoare e z=x*y; introducandu-se factorii de scara :
Procedand analog prin inlocuirea in prima relatie si identificarea cu cea de-a doua se
ajunge la relatia:
, ajungandu-se la final prin identificare la
Nz = 10NxNy
Generatorul de functii
- Realizeaza o functie sau marime u(ωc,tc) care sa corespunda functiei de intrare
f(ω,t)
- Considerand factorii de scara corespunzatori si realizand identitatea relatiilor
obtinute se ajunge la NtNω=1
Analiza ecuatiei reproduse de catre elementele operationale conduce la concluzia
necesitatii cunoasterii valorilor maxime ale functiei cautate si ale derivatelor
acesteia pentru a se putea calcula factorul de scara. Schema reala pentru realizarea
ecuatiei diferentiale in care marimile care intervin sunt tensiuni electrice este
urmatoarea:
Trebuiesc calculati factorii de scara:
Se presupun cunoscute apriori valorile lui xmax, x’max, x’’max, x’’’max si valoarea
maxima a functiei de intrare. Aceste valori sunt utilizate in calculul constantei de timp ale
integratoarelor si in calculul coeficientilor. Astfel pentru constantele de timp ale
integratoarelor avem :
Coeficientii:
Cu aceste valori calculate => ecuatia structurii analogice
EXEMPLU FINAL: (cu toata metodologia impusa referitoare la alegerea factorilor de
scara)
Fie ecuatia: x(4) + 0,75x(3) + 2,5x(2) + 3ẋ + 4x = 60sin2t ,
cu conditiile intiale : x(0) = 0 ;
ẋ(0) = 12 ;
x(2) (0) = 0 ;
x(3)(0) = -48 ;
Se dau valorile maxime: xmax=6; ẋmax=12; x(2)max=24; x(3)max=48; x(4)max=96 ;
Ecuatia devine:
X(4)= - 0,75 X(3) – 2,5 X(2) - 3ẋ - 4x + 60sin2t
Factorii de scara vor fi:
Nx0 = =
=
= 0,6
Nx1 =
=
=
= 1,2
Nx2 =
=
=
= 2,4
Nx3 =
=
=
= 4,8
Nx4 =
=
=
= 9,6
Nt = 1;
Coeficientii sumatorului:
α0 = a0
= -4
α1 = a1
= -3
= - 0,25
= - 0,625
α2 = a2
= -2,5
α3 = a3
= -0,75
=
*
=
*
= - 0,625
= - 0,375
= 0,626
Constantele de integrare
K10 =
K21 =
K32 =
K43 =
Conditii initiale:
Nx0 =
-> u0(0) =
=
=0V
u1(0) =
=
= 10 V
u2(0) =
=
=0V
u3(0) =
=
= -10 V
Determinarea valorilor maxime
In determinarea sau stabilirea factorilor de scara e necesara estimarea initiala a
valorilor maxime ale functiei cautate si ale derivatelor ei. Calculul factorilor de scara se
face plecand de la ideea ca pentru valori maxime ale functiei si derivatelor ei corespund
valori maxime ale tensiunilor in strucutura analogica. Cautandu-se astfel imbunatatirea
preciziei de calcul dat imbunatatirii raportului semnal util zgomot. Se utilizeaza informatii
rezultate din rezolvarea unor probleme anterioare, din examinarea sistemului, fizice
descrise de ecuatia care se modeleaza sau informatii obtinute prin incercari succesive
realizate pe tructura analogica aproximand din ce in ce mai bine aceste valori maxime.
De exemplu in cazul aproximarii valorile maxime pentru sistemele modelate prin
ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti, in conditii initiale nule, in care
marimea de intrare e o treapta de amplitudine A.
x(n)(t) + an-1x(n-1)(t) + … + a0x(t) = Au-1(t)
,
u-1(t) = treapta unitara
Estimarea valorilor maxime ale variabilei si derivatelor ei se poate face utilizand relatiile
lui Jackson :
Daca ecuatia diferentiala este de ordinul 2 : y’’(t) + 2ωr y’(t) +ωr2 y(t) = u(t) si
daca u(t) e o treapta unitara, in conditia in care amortizarea e neglijabila y e o functie
sinusoidala
- Raspunsul indicial al unui ET-PT2 :
Caz in care valorile maxime pot fi obtinute :
|y|max = 2A
|y’|max = ωrA
|y’’|max = ωr2A
Determinarea factorului de scara pentru timp
In determinarea acestui factor trebuie tinut cont de erorile introduse de
elementele operationale liniare sau neliniare si respectiv de echipamentul de
inregistrare. Pe masura ce timpul de solutionare creste, cresc si erorile elementelor
integratoare, datorita integrarii diverselor tensiuni parazite, de deriva etc. Efectul
integrator e unul de cumulare continua. La frecvente inalte coeficientul de amplificare al
AO se micsoareaza, relatiile de calcul nemaifiind valabile.
Ca si in cazul precedent cunoasterea sistemului fizic care se modeleaza prin ecuatii
diferentiale poate fi utila in aprecierea factorului de timp. Determinarea valorilor pentru
scara de frecventa poate fi facuta prin determinarea valorilor frecventelor prin rezolvarea
ecuatiei caracteristice a ecuatiei diferentiale care modeleaza sistemul. Daca rezolvarile
sunt dificile frecventele de oscilatie pot fi aproximate analizand constantele de timp si
pulsatiile proprii ale sistemului.
Modelarea analogica a sistemelor liniare direct din functia de transfer
Daca f.d.t. are o forma mai complicata in sensul ca are si zerouri e dificil de estimat
valorile maxime ale derivatelor lui y. in aceste cazuri e posibila modelarea directa
pornindu-se de la f.d.t. in care trebuie puse in evidenta elementele integratoare de tipul
1/s. Coeficientii f.d.t. n pot ajusta la valori convenabile utilizand o schimbare in scara
frecventelor care atrage o schimbare corespunzatoare in scara timpului.
Coeficientii relatiilor:
S’=ks
t’= t/k
care printr-o schimbare convenabila in scara frecventelor a fost adusa la o forma
acceptabila in sensul ca are toti coeficientii in gama ( 10-1 10 1)
F.d.t. se scrie sub forma :
Dupa ridicarea raspunsului trebuie facuta corectia in scara timpului conform t’=t/k ;