目錄：
集合論
元素、集合 包含、屬於
常見數系
文氏圖 范氏圖
基數
、冪集合
數學歸納法
一般數學歸納法 步驟
強數學歸納法 步驟
基礎數論
質數、組合數
無理數
歐幾里德演算法、
同餘運算
費馬小定理
定理
函數
中國餘式定理
、笛摩根
、卡氏積
集合論
定義：
為一堆物品的搜集
口
∈ 為 之元素
≡
： 個元素
∈ 、 ∈ 、
∈ 、 ∈ ；但
表示 之元素個數，稱為 之
⊆ ∀ ∈ ⟹ ∈
子集
： ⊆ 、
⊂ ⊆ 但
⊆ 且 ⊆
∈ 一定錯 ：
：
例：
⟹
：
⊆
例
成大 ：
⊆{Φ}
⊆Φ
⊂{Φ}
⊂Φ
∈Φ
：
例
；
：
台大 ：
∈
∈
⊂
：
；
：
⊆ 、
∉
⊆ ；但
∉
常見數系：
ℕ
ℤ
ℤ
ℚ
ℝ
ℚ
ℂ
自然數從 ；
從 開始
∈ℤ
：
運算 文氏圖
聯集： ⋂
：
∈ ⋂ ∈
交集： ⋃
差集：
補集：
∈ ⋃ ∈
∈ ⋂ ∉
∉
對稱差： ⊕
：
交換性
⋂
⋂
⋃
⋃
⊕
⊕
結合性
⋂ ⋂
⋃ ⋃
⊕ ⊕
⋂ ⋂
⋃ ⋃
⊕ ⊕
分配性
⋃ ⋂
⋂ ⋃
⋂ ⊕
⋃ ⋂
⋂ ⋃
⋂ ⊕
：
⋂
⊕
例
台大 ：
⋃
⋂
⋃
⋃
⋂
⊕
：
⋃
⋂
⋃ ⟹
⋂ ⟹
⊕ ⟹
；
：
⋂
⋂
⋂
⋃
⋂
⋃
例
清大 ：證： ⋂ ⋃
⋂ ⋃
⊆
⟸： ⋂ ⋃
⋃ ⋂ ⋃
⋂ ⋃
⟹ ：∀ ∈ ⟹ ∈ ⋂ ⋃
⋂ ⋃
⟹ ∈ ⋂ ⋃ ⟹ ∈
定理：
⋃
⋂
迪摩根
⋂
⋃
定義：
： ，定義：
⊆
，則
定理：
⟹
證明：
∈
之每個元素可以屬於
不屬於 。故有 種可能
∵
，∴ 之可能性的個數為 ，也記作
：
例
22
交大 ：
2{ }
22
例
個
⋃
⋂
輔大 ：
⋃
⋂
∈
⋂
⊆ ⋂
⊆ 且 ⊆
∈
且 ∈ P(
∈
⋂P(
定義：
：
×
，定義：
∈
∈ ，稱為
、
之卡氏積
：
⟹
例
交大 ：
，求 22
𝐴 ×2𝐵
⟹ 原式
：
∈
×
∈
∈
∈
1.2 數學歸納法
定理 個 ： 數學歸納法
為一命題， ∈ℤ
：
：設
則
∀ ∈ℤ
，則
參考：
： ⊆ℤ
證明：
令𝔽 ∈ ℤ
∵
例
，則
𝔽
矛盾𝔽
𝔽中存在最小元素 ∈ 𝔽
∴
𝔽 ∴
中原 ：證：
設
當
∀
成立
時成立，即
時，
∵
：
例
淡大 ：證：
設
當
成立
時成立，即
時，
個：
證：
設
當
∀
∀
：
例
中存在最小元素
∀
調和級數
∀
時成立，即
時：
：
∀
且
⟹
例
個：
時成立
令
時成立，
，得證
例
中央 ：證：任 匹馬顏色相同
時成立
時成立，
設
， 個 個顏色相同，所以
不正確：此為數學歸納法之誤用，因為當
同』，故不能使用此法證明之
時，與
個顏色相同，因此得證？
並無重疊，兩隻馬顏色只有『個自相
：
：
例
設
例
台大 ：證：∀
∴
元，皆可用 元
：設
為真，則
元組合之？
元的郵資可用 及 元郵票可組合成 元
台大 ：證：除了 1, 2, 4, 7 之外，所有價格都可用 3, 5 元組合？
1.3 基礎數論
定義：
，若 除了 與
否則稱 為組合數
之外，不再有其他的正因數
定理：
ℤ 中，質數的個數為
證明：
設質數的個數有限，令
⟹ 為組合數 ⟹ ∃ ∋
∵
⟹
⟹
：
× ×
的正因數為
表
例
個
反證法：
設 為
：實因數分解
中，與
個
東華 ：證：
互質的個數
為質數 ⟹
≡
：
其中：
，∴
：
：
例
：
：
：
⟹
中央 ：
為所有質數，取
的尾數有幾個 ？
為質數
，稱
為質數
，
例
中原 ：
之二進位表示法，尾數有幾個 ？
：
：
：
：
：
：
⟹
例
個 ：證：√ 為無理數
設√ 為有理數，即√
⟹
⟹
⟹
⟹ 令
⟹
⟹
⟹
→←
互質
定理：
⟹
證明：
∴
∴
⟹ 為
之公因數
且
∵
∴ 為
⟹
例
∴
之一公因數 ⟹
中山 ：求
∈ℤ
互質
：
⟹ 相鄰 數必互質
∈ℤ
有解
利用
∈ℤ
求
例
北科 ：下列整數解是否存在？
，偶數
，偶數
例
高大 ：求所有整數解
？
⟹
例
台大 ：
≡
≡
≡
≡
：
例
⟹ ≡
⟹ ≡
⟹ ≡
⟹ ≡
；
清大 ：求
：
≡
之所有解？
∀ ∈ℤ
⟹
：
≡
⟹
≡
⟹ ≡
⟹ ≡
≡
≡
⟹ ≡
是錯誤的！
定義：
，若
例
≡
，則稱
長庚 ：求
⟹
⟹
∀ ∈ℤ
：
定理： 費馬小定理
：
， ∤
⟹ ≡
例
長庚 ：
？
費馬小定理
⟹
⟹
例
清大 ：求
法一 暴力法
法二
？
次
≡
≡
≡
≡
≡
≡
定理： 費馬小定理的推廣
⟹
例
≡
交大 ：求
？
≡
≡
定理： 中國餘式定理
1
k ∈ ℤ+，彼此互質
x ≡ r1 (mod n1)
…
x ≡ rk (mod nk)
≡
為 之
，記作
例
政大 ：
≡
≡
≡
；
；
；
≡
⟹
例
≡
≡
≡
∀ ∈ℤ
台科 ：
≡
≡
≡
≡
≡
⟹
；
；
；
≡
⟹
≡
≡
≡
∀ ∈ℤ
例：
≡
≡
≡
將 ≡
≡
≡
拆成可跟
；
；
≡
⟹
互質之數，但因為
≡
≡
∀ ∈ℤ
不可能與 互質，故只需考慮以下兩式