Deterministic Optimization
rzuraida @binus.ac.id
 Able to construct a dual form from primal
 Able to analyze solution from primal and dual form
 Dual price problem dibentuk secara sistematik dari primal atau bentuk awal
LP model
 Primal-dual menunjukkan hubungan secara simetris dengan ketentuan sebagai
berikut :
1. Koefisien fungsi tujuan primal menjadi konstanta ruas kanan dual
2. Konstanta ruas kanan primal menjadi koefisien fungsi tujuan dual
3. Semua kolom primal menjadi kendala dual
4. Semua kendala primal menjadi variabel keputusan dual
5. Koefisien kendala dari variabel primal menjadi koefisien yang
berkorespondensi dengan kendala dual.
 A dual variable is assigned to each primal (equation) constraint and a dual constraint is
assigned to each primal variable.
 The right-hand sides of the primal constraints provide the coefficients of the dual objective
function.
 The dual constraint corresponding to a primal variable is constructed by transposing the primal
variable column into a row with (i) the primal objective coefficient becoming the dual right-hand
side and (ii) the remaining constraint coefficients comprising the dual left-hand side coefficients
 The sense of optimization, direction of inequalities, and the signs of the variables in the dual are
governed by the rules in Table 4.1
The first and second constraints are replaced by an equation. The general rule is that an
unrestricted
primal variable always corresponds to an equality dual constraint. Conversely, a primal
equation produces an unrestricted dual variable, as the first primal constraint demonstrates
Max Z = 50x1 + 60x2
Subject to:
2x1 + x2 ≤ 300
3x1 + 4x2 ≤ 509
4x1 + 7x2 ≤ 812
x 1 , x2 ≥ 0
Min Z = 10x1 + 20x2
Subject to:
9x1 + 9x2 ≥ 77
7x1 + 11x2 ≥ 81
x2 ≥ 100
x 1 , x2 ≥ 0
Min Z = 4x1 + 4x2 + x3
Subject to:
x1 + x2 + x3 ≤ 2
2x1 + x2 = 3
2x1 + x2 + 3x3 ≥ 3
x 1 , x2 , x3 ≥ 0
discussion
*) Min Z berarti tandanya ≥
Max Z berarti tandanya ≤
STEP 1
Max Z = 50x1 + 60x2
Subject to:
2x1 + x2 ≤ 300
3x1 + 4x2 ≤ 509
4x1 + 7x2 ≤ 812
x1 , x2 ≥ 0
STEP 2
STEP 3
Max Z = 50x1 + 60x2
Min W = 300y1 + 509y2 + 812y3
Subject to:
Subject to:
2x1 + x2 ≤ 300
2y1 + 3y2 + 4y3 ≥ 50
3x1 + 4x2 ≤ 509
y1 + 4y2 + 7y3 ≥ 60
4x1 + 7x2 ≤ 812
y1 , y2 ≥ 0
x1 , x2 ≥ 0
*) Min Z berarti tandanya ≥
Max Z berarti tandanya ≤
STEP 1
STEP 2
STEP 3
Min Z = 10x1 +
20x2
Min Z = 10x1 + 20x2
Max W = 77y1 + 81y2 + 100y3
Subject to:
Subject to:
Subject to:
9x1 + 9x2 ≥ 77
9x1 + 9x2 ≥ 77
9y1 + 7y2 ≤ 10
7x1 + 11x2 ≥ 81
9y1 + 11y2 + y3 ≤ 20
7x1 + 11x2 ≥ 81
x2 ≥ 100
x1 , x2 ≥ 0
x2 ≥ 100
x1 , x2 ≥ 0
y1 , y2 , y3 ≥ 0
*) Min Z berarti tandanya ≥
Max Z berarti tandanya ≤
STEP 1
Min Z = 4x1 + 4x2
+ x3
Subject to:
x1 + x2 + x3 ≤ 2
2x1 + x2 = 3
2x1 + x2 + 3x3 ≥ 3
x1 , x2 , x3 ≥ 0
STEP 3
STEP 2
-x1 - x2 - x3 ≥ -2
2x1 + x2 ≥ 3
2x1 + x2 ≤ 3
x (-1)
-2x1 - x2 ≥ -3
2x1 + x2 + 3x3 ≥ 3
STEP 4
Min Z = 4x1 + 4x2 + x3
Max W = -2y1 + 3y2 - 3y3 + 3y4
Subject to:
Subject to:
-x1 - x2 - x3 ≥ -2
-y1 + 2y2 - 2y3 + 2y4 ≤ 4
2x1 + x2
≥3
-y1 + y2 - y3 + y4 ≤ 4
-2x1 - x2
≥ -3
-y1
2x1 + x2 + 3x3 ≥ 3
x1 , x 2 , x 3 ≥ 0
+ 3y4 ≤ 1
y 1 , y 2 , y3 , y 4 ≥ 0
 The simplex tableau can be generated by three elementary matrix operations: (row vector) *
1matrix2, 1matrix2 * 1column vector2, and 1scalar2 * 1matrix2. These operations are
summarized here for convenience. First, we introduce some matrix definitions:
 The primal and dual solutions are closely related, in the sense that the optimal solution of either
problem directly yields the optimal solution to the other, as is explained subsequently.
The elements of the row vector must appear in the same order the basic variables
are
listed in the Basic-column of the simplex tableau
Nilai dari Fungsi Objective jika finite harus memenuhi pertidaksamaan berikut:
 Dalam pengertian pengalokasian sumber daya, maka Z merepresentasikan $ revenue dan bi
merepresentasikan ketersediaan sumber daya i (unit). Sehingga secara dimension z = w
Dapat diartikan bahwa dual variabel yi, merepresentasikan nilai/ harga (worth of) per unit
dari sumber daya i
 Menggunakan analisis dimension yang sama, maka kita bisa interpretasikan pertidaksamaan
z w
untuk solusi yang feasibel pada primal dan dual problem yaitu
Worth of Resources
0.75 = Nilai per ton dari M1
0.5 = Nilai per ton dari M2
 Pengertian ekonomi dari pembatas pada dual dijabarkan pada persamaan berikut:
Pendapatan atau revenue per unit, cj, dari activitas j adalah dalam satuan uang
(misal $) per unit. Maka untuk konsistensi, kuantitas dari m i = 1aijyi dinyatakan
dalam dollar per unit
Selanjutnya, karena cj merepresentasikan revenue, jumlah  m i = 1aijyi, dengan tanda
yang berbeda maka hal itu merepresentasikan cost (biaya)
 Dual variabel yi merepresentasikan apa yang dikenal sebagai Imputed cost (Biaya
yang harus dikeluarkan) per unit dari sumberdaya atau merepresentasikan
sebagai biaya yangdiperlukan untuk memproduksi 1 unit dari aktivitas j.
 Imputed cost disebut sebagai Reduces cost dari aktivitas j.
 Peningkatan penggunaan unused dari sumber daya ((yang tidak digunakan) akan
dapat meningkatkan revenue jika nilai reduces cost nya negatif
kondisi optimalitas dikatakan
menguntungkan secara ekonomi untuk
meningkatkan tingkat suatu aktivitas jika
pendapatan unitnya melebihi biaya yang
diperhitungkan per unitnya.
Optimal solusi primal yaitu toy train =0, truck =100 dan car =230
Jika Toyo tetap ingin memproduksi toy trains (Xi) maka dilihat dari reduce cost untuk X1,
Bagaimana hal ini bisa dilakukan oleh TOYCO.
Solusi persamaan LP Primal (yang awal)
Solusi persamaan LP Dual
rzuraida@binus.ac.id