2장 극한과 도함수
2장 극한과 도함수
이문배
2장 극한과 도함수
2.2 함수의 극한
2.3 극한법칙을 이용한 극한 계산
2.4 극한의 엄밀한 정의
2.5 연성속
2.7 미분계수와 변화율
2.8 함수로서의 도함수
2장 극한과 도함수
2.2 함수의 극한
정의
a와 같지 않지만 a에 충분히 가까운 x를 잡으면 L에 얼마든지 가까운(L에
원하는 만큼 가까운) f (x)값을 얻을 수 있을 때
lim f (x) = L
x→a
(or f (x) → L as x → a)
로 나타내고, ‘x가 a에 접근할 때 f (x)의 극한이 L이다.’ 라고 말한다.
I 이 경우 f (x) 는 x = a에서 정의되어 있을 필요는 없다.
2장 극한과 도함수
2.2 함수의 극한
예제
x−1
f (x) = 2
, g(x) =
x −1
( x−1
x2 − 1
2
x 6= 1
x=1
⇒ lim f (x) = lim g(x) = 0.5
x→1
예제
lim sin
x→0
π
=?,
x
x→1
lim x2 sin x + x5 + 6x =? (그래프? 계산? )
x→2
2장 극한과 도함수
2.2 함수의 극한
정의
x가 x < a이면서 a에 충분히 가까이 갈 때, f (x)의 값이 실수 L에 가까이 가면
lim f (x) = L
x→a−
로 나타내고, L을 x가 a에 가까이 갈 때 f (x)의 좌극한값이라 한다. 마찬가지로,
x가 x > a이면서 a에 충분히 가까이 갈 때, f (x)의 값이 실수 L에 가까이 가면
lim f (x) = L
x→a+
로 나타내고, L을 x가 a에 가까이 갈 때 f (x)의 우극한값이라 한다.
2장 극한과 도함수
2.2 함수의 극한
정리
limx→a f (x) = L이기 위한 필요충분조건은 limx→a− f (x) = L이고
limx→a+ f (x) = L이다.
예제
lim g(x)
x→2−
lim g(x)
x→5−
lim g(x)
x→2+
lim g(x)
x→5+
lim g(x)
x→2
lim g(x)
x→5
정의
f 를 a를 제외한 a의 양쪽에서 정의되어 있는 함수라 하자.
lim f (x) = ∞
x→a
는 x가 a에 충분히 가깝게 접근할 때 f (x)의 값이 무한히 커진다는 의미이다.
같은 방법으로 여러가지의 극한을 정의할 수 있다
lim f (x) = −∞, lim f (x) = ∞, lim f (x) = −∞, · · ·
x→a
x→a−
x→a+
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2.3 극한법칙을 이용한 극한 계산
정리 (극한법칙)
c가 상수이고 극한 limx→a f (x), limx→a g(x)가 존재한다면 다음이 성립한다.
(1) lim [f (x) + g(x)] = lim f (x) + lim g(x)
x→a
x→a
x→a
(2) lim [f (x) − g(x)] = lim f (x) − lim g(x)
x→a
x→a
x→a
(3) lim [cf (x)] = c lim f (x)
x→a
x→a
(4) lim [f (x)g(x)] = lim f (x) · lim g(x)
x→a
x→a
x→a
f (x)
limx→a f (x)
=
x→a
x→a g(x)
limx→a g(x)
n
n
(6) lim [f (x)] = [ lim f (x)] , n은 양의 정수이다.
(5) lim g(x) 6= 0이면 lim
x→a
x→a
(7) lim c = c, lim x = a.
x→a
x→a
정리 (직접 대입 성질)
f 가 다항함수이거나 혹은 유리함수이고 a가 f 의 정의역에 있으면,
lim f (x) = f (a)
x→a
이다.
2장 극한과 도함수
2.3 극한법칙을 이용한 극한 계산
예제
x2 − 1
lim
= lim (x + 1) = lim x + lim 1 = 2
x→1 x − 1
x→1
x→1
x→1
lim 2x2 + x + 7 = 3 lim x lim x + lim x + lim 7 = 3 · 2 · 2 + 7
x→2
x→2
x→2
x→2
x→2
정리 (조임정리)
만일 a의 근방에 있는 모든 점 x (점 a를 제외할 수 있음) 에 대하여
f (x) ≤ g(x) ≤ h(x)이고
lim f (x) = lim h(x) = L
x→a
x→a
이면
lim g(x) = L
x→a
이다.
I 조임축정리는 ‘압축정리 또는 샌드위치 정리’라고도 불린다.
2장 극한과 도함수
2.3 극한법칙을 이용한 극한 계산
예제
lim x2 sin
x→0
1
=0
x
풀이
2장 극한과 도함수
2.4 극한의 엄밀한 정의
정의
함수 f 가 a를 포함하는 개구간(a는 제외될 수 있음 )에서 정의되어 있다고 하자.
만약 임의의 양수 ε에 대하여
0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε
을 만족하는 δ > 0가 존재하면, x가 a에 가까이 접근할 때 f (x)의 극한이 L 이라
정의하고 lim f (x) = L로 나타낸다.
x→a
2장 극한과 도함수
2.4 극한의 엄밀한 정의
예제
limx→3 2x = 6 임을 극한의 엄밀한 정의를 이용하여 증명하여라.
풀이
예제
limx→3 (4x − 5) = 7 임을 극한의 엄밀한 정의를 이용하여 증명하여라.
풀이
2장 극한과 도함수
2.4 극한의 엄밀한 정의
정의 (좌극한의 정의)
만약 임의의 양수 ε에 대하여
a − δ < x < a ⇒ |f (x) − L| < ε
을 만족하는 δ > 0가 존재하면, lim f (x) = L이다.
x→a−
정의 (우극한의 정의)
만약 임의의 양수 ε에 대하여
a < x < a + δ ⇒ |f (x) − L| < ε
을 만족하는 δ > 0가 존재하면, lim f (x) = L이다.
x→a+
예제
limx→0+
풀이
√
x = 0 임을 극한의 엄밀한 정의를 이용하여 증명하여라.
2장 극한과 도함수
2.4 극한의 엄밀한 정의
예제 (삼각부등식)
임의의 실수 a, b에 대하여 다음이 성립함을 보이시오.
|a + b| ≤ |a| + |b|
풀이
주의
|a − b| ≤ |a| + |b| and ||a| − |b|| ≤ |a − b|
2장 극한과 도함수
2.4 극한의 엄밀한 정의
예제
극한 limx→a f (x), limx→a g(x)가 존재할 때
lim [f (x) + g(x)] = lim f (x) + lim g(x) 가 성립함을 극한의 엄밀한 정의를
x→a
x→a
이용하여 증명하여라.
풀이
x→a
2장 극한과 도함수
2.4 극한의 엄밀한 정의
정의 (무한극한)
함수 f 가 a를 포함하는 개구간(a는 제외될 수 있음 )에서 정의되어 있다고 하자.
이때
lim f (x) = ∞
x→a
는 임의의 양수 M 에 대하여
0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) > M
을 만족하는 δ > 0가 존재함을 의미한다.
예제
limx→0
풀이
1
x2
= ∞ 임을 극한의 엄밀한 정의를 이용하여 증명하여라.
2장 극한과 도함수
2.5 연성속
정의
만약
lim f (x) = f (a)
x→a
이면 함수 f 는 a에서 연속이다.
예제
다음 그림은 함수 f 의 그래프를 나타낸다. f 가 불연속인 점은? 그 이유는?
2장 극한과 도함수
2.5 연성속
정리
만약 f 와 g가 a에서 연속이고 c가 상수이면, 다음 함수들도 a에서 연속이다.
f + g,
f − g,
cf,
f g,
f /g,
g(a) 6= 0
정리
다음과 같은 형태의 함수들은 그들의 정의역상의 모든 점에서 연속이다:
다항식, 유리함수, 제곱근함수, 삼각함수
정리
만약 f 가 b에서 연속이고 limx→a g(x) = b이면 limx→a f (g(x)) = f (b)이다. 즉,
lim f (g(x)) = f ( lim g(x))
x→a
x→a
2장 극한과 도함수
2.5 연성속
예제
π
π
lim sin πx +
= sin
=1
x→0
2
2
정리
만약 g가 a에서 연속이고 f 가 g(a)에서 연속이면 합성함수 f ◦ g는 a에서
연속이다.
I 연속함수의 합성함수는 연속이다.
2장 극한과 도함수
2.5 연성속
정리 (중간값 정리)
만약 g가 폐구간 [a, b]상에서 연속이고 N 이 f (a) 와 f (b)사이의 임의의 수라
하자. 이때 f (c) = N 을 만족하는 수 c가 (a, b)안에 존재한다.
예제
방정식 4x3 − 6x2 + 3x − 2 = 0의 근이 1과 2사이에 존재함을 보여라.
풀이
2장 극한과 도함수
2.7 미분계수와 변화율
정의
f (a + h) − f (a)
가 존재하면 이 극한을 a에서 함수 f 의 미분계수 또는
h→0
h
도함수라 하고,
f (x) − f (a) f (a + h) − f (a) = lim
f 0 (a) = lim
x→a
h→0
h
x−a
극한 lim
로 나타낸다.
주의
점 (a, f (a))에서 y = f (x)의 접선은 (a, f (a))를 지나고, a에서의 미분계수 f 0 (a)
를 기울기로 갖는 직선이다.
2장 극한과 도함수
2.7 미분계수와 변화율
예제
x = 2에서 f (x) = x3 의 도함수를 구하시오.
주의
도함수 f 0 (x1 )는 x = x1 일 때, y = f (x)의 x에 관한 순간변화율이다.
순간변화율 = lim
4x→0
f (x2 ) − f (x1 )
4y
= lim
x2 →x1
4x
x2 − x1
I 속도, 반응률(화학), 한계생산성(경제학)
2장 극한과 도함수
2.8 함수로서의 도함수
정의
f (x + h) − f (x)
가 존재하는 x가 주어지면 이 주어진 x에 대해 수
h→0
h
f 0 (x)를 지정한다. 따라서 f 0 을 f 의 도함수라 부르는 새로운 함수로 생각할 수
있다. f 0 의 정의역은 {x|f 0 (x) 가 존재한다. }이고, f 의 정의역보다 더 작을 수
있다.
극한값 lim
다른기호
f 0 (x) = y 0 =
dy
df
d
=
=
f (x) = Df (x) = Dx f (x)
dx
dx
dx
d
기호 D와 dx
는 미분법의 연산을 나타내므로, 미분연산자라 부른다. 여기서
미분법은 도함수를 계산하는 과정을 의미하는데, 간단히 미분한다고 말하기도
한다.
dy
dy i
f 0 (a) =
=
dx x=a
dx x=a
2장 극한과 도함수
2.8 함수로서의 도함수
정의
f 0 (c)가 존재하면 함수 f 는 c에서 미분가능하다고 말한다. 이 함수가 개구간
(a, b) [또는 (a, ∞), (−∞, b) ,(−∞, ∞)]안의 모든 점에서 미분가능하면, 함수 f
는 그 구간에서 미분가능하다고 한다.
정리
f 가 a에서 미분가능하면 f 는 a에서 연속이다.
증명
주의
위 정리의 역은 성립하지 않는다.
예제
f (x) = |x|
2장 극한과 도함수
2.8 함수로서의 도함수
미분가능하지 않은 경우
고계도함수
일반적으로 n계 도함수는 f (n) 으로 나타내고, 이것은 y = f (x)를 n번
미분함으로써 얻어진다. y = f (x) 일 때 n계 도함수를 다음과 같이 표시한다 :
y
(n)
=f
(n)
dn y
(x) =
= Dn f (x)
n
dx