Chapitre 2 :Estimation Estimation ponctuelle 3/59 Motivation Le directeur du personnel du groupe ALSA a été chargé de développer le profil de 2500 responsables de sociétés appartenant au groupe ALSA. Les caractéristiques (paramètres) à étudier sont J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 3/59 Motivation Le directeur du personnel du groupe ALSA a été chargé de développer le profil de 2500 responsables de sociétés appartenant au groupe ALSA. Les caractéristiques (paramètres) à étudier sont ❂ le salaire moyen annuel et sa dispersion ❂ la participation au programme de formation en gestion mis en place par la société. J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 3/59 Motivation Le directeur du personnel du groupe ALSA a été chargé de développer le profil de 2500 responsables de sociétés appartenant au groupe ALSA. Les caractéristiques (paramètres) à étudier sont ❂ le salaire moyen annuel et sa dispersion ❂ la participation au programme de formation en gestion mis en place par la société. On a donc trois paramètres à calculer ❂ la moyenne µ ❂ l’écart type σ du salaire annuel pour la population ❂ la proportion p de la population ayant suivi la formation J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 4/59 Motivation ✌ Le recensement. On doit interroger 2500 personnes. Le coût de la collecte est très élevé, il nécessite un entretien avec chaque responsable. J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 4/59 Motivation ✌ Le recensement. On doit interroger 2500 personnes. Le coût de la collecte est très élevé, il nécessite un entretien avec chaque responsable. ❂ On estime les trois paramètres à partir d’un échantillon de taille n << 2500. J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 5/59 Motivation ❂ Le problème de l’estimation est l’impossibilité de connaı̂tre exactement la valeur d’un paramètre inconnu noté θ d’une population (cela peut être sa moyenne µ, son écart-type σ, une proportion p). J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 5/59 Motivation ❂ Le problème de l’estimation est l’impossibilité de connaı̂tre exactement la valeur d’un paramètre inconnu noté θ d’une population (cela peut être sa moyenne µ, son écart-type σ, une proportion p). ❂ L’estimation consiste à donner des valeurs approximatives aux paramètres d’une population à l’aide d’un échantillon de n observations issues de cette population. J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 6/59 Objectif ☞ Soit un caractère X (une variable aléatoire) d’une population quelconque, dont la loi de probabilité PXθ dépend d’un paramètre inconnu θ ∈ Θ avec Θ ⊂ Rd . J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 6/59 Objectif ☞ Soit un caractère X (une variable aléatoire) d’une population quelconque, dont la loi de probabilité PXθ dépend d’un paramètre inconnu θ ∈ Θ avec Θ ⊂ Rd . ☞ On considère un n-échantillon aléatoire X = (X1 , ..., Xn ) issu de la variable aléatoire X J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 6/59 Objectif ☞ Soit un caractère X (une variable aléatoire) d’une population quelconque, dont la loi de probabilité PXθ dépend d’un paramètre inconnu θ ∈ Θ avec Θ ⊂ Rd . ☞ On considère un n-échantillon aléatoire X = (X1 , ..., Xn ) issu de la variable aléatoire X ( i.e. une suite de variable aléatoires X1 , X2 , ..., Xn indépendantes et de même loi que X ) Comment pouvons-nous estimer θ à partir d’un n-échantillon aléatoire X ? J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 7/59 ☞ On définit une fonction f telle que : ( fθ (x) si X est une v.a. continue de densité fθ f (x, θ) = Pθ (X = x) si X est une v.a. discrète J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 8/59 Exemple On fait l’hypothèse que la taille (en cm) des 4000 étudiants masculins d’une école de génie est une variable aléatoire X distribuée normalement d’écart-type 3, c’est-à-dire que X ∼ N (µ, 9). Dans ce cas θ = µ et Θ = R 1 (x − θ)2 f (x, θ) = √ exp − 18 3 2π J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 8/59 Exemple On fait l’hypothèse que la taille (en cm) des 4000 étudiants masculins d’une école de génie est une variable aléatoire X distribuée normalement d’écart-type 3, c’est-à-dire que X ∼ N (µ, 9). Dans ce cas θ = µ et Θ = R 1 (x − θ)2 f (x, θ) = √ exp − 18 3 2π ☞ Si l’écart-type est inconnu c’est-à-dire que X ∼ N (µ, σ 2 ). Dans ce cas θ = (µ, σ 2 ) et Θ = R × R+∗ J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 9/59 ESTIMATION PONCTULLE D’UN PARAMETRE Estimateur (Ponctuel) de θ : variable aléatoire, souvent notée θ̂n , qui dépend uniquement du n-échantillon X J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 9/59 ESTIMATION PONCTULLE D’UN PARAMETRE Estimateur (Ponctuel) de θ : variable aléatoire, souvent notée θ̂n , qui dépend uniquement du n-échantillon X Estimation de θ : réalisation de θ̂n ; il s’agit d’un nombre réel. J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 9/59 ESTIMATION PONCTULLE D’UN PARAMETRE Estimateur (Ponctuel) de θ : variable aléatoire, souvent notée θ̂n , qui dépend uniquement du n-échantillon X Estimation de θ : réalisation de θ̂n ; il s’agit d’un nombre réel. Exemple pour estimer l’espérance µ = E[X ] de la loi deP X , un estimateur 1 naturel est la moyenne échantillonnale X̄ = n ni=1 Xi . On peut utiliser aussi : J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 9/59 ESTIMATION PONCTULLE D’UN PARAMETRE Estimateur (Ponctuel) de θ : variable aléatoire, souvent notée θ̂n , qui dépend uniquement du n-échantillon X Estimation de θ : réalisation de θ̂n ; il s’agit d’un nombre réel. Exemple pour estimer l’espérance µ = E[X ] de la loi deP X , un estimateur 1 naturel est la moyenne échantillonnale X̄ = n ni=1 Xi . On peut utiliser aussi : 2. X1 3. inf 1≤i≤n Xi J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 10/59 Statistique Exhaustive J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 10/59 Statistique Exhaustive ❂ Pour faire l’inférence statistique, on travail en général sur une statistique T (X ) J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 10/59 Statistique Exhaustive ❂ Pour faire l’inférence statistique, on travail en général sur une statistique T (X ) ❂ Comment savoir si la réduction des données opérée par la statistique T (X ) ne conduit pas à une perte d’information ? J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 10/59 Statistique Exhaustive ❂ Pour faire l’inférence statistique, on travail en général sur une statistique T (X ) ❂ Comment savoir si la réduction des données opérée par la statistique T (X ) ne conduit pas à une perte d’information ? ❂ Une statistique contient l’ensemble de l’information sur les paramètres de la population dite exhaustive J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 11/59 Statistique Exhaustive Définition Une statistique T (X ) sera dite exhaustive pour θ si la probabilité d’observer X sachant T (X ) n’est pas une fonction du paramètre θ (i.e. independante de θ) J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 12/59 Statistique Exhaustive Exemple Supposons que X1 , ..., Xn soient des variables indépendantes de loi Bernoulli de parmètre p, B(p). Soit la statistique T (X ) = X1 + X2 + ... + Xn J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 12/59 Statistique Exhaustive Exemple Supposons que X1 , ..., Xn soient des variables indépendantes de loi Bernoulli de parmètre p, B(p). Soit la statistique T (X ) = X1 + X2 + ... + Xn ❂ T (X ) est le nombre de succès observés sur n essais de Bernoulli, la probabilité de succès d’un essai étant p. J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 12/59 Statistique Exhaustive Exemple Supposons que X1 , ..., Xn soient des variables indépendantes de loi Bernoulli de parmètre p, B(p). Soit la statistique T (X ) = X1 + X2 + ... + Xn ❂ T (X ) est le nombre de succès observés sur n essais de Bernoulli, la probabilité de succès d’un essai étant p. ❂ On va calculer P (X1 = x1 , ..., Xn = xn |T (X ) = t) ❂ Si t ̸= x1 + x2 + ... + xn alors sa probabilité conditionnelle est 0. J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 13/59 Statistique Exhaustive Supposons que t = x1 + x2 + ... + xn . On a P (X1 = x1 , ..., Xn = xn , T (X ) = t) P (T (X ) = t) P (X1 = x1 , ..., Xn = xn ) = P (T (X ) = t) t p (1 − p)n−t = Cnt p t (1 − p)n−t 1 = Cnt P (X1 = x1 , ..., Xn = xn |T (X ) = t) = J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 14/59 Statistique Exhaustive ❂ Dans la plus part des lois, il est difficile d’utiliser directement la définition pour montrer qu’une statistique est exhaustive. J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 14/59 Statistique Exhaustive ❂ Dans la plus part des lois, il est difficile d’utiliser directement la définition pour montrer qu’une statistique est exhaustive. ❂ Il existe un critère simple qui donne une condition nécessaire et suffisante pour que T (X ) soit une statistique exhaustive quand la loi de X admet une densité. J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 15/59 Statistique Exhaustive Critère de factorisation Supposons que X admet une densité jointe f (x, θ) pour θ ∈ Θ. Alors T (X ) est une statistique exhaustive pour θ si et seulement s’il existe deux fonctions mesurables g et h telles que f (x, θ) = h(x)g (T (x), θ) où x = (x1 , ..., xn ) J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 16/59 Statistique Exhaustive Exemple Soit X ∼ Poisson(λ). La loi jointe pour l’échantillon X = (X1 , ..., Xn ) est donnée par : n Y λxi −λ pX (x1 , ..., xn ; λ) = e xi ! i=1 J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 16/59 Statistique Exhaustive Exemple Soit X ∼ Poisson(λ). La loi jointe pour l’échantillon X = (X1 , ..., Xn ) est donnée par : n Y λxi −λ pX (x1 , ..., xn ; λ) = e xi ! i=1 Pn = λ i=1 xi e −nλ Qn 1 i=1 xi ! A partir de ce résultat, et d’après le théorème de factorisation, on a n X T (X ) = Xi i=1 est une statistique exhaustive pour λ. J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 17/59 Statistique Exhaustive Exemple Soit X ∼ E(β) (loi exponentielle). La loi jointe pour l’échantillon X = (X1 , ..., Xn ) est donnée par : J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 17/59 Statistique Exhaustive Exemple Soit X ∼ E(β) (loi exponentielle). La loi jointe pour l’échantillon X = (X1 , ..., Xn ) est donnée par : fX (x1 , ..., xn ; β) = n Y βe −βxi i=1 J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 17/59 Statistique Exhaustive Exemple Soit X ∼ E(β) (loi exponentielle). La loi jointe pour l’échantillon X = (X1 , ..., Xn ) est donnée par : fX (x1 , ..., xn ; β) = n Y βe −βxi i=1 Pn n −β i=1 xi = β e J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 17/59 Statistique Exhaustive Exemple Soit X ∼ E(β) (loi exponentielle). La loi jointe pour l’échantillon X = (X1 , ..., Xn ) est donnée par : fX (x1 , ..., xn ; β) = n Y βe −βxi i=1 Pn n −β i=1 xi = β e A partir de ce résultat, et d’après le théorème de factorisation, on a T (X ) = n X Xi i=1 est une statistique exhaustive pour β. Ici h(x) = 1 J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 18/59 Statistique Exhaustive Exemple Soit X ∼ U[0, θ], θ > 0 . La loi jointe pour l’échantillon X = (X1 , ..., Xn ) est donnée par : J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 18/59 Statistique Exhaustive Exemple Soit X ∼ U[0, θ], θ > 0 . La loi jointe pour l’échantillon X = (X1 , ..., Xn ) est donnée par : fX (x1 , ..., xn ; θ) = J MOUSTAAID [INSEA] 1 10≤inf 1≤i≤n (xi ) × 1sup1≤i≤n (xi )≤θ θn 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 18/59 Statistique Exhaustive Exemple Soit X ∼ U[0, θ], θ > 0 . La loi jointe pour l’échantillon X = (X1 , ..., Xn ) est donnée par : fX (x1 , ..., xn ; θ) = 1 10≤inf 1≤i≤n (xi ) × 1sup1≤i≤n (xi )≤θ θn A partir de ce résultat, et d’après le théorème de factorisation, (avec h(x) = 10≤inf 1≤i≤n (xi ) ) on a T (X ) = sup (Xi ) 1≤i≤n est une statistique exhaustive pour θ. J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 19/59 Statistique Exhaustive Exemple Soit X ∼ N (µ, λ) (µ l’espérence mathématique et λ la variance ) . J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 19/59 Statistique Exhaustive Exemple Soit X ∼ N (µ, λ) (µ l’espérence mathématique et λ la variance ) . ! n n X X 1 1 T (X ) = Xi ; Xi2 n n i=1 i=1 est une statistique exhaustive pour θ = (µ, λ). J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 20/59 familles exponentielles J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 20/59 familles exponentielles La plupart des lois usuelles font partie de ce qu’on appelle la famille exponentielle. J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 20/59 familles exponentielles La plupart des lois usuelles font partie de ce qu’on appelle la famille exponentielle. Définition Une loi de probabilité Pθ , θ ∈ Θ ⊂ Rd de densité f (x, θ) est dite appartenir à une famille exponentielle s’il existe des fonctions θ −→ αj (θ), θ −→ β(θ), x −→ Tj (x) et x −→ h(x) avec h > 0, telles que f (x, θ) = β(θ)h(x) exp d X αj (θ)Tj (x) j=1 J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 21/59 familles exponentielles Loi Normale Ici d = 2 (t − µ)2 2 f (t, θ = (µ, σ )) = √ exp − 2σ 2 2πσ 2 1 J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 21/59 familles exponentielles Loi Normale Ici d = 2 2 (t − µ) f (t, θ = (µ, σ 2 )) = √ exp − 2σ 2 2πσ 2 1 µ2 t2 µ = √ exp − 2 exp − 2 + 2 t 2σ 2σ σ 2πσ 2 1 J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 21/59 familles exponentielles Loi Normale Ici d = 2 2 (t − µ) f (t, θ = (µ, σ 2 )) = √ exp − 2σ 2 2πσ 2 1 µ2 t2 µ = √ exp − 2 exp − 2 + 2 t 2σ 2σ σ 2πσ 2 On pose 1 µ2 β(θ) = √ exp − 2 2σ 2πσ 2 1 µ h(t) = 1, α1 (θ) = − 2 , α2 (θ) = 2 2σ σ 2 T1 (t) = t , T2 (t) = t 1 J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 22/59 familles exponentielles Loi Exponentielle Ici d = 1 f (t, λ) = λe −λt J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 22/59 familles exponentielles Loi Exponentielle Ici d = 1 f (t, λ) = λe −λt On pose β(λ) = λ h(t) = 1, α1 (λ) = −λ T1 (t) = t J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 23/59 familles exponentielles Loi de Bernoulli de paramètre p Ici d = 1 p(x, p) = p x (1 − p)1−x J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 23/59 familles exponentielles Loi de Bernoulli de paramètre p Ici d = 1 p(x, p) = = = = = p x (1 − p)1−x e x ln p+(1−x) ln(1−p) e x(ln p−ln(1−p))+ln(1−p)) p e x ln 1−p +ln(1−p) p (1 − p)e x ln 1−p On pose β(λ) = 1 − p, T1 (t) = t p h(t) = 1, α1 (p) = ln 1−p J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 24/59 familles exponentielles ❂ La famille exponentielle est dite en forme canonique (ou naturelle) lorsque (α1 (θ), ..., αd (θ)) = θ J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 24/59 familles exponentielles ❂ La famille exponentielle est dite en forme canonique (ou naturelle) lorsque (α1 (θ), ..., αd (θ)) = θ ❂ Il est toujours possible de convertir une famille exponentielle en forme canonique, on pose λ = (α1 (θ), ..., αd (θ)) et on écrit d X f (x, λ) = β(θ)h(x) exp λj Tj (x) j=1 J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 24/59 familles exponentielles ❂ La famille exponentielle est dite en forme canonique (ou naturelle) lorsque (α1 (θ), ..., αd (θ)) = θ ❂ Il est toujours possible de convertir une famille exponentielle en forme canonique, on pose λ = (α1 (θ), ..., αd (θ)) et on écrit d X f (x, λ) = β(θ)h(x) exp λj Tj (x) j=1 ❂ Les paramètres λj s’appellent les paramètres naturels de la famille exponentielle. J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 25/59 familles exponentielles Loi Normale la paramétrisation naturelle de la loi normale de moyenne µ et de variance σ est donnée par 1 µ2 t2 µ f (t, θ1 , θ2 ) = √ exp − 2 exp − 2 + 2 t 2σ 2σ σ 2πσ 2 J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 25/59 familles exponentielles Loi Normale la paramétrisation naturelle de la loi normale de moyenne µ et de variance σ est donnée par 1 µ2 t2 µ f (t, θ1 , θ2 ) = √ exp − 2 exp − 2 + 2 t 2σ 2σ σ 2πσ 2 1 p θ22 = √ −θ1 exp − exp θ1 t 2 + θ2 t 4θ1 π avec θ1 = − J MOUSTAAID [INSEA] 1 µ , θ = 2 2σ 2 σ2 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 26/59 Statistique Exhaustive et familles exponentielles J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 26/59 Statistique Exhaustive et familles exponentielles Soit X une variable aléatoire de densité f (x; θ) , θ ∈ Θ ⊂ Rd , appartenant à la famille exponentielle. On a fX (x, θ) = n Y f (xi , θ), x = (x1 , ..., xn ) i=1 = n Y i=1 J MOUSTAAID [INSEA] β(θ)h(xi ) exp d X ! αj (θ)Tj (xi ) j=1 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 26/59 Statistique Exhaustive et familles exponentielles Soit X une variable aléatoire de densité f (x; θ) , θ ∈ Θ ⊂ Rd , appartenant à la famille exponentielle. On a fX (x, θ) = n Y f (xi , θ), x = (x1 , ..., xn ) i=1 = n Y β(θ)h(xi ) exp i=1 = n Y d X = i=1 J MOUSTAAID [INSEA] αj (θ)Tj (xi ) j=1 ! h(xi ) β n (θ) exp i=1 n Y ! n d X X i=1 ! h(xi ) β n (θ) exp d X !! αj (θ)Tj (xi ) j=1 αj (θ) j=1 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB n X !! Tj (xi ) i=1 2022/2023 Estimation ponctuelle 27/59 Statistique Exhaustive et familles exponentielles Ainsi, d’après le critère de factorisation n X i=1 T1 (Xi ), ..., n X ! Td (Xi ) i=1 est une statistique exhaustive pour θ J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 28/59 Statistique Exhaustive et familles exponentielles Exemple: Loi Exponentielle J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 29/59 Qualités d’un estimateur(Cas univarié) J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 29/59 Qualités d’un estimateur(Cas univarié) Estimateur sans biais Soit θ̂n un estimateur de θ. ❂ L’erreur d’estimation est mesurée par la quantité θ̂n − θ. ❂ la quantité θ̂n − E[θ̂n ] représente les fluctuations de l’estimateur θ̂n autour de sa valeur moyenne J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 29/59 Qualités d’un estimateur(Cas univarié) Estimateur sans biais Soit θ̂n un estimateur de θ. ❂ L’erreur d’estimation est mesurée par la quantité θ̂n − θ. ❂ la quantité θ̂n − E[θ̂n ] représente les fluctuations de l’estimateur θ̂n autour de sa valeur moyenne ❂ La quantité E[θ̂n ] − θ est le biais de l’estimateur J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 29/59 Qualités d’un estimateur(Cas univarié) Estimateur sans biais Soit θ̂n un estimateur de θ. ❂ L’erreur d’estimation est mesurée par la quantité θ̂n − θ. ❂ la quantité θ̂n − E[θ̂n ] représente les fluctuations de l’estimateur θ̂n autour de sa valeur moyenne ❂ La quantité E[θ̂n ] − θ est le biais de l’estimateur ❂ Un estimateur est sans biais si E[θ̂n ] − θ = 0 ❂ Un estimateur est biaisé si E[θ̂n ] − θ ̸= 0 J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 29/59 Qualités d’un estimateur(Cas univarié) Estimateur sans biais Soit θ̂n un estimateur de θ. ❂ L’erreur d’estimation est mesurée par la quantité θ̂n − θ. ❂ la quantité θ̂n − E[θ̂n ] représente les fluctuations de l’estimateur θ̂n autour de sa valeur moyenne ❂ La quantité E[θ̂n ] − θ est le biais de l’estimateur ❂ Un estimateur est sans biais si E[θ̂n ] − θ = 0 ❂ Un estimateur est biaisé si E[θ̂n ] − θ ̸= 0 ❂ Un estimateur est asymptotiquement sans biais si E[θ̂n ] −→ θ , quand la taille n de l’échantillon tend vers l’infini. J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 30/59 Qualités d’un estimateur(Cas univarié) Example On pose θ̂n = X̄ = 1 n Pn i=1 Xi . ❂ θ̂n est un estimateur sans biais pour l’espérance mathématique µ = E[X ]. En effet : J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 30/59 Qualités d’un estimateur(Cas univarié) Example On pose θ̂n = X̄ = 1 n Pn i=1 Xi . ❂ θ̂n est un estimateur sans biais pour l’espérance mathématique µ = E[X ]. En effet : On a X = (X1 , ..., Xn ) est un n-échantillon aléatoire issu de la variable aléatoire X . donc E[X ] = E[Xj ], Ainsi j = 1, ..., n n 1X E[θ̂n ] = E[Xi ] = µ n i=1 d’où J MOUSTAAID [INSEA] E[θ̂n ] − µ = 0 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 31/59 Qualités d’un estimateur(Cas univarié) Example P S 2 = n1 ni=1 (Xi − X̄ )2 est un estimateur biaisé pour la variance σ 2 = Var [X ]. En effet : On a J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 31/59 Qualités d’un estimateur(Cas univarié) Example P S 2 = n1 ni=1 (Xi − X̄ )2 est un estimateur biaisé pour la variance σ 2 = Var [X ]. En effet : On a On sait que : n−1 2 σ n n ❂ par contre la statistique Sc2 = S 2 est un estimateur sans n−1 biais pour la variance E[S 2 ] = J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 32/59 Qualités d’un estimateur(Cas univarié) Estimateur convergent ( consistant) Un estimateur θ̂n de θ est convergent si pour tout ϵ > 0 i h P θ̂n − θ ≥ ϵ −→ 0 n −→ ∞ i.e. J MOUSTAAID [INSEA] h i P θ̂n − θ ≤ ϵ −→ 1 n −→ ∞ 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 32/59 Qualités d’un estimateur(Cas univarié) Estimateur convergent ( consistant) Un estimateur θ̂n de θ est convergent si pour tout ϵ > 0 i h P θ̂n − θ ≥ ϵ −→ 0 n −→ ∞ i.e. h i P θ̂n − θ ≤ ϵ −→ 1 n −→ ∞ théorème Si E[θ̂n ] −→ θ et Var [θ̂n ] −→ 0, lorsque n −→ ∞, alors θ̂n est convergent J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 33/59 Qualités d’un estimateur(Cas univarié) pour simplifier on pose T = θ̂n J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 34/59 Qualités d’un estimateur(Cas univarié) La moyenne empirique X̄ est un estimateur consistant et sans biais de l’espérance. J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 35/59 Qualités d’un estimateur(Cas univarié) Précision d’un estimateur La qualité d’un estimateur θ̂n de θ se mesure également par l’erreur moyenne (ou risque quadratique) définie quadratique 2 par E θ̂n − θ J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 35/59 Qualités d’un estimateur(Cas univarié) Précision d’un estimateur La qualité d’un estimateur θ̂n de θ se mesure également par l’erreur moyenne (ou risque quadratique) définie quadratique 2 par E θ̂n − θ théorème Soit θ̂n un estimateur du paramètre θ à étudier. On a : 2 2 E θ̂n − θ = Var [θ̂n ] + E[θ̂n ] − θ J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 36/59 Qualités d’un estimateur(Cas univarié) Précision d’un estimateur Remarque Entre deux estimateurs sans biais, le “meilleur” sera celui dont la variance est minimale (on parle d’efficacité). J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 36/59 Qualités d’un estimateur(Cas univarié) Précision d’un estimateur Remarque Entre deux estimateurs sans biais, le “meilleur” sera celui dont la variance est minimale (on parle d’efficacité). Exemple Soit X ∼ N (µ, σ 2 ). X1 et X̄ sans des estimateur sans biais de µ de 2 risques quadratiques respectifs σ 2 et σn si bien que X̄ est préférable à X1 J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 37/59 Application 1 Soient T1 et T2 deux estimateurs différents du meme paramètre θ. On suppose que : E(T1 ) = θ + b1 et E(T2 ) = θ + b2 (b1 et b2 sont deux valeurs numériques connues). Soit T = αT1 + βT2 . Déterminer α et β pour que T soit un estimateur sans biais de θ: 1. Lorsque b1 ̸= b2 2. Lorsque b1 = b2 J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 38/59 Application 2 Soient les variables aléatoires Xi , (i = 1; 2) i.i.d de moyenne m et de variance σ 2 . Lequel des deux estimateurs de m non biaisés choisirez-vous: X1 + X2 2 avec a, b ∈ R et a + b ̸= 0 X̄1 = J MOUSTAAID [INSEA] X̄2 = aX1 + bX2 a+b 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 39/59 ESTIMATION PONCTULLE D’UN PARAMETRE Vraisemblance ❂ On appelle fonction de vraisemblance de θ pour une réalisation (x1 , ..., xn ) d’un échantillon X , la fonction de θ Ln (x1 , x2 , ..., xn , θ) = n Y f (xi , θ) i= J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 39/59 ESTIMATION PONCTULLE D’UN PARAMETRE Vraisemblance ❂ On appelle fonction de vraisemblance de θ pour une réalisation (x1 , ..., xn ) d’un échantillon X , la fonction de θ Ln (x1 , x2 , ..., xn , θ) = n Y f (xi , θ) i= ❂ On appelle fonction de log-vraisemblance la fonction définie par ℓn (x1 , x2 , ..., xn , θ) = ln Ln (x1 , x2 , ..., xn , θ) Elle n’a de sens que si θ vérifie Ln (x1 , x2 , ..., xn , θ) > 0 J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 40/59 ESTIMATION PONCTULLE D’UN PARAMETRE Exemple : Loi exponentielle Supposons que X suit une loi exponentielle de paramètre λ inconnu, X ∼ E(λ). Das ce cas f (x, λ) = λe −λx 1R+ (x) J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 40/59 ESTIMATION PONCTULLE D’UN PARAMETRE Exemple : Loi exponentielle Supposons que X suit une loi exponentielle de paramètre λ inconnu, X ∼ E(λ). Das ce cas f (x, λ) = λe −λx 1R+ (x) Ainsi Ln (x1 , x2 , ..., xn , λ) = n Y i= J MOUSTAAID [INSEA] f (xi , θ) = n Y λe −λx = λn e −λ Pn i=1 xi i= 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 41/59 ESTIMATION PONCTULLE D’UN PARAMETRE Méthodes d’estimation J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 41/59 ESTIMATION PONCTULLE D’UN PARAMETRE Méthodes d’estimation ❂ la méthode du maximum de vraisemblance ❂ la méthode des moments J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 42/59 la méthode du maximum de vraisemblance ❂ Supposons que X1 , X2 , ..., Xn sont des variables aléatoires discrètes, Dans ce cas L(x1 , x2 , ..., xn , θ) = P(X1 = x1 , X2 = x2 , ..., Xn = xn ; θ) ❂ C’est la probabilité que l’on observe les réalisations x1 , ..., xn quand la vraie valeur du paramètre est θ. J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 42/59 la méthode du maximum de vraisemblance ❂ Supposons que X1 , X2 , ..., Xn sont des variables aléatoires discrètes, Dans ce cas L(x1 , x2 , ..., xn , θ) = P(X1 = x1 , X2 = x2 , ..., Xn = xn ; θ) ❂ C’est la probabilité que l’on observe les réalisations x1 , ..., xn quand la vraie valeur du paramètre est θ. ❂ Il est logique de dire qu’une valeur vraisemblable pour θ est la valeur pour laquelle la probabilité d’observer x1 , ..., xn est la plus forte possible J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 43/59 la méthode du maximum de vraisemblance méthode du maximum de vraisemblance ❂ La méthode consistant à estimer θ par la valeur qui maximise Ln (vraisemblance) s’appelle méthode du maximum de vraisemblance. ❂ On appelle estimateur du maximum de vraisemblance (emv) de θ la statistique θ̂nemv qui maximise la fonction de vraisemblance L(X1 , X2 , ..., Xn , θ) en θ. J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 43/59 la méthode du maximum de vraisemblance méthode du maximum de vraisemblance ❂ La méthode consistant à estimer θ par la valeur qui maximise Ln (vraisemblance) s’appelle méthode du maximum de vraisemblance. ❂ On appelle estimateur du maximum de vraisemblance (emv) de θ la statistique θ̂nemv qui maximise la fonction de vraisemblance L(X1 , X2 , ..., Xn , θ) en θ. ☞ Une expression alternative est : θ̂nemv ∈ arg max Ln (X1 , X2 , ..., Xn , θ) θ où arg max désigne l’argument du maximum qui est l’ensemble des points en lesquels une expression atteint sa valeur maximale J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 44/59 la méthode du maximum de vraisemblance Notes ❂ L’EMV n’existe pas toujours. ❂ Un estimateur de maximum de vraisemblance n’est pas forcément unique J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 45/59 la méthode du maximum de vraisemblance Notes ❂ Si Ln est dérivable et si Ln admet un maximum global en une valeur, alors la dérivée première s’annule en et que la dérivée seconde est négative. J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 45/59 la méthode du maximum de vraisemblance Notes ❂ Si Ln est dérivable et si Ln admet un maximum global en une valeur, alors la dérivée première s’annule en et que la dérivée seconde est négative. ❂ La vraisemblance étant positive et le logarithme népérien une fonction croissante, il est équivalent et souvent plus simple de maximiser le logarithme népérien de la vraisemblance J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 46/59 la méthode du maximum de vraisemblance Cas univarié : en pratique et si Ln est de classe C 2 : ❂ une condition nécessaire que doit vérifier θ̂nemv : ∂Ln (x1 , x2 , ..., xn ; θ) ∂θ J MOUSTAAID [INSEA] = 0 ou θ=θ̂nemv ∂ ln Ln (x1 , x2 , ..., xn ; θ) ∂θ 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB =0 θ=θ̂nemv 2022/2023 Estimation ponctuelle 46/59 la méthode du maximum de vraisemblance Cas univarié : en pratique et si Ln est de classe C 2 : ❂ une condition nécessaire que doit vérifier θ̂nemv : ∂Ln (x1 , x2 , ..., xn ; θ) ∂θ = 0 ou θ=θ̂nemv ∂ ln Ln (x1 , x2 , ..., xn ; θ) ∂θ =0 θ=θ̂nemv ❂ vérifier que θ̂nemv est bien un maximum : ∂ 2 L(x1 , x2 , ..., xn ; θ) ∂θ2 J MOUSTAAID [INSEA] < 0 ou θ=θ̂nemv ∂ 2 ln Ln (x1 , x2 , ..., xn ; θ) ∂θ2 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB <0 θ=θ̂nemv 2022/2023 Estimation ponctuelle 47/59 la méthode du maximum de vraisemblance Exemple On souhaite estimer le paramètre λ d’une loi de Poisson à partir d’un n-échantillon. On a f (x, θ) = P(X = x) = J MOUSTAAID [INSEA] λx −λ e x! 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 48/59 la méthode du maximum de vraisemblance Cas à plusieurs paramètres θ = (θ1 , θ2 , ..., θd ) : ❂ une condition nécessaire que doit vérifier θ̂nemv : ∂Ln (x1 , x2 , ..., xn ; θ) ∂θj ou J MOUSTAAID [INSEA] ∂ ln Ln (x1 , x2 , ..., xn ; θ) ∂θj =0 θ=θ̂nemv = 0; j = 1, ..., d θ=θ̂nemv 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 48/59 la méthode du maximum de vraisemblance Cas à plusieurs paramètres θ = (θ1 , θ2 , ..., θd ) : ❂ une condition nécessaire que doit vérifier θ̂nemv : ∂Ln (x1 , x2 , ..., xn ; θ) ∂θj ou J MOUSTAAID [INSEA] ∂ ln Ln (x1 , x2 , ..., xn ; θ) ∂θj =0 θ=θ̂nemv = 0; j = 1, ..., d θ=θ̂nemv 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 49/59 la méthode du maximum de vraisemblance ❂ vérifier que θ̂nemv est bien un maximum : la matrice hessienne des dérivées seconde 2 ∂ L(x1 , x2 , ..., xn ; θ) ∂θj ∂θk j,k=1,...,d emv θ=θ̂n ou ∂ 2 ln Ln (x1 , x2 , ..., xn ; θ) ∂θj ∂θk j,k=1,...,d θ=θ̂emv n doit être définie négative i.e. que toutes ses valeurs propres sont négatives (si d = 2, cela équivaut à dire que son déterminant est positif et sa trace est négatif) J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 50/59 la méthode du maximum de vraisemblance Exemple On souhaite estimer les paramètres µ et σ 2 d’une loi normale, N µ, σ 2 , à partir d’un n-échantillon aléatoire X . 2 1 (t − µ) f (t, µ, σ 2 ) = √ exp − 2σ 2 2πσ 2 J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 51/59 la méthode du maximum de vraisemblance Exemple(La vraisemblance n’est pas a priori dérivable en tout point θ) Soient X1 , X2 , ..., Xn ∼ U[0, θ]. Ln (X1 , ..., Xn ; θ) = n Y 1 i=1 θ 1[0,θ](Xi ) 1 10≤inf 1≤i≤n Xi ≤sup1≤i≤n Xi ≤θ θn 1 = n 10≤inf 1≤i≤n Xi × 1sup1≤i≤n Xi ≤θ θ = Ainsi θ̂nemv = sup Xi 1≤i≤n J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 52/59 la méthode du maximum de vraisemblance Exemple(L’emv n’est pas unique) Soient X1 , X2 , ..., Xn ∼ U[θ, θ + 1]. Dans cet exemple θ̂nemv compris entre J MOUSTAAID [INSEA] sup Xi − 1 compris entre 1≤i≤n 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB inf Xi 1≤i≤n 2022/2023 Estimation ponctuelle 53/59 la méthode des moments Définitions Soit Y une variable aléatoire, c ∈ R et k un entier naturel. ❂ On appelle moment d’ordre k, noté mk , de Y l’espérance mathématique de Y k mk = E Y k J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 53/59 la méthode des moments Définitions Soit Y une variable aléatoire, c ∈ R et k un entier naturel. ❂ On appelle moment d’ordre k, noté mk , de Y l’espérance mathématique de Y k mk = E Y k ❂ On appelle moment d’ordre k par rapport à c, noté µk , de Y l’espérance mathématique de (Y − c)k J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 53/59 la méthode des moments Définitions Soit Y une variable aléatoire, c ∈ R et k un entier naturel. ❂ On appelle moment d’ordre k, noté mk , de Y l’espérance mathématique de Y k mk = E Y k ❂ On appelle moment d’ordre k par rapport à c, noté µk , de Y l’espérance mathématique de (Y − c)k ❂ si c = E [Y ] on parle de moment centré d’orde k. J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 54/59 la méthode des moments la méthode des moments consiste à égaler le k-ème moment k 1 Pn k empirique : X au k-ème moment théorique E Xi , qui n i=1 i dépend du paramètre inconnu θ. J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 54/59 la méthode des moments la méthode des moments consiste à égaler le k-ème moment k 1 Pn k empirique : X au k-ème moment théorique E Xi , qui n i=1 i dépend du paramètre inconnu θ. ☞ On considère autant d’équations de moments qu’il est nécessaire pour déterminer une estimation de θ J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 55/59 la méthode des moments L’estimateur obtenu par la méthode des moments, noté θ̂nmm de θ = (θ1 , θ2 , ..., θd ) est la solution du système (s’elle existe) suivant: n 1X E [Xi ] = Xi n i=1 n X 1 E Xi2 = Xi2 n i=1 . . n d 1X d E Xi = Xi n i=1 J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 56/59 la méthode des moments Exemple Supposons que X suit une loi exponentielle de paramètre λ inconnu, X ∼ E(λ). Das ce cas f (x, λ) = λe −λx 1R+ (x) Pour tout λ, on E[X1 ] = λ1 . L’estimateur obtenu par la méthode des moments est 1 1 θ̂nmm = P = 1 n X̄ i=1 Xi n J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 57/59 la méthode des moments Exemple On souhaite estimer (par la méthode des moments) les paramètres µ et λ d’une loi normale, N (µ, λ) , à partir d’un n-échantillon aléatoire X . On pose θ = (µ, λ) 1 (t − µ)2 f (t, µ, λ) = √ exp − 2λ 2πλ J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 57/59 la méthode des moments Exemple On souhaite estimer (par la méthode des moments) les paramètres µ et λ d’une loi normale, N (µ, λ) , à partir d’un n-échantillon aléatoire X . On pose θ = (µ, λ) 1 (t − µ)2 f (t, µ, λ) = √ exp − 2λ 2πλ On a E[X1 ] = µ et E[(X1 )2 ] = λ + µ2 L’estimateur obtenus par la méthode des moments vérifie n 1X 2 mm mm 2 mm Xi µ̂n = X̄n et (µ̂n ) + λ̂n = n i=1 J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 58/59 la méthode des moments Exemple c’est a dire θ̂nmm = J MOUSTAAID [INSEA] X̄n ; n 1X n ! (Xi − X̄n )2 i=1 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 59/59 la méthode des moments Exemple(L’estimateur par la méthode des moments n’existe pas) Soient X1 , X2 , ..., Xn ∼ U[−θ, θ], avec θ > 0. f (x1 ; θ) = J MOUSTAAID [INSEA] 1 1[−θ,θ] (x1 ) 2θ 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023 Estimation ponctuelle 59/59 la méthode des moments Exemple(L’estimateur par la méthode des moments n’existe pas) Soient X1 , X2 , ..., Xn ∼ U[−θ, θ], avec θ > 0. f (x1 ; θ) = 1 1[−θ,θ] (x1 ) 2θ Remarquons que E[X1 ] = 0. Danc l’équation X̄ = E[X1 ] = 0 n’a pas de solutions pour θ J MOUSTAAID [INSEA] 1ère année ESBD, AC, SROA & BSDB 2022/2023