Recall that
exp(iθ) = cos θ + i sin θ , exp(−iθ) = cos θ − i sin θ
cos θ =
exp(iθ) − exp(−iθ)
exp(iθ) + exp(−iθ)
, sin θ =
2
2i
Thus,
"
exp(iθ) + exp(−iθ)
cos θ cos ψ =
2
cos2 θ =
#"
#
exp(iψ) + exp(−iψ)
1
= [cos(θ + ψ) + cos(θ − ψ)]
2
2
1
exp(2iθ) + exp(−2iθ) + 2
= (1 + cos 2θ)
4
2
"
exp(2iθ) + exp(−2iθ) + 1
cos θ = cos θ cos θ =
2
3
#"
2
"
exp(iθ) − exp(−iθ)
sin θ sin ψ =
2i
sin2 θ = −
#"
#
exp(iψ) − exp(−iψ)
1
= [cos(θ − ψ) − cos(θ + ψ)]
2i
2
1
exp(2iθ) + exp(−2iθ) − 2
= (1 − cos 2θ)
4
2
"
exp(2iθ) + exp(−2iθ) − 2
sin θ = sin θ sin θ = −
4
3
2
"
exp(iθ) + exp(−iθ)
cos θ sin ψ =
2
sin θ cos ψ =
#
exp(iθ) + exp(−iθ)
1
= (3 cos θ + cos 3θ)
2
4
#"
#"
#
1
exp(iθ) − exp(−iθ)
= [3 sin(θ) − sin(3θ)]
2i
4
#
exp(iψ) − exp(−iψ)
1
= [sin(θ + ψ) − sin(θ − ψ)]
2i
2
1
[sin(θ + ψ) + sin(θ − ψ)]
2
cos(θ ± ψ) = cos θ cos ψ ∓ sin θ sin ψ
sin(θ ± ψ) = sin θ cos ψ ± cos θ sin ψ
sin θ cos ψ ± cos θ sin ψ
sin(θ ± ψ)
tan(θ ± ψ) =
=
=
cos(θ ± ψ)
cos θ cos ψ ∓ sin θ sin ψ
tan θ tan ψ =
sin θ sin ψ
cos(θ − ψ) − cos(θ + ψ)
=
cos θ cos ψ
cos(θ + ψ) + cos(θ − ψ)
1
sin θ cos ψ±cos θ sin ψ
cos θ cos ψ
cos θ cos ψ∓sin θ sin ψ
cos θ cos ψ
=
tan θ ± tan ψ
1 ∓ tan θ tan ψ