★ 공학수학 가르치는 화공엔지니어 ★ 14 강 2계 ODE – 비제차 상수계수 ODE - 미정계수법 ▪ 복습 : ▪ 비제차 2계 선형 ODE: ″ ′ ″ ′ ▪ 비제차 2계 상수계수 선형 ODE : ★ ″의 계수는 1로 맞춰주는 습관 ▪ 기본 알고리즘 1 단계 제차해 구하기 : ″ ′ 비제차해 구하기 : ″ ′ 2 단계 ① 비제차항 기반으로 의 “큰 틀” 잡기 ★(이때, 가 와 겹치는지 반드시 확인할 것!) ② ″ ′ 에 대입해서 의 계수를 구하기 3 단계 일반해 구하기: 4 단계 초기조건 대입을 통해서 특수해 구하기 ★ 해당 강의에서 소개된 미정계수법은 “비제차 상수계수 ODE”에서만 성립한다. 오일러코시 방정식에서는 규칙이 조금씩 다르다. (다음 강의 참고할 것) 1 ★ 공학수학 가르치는 화공엔지니어 ★ ▪ 의 큰 틀 (1) 기본규칙 : 를 기반으로 큰 틀을 잡을 것 큰 틀 cos cos sin sin 예시) (2) 큰 틀 cos cos sin sin cos sin 변형규칙 큰 틀 만약 비제차항 가 제차해인 또는 와 겹친다면 : ➜ 가 와 서로 겹치지 않게 의 큰 틀에 를 곱하여라 ★ 여기서 “겹친다”의 뜻은 W(론스키안)=0을 의미한다. (독립 OR 종속) ★ 에 를 곱해도 와 또 겹친다면 한 번 더 를 곱하여라. ★ 삼각함수의 경우 단 하나라도 겹친다면 의 큰 틀 모두 를 곱해라. ★ 변형규칙 적용을 까먹는 경우가 가장 많다. 항상 변형규칙 적용 여부를 확인하여라. 예시) cos cos 큰 틀 sin cos sin 2 ★ 공학수학 가르치는 화공엔지니어 ★ (3) (4) 합 규칙 만약 가 여러 항들의 합이라면 : ➜ 의 큰 틀 역시 해당 항들의 합으로 설정해라. 큰 틀 cos sin cos sin cos sin cos cos sin 곱 규칙: 만약 가 여러 항들의 곱이라면 ➜ 의 큰 틀 역시 해당 항들의 곱으로 설정해라. 큰 틀 cos cos sin sin cos sin cos cos sin 3 ★ 공학수학 가르치는 화공엔지니어 ★ 예제 1. ″ ′ [1단계] 구하기 [3단계] 일반해 구하기 ″ → cos sin ➜ cos sin [2단계] 구하기 [4단계] 특수해 구하기 → ′ sin cos ″ 에 대입 시 ➜ ➜ ➜ , ➜ ∴ cos sin ➜ 예제 2. ″ sin [1단계] 구하기 ″ → cos sin [2단계] 구하기 sin → cos sin (변형규칙) ′ cos sin sin cos ″ sin cos cos sin ″ sin에 대입 시 sin cos sin ➜ ➜ cos [3단계] 일반해 구하기 ∴ cos sin cos 4 ★ 공학수학 가르치는 화공엔지니어 ★ ″ ′ 예제 3. [1단계] 구하기 ″ ′ → [2단계] 구하기 → (변형규칙 + 합규칙) ′ ″ ″ ′ 에 대입 시 1 , , ➜ [3단계] 일반해 구하기 ∴ 5 ★ 공학수학 가르치는 화공엔지니어 ★ ″ ′ 예제 4. [1단계] 구하기 ″ ′ → [2단계] 구하기 → (변형규칙 + 곱규칙) ″ ′ ↓ 라면 ′ ′ 그리고 ″ ′ ″ ′ ″ ′ ″ ↓ , , ➜ [3단계] 일반해 구하기 ∴ 6 ★ 공학수학 가르치는 화공엔지니어 ★ ▪연습문제 296. ″ ′ 297. ″ ′ 298. ″ cos cos 299. ″ ′ cos cos 300. ″ ′ sin 301. ″ cos cos cos sin cos sin 302. ″ 303. ″ cos sin 304. 305. , ′ ″ ′ , ′ ″ ′ sin sin , ′ ″ ′ 306. , ′ sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin 307. ″ ′ 308. ″ ′ cos cos sin cos 7 ★ 공학수학 가르치는 화공엔지니어 ★ 307. ″ ′ 308. ″ , ′ cos sin 309. ″ ′ 310. ″ ′ 311. ″ sin sin cos , ′ 312. ″ ′ 313. ″ ′ 314. ″ ′ 315. ″ ′ 316. ″ ′ 317. ″ ′ 318. ″ ′ 319. ″ 8 ★ 공학수학 가르치는 화공엔지니어 ★ 320. ″ ′ cos sin cos sin cos sin 321. ″ ′ cos sin cos sin cos 322. ″ sin cos sin cos 323. ″ ′ 324. ″ ′ , ′ 325. ″ cosh , ′ cos sin 또는 sinh 326. ″ cos sin 327. ″ ′ cos sin 328. ″ ′ 329. ″ ′ cos sin 330. ″ ′ cos cos sin 331. ″ ′ 9 ★ 공학수학 가르치는 화공엔지니어 ★ cos sin cos sin 332. ″ cos 333. ″ cos , ′ cos sin sin 334. ″ cos cos sin cos 335. ″ sin cos cos sin sin 336. ″ cos sin 337. ″ ′ cos sin 338. ″ cos sin 339. ″ sin cos sin 340. ″ sin cos sin cos sin 341. ″ ′ 342. ″ ′ , ′ 10 ★ 공학수학 가르치는 화공엔지니어 ★ ▪ 선배들의 질문과 답변 (Q&A) [Q1] 변형규칙 적용가 가르치는 사람/교재마다 다릅니다. 아래 1번과 2번 중 무엇인가요? 1번: 의 기저와 의 틀이 겹친다. 2번: 의 기저와 가 겹친다. [A1] 서로 같은 의미입니다. 단지 저는 비제차항인 기반으로 를 잡는게 좀 더 논리적이라고 생각 할 뿐입니다. 비교대상은 제차해 (더 엄밀히는 과 )와 비제차항 입니다. 그런데 교과서에서 기술되어 있듯 “ 가 와 겹치면 에 를 곱해라”의 논리도 결론은 같습니다. 따라서 둘 다 맞고 결론도 같습니다. [Q2] 궁금한게 있는데 green 함수를 공부하면서 일반해에서 Yc + Yp와 Yh + Yp의 차이점을 잘 모 르겠습니다. Yc와 Yh의 차이점이 무엇인가요? 또한 c냐 h냐에 따라서 Yp를 구하면 값이 다른가요? [A2] 같은것을 다른 문자로 쓴 것 같습니다. 교재에 따라서 재차해를 로 쓰기도 하고 로 쓰기도 합 니다. complementary solution에서의 c 그리고 homogeneous solution 에서의 h입니다. 그리고 p는 particular solution to the non-homogeneous equation 에서의 p 입니다. [Q3] ″ ′ 에서 를 어떻게 잡아야 하나요? [A3] 이고 기본규칙 표에 없으므로 다음 강의의 매개변수법으로 푸시면 됩니다. 물론 ,매개변 수법으로 얻은 결론을 통해 에 대한 일반화된 규칙을 만들 수는 있지만 의 형태가 자주 등장하지 않기 때문에 그냥 매개변수법으로 푸는 것을 추천드립니다. 11 ★ 공학수학 가르치는 화공엔지니어 ★ [Q4] , , 에서 설정 시 가 아닌 인 이유가 무엇인가요? 왜 전체에 를 곱하는 것이 아닌 에만 를 곱하나요? [A4] 해당문제는 변형규칙과 합규칙이 동시에 적용되었습니다. 만약 로 보고 우변에 만 있다고 하면 변형규칙에 의해서 로 보는 것이 맞습니다. 우변에 만 있다고 하면 기본 규칙(변형규칙 적용되지 않음)에 의해서 입니다. 이제 합규칙에 적용해보겠습니다. 이므로 ➜ [Q5] cos sin이고 cos인 경우 왜 변형규칙이 적용되지 않나요? 저는 cos sin이라고 생각했는데 답지에서는 cos sin 로 설정했습니다. [A5] cos, sin이고 cos입니다. 은 의 기저들과 겹치지 않습니다. 기저들의 삼각함수 앞에 지수함수( )가 곱해져 있으므로 cos cos ≠ 입니다. [Q6] 에서 상수도 중복되면 안되나요? 예를들어 의 이 와 겹치는 경우에 대해서요. [A6] 네 맞습니다. 대표적인 예시로 ″ ′ 이 있습니다. 이고 이므로 가 아닌 로 잡으시는게 맞습니다. [Q7] ″ ′ 의 경우 를 어떻게 잡아야 하나요? [A7] 이고 입니다. 로 볼 것이고 각각의 에 대해서 를 구할 것입니다. 는 와 겹치므로 에 를 곱한 로 잡아줍니다. (변형규칙) → 인데 의 가 과 겹치므로 를 곱해주어서 로 보시면 됩니다. 12