연속확률분포
6
• 연속확률변수 = 어떤 구간(interval) 내의 숫자(실수) 중 하나의 값을 가지는 확률변수
– 예: 보험회사에 걸려오는 전화 ⇒ x = 두 전화 사이의 시간 ⇒ x는 0보다 큰 숫자 중 하나의
값을 가짐(0 ≤ x)
– 예: 용량이 12.1 온스인 병에 음료수를 채움 ⇒ x = 음료수의 무게 ⇒ x는 0과 12.1사이의
숫자 중 하나의 값을 가짐(0 ≤ x ≤ 12.1)
• 연속확률변수의 확률은 확률밀도함수(probability density function)에 의해 결정 ⇒ 확률함수
(probability function)와 같이 f (x)라는 함수로 표현
– 이산확률변수 ⇒ 확률함수 = 확률 ⇒ f (2)는 x가 2의 값을 가질 확률
– 연속확률변수 ⇒ 확률밀도함수 6= 확률 ⇒ f (2)는 x가 2의 값을 가질 확률이 아님
∗ x가 1과 5 사이의 값을 가질 확률 = P (1 ≤ x ≤ 5) = 1과 5 사이 f (x) 밑의 면적
확률 =
ˆ
5
f (x)dx
1
∗ x가 2라는 특정한 값을 가질 확률 = P (x = 2) = P (2 ≤ x ≤ 2) = 2와 2 사이 f (x) 밑의
´2
면적 = 2 f (x)dx = 0
• 확률밀도함수의 2가지 조건
(f (x)가 1보다 클 수 있음)
(1) 0 ≤ f (x)
ˆ ∞
f (x)dx = 1
(2)
(f (x)밑의 면적 = 1)
−∞
– 확률함수의 2가지 조건
(1) 0 ≤ f (x) ≤ 1
X
(2)
f (x) = 1
• 연속확률함수의 평균과 분산
E(x) = µ =
V ar(x) = σ 2 =
ˆ
∞
xf (x)
ˆ−∞
∞
−∞
(x − µ)2 f (x)
– 이산확률변수의 평균과 분산
E(x) = µ =
X
xf (x)
X
V ar(x) = σ 2 =
(x − µ)2 f (x)
6.1
(연속)균일확률분포
• x = 시카고에서 뉴욕까지의 비행 시간(분) ⇒ x를 120에서 140사이의 어떤 값도 가질 수 있는
연속확률변수로 정의
1
– 만약 어떤 1분 구간의 시간에 비행기가 도착할 확률이 다른 1분 구간의 시간에 도착할
확률과 같다고 가정 ⇒ 예를 들어
P (123 ≤ x ≤ 124) = P (135 ≤ x ≤ 136)
∗ 확률부여 방식중 고전적 방식(equally likely)을 연속확률변수에 적용한 것임
– 확률밀도함수


1
1
=
140 − 120
20
f (x) =
 0
120 ≤ x ≤ 140
x < 120 또는 x > 140
∗ 다음과 같이 좀 더 자세히 쓸 수 있음


0


1
f (x) =

20


0
x ≤ 120
120 ≤ x ≤ 140
x ≥ 140
• a와 b 사이 숫자 중 하나의 값을 가지는 균일확률변수 x의 확률밀도함수

 1
a≤x≤b
b−a
f (x) =
 0
그 외 구간
– 확률밀도함수의 2가지 조건
(1)0 ≤ f (x)
ˆ ∞
f (x)dx = 1
(2)
−∞
1
>0
b−a
1
∗ 조건 (2) 만족 ⇒ P (a ≤ x ≤ b) = (b − a)
=1
(b − a)
∗ 조건 (1) 만족 ⇒ b > a ⇒ b − a > 0 ⇒
• 사건의 확률
– 예 1: 비행시간이 120분과 130분 사이가 될 확률 = f (x)의 120과 130 사이의 면적
f (x)
1
20
a = 120
130
면적 =
b = 140
1
(130 − 120) = 0.5
20
2
x
– 예 2: P (120 ≤ x ≤ 140)
1
(140 − 120) = 1
20
– 예 3: P (115 ≤ x ≤ 130)
0(120 − 115) +
10
1
(130 − 120) = 0 +
= 0.5
20
20
∗ 다음 처럼 기계적으로 계산하면 안됨
15
1
(130 − 115) =
= 0.75
20
20
• 균일확률변수의 평균과 분산
a+b
2
(b
− a)2
V ar(x) = σ 2 =
12
E(x) = µ =
– 예: 시카고에서 뉴욕까지의 비행 시간 ⇒ b = 140, a = 120
a+b
120 + 140
=
= 130
2
2
(b − a)2
(140 − 120)2
202
V ar(x) =
=
=
= 33.33
12
12
12
E(x) =
6.2
(평균 또는 중앙값)
정규확률분포
• 새로운 확률변수
1. 실험 ⇒ 확률변수
2. 확률분포 ⇒ 확률함수 또는 확률밀도함수
3. 평균 및 분산
– 그러나 정규확률분포에는 실험을 생각하기가 어려움 ⇒ 바로 확률밀도함수로 감
• 정규확률변수(normal random variable) = (−∞, ∞) 구간의 숫자 중 하나의 값을 가지는 연속확
률변수로 다음과 같은 확률밀도함수를 가짐
−
1
f (x) = √ e
σ 2π
(x − µ)2
2σ 2
– µ = 평균, σ 2 = 분산 ⇒ 확률밀도함수를 구하기 위해 평균과 분산이 필요
– e ≈ 2.72, π ≈ 3.14
– 예: µ = 0, σ = 0.5
3
f (x) =
1
√
0.5 2π
x2
2
e 2(0.5)
−
x
−2.0
−1.0
1.0
2.0
∗ 이 곡선을 정규곡선(Normal Curve)이라 부름
– 자연과학 및 사회과학에서의 많은 변수들이 정규확률변수로 설명될 수 있음
∗ 예: 사람의 키, 몸무게, 강수량, 과학적 측정 등
– 또한 통계적 추론 과정에서 발생하는 불확실성을 설명하는 데 유용하게 쓰임
정규곡선
• 정규분포의 특성
1. 모든 정규분포는 평균과 분산에 의해 구별할 수 있음
– 번역판 “모든 정규분포군은 이의 평균 µ과 표준편차 σ에 대해 두 번 미분할 수 있다”
는 영문판 “The entire family of Normal distribution is differentiated by its mean and
standard deviation”의 오역임
– 확률밀도함수에 µ와 σ 이외의 다른 계수가 없음 ⇒ 평균과 분산이 같으면 같은 확률
변수임
−
1
f (x) = √ e
σ 2π
(x − µ)2
2σ 2
– 분포의 형태에 대해서는 신경쓸 필요가 없음 ⇐ 왜냐하면 항상 왜도 = 0 이므로 (4
번째 특성)
2. 평균에서 정규곡선의 값이 가장 큼 ⇒ 최빈값(mode) = 평균(mean)
– 최빈값을 연속확률변수에 맡게 재정의할 필요가 있음
µ
(평균=최빈값)
4
3. 평균이 정규곡선의 위치를 결정 ⇒ 평균은 양수 또는 음수가 될 수 있음
µ = −1
µ=0
µ=1
−2.00
−1.00
0
1.00
2.00
4. 정규곡선은 평균을 중심으로 좌우 대칭임 ⇒ 왜도 = 0 ⇔ 종모양의 분포 ⇔ 평균 = 중앙값
– 왜도는 항상 0임 ⇒ 평균과 분산만 알면 됨(특성 1)
5. 표준편차(분산)이 정규곡선이 얼마나 평평하고 좁은지를 결정
– 표준편차가 클 수록 정규곡선이 더 평평해짐
σ=5
σ = 10
µ
6. 정규확률변수의 확률은 정규곡선의 아래의 면적으로 주어짐
– 정규곡선 아래의 전체 면적 = 1 ⇐ 확률의 두번째 조건
– 좌우 대칭(특성 4) ⇒ 평균을 중심으로 좌우의 면적이 각각 0.5임
0.5
0.5
µ
7. 자주 이용되는 확률
(a) 68.3%의 관측치가 평균으로부터 1 표준편차 내에 있음
(b) 95.4%의 관측치가 평균으로부터 2 표준편차 내에 있음
(c) 99.7%의 관측치가 평균으로부터 3 표준편차 내에 있음
– 경험법칙은 정규분포의 특성에서 유래된 것임 ⇒ 분포가 대칭인 경우
(a) 약 68%의 관측치가 1 표준편차 범위내에 있음
(b) 약 95%의 관측치가 2 표준편차 범위내에 있음
(c) 대부분의 관측치가 3 표준편차 범위내에 있음
• 확률밀도함수를 이용한 확률 계산 ⇒ 적분
5
– 예: 평균이 10이고 표준편차가 3인 정규확률변수 x가 9와 12 사이의 값을 가질 확률은
다음과 같이 계산될 수 있음
(x − µ)2
−
1
2σ 2
f (x) = √ e
σ 2π
(x − 10)2
ˆ 12
−
1
2 · 32 dx
√ e
P (9 ≤ x ≤ 12) =
3 2π
9
– 하지만 이 계산은 불가능함 ⇒ 정규분포표를 이용하여 계산 ⇒ 가장 단순한 경우에서 시작
표준정규확률분포
• 표준(standard)정규확률분포(z) ⇒ 평균이 0이고 표준편차가 1인 정규확률분포
– 확률밀도함수
(x − µ)2
−
1
2σ 2
f (x) = √ e
σ 2π
z2
1 −
f (z) = √ e 2
2π
(일반정규확률분포)
(표준정규확률분포)
• 주어진 구간의 확률 계산
– 어떤 양의 수 c > 0 에 대해 P (0 ≤ z ≤ c) 값이 정규분포표에 주어져 있음
– 예 1: P (0.00 ≤ z ≤ 1.25) = 0.3944
∗ P (0.00 ≤ z ≤ 1.25) = P (0.00 ≤ z < 1.25) 왜냐하면
P (0.00 ≤ z ≤ 1.25) = P (0.00 ≤ z < 1.25) + P (z = 1.25)
|
{z
}
=0
왜 P (z = 1.25) = 0? ⇒ z가 연속확률변수이므로
∗ 엑셀 ⇒ normsdist 함수
– 예 2: P (z ≤ 1.25)
P (z ≤ 1.25) = P (z ≤ 0.00) + P (0.00 ≤ z ≤ 1.25)
= 0.5 + 0.3944 = 0.8944
– 예 3: P (z ≥ 1.25)
P (z ≥ 1.25) = P (z ≥ 0.00) − P (0.00 ≤ z ≤ 1.25)
= 0.5 − P (0.00 ≤ z ≤ 1.25)
= 0.5 − 0.3944 = 0.1056
6
– 예 4: P (z ≤ −1.00)
P (z ≤ −1.00) = P (z ≥ 1.00) = 0.5 − P (0.00 ≤ z ≤ 1.00)
= 0.5 − 0.3413 = 0.1587
– 예 5: P (z ≥ −1.00)
P (z ≥ −1.00) = 1 − P (z ≤ −1.00)
= 1 − 0.1587 = 0.8413
– 예 6: P (−1.00 ≤ z ≤ 1.00)
P (−1.00 ≤ z ≤ 1.00) = P (−1.00 ≤ z ≤ 0.00) + P (0.00 ≤ z ≤ 1.00)
= 0.3413 + 0.3413 = 0.6826
– 예 7: P (−2.00 ≤ z ≤ 2.00)
P (−2.00 ≤ z ≤ 2.00) = P (−2.00 ≤ z ≤ 0.00) + P (0.00 ≤ z ≤ 2.00)
= 0.4772 + 0.4772 = 0.9544
– 예 8: P (−3.00 ≤ z ≤ 3.00)
P (−3.00 ≤ z ≤ 3.00) = P (−3.00 ≤ z ≤ 0.00) + P (0.00 ≤ z ≤ 3.00)
= 0.4987 + 0.4987 = 0.9974
∗ 예6, 7, 8 ⇒ 특성 7(경험법칙)
– 예 9: P (−1.24 ≤ z ≤ 2.70)
P (−1.24 ≤ z ≤ 2.70) = P (−1.24 ≤ z ≤ 0) + P (0.00 ≤ z ≤ 2.70)
= P (0.00 ≤ z ≤ 1.24) + P (0.00 ≤ z ≤ 2.70)
= 0.3925 + 0.4965 = 0.8890
– 예 10: P (1.00 ≤ z ≤ 1.58)
P (1.00 ≤ z ≤ 1.58) = P (0.00 ≤ z ≤ 1.58) − P (0.00 ≤ z ≤ 1.00)
= 0.4429 − 0.3413 = 0.1016
– 예 11: P (−2.01 ≤ z ≤ −1.30)
P (−2.01 ≤ z ≤ −1.30) = P (1.30 ≤ z ≤ 2.01)
= P (0.00 ≤ z ≤ 2.01) − P (0.00 ≤ z ≤ 1.30)
= 0.4778 − 0.4032 = 0.0746
• 주어진 확률에 대응하는 구간 찾기 ⇒ 주어진 확률 A에 대해 P (0.00 ≤ z ≤ c) = A가 되는 c값
찾기
7
– 예 1: P (0.00 ≤ z ≤ c) = 0.3997
– 예 2: P (0.00 ≤ z ≤ c) = 0.4000
∗ 정규분포표에서 0.4000를 찾을 수 없음 ⇒ 가장 가까운 값을 찾음 ⇒ 0.3997 < 0.4000 <
0.4015 ⇒ c = 1.28
∗ 엑셀 ⇒ normsinv 함수
· 컴퓨터를 이용하면 좀 더 정교한 방법을 사용하므로 값이 다를 수 있음
– 예 3: P (0.00 ≤ z ≤ c) = 0.4010
∗ 가장 가까운 값을 찾음 ⇒0.3997 < 0.4010 < 0.4015 ⇒ c = 1.29
– 예 4: P (z ≥ c) = 0.10
∗ c는 양수가 되어야 함 ⇒ 만약 c가 음수이면 P (z ≥ c) > 0.5가 됨 ⇒ P (z ≥ c) = 0.10 ⇒
P (0.00 ≤ z ≤ c) = 0.40가 되는 c값을 찾음 ⇒ c = 1.28(예 2)
정규분포의 확률 계산
• 일반적인 정규분포의 확률 계산 ⇒ 평균과 분산이 반드시 0과 1이 아닌 경우
– 일반적인 정규확률변수 x를 다음 식을 이용하여 표준정규확률변수 z로 변환
z=
x−µ
σ
∗ 제3장에서 배운 z-값 공식과 동일 ⇒ 평균은 0이고 분산은 1이됨
1
1
x−µ
= E (x − µ) = (E(x) − µ) = 0
E(z) = E
σ
σ
σ
x−µ
1
1
V ar(z) = V ar
= 2 V ar (x − µ) = 2 V ar(x) = 1
σ
σ
σ
• 확률 계산하기
– 예 1: 평균이 10이고 표준편차가 2인 정규확률변수가 10과 14 사이의 값을 가질 확률
P (10 ≤ x ≤ 14) = P (10 − 10 ≤ x − 10 ≤ 14 − 10)
x − 10
14 − 10
10 − 10
≤
≤
=P
2
2
2
= P (0.00 ≤ z ≤ 2.00)
∗ 여기서 부터는 표준정규확률분포의 문제가 됨
P (0.00 ≤ z ≤ 2.00) = 0.4772
– 예 2: 그리어 타이어 회사 문제 ⇒ 타이어의 마일리지 x가 평균이 36,500마일이고 표준
편차가 5,000마일인 정규분포를 따른다고 가정 ⇒ 어떤 타이어가 40,000마일 이상 달릴
8
가능성은
P (x ≥ 40, 000) = P (x − 36, 500 ≥ 40, 000 − 36, 500)
x − 36, 500
40, 000 − 36, 500
=P
≥
5, 000
5, 000
3, 500
=P z≥
5, 000
= P (z ≥ 0.70)
∗ 여기서 부터는 표준정규확률분포의 문제가 됨
P (z ≥ 0.70) = 0.5 − P (0.00 ≤ z ≤ 0.70)
= 0.5 − 0.2580 = 0.2420
• 주어진 확률에 대응하는 구간 찾기
– 예 1: 그리어 타이어 회사 문제 ⇒ 이 회사가 타이어가 보증주행거리를 초과하지 못할 경우
소비자에게 교체 쿠폰을 제공하는 정책을 실시하고자 함 ⇒ 하지만 쿠폰을 받을 소비자가
전체의 10%를 초과하지 못하도록 보증주행거리(c)를 정할려고 함 ⇒ P (x ≤ c) = 0.10
x − 36, 500
c − 36, 500
P (x ≤ c) = P
≤
5, 000
5, 000



c − 36, 500 

=P
z ≤ 5, 000 
{z
}
|
=c′
= P (z ≤ c′ ) = 0.10
∗ 여기서 부터는 표준정규확률분포의 문제가 됨
P (z ≤ c′ ) = 0.10 ⇒ P (0.00 ≤ z ≤ −c′ ) = 0.40
⇒ P (0.00 ≤ z ≤ −c′ ) = 0.3997
′
⇒ −c = 1.28
⇒ c′ = −1.28
∗ c′ 을 c로 변환
c′ =
c − 36, 500
= −1.28
5, 000
⇒c − 36, 500 = −1.28 × 5, 000
⇒c = −1.28 × 5, 000 + 36, 500 = 30, 100
• 평균과 분산
– 일반적인 정규분포 ⇒ 평균µ와 표준편차 σ가 주어짐
– 표준정규분포 ⇒ 평균 µ = 0이고 표준편차 σ = 1
9
(−c′ 는 양수임)
(가장 가까운 수)
6.3
이항확률의 정규근사
• 제5장에서 이항실험 = 다음의 4가지 특성을 가지는 실험
1. n개의 연속된 동일한 시행으로 구성
2. 각 시행에서 두 개의 결과만 가능
– 주사위를 두번 던지는 실험은 이 조건을 위반 ⇒ 만약 주사위를 두 번 던지면서 홀수
= 성공, 짝수 = 실패로 하면 이는 이 조건을 만족.
3. 성공의 확률 p는 시행에 따라 변하지 않음 ⇒ p는 0과 1사이의 어떤 수도 가능
4. 각 시행들은 독립적임
– 이항확률변수 x = 성공의 횟수 ⇒ x는 {0, 1, 2, . . . , n} 중 하나의 값을 가지는 이산확률변수
– 확률함수를 이용하여 확률을 계산 ⇒n = 3, p = 0.3
f (x) = Cxn · px · (1 − p)(n−x)
f (2) = C23 · (0.3)2 · (1 − 0.3)(3−2)
= 3 · (0.3)2 · (0.7)1 = 0.189
– 하지만 n이 큰 경우 계산이 어려움 ⇒ 예를 들어 n = 100, p = 0.1
100
f (12) = C12
(0.1)12 (0.9)100−12
=
100!
(0.1)12 (0.9)88 =?
(12!)(88!)
• 이 경우 사용할 수 있는 근사법이 존재 ⇒ 정규근사
– 기본적인 아이디어: 만약 n이 크면 이항확률분포 ≈ 정규확률분포
∗ 이 아이디어는 중심극한정리(central limit theorem)의 특별한 경우임
– “n이 크다”는 조건의 의미
1. np > 5 ⇒ n = 100, p = 0.03 ⇒ np = 100(0.03) = 3 < 5
2. n(1 − p) > 5 ⇒ n = 100, p = 0.98 ⇒ n(1 − p) = 100(0.02) = 2 < 5
∗ 요약하면 n이 성공의 확률 p와 실패의 확률 1 − p의 수준을 고려한 상황에서 충분히
커야 함
∗ p가 0이나 1에 가까울 수록 더 많은 n이 필요 ⇒ p = 0.5일 때 n = 10으로 가장 작은
값을 가짐
– 정규확률분포로 근사 ⇒ 평균과 분산이 필요 ⇒ 이항확률분포의 평균과 분산을 계산
E(x) = n · p
V ar(x) = n · p · (1 − p)
• 예 1: n = 100, p = 0.1 ⇒ P (x = 12)?
– “n이 크다”는 조건을 확인
1. np > 5 ⇒ 100(0.1) = 10 > 5
10
2. n(1 − p) > 5 ⇒ 100(0.9) = 90 > 5
– 평균과 분산을 계산
µ = n · p = 100 · 0.1 = 10
σ 2 = n · p · (1 − p) = 100 · 0.1 · 0.9 = 9
σ=3
– 정규분포를 이용하여 확률을 계산 ⇒ x를 평균이 10이고 표준편차가 3인 정규확률변수로
생각
∗ 문제점 ⇒ 정규확률변수 x가 12의 값을 가질 확률 P (x = 12) = 0 ⇒ 연속성 수정계수
(continuity correction factor)를 이용
P (x = 12) ⇒ P (12 − 0.5 ≤ x ≤ 12 + 0.5) = P (11.5 ≤ x ≤ 12.5)
P (11.5 ≤ x ≤ 12.5) = P
11.5 − 10
x − 10
12.5 − 10
≤
≤
3
3
3
= P (0.50 ≤ z ≤ 0.83)
= P (z ≤ 0.83) − P (z ≤ 0.50)
= 0.2967 − 0.1915
= 0.1052
• 예 2: n = 100, p = 0.1 ⇒ P (12 ≤ x ≤ 13)
– x가 이산확률변수이므로
P (12 ≤ x ≤ 13) = P (x = 12) + P (x = 13)
– 각각에 대해 정규근사를 적용 ⇒ “n이 크다”는 조건을 만족
∗ P (x = 12) ⇒ P (11.5 ≤ x ≤ 12.5) = 0.1052
∗ P (x = 13) ⇒ P (12.5 ≤ x ≤ 13.5) = 0.0823
P (12 ≤ x ≤ 13) = 0.1052 + 0.0823 = 0.1875
– 이 둘을 결합하여 한번에 계산하여도 됨
P (x = 12) + P (x = 13) = P (11.5 ≤ x ≤ 13.5)
P (11.5 ≤ x ≤ 13.5) = P
11.5 − 10
x − 10
13.5 − 10
≤
≤
3
3
3
= P (0.50 ≤ z ≤ 1.17)
= P (z ≤ 1.17) − P (z ≤ 0.50)
= 0.8790 − 0.6915
= 0.1875
11
∗ 이 문제의 경우 연속성 수정계수를 간과할 가능성이 큼 ⇐ 왜냐하면 문제가 이미 구간
으로 주어졌으므로
• 예 3: n = 100 and p = 0.1 ⇒ P (x ≤ 13)
P (x ≤ 13.5) = P
x − 10
13.5 − 10
≤
3
3
= P (z ≤ 1.17)
= 0.8790
– 엄밀하게 하자면 P (x ≤ 13) = P (0 ≤ x ≤ 13)이므로
P (−0.5 ≤ x ≤ 13.5) = P
−0.5 − 10
x − 10
13.5 − 10
≤
≤
3
3
3
= P (−3.5 ≤ z ≤ 1.17)
= 0.8790 − 0.0000 = 0.8790
6.4
지수확률분포
• 생략
12