LECTURE NOTES
Calculus and Scientific Computing
Week ke-2
Derivative
LEARNING OUTCOMES
Mampu memahami teori dasar limit dan turunan beserta penerapannya
OUTLINE MATERI :
1. Turunan dan tingkat perubahan
2. Sifat – sifat turunan
3. Aturan rantai
4. Turunan implisit
5. Laju berkaitan
Derivative
A. Garis Singgung
Definisi Garis Singgung
Garis singgung kurva y = f(x) pada titik 𝑃(𝑎, 𝑓(𝑎)) adalah garis yang melalui titik P
dengan kemiringan
𝑚 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎
,
selama limit tersebut terdefinisi
Gambar 1. Garis singgung kurva
Perhatikan Gambar 1. Ketika x menuju a, h akan menuju ke 0 (karena h = x - a) dan berdasarkan
define diperoleh bahwa kemiringan garis singgungnya adalah
𝑓(𝑐 + ℎ) − 𝑓(𝑐)
ℎ→0
ℎ
lim
Contoh 1:
3
Tentukan persamaan garis singgung hiperbola 𝑦 = 𝑥 di titik (3,1)
Kemiringan garis singgung adalah
3
−1
𝑓(3 + ℎ) − 𝑓(3)
1
1
(3 + ℎ)
𝑚 = 𝑙𝑖𝑚
= 𝑙𝑖𝑚
= 𝑙𝑖𝑚 −
=−
ℎ→0
ℎ→0
ℎ→0
ℎ
ℎ
3+ℎ
3
Calculus and Scientific Computing
Maka persamaan garis singgung kurva di titik (3,1) adalah
1
𝑦 − 1 = − 3 (𝑥 − 3) atau 𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0
Gambar 2. Ilustrasi Contoh 1
B. Turunan
Definisi Turunan
Turunan fungsi f di tititk a dituliskan oleh f ‘(a), yaitu
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ→0
ℎ
𝑓 ′ (𝑎) = 𝑙𝑖𝑚
Contoh 2:
Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 8𝑥 + 9 maka
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ→0
ℎ
𝑓 ′ (𝑎) = lim
[(𝑎 + ℎ)2 − 8(𝑎 + ℎ) + 9] − [𝑎2 − 8𝑎 + 9]
= lim
ℎ→0
ℎ
2𝑎ℎ + ℎ2 − 8ℎ
= lim
ℎ→0
ℎ
= lim (2𝑎 + ℎ − 8)
ℎ→0
= 2𝑎 − 8
Calculus and Scientific Computing
Hubungan Kemiringan dan Turunan
Garis singgung kurva y = f(x) di (a, f(a)) adalah suatu garis yang melalui titik (a, f(a))
dengan kemiringan sebesar f ‘(a), yaitu turunan fungsi f di titik a.
Contoh 3:
Tentukan persamaan garis singgung parabola y = 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 8𝑥 + 9 di titik (3, -6).
Gambar 3. Ilustrasi Contoh 3
Berdasarkan Contoh 1, diperoleh bahwa 𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥 − 8.
sehingga, kemiringan garis singgung di titik (3,-6) adalah 𝑓 ′ (3) = 6 − 8 = −2.
Dengan demikian, persamaan garis singgungnya adalah
𝑦 − (−6) = −2(𝑥 − 3) atau 𝑦 = 2𝑥
Contoh 4:
Jika f adalah fungsi yang dapat diturunkan, maka turunannya yaitu 𝑓′ juga merupakam suatu
fungsi, sehingga 𝑓′ juga mungkin memiliki turunan yaitu 𝑓′′ yang disebut sebagai turunan kedua
dari 𝑓 karena merupakan turunan dari turunan 𝑓.
Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 maka 𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥 2 − 1, kemudian turunan keduanya adalah
Calculus and Scientific Computing
Gambar 4. Ilustrasi Contoh 4
Fungsi Exponen
e adalah suatu bilangan yang memenuhi lim
h→0
eh −1
h
=1
d
Turunan dari fungsi eksponensial adalah dx (ex ) = ex
Calculus and Scientific Computing
C. Sifat – sifat Turunan
Jika c adalah suatu konstanta, n adalah bilangan real, dan 𝑓(𝑥) serta 𝑔(𝑥) adalah fungsi yang dapat
diturunkan, maka
1.
2.
3.
4.
𝑑
(𝑐) = 0
𝑑𝑥
𝑑
[𝑐𝑓(𝑥)] = 𝑐𝑓 ′ (𝑥)
𝑑𝑥
𝑑
(𝑥 𝑛 ) = 𝑛𝑥 𝑛−1
𝑑𝑥
𝑑
[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = 𝑓 ′ (𝑥) + 𝑔′(𝑥)
𝑑𝑥
Aturan Perkalian
Aturan pembagian
Contoh 5
Misalkan 𝑔(𝑥) = (𝑥 2 + 1)𝑓(𝑥). Diketahui bahwa f(2) = 3 dan f’(2) = -1. Tentukan nilai g’(2).
Pertama-tama tentukan fungsi turunan pertama:
𝑔′(𝑥) =
𝑑
[(𝑥 2 + 1)𝑓(𝑥)]
𝑑𝑥
= (𝑥 2 + 1)
𝑑(𝑓(𝑥))
𝑑
+ 𝑓(𝑥) (𝑥 2 + 1)
𝑑𝑥
𝑑𝑥
= (𝑥 2 + 1)𝑓′(𝑥) + 2𝑥𝑓(𝑥)
Sehingga diperoleh 𝑔′ (2) = 7
Calculus and Scientific Computing
Contoh 6:
𝑒𝑥
Misalkan 𝑦 = 1+𝑥 2 maka
Berikut ini diberikan beberapa turunan untuk fungsi trigonometri
Contoh 7:
sec 𝑥
Tentukan turunan dari fungsi 𝑓(𝑥) = 1+tan 𝑥. Kemudian, tentukan nilai x sehingga fungsi 𝑓
memiliki garis singgung yang horizontal.
Calculus and Scientific Computing
Karena sec 𝑥 tidak pernah 0, maka 𝑓 ′ (𝑥) = 0 ketika tan 𝑥 = 1, dan ini hanya akan terjadi Ketika
𝜋
𝑥 = 4 + 𝑛𝜋 dengan n adalah bilangan bulat.
Gambar 5. Ilustrasi Contoh 7
Berikut ini juga diuraikan beberapa turunan dari fungsi logaritma yaitu
Logarithmic
Functions
Gambar 6. Turunan fungsi logaritma
Calculus and Scientific Computing
Contoh 8:
Gambar 7. Ilustrasi contoh 8
D. Aturan Rantai
Aturan Rantai
Jika g adalah fungsi yang memiliki turunan di x dan f memiliki turunan di g(x), maka fungsi
komposisi 𝐹 = 𝑓 𝑜 𝑔 yang didefinisikan sebagai 𝐹 = 𝑓(𝑔(𝑥)) juga memiliki turunan di x.
Turunannya yaitu F’ ditulis sebagai berikut
𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑔(𝑥)). 𝑔′(𝑥)
Dalam notasi Leibniz, jika 𝑦 = 𝑓(𝑢) dan 𝑢 = 𝑔(𝑥) adalah fungsi yang dapat diturunkan,
maka
𝑑𝑦 𝑑𝑓 𝑑𝑢
=
.
𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥
Calculus and Scientific Computing
Catatan
Formula aturan rantai menyatakan bahwa kita harus menurunkan fungsi terluar terlebih
dahulu yaitu fungsi f (yang iunputannya merupakan fungsi g(x)), baru kemudian dikalikan
dengan turunan fungsi yang ada didalamnya.
Contoh 9:
a. Misalkan 𝑦 = sin(𝑥 2 ) maka
b. Misalkan 𝑦 = (sin 𝑥)2 maka
Kombinasi Aturan Pangkat dan Aturan Rantai
Jika n adalah bilangan real dan u = g(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan, maka
𝑑 𝑛
𝑑𝑢
𝑑
(𝑢 ) = 𝑛𝑢𝑛−1
[𝑔(𝑥)]𝑛 = 𝑛[𝑔(𝑥)]𝑛−1 . 𝑔′(𝑥)
𝑜𝑟
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
Calculus and Scientific Computing
Contoh 10:
𝑡−2 9
Jika 𝑔(𝑡) = (2𝑡+1)
Maka
𝑔
′ (𝑡)
𝑡−2 8 𝑑 𝑡−2
𝑡 − 2 8 (2𝑡 + 1)1 − 2(𝑡 − 2) 45(𝑡 − 2)8
)
(
) = 9(
)
= 9(
=
(2𝑡 + 1)2
(2𝑡 + 1)2
2𝑡 + 1 𝑑𝑡 2𝑡 + 1
2𝑡 + 1
E. Turunan Implisit
Tidak semua persamaan dalam matematika dapat dengan mudah untuk diselesaikan secara
eksplisit. Dengan kata lain kita tidak dapat menuliskan 𝑦 sebagai suatu fungsi terhadap 𝑥 secara
eksplisit (secara analitik menggunakan tangan). Kadang walaupun kita menggunakan teknologi
untuk mencari solusinya, ditemukan solusi yang cukup rumit. Sebagai contoh,
𝑥 3 + 𝑦 3 = 6𝑥𝑦
adalah persamaan untuk folium of Descartes yang kurvanya ditunjukkan pada Gambar 8.
Gambar 8. Folium of Descrates
Grafik tersebut terdiri atas 3 buah grafik fungsi yang ditunjukkan pada Gambar 9. Ketika 𝑓 adalah
fungsi yang didefinisikan secara implisit oleh suatu persamaan matematika, maka kita dapat
menuliskan
𝑥 3 + [𝑓(𝑥)]3 = 6𝑥[𝑓(𝑥)]
Sebagai suatu persamaan yang berlaku untuk semua nilai x yang berada pada domain 𝑓.
Calculus and Scientific Computing
Gambar 9. Bagian Folium of Descrates
Jika fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) didefinisikan secara implisit melalui suatu persamaan yang mengandung 𝑥
𝑑𝑦
dan 𝑦, maka Langkah-langkah untuk mencari turunan 𝑑𝑥 adalah:
1. Turunkan kedua ruas persamaan terhadap 𝑥. Pastikan bahwa turunan dari setiap suku yang
𝑑𝑦
melibatkan 𝑦 akan menandung 𝑑𝑥
𝑑𝑦
2. Selesaikan persamaan dari Langkah 1 untuk 𝑑𝑥 sebagai fungsi yang menandung suku 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑦.
Contoh 11:
Jika y4 – 2y3 +x3y2 – cos x = 8 maka
𝑑 4
𝑑
(𝑦 − 2𝑦 3 + 𝑥 3 𝑦 2 − cos 𝑥) =
(8)
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑 4
𝑑
𝑑 2
𝑑 3
𝑑
(𝑦 ) − 2 (𝑦 3 ) + 𝑥 3
(𝑦 ) + 𝑦 2
(𝑥 ) −
(cos 𝑥) = 0
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑦
4𝑦 3
− 6𝑦 2
+ 2𝑥 3 𝑦
+ 3𝑥 2 𝑦 2 + sin 𝑥 = 0
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
(4𝑦 3 − 6𝑦 2 + 2𝑥 3 𝑦)
= −3𝑥 2 𝑦 2 − sin 𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
3𝑥 2 𝑦 2 + sin 𝑥
=−
𝑑𝑥
2𝑦(2𝑦 2 − 3𝑦 + 𝑥 3 )
Calculus and Scientific Computing
Dalam turunan implisit, sering kali kita membutuhkan sifat logaritma. Berikut ini adalah langkahlangkah turunan implisit yang melibatkan logaritma (sering disebut dengan penurunan logaritma):
1. Nyatakan persamaan 𝑦 = 𝑓(𝑥) dalam bentuk logaritma natural di kedua ruas persamaan
dan gunakan aturan logaritma untuk menyederhanakan persamaan.
2. Turunkan persamaan tersebut terhadap 𝑥
3. Selesaikan persamaan yang diperoleh dari Langkah 3 untuk mendapatkan 𝑦′ dan gantikan
𝑦 dengan 𝑓(𝑥)
Contoh 12:
Tentukan turunan dari 𝑦 =
𝑥 3/4 √𝑥 2 +1
(3𝑥+2)5
Pertama-tama, nyatakan persamaan dalam fungsi logaritma dan sederhanakan yaitu
3
1
ln 𝑦 = ln 𝑥 + ln(𝑥 2 + 1) − 5 ln(3𝑥 + 2)
4
2
Turunkan secara implisit terhadap 𝑥:
1 𝑑𝑦 3 1 1 2𝑥
3
=
+
−
5
𝑦 𝑑𝑥 4 𝑥 2 𝑥 2 + 1
3𝑥 + 2
𝑑𝑦
Selesaikan untuk 𝑑𝑥 sehingga
𝑑𝑦
3
𝑥
15
)
= 𝑦( + 2
−
𝑑𝑥
4𝑥 𝑥 + 1 3𝑥 + 2
Kamudian substitusikan 𝑦 sehingga diperoleh bahwa
𝑑𝑦 𝑥 3/4 √𝑥 2 + 1 3
𝑥
15
(
)
=
+
−
(3𝑥 + 2)5 4𝑥 𝑥 2 + 1 3𝑥 + 2
𝑑𝑥
Calculus and Scientific Computing
Setelah kita mempelajari fungsi logaritma, maka berikut ini juga diuraikan turunan dari fungsi
eksponensial yaitu:
Constant base
Constant exponent
Variable base
Constant exponent
Constant base
Variable exponent
Variable base
Variable exponent
Menggunakan turunan logaritma untuk
menyelesaikan
𝑑
𝑑𝑥
([𝑓(𝑥)] 𝑔(𝑥) )
Contoh 13:
Tentukan turunan dari 𝑦 = 𝑥 √𝑥
Cara 1:
Gunakan turunan logaritma untuk menyelesaikannya, yaitu ln 𝑦 = ln(𝑥 √𝑥 ) = √𝑥 ln 𝑥
Sehingga diperoleh
𝑦′
1
1
1
ln 𝑥
2 + ln 𝑥
) = 𝑥 √𝑥 (
)
= √𝑥 + (ln 𝑥)
→ 𝑦′ = 𝑦 ( +
𝑦
𝑥
2√𝑥
2 √𝑥
√𝑥 2√𝑥
Cara 2:
Metode lainnya adalah menggunakan turunan eksponensial yaitu 𝑥 √𝑥 = 𝑒 √𝑥 ln 𝑥
Sehingga diperoleh
𝑑
𝑑 √𝑥 ln 𝑥
𝑑
2 + ln 𝑥
)
(𝑥 √𝑥 ) =
(𝑒
) = 𝑒 √𝑥 ln 𝑥
(√𝑥 ln 𝑥) = 𝑥 √𝑥 (
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
2 √𝑥
Calculus and Scientific Computing
F. Laju Berkaitan
Permasalhan aplikasi yang melibatkan turunan sering kali dinamakan sebagai masalah laju
berkaitan. Untuk menyelesaikannya maka ikuti Langkah-langkah Berikut ini:
1. Bacalah soal dengan hati-hati
2. Jika memungkinkan, susunlah suatu diagram yang dapat membantu anda untuk lebih
memahami masalah yang dihadapi. Disini anda diminta untuk menentukan fungsi dan
parameter yang berkaitan dalam masalah tersebut.
3. Definisikan suatu notasi fungsi, atau symbol-simbol yang dapat merepresentasikan semua
parameter yang berkaitan dengan fungsi.
4. Ekspresikan informasi yang sudah anda kumpulkan dan nyatakan fungsi yang merupakan
laju berkaitan sebagai suatu turunan.
5. Tuliskan persamaan yang bersesuaian dengan interpretasi masalah.
6. Gunakan aturan rantai untuk menurunkan kedua ruas persamaan terhadap parameter yang
diminta.
7. Substitusikan informasi yang diberikan ke dalam hasil akhir persamaan dan selesaikan
untuk laju yang ditanyakan.
Contoh 14:
Seseorang berjalan dalam lintasan lurus dengan kecepatan 4 m/s. Suatu lampu sorot ditempatkan
di lantai sejauh 20 ft dari lintasan dan di desain sedemikian rupa sehingga sinar lampu tersebut
akan selalu menyorot orang yang sedang berjalan. Jika orang tersebut sudah berjalan sejauh 15m
dari titik awal, berapakah kecepatan rotasi sinar lampu saat itu?
Perhatikan Gambar 10. Misalkan x adalah jarak antara orang dengan titik awal dia berjalan, 𝜃
adalah sudut yang dibentuk antara sinar lampu dengan garis tegak (jarak lampu ke titik awal
orang). Kemudian juga diketahui bahwa
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 4 𝑚/𝑠 dan yang ditanyakan adalah
𝑑𝜃
𝑑𝑡
15m.
Persamaan yang melibatkan 𝑥 dan 𝜃 dapat ditulis sebagai Berikut:
𝑥
= tan 𝜃 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = 20 tan 𝜃
20
Calculus and Scientific Computing
ketika x =
Gambar 10. Ilustrasi Contoh 14
Turunkan kedua ruas terhadap t sehingga diperoleh
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝜃
= 20 sec 2 𝜃 𝑑𝑡 and
𝑑𝜃
𝑑𝑡
1
𝑑𝑥
1
= 20 cos 2 𝜃 𝑑𝑡 = 5 cos 2 𝜃
Ketika 𝑥 = 15, maka jarak sinar lampu akan sebesar 25, sehingga
20
4
cos 𝜃 = 25 = 5 and
𝑑𝜃
𝑑𝑡
1 4 2
16
= 5 (5) = 125
Dengan demikian, sinar lampu akan berotasi dengan kecepatan sebesar
16
125
rad/s
Calculus and Scientific Computing
KESIMPULAN
Definisi awal turunan berasal dari limit untuk kemiringan garis singgung kurva di suatu titik.
Melalui konsep ini, mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep turunan. Turunan
merupakan salah satu topik dalam calculus yang memiliki banyak aplikasi di kehidupan nyata
karena turunan sama dengan kecepatan. Untuk dapat mengaplikasikan turunan ke dalam
kehidupan nyata, maka ada banyak konsep turunan yang perlu dipahami diantaranya adalah aturan
dasar turunan, aturan rantai, dan turunan implisit. Kemudian, bukan hanya fungsi biasa yang
dibahas dalam turunan, melainkan juga terdapat turunan untuk fungsi trigonometri, logaritma, dan
fungsi eksponensial.
Calculus and Scientific Computing
DAFTAR PUSTAKA
1. Stewart, J. D. Clegg, S. Watson (2020). Calculus Early Transcendentals, 9, USA, Cengage
Learning, Inc, 2020. ISBN: 978-1337613927
2. https://www.youtube.com/watch?v=TkjtsRtquH4&list=PL69JEQI_bNElGJQ9v2L7IujuV
JYvCfOsf&index=1
3. https://www.youtube.com/watch?v=s5Jiuqsa4io&list=PL69JEQI_bNElGJQ9v2L7IujuVJ
YvCfOsf&index=3
4. https://www.youtube.com/watch?v=3VC850OhueM&list=PL69JEQI_bNElGJQ9v2L7Iuj
uVJYvCfOsf&index=4
5. https://www.youtube.com/watch?v=ugeMVlR_6_4&list=PL69JEQI_bNElGJQ9v2L7Iuj
uVJYvCfOsf&index=5
6. https://www.youtube.com/watch?v=9BKdITuYwM&list=PL69JEQI_bNElGJQ9v2L7IujuVJYvCfOsf&index=8
7. https://www.youtube.com/watch?v=9W2O3qHRy0M&list=PL69JEQI_bNElGJQ9v2L7I
ujuVJYvCfOsf&index=11
8. https://www.youtube.com/watch?v=OmHI3EuoUj8&list=PL69JEQI_bNElGJQ9v2L7Iuj
uVJYvCfOsf&index=12
9. https://www.youtube.com/watch?v=d4Z2AAhC_mI&list=PL69JEQI_bNElGJQ9v2L7Iuj
uVJYvCfOsf&index=13
10. https://www.youtube.com/watch?v=waEfkOEO3yU&list=PL69JEQI_bNElGJQ9v2L7Iuj
uVJYvCfOsf&index=14
11. https://www.youtube.com/watch?v=eycB4TCeQ8&list=PL69JEQI_bNElGJQ9v2L7IujuVJYvCfOsf&index=15
12. https://www.youtube.com/watch?v=JmDgaljxbG8&list=PL69JEQI_bNElGJQ9v2L7Iuju
VJYvCfOsf&index=16
13. https://www.youtube.com/watch?v=FFhC7lsA6Qk&list=PL69JEQI_bNElGJQ9v2L7Iuju
VJYvCfOsf&index=19
Calculus and Scientific Computing