EKSPONEN & LOGARITMA
SIFAT-SIFAT BILANGAN BERPANGKAT
➢
a p  a q = a p+q
➢
a p : a q = a p−q
➢
(a ) = a
➢
(ab )p = apbp
➢
ap
a
  = p
b
b
p q
DEFINISI LOGARITMA
a
a
pq
a0 = 1
➢
a −p =
1
➢
a
➢
➢
−p
a
 
b
a
p
q
a
log b
=b
SIFAT-SIFAT LOGARITMA
p
➢
logb = c  a c = b
➢
a
log xy = a log x+ a log y
➢
a
x
log = a log x − a log y
y
➢
a
log x n =n a log x
➢
a
log b =
➢
a
1
ap
= ap
−p
=
b
p
ap
q
= ap
logb =
n
n
b
log b
log a
1
loga
n
➢
a
log b= a log b n
➢
a
logb. b logc= a logc
(a + b)  2 ab = a  b , a  b
PERSAMAAN LOGARITMA
a
PERSAMAAN EKSPONEN
log f ( x )= a log g( x )  f ( x ) = g( x )
af ( x) = a g( x)  f (x) = g(x)
Syarat : f(x) > 0 dan g(x) > 0
PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
➢ untuk a > 1
PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN
➢ untuk a > 1
a
a f ( x)  a g( x)  f (x)  g(x)
➢
➢
untuk 0 < a < 1
untuk 0 < a < 1
a
af ( x)  a g( x)  f (x)  g(x)
-1-
log f (x) a log g(x)  f (x)  g(x)
log f (x) a log g(x)  f (x)  g(x)
PERSAMAAN KUADRAT
Bentuk Umum :
ax 2 + bx + c = 0
SYARAT agar Persamaan Kuadrat mempunyai:
- b  b 2 − 4ac
x=
2a
RUMUS kuadrat
−b
a
x1 + x 2 =
JUMLAH,
HASILKALI &
SELISIH
AKAR-AKAR
x 1 .x 2 =
c
a
x1 − x 2 = 
D
a
➢
2 akar yang
berlawanan
b=0
➢
2 akar yang
berkebalikan
a=c
➢
2 akar positif
D  0, x 1 + x 2  0, x 1 . x 2  0
➢
2 akar negatif
D  0, x 1 + x 2  0, x 1 . x 2  0
MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT BARU
yang akar-akarnya  dan 
x 2 − ( + )x +   = 0
BENTUK-BENTUK SIMETRI
yang berkaitan dengan jumlah dan hasilkali akarakar persamaan kuadrat
PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
x12 + x 22 = (x1 + x 2 ) 2 − 2x1x 2
Untuk 0 < a < b
(x − a)(x − b)  0  a  x  b
(x − a)(x − b)  0  x  a atau x  b
x + x2
1
1
+
= 1
x1 x 2
x1 x 2
SISTEM PERSAMAAN LINIER
➢ Dua variabel
x 1 x 2 x 12 + x 22
+
=
x 2 x1
x1 x 2
ax + by = c.........(1)

 px + qy = r ........(2)
x12 x 2 + x1x 22 = x1x 2 (x1 + x 2 )
❖ tidak ada penyelesaian
x 13
+
x 32
= (x 1 + x 2 ) − 3x 1 x 2 ( x 1 + x 2 )
3
DISKRIMINAN
ax2+bx+c = 0
a b
=
p q
❖ tak hingga penyelesaian
D = b 2 − 4ac
a b c
= =
p q r
JENIS-JENIS AKAR
Dikaitkan dengan diskriminan
➢
2 akar real berlainan
b 2 − 4ac  0
➢
2 akar kembar/sama
b − 4ac = 0
➢
Akar-akar tidak real
b 2 − 4ac  0
➢
Tiga variabel
 ax + by + cz = d.....(1)

 px + qy + rz = s.....(2)
tx + uy + vz = w .....(3)

2
12
FUNGSI KUADRAT
f ( x) = ax 2 + bx + c
BENTUK UMUM
y = ax 2 + bx + c
KEDUDUKAN PARABOLA TERHADAP
SUMBU X
➢
Memotong sumbu x di dua titik berlainan
Syarat :
a>0
x
UNSUR-UNSUR PARABOLA
➢
➢
➢
Sumbu simetri
Nilai maks/min.
Titik balik/
Titik puncak
x=
−b
2a
y=
D
− 4a
b 2 − 4ac  0
x
a<0
➢
−b D 
,


 2a − 4a 
Memotong sumbu x di satu titik
(menyinggung)
Syarat menyinggung
a >0
b 2 − 4ac = 0
x
MENENTUKAN PERSAMAAN PARABOLA
➢
x
Jika diketahui melalui 3 titik sembarang
a<0
y = ax 2 + bx + c
➢
➢
Tidak memotong sumbu x
Jika diketahui titik puncak (p, q)
atau
nilai maks/min = q untuk x = p
Definit Positif
syarat :
y = a(x − p) 2 + q
x
➢
Jika diketahui memotong sumbu X
di (x1, 0) dan (x2, 0)
y = a( x − x 1 )( x − x 2 )
1) a > 0
2) b2 – 4ac < 0
x
Definit Negatif
syarat :
1) a < 0
2) b2 – 4ac < 0
TRIGONOMETRI
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
PERHITUNGAN DALAM SEGITIGA
A
r
c
b
y

B
a
x
ATURAN SINUS
Jika diketahui dua sisi dan satu sudut
atau satu sisi dan dua sudut
1
r
=
sin  y
1
r
sec =
=
cos  x
1
y
cos  =
=
tan  x
y
r
x
cos  =
r
y
tan  =
x
csc  =
sin  =
a
b
c
=
=
sin A sin B sin C
ATURAN KOSINUS
Jika diketahui dua sisi dan sudut apit
atau diketahui ketiga sisinya
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
SUDUT ISTIMEWA

0o
sin 
0
cos 
1
tan 
0
30o
45o
60o
1
1
2
2
1
2
2
1
3
2
1
1
3
2
1
3
2
1
3
3
2
90o
cos A =
1
0
-
L=
Derajat
180
90
60
45
30
Radian


2

3

4

6
➢
1
2
 alas  tinggi
diketahui 2 sisi dan sudut apitnya
L = 12 ab sin C
➢
HUBUNGAN sin A dan cos A
diketahui ketiga sisinya
L = s(s − a)(s − b)(s − c)
sin2 A = 1 − cos2 A
➢
cos2 A = 1 − sin2 A
s = ½ keliling
diketahui koordinatnya
L=
1 + tan A = sec A
2
b2 + c2 − a2
2bc
LUAS SEGITIGA
➢ diketahui alas dan tingginya
UKURAN SUDUT
HUBUNGAN
tan A dan sec A
C
2
1
2
xA
yA
xB
yB
xC
yC
GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI
➢
RUMUS-RUMUS UNTUK JUMLAH DUA SUDUT
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
y = sin xo
sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
y
1
270
0
90
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
360
xO
180
tan a + tan b
1 − tan a tan b
tan a − tan b
tan( a − b ) =
1 + tan a tan b
-1
➢
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
tan( a + b ) =
y = cos xo
y
1
270
0
90
RUMUS-RUMUS SUDUT RANGKAP
360
xO
180
sin 2a = 2 sin a cos a
-1
sin x = 2 sin 12 x cos 12 x
➢
y = tan xo
cos 2a = cos2 a − sin2 a
y
cos 2a = 2 cos2 a − 1
270
0
90
180
360
O
x
cos 2a = 1 − 2 sin2 a
cos x = cos 2 12 x − sin 2 12 x
cos x = 2 cos 2 12 x − 1
GRAFIK :
cos x = 1 − 2 sin 2 12 x
y = 2 sin x
Diperoleh dari grafik y = sin x dengan
mengalikan ordinatnya dengan 2
ymaks = 2 , ymin = -2
y = sin (x – ½ )
Diperoleh dari grafik y = sin x dengan
menggeser ½  satuan ke kanan searah
sumbu x
y = sin 2x
,
Diperoleh dari grafik y = sin x dengan
periode 
y = sin x + 2 ,
Diperoleh dari grafik y = sin x dengan
menggeser 2 satuan ke atas
searah sumbu y
tan 2a =
2 tan a
1 − tan 2 a
tan x =
2 tan 12 x
1 − tan 2 12 x
RUMUS JUMLAH/SELISIH SIN / COS
sin a + sin b = 2sin 12 ( a + b) cos 12 (a − b)
sin a − sin b = 2 cos 12 (a + b) sin 12 ( a − b)
cos a + cos b = 2 cos 12 (a + b) cos 12 (a − b)
cos a − cos b = −2sin 12 (a + b)sin 12 ( a − b)
RUMUS-RUMUS PERKALIAN
2 sin A cos B = sin(A+B) + sin(A−B)
2 cos A sin B = sin(A+B) – sin(A−B)
2 cos A cos B = cos(A+B) + cos(A−B)
-2 sin A sin B = cos(A+B) – cos(A−B)
PERSAMAAN TRIGONOMETRI
➢ Persamaan Dasar Sinus
sin xo = sin po  x1 = p + k.360
x2 = (180-p)+k.360
➢
LOGIKA
TABEL KEBENARAN
p
B
B
S
S
Persamaan Dasar Cosinus
cos xo = cos po  x =  p + k.360
➢
Persamaan Dasar Tangen
a cos x + b sin x = k cos (x - )
dengan :
k = a +b
2
+
  di kuadran I
+
−
  di kuadran III
+
➢
tan  =
2
b
a
+
  di kuadran II
−
−
  di kuadran IV
−
Persamaan “a cos x + b sin x = c”
Syarat
pq
B
S
S
S
pq
B
S
B
B
pq
B
S
S
B
o
BENTUK “a cos x + b sin x”
➢ Mengubah bentuk “a cos x + b sin x”
➢
pq
B
B
B
S
INGKARAN PERNYATAAN MAJEMUK
tan x = tan p  x = p + k.180
o
q
B
S
B
S
c2  a2 + b2
➢
Ingkaran
Konjungsi
dan Disjungsi
➢
Ingkaran Implikasi
(p  q)  p  q
(p  q)  p  q
(p  q)  p  q
INGKARAN PERNYATAAN BERKUANTOR
❖ Kuantornya diganti
❖ Pernyataannya diingkari
Pernyataan
Ingkaran
❖ Semua ….
Beberapa … tidak …
Ada … tidak …
Semua … tidak …
❖ Beberapa … Tidak ada …
KELUARGA IMPLIKASI
pq
qp
p  q
q  p
:
:
:
:
implikasi
konvers
invers
kontraposisi
Fungsi “f(x) = a cos x + b sin x + c”
fmaks = k + c
fmin. = -k + c
PERNYATAAN YANG EKIVALEN
p  q  q  p
p  q  p  q
p  q  ~p  q
PENARIKAN KESIMPULAN
pq
p
q
pq
q
p
Modus
Ponens
Modus
Tollens
pq
qr
p  r
Silogisme
p
NOTASI FAKTORIAL
n ! = n.(n-1).(n-2).(n-3). . . .
4.3.2.1
P( E ) =
➢ Peluang suatu kejadian E
PERMUTASI
➢
PELUANG
Permutasi n unsur
Pn = n !
n(E)
n(S)
➢ Peluang Bukan Kejadian E (Komplemen)
yang berbeda
➢
Permutasi k unsur
dari n unsur berbeda
➢
Permutasi dengan
unsur-unsur sama
➢
n Pk
=
P(E' ) = 1 − P(E)
n!
(n − k)!
➢ Peluang Kejadian A atau B (Lepas, 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝟎)
n!
Pn =
k!l! m!...
Permutasi meligkar/
siklik dari n unsur
Pn = (n – 1) !
P( A  B) = P( A) + P(B)
➢ Peluang Kejadian A atau B (Tidak Lepas 𝑨 ∩
𝑩 ≠ 𝟎)
P( A  B) = P( A) + P( B) − P( A  B)
KOMBINASI
Kombinasi k unsur
dari n unsur
n Ck
=
n!
(n − k)!k!
➢ Peluang Kejadian A dan B (Bebas)
P( A  B) = P( A)  P(B)
EKSPANSI BINOMIAL
n
(a + b )n =  n C r .a n− r .b r
r =0
JARAK
➢ Jarak antara 2 titik (x1, y1) dan (x2, y2)
r = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 )
2
Persamaan Umum Lingkaran
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
2
Pusat P(-½ A, -½B)
➢
Jarak antara titip (p,q) ke garis Ax+By+C=0
r=
2
Jari-jari r =
Ap + Bq + C
2
 1   1 
 − A +  − B − C
 2   2 
A2 + B 2
GARIS SINGGUNG
PERSAMAAN LINGKARAN
➢
Pusat O(0,0)
dan jari-jari r
x2 + y2 = r2
➢
Garis Singgung di titik (x1, y1) pada Lingkaran
(Rumus “Bagi Adil”)
Persamaan
Lingkaran
➢
Pusat P(h,k)
dan jari-jari r
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
Persamaan
Garis singgung
x2 + y2 = r2
x1x + y1y = r2
(x–h)2+(y–k)2=r2
(x1–h)(x–h)+(y1–k)(y–k)=r2
➢
Garis Singgung dengan Gradien m
Persamaan
Lingkaran
Persamaan
Garis singgung
x2 + y2 = r2
y = mx  r m2 + 1
(x–h)2+(y–k)2=r2
y − k = m (x − h)  r m 2 + 1
➢
Persamaan Garis Singgung
dari titik (x1, y1) di luar Lingkaran
❖ Misalkan : y = mx + c
❖ Substitusi
❖ Syarat : b2 – 4ac = 0
RATA-RATA HITUNG (MEAN)
x=
 fx
f
x = x0 +
➢
Rata-rata
Gabungan
 fd
f
x = x0 +
x=
 fu  C
f
n1 x1 + n 2 x 2
n1 + n 2
n1, n2 = banyaknya data kelompok 1, 2
x1 , x 2 = rata-rata kelompok 1, 2
MODUS
a
Mo = Tb +
C
a+b
Tb = Tepi bawah kelas modus
a = Selisih frekuensi kelas modus
dengan kelas sebelumnya
b = Selisih frekuensi kelas modus
dengan kelas sesudahnya
Simpangan Kuartil (Qd)
Q d = 12 (Q 3 − Q1 )
Q3 = kuartil atas
Q1 = kuartil bawah
Simpangan Rata-rata = Mean Deviation (SR)
Data tunggal
n
SR =

i =1
Data kelompok
n
f x −x
SR =
f
xi − x
i =1
n
i
i
i
x i = data ke i
x = rata-rata kelompok
f i = frekuensi
Simpangan Baku = Standar Deviasi (SD)
MEDIAN
Me = Tb +
1
2
n − fk
C
f
Tb = Tepi bawah kelas median
n = Jumlah seluruh freuensi
fk = Frekuensi kumulatif
sebelum kelas median
f = Frekuensi kelas median
Data tunggal
 (x
n
SD =
i =1
i
−x
Data kelompok
)
SD =
n
i
n − fk
4
Qi = Tb +
C
f
Ragam = Varians = V
 f (x − x )
V = ( SD ) =
f
i = 1 → Q1 = kuartil bawah
i = 2 → Q2 = kuartil tengah/median
i = 3 → Q3 = kuartil atas
Jangkauan = Range (R)
R = skor maks - skor min
2
i =1
2
i
i
i
n
KUARTIL
 f (x − x )
f
n
2
i =1
2
i
i
i
LIMIT FUNGSI ALJABAR
BILANGAN e
f (a) 0
f ( x)
Jika
diselesaikan
= , maka lim
x→ a g ( x )
g (a) 0
dengan cara sebagai berikut:
1. Difaktorkan, jika f(x) dan g(x) bisa
difaktorkan
2. Dikalikan dengan sekawan pembilang
atau penyebut jika f(x) atau g(x)
berbentuk akar
➢
➢
Rumus l’Hopital
(menggunakan turunan)
asalkan
f ( x ) f ' (a ) f’(a) dan g’(a)
lim
=
x→a g( x )
g' (a ) keduanya  0
lim
1.
2.
3.
n −1
m
m −1
ax + bx
x →  cx
+ dx
+ ...
+ ...
a.
a
p=
, jika m = n
c
b.
c.
p = 0, jika n < m
p = , jika n > m
lim
x →
a.
b.
c.
lim
x →
(
(
lim
x→0
tan ax a
=
sin bx b
lim(1 + x ) x = e
x
1
1

lim 1 +  = e
x→ ~
x

x→0
TURUNAN
➢ Turunan xn
f ( x ) = x n  f ' ( x ) = nx n −1
➢
Turunan Jumlah/Selisih dua fungsi
y = u  v  y' = u' v'
➢
Untuk x → , bagilah pembilang dan
penyebut dengan x pangkat tertinggi
n
sin ax a
=
x → 0 tan bx
b
lim
Turunan Hasil kali dua fungsi
y = u.v  y' = u'. v + u.v'
= p , dimana:
➢
Turunan Hasil bagi dua fungsi
y=
➢
u
u'. v − u. v'
 y' =
v
v2
Turunan fungsi majemuk (Dalil Rantai)
y = u n  y' = nu n−1 .u'
)
ax + b  cx + d = q, dimana:
HITUNG DIFERENSIAL
➢ Tafsiran Geometri
q = , bila a > c
q = 0, bila a = c
q = –, bila a < c
)
ax 2 + bx + c − ax 2 + qx + r =
f ' (x) =
b−q
2 a
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
lim
sin ax a
=
x → 0 bx
b
ax
a
=
x → 0 sin bx
b
lim
tan ax a
=
x→ 0 bx
b
ax
a
=
x → 0 tan bx
b
sin ax a
lim
=
x → 0 sin bx
b
tan ax a
lim
=
x → 0 tan bx
b
lim
dy
= gradien garis singgung di (x,y)
dx
pada kurva y = f(x)
➢
Fungsi Naik
f’(x) > 0
➢
Fungsi Turun
f’(x) < 0
➢
Keadaan Stasioner
f’(x) = 0
lim
Jenis-jenis stasioner :
❖ titik balik maksimum
❖ titik balik minimum
❖ titik belok horisontal
FUNGSI KOMPOSISI & FUNGSI INVERS
PEMBAGIAN SUKU BANYAK
➢
➢
Fungsi Komposisi
Yang dibagi = Pembagi  Hasil bagi + Sisa
(g  f )(x ) = g(f ( x ))
(f  g )(x ) = f (g( x ))
➢
Fungsi Invers
F(x) = P(x).H(x) + S(x)
TEOREMA SISA
Jika f(x) dibagi oleh (x – h) maka
Sisanya = f(h)
f
x
f(x)=y
Jika f(x) dibagi oleh (ax – b) maka
Sisanya = f( b )
f--1
a
➢
Pembagian
oleh (x – a)
➢
Pembagian
oleh (ax – b)
Mencari Invers suatu Fungsi
❖ dimisalkan f(x) = y
❖ dicari x, di mana x = f--1(y)
❖ f-1(x) diperoleh dari f-1(y) dengan
cara mengganti y dengan x
❖ Invers Fungsi Pecahan
f ( x) =
Persamaan Dasar
ax + b
dx − b
 f −1 ( x ) =
cx + d
− cx + a
“tukar tempat, ganti tanda”
➢
Sisa = f(a)
Sisa =
f ( ba )
Pembagian oleh (x – a)(x – b)
Sisa = x−b f (a) + x−a f (b)
a−b
b −a
TEOREMA FAKTOR
Jika f(x) suatu suku banyak, maka
f(h) = 0  (x – h) faktor dari f(x)
❖ Sifat-sifat
f  f--1 = f--1  f = I
(g  f)-1 = f-1  g-1
(g  f)  f -1 = g
g  (g −1  f) = f
JUMLAH & HASIL KALI AKAR-AKAR
ax3 + bx2 + cx + d = 0
❖ x1 + x2 + x3 =
−b
a
❖ x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 =
❖ x1.x2.x3 =
−d
a
c
a
NOTASI SIGMA
n
 ak
k =1
BARISAN & DERET GEOMETRI
➢
= a1 + a2 + a3 + ...... + an
u2 u3
=
u1 u 2
n
+ a+
a
+
......+a = na
 a = a+a
k =1
n suku
n
 (a k + b k ) =
k =1
rasio(r ) =
n
 ak +
k =1
 bk
k =1
➢
Ciri Barisan Aritmetika
Selisih dua suku yang berurutan sama
Rumus Suku ke-n : un
u n = ar n−1
➢
u 2 − u1 = u 3 − u 2
Rumus Jumlah n suku : Sn
Sn =
a(r n − 1)
r −1
Sn =
a(1 − r n )
1− r
beda = u 2 − u 1
➢
Rumus Jumlah n suku : Sn
Sn =
Sn =
1
n( a + u n )
2
Hubungan Un dan Sn
U n = S n − S n −1
➢
n = banyak suku
a = suku awal
b = beda
un= suku akhir
ut = suku tengah (n
ganjil)
Hubungan
Un dan Sn
U n = S n − S n −1
DERET GEOMETRI KONVERGEN
➢
1
n[2a + (n − 1)b]
2
S n = n.u t
➢
,
Rumus Suku ke-n : un
u n = a + (n − 1)b
➢
u2
u1
n
BARISAN & DERET ARITMETIKA
➢
Ciri Barisan Geometri
Perbandingan dua suku yang berurutan
sama
Jumlah sampai tak hingga
S =
➢
a
1−r
Syarat deret konvergen
(agar ada jumlah sampai tak hingga)
-1 < r < 1
➢
GRADIEN GARIS
m AB
implisit
ax + by + c = 0
y − yA
= B
xB − x A
m=−
m = tan 
 = sudut antara garis dengan sumbu X+
a
b
KEDUDUKAN DUA GARIS
➢
sejajar
m1 = m 2
➢
tegak lurus
m 1 .m 2 = −1
PERSAMAAN GARIS
➢
melalui dua titik sembarang
y − y1
x − x1
=
y 2 − y 1 x 2 − x1
➢
JARAK TITIK (x1,y1) ke GARIS ax + by + c = 0
melalui titik (a, 0) dan (0, b)
d=
x y
+ =1
a b
➢
Melalui sebuah titik (a, b) dengan gradien
m
Langkah-langkah penyelesaian
❖ Buat model matematika dan fungsi sasaran
dan kendala/ pembatas
❖ Gambar grafik himpunan penyelesaian (HP)
❖ Tentukan koordinat titik-titik sudut/pojok
dari HP
❖ Substitusikan ke fungsi sasaran
❖ Tentukan nilai maksimum/ minimum
bentuk obyektif
BENTUK UMUM PERSAMAAN GARIS
eksplisit
y = mx + c
gradien = m
melalui titik (0,c)
➢ Transpose Matriks
a b 
k
 , dan B = 
c d 
m
a b  k l   a + k
 = 
= 
 + 
 c d m n c + m
Jika A = 
a
Jika A = 
c
b
 , maka transpose matriks A
d 
a c
adalah AT = 

b d
➢ Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Dua matriks dapat dijumlahkan bila kedua matriks
tersebut berordo sama. Penjumlahan dilakukan
dengan menjumlahkan elemen–elemen yang
seletak
a2 + b2
PROGRAM LINIER
y − b = m( x − a)
➢
ax 1 + by 1 + c
➢
l
 , maka A + B
n 
b+l 

d + n 
Perkalian Matriks
(a
p
b )  = (ap + bq )
q
 a b  p   ap + bq 

  = 

 c d  q   cp + dq 
 a b  p r   ap + bq ar + bs 


 = 

 c d  q s   cp + dq cr + ds 
Cara mengalikan matriks :
“baris-baris dikalikan kolom-kolom, kemudian
hasilnya dijumlahkan”
➢
a b
1  d − b
  A −1 =


A = 
det .A  − c a 
 c d
Determinan
Matriks Singular
(tidak mempunyai invers)
a b
a b
  det .A =
A = 
= ad − bc
c d
 c d
Determinan = 0
Sifat–sifat determinan matriks bujursangkar
1. det (A ± B) = det(A) ± det(B)
➢
Sifat Invers
A . A −1 = A −1 . A = I
2. det(AB) = det(A)  det(B)
3. det(AT) = det(A)
4. det (A–1) =
➢
➢
1
det( A)
AX = B  X = A −1 B
Invers Matriks
XA = B  X = BA −1
➢
BANGUN-BANGUN RUANG
➢
Persamaan Matriks
Bidang-4 Beraturan
Kubus
a
Rusuk kubus = a
❖ Diagonal sisi =
a
a
a 2
t
❖ Diagonal ruang = a 3
❖ Luas permukaan = 6a
❖ Volume = a3
➢
a
2
a
Rusuk = a  Tinggi = 13 a 6
Balok
H
Rusuk balok = p, l, t
❖ Diagonal ruang =
p2 + l2 + t2
❖ Luas permukaan = 2(pl
❖ Volume = p.l.t
➢
E
G
F
+ pt + lt)
C
D
A
B
Prisma
Luas Selubung = Keliling Alas x Tinggi
Volume = Luas Alas x Tinggi
➢
a
Limas
Volume =
1
x Luas Alas x Tinggi
3
PROYEKSI
❖ F ke ABCD = B
❖ AF ke ABCD = AB
❖ AG ke ABCD = AC
❖ AF ke EFGH = EF
❖ AF ke ACGE = AP, P = titik tengah FH
❖ BC ke BDG = BZ, Z = titik berat BDG
JARAK
RUMUS PERBANDINGAN (pada segitiga siku-siku)
❖ E ke ABCD = FB = a
❖ E ke BDHF = EP = 1 EG = 1 a 2
2
❖ E ke BDG = EZ =
❖ AFH dan BDG =
1
3
2a
3
EC =
EC =
1a
3
3
c
t2 = pq
b
3
SUDUT
❖ (AF, ABCD) = FAB
❖ (AG, ABCD) = GAC
❖ (AF, ACGE) = FAP
❖ (AH, BD) = (BG, BD) = DBG
❖ (AFH, EFGH) = APE
❖ (AFH, CFH) = APC
➢
Integral tak tentu
➢
Integral Khusus
 (ax + b)
➢
n
dx =
x
n
dx =
t c = ab
p
2
2
3
1
n+1
1 (ax + b) n+1
a(n +1)
t
a2 = q  c
q
b2 = p  c
a
x n+1 + C
 tan x dx = ln sec x + C = − ln cos x + C
 cot x dx = − ln csc x + C = ln sin x + C
 sec x dx = ln sec x + tan x + C
 csc x dx = ln csc x − cot x + C
+C
Integral Fungsi Trigonometri
 cos x dx = sin x + C
 sin x dx = − cos x + C
 sec x dx = tan x + C
 csc x dx = − cot x + C
 sec x . tan x dx = sec x + C
 csc x . cot x dx = − csc x + C
➢
Turunan Fungsi Eksponen & Logaritma
y = e x  y' = e x
y = e u  y' = e u .u'
2
2
 cos(ax + b) dx = sin(ax + b) + C
 sin(ax + b) dx = − cos(ax + b) + C
 sec (ax + b) dx = tan(ax + b) + C
 csc (ax + b) dx = − cot(ax + b) + C
 sec(ax + b). tan(ax + b) dx = sec(ax + b) + C
 csc(ax + b). cot(ax + b) dx = − csc(ax + b) + C
1
a
1
a
2
2
1
a
1
a
1
a
1
a
1
x
1
y = ln u  y' = .u'
u
y = ln x  y' =
➢
Integral Fungsi Eksponen & Logaritma
e
x
dx = e x + C
1
 x dx = ln x + C
e
ax + b
1
dx = a1 e ax + b + C
 ax + b dx =
1
a
ln ax + b + C
➢
Integral Substitusi Fungsi Trigonometri
Jenis Integral
➢

a 2 − x 2 dx

x 2 − a 2 dx

x 2 + a 2 dx
Pemisalan
2.
➢
➢
➢
 x = a.sinθ
atau

 x = a.cos θ
 x = a.sec
atau

 x = a.csc
 x = a.tan 
atau

 x = a.cot
Untuk menghitung luas daerah antara:
Parabola dan sumbu X
Parabola dan garis
D D
Parabola dan parabola
L=
6a 2
2
D = b – 4ac
Volume benda putar
➢
Volum benda putar jika kurva y = f(x)
diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 0
b
b
Integral Parsial
V =   [f ( x)]2 dx
V =   y dx
2
 u dv = uv −  v du
a
a
➢
Luas daerah
Volum benda putar jika kurva x = f(y)
diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360 0
d
d
➢
V =   [f ( y )]dy
V =   x 2 dy
Luas daerah antara kurva y = f(x) dan sumbu X
c
c
b
L=
 y dx
b
L =  f ( x ) dx
a
➢
Luas daerah antara kurva x = f(y) dan sumbu Y
b
L=
 x dy
Volum benda putar jika daerah antara kurva y1
= f(x) dan y2 = g(x) diputar mengelilingi sumbu
X sejauh 3600
b
V =   ( y 12 − y 22 )dx
b
L =  f ( y ) dy
a
➢
➢
a
a
a
b
Luas daerah antara kurva y1 = f(x) dan
y2 = g(x)
V =   [(f ( x)) 2 − (g( x)) 2 ]dx
a
b
L =  ( y 1 − y 2 )dx
b
L =  [f ( x ) − g( x )]dx
a
➢
a
Luas daerah antara kurva x1 = f(y) dan
x2 = g(y)
➢
Volum benda putar jika daerah antara kurva x1
= f(y) dan x2 = g(y) diputar mengelilingi sumbu
Y sejauh 3600
d
V =   ( x 12 − x 22 )dy
c
b
L =  ( x1 − x 2 )dy
a
b
L =  [ f ( y ) − g( y )]dy
a
d
V =   [(f ( y )) 2 − (g( y )) 2 ]dy
c
RUMUS KHUSUS
1. Untuk menghitung luas daerah:
t
a
L=
2
at
3
RUMUS KHUSUS
Menghitung volume benda putar dari bidang
antara y=f(x), sumbu X dan a  x  b
mengelilingi sumbu Y
V = 2
b
 x. f ( x ) dx
a
➢
PENCERMINAN/REFLEKSI
Pencerminan
terhadap sumbu X
1 0 

M x = 
 0 − 1
Pencerminan
terhadap sumbu Y
 − 1 0

M y = 
 0 1
➢
Pencerminan
terhadap garis y = x
 0 1

M y = x = 
 1 0
➢
Pencerminan
terhadap garis y = -x
 0 − 1

M y = − x = 
−1 0 
➢
➢
Pencerminan terhadap garis x = h dilanjutkan
terhadap garis y = k
( x, y )  ( 2h − x, 2k − y )
➢
Putaran terhadap P(a, b) sejauh 
 x'   cos 
  = 
 y'   sin 
➢
− sin   x − a   a 

+ 
cos   y − b   b 
Dilatasi terhadap P(a, b) dan
faktor skala k
 x'   k
  = 
 y'   0
0  x − a   a 

+ 
k  y − b   b 
PUTARAN/ROTASI
➢ Putaran terhadap O sejauh 
 cos 
R  = 
 sin 
➢
➢
➢
LUAS BANGUN HASIL TRANSFORMASI
− sin  

cos  
Putaran terhadap O
sejauh 900
R
Putaran terhadap O
sejauh 1800
R
Putaran terhadap O
sejauh 2700 / –900
PERKALIAN/DILATASI
➢ Dilatasi terhadap O
dengan faktor k
0
= 
90
1
0
− 1

0 
L' = ad − bc  L
ad – bc = determinan
L = luas bangun semula
−1 0 

= 
180
 0 − 1
0
 0 1

R 0 = 
270
 − 1 0
k
D = 
0
0

k 
KOMPOSISI TRANSFORMASI
a
c
➢ Translasi T1 =   dilanjutkan T2 =  
b
d
a+ c

T2  T1 = 
b + d
L’ adalah luas bangun hasil transformasi
a b
dengan matriks 

 c d
GUSURAN dan REGANGAN
➢
Gusuran k,
invarian sumbu X
1 k

G X = 
0 1
➢
Gusuran k,
invarian sumbu Y
 1 0

GY = 
 k 1
➢
Regangan k,
searah sumbu X
 k 0

R X = 
 0 1
➢
Regangan k,
searah sumbu Y
1 0

RY = 
0
k


VEKTOR POSISI
➢
Vektor posisi titik A(a1,a2,a3) adalah OA = a
 a1 
A(a1 , a2 , a3 )  OA = a =  a2 
 a3 
➢
Titik Tengah
Garis AB
1
t = ( a + b)
2
➢
Titik Berat
Segitiga ABC
1
z = (a + b + c)
3
KOMPONEN VEKTOR
➢ Komponen vektor AB
TIGA TITIK SEGARIS (KOLINIER)
 xB − x A 
AB = b − a =  yB − y A 
 z B − z A 
➢
Syarat agar
A, B, C segaris
PERKALIAN SKALAR
a.b = a b cos 
BESAR/PANJANG VEKTOR
a 
u =  b   u = a 2 + b 2 + c 2
 c 
➢
AC = k AB
a.b = (a1b1 + a2b2 + a3b3 )
➢
Sifat-sifat Perkalian Skalar
Rumus Jarak
AB = ( xB − xA )2 + ( yB − y A )2 + ( zB − z A ) 2
a.a = a
2
a.(b + c) = a.b + a.c
➢
Besar Jumlah/Selisih Dua Vektor
SUDUT ANTARA DUA VEKTOR
a+b =
2
2
a + b + 2 a b cos 
cos =
a.b
a b
a −b =
2
2
a + b − 2 a b cos 
cos  =
RUMUS PEMBAGIAN
m
➢
(a 12 + a 22 + a 23 )(b 12 + b 22 + b 23 )
a dan b saling tegak lurus  a.b = 0
P
A
a 1b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3
B
n
Jika titik P membagi ruas garis AB dalam
perbandingan m : n, maka
PROYEKSI VEKTOR
a.b
⃗ pada ⃗𝒃=
Panjang Proyeksi 𝒂
b
p=
mb + na
m+n
mx B + nx A
xP =
m+n
my B + ny A
yP =
m+n
mz B + nz A
zP =
m+n
⃗ pada 𝒂
⃗ =
Proyeksi vektor 𝒂
a.b
b
2
.b
Irisan Kerucut
Persamaan Fungsi
𝑦 2 = 4𝑝𝑥
Parabola
Horisontal
PARABOLA
(𝑦 − 𝑏)2 = 4𝑝(𝑥 − 𝑎)
𝑥 2 = 4𝑝𝑦
Parabola
Vertikal
(𝑥 − 𝑎)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑏)
𝑥2 𝑦2
+
=1
𝑎2 𝑏2
Elips
Horisontal
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐 2
a>𝑏
(𝑥 − 𝑝)2 (𝑦 − 𝑞)2
+
=1
𝑎2
𝑏2
Properti
Puncak (0,0), Fokus (𝑝, 0)
Direktris 𝑥 = −𝑝
Panjang Lactus Rectum = | 4𝑝 |
Persamaan garis singgung
Bergradien m
Di (𝑥1 , 𝑥1 )
𝑝
𝑦 = 𝑚𝑥 +
𝑦1 𝑦 = 2𝑝(𝑥1 + 𝑥)
𝑚
Puncak (𝑎, 𝑏), Fokus (𝑎 + 𝑝, 𝑏)
Direktris 𝑥 = 𝑎 − 𝑝
Panjang Lactus Rectum = | 4𝑝 |
Persamaan garis singgung
Bergradien m
di (𝑥1 , 𝑥1 )
𝑝
(𝑦1 − 𝑏)(𝑦 − 𝑏) = 2𝑝(𝑥1 + 𝑥
𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎) +
𝑚
− 2𝑎)
Puncak (0,0), Fokus (0, 𝑝)
Direktris 𝑦 = −𝑝
Panjang Lactus Rectum = | 4𝑝 |
Pgs bergradien m
Pgs di (𝑥1 , 𝑥1 )
𝑥1 𝑥 = 2𝑝(𝑦1 + 𝑦)
𝑦 = 𝑚𝑥 − 𝑚2 𝑝
Puncak (𝑎, 𝑏), Fokus (𝑎, 𝑏 + 𝑝)
Direktris 𝑦 = 𝑏 − 𝑝
Panjang Lactus Rectum = | 4𝑝 |
Pgs bergradien m
Pgs di (𝑥1 , 𝑥1 )
(𝑥1 − 𝑎)(𝑥 − 𝑎) = 2𝑝(𝑦1 + 𝑦
𝑦 − 𝑏 = 𝑚 (𝑥 − 𝑎 ) − 𝑚 2 𝑝
− 2𝑎)
Pusat (0,0), fokus (±𝑐, 0), Puncak (±𝑎, 0) dan (0, ±𝑏)
Panjang sumbu mayor = 2a, panjang sumbu minor = 2b
𝑎2
2𝑏2
; 𝐿𝑅 = | 𝑎 |
𝑐
Pgs bergradien m
Pgs di (𝑥1 , 𝑥1 )
𝑥1 𝑥 𝑦1 𝑦
𝑦 = 𝑚𝑥 ± √𝑎2 𝑚2 + 𝑏2
+ 2 =1
𝑎2
𝑏
Pusat (𝑝, 𝑞), fokus (𝑝 ± 𝑐, 𝑞), Puncak (𝑝 ± 𝑎, 𝑞) dan (𝑝, 𝑞 ± 𝑏)
Panjang sumbu mayor = 2a, panjang sumbu minor = 2b
Direktris 𝑥 = ±
𝑎2
2𝑏2
Direktris 𝑥 = 𝑝 ± 𝑐 ; 𝐿𝑅 = |
Pgs di (𝑥1 , 𝑥1 )
𝑎
|
Pgs bergradien m
ELIPS
(𝑥1 − 𝑝)(𝑥 − 𝑝) (𝑦1 − 𝑞)(𝑦 − 𝑞)
+
=1
𝑎2
𝑏2
Pusat (0,0), fokus (0, ±𝑐), Puncak (0, ±𝑎) dan (±𝑏, 0)
Panjang sumbu mayor = 2a, panjang sumbu minor = 2b
𝑥2 𝑦2
+
=1
𝑏2 𝑎2
Elips
Vertikal
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐 2
a>𝑏
(𝑥 − 𝑝)2 (𝑦 − 𝑞)2
+
=1
𝑏2
𝑎2
𝑎2
2𝑏2
; 𝐿𝑅 = | 𝑎 |
Pgs bergradien m
Pgs di (𝑥1 , 𝑥1 )
𝑥1 𝑥 𝑦1 𝑦
𝑦 = 𝑚𝑥 ± √𝑎2 + 𝑏2 𝑚2
+ 2 =1
𝑏2
𝑎
Pusat (𝑝, 𝑞), fokus (𝑝, 𝑞 ± 𝑐), Puncak (𝑝, 𝑞 ± 𝑎) dan (𝑝 ± 𝑏, 𝑞)
Panjang sumbu mayor = 2a, panjang sumbu minor = 2b
Direktris 𝑦 = ±
𝑐
𝑎2
2𝑏2
Direktris 𝑦 = 𝑞 ± 𝑐 ; 𝐿𝑅 = |
Pgs di (𝑥1 , 𝑥1 )
𝑎
|
Pgs bergradien m
𝑦 − 𝑞 = 𝑚(𝑥 − 𝑝)
± √𝑎2 + 𝑏2 𝑚2
Pusat (0,0), fokus (±𝑐, 0), Puncak (±𝑎, 0)
Panjang sumbu nyata = 2a, panjang sumbu khayal = 2b
(𝑥1 − 𝑝)(𝑥 − 𝑝) (𝑦1 − 𝑞)(𝑦 − 𝑞)
+
=1
𝑏2
𝑎2
HIPER
BOLA
𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± √𝑎2 𝑚2 + 𝑏2
Hiperbola
Horisontal
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏2
𝑥2 𝑦2
−
=1
𝑎2 𝑏2
Direktris 𝑥 = ±
𝑎2
𝑐
;
𝑏
Asimtot 𝑦 = ± 𝑥 ,
𝑎
2𝑏2
|
𝐿𝑅 = |
𝑎
Pgs bergradien m
Pgs di (𝑥1 , 𝑥1 )
𝑥1 𝑥 𝑦1 𝑦
𝑦 = 𝑚𝑥 ± √𝑎2 𝑚2 − 𝑏2
− 2 =1
𝑎2
𝑏
Pusat (𝑝, 𝑞), fokus (𝑝 ± 𝑐, 𝑞), Puncak (𝑝 ± 𝑎, 𝑞)
Panjang sumbu nyata = 2a, panjang sumbu khayal = 2b
Direktris 𝑥 = 𝑝 ±
(𝑥 − 𝑝)2 (𝑦 − 𝑞)2
−
=1
𝑎2
𝑏2
𝑎2
𝑏
𝑐
;
Asimtot 𝑦 = 𝑞 ± 𝑎 (𝑥 − 𝑝) ,
2𝑏2
|
𝐿𝑅 = |
𝑎
Pgs di (𝑥1 , 𝑥1 )
(𝑥1 − 𝑝)(𝑥 − 𝑝) (𝑦1 − 𝑞)(𝑦 − 𝑞)
−
=1
𝑎2
𝑏2
Pgs bergradien m
𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± √𝑎2 𝑚2 − 𝑏2
Pusat (0,0), fokus (0, ±𝑐), Puncak (0, ±𝑎)
Panjang sumbu nyata = 2a, panjang sumbu khayal = 2b
Direktris 𝑦 = ±
𝑦2 𝑥2
−
=1
𝑎2 𝑏2
Hiperbola
Vertikal
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏2
𝑎
𝑐
;
Asimtot 𝑦 = ± 𝑏 𝑥 ,
2𝑏2
|
𝐿𝑅 = |
𝑎
Pgs bergradien m
Pgs di (𝑥1 , 𝑥1 )
𝑦1 𝑦 𝑥1 𝑥
𝑦 = 𝑚𝑥 ± √𝑏2 − 𝑎2 𝑚2
− 2 =1
𝑎2
𝑏
Pusat (𝑝, 𝑞), fokus (𝑝, 𝑞 ± 𝑐), Puncak (𝑝, 𝑞 ± 𝑎)
Panjang sumbu nyata = 2a, panjang sumbu khayal = 2b
Direktris 𝑦 = ±
(𝑦 − 𝑞)2 (𝑥 − 𝑝)2
−
=1
𝑎2
𝑏2
𝑎2
𝑎2
𝑐
;
𝑎
Asimtot 𝑦 − 𝑞 = ± 𝑏 (𝑥 − 𝑝) ,
2𝑏2
|
𝐿𝑅 = |
𝑎
Pgs di (𝑥1 , 𝑥1 )
(𝑦1 − 𝑝)(𝑦 − 𝑝) (𝑥1 − 𝑞)(𝑥 − 𝑞)
−
=1
𝑎2
𝑏2
Pgs bergradien m
𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± √𝑏2 − 𝑎2 𝑚2