2021/11/28 下午4:40
有限元分析（FEA）是个什么东东 - 知乎
首发于
小潘是个工程师
参考文献：
[1] Larson, Mats G., and Fredrik Bengzon. "The finite element method: theory,
implementation, and practice."
五、如何获得“弱形式”的解
前面我们计算了函数
的，那
的基函数空间的投影情况，我们说有限元是为了解决偏微分方程求解
和偏微分方程又有什么关系呢？这就牵扯到微分方程的“弱形式”了！获得微分方
程的“弱形式”解，可以说是有限元法最重要的概念之一，我们看一下是怎么一回事！假设我们微
分方程具有下列形式：
边界条件为：
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其中
和
为给定的函数，
，
，
和
是给定常数。具
有给定热源的一维热传导方程就具备这种形式。微分方程描述的是微观状态，但是我们一般更容易
掌握的是宏观的现象，所以呢，方程我们一般喜欢把微分方程转化成积分方程，比如对上式两边同
时积分：
乍一看，皆大欢喜，实际上有问题，问题在哪呢？——以上方程表示在整个计算域
中，
方程的积分值相等，也就是平均值相等，与原来要求处处相等相比，显得“太弱了”！那怎么办
呢？——我们可以找一个试函数
当然，
（任意的），将原方程改写成如下方式：
不能表现太糟糕，至少要保证两边积分都是收敛的。上述方程对于所有满足条件的
都成立，这个要求太强了，显然当
时这个方程是成立的，那是不是只有
这种情况下才成立呢？——实际上就是的，这可以通过变分法证明。
下一个问题就来了，既然
有千千万万，那我们到底选择哪一个？总不能都选择吧！——前
面我们说了，有限元就是为了解决偏微分方程的求解问题，思路就是将复杂的空间切成很多小区
域，每个区域上假设一个试函数test function（或者叫形函数shape function）
通过求取试函数的系数
来获得函数
，然后
的近似。试函数有一个特点，它只在一个很小的区
间上有数值，其他地方都为零。如果我们在每个点上都用试函数测试一遍，这样至少能保证所单元
上都成立的！——这种将试函数和形函数选择为同一个函数的方法，是一个俄国人最先使用的，
我们称之为伽辽金（Galerkin）法。
这样我们就得到了如下的方程：
这就是所谓的原微分方程的弱形式！之所以“弱”，是因为这个方程的解只能保证在每个单元上方
程左右两边的平均值相等，而不是原微分方程要求的每一点都相等。注意此时的
原微分方程的解
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已经与
有了差异，因为我们现在是用有限维空间去近似了原无限维空间。
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接下来我们要继续变形了，要稍微用点数学知识——不知道大家还记不得分部积分法：假设有函
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数
和
，则很容易得到
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乘积的微分为：
为二阶无穷小，可略去，所以可以得到：
两边积分得到：
现在我们令
，
，则有
所以我们可以得到：
通过这种变化，我们对
的要求由2阶降到了1阶，将形函数
从0阶增加到了1阶，由
于形函数是我们自己设计的，这就降低了对原微分方程解的光滑性要求。将边界条件代入上式，可
得展开的微分方程弱形式：
我们可以假设
代入展开的微分方程弱形式就可以得到：
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其中
和
为
矩阵，
和
为
向量，具体表达式如下：
矩阵，称之为刚度矩阵，
为负载矩阵，和前面的定义一
这样我们就将微分方程转化成了线性矩阵方程：
其中
为
样。和前面的计算相似，可以获得
的完整矩阵形式如下：
为边界条件带来的等效矩阵，显然只有
很容易求得
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，
或者
时
才有取值，
，即
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所以可以得到：
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MATLAB代码如下：
function A = StiffMat1D(x,kappa)
n = length(x)-1;
A = zeros(n+1,n+1);
for i = 1:n
h = x(i+1) - x(i);
A(i,i) = A(i,i) + 1/h;
A(i,i+1) = A(i,i+1) - 1/h;
A(i+1,i) = A(i+1,i) - 1/h;
A(i+1,i+1) = A(i+1,i+1) + 1/h;
end
A(1,1) = A(1,1) + kappa(1);
A(n+1,n+1) = A(n+1,n+1) + kappa(2);
很容易得到：
MATLAB代码如下：
function b = LoadVec1D(x,f,kappa,g)
n = length(x)-1;
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b = zeros(n+1,1);
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for i = 1:n
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h = x(i+1) - x(i);
b(i) = b(i) + f(x(i))*h/2;
b(i+1) = b(i+1) + f(x(i+1))*h/2;
end
b(1) = b(1) + kappa(1)*g(1);
b(n+1) = b(n+1) + kappa(2)*g(2);
举个例子：假设我们现在有一维导热方程如下：
边界条件为：
也就是左端是恒定温度边界条件，右端是绝热边界条件。对照之前我们理论推导，设定的边界条件
应该具有下列形式：
两者貌似不一致，怎么回事？——我们之所以用诺依曼边界条件进行推导，是因为微分方程弱形
式进行分部积分的时候会用到诺依曼条件，那假如是别的边界条件怎么办呢？比如本例中的就有狄
利克雷条件：
，这就需要一点数学技巧了！
我们知道，物理模型的量一般都是有界的，不会漫天飞，因此，我们可以认为
个有限值，现在假如
非常大，比如说达到
，所以只要我们设置
，那
也是一
要非常接近0才行，于是
即可；
第二个边界条件本身就是诺依曼条件，就简单了，直接设置
即可；
下面我们通过MATLAB来看一下，热源的代码为：
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