Cálculo en Varias Variables - Escuela de Matemáticas
Universidad Nacional, sede Medellín
Clase 2. Superficies cuadráticas. Curvas y superficies de nivel.
Superficies cuadráticas
Una superficie cuadrática (o superficie cuádrica) es la gráfica de una ecuación de segundo
grado en las variables x, y y z. Nos interesan aquellas de la forma
Ax2 + By2 + Cz2 = D
No es función
Ax2 + By2 + Ez = F
Es función
donde A, B, C, D, E y F son constantes (con A o B diferentes de cero).
Ejemplo.
Ya vimos ejemplos de superficies cuádricas que son z = 2x2 y x2 + y2 = 1.
Nota. Para graficar superficies cuádricas es útil determinar primero la forma de sus trazas.
Es decir, figuras planas que resultan al cortar la gráfica de la superficie con algún plano. En
general, consideramos los planos x = c, y = c y z = c, con c alguna constante en R. Para c = 0,
obtenemos los planos coordenados yz, xz y xy, respectivamente.
Ejemplo.
Bosquejar la gráfica de z = f ( x, y) = x2 + y2 .
Primero construyamos algunas trazas que nos permitan visualizar su gráfica:
1. Traza con el plano z = c: En este caso deseamos la curva de intersección de la superficie
con el plano z = c. Por lo tanto obtenemos: c = x2 + y2 , de donde concluimos que:
• Si c < 0, la ecuación c = x2 + y2 corresponde al conjunto vacío ∅.
• Si c = 0, la ecuación 0 = x2 + y2 da como resultado x = 0 y y = 0 y como z ya es
cero (pues c = 0), obtenemos el origen (0, 0, 0) .
• Si c > 0 : c = x2 + y2 corresponde a un círculo de radio
√
c y con centro en (0, 0, c) .
2. Traza con el plano x = c : obtenemos z = c2 + y2 , que para cualquier valor de la
constante c corresponde a una parábola en el plano x = c y abierta hacia arriba del eje z.
3. Traza con el plano y = c : obtenemos z = x2 + c2 , que para cualquier valor de c
corresponde a una parábola en el plano y = c y abierta hacia arriba del eje z.
Algunas de estas trazas se pueden graficar en R3 para obtener lo ilustrado en la Figura 1.
Dicha figura se denomina paraboloide (circular).
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Figura 1: Trazas del paraboloide z = x2 + y2 en los planos yz, xz y z = 2, respectivamente.
La siguiente tabla resume las superficies cuádricas más comunes:
Nombre
Ecuación
Cilindro circular
(y − h)2 + (z − k)2 = r2 : centrado en
Esfera
Elipsoide
Paraboloide elíptico
Gráfica
(·, h, k) y abierto a lo largo del eje x.
( x − h)2 + (y − k)2 + (z − l )2 = r2 : centrada en (h, k, l ) y con radio r.
( x − h )2 ( y − k )2 ( z − l )2
+
+
= 1 : cena2
b2
c2
trado en (h, k, l ) y semiejes a, b y c.
z−l
( x − h )2
( y − k )2
=
+
: vértice en
c
a2
b2
(h, k, l ) y se abre sobre el eje z (arriba o
abajo dependiendo del signo de c).
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Cono
Paraboloide
hiperbólico
Hiperboloide elíptico
de una hoja
Hiperboloide elíptico
de dos hojas
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( x − h )2 ( y − k )2
( z − l )2
=
+
: centrado
c2
a2
b2
en (h, k, l ) se abre sobre el eje z.
z−l
( y − k )2
( x − h )2
−
: con un
=
2
c
a
b2
“punto de silla” en (h, k, l ). Las hipérbolas
tiene sus ejes sobre x y y.
( x − h )2 ( y − k )2 ( z − l )2
+
−
= 1 : cena2
b2
c2
trado en (h, k, l ).
La variable con signo
negativo indica el eje del hiperboloide.
( x − h )2
( y − k )2
( z − l )2
−
+
= 1 :
a2
b2
c2
centrado en (h, k, l ).
La variable con
−
signo negativo indica el eje del hiperboloide.
Cuadro 1: Superficies cuadráticas más usadas
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Curvas de nivel
Las curvas de nivel son otra herramienta muy útil para visualizar gráficas en el espacio.
Consiste en un método prestado de la cartografía en el cual se unen puntos de igual elevación
para formar un mapa de contornos.
Definición
Supongamos que f : D ⊆ R2 → R es una función dada y que k ∈ R es un número dado.
Definimos la curva (o conjunto) de nivel de valor k de f como el conjunto
Lk = {( x, y) ∈ D | f ( x, y) = k }.
Notemos que la definición de conjunto de nivel se parece a la de traza horizontal. Sin embargo,
por definición, las curvas de nivel son subconjuntos de R2 , en tanto que las trazas horizontales
son subconjutos de R3 . Las curvas de nivel son las proyecciones de las trazas horizontales en
el plano xy.
p
x2 + y2 . En este caso f ( x, y) = x2 + y2 y, por lo
p
tanto, las curvas de nivel de f tienen ecuación x2 + y2 = k (notemos que k ≥ 0, de lo
Ejemplo.
Consideremos el cono z =
p
contrario no tendríamos curvas de nivel). De donde x2 + y2 = k2 , que corresponde a un
círculo con centro en el origen y radio k, para k > 0, y al origen para k = 0, como se ilustra en
la Figura 2. Graficando las curvas de nivel en R3 , a una altura dada por k, podemos darnos
una idea de la gráfica de la superficie.
(b) Trazas para distintos valores de z = k. También
(a) Curvas de nivel del cono.
se incluye la traza con el plano yz (dos rectas).
Figura 2: Visualización del cono z =
4
p
x2 + y2 por medio de curvas de nivel.
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Ejercicio.
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A partir de las curvas de nivel mostradas en la Figura 3, bosqueje la superficie
correspondiente e indique su nombre.
Figura 3: Curvas de nivel para el ejercicio propuesto.
Funciones escalares de tres variables
Como dijimos en la clase previa, una función (escalar) de tres variables se ve como sigue:
f : D ⊆ R3 → R
( x, y, z) 7→ w = f ( x, y, z)
donde D representa el dominio de la función.
Ejemplos.
• La temperatura sobre una superficie plana T = T ( x, y, t), t el tiempo.
• Si f ( x, y, z) = log( x2 + y2 − z), sabemos que esta función existe si x2 + y2 − z > 0, es
decir, z < x2 + y2 . Así que el dominio de f sería:
D = {( x, y, z) ∈ R3 : z < x2 + y2 }
≡
región sólida debajo de un paraboloide circular.
Es muy difícil imaginar la gráfica de una función de tres variables, pues su gráfica estaría en
R4 . Sin embargo, si denotamos t = f ( x, y, z) y pensamos que t representa el tiempo, podemos
pensar en una función en R4 como una función en R3 que se está “moviendo” a lo largo del
tiempo. Así surge el concepto de superficie de nivel: superficies con ecuación f ( x, y, z) = k,
donde k ∈ R.
Definición
Supongamos que f : D ⊆ R3 → R es una función dada y que k ∈ R es constante.
Definimos la superficie de nivel de valor k de f como el conjunto
Sk = {( x, y, z) ∈ D | f ( x, y, z) = k }.
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Ejemplo.
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Describamos la gráfica de f ( x, y, z) = x2 + y2 − z2 , por medio de sus superficies
de nivel:
1. Si k = 0, tenemos que x2 + y2 = z2 : un cono circular con vértice en el origen.
2. Si k < 0 : x2 + y2 − z2 = k; es decir, − x2 − y2 + z2 = −k > 0, que se puede identificar
como un hiperboloide circular de dos hojas.
3. Si k > 0 : x2 + y2 − z2 = k, que identificamos como un hiperboloide circular de una hoja.
En los dos casos anteriores, los valores de k nos indica que tan “abierto” o “cerrado”
están los hiperboloides.
En la Figura 4 puede verse una idea de movimiento de un hiperboloide de dos hojas, que se
va estrechando hasta alcanzar la forma de un cono, que luego se separa en dos mitades que
forman un hiperboloide de una hoja.
Figura 4: La rosada corresponde a k = 2, la verde a k = 1, la naranja a k = 0 y la azul a k = −1.
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