프리드버그 선형대수학
5판
지은이
스티븐 H. 프리드버그, 아놀드 J. 인셀, 로렌스 E. 스펜스
스티븐 H. 프리드버그 : 현재 일리노이 주립대학교에서 교수로 재직 중이다. 해석학과 선형대수학 도서와 논문의 저자, 공동저자로 활동하고 있다. 주
요 저서로는 『Introduction to Linear Algebra with Applications』 (Prentice Hall, 1986), 『Elementary Linear Algebra(2nd edition)』
(Pearson, 2017) 등이 있다.
아놀드 J. 인셀 : 현재 일리노이 주립대학교, 일리노이 웨슬리언 대학교에서 교수로 재직 중이다. 선형대수학 도서를 집필하면서 공동저자로 활동
중이며, 격자이론(lattice theory), 위상수학, 위상군에 대한 논문을 발표하였다. 주요 저서로는 『Elementary Linear Algebra(2nd edition)』
(Pearson, 2017)이 있다.
로렌스 E. 스펜스 : 현재 일리노이 주립대학교에서 교수로 재직 중이다. 대학 수학 교과서 9권의 저자, 공동저자로 활동하면서 이산수학과 선형대수
학을 주요 주제로 수학 저널에 논문을 기고하고 있다. 주요 저서로는 『Elementary Linear Algebra(2nd edition)』 (Pearson, 2017), 『Discrete
Mathematics(5th edition)』 (Pearson, 2005) 등이 있다.
옮긴이
한빛수학교재연구소
한빛수학교재연구소에서는 이공계열 공통 수학 및 수학 관련 학과 전공 교재에 적합한 번역서와 집필서를 기획하여 출간하고 있다.
감수
심형보
현재 서울대학교 전기·정보공학부 교수, 수리과학부 겸무교수로 재직 중이다. 주요 번역서로는 『KREYSZIG 공업수학(10판)』 (텍스트북스, 2020)이
있다.
프리드버그 선형대수학
초판발행 2020년 6월 5일
지은이 스티븐 H. 프리드버그, 아놀드 J. 인셀, 로렌스 E. 스펜스
옮긴이 한빛수학교재연구소 / 감수 심형보 / 펴낸이 전태호
펴낸곳 한빛아카데미(주) / 주소 서울시 서대문구 연희로2길 62 한빛아카데미(주) 2층
전화 02-336-7112 / 팩스 02-336-7199
등록 2013년 1월 14일 제 2017-000063호 / ISBN 979-11-5664-491-0 93410
총괄 김현용 / 책임편집 고지연 / 기획 고지연 / 편집 윤세은
디자인 김연정 / 전산편집 김강수 / 제작 박성우, 김정우
영업 이윤형, 길진철, 김태진, 김성삼, 이정훈, 임현기, 이성훈, 김주성 / 영업기획 김호철, 주희
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LINEAR ALGEBRA
Authorized translation form the English language edition, entitled LINEAR ALGEBRA, 5th edition
by FRIEDBERG, STEPHEN H.; INSEL, ARNOLD J.; SPENCE, LAWRENCE E., published by
Pearson Education, Inc, Copyright © 2019 LINEAR ALGEBRA
All right reserved. No Part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any
means, electronic or mechanical, including photocopying, recording or any information storage
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KOREAN language edition published by HANBIT ACADEMY, INC., Copyright © 2020
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이 책은
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프리드버그 선형대수학
5판
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최초
번역판
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한빛수학교재연구소 옮김 심형보 감수
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스티븐 H. 프리드버그, 아놀드 J. 인셀, 로렌스 E. 스펜스 지음
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지은이 머리말
행렬 이론과 (이보다 일반적인) 선형대수학의 언어와 개념은 사회과학, 자연과학, 컴퓨터 과학 및 통계학
에서 널리 사용되었다. 또한 현대 기하학과 해석학에서도 선형대수학을 주된 방법론으로 사용하고 있다.
이번 선형대수학 5판의 가장 주된 목적은 선형대수학의 중요한 주제와 이 주제가 어떻게 응용되는
지를 제시하여 그 중요성을 보여주는 데 있다. 이 책은 전반에 걸쳐 선형변환과 행렬 사이 기호적 연
관성을 강조한다. 일부 정리는 일반적 경우인 무한차원에 대하여 다룬다. 이러한 정리 덕에 벡터공
간 및 선형변환의 기본 이론을 사용하여, 연속함수를 삼각다항식으로 최적근사하고 동차 선형미분
방정식의 풀이법을 다룰 수 있다.
이 책의 선행 과정은 1학년 과정인 미적분학뿐이지만, 이 책의 내용을 온전히 이해하기 위해서는 통상적
인 학부 2~3학년 수준의 수학적 성숙도가 필요하다. 이 책은 추상 벡터공간을 강조하는 선형대수학 두
학기 과정 수업을 염두에 두고 있으나, 이론 위주로 빠르게 진행되는 한 학기 과정 수업에도 이 책을 교
재로 사용할 수 있다.
강의 계획을 위한 제안
이 책은 다양한 교육과정(3~8학점)에 사용할 수 있도록 구성하였다. 가장 중요한 내용(벡터공간, 선형변
환과 행렬, 연립일차방정식, 행렬식, 대각화, 내적공간)은 1~5장과 6.1~6.5절에 걸쳐 다룬다. 6장과 7
장에서 다루는 내적공간과 표준형은 서로 독립적인 내용이다. 둘 중 어디를 먼저 공부하더라도 지장이
없다.
또한 이 책 전반에 걸쳐 미분방정식, 경제학, 기하학 및 물리학에서의 응용을 소개하였다. 이러한 응용은
선형대수학 이론을 정립하는 데 꼭 필요한 내용이 아니므로, 강의자의 재량에 따라 제외해도 무방하다.
이 책을 쓰며 선형대수학의 중요한 주제를 한 학기 안에 다룰 수 있도록 노력하였다. 따라서 예전보다 선
행 과정을 적게 다루며 중요한 주제를 논의할 수 있었다. (예를 들어, 이 책에서는 다항식 이론 없이 조르
당 표준형을 설명한다.) 이러한 효율적인 접근을 통해 (선택적인 절과 행렬식에 대한 자세한 논의를 생략
한다면) 책의 핵심 주제를 주 4시간 한 학기 과정 수업으로 다룰 수 있다.
이 책에서 다루는 내용
1장
2장
1장에서는 벡터공간의 기본 이론(부분공간, 일차결합, 일차독립과 일차종속, 기저, 차원)을 소개한다.
이 장은 모든 무한차원 벡터공간에 기저가 존재함을 증명하는 선택적인 절로 마무리된다.
2장에서는 선형변환과 행렬의 관계(영공간, 상공간, 선형변환의 행렬표현, 동형사상, 좌표변환)를 다룬다.
이 장은 쌍대공간과 동차 선형 미분방정식을 다루는 선택적인 절로 마무리된다.
3장에서는 벡터공간과 선형변환을 이용한 연립일차방정식의 풀이법을 다룬다. 이 장은 1~2장에 종속되
도록 구성하였다. 이러한 접근을 통해 연립일차방정식의 친숙한 내용이 추상 이론의 예임을 설명할 수 있
3장
고, 1장과 2장에서 복잡한 행렬 계산을 피할 수 있게 하였다. 이전 두 장에서도 종종 연립일차방정식을 다
루는 예가 있긴 하다(물론, 이론을 정립하는 데 필요한 부분은 아니다). 이를 위해 필요한 내용은 1.4절에
서 다룬다.
4장에서는 행렬식을 공부한다. 행렬식은 과거에 대단히 중요한 주제였지만, 최근 그 중요성이 줄어들었
다. 한 학기 정도의 짧은 교육과정이면 이 장을 가볍게 다루고, 5~7장에 집중하길 권한다. 결과적으로 이
4장
장에서 두 가지 길을 제시한다. 행렬식을 이론적으로 완벽히 규명하는 길(4.1~4.3절)과 이후 장에서 사용
되는 행렬식에 대한 중요한 사실들을 요약한 길(4.4절)이다. 4.5절에서는 행렬식을 공리적으로 구성하는
방법을 설명하였으며, 필요에 따라 선택적으로 공부하면 된다.
5장에서는 고윳값, 고유벡터, 대각화를 설명한다. 이 주제의 가장 중요한 응용은 행렬 극한을 계산하는 것
5장
이다. 이와 관련된 일부 내용(행렬 극한, 마르코프 연쇄)은 일반화하는 데 조르당 표준형에 대한 지식이
필요하긴 하지만, 워낙 중요하므로 이 내용을 다루지 않을 수 없다. 이 내용은 선택적인 절로 구성하였다.
5.4절에서는 불변 부분공간과 케일리-해밀턴 정리를 다룬다.
6장에서는 내적공간을 공부한다. 기본 주제인 내적공간, 그람-슈미트 직교화, 직교여공간, 수반연산자,
6장
정규연산자, 자기수반연산자, 직교연산자, 유니타리 연산자, 정사영, 스펙트럼 정리는 6.1~6.6절에서 다
룬다. 6.7~6.11절에서는 내적공간의 응용을 풍부하게 제시한다.
7장
7장에서는 표준형을 다룬다. 7.1~7.2절에서 조르당 표준형, 7.3절에서 최소다항식, 7.4절에서 유리 표준
형을 설명한다.
이 책의 부록은 여섯 부분으로 이루어져 있다. 부록 A~D에서 다루는 집합, 함수, 체, 복소수는 이 책 전
반에 걸쳐 사용되는 기본 내용이다. 부록 E에서 다루는 다항식은 주로 5장과 7장, 특히 7.4절에서 중요
하다. 부록 F는 이 책에서 사용한 기호를 소개한다. 부록을 처음부터 끝까지 한 번에 공부하기보다 필요
할 때마다 발췌하여 공부하길 권한다.
지은이 머리말
다음 표는 각 단원 사이의 관계를 나타낸다.
1장
2장
3장
4.1~4.3절 또는 4.4절
5.1~5.2절
6장
5.4절
7장
학생들을 위한 조언
일반적으로 선형대수학을 선형화의 수학으로 생각할 수 있다. 선형대수학은 어떤 객체들이 모인 집합(벡
터공간)과 벡터공간 사이에 정의된 특별한 함수(선형변환)를 다룬다. 이때, 벡터공간은 선형성을 가지고,
선형변환은 선형성을 보존한다. 선형대수학은 순수 수학의 한 분야이지만 통계, 공학, 물리학 등 응용 수
학의 많은 영역에서 아주 중요하게 사용된다. 최근 컴퓨터가 개발되고 계산, 시뮬레이션, 모델링의 중요
성이 커짐에 따라 여러 분야에서 선형대수학의 중요성이 더욱 커졌다.
모든 고급 연구 분야에서 의사소통하기 위해서는, 먼저 해당 분야의 언어에 숙달해야만 한다. 수학에서
‘정의’는 정의되는 객체가 만족하는 속성을 매우 정확하게 진술한 문장이다. 이러한 속성은 객체가 해당
정의를 충족함을 보이기 위해 무엇을 확인해야 할지 정확하게 알려준다. 예를 들어, 1.2절에서 벡터공간
을 정의한다. 덧셈과 스칼라 곱이라는 특정 연산이 주어진 집합 가 벡터공간임을 증명하기 위해 주어진
연산과 집합 가 조건 (VS1)부터 (VS8)까지 모두 만족하는지 확인해야 한다. 1.2절 연습문제 10~13에
서 이를 정확히 확인하는 연습을 한다. 각 조건의 의미를 이해하지 못한다면 이 연습문제를 풀지 못할 것
이다. 따라서 각 절의 연습문제를 풀기 전에 해당 절에서 정의한 모든 용어의 의미를 반드시 이해해야 한
다. 정의한 개념을 몇 가지 예와 함께 기억하는 것도 좋은 방법이다.
각 절에서 새로운 용어를 도입한 다음에는 이를 이용하여 중요한 결과를 이끌어낼 것이다. 이러한 결과
는 주로 ‘정리’라고 한다. 정리에 주목하고, 모든 내용을 완벽히 이해하려 노력해야 한다. 그다음 자신의
말로 결과를 표현해 보자. 공부한 개념을 글로 쓸 수 없다면, 아마도 내용을 충분히 이해하지 못했을 가
능성이 크다.
“수학은 스포츠 관객처럼 구경만 해선 안 된다.”라는 말을 들어본 적이 있는가? 수학을 배우는 최선의 방
법은 직접 해보는 것(working exercise)이다. 이 책의 연습문제는 각 절의 중요한 아이디어(및 용어)에
대한 이해를 확인하는 참-거짓 문항으로 시작한다. 그다음 기본 계산 능력만을 요구하는 문제가 나오기
도 한다. 그 뒤에 설명이나 증명, 추측을 요구하는 문제가 나온다. 이처럼 다양한 유형의 연습문제는 중
요한 개념을 얼마나 이해했는지 측정하고, 배운 용어와 기호를 연습하는 데 도움이 된다. 따라서 선형대
수학을 완벽히 이해하려면 연습문제를 꾸준히 풀어 보아야 한다.
이제 선형대수학에 대한 이해도를 최대한 높이는 데 도움이 되는 3가지 조언을 하겠다.
1. 수업을 시작하기 전에 본문을 주의 깊게 읽어라. 일부 학생들은 교과서를 연습문제를 풀 때 예시를 확
인하는 정도로만 사용한다. 그러나 수업을 시작하기 전에 교과서를 읽어 보면 배울 내용을 대략 파악할
수 있고, 이해한 내용과 이해하지 못한 내용을 구분할 수 있다.
2. 충분한 시간을 투자하여 수업에서 배운 내용을 이해하라. 일주일에 한 번 수업에 참석하는 것만으로
악기를 배울 수는 없다. 평소 꾸준히 악기를 연습해야 한다. 선형대수학 또한 마찬가지다. 최소한 수업
시간에 다룬 주제를 복습하고, 낯선 주제의 연습문제를 풀어 봐야 한다.
각 수업에서 배운 중요한 개념과 정의는 다음 절의 내용을 이해하는 데 필요하다. 즉, 하루라도 공부가
뒤처지면 뒤에 오는 내용을 이해하지 못하게 된다. 선형대수학을 정복하고 싶다면, 덜 바쁠 때나 시험이
임박할 때까지 공부를 미루지 말고 새로 배운 개념을 바로 복습해야 한다.
3. 자주 복습하라. 새로운 내용을 이해하려 할 때, 이전 내용을 잊어버렸거나 충분히 이해하지 못했음을
깨닫곤 한다. 이런 내용을 다시 공부하면 이전 주제를 더 깊이 이해하게 될 뿐만 아니라, 새로운 아이디
어를 빠르고 깊이 있게 배울 수 있다. 같은 수업을 듣는 학생들과 토의하는 것도 좋은 복습 방법이다.
모쪼록 이 책으로 공부하는 학생들이 선형대수학을 잘 습득하고, 이 책에서 배운 주된 개념과 기술이 이
후 수업뿐만 아니라 앞으로의 경력에도 도움이 되길 바란다.
프리드버그, 인셀, 스펜스
미리보기
정의
예제
본문에서 기억해 두어야 할
본문에서 다룬 개념을 적용한 문제와
개념을 보여준다.
상세한 풀이를 제시한다.
정리 및 증명
각 장에서 중요한
명제와, 이 명제가
성립하는 논리적인
이유를 제시한다.
보조정리
정리를 증명하기 위해
필요한, 보조적이고
참인 명제로,
관련 정리 앞에
소개한다.
따름정리
정리를 바탕으로 도출할 수 있는
참인 명제로, 관련 정리 뒤에
소개한다.
*표시가 된 절이나 부분은
필요에 따라 선택적으로
학습할 수 있다.
연습문제
해당 절이 끝날 때마다
본문에서 익힌 내용을
제대로 이해했는지
확인한다.
힌트
문제 풀이에 도움이 되는
아이디어를 제공한다.
해당 문제와 직접적으로
관련 있는 단원을
별도의 색 표시를 한 문항은
알려준다.
공개용 답안에서 그 풀이를 확인할 수 있다.
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감수자 머리말
수학의 여러 분야 중에 선형대수학만큼 다양한 학문에서 중요하게 사용되는 것도 많지 않다. 우리가 인
공지능 분야든, 빅데이터 분야든, 그 어떤 분야를 탐구하든 여러 개의 변수를 동시에 다루고자 할 때부터
선형대수학의 방법이 시작되기 때문이다. 심지어 비선형의 세상을 탐구할 때조차 국소적인 근사 모델은
결국 선형으로 회귀되는 경우가 대부분이니 선형대수학을 피할 수 없다.
응용 분야를 차치하고서라도 선형대수학 자체의 아름다움에 매료되었다는 사람도 많다. 적절한 추상화
를 통해 다양한 문제를 한 번에 설명하는 선형대수학의 기본 철학을 맛보면 여러분은 인류의 지적 유산
에 또 한 번 감탄하게 될 것이다.
선형대수학 입문서 중에 전 세계에서 오랫동안 사랑받은 책을 꼽으라면 프리드버그, 인셀, 스펜스 세 분
이 집필한 선형대수학을 꼽는 사람이 많다. 이 책은 가장 기본에서 출발하여 기초 선형대수학의 모든 주
제를 빠짐없이 논의한다. 또한, 논리와 증명이 엄밀할 뿐만 아니라 풍부한 예제와 연습문제를 통해 여러
분이 충분히 이해할 수 있도록 지속해서 도와준다. 이 책에 대한 독자들의 수많은 경험과 호평은 검색을
통해 쉽게 찾을 수 있다.
이렇게 좋은 책을 우리나라의 더 많은 이들에게 소개하고 싶다는 한빛아카데미의 계획을 듣고 기쁜 마음
으로 감수 요청에 응하게 되었다. 이번 작업을 통해 한빛수학교재연구소에서 얼마나 꼼꼼하게 번역하였
는지 직접 확인하였다. 우리말 단어의 선택 하나하나에 신중을 기하고 원문의 뜻을 가감 없이 전달하기
위해 많은 시간과 노력을 기울였다.
아무쪼록 이 책을 통해 언어의 장벽을 넘어 선형대수학의 즐거움을 함께 맛보시기를 권해 드린다.
심형보
목차
지은이 머리말 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 004
미리보기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 008
감수자 머리말 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 010
* 표시가 된 절은 필요에 따라 선택적으로 학습할 수 있다.
1장 벡터공간 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 015
1.1 개론 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 016
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 020
1.2
벡터공간 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 021
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 027
1.3
부분공간 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 031
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 035
1.4
일차결합과 연립일차방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 040
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 048
1.5
일차종속과 일차독립 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 051
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 057
1.6
기저와 차원 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 060
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 071
1.7
일차독립인 극대 부분집합 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 077
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 080
2장 선형변환과 행렬 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 083
2.1 선형변환, 영공간, 상공간 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 084
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 095
2.2 선형변환의 행렬표현 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.3 선형변환의 합성과 행렬 곱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
목차
2.4 가역성과 동형사상 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
2.5 좌표변환 행렬 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
2.6 쌍대공간 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
2.7 계수가 상수인 동차 선형 미분방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3장 기본행렬연산과 연립일차방정식 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
3.1 기본행렬연산과 기본행렬 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
3.2 행렬의 랭크와 역행렬 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
3.3 연립일차방정식 : 이론적 측면 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
3.4 연립일차방정식 : 계산적 측면 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
4장 행렬식 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
4.1 2차 정사각행렬의 행렬식 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
4.2 n차 정사각행렬의 행렬식 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
4.3 행렬식의 성질 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
4.4 행렬식의 핵심 요약 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
4.5 행렬식의 엄밀한 정의 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
5장 대각화 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
5.1 고윳값과 고유벡터 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
5.2 대각화 가능성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
5.3 행렬의 극한과 마르코프 연쇄 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
5.4 불변 부분공간과 케일리-해밀턴 정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
6장 내적공간 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
6.1 내적과 노름 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
6.2 그람-슈미트 직교화와 직교여공간 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
6.3 선형연산자의 수반연산자 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
6.4 정규연산자와 자기수반연산자 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
6.5 연산자와 행렬 : 유니타리 연산자와 직교연산자 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
6.6 정사영과 스펙트럼 정리 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
6.7 특잇값 분해와 유사역행렬 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
목차
6.8 쌍선형과 이차형식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
6.9 아인슈타인의 특수상대성 이론 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
6.10 조건화와 레일리 몫 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
6.11 직교연산자와 기하학 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
7장 표준형 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
7.1 조르당 표준형 I : 이론적 측면 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
7.2 조르당 표준형 II : 계산적 측면 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
7.3 최소다항식 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
7.4 유리 표준형 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552
연습문제 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573
부록 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576
A
집합 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576
B
함수 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
C
체 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580
D
복소수 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
E
다항식 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590
F
기호 목록 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600
찾아보기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604
1
벡터공간
Vector Spaces
1.1 개론
1.2 벡터공간
1.3 부분공간
1.4 일차결합과 연립일차방정식
1.5 일차종속과 일차독립
1.6 기저와 차원
1.7 일차독립인 극대 부분집합*
1.1 개론
힘, 속도1 , 가속도 등 많은 물리적 개념은 크기 뿐 아니라 방향 정보를 가지고 있다. 이처럼 크기와
방향을 모두 가진 물리량을 벡터 (vector)라 한다. 벡터는 흔히 화살표로 표현하며 벡터의 크기는
화살표의 길이로, 벡터가 작용하는 방향은 화살표의 방향으로 나타낸다. 벡터로 기술할 수 있는
물리적 상황은 크기와 방향만 고려하면 충분한 경우가 많다. 다시 말해, 벡터가 어디에 위치했는지와
무관하게 크기와 방향이 같으면 동일한 벡터로 생각한다. 이번 절에서는 벡터에 담긴 기하학적 의미를
설명할 것이다.
한 지점에 두 개의 물리량이 작용하였을 때, 합력은 두 물리량의 크기만 합한다고 충분한 것은 아니다.
예를 들어, 어느 수영선수가 시속 2 마일의 속도로 강물을 거슬러 수영하고 있다고 가정하자. 강물은
시속 1 마일의 속도로 흘러가고 있다. 이때 수영선수는 강물을 거슬러 수영하므로 속도는 시속 3 마일일
수 없다. 하지만 수영선수가 방향을 바꿔 강물이 흘러가는 방향으로 수영한다면, 그의 속도는 시속 3
마일이 된다.
위 예를 통해 두 물리량이 함께 작용할 때, 물리량의 크기 뿐 아니라 방향을 함께 고려해야 함을 알 수
있다. 두 물리량이 결합될 때 나타나는 효과는 두 벡터를 결합시켜 얻은 합성벡터로 설명할 수 있다.
이 합성벡터를 두 벡터의 합(sum)이라 하며, 두 벡터를 결합시키는 규칙을 벡터 합의 평행사변형 법칙
(parallelogram law)이라 한다 (그림 1.1).
Q
x+y
x
y
P
[그림 1.1] 벡터 합의 평행사변형 법칙
벡터 합의 평행사변형 법칙
시점이 P 로 일치하는 두 벡터 x, y 의 합은 점 P 에서 시작하는 벡터
이고, 이는 x 와 y 를 이웃한 변으로 하는 평행사변형의 대각선으로 나타난다.
1 여기에서 속도 (velocity)는 크기와 방향을 모두 가진 물리량을 가리키는 과학 용어로 사용되었다. (방향을 무시한) 속도의
크기는 속력(speed)이라 한다.
016 ___ 1장. 벡터공간
평행사변형의 대변은 평행하고 길이가 같으므로 벡터 x + y 의 종점 Q 는 점 P 에서 시작하는 벡터 x
의 종점에 벡터 y 의 시점을 이어붙여 도달한 것으로 이해할 수 있다. 같은 방식으로 벡터 y 의 종점에
벡터 x 의 시점을 이어붙여도 종점 Q 에 도달할 수 있다. 점 P 에 작용한 두 벡터를 합할 때는 한
벡터의 종점에 다른 벡터의 시점을 이어붙이는 방식으로 더한다. x 와 y 중에 어느 것을 먼저 택하고,
어느 것을 처음 벡터의 종점에 이어붙일지 그 순서는 중요하지 않다.
(ta1 , ta2 )
Q
(a1 + b1 , a2 + b2 )
(a1 , a2 )
(a1 , a2 )
x+y
x
(a1 + b1 , b2 )
y
tx
x
(b1 , b2 )
a1
P
(a)
ta1
(b)
[그림 1.2] 벡터의 합과 벡터의 스칼라 곱
벡터의 합은 해석기하학의 도움을 받아 대수적으로 이해할 수 있다. 두 벡터 x 와 y 를 포함하는 평면에
P 를 원점으로 하는 직교좌표를 부여하자. 그림 1.2(a) 와 같이 벡터 x 의 종점을 (a1 , a2 ), 벡터 y 의
종점을 (b1 , b2 ) 라 하면 벡터 x + y 의 종점은 (a1 + b1 , a2 + b2 ) 이다. 이제부터 좌표를 사용하여
벡터를 해석할 때 모든 벡터의 시점은 원점이라 가정한다. 시점이 원점이면 종점이 벡터를 결정하므로,
시점을 원점으로 하는 벡터 x 의 종점을 간단히 점 x 라 쓰기도 할 것이다.
벡터에서는 합 외에도 자연스러운 연산이 하나 더 있다. 벡터는 크기를 확대하거나 축소할 수 있는
데, 이를 벡터에 실수를 곱하는 스칼라 곱 (scalar multiplication)이라는 연산으로 나타낸다. 벡터 x
를 유향선분으로 이해하자. 0 이 아닌 실수 t 에 대하여 벡터 tx 의 방향은 t > 0 일 때 x 의 방향과
같고, t < 0 일 때 x 의 방향과 180◦ 반대이다. 벡터 tx 의 크기는 유향선분 x 의 크기에 |t| 를 곱한
것이다. 영이 아닌 두 벡터 x, y 에 대하여 y = tx 인 0 이 아닌 실수 t 가 존재할 때, 두 벡터는 평행
(parallel)하다. 다시 말해, 방향이 같거나 180◦ 반대인 벡터들은 평행하다.
벡터 x 의 시점이 원점이 되도록 하는 좌표평면을 사용하면 스칼라 곱을 대수적으로 설명할 수 있다.
원점을 시점으로 하는 벡터 x 의 종점이 (a1 , a2 ) 일 때, tx 의 종점은 (ta1 , ta2 ) 이다 (그림 1.2(b)).
1.1 개론
___
017
평면에서 벡터의 합과 스칼라 곱을 대수적으로 설명하면 다음 8 가지 성질을 확인할 수 있다.
성질 1 모든 벡터 x, y 에 대하여 x + y = y + x 이다.
성질 2 모든 벡터 x, y , z 에 대하여 (x + y) + z = x + (y + z) 이다.
성질 3 모든 벡터 x 에 대하여 x + 0 = x 를 만족하는 벡터 0 이 존재한다.
성질 4 각 벡터 x 마다 x + y = 0 을 만족하는 벡터 y 가 존재한다.
성질 5 모든 벡터 x 에 대하여 1x = x 이다.
성질 6 모든 실수 a, b 와 모든 벡터 x 에 대하여 (ab)x = a(bx) 이다.
성질 7 모든 실수 a 와 모든 벡터 x, y 에 대하여 a(x + y) = ax + ay 이다.
성질 8 모든 실수 a, b 와 모든 벡터 x 에 대하여 (a + b)x = ax + bx 이다.
(2 차원) 평면뿐만 아니라 (3 차원) 공간에서도 비슷한 방식으로 벡터의 합과 스칼라 곱을 기하학적으로
해석할 수 있고, 8 가지 성질을 만족함을 설명할 수 있다. 이 결과는 공간에서 직선의 방정식과 평면의
방정식을 나타내는 데 사용된다.
공간에서 서로 다른 두 점 A, B 를 지나는 직선을 생각하자. 이 공간에 공간좌표를 부여하고 원점을
O 라 표기하자. 시점이 O 이고 종점이 A, B 인 두 벡터를 각각 u, v 라 하자. 시점이 A 이고 종점이
B 인 벡터를 w 라 할 때, 시점과 종점을 이어붙이는 방식에 의하면 u + w = v , w = v − u 이다.
이때, −u 는 (−1)u 를 의미한다 (그림 1.3). w 의 스칼라 곱은 w 에 평행하지만, 크기는 w 와 다를 수
있다.
두 점 A, B 를 이은 직선 위 임의의 점은 A 를 시점으로 하는 벡터의 종점이고, 적절한 실수 t 에
대하여 tw 의 형태로 표현할 수 있다. 반대로, A 를 시점으로 하는 벡터 tw 의 종점은 두 점 A, B 를
지나는 직선 위의 점이다. 따라서 두 점 A, B 를 지나는 직선의 방정식은 다음과 같다.
x = u + tw = u + t(v − u)
(단, t 는 임의의 실수이고 x 는 직선 위 임의의 점)
또한 그림 1.3에서 벡터 v − u 의 종점 C 의 좌표는 B 의 좌표에서 A 의 좌표를 뺀 것과 같음을
유념하자.
A
w
u
B
v
O
v−u
C
[그림 1.3] 공간에서 서로 다른 두 점 A, B 를 지나는 직선
018 ___ 1장. 벡터공간
공간좌표에서 두 점 A(−2, 0, 1) 과 B(4, 5, 3) 을 생각하자. A 가 시점이고 B 가 종점인
예제 1
벡터와 같은 크기와 방향을 가지고, 시점이 원점인 벡터 C 의 종점은 (4, 5, 3) − (−2, 0, 1) = (6, 5, 2)
이다. 따라서 두 점 A, B 를 지나는 직선의 방정식은 다음과 같다.
x = (−2, 0, 1) + t(6, 5, 2) (단, t 는 임의의 실수)
이제 공간에서 한 직선 위에 있지 않은 세 점 A, B , C 를 생각하자. 이 세 점은 하나의 평면을
결정하고, 지금까지 공부한 벡터의 성질을 이용하면 평면의 방정식을 구할 수 있다. 시점이 A 이고
종점이 B , C 인 두 벡터를 각각 u, v 라 하자. 세 점 A, B , C 로 이루어진 평면 위 임의의 점 S 는
A 를 시점으로 하고, su + tv 형태 (이때, s 와 t 는 임의의 실수) 인 벡터 x 의 종점이다. 벡터 su 의
종점은 직선 AB 와, 점 S 를 지나고 직선 AC 와 평행한 직선의 교점이다 (그림 1.4). 같은 방식으로
벡터 tv 의 종점도 알 수 있다. 임의의 실수 s, t 에 대하여 벡터 su + tv 는 세 점 A, B , C 를 포함하는
평면에 위치한다. 따라서 세 점 A, B , C 를 포함하는 평면의 방정식은 다음과 같다.
(단, s, t 는 임의의 실수이고 x 는 평면 위 임의의 점)
x = A + su + tv
S
su
x
B
u
A
tv
v
C
[그림 1.4] 공간에서 한 직선 위에 있지 않은 세 점 A, B, C 로 결정되는 평면
예제 2
공간에서 세 점 A(1, 0, 2), B(−3, −2, 4), C(1, 8, −5) 를 생각하자. A 가 시점이고 B 가
종점인 벡터와 같은 크기와 방향을 가지고, 시점이 원점인 벡터의 종점은 다음과 같다.
(−3, −2, 4) − (1, 0, 2) = (−4, −2, 2)
A 가 시점이고 C 가 종점인 벡터와 같은 크기와 방향을 가지고, 시점이 원점인 벡터의 종점은
(1, 8, −5) − (1, 0, 2) = (0, 8, −7) 이다. 따라서 세 점을 포함하는 평면의 방정식은 다음과 같다.
x = (1, 0, 2) + s(−4, −2, 2) + t(0, 8, −7) (단, s, t 는 임의의 실수)
1.1 개론
___
019
18쪽에 소개한 8 가지 성질을 만족하는 수학적 구조를 벡터공간 (vector space)이라 한다. 다음 절에
서는 벡터공간을 엄밀하게 정의하고, 이 절에서 살펴본 내용 외에 벡터공간의 다양한 예를 살펴볼
것이다.
1.1 연습문제
1. 원점이 시점인 두 벡터의 종점이 다음과 같을 때, 두 벡터가 평행한지 판별하라.
(a) (3, 1, 2), (6, 4, 2)
(b) (−3, 1, 7), (9, −3, −21)
(c) (5, −6, 7), (−5, 6, −7)
(d) (2, 0, −5), (5, 0, −2)
2. 좌표공간에서 다음 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구하라.
(a) (3, −2, 4), (−5, 7, 1)
(b) (2, 4, 0), (−3, −6, 0)
(c) (3, 7, 2), (3, 7, −8)
(d) (−2, −1, 5), (3, 9, 7)
3. 좌표공간에서 다음 세 점을 지나는 평면의 방정식을 구하라.
(a) (2, −5, −1), (0, 4, 6), (−3, 7, 1)
(b) (3, −6, 7), (−2, 0, −4), (5, −9, −2)
(c) (−8, 2, 0), (1, 3, 0), (6, −5, 0)
(d) (1, 1, 1), (5, 5, 5), (−6, 4, 2)
4. 유클리드 평면에서 영벡터의 좌표는 어떻게 되는가? 근거를 설명하라. (단, 영벡터는 18쪽 성질
3을 만족한다.)
5. 원점이 시점이고 (a1 , a2 ) 가 종점인 벡터 x 에 대하여 벡터 tx 의 시점은 원점이고 종점은 (ta1 , ta2 )
임을 증명하라.
6. (a, b) 와 (c, d) 를 양 끝점으로 하는 선분의 중점의 좌표는
7. 평행사변형의 두 대각선이 서로를 이등분함을 증명하라.
020 ___ 1장. 벡터공간
a+c b+d
임을 증명하라.
,
2
2
1.2 벡터공간
1.1 절에서는 ‘유향선분의 크기와 방향’ 이란 기하학적 의미를 지닌 (좁은 의미의) 벡터에 대하여 합과
스칼라 곱을 정의하였고, 이 벡터들이 18쪽에 소개한 8 가지 성질을 만족함을 확인하였다. 이외에도
수많은 대수적 구조들은 덧셈과 스칼라 곱을 가지며, 앞서 소개한 8 가지 성질을 만족한다. 이번
절에서는 보다 넓은 의미를 지닌 대수적 구조로서 벡터의 개념을 소개하려 한다. 우선 이러한 대수적
구조의 엄밀한 정의부터 확인해 보자.
정의 체2 F 에서의 벡터공간(vector space) 또는 선형공간(linear space) V 는 다음 8 가지 조건을
만족하는 두 연산, 합과 스칼라 곱을 가지는 집합이다.
• 합 (sum)은 V 의 두 원소 x, y 에 대하여 유일한 원소 x + y ∈ V 를 대응하는 연산이다.
이때, x + y 는 x 와 y 의 합이라 한다.
• 스칼라 곱 (scalar multiplication)은 체 F 의 원소 a 와 벡터공간 V 의 원소 x 마다 유일한
원소 ax ∈ V 를 대응하는 연산이다. 이때, x 는 a 와 x 의 스칼라 곱 (product)이라 한다.
(VS1) 모든 x, y ∈ V 에 대하여 x + y = y + x 이다. (덧셈의 교환법칙)
(VS2) 모든 x, y , z ∈ V 에 대하여 (x + y) + z = x + (y + z) 이다. (덧셈의 결합법칙)
(VS3) 모든 x ∈ V 에 대하여 x + 0 = x 인 0 ∈ V 이 존재한다.
(VS4) 각 x ∈ V 마다 x + y = 0 인 y ∈ V 가 존재한다.
(VS5) 각 x ∈ V 에 대하여 1x = x 이다.
(VS6) 모든 a, b ∈ F 와 모든 x ∈ V 에 대하여 (ab)x = a(bx) 이다.
(VS7) 모든 a ∈ F 와 모든 x, y ∈ V 에 대하여 a(x + y) = ax + ay 이다.
(VS8) 모든 a, b ∈ F 와 모든 x ∈ V 에 대하여 (a + b)x = ax + bx 이다.
체 F 의 원소는 스칼라(scalar), 벡터공간 V 의 원소는 벡터(vector)라 한다. 1.1 절에 등장한 유향선분
‘벡터’ 와 이번 절에 등장한 ‘벡터’ 를 혼동하지 않기 바란다. 이번 절의 벡터는 벡터공간의 원소를
가리키는 일반적인 개념이다.
벡터공간은 정확하게 ‘F -벡터공간 V’ 라 표기해야 한다. 혼란의 여지가 없으면 체 F 를 생략하고 ‘벡
터공간 V ’라 적는다. 벡터공간을 다룰 때 ‘체’ 는 크게 중요하지 않은 요소라 오해하지 않기 바란다.
2 체 (field) 의 엄밀한 정의는 부록 C 에서 확인하라.
1.2 벡터공간
___
021
이 책에서 다루는 벡터공간의 체는 주로 실수 집합 R 또는 복소수 집합 C 이다.3 실수 집합 R, 복소수
집합 C 를 비롯하여 이 책의 예제, 연습문제에서 특별히 언급하지 않고 다루는 체의 지표는 0 이다.
(VS2)에 따르면, 벡터를 유한 번 더할 때 괄호를 생략하더라도 혼란이 생기지 않는다.
이번 절의 남은 부분에서는 이 책 전반에 걸쳐 두루 사용될 몇 가지 대표적인 벡터공간을 소개하겠
다. 벡터공간을 정의하기 위해서는 단순히 집합과 원소 (벡터) 뿐만 아니라 두 연산 (합과 스칼라 곱)
도 정확히 서술해야 한다. 다음 예제에서 소개하는 연산들이 (VS1)부터 (VS8)까지 8 가지 조건을
만족함을 확인해 보기 바란다.
a1 , a2 , . . . , an 이 체 F 의 원소일 때, (a1 , a2 , . . . , an ) 꼴의 수학적 대상을 F 에서 성분을 가져온
n 순서쌍 (n-tuple)이라 한다. 순서쌍을 구성하는 원소 a1 , a2 , . . . , an 을 n 순서쌍의 성분 (entry 또는
component)이라 한다. F 에서 성분을 가져온 두 n 순서쌍 (a1 , a2 , . . . , an ) 과 (b1 , b2 , . . . , bn ) 은
ai = bi (i = 1, 2, . . . , n) 일 때, 같다(equal)고 정의한다.
예제 1
체 F 에서 성분을 가져온 모든 n 순서쌍의 집합을 Fn 이라 표기한다. u = (a1 , a2 , . . . , an ) ∈
Fn , v = (b1 , b2 . . . , bn ) ∈ Fn , c ∈ F 일 때, 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면 이 집합은 F 벡터공간이다.
u + v = (a1 + b1 , a2 + b2 , . . . , an + bn ),
cu = (ca1 , ca2 , . . . , can )
따라서 R3 은 R-벡터공간이다. 예를 들어, R3 에서 합과 스칼라 곱은 다음과 같이 구한다.
(3, −2, 0) + (−1, 1, 4) = (2, −1, 4),
−5(1, −2, 0) = (−5, 10, 0)
같은 방식으로 C2 은 C-벡터공간이다. 예를 들어 C2 에서 합과 스칼라 곱은 다음과 같이 구한다.
(1 + i, 2) + (2 − 3i, 4i) = (3 − 2i, 2 + 4i),
i(1 + i, 2) = (−1 + i, 2i)
Fn 의 벡터는 행벡터(row vector) (a1 , a2 , . . . , an )보다 다음과 같은 열벡터(column vector)로 표현한
다.


a1
 a2 
 
 . 
 .. 
an
1 순서쌍은 F 에서 하나의 성분만 가져오므로 체 F 의 원소로 생각할 수 있다. 따라서 F 에서 성분을
가져온 1 순서쌍으로 이루어진 벡터공간은 F1 이라 쓰기보다 편하게 F 라 쓰는 경우가 많다.
3 (옮긴이) 체에 대하여 지표 (characteristic) 를 정의할 수 있다 (583쪽 참고).
022 ___ 1장. 벡터공간
F 에서 성분을 가져온 m × n 행렬(matrix)은 다음과 같은 직사각형 모양의 배열이다.

a11
 a21

 .
 ..
a12
a22
..
.
···
···
am1
am2
···

a1n
a2n 

.. 
. 
amn
이때, 모든 aij (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) 는 F 의 원소이다. i = j 인 성분 aij 는 이 행렬의 대각성분
(diagonal entry), 성분 ai1 , ai2 , . . . , ain 은 이 행렬의 i 번째 행 (row), 성분 a1j , a2j , . . . , amj 는 이
행렬의 j 번째 열(column)이라 한다. 행렬의 각 행은 Fn 의 벡터로, 각 열은 Fm 의 벡터로 나타낼 수
있다. 더 나아가 Fn 의 행벡터를 1 × n 행렬로, Fm 의 열벡터를 m × 1 행렬로 나타낼 수 있다.
모든 성분이 0 인 m × n 행렬을 영행렬(zero matrix)이라 하며 O로 표기한다.
행렬은 이탤릭 대문자 (A, B, C 등) 를 사용하여 나타낸다. A 의 i 행 j 열에 위치한 성분을 Aij 라
표기할 것이다. 행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬을 정사각행렬(square matrix)이라 한다. 두 m × n
행렬 A, B 에서 대응하는 성분이 모두 일치할 때, 같다고 정의한다. 모든 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n 에
대하여 Aij = Bij 이면 두 행렬은 서로 같다.
예제 2
성분이 체 F 의 원소인 모든 m × n 행렬의 집합은 Mm×n (F )라 표기한다. A, B ∈
Mm×n (F ), c ∈ F 일 때, 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면 Mm×n (F ) 는 벡터공간이다.
(A + B)ij = Aij + Bij ,
(단, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n)
(cA)ij = cAij
예를 들어 M2×3 (R) 에서 합과 스칼라 곱은 다음과 같이 구한다.
2
1
0
−3
−1
−5 −2
+
4
3
4
1 0
−3
−3 2
6
−1
−2
3
=
=
−3
4
−2 5
1 3
−3
9
0
−6
6
−9
m × n 행렬의 합과 스칼라 곱은 Fn 과 Fm 에서 정의한 연산이 자연스럽게 확장된 것이다. 두 m × n
행렬을 더하여 얻은 행렬의 i 행은 처음 두 행렬에서 i 번째 행벡터들의 합이고, 스칼라 c 를 곱하여
얻은 행렬 cA 의 각 행은 처음 행렬의 각 행벡터에 스칼라를 곱한 것과 같다. 같은 방식으로 두 m × n
행렬을 더하여 얻은 행렬의 j 열은 처음 두 행렬에서 j 번째 열벡터들의 합이고, 스칼라 c 를 곱하여
얻은 행렬 cA 의 각 열은 처음 행렬의 각 열벡터에 스칼라를 곱한 것과 같다.
1.2 벡터공간
___
023
예제 3
체 F 의 공집합이 아닌 부분집합 S 를 생각하자. F(S, F )는 S 에서 F 로 가는 모든 함수의
집합이다. F(S, F ) 에서 모든 s ∈ S 에 대하여 f (s) = g(s) 일 때, 두 함수 f , g 는 같다고 한다.
f, g ∈ F(S, F ), c ∈ F, s ∈ S 일 때, 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면 F(S, F ) 는 벡터공간
이다.
(f + g)(s) = f (s) + g(s),
(cf )(s) = c[f (s)]
대수학이나 미분적분학을 학습했다면 이 정의에 이미 익숙할 것이다.
계수가 체 F 의 원소인 다항식(polynomial)은 다음과 같이 정의한다.
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
이때 n 은 음이 아닌 정수이고, 각 ak (xk 의 계수(coefficient)) 는 F 의 원소이다. f (x) = 0 이면, 다시
말해 an = an−1 = · · · = a0 = 0 이면 f (x) 는 영 다항식 (zero polynomial)이라 한다. 편의를 위해
영 다항식의 차수는 −1 로 정의한다.
영 다항식이 아닌 다항식을 살펴보자.
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
이때 다항식의 차수(degree)는 계수가 0 이 아닌 항의 x 의 지수 중 가장 큰 값으로 정의한다. 차수가
0 인 다항식은 f (x) = c 꼴이다 (단, c 는 0 이 아닌 스칼라).
두 다항식 f , g 를 살펴보자.
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ,
g(x) = bm xm + bm−1 xm−1 + · · · + b1 x + b0
m = n 이고 모든 i = 0, 1, . . . , n 에 대하여 ai = bi 일 때 f , g 는 같다고 한다.
F 가 무한집합일 때, F 에서 계수를 가져온 다항식을 F 에서 F 로 가는 함수로 볼 수 있다 (599쪽).
이때, c ∈ F 에서 f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 의 함숫값은 다음 스칼라를 가리킨다.
f (c) = an cn + an−1 cn−1 + · · · + a1 c + a0
다항함수 f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 은 간단히 f 또는 f (x) 라 쓴다.
024 ___ 1장. 벡터공간
예제 4
F 에서 계수를 가져온 두 다항식 f , g 를 생각하자.
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ,
g(x) = bm xm + bm−1 xm−1 + · · · + b1 x + b0
m ≤ n 일 때, bm+1 = bm+2 = · · · = bn = 0 이라 정의하면 g(x) 를 다음과 같이 쓸 수 있다.
g(x) = bn xn + bn−1 xn−1 + · · · + b1 x + b0
두 다항식의 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면, F 에서 계수를 가져온 모든 다항식의 집합은
벡터공간이다.
f (x) + g(x) = (an + bn )xn +(an−1 + bn−1 )xn−1 +· · ·+(a1 + b1 )x+(a0 + b0 )
cf (x) = can xn + can−1 xn−1 + · · · + ca1 x + ca0
(이때, c 는 임의의 스칼라)
이 벡터공간을 P(F )라 쓴다.
다음 예제에서 소개하는 벡터공간과 P(F ) 는 본질적으로 같다.
예제 5
(임의의 체) F 위에서 정의된 수열(sequence)은 자연수 집합을 정의역, F 를 공역으로 하는
함수이다. 이 책에서는 σ(n) = an (n = 1, 2, 3, . . .) 인 수열 σ 를 (an ) 이라 표기할 것이다. F 에서
정의된 모든 수열의 집합을 V 라 하자. 두 수열 (an ), (bn ) 과 스칼라 t 에 대하여 다음과 같이 합과
스칼라 곱을 정의하자.
(an ) + (bn ) = (an + bn ),
t(an ) = (tan )
V 는 벡터공간이다.
다음 두 예제는 합과 스칼라 곱이 정의되어 있지만 벡터공간이 아닌 경우를 소개한다.
예제 6
S = {(a1 , a2 ) : a1 , a2 ∈ R} 일 때, (a1 , a2 ), (b1 , b2 ) ∈ S 와 c ∈ R 에 대하여 합과 스칼라
곱을 다음과 같이 정의하자.
(a1 , a2 ) + (b1 , b2 ) = (a1 + b1 , a2 − b2 ),
c(a1 , a2 ) = (ca1 , ca2 )
(VS1), (VS2), (VS8)이 성립하지 않으므로 S 는 이 연산에 대하여 벡터공간이 아니다.
1.2 벡터공간
___
025
예제 7
집합 S 는 예제 6과 같고, (a1 , a2 ), (b1 , b2 ) ∈ S 와 c ∈ R 에 대하여 합과 스칼라 곱을
다음과 같이 정의하자.
(a1 , a2 ) + (b1 , b2 ) = (a1 + b1 , 0),
c(a1 , a2 ) = (ca1 , 0)
(VS3), (VS4), (VS5)가 성립하지 않으므로 S 는 이 연산에 대하여 벡터공간이 아니다.
벡터공간의 정의를 바탕으로 확인할 수 있는 몇 가지 기본 성질을 소개하며 이번 절을 마친다.
정리 1.1 벡터 합의 소거법칙
x, y , z ∈ V 이고 x + z = y + z 일 때, x = y 이다.
증명
(VS4)에 의해 z + v = 0 인 벡터 v ∈ V 가 존재한다. 따라서 (VS2), (VS3)으로부터 다음이
성립한다.
x = x + 0 = x + (z + v) = (x + z) + v
= (y + z) + v = y + (z + v) = y + 0 = y
◀
따름정리 1 (VS3)을 만족하는 벡터 0 은 유일하다.
증명
연습문제 9를 보라.
◀
따름정리 2 (VS4)를 만족하는 벡터 y 는 유일하다.
증명
연습문제 9를 보라.
◀
(VS3)을 만족하는 벡터 0 은 V 의 영벡터(zero vector)라 한다. (VS4)를 만족하는 벡터 y , 다시 말해
x + y = 0 을 만족하는 유일한 벡터 y 는 덧셈에 대한 x 의 역벡터 (additive inverse)라 하며, −x 로
표기한다.
다음은 스칼라 곱의 기본 성질이다.
정리 1.2 모든 벡터공간 V 에 대하여 다음이 성립한다.
(1) 모든 벡터 x 에 대하여 0x = 0 이다.
(2) 모든 스칼라 a 와 모든 벡터 x 에 대하여 (−a)x = −(ax) = a(−x) 이다.
(3) 모든 스칼라 a 에 대하여 a0 = 0 이다.
026 ___ 1장. 벡터공간
증명
(1) (VS8), (VS3), (VS1)에 따르면 0x + 0x = (0 + 0)x = 0x = 0x + 0 = 0 + 0x 이다.
정리 1.1에 의해 0x = 0 이다.
(2) 벡터 −(ax) 는 ax+{−(ax)} = 0 인 유일한 벡터이다. 만약 ax+(−a)x = 0 이면 정리 1.1의 따
름정리 2에 의해 (−a)x = −(ax) 이다. (VS8)과 (1) 로부터 ax + (−a)x = {a + (−a)}x = 0x = 0
이므로 (−a)x = −(ax) 이다. 특히, (−1)x = −x 이다. 이제 (VS6)에 의해 다음이 성립한다.
a(−x) = a{(−1)x} = {a(−1)}x = (−a)x
(3)의 증명은 (1)의 증명과 비슷하다.
◀
1.2 연습문제
1. 다음 명제의 참-거짓을 판정하라.
(a) 모든 벡터공간에는 영벡터가 있다.
(b) 벡터공간에는 한 개 이상의 영벡터가 있다.
(c) 모든 벡터공간에 대하여 ax = bx 이면 a = b 이다.
(d) 모든 벡터공간에 대하여 ax = ay 이면 x = y 이다.
(e) Fn 에 속한 벡터와 Mn×1 (F ) 에 속한 행렬은 서로 같다고 생각할 수 있다.
(f) m × n 행렬은 m 개의 열과 n 개의 행으로 이루어져 있다.
(g) P(F ) 에서 다항식의 합은 두 다항식의 차수가 같을 때만 정의한다.
(h) 두 다항식 f 와 g 의 차수가 n 일 때, 다항식 f + g 의 차수는 n 이다.
(i) 다항식 f 의 차수가 n 이고, c 가 0 이 아닌 스칼라이면 다항식 cf 의 차수는 n 이다.
(j) 체 F 의 0 이 아닌 스칼라와 P(F ) 의 차수가 0 인 다항식은 서로 같다고 생각할 수 있다.
(k) 함수 f, g ∈ F(S, F ) 에 대하여 f = g 이기 위한 필요충분조건은 S 의 모든 원소에 대하여
같은 함숫값을 가지는 것이다.
2. 벡터공간 M3×4 (F ) 의 영벡터를 구하라.
1
3. 행렬 M =
4
2
5
3
에 대하여 M13 , M21 , M22 를 각각 구하라.
6
4. 다음을 계산하라.
2 5 −3
4
(a)
+
1 0
7
−5
−2 5
3 2

−6
(b)  3
1
 
4
7
−2 + 0
8
2

−5
−3
0
1.2 벡터공간
___
027