Capitolo 3 I vettori e le forze Cutnell, La fisica di Cutnell e Johnson, Zanichelli editore 2020 1 Grandezze scalari e vettoriali Le grandezze scalari (o semplicemente scalari) sono grandezze descritte in modo completo da un numero e da un’eventuale unità di misura. Esempi di scalari: • l’intervallo di tempo; • la massa; • la temperatura. Le grandezze vettoriali (o vettori) sono grandezze descritte in modo completo da: • modulo o intensità, ossia il valore della misura; • direzione; • verso. Cutnell, La fisica di Cutnell e Johnson, Johnson PLUS, Zanichelli Zanichelli editore editore 2020 2020 2 Addizione di vettori: metodo punta-coda Cutnell, La fisica di Cutnell e Johnson, Johnson PLUS, Zanichelli Zanichelli editore editore 2020 2020 3 Addizione di vettori: regola del parallelogramma ● ● ● Si tracciano i due vettori a partire dallo stesso punto O, in modo che le due code coincidano; da ciascuna punta si traccia la retta parallela all’altro vettore: le due rette così tracciate si incontrano in un punto C; il vettore somma ha la direzione e il modulo della diagonale del parallelogramma così formato e ha il verso da O a C. Cutnell, La fisica di Cutnell e Johnson, Johnson PLUS, Zanichelli Zanichelli editore editore 2020 2020 4 Addizione di vettori: proprietà L’addizione tra vettori gode delle seguenti proprietà: • proprietà commutativa, cioè la somma non cambia cambiando l’ordine degli addendi: • proprietà associativa, cioè la somma di tre vettori si può calcolare addizionando a uno di essi la somma degli altri due: Cutnell, La fisica di Cutnell e Johnson, Johnson PLUS, Zanichelli Zanichelli editore editore 2020 2020 5 Moltiplicazione di un vettore per un numero Moltiplicando un vettore per un numero k, si ottiene un nuovo vettore che ha: • il modulo uguale al prodotto di A per il valore assoluto di k; • la stessa direzione di ; • il verso di se k è positivo, verso opposto se k è negativo. Cutnell, La fisica di Cutnell e Johnson, Johnson PLUS, Zanichelli Zanichelli editore editore 2020 2020 6 Sottrazione di vettori La sottrazione di due vettori si esegue come l’addizione, ma il vettore da sottrarre viene prima moltiplicato per –1. Se sottraiamo un vettore a se stesso, otteniamo il vettore nullo: . Cutnell, La fisica di Cutnell e Johnson, Johnson PLUS, Zanichelli Zanichelli editore editore 2020 2020 7 Scomposizione e proiezione Scomposizione di un vettore lungo due direzioni assegnate r e s: Proiezione di un vettore lungo una direzione r: Cutnell, La fisica di Cutnell e Johnson, Johnson PLUS, Zanichelli Zanichelli editore editore 2020 2020 8 Prodotto scalare di due vettori Il prodotto scalare di due vettori è lo scalare uguale al prodotto del modulo del primo vettore per la proiezione del secondo vettore sul primo: Il segno è positivo se il vettore e la proiezione hanno lo stesso verso, negativo se hanno verso opposto. Cutnell, La fisica di Cutnell e Johnson, Johnson PLUS, Zanichelli Zanichelli editore editore 2020 2020 9 Espressione del prodotto scalare Se i due vettori sono perpendicolari, il loro prodotto scalare è uguale a zero perché la proiezione di ciascuno di essi lungo la direzione dell’altro è nulla. Il prodotto scalare di due vettori e è espresso dalla relazione dove θ è l’angolo formato dai due vettori. Proprietà commutativa: Cutnell, La fisica di Cutnell e Johnson, Johnson PLUS, Zanichelli Zanichelli editore editore 2020 2020 Proprietà distributiva rispetto all’addizione: 10 Prodotto vettoriale di due vettori Il prodotto vettoriale è un vettore che ha: • modulo uguale all’area del parallelogramma che ha per lati i vettori e : • direzione perpendicolare al piano che contiene i vettori e ; • verso dato dalla regola della mano destra. Regola della mano destra: il verso di è uscente dal palmo della mano destra se il pollice è posto nel verso di nel verso di . Cutnell, La fisica di Cutnell e Johnson, Johnson PLUS, Zanichelli Zanichelli editore editore 2020 2020 e le altre dita 11 Componenti cartesiane di un vettore Scomposizione di un vettore lungo l’asse x e l’asse y: Si può scrivere: dove Ax e Ay sono le coordinate del punto del piano nel quale si trova la punta del vettore. Ax e Ay si chiamano componenti cartesiane di rispetto agli assi coordinati. Cutnell, La fisica di Cutnell e Johnson, Johnson PLUS, Zanichelli Zanichelli editore editore 2020 2020 12 Possiamo esprimere usando i versori e : Calcolare componenti e modulo Valgono le seguenti relazioni: Cutnell, La fisica di Cutnell e Johnson, Johnson PLUS, Zanichelli Zanichelli editore editore 2020 2020 13 Somma e differenza tra vettori dati in componenti cartesiane Se e : • la somma è il vettore di componenti: Cx = Ax + Bx Cy = Ay + By • la differenza vettore di componenti Dx = Ax – Bx Dy = Ay – By Cutnell, La fisica di Cutnell e Johnson, Johnson PLUS, Zanichelli Zanichelli editore editore 2020 2020 è il 14 Prodotti tra vettori dati in componenti cartesiane Moltiplicazione per un numero Moltiplicando un vettore per un numero k, si ottiene un nuovo vettore che ha componenti: Bx = kAx By = kAy Prodotto scalare Il prodotto scalare dei vettori e Prodotto vettoriale Il prodotto vettoriale dei vettori Cutnell, La fisica di Cutnell e Johnson, Johnson PLUS, Zanichelli Zanichelli editore editore 2020 2020 è: e 15 è: Le forze L’applicazione di una forza comporta sempre l’interazione tra due corpi. L’azione di una forza può cambiare la velocità del corpo al quale è stata applicata. Può inoltre deformare i corpi che interagiscono. • Una forza di contatto è un’interazione che si manifesta solamente quando due corpi sono in contatto tra loro; • una forza a distanza è un’interazione che può manifestarsi tra due corpi anche se questi non sono in contatto tra loro. Cutnell, La fisica di Cutnell e Johnson, Johnson PLUS, Zanichelli Zanichelli editore editore 2020 2020 16 La misura di una forza La forza è una grandezza vettoriale ed è quindi caratterizzata da un modulo, una direzione e un verso. Il punto in cui si trova la coda della freccia è detto punto di applicazione della forza. Unità di misura nel SI: newton (N). Cutnell, La fisica di Cutnell e Johnson, Johnson PLUS, Zanichelli Zanichelli editore editore 2020 2020 17 La forza-peso La Terra attrae verso di sé tutti i corpi. La forza-peso che agisce su un oggetto che si trova in prossimità della superficie terrestre è la forza con cui la Terra lo attrae verso di essa. è un vettore che ha queste caratteristiche: ● direzione perpendicolare alla superficie terrestre; ● ● verso dall’alto in basso; modulo P = mg, dove g è una costante di proporzionalità che sulla superficie terrestre vale 9,81 N/kg. Cutnell, La fisica di Cutnell e Johnson, Johnson PLUS, Zanichelli Zanichelli editore editore 2020 2020 18 Massa e peso Nel linguaggio comune, spesso la massa e il peso vengono trattati come sinonimi. Si tratta invece di grandezze diverse: ● ● il peso è un vettore, la sua intensità si misura con il dinamometro e la sua unità di misura è il newton; la massa è uno scalare, il suo valore si misura con la bilancia a bracci uguali e la sua unità di misura è il kilogrammo. La forza-peso che agisce su un oggetto cambia da luogo a luogo, mentre la massa è sempre costante e non dipende dall’interazione tra i corpi. Cutnell, La fisica di Cutnell e Johnson, Johnson PLUS, Zanichelli Zanichelli editore editore 2020 2020 19 Le forze di attrito Le forze di contatto tra i rilievi irregolari delle superfici a livello microscopico danno origine alle forze di attrito. Le forze di attrito si oppongono sempre al movimento. Ne esistono due tipi: ● ● Cutnell, La fisica di Cutnell e Johnson, Johnson PLUS, Zanichelli Zanichelli editore editore 2020 2020 20 forza di attrito radente, tra due superfici; forza di attrito viscoso, quando un corpo si muove in un fluido. Attrito radente statico e dinamico ● Se il corpo è fermo: attrito radente statico coefficiente di attrito statico ● Se il corpo è in movimento: attrito radente dinamico coefficiente di attrito dinamico Cutnell, La fisica di Cutnell e Johnson, Johnson PLUS, Zanichelli Zanichelli editore editore 2020 2020 21 La forza elastica Il modulo della forza Fapp che occorre applicare a una molla per allungarla o comprimerla è direttamente proporzionale alla deformazione x: La costante k è chiamata costante elastica della molla; ha unità di misura N/m. Cutnell, La fisica di Cutnell e Johnson, Johnson PLUS, Zanichelli Zanichelli editore editore 2020 2020 22 La legge di Hooke La forza elastica di una molla è Il segno meno indica che la forza elastica è sempre diretta in verso opposto allo spostamento. Cutnell, La fisica di Cutnell e Johnson, Johnson PLUS, Zanichelli Zanichelli editore editore 2020 2020 23