第 9 章、ARCH 模型和 GARCH 模型
*****重要阅读材料：
Engle, Robert, 2004, risk and volatility: econometric models and
financial practice, AER, 94(3): 405-420.
研究内容：研究随时间而变化的风险。
（回忆：Markowitz 均值－方差投资组合选择模型怎样度量资产的
风险）
本章模型与以前所学的异方差的不同之处：随机扰动项的无条件方
差虽然是常数，但是条件方差是按规律变动的量。
波动率的聚类性（volatility clustering）：一段时间内，随机扰动项
的波动的幅度较大，而另外一定时间内，波动的幅度较小。如图，
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
500
1000
1500
R
2000
§1、ARCH 模型
1、条件方差
多元线性回归模型：
yt  X t    t
条件方差或者波动率（Condition variance，volatility）定义为
 t2  vart 1 ( t )  var( t | t 1 )
其中 t 1 是信息集。
2、ARCH 模型的定义
Engle （ 1982 ） 提 出 ARCH 模 型 （ autoregressive conditional
heteroskedasticity，自回归条件异方差）。
ARCH(q)模型：
yt  x t  
t
（1）
 t 的无条件方差是常数，但是其条件分布为
 t | t 1 ~ N (0,  t2 )
 t2    1 t 21     q t q2
其中 t 1 是信息集。
方程（1）是均值方程（mean equation）

 t2 ：条件方差，含义是基于过去信息的一期预测方差
（2）
方程（2）是条件方差方程（conditional variance equation），由二项
组成
 常数 
 ARCH 项  t2i ：滞后的残差平方
习题： 方程（2）给出了  t 的条件方差，请计算  t 的无条件方差。
引理（方差分解公式）：【不作要求】
Var(X)=Var[E(X|Y)]+E[Var(X|Y)]
证明：
（1）条件方差定义为
Var(X|Y)=E{[X-E(X|Y)]2|Y}
（2）注意，条件方差 Var(X|Y)是随机变量 Y 的函数。展开，得到
Var(X|Y)=E(X2|Y)－[E(X|Y)]2
因此，
E[Var(X|Y)]=E{E(X2|Y)－[E(X|Y)]2}
= E{E(X2|Y)}－E{[E(X|Y)]2}
= E(X2)－E{[E(X|Y)]2}
（3）使用如下公式 Var[g(Y)]=E{[g(Y)]2}-{E[g(Y)]}2，定义
g(Y)=E(X|Y)
并代入以上等式，得到
Var[E(X|Y)]=E{[ E(X|Y)]2}-{E[E(X|Y)]}2
=E{[ E(X|Y)]2}-{E(X)}2
（3）因此，合并，得到
E[Var(X|Y)]+ Var[E(X|Y)]
2
= E(X )－E{[E(X|Y)]2}+E{[ E(X|Y)]2}-{E(X)}2
= E(X2) -{E(X)}2
=Var(X)
证明结束。
习题的证明：
利用方差分解公式：Var(X) = VarY[E(X|Y)] + EY[Var(X|Y)]
由于  t | t 1  N (0,  t2 ) ，所以条件均值为 0，条件方差为  t2 。那么，
 t2  vart 1 ( t )
var( t )  ? E[vart 1 ( t )]  E t2
 E (  1 t21     q t2 q )
   1 E t21     q E t2 q
   1 var( t 1 )     q var( t  q )
   1 var( t )     q var( t )
推出 var( t ) 

1  1     q
，说明  t ~ N (0,

1  1  ...   q
)
3、ARCH 模型的平稳性条件
在 ARCH(1)模型中，观察参数  的含义：
当   1时， var( t )  
当   0 时，退化为传统情形，  t  N (0,  )
ARCH 模型的平稳性条件： i  1 （这样才得到有限的方差）
4、ARCH 效应检验
ARCH LM Test：拉格朗日乘数检验
针对 ARCH 模型  t2    1 t21     q t2q ，建立辅助回归方程
et2  0  1et21     q et2q  vt
此处 e 是辅助回归方程的回归残差。
原假设：
H0：序列不存在 ARCH 效应
即
H0： 1   2     q  0
可以证明：若 H0 为真，则
LM  mR2   2 (q)
此处，m 为辅助回归方程的样本个数。R2 为辅助回归方程的确定系数。
当然，还可以直接使用方差整体显著性检验（F 检验：H0：除常数项外
所有系数都是 0）。
Eviews 操作：①先实施多元线性回归
②view/residual/Tests/ARCH LM Test
下面依据实例来学习 ARCH 模型。
§2、GARCH 模型的实证分析
从收盘价，得到收益率数据序列。
series r=log(p)-log(p(-1))
点击序列 p，然后 view/line graph
2000
1500
1000
500
0
500
1000
1500
P
2000
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
500
1000
1500
R
2000
1、检验是否有 ARCH 现象。
首先回归。取 2000 到 2254 的样本（点击 sample 即可）。输入 ls r c 或
者在 quick 中选择样本区间。得到
0.08
0.04
0.00
-0.04
-0.08
-0.12
2000
2050
2100
2150
R
Dependent Variable: R
2200
2250
Method: Least Squares
Date: 10/21/04 Time: 21:26
Sample: 2000 2254
Included observations: 255
Variable
C
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
0.000432
0.001087
0.397130
0.6916
0.000000
0.000000
0.017364
0.076579
672.2847
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
Durbin-Watson stat
问题：这样进行回归的含义是什么？
其次，view/residual tests/ARCH LM test，得到
0.000432
0.017364
-5.264978
-5.251091
2.049819
ARCH Test:
F-statistic
Obs*R-squared
5.220573
44.68954
Probability
Probability
0.000001
0.000002
Test Equation:
Dependent Variable: RESID^2
Method: Least Squares
Date: 10/21/04
Time: 21:27
Sample(adjusted): 2010 2254
Included observations: 245 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
RESID^2(-1)
RESID^2(-2)
RESID^2(-3)
RESID^2(-4)
RESID^2(-5)
RESID^2(-6)
0.000110
0.141549
0.055013
0.337788
0.026143
-0.041104
-0.069388
5.34E-05
0.065237
0.065823
0.065568
0.069180
0.069052
0.069053
2.060138
2.169776
0.835766
5.151697
0.377893
-0.595260
-1.004854
0.0405
0.0310
0.4041
0.0000
0.7059
0.5522
0.3160
RESID^2(-7)
RESID^2(-8)
RESID^2(-9)
RESID^2(-10)
0.005617
0.102238
0.011224
0.064415
0.069178
0.065545
0.065785
0.065157
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.182406
0.147466
0.000627
9.19E-05
1464.875
2.004802
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
得到什么结论？
0.081193
1.559806
0.170619
0.988613
0.9354
0.1202
0.8647
0.3239
0.000305
0.000679
-11.86836
-11.71116
5.220573
0.000001
2、模型定阶：如何确定 q
实施 ARCH LM test 时，取较大的 q，观察滞后残差平方的 t 统计量
的 p－value 即可。
此处选取 q＝3。因此，可以对残差建立 ARCH(3)模型。
3、ARCH 模型的参数估计
参数估计采用最大似然估计。具体方法在 GARCH 一节中讲解。
如何实施 ARCH 过程：
由于存在 ARCH 效应，所以点击 estimate，在 method 中选取 ARCH
得到如下结果
Dependent Variable: R
Method: ML - ARCH
Date: 10/21/04 Time: 21:48
Sample: 2000 2254
Included observations: 255
Convergence achieved after 13 iterations
C
Coefficient
Std. Error
z-Statistic
Prob.
-0.000640
0.000750
-0.852888
0.3937
5.569337
2.962142
1.051624
4.174043
0.0000
0.0031
0.2930
0.0000
Variance Equation
C
ARCH(1)
ARCH(2)
ARCH(3)
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
9.24E-05
0.244793
0.081425
0.457883
-0.003823
-0.019884
0.017535
0.076872
705.7377
1.66E-05
0.082640
0.077428
0.109698
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
Durbin-Watson stat
0.000432
0.017364
-5.495982
-5.426545
2.042013
为了比较，观察将 q 放大对系数估计的影响
Dependent Variable: R
Method: ML - ARCH
Date: 10/21/04
Time: 21:54
Sample: 2000 2254
Included observations: 255
Convergence achieved after 16 iterations
Coefficient
Std. Error
z-Statistic
Prob.
C
-0.000601
0.000751
-0.799909
0.4238
C
ARCH(1)
ARCH(2)
ARCH(3)
ARCH(4)
ARCH(5)
9.38E-05
0.262009
0.041930
0.452187
-0.021920
0.037620
1.60E-05
0.090256
0.070518
0.108488
0.050982
0.044394
5.880741
2.902959
0.594596
4.168076
-0.429956
0.847408
0.0000
0.0037
0.5521
0.0000
0.6672
0.3968
-0.003550
Mean dependent var
Variance Equation
R-squared
0.000432
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
-0.027830
0.017603
0.076851
706.1198
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
Durbin-Watson stat
观察：说明 q 选取为 3 确实比较恰当。
练习：对深圳成分指数建立 ARCH 模型。
0.017364
-5.483292
-5.386081
2.042568
4、ARCH 模型是对的吗？
如果 ARCH 模型选取正确，即回归残差的条件方差是按规律变化
的，那么标准化残差就会服从标准正态分布，即不会有 ARCH 效应了。
为什么？请思考。
对 q 为 3 的 ARCH 模型做 LM test，发现没有了 ARCH 效应。
注意，虽然是同一个检验名称，但是 ARCH 过程后是对标准化残
差进行检验。注意观察被解释变量或者依赖变量是什么？
ARCH Test:
F-statistic
Obs*R-squared
0.238360
2.470480
Probability
Probability
0.992099
0.991299
Test Equation:
Dependent Variable: STD_RESID^2
Method: Least Squares
Date: 10/21/04 Time: 21:56
Sample(adjusted): 2010 2254
Included observations: 245 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
STD_RESID^2(-1)
STD_RESID^2(-2)
1.102371
-0.038545
-0.003804
0.264990
0.065360
0.065308
4.160043
-0.589741
-0.058252
0.0000
0.5559
0.9536
STD_RESID^2(-3)
STD_RESID^2(-4)
STD_RESID^2(-5)
STD_RESID^2(-6)
STD_RESID^2(-7)
STD_RESID^2(-8)
STD_RESID^2(-9)
STD_RESID^2(-10)
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
方程整体是不显著的。
-0.057313
-0.010325
0.003537
-0.007420
0.063317
-0.012167
-0.010653
-0.020211
0.065303
0.065277
0.065280
0.065274
0.065264
0.065293
0.065278
0.065228
-0.877649
-0.158169
0.054185
-0.113670
0.970165
-0.186340
-0.163194
-0.309845
0.010084
-0.032221
2.146514
1078.160
-529.1546
2.000071
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
0.3810
0.8745
0.9568
0.9096
0.3330
0.8523
0.8705
0.7570
1.007544
2.112747
4.409426
4.566625
0.238360
0.992099
还可以观察标准化残差
ARCH 建模以后，procs/make residual series/可以产生残差  t 和标准
化残差  t /  t ，以分别下是残差和标准化残差。可以看出没有了集群现
象。
0.08
0.04
0.00
-0.04
-0.08
2000
2050
2100
2150
RESID01
2200
2250
6
4
2
0
-2
-4
-6
2000
2050
2100
2150
RESID02
2200
2250
还可以观察波动率（条件方差）的图形。对比 r 和残差的图形，发
现条件方差的起伏与波动率的大小一致。
ARCH 建模以后，procs/make garch variance series/ 得到  t2
0.004
0.003
0.002
0.001
0.000
2000
2050
2100
2150
2200
2250
G ARCH01
结论：ARCH 模型确实很好描述了股票市场收益率的波动性。
可以观察系数之和小于 1，满足平稳性条件。
§3、GARCH 模型
当 q 较大时，采用 Bollerslov（1986）提出的 GARCH 模型（Generalized
ARCH）
1、GARCH(p, q)模型的定义
 t2    iq1i t2i   pj 1 j t2 j
条件方差方程
 均值 

 t2i

 t2 j ：过去的条件方差（也即预测方差，forecast variance）
注意：均值方程中若没有解释变量（即只有常数，如 R C），则 R2
没有直观定义了，因此可为负）
2、GARCH(p, q) 模型的稳定性条件
计算扰动项的无条件方差：
var( t )  E t2    i var( t i )   j var( t  j )
var( t ) 

1   i   j
GARCH 是协方差稳定的，因此是经典回归。
3、GARCH 模型的参数估计
采用极大似然估计 GARCH 模型的参数。下面以 GARCH(1, 1)为例。
由 GARCH(1, 1)模型
yt  xt    t
 t | t 1 ~ N (0,  t2 )
 t2    1 t21  1 t21
可以得到 yt 的分布为
yt | t 1 ~ N (xt  ,  t2 )
由正态分布的定义公式，得到 yt 的 pdf 为
1 ( yt  E ( yt ))2

1
2
f ( yt |  t 1 ) 
e
 t 2
 t2
第 t 个观察样本的对数似然函数值为
1
1 ( yt  xt  )2
ln f ( yt |  t 1 )   ln( t2 )  ln( 2 ) 
2
2
 t2
其中  t2    1 t21  1 t21    1 ( yt 1  xt 1 )2  1 t21
注意 yi 和 yj 之间不相关，因而是独立的。似然函数为
L  tn1 f ( yt | t 1 )
取对数就得到了所有样本的对数似然函数。其中条件方差项以非线性方
式进入似然函数，所以必须使用迭代算法求解。
4、模型的选择
两条原则：
1）若 ARCH(q)中 q 太大，比如 q 大于 7 时，则选择 GARCH(p, q)
2）使用 AIC 和 SC 准则，选择最优的 GARCH 模型
3）对于金融时间序列，一般选择 GARCH(1, 1)就够了。
回顾 AIC 和 SC 定义：
1）AIC 准则（Akaike information criterion）
AIC  
2ln L 2 K

n
n
AIC 越小越好，结合如下两者：
K（自变量个数）减少，模型简洁
LnL 增加，模型精确
2）SC 准则（Schwaz criterion）
SC  
2ln L K ln(n)

n
n
习题 1：通货膨胀率有 ARCH 效应吗？Greene P572
点击数据文件 usinf_greene_p572。进行回归
ls inflation c inflation(-1)
Dependent Variable: INFLATION
Method: Least Squares
Date: 11/19/04
Time: 10:37
Sample(adjusted): 1941 1985
Included observations: 45 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
INFLATION(-1)
2.432859
0.493213
0.816345
0.131157
2.980184
3.760466
0.0047
0.0005
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.247477
0.229976
3.612519
561.1625
-120.6276
1.612442
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
4.740000
4.116784
5.450114
5.530410
14.14110
0.000507
Probability
Probability
0.953308
0.941850
检验 ARCH 效应
ARCH Test:
F-statistic
Obs*R-squared
0.215950
1.231192
Test Equation:
Dependent Variable: RESID^2
Method: Least Squares
Date: 11/19/04
Time: 10:46
Sample(adjusted): 1946 1985
Included observations: 40 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
RESID^2(-1)
RESID^2(-2)
RESID^2(-3)
RESID^2(-4)
RESID^2(-5)
9.270522
-0.031162
-0.006886
0.116261
0.018545
0.127906
7.425567
0.170116
0.170151
0.169505
0.170620
0.168643
1.248460
-0.183184
-0.040469
0.685888
0.108694
0.758439
0.2204
0.8557
0.9680
0.4974
0.9141
0.4534
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.030780
-0.111753
36.00858
44085.00
-196.8574
1.034796
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
12.28323
34.15088
10.14287
10.39620
0.215950
0.953308
习题 2：通货膨胀率有 ARCH 效应吗？Lin 的数据集
点击 usinf 文件
series dp=100*D(log(p))
ls dp c dp(-1) dp(-2) dp(-3)
Dependent Variable: DP
Method: Least Squares
Date: 11/19/04
Time: 10:10
Sample(adjusted): 1951:1 1983:4
Included observations: 132 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
DP(-1)
DP(-2)
DP(-3)
0.109907
0.393583
0.203093
0.302073
0.063405
0.084432
0.089452
0.084185
1.733410
4.661536
2.270405
3.588214
0.0854
0.0000
0.0249
0.0005
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.696825
0.689719
0.396277
20.10054
-63.08423
1.970959
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
1.021373
0.711412
1.016428
1.103785
98.06599
0.000000
ARCH Test:
F-statistic
Obs*R-squared
0.969524
4.892009
Probability
Probability
0.439318
0.429201
Test Equation:
Dependent Variable: RESID^2
Method: Least Squares
Date: 11/19/04
Time: 10:13
Sample(adjusted): 1952:2 1983:4
Included observations: 127 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
RESID^2(-1)
RESID^2(-2)
RESID^2(-3)
RESID^2(-4)
RESID^2(-5)
0.108190
-0.080832
0.107906
0.081191
0.110745
0.031248
0.035302
0.090353
0.088493
0.088831
0.088433
0.088738
3.064648
-0.894619
1.219365
0.913996
1.252299
0.352134
0.0027
0.3728
0.2251
0.3625
0.2129
0.7254
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
0.038520
-0.001211
0.236450
Mean dependent var 0.147634
S.D. dependent var
0.236307
Akaike info criterion -7.13E-05
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
6.764921
6.004525
1.990016
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
0.134300
0.969524
0.439318
Dependent Variable: DP
Method: ML - ARCH
Date: 11/19/04
Time: 10:16
Sample(adjusted): 1951:1 1983:4
Included observations: 132 after adjusting endpoints
Convergence achieved after 25 iterations
C
DP(-1)
DP(-2)
DP(-3)
Coefficient
Std. Error
z-Statistic
Prob.
0.111302
0.378317
0.188385
0.323731
0.064512
0.096198
0.086241
0.098345
1.725282
3.932691
2.184401
3.291788
0.0845
0.0001
0.0289
0.0010
Variance Equation
C
ARCH(1)
GARCH(1)
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.292465
-0.029761
-0.873324
0.696453
0.681883
0.401250
20.12519
-62.37558
1.938286
0.049187
0.047805
0.267371
5.945939
-0.622563
-3.266333
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
0.0000
0.5336
0.0011
1.021373
0.711412
1.051145
1.204021
47.79960
0.000000
附录：Matlab 的 GARCH 工具箱
ARMAX(R,M,Nx)/GARCH(P,Q)模型:
R
M
NX
i 1
j 1
k 1
yt  C   ARi yt  i   t   MAj t  j    k X (t , k )
P
Q
i 1
j 1
/
 t2  k   Gi t2 i   Aj t2 j
1. y t = 资 产 的 收 益 率 序 列
 Vart 1 ( yt )  Et 1 ( t2 )   t2
2. GARCH(0,Q)ARCH(Q)
t = 冲 击 过 程
 t2 =  t 的 条 件 方 差
3.  t2 is the forecast of the next period’s variance, given the past sequence of variance
forecasts  t2 i and past realizations of the variance itself  t2 j .
The Default Model:
/
 t2  k  G1 t21  A1 t21
yt  C   t
对金融收益率时序 y t ,(1)带漂移的随机游走足够了(2)GARCH(1,1),GARCH(2,1),
GARCH(1,2)足够了
结构接口
Spec = garchset('Parameter1', Value1, 'Parameter2', Value2, ...) 创建
Spec = garchset(OldSpec, 'Parameter1', Value1, ...)
修正 OldSpec
例：spec=garchset; spec=garchset(spec, 'C', 0, 'AR', [0.6 0.2], 'MA', 0.4);
GARCH 建模
1. 收益率时序的 ARMAX/GARCH 参数估计
[Coeff,Errors,LLF,Innovations,Sigma,Summary]=garchfit(Spec, Series)/(Spec, Series,
X)
Series-收益率序列 y, 最后为最新数据
Spec-结构描述, garchset
X-多种资产的收益率回归矩阵，每列为一回归解释变量，最后一行为最新数据
Coeff-估计系数, Errors-系数的标准差, LLF-log-likelihood 函数值,Innovations-  t ,
Sigma-  t
2.
[SigmaForecast,MeanForecast,SigmaTotal,MeanRMSE]=garchpred(Spec,Series,NumP
eriods)
NumPeriods-预测步数. *SigmaForecast-  t 的预测值. *MeanForecast- E[ y t ] 的预测
值.
NumPeriods
SigmaTotal- vart [
y
i 1
对 yt  C   t 为
t i ]
10
 E [
i 1
t
2
t i
] MeanRMSE-预测 E[ y t ]
的标准误差.
3.
GARCH
过
程
模
拟
[Innovations,Sigma,Series]=garchsim(Spec)/(Spec,NS,NP,Seed,X)
NS-样本个数 default 100. NP-样本路径的个数 default 1. Seed-随机数种子
default 0
Innovations-NS*NP 冲击矩阵  t .
Sigma-  t
Series-NS*NP 收益率矩阵, 每列为
单独的实现 y.
例[co,er,L,in,si]=garchfit(xyz); [e,s,y]=garchsim(co,800); garchplot(e,s,y)
GARCH 冲击推断
推
断
yt
t
 t :[Innovations,Sigma,LogLikelihood]=garchinfer(Spec,Series)/(Spec,Series,X)
从
与
例[eInferred, sInferred] = garchinfer(coeff, y);
Statistics and Tests
1. Akaike Bayesian 信息准则[AIC,BIC]=aicbic(LogLikelihood,NumParams,NumObs)
NumParams-参数个数
NumObs-收益率时序长度
AIC=-2*LogLikelihood+2*NumParams
BIC=-2*LogLikelihood+NumParams*Log(NumObs)
例 n21=garchcount(coeff21); n11=garchcount(coeff11)=4; %参数个数
[AIC,BIC]=aicbic(LLF21,n21,2000);[AIC,BIC]=aicbic(LLF11,n11,2000);%AIC, BIC
没有显著增加, 说明 GARCH(1,1)足够了
6. Likelihood ratio hypothesis test.
[H, pValue, Ratio, CriticalValue]=lratiotest(BaseLLF, NullLLF, DoF, Alpha)
例spec11=garchset('P',1,'Q',1);[co11,er11,LLF11,in11,si11,su11]=garchfit(spec11,xyz);
spec21=garchset('P',2,'Q',1);[co21,er21,LLF21,in21,si21,su21]=garchfit(spec21,xyz);%
LLF21 越大越好
[H,p,St,CV]=lratiotest(LLF21,LLF11, 1, 0.05); %H=0 说明 GARCH(1,1)足够了
*此不对，要对 spec11 给初值。
2. [H, pValue, ARCHstat, CriticalValue] = archtest(Residuals)/(Residuals, Lags, Alpha)
H0: 样本余差时序为 i.i.d.正态冲击(i.e.无 ARCH/GARCH 效应).
Residuals–比如来自回归的余差 Lags-default is 1 即 ARCH(1).
H=0 接受 H0
如 residuals=randn(100,1);[H,P,Stat,CV]=archtest(residuals,[1 2 4]',0.10)Create
synthetic residuals, 检验 1 2 4 阶 ARCH 效应.
%注意 GARCH(P,Q)基本相当于
ARCH(P+Q)
7. 偏自相关[PartialACF, Lags, Bounds]=parcorr(Series)/(Series , nLags , R , nSTDs)
Series–最后一数据为最新
nLags–偏 ACF 的个数，默认为 minimum[20 ,
length(Series)-1].
R–若为 AR(R)过程, lags>R 时偏 ACF 为 0.
nSTDs-default is nSTDs = 2 (i.e.95%
置信区间).
Bounds-AR(R)过程的边界.
如: randn('state',0) x = randn(1000,1); y = filter(1,[1 -0.6 0.08],x); % Create a
stationary AR(2) process.
parcorr(y , [] , 2)
% Inspect the P-ACF with 95% confidence.
3.自相关 [ACF, Lags, Bounds] = autocorr(Series)/(Series , nLags , M , nSTDs)
M
- MA(M)过程, lags > M, ACF 为 0.
Example: randn('state',0) x = randn(1000,1); y = filter([1 -1 1] , 1 , x); % Create an
MA(2) process.
autocorr(y , [] , 2)
% Inspect the ACF with 95% confidence.
4. 交叉自相关
[XCF, Lags, Bounds] = crosscorr(Series1 , Series2)/(Series1 , Series2 , nLags , nSTDs)
Bounds–2 个序列完全不相关的 XCF 的上下界.
如: randn('state',100) x=randn(100,1); y=lagmatrix(x , 4); % Delay it by 4 samples.
y(isnan(y)) = 0; % Replace NaN's with zeros.
crosscorr(x,y)
% It should peak at the 4th lag.
5. Ljung-Box-Pierce Q-检验
H0: 模型后的innovations(i.e. residuals)没有序列相关, Q~Chi-Square分布
L 2
Q = N(N+2)Sum(r^(k)/(N-k))
k=1
N=样本长度, r^2(k)样
本自相关.
[H, pValue, Qstat, CriticalValue] = lbqtest(Series)/(Series , Lags , Alpha)
Series-is either the sample residuals derived from fitting a model to an observed time
series, or the standardized residuals obtained by dividing the sample residuals
by the conditional standard deviations.
Lags–default minimum[20 , length(Series)-1]
Alpha-default is 0.05.
H=0, model fit is adequate (no serial correlation at the corresponding element of Lags);
H=1 拒绝 H0
如: [H,P,Qstat,CV] = lbqtest(xyz-mean(xyz) , [20 25]' , 0.01) %xyz为原始的收益
率序列, 检验在20 25步上ACF没有显著相关.
例子
1. 估计前的分析:
1) load xyz; xyz=price2ret(prices); %Converts the prices to a return series
2) autocorr(xyz); parcorr(xyz); autocorr(xyz.^2) %检查相关性
3) [H,p,St,C]=lbqtest(xyz-mean(xyz),[10 15 20]',0.05); %H=0 0 0 说明收益率序列没
有显著相关
[H,p,St,CV]=lbqtest((xyz-mean(xyz)).^2,[10 15 20]',0.05);%H=1 1 1 说明平方收益
率有显著相关
[H,p,St,CV]=archtest(xyz-mean(xyz),[10 15 20]',0.05);%H=1 1 1存在GARCH效应
/heteroskedasticity.
* 注 意 xyz 为 收 益 率 与 余 差 不 一 样 , 即 yt  C   t 所 以 lbqtest,archtest 对
xyz-mean(xyz)   t 计算.
2. 参数估计:
spec=garchset('R',0,'M',0,'P',1,'Q',1,'K',0.1,'GARCH',0.1,'ARCH',0.1)%Default Model.
[Co,Er,LL,In,Si,Su]=garchfit(spec,xyz); garchdisp(Co,Er)显示估计结果
3. 估计后的分析:
1) garchplot(in, si, xyz) %比较冲击/余差,条件标准差,收益率
2) plot(in./si); %画和比较标准化冲击的相关性. 因为  t /  t ~i.i.d.N(0,1)
autocorr((in./si).^2) %无相关性说明模型解释了原始收益率中的
heteroskedasticity.
3)[H,p,St,CV]=lbqtest((in./si).^2,[10 15 20]',0.05);[H,p,St,CV]=archtest(in./si,[10 15
20]',0.05);量化结果
H 全为 0，说明 default model 有解释力
模拟与推断
[e,s,y] = garchsim(spec, 2000);
[eInferred, sInferred] = garchinfer(spec, y);
预测
[sF,Fc,sT,yR]=garchpred(coeff,xyz,10); %预测 10 天  t , E[ yt ]  C ,
10
 E [
i 1
标准差
s0=sqrt(co.K/(1 - sum([co.GARCH(:) ; co.ARCH(:)])))
t
2
t i
] ,C 的
%  t 的无条件标准差
plot(sigma); title('Fitted Conditional Standard Deviations: XYZ Corporation') %以前
估计
plot(sF, 'blue--');hold('on') plot([0 length(sFcast)],[s0 s0],'red');title('标准差预测和渐
进值')