MAT 1741-B – Examen Final
Professeur: Youssouph Cissokho
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Signature:
METTEZ VOS RÉPONSES ICI (les questions 1 à 10):
Question
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Total
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
4
4
4
(2)
24
RÉPONSE
Sur un total de
MAT 1741-B, Hiver 2020
1. Lesquels des ensembles suivants sont des sous-espaces de R3 ?
2
(1)
U = {(x, y, z) ∈ R3 | x − 2y + z = 0}
V = {(x, y, z) ∈ R3 | x − 5z = 0}
W = {(x + y, y, x − 2y) ∈ R3 | x, y ∈ R}
X = {(x, y, x + 1) ∈ R3 | x, y ∈ R}
croiser (X) la bonne réponse:
A Seulement U et V
B Seulement U et W
C Seulement W et X
D Seulement U , V et W
E Seulement U , V et X
F Seulement U , W et X
2. Lesquelles des affirmations suivantes sont vraies ?
(1)
I. Tout système homogène d’équations linéaires a un nombre infini de solutions.
II. Si u, v et w sont des vecteurs linéairement indépendants dans R3 , alors {u, v, w} est une base de R3 .
III. Si A et B sont des matrices inversibles, alors (AB)−1 = A−1 B −1 .
IV. {2 sin x, cos 2x} est un ensemble linéairement indépendant de vecteurs dans l’espace vectoriel de toutes les
fonctions à valeurs réelles.
croiser (X) la bonne réponse:
A I. et II.
B I. et III.
C I. et IV.
D II. et III.
E II. et IV.
F III. et IV.
MAT 1741-B, Hiver 2020
3. Soit B =
1
0
−1
0
3
et considérons le sous-ensemble U = {A ∈ M2×2 (R) | BA = AB}.
Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?
(1)
croiser (X) la bonne réponse:
A U est un sous-espace de M2×2 (R), et dim U = 0
B U est un sous-espace de M2×2 (R), et dim U = 1
C U est un sous-espace de M2×2 (R), et dim U = 2
D U est un sous-espace de M2×2 (R), et dim U = 3
E U est un sous-espace de M2×2 (R), et dim U = 4
F U n’est pas un sous-espace de M2×2 (R)

1
4. Considérer la matrice inversible A = 0
1
croiser (X) la bonne réponse:
A (0 0 1)
B (1 0 1)
C (0 1 0)
D (−1 0 1)
E (1 0 2)
F (1 0 − 1)
1
1
0

1
0. Alors, la deuxième ligne de A−1 est :
2
(1)
MAT 1741-B, Hiver 2020
4
5. Soit A une matrice carrée de taille 6 × 6. Lesquels des énoncés suivants sont vrais ?
(1)
I. Si le rang(A) = 2, alors il y a 4 paramètres (variables libres) dans la solution générale du système Ax = 0
II. Si le rang(A) = 2, alors il y a 2 paramètres (variables libres) dans la solution générale du système Ax = 0
III. Si le rang(A) = 4, alors Ax = 0 admet une infinité de solutions
IV. Si le rang(A) = 4, alors Ax = 0 admet une unique solution.
croiser (X) la bonne réponse:
A I. Seulement
B II. Seulement
C I. et III.
D II. et III.
E I. et IV.
F II. et IV.
6. Trouver la forme polaire du nombre complexe
−1 + i
2
√ .
·√
3
2 + 6i
(voir la dernière page pour le tableau des fonctions trigonométriques)
croiser (X) la bonne réponse:
A 3(cos(5π/12 + i sin(5π/12)))
B 3(cos(5π/12 − i sin(5π/12)))
C
1
3 (cos(5π/12
− i sin(5π/12)))
D
1
3 (cos(5π/12
+ i sin(5π/12)))
E cos(11π/12 + i sin(11π/12))
F cos(5π/12 + i sin(5π/12))
(1)
MAT 1741-B, Hiver 2020
5


a b c
7. Soit A = d e f  pour certains nombres a, b, c, d, e, f, g, h, i tel que det(A) = 2. En utilisant les
g h i
opérations élémentaires ligne/colonne, calculer le déterminant de la matrice


3a
3d
3g
b + 2c e + 2f h + 2i
−2c
−2f
−2i
(1)
croiser (X) la bonne réponse:
A -64
B 64
C -18
D 18
E -12
F 12
8. Les vecteurs u1 = (0, 4, 2), u2 = (1, −1, 2) et u3 = (5, 1, −2) forment une base orthogonale de R3 . De
sorte que tout vecteur v ∈ R3 peut être exprimé de manière unique sous la forme d’une combinaison linéaire
v = a1 u1 + a2 u2 + a3 u3 , où a1 , a2 , a3 ∈ R sont les coordonnées de v par rapport à la base {u1 , u2 , u3 }.
Trouver la coordonnée a2 de v = (−1, 0, 1).
croiser (X) la bonne réponse:
A −1/6
B −1/2
C −1/3
D 1/3
E 1/2
F 1/6
(1)
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6
9. Pour un système non-homogène de 13 équations avec 9 inconnues (variables),
répondre aux trois questions suivantes par (Oui / Non):
• Le système peut-il avoir une solution unique ?
• Le système peut-il être incompatible ?
• Le système peut-il avoir une infinité de solutions ?
croiser (X) la bonne réponse:
A Oui, Oui, Oui
B Oui, Oui, Non
C Non, Oui, Oui
D Oui, Non, Oui
E Non, Non, Oui
F Oui, Non, Non
10. Soit A une matrice carrée de taille n × n.
Laquelle des affirmations ci-dessous n’est pas équivalente à l’affirmation
“La matrice A est inversible ”
croiser (X) la bonne réponse:
A Les lignes de A sont linéairement indépendantes
B det(A) 6= 0
C Le rang de A est n
D La forme échelonnée réduite de A est la matrice zéro
E Les colonnes de A forment une base de Rn
F Le système homogène Ax = 0 a une solution unique
(1)
MAT 1741-B, Hiver 2020
7
11. Soit P2 = {ax2 + bx + c | a, b, c ∈ R} l’espace vectoriel des fonctions polynomiales de degré au maximum 2.
(a) Expliquez pourquoi {1 − x, x + x2 , 1 − x2 } est une base de P2 .
(1)
(b) Étendre la base de la partie (a) à une base de P3 = {ax3 + bx2 + cx + d | a, b, c, d ∈ R}.
Justifiez vos arguments.
RÉPONSE (la base élargie est):
(1)
MAT 1741-B, Hiver 2020
8
12. Soit W = {(x, y, z, w) ∈ R4 | x − z = 0 et y + 2z = 0}
(a) Trouver une base pour W .
RÉPONSE:
(1)
MAT 1741-B, Hiver 2020
9
(b) Appliquer l’algorithme de Gram-Schmidt pour trouver une base orthogonale pour le sous-espace
U = V ect{(1, 0, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 1)}.
RÉPONSE:
(2)
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(c) Trouver la meilleure approximation de (0, 0, −3, 1) dans le sous-espace U de (b).
RÉPONSE:
10
(1)
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
1
13. Soit A = 2
2
2
1
2
11

2
2
1
(a) Trouvez le polynôme caractéristique (entièrement développé) de A.
(1)
RÉPONSE:
(b) En utilisant le polynôme caractéristique, expliquez pourquoi les valeurs propres de A sont 5 et −1. (1/2)
MAT 1741-B, Hiver 2020
(c) Trouver une base du sous-espace propre E5 = {v ∈ R3 | Av = 5v}.
12
(1)
RÉPONSE:
(d) Trouver une base du sous-espace propre E−1 = {v ∈ R3 | Av = −v}.
RÉPONSE:
(1)
MAT 1741-B, Hiver 2020
13
(e) Trouvez une matrice inversible P et une matrice diagonale D telle que P −1 AP = D.
RÉPONSE: P =
D=
(1/2)
MAT 1741-B, Hiver 2020
14
14. Indiquez dans la case correspondante si chacun des éléments suivants est (toujours) VRAI ou (éventuellement)
FAUX. Fournissez la justification/exemple correspondant.
(a) Si U et W sont des sous espaces de l’espace vectoriel V , alors l’intersection
U ∩ W = {v ∈ V | v ∈ U et v ∈ W }
est aussi un sous espace vectoriel de V .
RÉPONSE (V / F):
(1/2)
Justification/exemple:
(1/2)
2
(b) La matrice
1
0
3
est diagonalisable.
RÉPONSE (V / F):
(1/2)
Justification/exemple:
(1/2)
MAT 1741-B, Hiver 2020
15
(c) Si 0 est une valeur propre de la matrice A de taille 7 × 7, alors A est inversible.
RÉPONSE (V / F):
(1/2)
Justification/exemple:
(1/2)
(d) La fonction T : R2 → R2 définie par T
x
x
=
est une transformation linéaire.
y
y+1
RÉPONSE (V / F):
(1/2)
Justification/exemple:
(1/2)
MAT 1741-B, Hiver 2020
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15. (Question BONUS) On définit une transformation linéaire T : R3 → R3 par
 


x
x+y
T (y ) =  y + z 
z
z+x
(a) Trouvez la matrice standard de T .
(1)
RÉPONSE:
(b) Trouver une base pour l’image de T .
RÉPONSE:
(1)
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17
La dernière page.
sin( π6 ) = cos( π3 ) = 12 ,
sin( π4 ) = cos( π4 ) =
√
2
2 ,
sin( π3 ) = cos( π6 ) =
sin(0) = cos( π2 ) = 0,
√
3
2
sin( π2 ) = cos(0) = 1.