122105Tema08.qxd
19/4/08
11:51
Página 139
8
Geometria
analítica
Destinació: el futur
El xiulet agut va despertar el monstre, que es va
començar a moure lentament entre xerrics metàl·lics
i núvols de vapor.
Amb prou feines la locomotora havia iniciat la marxa,
dos joves, la Sofia i en Fèdia, van abandonar
el compartiment on eren els pares i la germana gran,
van travessar diversos vagons i van arribar al furgó
de la cua, des d’on van veure allunyar-se la seva ciutat,
Palibino, a Bielorússia.
PLA DE TREBALL
En aquesta unitat
aprendràs a...
• Determinar vectors,
amb els elements
i les coordenades
corresponents.
• Operar amb vectors.
• Expressar les rectes
mitjançant les
diferents equacions.
• Identificar les posicions
relatives de dues
rectes en el pla.
• Obtenir analíticament
distàncies entre dos
punts i punts mitjans
de segments en el pla.
• Obtenir analíticament
rectes en el pla
que compleixen
unes condicions
determinades.
Per a en Fèdia, l’únic noi entre germanes, el viatge
a Sant Petersburg era una autèntica aventura;
amb dotze anys, li havien explicat tantes meravelles
de la ciutat que ho volia conèixer tot.
La cara de la Sofia, una adolescent de quinze anys,
també reflectia felicitat, però els seus motius eren
diferents dels del germà; per a ella, Sant Petersburg
representava la possibilitat de continuar aprofundint
en els estudis. Anys més tard, ja convertida
en la senyora Kovalevskaia, encara recordava
aquest moment.
Al mateix temps que tots dos germans se submergien
cadascú en els propis pensaments, la ciutat
es convertia en un punt petit, des d’on naixien
els rectes rails que els portaven al futur.
Els rails del tren es poden considerar dues rectes
paral·leles. En quants punts es tallen?
I si no fossin rectes paral·leles?
122105Tema08.qxd
19/4/08
11:51
Página 140
1
Vectors
Les magnituds que expressem amb un sol nombre les anomenem magnituds escalars, però si, a més, hem de saber-ne la direcció i el sentit, són
magnituds vectorials, i els seus elements són vectors.
Un vector és un segment orientat que determinem per mitjà de dos
punts, A i B, i l’ordre que segueixen. El primer punt l’anomenem ori!.
gen i el segon, extrem, i es representa AB
63
17°C 83% km/h
Mòdul: és la longitud del segment AB.
Direcció: és la recta sobre la qual està situat el
vector. Una recta i totes les seves paral·leles determinen una mateixa direcció.
Sentit: és la manera de recórrer el segment AB, és
a dir, de fixar-ne l’origen i l’extrem.
Di
re
cc
ió
1.1 Elements d’un vector
!
AB
B
A
1.2 Coordenades d’un vector
! són les coordenades del
Les coordenades o components del vector AB
punt extrem B(b1, b2) menys les del punt origen A(a1, a2):
! = (b 1 − a 1, b 2 − a 2)
AB
Mateix mòdul
EXEMPLE
Mateixa direcció
1
Calcula les coordenades d’aquest vector:
Mateix sentit
Y
A(−1, 1)
1
X
−2
A(−1, 1) ⎫⎪
! = (4 − (−1), −2 − 1) = (5, −3)
⎬ → AB
B(4, −2)⎭⎪⎪
! són (5, −3).
Les coordenades del vector AB
B(4, −2)
EXERCICIS
PRACTICA
1
APLICA
Quines són
les coordenades
dels vectors?
Y
B
A
3
C
1
1
a) Un vaixell surt de Menorca en direcció nord
a una velocitat de 10 nusos.
D
E
X
b) Un vaixell surt de Tarragona en direcció
sud-est i una velocitat de 12 nusos.
F
2
140
Expressa aquestes situacions amb vectors
i indica’n el mòdul, la direcció i el sentit:
Dibuixa dos vectors diferents que tinguin
el mateix mòdul, la direcció diferent i el sentit
diferent.
REFLEXIONA
4
! i BA
!?
Quines diferències hi ha entre AB
122105Tema08.qxd
19/4/08
11:51
Página 141
1.3 Càlcul del mòdul d’un vector
Si les coordenades d’un vector !són
v
(v1, v2), el mòdul del vector és:
v⏐ =
⏐!
( v1 )2 + ( v2 )2
EXEMPLE
Y
Determina el mòdul del vector d’extrems A(−1, 3) i B(3, 0).
! = (3 − (−1), 0 − 3) = (4, −3)
Les coordenades del vector són: AB
2
!⏐ =
I el seu mòdul és: ⏐AB
4 2 + (−3)2 =
A
!
BA
25 = 5
1
!
AB
1
B
X
1.4 Vectors equivalents i paral·lels
• Dos vectors són equivalents quan tenen el mòdul, la direcció i el
sentit iguals. En coordenades, !
u = (u 1, u 2) i !=
v (v1, v2) són equivalents quan les seves coordenades són iguals: u1 = v1 i u2 = v2.
• Dos vectors són paral·lels quan tenen la mateixa direcció. En coordenades, !
u = (u 1, u 2) i !=
v (v1, v2) són paral·lels quan les seves cooru
u
denades són proporcionals: 1 = 2 .
v1
v2
EXEMPLE
Determina si aquests vectors són equivalents:
3
Y
E
En calculem les coordenades:
! = (4 − 1, 3 − 1) = (3, 2)
AB
D
B
C
! = (2 − (−1), 4 − 2) = (3, 2)
CD
! = (−6 − 0, 0 − 4) = (−6, −4)
EF
1 A
F
X
1
Els vectors
! i BA
!
AB
són paral·lels però
no són equivalents.
Tenen el mateix mòdul
i la mateixa direcció,
però no el mateix sentit.
! i CD
! tenen les mateixes coordenades; per tant, són equivalents. I com
AB
! són proporcionals a les de AB
! i CD
!:
que les coordenades de EF
!
AB
!
BA
3
2
!, CD
! i EF
! són paral·lels.
=
→ AB
−6
−4
EXERCICIS
PRACTICA
5
APLICA
Dibuixa dos vectors equivalents a cada vector
i dos més de paral·lels:
6
Y
A
E
D
REFLEXIONA
1
F
1
B
Donats els punts A(−2, 0), B(0, 0) i C(3, −2),
representa i calcula les coordenades i el mòdul
!, BC
! i AC
!.
dels vectors AB
X
C
7
Donats els punts A(0, 0), B(1, 1) i C(0, 2),
troba les coordenades d’un punt D perquè
! i CD
! siguin equivalents,
els vectors AB
i també perquè siguin paral·lels.
141
122105Tema08.qxd
19/4/08
11:51
Página 142
Operacions
amb vectors
2
2.1 Suma i resta de vectors
Per sumar gràficament dos vectors !
u i!
v, n’agafem
v
l’oun, !
u, i dibuixem un vector equivalent a !amb
rigen a l’extrem de !
v.
!
u
!
v
La suma és un altre vector que té com a origen l’oriv.
gen de !
u, i l’extrem és l’extrem de !
!
u !!
v
El vector que en resulta el representem així:u
!+ !
v.
!
u
!
v
En coordenades, si les coordenades del vector !
u són (u1, u2) i les de !són
v
(v1, v2), el vector suma el calculem sumant-los coordenada a coordenada.
L’oposat
d’un vector !
v és un altre
vector -!
v amb la mateixa
direcció i el mateix mòdul,
però de sentit contrari.
La suma d’un vector
més el seu oposat
és el vector zero.
! = (0, 0)
!
v + (-!
v)=0
!
v (u1, u2) + (v1, v2) = (u1 + v1, u2 + v2)
u + !=
Per restar dos vectors !
u i!
v, dibuixem vectors equivalents a tots dos que tinguin el mateix origen; la
diferència és un altre vector que té com a origen
u.
l’extrem de !
v, i, com a extrem, l’extrem de !
!
u
!
u "!
v
!
v
El vector que en resulta el representem !
u −!
v.
En coordenades, si les coordenades del vector !
u són (u1, u2) i les de !
v
són (v1, v2), el vector diferència el calculem restant-los coordenada
a coordenada.
u − !=
!
v (u1, u2) − (v1, v2) = (u1 − v1, u2 − v2)
EXEMPLE
4
! i CD
!.
Calcula la suma i la diferència dels vectors AB
Y
!
v
-!
v
6
3
A(1, 3)
B(4, 6)
C(3, 1)
!
AB = (4 − 1, 6 − 3) = (3, 3)
B
! = (3 − 3, 3 − 1) = (0, 2)
CD
! + CD
! = (3, 3) + (0, 2) = (3, 5)
AB
D
A
2
C
4
D(3, 3)
! − CD
! = (3, 3) − (0, 2) = (3, 1)
AB
X
EXERCICIS
PRACTICA
8
Les coordenades dels punts A, B, C i D són:
A(0, 0) B(−1, 3) C(−2, −2) D(1 −3)
Calcula el resultat d’aquestes operacions:
! + CD
!
! + AB
!
d) AB
a) AB
!
!
!
!
b) AB − CD
e) CD − CD
! − AB
!
! − CD
!
c) CD
f) −AB
142
APLICA
9
Els punts A(1, 1), B(0, 2) i C(2, 0) són els vèrtexs
d’un triangle. Troba les coordenades dels
vectors que formen els costats.
REFLEXIONA
! = (−3, 2) i w! = (4, −1), determina
10 Si u
el vector !
v tal que u
!+!
v = w!.
122105Tema08.qxd
19/4/08
11:51
Página 143
2.2 Multiplicació d’un vector per un nombre
Per multiplicar un vector !
u per un nombre real k, multipliquem el mòdul
del vector pel nombre real i mantenim la direcció del vector. El sentit és el
mateix si k és positiu i contrari si k és negatiu.
Si multipliquem
un vector !
v per -1,
n’obtenim l’oposat: -!
v.
u
!
ku
!, k > 0
-1 · !
v = -!
v
!, k < 0
ku
En coordenades, si !
u = (u1, u2), el producte d’un nombre real k per
un vector !
u el calculem multiplicant cada coordenada pel nombre k.
k ⋅!
u = (k ⋅ u1, k ⋅ u2)
EXEMPLE
5
!, definit pels
Donat el vector, u
! = AB
punts A(1, 2) i B(0, 4), calcula
gràficament i analíticament el producte
d’aquest vector pels nombres 3 i −1.
! = (0 − 1, 4 − 2) = (−1, 2)
u! = AB
3u! = 3 ⋅ (−1, 2) = (−3, 6)
(−1)u! = (−1) ⋅ (−1, 2) = (1, −2)
Y
B
3u!
1
u!
A
1
(−1)u!
X
2.3 Suma d’un punt i un vector
Un punt A més un vector !
u és un altre punt B que resulta de traslladar el
punt A segons el vector !
u.
En coordenades, si A(a1, a2) i !
u = (u1, u2), la suma de tots dos és un
altre punt B que té com a coordenades:
B=A+ !
u → (a1, a2) + (u1, u2) = (a1 + u1, a2 + u2)
Y
!
u
1
B
!
u
A
1
X
EXERCICIS
PRACTICA
REFLEXIONA
!.
11 Si saps que A(3, −4) i B(5, 2), calcula k ⋅ AB
1
a) k = 3 b) k = −2 c) k = 5 d) k =
2
13 Sabem que A’ és el transformat de A per
u! = (x, y)
a) A(0, 2) ⎯⎯⎯⎯→ A'(−2, 4)
u! = (x, 3)
APLICA
12 Efectua les operacions següents analíticament
i gràficament, si u
!= (6, 2) i !
v = (−2, 1).
!
a) 2u! + 3v
la translació del vector u
!. Calcula x i y.
b) (−1) !
v − u!
b) A(−1, −2) ⎯⎯⎯⎯→ A'(5, y)
u! = (−2, −3)
c) A(x, y) ⎯⎯⎯⎯→ A'(−4, 6)
u! = (7, y)
d) A(x, 8) ⎯⎯⎯⎯→ A'(10, 5)
143
122105Tema08.qxd
19/4/08
11:51
Página 144
3
Equacions
de la recta
3.1 Equació vectorial de la recta i equacions paramètriques
Un punt A(a1, a2) i un vector !
v = (v1, v2) com els de la figura del marge,
determinen una única recta r al pla. L’equació d’una recta r és una expressió que determina les coordenades de tots els punts P(x, y) de la recta.
! i han de ser paral·lels, o sigui que hi ha
Perquè sigui així, els vectors AP
! =!
un paràmetre t que fa que AP
vt.
La forma d’expressar tots els punts P(x, y) de la recta és que el punt P es
pot obtenir mitjançant la suma de A i de !
v: P = A + tv
!, t ∈.
Si ho escrivim en coordenades: (x, y) = (a, b) + t(v1, v2). Aquesta és
l’equació vectorial de la recta.
El vector !=
v (v1, v2) s’anomena vector director de la recta.
Els punts s’obtenen donant valors a t.
3.2 Equacions paramètriques de la recta
Si en l’equació vectorial igualem coordenada a coordenada, obtenim les
x = a + tv1 ⎫⎪
anomenades equacions paramètriques de la recta
⎬.
y = b + tv2 ⎭⎪⎪
EXEMPLE
6
Calcula l’equació vectorial i les equacions paramètriques de la recta
que passa pel punt A(−2, 3) i té com a vector director !
v = (1, 3).
Comprova si els punts B(−1, 5) i C (−5, −6) pertanyen a la recta.
Equació vectorial: (x, y) = (−2, 3) + t(1, 3)
Equacions paramètriques:
x = −2 + 1t⎫⎪
⎬
y = 3 + 3 t ⎭⎪⎪
−1 = −2 + 1t⎪⎫
t = 1 ⎪⎫
⎬→B∉r
⎬→
5 = 3 + 3 t ⎪⎪⎭
t = 2 /3⎪⎭⎪
−5 = −2 + 1t⎫⎪
t = −3⎫⎪
C(−5, −6) →
⎬→
⎬→C∈r
−6 = 3 + 3 t ⎪⎪⎭
t = −3⎪⎪⎭
B(−1, 5) →
EXERCICIS
PRACTICA
REFLEXIONA
14 Calcula les equacions paramètriques de la recta
16 Determina l’equació vectorial de la recta
que passa pel punt A(0, −4) i té com a vector
director !
v = (−1, 7).
APLICA
15 Calcula l’equació vectorial de la recta que passa
pel punt A(0, −4) i té com a vector director
v = (−1, 7).
!
144
que passa pel punt A(−2, 3) i té com a vector
director:
a) !
v = (3, 4)
! = (−3, −4)
b) −v
! = (6, 8)
c) 2v
122105Tema08.qxd
19/4/08
11:51
Página 145
3.3 Equació continua de la recta
Si aïllem t de les equacions paramètriques, obtenim:
x − a ⎫⎪⎪
⎪
x = a + tv1 ⎫⎪
v1 ⎪ → x − a = y − b
→
⎬
⎬
y = b + tv2 ⎭⎪⎪
y − b ⎪⎪
v1
v2
t=
⎪⎪
v2 ⎪⎭
t=
Aquesta és l’equació contínua de la recta, que ja no té cap paràmetre t.
3.4 Equació de la recta que passa per dos punts
Dos punts A(a1, a2) i B(b1, b2) del pla, determinen també de forma única
una recta, formada per tots els punts P(x, y) alineats amb A i B; per tant,
! = kAB
! → (x − a1, y − a2) = t(b1 − a1, b2 − a2).
s’ha de complir que AP
x − a1
y − a1
=
, que és l’equació de la recta
b1 − a1
b2 − a 2
que passa pels punts A i B.
Si aïllem t, obtenim
Observa que aquesta equació és la mateixa que l’equació contínua de la
recta que passa pel punt A i té el vector director !=
v (v1, v2) si considerem
!.
com a vector director el vector AB
EXEMPLE
7
Donats els punts A(1, 3) i B(2, −1) i, calcula l’equació contínua de la recta
que passa per aquests dos punts. Escriu un vector director d’aquesta
recta i un altre punt de la recta.
! = (2, −1, −1, −3) = (1, −4) i, aplicar
Podem calcular el vector AB
l’expressió de l’equació contínua agafant, per exemple el punt A
! com a vector director: x − 1 = y − 3
i el vector AB
1
−4
Per trobar punts de la recta, és suficient amb donar un valor qualsevol
a la x (o a la y) i calcular el valor que falta:
x=4→
4 −1
y −3
y −3
=
→3=
→ y = −12 + 3 = −9 → P(4,−9) ∈ r
1
−4
−4
EXERCICIS
PRACTICA
REFLEXIONA
17 Donats els punts de coordenades A(−1, 7) i B(0, 1):
19 Expressa la recta que passa pels punts A(1, −2)
a) Calcula el vector director de la recta
que passa per A i B.
b) Troba l’equació vectorial d’aquesta recta.
i B(1, 2) mitjançant la seva equació:
a) Vectorial.
b) Paramètrica.
Es pot expressar en forma contínua? Per què?
APLICA
18 Troba l’equació contínua d’aquesta recta:
x = 2 − 3 t⎪⎫
⎬
⎪⎪⎭
y = 2t
145
122105Tema08.qxd
19/4/08
11:51
Página 146
3.5 Equacions de rectes paral·leles als eixos de coordenades
Quan un vector té una de les coordenades 0 o els dos punts tenen una
mateixa coordenada, l’equació contínua de la recta tindrà un denominador 0 i serà una recta paral·lela a un dels eixos de coordenades.
x−a
y−b
=
→ x = a → Recta vertical
• Si v1 = 0 →
0
v2
x−a
y−b
=
→ y = b → Recta horitzontal
• Si v2 = 0 →
v1
0
EXEMPLE
8
Calcula les equacions de la recta que passa pel punt A(5, −2)
i el seu vector director és !
v = (0, 4).
Equació:
Conegut el vector
director d’una recta:
!
v = (v1, v2 ), el pendent
v2
de la recta és m =
.
v1
x−5
y+2
=
→x=5
0
4
3.6 Equació punt-pendent de la recta
x − a1
y − a2
=
A partir de l’equació contínua de la recta
, si aïllem el
v1
v2
v2
v
( x − a1). El quocient 2 = m és el
factor y − a2 obtenim: y − a 2 =
v1
v1
pendent de la recta.
L’equació y − a2 = m(x − a1) s’anomena equació punt-pendent de la
recta.
EXEMPLE
9
Calcula l’equació punt-pendent de la recta que passa pel punt A(4,1)
i té com a vector director !
v = (−2, 3).
Calculem el pendent: m =
3
. L’equació punt-pendent serà:
−2
3
y − 1 = − (x − 4)
2
EXERCICIS
PRACTICA
REFLEXIONA
20 Calcula les equacions de les rectes que passen
22 L’equació de la recta r és y = −x + 2.
pel punt A(0, 1) el vector director de les quals és:
a) !
v = (0, −1)
b) !
v = (11, 0)
APLICA
21 Determina l’equació punt-pendent de la recta
que passa pel punt A(0, −4) amb vector director
v = (−1, 7).
!
146
a) Quin és el valor del pendent?
b) Determina les coordenades d’un
dels seus vectors directors.
c) Troba dos punts de la recta i dibuixa-la.
d) El punt A(−1, 4), pertany a aquesta recta?
122105Tema08.qxd
19/4/08
11:51
Página 147
3.7 Equació explícita de la recta
Si traiem els parèntesi de l’última expressió:
a2 − ma1 → y = mx + n
y − a2 = m(x − a1) → y = mx + 123
n
que és l’equació explícita de la recta, on n és l’ordenada a l’origen.
3.8 Equació general de la recta
x − a1
y − a2
=
, si traiem els
v1
v2
denominadors obtenim v2(x − a1) = v1(x − a2). Ho traslladem tot al primer membre: v2(x − a1) − v1(x − a2) = 0.
A partir de l’equació contínua de la recta
Traiem els parèntesis: v2x − v2a1 − v1x − v1a2 = 0
Ordenem l’expressió i anomenem els termes:
(v1a2 − v2a1) = 0
v2x + (−v1)y + 14243
{
123
A
B
C
L’equació Ax + By + C = 0 s’anomena equació general o implícita
de la recta.
EXEMPLE
10 Calcula l’equació general o implícita de la recta que passa pels punts
P(−3, 2) i Q (1, 1).
Calculem el vector director de la recta:
!
v = (B, −A)
! = (1 − (−3), 1 − 2) = (4, −1) ⎯⎯⎯⎯→
A = 1, B = 4
PQ
Per tant, l’equació general és de la forma:
A = 1, B = 4
Ax + By + C = 0 ⎯⎯⎯⎯→ x + 4y + C = 0
Per calcular el valor de C, com que Q(1, 1) pertany a la recta, en substituïm
les coordenades en l’equació:
1 + 4 ⋅ 1 + C = 0 → C = −5
L’equació general o implícita de la recta és: x + 4y − 5 = 0
EXERCICIS
PRACTICA
APLICA
22 Determina les equacions explícita
24 Quina és l’equacio general de la recta l’equació
i punt-pendent de la recta que passa
per A(0, −4) i té com a vector
director !
v = (−1, 7).
23 Calcula l’equació general de la recta que passa
pels punts A(0, −1) i B(3, 2).
vectorial de la qual és (x, y) = (1, 1) + t(3, 1)?
REFLEXIONA
25 El pendent d’una recta és m = 2 i sabem
que passa pel punt A(0, −1).
a) Escriu-ne l’equació general.
b) Calcula’n un vector director i un de paral·lel.
147
122105Tema08.qxd
19/4/08
11:51
Página 148
4
Propietats analítiques
i mètriques
4.1 Distància entre dos punts del pla
La distància entre dos punts A i B del pla és igual al mòdul del vector que
!⏐.
els uneix: d(A, B) = ⏐AB
! = (b1 − a1, b2 − a2)
Si tenim dos punts A(a1, a2) i B(b1, b2), llavors AB
4.2 Punt mitjà d’un segment
El punt mitjà M(m1, m2) d’un segment d’extrems A(a1, a2) i B(b1, b2) és un
punt dels segment que equidista dels dos extrems. Per tant:
! = MB
! = 1 AB
!
d(A, M) = d(M, B) ↔ AM
2
Si resolem aquesta equació vectorial:
⎛ a − b1 a 2 − b2 ⎞⎟
1
( m1 − a1, m2 − a 2 ) = ( a1 − b1, a 2 − b2 ) = ⎜⎜ 1
,
⎟
⎜⎝ 2
2
2 ⎟⎠
D’aquesta última condició, aïllem les coordenades de M, que s’obtenen
fent la semisuma de les coordenades dels extrems:
⎛ a + b1 a1 + b1 ⎞⎟
M ⎜⎜⎜ 1
,
⎟
⎝ 2
2 ⎟⎠
EXEMPLE
11 Calcula el punt mitjà i la distància entre els punts A(−3, 6) i B(5, 2).
Apliquem les fórmules anteriors:
! = (5 − (−3), 2 − 6) = (8, −4)
AB
d (A, B) =
8 2 + (4)2 =
64 + 16 =
80 = 4 5 u
⎛ −3 + 5 6 + 2 ⎞⎟
⎟⎟ → M (1, 4)
,
Punt mitjà: M ⎜⎜
⎜⎝ 2
2 ⎟⎠
EXERCICIS
PRACTICA
REFLEXIONA
27 Calcula la distància entre els punts A(0, 0)
29 Donat el triangle
i B(4, −2).
APLICA
28 Dibuixa un triangle amb vèrtexs als punts
A(0, 1), B(3, 6) i C (−2, 8) i calcula’n
el perímetre.
148
de la figura, calcula
els punts mitjans
de cada costat.
122105Tema08.qxd
19/4/08
11:51
Página 149
Incidència i paral·lelisme
de rectes
5
5.1 Posició relativa de dues rectes
Al pla, dues rectes poden ser paral·leles, coincidents o secants.
• Paral·leles: mateixa direcció i sense punts comuns.
• Coincidents: mateixa direcció i tots els punts són comuns.
• Secants: les seves direccions són diferents i tenen un únic punt en
comú, que és el punt de tall entre les dues rectes.
En relació els vectors directors de les rectes o als seus pendents es compleix que:
Posicions
Vectors directors
Pendents
Equació general
Proporcionals
v2
u
= 2
v1
u1
Iguals
m = m'
A
B
C
=
!
A'
B'
C'
Proporcionals
v2
u
= 2
v1
u1
Iguals
m = m'
A
B
C
=
=
A'
B'
C'
No proporcionals
v2
u2
!
v1
u1
Diferents
m ! m'
A
B
!
A'
B'
Paral·leles
Coincidents
Secants
COINCIDENTS
PARAL·LELES
SECANTS
5.2 Equació d’una recta paral·lela a una de donada
Dues rectes r i s paral·leles tenen el mateix vector director. Per tant, si l’equació d’una recta r és Ax + By + C = 0, llavors l’equació d’una paral·lela
a ella serà Ax + By + C' = 0 on els coeficients A i B són iguals. El coeficient C el calculem sabent que passa per un punt determinat.
EXEMPLE
12 Calcula la posició relativa de les rectes r: 2x − 3y + 4 = 0 i s: y = 2x + 3
i calcula l’equació de la recta t paral·lela a r que passi pel punt P(−1, 2),
2
és diferent de ms = 2, les rectes r i s són secants.
−3
b) L’equació de la recta t serà s: 2x − 3y + C = 0. Aleshores,
P(−1, 2) ∈ r → 2 ⋅ (−1) − 3 ⋅ 2 + C = 0 → C = 8 → s: 2x − 3y + 8 = 0
a) Com que mr =
EXERCICIS
PRACTICA
APLICA
29 a) Indica quina és la posició relativa d’aquestes
30 Estudia la posició relativa de les rectes
rectes al pla.
r: x + 3y + 3 = 0
s: x − 5y + 3 = 0
b) Calcula la recta paral·lela a r que passa
per l’origen.
r: (x, y) = t ⋅ (3, 1) i s: x − 5y + 3 = 0.
REFLEXIONA
31 Quin ha de ser el valor de A perquè les rectes
r: y = Ax + 6 i s:
x
y−6
=
siguin paral·leles?
2
4
149
122105Tema08.qxd
19/4/08
11:51
Página 150
L’essencial
COMPRÈN AQUESTES PARAULES
Equacions de la recta
D
ire
cc
ió
Vectors
Vectorial:
(x, y) = (a, b) + t ⋅ (v1, v2)
Paramètrica:
x = a + t ⋅ v1 ⎫⎪
⎬
y = b + t ⋅ v2 ⎪⎪⎭
A(a1, a 2) ⎫⎪⎪
! = (b1 − a1, b2 − a2)
⎬ → AB
B (b1, b2 )⎪⎪⎭
Contínua:
x−a
y−b
=
v1
v2
Mòdul
Explícita:
B
!
AB
Coordenades
A
!| =
|AB
(b1 − a1)2 + (b 2 − a 2)2
⎛
v2
v
x + ⎜⎜b − 2
⎜
⎝
v1
v1
Ax + By + C = 0
y=
General:
⎞
a⎟⎟⎟ = mx + n
⎟⎠
FES-HO AIXÍ
1. CÀLCUL DEL MÒDUL D’UN VECTOR A PARTIR DE LES COORDENADES
!, d’extrems A(−2, 1) i B(4, 5).
Calcula el mòdul del vector AB
Y
PRIMER. Trobem les coordenades del vector.
B
A(−2, 1)⎫⎪
! = (4 − (−2), 5 − 1) = (6, 4)
⎬ → AB
B(4, 5) ⎪⎪⎭
3
SEGON. Les coordenades del vector són els catets d’un triangle
rectangle i el mòdul és la longitud de la hipotenusa.
!⏐ =
⏐AB
62 + 4 2 =
D’UNA RECTA SI EN CONEIXEM
DOS PUNTS
Troba l’equació vectorial de la recta
que passa pels punts A(1, 3) i B(2, 0).
Calculem les coordenades del vector
!.
director AB
! = (2 − 1, 0 − 3) = (1, −3)
AB
PRIMER.
4
X
3. CÀLCUL DE L’EQUACIÓ CONTÍNUA
D’UNA RECTA SI EN CONEIXEM
DOS PUNTS
Determina l’equació contínua de la recta
que passa pels punts A(1, 3) i B(2, 0).
PRIMER.
!.
Trobem el vector director AB
! = (2 − 1, 0 − 3) = (1, −3)
AB
SEGON. Comprovem si cap de les coordenades
agafant un dels punts, per exemple A,
!.
i el vector AB
(x, y) = (a, b) + t ⋅ (v1, v2)
TERCER.
⎯⎯→
SEGON. Escrivim l’equació vectorial
! = (1, −3)
A(1, 3), AB
(x, y) = (1, 3) + t ⋅ (1, −3)
150
1
52
2. CÀLCUL DE L’EQUACIÓ VECTORIAL
A
del vector és zero. Si és així, no podem
escriure l’equació contínua de la recta.
Escrivim l’equació contínua.
!= (1, −3) x = 1 + t ⎫
x = a + t ⋅ v1 ⎫⎪ A(1, 3), AB
⎪
⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
⎬
y = b + t ⋅ v2 ⎭⎪⎪
y = 3 − 3t⎭⎪⎪
122105Tema08.qxd
19/4/08
11:51
Página 151
4. CÀLCUL DE L’EQUACIÓ GENERAL D’UNA RECTA SI EN CONEIXEM DOS PUNTS
Determina l’equació general de la recta que passa pels punts A(1, 3) i B(2, 0).
PRIMER. Trobem les coordenades del vector
! = (2 − 1, 0 − 3) = (1, −3)
AB
SEGON. Determinem el valor de A
v = (B , −A) ⎯⎯⎯⎯→ A = 3, B = 1
!
!.
director AB
!
v = (1, −3)
iB .
TERCER. Calculem C
substituint les coordenades
d’un dels punts a l’equació que en resulta.
A(1, 3)
3x + y + C = 0 ⎯⎯→ 3 ⋅ 1 + 3 + C = 0 → C = −6
L’equació general de la recta és 3x + y − 6 = 0.
5. OBTENCIÓ DE L’EQUACIÓ EXPLÍCITA D’UNA RECTA SI EN CONEIXEM DOS PUNTS
Calcula l’equació explícita de la recta que passa pels punts A(1, 3) i B(2, 0).
Trobem el vector director.
!
AB = (2 − 1, 0 − 3) = (1, −3)
PRIMER.
SEGON. Calculem el pendent i l’ordenada.
m=
−3
= −3
1
−3
⋅1= 6
1
n= 3−
TERCER. Escrivim l’equació explícita.
m = −3, n = 6
y = mx + n ⎯⎯⎯⎯⎯→ y = −3x + 6
I ARA… PRACTICA
Càlcul del mòdul d’un vector
!, d’extrems A(−2, 3)
1. El mòdul del vector AB
i B (5, −1), és:
a)
33
b) 13
c)
65
d) 5
Càlcul de les equacions paramètriques
x = −t ⎫⎪
2. Un vector director de la recta
⎬ és:
y = 5 − 2t⎪⎪⎭
a) !
v = (0, −2)
b) !
v = (−1, 2)
c) !
v = (−1, −2)
Càlcul de l’equació contínua
3. Un punt de la recta
x+4
y
=
és:
−1
7
a) (−1, 7)
c) (1, −7)
b) (−4, 1)
d) (−4, 0)
Càlcul de l’equació general
4. L’equació general de la recta que passa
pels punts A(4, 0) i B (−1, 2) és:
a) 2x + 5y − 8 = 0
b) 5x + 2y − 20 = 0
c) −2x − 5y − 8 = 0
d) −5x − 2y + 20 = 0
Esbrinar si dues rectes són paral·leles
5. Quina de les rectes següents és paral·lela
a la recta y = x − 5?
a) 2x − 3y = 5
c) y − 3 = −5(x, −1)
x+4
y
=
b) (x, y) = (0, 0) + t(1, −1) d)
−1
7
Càlcul de l’equació d’una recta paral·lela
a una altra
6. Quin ha de ser el valor de a i b perquè
la recta r: y = ax − b sigui paral·lela a x + y = 8
i passi per l’origen?
a) a = 0, b = 8
c) a = −1, b = 8
b) a = −1, b = 0
d) a = 1, b = 0
151
122105Tema08.qxd
19/4/08
11:51
Página 152
Activitats
VECTORS
42. ●● Si els punts A(1, 1), B(1, 3) i C(7, 3) són
vèrtexs del paral·lelogram ABCD, calcula:
32. ●● Escriu tres exemples de magnituds escalars
i tres més de magnituds vectorials.
!, que té com a origen
33. ● Dibuixa el vector AB
i extrem:
a) A(−1, 2) i B(2, 0)
b) A(2, 0) i B(−1, 2)
c) A(2, 3) i B(4, 7)
d) A(−2, 3) i B(−4, 7)
!,
34. ● Calcula les coordenades del vector AB
en què A i B són els punts següents:
a) A(0, 2) i B(1, −1)
b) A(2, 1) i B(4, 3)
a) Les coordenades de D.
!.
b) El vector BD
43. ●● Troba dos vectors que compleixin que:
a) Tenen la mateixa direcció i el mateix sentit,
i l’un té l’origen a (0, 0) i l’altre a (2, 4).
b) Tenen la mateixa direcció i sentit contrari.
44. ● Calcula el mòdul d’aquests vectors:
a)
b)
Y
c) A(−2, 1) i B(−5, 1)
d) A(0, 0) i B(6, 2)
Y
B
A
1
3
35. ● Quants vectors podem formar amb els punts
A(1, 2), B(3, 5) i C(4, 4)? Descriu-los i representa’ls.
36. ● Quants vectors podem formar amb els punts
A(4, 1), B(2, 5), C(0, 3) i D(−1, −2)? Descriu-los
i representa’ls.
37. ● Calcula les coordenades del punt A:
! = (−1, 3) i B(5, 2).
a) Si AB
! = (2, 3) i B(1, 4).
b) Si AB
! = (−4, 1) i B(−3, 3).
c) Si AB
!, BE
!
41. ● Calcula les coordenades dels vectors AC
!
i BD del gràfic següent:
Y
!.
45. ● Calcula el mòdul del vector AB
a) A(1, 1) i B(2, 3)
c) A(3, −2) i B(1, −1)
b) A(−4, 1) i B(5, −2)
d) A(−3, 0) i B(0, 4)
a)
17
c)
5
b)
29
d)
13
48. ●●● Dibuixa un vector amb extrem a (0, 0)
i mòdul 41 . N’hi ha més d’un?
Raona la resposta.
49. ● Escriu dos vectors equivalents i dos més de
!, en què A(−4, 3) i B(1, −2).
paral·lels al vector AB
! = (4, 2)
50. ● Dibuixa dos vectors equivalents a AB
i dos més de paral·lels, situats en quadrants
diferents.
! = (4, 2)
51. ●● Dibuixa un vector equivalent a AB
i un altre de paral·lel amb origen a (1, 1) i a (−3, −1),
respectivament.
D
C
152
B
X
i mòdul 10 . N’hi ha més d’un?
Raona la resposta.
40. ● Dibuixa dos vectors que tinguin la mateixa
!, en què A(3, 4) i B(−1,6).
direcció que AB
1
3
47. ●●● Dibuixa un vector amb origen a (2, 4)
39. ● Dibuixa dos vectors que tinguin el mateix sentit
! = (3, −2).
que AB
1 A
A
X
46. ●● Dibuixa un vector que tingui com a mòdul:
38 ● Calcula les coordenades del punt B:
! = (0, 2) i A(−3, 5).
a) Si AB
! = (1, 0) i A(4, 6).
b) Si AB
! = (2, 4) i A(−2, 4).
c) Si AB
E
1
B
X
! = (−1, 5)
52. ●● Dibuixa un vector equivalent a AB
i un altre de paral·lel amb extrem a (−2, 6) i a (5, 4),
respectivament.
122105Tema08.qxd
19/4/08
11:51
Página 153
OPERACIONS AMB VECTORS
EQUACIONS DE LA RECTA
! i CD
!.
53. ● Calcula la suma dels vectors AB
64. ● Calcula l’equació de la recta que passa
pels punts A(5, 3) i B(4, 7) en forma vectorial,
paramètrica i contínua.
a) A(0, 2), B(2, 5), C(2, −1) i D(5, −2)
b) A(3, 5), B(−1, 6), C(6, 4) i D (5, 0)
! i CD
!.
54. ● Troba la diferència dels vectors AB
65. ● Troba l’equació de la recta, en forma implícita,
que passa pel punt A(4, 1) i que té com a vector
director !
v = (3, 1).
a) A(−3, 2), B(0, 5), C(3, 1) i D(4, −2)
b) A(0, 5), B(−1, 3), C(−2, 4) i D(5, 1)
! = (−6, 1) i !
v = (2, 3), calcula.
55. ● Donats els vectors u
v
a) u! + !
b) u! − !
v
56. ● Determina el mòdul del vector que resulta
de sumar els vectors u
! = (3, 7) i !
v = (−6, 2).
57. ● Calcula gràficament la suma i la diferència
! i CD
!.
dels vectors AB
a)
b)
Y
A
C
1
67. ●● A partir de la representació de la recta
següent, calcula’n les equacions en totes
les formes possibles.
Y
Y
B
3
B
66. ● Troba l’equació de la recta que passa pel punt
A(0 2) i que té com a vector director (−2, 3),
en forma explícita.
C
D
X
1 A
1
B
1
1
D
X
X
A
58. ●● Troba !
v, si u
! = (5, 4) i u
!+ !
v = (2, 6).
v , si saps que u
! = (−1, 6)
59. ●● Calcula !
i que u
!− !
v = (3, −2).
!i !
v,
60. ●● Troba les coordenades dels vectors u
si u
!+ !
v = (1, 1) i u
!− !
v = (3, 5).
!, amb origen en (0, 0),
61. ● Representa el vector ku
en aquests casos:
1
a) k = 4 i u! = (1, 2)
c) k = i u! = (−2, 3)
2
b) k = −2 i u!= (−2, 3)
d) k =
3
i u! = (10, 20)
5
62. ● Si saps que A(8, −3), B(5, −1) i C(4, 3), calcula
i representa els vectors següents:
!
!
a) 3 ⋅ AB
d) 4 ⋅ AC
!
!
!
b) −5 ⋅ BC
e) BA + 3 ⋅ BC
!
! − 4 ⋅ AB
!
c) −2 ⋅ CA
f) AC
63. ● Troba el punt traslladat del punt A(4, 5)
per aquests vectors:
a) !
v = (−2, 5)
b) !
v = (0, 4)
c) !
v = (1, −3)
d) !
v = (−4, 0)
68. ●● Escriu l’equació d’aquestes rectes en totes
les formes possibles:
a) x = 2 − t ⎫⎪
⎬
y = 3 + 2t⎪⎪⎭
b)
c)
d)
e)
(x, y) = (0, 3) + t ⋅ (2, 1)
y = 3x − 1
y − 3 = 3 ⋅ (x − 5)
2x + y − 5 = 0
69. ● Determina quatre punts que pertanyin a la recta
d’equació: (x, y) = (1, 3) + t ⋅ (2, 2).
70. ● Calcula les equacions general, punt-pendent
i explícita de la recta que passa pel punt A(4, 1) i
té com a vector director !
v = (−1, 4). Troba’n
el pendent, l’ordenada en l’origen i dibuixa-la.
71. ● Escriu les equacions de les rectes següents:
a) Recta horitzontal que passa pel punt A(3, 5).
b) Recta vertical que passa pel punt B(−3, 4).
c) Recta que passa pel punt A(−1, 3) i té
com a vector director !
v = (−2, 0).
153
122105Tema08.qxd
19/4/08
11:51
Página 154
PROPIETATS ANALÍTIQUES
I MÈTRIQUES
72. ● Calcula el perímetre del quadrilàter de vèrtexs
A(0, 0), B(2, 3), C (4, 7) i D (−3, 5).
73. ● Calcula el punt mitjà de cada costat
del quadrilàter de l’activitat anterior.
FES-HO AIXÍ
COM CALCULEM PUNTS INTERMEDIS
D’UN SEGMENT?
74. Donat el segment d’extrems A(−5, −3) i B(4, 3),
calcula les coordenades dels punts C i D
que el divideixen en 3 parts iguals.
Com es veu a la figura, aquests dos punts
! = 1 AB
! i AD
! = 2 AB
!.
mesuren: AC
3
3
PRIMER.
FES-HO AIXÍ
COM ES CALCULA EL PUNT DE TALL
DE DUES RECTES?
78. Calcula el punt de tall d’aquestes rectes.
x = 2 − 3t ⎫
⎪
x−3
y
⎪
=
⎬
y =1 +t ⎪
2
3
⎪
⎭
Resolem el sistema que plantegen
les dues equacions de les rectes.
La segona equació és en forma paramètrica
i, com que les variables x i y estan aïllades,
en substituïm els valors a la primera equació.
PRIMER.
x−3
y
2 − 3t − 3
1+ t
→
=
=
2
3
2
3
Resolem l’equació que en resulta.
3 ⋅ (2 − 3t − 3) = 2 ⋅ (1 + t)
6 − 9t − 9 = 2 + 2t
11t = −5 → t =
−5
11
Substituïm aquest valor de t
en les equacions paramètriques, on x i y estan
aïllades.
−5
37
x = 2−3⋅
=
11
11
5
6
y = 1−
=
11
11
SEGON.
SEGON. Plantegem les equacions:
a) (c1 − (−5), c2 − (−3)) = (3, 2) → C(−2, −1)
b) (d1 − (−5), d2 − (−3)) = (6, 4) → D(1, 2)
75. ● Calcula els punts C ', D ', E' i F' que divideixen
el segment AB de l’activitat anterior en cinc parts
iguals.
INCIDÈNCIA I PARAL·LELISME
DE RECTES
76. ● Estudia la posició d’aquestes rectes en el pla.
r: 2x + 3y − 1 = 0
s: 3x − 4y + 4 = 0
77. ● Estudia la posició relativa en el pla
de les parelles de rectes següents:
1
a) r : 3x + y − 7 = 0
c) r: x + y − 3 = 0
2
s: 3x + y + 5 = 0
1
b) r : −x + 2y − 1 = 0
s: x − y + 8 = 0
5
s: 2 − x + 3y − 8 = 0
154
TERCER. Les coordenades del punt de tall són
la solució del sistema.
⎛ 37 6 ⎞
Per tant, el punt de tall és P⎜⎜⎜ , ⎟⎟⎟⎟.
⎝ 11 11 ⎠
79. ● Estudia la posició relativa en el pla d’aquestes
parelles de rectes.
a) r: (x, y) = (1, 3) + t ⋅ (1, 2)
x−2
y−5
=
s:
1
2
b) r:
x = 2 − t ⎫⎪
⎬
y=t
⎭⎪⎪
s: (x, y) = (2, 0) + t ⋅ (2, −1)
c) r: 2x − 3y = 0
s: (x, y) = t ⋅ (1, −1)
d) r:
⎫⎪
x = −2t
⎬
y = −3 + 2t⎭⎪⎪
s: x + 3y − 2 = 0
122105Tema08.qxd
19/4/08
11:51
Página 155
80. ● Troba el punt de tall d’aquestes rectes.
r:
x
y−2
=
1
2
s:
x = 4 − t⎪⎫⎪
⎬
⎪⎪⎭
y=t
81. ● Calcula les coordenades dels vèrtexs
del triangle els costats del qual estan continguts
en aquestes rectes:
r: x − y − 1 = 0
s: x + y + 2 = 0
p: 3x − y + 2 = 0
82. ● Troba les coordenades dels vèrtexs del
quadrilàter els costats del qual estan continguts
en les rectes amb aquestes equacions:
r: 3x − 4y − 8 = 0
s: x − 2y + 12 = 0
p: 2x + y + 2 = 0
q: 2x + y + 5 = 0
83. ● Quines són les equacions que corresponen
a les rectes que formen els eixos de coordenades?
Raona si es poden escriure en totes les formes.
FES-HO AIXÍ
COM CALCULEM EL BARICENTRE D’UN TRIANGLE?
84. Calcula el baricentre del triangle de vèrtexs
A(−4, 3), B(4, −3) i C(−6, −5).
Calculem les medianes de cada costat.
a) m1: correspon al costat AB ; recta que uneix
el vèrtex C(−6,−5) amb el punt mitjà M
del costat.
⎛ −4 + 4 3 − 3 ⎞⎟
⎟⎟ → M (0, 0)
M ⎜⎜⎜
,
⎝ 2
2 ⎠
! = (6, 5)
Vector director de m1: CM
87. ● Calcula el punt de tall de les rectes
2x − 5y − 3 = 0 i x − 3 = 0. Troba la recta paral·lela
a que passa pel punt de tall anterior.
88. ● Estudia la posició relativa de les parelles
de rectes següents.
a) r: x + y − 3 = 0
s: 2x + 2y − 6 = 0
b) r: x + 3y − 4 = 0
s: x + 2y + 5 = 0
c) r: −5x + 10y − 8 = 0
s: 10x − 20y + 16 = 0
INVESTIGA
89. ● Calcula les coordenades del vèrtex A
d’un triangle isòsceles el costat desigual
del qual coincideix amb el segment d’extrems
B(3, 1) i C(9,3) i sabent que l’altura sobre BC
és de 4 cm.
90. ● Troba la suma dels vectors que formen
els costats AB, BC, CD, DE i EA del polígon
següent:
Y
D
PRIMER.
Equació de m1:
x−0
y−0
=
→ 5x − 6y = 0
−6
−5
b) m2: 7x + 3y = −19
c) m3: 2x + 9y = −19
E
C
2
A
B
2
X
91. ● Si dos vectors u
!i!
v tenen direcció diferent
ia⋅u
! = b ⋅!
v , on a i b són nombres reals, què pots
dir sobre els nombres a i b?
SEGON. Busquem el punt de tall de dues
92. ● Utilitzant vectors, demostra que les diagonals
d’un paral·lelogram es tallen en el seu punt mitjà.
de les medianes anteriors.
⎛
5⎞
5 x − 6 y = 0 ⎪⎫
⎬ → G⎜⎜⎜−2, − ⎟⎟⎟
⎝
2 x + 9 y = −19⎪⎪⎭
3⎠
93. ● Calcula l’equació de la recta vertical
que divideix el triangle, de vèrtexs A(0, 0), B(2, 2)
i C(10, 2), en dues regions amb la mateixa àrea.
85. ● Calcula el baricentre del triangle de vèrtexs
A(2, 4), B(2, 9) i C(−1, 4).
86. ● Calcula l’equació de la recta paral·lela
a la recta r: 2x − 5y − 3 = 0 si saps que passa
pel punt P(−1, 4).
155
122105Tema08.qxd
19/4/08
11:51
Página 156
A la vida quotidiana
94. ●●● Algunes espècies de balenes estan en perill
d’extinció.
En Joan és biòleg marí i forma part d’una
plataforma en defensa d’aquests mamífers.
Al seu equip de treball han decidit col·locar
localitzadors en algunes cries per seguir-ne
els desplaçaments i assegurar-se que no
pateixen cap mal.
95. ●●● Al radar de la torre de control
d’un aeroport es veu, en un instant t = 0,
la posició de tres avions.
Quan ha transcorregut una unitat de temps,
és a dir, quan t = 1, els avions apareixen al radar
en les posicions següents.
Si no
avisem
els pilots,
poden
xocar.
T’has fixat
en la posició d’aquests
dos avions?
Un dels localitzadors s’ha implantat a una femella
jove i s’ha anotat el recorregut que ha fet des
d’aquell moment.
La balena ha recorregut
2.500 milles cap
al nord-est, després
ha viatjat 4.500 milles
cap a l’est i, finalment,
5.000 milles cap al nord.
a) Quina direcció ha de seguir el vaixell de l’equip
d’en Joan des del punt inicial per tornar
a trobar la balena?
b) Quantes milles haurà de recórrer?
156
La torre de control informa a dos dels avions que
han de canviar la trajectòria o la velocitat per
evitar una col·lisió.
a) Quins són els avions que poden col·lidir?
b) Si fossis a la torre de control, quines ordres
donaries a cadascun dels avions per evitar
un accident?