NOMBRE DE LA UNIVERSIDAD:
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA LINARES
MATERIA:
FÍSICA PARA INGENIERÍA
NOMBRE DEL ALUMNO:
JOSE MANUEL TREVIÑO ESPINO
NOMBRE DEL DOCENTE:
ING. LAURO FLORES RAMOS
ACT. “ACÚSTICA”
FECHA DE ENTREGA: 03 - 02 – 2023
1. DESCRIBIR EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Y LOS PARÁMETROS
DE AMPLITUD, PERIODO, FRECUENCIA Y FASE.
Un movimiento armónico simple
Es el que describe una partícula sometida a una fuerza restauradora proporcional a su
desplazamiento. Se genera entonces un movimiento periódico, es decir que se repite cada
cierto intervalo de tiempo. No todos los movimientos periódicos son armónicos. Para que lo
sean, la fuerza restauradora debe ser proporcional al desplazamiento.
Frecuencia.
El número de oscilaciones o vibraciones que se producen en un segundo. Su unidad de
medida en el Sistema Internacional es el Hertzio (Hz). 1 Hz = 1 oscilación / segundo = 1 s1.
Periodo
El tiempo que tarda en cumplirse una oscilación completa. Es la inversa de la
frecuencia T = 1/f . Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el segundo (s).
Fase
La fase del movimiento en cualquier instante. Se trata del ángulo que representa el estado
de vibración del cuerpo en un instante determinado. Su unidad de medida en el Sistema
Internacional es el radián (rad). Cuando se produce una oscilación completa, la fase
aumenta en 2·π radianes y el cuerpo vuelve a su posición (elongación) x inicial.
2. DESCRIBIR EL COMPORTAMIENTO DE LA ENERGÍA CINÉTICA Y
POTENCIAL EN EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Y SUS ECUACIONES.
Energía cinética
La energía cinética en un movimiento armónico simple en un punto está asociada a la
velocidad que el cuerpo tiene en dicho punto. Recuerda que la velocidad en un oscilador
armónico es máxima en la posición de equilibrio y 0 en los extremos.
La energía cinética Ec en un movimiento armónico simple varía de manera periódica entre
un valor mínimo en los extremos y un valor máximo en la posición de equilibrio. Su valor
puede venir expresado en función de la elongación x o en función del tiempo t.
Donde

Ec: Energía cinética. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el Julio
(J)

A: Amplitud. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro (m)

ω: Frecuencia angular: Su unidad de medida en el sistema internacional es el radián
por segundo ( rad/s )

Fase inicial. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el radián (rad)

k: Constante del m.a.s. Su unidad de medida en el Sistema internacional es el
Newton por metro ( N/m )
Comprobación
La energía cinética de un cuerpo viene dada por la expresión:
La velocidad en el movimiento armónico simple viene dada en función del tiempo por la
expresión:
Sustituyendo la segunda en la primera expresión, nos queda:
Por otro lado, la velocidad en el movimiento armónico simple viene dada en función de la
elongación por la expresión
Sustituyendo está en la primera expresión, nos queda:
Observa que, implícitamente, hemos considerado la expresión de la elongación x en
función del coseno, ya que la velocidad v aparece en función del seno. Es por ello que la
expresión de la energía cinética en función del tiempo queda en forma de seno. Si
hubiésemos elegido el seno como expresión de la elongación x llegaríamos a una expresión
de la energía cinética complementaria, en función del coseno. En cualquiera de los casos,
cuando
resuelves
un
problema
concreto,
los
resultados
deben
ser
iguales
independientemente de la expresión que elijas: no olvides la fase inicial.
Energía potencial
La fuerza recuperadora o elástica es una fuerza conservativa. El trabajo realizado por las
fuerzas conservativas depende únicamente de los puntos inicial y final, y no del camino
elegido. Por ello, las fuerzas conservativas dan lugar a la energía potencial. En este caso se
trata de energía potencial elástica, al ser la fuerza responsable la fuerza recuperadora o
elástica.
La energía potencial Ep en un movimiento armónico simple varía de manera periódica
entre un valor mínimo en la posición de equilibrio y un valor máximo en los extremos. Su
valor puede venir expresado en función de la elongación x o en función del tiempo t.
Donde

Ep: Energía potencial. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el Julio
(J)

A: Amplitud. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro (m)

ω: Frecuencia angular: Su unidad de medida en el sistema internacional es el radián
por segundo ( rad/s )

Fase inicial. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el radián (rad)

k: Constante del m.a.s. Su unidad de medida en el Sistema internacional es el
Newton por metro ( N/m )
El valor máximo de la energía potencial es
y el valor mínimo es 0.
Comprobación
El trabajo que realiza la fuerza recuperadora
para ir de un punto inicial A a
otro final B viene dado por:
Por otro lado, sabemos que la fuerza elástica es una fuerza conservativa. El trabajo
realizado por una fuerza conservativa puede expresarse en función de la diferencia de
energía potencial:
Comparando las dos expresiones anteriores podemos deducir que:
Con esto podemos escribir la energía potencial en función de la elongación, esto es, en
cualquier punto x como:
Por otro lado la elongación en un movimiento armónico simple viene determinada por:
Sustituyendo en la expresión de la energía potencial, obtenemos la expresión de la energía
potencial en el m.a.s. en función del tiempo:
Observa que hemos considerado la expresión de la elongación x en función del coseno. Es
por ello que la expresión de la energía potencial en función del tiempo queda en forma de
coseno. Si hubiésemos elegido el seno como expresión de la elongación x llegaríamos a una
expresión de la energía potencial complementaria, en función del seno. En cualquiera de los
casos, cuando resuelves un problema concreto, los resultados deben ser iguales
independientemente de la expresión que elijas: no olvides la fase inicial.
3. DESCRIBIR EL MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO.
La característica esencial de la oscilación amortiguada es que la amplitud de la oscilación
disminuye exponencialmente con el tiempo. Por tanto, la energía del oscilador también
disminuye. En el espacio de las fases (v-x) vemos que el móvil describe una espiral que
converge hacia el origen.
Si el amortiguamiento del sistema es grande, pueden darse las situaciones de sistema
críticamente amortiguado y sistema sobreamortiguado. En ambos casos, no hay
oscilaciones y la partícula se aproxima gradualmente a la posición de equilibrio. El retorno
más rápido a la posición de equilibrio se produce en el amortiguamiento crítico.
4.
DEFINIR
LOS
CONCEPTOS
DE
OSCILACIONES
FORZADAS
Y
RESONANCIA.
OSCILADOR FORZADO.
Puesto que las oscilaciones disminuyen gradualmente con el tiempo, para mantener un
sistema oscilando es necesario suministrar energía al sistema. Cuando hacemos esto
llamamos al oscilador 'forzado', como el que se representa en la figura:
Para estudiar matemáticamente el oscilador forzado suponemos que está sujeto a la ley de
Hooke, que además está amortiguado por un rozamiento en un fluido, y que está sujeto a
una fuerza externa restauradora que varía armónicamente con el tiempo:
Donde
es la frecuencia angular de la fuerza, que en principio es distinta de la frecuencia
angular natural del oscilador
(si coinciden tenemos el fenómeno de la resonancia, en el
que la energía absorbida del oscilador es máxima y llamamos a
). La ecuación
diferencial del movimiento es en este caso:
No vamos a resolver de manera exacta esta ecuación diferencial, pero sí lo haremos
cualitativamente. La solución consta de dos partes. Una de ellas es una solución transitoria
que desparece con el tiempo y que no tendremos en cuenta, y otra parte es una solución
estacionaria que permanece en el tiempo. La solución estacionaria se puede escribir como:
Si la frecuencia externa
es igual a la natural del sistema
entonces la amplitud es
muy grande (no entramos en detalles del valor de la amplitud A ni de la fase ).
OSCILACIONES RESONANCIA
Fenómeno que se produce en un cuerpo deformable excitado periódicamente, consistente
en una notable amplificación de la amplitud de sus oscilaciones.
Un sistema elástico, desplazado de su posición de equilibrio, una vez dejado libre,
comienza a oscilar con cierta frecuencia, denominada frecuencia natural. Si el sistema no
posee amortiguaciones, después de haber comenzado la oscilación, ésta continúa
manifestándose con amplitud constante. Si se repite la acción que lo ha desplazado desde la
posición de equilibrio después de un período, es decir con frecuencia igual a la frecuencia
natural, la oscilación aumenta de amplitud, puesto que la segunda acción se suma a la
primera: el efecto, en otras palabras, es superponer a la primera oscilación otra idéntica,
que, al producirse al mismo tiempo y de igual manera que la primera, que se está
repitiendo, determina una oscilación que resulta de amplitud doble.
Repitiendo la acción de desplazamiento una tercera vez, una cuarta, y así sucesivamente, se
aumenta desmesuradamente la amplitud de las oscilaciones. Si no intervienen rozamientos
(internos al cuerpo, o externos) para amortiguar la vibración, ésta llega a conseguir
amplitudes capaces de romper cualquier estructura.
En un automóvil pueden presentarse fenómenos de resonancia en muchos órganos: por
ejemplo, en el cigüeñal y en el árbol de transmisión, en los muelles de las válvulas y en
las suspensiones.
5. DESCRIBIR LAS ONDAS MECÁNICAS
Las ondas mecánicas son aquellas que necesitan de un medio material para propagarse. Las
características físicas de los medios como son la temperatura, la densidad, viscosidad,
elasticidad, etc. Mientras más denso es el medio y más tenso, entonces la rapidez de
propagación es mayor.
Las ondas mecánicas pueden ser longitudinales como el sonido y las ondas sísmicas P, o
pueden ser transversales como las olas del mar, o las ondas sísmicas S.
Onda mecánica longitudinal
Onda mecánica transversal
6. EXPLICAR EL FUNCIONAMIENTO DE ONDAS VIAJERAS Y SUS
ECUACIONES
Una onda viajera se define con una función periódica que se desplaza a una velocidad
constante sin ninguna restricción. Es común que las ondas viajeras mantengan su amplitud
y frecuencia de oscilación constantes. Funciones periódicas que pueden describir a este tipo
de comportamiento son las funciones seno y coseno.
Ondas Viajeras sinusoidales. La función característica de una onda viajera es la función
seno (aunque la función coseno puede utilizarse de manera equivalente), con la cual se
describen ondas que se propagan de manera incesante conforme avanza el tiempo:
Donde
A es la amplitud de la onda
 es la longitud de onda
 es la velocidad de propagación.
En la siguiente gráfica se muestran los componentes de una onda.
La velocidad de propagación corresponde a la velocidad en la que un punto en específico
en la función regresa a su condición original conforme la onda avanza. Observe la siguiente
figura:
Cada gráfica corresponde a la evolución de la onda a diferentes tiempos. Preste atención al
círculo hueco que está justo en medio de las gráficas. A t = 0, el círculo está en la posición
de equilibrio, mientras que a t = T/4 (T es el periodo) la onda ha avanzado y el punto se
encuentra justo en el valor de máxima amplitud. En t = T/2 el círculo se encuentra en la
posición de equilibrio nuevamente, no obstante note que la pendiente en ese punto es de
signo opuesto a la observada cuando t = 0. Justo cuando t = T el punto blanco se encuentra
en una posición completamente equivalente a cuando t = 0. A la velocidad a la cual se
completa este ciclo se le denomina velocidad de propagación. La velocidad de propagación
se define como.
Donde v es la frecuencia de oscilación (para el MAS la denotábamos como f). En el
siguiente link puede observarse el desplazamiento de una onda viajera como función del
tiempo.
Insertando la definición de velocidad de propagación dada por la ecuación 2 dentro de la
ecuación 1, tenemos que
Recordando que  = 2 v (recuerden que v es la frecuencia),
definiendo al número de onda k como,
Obtenemos finalmente que,
Esta es la ecuación característica de una onda viajera y suele describir una cantidad
importante de fenómenos físicos.
7. EXPLICAR EL FUNCIONAMIENTO DE ONDAS ESTACIONARIAS.
Las ondas estacionarias se producen por la interferencia de dos ondas de la misma
naturaleza con iguales características físicas pero que viajan en direcciones opuestas o
dicho de otra forma son el resultado de la superposición de una onda incidente y una onda
reflejada. Las ondas estacionarias son aquellas ondas en las cuales, ciertos puntos de la
onda llamados nodos, permanecen inmóviles.
La interferencia y la superposición de las dos ondas viajeras generan la onda estacionaria.
Los puntos llamados nodos son aquellos que nunca se mueven y donde la amplitud de la
onda estacionaria siempre es cero.
A la mitad del camino entre los nodos hay puntos llamados antinodos donde la amplitud de
movimiento es máxima para ciertos tiempos.
Dos nodos adyacentes están separados una distancia λ/2, lo mismo que dos antinodos
adyacentes.
8. CLASIFICAR LAS ONDAS RESPECTO EL RANGO AUDIBLE DE SER
HUMANO.
El espectro audible varía según cada persona y se altera con la edad por eso es muy
importante cuidarlo y no exponerlo a sonidos o ruidos muy fuertes que pueden dañarlo
irremediablemente.
El espectro audible podemos subdividirlo en función de los tonos:
1. Tonos graves (frecuencias bajas, correspondientes a las 4 primeras octavas, esto es,
desde los 16 Hz a los 256 Hz).
2. Tonos medios (frecuencias medias, correspondientes a las octavas quinta, sexta y
séptima, esto es, de 256 Hz a 2 kHz).
3. Tonos agudos (frecuencias altas, correspondientes a las tres últimas octavas, esto es, de 2
kHz hasta poco más de 16 kHz).
En
Occidente
se
suele
dividir
el
espectro
audible
en
11
secciones
que
denominamos octavas.
El término de octava se toma de una escala musical. La octava es el intervalo entre dos
sonidos que tienen una relación de frecuencias igual a 1:2 y que corresponde a ocho notas
de una escala musical diatónica; o trece en una escala cromática. Por ejemplo: si
comenzamos con una nota como DO, la octava completa será: DO-RE-MI-FA-SOL-LA-SIDO. Si el primer LA estaba afinado en 440 Hz el segundo LA (octava siguiente) estará
en880 Hz.
El valor máximo de las frecuencias de cada octava es el doble del de la anterior.
1. La primera y segunda octava (los tonos más graves, 16 - 64 Hz). No todas las personas
son capaces de percibirlos, depende de la sensibilidad del oído de cada persona.
2. La tercera y cuarta octava (tonos graves medios, 64 - 250 Hz).
3. La Quinta, Sexta y Séptima octava (tonos medios, 250 Hz–2.000 Hz). Contienen el tono
fundamental y los primeros armónicos de la mayoría de las fuentes sonoras.
4. La octava (tonos agudos, 2.000 Hz – 4.096 Hz). Comprende el margen en que eloído
humano tiene mayor sensibilidad.
5. La novena y décima octava (tonos agudos de frecuencia alta, 4.097 a 16.000
Hz).Corresponden a un chirrido desagradable y por ello no se utilizan para hacer música.
6. La undécima octava (los tonos más agudos del espectro audible, 16.000 a 20.000Hz). No
todas las personas son capaces de percibirlos, depende de la sensibilidad del oído de cada
persona.
La octava se puede dividir en valores más pequeños, por ejemplo: la media octava (divide
cada octava en dos) y el tercio de octava (cada intervalo de la octava se divide en tres
partes).
9. DEFINIR LOS SISTEMAS VIBRANTES Y LAS FUENTES DE SONIDO.
Vibración
Es la variación de un sistema en relación al tiempo, en torno a una posición de equilibrio
estable, su característica fundamental es que es periódico. un sistema vibratorio es aquel
constituido por elementos que tienen propiedades másicas o de inercia, elásticas y de
disipación de energía.
Son clasificados en:

Sistemas vibratorios libres.
Vibraciones libres: son las que se producen al sacar un sistema de su posición de equilibrio
y dejarlo oscilar libremente.

Sistemas vibratorios forzados.
Son los parámetros necesarios para definir de forma unívoca la configuración del sistema
vibratorio.
Vibraciones forzadas
Son aquéllas que se producen por acción de fuerzas dependientes del tiempo.
Análisis de vibraciones.
Es la principal técnica para supervisar y diagnosticar la maquinaria rotativa e implantar un
plan de mantenimiento predictivo. El análisis de vibraciones se para la supervisión y
diagnóstico
de
fallos
mecánicos
en
máquinas
rotativas
fuentes sonoras.
Se denomina fuente sonora al proceso mediante el cual un sonido es manipulado para
generar en el oyente la sensación de estar moviéndose en un espacio real.
El sonido puede ser producido por distintos tipos de fuentes y procesos. Estos son:
1. Cuerpos en vibración.
2. Cambios en flujos de aire.
3. Fuentes de calor.
10. DESCRIBIR EL FENÓMENO DE LOS BATIMIENTOS.
El batimiento es un fenómeno que se genera al superponerse dos ondas sinusoidales con
frecuencias ligeramente distintas. La frecuencia de batimiento es igual a la mitad de la
diferencia de las frecuencias de las dos ondas. fbat = (f1 - f2) / 2
El batimiento de dos ondas sonoras se percibe como un golpeteo o un vibrato. Un ejemplo
familiar de batimiento es el que producen dos cuerdas de guitarra de frecuencias parecidas.
Si prestamos atención oiremos un sonido de intensidad muy baja y altura muy grave (casi
inaudible).
Batimiento Lento.
El mínimo de desafinación que un oído humano entrenado puede discriminar es un savart
(0,00231 de semitono), que equivale a 4 cents (el cual es una centésima "logarítmica" de
semitono, que equivale a 0,00057779).
Si con un instrumento ejecutamos una nota la4 (la quinta tecla blanca a la derecha
del do central de un piano), que equivale a 440 hercios (Hz) y con otro instrumento de
afinación no fija emitimos simultáneamente una nota la muy ligeramente desafinada, por
ejemplo de 439 Hz, escucharemos una resultante parecida a una nota la, pero con un
desfase que adoptará la forma de un ligero vibrato (variación de la frecuencia del sonido).
En este ejemplo, este mínimo calamento ('desafinación hacia el grave') perceptible
generaría una nota de 438,98 Hz de frecuencia.
fbat = (440,00 Hz - 438,9846 Hz) / 2 = 1,01544 / 2 = 0,5077 Hz
Esto significa que cada 1,9695 segundos se escuchará una variación de la intensidad del
sonido (un batimiento).
Batimiento Rápido.
Cuando el batimiento es muy rápido y está por encima de los 20 Hz (inclusive menos),
supera el umbral de audición y el cerebro humano lo comienza a percibir como una
frecuencia muy grave, cuya frecuencia es correspondiente a la diferencia de las dos ondas
que interactúan.
Es interesante notar que esa tercera frecuencia (el batimiento propiamente dicho) no es real,
ya que no puede ser percibida mediante un osciloscopio) sino que es un falso sonido
generado por el propio cerebro. Por eso se dice que el batimiento es un fenómeno
psicoacústico.
Ejemplo de Batimiento.
Las personas que se dedican a la afinación de pianos utilizan el batimiento para lograr que
todas las teclas del piano queden templadas de acuerdo con el "temperamento igual".
El "temperamento igual" fue diseñado para permitir la ejecución de música en todas las
tonalidades con una cantidad de igual de desafinación en cada una, mientras que todavía se
aproxima a la "entonación justa" (que no permitía cambiar de tonalidad durante una obra,
ya que la cantidad de desafinación en algunos intervalos se volvía desagradablemente
evidente).
11. DESCRIBIR EL EFECTO DOPPLER.
El efecto Doppler es el fenómeno por el cual la frecuencia de las ondas percibida por un
observador varía cuando el foco emisor o el propio observador se desplazan uno respecto al
otro.
Efecto Doppler
La ambulancia de la imagen se desplaza de izquierda a derecha. Cuando se acerca a la
chica de la figura que lleva un maletín, en la derecha de la imagen, la onda "se comprime",
es decir, la longitud de onda es corta, la frecuencia alta y, por tanto, el tono del sonido
percibido será agudo. Por otro lado, cuando la ambulancia se aleja, a la izquierda de la
imagen, la onda "se descomprime", es decir, la longitud de onda es larga, la frecuencia baja
y, por tanto, el tono que percibe la chica que lleva el bolso será grave.
El caso representado en la figura anterior no es el único que puede dar lugar al efecto
Doppler. Este se da siempre que encontremos un foco y un observador en movimiento
relativo. En el siguiente punto vamos a estudiar el efecto a partir de los distintos casos que
pueden darse.
Casos
El caso general, cuya expresión podrás usar para cualquier ejercicio, es el recogido en el
punto Foco en movimiento y observador en movimiento. Sin embargo, antes de llegar a él,
te recomendamos que entiendas con claridad los tres casos previos que te presentamos.
Foco y observador en reposo
En el caso de que tanto el foco como el observador se encuentren en reposo no habrá efecto
Doppler, pero lo incluimos aquí para ayudarte a entender más claramente los otros tres que
estudiaremos. Observa la siguiente figura:
Los círculos concéntricos de la figura representan los frentes de onda emitidos por el
altavoz. A la derecha, un observador en reposo, percibirá la misma longitud de
onda λ emitida por el foco.
La imagen anterior pone de manifiesto que, situés donde situés al observador, él
percibirá que los sucesivos frentes de onda están separados una distancia λ unos de otros.
Además, recuerda que el radio R de cada frente viene determinado por la velocidad de
propagación v,
constante
(recuerda
que
por
ello
podemos
relacionar v y
el
tiempo t transcurrido desde la emisión del frente según R=v·t). La imagen siguiente
muestra dos instantes de la propagación.
Propagación con foco en reposo
El foco, en la posición F, en reposo, perturba en su vibración el ambiente y la superficie de
onda originada, S , se propaga, en un periodo T , una distancia λ=v·T , tal y como se pone
de manifiesto en la imagen izquierda. En ese instante el foco provoca una segunda
perturbación que origina una superficie de onda S' análoga a la anterior S que, al avanzar a
su misma velocidad, permanece a una distancia constante λ de la emitida un periodo antes,
tal y como se pone de manifiesta en la imagen derecha t=2·T .
La frecuencia aparente o frecuencia percibida por un receptor en reposo de ondas aumenta
cuando el foco emisor se aproxima al receptor y disminuye cuando se aleja según la
expresión:
Dónde:

f' , f : Frecuencia percibida por el receptor y frecuencia emitida por el foco
respectivamente. Dado que el emisor está en movimiento, no coincidirán. Su unidad
de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el hertzio (Hz), que es la unidad
inversa del segundo ( 1 Hz = 1 s-1 )

v : Velocidad de propagación de la onda en el medio. Es constante y depende de las
características del medio. Se relaciona con la longitud de onda y la frecuencia
según v=λ·f. Su unidad de medida en el S.I. es el metro por segundo (m/s)

vF : Velocidad del foco. Se supone constante y menor a v. Su unidad de medida en
el S.I. es el m/s

∓ : Utilizaremos el signo - si el emisor se acerca al receptor. Utilizaremos el
signo + si el emisor se aleja del receptor
Comprobación
Efectivamente, supongamos ahora que el foco o emisor se encuentre en movimiento, a una
velocidad constante vF, menor que la velocidad de propagación v de la onda en el medio.
Supongamos también que el observador o receptor está en reposo. Podremos distinguir dos
casos generales, según el foco se acerque o se aleje del receptor. Observa la siguiente
figura.
Foco en movimiento y observador en reposo
Frentes de onda generados por un foco en movimiento hacia la derecha. La frecuencia
percibida por los receptores R1 y R2 será distinta, y dependerá de si el emisor se acerca o
se aleja de ellos.
La imagen anterior pone de manifiesto que los sucesivos frentes de onda tienen su centro
cada vez más hacia la derecha. De manera intuitiva puedes percatarte que el observador a la
derecha de la imagen, al que se acerca la locomotora, percibe dichos frentes de onda "más
frecuentemente" que si la locomotora estuviese en reposo (ver Foco y observador en
reposo). Dicho de otro modo, al estar separados una distancia λ' menor que el λ original, la
frecuencia percibida, que llamaremos f' , será mayor. Por el contrario, si situamos el
observador a la izquierda, la locomotora se alejaría de este, y los frentes de onda percibidos
serán "menos frecuentes" que si la locomotora estuviese en reposo. Dicho de otro modo, al
ser en este caso λ' mayor que el λ original, la frecuencia percibida, f' , será menor. Nos
queda averiguar el valor concreto de f' . Para ello nos valdremos de la siguiente ilustración,
en la que representamos 3 instantes clave de la propagación: