O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN
VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
BUXORO DAVLAT PEDAGOGIKA INSTITUTI
MATEMATIKA VA INFORMATIKA
TA`LIM YO`NALISHI
2 MI – 22 IM guruh talabasi
Eshonqulov Ilhom Eshpo’latovichning
“Algebra va sonlar nazariyasi” fanidan
MAVZU: KO’PHADNING HAQIQIY ILDIZLARINI TAQRIBIY
HISOBLASH USULLARI
Tekshirdi:
Hamidov Sh.
Buxoro – 2023
KO’PHADNING HAQIQIY ILDIZLARINI TAQRIBIY
HISOBLASH USULLARI
Kirish …………………………………………………………….3
Asosiy qism
I. BOB
1.1.
Ko'phad ildizi va unga doir teoremalar......................................... 5
1.2.
Ko'phadning haqiqiy ildizlari.......................................................11
1.3.
Ko'phadning
haqiqiy
ildizlarini
sonini
topish............................................................................................15
II. BOB
2.1.
Shturm qatori va Shturm teoremasi............................................19
2.2.
Uchinchi
va
to'rtinchi
darajali
ko'phadlarning
haqiqiy
ildizlari.....................................................................………...…24
Xulosa ........................................................................................27
Foydanilgan adabiyotlar.............................................................28
2
ANNOTATSIYA
Kurs ishida ko’phad va uning ildizlari orasidagi munosabatlar o’rganilgan
bo’lib, shu bilan birga Shturm teoremasi keltirilgan. Mavzuga doir misol va
masalalar o’rin olgan. Ko’phadni turli usullar bilan yechimlari o’rganilgan.
Kirish
Bizga ma’lumki ko’phadlar nazariyasi algebra va sonlar nazariyasi fanining muhim
rivojlanayotgan tarmoqlaridan biri bo’lib hisoblanadi. Ayniqsa ko’phadlar
nazariyasining simmetrik ko’phadlar bo’limi salohiyati va amaliy qo’llana bilishi
jihatidan muhim kasb egallaydi. Bu kurs ishda asosan ko’phadlar va uning tarkibiy
qismi bo’lgan simmetrik ko’phadlar va simmetrik ko’phadlarning amaliy ahamiyati
haqida fikr yuritilad.
Mavzuning dolzarbligi: Malumki , biz elementar matematika kursida va algebra va
sonlar nazariyasi fanini o’rganganda chiziqli algebraik tenglamadan to to’rtinchi
darajali algebraik tenglama va tenglamalar sistemasini yechishni qarab chiqqan edik.
Ammo yuqori darajali tenglamalar yoki tenglamalar sistemasini yechish esa ancha
qiyinchiliklar tug’dirishini ham bilamiz. Bu haqda hatto buyuk Norvegiyalik
matematik Nils Abels o’zining quyidagi qimmatli fikrini bayon qilgan edi, ya’ni “
beshinchi va undan yuqori darajali tenglamalarni cheksiz sondagi amallar : qo’shish,
ayirish, ko’paytirish, bo’lish va ildizdan chiqarish yordamida yechish formulasi
mavjud emas “. Bu kurs ishda asosan yuqori darajali tenglamalar sistemasini
yechishda tenglamalar darajalarini simmetrik ko’phadlar, simmetrik funksiyalar
yordamida pasaytirib yechish ishning asosiy dolzarb vazifasi qilib belgilangan.
Mavzuning maqsadi va vazifalari: Yozilgan bu kurs ishning asosiy maqsadi bir
noma’lumli va ko’p noma’lumli ko’phadlarni har tomonlama chuqurroq o’rganish,
hamda ko’p noma’lumli ko’phadlarning bir turi bo’lgan simmetrik ko’phadlar va
ularning simmetrik funksiyalari yordamida asosan yuqori darajali tenglamalar
3
sistemasini yechishda qo’llash, ya’ni sistemadagi tenglamalar darajalarini pasaytirish
asosida sistemani yechishni o’z oldiga maqsad qilib qo’ygan. Umuman olganda
simmetrik ko’phadlarning elementar matematikadagi tadbiqlarini o’rganishni o’z
oldiga vazifa va maqsad qilib qo’ygan.
Kurs ishining ilmiyligi va amaliy ahamiyati :
Ushbu kurs ishning mavzusiga oid barcha adabiyotlarni to’plash va shu
vaqtgacha to’plangan bilimlar asosida ko’phadlar nazariyasi, ayniqsa simmetrik
ko’phadlar hamda ularning elementar matematikadagi tadbiqlarini yanada
mukammalroq o’rganish katta ahamiyatga ega bo’lib, bu esa kelajakda ko’phadlar va
ularning tadbiqlarini ilmiy nuqtai nazardan yanada atroflicha o’rganishda va tasavvur
hosil qilishda katta ahamiyatga ega bo’ladi deb o’ylayman.
Fan va texnikada uchraydigan ko'pgina masalalar oxir- oqibatda ko'phadning
ildizlarini va haqiqiy ildizlar sonini hamda ularni joylashish oraliqlarini topishga
keladi. Shu sababli ham ko'phadning haqiqiy izlari sonini aniqlash va ular
joylashgan oraliqlarni topish oily algebraning muhim masalalaridan birini tashkil
etadi.
4
1.1. Ko'phad ildizi va unga doir teoremalar
Ma'lumki n -darajali (n -butun musbat son) tenglamani umumiy ko’rinishi
ko'rinishdan iborat.
Bu tenglamaning
a 0 , a a„
koeffisentlari umimiy holda ixtiyoriy kompleks
sonlar, shu bilan birga a 0 Ф 0 deb olamiz , aks holda yuqoridagi tenglama n - darajali
tenglama bo’lmay qoladi.
Ravshanki,agar tenglama berilgan bo’lsa , u holda doimo uni yechish talab
etiladi.Boshqacha aytganda
x
noma’lumning shunday son qiymatlarini topish talab
etiladiki , ular bu tenglikni ayniyatga aylantirsin , ya’ni ularni noma’lumlar o’rniga
qo’yganda uni ayniyatga aylantirsin.
Biroq yuqoridagi tenglamani yechish masalasini bu tenglamaning chap tomoni turgan
(1)
ifodani o'rganishning umumiy masalasi bilan almashtirish mumkin.
Ushbu (1) ifoda
x
noma’lumning
Ko’phadlarni qisqacha yozish uchun
-darajali ko’phadi (yoki polinomi) deyiladi.
n
f
(x), g (x),
h ( x), < p ( x )
va hokazo simvollardan
foydalanamiz.
Agar
f ( x)
va
g(x)
ko’phadlarda noma’lumlarning bir xil darajalari oldidagi
koeffitsentlar teng bo’lsa , bu ko’phadlar teng bo’ladi.
n
-darajali (1) ko’phadga o’zining
a 0,a,•••,a
(bu yerda a0 ф 0) koeffitsentlari bilan to’la
aniqlanadigan biror formal ifoda deb ham qarash mumkin.Ko’phadning (1) ko’rinishdagi
, ya’ni
x
noma’lumning darajalarini kamayib borish tartibi ko’rinishidagi yozuvidan
tashqari yana noma’lumning o’sib boruvchi darajalari bo’yicha yozuvi
ham qo'llaniladi.
Ravshanki , (1) ko’phadga matematik analiz fani nuqtai nazaridan ham qarash mumkin ,
5
ya’ni uni kompleks o’zgaruvchi
x
ning kompleks funksiyasi deb ham qarash mumkin.
Kompleks koeffitsentli f (x) va g (x)
ko’phadlar berilgan bo’lib , ular qulaylik uchun x ning o’sib boruvchi darajalari bo’yicha
yozilgan bo’lsin:
va masalan , bo’lsin , u holda ularning yig’indisi deb
ko'rinishdagi ko’phadga aytiladi. Bu ko’phadning koeffitsentlari
f
(x) va
g (x)
ko’phadlarning noma’lumning bir xil darajalari oldida turgan koeffitsentlarining
yig’indisiga teng , ya’ni
shu bilan birga
n
> s bo’lganda
bo’lsa bu yig’indining darajasi
bs+1 = bs+2
n
=... =
bn =
0 deb hisoblash lozim. Agar
ga teng bo’ladi , biroq
kichik bo’lib qolishi ham mumkin , chunonchi
bn = -an
n = s
da uning darajasi
n > s
n
dan
bo’lganda shunday bo’ladi. f (x)
va g (x) ko’phadlarning ko’paytmasi deb ushbu
ko’phadga aytiladi. Uning koeffitsentlari quyidagicha aniqlanadi:
ya’ni koeffitsent va ko’phadlarning indekslari yig’indisi ga teng
bo’lgan koeffitsentlarning ko’paytmasi va barcha bunday ko’paytmalarning
yig’indisiga teng ; xususan
6
Shunday qilib, ikkita ko’phad ko’paytmasining darajasi bu ko’phadlar
darajalarining
yig’indisiga
teng.
Demak , noldan farqli ko’phadlarning ko’paytmasi hech qachon nolga teng
bo’lmasligi
kelib
chiqadi
.
Endi
bu
kiritilgan
amallarni
xossalarini
o’rganaylik.
Ko’phadlarni qo’shishning kommutativligi va assotsativligi bu xossalarning
sonlarni qo’shish uchun o’rinli ekanligidan kelib chiqadi , chunki noma’lumning
har
bir
darajasi
oldidagi
koeffitsentlar
alohida-alohida
qo’shiladi.
Ko’phadlar uchun ayirish amali ham bajariladi: nol rolini nol soni o’ynaydi ,
ko’phad uchun qarama-qarshi ko’phad quyidagicha bo’ladi:
ko’phadlarni
ko’paytirishning
kommutativligi
sonlarni
ko’paytirishning
kommutativligidan va ko’phadlarni ko’paytirishga berilgan ta’rifda har ikkala
ko’paytuvchilarning koeffitsentlari teng huquq bilan olinishidan kelib chiqadi.
Ko’paytirishning
assotsativligini
isbotlaylik.
Bizga
ko’phadlar
berigan
oldidagi koeffitsent bo’lib
bo’lsin
,
7
u
holda
ko’paytmada
son xizmat qiladi.Bu sonlar teng ,shunday qilib , ko’phadlarni ko’paytirish
assosativligi
isbotlandi.
Ko’phadlarni qo`shish va ko`paytirishda distributivlik qonuni o’rinli:
Bu tenglikning chap tomoni x! noma'lumning [f (x) + g(x)]h(x) ko’phaddagi
koeffitsenti , uning o’ng tomoni esa o’sha darajali noma’lumning x ning f (x)h(x)
+ g(x)h(x) ko’phaddagi koeffitsentidir.
Ko’phadlarni ko’paytirishda bir rolini nolinchi darajali ko’phad deb ataluvchi 1 soni
bajaradi.
Tasdiq. f (x) nolinchi darajali ko’phad bo’lgandagina va faqat shu holdagina teskari
ko’phad f 4x) ga ega bo’lib ,
Isboti. Agarf
(x)
ko’phad noldan farqli
teskari ko’phadi bo’ladi. Agar
f (x )
с
sondan iborat bo’lsa , u holda с
ko’phadning darajasi
n > 1
bo’lib,
mavjud bo’lganda edi , u holda (5) tenglikning chap tomoni darajasi
1
son uning
f ~\x)
n
ko’phad
dan kichik
bo’lmagan holda , shu tenglikning o’ng tomonida nolinchi darajali ko’phad turgan bo’lar
edi.
Buni esa bo'lishi mumkin emas.
Natija. Ko’phadlarni ko’paytirishga teskari amal-bo’lish amali mavjud emas.
Ushbu xossalariga ko’ra kompleks koeffitsentli ko’phadlar to’plami butun sonlar
to’plami ga o'xshaydi. Bu o’xshashlik yana ko’phadlar uchun butun sonlar singari
8
qoldiqli bo’lish algoritmi mavjudligida ham ko’rish mumkin.
Teorema.Ixtiyoriy f
(x)
va g ( x ) ko’phadlar uchun shunday q ( x ) va r (x )
ko’phadlar
topish mumkinki , ushbu
(6)
tenglik o’rinli bo’lib , bunda r(x) ning darajasi g(x)ning darajasidan kichik yoki
r(x) = 0 bo’ladi. Bu shartni qanoatlantiruvchi q(x) va r(x) ko’phadlar bir
qiymatli aniqlanadi.
Isboti. Bu teoremani ikki qismga bo’lib isbotlaymiz.Avvalo q(x) va r(x)
ko’phadlarni yagonaligini ko’rsatamiz , so’ngra esa bunday q(x) va r(x)
ko’phadlarni mavjudligini ko’rsatamiz. Faraz qilaylik tenglikdan tashqari
tenglikni qanoatlantiruvchi q
darajasi
g(x)
(x)
va
r
(x ) ko’phadlar ham mavjud bo’lsin hamda
r (x)
ni
ning darajasidan kichik bo’lsin ,tengliklarni o’ng tomonlarini bir biriga
tenglashtirib, natijada
tenglik ni hosil qilamiz.
Bu tenglikning o’ng tomonining darajasi
ning darajasidan kichik bo'lgan ko'phad,
g(x)
chap tomonda turgan ko'phadning darajasi esa
q ( x ) - q 1 (x)
ф
0
bo’lsa , u holda
g(x)
ning
darajasidan katta yoki unga teng bo’lgan ko'phad turibdi.Shu sababli q ( x ) - q (x) = 0 , ya’ni
q (x) bo’lishi lozim , bundan esa r ( x ) = r ( x ) kelib chiqadi.
Demak farazimiz noto’g’ri . Teoremaning ikkinchi qismi isbotlandi.
q( x) =
Endi teoremaning birinchi qismini isbotlaymiz. f (x ) va g ( x ) ko’phadlarning darajalari mos
ravishda n va s bo’lsin.
Agar n < s bo’lsa , u holda q (x )
=
0 , r(x)
= f (x)
deb olamiz.
9
Shu sababli n
> s
bo’lsin deb olaylik.
ko’phadlar berilgan bo’lsin.
deb olib , darajasi n dan kichik bo’lgan f (x) ko’phadni hosil qilamiz. Hosil bo’lgan
f (x) darajasini щ va yuqori hadi koeffitsentini a l 0 orqali belgilaymiz.Agar hali ham
Щ
> s bo’lsa ,
deb olamiz. f2 (x) ko’phadning darajasini n 2 va yuqori hadi koeffitsentini a20 orqali
belgilaymiz. Ravshanki , olishimizga ko’ra щ < щ .So’ngra esa
deb olamiz va hokazo.
10
1.2.Ko'phadning haqiqiy ildizlari
Bezu teoremasi. Gorner sxemasi. Ko'phadning ildizlari.
(Etyen Bezu (1730-1783) - fransuz matematigi). P(x) ko'phadni x-a ikkihadga
bo'lganda bo'linmada Q(x), qoldiqda R(x) qolsin:
P(x)—(x-a)Q(x)+R(x)
Agar bu munosabatga x—a qo'yilsa, P(a)=0Q(a)+R(a)—R(a)—r hosil bo'ladi. Shu
tariqa ushbu teorema isbotlanadi:
1-
teorema
(Bezu).
P(x)=a 0 x n +a 1 x n - 1 +...+a n - 1 x+a n (a^0)
ko'phadni x-a ga bo'lishdan chiqadigan r qoldiq shu ko'phadning x=a
dagi qiymatiga teng, r=P(a).
Masalan, 1) x5+x+20 ni x+2 ga bo'lishdan chiqadigan qoldiq r—(-2)5+(-2)+20=-14;
1) x5+x+34 ni x+2 ga bo'lishdan chiqadigan qoldiq r—(-2)5+(-2)+34=0.
Demak, x—-2 soni shu ko'phadning ildizi.
Natijalar. n€N bo'lganda:
1)
xn-anikkihad x-a ga bo'linadi. Haqiqatan, P(a)—an-an—0;
2)
xn+an ikkihad x-a ga bo'linmaydi. Haqiqatan, P(a)—an+an—2xn^0;
3)
x2n-a2n ikkihad x+a ga bo'linadi. Haqiqatan, P(-a)—(-a)2n-a2n—0;
4)
x 2 n + 1 -a 2 n + 1 ikkihad x+a ga bo'linmaydi.Haqiqatan, P(-a)—(-a) 2 n + 1 -
a 2 n + 1 —- 2a 2 n + 1 ^0;
5)
x2n+1-a2n+1 ikkihad x+a ga bo'linadi. Haqiqatan, P(-a)—(-a)2n+1+a2n+1—0;
6)
x2n+a2n ikkihad x+a ga bo'linmaydi. Haqiqatan, P(- a)—a2n+a2n—2a2ni^0;
Bo'lish bajariladigan hollarda bo'linmalarning ko'rinishini aniqlaymiz:
x 5 -a 5 —(x-a)(x 4 +ax 3 +a 2 x 2 +a 3 x+a 4 );
x 5 +a 5 —(x+a)(x 4 -ax 3 +a 2 x 2 -a 3 x+a 4 );
6 6 / \/5, 4 | 2 3 | 3 2 | 4 | 5 \
x -a —(x-a)(x +ax +a x +a x +a x+a );
11
1-
misol. x5-ax+4 ni x+3 ga bo'lishdagi qoldiq r=4 bo'lsa, a ni toping.
Yechish. (-3) 5 -a^(-3)+4=4, bundan a=81.
P(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+...+an ko'phadni x-a ikkihadga bo'lishdagi
qoldiqni hisoblashning Gomer (Xorner Uilyam (1786-1837) - ingliz
matematigi) sxemasi deb ataluvchi usulini ko'rsatamiz.
P(x)=Q(x)(x-a)+r
bo'lsin. Bunda
Q(x)=b(x n 1 +b1x n 2 +b2x n 3 +...+b n - 1.
(1) da x ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlarni tenglashtirib
quyidagiga ega bo'lamiz:
a0=b0
a 1 =b 1 -ab 0
a 2 =b 2 -ab 1
a
n-1 bn-1 abn-2 an r-abn-1
Bundan ko'rinadiki, b0=a0, bk=abk-1+ak, k=1,2,..., n-1, r=an+abn-1. Bo'linma va qoldiqni
hisoblash quyidagi jadval yordamida topiladi.
a0
a1
a2
a
a
a
n-1
n
ab0+a1
ab1+a2
abn-2+an-1
ab
n-1 + an
b1
b2
b
r
n-1
0
0
b
О
2
2-misol. x +4x -3x+5 ko'phadni Gorner sxemasidan foydalanib, x-1 ga bo'lishni bajaramiz.
1
4
-3
5
1
1
5
2
7
Demak, x3+4x2-3x+5=(x-1)(x2+5x+2)+7.
Bezu teoremasidan P(x) ko'phadni ax+b ko'rinishdagi ikkihadga bo'lishda hosil
bo'ladigan r qoldiq P(-b/a) ga teng bo'lishi kelib chiqadi.
29
1-
misol. P3(x)=x -3x +5x+7ni 2x+1 ga bo'lishdan hosil bo'lgan qoldiqni toping.
Yechish. Qoldiq r=P3(-1/2)=(-1/3)3-3(-1/2)2+5(-1/2)+7=29/8 ga teng.
teorema. Agar a soni P(x) ko'phadning ildizi bo'lsa, P(x) ko'phad x-a
2-
ikkihadga qoldiqsiz bo'linadi.
Isbot. Bezu teoremasiga ko'ra, P(x) ni x-a ga bo'lishdan chiqadigan qoldiq P(a) ga
teng, shart bo'yicha esa P(a)=0. Isbot bajarildi.
Bu teorema P(x)=0 tenglamani yechish masalasini P(x) ko'phadni chiziqli
ko'paytuvchilarga ajratish masalasiga keltirish imkonini beradi.
1-
natija.
Agar P(x) ko'phad har xil a h ..., a n ildizlarga ega bo'lsa,
u (x-a!) ...(x- a n ) ko'paytmaga qoldiqsiz bo'linadi.
2-
natija.
n-darajali ko'phad n tadan ortiq har xil ildizga ega bo'la
olmaydi.
Isbot. Agar n- darajali P(x) ko'phad n+1 ta har xil a1t ..., ak+1 ildizlarga ega bo'lganda,
u n+1-darajali (x-a1)...(x-ak+1) ko'paytmaga qoldiqsiz bo'linardi. Lekin bunday
bo'lishi mumkin emas.
Yuqorida qaralgan teoremalardan foydalanib, Fransua Viyet (fransuz olimi, 15401603) tomonidan berilgan hamda P(x)=0 butun algebraik tenglamaning at haqiqiy
koeffitsiyentlari va at ildizlari orasidagi munosabatni ifodalovchi formulalarni
keltiramiz:
1) a2x +a1x+a0=b(x-a1)(x-a2)=bx -b(a1-a2)x++ba1a2. Agar x ning bir xil darajalari
oldidagi koeffitsiyentlari tenglashtirilsa, b=a2 bo'ladi. Natijada ushbu formulalar
topiladi:
a1+a2=-a/a2, aa2=a0/a2;
2
О
2) shu tartibda P3(x)=a3x +a2x +a1x+a0 uchun:
a 1 +a 2 +a 3 =-a 2 /a 3 , a 1 a 2 +a 1 a 3 +a 2 a 3 =a 1 /a 3 , a 1 a 2 a 3 =-a 0 /a 3 formulalar topiladi.
Hosil qilingan tengliklarning bajarilishi a t ,.. ., an sonlarining Pn(x) = anxn + ...
+a0 ko‘phad ildizlari bo’lishi uchun zarur va yetarlidir.Agar P(x) ko’phad (x- a)k ga
qoldiqsiz bo’linsa,lekin, (x- a)k+1 ga qoldiqsiz bo’linmasa, a soni Р(х) uchun k karrali
ildiz bo‘ladi.
1-
§.Algebraik tenglamalarning kompleks ildizlari.
13
Algebraning asosiy teoremasi (Gauss teoremasi):
n- darajali ( bu yerda n >1) har qanday kophad aqalli bitta kompleks
ildizga ega.1
Teorema. Agar z= a + /i kompleks soni haqiqiy koeffitsiyentli P(z)
ko’phadning ildizi bo’lsa, z= a — / i kompleks soni ham P(z) kophadning
ildizi bo ‘ladi.
Isbot. z kompleks soni P (z) = a0zn + a1zn'x + ... + an-1z+ an ko‘phadning ildizi
boTsin. U holda
aoz n + a 1 z n ' 1 + ... + a n 1 z+ a n — 0 yoki
aozn + a1zn'1 + ... + an-1z+ an = 0 tenglik o‘rinli boTadi. Kompleks songa
qo'shma sonni topish amalining xossalaridan foydalansak,
a0( z)n + a(z)n~x +... + an _ j z + an = 0
tenglikka ega bo‘lamiz. Demak, z soni ham P(z) ko‘phadning ildizi. Teorema isbot
bo‘ldi.
Natija. n-darajali P n (x) kophad x-a ko‘rinishidagi ikkihadlar va
2
x + px + q ko ‘rinishidagi manfiy diskriminantli kvadrat uchhadlar
darajalarining ko ‘paytmasidan ib orat:
Pn (x) — a0(x - a)k ... (x2+px+q)m..., bu yerda ke{0, 1, 2,...}, me{0, 1, 2, . . .}.
14
1.3. Ko'phadning haqiqiy ildizlarini sonini topish.
Haqiqiy koeffisientli f(x) ko'phadning haqiqiy ildizlarini sonini topish masalasini
ko'raylik.Quyida biz musbat ildizlar soni, manfiy ildizlar soni va avvaldan berilgan
a va b sonlar orasidagi ildizlar sonini topish masalasini ko'ramiz.Bu masalalarga
bir muncha sodda bo'lgan Shturm metodini qo'llab javob beramiz.Noldan farqli
bo'lgan haqiqiy sonlarning birorta tartiblangan sistemasi, masalan
1, 3, - 2, - 5, 6, 1, 3, -1, -1, 4, 1 (1) berilgan bo'lsin,
Bu sonlarni ishoralarini yozib chiqaylik:
+ , + , - , - , + , + , + , - , - , + , + (2)
Biz bu ishoralar sistemasida qarama-qarshi ishoralar 4 marta almashganini, ketmaket turganini ko'ramiz.Shu sababli (1) tartiblangan sistemada 4 marta ishora
o'zgaradi (almashadi ) deyiladi. Demak noldan farqli haqiqiy sonlarning ixtiyoriy
tartiblangan chekli sistemasi uchun ishora almashishlar sonini har doim topish
mumkin. Haqiqiy koeffisientli f (x) ko'phad berilgan bo'lsin va u karrali ildizga ega
emas deb faraz qilaylik.Agar f (x) ko'phad karrali ildizlarga ega bo'lsa, u holda uni
o'zi bilan hosilasining eng katta umumiy bo'luvchisiga bo'lib yuborib har doin
karrali ildizga ega bo'lmagan ko'phadni hosil qilishimiz mumkin.
Shturm teoremasi ko’phadning haqiqiy ildizlari soni haqidagi masalani batamom
hal qiladi. Ammo Shturm sistemasini tuzish jarayonida hisoblashlarning uzundan uzoqligi uning muhim kamchiligidan iborat, bunga yuqorida keltirilgan misollardan
ham ko'rish mumkin. Shu sababli, hozir haqiqiy ildizlarning sonini aniq bermasa ham,
bu sonni yuqoridan chegaralovchi (baholovchi) ikkita teorema isbotlaylik. Grafikdan
foydalanib haqiqiy ildizlar soni quyidan chegaralangach, tatbiq qilinadigan bu
teoremalar Shturm metodiga murojaat etmay turib ham haqiqiy ildizlarning aniq
sonini topishga ba’zan imkon beradi. n — darajali haqiqiy koeffitsientli f (x) ko’phad
berilgan bo’lsin, shu bilan birga u karrali ildizlarga ega
15
bo’lishi ham mumkin deylik. Uning ketma - ket hosilalari f (x) = f
"(x),..., f(n—1)(x), f
(n)
( x)
(0)
( x) , f '(x), f
(1)
sistemasini qaraylik; ulardan oxirgisi f (x) ko’phadning - yuqori koeffitsientini n! ga
ko’paytmasiga teng bo’lgani uchun har doim o’zgarmas ishora saqlaydi. Agar c
haqiqiy son (1) sistemadagi birorta ham ko’phadning ildizi bo'lmasa, u holda S (c)
orqali ushbu
f (c), f' (c), f" (c),...., f (n—1)(c) , f
(n)
(c)
tartiblangan sonlar sistemasidagi ishora o’zgarishlar sonini belgilaymiz. Shunday
qilib, (1) sistema ko’phadlarining birortasini ham nolga aylantirmaydigan barcha x
lar uchun aniqlangan butun sonli funksiya S (x) ni qarash mumkin.
S (x) son x o’sishi bilan qanday o’zgarishini o'rganaylik. f (k)(x), 1 < k < n — 1
hosilalardan birortasining ildizidan o’tishi. a son f (x) ko’phadning l karrali ildizi
bo’lsin, l > 1, ya’ni f (a) = f'(a) =... = f (l—1) (a) = 0, f (l) (a) * 0 bo'lsin. s shunday kichik
musbat son bo’lsinki, (a — s,a + s) oraliq f (x), f' (x),...., f (l—1)(x) ko’phadlarning a
dan tashqari birorta ham ildizini o’z ichiga olmasin, shuningdek f (l )(x) ko’phadning
ham birorta ildizini o’z ichiga olmasin.
f(a + s), f '(a + s), ... , f i l - 1 ) (a + s) , f { I ) (a + s) sonlarning barchasi ham
bir xil ishoraga ega ekanligini isbotlaylik, (1) sistemaning har bir ko’phadi o’zidan
oldingi ko’phadning hosilasidan iborat bo’lgani uchun x son f (x) ning a ildizidan
o’tganda, bu ildizning karrasidan qat’iy nazar, o’tishdan oldin f (x) va f' (x) lar har
xil ishoraga ega bo’lib, o’tib bo’lgach esa ularning ishoralari bir xil bo’lishini
isbotlashimiz yetarlidir. Agar f (a + s) > 0 bo’lsa, u holda f(x) ko’phad (a-s,a)
oraliqda kamayuvchi, shuning uchun ham f ’(a-s) < 0; f ( a - s ) < 0 bo’lganda
esa f (x) o’suvchi va shuning uchun ham f'(a -s) > 0. Demak, har ikki holda ham
ishoralar turlicha.
Ikkinchi tomondan, agar f (a + s) > 0 bo’lsa, u holda f (x) (a,a + s) oraliqda
o’suvchi va shu sababli f'(a + s) > 0; shunga o’xshash f (a + s) < 0 dan f'(a +
s) < 0 ekanligi kelib chiqadi. Shunday qilib, a ildizdan o’tgach, f ( x ) va f ( x)
16
laming ishoralari bir xil bo’lishi kerak.
Isbotlashga asosan x son f (x ) ko’phadning l karrali ildizidan o’tishida
(l - 1
f ( x ) , f ' ( x ) , ... , f
\x), f (l )(x)
sistema l ta ishora o’zgartirishini yo’qotishi kelib chiqadi.
Endi a
f ( k ) (x) , f (k + 1 ) (x) , ... , f (k + l - 1 ) ( x), 1 < k < n -1, l > 1 hosilalarning ildizi
bo’lib, na f (k-1)(x) ning va na f
{k
+ 1 ) (x) ning ildizi bo’lmasin. Yuqorida
isbotlanganga asosan x ning a o’tishi
f (k) (x) , f (k + 1 ) (x) , ... , f ( k + l - 1 ) (x), f
(k
+ l ) (x)
sistemada l ta ishora o’zgartirishini yo’qolishiga sabab bo’ladi. Albatta, bu o’tish f
(k-1)
(x) va f (k) (x) lar orasida yangi ishora o’zgarishini hosil qilishi ham mumkin,
ammo l > 1 bo’lgani uchun x son a dan o’tganda
f (k - 1 \x), f (kЧx) , f (k+1)(x) ,..., f (k + l - 1 \x), f ( " k + l \x)
sistemadagi ishora o’zgarishlar soni yo o’zgarmaydi, yoki kamayadi. Shu bilan
birga u f (k — 1)(x) va f (k+1)(x) ko’phadlar x a qiymatdan o’tayotganda o’z
ishoralarini o’zgartirmaganliklari sababli, faqat juft songagina kamayishi mumkin.
Hosil qilingan natijalardan, agar a va b (a < b) (1) sistemaning birorta ham
ko’phadi uchun ildiz bo’lmasa, u holda f (x) ko’phadning a va b orasida
joylashgan va har biri, uning karrasi qancha bo’lsa, shuncha marta
hisoblanganhaqiqiy ildizlarining soni S (a) — S (b) ayirmaga teng yoki bu
ayirmadan juft songa kam bo’lishi kelib chiqadi.
a va b sonlarga qo’yilgan cheklanishlarni bir oz kamaytirish uchun quyidagi
belgilashlarni kiritamiz. c haqiqiy son garchi (1) sistemaning boshqa ko’phadlari
uchun ildiz vazifasini bajarishi mumkin bo’lsa ham, f (x) ko’phadning ildizi
bo’lmasin.
S(+) (c) orqali
f(c), f ’(c), f ' ( c ) , f ^(c), f <”)(c)
(2)
sonlar sistemasida quyidagi usulda hisoblangan ishora o’zgarishlar sonini
belgilaymiz: agar
f (k) (c) = f ^ (c) =... = f (k+l—1) (c) = 0
(3)
17
bo’lib, ammo
f (k—1)(c) * 0, f
{k
+ l ) (c) * 0 ,
(4)
bo’lsa, u holda f (k )(c), f (k+1)(c), ... , f (k T 1 — l)(c)larning ishorasini f (k+l)(c) ning
ishorasi qanday bo’lsa, shunday deb hisoblaymiz; bu shubhasiz, (2) sistemadagi
ishora o’zgarishlar sonini hisoblashda nollar o’chirilgan deb faraz qilinishiga teng
kuchlidir. Ikkinchi tomondan, S { _ } (c) orqali (2) sistemada quyidagi usulda
hisoblangan ishora o’zgarishlar sonini belgilaylik: agar (3) va (4) shartlar bajarilsa,
u holda f (k + i )(c), 0 < i < l — 1 ko’phadning ishorasini: agar l — i ayirma juft
bo’lsa, f (k+l) (c) ning ishorasi bilan bir xil, bu ayirma toq bo’lsa f (k+l )(c) ning
ishorasiga qarama - qarshi deb hisoblaymiz.
Endi a va b (a < b) (1) sistemaning qandaydir boshqa ko’phadlarining ildizlari
vazifasini bajarsalarda, f (x) ko’phadning ildizlari bo’lmasin. f (x) ko’phadning a
va b (a < b) lar orasida joylashgan haqiqiy ildizlari sonini aniqlamoqchi bo’lsak,
quyidagicha ish tutamiz. s shunday yetarlicha kichik musbat son bo’lsinki,
(a,a + 2s) oraliq f (x) ko’phadning ildizlarini va shuningdek (1) sistemaning
qolgan barcha ko’phadlarining a dan boshqa ildizlarini o’z ichiga olmasin; ikkinchi
tomondan, r shunday yetarlicha kichik son bo’lsinki, (b - 2r,b) oraliq ham f (x)
ko’phadning ildizlarini va (1) sistemaning b dan farqli qolgan barcha ildizlarini o’z
ichiga olmasin. U holda f (x) ko’phadning bizni qiziqtirayotgan haqiqiy
ildizlarining soni, bu ko’phadning a + s va b -r lar orasida joylashgan haqiqiy
ildizlarining soniga teng; ya’ni yuqorida isbotlanganiga asosan S(a + s) -S(b -r)
ayirmaga teng yoki bu ayirmadan juft songa kichik bo’ladi. Ammo
S(a + s) = S+ (a), S(b -rj) = S_ (b) ekanligini osonlikcha
ko’rsatish mumkin. Shunday qilib, quyidagi teorema isbotlandi.
Byudan - Fur'e teoremasi. Agar a va b (a < b) haqiqiy sonlar haqiqiy koeffitsientli
f (x) ko’phadning ildizlari bo’lmasa, u holda bu ko’phadning a va b lar orasida
joylashgan va har biri uning karrasi qancha bo’lsa, shuncha marta hisoblangan
haqiqiy ildizlarining soni, S + (a) - S - (b) ayirmaga teng yoki bu ayirmadan juft
songa kam bo’ladi.
18
2.1.Shturm qatori va Shturm teoremasi
Haqiqiy koeffisientli f(x) ko`phadning haqiqiy ildizlarini sonini topish
masalasini ko`raylik.Quyida biz musbat ildizlar soni, manfiy ildizlar soni va
avvaldan berilgan a va b sonlar orasidagi ildizlar sonini topish
masalasini
ko`ramiz.Bu masalalarga bir muncha sodda bo`lgan Shturm metodini qo`llab
javob beramiz.Noldan farqli bo`lgan
haqiqiy
sonlarning birorta
tartiblangan
sistemasi, masalan
1, 3, -2, -5, 6, 1, 3, -1, -1, 4, 1
(1)
berilgan bo`lsin, Bu sonlarni ishoralarini yozib chiqaylik:
+,+,-,-,+, +,+,-, -, + , +
(2)
Biz bu ishoralar sistemasida qarama-qarshi ishoralar 4 marta almashganini,
ketma-ket turganini ko`ramiz. Shu sababli (1) tartiblangan sistemada 4 marta
ishora
o`zgaradi (almashadi ) deyiladi. Demak noldan farqli haqiqiy sonlarning
ixtiyoriy tartiblangan chekli sistemasi uchun ishora almashishlar sonini har doim
topish mumkin. Haqiqiy koeffisientli f(x) ko`phad berilgan bo`lsin va u karrali
ildizga ega emas deb faraz qilaylik.
Agar f(x) ko`phad karrali
ildizlarga ega bo`lsa, u holda uni o`zi bilan
hosilasining eng katta umumiy bo`luvchisiga bo`lib yuborib har doin karrali ildizga
ega bo`lmagan ko`phadni hosil qilishimiz mumkin.
Agar quyidagi shartlar bajarilsa noldan farqli ko`phadlarning tartiblangan
chekli sistemasi
f(x)= f0(x) , f1(x) , f2(x),...., fs(x)
(3)
f(x) ko`phadning Shturm sistemasi deyiladi.
1). (3) sistemaning qo`shni ko`phadlari umumiy ildizga ega emas.
2).Oxirgi fs(x) ko`phad haqiqiy ildizga ega emas.
3). Agar  son (3) sistemaning oraliq ko`phadlaridan biri bo`lgan f k(x)
ko`phadning haqiqiy ildizi bo`lsa,( 1 k  s-1) u holda fk-1() va fk+1() qaramaqarshi ishoraga ega bo`ladilar.
19
4). Agar  son f(x) ko`phadning haqiqiy ildizi bo`lsa, u holda x o`sa borib 
dan o`tganda f(x)f1(x) ko`paytma o`z ishorasini manfiydan musbatga o`zgartiradi.
f(x) ko`phad shunday (3) Shturm sistemasiga ega deb faraz qilaylik.(Ixtiyoriy
ko`phadning Shturm sistemasiga egaligi masalasini keyinroq ko`ramiz) .
Agar c haqiqiy son berilgan f(x) ko`phadning haqiqiy ildizlaridan
ibrat
bo`lmasa, u holda haqiqiy sonlarning
f(c ) , f1(c ), f2( c ),....,fs( c)
sistemasini
olamiz, undan barcha nolga tenglarini
o`chiramiz va W( c) orqali
qolgan sistemaning ishora o`zgarishlar sonini belgilaylik.
Ta`rif.W( c) ni f(x) ko`phadning (3) Shturm sistemasida x = c bo`lgandagi
ishora o`zgarishlar soni deyiladi.
Teorema.(Shturm teoremasi) Agar a va b (a < b) haqiqiy sonlar karrali ildizi
bo`lmagan f(x) ko`phadning ildizlari bo`lmasa, u holda W(a)  W(b) bo`ladi va
W(a)-W(b) ayirma f(x) ko`phadning a va b orasida joylashgan haqiqiy ildizlari
soniga teng bo`ladi.
Isboti. Teoremani
isbotlash
uchun x o`sishi
bilan W(x) son qanday
o`zgarishini kuzatush etarli. x o`sa borib o`z yo`lida (3) Shturm sistemasining
birorta ham ko`phadining ildizlarini uchratmasa, bu sistema
ko`phadlarining
ishoralari o`zgarmaydi, demak W(x) ham o`zgarmay qoladi.Shu sababli Shturm
sistema ta`rifidagi 2) shartga
asosan faqat ikkita holni ko`rish
kifoya: x birorta
oraliq fk(x) ,( 1 k  s-1) ko`phadning ildizlaridan o`tishi va x ning f(x) ko`phadning
o`zining ildizidan o`tishi.
 son fk(x), 1 k  s-1 ko`phadning ildizi bo`lsin. U holda 1) shartga ko`ra,
fk-1() va fk+1() lar noldan
farqli. Demak, shunday  musbat kichik son topish
mumkinki, (- , +) oraliqda fk-1(x) va fk+1(x) ko`phadlar ildizga ega emas va
demak ular ushbu oraliqda ishora saqlaydi.Bundan tashqari 3) asosan bu shoralar
qarama-qarshidir. Bundan esa, ushbu
fk-1(-) , fk(-) , fk+1(-)
(4)
fk-1(+) , fk(+) , fk+1(+)
(5)
va
20
sonlar
sistemalarining har biri fk(-) va fk(+) sonlar qanday ishoraga ega
bo`lishdan qat`iy nazar faqat bittagina ishora o`zgarishiga ega bo`ladilar.
Masalan, agar fk-1(x) ushbu qaralayotgan oraliqda manfiy bo`lsa, f k+1(x) esa
musbat bo`lsa hamda fk(-) > 0 , fk(+) < 0 bo`lsa, u holda (4) va (5) sistemalarga
ushbu
-,+,+ ;-,-,+
ishoralar sistemasi mos keladi. Demak, x Shturm sistemasidagi birorta oraliq
ko`phadining ildizidan o`tganda bu
sistemaning ishora o`zgarishi faqat joyini
o`zgartiradi (ya`ni suriladi), yangidan paydo bo`lmaydi va yuqolib ham ketmaydi,
shu sababli W(x) son o`zgarmay qoladi.
Endi  f(x) ko`phadning o`zining ildizi
bo`lsin. 1) ko`ra  f1(x) uchun
ildizbo`lmaydi. Shu sababli shunday  son topiladiki (-  ,  +  ) oraliqda f1(x)
ildizga ega bo`lmaydiba shu sababli f1(x) bu oraliqda ishora saqlaydi. Agar bu
ishora musbat bo`lsa, u holda x 4) shartga ko`ra  dan o`tganda f(x) o`z ishorasini
manfiydan musbatga o`zgartiradi, ya`ni
f(-) < 0 , f(+ ) > 0
Demak,
f(-), f1(-) va f(+ ) , f1(+)
(6)
sonlar sistemasiga
- , + va + , +
ishoralar sistemalari mos keladi, boshqacha qilib aytganda Shturm sistemasida bitta
ishora o`zgarishi yo`qoladi. Agar f1(x) ning (-  ,  +  ) oraliqdagi ishorasi manfiy
bo`lsa, yana 4) ga ko`ra x  dan o`tganda f(x) ko`phad o`z ishorasini musbatdan
manfiyga o`zgartiradi, ya`ni f(-) > 0 , f(+ ) < 0 , (6) sonlar sistemasiga endi
+ , - va - , ishoralar
o`zgarishi
sistemalari mos keladi, ya`ni Shturm
sistemasida yana bitta ishora
yo`qoladi. Demak,W(x) son x o`sa borib f(x) ko`phad ildizlaridan
o`tgandagina o`zgaradi, shu bilan birga bu holda u roppa -rosa bitytaga kamayadi.
Teorema isbotlandi.
21
Tasdiq.Karrali ildizga ega bo`lmagan, haqiqiy koeffisientli har qanday f(x)
ko`phad Shturm sistemasiga ega bo`ladi.
Isboti.Quyidagi usul bilan Shturm sistemasini tuzaylik.
f1(x) = f1(x) deb
olaylik. Shturm sistemasi ta`rifidagi 4) shartni
bajarilishini
ko`rsataylik. Agar  son f(x) ko`phadning ildizi bo`lsa, u holda f1()0 bo`ladi va
demak f1() > 0 bo`lsa, u holda  nuqta atrofida f1(x) > 0 va shu sababli f(x) x ni
qiymati  dan o`tganda ishorasini
manfiydan musbatga o`zgartiradi va demak
f1(x)f(x) ko`paytma ham o`z ishorasini manfiydan musbatga o`zgartiradi. Agar f1()
< 0 bo`lsa, u holda  nuqta atrofida f1(x) < 0 bo`ladi va f(x) х ni qiymati  dan
o`tganida ishorasini musbatdan manfiyga o`zgartiradi va demak f 1(x)f(x) ham o`z
ishorasini manfiydan musbatga o`zgartiradi.
So`ngra f(x) ni f1(x) ga bo`lamiz va bu bo`lishdan chiqqan qoldiqni teskari ishora
bilan olib, f2(x) deb olamiz:
f(x) = f1(x)q1(x)+r1(x)
f2(x) = -r1(x)
f3(x) deb esa quyidagi ko`phadni olamiz:
f1(x)= f2(x)q2(x)+r2(x)
f3(x)= - r2(x)
va hakazo. fk-1(x) va fk(x) lar topilgan bo`lsin, u holda fk+1(x) quyidagicha topamiz:
fk-1(x) = fk(x)qk(x)+rk(x)
fk+1(x)= -rk(x)
(5)
Bu prosess f(x) va f1(x) ko`phadlarning eng katta umumiy bo`luvchisi bo`lgan
birorta fs(x) da to`xtaydi. Olishimizga ko`ra f(x) va f1(x) ko`phadlar o`zaro tub
bo`lgani uchun fs(x) birorta nolinchi darajali ko`phad bo`ladi.
Biz tuzgan
f(x)= f0(x) ,f1(x)= f1(x) , f2(x),...., fs(x)
ko`phadlar
sistemasi Shturm sistemasining ta`rifidagi 2) shartni bajarishini, ya`ni
fs(x) haqiqiy ildizga ega emasligini va 1) shartni bajarilishini ko`rsataylik: faraz
qilaylik fk(x) va fk+1(x) umumiy  ildizga ega bo`lsin. U holda (5) ga asosan, 
22
fk-1(x) uchun ham ildiz bo`ladi va hakazo f k-2(x),fk-3(x) ,...f1(x),f0(x) lar uchun
ham ildiz bo`lishi kelib chiqadi. Bu esa f(x) va f 1(x) ni o`zaro tub ekanligiga
ya`ni f(x) ni karrali ildizga ega emasligiga ziddir.
3). shartni bajarilishi (5) dan kelib chiqadi. Agar f k() = 0 bo`lsa, u holda
fk-1() = - fk+1() bo`ladi.
Tasdiq isbotlandi.
23
2.2.Uchinchi va to'rtinchi darajali ko'phadlarning haqiqiy ildizlari
Ta’rif 2.1 Kamida ikkita o’zgaruvchiga bog’liq bo’lgan ko’phad ko’p noma’lumli
ko’phad deyiladi.Ko’p noma’lumli ko’phadlar 2,3,4,...,n nomalumli bo’lishi mumkin.
n noma’lumli ko’phad odatda f(x1,x2,...,xn) orqali belgilanadi. n nomalumli ko’phad
xf xf2x3k3 ...xk ko’rinishdagi chekli sondagi hadlarning algebraik yig’indisidan iborat
bo’lib,
bu yerda ki>0 (i=1,n) lar P sonlar maydoniga tegishli bo’lgan butun sonlardir.
Umuman olganda n noma’lumli ko’phadning ko’rinishi quyidagicha bo’ladi.
AiєP lar (2.1) ko’phad hadlarining koeffitsiyentlari deyiladi . Har bir
yig’indi esa bu hadning darajasi deb ataladi . Hamma
α1+....+αn
β1+....+βn
-----------------
ω1+....+ωn
yig’indilar orasida eng kattasi (2.1) ko’phadning darajasi deyiladi. Masalan ratsional
sonlar maydoni ustidagi
ko’phadda birinchi
hadning darajasi 2+1+3+0=6 ga,ikkinchi
24
ko’phadning darajasi 4+1=5 ga, uchinchi
hadning darajasi ham 2+3=5 ga va nihoyat, to’rtinchi hadning darajasi 1 ga , ko’phadning
darajasi esa 6 ga teng, (2.1) ko’phadning ba’zi yoki hamma koeffitsiyentlari shuningdek
ba’zi yoki hamma αi , βi , ...., ωi daraja ko’rsatkichlari nolga teng bo’lishi mumkin.
Masalan, α1=α2=....=αn=0 , A2=A3=....=Ak=0 bo’lib A1 koeffitsiyent P maydonning
istalgan elementini bildirsa, (2.1) ko’phad f(x1 , x2 , ....,xn)=A1 ko’rinishni oladi. Demak
P maydonning hamma elementlari ham n o’zgaruvchili ko’phadlar deb hisoblanadi.
Xususiy holda A2=A3=....=Ak=0 qiymatlar uchun nol ko’phad xosil bo’ladi biz uni f(x1 ,
x2 , ....,xn)=0 Ko’rnishda belgilaymiz. A1 ≠0 holda f(x1 , x2 , ....,xn)=A1 ni nolinchi darajali
ko’phad deymiz . (2.1) ko’phaddagi x1 , x2 , ....,xn o’zgaruvchilar bir-biriga bog’liq emas,
ularning har qaysisi mustaqil ravishda istalgan son qiymatni qabul qila oladi deb
hisoblaymiz. Boshqacha aytganda har bir xio’zgaruvchining qiymatlari qolgan
o’zgaruvchilarning qiymatlari bilan aniqlanmaydi, ya’ni xi o’zgaruvchi qolgan
o’zgaruvchilarning funksiyasi emas .Bunday o’zgaruvchilar odatda erkli o’zgaruvchilar
deyiladi. Aytilganlardan quyidagi natija chiqadi. Hamma A1 ,...,Ak koeffitsiyentlardan
aqalli bittasi nolga teng bo’lmasa ko’phad ham nolga teng bo’la olmaydi. Haqiqatan,
tenglikdan har bir xi (i=1 ,n) qolgan o’zgaruvchilarning oshkormas funksiyasi ekanini
ko’ramiz. Demak A2 = A3 = .... = Ak shartdagina (2.1) ko’phad aynan nolga teng.
Ta’rif . Ko’phadning hamma hadlari bir xil m-darajali bo’lsa, ko’phad mdarajali bir
jinsli ko’phad yoki m- darajali forma deyiladi. Masalan.
25
ko’phad 6- darajali formadir.Birinchi darajali forma chiziqli forma, ikkinchi darajali
forma kvadratik forma, uchinchi darajali forma esa kubik forma deyiladi. Endi P sonlar
maydoni ustida berilgan ikkita n no’malumli ko’phad uchun qo’shish va ko’paytirish
amallarini kiritamiz.
ko’phadlarni qo’shish deb, ulardagi mos hadlarning koeffitsiyentlarini qo’shishni
tushunamiz.
hadlar mos yoki o’xshash hadlar deyiladi. Agar biror had f va ko’phadlarning faqatgina
bittasida uchrasa ikkinchi ko’phaddagi maskur hadning koeffitsiyenti nol deb olinadi.
Ikkita va kabi hadlarning ko’paytmasi deb
Ifodani tushunamiz. Masalan kompleks sonlar maydoni ustida
f(x1 , x2 ,x3) = (1+i) x1 x2 –ix2 x32 +x2 va (x1 , x2 ,x3) =3x1 x2 +i x3 ko’phadlarning yig’indisi,
ayirmasi va ko’paytmasi quyidagilarga teng.
26
XULOSA.
Ushbu kurs ishi algebra va sonlar nazariyasi fanining hozirgi vaqtda
rivojlanayotgan tarmoqlaridan biri bo’lgan ko’pharlar, ayniqsa simmetrik
ko’phadlar va ularning tadbiqlari haqida yozilgan bo’lib ishda asosan quyidagi
natijalarga erishilgan:
Bir noma’lumli ko’phadlar ustida amallar, ko’phadlarning funksional
ma’noga tengligi, ko’phadlarning qoldiqli bo’linishi ko’phad ildizlari va
ko’phadni ikkihadga bo’lish, ko’phadlarning bo’linishlari tahlil qilingan;
1)
Ko’p noma’lumli ko’phadlar, ko’p noma’liumli ko’phadlar halqasi, ko’phad
darajasi, ko’phadlarning tengligi va n noma’lumli ko’phadlarning halqa tashkil
qila bilishi isbot qilingan;
2)
3) Simmetrik
ko’phad, simmetrik ko’phadning simmetrik funksiyasi, asosiy
simmetrik funksiyalar, asosiy simmetrik funksiyalarning nolga teng bo’lishi
haqidagi teorema va simmetrik ko’phadlar nazariyasining asosiy teoremalari isbot
qilingan;
4) Ikki o’zgaruvchili simmetrik ko’phadlarning
elementar algebra misol
va masalalariga tadbiqlari atroflicha o’rganilgan.
Shunday qilib, ushbu kurs ishi maktab o’quvchilari, kollej, akademik litsey
talabalari va yosh matematik o’qituvchilarning ko’phadlar sohasidagi o’z
bilimlarini yanada oshirishda muhim ahamiyatga ega bo’ladi deb hisoblaymiz.
27
Foydanilgan adabiyotlar
1.Kostrikin A.I. Vvedenie v algebru.Uchebnik.M.Nauka,1977g.
2.Hojiev J., Faynleyb.F.S. Algebra va sonlar nazariyasi kursi. T. 2001 y.
3.Kurosh F.G. Oliy algebra kursi. T.Ukituvchi . 1976 y..
4.Fadeev D.K.,Sominskiy I.S.Sbornik zadach po visshey algebre. M.Nauka .1976 g.
5. Gelfand I.M. Lektsii po lineynoy algebre. http://www.mcmee.ru, http://lib.mexmat.
ru.
6. Kurosh A.G. Kurs visshey algebre http://www.mcmee.ru, http://lib.mexmat. ru.
28