1 연습문제 풀이 3/4 15장 – 21장 15장 연습문제 2 제2부 전자기학 15장 연습문제 01. 두 점전하 C 과 C 이 각각 3 cm과 4 cm에 놓여있다. (a) 에 작용하는 전기력의 크기와 방향을 구하라. (b) 에 작용하는 전기력의 크기와 방향을 구하라. (a) 두 점전하 과 사이에 작용하는 전기력은 쿨롱 법칙인 (15.3)식 에 의해 정해진다. 여기서 은 두 점전하 사이의 거리로 cm × m 이다. 즉 × × × × × 전기력은 N N이다. 여 × 기서 마이너스 부호는 인력이라는 의미이다. 그래서 전기력은 에서 쪽으로 작용한다. (b) 점전하 에 작용하는 힘의 크기는 에 작용하는 힘의 크기와 똑같이 N이고 에서 쪽으로 작용한다. 02. 두 점전하 과 가 거리 만큼 떨어져 있을 때 두 점전하가 서로 상대 전하에게 작용하는 전기력의 크기는 이다. (a) 두 점전하 사이의 거리가 두 배가 되면, 그리고 (b) 두 점전하의 크기가 모두 두 배가 되면, 두 점전하가 상대 전하에게 작용하는 전기력의 크기는 각각 의 몇 배인가? (a) 쿨롱 법칙에 의해 이다. ′ 로 되면 ′ ′ 이다. 즉 의 배이다. × ′′ × 이다. (b) ′ , ′ 가 되면 ′ 즉 의 배이다. 03. (a) 양성자와 전자가 보어 반지름인 Å만큼 떨어져 있을 때 전기력과 (b) 헬륨 원 자핵과 전자가 보어 반지름의 두 배인 Å만큼 떨어져 있을 때 전기력을 구하라. (a) 양성자의 전하는 × C 이고 전자의 전하는 × C 이며 × × × N Å m 이므로, 구하는 전기력은 × × × × N이다. 여기서 마이너스 부호는 양성자와 전자 사이에 인력이 작용한다는 의미 이다. (b) 헬륨 원자핵의 전하는 × C 이고 전자의 전하는 × C × × × N × N 이므로, 구하는 전기력은 × × × 이다. 04. 전하량이 5.0 nC으로 동일한 점전하 4개가 각각 , i , j , i j에 놓여 있다. 1 cm이다. (a) 원점에 놓인 점전하에 작용하는 전기력의 크기와 방향을 구하라. k 에 가져다 놓았다. 이 점전하에 작용 (b) 추가로 전하량이 ′ －2 nC인 점전하 하나를 하는 전기력의 크기와 방향을 구하라. 놓인 전하 에 작용 (a) 에 전하 가 놓여 있을 때 (여기서 ⋯) 이 개의 전하가 에 는 (15.10)식에 의해 하는 전기력 이다. 이 문제에서는 원 15장 연습문제 점 에 놓인 점전하 에 다른 세 꼭지점 , , 에 놓인 점전하 가 작용하는 전기력을 합 한 것을 구하므로, 구하는 전기력을 풀어쓰면 × × × × N × 가 되므로 전기력의 크기는 × N이다. 그리고 전기력의 방향은 방향이다. (b) (15.10)식의 에, 그리고 , , , , 그리고 ′ nC , nC 을 대입하면 된다. 구하는 ′ ′ 가 된다. 한 항 전기력은 × × × × × ′ N × N이 씩 따로 계산하면 × , 라고 놓으면 , , 을 모두 더한 것 이 구하는 전기력으로 인데, 여기서 괄호안 × N 에 포함된 것은 크기가 1인 단위벡터이다. 즉 이다. 따라서 전기력의 크기는 × N이고 방향은 이다. 05. 원점에 놓은 점전하 10 C이 축 위의 15 cm인 곳에 만드는 전기장을 구하려고 한다. (a) 그곳에 시험전하 1 C을 가지고 왔다. 이 시험전하에 작용하는 전기력을 구하고 그 결 과로부터 그곳에서 전기장의 크기와 방향을 구하라. (b) 시험전하로 C 을 가지고 왔을 때 시험전하에 작용하는 전기력을 구하고 그 결과로 부터 그곳에서 전기장의 크기와 방향을 구하라. × N × N이다. 따라서 전기장은 (a) 전기력은 × × × NC × NC 이고 전기장의 방향은 축 방향을 가리킨다. × × N × N이다. 따라서 전기 (b) 전기력은 × × × NC × NC 이고 전기장의 방향은 축 방향을 가리킨다. 장은 × 이처럼 시험전하를 바꾸어도 전기장은 똑같다. 06. 축 위의 －10 cm에 10 nC이, 그리고 20 cm에 －20 nC이 놓여있다. (a) 축 위에서 전기장이 0인 곳을 구하라. (b) 세 번째 전하 5 nC을 축 위의 어디에 놓으 면 원점의 전기장이 0이 되는가? 3 15장 연습문제 4 제2부 전자기학 (a) 두 점전하가 점 에 만드는 전기장은 이다. 한편 과 는 단위벡터로 과 둘 중 하나의 값을 갖는데, cm 에 놓인 점전하는 nC 이고 cm 에 놓인 점전하는 nC 이므로 전기장이 인 곳은 임을 알 수 있다. 그러므로 이고 이 어야 한다. 이것을 이용하면 를 구하기 위해 풀 식은 이다. 문제에서 준 숫자를 대입하면 이 식은 → → → ∴ ± cm 따 라서 cm 또는 cm 이다. 그런데 cm 이므로 전기장이 인 위치는 cm 이다. (b) 세 번째 전하를 에 놓으면 원점의 전기장은 가 된다. 여기서 처음 두 단위벡터는 , 이다. 한편 과 가 원점에 만드는 전기장이 모두 방향을 향하므로, 는 인 곳에 놓여야 한다. 그러므로 마지막 단위벡터는 가 된다. 그러면 를 구하기 위해 풀어야 할 식은 이고, 문제에서 준 숫자를 대입하면 이 식은 → ∴ cm cm 이 된다. 07. 평면에 중심이 원점이고 반지름이 15 cm인 원의 둘레에 총 전하 C 이 고르게 분포되어있다. (a) 축 위의 5 cm인 곳에 놓인 시험전하 1 nC에 작용하는 전기력을 구하고 (b) 이 점에서 전기장을 구하라. (a) 그림에 보인 반지 중의 조그만 부분에 포함된 전하 과 시험전하 이 사이의 전기력 는 다. 반지에 분포된 전하의 선밀도는 이고, 그래서 그림에 보인 것처럼 축에서 각 이 에서 되는 길이가 되는 부분에 포함된 전하는 이다. 그런 데 에서 까지의 거리는 으로 가 어떤 값이든지 모두 같다. 또 에 놓인 가 에 작용하는 중에서 축에 수직인 방향의 성분은 인 곳에 놓인 다 른 가 에 작용하는 힘에 의해서 상쇄되므로 중에서 축 방향의 성분만 더하면 된다. cos 그래서 의 축 성분은 이다. 여기서 가 축과 만드는 각 의 코사인은 cos 인 것을 이용하였다. 구하는 원의 15장 연습문제 둘레에 분포된 총전하 가 시험전하 에 작용하는 전기력은 이다. 여기서 는 적분하는 동안 변하 지 않는 상수이므로 적분 밖으로 나왔고 인 것을 이용하였다. 이제 문제에서 준 값 을 대입하면 × × × × × × × N × × × N이다. 그리고 이 힘의 방향은 축을 가리킨다. (b) 시험전하 가 받는 전기력 를 시험 양전하 로 나눈 것이 전기장이므로, 구하는 전기장은 × NC × NC 이다. × 08. 그림과 같이 축 위의 와 인 곳에 점전하 와 가 놓여 있다. (a) 축 위의 에 두 점전하가 만드는 전기장을 구 하라. (b) ≫ 즉 ≪ 이라는 조건을 이용하여 의 전기장을 쌍극자 모멘트 에 의해 표현하라. (a) 축 위의 에 놓인 점전하 가 축 위의 에 만드는 전기장 와 에 놓인 점전하 가 에 만드는 전기장 는 그림과 같다. 이 두 전기장의 축 성분은 크기가 같고 방향이 반대이 어서 상쇄되고 그래서 두 점전하가 만드는 전기장은 그림에서 보인 것처럼 방향을 향하 의 축 성분의 두 배와 같아서 sin 와 같다. 그런데 고 그 크기는 , 이므 sin 가 된다. 로 구하는 전기장은 (b) 이제 ≫ 이어서 ≪ 이라는 조건을 이용하면 ≈ ≈ 로 근 사할 수 있으므로 (여기서는 ≪ 이면 성립하는 근사식 ≈ 을 이용하였다), 이 된다. 여기서 두 점전하가 만드는 전기장은 는 축에 놓인 두 점전하의 쌍극자 모멘트이다. 09. 세 점전하 2 nC, 3 nC, －1 nC이 각각 i , i j, i j k에 고정되어 있다. 10 cm일 때 원점을 중심으로 하고 반지름이 20 cm인 구 표면을 지나 가는 전기장 선속을 구하라. 가우스 법칙을 적용하는 문제이다. 가우스 법칙 ⋅ 는 폐곡면에 대한 총 전기장 선속은 폐곡면 내에 포함된 알짜 전하량을 로 나눈 것과 같다는 것이다. 세 점전하 5 15장 연습문제 6 제2부 전자기학 가 놓인 위치인 , , 는 모두 반지름이 cm 인 구 내부에 있으므로, 구하는 전기장 선속은 × × × × N m C N m C 이 다. 10. 선전하 밀도가 로 일정한 무한히 긴 직선 선전하가 주위에 만드는 전기장을 가우스 법칙으 로 구하려고 한다. (a) 대칭성만 이용하여 무한히 긴 직선 선전하 주위의 전기장의 크기와 방향을 예상하라. (b) 선전하로부터 거리가 인 곳의 전기장의 세기가 라고 가정하고 직선 선전하가 중심축 이고 단면의 반지름이 , 그리고 길이가 인 원통의 표면을 가우스 폐곡면으로 정하고, 이 폐곡면을 통과하는 전기장 선속을 구하라. (c) 앞에서 정한 가우스 폐곡면 내부의 총전하를 구하라. (d) (b)와 (c)에서 구한 결과와 가 우스 법칙을 이용하여 균일한 선전하로부터 거리가 인 곳의 전기장을 구하라. (a) 무한히 긴 선에 분포된 균일한 전하가 만드는 전기장의 방향은 어디서나 축에서 수직으로 나 가는 방향이어야만 한다. 그 곳에서 선의 양쪽을 보면 똑같이 때문에 전기장이 어떤 한 쪽으 로 기울어질 수가 없기 때문이다. 전기장의 세기는 거리에 따라 달라질 수 있으나 선전하로부 터 거리가 같은 곳의 전기장의 세기는 모두 같아야 한다. (b) 원통의 위면과 아래면에서 전기장의 방향은 면벡터의 방향과 수직이므로 위면과 아래면을 통 과하는 전기장 선속은 0이다. 따라서 옆면을 통과하는 전기장 선속만 0이 아니다. 옆면에서는 면벡터의 방향과 전기장의 방향이 같으므로 옆면을 통과하는 전기선속 는 전기장의 세기 에 옆면의 넓이 을 곱하여 이다. (c) 선전하 밀도가 인 선전하가 폐곡면에 포함된 길이가 이므로 폐곡면 내부의 총전하 는 이다. (d) 가우스 법칙 ⋅ 에서 좌변의 총 전기장 선속은 이고 폐곡면에 포함된 총전하는 이므로 에서 구하는 전기장은 이다. 11. 면전하 밀도가 로 일정한 무한히 넓은 평면 면전 하가 주위에 만드는 전기장을 가우스 법칙으로 구 하려고 한다. (a) 대칭성만 이용하여 무한히 넓은 평면 면전하 주위의 전기장의 크기와 방향을 예상하라. (b) 면전하로부터 거리가 인 곳의 전기장의 세기 가 라고 가정하고, 면전하가 그림과 같이 가 운데를 지나는 원통의 표면을 가우스 폐곡면으로 정하고, 이 폐곡면을 통과하는 전기장 선속을 구하라. (c) 앞에서 정한 가우스 폐곡면 내부의 총전하를 구하라. (d) (b)와 (c)에서 구한 결과와 가우스 법칙을 이용하여 균일한 면전하로부터 거리가 인 곳 의 전기장을 구하라. (a) 무한히 넓은 균일한 면전하가 만드는 전기장의 방향은 반드시 면과 수직한 방향이어야 한다. 어떤 다른 방향으로 기울어질 이유가 없기 때문이다. 전기장의 세기는 면에서부터 거리에 의 존할 수 있으나, 면에서 거리가 같은 곳의 전기장의 세기는 모두 같아야 한다. 그러므로 면에 서 위쪽으로 거리가 인 곳의 전기장의 세기와, 면에서 아래쪽으로 거리가 인 곳의 전기장의 세기는 같고, 방향은 서로 반대가 되어야 한다. (b) 여기서는 원통의 옆면을 통과하는 전기장의 방향은 옆면의 면벡터와 수직이므로 옆면을 통과 하는 전기장 선속은 0이고 위면과 아래면을 통과하는 전기장 선속만 존재한다. 그래서 원통의 단면의 넓이가 이고 단면이 놓인 곳의 전기장의 세기가 이면 위쪽 면을 통과하는 전기장 15장 연습문제 선속이 이고 아래면을 통과하는 전기장 선속도 이므로 폐곡면을 통과하는 총 전기장 선 속은 이다. (c) 가우스 폐곡면 내부에 표함된 면전하의 넓이가 이므로, 폐곡면 내부에 포함된 균일한 면전 하 에 의한 총전하는 이다. (d) 가우스 법칙 에 (b)와 (c)의 결과를 대입하면 즉 이다. 이 결과 로부터 무한히 넓은 면전하가 만드는 전기장은 면전하로부터의 거리에 의존하지 않고 모든 공간에서 다 똑같음을 알 수 있다. 전기장의 방향은 이면 면전하에서 멀어지는 방향이고 이면 면전하로 가까워지는 방향이다. 12. 반지름이 인 구 내부에 균일한 부피전하 가 분포되어 있을 때, 이 전하분포가 구 내부에 만드는 전기장을 가우스 법칙으로 구하려고 한다. (a) 대칭성만 이용하여 구의 중심으로부터 거리가 인 곳의 전기장의 크기와 방향을 예상하라. (b) 구의 중심에서 거리가 인 곳의 전기장의 세기가 라고 가정하고, 부피전하의 중심과 같 은 중심을 갖는 반지름이 인 구의 표면을 가우스 폐곡면으로 정하고, 이 폐곡면을 통과 하는 전기장 선속을 구하라. (c) 앞에서 정한 가우스 폐곡면 내부의 총전하를 구하라. (d) (b)와 (c)에서 구한 결과와 가우스 법칙을 이용하여 구 내부의 균일한 부피전하의 중심으 로부터 거리가 인 곳의 전기장을 구하라. (a) 전기장을 만드는 전하가 구대칭으로 분포되어 있으므로, 전기장의 방향은 구의 중심을 잇는 지름 방향을 향한다. 즉 구 표면에 수직인 방향이다. 또 구의 중심에서 거리가 같은 곳의 전 기장의 세기는 모두 같다. (b) 구의 중심으로부터 거리가 인 곳의 전기장의 세기를 라고 하면, 부피전하의 중심과 같은 중심을 갖고 반지름이 인 구의 표면을 가우스 폐곡면으로 정할 때, 폐곡면을 지나는 총 전기 장 선속은 전기장의 세기에 구 표면의 넓이를 곱하여 가 된다. (c) 부피전하 밀도가 이므로 에 가우스 폐곡면 내부의 부피 를 곱하면 폐곡면 내부 의 총전하 가 되므로 이 된다. (d) 가우스 법칙 에 (b)와 (c)에서 구한 결과를 대입하면 으로부터 이다. 반지름이 인 곳이 전기장은 13. 그림과 같이 균일한 면전하가 각각 와 인 두 무한한 면전하가 와 에 놓여 있다. (a) 와 (b) , 그리고 (c) 에서 전기장을 구하라. (a) 무한히 넓은 균일한 면전하의 위와 아래에 만들어지는 전기장에 대한 11번 문제의 결과를 이 용한다. 위쪽 전하밀도가 인 면전하가 만드는 전기장 이고 인 부분에서 은 인 부분에서는 이다. 또 아래쪽 전하밀도가 인 면전하가 는 이고 는 인 부분에서는 만드는 전기장 이다. 그러므로 인 인 부분에서는 7 15장 연습문제 8 제2부 전자기학 이다. 부분에서 전기장은 이다. (b) 인 부분에서 전기장은 (c) 인 부분에서 전기장은 14. 반지름이 인 구의 표면에 균일한 면전하 가 분포되어 있다. (a) 인 곳과 (b) 인 곳에서 전기장을 가우스 법칙을 이용하여 구하라. (a) 면전하가 분포된 구의 중심과 같은 중심을 갖고 반지름이 인 구 표면을 가우스 폐곡면 으로 정한다. 그런데 그 가우스 폐곡면 내부에는 전하가 없으므로 이 된 다. 그래서 인 곳에서 전기장은 이다. (b) 이번에는 반지름이 인 구 표면을 가우스 폐곡면으로 정한다. 그러면 폐곡면 내부의 총 전하 는 이므로 로부터 구하는 전기장은 이다. 16장 연습문제 9 16장 연습문제 01. 거리가 인 두 분자 사이의 인력은 거리의 다섯 제곱에 반비례하는 형태로 와 같 이 나타낼 수 있다. 이런 분자들 사이의 힘을 반데발스 힘이라고 한다. (a) 반데발스 힘에 대한 퍼텐셜에너지를 기준점이 라고 하고 구하라. (b) 반데발스 힘에 대한 퍼텐셜에너지의 형태를 가장 간단하게 표현하려면 기준점을 어디로 정하는 것이 좋은가? (a) 보존력 에 대한 퍼텐셜에너지 은 (7.13)식에 의해 로 정의 ⋅ 된다. 문제에서 주어진 반데발스 힘 을 이 식에 대입하면, 구면좌표계에서 sin 이므로 ⋅ 이 되고 따라서 퍼텐셜에너지는 이다. (b) 에서 두 번째 항이 이 되도록 기준점을 정하면 퍼텐셜에너지의 형태가 가장 간단해 진다. 즉 ∞로 정한다. 02. 평면 즉 에 무한히 넓은 균일한 면전하 밀도 가 놓여 있다. 축 위의 점 에서 (a) 전기장 , (b) 그 점에 놓인 점전하 에 작용하는 전기력 , (c) 스칼라 퍼텐셜 , (d) 그 점에 놓인 점전하 의 전기력 퍼텐셜에너지 를 구하라. (a) 무한히 넓은 균일한 면전하가 만드는 전기장은 일정한 세기로 이고 전기장의 방 이다. 향은 면전하에서 멀어지는 쪽을 가리키므로, (b) 전기장 에 전하 가 놓이면 이 전하에 작용하는 전기력은 이다. 그러므로 이 문제에 이고 이다. 서 작용하는 전기력 (c) 무한히 넓은 면전하 에 의한 스칼라 퍼텐셜은 (16.7)식과 같이 전기장을 이용하여 구할 수 있다. 즉 에서 ⋅ , 이고, 기준점을 으로 정하면, ⋅ 이므로 이다. (d) 스칼라 퍼텐셜이 인 곳에 놓인 전하 의 전기력 퍼텐셜에너지는 이므로, 이다. 03. 두 점전하 과 사이의 거리가 일 때 두 점전하의 전기에너지가 라고 하자. (a) 두 점전하 사이의 거리가 이면 두 점전하의 전기에너지는 의 몇 배인가? (b) 두 점전하의 전하량이 모두 과 와 같이 두 배로 되면 두 점전하의 전기에너지는 의 몇 배인가? (a) 두 점전하 과 가 거리 만큼 떨어져 있으면 두 점전하의 전기에너지는 (16.22)식에 의해 ′ 이다. 그런데 이제 ′ 이 되면, 새로운 전기에너지는 ′ 16장 연습문제 10 제2부 전자기학 로 원래 전기에너지의 이다. ′′ (b) ′ , ′ 로 되면 두 점전하의 전기에너지는 ′ × 이다. 04. 전하량이 nC 인 점전하 네 개가 평면에 한 변의 길이가 20 cm인 정사각형의 네 꼭지점 , i , j , i j에 놓여 있다. (a) 이 네 점전하로 이루어진 계의 전기에너지를 구하라. (b) 정사각형의 중심 i j의 스칼라 퍼텐셜을 구하라. (c) i j에 놓인 점전하 ′ nC 의 전기력 퍼텐셜에너지를 구하라. (a) 두 점전하 와 가 거리 만큼 떨어져 있으면 그들 사이의 전기에너지는 (16.32)식에 의 해 이다. 네 개의 점전하로 이루어진 계의 경우 전체 전기에너지는 의 여섯 항으로 이루어져 있고 , , , , , 이며, 이므로, 구하는 전기에너지는 × × × J × J 이다. (b) 여러 점전하가 만드는 스칼라 퍼텐셜은 (16.13)식으로 정하는데, 네 점전하가 모두 같은 크기 인 이고, 스칼라 퍼텐셜을 구하는 정사각형의 중심에서 각 꼭지점까지의 거리는 모두 같은 × × × 이므로 × × V V 이다. (c) 스칼라 퍼텐셜이 인 곳에 전하 ′ 을 가져다 놓으면 그 전하의 전기력 퍼텐셜에너지는 ′이므로, 위의 (b)번 결과를 이용하여 ′ × × J × J 이다. 05. 평면 위에서 원점을 중심으로 하는 반지름이 300 nm인 원의 둘레 위에 총전하 C 이 균일하게 분포되어 있다. (a) 이 선전하의 선전하 밀도를 구하라. (b) 축 위의 400 nm인 점에서 전기장의 세기 와 스칼라 퍼텐셜 를 구하라. (c) 축 위의 400 nm인 점에 놓인 점전하 C 에 작용하는 전기력 와 이 점전하 의 전기력 퍼텐셜에너지 를 구하라. (a) 선 위에만 분포된 선전하 밀도는 총전하를 선의 길이로 나눈 것이 × Cm Cm 이다. 므로 × × × 는 그림과 같은 방향 (b) 선전하의 작은 부분 가 만드는 전기장 을 향하지만 의 축 성분을 제외한 다른 성분은 선전하의 반대 쪽 부분의 ′ 에 의해서 상쇄된다. 그러므로 에 생기는 전기장은 cos cos 16장 연습문제 × × × × NC × NC 이 다 . × 에서 스칼라 퍼텐셜은 × × × V × V 이다. × (c) 전기장이 인 곳에 놓인 전하 에 작용하는 전기력은 이므로, 위의 (b)에서 구한 전 × × × N × N이다. 또 스칼라 퍼텐 기장을 이용하면 셜이 인 곳에 놓인 전하 의 전기력 퍼텐셜에너지는 이므로, 역시 위의 (b)에서 구한 스칼라 퍼텐셜을 이용하면 × × × J × J 이다. 06. 선전하 밀도가 균일하게 인 무한히 긴 선전하가 축을 따라 놓여 있다. 축에서 거리가 인 곳에서 (a) 전기장 , (b) 그 점에 놓인 점전하 에 작용하는 전기력 , (c) 스칼라 퍼텐셜 , (d) 그 점에 놓인 점전하 의 전기력 퍼텐셜에너지 를 구하라. (a) 가우스 법칙을 이용하여 전기장의 세기를 구하면 좋다. 선전하밀도로부터 거리가 인 곳의 전기장의 세기는 모두 이고 전기장의 방향은 방향이므로, 선전하가 중심축이고 단면의 반 지름이 이고 길이가 인 원통 표면을 가우스 폐곡면으로 정하면, 그 가우스 폐곡면을 통과 하는 총 전기장 선속은 이고 가우스 폐곡면 내부의 총전하는 이므로, 가우 스 법칙 에 의해 이다. 그러므로 구하는 전기장의 세기는 이다. 방향까지 포함하면 이다. (b) 전기장이 인 곳에 놓인 전하 에 작용하는 전기력은 이므로, 구하는 전기력은 이다. 이다. 방향까지 포함하면 (c) 스칼라 퍼텐셜은 (16.7)식에 의해서 에 의해 정해집니다. 이 문제에서 ⋅ 가 되고 따 이고, 원통좌표계에서 이므로 ⋅ 라서 스칼라 퍼텐셜은 ln 가 된다. 이 표현에서는 스칼라 퍼 텐셜을 간단하게 만들 값이 따로 존재하지 않아서 그대로 두는 것이 좋다. 아무튼 확인해보 면 ln 와 같이 예상한대로 된다. 이므로, (d) 스칼라 퍼텐셜이 인 곳에 놓인 점전하 의 전기력 퍼텐셜에너지는 구하는 전기력 퍼텐셜에너지는 ln 이다. 07. 원점을 중심으로 하고 반지름이 인 구 표면위에 균일한 면전하 가 분포되어 있다. 중심에 서 거리가 인 곳에서 (a) 전기장 , (b) 그 점에 놓인 점전하 에 작용하는 전기력 , (c) 스칼라 퍼텐셜 , (d) 그 점에 놓인 점전하 의 전기력 퍼텐셜에너지 을 인 때와 인 때로 구분하여 구하라. (a) 중심에서 거리가 인 구 표면 위에서는 어디서나 전기장 이 같다. 그래서 반지름이 인 구 표면을 통과하는 총전기장 선속은 이다. 한편, 만일 이면, 구 표면 내부에 포함된 총전하는 이므로, 가우스 법칙 에 의해 이다. 그러나 만일 11 16장 연습문제 12 제2부 전자기학 이면, 구 표면 내부에 포함된 총전하는 이므로, 가우스 법칙 에 의해 이다. (b) 전기장이 인 곳에 점전하 가 놓이면 그 점전하가 받는 전기력은 이므로, 만일 이면 이고, 만일 이면 이다. (c) 전기장 을 알고 있으면 스칼라 퍼텐셜 은 에 의해서 구할 수 ⋅ 이고 이면 이므로, 스칼라 퍼 있다. 이 문제에서는 이면 텐셜을 다음과 같이 구하면 된다. 구면좌표계에서 sin 이므로 ⋅ 이고, ∞로 정하면, 일 때는 이다. 일 때는 ∞ ∞ ∞ ∞ × 이다. (d) 스칼라 퍼텐셜 에 놓인 점전하 의 전기력 퍼텐셜에너지 은 이다. 일 때 이고, 일 때 이므로, 에 놓인 점전하 의 전기력 퍼텐셜에너지는 일 때는 이고, 일 때는 이다. 08. 그림과 같이 균일한 면전하가 각각 와 인 두 무한한 면전 하가 와 에 놓여 있다. (a) 와 (b) , 그리고 (c) 에서 스칼라 퍼텐셜을 구하라. (a) 이 문제에서는 모든 공간에서 전기장을 먼저 구한 뒤 스칼라 퍼 텐셜을 구하는 것이 더 좋다. 무한히 넓은 균일한 면전하 가 만 드는 전기장은 이므로, 에서는 전기장이 이 이며, 에서는 고, 에서는 전기장이 전기장이 이다. 스칼라 퍼텐셜의 기준점을 로 정하 면, 에서 스칼라 퍼텐셜은 이므로, 적분을 두 ⋅ ⋅에서 구간으로 나누어, × 이다. 이 (b) 에서는, 스칼라 퍼텐셜의 기준점이 이므로, 다. (c) 에서는, 스칼라 퍼텐셜의 기준점이 이므로 × 이다. 09. 중심이 원점이고 반지름이 인 도체구와 역시 중심이 원점이고 반지름이 인 도체 구 껍질은 구형 축전기이다. 구형 축전기의 전기용량을 다음 순서에 의해 구하라. 안쪽의 도체구 16장 연습문제 에는 총전하 가 그리고 바깥 도체 껍질에는 총전하 가 분포되어 있다고 가정한다. (a) 가우스 법칙을 이용하여 에서 전기장 을 구하라. (b) 전기장을 적분하여 과 사이의 전위차 를 구하라. (c) 위에서 얻은 결과를 이용하여 구형 축전기의 전기용량 를 구하라. (d) (c)에서 구한 결과에서 → ∞로 보내면 도체구의 전기용량이 나온다. 반지름이 Å인 도체구의 전기용량을 구하라. (a) 안쪽 도체에 총전하 , 바깥쪽 도체에 총전하 가 대전되어 있다고 가정하고, 반지름이 인 (여기서 ) 구 표면을 가우스 폐곡면으로 정하면, 구 표면을 통과하는 전기장 총 선속은 이고 가우스 폐곡면 내의 총전하는 이므로, 가우스 법칙 으 로부터 이고 그래서 전기장은 이고, 방향은 방향이다. (b) 구형 축전기의 두 도체 사이의 전위차 는 이다. (c) 축전기에 대전된 전하 와 축전기의 두 판 사이의 전위치 그리고 전기용량 사이에는 의 관계가 있으므로, 이 구형 축전기의 전기용량은 이다. (d) →∞이면, 즉 →이면, (c)에서 구한 전기용량 우변의 분자와 분모를 로 나누면 → 이 된다. 그래서 반지름이 Å × m m 인 도 체구의 전기용량은 F × F 이다. × 10. 그림과 같이 중심축이 축이고 단면의 반지름이 이고 길이 가 인 원통 모양의 도체와 역시 중심 축이 축이고 단면의 반지름이 이며 길이가 인 원통 껍질은 원통 축전기이 다. 원통 축전기의 전기용량을 다음 순서에 의해 구하라. 원통 의 길이 에 비해 단면의 반지름이 작으면, 즉 ≪ 이면, 가우스 법칙을 이용하여 두 도체 사이의 전기장을 구할 수 있다. (a) 안쪽 도체에는 가 바깥쪽 도체에는 가 분포되어 있다고 가정하고, 에 서 전기장 를 구하라. (b) 전기장을 적분하여 과 사이의 전위차 를 구하라. (c) 위에서 얻은 결과를 이용하여 원통 축전기의 전기용량 를 구하라. (a) 원통의 길이 이 에 비해 충분히 길면 에서 전기장은 마치 내부 원통의 길 이가 무한히 긴 선전하 분포가 만드는 전기장과 같다. 선전하 밀도는 이고, 반지름이 이고 길이가 인 원통의 표면을 가우스 폐곡면으로 정하면, 그 폐곡면을 통과하는 전기장의 13 16장 연습문제 14 총 선속은 이고 폐곡면 내부의 총전하는 이므로, 가우스 법칙 제2부 전자기학 에 의해서 이므로, 에서 구하는 전기장은 이고 전기장의 방향은 방향이다. (b) 원통형 축전기에서 두 판 사이의 전위차는 ln ln 이다. (c) 축전기에 대전된 전하 와 축전기의 두 판 사이의 전위치 그리고 전기용량 사이에는 의 관계가 있으므로, 이 원통형 축전기의 전기용량은 ln 이다. ln 17장 연습문제 15 17장 연습문제 01. 도선에 일정한 전류 2 mA가 10 min동안 흐르고 있다. (a) 이 동안에 도선의 단면을 지나간 전하량은 모두 몇 C인가? (b) 이 동안에 도선의 단면을 지나간 전자들의 수는 모두 몇 개인가? (a) 도선의 단면을 시간간격 동안 전하 가 지나가면, 이때 도선에 흐르는 전류는 이다. 따라서 구하는 전하량은 mA × min × A × × s C 이다. (b) 전자 하나가 지닌 전하는 × C 이다. 그러므로 전하 에 포함된 전자의 수는 개 × 개이다. × 02. 단면의 반지름이 2.5 mm인 구리 도선에 20 mA의 전류가 흐르고 있다. 구리의 원자량은 63.5 이고 밀도는 kgm 이다. 구리 도선의 자유전자의 수는 구리 원자의 수와 같다고 하자. (a) 도선에 흐르는 전류의 전류밀도를 구하라. (b) 도선의 단위 부피에 포함된 전자의 수인 전자 밀도를 구하라. (c) 전류를 나르는 전자들의 평균 속도를 구하라. (a) 단면의 넓이가 인 도선에 전류 가 흐르면 전류밀도는 전류를 도선 단면의 넓이로 나누어 × 로 구한다. 그래서 Am × Am 이다. × × (b) 원자의 원자량에 g 단위를 붙인 질량에 포함된 물질을 그 원자 1 몰이라 하고, 원자 1 몰에는 아보가드로 수 × 개mol 만큼의 원자가 포함되어 있다. 문제에서 단위 부피에 포함된 전자의 수인 전자의 밀도는 단위 부피에 포함된 구리 원자의 수인 구리 원자의 밀도와 같다고 하였다. 그래서 먼저 단위 부피 m 에 포함된 구리 원자의 수를 구하기 위해 단 위 부피 m 에 포함된 구리의 질량을 구하면 × kg kg이다. 이 × 질량에 포함된 몰 수 는 원자량에 g 단위 붙인 것으로 나누면 mol × mol 이다. 그러므로 이 질량에 포함된 구리 원자 수는 × × × 개mol × 개이다. 그래서 구리 원자 수의 밀도는 총 수를 부피로 × 나누어 개m 이다. 그래서 전자의 수 밀도가 × 개m 이다. (c) 전류밀도 와 전자들의 평균속도 사이에는, (17.7)식에 의해, 인데, 여기서 는 전 자의 전하이고 은 전자의 수 밀도이므로, 구하는 전자들의 평균 속도는 위에서 구한 (a)와 × ms × ms이 (b)에서 얻은 결과를 이용해 × × × 다. 03. 가로와 세로가 모두 2 cm이고 길이가 10 cm인 직육면체 모양의 탄소 막대가 있다. 이 탄소 막대에 길이 방향으로 1 V의 전위차를 걸어주었더니 0.2 A의 전류가 흘렀다. (a) 탄소 막대의 저항을 구하라. (b) 탄소 막대의 짧은 방향으로 1 V의 전위차를 걸어주면 흐르는 전류와 (c) 탄소 막대의 저항을 구하라. (a) 길이 방향으로 저항은 전위차를 전류로 나누어서 이다. (b) 도체의 저항 은 도체의 길이 에 비례하고 단면의 넓이 에 반비례해서 인데, 이 때 비례상수 를 도체를 만드는 물질의 비저항이다. 그래서 이 탄소막대의 비저항 는 (a)에 17장 연습문제 16 제2부 전자기학 × × 서 얻은 결과를 이용하면 m m 이다. 그러므로 탄소 막 ′ 대의 짧은 방향으로 저항 ′ 은 ′ × 이다. 따라서 짧은 방 ′ × ′ 향으로 전위차 ′ 을 걸어주면 흐르는 전류 ′ 은 ′ A A이다. ′ (c) 앞에서 이미 구한 탄소 막대의 짧은 방향의 저항은 ′ 이다. 04. 단면의 넓이가 이고 길이가 인 도선의 저항이 이다. 이 도선의 길이를 (a) 늘여서 로 만들면, 그리고 (b) 줄여서 로 만들면, 도선의 저항은 각각 의 몇 배가 되는가? 단 도선 을 늘이거나 줄이는 동안 도선의 부피는 변하지 않는다. 선의 부피는 이다. 그런데 길이를 ′ 로 바꾸면, 이 도선의 부피는 바뀌지 않으므 로 도선을 늘인 뒤 단면의 넓이는 ′ 이다. 그러므로 도선을 두 배로 늘인 뒤 ′ ′ 새로운 저항은 ′ 이다. 즉 저항은 네 배로 커진다. ′ (a) 먼저 이 도선의 비저항 를 구하면 가 성립한다. 그래서 이다. 그리고 이 도 (b) 길이를 절반으로 줄여서 ′ 가 되면 새로운 단면의 넓이는 ′ 가 ′ ′ 된다. 그러므로 길이를 절반으로 줄인 뒤 새로운 저항은 ′ 이 ′ 된다. 즉 저항은 로 줄어든다. 05. 도선 A의 길이는 이고 단면의 넓이는 이다. 또 다른 도선 B의 길이는 같은 이고 단면의 넓이는 두 배인 이다. 두 도선은 서로 다른 물질로 만들어져 있지만 저항은 같다. 도선 A를 만든 물질의 비저항이 이면 도선 B를 만든 물질의 비저항은 의 몇 배인가? 도선 A에 대해서는 가 성립한다. 도선 B를 만든 물질의 비저항을 ′ 이라고 하면 도 선 B에 대해서는 ′ 가 성립한다. 그러므로 ′ 즉 도선 B를 만든 물질의 비저항은 도선 A를 만든 물질의 비저항의 두 배이다. 06. 길이가 전류가 (a) 이 (b) 이 (c) 이 10 m이고 단면의 반지름이 0.25 mm인 도선에 100 V의 전위차를 걸어주었더니 2 A의 흐른다. 전류에 대한 전류밀도를 구하라. 도선의 저항을 구하라. 도선을 이루는 물질의 비저항을 구하라. (a) 도선에 흐르는 전류의 전류밀도는 전류를 도선 단면의 넓이로 나눈 것과 같으므로, 전류밀도 는 Am × Am 이다. × × (b) 전위차가 인 도선에 전류 가 흐르면, 그 도선의 저항은 이므로 이다. × × × (c) 도선을 이루는 물질의 비저항은 m × 17장 연습문제 17 m이다. 07. 사람은 심장에 전류가 50 mA만 흐르더라도 죽을 수가 있다. 만일 젖은 손으로 전류가 흐르는 도선을 만지면 사람의 몸에도 전류가 흐를 수 있다. 만일 어떤 사람의 양 손 사이의 전기저항 이 kΩ라고 할 때, 이 사람의 양 손 사이의 전위차가 몇 V이면 치명적인가? 양손 사이의 전기저항이 이고, 양손 사이에 전위차가 이면 심장을 통과하는 전류는 이다. 그러므로 치명적인 전위차는 × × × V V 이다. 08. 그림과 같이 길이가 1 m이고 단면의 반지름이 5 cm인 도체에 2 A의 전류가 균일하게 분포되어 흐르는데, 도체의 양 끝 사이의 전위차는 20 V이다. (a) 도체 내부에서 전기장을 구 하라. (b) 도체에 흐르는 전류의 전류밀도를 구하라. (c) 이 도체를 이루는 물질의 전도율을 구하라. (d) 이 도체의 저항을 구하라. (e) 이 도체를 이루는 물질의 비저항을 구하라. (f) (c)에서 구한 전도율과 (e)에서 구한 비저항 사이의 관계를 구하라. (a) 균일한 전기장 에서 전기장 방향으로 거리가 인 두 위치 사이의 전위차가 이면 이다. 그러므로 도체 내부의 전기장은 Vm Vm 이다. Am (b) 전류밀도 는 흐르는 전류 를 단면의 넓이 로 나누어 × × Am 이다. (c) 도체에 흐르는 전류밀도 는 도체 내부의 전기장 에 비례해서 라고 쓸 수가 있는데, 이때 비례상수 를 이 도체의 전도율이라고 한다. 그러므로 위의 (a)와 (b)의 결과를 이용하 면, 이 도체의 전도율은 m m 이다. (d) 도체의 전위차가 일 때 흐르는 전류가 이면 이 도체의 저항은 이다. 그래서 이다. (e) 도체의 저항 과 비저항 의 관계 롤부터, 비저항은 × × × m × m 이다. (f) 본문의 (17.15)식에 의하면 전도율 와 비저항 사이에는 의 관계가 있다. 여기에 (c)에서 얻은 결과 m 를 대입하면, m × m 로 (e)의 결과와 일치한다. 09. 10Ω짜리 저항 4개가 있다. 이 네 저항들을 적절히 연결하여 합성저항이 25Ω가 되도록 회 로를 만들어라. 짜리 저항 두 개를 각각 직렬로 연결하면 가 되고 역시 짜리 저항 두 개를 병 렬로 연결하면 가 된다. 마지막으로 이 두 개의 세트를 직렬로 연결하면 결과적으로 를 얻을 수 있다. 10. 그림의 가와 나의 회로에 연결된 저항은 모두 5.0Ω씩이며 기전력은 모두 20 V씩이다. (a) 가의 스위치 S를 닫기 전 저항 에 흐르는 전류를 구하라. (b) 가의 스위치 S를 닫은 후 저항 과 에 흐르는 전류를 구하라. 17장 연습문제 18 제2부 전자기학 (c) 가의 스위치 S를 닫기 전과 후에 저항 의 양끝 사이의 전위차는 어떻게 변 하였는가? (d) 나의 스위치 를 닫기 전 저항 에 흐 르는 전류를 구하라. (e) 나의 스위치 S를 닫은 후 저항 과 에 흐르는 전류를 구하라. (f) 나의 스위치 S를 닫기 전과 후에 저항 의 양끝 사이의 전위차는 어떻게 변하였는가? (a) 가의 저항 에 걸리는 전위차가 V 이므로 저항 에 흐르는 전류는 A A이다. (b) 가의 스위치 를 닫은 뒤에도 두 저항 과 에 걸리는 전위차는 모두 V 이므로, 두 저항에 흐르는 전류도 모두 A씩이다. (c) 가의 스위치 를 닫기 전이나 후나 에 걸리는 전위차는 바뀌지 않고 같다. (d) 나의 스위치 를 닫기 전 회로에 연결된 두 저항의 합성 저항은 이므로, 회로에 흐르는 전류는 A A이다. 그러므로 저항 에 흐르는 전류도 A이 다. (e) 나의 스위치 를 닫은 뒤 과 의 합성 저항은 이고, 회로 전체의 합성 저항은 이므로, 회로 전체에 흐르는 전류는 A A이다. 이 전체 전류가 과 에 똑같이 나누어 흐르므로, 에 흐르는 전류 과 에 흐르는 전류 는 A이다. (f) 나의 저항 에 전류 이 흐를 때, 이 저항 양 끝 사이의 전위차는 이므로, 스위치 를 닫기 전에 저항 을 흐르는 전류는, (d)의 결과에 의해, A이고, 스위치 를 닫은 후에 저항 을 흐르는 전류는, (e)의 결과에 의해, ′ A이다. 그러므로 스위치 를 닫기 전 구하는 전위차는 × A A이고, 스위치 를 닫은 뒤 구하는 전위 차는 ′ ′ × V V 이다. 11. 그림에서 kΩ, kΩ, kΩ이고 회로에 연결 된 기전력은 12 V이다. 회로의 A, B, C, D에서의 전위를 각각 , , , 라고 할 때, (a) , (b) , (c) , (d) 를 구하라. (e) 에 흐르는 전류를 구 하라. (a) 그림처럼 회로 전체를 흐르는 전류는 , AB를 흐르는 전류는 , BD를 흐르는 전류는 라고 하자. 그러면 키르히호프 제1법 칙에 의해 AC를 흐르는 전류는 , CD를 흐르는 전류는 , 그리고 CB를 흐르는 전류 는 이다. 기전력 ℰ V 을 포함한 ABD를 연결한 외부 회로에 키르히호프 제2법칙을 적용하면 ℰ (1)이 되고, 회로 ABCA에 제2법칙을 적용하면 (2), 또 회로 CBDC에 제2법칙을 적용하면 (3)이다. (1), (2), (3)식에 k, k, k, ℰ V 를 대입하면 (1) ′ , (2) ′ , (3) ′ 이 되고 이 세 식을 연립으 로 풀면 mA, mA, mA이다. 그러므로 A점과 B점 사이의 전위차는 17장 연습문제 19 × × × V V 이다. (b) B와 C 사이의 전위차는 × × × V V 이 다. (c) C와 D 사이의 전위차는 × × × V V 이 다. (d) D와 A 사이의 전위차 는, 전체 회로에 키르히호프 제2법칙을 적용해서 ℰ가 된다. 즉 ℰ V 이다. (e) 를 흐르는 전류는 이미 구한 mA mA이다. 이것은 B에서 C로 mA의 전류가 흐름을 의미한다. 12. 그림의 회로에 연결된 기전력은 12 V이고 축전기의 전기용 량은 F , F, F이 다. (a) 이 회로의 전체 합성 전기용량을 구하라. (b) 이 회로에 저장된 전하를 구하라. (c) 축전기 의 양끝 사이의 전위차와 이 축전기에 저장 된 전하를 구하라. (a) 먼저 직렬로 연결된 와 의 합성 전기용량을 구하면 이므로 ′ ′ F 이다. 이번에는 병렬로 연결된 ′ 과 의 합성 전기용량을 구하면 ′ ′ 이므로 ′ F이다. 이제 병렬로 연결된 와 ′ 의 합성 전기용량 ′ ′ 이므로 ′ F 이고 역시 병렬로 연결된 과 의 합성 전기용 량 ′ 이므로 ′ F 이다. 마지막으로 직결로 연결된 ′ 과 ′ 의 합 성 전기용량을 구하면 이므로 ′ F 이다. ′ ′ ′ (b) 전기용량이 인 축전기의 전위차가 이면 축전기에 대전된 전하는 이므로, 이 회로 에 저장된 전하는 ′ × × C × C C 이다. (c) 직렬로 연결된 두 축전기 ′ 과 ′ 에 저장된 전하는 모두 같은 ′ ′ F이 ′ × V 다. 그러므로 과 이 병렬로 연결된 ′ 양단의 전위차는 ′ ′ × V 이다. 그리고 과 은 병렬로 연결되어 있으므로 두 축전기 양단에 걸린 전위차는 ′ V 로 같다. 그리고 에 대전된 전하는 × × F × C F이다. 13. 그림과 같이 전하 가 대전된 전기용량이 인 축전기와 전기 저항이 인 저항이 연결된 RC 회로의 스위치를 닫으면 축전 기가 방전되면서 전류 가 흐른다. (a) 이 회로에 대한 키르히호프 고리법칙을 쓰라. (b) (a)에서 구한 방정식을 풀어서 회로에 흐르는 전류 를 시 간의 함수로 구하라. (c) F 이고 Ω이라면 스위치를 닫은 후 축전기 17장 연습문제 20 제2부 전자기학 에 남아 있는 전하가 가 될 때까지 걸리는 시간을 구하라. (a) 이 회로에는 기전력이 연결되어 있지 않아 ℰ 으므로, 키르히호프 고리법칙은 (17.26)식 에서 이다. (b) 먼저 회로에 흐르는 전류 는 축전기에 대전된 전하 가 시간에 대해 변하는 비율과 같아서 임을 이용하면 풀어야 할 식은 이다. 양변을 로 곱하고 적분하는데, 일 때 축전기에 대전된 전하가 이면 인데, 좌변의 적분 은 ln 이므로 ln 로부터 를 얻는다. 이 식을 시간에 대해 미분하면 회로에 흐르는 전류는 시간의 함수로 가 된다. 로부터 가 될 때까지 걸리는 시간은 로 부터 × × s s이다. 이 시간을 이 회로의 시간상수라고 한다. (c) 위에서 구한 18장 연습문제 21 18장 연습문제 인 곳의 작은 부피 ′ 에 포함된 전하 ′ ′ 이 01. 전하밀도가 일 때, 위치벡터가 ′ ′ 곳에 만드는 전기장 위치벡터가 인 은 쿨롱 법칙에 의해 으 ′ ′ 인 곳의 작은 부피 ′ 로 주어진다. 이것을 이용하여, 전류밀도가 일 때, 위치벡터가 ′ 곳에 만드는 자기장 에 를 지나가는 전류 가 위치벡터가 인 대한 비오-사바르 법 칙을 쓰려고 한다. (a) 쿨롱 법칙의 비례상수 를 어떻게 바꾸어 써야 하는가? (b) 작은 선분 를 지나가는 전류 를 전류밀도로 표현하라. (c) 쿨롱 법칙의 어느 부분을 추가로 수정하여야 올바른 비오-사바르 법칙이 되는가? (a) 전기현상과 관련된 법칙에 나오는 비례상수 중에서 유전율 을 투자율의 역수 로 바꿔 쓰면 된다. 즉 를 로 바꿔쓴다. (b) 전류 는 전류밀도 라고 쓸 이다. 한편 에서 에 전류 가 흐르는 단면 를 곱한 것과 같다. 그래서 를 수 있는데, 여기서 는 단면의 넓이가 이고 길이가 인 부분의 부피 라고 쓴다. 의 방향은 전류밀도 의 방향과 같아서, 곳에 만드는 전기장 (c) 로 주어지는 전하밀도 분포가 위치가 인 은 쿨롱 법칙에 의해 ′ ′ 대신 자기장 ′ 이다. 이 식에서 전기장 로 바 ′ ′ 대신에 전류밀도 ′ 로 꿔 쓰고, 비례상수 대신에 로 바꿔쓰고, 전하밀도 ′ ′ ′ ′ × 라고 쓰면 올바른 비오-사바르 법칙이 바꿔 쓴 다음 ′ ′ 된다. 여기서 와 ′ 이 벡터이기 때문에 그 사이에 벡터곱을 표시하는 ×를 삽입한 것이 쿨롱 법칙을 추가로 수정한 것이다. 02. 축을 따라 2 A의 전류가 축의 방향으로 흐른다. 축 위의 10 cm인 곳을 흐르는 전류 중에서 1 mm에 해당하는 부분이 축 위의 20 cm인 곳에 만드는 자기장의 세기와 방향을 구하라. ′ ′ ′ × 를 이용하자. 이 문제에서 자기장의 세기를 비오-사바르 법칙 ′ ′ 구하는 위치는 m , 자기장의 원인이 있는 위치는 ′ m 이고, 구하는 자기장의 원인이 되는 전류요소는 ′ A × × m , NA 이므로, 구하 ′ ′ ′ × × × T이다. 이 는 자기장은 ′ ′ , × 가 되므로 것을 더 계산하면 × × × T × T이다. 03. 단면의 반지름이 인 원통 모양의 매우 긴 도선에 전류 가 단면에 고르게 분포되어 흐른다. (a) 이 도선에 흐르는 전류의 전류밀도를 구하라. (b) 암페어 법칙을 이용하여 도선을 이루는 원통의 중심축에서 거리가 인 도선 내부의 한 점에서 자기장의 세기를 구하라. (c) 역시 암페어 법칙을 이용하여 원통의 중심축에서 거리가 인 도선 외부의 한 점에서 18장 연습문제 22 제2부 전자기학 자기장의 세기를 구하라. (a) 전류밀도는 전류를 단면의 넓이로 나누어 이다. (b) 원통의 중심축에서 거리가 인 원을 암페어 법칙을 적용할 폐곡선으로 정하자. 암페어 법칙 ⋅ 이고 우변 면적분은 ⋅ ⋅ 의 좌변 선적분은 ⋅ × 이므로, 암페어 법칙에 대입하면 에서 구하는 자기장 은 이다. (c) 이번에는 중심축에서 거리가 인 원을 암페어 법칙을 적용할 폐곡선으로 정하면, 암페어 이고 우변의 면적분은 ⋅ ⋅ 이므로, 법칙의 좌변의 선적분은 역시 암페어 법칙에 대입하면 로부터 구하는 자기장은 이다. 04. 다음 그림은 중심에 반지름이 인 원통모양의 도체와 바깥에 안쪽 반 지름이 이고 바깥쪽 반지름이 인 두께를 갖는 원통 껍질 모양의 도 체로 이루어진 동축 케이블의 단면이다. 안쪽 도체에는 지면에서 나 오는 방향으로 전류 가 그리고 바깥쪽 도체에는 지면으로 들어가는 방향으로 전류 가 단면에 고르게 분포되어 흐른다. (a) 안쪽 도체와 바깥쪽 도체에서 전류밀도를 구하라. 암페어 법칙을 이용하여 (b) 일 때, (c) 일 때, (d) 일 때, (e) 일 때로 나누어 자기장의 세기를 구하라. (f) 앞에서 구한 자기장의 세기 을 중심축에서의 거리 의 함수로 그래프로 그려라. (a) 지면에서 나오는 방향을 로 정하면, 안쪽 도체의 전류밀도는 전류를 안쪽 도체 단면의 넓이 로 나누어 이고, 바깥쪽 도체의 전류밀도는 전류를 바깥쪽 도체 단면의 넓이로 나 누어 이다. (b) 일 때, 이고 ⋅ ⋅ 이므로, 이것을 암페어 법칙에 대입 하면 로부터 이다. (c) 일 때, 이고 ⋅ ⋅ 이므로, 이것을 암페어 법칙에 대입하 면 로부터 이다. 일 (d) 때, 이고 ⋅ ⋅ 이 므 로, 이것을 암페어 법칙에 대입하면 으로부터 이다. (f) 에 대한 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 18장 연습문제 05. 서로 평행한 매우 긴 도선 두 개가 하나는 축을 따라, 다른 하나는 축 위의 10 cm인 곳을 지나가도록 놓여 있다. 두 도선에는 모 두 방향을 향하는 같은 방향으로 10 A의 전류가 흐른다. 이 두 도선에 흐르는 전류가 (a) 20 cm, 0, 0)과 (b) ( 0, 10 cm, 0)에 만드는 자기장의 세기를 구하라. (a) 전류 가 흐르는 무한히 긴 도선에서 거리가 인 곳에 생기는 자기 장의 세기를 암페어 법칙으로 구하면 쉽게 임을 알 수 있다. 이 자기장의 방향은 전류를 중심으로 동심원을 이루는데, 자기장의 방향으로 오른나사를 돌리면 나사가 진행하는 방향이 전류의 방향이 된다. 그래서 그림에서 축을 따라 흐르는 이 cm 에 만드는 자기장의 세기는 를 향한다. 또 cm 에 × × T × T이고 방향은 축에 평행하게 놓인 가 cm 에 만드는 자기장의 세기는 × × T × T이고 방향은 역시 를 향한다. 그러므로 cm 에 생기는 자기장은 × T이다. (b) 그림에서 직선전류 이 cm 에 만드는 자기 를 향한다. 그 장의 세기는 ′ × T이고 방향은 리고 cm , , 를 지나는 가 cm, × 에 만드는 자기장의 세기는 ′ × T × T이고, 방향은 그림에 표시한 것처 를 향한다. 그러므로 cm 에 생기는 자기장은 럼 ′ ′ ′ T T으로, 이 자기장의 × 를 향한다. 세기는 ′ × T × T이고 방향은 i 로 움직이는 양성자가 자기장이 j 로 일정한 영역으로 들어갔다. 자기장 06. 속도가 의 세기는 2 T이고 양성자가 받는 자기력의 세기가 × N이다. (a) 양성자의 처음 속력 를 구하라. (b) 이 양성자는 어떤 평면에서 원운동을 하는가? (c) 이 양성자가 그리는 원의 반지름을 구하라. (d) 이 양성자가 원을 한 바퀴 회전하는데 걸리는 시간을 구하라. 에서 전하 가 속도 로 움직일 때 받는 자기력 은 (18.12)식에 의해서 (a) 균일한 자기장 × 로 주어진다. 이 문제에서는 × 이므로, 구하는 × ms × ms이다. 양성자의 속력은 × × 에 수직인 방향으로 속도 로 들어가면 전하에 작용하는 자기력은 (b) 전하 가 균일한 자기장 × 이어서 자기장 에 수직한 면 위에서 원운동을 한다. 이 문제에서 가 축 방 향이므로, 전하는 축에 수직한 평면에서 원운동을 한다. 23 18장 연습문제 24 제2부 전자기학 (c) 양성자는 뉴턴의 운동방정식 를 만족하는데, 좌변의 힘에는 자기장에서 양성자가 받 는 자기력 를 대입하고 우변의 가속도에는 반지름이 이고 속력이 인 등속원운동의 구심가속도 을 대입한다. 그러면 로부터, 원의 반지름은 × × × m m 이다. × × × × s (d) 양성자가 원을 한바퀴 회전하는데 걸리는 시간인 주기는 × × s이다. 07. 적도에서 지자기의 자기력선은 남쪽에서 북쪽을 향한다. 적도에서 움직이는 전자가 (a) 동쪽 으로 움직일 때, (b) 서쪽으로 움직일 때, (c) 동북쪽으로 움직일 때, (d) 연직 윗방향으로 움 직일 때, 전자가 받는 자기력의 방향을 구하라. (a) 적도에서 동쪽을 방향, 북쪽을 방향, 그리고 연직 위쪽을 방향으로 좌표계를 정하 에서 속도 로 움직이면 받는 자기력은 × 이다. 문제에서 자 자. 전하 가 자기장 이고, 전자의 전하는 이므로, 전자의 속도가 이면, 전자가 받는 자 기장은 기력은 × 이다. 즉 자기력은 연직 아래쪽 방향을 향한다. 이면 전자가 받는 자기력은 × 로 연직 (b) 전자의 속도가 위쪽을 향한다. (c) 전자의 속도가 이면, 전자가 받는 자기력은 × 이므 로 자기력은 연직 아래로 내려오는 방향을 향한다. 이면, 전자가 받는 자기력은 × 로 동쪽을 향한 (d) 전자의 속도가 다. 08. 전자가 1 kV의 전위차에 의해 가속된 뒤에 세기가 2 T로 일정한 균일한 자기장의 영역으로 들어간다. (a) 자기장에서 전자의 속력을 구하라. (b) 전자가 자기장 영역으로 진입할 때 전자의 속도의 방향과 자기장의 방향 사이의 사잇각 이 30°일 때, 전자가 받는 자기력의 크기를 구하라. (c) 이 전자가 자기장 내에서 그리는 원의 반지름을 구하라. (a) 전하가 인 전자가 전위차 kV 에서 가속되면 전자의 운동에너지는 × × × J × J 이다. 이것이 운동에너지와 같아서 이 × × ms × ms이다. 므로, 구하는 전자의 속력은 × × 이므로, 자기력의 크기는 sin × (b) 전자가 받는 자기력은 × × × × sin N × N이다. (c) 전자에게 자기력은 의 좌변의 구심력으로 작용하고, 반지름이 인 원을 속력 로 회 전하면 구심가속도는 이므로, 로부터, 구하는 원의 반지름은 × × × m × m 이다. × k 인 속도로 들어간다. i 와 자기장 j 인 곳으로 09. 양성자가 균일한 전기장 (a) 1 N/C이고 1 T일 때, 양성자가 받는 전기력과 자기력의 크기가 같다면 양성자 의 속력 를 구하라. 18장 연습문제 25 (b) 양성자는 이 전기장과 자기장 내에서 어떤 경로를 그리며 움직이는가? 이고, 균일한 자기장 (a) 전하가 인 양성자가 균일한 전기장 에서 받는 전기력은 에 × 이다. 이 문제에서는, 양성자의 서 속도 로 움직이면 양성자가 받는 자기력은 이고, 양성자에 작용하는 자기력 전하는 이므로, 양성자에 작용하는 전기력은 × 이다. 그런데 전기력의 크기와 자기력의 크기가 같으므로 은 가 된다. 그러므로 구하는 양성자의 속력은 ms ms이다. 와 자기력 의 크기가 같다면 양성자에 작용하는 전기력과 자 (b) 전기력 를 그대로 유지하며 등속도 운동을 기력의 합력은 0이다. 그러면 양성자는 원래 속도 한다. i 로 균일한 자기장 내에서 반지름이 인 원을 그리 10. 전하가 이고 질량이 인 입자가 며 속력이 인 등속 원운동을 한다. 동일한 자기장에서 전하가 이고 질량이 인 입자가 같은 속력 로 등속 원운동을 한다고 할 때 그리는 원의 반지름은 의 몇 배인가? 이 입자에 구심력으로 작용하는 자기력은 이고, 이 입자의 구심가속도는 이 므로, 에 자기력과 구심가속도를 대입하면 이 되므로, 원의 반지름은 가 된다. 이제, 전기장은 동일한 ′ 인데, 전하는 ′ 이고 질량은 ′ ′′ 인 입자가 동일한 속력 ′ 으로 원운동한다면, 이 원의 반지름은 ′ ′ ′ 로 반지름은 두 배로 커진다. 11. 전자가 자기장이 T로 균일한 공간에서 등속 원운동을 한다. (a) 이 전자의 사이클로트 론 진동수를 구하라. 이 전자의 속력이 (b) 일 때와 (c) 일 때 등속 원운동하 는 원의 반지름을 구하라. (a) 전자에 작용하는 구심력은 이고 구심가속도는 이어서, 이것을 에 대입 하면 이 성립하고 그래서 전자가 원운동하는 원의 반지름은 가 된다. 그 러므로 전자가 원을 한 바퀴 도는데 걸리는 시간인 주기는 이고, 주기의 역 수인 사이클로트론 진동수는 이 된다. 전자의 전하는 × C 이고 전자의 질량은 × kg이므로, 자기장의 세기가 T이면 사이클로트론 진동수는 × × Hz × Hz 이다. × × × × × × × m (b) 전자의 속도가 이면, 구하는 반지름은 × × × m 이다. × × × × m (c) 전자의 속도가 이면, 구하는 반지름은 × × × m 이다. 18장 연습문제 26 제2부 전자기학 곳의 스칼라 퍼텐셜은 쿨롱 법칙에 의해서 12. 전하밀도가 인 공간에서 위치벡터가 인 ′ ′ 로 주어진다. 이것으로부터 전류밀도가 인 공간에서 위치벡터 ′ 곳의 벡터 퍼텐셜에 대한 식을 유추하려고 한다. 이 식의 좌변에 나오는 스칼라 퍼텐 가 인 을 셜 의 자리에 벡터 퍼텐셜 쓴다면, (a) 우변의 비례상수 자리에는 무엇 자리에는 무엇을 써야 하는가? (c) 이렇게 벡터 을 써야 하는가? (b) 우변의 전하밀도 ′ 퍼텐셜을 구하면, 벡터 퍼텐셜로부터 자기장은 어떻게 구하는가? (a) 자기현상에 대한 공식에서 투자율 는, 전기현상에 대한 공식에 나오는 유전율 의 자리에 로 대입한다. 즉 대신 를 대입한다. 대신에 자기장의 원인인 전류밀도 ′ 를 쓴다. (b) 전기장의 원인인 전하밀도 ′ ′ (c) 전하밀도 이 만드는 스칼라 퍼텐셜 은 쿨롱 법칙에 의해 ′ ′ 로 구하는데, 전류밀도 이 만드는 벡터 퍼텐셜 은 비오-사바르 법칙에 의해 ′ ′ 로 구한다. 그리고 스칼라 퍼텐셜 로부터 전기장은 ′ ∇× ∇ 로 로부터 로 구하지만, 벡터 퍼텐셜 자기장은 구한다. 13. 벡터 퍼텐셜이 로 주어지는 공간에서 자기장 을 구하라. 벡터 퍼텐셜 를 알면 자기장은 ∇ × 가 된다. 그래서 이 문제에서 자기장은 이다. 14. 반지름이 cm 인 원형 회로에 A의 전류가 흐른다. 이 회로의 자기쌍극자 모멘 트를 구하라. 넓이가 인 원형회로에 전류 가 흐르면, 이 회로는 자기쌍극자로 행동하며, 이 자기쌍극자 의 모멘트 는 (18.49)식에 의해 이다. 그러므로 이 문제의 자기쌍극자 모멘트 크기는 × × × × A m × A m 이다. 19장 연습문제 27 19장 연습문제 01. 원형 도선이 놓여있는 곳에 회로의 면에 수직한 방향으로 세기가 2 T인 균일한 자기장이 형성 되어 있다. 원형 도선의 중심은 일정하게 유지하면서 반지름이 5 s동안에 5 m에서부터 10 m 까지 일정한 비율로 증가한다. 이 도선에는 5Ω의 저항이 연결되어 있다. 반지름이 증가하는 동안, m 인 순간에, 회로에 유도된 (a) 유도 기전력과 (b) 유도 전류의 크기를 구하라. (a) 폐회로를 통과하는 자기력선속 가 변하면 그 회로에는 ℰ 로 주어지는 유도기전 력이 유도된다. 이 문제에서 반지름이 인 원형 도선을 통과하는 자기장선속은 인 데, 원형회로의 반지름이 ms ms의 비율로 증가한다. 그러므로 m 에 도달하는 순간 회로에 유도된 기전력의 크기는 ℰ × × × × V V 이다. (b) 이 회로의 저항이 이므로, 회로에 흐르는 유도전류의 크기는 ℰ A A이다. 02. 원형 도선이 놓여있는 곳에 회로의 면에 수직한 방향과 30°를 이루는 방향으로 세기가 2 T인 균일한 자기장이 형성되어 있다. 원형 도선의 중심은 일정하게 유지하면서 반지름이 5 s동안 에 5 m에서부터 10 m까지 일정한 비율로 증가한다. 이 도선에는 5Ω의 저항이 연결되어 있 다. 반지름이 증가하는 동안, m 인 순간에, 회로에 유도된 (a) 유도 기전력과 (b) 유도 전 류의 크기를 구하라. (a) 폐회로를 통과하는 자기력선속 가 변하면 그 회로에는 ℰ 로 주어지는 유도기전 라고 쓰고 균일 력이 유도된다. 이 문제에서는 반지름이 인 원형회로로 둘러싸인 면벡터를 라고 하면, 와 의 사이각이 일 때, 원형회로를 통과하는 자기장선속은 한 자기장을 ⋅ cos이다. 또 회로의 반지름이 이면 이므로 cos이다. 그 러면 여기서 변하는 것은 뿐이므로, 회로에 유도되는 유도 기전력은 ℰ cos이고, 이 원형회로의 반지름이 ms ms의 비율로 증가한다. 그러므로 m 에 도달하는 순간 유도 기전력의 크기는 ℰ cos × × × × × cos V V 이다. (b) 이 회로의 저항이 이므로, 회로에 흐르는 유도전류의 크기는 ℰ A A이다. 03. 한 변의 길이가 2 cm인 정사각형 형태의 회로가 놓여 있는 면에 수직한 방향으로 자기장이 형성되어 있다. 이 회로의 저항은 1.5Ω이다. 이제 자기장의 세기가 2 s에 걸쳐서 2 T에서 10 T까지 일정한 비율로 증가할 때, (a) 회로에 유도되는 유도 기전력과 (b) 유도 전류의 크기 를 구하라. (a) 정사각형 회로에서 회로로 둘러싸인 넓이는 × m × m 이다. 그리고 세기가 인 자기장이 회로면에 수직하게 형성되어 있으므로, 회로를 통과하는 자기장 선속은 이다. 이 자기장의 세기가 변화하는 비율은 Ts Ts이다. 이때 회 19장 연습문제 28 로에 유도되는 기전력은 ℰ 이므로, 유도기전력의 크기는 ℰ 제2부 전자기학 × × V × V 이다. (b) 회로의 저항은 이므로, 회로에 흐르는 유도전류의 크기는 ℰ × A × A이다. 04. 그림과 같이 두 개의 동일한 원형 도선이 축이 일치하도록 평행하게 놓여 있다. 왼쪽 원형 회로에 그림에 표시한 방향으로 전류가 일정 한 비율로 증가하며 흐르고 있다. 오른쪽 원형 회로에 흐르는 유도 전류는 어느 방향으로 흐르는가? 왼쪽 회로에 흐르는 전류로 인해서 생기는 오른쪽 원형 회로 내부에서의 자기장의 방향은 왼 쪽을 향하고 그 세기는 점점 증가하고 있다. 그러므로 오른쪽 원형 회로에 유도되는 전류에 의해 오른쪽 원형 회로 내부에 생기는 자기장의 방향은 오른쪽을 향해야 한다. 즉 오른쪽 원 형 회로에 흐르는 전류의 방향은 왼쪽 원형 회로에 흐르는 전류와 반대방향이다. 05. 그림과 같이 두 개의 동일한 원형 도선이 각 원형 도선의 중심을 지나는 두 축이 수직이 되도록 놓여 있다. 왼쪽 원 형 회로에 그림에 표시한 방향으로 전류가 일정한 비율로 증가하며 흐르고 있다. 오른쪽 원형 회로에 흐르는 유도 전류는 어느 방향으로 흐르는가? 왼쪽 원형 회로에 흐르는 전류가 만드는 자기장이 오른쪽 원형 회로 내부를 통과하는 선속은 0이어서 왼쪽 원형회로에 흐르는 전류의 세기가 바뀌더라도 오른쪽 원형회로에 유도되는 전 류는 없다. 06. 단위길이당 도선이 번 감긴 솔레노이드에 전류 가 흐를 때 솔레노이드 내부의 자기장을 구하자. (a) 그림과 같이 솔레노이드에 평행한 변의 길이가 인 직 사각형 모양의 폐곡선을 만들고, 그 내부를 통과하는 총 전류를 구하라. (b) 솔레노이드 내부에 생기는 자기장의 세기는 일정한 라고 하고, 앞에서 만든 폐곡선을 ⋅을 구하라. 따라 자기장의 선적분 (c) 암페어 법칙을 적용하여 솔레노이드 내부의 자기장의 세기 를 구하라. (a) 폐곡선 내부에 포함된 도선의 수는 이고, 도선 한 개에 전류 가 흐르므로 폐곡선 내 부에 흐르는 총 전류는 이다. ⋅ ⋅이다. 그 (b) 주어진 폐곡선에 대한 자기장의 선적분은 런데 솔레노이드 외부에서는 자기장의 세기가 0이고 솔레노이드 내부에서는 자기장의 방향이 ⋅ 이고, 와 에 해당하는 부분은 자기장의 방향 ⋅ ⋅ 이고, 에 해당하는 부분은 자기장 과 선분의 방향이 수직이어서 ⋅ 이다. 따라서 ⋅ 이다. 이 0이어서 오른쪽을 향한다. 그러므로 (c) 암페어 법칙 ⋅ 에 위의 결과를 대입하면 이므로 이다. 07. 인덕턴스가 75 mH인 솔레노이드와 전기저항이 10Ω인 저항이 기전력이 20 V인 직류 전원에 19장 연습문제 29 직렬로 연결되었다. (a) 오래 기다린 후 이 회로에 흐르는 전류를 구하라. (b) 솔레노이드에 저장된 자기에너지를 구하라. (a) 솔레노이드와 전기저항이 연결된 RL회로의 스위치를 닫고 오래 기다리면 회로에는 일정한 전류가 흐르고 솔레노이드는 없는 것이나 마찬가지가 된다. 따라서 회로에 흐르는 전류는 기 ℰ 전력을 전기저항으로 나누어 A A이다. (b) 인덕턴스가 인 인덕터에 전류 가 흐르면 인덕터에 자기장의 형태로 저장된 자기에너지는 (19.24)식에 의해 이므로, 구하는 자기에너지는 × × × J J 이다. 08. 넓이가 cm 인 두 도체판이 간격 5 mm만큼 떨어져서 평행하게 놓인 평행판 축전기 가 전위차 16 V로 충전되어 있다. (a) 두 도체판 사이의 전기장의 세기 는 몇 N/C인가? (b) 두 도체판 사이에 저장되어 있는 전기에너지 밀도는 몇 Jm 인가? (c) (b)에서 구한 전기에너지 밀도에 평행판 축전기 내부의 부피를 곱하여 이 축전기에 저장 된 전기에너지가 몇 J인지 구하라. (d) 평행판 축전기의 넓이와 간격을 이용하여 평행판 축전기의 전기용량이 몇 F인지 계산하라. (e) 전기용량이 인 축전기의 전위차가 일 때 축전기에 저장된 전기에너지는 인 것을 이용하여 이 평행판 축전기에 저장된 전기에너지는 몇 J 인지 구하라. (f) (c)와 (e)에서 구한 결과가 일치하는지 확인하라. (a) 평행판 축전기 내부에 균일한 전기장 가 있을 때 전기장 방향으로 거리가 인 두 위치 사이 의 전위차는 이다. 문제에서 V , × m 이므로, 전기장의 세기는 NC NC 이다. × (b) 전기장 에 포함되어 있는 전기에너지 밀도는 (19.19)식에 의해 이므로, 구하는 Jm × Jm 이다. 전기에너지 밀도는 × × × (c) 두 도체판 사이에 저장되어 있는 전기에너지는 (b)에서 구한 전기에너지 밀도 에 도체판 사이의 부피인 를 곱해서 × × × × × J × J 이다. (d) 판의 넓이가 이고 간격이 인 평행판 축전기의 전기용량은 (19.17)식에 의해 이 다. 그러므로 이 문제에 나오는 cm 이고 mm 인 평행판 축전기의 전기용량은 × F × F이다. × × × × × (e) 이 축전기에 저장된 전기에너지는 × × × J × J 이다. (f) 두 결과가 일치한다. 09. 길이가 20 cm이고 단면의 넓이가 cm 인 솔레노이드에 120번의 도선이 감겨있다. 이 솔레노이드에 2 A의 전류가 흐른다. (a) 솔레노이드 내부의 자기장의 세기는 몇 T인가? 19장 연습문제 30 제2부 전자기학 (b) 솔레노이드 내부에 저장되어 있는 자기에너지 밀도는 몇 Jm 인가? (c) (b)에서 구한 자기에너지 밀도에 솔레노이드 내부의 부피를 곱하여 이 솔레노이드에 저 장된 자기에너지가 몇 J인지 구하라. (d) 솔레노이드의 길이와 도선이 감긴 수를 이용하여 이 솔레노이드의 인덕턴스가 몇 H인지 계산하라. (e) 인덕턴스가 인 인덕터에 흐르는 전류가 일 때 인덕터에 저장된 자기에너지는 인 것을 이용하여 이 솔레노이드에 저장된 자기에너지는 몇 J인지 구하라. (f) (c)와 (e)에서 구한 결과가 일치하는지 확인하라. (a) 단위 길이당 코일이 감긴 수가 인 솔레노이드의 코일에 전류 가 흐르면, 솔레노이드 내부 에 생기는 자기장의 세기는 (19.9)식에 의해 이다. 그러므로 이 문제에서 구하는 자 기장의 세기는 × × × × T × T이다. (b) 자기장이 인 곳의 자기에너지 밀도는 (19.26)식에 의해 이다. 그러므로 솔레노이 × Jm × Jm 드 내부의 자기에너지 밀도는 × × 이다. (c) 길이가 이고 단면의 넓이가 인 솔레노이드 내부에 저장된 자기에너지 는 자기에너지 밀 도 에 부피 를 곱해 × × × × J × J 이다. (d) 길이가 이고 단면의 넓이가 인 솔레노이드에 단위 길이당 감은 코일의 수가 이면, 이 솔 레노이드의 인덕턴스 는 (19.12)식에 의해 이다. 그러므로 이 솔레노이드의 인덕 턴스는 × × × 다. × × × H × H이 (e) 이 솔레노이드에 흐르는 전류는 A이므로, 솔레노이드에 저장된 자기에너지는 × × × J × J 이다. (f) 두 결과가 일치한다. 10. 어떤 인덕터에 전류 가 흐를 때 인덕터를 통과하는 자기선속은 이고 인덕터 내부에 저장 된 자기에너지는 이다. 그 인덕터에 흐르는 전류가 이면 (a) 인덕터를 통과하는 자기선 속은 의 몇 배이고 (b) 인덕터 내부에 저장된 자기에너지는 의 몇 배인가? (a) 인덕터의 인덕턴스가 일 때, 그 인덕터에 전류 가 흐르면 그 인덕터를 통과하는 자기장 선 속은 이다. 그런데 그 인덕터를 흐르는 전류가 ′ 로 두 배가 되면, 그 인덕터를 통과하는 자기장 선속은 ′ ′ 로 전의 두 배가 된다. (b) 인덕턴스가 인 인덕터에 전류 가 흐를 때 인덕터에 저장된 자기에너지는 이므 로, 전류가 ′ 로 두 배가 되면 자기에너지는 ′ ′ × 로 네 배가 된다. 11. 인덕턴스가 4 mH인 인덕터와 저항이 100Ω인 저항을 기전력이 10 V인 건전지에 직렬로 연 결한 RL 회로가 있다. (a) 스위치를 닫은 직후 이 회로에 흐르는 전류는 몇 A인가? 19장 연습문제 31 (b) 스위치를 닫은 직후 전류가 증가하는 비율은 몇 A/s인가? (c) 스위치를 닫고 오래 기다린 후에 도달하는 이 회로에 흐르는 전류는 몇 A인가? (d) 이 회로의 시간상수는 몇 s인가? (a) RL회로의 스위치를 닫은 직후에는 인덕터에 기전력과 반대방향으로 기전력과 같은 크기의 유도기전력이 생겨서 회로에 흐르는 전류는 0이다. 그렇지만 스위치를 닫고 오래 기다리면 인 덕터에 흐르는 전류의 변화가 없어서 인덕터에 유도기전력이 생기지 않고 그러면 마치 인덕 터가 없는 것과 같은 전류가 흐른다. 이것은 RL회로에 흐르는 전류를 시간의 함수로 구한 ℰ (19.35)식 에 의해 확인할 수 있다. ℰ (b) 회로에 흐르는 전류를 시간의 함수로 구한 (19.35)식 의 양변을 시간 ℰ 로 미분하면 이므로, 스위치를 닫은 직후 전류가 증가하는 비율은 ℰ As As이다. × ℰ ℰ (c) 에 ∞을 대입하면 ∞ A A이다. 이것은 인 덕터가 연결되지 않은 경우에 회로에 흐르는 전류와 같다. (d) RL회로에서 시간상수 란 에서 이 되는 시간 을 말한다. 즉 × s × s이다. 12. 그림과 같이 저항이 인 전기저항과 인덕턴스가 인 인덕터 그리고 기전력이 인 건전지를 직렬로 연 결한 회로가 있다. (a) 처음에 스위치를 로 연결하여 오래 기다린 뒤 회로에 흐르는 전류를 구하라. (b) 그 다음에 스위치를 로 연결한 회로에 대한 키 르히호프의 고리법칙을 구하라. (c) (b)번에서 구한 미분방정식을 풀어서 회로에 흐르는 전류를 시간의 함수로 구하라. (a) 인덕터는 연결되지 않은 것과 마찬가지이고 회로에 흐르는 전류는 이다. (b) 기전력이 연결되어 있지 않으므로 키르히호프 고리법칙은 이다. (c) 이 식의 양변을 로 곱해서 로 쓰고 양변을 적분하는데, 일 때는 이 고 일 때는 임을 이용한다. 그러면 적분은 된다. ln 가 되는데, 좌변의 ln 이다. 그러므로 ln 로부터 가 20장 연습문제 32 제2부 전자기학 20장 연습문제 01. 균일한 자기장에서 폐회로를 회전시키는 발전기를 생각 하자. 넓이가 cm 인 폐회로를 그림과 같이 세기가 2 T로 균일한 자기장 내에서 매초 60회의 비율로 회전시 킨다. (a) 이때 만들어지는 유도기전력의 최대값을 구하라. (b) 이 발전기에서 유도되는 기전력의 절대값이 최대가 반복되는 시간간격을 구하라. (a) 폐회로가 만드는 면의 방향과 자기장의 방향 사이의 각이 이고, 회로면의 넓이가 이면, 폐 회로를 지나는 자기장 선속은 cos이다. 이 폐회로가 회전하면 폐회로에 유도되는 기전력은 ℰ cos sin 이다. 이 유도기전력은 sin 일 때 최대 이므로 구하는 유도기전력의 최대값은 ℰ × × × × × V V 이다. 여기서 각속도는 와 같이 진동수에 를 곱한 것과 같음을 이용했다. (b) 기전력의 최대값은 한 주기 동안 두 번 지나가므로 최대가 반복되는 시간 간격은 주기의 절 반과 같다. 즉 구하는 시간은 s s이다. × 02. ℰ ℰsin로 주어지는 교류기전력에 저항 이 연결된 교류 저항회로가 있다. 교류기 전력의 진동수와 진폭은 각각 60 Hz과 ℰ 42.0 V이고, 연결된 저항은 500Ω 이다. (a) 한 주기 동안 저항을 지나간 평균 전류를 구하라. (b) 이 회로에 흐르는 최대전류와 유효전류를 구하라. (c) 저항 양끝 사이의 최대 전위차와 유효 전위차를 구하라. (d) 한 주기 동안에 이 회로에서 소모되는 전기에너지를 구하라. (a) 한 주기 동안 흐른 전류를 모두 합하면 0이므로 평균 전류도 0이다. ℰ (b) 최대전류는 (20.6)식에 의해 A A이다. 그리고 유효전류는 (20.11)식 A A이다. 에 의해 rms (c) 최대 전위차는 ℰ V 이고 유효 전위차는 rms V V 이다. (d) 저항회로의 저항 양단의 전위차는 ℰ sin이고 저항을 흐르는 전류는 sin이므로 이 전류가 전기저항을 지나면서 소모하는 전력 는 (20.15)식에 의해 sin sin 이다. 그러므로 한 주기 동안 이 회로에서 소모되는 전기에 너지는 를 한 주기 동안 시간에 대해 적분해서 sin × J × J 이다. × 03. ℰ ℰsin로 주어지는 교류기전력에 전기용량이 인 축전기가 연결된 교류 축전기회 로가 있다. 교류기전력의 진동수와 진폭은 각각 60 Hz과 ℰ 24.0 V이고, 연결된 20장 연습문제 축전기의 전기용량은 F이다. (a) 이 회로에 흐르는 최대전류와 유효전류를 구하라. (b) 이 회로에 연결된 축전기의 전기용량 리액턴스를 구하라. (c) 이 회로의 축전기 양끝 사 이의 최대 전위차와 유효 전위차를 구하라. (d) 한 주기 동안에 이 회로에서 소모되는 전기에 너지를 구하라. 이 회로의 스위치를 닫은 순간을 이라고 하자. 인 구간에서 (e) 교 류 기전력의 값이 최초로 증가하면서 0이 되는 시간을 구하고 (f) 이 회로를 흐르는 전류 값 이 최초로 증가하면서 0이 되는 시간을 구하라. (g) (e)와 (f)의 결과로부터 무엇을 알 수 있 는가? (a) 교류기전력 ℰ ℰsin와 전기용량이 인 축전기가 연결된 교류 축전기회로에 흐르는 전류는 (20.21)식에 의해 ℰ cos sin 이므로, 이 회로에 흐르는 최대 전류는 ℰ × × × × × rms A이다. A A이다. 그리고 유효전류는 (b) 전기용량이 인 축전기가 각진동수가 인 교류회로에 연결되면 축전기의 전기용량 리액턴 이다. 스는 (20.29)식에 의해 × × × × (c) 회로에 기전력과 축전기만 연결되어 있으므로, 축전기 양끝 사이의 최대 전위차는 최대 기전 력과 같아서 ℰ V 이고, 유효 전위차는 최대 전위차를 로 나누어서 rms V V 이다. (d) 에너지는 저항에서만 소모된다. 이 회로와 같은 축전기 회로에서 소모되는 전력은 0이다. (e) 교류 기전력은 ℰ ℰsin으로 오른쪽 그래프에 빨간 선으로 표시되어 있는데, 이 교류 기전력의 주기는 s이다. 그리고 일 때 교류 기전력 증 가하면서 0이 되는 시간은 오른쪽 그래프의 빨간 선에서 빨간 점으로 표시한 s이 다. (f) 이 회로를 흐르는 전류는 ℰ cos sin 로 위쪽 그래프에서 파란선으로 표시되어 있는데, 이 전류가 증가하면서 0이 되는 시간은 위쪽 그래프의 파란 선에서 파란 점 으로 표시한 s s이다. (g) 전위차보다 전류가 만큼 앞서간다. 즉 똑같은 위상에 도달하는 시간이 전위차보다 전류가 만큼 더 빠르다. 이것은 전류의 위상이 전위차의 위상보다 만큼 더 앞선다는 것과 동일 한 의미이다. 04. ℰ ℰsin로 주어지는 교류기전력에 인덕턴스가 인 인덕터가 연결된 교류 인덕터회 로가 있다. 교류기전력의 진동수와 진폭은 각각 Hz 과 ℰ V 이고, 연결된 인덕터의 인덕턴스는 300 kH이다. (a) 이 회로에 흐르는 최대전류와 유효전류를 구하라. (b) 이 회로에 연결된 인덕터의 유도 리액턴스를 구하라. (c) 이 회로의 인덕터 양끝 사이의 최대 전위차와 유효 전위차를 구하라. (d) 한 주기 동안에 이 회로에서 소모되는 전력을 구하 라. 이 회로의 스위치를 닫은 순간을 이라고 하자. ≧ 인 구간에서 (e) 교류 기전력의 값이 최초로 증가하면서 0이 되는 시간을 구하고 (f) 이 회로를 흐르는 전류 값이 최초로 증 33 20장 연습문제 34 제2부 전자기학 가하면서 0이 되는 시간을 구하라. (g) (e)와 (f)의 결과로부터 무엇을 알 수 있는가? (a) 교류기전력 ℰ ℰsin와 인덕턴스가 인 인덕터가 연결된 교류 인덕터 회로에 흐르는 ℰ 전류는 (20.34)식과 (20.36)식에 의해 cos sin 이므로, 이 회로에 ℰ A × A이다. 그리고 흐르는 최대전류는 × × × × × A이다. 유효전류는 rms (b) 인덕턴스가 인 인덕터가 각진동수가 인 교류회로에 연결되면 인덕터의 유도 리액턴스는 (20.40)식에 의해 × × × × × 이다. (c) 회로에 기전력과 인덕터만 연결되어 있으므로, 인덕터 양끝 사이의 최대 전위차는 최대 기전 력과 같아서 ℰ V 이고, 유효 전위차는 최대 전위차를 로 나누어서 rms V V 이다. (d) 에너지는 저항에서만 소모된다. 이 회로와 같은 인덕터 회로에서 소모되는 전력은 0이다. (e) 교류 기전력은 ℰ ℰsin으로 오른쪽 그래프에 빨간 선으로 표시되어 있는데, 이 교류 기전력의 주기는 s이다. 그리고 ≧ 일 때, 교류 기전력 증 가하면서 0이 되는 시간은 오른쪽 그래프의 빨간 선에서 빨간 점으로 표시한 s이다. ℰ (f) 이 회로를 흐르는 전류는 cos sin 로 위쪽 그래프에서 초록 선으로 표시되어 있는데, 이 전류가 증가하면서 0이 되는 시간은 위쪽 그래프의 초록 선에서 파란 점 으로 표시한 × s s이다. (g) 전위차보다 전류가 만큼 뒤쳐져 간다. 즉 똑같은 위상에 도달하는 시간이 전위차보다 전류 가 만큼 더 느리다. 이것은 전류의 위상이 전위차의 위상보다 만큼 더 뒤쳐진다는 것과 동일한 의미이다. 05. 인덕턴스가 100H인 인덕터에 교류 기전력을 연결한 교류 인덕터회로가 있다. 교류 기전력 의 각진동수가 (a) 100 Hz, (b) 1,000 Hz, 그리고 (c) 10,000 Hz일 때, 인덕터의 유도 리액턴 스를 구하라. (a) 인덕턴스가 인 인덕터에 각진동수가 인 교류전류가 흐르면 인덕터의 유도 리액턴스는 이므로 × H이고 Hz 이면 × × 이다. (b) Hz 이면, × × 이다. (c) Hz 이면, × × 이다. 06. 전기용량이 10F의 축전기에 교류 기전력을 연결한 교류 축전기회로가 있다. 교류 기전력의 각진동수가 (a) 100 Hz, (b) 1,000 Hz, 그리고 (c) 10,000 Hz일 때,축전기의 전기용량 리액턴 스를 구하라. (a) 전기용량이 인 축전기에 각진동수가 인 교류전류가 흐르면 축전기의 전기용량 리액턴스 20장 연습문제 는 이므로, × F이고 Hz 이면, × × 이다. (b) Hz 이면, 이다. × × (c) Hz 이면, 이다. × × 07. 전기용량이 10F 인 축전기의 전기용량 리액턴스와 인덕턴스가 4 mH인 인덕터의 유도 리액 턴스가 같아지도록 만드는 교류 기전력의 진동수를 구하라. 전기용량 리액턴스는 이고 유도 리액턴스는 인데, 이 둘이 같아질 각진동 Hz Hz 이고 그렇게 수는 로부터 × × × 될 진동수는 Hz Hz 이다. × 08. 전기저항이 20Ω인 저항과 전기용량이 10 F인 축전기, 그리고 인덕턴스가 10 H인 인덕터를 직렬로 교류 기전력에 연결하였다. 교류 기전력의 최대값은 240 V이고 각진동 수는 360 Hz이다. (a) 이 회로의 임피던스를 구하라. (b) 이 회로에 흐르는 최대전류와 유효전류를 구하라. (c) 이 회로에서 10 s동안 소비하는 전기에너지를 구하라. (a) 전기저항이 인 저항, 전기용량이 인 축전기, 인덕턴스가 인 인덕타가 직렬로 연결된 교 인데, 여기서 과 는 각각 인 류회로의 임피던스는 덕터의 유도 리액턴스와 축전기의 전기용량 리액턴스이다. 그러므로 구하는 임피던스 는 × 이다. × × ℰ (b) 이 회로에 흐르는 최대전류는 기전력의 최대값을 임피던스로 나누어 A × A이고, 유효전류는 rms × A이다. (c) RLC 회로의 평균 전력은 (20.51)식에 의해 rmsrms rms 이므로, s동안 소비되는 전기에너지는 rms × × × J J 이다. 09. 전기저항이 20Ω인 저항과 전기용량이 200 F인 축전기, 그리고 인덕턴스가 40 mH 인 인덕터를 직렬로 교류 기전력에 연결하였다. 교류 기전력의 최대값은 240 V이고 각진동수 는 300 Hz이다. (a) 이 회로의 위상벡터 도표를 그려라. (b) (a)에서 구한 위상벡터 도표로부터 이 회로의 임피던스와 위상각 을 구하라. (c) 이 회로에 흐르는 최대전류와 유효전류를 구하라. (d) 이 회로에서 10 s동안 소비하는 전기에너지를 구하라. (a) 위상벡터 도표란 축 방향으로 전기저항 를, 축 방향 으로 유도 리액턴스 × × 를, 축 방향으로 전기용량 리액턴스 × × 35 20장 연습문제 36 제2부 전자기학 를 그린 그래프를 말하고 오른쪽 그림과 같다. (b) 이 회로의 임피던스는 이 고, 위의 위상벡터 도표에서 세 위상벡터를 더한 합벡터와 같다. 그리고 위상각 는 그림으로 부터 tan tan 이다. ℰ (c) 이 회로에 흐르는 최대전류는 A A 이고, 유효전류는 rms A 이다. (d) 교류회로의 평균 전력은 rms 이므로, 이 회로에서 s 동안 소비되는 전기 에너지는 rms × × J J 이다. 10. 전기저항이 40Ω인 저항과 전기용량이 200 F인 축전기, 그리고 인덕턴스가 20 mH 인 인덕터를 직렬로 교류 기전력에 연결하였다. 교류 기전력의 최대값은 240 V이고 각진동수 는 조절할 수가 있다. (a) 이 회로에 최대 전류가 흐르도록 만드는 교류 기전력의 공명 각진동수를 구하라. (b) 교류 기전력의 진동수가 공명 각진동수일 때 이 회로의 위상벡터 도표를 그려라. (c) (b)에서 구한 위상벡터 도표로부터 이 회로의 임피던스와 위상각을 구하라. (d) 이 회로에서 10 s동안 소비하는 전기에너지를 구하라. (a) RLC 회로에서 공명 각진동수 는 임피던스를 최소로 만드는 에서 결정되어 Hz Hz 이다. × × × (b) 유도 리액턴스는 × × 이고 전기용량 리액턴스는 × × 이므로 임피던스는 이다. 이 회로에 대한 위상벡터 도표는 오른쪽 그림과 같다. (c) 위상벡터 도표에서 분명하듯이 임피던스는 이고 위상각은 이다. (d) s동안 소비하는 전기에너지는 rms × J J 이 × 다. 11. 저항과 축전기 그리고 인덕터가 직렬로 연결된 교류 RLC 회로가 있다. 이 회로의 전기저항은 200Ω, 전기용량 리액턴스는 120Ω, 유도 리액턴스는 220Ω이고, 연결된 교 류 기전력의 최대 기전력은 V 이다. (a) 이 회로의 위상벡터 도표를 그려라. (b) (a)에서 구한 위상벡터 도표로부터 이 회로의 임피던스와 위상각을 구하라. (c) 이 회로의 저항에서 소비되는 평균 전력을 구하라. (a) 위상벡터 도표는 축 방향으로 , 축 방향으로 , 축 방향으로 를 세 위상벡터를 더해서 임피던스를 그리며 오른쪽 그림과 같다. (b) 이 회로의 임피던스는 이고, 위상 20장 연습문제 37 각은 tan tan 이다. (c) 이 회로에 흐르는 최대 전류는 이고 유효 전류는 rms 이고, 이로부 터 평균전력을 구하면 rms × W W 이다. × 12. 저항과 축전기 그리고 인덕터가 직렬로 연결된 교류 RLC 회로가 있다. 이 회로의 전기저항은 200Ω, 전기용량은 0.8 F, 인덕턴스는 60 mH이 고 교류 기전력의 최대 기전력은 40 V, 각진동수는 2,000 Hz이다. (a) 이 회로의 위상벡터 도표를 그려라. (b) (a)에서 구한 위상벡터 도표로부터 이 회로의 임피던스와 위상각을 구하라. (c) 이 회로의 저항에서 소비되는 평균 전력을 구하라. (a) 이 회로의 유도 리액턴스는 × × , 전기 용량 리액턴스는 이고 저항은 × × 이므로, 위상벡터 도표는 오른쪽 그림과 같다. 이고, 위상 (b) 이 회로의 임피던스는 각은 tan tan 이다. (c) 이 회로에 흐르는 최대 전류는 이고 유효 전류는 rms 이고, 이로부 × W W이다. 터 평균전력을 구하면 rms × 13. 교류 기전력에 연결된 인덕턴스가 45 mH인 인덕터의 유도 리액턴스가 3.0 kΩ이다. (a) 이 회로에 연결된 교류 기전력의 진동수를 구하라. (b) 이 인덕터의 유도 리액턴스와 같은 값의 전기용량 리액턴스를 갖기 위한 축전기의 전기 용량을 구하라. (c) 만일 (a)에서 구한 진동수의 두 배의 진동수로 교류 기전력이 작동할 때 인덕터와 축전기 의 새로운 리액턴스를 구하라. × Hz × Hz 이고, 그러므로 진동수는 (a) 교류 기전력의 각진동수는 × × Hz × Hz 이다. × (b) 이기 위한 전기용량은 × F × F 이다. × (c) × 이고 × 인데, 이제 ′ 로 바꾸면 새로운 유도 리액턴스는 ′ ′ × 이고, 새로운 전기용량 리액 턴스는 ′ × 이다. ′ 20장 연습문제 38 제2부 전자기학 14. 저항과 축전기 그리고 인덕터가 직렬로 연결된 교류 RLC 회로가 있다. 이 회로의 인덕터 양끝 사이의 최대 전위차가 축전기 양끝 사이의 최대 전위차 의 2배이고 저항 양끝 사이의 최대 전위차의 3배이다. (a) 이 회로의 위상벡터 도표를 그려라. 저항 벡터의 크기가 1이라고 가정 하라. (b) 이 회로의 위상각을 구하라. (a) 이 회로에 흐르는 최대전류가 이면 인덕터 양끝 사이의 최대 전위차는 이고, 축전기 양끝 사이의 최대 전위차는 그리고 저항 양끝 사이의 최대 전위차가 이므로, 최대 전위차에 비례하여 도표 를 그리면 위상벡터 도표가 된다. 문제에서 이므로, 위상벡터 도표는 오른쪽 그림과 같다. (b) 이 회로의 이다. 위상각은 tan tan tan 21장 연습문제 39 21장 연습문제 01. 가우스 법칙이 적분 형태로는 이고 미분 형태로는 ∇⋅ 이다. 원 ⋅ 점이 중심이고 반지름이 인 구 내부에 일정한 전하밀도 가 분포되어 있는 경우, 적분 형태 의 가우스 법칙을 이용하여 전기장을 구하고 그 전기장이 미분 형태의 가우스 법칙을 만족하 는 것을 보이자. (a) 반지름이 인 구 표면에서 전기장은 지름 방향을 향하고 크기는 모두 같은 라고 하 자. 이 구 표면을 지나는 전기장의 선속의 합 를 구하라. (b) 반지름이 인 구 내부의 총전하 를 구하라. (c) (a)와 (b)의 결과를 가우스 법칙인 에 대입하여 일 때 을 구하라. (d) 인 경우 (a)～(c)를 반복하여 일 때 을 구하라. 을 만족 (e) (c)와 (d)에서 구한 결과를 이용하여 일 때와 일 때 모두 ∇⋅ 함을 보이라. (a) 전기장의 선속의 합은 ⋅인데, 이고 이므로 구 표면에서 ⋅ ⋅ 이고 따라서 이다. (b) 구 내부에 일정한 전하밀도 가 분포되어 있으므로 반지름이 인 구 내부의 총전하는 이다. (c) 가우스 법칙 의 좌변에 를 대입하고 우변에 을 대입하면 이 되므로, 이것을 전기장 에 대해 정리하면 이다. (d) 일 때에도 전기장의 선속의 합은 똑같이 가 된다. 그러나 전하는 반지름이 인 구 내부에만 분포되어 있으므로, 총전하는 이다. 이것을 가우스 법칙인 에 대입하면 이 되어서 구하는 전기장은 이 된다. (e) 일 이고 때 이다. 그런데 ∇⋅ 로 미분형태의 가우스 법칙이 만족된다. ∇⋅ ⋅ 이므로 ∇⋅ 이고 이다. 그런데 ∇⋅ 또 일 때는 ⋅ 이다. 이것을 더 계산하 면 이 이므로, 이것들을 모두 더하면 ∇⋅ 으로 에서도 역 이 ∇⋅ ∇⋅ 된다. 즉 시 미분형태의 가우스 법칙이 만족된다. 고, 비슷하게 , 21장 연습문제 40 제2부 전자기학 02. 암페어 법칙이 적분 형태로는 이다. 미분 형태로는 ∇ × ⋅ ⋅이고 축이 중심 축이고 단면의 반지름이 인 원통의 내부에 전류 가 균일하게 분포되어 방 향으로 흐르는 경우, 적분 형태의 암페어 법칙을 이용하여 자기장을 구하고 그 자기장이 미분 형태의 암페어 법칙을 만족하는 것을 보이자. (a) 평면 위에서 원점을 중심으로 하고 반지름이 인 원의 둘레에서 자기장은 원의 접선 방향을 향하고 크기는 모두 같은 라고 하자. 이 원의 둘레를 따라 자기장을 선적 분한 결과인 ⋅은 무엇인가? (b) 반지름이 인 원의 내부를 통과하는 총전류 를 구하라. (c) (a)와 (b)의 결과를 적분 형태의 암페어 법칙에 대입하여 일 때 를 구하라. (d) 인 경우 (a)～(c)를 반복하여 일 때 를 구하라. 를 만 (e) (c)와 (d)에서 구한 결과를 이용하여 일 때와 일 때 모두 ∇ × 족함을 보이라. (a) 반지름이 인 원을 따라 자기장의 세기가 모두 같은 이고 자기장의 방향은 원의 접선 방향 으로 방향이어서 의 방향과 같으므로 ⋅ 이고 따라서 ⋅ 이다. (b) 전류 가 반지름이 인 원의 단면에 균일하게 분포되어서 전류밀도는 이고, 반지름 이 인 원 내부에 흐르는 총전류 는 전류밀도에 원의 넓이를 곱해서 이다. (c) 암페어 법칙 ⋅ 의 좌변에는 (a)의 결과인 ⋅ 를 대입하고, 우변 에는 (b)의 결과인 을 대입하면 으로부터 이다. (d) 인 원에 대해서도 역시 ⋅ 이고, 이면 에 관계없이 총전류는 항 상 이므로 암페어 법칙은 이고 따라서 이다. (e) 일 때, 이고 ∇ × 에 대입해보자. 먼저 인데, 이것을 미분 형태의 암페어 법칙 를 직각좌표계로 바꾸면 sin cos이고 cos , sin 이므로, sin cos 이다. 따라서 ∇ × 이므로 ∇ × ∇ × 로 미분 형태의 암페어 법칙을 만족한다. 다음으로 일 때는 이고 인데, 이것을 미분 형태의 암페어 법칙 ∇ × 에 대입하자. 먼저 를 직각좌표계로 ∇ × 바꾸면 이다. 따라서 21장 연습문제 이므로, 역시 에서 성립 를 만족한다. 하는 미분 형태의 암페어 법칙인 ∇ × 03. 전하밀도와 전류밀도가 모두 인 공간에서 성립하는 미분 형태의 맥스웰 방정식 네 가지인 , ∇ × 중 마지막 패러데이 법칙의 양변 ∇⋅ , ∇⋅ , ∇ × 를 대 의 컬을 취하고, 그 결과에 가우스 법칙인 ∇⋅ 와 암페어 법칙인 ∇ × 을 만족하는 것을 보이라. 입하여 전기장 도 파동방정식 ∇ ∇∇⋅ ∇⋅∇ 인 것을 이 벡터 미분연산자를 포함한 벡터 삼중곱은 ∇ × ∇ × ∇ × ∇ × 에서 용하면, 패러데이 법칙의 양변의 컬을 취한 ∇ × ∇ × ∇∇⋅ ∇⋅∇ ∇ 가 되고 (여기서 가우스 법칙 좌변은 ∇ × ∇ × ∇⋅ 을 이용하고 ∇⋅∇ ∇ 으로 표현하였음), 우변은 암페어 법칙 ∇ × 를 이용하면, ∇ × 이므로 ∇ 이 되어서 전기장 는 파 를 만족한다. 동방정식 ∇ 04. 진공 중에서 빛의 속력은 × ms이다. 반지름이 6,400 km인 원 둘레 모양인 적도 를 따라 빛이 한 바퀴 도느데 걸리는 시간을 구하라. × × × s 원의 둘레를 광속으로 나누면 되므로 구하는 시간은 × s이다. 05. 물의 굴절률은 1.333이고 유리의 굴절률은 1.518이다. (a) 물과 유리를 통과하는 가시광선의 속력을 구하라. (b) 물과 유리를 통과하는 엑스선의 속력을 구하라. (c) 물과 유리를 통과하는 라디오파의 속력을 구하라. (a) 어떤 매질의 굴절률 은 진공 중에서 광속 와 그 매질에서 광속 에 의해 로 정의되 × 므로, 물을 통과하는 가시광선의 속력은 ms × ms이고, 유리를 × 통과하는 가시광선의 속력은 ms × ms이다. (b) 엑스선은 가시광선과 똑같은 전자기파로 매질이 같으면 엑스선이나 가시광선이나 속력이 똑 × 같다. 그래서 엑스선이 물을 통과하는 속력은 ms × ms이고 유 × 리를 통과하는 속력은 ms × ms이다. (c) 라디오파도 가시광선이나 엑스선과 마찬가지로 똑같은 전자기파로 매질이 같으면 속력도 같 × 다. 그래서 라디오파가 물을 통과하는 속력은 ms × ms이고 유 × 리를 통과하는 속력은 ms × ms이다. 06. 물의 굴절률은 1.333이고 유리의 굴절률은 1.518이다. 진공을 지나가는 진동수가 450 THz은 41 21장 연습문제 42 제2부 전자기학 빨간색 빛이 (a) 물을 통과할 때와 (b) 유리를 통과할 때 진동수를 구하라. (a) 전자기파의 속력은 진동수에 파장을 곱한 것과 같다. 전자기파의 속력은 전자기파가 어떤 매 질을 통과하느냐에 따라 달라진다. 그렇지만 매질이 바뀌더라도 진동수는 일정하게 유지되고 파장만 바뀐다. 그래서 진동수가 THz 인 빨간색 빛은 진공을 통과할 때나 물을 통과할 때 나 진동수는 똑같은 THz 이다. (b) 진동수가 THz 인 빨간색 빛은 진공을 통과할 때나 물을 통과할 때나 유리를 통과할 때나 진동수는 똑같은 THz 이다. 07. 물의 굴절률은 1.333이고 유리의 굴절률은 1.518이다. 진공을 지나가는 파장이 450 nm인 파 란색 빛이 (a) 물을 통과할 때와 (b) 유리를 통과할 때 파장을 구하라. (a) 진공을 지나가는 파장이 인 빛의 진동수는 이다. 물의 굴절률이 이면 이 빛이 물을 지나가는 속력은 이다. 또 이 빛이 물을 지나갈 때 파장이 ′ 이면 ′ 이 된다. 즉 ′ 이 물을 지나가는 파장은 된다. 그러므로 구하는 파장은 ′ nm nm 이다. (b) 유리를 통과할 때 이 빛의 파장은 유리의 굴절률을 이용하여 ′ nm nm 이다. 08. 빛은 파동과 입자의 성질을 동시에 가지고 있다. 빛이 파동임을 강조하는 이름이 전자기파이 고 빛이 입자임을 강조하는 이름이 광자이다. 그래서 전자기파와 광자는 똑같은 대상을 가리 키는 서로 다른 두 이름이다. 그래서 빛의 파동 성질과 입자 성질을 섞어서 진동수가 인 광 자 한 개가 나르는 에너지는 라고 말할 수 있다. 여기서 는 플랑크 상수로 eV nm MeV f m 를 이용하면 진동수가 인 빛이 나르는 에너지를 eV 단위로 쉽게 계산할 수 있다. 다음 진동수를 갖는 광자 하나가 나르는 에너지는 몇 eV인 가? (a) 진동수가 2.2 GHz인 마이크로파, (b) 진동수가 3.0 THz인 적외선, (c) 진동수가 450 THz인 빨간색 빛, (d) 진동수가 5.0 EHz인 엑스선. (a) 진동수가 인 광자 하나가 나르는 에너지는 이므로, 구하는 에너지는 × Hz × eV이다. × × eV nm × × × nms (b) 진동수가 THz × Hz 인 광자 하나의 에너지는 × × Hz × eV 이다. × eV nm × × × nms (c) 진동수가 THz × Hz 인 광자 하나의 에너지는 × × Hz eV 이다. × eV nm × × × nms (d) 진동수가 EHz × Hz 인 광자 하나의 에너지는 × × Hz × eV keV 이다. × eV nm × × × nms 09. 매질 1에서 속력 로 진행하던 전자기파가 매질 2로 들어가면서 파장이 에서 로 길어 21장 연습문제 43 졌다. 매질 2에서 이 전자기파의 속력을 구하라. 매질 1에서 이 전자기파의 속력은 이고 매질 2에서 이 전자기파의 속력은 ′ ′ 인 데, ′ 이므로 ′ ′ 로 매질 2에서 속력은 매질 1에서 속력의 배이 다. 10. 진공 중에서 파장이 인 전자기파와 인 전자기파가 진행한다. 파장이 인 전자기파의 광 자 한 개가 나르는 에너지는 파장이 인 전자기파의 광자 한 개가 나르는 에너지의 몇 배인 가? 파장이 인 광자가 나르는 에너지는 이고, 파장이 인 광자가 나르는 에너지 는 ′ ′ 로 파장이 인 광자가 나르는 에너지의 절반이다. ′ 11. SBS 라디오 방송국의 진동수는 107.7 MHz이다. 이 방송국에서 내보내는 전자기파의 파장을 구하라. 또 이 전자기파의 광자 한 개가 나르는 에너지는 몇 eV인가? × ms m 이다. 그리고 광자 하나가 나르는 이 전자기파의 파장은 × Hz × Hz × 에너지는 × × eV nm × × × nms eV 이다. 12. 우리나라에서 휴대전화는 800 MHz와 1.8 GHz 대역의 전자기파를 이용한다. 1.8 GHz 대역의 전자기파에 비하여 800 MHz 대역의 전자기파가 장애물에 의한 방해를 덜 받으므로 도시의 중심 지역과 같이 고층 건물이 많은 지역에서 유리하다. 이 두 진동수 대역의 전자기파의 광 자 하나가 나르는 에너지를 구하라. MHz 인 전자기파의 광자 하나가 나르는 에너지는 × Hz × × eV nm × × eV이고, GHz 인 전자기 × nms × × eV nm 파의 광자 하나가 나르는 에너지는 × Hz × eV 이다. × × nms
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