February 4, 2023
Continuation of Definite Integrals
6.
 (12x
6
− 9 x 2 + 2 ) dx
3
1
6
 12 x 4 9 x 3

4
3
4
3
= 
−
+ 2 x  =  3 x 4 − 3 x 3 + 2 x  = 3 ( 6 ) − 3 ( 6 ) + 2 ( 6 ) − 3 (1 ) − 3 (1 ) + 2 (1 )
1
4
3


(
) (
)
= ( 3 ( 1296 ) − 3 ( 216 ) + 12 ) − ( 3 − 3 + 2 ) = ( 3888 − 648 + 12 ) − 2 = 3250
7.
 ( 5z
1
2
−2
− 7 z + 3 ) dz
1
 5 (1 )3 7 (1 ) 2
  5 ( −2 )3 7 ( −2 )2

 5z 3 7z 2

= 
−
+ 3z  = 
−
+ 3 (1 )  − 
−
+ 3 ( −2 ) 




2
2
2
 3
 −2  3
  3

207
5 7
  40
  7   − 40 − 42 − 18  7 − 100 7 100
=  − + 3 − −
− 14 − 6  =   − 
= +
=
= −
3
2
3
6
3
6
3
6
3
6

 
   

8.

2y 3 − 6y 2
1
y
2
2
1
 ( 2 y − 6 ) dy
dy =
2
1
 2y 2

= 
− 6 y  =  y 2 − 6 y  = (12 − 6 (1 ) ) − ( 2 2 − 6 ( 2 ) ) = − 5 − ( 4 − 12 )
2
2


= −5 − ( −8 ) = 3
=
9.


 7 sin ( t ) − 2 cos ( t )  dt
2
0


 

=  − 7 cos ( t ) − 2 sin ( t )  02 =  − 7 cos   − 2 sin 
2
2


  − ( − 7 cos ( 0 ) − 2 sin ( 0 ) )

= ( − 7 ( 0 ) − 2 (1 ) ) − ( − 7 (1 ) − 2 ( 0 ) ) = − 2 − ( − 7 ) = 5
10.

−2
−5
 y
2
 7e + y  dy


= ( 7e y + 2 ln y
)
−2
−5
= ( 7e −2 + 2 ln − 2 ) − ( 7e −5 + 2 ln − 5 ) = 7e −2 + 2 ln ( 2 ) − ( 7e −5 + 2 ln ( 5 ) )
= 7e −2 + 2 ln ( 2 ) − 7e −5 − 2 ln ( 5 )
11.
1
 ( 2t − 1 )
2
0
dt =
 ( 4t
1
0
2
− 4t + 1 ) dt
1
 4 (1 )3

 4t 3

4
7
=
−
+t = 
− 2t 2 + t  = 
− 2 + 1  − (0) = + 1 =


3
2
3
3
3
3

0 

4t 3
4t 2


12.
  sec
6
−
2
6
u−2
3
3
3
2 3
 
 
 
xdx = tan x 6 = tan   − tan  −  =
− − tan   =
+
=
−
6
6
3
6
3
3
3
 


 
6
13.

4
14.

−1
x − x2
−8
23 x
15.
  4 sec x tan xdx
u
1

3
−
3
du
dx
Sample graphical problem: Area under the curve
Get the total area of the shaded region. Note that the red curve is 𝑦 = 2𝑥 2 − 8𝑥 + 6