机械振动学
简谐激励下的强迫振动
Mechanical Vibrations
机械振动学备课组
单自由度系统自由振动知识回顾
•
下面关于单自由度自由振动的说法，正确的有
。
A 若初始条件为0，则单自由度系统不会振动；
B 若初始条件不为0，则单自由度系统必定会振动；
C 若初始位移为0，阻尼对响应的第一个峰值不起作用；
D 若初始速度为0，阻尼对响应的第一个峰值不起作用；
C 和 D中不考虑阻尼引起指数衰减部分的影响
x(t )  X 0 e nt sin( 1   2 n t +0 )
X 0  x0  (
2
x0  n x0
d
)
2
x0d
0  arctan
x0  n x0
单自由度系统自由振动知识回顾
•
从简单实际问题中抽象单自由度系统振动模型及其求解：
•
1、分析实际问题，确定振动问题属性：质量、刚度和
阻尼元件；
2、建立坐标，确定静平衡位置；
3、确定初始条件：t=0；
4、确定固有频率、阻尼系数（往往需要根据某一观测
到的已知条件进行推导）；
5、利用单自由度系统响应求解公式进行求解。
•
•
•
•
自由振动
 + CX
 + KX = 0
MX
强迫振动
 + CX
 + KX = F
MX
齐次微分方程
非齐次微分方程
教学内容
 简谐激励下的强迫振动
 工程中的强迫振动问题
 非简谐激励下的强迫振动
学习内容
• 1、简谐激励作用下有阻尼单自由度系统的响应求解；
• 2、稳态响应的特性分析；
• 3、半功率带宽、共振、刚度/质量/阻尼控制区等基本概念；
• 4、简谐激励作用下无阻尼单自由度系统的响应求解；
教学目标
•
1、会求解单自由度系统的有阻尼强迫振动响应；
•
2、会对单自由度系统的响应规律、振动特性及其物理本
质进行分析。
简谐激励下的强迫振动
 简谐激励作用下的响应
 稳态响应的特性
 强迫振动的过渡阶段
 频率响应函数
 机械阻抗与导纳
 结构阻尼和库仑阻尼
 简谐惯性力激励的强迫振动
知识点1：
•
1、下面关于有阻尼单自由度系统强迫振动响应的说法，
正确的有
A 系统的响应由瞬态解和稳态解决定；
B 稳态解的幅值和初始条件没有关系，只和激励、系
统特性有关系；
C 稳态解的相位差反映了响应相对于激励力的滞后效
应，只和系统的阻尼参数有关；
D 瞬态解就是有阻尼单自由度系统的自由振动解，自
由振动解中的系数可以完全由初始速度和初始位移确定；
MOOC
• 简谐激励作用下的响应
F0 sin t
F (t )
x
弹簧－小阻尼 - 质量系统
设
F (t )  F0 sin  t
F0
m
外力幅值
k
 外力的激励频率
齐次方程通解： x(t )  e
m
mx
c
kx cx
  cx  kx
振动微分方程：mx
n t
O
 F0 sin  t
( x0 cos d t 
x0  n x0
d
c
k
2


n 
固有频率



1


阻尼比 d
n
2 km
m
sin d t )
MOOC
• 简谐激励作用下的响应
n t
( x0 cos d t 
齐次方程通解
x(t )  e
非齐次方程特解
x (t )  X sin(t   )
非齐次微分方程
通解
＝
齐次微分方程
通解
＋
x0  n x0
d
sin d t )
非齐次微分方程
特解
MOOC
• 简谐激励作用下的响应
弹簧－小阻尼 - 质量系统
设
F (t )
F (t )  F0 e it
F0
 外力的激励频率
x
m
外力幅值
k
F (t )
O
m
c
kx cx
实部和虚部分别与 F0 cost 和 F0 sint 相对应
振动微分方程：
mx  cx  kx  F0 e it
x 为复数变量，分别与 F0 cos t 和 F0 sin t 相对应
mx
MOOC
• 简谐激励作用下的响应
振动微分方程
非齐次方程特解
i t


mx  cx  kx  F0 e
x(t )  Xei (t  )
将外力和强迫振动均表示为复数形式
F0eit  F0 (cos t  i sin t )
Xei (t  )  X (cos(t   )  i sin(t   ))
(k  m  ic ) Xe
2
振幅和相角 X 
 i
 F0
F0
( k  m 2 ) 2  (c ) 2
Xe
 i

F0
(k  m 2 )  ic
  arctan
c
k  m 2
MOOC
• 简谐激励作用下的响应
振幅 X 
相角
( k  m )  (c )
2 2
X
X0
2
c
  arctan
k  m 2

r
频率比，
n
X0 
X

X0
F0
F0
k 等效静位移，
1
(1  r 2 ) 2  (2 r ) 2
  arctan
n 
 
2 r
1 r2
k
无阻尼固有频率
m
c
阻尼比
2 km
动力放大因子，表示强迫振动振
幅随频率比、阻尼比变化的规律
MOOC
振动微分方程：
mx cx  kx  F0 sint
nt
x(t)  e
齐次方程通解
非齐次方程特解
x(t )=
(x0 cosd t 
sin d t)
(k  m 2 )2  (c)2
x0  n x0
＝e
( x0 cos d t 
x(t )
＝
ent (c1 cos d t  c2 sin d t )
总响应
d
F0 sin(t   )
x(t )
nt
x0  n x0
d
＋
sin d t )
阻尼自由振动
逐渐衰减
瞬态响应
＋
F0 sin(t )
(k  m2 )2  (c)2
F0 sin(t )
(k  m2 )2  (c)2
持续等幅振动
强迫振动
稳态响应
MOOC
振动微分方程：
nt
x(t )  e
mx cx  kx  F0 sint
(c1 cos d t  c2 sin d t ) 
F0 sin(t  )
(k  m2 )2  (c)2
① 系统发生的运动是频率为ωd和频率为ω的简谐振动的组合；
② 自由振动：由于阻尼ζ的存在而逐渐衰减至零，它只在有限
的时间内存在，这一振动过程叫做瞬态振动或过渡过程，通常
自由振动可以不加以考虑；
③ 强迫振动：不因有阻尼而衰减，其振幅和相角与初始条件
无关。强迫振动是稳态运动，通常称为稳态响应。
练习：重为150N的往复式活塞泵安装在钢梁的中部，钢梁厚
0.01m, 宽0.2m，长为1m，两端固定。泵工作时，受到一个大小
为50N，频率为10Hz（62.8rad/s）的简谐力作用，求钢梁的振
动幅值。
解：钢梁的弹性模量 E=2.1×1011N/m2
惯性矩 I 
1 3 1
bh   0.2  0.013  1.6  108 m 4
12
12
梁的弯曲刚度（两端固支）
F (t )
单自由度系统的
力学模型抽象
192EI 192 (2.11011) 1.6108
5
k 3 

6.45

10
N/m
3
l
1
钢梁的振动幅值
X 
F0
( k  m 2 ) 2  (c ) 2

F0
50

 8.55  10 5 m
2
5
2
k  m
6.45  10  150 / 9.8  62.8
练习：设一机器可简化为一单自由度系统，其参数如下：
m  10kg c  20 N  s m k  4000 N m x(0)  0.01m x (0)  0
根据以下条件求系统的响应。
(1) 作用在系统的外激励为 F (t )  F0 cos t F0  100 N   10 rad s
(2) F (t )  0 时的自由振动。
解：(1) 根据已知参数，可得
n 
F mg 100
k
4000

 0.025m

 20rad / s X 0  0 
4000
k
k
m
10
可见，n  k m  g X 0 ，可根据静变形来估算系统的固有频率。同时也
可以看到，系统的固有频率越低，则系统的静变形越大，系统的稳定性较
差。因此，系统低的固有频率和稳定性（承载能力）是一对矛盾。
练习：设一机器可简化为一单自由度系统，其参数如下：
m  10kg c  20 N  s m k  4000 N m x(0)  0.01m x (0)  0
根据以下条件求系统的响应。
(1) 作用在系统的外激励为 F (t )  F0 cos t F0  100 N   10 rad s
(2) F (t )  0 时的自由振动。
 
c
20

 0.05
2 mk 2 4000 10
d  1   2 n  1  0.052  20  19.97 rad s
r
 10
2 r
2  0.05  0.5
o

 0.5   arctan

arctan

3.814
n 20
1 r2
1  0.52
X0 
X
F0
100

 0.025m
k 4000
X0
(1  r )  (2 r )
2 2
2

0.025
(1  0.05 )  (2  0.5  0.05)
2 2
2
 0.0333m
练习：设一机器可简化为一单自由度系统，其参数如下：
m  10kg c  20 N  s m k  4000 N m x(0)  0.01m x (0)  0
根据以下条件求系统的响应。
(1) 作用在系统的外激励为 F (t )  F0 cos t F0  100 N   10 rad s
(2) F (t )  0 时的自由振动。
x(t )  ent ( Acos d t  B sin d t ) 
x(0)  A 
F0 cos 
(k  m 2 ) 2  (c ) 2
F0 cos(t  )
(k  m2 )2  (c)2
x (0)  n A  d B 
x(0)  0.01m x (0)  0 代入上式
A  0.0233m
B  0.00117m
 F0 sin 
(k  m 2 ) 2  (c ) 2
练习：设一机器可简化为一单自由度系统，其参数如下：
m  10kg c  20 N  s m k  4000 N m x(0)  0.01m x (0)  0
根据以下条件求系统的响应。
(1) 作用在系统的外激励为 F (t )  F0 cos t F0  100 N   10 rad s
(2) F (t )  0 时的自由振动。
(2) 对于自由振动，其响应表达式为
x  en t  A cos d t  B sin d t 
A  x0
B
x 0  n x0
d
x(0)  0.01m x (0)  0 代入上式
A  0.01
B
0  0.05  20  0.01
 0.0005
19.97
讨论：如何解决系统低的固有频率和稳定性的矛盾？
F
2
F=kx
F=kx
kd=dF/dx
0.5
F=kx
ks=F/x
x
MOOC
练习：如右图所示的单自由度系统:
m=5 kg, c=20 Ns/m, k=2000 N/m.
(1)当外激励 F(t)=10sin(10t)(N)，求系统
的稳态响应x2(t)=?
(2)当 F(t)=10sin(10t)(N)，而所有的初值
条件为零，即 x(0)=dx(0)/dt=0，求瞬态
解及总响应 x(t)?
当 t = 1 s、2 s、3 s时，瞬态响应x1(t) 的
幅值及稳态响应 x2(t)的幅值。
c
k
o
Δ
x
Fk
F Fc
m
mg
MOOC
(1) 外激励 F(t)=10sin(10t)，求系统的稳态
响应x2(t)。
建立广义坐标。取质量元件沿铅垂方向的位移
作为广义坐标x。原点在系统的静平衡位置，向
下为正。
c
20
k



 0.1
n 
 20 ( rad/s )
2 m k 200
m
r

 0.5
n
X 0 1.322 
X
1

 1.322
2
2
X0
(1  r )  (2 r )
F0
 6.61  10  3
k
c
  arctan
 0.133
2
k  m
c
k
o
Δ
Fk
F Fc
m
x
mg
Fk
F Fc
m
(m)
mg
 rad 
x 2  t   6.61 sin  10 t  0.133 
 mm 
MOOC
(2) F(t)=10sin(10t) ，所有初值条件为零，求瞬态解及总响应 x(t)。
x  t   e  nt
 A cos 
x1
d
t  B sin  d t   6.61 sin  10 t  0.133 
0A6.61sin0.133 ， A6.61sin0.1330.87mm
k
 20 ( rad/s )
m
20
c
 

 0.1
2 m k 200
n 


 e  2t  A d sin  d t  B d cos  d t  66 .1cos 10t  0 .133 
x t   2e  2t Acos  d t  Bsin  d t
0   2 A 19 .9 B  66 .1cos 0 .133
B 2 A66 .1cos 0.133 /19.9 3.2 mm 
MOOC
x  t   e  2 t  0.87 cos 19.9 t  3.2 sin19.9 t
 6.61 sin  10 t  0.133 
 3.32e
2t

 mm 
cos  19.9t  1.31   6.61sin 10t  0.133  mm 
注意：即使初始条件均为零，瞬态解仍然不为零！
MOOC
(3)当 t = 1 s、2 s、3 s时，瞬态响应x1(t) 的幅值及稳态响应 x2(t)
的幅值。
x2  t   6.61 sin  10t  0.133 
x2(t) =6.61mm 幅值不变！
x1  t  3.32e 2 t cos  19.9t  1.31
t=1s, x1幅值= 0.45mm
t=2s, x1幅值= 0.061mm
t=3s, x1幅值= 8×10-3mm
衰减
简谐激励下的强迫振动
 简谐激励作用下的响应
 稳态响应的特性
 强迫振动的过渡阶段
 频率响应函数
 机械阻抗与导纳
 结构阻尼和库仑阻尼
 简谐惯性力激励的强迫振动
MOOC
X
1

X0
(1  r ) 2  (2 r ) 2
5
0.1
0.15
X
以r为横坐标画出 X 的曲线
0
4
幅频特性曲线
2
简谐激励作用下稳态响应特性：
1
(1) 当r<<1 (   n )
0
3
激振频率相对于系统固有频率很低
X
1
X0

X
X0
响应的振幅与静位移相当
0.25
0.375
0 .5
1
r
0
1
2
3
MOOC
X
1

X0
(1  r 2 )2  (2 r )2
(2) 当r>>1 (   n )
激振频率远高于系统固有频率
X
 0 响应的振幅很小
X0

X
X0
5
0.1
0.15
4
3
0.25
0.375
2
0 .5
1
1
0
r
0
1
2
(3) 在以上两个区域 r>>1，r<<1
对应于不同  值，曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著
系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的
3
MOOC
X
1

X0
(1  r )2  (2 r ) 2
(4) 当 r  1 (   n )
X
对应于较小 ζ 值，X 迅速增大
0
当  0
共振频率
X

X0
X
X0
5

0.1
0.15
4
3
0.25
0.375
2
0 .5
1
1
0
r
0
1
2
振幅趋于无穷大
但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在 r=1 附近的区域内，
增加阻尼使振幅明显下降
3
X
X0
(5) 当 r  1 (   n )
X
Q

记：
X0
1

品质因数
2

r 1
在共振峰的两侧取与
对应的两点 1 和 2
Q
Q/ 2
X
Q

X0
2
1 2 对应的位置为半功率点
   2  1 半功率带宽
Q与 
1
2
1 2  1 2  1 



有关系 ： 
2Q 2 +1
2n
2n
阻尼越弱，Q越大，带宽越窄，共振峰越陡峭

1
n
1
2
n
Q  n
r
讨论：在小阻尼的情况下，阻尼比可以表示为

2  1 2  1

2 +1
2n
可以通过测量半功率带宽估
计阻尼比。阻尼越小，半功
率带宽越窄，共振峰越尖。
1 2 为半功率点。
半功率点定义
频率比r满足
X
Q
1


X0
2 2 2
1
(1  r 2 ) 2  (2 r ) 2
r12  1  2 2  2 1   2
小阻尼情况下 r12  1  2

1
2 2
r22  1  2 2  2 1   2
r22  1  2
r22  r12  ( r2  r1 )( r2  r1 )  2( r2  r1 )  4

r2  r1 2  1

2
2n
31
X
1

X0
(1  r 2 )2  (2 r )2
(6)
5
并不
max
出现在r=1处，而是在稍偏左
r  1  2 2
4
3
d
 1   2  1  2 2
n
0.25
0.375
2
0 .5
1
1
0
 peak
 1  2 2  1
n
0.1
0.15
X
对于有阻尼系统，X 0
 X 
1



2
X
 0  max 2 1  

X
X0
r
0
1
2
3
若测得了响应的最大幅值，则可求得系统的阻尼比。
  2 2 时，rX/X0=max=0，振幅最大值发生在ω=0处，静止时位移最大。
  2 2 时，不论r为何值，
X
1 。
X0
  2 2 时，对于很小或很大的r值，阻尼对响应的影响可以忽略。
32