Universidad de Santiago de Chile
Departamento de Ingeniería Eléctrica
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CIRCUITOS 1
APUNTES DE CLASE
NOTA
Este apunte es un resumen detallado de las materias que
se exponen en cada clase del curso. No debe considerarse
como material único para el estudio. Las materias deben
ser profundizadas en su detalle con los textos que se dan
en la bibliografía. En especial:
1. H. Hayt, Jr., J. E. Kemmerly, “ Análisis de circuitos
en ingeniería”, McGrawHill-México, 2003.
2. Dorf/Svoboda. “Circuitos Eléctricos”. MarcomboAlfaomega.
3. Alexander/Sadiku. Fundamentos de Circuitos
Eléctricos. McGrawHill.
u otros textos de similar nivel.
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CAPITULO 1
FUNDAMENTOS
EL CIRCUITO
DEFINICIONES Y UNIDADES
La unidad más elemental de electricidad es la Carga Eléctrica.
Las cargas pueden ser positivas (un protón) o negativas (como un electrón)
En el Sistema Internacional de Medidas (SI) la carga se mide en Coulomb.
Por ejemplo, la carga de un electrón es igual a 1,591*10-10 coulomb.
En consecuencia, se requiere alrededor de 6,2*1018 electrones para llegar a
tener una carga de 1 coulomb
La presencia de cargas eléctricas da lugar a la aparición de fuerzas en la región
que las rodea.
Ley de Coulomb.
Expresada en forma cuantitativa
F k
Q1 q2
r2
Donde: k = Constante del medio donde se encuentren las cargas
(Si el medio es el vacío, su valor es 9*109)
r = Distancia en metros, entre las cargas.
Q1 y q2 = Cargas eléctricas en [Coulomb]
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Este efecto se describe diciendo que existe un campo de fuerza en la
vecindad de la carga; a este campo de fuerza se le llama Campo Eléctrico.
En todo caso, estamos más interesados en el movimiento de cargas que en
cargas estacionarias, ya que las cargas deben moverse para producir la
transferencia de energía.
Particularmente estamos interesados en aquellas situaciones donde el
movimiento está confinado a un camino definido formado por materiales
tales como cobre y aluminio, que son buenos conductores de electricidad.
Por el contrario, otros materiales, tales como la porcelana, la mica, el
vidrio, el aire bajo ciertas condiciones, son muy pobres conductores. Ellos
son llamados Aisladores y son usados para confinar la electricidad a un
camino específico.
Un tercer tipo de materiales, tales como el Silicio y el Germanio, que no
pueden ser catalogados como conductores y tampoco como aisladores, se
les llama Semiconductores.
Ahora bien
Para que puedan circular las cargas los caminos deben ser cerrados.
Estos caminos cerrados por donde circula la corriente
eléctrica son llamados Circuitos.
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CORRIENTE ELECTRICA
Se define como la intensidad de corriente o simplemente corriente
eléctrica, a la cantidad de carga que pasa por una sección transversal de un
material por unidad de tiempo
En el Sistema Internacional de Medidas (SI), la unidad de corriente es el
Amper. Un amper es el paso de una carga de 1 coulomb en 1 segundo.
Expresada cuantitativamente:
Entonces
i
dq
dt
amps
q   i dt coulombs
donde q es la carga que fluye en t segundos
VARIOS TIPOS DE CORRIENTES
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La corriente tiene dirección y sentido.
La dirección de la corriente es la dirección en que fluyen las cargas
positivas, es decir opuesta a la dirección del flujo de los electrones.
DIFERENCIA DE POTENCIAL (VOLTAJE o TENSIÓN)
El movimiento de las cargas eléctricas está relacionado con el cambio de
energía.
La Diferencia de Potencial entre dos puntos a y b en un circuito, es el
trabajo o energía asociada con la transferencia de una unidad positiva
de carga (1 coulomb), desde un punto al otro.
En unidades SI, el trabajo o energía por unidad de carga es medida en volts.
La energía asociada con el movimiento de una carga q a través de una
diferencia de potencial de e volts es:
W eq
joules , o watts  seg
Si se ha realizado trabajo en una unidad de carga y consecuentemente su
energía potencial aumenta al ir desde a a b, entonces existe una subida de
tensión (voltaje) en la dirección de a a b.
En el sentido inverso, existe una caída de tensión (voltaje) en la dirección
de b a a cuando una unidad de carga positiva pierde energía potencial al ir
de b a a.
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Para indicar cual punto está a mayor potencial que el otro se les asigna
signo.
Luego la diferencia de potencial tiene signo
Una diferencia de potencial asociada con una fuente de energía eléctrica
(como por ejemplo una batería) se le llama fuerza electromotriz (fem).
POTENCIA Y ENERGIA
La Potencia, o la razón a la cual la energía es transferida, es el cambio
de energía por unidad de tiempo.
p
Es decir
dq
dw
e
ei
dt
dt
watts , o joules / seg
Si la corriente y la tensión son funciones del tiempo, la energía total
transferida puede ser expresada como
W 
t

p dt  
t

e( t ) i ( t ) dt
watts  seg , o joules
Si e e i son constantes en el tiempo, con valores E e I, W=E I t
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RESUMEN
Variable
Eléctrica
Carga
Corriente
Diferencia de
potencial, Voltaje o
Tensión
Potencia
Energía o Trabajo
Símbolo
q, Q
i,I
e, E o
v, V
p, P
W
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Unidad
(Sistema mks)
Ecuación
Relacionada
Coulomb
Amper
i = dq/dt
Volts
e = W/q
Watts
Joule o
Watts-segundo
p=ei
W = eq o
w
t

ei dt
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ELEMENTOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Los elementos de circuito pueden clasificarse en:
Elementos activos y
Elementos pasivos
Un elemento activo es el que suministra energía eléctrica al circuito
(Baterias y Generadores) .
Un elemento pasivo, no suministra energía eléctrica al circuito, la
consume o la acumula.
En los circuitos se precisa al menos un elemento activo, para que la
corriente circule por él.
El principio de la conservación de la energía debe cumplirse también en
los circuitos eléctricos. Toda la energía que se convierta en eléctrica debe
almacenarse como energía eléctrica o convertirse en otra forma de
energía.
ELEMENTOS ACTIVOS. FUENTES IDEALES
Fuentes ideales de voltaje
Una fuente ideal de voltaje suministra un voltaje prescrito a través
de sus terminales, independientemente de la corriente que fluye por
ella.
El circuito conectado a la fuente determina la cantidad de corriente
que suministra la fuente.
El voltaje de salida de una fuente ideal puede ser una función del tiempo.
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Fuentes ideales de voltaje
La noción de una fuente ideal de voltaje se aprecia mejor dentro del
contexto de la representación fuente-carga de los circuitos eléctricos.
Fuentes ideales de corriente
Una fuente ideal de corriente suministra una
corriente prescrita independientemente del circuito
al cual está conectada. El circuito conectado a la
fuente determina el voltaje generado por ella.
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Fuentes dependientes ( o controladas)
ELEMENTOS PASIVOS
En un circuito eléctrico existen cuatro tipos de elementos pasivos, según la
forma como se interrelacionan la tensión y la corriente en ellos.
Resistor
Inductor
Inductores Acoplados
Capacitor
RESISTOR (Ley de Ohm)
Es un tipo de elemento de circuito, en que la tensión entre sus extremos es
directamente proporcional a la corriente que fluye a través de él.
Analíticamente
e(t) = R i(t) vots
que se conoce como la Ley de Ohm
A la constante de proporcionalidad R se le llama Resistencia y es medida
en ohms (Ω). Esta constante, o parámetro, está íntimamente relacionada con
la disipación de energía del circuito en forma de calor.
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A la razón
o mho’s
i( t )
G
e( t )
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se le llama Conductancia y es medida en Siemens (S)
Ya que una carga eléctrica entrega energía al pasar por el resistor, la tensión
e(t) es una caída de tensión en la dirección de la corriente.
Alternativamente, e(t) es una subida de tensión en la dirección opuesta a
la corriente
La potencia disipada por la resistencia puede ser determinada por la Ec. .
p( t )  e( t ) i ( t )  R i ( t ) i ( t )  i ( t )2 R watts
o,
2
 e( t )  e( t )
p( t )  e( t ) i ( t )  e( t )

R
 R 
watts
La pérdida de energía está dada por la ecuación
W
 p( t ) dt   e( t )i( t ) dt
t
t


watts  seg o joules
La resistencia de un conductor eléctrico es directamente proporcional a su
largo, inversamente proporcional a su sección transversal y es función del
material del que está hecho.
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La Resistividad (ρ) del material conductor, es la resistencia de un volumen
de sección y largo unitarios.
En el Sistema Internacional de Medidas la resistividad esta expresada en
ohms por metro cuadrado por metro.
La resistencia de un conductor de resistividad ρ, largo l y área A es
R
l
A
La resistencia del material conductor es dependiente también de la
temperatura del material.
Puede ser demostrado experimentalmente que la resistencia R2 de un conductor a
la temperatura centígrada t2, en términos de su resistencia R1 a la temperatura t1,
está dada por
R2  R1 1   1 t 2  t1 
siendo α1 el coeficiente de temperatura de la resistencia del material a la
temperatura t1.
Para cobre anódico estándar, una ecuación empírica conveniente es
R2  R1
234 ,5  t 2
234 ,5  t 1
Todos los conductores eléctricos disipan calor cuando llevan corriente.
La cantidad de calor que puede disipar con seguridad está determinada
por la temperatura máxima permitida para el conductor.
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INDUCTOR
En este tipo de elemento la tensión entre sus terminales es directamente
proporcional a la velocidad de variación de la corriente por unidad de
tiempo.
vK
Analíticamente
di
dt
volts
A la constante de proporcionalidad K se le llama Inductancia, se mide en
Henrios y es independiente del valor de la tensión o de la corriente.
Este parámetro está íntimamente relacionado con el campo magnético del
circuito.
En ciertas condiciones (presencia de hierro en las proximidades del
elemento de circuito), K es una función de i (o v) y no es constante.
Como ejemplo de este elemento, consideremos una bobina de alambre con
núcleo de aire y resistencia cero.
Si la corriente circula a través de los terminales entre los
que se observa una diferencia de potencial v, la constante
se denomina coeficiente de autoinducción o simplemente
Inductancia utilizándose para K el símbolo L.
Entonces
vL
di
dt
volts
El coeficiente de autoinducción L es una
función de las características y las
dimensiones de la bobina. Si no está
presente ningún material magnético
como hierro, cobalto o níquel, una
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ecuación empírica que da el valor de la inductancia es
L
 N2A
l  0 ,45 d
henrios
Esta ecuación es bastante exacta para bobinas largas, pero su exactitud
disminuye rápidamente cuando la longitud de la bobina es inferior a la mitad
del diámetro.
Consideraciones sobre la energía almacenada en una inductancia
Una inductancia perfecta no tiene resistencia y, por lo tanto, cualquier
energía que fluya en ella será almacenada en el campo magnético que la
rodea. Como la energía es la integral de la potencia respecto al tiempo,
durante el intervalo desde t = 0 hasta el instante t, la variación de energía
será
t
w   v i dt
0
Sustituyendo v por L di/dt se obtiene, con i = 0 para t = 0.
w   L i di 
i
0
L 2
i
2
INDUCTORES ACOPLADOS
Inductancia Mutua
Cuando los Inductores están suficientemente
cercanos que se influencian mutuamente, la
tensión y la corriente no necesitan ser comunes a
un mismo inductor para producir el fenómeno de
la inducción.
En la figura, la influencia de la corriente i2 en v1
es:
v'1  M
di2
dt
volts
Donde a M se le llama coeficiente de Inductancia Mutua
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Luego las ecuaciones para v1 y v2 considerando la autoinductancia y la
inductancia mutua serán:
v1  L1
di
di1
M 2
dt
dt
di
di
v 2  L2 2  M 1
dt
dt
volts
volts
M puede ser positivo o negativo y ello dependerá de la dirección de las
corrientes y del sentido en que están enrolladas las bobinas.
Para indicar cuándo M es positivo se colocan marcas en los terminales,
como se indica en la figura.
Si ambas corrientes i1 e i2 entran o ambas salen, M es positivo.
Si una entra y la otra sale, M es negativo.
CAPACITOR
En este tipo de elemento de circuito la tensión es proporcional a la integral
en el tiempo de la corriente.
Al recíproco de la constante de proporcionalidad se le llama Capacidad y
se mide en Faradios (F)
Este parámetro está íntimamente relacionado con el campo eléctrico del
circuito.
Si la tensión entre los terminales es proporcional a la integral de la corriente
respecto al tiempo, el elemento de circuito es un capacitor ideal.
Analíticamente
1
v   i dt  V0
C0
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t
volts
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Siendo V0 la tensión para t = 0. La constante C se denomina Capacidad, y
se mide en Faradios
Si derivamos los dos miembros de la ecuación anterior respecto al tiempo y
despejamos i, se obtiene
iC
dv
dt
amps
Un condensador constituido por dos placas conductoras planas y paralelas
separadas una pequeña distancia d por un aislador (dieléctrico), tiene una
capacidad de
C
A
d
faradios
Siendo A el área de las placas en
metros cuadrados, d la separación
entre ellas en metros, que es igual
al espesor del aislador y  es una
constante,
llamada
constante
dieléctrica, que depende del tipo
de aislador utilizado.
La energía almacenada en un condensador puede calcularse integrando la
potencia respecto al tiempo.
Suponiendo que la carga es cero para t = 0 W   vi dt
t
joules o Watts  seg
 dv 
W   v  C  dt
 dt 
0
0
t
Sustituyendo i por Cdv/dt, se obtiene
joules
Si se cambia la variable de integración de tiempo a tensión, W  Cv dv

v
con lo que
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W
0
C 2
v
2
joules
joules
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CONFIGURACIONES DE CIRCUITOS
Algunas definiciones de la topología de las redes
NUDO:
•Nudo
•Rama
•Lazo
•Malla
El punto en el cual dos o más elementos tienen una conexión
común
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RAMA:
Es un camino que contiene un elemento simple y conecta un nudo con
otro nudo cualquiera
Resp. 2,2
Resp. 5,4
Resp. 6,4
LAZO:
Si comenzamos en un cierto nudo y trazamos un camino cerrado a
través de la red, que no atraviese ningún nudo ni rama (elemento) más
de una vez, y terminamos en el mismo nudo, este camino es un lazo (o
Bucle)
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MALLA:
Una malla es un caso especial de lazo. Una malla es un lazo que no
contiene otros lazos.
En esta red hay 6 lazos de los cuales 3 son mallas
LEYES FUNDAMENTALES DE LOS CIRCUITOS
LEYES DE KICHHOFF
Dos leyes establecidas por Kirchhoff son extremadamente útiles en la
resolución de los problemas sobre circuitos eléctricos:
Ley de las corrientes
En cualquier instante, la suma algebraica de todas las corrientes que
concurren en un nudo de un circuito es cero. O, en cualquier instante, la
suma de las corrientes que llegan al nudo de un circuito es igual a la
suma de las que salen.
Ley de las tensiones
En cualquier instante, la suma algebraica de las tensiones alrededor de
un lazo de un circuito eléctrico es cero. En otras palabras, la suma de las
subidas de tensión alrededor de cualquier camino cerrado, debe ser igual
a la suma de las caídas de tensión.
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Las leyes de Kirchhoff establecidas anteriormente se aplican a los valores
instantáneos de la tensión y de la corriente y son ciertas tanto si las
tensiones y las corrientes del circuito son constantes como si varían en el
tiempo.
Algunas veces se establecen en la forma
∑i=0
∑v=0
Al aplicar las leyes de Kirchhoff, debe asignarse un signo algebraico a
cada tensión y a cada corriente para indicar su sentido.
En cualquier instante, la corriente tiene tanto intensidad como sentido.
Para escribir las ecuaciones correspondientes a la ley de corrientes de
Kirchhoff, es preciso definir un sentido como sentido positivo de
circulación de la corriente.
Al establecer este sentido positivo, no se establece el sentido real de
circulación de la corriente. Ciertamente, en algunos circuitos la corriente es
periódica e invierte periódicamente en sentido. Lo que realmente se
establece es que si la corriente circula en el sentido definido como positivo,
su signo algebraico será positivo y si circula en sentido contrario, su signo
algebraico será negativo.
Por ejemplo
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La diferencia de potencial entre dos puntos lleva también asociado un valor
absoluto y un sentido.
Al escribir las ecuaciones correspondientes a la ley de tensiones de
Kirchhoff, los signos reales de las tensiones no tienen que corresponderse
necesariamente con el sentido positivo establecido arbitrariamente para la
tensión.
Por ejemplo
FIN
CAPÍTULO
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