Univ.-Prof. Dr. rer. nat. Wolfgang H. Müller
Technische Universität Berlin
Fakultät V – Institut für Mechanik
Fachgebiet für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie
Sekretariat MS 2, Einsteinufer 5, 10587 Berlin
Statik und elementare Festigkeitslehre
15. Übungsblatt
Spannungen, Mohrscher Kreis
WS 2021/2022
Tutoriumsaufgaben
1. Die links dargestellte rechteckige Scheibe befindet sich in einem ebenen (sog. zweiachsigen)
Spannungszustand. Sie ist durch die Normalspannungen 𝜎𝑥𝑥 = 21 N/m2 und 𝜎𝑦𝑦 = −5 N/m2
und eine Schubspannung 𝜎𝑥𝑦 = 10 N/m2 belastet.
Rechts ist ein Schnitt durch die Scheibe unter einem beliebigen Winkel 0 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋 dargestellt.
Die Normalspannungen und die Schubspannungen sollen am folgenden Schnitt graphisch sowie
rechnerisch untersucht werden.
(a) Konstruieren Sie den Mohrschen Kreis für den vorgegebenen Spannungszustand.
(b) Bestimmen Sie graphisch und rechnerisch die Normal- und Schubspannung für 𝜙 = 60∘ .
max und den
(c) Bestimmen Sie graphisch und rechnerisch die maximale Schubspannung 𝜎𝑥𝑦
zugehörigen Winkel 𝜙max .
(d) Bestimmen Sie graphisch und rechnerisch die Hauptspannungen 𝜎1,2 und die zugehörigen
Winkel 𝜙1,2 .
Geg.: 𝜎𝑥𝑥 , 𝜎𝑦𝑦 , 𝜎𝑥𝑦
2. Die dargestellte Lasttraverse bestehend aus zwei Winkeleisen der jeweiligen Fläche 𝐴0 = 14 𝑎2
und einer aufgeschweißten Lamelle hat im Schnitt A–A das Gesamtflächenträgheitsmoment
𝐼𝑦𝑦 (2𝐿) = 18 𝑎4 . Die beiden Punktkräfte 𝐹 sowie die tragenden Seile sind jeweils bei 𝑎/2
angebracht. Beachten Sie, dass sich unter der Wirkung der aufgeschweißten Lamelle der Flä­
chenmittelpunkt zwischen beiden Profilen um den unbekannten Exzenterabstand 𝑒 verschiebt.
Berechnen Sie im Schnitt A–A die Normalspannungsverteilung und die Normalspannungen in
den eingezeichneten Querschnittspunkten 1, 2 und 3.
Geg.: 𝑎, ℎ = 𝑎/10, 𝐿, 𝐹 , 𝐼𝑦𝑦 = 𝑎4/8, 𝐴0 = 𝑎2/4
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Univ.-Prof. Dr. rer. nat. Wolfgang H. Müller
Technische Universität Berlin
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Fachgebiet für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie
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Statik und elementare Festigkeitslehre
15. Übungsblatt
Spannungen, Mohrscher Kreis
WS 2021/2022
Hausaufgaben
3. Betrachtet wird die Hausaufgabe des 14. Tutoriumsblattes. Mit dem skizzierten Radmuttern­
kreuz wird eine Radmutter mit dem Drehmoment 𝑀𝐷 angezogen. Das Radkreuz besteht aus
Rundstahl (Durchmesser 𝑑, Materialkennwerte 𝐸 und 𝐺). Die zu lösenden Aufgaben lauteten:
(a) Bestimmen Sie die Schub- und Normal­
spannungen im Querschnitt C (an der
Nuss) für den Fall, dass an beiden En­
den A und B mit (betragsmäßig) glei­
cher Kraft gedrückt wird (𝐹𝐴 = 𝐹𝐵 ).
Nehmen Sie dabei das Anzugsmoment
𝑀𝐷 als gegeben an.
(b) Welches Moment 𝑀𝐷,b kann auf die­
se Weise auf die Radmutter übertragen
werden, ohne dass (bei C) die maxi­
mal zulässige Schubspannung 𝜏zul über­
schritten wird?
(c) Jetzt soll nur einseitig gedrückt werden (𝐹𝐴 = 0). Bestimmen Sie für diesen Fall das maxi­
mal mögliche Anzugsmoment 𝑀𝐷,c so, dass (bei C) die maximal zulässige Schubspannung
𝜏zul nicht überschritten wird.
Geg.: 𝐸, 𝐺, 𝐿, 𝑑, 𝜏zul , kleine Verschiebungen.
Achtung: Es entsteht möglicherweise ein zweiachsiger Spannungszustand. Die Schubspannung
infolge der Querkraft soll vernachlässigt werden.
4. Für den dargestellten Balken sollen Ausdrücke für die Scherspannungskomponenten 𝜎𝑦𝑥 im
Flansch und 𝜎𝑧𝑥 im Steg in Abhängigkeit der Schnittlasten hergeleitet werden.
Hinweise:
• Die Kraft 𝐹 wird im Hauptachsensystem durch den Schubmittelpunkt eingeleitet. Somit
treten weder Torsion, noch schiefe Biegung auf.
• Betrachten Sie zunächst den Ausschnitt einer infinitesimalen Scheibe der Breite Δ𝑥 an
der Stelle 𝑥
• Analysieren Sie dann gesonderte Schnitte dieser Scheibe durch Steg und Flansch mithilfe
von Kräftegleichgewichten in 𝑥-Richtung unter Nutzung des Cauchyschen Fundamental­
satzes 𝑡𝑖 = 𝑛𝑗 𝜎𝑗𝑖 , um die Scherspannungen mit den Normalspannungen zu verknüpfen
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