Cuprins
1. Operaţii cu numere reale .................................... 1
1.1. Radicali, puteri.............................................................................. 1
1.1.1. Puteri .......................................................................................... 1
1.1.2. Radicali ...................................................................................... 1
1.2. Identităţi ........................................................................................ 2
1.3. Inegalităţi ...................................................................................... 3
2. Funcţii .................................................................. 6
2.1. Noţiunea de funcţii ....................................................................... 6
2.2. Funcţii injective, surjective, bijective........................................... 6
2.3. Compunerea funcţiilor .................................................................. 7
2.4. Funcţia inversă .............................................................................. 8
3. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi...................... 8
3.1. Ecuaţii de gradul întâi ................................................................... 8
3.2. Inecua¸tii de gradul întâi ............................................................... 9
3.3. Modul unui număr real ............................................................... 10
4. Numere complexe .............................................. 12
4.1. Forma algebrică .......................................................................... 12
4.2. Puterile numărului i .................................................................... 13
4.3. Conjugatul lui z .......................................................................... 13
4.4. Modulul unui număr complex .................................................... 14
4.5. Forma trigonometrică ................................................................. 15
4.6. Formula lui Moivre..................................................................... 16
4.7. Forma exponenţială .................................................................... 17
4.8. Ecuaţia binomă ........................................................................... 18
5. Progresii ............................................................. 18
5.1. Progresiile aritmetice .................................................................. 18
5.2. Progresiile geometrice ................................................................ 19
6. Logaritmi ........................................................... 20
6.1. Ecuaţii şi inecuaţii logaritmice fundamentale ............................ 22
6.2. Ecuaţii şi inecuaţii exponenţiale fundamentale .......................... 22
7. Geometrie ........................................................... 23
7.1. Vectori ........................................................................................ 23
7.2. Adunarea vectorilor .................................................................... 25
7.3. Teoreme cu vectori ..................................................................... 30
7.4. Geometrie analitică în plan şi în spaţiu ...................................... 34
7.4.1. Plan determinat de un punct şi doi vectori necolinari paraleli cu planul. 34
7.4.2. Plan determinat de trei puncte necolinare ............................... 36
7.4.3. Ecuaţia planului prin tăieturi ................................................... 37
7.4.4. Ecuaţia generală a planului ...................................................... 37
7.4.5. Poziţia planelor ........................................................................ 38
7.5. Ecuaţia dreptei ............................................................................ 39
7.5.1. Ecuaţia dreptei determinat de un punct şi de un vector paralel cu dreapta.. 39
7.5.2. Ecuaţia dreptei determinat de două puncte diferite ................. 41
7.5.3. Ecuaţia generală a dreptei ........................................................ 41
7.5.4. Ecuaţia dreptei în plan ............................................................. 42
7.5.5. Ecuaţia dreptei determinat de două puncte diferite ................. 42
7.5.6. Unghul determinat de două drepte .......................................... 43
7.6. Distanţa la un punct la o dreaptă (în plan).................................. 44
7.6.1. Ecuaţia bisectoarei (în plan) .................................................... 44
7.7. Distanţa la un punct la o dreaptă (în spaţiu) ............................... 45
7.8. Cercul .......................................................................................... 46
7.9. Elipsa .......................................................................................... 46
7.10. Hiperbola .................................................................................. 48
7.11. Parabola .................................................................................... 49
7.12. Alte aplicaţii cu vectori ............................................................ 50
8. Metoda inducţiei matematice ........................... 51
8.1. Axioma de recurenţă a lui Peano ................................................ 51
8.2. Metoda unducţiei matematice..................................................... 51
8.3. Variantă a metodei inducţiei matematice ................................... 52
9. Analiză combinatorie ........................................ 52
9.1. Permutări..................................................................................... 52
9.2. Aranjamente................................................................................ 52
9.3. Combinări ................................................................................... 53
9.4. Binomul lui Newton ................................................................... 54
9.5. Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale ......... 55
10. Polinoame ......................................................... 56
10.1. Forma algebrică a unui polinom ............................................... 56
10.2. Divizibilitatea polinoamelor ..................................................... 56
10.3. Rădăcinile polinoamelor ........................................................... 57
10.4. Ecuaţii algebrice ....................................................................... 58
10.5. Polinoame cu coeficienţi din R, Q, Z ....................................... 58
11. Permutări, matrici, determinanţi ................... 59
11.1. Permutări .................................................................................. 59
11.2. Matrici....................................................................................... 60
11.3. Determinanţi ............................................................................. 62
11.4. Inversa unei matrici .................................................................. 63
11.4.1. Tr(A) ...................................................................................... 63
11.4.2. Determinantul şi rangul ......................................................... 64
12. Sisteme liniare .................................................. 66
12.1. Notaţii ....................................................................................... 66
12.2. Compatibilitatea........................................................................ 67
12.3. Sisteme omogene (bi=0) ........................................................... 67
13. Trigonometrie .................................................. 68
13.1. Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie ................................. 71
14. Analiză matematică ......................................... 74
14.1. Recurenţe .................................................................................. 74
14.1.1. Recurenţe de ordin 1 .............................................................. 74
14.1.2. Recurenţe de ordin al doilea .................................................. 74
14.2. Limita de şiruri ......................................................................... 74
14.2.1. Limite generale, criterii de convergenţă ................................ 76
14.3. Limite de funcţii ....................................................................... 80
14.3.1. Operaţii cu limite de funcţii ................................................... 80
14.3.2. Limite tip ............................................................................... 81
14.4. Continuitatea funcţiilor ............................................................. 83
14.4.1. Teoreme pentru continuitatea funcţiilor ................................ 84
14.5. Funcţii derivabile ...................................................................... 86
14.5.1. Definiţia derivatei într-un punct ............................................ 86
14.5.2. Reguli de derivare.................................................................. 86
14.5.3. Derivatele funcţiilor elementare ............................................ 87
14.5.4. Derivatele funcţiilor compuse ............................................... 88
14.5.5. Derivatele de ordin superior ale unor funcţii elementare ...... 90
14.5.6. Proprietăţi ale funcţiilor derivabile........................................ 91
14.6. Integrale .................................................................................... 91
14.6.1. Primitive ................................................................................ 91
15. Primitivele funcţiilor ....................................... 92
15.1. Reguli pentru integrarea generală a funcţiilor .......................... 92
15.2. Primitivele funcţiilor raţionale ................................................. 93
15.3. Integrale cu r=(x2+a2)1/2 ............................................................ 96
15.4. Integrale cu s=(x2–a2)1/2 ............................................................ 99
15.5. Integrale cu t=(a2–x2)1/2 .......................................................... 100
15.6. Integrale cu R1/2=(ax2+bx+c)1/2............................................... 101
15.7. Integrale de funcţii trigonometrice ce conţin numai sin ......... 103
15.8. Integrale cu funcţii trigonometrice ce conţin numai cos ........ 105
15.9. Integrale cu funcţii trigonometrice ce conţin numai tan ........ 107
15.10. Integrale cu funcţii trigonometrice ce conţin atât sin cât şi cos... 107
15.11. Funcţii logaritmice ................................................................ 109
15.11.1. Proprietăţi ale integralei definite ....................................... 110
15.11.2. Teorema Fundamentală ..................................................... 112
15.11.3. Inegalităţi ........................................................................... 113
15.12. Alte teoreme ......................................................................... 116
15.12.1. Funcţii primitivabile .......................................................... 116
15.12.2. Funcţii integrabile .............................................................. 117
15.12.3. Arii ..................................................................................... 117
16. Structuri algebrice......................................... 118
16.1. Grupul ..................................................................................... 118
16.1.1. Proprietăţi şi teoreme ........................................................... 119
16.2. Monoid.................................................................................... 121
16.3. Inel .......................................................................................... 122
16.4. Corpuri .................................................................................... 122
17. Spaţii vectoriale ............................................. 124
1
Operaţii cu numere reale
1.1
Radicali,Puteri
1.1.1
Puteri
m·n
m
n
1. a
=a ·a
m
m
m
2. a · b = (a · b)
m
n
m−n
3. a : a = a
m
m
m
4. a : b = (a : b)
1
−m
5. a
= m
a
m n
mn
6. (a ) = a
.
Puterile numerelor reale se extiind atât pentru exponenţi
raţionali pozitivi sau negativi, cât şi pentru puterile reale
fiind definite cu ajutorul şirurilor de puteri raţionale.
Aceste puteri au proprietǎţi identice cu exponenţi numere naturale.
1.1.2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Radicali
1
√
n
a = a n , a > 0;
r
1
n 1
− 1
= √
= a m;
n a
a
√ n
( n a) = a;
√
√
√
n
n
n
a·
b=
ab;
r
1
1
n
n
) = ;
(
a√
a
√
√
√
n
n
n
a·
b· nc=
abc;
r
√
√
a
n
n
n
a:
b=
;
b
1
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
√
√
√
nm
a· na=
an+m ;
√
√
√
nm
n
a:
a=
an−m ;
√
n nm
m
a
=a ;
√
n
m
an = a m ;
√
√
n p
mn
mp
a
=
a ;
√
√
√
n
nm
m
ap ·
bq =
apn · bqm ;
q
√
m √
n
a = nm a;
√
a2 = |a|;
√
√
2n+1
−a = − 2n+1 a;
r
r
q
√
a+c
a−c
±
,
a± b=
2
2
2
2
c = a − b;
m
m
1.2
Identitǎţi
Oricare ar fi x, y, z, t, a, b, c, d ∈ R şi n ∈ N avem:
2
2
b
3
b
3
n
n
1. a − b = (a − b)(a + b)
2
2
2
2
2
2
2. (a + b )(x + y ) = (ax − by) + (ay + bx)
2
2
3. a − b = (a − b)(a + ab + b )
3
3
2
2
4. a + b = (a + b)(a − ab + b )
3
3
3
2
2
2
5. a +b +c −3abc = (a+b+c)(a +b +c −ab−bc−ca)
3
3
6. a + b + c = (a + b + c) − 3(a + b)(b + c)(c + a)
4
4
2
2
7. a − b = (a − b)(a + b)(a + b )
√
√
4
4
2
2
2
2
8. a + b = (a + b − ab 2)(a + b + ab 2)
5
5
4
3
2 2
3
4
9. a − b = (a + b)(a + a b + a b + ab + b )
6
6
3
2 2
3
2 2
10. a + b = (a − 2ab ) + (b − 2a b)
11. a − b
2
= (a − b)(a
n−1
+a
n−2
b + ... + ab
n−2
+b
n−1
)
2n+1
2n+1
12. a
+b
=
2
2n−1
2n−1
2n
(a + b)(a n − a
b + ... − ab
+b )
2
2
2
2
13. (a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ac
2
 


n
n
n
X
X
X
2
2 


aj xj 
xj −
14.
aj
j=1
j=1
=
X
1≤i<j≤n
(ai xj − aj xi )
j=1
2
15. (Hermite)
n−1
X
x+
k=0
k
n
= [nx],
cu [·] notǎm partea întreagǎ. Fie x un numǎr real. Se
numeşte parte întreagǎ a lui x, cel mai apropiat întreg
mai mic sau egal cu x. Se numeşte parte fracţionară
a lui x, diferenţa dintre numǎr şi partea lui întreagă.
Definiţia este sugerată de Axioma lui Arhimede : Pentru orice numar real x, existǎ un numǎr întreg n, unic,
astfel incat n ≤ x < n + 1.
1.3
Inegalitǎţi
2
2
1. [E1 (x)] + ... + [En (x)] ≥ 0;
2
2
2. x + y ≥ 2xy, ∀x, y ∈ R;
√
2
≤ ab ≤
3. 1
1
+
a
b
s
a 2 + b2
a+b
≤
2
2
4. (a + b)(b + c)(c + a) ≤ 8abc;
b
a
+
≥2
5.
b
a
3
6. (a + b + c)
7.
8.
9.
10.
11.
12.
1
1
1
+ +
a
b
c
≥ 9,
a, b, c > 0;
2
2
2
a + b + c ≥ ab + bc + ca;
3
3
3
a + b + c ≥ 3abc;
a1
a2
an−1
an
+
+ ... +
+
≥ n;
a2
a3
an
a1
2
2
2
2
2
(x + y )(a + b ) ≥ (ax + by) ;
∗
(Bernoulli) Pentru orice x ∈ [−1, ∞) şi α ∈ Q \ {1}
α
α
avem: (1 + x) ≤ 1 + αx, dacǎ α ∈ (0, 1) şi (1 + x) ≥
1 + α · x dacǎ α ∈ (−∞, 0) ∪ (1, +∞).
Pentru orice ak ∈ R, k = 1, n şi
bk ∈ {−1, 1} avem cǎ
n
n
X
X
|ak |.
a k · bk ≤
k=1
k=1
1 n
. Atunci şirul un este strict
n
descrescǎtor, adicǎ: un > un+1 .
14. Pentru orice ak ≥ 0 numere reale avem cǎ:
13. Dacǎ un =
1+
a1 + a2 + ... + an
n
√
n
≥
1
a1
a1 a2 · ... · an ≥
+
1
a2
n
+ ... +
1
an
.
Inegalitatea de mai sus, este numitǎ, inegalitatea mediilor. Egalitatea se obţine pentru a1 = ... = an .
a1 + a2 + ... + an
15.
≤
n
s
4
a21 + a22 + ... + a2n
n
16. (Cauchy-Buniakovsky-Schwarz) Dacǎ ak , bk ∈ R
atunci
!
!
n
n
X
X
2
2
ak ·
bk ≥
k=1
k=1
n
X
a k bk
k=1
!2
∗
17. (Cebisev) Pentru orice n ∈ N şi ∀ak , bk ∈ R, k = 1, n
esetén
!
!
n
n
1 X
1 X
ak ·
bk ≤
n k=1
n k=1
n
1 X
a k bk
n k=1
!
.
Egalitatea se obţine dacǎ ai = aj şi bi = bj i 6= j.
∗
18. (Huygens) Pentru orice n ∈ N \ {1} şi xk ∈ R+ avem
cǎ
n
Y
√
n
(1 + xk ) ≥ (1 + n x1 ...xn )
k=1
∗
19. (Kantorovici) Fie [a, b] ⊂ R+ un interval, atunci dacǎ
xk ∈ [a, b] k = 1, n avem
n
X
k=1
tk x k
!
(a + b)2
4ab
n
X
tk
x
k=1 k
n
X
k=1
tk
!
!2
≤
.
5
7.5.2
Ecuaţia dreptei determinat de douǎ
puncte diferite
Similar, folosim ecuatţia de mai sus, pentru puntul M1 ,
şi pentru vectorul M1~M2 : M1 M2 :
y − y1
z − z1
x − x1
=
=
.
x2 − x1
y 2 − y1
z2 − z1
7.5.3
(23)
Ecuatţia generelǎ a dreptei
Teoremǎ 7.6. Sistemul:
n
unde
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D1 = 0
A 2 x + B 2 y + C 2 z + D2 = 0
A1
A2
reprezintǎ o dreaptǎ.
B1
B2
C1
C2
D1
D2
(24)
= 2.
41
7.5.4
Ecuaţia dreptei în plan
Similar ca şi în spacţiu. Fie e o drepatǎ în plan atunci
ecuatţia canonicǎ este:
x − x0
y − y0
=
p
q
(25)
Dacǎ e nu este paralel cu axa Oy atunci (adicǎ p 6=
q
=m
p
este constantǎ. Numǎrul m este numitǎ panta dreptei.
Avem cǎ
m = tg α,
(26)
0), atunci pentru orice vector de direcţie avem cǎ
unde α este unghiul determinat de dreapta e cu axa Ox.
În acest caz dacǎ dreapta trece prin punctul
A(x0 , y0 ) şi are panta m atunci ecuaţia dreptei este:
y − y0 = m(x − x0 ).
(27)
Observaţie 7.3. Douǎ drepte sunt parelele dacǎ şi numai dacǎ panta
dreptelor sunt egale.
Observaţie 7.4. Fie e1 , e2 douǎ drepte perpendiculare. Fie d~1 (p1 , q1 )
şi d~2 (p2 , q2 ) vectorii de direcţie. Evident cǎ d~1 ⊥ d~2 , deci ~
v1 ·
~
v2 = 0. Cea ce înseamnǎ p1 p2 + q1 q2 = 0. Presupunem cǎ
dreptele nu sunt paralele cu axa Oy atunci
e1 ⊥ e2 ⇐⇒ m1 · m2 = −1.
7.5.5
(28)
Ecuaţia dreptei determinat de douǎ
puncte diferite
Fie M1 (x1 , y1 ) şi M2 (x2 , y2 ) douǎ puncte în plan. Atunci
ecuaţia dreptei care trece prin punctele M1 şi M2 are
42
−−−−→
vectorul de direcţie M1 M2 (x2 −x1 , y2 −y1 ), deci Ecuaţia
canonicǎ a dreaptei M1 M2 este
y − y1
x − x1
=
,
x2 − x1
y2 − y 1
sau:
7.5.6
x
x1
x2
y
y1
y2
1
1
1
(29)
= 0.
(30)
Unghul determinat de douǎ drepte
Fie d1 şi d2 douǎ drepte. Atunci
m(d\
1 , d2 ) =
d~1 · d~2
, d~1 · d~2 ≥ 0
||d~1 || · ||d~2 ||

d~1 · d~2


, altfel.
 π − arccos
||d~1 || · ||d~2 ||




 arccos
Dacǎ luǎm în considerare cǎ
π − arccos x = arccos(−x),
pentru orice x ∈ [−1, 1] atunci avem cǎ:
m(d\
1 , d2 ) = arccos
sau:
|d~1 · d~2 |
||d~1 || · ||d~2 ||
,
(31)
m(d\
1 , d2 ) =
arccos q
|p1 p2 + q1 q2 + r1 r2 |
.
q
p22 + q22 + r22
p21 + q12 + r12 ·
43
13
Trigonometrie
2
2
1. sin x + cos x = 1;
1
2
2. 1 + tan x =
;
cos2 x
1
2
;
3. 1 + cot x =
2
sin x π
4. sin x = cos
−x ;
2
π
−x ;
5. cos x = sin
2
π
−x ;
6. tan x = cot
2
π
7. cot x = tan
−x ;
2
8. tan x > x > sin x, ∀x ∈
9. cos(x + y) =
0,
π
2
;
cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y);
10. sin(x + y) =
sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x);
tan(x) + tan(y)
;
1 − tan(x) tan(y)
cot(x) cot(y) − 1
;
12. cot(x + y) =
cot(x) + cot(y)
13. sin(x − y) =
11. tan(x + y) =
sin(x) cos(y) − sin(y) cos(x);
68
14. cos(x − y) =
cos(x) · cos(y) + sin(x) · sin(y);
tan(x) − tan(y)
;
1 + tan(x) tan(y)
cot(x) cot(y) + 1
;
16. cot(x − y) =
cot(y) − cot(y)
17. sin(2x) = 2 sin(x) cos(x);
2
2
18. cos(2x) = cos x − sin x =
15. tan(x − y) =
2
2
1 − 2 sin x = 2 cos x − 1;
3
19. sin 3x = 3 sin x − 4 sin x;
3
20. cos(3x) = 4 cos (x) − 3 cos(x);
s
x
1 + cos(x)
21. cos
;
=
2
2
s
x
1 − cos(x)
;
=
22. sin
2
2
s
x
1 − cos x
23. tan
;
=
2
1 + cos(x)
s
1 + cos x
x
;
=
24. cot
2
1 − cos(x)
25. sin(p) + sin(q) =
2 sin
p+q
2
· cos
p−q
2
;
26. sin(x) · cos(y) =
1
[sin(x + y) + sin(x − y)];
2
69
27. sin(p) − sin(q) =
p−q
p+q
2 sin
· cos
;
2
2
28. cos(p) + cos(q) =
p−q
p+q
· cos
;
2 cos
2
2
29. cos(x) cos(y) =
1
[cos(x + y) + cos(x − y)];
2
30. cos(p) − cos(q) =
−2 sin
p−q
2
· sin
p+q
2
31. sin(x) sin(y) =
1
[cos(x − y) − cos(x + y)];
2
sin(p ± q)
;
cos(p) · cos(q)
sin(p + q)
33. cot(p) + cot(q) =
;
sin(p) sin q
x
2 tan( 2 )
34. sin(x) =
;
1 + tan2 ( x
2)
32. tan(p) ± tan(q) =
35. cos(x) =
36. tan(x) =
1 − tan2 ( x
2)
1 + tan2 ( x
2)
2 tan( x
2)
;
;
1 − tan2 ( x
2)
sin(x)
1 − cos(x)
x
=
;
37. tan( ) =
2
1 + cos(x)
sin(x)
70
;